Chap I Machines Energétiques [PDF]

Zitiervorschau

Machines et Systèmes Energétiques

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Chap. 1 - Etude des transformations thermodynamiques élémentaires 1. Rappel thermodynamique 1.1.

Système thermodynamique

Un système thermodynamique est un ensemble des éléments matériels contenus à l’intérieur d’une surface fermée et soumise à des études théoriques et expérimentales. En fonction de la nature de la paroi du système, qui le sépare du milieu externe, on distingue :  Système isolé : constitué par une paroi rigide et adiabatique et ne permet pas l’écoulement massique ;  Système fermé : la paroi ne permet pas uniquement l’écoulement massique ;  Système ouvert : la paroi permet l’échange de matière et de l’énergie avec le milieu extérieur. La description d’un système thermodynamique est faite par spécification des valeurs d’un certain nombre de grandeurs caractéristiques mesurables ou repérables les variables d’état (variables extensives : la masse (m), le nombre de mole (n), la concentration (C), la fraction molaire (xi/yi), pression partielle d’un constituant (pi), le volume (V)… ou les variables intensives : la pression (P), la température (T), la viscosité dynamique ou cinématique (η/μ), la masse volumique (ρ)…). L’état du système peut être défini sans précision de toutes les valeurs des variables d’état. Puisque il existe des relations entre ces variables (variables dépendantes), Il suffit donc de préciser les valeurs de quelques variables uniquement pour décrire l’état du système. Les autres variables d’état peuvent être déterminées soit à partir des équations d’état qui reliés les variables d’état dans les états d’équilibre du système, soit à partir des fonctions d’état qui traduit des relations entre les variables d’état entre les états d’équilibre du système. 1.2. Transformation d’un système thermodynamique Un système est en équilibre thermodynamique, lorsque les valeurs des variables d’état sont les mêmes en tout point du système et au cours du temps. Autrement, si au moins une de ses variables d’état varie au cours du temps : le système évolue ou se transforme. En effet lorsqu’on change la (les) valeur(s) d’un ou plusieurs variable(s) d’état du système, initialement en équilibre (Etat 1), ce dernier va évoluer jusqu’à atteindre un nouvel état d’équilibre (Etat 2). Ainsi, le nouvel état d’équilibre, sera caractérisé par des nouvelles variables d’état. Donc, une transformation finie, est limitée par 2 états en équilibre (Etat 1 et Etat 2). Et par opposition, si la transformation amène le système à son état initial (Etat 2 = Etat 1) la transformation est dite cyclique. De plus ce qui caractérise une transformation thermodynamique, le critère de sa réversibilité. Autrement, une transformation est dit réversible, si elle peut revenir de son état final (Etat 2) à son état initial (Etat 1) en parcourant le même chemin. Théoriquement, ce ci, est réalisable dans le cas où la transformation passe par une série de transformations infinitésimales (transformation quasi-statique) et en gardant l’équilibre avec le milieu externe avec des variations infinitésimales des variables d’état entre les états d’équilibres intermédiaires voisins. 1

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La transformation réversible, est un cas idéal ou théorique. Dans la pratique, elle est irréversible. Les transformations thermodynamiques peuvent être classées en fonction des variables d’état constant, où on trouve :  Les transformations à variable d’état du système constant : transformation isotherme (T = Constante), la transformation isochore (V = Constante), la transformation isobare (P = Constante) et le cas échéant, la transformation adiabatique, où il n’y à pas échange de chaleur avec le milieu extérieur. Dans ce dernier cas, si la transformation et réversible, elle devient isentropique (l’inverse n’est pas toujours vrai : une transformation isentropique, n’est pas toujours adiabatique réversible).  Les transformations à variable d’état du milieu extérieur constant : transformation monobare (où le milieu externe impose au système une seule pression), la transformation monotherme (cas d’un système en contact avec une seule source de chaleur). 2. Transformation thermodynamique élémentaire – échange du travail et de la chaleur 2.1.

Définition

De manière générale, une transformation est provoquée soit par la levée (au moins partielle) d’une contrainte interne, soit par des échanges avec le milieu extérieur, soit par les deux à la fois. Il est donc important de revenir sur la nature des échanges entre un système et le milieu extérieur. De manière générale, en fonction du type du système étudié, on assiste à des échanges de matière et d’énergie et/ou une conversion de la forme d’énergie, principalement, sous forme du travail et de la chaleur. L’étude d’une transformation thermodynamique, en mettant en évidence les échanges mises en jeux, nécessite le recours aux bilans de matière et de l’énergie et l’évolution de cette dernière. En fait, ce ci est possible en faisons intervenir :  La loi d’action de masse pour établir le bilan de masse (Cas des systèmes ouverts) ;  Le 1er principe de la thermodynamique (principe de la conservation de l’énergie), pour établir le bilan énergétique ;  Le 2nd principe de la thermodynamique (principe de l’évolution de l’énergie), pour établir le bilan entropique. A cet égard, rappelons que les principes de la thermodynamique, sont des lois universelles, vérifiées et qui s’appliquent à tous les systèmes (ouvert, fermé ou isolé), quelque soit le régime (variable ou permanant) et quelque soit le type de la transformation (réversible ou irréversible). En effet, l’étude des transformations irréversibles, est réalisée en déduisant leurs écarts par rapport aux transformations réversibles. 2.2.

Bilans d’une transformation thermodynamique élémentaire en régime permanant

a) Bilans d’une transformation d’un système ouvert En régime permanant, toute variation en fonction du temps est nulle, donc les bilans donnent : 2

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Bilan massique : 𝑚̇𝑒 = 𝑚̇𝑠 = 𝑚̇ Bilan énergétique (cas où l’énergie cinétique et l’énergie potentielle sont négligeables) : ∆𝐻 = 𝐻𝑠 − 𝐻𝑒 = 𝑄𝑠𝑦𝑠𝑡 + 𝑊𝑠𝑦𝑠𝑡 Bilan entropique (pour : 2 Sources de chaleur QF et QC) : 𝑄𝐶 𝑄𝐹 ∆𝑆 = 𝑆𝑠 − 𝑆𝑒 = + + 𝑆𝑐𝑟é𝑒 𝑇𝐶 𝑇𝐹 Remarque : L’entropie ne peut qu’augmenter (transformation irréversible) ou rester constante (transformation réversible), d’où : 𝑄

𝑄

Transformation réversible : S crée = 0, donc la quantité : ( 𝑇 𝐶 + 𝑇 𝐹) = 0 ; 𝐶

𝐹

𝑄𝐶

𝑄

Transformation irréversible : S crée > 0, donc : la quantité : ( 𝑇 + 𝑇 𝐹) < 0. 𝐶

𝐹

3. Transformation thermodynamique élémentaire d’un gaz parfait Un gaz parfait, est un gaz qui possède des propriétés particulièrement simple lors qu’il est trop dilué et qui repend à l’équation d’état : 𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 Cette équation peut s’écrire autrement en fonction de la masse d’un système donné : 𝑅 𝑃𝑉 = 𝑚 𝑇 = 𝑚𝑟𝑡 𝑀 𝑅 Avec : 𝑟 = 𝑀 et M : masse molaire du gaz étudié. 3.1.

Cas d’une transformation isochore

C’est le cas d’une transformation qui se déroule dans un système (gaz parfait) enfermé dans un récipient rigide où son volume reste constant (V = Constante). Dans ce cas l’équation du gaz parfait permet d’écrire : Etat 1 : 𝑃1 𝑉 = 𝑚𝑟𝑇1 Etat 2 : 𝑃2 𝑉 = 𝑚𝑟𝑇2 𝑃

Ce qui donne : 𝑃1 = 2

𝑇1 𝑇2

Le travail élémentaire du système est par définition vaut : 𝛿𝑊 = −𝑃 𝑑𝑉 Or : V = constante, alors : dV = 0 Donc : 𝛿𝑊 = −𝑃 𝑑𝑉 = 0 Et le travail total échangé pendant la transformation (1→2) : 𝐖𝟏→𝟐 = 𝟎 La variation de l’énergie interne d’une transformation élémentaire à volume constant : 𝑑𝑈 = 𝛿𝑄 + 𝛿𝑊 = 𝛿𝑄 Donc la variation de l’énergie interne du système et sa chaleur échangée pendant la transformation (1→2) : ∆𝐔 = 𝐐𝐕 = 𝐦 𝐜𝐕 (𝐓𝟐 − 𝐓𝟏 ) = 𝐦 𝐂𝐕 ∆𝐓 La variation de l’enthalpie d’une transformation élémentaire à volume constant : 𝑑𝐻 = 𝑑𝑈 + 𝑑(𝑉𝑃) = 𝛿𝑄 + 𝛿𝑊 + 𝑉𝑑𝑃 + 𝑃𝑑𝑉 = 𝛿𝑄 − 𝑃𝑑𝑉 + 𝑉𝑑𝑃 + 𝑃𝑑𝑉 𝑑𝐻 = 𝛿𝑄 + 𝑉𝑑𝑃 3

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Donc la variation de l’enthalpie du système pendant la transformation (1→2) : ∆𝑯 = 𝐦 𝐜𝐕 (𝐓𝟐 − 𝐓𝟏 ) + 𝐕 (𝐏𝟐 − 𝐏𝟏 ) La variation de l’entropie d’une transformation élémentaire à volume constant : 𝛿𝑄𝑟é𝑣,𝑉 𝑑𝑈 𝑚𝑐𝑉 𝑑𝑇 𝑑𝑆 = = = 𝑇 𝑇 𝑇 Donc la variation de l’entropie du système pendant la transformation (1→2) : 2 𝑚𝑐𝑉 𝑑𝑇 ∆𝑆 = (𝑆2 − 𝑆1 ) = ∫ 𝑇 1 Si, la capacité calorifique à volume constant, reste constante dans l’intervalle de température [T1, T2] : 2 𝑑𝑇 ∆𝑆 = (𝑆2 − 𝑆1 ) = 𝑚𝑐𝑉 ∫ 1 𝑇 L’intégration de cette équation entre T1, T2 donne : 𝑻𝟐 ∆𝑺 = (𝑺𝟐 − 𝑺𝟏 ) = 𝒎𝒄𝑽 𝐥𝐧 𝑻𝟏

3.2.

Cas d’une transformation isobare

Dans le cas d’une transformation élémentaire d’un gaz parfait à pression constante, on peut écrire : 𝑃 = 𝑐𝑡𝑒 ⇔ 𝑑𝑃 = 0 𝑃𝑉1 = 𝑚 𝑟 𝑇1 𝑉 𝑇1 1 ⇒ {𝑒𝑡 = 𝑇2 𝑃𝑉2 = 𝑚 𝑟 𝑇2 𝑉2 Le travail élémentaire du système est par définition vaut : 𝛿𝑊 = −𝑃 𝑑𝑉 Le travail total échangé pendant la transformation (1→2) : 𝐖𝟏→𝟐 = 𝐏 (𝐕𝟏 − 𝐕𝟐 ) La variation de l’enthalpie et la chaleur échangée au cours d’une transformation isobare : dP = 0 ⇒ δQ = dQP = dH = m cP dT P = cte ⇒ 𝐐𝟏⟶𝟐 = 𝐐𝐏 = 𝚫𝐇 = 𝐦 𝐜𝐏 𝚫𝐓 La variation de l’énergie interne d’une transformation isobare : dP = 0 ⇒ dU = δQ + δW = dH + δW = m cP dT − 𝑃 𝑑𝑉 𝑚𝑟 Or : 𝑑𝑉 = 𝑃 𝑑𝑇, en faisant introduire la relation de Mayer : 𝑐𝑃 − 𝑐𝑉 = 𝑟 et le rapport des deux capacités calorifiques :𝛾 =

𝑐𝑃

𝑐𝑉

dU = m cP dT − m r dT = m cV dT 1 ⇒{ dU = P dV γ−1 Ou L’intégration de cette équation aux conditions limites (1) et (2) et pour cV et cP constantes dans l’intervalle des températures considérées : 1 ∆𝑈 = 𝑚 𝑐𝑉 ∆𝑇 = P ∆V γ−1 4

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La variation de l’entropie d’une transformation élémentaire isobare : 𝛿𝑄𝑟é𝑣,𝑃 𝑑𝐻 𝑚𝑐𝑃 𝑑𝑇 𝑑𝑆 = = = 𝑇 𝑇 𝑇 Donc la variation de l’entropie du système pendant la transformation (1→2) : 2 𝑚𝑐𝑃 𝑑𝑇 ∆𝑆 = (𝑆2 − 𝑆1 ) = ∫ 𝑇 1 Si cP, reste constante dans l’intervalle de température [T1, T2] : 2 𝑑𝑇 ∆𝑆 = (𝑆2 − 𝑆1 ) = 𝑚𝑐𝑃 ∫ 1 𝑇 L’intégration de cette équation entre T1, T2 donne : 𝑻𝟐 𝑽𝟐 ∆𝑺 = (𝑺𝟐 − 𝑺𝟏 ) = 𝒎𝒄𝑷 𝐥𝐧 = 𝒎𝒄𝑷 𝐥𝐧 𝑻𝟏 𝑽𝟏 3.3.

Cas d’une transformation isotherme

Dans le cas d’une transformation élémentaire d’un gaz parfait, qui se déroule à température constante (isotherme), on peut écrire : 𝑇 = 𝑐𝑡𝑒 ⇔ 𝑑𝑇 = 0 𝑃1 𝑉1 = 𝑚 𝑟 T ⇒ 𝑃1 𝑉1 = 𝑃2 𝑉2 { 𝑃2 𝑉2 = 𝑚 𝑟 T Autrement : PV = 𝑚 𝑟 T = cte La représentation dans le diagramme de Clapeyron de la fonction : P = 𝒻(V), pour différentes valeurs de température donne un réseau de courbe parabolique, qui s’appel : réseau des isothermes. En effet, pour T = cte, P =

𝑚𝑟T 𝑉

=

cte V

P

P1

P2 = P1 - dP

T ↑+

T = cte T = cte T = cte

V V1

V2= V1 + dV

Fig. 3 – Représentation du réseau des isothermes dans le diagramme de Clapeyron

La pente des isothermes : 5

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𝑚𝑟𝑇 1 𝑑( 𝑉 ) 𝑑(𝑉 ) 𝑑𝑃 𝑚𝑟𝑇 𝑃𝑉 𝑃 = = 𝑚𝑟𝑇 =− 2 =− 2 =− 𝑑𝑉 𝑑𝑉 𝑑𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 𝐝𝐏 𝐏 𝐏𝐞𝐧𝐭𝐞(𝐓=𝐜𝐭𝐞) = =− 𝐝𝐕 𝐕 𝑑𝑉 Le travail élémentaire du système est par définition vaut : 𝛿𝑊 = −𝑃 𝑑𝑉 = −𝑚𝑟𝑇 𝑉 = −(𝑃1 𝑉1 )

𝑑𝑉 𝑉

Le travail total échangé pendant la transformation (1→2) : V2 dV W1→2 = −mrT ∫ V1 V 𝐖𝟏→𝟐 = 𝐦𝐫𝐓. 𝐥𝐧(

𝐕𝟏 𝐏𝟐 ) = 𝐦𝐫𝐓. 𝐥𝐧( ) 𝐕𝟐 𝐏𝟏

La variation de l’énergie interne (∆U) et de l’enthalpie (∆H) : 𝑇 = 𝑐𝑡𝑒 ⟺ 𝑑𝑇 = 0 ⟺ ∆𝑇 = 0 ∆𝐔 = 𝐦 𝐜𝐕 ∆𝐓 = 𝟎 et { 𝚫𝐇 = 𝐦 𝐜𝐏 𝚫𝐓 = 𝟎 La chaleur échangée au cours d’une transformation isotherme : 𝑑𝑉 𝑉 𝐕𝟐 𝐏𝟏 = 𝐦𝐫𝐓. 𝐥𝐧( ) = 𝐦𝐫𝐓. 𝐥𝐧( ) 𝐕𝟏 𝐏𝟐

dU = δQ + δW = 0 ⇒ δQ = − δW = 𝑚𝑟𝑇 𝐐𝟏⟶𝟐 = − 𝐖𝟏⟶𝟐

La variation de l’entropie d’une transformation élémentaire isotherme : 𝑑𝑉 𝑚𝑟𝑇 𝑉 𝛿𝑄𝑟é𝑣 𝑑𝑉 𝑑𝑆 = = = 𝑚𝑟 𝑇 𝑇 𝑉 Donc la variation de l’entropie du système pendant la transformation (1→2) : V2 𝑑𝑉 ∆𝑆 = (𝑆2 − 𝑆1 ) = mr. ∫ V1 𝑉 ∆𝐒 = (𝐒𝟐 − 𝐒𝟏 ) = 𝐦𝐫. 𝐥𝐧( 3.4.

𝐕𝟐 𝐏𝟏 ) = 𝐦𝐫. 𝐥𝐧( ) 𝐕𝟏 𝐏𝟐

Cas d’une transformation élémentaire adiabatique

Dans le cas d’une transformation élémentaire, qui se déroule sans transfert de chaleur avec le milieu extérieur, elle est dit adiabatique et on a : 𝜹𝑸 = 𝟎 ⇔ 𝑸 = 𝟎 Dans le cas où la transformation est réversible : 𝛿𝑄𝑟é𝑣 = 0, alors : 𝑑𝑆 =

𝛿𝑄𝑟é𝑣 𝑇

=0

Donc, une transformation adiabatique réversible est une transformation isentropique (S = cte et dS = 0) et l’inverse de cette constatation n’est pas toujours vrai. a) Les formules de Laplace Dans le cas où on a une transformation adiabatique d’un gaz parfait : Pour l’énergie interne : 𝑑𝑈 = 𝛿𝑄 + 𝛿𝑊 = 0 + 𝛿𝑊 = −𝑃𝑑𝑉 6

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⇒ 𝐝𝐔 = −𝐏𝐝𝐕 = 𝐦𝐜𝐕 𝐝𝐓 Pour l’enthalpie : 𝐻 = 𝑈 + 𝑃𝑉 𝑑𝐻 = 𝑑𝑈 + 𝑑(𝑃𝑉) = −𝑃𝑑𝑉 + 𝑃𝑑𝑉 + 𝑉𝑑𝑃 ⇒ 𝐝𝐇 = 𝐕𝐝𝐏 = 𝐦𝐜𝐏 𝐝𝐓 A partir de ces 2 relations on peut écrire : dP dH VdP cP dV = − = − = =γ P dU PdV cV V Le coefficient (γ) est défini comme étant le rapport des capacités calorifiques du gaz. Et à partir de cette relation on peut écrire : dP P dP dV = −γ. ( ) ⟺ = −γ. ( ) dV V P V L’intégration de cette équation pour une transformation finie (1→2) : 2 2 dP dV ∫ = −γ. ∫ 1 P 1 V 𝑃2 𝑉2 𝑉1 𝛾 ⟺ ln( ) = −γ ln( ) = ln(( ) ) 𝑃1 𝑉1 𝑉2 𝛾 𝑃2 𝑉1 ⟺( )=( ) 𝑃1 𝑉2 ⟺ 𝐏𝟏 𝐕𝟏 𝛄 = 𝐏𝟐 𝐕𝟐 𝛄 Cette relation est appelée première relation de Laplace et elle s’exprime aussi de la façon suivante : 𝐏. 𝐕 𝛄 = 𝐜𝐭𝐞 Le coefficient (γ), est un coefficient caractéristique de la transformation adiabatique d’un gaz parfait. On peut aussi établir à partir de cette dernière relation entre (P et V), deux autres relations, dites aussi de Laplace entre (V et T) et (P et T) :  Pour (P, T) : 𝑉1 =

𝑃1 𝑉1 = 𝑚𝑟𝑇1 Pour un gaz parfait on a : { 𝑃2 𝑉2 = 𝑚𝑟𝑇2 ⟺ P1 V1 γ = P2 V2 γ ⇒

𝑉2 =

𝑚𝑟𝑇1 𝑃1 𝑚𝑟𝑇2

𝑃2 𝑚𝑟𝑇1 γ 𝑚𝑟𝑇2 γ {P1 ( 𝑃1 ) = P2 ( 𝑃2 ) P1 (1−γ) T1 γ = P2 (1−γ) T2 γ

⇒ P1

(

1−γ ) γ .T 1

𝐏

= P2

𝟏−𝛄 ( ) 𝛄 .𝐓

(

1−γ ) γ .T 2

= 𝐂𝐭𝐞

 Pour (V, T) : 7

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𝑃1 =

𝑃1 𝑉1 = 𝑚𝑟𝑇1 Pour un gaz parfait on a : { 𝑃2 𝑉2 = 𝑚𝑟𝑇2 ⟺ P1 V1 γ = P2 V2 γ

𝑃2 = 𝑚𝑟𝑇1

{ ⇒

𝑉1

γ

𝑚𝑟𝑇1 𝑉1 𝑚𝑟𝑇2

. V1 =

𝑉2 𝑚𝑟𝑇2 𝑉2

. V2 γ

T1 γ T2 γ V = V2 V1 1 V2

⇒ T1 . V1 (γ−1) = T2 . V2 (γ−1) 𝐓. 𝐕 (𝛄−𝟏) = 𝐂𝐭𝐞 Remarque : Les expressions des capacités calorifiques pour une mole de gaz parfait : 𝒄 Nature du gaz 𝜸 = 𝒄𝑷 cP cV 𝑽 parfait

Relation de Mayer (cP - cV)

Monoatomique

𝟓 .𝐫 𝟐

𝟑 .𝐫 𝟐

𝟓 𝟑

𝐫

Diatomique

𝟕 .𝐫 𝟐

𝟓 .𝐫 𝟐

𝟕 𝟓

𝐫

b) Représentation de la transformation isentropique dans le diagramme de Clapeyron Reprenons la relation : 𝐝𝐏 𝐜𝐏 𝐝𝐕 𝛄= =− 𝐏 𝐜𝐕 𝐕

La pente d’une transformation adiabatique réversible (isentropique) dans le diagramme (P, dP

V) : Pente(S=cte) = dV = −γ

P V

Par comparaison avec la transformation isotherme, dont la pente vaut : dP P Pente(T=cte) = = − dV V Et puisque : 𝛾 > 1 , sur le diagramme de Clapeyron les isentropes sont plus abrites que les isothermes et on obtient des allures comme indiqués par la figure suivante :

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S ↑+

P

S = cte S = cte

S = cte

P1

P2 = P1 - dP

T = cte

T = cte

V V1

V2= V1 + dV

Fig. 3 – Représentation du réseau des isentropes dans le diagramme de Clapeyron

c) Détermination du travail, de la chaleur et des autres variables d’état 𝑑𝑉

Le travail élémentaire du système est par définition vaut : 𝛿𝑊 = −𝑃 𝑑𝑉 = −𝑃𝑉 𝛾 . 𝑉 𝛾 Et puisque : 𝑃𝑉 𝛾 = 𝑃1 𝑉1 𝛾 = 𝑐𝑡𝑒 Le travail total échangé pendant la transformation (1→2) : V2 𝑑𝑉 W1→2 = −𝑃𝑉 𝛾 . ∫ 𝛾 V1 𝑉 W1→2

1 1 V2 = −𝑃1 𝑉1 . [− . ] γ − 1 V γ−1 V1

W1→2 𝐖𝟏→𝟐

𝛾

𝑃1 𝑉1 𝛾 V = . [V1−γ ]V21 γ−1

𝑷 𝟏 𝑽𝟏 𝜸 𝑷 𝟏 𝑽𝟏 𝐕𝟏 = . ( 𝐕𝟐 𝟏−𝛄 − 𝐕𝟏 𝟏−𝛄 ) = . ( ( )(𝛄−𝟏) − 𝟏) 𝛄−𝟏 𝛄−𝟏 𝐕𝟐

En introduisant la formule de Laplace : T1 . V1 (γ−1) = T2 . V2 (γ−1) L’expression du travail devient : 𝐦𝐫 𝐓𝟏 𝐓𝟐 𝐖𝟏→𝟐 = . ( − 𝟏) 𝛄 − 𝟏 𝐓𝟏 La variation de l’énergie interne (∆U) : ∆𝐔 = 𝐖𝟏→𝟐 = 𝐖𝐚𝐝 = 𝐦 𝐜𝐕 ∆𝐓 La variation de l’enthalpie (∆H) : cV ΔT = γ m cV ΔT = γ ΔU = γ Wad = γ W1→2 cV 𝚫𝐇 = 𝐦 𝐜𝐏 𝚫𝐓 = 𝛄 𝚫𝐔 = 𝛄 𝐖𝟏→𝟐

ΔH = m cP ΔT = m cP

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3.5. Cas d’une transformation élémentaire polytropique a) Définition C’est la transformation la plus proche des transformations réelles. Elle se situe entre la transformation isotherme et la transformation adiabatique réversible (isentropique). Ce qui permet de caractériser la transformation polytropique par son coefficient (n), avec : 1 < 𝑛 < 𝛾. Ainsi, les formules de Laplace seront applicables avec la transformation polytropique en changeant le coefficient (γ) par le coefficient (n) : 𝐏𝐕 𝐧 = 𝐜𝐭𝐞 𝟏−𝐧 ) 𝐧 (𝐧−𝟏)

{𝐓𝐏 ( 𝐓𝐕

= 𝐜𝐭𝐞 = 𝐜𝐭𝐞

P V = cte (n = ∞)

P = cte (n = 0)

1< n < γ

T = cte (n = 1)

S = cte (n = γ)

V

Fig. 4 – Représentation dans le diagramme (P, V) de différentes transformation en fonction de (n)

Les différentes transformations déjà vue (isochore, isobare, isotherme et adiabatique réversible), sont de transformations idéales, utiles pour les études thermodynamiques. Ces différentes transformations ne sont que des cas particuliers de la transformation polytropique pour des valeurs bien déterminés de son coefficient (n) : n n=∞

𝐏 𝐕 𝐧 = 𝐜𝐭𝐞

Variable d’état constant

1

Transformation Isochore

P V ∞ ≈ P V (0) ⟺ P 0 V1 =V

V = cte

n=0

P V 0 ≈ P .1 = P

P = cte

Isobare

n=1

P V1 ≈ mrT = cte

T = cte

Isotherme

n=γ

P V γ = cte

Qrév. = 0 ⇒ S = cte

1