Appunti 10 Stato Critico [PDF]

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Capitolo 11

STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO

CAPITOLO 11 STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO 11.1 Percorsi tensionali (stress paths) 11.1.1 Percorsi tensionali efficaci (ESP) e totali (TSP) nei piani s’-t e s-t Lo stato tensionale in un punto di un mezzo continuo solido in condizioni assialsimmetriche, come è stato mostrato nel Capitolo 9, è rappresentato nel piano di Mohr (σ, τ) da un cerchio avente il centro sull’asse delle ascisse (Figura 11.1a). Se si considera un sistema piano di assi cartesiani in cui l’asse delle ascisse è il parametro di tensione: s=

(σ 1 + σ 3 )

(Eq. 11.1)

2 e l’asse delle ordinate è il parametro di tensione: t=

(σ 1 − σ 3 )

(Eq. 11.2) 2 al cerchio nel piano di Mohr corrisponde biunivocamente un punto A nel nuovo sistema di riferimento (Figura 11.1b). Sovrapponendo i due sistemi di riferimento il punto A coincide con il vertice del cerchio di Mohr. Il vantaggio di tale rappresentazione consiste nel fatto che è possibile, mediante una linea continua nel piano s-t, rappresentare una successione continua di stati tensionali, ovvero un percorso tensionale. Il vertice del cerchio di Mohr sta al percorso tensionale come un fotogramma sta ad un filmato. Nel caso dei terreni i percorsi tensionali possono essere definiti con riferimento sia alle tensioni totali (TSP = Total Stess Path) sia alle tensioni efficaci (ESP = Effective Stress Path). Applicando il principio delle tensioni efficaci si ha: s = s’ + u; a)

(Eq. 11.3)

t = t’ b)

τ

t Percorso tensionale

A

A

(σ -σ )/2 1

3

O σ

σ

3

σ

1

(σ +σ )/2 1

O

s (σ +σ )/2

3

1

3

Figura 11.1: Corrispondenza fra i cerchi di Mohr e i punti nel piano s-t

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P TS

Utilizzando i percorsi tensionali è possibile descrivere la successione continua nel tempo degli stati tensionali totali ed efficaci di un provino di terreno durante l’esecuzione delle prove geotecniche assialsimmetriche standard di laboratorio che sono state descritte nei capitoli precedenti. In particolare, nei piani t-s e t-s’ sovrapposti: a) I percorsi tensionali totale (TSP) t ed efficace (ESP) di compressione e consolidazione isotropa (prima fase delle prove triassiali TxCID e TxCIU) sono rappresentati da segmenti rettilinei sull’asse delle ascisse (t = 0). Per semplicità di esposizione si suppone che gli stati tensionali iniziali totale ed efficace, rispettivamente rappresentati s,s’ A A’ B’ B dai punti A e A’, siano isotropi e che la pressione interstiziale iniziaB.P. le sia zero, cosicché i punti A ed A’ risultano coincidenti. Nel piano Figura 11.2 – Percorsi tensionali nei piani s-t e s’-t delle tensioni totali il segmento per compressione isotropa AB è percorso in modo istantaneo all’atto di applicazione dell’incremento di pressione isotropa di cella (Figura 11.2). Nel piano delle tensioni efficaci il segmento A’B’ è percorso nel tempo Tc necessario affinché avvenga la consolidazione. Al tempo T = Tc la distanza BB’ indica il valore della contropressione interstiziale BP (Back Pressure). b) I percorsi tensiot nali efficace (ESP) e totale αk 0 = arctg[(1-K0 )/(1+K0 )] (TSP) di un provino di terreno B B’ (T = Tc ) normalmente conP ES solidato sottopo∆t = (1-k 0) ∆p 2 u(t) sto a prova di V V’ 45° A A’ compressione e TSP (T = 0) C (T = 0) consolidazione s,s’ edometrica a in(1-k )0 ∆p ∆ ∆s -∆s’ = ( 1+k ) p crementi di carico 0 ∆s’ = 0 2 2 sono mostrati in ∆s 0 = ∆p Figura 11.3. I punti A e A’, coincidenti, indicano gli stati ten- Figura 11.3 – Percorsi tensionali nei piani s-t e s’-t per compressione sionali, rispetti- edometrica vamente totale ed efficace, prima dell’applicazione dell’incremento di carico, ∆p. I punti B e B’, coincidenti, indicano gli stati tensionali, rispettivamente totale ed efficace, al termine del 162 Dipartimento di Ingegneria Civile – Sezione Geotecnica, Università degli Studi di Firenze J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 2007)

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processo di consolidazione. Sia i punti A e A’ che i punti B e B’ appartengono alla retta K0, passante per l’origine degli assi ed avente equazione: (1 − K 0 ) t= ⋅ s' (Eq. 11.4) (1 + K 0 ) Nel piano delle tensioni efficaci il segmento A’B’ è percorso nel tempo T = Tc necessario affinché avvenga la consolidazione. Nel piano delle tensioni totali il segmento AC è percorso istantaneamente all’atto dell’applicazione dell’incremento di carico (T = 0), mentre il segmento CB è percorso nel tempo T = Tc necessario affinché avvenga la consolidazione. Ad un generico istante di tempo durante il processo di consolidazione i punti rappresentativi dello stato tensionale efficace e totale sono rappresentati da due punti, V e V’, con la stessa ordinata, rispettivamente sul segmento A’B’ e CB, e la loro distanza rappresenta il valore della pressione interstiziale. c) I percorsi tensionali efficace (ESP) t e totale (TSP) di un provino di terC’ C reno nella fase di compressione di una prova triassiale consolidata isotropicamente e drenata (TxCID) soP no mostrati in Figura 11.4. Durante ES P TS la prova in condizioni drenate non insorgono sovrapressioni interstizia45° li e i percorsi ESP e TSP risultano s,s’ B’ B coincidenti (o traslati di una quantità pari alla contropressione interstiB.P. ziale applicata), rettilinei ed inclinati di 45° rispetto all’asse orizzontale Figura 11.4 – Percorsi tensionali nei piani s-t e s’-t per compressione drenata s’. d) I percorsi tensionali efficace (ESP) e totale (TSP) di un provino di terreno nella fase di compressione di una prova triassiale consolidata isotropicamente non drenata (TxCIU) sono mostrati in Figura 11.5. Durante la prova in condizioni non drenate insorgono sovrapressioni interstiziali positive o negative in dipendenza del rapporto di sovraconsolidazione e del livello di deformazione. Il percorso TSP è rettilineo e inclinato di 45° rispetto all’asse orizzontale s. Il percorso ESP è invece curvilineo. Nelle Figure 11.5a e b sono qualitativamente mostrati i percorsi tensionali TSP ed ESP per provini di argilla con differente rapporto di sovraconsolidazione. La distanza dei punti B e B’ corrispondenti agli stati di tensione isotropa iniziale rispettivamente totale ed efficace rappresenta la contropressione interstiziale BP. Per un provino normalmente consolidato (Figura 11.5a) la pressione interstiziale cresce durante la compressione ed il percorso ESP si allontana curvando progressivamente verso sinistra dal segmento rettilineo e inclinato a 45° parallelo al percorso TSP (sovrappressione interstiziale sempre positiva e crescente).

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a)

b)

t

t C’

C’ C

C ∆u ESP

B.P.

∆u

ES P

P TS 45°

45° B’

B.P.

P TS

s,s’

B

B’

B

s,s’

Figura 11.5 – Percorsi tensionali nei piani s-t e s’-t per compressione non drenata: a) terreno normalmente consolidato; b) terreno fortemente sovraconsolidato.

Per un provino fortemente sovraconsolidato (Figura 11.5b) la pressione interstiziale durante la compressione inizialmente cresce e poi decresce, fino a valori inferiori a quello iniziale, il percorso ESP curvilineo si svolge inizialmente a sinistra e poi a destra del segmento rettilineo e inclinato a 45° parallelo al percorso TSP. 11.1.2 Percorsi tensionali efficaci (ESP) e totali (TSP) nei piani p’-q e p-q I percorsi tensionali che utilizzano i parametri di tensione s, s’ e t sopra introdotti hanno il vantaggio di essere immediatamente comprensibili, poiché è facile collegare ad un generico punto del percorso tensionale il corrispondente cerchio di Mohr e, anche mentalmente, visualizzarlo. Tuttavia i parametri s, s’ e t non hanno un preciso significato fisico. Esistono altri modi, meno intuitivi ma più corretti, per rappresentare i percorsi tensionali assialsimmetrici. In particolare nel seguito saranno utilizzati i parametri invarianti di tensione: σ + 2 ⋅σ 3 tensione media totale: p = 1 (Eq. 11.5) 3 σ ' + 2 ⋅ σ 3' (Eq. 11.6) tensione media efficace: p ' = 1 = p−u 3 tensione deviatorica: q = q' = σ 1 − σ 3 = σ 1' − σ 3' 1 (Eq. 11.7)

I parametri s, s’ e t ed i parametri p, p’ e q sono legati dalle seguenti relazioni biunivoche: t p=s− (Eq. 11.8) 3 t p' = s' − (Eq. 11.9) 3 q = 2⋅t (Eq. 11.10)

1

Per stati tensionali tridimensionali i parametri di tensione p, e q hanno la forma:

1 ⋅ (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) 3 1 2 2 2 q= ⋅ (σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 ) 2 p=

[

]

0,5

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q 6 q s' = p' + 6 q t= 2 s= p+

(Eq. 11.11) (Eq. 11.12) (Eq. 11.13)

per cui tutto quanto è stato detto con riferimento ai piani s-t ed s’-t può essere trasferito e tradotto nei corrispondenti piani p-q e p’-q. In generale (Figura 11.6) a incrementi delle tensioni principali maggiore e minore rispettivamente pari a ∆σ1 e a ∆σ2=∆σ3: τ, t nel piano s-t corrisponde un segmento ∆L s-t α s-t di percorso tensionale di lunghezza: ∆Ls −t =

∆σ 12 + ∆σ 32 2

e pendenza: ∆σ 1 − ∆σ 3 tan α s −t = ∆σ 1 + ∆σ 3

∆t

(Eq. 11.14) O

∆σ 3

σ, s

∆σ 1 ∆s

(Eq. 11.15)

Figura 11.6 – Percorsi tensionali nei piani s-t e σ-τ

mentre nel piano p-q corrisponde un segmento di percorso tensionale di lunghezza: 1 ∆L p −q = ⋅ 10 ⋅ ∆σ 12 + 13 ⋅ ∆σ 32 − 14 ⋅ ∆σ 1 ⋅ ∆σ 3 (Eq. 11.16) 3 e pendenza: 3 ⋅ (∆σ 1 − ∆σ 3 ) tan α p −q = (Eq. 11.17) ∆σ 1 + 2 ⋅ ∆σ 3 e quindi in particolare:

per compressione isotropa (∆σ1 = ∆σ3 = ∆σ): nel piano s - t : ∆Ls −t = ∆σ tanαs-t = 0 nel piano p - q :

∆L p −q = ∆σ

tanαp-q = 0

per compressione monoassiale (∆σ1 = ∆σ, ∆σ3 = 0): ∆σ ∆Ls −t = nel piano s - t : tanαs-t = 1 2 10 nel piano p - q : ∆L p − q = ⋅ ∆σ tanαp-q = 3 3

(Eq. 11.18) (Eq. 11.19)

(Eq. 11.20) (Eq. 11.21)

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11.2 Stato critico 11.2.1 Introduzione Nei capitoli precedenti sono stati affrontati separatamente, con modelli semplici e schemi elementari diversi, i problemi relativi alla deformabilità ed alla resistenza dei terreni. In questo capitolo, dopo avere esposto la teoria dello Stato Critico come quadro interpretativo generale del comportamento dei terreni saturi, si introdurrà un modello matematico un poco più complesso ma più generale (il modello Cam Clay Modificato) per la previsione quantitativa di tale comportamento. I parametri di tale modello possono essere ricavati dai risultati delle prove geotecniche standard di laboratorio, già esposti e commentati nei capitoli precedenti. Tali risultati verranno pertanto richiamati ed inquadrati in un’ottica unitaria. Le prove geotecniche standard di laboratorio per la determinazione del comportamento meccanico dei terreni sono le prove triassiali e le prove di compressione edometrica, entrambe assialsimmetriche. Salvo indicazione contraria, nel seguito assumeremo che la tensione assiale σa corrisponda alla tensione principale maggiore σ1, e che la tensione radiale σr corrisponda alle tensioni principali intermedia e minore, eguali fra loro, σ2 = σ3. Nel seguito, per descrivere lo stato di tensione ed i percorsi tensionali si utilizzeranno i parametri p, p’ e q. Per descrivere lo stato di deformazione, di un provino cilindrico di altezza iniziale H0, diametro iniziale D0 e volume iniziale V0, si utilizzeranno i parametri: ∆H deformazione assiale: ε a = ε 1 = (Eq. 11.22) H0 ∆D deformazione radiale: ε r = ε 3 = (Eq. 11.23) D0 ∆V deformazione volumetrica: ε v = ε a + 2 ⋅ ε r = ε 1 + 2 ⋅ ε 3 = (Eq. 11.24) V0 2 2 deformazione deviatorica o distorsione: ε s = ⋅ (ε a −ε r ) = ⋅ (ε 1 − ε 3 ) (Eq. 11.25) 3 3

La deformazione deviatorica è definita nel modo sopra scritto affinché valga la relazione: σ 1' ⋅ dε 1 + σ 2' ⋅ dε 2 + σ 3' ⋅ dε 3 = p '⋅dε v + q ⋅ dε s (Eq. 11.26) Come parametro indicativo dello stato di addensamento del terreno verrà utilizzato il volume specifico, v, che è per definizione il rapporto tra il volume totale di un elemento di terreno, V, e il volume occupato dalle particelle solide, VS. Risulta pertanto per definizione: V v= = (1+ e ) (Eq. 11.27) VS e de dv dε v = − =− (Eq. 11.28) 1 + e0 v0 166 Dipartimento di Ingegneria Civile – Sezione Geotecnica, Università degli Studi di Firenze J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 2007)

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Analizziamo i risultati delle prove geotecniche standard su provini di argilla ricostituiti in laboratorio, già esposti e commentati nel Capitolo 9, rappresentando i percorsi di carico in uno spazio tridimensionale definito dalla terna di assi cartesiani ortogonali p’-q-v. 11.2.2 Compressione isotropa drenata (prima fase delle prove triassiali standard), linea di consolidazione normale (NCL) e linee di scarico-ricarico (URL) q

Il percorso efficace di carico si svolge interamente sul piano p’-v (ovvero sul piano q = 0). La curva sperimentale, che potremmo ottenere per punti incrementando (o riducendo) gradualmente la pressione di cella e attendendo per ogni gradino di carico l’esaurirsi del processo di consolidazione isotropa, è qualitativamente indicata in Figura D B A C 11.7. La stessa curva, rappresentata in un piano p’ semilogaritmico (Figura 11.8a), può essere sche- v A matizzata con segmenti rettilinei (Figura 11.8b). La principale ipotesi semplificativa adottata nel C passaggio dalla curva sperimentale a quella B schematica consiste nell’avere sostituito al piccoD lo ciclo di isteresi sperimentale del percorso di scarico-ricarico il suo asse, ovvero nell’avere assunto un comportamento deformativo volumetrico elastico (variazioni di volume interamente rep’ versibili). Figura 11.7 - Percorso di carico di La retta ABD è detta linea di consolidazione nor- compressione (e decompressione) isotropa drenata nei piani p’-q e p’-v male (NCL), ed ha equazione: v = Ν − λ ⋅ ln( p' ) (Eq. 11.29) q=0 Il parametro Ν è il valore dell’ordinata (volume specifico) del punto sulla NCL che ha per ascissa p’=1 (e quindi ln(p’) = 0) e dipende dal sistema di unità di misura adottato. Il parametro λ è la pendenza della NCL ed è adimensionale. La retta BCB è una delle infinite, possibili linee di scarico e ricarico (URL), ed ha equazione: v = vκ − κ ⋅ ln( p' ) (Eq. 11.30) q=0 Il parametro vκ è il valore dell’ordinata (volume specifico) del punto su quella specifica linea di scarico-ricarico che ha per ascissa p’=1 (e quindi ln(p’) = 0), dipende dal sistema di unità di misura adottato ed è biunivocamente riferito all’ascissa del punto B (Figura 11.8b), definita pressione di consolidazione, p’c, dalle seguenti relazioni, ottenute imponendo l’appartenenza del punto B sia alla NCL che alla linea di scarico-ricarico: vκ = Ν − (λ − κ ) ⋅ ln ( p c' ) (Eq. 11.31) ⎡ Ν − vκ ⎤ p c' = exp ⎢ ⎥ ⎣ λ −κ ⎦ 167 Dipartimento di Ingegneria Civile – Sezione Geotecnica, Università degli Studi di Firenze J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 2007)

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a)

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b)

v

v N

A

A C

-λ C -κ 1 1

vκ

B

B D

D

ln p’

1

p’c

p’ (ln)

Figura 11.8 - Curva sperimentale (a) e curva schematizzata (b) del percorso di carico di compressione (e decompressione) isotropa drenata nel piano semilogaritmico ln p’-v

Il parametro κ è la pendenza della linea di scarico-ricarico isotropo ed è adimensionale. Un provino, al cui stato tensionale, p’0, corrisponda un punto su una linea di scaricoricarico, è isotropicamente sovraconsolidato (OC). Il rapporto di sovraconsolidazione isotropa è: p' R0 = c' (Eq. 11.33) p0 R0 non è eguale al rapporto di sovraconsolidazione edometrica, OCR, ma è ad esso legato dalla relazione: 1 + 2 ⋅ K 0NC R0 = ⋅ OCR (Eq. 11.34) 1 + 2 ⋅ K 0OC v Il risultato sperimentale di un N percorso di carico isotropo in A condizioni drenate con più cicli C1 di scarico-ricarico a pressione di -λ v consolidazione crescente può es- κ 1 1 C2 B1 -κ sere schematicamente rappresen- v 1 κ 2 tato come in Figura 11.9: i segC3 B2 -κ menti corrispondenti a ciascun vκ 3 1 ciclo di scarico-ricarico, rettilinei nel piano semilogaritmico, hanno B3 -κ 1 la stessa pendenza –κ e, naturalmente, diversi valori di vκ e di p’c. In definitiva, rammentando gli schemi dei modelli reologici ep’(ln) 1 p’c 1 p’c 2 p’c 3 lementari presentati nel Capitolo 5, si può affermare che i risultati Figura 11.9 - Schematizzazione di un percorso di carico sperimentali sopra descritti pos- isotropo drenato con più cicli di scarico-ricarico a pressono essere ben riprodotti da un sione di consolidazione crescente modello elastico non lineare – 168 Dipartimento di Ingegneria Civile – Sezione Geotecnica, Università degli Studi di Firenze J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 2007)

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plastico a incrudimento positivo. Infatti: a) il comportamento deformativo è (quasi) elastico, ovvero il percorso è reversibile, lungo le linee di scarico-ricarico; b) lungo tali linee il comportamento è non lineare, in quanto il percorso è rettilineo nel piano semilogaritmico (e quindi curvilineo nel piano naturale); c) il comportamento è elasto-plastico lungo la linea di consolidazione normale (NCL); d) la pressione media efficace di consolidazione isotropa, p’c, è la soglia di tensione oltre la quale si manifestano deformazioni plastiche (irreversibili), ovvero è la tensione di snervamento; e) l’incrudimento è positivo poiché la deformazione plastica avviene a pressione di consolidazione crescente.

11.2.3 Pressione efficace media equivalente, p’e La pressione efficace media equivalente di un elemento di terreno A caratterizzato dai parametri p’A, qA e vA è la pressione p’eA del punto sulla linea di consolidazione normale (NCL) avente volume specifico vA (Figura 11.10). La pressione efficace media equivalente vale dunque:

⎛ N − vA ⎞ p 'eA = exp⎜ ⎟ ⎝ λ ⎠

(Eq. 11.35) b)

a) v

q

N

qA

A

-λ

vA

CL N

1 A

p’A p’A

p’(ln)

p’

eA

p’eA

p’

vA

v CL N

Figura 11.10 - Definizione di pressione efficace equivalente nel piano lnp’-v e nello spazio p’-v-q

La pressione efficace equivalente non varia nei percorsi tensionali non drenati, che avvengono a volume costante, mentre varia nei percorsi tensionali drenati, durante i quali si hanno deformazioni volumetriche.

11.2.4 Compressione con espansione laterale impedita (compressione edometrica), linea di consolidazione edometrica (linea K0) e linee di scarico-ricarico edometriche Dalle condizioni al contorno della prova edometrica (compressione assialsimmetrica con espansione laterale impedita) si desume: 169 Dipartimento di Ingegneria Civile – Sezione Geotecnica, Università degli Studi di Firenze J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 2007)

Capitolo 11

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ε 2 = ε 3 = 0; ε v = ε 1 σ '2 = σ 3' = K 0 ⋅ σ 1' p' =

σ 1' 3

(Eq. 11.36)

⋅ (1 + 2 ⋅ K 0 ); q = σ 1' ⋅ ( 1 − K 0 )

Se il terreno normalmente consolidato, K0 è costante e il percorso tensionale nel piano p’q è rettilineo, passa per l’origine degli assi, ed ha equazione, (linea K0) (Figura 11.11 a): 3 ⋅ (1 − K 0 ) q = p '⋅ (Eq. 11.37) (1 + 2 ⋅ K 0 ) In Figura 11.11 b è mostrato l’andamento della linea K0 al variare di K0 da cui si può osservare che non potendo essere K0 < 0 (altrimenti si avrebbe una tensione σ’3 < 0 e quindi di trazione), dalla Eq. 11.37 la retta che delimita gli stati tensionali possibili per il terreno sul piano p’-q ha equazione: q = 3 p’. aK

0

b)

q

q

K0 = 0

Li ne

a)

0 < K0 < 1 3

3 ⋅ (1 − K 0 ) (1 + 2 ⋅ K0 )

1

1

(Compressione isotropa)

K0 = 1

p’

p’ K0 > 1

Figura 11.11 - Traccia della linea K0 nel piano p’-q per un terreno normalmente consolidato

Nel piano p’-v il percorso tensionale è del tutto simile a quello della compressione isotropa e, analogamente ad esso, può essere schematizzato nel piano semilogaritmico con tratti rettilinei definiti dalle seguenti equazioni (Figura 11.12): per la linea di compressione edometrica vergine: v = N 0 − λ ⋅ ln p' (Eq. 11.38) per le linee di scarico-ricarico edometriche: v = v K 0 − κ ⋅ ln p' (Eq. 11.39) Si osserva che la proiezione della linea K0 sul piano ln p’-v è parallela alla linea di consolidazione isotropa normale (NCL), e che le proiezioni sul piano lnp’-v delle linee di scarico-ricarico in condizioni edometriche sono parallele alle linee di scarico-ricarico in condizioni di carico isotropo. 170 Dipartimento di Ingegneria Civile – Sezione Geotecnica, Università degli Studi di Firenze J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 2007)

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v

Il parametro vK0 è biunivocamente riferito alla pressione di consolidazione edometrica p’c,edo (ascissa del punto B di Figura 11.12), dalle seguenti relazioni ottenute imponendo l’appartenenza del punto B sia alla linea K0 che alla linea di scarico-ricarico in condizioni edometriche:

N N0 A -λ C -κ 1 1

vK0

B

1

CL aN K 0 ne e a n Li Li

D

(

v K 0 = Ν 0 − (λ − κ ) ⋅ ln p c' ,edo p’(ln)

p’

c,edo

Figura 11.12 - Traccia della linea K0 nel piano lnp’-v per un terreno N.C. e di una linea di scarico-ricarico in condizioni edometriche

)

⎡ Ν 0 − vK0 ⎤ p c' ,edo = exp ⎢ ⎥ ⎣ λ −κ ⎦

(Eq. 11.40) (Eq. 11.41)

Nel Capitolo 7 abbiamo visto come i risultati della prova edometrica siano abitualmente rappresentati nel piano log σ’v-e, e che in tale piano la pendenza della linea di compressione edometrica vergine sia l’indice di compressione Cc e la pendenza delle linee di scarico sia l’indice di rigonfiamento Cs. Valgono dunque le relazioni: C c = λ ⋅ ln 10 = 2,303 ⋅ λ (Eq. 11.42a) e (solo approssimativamente poiché durante lo scarico varia OCR e dunque varia K0): C s = κ ⋅ ln 10 = 2,303 ⋅ κ (Eq. 11.42b) A differenza della linea di consolidazione normale (NCL) che si sviluppa sul piano q = 0, la linea K0 si sviluppa nello spazio a tre dimensioni p’-q-v (Figura 11.13). q Linea K0

p’

1 3 ⋅ (1 − K 0 ) (1 + 2 ⋅ K 0 )

Linea NCL

v Figura 11.13 - Rappresentazione delle linee NCL e K0 nello spazio p’-q-v

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11.2.5 Compressione triassiale drenata di argilla N.C. (prova TxCID) e linea di stato critico (CSL) Il percorso tensionale efficace di un provino di argilla N.C. in una prova di compressione triassiale drenata standard consiste di due fasi: la prima di compressione isotropa lungo la linea NCL, fino alla pressione di consolidazione isotropa p’c, la seconda di compressione assiale in condizioni drenate a pressione di confinamento costante. In quest’ultima fase, al crescere della deformazione assiale εa (la prova è condotta a deformazione assiale controllata) la tensione deviatorica q cresce progressivamente fino ad un valore massimo qf poi si mantiene circa costante. La curva sperimentale εa – q è ben rappresentata da una relazione iperbolica del tipo: q=

εa

(Eq. 11.43)

a + b ⋅εa

Il volume decresce progressivamente fino ad un valore minimo, poi si mantiene circa costante (Figura 11.14). Il percorso tensionale corrispondente alla fase di compressione assiale, AB, ha come proiezione sul piano p’-q un segmento rettilineo con pendenza 3:1, dal punto A di coordinate (p’c - 0) al punto B, corrispondente alla condizione di rottura, di coordinate (p’f - qf), e nel piano p’-v ha origine nel punto A sulla linea NCL e termina nel punto B sottostante la linea NCL. Infatti durante la fase di compressione risulta che σ’3 = σ’r =σ’c = cost e quindi ∆q = ∆(σ’1 – σ’3) = ∆σ’1 e ∆p’ = ∆(σ’1 + 2σ’3)/3 = ∆σ’1/3 e quindi: ∆σ 1' ∆q = =3 (Eq. 11.44) ∆p' ∆σ 1' / 3

a) q

b) q B

B

qf

3

A 1 p’f p’c

εa

A

c)

p’

v

B

εv

A

B

p’ Figura 11.14 - Percorsi tensionali di compressione drenata su un provino di argilla N.C.

172 Dipartimento di Ingegneria Civile – Sezione Geotecnica, Università degli Studi di Firenze J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 2007)

Capitolo 11

STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO

Se tre provini della stessa argilla isotropicamente consolidati a pressioni diverse sono portati a rottura in condizioni drenate si ottengono i risultati mostrati in Figura 11.15. Si osserva in particolare che: o le tre curve εa – q hanno la stessa forma e, normalizzate rispetto alla pressione di consolidazione p’c, sono (quasi) coincidenti; o la deformazione volumetrica durante la compressione assiale varia in modo pressoché eguale per i tre provini, indipendentemente dalla pressione di consolidazione; o i punti B rappresentativi dello stato finale dei tre provini giacciono su una linea, detta di Stato Critico (CSL), la cui equazione è: q f = M ⋅ p 'f (Eq. 11.45) v f = Γ − λ ⋅ ln p 'f a) q qf 3 qf 2 qf 1

b) q

B3

L CS M 1

B3

B2

B2 B1

B1

A A2 A3 p’c 1 p’c 2 p’c 3

εa

A = A2 = A3 1

p’

1

c)

v

B1 = B = B3

NC CS L L

2

εv

A

1

A2 vf 1 vf 2 vf 3

A3

B1 B2 p’f 1

B3

p’f 2 p’f 3

p’

Figura 11.15 - Risultati di prove TxCID su provini della stessa argilla N.C. consolidati a pressioni diverse

La relazione q f = M ⋅ p 'f equivale al criterio di rottura di Mohr-Coulomb per terreni N.C. che, nel Capitolo 8, avevamo scritto nella forma: τ f = σ n' ⋅ tan φ '

(Eq. 11.46)

L’angolo di resistenza al taglio da considerare è quello che corrisponde alla condizione di stato critico, φ’cs, ovvero alla condizione in cui, al crescere della deformazione assiale rimangono costanti tensione deviatorica, qf, e deformazione volumetrica, εv. 173 Dipartimento di Ingegneria Civile – Sezione Geotecnica, Università degli Studi di Firenze J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 2007)

Capitolo 11

STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO

Il parametro M è funzione dell’angolo di resistenza al taglio allo stato critico, φ’cs, e delle modalità di prova. Infatti se il provino è portato a rottura per compressione assiale a tensione efficace di confinamento costante, ovvero con le modalità standard descritte nel Capitolo 8, la tensione principale maggiore è la tensione assiale, mentre le tensioni principali intermedia e minore coincidono entrambe con la tensione radiale: σ 1' = σ a' (Eq. 11.47) σ 3' = σ 2' = σ r' quindi: q f = σ 1' − σ 3' f = σ 'a − σ 'r f

(

) (

)

' ⎛ σ ' + 2 ⋅ σ 3' ⎞ ⎛ ' ⎟ = ⎜ σ a + 2 ⋅σ r p'f = ⎜ 1 ⎜ ⎟ ⎜ 3 3 ⎝ ⎠f ⎝ e ricordando che è: ⎛ σ 1' ⎞ 1 + senφ cs' ⎜⎜ ' ⎟⎟ = ' ⎝ σ 3 ⎠ f 1 − senφ cs

⎞ ⎟ ⎟ ⎠f

(Eq. 11.48)

(Eq. 11.49)

si ha: M = Mc =

(

qf 3⋅ σ − σ = ' p 'f σ a + 2 ⋅σ

(

' a

) )

' r f ' r f

=

(

)

3⋅ σ /σ −1 f

(σ

' a

' a

' r

/σ + 2 ' r

3 ⋅ (1 + senφcs' − 1 + senφcs' ) 6 ⋅ senφcs' = (1 + senφcs' + 2 − 2senφcs' )f = 3 − senφcs' 3⋅ M c senφ cs' = 6+ Mc

)

f

⎡⎛ 1 + senφ cs ⎞ ⎤ ⎟⎟ − 1⎥ 3 ⋅ ⎢⎜⎜ ⎢⎝ 1 − senφ cs ⎠ ⎦⎥ ⎣ = = ⎡⎛ 1 + senφ cs ⎞ ⎤ ⎟⎟ + 2⎥ ⎢⎜⎜ ⎢⎣⎝ 1 − senφ cs ⎠ ⎥⎦

(Eq. 11.50)

(Eq. 11.51)

Se invece il provino è portato a rottura per estensione assiale, ovvero aumentando la tensione efficace di confinamento a tensione efficace assiale costante, la tensione principale minore è la tensione assiale e le tensioni principali intermedia e maggiore, coincidenti, sono la tensione radiale: σ 1' = σ 2' = σ r' (Eq. 11.52) σ 3' = σ a' quindi: q f = (σ 1' − σ 3' ) f = (σ r' − σ a' ) f ⎛ 2 ⋅ σ r' + σ a' ⎛ 2 ⋅ σ 1' + σ 3' ⎞ ⎟ =⎜ p 'f = ⎜⎜ ⎜ ⎟ 3 3 ⎝ ⎠f ⎝

M = Me =

qf p 'f

=

(

3 ⋅ σ r' − σ a'

(σ

' a

+ 2 ⋅ σ r'

) )

f f

⎞ ⎟ ⎟ ⎠f

(Eq. 11.53)

6 ⋅ senφ cs' = 3 + senφ cs'

(Eq. 11.54)

174 Dipartimento di Ingegneria Civile – Sezione Geotecnica, Università degli Studi di Firenze J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 2007)

Capitolo 11

STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO

3⋅ Me (Eq. 11.55) 6 − Me Una conseguenza importante è che, SL (a) C q mentre l’angolo di resistenza al taglio allo stato critico φ’cs è lo stesso per comMc pressione e per estensione, la pendenza 1 M della linea di stato critico nel piano p’-q non è la stessa. In particolare, poiché Me < Mc, per lo stesso terreno e a parità di pressione efficace media, la tensione deviatorica a rottura in estenp’ sione è minore che in compressione (Figura 11.16). 1 I punti B corrispondenti alla condizione Me di stato critico giacciono su una linea la CS L cui proiezione sul piano p’-v è una curva che, rappresentata nel piano semiloga(b) ritmico, diviene una retta parallela alla linea NCL. Figura 11.16 – Linea di stato critico nel piano p’In Figura 11.17 sono rappresentate le li- q in caso di rottura per compressione assiale e di nee NCL e CSL. rottura per estensione assiale senφ cs' =

q CSL

p’

1 M

NCL

v Figura 11.17 – Rappresentazione delle linee NCL e CSL (indicata convenzionalmente con una doppia linea) nello spazio p’-q-v

175 Dipartimento di Ingegneria Civile – Sezione Geotecnica, Università degli Studi di Firenze J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 2007)

Capitolo 11

STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO

Il percorso tensionale nello spazio p’-q-v durante la fase di compressione drenata si svolge su un piano, detto piano drenato, rappresentato in Figura 11.18.

q CSL B’ Piano drenato B

p’

1 3

A’

A NCL

v Figura 11.18 - Piano drenato e percorso tensionale efficace di una prova TxCID nello spazio p’-q-v

11.2.6 Compressione triassiale non drenata di argilla N.C. (prova TxCIU) e superficie di Roscoe La prova di compressione triassiale consolidata non drenata standard consiste di due fasi: la prima di compressione e di consolidazione isotropa, la seconda di compressione assiale in condizioni non drenate a pressione di confinamento costante. In quest’ultima fase, al crescere della deformazione assiale εa (la prova è condotta a deformazione assiale controllata) il volume del provino (saturo) non varia, la tensione deviatorica q e la pressione interstiziale crescono progressivamente fino alla condizione di stato critico. In Figura 11.19 sono rappresentati i risultati di una prova TxCIU su un provino di argilla satura N.C. portato a rottura in presenza di una contro pressione interstiziale iniziale (BP = u0). In Figura 11.20 sono mostrati i risultati che si possono ottenere da una serie di tre prove TxCIU su provini della stessa argilla satura N.C. consolidati a pressioni diverse. 176 Dipartimento di Ingegneria Civile – Sezione Geotecnica, Università degli Studi di Firenze J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 2007)

Capitolo 11

STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO

uf

a) q

∆uf

b) q B

u0 B

B’

TSP

ESP

qf

εa

A

3 1 A pc pf

A’ p’f p’ c

c)

p,p’

u0

v B

∆u

NCL

A’

B’

p’

Figura 11.19 - Percorsi tensionali di compressione non drenata su un provino di argilla satura N.C. CS

b) q

qf 2

B2

qf 1

B1

∆uf 3

B’3 ∆uf 2

B’2 B’1

∆uf 1

B1

∆uf 2 ∆uf 3

B2 B3

c)

B1 A2

A’3

A3

p,p’

v

v0 1

∆u

B2

∆uf 1 A’1 A1 A’2

εa

A1 = A2 = A3

B3

3

B3

1

ESP 3

qf 3

L M

TSP

a) q

v0 2 v0 3

A’1

B’1

A’2

B’2

A’3

NC L

B’3

C SL p’f 1

p’f 2

p’f 3

p’

Figura 11.20 - Risultati di prove TxCIU su provini della stessa argilla satura N.C. consolidati a pressioni diverse

177 Dipartimento di Ingegneria Civile – Sezione Geotecnica, Università degli Studi di Firenze J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 2007)

Capitolo 11

STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO

Dall’esame delle Figure 11.19 e 11.20 si desume che: o la tensione deviatorica q cresce progressivamente con la deformazione assiale εa fino ad un valore massimo qf e poi si mantiene circa costante, o la deformazione avviene a volume costante (εv = 0) e con progressivo incremento della pressione interstiziale (∆u) fino ad un valore massimo, ∆uf, crescente con la pressione di consolidazione, o i percorsi tensionali totali (TSP) sono rettilinei ed hanno pendenza 3:1, o i percorsi tensionali efficaci (ESP) sono curvilinei ed hanno la stessa forma, o la distanza tra ESP e TSP rappresenta la pressione interstiziale u, o i punti rappresentativi dello stato tensionale efficace iniziale (A’) sono sulla linea di consolidazione normale (NCL), o i punti rappresentativi della condizione di rottura (B’) sono sulla linea di stato critico (CSL). Il percorso tensionale nello spazio p’-q-v durante la fase di compressione non drenata si svolge su un piano parallelo al piano p’-q, detto piano non drenato, rappresentato in Figura 11.21.

q

B’ Piano non drenato

CSL

ESP

p’

B

A’

A NCL

v Figura 11.21 - Piano non drenato e percorso tensionale efficace di una prova TxCIU

In una prova triassiale non drenata su un provino saturo non si hanno variazioni di volume. Pertanto il volume specifico iniziale v0 è anche il volume specifico a rottura: v0 = v f = Γ − λ ⋅ ln p'f (Eq. 11.56) ovvero: ⎛ Γ − v0 ⎞ p 'f = exp⎜ ⎟ (Eq. 11.57) ⎝ λ ⎠ 178 Dipartimento di Ingegneria Civile – Sezione Geotecnica, Università degli Studi di Firenze J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 2007)

Capitolo 11

STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO

e ⎛ Γ − v0 ⎞ q f = Μ ⋅ p 'f = Μ ⋅ exp⎜ ⎟ ⎝ λ ⎠

(Eq. 11.58)

La resistenza al taglio in condizioni non drenate dei terreni a grana fine, cu, che, come abbiamo visto nel Capitolo 9, viene utilizzata per le verifiche di stabilità in termini di tensioni totali è pari alla metà della tensione deviatorica a rottura, dunque: qf Μ ⎛ Γ − v0 ⎞ = ⋅ exp⎜ cu = ⎟ (Eq. 11.59) 2 2 ⎝ λ ⎠ Per un dato terreno i parametri Μ, Γ e λ sono costanti, quindi cu dipende soltanto dal volume specifico v0. Per un terreno saturo è: v = 1 + e = 1 + Gs ⋅ w (Eq. 11.60) dunque la resistenza al taglio in condizioni non drenate, cu, di una stessa argilla satura dipende unicamente dal suo contenuto in acqua w. Tutti i percorsi tensionali efficaci, di prove drenate e non drenate, che dalla linea di consolidazione normale (NCL) pervengono alla linea di stato critico (CSL) giacciono su una superficie nello spazio p’-q-v, detta Superficie di Roscoe, che limita il dominio degli stati tensionali possibili (Figura 11.22).

q Superficie di Roscoe

CSL

p’

NCL

v Figura 11.22 - Superficie di Roscoe

179 Dipartimento di Ingegneria Civile – Sezione Geotecnica, Università degli Studi di Firenze J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 2007)

Capitolo 11

STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO

Tale affermazione può essere visualizzata normalizzando i percorsi tensionali drenati e non drenati dalla NCL alla CSL di provini saturi normalconsolidati rispetto alla pressione efficace equivalente, che rimane costante nei percorsi non drenati, ed è invece variabile in quelli drenati. In tal modo nel piano p’/p’e-q/p’e tutti i percorsi coincidono in un’unica curva che rappresenta la Superficie di Roscoe normalizzata (Figura 11.23).

q/p’e CSL Superficie di Roscoe normalizzata

NCL

p/p’e Figura 11.23 - Superficie di Roscoe normalizzata

11.2.7 Compressione triassiale drenata di argilla O.C. (prova TxCID) e condizione di rottura Se un provino di argilla satura è isotropicamente consolidato, ad una pressione efficace p’c, e poi isotropicamente decompresso in condizioni drenate, fino ad una pressione efficace p’0 in modo da divenire fortemente sovraconsolidato, ed è infine sottoposto a compressione drenata, esso mostra un comportamento tensionale e deformativo durante la fase di compressione del tipo di quello descritto in Figura 11.24. Si può osservare che la condizione di rottura non coincide con la condizione di stato critico. Infatti la curva εa-q presenta un massimo (qf) a rottura (punto B), poi decresce fino a stabilizzarsi su un valore minore (qcs) che corrisponde allo stato critico (punto C). Il volume del provino prima diminuisce, poi aumenta, supera il valore iniziale e infine tende a stabilizzarsi. ⎛ dε ⎞ La curva εa-εv presenta tangente orizzontale ⎜⎜ v = 0 ⎟⎟ nei punti C e D che corrispondo⎝ dε a ⎠ ⎛ dε ⎞ no al valore q = qcs, e un flesso ⎜⎜ v ⎟⎟ nel punto B che corrisponde a q = qf. ⎝ dε a ⎠ max La proiezione del percorso tensionale efficace (ABC) nel piano p’-q ha pendenza 3:1. Nel tratto AB fino alla rottura il percorso è ascendente, nel tratto BC è discendente. 180 Dipartimento di Ingegneria Civile – Sezione Geotecnica, Università degli Studi di Firenze J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 2007)

Capitolo 11

STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO

b)

a) q

q B

qf

qc s

D

qf

qc s

C

ESP B

C=D 3 A 1 p’0

εa

A

c)

d)

p’

p’f

v

C B A

εa D vC vB v vDA

C A

p’0

εv

D

B

p’f

p’c

p’

Figura 11.24 - Comportamento di un provino di argilla satura fortemente sovraconsolidato in prova TxCID

Nel piano p’-v il punto A rappresentativo dello stato iniziale si trova su una curva di scarico-ricarico. La proiezione del percorso tensionale efficace (ABC) nel piano p’-v ha tangente orizzontale nei punti C e D. Se tre provini della stessa argilla satura con differenti rapporti di sovraconsolidazione isotropa sono portati a rottura in condizioni drenate si ottengono i risultati mostrati in Figura 11.25. Si osserva in particolare che: o se il punto rappresentativo dello stato iniziale del provino nel piano p'-v è sotto la CSL (punto A1), esso è fortemente sovraconsolidato (provino n. 1), o un provino fortemente sovraconsolidato ha un deviatore a rottura (qf) molto maggiore del deviatore allo stato critico (qcs), e manifesta un comportamento dilatante (aumento di volume), o se il punto rappresentativo dello stato iniziale del provino nel piano p'-v è sotto la NCL ma sopra la CSL, esso è debolmente sovraconsolidato (provino n. 2), o un provino debolmente sovraconsolidato ha un deviatore a rottura (qf) poco maggiore o eguale al deviatore allo stato critico (qcs), e manifesta un comportamento contraente (diminuzione di volume), o se il punto rappresentativo dello stato iniziale del provino nel piano p'-v è sulla NCL, esso è normalmente consolidato (provino n. 3), o un provino normalmente consolidato ha un deviatore a rottura (qf) eguale al deviatore allo stato critico (qcs), e manifesta un comportamento contraente (diminuzione di volume), 181 Dipartimento di Ingegneria Civile – Sezione Geotecnica, Università degli Studi di Firenze J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 2007)

Capitolo 11

STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO

i punti rappresentativi delle condizioni di rottura (B) di provini con eguale pressione di preconsolidazione (punti A sulla stessa linea di scaricoricarico) giacciono su una retta (linea inviluppo a rottura) distinta dalla CSL relativamente ai provini sovraconsolidati (punti B1 e B2), e sulla CSL per il provino normalconsolidato (punto B3), i punti rappresentativi delle condizioni ultime (C) giacciono sulla CSL,

o

o

a) q

B3

L CS M 1

Linea di inviluppo a rottura

B

2

B1 1 q

C1 A1

b)

m

D1 A2

p’

A3

v

La linea inviluppo a rottura, per i terreni sovraconsolidati, ha equazione: qf = q + m⋅ pf ' (Eq. 11.61)

C1 B A1 D 1 1 A 2

URL

A

3 Tale retta, che rappresenta il luogo NC C L dei punti di rottura per le argille soB2 SL vraconsolidate, corrisponde nello B3 spazio p’-q-v ad una superficie piap’ na detta Superficie di Hvorslev. p’0 1 p’0 2 p’c Nel Capitolo 9 abbiamo visto che l’inviluppo a rottura in termini di Figura 11.25 - Risultati di prove TxCID su provini deltensioni efficaci per un’argilla so- la stessa argilla con differenti rapporti di sovraconsolidazione isotropa e linee di inviluppo a rottura vraconsolidata ha equazione:

τ f = c' +σ n' ⋅ tan φ'

(Eq. 11.62)

che può essere scritta anche nella forma:

(

1 ⋅ σ 1' − σ 3' 2

)

(

f

⎡ σ 1' + σ 3' =⎢ 2 ⎢⎣

)

f

⎤ + c' ⋅ cot gφ' ⎥ ⋅ senφ' ⎥⎦

(Eq. 11.63) τ inviluppo di rottura

essendo (Figura 11.26): OO' = O' C ⋅ tgφ' = ( OO' +OC ) ⋅ tgφ' ed: OO' = c' ⋅ cot gφ' ed OC =

(σ

' 1

+ σ 3' ) f 2

R c’ O’

φ’

c’ ctg φ’

O

σ’3

C

σ’1

σ’

(σ1’ +σ3’ )/2

Figura 11.26 – Criterio di rottura di Mohr-Coulomb

182 Dipartimento di Ingegneria Civile – Sezione Geotecnica, Università degli Studi di Firenze J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 2007)

Capitolo 11

STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO

Dalla Eq. 11.61, essendo qf = (σ’1 – σ’3)f e p’f = (σ’1 + 2σ’3)f/3, si ottiene sostituendo:

(σ

' 1

−σ

)

' 3 f

= q + m⋅

(σ

' 1

+ 2σ 3'

)

f

3 da cui, svolgendo i calcoli, si ottiene: 3 + 2m 3q + σ 1' f = σ 3' f 3−m 3−m

(Eq. 11.63a)

Dalla Eq.11.63 invece si ricava:

(σ

' 1

− σ 3'

) = (σ f

e quindi:

σ 1' f = σ 3' f

' 1

+ σ 3'

)

f

⋅ senφ' +2c' ⋅ cos φ' ⋅

1 + sin φ' cos φ' + 2c' 1 − sin φ' 1 − sin φ'

(Eq. 11.63b)

Eguagliando la (11.63a) e la (11.63b) si ottiene: 3 + 2 m 1 + sin φ' = 3 − m 1 − sin φ' e 3q 2c' cos φ' = 3 − m 1 − sin φ' Dalla (11.63c) si può ricavare m: 6 sin φ' m= 3 − sin φ' ed andando a sostituire nella (11.63d) si ricava q: 6 c' cos φ' q= 3 − sin φ' da cui si ottengono le corrispondenze: 6 ⋅ c' ⋅ cos φ' q= 3 − senφ' 6 ⋅ senφ' m= 3 − senφ'

(Eq. 11.63c)

(Eq. 11.63d)

(Eq. 11.63e)

(Eq. 11.63f)

(Eq. 11.64)

(

)

Imponendo la condizione che i terreni non possano sostenere tensioni di trazione σ 3' ≥ 0 si ha che per σ’3 = 0, q = σ’1 – σ’3 = σ’1 e p = (σ’1 + 2σ’3)/3 = σ’1/3, cioè q = 3 p’. Si deduce che la linea inviluppo a rottura, come mostrato anche in Figura 11.11 b, è limitata a sinistra dalla retta di equazione: q = 3 ⋅ p' (Eq. 11.65) 183 Dipartimento di Ingegneria Civile – Sezione Geotecnica, Università degli Studi di Firenze J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 2007)

Capitolo 11

STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO

11.2.8 Compressione triassiale non drenata di argilla O.C. (prova TxCIU) e superficie di Hvorslev Se un provino di argilla satura è isotropicamente consolidato, poi isotropicamente decompresso in condizioni drenate in modo da divenire fortemente sovraconsolidato, e infine sottoposto a compressione non drenata, mostra un comportamento tensionale e deformativo durante la fase di compressione del tipo di quello descritto in Figura 11.27. Si osserva che la curva εa-q è monotona (non presenta un picco), l’incremento di pressione interstiziale ∆u è inizialmente positivo, poi diviene negativo (comportamento duale della curva εa-εv della prova TxCID).

a) q

b) q

qc s

qc s

u0

∆uf

B’ B

-

TSP

∆u ESP

εa

A

c)

uf

+

A’ p’0

d)

u0 u 3 1 A p0

p,p’

v

+

NC L

εa

ESP v0

∆u

B URL

A

p’0

p’f

p’c

p’

Figura 11.27 - Comportamento di un provino di argilla satura fortemente sovraconsolidato in prova TxCIU

Se tre provini della stessa argilla satura con differenti rapporti di sovraconsolidazione isotropa sono portati a rottura in condizioni non drenate si ottengono i risultati mostrati in Figura 11.28. In Figura 11.29 sono messi a confronto i percorsi tensionali efficaci di due provini della stessa argilla egualmente sovraconsolidati e sottoposti a rottura in condizioni drenate e non drenate. Si può osservare che la tensione deviatorica a rottura per il provino non drenato è nettamente maggiore. In Figura 11.30 sono invece messi a confronto i percorsi tensionali efficaci di tre provini della stessa argilla con differente rapporto di sovra consolidazione isotropa ed eguale volume specifico iniziale portati a rottura in condizioni non drenate. Si può osservare che i percorsi si svolgono sullo stesso piano v = cost e pervengono allo stesso punto della linea di stato critico. 184 Dipartimento di Ingegneria Civile – Sezione Geotecnica, Università degli Studi di Firenze J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 2007)

Capitolo 11

STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO

a)

q

Linea di inviluppo a rottura

B B2 3

1

L CS M

B1 m

1

q A1

A2

p,p’

A3

b)

v CL L N CS URL

A1

B1 B2

OCR1 = p’c /p’0 1 = 6

A2

A3

B3

OCR2 = p’c /p’0 2 = 1.5 OCR3 = 1

p’0 1

p’0 2

p’

p’c

Figura 11.28 - Risultati di prove TxCIU su provini della stessa argilla con differenti rapporti di sovraconsolidazione isotropa e linee di inviluppo a rottura b) a) q q L CS

M qc s u qf u q qcf s A

1 F

E

E B

B C

m

D

εa

F

1 C D A p’0

c)

p,p’

v

C v0

D B A C

p’0

E

F

URL NCL CSL p’c

p’

Figura 11.29 - Confronto fra i percorsi tensionali efficaci di due provini della stessa argilla egualmente sovraconsolidati e sottoposti a rottura in condizioni drenate (TxCID) e non drenate (TxCIU)

185 Dipartimento di Ingegneria Civile – Sezione Geotecnica, Università degli Studi di Firenze J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 2007)

Capitolo 11

STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO

a) q

1

B

L CS M

C

A1

b)

A2

A3

p’

v CL N CSL A2 A1 C B

A3

p’

Figura 11.30 - Percorsi tensionali efficaci di tre provini della stessa argilla con differente rapporto di sovra consolidazione isotropa ed eguale volume specifico iniziale portati a rottura in condizioni non drenate

In Figura 11.31a sono rappresentate nello spazio p’-q-v le tre superfici (di Roscoe, di Hvorslev e il piano limite di rottura per trazione) che assieme formano la Superficie di Stato, la quale delimita il volume degli stati di tensione possibili. Anche per la superficie di Hvorslev e per il piano limite di trazione, come per la superficie di Roscoe, si può dare una rappresentazione normalizzata nel piano p’/p’e-q/p’e (Figura 11.31b). In particolare la superficie di Hvorslev normalizzata è una retta di equazione: ⎛ p' ⎞ q = g + h ⋅ ⎜⎜ ' ⎟⎟ (Eq. 11.66) ' pe ⎝ pe ⎠ ovvero: q = g ⋅ p e' + h ⋅ p' (Eq. 11.67) Essendo, per definizione: ⎛ N −v⎞ p e' = exp⎜ ⎟ (Eq. 11.68) ⎝ λ ⎠ ed imponendo la condizione di appartenenza della CSL alla superficie di Hvorslev: q = M ⋅ p' CSL (Eq. 11.69) v = Γ − λ ⋅ ln p' si ottiene, per sostituzione, il valore della costante g: ⎛Γ− N ⎞ g = (M − h ) ⋅ exp⎜ ⎟ (Eq. 11.70) ⎝ λ ⎠ e quindi l’espressione analitica della superficie di Hvorslev: ⎛Γ−v⎞ q = (M − h ) ⋅ exp⎜ ⎟ + h ⋅ p' (Eq. 11.71) ⎝ λ ⎠ 186 Dipartimento di Ingegneria Civile – Sezione Geotecnica, Università degli Studi di Firenze J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 2007)

Capitolo 11

STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO

q CSL

Superficie di Roscoe

p’ Superficie di Hvorslev

Piano limite di trazione NCL

v b) q/p’e CSL Superficie di Hvorslev

Superficie di Roscoe

h 1

NCL

Piano limite di trazione g

p/p’e

Figura 11.31 - Rappresentazione assonometria (a) e normalizzata (b) della Superficie di Stato

Dall’esame dell’Eq. (11.71) si desume che la resistenza al taglio di un’argilla sovraconsolidata satura è somma di due termini i quali, oltre ad essere funzione delle costanti materiali (Μ, h, Γ, λ) sono: o il termine, h ⋅ p ' , proporzionale alla pressione efficace media e corrispondente alla resistenza per attrito; ⎛Γ−v⎞ o il termine, (M − h ) ⋅ exp⎜ ⎟ , dipendente dal volume specifico (ovvero dall’indice ⎝ λ ⎠ dei vuoti, ovvero dal contenuto in acqua) e corrispondente alla resistenza per coesione. 187 Dipartimento di Ingegneria Civile – Sezione Geotecnica, Università degli Studi di Firenze J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 2007)

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11.3 MODELLO CAM CLAY MODIFICATO (CCM) 11.3.1 Parete elastica (o Dominio elastico) Si definisce parete elastica (o dominio elastico) nello spazio p’-q-v una superficie cilindrica avente come direttrice una linea di scarico-ricarico e come generatrice una retta parallela all'asse q, limitata dalla superficie di stato (Figura 11.32). Un punto appartenente ad una parete elastica può muoversi liberamente su di essa provocando solo deformazioni elastiche. Un punto appartenente ad una parete elastica può spostarsi su un'altra parete elastica solo raggiungendo prima la superficie limite e muovendosi anche su di essa. Nel percorso sulla superficie limite si producono deformazioni plastiche (Figura 11.33). q q CSL CSL

Superficie di Roscoe

Superficie di Hvorslev

p’

p’ C B

Parete elastica B’ A

C’

URL NCL

NCL

v

Figura 11.32 - Parete elastica

v Figura 11.33 - Percorso da una parete elastica ad un’altra parete elastica

Alla luce di quanto detto, tenuto conto che il percorso tensionale efficace (ESP) di una prova di compressione triassiale non drenata (TxCIU) si svolge interamente sul piano non drenato (v = cost), nel caso di provino isotropicamente sovraconsolidato, il cui punto rappresentativo iniziale è quindi situato su una linea di scarico-ricarico appartenente ad una parete elastica, la parte iniziale (elastica) del percorso è il segmento intersezione fra il piano non drenato e la parete elastica (Figura 11.34). Tale segmento nel piano p’-q è verticale, e quindi, non variando p’, non variano i parametri elastici (K, G) ed il comportamento è elastico lineare. Analogamente, tenuto conto che il percorso tensionale efficace (ESP) di una prova di compressione triassiale drenata (TxCID) si svolge interamente sul piano drenato ∆q = 3 ), nel caso di provino isotropicamente sovraconsolidato, il cui punto rappresenta( ∆p' tivo iniziale è quindi situato su una linea di scarico-ricarico appartenente ad una parete e188 Dipartimento di Ingegneria Civile – Sezione Geotecnica, Università degli Studi di Firenze J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 2007)

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lastica, la parte iniziale (elastica) del percorso è il segmento intersezione fra il piano drenato e la parete elastica (Figura 11.35). Tale segmento nel piano p’-q ha pendenza 3:1, e quindi, variando p’ variano i parametri elastici (K, G) ed il comportamento è elastico non lineare. q q CSL

Piano non drenato

CSL

Piano drenato C

p’

1

p’

3 B

B

C

A A

Parete elastica Parete elastica

NCL

NCL URL

v

v URL Figura 11.34 - Percorso tensionale efficace in Figura 11.35 - Percorso tensionale efficace prova TxCIU di un provino di argilla isotropi- in prova TxCID di un provino di argilla isocamente sovraconsolidato (AB = percorso elasti- tropicamente sovraconsolidato (AB = percorco; BC = percorso elasto-plastico) so elastico; BC = percorso elasto-plastico)

11.3.2 Curva di plasticizzazione Nello spazio delle tensioni esiste una curva, detta di curva di plasticizzazione (yield curve), che separa gli stati di tensione che producono risposte elastiche dagli stati di tensione che producono risposte plastiche. Evidenze sperimentali indicano che per i terreni la forma della curva di plasticizzazione nello spazio delle tensioni p’-q è approssimativamente ellittica. Nel modello CCM tale curva è rap- q A - Stato di tensione elastico presentata da un’ellisse F di equaB - Inizio della plasticizzazione C - Stato elasto-plastico zione: 2 M q 2 F = ( p') − p'⋅ p c' + 2 = 0 M Curva di plasticizzazione espansa (Eq. 11.72) c

C

Curva di plasticizzazione iniziale

B

L’asse maggiore dell’ellisse corriA sponde alla pressione di preconsop’ p’ /2 p’ lidazione p’c, l’asse minore vale ' p Figura 11.36 - Curva di plasticizzazione iniziale e sua M ⋅ c (Figura 11.36). 2 espansione in un percorso di carico per compressione c

c

189 Dipartimento di Ingegneria Civile – Sezione Geotecnica, Università degli Studi di Firenze J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 2007)

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Considereremo nel seguito la curva di plasticizzazione per compressione, e quindi M = Mc, ma analoghi concetti valgono anche per estensione, nel qual caso l’asse minore dell’ellisse è più piccolo (essendo Me < Mc). Se lo stato di tensione di un elemento di terreno è rappresentato da un punto interno alla curva di plasticizzazione iniziale (ad es. punto A di Figura 11.36) la risposta del terreno è elastica. Se lo stato di tensione è rappresentato da un punto sulla curva di plasticizzazione iniziale (ad es. punto B) ogni incremento di tensione che comporti un movimento verso l’esterno della curva è accompagnato da deformazioni elasto-plastiche e da un’espansione della superficie di plasticizzazione cosicché il punto rappresentativo dello stato di tensione permane sulla curva di plasticizzazione (punto C). Se il percorso dal punto C si muove verso l’interno vi saranno deformazioni elastiche, poiché la curva di plasticizzazione si è espansa e la regione elastica è divenuta più grande. Alla luce dei concetti espressi sul percorso tensionale efficace di un provino di argilla isotropicamente sovraconsolidato (che è inizialmente elastico e che quindi nel tratto iniziale si svolge sulla parete elastica associata alla pressione di preconsolidazione), nonché sulla forma ellittica della curva di plasticizzazione, tali percorsi nelle prove di compressione triassiale standard, secondo il modello Cam Clay Modificato (MCC), sono quelli schematicamente rappresentati nelle Figure 11.37, 11.38, 11.39 e 11.40. Se il punto di intersezione tra il percorso tensionale efficace e la curva di plasticizzazione iniziale ha ascissa maggiore di p’c/2 (ovvero è nella metà destra dell’ellisse) si ha, durante la fase di compressione assiale, un’espansione dell’ellisse, se invece il punto di intersezione ha ascissa minore di p’c/2 (ovvero è nella metà sinistra dell’ellisse) si ha una contrazione dell’ellisse. b) CSL a) q

q

qf

F

F

qf ESP

3 C 1

C B

B A

D

p’

E

c)

ε1

A

d) v

v NCL CSL A

A B

B

D

C

C

E F

vf p’0

p’c p’f

F

p’

ε1

Figura 11.37 - Risultati previsti dal modello CCM di una prova TxCID su un provino di argilla debolmente sovraconsolidato

190 Dipartimento di Ingegneria Civile – Sezione Geotecnica, Università degli Studi di Firenze J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 2007)

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b)

CSL

a) q

q qf

TSP

F

qf

F

C B A

c)

u0

B 3 1 D

p’,p

E

C

ε1

A

d)

∆u

v NCL CSL

vA = vf

F

C

B

C A B D

F

E

p’

p’f p’ p’c 0

ε1

A

Figura 11.38 - Risultati previsti dal modello CCM di una prova TxCIU su un provino di argilla debolmente sovraconsolidato

b)

CSL

a) q

q

ESP qf

C

qc s

B F 3 1 A

C F

B

p’

D

c)

ε1

A

d)

εv

v NCL CSL F A B C

D B

p’0

p’c /2

p’c

p’

C

ε1

A F

Figura 11.39 - Risultati previsti dal modello CCM di una prova TxCID su un provino di argilla fortemente sovraconsolidato

191 Dipartimento di Ingegneria Civile – Sezione Geotecnica, Università degli Studi di Firenze J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 2007)

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Con riferimento alla Figura 11.40, ovvero al comportamento previsto dal modello per una compressione non drenata di un provino di argilla satura fortemente sovraconsolidato, si osserva che il percorso tensionale efficace fino al raggiungimento della curva di plasticizzazione, ovvero fino al valore di picco qf della tensione deviatorica è verticale (elasticolineare). Dunque sostituendo nell’equazione di F a p’ il valore di pressione media efficace iniziale p’0 si ha:

(p )

' 2 0

q 2f

−p ⋅p + ' 0

' c

M2

=0

(Eq. 11.73)

e risolvendo per qf: q f = M ⋅ p '0 ⋅ R 0 − 1 = 2 ⋅ c u

a) q

per R 0 > 2

b)

CSL

q C

ESP q qcf s

C

A

c)

B F 3 1

(Eq. 11.74)

∆uf

B F

∆u c s

C

B F

TSP

p’,p

D

u0

ε1

A

d)

∆u

v NCL CSL

A C B

F D ∆uc s

p’0

p’c /2

p’c

p’

A ∆uf

C

ε1

B F

Figura 11.40 - Risultati previsti dal modello CCM di una prova TxCIU su un provino di argilla fortemente sovraconsolidato

192 Dipartimento di Ingegneria Civile – Sezione Geotecnica, Università degli Studi di Firenze J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 2007)

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11.3.3 Il calcolo delle deformazioni Le deformazioni volumetriche L’incremento di deformazione volumetrica totale dεv può in generale essere scomposto in due parti: la prima elastica (reversibile) dεve e la seconda plastica (irreversibile) dεvp: dε v = dε ve + dε vp (Eq. 11.75) Consideriamo un provino di terreno isotropicamente consolidato in cella triassiale ad una pressione efficace media p’c e quindi decompresso isotropicamente fino alla pressione media efficace p’0, come rappresentato dal percorso tensionale ODA in Figura 11.41. Esso risulterà sovraconsolidato con rapporto di sovraconsolidazione isotropa:

R0 =

p c'

(Eq. 11.76)

p 0'

La curva di plasticizzazione iniziale è l’ellisse che ha per asse maggiore il segmento OD. Il provino venga poi sottoposto a compressione assiale drenata (TxCID). Il suo ESP inizia nel punto A ed a) è rettilineo con pendenza 3:1. q,ε s p dε p Fino a quando il percorso tendε s CSL F sionale non raggiunge il punto B, e quindi è interno alla curva C di plasticizzazione iniziale, il B p comportamento è elastico. Dal dε v ESP punto B il terreno inizia ad ave3 E re deformazioni elastoA 1 D p’,ε v O p’c p’0 plastiche. v NCL Consideriamo l’incremento di b) tensione corrispondente al tratto BC dell’ESP. Esso produce un’espansione della superficie CSL di plasticizzazione come moA strato nella Figura 11.41a. D

B C

La variazione (negativa) di voE F lume specifico totale del provip’ no per tale incremento di tensione vale, con riferimento alla Figura 11.41 - Determinazione delle deformazioni plastiche Figura 11.41b, vale: ∆v = ( vC − v B ) = ( vC − v E ) + ( v E − v D ) + ( vD − v B ) (Eq. 11.77) in cui

⎛ p' ⎞ vC − v E = κ ⋅ ln⎜ 'E ⎟ ⎜p ⎟ ⎝ C⎠

(Eq. 11.78)

193 Dipartimento di Ingegneria Civile – Sezione Geotecnica, Università degli Studi di Firenze J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 2007)

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⎛ p' ⎞ v E − vD = λ ⋅ ln⎜ 'D ⎟ (Eq. 11.79) ⎜p ⎟ ⎝ E⎠ ⎛ p' ⎞ v D − v B = κ ⋅ ln⎜ 'B ⎟ (Eq. 11.80) ⎜p ⎟ ⎝ D⎠ La pressione p’E è la pressione efficace media di consolidazione della superficie di plasticizzazione espansa. Per passare dall’incremento di volume specifico all’incremento di deformazione volumetrica si utilizza la relazione: ∆εv = - ∆v/v0. L’incremento di deformazione volumetrica elastica può essere calcolato con la relazione: ∆p' dε ve = (Eq. 11.81) K' Poiché le costanti elastiche (modulo di deformazione cubica K’, modulo di Young, E’, e modulo di taglio, G) non sono costanti ma proporzionali alla pressione media efficace p’, il valore di K’ da utilizzare è quello che corrisponde al valore medio di p’ nell’intervallo ∆p’, ed è dato dall’equazione: p'm ⋅ v0 (Eq. 11.82) K' =

κ

La parte plastica dell’incremento di deformazione volumetrica si può infine ottenere per differenza: dε vp = dε v − dε ve (Eq. 11.83) In condizioni non drenate, essendo zero la deformazione volumetrica totale, risulterà: dε ve = −dε vp (Eq. 11.84)

Le deformazioni deviatoriche Per determinare le deformazioni deviatoriche si fa l’ipotesi che, per un generico incremento di tensione (dp’, dq), l’incremento di deformazione plastica dε p sia un vettore con direzione normale alla curva del potenziale plastico, e che quest’ultima coincida con la curva di plasticizzazione F (ipotesi di normalità – legge di flusso associata) (Figura 11.41). Per determinare la direzione normale alla curva di plasticizzazione si differenzia l’equazione della curva di plasticizzazione F (Eq. 11.72) rispetto alle variabili p’ e q: dq dF = 2 ⋅ p'⋅dp'− pc' ⋅ dp'+2 ⋅ q ⋅ 2 = 0 (Eq. 11.85) M da cui, si ricava la direzione tangente alla curva: dq ( p c' − 2 ⋅ p ') ⋅ M 2 = (Eq. 11.86) dp ' 2⋅q e quindi la direzione normale alla curva: 2⋅q dp' − = (Eq. 11.87) dq 2 ⋅ p'− p c' ⋅ M 2

(

)

L’incremento di deformazione plastica totale dε p ha due componenti: l’incremento di deformazione volumetrica plastica dε vp – di cui abbiamo detto come calcolare il valore, e 194 Dipartimento di Ingegneria Civile – Sezione Geotecnica, Università degli Studi di Firenze J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Febbraio 2007)

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l’incremento di deformazione deviatorica plastica dε sp . Il rapporto fra la componente deviatorica e la componente volumetrica è la direzione del vettore incremento di deformazione plastica totale, ovvero la direzione normale alla curva di plasticizzazione, dunque: dp' dε Sp 2⋅q − = p = 2 dq dε v M ⋅ (2p'−p 'c ) da cui 2⋅q dε sp = 2 ⋅ dε vp (Eq. 11.88) ' M ⋅ 2 p'− p c La componente elastica dell’incremento di deformazione deviatorica può essere calcolata con la teoria dell’elasticità: dq dε se = (Eq. 11.89) 3⋅G Per quanto già detto il valore di G da utilizzare è quello che corrisponde al valore medio di p’ ed è dato dall’equazione: 3 ⋅ p m' ⋅ v0 ⋅ (1 − 2 ⋅ν ) G= (Eq. 11.90) 2 ⋅ κ ⋅ (1 + ν )

(

)

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