Chapitre 2 Transformee Laplace [PDF]

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Cours Signaux et Systèmes linéaires

Chapitre 2tique LA TRANSFORMEE DE LAPLACE Objectifs Général •

L'étudiant apprendra à utiliser la transformée de Laplace.

Spécifiques • • •

Déterminer les transformées de Laplace de signaux simples ; Déterminer les signaux dont les transformées de Laplace sont données ; Résoudre des équations différentielles relatives à des systèmes en utilisant les propriétés et le tableau des transformées.

I. Objectif Pour étudier le fonctionnement d’un système, il faut le représenter sous la forme d’un schéma fonctionnel selon la figure suivante : Signal d’entrée e(t)

Fonction mathématique représentant le système

Signal de sortie s(t)

Figure 2.1: Représentation d’un système Les signaux e(t) et s(t) sont des fonctions temporelles. La fonction du signal e(t) est connue et on cherche à déterminer la fonction du signal s(t). La méthode classique de résolution est la suivante : Description de l’entrée e(t)

Description du système

Equation différentielle

Résolution de l’équation différentielle

Fonction temporelle de la sortie s(t)

Figure 2.2: méthode classique de résolution d’une équation différentielle -8-

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II. Introduction et motivation L'étude des systèmes dynamiques revient à étudier les relations mathématiques qui les gouvernent (en l'occurrence des équations différentielles). La manipulation d'équations différentielles étant complexe, on utilisera la transformée de Laplace (L). L'intérêt principal de cette transformée réside dans le fait qu'elle permet de remplacer une équation différentielle dans le domaine temporel par une équation polynômiale dans le domaine symbolique. La recherche de la solution de cette équation différentielle se limite alors, à partir des racines du polynôme, à la recherche dans une table des transformées. La partie suivante est un rappel sur la transformée de Laplace et quelques-unes de ses propriétés les plus utilisées. Pour l'automaticien, la transformée de Laplace ne sera qu'un outil, qu'il conviendra toutefois de maîtriser ; par conséquent, il ne s'agit pas de vouloir trouver ici une rigueur mathématique absolue. La méthode de résolution par la transformée de Laplace est définie comme suit :

Description de l’entrée e(t)

Description du système

Equation différentielle

Utilisation de l’opérateur de Laplace

Résolution de la sortie S(p)

Utilisation de l’opérateur inverse de Laplace

Fonction temporelle de la sortie s(t)

Figure 2.3: résolution d’une équation différentielle par la transformée de Laplace -9-

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III. Définition (Transformée de Laplace) Par définition, la transformée de Laplace unilatérale d'une fonction f(t), nulle ∀t > 0 , est donnée par la relation suivante : ∞

L  f ( t )  = F ( p ) = ∫ f ( t ) e− pt dt 0 Où la variable p est une variable complexe Remarque : on pourra aussi trouver la notation anglo-saxonne où la variable p est remplacé par la variable s. Exemple : Calcul de la T.L. d'un échelon unitaire

1 si t ≥ 0 f (t ) =  0 autrement En utilisant l'intégrale de définition précédente, on peut écrire : ∞

L  f ( t )  = F ( p ) = ∫ e 0

∞

− pt

 e− pt  1 dt =  =   p 0 p

IV. Principales propriétés IV.1. Unicité f (t ) ֏ F ( p) unique F ( p) ֏ f (t ) unique

IV.2. Linéarité L  af ( t ) + bg ( t )  = aF ( p ) + bG ( p )

IV.3. Transformée de Laplace de la dérivée d'une fonction  df ( t )  + L  = pF ( p ) − f ( 0 )  dt 

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IV.4. Transformée de Laplace de la dérivée d'ordre n d'une fonction  d n f (t )  ( n −1) + n n −1 + n−2 + L (0 )  = p F ( p ) − p f (0 ) − p f ' ( 0 ) −⋯ − f n dt   Remarque : si les conditions initiales sont nulles (condition de Heaviside), dériver dans le domaine temporel revient à multiplier par p dans le domaine symbolique.

IV.5. Théorème de la valeur initiale lim f ( t ) = lim pF ( p ) t →0

p →∞

IV.6. Théorème de la valeur finale lim f ( t ) = lim pF ( p ) t →∞

p →0

Attention : ceci est valable uniquement pour les signaux stables. En effet, il faut que le signal de sortie possède un régime permanent constant ou borné.

IV.7. Facteur d'échelle 1  p L  f ( at )  = F   a a

IV.8. Théorème du retard L  f ( t − T )  = e− pT F ( p ) pour tout T ≥ 0

IV.9. Multiplication par une fonction exponentielle L e − at f ( t )  = F ( p + a )

IV.10. Fonctions périodiques Soit g(t) une fonction périodique de période T, et f(t) la fonction telle que :

 g ( t ) , si t ∈ [ 0, T [ f (t ) =  si non 0, - 11 -

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Alors, on a :

F ( p ) = (1 − e − pT ) G ( p )

V. Transformées de quelques fonctions V.1. Echelon unitaire u(t) L’échelon est défini par f (t ) = A u (t ) où u (t ) est appelé échelon unitaire.

0 si t < 0 u (t ) =  1 si t ≥ 0 f(t) A t Figure 2.4 : Echelon d’amplitude A +∞

£[u (t )] = ∫ u (t )e − pt dt = [− 0

1 − pt +∞ 1 e ]0 = p p

V.2. Impulsion de Dirac L’impulsion de Dirac est définie comme suit : δ (t ) = lim δ a (t ) a →0

δa(t) 1/a

a Figure 2.5 : Impulsion de Dirac Le calcul de la transformée de Laplace peut se faire par deux manières :

Méthode 1 : Application de la définition

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t

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Cours Signaux et Systèmes linéaires +∞

a

£[δ a (t )] = ∫ δ a (t )e dt = ∫ − pt

0

a

0

1 − pt 1  e − pt  1  1 e − pa  = − e dt =  − a a  p  0 a  p p 

Méthode 2 : Décomposition du signal δa(t) 1/a

u1(t)

t

a

u2(t)

-1/a

Figure 2. 6 : Décomposition de l’impulsion de Dirac Par décomposition du signal, δ a (t ) s’écrit : δ a (t ) = u1 (t ) + u2 (t ) Sachant que : u1 (t ) =

1 1 u (t ) ⇒ U1 ( p) = a ap

1 e − ap u2 (t ) = − u (t − a) ⇒ U 2 ( p) = − a ap On obtient : £[δ a (t )] =

1 1 − e − pa  ap

Sachant que : e x ≈ 1 + x , la transformée de Laplace de l’impulsion de Dirac est : £[δ a (t )] = 1

V.3. Rampe La rampe est un signal croissant linéairement par rapport au temps, à partir de t = 0 . La rampe de pente unitaire est définie telle que :

r(t)

t Figure 2. 7 : Rampe - 13 -

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0 si t < 0 r (t ) =  t si t ≥ 0 Sachant que :

t

∫ u( x)dx = t = r (t ) , 0

1 Et d’après le théorème de l’intégrale, on a : £  ∫ u ( t ) dt  = U ( p )   p

On obtient :

£ [ r (t ) ] =

1 p2

V.4. Exponentielle D’après le théorème du décalage fréquentiel, on a : £  f ( t ) .e p0t  = F ( p − p0 ) On pose : f (t ) = u (t )

On obtient : £ e p0t  =

1 p − p0

VI. Application à la résolution d'équations différentielles La résolution d'équations différentielles à coefficients constants est très largement simplifiée par l'usage de la transformée de Laplace, comme le montre l'exemple qui suit.

Exemple 1 : Résolution d'une équation différentielle. Résoudre l'équation différentielle suivante :

y "+ 2 y '+ 2 = e− t avec y ( 0 ) = 1 et y ' ( 0 ) = 2 Il suffit pour résoudre cette équation d'en calculer la transformée de Laplace :

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2 1  p 2Y ( p ) − p − 2 + 2  pY ( p ) − 1 + = p p +1 Alors Y ( p )  p 2 + 2 p  = p + 4 −

Y ( p) =

2 1 + p p +1

p ( p + 1)( p + 4 ) − 2 ( p + 1) + p p 2 ( p + 1)( p + 2 )

Y ( p) =

A B C D + + + 2 p p p +1 p + 2

=

−1 3 −1 −1 + + + 2 p p p +1 p + 2

Ce qui permet d'écrire, par transformée inverse de Laplace (utiliser les tables) :

y ( t ) = −t + 3 − e − t − e − 2 t Exemple 2 : Résolution des équations différentielles sous forme canonique Utiliser le tableau et les propriétés de la transformée de Laplace pour résoudre les équations différentielles ci-dessous :

1. s (t ) + τ

2. s (t ) +

ds (t ) =E dt

2m ds (t ) 1 d 2 s (t ) + = k .E ω0 dt ω02 dt 2

1 ds (t ) 1 d 2 s (t ) + = 12 3. s (t ) + 4 dt 9 dt 2 Solution : 1. s (t ) + τ

ds (t ) =E dt

⇒ S ( p) + τ pS ( p) =

E p

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⇒ S ( p) (1 + τ p ) =

⇒ S ( p) =

E p

E p (1 + τ p )

⇒ s (t ) = E (1 − e − t /τ ) . 2. s (t ) +

2m ds (t ) 1 d 2 s (t ) + 2 = k .E ω0 dt ω0 dt 2

⇒ S ( p ) + 2m

1

ω0

pS ( p ) +

1

ω

2 0

p 2 S ( p) = k

E p

 1  2m E p + 1 = k ⇒ S ( p)  2 p 2 + ω0 p  ω0  ⇒ S ( p) =

k .E  1  2m p  2 p2 + p + 1 ω0  ω0 

)

(

  e − mω0t sin ω0 1 − m 2 t + ϕ  ⇒ s (t ) = k .E 1 − 2 1− m  

avec tan ϕ =

3. s (t ) +

1 − m2 (voir tableau). −m

1 ds (t ) 1 d 2 s(t ) + = 12 4 dt 9 dt 2

⇒ S ( p) +

1 1 12 pS ( p) + p 2 S ( p) = 4 9 p

⇒ S ( p) =

12 12 = . 1 2  1  1 2 2m  p 1 + p + p  p  2 p + p + 1 9   4 ω0  ω0 

s(t) a la même expression qu'à la question 2 avec : 1

ω

2 0

=

1 ⇒ ω0 = 3rad / s 9

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2m

ω0

=

1 3 ⇒ m = = 0, 375 . 4 8

VII. Tables de quelques Transformées de Laplace Le tableau ci-dessous donne les transformées de Laplace couramment utilisées en automatique :

f ( t ) pour t > 0

F ( p)

δ (t )

1

1

1 p

t

1 p2

t n −1 ( n − 1)!

1 pn

e − at

1 p+a

t.e − at

1

( p + a)

cos (ωt )

2

p p + ω2 2

sin (ωt )

ω p + ω2 2

e− at .cos ( ωt )

p+a 2 ( p + a) + ω2

e− at .sin (ωt )

ω

2 ( p + a) + ω2

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