3 Cours Electronique Et Systemes [PDF]

Zitiervorschau

11/12/2021

Université Abelmalek Essaadi FST Tanger

Département de Génie Electrique Licence GESI

Electronique et Systèmes Licence GESI

Chapitre III: Les Filtres Actifs Année Universitaire: 2021-2022 version 0.1

Contenu I. II.

Introduction aux filtrage des signaux Propriétés des filtres actifs 1. Gabarit d’un filtre 2. Filtres d’ordre 1 3. Filtres d’ordre 2 4. Réalisations électroniques a. b.

Cellule de Rauch Cellule de Sallen Key

III.

Filtres d’ordres supérieurs 1. Filtres de Butterworth 2. Normalisations et Transformations des filtres 3. Exemples de synthèse 4. Fonctions de filtrage (Bessel– Chebytchev…) IV. Conclusion Mohammed Benlamlih Dr. Ing.

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Introduction •

Un filtre de fréquence est un type spécial de circuit électroniques qui est utilisé pour filtrer certains des signaux d'entrée sur la base de leurs fréquences.

•

Rappel: Dualité Temps-Fréquence

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Introduction •

Exemple: La courbe rouge est la somme des 4 premières harmoniques

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Introduction •

Exemple de filtrage d‘harmoniques:

Filtre Passe Bas

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Introduction •

Exemple:

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Introduction •

Exemple: Filtre Passe Haut

Filtre Passe Bas

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Introduction •

Exemple: Séparation du signal utile du bruit Spectre du signal d’entrée

Bande de fréquence du bruit

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Introduction •

Application dans le domaine audio:

Medium Tweeter

Woofer

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Introduction

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Introduction • • • •

Filtre ADSL: Sur la ligne téléphonique classique circule en même temps : Le signal analogique du téléphone [ 0 ; 4 kHz ] Les données numériques [ 20 kHz ; 1.1 MHz ] La figure suivante donne l'occupation de la bande passante de la ligne téléphonique.

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Introduction •

•

L’échantillonnage doit être réalisé en respectant le critère de Shannon/Nyquist : Fréquence échantillonnage (Fe) au moins supérieure au double de le fréquence max (Fmax) du signal pour conserver l’information Une chaîne de traitement numérique comporte des filtres analogiques: – en amont: un filtre anti repliement (antialisasing filter) – en aval: un filtre de lissage

Fmax

Fe Fe ˃ 2.Fmax

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Introduction •

Ref: Poujouly.net

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Introduction •

Domaines d’application des filtres:  Téléphonie, télécommunications  Hyperfréquences  Réseau de distribution d’énergie  Traitement de la parole  Biomédical  Sismique

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Introduction

TYPE

COMPOSANTS

Filtre numérique

Circuit logiques intégrés

Filtres passifs

Circuit discret L et C, Composants piézoélectrique (quartz)

Filtres actifs

AOp, R et C

F < 1 MHz besoin d’alimentation tension filtrée faible < 12V

Filtres à capacités commutées

AOp, Interrupteur commandé MOS, R et C intégré

F < qq MHz besoin d’alimentation intégrable fréquence programmable

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SPECIFITES Signaux numérisés F < 100MHz convient en grande série entièrement programmable F élevée pas d’alimentation non intégrable

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Introduction •

Performance des techniques de filtres selon les bandes de fréquences

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Introduction •

Classification des filtres par fonction:

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Propriétés des filtres actifs •

Classification: – Ordre: le degré le plus élevé des polynômes qui permettent d'exprimer sa fonction de transfert H(jω) – Fonction: distingue quatre catégories principales de filtre:

•

le filtre passe-bas qui privilégie les signaux de basse fréquence,

•

le filtre passe-haut qui, au contraire, transmet préférentiellement les signaux de grande fréquence,

•

le filtre passe-bande qui ne laisse passer qu'une bande de fréquence,

•

le filtre coupe-bande ou réjecteur de bande qui atténue les signaux dont la fréquence est située dans un intervalle spectral déterminé.

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Symboles des filtres

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Symboles des filtres •

Schéma bloc d’un récepteur hétérodyne:

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RAPPELS

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Rappels •

Le comportement d’un filtre est défini par l’étude fréquentielle de la fonction de transfert entre la tension de sortie et la tension d’entrée du filtre en régime Harmonique: e(t) = E0.sin(ωt)

Filtre

s(t) = S0(ω).sin(ωt + ϕ(ω))

Gain :

Déphasage

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Rappels •

Les courbes de gain G(ω) et de phase ϕ(ω) caractérisent le comportement fréquentiel du filtre. Une fois connues, elles peuvent donc permettre de prévoir la réponse du filtre à n’importe quelle entrée sinusoïdale.

•

Afin de faciliter l’interprétation des évolutions du gain et de la phase en fonction de ω, on utilise une représentation graphique du comportement fréquentiel. Le diagramme de Bode est la représentation la plus connue.

•

Le diagramme de Bode est constitué de deux courbes tracées l’une en dessous de l’autre en utilisant une échelle logarithmique en abscisse: – le diagramme de gain en dB GdB(ω) = 20log[G(ω)] en déciBel (dB) – le diagramme de phase ϕ (ω) , avec ϕ (ω) en radian ou en degré.

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Rappels • • •

Exemple de diagramme: Pour e(t) = 10 . sin(40 . t) Calculer la sortie:

• • •

ω = 40 rad/s GdB(40) = -12 dB et ϕ (40) = - 90°,

40

-12

40

• •

l’expression du signal de sortie : s(t) = 2,5 . sin (40 . t – π/2 )

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Rappels • •

L’écart entre ω et 2.ω est appelé une octave L’écart entre ω et 10.ω est appelé une décade

•

Sur l’échelle logarithmique, il n’y a pas d’origine des abscisses (pas de 0) et le tracé ne concerne qu’une plage de pulsations judicieusement choisie sur 3 ou 4 décades

•

•

Un gain de 0 dB correspond à un gain de 1 en linéaire, soit E0 et S0 de même amplitude Un gain en dB positif correspond à un gain supérieur à 1, S0 > E0 : le système amplifie l’amplitude de la sinusoïde d’entrée Si le gain en dB est négatif, le système atténue le signal d’entrée, S0 ˂ E0

• •

20 dB = 20.log 10 correspond à un gain de 10 en linéaire, soit S0=10xE0, -20dB correspond à un gain de 1/10 en linéaire, soit S0=0,1xE0

•

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FONCTIONS DE TRANSFERT DE BASE DES FILTRES

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Fonctions de transferts des cellules de base •

Fonctions de bases:

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Fonctions de transferts des cellules de base •

Cellules de premier ordre:

-3dB

ωc

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Fonctions de transferts des cellules de base • •

Si besoin de plus grande sélectivité, on a recours au filtre d’ordre plus élevé Comparaison de la réponse d’une filtre de premier ordre et second ordre:

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Fonctions de transferts des cellules de base •

Cellule passe bas de second ordre:

•

Le cas ξ=0,7 est intéressant, puisque on a une réduction de gain assez limitée (-3dB), et une pente à -40dB/décade.

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Fonctions de transferts des cellules de base •

Réponse d’un filtre passe bas en fonction de m (ou ξ) Bande où m à un effet sur la surtension

ω ˂˂ 1

m

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Fonctions de transferts des cellules de base •

Cellule passe-bande de second ordre:

• •

fc2 et fc1 fréquences de coupure à à-3dB Δf = fc2 - fc1

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RÉALISATION ÉLECTRONIQUE DES CELLULES DE BASE : (PREMIER ORDRE ET SECOND ORDRE) 33

Réalisation par circuits passifs •

Réalisation par des composants passifs:

•

Méthode de calcul: Chacun de ces montages peut être vu comme un pont diviseur de tension avec 2 impédances complexes Z1 et Z2.

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Réalisation par circuits passifs •

Exemple: Filtre passe-bas de premier ordre

Vout

Vout 1 = Vin 1 + j ω

ωc

ωc =

1 RC

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Réalisation par circuits passifs •

Filtre passe haut du premier ordre:

Vin

ω

j ωc Vout = Vin 1 + j ω

ωc

ωc =

1 RC

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Réalisation par circuits passifs •

Influence de la charge sur les filtres pasifs:

• •

Nouvelle pulsation (fréquence) de coupure: Filtre actif dont les caractéristiques ne dépendent pas de la charge:

•

L’ampli-Op se comporte comme un adaptateur d’impédance

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Réalisation par circuits passifs •

Filtre passe bande à base de filtres passe-bas et passe-haut en cascade:

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Réalisation par circuits passifs •

Filtre coupe bande:

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Réalisation par circuits passifs •

Exemple de réalisation de filtre coupe bande:

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Réalisation par circuits passifs • •

Autres réalisations du filtre coupe bande (Notch or band reject filter) à base de composants passifs: f0 : Fréquence centrale de rejection R

R

R/2

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Réalisation par circuits passifs •

Autres filtres coupe bande:

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f0 =

1 2π LC

f0 =

1 2π LC

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RÉALISATION DE FILTRES ACTIFS DE SECOND ORDRE

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Filtres de second ordre • •

Les structures de Sallen-Key et de Rauch permettent de réaliser des filtres passe-bas, passe-haut et passe-bande du 2nd ordre. Cellule de Rauch:

A

B

V

•

Fonction de transfert:

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Yi : admittance

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Filtres de second ordre •

Filtre actif passe-bas du 2ième ordre - Structure de Rauch:

•

Par identification:

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Filtres de second ordre •

Filtre actif passe-bande du 2ième ordre - Structure de Rauch

•

Si C1 = C2 = C alors:

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Filtres de second ordre •

Filtre actif passe-haut du 2ième ordre - Structure de Rauch:

•

Pour C1 = C2 = C3 = C :

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Filtres de second ordre •

Cellule de Sallen & Key

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Filtres de second ordre •

Cellule de Sallen & Key à gain variable :

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Filtres de second ordre •

Cellule de Sallen & Key passe-bas:

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Filtres de second ordre •

Cellule de Sallen & Key passe-bas avec gain:

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Filtres de second ordre •

Cellule de Sallen & Key passe-haut

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Filtres de second ordre •

Cellule de Sallen & Key passe-haut avec gain:

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Filtres de second ordre •

Cellule de Sallen & Key passe-bande

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Filtres de second ordre •

Cellule de Sallen & Key passe-bande avec gain:

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FILTRES D’ORDRES SUPÉRIEURS

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Gabarits de filtres •

La synthèse d'un filtre consiste à établir l'expression de la fonction de transfert qui respecte un ensemble de contraintes, rassemblées selon un gabarit, puis à réaliser le circuit correspondant.

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Gabarits de filtres •

Exemple de gabarit de filtre passe bande:

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Gabarits de filtres •

En termes d’atténuation, les paramètres sont les suivants :

• •

Amax en dB : atténuation maximale en bande passante. Amin en dB : atténuation minimale en bande atténuée.

•

En termes de fréquences:

• •

fp ou fp+, fp− : fréquence qui limite la bande passante. fa, ou fa+, fa− : fréquence qui limite la bande atténuée.

•

Pour les filtres passe-bande et réjecteurs de bande, on définit le paramètre suivant garantissant la symétrie des gabarits : f0 = fp+ . fp− = fa+ . fa−

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Gabarits de filtres •

On définit également le facteur de transition ou sélectivité k:

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f ap+ − f ap− f ap+ f−o f ap−

Normalisation des filtres •

Au lieu de conserver explicitement les fréquences frontières comme paramètres de calcul, il est plus simple et plus parlant de leur substituer les paramètres équivalents ( mais sans dimension ) que sont la sélectivité k et la largeur de bande relative B.

•

Pour un filtre très sélectif, k tend vers 1.

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Gabarits de filtres •

Gabarit d’un filtre passe bas normalisée:

1

f/fp

•

Filtre complètement décrit par: Amin, Amax, k et fp

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Gabarits de filtres •

En pratique, on doit respecter un gabarit de filtre:

1

f/fa

A

B

• •

La fonction du filtre doit passer par les points extrêmes A et B. Ceci nous permettra de calculer l’ordre du filtre nécessaire pour respecter le cahier des charges

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Gabarits de filtres

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Gabarits de filtres •

Mise en cascade de circuits de premier et second ordre (plus grande séléctivité):

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Si besoin d’une plus grande sélectivité •

Limitation de la mise en cascade de n cellules de base: S1 S2

•

S3

S4

À la fréquence de coupure l’atténuation est n x 3dB Fonction de transfert de cette fonction?

•

Pour concevoir un filtre d’ordre élevé il ne suffit pas « d’empiler » des filtres de premier ordre! L’atténuation à la fréquence de coupure change

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Familles de filtres • •

•

•

•

Il existe des familles de filtre selon leurs utilité: Filtres de Butterworth: Pas d’ondulation dans la bande passante Mais ordre n est élevé si l’on veut une grande sélectivité Filtre de Tchebycheff Ordre plus petit pour une grande sélectivité si l’ordre est n , Présente des ondulations dans la bande passante Filtre de Bessel Coupure plus douce. Temps de propagation de groupe constant (déphasage linéaire) Minimisation des distorsions (temps de propagation constant…) Filtre Elliptique ou de Cauer Filtre à coupure maximale: possède trois degrés de liberté: ordre, l'ondulation en bande passante et la raideur de la coupure

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Fonctions d’approximation des filtres •

Réponses de différentes fonctions de filtres (pour le même ordre):

Filtre idéal

•

De point de vu réalisation, les différents filtres ne différent que par les coefficients des polynômes qui décrivent leur fonction de transfert

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Filtres de Butterworth •

Comment obtenir une pente quelconque tout en ayant -3dB à fc?

•

Fonction de transfert de Butterworth:

H ( jf ) =

• • • •

1  f  1 +    f0 

2N

N: ordre du filtre Propriétés du filtre: pente de la décroissance du gain : -20 х N dB/décade @ f=fo le gain est : -3dB (ou l’atténuation et de 3dB)

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Normalisation •

Différentes formes d’écriture de la fonction de transfert:

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Filtre de Butterworth •

En générale, on utilise la variable x (fréquence ou pulsation normalisée) p jω jf s= = = = jx ωc ωc fc TN ( s ) =

• • • •

1 1+ s2N

Avec ωc (fc) pulsation (ou fréquence) de coupure x : pulsation (ou fréquence) normalisée N: ordre du filtre Le module de la fonction de transfert du filtre de Butterworth est de la 1 forme: TN ( x ) =

•

A la fréquence de coupure:

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1 + x2N 1 TN ( x) = P( x) 1 TN (1) = TN (1) dB = −3dB 2 Les Filtres actifs

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Fonction de Butterworth •

En posant x= (f / fc) (fréquence réduite sans unité): TN ( x) =

1 1 + jx 2 N

TN ( x) =

1 1 + x2N

s = jx

Autre forme d’écriture de TN(s): Produit de fonctions de premier et/ou second ordre Réalisables par les cellules élémentaires

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Fonction de Butterworth •

Polynômes de Butterworth pour Amax=3dB avec les coefficients d’amortissements m correspondants: P(s):

•

P(s): Produit de fonctions de premier et/ou second ordre réalisables par les cellules élémentaires

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Fonction de Butterworth •

Fonction de transfert: HdB

f/fc

• •

On vérifie que quelque soit l’ordre N dur filtre, l’atténuation est de -3dB. Avantage de Butterworth: le gain le plus constant dans la bande passante

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Les Filtres actifs

Fonction de Butterworth •

Exemple: 1V

1V

Butterworth Ordre 3

0,1

1

2

10

f/fc

0,7V 0,1V

0,1

1

2

1mV

10

f/fc

N=1

H(0,1 .fc) = 0dB N=2

H(fc) = -3dB H(2 .fc) = -18dB

N=3

H(10 .fc) = -60dB

N=4

N=5

f/fc Mohammed Benlamlih Dr. Ing.

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Fréquence normalisée) 76

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Procédure de calcul de l’ordre N • • •

Calcul de l’ordre N minimum nécessaire du filtre de Butterworth: On se limite au cas ou Amax = 3dB @ f=fp Au point A: f=fp T(fp) =-Amax 1

TN ( f p ) = 1+

•

=

1 2

fp

fp

fa

f

A

Au point B: f=fa T(fa) = -Amin 1

TN ( f a ) = 1+

•

fp

2N

fa fp

2N

= 10

B

− Amin 20

On dégage l’Ordre minimal du filtre:

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 Amin  log10 10 − 1   N≥ fa 2. log fp

Les Filtres actifs

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EXEMPLE DE SYNTHÈSE DE FILTRE PASSE BAS DE BUTTERWORTH:

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Exemple de synthèse •

Exemple de calcul d’ordre:

• • • •

fp = 5 kHz fa = 15kHz Amax = 3 dB Amin = 25 dB

• •

Avec les valeurs numériques données, on trouve ; N=2,62 On prendra donc N=3: La fonction à réaliser est: H ( s ) =

fp

1 (1 + s ) Mohammed Benlamlih Dr. Ing.

fa

f

1 (1 + s ).(1 + s + s 2 )

1 (1 + s + s 2 ) Les Filtres actifs

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Exemple de synthèse •

Avant de passer à la réalisation électronique, on peut simuler la fonction de transfert sur LT Spice… 1 H (s) = (1 + s ).(1 + s + s 2 )

Fonction de transfert dans le domaine de de Laplace Mohammed Benlamlih Dr. Ing.

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40

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Exemple de synthèse • • • • •

Cahier des charges: fp = 5 kHz fa = 15kHz Amax = 3 dB Amin = 25 dB

fs = 3 .fc l’atténuation est de 28dB (gain -28dB) supérieur à 25dB du cahier des charges Mohammed Benlamlih Dr. Ing.

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Exemple de synthèse •

•

Réalisation électronique après dé-normalisation:

1   1 + j ω   ω  p  

A 2   1 + 2mj ω +  j ω      ωp  ωp    

fp=5 kHz

m=0,5 A=1 fp=5 kHz

Réalisation électronique (une des réalisations possibles):

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Exemple de synthèse •

Réaliser la fonction:

H1 ( jω ) =

1   1 + jω   ω  p  

ωp =

1 R.C

R2 C3

• •

fp = 5 kHz ωc = 2.π.fp

•

On prend R2 = 10kΩ donc C3 = 3.18nF

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Exemple de synthèse •

Réaliser la fonction H ( s ) =

1 en utilisant une cellule de Sallen-Key: (1 + s + s 2 ) H PB ( jω ) =

H ( jω ) =

1

(1 + C ( R + R ) jω + R R C C ( jω ) ) 2

2

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A 2   1 + 2mj ω +  j ω    ω p  ω p    

1

2

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1

2

1

2

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Exemple de synthèse H PB ( jω ) =

•

A 1 = 2 ( 1 + s + s2 )   1 + 2mj ω +  j ω    ωc  ωc    

Pour R1=R2=R: ω0 =

1 R C1.C2

2.R.C2 = m=

2.m

ω0

C2 1 = C1 2

C1 = 4.C2

ωC =

• •

1 R2 .C3

On prends R1 = R2 = 10kΩ On calcul: C2=1,59nF C1 = 6,37nF

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Exemple de synthèse

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Exemple de synthèse • • • •

Réponse fréquentielle sur LTSpice; Rappel: Cahier des charges: fp = 5 kHz Amax = 3 dB fa = 15kHz Amin = 25 dB

5kHz -3dB

15kHz -28.8dB

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SYNTHÈSE DE FILTRES AUTRE QUE PASSE BAS

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Filtres autre que passe bas •

On peut montrer que l'étude de tous les types de filtres se résume à celle du seul filtre passe-bas, par des changements de variables convenables

•

On procède d’abord à la transposition du gabarit (ou de la fonction de transfert) du filtre à réaliser en un nouveau gabarit (ou fonction de transfert) d’un filtre passe-bas en procédant à un changement de variable

•

Ce changement est nécessaire pour la synthèse des filtres, car seul les filtres passe-bas sont tabulés.

•

La transformation s’applique sur le terme s = jx au niveau de la fonction de transfert normalisée

•

En fin de synthèse, on procède à une transposition inverse et dénormalisation pour obtenir le filtre attendu.

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Filtres autre que passe bas •

Changements de variables pour le passage du filtre passe-bas aux autres filtres et inversement:

Mohammed Benlamlih Dr. Ing.

Les Filtres actifs

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45

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Filtres autre que passe bas •

B est par définition la largeur de bande relative et correspond à la valeur suivante pour le filtre passe-bande et pour le filtre réjecteur de bande :

•

Le calcul de l’expression de la fonction de transfert se fait donc à partir du gabarit normalisé d’un filtre passe-bas qui introduit le paramètre k , la sélectivité (toujours inferieur à 1) et qui est calculée ainsi :

• •

Plus fa est voisin de fp, plus le filtre est sélectif Pour un filtre très sélectif, k tend vers 1. (filtre idéale)

Mohammed Benlamlih Dr. Ing.

91

Les Filtres actifs

Filtres autre que passe bas •

Transformation passe-bas passe-bande

B

x

Mohammed Benlamlih Dr. Ing.

x1

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x2

x

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Exemples de transformation •

Transformation Passe-bas passe-haut (premier ordre):

H (s) =

•

1 1+ s

s→

1 S

H PH ( S ) =

1 1 1+ S

=

S 1+ S

Transformation Passe-bas Passe-bande:

1 1 + 2ms + s 2

H PB ( s ) =

s→

1 S

H (S ) =

1 2m.S = 1 1  1 + 2m.S + S 2 1+  S +  B S B=

Mohammed Benlamlih Dr. Ing.

∆f 1 = = 2m f0 Q 93

Les Filtres actifs

Exemples de transformation •

Transformation Passe-bas Passe-bande: H (s) =

•

1 1+ S

S→

1 1 S +  B S

H (S ) =

B=

Transformation Passe-bas Coupe-bande:

H (s) =

1 1+ S

Mohammed Benlamlih Dr. Ing.

1  S → B. S +  S 

−1

Les Filtres actifs

1 2m.s = 1 1  1 + 2m.s + s 2 1+  S +  B S

H (S ) =

1 ∆f = = 2m f0 Q

1 1  1 + B. S +  S 

−1

=

1+ S 2 1 + 2m.s + s 2

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47

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Méthode de synthèse des filtres actifs •

Méthode de synthèse:

**

**

** Etapes de transposition seulement si le filtre à réaliser est autre que passe-bas Mohammed Benlamlih Dr. Ing.

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Les Filtres actifs

Passage de gabarit passe haus vers passe bas s→

H PB ( s ) =

1 S

1 1+ s

Mohammed Benlamlih Dr. Ing.

H PH ( S ) =

Les Filtres actifs

S 1+ S

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48

11/12/2021

Transformation de Gabarits •

Transformation de Gabarit normalisés Passe-haut passe bas:

Mohammed Benlamlih Dr. Ing.

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Les Filtres actifs

Transformation de Gabarits •

Passe-bas Passe-bande:

B

S→

Mohammed Benlamlih Dr. Ing.

1 1 S +  B S

Les Filtres actifs

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49

11/12/2021

Transformation de Gabarits •

Transformation de Gabarit normalisés Passe-bande passe-bas:

Mohammed Benlamlih Dr. Ing.

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Les Filtres actifs

Transformation de Gabarits •

Transformation de Gabarit normalisés Coupe-bande passe-bas:

B

Mohammed Benlamlih Dr. Ing.

Les Filtres actifs

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50

11/12/2021

Transformation de Gabarits •

Transformation de Gabarit normalisés Coupe-bande passe-bas:

Mohammed Benlamlih Dr. Ing.

Les Filtres actifs

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EXEMPLE DE SYNTHÈSE D’UN FILTRE PASSE HAUT DE BUTTERWORTH

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51

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Synthèse d’un filtre passe haut d’ordre 2+ •

Gabarit du filtre à réaliser: 0,4

1

x

1- Normalisation f → x= f/fp fp = 10kHz Gabarit normalisé

•

Transposition: Filtre passe haut au filtre passe bas normalisé équivalent: 0,4

1

x

2- Transposition x → 1/x Filtre passe bas équivalent normalisé

• Mohammed Benlamlih Dr. Ing.

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Les Filtres actifs

Synthèse d’un filtre passe haut d’ordre 2+ •

3- Calcul de l’ordre du filtre passe-bas:  18  log1010 − 1   = 2.25 N≥ 2. log(2,5)

• •

On prend donc N=3 4- Filtre passe bas normalisé pour N=3 ( après consultation des polynômes de Butterworth: 1 H (s) = (1 + s ).(1 + s + s 2 )

•

5- Transposition vers le filtre passe haut:

H (s) =

1 (1 + s ).(1 + s + s 2 )

5- Transposition s → 1/s

H (s) =

s s2 (1 + s ) (1 + s + s 2 )

Filtre passe Haut normalisé à réaliser Mohammed Benlamlih Dr. Ing.

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Synthèse d’un filtre passe haut d’ordre 2+ •

6- Dénormalisation: On remplace x par ω/ωp:

H (s) =

•

6- dénormalisation

s s2 (1 + s ) (1 + s + s 2 )

H PH ( jω ) =

s → j ω/ωp

ω ωp

  1 + j ω   ω p  

.

 ω  j   ω  p  

2

2   1 + j ω +  j ω    ω p  ω p    

Finalement la fonction de transfert à réaliser: j H PH ( jω ) =

•

j

ω ωp

  1 + j ω    ω p  

.

 ω  j   ω  p  

2

2   1 + j ω +  j ω      ωp  ωp    

Mise en série d’une filtre passe haut de premier ordre et passe haut de second ordre

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Les Filtres actifs

Synthèse d’un filtre passe haut d’ordre 2+ •

7- Réalisation électronique:

jω

ωp   1 + j ω   ω  p  

2   1 + 2mj ω +  j ω    ω p  ω p    

fp=10 kHz

•

2

 ω   A. j  ω  p  

m=0,5 A=1 fp=10 kHz

Choix des configurations électroniques (une des réalisations possibles):

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Synthèse d’un filtre passe haut d’ordre 2+ •

Choix des valeurs des composants: fp=10 kHz

ωp =

• •

m=0,5 A=1 fp=10 kHz On prend R1=5.1kΩ et C1=C2 = C

1 = 2.π .10kHz CR

ωc =

On prend R=5.1kΩ Donc C = 3.12nF

m=

1 = 2.π .10kHz C R1 R2 R1 = 0,5 donc R2 = 4 R1 R2

5.1kΩ 3.12nF 1.56nF 5.1kΩ

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1.56nF 20.4kΩ

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Synthèse d’un filtre passe haut d’ordre 2+ •

Simulation du filtre sur LTSpice et comparaison avec un filtre passe haut constitué de trois celles passe haut de premier ordre:

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Synthèse d’un filtre passe haut d’ordre 2+

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FONCTIONS DE TRANSFERTS AUTRE QUE BUTTERWORTH

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Autres filtres •

Les autres filtres (Bessel, Tchebytchev, Cauer,…) ne différent des filtres de Butterworth que par les coefficients de polynômes.

•

Les coefficients sont tabulés pour tous types de filtres et peuvent être également réalisés à partir de filtres de premier et second ordre. Premier ordre

Second ordre

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Les Filtres actifs

Coefficients de Bessel

•

Coefficients du filtre de Bessel:

•

Exemple: fonction normalisée de Bessel de 3ième ordre: H Bessel _ 3 ( s ) =

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Q=1/2m

1 1 . (1 + 0,7560s ) (1 + 0,9996s + 0,4772s 2 )

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Coefficients de Butterworth

•

Coefficients de Butterworth:

•

Exemple: fonction normalisée de Bessel de 3ième ordre:

Q=1/2m

H Butterworth _ 3 ( s ) =

Mohammed Benlamlih Dr. Ing.

1 1 . (1 + s ) (1 + s + s 2 ) 113

Les Filtres actifs

Coefficients de Tschebytscheff •

Coefficients de Tschebytchev (ondulation 1dB) Q=1/2m

•

Exemple: fonction normalisée de Tschebyscheff de 3ième ordre avec une ondulation maximale de 1dB dans la bande passante:

H Tchebytchev _ 3 ( s ) =

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1 1 . (1 + 2,2156s ) (1 + 0,5442s + 1,2057s 2 )

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Simulation des fonctions de transfert •

Comparaison de différents filtres d’ordre 3: Bessel, Tchebitchev, Butterworth:

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•

Les Filtres actifs

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Avantage du filtre de Bessel: RETARD CONSTANT de tous les signaux de la bande passante: distorsion minimale en sortie du filtre

τ= 280ms

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•

Réponse indicielle des trois filtres:

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Filtres actifs •

Inconvénients : – nécessitent une alimentation – bande passante limitée donc limitation aux fréquences basses – produisent du bruit – limités en tension

•

Avantages : – permettent une intégration à grande échelle (et notamment dans les processeurs) – fiables – coût de fabrication réduit

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•

Références:

Mohammed Benlamlih Dr. Ing.

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