Chapitre03 Hydraulique Dans Les Sols [PDF]

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Hydraulique dans le sol

Chapitre 03

Chapitre III Hydraulique dans le sol 1 Introduction L’étude de l’écoulement de l’eau à travers les sols est très importante du point de vue de connaissance des propriétés des sols. Cette eau peut être responsable de beaucoup de perte dans les résistances surtout (cisaillement) causée par les pressions interstitielles capable de crier des conditions critiques de stabilité. Aussi cette eau peut provoquer des changements de volumes qui donnent naissance à des tassements imprévisibles.

2 Différents états de l’au dans le sol

L’eau dans le sol peut se trouver sous forme de :  Eau de constitution : cette eau entre en réaction dans la composition chimique  Eau liée ou absorbé : cette eau ne se pratique pas aux écoulements  Eau interstitielles : c’est l’au qui occupe les vides entre les grains. Cette eau décomposée en eau capillaire (eau sans pression) et eau libre soumis uniquement à la force de gravitation. L’eau interstitielle est sous forme d’eau libre lorsque le sol est saturé. Cette eau est soumise aux lois des écoulements

Figure 1 : Les formes de l'eau dans le sol. Une vue schématique.

3 Charge et pression hydraulique Par sa position, la pression qu’elle subit et la vitesse à la quelle elle s’écoule, l’eau en un point donné du sol porte une quantité d’énergie « h » en mètres d’eau (charge hydraulique), donnée par l’équation de Bernoulli :

v : Vitesse de l’eau. g : Accélération de la pesanteur. u : Pression de l’eau z : Cote du point considéré par rapport à une surface de référence, peut être négatif ou positif Pour les sols, « v » est très faible, (> kve ; retenir que khe = 10 kve est un ordre de grandeur couramment rencontré dans un dépôt stratifié. Considérons maintenant 2 couches (fig 14) de perméabilité k1 et k2 avec k1 > k2 et un écoulement linéaire oblique arrivant de la couche 1 et faisant un angle α1 avec l’interface, à l’entrée

Figure 14 : Ecoulement à l'interface de 2 couches de perméabilité différente : continuité de débit La même condition de continuité utilisée dans le cas de l’écoulement vertical (perpendiculaire aux interfaces) reste valide. Cela signifie que si l’on considère un tube de courant limité par AB à l’interface arrivant de la première couche, il produit un débit qui sera intégralement transmis au tube de courant de la 2ème couche limité également par AB : q1 = q2 . Si l’on appelle respectivement vn1 et vn2 , les composantes normales de la vitesse à l’interface, on a : vn1 = vn2 .

Soit  

; avec k1 (n) et k2 (n), les coefficients de perméabilité dans la direction normale à l’interface, h1 et h2 , les charges hydrauliques dans les 2 couches, 13

Hydraulique dans le sol  n la direction normale à l’interface.

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Si les sols des deux couches en contact sont respectivement isotropes, alors les pentes des lignes de courant de part et d’autre de l’interface sont dans le rapport inverse des coefficients de perméabilité :

(équation). Les pertes de charge dans le milieu le moins perméable sont évidemment plus élevées et donc les équipotentielles plus proches les unes des autres. Pour démontrer la relation précédente, on peut tracer sur la figure 10 un réseau d’écoulement simple, en supposant que les équipotentielles dans les deux sols sont distantes du même incrément de charge hydraulique h (distance a1 , b1 , dans la couche 1 et a2 b2 dans la couche 2). La continuité de l’écoulement q1 = q2 existe. On va calculer :

;

.

Ce qui nous permet d’écrire :

; avec

D’où la relation cherchée :

, et

.

Si k1 > k2, on a  2 >  1 .

Fig. 15

14

.

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Fig. 16

12 Réseaux d'écoulement : éléments de base La construction de ces réseaux a pour but d’étudier les écoulements dans un massif, c’est-à-dire de connaître en tout point du massif, la charge hydraulique, la vitesse et de déterminer les valeurs des forces d’écoulement ou des débits percolant dans une section donnée. Dans un sol soumis à un écoulement permanent et si le sol a un volume constant, la combinaison de la loi de Darcy et de la condition de continuité permet d’écrire :

;

;

;

Soit . Cette équation différentielle à laquelle satisfait la charge hydraulique est l’équation de Laplace. Dans de nombreux cas pratiques, on considérera un écoulement bidimensionnel, cette équation se réduit alors à :

. L’écoulement a lieu dans un volume (ici une surface) déterminé. Aux limites, on impose soit des conditions d’écoulement, soit des conditions de charge hydraulique. Il s’agit donc de déterminer une fonction h(z,x) satisfaisant à l’équation de Laplace. Cette détermination peut se faire par un calcul mathématique, ou par méthode graphique. 15

Hydraulique dans le sol Un réseau d’écoulement est constitué par deux types de lignes :  

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les équipotentielles (h = cte) ; les lignes de courant.

On fera en sorte que les lignes équipotentielles soient tracées de manière à ce que la perte de charge dh entre deux équipotentielles successives soit constante.

Figure 17 : Equipotentielles et lignes de courant dans un tube de sol Dans le cas simple de l’écoulement dans un tube (fig. 17), les lignes de courant seront parallèles aux parois du tube et les équipotentielles seront perpendiculaires. Comme le sol est homogène, la perte de charge sera proportionnelle à la distance parcourue.

Figure 18 : Eléments d'un réseau d'écoulement On a représenté sur la figure 18, un élément d’un réseau d’écoulement. On peut voir que deux points A et B situés sur la même équipotentielle possède la même charge qui se traduit par le même niveau piézométrique. Par contre, 2 points situés à la même côte géométrique (A et C) mais sur 2 équipotentielles différentes n’ont pas la même charge : le point amont montre une charge supérieure. 16

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On rappelle aussi qu’en chaque point d’une ligne de courant, le vecteur vitesse courant (voir point B).

est tangent à la ligne de

A partir de cet élément de réseau, on peut déterminer :

 a vitesse moyenne  le gradient moyen  le débit dq = db ki.

; ;

13 Construction d'un réseau d'écoulement par méthode graphique On distinguera les écoulements confinés pour lesquels la ligne phréatique (surface supérieure de l’eau dans le sol) est connue (par exemple écoulement sous des palplanches), et les écoulements non confinés dans lesquels la ligne phréatique est inconnue au départ et doit être déterminée par une construction ou un calcul (cas d’un écoulement à travers un barrage en terre). Les règles à appliquer sont les suivantes (fig. 19) :

Figure 19 : Quelques règles pour la construction d'un réseau d'écoulement   

équipotentielles et lignes de courant sont perpendiculaires ; forme des éléments de base : il convient de faire en sorte que ces éléments soient les plus proches d’un carré, avec si possible un cercle inscrit (fig. 19.a) ; définition des limites imperméables : ce sont des lignes de courant (fig. 19.b), exemple d’une couche d’argile ou de la base d’un barrage en béton ; 17

Hydraulique dans le sol Chapitre 03  définition des limites perméables : quand un sol perméable est en contact avec le niveau extérieur de l’eau, cette limite constitue une ligne équipotentielle : par exemple, infiltration dans le sol à l’amont d’un barrage ou à travers un barrage en terre (fig. 19.c). Il faut noter que cette ligne (surface) phréatique n’est pas connue a priori : elle peut être construite comme on le verra dans les barrages en terre par exemple ;  contact entre deux sols de perméabilité différente : nous avons illustré les changements de direction des lignes de courants;  dans le cas d’un sol de perméabilité anisotrope, on construira les réseaux d’écoulement avec une transformation d’échelle : on garde l’échelle verticale et on multiplie l’échelle horizontale par . La figure 20 donne un exemple de construction de réseau d’écoulement dans le cas d’une coupure étanche partielle avec un sol à perméabilité homogène et isotrope. L’écoulement est restreint à une couche de sable.

Figure 20 : Exemple de construction graphique d'un réseau d'écoulement Les conditions imposées sont les suivantes (20.a) :    

Ligne Ligne Ligne Ligne

AB : équipotentielle maximum ; CD : équipotentielle minimum ; EF : base imperméable : ligne de courant la plus longue ; BGC : coupure verticale : ligne de courant la plus courte.

Suivant ces indications de départ, on peut noter que les lignes de courant sont à l’entrée perpendiculaires à AB et à la sortie perpendiculaires à CD. Quant aux équipotentielles, elles sont perpendiculaires à EF et à BGC. A partir de ces constatations initiales, on peut esquisser le réseau et en respectant les règles de construction définies ci-dessus, le terminer.

18

Hydraulique dans le sol Chapitre 03 Une fois le réseau construit, on peut l’utiliser (avec un réseau bidimensionnel on considère des éléments de largeur unité). Si l’on note nf le nombre total de « tubes » d’écoulement et nd le nombre d’équipotentielles franchies, on peut calculer le débit total à travers le dispositif :

.

14-Écoulements bidimensionnels Réseaux d’écoulement 1 Généralités

Réseaux d'écoulement →application importante de l'hydraulique des sols -barrage en terre

- mur de palplanches (retenue, batardeau) - barrage en béton

Etude des problèmes d'infiltration d'eau

Fig. 21 Mise en équation d’écoulement bidimensionnel • Hypothèse 1- milieu homogène et isotrope (coefficient de perméabilité constant)

2- écoulement laminaire et vitesse de l'eau faible 3- écoulements régis par la loi de Darcy

4- écoulement permanent

•Équation fondamentale de l'écoulement 19

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Équation de Laplace Pertes d'énergie à l'intérieur d'un milieu résistant

•Solution de l'équation de Laplace

͢

Lorsque les conditions aux limites sont définies

- cas simples : solution analytique - cas complexes : méthodes numériques Pour un sol homogène, différentes méthodes méthode graphique, analogie électrique, fragment

2 Milieu isotrope 2/1 Définitions

Méthode graphique

Tracer dans le sol (ou l'ouvrage) un réseau ou un maillage orthogonal délimité par deux types de lignes

• lignes de courant (ou d'écoulement)

- cheminement moyen d'une particule d'eau s'écoulant entre 2 points - vecteur vitesse tangent en chaque point de la ligne de courant

• lignes équipotentielles

- ligne sur laquelle l'énergie disponible pour l'écoulement est la même →ligne où la charge est constante - l'énergie perdue par l'eau est la même tout le long ce cette ligne - différence entre deux lignes →perte de charge Δh

Fig. 22 Réseau d'écoulement • réseau formé par ces deux types de lignes 20

Hydraulique dans le sol - orthogonal - quadrilatères curvilignes (formes aussi carrées que possible) • deux lignes de courant : tube de courant - l'eau circule sans sortir - débit constant et identique entre deux tubes • deux lignes équipotentielles - perte de charge constante

Chaque quadrilatère - subit la même perte de charge - est traversé par le même débit d'eau

Fig. 23

Fig. 24 21

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2/2 Conditions aux limites

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Exemple d'un barrage en terre

Fig. 25 AF est une surface imperméable - aucun débit ne la traverse - ligne de courant • EF est la surface libre - aucun débit ne la traverse - ligne de courant • AE est une surface filtrante - contact avec l'eau libre (pas de perte de charge) - ligne équipotentielle - perpendiculaire aux lignes de courant

•en F, h=0 Résolution graphique Pour résoudre un problème d’écoulement plan dans un sol saturé, il faut connaître en tout point du sol la charge hydraulique. En se basant sur le principe de continuité du débit et en supposant le sol homogène et isotrope vis-à-vis de la perméabilité K, on obtient l’équation de conservation du débit :

Qui peut s’écrire sous la forme ∆h=0 : Equation de Laplace Cette équation admet une solution lorsque les conditions limites et initiales sont définies pour l’écoulement. L’integration de cette équation nous donne deux familles de courbes orthogonales. Par construction de ces courbes, on obtient un réseau d’écoulement orthogonal constitué de lignes équipotentielles ϕ (même charge hydraulique sur une même ligne) et des lignes de courant ψ (tangeantes au gradient hydraulique). La connaissance de ce réseau nous fournit en tout point la vitesse de l’eau « v », la charge hydraulique « h », la pression interstitielle « u », et le débit « q ». 22

Hydraulique dans le sol Chapitre 03 La résolution de l’équation de Laplace peut se faire soit par la méthode graphique, soit par la méthode analytique par traitement numérique ou bien par la méthode par analogie électrique. Résolution graphique : on se propose d’étudier l’exemple suivant

Fig. 26 Conditions aux limites - BEC: ligne d’écoulement. - FG : ligne de courant - AB : ligne équipotentielle hA= hB =h - CD : ligne équipotentielle hC=hD=0 Pour tracer le réseau d’écoulement, certaines conditions doivent être satisfaites : - lignes de courant orthogonales aux lignes équipotentielles. - les quadrilataires curvilignes doivent être semblables. - les conditions aux limites satisfaites. - même dédit et même débit et même perte de charge entre deux lignes de courant. Calcul du débit Le débit traversant un quadrilatère est donné par :

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Fig. 27 C’est le débit traversant un canal « i »

Δh étant la perte de charge élémentaire. Si on appelle : nh : nombre d’intervalles entre les lignes équipotentielles nc : nombre de tubes d’écoulement (de canaux) On aura le débit total : q = nc . qi = nc . k .Δh. a/b si la perte de charges totale entre la 1ére et la dernière ligne équipotentielle est :

Le débit total de fuites du coté amont vers le coté aval est donné par la relation : Q = k. ΔH. nc/nh . a/b Dans le cas d’un réseau à mailles carrées (a/b =1) Dans le cas de l’exemple de la figure 2.1, on a : nh = 8 ; nc= 4 et ΔH= hA – hD= h ; Le débit total de fuite est :

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Hydraulique dans le sol Q= ½ . h . K

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Calcul des charges hydrauliques et des pressions Pour le point « M » représenté sur l’exemple de la figure

Et

sachant que

hauteur piézométrique

zM : mesurée à partir du plan de référence (zM