Astronomie Geodezica Matei Coroian Studenti [PDF]

Zitiervorschau

© Copyright 2016 Toate drepturile rezervate. Nici o parte din această lucrare nu poate fi reprodusă sub nici o formă, prin nici un mijloc mecanic sau electronic, sau stocată într-o bază de date, fără acordul prealabil, în scris, al editurii.

Director editură Şef lucrări Dr. Dan Vodnar

Referenţi ştiinţifici: Prof. dr. Ioana Pop – Universitatea de Ṣtiinţe Agricole şi Medicină Veterinară Cluj-Napoca Lector dr. Rodica Sobolu – Universitatea de Ṣtiinţe Agricole şi Medicină Veterinară ClujNapoca Acest material didactic a fost prezentat, analizat şi aprobat pentru publicare ȋn şedinţa Departamentului Măsurători terestre şi ştiinţe exacte,

Facultatea de

Horticultură,

Universitatea de Ṣtiinţe Agricole şi Medicină Veterinară Cluj-Napoca din data de 16 decembrie 2016

Editura AcademicPres ISBN 978-973-744-562-9

Cuprins 1 Introducere ˆın astronomie

5

1.1

Ramurile astronomiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2

Descrierea sumar˘a a p˘art¸ii accesibile a Universului . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Astronomia geodezic˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2 Elemente de trigonometrie sferic˘ a

11

2.1

Elementele triunghiului sferic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2

Triunghiul polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3

Formulele lui Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4

2.3.1

Determinarea unghiurilor ˆın funct¸ie de laturi ˆıntr-un triunghi sferic

21

2.3.2

Determinarea laturilor ˆın funct¸ie de unghiuri ˆıntr-un triunghi sferic

23

Aplicat¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Introducere ˆın astronomie sferic˘ a -partea I-a

29

3.1

Sfera cereasc˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2

Sisteme generale de coordonate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3

3.2.1

Coordonate geografice (φ, L) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2.2

Sistemul de coordonate orizontale - (A, z), sau (A, h) . . . . . . . . 38

3.2.3

Sistemul de coordonate orare (δ, H) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.4

Sistemul de coordonate ecuatoriale (α, δ) . . . . . . . . . . . . . . . 41

Relat¸iile dintre coordonatele cere¸sti ¸si coordonate geografice . . . . . . . . 43

4 Introducere ˆın astronomia sferic˘ a -partea a II-a 4.1

49

Mi¸scarea anual˘a aparent˘a a Soarelui ¸si consecint¸ele ei . . . . . . . . . . . . 50 1

CUPRINS

4.2

5

4.1.1

Coordonate ecliptice (β, λ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.1.2

Coordonate galactice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Transform˘ari de coordonate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.2.1

Transformarea coordonatelor orizontale ˆın coordonate orare . . . . 54

4.2.2

Transformarea coordonatelor orare ˆın coordonate ecuatoriale. . . . 56

4.2.3

Transformarea coordonatelor ecuatoriale ˆın coordonate ecliptice . . 56

Pozit¸ii speciale ale a¸strilor. Partea I

61

5.1

Determinarea timpului sideral de apus ¸si r˘as˘arit a astrului M . . . . . . . . 63

5.2

Determinarea azimutului pentru apusul ¸si r˘as˘aritul astrului M . . . . . . . 65

6 Pozit¸ii speciale ale a¸strilor Partea a II-a

69

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.1

Culminat¸ia

6.2

Trecerea a¸strilor la primul vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.3

Elongat¸ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7 P˘ amˆ antul corp ceresc

77

7.1

P˘amˆantul aproximat de o sfer˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7.2

P˘amˆantul privit ca elipsoid de rotat¸ie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

8 Timpul

89

8.1

Timpul sideral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

8.2

Timpul solar adev˘arat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

8.3

Timpul solar mediu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

8.4

Timpul universal. Timpul legal. Convent¸ia fuselor orare . . . . . . . . . . 94

8.5

Calendarul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

8.6

Metode de determinare a timpului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

9 Fenomene care modific˘ a pozit¸iile a¸strilor pe bolta cereasc˘ a Partea I

101

9.1

Refract¸ia astronomic˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

9.2

Aberat¸ia luminii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 2

CUPRINS 10 Fenomene care modific˘ a pozit¸iile a¸strilor pe bolta cereasc˘ a Partea a-II-a111 10.1 Paralaxe ¸si distant¸e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 10.1.1 Paralaxa diurna ¸si determinarea distant¸elor ˆın sistemul solar . . . . 113 10.1.2 Paralaxa anuala ¸si determinarea distant¸elor stelare . . . . . . . . . 115 10.2 Precesia ¸si nutat¸ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 11 Aplicat¸ii

125

11.1 Metode de determinare a timpului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 11.1.1 Metoda m˘asur˘arii unei distante zenitale . . . . . . . . . . . . . . . . 126 11.1.2 Metoda ˆın˘alt¸imilor egale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 11.1.3 Metoda ˆın˘alt¸imilor egale a dou˘a stele . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 11.1.4 Metoda trecerii stelei la meridian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 11.2 Determinarea azimutului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 11.2.1 Metoda m˘asur˘arii distant¸ei zenitale a unui astru . . . . . . . . . . . 133 11.3 Determinarea latitudinii ¸si longitudinii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 11.3.1 Determinarea latitudinii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 11.3.2 Determinarea longitudinii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 12 Elemente de mecanic˘ a cereasc˘ a

141

12.1 Legile lui Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 12.2 Problema celor dou˘a corpuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 12.3 Elementele orbitei unui satelit artificial al P˘amˆantului . . . . . . . . . . . . 148 Bibliografie

150

Index

153

3

CUPRINS

INTRODUCERE ˆInc˘a din cele mai vechi timpuri, orientarea ¸si pozit¸ionarea pe suprafat¸a terestr˘a s-a realizat cu ajutorul a¸strilor. Cu toate c˘a ˆın viat¸a de zi cu zi, GPS-ul ne permite pozit¸ionarea, cu o anumit˘a precizie, pe suprafat¸a terestr˘a, viitorii ingineri geodezi vor trebui s˘a fac˘a fat¸a˘ provoc˘arilor unei societ˘a¸ti ˆın care o mare parte a viet¸ii curente se desf˘a¸soar˘a de ”de sus” cu ajutorul satelit¸ilor. ˆIn acest context, Astronomia geodezic˘a are ca scop pozit¸ionarea, cu mare precizie, pe suprafat¸a terestr˘a, folosind observat¸ii facute asupra corpurilor cere¸sti, a¸sa cum este ar˘atat ˆın ultimul capitol elementele care definesc orbita unui satelit sunt legate de observat¸ii facute asupra a¸strilor. A¸strii se pot considera repere pentru c˘a o parte a lor nu ˆı¸si modific˘a pozit¸ia pe bolta cereasc˘a de-a lungul a zeci de mii de ani. Prezentul curs universitar este destinat student¸ilor de la programulul de studiu M˘ asur˘ atori terestre ¸si Cadastru ¸si este structurat pe 12 unit˘a¸ti de ˆınv˘a¸tare. Se ˆıncepe cu fixarea obiectivelor astronomiei geodezice, evident¸ierea elementelor boltei cere¸sti, a sistemelor de coordonate, determinarea pozit¸iilor remarcabile ale a¸strilor pe bolta cereasc˘a, evident¸ierea fenomenelor care modific˘a aceste pozit¸ii ¸si a corect¸iilor care deriv˘a de aici. Studiul timpului este foarte important pentru determinarea azimutului, longitudinii ¸si latitudinii locului de observat¸ie. Ultima unitate este dedicat˘a mecanicii cere¸sti ˆın contextul pozit¸ionaii satelit¸ilor pe orbit˘a. Structura cursului universitar respect˘a fi¸sa disciplinei. Un curs ¸si lucr˘arile practice aferente sunt dedicate realiz˘arii de observat¸ii astronomice la Observatorul astronomic al Universitat¸ii Babe¸s Bolyai cu care exist˘a un acord de colaborare. Ultimul curs este destinat fix˘arii ¸si corel˘arii not¸iunilor ¸si conceptelor studiate. Fiecare unitate de ˆınv˘at˘are are fixate obiectivele, iar conceptele sunt exemplificate prin intermediul aplicat¸iilor. Datorit˘a volumului de calcule precum aplicat¸iile numerice sunt prezentate ˆın MS Excel. Contribut¸ia autorilor este: Florica Matei paginile: 1 − 24, 29 − 35, 39 − 56, 61 − 105, 109 − 116, 121 − 155 ¸si Iulia Coroian paginile: 25 − 28, 36 − 38, 57 − 60, 106 − 108, 117 − 120. Cluj-Napoca, 2016

Autorii

4

Unitatea de ˆınv˘ a¸tare 1 Introducere ˆın astronomie Cuprins 1.1

Ramurile astronomiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2

Descrierea sumar˘ a a p˘ art¸ii accesibile a Universului . . . . . .

8

1.3

Astronomia geodezic˘ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Obiectivele unit˘ a¸tii de ˆınv˘ a¸tare 1. Rolul ¸si ramurile astronomiei; 2. Enumerarea elementelor p˘art¸ii accesibile a Universului; 3. Rolul astronomiei geodezice.

Astronomia este ¸stiint¸a care se ocup˘a cu studiul mi¸sc˘arii, structurii, originii ¸si evolut¸iei corpurilor cere¸sti, a sistemelor de corpuri cere¸sti precum ¸si interact¸iunii acestora cu diversele cˆampuri ˆın care ele se g˘asesc. Cuvˆantul astronomie provine din cuvintele grece¸sti astron-astru ¸si nomos-lege. Totalitatea corpurilor cere¸sti, a materiei dintre corpuri ¸si a cˆampurilor fizice care interactioneaz˘a formeaz˘a Universul. Materia poate fi privit˘a ca fiind alcatuit˘a din: 5

˘ ¸ ARE 1. INTRODUCERE ˆIN ASTRONOMIE UNITATEA DE ˆINVAT - substant¸˘ a reprezint˘a acea form˘a a existent¸ei cosmice care se compune din particule cu mas˘a de repaus (protoni ¸si neutroni); - cˆ amp celelate forme ˆın care particulele nu au masa de repaus (fotonii) sau din alt punct de vedere materia este: - materia organizat˘ a- reprezint˘a acea parte a existentei cosmice care se manifest˘a sub forma unor corpuri cu o structur˘a bine determinat˘a ¸si de mare stabilitate (i) stele O stea este ˆın general un corp ceresc, masiv ¸si str˘alucitor, de form˘a aproximativ sferic˘a, alc˘atuit din plasm˘a ˆın oarecare echilibru hidrostatic, ¸si care a produs ˆın trecut sau ˆınc˘a mai produce ¸si azi energie pe baza react¸iilor de fuziune nuclear˘a din interiorul s˘au. (ii) planetele O planet˘a este un corp ceresc de mas˘a considerabil˘a care orbiteaz˘a ˆın jurul unei stele ¸si care nu produce energie prin fuziune nuclear˘a. Din aceast˘a cauz˘a, planetele sunt mult mai reci decˆat stelele, ¸si nu au ¸si nu emit lumin˘a proprie, ci doar pot reflecta lumina stelelor. (iii) quasari Quasi-stellar Radio Source Acestea emit enorme cantit˘a¸ti de energie. - materia neorganizata - reprezint˘a acea parte a existentei cosmice care nu are structur˘a bine determinat˘a ¸si nici stabilitate (materia interstelara, praful ¸si gazul interplanetar, materia meteoritic˘a, materia intergalactic˘a) Metodele de studiu ale astronomiei sunt: 1. Observat¸ia Reprezint˘a metoda fundamental˘a a astronomiei care furnizez˘a fapte ¸si date ce permit explicarea fenomenelor astronomice ˆın urma prelucr˘arii ¸si interpret˘arii unui num˘ar mare de m˘asur˘atori de mare precizie, pe baza unor calcule laborioase; 2. Metoda modelelor teoretice Se realizeaz˘a modele ale fenomenele astronomice. Modelele se confrunt˘a cu fenomenele real-observate. Metoda modelelor a dat rezultate bune ˆın numeroase domenii ale astronomiei; 6

˘ ¸ ARE 1. INTRODUCERE ˆIN ASTRONOMIE UNITATEA DE ˆINVAT 3. Metoda experimental˘ a ˆIn ultima perioad˘a a dobˆandit o pondere din ce ˆın ce mai mare ˆın cercetarea corpurilor cere¸sti astfel s-au produs comete artificiale, seisme pe lun˘a, etc. Observat¸iile de la sol au ˆınceput s˘a fie completate cu observat¸ii obt¸inute din spat¸iu (din satelit¸i artificiali sau nave cosmice), de o mai mare precizie ¸si ˆın domenii spectrale inaccesibile de la sol.

1.1

Ramurile astronomiei

Astronomia contemporan˘a se ˆımparte ˆın mai multe ramuri strˆans legate ˆıntre ele ¸si anume: 1. Astronomia clasic˘ a (a) Astrometria sau astronomia fundamental˘a studiaz˘a pozit¸ia corpurilor cere¸sti, distant¸a dintre corpurile cere¸sti precum ¸si determinarea timpului; (b) Astronomia sferic˘a elaboreaz˘a metode matematice de determinare a pozit¸iilor aparente ¸si a mi¸sc˘arilor aparente ale corpurilor cere¸sti, fat¸a˘ de diferite sisteme de referint¸a˘; (c) Astronomia practic˘a studiaz˘a tehnicile ¸si tehnologiile de observat¸ie astrometric˘a, precum ¸si erorile corespunz˘atoare. 2. Mecanica cereasc˘ a se ocup˘a cu mi¸scarea corpurilor cere¸sti sub act¸iunea diferitelor fort¸e ¸si a atract¸iei universale Astronomia modern˘a: 3. Astrofizica - studiaz˘a structura, materia fizic˘a ¸si compozit¸ia chimic˘a a corpurilor cere¸sti 4. Astronomia stelar˘ a - se ocup˘a cu legile generale ˆın distribut¸ia ¸si mi¸scarea stelelor a sistemelor stelare (roiuri stelare ¸si galaxii) ¸si a materiei interstelare (inclusiv nebuloasele). 5. Cosmogonia cerceteaz˘a problemele originii ¸si evolut¸iei corpurilor cere¸sti, inclusiv a P˘amˆantului. 7

˘ ¸ ARE 1. INTRODUCERE ˆIN ASTRONOMIE UNITATEA DE ˆINVAT

15000al

Soare

90000 al Figura 1.1: Sect¸iunea meridian˘a a C˘aii Lactee 6. Cosmologia- studiaz˘a originea ¸si evolut¸ia universului la scar˘a larg˘a. ˆıntre aceste ramuri ale astronomiei nu exist˘a o delimitare riguroas˘a, astfel mai multe probleme sunt cercetate simultan de mai multe ramuri.

1.2

Descrierea sumar˘ a a p˘ art¸ii accesibile a Universului

Metagalaxia reprezint˘a partea Universului accesibil˘a observat¸iei astronomice. Metagalaxia este alc˘atuit˘a din circa 200 de miliarde de galaxii. Galaxia este un sistem cu mas˘a, unit de fort¸e de atract¸ie, alc˘atuit dintr-o aglomerat¸ie de stele, praf ¸si gaz interstelar. Galaxiile tipice cont¸in ˆıntre 10 milioane ¸si un 1012 , sau chiar mai multe stele, toate orbitˆand ˆın jurul unui centru de gravitat¸ie comun. Galaxiile cont¸in un num˘ar mare de sisteme stelare, de clustere stelare ¸si de tipuri variate de nebuloase (Daca densitatea prafului ¸si a gazului interstelar este mare se formeaza o nebuloas˘a (nor)). Majoritatea galaxiilor au un diametru cuprins ˆıntre cˆateva zeci ¸si cˆateva sute de mii de ani lumin˘a ¸si sunt de obicei separate una de alta prin distant¸e de ordinul cˆatorva milioane de ani lumin˘a. Unele galaxii mari cuprind ˆın structura lor complex˘a ¸si un num˘ar de galaxii mai mici, numite galaxii satelit. Calea Lactee, este galaxia gazd˘a a sistemului nostru solar ¸si a altor aproximativ 100-400 miliarde de stele cu planetele lor, precum ¸si a peste 1.000 nebuloase. Galaxia are o form˘a 8

˘ ¸ ARE 1. INTRODUCERE ˆIN ASTRONOMIE UNITATEA DE ˆINVAT circular˘a cu un bulb central numit nucleul galaxiei. ˆIn sect¸iune meridian˘a (1.1) Soarele apart¸ine aproximativ planului ecuatorial la o distant˘a de 30000 a.l de centrul galaxiei. Sistemul Solar apartine galaxiei Calea Lactee prinicipalele elemente sunt: 1. Soarele constituie principala surs˘a de energie 2. Planetele sitemului solar sunt Mercur, Venus, P˘ amˆ ant, Marte, Jupiter, Saturn, Uranus, Neptun. La a XXVI-a ˆıntˆalnire general˘a a Uniunii Astronomice Internat¸ionale din august 2006 s-a decis c˘a Pluto s˘a nu mai fie considerat˘a planet˘a. P˘amˆantul are diametrul mediu de 6371km ¸si graviteaz˘a ˆın jurul Soarelui la o distant¸a˘ medie de 149 597 870.691km 3. Satelit¸ii Satelit¸ii naturali reprezint˘a corpuri cere¸sti care se mi¸sc˘a pe o orbit˘a ˆın jurul unei planete sau corp ceresc mai mic care se nume¸ste corp primar. 4. Asteroizii reprezint˘a ”planete mici”-bucat¸i de roc˘a care pot varia ˆın diametru de la cˆa¸tiva metri la cˆateva sute de kilometri (cel mai mare asteroid Ceres, 950 km). Asteroizii se ˆıntˆalnesc ˆın special ˆıntre orbitele lui Marte ¸si Jupiter (brˆaul asteroizilor). Cei mai mici se numesc meteorit¸i . 5. Cometele sunt bile de piatr˘a ¸si gheat¸˘a, c˘arora li se formeaz˘a cozi cˆand se apropie Soarele pe orbitele lor foarte eliptice. Cometele se ˆınc˘alzeasc, gazele ¸si praful sunt expulzate, Soarele lumineaz˘a acest traseu, determinˆand o str˘alucire. Traseele stralucitoare sunt vizibile pe cerul nopt¸ii.

6. Materia meteoritic˘ a reprezint˘a fragmente de asteroizi. 7. Materia interplanetar˘ a este reprezentat˘a de praf ¸si gaz.

1.3

Astronomia geodezic˘ a

Astronomia geodezic˘a este disciplina care se afl˘a la intersect¸ia a dou˘a ¸stiint¸e fundamentale: Astronomia ¸si Geodezia reprezentˆand tehnica determin˘arii pozit¸iei locului de observat¸ie 9

˘ ¸ ARE 1. INTRODUCERE ˆIN ASTRONOMIE UNITATEA DE ˆINVAT

Tabelul 1.1: Satelit¸ii planetelor Sistemului Solar ( www.nasa.gov) Planeta

Num˘ar de satelt¸i

Jupiter

63

Saturn

60

Uranus

27

Neptun

13

Marte

2

P˘amˆant

1

Venus

0

Mercur

0

ˆın raport cu diferit¸i a¸strii de pe bolta cereasc˘a [3]. Rolul astronomiei geodezice este de a determina latitudinea ¸si longitudinea punctelor geodezice, precum ¸si azimutele direct¸iilor terestre. De asemenea, astronomia geodezic˘a modern˘a constituie suportul tehnologiilor geodezice satelitare ¸si contribuie la crearea ¸si dezvoltarea sistemelor de referint¸˘a precum ¸si a form˘arii ¸si ˆıntret¸inerii sc˘arilor de timp. Printre aplcat¸iile astronomiei ˆın geodezie se amintesc: - introducerea unui elipsoid de referint¸˘a, nat¸ional, specific fiec˘arei ¸ta˘ri; - introducerea unui elipsoid local; - elemente de constrˆangere sau compensare a ret¸elelor geodezice (ˆın special azimutele astronomice); - studiul deviat¸iei verticale cu utiliz˘ari directe ˆın: orientarea astronomo-geodezic˘a a unui elipsoid local, conversia ˆıntre azimutele astronomice ¸si azimutele geodezice, reducerea direct¸iilor ¸si unghiurilor orizontale la elipsoid, reducerea direct¸iilor zenitale la elipsoid, transformarea coordonatelor astronomice ˆın coordonate geodezice ¸si viceversa, determinarea diferent¸elor de ˆın˘alt¸ime din m˘asur˘atori de unghiuri zenitale ¸si distant¸e ˆınclinate.

10

Unitatea de ˆınv˘ a¸tare 2 Elemente de trigonometrie sferic˘ a Cuprins 2.1

Elementele triunghiului sferic . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2

Triunghiul polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.3

Formulele lui Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.3.1

Determinarea unghiurilor ˆın funct¸ie de laturi ˆıntr-un triunghi sferic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.2

2.4

21

Determinarea laturilor ˆın funct¸ie de unghiuri ˆıntr-un triunghi sferic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Aplicat¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Obiectivele unit˘ a¸tii de ˆınv˘ a¸tare 1. Elementele triunghiului sferic ; 2. Relat¸ii ˆıntre laturile ¸si unghiurile trunghiului sferic;

Not¸iunile folosite ˆın acast˘a unitate de ˆınv˘a¸tare, precum ¸si relat¸iile dintre acestea reprezint˘a elemente fundamentale ale astronomiei geodezice. 11

˘ ¸ ARE 2. ELEMENTE DE TRIGONOMETRIE SFERICA ˘ UNITATEA DE ˆINVAT

R A

Figura 2.1: Fusul sferic

2.1

Elementele triunghiului sferic

Pentru studiul a¸strilor pe bolta cereasc˘a trigonometria folosit˘a pˆan˘a acum nu mai poate fi folosit˘a, de aceea trebuie introduse not¸iuni specifice trigonometriei sferice. Dintre acestea se amintesc urm˘atoarele not¸iuni ilustrate in Figura 2.1 Cerc mare pe sfer˘a este intersect¸ia sferei cu un plan care trece prin centrul sferei. Dou˘a puncte de pe sfer˘a care sunt extremitt¸ile aceluia¸si diametru determin˘a ˆın mod unic un cerc mare. Distant¸a sferic˘ a dintre dou˘a puncte pe sfer˘a este lungimea celui mai mic arc de cerc mare care trece prin cele dou˘a puncte. Se nume¸ste pol sau centru sferic al unui cerc mare punctul de intersect¸ie cu sfera a diametrului perpendicular pe planul cercului mare. Un semicerc mare care cont¸ine polii se nume¸ste meridian . Se nume¸ste ecuator al unui π punct de pe sfer˘a, cercul mare care se afl˘a la distant¸a de fat¸˘a de punct. 2 Se nume¸ste unghi sau fus sferic una din cele dou˘a p˘art¸i ˆın care o sfer˘a este imp˘art¸it˘a de dou˘a semicercuri mari avˆand diametrul comun. Pe sfer˘a orice fus sferic are dou˘a elemente, unghiurile ¸si laturile (semidiscurile). Laturile fusului sferic sunt identice pentru aceea¸si sfer˘a, rezult˘a c˘a fusul sferic este determinat doar de unghiul s˘au.

12

˘ ¸ ARE 2. ELEMENTE DE TRIGONOMETRIE SFERICA ˘ UNITATEA DE ˆINVAT Observat¸ia 2.1.1 Aria fusului sferic de unghi A (unghiul exprimat ˆın radiani) este SA = 2R2 A.

(2.1)

Intuitiv afirmat¸ia de mai sus poate fi verificat˘a folosind regula de trei simpl˘a.

unghi de m˘asura 2π · · · · · · · · · · · · arie 4πR2 unghi de m˘asura A radiani · · · · · · arie SA ⇒ SA = 2R2 A Exemplul 2.1.1 S˘a se exprime m˘asura unui arc de cerc mic ˆın funct¸ie de m˘asura unui arc de cerc mare.

C E

D

δ O α A

B

Figura 2.2: Determinarea relat¸iei dintre arcul mare ¸si arcul mic al unei sfere de raza r Rezolvare: Folosind notat¸iile din Figura 2.2 se consider˘a cercul mare determinat de punctele A, B ¸si centrul O ¸si cercul din planul determinat de punctele D, E ¸si centrul C. ˆIntre lungimea arcului de cerc, raz˘a ¸si unghiul la centru exprimat ˆın radiani, exit˘a relat¸ia

⌢

c AB = r m(α) Din (2.2) rezult˘a:

⌢ ⌢ DE

c AB = OAm(α) c = CDm(α) 13

(2.2)

˘ ¸ ARE 2. ELEMENTE DE TRIGONOMETRIE SFERICA ˘ UNITATEA DE ˆINVAT De unde

⌢

AB OA = ⌢ DE CD \ = π − δ, de unde In triunghiul dreptunghic DCO, m(DOC) 2 (π ) CD sin −δ = 2 OD

(2.3)

(2.4)

Din (2.3) ¸si (2.4) rezult˘a c˘a

⌢

⌢

m(DE) = m(AB) cos δ

(2.5)

Triunghiul sferic Se consider˘a trei puncte pe o sfer˘a de raz˘a arbitrar˘a ¸si trei arce de cercuri mari neconcurente. Acestea se intersecteaz˘a dup˘a trei puncte A, B, C. Se nume¸ste triunghi sferic figura format˘a de arcele care unesc cele trei puncte. Elementele triunghiului sferic sunt ˆ B, ˆ Cˆ si laturile sale a, b, c. Corpul OABC se ilustrate ˆın Figura 2.3. Unghiurile A, nume¸ste triedrul asociat triunghiului sferic .

A c

b

B

C a O

Figura 2.3: Triunghiul sferic ABC

ˆ elementele triunghiului sferic de laturi a, b, c exist˘ a urm˘atoarele Propozit¸ia 2.1.1 Intre relat¸ii: (i) Suma a dou˘a laturi a triunghiului este mai mare decˆ at cea de-a treia. (ii) Diferent¸a a dou˘a laturi este mai mic˘a decˆ at a treia. 14

˘ ¸ ARE 2. ELEMENTE DE TRIGONOMETRIE SFERICA ˘ UNITATEA DE ˆINVAT (iii) Are loc relat¸ia 0 < a + b + c < 2π

Definit¸ia 2.1.1

1. Dac˘a unghiul unui triunghi sferic este

π atunci triunghiul se nume¸ste 2

dreptunghic . 2. Triedul asociat triunghiului sferic este corpul OABC. 3. Dac˘a o latur˘a are m˘asura

π atunci triunghiul se nume¸ste rectilater . 2

Triunghiurile sferice dreptunghice pot avea unul, dou˘a sau trei unghiuri drepte, iar triunghiurile sferice oarecare pot avea unul dou˘a sau trei unghiuri obtuze. Dac˘a ˆıntr-un triunghi sferic, cel put¸in o latur˘a este egal˘a cu un sfert din cerc, atunci triunghiul se nume¸ste cuadrantic. Dac˘a din vˆarfurile triunghiului sferic ABC ducem raze la centru ¸si le prelungim pˆan˘a la intersect¸ia cu suprafat¸a sferei atunci, unind dou˘a cˆate dou˘a punctele obt¸inute prin arce de cerc mare, obt¸inem un triunghi sferic opus celui dintˆai, care se nume¸ste triunghi simetric triunghiului dat .

2.2

Triunghiul polar

Definit¸ia 2.2.1 Triunghiul A′ B ′ C ′ se nume¸ste triunghi polar al unui triunghi sferic dat ABC un triunghi pentru care fiecare latur˘a are ca pol unul din vˆarfurile triunghiului ABC.

Lag˘aturile ˆıntre elementele triungiului sferic ¸si triunghiul init¸ial sunt date ˆın propozit¸ia de mai jos. Propozit¸ia 2.2.1 Fie triunghiul sferic ABC ¸si triunghiul s˘au polar A′ B ′ C ′ , atunci au loc relat¸iile: a′ = π − A, b′ = π − B, c′ = π − C respectiv a = π − A′ , b = π − B ′ , c = π − C ′ 15

˘ ¸ ARE 2. ELEMENTE DE TRIGONOMETRIE SFERICA ˘ UNITATEA DE ˆINVAT A’ A

C

B B’

N

M

C’

Figura 2.4: Triunghiul polar Demostrat¸ie: Latura a′ se va scrie ˆın funct¸ie de elementele triunghiului ABC. Deoarece π triunghiul A′ B ′ C ′ este triunghi polar pentru ABC rezult˘a din Figura 2.4 M C ′ = ¸si 2 π B ′ N = deci 2

a′ = B ′ C ′ = B ′ M + M C ′ = B ′ N − M N + M C ′ = π π a′ = − M N + = π − M N = π − A. 2 2

(2.6)

La fel se obt¸in relat¸iile: b′ = π − B, c′ = π − C

(2.7)

a = π − A′ , b = π − B ′ , c = π − C ′

(2.8)

precum ¸si

Dac˘a triunghiul dat este dreptunghic atunci triunghiul polar este rectilater ¸si reciproc. ˆ triunghi sferic ABC au loc urm˘atoarele relat¸ii: Propozit¸ia 2.2.2 Intr-un B + C < A + π,

π < A + B + C < 3π

(2.9)

unde A, B, C sunt unghiurile triunghiului sferic. Demonstrat¸ie: Folosind propriet˘a¸tile triunghiului sferic, (Proprietatea 2.1.1) scrise pentru trunghiul polar, rezult˘a c˘a a ′ < b ′ + c′ , 16

(2.10)

˘ ¸ ARE 2. ELEMENTE DE TRIGONOMETRIE SFERICA ˘ UNITATEA DE ˆINVAT Aplicˆand (2.6) ¸si (2.7) rezult˘a π−A (900 − |φ|) cu condit¸ia ca ¸si δ s˘a fie de acela¸si semn cu φ. A¸strii circumpolari se ˆımpart ˆın - a¸strii circumpolari vizibili Ace¸sti a¸strii au declinat¸ia mai mare decˆat colatitudinea ¸si cu acela¸si nume cu latitudinea observatorului. A¸strii circumpolari vizibili au culminat¸ia superioar˘a ¸si inferioar˘a cuprinse ˆın emisfera vizibil˘a. - a¸strii circumpolari invizibili sunt a¸strii care se ment¸in tot timpul ˆın emisfera invizibil˘a cu condit¸ia ca ¸si δ s˘a fie de semn contrar cu φ. Adic˘a a¸stri circumpolari invizibili au declinat¸ia mai mare decˆat colatitudinea ¸si de semn contrar cu latitudinea observatorului. ˆIn Figura 5.3 sunt reprezentati astri circumpolari a¸sa cum apar pentru un observator din Emisfera Nordic˘a 64

˘ ¸ ARE 5. UNITATEA DE ˆINVAT

POZIT ¸ II SPECIALE ALE AS¸TRILOR. PARTEA I Z

Astrii circumpolari care nu apun P Astrii cu rasarit si apus

N

Observator

S

Astrii circumpolari care nu rasar

Figura 5.3: A¸stri circumpolari pentru un observator din Emisfera Nordic˘a

5.2

Determinarea azimutului pentru apusul ¸si r˘ as˘ aritul astrului M

ˆIn triunghiul P ZA din Figura 5.2 se aplic˘a teorema cosinusului Teorema 2.3.1 pentru latura P A ¸si se obt¸ine ˆın urma efectu˘arii calculelor: cos A = −

sin δ sin δ =− cos φ sin(900 − φ)

(5.6)

Rezolvˆand ecuat¸ia (5.6) se consider˘a cu − azimutul punctului de r˘as˘arit a unui astru ¸si cu + azimutul punctului de apus a unui astru. Analizˆand ecuat¸ia amintit˘a din punctul de vedere al existent¸ei cosinusului se vor determina acelea¸si condit¸ii din punct de vedere a existent¸ei r˘as˘aritului ¸si apusului |δ| ≤ (900 − |φ|), respectiv a a¸strilor circumpolari |δ| > (900 − |φ|). Observat¸ia 5.2.1 Dac˘a se aplic˘a teorema sinusului pentru triunghiul P AZ din Figura 5.2 se obt¸ine sin A = cos δ sin H

(5.7)

Dac˘a se consider˘a azimutul definit ca ˆın geodezie relat¸ia (5.7) devine sin A = − cos δ sin H Observat¸ia 5.2.2 Pentru determinarea momentelor de r˘as˘ arit ¸si apus formulele sunt aproximative deoarece nu s-a ¸tinut cont de refract¸ie la orizont. Astfel distant¸a zenital˘a corespunz˘ atoare apusului nu este 900 ci 900 + refract¸ia; refract¸ia este de aproximativ 35′ . 65

˘ ¸ ARE 5. UNITATEA DE ˆINVAT

POZIT ¸ II SPECIALE ALE AS¸TRILOR. PARTEA I

Observat¸ia 5.2.3 Pentru a¸strii cu disc aparent (Soare, Lun˘a) se va considera influent¸a discului aparent ¸si a paralaxei diurne orizontale. Acest lucru este foarte important pentru Lun˘a. Observat¸ia 5.2.4 [8] Pentru a¸stri din emisfera nordic˘ a δ > 00 limitele momentelor de r˘as˘ arit ¸si apus sunt date ˆın Tabelul 5.1 R˘as˘arit 12h < H < 18h Apus

6h < H < 12h

00 < A < 900 2700 < A < 3600

Tabelul 5.1: R˘as˘aritul ¸si apusul a¸strilor ˆın emisfera nordic˘a

Exemplul 5.2.1 Fie un observator situat ˆın emisfera nordic˘ a la latitudinea φ = 460 ¸si fie a¸strii de declinat¸ii δ1 = 350 ¸si δ2 = 500 . S˘a se determine dac˘a sunt a¸strii cu r˘as˘ arit ¸si apus ¸si ˆın caz afirmativ s˘a se determine unghiul orar ¸si azimutul. Rezolvare Pentru observat¸iile realizate din emisfera nordic˘a relat¸ia (5.5) se mai scrie ¸si φ − 900 < δ < 90 − φ

(5.8)

Astfel pentru φ = 460 rezult˘a c˘a a¸stri cu r˘as˘arit ¸si apus trebuie s˘a aib˘a declinat¸ia −440 < δ < 440 . Deci doar astrul cu declinat¸ia δ1 = 350 poate fi folosit pentru observat¸ii astronomice. Astrul cu declinat¸ia δ2 = 500 > 440 nu apune niciodat˘a ¸si este un astru circumpolar vizibil ˆın emisfera nordic˘a. Din (5.2) pentru primul astru rezult˘a cos H = −tg350 tg460 sin 350 cos A = − cos 460

(5.9) (5.10)

ˆIn Figura 5.4 este ilustrat modul ˆın care de determin˘a cosinusul pentru unghiul orar ¸si pentru azimut. Rezolvarea ecuat¸iilor trigonometrice (5.9) ¸si (5.10) pe intervalul [0, 360] precum ¸si implementarea ˆın Excel este redat˘a ˆın Figura 5.5. 66

˘ ¸ ARE 5. UNITATEA DE ˆINVAT

POZIT ¸ II SPECIALE ALE AS¸TRILOR. PARTEA I

Figura 5.4: Determinarea cosinu¸silor pentru unghiul orar si azimut

Figura 5.5: Determinarea unghiului orar pentru apus si ras˘arit precum ¸si a azimutului pentru apus ¸si r˘as˘arit Astfel se obt¸ine: Hapus = 1360 .4759 = 9h 05m 54s .22 Hr˘as˘arit = 24h − Hapus = 14h 54m 05s .78

(5.11) (5.12)

Din rezolvarea (5.10) se obt¸ine Aapus = 3250 39′ 32′′ .36 Ar˘as˘arit = 340 20′ 27′′ .64

(5.13) (5.14)

Se observ˘a ca valorile obt¸inute verific˘a datele din Tabelul 5.1 Exemplul 5.2.2 Fie un observator situat ˆın emisfera nordic˘ a la latitudinea φ = 250 11′ 9′′ ¸si fie a¸strul de declinat¸ie δ = 460 23′ 11′′ . Dac˘a astrul considerat este cu r˘as˘ arit ¸si apus s˘a se determine unghiul orar ¸si azimutul. Rezolvare Pentru observat¸iile realizate din emisfera nordic˘a relat¸ia (5.5) se mai scrie ¸si φ − 900 < δ < 90 − φ 67

(5.15)

˘ ¸ ARE 5. UNITATEA DE ˆINVAT

POZIT ¸ II SPECIALE ALE AS¸TRILOR. PARTEA I

Astfel pentru φ = 250 11′ 9′′ rezult˘a c˘a a¸strii cu r˘as˘arit ¸si apus trebuie s˘a aib˘a declinat¸ia −640 48′ 51′′ .012 < δ < 640 48′ 51′′ .012.

Figura 5.6: Transformarea gradelor ˆın radiani Astfel astrul considerat are r˘as˘arit ¸si apus. Analog cu exemplul precedent se obt¸ine foaia de calcul ilustrat˘a ˆın figurile 5.6 ¸si 5.7. Astfel se obt¸ine: Hapus = 8h 0m 2.9s .22 Hr˘as˘arit = 24h − Hapus = 15h 57m 20s .86

(5.16) (5.17)

Din rezolvarea (5.10) se obt¸ine Aapus = 3240 24′ 52′′ .92 Ar˘as˘arit = 350 35′ 7′′ .08

(5.18) (5.19)

Se observ˘a ca valorile obt¸inute verific˘a datele din Tabelul 5.1.

Figura 5.7: Determinarea unghiului orar ¸si a azimutului pentru r˘asaritul ¸si apusul astrului

68

Unitatea de ˆınv˘ a¸tare 6 Pozit¸ii speciale ale a¸strilor Partea a II-a Cuprins 6.1

Culminat¸ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

6.2

Trecerea a¸strilor la primul vertical . . . . . . . . . . . . . . . .

71

6.3

Elongat¸ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

Obiectivele unit˘ a¸tii de ˆınv˘ a¸tare

1. Determinarea distant¸ei zenitale meridiane.

2. Determinarea distant¸ei zenitale ¸si a unghiului orar la trecerea astrului pe la primul vertical

3. Determinarea azimutului, a distant¸ei zenitale ¸si a unghiului orar la elongat¸ie.

69

˘ ¸ ARE 6. POZIT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ II SPECIALE ALE AS¸TRILOR PARTEA A II-A

6.1

Culminat¸ia

Indiferent dac˘a sunt a¸strii cu r˘as˘arit ¸si apus sau circumpolari culminat¸ia se studiaz˘a ˆın ambele cazuri. Se consider˘a un observator aflat la latitudinea φ care studiaz˘a un astru de coordonate ecuatoriale (α, δ). Atunci cˆand cercul orar al unui astru M coincide cu meridianul locului de observat¸ie se spune c˘a astrul este la culminat¸ie. Culminat¸ia superioar˘ a Cs este cea care se afl˘a pe semicercul determinat de Zenit ¸si axa lumii ˆın Figura 6.1, ˆın timp ce culminat¸ia inferioar˘ a Ci este situat˘a ˆın cel˘alalt semicerc al meridianului locului. Z

zm

Cs φ

P zm pentru Ci

δ

Q Ci

O

N

S

Q’

P’ Z’

Figura 6.1: Culminat¸ia unui astru Exact ca ˆın cazul r˘as˘aritului ¸si apusului a¸strilor trebuie determinat momentul sideral pentru Cs ¸si Ci pentru un astru c˘aruia ˆıi cunoa¸stem coordonatele ecuatoriale (α, δ). Folosind Teorema 3.3.2 ¸si Figura 6.1 rezult˘a φ = δ + zm pentru Cs φ = 1800 − (δ + zm ) pentru Ci

(6.1) (6.2)

ˆ cazul culminat¸iei Observat¸ia 6.1.1 In • Unghiul orar pentru culminat¸ia superioar˘ a este H = 0 ¸si H = 12h pentru culminat¸ia inferioar˘a. 70

˘ ¸ ARE 6. POZIT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ II SPECIALE ALE AS¸TRILOR PARTEA A II-A • Azimutul pentru culminat¸ia superioar˘ a A = 00 , iar la culminat¸ia inferioar˘ a A = 1800 . Dac˘a se ¸tine cont de Observat¸ia 6.1.1, atunci θCi = 12h + α θCs = α

(6.3) (6.4)

Exemplul 6.1.1 Pentru un observator situat ˆın emisfera nordic˘ a la latitudinea φ = 490 s˘ a se determine distant¸a zenital˘a pentru culminat¸iile inferioare ¸si superioare a a¸strilor de declinnat¸ii δ1 = 460 ¸si δ2 = 250 . Rezolvare: Din (6.1) ¸si (6.2) se obt¸in distant¸ele zenitale pentru cei doi a¸strii a¸sa cum sunt redate ˆın Figura 6.2

Figura 6.2: Determinarea distant¸elor zenitale meridiane pentru culminat¸ii Astrul de declinat¸ie δ1 va avea ambele culminat¸ii la nord de zenit. Deoarece distant¸a zenital˘a meridian˘a este mai mare ca 900 , pentru astrul cu declinat¸ie δ2 = 250 , acest astru nu va fi vizibil de la latitudinea aleas˘a.

6.2

Trecerea a¸strilor la primul vertical

Se consider˘a un observator aflat la latitudinea φ care studiaz˘a un astru de coordonate ecuatoriale (α, δ). Primul vertical se define¸ste ca fiind verticalul punctului cardinal Est, verticalul punctului Vest fiind numit al treilea vertical,[11]. Observat¸ia 6.2.1

(i) Pentru ca un astru s˘a trec˘ a pe la primul certical trebuie ca 00 < δ < φ 71

(6.5)

˘ ¸ ARE 6. POZIT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ II SPECIALE ALE AS¸TRILOR PARTEA A II-A (ii) Cˆ and un astru trece pe la primul vertical ˆın E azimutul este A = 900 , iar la trecerea prin V azimutul este A = 2700 . ˆIn continuare se vor determina distant¸ele zenitale ale unui astru care trece pe la primul vertical ˆın E ¸si V , precum ¸si unghiurile orare corespunz˘atoare. Figura 6.3 ˆımpreun˘a cu formulele lui Gauss (2.18) aplicate ˆın triunghiul sferic M P Z sunt folosite pentru deducerea formulelor distant¸ei zenitale ¸si a unghiurilor orare. 90-ϕ

P

H 90-δ

Z P

Z

z=? 180-A M

M Q

E N Q’

S

O

Me

V

P’ Z’

Figura 6.3: Trecerea astrului pe la primul vertical Din Teorema cosinusului aplicat˘a laturii 900 − δ din triunghiul sferic P ZM din Figura 6.3 se obt¸ine cos z =

sin δ sin φ

(6.6)

Atˆat pentru E cˆat ¸si pentru V se obt¸ine aceea¸si distant¸˘a zenital˘a. Pentru determinarea unghiurilor orare din Teorema cosinusului aplicat˘a laturii z din triunghiul sferic P ZM din Figura 6.3 se obt¸ine cos H = tg δ ctg φ

(6.7)

ˆ cazul ˆın care H ∈ (18h , 24h ) astrul trece pe la primul vertical ˆın Est Observat¸ia 6.2.2 In ¸si dac˘a H ∈ (0h , 6h ) astrul trece pe la primul vertical ˆın Vest Exemplul 6.2.1 Pentru un observator situat ˆın emisfera nordic˘ a la latitudiea φ = 460 s˘a se determine distant¸a zenital˘a ¸si unghiurile orare pentru trecerea astrilor pe la primul meridian atunci cˆand astrii au declinnat¸ii δ1 = 350 ¸si δ2 = 500 . 72

˘ ¸ ARE 6. POZIT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ II SPECIALE ALE AS¸TRILOR PARTEA A II-A Rezolvare: Se va folosi condit¸ia (6.5) pentru a se verifica dac˘a a¸stii trec sau nu pe la primul meridian. Astrul cu declinat¸ia δ2 = 500 > 460 = φ deci nu trece pe la primul vertical. ˆIn continuare se vor determina unghiul orar ¸si distant¸a zenital˘a pentru astrul de declinat¸ie δ1 = 350 . Acesta va avea azimutul de A = 900 la primul vertical ˆın E , iar la trecerea prin V azimutul este A = 2700 . Din (6.6) rezult˘a cos z1 =

sin 350 = 370 07′ 14′′ .8 sin 460

(6.8)

Pentru determinarea unghiului orar din (6.7) rezult˘a cos H1 = tg 350 ctg 460 =⇒ H1V

= 470 .45397 = 3h 09m 48s .9 deci corespunde trecerii la prim vertical la Vest

(6.9)

H1E = 24h 0m 0s − 3h 09m 48s .9 = 20h 50m 11s deci corespunde trecerii la prim vertical la Est

6.3

(6.10)

Elongat¸ia

Se consider˘a un observator aflat la latitudinea φ care studiaz˘a un astru de coordonate ecuatoriale (α, δ). Fenomenul de elongat¸ia apare atunci cˆand unghiul paralactic P M Z din Figura 6.4 este de 900 . Acest lucru ˆınseamn˘a c˘a planul verticalului astrului ¸si planul cercului orar al astrului sunt perpendiculare. Elongat¸ia poate apare ˆın ambele p˘art¸i ale meridianului locului dar doar pentru a¸strii ce nu intersecteaz˘a primul vertical deci condit¸ia pentru elongat¸ie este: δ>φ

(6.11)

Pentru un astru aflat la elongat¸ie se vor determina azimutul, distant¸a zenital˘a ¸si unghiul orar. Pentru aceasta se vor folosi formulele lui Gauss (2.18) aplicate ˆın triunghiul P ZM din Figura 6.4. Astfel din Teorema sinusurilor se obt¸ine: sin A = 73

cos δ . cos φ

(6.12)

˘ ¸ ARE 6. POZIT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ II SPECIALE ALE AS¸TRILOR PARTEA A II-A P 24-H

P

90-ϕ

90-δ 90

A 90

0

Z

z

Z

M

M N

Q’

Q

O

S

V

Z’

P’

Figura 6.4: Elongat¸ia Pentru elongat¸ie estic˘a 00 < A < 900 , iar pentru elongat¸ie vestic˘a 2700 < A < 3600 . Pentru determinarea distant¸ei zenitale se va folosi Teorema cosinusurilor pentru latura 90 − φ ¸si se va obt¸ine cos z =

sin φ . sin δ

(6.13)

Pentru determinarea unghiului orar se va folosi Teorema cosinusurilor pentru latura z ¸si relat¸ia (6.13) de unde va rezulta cos H = tg φ ctg δ.

(6.14)

Pentru elongat¸ia vestic˘a HE = 24h − HV . Exemplul 6.3.1 Pentru un observator situat ˆın emisfera nordic˘ a la latitudiea φ = 460 s˘a se determine care din a¸strii M1 de declinat¸ie δ1 = 350 ¸si M2 de declinat¸ie δ2 = 500 sunt la elongat¸ie ¸si ˆın caz afirmativ s˘a se determine azimutul, distant¸a zenital˘a ¸si unghiul orar corespunz˘ator. Rezolvare: Folosind condit¸ia (6.11) rezult˘a c˘a doar pentru astrul M2 poate avea loc elongat¸ia (δ1 < φ). Pentru acest astru M2 se obt¸in: 74

˘ ¸ ARE 6. POZIT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ II SPECIALE ALE AS¸TRILOR PARTEA A II-A (i) azimutul:

AE 2

cos 500 =⇒ cos 460 ′ = 670 43 04′′ .7

AV2

0 ′′ = 3600 − AE 2 = 292 16 55 .3

sin A2 =

′

(ii) distant¸a zenital˘a: cos z2 z2

sin 460 = =⇒ sin 500 ′ = 200 06 37′′ .3

(iii) unghiul orar cos H2 = tg 460 ctg 500 =⇒ H2V

= 290 .66733 = 1h 58m 40s .2 =⇒

H2E = 24h − hV2 = 22h 01m 19s .8

75

˘ ¸ ARE 6. POZIT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ II SPECIALE ALE AS¸TRILOR PARTEA A II-A

76

Unitatea de ˆınv˘ a¸tare 7 P˘ amˆ antul corp ceresc Cuprins 7.1

P˘ amˆ antul aproximat de o sfer˘ a . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

7.2

P˘ amˆ antul privit ca elipsoid de rotat¸ie . . . . . . . . . . . . . .

80

Obiectivele unit˘ a¸tii de ˆınv˘ a¸tare 1. Modalit˘a¸tilor de aproximare a suprafet¸ei terestre. 2. Stabilirea leg˘aturii dintre P˘amˆantul privit ca o sfer˘a ¸si P˘amˆantul privit ca un elipsoid ¸si ca un geoid. 3. Evident¸ierea legaturii dintre coordonatele geografice geodezice ¸si coordonatele geografice astronomice.

Pentru a putea folosi observat¸iile asupra a¸strilor, pentru a determina pozitia exact˘a pe suprafat¸a terestra, trebuie avute ˆın vedere cˆateva elemente care fac leg˘atura ˆıntre modul ˆın care se aproximeaz˘a suprafat¸a terestra ¸si leg˘atura acesteia cu coordonatele cere¸sti . ˆIn acest capitol vor fi evident¸iate cˆateva aspecte legate de pozit¸a unui punct pe suprafat¸a terestr˘a folosind coordonate carteziene ¸si legatura acestora cu coordonatele geografice def77

˘ ¸ ARE 7. PAM ˘ ANTUL ˆ UNITATEA DE ˆINVAT CORP CERESC z

M G

O

Φs

y

N

x

λs

Figura 7.1: Leg˘atura dintre coordonate sferice ¸si carteziene inite pentru fiecare aproximare ˆın parte, precum si legatura dintre coordonatele geografice astfel definite.

7.1

P˘ amˆ antul aproximat de o sfer˘ a

ˆIntr-o prim˘a aproximat¸ie se poate considera P˘amˆantul ca fiind o sfer˘a. Avantajul const˘a ˆın faptul c˘a este u¸sor de folosit un astfel de sistem de coordonate carteziene ¸si transformarea ˆın coordonate geografice ¸si viceversa. ˆIn Figura 7.2 este evident¸iat acest sistem de coordonate. Se consider˘a centrul P˘amˆantului ˆın centrul sferei, axa OZ se consider˘a dup˘a direct¸ia dat˘a de axa polilor tere¸stri, axa Ox este definit˘a de O ¸si punctul de intersectie dintre meridianul care trece prin Greenwich ¸si ecuatorul terestru. Se consider˘a punctul M pe suprafat¸a sferei, respectiv pe suprafat¸a terestr˘a de coordonate carteziene (x, y, z) ¸si coordonate geografice Φs , λs . Leg˘atura dintre cele dou˘a tipuri de coordonate este dat˘a de relat¸iile:

   x = R cos λs cos Φs   y = R cos λs cos Φs     z = R sin Φ

(7.1)

s

Coordonatele geografice sferice ˆın funct¸ie de coordonatele carteziene sunt exprimate de 78

˘ ¸ ARE 7. PAM ˘ ANTUL ˆ UNITATEA DE ˆINVAT CORP CERESC z

M G

O

y

Φs

N

x

λs

Figura 7.2: Leg˘atura dintre coordonate sferice ¸si carteziene relat¸iile (7.2)

 ( )  z  ΦS = arctg √ 2 2   x +y  (y) λ = arctg x   S √    R = x2 + y 2 + z 2

(7.2)

Determinarea valorii unghiulare a arcului meridian ˆın funct¸ie de distant¸a zenital˘ a Doi observtori A ¸si B situat¸i la latitudinile φ1 ¸si φ2 pe acelasi meridian, determin˘a simultan distant¸a zenital˘a meridian˘a pentru acela¸si astru. Se presupune P˘amˆantul sferic. S˘a

⌢

se determine valoarea unghiular˘a a arcului meridian AB. Se consider˘a Figura 7.3 pentru un astru aflat la culminat¸ia superioar˘a la sud de Zenit. S-au reprezentat pe aceea¸si figur˘a distantele zenitale meridiane pentru astrul studiat a¸sa cum sunt percepute de fiecare observator, precum ¸si latitudinile fiec˘atui punct de observat¸ie. Declinat¸ia astrului nu depinde de locul efectu˘arii observat¸iei. Observˆand figura rezult˘a:

⌢

AB = φ1 − φ2

(7.3)

Dac˘a se ¸tine cont de leg˘atura dintre latitudine, distant¸˘a zenital˘a meridian˘a ¸si declinat¸ie 79

˘ ¸ ARE 7. PAM ˘ ANTUL ˆ UNITATEA DE ˆINVAT CORP CERESC P

Z1 Z2 zm1 zm2

p

Ci

φ2

A B φ1

Q′ q′

q

O

Cs δ Q

p′

P′

Figura 7.3: Determinarea valorii unghiulare a unui arc meridian pentru un astru aflat la sud de Zenit (relat¸ia (3.4) ) se obt¸ine: φ1 = δ − zm1 φ2 = δ − zm2 de unde se obt¸ine φ1 − φ2 = zm1 − zm2

(7.4)

Din (7.3) ¸si (7.4) se obt¸ine:

⌢

AB = φ1 − φ2 = zm1 − zm2

(7.5)

Problemele care apar ˆın cazul aproxim˘arii suprafet¸ei terestre cu suprafat¸a unei sfere se datoreaz˘a formei ”turtite” a P˘amˆantului.

7.2

P˘ amˆ antul privit ca elipsoid de rotat¸ie

Deduct¸iile teoretice, confirmate ulterior de m˘asur˘atori au condus la aproximarea suprafet¸ei terestre cu un elipsoid. De fapt, forma P˘amˆantului este cea a unui geoid. ˆIn acest caz se poate consider˘a c˘a valoarea medie dat˘a de fundul oceanelor se prelunge¸ste si sub zona de 80

˘ ¸ ARE 7. PAM ˘ ANTUL ˆ UNITATEA DE ˆINVAT CORP CERESC uscat rezultˆannd astfel suprafat¸a geoidului. Este dificil de abordat aceast˘a suprafat¸˘a ¸si atunci aceasta se aproximeaz˘a de elipsoidele de referint¸a˘ atunci cand se define¸ste datumul. Elipsoidul de referint¸a este propriu fiecarui sistem de proiect¸ii ¸si de-a lungul timpului s-au folosit mai multe elipsoide de referint¸a. ˆIn prezent pentru Romˆania se folose¸ste elipsoidul Krasovki. [4] Se consider˘a P˘amˆantul privit ca o elips˘a cu semiaxa mare a ¸si semiaxa mic˘a b ca ˆın Figura 7.4.

b

q′

a

T

q

Figura 7.4: Elipsoidul terestru-sect¸iune meridian˘a ˆIn aproximat¸iile de mai sus turtirea unui elipsoid se va nota cu α ¸si α=

a−b , b

iar excentricitatea elipsoidului se va nota cu e ¸si este dat˘a de relat¸ia √ b2 e = 1 − 2. a Din (7.6)¸si (7.7) rezult˘a c˘a e=

√

1 − (1 − α)2 .

(7.6)

(7.7)

(7.8)

Se consider˘a un punct M pe elipsoid. A¸sa cum este reprezentat ˆın Figura 7.5, pentru acest punct se consider˘a sect¸iunea meridian˘a a elipsoidului ¸si astfel se pot defini: \ 1. latitudinea geocentric˘ a φ′ , definit˘a de unghiul M OE, unde O este centrul elipsei meridiane; \ 2. latitudine geodezic˘ a B, definit˘a de unghiul, M N E unde M E reprezint˘a normala la suprafat¸a elipsoidului ˆın punctul M ; 81

˘ ¸ ARE 7. PAM ˘ ANTUL ˆ UNITATEA DE ˆINVAT CORP CERESC \ 3. latitudine astronomic˘ a φ, definit˘a de unghiul M GE, unde M G reprezint˘a direct¸ia firului cu plumb la suprafat¸a elipsoidului ˆın punctul M . Latitudinea astronomic˘a depinde de modul ˆın care este definit/determinat centrul de mas˘a. Diferent¸a dintre latitudinea geodezic˘a si latitudinea astronomic˘a se nume¸ste deflect¸ia verticalei ¸si este notat˘a cu θ ˆın Figura 7.5. normala la supraf ata in M

z θ

M

φ′

O

φ

G

directia f irului cu P b in M

B

N

x

Figura 7.5: Latitudinile ˆın sectiunea meridian˘a a elipsoidului

Determinarea leg˘ aturii dintre coordonatele rectangulare ¸si latitudinea geocentric˘ a ˆIn continuare se va evident¸ia leg˘atura dintre coordonatele rectangulare geocentrice ecuatoriale ale unei elipse cu latitudinea geocentrc˘a φ′ . Se va considera elipsa din Figura 7.6, punctul M (x, y) situat pe suprafat¸a terestr˘a ¸si raza vectoare geocentric˘a rho. Se consider˘a c˘a punctul M are latitudinea geocentric˘a φ′ [9]. Astfel din triunghiul T M Q rezult˘a   x = ρ cos φ′ M  y = ρ sin φ′ M

(7.9)

Pentru a-l exprima pe ρ se va folosi ecuat¸ia parametric˘a a elipsei. Se consider˘a cercul circumscris elipsei de raz˘a egal˘a cu semiaxa mare a elipsei. Din M se va duce perpen82

˘ ¸ ARE 7. PAM ˘ ANTUL ˆ UNITATEA DE ˆINVAT CORP CERESC y N

M (x, y)

ρ

ψ φ′ q′

Q

T

q

x

Figura 7.6: Ecuat¸iile parametrice ale unei elipse \ diculara pe axa T x, aceasta va intersecta cercul ˆın N ¸si axa T x ˆın Q. Unghiul N OQ se noteaz˘a cu ψ, astfel se va obt¸ine [1]:   x = a cos ψ M  y = b sin ψ M Din (7.7) se obt¸ine:

(7.10)

  x = a cos ψ M  y = a√1 − e2 sin ψ M

(7.11)

Din triunghiul OM Q rezult˘a ρ=

√

2

xM + yM

2

√ = a 1 − e2 sin2 ψ.

(7.12)

Pentru a-l exprima pe ψ ˆın funct¸ie de latitudinea geodezic˘a din triunghiul OM Q rezult˘a sin φ =

yM ρ

(7.13)

ˆInlocuind ˆın (7.13) pe (7.12) ¸si (7.11) se obt¸ine:

sin ψ = √ ρ = √

sin φ′ 1 − e2 cos2 φ′ √ a 1 − e2 1 − e2 cos2 φ′

⇒

(7.14) (7.15)

ˆInlocuind ˆın (7.9) pe (7.15) se obt¸in coordonatele punctului M de pe suprafat¸a terestr˘a exprimate ˆın funct¸ie de latitudinea geocentric˘a φ′ : 83

˘ ¸ ARE 7. PAM ˘ ANTUL ˆ UNITATEA DE ˆINVAT CORP CERESC

xM

√ a 1 − e2 cos φ′ =√ 1 − e2 cos2 φ′

¸si yM

√ a 1 − e2 sin φ′ =√ . 1 − e2 cos2 φ′

(7.16)

Determinarea leg˘ aturii dintre coordonatele rectangulare ¸si latitudinea geodezic˘ a Se consider˘a elipsa din aplicat¸ia precedent˘a ¸si punctul M situat pe elips˘a a¸sa cum este ilustrat ˆın Figura 7.5. ˆIn acest caz punctul M trebuie sa satisfac˘a atˆat ecuat¸ia elipsei −1 , astfel cˆat ¸si ecuat¸ia dreptei tangente la elips˘a ˆın punctul M . Panta tangentei este tgB punctul M trebuie s˘a satisfac˘a sistemul:  2 x z2   2+ 2 =1 a a (1 − e2 )   z = −1 x + c tgB

(7.17)

Valoarea lui c se determin˘a atunci cand se impune condit¸ia ca sistemul (7.17) s˘a aib˘a o singur˘a solut¸ie. Astfel se obt¸ine c=a

√ 1 + ctg 2 B − e2

(7.18)

Rezolvˆand apoi sistemul se obt¸in coordonatele rectangulare  a cos B   x= √    1 − e2 sin2 B     a(1 − e2 ) sin B    z=√ 1 − e2 sin2 B

(7.19)

Cazul latitudinii astronomice Datorit˘a formei complexe a suprafet¸ei terestre nu exist˘a o relat¸ie matematic˘a direct˘a ˆıntre coordonatele rectangulare si latitudinea astronomic˘a. De asemenea, observat¸iile astronomice facute de c˘atre geodezi se realizeaz˘a cu instrumente care regleaz˘a nivelmetrul, astfel verticala instrumentului coincide cu direct¸ia gravitat¸iei ¸si deflect¸ia vericalei se va aproxima cu zero [13], [9]. 84

˘ ¸ ARE 7. PAM ˘ ANTUL ˆ UNITATEA DE ˆINVAT CORP CERESC ˆIn aceste condit¸ii formulele care vor face leg˘atura ˆıntre latitudinea astronomic˘a ¸si coordonatele rectangulare sunt date de relat¸iile (7.19) care devin:  a cos φ  x= √    1 − e2 sin2 φ      a(1 − e2 ) sin φ   √ z =  1 − e2 sin2 f

(7.20)

Determinarea coordonatelor geocentrice rectangulare ale unui observator situat pe suprafat¸a P˘ amˆ antului ˆın cazul ˆın care se cunosc latitudinea geodezic˘ a B, longitudinea geodezic˘ a L ¸si ˆınalt¸imea geodezic˘ a H. Londitudinea geodezic˘a L, reprezint˘a unghiul format de planul meridian al locului cu planul meridianului Greenwich, iat ˆınalt¸imea geodezic˘a H reprezint˘a distant¸a locului de observat¸ie de la elipsoidul de referint¸a˘. A¸sa cum este demonstrat ˆın [4] ¸si [9] au loc relat¸iile:    x = (C + H) cos B cos L   y = (C + H) cos B sin L     z = (S + H) sin B

(7.21)

cu C=√ Observat¸ia 7.2.1

a 1−

e2

,

2

sin B

S = (1 − e2 )C

(7.22)

1. Leg˘atura ˆıntre latitudinea geodezic˘ a B ¸si latitudinea geocentric˘ a

φ′ este tgB =

tgφ′ 1 − e2

(7.23)

Diferent¸a dintre latitudinea geodezic˘ a si geocentric˘ a poate fi aproximat˘ a de relat¸ia B − φ = 103132′′ .4 e2 sin(2B)

(7.24)

2. Leg˘ atura ˆıntre latitudinea geodezic˘ a B ¸si latitudinea excentric˘ a ψ este tgψ =

√ 1 − e2 tgB

85

(7.25)

˘ ¸ ARE 7. PAM ˘ ANTUL ˆ UNITATEA DE ˆINVAT CORP CERESC 3. Leg˘ atura ˆıntre latitudinea astronomic˘ a φ ¸si latitudinea excentric˘ a ψ este tgψ =

√

1 − e2 tgφ

(7.26)

Determinarea proiect¸iei pe elipsoidul de referint¸˘ a a pozit¸ei unui satelit Fie S un satelit artificial al P˘amˆantului a c˘arui coordonate rectangulare (x, z) sunt cunoscute. Se cer coordonatele geodezice (L, B, H) ale proiect¸iei pozit¸iei satelitului atunci cˆand dreapta care une¸ste satelitul cu punctul de proiect¸ie este perpendicuar˘a pe tangent˘a la elipsoid ˆın punctul de proiect¸ie. ˆIn Figura 7.7 se consider˘a satelitul S(x, z), proiect¸ia acestuia pe elipsoid ˆın condit¸iile impuse este punctul M . Pentru a determina coordonatele (L, B, H) ale punctului M din triunghiul T SN se observ˘a c˘a ST = r =

√ x2 + z 2 ¸si δ = arctgzx

z

S(x, z) r

H M B − φ′

δ

φ′

T

ρ

B

N

x

O

Figura 7.7: Determinarea proiect¸iei pe elipsoidul de referint¸˘a a pozit¸ei unui satelit Procesul determin˘arii pozit¸iei punctului M este unul iterativ. Deoarece s-a exprimat declinat¸ia ˆın funct¸ie de x ¸si z, ˆıntr-o prim˘a aproximat¸ie se poate considera c˘a δ = φ′ . Cunoscˆand latitudinea geocentric˘a din relat¸iile (7.15) ¸si (10.13) rezult˘a √ ( ) a 1 − e2 tgφ′ ρ= √ , B = arctg 1 − e2 1 − e2 cos2 φ′ 86

(7.27)

˘ ¸ ARE 7. PAM ˘ ANTUL ˆ UNITATEA DE ˆINVAT CORP CERESC Pentru a-l determina pe H se va folosi triunghiul dreptunghic T OS ¸si ˆın urma aplic˘arii teoremei lui Pitagora rezult˘a (OM + M S)2 = T S 2 − OT 2 , dar M S = H, OM = ρ cos(B − φ′ ), din triunghiul dreptunchic T OM OT = ρ sin(B − φ′ ), din triunghiul dreptunchic T OM, √ H = r2 − ρ2 sin2 (B − φ′ ) − ρ cos(B − φ′ )

⇒ (7.28)

Pentru a se obt¸ine o aproximare mai bun˘a pentru φ′ se va folosi teorema sinusului ˆın triunghiul T M S ¸si se va obt¸ine sin(1800 − (B − φ′ )) sin(δ − φ′ ) = H r

(7.29)

Deoarece unghiul (δ −φ′ ) este mic, valoarea sinususlui se va aproxima cu unghiul exprimat ˆın radiani. In acest mod se va obt¸ine o aproximare mai bun˘a pentru φ′ , analog se vor determina noile valori pentru B ¸si H. Procedeul se va relua pˆan˘a se va obt¸ine precizia dorit˘a. Pentru a determina longitudinea L se folosesc relat¸iile (7.21) ¸si (7.22), astfel se obt¸ine: √ (C + H)2 cos2 B + (S + H) sin2 B (7.30) tgL = (S + H) sin B Este indicat s˘a se verifice valaorea lui H prin aplicarea teoremei cosinusului ˆın triunghiul T M S, adic˘a H 2 = r2 + ρ2 − 2rρ cos(δ − φ′ ).

87

˘ ¸ ARE 7. PAM ˘ ANTUL ˆ UNITATEA DE ˆINVAT CORP CERESC

88

Unitatea de ˆınv˘ a¸tare 8 Timpul Cuprins 8.1

Timpul sideral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

8.2

Timpul solar adev˘ arat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

8.3

Timpul solar mediu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

8.4

Timpul universal. Timpul legal. Convent¸ia fuselor orare . . .

94

8.5

Calendarul

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

8.6

Metode de determinare a timpului . . . . . . . . . . . . . . . .

99

Obiectivele unit˘ a¸tii de ˆınv˘ a¸tare 1. Evident¸ierea celor mai des folosite sisteme de timp ˆın astronomia geodezic˘a; 2. Metode de determinare a timpului

Pozit¸ia unui astru ˆın oricare din sistemele de coordonate specificate este valabil˘a doar pentru un anumit moment de timp. Pentru ˆıntelegerea not¸iunii de timp se vor folosi momentul ˆın care se face observat¸ia, precum ¸si intervalul de timp scurs ˆıntre dou˘a observat¸ii consecutive, folosind o scar˘a de timp. Unit˘a¸tile de m˘asur˘a pentru timp sunt legate de anumite fenomene fizice care sunt continue ¸si repetitive. Astfel timpul reprezint˘a o variabil˘a 89

˘ ¸ ARE 8. TIMPUL UNITATEA DE ˆINVAT independent˘a care permite descrierea desf˘a¸sur˘arii fenomenului. Fenomenele astronomice folosite pentru m˘asurarea timpului sunt: 1. mi¸scarea de rotat¸ie a P˘amˆantului ˆın jurul axei sale sau mi¸scarea aparent˘a a bolt¸ii cere¸sti, obt¸inˆandu-se timpul sideral ¸si timpul universal; 2. mi¸scarea de rotat¸ie a P˘amˆantului ˆın jurul Soarelui, rezultˆand timpul efemeridelor sau timpul newtonian; 3. timpul atomic bazat pe oscilat¸ia electromagnetic˘a produs˘a de tranzit¸ia unui atom. Mi¸sc˘arile principale ale P˘amˆantului de rotat¸ie ¸si de revolut¸ie dau ¸si unit˘a¸tile de m˘asur˘a pentru m˘asurarea timpului: ziua ¸si anul. ˆIn vechime se presupunea uniformitatea mi¸sc˘arii diurne aparente; ˆın prezent se admite numai ˆın prim˘a aproximat¸ie uniformitatea rotat¸iei P˘amˆantului. Cauze geofizice ¸si deplas˘ari ale maselor de aer ¸si ap˘a pe suprafat¸a P˘amˆantului ˆıi modific˘a put¸in perioada de rotat¸ie. Pe aceast˘a baz˘a se va considera unghiul orar al unui astru ca fiind o m˘arime proport¸ional˘a cu timpul, deci poate fi utilizat pentru m˘asurarea timpului. Exist˘a diferite denumiri pentru timp, dup˘a astrul sau punctul de pe sfera cereasc˘a a c˘arui mi¸scare diurn˘a o urm˘arim. Trebuie precizat c˘a timpul, ca m˘asur˘a a duratei fenomenelor materiale este unic deci difer˘a numai unitatea sau originea de m˘asurare a timpului.

8.1

Timpul sideral

Timpul sideral reprezint˘a unghiul orar al punctului vernal γ. ˆIn cazul trecerii astrului pe la meridian, timpul sideral coincide cu ascensia dreapt˘a. Astfel pentru determinarea timpului sideral se va determina momentul trecerii astrului pe la meridian folosind luneta de treceri. Unitatea de timp este ziua sideral˘a ¸si reprezint˘a timpul scurs ˆıntre dou˘a culminat¸ii superioare consecutive ale punctului vernal. Submultiplii zilei siderale sunt ora, minutul ¸si secunda sideral˘a. Timpul sideral se noteaz˘a cu θ ¸si θ = Hγ 90

(8.1)

˘ ¸ ARE 8. TIMPUL UNITATEA DE ˆINVAT Timpul sideral se poate determina cu ajutorul a¸strilor a c˘aror ascensie dreapt˘a se cunoa¸ste atunci cˆand ace¸stia trec pe la meridian. Pentru p˘astrarea timpului sideral se folosesc orologii siderale. Datorit˘a fenomenului precesiei, ziua sideral˘a difer˘a cu 0s .8 fat¸˘a de perioada de rotat¸ie a P˘amˆantului. Punctul vernal γ este un punct fictiv de pe bolta cereasc˘a deci trecerile sale la meridianul superior al locului nu pot fi observate iar unghiul s˘au orar H este imposibil de m˘asurat direct. De aceea, din locul considerat se urm˘are¸ste trecerea la meridianul superior al locului a unei stele cunoscute M ¸si apoi, ˆıntr-un moment diurn oarecare, se determin˘a unghiul orar H al stelei, a c˘arei ascensie dreapt˘a α se cunoa¸ste, astfel ˆıncˆat timpul sideral va fi dat de θ = αM + HM . M˘asurarea timpului cu ajutorul zilelor siderale ¸si al fract¸iunilor de zile siderale este foarte simpl˘a ¸si comod˘a ˆın rezolvarea problemelor de astronomie, dar este incomod˘a pentru viat¸a cotidian˘a a oamenilor, a c˘aror activitate este legat˘a de pozit¸iile aparente diurne ¸si anuale ale Soarelui pe sfera cereasc˘a. Astfel dac˘a la echinoct¸iul de prim˘avar˘a ziua solar˘a va ˆıncepe odat˘a cu culminat¸ia superioar˘a a Soarelui, peste ¸sase luni ziua sideral˘a va ˆıncepe odat˘a cu culminat¸ia inferioar˘a a Soarelui.

8.2

Timpul solar adev˘ arat

Un alt timp legat de viat¸a practic˘a este cel definit prin intermediul mi¸sc˘arii aparente a Soarelui. Timpul solar adev˘ arat reprezint˘a unghiul orar al centrului Soarelui. Ca unitate de m˘asur˘a se utilizeaz˘a ziua solar˘a adev˘arat˘ a, adic˘a timpul scurs ˆıntre dou˘a culminat¸ii superioare consecutive ale centrului Soarelui. Ziua solar˘a adev˘arat˘a ˆıncepe ˆın momentul culminat¸iei superioare a centrului Soarelui (la miezul zilei). Timpul solar adev˘arat se noteaz˘a cu ta ¸si are loc ta = H⊙

(8.2)

Datorit˘a mi¸sc˘arii sale anuale aparente, ˆın mi¸scarea pe paralelul s˘au diurn, Soarele r˘amˆane ˆın urm˘a ˆın fiecare zi cu aproximativ un grad fat¸˘a de stele, de unde rezult˘a o decalare zilnic˘a de 3m 56s (unit˘a¸ti de timp sideral) a zilei siderale fat¸˘a de ziua solar˘a mijlocie. Deci, ˆınceputul zilei siderale are loc ˆın momente diferite ale zilei solare, fapt care face timpul 91

˘ ¸ ARE 8. TIMPUL UNITATEA DE ˆINVAT Z P

Q

N

O

Q’

HSoare

Hγ

S

γ

Soare P’ Z’

Figura 8.1: Timpul solar adev˘arat sideral necorespunz˘ator pentru viat¸a practic˘a. Dar ¸si mi¸scarea Soarelui are un neajuns pentru determinarea timpului, ˆıntrucˆat nu este uniform˘a, din urm˘atoarele motive: • Soarele adev˘arat, ˆın mi¸scarea sa anual˘a aparent˘a, descrie ecliptica ˆın mod neuniform datorit˘a mi¸sc˘arii neuniforme a P˘amˆantului ˆın jurul Soarelui; • Mi¸scarea diurn˘a a Soarelui ˆın jurul axei lumii este neuniform˘a datorit˘a ˆınclinat¸iei eclipticii fat¸a de ecuatorul ceresc. Din aceste motive se consider˘a un Soare fictiv numit Soare mijlociu cu ajutorul c˘aruia se va defini un timp care are unit˘a¸ti egale ˆıntre ele.

8.3

Timpul solar mediu

Se nume¸ste Soare mijlociu sau Soare mediu ecuatoriual un punct fictiv care se mi¸sc˘a uniform pe ecuatorul ceresc ¸si trece prin punctul vernal γ odat˘a cu Soarele adev˘arat. Timpul mijlociu sau timpul solar mediu reprezint˘a timpul m˘asurat prin unghiul orar al Soarelui mijlociu. Unitatea de timp mediu este ziua solar˘ a medie, care reprezint˘a intervalul de timp scurs ˆıntre dou˘a culminat¸ii inferioare consecutive ale Soarelui mijlociu la meridianul locului. S-a ales culminat¸ia inferioar˘a pentru ca ˆınceputul zilei s˘a aib˘a loc 92

˘ ¸ ARE 8. TIMPUL UNITATEA DE ˆINVAT ˆın perioada de ˆıntuneric. Timpul mijlociu se noteaz˘a cu tm ¸si are loc tm = H⊙m + 12h

(8.3)

unde H⊙m reprezint˘a unghiul orar al Soarelui mijlociu. Soarele mijlociu, fiind o fict¸iune, nu se poate observa, dar pozit¸ia lui se poate calcula. Unghiul orar al Soarelui mijlociu difer˘a de unghiul orar al Soarelui adev˘arat cu o anumit˘a cantitate numit˘a ecuat¸ia timpului (ecuat¸ie se folose¸ste ˆın sensul de corect¸ie) de unde rezult˘a c˘a tm − ta = H⊙m − H⊙ + 12h = E + 12h

(8.4)

iar ecuat¸ia timpului E este o cantitate variabil˘a, a c˘arei valoare este dat˘a pentru fiecare zi de anuarele astronomice [2], valoarile lui E ∈ [−17′′ , +17′′ ]. Ziua solar˘a mijlocie, la fel ca cea sideral˘a, se divide ˆın 24 de ore, ora ˆın 60 de minute ¸si minutul ˆın 60 de secunde (de timp mijlociu). Ziua are 86400 secunde. Perioada de rotat¸ie a P˘amˆantului este mai mic˘a decˆat o zi solar˘a medie ¸si are 86164 secunde. Cu ale cuvinte este mai mic˘a tocmai cu 3m 56s . Anul tropic este intervalul dintre dou˘a treceri consecutive ale Soarelui la punctul vernal γ. 1z.m.= (1+µ)z.s.=1z.s. +3m 56s .555 u.s. 1h.m.= (1+µ)h.s.=1h.s. +9s .856 u.s. 1m.m.=(1+µ)m.s.= 1m.s. +0s .164 u.s. 1s.m.=(1+µ)z.s.= 1s.s. +0s .003 u.s. Tabelul 8.1: Transformarea unit˘a¸tilor siderale ˆın unit˘a¸ti medii Anul tropic are 365, 2422... zile medii, adic˘a 365z 5h 48m 46s .045. ˆIntr-un an tropic punctul vernal execut˘a 366.2422 rotat¸ii ˆın jurul axei lumii adic˘a cu o rotat¸ie ˆın plus fat¸a˘ de num˘arul de rotat¸ii efectuate de Soarele mijlociu. Rezult˘a c˘a 1 an tropic = 366.2422 zile siderale = 365, 2422 zile solare medii

(8.5)

De aici rezult˘a c˘a ˆıntre subunit˘a¸tile de m˘asur˘a ale timpului solar mediu ¸si subunit˘a¸tile de 1 m˘asur˘a ale timpului sideral, definind µ = = 0.00273791 au loc relat¸iile date ˆın 365.2422 Tabelul 8.1. 93

˘ ¸ ARE 8. TIMPUL UNITATEA DE ˆINVAT 1 = 0.00273043, transform˘arile inverse sunt date ˆın Tabelul 8.2. 366.2422 1 Relat¸ia dintre µ ¸si ν este 1 + µ = . Se consider˘a ca un eveniment a avut loc la 1−ν

Definind ν =

1z.s.=(1-ν)z.m.= 1z.m.−3m 55s .909 u.m. 1h.s.= (1-ν)h.m.=1h.m.−9s .83 u.m. 1m.s.=(1-ν)m.m.= 1m.m.−0s .164 u.m. 1s.s.= (1-ν)s.m.=1s.m.−0s .003 u.m. Tabelul 8.2: Transformarea unit˘a¸tilor medii ˆın unit˘a¸ti siderale un moment sideral θ pentru un punct dat de pe suprafat¸a terestr˘a. Pentru determinarea momentului de timp mediu tm pentru acela¸si punct ¸si acela¸si θ se consider˘a: tm0 corespunz˘ator lui θ0 . Atunci intervalului tm − tm0 ˆıi corespunde θ − θ0 deoarece o unitate de timp sideral este echivalent˘a cu 1 − ν unit˘a¸ti de timp mediu rezult˘a tm − tm0 = (1 − ν)(θ − θ0 )

(8.6)

Se consider˘a ca origine miezul nopt¸ii medii deci tm0 = 0 ¸si rezult˘a tm = (1 − ν)(θ − θ0 )

(8.7)

Anuarele astronomice dau valoarea θ0G pentru Greenwich ¸si atunci pentru un punct terestru de longitudine L se obt¸ine θ0G − θ0 = 9s .856L

(8.8)

Pentru transformarea timpului mediu ˆın timp sideral se folose¸ste: θ − θ0 = (1 + µ)t0G

8.4

(8.9)

Timpul universal. Timpul legal. Convent¸ia fuselor orare

Timpurile definite anterior sunt timpuri locale deoarece au fost definite prin intermediul unghiurilor orare. Pentru toate localit˘a¸tile situate pe acela¸si meridian geografic timpurile 94

˘ ¸ ARE 8. TIMPUL UNITATEA DE ˆINVAT locale de acela¸si fel sunt egale, ˆıns˘a pentru orice dou˘a localit˘a¸ti situate pe meridiane diferite acestea difer˘a. Se pune problema schimb˘arii timpurilor locale odat˘a cu schimbarea longitudinii geografice. Fie dou˘a localit˘a¸ti A¸si B de longitudini geografice LA ¸si LB fat¸˘a de meridianul de la Greenwich. Unghiurile orare ale unui astru M observat din A ¸si B se noreaz˘a cu HA ¸si HB . Din Figura 8.2 rezult˘a: HA − HB = L A − L B .

(8.10)

P

LA − LB

p B

A O

HA − HB

Figura 8.2: Leg˘atura dintre timpul local ¸si longitudine Deoarece timpul sideral, timpul solar adev˘arat ¸si timpul solar mediu sunt date de relat¸iile (8.1), (8.2), respectiv (8.3) prin aplicarea relatiei (8.10) rezult˘a θA − θB = LA − LB , t0A − t0B = LA − LB ,

(8.11)

tmA − tmB = LA − LB . Din (8.11) rezult˘a c˘a toate timpurile de mai jos depind de longitudine. Pentru eliminarea acestor dificult˘a¸ti se define¸st timpul universal. Se nume¸ste timp universal notat T U sau GM T Greenwich Mean Time timpul solar mediu al meridianului de la Greenwich. Deci T U = tmG . 95

(8.12)

˘ ¸ ARE 8. TIMPUL UNITATEA DE ˆINVAT Deci cunoscˆand timpul universal, timpul solar mediu al oric˘arei localit˘a¸ti de longitudine L se determin˘a dup˘a formula: tm = T U + L.

(8.13)

Timpul solar mediu este dificil de utilizat ˆın practic˘a. Dac˘a o persoan˘a se deplaseaz˘a pe suprafat¸a P˘amˆantului de la est spre vest sau invers, ar fi nevoit¸˘a s˘a mute continuu acele ceasornicului pentru a se raporta la ora meridianului pe care ˆıl travers˘am. Pentru a se ˆınl˘atura acest inconvenient, ˆın 1884 a fost introdus˘a convent¸ia fuselor orare. Astfel, uuprafat¸a P˘amˆantului a fost ˆımp˘art¸it˘a ˆın 24 de fuse orare, fiecare fus avˆand largimea de 150 sau 1h . Toate localit˘a¸tile din interiorul fusului au acela¸si timp, timpul meridianului central al fusului. Fusul initial numit ¸si fusul zero are ca meridian central, meridianul localit˘a¸tii Greenwich, fusul 1 - meridianul de longitudine estica 150 , fusul 2 - meridianul de longitudine estic˘a 300 etc. Se nume¸ste timp legal, notat tl , timpul solar mediu al meridianului central al fusului orar respectiv. Deci toate localit˘a¸tile situate ˆın interiorul fusului n, n ∈ 0, 1, 2, ..., 23, au timpul legal: tl = T U + nh

(8.14)

Din motive de ordin practic, ora se mut˘a ˆınainte cu o unitate pentru lunile de var˘a (aprilie-octombrie). Acest timp se mai nume¸ste ¸si ora oficial˘a de var˘a. Folosirea fuselor orare a impus introducerea liniei de schimbare a datei care coincide cu antemeridianul localit˘a¸tii Greenwich. Orice zi nou˘a ˆıncepe la vest de linia de schimbare a datei. Urm˘atorul exemplu este util pentru trecerea de la timpul legal la timpul sideral ¸si invers. Exemplul 8.4.1 [9] Din Cluj-Napoca s-a observat un satelit artificial al Terei la momentul tl = 17h 35m 43s , 2 S˘a se determine timpul sideral al observat¸iei ¸stiind c˘a longitudinea localit˘ a¸tii Cluj-Napoca este L = +1h 34m 23s , 46 iar timpul sideral la miezul nopt¸ii la Greenwich a fost θ0G = 1h 13m 32s , 6. Rezolvare: Pentru a determina timpul sideral la Cluj se folose¸ste relat¸ia (8.11) ¸si se 96

˘ ¸ ARE 8. TIMPUL UNITATEA DE ˆINVAT

Figura 8.3: Foaia de calcul pentru determinarea timpului sideral al observat¸iei obt¸ine θCj − θG = LCj − LG de unde θCj = θG + LCj

(8.15)

Deci pentru a determina timpul sideral la Cluj , trebuie determinat timpul sideral la Greenwich. Pentru aceasta se va aplica relat¸ia (8.7) pentru Greebwich ¸si se obt¸ine tmG = (1 − ν)(θG − θ0G )

(8.16)

Deoarece tmG = T U se obt¸ine TU + θ0G 1−ν Dar tl = T U + nh ¸si pentru Romˆania n = 2, deci θG =

T U = tl − 2.

(8.17)

(8.18)

ˆInlocuind pe (8.18) ˆın (8.17) se va obt¸ine timpul sideral la Greenwich , iar apoi din (8.15) se va obt¸ine timpul sideral la Cluj. Etapele de mai sus sunt implementate ˆıntr-o foaie de calcul Excel care este redat˘a ˆın Figura 8.3. Deci θCj = 18h 16m 12s , 97 Exemplul 8.4.2 Se observ˘a trecerea pe la meridian a unui astru cu ascensia dreapt˘ aα= 4h 10m 56s , 23. S˘a se determine momentul de timp legal corespunz˘ ator observat¸iei ¸stiind c˘ a timpul sideral la miezul nopt¸ii la Greenwich era θ0G = 1h 24m 43s , 05 iar longitudinea localit˘ a¸tii A din care s-a realizat observat¸ia este L = 2h 4m 32s , 5. Rezolvare: Pentru a determina timpul legal la locul efectu˘arii observat¸iei se ¸tine cont de urm˘atoarele: tl = T U + nh ¸si T U = tmA − LA . Deci tl = tmA − LA + nh 97

(8.19)

˘ ¸ ARE 8. TIMPUL UNITATEA DE ˆINVAT

Figura 8.4: Foaia de calcul pentru determinarea timpului legal al observat¸iei Se va determina timpul mediu al localit˘a¸tii din care se va realiza observat¸ia, astfel tmA − tmG = LA − LG ,

⇒ tmA = tmG + LA

(8.20)

Pentru a determina tmG se va folosi tmG − t0G = (1 − ν)(θG − θ0G ) ˆIn continuare trebuie determinat θG .

(8.21)

Timpul sideral la Greenwich se va determina

cunoscˆand ascensia dreapt˘a a astrului ˆın momenul trecerii pe la meridian, deci θG = θA − LA

(8.22)

Etapele de mai sus sunt implementate ˆıntr-o foaie Excel ¸si redate ˆın Figura 8.4.

8.5

Calendarul

De-a lungul timpului trei mi¸sc˘ari au influent¸at viat¸a omului. Fiecare dintre acestea, au furnizat cˆate o unitate de timp: (i) Perioada mi¸sc˘arii diurne a Soarelui a dat ziua solar˘ a medie sau mica unitate de timp; (ii) Repetarea fazelor Lunii a furnizat unitatea mijlocie de timp sau luna . Perioada de revolut¸ie sinodic˘a a Lunii (intervalul scurs ˆıntre dou˘a faze de acela¸si fel) are durata de 29.53 zile medii; 98

˘ ¸ ARE 8. TIMPUL UNITATEA DE ˆINVAT (iii) Mi¸scarea anual˘a a Soarelui pe ecliptica a dat unitatea mare de timp, anul . Aceast˘a perioad˘a are la baz˘a anul tropic care are durata de 365,2422 zile solare medii. O problem˘a important˘a a unit˘a¸tilor de timp de mai sus o reprezint˘a faptul c˘a acestea nu sunt comensurabile. Atˆat anul cˆat ¸si luna nu cont¸in un num˘ar ˆıntreg de zile. Problema calendarului const˘a ˆın g˘asirea unei unit˘a¸ti convent¸ionale de timp numit˘a an calendaristic, care s˘a cuprind˘a un num˘ar ˆıntreg de zile ce poate varia cu cel mult o zi, ˆın a¸sa fel ˆıncˆat succesiunea lor s˘a reproduc˘a succesiunea anilor tropici sau a lunilor sinodice. Cronologic primele calendare au fost calendare solare. • Cel mai vechi calendar solar este cel egiptean, care cuprindea 365 de zile grupate ˆın 12 luni de cˆate 30 de zile, urmate de 5 zile suplimentare. Fiind prea scurt fat¸˘a de anul tropic, ˆın cursul a 1508 ani avanseaz˘a cu un an fat¸˘a de succesiunea anilor tropici. • ˆIn 46 i.H. Iulius Caesar decreteaz˘a utilizarea calendarului iulian (stil vechi). Durata anului iulian era de 365,25 zile, considerˆand ˆın practica trei ani a cˆate 365 zile ¸si un an bisect de 366 zile. Fiind prea lung, ˆın 384 de ani ˆıntˆarzie cu 3 zile. • ˆIn 1582, Papa Grigore al XIII-lea realizeaz˘a reforma calendarului, cunoscut astˆazi sub numele de calendar gregorian (stil nou). Aceast˘a reform˘a consta ˆın: (a) ad˘augarea a 10 zile ˆın calendar pentru eliminarea decalajului calendarului iulian fat¸˘a de anul tropic. Astfel, dup˘a 4 octombrie 1582 a urmat 15 octombrie 1582; (b) suprimarea a trei zile la 400 de ani neconsiderˆand c˘a ani bisect¸i anii seculari al c˘aror num˘ar nu este divizibil cu 4 (1700, 1800, 1900, 2100 etc.). R˘amˆane astfel o ˆıntˆarziere fat¸a˘ de anul tropic de o zi la 3300 ani.

8.6

Metode de determinare a timpului

Problema m˘asur˘arii timpului s-a studiat, sub aspect teoretic ˆın continuare se va descrie practic cum se determin˘a timpului -ora exact˘a. Aceast˘a determinare se efectueaz˘a cu ajutorul instrumentului de treceri. El const˘a dintr-o lunet˘a care se poate roti n jurul 99

˘ ¸ ARE 8. TIMPUL UNITATEA DE ˆINVAT unei axe orizontale a¸sezat˘a pe direct¸ia Est-Vest. Luneta este cotit˘a, ocularul g˘asindu-se la un cap˘at al axei orizontale (o prism˘a deviaz˘a mersul razelor). La cel˘alalt cap˘at al axei orizontale se afl˘a dispozitivul de iluminat cˆampul ocularului. ˆIn planul focal al lunetei se afl˘a mai multe fire reticulare cu ajutorul c˘arora se determin˘a momentul trecerii unei stele prin meridianul locului. Pe axa orizontal˘a se afl˘a un cerc gradat, cu ajutorul c˘aruia se orienteaz˘a luneta. Capetele axei orizontale se sprijin˘a pe un suport greu metalic, iar acesta cu ajutorul unor picioare ¸suruburi - pe un stˆalp de beton. Cu ajutorul manivelei, luneta poate fi rotit˘a cu 1800 . Principiul determin˘arii orei exacte este descris ˆın continuare. Fie o stea fundamental˘a de coordonate ecuatoriale (α, δ) cunoscute. Fie θ timpul sideral ¸si H unghiul orar al stelei la un moment dat. ˆIn momentul cˆand steaua trece la meridian, H = O, deci θ = α. Fie sc timpul indicat de pendul˘a (orologiu) ˆın momentul cˆand steaua trece la meridian (timpul citit - sau citirea). Atunci corect¸ia p˘ astr˘ atorului de timp (pendul˘a, orologiu, cronometru etc. Cp , va fi dat˘a de diferent¸a Cp = s − sc = α − sc

(8.23)

Citirea sc se poate determina prin diferite metode: vizual˘a, automat˘a, fotoelectric˘a. Fie sc1 , sc2 , ..., scn citirile la cele n fire reticulare. Citirea sc va fi media lor aritmetic˘a 1∑ sci sc = n i=1 n

(8.24)

Astfel determinarea orei exacte revine la determinarea corect¸iei p˘astr˘atorului de timp. ˆIn determin˘arile de mare precizie ˆın formula (8.23) trebuie s˘a se mai introduc˘a cˆa¸tiva termeni corectivi care iau ˆın considerare influent¸a erorilor instrumentale asupra determin˘arii. Avˆand ora sideral˘a exact˘a se folose¸ste formula (2.20) din [12] ¸si se poate obt¸ine ora solar˘a medie, iar cu formulele (8.12), (8.14) ora legal˘a. Ora exact˘a se poate determina ˆın mod analog ¸si cu luneta meridian˘a [12]. Cunoa¸sterea orei exacte este important˘a pentru toate domeniile activit˘a¸tii umane. Pentru asigurarea orei exacte marile observatoare astronomice, organizeaz˘a a¸sa-numitele ”Servicii ale orei” (sau ”timpului”), care determin˘a prin observat¸ii ¸si difuzeaz˘a ora exact˘a pentru toat˘a lumea.

100

Unitatea de ˆınv˘ a¸tare 9 Fenomene care modific˘ a pozit¸iile a¸strilor pe bolta cereasc˘ a Partea I Cuprins 9.1

Refract¸ia astronomic˘ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

9.2

Aberat¸ia luminii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Obiectivele unit˘ a¸tii de ˆınv˘ a¸tare

1. Determinarea corect¸iilor datorate refract¸iei astronomice pentru coordonatele ecuatoriale ale unui corp ceresc;

2. Efectele aberat¸iei luminii asupra pozit¸iei a¸strilor.

Fenomenele, studiate ˆın acest capitol, care modific˘a pozit¸iile a¸strilor pe bolta cereasc˘a sunt fenonmenele optice ale: refract¸iei astronomice ¸si aberat¸iei luminii. 101

˘ ¸ ARE 9. FENOMENE CARE MODIFICA ˘ POZIT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ IILE ˘ AS¸TRILOR PE BOLTA CEREASCA PARTEA I

9.1

Refract¸ia astronomic˘ a

Razele de lumin˘a ale a¸strilor, trecˆand prin atmosfera P˘amˆantului, sunt refractate din ce ˆın ce mai mult, dup˘a o curb˘a, astfel ˆıncˆat direct¸ia dup˘a care ajung pe suprafat¸a˘ P˘amˆantului este deviat˘a spre zenitul observatorului Figura 9.1 Z

M’ (pozitia observata a astrului) M (pozitia reala a astrului)

O

z z’

c

Figura 9.1: Refract¸ia astronomic˘a Se nume¸ste refract¸ie astronomic˘ a , unghiul dintre direct¸ia ˆın care se vede aparent astrul ¸si directia dup˘a care se propag˘a razele de lumin˘a ˆın afara atmosferei terestre. R = z − z′

(9.1)

Observat¸ia 9.1.1 [6] Efectele refract¸iei astronomice asupra unui astru sunt: (i) Refract¸ia astronomic˘a ridic˘a astrul deasupra orizontului; (ii) Refract¸ia astronomic˘a nu modific˘ a azimutul A al astrului; (iii) Refract¸ia astronomic˘ a depinde de ˆın˘ alt¸imea astrului deasupra orizontului ¸si de parametrii de stare ai atmosferei (densitate, presiune, temperatura); (iv) Valoarea exact˘a a refract¸iei astronomice este dat˘a printr-o formul˘a integral˘ a. 102

˘ ¸ ARE 9. FENOMENE CARE MODIFICA ˘ POZIT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ IILE ˘ AS¸TRILOR PE BOLTA CEREASCA PARTEA I ˆIn cele ce urmeaz˘a se va stabili o formul˘a aproximativ˘a pentru refract¸ia astronomic˘a, refract¸ie corespunz˘atoare valorilor medii ale presiunii ¸si temperaturii atmosferei ˆıntr-un loc dat. Aceast˘a formul˘a este aplicabil˘a doar pentru distant¸e zenitale mai mici de 700 . Se presupune c˘a suprafat¸a terestr˘a este plan˘a, iar atmosfera este ˆımp˘art¸it˘a ˆın straturi paralele cu suprafat¸a terestr˘a, avˆand indicii de refract¸ie n0 , n1 , ..., nm ¸si unghiurile de refract¸ie i0 = z ′ , i1 , ..., im = z corespunz˘atoare fiec˘arui strat al atmosferei ilustrat¸i ˆın Figura 9.2.

im = z

nm = 1

i(m−1)

i0 = z ′

n0

Figura 9.2: Refract¸ia razelor de lumin˘a Se aplic˘a legea Snellius-Descartes rezult˘a nk sin ik = nk−1 sin ik−1 , k = 1, ..., m

(9.2)

nm sin im = n0 sin i0 .

(9.3)

nm = 1, im = z ¸si i0 = z ′

(9.4)

se deduce

Dar

Din relat¸iile (9.1), (9.3) ¸si (9.4) se obt¸ine sin(R + z ′ ) = n0 sin z ′ 103

(9.5)

˘ ¸ ARE 9. FENOMENE CARE MODIFICA ˘ POZIT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ IILE ˘ AS¸TRILOR PE BOLTA CEREASCA PARTEA I Indicele de refractie n0 se determin˘a din m˘asur˘atori, iar z ′ din observat¸ii. S-a observat c˘a pentru z ′ ∈ [00 , 700 ], refract¸ia astronomic˘a are valori mici, deci se fac urm˘atoarele aproxim˘ari:

cos R = 1, sin R = Rrad =

R′′ 180·3600 π

=

R′′ 206264.8

(9.6)

unde R′′ reprezint˘a refract¸ia astronomic˘ a exprimat˘a ˆın secunde de arc. Relat¸ia (9.5) devine

R′′ ctg z ′ + 1 = n0 , 206264.8

(9.7)

R′′ = (n0 − 1)206264.8 tg z ′

(9.8)

de unde rezult˘a

Coeficientul k = 206264.8(n0 − 1) se nume¸ste coeficient de refract¸ie ¸si are valoarea 58′′ .3 pentru valori medii ale temperaturii ¸si presiunii: T = 100 C, p = 760mmHg. Formula (9.8) nu este adev˘arat˘a pentru z ′ > 700 . Spre exemplu, dac˘a z ′ = 900 astrul se afl˘a ˆın orizont ¸si s-ar obt¸ine R′′ = +∞, dar s-a determinat c˘a la orizont R = 35′ . Refract¸ia astronomic˘a se manifest˘a prin urm˘atoarele fenomene [6]: (a) r˘as˘aritul ¸si apusul a¸strilor, prelungind durata drumului a¸strilor deasupra orizontului; (b) turtirea discului Soarelui ¸si discului Lunii ˆın apropierea orizontului; (c) modificarea coordonatelor orare, ecuatoriale ¸si ecliptice ale a¸strilor. Aplicat¸ie S˘a se studieze efectul refract¸iei astronomice asupra unui astru de coordonate ecuatoriale (α1 , δ1 ) cunoscˆandu-se momentul sideral θ al observat¸iei ¸si latitudinea φ a locului de observat¸ie. Rezolvare: ˆIn Figura 9.3 tot ce este notat cu indicele 1 se refer˘a la valorile observate ¸si nu la cele reale. Se ¸stie c˘a aberat¸ia luminii nu modific˘a azimutul. Astfel refract¸ia este R = z − z1 . Se consider˘a punctul M2 pe arcul P M astfel ˆıncˆat unghiul P M2 M1 este de 900 . Din teorema sinusului aplicat˘a ˆın triunghiul sferic P M2 M1 se obt¸ine sin(α1 − α) 1 = sin M1 M2 ) cos δ1 104

(9.9)

˘ ¸ ARE 9. FENOMENE CARE MODIFICA ˘ POZIT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ IILE ˘ AS¸TRILOR PE BOLTA CEREASCA PARTEA I Z P P M1

90 − δ1 α1 − α

90 − δ M

90

M2 δ1 − δ q

M1 z − z1

M

P′ Z′

Figura 9.3: Determinarea variat¸iei declinat¸iei ¸si ascensiei drepte datorate refract¸iei luminii Deoarece α1 − α ∈ [00 , 700 ] se poate aproxima sinusul cu valoarea unghiului exprimat˘a ˆın radiani. Atunci (9.9) devine M1 M2 = (α1 − α) cos δ1

(9.10)

Se presupune cunoscut˘a valoarea unghiului paralactic q ¸si atunci ˆın triunghiul M M1 M2 are loc cos q =

δ1 − δ M M2 = , M M1 z − z1

de unde se obt¸ine δ1 − δ R = (δδ)′′ = R′′ cos q

cos q = (δ1 − δ)′′

(9.11) (9.12)

Exprimˆand sinusul unghiului paralactic ˆın acela¸si triunghi, se obt¸ine:

M1 M2 = R sin q. 105

(9.13)

˘ ¸ ARE 9. FENOMENE CARE MODIFICA ˘ POZIT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ IILE ˘ AS¸TRILOR PE BOLTA CEREASCA PARTEA I Din (9.10) ¸si (9.13) se obt¸ine: R sin q = (α1 − α) cos δ1 ⇔ R sin q ⇔ δα = cos δ1 R′′ sin q (δα)′′ = (α1 − α)′′ = ⇔ cos δ1 R sin q Rs sin q = (δα)s = (α1 − α)s = cos δ1 15 cos δ1

(9.14) (9.15) (9.16)

Pentru a determina corect¸ia ascensiei drepte ¸si a declinat¸iei datorate aberat¸iei luminii trebuie determinat˘a valoarea unghiului paralactic q. ˆIn triunghiul sferic P ZM1 se va \ aproxima unghiul paralactic P\ M1 Z cu P M Z. Se va aplica formula celor cinci elemente pentru arcul z1 ¸si unghiul q, teorema sinusului pentru arcul z1 ¸si unghiul q ¸si teorema cosinusului pentru arculz1 ¸si unghiul H1 .

cos z1 = sin φ sin δ1 + cos φ cos δ1 cos H1 sin z1 cos q = sin φ cos δ1 − cos φ sin δ1 cos H1

(9.17)

sin z1 sin q = sin H1 cos φ. Pentru a exprima ˆıntr-o form˘a mai lizibil˘a pe q ¸si pe z1 se vor folosi notat¸iile: tgφ cos φ cos H1 , m= cos H1 cos M tgH1 cos M tg (M − δ1 ) tg q = , tg z1 = sin(M − δ1 ) cos q

tgM =

(9.18) (9.19)

ˆ Timi¸soara (φ = 45◦ 44′ 55′′ , 9), la momentul sideral θ = 23h 32m 18s , 4 Exemplul 9.1.1 In s-a observat un obiect cosmic cu coordonatele ecuatoriale aparente α1 = 15h 34m 17s , 3¸si δ1 = +63◦ 12′ 14′′ . S˘a se determine corect¸iile dα ¸si dδ datorate refract¸iei astronomice, ¸stiind c˘a dz = R = Atgz unde A = 47′′ , 5. Rezolvare: Pentru determinarea lui dαs ¸si dδ ′′ se vor parcurge urm˘atoarele etape redate ˆın Figura 9.4: 1. Determinarea lui H1 . Folosind relat¸ia H1 = θ − α1 , obt¸inem c˘a: H1 = 7h 58m 1s , 1. 106

˘ ¸ ARE 9. FENOMENE CARE MODIFICA ˘ POZIT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ IILE ˘ AS¸TRILOR PE BOLTA CEREASCA PARTEA I 2. Aflarea lui M folosind formulele (9.18). 3. Aflarea pe q din relat¸ia (9.19). 4. Aflarea lui z1 din (9.19). 5. Determinarea corect¸iilor din formulele (9.12) ¸si (9.16).

Figura 9.4: Determinarea corect¸iilor dαs ¸si dδ ′′ Prin urmare, dαs = 3s , 316, dδ ′′ = 94′′ , 967. ˆ Exemplul 9.1.2 [9] Intr-o zi la momentul sideral θ = 18h 43m 46s .5 s-a observat din Cluj-Napoca (φ = 460 45′ 34′′ ) un obiect cosmic cu coordonatele ecuatoriale aparente α1 = 12h 04m 34s .5, δ1 = +520 53′ 05′′ . S˘a se determine corect¸iile dα ¸si dδ datorate refract¸iei astronomice ¸stiind c˘a dz = R = A tg z ′ unde A = 58′′ .3 Rezolvare: Pozitia real˘a ˆın coordonate ecuatoriale a astrului este (α, δ), iar pozit¸ia observat˘a este (α1 , δ1 ). Efectele refract¸iei asupra coordonatelor ecuatoriale ale unui astru 107

˘ ¸ ARE 9. FENOMENE CARE MODIFICA ˘ POZIT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ IILE ˘ AS¸TRILOR PE BOLTA CEREASCA PARTEA I sunt date de relt¸iile (9.12) ¸si (9.16) unde q este unghiul paralactic. Etapele care trebuie parcurse sunt acelea¸si ca ˆın Exemplul ex:aberatie. Particularizˆand foaia de calcul din Figura 9.4 se obt¸in valorile dαs = 8s .52 ¸si dδ ′′ = 60′′ .81.

9.2

Aberat¸ia luminii

Fenomenul aberat¸iei a fost descoperit ˆın 1725 ¸si explicat ˆın 1729 de astronomul J. Bradley. Acest fenomen const˘a ˆın deplasarea aparent˘a a direct¸iei unui astru ca urmare a mi¸sc˘arii relative a observatorului fat¸a˘ de astru ¸si vitezei finite a luminii. Fie observatorul ˆın T , avˆand ˆımpreuna cu P˘amˆantul viteza v fat¸˘a de steaua M ca ˆın Figura 9.5 M M’

M’ O O’

θ

T’’

T

T’

Figura 9.5: Aberat¸ia luminii Se presupune c˘a observatorul cu o lunet˘a avˆand obiectivul ˆın O ¸si ocularul ˆın T urm˘are¸ste steaua M . Datorit˘a vitezei finite a luminii notate cu c, ˆın timpul τ cˆat lumina parcurge distant¸a OT - lungimea lunetei, observatorul se deplaseaz˘a ˆın T ′ . Deci pentru a observa astrul ˆın T trebuie deplasat ocularul ˆın T ′′ , T T ′′ = T T ′ . Steaua se va vedea ˆın directia T O′ . Se noteaz˘a cu θ direct¸ia aparent˘a la stea ¸si cu dθ unghiul dintre T O ¸si T O′ numit unghi de aberatie. Aplicˆand teorema sinusului ˆın triunghiul T OO′ se obt¸ine: sin dθ sin θ = vτ cτ

(9.20)

Unghiul dθ fiind mic aproxim˘am sin dθ = dθ, sau ˆın secunde de arc v dθ′′ = 206264′′ .8 sin θ. c 108

(9.21)

˘ ¸ ARE 9. FENOMENE CARE MODIFICA ˘ POZIT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ IILE ˘ AS¸TRILOR PE BOLTA CEREASCA PARTEA I Dac˘a direct¸ia aparent˘a a stelei este perpendicular˘a pe direct¸ia mi¸sc˘arii P˘amˆantului, θ = 900 , dθ are m˘arimea v k = 206264.8. c

(9.22)

numit˘a constanta de aberat¸ie. ˆ practic˘a Observat¸ia 9.2.1 [6] In (1) Fiecare mi¸scare a P˘amˆantului diurn˘a, mi¸scarea de revolut¸ie ¸si mi¸scarea proprie a Soarelui (ˆın directia stelei Vega) produce cˆate o aberat¸ie diurn˘a, anual˘a, respectiv secular˘a; (2) Considerˆand doar mi¸scarea de revolut¸ie, pentru v = 29, 78km/s, c = 299792km/s valoarea constantei de aberat¸ie este k = 20′′ .50. Pentru o stea aflat˘a ˆın polul eclipticii (θ = β = 900 ), pozit¸ia aparent˘ a a stelei M va descrie ˆın jurul pozit¸iei adev˘arate un cerc de raz˘a egal˘ a cu 20′′ .50. Stelele aflate ˆın planul eclipticii descriu mi¸sc˘ ari ˆ alte direct¸ii, stelele descriu oscilatorii de-a lungul arcului de lungime egal˘ a cu 41′′ . In elipse numite elipse de aberat¸ie avˆ and semiaxa mare de 20′′ 50 ¸si semiaxa mic˘a 20′′ .50 sin β.

109

˘ ¸ ARE 9. FENOMENE CARE MODIFICA ˘ POZIT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ IILE ˘ AS¸TRILOR PE BOLTA CEREASCA PARTEA I

110

Unitatea de ˆınv˘ a¸tare 10 Fenomene care modific˘ a pozit¸iile a¸strilor pe bolta cereasc˘ a Partea a-II-a Cuprins 10.1 Paralaxe ¸si distant¸e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 10.1.1 Paralaxa diurna ¸si determinarea distant¸elor ˆın sistemul solar . 113 10.1.2 Paralaxa anuala ¸si determinarea distant¸elor stelare . . . . . . . 115 10.2 Precesia ¸si nutat¸ia

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Obiectivele unit˘ a¸tii de ˆınv˘ a¸tare 1. Determinarea distant¸elor astronomice folosind paralaxa, determinarea corect¸iilor de paralax˘a pentru coordonatele ecuatoriale ale unui astru; 2. Studiul efectelor precesiei ¸si nutat¸iei, determinarea corect¸iilor de precesie pentru coordonatele ecuatoriale ale unui astru.

ˆIn acest capitol se studiaz˘a fenomenul geometric al mi¸sc˘arilor P˘amˆantului: paralaxele 111

˘ ¸ ARE 10. FENOMENE CARE MODIFICA ˘ POZIT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ IILE ˘ AS¸TRILOR PE BOLTA CEREASCA PARTEA A-II-A diurn˘a, anual˘a ¸si secular˘a, precum ¸si deplasarea planelor de referint¸a˘ ale P˘amˆantului: precesia ¸si nutat¸ia.

10.1

Paralaxe ¸si distant¸e

Determinarea distant¸elor reprezint˘a una dintre problemele importante ale astrometriei, ˆın particular, ¸si astronomiei ˆın general. ˆIntrucat distant¸ele dintre a¸stri sunt mari comparativ cu unitat¸ile de m˘asur˘a utilizate ˆın viata cotidiana, ˆın astronomie sunt utilizate ˆın mod frecvent urmatoarele unitati: (a) raza terestra ecuatoriala R0 = 6378.137km; (b) unitatea astronomic˘ a 1U.A. = 149.6x 106 Km ¸si reprezint˘a distant¸a medie P˘amˆantSoare; (c) anul lumina 1a.l. = 6, 32x 104 , U.A. = 0, 307pc ¸si reprezint˘a distant¸a parcurs˘a de lumin˘a, ˆın vid, ˆın timp de un an; (d) parsecul reprezint˘a 1pc = 206264, 8U.A. = 3, 26a.l. Dea lungul timpului au fost imaginate mai multe metode pentru determinarea distant¸elor ˆın sistemul solar ¸si Univers. Una dintre acestea o reprezinta metoda paralactica. Deplasarea real˘a a observatorului ˆın spat¸iu induce o modificare a direct¸iei astrului numita deplasare paralactica ilustrat˘a ˆın Figura 10.1. Deplasare paralactica

Luna

Sfera cereasca

Pamant

Figura 10.1: Deplasarea paracaltic˘a ˆIn funct¸ie de deplasarea observatorului se deosebesc: 112

˘ ¸ ARE 10. FENOMENE CARE MODIFICA ˘ POZIT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ IILE ˘ AS¸TRILOR PE BOLTA CEREASCA PARTEA A-II-A (i) paralaxe diurne sau geocentrice Acestea se datoreaz˘a mi¸sc˘arii de rotat¸ie a P˘amˆantului iar efectele sunt resimt¸ite doar ˆın interiorul sistemului solar; (ii) paralaxe anuale sau heliocentrice Paralaxele anuale sunt produse de mi¸scarea de revolut¸ie a P˘amˆantului ˆın jurul Soarelui; (iii) paralaxe seculare, datorate mi¸sc˘arii de translat¸ie a sistemului solar.

10.1.1

Paralaxa diurna ¸si determinarea distant¸elor ˆın sistemul solar

Se numeste paralaxa diurna sau geocentric˘a unghiul sub care se vede din astru raza P˘amˆantului; grafic acest lucru este ilustrat ˆın Figura 10.2 M′

p′

∆ z

R

′

z T

Figura 10.2: Paralaxa diurn˘a de ˆın˘alt¸ime Se aplic˘a teorema sinusului in triunghiul OT M ′ , adica sin z ′ sin p′ = R ∆

(10.1)

¸si ¸tinˆand cont ca paralaxa p′ este un unghi mic se aproximeaz˘a sin p′ = p′ ¸si se obt¸ine p′ =

R sin z ′ ∆

113

(10.2)

˘ ¸ ARE 10. FENOMENE CARE MODIFICA ˘ POZIT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ IILE ˘ AS¸TRILOR PE BOLTA CEREASCA PARTEA A-II-A Din relatia (10.2) rezult˘a c˘a paralaxa depinde de distant¸a zenital˘a ¸si de raza P˘amˆantului. Paralaxa este maxima atunci cˆand R reprezinta raza ecuatoriala a P˘amˆantului, iar z ′ = 900 , adica astrul se afla ˆın orizont. Se numeste paralaxa diurna orizontal˘ a ecuatorial˘ a unghiul sub care se vede din astru raza ecuatoriala a P˘amˆantului atunci cand astrul se afla la orizont. Notˆand cu R0 raza terestra ecuatoriala ¸si cu p0 paralaxa diurna orizontala ecuatoriala, din (10.2) se deduce

p0 =

R0 ∆

(10.3)

Din Figura 10.2 se observ˘a c˘a z = z ′ − p′

(10.4)

Observat¸ia 10.1.1 [6] Au loc urm˘atoarele: (1) Coordonatele a¸strilor determinate din observat¸ii care se realizeaz˘ a pe suprafat¸a P˘amˆ antului se numesc topocentrice. Acestea sunt diferite pentru puncte diferite de pe suprafat¸a P˘ amˆ antului, chiar pentru acelasi moment. Diferentele sunt observabile doar la a¸strii din sistemul solar. Din acest motiv se considera fundamental˘a, direct¸ia care porne¸ste din centrul P˘amˆantului. Aceasta direct¸ie indic˘a pozitia geocentrica. (2) In baza relatiei (10.4) se obt¸ine formula ∆=

206264.8 R0 p′′ 0

(10.5)

cu ajutorul c˘areia se determin˘a distant¸ele ˆın sistemul solar, cunoscˆand paralaxa orizontala p′′ 0 exprimat˘a ˆın secunde de arc. Paralaxa p′′ 0 se determina prin diverse metode. Spre exemplu, pentru Luna se determina prin observatii simultane, masurˆand distant¸a zenital˘a din dou˘a localitati situate pe acela¸si meridian geografic. Pentru determinarea paralaxei Soarelui se folose¸ste planeta mica Eros care se apropie mai mult de P˘amˆ ant asigurˆand o precizie mai mare ˆın determin˘ari. Pentru Luna se obtine p′′ 0 = 57′ 2′′ .5 ¸si ∆ = 384.4 × 103 km, ˆın timp ce pentru Soare p′′ 0 = 8′′ .79 ¸si ∆ = 149.6 × 106 km.[9] 114

˘ ¸ ARE 10. FENOMENE CARE MODIFICA ˘ POZIT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ IILE ˘ AS¸TRILOR PE BOLTA CEREASCA PARTEA A-II-A (3) Pentru m˘asurarea distant¸elor ˆın sistemul solar se utilizeaz˘ a unitatea astronomica, 1U.A. = 149.6 × 106 km. ˆIn [9] sunt determinate formulele pentru stabilirea corect¸iilor de paralax˘a diurn˘a ˆın cazul coordonatelor ecuatoriale. Se consider˘a un astru de coordonate ecuatoriale observate (α′ , δ ′ ), la momentul sideral θ observat de la latitudinea φ′ . Atunci corect¸iile de paralax˘a diurn˘a sunt α′ − α ¸si δ ′ − δ date de relat¸iile:

−R cos φ′ sin(θ − α) , ∆ cos δ − R cos φ′ cos(θ − α) −R(sin φ′ cos δ − cos φ′ sin δ cos(θ − α)) tg(δ ′ − δ) = ∆ − R(cos φ′ sin δ + cos φ′ cos δ cos(θ − α))

tg(α′ − α) =

(10.6) (10.7)

unde R este raza terestr˘a ¸si ∆ distant¸a de la astru la centrul P˘amˆantului.

10.1.2

Paralaxa anuala ¸si determinarea distant¸elor stelare

Se nume¸ste paralaxa anual˘ a sau heliocentric˘a a unei stele, unghiul sub care se vede din stea raza medie a orbitei terestre cˆand aceasta este perpendiculara pe direct¸ia P˘amˆant stea, a¸sa cum este ilustrat ˆın Figura 10.3 ¸si notat˘a cu pa . Din triunghiul M ST rezult˘a sin pa =

a ∆

(10.8)

unde a = 1U.A., iar ∆ este distant¸a Soare stea. Deoarece paralaxele heliocentrice sunt mai mici decˆat o secunda de arc, rezult˘a pa =

a ∆

cu pa exprimat ˆın radiani

(10.9)

de unde se detrmin˘a distant¸a ∆: ∆=

206264.8 206264.8 a= U.A. ′′ pa p′′a

(10.10)

Datorit˘a mi¸sc˘arii de revolut¸ie a P˘amˆantului, astrul descrie pe bolta cereasc˘a o elipsa numit˘a elips˘ a de paralax˘ a anual˘ a ilustrat˘a ˆın Figura 10.4. Observat¸ia 10.1.2 [6] Au loc urm˘atoarele observat¸ii: 115

˘ ¸ ARE 10. FENOMENE CARE MODIFICA ˘ POZIT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ IILE ˘ AS¸TRILOR PE BOLTA CEREASCA PARTEA A-II-A

M

pa ∆

S

a

T

Figura 10.3: Paralaxa anual˘a

Elipsa de paralaxa

M

Sfera cereasca

S Orbita terestra

Figura 10.4: Elipsa de paralax˘a

116

˘ ¸ ARE 10. FENOMENE CARE MODIFICA ˘ POZIT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ IILE ˘ AS¸TRILOR PE BOLTA CEREASCA PARTEA A-II-A (1) Determinarea paralaxelor anuale se face din observat¸ii efectuate ˆın punctele orbitei care sunt separate de 6 luni, obt¸inˆ anduse dublul paralaxei anuale; (2) Odat˘a determinat˘a paralaxa anual˘a, se determin˘a distanta ∆. Spre exemplu, pentru steaua Proxima Centauri, p′′a = 0′′ .76, iar ∆ = 272000U.A. Prima paralax˘ a a fost determinat˘a de F.W. Bessel in 1838. El a determinat paralaxa stelei 61 Cygni ca fiind p′′a = 0′′ .3. (3) Deoarece paralaxele stelelor sunt de ordinul secundelor de arc, unitatea astronomica este o distant˘a mult prea mica. Din acest motiv, s-au introdus alte unit˘a¸ti de masura pentru determinarea distant¸elor extrasolare. Parsecul (pc) reprezinta distant¸a corespunzatoare unei paralaxe de o secunda, 1pc = 206264, 8U.A., iar anul lumina 1a.l. = 63240U.A. = 0, 3067pc. (4) Elipsa de paralax˘a constituie o dovad˘a a mi¸scarii anuale a P˘amˆ antului ˆın jurul Soarelui. Exemplul 10.1.1 Fie dou˘a observatoare astronomice A ¸si B. Dac˘a distant¸ele zenitale m˘ asutare ˆın acela¸si moment pentru acela¸si astru M sunt zA = 45◦ , zB = 60◦ ¸si suma celor 2 paralaxe geocentrice ˆın raport cu cele dou˘a observatoare este p = 75′ . S˘a se determine distant¸a de la astru la centrul P˘amˆ antului. Rezolvare: Cazul propus ˆın exemplu este reprezentat ˆın Figura 10.5. Se aplic˘a relat¸ia (10.1) ¸si se obt¸ine leg˘atura dintre paralaxa de ˆın˘alt¸ime ¸si paralaxa orizontal˘a. Se aplic˘a relat¸ia (10.1) pentru cele dou˘a observat¸ii ¸si au loc urm˘atoarea relat¸ii:

p1 =

R◦ δM

sin zA , p2 =

R◦ δM

sin zB .

Folosind relat¸ia (10.11) rezult˘a c˘a :

p = p1 + p2 =

R◦ δM

(sin zA + sin zB ).

Prin urmare, distant¸a geocentric˘a a astrului σ este: 117

(10.11)

˘ ¸ ARE 10. FENOMENE CARE MODIFICA ˘ POZIT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ IILE ˘ AS¸TRILOR PE BOLTA CEREASCA PARTEA A-II-A M

p1 p2

zA

A

∆M

R

T

zB

B

Figura 10.5: Determinarea distant¸ei de la centrul P˘amˆantului la un astru

δM =

R◦ (sin zA + sin zB ) p

Pentru obt¸inerea distant¸ei s-a init¸ializat foaia de calcul reprezentat˘a ˆın Figura 10.6. Efectuˆand calculele se obt¸ine : δM = 459913.3km Exemplul 10.1.2 Cunoscˆandu-se paralaxa diurn˘a orizontal˘a a Lunii ΠL = 57′ 02′′ , 7, diametrul s˘au aparent 2βL cu βL = 15′ .1 ¸si raza P˘amˆ antului RP = 6378.2km, s˘a se determine raza Lunii ¸si distant¸a pˆan˘a la ea. Rezolvare: Diametrul aparent al unui astru este este unghiul sub care se vede diametru astrului de c˘atre un observator situat ˆın centrul P˘amˆantului. Not˘am cu β unghiul sub care se vede raza Lunii din centrul P˘amˆantului. Aplicˆand funct¸ia trigonometric˘a sinus ˆın △T AL , respectiv △T BL obtinem:

∆L =

RL RP , sin βL = . sin ΠL ∆L

(10.12)

Pentru a se determina raza Lunii ¸si distant¸a ∆L se init¸ializeaz˘a foaia de calcul din Figura 10.8. Se consider˘a RP = 6378.2, se aplic˘a formulele (10.12) ¸si se obt¸ine: 2β = 31, 071, L = 384392, 019.

118

˘ ¸ ARE 10. FENOMENE CARE MODIFICA ˘ POZIT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ IILE ˘ AS¸TRILOR PE BOLTA CEREASCA PARTEA A-II-A

Figura 10.6: Foaia de calcul pentru determinarea distant¸ei de la centrul P˘amˆantului la un astru M

A

RP L

ΠL

∆L

T β

RL

B

Figura 10.7: Determinarea razei ¸si distant¸ei din centrul P˘amˆantului la Lun˘a

119

˘ ¸ ARE 10. FENOMENE CARE MODIFICA ˘ POZIT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ IILE ˘ AS¸TRILOR PE BOLTA CEREASCA PARTEA A-II-A

Figura 10.8: Determinarea dimensiunilor ¸si distant¸ei unui astru

Exercit¸iul 10.1.1 Fiind date paralaxa diurn˘a orizontal˘a a Soarelui ΠS = 8′′ , 794 ¸si semidiametrul s˘au aparent β = 16′ 15′′ km, s˘a se determine raza Soarelui ¸si distant¸a pˆan˘ a la el.

10.2

Precesia ¸si nutat¸ia

ˆIntrucˆat majoritatea corpurilor sistemului solar orbiteaz˘a ˆın planul eclipticii, acestea actioneaz˘a gravitat¸ional asupra proeminent¸ei ecuatoriale a P˘amˆantului. Efectele cele mai ˆınsemnate le produc Soarele ¸si Luna. Deoarece P˘amˆantul se rote¸ste ˆın jurul axei sale, forta mareic˘a nu modific˘a ˆınclinat¸ia ecuatorului relativ la ecliptic˘a, ci face ca axa de rotat¸ie s˘a se deplaseze ˆıntr-o direct¸ie perpendicular˘a pe axa de rotat¸ie ¸si pe direct¸ia fort¸ei mareice. Astfel, axa de rotat¸ie a P˘amˆantului descrie un con odat˘a la aproximativ 26000 ani. Aceasta rotat¸ie lent˘a a axei de rotat¸ie se numeste precesie ¸si este ilustrat˘a ˆın Figura 10.9. Ca efect al precesiei, punctul vernal se deplaseaz˘a pe ecliptic˘a ˆın sens retrograd (sensul acelor de ceasornic) cu 50′′ .2 pe an. Prin urmare, longitudinea ecliptica λ a unei stele cre¸ste ˆın fiecare an cu aceasta rat˘a, ˆın timp ce latitudinea ecliptica β r˘amˆane neschimbat˘a. 120

˘ ¸ ARE 10. FENOMENE CARE MODIFICA ˘ POZIT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ IILE ˘ AS¸TRILOR PE BOLTA CEREASCA PARTEA A-II-A Polul Nord al Eclipticii

Polul Nord Ceresc

Figura 10.9: Precesia Aplicat¸ie Se consider˘a un astru de coordonate ecuatoriale (α, δ). ˆIn cele ce urmeaz˘a se vor determina corect¸iile ˆın ascensie ¸si declinat¸ie ca urmare a precesiei. Se aplic˘a formula cosinusului pentru latura 900 − δ ˆın triunghiul sferic P ΠM din Figura 10.10 ¸si formula sinusului ˆın acela¸si triunghi. Astfel se obt¸in relat¸iile: sin δ = cos ε sin β + sin ε cos β sin λ, cos α cos δ = cos β cos λ

(10.13) (10.14)

ˆIn continuare se aplic˘a formula celor cinci elemente pentru unghiul 90 − λ ¸si latura 90 − β ¸si rezult˘a cos β sin λ = sin δ sin ε + cos δ cos ε sin α

(10.15)

Se considerand δ, α ¸si λ variabile ¸si β, ε constante. Se diferent¸iaz˘a relat¸iile (10.13) ¸si (10.14) ¸si se obt¸ine: dδ = sin ε cos α dλ cos δ sin α dα = (−cos2 α sin δ sin ε + cos β sin λ) dλ

(10.16) (10.17)

Variat¸ia longitudinii ecliptice este datorat˘a deplas˘arii punctului vernal ¸si este cunoscut˘a. 121

˘ ¸ ARE 10. FENOMENE CARE MODIFICA ˘ POZIT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ IILE ˘ AS¸TRILOR PE BOLTA CEREASCA PARTEA A-II-A P ϵ

90-δ

90-λ

Π

P

90+α

90-β

Π

M M

E M’’ Q’

ϵ

Q

O M’

E’ γ

Figura 10.10: Triunghiul paralactic pentru determinarea corect¸iilor datorate precesiei ˆIn relat¸ia (10.17) se va inlocui membrul drept al relat¸iei (10.15) obt¸inˆandu-se dα = (tg δ sin ε sin α + cos ε) dλ

(10.18)

Deoarece ε = 230 27′ ¸si δλ = 50′′ .2, se calculeaz˘a coeficient¸ii care nu depind de stea fiind constant¸i pentru tot¸i a¸strii ¸si rezult˘a [6] m = cos ε dλ = 3s .07 n = sin ε dλ = 1s .33

(10.19) (10.20)

Din (10.16), (10.18), (10.19) ¸si (10.20) rezult˘a

d α = 3s .07 + (1s .33) sin α tg δ d δ = 20′′ cos α Observat¸ia 10.2.1 [6] Au loc urm˘atoarele 122

(10.21) (10.22)

˘ ¸ ARE 10. FENOMENE CARE MODIFICA ˘ POZIT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ IILE ˘ AS¸TRILOR PE BOLTA CEREASCA PARTEA A-II-A (1) Formulele (10.21) ¸si (10.22) dau o aproximat¸ie suficient˘a, dac˘a este vorba de intervale de timp de ordinul a 15 − 20 de ani; (2) Formulele (10.21) ¸si (10.22) sunt valide pentru stelele nu foarte apropiate de polul eclipticii, c˘aci atunci tg δ devine foarte mare; (3) Unul dintre punctele de intersect¸ie ale axei de rotat¸ie a Pamˆantului cu bolta cereasca - Polul Nord ceresc se afl˘a la mai putin de un grad de Steaua Polara. Peste aproximativ 12000 ani, Polul Nord ceresc va fi ˆın direct¸ia stelei Vega. Pe lˆang˘a mi¸scarea de precesie, s-a observat c˘a Polul Nord ceresc are ¸si o mi¸scare periodic˘a ˆın timp de 18.6 ani. Fenomenul este numit nutatie ¸si se datoreaz˘a precesiei planului orbital al Lunii cu aceea¸si perioad˘a de 18.6 ani. Polul lumii care se misc˘a ˆın urma precesiei numit ¸si pol mediu este centrul unei elipse cu semiaxa mare egal˘a cu 9′′ .21 ¸si semiaxa mic˘a de 6′′ .86 pe care se mi¸sc˘a polul adev˘arat ˆın sens retrograd [6].

123

˘ ¸ ARE 10. FENOMENE CARE MODIFICA ˘ POZIT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ IILE ˘ AS¸TRILOR PE BOLTA CEREASCA PARTEA A-II-A

124

Unitatea de ˆınv˘ a¸tare 11 Aplicat¸ii Cuprins 11.1 Metode de determinare a timpului . . . . . . . . . . . . . . . . 126 11.1.1 Metoda m˘asur˘arii unei distante zenitale . . . . . . . . . . . . . 126 11.1.2 Metoda ˆın˘alt¸imilor egale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 11.1.3 Metoda ˆın˘alt¸imilor egale a dou˘a stele . . . . . . . . . . . . . . . 131 11.1.4 Metoda trecerii stelei la meridian . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 11.2 Determinarea azimutului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 11.2.1 Metoda m˘asur˘arii distant¸ei zenitale a unui astru . . . . . . . . 133 11.3 Determinarea latitudinii ¸si longitudinii . . . . . . . . . . . . . 136 11.3.1 Determinarea latitudinii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 11.3.2 Determinarea longitudinii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Obiectivele unit˘ a¸tii de ˆınv˘ a¸tare 1. Determinarea diferent¸ei de cronometru; 2. Determinarea azimutului locului de observat¸ie; 3. Determinarea latitudinii ¸si longitudinii locului de observat¸ie. 125

˘ ¸ ARE 11. APLICAT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ II ˆIn acest capitol sunt prezentate cˆateva din aplicat¸iile astronomiei ˆın geodezie.

11.1

Metode de determinare a timpului

Scopul determin˘arii timpului ˆıl constituie stabilirea corect¸iei de cronometru. Astfel se va nota cu t′l momentul legal al observat¸iei obt¸inut de la un cronometru de timp legal. Se va determina diferent¸a intre momentul de timp legal (de la ceasul de mˆan˘a) ¸si cel determinat folosind momentul sideral al observat¸ie. Pentru determinarea timpului sideral al observat¸iei se va folosi θloc = α + H, deci va trebui determinat unghiul orar. Pentru determinarea unghiului orar se cunosc mai multe metode, care implicit vor conduce la diferite metode de determinare a timpului.ˆIn cele ce urmeaz˘a se trateaz˘a cˆateva metode mai des ˆıntrebuint¸ate [4].

11.1.1

Metoda m˘ asur˘ arii unei distante zenitale

M˘ asurarea distant¸ei zenitale asupra unei stele Metod˘a ce va fi descris˘a ˆın continuare const˘a ˆın determinarea timpului prin m˘asurarea distant¸ei zenitale a unei stele situate ˆın apropierea primului vertical ¸si cu unghiul de declinat¸ie mic. Se reaminte¸ste c˘a un astru este ˆın apropierea primului vertical atunci cˆand azimutul A = 900 . Condit¸iile precizate asigur˘a ca rezultatul determin˘arii timpului s˘a aib˘a o precizie maxim˘a. Se consider˘a triunghiul paralactic al astrului dat ˆın Figura 11.1. Se aplic˘a formulele lui Delambre (2.36) ˆın triunghiul P ZM cu laturile P Z = 900 − φ, P M = 900 − δ ¸si se obt¸ine √ tg

H = 2

sin(ε − φ) sin(ε − δ) cos ε cos(ε − z)

(11.1)

δ+φ+z . Cu relat¸ia (11.1) se calculeaz˘a unghiul orar al stelei H. Valoarea 2 lui z ˆınainte de a se introduce ˆın calcul se corecteaz˘a cu corect¸ia de refract¸ie. Dup˘a cum

unde ε =

se observ˘a H este ˆın funct¸ie de z, δ ¸si φ primele dou˘a m˘arimi fiind afectate de erori; φ ˆın cazul a¸strilor este invariabil ¸si se consider˘a f˘ar˘a eroare. Pentru a se determina erorile 126

˘ ¸ ARE 11. APLICAT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ II 90-φ

Z 180-A

H P 90-δ

q M

Figura 11.1: Triunghiul paralactic asupra lui H trebuie determinate erorile asupra lui z ¸si δ; astfel se va proceda ca ˆın sect¸iunea 10.2. Se aplic˘a: • teorema cosinusului corespunz˘atoare laturii M Z din triunghiul paralatic cos z = sin φ sin δ + cos φ cos δ cos H,

(11.2)

• teorema sinusului pentru unghiurile H ¸si 1800 − A sin A sin z = cos δ sin H,

(11.3)

• relat¸ia celor cinci elemente pentru latura z ¸si unghiul 1800 − A − sin z cos A = sin δ cos φ − cos δ sin φ cos H

(11.4)

• relat¸ia celor cinci elemente pentru latura z ¸si unghiul q − sin z cos q = sin φ cos δ − cos φ sin δ cos H

(11.5)

diferent¸iind (11.2) ¸si ˆınlocuind ˆın relat¸ia rezultat˘a cel˘alat membru al relat¸iilor (11.3), (11.4) ¸si (11.5) se obt¸ine dH =

dz cos q dδ dφ + − cos φ sin A cos φ sin A cos φ tg A

Analizˆand relat¸ia (11.6) se constat˘a c˘a variat¸ia lui H, δH este influent¸at˘a de: 127

(11.6)

˘ ¸ ARE 11. APLICAT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ II • azimut: A → 900 , adic˘a astrul se afl˘a ˆın apropierea primului vertical, deci

1 →0 tgA

• declinatie: δ → 0, declinat¸ia astrului este mic˘a deci astrul se este ˆın apropierea orizontului,

• distant¸a zenitala; aceasta este afectat˘a de refract¸ie, de fapt se va m˘asura z ′ .

Analizˆannd cele de mai sus se constat˘a c˘a metoda este aplicabil˘a pentru a¸strii aflat¸i ˆın apropierea primului vertical ¸si cu declinat¸ie mic˘a. Dup˘a ce s-a m˘asurat distant¸a zenital˘a afectat˘a de refract¸ie se determin˘a corect¸ia de refractie, apoi se determin˘a unghiul orar H. ˆIn continuare se determin˘a timpul sideral al observat¸iei si folosind relat¸ia dintre timpul mediu al locului de observat¸ie ¸si timpul sideral al locului de observat¸ie (8.7) se va determina timpul legal al observat¸iei tl ¸si se va compara cu timpul legal dat de cronometru, se va determina corect¸ia de cronometru ∆t = tl − t′l .

M˘ asurarea distant¸ei zenitale asupra Soarelui Timpul poate fi calculat ¸si pe baza observat¸iilor solare iar pentru a m˘ari precizia m˘asur˘atorilor de distant¸e zenitale observat¸iile se fac pe marginea superioar˘a ¸si inferioar˘a a discului Soarelui. Distant¸ele zenitale m˘asurate direct se corecteaz˘a de refract¸ie, paralax˘a ¸si raza soarelui. Formulele de calcul pentru unghiul orar H sunt acelea¸si ca ˆın cazul stelei, timpul civil determinˆandu-se cu formulele: tmC = t0 − E ± 12h

(11.7)

precum ¸si relat¸ia (8.14). Corect¸ia cronometrului se stabile¸ste din relat¸ia (??). Pentru cazul examinat este important s˘a se ¸tin˘a seama c˘a Soarele are declinat¸ia variabil˘a ¸si deci trebuie lucrat cu declinat¸ia soarelui mediu. 128

˘ ¸ ARE 11. APLICAT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ II

11.1.2

Metoda ˆın˘ alt¸imilor egale

Cazul stelelor Aceast˘a metod˘a [4] const˘a ˆın vizarea unei stele ˆınainte ¸si dup˘a trecerea la meridian sub acela¸si unghi, deci la aceea¸si ˆın˘alt¸ime ca ˆın Figura 11.1.2 M meridian

M’

H

H’

O

Figura 11.2: Metoda ˆın˘alt¸imilor egale - cazul stelelor Practic ˆınainte de meridian ¸si cˆat mai departe de el (dac˘a este posibil chiar ˆın primul vertical), se vizeaz˘a o stea, se m˘asoar˘a distant¸a ei zenital˘a z ¸si se cite¸ste la ceasornic timpul u. Avansul ¸si ˆıntˆarzierea ceasornicului este ∆u, ora adev˘arat˘a fiind u + ∆u. Se prinde apoi steaua ˆın aparat ˆın aceea¸si pozit¸ie dincolo de meridian cˆand la ceasornic avem u′ . Unghiul orar se calculeaz˘a pentru pozit¸iile M ¸si M ′ obt¸inˆandu-se H ¸si H ′ . Cele dou˘a pozit¸ii sunt simetrice fat¸˘a de meridian deci unghiurile orare sunt egale ¸si de semn contrar. Determinarea lui H se face folosind (11.1). Timpul sideral se obt¸ine cu formulela (3.2) ¸si se compar˘a cu valorile θ ¸si θ′ citite la pendula sideral˘a. Deci u + ∆u = α + H

(11.8)

u′ + ∆u = α + H ′ =⇒ H + H ′ u + u′ ∆u = α + − dar H = H ′ =⇒ 2 2 u + u′ ∆u = α − 2

(11.9) (11.10) (11.11)

Relat¸ia (11.11) reprezint˘a corect¸ia ceasornicului ¸si este adev˘arat˘a atunci cˆand ceasornicul d˘a timpul sideral. Dac˘a ceasomicul d˘a timpul legal va trebui s˘a se transforme ˆın timp 129

˘ ¸ ARE 11. APLICAT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ II sideral, sau pe α ˆın timp legal. Observat¸ia 11.1.1 Dac˘a nu se poate prinde ˆın aparat steaua la aceea¸si ˆın˘ alt¸ime de ambele p˘art¸i ale meridianului locului, va trebui s˘a se introduc˘ a o corect¸ie dH. Expresia corect¸iei dH se obt¸ine diferent¸iind ˆın raport cu z ¸si H egalitatea: cos z = sin φ sin δ + cos φ cos δ cos H de unde dH =

sin z dz cos φ cos δ sin H

(11.12)

unde: dz = z − z ′ ¸si z respectiv z ′ reprezint˘a distant¸ele zenitale ale astrului ˆın pozit¸iile M respectiv M ′ . (i) Dac˘a z > z ′ atunci ∆u = α −

u + u′ + dH 2

(11.13)

∆u = α −

u + u′ − dH 2

(11.14)

(ii) Dac˘a z < z ′ atunci

Cazul Soarelui Soarele ˆın afar˘a de mi¸scarea aparent˘a diurn˘a mai are o mi¸scare pe ecliptic˘a care face ca declinat¸ia s˘a nu fie constant˘a; declinat¸ia variaz˘a prin cre¸stere vara ¸si prin sc˘adere iarna. Dac˘a Soarele are declinat¸ia δ ˆın cre¸stere, ˆınseamn˘a c˘a vizarea lui pentru aceea¸si distant¸a˘ zenital˘a z nu se face ˆın pozit¸ia 2 ci ˆın pozit¸ia 3 din Figura 11.3. ˆIn continuare se determin˘a expresia corect¸iei de cronometru ˆın cazul Soarelui. ˆInregistrˆand timpul pentru pozit¸iile 1¸si respectiv 3 ale Soarelui, se va obt¸ine u + ∆u respectiv u′ + ∆u. Fie unghiurile orare H ¸si H ′ pentru pozit¸iile Soarelui 1 ¸si 2 atunci u + ∆u = α + H

(11.15)

u′ + ∆u = α + H ′ + dH =⇒ H + H ′ dH u + u′ + − dar H = H ′ =⇒ ∆u = α + 2 2 2 ( ) u + u′ dH − ∆u = α − 2 2

(11.16)

130

(11.17) (11.18)

˘ ¸ ARE 11. APLICAT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ II

u0

u (z)

u’’

1

2

H’

u’ 3 (z)

dH

H

O

Figura 11.3: Metoda ˆın˘alt¸imilor egale - cazul Soarelui ˆIn cazul Soarelui corect¸ia cronometrului va fi dat˘a de (11.18). Pentru determinarea lui dH diferent¸iem relat¸ia de mai jos ˆın raport cu H ¸si δ cos z = sin φ sin δ + cos φ cos δ cos H ¸si se obt¸ine

( dH =

tg φ tg δ − sin H tg H

) dδ

(11.19)

Pentru dδ se caut˘a valoarea lui δ ˆıntr-o zi, se calculeaz˘a variat¸ia orar˘a care se ˆınmult¸e¸ste cu H ¸si afl˘a variat¸ia dδ corespunz˘atoare lui H, ˆın secunde. Pentru a afla dδ ˆın secunde de timp se ˆımparte dδ la 15 deci (11.19) devine: ( ) 1 tg φ tg δ dH = − dδ 15 sin H tg H

(11.20)

Dac˘a ceasormicul d˘a timpul legal se vor face transform˘arile corespunz˘atoare ˆın timp sideral.

11.1.3

Metoda ˆın˘ alt¸imilor egale a dou˘ a stele

Aceast˘a metod˘a este cunoscut˘a ¸si sub numele de metoda Zinger. Este aproximativ identica cu metoda precedent˘a deosebirea const˘a ˆın faptul c˘a aceast˘a metod˘a folose¸ste observat¸ii asupra a dou˘a stele ˆınainte ¸si dup˘a meridian la aceea¸si ˆın˘alt¸ime z. Se utilizeaz˘a teorema 131

˘ ¸ ARE 11. APLICAT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ II cosinusului pentru doi a¸strii ¸si se obt¸ine cos z = sin φ sin δ + cos φ cos δ cos H cos z = sin φ sin δ ′ + cos φ cos δ ′ cos H ′

(11.21) (11.22)

Se scad relat¸iile (11.21) ¸si (11.22) ¸si ˆın urma efectu˘arii calculelor se obt¸ine tg φ sin

δ − δ′ δ + δ′ δ + δ′ δ − δ′ H + H′ H − H′ cos = cos cos sin sin + 2 2 2 2 2 2 δ + δ′ δ − δ′ H + H′ H − H′ + sin sin cos cos (11.23) 2 2 2 2

De asemnenea au loc relat¸iile (11.8) ¸si (11.9) unde u ¸si u′ sunt citirile la cronometru. Dac˘a se noteaz˘a ∆u = x ˆın urma efectu˘arii calculelor [4] se ont¸ine A + A′ sin A sin A′ 2 dφ + dx = du − du′ − cos φ sin A′ − sin A sin A′ − sin A cos q cos q ′ − dδ + dδ ′ cos φ(sin A′ − sin A) cos φ(sin A′ − sin A) tg

(11.24)

Din relat¸ia (11.24) rezult˘a, c˘a dx este minim cˆand m˘asur˘atorile sunt f˘acute ˆın primul vertical adic˘a azimutul A ¸si A′ s˘a fie de 900 respectiv de 2700 , unghiurile paralactice q ¸si q ′ ¸si declinat¸iile δ ¸si δ ′ sunt apropiate ˆıntre ele.

11.1.4

Metoda trecerii stelei la meridian

Aceast˘a metod˘a necesit˘a a se cunoa¸ste direct¸ia meridianului locului de observat¸ie. Se fac ˆın mod obi¸snuit m˘asur˘atori asupra multor stele. Atunci cˆand steaua trece la meridian se ¸stie c˘a timpul sideral este egal cu ascensia dreapt˘a a stelei θ = α. Dac˘a timpul ar˘atat de cronometru este u, atunci α = u + ∆u unde ∆u este corect¸ia cronometrului care m˘asoar˘a timpul sideral. Dac˘a u este dat ˆın timp legal va trebui transformat ˆın timp sideral sau α ˆın timp legal. Astfel metoda presupune exact trecerea stelei la meridian, se cite¸ste la cronometru timpul u care se scade din ascensia stelei ¸si obt¸inem corect¸ia ∆u.

11.2

Determinarea azimutului

Determinarea azimutului se refer˘a la calculul unghiului pe care-l face direct¸ia zenit-astru cu direct¸ia meridianului ˆın punctul de observat¸ie. Problema determin˘arii azimutului se 132

˘ ¸ ARE 11. APLICAT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ II concretizeaz˘a ˆın cele din urm˘a prin stabilirea direct¸iei meridianului [4]. Sunt cunoscute ¸si ˆın acest caz mai multe metode dintre care metoda m˘asur˘arii distant¸ei zenitale pentru un astru va fi prezentat˘a ˆın continuare.

11.2.1

Metoda m˘ asur˘ arii distant¸ei zenitale a unui astru

Pentru determinarea azimutului se consider˘a Figura 11.1, iar ˆın triunghiul paralactic P ZM , din aceea¸si figur˘a cu acelea¸si valori pentru laturi ¸si unghiuri se aplic˘a formulele (2.29) ¸si (2.26) unghiului orar H ¸si azimutului A care conduc la relat¸iile: √ sin(ε − φ) cos(ε − z) A = tg 2 cos(ε − δ) cos(ε) √ H sin(ε − φ) sin(ε − δ) tg = 2 cos ε cos(ε − z)

(11.25) (11.26)

φ+δ+z . 2 trebuie avut ˆın vedere faptul c˘a z se va determina atunci cˆand astrul trece pe la meridian, unde ε =

adic˘a trebuie determinat timpul exact cˆand astrul trece pe la meridian. Aplicat¸ie S-au efectuat observat¸ii asupra stelei Arcturus cu declinat¸ia δ = 190 23′ 02′′ .5 ¸si ascensia dreapt˘a α = 14h 13m 54s .48, ˆın data 6 mai 1914 cu un teodolit centesimal de precizie obt¸inˆandu-se distant¸a zenital˘a z = 530 00c 60cc grade centesimale. Latitudinea locului de observat¸ie este φP etrosani = 450 , 25′ , longitudinea este Lpetrosani = 1h 33m Din anuarul astronomic s-au obt¸inut urm˘atoarele: la data realiz˘arii m˘asur˘atorii Soarele a trecut la meridian la ora 12h 12m 11s ˆın Bucure¸sti. S˘a se detrmine azimutul ˆın condit¸iile specificate. Se mai stie c˘a pentru a determina momentul trecerii Soarelui pe la meridian la Petro¸sani se aplic˘a corect¸ia de +27m ¸si se obt¸ine ora 12h 39m 11s . Ecuat¸ia timpului este E = 3m 24s iar timpul sideral: θ0 = 14h 54m 26s .4 ˆIn continuare se dau cˆateva etape din calculele necerare determin˘arii azimutului. ˆIn Figura 11.4 sunt redate etapele determin˘arii unghiului orar H = 3h 15m 0s .97 ¸si a azimutului A = 650 47′ 17′′ .95 Pentru determinarea corect¸iei de cronometru: 133

˘ ¸ ARE 11. APLICAT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ II

Figura 11.4: Determinarea azimutului unui astru folosind distant¸a zenital˘a • se determin˘a θ0P = θ0B − 15s .4; • se determin˘a θp = α − H; • se depermin˘a tmP = (1 − ν)(θP − θ0P ); • se aplic˘a corect¸iile datorate ecuat¸iei timpului ¸si corect¸ia de trecere pe la meridian la Petro¸sani de 27m , astfel la tlP = tmP − E + 27m ; • se va determina diferent¸a de cronometru.

Figura 11.5: Determinarea corect¸iei de cronometru Implementarea etapelor de mai sus este redat˘a ˆın Figura 11.5. Astfel se obt¸ine o ˆıntˆarziere de 1m 1s .2. 134

˘ ¸ ARE 11. APLICAT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ II Determinarea meridianului locului Odat˘a determinat azimutul se poate materializa cu acesta direct¸ia meridianului locului. In acest scop fat¸˘a de un reper fix din teren se m˘asoar˘a ¸si unghiul orizontal corespunz˘ator pozit¸iei astrului pentru care s-a m˘asurat distant¸a zenital˘a, unghiul respectiv fiind notat cu β¸si ilustrat ˆın Figura 11.6.

Reper

directia meridianului O

A

β ω

Astru Figura 11.6: Determinarea meridianului locului Astfel direct¸ia meridianului este dat˘a de ω =A+β

(11.27)

Se revine la cazul studiat mai sus. Unghiul A determinat de (11.25) reprezint˘a unghiul de azimut pe care ˆıl face fat¸a˘ de direct¸ia nord o direct¸ie oarecare. ˆIn cazul studiat ˆın momentul ˆın care s-a m˘asurat unghiul zenital, prin vizarea stelei Arcturus, s-a m˘asurat ¸si un unghi azimutal ˆıntre direct¸ia stelei ¸si un semnal de teren. Pentru a materializa direct¸ia meridianului pe teren, dup˘a calcul se va viza din nou direct¸ia dat˘a ˆın teren punˆand gradat¸ia 00 00c 00cc pe ea. Apoi se va descrie cu luneta unghiul de azimut A = 650 47′ 17′′ .95 pichetˆand pe direct¸ia respectiv˘a. Aceasta rezolv˘a determinarea astronomic˘a a meridianului locului. ˆIn continuare se va determina timpul exact la care steua Acturus trece pe la meridian la ora u = 20h 30m 00s . Unghiul orar H = 3h 15m 0s .97 s-a determinat folosind relat¸ia (11.26). Folosind relat¸iile din Sectiunea 11.1 se obt¸ine θ0P etrosani = θ0 − 15s .4 = 14h 54m 11s 135

(11.28)

˘ ¸ ARE 11. APLICAT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ II unde s-a aplicat inclusiv ecuat¸ia timpului iar +15s .4 reprezint˘a corect¸ia dat˘a ˆın tabele; θ0P etrosani reprezint˘a timpul sideral pentru Petro¸sani atunci cˆand Soarele se g˘ase¸ste la meridianul Greenwich. Se parcurg etapele descrise ˆın Sectiunea 11.1 se obt¸ine ora legal˘a la Petro¸sani tlP etrosani = 20h 28m 58s .8 ¸si deci exist˘a o ˆıntˆarziere de 1m 1s .2 fat¸a de ceasul operatorului. Observat¸ia 11.2.1 Mai exist˘a ¸si alte metode de determinare a azimutului dintre care o parte sunt prezentate ˆın [4]

11.3

Determinarea latitudinii ¸si longitudinii

Latitudinea si longitudinea formeaz˘a o pereche de valori care definesc ˆın mod unic un punct pe suprafat¸a terestr˘a. Deci ˆın cadrul problemelor geodezice este inclus˘a ¸si determinarea acestor valori pentru un punct dat. Folosind latitudinea si longitudinea se va realiza trecerea la coordonate plane atˆat ˆın proiect¸iile Gauss cˆat ¸si ˆın cele stereografice.

11.3.1

Determinarea latitudinii

Exist˘a mai multe metode de determinare a latitudinii; cele mai utilizate sunt prezentate mai jos.[4] M˘ asurarea distant¸ei zenitale a unei stele M˘asur˘atorile se realizeaz˘a ca ¸si ˆın cazul determin˘arii azimutului folosind distant¸a zenital˘a. ˆIn acela¸si triunghi sferic P ZM din Figura 11.1 are loc relat¸ia: cos z = sin δ sin φ + cos δ cos φ cos H

(11.29)

Pentru o exprimare sintetic˘a a calculelor se folosesc notat¸iile sin δ = m cos N cos δ cos H = m sin N

(11.30) (11.31)

ˆInlocuind (11.30) ¸si (11.31)ˆın (11.29) se obt¸ine sin(φ + N ) = 136

cos z m

(11.32)

˘ ¸ ARE 11. APLICAT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ II Pentru a putea determina latitudinea folosind (11.32) trebuie determinate in prealabil m˘arimile m si N . Din (11.30) ¸si (11.31) de unde: tgN =

ctgδ cos H

(11.33)

Din relat¸ia de mai sus rezult˘a N . ˆInlocuind ˆın (11.30) ¸si (11.33) se obt¸ine sin δ m= = cos N

√ cos2 H sin2 δ + cos2 δ cos H

(11.34)

Din acela¸si triunghi sferic, folosind din relat¸iile lui Gauss relat¸ia celor cinci elemente ˆın care este implicat si azimutul ¸si folosind relat¸iile de mai sus se obt¸ine: sin z cos A = −m cos(φ + N )

(11.35)

Se ¸tine cont ¸si de (11.32) de unde rezult˘a tg(φ + N ) = −

ctgz cos A

(11.36)

Pentru a stabili condit¸iile de aplicare se va studia modul ˆın care variaz˘a latitudinea, adic˘a se va calcula diferet¸iala dφ. Pentru aceasta diterent¸iind (11.29) ˆın raport cu z ˆın membrul stˆang ¸si in raport cu δ, φ ¸si H ˆın membrul drept se obt¸ine ˆın urma calculelor: dz dφ cos qdδ − + =⇒ sin A cos φ cos φtgA sin A cos φ dz cos q dφ = + dδ − cos φtgA dH. cos A cos A

dH =

(11.37)

Analizˆand (11.37) rezult˘a c˘a variat¸ia latitudinii este minim˘a cˆand A = 0, deci observat¸iile trebuie f˘ acute ˆın apropierea meridianului.

Metoda trecerii stelei la meridian ˆIn momentul trecerii stelei pe la meridian H = 0 deci (11.29) devine

cos z = cos(δ − φ) 137

(11.38)

˘ ¸ ARE 11. APLICAT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ II De unde z = δ − φ sau φ = δ − z adic˘a steua este la nord de Zenit z = −δ + φ sau φ = −δ + z adic˘a steua este la sud de Zenit

(11.39) (11.40)

Cazul dat de (11.39) corespunde stelei polare - adic˘a odata cu stabilirea direct¸iei meridianului, prin determinarea momentului de trecere la meridianul superior al stelei polare se m˘asoar˘a ¸si distant¸a zenital˘a cu care se obt¸ine latitudinea. Dac˘a se poate determina distant¸a zenital˘a ¸si deci ˆınalt¸imea h a stelei la culminat¸ia superioar˘a ¸si inferioar˘a se poate determina latitudinea f˘ar˘a a cuoa¸ste declinat¸ia stelei. Astfel din Teorema 3.3.2 φ = δ − zms φ = 180 − (δ + zmi )

(11.41) (11.42)

Adunˆand (11.41) ˆın (11.42) ¸si ¸tinˆamd cont de relat¸ia dintre ˆın˘alt¸ime si distat¸a zenital˘a se obt¸ine φ = 90 −

zms + zmi hs + hi = 2 2

(11.43)

Metoda prin m˘ asur˘ atori circummeridiane Este o metoda de determinare precis˘a a latitudinii. Dup˘a cum se ¸stie formulele pentru determinarea latitudinii la nord de zenit si respectiv la sud de zenit sunt date ˆın Teorema 3.3.2 ˆIn relat¸iile (11.41)-(11.42) z reprezint˘a distant¸a zenitala ˆın momentul trecerii astrului pe la meridian. Practic observat¸iile se fac ˆın apropierea meridianului, deci trebuie f˘acute corect¸ii ce se vor nota cu r numite reducerea la meridian. Astfel z = z0 − r unde z0 este distant¸a zenital˘a m˘asurat˘a. Pentru stabilirea corect¸iei se aplic˘a aproximat¸ii sucesive; astfel se va ¸tine cont de (11.29). Considerˆand cazul unui astru aflat la meridian se obt¸ine H cos φ cos φa sin2 z0 − z 2 sin = z + φ δ 2 0 − sin 2 138

(11.44)

˘ ¸ ARE 11. APLICAT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ II unde z0 - distant¸a zenital˘a m˘asurat˘a; z- distant¸a zenital˘a care se deduce; φa - latitudinea aproximativ˘a; δ - declinat¸ia stelei; H - unghiul orar al stelei care se determin˘a din timpul citit la un cronometru corectat ˆın momentul observat¸iei. Cu ajutorul relat¸iei (11.44) se deduce z cu care se determin˘a: φa = z + δ care se va folosi pentru a se obt¸ine un nou φ ˆımbun˘at˘a¸tit. Se va aplica acela¸si algoritm pˆan˘a atunci cˆand noua valoare nu difer˘a cu mult de precedenta.

11.3.2

Determinarea longitudinii

Longitudinea geografic˘a se determina de asemenea cu ajutorul lunetei meridiane sau cu luneta de treceri. Determinarea longitudinii geografice se bazeaz˘a pe relat¸ia dintre timpurile locale ¸si longitudine, reducˆandu-se la determinarea timpului (orei exacte). Fie tloc unul din timpurile locale introduse (θ, tα sau tm ). Dac˘a ˆın acela¸si moment de timp fizic, din punctele terestre A de longitudine LA necunoscut˘a ¸si B de longitudine LB cunoscut˘a se determin˘a timpul local ˆın acela¸si sistem de timp, atunci se scrie, conform relat¸iilor Teoremei 3.3.3 tlocA − tlocB = LA − LB

(11.45)

de unde rezult˘a longitudinea necunoscut˘a, LA . Pentru a m˘asura timpul local ˆın acela¸si moment, ˆın cele dou˘a puncte A, B, trebuie observat un fenomen ceresc vizibil ˆın ambele puncte. Mult timp s-au utilizat ˆın acest scop eclipsele satelitilor planetei Jupiter; ˆın prezent problema determin˘arii longitudinii geografice este facilitat˘a prin transmiterea 139

˘ ¸ ARE 11. APLICAT UNITATEA DE ˆINVAT ¸ II semnalelor orare. Din observat¸iile asupra Soarelui se obt¸ine timpul solar mediu (local), tm , conform relat¸iei (8.4) tm = H⊙ + E + 12h

(11.46)

Recept¸ionˆand semnalele orare de la Greenwich se cunoa¸ste timpul universal T U rezult˘a longitudinea geografic˘a L, L = tm − T U

(11.47)

Dac˘a se recept¸ioneaz˘a semnalele dintr-un loc situat ˆıntr-un fus oarecare n atunci T U = Tn − nh ¸si se ˆınlocuie¸ste ˆın (11.47) pentru determinarea longitudinii. Observat¸ia 11.3.1 Coordonatele geografice se pot determina simultan folosind metoda lui Sumner [12].

140

Unitatea de ˆınv˘ a¸tare 12 Elemente de mecanic˘ a cereasc˘ a Cuprins 12.1 Legile lui Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 12.2 Problema celor dou˘ a corpuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 12.3 Elementele orbitei unui satelit artificial al P˘ amˆ antului . . . . 148

Obiectivele unit˘ a¸tii de ˆınv˘ a¸tare 1. Enunt¸area si deducerea part¸ial˘a a legilor lui Kepler 2. Problema celor dou˘a corpuri ¸si aplicat¸iile acesteia pentru determinarea orbitelor satelit¸ilor artificiali ai Terrei.

Mecanica cereasc˘a este folosit˘a ˆın geodezie pentru studiul orbitelor satelit¸ilor ¸si pentru datele care pot fi luate de la ace¸stia ˆın ceea ce priveste pozit¸ionarea pe suprafata terestr˘a. Bazele mecanicii cere¸sti au fost puse de Johann Kepler (1571-1630). Kepler a folosit observat¸iile astronomice ale astronomului danez Tycho Brahe (1564-1601), asupra planetei Marte, stabilind trei legi importante ˆın ceea ce prive¸ste mi¸scarea planetei Marte. Aceste legi au fost extinse la orice mi¸scare ˆıntr-un cˆamp gravitat¸ional. Ulterior Newton stabile¸ste legile dinamicii care stau la baza mecanicii. 141

˘ ¸ ARE 12. ELEMENTE DE MECANICA ˘ CEREASCA ˘ UNITATEA DE ˆINVAT

12.1

Legile lui Kepler

Cele trei legi ale lui Kepler se enunt¸a˘ astfel: 1. Planetele descriu ˆın jurul Soarelui elipse, Soarele g˘asindu-se ˆın unul din focare. 2. Ariile descrise de raza vectoare care une¸ste planeta cu Soarele sunt proport¸ionale cu timpurile ˆın care au fost descrise. 3. P˘atratele perioadelor de revolut¸ie sunt proport¸ionale cu cuburile semiaxelor mari: T12 a31 = 3 T22 a2

(12.1)

Aceste trei legi sugereaz˘a faptul c˘a Soarele ˆımpreun˘a cu planetele formeaz˘a un sistem unitar, ˆın care mi¸sc˘arile sunt guvernate de o fort¸a˘ unic˘a. ˆIn continuare [7] se consider˘a un spat¸iu absolut, un timp absolut, independente ˆıntre ele ¸si f˘ar˘a nici o relat¸ie cu materia care umple spat¸iul fizic, ˆın urm˘atorul sens: (i) ˆIn R3 se consider˘a un sistem de referint¸a˘ al mi¸sc˘arii numit reper inert¸ial astfel ˆıncˆat s˘a fie verificate principiile fundamentale ale lui Newton; (ii) simultaneitatea, succesiunea ¸si durata ˆın timp a evenimentelor sunt independente de loc, de observator ¸si de momentul considerat. Legea I. principiul inert¸iei Orice corp ˆı¸si p˘astreaz˘a starea de repaus sau de mi¸scare rectilinie ¸si uniform˘a, dac˘a nu este constrˆans de fort¸e exterioare s˘a-¸si schimbe starea. Aceast˘a lege a fost stabilit˘a exeperimental de Galilei. Legea II. Variat¸ia mi¸sc˘arii este proport¸ional˘a cu fort¸a motoare imprimat˘a ¸si este dirijat˘a dup˘a dreapta ˆın lungul c˘areia este imprimat˘a fort¸a. Legea este transcris˘a matematic mai jos: d F⃗ = (m⃗v ) dt valabil˘a ¸si pentru mase variabile. Dac˘a m =constant, atunci legea a II-a, devine: F⃗ = m⃗a. 142

˘ ¸ ARE 12. ELEMENTE DE MECANICA ˘ CEREASCA ˘ UNITATEA DE ˆINVAT Legea III. Act¸iunile reciproce a dou˘a corpuri sunt egale ¸si dirijate ˆın sensuri contrare. Celor trei principii li se mai adaug˘a ˆınc˘a dou˘a enunt¸ate ˆın continuare, [7] IV. Principiul condit¸iilor init¸iale (Cauchy). Mi¸scarea unui corp este determinat˘a de cunoa¸sterea pozit¸iei ¸si vitezei init¸iale. V. Principiul compunerii fort¸elor. Fort¸ele se compun dup˘a regula paralelogramului. Utilizˆandu-se afirmat¸iile enunt¸ate mai sus, Newton a stabilit tipul de fort¸e care apar ˆıntre dou˘a corpuri pentru a produce un anumit tip de mi¸scare. Astfel se enunt¸˘a legea atract¸iei universale: Oricare dou˘a puncte materiale se atrag reciproc cu o fort¸˘a direct proport¸ional˘a cu produsul maselor ¸si invers proport¸ional˘a cu p˘atratul distant¸ei dintre ele; ilustrat˘a ˆın Figura 12.1 m1 m1 m2 F⃗ = k 2 , ⃗g = k 2 r r

(12.2)

unde g este constanta atract¸iei universale ¸si are valoarea: g=

1 · 10−2 ∼ = 0.000295912. 15 z M2 m2 M1

r

m1

y

O

x

Figura 12.1: Legea atract¸iei universale

12.2

Problema celor dou˘ a corpuri

Se consider˘a un punct P de mas˘a m care se mi¸sc˘a sub act¸iunea unui corp S de mas˘a M . Fort¸a considerat˘a este cea de atract¸ie gravitat¸ional˘a, neglijeazˆandu-se fort¸ele interioare sau 143

˘ ¸ ARE 12. ELEMENTE DE MECANICA ˘ CEREASCA ˘ UNITATEA DE ˆINVAT exterioare. Centrul atractiv este corpul central; S Mi¸scarea lui P fat¸a˘ de S se raporteaz˘a la un sistem inert¸ial cu centrul ˆın S ¸si este considerat reperul ortonormat Sxyz. Se mai consider˘a ¸si un sistem de referint¸˘a absolut OXYZ cu axele de coordonate paralele cu axele sistemului Sxyz redat ˆın ˆın Figura 12.2. Mi¸scarea punctului P fat¸a˘ de sistemul OXYZ este mi¸scarea absolut˘ a, iar fat¸˘a de sistemul Sxyz este mi¸scarea relativ˘ a. ⃗ iar vectorul de pozit¸ie Vectorul de pozit¸ie al lui P fat¸˘a de S este ⃗r, iar fat¸˘a de O este R, ⃗ = R⃗0 + ⃗r. al lui S fat¸a˘ de OXYZ cu R⃗0 .Are loc urm˘atoarea relat¸ie: R z P, m r

F

F1

y

R x Z R0

Y X

Figura 12.2: Problema celor dou˘a corpuri Asupra lui P ˆın sistemul absolut OXYZ, act¸ioneaz˘a fort¸a de atract¸ie a lui S M m ⃗r F⃗ = −g 2 · , r r ⃗r fiind versorul vectorului de pozit¸ie. r Din legea a doua a dinamicii m⃗a = F⃗ , obt¸inem: cu

m

⃗ M m ⃗r d2 R = −g 2 · 2 dt r r

sau

⃗ d2 R M = −g 3 ⃗r. 2 dt r

(12.3)

Ecuat¸ia mi¸sc˘arii lui S fat¸˘a de sistemul absolut OXYZ sub act¸iunea fort¸ei de atract¸ie a lui Mm P asupra lui S cu o fort¸a˘ egal˘a ¸si de semn contrar F⃗1 = g 3 ⃗r are forma: r ⃗0 d2 R m = g 3 ⃗r. 2 dt r ⃗ −R ⃗ 0 obt¸inem: Dac˘a not˘am µ = g(M + m) ¸si ¸tinˆand cont c˘a ⃗r = R d2⃗r ⃗r = −µ 3 . 2 dt r 144

(12.4)

˘ ¸ ARE 12. ELEMENTE DE MECANICA ˘ CEREASCA ˘ UNITATEA DE ˆINVAT Se noteaz˘a componentele vectorilor de pozit¸ie cu : ⃗r = x⃗i + y⃗j + z⃗k,

⃗ = X⃗i + Y ⃗j + Z⃗k ¸si r = |⃗r| = R

√ x2 + y 2 + z 2

 2 x dx    = −µ 3  2  r  dt2 dy y (12.5) = −µ 2 3  dt r    d2 z z   = −µ 3 2 dt r µ Introducˆand funct¸ia de fort¸a˘ u = − ¸ce se ata¸seaz˘a condit¸iile init¸iale, se obt¸ine forma r scalar˘a complet˘a a sistemului:  ∂u  x¨ =    ∂x   ∂u   y¨ =    ∂y ∂u (12.6) z¨ =   ∂x     x(t0 ) = x0 , y(t0 ) = y0 , z(t0 ) = z0      x(t ˙ 0 ) = x˙ 0 , y(t ˙ 0 ) = y˙ 0 , z(t ˙ 0 ) = z˙0

se obt¸ine urm˘atorul sistem:

Teorema centrului de greutate. Centrul de greutate al corpurilor S ¸si P de mase M ¸si m se mi¸sc˘a rectiliniu ¸si uniform sau este fix. ρ⃗ =

⃗ + MR ⃗0 mR M +m

sau ρ⃗ = ⃗c1 t + ⃗c2

unde ρ⃗ este vectorul de pozit¸ie al centrului de greutate a celor dou˘a corpuri, ⃗c1 =

(12.7) ⃗a , M +m

⃗b , iar ⃗a ¸si ⃗b sunt constante de integrare. M +m Legile lui Kepler rezult˘a din problema celor dou˘a corpuri, [5] exprimate ca integrale prime

⃗c2 =

ale sistemului de ecuat¸ii diferent¸iale care descriu mi¸scarea ˆın problema celor dou˘a corpuri. Legea a doua a lui Kepler. Integrala ariilor. Se consider˘a sistemul de ecuat¸ii diferent¸iale ˆın form˘a vectorial˘a avand condit¸ii init¸iale:  2 ⃗r d ⃗r   = −µ   dt2 r3 ⃗r(t0 ) = ⃗r0     ˙ ⃗r(t0 ) = ⃗r˙0 145

(12.8)

˘ ¸ ARE 12. ELEMENTE DE MECANICA ˘ CEREASCA ˘ UNITATEA DE ˆINVAT Se consider˘a cazul ˆın care ⃗r0 ¸si ⃗r˙0 = ⃗v0 sunt necoliniari, deci ⃗r0 × ⃗v0 ̸= ⃗0. Prin ˆınmult¸ire d vectorial˘a la stˆanga a relat¸iei (12.8) cu ⃗r se obt¸ine (⃗r ×⃗v ) = ⃗0, iar prin integrare rezult˘a: dt ⃗r × ⃗v = ⃗c

(12.9)

unde ⃗c este un vector constant. Relat¸ia (12.9) se mai nume¸ste integrala momentului cinetic sau integrala ariilor. Vec⃗ = m⃗v reprezint˘a cantitatea de mi¸scare, atunci momentul cinetic este K ⃗ = ⃗r ×m⃗v , torul H de unde se obt¸ine c˘a ⃗r × ⃗v = ⃗c. Deci mi¸scarea este caracterizat˘a de momentul cinetic constant, de unde rezult˘a c˘a mi¸scarea este plan˘a ˆıntr-un plan perpendicular pe ⃗c. Un calcul simplu ne arat˘a c˘a ⃗r · (⃗r × ⃗v ) = ⃗r · ⃗c = 0, deci ⃗r ¸si ⃗c sunt perpendiculari. Ecuat¸ia planului este c1 x + c2 y + c3 z = 0, plan care cont¸ine punctele S ¸si P . ⃗ reprezint˘a viteza areolar˘a, atunci Dac˘a A ⃗ 1 dA = (⃗r × ⃗v ) dt 2 ⃗˙ = ⃗c, ceea ce ˆınseamn˘a c˘a viteza areolar˘ de unde rezult˘a 2A a este constant˘a, aceasta fiind legea a doua a lui Kepler. Legea I-a a lui Kepler. Se consider˘a ecuat¸ia mi¸sc˘arii relative: ⃗r d2⃗r = −µ 3 . 2 dt r Se ˆInmult¸e¸ste scalar ecuat¸ia precedent˘a cu 2⃗r˙ ¸si se folosesc notat¸iile ⃗r˙ = ⃗v , ⃗r˙ 2 = ⃗v 2 , ⃗r2 = r2 , r2 = x2 + y 2 + z 2 , astfel se obt¸ine ( ) d 2 d 2µ (v ) = , dt dt r integrˆand relat¸ia precedent˘a rezult˘a : v2 =

2µ +h r

(12.10)

constanta de integrare este h, denumit˘a ¸si constanta energiei. Dac˘a se consider˘a m = 1, rezult˘a ( ) µ v2 h + − = 2 2 2 146

(12.11)

˘ ¸ ARE 12. ELEMENTE DE MECANICA ˘ CEREASCA ˘ UNITATEA DE ˆINVAT Relat¸ia (12.11) reprezint˘a legea de conservare a energiei. ˆIn acest context relat¸ia (12.10) se mai nume¸ste integrala energiei. Utilizˆand integrala energiei ¸si leg˘atura dintre coordonatele polare ¸si carteziene ˆın plan va rezulta traiectoria lui P ˆın coordonate polare, folosit˘a la deducerea primei legi a lui Kepler. Astfel traiectoria lui P ˆın coordonate polare este r = r(θ). Dar v 2 = x˙ 2 + y˙ 2 ¸si x⃗y −y⃗x = C care devine r2 θ˙ = C ˆın coordonate polare. Astfel integrala ariilor ˆın coordonate polare 2µ + h. Se obt¸ine astfel sistemul de ecuat¸ii: este: r˙ 2 + r2 θ˙2 = r  dθ   =C  r2 ( )2 ( dt)2 2µ dr dθ  2  +r = + h.  dt dt r Eliminˆand variabila t ˆıntre cele dou˘a ecuat¸ii rezult˘a: C dθ 2 = √ r dr ± 2µ − r

. C2 r2

+h

C r

−

Separˆand variabilele ¸si integrˆand rezult˘a: θ − θ0 = arccos √ h+

µ C

.

µ2 C2

Efectuˆand calculele se obt¸ine: C2 µ

√

r= 1+ Se noteaz˘a

2

p=

.

C 2h 1 + 2 · cos(θ − θ0 ) µ

C , µ

√ 1+

C 2h = e, µ2

¸si se obt¸ine expresia unei conice ˆın coordonate polare: r=

p . 1 + e cos(θ − θ0 )

(12.12)

Ecuat¸ia (12.12) reprezint˘a ecuat¸ia conicelor ˆın coordonate polare ¸si este totodat˘a prima lege a lui Kepler generalizat˘a. Semnul constantei h va da forma conicei, astfel: 147

˘ ¸ ARE 12. ELEMENTE DE MECANICA ˘ CEREASCA ˘ UNITATEA DE ˆINVAT (i) h < 0 ⇐⇒ e < 1, elips˘a; (ii) h = 0 ⇐⇒ e = 1, parabol˘a; (iii) h > 0 ⇐⇒ e > 1, hiperbol˘a. Legea a III-a a lui Kepler. Deducerea acestei legi necesit˘a un volum mare de calcule ¸si totodat˘a cuno¸stint¸e avansate de analiz˘a matematic˘a astfel va fi doar dat˘a expresia pentru aceast˘a lege: T 2 (M + m) 4π 2 = . a3 g unde T reprezint˘a perioada de parcurgere a orbitei iar a semiaxa mare a orbitei.

12.3

Elementele orbitei unui satelit artificial al P˘ amˆ antului

Din punctul de vedere al astronomiei geodezice, principala aplicat¸ie a problemei celor dou˘a corpuri o constituie determinarea orbitei unui satelit artificial. ˆIn continuare se vor enumera elementele orbitei unui satelit artificial fat¸˘a de ecuatorul ceresc, f˘ara a se determina efectiv orbita satelitului, [7]. N terestru S

Π Perigeu

N ′ nodul descendent t0 planul ecuatorial ω γ

Ω

i

N nodul ascendent N N ′ linia nodurilor planul traiectoriei stelitului

A Apogeu

Figura 12.3: Elementele orbitei unui satelit ˆIn Figura 12.3 sunt reprezentate elementele care caracterizeaz˘a traiectoria unui satelit. Aceste elemente sunt descrise mai jos. 148

˘ ¸ ARE 12. ELEMENTE DE MECANICA ˘ CEREASCA ˘ UNITATEA DE ˆINVAT Longitudinea nodului ascendent notat˘a cu Ω. Planul orbitei se intersecteaz˘a cu planul ecuatorului ceresc dup˘a linia nodurilor N N ′ , ¸si arat˘a la ce longitudine se intersecteaz˘a traiectoria cu ecuatorul ceresc. Unghiul de ˆınclinare a orbitei este notat cu i. Dac˘a i ∈ (00 , 900 ) atunci satelitul este direct, dac˘a i = 00 satelitul este ecuatorial iar dac˘a unghiul este 900 atunci satelitul este polar. Linia aspizilor notat˘a cu AΠ arat˘a orientarea orbitei ˆın planul ei ¸si este definit˘a de unghiul ω. Valoarea lui ω reprezint˘a argumentul perigeului. Forma orbitei este dat˘a de semiaxele a ¸si b ale elipsei sau folosind turtirea elipsei (7.6) de semiaxa mare a ¸si turtirea α. Momentul trecerii pe la perigeu este determinat de unghiul t0 . Perigeul reprezint˘a punctul orbitei satelitului cel mai apropiat de P˘amˆant. Deci (Ω, i, ω, a, α, t0 ) reprezint˘a elementele care definesc orbita unui satelit artificial al P˘amˆantului.

149

˘ ¸ ARE 12. ELEMENTE DE MECANICA ˘ CEREASCA ˘ UNITATEA DE ˆINVAT

150

Bibliografie [1] F. Aldea, Matematici aplicate ˆın ¸stiint¸ele agricole ¸si silvice, Ed. Risoprint, ClujNapoca, 2006. [2] Anuarul astronomic 2014 realizat de Institutul Astronomic al Academiei Romˆane, Bucure¸sti Editura Orion, 2014. [3] R. T ¸ iteica, Z. Karniopol, C. Neumann, Dicionar Politehnic, Editura Tehnic˘a, 1976 [4] N. Dima, Geodezie, Edituta Universitas, Petro¸sani 2005. [5] G. M. Fihtenholt¸, Calcul diferent¸ial ¸si integral, (3 volume), I(1963), II(1964), III(1965), Ed. Tehnic˘a Bucure¸sti, (traducere din limba rus˘a). [6] C. Gales, Notit¸e de curs [7] N. Lungu, Astronomie geodezic˘a Editura U.T. Press, Cluj-Napoca, 2010. [8] I.I Muller, Spherical and practical astronomy as applied to geodesy, Frederick Ungar PublisherCo. New York 1969. [9] A. Pal, V. Pop, V. Ureche, Astronomie, Culegere de probleme cu solutii, Presa Universitara Clujeana, 1998 [10] A.Pal, V. Ureche, Astronomie, Editura Didactica si pedagogica, Bucuresti, 1982. [11] D.B. Thomson, Introduction to geodetic astronomy, Lecture Notes University of New Brunswick, 1997. [12] V. Ureche, Universul, Vol I, Editura Dacia, Cluj-Napoca, 1982. 151

BIBLIOGRAFIE [13] ***, The American Practical Navigator: Bowditch, prepared and published by National Imagery and Mapping Agency (NIMA), editie bicentenar˘a, 2012

152

Index A

constelat¸ie 30

an tropic 51

coordonate

an tropic 93

ecliptice 53

anul lumina 112

geografice 35

anul 99

locale 38

argumentul perigeului 149

orare 40

asteroid 9

orizontale 38

astru

semilocale 40

circumpolar 33, 64

culminat¸ie 70

cu r˘as˘arit ¸si apus 33

inferioar˘a 70

cu r˘as˘arit ¸si apus 64

superioar˘a 70

axa polilor ecliptici 50 azimut 39 geodezic 39

D deflect¸ia verticalei 82 determinare azimut prin m˘asurare distant¸˘a zenital˘a pentru un astru 133

B bolta cereasc˘a 30

determinare timp ˆın˘alt¸imi egale pentru dou˘a stele 131

C

ˆın˘alt¸imi egale cazul stelelor 129

calendar

ˆın˘alt¸imi egale cazul Soarelui 130

gregorian 99

m˘asurarea distant¸ei zenitale!asupra unei

iulian 99

stele 126

cerc

m˘asurarea distant¸ei zenitale!asupra Soare-

mare 12

lui 128

polar de nord 52 polar de sud 52

trecerea stelei pe la meridian 132 determinarea meridianului locului 135 153

INDEX distant¸a sferic˘a 12

ecliptic˘a 53 legea a III-a a lui Kepler 148

zenital˘a 39

atract¸iei universale 143

E

I-a a lui Kepler 146

ecuator 12 ecuatorul ceresc 32 elementele orbitei unui satelit 148 elongat¸ia 73

legile lui Kepler 142 linia aspizilor 149 linia de schimbare a datei 96 longitudinea

exces sferic 17

ecliptic˘a 54 geografic˘a 36

F

nodului ascendent 149

formula celor cinci elemenete 20 lui Huillier 24 formulele

Luna 98

M meridian 12

lui Delambre 22

ceresc al locului 32

lui Gauss 19

meteorit 9

lui Neper 23

miscarea de rotat¸ie diurn˘a aparent˘a a sferei

fus sferic 12

cere¸sti 31 momentul trecerii pe la perigeu 149

I inalt¸imea astrului 39

N

integrala ariilor. 145

Nadir 32

integrala momentului cinetic 146

P L

paralaxe

latitudine geografic˘a 36

anuale 113

latitudine

diurne 113

astronomic˘a 82

seculare 113

geocentric˘a 81

paralelul diurn al astrului 33

geodezic˘a 81

parsecul 112 154

INDEX planet˘a 6

triedrul asociat triunghiului sferic 14

planul orizontului astronomic 32

triunghi

pol 12

paralactic 54

precesie 120

sferic dreptunghic 15

primul vertical 32, 71

sferic rectilater 15

punct vernal 42

sferic 14 polar 15

R

tropicul

raza terestra ecuatoriala 112 Capricornului 52 refract¸ie astronomic˘a 102 Racului 52

S

U

satelit 9

ultimul vertical sau al treilea vertical 32

sfera cereasc˘a

unghiul de ˆınclinare a orbitei 149

geocentric˘a 44

unitatea astronomic˘a 112

heliocentric˘a 44

V

topocentric˘a 43 Sistem Solar 9

verticala locului 32

sistem absolut de coordonate 43

viteza areolar˘a 146

Soare mijlociu 92

Z

Soarele 9

Zenit 32

stea 6

ziua solar˘a medie 98 zodiac 52

T teorema centrului de greutate 145 timpul legal 96 mijlociu 92 sideral 90 solar adev˘arat 91 solar mediu 92 universal 95 155