Systemes Non Lineaires Cours Et Exercices Corriges PDF [PDF]

Zitiervorschau

C hapitre 9

Analyse des asservissements continus non linéaires 9.1

INTRODUCTION

9.1.1

Généralités

Au cours des huit premiers chapitres, nous n’avons étudié que des systèmes dont la principale propriété était la linéarité, autrement dit des systèmes pour lesquels s’appliquent le principe de la conservation, au niveau de sa sortie de la combinaison linéaire d’entrée, chaque si (t) étant la sortie correspondant à ei (t) : e(t) = l1 e1 (t) + l2 e2 (t) + · · · + ln en (t) s(t) = l1 s1 (t) + l2 s2 (t) + · · · + ln sn (t) De tels systèmes sont régis par des équations différentielles linéaires à coefficients constants et possèdent une fonction de transfert au sens où nous l’avons définie au chapitre 1. Pour être tout à fait franc, les systèmes physiques réellement linéaires n’existent pas. Les équations différentielles linéaires, donc les fonctions de transfert, ne sont que des modèles qui correspondent plus ou moins bien à la réalité. Partant du principe que tout système qui n’est pas linéaire doit être considéré comme non linéaire, cela revient à dire que tous les systèmes physiques, en général, sont non linéaires. Il nous faut donc apprécier, lors du choix d’un modèle, la pertinence de celui-ci au regard de la précision des résultats qu’il nous permet de mettre en évidence. Il est alors nécessaire de trouver un compromis entre la justesse (toute relative) du modèle et sa complexité. Il est en effet logique de penser que plus un modèle doit coller à la réalité, plus il sera complexe. Pour rassurer le lecteur, nous pouvons malgré tout signaler qu’une majorité de systèmes physiques peuvent être appréhender comme des systèmes linéaires, tout du moins sous certaines conditions de fonctionnement. Ces conditions, en général, s’expriment sous la forme d’une limitation des amplitudes des signaux ou de la restriction à un certain intervalle de fréquences. L’ensemble de ces conditions permet de déterminer ce qu’on appelle le domaine de linéarité d’un système. Toutefois, lorsque la précision de l’étude le nécessite ou lorsque les phénomènes engendrés par certains systèmes notoirement non linéaires ne peuvent être négligés, il est nécessaire d’appréhender l’étude de modèles de fonctionnement qui en tiennent compte. C’est ce que se propose de présenter ce chapitre ainsi que le chapitre suivant.

9.1.2

Différents types de non-linéarités

On distingue en général deux types de systèmes non linéaires : – ceux pour lesquels ces non linéarités peuvent être considérées comme gênantes ou parasites ; – ceux dans lesquels un organe volontairement non linéaire est volontairement introduit pour produire un effet particulier.

9 • Analyse des asservissements continus non linéaires

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Ce dernier cas s’accomode fort mal, en général, d’une modélisation linéaire. Quant au premier, il peut s’en accomoder à condition que l’on puisse considérer le fonctionnement du système dans son domaine de linéarité ou que l’on évalue comme négligeable l’influence des non linéarités sur les prévisions tirées d’un modèle linéaire.

9.2

ÉTUDE DU DOMAINE DE LINÉARITÉ D’UN SYSTÈME

9.2.1

Le phénomène de saturation

Considérons un système physique très simple, par exemple un amplificateur de gain K (figure 9.1). L’une des plus fréquentes limitations de son modèle linéaire correspond à l’incapacité d’écrire l’équation de fonctionnement s(t) = Ke(t), notamment pour de fortes amplitudes des signaux. En effet, tout amplificateur possède un intervalle [smin , smax ] à l’intérieur duquel évolue obligatoirement le signal de sortie. Cette plage de variation du signal de sortie est appelée excursion du signal de sortie et est dû, la plupart du temps, à des limitations techniques. Dans le cas d’un amplificateur, les bornes de l’alimentation électrique utilisée constituent, en quelque sorte, des limites infranchissables pour le signal de sortie.

Figure 9.1 Modèle linéaire d’un amplificateur.

Si l’on tente d’amplifier un signal d’entrée e(t) possédant une amplitude telle que Ke(t) > smax , le signal de sortie saturera à la valeur smax . On ne peut plus écrire :

s(t) = Ke(t)

La figure 9.2 illustre ce phénomène de saturation d’un signal sinusoïdal pour une entrée e(t) possédant une amplitude trop importante. Le signal de sortie n’est plus sinusoïdal.

Figure 9.2 Saturation d’un signal sinusoïdal.

La figure 9.3 présente la caractéristique entrée - sortie d’un amplificateur réel avec sa plage de fonctionnement linéaire et ses deux plages de saturation. Remarque : Le phénomène de saturation est souvent symétrique et l’on a : smin = −smax Il est fondamental de bien comprendre que le siège du phénomène de saturation se trouve au niveau de la sortie du système mais qu’il se traduit, en pratique, par une limitation de l’amplitude du signal d’entrée.

9.2 Étude du domaine de linéarité d’un système

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Figure 9.3 Caractéristique réelle d’un amplificateur avec saturation.

9.2.2

Détermination du domaine de linéarité d’un système asservi

Les amplificateurs ne sont pas les seuls organes présentant un phénomène de saturation. En réalité, tous les systèmes physiques, qu’ils soient électriques, électroniques, mécaniques, etc. sont caractérisés par ce phénomène. Ainsi, en mécanique, les butées qui bloquent le mouvement d’une pièce se traduisent par une saturation. Dans une boucle d’asservissement composée de plusieurs éléments, chacun d’entre eux possède sa propre limitation en sortie. Dans l’exemple de la figure 9.4, les organes de fonctions de transferts A( p), B( p) et C( p) sont ainsi caractérisés par des valeurs maximales de leurs sorties respectives : Amax , Bmax et Cmax .

Figure 9.4 Saturations des sorties de chaque élément d’une boucle.

Chacune des valeurs maximales de sortie des différents éléments impose une valeur maximale de son entrée. Au final, toutes ces contraintes imposent une limitation du signal d’entrée. En supposant que e, ´, x, s et s’ représentent les amplitudes de signaux qui sont tous sinusoïdaux, on peut ainsi, dans notre exemple, écrire les différentes contraintes liées aux saturations éventuelles que l’on cherche, bien évidemment, à éviter : s < Amax

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