Chap 2 VF Mecanique Du Point SVTU 2019 [PDF]

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Lahrouni, A. – FSSM - Marrakech

Chapitre 2 – MÉCANIQUE DU POINT Partie A : Cinématique du point matériel I- Introduction La cinématique est cette branche de la mécanique qui décrit les mouvements des points matériels ou plus généralement d’objets mobiles, en termes de vitesse, accélération, trajectoire, etc. Les notions de masse et de force n’y apparaissent pas. Les seules grandeurs physiques fondamentales présentes en cinématique sont la longueur et le temps.   e  ( i , j, k) II- Notions de vitesse et d’accélération 



Le vecteur OM ( t ) noté parfois uniquement M( t ) est le vecteur position de M dans le référentiel R(O,xyz). L’ensemble des positions occupées par M au cours du temps dans l’espace est la trajectoire du point mobile : c’est la courbe décrite par le point M dans son mouvement. 1/ La vitesse et accélération d’un point M en coordonnées cartésiennes La vitesse est par définition la dérivée par rapport au temps du vecteur       position OM ( t ) ; elle est notée v(M / R) ; si OM( t )  x ( t ) i  y( t ) j  z( t )k on a : 

   d OM  v( M / R )   x ( t ) i  y ( t ) j  z ( t )k dt

1

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L’accélération est par définition la dérivée seconde par rapport au temps   du vecteur position OM ( t ) ; elle est notée (M / R) ; si     OM( t )  x ( t ) i  y( t ) j  z( t )k on a : 

   d 2 OM   (M / R )   x( t ) i  y( t ) j  z( t )k dt 2  La vitesse est portée par la tangente à la trajectoire du mouvement au point M(t).   La norme de la vitesse, v  v(M / R est la vitesse scalaire, notée aussi uniquement v(M / R) tel que ; v(M / R )  x 2  y 2  z 2 .   La norme de l’accélération,    (M / R est la vitesse scalaire, notée

aussi uniquement (M / R) tel que ; (M / R )  x 2  y 2  z2 . 

 Le déplacement élémentaire d OM est donné par :      d OM  v(M / R )dt  dx i  dy j  dzk .  Equation d’évolution (ou équation horaire (paramétrique)) : c’est la relation qui lie la position du point matériel M au temps t. En coordonnées cartésiennes, c’est : x(t)=… , y(t)=…, z(t)=… 

 L’abscisse curviligne s(t) est la mesure algébrique de l’arc M 0 M de la courbe, il est compté positivement dans le sens du parcours : 

s( t )  M 0 M . L’arc élémentaire est compris entre M et son voisin M’ et 

s’écrit ds( t )  MM'  d . La loi s(t) définit ainsi l’équation horaire du mouvement. En coordonnée cartésiennes, on a :

ds  v(M / R )dt  dx 2  dy 2  dz 2 d’où on a : v  2

ds . dt

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Remarque : L’accélération peut être décomposée relativement à la forme  de la courbe en accélération tangentielle  t (tangente à la trajectoire, soit de même sens que la vitesse = mouvement accéléré ou de sens contraire =  mouvement retardé) et accélération normale  n qui est toujours orientée vers la concavité de la courbe (elle est centripète).

Exemple : Soit un point M qui se déplace dans le référentiel R(O,xyz). La position du point M est repérée par le vecteur position suivant :     t 2 OM  3(1  e ) i  ( t  3t  2) j  ( t  1)k .     t La vitesse : v(M / R )  3e i  (2t  3) j  k , Sa norme : v  9e 2t  (2t  3) 2  1    t L’accélération :  (M / R )  3e i  2 j , sa norme   9e 2 t  4 . 3/ Vitesse et accélération dans les systèmes cylindrique et polaire



  Om  Dans ce système de coordonnées, on a : OM  e   zk avec e    ; Om     d’où : v(M / R )   e    e   z k et        2     )e   (2    )e   zk ; b c  (e  , e  , k  e z ) est la  (M / R )  ( base locale en coordonnées cylindriques. 

Lorsque le mouvement a lieu dans le plan xOy, la composante z=0, on   parle de coordonnées polaires (, ) . Dans ces conditions OM  e  et on a :       )e  v(M / R )   e   e  et  (M / R )  (   2 )e   (2    3

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Coordonnées cylindriques (, , z)

Coordonnées polaires (, )

4/ Quelques mouvements particuliers 4.1- Mouvement rectiligne Par définition,  un mouvement est dit rectiligne si ce mouvement se fait selon une  trajectoire droite, de vecteur unitaire par exemple u . Dans ce cas la vitesse possède une direction constante.  Ce mouvement est dit rectiligne et uniforme si de plus sa vitesse constante en norme. Exemples :    - si v(M / R )  v 0  v 0 u où v 0 est une constante réelle, la loi du    mouvement est OM  OM 0  ( t  t 0 ) v 0 , M 0 est la position initiale  de M à l’instant initial t 0 . La trajectoire est une droite parallèle à v 0 : mouvement rectiligne uniforme.   - si v(M / R)  (t)u où ( t ) est une fonction de temps t continue et u    t un vecteur constant non nul, on a : OM  OM 0  u  ( t )dt : t0

mouvement rectiligne varié (non uniforme). 4.2- Mouvement circulaire Soit dans un repère orthonormé direct R(O,xyz) muni d’une échelle de temps le vecteur position d’un point matériel M donné par :     OM  R[cos  i  sin  j]  Re r où R=cte>0 et ( t ) fonction de temps. 4

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      D’où v(M / R )  R[ sin  i   cos  j]  R e  . On voit que la vitesse de M perpendiculaire au rayon vecteur et que sa norme est égale à v(M / R )  R  :   v(M / R )  OM

et

v(M / R )  R  .

De même l’expression de l’accélération est donnée par :    2 2        (M / R )  R[( sin    cos ) i  ( cos    sin ) j]    et on a aussi :  (M / R )  Re   R 2 e r : somme de deux termes :

  - accélération tangentielle,  t  Re  , qui est parallèle à la vitesse et dont la norme est  t  R ,  t  0 mouvement accéléré,  t  0 mouvement retardé,  t  0 mouvement uniforme ;   - accélération normale,  n  R 2 e r , qui perpendiculaire à la vitesse et parallèle et de sens opposée au vecteur position, sa norme est  n  R 2  0 .

Remarque : On rencontre très souvent des mouvements circulaires que cela vaut la peine d’apprendre définitivement ces formules par cœur.

  On peut aussi écrire, avec    k vecteur vitesse de rotation autour de       l’axe Oz ; d’où v(M / R )    OM  Rk  e r . Si   cte , le mouvement circulaire est dit uniforme, son accélération est    2   (M / R )  R e r   t (M / R )  0 . 5

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Conséquence : tout mouvement dont la norme de la vitesse est constante ou dont l’accélération tangentielle est nulle est un mouvement uniforme. 4.3- Mouvement hélicoïdal Soit un référentiel direct R(O,xyz), on appelle hélice circulaire de pas a et de rayon R (a et R constantes >0) la courbe représentée paramètriquement pour   IR par l’équation :    a   a  OM  R cos  i  R sin  j  k  Re r  k 2 2 Si   (t ) (fonction de temps) : le mouvement de M est appelé mouvement hélicoïdal. Sa trajectoire est donc contenue dans l’hélice. Avec a        k les vecteurs de base cylindrique (e r , e  , k ) , on a : v(M / R )  Re   2 a     k. et  (M / R )  R 2 e r  Re   2

a    v(M / R )  R e   k 2

III- Mouvement relatif d’un point mobile 1- Introduction L’exemple simple de mouvement relatif est celui du train qui se déplace en ligne droite avec une vitesse constante. Supposons qu’un voyageur du train laisse tomber une bille du haut d’un wagon. Ce voyageur aura l’impression que la bille décrit une droite verticale. Par contre, un observateur assis sur le sol à l’extérieur du train aura l’impression que la bille décrit un morceau de parabole. Quelle est alors la trajectoire réelle de la bille ? Est ce une 6

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droite ou une parabole ? La question reste sans réponse. La notion de mouvement dans l’espace physique est toujours une notion relative. Une raison pratique d’introduire plusieurs référentiels mobiles à la fois réside dans le fait que le mouvement des objets peut être simple dans un référentiel (trajectoire sur une droite de la bille pour l’observateur du train) et compliqué dans un autre (trajectoire parabolique de la bille pour l’observateur à l’extérieur du train sur le sol). Il y a aussi la trajectoire d’un point mobile sur une porte qui s’ouvre : par exemple circulaire sur la porte mais compliqué pour l’observateur dans la pièce (non lié à la porte). 2- Définitions : considérons deux référentiels orthonormés directs et mobiles d’un espace physique donné : R(O, xyz) et R' (O' , x' y' z' ) . Soit de plus un point mobile M(t). On appelle vecteur position relatif de M par rapport au référentiel R’, le vecteur :     O' M( t )  x ' ( t ) i ' y' ( t ) j' z' ( t )k ' On appelle vitesse et accélération relatives de M par rapport au référentiel R’, les vecteurs suivants :

    v' (t )  x ' i ' y ' j'z ' k'

et

    ' ( t )  x' i 'y' j'z' k '

3- Composition des vitesses : La vitesse du point M dans le référentiel R est liée à sa vitesse dans R’ par la relation suivante :

   v(M / R )  v(M / R' )  v e

 v e est une vitesse dite d’entrainement de M, elle donnée par :     v e  v ( O ' / R )   ( R ' / R )  O' M  (R ' / R ) vecteur rotation du référentiel R’ par rapport au référentiel R.    - si (R ' / R )  0 , R’ en translation par rapport à R, v e a même valeur à chaque instant pour tous les points M et est égale à la vitesse de 7

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translation de R’ par rapport à R ; car dans ce cas on a :    P  R ' , v(P/R)  v e  v(O' / R ) . Dans ces conditions, on appelle R référentiel absolu et R’ référentiel relatif, et de même :

 - v(M / R) cette vitesse est appelée vitesse absolue du point M ;  - v(M / R' ) cette vitesse est appelée vitesse relative de M ;  - v e est la vitesse d’entraînement de M ;  - (R ' / R ) est appelé vecteur vitesse instantanée de rotation (ou vecteur rotation) de R’ par rapport à R. 4/ Composition des accélérations Par définition, l’accélération d’un point M dans le référentiel R(Oxyz) peut s’écrire en fonction de l’accélération du point M dans R’ selon la relation suivante :      (M / R )   (M / R ' )   e   c

  e : accélération d’entrainement ; elle est donnée par :      d(R ' / R )    e   (O ' / R )   O' M  ( R ' / R )  [( R ' / R )  O' M ] dt   c : accélération de Coriolis (accélération complémentaire) ; elle est     c  2(R ' / R )  v(M / R ' ) donnée par :  Elle est toujours perpendiculaire au vecteur rotation (R ' / R ) . Cas particuliers :

  - si (R ' / R )  0 : R’ est dit en translation par rapport R et à chaque instant les axes de R’ conservent les mêmes directions ; dans ces   conditions on a :  e  (O' / R ) , l’accélération d’entraînement est égale à l’accélération absolue du référentiel R’ dans son mouvement par rapport à   R. Alors que l’accélération de coriolis est nulle ;  c  0 . 8

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Exercices d’application A/ Un point matériel se déplace dans un plan xOy d’un référentiel    R(O, xyz) de telle sorte que le vecteur position est OM  at i  bt 2 j , où a   et b sont deux paramètres positifs et ( i , j, k) étant une base orthonormée directe. 1 - Donner l’équation horaire du mouvement de M. Trouver l’équation de la trajectoire de M, quelle est sa nature ?  2 - Donner les coordonnées et la norme des vecteurs vitesse, v(M / R ) , et  accélération, (M / R) .   3 - Tracer la trajectoire et les vecteurs vitesse, v , et accélération,  , en un de ses points pour b>0.   4 - Trouver la vitesse v(0) et l’accélération (0) initiales de M. Réponse :    1 - OM  at i  bt 2 j  x  at et y  bt 2 , l’équation de la trajectoire est y  bx 2 / a 2 c’est une parabole.

   2 - v(M / R )  a i  2bt j et v  a 2  4b 2 t 2 .   3 - (M / R )  2b j et   2b  cte 4 - v 0  a et  0  2b . B/ Un point matériel se déplace dans un plan xOy d’un référentiel R(O, xyz) de telle sorte que le vecteur position en coordonnées polaires   est OM  re r , où r  be t et   t (  et b sont deux paramètres   constants positifs et ( i , j, k) étant une base orthonormée directe. 1 - Donner l’équation et la nature de la trajectoire. Tracer cette trajectoire dans le plan xOy. 2 - Donner les coordonnées et la norme du vecteur vitesse au cours du temps. Nature du mouvement ? 9

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3 - Donner les coordonnées et la norme du vecteur accélération. 4 – Trouver l’angle que fait le vecteur vitesse avec l’accélération. 5- Tracer en un point de la trajectoire les vecteurs vitesse et accélération. Réponse : 1 – on a : r  be t et   t donne r  be  /  , c’est une cycloide (figure)

     2 - v(M / R )  re r  r e   be  t (e r  e  )  v  be  t 1  2 , le mouvement est retardé.      3 -  (M / R )  (r  r 2 )e r  (2r  r)e   be  t [(1  2 )e r  2e  ] 

  be t (1  2 ) .  v. 1  2    4 - cos( v,  )  < 0 ce qui explique le mouvement retardé. 2 v. 1  5 - Voir figure.

Partie B – Forces, Principes et Energie mécanique I/ Introduction La dynamique a pour objet la prévision du mouvement des corps pourvus de masse et soumis à des forces. C’est du point matériel qu’il sera question ici, un point matériel étant un objet considéré, en un certains sens, comme petit. Pour observer et étudier le mouvement d’un objet quelconque, il faut d’abord disposer d’un espace physique donc d’un repère. Un point matériel est un objet petit, mobile par rapport à un solide, et dont la   position à un instant t sera repérée par un rayon vecteur r ( t ) (= OM par exemple). 10

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II/ La loi fondamentale

  Loi fondamentale : Dans un référentiel R (O, i , j, k ) , il existe une    fonction vectorielle F( t, r , r ) telle que pour tous les mouvements d’un point matériel de masse m, on a :     mr(t )  F(t, r , r ) .  La fonction F sera appelée la résultante, dans le repère R, des forces appliquées au point matériel.

Cette loi est aussi appelée loi de Newton ou principe (ou relation) fondamental de la dynamique. Principe de l’inertie et référentiel galiléen : L’expression de cette loi décrit le mouvement d’un point mobile si et seulement si l’accélération est prise par rapport à une classe spécifique de référentiels où on réserve à F une signification consacrée par l’usage. Parmi ces référentiels, on a celui de Copernic. Tout référentiel en translation, rectiligne et uniforme par rapport au référentiel de Copernic est dit galiléen, il est noté Rg.

  Lorsque dans Rg la résultante F  0 alors le point matériel a un mouvement rectiligne et uniforme (la trajectoire est une droite). L’équation   dynamique montre que v  r est une constante. III/ Les types de forces Une force est un vecteur qui est défini par : - Son point d’application ; - sa direction ; - son sens ; - son module (ou amplitude, ou intensité). 11

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Types de forces : - Les forces gravitationnelles : Elles sont régies par la loi de gravitation de Newton selon laquelle deux objet petit A et B situés à une distance AB = r, exerce l’un sur l’autre une force attractive de direction AB. D’après le principe de  l’action  et de la réaction, ces deux forces sont égales et opposées : FAB  FBA . On parle de forces d’interaction entre ces deux objets traduisant une propriété fondamentale de la matière : attraction universelle (ou gravitation universelle). Le module de la m m force d’interaction entre les objet A et B s’écrit : F  G A 2 B , où G r -11 2 est appelé constante gravitationnelle. G=6,67.10 Nm kg-2 (dans le système SI). - Les forces d’interaction électrostatiques : ces forces s’exercent mutuellement entre deux particules de charges qA et qB. D’après la loi  1 qAqB    de coulomb, on a : F  r où r  AB . 4 0 r 3 - Les forces magnétiques : Elles sont régies par la loi de Laplace : toute  charge ponctuelle q se déplaçantà vitesse constante v dans une région   où règne un champ magnétique B est soumise à une force F  qv  B ; c’est une force normale à la vitesse et au champ magnétique. - Les comme la réaction  forces de contacts : Cesont les forces de liaison  R de la table ou la tension T du fil. La réaction R des forces de contact peut être décomposée  en une composante normale à la surface (ou à la courbe) de contact, R N , appelée réaction normale ; et une composante  tangentielle parallèle à la vitesse, R T , appelée force de frottement. Cette force de frottement et la vitesse sont parallèles et de sens opposées :    R  RN  RT

- Poids des corps : Tout objet de masse m placé au voisinage de la surface de la terre est soumis à l’action du champ de gravitation  terrestre g . La force d’attraction de cet objet est appelé son poids, noté 12

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    P , on a : P  mg ; g étant un vecteur constant dirigé vers le centre de la terre. Principe des actions réciproques (ou principe de l’action et de la réaction) Soient deux points matériels A et B qui exercent l’un sur l’autre des forces   FAB et FBA . Ces deux forces sont égales en module et de sens opposées ;   on a : FAB  FBA . Elles sont portées par la droite définie par A et B. IV/ Changement de référentiels 1°) Désignant par R(O,xyz) et R’(O’,x’y’z’) deux référentiels galiléens : ils sont alors, par définition, l’un par rapport à l’autre en translation rectiligne uniforme ; on a :       v e  v(O' / R ) et  e  0,  c  0 ;    d’où v(M / R )  v(M / R ' )  v e

D’après la loi fondamentale de la dynamique, on aura :    F  m γ(M/R) et F'  m γ(M/R' ) ceci car  les accélérations d’entraînement et de Coriolis sont nulles. D’où on a : F  F' . 2°) La loi fondamentale dans un repère  non galiléen : Dans un repère galiléen Rg, la loi fondamentale s’écrit : F  m  (M/R g ) . Soit maintenant un autre repère R en mouvement quelconque par rapport à Rg. On sait que les accélérations d’un point M dans ces repères sont liées       par la relation suivante :  (M / R g )   (M / R )   e   c où  e et  c sont les d’entraînement et de Coriolis relatives à Rg. Or  accélérations      F  m  (M / R g ) d’où on tire que : m γ(M/R)  F  m γ e  m γ c c’est la loi fondamentale de la dynamique dans un repère non galiléen.

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 Dans un repère non galiléen, on doit ajouter à la force F pour décrire le   mouvement de M, les termes  m  e et  m  c ce sont des forces d’inertie :   f e  m  e : force d’inertie d’entraînement,   f c  m  c : force d’inertie de Coriolis.

V/ Energie d’un point matériel Considérons un point matériel M de masse m. Le mouvement de ce point matériel M est décrit dans le référentiel R(O,xyz) par le rayon vecteur    r  OM et sa vitesse v(M / R) . Le point M est de plus soumis à l’action  d’une force F connue à chaque instant lors du mouvement. Définitions (1) Un point matériel M possède de l’énergie potentielle si du travail peut être fourni par modification de sa position. (2) Un point matériel M possède de l’énergie cinétique si du travail peut être fourni par modification de sa vitesse. Travail d’une force le long d’un trajet C’est le produit scalaire de la force et le déplacement :

   W  F.d r  F.v(M / R )dt . Le travail est une grandeur scalaire exprimé en joule (J) (Newton.mètre (N.m)). En sommant les travaux élémentaires W pour un déplacement entre l’instant t1 où le point M est en M1 et l’instant t2 où le point M est en M2 le long de la courbe (C), on obtient l’expression du travail total sous la forme de l’intégrale curviligne : M 2

 t2   W   F.dM   F.v(M / R )dt M1

t1

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Puissance d’une force à un instant donné  La puissance – à un instant t – d’une force F s’exerçant en un point M est :

P

W    F.v(M / R ) dt

L’unité de la puissance est le watt (w) homogène au produit d’une force par une vitesse. VI/ Forces conservatives Définition :  F On dira de la force qu’elle est consevative si son travail est indépendant du chemin suivi ; il ne dépend que de la position de départ et la position d’arrivée. Dans le cas particulier d’un parcours fermé C (dont M1=M2), on obtient W=0 :   W12   F.dM  0 . Définition :

  On appelle champ de force, F(r ) , l’ensemble des forces F(M) définit en tous les points d’un domaine de l’espace. Propriété :

  Un champ de forces, F(r ) , est conservatif si le travail de la force F(M) est nul pour tout parcours fermé effectué dans ce champ. Travail du poids Dans le référentiel terrestre R(O,xyz), dont Oz est l’axe vertical ascendant, un point M(m) se déplace dans le champ de pesanteur.  est une   Le poids force verticale dirigés vers le bas, on a : F  P  mgk , comme     dM  dx i  dyj  dzk , on a : 15

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  W  F.dM  mgdz . On pose Ep=mgz, alors dEp=mgdz, donc W  dE p : le travail élémentaire est l’opposé de la différentielle dEp. Le travail pour un déplacement entre deux points M1 et M2 est : W = mg (z1 - z2). Dans le champ de pesanteur uniforme, le poids a un caractère conservatif. On voit que :  W = 0 pour z1 = z2 : parcours fermé dans le champ de pesanteur ;  Le travail reçu (W>0) à la descente est entièrement compensé par le travail qu’il faut fournir pour remonter. Remarque : les forces de frottement sont des forces non conservatives. Energie potentielle d’un point matériel Soit un  point matériel M de masse m qui se déplace dans un champ de force F(r ) permanent (c’est-à-dire indépendant du temps).  On dit qu’un champ de force permanent F(r ) dérive d’une énergie potentielle Ep s’il existe  une fonction Ep(r)=Ep(xyz) de la position telle que le travail W  F.d r  dE p pour tout déplacement élémentaire  d r (dx,dy,dz). Soit pour tout déplacement fini entre M1 et M2, le travail : W12  E p (M1 )  E p (M 2 )

Ce travail ne dépend que du point de départ et du point d’arrivée, et pas du chemin suivi : ‘‘Une force qui dérive d’une énergie potentielle est consevative’’.

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Energie potentielle de quelques champs de forces  L’énergie potentielle d’un point de masse m dans un champ de  pesanteur uniforme g  gk est Ep = mgz + cte (Oz axe vertical ascendant).  L’énergie potentielle d’un point de masse m à l’extrémité d’un ressort 1 de raideur k, et dont l’autre extrémité est fixée, est E p  kr 2 où r est 2 le déplacement linéaire de la masse m.   Dans un champ électrostatique E (M ) ayant pour source une charge Q   1 Qr fixe à l’origine O du système de coordonnées, avec E  . Une 4 0 r 3   charge ponctuelle q subit une force F  qE qui dérive de l’énergie potentielle 1 qQ Ep   cte 4 0 r  De même on donne l’énergie potentielle gravitationnelle d’un point de masse m dans le champ gravitationnel d’un point (ou objet) matériel de mm 0  cte , c’est, par exemple, l’énergie masse m0 : E p  G r potentielle dans le champ d’un astre à symétrie sphérique. Expression d’un champ de force conservatif à partir de l’énergie potentielle dont il dérive Par définition du gradient, on a :     F  E p ou F  - grad E p

Energie cinétique d’un point matériel 1° Définition Considérons un point matériel M(m), en mouvement dans un référentiel R(O,xyz). Par définition, l’énergie cinétique de ce point est, à l’instant t et dans son mouvement par rapport au référentiel R : 1  E c (M / R )  mv 2 (M / R ) 2 17

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Cette grandeur scalaire est essentiellement positive (ou nulle) et s’exprime en joules (J). 2° Théorème de l’énergie cinétique pour un point matériel Admettons que le référentiel R est galiléen. L’équation du principe fondamentale de la dynamique appliqué au point matériel M(m) est :   dv(M / R ) Fm dt  où F est la résultante de toutes les forces s’exerçant sur le point M.  Multiplions scalairement cette équation par v(M / R) :   dv(M / R )  d 1  F.v(M / R )  m .v(M / R )  [ mv 2 (M / R )] dt dt 2  Le terme F.v(M / R ) correspond à la puissance de toutes les actions appliquées au point M. Cette puissance est égale à la dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique de la particule. Nous en déduisons l’énoncé du théorème de l’énergie cinétique suivant : A l’instant t et dans un référentiel galiléen R, la puissance des efforts appliqués à un point matériel M de masse m est égale à la dérivée de son énergie cinétique : P

dE c (M / R ) d 1  2  [ mv (M / R )] dt dt 2

W , nous en déduisant encore que W  dE c ; et entre deux dt instants t1 et t2, nous écrirons : W12  E c2  E c1 .

Comme P 

Enoncé du théorème de l’énergie cinétique en terme de travaux : Entre deux instant t1 et t2, et dans un référentiel galiléen, la somme des travaux des forces appliquées au point M est égale à la variation de l’énergie cinétique de ce point matériel.

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Energie mécanique d’un point matériel, Em Pour un point matériel M(m) mobile dans un référentiel galiléen R, l’expression du théorème de l’énergie cinétique peut s’écrire sous la forme : E c 2  E c1  E p1  E p 2  Wnc où Ep1-Ep2 est la variation de l’énergie potentielle du point M dans son mouvement, et, Wnc est la somme des travaux de toutes les forces non conservatives appliquées à M. De cette dernière équation on voit que l’on peut introduire la quantité E m définie par : Em=Ec+Ep , somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle du point matériel. Em est appelée énergie mécanique de celuici. Avec cette définition on a :

E m  E m2  E m1  Wnc Conséquences : (1) La variation de l’énergie mécanique, E m , d’un point matériel est égale au travail des forces non conservatives, Wnc, qui s’exercent sur lui. (2) Pour Wnc=0, c’est à dire pour une force conservative, la quantité Em se conserve au court du temps : Dans un champ de force conservatif, l’énergie mécanique d’un point matériel se conserve au cours du temps : Em=constante. En effet, l’énergie potentielle ne dépend que de la position et l’énergie cinétique ne dépend que de la vitesse ; Seuls les paramètres de position, (x,y,z) et leurs dérivées premières apparaissent dans l’intégrale première. VII/ Oscillateurs harmoniques libres, amortis et forcés La loi horaire d’un mouvement rectiligne harmonique est : x(t )  x 0 cos(t  ) , où x (t ) est appelée élongation, son amplitude maximale x0, de pulsation  et de phase  , de période T  2 /  . La 1  fréquence vaut f   . T 2 19

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Oscillations libres non amorties mx  kx  0 ; Equation dite d’un Système modèle = masse ressort : oscillateur harmonique dont la solution est : x(t)  A cos(t  ) avec

2  k / m Aspect énergétique L’énergie potentielle correspondant à la force de rappel est : E p 

1 2 kx ; 2

1 1 par ailleurs l’énergie cinétique s’écrit : E c  mx 2  mA 2 2 sin 2 t . Et 2 2 1 l’énergie mécanique totale a pour expression E m  E c  E p  kA 2 c’est 2 une constante du mouvement, elle passe sans arrêt de la forme cinétique à la forme potentielle et inversement.

Oscillateurs libres amorties C’est le frottement fluide sur le point M qui est opposée au sens du  mouvement du point. La force de frottement s’écrit Fv  f v x i   ( ou Fv  f v v ). f v est appelée facteur de frottement visqueux est défini positif. Dans le cas d’un mouvement de M écarté de sa position d’équilibre x e et libéré sans vitesse initiale : x(0)=x0 et x (0)  0 . D’après le principe fondamental de la dynamique, on a :     P  F  Fv  mx i  mg  kx  fx  mx f k x  02 x  g avec 0  qui est la pulsation apparue dans m m le cas des oscillations libres non amorties (  0 est appelée pulsation naturelle (ou propre) du système).

d’où x 

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Ainsi, la solution de cette équation pour un oscillateur de faiblement amorti s’écrit : X( t )  Ae t cos(t  ) =x(t)-x0 : c’est la loi du mouvement pseudopériodique.

Les caractéristique de ce mouvement sont la pseudo-pulsation  et 2 2  T0 , où T0  pseudo-période T  est la période du mouvement  0 harmonique libre. D’autres solutions possibles pour des amortissements supérieurs X( t )  (c1  c 2 t )e t ; c’est la loi de l’amortissement critique : X( t )  X 0 (1  t )e t

Dans d’un amortissement fort, X( t )  c1e r1t  c 2 e r2 t . Cet amortissement est qualifié d’amortissement apériodique.

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