CM 3 Maths [PDF]

Zitiervorschau

Mathématiques appliquées aux S.E.S. Licence 1ère année - Joël GADEN Chapitre 3: Calcul matriciel-Déterminants-Systèmes linéaires. I. Matrices quelconques 1.Définition: Une matrice A notée a ij 

1≤i≤n

est un tableau de nombres caractérisé

1≤j≤p par le nombre n de lignes et le nombre p de colonnes. a ij est appelé ”terme général” et il se trouve à l’intersection de la ligne de numéro i et de la colonne de numéro p.

a 11 a 12 . . . a 1n On note alors A =

a 21 a 22 . . . a 2n ...

... ... ...

a n1 a n2 . . . a np Elle appartient à l’ensemble M np R des matrices de format (n;p) qui contiennent n × p termes.

2.Exemples de matrices particulières a) matrice ligne L =

1 −5 7

de format (1;3)

−1 2

b) matrice colonne C =

0

de format (4;1)

−7 0 0 c) matrice nulle N =

0 0

de format (3;2)

0 0

II.Matrices carrées. 1.Définition Toute matrice dont le nombre n de lignes est égal au

nombre n de colonnes est dite ”carrée” de format (n;n).

2.Exemples de matrices carrées particulières a 0 0 a) matrice diagonale D =

0 b 0

est carrée avec a,b,c réels non

0 0 c simultanément nuls de format (3;3) 1 0 0 0 b) matrice unité I =

0 1 0 0 0 0 1 0

est carrée de format (4;4)

0 0 0 1 a b c d c) matrice triangulaire supérieure T =

0 e f g 0 0 h i 0 0 0 j

est carrée avec a,b,c,...,j réels non simultanément nuls de format (4;4) a 0 0 d) matrice triangulaire inférieure R = b e 0 c d f est carrée avec a,b,c,...,j réels non simultanément nuls de format (3;3) 0 0 0 e) matrice nulle 0 = 0 0 0 0 0 0 est carrée de format (3;3)

III. Egalité. 1.Définition Deux matrices A = a ij  et B = b ij  sont égales SSI elles ont le même format et les termes de même emplacement égaux

2.Exemple

1 4 7 A=

1 4 7 et B =

2 5 8

2 5 8

3 6 9

3 6 9

IV.Opérations. 1.Produit par un réel Définition: si A = a ij  est de format (n;p) et si α est un réel alors αA = αa ij  est de format (n;p) Exemple: 1 4 3 12 A=

et α = 3 donnent αA =

2 5 3 6

6 15 9 18

2.Somme de deux matrices Définition: la somme de deux matrices A et B de même format (n;p) est une matrice notée A+B de même format (n;p) dans laquelle chaque terme est la somme des termes de même emplacement Exemple: 1 −5

3

0

2

−4

0

−3 −7

−1

5

1

1

−8 −4

−1

7

C=

D=

C+D =

de format (2;3)

de format (2;3)

−3

de format (2;3)

3.Opposée d’une matrice Définition: L’opposée d’une matrice M de format (n;p) est la matrice notée −M dans laquelle chaque terme est l’opposé du terme de M de même emplacement.

Exemple: C=

1 −5

3

0

−4

2

alors − C =

−1

5

−3

0

−2

4

4.Combinaison linéaire de matrices de même format Définition: qqs les réels α et β, la combinaison linéaire notée αA + βB est la matrice dans laquelle chaque terme est la combinaison linéaire de mêmes coefficients des termes de mêmes emplacements dans A et B Exemple: 1 −5 3 0 −3 −7 C= et D = 0 2 −4 −1 5 1 sont de même format (2;3) 5 −16 36 alors la combinaison linéaire 5C − 3D est la matrice de format 3 −5 −23 (2;3)

5.Multiplication matricielle de matrices compatibles Définition: On ne peut multiplier deux matrices A = a ij 

et B = b jk 

1≤i≤n

1≤j≤p que si leurs formats (n;p) et (p;q) sont compatibles . La matrice produit C = A × B = c ik  1≤i≤n

1≤j≤p 1≤k≤q

1≤k≤q a pour format (n;q) et chacun de ses termes c ik se calcule selon la règle ”LICOL” : > L’écriture formalisée est un peu délicate: j=p

c ik = ∑ a ij b jk = a i1 b 1k +a i2 b 2k +a i3 b 3k +. . . +a ip b pk j=1

Exemples: *C = :

2 3 5 1 0 3

−1 3 de format (2;3) et D =

1

1

0

2

de format (3;2) admettent

pour produit CD la matrice E = CD =

1

19

−1

9

de

format (2;2) dans laquelle par exemple le terme 19 est calculé par (2)(3)+(3)(1)+(5)(2) MAIS 1 −3 4 pour produit DC la matrice F = DC =

3

3

8

2

0

6

de

format (3;3) dans laquelle par exemple le terme 4 est calculé par (-1)(5)+(3)(3) *E =

1 0 −1 0 5

2

5 et F =

4 1

Le produit FE est impossible car (3;1) n’est pas compatible avec (2;3) 4 Le produit EF est possible et égal à G = 22 car (2;3) est compatible avec (3;1).

V.Transposition. 1.Définition et exemple: Définition La transposée d’une matrice A de format (n;p) est la matrice notée t A de format (p;n) dans laquelle chaque ligne est égale à la colonne de A même numéro. Exemple: 1 4 1 2 3 t si A = alors A = 2 5 4 5 6 3 6

2.Propriétés de la transposition ( si les formats sont compatibles...) t

t

t

A + B = A + B

t

 A = A

t

αA = α A

t

AC = C × A

t

t

t

t

VI.Matrice symétrique, antisymétrique. 1.Matrice symétrique: Toute matrice carrée égale à sa transposée par exemple 1 0 5 E= est symétrique car t E = 0 2 4 5 4 3

1 0 5 =E

0 2 4 5 4 3

2.Matrice antisymétrique: Toute matrice carrée opposée à sa transposée ( donc les termes diagonaux sont tous nuls ! ! ! ) par exemple 0 0 −5 F= est antisymétrique car t F = 0 0 4 5 −4

0

0

0

0 −4

−5 4

0

5 = −F

0

VII.Matrice carrée inversible. 1.Définition et exemple Définition Une matrice carrée A d’ordre n est dite inversible SSI il existe une matrice B carrée de même ordre n vérifiant les égalités AB = BA = I n . Cette matrice inverse de A est notée A −1 Exemple 1 1 0 A= a pour inverse A −1 = 1 −1 1 1

0

−1

1 1 3

1

1

2 −1 −1 1

1

−2

1 0 0 puisque leurs produits vérifient AA

−1

−1

=A A=

0 1 0

= I3

0 0 1

2.Propriétés Si C et D sont inversibles de même format alors −1 −1

C  = C t

−1

−1

 C = C  t

−1

CD = D −1 C −1 3.Inverse d’une matrice diagonale Définition Une matrice diagonale D est inversible SSI TOUS les termes diagonaux sont non nuls. La matrice inverse D −1 a ses termes diagonaux inverses des termes respectifs de la matrice D. Exemple 2 0 0 1/2 0 0

D=

−1

0 5 0

alors D =

0 0 4

0

1/5

0

0

0

1/4

−1

car DD = D −1 D = I 3 3.Inverse d’une matrice triangulaire Définition Une matrice triangulaireT est inversible SSI TOUS les termes diagonaux sont non nuls. Exemple 1 0 0 A=

1 −2 0 0

3

est triangulaire inférieure inversible

5

MAIS B=

2 5

1

0 0

2

est triangulaire supérieure non inversible.

0 0 −1

4. Inverse d’une matrice unipotente Définition Une matrice unipotente est une matrice triangulaire dont tous les termes diagonaux sont égaux à 1. Elle est inversible donc toujours inversible et son inverse est encore une matrice

unipotente de même nature. Exemple 1 1 C= est unipotente supérieure et son inverse C −1 = 0 1 unipotente supérieure.

1 −1 0

1

est

VIII.Calcul de l’inverse de A par la méthode de Gauss-Jordan. 1.Opérations élémentaires sur les lignes d’une matrice. Elles sont au nombre de trois: α échange de deux lignes i et j notée L i Lj β multiplication d ′ une ligne i par un nombre réel α non nul notée L i  αL i γ addition d’un multiple d’une ligne j à une autre ligne i notée L i  L i + αL j 1 2 3 par exemple pour A = 0 3 5 2 1 3 on obtient les matrices respectives 1 2 3 * 2 1 3 0 3 5 par échange des lignes 2 et 3 1 2 3 * 0 3 5 10 5 15 par produit de la ligne 3 par 5 1 2 3 * 0 3 5 2 −14 −22 par addition de la ligne 3 et du produit de la ligne 2 par -5

2.Méthode de Gauss-Jordan On transforme ( si possible...) la matrice carrée d’ordre n de départ A en la matrice I unité de même ordre n par des opérations élémentaires sur les lignes. La même suite d’opérations élémentaires appliquée à I d’ordre n permet d’obtenir la matrice A −1 inverse de A. On a intérêt à présenter les calculs sous forme de matrice augmentée A : I que l’on transforme alors en la matrice aumentée I : A −1  Exemple

pour A =

2 1

2 1 : 1 0

A : I = 2

1

on a successivement:

3 5

3 5 : 0 1 : 1

0

par

0 −7 : 3 −2 2 1 :

1

0

0 1 : −3/7 2/7 2 0 : 10/7 −2/7 0 1 : −3/7

2/7

1 0 :

5/7

−1/7

0 1 : −3/7

2/7

3L 1 − 2l 2

par

− 17 L 2

par L 1 − L 2 1 2

par

L1

soit I : A −1 

donc: A −1 =

5/7

−1/7

−3/7

2/7

=

1 7

5

−1

−3

2

.

IX.Déterminants 1.Calcul du déterminant d’une matrice carrée a) D’ordre 2 Définition: Le déterminant d’une matrice d’ordre 2 notée M = détM =

a c b d

= ad − bc

Exemple: si A =

3 −2

5 −7 alors detA = 3−7 − 5−2 = −21 − −10 = −21 + 10 = −11 b) D’ordre 3 règle de SARRUS: il faut recopier les deux premières lignes en dessous puis procéder à la somme des produits parallèles

a c b d

est le nombre réel

à la diagonale principale et enfin soustraire les produits parallèles à l’autre diagonale. Exemple: 2 2 si A =

1

1

2 alors detA =

3 −1 5 4

2

1

1

4

2

1

1

3 −1 5

1

3 −1 5

1

=

4

2

1

2

1

1

3 −1 5 = 2−11 + 321 + 415 − 4−11 − 225 − 311 = −2 + 6 + 20 − −4 −20 − 3 = 24 − 19 = 5 c) D’ordre n quelconque qqs l’ordre, il est possible de calculer le déterminant d’une matrice A suivant une ligne ou une colonne ”bien” choisie. Chaque terme a ij concerné est multiplié par −1 i+j et par le mineur associé M ij ( déterminant obtenu à partir de celui de la matrice en retirant la ligne i et la colonne j ). La somme des produits concernés donne la valeur du déterminant de A. Exemple: 1 1 5 si B = 0 0 2 1 3 1 alors choisissons la 2ième ligne car elle comporte deux zéros... 1 1 5 1 1 det B = 0 0 2 = 2−1 2+3 1 3 1 3 1 = −213 − 11 = −23 − 1 = −22 = −4

2.Propriétés fondamentales a) det A = det t A b le déterminant est nul si deux lignes OU deux colonnes sont proportionnelles. 1 2 1 0 Exemple:

6

−2

6

5 10

0

−5

3

7 14 5 4 c) le déterminant est multiplié par un réel chaque fois que l’on multiplie une ligne OU une colonne par ce réel.

7 1 5 Exemple pour D =

0 0 2

obtenue en multipliant par 7 la 1ère colonne de

7 3 1 1 1 5 B=

0 0 2 1 3 1 7 1 5

on a det D =

0 0 2

= −28 = 7 × −4 = 7 × det B

7 3 1 . par exemple pour A = t

A=

3

5

3 −2 5 −7 ; detA = −11 = det t A

−2 −7 d) detAB = det A × det B si A et B ont le même ordre par exemple 3 −2 1 4 ; B= A= 5 −7 −3 0 detA = −11 ; detB = 12 3 −2 1 4 AB = = 5 −7 −3 0

9

12

26 20

detAB = −132 = −11 × 12

X.Matrice des cofacteurs. 1.Définition: La matrice C A des cofacteurs associée à une matrice carrée A = a ij  d’ordre n est une matrice carrée d’ordre n obtenue à partir du terme général "cofacteur" c ij = −1 i+j M ij où M ij est le mineur associé au terme a ij concerné. On a les égalités: A × t C A = t C A × A = I n × det A

2.Exemple A=

4

−3

−2

5

CA =

+|5|

−|−2|

−|−3|

+|4|

CA =

5 3

det A =

4

t

5 2

=

3 4

2 4 −3

= 4 × 5 − 2 × 3 = 14 −2 5 on vérifie que 4 −3 5 3 A ×t CA = = −2 5 2 4 t

C A ×A =

5 3

4

−3

2 4

−2

5

14

I n × det A =

=

14

0

0

14

14

0

0

14

= 14 I 2

0

0 14 d’où A × C A = t C A × A = I n × det A 5 3 t A −1 = det1 A C A = 141 2 4 t

5/14 3/14

−1

d ′ où A =

2/14 4/14

XI.Inversion par la méthode des cofacteurs. 1.Théorème Une matrice A carrée d’ordre n est inversible si et seulement si detA ≠ 0. Dans ce cas, on obtient:

A −1 =

1 t CA det A

et detA −1  =

1 det A

2.Exemples Exemple 1) A= CA =

4

−3

−2

5

+|5|

−|−2|

−|−3|

+|4|

=

5 2 3 4

CA =

5 3

det A =

4

−3

−2

5

t

2 4 = 4 × 5 − 2 × 3 = 14 ≠ 0 ( la matrice A est donc inversible ! ! ! )

alors A −1 =

1 t CA det A

=

−1

avec detA  =

5 3

1 14 1 14

2 4 =

5/14 3/14

d ′ où A −1 =

2/14 4/14

1 det A

Exemple 2) 2 A=

1

1

−1 1 −1

1 0 1 Développons suivant la 3ième ligne: 1 1 2 1 + 1−1 3+3 det A = (1)(-1) 3+1 1 −1 −1 1 = 1−1 − 11 + 21 − −11 = −2 + 3 = + 1 ≠ 0 Comme le déterminant de A est différent de zéro, la matrice A est inversible. +

CA=

−

+

t

CA=

1 −1 0

1

1 1

1

1

−1 −2

0

1

1

−1

1

3

puis A =

1 det A

1

2 1 1 1 2

−

1 −1

−1

1 +

0 1 1

−1 −1

−

1

−1 −1

t

∗ CA=

+

−

+

−1 1 1

0 1

2 1

=

1 0 2

0 −1

−1 1

1

−2 1

3

1

−1 1

1

−1 −2

0

1

1

−1

1

3

XII.Réduite de Gauss d’une matrice carrée 1.Matrice échelonnée

a) Définition Une matrice quelconque de format (m,n) est dite échelonnée lorsque elle vérifie : a) dans toute ligne de numéro i ≥ 2, les termes ”avant” la diagonale principale sont nuls ( donc les i-1 premiers termes de la ligne i ) b) si les i − 1 premiers termes d’une ligne I sont nuls alors les i premiers termes de la ligne suivante i + 1 sont nuls c) si une ligne i est nulle alors la ligne suivante i+1 est nulle. b) Exemples A=

1 7 4 0 0 3

0 0 3 5 ; B=

0 0 0 0

2 4 1 C=

0 1 2

1 0 0 ; D=

0 0 3 E=

0 3 4

0 0 0 4

0 2 0 0 0 3

; F=

0 0

1 0 1 5 2 A,B,C,D sont échelonnées mais E et F ne le sont pas. c) Elément principal C’est le premier terme non nul d’une ligne. Dans une matrice échelonnée, chaque élément principal d’une ligne est à droite de l’élément principal de la ligne précédente.

2.Définition d’une réduite de Gauss d’une matrice carrée A Une réduite de Gauss de A est TOUTE matrice échelonnée obtenue à partir de A par des opérations élémentaires sur les lignes.

3.Propriétés a Dans une réduite de Gauss, chaque élément principal peut être appelé ”pivot” s’il se trouve sur la diagonale principale. b Le nombre de pivots de la réduite de Gauss est appelé ”rang de la matrice”. c La matrice A admet le même rang que toutes ses réduites de Gauss. d Le rang de A est donc égal au nombre de lignes non nulles de toute matrice échelonnée issue de A par des opérations élémentaires sur les lignes. e C’est aussi le nombre maximal de lignes ( ou de colonnes ) qui sont indépendantes. f Toutes les autres lignes (ou colonnes ) sont alors des combinaisons linéaires des premières.

4.Exemples

Pour A =

2

−4

6

−1

0

−3

4

−8 12

2 −4 6 A1 =

0 −2 0 0

0

réduite de Gauss de A

0

L1 obtenue par L 2 ← L 2 + 0, 5L 1 L3 ← est de rang = 2 1 −2 3 A2 =

réduite de Gauss de rang = 2

0 −2 0 0

0

L 3 − 2L 1

0 L1 ←

0, 5L 1

de A obtenue par L 2 ← L 2 + 0, 5L 1 L3 ←

L 3 − 2L 1

1 −2 3 A3 =

0

1

0

0

0

0

réduite de Gauss de rang = 2

L1 ←

0, 5L 1

de A 1 obtenue par L 2 ← −0, 5L 2 L3 remarquons que les 2 pivots de A 3 sont tous égaux à 1. 1 −2 3 A4 =

0

1

0

0

0

0

réduite de Gauss de rang = 2 L1

de A 2 obtenue par L 2 ← −0, 5L 2 L3 remarquons que les 2 pivots de A 4 sont tous égaux à 1.

5.Remarques * dans TOUTES les réduites de Gauss précédentes, il y a une seule ligne nulle en dernier et deux lignes non nulles en premier. C’est le procédé le plus simple pour déterminer le rang d’une matrice. * On dit alors que A et ses réduites de Gauss sont de rang 2. rang A = rang A 1 = rang A 2 = rang A 3 = rang A 4 = 2

* Il n’existe qu’une et une seule réduite de Gauss de A possédant tous les pivots égaux à 1. * si A est inversible alors toute réduite de Gauss de A est inversible. * si une réduite de Gauss de A est inversible alors A est inversible. * la transposée t A de A admet le même rang r que A. * si format A = (m,n) alors rang A ≤ m et rang A ≤ n

XIII.Systèmes (n,n). 1.Définitions et notations * Tout système de n équations linéaires à n inconnues et à coefficients réels est de la forme suivante: a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 +. . . + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 +a 23 x 3 +. . . + a 2n x n = b 2 a 31 x 1 +a 32 x 2 +a 33 x 3 +. . . + a 3n x n = b 3 (S)

:

:

:

:

:

:

:

a i1 x 1 +a i2 x 2 +a i3 x 3 +. . . + a in x n = b i :

:

:

:

:

:

:

a n1 x 1 +a n2 x 2 +a n3 x 3 +. . . + a nn x n = b n * Les réels a ij sont les ”coefficients” du système. * Les x j sont les inconnues du système . ∗ Les b j sont les seconds membres du système * Les équations sont du ”1er degré à n inconnues”. * L’ordre d’écriture des inconnues doit être conservé dans les diverses équations du système. * Ce système comporte donc n lignes. * La résolution consiste à rechercher des n-uplets de réels x 1 , x 2 , . . . , x n  vérifiant simultanément les équations du système. Trois cas peuvent se présenter: 1er cas: une solution unique 2ème cas: une infinité de solutions 3ème cas: pas de solution * Le système est ”homogène” lorsque tous les coefficients b i des ”seconds membres” sont nuls. Deux cas peuvent se présenter: 1er cas: une solution unique (0,0,...,0) 2ème cas: une infinité de solutions

2.Forme matricielle Tout système de format (n,n) , dit ”système carré”, peut s’écrire sousl la forme matricielle A × X = B dans laquelle:

a 11 a 12 . . . a 1n a 21 a 22 . . . a 2n

* A=

:

:

:

:

a n1 a n2 . . . a nn est la matrice carrée d’ordre n formée des coefficients a ij des équations b1 * B est la matrice colonne

b2 :

bn de format ( n,1) des seconds membres b j x1 * X est la matrice colonne

x2 :

de format (n,1) des inconnues x j

xn

XIV.Méthode de résolution ”par inversion” d’un système carré 1. Méthode Si A est inversible alors le système admet une solution unique ( on a det A ≠ 0. Les différentes équations matricielles sont alors ”équivalentes” car elles admettent la même solution unique. On obtient: −1

A × X = B ⇔ A −1 ×A × X = A ×B −1 −1 ⇔ A ×A × X = A ×B ⇔ I × X = B ⇔ X = A −1 ×B 2.Théorème

Si det A ≠ 0, alors il suffit d’exprimer X = A −1 × B comme solution.

3.Exemples * résolvons matriciellement le système (S)= par inversion de la matrice des coefficients en utilisant la méthode des cofacteurs:

S⇔

4x − 3y −2x + 5y

=

22 −4

4x − 3y

= 22

−2x + 5y = −4

⇔

4

−3

x

−2

5

y

d ′ où A =

4

−3

−2

5 4

avec det A =

22

=

−4 x

; X=

y

22

; B=

−4

−3

= 4 × 5 − 2 × 3 = 14 ≠ 0 −2 5 Comme le déterminant de A est non nul, la matrice A est inversible. On peut alors écrire que: AX = B ⇔ X = A −1 B

Calculons +|5| −|−2| CA = −|−3| +|4| t

CA=

=

5 2 3 4

5 3 2 4 −1

t

donc A = det1 A C A =

5/14 3/14

puis X = A −1 B =

5/14 3/14

22

2/14 4/14

−4

= 141

5 3 2 4

2/14 4/14 =

7 2

La solution unique de l’équation matricielle est 7 X= 2 La solution unique du système d’équations est le couple (7,2) donc S R 2 = 7; 2.

XV.Méthode ”de Cramer” de résolution de système carré 1.Principe Lorsque det A ≠ 0, on dit que le système est de Cramer. Il admet donc une solution unique sous forme de n-uplet dans lequel chaque coordonnée de numéro i est de la forme Δ i . Δ Δ est le déterminant de A et Δ i est le déterminant déduit de Δ en remplaçant la i-ème colonne de Δ par la colonne des seconds membres du système. La solution s’écrit ( Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 ,..., Δ n ) Δ Δ Δ Δ

2.Exemple Une entreprise doit assumer une production pour satisfaire une demande fixée par contrat. Les contraintes de l’entreprise se traduisent par le système suivant

d’équations linéaires: 5x 1 + 9x 2 = 1151 3x 1 + 2x 2 = 269 Les inconnues sont x 1 le nombre de tonnes de matières premières et x 2 le nombre d’heures de travail nécessaires pour cette production attendue par le client. Donner l’équation matricielle équivalente puis résoudre cette équation par la méthode de Cramer. 5 9 x1 1151 AX = B avec A = ; X= ; B= x2 3 2 269 5 9

Δ = det A =

= 5 × 2 − 3 × 9 = 10 − 27 = −17 ≠ 0 3 2 Le système est alors dit de Cramer et il admet donc une solution unique. 1151 9

x1=

269

2

5 9

= 1151∗2−269∗9 = −119 = 7 tonnes −17 −17

3 2

et x 2 =

5

1151

3

269 5 9

= 5∗269−3∗1151 = −2108 = 124 heures −17 −17

3 2 L’entreprise doit utiliser 7 tonnes de matières premières et 124 heures de travail pour respecter son contrat.

XVI.Méthode ”de Gauss” de résolution d’un système carré 1.Principe de calcul On écrit la matrice A des coefficients augmentée de la matrice B des seconds membres. On transforme ( si c’est possible...) alors A en I et cette même suite d’opérations élémentaires transforme B en la matrice solution.

2.Méthode pratique 1ère étape: on transforme A en une matrice triangulaire supérieure par des opérations élémentaires sur les lignes. Si les termes de la diagonales principale de cette matrice triangulaire sont TOUS non nuls alors A est inversible. Ces matrices admettent un rang égal à n: c’est le nombre maximal possible car elles sont carrées d’ordre n.

2ème étape: On continue alors de transformer cette matrice triangulaire en la matrice unité I de même ordre par des opérations élémentaires sur les lignes.

3.Exemple x

Soit le système:

+y

= 5

−x +3y = 7 L’équation matricielle équivalente est 1 1 x 5 × = −1 3 y 7 1

d’où A = detA =

1

−1 3 1

1

−1 3 detA = 4 ≠ 0

; X=

x y

; B=

5 7

.

= 13 − −11 = 4 ≠ 0

alors A est inversible et le système admet une solution unique. 1 1 : 5 A : B = −1 3 : 7 1 1 :

5

0 4 :

12

4 0 :

8

0 4 :

12

1 0 :

2

0 1 :

3

d’où

X=

par par

L1 L2 + L1 −L 2 + 4L 1 L2

= I : X par 2 3

1 L1 4 1 L2 4

et S R 2 = 2, 3.