Arithmetique Dans Z Cours Et Exercices Corriges PDF [PDF]

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Cours L’ARITHMETIQUE

PROF : ATMANI NAJIB

1BAC SM BIOF

avec Exercices avec solutions

L’ARITHMETIQUE Remarque : Si 𝑏 est un entier non nul, les multiples de 𝑏 constituent Un ensemble infini 1) Définition et conséquences noté 𝑏ℤ 1.1 Diviseur d’un entier 𝑏ℤ = {𝑚 ∈ ℤ/ ; 𝑚 = 𝑘𝑏 𝑜ù 𝑘 ∈ ℤ} Définition : Soient 𝑎 et 𝑏 deux entiers relatifs tels que 𝑏 ≠ 0 ; on dit que l’entier relatif 𝑏 divise 𝑎 Exemple : 3ℤ = {← ⋯ , −12, −9, −6, −3,0,3,6,9,12, … →} s’il existe un entier relatif 𝑘 tel que 𝒂 = 𝒌𝒃 ; 1.3 Diviseur commun, multiple commun de On écrit : 𝒃|𝒂. deux entiers On dit que 𝑎 est divisible par 𝑏 Définition :a) Si 𝑏|𝑚 et 𝑏|𝑛 on dit que 𝑏 est un Exemples : 312 car 12  3 4 et 6 42 diviseur commun de 𝑚 et 𝑛 b) Si 𝑏|𝑚 et 𝑏′|𝑚, on dit que 𝑚 est un multiple car 42  7   6  et on a :7 ne divise pas 16 commun de 𝑏 et 𝑏′. Remarques : Exemples :4 est un diviseur commun de  Si l’entier non nul 𝑏 divise l’entier 𝑎 alors −𝑏 16 et 12 divise lui aussi. 36 est un multiple commun de 9 et 12.  1 divise tous les entiers relatifs Propriété : Etant donnés des entiers relatifs non  0 est divisible par tous les entiers non nuls : nuls. On a les propositions suivantes : car 0 = 0 × 𝑏  𝑎|𝑏 et 𝑏|𝑎⇒ |𝑎| = |𝑏|  Si 𝑎 est un entier les diviseurs de 𝑎 constituent  𝑎|𝑏 et c|d⇒ ac|bd un ensemble fini noté Da :  𝑎|𝑏 et 𝑏|𝑐 ⇒ 𝑎|𝑐 Da = {𝑏 ∈ ℤ / 𝑏|𝑎}  𝑎|𝑏 ⇒ 𝑎|b𝑐  𝑎|𝑚 et 𝑎|𝑛 ⇒ 𝑎|𝑚 + 𝑛 Exemple :  𝑎|𝑚 et 𝑎|𝑛 ⇒ 𝑎|𝑚 - 𝑛 D18 = {−18, −9, −6, −3, −2, −1,1,2,3,6,9,18}  𝑎|𝑚 et 𝑎|𝑛 ⇒ 𝑎|𝛼𝑚 + 𝛽𝑛 où 𝛼 et 𝛽 sont des et D18 = {1,2,3,6,9,18} entiers relatifs quelconques. Exercice01 : 1) Déterminer et dénombrer les n n  a / b  a / b n diviseurs naturels de 156 Exercice02 : 12)Déterminer dans tous les diviseurs de -8 1) a  et b et c  et x  et y  Solution01 :1) 156 a 12 diviseurs : a) montrer que si a 2b  c et a b  c alors a c 1; 2; 3; 4; 6; 12; 13; 26; 39; 52; 78 et 156. 156 et 1 sont appelés diviseurs triviaux, les autres b) montrer que si a 2b  3c et a b  c alors a c sont des diviseurs stricts. c) montrer que si a et a b  c alors a xb  cy 2) D8 = {−8, −4, −2, −1, 1,2,4,8} x y Propriété : a  ; b ; c  2) a  et n et a 12n  1 et a 2n  3  1/ a et 1/ a et a / a et a / a  𝑏|𝑎 ⇒ |𝑏| ≤ |𝑎| Montrer que a 19  a / b  a / bc 3) d  et a  et d 2 et d 2 n  1 a/b a  b n  3   𝑏|1 ⇒ 𝑏 ∈ {−1,1} Montrer que d 13 Déduction : a Si 𝑚 et 𝑛 sont deux entiers relatifs tels que : Solution02 : 1) a)  2b  c  a a c 2  b  c    2b  c  𝑚𝑛 = 1 alors |𝑚| = 1 et |𝑛| = 1. a  b  c 1.2 Multiple d’un entier. Définition : On dit que 𝑎 est un multiple de 𝑏 si 𝑏 est un diviseur de 𝑎

I) LA DIVISIBILITE DANS ℤ

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a

1) b)  2b  3c  a

a

c 2b  3c  2  b  c  a   bc a 1) c)  x  y  a et a a bx  by by  cy bx  cy a   bc

2) a 12n  1 et a 2n  3 a

12n  1

et a

12n  18

a

 a  1; 19

3) d 

et a 

et d

2n  1 n2  3 d a d d  et  et n2  3 4n 2  12 4n 2  4n  1  2n  1 ² d

11  4n

et d

2  4n

Exercice03 : a 

d

13

et x 

a Montrer que :  5 x  7  a 29  a 2 x  3 a

Solution03 :  5 x  7  a

2  5 x  7   5  2 x  3  a 2 x  3 a a a 10 x  14  10 x  15 29 29

Exercice04 : Montrer que : n  : n 3 divise 4  1 Solution04 : k  / 4n  1  3k Montrons que : n  1étapes : l’initialisation :Pour n=0 nous avons

40  1  0 est un multiple de 3 Donc P (0) est vraie. 2étapes : d’hérédité : Supposons que P(n) soit vraie c’est-à-dire : k 

/ 4  1  3k donc n

4n  3k  1 3étapes : Nous allons montrer que P(n+1) est vraie. Montrons alors que :

k   / 4n 1  1  3k  ?? 4n1  1  4  4n  1

 4   3k  1  1  12k  4  1  12k  3  3  4k  1 avec k   4k  1 Donc P(n+1) est vraie. Conclusion. Par le principe de récurrence on a :

n  ; 4n  1 est divisible par 9 Exercice05 : Quelles sont les valeurs de l’entier relatif n pour lesquelles : n  2 3n  1 Solution05 : n  2 3n  1 et n  2 n  2 n  2 3n  1et n  2 3n  6 donc n  2  3n  6    3n  1 donc n  2 5 Les diviseurs de 5 sont 1 ; -1 ; 5 ; -5 donc Il faut Prof/ATMANI NAJIB

n 3; 7; 1;3

On vérifie que que que si n 3; 7; 1;3 alors

n  2 3n  1 avant de conclure. Conclusion : les valeurs de l’entier relatif n pour lesquelles : n  2 3n  1 sont : -7 ; -3 ;-1 ;3 Exercice 06 : Quelles sont les valeurs de l’entier relatif n pour lesquelles la fraction

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et d

que n  2  1; 5;1;5 ce qui entraine que

3n  8 n4

Représente un entier relatif ? Solution06 :Cette fraction a un sens si : n  4  0 soit n  4 On constate que 3n  8  3  n  4   4

n  4 divise 3  n  4  , donc n  4 divise 3n  8 si n  4 divise -4. Les diviseurs de -4 sont 1 ; -1 ; 2 ; -2 ; 4 ; -4. Il faut que n  4  4; 2; 1;1; 2; 4 ce qui entraine que n 8; 6; 5; 3; 2;0 On vérifie que -4 n’appartient pas à -8 ; -6 ; -5 ; -3 ; -2 ; 0 avant de conclure.

3n  8 représente un n4 entier relatif pour les valeurs de l’entier relatif n : -8 ; -6 ;-5 ; -3 ; -2 ; 0. Exercice07 : Résoudre dans 2 les équations 2 2 suivantes :a) x  y  32 avec x y b) 2 xy  2 x  y  99

Conclusion : la fraction

Solution07 :a) x 2  y 2  32   x  y  x  y   32 x  y et x  y sont des diviseurs positif de 32 Et  x  y    x  y   2 x est u nombre pair 5 Donc x  y et x  y ont la même parité 32  2 On dresse un tableau : x y 2 4 x  y 16 8 x 9 6 y 7 2 S   6; 2  ;  9;7 

b) 2 xy  2 x  y  99  2 xy  y  2 x  1  1  99

 y  2 x  1  2 x  1  99  1   2 x  1 y  1  100 Donc : 2x 1 et y  1 sont des diviseurs positif de 100 D100  1; 2; 4;5;10; 20; 25;50;100

2 4 2x  1 1 y  1 100 50 25 x 0 y 99

5 20 25 50 100 20 5 4 2 1 2 12 10 3

S   0;99  ;  2;19  ; 12;3

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2) La division euclidienne 2.1 La division euclidienne dans ℕ. Propriété : Considérons 𝑎 et 𝑏 deux entiers naturels tels que 𝑏 ≠ 0 ; ils existent deux entiers naturels 𝑞 et 𝑟 tels que 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟 où 0 ≤ 𝑟 < 𝑏  L’entier 𝑎 s’appelle : Le divisé  L’entier 𝑏 s’appelle : Le diviseur  L’entier 𝑞 s’appelle : Le quotient  L’entier 𝑟 s’appelle : Le reste Remarque : Si 𝑟 est le reste de la division euclidienne par 𝑏 alors : 𝑟 ∈ {0,1, … , 𝑏 − 1}. Exemple1 : la division euclidienne de 75 par 8 donne : 75  9  6  3 car 0 ≤ 3 < 8 la division euclidienne de 126 par 7 donne : 126  18  7  0 car 0 ≤ 0 < 7 la division euclidienne de 85 par 112 donne : 85  0 112  85 car 0 ≤ 85 < 112 Exemple2 : Un entier naturel 𝑛 peut s’écrire de l’une des façons suivantes 𝑛 = 5𝑘 ou 𝑛 = 5𝑘 + 1 ou 𝑛 = 5𝑘 + 2 ou 𝑛 = 5𝑘 + 3 ou 𝑛 = 5𝑘 + 4 avec k  Exercice 08 : déterminer le nombre entier naturel n Tel que le quotient de la division euclidienne de n par 25 est p et le reste est p 2  p 



Solution08 : n : n  25 p  p et 0  p ² 25 donc 0  p 5 p  0 p 1 p  2 p  3 p  4 ou  ou  ou  ou  Donc :  n  0 n  26 n  54 n  84 n  116 2

Donc : n 0;26;54;84;116 Exercice 09: n et a et b des entiers naturels Démontrer que si q est le quotient de la division euclidienne de n par a et q est le quotient de q par b Alors q est aussi le quotient de n par ab Solution09 : soit r le reste de la division euclidienne de n par a et r  le reste de la division euclidienne de q par b on a donc :

n  aq  r et 0  r  a 1 et on a : q  bq  r  et 0  r  b 1 donc on déduit que : n  a  bq  r    r  abq  ar   r Et puisque : 0  r  b 1 et 0  r  a 1 alors : ar  r  ab 1 donc n  abq  ar   r 0  ar  r  b 1 conclusion : q est aussi le quotient de n par ab Prof/ATMANI NAJIB

2.2 La division euclidienne dans ℤ Propriété : Considérons 𝑎 et 𝑏 deux entiers relatifs tels que 𝑏 ≠ 0 ; ils existent un entiers relatif 𝑞 et un entier naturel 𝑟 Tels que : 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟 où 0 ≤ 𝑟 < |𝑏| Exemple1 :1)la division euclidienne de 37 par 11 donne : 37   11   3  4 car 0 ≤ 4 < 11 2)a division euclidienne de -37 par 11 donne : - 37  11  4   7 car 0 ≤ 7 < 11 3) l a division euclidienne de -37 par -11 donne : 37   11  4  7 car 0 ≤ 7 < 11 Exercice10: b   et a  si q est le quotient de la division euclidienne de

a  1 par b déterminer le quotient de la division 10 9 euclidienne de ab  1 par b Solution10 : soit r le reste de la division euclidienne de a  1 par b donc : a  1  bq  r et 0  r b 9 9 10 9 Donc : ab  b  b q  rb

9 10 9 9 Donc : ab  1  b q  rb  b  1

9 10 9 Donc : ab  1  b q   r  1 b  1

On montre que : 0   r  1 b9  1 b10 ??? On a : 0  r b donc 0  r  1  b donc 0   r  1 b9  b10 donc 0   r  1 b9  1  b10  1 donc 0   r  1 b9  1 b10 conclusion : q est aussi le quotient de la 9 division euclidienne de ab  1 par b

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II) LES NOMBRES PREMIERS 1) Définition et propriétés Définitions : a) On dit que l’entier 𝑑 est un diviseur effectif de l’entier relatif 𝑎 Si 𝑑|𝑎 et |𝑑| ≠ 1 et |𝑑| ≠ |𝑎| b) On dit qu’un entier relatif non nul 𝑝 est premier s’il est différent de 1 et s’il n’admet pas de diviseurs effectifs. Remarques :  Un nombre premier p admet exactement deux diviseurs positifs 1 et |p|.  Si 𝑝 est un nombre premier positif alors 𝑝 n’admet pas de diviseurs effectifs de même - p n’admet pas de diviseurs effectif d’où : - -p est aussi premier ;  Pour l’étude des nombres premiers on se contente d’étudier les nombres premiers positifs. Propriété : Soit 𝒂 un entier naturel non nul différent de 1 et non premier, le plus petit

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diviseur de 𝒂 diffèrent de 1 est un nombre premier Exemple1 : Les nombres -3 et -7 et 23 sont premiers. 2) Détermination d’un nombre premier Propriété :Soit 𝑛 un entier naturel non nul, diffèrent de 1 et non premier, il existe un nombre premier 𝑝 qui divise l’entier 𝑛 et qui vérifie p2  n . Remarque : Cette propriété nous permet de déterminer si un nombre est premier ou non. Corolaire :Si un entier 𝑛 n’est divisible par 2 aucun entier premier 𝑝 et qui vérifie p  n alors 𝑛 est premier. Exercice: 1) Les nombres suivants sont–ils 2 premiers :499 ; 601 ; 703 ; 2003 ; 2n  3n n Théorème : L’ensemble des nombres premiers est infini.

III) PLUS GRAND DIVISEUR COMMUN, PLUS PETIT MULTIPLE COMMUN. 1) Plus grand diviseurs commun 1.1 Définition et propriété Définition :On dit que le nombre 𝑑 est le plus grand diviseur commun de deux entiers relatifs 𝑎 et 𝑏 lorsque 𝑑 divise 𝑎 et 𝑑 divise 𝑏 et qu’il n’y a pas d’autre plus grands diviseurs de ces deux nombres. On note 𝑑 = 𝑃𝐺𝐷𝐶 (𝑎, 𝑏) = 𝑎 ∧ 𝑏 Exemple : −48 ∧ 36 = 12 Propriétés :1) 𝑎 ∧ 𝑎 = |𝑎| 2) 1 ∧ 𝑎 = 1 3) (𝑎 ∧ 𝑏) ∧ 𝑐 = 𝑎 ∧ (𝑏 ∧ 𝑐) 4) Si 𝑏|𝑎 alors 𝑎 ∧ 𝑏 = |𝑏| 5)si 𝑑|𝑎 et 𝑑|𝑏 alors 𝑑| (𝑎 ∧ 𝑏) Exercice11 : montrer que a  a   a  1  1 Solution11 : on pose d  a   a  1

 d a et d a  1  d 1  d  1 Exercice12 : n On considère les deux nombres : A  n 2  3 et B  n  2 1) montrer que A  B   n  2   7 2) déterminer l’entier naturel n tel que :

n2  3  n2

Solution12 :1)on pose d  A  B et d    n  2  7 On a : d  A  B et d n  2  d A et d B  d 2 n 3 et d n  2 on utilisant la division d 2 n 3 euclidienne : on trouve : n2  3   n  2  n  2   7 Prof/ATMANI NAJIB

n2  3   n  2  n  2   7

 d

n 2  3   n  2  n  2 

d  d 7 et d n  2  d  n  2  7  d  Inversement : On a : d    n  2   7

d  d  n  2 et d  7  d   n  2  n  2  et 7

 d

 n  2  n  2   7 et

d   d 2 et d  7 7 n 3

donc : d  A  B donc d  d donc d et d  et d  d d

et d  

donc

donc d  d  donc : A  B   n  2   7 n2  3   n2 2 et et on a : n  2 n  2 n 3 n2 Donc : n  2 A  B Donc : n  2  n  2  7

2)

Donc : n  2 7 or 7 est premier donc :

Il faut que n  2  1;7 ce qui entraine que n  5 Définition : On dit que deux entier relatifs 𝑎 et 𝑏 sont premiers entre eux si 𝑎 ∧ 𝑏 = 1. Exemple :21 et 10 sont premiers entre eux. Exercice 13: a  et b et c  et d  tels que : a  bc  d 1) montrer que a  b  b  d 2) En déduire que : a  b  b   a  bc  Solution13 :1)on pose 1  a  b et  2  b  d

  donc 1 et 1 donc b a bc 1  donc 1 a  bc d  1 1  donc et donc 1 donc 1 2 d b bd    inversement On a : 2 et 2 donc 2 et b d d 2   donc 2 donc 2 bc bc  d a     donc 2 et 2 donc 2 donc 2 1 a b a b     et  2  On a donc : 1 et 2 2 1 et 1 donc 1   2 donc : a  b  b  d 2)on a : a  bc   a  bc  si on prend : d  a  bc et On a :

1

a

et

1

d’après 1) on aura : a  b  b  d  b   a  bc 

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Exercice14 : a On considère les deux nombres : A  35a  57 et B  45a  76 montrer que A  B  1 ou A  B  19 Solution14 :1)on pose d  A  B  d A et d B  d 35a  57 et d 45a  76 et d  d 7  45a  76  9  35a  57 

Indications pour preuve : Poser 𝑀 = 𝑞𝑚 + 𝑟 on a : 𝑎|𝑚, 𝑎|𝑀 conclure. De même pour 𝑏 et si 𝑟 ≠ 0 aboutir à une contradiction.

IV) LA CONGRUENCE MODULO 𝑛

1) Définition et propriétés. Activité : Quelle relation y a-t-il entre ces nombres −11, 15, 67, 28, 132 et 13. d d Définition : Soient 𝑎 et 𝑏 deux entiers relatifs ; et et  315a  513 315a  532 𝑛 un entier naturel non nul. On dit que : 𝒂 est  d 19 or 19 est premier donc : congrue à 𝒃 modulo 𝒏 si 𝑛|(𝒃 − 𝒂). On écrit : 𝒂 ≡ 𝒃 [𝒏] Il faut que d 1;19 ce qui entraine que : Exemples :122 ≡ 27 [5] 34 ≡ 13 [7] A  B  1 ou A  B  19 Propriété :Si 𝑎 ≡ 𝑏 [𝑛] alors 𝑎 et 𝑏 ont le même 1.2 L’algorithme d’Euclide. reste de la division euclidienne sur 𝑛 Théorème : Soit 𝑎 un entier naturel et 𝑏 un entier Propriété fondamentale : naturel non nul on a : 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟 1) (∀𝑎 ∈ ℤ)(𝑎 ≡ 𝑎 [𝑛]) on dit que la relation de Où 0 ≤ 𝑟 < 𝑏 on a : 𝑎 ∧ 𝑏 = 𝑏 ∧ 𝑟 congruence est réflexive. L’algorithme d’Euclide. 2 2) (∀(𝑎, 𝑏) ∈ )( 𝑎 ≡ 𝑏 [𝑛] ⟺ 𝑏 ≡ 𝑎 [𝑛] ) : on dit Propriété :Soient 𝑎 et 𝑏 deux entier naturels non que la relation de congruence est symétrique. nuls.Le plus grand diviseur commun de 𝑎 et 𝑏 est 3 3) (∀(𝑎, 𝑏, 𝑐) ∈ ) le dernier reste non nul dans les divisions (𝑎 ≡ 𝑏 [𝑛] et 𝑏 ≡ 𝑐 [𝑛]⇒ 𝑎 ≡ 𝑐 [𝑛]) : on dit que la euclidiennes successives. relation de congruence est transitive. Application : Définition : Puisque la relation est de 1- Trouver le 𝑃𝐺𝐷𝐶 (362154, 82350). congruence est réflexive, symétrique et transitive 2- Déterminer tous les diviseurs communs de on dit que la relation de congruence est une 362154 et 82350. Propriété :Soient 𝑎 et 𝑏 deux entier relatifs non relation d’équivalence 2) Compatibilité de la relation d’équivalence nuls avec l’addition et la multiplication dans ℤ. Les diviseurs communs de 𝑎 et 𝑏 sont les Propriété et définition :Soit 𝑛 un entier naturel diviseurs de 𝑎 ∧ 𝑏. non nul. Si 𝑎 ≡ 𝑏 [𝑛] et 𝑐 ≡ 𝑑 [𝑛] alors : On peut dire que : Da  Db  Da b 1) 𝑎 + 𝑐 ≡ 𝑏 + 𝑑 [𝑛] ; On dit que la relation de  congruence est compatible avec l’addition Exercice : Montrer que : n  on a : dans ℤ 1) n   n  1  1 2) n   2n  1  1 2) 𝑎𝑐 ≡ 𝑏𝑑 [𝑛] ; On dit que la relation de 3)  2n  1   3n  1  1 congruence est compatible avec la multiplication 2) Le plus petit multiple commun. dans ℤ Définition et propriété Corolaire :Si 𝑎 ≡ 𝑏 [𝑛] alors pour tout 𝑘 dans ℕ Définition : On dit que le nombre entier naturel on a : a k  b k  n  𝑚 est le plus petit multiple commun de deux Remarque :La réciproque du corolaire n’est pas entiers relatifs 𝑎 et 𝑏 lorsque vraie : 24  34 5 mais 2 ≢ 3 [5] 𝑚 est un multiple de 𝑎 et de 𝑏 et qu’il n’y a pas Exercice15 : a et b Si 17 est le reste d’autre plus petit multiple non nuls de ces deux a de la division euclidienne de par 19 nombres. On note : 𝑚 = 𝑃𝑃𝐶𝑀(𝑎, 𝑏) = 𝑎 ∨ 𝑏 Et Si 15 est le reste de la division euclidienne de Exemple :−48 ∧ 36 = 144 b par 19 Déterminer le reste de la division Propriétés : euclidienne des nombres suivants par 19 : 1) 𝑎 ∨ 𝑎 = |𝑎| 2) 𝑎 ∨ 𝑏 = 𝑏 ∨ 𝑎 2 2 3) 𝑎 ∨ 1 = |𝑎| 4) Si 𝑏|𝑎 alors 𝑎 ∨ 𝑏 = |𝑎| 1) a  b 2) a  b 3) 2a  5b 5) 𝑎 ∨ (𝑏 ∨ 𝑐) = (𝑎 ∨ 𝑏) ∨ 𝑐 Solution15 : 1)On a : a  17 19 et b  15 19 6) 𝑎|(𝑎 ∨ 𝑏) ; 𝑏|(𝑎 ∨ 𝑏) et (𝑎 ∨ 𝑏)|𝑎𝑏 Propriété : Considérons 𝑎 et 𝑏 deux entiers relatifs. donc : a  b  17  15 19  a  b  1319 Si 𝑎 ∨ 𝑏 = 𝑚 et 𝑀 un multiple commun de 𝑎 et 𝑏 Par suite : le reste dans la division du nombre alors 𝑚|𝑀. a  b Par 19 est : 13 Prof/ATMANI NAJIB

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2) a  17 19  a 2  172 19  a 2  4 19

Exercice17 : 1)montrer que n 

 n  2

b  1519  b2  152 19  b2  16 19 Donc : a 2  b2  4  16 19  a 2  b2  119 Par suite : le reste dans la division du nombre a 2  b 2 Par 19 est : 1 3) a  17 19  2a  2 17 19  2a  15 19 (1) b  1519  5b  5 15 19  5b  18 19

77

77

77

 3 10

Solution17 :1)on a :  n  2 

n2

n2

  Cnk 2 n k 2n  2 k Donc : k 0

 n  2

n2

n2

 Cn0 2 n 0 2n  2  Cn1 2 n 2n 1   Cnk 2 n k 2n  2 k n2

 2n  2   n  2  n 2n 1   Cnk 2 n k 2n  2 k

n2

k 2

2a  5b  15  119  2a  5b  16 19

Par suite : le reste dans la division du nombre 2a  5b Par 19 est : 16 Exercice16 : 1)Déterminer et discuter suivants les valeurs de l’entier naturel n le reste de la division par 10 du nombres 3n 2)en déduire le chiffre des unités du nombres 2019 2020 3)Déterminer les valeurs de l’entier naturel n tél que : 3n  5n  2  0 10

Solution16 :1) 3n  r 10 et r 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 On a : 30  110 et 31  310 et 32  9 10 et 33  7 10 et 34  110 alors : n  4k  r avec r  0;1; 2;3

On a : 34  110 donc :  34   1k 10  k

donc : 34 k  110 et 34 k 1  310 et 34 k  2  9  7 et 34 k 3  7 10 2020

2) le chiffre des unités du nombres 2019 est 2020 le reste dans la division du nombre 2019 Par 10 cad : on cherche r tel que : 20192020  r 10 ?? On a : 2019  2010  9 donc : 2019  9 10 donc : 20192020  92020 10 donc : 20192020  34040 10 or : 4040  4 1010  4  k donc : 20192020  34 k 10 donc : 20192020  110 le chiffre des unités du nombres 2019 2020 est 1 Autre méthode : 2019  9 10 donc : 2019  110 donc : 20192020  110

Donc :  n  2 

n2

n2

 2n 1  2  n 2  2n   n 2  Cnk 2 n k 2n  k k 2

 n  2

n2

 2n 1  2  2n   2 n 1 n 2  n 2  Cnk 2 n k 2 n  k

n2

k 2

   2n  2 1  n   n 2  2n 1   Cnk 2 n k 2n  k  k 2   n2 on a : n 2  2n 1   Cnk 2 n k 2n k   0  n²  k 2  

 n  2

n2

n2

donc :  n  2

n2

 2n2  n  1  0  n² 

2) on a : 7  7 10 et 72  110 donc 74  110

Donc : 74 k  110 et 74 k 1  7 10 et 74 k  2  9 10

74 k 3  310

On aussi : 7  3 4 et 7²  1 4

Donc 72 k  1 4 et 72 k 1  3 4 Or : 7

77

77

7

Donc : 7

 1 2 (car impair) 77

77

77

 3 10

Exercice 18 : 1) Déterminer le reste de la division euclidienne de 458722018 par 9 2) Déterminer le reste de la division euclidienne 6512

de 25614 par 13 3) Montrer que pour tout 𝑛 entier naturel :

32 n 1  2n  2 est divisible par 7 4) Montrer que pour tout n entier naturel, 5n3  n est divisible par 6 5) Montrer que si n n’est pas un multiple de 7, 6 alors : n  1 est un multiple de 7 6 Montrer que pour tout entier naturel, le nombre

4k  3  7 10

5n

 0 10

 5 10

 0 10

 5 10

3n  5n  2

 310

 0 10

 110

 4 10

donc : 3n  5n  2  0 10  n  3k  1 avec k  Prof/ATMANI NAJIB

2) montrer que: 7

 n  2

De (1) et (2) on déduit que :

3)On Dresse une table comme suite : n 4k 4k 1 4k  2 n 3  110  310  9 10

 2n2  n  1  0  n² 

k 2

Donc : 5b  119  5b  119 (2)

Si n

n2



n  n2  5 est divisible par 6

Exercice19 : x   et y   On considère les deux nombres : a  9 x  4 y et b  2 x  y 1)montrer que x  y  a  b 2) n on pose : a  n²  5n 13 et b  n  3

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6

a)montrer que a  b  b  7 b)en déduire les valeurs possibles a  b  d c)montrer que : n  4 7  a  b  7 d)en déduire les valeurs de n tel que : a b 1 Solution19 :1)on pose d  x  y et d   a  b montrons que : d  d  d  x  y donc :  d x et d  d a et d b y Car il divise toute combinaison de x et y  d a  b  d d Inversement : d   a  b  d  a et d  b  d  9 x  4 y et d  2 x  y d  d  9 x  4 y   4  2 x  y  et 9  2 x  y   2  9 x  4 y 

 d  x et d  y  d  x  y  d  d ce qui entraine: d  d  2) n on pose : a  n²  5n 13 et b  n  3 a) montrons que a  b  b  7 ? la division euclidienne de n²  5n 13 par n  3 donne : n²  5n  13   n  3 n  2   7 Donc : a  b  n  2   7  a  b  n  2   7 on pose d   b  7 et d  a  b montrons que : d  d  d  a  b  d a et d b  d a  b n  2 et d b  

 d 7 et d b  d b  7  d d  et d  b d   b  7  d  7 et d  b  d  b  n  2  7  d  a et d  b  d  a  b  d  d ce qui entraine: d  d  b) les valeurs possibles a  b  d ?? on a : a  b  b  7  d donc : d 7 donc : d  1 ou d  7 c)montrons que : n  4 7  a  b  7 n  4 7  n  3  0 7  7

 7  b7  7  ba  7 n3 b d) les valeurs de n tel que : a  b  1 ?? a  b  1  n n’est pas congrue a 0 modulo 4 n  0 7 ou n  17 ou n  2 7 ou n  37 ou n  57 ou n  6 7 3) Les classes d’équivalences. 3.1 Définition et propriété :

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Activité : Déterminer l’ensemble des entiers relatifs qui admettent 2 pour reste de la division par 7. Définition : Soit 𝑛 un entier naturel non nul. L’ensemble des entiers relatifs qui ont le même reste 𝑟 de la division euclidienne par n s’appelle la classe d’équivalence de r et se note : r = {𝑚 ∈ ℤ / 𝑚 ≡ 𝑟 [𝑛]} = {𝑛𝑘 + 𝑟 𝑜ù 𝑘 ∈ ℤ} Exemple : Pour 𝑛 = 7 les restes possibles sont les éléments de l’ensemble :{0,1,2,3,4,5,6} Donc on peut définir les classes d’équivalences suivantes :

0 = {𝑚 ∈ ℤ / 𝑚 ≡ 0 [7]} 1 = {𝑚 ∈ ℤ / 𝑚 ≡ 1 [7]} et … 6 = {𝑚 ∈ ℤ / 𝑚 ≡ 6 [7]} on remarquer que 0 = 7 Les classes d’équivalences modulo 7 constituent :un ensemble noté :





/ 7  0;1; 2;3; 4;5;6 Généralisation :





/ n  0;1; 2;3;...; n  1

3.2 Les opérations sur / n Définition : Soit 𝑛 un entier naturel non nul. On définit dans / n les deux lois : 1) L’addition : On pose a  b  a  b 2) La multiplication : On pose : a  b  a  b Exemple :Dans / 6 : 3  4  0 et 5  4  3 Exercice20: Résoudre les équations suivantes dans : 1) 2x  3 2) x 2  3x  0 4 3) 2013x3  2x  k Solution20 : On a :





 0;1; 2;3 4 1)On Dresse une table comme suite : x 0 1 2 3 2x 0 2 0 2 Et en utilisant cette une table on déduit que Cette équation n’admet pas de solutions Donc : S   1)On Dresse une table comme suite : x 0 1 2 3 2 x 0 1 0 1

3x 0 3 2 1 2 x  3x 0 0 2 2 Et en utilisant cette une table on déduit que : 0 et 1 sont solutions de l’équation Donc : S  0;1

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 

7

2) 2013x3  2x  k  1x3  2x  k  x3  2x  k Car : 2013  503 4 1 On Dresse une table comme suite : x 0 1 2 3 3 x 0 1 0 3 2x 0 2 0 2 3 x  2x 0 3 0 1

 

 Si k  3 : S  1

Si k  0 : S  0; 2

Si k  1 : S  3

Si k  2 : S  





IV) DECOMPOSITION D’UN ENTIER EN FACTEURS DES NOMBRES PREMIERS 1) Définition et propriétés Activité : Décomposer en produit de facteurs premiers le nombre : 24816 Théorème : a)Chaque entier naturel 𝑚 non nul s’écrit d’une façon unique comme le produit des facteurs premiers comme suite : k n

m  p11  p2 2  p33  ...  pn n   pk  k k 1

2

l’équations b) Chaque entier relatif 𝑚 non nul s’écrit d’une façon unique comme le produit des facteurs suivants : x  3y  1 premiers Solution21 :on Dresse une table des opérations comme suite : Exercice21 : Résoudre dans



5



/ 5  0;1; 2;3; 4 Comme suite

de

1

2

3

4

0

0 0

3

1

4

2

1

1

4

2

0

3

2

2

0

2

1

4

3 4

3 4

1

4

2

0

2

0

1

1

m   p  p2  p

 ...  pn

n

k n

  pk  k k 1

k n

a   p11  p2 2  p33  ...  pn n   pk  k k 1

0; 2 ; 1;0 ; 2;3 ; 3;1 ; 4;3 ; 4; 4

2

 3x  2y  1 système suivants :   2x  4y  3 Solution22 :  3  2 x  2  4 y  3 1 3x  2 y  1        2x  4 y  3 2x  4 y  3 y  4 x  1   donc S  1; 4   2 x  4 y  3 y  4     Exercice : 1) Dresser les tables des opérations /7 de 2) Résoudre dans / 7 les équations : a) 2x  1  0 b) 4x  1  x  3 2 c) 5x  3x  1  0 Propriété : Si 𝑝 est premier alors dans / p on a : (𝑎̅ ×𝑏 ̅ = 0̅⟺ 𝑎̅ = 0 ou 𝑏 ̅ = 0̅) Preuve : Après la décomposition.



3 3

2

où 𝜀 ∈ {−1,1} Propriété 1:Soit 𝑎 un entier relatif dont la décomposition est de la forme :

            Exercice22 : Résoudre dans  les 5  S

1 1

 



 

un entier 𝑑 non nul divise l’entier 𝑎 si et seulement si 𝑑 à une décomposition de la forme k n

d   p11  p2 2  p3 3  ...  pn n   pk k 𝛿𝑛 où k 1

(∀𝑖 ∈ ⟦1, 𝑛⟧ )(0 ≤  i ≤  i ) 𝛿𝑛 un diviseur de 𝑎 le nombre des valeurs possibles de 𝛿𝑖 est 𝛼𝑖 + 1 On en déduit que : Propriété 2 : 1 1

2

3 3

a   p  p2  p

k n

 ...  pn   pk  k n

k 1

est un entier, le nombre des diviseurs de 𝑎 est : 2 1  1 2  1 ...  n  1

Exercice : 1- Décomposer le nombre 2975 en facteurs des nombres premiers 2- Déterminer le nombre des diviseurs de 2975. 3- Déterminer tous les diviseurs positifs de 2975. Propriété 3 :Soit 𝑎 un entier relatif dont la décomposition est de la forme : k n

a   p11  p2 2  p33  ...  pn n   pk  k k 1

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8

un entier 𝑚 est un multiple de 𝑎 si et seulement     si m   p1 1  p2 2  p3 3  ...  pn n 

k n

p  k 1

k

k

où (∀𝑖 ∈ ⟦1, 𝑛⟧ )(  i ≤  i ) 2) Application de la décomposition. Propriété : Soient 𝑎 et 𝑏 deux entiers naturels 1) Le plus grand entier 𝑛 qui vérifie : 𝑛 ≤ 𝑎 et 𝑛 ≤ 𝑏 est inf (𝑎, 𝑏) 2) Le plus petit entier 𝑛 qui vérifie : 𝑛 ≥ 𝑎 et 𝑛 ≥ 𝑏 est sup (𝑎, 𝑏) Exemple : 𝑎 = 7 et 𝑏 = 10 Le plus grand des entiers 𝑛 tel que : 𝑛 ≤ 7 et 𝑛 ≤ 10 est : 7 = inf (10,7) Le plus petit des entiers 𝑛 tel que : 𝑛 ≥ 7 et 𝑛 ≥ 10 est 10 = sup (10,7) 2.1 Le P.G.C.D de deux nombres. k n

k n

k 1

k 1

2.3 Applications de la décomposition. Propriété : Soient 𝑎 et 𝑏 deux entiers relatifs non nuls, on a les assertions suivantes : 1) (𝑎 ∧ 𝑏) × (𝑎 ∨ 𝑏) = |𝑎𝑏| 2) 𝑐𝑎 ∨ 𝑐𝑏 = 𝑐(𝑎 ∨ 𝑏) 3) 𝑐𝑎 ∧ 𝑐𝑏 = 𝑐(𝑎 ∧ 𝑏 Exemple :si 2  a  b et 12  a  b déterminer : a  b Solution : on a 𝑎 ∧ 𝑏) × (𝑎 ∨ 𝑏) = |𝑎𝑏| donc : a  b  a  b a  b  12 2  6 Exercice23: a   25n  1 36n  1 et b   5n 1 6n 1 Calculer les a  b Solution23 :



)

 6  1  5 15 16 16 1

a   5n   1 2

( n

n 2

n

n

n

n

a  b  5n  1 6n  1 donc : b a donc : a  b  a

k k Soient a   pk =1 et b   pk deux

V) Exercices avec solutions Exercice24: n et a et b des entiers naturels

entiers ;le 𝑃. 𝐺. 𝐷. 𝐶 (𝑎, 𝑏) est l’entier

Démontrer que si q est le quotient de la division euclidienne de n par a et q est le quotient de q par b Alors q est aussi le quotient de n par ab Solution : soit r le reste de la division euclidienne de n par a et r  le reste de la division euclidienne de q par b on a donc :

k n

a  b   pk

inf  k ;  k 

k 1

Remarque : Soient 𝑎 et 𝑏 deux entiers relatifs on a : a  b  a  b Exemple : Déterminer :  5664    984  et

n  aq  r et 0  r  a 1 et on a : q  bq  r  et 324   144  0  r  b 1 donc on déduit que : Exercice : n  a  bq  r    r  abq  ar   r 1- Décomposer les nombres 362154 et 82350 en Et puisque : 0  r  b 1 et 0  r  a 1 alors : produit des facteurs premiers 2- Déterminer le P.G.C.D de 362154 et 82350 ar  r  ab 1 donc n  abq  ar   r 3- Déterminer tous les diviseurs communs de 0  ar  r  b 1 conclusion : q est aussi le 362154 et 82350 quotient de n par ab 2.2 Le P.P.C.M de deux nombres. k n

k n

Exercice25: Déterminer le reste de la division

k 1

euclidienne de 19  23 par 7 Solution25 :on a 19  5  7 donc 192  4 7

k k Soient a   pk =1 et b   pk deux k 1

entiers ; le ppmc (𝑎, 𝑏) est l’entier k n

a  b   pk

sup  k ;  k 

52

41

donc : 194  2 7 donc 1952  213  7 Et on a 23  2  7  donc 2341  241 7 donc

k 1

Exemple :déterminer : d   8316   1080 et

m  8316  1080

2341 1952  213  241 7 donc 2341 1952  254 7 donc

Solution : la décomposition des nombres 8316 et 2341  1952   23 18  7  donc 2341 1952  818 7 1080 en produit des facteurs premiers et puisque : 8  1 7 donc 2341 1952  17 2 3 Donnent : 8316  2  3  7  11 et conclusion :1est le reste de la division 3 3

1080  2  3  5 d  8316  1080  22  33  108 et m  8316  1080  23  33  5  7 11  11880 Prof/ATMANI NAJIB

euclidienne de 19  23

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52

41

par 7

9

on pose U n  4n  3n  1

Exercice26: n

U n 1  4U n  9n

1)montrer que n 

2) En déduire que n  9 divise 4  3n  1 Solution26 :1)on a U n1  4n 1  3  n  1  1 n

donc U n 1  4  4  3n  3  1 n

et puisque : U n  4n  3n  1 donc :

4  U n  3n  1 donc : U n 1  4U n  9n n

2) notons P(n) La proposition suivante : « 9 divise U n » .Nous allons démontrer par récurrence que P(n) est vraie pour tout n . 1étapes : l’initialisation :Pour n=0 nous avons

U0  40  3 0 1  0 donc 9 divise 0 .

Et on utilisons cette une table on déduit que 2 est la seul solution de l’équation



Donc : S  2 ¨



 



 3  2 x  2  4 y  3 1  3x  2 y  1  2):   2x  4 y  3   2x  4 y  3

  y  4 x  1 donc S  1; 4   2x  4y  3  y  4  3)on Dresse une table des opérations de

 





/ 5  0;1; 2;3; 4 Comme suite : x 0 1 2 x 0 1

2

4

3

4 4 1 Donc P (0) est vraie. 2 x  x2 3 3 0 4 0 2étapes : d’hérédité ou Hypothèse de récurrence : Supposons que P(n) soit vraie c’est-à-dire : « 9 Et on utilisons cette une table on déduit que 2 et divise U n » 4 sont les solutions de l’équation 3étapes : Nous allons montrer que P(n+1) est Donc : S  2; 4 vraie. 4 Exercice28: n on pose  n  n  n ²  16 Montrons alors que : « 9 divise U n 1 » ?? 2 2 1)montrer que n  3n  4 et n  3n  4 sont c’est-à-dire Montrons que U n1  0 9 ?? des nombres paires On a d’après l’hypothèse de récurrence: « 9 2) En déduire que  n n’est pas un nombre divise U n » donc U n  0 9 donc 4U n  0 9 premier Solution28 :1)soit n Et on a : 9nn  0 9 donc U n  9nn  0 9 donc n2  3n  4  n2  n  2 donc U n1  0 9 n2  3n  4  n  n  1  2 n Conclusion : n  9 divise 4  3n  1 Or n  n  1 est le produit de deux nombres Exercice27: 1)Résoudre dans 5 l’équation: consécutifs donc paire donc n  n  1  0  2 donc n2  3n  4  0  2 4x  3  0

 

2) Résoudre dans





5

2

le système suivant :

 3x  2y  1   2x  4y  3

2

n2  3n  4  n  n  1  2

3)Résoudre dans

l’équation:

x2  x  2  0

5 Solution27 :1)on Dresse une table des





opérations de

/ 5  0;1; 2;3; 4

Comme suite : x 0 1

2

3

4

3 0

2

1

4

3

4x 4x  3

donc n  3n  4 est un nombre paire et on a : n2  3n  4  n 2  n  2 donc

0

4

2

1

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Or n  n  1 est le produit de deux nombres consécutifs donc paire 2 donc n  n  1  0  2 donc n  3n  4  0  2 donc n  3n  4 est un nombre paire 2)  n  n4  n²  16   n²  4  ²  9n²   n²  3n  4  n²  3n  4  2

Et puisque n  3n  4 et n  3n  4 sont des nombres paire 2 2 alors : n  3n  4  1 et n  3n  4  1 donc  n n’est pas un nombre premier 2

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tels on a : 2ab  1 d  et 2ab  1 d  donc 0  2  d 

Exercice29: a  et b et c  et d  que : a  bc  d 1) montrer que a  b  b  d 2) En déduire que : a  b  b   a  bc 

Solution29 :1)on pose 1  a  b et  2  b  d On a :

1

1

a  bc  donc 1

et

1

donc

1

a

d

b

donc

a

et

1

bc

1

donc

1

donc 2 bd    inversement On a : 2 et 2 donc 2 et b d d  2  donc 2 donc 2 bc  d bc a     donc 2 et 2 donc 2 donc 2 1 a b b a     et  2  On a donc : 1 et 2 2 1 et 1 donc 1   2 donc : a  b  b  d 2)on a : a  bc   a  bc  si on prend : d  a  bc et

d

et

1

1

donc

b

d’après 1) on aura : a  b  b  d  b   a  bc  



Exercice30: a  et b  et a  3 et a est a impair On pose : d  2  1  2b  1



 



1) a)montrer que 2ab  1 d 

donc d 2 et on a d   donc d 1;2 3)montrons que d  1 On a : 2a  1 et 2b  1 sont impairs donc d est impair Et puisque d 1;2 donc d  1 Exercice32 : 1)a) montrer que : 24 k  r  2r 5   k ; r   2 b)Déterminer et discuter suivants les valeurs de l’entier naturel n le reste de la division par 5 du nombres 2 n 2)montrer que 5 4 p 2 p   17  324 p 3  3 3)montrer que 5 2006 2006 2006 2006 1 2 3 4 Solution33 : 1) a)on a : 24  15 donc

2 

4 k

 1k 5 donc 24 k  15 donc 24 k  2r  2r 5

Donc 24 k  r  2r 5   k ; r  

2

b) 2n  r 5 et r  0;1; 2;3; 4 Si n

alors : n  4k  r avec r  0;1; 2;3

donc : 24 k  15 et 24 k 1  2 5 et 24 k  2  4 5 et 24 k 3  35 p  174 p 2  324 p 3  3 on a : 17  2 5 donc : 174 p  2  24 p  2 5

2)montrons que

5

2) En déduire que : d 1;2

on a : 32  2 5 donc : 324 p 3  24 p 3 5

3)montrer que d  1 Solution31 :1) a)montrons que 2ab  1 d 

donc : 324 p3  35 donc 324 p3  2 5 donc 174 p  2  324 p 3  3  4  3  35

On a : d  2a  1  2b  1

donc 174 p  2  324 p 3  3  0 5

 

Donc il existent :  





et  



donc 5

tels que :

b

b

b

32006   2

Par suite : 2ab  1 d 

p 



2006

5 et 42006   1 5 2006

donc ; 12006  22006  32006  42006  2  2  22006 5

1) a)montrons que 2ab  1 d  a

4 p 3

donc : 12006  12006 5 et 22006  22006 5 et

Et on a : d  1  1 d  Donc  d  1  1 d 

On a : 2ab   2b    d   1

4 p2

17  32  3 3) on a : 1  15 et 2  2 5 et 3  2 5 et 4  15

2a  1  d et 2b  1  d  donc :

2ab   2a    d  1

?

324 p 3  24 p 3 5 174 p 2  4 5

b)montrer que 2ab  1 d 





12006  22006  32006  42006  2  22007 5

a

Et on a : d   11  1 d  Donc  d   1   1  d  a

et puisque a est impair on a  d   1  1 d  a

a

Or : 2007  4  501 3 donc : 22007  35 Donc : 12006  22006  32006  42006  2  35  0 5

Par suite : 2ab  1 d  2) d 1;2 ??? Prof/ATMANI NAJIB

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Exercice34 : déterminer le chiffre des unités 1983 2021 des nombres suivants : 1) 20192020 2) 19871991 Solution34 :1) on a : 2019  110 donc 2019 2020

2021

  1

2020 2021

10 et puisque 20202021

Est paire donc : 20192020  110 le chiffre des unités est 1 2) on a : 1987  7 10 donc 1987 2  9 10 2021

Et 19873  310 et 19874  110 Donc : 19874k  110 et 19874 k 1  7 10 et

19874 k 2  9 10 et 19874 k 3  310 19911983  ?  4

1991  3 4 et 1991²  1 4 on a : 1983  1 2 donc : 19911983  3 4 donc : 19871991  310 Le chiffre des unités est 3 Exercice35 : soit N  dcba un entier naturel montrer que : N  a  b  c  d 11 1983

Solution35 :on a : N  dcba  a  b 10  c 102  d 103 et on a : 10  111 et 10²  111 et 103  111 Donc : N  a  b  c  d 11 Exercice36 : 1)En utilisant l’algorithme d’Euclide calculer : 67  39 2) en déduire deux nombres relatifs u et v tel que : 39u  67v  1 Solution36 :1) (1) 67  1 39  28 (2) 39  1 28  11 (3) 28  2  11  6

(4) 11  1 6  5

(5) 6  1 5  1 (6) 5  1 5  0 Donc : 67  39  1 c’est le dernier reste non nul dans l’algorithme d’Euclide 2) (5) 6  1 5  1  6  1 5  1

 6  1 11  1 6   1  2  6  1 11  1  2   28  2 11  111  1  2  28  5 11  1  2  28  5   39  1 28  1  7  28  5  39  1

 7   67  1 39   5  39  1  7  67  12  39  1 « C’est en forgeant que l’on devient forgeron » Dit un proverbe. C’est en s’entraînant régulièrement aux calculs et exercices Que l’on devient un mathématicien

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