08 - Analiza A A Seriilor de Timp [PDF]

Zitiervorschau

8

Analiza econometrică a seriilor de timp

8.1 Serii de timp – definire, clasificare, factori de influenţă, tipuri de modele de timp Seria cronologică reprezintă o formă de prezentare ordonată a datelor statistice în care se reflectă nivelul de manifestare a fenomenelor într-un anumit moment sau perioadă de timp. Altfel spus, seria cronologică reprezintă un şir de valori ale unui indicator economic sau de altă natură, observate în timp, oglindind procesul de schimbare şi dezvoltare a unei colectivităţi statistice în perioade succesive de timp. Forma generală a unei serii cronologice se poate prezenta astfel: 1 Y1

2 Y2

3 ………t ………T Y3…… Yt ……… YT

unde: t = momentul sau intervalul de timp ( t = 1, T ); yt = nivelul (exprimat prin date absolute sau relative) atins de fenomenul Y la momentul t. Seriile dinamice se împart în: - serii de stoc sau sau serii de momente (integrale), care caracterizează nivelul de dezvoltare a fenomenelor la anumite momente de timp. Caracteristica acestor serii este faptul că indicatorii prezentaţi nu pot fi însumaţi întrucât nivelul de la un moment dat cumulează nivelurile tuturor momentelor anterioare. Prin însumare, aceeaşi mărime ar fi luată în calcul

Analiza econometrică a seriilor de timp

de mai multe ori, ceea ce este lipsit de sens. Din această cauză, termenii acestor serii se mai numesc şi mărimi de stoc. - serii de intervale (diferenţiale), care reflectă evoluţia unui proces sau fenomen pe anumite perioade de timp. Nivelurile indicatorilor se pot evidenţia pe ani, luni sau alte fracţiuni de timp. Caracteristica seriilor de intervale o reprezintă posibilitatea de însumare a mărimilor succesive ale indicatorilor. Această caracteristică are o deosebită importanţă atât în formarea seriilor, în iteraţiile de optimizare a mărimii intervalelor de grupare, cât şi în analiza economică în vederea stabilirii rezultatelor pe intervale mari de timp. În literatura de specialitate aceste serii sunt numite de unii autori cumulative. Modelarea statistică a seriilor de timp se fundamentează pe acceptarea unor ipoteze privind evoluţia acestor serii, şi anume: - mişcarea în timp a unui fenomen social-economic este rezultatul acţiunii unui nunăr mare de factori care, chiar dacă în viitor unii dintre aceştia îşi vor modifica acţiunea pe o anumită perioadă de timp, influenţa lor nu va provoca perturbaţii bruşte şi semnificative asupra legităţii de evoluţie a fenomenului, acesta continuându-şi mişcarea sub impulsul efectului inerţial; - legea de mişcare a fenomenului în timp, tendinţa, nu poate fi cunoscută decât prin cercetarea trecutului şi prezentului fenomenelor socioeconomice, evoluţia lor fiind privită ca efect al unui sistem caracterizat printr-un ansamblu de relaţii care au o relativă stabilitate în timp. Ca atare, descrierea statistică a seriilor de timp porneşte de la analiza factorilor ce provoacă mişcarea acestora. În general, evoluţia unui fenomen este generată de acţiunea unor grupe de factori: - factorii esenţiali, cu acţiune de lungă durată, ce imprimă fenomenelor tendinţa de evoluţie a acestora; acţiunea acestor factori studiindu-se în funcţie de unităţile de timp pentru care a fost măsurat fenomenul analizat; - factorii sezonieri, cu acţiune pe perioade mai mici de un an, care determină abateri de la tendinţa fenomenului imprimată de factorii esenţiali;

Modele econometrice

- factorii ciclici, cu acţiune pe perioade mai mari de un an, ce imprimă o evoluţie oscilantă a fenomenului în cazul unor serii contruite pe perioade lungi de timp; - factorii întâmplători, (cu acţiune aleatoare), a căror acţiune se compensează dacă datele înregistrate se referă la un număr mare de perioade de timp. Pornind de la structura factorilor ce determină evoluţia unui fenomen, descrierea statistică a seriilor de timp se poate realiza cu ajutorul următoarelor modele: 1. Modele aditive yt = f(t) + s(t) + c(t) + u(t)

(8.1.1)

2. Modele multiplicative yt = f(t)⋅s(t)⋅c(t)⋅u(t)

(8.1.2)

unde: f(t) = componenta trend, efect al acţiunii factorilor esenţiali; s(t) = componenta sezonieră, efect al acţiunii factorilor sezonieri; c(t) = componenta ciclică, generată de acţiunea factorilor ciclici; u(t) = componenta reziduală, care exprimă influenţa factorilor întâmplători asupra evoluţiei fenomenului. Utilizarea unui anumit tip de model, aditiv sau multiplicativ, se face pe baza reprezentării grafice a fenomenului. Modelele aditive se utilizează în cazul în care cronograma seriei este de forma graficului din figura 8.1.1, adică seria prezintă oscilaţii de amplitudine constantă şi regulată faţă de tendinţă.

Analiza econometrică a seriilor de timp

yt f(t

0

t Figura 8.1.1

Modelul multiplicativ, relaţia (8.1.2), se transformă într-un model aditiv dacă se logaritmează ecuaţia. În timp ce într-un model aditiv componentele se exprimă în aceeaşi unitate de măsură cu ale fenomenului respectiv, în cazul modelului multiplicativ, componentele se exprimă procentual faţă de funcţia tendinţă f(t). Aceste modele se recomandă să fie utilizate dacă oscilaţiile fenomenului faţă de tendinţă se amplifică sau se diminuează odată cu creşterea numărului perioadelor de timp (Figura 8.1.2a) şi b)). yt

yt

f(t

0

f(t

t

0

a)

t b)

Figura 8.1.2

În particular, în funcţie de natura fenomenului studiat, modelele de mai sus pot fi : - modele cu o singură componentă sau modele staţionare:

y t = y +u (t

)

(8.1.3)

Modele econometrice

- modele cu două componente, trend şi variabilă reziduală: y t = f (t) + u (t)

(8.1.4)

- modele cu trei componente: trend, sezonalitate şi variabilă reziduală: y t = f (t) + s (t) + u (t) y t = f (t) ⋅ s (t) ⋅ u (t)

(8.1.5) (8.1.6)

- modelele cu patru componente, vezi relaţiile (8.1.1) şi (8.1.2), se utilizează mai rar, în cazuri speciale, deoarece necesită serii lungi de date, condiţie care impune probleme deosebite privind comparabilitatea termenilor, din punct de vedere al metodologiei de calcul şi unităţilor de evaluare ale fenomenelor. O serie de timp yt este staţionară dacă: -

M(yt) = y , t = 1, T (8.1.7) ⇒ media seriei nu depinde de timp;

-

D ( y t ) =σ

2 y

= ct ∀t = 1, n

(8.1.8) ⇒ dispersia seriei este

independentă de timp; -

(

)

Cov yt , yt +k = ct ∀t =1, n , k < n (8.1.9) ⇒ covarianţa seriei nu

depinde de timp. Definiţia de mai sus este de fapt definiţia staţionarităţii slabe. O serie de timp este deci staţionară dacă media, dispersia şi covarianţa sa rămân constante de-a lungul timpului. În cazul în care oricare din condiţiile de mai sus nu este satisfăcută, atunci seria de timp este nestaţionară. Dacă primele două condiţii de mai sus nu pot fi acceptate, dar

(

)

cov y t , y t + k = f ( k

)

∀ t = 1, n , k < n (8.1.10), unde f (k) reprezintă funcţia

de autocorelaţie de ordinul k, atunci poate fi acceptată ipoteza unei staţionarităţi slabe. În acest caz, modelul econometric de timp poate fi scris astfel: y t = y + u t ⇒u t = y t − y

(8.1.11)

Analiza econometrică a seriilor de timp

Acceptând că variabila aleatoare u t îndeplineşte ipotezele I2, I3, I4, respectiv ipoteza de homoscedasticitate, de independenţă a erorilor şi de normalitate a valorilor variabilei reziduale, estimarea lui yt se face pe baza unui interval de încredere:

{

[

P y t ∈ y ± t α ⋅s

y

]} = 1 - α

(8.1.12)

În cazul în care numărul de observaţii este mai mic decât 30, atunci valoarea lui t va fi preluată din tabela distribuţiei Student, iar, în caz contrar (n > 30), din tabela distribuţiei normale. Un astfel de model poate fi acceptat fie pe baza reprezentării grafice (cronograma – vezi figura 8.1.3), respectiv dacă distribuţia punctelor empirice poate fi aproximată cu o dreaptă paralelă cu axa Ox, atunci modelul este staţionar, fie utilizând diverse teste. yt

y t

0

Figura 8.1.3

Un alt procedeu constă în împărţirea seriei iniţiale ( t = 1, n ) în două subserii: - t = 1, n 1 ⇒ y 1 =

t = n 1 + 1, n n

2

= n − n1

⇒

y

2

=

(

1 1 n1 2 ∑ y t ; σy 1 = ∑ y −y1 n1 n 1 t =1 t 1 n2

∑

yt;

σ

2 y

2

=

1 n2

)2

n

∑ (y

t = n1 + 1

t

− y

2

)

(8.1.13)

2

(8.1.14)

Modele econometrice

După care se aplică testul diferenţelor între două medii care constă în verificarea următoarei inegalităţi: y

- dacă t c =

1

−y

2

σ σ 2y + n1 −1 n 2 −1 2 y1

≤t

α; v 1 ; v 2

(8.1.15) se acceptă ipoteza

2

staţionarităţii, în caz contrar, se respinge. În situaţia în care se doreşte verificarea stabilităţii dispersiilor se poate aplica testul Fisher–Snedecor pentru a vedea dacă dispersiile celor 2 2 două subserii σ y 1 , σ y 2 diferă semnificativ sau nu diferă:

- dacă F c =

σ 2y

1

σ 2y

2

≥F

α; v 1 ; v

2

(8.1.16) atunci cele două dispersii diferă

semnificativ, în caz contrar se acceptă ipoteza de stabilitate a acestora. Acest tip de model se utilizează în cazul consumurilor care ating un anumit prag de saturaţie, cum ar fi consumul de bunuri alimentare. Demn de reţinut este faptul că, în general, orice serie cronologică poate fi transformată într–o serie staţionară. Această posibilitate permite construirea de serii staţionare, operaţie ce reprezintă primul pas în construirea de modele autoregresive. În domeniul social-economic nu se prea întâlnesc serii staţionare, dar o serie de timp oarecare poate fi transformată într-o serie staţionară în urma calculării diferenţelor de un anumit ordin k.

Tabel 8.1.1 t

yt = a + b ⋅ t

∆1t

t −1

= y t − y t −1

Analiza econometrică a seriilor de timp 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a+b a+2b a+3b a+4b a+5b a+6b a+7b a+8b a+9b a + 10 b

b b b b b b b b b

Dacă diferenţele de ordinul 1 sunt aproximativ constante, o serie de timp oarecare poate fi ajustată (estimată) cu ajutorul unui model liniar, staţionar. Tabel 8.1.2 t

yt = a + b ⋅ t + c ⋅ t 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a + b +c a+2b+4c a+3b+9c a + 4 b + 16 c a + 5 b +25 c a + 6 b + 36 c a + 7 b + 49 c a + 8 b + 64 c a + 9 b + 81 c a + 10 b + 100 c

∆1t

t −1

= y t − y t −1

b+3c b+5c b+7c b+9c b + 11 c b + 13 c b + 15 c b + 17 c b + 19 c

∆2t t −1 = ∆1t

t −1

− y t −1

2c 2c 2c 2c 2c 2c 2c 2c

În cazul unui model neliniar se continuă calculul diferenţelor până când se obţine o serie staţionară. Dacă diferenţele de ordinul 2 sunt constante, atunci legea de evoluţie a fenomenului poate fi aproximată cu o parabolă. Ordinul diferenţei indică gradul polinomului: dacă diferenţele de ordinul 2 sunt constante, atunci polinomul este de gradul doi, dacă diferenţele de ordinul 3 sunt constante, atunci polinomul este de gradul 3 etc.

Modele econometrice

Alegerea unui anumit tip de model se face în funcţie de analiza statistică a structurii factorilor ce determină fenomenul respectiv şi de cronograma seriei de timp respective.

8.2 Modele econometrice de timp cu două componente: trend şi variabilă reziduală Descrierea statistică a legităţii de evoluţie a unui fenomen socialeconomic permite utilizarea modelului în scopuri explicative, de simulare sau de prognoză. Printre metodele de prognoză a fenomenelor socialeconomice, metoda extrapolării – fundamentată pe modelele econometrice de timp – ocupă un loc important datorită uşurinţei calculelor şi a prognozelor relativ exacte pe termen scurt şi mediu. Aplicarea unui model econometric de timp presupune parcurgerea următoarelor etape de lucru: a) identificarea funcţiei de ajustare; b) estimarea parametrilor modelului de ajustare; c) verificarea semnificaţiei modelului; d) estimarea valorilor viitoare ale fenomenului utilizând metoda extrapolării. a) Exprimarea matematică a modelului de ajustare se deduce din reprezentarea grafică a seriei dinamice. În funcţie de forma cronogramei se alege o anumită funcţie sau grup de funcţii, dacă graficul punctelor empirice nu poate fi asimilat cu graficul unei anumite funcţii matematice. Mulţimea funcţiilor care pot fi folosite în ajustarea seriilor cronologice este foarte largă. În general, aceste funcţii se împart în două categorii: - funcţii liniare: f(t) = a + bt - funcţii neliniare -

f (t ) = at b funcţie putere

- f ( t ) = ab t funcţie exponenţială - f (t ) = a 0 + a1t 1 + a 2 t 2 + ... + at polinom de grad n

Analiza econometrică a seriilor de timp

- f (t ) =

a funcţie logistică. 1+ e b−ct

Funcţiile de ajustare neliniare pot fi liniarizate prin logaritmare şi, din acest motiv, se va trata numai cazul liniar. b) Estimarea parametrilor modelului de ajustare Odată identificată ecuaţia componentei trend, f(t), urmează operaţia de determinare a parametrilor acesteia. Pot fi utilizate mai multe procedee, dar cele mai frecvent folosite sunt: - metoda punctelor empirice; - metoda celor mai mici pătrate. Estimarea parametrilor prin intermediul primului procedeu presupune alegerea arbitrară a unui număr de puncte de pe cronogramă, egal cu numărul parametrilor modelului. Prin introducerea valorilor coordonatelor acestor puncte în funcţia de ajustare se obţine un sistem de k ecuaţii cu k necunoscute (k = numărul parametrilor respectivi). Fie y fenomenul cercetat a cărui tendinţă este o parabolă de forma: y t = a + bt + ct 2

Fie M1(t1,y1), M2(t5,y5) şi M3(t7,y7) punctele empirice alese ca reprezentative pentru evoluţia fenomenului şi prin care va trebui să treacă parabola:

y 1 = a + bt 1 + ct 12 y 5 = a + bt 5 + ct 52 y 7 = a + bt 7 + ct 72 În urma rezolvării acestui sistem de ecuaţii se vor obţine valorile parametrilor a, b şi c după care, cu ajutorul funcţiei de ajustare, se vor calcula valorile teoretice ale fenomenului Y. Procedeul recomandat a fi utilizat atunci când funcţia de ajustare este folosită nu numai pentru descrierea evoluţiei fenomenului ci şi pentru efectuarea de previziuni este metoda celor mai mici pătrate.

Modele econometrice

Să admitem că funcţiile de ajustare pot fi liniare sau neliniare. Deoarece foarte multe funcţii neliniare pot fi transformate în funcţii liniare, metoda celor mai mici pătrate va fi prezentată numai pentru cazul liniar. Se admite deci că legea de evoluţie a fenomenului y în perioada t =1,T este y t = a + bt + u t , Yˆt = aˆ + bˆt reprezintă valorile teoritice ale

funcţiei trend, iar aˆ şi bˆ sunt estimatorii parametrilor modelului de ajustare. Rezultă că u = y −Yˆ - variabila reziduală. t

t

t

În mod curent, metoda celor mai mici pătrate constă în minimizarea funcţiei:

( )

(

F aˆ , bˆ = min ∑ y t − Yˆ t t

)2 = min ∑ (y t − aˆ − bˆt )2

(8.2.1)

t

Impunând condiţiile de minim se ajunge la următorul sistem de ecuaţii:

( )

⎧ ∂F aˆ , bˆ = 0 ⇒ T aˆ + bˆ ∑ t = ∑ y t ⎪ ⎪ ∂aˆ ⎨ ˆ ⎪ ∂F aˆ , b = 0 ⇒ aˆ ∑ t + bˆ ∑ t 2 = ∑ y ⋅ t t ⎪⎩ ∂bˆ

( )

(8.2.2)

Rezolvarea sistemului de ecuaţii va conduce la următoarele soluţii: aˆ = y − bˆt (8.2.3) şi bˆ =

∑ (t − t )( y − y ) ∑ (t − t ) t

2

(8.2.4)

sau ∑ y t ⋅t ′ (8.2.6) aˆ = y (8.2.5) şi bˆ = 2 ′ t ∑ dacă în sistemul de ecuaţii (8.2.2) variabila t (anii) se înlocuieşte cu valorile sale centrate: t ' = t − t .

Analiza econometrică a seriilor de timp

Odată calculaţi estimatorii parametrilor a şi b se va trece la determinarea valorilor ajustate ale tendinţei pe baza funcţiei de regresie: Yˆ = aˆ + bˆt . t

c) Verificarea semnificaţiei modelului şi d) estimarea estimarea valorilor viitoare ale fenomenului se va realiza după aceleaşi principii prezentate în cazul modelului unifactorial.

8.3 Modele econometrice de timp cu trei componente: trend, sezonalitate şi variabilă reziduală Acest tip de model se aplică atunci când seria de timp se construieşte pe subperioade anuale (luni, trimestre, semestre) şi pe mai mulţi ani. O astfel de serie se prezintă, de regulă, printr-un tabel de forma: Tabel 8.3.1 Ani

Subperioade

i = 1, n

j = 1, m

Total

1

…

j

…

m

1

y11

…

y1j

…

y1m

M

M

i

yi1

M

M

n

yn1

…

∑ yi1

…

y ⋅1

…

m

∑ y 1j

y1⋅

M

M

M

yim

∑ y ij

y i⋅

M

M

M

ynm

∑ y nj

y n⋅

M

j =1 m

…

yij

…

M

j =1 m

n

Total

unde:

…

∑ yij

…

y⋅ j

…

n

i =1

y ⋅j

ynj

∑y i =1

j =1 n

n

i =1

y i⋅

im

y ⋅m

m

∑ ∑ y ij

–

––

y0

i =1 j =1

Modele econometrice

yij = valorile empirice ale fenomenului înregistrat în subperioada j ( j = 1, m ) a anului i ( i = 1, n ); Dacă se notează cu t = j + m* (i - 1), atunci valorile empirice ale fenomenului se ordonează în timp după variabila yt, t = 1, n ⋅ m . n

-y ⋅j =

∑ y ij

i =1

n

(8.3.1) valorile medii ale subperioadei j;

m

∑ y ij

-y i⋅ =

j =1

m n

(8.3.2) valorile medii anuale ale seriei;

m

-y0 =

i =1 j = 1

nm

m

n

∑ ∑ y ij =

∑y i⋅

i =1

n

∑ y⋅j

=

j =1

m

(8.3.3) media generală a seriei.

Dacă poate fi acceptată existenţa celor trei componente- trend, sezonalitate şi variabilă aleatoare, atunci seria poate fi modelată cu ajutorul unui model de forma:

y t = f (t) + s (t) + u (t) sau y t = f (t) ⋅ s (t) ⋅ u (t) Structura modelului se poate decide utilizând două metode: metoda grafică şi metoda analizei variaţiei.

Analiza econometrică a seriilor de timp

Metoda grafică constă în construirea de curbe suprapuse, efectuate pe subperioade de timp j. y ij

0

1

2

m

j

Figura 8.3.1

Dacă reprezentarea grafică rezultă sub forma unor curbe suprapuse, crescătoare sau descrescătoare, având un punct de maxim sau de minim, se reţine ipoteza unui model cu trei componente - trend, sezonalitate şi variabilă aleatoare, iar dacă se prezintă sub forma unor curbe care se intersectează, aceasta denotă inexistenţa componentei trend, fenomenul fiind staţionar. Metoda analizei variaţiei se bazează pe descompunerea variaţiei globale a fenomenului yt pe cele trei componente: variaţia lui yt provocată de factorii esenţiali, de factorii sezonieri şi de factorii reziduali. Utilizarea metodei analizei variaţiei (dispersionale) porneşte de la definirea acestor variaţii cu ajutorul următoarelor relaţii:

(

∆2y = ∑ ∑ y ij − y 0 i j

)2 - variaţia totală a fenomenului y

(8.3.4)

∆2y / t = ∑ ∑ (y i ⋅ − y 0 )2 - variaţia lui y explicată de componenta i j

trend, efect al acţiunii factorilor esenţiali

(8.3.5)

Modele econometrice

(

∆2y / s = ∑ ∑ y ⋅ j − y 0 i j

)2 -

variaţia lui y explicată de componenta

sezonieră, efect al acţiunii factorilor sezonieri

(

∆2y / u = ∑ ∑ y ij − y i ⋅ − y ⋅ j + y 0 i j

(8.3.6)

)2 -

variaţia lui y generată de

acţiunea factorilor întâmplători (componenta reziduală)1

(8.3.7)

Se poate demonstra că între aceşti termeni există relaţia:

∆2y = ∆2y / t + ∆2y / s + ∆2y / u

(8.3.8)

Deoarece seria de timp pe baza căreia se urmăreşte descrierea econometrică a legităţii de evoluţie a fenomenului reprezintă doar un segment, doar o parte din evoluţia de lungă durată a acestuia, ea poate fi asimilată unui sondaj şi, ca atare, se impune verificarea semnificaţiei indicatorilor calculaţi pe perioada de timp analizată.

1

Se porneşte de la relaţia de egalitate:

(

) (

y ij − y 0 = (y i ⋅ − y 0 ) + y ⋅ j − y 0 + y ij − y i ⋅ − y ⋅ j + y 0

)

Prin ridicare la pătrat şi însumarea acestor relaţii se ajunge la: n

m

∑∑ ( y

n

ij

− y0

i =1 j =1 n

m

i =1 j =1

m

∑∑( y

+2

i⋅

n

m

∑∑ ( y

i⋅

(

m

n

i =1 j =1

m

n

i =1 j =1

(

m

∑y =∑y i⋅

j =1

m

i =1 j =1

n

m

⎛

n

⎞⎛

n

⎞

i =1

j =1

⎝

i =1

⎠⎝

i =1

⎠

) ∑ ( yi⋅ − y0 )∑ (y⋅ j − y0 ) = 2 ⎜⎜ ∑ ( yi⋅ − ny0 )⎟⎟⎜⎜ ∑ (y j − my0 )⎟⎟

− y 0 ) y⋅ j − y 0 = 2

n

i =1

n

) ∑∑(y⋅ j − y0 ) (yij − yi⋅ − y⋅ j + y0 ) + 2∑∑( yi⋅ − y0 ) (yij − yi⋅ − y⋅ j + y0 )

i =1 j =1

n ⋅ y0 =

m

i =1 j =1

− y0 ) y⋅ j − y0 + 2

i =1 j =1

2

n

)2 = ∑∑( yi⋅ − y0 )2 + ∑∑(y⋅ j − y0 )2 + ∑∑(yij − yi⋅ − y⋅ j + y0 )2 +

⋅j

Analiza econometrică a seriilor de timp

Testarea semnificaţiei rezultatelor obţinute se face cu ajutorul testului Fisher-Snedecor. Astfel, se poate demonstra că:

1 calc

F

=

∆2y / t

∆2y / u

(8.3.9) urmează o distribuţie Fisher: n − 1 (n − 1)(m − 1)

Snedecor de n-1 şi (n-1)(m-1) grade de libertate; 2 calc

F

=

∆2y / s

∆2y / u

: m − 1 (n − 1)(m − 1)

(8.3.10) urmează, de asemenea, o

distribuţie Fisher-Snedecor de m-1 şi (n-1)(m-1) grade de libertate. Alegându-se un prag de semnificaţie α = 0,05 sau α = 0,01, din tabela distribuţiei Fisher-Snedecor se preiau valoarile teoretice corespunzătoare celor două valori calculate. Dacă Fcalc > Ftab (8.3.11) se acceptă semnificaţia componentelor respective, adică specificarea modelului de ajustare se face cu ajutorul relaţiilor:

y t = f (t) + s (t) + u (t) sau y t = f (t) ⋅ s (t) ⋅ u (t) În general, în cazul unui model structurat pe trei componente, calculele statistice se efectuează în următoarea ordine: a) estimarea componentei sezoniere şi calculul seriei corectate de variaţii sezoniere (S.C.V.S.); b) estimarea componentei trend pe baza seriei desezonalizate şi a componentei reziduale; c) verificarea verosimilităţii modelului; d) utilizarea modelului (dacă este acceptat) la explicarea, simularea şi prognoza fenomenului analizat. a) Componenta sezonieră se poate exprima, fie sub formă relativă coeficienţii de sezonalitate, k j , fie sub formă absolută, s j .

Modele econometrice

Ca regulă generală, componenta sezonieră se calculează în raport cu tendinţa (componenta trend). În funcţie de modalităţile de exprimare a tendinţei, sezonalitatea se poate determina prin mai multe procedee,cum ar fi: a1) procedeul mediilor aritmetice; a2) procedeul mediilor eşalonate; a3) procedeul mediilor ciclice; a4) procedeul mediilor mobile; a5) procedeul tendinţei analitice. a1) Procedeul mediilor aritmetice Procedeul mediilor aritmetice constă în compararea valorilor empirice y ij cu mediile anuale y i ⋅ şi calculul mediilor aritmetice ale acestor valori pe subperioade. Astfel, sezonalitatea în valoare absolută, s j , rezultă din relaţia: n

sj = De

(

∑ y ij − y i ⋅

i =1

n

)

n

∑ y ij

= i =1 n

n

∑ y i⋅

− i =1 n

= y ⋅j − y 0

m

m

m

j =1

j =1

j =1

că: ∑ s j = ∑ y ⋅ j − ∑ y 0 = m * y o − m * y 0 = 0

reţinut

(8.3.13), respectîndu-se criteriul echivalenţei ariilor precum şi condiţia

(8.3.12)

∑u

t

∑ y = ∑ f (t ) , t

= 0.

Sezonalitatea în valoare relativă, k j , respectiv coeficienţii de sezonalitate, se calculează ca medii aritmetice simple, pe subperioadele j, din rapoartele valorilor empirice y ij faţă de mediile anuale y i ⋅ : n

∑

k

j

=

y ij

i =1 y i ⋅

n

=

1 n y ij * ∑ n i =1 y i ⋅

(8.3.14)

Analiza econometrică a seriilor de timp m

∑

n

kj =

j =1

1 * n i =1

m

yij

∑∑ y j =1

n

=

i⋅

1 1 * * n i =1 yi⋅

∑

n

m

∑

yij =

j =1

1 * n i =1

∑

m

1

*

m

∑y

ij

∑y

ij

j =1

=

m * n = m (8.3.15) n

j =1

m

Deci, în cazul modelului multiplicativ - yt = f (t ) ⋅ k t + u t , pentru care:

∑ u = 0 ⇒ ∑ y = ∑ f (t ) ∑ f (t ) = ∑ f (t ) ⋅ k ⇒ ∑ f (t )(k t

t

t

t

− 1) = 0

se pune condiţia ca: m

m

j =1

j =1

∑ k j −1 = 0 ⇒ ∑ k j = m Dacă în urma calculelor, din cauza rotunjirii cifrelor, cele două condiţii nu se verifică, acestea se corectează: m

∑ sj = a ≠ 0

s *j = s j −

m a ⇒ ∑ s *j = 0 m j =1

(8.3.16)

k *j = k j *

m m ⇒ ∑ k *j = m a j =1

(8.3.17)

j =1

m

∑k j = a ≠ m j =1

În general, în practică, sezonalitatea se exprimă prin intermediul coeficienţilor de sezonalitate k j , calculaţi pe baza mediilor aritmetice anuale y i ⋅ :

k ij = k

j

=

y ij y i⋅ 1 n * ∑k n i =1 ij

(8.3.18) (8.3.19)

(vezi tabelul 8.3.2, coloanele 5 şi 6). Dacă kj > 1 rezultă că se manifestă o sezonalitate puternică în subperioada j.

Modele econometrice

Acest procedeu de exprimare a sezonalităţii se foloseşte doar pentru a evidenţia intensitatea sezonalităţii datorită ipotezei restrictive pe care se fundamentează - tendinţă constantă pe subperioadele anului: f (t ) = f [ j + m * (i − 1)] = y i ⋅ , ∀j = 1, m

(8.3.20)

a2) Metoda mediilor eşalonate Acest procedeu se bazează pe estimarea valorilor tendinţei pe subperioadele j, j = 1, m pe cale grafică, pe baza mediilor anuale. Acestea se notează pe grafic pe locul pe care îl ocupă şi se unesc cu segmente de dreaptă. m

m

∑ y ij

j =1

Ex. y 1 =

m

∑ y ij

⇒yi =

j =1

m

Ordonatele punctelor care rezultă din intersecţia perpendicularelor ridicate din mijlocul subperioadelor cu aceste segmente de dreaptă reprezintă valorile tendinţei seriei - vezi figura 8.3.2. y

36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

y3

y1

0

1

2

y2

3

4

5

6

7

8

Figura 8.3.2

9

10

11

12

13

14 t

Analiza econometrică a seriilor de timp

Pe baza graficului din Figura 8.3.2 s-au estimat valorile tendinţei ( y t ) fenomenului y. Acestea măsoară însă nivelul fenomenului între subperioadele calendaristice - Y2 ,5 ; Y3,5 ; L ; Y10 ,5 - fapt ce impune centrarea acestor valori: Y3 =

1 (Y2,5 + Y3,5 ),..., Y10 = 1 (Y9,5 + Y10,5 ) . 2 2 Tabel 8.3.2

1

2

3

Per.(i) Subper. (j)

t = j + m(i − 1)

yt

yt

0 1 2 3

1 1 2 3

2 y11 y12 y13

3 -

4

4

y14

5

y21

2

6

y22

3

7

y23

4

8

y24

9

2 3 4

1

1

k ij =

yt yt

k

j

4 k13

5 k3

y 14 y 21 y 22 y 23

k14

k4

k21

k1

k22

k2

k23

k3

k24

k4

y31

y 24 y 31

k31

k1

10

y32

y 32

k32

k2

11 12

y33 y34

-

-

-

y 13

k *j 6

y t* =

1 yt k *j 7

Notă: i = 1,2,3 − ani − n = 3 ⎫ ⎬ ⇒ t = j + m(i − 1) j = 1,2,3,4 − trim − m == 4 ⎭

Y3.1 = Y3 + 4(1 − 1) = Y3 Pe baza coeficienţilor provizorii de sezonalitate k ij se calculează

( j ) ca medii aritmetice simple ale acestora:

coeficienţii de sezonalitate k n

∑ k ij

k

j

= i =1 n

Modele econometrice

m

Dacă ∑ k j =1

j

= a ≠ m se corectează aceşti coeficienţi: k ∗j = k j ⋅

m . a

Calculul seriei corectate de variaţii sezoniere se face prin raportarea valorilor empirice ale fenomenului y t la coeficienţii de sezonalitate k ∗j (vezi tabelul 8.3.2, coloana 7). a3) Metoda mediilor ciclice Fie n = 3, m = 4. Acest procedeu se bazează pe exprimarea valorilor tendinţei tot pe cale grafică.

yt

1

2

t

3 Figura 8.3.3

Se reprezintă grafic seria şi se unesc punctele de maxim cu segmente de dreaptă şi punctele de minim tot cu segmente de dreaptă. Se prelungesc perpendicularele ridicate din mijlocul subperioadelor până întâlnesc aceste segmente. Se marchează mijlocul distanţei dintre punctele de minim (respectiv de maxim) şi aceste segmente de dreaptă. Ordonatele punctelor care rezultă din intersecţia perpendicularelor ridicate din mijlocul subperioadelor cu segmentele de dreaptă care unesc mijloacele determinate

Analiza econometrică a seriilor de timp

mai sus reprezintă valorile tendinţei seriei yt (vezi figura 8.3.3). Şi în acest caz se completează acelaşi tabel ca la metoda mediilor eşalonate. În comparaţie cu alte metode de estimare a componentei sezoniere, metoda mediilor eşalonate şi metoda mediilor ciclice oferă o informaţie suplimentară, respectiv permit specificarea pe cale grafică a funcţiilor analitice cu care se poate descrie tendinţa seriei cronologice respective. a4) Metoda mediilor mobile Tabel 8.3.3 Per.(i) 0

1

Subper. (j)

y t = y ij

y ij

y ij

k ij

1 I

2 y11

3

4

5

II

y12

y 2,5 III

y3

y13

y 3, 5 IV

y14

I

y21

II

y22

III

y23

IV

y24

I

y31

II

y32

III

y33

IV

y34

2

3

y4

k 6

j

k *j 7

yt* =

1 yij k *j 8

Modele econometrice

Mediile mobile sunt medii aritmetice simple, calculate dintr-un anumit număr de termeni. Numărul de termeni din care se calculează o medie mobilă se deduce din cronograma funcţiei, el fiind egal cu numărul subperioadelor dintre două puncte de minim sau două puncte de maxim. În general, numărul termenilor din care se calculează mediile mobile este egal cu numărul subperioadelor anuale, respectiv m. De cele mai multe ori m este un număr par: 12 luni, 4 trimestre, 2 semestre. În cazul în care mediile mobile se calculează dintr-un număr par de termeni (m = 4 ) se parcurg următoarele etape: -

calculul mediilor mobile provizorii y 2 ,5 = y 1.2 ,5 =

y1 + y 2 + y 3 + y4 4

y 3 ,5 = y 1.3 ,5 =

y2 + y3 + y4 + y5 4

Deoarece aceste medii nu cuantifică nivelul fenomenului pentru o anumită perioadă de timp este necesară operaţia de centrare în vederea

( )

calculării mediilor mobile definitive y , care centrează mediile provizorii pe perioadele de timp ale seriei - pe trimestrele anilor:

y 1.2 ,5 + y 1.3,5 2

y 3 = y 1.3 = y 4 = y 1.4 =

y1.3,5 + y1.4,5 2

( )

Coeficienţii provizorii de sezonalitate k ij între valorile reale ajutorul relaţiei:

k ij =

y ij y ij

(y ) ij

se calculează ca raport

( )

şi valorile mediilor mobile definitive y ij

cu

Analiza econometrică a seriilor de timp

Deoarece aceşti coeficienţi de sezonalitate au valori diferite de la un an la altul pentru acelaşi trimestru, coeficienţii de sezonalitate calculează ca medii aritmetice simple din coeficienţii provizorii

(k ) (k ) j

se

ij

pe

trimestre. m

kj =

∑k

ij

j =1

m

Acest lucru este necesar deoarece se consideră că sezonalitatea este rigidă şi deci constantă pe subperioade de timp. Cei patru coeficienţi de sezonalitate trebuie să respecte egalitatea: m

∑k

j =1

j

=m .

Datorită aproximărilor în plus, condiţia nu este respectată şi, ca atare, coeficienţii k j vor trebui corectaţi. Corectarea constă în: m

∑ k j = a ≠ m ⇒ k *j = k j * j =1

m m ⇒ ∑ k *j = m . a j =1

Valorile desezonalizate y t∗ sau seria corectată de variaţii sezoniere se calculează cu relaţia:

y t∗ =

1

k

∗ j

y ij =

n ⋅m

n ⋅m

t =1

t =1

1

k ∗j

yt

* ∑ y t = ∑ y t (principiul echivalenţei ariilor)

(8.3.21)

(8.3.22)

a5 ) Metoda tendinţei analitice Acest procedeu constă în estimarea valorilor tendinţei fenomenului cu ajutorul unei funcţii de ajustare, specificată pentru valorile reale ale fenomenului y ij , după care se vor calcula coeficienţii de sezonalitate k j după aceleaşi principii ca şi în cazurile precedente.

Modele econometrice

Aplicarea acestui procedeu constă în efectuarea următoarelor operaţii: 1. Specificarea funcţiei de ajustare Pe baza graficului din figura 8.3.1 se presupune că evoluţia fenomenului poate fi descrisă cu ajutorul unei funcţii liniare y t = a + bt . 2. Estimarea parametrilor funcţiei de ajustare se face pe baza aplicării metodei celor mai mici pătrate (M.C.M.M.P.)

( )

T

(

F aˆ , bˆ = min ∑ y t − Yˆ t t =1

( ) = 0 ⇒ Ta$ + b$

∂F a$ , b$ ∂a$

)2 = min T∑ (y t − aˆ − bˆt )2

∑t = ∑y

t =1

t

( )

∂F aˆ , bˆ = 0 ⇒ aˆ ∑ t + bˆ ∑ t 2 = ∑ y t ⋅ t ∂bˆ 3. Calculul valorilor ajustate ale seriei:

Yˆt = aˆ + bˆ ⋅ t 4. Calculul coeficienţilor provizorii de sezonalitate: k ij =

y ij y t = Yˆ ij Yˆ t

5. Calculul coeficienţilor de sezonalitate k j - a componentei sezoniere sub formă relativă: n

∑ k ij

k

j

= i =1 n

Analiza econometrică a seriilor de timp

6. Calculul valorilor desezonalizate, y t∗ , sau seria C.V.S. se calculează cu relaţia: y t∗ =

1

k ∗j

yt

Componenta sezonieră, precum şi valorile seriei de timp C.V.S. se pot calcula şi pe baza sezonalităţii, sj, exprimată în valori absolute. Se calculează sezonalităţile, sj, ca medie aritmetică a diferenţelor (yij - y i ) pe fiecare an: n

(

∑ y

s

j

=

i =1

ij

−y

i

)

n m

Dacă: ∑ s j = 0 , se păstrează aceste valori. j =1

m

Dacă ∑ s j = a ≠ 0 se corectează sj astfel: j =1

s *j = s j −

m a ⇒ ∑ s *j = 0 m j =1

În acest caz , seria desezonalizată se determină cu ajutorul relaţiei: y *ij = y ij − s *j

b) Funcţia de ajustare privind tendinţa fenomenului se deduce pe baza valorilor C.V.S., adică a seriei de timp corectată de variaţiile sezoniere, denumită şi serie desezonalizată. În cazul în care componenta sezonieră se estimează pe baza funcţiei de tendinţă, anumiţi autori nu mai recomandă specificarea trendului pe baza valorilor C.V.S., ea fiind estimată prin modelul iniţial. c) Verificarea verosimilităţii modelului se realizeză în acelaşi mod ca şi în cazul modelului unifactorial.

Modele econometrice

d) După estimarea celor trei componente, modelul econometric poate fi utilizat la estimarea valorilor viitoare ale fenomenului. Dacă h = 1, l , unde l este orizontul de prognoză, valoarea reală a fenomenului în perioada t+h va fi:

y t + h = s j + Yˆ t + h + u t + h

(8.3.23)

unde cele trei componente sunt estimate prin:

Yˆt + h = aˆ + bˆ ⋅ (t + h)

(8.3.24)

L(uˆ ) = N (0, suˆ ) , de unde se deduce că:

(

P y t + h ∈ ( s j + Yˆ t + h ± t α sYˆ sau

(

[ ⋅ (Yˆ

P yt+ h ∈ k

j

t+h

t +h

)

) =1− α

± t α ⋅ s Yˆ

t+ h

(8.3.25)

)] ) = 1 − α

(8.3.26)

adică valoarea reală a fenomenului este estimată printr-un interval de încredere, având pragul de semnificaţie egal cu α.

8.4 Modele particulare privind descrierea econometrică a seriilor de timp Alături de modelele generale prezentate, modelarea seriilor de timp se poate face şi cu ajutorul unor metode particulare, a căror utilizare se fundamentează pe anumite restricţii pe care trebuie să le îndeplinească seriile de timp. În acest sens, demne de menţionat sunt: 8.4.1 Funcţia logistică; 8.4.2 Metoda Buys-Ballot; 8.4.3 Metode de nivelare (lissage).

Analiza econometrică a seriilor de timp

8.4.1 Funcţia logistică Descrierea evoluţiei fenomenelor economice cu ajutorul unei funcţii exponenţiale nu se poate face decât în scopuri explicative – pe perioade mici de timp – şi nu în scopuri prospective. Această limitare este determinată de faptul că, la un moment dat, funcţia exponenţială tinde rapid, către infinit, proprietate care nu este specifică fenomenelor social-economice. În cazul acesteia, o serie de restricţii tehnologice, economice şi sociale determină ca, după o creştere accelerată, să urmeze o diminuare şi apoi o stabilizare a nivelului fenomenului. Dacă B0 este pragul de saturaţie al fenomenului yt , t = 1, T , atunci

y t ∈ [ 0 , B 0 ] , iar când y t → B0 , dy → 0 , adică valoarea seriei de timp se dt stabilizează. Funcţia care posedă aceste proprietăţi are derivata de forma: dy = K ⋅ yt dt

⎛ B − yt ⋅ ⎜⎜ 0 ⎝ B0

⎞ ⎟⎟ ⎠

(8.4.1)

Ecuaţia arată că, pentru valori mici ale variabilei yt, creşterea fenomenului este aproximativ liniară, iar pentru valori mari, y t → B0 , dy → 0. dt Relaţia (8.4.1) se mai poate scrie:

creşterea tinde la zero

dy k = Ky t (B0 − y t ) dacă =k dt B0

∫

dy t yt 1 ln = ∫ Kdt ⇒ = K ⋅t + C 0 ⇒ y t (B 0 − y t ) B0 B0 − y t

Modele econometrice

ln

yt = B 0 ⋅ K ⋅ t + B 0 ⋅ C 0 , B0 > 0 , B0 − y t > 0 , B0 − y t

C 0 = const . Sub formă exponenţială, funcţia de mai sus devine: yt = e B 0 ⋅K ⋅t + B 0 ⋅C 0 = e B 0 ⋅K ⋅t ⋅ e B 0 ⋅ C 0 B0 − y t

Se

yt =

înlocuieşte

e B 0 ⋅C 0 = C 1 ⇒

yt = C 1e B 0 ⋅K ⋅t ⇒ B0 − y t

B0

(8.4.2)

1 ⋅ e − B 0 ⋅K ⋅t 1+ C1 Dacă în relaţia (8.4.3) se introduc notaţiile: B1 =

B0 1 , B2 = B0 K ⇒ y t = C1 1 + B 1 ⋅ e − B 2 ⋅t

(8.4.4)

Relaţia (8.4.4) este cunoscută sub numele de funcţia logistică sau funcţia Verhulst-Pearl. Din relaţia (8.4.1) se observă că ritmul de creştere a funcţiei este K ⋅ y t ⋅ (B 0 − y t ) . Pentru a determina maximul se anulează derivata: d [K ⋅ y t ⋅ (B 0 − y t dy t

)] = K ⋅ (B 0 − y t ) = K ⋅ (B 0 − 2 y t ) = 0 ⇒ y t

Ritmul maxim de creştere va fi atins pentru y = punctul de inflexiune al funcţiei.

=

B0 2

B0 , care reprezintă 2

Analiza econometrică a seriilor de timp

Abscisa acestui punct este:

B0 B0 ln B 1 = ⇒t = 2 B2 1 + B 1e − B 2t Funcţia logistică se poate prezenta sub două forme: B0 (8.4.5), fiind simetrică faţă de punctul de a) y t = 1 + B1e − B 2t

⎛ ln B1 B0 , inflexiune M ⎜⎜ ⎝ B2 2

⎞ ⎟⎟ ; ⎠

b) notând cu: B 1 = e A ⇒ y t =

B0 1+e

A − B 2 ⋅t

(8.4.6), punctul M

⎛ A B ⎞ având coordonatele ⎜⎜ , 0 ⎟⎟ . ⎝ B2 2 ⎠

yt B0

B0 2

ln B1 B2

t

Figura 8.4.1

Deoarece estimarea parametrilor funcţiei logistice cu ajutorul metodei celor mai mici pătrate conduce la calcule foarte complicate, de regulă, estimarea parametrilor se face prin metoda punctelor medii. Această metodă presupune ca seria de timp să fie împărţită în trei părţi egale, pentru

Modele econometrice

fiecare dintre acestea calculându-se valorile medii (mediane) ale celor două variabile. Se obţin astfel trei puncte medii: M 1 (t1 , y1 ) , M 2 (t 2 , y 2 ) şi M 3 (t 3 , y3 ) . Aceste valori se introduc în ecuaţia (8.4.4), obţinându-se cele trei ecuaţii din care se vor calcula estimatorii: Bˆ , Bˆ , Bˆ . 0

1

2

Un alt procedeu de estimare a parametrilor se foloseşte atunci când se precizează nivelul de saturaţie a fenomenului yt, respectiv valoarea lui B0. În acest caz, se efectuează următoarele calcule: - relaţia (8.4.5) se mai poate scrie: B0 − 1 = B 1e − B 2 ⋅t yt

-

B se notează cu: x t = 0 − 1 ⇒ x t = B 1e − B 2 ⋅t yt

ln x t = − B 2t + ln B 1 -

(8.4.7)

(8.4.8)

(8.4.9)

se aplică metoda celor mai mici pătrate, care presupune minimizarea funcţiei: T

min ∑ (ln x t − ln B 1 + B 2t )2 t =1

(8.4.10)

- în final se calculează t, adică numărul de perioade necesare evoluţiei fenomenului y pentru a atinge pragul de saturaţie B0, sau valoarea prognozată a fenomenului. Această ultimă tehnică de prognoză este frecvent folosită în previziunea fenomenelor economice care, într-o perioadă iniţială, au o evoluţie exponenţială, dar, pe o perioadă lungă de timp, au o tendinţă logistică.

Analiza econometrică a seriilor de timp

8.4.2 Metoda Buys-Ballot Această metodă poate fi aplicată dacă seria cronologică îndeplineşte următoarele condiţii: - tendinţă liniară: Yt = a + bt ; - sezonalitate constantă: s j = s t = ct. unde: t = j + m(i − 1) ; j = 1, m –numărul subperioadelor (luni, trimestre); i = 1, n – numărul perioadelor (ani);

sj – coeficienţii de sezonalitate ai subperioadei j; st = sj,i – coeficienţii de sezonalitate ai subperioadei j în perioadele i. Aceste ipoteze de lucru implică utilizarea unui model aditiv de descompunere a seriei cronologice: y ij = y t = bt + a + s j + u t

(8.4.11)

y ij = y t = bt + a j + u t

(8.4.12)

sau

unde: a j = a + s j

(8.4.13) m

Ştiind

că:

m

∑ a j = ∑ (a + s j ) = m ⋅ a j =1

j =1

m

şi,

deoarece

∑s j =1

j

=0

(principiul conservării ariilor), rezultă că:

a=

1 m ∑aj m j =1

1 m sj = aj − a = aj − ∑aj m j =1

(8.4.14)

(8.4.15)

Modele econometrice

Înlocuind în modelul (8.4.12) pe t = j + m (i - 1), prin aplicarea metodei celor mai mici pătrate, se estimează parametrii b şi aj cu ajutorul cărora se vor calcula coeficienţii de sezonalitate, sj, şi valoarea termenului “a”, formulele lor de calcul fiind următoarele: n

∑i ⋅ y i⋅ −

bˆ = i =1

aˆ = y 0 −

(

n ⋅ (n + 1) ⋅ y 0 2

)

(8.4.16)

n ⋅ n2 −1 m ⋅n +1 ˆ b 2

⎛ sˆ j = y ⋅ j − y 0 − ⎜ j − ⎝

(8.4.17)

m + 1⎞ ˆ ⎟ ⋅b 2 ⎠

(8.4.18)

Parametrii relaţiei (8.4.11) fiind estimaţi, prognoza fenomenului y în orizontul de prognoză (T,T +Q) are la bază următoarea relaţie: Yˆ = bˆ ⋅ [ j + m ⋅ (i + h − 1)] + aˆ + sˆ (8.4.19) T +h

j

unde: h = 1, Q – perioada de prognoză.

8.4.3 Metode de nivelare (lissage) a seriilor de timp Aceste metode pornesc de la premisa că variabilele seriilor cronologice sunt rezultatul unui proces autoregresiv:

y t = a1 y t −1 + a 2 y t − 2 + ... + a h y t − h + u t

(8.4.20)

Deşi, teoretic, un proces autoregresiv poate fi de ordinul 1,2,…,h, în practică, de regulă, se lucrează cu un proces autoregresiv de ordinul 1:

yt = ayt −1 + u t

(8.4.21)

Analiza econometrică a seriilor de timp

Un proces autoregresiv de ordinul 1 poate fi stabil şi staţionar. Astfel, dacă: - |a| < 1 ⇒ proces autoregresiv stabil; - |a| = 1 ⇒ puţin utilizat şi studiat, nu a fost încă denumit; - |a| > 1 ⇒ proces autoregresiv exploziv, specific fenomenelor în expansiune. Un proces autoregresiv este staţionar dacă toate momentele variabilei yt, t = 1, n , sunt independente de timp:

M ( y t ) = M ( yt −1 ) = ... = M ( y t − h ), (∀)h < t M ( y t ) 2 = M ( y t −1 ) 2 = ... = M ( y t − h ) 2

Metodele de nivelare cele mai utilizate sunt mediile mobile şi nivelarea exponenţială. Aceste metode, la rândul lor, se definesc în funcţie de numărul operaţiilor: - ordinul 1 ⇒ nivelare simplă; - ordinul 2 ⇒ nivelare dublă; - ordinul 3 ⇒ nivelare triplă.

8.4.3.1 Nivelarea seriilor de timp cu ajutorul metodei mediilor mobile de ordinul întâi – nivelare simplă Această metodă presupune că termenul Y t1+1 rezultă ca medie aritmetică simplă a m termeni precedenţi yt-k, t = 1, n , k = 0, m , respectiv că termenii seriei ajustate se calculează cu ajutorul relaţiei:

Y t1+1 =

y t + y t −1 + ... + y t −( m −1) m

=

1 m −1 ∑y m k =0 t − k

unde: m = numărul de termeni din care se calculează mediile mobile; n = numărul periodelor observate.

(8.4.22)

Modele econometrice

Metoda mediilor mobile de ordinul 1 permite obţinerea de estimatori nedeplasaţi dacă seria de timp este staţionară. Astfel, dacă:

y t = β0 + ut

(8.4.23)

M (u t ) = 0 M ( u t ) 2 = s u2 = ct .

cov( y t , y t −1 ) = cov( y t , y t − k )∀t = 1, n, k = 1, m Media estimaţiilor valorilor teoretice este: ⎛ 1 m−1 ⎞ ⎡ 1 m−1 ⎤ M Yt1+1 = M⎜ yt −k ⎟ = M ⎢ β0 + ut −k )⎥ = ( ⎜m ⎟ ⎝ k =0 ⎠ ⎣⎢ m k =0 ⎦⎥ 1 m = [β0 + M(ut ) + β0 + M(ut −1) + ... + β0 + M(ut −m−1)] = β0 = β0 m m

( )

∑

∑

(8.4.24)

Dacă seria de timp empirică prezintă o tendinţă de formă liniară, de exemplu, această metodă provoacă o eroare sistematică (valorile teoretice vor fi subestimate faţă de cele empirice), estimaţiile Yt+11 fiind astfel distorsionate. Deci, dacă y t = β 0 + β1t + u t , media estimaţiilor acestor valori va fi:

⎞ ⎛ 1 m −1 M ( Y t1+1 ) = M ⎜ ∑ y t −k ⎟ = M ⎠ ⎝ m k =0

⎧ 1 m −1 ⎫ ∑ [β 0 + β1 (t − k ) + u t ]⎬ ⎨ ⎩ m k =0 ⎭

1 [m β 0 + m β1 t − β1 (1 + 2 + ... + m − 1)] = m (m − 1)m 1 = β 0 + β1t − β1 m 2 m −1 = β 0 + β1t − β1 2 =

(8.4.25

Analiza econometrică a seriilor de timp

Dacă estimatorii β0 şi β1 sunt nedeplasaţi (obţinuţi prin metoda celor mai mici pătrate), ajustarea seriei de timp cu ajtorul metodei mediilor mobile de ordinul 1 trebuie să se facă cu ajutorul relaţiei: Y t1+1 = β 0 + β1t −

m −1 β1 2

(8.4.26)

8.4.3.2 Nivelarea seriilor de timp cu ajutorul metodei mediilor mobile de ordinul doi – nivelare dublă Lissage-ul (nivelarea) unei serii de timp cu ajutorul mediilor mobile de ordinul doi (nivelare dublă) constă în a calcula alte medii mobile (Yt2) din mediile mobile de ordinul unu (Yt1) utilizând acelaşi număr de termeni - m ca şi în cazul nivelării simple. Relaţia de calcul a termenilor seriei nivelată cu ajutorul mediilor mobile de ordinul doi este:

Y t 2+1 =

1 m −1 1 1 m −1 1 m −1 ∑ Y t −k = ∑ ∑y m k =0 m k =0 m l =0 t − k −l

(8.4.27)

Se poate demonstra că între metoda de nivelare a seriilor de timp cu ajutorul mediilor mobile de ordinul doi şi situaţia în care seria cronologică prezintă o tendinţă liniară, de exemplu, există o corespondenţă.

Modele econometrice

Fie yt = β0 +β1·t +ut , atunci media termenilor relaţiei (8.4.27) va fi:în cazul nivelării cu ajutorul metodei mediilor mobile de ordinul doi: ⎛ 1 m =1m −1 ⎞ M (Y t 2+ 1 ) = M ⎜⎜ y t − k − l ⎟⎟ = ∑ ∑ ⎝m 2 k =0 l =0 ⎠ ⎛ 1 m =1m −1 ⎞ = M ⎜⎜ ∑ ∑ ( β + β 1 (t − k − l ) + u t − k − l ) ⎟⎟ = 2 k =0 l =0 0 ⎝m ⎠ m − m − 1 1 1 ⎡ 2 ⎛ ⎞⎤ m β 0 + m 2 β 1t − m β 1 ⎜ ∑ k + ∑ l ⎟⎥ = = ⎢ l = 0 ⎠⎦ ⎝k =0 m2 ⎣ ( m − 1) m ⎞ 1 ⎛ ( m − 1) m ⎟⎟ = β 0 + β 1t − + β 1 ⎜⎜ 2 2 m ⎝ ⎠ Deci:

M (Y t 2+1 ) = β 0 + β 1t − β 1 ( m − 1)

(8.4.28)

Comparând relaţiile (8.4.25) şi (8.4.27) rezultă că: M (Yt1+1 ) − M (Yt 2+1 ) = β 0 + β1t −

m −1 m −1 β1 − β 0 − β1t + β1 (m − 1) = β1 (8.4.29) 2 2

De unde rezultă că:

)

(8.4.30)

2M (Y t 1+1 ) − M (Y t 2+1 ) = β 0 + β 1t

(8.4.31)

β1 =

(

2 M (Y t 1+1 ) − M (Y t 2+1 ) m −1

relaţie care, dacă se plasează originea în t = 0, devine:

β 0 = 2M (Y t 1+1 ) − M (Y t 2+1 )

(8.4.32)

Analiza econometrică a seriilor de timp

În cazul în care seria prezintă o tendinţă liniară, parametrii acestui model vor trebui estimaţi pe baza valorilor ajustate cu mediile mobile de ordinul unu şi doi cu ajutorul relaţiilor:

β 0t +1 = 2Y t 1+1 −Y t 2+1 β 1t +1 =

(8.4.33)

2 (Y 1 − Y t 2+1 ) m − 1 t +1

(8.4.34)

Previziunea fenomenului se va determina cu ajutorul relaţiei:

(

)

Y t +1 = β ot +1 + β 11t +1 ⋅ t = 2Y t 1+1 − Y t 2+1 +

(

)

2 Y t 1+1 − Y t 2+1 ⋅ t (8.4.35) m −1

sau, generalizând, rezultă că: Y t + h = β 0t + h + β 1t + h ⋅ h

(8.4.36)

Inconvenientul major al acestei metode în domeniul prognozei constă în construirea unei serii de timp cu lungimea de cel puţin (2m - 1) perioade. Acest neajuns este eliminat de metoda nivelării exponenţiale, care nu necesită decât cunoaşterea a două sau trei valori ale fenomenului yt.

8.4.3.3 Metoda nivelării exponenţiale simple Se poate aplica în cazul în care seria cronologică a fenomenului studiat nu prezintă oscilaţii sezoniere şi este de tendinţă nulă (serie staţionară). Metoda nivelării exponenţiale simple se bazează pe următorul model de prognoză: Y ( t ,t +1 ) = αy t + (1 − α )Y t = Y t + α(y t − Y t

)

(8.4.37)

Modele econometrice

unde: Y(t,t+1) = valoarea previzionată a fenomenului y efectuată în momentul “t” pentru momentul “t+1”; yt = valoarea reală (empirică) a fenomenului y în momentul “t”; yt-Yt = eroarea de previziune din momentul “t”; α = constanta de nivelare (lisaj): 0< α