Compte Rendu Abaqus [PDF]

Zitiervorschau

Conte Bruno Ginisty Gaëlle

IAH3 -Abaqus

Ingénierie des Aménagements Hydrauliques 3 Bureau d’étude numérique

Création du modèle numérique 2D Dans un premier temps, nous avons réalisé un modèle numérique de la dent déflectrice en s’affranchissant de la fondation et du ferraillage. Nous avons décidé de prendre une dent de 7 m de haut, ce qui correspond « au milieu » de la dent où le terrain naturel est presque au niveau de la fondation. Dans ce cas, la structure est uniquement en béton avec un encastrement à sa base. Il s’agit d’un béton C30/37, son module d’Young est donc donné par :

f cm 10

0.3

( )

E=22000∗ f cm=f ck + 8 MPa=30+8=38 MPa

Nous avons donc un module d’Young de E = 32 837 MPa pour le béton. Nous avons réalisé plusieurs étapes de chargement pour ce premier modèle. Le premier correspond à la gravité, le second à la pression dynamique Pdyn et le dernier à la pression hydrostatique Pstat. Ces deux pressions ont été calculées de la manière suivante : 

1 Pdyn= ∗k∗m n∗(V ∗sinα )2=0,5∗2∗490∗(15∗sin ( 30 ))2=27,563 kPa 2 Pstat =m n∗g∗h=490∗( 9,81 )∗7=33,65 kPa

 Avec mn = 490 kg/m3 la masse volumique de la neige, k = 2 le coefficient d’avalanche, V = 15 m/s la vitesse d’écoulement de l’avalanche, α = 30° l’angle d’incidence de l’avalanche et h = 7 m la hauteur de la dent déflectrice. Afin de vérifier les résultats donnés par le logiciel et donc de vérifier la validité du modèle que nous avons mis en place, nous avons réalisé quelques calculs analytiques en considérant la dent comme une poutre. Pour simplifier nos calculs nous n’avons pas pris en compte le fruit aval. Au lieu de considérer les largeurs réelles de 1,30 m dans la tête et 1,50 m dans le pied, nous avons considéré juste une surface rectangulaire de côté 1,30m. Pour le modèle numérique nous avons gardé la géométrie réelle. Cette hypothèse ne nous permettra pas d’avoir les mêmes résultats dans les calculs analytiques et numériques car elle a une influence non négligeable dans des éléments comme le module d’inertie, le centre de gravité et les contraintes imposées par le poids de la structure. Les résultats resteront quand même comparables entre les deux méthodes, ce que nous permettra de valider le modèle numérique. La théorie des poutres permet de calculer la flèche obtenue sous un chargement donné :

f ' ' =M z∗E∗I

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Avec Mz le moment fléchissant, E le module d’Young du béton et I le moment d’inertie de la section par rapport à l’axe z. Nous avons I =

h∗b3 4 =0,183 m avec h = 1 m 12

la hauteur de la dent et b = 1,3 m sa largeur. Nous avons calculé la flèche pour les deux cas de chargement :

Figure 1 – Pression hydrostatique



Pour la pression hydrostatique (q0 = Pstat), la flèche est donnée par :

Pstat∗L4 33,65∗74 f= = =0,448 mm 30∗E∗I 30∗32837 000∗0,183



Pour la pression dynamique (q = P dyn), la flèche est donnée par :

Pdyn∗L4 27,563∗7 4 f= = =1,37 mm 8∗E∗I 8∗32837 000∗0,183 Figure 2 – Pression dynamique

Selon la même théorie, la contrainte crée par un moment fléchissant est donnée par :

σ 22=σ yy =

M z∗x Iz

Avec Mz le moment fléchissant selon l’axe z, x la distance au centre de la section et I z le moment quadratique de la section considérée. On a I z =

h∗b 3 4 =0,183 m comme précédemment. 12

La contrainte σ22 crée par la pression dynamique de l’avalanche au niveau de la base et au milieu (y = 3,5 m) de la section sont :

P dyn∗h∗h b ∗± M ∗x 2 2 σ 22, Pdyn ,base= z = =±2,40 MPa Iz 0,183

(

)( )

P dyn∗h ∗h 2 b ( )∗ ± M z∗x 4 2 σ 22, Pdyn ,milieu = = =± 0,60 MPa Iz 0,183

( )

La contrainte crée par la pression hydrostatique dans les mêmes points est donnée par :

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Pstat∗h ∗h 2 b ∗± M ∗x 3 2 σ 22, Pstat , base= z = =± 0,98 MPa Iz 0,183

(

)(

)

P stat ∗h 2 ∗h 4 b ∗± 6 2 M ∗x σ 22, Pstat , milieu= z = =±0,12 MPa Iz 0,183

( )(

)

Contrainte σ22 crée par le poids du béton dans la base (en y = 0 m) de la structure et en y = 3,5 m :

σ 22, poids ,base=ρ béton∗g∗h=2400∗ (−9,81 )∗7=−0,16 MPa σ 22, poids ,milieu= ρbéton∗g∗h=2400∗(−9,81 )∗3,5=−0,08 MPa Dans notre modèle, nous avons pris en compte la gravité et une des pressions en même temps, nous pouvons donc maintenant estimer les contraintes σ 22 qui nous intéressent :

σ 22, Pd yn+ poids ,base =±2,40 MPa−0,16 MPa=−2,56 MPa ou2,24 MPa σ 22, Pdyn+ poids , milieu=± 0,60 MPa−0,08 MPa=−0,68 MPa ou 0,52 MPa σ 22, Pstat + poids ,base =±0,98 MPa−0,16 MPa=−1,14 MPa ou 0,82 MPa σ 22, Pstat + poids ,milieu =± 0,12 MPa−0,08 MPa=−0,2 MPa ou 0,04 MPa Grâce à ces calculs, nous allons pouvoir comparer les résultats analytiques aux résultats donnés par le logiciel en termes de déplacement maximal et de contraintes afin de valider le modèle.

Vérification du modèle Pour la première simulation, nous avons choisi un maillage carré avec une intégration linéaire réduite qui correspond au type d’éléments le plus simple. Dans un premier temps, ce choix nous permet de valider le modèle en comparant à la théorie. Ensuite, nous allons tester différents types d’éléments et de densité de maillage pour choisir le meilleur compromis afin d’obtenir de bons résultats. Pour la figure 3, nous avons modifié la légende afin de faire apparaître en couleur les éléments pour lesquels la contrainte σ11 était comprise entre -2.10 4 et -3.104 Pa afin de voir si nous avions bien défini le chargement dû à la pression dynamique. En effet, nous avons calculé P dyn = 27,563 kPa soit Pdyn = 2,7.104 Pa. Il s’agit d’une contrainte de compression, c’est pourquoi elle est négative dans le logiciel. D’après la figure 3, on remarque que sur un peu plus de la hauteur de la dent, la valeur de la contrainte σ 11 semble correcte : la pression dynamique a donc été bien définie. Cependant, on remarque que l’encastrement a un

3 la Figure 3 – Contrainte σ11 pour le cas avec pression dynamique

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effet non négligeable vers le bas de la dent. Ce maillage et ce type d’éléments ne semblent donc pas totalement adéquats pour ce modèle.

La figure 4 illustre également la même remarque. Il s’agit de la représentation de la contrainte σ 11 sur un chemin défini verticalement de haut en bas et du côté gauche de la dent. La contrainte est relativement constante sur le haut de la dent, ce qui est correct. Lorsqu’on se rapproche de l’encastrement, on remarque que ce dernier a un effet non négligeable, de la même façon que sur la figure 3.

Figure 4 – Contrainte σ11 sur un chemin vertical de haut en bas du côté gauche de la dent pour la pression dynamique

Nous avons ensuite voulu voir si l’on observait la même chose avec la pression hydrostatique. La figure 5 montre bien que la contrainte σ 11, sur le même chemin que précédemment, augmente linéairement (ce qui est correct) jusqu’au moment où l’encastrement a un effet non négligeable, de la même façon que précédemment. La modification du maillage et du type d’éléments pourra certainement améliorer ces erreurs dues à l’encastrement.

Figure 5 - Contrainte σ11 sur un chemin vertical de haut en bas du côté gauche de la dent pour la pression statique

Concernant les déplacements, nous avons pour les deux cas de chargement une allure similaire à celle de la figure 6. Quant aux déplacements maximums calculés par le logiciel, nous relevons : 4

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U1(Pdyn) = 1,02 mm U1(Pstat) = 0,33 mm

Sachant que les valeurs analytiques trouvées sont de U 1(Pdyn) = 1,37 mm et U1(Pstat) = 0,448 mm, nous pouvons considérer que le modèle est correct en terme de déplacement.

Figure 6 – Allure des déplacements pour la pression dynamique à gauche et la pression hydrostatique à droite

Nous pouvons maintenant étudier les contraintes σ 22 que nous avons calculé analytiquement précédemment. La figure 7 illustre la contrainte σ 22 le long d’un chemin horizontal au milieu de la dent (y = 3,5 m). On remarque de même que précédemment que l’évolution n’est pas linéaire comme elle devrait l’être. Ce problème vient encore une fois du type d’éléments et de la densité du maillage que nous changerons dans un second temps. Le tableau suivant récapitule les résultats trouvés analytiquement et ceux donnés par le logiciel pour un maillage assez grossier avec des éléments carrés et une intégration linéaire réduite :   U1(Pdyn) U1(Pstat) σ22(Pdyn) en y = 3,5 m et x = 0 m σ22(Pdyn) en y = 3,5 m et x = 1,3 m σ22(Pdyn) en y = 0 m et x = 0 m σ22(Pdyn) en y = 0 m et x = 1,3 m σ22(Pstat) en y = 3,5 m et x = 0 m σ22(Pstat) en y = 3,5 m et x = 1,3 m σ22(Pstat) en y = 0 m et x = 0 m σ22(Pstat) en y = 0 m et x = 1,3 m

Analytique 1,37 mm 0,448 mm  +0,52 MPa  -0,68 MPa  2,24 MPa  -2,56 MPa  0,04 MPa  -0,2 MPa  0,82 MPa  -1,14 MPa

Logiciel 1,02 mm 0,33 mm 0,36 MPa -0,52 MPa 1,40 MPa -1,70 MPa 0,004 MPa -0,17 MPa 0,45 MPa -0,77 MPa

Nous pouvons avoir déjà une bonne idée des ordres de grandeur des efforts et déplacements à partir de ces premières analyses avec un maillage grossière. Nous savons que les calculs analytiques donnent des résultats exacts ou au moins très proches de la réalité alors il faut améliorer les propriétés du maillage pour se rapprocher des résultats attendus. 5

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Figure 7 – Contrainte σ22 le long d’un chemin horizontal au milieu de la dent (y = 3,5 m) avec une intégration linéaire réduite

Etude du maillage Nous avons ensuite comparé les résultats obtenus avec différents types d’éléments et différentes densités de maillage afin de faire un compromis pour avoir de bons résultats. Nous avons d’abord commencé par changer le type d’éléments, puis nous avons gardé le type qui donnait les meilleurs résultats pour ensuite choisir une densité de maillage adéquate. Nous avons commencé par utiliser des éléments triangulaires et une intégration linéaire. Les résultats étaient moins bons que dans le cas précédent. Nous avons remarqué que les contraintes σ 11 étaient encore plus mauvaises que sur les figures 5 et 6 correspondant au cas précédent. En effet, les éléments triangulaires ne sont pas adaptés pour des structures étudiées en flexion comme c’est le cas ici. Nous avons ensuite utilisé des éléments carrés mais avec une intégration linéaire non réduite, qui est censé donner de meilleurs résultats puisque l’intégration se fait avec 4 points par éléments et non 1 seul. En effet, les résultats étaient meilleurs que dans le premier cas. Comme le montre la figure 8, l’évolution de la contrainte σ 22, censée être linéaire, l’est plus que dans le cas d’une intégration réduite (figure 7).

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Figure 8 – Contrainte σ22 le long d’un chemin horizontal au milieu de la dent (y = 3,5 m) avec une intégration linéaire non réduite

En gardant le même maillage, nous avons testé une intégration quadratique réduite qui donne une évolution de σ22 parfaitement linéaire (figure 9). Avec une intégration quadratique non réduite, nous avions exactement la même allure. Nous pouvons maintenant comparer ces 4 calculs différents avec le calcul d’origine et les résultats analytiques afin de conclure sur le type d’éléments à conserver.

Comparaison des résultats : Figure 9 – Contrainte σ22 le long d’un cheminEléments horizontal au Eléments milieu de la dentEléments (y = 3,5 m) avec une intégration Eléments Eléments

Analytique   U1(Pdyn) U1(Pstat) σ22(Pdyn) en y = 3,5 m et x = 0 m σ22(Pdyn) en y = 3,5 m et x = 1,3 m σ22(Pdyn) en y = 0 m et x = 0 m σ22(Pdyn) en y = 0 m et x = 1,3 m σ22(Pstat) en y = 3,5 m et x = 0 m σ22(Pstat) en y = 3,5 m et x = 1,3 m σ22(Pstat) en y = 0 m et x = 0 m σ22(Pstat) en y = 0 m et x = 1,3 m

1,37 mm 0,448 mm  +0,52 MPa  -0,68 MPa  2,24 MPa  -2,56 MPa  0,04 MPa  -0,2 MPa  0,82 MPa  -1,14 MPa

quadratique réduite carrés avec triangulaires carrés avec carrés avec carrés avec intégration avec intégration intégration intégration linéaire intégration linéaire non quadratique quadratique réduite linéaire réduite réduite non réduite  1,02 mm 0,82 mm  0,99 mm 0,98 mm  0,98 mm  0,33 mm  0,27 mm 0,32 mm   0,31 mm  0,31 mm  0,36 MPa 0,40 MPa 0,38 MPa   0,44 MPa  0,44 MPa  -0,52 MPa  -0,55 MPa  -0,52 MPa  -0,55 MPa  -0,55 MPa  1,40 MPa  1,56 MPa  1,41 MPa  2,10 MPa  2,22 MPa  -1,70 MPa  -1,91 MPa  -1,50 MPa  -1,65 MPa  -1,70 MPa  0,004 MPa 0,013 MPa   0,008 MPa 0,019 MPa  0,018 MPa   -0,17 MPa  -0,17 MPa  -0,17 MPa  -0,17 MPa -0,17 MPa   0,45 MPa  0,52 MPa  0,46 MPa  0,75 MPa  0,80 MPa  -0,77 MPa  -0,86 MPa  -0,68 MPa  -0,76 MPa  -0,78 MPa

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Nous pouvons noter clairement que le changement des méthodes d’intégration nous a permis de rapprocher les résultats numériques des analytiques. On observe aussi qu’il y a moins de précision pour les calculs dans l’extrémité aval que celle en amont, ce qui était déjà prévu car nous avons simplifié la géométrie de la dent dans nos calculs analytiques et l’impact le plus important est sur le côté aval. Nous allons essayer d’avoir encore plus de précision dans les résultats numériques à partir d’un raffinement du maillage.

Commentaires Pour l’étude de la densité du maillage, nous avons donc gardé des éléments carrés avec une intégration quadratique non réduite. Nous avons tout d’abord passé la taille des mailles à 0,1 au lieu de 0,3. En termes d’évolution des contraintes σ22, nous n’avons pas vu de modifications notables. Concernant les contraintes σ11, leur évolution était meilleure et l’effet de l’encastrement était moins visible (surtout grâce à la méthode d’intégration qui est meilleure que pour les résultats des figures 4 et 5).

Figure 10 - Evolution des contraintes σ11 avec un maillage fin pour la pression

dynamique Nous avons ensuite pris un maillage plus grossier (0,5 au lieu de 0,3). L’évolution des contraintes σ22 était toujours linéaire. Quant à l’évolution des contraintes σ 11 dues aux pressions dynamiques et statiques, elles sont moins bonnes que dans le cas précédent (figure 10) à cause du maillage plus grossier qui ne permet donc pas d’atténuer autant l’effet de l’encastrement.

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Figure 11 - Evolution des contraintes σ11 avec un maillage grossier pour la pression dynamique

Comparaison des résultats : Eléments carrés avec intégration quadratique non réduite  U1(Pdyn) U1(Pstat) σ22(Pdyn) en y = 3,5 m et x = 0 m σ22(Pdyn) en y = 3,5 m et x = 1,3 m σ22(Pdyn) en y = 0 m et x = 0 m σ22(Pdyn) en y = 0 m et x = 1,3 m σ22(Pstat) en y = 3,5 m et x = 0 m σ22(Pstat) en y = 3,5 m et x = 1,3 m σ22(Pstat) en y = 0 m et x = 0 m σ22(Pstat) en y = 0 m et x = 1,3 m

Analytique 1,37 mm 0,448 mm  +0,52 MPa  -0,68 MPa  2,24 MPa  -2,56 MPa  0,04 MPa  -0,2 MPa  0,82 MPa  -1,14 MPa

Maillage moyen 0,98 mm   0,31 mm  0,44 MPa  -0,55 MPa  2,22 MPa  -1,70 MPa 0,018 MPa  -0,17 MPa  0,80 MPa  -0,78 MPa

Maillage fin 0,98 mm 0,31 mm 0,44 MPa -0,55 MPa 2,82 MPa -1,47 MPa 0,018 MPa -0,17 MPa 1,04 MPa -0,67 MPa

Maillage grossier 0,98 mm 0,31 mm 0,44 MPa -0,55 MPa 2,03 MPa -1,75 MPa 0,016 MPa -0,17 MPa 0,72 MPa -0,80 MPa

On note que les déplacements ne dépendent pas du maillage car il s’agit d’un calcul qui n’est pas ponctuel, mais une intégration tout le long de la structure. POUR LES AUTRES ETRANGE QUE LE MAILLAGE FIN EST MOINS PRECIS !

Prise en compte du ferraillage Une fois le premier modèle a été défini et validé, nous avons passé à un deuxième modèle qui prend en compte aussi le ferraillage présent dans la structure. -

Géométrie :

Puisque notre modèle est bidimensionnel et les ferraillages ont une distribution tridimensionnel, nous avons dû adapter leur distribution dans la structure. Au lieu de les considérer comme de barres et de longrines, nous avons calculé une quantité de volume équivalente et nous l’avons insérée au modèle comme de plaques présentes sur toute la longueur de la dent selon le schéma suivant :

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Modèle Abaqus

Réalité

Figure 12 – Schéma comparatif du ferraillage en réalité et sur Abaqus

Nous avons, donc, inséré une plaque dans l’extrémité aval et une autre dans l’extrémité amont qui suivent les quantités suivants : -

Va mont=0,01153 m3 /m=e∗7 → e=10,62mm Va val=0,07436 m3 /m=e∗7 → e=1,56 mm

Les barres ont été insérées à 10 cm (obtenue à partir de la lecture des plans de ferraillage) de l’extrémité pour respecter la distance d’enrobage. -

Maillage

Nous avons gardé pour le maillage du ferraillage le même type d’élément et format d’intégration trouvées comme idéelles dans la première partie de l’analyse. Pour la taille des éléments nous avons procédé à un raffinement compte tenu de la largeur réduite des plaques. Si on gardait l’option d’approximation globale de la taille le maillage n’aurait qu’un élément dans l’horizontal et les éléments seraient des rectangles très éloignes. Ce type de configuration pose des problèmes de mal conditionnement des matrices de coefficients. Nous avons donc fixé le numéro d’éléments verticaux à 2 et nous avons augmenté la densité verticale jusqu’à les éléments aient un format proche d’un carré.

Figure 133 – Maillage carré pour éviter le mal conditionnement des calculs

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Une analyse des résultats le long des plaques pour la situation la plus critique avec la somme des trois efforts montre que le maillage choisi fonctionne bien pour le ferraillage. Nous pouvons noter déjà que des efforts importants ont été repris par l’acier et que ces efforts suivent la même allure observée dans l’étape précédente: une amplification des contraintes de la tête ver le pied avec des diffusions proches de l’encastrement.

Figure 144 – Contraintes horizontales (gauche) et verticales (droite) le long de la plaque amont

Figure 155 – Contraintes horizontales (gauche) et verticales (droite) le long de la plaque aval

Une comparaison des déplacements pour le même chargement (somme des 3 efforts) de la structure sans et avec ferraillage pour un maillage similaire, nous permet de voir si les propriétés de l’acier ont été prises en compte dans les calculs. La déformation de la dent est inversement proportionnelle à son Module de Young et ceci devrait augmenter grâce à l’insertion de l’acier. On observe que comme attendu, la présence de l’acier a réduit les déplacements totaux :

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Figure 166 – Comparaison des résultats de déformation pour les cas avec (gauche) et sans acier (droite)

-

Chargement réel

Dans un troisième temps, étudier le modèle avec le chargement réel, en tenant compte d’une combinaison ultime. Comme les deux efforts causés par l’avalanche sont temporaires, ils deviennent :  

Pdyn=1,5∗27,563 kPa=41,34 kPa Pstat =1,5∗33,65 kPa=50,47 kPa

Cette étude nous permettra d’analyser la stabilité par rapport aux efforts maximes auxquels elle sera soumise. Les limites de résistance des matériaux envisagés à l’état ULS sont les suivants : -

Béton en compression : Fcd = Fck/γc = 30/1.5 = 20 MPa Acier en compression : ?? Acier en traction : Fyd = Fyk/1.15 = 400/1.15 = 347 MPa Béton en traction : Fctm = 2,9 MPa Déplacements en flexion : εcu = 3,5‰ (pivot B)

Nous considérons une adhérence parfaite entre le béton et l’acier. Nous attendons donc que les efforts repris par chacun des matériaux soient proportionnels à leur module de Young. Comme le module de Young de l’acier est environ 6 fois plus grand que ce du béton, les efforts sur l’acier doivent être environ 6 fois plus grands que sur le béton et c’est exactement qu’on observe dans les résultats. Au centre de la dent, le béton continue à reprendre des efforts de l’ordre de 0,5 MPa pendant que l’acier arrive à plus de 3 MPa en traction et 4 MPa en compression. A l’exception des efforts de traction sur le béton, tous les autres restent bien en dessous des limites de résistance des matériaux. DEMANDER AU PROF SI ON PEUT CONTROLER POUR QUE LE BETON NE REPONDE QUE A LA COMPRESSION ET L’ACIER QUE A LA TRACTION

εbéton=εacier → σ=E∗ε →

σbéton σacier σbéton∗200 = → =σbéton∗6=σacier Ebéton Eacier 33

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Figure 177 – Contraintes verticales au centre de la structure

Si on analyse l’extrémité inférieure, où les efforts sont les plus extrêmes on voit que les contraintes sont encore petites par rapport à la capacité des matériaux, à l’exception des 2.5 MPa de traction sur le béton en aval, ce qui peut créer des fissures mais probablement sans compromettre la stabilité de la structure parce que l’acier serait capable de reprendre ces efforts. CONFIRMER AVEC LE PROF Les contraintes dans la direction horizontale sont moins importantes que celles dans la verticale:

Figure 188 – Contraintes verticales dans la base de la dent

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Figure 199 – Contraintes horizontales dans la base de la dent

Les déplacements maximes observés sont de l’ordre de 1,8 mm, ce qui par rapport à la hauteur de 7m équivaut à 0,26‰. Nous pouvons dire qu’à cet état les déplacements ne posent pas de risque à la stabilité de l’ouvrage.

Figure 20 – Déplacements de la dent pour un chargement réel

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