Capitulo 8 Fisica 3 [PDF]

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Ejemplo 28.1 Fuerzas entre dos protones en movimiento pág. 959

Dos protones se mueven paralelos al eje x en sentidos opuestos (figura 28.2) con la misma rapidez v (pequeña en comparación con la rapidez de la luz, c). En el instante que se ilustra, calcule las fuerzas eléctricas y magnéticas sobre el protón de la parte superior y determine la razón de sus magnitudes. Solución: La fuerza eléctrica está dada por la ley de Coulomb. Para encontrar la fuerza magnética primero debemos determinar el campo magnético que produce el protón de la parte inferior en la posición del de arriba. PLANTEAR: Se usa la ecuación (21.2) que expresa la ley de Coulomb. La ecuación (28.2) da el campo magnético debido al protón inferior, y la ley de la fuerza magnética, ecuación (27.2), da la fuerza magnética resultante sobre el protón superior. EJECUTAR: De acuerdo con la ley de Coulomb, la magnitud de la fuerza eléctrica sobre el protón de arriba es:

q2 Fe=K 2 r

falta

Ejemplo 28.3: Campo magnético de un solo alambre Un conductor largo y recto conduce una corriente de 1.0 A. ¿A qué distancia del eje del conductor, el campo magnético generado tiene una magnitud

−4

B=0.5 ×10 T

(aproximadamente el campo magnético

terrestre en Pittsburgh)? SOLUCIÓN: Las líneas de campo de este conductor recto son círculos, cuya dirección va a estar determinada por la regla de la mano derecha, como lo muestra la figura:

B=

μ0 I •r = DATOS 2 πB r=? m )(1.0 A) A 2 π (0.5 ×10−4 T )

(4 π ×10−7 T ∙ −4

B=0.5 ×10 T •r=

μ0 I 2 πr

Se despeja “r” de la ecuación original dada y se sustituyen los valores por los datos que dan

−3

¿ 4 × 10 m=4 mm

I= 1.0 A

μ0=4 π × 10−7 T ∙

m A

Problema 28.3 Un electrón se mueve a 0.100c, como se muestra en la figura E28.3. Calcule la magnitud y dirección del campo magnético que este electrón produce en los siguientes puntos, cada uno situado a 2.00 μm desde el electrón: a) puntos A y B; b) punto C; c) punto D.

SOLUCIÓN: • El campo eléctrico debido a una carga en movimiento es: B=

μ0 qv sin θ ∙ 4π r2

DATOS: −7

μ0=4 π × 10 T ∙ v =3.0× 107 m/s −6

r=2 ×10 m q=1.6 ×10−19 C

m A

a Se sustituyen los valores en la ecuación respectiva: 4 π ×10−7 T ∙ B=

4π

m −19 7 A (1.6 ×10 C)(3.0 ×10 m/s) sin 30 ∙ (2 ×10−6 m)2

B=6.00 ×10−8 T =60 nT

, hacia afuera de la página en A y B.

b En el punto C −7

B=( 1×10 T ∙

m −19 7 −6 2 )(1.6 ×10 C)(3.0 ×10 m/s )( 2× 10 m) A

−7

B=1.20 ×10 T Afuera de la página.

c En el punto D B=0T, ya que sin(180)= 0

Ejemplo 28.4: Campo magnético de dos alambres La figura 28.7a es la vista de los extremos de dos alambres largos, rectos y paralelos, que son perpendiculares al plano xy, cada uno de los cuales conduce una corriente I pero en ⃗ sentidos opuestos. a) Calcule B en los puntos P1 , P2 y P3 . ⃗ b) Deduzca una expresión para B en cualquier punto del

eje x a la derecha del alambre 2. Fig. 28-7

SOLUCIÓN: Analizar: Por el principio de superposición, el campo magnético en cada punto va a ser

⃗ B =⃗ B1 + ⃗ B2

μ0 I . Se va a utilizar la ecuación B= 2 πr

para poder obtener las magnitudes de

⃗ B1 y ⃗ B2

de estos campos y

utilizar la regla de la mano derecha para determinar las direcciones ⃗ B1, ⃗ B2 y ⃗ B= ⃗ Btotal correspondientes. La figura muestra que en cualquier punto; se debe confirmar que las direcciones y magnitudes relativas mostradas son correctas. a Como se muestra en la figura el punto

P1

está a una distancia

“2d” del alambre 1 y a una distancia del alambre 2 de “4d” ha nos indica que está en dirección “y” negativa y que está en dirección “y” positiva



⃗ B 1=

μ0 I μ I = 0 2 π (2 d ) 4 πd



⃗ B 2=

μ0 I μ I = 0 2 π ( 4 d ) 8 πd

Entonces:

⃗ B total =⃗ B1+ ⃗ B2 =

En el punto

P2

−μ0 I ^ μ0 I ^ −μ 0 I ^ J+ J= J (Punto 4 πd 8 πd 8 πd

P1 )

, a una distancia “d” entre los dos alambres,

⃗ B1 y ⃗ B2

tienen ambos dirección en “y” positiva, y los dos tienen la misma magnitud;

⃗ B 1=⃗ B 2=

μ0 I 2 πd

Entonces:

⃗ B total=⃗ B1 + ⃗ B2 =

En el punto

P3

μ0 I ^ μ0 I ^ −μ 0 I ^ J+ J= J (Punto P2 ) 2 πd 2 πd πd

la regla de la mano derecha indica que

dirección “y” positiva y que

⃗ B2

⃗ B1

está en dirección “y” negativa. Este

punto se encuentra a 3d del alambre 1 y a una distancia d del alambre 2, por lo tanto: 

⃗ B 1=

μ0 I μ I = 0 2 π (3 d ) 6 πd



⃗ B 2=

μ0 I 2 πd

Entonces:

⃗ B total =⃗ B1+ ⃗ B2 =

está en

μ 0 I ^ μ0 I ^ −μ0 I ^ J− J= J (Punto P3 ) 6 πd 2 πd 3 πd

b En cualquier punto sobre el eje “x” a la derecha del alambre 2, ⃗ B1 y ⃗ B2 P3 están en las mismas direcciones que en . Este punto está a una distancia “x+d” del alambre 1 y a una distancia “x-d” del alambre 2, entonces el campo total es: ⃗ B total=⃗ B1 + ⃗ B2 =

¿−

μ 0 Id π (x 2−d 2 )

J^

μ0 I ^ μ0 I ^ J− J 2 π ( x +d ) 2 π ( x−d )

Ejemplo 28.6: Campo magnético de una bobina Una bobina con 100 espiras circulares con radio de 0.60 m conduce una corriente de 5.0 A. a) Calcule el campo magnético en un punto a lo largo del eje de la bobina, a 0.80 m del centro. b) Sobre el eje, ¿a qué distancia desde el centro de la bobina, la magnitud del campo es 1 8

de la que tiene en el centro?

SOLUCIÓN:

DATOS N= 100 es en un valor dado de la coordenada x. es el valor a= 0.60 m de x en el que el campo tiene de la magnitud que se registra en el origen. I= 5.0 A

a= 0.60 m μ0=4 π × 10−7 T ∙

m A

B x=

μ 0 ∋ a2 3

2( x 2+ a2 ) 2

a

Usando x=0.80m en la ecuación anterior, se tiene:

B x=

(

0.80 m ¿ m −7 μ 0=4 π × 10 T ∙ ( 100 )( 5.0 A ) ( 0.60 m )2 A

)

2 [(¿ ¿ 2+(0.60 m) ) ] 2

3 2

−4

B x =1.1 ×10 T

b

Considerando la ecuación usada anteriormente, queremos encontrar un valor de “x” tal que:

1 2

3 2 2

(x +a )

1 = ∙ 8

1 2

2

3

(0 +a ) 2

*Se le da vuelta a las fracciones y se elevan ambos lados la potencia 2/3; entonces: x=± √ 3 a=± 1.04 m

Ejemplo 28.7 Campo de un conductor largo, recto y portador de corriente En la sección 28.6 se obtuvo la ley de Ampère empleando la ecuación (28.9) para el campo de un conductor largo, recto y que transportaba corriente. Revierta este proceso y utilice la ley de Ampère para encontrar la magnitud y dirección de B en esta situación.

Solución IDENTIFICAR: Esta situación presenta simetría cilíndrica, por lo que se utiliza la ley de Ampère para encontrar el campo magnético en todos los puntos ubicados a una distancia r del conductor. PLANTEAR: Se toma como trayectoria de integración un círculo con radio r centrado en el conductor y en un plano perpendicular a éste, como en la figura 28.16a (sección 28.6). En cada punto, B es tangente a este círculo. De acuerdo con la elección de la trayectoria de integración, la ley de Ampère [ecuación (28.20)] es:

∮ B dl=B (2 πr )

=

μ 0I

y de inmediato se deduce la ecuación (28.9)

B=

μ0 I 2 πr

Ec 28.9

Problema 28.4 Una partícula alfa (carga +2e) y un electrón se mueven en sentidos opuestos desde el mismo punto cada uno con rapidez de 2.50 ×105 m/s . Calcule la magnitud y dirección del campo magnético

total que producen estas cargas en el punto P, que se encuentra a 1.7nm de cada uno.

producen campos magnéticos y el campo magnético total, se encuentra con la suma vectorial de SOLUCIÓN: B=Balfa + Belectron =

μ0 v 4 πr2

(e sin 40 °+ 2 e sin 140° )

DATOS −19

q=1.60 ×10

C

μ0=4 π × 10−7 T ∙

m A

v =2.50× 105 m/s r=1.75 ×10−9 m

•Se factorizan las “e” y se sustituyen los valores en la ecuación

−7

4 π ×10 T ∙ B=

m −19 5 m (1.6 ×10 C)(2.50 ×10 ) A s (sin 40° +2 sin 140 °) −9 2 4 π (1.75 ×10 m)

−3

B=2.52 ×10 T =2.52mT

Problema 28.6 Dos cargas puntuales positivas,

q=+8.00 μC

y

q ' =+3.00 μC , se

desplazan en relación con un observador en el punto P, como se ilustra en la figura. La distancia d es 0.120m,

v =4.50 ×106 m/s

y

v ' =9.00 ×106 m/s . a) Cuando las dos cargas están en las ubicaciones que se india en la figura ¿Cuáles son la magnitud y la dirección del campo magnético neto que producen en el punto P? b) ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de las fuerzas eléctrica y magnética que cada carga ejerce sobre la otra? ¿Cuál es la razón entre la magnitud de la fuerza eléctrica y la magnitud de la fuerza magnética? c) Si la ⃗ dirección de v ' se invierte, de manera que las dos cargas se desplacen en la misma dirección, ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de las fuerzas magnéticas que cada carga ejerce sobre la otra?

SOLUCIÓN: ⃗ B=

μ 0 q ⃗v × r⃗ 4 π r3

DATOS

6

−6

q=+8.00 ×10 C v=4.50 ×10 m/ s 6

−6

q ' =+3.00 ×10 C v '=9.00 ×10 m/s d= 0.120m −7

μ0=4 π × 10 T ∙

m A

*En la parte a), r=d y

⃗r es perpendicular a

⃗v

en todos los

casos, por lo tanto: r= 2d Entonces: '

B total=B+B =

a

μ 0 qv q' v ' ( + ) 4 π d2 d 2

0.120 ¿ ¿ ¿2 ¿ −6 (8 ×10 C) ( 4.50 ×10 6 m/ s ) ¿ m 4 π × 10−7 T ∙ A B= ¿ 4π

B=4.38× 10−4 T . La dirección es hacia adentro.

b

F B=

(

μ0 qq ' vv ' ∙ = 4π r2

10−7 T ∙

−6 −6 6 6 m ( 8 ×10 C )( 3.00× 10 C ) ( 4.50 × 10 m/ s ) ( 9 × 10 m/ s ) A (0.240)2

)

F B=1.69 ×10−3 N Según la ley de Coulomb, la fuerza entre dos cargas es:

FC =k

q1 q2 r

2

=( 9 ×10 9 N m2 /C2 )

( 8 ×10−6 C ) ( 3 ×10−6 C ) 2

(0.240)

=3.75 N

La relación entre la fuerza magnética y la eléctrica es: F c C2 3.75 N = = =2.22×10 3 N ; la fuerza eléctrica es más −3 F B v1 v 2 1.69× 10 N grande que la magnética. c La dirección de las fuerzas magnéticas se invierten cuando se invierte la dirección de una sola velocidad, sin embargo la magnitud de las fuerza permanece igual.

Problema 28.67 Dos alambres largos, recto y paralelos están separados por una distania de 1.00m como muestra la figura. El alambre de la izquierda I conduce una corriente 1 de 6.00 A hacia el plano del papel. a) ¿Cuáles deben ser la magnitud y el sentido de la corriente

I2

para

que el campo neto en el punto P sea cero? b) ¿Cuáles son la magnitud y dirección del campo neto en Q? c) ¿Cuál es la magnitud del campo neto en “S”?

SOLUCIÓN: Analizar:Se utiliza la formula dada a continuación y la regla de la mano derecha para calcular la dirección y magnitud del campo magnetico en P dada por cada alambre.

B=

μ0 I 2 πr

a I 1 =6.00 A

⃗ B1 y ⃗ B 2 deben ser iguales y opuestos para que el campo ⃗ B2 resultante en “P” sea cero. va

1.00 m

hacia la derecha; entonces I2

hacia fuera de la página

0.50 m

B 1 B2 P

DATOS −7

μ0=4 π × 10 T ∙

m A

I 1 =6.00 A r= 1.50 m

• B 1=

Como

I2

r= 0.50 m

μ0 I 1 μ0 6.00 A μ I2 = ∙ B 2= 0 ∙ 2 π r 1 2 π 1.50 m 2 π 0.50 m

(

B1

=

B2

)

(

; entonces:

)

va

(• 4 π × 10

−7

T∙

2π

m A

) ∙ 6.00 A = ( 4 π × 10 T ∙ mA ) ∙ I ( 1.50 m ) ( 0.50 m ) 2π −7

2

m ( 6.00 A )=2.00 A ( 0.50 1.50 m )

• I 2=

b

B2

μ0 I 1 Q B 1 • B1= 2 π r 1

(

0.50 m• B1= 2 ×10−7 T ∙

I 1 1.00 m• B2=

)(

)

μ0 I 2 2 π r2

(

I 2 • B2= 2× 10−7 T ∙

*

m 6.00 A ∙ =2.40 ×10−6 T A 0.50 m

m 2.00 A ∙ =2.67× 10−7 T A 1.50 m

)(

)

⃗ B1 y ⃗ B 2 son opuestos y

⃗ B 1> ⃗ B2

entonces:

B=⃗ B1−⃗ B2=2.40 ×10−6 T −2.67 ×10−7 T =2.13 ×10−6 T

y

⃗ B

va hacia la

derecha.

c • B 1=

I1 B 2

μ0 I 1 2 π r1 m 6.00 A −7 −6 S • B1= 2× 10 T ∙ A ∙ 0.60 m =2 . 00 ×10 T

0.60m

(

)(

)

μ0 I 2 2 π r2

1.00m

B 1 • B2=

0.80m

• B2= 2× 10−7 T ∙

(

m 2.00 A ∙ =5 . 00 ×10−7 T A 1.80 m

)(

)

I2

*

⃗ B1 y ⃗ B2

tienen ángulos rectos entre los dos, entonces la magnitud se da

por:

√

2

2

2 2 −6 −7 −6 B=√ B 1 + B2 = ( 2 . 00× 10 T ) + ( 5 . 00 ×10 T ) =2.06 ×10 T