Axioma Del Supremo y MÃ - Ximo Entero [PDF]

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1.9 AXIOMA DEL SUPREMO Definición 1.14 . Un conjunto A  ℝ es acotado superiormente si y solo sí existe un número real k tal que b  k , para todo elemento b  A . EL número k se llama cota superior de A Definición 1.15 . Un conjunto A  ℝ es acotado inferiormente si y solo sí existe un número real c tal que c  b , para todo elemento b  A . EL número k se llama cota inferior de A Si el conjunto A es acotado superior e inferiormente, se dice que A es acotado . Todo conjunto A  ℝ que es acotado tiene infinitas cotas Ejemplo 1. a) El conjunto A = { x ∈ ℝ / x > -1 } es acotado inferiormente , pues existe c = -3  ℝ tal que -3  b , para todo b  A ; pero no es acotado superiormente . Se observa que cualquier número real c tal que c  ] -  , -1] es una cota inferior para el conjunto A, entonces el conjunto de cotas superiores de A es ] -  , -1]. Fig.1.23 b) El conjunto B = { x / x  4 } es acotado superiormente pero no es acotado inferiormente . El conjunto de cotas superiores de B es ] 4 , +  [ . Fig.1.23 c) C = { x ℝ / -1< x < 4} es acotado ., por que C = ] –1 , 4 [ Cotas inferiores de C o__________C___________o Cotas superiores de C ______________o______o_______________________o________________ -3 -1 4 Fig. 1.23 d) D = { x  ¡ / 3x -12 < x -1 } es acotado puesto que,

3x -12  x  1  x - 1  0  - ( x – 1) < 3x – 12 < x – 1  x  1  ( 1- x < 3x – 12  3x – 12 < x – 1 ) 13 11  x  1  (x>  x< ) 4 2  13 11 ,  x ; es decir  4 2  13 11 , D=   4 2 Definición 1.16 Se dice que el número real s es el supremo de un conjunto dado A contenido en ℝ , se denota s = Sup(A) ,si y solo si se cumple que : a) s es una cota superior de A  s  a , a  A , y b) s es la menor cota superior de A . Es decir , si L es una cota superior cualquiera de A entonces s  L Asimismo se dice que el número real i es el ínfimo de A , se denota i = inf (A) si y solo si , i es una cota inferior de A además es la mayor de todas las cotas inferiores de A . Teorema 1.31. Dado el conjunto A contenido en ℝ , el número real s es el supremo de A si y solo si se cumplen : 1) a  s ,  a  A 2)  ε > 0 ( tan pequeño como se desee) existe un elemento x  A tal s - ε < x Demostración. (  ) s = Sup(A) entonces s es una cota superior de A, es decir s  x ,  x  A

Para demostrar que  ε > 0 , existe un elemento x  A tal s - ε < x . por reducción al absurdo, suponga que s - ε > 0 tal que: s - ε  x ,  x  A ; luego s - ε es una cota superior menor que s ( absurdo) puesto que s es la menor de todas las cotas superiores de A . Por lo tanto la suposición es falsa , luego se concluye que  ε > 0 , existe un elemento x  A tal s - ε < x . (  ) La hipótesis a  s ,  a  A , implica que s es cota superior de A . Suponiendo que s no es la menor de las cotas superiores , entonces existe una cota superior S tal que S < s , luego existe un número ε > 0 tal que S + ε = s  S = s - ε Pero por hipótesis existe x  A , x > s - ε , luego x > S , con x  A ( absurdo) por que S es cota superior de A . Por lo tanto s es la menor e todas las cotas inferiores ; es decir s = Sup (A) . Corolario 1.5. Dado el conjunto A C ℝ , el número real i es el supremo de A si y solo si se cumplen : 1) i  a ,  a  A 2)  ε > 0 ( tan pequeño como se desee) existe un elemento x  A tal x < i + ε Ejemplo 2. El conjunto A = { x ∈ ℝ - / x ² > 9 } es acotado superiormente , pues x ² > 9  (x  3  x  3) Pero x ∈ ℝ - entonces x < -3 ; esto significa que A = ] -  , -3 [ y el supremo de A es s = -3 Por que se cumplen : 1) -3 es una cota superior 2) Dado ε > 0 , tal que 0 < ε < 1 , el número x = -3 – 0,5 ε pertenece al conjunto A y es tal que –3 - ε < x Entonces por el teorema 1. 31 , s = -3 es el supremo de A . AXIOMA DEL SUPREMO ( AXIOMA DE COMPETITUD ) AXIOMA 8 . Todo subconjunto A de ℝ , diferente del vacío y acotado superiormente tiene supremo , el cual es un elemento en ℝ . Utilizando este axioma puede demostrarse que todo subconjunto A de ℝ no vacío y acotado inferiormente tiene ínfimo, el cual es un elemento en ℝ . Aunque en algunos casos no es posible determinar el supremo de un conjunto acotado superiormente de manera inmediata , el axioma asegura su existencia en ℝ . El axioma no se cumple en otros conjuntos numéricos . Se dice que ℝ es un cuerpo ordenado y completo por que en ℝ se satisfacen los axiomas de cuerpo, de orden y el axioma del supremo . Ejemplo 3. El conjunto A formado por todas las aproximaciones decimales sucesivas e inferiores a 2 tiene supremo. Solución. En efecto, A = { 1,4 ; 1,41; 1,414; 1,4142; ... } tal que si x  A entonces x ² < 2 Se observa que A  ℝ y A no es vacío , además A es acotado superiormente ,por que una cota superior del conjunto es por ejemplo x = 1, 6 , luego por el axioma del supremo existe Sup(A) el cual es un número real . Puesto que si x  A entonces x ² < 2  x > 0 se tiene 0< x ² < 2 , de donde resulta 0< x < 2 En consecuencia Sup(A) =

2

Observación 1.15. Si s = Sup(A) y si s  A entonces s se llama máximo de A . Si i = inf(A) y si i  A , entonces i se llama mínimo de A. Por ejemplo , A = ] 6 , 9] es acotado , 6 es el ínfimo pero no es mínimo , 9 es el supremo que al mismo tiempo es el máximo del conjunto . Observación 1.16. Se prueba que el supremo de un conjunto no vacío de números reales que acotado superiormente es único . Si , A no es vacío y es acotado superiormente , entonces, por el axioma del supremo, A tiene supremo . Suponiendo que s = Sup(A) no es único ; es decir existe S ∈ ℝ tal que S = Sup(A)

S  s

Como s = Sup(A) , entonces por definición s es una cota superior de A además s  S Asimismo S = Sup (A) entonces S es una cota superior de A y S  s . Entonces s = S , esto contradice el supuesto ; de donde el supremo es único. En forma análoga puede probarse que el ínfimo , cuando existe, es único. Ejemplo 4. El conjunto de los números naturales no es acotado superiormente . Solución. Suponiendo que ℕ es acotado superiormente , existiría un número real s , s = Sup (ℕ) ; Luego por el teorema , ε > 0 ,  n  ¥ / s - ε < n . En particular si ε = 1 se tendrá s –1< n de allí que s < n +1 esto contradice la definición de supremo. Por consiguiente ¥ no es acotado superiormente . Teorema 1.32. ( propiedad Arquimediana ).Si a y b son números reales positivos entonces existe un número natural n tal que na > b Demostración . Suponiendo que na  b , es decir , na  b ; para todo n real, se tendría n 

b , en este caso el a

b sería una cota superior de ℝ , luego ℝ es acotado superiormente , lo a que es una contradicción . Por consiguiente , existe un número natural n tal que na > b . número real positivo

A partir del teorema pueden demostrarse los siguientes corolarios. Corolario 1.6. Si x es un número real , entonces existe un número natural n , no nulo, tal que n > x 1.7 . Si x es un número real positivo , entonces existe un número natural n tal que 0
. ε 2  2ε  nε > 2 – 2 ε Pero la inecuación: n > ε  0 > 2 – 2 ε - nε  n > n + 2 – 2 ε - n ε = (n +2) ( 1 - ε ) ; luego se tiene  n > ( n +2) ( 1- ε ) n   1  n2 n  A / an  1  ε En consecuencia ε > 0 ,  a n  n+2 Teorema 1.33. ( Teorema del mayor entero ) Dado el número real a , existe un número entero n tal que : n  a < n +1 Demostración. Deben demostrarse la existencia y la unicidad del número entero n . Por el corolario 1.8 existen números enteros a y b tal que a< x < b Dado que el número b – a > 0 , existe un número entero positivo c tal que a < x < a +c , donde c = b - a. Por el Principio de Buen Ordenamiento (Apéndice) existe un número m que es el menor número entero positivo tal que x < a + m .................................................( 1 ) Además para cualquier entero p se tiene a + p  x , en particular si p = m – 1 ; entonces a + (m - 1)  x ........................................................................................( 2 ) Sea n + 1= a + m , entonces de ( 1 ) y ( 2 ) n  x c  b > a 7) a < b  a n < b n ; n  ¢ + 5) a < b  a
0

a 2  a , a  ¡

11) La solución de una ecuación en IR siempre es el vacío o un conjunto finito en IR 12) Cualquier número real no es superior a su máximo entero. EJERCICIOS Y PROBLEMAS V. Demostrar las siguientes propiedades en IR

a -a a   , a , b  ¡  b  0 b b -b 1 2 2) a  2  2 ,  a  0 a 3) a ² < a , si a  ] 0 , 1 [ ab ab  , si ab > 0 4) 2 9x + 7  x - 7 1) 

5)

3x

tiene un valor constante en IR si x  ] 0 , 5 [.

6) Si A = { a n  ¡ / a n 

3n 3 , n  ¢ +0 } entonces Sup(A) = e Inf(A) = 0 2n  5 2

VI . Hallar 1) ] –3 , 4] I ] 3 , 8[ 2) ( ] –2 , 7 [ I ] –3, 4 [ ) U ] 6 , +  [

 1 

3) Los números reales A y B tales que si x   ,1  2 

entonces A 

x+2 B x+3

3 16 5) A´ I B´ si A = { x  ¡ / 2x  3   x } , B = {x  ¡ / x + 3  x  6 } 4) El número real M tal que x ² + 2kx + k >

VII. Resolver : 1) x ² - 8x < 4x – 6 2) 1 – x ² > x – 5 3) x 3 (x –3 )( x + 6 )  0 4) ( x +1) ( x² + 2x –7)  x ² -1

2 x2  1 x2 x2 x2 x4  6) x 8 x 3 5)

7)

x  1  x²  x + 4

1  1  4x² 3 x 9) x² -8x + 15  8)

10)

1  x  1  3x

11) § 3x  4¨ 12)

x² + x -2

 2x  1

§ x ¨  12  1 3 x

13) 4  3x  § x+2 ¨ 

1 - 2x

VIII. Demostrar que de todos los rectángulos de perímetro p , el cuadrado encierra mayor área. IX.

Un tren se detuvo durante 20 minutos antes de llegar a su destino por desperfectos en la vía férrea . Para recuperar el tiempo perdido , en un tramo establecido para 80 km/hr tuvo que viajar 20 km/hr más rápido de lo acostumbrado .¿ Cuál era la velocidad del tren? .

X.

Hallar el número real positivo δ dependiente de ε , si se sabe que

x -2δ  8x - 16

ε