2016 - 2017 - SEER-1 & GECSI-1 - Régulateurs [PDF]

Zitiervorschau

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ENSET MOHAMMEDIA: 2016/2017 SEER-1& GECSI-1

RÉGULATEURS & REPRÉSENTATION D’ÉTAT PARTIE 1: RÉGULATEURS

M. BAHATTI

Contenu 2

1. Introduction Problématique de l'asservissement 2. Différentes méthodes de correction Correction série, correction parallèle Correction par anticipation 3. Eléments du cahier de charges 4. Synthèse des correcteurs série usuels Correcteur proportionnel P Correcteurs I, PI, Retard de phase Correcteurs PD, Avance de phase Correcteur PID

Introduction : Problématique de l'asservissement 3

Caractéristiques du système à piloter Système lent Système peu précis Système mal amorti Système oscillatoire amorti Cas extrême : système instable

Objectif de l'asservissement Amener le système à suivre un comportement fixé par un cahier de charges (Exemple: Stabilité, Précision et rapidité) Comment faire ? Utiliser un dispositif complémentaire : le correcteur en boucle fermée

Introduction : 4

Exemple : Système à commander

Réponse oscillatoire Réponse mal amortie Ecart avec l'entrée en régime établi

Comportement désiré

Réponse oscillatoire Réponse bien amortie Erreur statique nulle

Pour corriger le comportement du système : un correcteur

Méthodes de correction 5

Correction série

Rôle du correcteur : Elaborer le signal de commande u(t) approprié à partir du signal d'erreur ε(t)

Correction parallèle

Méthodes de correction 6

Correction série-parallèle

Correction par anticipation

Remarques La correction série est la plus couramment utilisée Pour la correction série, le schéma d'asservissement est transformé en un asservissement à retour unitaire

Exigences de l'asservissement 7

Expression des exigences Les exigences sont exprimées sous la forme d'un cahier de charges. La synthèse du correcteur doit permettre de satisfaire au mieux ces exigences.

Eléments du cahier de charges 1. Stabilité On analyse la stabilité par les critères de Routh et de Nyquist ou Revers

2. Marges de stabilité

Si les marges de stabilité faibles ⇒ système proche de l'instabilité en BF, réponse oscillatoire mal amortie, fort dépassement On règlera les marges de stabilité aux valeurs satisfaisantes suivantes : mϕ ≥ 45° , mg ≥ 12dB

Exigences de l'asservissement (suite) 8

3. Forme de la réponse indicielle en BF Apériodique (HBF doit avoir des pôles réels) Oscillatoire amortie: (HBF doit avoir des pôles complexes conjugués)

4. Précision en régime permanent Pour avoir une bonne précision, deux solutions : Augmenter le gain en basses fréquences du système non bouclé Introduire des intégrateurs (si nécessaire) Mais, risque de rendre le système instable en BF !!

5. Rapidité Pour augmenter la rapidité du système en BF, il faut élargir sa bande passante en BF.

Augmenter la BP en BF ⇔ augmenter la pulsation de coupure à 0dB ωco de la FTBO [c_à_d: HBOC(p) = C(p)H(p)G(p)]

Correcteurs série usuels 9

Principe Modifier le gain du système en Boucle Ouverte (précision) Agir sur la marge de phase (stabilité, rapidité).

Correcteurs qui modifient le gain Correcteur Proportionnel (P) Correcteur Intégral (I) Correcteurs Proportionnel-Intégral (PI), à Retard de Phase

Correcteurs qui modifient la marge de phase Correcteur Proportionnel Dérivé (PD) Correcteur à Avance de Phase

Correcteur réalisant les deux actions Correcteur Proportionnel-Intégral-Dérivateur (PID)

Correcteur proportionnel: P 10

Equations Le correcteur est un gain Kc : C(p)=KC Loi de commande du système : u(t) = Kc ε (t)

Effets du correcteur Modification du gain du système en BO Si Kc > 1 (amplification): Amélioration de la précision du système en BF Si Kc < 1 (atténuation): Diminution de la précision du système en BF Le correcteur P ne permet pas de régler indépendamment la rapidité, la précision et les marges de stabilité

Correcteur proportionnel: P (suite) 11

Effets du correcteur (suite)

Si Kc > 1

Translation du diagramme de gain de Bode vers le haut Augmentation de ωco ⇒ Augmentation de la rapidité Diminution de la marge de phase: (dégradation de la stabilité en BF)

Si Kc < 1 Translation du diagramme de gain de Bode vers le bas Diminution de ω co ⇒ Diminution de la rapidité Augmentation de la marge de phase (Amélioration stabilité)

Correcteur intégral : I 12

Fonction du Transfert du correcteur C p =

1 .

Loi de commande du système u t =

Ti : constante d'intégration

ε τ dτ.

Effets en fréquentiel du correcteur Diminution des pentes de -20dB/décade

Translation du diagramme de phase de 90° vers le bas

Correcteur intégral: I ( suite) 13

Effets du correcteur Introduction d'un intégrateur ⇒ Amélioration précision Annulation de l'erreur statique, Diminution de l'erreur de vitesse (si le système non corrigé est de classe 0) Rejet asymptotique des perturbations constantes

Diminution de la pulsation de coupure à 0dB ωco Diminution de la rapidité du système en BF L’effet intégrateur provoque un ralentissement du système

Réduction de la marge de phase ⇒ dégradation de la stabilité voire l’instabilité Conclusion • Le correcteur Intégral n'améliore que la précision ; • Les autres performances sont dégradées

Correcteur PI 14

Fonction de Transfert du correcteur: 1 Forme parallèle: C p = K ! + . T$ p 1 + T$ p Forme série: C p = K ! . T$ p

Commande du système

Plus Ti est grande, plus l'action intégrale est faible

( ) = *+ . , ) +

Réponse indicielle du correcteur

*+

0

. - , . /.

Correcteur PI (suite) 15

Réponse fréquentielle

Effets du correcteur Introduction d'un intégrateur: Erreur statique nulle (système de classe 0) Le gain du système corrigé ne sera pas modifié en hautes fréquences si 1 ≪ 456

⇒ rapidité non modifiée

2

La phase du système corrigé n'est modifiée qu'en basses fréquences La marge de phase n'est pas modifiée si ≪ 456 12

Correcteur à " Retard de phase" 16

Fonction de Transfert du correcteur En pratique, on choisit Kc= b Le correcteur est une forme approchée du correcteur PI: Il réalise une action intégrale (augmentation du gain en basses fréquences) sans introduire d'intégrateur

Réponse fréquentielle Introduction d'un déphasage négatif d'où le nom de correcteur à retard de phase Déphasage minimum: @+,B C = DE< FGH Pulsation correspondante: 45,B C = 1

J

IJ KJ

1 + T. p C p = K7. 9:;< ∶ > > 1 1 + b. T. p

Correcteur Proportionnel-Dérivé 17

Fonction de Transfert du correcteur: Forme parallèle: C p = K ! + TL p Forme série: C p = K ! . (1 + TN . p )

Commande du système

Plus Td est grande, plus l'action dérivée est importante

( ) = *+ . [, ) + TN

/, ) ] /)

Réponse indicielle du correcteur La commande est proportionnelle à - l'erreur, et à - la variation (dérivée) de l'erreur

Correcteur proportionnel dérivé (suite) 18

Réponse fréquentielle

Effets du correcteur Avance de phase maximale de 90° pour 4 ≫ 1N ⇒ amélioration de la stabilité (marge de phase) Augmentation de la pulsation ωco ⇒ amélioration de la rapidité Amplification en hautes fréquences (pour 4 > 1N) ⇒ élargissement de la BP du système en BF ⇒ sensibilité aux bruits Diminution de l'erreur permanente

Correcteur à " Avance de phase" 19

Fonction de Transfert du correcteur Le correcteur à Avance de phase est une forme approchée du correcteur PD qui est physiquement irréalisable

Réponse fréquentielle Introduction d'un déphasage positif d'où le nom de correcteur à avance de phase Avance de phase maximale (la cloche): SI @+,BST = DE< FGH ; @+,BST >0 SK

Pulsation correspondante: 45,BST = 1

S

1 + a. T. p C p = K7. 9:;< ∶ 9 > 1 1 + T. p

Correcteur PID 20

Fonctions de Transfert et structures du correcteur: 1 Forme parallèle: C p = K ! + + TL p T$ p

P I D

1 + T .p Forme série: C p = K ! . . (1 + TN . p ) T .p Forme mixte: C p = K ! . (1 +

Commande du système ( ) = *+ . [, ) +

1

V

0

PD I

+ TL p)

. - , . /. + TN

PI

P D /, ) ] /)

Correcteur PID (suite) 21

Réponse fréquentielle

Effets du correcteur Avance de phase en hautes fréquences Amplification en hautes fréquences Effet PD en hautes fréquences

Gain infini en basses fréquences Retard de phase en basses fréquences Effet PI en basses fréquences Fréquences moyennes : Peu d'influence du correcteur

Correcteur PID (fin) 22

PID réel : PID théorique filtré Le PID théorique a l'inconvénient du PD c.à.d. une amplification en hautes fréquences ⇒ sensibilité aux bruits. Solution: Introduire un filtre passe-bas en hautes fréquences

Fonction de transfert du correcteur filtré C p = K ! . (1 +

1 TN p + ) T$ p 1 + TN p W

En haute fréquence, le gain se stabilise en K ! (1+N )

Dimensionnement des PID: Méthode de Ziegler et Nichols (BF) Principe On ajuste le gain Kc pour amener le système à la limite de la stabilité : Kc = K0 et oscillations de période T0 Une table donne les coefficients du PID à partir de K0 et T0 D1% = 30 à 60 %, rapport d ’amplitude entre dépassements : 1/4 + Consign e

Kc

KG(p) Mesure

T0

1 PID mixte: C( p) = Kc (1 + + Td p) Ti p Kc = 0.6 K0

Kc = 0.33 K0

Ti = 0.5T0

Ti = 0.5T0

Td = 0.125T0

Td = 0.33T0

Réglage original

Réglage « léger dépassement »

Dimensionnement des PID: Méthode de Ziegler et Nichols (BF) 0.5 KG( p) = p(1 + p)(1 + 2 p)

Exemple

Oscillations limites en BF avec

Réponse indicielle

un correcteur P (Kc = 3)

du système corrigé en BF 1.6

2 1.8

1.4

1.6

1.2 1.2

Amplitude

Amplitude

1.4

1 0.8

1 0.8 0.6

0.6

0.4 0.4

0.2

0.2 0 0

10

20

30 40 Time (secs)

50

60

70

0 0

5

10

15

20 25 Time (secs)

30

35

40

Comparaison réglages Z. et N. 1.6 1.4

Réglage « léger dépassement »

Amplitude

1.2 1 0.8

Réglage original

0.6 0.4 0.2 0 0

10

20 30 Time (secs)

40

50

Généralisation des réglages Z. et N. 26

Dimensionnement des Correcteurs: Technique de compensation: Principe Les correcteurs PD, PID et à avance/retard de phase introduisent un ou deux zéros dans la chaîne directe Si on positionne le zéro à une valeur identique à un pôle réel, le zéro compense le pôle et la FT résultante est plus simple et plus rapide Permet de supprimer un (ou deux) pôle(s) lent

Dimensionnement des Correcteurs: Technique de compensation: Exemples 1er

ordre :

KG( p) =

K (1 + Tp)

Kc (1 + Ti p) ⇒ correcteur PI : C( p) = avecTi = T Ti p ⇒ KG( p) =

2ème

K Kc 1 1 ⇒ FT en BF: 1er ordre précis Ti p 1 + p Ti K Kc

ordre apériodique :

KG( p) =

K avecT2 > T1 (1+ T1 p)(1 + T2 p)

Kc (1 + Ti p)(T + Td p) ⇒ correcteur PID : C( p) = avecTi = T2 , Td = T1 Ti p ⇒ KG( p) =

K Kc 1 1 ⇒ FT en BF: 1er ordre précis Ti p 1+ p Ti K Kc

Exercices Exercice N°1: Un système de régulation de température est défini par sa fonction de transfert H(p) telle que : 5 X = 1 + (1 + 10 ) Le système est inséré dans une boucle à retour unitaire avec un correcteur de transmittance C(p) tel que: 1+ = *. [ 1. Donner l’expression de la fonction de transfert en boucle ouverte. 2. Déterminer les éléments du correcteur C(p) en adoptant la technique de compensation de telle manière à ce que le système bouclé présente un facteur d’amortissement z=0,7 Exercice N°2: La modélisation d’un système de régulation de niveau a permis d’obtenir la fonction de transfert G(p) suivante : G ( p) = p(1 + p0)(.51 + 2 p) Pour une bonne régulation, Nous effectuons une commande en boucle fermée avec un retour unitaire. On désire implanter un correcteur PID de fonction de transfert C(p) en utilisant la méthode de Ziegler-Nichols. Donner l’expression de C(p) dans le cas de l’application de cette méthode. 29

Dimensionnement des Correcteurs: Cas des Systèmes à Retard 30

Retard faible Le Retard est approximé à un premier ordre Conséquences:

• Introduction d’une phase négative < π/2 Dégradation de la stabilité

• Introduction d’un module inférieur à1 Dégradation de la précision mais amélioration de la stabilité

Conclusion:

• L’effet n’est pas très gênant

Dimensionnement des Correcteurs: Cas des Systèmes à Retard Retard Important: La présence du retard dans la boucle apporte une phase très négative avec un module unitaire le retard ne peut pas être supprimé

Solution :Prédicteur de Smith Trouver une structure de réglage qui permette de sortir « artificiellement » le retard de la boucle et donc de rendre le réglage du correcteur indépendant du retard : + -

C1(p)

KG(p)

e-τp

+ -

C2(p)

KG(p)

e-τp

Systèmes à Retard: Prédicteur de Smith En identifiant les 2 schémas, on trouve : C1 ( p) =

C2 ( p) 1 + C2 ( p)KG( p)(1 − e−τ p )

Exemple : 1er ordre retardé avec correcteur PI : KG( p) =

K K (1 + Ti p) , C2 ( p) = c , on prend: Ti = T 1 + Tp Ti p

C2 ( p) C1 ( p) = (1 − e−τ p ) 1 + C2 ( p)K 1 + Tp Réalisé avec un compensateur de temps mort (CTM)

C1(p) +

+ -

C2(p)

(1 − e−τ p ) K 1 + Tp

KG(p)

Conclusion: 1.Le régulateur de Smith est difficile à réaliser en analogique. Cependant la réalisation en numérique reste envisageable 2. Tout les régulateurs vus sont très limités quant à la robustesse des systèmes de commande.

Exemple: Régulation cascade d ’un MCC Boucle interne de courant avec correcteur de type PI Boucle externe de vitesse avec correcteur de type PI Correcteur vitesse

Correcteur courant

Convertisseu rV K0 V + a C2 ( p) 1 + Tt p −

Sécurités

Ωc +

C1 ( p)

−

Ωm

Vb

S ( p)

Ic + −

Cr

1 I R + Lp

kφ

kφ

Im Filtre

1 1 + Tf p

Capteur de vitesse

Moteur

Capteur de courant Ki

Celm −

+

1 Ω Kt Jp + f