4.resume Etude - De.fonctions [PDF]

Zitiervorschau

Lycée Rue Ahmed Amara Le Kef

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Habib Gammar

Etude De Fonctions G

4e

Soit f une fonction, D f son ensemble de définition et ( Cf ) sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O, i, j ) . ( Notation :  remplace +  ou −  )

Points d’inflexion  Soit f une fonction deux fois dérivable sur I et x 0  I . Si f / / ( x ) s’annule en x 0 en changeant de signe alors A ( x 0 , f ( x 0 )) est un point d’inflexion pour ( Cf )

Parité  − x  D f  − x  D f  f est impaire   x  D f :    f ( − x ) = − f ( x )  f ( − x ) = f ( x )  Si f est paire ou impaire, le domaine d’étude est réduit à : Df  [0, +[  f est paire   x  D f

:

 Si f est paire alors ( Cf ) présente une symétrie par rapport à l’axe ( O, j )  Si f est impaire alors ( Cf ) présente une symétrie par rapport à O .

Périodicité  x + T  D f  f est périodique de période T  x  D f :   f ( x + T ) = f ( x )  Si f est de période T , le domaine d’étude est réduit à un intervalle d’amplitude T  Df .

Axe de symétrie   : x = a est un axe de symétrie pour ( Cf )   x  D f

:

 2 a − x  D f   f (2 a − x ) = f ( x )

Centre de symétrie  2 a − x  D f  A ( a, b) est un centre de symétrie pour ( Cf )   x  D f :   f (2 a − x ) = 2 b − f ( x )

Branches infinies  Si lim f ( x ) = 

alors

 : x = a est une asymptote verticale à ( Cf ) .

 Si lim f ( x ) = a

alors

 : y = a est une asymptote horizontale à ( Cf ) .

 Si lim f ( x ) = 

alors on calcule lim

x→ a

x→ 

x→ 

x→ 

f ( x) x

f ( x) = 0 alors ( Cf ) admet une branche parabolique de direction celle de ( O, i) . x→  x f ( x) =  alors ( Cf ) admet une branche parabolique de direction celle de ( O, j ) . ❖ Si lim x→  x f ( x) = a alors on calcule lim [ f ( x) − a x ] , ( a  0) ❖ Si lim x→  x→  x  Si lim [ f ( x ) − a x ] = b alors  : y = ax + b est une asymptote oblique à ( Cf ) . ❖ Si lim

x→ 

 Si lim [ f ( x ) − a x ] =  x→ 

alors

 : y = ax est une direction asymptotique à ( Cf ) .

Remarque  : y = ax + b est une asymptote à ( Cf ) au voisinage de   lim[ f ( x ) − ( ax + b)] = 0 x →

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Résumé : Etude des fonctions

4e