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German Pages 159 Year 1999
Lehrstuhl fu ¨r Statik der Technischen Universit¨ at Mu ¨nchen
Zur nichtlinearen adaptiven Finite–Element–Analyse von Stahlbetonscheiben
Johann M. Pravida
Vollst¨andiger Abdruck der von der Fakult¨at f¨ ur Bauingenieur– und Vermessungswesen der Technischen Universit¨ at M¨ unchen zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktor–Ingenieurs genehmigten Dissertation. Vorsitzender:
Univ.–Prof. Dr. rer. nat. E. Rank
Pr¨ ufer der Dissertation: 1. Univ.–Prof. Dr.–Ing. W. Wunderlich 2. Univ.–Prof. Dr.–Ing. K. Zilch
Die Dissertation wurde am 14. Januar 1999 bei der Technischen Universit¨at M¨ unchen eingereicht und durch die Fakult¨ at f¨ ur Bauingenieur– und Vermessungswesen am 19. Juli 1999 angenommen.
I Zur nichtlinearen adaptiven Finite–Element–Analyse von Stahlbetonscheiben Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit wird ein Verfahren zur physikalisch nichtlinearen Berechnung von Stahlbetonscheiben mit Hilfe der adaptiven Finite–Element–Methode vorgestellt. Das entwickelte Werkstoffmodell ist elasto–plastisch formuliert. Dabei ist die Fließfl¨ache f¨ ur den unbewehrten Beton aus verschiedenen Teilkriterien so zusammengesetzt, daß sich stetig differenzierba¨ re Uberg¨ ange im Spannungsraum ergeben. Mit Hilfe von Fehlerindikatoren, die speziell auf das Materialmodell abgestimmt sind, wird die inkrementelle Lastaufbringung und die adaptive Netzverfeinerung automatisch gesteuert. Verschiedene Berechnungsbeispiele demonstrieren die Leistungsf¨ahigkeit des Algorithmus.
Non–linear Adaptive Finite Element Analysis of Reinforced Concrete Panels Summary This doctoral thesis presents a physically non–linear adaptive Finite Element Method which enables the analysis of reinforced concrete panels in a state of plane stress. The material model is an elastic–plastic one. The yield surface which is related to plain concrete consists of different yield criteria. A special method of composing the different criteria provides unique derivatives of the yield function with respect to the stress vector in any point of the yield surface. The application of special error indicators, which are adjusted to the present material model, enable an automatic control of the size of the incremental load steps and an automatic adaptive mesh refinement. Various numerical examples demonstrate the efficiency of the model.
II Die vorliegende Arbeit entstand w¨ ahrend meiner sechsj¨ahrigen T¨atigkeit als wissenschaftlicher Assistent am Lehrstuhl f¨ ur Statik der Technischen Universit¨at M¨ unchen. Mein besonderer Dank gilt Herrn Univ.–Prof. Dr.–Ing. W. Wunderlich f¨ ur die wohlwollende F¨orderung und Unterst¨ utzung meiner Forschungst¨atigkeit. Die umgehende und gr¨ undliche Durchsicht der Arbeit in seiner Eigenschaft als erster Pr¨ ufer m¨ochte ich in diesem Zusammenhang besonders hervorheben. Herrn Univ.–Prof. Dr.–Ing. K. Zilch danke ich f¨ ur sein lebhaftes Interesse und die des Koreferats, ebenso Herrn Univ.–Prof. Dr. rer. nat. E. Rank f¨ ur die bereitwillige der Leitung der Pr¨ ufungskommission.
¨ Ubernahme ¨ Ubernahme
An dieser Stelle m¨ ochte ich auch meinen Kollegen am Lehrstuhl f¨ ur Statik f¨ ur die stets freundschaftliche und harmonische Zusammenarbeit danken. Insbesondere m¨ochte ich die wertvollen Anregungen von Herrn Univ.–Prof. Dr.–Ing. H. Cramer und Herrn Dipl.–Ing. B. Eierle hervorheben. Meine beiden B¨ urokollegen Dr.–Ing. M. Deml und Dipl.–Ing. F. Koschnick waren gl¨ ucklicherweise neben Lehre und Forschung auch f¨ ur Erheiterndes zu gewinnen. Schließlich m¨ ochte ich mich bei meiner Frau Bianca bedanken, die mir nicht nur das n¨otige Verst¨andnis entgegenbrachte, sondern mir immer wieder aufmunternd zur Seite stand. M¨ unchen im August 1999
Johann Pravida
Vollst¨andiger Abdruck der von der Fakult¨at f¨ ur Bauingenieur– und Vermessungswesen der Technischen Universit¨ at M¨ unchen zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktor–Ingenieurs genehmigten Dissertation. Vorsitzender:
Univ.–Prof. Dr. rer. nat. E. Rank
Pr¨ ufer der Dissertation: 1. Univ.–Prof. Dr.–Ing. W. Wunderlich 2. Univ.–Prof. Dr.–Ing. K. Zilch
Die Dissertation wurde am 14. Januar 1999 bei der Technischen Universit¨at M¨ unchen eingereicht und durch die Fakult¨ at f¨ ur Bauingenieur– und Vermessungswesen am 19. Juli 1999 angenommen.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1
1.1
Problemstellung und Zielsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Vorgehensweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2 Grundlagen elasto–plastischer Werkstoffmodelle
5
2.1
Mechanische Konzepte zur Beschreibung von nichtlinearem Werkstoffverhalten .
5
2.2
Die Fließtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3
Verfestigungsgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.4
Fließ– und Versagensfl¨ ache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.5
Nachbruchverhalten und Entfestigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.5.1
Im Zugbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.5.2
Im Druckbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.5.3
Materialinstabilit¨ at bei entfestigenden Werkstoffgesetz . . . . . . . . . . .
22
3 Grundlagen der Finite–Element–Methode (FEM)
25
3.1
Das Prinzip der virtuellen Verschiebungen (PvV) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.2
Linearisierung des Prinzips der virtuellen Verschiebungen . . . . . . . . . . . . .
27
3.3
Kurvenverfolgungsalgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.4
Line Search . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.5
Integration des elasto–plastischen Stoffgesetzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.5.1
Das explizite Euler–Vorw¨artsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.5.2
Das implizite Euler–R¨ uckw¨artsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.5.3
Absch¨ atzung des zeitlichen Diskretisierungsfehlers . . . . . . . . . . . . .
43
III
IV
Inhaltsverzeichnis
4 Implementierung in ein Finite–Element–Programm 4.1
4.2
4.3
49
Unbewehrter Beton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
4.1.1
Bruch- und Fließkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
4.1.2
Einaxiale Entfestigungsbeziehung im Zugbereich
. . . . . . . . . . . . .
59
4.1.3
Ver– und Entfestigungsbeziehung im Druckbereich
. . . . . . . . . . . .
62
Betonstahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
4.2.1
Elasto–plastisches Stoffgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
4.2.2
Modellierung der Bewehrung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
4.2.3
Spezifische Bruchenergie des Stahlbetons . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
Tension Stiffening Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
5 Fehlersch¨ atzung und Netzadaption
79
5.1
Fehlerquellen der Finite–Element–Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
5.2
Fehlerindikatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
5.2.1
Normen als Fehlermaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
5.2.2
Fehlersch¨ atzer f¨ ur linear–elastische Probleme . . . . . . . . . . . . . . . .
81
5.2.3
Fehlersch¨ atzer f¨ ur elasto–plastische Probleme . . . . . . . . . . . . . . . .
82
5.2.4
Ein Fehlerindikator f¨ ur entfestigende elasto–plastische Materialmodelle . .
84
Netzverfeinerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
5.3.1
Adaptive Verfahren
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
5.3.2
Verfeinerungskriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
5.3.3
Elementunterteilungsstrategie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
5.3.4
Datentransfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
5.3
6 Numerische Untersuchungen 6.1
6.2
93
Unbewehrter Beton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
6.1.1
Biaxialversuche von Kupfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
6.1.2
Spaltzugversuch
97
6.1.3
Gekerbter Biegebalken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stahlbetonstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 6.2.1
Versuche am Panel Tester der Universit¨at Toronto . . . . . . . . . . . . . 108
6.2.2
Versuche an gedrungenen Tr¨agern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.2.3
Traglastversuch an einer Wandscheibe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.2.4
Traglastversuch an einer gedrungenen Konsole . . . . . . . . . . . . . . . 132
Inhaltsverzeichnis
V
7 Zusammenfassung und Ausblick
137
Notation
141
Literaturverzeichnis
145
VI
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 1
Einleitung 1.1
Problemstellung und Zielsetzung
Zur Berechnung der Schnittgr¨ oßen schreibt die deutsche Stahlbetonnorm DIN 1045 7/88 [DIN] Verfahren vor, die auf der Elastizit¨ atstheorie basieren. Dagegen sind f¨ ur den Nachweis der Grenzzust¨ande der Gebrauchstauglichkeit und der Tragf¨ahigkeit in dem europ¨aischen Normenwerk EC 2 [EC2] und dem Entwurf f¨ ur die neue deutsche Norm E-DIN 1045–1 11/98 [EDI] auch physikalisch nichtlineare Verfahren zugelassen. Seit [NS67] sind viele Forschungsarbeiten ver¨offentlicht worden, die sich mit der numerischen, physikalisch nichtlinearen Berechnung von Stahlbetontragwerken mit Hilfe der Finite–Element– ¨ Methode (FEM) besch¨ aftigen. Einen sehr guten Uberblick u ¨ber den derzeitigen Stand der Forschung vermitteln [HM95] und [SE96]. Zum Teil sind die gewonnenen Erkenntnisse mittlerweile auch in kommerziellen Finite–Element–Programmen implementiert, doch ist die Anwendung dieser Rechenprogramme in der Praxis bisher auf Spezialuntersuchungen beschr¨ankt geblieben. Dies liegt nicht nur am hohen Rechenaufwand, den eine nichtlineare Untersuchung beansprucht, sondern auch an der numerischen Sensitivit¨at des Berechnungsablaufes, die auf das hochgradig nichtlineare Verhalten des Betons zur¨ uckzuf¨ uhren ist und h¨aufig Konvergenzprobleme mit vorzeitigem Rechenabbruch zur Folge hat. Ein weiteres Problem ist das Fehlen eines konsistenten Sicherheitskonzeptes in der bisher geltenden Normung: W¨ahrend die nichtlineare Schnittgr¨oßenermittlung mit den Mittelwerten oder den charakteristischen Materialkennwerten durchgef¨ uhrt werden soll, muß die Bemessung der einzelnen Querschnitte mit den Bemessungswerten erfolgen, die sich aus den charakteristischen Werten durch Division mit den je nach Material unterschiedlichen Teilsicherheitsbeiwerten ergeben [Zil93]. Der Normenentwurf E-DIN 1045–1 11/98 [EDI] sieht nun eine f¨ ur die nichtlineare Berechnung und Bemessung verbesserte Vorgehensweise vor. Dabei werden f¨ ur die nichtlineare Schnittgr¨oßenermittlung Rechenwerte der Materialeigenschaften und ein einheitlicher globaler Materialsicherheitsbeiwert γR vorgegeben, der bei der anschließenden Bemessung ber¨ ucksichtigt werden muß [ZPS98]. Jedoch ist auch dieses Verfahren nicht unumstritten, da bei gleichzeitigem Ansatz von geometrischer und physikalischer Nichtlinearit¨at der globale Materialsicherheitsbeiwert zu unrealistisch großen Verformungen und somit zu ung¨ unstigen Bemessungschnittgr¨ oßen f¨ uhrt [KQ98]. W¨ahrend die Ausarbeitung eines Sicherheitskonzeptes mit einer zur nichtlinearen Berechnung konsistenten Bemessung ein eigenes Forschungsgebiet darstellt, und sich gegenw¨artig viele Ver¨offentlichungen mit diesem Thema besch¨aftigen [ESH95] [ZF95] [B¨o97], steht in dieser Arbeit die Methode der physikalisch nichtlinearen, numerischen Analyse von Stahlbetonscheiben im 1
2
Kapitel 1. Einleitung
Vordergrund. Ziel dieser Arbeit ist es, ein einfaches Werkstoffmodell zu entwickeln, das eine minimale Anzahl von Materialkennwerten ben¨otigt, welche einfach ermittelt werden k¨onnen oder f¨ ur die Vorgaben in den einschl¨ agigen Normen vorhanden sind. Der Anwendungsbereich des in dieser Arbeit vorgestellten Modells umfaßt ebene Fl¨achentragwerke im ebenen Spannungszustand, die in ihrer Ebene beansprucht werden und in denen das Verh¨altnis der auftretenden Verschiebungen zu den Systemabmessungen klein ist. Die Lastaufbringung erfolgt quasi–statisch jedoch nicht notwendigerweise proportional, die Drehung der Hauptdehnungsrichtung muß dabei aber moderat bleiben. Es k¨ onnen unbewehrte wie auch bewehrte Strukturen berechnet werden. Zeitabh¨angige Effekte wie Kriechen und Schwinden bleiben unber¨ ucksichtigt. Der Implementierung des Werkstoffmodells in einen effektiven und stabilen L¨osungsalgorithmus kommt besondere Bedeutung zu. Zum einen soll der Rechenaufwand gering gehalten werden, zum anderen m¨ ussen die Ergebnisse ausreichend genau sein. Um die Qualit¨at der Berechnungsergebnisse zu sichern, m¨ ussen sowohl der r¨aumliche wie auch der zeitliche Diskretisierungsfehler abgesch¨atzt und gegebenenfalls durch geeignete Maßnahmen reduziert werden, wenn die vorgegebenen Fehlertoleranzen u ur ¨ berschritten werden. Das Attribut zeitliche steht dabei nicht f¨ die reale Zeit, sondern bezeichnet einen Parameter, u ¨ber den die inkrementelle Lastaufbringung gesteuert wird. Ein inkrementelles Vorgehen ist notwendig, da das eingesetzte elasto–plastische Stoffgesetz wegabh¨ angig ist. Durch eine adaptive Steuerung der Lastschrittweite kann der zeitliche Diskretisierungsfehler innerhalb der Fehlertoleranz gehalten werden. Der r¨aumliche Diskretisierungsfehler resultiert bei der Finite–Element–Methode aus Elementverschiebungsans¨atzen, die keine exakte L¨ osung f¨ ur das gestellte Problem darstellen. Eine adaptive Netzverfeinerung, die in Bereichen mit unakzeptabel großen Fehlern die Elementmaschenweite verringert, erh¨ oht die Genauigkeit der L¨ osung. Das angesprochene Modell und die angesprochenen Algorithmen werden im Rahmen der vorliegenden Arbeit vorgestellt. Durch numerische Untersuchungen an Scheibenstrukturen, f¨ ur die auch Versuchsergebnisse vorliegen, soll das Modell verifiziert und die Leistungsf¨ahigkeit demonstriert werden.
1.2
Vorgehensweise
Da das im Rahmen dieser Arbeit entwickelte Werkstoffmodell f¨ ur Stahlbeton elasto–plastisch formuliert ist, werden in Kapitel 2 die Grundlagen elasto–plastischer Materialgesetze er¨ortert. Dabei wird speziell die sp¨ ater verwendete Fließtheorie n¨aher betrachtet. Um jedoch den Einsatz dieser Theorie zur Modellierung von Stahlbeton besser einordnen zu k¨onnen, werden auch andere elastische und plastische Modelle kurz erl¨autert. Weitere wichtige Stichworte f¨ ur diesen Abschnitt sind die Begriffe Entfestigung und Bruchenergiekonzept. In Kapitel 3 werden notwendige Grundlagen der Finite–Element–Methode dargelegt sowie verschiedene Algorithmen vorgestellt, die n¨otig sind, um ein physikalisch nichtlineares, statisches Problem im Rahmen der Methode zu l¨osen. Ebenso wird in diesem Zusammenhang der Fehlersch¨atzer f¨ ur den zeitlichen Diskretisierungsfehler erl¨autert, da dieser untrennbar an den Algorithmus der Spannungsintegration gekoppelt ist. Hinzu kommt hier noch die erforderliche adaptive Steuerung der inkrementellen Lastschrittweite. Kapitel 4 besch¨ aftigt sich mit der Implementierung des entwickelten Werkstoffmodells und der vorgestellten Algorithmen in das Finite–Element–Paket ISARES (Integrated Structure Analysis REsearch System), das am Lehrstuhl f¨ ur Statik der TU M¨ unchen programmiert wurde und als
1.2. Vorgehensweise
3
Plattform f¨ ur verschiedene Weiterentwicklungen im Bereich der nichtlinearen Finite–Element– Methode dient. Kernst¨ uck dieses Abschnittes ist jedoch die Implementierung einer Fließbedingung f¨ ur unbewehrten Beton, deren stetig differenzierbarer Verlauf im Hauptspannungsraum mit einer geschlossen darstellbaren mathematischen Gleichung definiert ist. Trotzdem ist es m¨oglich, die plastische Ver– bzw. Entfestigung in den Teilbereichen der Fließfl¨ache unabh¨angig voneinander zu steuern. Die Absch¨atzung des r¨ aumlichen Diskretisierungsfehlers und die Art der adaptiven Netzverfeinerung wird in Kapitel 5 vorgestellt. Dabei wird nicht nur der gew¨ahlte Fehlerindikator beschrieben, sondern auch solche f¨ ur elastische und ideal plastische Probleme, aus denen sich der erstere schließlich entwickelt hat. In diesem Abschnitt muß ebenfalls das Problem des Transfers der Zustandsgr¨oßen vom alten auf das neue, verfeinerte Netz besprochen werden, was bei adaptiven Berechnungen mit wegabh¨ angigen Stoffgesetz immer erforderlich wird, jedoch f¨ ur den Transfer der inneren Parameter bisher noch nicht befriedigend gel¨ost war. Im Anschluß an diese eher theoretischen Abschnitte werden in Kapitel 6 numerische Analysen an Scheibensystemen vorgestellt, zu denen auch experimentelle Ergebnisse vorliegen, um die Effizienz aber auch die Anwendungsgrenzen des entwickelten Modells zu demonstrieren. Untersucht werden unbewehrte Bauteile und Stahlbetonkonstruktionen. Die Zusammenfassung in Kapitel 7 rekapituliert nochmals die wichtigsten Ergebnisse und Erkenntnisse dieser Arbeit.
4
Kapitel 1. Einleitung
Kapitel 2
Grundlagen elasto–plastischer Werkstoffmodelle 2.1
Mechanische Konzepte zur Beschreibung von nichtlinearem Werkstoffverhalten
Nichtlineares Werkstoffverhalten kann sowohl im Rahmen der Elastizit¨atstheorie, wie auch im Rahmen der Plastizit¨ atstheorie behandelt werden.
Nichtlineare Elastizit¨ atstheorie Die nichtlinear–elastischen Spannungs–Dehnungsbeziehungen lassen sich nach [CH88] in drei Gruppen einteilen: - Cauchy–Elastizit¨ at, - hyperelastische Werkstoffmodelle und - hypoelastische Werkstoffmodelle. Beim Cauchy–elastischen Modell ist der Spannungszustand nur vom aktuellen Verzerrungszustand abh¨ angig. Das Stoffgesetz ist wegunabh¨angig, d.h. es liegt ein eindeutig umkehrbarer Zusammenhang zwischen den Spannungen und den Dehnungen vor:
σij = Fij (εkl ) .
(2.1)
Als Nachteil ist zu nennen, daß dieses Modell nicht den Grundgesetzen der Thermodynamik gen¨ ugt, d.h. bei bestimmten Be– und Entlastungszyklen kommt es zu unzul¨assiger Energieerzeugung. Aufgrund der genannten Eigenschaften ist der Anwendungsbereich dieses Stoffgesetzes auf Analysen von proportionalen Lastpfaden beschr¨ankt [Ebe91]. Beim Green–elastischen oder hyperelastischen Modell wird die Existenz eines elastischen Potentials (Form¨ anderungsenergiedichte) Πε (εij ) angenommen, woraus sich die Spannungen zu 5
6
Kapitel 2. Grundlagen elasto–plastischer Werkstoffmodelle
σij =
∂Πε ∂εij
(2.2)
ergeben. Mit dieser Annahme ist zwar die Einhaltung der thermodynamischen Grundgesetze garantiert, aber genau wie das vorherige Modell ist auch dieses lastpfadunabh¨angig. Das bedeutet auch hyperelastische Modelle sind auf proportionale Lastaufbringung beschr¨ankt. W¨ahrend die beiden o.g. Modelle auf einer totalen Formulierung der konstitutiven Gleichungen beruhen, ist das hypoelastische Modell differentiell bzw. inkrementell formuliert
dσij = Cijkl (σmn ) dεkl .
(2.3)
Wobei Cijkl (σmn ) oft als Tangentialsteifigkeitstensor bezeichnet wird. Dieses Vorgehen erlaubt es auch, die Belastungsgeschichte zu erfassen, daher ist Reversibilit¨at nur noch auf inkrementeller Ebene gew¨ahrleistet, außerdem kann auch dieses Modell unter bestimmten Be– und Entlastungszyklen die Gesetze der Thermodynamik verletzen.
Plastizit¨ atstheorie Die verschiedenen Konzepte, die zur Beschreibung des Materialverhaltens von Beton im Rahmen der Plastizit¨ atstheorie zum Einsatz kommen, lassen sich in folgende Gruppen unterteilen [Mes91]: - Deformationstheorie - Fließtheorie - Plastic–Fracture–Theorie - Endochrone Theorie Die klassische Deformationstheorie der Plastizit¨at beruht auf einer totalen Beziehung zwischen Spannungen und Dehnungen
σij = Fijkl (σmn ; κ) εkl .
(2.4)
Im Gegensatz zu den Modellen der Elastizit¨atstheorie k¨onnen aber hier plastische Deformationen erfaßt werden und es ist eine Unterscheidung zwischen Be– und Entlastungsvorg¨angen m¨oglich. Dazu wird von der Annahme ausgegangen, daß sich die elastischen und die plastischen Dehnungsanteile additiv aufspalten lassen: pl εij = εel ij + εij .
(2.5)
In der urspr¨ unglichen Formulierung ist die Deformationstheorie allerdings wegunabh¨angig, und ist daher auf proportionale Lastpfade beschr¨ankt. Die Fließtheorie ist die Grundlage des Werkstoffgesetzes, das in dieser Arbeit zur Modellierung des unbewehrten Betons entwickelt wird. Hier gen¨ ugt es dieses Konzept nur kurz anzusprechen,
2.2. Die Fließtheorie
7
da es in den n¨ achsten Abschnitten n¨ aher erl¨autert wird. Die Fließtheorie ist eine inkrementelle Theorie und geht von der Annahme der additiven Aufspaltung der Dehnungsinkremente in einen elastischen und einen plastischen Anteil aus. Weitere Annahmen sind die Existenz einer Fließfl¨ache und das Vorhandensein eines plastischen Potentials. Mit diesem Konzept k¨onnen plastische Verformungen, Entlastungs– und Wiederbelastungsvorg¨ange und die Lastgeschichte erfaßt werden. Ein weiterer Vorteil ist die geringe Anzahl der ben¨otigten Materialparameter. Die Plastic–Fracture–Theorie [BSS79] [DR80] ist eine Kombination aus Fließtheorie und Fracturing–Theorie. Mit Hilfe der Fließtheorie werden die plastischen Deformationen erfaßt, wobei die elastischen Materialmoduln unver¨andert bleiben. Die Fracture–Theorie beschreibt hingegen die Degradation der elastischen Moduln infolge fortschreitender Materialsch¨adigung. Genauso wie beim hypoelastischen Werkstoffgesetz und bei der Fließtheorie handelt es sich hierbei aber immer noch um eine inkrementell lineare Beziehung. Ein Nachteil der Plastic–Fracture–Theorie ist allerdings die große Anzahl der ben¨otigten Materialparameter. Die endochrone Theorie [BCL80] erfaßt nicht nur inelastische Verzerrungen als Funktion eines skalaren, wachsenden Zerst¨ orungsparameters, der sogenannten intrinsischen (endochronen) Zeit, sondern auch ein verzerrungsratenabh¨angiges viskoses Verhalten des Werkstoffes. Mit diesem Modell ist es m¨ oglich, zeitabh¨ angige Verformungen zu erfassen, und nichtproportionale Lastpfade zu verfolgen. Allerdings gibt es bisher kaum experimentelle Ergebnisse bez¨ uglich nichtproportionaler Lastaufbringung, um das Gesetz zu verifizieren. Nachteilig ist im Gegensatz zu den vorhergenannten Modellen, daß es sich hierbei um eine inkrementell nichtlineare Theorie handelt, was eine zus¨ atzliche Iteration innerhalb jedes Lastschrittes notwendig macht.
2.2
Die Fließtheorie
Die Fließtheorie ist im Gegensatz zur klassischen Deformationstheorie eine differentielle Theorie ¨ ¨ d.h. eine differentielle Anderung des Dehnungszustandes f¨ uhrt zu einer differentiellen Anderung des Spannungszustandes. Da bei der Berechnung n¨aherungsweise immer mit endlichen Dehnungsinkrementen gearbeitet wird, bezeichnet man die Fließtheorie auch als ein inkrementelles Werkstoffgesetz. Im Rahmen der Fließtheorie wird die Annahme getroffen, daß sich die Dehnungsinkremente in einen reversiblen elastischen Anteil und in einen irreversiblen plastischen Anteil additiv aufspalten lassen pl dεij = dεel ij + dεij .
(2.6)
F¨ ur den elastischen Verzerrungsanteil kommt das Hookesche Gesetz zur Anwendung pl dσij = Cijkl dεel kl = Cijkl (dεkl − dεkl ) .
(2.7)
atstensor, der sich mit Hilfe des Elastizit¨atsmoduls E und Dabei beschreibt Cijkl den Elastizit¨ der Querdehnzahl ν wie folgt berechnet:
Cijkl =
E 2ν δij δkl + δik δjl + δil δjk 2(1 + ν) (1 − 2ν)
.
(2.8)
8
Kapitel 2. Grundlagen elasto–plastischer Werkstoffmodelle
Durch Einf¨ uhrung einer Fließfunktion f (σij ; κi ) ist es m¨oglich, zwischen rein elastischen Zustands¨anderungen und elasto–plastischen Zustands¨anderungen zu unterscheiden. Dabei steht f¨ u r einen oder mehrere innere Parameter die das Ver– bzw. das Entfestigungsverκi = κi εpl ij halten des Werkstoffes beschreiben. Liegt der Spannungszustand innerhalb der Fließfl¨ache, d.h. f (σij ; κi ) < 0, so treten nur elastische Deformationen auf. Befindet sich der Spannungszustand genau auf der Fließfl¨ ache, d.h. die Fließbedingung ist erf¨ ullt
f (σij ; κi ) = 0 ,
(2.9)
so kommt es sowohl zu elastischen wie auch plastischen Deformationen. Um das plastische Dehuhrt. nungsinkrement dεpl ij zu berechnen, wird eine plastische Potentialfunktion g(σij ; κi ) eingef¨ Das plastische Dehnungsinkrement ist proportional zur Ableitung des plastischen Potentials nach den Spannungen:
dεpl ij =
∂g dλ . ∂σij
(2.10)
Der Proportionalit¨ atsfaktor dλ ist gr¨ oßer Null falls plastische Verformungen auftreten, bei rein elastischem Verhalten ist dλ gleich Null. Der Betrag von dλ l¨aßt sich mit Hilfe der Konsistenzbedingung df = 0 bestimmen. Dies besagt nichts anderes, als daß zu jedem Zeitpunkt eines plastischen Belastungsprozesses der Spannungszustand immer genau auf der Fließfl¨ache liegen muß
f (σij ; κi ) +df =
=0
∂f ∂f ∂κi dλ = 0 . dσij + ∂σij ∂κi ∂λ
(2.11)
Durch Einsetzen der Gleichungen (2.7) und (2.10) in die Konsistenzbedingung (2.11) erh¨alt man die maßgebende Gleichung zur Berechnung von dλ:
∂g ∂f ∂κi ∂f dλ = 0 . Cijkl dεkl − dλ + df = ∂σij ∂σkl ∂κi ∂λ
(2.12)
Aufl¨osen nach dem plastischen Multiplikator dλ liefert: ∂f Cijkl dεkl ∂σij . dλ = ∂f ∂κu ∂f ∂g Cmnrs − ∂σmn ∂σrs ∂κu ∂λ
(2.13)
Setzt man die zuletzt erhaltene Gleichung (2.13) in Beziehung (2.7) ein, so erh¨alt man den ep : elasto–plastischen Werkstofftensor Cijkl
∂f Cpqvw dεvw ∂g ∂σpq dσij = Cijkl dεkl − = ∂f ∂κu ∂σkl ∂f ∂g Cmnrs − ∂σmn ∂σrs ∂κu ∂λ
2.3. Verfestigungsgesetze
9
=
∂g ∂f Cijpq Cvwkl ∂σpq ∂σvw Cijkl − dε . ∂f ∂g ∂f ∂κu kl Cmnrs − ∂σmn ∂σrs ∂κu ∂λ
ep =Cijkl
(2.14)
Wird wie in der klassischen Plastizit¨ atstheorie u ¨ blich als plastische Potentialfunktion g die Fließfunktion f selbst angesetzt, so liegt der Sonderfall der assoziierten Fließregel oder auch Normalenregel vor. Die Normalenregel gehorcht dem Prinzip der gr¨oßten spezifischen Dissipationsleistung [Bet93] und f¨ uhrt f¨ ur das inkrementelle Randwertproblem zu einer eindeutigen L¨osung [CH88]. Als Nachteil der assoziierten Fließregel ist zu nennen, daß bei Werkstoffen wie Beton, Boden oder Fels die plastische Volumen¨ anderung u ¨ bersch¨atzt wird. Dieser Fehler tritt vor allem unter dreiaxialen Druckspannungen auf. Um solche Zust¨ande zu erfassen, ist es notwendig, eine eigene plastische Potentialfunktion g unabh¨ angig von der Fließfunktion f einzuf¨ uhren. Da in dieser Arbeit nur ebene Spannungszust¨ande berechnet werden sollen, ist eine assoziierte Fließregel ausreichend mit dem Vorteil, daß in der Berechnung mit symmetrischen Werkstoffmatrizen und daher auch mit symmetrischen Steifigkeitsmatrizen gearbeitet werden kann. Im weiteren Verlauf dieser Arbeit wird deshalb nur noch der Fall der assoziierten Fließregel betrachtet: dεpl ij =
2.3
∂f dλ . ∂σij
(2.15)
Verfestigungsgesetze
Die Fließfunktion f , die bei Anwendung der assoziierten Fließregel mit der elastischen Potentialfunktion identisch ist, kann als Hyperfl¨ache im neundimensionalen Spannungsraum des Spannungstensors σij dargestellt werden. Bei Werkstoffen, die ein Ver– oder Entfestigungsverhalten aufzeigen, ist die Gr¨ oße, die Form und die Lage der Fließfl¨ache im Laufe der Belastungsgeschichte ver¨anderlich. Bei isotroper Verfestigung kommt es zu einem gleichm¨aßigen Aufweiten (Verfestigung) bzw. Zusammenziehen (Entfestigung) der Fließfl¨ache, ohne daß sie ihre Lage im Spannungsraum ver¨andert. Dies bedeutet, daß ein anf¨anglich isotroper Stoff sich auch nach dem Auftreten von plastischen Verformungen immer noch isotrop verh¨alt: f (σij ; εp ) = F (σij ) − k(εp ) .
(2.16)
In Gleichung (2.16) beschreibt F (σij ) bei entsprechender Skalierung eine Funktion, welche den dreidimensionalen Spannungszustand auf die effektive Spannung σe abbildet. Diese effektive Spannung kann dann mit der Fließspannung k eines einaxialen Zug– bzw. Druckversuches verglichen werden. Im einaxialen Versuch ist bei verfestigenden oder entfestigenden Werkstoffen angig. die aktuelle Fließspannung k von der plastischen Dehnung εpl 1 in Belastungsrichtung abh¨ Diese Beziehung kann im einaxialen Versuch sehr einfach gewonnen werden, indem man von den gemessenen Dehnungen den elastischen Anteil subtrahiert und die so gewonnenen plastischen
10
Kapitel 2. Grundlagen elasto–plastischer Werkstoffmodelle
Dehnungen gegen die zugeh¨ origen Spannungen antr¨agt. Die effektive plastische Dehnung εp entspricht der plastischen Dehnung im einaxialen Versuch εpl 1 und kann im mehraxialen Zustand nach zwei verschiedenen Konzepten aus dem plastischen Dehnungszustand εpl ij berechnet werden. Bei Anwendung der Dehnungsverfestigung (strain–hardening) besteht f¨ ur das Inkrement der effektiven plastischen Dehnung dεp ein direkter Zusammenhang mit den plastischen Dehnungsinkrementen
dεp = c
pl dεpl ij dεij ,
(2.17)
wobei sich die Konstante c z.B. aus der Bedingung bestimmen l¨aßt, daß Materialien, deren Fließverhalten vom hydrostatischen Spannungszustand unabh¨angig ist, sich plastisch inkompressibel verhalten. In dieser Arbeit wird allerdings im weiteren die Arbeitsverfestigungshypothese (work–hardening) verwendet, die davon ausgeht, daß die plastische Arbeit des mehraxialen Zustandes gleich der des einaxialen Vergleichszustandes ist: dWp = σe dεp = σij dεpl ij .
(2.18)
ost und dεpl Wird diese Beziehung nach dεp aufgel¨ ij mit Gleichung (2.15) berechnet, so ergibt sich: dεp =
1 ∂f σij dλ . σe ∂σij
(2.19)
Die kinematische Verfestigung f¨ uhrt im Gegensatz zur isotropen Verfestigung nur zu einer Translation der Fließfl¨ ache im Spannungsraum, ohne daß die Fl¨ache ihre Form ¨andert:
pl f σij ; εpl ij = F σij − αij (εij ) − k .
(2.20)
Dabei gibt der Tensor αij das Zentrum der Fließfl¨ache an, welches innerhalb eines Belastungsschrittes um dαij verschoben wird. Zur Bestimmung von dαij gibt es mehrere Ans¨atze; die gebr¨auchlichsten sind die
Pragersche Regel: und die Zieglersche Regel:
dαij = c dεpl ij
(2.21)
dαij = c dεp (σij − αij ) ,
(2.22)
wobei c eine Materialkonstante darstellt. Durch die kinematische Verfestigung kann eine durch die Belastungsgeschichte induzierte Anisotropie eines anf¨anglich isotropen Werkstoffes abgebildet werden. Ein Beispiel f¨ ur ein solches Verhalten stellt der Bauschinger Effekt bei Stahl unter zyklischer Beanspruchung dar. Bei der gemischten Verfestigung wird isotrope und kinematische Verfestigung in einem Modell kombiniert
pl f σij ; εpl ij ; εp = F σij − αij (εij ) − k(εp ) .
(2.23)
2.3. Verfestigungsgesetze
11 s2
a) Fließfläche
0
s1
Verfestigungsfläche s2
b)
Fließfläche 0Ȁ 0
s1 Verfestigungsfläche
s2
c)
Fließfläche
0Ȁ 0
s1 Verfestigungsfläche
Abbildung 2.1: a) Isotrope, b) kinematische und c) gemischte Verfestigung Die effektive plastische Dehnung dεp wird dabei in zwei Anteile zerlegt, wobei sich je ein Anteil auf die isotrope bzw. die kinematische Verfestigung bezieht:
kin dεp = dεiso p + dεp
dεiso p
(2.24)
= m dεp
(2.25)
dεkin p = (1 − m) dεp .
(2.26)
Der Parameter m ist je nach Materialverhalten zu w¨ahlen und steuert das Verh¨altnis von isotroper zu kinematischer Verfestigung.
12
Kapitel 2. Grundlagen elasto–plastischer Werkstoffmodelle
Die gemischte Verfestigung beschreibt das Verhalten von Beton sicher am besten. Als Nachteil sowohl bei kinematischer wie auch bei gemischter Verfestigung sind aber die zus¨atzlichen Materialparameter zu sehen, deren Bestimmung sich sehr aufwendig darstellt. Werden keine Belastungszyklen berechnet, beschreibt die isotrope Verfestigung das Verhalten des Betons ausreichend genau mit dem Vorteil, daß auch nach Plastifizierung des Materials immer noch ein isotropes Werkstoffgesetz gegeben ist.
2.4
Fließ– und Versagensfl¨ ache
Die Fließfunktion f , die bei Anwendung der assoziierten Fließregel mit der plastischen Potentialfunktion identisch ist, kann sowohl im Spannungsraum wie auch im Dehnungsraum dargestellt werden; in dieser Arbeit wird ersteres verwendet. Aufgrund der Annahme, daß sich der Werkstoff Beton isotrop verh¨ alt, ist die Darstellung der Fießfl¨ache unabh¨angig vom Koordinatensystem und kann somit in Abh¨ angigkeit von den Invarianten des Spannungstensors formuliert werden. Hierzu werden in dieser Arbeit entweder die drei Hauptspannungen (σ1 , σ2 , σ3 ) oder die Invariur die anten (I1 , J2 , J3 ) verwendet, die sich zum Teil aus dem Spannungsdeviator berechnen. F¨ Anordnung der Hauptspannungen soll folgende Konvention gelten: σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 .
(2.27)
Der Spannungsdeviator sij und die weiteren Invarianten ergeben sich dann wie folgt:
1 sij = σij − σii 3 I1 = σii = σ1 + σ2 + σ3 1 1 sij sij = (σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2 J2 = 2 6 1 sij sjk ski . J3 = 3
(2.28) (2.29) (2.30) (2.31)
Weil die Dissipationsarbeit bei verfestigenden Werkstoffen immer positiv ist, m¨ ussen die plastischen Potentiale immer konvexe Fl¨ achen im Spannungsraum darstellen. Bei Verwendung assoziierter Fließregeln ist diese Forderung auch als das Druckersche Stabilit¨atspostulat f¨ ur verfestigende elasto–plastische Materialien bekannt [CH88]: dεpl ij dσij ≥ 0 .
(2.32)
Da sich ein so komplexer Werkstoff wie Beton unterschiedlich auf Zug und Druck verh¨alt, ist es nicht m¨oglich, a priori eine geschlossene Fließfl¨ache f¨ ur alle Bereiche anzugeben [WH91]. Zuerst soll deshalb das Drucker–Prager–Fließkriterium betrachtet werden, welches in der Lage ist, das Verhalten des Betons im Druck–Druck–Bereich abzubilden:
f (I1 ; J2 ; εDP ) = αI1 + β J2 − σce (εDP ) .
(2.33)
In Gleichung (2.33) beschreibt σce die einaxiale Fließspannung in Abh¨angigkeit vom inneren Parameter εDP . Solange keine plastischen Deformationen eingetreten sind, wird in der Regel
2.4. Fließ– und Versagensfl¨ ache
13
die initiale Fließspannung zu 33% der Bruchfestigkeit angenommen [Fee93]. Wie aus Gleichung (2.33) zu ersehen ist, hat bei Verwendung des Drucker–Prager–Fließkriteriums sowohl der hydrostatische Spannungszustand, repr¨ asentiert durch I1 , wie auch der Schubspannungszustand, repr¨asentiert durch J2 , einen Einfluß auf das Fließ– bzw. Bruchverhalten des abgebildeten Werkstoffes. ćs 3
s2
s te
s te s3
s1
ćs 2
s te
ćs 1 s1 + s2 + s3
Abbildung 2.2: Rankine- und Drucker–Prager–Fließkriterium im Hauptspannungsraum Um das spr¨ode Verhalten des Betons im Zugbereich zu erfassen, kommt das Rankine–Kriterium (tension cut off ) zur Anwendung. Dabei werden, um die effektive plastische Dehnung im Zugbereich εR von der effektiven plastischen Dehnung im Druckbereich εDP unterscheiden zu k¨onnen, jeweils die Indizes R und DP verwendet:
f (σ1 ; εR ) = σ1 − σte (εR ) .
(2.34)
oßte Hauptzugspannung dar und σte die einaxiale FließIn Gleichung (2.34) stellt σ1 die gr¨ spannung in Abh¨ angigkeit der effektiven plastischen Dehnung εR . Bemerkenswert bei diesem Kriterium ist, daß Fließen oder Bruch des Werkstoffes unabh¨angig von der vorhandenen Schubspannung auftritt, was beim Aufreißen des Betons, also beim Versagen auf Zug sicherlich der Fall ist. Die beiden vorgestellten Fließkriterien sind nur die einfachsten Varianten aus einer Vielzahl von ¨ zur Verf¨ ugung stehenden Modellen; eine Ubersicht zu weiteren Fließfl¨achen geben [Che82] und [Mes91]. Zur Abbildung dreiaxialer Beanspruchungen sind die beiden oben genannten Kriterien vor allem in Verbindung mit einer assoziierten Fließregel sicher nicht ausreichend. F¨ ur die Berechnung von ebenen Fl¨ achentragwerken im ebenen Spannungszustand stellen sie jedoch eine gute N¨aherung dar, was im Abschnitt 6.1 gezeigt wird. Vorteilhaft ist ihre einfache Darstellung und die geringe Anzahl der ben¨ otigten Materialparameter. Bei Verwendung von mehreren Fließfunktionen gleichzeitig ist die Richtung der plastischen Dehnungen nach Gleichung (2.15) nicht mehr eindeutig, da die zusammengesetzte Fließfunktion zwar stetig verl¨auft, aber nicht mehr stetig differenzierbar ist. Eine L¨osung dieses Problems liefert die verallgemeinerte Koitersche Fließregel [Koi53]:
14
Kapitel 2. Grundlagen elasto–plastischer Werkstoffmodelle
dεpl ij =
∂fk k
∂σij
dλk .
(2.35)
ur Dabei l¨auft der Summenparameter k u ¨ ber alle Fließfunktionen fk mit fk = 0 , denn nur f¨ diese ist dλk > 0.
f1 + 0
ēf 1 ēs ij de pl ij
f2 + 0
f3 + 0
ēf 3 ēs ij
Abbildung 2.3: Richtung der plastischen Dehnungen am Schnittpunkt zweier Fließfl¨achen Die Implementierung der verallgemeinerten Fließbedingung wie in [SKG88] beschrieben ist allerdings sehr aufwendig, außerdem zeigten eigene Berechnungen schlechtes Konvergenzverhalten sobald Spannungszust¨ ande im Bereich der Fließfl¨achenkanten auftraten. Um einen robusten Algorithmus zu erhalten, ist es notwendig, eine glatte Fließfl¨ache zu konstruieren. Dazu wird im Abschnitt 4.1.1 ein Verfahren entwickelt, das den Zusammenbau einer geschlossen darstellbaren, glatten Fließfl¨ ache aus den Teilfließfl¨ achen erm¨oglicht.
2.5 2.5.1
Nachbruchverhalten und Entfestigung Im Zugbereich
Im Zugbereich versagt der Beton durch Rißbildung. Um die Risse im Rahmen der Finite– Element–Methode zu erfassen, gibt es zwei Konzepte. Beim diskreten Rißmodell (discrete crack model) werden finite Elemente l¨angs ihrer Ele¨ mentkanten beim Uberschreiten der Zugfestigkeit getrennt, Risse k¨onnen sich also nur l¨angs der Elementkanten ausbreiten. Dieses Vorgehen f¨ uhrt zu neuen Systemknoten und somit zu neuen Freiheitsgraden. Daher ist nach jeder neuen Rißbildung eine Neuvernetzung notwendig, was zu einem erheblichen Rechenaufwand f¨ uhrt. Um die Neuvernetzung zu vermeiden, k¨onnen im ¨ Ausgangsnetz Verbundelemente zwischen den Betonelementen eingebaut werden, die bei Uberschreiten der Zugfestigkeit ihre Steifigkeit verlieren. Der oben angesprochene Nachteil, daß sich Risse nur entlang der Elementkanten ausbreiten k¨onnen, und eine sehr große Anzahl von Unbekannten lassen auch dieses Verfahren nicht praktikabel erscheinen. Aus den gennanten Gr¨ unden ist das diskrete Rißmodell nur bei speziellen Problemen anwendbar, bei denen wenige große Risse auftreten, deren Verl¨ aufe von vornherein bekannt sind.
2.5. Nachbruchverhalten und Entfestigung
15
Im verschmierten Rißkonzept (smeared crack model) wird das gerissene Medium weiterhin als Kontinuum aufgefaßt, in dem der Verschiebungssprung in der Riߨoffnung u ¨ber eine gewisse L¨ange verschmiert wird. Dies widerspricht zwar der Tatsache, daß die Rißbildung ein lokales Ph¨anomen ist, hat aber den Vorteil, daß sich Risse in beliebiger Richtung ausbreiten k¨onnen, ohne eine Neuvernetzung zu erfordern. Folgende Modelle des verschmierten Rißkonzepts beruhen auf der Elastizit¨atstheorie: - festgehaltenes orthogonales Rißmodell (fixed orthogonal crack model) - festgehaltenes nichtorthogonales Rißmodell (fixed non–orthogonal crack model) - mitdrehendes Rißmodell (rotating crack model). Das bis zum Erreichen der Zugfestigkeit g¨ ultige elastische isotrope Werkstoffgesetz wird im Nachbruchbereich durch eine orthotrope Spannungs–Dehnungsbeziehung ersetzt. Die Achsen der Orthotropie ergeben sich dabei aus den Hauptspannungsrichtungen unter der Annahme, daß ein Riß genau senkrecht zur gr¨ oßten Hauptzugspannung auftritt. Da u ¨ber den Riß immer noch eine Schub¨ ubertragung aufgrund Rißverzahnung (aggregate interlock) und D¨ ubelwirkung der Bewehrungsst¨ abe (dowling action) m¨oglich ist, kann sich die Hauptspannungsrichtung drehen und somit in einer weiteren Richtung am selben Ort ein Riß entstehen. Beim festgehaltenen orthogonalen Rißmodell wird dieser weitere Riß allerdings erst nach einer Drehung der Hauptzugspannung um 90◦ erlaubt. In ebenen Zust¨anden sind demnach nur zwei, in r¨aumlichen Zust¨ anden insgesamt drei Risse an einem Integrationspunkt m¨oglich. Aufgrund der genannten Einschr¨ ankungen kann bei diesem Modell sowohl die Steifigkeit wie auch die Traglast der Struktur u atzt werden. ¨ bersch¨ Beim festgehaltenen nicht orthogonalen Rißmodell wird nach Drehung der Hauptzugspannung um einen gewissen Grenzwinkel (15◦ − 120◦ ) die Bildung eines neuen Risses erlaubt [WH91]. Je nach Grenzwinkel sind somit sehr viele Risse gleichzeitig an einem Integrationspunkt m¨oglich. Da f¨ ur jeden Riß s¨ amtliche Zustandsgr¨oßen abgespeichert und bearbeitet werden m¨ ussen, sind Berechnungen mit dem festgehaltenen nicht orthogonalen Rißmodell sehr aufwendig. Deshalb wird in der neueren Literatur immer mehr auf das mitdrehende Rißmodell u ¨bergegangen. Hier wird immer nur ein einziger Riß je Integrationspunkt betrachtet, der senkrecht zur aktuellen Hauptzugspannung ist. Das hat außerdem den Vorteil, daß im Riß keine Schubspannungen auftreten, da im Hauptachsenkoordinatensystem die Schubspannungen gleich Null sind. Dieses Modell wird zudem durch Versuchsergebnisse gest¨ utzt, die zeigen, daß bei Entstehung eines neuen Risses bestehende Risse am selben Ort sich zu schließen beginnen [HM95]. Die angesprochenen Modelle lassen sich sehr gut mit Werkstoffmodellen kombinieren, die das Verhalten des Betons im Druck–Druck Bereich ebenfalls mit Hilfe der Elastizit¨atstheorie erfassen. Wird letzteres im Rahmen der inkrementellen Plastizit¨atstheorie abgebildet, so ist es besser, auch ein Rißkonzept basierend auf der Plastizit¨ atstheorie zu verwenden. Andernfalls wird von numerischen Problemen berichtet [Fee93], die auftreten, wenn mit gemischten Modellen Versagenszust¨ande im Zug–Druck Bereich nachgerechnet werden. Wird das Rißverhalten mit Hilfe der Fließtheorie modelliert, kommt in der Regel das Rankine–Fließkriterium kombiniert mit einem Entfestigungsgesetz zur Anwendung. Eine isotrope Entfestigung bewirkt, daß bei Entfestigung in einer Richtung die Zugfestigkeit auch in jeder anderen Richtung im gleichen Maße abnimmt. Dies stimmt mit der Realit¨ at nicht u uhrt bei mehraxialen Zugspannungs¨ berein und f¨ zust¨anden zu falschen Ergebnissen. Durch Verwendung einer kinematischen Verfestigung kann
16
Kapitel 2. Grundlagen elasto–plastischer Werkstoffmodelle
dieses Problem teilweise gel¨ ost werden [Fee93]; die dadurch induzierte Anisotropie macht dieses Modell jedoch rechentechnisch aufwendig. Da in dieser Arbeit ein robustes, einfaches Stoffgesetz entwickelt werden soll und in den berechneten Beispielen biaxiale Zugspannungszust¨ande eine untergeordnete Rolle spielen, wird deshalb trotz der angesprochenen Unzul¨anglichkeit auf eine isotrope Entfestigung zur¨ uckgegriffen. F¨ ur das Entfestigungsverhalten eines mehraxialen Spannungszustandes wird, wie im Abschnitt 2.3 erl¨autert, eine einaxiale Spannungs–Dehnungs–Beziehung als Vergleichszustand herangezogen. F¨ uhrt man weggesteuerte Zugversuche an Probek¨orpern mit unterschiedlichen L¨angen durch, so ergeben sich zwar sehr ¨ ahnliche Last–Verschiebungskurven (Bild 2.4), die Spannungs– Dehnungsbeziehungen im Nachbruchbereich unterscheiden sich hingegen stark (Bild 2.5) [VM84]. s te s tu
l + 5Ă cm l + 10Ă cm l + 20Ă cm
Dl
Abbildung 2.4: Einfluß der Probenl¨ange auf die Last–Verschiebungskurve, nach [HM95] s te s tu
l + 5Ă cm l + 10Ă cm l + 20Ă cm
e
Abbildung 2.5: Einfluß der Probenl¨ange auf die Spannungs–Dehnungslinie, nach[HM95] Diese Ergebnisse lassen sich mit dem Ph¨anomen der Lokalisierung erkl¨aren. Das Aufreißen der Zugprobe findet demnach nur lokal in einem schmalen Bereich statt und beruht darauf, daß sich am Ort der gr¨ oßten Querschnittsschw¨achung Mikrorisse zu einem durchgehenden Rißband zusammenschließen. Daher setzt sich im Nachbruchbereich, wie in Bild 2.6 dargestellt, die L¨angen¨anderung einer Zugpobe ∆l aus zwei Anteilen zusammen. W¨ahrend eine elastische Entlastung eine Verk¨ urzung im ungerissenen Teil der Probe bewirkt, f¨ uhrt die Auflockerung in der sogenannten Rißprozeßzone zu einer Riߨoffnungsweite w und somit insgesamt zu einer Verl¨ angerung der Probe
2.5. Nachbruchverhalten und Entfestigung
l
17
s te + 0
ungerissen
s te u 0
gerissen
Dl
w s te s tu
s te
s te
s tu
s tu
=
0
Dl
ǒ Ǔ
arctan Ă E Ă l
0
+
Dl el
0
wu
w
Abbildung 2.6: L¨ angen¨ anderung einer Zugprobe im Nachbruchbereich
∆l =
σte l+w , E
(2.36)
atsdabei bezeichnet σte die u ¨ bertragbare Zugspannung normal zum Riß und E den Elastizit¨ modul des Betons. Wird die L¨ angen¨ anderung ∆l auf die Probenl¨ange l bezogen, l¨aßt sich die mittlere Dehnung des Probek¨ orpers bestimmen
ε =
σte w + , E l
(2.37)
womit die Abh¨ angigkeit der Spannungs–Dehnungsbeziehung von der Probenl¨ange aufgezeigt ist. Damit die Finite–Element–Methode eindeutige Ergebnisse unabh¨angig von der Maschenweite des Elementnetzes liefern kann, ist allerdings eine objektive Spannungs–Dehnungsbeziehung f¨ ur den Nachbruchbereich erforderlich. Eine solche Beschreibung des Entfestigungsverhaltens liefert das Crack Band Model [BO83] oder auch das Fictious Crack Model [HMP76] [DO90]. Das weiterhin betrachtete Fictious Crack Model bildet den Sch¨adigungsbereich in eine infinitesimal schmale Rißprozeßzone ab, in der ein funktionaler Zusammenhang zwischen Riߨoffnungsweite w und der unglichen Modell nach u ¨bertragbaren Zugspannung σte besteht. Diese Beziehung wird im urspr¨ [HMP76] als linear angenommen (Bild 2.7)
bzw.
σte = σtu + N w , 1 (σte − σtu ) . w = N
(2.38) (2.39)
18
Kapitel 2. Grundlagen elasto–plastischer Werkstoffmodelle s te s tu
arctan(N) t 0
0
wu
w
Abbildung 2.7: Lineare Spannungs–Riߨoffnungsbeziehung ur die einaxiale Betonzugfestigkeit und N beschreibt die negative Steigung der Dabei steht σtu f¨ Spannungs–Riߨ offnungsbeziehung
N=
∂σte 0 ,
(2.48)
ur die a¨quivalente L¨ange und somit f¨ ur die folgt unter den Pr¨ amissen σ˙ te < 0 und N < 0 f¨ Elementgr¨oße folgender Grenzwert: Leq < −
E =λ . N
(2.49)
20
Kapitel 2. Grundlagen elasto–plastischer Werkstoffmodelle
Der Parameter λ wird als charakteristische L¨ange eines Materials bezeichnet und berechnet sich f¨ ur eine lineare Entfestigungsbeziehung (Gl. 2.38) zu
λ=
2 Gf E . 2 σtu
(2.50)
F¨ ur Normalbeton nimmt λ Werte zwischen 0, 4 m und 0, 8 m an [Ott86]. Ergibt sich aus der uhrt dies im Modell zu einem schlagartigen Elementgr¨oße eine ¨ aquivalente L¨ ange Leq = λ, so f¨ Entfestigungsverhalten. In der Beziehung zwischen normal zum Riß u ¨bertragbarer Zugspannung ¨ und der mittleren Dehnung ist dieser Fall durch einen senkrecht abfallenden Ast bei Uberschreiten der Zugfestigkeit gekennzeichnet. F¨ ur die Umrechnung eines mehraxialen Spannungszustandes in den einaxialen Vergleichszustand wird wie in Abschnitt 2.3 f¨ ur verfestigendes Material beschrieben auch f¨ ur die Entfestigung eine Arbeitshypothese verwendet. Die freigesetzte Bruchenergie des einaxialen Vergleichszustandes soll gleich der plastischen Dissipationsarbeit des mehraxialen Zustandes sein: σte dεR = σij dεpl ij .
2.5.2
(2.51)
Im Druckbereich
Die Modellierung des unbewehrten Betons im Druckbereich soll auf Grundlage der Plastizit¨ atstheorie erfolgen. Daher wird genauso wie im Zugbereich die Arbeitsverfestigungshypothese verwendet, um den mehraxialen Spannungszustand in der zu untersuchenden Struktur mit einem einaxialen Vergleichszustand in Beziehung zu setzen σce dεDP = σij dεpl ij .
(2.52)
Die daf¨ ur erforderliche einaxiale Spannungs–Dehnungslinie war bereits Gegenstand vieler Untersuchungen und Versuche [Kup72] [VM84], die folgende Erkl¨arung f¨ ur das Materialverhalten des Betons auf einaxialen Druck geliefert haben. Schon im unbelasteten Zustand sind Mikrorisse im Zementstein und zwischen Zuschlag und Zementstein vorhanden. Diese Risse beruhen auf Eigenspannungen, die aufgrund des Schwindens in den Beton eingetragen werden (Bild 2.9a). Bleiben die einaxialen Druckspannungen unterhalb eines Drittels der Betondruckfestigkeit, gibt es kaum ¨ Anderungen im anf¨ anglichen Mikrorißbild. Das Verhalten des Betons ist hier deshalb nahezu ¨ linear–elastisch. Ubersteigen die Spannungen ein Drittel der Druckfestigkeit, kommt es zu einem Anwachsen der Mikrorisse, woraus eine Kr¨ ummung der Arbeitslinie resultiert (Bild 2.9b). In der N¨ahe der maximal aufnehmbaren Druckspannung vereinigen sich Mikrorisse, was zu einer fortschreitenden Zerst¨ orung des Gef¨ uges f¨ uhrt (Bild 2.9c). Nach Erreichen der Traglast bestimmen die lokalen Verformungen in den Bruchfl¨achen den Verlauf der Spannungs–Dehnungsbeziehung und f¨ uhren zur Entfestigung (Bild 2.9d). Wie beim einaxialen Verhalten des Betons auf Zug ist auch hier das Ph¨anomen der Lokalisierung von zentraler Bedeutung. Dies konnte in [VM84] mit einaxialen Druckversuchen an Probek¨orpern von unterschiedlicher H¨ ohe nachgewiesen werden. W¨ahrend im Nachbruchbereich die Probenverk¨ urzungen in Abh¨ angigkeit von der Spannung kaum voneinander abweichen (Bild 2.10), hat die Probenh¨ ohe einen maßgeblichen Einfluß auf die Spannungs–Dehnungsbeziehung (Bild 2.11),
2.5. Nachbruchverhalten und Entfestigung
21
s b) Anwachsen der Mikrorisse s cu
d) Traglast: Bildung von Bruchflächen
c) Vereinigung von Mikrorissen a) Mikrorisse bereits im Initialzustand e
linearelastisch
nichtlineares Verhalten
lokalisiertes Verhalten
Abbildung 2.9: Spannungs–Dehnungslinie eines einaxialen Druckversuches, nach [MK95] sńs max H + 20Ă cm H + 10Ă cm H +Ă Ă 5Ă cm
1,0 0,8 0,6 0,4 0,2
u * u(s max)Ă [mm] 0
-2
-4
-6
-8
-10
Abbildung 2.10: Probenverk¨ urzung [mm] im Nachbruchbereich, nach [VM84] sńs max H + 20Ă cm H + 10Ă cm H +Ă Ă 5Ă cm
1,0 0,8 0,6 0,4 0,2
e [ğ] 0
-2
-4
-6
-8
-10
Abbildung 2.11: Spannungs–Dehnungslinien f¨ ur verschiedene Probenh¨ohen, nach [VM84] da in diesem Fall die lokalen Verformungen mit verschiedenen Bezugsl¨angen in verschieden große Dehnungen umgerechnet werden. Wegen des analogen Verhaltens zur Zugentfestigung bietet es sich an, auch bei der Entfesti-
22
Kapitel 2. Grundlagen elasto–plastischer Werkstoffmodelle
gung unter Druckbeanspruchung das Bruchenergiekonzept zu verwenden. Untersuchungen zur Abh¨angigkeit des Entfestigungsverhaltens von Probengeometrie und Versuchsrandbedingungen werden in [Von92] beschrieben. Dabei zeigt sich, daß die Versuchsrandbedingungen und die Probengr¨oße einen erheblichen Einfluß auf das Entfestigungsverhalten besitzen. Je st¨arker die Reibung zwischen Druckplatte und dem Probek¨orper ist, um so gr¨oßer f¨allt die Behinderung der Querdehnung aus. Das hat im einaxialen Versuch einen dreiaxialen Spannungszustand und somit ein duktileres Verhalten zur Folge. In Abh¨angigkeit vom Widerstand der Druckplatten gegen Rotation kann sich ein mehr oder weniger ungleichf¨ormiger Verformungszustand in der Ebene quer zur Probenachse einstellen. Dies f¨ uhrt ebenfalls zu unterschiedlichem Nachbruchverhalten. Zudem wird in [Von92] gezeigt, daß beim Druckversuch die Lokalisierung weniger ausgepr¨agt ist als beim einaxialen Zugversuch. Deshalb hat auch das Materialverhalten außerhalb der Lokalisierungszone einen Einfluß auf die Entfestigungsbeziehung. Das bedeutet, die spezifische Bruchenergie f¨ ur den Druckbereich setzt sich aus einem lokalen Anteil, der in der Lokalisierungszone freigesetzt wird und daher von der Probenh¨ohe unabh¨angig ist, und einer im Kontinuum verteilt freigesetzten Bruchenergie zusammen, die allerdings eine Abh¨angigkeit von der Probenh¨ ohe zeigt (Bild 2.12). 30 Breite = 50 mm 25
Breite = 100 mm
20 15 Bruchenergie im Kontinuum 10 5 0
lokale Bruchenergie
0
50
100
150
200
250
Probenhöhe [mm]
Abbildung 2.12: Aufteilung in lokale und im Kontinuum verteilte Bruchenergie in Abh¨angigkeit der Probenh¨ ohe, nach [Von92] Trotz der beschriebenen Probleme beim Aufstellen einer einaxialen Entfestigungsbeziehung f¨ ur Beton auf Druck wird im Rahmen dieser Arbeit auch im Druckbereich das Bruchenergiekonzept angewendet. Der Vorteil darin liegt in einem einheitlichen Vorgehen f¨ ur Zug– und Druckbereich, was mit einem numerisch robusten Modell abgebildet werden kann. Aus den streuenden Ergebnissen f¨ ur die spezifische Bruchenergie wird f¨ ur die Berechnung ein Mittelwert herangezogen. Um das Versagen des Betons auf Druck besser modellieren zu k¨onnen, sind in Zukunft noch weitere experimentelle und numerische Untersuchungen erforderlich.
2.5.3
Materialinstabilit¨ at bei entfestigenden Werkstoffgesetz
Die Verwendung einer assoziierten Fließregel bei verfestigenden elasto–plastischen Materialien f¨ uhrt zu einer eindeutigen L¨ osung des inkrementellen Randwertproblems. Dieser Sachverhalt wird durch das Druckersche Stabilit¨ atspostulat wiedergespiegelt
2.5. Nachbruchverhalten und Entfestigung
dεij dσij > 0 ,
23
(2.53)
das besagt, daß die inkrementelle innere Arbeit bei stabilen Werkstoffen positiv sein muß [CH88]. Ganz offensichtlich wird diese Forderung verletzt, falls die Spannungs–Dehnungslinie einen abfallenden Ast besitzt. Denn dann f¨ uhrt ein Dehnungszuwachs zu einem Spannungsabfall und somit zu einem negativen Arbeitsanteil. Weniger anschaulich ist die Verletzung des Postulats bei Anwendung einer nicht assoziierten Fließregel. In diesem Fall kann selbst bei Verwendung eines verfestigenden Materialgesetzes Instabilit¨at auftreten. Da im weiteren nur mit einer assoziierten Fließregel gearbeitet wird, soll forthin nur der erste Fall betrachtet werden. Wird in das Druckersche Stabilit¨ atspostulat (2.53) das inkrementelle elasto–plastische Stoffgesetz (2.14) eingesetzt und der Grenzfall betrachtet ep dεkl = 0 , dεij Cijkl
(2.54)
der den Beginn einer Materialinstabilit¨at kennzeichnet, erkennt man, daß Materialinstabilit¨ at mit dem Verlust der positiven Definitheit des elasto–plastischen Werkstofftensors einhergeht:
ep =0 . det Cijkl
(2.55)
Das bedeutet jedoch, daß f¨ ur das gestellte, statische, physikalisch nichtlineare Randwertproblem keine eindeutige L¨ osung mehr vorliegt, da die Elliptizit¨at des Differentialgleichungssystems, durch das der Gleichgewichtszustand beschrieben wird, verloren geht [dBSMP93]. Materialinstabilit¨ at kann auch zur Systeminstabilit¨at f¨ uhren, falls die Stabilit¨atsdefinition von Hill [Hil58] f¨ ur das Volumen V einer Struktur verletzt wird
dεij dσij dV > 0 .
(2.56)
V
Die Folgen dieser theoretischen Ausf¨ uhrungen werden anhand eines Berechnungsbeispieles in Kapitel 6.2.2 dargestellt. Dort machen sich lokale Materialinstabilit¨aten durch sogenannte Spurious Kinematic Modes bemerkbar. Dies sind u ¨ berz¨ahlige Nullenergieeigenformen eines finiten Elementes, wodurch keine Starrk¨ orperbewegung repr¨asentiert wird. Dieser Effekt, der bereits in [Cri86] [Rot88] [dB89] diskutiert wurde, kann zu Konvergenzproblemen im L¨osungsalgorithmus f¨ uhren, die aber wie in Kapitel 6.2.2 beschrieben numerisch behoben werden k¨onnen. Beg¨ unstigt wird das Auftreten von Spurious Kinematic Modes durch einen steil abfallenden Ast der Entfestigungsbeziehung, reduziert integrierte finite Elemente und durch ein Rißmodell mit feststehender Rißrichtung [Rot88]. Diese Aussagen treffen jedoch uneingeschr¨ankt nur bei unbewehrten Beton zu. Bei Stahlbeton verringert die zus¨atzliche Steifigkeit des Stahls, die mit der des unbewehrten Betons u ¨berlagert wird, die Gefahr des Auftretens von lokalen Instabilit¨aten. Anschaulich gesprochen verhindert die risseverteilende Wirkung der Bewehrung die volle Ausbildung einer Lokalisierungszone. Lokalisierungszonen sind Bereiche mit hohen Dehnungskonzentrationen (z.B. Risse und Scherfugen). Sollen Probleme, die sich aus Materialinstabilit¨aten ergeben, jedoch nicht numerisch sondern grundlegend angegangen werden, so darf nicht auf die klassische Kontimuumstheorie aufgesetzt werden. Speziell um das Lokalisierungsph¨anomen zu erfassen, wurden in der Vergangenheit verschiedene erweiterte Kontinuumstheorien entwickelt. Dies sind
24
Kapitel 2. Grundlagen elasto–plastischer Werkstoffmodelle • die Theorie des nicht lokalen Kontinuums [PCB87][BPC88], • die h¨ oheren Gradienten–Methoden [MA91][dBM92] • die Theorie polarer Medien (z.B. Cosserat–Kontinuum) [Sch62][MV87].
Bei allen diesen Verfahren werden lokal begrenzte Verzerrungskonzentrationen, die sich zum Beispiel aus Rissen ergeben, zugelassen, ohne daß die zugrundeliegende Differentialgleichung ihre Elliptizit¨ at verliert. Die oben aufgez¨ahlten Verfahren werden vor allem im Bereich der Bodenmechanik eingesetzt, da sich hier im Gegensatz zu Stahlbeton aufgrund der fehlenden Bewehrung Lokalisierungszonen unbehindert ausbilden k¨onnen. Das in dieser Arbeit verwendete Materialmodell baut jedoch auf der klassischen Kontinuumstheorie auf. Die oben angesprochenen Konvergenzprobleme, die sich bei unbewehrten oder schwach bewehrten Bauteilen ergeben, werden auf numerischen Weg behoben (Kapitel 6).
Kapitel 3
Grundlagen der Finite–Element–Methode (FEM) 3.1
Das Prinzip der virtuellen Verschiebungen (PvV)
Das PvV stellt eine globale Form des Gleichgewichts im Feld und der statischen Randbedingungen dar [Wun72] [Mal69]. Werden die Gr¨oßen dieses Prinzips auf den Grundzustand (aktuelle, verformte Lage) bezogen, spricht man von der Eulerschen Betrachtungsweise, w¨ahlt man aber den Ausgangszustand (unverformte Lage) als Bezugssystem, wird dies als Lagrangesche Formulierung bezeichnet. Da bei den in dieser Arbeit betrachteten Scheibensystemen nur kleine Verschiebungen auftreten, kann die Geometrie im Laufe des Belastungsprozesses als unver¨anderlich angenommen werden, dadurch verschwindet der Unterschied in den beiden Betrachtungsweisen. Somit stellt sich das PvV in folgender Form dar:
G(ui ; δui ) =
δεij σij dV −
V
δui pV i dV −
V
δui pSi dS = 0 .
(3.1)
Sp
Zur Beschreibung der in Gleichung 3.1 vorkommenden Gr¨oßen wird ein raumfestes, kartesisches Koordinatensystem xi (i = 1, 2, 3) verwendet. Der Vektor ui stellt die Verschiebungen dar, δui sind die virtuellen kinematisch zul¨assigen Verschiebungen, welche auf dem Rand Su die Verschiebungsrandbedingungen einhalten: δui = 0
auf Su .
(3.2)
Aufgrund der bereits oben erw¨ ahnten Annahme kleiner Verschiebungen darf mit linearisierten (infinitesimalen) Dehnungen gerechnet werden, die sich aus dem Green–Lagrangeschen Verzerrungstensor durch Weglassen der quadratischen Terme ergeben:
εij =
1 (ui,j + uj,i + ul,i ul,j ) , 2
(3.3)
→0
∂ui urzung f¨ ur die partielle Ableitung ∂x darstellt. Aus der Verwobei der Ausdruck ui,j eine Abk¨ j tauschbarkeit von Variation und Richtungsableitung ergibt sich die gleiche kinematische Beziehung f¨ ur die virtuellen Gr¨ oßen [RWW93]:
25
26
Kapitel 3. Grundlagen der Finite–Element–Methode (FEM)
1 1 (ui,j + uj,i ) = (δui,j + δuj,i ) . δεij = δ 2 2
(3.4)
Da der unverformte mit dem verformten Zustand zusammenf¨allt, handelt es sich bei σij um den Cauchyschen Spannungstensor. Die Lasten lassen sich in Volumenlasten pV i und Randlasten pSi auf dem Rand Sp unterteilen. Der gesamte Rand setzt sich aus den beiden Teilbereichen Su und Sp zusammen: S = Su + Sp .
(3.5)
W¨ahrend die kinematischen Beziehungen in den Gleichungen (3.3) und (3.4) zu einem symmetrischen Verzerrungstensor f¨ uhren, ist der Rotationstensor ωij , der die Anteile der Starrk¨orperrotationen enth¨ alt, ein antisymmetrischer Tensor:
ωij =
1 (ui,j − uj,i ) . 2
(3.6)
Die virtuelle Arbeit des symmetrischen Spannungstensors σij auf dem antisymmetrischen virtuellen Rotationstensor δωij ist immer gleich Null, daher geht der Rotationstensor nicht in das PvV ein:
1 (δui,j − δuj,i ) σij dV = 0 . 2
(3.7)
V
Wird auf die Gleichung (3.1) die Beziehung (3.7) aufaddiert und die kinematische Gleichung (3.4) eingesetzt, so geht das PvV in folgende Darstellung u ¨ber: V
δui,j σij dV −
δui pV i dV −
V
δui pSi dS = 0 .
(3.8)
Sp
Wendet man auf den ersten Term in Gleichung (3.8) die Regeln der partiellen Integration und den Gaußschen Integralsatz an
δui,j σij dV = V
S
δui σij nj dS − pSi
δui σij,j dV
(3.9)
V
und faßt anschließend Volumen– und Randanteile zusammen, so erh¨alt man folgenden Ausdruck: −
δui (σij,j + pV i ) dV + V
Sp
δui (pSi − pSi ) dS +
δui pSi dS = 0 . Su
=0
(3.10)
Wegen Bedingung (3.2) verschwindet der dritte Term der zuletzt angegebenen Beziehung. Mit dem Fundamentallemma der Variationsrechnung ist die Beziehung (3.10) genau dann erf¨ ullt, wenn die in Klammern stehenden Ausdr¨ ucke zu Null werden. Diese Ausdr¨ ucke stellen die Euler– Lagrangeschen Differentialgleichungen des Variationsproblems (3.1) dar. Damit ist die erste
3.2. Linearisierung des Prinzips der virtuellen Verschiebungen
27
Aussage dieses Abschnittes bewiesen, daß es sich beim PvV um eine integrale Formulierung des Gleichgewichts im Feld und der statischen Randbedingungen handelt [WR95]. Dieser Zusammenhang ist g¨ ultig unabh¨ angig von der Art des Stoffgesetzes und unabh¨angig vom Vorhandensein von Potentialeigenschaften. Zur L¨osung von physikalisch nichtlinearen Problemen muß die Beziehung (3.1) allerdings linearisiert werden; dies wird im n¨achsten Abschnitt erl¨autert.
3.2
Linearisierung des Prinzips der virtuellen Verschiebungen
Im Hinblick auf die Implementierung in ein Finite–Element–Programm wird in diesem Abschnitt auf eine matrizielle Schreibweise u ¨ bergegangen. Da das elasto–plastische Stoffgesetz in inkrementeller Form gegeben ist, muß auch die Last in Inkrementen aufgebracht werden. Im Zusammenhang mit der Inkrementierung wird folgende Schreibweise vereinbart. Am Beispiel des ◦ Vektors der Verschiebungsverl¨ aufe bezeichnet u den zuletzt erreichten Gleichgewichtszustand ˜ steht f¨ (Grundzustand), u beschreibt das Inkrement und u ur den noch unbekannten Zustand nach Aufbringen des aktuellen Lastinkrementes (Nachbarzustand). Die genannten Gr¨oßen stehen in folgendem Zusammenhang: ◦
˜ =u +u . u
(3.11)
Die Bezeichnungen f¨ ur alle weiteren Zustandsgr¨oßen k¨onnen analog den obigen abgeleitet werden. F¨ ur den Grundzustand l¨ aßt sich das Prinzip der virtuellen Verschiebungen folgendermaßen anschreiben: ◦
G(u ; δu) =
T ◦
δε σ dV −
V
◦
δu pV dV − T
V
◦
δuT pS dS = 0 ,
(3.12)
Sp
wobei das hochgestellte T einen transponierten Vektor kennzeichnet und sich die kinematische Beziehung mit Hilfe eines Differentialoperators Du angeben l¨aßt:
ε = Du u und
(3.13)
δε = Du δu .
(3.14)
In dieser Arbeit werden nur Systeme im ebenen Spannungszustand betrachtet, die Operatormatrix lautet f¨ ur diesen Fall
∂ εx ∂x ε = εy = 0 ∂ γxy ∂y
0 ∂ ∂y ∂ ∂x
u v
= Du u .
(3.15)
Dabei bezeichnen die skalaren Gr¨ oßen u und v die Verschiebungsverl¨aufe in x– bzw. in y– Richtung. Da der Zustand des Systems nach dem Aufbringen des n¨achsten Lastinkrementes nicht bekannt ist und die Spannungen σ in Gleichung (3.12) nichtlinear von u abh¨angen, kann ˜ in der Regel nur iterativ ermittelt werden: der neue Verschiebungsverlauf u
28
Kapitel 3. Grundlagen der Finite–Element–Methode (FEM)
˜ i + ∆ui+1 , ˜ i+1 = u u
(3.16)
¨ wobei ∆u die iterative Anderung bezeichnet, und sich der Startwert f¨ ur die Iteration (i = 0) aus folgender Beziehung ergibt: ◦
˜0 = u . u
(3.17)
Zur Iterationsvorschrift gelangt man, indem G(˜ u ; δu) in eine Taylorreihe entwickelt und nach dem linearen Glied abgebrochen wird [HP78]:
G(˜ ui+1 ; δu) = G(˜ ui ; δu) +
δεT V
˜ i ∂˜ ∂σ εi ∆ui+1 dV . ˜i ∂˜ εi ∂ u
(3.18)
Da in dieser Arbeit die ¨ außeren Lasten als unabh¨angig von u angenommen werden und von einer linearen kinematischen Beziehung ausgegangen wird, braucht in der obigen Gleichung nur σ linearisiert zu werden. Der iterative Verschiebungszuwachs ∆ui+1 wird unter der Bedingung berechnet, daß auch das linearisierte G(˜ ui+1 ; δu) im aktuellen Lastinkrement im Laufe des Iterationsprozesses zu Null werden muß:
˜ ep Du ∆ui+1 dV δuT DTu C i
=
V
˜ V dV + δuT p
V
+
˜ S dS − δuT p
Sp
˜ i dV . δuT DTu σ
(3.19)
V
Gleichung (3.19) ergibt sich aus der Beziehung (3.18) indem letztere zu Null gesetzt und f¨ ur die virtuellen Dehnungen die kinematische Beziehung (3.14) herangezogen wird. Die Ableitung der Spannungen nach den Dehnungen im aktuellen Lastinkrement ergeben die konsistente Werkstofftangentenmatrix, die bei Erreichen des Gleichgewichtszustandes mit der Kontinuumstangente identisch ist: ˜i ˜ ep = ∂ σ . C i ∂˜ εi
(3.20)
Die Ableitung der Dehnungen nach den Verschiebungen ist gleich dem Differentialoperator Du . Waren bis zu diesem Punkt alle Gleichungen unabh¨angig von der Berechnungsmethode, wird jetzt auf eine Finite–Element–Formulierung u ¨bergegangen. Im Rahmen der verschiebungsformulierten Finite–Element–Methode wird u ber den Bereich eines Elementes der gleiche Ansatz ¨ sowohl f¨ ur die tats¨ achlichen wie auch f¨ ur die virtuellen Verschiebungen gemacht:
u = Nv δu = N δv .
(3.21) (3.22)
3.2. Linearisierung des Prinzips der virtuellen Verschiebungen
29
Dabei enth¨ alt die Matrix N die einzelnen Formfunktionen, und die Vektoren v bzw. δv beschreiben die diskreten Verschiebungsfreiwerte an den Knoten. F¨ ur das Produkt aus Matrix der Formfunktionen N mit der Operatormatrix Du wird die Matrix B definiert
B = Du N ,
(3.23)
welche somit den Zusammenhang zwischen dem Dehnungsverlauf im Element und den diskreten ¨ Knotenverschiebungen angibt. Zur besseren Ubersichtlichkeit wird die weitere Ableitung unter der Annahme durchgef¨ uhrt, daß das gesamte System nur mit einem Element diskretisiert ist. Im Unterschied zum allgemeinen Fall erspart man sich somit bei Anwendung des Prinzips der virtuellen Verschiebungen die Summenbildung u ¨ ber alle Elemente. Eingesetzt in Gleichung (3.19) ergibt sich damit folgender Ausdruck:
δvT
˜ ep B dV ∆vi+1 = δvT BT C i
V
˜ V dV + δvT NT p V
− δvT
˜ S dS − NT p
Sp
˜ i dV . BT σ
(3.24)
V
Da die Gleichung (3.24) f¨ ur beliebige virtuelle Verschiebungsfreiwerte δv g¨ ultig sein muß, k¨onnen diese auf beiden Seiten des Ausdrucks weggelassen werden, woraus sich folgende, im Rahmen der Finite–Element–Methode bekannte Formulierung ableitet:
˜ i ∆vi+1 = −Ri K ˜ , ˜i − P Ri = F
mit
(3.25) (3.26)
˜ i als konsistente Tangentensteifigkeitsmatrix bezeichnet wird wobei K
˜i = K
˜ ep B dV , BT C i
(3.27)
V
˜ den ¨außeren Lastvektor darstellt P
˜ = P
˜ V dV + NT p V
˜ S dS NT p
(3.28)
Sp
˜ i den inneren Knotenkraftvektor im Iterationsschritt i bezeichnet: und F
˜i = F
V
˜ i dV . BT σ
(3.29)
30
Kapitel 3. Grundlagen der Finite–Element–Methode (FEM)
Das Iterationsschema (3.25) bezeichnet man als vollst¨andiges Newton–Raphson–Verfahren, da ˜ i in jedem Iterationsschritt neu berechnet wird. Liegt der die Tangentensteifigkeitsmatrix K Startwert der Newton–Raphson–Iteration im Bereich der L¨osung, wird eine quadratische Konvergenzrate erreicht. Wird die Tangentensteifigkeitsmatrix nicht in jedem Iterationsschritt neu berechnet, sondern z.B. nur am Anfang jedes Inkrementes, spricht man vom modifizierten Newton–Raphson–Verfahren, allerdings hat dieses Verfahren eine schlechtere Konvergenzrate [Sch89]. Beendet wird die Newton–Raphson–Iteration, sobald jedes der drei folgenden Abbruchkriterien erf¨ ullt ist. Beim Verschiebungskriterium wird der iterative Verschiebungszuwachs ∆vi+1 mit dem Zuwachs im Inkrement vi+1 verglichen
|∆vi+1 | |vi+1 |
εu ≥
(3.30)
vi+1 = vi + ∆vi+1 .
mit
(3.31)
Dabei steht | ... | f¨ ur die euklidische Norm des Vektors: ! " n " |x| = # x2i .
(3.32)
i=1
Dieses Kriterium greift sehr gut im Bereich einer sehr flach verlaufenden Last–Verschiebungs¨ ¨ kurve, d.h. eine große Anderung in den Verschiebungen f¨ uhrt zu kleinen Anderungen in den Kr¨aften. Das Kraftgr¨ oßenkriterium eignet sich im Gegensatz dazu sehr gut im Bereich von steil verlaufenden Last–Verschiebungskurven:
εP
≥
|Ri+1 | ◦
.
(3.33)
˜ P| |P−
Sowohl bei der Verwendung der Verschiebungsnorm wie auch der Kraftgr¨oßennorm k¨onnen Probleme entstehen, da diese Kriterien dimensionsabh¨angig sind. Im Falle des Verschiebungsvektors eines Biegestabes treten als Komponenten Translationen und Rotationen auf, die aufgrund der unterschiedlichen Dimensionen ungleich gewichtet werden. Bei Verwendung einer Energienorm tritt dieses Problem nicht auf:
εE
≥
Ri+1 ; ∆vi+1 ◦
.
˜ P; v P− i+1
Dabei kennzeichnen die spitzen Klammern ... das Skalarprodukt zweier Vektoren.
(3.34)
3.3. Kurvenverfolgungsalgorithmus
3.3
31
Kurvenverfolgungsalgorithmus
Das inkrementelle Vorgehen beim L¨ osen von physikalisch nichtlinearen Problemen in der Strukturmechanik liefert nicht nur die Gleichgewichtslage f¨ ur eine spezielle Laststufe, sondern es wird je Inkrement ein L¨ osungspunkt im Last–Verschiebungsraum berechnet, die miteinander verbunden die Last–Verschiebungskurve wiedergeben. Als Skalierungsfaktor f¨ ur eine vorgegebene Belastung dient der Lastfaktor λ. Er gibt an, welcher Bruchteil einer vorgegebenen ¨außeren Last P0 auf das System aufgebracht ist:
˜ =λ ˜ i P0 = λ ˜i P i
NT pV 0 dV +
V
NT pS0 dS ,
(3.35)
Sp
wobei der Zuwachs des Lastfaktors im Inkrement λ und im Iterationsschritt ∆λ betrachtet werden kann:
◦
˜ i+1 = λ +λi+1 λ
(3.36)
λi+1 = λi + ∆λi+1 .
(3.37)
Mit Hilfe der obigen Definitionen l¨ aßt sich das Newton–Raphson–Verfahren (3.25) folgendermaßen anschreiben:
˜ i P0 − F ˜i . ˜ i ∆vi+1 = ∆λi+1 P0 + λ K
−Ri
(3.38)
Damit befindet sich in Gleichung (3.38) eine weitere Unbekannte, f¨ ur deren Berechnung eine Nebenbedingung eingef¨ uhrt werden muß:
f (∆vi+1 ; ∆λi+1 ) = 0 .
(3.39)
W¨ahrend die Tangentensteifigkeitsmatrix des Systems symmetrisch ist und Bandstruktur aufweist, werden diese f¨ ur das L¨ osen eines Gleichungssystems vorteilhaften Eigenschaften durch die Einf¨ uhrung der Nebenbedingung (3.39) zerst¨ort. Durch Partitionierung des Gleichungssystems wird dieses Problem gel¨ ost. Dazu wird der iterative Verschiebungszuwachs in zwei Komponenten aufgeteilt:
R P + ∆λi+1 ∆vi+1 ∆vi+1 = ∆vi+1
(3.40)
mit
P ˜ −1 P0 = K ∆vi+1 i
(3.41)
und
R ∆vi+1
=
˜ −1 Ri K i
,
(3.42)
32
Kapitel 3. Grundlagen der Finite–Element–Methode (FEM)
angigkeit von der jeweiligen Nebenbedingung berechnet wird. In der oben wobei ∆λi+1 in Abh¨ gezeigten Weise ist es je Iterationsschritt nur einmal n¨otig die symmetrische in Bandstruktur vorliegende Tangentensteifigkeitsmatrix zu invertieren, hinzu kommt ein zweimaliges R¨ uckw¨artseinsetzen. Da am Gleichgewichtspunkt das in Gleichung (3.26) definierte Residuum Ri R zu Null. verschwindet, ergibt sich im Pr¨ adiktorschrit der iterative Verschiebungsanteil ∆vi+1 Die einfachste Nebenbedingung ergibt sich bei Anwendung der sogenannten Laststeuerung. Dazu wird im Pr¨ adiktorschritt, d.h. im ersten Iterationsschritt mit i = 1,
∆λ1 = s
(3.43)
angenommen, wobei s eine vorgegebene Schrittweite im Inkrement darstellt. In den weiteren Iterationsschritten, den Korrektorschritten, wird ∆λi zu Null gesetzt. Nachteilig wirkt sich bei der Laststeuerung aus, daß nur streng monoton steigende Last–Verschiebungspfade nachgefahren werden k¨onnen. Sollen auch Lastumkehrpunkte (limit points) durchfahren werden, so wird eine Wegsteuerung notwendig mit einer Nebenbedingung, die sich im Pr¨adiktorschritt folgendermaßen darstellt
∆λ1 =
s , ek ; ∆v1P
(3.44)
wobei der Vektor ek bis auf den k ten Koeffizienten nur mit Nullen besetzt ist:
eTk = [0, 0, ..., 1, ..., 0, 0] .
(3.45)
Der vorgegebene Skalar s entspricht dem Zuwachs, der dem k ten Knotenfreiwert innerhalb des Inkrements vorgegeben wird. Im Korrektorschritt ¨andert sich die Nebenbedingung zu:
∆λi = −
ek ; ∆viR . ek ; ∆viP
(3.46)
Die beschriebene Wegsteuerung versagt allerdings im Bereich von Verschiebungsumkehrpunkten (snap back). Sollen w¨ahrend des Belastungsprozesses sowohl Lastumkehrpunkte wie auch Verschiebungsumkehrpunkte durchfahren werden, wird eine Nebenbedingung erforderlich, deren Graph nie parallel zur Tangente an den L¨ osungspfad verl¨auft [Bul93]. Anschaulich entsprechen solche Verfahren einer Iteration auf Hyperfl¨ achen, die senkrecht auf geeigneten Referenzrichtungen stehen. Wird als Referenzrichtung die aktuelle Tangente nach dem letzten Iterationsschritt hergenommen, so spricht man von einer Iteration auf der aktuellen Normalenebene (Bild 3.1). Der Pr¨adiktorschritt
∆λ1 =
s |∆v1P |
(3.47)
3.4. Line Search
33 l ~
l1 ~
l2 ~
l3 s
Normale Tangente
~
l° + l 0 °v + ~ v0
~
v1
v3 v2 ~
~
v
Abbildung 3.1: Iteration auf der aktuellen Normalenebene gibt den Abstand der Normalen vom letzten Gleichgewichtspunkt vor. Die Korrektorschritte liefern dann immer Punkte, welche auf der aktuellen Normalenebene liegen:
∆λi = −
∆viP ; ∆viR . ∆viP ; ∆viP
(3.48)
Die vorgestellten Bedingungen kommen im Rahmen dieser Arbeit zur Anwendung, weitere Nebenbedingungen finden sich in [Bul93] und [Sch89]. Um einen Lastumkehrpunkt zu durchfahren, ist es wichtig, ein geeignetes Kriterium zu implementieren, welches u ¨ ber das Vorzeichen des Lastfaktors ∆λi+1 Aufschluß gibt. Eine M¨oglichkeit besteht darin, die Anzahl der negativen Eigenwerte der Tangentialsteifigkeitsmatrix zu bestimmen. Bei einer ungeraden Anzahl ist der Lastfaktor negativ anzusetzen ansonsten positiv. Allerdings versagt diese Methode, falls ein Verzweigungspunkt vorliegt [Fee93]. Eine sehr sichere Methode, die Lastrichtung zu steuern, beruht auf der Auswertung des Skalarproduktes aus dem Verschiebungsvektor im letzten Inkrement und dem neuen Verschiebungspr¨adiktor [Ost83] [Sch92]. Ist das Skalarprodukt positiv, so ist dies im Eindimensionalen als spitzer Winkel zwischen den beiden Vektoren zu deuten. Der Lastfaktor ist dann positiv anzusetzen. Im anderen Fall wird ∆λ negativ angenommen, was im Eindimensionalen leicht einzusehen ist, da hier ein stumpfer Winkel zwischen den beiden angesprochenen Vektoren vorliegt (Bild 3.2) [Bul93].
3.4
Line Search
Aufgrund des hochgradig nichtlinearen Verhaltens von Stahlbeton w¨ahrend der Rißbildung kann es trotz des Einsatzes eines vollst¨ andigen Newton–Raphson–Vefahrens, das in der N¨ahe des L¨osungspunktes eine quadratische Konvergenzrate aufweist, zu Divergenz im L¨osungsalgorithmus kommen. Wie auch in [Cri83] und [Fos92] beschrieben kann dieses Problem durch eine
34
Kapitel 3. Grundlagen der Finite–Element–Methode (FEM) l
l
a u 90°
a t 90° l°n)1 l°n
l°n
l°n*1
l°n*1
°v n*1
v
°v n
°v n*1
Inkrementrichtung
°v n
°v n)1
v
Prädiktor
Abbildung 3.2: Bestimmung des Pr¨adiktorvorzeichens, nach [Bul93] Kombination der Newton–Raphson–Iteration mit einem Line–Search–Verfahren behoben werden. Das Line–Search–Verfahren (eindimensionale Strahloptimierung) wird in der Mathematik verwendet, um bei einem Funktional entlang einer vorgegebenen Suchrichtung das Minimum zu suchen. In der linear–elastischen Strukturmechanik handelt es sich bei dem angesprochenen Funktional um die potentielle Energie im aktuellen Lastinkrement
Π (vi+1 ) =
1 2
T ˜ ˜ i+1 ˜Ti+1 σ ˜ i+1 dV − v ε λi+1 P0 .
(3.49)
V
Vereinfachend soll auch bei dem hier vorliegenden elasto–plastischen Stoffgesetz das Funktional (3.49) als Ausgangspunkt f¨ ur die Herleitung des Line–Search–Verfahrens verwendet werden. Als Suchrichtung wird der Iterationsfortschritt selbst gew¨ahlt, dabei wird aber die iterative ¨ Anderung des Lastfaktors ∆λi+1 konstant gehalten:
R P + ∆λi+1 ∆vi+1 . ni+1 = ∆vi+1
(3.50)
Die Schrittweite η gibt dabei an, in welchem Abstand der neue L¨osungspunkt vom alten entfernt liegt:
vi+1 = vi + η ni+1 .
(3.51)
Um das Minimum der potentiellen Energie in Richtung des Vektors ni+1 zu bestimmen, wird Πi+1 nach η abgeleitet:
˜ i+1 ∂Πi+1 ∂ v ∂Πi+1 = =0 . ˜ i+1 ∂η ∂η ∂v
(3.52)
3.5. Integration des elasto–plastischen Stoffgesetzes
35
˜ i+1 ist mit dem ResiduDie Ableitung der potentiellen Energie nach den Knotenfreiwerten v ˜ i+1 nach der Schrittweite η um der Kr¨ afte Ri+1 identisch. Die Ableitung der Knotenfreiwerte v ergibt bei Verwendung der Nebenbedingungen (3.46) und (3.48) genau den Vektor der Suchrichtung ni+1 , da in diesen Nebenbedingungen ∆λi+1 unabh¨angig von η ist. Somit ergibt sich aus Gleichung (3.52) T ˜ i+1 P0 ni+1 = 0 . BT σ ˜ (vi+1 ) dV − λ
V
(3.53)
RT (vi+1 ) Diese Gleichung wird mit Hilfe des Regula–falsi–Verfahrens gel¨ost, wobei es bei Kombination der Newton–Raphson–Methode mit einem Line–Search–Verfahren nicht notwendig ist, die Bedingung (3.53) exakt zu erf¨ ullen. Es gen¨ ugt ein sogenannter inexakter Line-Search: $ $ $ $ $ $ $ $ T T $R (vi+1 ) ni+1 $ ≤ γ $R (vi ) ni+1 $ .
(3.54)
Dabei ist eine Toleranz γ = 0, 8 ausreichend [Cri91], da geringere Toleranzen zu unwirtschaftlichen Rechenzeiten f¨ uhren.
3.5
Integration des elasto–plastischen Stoffgesetzes
Nach der Berechnung der inkrementellen Verschiebungszuw¨achse auf Systemebene k¨onnen mit Hilfe der kinematischen Beziehungen (Gl. (3.15)) auch die inkrementellen Dehnungszuw¨achse bestimmt werden. Zur Berechnung der Spannungszuw¨achse an den Integrationspunkten dient das differentielle elasto–plastische Stoffgesetz:
σ˙ = Cep (σ ; κ) ε˙ .
(3.55)
Dabei bezeichnet der Punkt u ¨ber den Gr¨oßen eine Ableitung nach der Zeit, wobei die Variable Zeit hier nur ein Maß darstellt, um die inkrementelle Lastaufbringung zu steuern, und nicht mit der eigentlichen Zeit verwechselt werden darf. Unter der Annahme, daß die Dehnungsrate innerhalb eines Inkrementes konstant ist, beschreibt Gleichung (3.55) ein System von gew¨ohnlichen Differentialgleichungen, deren Integration im allgemeinen nur numerisch durchf¨ uhrbar ist, ep da C hochgradig nichtlinear von den Spannungen abh¨angt [SB92]. Zur numerischen Integration von Gleichung (3.55) sind in der Literatur verschiedene Verfahren angegeben [Bat86] [Slo87] [OP85] [ST86], wobei sich die wichtigsten Vorgehensweisen aus der verallgemeinerten Trapezregel ableiten lassen: ◦
˜ = σ +σ σ
σ = C ε − εpl
εpl = λ (1 − α)
(3.56)
(3.57) ∂F ◦
∂σ
+α
∂F ˜ ∂σ
.
(3.58)
36
Kapitel 3. Grundlagen der Finite–Element–Methode (FEM)
In den Gleichungen (3.56) bis (3.58) steht F f¨ ur die verwendete Fließfunktion, Gr¨oßen mit ◦ bezeichnen den Zustand in der letzten Gleichgewichtslage und mit ˜ werden die Gr¨oßen am Ende des aktuellen Inkrementes markiert. Gr¨oßen ohne extra Bezeichnung stellen die inkrementellen Zuw¨achse dar. F¨ ur α = 0 erh¨ alt man aus Gleichung (3.58) das explizite Euler–Vorw¨artsverfahren, f¨ ur α = 1 das implizite Euler–R¨ uckw¨ artsverfahren und f¨ ur α = 12 die implizite Trapezregel. Da die beiden Euler–Verfahren im Rahmen dieser Arbeit zur Anwendung kommen, sollen sie im weiteren erl¨ autert werden.
3.5.1
Das explizite Euler–Vorw¨ artsverfahren
Soll mit dem expliziten Euler–Vorw¨ artsverfahren der inkrementelle Spannungszuwachs ausge◦ ◦ hend von den Zustandsgr¨ oßen der letzten Gleichgewichtslage (σ ; κ) berechnet werden, so muß in einem ersten Schritt das sogenannte Trial–Spannungsinkrement bestimmt werden:
σ trial = C ε und
˜ σ
trial
◦
= σ +σ
(3.59) trial
.
(3.60)
˜ trial innerhalb der Fließfl¨ache, dann hat entweder ausgehend von Liegt der Spannungszustand σ einem plastischen Spannungszustand eine Entlastung oder ausgehend von einem elastischen Spannungszustand eine rein elastische Zustands¨anderung stattgefunden. In beiden F¨allen ist mit Gleichung (3.60) der neue Spannungszustand vollst¨andig bestimmt:
˜ =σ ˜ trial . σ
(3.61)
˜ trial hingegen die Fließbedingung, so liegt im Inkrement eine Belastung vor, wobei Verletzt σ zwei verschiedene Ausgangssituationen denkbar sind. Im einfacheren Fall ist bereits der Zustand ◦ ◦ der letzten Gleichgewichtslage plastisch mit F (σ ; κ) = 0. Andernfalls verh¨alt sich das Material anf¨anglich elastisch, aber innerhalb des Inkrementes wird die Fließgrenze erreicht. Da das Euler– Vorw¨artsverfahren immer direkt von Zust¨anden auf der Fließfl¨ache startet, muß im zweiten Fall dieser Startwert errechnet werden (Bild 3.3):
◦ ◦
F (σ ; κ) = 0 mit
◦
σ
◦
= σ + r σ trial .
(3.62) (3.63)
Im Allgemeinen stellt Gleichung (3.63) eingesetzt in (3.62) eine nichtlineare Gleichung in r dar und wird deshalb iterativ z.B. mit einem Newton–Verfahren gel¨ost (Tabelle 3.1). Die Spannungsintegration mit Hilfe des Euler–Vorw¨artsverfahrens ist mit dem Nachteil behaftet, ˜;κ ˜ ) ≤ 0 erf¨ daß am Inkrementende die Spannungen nicht mehr die Fließbedingung F (σ ullen. Um den Integrationsfehler klein zu halten, wird daher das Inkrement in m Subinkremente unterteilt
∆ε =
1 ε , m
(3.64)
3.5. Integration des elasto–plastischen Stoffgesetzes
37
(1ćr)Ă s trial
s trial
s~Ȁ
s°Ȁ
rĂ s trial
° s F+0
Abbildung 3.3: Suche des elastischen Grenzbereiches
◦
◦
Gegeben:
σ , κ , σtrial
Gesucht:
r
Bedingung:
F σ +r σtrial ; κ = F (r) = 0
Newton–Verfahren:
rn+1 = rn − F (rn )
Abbruchkriterium:
$ $ $ F (rn+1 ) − F (rn ) $ $ $≤δ $ $ F (rn+1 )
◦
◦
∂F (rn ) ∂rn
−1
Tabelle 3.1: Newton–Verfahren zur Bestimmung des Durchstoßpunktes und das Integrationsverfahren f¨ ur jedes Subinkrement durchgef¨ uhrt [CH88]
◦
∆ε − ∆λk
∆σ k = C
◦
∂F (σ k ; κk )
◦
∂σ k
,
(3.65)
wobei nach jedem Subinkrement die Spannungen und der Vektor der inneren Parameter aktualisiert werden m¨ ussen:
◦
◦
σk = σ +
k i=1
◦
˜ =σ m ∆σi mit σ
und
(3.66)
38
Kapitel 3. Grundlagen der Finite–Element–Methode (FEM) ◦
◦
κk = κ +
k
◦
˜ =κm . ∆κi mit κ
(3.67)
i=1
Ist der Startwert des Integrationsverfahrens mit Gleichung (3.63) gegeben, muß in Gleichung ◦
◦
(3.66) σ durch σ und in (3.64) ε durch das Produkt (1 − r) ε ersetzt werden. Der Zuwachs des plastischen Multiplikators im Subinkrement errechnet sich mit Hilfe der Konsistenzbedingung $
dF =
$
T ∂F $$ ◦
T ∂F $$
$ ∆σ k +
◦
∂σ k $
$ ∆κk = 0 ,
(3.68)
∂κk $
wobei man das Subinkrement des Vektors der inneren Parameter nach Gleichung (2.19) aus einer Arbeitsverfestigungshypothese erh¨ alt
◦
◦
∆κk = ψ(σ k ; κk ) ∆λk .
(3.69)
Durch Einsetzen der Gleichungen (3.65) und (3.69) in Gleichung (3.68) erh¨alt man die Bestimmungsgleichung f¨ ur den plastischen Multiplikator im Subinkrement $
T ∂F $$ ◦
∆λk =
$
$ C ∆ε
∂σ k $
$
T T ∂F ∂F $$ ∂F $$ ◦ ◦ − ◦ $ ψ(σ k ; κk ) ◦ $$ C ◦ ∂σ k ∂σ k ∂κk $
,
(3.70)
womit sich alle unbekannten Zustandsgr¨oßen am Ende des Subinkrementes berechnen lassen. ˜ von der FließTrotz der Subinkrementierung l¨ aßt sich ein Abdriften des Spannungszustandes σ fl¨ache nicht vermeiden, d.h. die Fließbedingung wird am Ende des Inkrementes nicht erf¨ ullt:
˜ κ ˜) > 0 . F (σ;
(3.71)
Um dies zu korrigieren, werden die Spannungen normal zur Fließfl¨ache zur¨ uckgezogen:
˜ +α F (σ
∂F ˜) = 0 . ;κ ˜ ∂σ
(3.72)
Der Skalar α wird% aus Gleichung gewonnen. Dazu muß & (3.72) mit Hilfe % des Newton–Verfahrens & ◦ ◦ ∂F trial ˜ κ ˜ ; ∂σ ; r jeweils durch σ; in Tabelle (3.1) σ; κ; σ ˜ ; α ersetzt werden. Die korrigierten Spannungen berechnen sich danach folgendermaßen:
˜ +α ˜ kor = σ σ
∂F . ˜ ∂σ
(3.73)
Die korrigierten Spannungen erf¨ ullen zwar die Fließbedingung, das Korrekturverfahren ist jedoch rein willk¨ urlich und deshalb nur bei geringen Abweichungen von der Fließfl¨ache zu empfehlen.
3.5. Integration des elasto–plastischen Stoffgesetzes
3.5.2
39
Das implizite Euler–Ru artsverfahren ¨ckw¨
Beim Euler–R¨ uckw¨ artsverfahren geschieht der R¨ uckzug der Spannungen normal zur Fließfl¨ache ˜ falls vorher das Trial–Spannungsinkrement in Gleichung (3.60) zu einem im Nachbarzustand σ, unzul¨assigen Spannungszustand außerhalb der Fließfl¨ache gef¨ uhrt hat
σ=C
ε−λ
∂F ˜ ∂σ
.
(3.74)
Das hat den Vorteil, daß die Fließbedingung am Inkrementende im Gegensatz zum Euler– Vorw¨artsverfahren erf¨ ullt wird (Bild 3.4). Außerdem ist das implizite Euler–R¨ uckw¨artsverfahren selbst bei sehr komplexen Fließfl¨ achen numerisch ¨außerst stabil [dBF90][OP85].
° s
° s
C e
C e
s~
ćC C e pl
ćC C e pl
s~
F+0
F+0
Abbildung 3.4: Vorw¨arts- und R¨ uckw¨arts-Euler–Verfahren Da auf der rechten Seite von Gleichung (3.74) die Ableitung der Fließfunktion nach den Spannungen im Nachbarzustand eingeht, der zu diesem Zeitpunkt noch unbekannt ist, handelt es sich hierbei um eine implizit gegebene Beziehung, die iterativ unter Verwendung eines Newton– ˜ i+1 } er˜ i+1 ; κ Verfahrens aufgel¨ ost wird. Die Zustandsgr¨oßen im aktuellen Iterationsschritt {σ ◦ ◦ geben sich aus dem Grundzustand {σ ; κ} und dem inkrementellen Zuwachs {σ i+1 ; κi+1 } zu
◦
◦
˜ i+1 =κ + κi+1 . ˜ i+1 =σ + σ i+1 und κ σ
(3.75)
Das Inkrement der Spannungen bzw. der inneren Parameter muß dabei in jedem Iterationsschritt mit dem iterativen Zuwachs {∆σ i+1 ; ∆κi+1 } aktualisiert werden
σi+1 = σ i + ∆σ i+1 und κi+1 = κi + ∆κi+1 .
(3.76)
Das Iterationsschema des Newton–Verfahrens erh¨alt man, indem die Fließbedingung, das elasto– plastische Stoffgesetz und die Ver– bzw. Entfestigungsbeziehungen linearisiert und ineinander eingesetzt werden.
40
Kapitel 3. Grundlagen der Finite–Element–Methode (FEM) • Linearisierung der Fließbedingung: $
˜ F (σ
i+1
˜ ;κ
i+1
$
∂F $$T ∂F $$T i+1 i+1 ˜ ;κ ˜ )+ ) = F (σ ∆σ + =0 $ i i $ ∆κ ˜ ˜ ∂σ ∂κ i
i
(3.77)
• Linearisierung des elasto–plastischen Stoffgesetzes:
σ
i+1
= σ + ∆σ i
i+1
= C ε−
∂F i+1 =C ε− = i+1 λ ˜ ∂σ
∂2F ∂2F ∂F i+1 + ∆σ + ∆κi+1 2 ˜ i ∂(σ ˜ i∂κ ˜i ∂σ ∂σ ˜ i)
λi + ∆λi+1
⇓
∆σ
= C ε−
i+1
−
∂2F 2
˜ i) ∂(σ
∂F i ∂F ∆λi+1 − i λ − ˜ ˜i ∂σ ∂σ ∆σi+1 λi −
∂2F ∆κi+1 λi − σ i ˜ i∂κ ˜i ∂σ
(3.78)
• Linearisierung der Ver– bzw. Entfestigungsbeziehung: κi+1 = κi + ∆κi+1 = ψ i+1 λi+1 = ∂ψ ∂ψ i i+1 i+1 i i+1 ∆σ + ∆κ λ + ∆λ = ψ + ˜i ˜i ∂σ ∂κ ⇓
∆κi+1
= mit
G−1 ψ i λi + ψ i ∆λi+1 + G = I − λi
∂ψ ∆σ i+1 λi − κi ˜i ∂σ
(3.79)
∂ψ i i i ˜ ˜ und ψ = ψ ; κ σ ˜i ∂κ
• Einsetzen von Gleichung (3.79) in (3.78): C−1 ∆σ i+1 = ε − C−1 σ i −
∂F i ∂F ∂2F i+1 i+1 i λ − ∆λ − λ − 2 ∆σ ˜i ˜i ∂σ ∂σ ˜ i) ∂(σ
−
∆σ
i+1
−1
= A
−
mit
∂ψ ∂2F −1 ψ i λi + ψ i ∆λi+1 + ∆σ i+1 λi − κi λi i i G ˜ ∂κ ˜ ˜i ∂σ ∂σ ⇓ ε − C−1 σi −
∂F i ∂2F −1 ψ i λi − κi λi − i λ − i i G ˜ ˜ ∂κ ˜ ∂σ ∂σ
∂2F ∂F + G−1 ψ i λi ˜ i ∂σ ˜ i∂κ ˜i ∂σ A = C−1 +
∂2F ˜ i) ∂(σ
2
λi +
∆λi+1 ∂2F 2 −1 ∂ψ (λi ) i i G ˜ ∂κ ˜ ˜i ∂σ ∂σ
(3.80)
3.5. Integration des elasto–plastischen Stoffgesetzes
41
• Einsetzen von Gleichung (3.79) in (3.77): $
$
∂F $$T ∂F $$T −1 ∂ψ i+1 ˜ )= ˜ ;κ ∆σ + ψ i λi + ψ i ∆λi+1 + ∆σ i+1 − κi −F (σ i$ i$ G ˜ ˜ ˜i ∂σ ∂κ ∂σ i
i
⇓
˜) = ˜ ;κ −F (σ i
i
$
$
$
∂F $$T −1 ∂ψ i ∂F $$T −1 i ∂F $$T i+1 + G λ ∆σ + G ψ ∆λi+1 + $ $ ˜i ˜i ˜i ˜i $ ∂σ ∂κ ∂σ ∂κ $
∂F $$T −1 i i ψ λ − κi i$ G ˜ ∂κ
+
(3.81)
• Einsetzen von Gleichung (3.80) in (3.81) und Aufl¨osen nach ∆λi+1 :
˜ ) = ˜ ;κ −F (σ i
i
− − +
$
$
∂F $$T −1 ∂ψ i ∂F i ∂F $$T −1 + ε − C−1 σ i − λ− $ i i$ G i λ A ˜ ˜ ˜ ˜i ∂σ ∂κ ∂σ ∂σ
∂2F −1 i i i G ψ λ − κ λi − ˜ i∂κ ˜i ∂σ ∂2F ∂F −1 i i + G ψ λ ∆λi+1 + ˜ i ∂σ ˜ i∂κ ˜i ∂σ
$ $ ∂F $$T −1 i i ∂F $$T −1 i i+1 i G ψ ∆λ + G ψ λ − κ ˜i $ ˜i $ ∂κ ∂κ
⇓
∆λi+1 =
Z N
$
$
(3.82)
∂F $$T −1 ∂ψ i ∂F $$T −1 ˜ )+ ˜ ;κ + G λ A ε − C−1 σ i − mit Z = F (σ ˜i $ ˜i $ ˜i ∂σ ∂κ ∂σ i
i
$
−
∂2F ∂F $$T −1 i i ∂F i −1 i i i i i λ − G ψ λ − κ λ + G ψ λ − κ ˜ ∂σ ˜ i∂κ ˜i ˜i $ ∂σ ∂κ
und N
=
$
$
∂F $$T −1 ∂ψ i ∂2F ∂F $$T −1 ∂F + G λ A + G−1 ψ i λi − ˜i $ ˜i $ ˜i ˜ i ∂σ ˜ i∂κ ˜i ∂σ ∂κ ∂σ ∂σ $
−
∂F $$T −1 i G ψ ˜i $ ∂κ
Die Eingangswerte der impliziten Spannungsintegration mit Hilfe des Newton–Verfahrens sind der inkrementelle Dehnungszuwachs und geeignete Startwerte f¨ ur den Spannungszustand, die inneren Parameter und den plastischen Multiplikator. Im hier vorgestellten Algorithmus wird mit folgenden Startwerten gearbeitet:
42
Kapitel 3. Grundlagen der Finite–Element–Methode (FEM)
◦
˜ i=0 = σ σ
aus Gl. (3.63),
◦
˜ i=0 = κ κ λ
i=0
aus dem Grundzustand,
= 0 .
In der N¨ahe der L¨ osung besitzt das Newton–Verfahren eine quadratische Konvergenzrate, liegt hingegen der Startwert der Iteration außerhalb des Konvergenzbereiches, ben¨otigt das Verfahren sehr viele Iterationsschritte und kann unter Umst¨anden divergieren. In solchen F¨allen ist es notwendig, die Startwerte mit Hilfe eines expliziten Euler–Vorw¨artsverfahrens im Vorlauf wie in Abschnitt 3.5.1 beschrieben zu bestimmen:
◦
˜ i=0 = σ m σ
aus Gl. (3.66),
◦
˜ i=0 = κm κ λi=0 =
m
aus Gl. (3.67), ∆λk
aus Gl. (3.70).
k=1
Der Iterationsalgorithmus wird abgebrochen, wenn die iterativen Zuw¨achse aus den Gleichungen (3.79), (3.80) und (3.82) ins Verh¨altnis gesetzt zu den jeweiligen inkrementellen Gr¨oßen eine vorgegebene Toleranzschranke unterschreiten. Nach Konvergenz des Spannungsintegrationsverfahrens wird unter Einbeziehung der aktuellen Spannungen, den inneren Parametern und dem plastischen Multiplikator die Tangentensteifigkeitsmatrix des Systems aufgestellt, um auf Systemebene aus Gleichung (3.25) den Verschiebungszuwachs im n¨achsten Iterationsschritt berechnen zu k¨ onnen. Solange in der Gleichgewichtsiteration auf Systemebene keine Konvergenz vorliegt, stehen die im impliziten Euler–Verfahren berechneten Spannungen nicht im Gleichgewicht mit den ¨ außeren Lasten. Wird dieser Umstand beim Aufstellen der Werkstoffmatrix an den Gaußpunkten nicht ber¨ ucksichtigt, verliert das Newton–Raphson–Verfahren auf Systemebene seine quadratische Konvergenz [ST85]. Anstatt der sogenannten Kontinuumstangente muß daher die konsistente, elasto–plastische Werkstoffmatrix zum Einsatz kommen. Letztere ergibt sich aus den linearisierten Gleichungen (3.80) und (3.82) unter der Annahme, daß das implizite Spannungsintegrationsverfahren im i ten Iterationsschritt zur Konvergenz gelangt ist, und somit die folgenden Gleichungen erf¨ ullt sind:
˜ in ) = 0 ˜ in ; κ F (σ εn = C−1 σ in + κin = ψ in λin .
(3.83) ∂F i λ ˜ in n ∂σ
(3.84) (3.85)
Dabei kennzeichnet der obere Index wie bisher in Abschnitt 3.5.2 den i ten Iterationsschritt des Integrationsverfahrens, w¨ ahrend der untere Index den n ten Iterationsschritt der globalen Gleichgewichtsiteration markiert. Im (n + 1) ten Schritt der globalen Gleichgewichtsiteration erhalten die inkrementellen Dehnungen einen Zuwachs
εn+1 = εn + ∆εn+1 .
(3.86)
3.5. Integration des elasto–plastischen Stoffgesetzes
43
Werden die Gleichungen (3.83) bis (3.85) in (3.82) und (3.80) eingesetzt, entstehen folgende Beziehungen:
∆λn+1 =
$T $
∂F $ ˜ in $ ∂σ
+
$T $
∂F $ ˜ in $ ∂κ
$T $
∂F $ ˜ in $ ∂σ
G−1
+
∂ψ i λ ˜ in n ∂σ
$T $
∂F $ ˜ in $ ∂κ
A−1
G−1 ∂˜ψi λin A−1 ∆εn+1 ∂σn ∂F ˜ in ∂σ
+
∂2F G−1 ψ in λin ˜ in ∂ κ ˜ in ∂σ
−
$T $
∂F $ ˜ in $ ∂κ
G−1 ψ in (3.87)
−1
∆σn+1 = A
∆εn+1 −
∂2F ∂F −1 i i i + i i G ψ n λn ∆λn+1 ˜ n ∂σ ˜ n∂κ ˜n ∂σ
(3.88)
Durch Einsetzen von Gleichung (3.87) in (3.88) erh¨alt man die gesuchte konsistente, elasto– plastische Werkstoffmatrix:
∆σn+1 = A−1 − A−1 −
$T $
∂F $ ˜ in $ ∂σ
+
∂F ˜ in ∂σ
$T $
∂F $ ˜ in $ ∂σ
$T $
∂F $ ˜ in $ ∂κ
G−1 ∂˜ψi λin ∂ σn
A−1
∆εn+1 $T $ 2F ∂ ψ i i ∂F ∂ ∂F G−1 ˜ i λin A−1 ˜ i + ˜ i ˜ i G−1 ψ n λin − ˜ i $$ G−1 ψ n ∂ σn ∂σn ∂ σ n ∂ κn ∂ κn
+
$T $
∂F $ ˜ in $ ∂κ
∂2F −1 ψ i λi i ˜i G n n ˜ ∂σn∂κ n
+
(3.89)
3.5.3
Absch¨ atzung des zeitlichen Diskretisierungsfehlers
Die in den beiden vorangegangenen Abschnitten vorgestellten Integrationsverfahren gehen von der Annahme aus, daß die Dehnungsrate ε˙ in Gleichung (3.55) innerhalb eines Inkrementes konstant bleibt. Genau genommen trifft diese Annahme nicht zu, da die Richtung der inkrementellen plastischen Dehnungen von der Ableitung der Fließfunktion nach den Spannungen abh¨angig ist. Der durch diese Annahme verursachte Fehler ist von der Gr¨oße der Lastinkremente abh¨angig und wird in diesem Zusammenhang als zeitlicher Diskretisierungsfehler bezeichnet. Um eine ausreichende Genauigkeit der Methode gew¨ahrleisten zu k¨onnen, ist es notwendig, diesen Fehler zu kontrollieren und in dessen Abh¨ angigkeit die Lastschrittweite zu steuern. F¨ ur das implizite Euler–R¨ uckw¨ artsverfahren soll hier deshalb eine Absch¨atzung f¨ ur den zeitlichen Diskretisierungsfehler vorgestellt werden, die in ¨ ahnlicher Weise auch f¨ ur das explizite Euler–Vorw¨artsverfahren verwendet wird [SB92]. Dabei wird die Spannungsintegration f¨ ur ein und dasselbe Inkrement zweimal hintereinander durchgef¨ uhrt. Das erste Mal wird in einem Schritt vorgegangen, das zweite Mal das Inkrement in zwei Subinkremente aufgeteilt. Wie in Bild 3.5 gut zu erkennen ist, kann sich im zweiten Durchlauf die Richtung der inkrementellen plastischen Dehnungen einmal ˜ an den gekr¨ ummten Verlauf der Fließfl¨ache anpassen. Daher stellt der Spannungszustand 2 σ ˜ [PW98]. eine genauere L¨ osung des Problems dar als 1 σ ˜ und 2 σ, ˜ Nimmt man die euklidische Norm aus der Differenz der beiden Spannungsvektoren 1 σ wichtet diese mit der euklidischen Norm der inkrementellen Dehnungen, integriert u ber jedes ¨
44
Kapitel 3. Grundlagen der Finite–Element–Methode (FEM)
C De
s° De
1@e +n
C e
... elastischer Prädiktor
ćC C e pl
... plastischer Korrektor
C e
e pl + ēF ~ Ăl ēss
C De 1 Schritt n=1: 2 Schritte n=2:
1~
s
2~
s
ćC C e pl * C De pl
F+0
Abbildung 3.5: Absch¨ atzung des zeitlichen Diskretisierungsfehlers Element und summiert u ¨ber alle Elemente auf, so kommt man zu einer Energiegr¨oße, die ein Maß f¨ ur den zeitlichen Diskretisierungsfehler im System darstellt: nel $ $ $2 $ ˜ − 1σ ˜ $ |ε| dV η= . $ σ n=0
(3.90)
V
¨ Uberschreitet das Verh¨ altnis des Fehlers zur inkrementellen Systemenergie
H=
nel $ $ $2 $ ˜ $ |ε| dV $ σ
(3.91)
n=0 V
eine voreingestellte Toleranzschranke
δ≥
η , H
(3.92)
so muß das aktuelle Lastinkrement mit einer verk¨ urzten Lastschrittweite nochmals berechnet werden. Die neue Lastschrittweite s (siehe dazu Gleichungen (3.43) bis (3.47)) wird dabei in Anlehnung an [SB92] mit Hilfe der folgenden Beziehung bestimmt:
M=
2η δH
und sneu =
1 alt s . M
(3.93)
Mathematische Grundlage des Fehlersch¨ atzers Der Beweis daf¨ ur, daß mit dem hier vorgeschlagenen Verfahren der Integrationsfehler je Gaußpunkt sogar quantitativ absch¨ atzbar ist, l¨aßt sich im folgenden ohne Einschr¨ankungen erbringen,
3.5. Integration des elasto–plastischen Stoffgesetzes
45
wenn zur Vereinfachung der Schreibweise angenommen wird, daß es sich bei Gleichung (3.55) um eine Beziehung in skalaren Gr¨ oßen handelt und C ep nur von σ abh¨angig ist:
σ(t) ˙ = C ep (σ(t)) ε˙ ,
(3.94)
wobei t einen Parameter darstellt, um die Lastschrittweite zu erfassen (Bild 3.6).
~ s + s(t)
°s + s(t°)
Dt
°t
t
Abbildung 3.6: Spannungszustand in Abh¨angigkeit der Schrittweite ∆t F¨ ur gen¨ ugend kleine Zuw¨ achse kann C ep als linear in σ betrachtet werden, was anhand einer Taylorreihenentwicklung mit Abbruch nach dem linearen Glied gezeigt wird: dC ep ◦ σ(t)− σ + . . . = ◦ dσ ep dC ep ◦ dC ep ◦ σ+... = = ◦ σ(t) + C (σ) − ◦ σ σ d d ◦
C ep (σ(t)) = C ep (σ) +
=
const. C1 σ(t)
const.
+
C2
+ ... .
(3.95)
Damit kann Gleichung (3.94) vereinfachend unter Vernachl¨assigung h¨oherer Glieder in folgende Form gebracht werden
σ(t) ˙ =
- . C1 σ(t) + C2 ε˙ =
= C1 σ(t) + C2 ,
(3.96)
dabei sind die Konstanten C1 und C2 mit der konstant angenommenen Dehnungsrate ε˙ zusamur die lineare, gew¨ohnliche und inhomogene Differentialgleichung mengezogen zu C1 und C2 . F¨ 1. Ordnung (3.96) kann folgende exakte L¨osung angegeben werden, die sich zudem in eine Potenzreihe entwickeln l¨ aßt:
C2 = C1 1 C2 . = 1 + C1 t + C12 t2 + . . . − 2 C1
σ(t) = eC1 t −
(3.97)
46
Kapitel 3. Grundlagen der Finite–Element–Methode (FEM) ◦
Wird zwischen t und t eine diskrete Schrittweite der Gr¨oße ∆t festgelegt, so a¨ndert sich Gleichung (3.97) zu
Lsg
◦ C2 C2 = eC1 t eC1 ∆t − = C1 C1 ◦ 1 2 2 1 = σ(t) 1 + C1 ∆t + C1 ∆t + C2 ∆t + C1 C2 ∆t2 + . . . . 2 2 ◦
◦
σ ˜ = σ(t +∆t) = eC1 (t+∆t) −
(3.98)
Mit dem Euler–R¨ uckw¨ artsverfahren errechnet sich im ersten Durchlauf ohne Subinkrementierung 1σ ˜ zu
◦
◦
˙ ∆t = σ(t) = σ(t +∆t) = σ(t) + σ(t) ◦
= σ(t) + [C1 σ(t) + C2 ] ∆t
◦
σ(t) + C2 ∆t = ˜ = σ(t) = ⇒ σ 1 − C1 ∆t 1
◦
= σ(t) 1 + C1 ∆t + C12 ∆t2 + C2 ∆t + C1 C2 ∆t2 .
(3.99)
Dabei wurde die rechte Seite der Gleichung (3.99) in eine binomische Reihe entwickelt und nach dem quadratischen Glied abgebrochen. Im zweiten Durchlauf wird das Euler–R¨ uckw¨artsverfah2 ˜ zu berechnen. Wie in ren in zwei aufeinanderfolgenden Subinkrementen angewendet, um σ Gleichung (3.99) wird auch hier die binomische Reihe nach dem quadratischen Glied abgebrochen: 1. Subinkrement:
◦
∆t σ t+ 2
◦
= σ(t) 1 + C1
∆t ∆t2 ∆t ∆t2 + C12 + C1 C2 + C2 2 4 2 4
(3.100)
2. Subinkrement:
◦
σ t +∆t
◦
∆t = σ t+ 2
1 + C1
∆t ∆t2 ∆t ∆t2 + C12 + C1 C2 + C2 2 4 2 4
(3.101)
Gleichung (3.100) in (3.101) eingesetzt: 2
◦
˜ = σ t +∆t = ⇒ σ
◦ 3 3 = σ(t) 1 + C1 ∆t + C12 ∆t2 + C2 ∆t + C1 C2 ∆t2 . 4 4
(3.102)
˜ , 1σ ˜ und 2 σ ˜ lassen sich nun die Integrationsfehler aus Aus den Differenzen der Spannungen Lsg σ den beiden Durchl¨ aufen mit dem Euler–R¨ uckw¨artsverfahren absch¨atzen:
3.5. Integration des elasto–plastischen Stoffgesetzes
$ $ $ Lsg $ σ ˜ − 1σ ˜$ $
1 2 2 C ∆t + 2 1 $ $ ◦ 1 $ Lsg $ σ ˜ − 2σ ˜ $ = σ C12 ∆t2 + $ 4 $ $ ◦ 1 $ $ ˜ − 1σ ˜ $ = σ C12 ∆t2 + 2 $ 2σ 2 ◦
= σ
1 C1 C2 ∆t2 2 1 C1 C2 ∆t2 4 1 C1 C2 ∆t2 . 2
47
(3.103) (3.104) (3.105)
Aus den Beziehungen (3.103) bis (3.105) lassen sich folgende Aussagen ableiten: • Die Durchf¨ uhrung des Euler–R¨ uckw¨artsverfahrens bei Aufteilung des Inkrementes in zwei Subinkremente halbiert den Integrationsfehler, der bei einer Integration in einem Schritt entsteht. • Der Integrationsfehler des Euler–R¨ uckw¨artsverfahrens im Inkrement l¨aßt sich mit Hilfe des Ergebnisses aus dem Durchlauf mit zwei Subinkrementen absch¨atzen: $ $
$ $
˜ − 1σ ˜$ . E ≈ 2 $ 2σ
(3.106)
• Die notwendige Anzahl an Subinkrementen m, die am Gaußpunkt notwendig sind, um den relativen Fehler unter eine vorgegebene Schranke δ zu dr¨ ucken, errechnet sich zu: $
$
˜ − 1σ ˜$ 2 $ 2σ . m= | 2σ ˜| δ
(3.107)
• Die Steuerung der Lastschrittweite auf Systemebene mit Beziehung (3.93) geschieht analog zu Gleichung (3.107). Streng mathematisch begr¨ unden l¨aßt sich diese Vorgehensweise im Gegensatz zur Gaußpunktebene nicht mehr. Mit einer Toleranzschranke von δ = 0, 001 wurden im Rahmen dieser Arbeit aber gute Erfahrungen gemacht.
48
Kapitel 3. Grundlagen der Finite–Element–Methode (FEM)
Kapitel 4
Implementierung in ein Finite–Element–Programm Im Rahmen dieser Arbeit wurde in das Finite–Element–Programmpaket ISARES, das am Lehrstuhl f¨ ur Statik der TU M¨ unchen zu Forschungszwecken entwickelt wurde, ein elasto–plastisches Werkstoffmodell f¨ ur Stahlbeton im ebenen Spannungszustand implementiert. Das Modell baut vor allem auf den Arbeiten von [Fee93] und [Din87] auf, wird aber in wesentlichen Punkten modifiziert, um ein robustes numerisches Verhalten zu gew¨ahrleisten. Als finites Scheibenelement wird haupts¨achlich ein isoparametrisches Achtknotenelement mit Serendipity–Verschiebungsans¨atzen [Sch91] auf der Grundlage des Prinzips der virtuellen Verschiebungen verwendet. Die Elementsteifigkeitsmatrix leitet sich aus dem inneren Arbeitsanteil des oben angesprochenen Prinzips durch Einsetzen der Verschiebungsans¨atze, der Kinematik und der konstitutiven Beziehungen ab:
k= V
BT Cep Beton B dV +
BT Cep Stahl B dV +
V
BT CT ST B dV .
(4.1)
V
Die innere Arbeit resultiert dabei aus der des unbewehrten Betons, des Betonstahls und des Tension Stiffening Effektes, der wie in [FdB95a] vorgeschlagen durch eine eigene konstitutive Beziehung erfaßt wird. Die drei Anteile zusammengefaßt ergeben letztendlich eine Elementsteifigkeitsmatrix, in der die oben genannten konstitutiven Beziehungen enthalten sind. In den nun folgenden Abschnitten soll nacheinander auf die einzelnen Anteile detaillierter eingegangen werden.
4.1
Unbewehrter Beton
4.1.1
Bruch- und Fließkriterium
Da Beton im Gegensatz zu Stahl keine eindeutige Fließgrenze aufweist, wird die Fließfl¨ache aus der Bruchfl¨ ache abgeleitet, f¨ ur deren Ermittlung zahlreiche Versuche vorliegen (Bild 4.1). Die Ergebnisse der verschiedenen Biaxialversuche weisen allerdings sehr große Unterschiede auf, die aus einer Versuchsdurchf¨ uhrung mit Behinderung der Querdehnung des Betons im Bereich der Lasteinleitung resultieren. Erst Versuche, bei denen die Reibung zwischen Druckplatte und 49
50
Kapitel 4. Implementierung in ein Finite–Element–Programm
Betonpr¨ ufk¨ orper durch Stahlb¨ ursten oder Gleitmittel herabgesetzt wurde, f¨ uhrten zu aussagekr¨aftigen Ergebnissen [Kup72]. s 2ńfȀ c
1.0
Compression
s 1ńfȀ c Iyengar et al (1965)
Kupfer et al (1969)
Weigler et al (1963) Wastlund (1937)
1.0
Compression
Vile (1968) Mills (1967)
Abbildung 4.1: Bestimmung der Bruchfl¨ache durch Biaxialversuche, aus [CC75] Da sich das Verhalten des Betons im Druck- und Zugbereich stark unterscheidet ist es erforderlich, die Bruchfl¨ ache abschnittsweise zu definieren [OOOL87]. Im Falle des ebenen Spannungszustandes haben sich im Druckbereich das Drucker–Prager–Kriterium [Din87] [Kol88] aber auch das von Mises–Kriterium [Fee93] bew¨ ahrt. In dieser Arbeit wird dem Drucker–Prager–Kriterium der Vorzug gegeben, da es die Versuchsergebnisse besser abbilden kann (Bild 4.2)
F DP (I1 ; J2 ; εDP ) = αI1 + β J2 − σce (εDP ) .
(4.2)
¨ Uber die beiden Parameter α und β kann der Verlauf der Bruchfl¨ache dem tats¨achlichen Materialverhalten angepaßt werden. Dazu gen¨ ugen die Ergebnisse aus zwei Versuchen, in denen die bi festgestellt werden: einaxiale σcu und die biaxiale Druckfestigkeit σcu • Einaxialer Versuch: σ1 = −σcu
σ2 = σ3 = 0
σce = σcu
• Zweiaxialer Versuch (Mittelwert aus 3 Versuchen [Kup72]): bi = −1, 16 σ σ1 = σ2 = −σcu cu
σ3 = 0
σce = σcu
• Einsetzen in das Drucker–Prager–Kriterium:
F DP (I1 ; J2 ; εDP )
=
0
⇒
F DP (I1 ; J2 ; εDP )
=
0
⇒
⇒ α=
4 29
1 −σcu α + √ σcu β = σcu 3 1, 16 −2, 32 σcu α + √ σcu β = σcu 3 √ 33 β= 3 29
4.1.
Unbewehrter Beton
51
Die Fließfl¨ache des Druckbereichs wird aus einer affinen Verkleinerung der Bruchfl¨ache gewonnen, sodaß entsprechend der einaxialen Vergleichsbeziehung die elastische Grenze bei 33% der Druckfestigkeit erreicht wird. Bei steigender Beanspruchung weitet sich die Fließfl¨ache aufgrund isotroper Verfestigung bis zum Erreichen der Bruchfl¨ache auf. Die einsetzende isotrope Entfe¨ stigung nach Uberschreiten der Druckfestigkeit verkleinert die Bruchfl¨ache affin zu ihrer Ausgangsgeometrie. s2 s cu
... Versuche [Kupfer 1973]
s1 s cu
ć1, 0
von Mises
ć1, 0
Rankine
Drucker-Prager s1 s2 + 1
s1 s 2 + 0.52
s1 s 2 + 0.22
Abbildung 4.2: Bruchfl¨ache, Versuch und verschiedene Kriterien Im Zugbereich kommt das Rankine–Kriterium zur Anwendung, was auch unter der Bezeichnung Tension cut off in der Literatur bekannt ist und vielfach verwendet wird [MK95] [FdB95b]; unter anderem kommt es auch bei bodenmechanischen Problemstellungen [Cra80] zur Anwendung:
F R (σ1 ; εR ) = σ1 − σte (εR ) .
(4.3)
Auf Zug verh¨ alt sich der Beton bis zum Erreichen der Zugfestigkeit fast vollst¨andig linear elastisch [Cur87]. Es gibt demnach keine Fließfl¨ache in diesem Bereich, oder anders gesagt f¨allt die ¨ Fließfl¨ache mit der Bruchfl¨ ache zusammen. Die isotrope Entfestigung nach Uberschreiten der Zugfestigkeit f¨ uhrt auch beim Rankine–Kriterium zu einer Verkleinerung affin zur Ausgangsfließfl¨ache. Wie bereits im Abschnitt 2.4 angesprochen f¨ uhrt die Verwendung eines Mehrfl¨achenmodells zu Problemen an den Schnittpunkten der einzelnen Bruchfl¨achen, da dort das Kriterium nicht stetig differenzierbar ist. Die verallgemeinerte Koitersche Fließregel (siehe Gl. (2.35)) [Koi53] bietet hier zwar einen Ausweg, f¨ uhrt aber zu einem erh¨ohten rechnerischen Aufwand. Eine weitaus elegantere L¨ osung stellt die Entwicklung einer stetig differenzierbaren Fließfl¨ache dar, die sich zudem noch mathematisch geschlossen in einer einzigen Gleichung angeben l¨aßt. Dadurch werden vielfache Fallunterscheidungen im Algorithmus vermieden. Eine solche Darstellung des Bruch– bzw. Fließkriteriums l¨ aßt sich mit Hilfe von superquadratischen Funktionen entwickeln,
52
Kapitel 4. Implementierung in ein Finite–Element–Programm
ein Vorgehen, das bereits seit einiger Zeit in CAD–Programmen angewendet wird [WP89]. Dazu m¨ ussen die im Mehrfl¨ achenmodell vorhandenen Fließbedingungen Fi (σ; κ) ≤ 0 in Beziehungen der Form
F i (σ; κ) ≤ 1
(4.4)
umgewandelt werden. Die geschlossene mathematische Darstellung des Modells erh¨alt man durch Potenzierung und Summierung u ¨ ber alle k Teilfließbedingungen:
Fges (σ; κ) =
k
m
Fi − 1 ≤ 0
m 1 ∈ IN .
mit
(4.5)
i=1
Die Funktionsweise des somit entstandenen, stetig differenzierbaren Mehrfl¨achenmodells kann sehr einfach erkl¨ art werden. Ist ein bestimmtes Einzelkriterium aktiv, d.h. F i (σ; κ) = 1, so geht ur alle anderen Kriterien muß dieses mit der m ten Potenz voll in das Gesamtkriterium ein. F¨ u hrt, daß die entdemnach F j (σ; κ) < 1 gelten, was aufgrund des hohen Exponenten dazu f¨ m 1. sprechenden Terme im Gesamtkriterium fast vollst¨andig verschwinden, d.h. F j (σ; κ) In den beiden folgenden Unterabschnitten soll die hier allgemein gezeigte Umformung auf das Rankine– und das Drucker–Prager–Kriterium angewendet und somit eine geschlossene mathematische Darstellung der Bruchfl¨ ache f¨ ur Beton im ebenen Spannungszustand gewonnen werden.
Umformung des Rankine–Kriteriums Ausgehend von der konventionellen Darstellung des Rankine–Kriteriums
F R (σ; εR ) = σ1 − σte ≤ 0
(4.6)
kommt man durch algebraisches Umstellen zu folgenden Beziehungen:
1 1 (σ1 − σ2 ) + (σ1 + σ2 ) ≤ σte 2 2 σd σm σd ≤ σte − σm
≥0
R
F (σ; εR ) =
R
σd σte − σm
m
≥0
≤1 .
(4.7)
unschte Beziehung dar, da der FunktionsDie Funktion F (σ; εR ) stellt jedoch noch nicht die gew¨ wert selbst und die Ableitungen der Funktion nach den Spannungen an der Stelle σ1 = σ2 = σte
4.1.
Unbewehrter Beton
53
nicht definiert sind. Nimmt man im Z¨ ahler des gebrochenen Terms in Beziehung (4.7) einen konstanten Term hinzu und versieht zus¨ atzlich jeden Term mit einem geradzahligen Exponenten m, so kann eine Ausrundung der Ecke erzielt werden (Bild 4.3):
F
Rh
(σ; εR ) =
σdm − (µσte )m ≤1 (σte − σm )m
m = 2n ∈ IN .
mit
(4.8)
mĂ s te
s2 s te
mĂ s te F
Rh
+1 s1
s te
R
F +1
Abbildung 4.3: Umgeformtes Rankine–Kriterium mit und ohne Erg¨anzungsterm µσte Im Bild 4.4 l¨ aßt sich der Einfluß des Ausrundungsparameters µ und des Exponenten m studieren. Mit wachsendem µ wird die Ecke immer weiter nach innen gezogen, mit zunehmendem m erfolgt die Ausrundung mit immer kleiner werdendem Kr¨ ummungsradius. Im Rahmen dieser Arbeit wird µ = 0, 1 und m = 32 gew¨ ahlt. Ein zu hoher Exponent m kann in der Berechnung zu numerischen Problemen f¨ uhren und sollte deshalb nicht verwendet werden. s2
s2
s te
s te
s1
s1 s te
s te Rh
F + 1Ă Ă mitĂ Ă m + 2 m+0 m + 0.1 m + 0.25 m + 0.5
m+0 Rh
F + 1Ă Ă mitĂ Ă m + 0.5 m+2 m+4 m + 32
Abbildung 4.4: Einfluß des Ausrundungsparameters µ und des Exponeneten m
54
Kapitel 4. Implementierung in ein Finite–Element–Programm
Umformung des Drucker–Prager–Kriteriums Die Umformung des Drucker–Prager–Kriteriums vollzieht sich wesentlich einfacher als die des Rankine–Kriteriums:
F DP (σ; εDP ) = αI1 + β J2 − σce ≤ 0
(4.9)
β J2 ≤ σce − αI1
≥0
F
DP
√ β J2 (σ; εDP ) = σce − αI1
≥0
m
≤1 .
(4.10)
Unabh¨angig vom Exponenten unterscheidet sich die Darstellung des modifizierten Kriteriums DP F (σ; εDP ) = 1 im Hauptspannungsraum nicht von der des Drucker–Prager–Kriteriums in Gleichung (4.9).
Addition der Einzelkriterien Gem¨aß Gleichung (4.5) erh¨ alt man aus den umgeformten Kriterien (4.8) und (4.10) ein mathematisch geschlossen darstellbares Bruchkriterium f¨ ur Beton: √ σdm − (µσte )m (β J2 )m + −1 ≤ 0 , F (σ; κ) = (σte − σm )m (σce − αI1 )m
mit
κ=
εR εDP
und
(4.11)
m = 2 n ∈ IN .
Beim Arbeiten mit dem Kriterium (4.11) besteht die Gefahr, daß die Nenner der gebrochenen Terme zu Null werden. Dies ¨ außert sich bei Darstellung des Kriteriums im Hauptspannungsraum dadurch, daß l¨ angs der Geraden σ2 = 2 σte − σ1 die Funktion F (σ; κ) gegen unendlich große Werte strebt, und daß im Bereich σ1 = σ2 = σte zwei H¨ohenlinien fur F (σ; κ) = 0 vorhanden sind, die nur durch die angesprochene Gerade voneinander getrennt sind (Bild 4.5). Innerhalb des Berechnungsalgorithmus kann dies zu numerischen Problemen f¨ uhren. Außerdem ist in den oben angegebenen Bereich die Eindeutigkeit der Bedingung (4.11) nicht mehr gew¨ahrleistet. Um die angesprochenen Schwierigkeiten zu umgehen, wird die Beziehung (4.11) in eine nennerfreie Darstellung u uhrt: ¨bergef¨
F (σ; κ) = [σdm − (µσte )m ] [σce − αI1 ]m + β J2 − [σce − αI1 ]m [σte − σm ]m ≤ 0 .
m
[σte − σm ]m (4.12)
4.1.
Unbewehrter Beton
55 s2 s cu FȀ + 10 5 FȀ + 10 6 FȀ + 10 7 FȀ + 0 ć1, 0
s1 s cu
FȀ + 0 ć1, 0 FȀ + 10 5
FȀ + 10 6
FȀ + 10 7
s2 s cu
s1 s cu
ć1, 0 F+0
ć1, 0
F+1 F+2 F+3
Abbildung 4.5: Geschlossene Fließfunktion in gebrochener (oben) und nennerfreier Darstellung (unten) Damit ist zwar das Problem der zu Null werdenden Nenner beseitigt, allerdings mit dem Nachteil, daß in der nennerfreien Darstellung (4.12) eine Differenz großer Zahlen vorliegt, was sich numerisch sehr ung¨ unstig auswirken kann. Nachdem der letzte Term in Beziehung (4.12) mit positivem Vorzeichen auf die rechte Seite gebracht worden ist, kann dieses Problem durch Ziehen der m ten Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung behoben werden:
F (σ; κ) =
/ m - m . σd − (µσte )m [σce − αI1 ]m + β J2 [σte − σm ]m
m
− [σce − αI1 ] [σte − σm ] ≤ 0 ,
(4.13)
56
Kapitel 4. Implementierung in ein Finite–Element–Programm
mit
κ=
εR εDP
m = 2 n ∈ IN .
und
Die Vorteile des durch Gleichung (4.13) definierten Bruchkriteriums werden in Bild 4.5 verdeutlicht. Aufgrund der nennerfreien Form sind weder Unendlichkeitstellen noch große Gradienten vorhanden. Die L¨ osung F (σ; κ) = 0 ist eindeutig und es treten keine Differenzen großer Zahlen mehr auf. Die Beziehung (4.13) wird daher in dieser Arbeit als Bruch– bzw. Fließkriterium f¨ ur unbewehrten Beton verwendet. F¨ ur die Spannungsintegration mit dem impliziten Euler–Vorw¨artsverfahren und f¨ ur den Aufbau der konsistenten elasto–plastischen Tangente werden die Ableitungen der Fließfunktion nach den Spannungen und nach den inneren Parametern ben¨otigt. Zur Berechnung dieser Ableitungen werden f¨ ur das Kriterium (4.13) folgende Abk¨ urzungen eingef¨ uhrt:
F (σ; κ) =
m
f1 g2 + f2 g1 −
√
m
g1 g2 ≤ 0 ,
f1 (σ; εR ) = σdm + [µ σte ]m
mit
(4.15)
m
g1 (σ; εR ) = [σte − σm ] f2 (σ) =
β J2
(4.16)
m
g2 (σ; εDP ) = [σce − αI1 ]
(4.14)
(4.17) m
.
(4.18)
Die Hilfsfunktionen sind so gew¨ ahlt, daß sich durch die Abk¨ urzungen mit Index 1 das ausgerundete Rankine–Kriterium (Gl. 4.8) und durch die Abk¨ urzungen mit Index 2 das umgeformte Drucker–Prager–Kriterium (Gl. 4.10) darstellen lassen:
F F
Rh
DP
(σ; εR ) =
(σ; εDP ) =
f1 ≤1 g1 f2 ≤1 . g2
(4.19) (4.20)
Diese Unterscheidung nach den urspr¨ unglichen Teilkriterien des Mehrfl¨achenmodells ist ¨außerst wichtig, da zur unabh¨ angigen Steuerung der Ver– bzw. Entfestigung im Druck– und Zugbereich die Richtung der plastischen Dehnungen in zwei Komponenten zerlegt werden muß. Die eine Komponente muß sich dabei eindeutig dem ausgerundeten Rankine–Kriterium (Gl. 4.8) die andere dem umgeformten Drucker–Prager–Kriterium (Gl. 4.10) zuordnen lassen:
ε˙ pl =
∂F ˙ λ= ∂σ
˙ pl = ε˙ pl 1 +ε 2 =
∂F1 ˙ ∂F2 ˙ λ+ λ . ∂σ ∂σ
(4.21)
4.1.
Unbewehrter Beton
57
∂F2 1 Die beiden Komponenten ∂F ∂ σ und ∂ σ ergeben sich, indem in der Ableitung des Fließkriteriums (Gl. 4.14) nach den Spannungen die Ableitungen der Hilfsfunktionen mit gleichen Indizes zusammengefaßt werden:
∂F ∂σ
= − =
1 1 ∂f1 ∂g2 ∂f2 ∂g1 − [f1 g2 + f2 g1 ] m −1 g2 + f1 + g1 + f2 m ∂σ ∂σ ∂σ ∂σ 1 1 ∂g2 −1 ∂g1 m = [g1 g2 ] g2 + g1 m ∂σ ∂σ ∂F1 ∂F2 + , ∂σ ∂σ
(4.22)
mit
∂F1 ∂σ
∂F2 ∂σ
=
1 1 1 ∂g1 1 ∂f1 ∂g1 [f1 g2 + f2 g1 ] m −1 g2 + f2 − [g1 g2 ] m −1 g2 m ∂σ ∂σ m ∂σ
=
(4.23)
1 1 1 ∂g2 1 ∂f2 ∂g2 [f1 g2 + f2 g1 ] m −1 g1 + f1 − [g1 g2 ] m −1 g1 . m ∂σ ∂σ m ∂σ
(4.24)
s2 s1 s te
F+0
ēF ēss
* s ce
DP ēF 2 + s ēF ēss ēss
Rh ēF 1 + r ēF ēss ēss
Abbildung 4.6: Ableitung der geschlossenen Fließfunktion mit den Komponenten des Rankine– und des Drucker–Prager–Kriteriums 2 achlich parallel Im folgenden soll bewiesen werden, daß die Richtung der 2. Komponente ∂F ∂ σ tats¨ ist zur Ableitung des umgeformten Drucker–Prager–Kriteriums (Gl. 4.20) nach den Spannungen und sich somit die beiden Vektoren nur um einen skalaren Faktor s unterscheiden. Die Ableitung des umgeformten Drucker–Prager–Kriteriums nach den Spannungen l¨aßt sich folgendermaßen anschreiben:
DP
∂F ∂σ
=
∂f2 −1 ∂g2 g2 − f2 g2−2 . ∂σ ∂σ
(4.25)
58
Kapitel 4. Implementierung in ein Finite–Element–Programm
Unter der Voraussetzung, daß der aktuelle Spannungszustand auf der Fließfl¨ache liegt, d.h. in Beziehung (4.14) das Gleichheitszeichen zutrifft, l¨aßt sich folgende Identit¨at angeben:
f1 g2 + f2 g1 = g1 g2 .
(4.26)
Durch Einsetzen dieser Identit¨ at in Beziehung (4.24) ergibt sich:
∂F2 ∂σ
= =
1 1 ∂g2 ∂g2 ∂f2 [g1 g2 ] m −1 g1 + f1 − g1 = m ∂σ ∂σ ∂σ
1 ∂f2 −1 ∂g2 f1 1 −1 m [g1 g2 ] g + − g2 = m ∂σ 2 ∂σ g1 g2
1 ∂f2 −1 ∂g2 −g22 1 [g1 g2 ] m g2 − f2 g2−2 = ∂σ f2 m ∂σ s DP ∂F ∂σ
f1 − g2−1 g1 g2
=
DP
∂F = s ∂σ
,
mit nachfolgender Nebenrechnung unter Einbeziehung von Gleichung (4.26):
−g22 f2
f1 − g2−1 g1 g2
= =
−f1 g2 + (g1 g2 ) = f2 g1 −f1 g2 + (f1 g2 + f2 g1 ) =1 . f2 g1
1 Analog l¨aßt sich zeigen, daß sich der Vektor ∂F ∂ σ nur um einen skalaren Faktor r von der Ableitung des ausgerundeten Rankine–Kriteriums (Gl. 4.19) unterscheidet. Damit wird es m¨oglich u ¨ber zwei verschiedene Arbeitsverfestigungshypothesen die Ver- bzw. Entfestigung der beiden Kriterien unabh¨ angig voneinander zu steuern, obwohl mit Beziehung (4.13) nur eine geschlossene Darstellung der gesamten Fließfl¨ ache vorliegt. Anschaulich bedeutet dies, daß ein Probek¨orper der vorher auf Zug bis zur vollst¨ andigen Entfestigung belastet wurde, nach einer Lastumkehr immer noch Druckspannungen aufnehmen kann. Die Arbeitsverfestigungshypothese f¨ ur den Zugbereich lautet
σte ε˙R = σ T ε˙ pl 1 ⇒ ε˙R =
1 T pl 1 T ∂F1 ˙ σ ε˙ 1 = σ λ , σte σ ∂σ te = γR
die Arbeitsverfestigungshypothese f¨ ur den Druckbereich:
(4.27)
4.1.
Unbewehrter Beton
59
σce ε˙DP = σT ε˙ pl 2 ⇒ ε˙DP =
1 T pl 1 T ∂F2 ˙ σ ε˙ 2 = σ λ . σce σ ∂σ ce = γDP
(4.28)
Die beiden Ver- bzw. Entfestigungsbeziehungen k¨onnen in Vektorschreibweise zusammengefaßt angegeben werden:
κ˙ = ψ λ˙ ,
κ˙ =
mit
4.1.2
(4.29)
ε˙R ε˙DP
und
ψ=
γR γDP
.
Einaxiale Entfestigungsbeziehung im Zugbereich
Zur Anwendung der im letzten Abschnitt beschriebenen Arbeitsverfestigungshypothese muß die einaxiale Spannungs–Dehnungsbeziehung des Betons auf Zug bis zur vollst¨andigen Entfestigung bekannt sein. Erste Versuche wurden bereits 1963 bis 1968 durchgef¨ uhrt und sind im Bild 4.7 als Spannungs–Dehnungslinie angegeben. Neuere Versuchsergebnisse sind im Bild 4.8 zu sehen, hier allerdings als Spannungs–Verformungskurven dargestellt. sx
ƪmmN ƫ 2
Hilsdorf
2,0
Evans, Marathe
1,0
Hughes, Chapman 0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
e x [ oń oo ]
Abbildung 4.7: Spannungs–Dehnungsverl¨aufe, entnommen aus [Bra88] Der Grund f¨ ur die unterschiedliche Darstellungsweise liegt in der Erkenntnis, daß der Spannungs– Dehnungsverlauf eines einaxialen Zugversuches im Gegensatz zur Spannungs–Riߨoffnungsbeziehung von der Probengeometrie abh¨ angig ist. Dieser Sachverhalt wurde bereits in Abschnitt 2.5.1 beschrieben und soll daher hier nicht weiter erl¨autert werden. Die dargestellten Kurven weisen aber alle die gleichen Charakteristiken auf. Bis zu einer Spannung von 80 bis 90% der Zugfestigkeit verh¨alt sich der Beton nahezu linear–elastisch, erst dar¨ uber werden die Verl¨aufe nichtlinear, was auf das Anwachsen von Mikrorissen im gesamten Probek¨orper zur¨ uckzuf¨ uhren ist. Nach ¨ Uberschreiten der Zugfestigkeit f¨ uhren die Mikrorisse, die dann nur noch innerhalb eines kleinen
60
Kapitel 4. Implementierung in ein Finite–Element–Programm sx
ƪmmN ƫ 2
4,0 Petersson 3,0
2,0
1,0
0,0
Reinhardt Shah 0
20
40
60
80
100
120
w [mm]
Abbildung 4.8: Spannungs–Verformungskurven, entnommen aus [Bra88] Bereiches in der sogenannten Rißprozeßzone zunehmen, bei abnehmender Festigkeit zu einem weiteren Verformungszuwachs. Die restliche Probe entlastet dabei elastisch. Zur Abbildung dieses Vorganges mit Hilfe des Bruchenergiekonzeptes werden der Elastizit¨atsmodul, die Zugfestigkeit, die spezifische Bruchenergie und die Form des Entfestigungsverlaufes ben¨otigt. Die spezifische Bruchenergie ist weitgehend von Probengr¨oße und Pr¨ ufmethode unabh¨angig [Cur87] und stellt somit einen objektiven Werkstoffparameter dar, dessen experimentelle Bestimmung z.B. in [Bra88] beschrieben steht. Falls f¨ ur den Beton keine Meßwerte vorliegen, kann gem¨ aß [CF90] die spezifische Bruchenergie in Abh¨angigkeit von der mittleren Betondruckfestigkeit fcm und dem Gr¨oßtkorn des Zuschlags dmax bestimmt werden :
Gf mit
fcm0
fcm fcm0 = 10 MP a . = Gf 0
0,7
(4.30) (4.31)
Der Grundwert der spezifischen Bruchenergie Gf 0 ist Tabelle 4.1 zu entnehmen. Die mittlere Druckfestigkeit berechnet sich aus der charakteristischen Betondruckfestigkeit fck nach [CF90] zu:
fcm
MN = fck + 8 m2
.
(4.32)
F¨ ur den Entfestigungsverlauf wurden in fr¨ uheren Berechnungen ein linearer oder auch ein bilinearer Verlauf angenommen (Bild 4.9) [Pet81]. Der bilineare Verlauf wurde im Model Code 90 [CF90] als Grundlage f¨ ur nichtlineare Berechnungsverfahren u ¨ bernommen. Diese Verl¨aufe n¨ahern die Versuchsergebnisse zwar nur grob an, haben aber den Vorteil einer einfachen Formulierung. In [Hor91] sind Ergebnisse aus verschiedenen Zugversuchen zusammengetragen und in ein Spannungs–Riߨoffnungsdiagramm eingezeichnet worden. Zum Vergleich werden die Riߨoffnungswei¨ ten auf die Offnungsweite wu , bei der die Probe vollst¨andig entfestigt ist, bezogen, und die Spannungen in Relation zur Zugfestigkeit σtu gesetzt (Bild 4.10).
4.1.
Unbewehrter Beton
61
dmax [mm]
Gf 0
MN m m2
8
2, 5 · 10−5
16
3, 0 · 10−5
32
5, 8 · 10−5
Tabelle 4.1: Grundwert der spezifischen Bruchenergie, entnommen aus [CF90] s te
s te
s tu
s tu G f + 1 s tu ǒw 1 ) 0, 15 w uǓ 2
G f + 1 s tu w u 2
0, 15 s tu 0
wu
0
0
w
0
wu
w1
w
Abbildung 4.9: Annahme einer linearen bzw. bilinearen Spannungs–Riߨoffnungsbeziehung Wie man in Bild 4.10 erkennen kann, weichen die Versuchsergebnisse nur wenig voneinander ab und k¨onnen recht gut mit einer exponentiellen Entfestigungsbeziehung [Fee93] approximiert werden (Bild 4.11). Die Implementierung eines entfestigenden Werkstoffgesetzes in ein Finite–Element–Programm erfordert jedoch keine Spannungs–Riߨoffnungsbeziehung, sondern eine Spannungs–Dehnungsbeziehung. Wie im Abschnitt 2.5.1 beschrieben steht, wird dazu die Riߨoffnungsweite w u ¨ ber die ange Leq , wodurch die Gr¨oße des finiten Elementes eingeht, verschmiert ¨aquivalente L¨
εR =
w . Leq
(4.33)
1.0 0.8 s s tu
0.6 0.4 0.2 0
0
0.2
0.6
0.4
0.8
1.0
w wu
Abbildung 4.10: Dimensionlose Darstellung verschiedener Zugversuche, nach [Hor91]
62
Kapitel 4. Implementierung in ein Finite–Element–Programm s te s tu
G f + s tu w u
0 0
wu
w
Abbildung 4.11: Annahme einer exponentiellen Spannungs–Riߨoffnungsbeziehung Im Rahmen dieser Arbeit wird sowohl der einfache lineare Verlauf
εR 1− εRu
σte (εR ) = σtu εRu =
mit
(4.34)
2Gf , σtu Leq
(4.35)
wie auch der exponentielle Verlauf nach [Fee93]
σte (εR ) = σtu εRu =
mit
−εR exp εRu
Gf σtu Leq
(4.36) (4.37)
verwendet. Der Parameter εRu berechnet sich jeweils aus der Bedingung, daß die Fl¨ache unter der Spannungs–Riߨ offnungsbeziehung gleich der spezifischen Bruchenergie sein muß. Im Berechnungsalgorithmus wird zudem die Ableitung der Entfestigungsbeziehung nach dem inneren otigt. Diese lautet f¨ ur die lineare Beziehung (4.34) Parameter εR ben¨
σtu ∂σte =− , ∂εR εRu
(4.38)
f¨ ur die exponentielle Beziehung (4.36)
σtu −εR ∂σte =− exp ∂εR εRu εRu
4.1.3
.
(4.39)
Ver– und Entfestigungsbeziehung im Druckbereich
F¨ ur die Entfestigungsbeziehung im Druckbereich kommt ebenfalls das Bruchenergiekonzept zur Anwendung. Dieser Weg wird auch in [Fee93] und [MLM98] beschritten und hat den Vorteil,
4.1.
Unbewehrter Beton
63
daß damit f¨ ur das gesamte Materialmodell ein einheitliches Konzept vorliegt. Analog zur Modellierung der Zugentfestigung sind auch f¨ ur die Beschreibung der Ver– bzw. Entfestigung auf Druck die spezifische Bruchenergie Gc , die einaxiale Betondruckfestigkeit σcu und der Verlauf der Ver– bzw. Entfestigungsbeziehung als Eingangsparameter notwendig. Die spezifische Bruchenerm gie wird nach Auswertung von verschiedenen Druckversuchen mit Werten zwischen 0, 01 MN m2 m und 0, 025 MN agigen Norm2 angegeben [Von92]. Die einaxiale Druckfestigkeit wird den einschl¨ men entsprechend aus Druckversuchen an W¨ urfeln oder Zylindern gewonnen [DIN] [ENV]. F¨ ur den Verlauf der Spannungs–Dehnungslinie unter einaxialer Druckbeanspruchung wird in [CF90] folgende Funktion angegeben
1.1 Ecm
σce = fcm
ε
−
ε2 ε2c1
fcm
, εc1 ε 1 + 1.1 Ecm −2 fcm εc1
(4.40)
mit
MN m2 ... charakteristische Betondruckfestigkeit 1 MN 3 = 10 000 fcm m2 = 0.0022 .
fcm = fck + 8 fck Ecm εc1
Zu Gleichung (4.40) ist zu bemerken, daß es sich hier um eine quadratische Beziehung zwischen ur das Bruchenergiekonzept der Gesamtdehnung ε und der einaxialen Spannung σce handelt. F¨ ist jedoch eine Funktion der einaxialen Spannung in Abh¨angigkeit des inneren Parameters εDP erforderlich. In Anlehnung an Gleichung (4.40) wird in [Fee93] daf¨ ur ebenfalls eine quadratische Beziehung gew¨ ahlt:
σce =
σcu 3
εDP ε2 1+4 − 2 2DP εDP e εDP e
σce = σcu 1 −
(εDP − εDP e )2 (εDP u − εDP e )2
f¨ ur εDP ≤ εDP e
f¨ ur εDP e < εDP ≤ εDP u ,
(4.41)
(4.42)
mit εDP e = εDP u =
4 σcu 3 EC 3 Gc 2 σcu − . 2 Leq σcu 9 EC
(4.43) (4.44)
Dabei wurde in Gleichung (4.44) ausgehend von der Formulierung in [Fee93] der 2. Term der rechten Seite so modifiziert, daß die Fl¨ache unter der quadratischen Ver– bzw. Entfestigungsbeziehung multipliziert mit der ¨ aquivalenten L¨ange die spezifische Bruchenergie ergibt. Eine Zielsetzung dieser Arbeit besteht darin, einen m¨oglichst robusten Algorithmus zu entwickeln, daher wird ausgehend von Gleichung (4.42) die Entfestigungsbeziehung in der Art
64
Kapitel 4. Implementierung in ein Finite–Element–Programm
ƪ ƫ
s ce MN m2
25
quadratische Entfestigung, (Gl. 4.42), nach [Fee93]
20
kubische Entfestigung, (Gl. 4.46)
15
10
5
0
0
e DPe 2
4
6
e DPu 8 (Gl. 4.44)
e DPu (Gl. 4.48)
e DP [ oń oo ]
Abbildung 4.12: Einaxiale Vergleichsbeziehungen f¨ ur Beton auf Druck abge¨andert, daß sie u ¨ber den gesamten Bereich nicht nur stetig verl¨auft, sondern auch stetig differenzierbar ist. Erreicht wird dies mit einem kubischen Verlauf im Entfestigungsast, der f¨ ur ur den Verfestidie Abszissenwerte εDP e und εDP u jeweils eine horizontale Tangente besitzt. F¨ gungsast wird weiterhin die urspr¨ ungliche Formulierung (4.41) verwendet:
εDP ε2 1+4 − 2 2DP εDP e εDP e
σce =
σcu 3
σce =
σcu 2 ε3DP − 3 (εDP e + εDP u ) ε2DP + 6 εDP e εDP u εDP − 3 εDP e ε2DP u + ε3DP u ε3DP u − ε3DP e + 3 εDP e εDP u − 3 εDP e ε2DP u
f¨ ur εDP ≤ εDP e
-
f¨ ur εDP e < εDP ≤ εDP u ,
(4.45) .
(4.46)
mit εDP e =
4 σcu 3 EC
(4.47)
εDP u =
2 L 54 Gc EC − 20 σcu eq . 27 Leq σcu EC
(4.48)
Um die beiden vorgestellten einaxialen Entfestigungsbeziehungen mit der Spannungs–Dehnungslinie des Model Code 90 [CF90] vergleichen zu k¨onnen, muß der innere Parameter εDP , der im einaxialen Versuch dem plastischen Dehnungsanteil entspricht, in eine Gesamtdehnung umgerechnet werden. Dazu muß f¨ ur die jeweilige Ver– bzw. Entfestigungsbeziehung die Umkehrfunktion aufgestellt werden:
σce = σce (εDP )
⇒
εDP = εDP (σce ) .
(4.49)
Die Abh¨angigkeit der Spannung von der Gesamtdehnung erh¨alt man, wenn man zu dem plastischen Dehnungsanteil den elastischen Anteil hinzuaddiert
4.2.
Betonstahl
65
ε (σce ) = εDP (σce ) +
σce . EC
(4.50)
Die Umkehrfunktion zu Gleichung (4.50) liefert wiederum die gew¨ unschte Beziehung zwischen Gesamtdehnung und einaxialer Spannung. In Bild 4.13 sind diese Beziehungen zusammen mit ur eine spezifische Bruchdem Verlauf nach [CF90] f¨ ur eine a ¨quivalente L¨ange Leq = 0, 2 m und f¨ MN m energie von Gc = 0, 025 m2 angegeben.
ƪ ƫ
s ce MN m2
25 quadratische Entfestigung, (Gl. 4.42), nach [Fee93] 20 kubische Entfestigung, (Gl. 4.46)
15 Model Code 90 [CF90], (Gl. 4.40)
10
5
0
0
2
4
6
8
e [ oń oo ]
Abbildung 4.13: Spannungs–Dehnungsbeziehungen f¨ ur einaxiale Druckbeanspruchung
4.2
Betonstahl
4.2.1
Elasto–plastisches Stoffgesetz
Da die Bewehrung in Stahlbetonkonstruktionen u ¨ berwiegend auf einaxialen Zug oder Druck beansprucht ist, gen¨ ugt eine Modellierung unter Verwendung eines einaxialen elasto–plastischen Werkstoffgesetzes mit isotroper Verfestigung. Der sogenannte Bauschinger–Effekt, das heißt die Verminderung der Fließgrenze in einer Beanspruchungsrichtung nach Auftreten von plastischen Verformungen in der anderen Richtung, kann zwar nur mit einer kinematischen Verfestigung erfaßt werden, dieser Effekt spielt allerdings nur bei zyklischer Beanspruchung eine Rolle, was hier aber nicht Gegenstand der Untersuchungen ist. Zugversuche an naturharten bzw. kaltverformten Bewehrungsst¨ ahlen f¨ uhren zu Kennlinien wie im Bild 4.14 dargestellt. Als Stoffkennwerte dienen die Fließgrenze σsy , die Bruchspannung σsu und der Elastizit¨atsmodul des Stahls ES . Liegt wie im Falle des kaltverformten Stahles keine eindeutige Fließgrenze vor, wird als Fließgrenze diejenige Spannung definiert, bei der 0, 2% plastische Dehnung auftreten [EC2]. Im Finite–Element–Modell wird die Stahlarbeitslinie vereinfachend mit bilinearem oder auch trilinearem Verlauf angenommen (Bild 4.15). Der in Bild 4.15 mit HP bezeichnete Verfestigungsmodul stellt den Proportionalit¨atsfaktor zwischen der plastischen Dehnung und dem Spannungszuwachs oberhalb der Fließgrenze dar. Wird der Verfestigungsmodul zu Null angegeben, so kann mit der bilinearen Beziehung ein idealplatisches Verhalten der Betonstahlbewehrung simuliert werden.
66
Kapitel 4. Implementierung in ein Finite–Element–Programm s
a)
s
b)
s su
s su
s sy
s 0.002
e
0,002
e
Abbildung 4.14: Einaxiale Zugspannungs–Dehnungsdiagramme f¨ ur a) naturharten Bewehrungsstahl und b) kaltverformten Bewehrungsstahl s
s s su
s sy
ǒEE)HH Ǔ s
arctan
s
ǒEE)HH Ǔ
s sy
P
s
arctan
s
P
arctan(E s)
P
P
arctan(E s)
e
e
Abbildung 4.15: Bi- und trilineare Stahlarbeitslinie Wegen der einaxialen Beanspruchung k¨onnen die maßgebenden Beziehungen des elasto–plastischen Stoffgesetzes, die in Kapitel 2 f¨ ur den mehraxialen Spannungszustand angegeben sind, erheblich vereinfacht werden. Als Fließfunktion dient folgende Beziehung
f (σ, εp ) =
(σ 2 ) − σ(εP ) = 0 ,
(4.51)
wobei die momentane elastische Grenzspannung σ vom inneren Parameter εP > 0 abh¨angig ist, ¨ die Arbeitsverfestigungshypoder betragsm¨ aßig der plastischen Dehnung εpl entspricht. Uber these l¨aßt sich der Zuwachs des inneren Parameters direkt aus dem plastischen Multiplikator berechnen
dεP =
∂f σ dλ = dλ . σ ∂σ
(4.52)
Mit Hilfe der Konsistenzbedingung kann der plastische Multiplikator aus dem Dehnungszuwachs bestimmt
4.2.
Betonstahl
67
dλ =
ES dε , ES + HP
(4.53)
und somit auch der Spannungszuwachs berechnet werden
dσ =
ES HP dε . ES + HP
C ep
(4.54)
F¨ ur den Spezialfall eines einaxialen elasto–plastischen Stoffgesetzes kann die Spannungsberechnung mit Hilfe der angegebenen Beziehungen (Gl. (4.52) bis Gl. (4.54)) geschlossen, das heißt ohne Einsatz eines iterativen Verfahrens, durchgef¨ uhrt werden. Da die zweite Ableitung der Fließfunktion (Gl. 4.52) nach der Spannung gleich Null ist, stellt die Kontinuumstangente C ep zugleich die konsistente Tangente dar, die f¨ ur die Newton–Iteration auf Systemebene zum Aufstellen der Tangentialsteifigkeitsmatrix ben¨otigt wird.
4.2.2
Modellierung der Bewehrung
F¨ ur die Bewehrungsmodellierung k¨ onnen drei verschiedene Methoden angewendet werden: Die diskrete, die eingebettete und die verschmierte Modellierung [HM95]. Bei der diskreten Modellierung wird jeder Bewehrungsstab mit Hilfe von Fachwerkelementen erfaßt, deren Stabendknoten an die Knoten der Scheibenelemente angeschlossen sind. Das hat den Nachteil, daß bereits bei der Netzeinteilung f¨ ur die Scheibenelemente die Bewehrungsf¨ uhrung ber¨ ucksichtigt werden muß. Weiterhin muß in Abh¨angigkeit der Elementformulierung des Scheibenelementes auf die Wahl des richtigen Fachwerkelementes geachtet werden. Um inkompatible Verschiebungsverl¨ aufe zu vermeiden, muß ein quadratisches Scheibenelement mit einem quadratischen, dreiknotigen Fachwerkelement und ein bilineares Scheibenelement mit einem linearen, zweiknotigen Fachwerkelement kombiniert werden. Dadurch ist ein starrer Verbund zwischen Beton und Stahl auf der gesamten Stabl¨ange vorgegeben. Die diskrete Modellierung hat allerdings den Vorteil, daß durch Einf¨ uhrung von Verbundelementen zwischen Scheibenknoten und Fachwerkknoten der verschiebliche Verbund zwischen Beton und Stahl abgebildet werden kann [Keu85]. Wegen des erheblichen Aufwandes bei der Modellierung der einzelenen St¨abe und der großen Anzahl von Freiheitsgraden bei Berechnungen mit Verbundelementen ist die diskrete Bewehrungsmodellierung jedoch nur f¨ ur Detailuntersuchungen sinnvoll. Bei Verwendung der eingebetteten Modellierung wird der Bewehrungsstahl ebenfalls durch Fachwerkelemente abgebildetet, die jedoch beliebig im isoparametrisch formulierten Scheibenelement orientiert sein k¨ onnen. Mit dem Adjektiv isoparametrisch“ wird dabei die Eigenschaft ” bezeichnet, daß f¨ ur die Elementgeometrie der Scheibenelemente die gleichen Interpolationsfunktionen verwendet werden wie f¨ ur die Verschiebungen (vgl. Gl. 3.21):
ˆ . X(ξ; η) = N(ξ; η) X
(4.55)
ˆ die KnotenkoordiIn obiger Gleichung bezeichnet X den Verlauf der Elementgeometrie und X naten des Scheibenelementes.
68
Kapitel 4. Implementierung in ein Finite–Element–Programm a)
b)
Abbildung 4.16: Einfeldscheibe mit a) diskreter und b) eingebetter Bewehrungsmodellierung Die Fachwerkelemente haben keine eigenen Knotenfreiheitsgrade, sondern sind u ¨ber das Verschiebungsfeld des jeweiligen Scheibenelementes an dessen Freiheitsgrade gekoppelt. Dazu m¨ ussen die Anfangspunkte A und Endpunkte E jedes Stabelementes, welche in globalen x− y−Koordinaten gegeben sind, in das lokale ξ − η−Koordinatensystem des entsprechenden Scheibenelementes transformiert werden. a)
y
b)
h r
I3
E y
I1
A x
rE + 1 c
I2
r A + –1
Abbildung 4.17: Eingebettetes Stabelement im a) globalen und b) lokalen Koordinatensystem Mit Ausnahme von Scheibenelementen in Rechteckform oder in Parallelogrammform ist diese Umrechnung nicht geschlossen m¨ oglich und wird daher mit einem iterativen Newton–Verfahren durchgef¨ uhrt (Tabelle 4.2). Nach Bestimmung der lokalen Koordinaten f¨ ur den Anfangs- und den Endpunkt eines Stabes kann bei Rechteck- oder Parallelogrammform des Scheibenelementes der Stabverlauf im lokalen ξ − η−Koordinatensystem als Geradengleichung angegeben werden
Ξ (:) = mit
1 1 (ΞE + ΞA ) + (ΞE − ΞA ) : , 2 2 : ∈ [ −1 ; 1 ] .
(4.56)
Bei beliebiger Geometrie des Scheibenelementes ist dies nicht m¨oglich, womit die Bestimmung
4.2.
Betonstahl
69
xs ys
Gegeben:
Xs =
Gesucht:
ˆ = Xs Ξs mit N (Ξs ) X
ξi ηi
Start:
Ξi =
z.B. ξi = ηi = 0
Newton–Verfahren:
∂X $$ ∆Ξi+1 = Xs − X (Ξi ) ∂Ξ $i
$
Ξi+1 = Ξi + ∆Ξi+1 |Xs − X (Ξi+1 )| ≤ T OL |Xs |
Abbruchbedingung:
Tabelle 4.2: Newton–Verfahren zur Umrechnung der Stabkoordinaten aller lokaler Stabkoordinaten, z.B. die Koordinaten der Integrationspunkte, den Algorithmus aus Tabelle 4.2 bedarf. Im weiteren Berechnungsablauf m¨ ussen die Dehnungen, die sich aus dem Verschiebungsfeld der Scheibe ergeben, in die jeweilige Stabrichtung transformiert werden:
εs = Tε ε
(4.57)
Tε = cos2 ψ | sin2 ψ | cos ψ sin ψ
mit
εx ε = εy . γxy
und
Unter Verwendung der Matrix B, welche die Beziehung zwischen den Verzerrungen und den Elementfreiheitsgraden der Scheibe herstellt (vgl. Gl. (3.23)), k¨onnen f¨ ur jeden Bewehrungsstab die Steifigkeitsmatrix k, die Stahlspannungen an den Stabintegrationspunkten und der Vektor der inneren Kr¨ afte F angegeben werden: +1
BT TTε C ep Tε B
k =
−1 ep
σ(s) = C
+1
F = −1
l ds As 2
Tε B v
l BT TTε σ(s) ds As . 2
(4.58) (4.59) (4.60)
70
Kapitel 4. Implementierung in ein Finite–Element–Programm
In den obigen drei Gleichungen bezeichnet l die L¨ange des betrachteten Fachwerkelementes
l=
(xE − xA )2 + (yE − yA )2 ,
(4.61)
As den Querschnitt des Bewehrungsstabes und v die Knotenverschiebungen des Scheibenelementes, in das der betrachtete Stab eingebettet ist. Die Integrale in den Gleichungen (4.58) und (4.60) werden numerisch unter Anwendung der Gaußschen Quadratur ausgewertet. Da sich bei fl¨ achenhaft bewehrten Stahlbetonkonstruktionen die Erfassung jedes einzelenen Bewehrungsstabes als zu aufwendig darstellt, ist in diesem Fall eine verschmierte Modellierung vorzuziehen. Dabei wird jede Bewehrungsschar in eine ¨aquivalente Schichtdicke [Fee93] umgerechnet (Bild 4.18) und mit dem einaxialen elasto–plastischen Stoffgesetz aus Abschnitt 4.2.1 kombiniert. y
t Beton
q
y
tp
p
tq
p
x a)
b)
q
Abbildung 4.18: a) Orthogonales Bewehrungsnetz verschmiert zu b) ¨aquivalenten Schichtdicken Die Stahldehnungen werden aus dem Verschiebungsfeld des Scheibenelementes gewonnen, mit dem der unbewehrte Beton diskretisiert wird, dadurch ist die Bewehrung im starren Verbund mit dem Beton abgebildet. Effekte, die aus dem verschieblichen Verbund zwischen Beton und Stahl resultieren, wie z.B. der sogenannte Tension Stiffening Effekt, m¨ ussen deshalb gesondert ber¨ ucksichtigt werden (siehe Abschnitt 4.3). Verl¨auft das orthogonale Bewehrungsnetz nicht parallel zu den globalen Koordinatenachsen, m¨ ussen die Scheibendehnungen in das Koordinatensystem der Bewehrung transformiert werden:
εp,q = T ε
mit
εp,q =
und
T=
εp εq
cos2 ψ sin2 ψ
,
(4.62)
εx ε = εy γxy sin2 ψ cos2 ψ
sin ψ cos ψ − sin ψ cos ψ
.
Im folgenden sind die Ausdr¨ ucke angegeben, die zur Berechnung der anteiligen Steifigkeitsmatrix, des inneren Kraftvektors und der Stahlspannung bei der verschmierten Modellierung von orthogonalen Bewehrungsnetzen verwendet werden:
4.2.
Betonstahl
71
k =
BT TT Cep S Q T B dA
(4.63)
BT TT Q σp,q dA
(4.64)
A
F = A
σ p,q = Cep S QTBv .
(4.65)
Die angegebenen Integrale werden numerisch mit Hilfe der Gaußschen Quadratur u ¨ber die jeep weilige Elementfl¨ ache ausgewertet. Dabei enth¨alt die Matrix CS die elasto–plastischen Werkstoffkennwerte f¨ ur die jeweiligen Richtungen
Cep S
=
Cpep 0
0 Cqep
,
(4.66)
auf der Hauptdiagonalen der Matrix Q sind die ¨aquivalenten Schichtdicken f¨ ur die entsprechenden Bewehrungsrichtungen eingetragen
Q=
tp 0
0 tq
(4.67)
und die Matrix B stellt den Zusammenhang zwischen den Knotenverschiebungen und den Dehnungen der Scheibe her (vgl. Gl. (3.23)).
4.2.3
Spezifische Bruchenergie des Stahlbetons
Im Abschnitt 4.1.2 wurde f¨ ur unbewehrten Beton ein Entfestigungsgesetz f¨ ur den Zugbereich auf der Grundlage des Bruchenergiekonzeptes vorgestellt. Unbewehrter Beton zeigt im Zugversuch nur einen einzigen Riß, in dem die Bruchenergie freigesetzt wird, die bezogen auf den Einheitsquerschnitt eine Werkstoffkonstante darstellt. Bei bewehrten Zugproben stellen sich u ¨ber die Probenl¨ange mehrere Risse ein, deren mittlerer Rißabstand vom Bewehrungsgrad, dem Stabdurchmesser und der Betondeckung abh¨angig ist. Bei einer Finite–Element–Berechnung ist die Elementmaschenweite und somit die ¨ aquivalente L¨ange h¨aufig gr¨oßer als der mittlere Rißabstand [Fee93], somit wird im Bereich, der einem Integrationspunkt zugeordnet ist, ein Vielfaches der spezifischen Bruchenergie je Einheitsquerschnittsfl¨ache freigesetzt (Bild 4.19). aßt sich deshalb in Abh¨angigkeit der ¨aquivaDie spezifische Bruchenergie des Stahlbetons Grc f l¨ lenten L¨ange Leq , des mittleren Rißabstandes srm und der spezifischen Bruchenergie des unbewehrten Betons Gf angeben [FdB95a]:
Grc f
= max Gf
Leq ; Gf srm
.
(4.68)
Der mittlere Rißabstand in Stahlbetonscheiben bei abgeschlossenen Rißbild l¨aßt sich mit Eurocode 2, Abschnitt 4.4.2.4 [EC2] bei Verwendung von gerippten Bewehrungsst¨ahlen mit folgender Formel absch¨ atzen:
72
Kapitel 4. Implementierung in ein Finite–Element–Programm a) s
s
L eq
L eq
L eq
b) s
s
... Integrationspunkte
s rm
Abbildung 4.19: FE–Netz f¨ ur a) unbewehrten und b) bewehrten Betonzugstab
srm = 50 + 0, 2
ø :r
[mm] .
(4.69)
Dabei gibt ø den Stabdurchmesser an und :r den wirksamen Bewehrungsanteil in der jeweils betrachteten Richtung
:r =
as . teff
(4.70)
Der wirksame Bewehrungsanteil ist der Quotient aus dem vorhandenen Stahlquerschnitt je L¨angeneinheit as und der effektiven Betonzugzone teff , die sich mit den in Bild 4.20 dargestellten Gr¨oßen berechnen l¨ aßt
teff = min 2, 5
c+
ø 2
;
t 2
.
c
(4.71)
t eff
as
t
Abbildung 4.20: Wirksame Betonzugzone in einem Scheibenquerschnitt, nach [EC2] Die angegebenen Beziehungen gelten f¨ ur den Fall, daß die Risse ann¨ahernd senkrecht zum Bewehrungsnetz verlaufen. Nimmt der Winkel α zwischen der Hauptzugspannung und der Bewehrungsrichtung p einen Wert gr¨ oßer 15◦ an, so muß der mittlere Rißabstand aus den beiden mittleren Rißabst¨ anden in Richtung des orthogonalen Bewehrungsnetzes berechnet werden
srm =
| cos α| | sin α| + srm,p srm,q
−1
.
(4.72)
4.3.
4.3
Tension Stiffening Effekt
73
Tension Stiffening Effekt
Betrachtet man einen gerissenen Stahlbetonzugstab, so muß in den Rissen die resultierende Zugkraft vom Stahl alleine aufgenommen werden. Der Verbund zwischen Beton und Stahl erm¨oglicht aber teilweise die R¨ uckf¨ uhrung der Zugkraft in die noch ungerissenen Betonabschnitte. Dadurch wird zwischen den Rissen der Stahl zum Teil entlastet, was zu geringeren Stahldehnungen in diesen Bereichen f¨ uhrt. Mittelt man die Stahldehnung u ¨ber die gesamte Stabl¨ange, so ist die mittlere Dehnung kleiner als bei einem nackten Stahlstab, der mit der gleichen Zugkraft beansprucht wird. Dieser Versteifungseffekt, der aus der Mitwirkung des Betons auf Zug zwischen den Rissen resultiert, wird in der Literatur auch als Tension Stiffening Effekt bezeichnet und ist in zahlreichen Versuchen auch quantifiziert worden (Bild 4.21). Abgeschlossene Rißbildung
Rißbildung
ZuĆ stand I
N N 420
N Stab Nr
Dl Dl 420
Abbildung 4.21: Last–Verschiebungskurve eines Stahlbetonzugstabes, aus [Har83] Da bei Verwendung der eingebetteten oder verschmierten Bewehrungsmodellierung ein starrer Verbund zwischen Beton und Stahl angenommen wird, muß der geschilderte Versteifungseffekt indirekt in der Beton-, in der Stahlarbeitslinie [MK95] oder durch einen eigenst¨andigen Anteil in der Elementsteifigkeitsmatrix des Stahlbetonelementes ber¨ ucksichtigt werden. In dieser Arbeit wird aus einem noch zu diskutierenden Grund die dritte der oben aufgez¨ahlten Varianten verwendet, die in [Fee93] zum ersten Mal vorgestellt wurde. Dabei wird f¨ ur den Tension Stiffening Effekt eine eigenst¨ andige Arbeitslinie aufgestellt, welche die Versteifungsspannung angigkeit der Dehnung in Richtung des Bewehrungsstahls angibt. Die VersteifungsσTST in Abh¨ spannung wirkt dabei auf die effektive Betonzugzone, die bei Scheiben durch Beziehung (4.71) gegeben ist. Der Maximalwert von σTST ist mit Hilfe des skalaren Faktors α als Bruchteil der Betonzugfestigkeit definiert, wobei α in der Literatur zwischen α = 0, 4 [MK95] und α = 1, 0 [Fee93] variiert:
σTST ≤ α σtu
mit
α = 0, 4 ... 1, 0 .
(4.73)
W¨ahrend in [Fee93] und [FdB95a] generell eine trilineare Arbeitslinie f¨ ur den Tension Stiffening Effekt verwendet wird, hat sich im Rahmen dieser Arbeit herausgestellt, daß eine realistische Erfassung dieses Effektes nur gew¨ ahrleistet ist, wenn die Spannungs–Dehnungsbeziehung des Tension Stiffening Effektes an die Entfestigungsbeziehung des Betons auf Zug angepaßt wird.
74
Kapitel 4. Implementierung in ein Finite–Element–Programm a)
s Stahlbeton nackter Stahl
s
s TSTńr r
ss
em
s
b) s tu s
s TST
sc
Stahlbeton
em unbewehrter Beton
Abbildung 4.22: Erfassung der Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen in a) der Stahlarbeitslinie, b) der Betonarbeitslinie, nach [MK95] Baut sich die Betonzugspannung normal zum Riß bei wachsender Dehnung exponentiell ab, muß sich die Versteifungsspannung in gleicher Weise aufbauen. Ist die Entfestigungsbeziehung linear, darf der in [Fee93] vorgeschlagene trilineare Verlauf f¨ ur die Versteifungsspannung angewendet werden. Da die Entfestigungsbeziehung des Betons auf Zug von der spezifischen Bruchenergie und der ¨aquivalenten L¨ ange beeinflußt wird, m¨ ussen beide Parameter auch beim Tension Stiffening Modell Eingang finden. Bei Modellen, in denen der Tension Stiffening Effekt durch eine modifizierte Beton- oder Stahlarbeitslinie ber¨ ucksichtigt wird, finden diese Parameter keinen Eingang. Daher wird im Rahmen dieser Arbeit der angesprochenen dritten Variante der Vorzug gegeben, deren Kennlinie in Bild 4.23 f¨ ur den Fall einer linearen und einer exponentiellen Entfestigungsbeziehung angegeben ist. ¨ Die Abschnittsgrenzen im Verlauf des Versteifungsmodells ergeben sich aus folgenden Uberlegungen heraus. Im ungerissenen Beton ist kein Versteifungseffekt vorhanden (Bereich 1). Die ¨ Aktivierung des Effektes beginnt mit dem Uberschreiten der Zugfestigkeit des Betons
εc0 =
σtu . EC
(4.74)
Der Verlauf des Versteifungseffektes im Bereich 2 ist durch die Entfestigungsbeziehung bestimmt, die urspr¨ unglich als Spannungs–Rißdehnungsbeziehung gegeben ist und f¨ ur diesen Zweck auf Gesamtdehungen umgerechnet werden muß. Das Vorgehen f¨ ur die Umrechnung der plastischen
4.3.
Tension Stiffening Effekt a)
75 s TST
s te s tu
s tu as tu
e c0
0
2
1
b)
e
e cu
e c0 e cu
0
3, 4, 5
2
1
e sy
eu 3
4
e 5
s TST
s te s tu
s tu
as tu
1
e
e sch
e c0
0
0
3, 4
2
e sch
e c0 1
3
2
e
e sy 4
Abbildung 4.23: Entfestigungsbeziehung mit entsprechendem TST–Modell f¨ ur a) linearen Verlauf und b) exponentiellen Verlauf Dehnung, die im einaxialen Fall dem inneren Parameter des Entfestigungsgesetzes εR entspricht, ist bereits in Abschnitt 4.1.3 vorgestellt worden und soll zuerst f¨ ur den linearen Entfestigungsverlauf durchgef¨ uhrt werden:
σte (εR ) = σtu
εR 1− εRu
mit
εRu =
2 Grc f . σtu Leq
(4.75)
Im ersten Schritt muß die Umkehrfunktion zum Entfestigungsgesetz bestimmt werden:
σte εR (σte ) = 1 − σtu
εRu .
(4.76)
Die Gesamtdehnung bestimmt sich aus der Summe von elastischer Dehnung und Rißdehnung
σte σte + 1− ε (σte ) = ε + εR = EC σtu el
εRu .
(4.77)
Die Umkehrfunktion zu Gleichung (4.77) liefert die Entfestigungsbeziehung in der gew¨ unschten Form (Bereich 2)
76
Kapitel 4. Implementierung in ein Finite–Element–Programm
σte (ε) = EC σtu
ε − εRu σtu − EC εRu
f¨ ur
εc0 ≤ ε ≤ εcu = εRu .
(4.78)
Aus der Bedingung, daß die Zunahme der Spannung σTST entsprechend der Abnahme der Rißaßt sich die lineare Beziehung des Tension Stiffening Modells f¨ ur spannung σte geschehen soll, l¨ den Bereich 2 wie folgt angeben:
σTST (ε) = α σtu
ε − εRu 1 − EC σtu − EC εRu
f¨ ur
εc0 ≤ ε ≤ εcu .
(4.79)
Bei vollst¨andig ge¨ offnetem Riß ist die Versteifungsspannung mit ihrem maximalen Wert aktiviert (Bereich 3):
σTST (ε) = α σtu
εcu ≤ ε ≤ εu .
f¨ ur
(4.80)
Da f¨ ur den Tension Stiffening Effekt bei plastifizierter Bewehrung nur sehr wenige Versuchsergebnisse vorliegen [Kol88], soll die Versteifungsspannung bei Erreichen der elastischen Grenzdehnung im Stahl
εsy =
σf ES
(4.81)
vollst¨andig abgebaut sein (Bereich 5). Bei Annahme einer verfestigenden Stahlkennlinie mit dem plastischen Verfestigungsmodul HP und einem effektiven geometrischen Bewehrungsgrad :r (vgl. Gl. (4.70)) wird dies erreicht, indem ab einer Dehnung von
εsy − εu =
α σtu HP − εsy :r ES ES + HP HP 1+ ES + HP
(4.82)
uckgenommen wird (Bedie Versteifungsspannung σTST proportional zum Dehnungszuwachs zur¨ reich 4):
σTST (ε) = α σtu
ε − εsy εu − εsy
f¨ ur
εu ≤ ε ≤ εsy .
(4.83)
Neuere Untersuchungen zeigen, daß nach der Plastifizierung des Stahls sehr wohl noch eine Mitwirkung des Betons auf Zug zwischen den Rissen besteht, daher ist im Model Code 90 [CF90] eine Beziehung f¨ ur den Tension Stiffening Effekt auch u ¨ ber die Fließgrenze des Stahls hinaus angegeben. Dieser Verlauf kann bei Bedarf sehr einfach in das hier vorgestellte Modell u ¨bernommen werden.
4.3.
Tension Stiffening Effekt
77
Die maßgebenden Gleichungen f¨ ur den Tension Stiffening Effekt bei exponentieller Entfestigung des Betons auf Zug werden analog zur geschilderten Vorgehensweise bei linearer Entfestigung hergeleitet. Ausgangspunkt ist wieder die Entfestigungsbeziehung des Betons
σte (εR ) = σtu exp
−εR εRu
mit
εRu =
Grc f , σtu Leq
(4.84)
die Umkehrfunktion dazu
σte εR (σte ) = − ln σtu
εRu
(4.85)
εRu .
(4.86)
und die Summation zur Gesamtdehnung
σte σte − ln ε (σte ) = EC σtu
Der Zusammenhang zwischen Entfestigungs- und Versteifungsspannung
σTST = α (σtu − σte )
(4.87)
liefert eingesetzt in Gleichung (4.86) die maßgebende Beziehung f¨ ur den Verlauf der Versteifungsspannung im Bereich 2 bei exponentieller Entfestigung:
1 1 σTST σtu − σTST α α εRu − ln EC σtu
σtu − ε (σTST ) =
f¨ ur
(4.88)
εc0 ≤ ε ≤ εsch .
Da sich die Umkehrfunktion zu Gleichung (4.88) nicht geschlossen anschreiben l¨aßt, muß f¨ ur jedes gegebene ε im Bereich 2 die Versteifungsspannung mit dem Newton–Verfahren iterativ bestimmt unden die werden. Nach Erreichen der Dehnung εsch wird aus den bereits vorher genannten Gr¨ Versteifungsspannung entsprechend der Gleichung (4.83) bestimmt, sodaß bei Plastifizierung des Stahls die Versteifungsspannung σTST v¨ollig abgebaut ist. Die Dehnung εsch bestimmt sich aus dem Schnittpunkt der Funktion (4.88) mit der Umkehrfunktion zu (4.83).
78
Kapitel 4. Implementierung in ein Finite–Element–Programm
Kapitel 5
Fehlersch¨ atzung und Netzadaption 5.1
Fehlerquellen der Finite–Element–Methode
F¨ ur die Berechnung eines Tragwerkes muß ein Modell, ein sogenanntes statisches System gew¨ ahlt werden, das die wesentlichen mechanischen Eigenschaften des Tragsystems beschreibt. Dieses Modell wird durch Vereinfachungen und Idealisierungen aus dem realen Tragsystem entwickelt, was allerdings einen Modellierungsfehler zur Folge hat. Dieser Fehler ist aber kein spezielles Problem der Finite–Element–Methode, da er bereits im Vorfeld der Berechnung verursacht wird und daher unabh¨ angig von der gew¨ ahlten Berechnungsmethode ist. Im Gegensatz dazu ist der Diskretisierungsfehler ein spezielles Problem der Finite–Element– Methode. Der r¨ aumliche Diskretisierungsfehler beruht darauf, daß die exakte L¨osung f¨ ur das mechanische Modell durch die Ansatzfunktionen in den Elementen nur angen¨ahert wird. Diese N¨aherung ist um so besser, je h¨ oher der Grad der Ansatzfunktionen und je kleiner die Maschenweite des Elementnetzes ist. Mit Hilfe von Fehlerindikatoren kann im Bereich großer Fehler der Grad der Ansatzfunktionen (p-Adaption) erh¨oht oder das Elementnetz verfeinert (h-Adaption) und somit der r¨ aumliche Diskretisierungsfehler unter eine Toleranzschranke gedr¨ uckt werden. Ein zeitlicher Diskretisierungsfehler tritt zum Beispiel dann auf, wenn das Werkstoffgesetz nur f¨ ur differentielle Zuw¨ achse g¨ ultig ist, aber im Rahmen der Berechnung keine differentiellen, sondern endliche, inkrementelle Lastzuw¨ achse aufgebracht werden. Da letzteres bei der Fließtheorie der Fall ist, nimmt mit der Gr¨ oße der Lastschrittweite auch der Integrationsfehler zu. Mit Hilfe einer Fehlerabsch¨ atzung im Anschluß an die Integration des differentiellen Werkstoffgesetzes kann die Schrittweite so gesteuert werden, daß der Integrationsfehler, der im Rahmen dieser Arbeit als zeitlicher Diskretisierungsfehler bezeichnet wird, innerhalb einer gew¨ahlten Toleranz liegt. Abschließend sind noch numerische Fehler zu erw¨ahnen, welche sich aus der endlichen Stellenanzahl bei der Darstellung reeller Zahlen im Rechner ergeben. Solche Fehler k¨onnen durch die Wahl geeigneter Algorithmen minimiert werden. Ein Verfahren zur Kontrolle des zeitlichen Diskretisierungsfehlers wurde bereits in Abschnitt 3.5.3 mit dem Verfahren der adaptiven Lastschrittsteuerung vorgestellt. Die nun folgenden Abschnitte befassen sich daher mit Indikatoren f¨ ur den r¨aumlichen Diskretisierungsfehler und einem Verfahren zur hierarchischen Netzverfeinerung. 79
80
5.2 5.2.1
Kapitel 5. Fehlersch¨ atzung und Netzadaption
Fehlerindikatoren Normen als Fehlermaß
Der Diskretisierungsfehler in einer Finite–Element–L¨osung besteht in der Differenz zwischen den Verl¨aufen der exakten Zustandsgr¨ oßen u, σ und den berechneten Zustandsgr¨oßen uh , σ h . Dieser Differenzvektor kann sowohl in Verschiebungen wie auch in Spannungen ausgedr¨ uckt werden
eu (x) = u(x) − uh (x)
(5.1)
eσ (x) = σ(x) − σ h (x) .
(5.2)
Als Fehlermaß werden Normen verwendet, die einen Vektor x oder im hier genannten Zusammenhang speziell die Vektoren eu und eσ auf einen Skalar abbilden. Im Rahmen der Fehlersch¨atzung kommt h¨aufig die Lq –Norm zum Einsatz
1 q xLq = |x|q dV ,
(5.3)
V
mit dem Spezialfall f¨ u r L∞
xL∞ = supV (|x|) ,
(5.4)
wobei mit | ... | die euklidische Norm eines Vektors dargestellt wird:
|x| =
x ; x .
(5.5)
Dar¨ uber hinaus kommt auch die Energienorm zur Anwendung
1 2 eu E = eTu DTu C Du eu dV ,
(5.6)
V
oder analog zur Komplement¨ arenergie
eσ E −1
1 2 T −1 = eσ C eσ dV . V
(5.7)
5.2. Fehlerindikatoren
81
ur die kinematische Beziehung und C bzw. C−1 Dabei ist Du die Differentialoperatormatrix f¨ stellen die elastische Werkstoffmatrix bzw. deren Inverse dar. Durch Einsetzen von eσ = C Du eu in Gleichung (5.7) ergibt sich eu E = eσ E −1 . Das Hauptproblem in der Ermittlung von Fehlernormen besteht allerdings darin, daß die exakten Verl¨aufe von u und σ nicht bekannt und somit die Vektoren eu und eσ nicht berechenbar sind. In den n¨achsten Abschnitten werden daher Verfahren vorgestellt, mit denen der Diskretisierungsfehler in verschiedenen Normen abgesch¨atzt werden kann. Da bei der Finite–Element–Methode die Ansatzfunktionen u ussen die gesch¨atzten Diskretisie¨ber das Element interpoliert werden, m¨ rungsfehler zuerst f¨ ur jedes einzelne Element ausintegriert und anschließend u ¨ber alle Elemente zum Gesamtfehler aufsummiert werden:
η=
nel
ηEl,i .
(5.8)
i=1
5.2.2
Fehlersch¨ atzer fu ¨r linear–elastische Probleme
Der residuale Babuˇ ska–Miller–Fehler¨ astimator [BR78] liefert eine Absch¨atzung des Diskretisierungsfehlers in der Energienorm
2 = C1 h2 ηEl
rT r dV + C2 h V
JT J dS ,
(5.9)
S
dabei steht h f¨ ur den Elementdurchmesser und die Konstanten Ci sind in Abh¨angigkeit der Ansatzfunktionen geeignet zu w¨ ahlen. Nach [Rus91] lauten die Konstanten f¨ ur bilineare Ansatzfunktionen
C1 = C2 =
1 24 K
(5.10)
mit K als zugeh¨ orige (Membran–, Biege– oder Schub–) Steifigkeit. Der erste Term in Gleichung (5.9) erfaßt das Residuum der Gleichgewichts–Differentialgleichung im Element:
ri = σij,j − pV i ,
(5.11)
wobei pV i die Belastung im Feld darstellt. Der zweite Term in Gleichung (5.9) beschreibt den Fehler aufgrund von Spannungsspr¨ ungen J an den Element– und Systemr¨andern:
Interelementkante: Systemrand:
1 li re σij − σij nj 2 = σij nj − pSi .
Ji =
(5.12)
Ji
(5.13)
82
Kapitel 5. Fehlersch¨ atzung und Netzadaption
Da bei der Ermittlung des Spannungssprunges zwischen zwei Elementen wegen des elementweisen Vorgehens jeder Sprung zweimal erfaßt wird, tritt in der entsprechenden Gleichung der Faktor 12 auf. Zienkiewicz und Zhu entwickelten einen Gl¨ attungsindikator [ZZ87], der darauf beruht, dem aus der Finite–Element–Berechnung gewonnenen Spannungsverlauf σh einen verbesserten Spanuberzustellen und aus der Differenz der beiden Verl¨aufe den Diskretisienungsverlauf σ∗ gegen¨ rungsfehler abzusch¨ atzen. Da sich im Rahmen der verschiebungsformulierten Finite–Element– Methode die Spannungen aus den Ableitungen der C0 –stetigen Elementansatzfunktionen ergeben, kommt es an den Elementgrenzen zu Diskontinuit¨aten in den Spannungen. Um nun einen verbesserten, gegl¨ atteten Spannungsverlauf σ ∗ zu erhalten, werden verschiedene Vorgehensweisen angewendet. Eine Methode besteht darin, die Spannungen mit den gleichen Elementansatzfunktionen N zu interpolieren, wie sie auch f¨ ur den Verschiebungsverlauf verwendet werden:
ˆ∗ . σ∗ = N σ
(5.14)
Aus der Bedingung, daß die L2 –Norm der Spannungsdifferenz zwischen dem diskontinuierlichen atteten Verlauf σ ∗ minimal werden soll, lassen sich die unbekannten Verlauf σh und dem gegl¨ ∗ ˆ bestimmen: Knotenfreiwerte σ
∗
ˆ − Nσ
σ h 2L2
=
ˆ ∗ − σ h )T (Nσ ˆ ∗ − σ h ) dV → Min. (Nσ
(5.15)
V
Als Bedingung f¨ ur das Vorliegen eines station¨aren Punktes muß die Ableitung der Beziehung ˆ ∗ zu Null gesetzt werden: (5.15) nach den unbekannten Knotenfreiwerten σ V
∗
ˆ − N N dV σ T
NT σ h dV = 0 .
(5.16)
V
ˆ ∗ vor. Die Energienorm des Damit liegt ein lineares Gleichungssystem zur Berechnung von σ damit abgesch¨ atzten Spannungsfehlers kann dann als Fehlerindikator verwendet werden:
2
ηEl =
ˆ ∗ − σh )T C −1 (Nσ ˆ ∗ − σ h ) dV . (Nσ
(5.17)
V
¨ Nach [RZ87] ist dieser Astimator f¨ ur bilineare Elemente ¨aquivalent zu Beziehung (5.9).
5.2.3
Fehlersch¨ atzer fu ¨ r elasto–plastische Probleme
In [JH92] entwickeln Johnson und Hansbo unter der Voraussetzung kleiner Verzerrungen und der Anwendung einer assoziierten Fließregel einen residualen Fehlersch¨atzer f¨ ur elasto–plastische ¨ Problemstellungen. Dieser Indikator hat große Ahnlichkeit mit dem Babuˇska–Miller–Fehler¨astimator, besitzt aber im Gegensatz dazu zwei Terme zus¨atzlich, welche die Residuen in den plastischen Zonen erfassen:
5.2. Fehlerindikatoren
2 ηEl
83
= + mit
h JL2 (Sel ) + hk h C S C1 h rL∞ (Vpl ) + C2 JL∞ (Spl ) hk C1 h rL2 (Vel ) + C2
(5.18)
$ $ $◦$ C = 2 $ε$ dV . S
Vpl
Die Bedeutung der Vektoren J und r ist die gleiche wie in Gleichung (5.9), h gibt den Durchmesser des betrachteten Elementes an und hk ist die Elementkantenl¨ange. Der erste Teil des Indikators wird nur im elastischen Bereich (Index el) der zweite Teil nur in den plastischen Zonen (Index pl) ausgewertet. Die Residuenterme in den plastischen Zonen werden zus¨atzlich mit der L1 –Norm der Gesamtdehnungen gewichtet. In [PYO94] werden verschiedene Gl¨ attungsindikatoren f¨ ur elasto–plastische Berechnungen vorgestellt. F¨ ur verfestigendes Material mit assoziierter Fließregel eignet sich ein Fehlerindikator auf Basis der Energienorm:
2
ηEl =
eTΣ G−1 eΣ dV .
(5.19)
V
alt man aus der Differenz der verallgemeinerten Spannungsvektoren der Den Vektor eΣ erh¨ gegl¨atteten L¨ osung Σ∗ und der Finite–Element–L¨osung Σh :
=
eΣ
mit
Σ∗ − Σh
ΣT = σ T ; qT
(5.20)
.
Der verallgemeinerte Spannungsvektor beinhaltet nicht nur den Spannungsvektor σ sondern auch den Vektor q mit den spannungs¨ahnlichen inneren Parametern (effektive Spannungen). Die Matrix G enth¨ alt entsprechend dem Spannungsvektor σ die elastische Werkstoffmatrix C und zum Vektor der inneren Spannunsparameter q geh¨orig eine Matrix, welche die konstant angenommenen plastischen Verfestigungsmoduli beinhaltet:
G = diag [C ; H] .
(5.21)
F¨ ur entfestigendes Material verliert die Beziehung (5.19) allerdings den Charakter einer Norm, da in G dann negative Hauptdiagonalelemente auftreten. Damit kann diese Gleichung nicht mehr als Fehlersch¨ atzer verwendet werden. Eine L¨osung des angesprochenen Problems liefern Gl¨attungsindikatoren auf der Basis der inkrementellen, plastischen Arbeit
2 = ηEl
$ ∗ $ $ T pl $ $eΣ εpl − εh $ dV , Vpl
(5.22)
84
Kapitel 5. Fehlersch¨ atzung und Netzadaption ∗
atwobei ∆εpl und ∆εpl h den Verlauf der inkrementellen, plastischen Dehnungen nach der Gl¨ tung bzw. aus der Finite–Element–L¨ osung darstellen. Dieser Indikator kann allerdings nur in den plastischen Zonen eingesetzt werden, daher ist es besser die Arbeit des Spannungsfehlers eΣ im Inkrement u ¨ber elastische und plastische Bereiche zu integrieren
2
ηEl
$ $ $ $ = $eTΣ (ε∗ − εh )$ dV .
(5.23)
V
Hier wird im Gegensatz zu Gleichung (5.22) nicht das plastische, sondern das gesamte Dehnungsinkrement eingesetzt. In [MML97] wurden mit dem zuletzt genannten Indikator gute Erfahrungen gemacht.
5.2.4
Ein Fehlerindikator fu ¨r entfestigende elasto–plastische Materialmodelle
Der Werkstoff Beton wird in dieser Arbeit mit Hilfe eines elasto–plastischen Werkstoffmodells mit assoziierter Fließregel und Enfestigung modelliert. Im Zusammenhang mit einem solchen Werkstoffmodell kann von den bisher vorgestellten Fehlerindikatoren nur die Beziehung (5.23) zur Fehlersch¨ atzung verwendet werden. Diese Beziehung hat allerdings sowohl einen gegl¨atteten Spannungs– wie auch Dehnungsverlauf als Eingangsgr¨oßen. Die Berechnung dieser Verl¨aufe bedeutet zus¨ atzlichen Rechenaufwand, wohingegen der Einsatz eines residualen Fehlersch¨atzers nur eine Auswertung der bereits vorhandenen Finite–Element–Ergebnisse erfordert, n¨amlich die Berechnung der Residuen im Feld und an den Elementr¨andern. Daher kommt in dieser Arbeit ein residualer Fehlersch¨atzer zur Anwendung, der sich bereits im Rahmen von Berechnungen mit einem elasto–plastischen Bodenelement mit nicht assoziierter Fließregel sehr gut bew¨ ahrt hat [CRSW95], [CRSW96], [WCRS95].
2
ηEl = εL1 C1 h rL∞
h + C2 JL∞ hk
.
(5.24)
Die Vektoren r und J sind bereits durch die Gleichungen (5.11) und (5.12) definiert. Im Gegensatz zum Fehler¨ astimator von Babuˇska und Miller wird aber hier die L∞ –Norm auf die Vektoren der Residuen im Feld V und am Elementrand S angewendet:
rL∞
= supV (|r|)
(5.25)
JL∞
= supS (|J|) .
(5.26)
Wie schon bei den vorangegangenen Beziehungen steht in Gleichung (5.24) h f¨ ur den Elementur die Elementkantenl¨ange. Die Konstanten C1 und C2 sind vom Grad des durchmesser und hk f¨ Ansatzpolynoms f¨ ur die Elementverschiebungen abh¨angig und werden f¨ ur ein verschiebungsformuliertes achtknotiges Element zu
C1 =
1 1 und C2 = 96 24
5.3. Netzverfeinerung
85
¨ gesetzt. Der oben vorgestellte Fehlerindikator hat starke Ahnlichkeit mit dem von Johnson und Hansbo [JH92], allerdings verwenden letztere unterschiedliche Absch¨atzungen f¨ ur die elastischen und plastischen Zonen, w¨ ahrend in Gleichung (5.24) ein und derselbe Ausdruck im gesamten System angewendet wird. Bei Johnson und Hansbo erfolgt die Wichtung der Residuen in den plastischen Bereichen mit Hilfe der L1 –Norm der Gesamtdehnung, w¨ahrend in Beziehung (5.24) die L1 –Norm der inkrementellen Dehnungen im gesamten System als Wichtungsfaktor hergenommen wird. Letzteres f¨ uhrt zu einer gleichm¨aßigen Verteilung des Diskretisierungsfehlers im Rahmen einer adaptiven Netzverfeinerung. Johnson und Hansbo haben ihren Fehlersch¨atzer f¨ ur das Hencky–Problem mathematisch fundiert, dies ist f¨ ur den hier vorgestellten Indikator f¨ ur entfestigendes Material nicht m¨ oglich, allerdings zeigen Berechnungen in Abschnitt 6.1.2 ein sehr gutes Ansprechen dieses heuristischen Indikators. Vor allem aufgrund der Wichtung mit den inkrementellen Dehnungen k¨ onnen Bereiche mit starker Rißbildung und der dadurch entstehenden Dehnungskonzentration sehr gut erfaßt werden, was zu einer adaptiven Netzverfeinerung in diesen hochbeanspruchten Bereichen f¨ uhrt.
5.3
Netzverfeinerung
5.3.1
Adaptive Verfahren
Das Ziel von adaptiven Finite–Element–Verfahren ist es, den r¨aumlichen Diskretisierungsfehler unter eine Toleranzschranke zu dr¨ ucken und ihn außerdem gleichm¨aßig u ¨ber das Berechnungsgebiet zu verteilen. Die Netzverfeinerung in Bereichen großer Diskretisierungsfehler stellt daf¨ ur eine geeignete Methode dar und wird als h–Adaption bezeichnet, da dabei die Netzweite h ver¨andert wird [Ran85]. Bei der p–Adaption wird hingegen eine Steigerung der Berechnungsgenauigkeit durch die Erh¨ ohung des Polynomgrades p der Elementansatzfunktion erreicht [Bel87]. Eine gleichm¨ aßige Verteilung des Diskretisierungsfehlers, ohne die Anzahl der Freiheitsgrade zu erh¨ohen, wird durch die r–Adaption erzielt, indem Systemknoten gezielt verschoben werden [DKT83]. Die angesprochenen Methoden k¨onnen auch miteinander kombiniert werden, was beispielsweise zur hp– und hr–Version f¨ uhrt [HRW90] [Reh96]. Die d–Version paßt nicht ganz in die Reihe der hier vorgestellten Verfahren, denn hier werden nicht etwa Netzstruktur oder Ansatzfunktion in der vorliegenden Diskretisierung ge¨andert, sondern man wechselt innerhalb des zu berechnenden Systems zwischen verschiedenen Berechnungsmodellen (z.B. Balkenmodell → Scheibenmodell → Volumenmodell). Es wird somit die Dimension der Diskretisierung ge¨ andert [SOSM94]. In dieser Arbeit wird das Verfahren der h–Adaption verwendet mit dem Vorteil, daß dieses Verfahren von den oben vorgestellten am einfachsten in ein g¨angiges Finite–Element–Programm zu implementieren ist.
5.3.2
Verfeinerungskriterien
Zur Steuerung der automatischen Netzadaption ist es notwendig, ein Verfeinerungskriterium mit entsprechender Toleranzschranke in den Algorithmus zu implementieren, welches die zu verfeinernden Elemente ausw¨ ahlt. Werden innerhalb eines Adaptionsschrittes zu wenige Elemente verfeinert, im Grenzfall nur das Element mit dem gr¨oßten Indikator, wird eine hohe Anzahl von Adaptionszyklen erforderlich, bis im gesamten System der Fehler unter der gew¨ahlten Schranke liegt. Im Gegensatz dazu f¨ uhrt eine Verfeinerung von zu vielen Elementen innerhalb eines
86
Kapitel 5. Fehlersch¨ atzung und Netzadaption
Zyklus, im Grenzfall die uniforme Verfeinerung von allen Elementen, zu einem akzeptablen Diskretisierungsfehler in nur wenigen Adaptionsschritten, allerdings auch zu einer hohen Anzahl an Systemfreiheitsgraden und somit zu einem unwirtschaftlichen Rechenaufwand. F¨ ur eine effektive Auswahl der zu verfeinernden Elemente gibt es in der Literatur eine Vielzahl von Vorschl¨agen. Im folgenden sollen kurz drei Varianten vorgestellt werden. Bei der Anwendung der ersten Variante ist die Bezugsgr¨oße der maximale Elementindikator max des Systems. Alle Elemente deren Indikator den Bruchteil γ des maximalen Indikators ηEl u ussen verfeinert werden: ¨berschreiten m¨
max . ηEl > γ ηEl
(5.27)
Nach [Ran85] hat sich eine Schranke von γ = 0, 5 bis γ = 0, 7 als sinnvoll erwiesen. Das zweite Kriterium f¨ uhrt zu einer gleichm¨aßigen Fehlerverteilung im Netz, indem die Element¨ indikatoren mit dem Mittelwert aller Elementindikatoren verglichen werden. Uberschreitet ein Element den Mittelwert um den Faktor γ, muß es verfeinert werden:
η =
nel 1 ηEl,i nel i=1
ηEl > γ η ,
(5.28) (5.29)
dabei steht nel f¨ ur die Anzahl der Elemente im System. Wie in [CRSW96] berichtet wird, h¨angt bei Verwendung dieses Kriteriums der Verfeinerungsprozeß stark vom Startnetz ab und reagiert ¨ sensitiv auf Anderungen des Faktors γ. W¨ahrend die beiden beschriebenen Verfeinerungskriterien mit allen in Kapitel 5.2 vorgestellten Fehlerindikatoren kombinierbar sind, ist das folgende Kriterium speziell auf den Elementindikator aus Abschnitt 5.2.4 abgestimmt. Als Bezugsgr¨oße dient hier die L∞ –Norm der absoluten Spannungen, die analog wie im angesprochenen Elementindikator mit der L1 –Norm der inkrementellen Dehnungen u ¨ber das gesamte System gewichtet werden. Zur Verfeinerung ausgew¨ahlt werden alle Elemente, deren Indikator einen gewissen Prozentsatz γ der gewichteten absoluten Spannungen u ¨ berschreiten:
H =
˜ L∞ } {εL1 σ
(5.30)
nel
ηEl > γ H .
(5.31)
F¨ ur die adaptiven Berechnungen von Stahlbetonscheiben, die im Rahmen dieser Arbeit durchgef¨ uhrt werden, kommt immer das zuletzt genannte Auswahlkriterium zusammen mit dem Fehlerindikator aus Abschnitt 5.2.4 zur Anwendung. Ein Wert von γ = 1% bis γ = 5% f¨ uhrt dabei zu guten Ergebnissen.
5.3. Netzverfeinerung
5.3.3
87
Elementunterteilungsstrategie
Die Elementunterteilungsstrategie f¨ uhrt zu einer lokalen Netzverfeinerung, indem Elemente, die aufgrund der Beziehung (5.31) zu verfeinern sind, geviertelt werden. Dadurch entstehen anstelle des Vaterelementes vier Sohnelemente mit jeweils halber Kantenl¨ange. Der Nachteil dieses Vorgehens liegt in der Verletzung der erforderlichen Stetigkeit zwischen unverfeinerten und verfeinerten Elementen. Dadurch entstehen inkompatible Knoten, welche auf den Kanten zwischen den unverfeinerten und verfeinerten Elementen liegen, aber nur den verfeinerten Elementen als Elementknoten zugeordnet sind (Bild 5.1).
D inkompatible Knoten
Abbildung 5.1: Inkompatible Elementunterteilungsstrategie Bleibt dieser Effekt unber¨ ucksichtigt, entstehen Klaffungen im Verschiebungsverlauf, womit die Konvergenz des Verfahrens nicht mehr gesichert ist. Eine L¨osung dieses Problems liefert der ¨ Einsatz von Dreieckselementen bzw. verzerrten Viereckselementen im Ubergangsbereich zwischen verfeinerter und unverfeinerter Diskretisierung (Bild 5.2 und 5.3). Allerdings wirken die ¨ genannten Ubergangselemente versteifend und verschlechtern somit das L¨osungsverhalten. Deshalb werden im Rahmen dieser Arbeit die Freiheitsgrade der inkompatiblen Knoten aus dem Gleichungssystem eliminiert. Dies geschieht durch eine kinematische Koppelung der Freiheitsgraur lineare Elemente ist die kinematische de uink an die kompatiblen Nachbarknoten (uli ; ure ). F¨ Koppelung durch folgende Beziehung gegeben:
uink =
1 (uli + ure ) . 2
(5.32)
Anstatt die Bedingung (5.32) direkt in die Systemsteifigkeit oder auch die Elementsteifigkeit einzubauen, w¨ are es auch m¨ oglich, sie mit Hilfe eines Lagrange Multiplikators oder der Penalty Methode zu erfassen [CMP89]. Im Rahmen dieser Arbeit erfolgt ein direkter Einbau mit Hilfe einer Transformationsmatrix, welche auf Systemebene die Beziehungen zwischen allen unabh¨angigen und abh¨angigen Freiheits¨ graden erfaßt. Dies hat den Vorteil, daß auf Elementebene keine Anderungen im Programmcode notwendig werden.
5.3.4
Datentransfer
F¨ ur jedes Lastinkrement muß im Anschluß an die Gleichgewichtsiteration die Fehlersch¨atzung und falls n¨otig eine Netzverfeinerung durchgef¨ uhrt werden. Eine M¨oglichkeit w¨are nun mit dem
88
Kapitel 5. Fehlersch¨ atzung und Netzadaption
Abbildung 5.2: Kompatible Elementunterteilungsstrategie nach [Rus91]
Abbildung 5.3: Kompatible Elementunterteilungsstrategie nach [Rus91] jeweils verfeinerten Netz die gesamte Berechnung nochmals von vorne mit dem ersten Lastinkrement zu starten. Dieses Vorgehen ist extrem unwirtschaftlich und kommt daher nicht in Betracht. Sehr viel effizienter ist es, nur das aktuelle Lastinkrement nochmals mit dem verfeinerten Netz durchzurechnen. Dazu m¨ ussen allerdings aufgrund der Abh¨angigkeit des Stoffgesetzes von der Lastgeschichte die Zustandsgr¨ oßen, die an den Knoten- und Integrationspunkten des groben Netzes vorliegen, auf das neue Netz u ¨bertragen werden. F¨ ur den Transfer der Knotenverschiebungen des Ausgangsnetzes valt k¨onnen die Verschiebungsans¨atze N(ξ ; η) der Vaterelemente zur Interpolation hergenommen werden. Diese Interpolation l¨aßt sich folgendermaßen anschreiben:
vneu (ξi ; ηi ) = N(ξi ; ηi ) valt ,
(5.33)
ur die Knotenpunkte der Sohnelemente darstellen. wobei (ξi ; ηi ) die lokalen Koordinaten f¨ Spannungen, Dehnungen und innere Variable, welche das Ver- bzw. Entfestigungsverhalten steuern, liegen hingegen an den Integrationspunkten des Ausgangselementes vor und m¨ ussen daher auf die Integrationspunkte der vier neu entstandenen Elemente u ¨ bertragen werden. Analog zur Vorgehensweise bei den Knotengr¨ oßen werden f¨ ur diesen Fall Interpolationsfunktionen M(ξ ; η) verwendet, deren Freiwerte zalt aber an den Integrationspunkten des Vaterelementes vorliegen:
zneu (ξi ; ηi ) = M(ξi ; ηi ) zalt ,
(5.34)
5.3. Netzverfeinerung
89
v neuĂ +Ă NĂ v alt
Abbildung 5.4: Transfer der Verschiebungen an den Knotenpunkten wobei die Koordinatenpaare (ξi; ηi ) die Orte der Integrationspunkte in den Sohnelementen bezeichnen und im Vektor zT = εT ; σ T ; κT die Zustandsgr¨oßen an den Integrationspunkten zusammengefaßt sind.
z neuĂ +Ă MĂ z alt
Abbildung 5.5: Transfer der Zustandsgr¨oßen an den Integrationspunkten In [OQ91] wird gezeigt, daß sich die oben geschilderte Vorgehensweise im Sinne einer gemischten Finite–Element–Formulierung variationell begr¨ unden l¨aßt. W¨ahrend der Transfer der Verschiebungs–, Dehnungs– und Spannungsgr¨oßen in der Weise wie oben gezeigt mittlerweile Standard ist, muß der Transfer der inneren Parameter f¨ ur die Entfestigungsgesetze noch n¨aher diskutiert werden. Der Einfachheit halber soll eine hierarchische Netzverfeinerung mit anschließendem Datentransfer an einer einaxial auf Zug belasteten Scheibe betrachtet werden. Das Ausgangsnetz besteht aus nur einem Scheibenelement, in dem nur ein Integrationspunkt vorliegen soll (Bild 5.6). s (1) te
s (2) te hń2
h
hń2 L (1) eq
L (2) eq
L (2) eq
1 (1) L (2) eq + 2 L eq
Abbildung 5.6: Hierarchische Verfeinerung einer Scheibendiskretisierung Da unter der vorliegenden Beanspruchung Spannungen und Dehnungen konstant verlaufen, muß auch der innere Parameter εR am Integrationspunkt des Vaterelementes so wie an den Integrationspunkten der Sohnelemente den gleichen Betrag aufweisen
(1)
(2)
εR = εR = εR .
(5.35)
Die Abh¨angigkeit der z.B. linearen Entfestigungsbeziehung von der ¨aquivalenten L¨ange (vgl. Gl. (4.34))
90
Kapitel 5. Fehlersch¨ atzung und Netzadaption
(1)
εRu =
2 Gf
2 Gf
(2)
und
(1) σtu Leq
εRu =
(1)
(2) σtu Leq
= 2 εRu
(5.36)
f¨ uhrt zu verschiedenen Funktionsverl¨ aufen f¨ ur Vater- und Sohnelemente (Bild 5.7). s te s tu
ǒ Ǔ s (2) te e R ǒ Ǔ s (1) te e R 0
e (1) Ru
e (2) Ru
eR
e (1) + e (2) R R
Abbildung 5.7: Entfestigungsbeziehung f¨ ur (1) Vater- und (2) Sohnelement Die Folge davon ist eine Erh¨ ohung der aufnehmbaren Rißspannung im verfeinerten Netz, die ohne mechanischen Hintergrund alleine aus dem Verfeinerungsprozeß resultiert. Um diesen Effekt zu vermeiden, m¨ ussen bei adaptiven Berechnungen die ¨aquivalenten L¨angen f¨ ur die Ausgangsdiskretisierung bestimmt und dann im verfeinerten Netz von den Vaterelementen auf die entsprechenden Sohnelemente unver¨ andert u ¨bertragen werden:
(1) L(2) eq = Leq .
(5.37)
Dies ergibt in Bild 5.7 nachvollziehbar die Richtigstellung des oben angesprochenen Fehlers:
(1)
(2)
εRu = εRu
⇒
(1)
(2)
σte (εR ) = σte (εR ) .
(5.38)
In [MML97] wird f¨ ur das geschilderte Problem ein ¨ahnliches Verfahren vorgestellt. Dort wird das Entfestigungsgesetz jedoch nicht auf die ¨aquivalente L¨ange des Ursprungsnetzes bezogen, sondern auf eine netzunabh¨ angige charakteristische L¨ange lc . Widerspruchsfrei sind allerdings die beiden genannten Vorgehensweisen keineswegs. Denn will man aus den vorhandenen Rißdehnungen die freigesetzte Bruchenergie in der gesamten Scheibe berechnen, ergibt sich f¨ ur das urspr¨ ungliche Netz bei einer Scheibenh¨ohe h und einer Scheibendicke t
G(1) = 1 ·
1 (σtu + σte ) εR L(1) eq h t . 2
(5.39)
Im verfeinerten Netz muß nat¨ urlich die gleiche Energie freigesetzt werden, was man aber nur erreicht, wenn die a quivalente L¨ ange der verfeinerten Struktur verwendet wird: ¨
5.3. Netzverfeinerung
G(2) = 4 ·
91
1 h (σtu + σte ) εR L(2) t = G(1) . eq 2 2
(5.40)
(1)
Leq /2
Zusammenfassend kann u ¨ber den Transfer der inneren Parameter bei der adaptiven Netzverfeinerung folgendes ausgesagt werden: • Die inneren Variablen werden in der gleichen Vorgehensweise interpoliert wie die restlichen Zustandsgr¨ oßen. • Das Aufstellen der Entfestigungsbeziehung muß in jedem Element mit der ¨aquivalenten L¨ange geschehen, die im urspr¨ unglichen Vaterelement im Ausgangsnetz vorgelegen hat. • Soll in einer Nachlaufrechnung die freigesetzte Bruchenergie bestimmt werden, dann muß die aktuelle ¨ aquivalente L¨ ange eingesetzt werden, wie sie im verfeinerten Netz vorliegt. Beim Datentransfer m¨ ussen die Zustandsgr¨oßen immer von einem Netz aus u ¨bertragen werden, das im Gleichgewichtszustand vorliegt, und in dem der r¨aumliche Diskretisierungsfehler in jedem Element die gew¨ ahlte Toleranzschranke unterschreitet. Um mehrere aufeinanderfolgende adaptive Verfeinerungsschritte am Ende eines Lastinkrementes zu erm¨oglichen, muß daher folgende Vorgehensweise beachtet werden (Bild 5.8). Nach einer Netzverfeinerung am Ende des Lastinkrementes n + 1, muß ein Transfer der Zustandsgr¨oßen, die im alten Netz zum Ende des Lastinkrementes n vorliegen, auf das verfeinerte Netz stattfinden. Da die transferierten Daten im neuen Netz keinen Gleichgewichtszustand darstellen und im Regelfall in den plastischen Integrationspunkten die Fließbedingung verletzt ist, muß f¨ ur das verfeinerte Netz eine Gleichgewichtsiteration ohne Lastzuwachs auf der Laststufe n durchgef¨ uhrt werden. Dadurch liegt jetzt f¨ ur das neue Netz ein Zustand vor, der die oben genannten Bedingungen, Gleichgewicht und Einhaltung der Fehlertoleranz, erf¨ ullt. Wird im aktuellen Lastschritt n + 1 noch eine weitere Netzverfeinerung notwendig, kann daher auf die f¨ ur den Datentransfer notwendigen Daten zur¨ uckgegriffen werden.
92
Kapitel 5. Fehlersch¨ atzung und Netzadaption
n)1
n
n)2 Last
)l
Fehler > TOL
GG-Iteration
Datentransfer
Fehler < TOL
)l
GG-Iteration
Datentransfer
Fehler > TOL
)l
)l
Fehler < TOL
Abbildung 5.8: Mehrmalige Verfeinerung im Lastschritt n + 1
Kapitel 6
Numerische Untersuchungen Dieses Kapitel besch¨ aftigt sich mit numerischen Untersuchungen an unbewehrten und bewehrten Betonstrukturen, die unter Verwendung des im Abschnitt 4 beschriebenen Werkstoffmodells durchgef¨ uhrt worden sind. W¨ ahrend kleine Testbeispiele, bei denen das ganze System nur mit einem Element diskretisiert ist, zur Verifizierung des Werkstoffmodells dienen, sollen die Analysen von Stahlbetonscheiben, f¨ ur die auch experimentelle Ergebnisse vorliegen, die Leistungsf¨ahigkeit der vorliegenden Finite–Element–Implementierung demonstrieren. Um die Unterschiede in Genauigkeit und Rechenzeit quantifizieren zu k¨onnen, werden dabei verschiedene Beispiele sowohl mit als auch ohne Netzadaption berechnet.
6.1 6.1.1
Unbewehrter Beton Biaxialversuche von Kupfer
In [Kup72] werden Biaxialversuche an kleinen unbewehrten Betonscheiben (b = 20 cm, h = 20 cm, t = 5 cm) beschrieben, bei denen die Kraft u ursten in den Beton ¨ber sogenannte Stahlb¨ eingeleitet wird. Dieses Vorgehen minimiert die Reibung tangential zur belasteten Oberfl¨ache, wodurch die Querdehnung im Lasteinleitungsbereich nur in sehr geringem Maße behindert ist. Dies f¨ uhrt zu Ergebnissen, die unabh¨ angig von der Versuchsanordnung sind und sich deshalb sehr gut eignen, das in dieser Arbeit vorgestellte Werkstoffmodell f¨ ur unbewehrten Beton zu verifizieren. Da w¨ahrend eines Versuches die Richtung der Hauptspannungen und das Verh¨altnis ihrer Betr¨age zueinander unver¨ andert bleiben, liegt in allen Proben ein genau definierter homogener Spannungszustand vor. F¨ ur die numerische Untersuchung gen¨ ugt es daher, die Scheiben jeweils nur mit einem einzigen finiten Element zu diskretisieren (Bild 6.1). W¨ahrend in [Kup72] drei Versuchsreihen mit jeweils unterschiedlicher Betonqualit¨at durchgef¨ uhrt werden, beschr¨ankt sich die numerische Analyse auf eine Versuchsreihe. Die Materialparameter des verwendeten Betons sind ebenfalls in Bild 6.1 angegeben. Im Berechnungsalgorithmus wird die Lastaufbringung mit Hilfe einer Wegsteuerung kontrolliert. Die maßgebende Verschiebung ist dabei der Weg der rechten Scheibenkante in Richtung der Last p1 . Im achtknotigen Element wird eine Gaußsche Integration mit 3 × 3 Integrationspunkten durchgef¨ uhrt. In den Bildern 6.2 bis 6.4 sind die resultierenden Spannungs–Dehnungslinien f¨ ur verschiedene Hauptspannungsverh¨ altnisse sowohl f¨ ur die Versuche wie auch f¨ ur die Berechnungen angegeben. 93
94
Kapitel 6. Numerische Untersuchungen
p2
p1
0,20 m
E C + 33Ă 000Ă MN m2
n + 0, 195
s cu + 31, 1Ă MN m2
s tu + 2, 84Ă MN m2
G c + 1, 0 @ 10 ć2Ă MNm m2
tĂ +Ă 0, 05Ă m
G f + 1, 0 @ 10 ć4Ă MNm m2 0, 20Ă m
Abbildung 6.1: Biaxialversuch, System und Materialparameter F¨ ur zweiaxialen Druck stimmen die Traglasten aus Versuch und Berechnung gut u ¨berein (Bild ur σ1 /σ2 = −1/ − 0, 226 um 6.2). F¨ ur σ1 /σ2 = −1/ − 1 liegt die Berechnung um 4% u ¨ ber, f¨ 2, 8% unter der Versuchstraglast. Der Grund daf¨ ur liegt in der geringf¨ ugigen Abweichung der verwendeten Drucker–Prager–Fließfl¨ ache von der Bruchfl¨ache des unbewehrten Betons (vgl. Bild 4.2), die in [Kup72] mit den Mittelwerten der Versuchsergebnisse aufgestellt worden ist. Die berechneten auf die Betonzugfestigkeit bezogenen Traglasten weichen somit nicht mehr von der gemittelten Versuchskurve ab, wie die Einzelversuche untereinander. Gr¨oßere Unterschiede zwischen Versuch und Berechnung treten bei den zur Traglast geh¨origen Dehnungen auf. Da der einaxiale Druckversuch dem Rechenmodell als Vergleichsbeziehung zugrunde liegt, passen hier die Werte noch sehr gut zusammen. F¨ ur zweiaxialen Druck unterscheiden sich allerdings ur σ1 /σ2 = −1/ − die Traglastdehnungen um bis zu 45% f¨ ur σ1 /σ2 = −1/ − 1 und bis zu 29% f¨ 0, 525. Dies liegt zum einen in der verwendeten Arbeitsverfestigungshypothese begr¨ undet, die den Bezug zur einaxialen Vergleichsbeziehung herstellt. Zum anderen hat die im Rechenmodell eingesetzte assoziierte Fließregel zwar den Vorteil, daß sie zu symmetrischen Systemmatrizen und zu eindeutigen L¨ osungen bei verfestigenden Verhalten f¨ uhrt, als Nachteil ist allerdings zu nennen, daß abh¨ angig vom Spannungszustand die plastischen Dehnungszuw¨achse unter– oder u ur σ1 /σ2 = −1/ − ¨bersch¨atzt werden. Am deutlichsten ist der zuletzt angesprochene Effekt f¨ 0, 525 zu sehen, wo nach Erreichen der Traglast die Dehnung ε2 nicht mehr in Richtung der Beanspruchung σ2 zunimmt, sondern der plastische Dehnungszuwachs in die entgegengesetzte Richtung im Modell u atzt und daher maßgebend wird. Bei numerischen Traglastanalysen ¨ bersch¨ f¨ ur Stahlbetonscheiben, bei denen eine zweiaxiale Druckbeanspruchung maßgebend wird, k¨onnen somit Abweichungen im berechneten Dehnungsverlauf vom Versuchsergebnis entstehen. Da aber hochbeanspruchte Zonen unter zweiaxialem Druck meist nur lokal begrenzt auftreten, wirkt sich die angesprochene Unzul¨ anglichkeit nur gering auf die Systemantwort aus. F¨ ur eine gemischte Druck–Zugbeanspruchung k¨onnen die Ergebnisse in Bild 6.3 abgelesen werden. Mit Ausnahme der Arbeitslinie f¨ ur σ1 /σ2 = −1/0, 103 bleiben die Abweichungen der Berechnungen von den experimentellen Traglasten unter 20%. F¨ ur σ1 /σ2 = −1/0, 103 ist die Abweichung jedoch mit 33% hoch. Der Grund f¨ ur diesen Sachverhalt liegt in der Modellierung des Zugversagens mit Hilfe des Rankine–Kriteriums, in dem nur die gr¨oßte Hauptzugspannung als Eingangsparameter ber¨ ucksichtigt wird. Dadurch ist f¨ ur eine gemischte Druck–Zugbeanspruchung die Druckfestigkeit des Betons unabh¨ angig von der Gr¨oße der angreifenden Querzugspannungen. F¨ ur geringe Querzugbeanspruchung mag dies noch zutreffen (Bild 6.5, Bereich C oben), f¨ ur h¨ohere Querzugbeanspruchung sicherlich aber nicht. Dadurch wird im vorliegenden Modell die Tragf¨ahigkeit f¨ ur solche Beanspruchungen u ¨bersch¨atzt. Im Bereich der ausgerundeten Ecke zwischen Drucker–Prager– und Rankine–Kriterium wird die aufnehmbare Druckfestigkeit jedoch
6.1. Unbewehrter Beton
95 s1 s cu
e 1Ă
e 2Ă
ć1, 4
e 2Ă
ć1, 2
e 1Ă e 1, e 2
ć1, 0 e 1Ă
e 2Ă
Versuch [Kup72]
ć0, 8
s2
ć0, 6
s1
ć0, 4
s1
ć0, 2
s2 ć4
ć3
ć2
ć1
0
1
2
3
4
s 1ńs 2 + ć1Ă ńĂ " 0
e 1Ă , Ă e 2 [ğ]
s 1ńs 2 + ć1Ă ńĂ ć0, 226 s 1ńs 2 + ć1Ă ńĂ ć0, 525 s 1ńs 2 + ć1Ă ńĂ ć1 s1 s cu
ć1, 4
e 2Ă
ć1, 2 ć1, 0
e 1Ă
ć0, 8 e 2Ă
e 1Ă e Ă 1
e 1, e 2
ć0, 6
e 2Ă
ć0, 4 ć0, 2
FE-Berechnung (ISARES) ć4
ć3
ć2
ć1
0
1
2
3
4
e 1Ă , Ă e 2 [ğ]
Abbildung 6.2: Spannungs–Dehnungslinie bei zweiaxialem Druck, Versuch und Berechnung in Abh¨angigkeit der Querzugbeanspruchung verringert (Bild 6.5, Bereich D). Deshalb zeigt sich ¨ f¨ ur solche Spannungszust¨ ande wiederum eine gute Ubereinstimmung mit den Versuchen (vgl. ur Druckbeanspruchungen mit gleichzeitig wirkendem σ1 /σ2 = −1/0, 204). Um das Modell f¨ Querzug zu verbessern, m¨ ußte die Fließfl¨ache um ein weiteres Teilkriterium im Druck–Zugbereich (Bild 6.5, Bereich C) erg¨ anzt werden. Mit der in Abschnitt 4.1.1 beschriebenen Methode stellt dies prinzipiell kein Problem dar, die Komplexit¨at der zu implementierenden Beziehungen w¨ urde damit aber stark zunehmen. F¨ ur zweiaxiale Zugbeanspruchung liefert das verwendete Rankine–Kriterium sehr gute Ergebnisse (Bild 6.5, Bereich B). Nur im ausgerundeten Bereich (Bild 6.5, Bereich A) liegt das Modell zu
96
Kapitel 6. Numerische Untersuchungen s1 s cu
e 1Ă
e 2Ă
ć1, 0
e 2Ă
e 1Ă
ć0, 8
e 2Ă
e 1Ă
ć0, 6 e 1Ă
s2
e 2Ă
s1
ć0, 2 e 1Ă , Ă e 2
s2 ć2, 5
ć1, 5
ć2, 0
ć0, 4
e 2Ă
e 1Ă
s1
Versuch [Kup72]
[ğ] ć1, 0
ć0, 5
0, 5
0
1, 5
1, 0
s 1ńs 2 + ć1Ă ńĂ " 0 s 1ńs 2 + ć1Ă ńĂ 0, 052 s 1ńs 2 + ć1Ă ńĂ 0, 070 s 1ńs 2 + ć1Ă ńĂ 0, 103 s 1ńs 2 + ć1Ă ńĂ 0, 204 s1 s cu
e 1Ă
e 2Ă
ć1, 0
e 1Ă
e 2Ă
ć0, 8
e 2Ă
e 1Ă
ć0, 6 e 2Ă
e 1Ă
FE-Berechnung (ISARES)
ć0, 4
ć0, 2 e 1Ă , Ă e 2 [ğ] ć2, 5
ć2, 0
ć1, 5
ć1, 0
ć0, 5
0
0, 5
1, 0
1, 5
Abbildung 6.3: Spannungs–Dehnungslinie bei zweiaxialem Druck–Zug, Versuch und Berechnung
uber weit auf der sicheren Seite, womit sich f¨ ur σ1 /σ2 = 1/1 die Traglast um 25% zu gering gegen¨ dem Versuch ergibt. Zusammenfassend kann festgestellt werden, daß das vorliegende Werkstoffmodell im großen und ganzen das mehraxiale Spannungs–Dehnungsverhalten des unbewehrten Betons gut abbilden kann. Ungenauigkeiten existieren f¨ ur die gemischte Druck–Zugbeanspruchung und f¨ ur zweiaxiale Zugbeanspruchung mit σ1 ≈ σ2 . Eine noch bessere Anpassung der verwendeten Fließfl¨ache an die Versuchskurve (vgl. Bild 4.2) w¨ are mit dem in Abschnitt 4.1.1 beschriebenen Verfahren
6.1. Unbewehrter Beton
97 s1 s cu e 2Ă
e 2Ă
e 2Ă
e 1, e 2
0, 10
e 1Ă e 1Ă e 1Ă
0, 08 0, 06 s2
0, 04
s1 s1 Versuch [Kup72] ć0, 05
e 1Ă , Ă e 2
s2 0, 05
0
0, 02 [ğ]
0, 15
0, 10
s 1ńs 2 + 1Ă ńĂ " 0 s 1ńs 2 + 1Ă ńĂ 0, 244 s 1ńs 2 + 1Ă ńĂ 0, 540 s 1ńs 2 + 1Ă ńĂ 1 s1 s cu 0, 10 e 2Ă
e 2Ă
e 2Ă
0, 08
FE-Berechnung (ISARES)
e 1Ă
0, 06
e 1Ă
0, 04
e 1, e 2
0, 02 e 1Ă , Ă e 2 [ğ]
ć0, 05
0
0, 05
0, 10
0, 15
Abbildung 6.4: Spannungs–Dehnungslinie bei zweiaxialem Zug, Versuch und Berechnung zwar m¨oglich, scheint aber aufgrund der guten Ergebnisse in den noch folgenden numerischen Untersuchungen als nicht notwendig.
6.1.2
Spaltzugversuch
Der Spaltzugversuch an Zylindern stellt eine M¨oglichkeit dar, die Zugfestigkeit des Betons zu bestimmen. Unter der Annahme, daß sich der Beton bis zum Bruch elastisch verh¨alt, kann man mit Hilfe der Elastizit¨ atstheorie die Spaltzugfestigkeit σSZ in Abh¨angigkeit von der maximal aufgebrachten Pressenkraft Fu berechnen [HR98]:
98
Kapitel 6. Numerische Untersuchungen s2 s te
A B
s1
s te
s ce
C
s ce D
E
Abbildung 6.5: Ausgerundetes Fließkriterium
σSZ =
2 Fu , π dl
(6.1)
wobei d f¨ ur den Zylinderdurchmesser und l f¨ ur die Zylinderl¨ange steht. In [CF90] wird folgender Zusammenhang angegeben, um aus der Spaltzugfestigkeit die zentrische Betonzugfestigkeit zu berechnen:
σtu = 0, 9 · σSZ .
(6.2)
Mit den angegebenen Formeln (6.1) und (6.2) kann die G¨ ute der nachfolgenden Finite–Element– Berechnungen abgesch¨ atzt werden. Die Geometrie und die Materialkennwerte des Beispielsystems sind in Bild 6.6 angegeben und sind aus [SM89] u ¨bernommen, wo diese Struktur mit Hilfe von verschiedenen Sch¨adigungsmodellen numerisch untersucht worden ist. Unter Ausnutzung der Symmetriebedingungen braucht nur ein Viertel des Kreisquerschnittes diskretisiert werden. Drei verschiedene Berechnungen werden ohne Einsatz der Netzadaption mit jeweils 41, 161 und 644 Elementen durchgef¨ uhrt (Bild 6.7). Eine weitere Berechnung, im Gegensatz zu den vorherigen mit Netzadaption, startet mit dem bereits erw¨ahnten groben Netz von 41 Elementen. Dabei erh¨ oht sich bis zum Erreichen der Bruchlast die Elementanzahl durch die automatische Netzverdichtung auf 62 (Bild 6.12). Die berechneten Last–Verschiebungskurven sind f¨ ur die verschiedenen Diskretisierungen in Bild 6.8 dargestellt. Zus¨ atzlich ist als Referenzwert die Traglast angegeben, die sich aus den Formeln (6.1) und (6.2) ergibt, wenn Geometrie und Zugfestigkeit aus dem Versuch eingesetzt werden:
FuRef =
1 σtu π d l = 67 kN . 0, 9 · 2
(6.3)
6.1. Unbewehrter Beton
99 E c + 37Ă 700
Fu l
N mm 2
n + 0, 15
d + 80Ă mm l + 160Ă mm
s cu + 30, 0
N mm 2
s tu + 3, 0
N mm 2
G f + 0, 1
Nmm mm 2
G c + 5, 0
Nmm mm 2
Fu l
Abbildung 6.6: Spaltzugversuch: Geometrie und Materialkennwerte Res + 1 Ă F u 2
v0
161 Elemente S A S A
R + 40Ă mm 41 Elemente
644 Elemente
Abbildung 6.7: Spaltzugversuch: verwendete Finite–Element–Diskretisierungen
Bewertet man die Ergebnisse der Finite–Element–Berechnungen unter Einbeziehung des Referenzwertes, so liegt mit der groben Diskretisierung eine zu steife Abbildung der Struktur vor. Die Ergebnisse aus der mittleren und der feinen Diskretisierung liegen nicht nur n¨aher am Referenzwert sondern auch n¨ aher beisammen, ein Zeichen daf¨ ur, daß der r¨aumliche Diskretisierungsfehler im groben Netz noch zu groß ist. Der Versagensvorgang kann anhand der Berechnung sehr gut verfolgt werden. Unterhalb der Bruchlast wird das Last–Verformungsverhalten durch plastische Deformationen bestimmt, die durch hohe Druckspannungen im Bereich der Lasteinleitung verursacht werden. Dieser Sachverhalt wird in Bild 6.9 durch die Verteilung des inneren Parameters
100
Kapitel 6. Numerische Untersuchungen F [kN]
80 F Ref u + 67 kN
70 60 50 40
Netz mit 41 Elementen
30
Netz mit 161 Elementen
20
Netz mit 644 Elementen adaptiv verfeinertes Netz
10 v 0 [mm] 0
–0,05
–0,10
–0,15
–0,20
Abbildung 6.8: Spaltzugversuch: Last–Verschiebungskurven ur die Plastifizierung des Betons im DruckεDP deulich gemacht, da dieser Parameter ein Maß f¨ bereich darstellt. 41 Elemente
.00
.0008
.0016
.0028
.0036
161 Elemente
.00
.0016
.0042
.0098
.0155
.0197
.0059 .0075
Verfeinertes Netz mit 62 Elementen
644 Elemente
.00
.0038
.00
.0042
.0097
.0153
.0194
Abbildung 6.9: Verteilung des inneren Parameters εDP [−] bei Erreichen der Bruchlast Bevor der Beton im Bereich der Lastplatte auf Druck versagt, erreichen die Zugspannungen
6.1. Unbewehrter Beton
101
senkrecht zur Lasteinleitungsrichtung entlang der vertikalen Symmetrieachse die Zugfestigkeit. Die Entfestigung des Materials auf Zug in diesem Bereich ist schließlich f¨ ur das Abfallen der Last–Verschiebungskurve im Nachbruchbereich verantwortlich. Im Experiment macht sich dieser Vorgang durch das Aufspalten des Zylinders bemerkbar, was in Bild 6.10 am Verlauf des inneren Parameters εR und anhand der in Bild 6.11 dargestellten Rißbilder nachvollziehbar ist. Mit dem inneren Parameter εR ist dabei der Grad der Zugentfestigung am jeweiligen Integrationspunkt gegeben. 41 Elemente
.00
.0010
.0024
.0037
.0048
161 Elemente
.00
.0014
.0032
.0017
.0040
.0063
.0080
.0064
Verfeinertes Netz mit 62 Elementen
644 Elemente
.00
.0051
.00
.0009
.0020
.0032
.0040
Abbildung 6.10: Verteilung des inneren Parameters εR [−] bei Erreichen der Bruchlast Aufgrund der starken Dehnungslokalisierung im Bereich der Lasteinleitung unterhalb der Bruchlast wird in [SM89] argumentiert, der beschriebene Versuch k¨onne nicht mit einem lokalen Sch¨ adigungsmodell erfaßt werden. Die vorgestellten Ergebnisse zeigen jedoch, daß mit dem verwendeten Modell auf der Grundlage des Bruchenergiekonzeptes sehr wohl der Versagensprozeß abgebildet werden kann. Das Berechnungsbeispiel eignet sich außerdem dazu, die Vorteile zu studieren, die sich aus einer Berechnung mit adaptiver Netzverfeinerung ergeben. Die adaptive Berechnung liefert fast die identische Last–Verschiebungskurve wie die Berechnung mit dem feinen Netz. Der Rechenaufwand ist dabei allerdings erheblich geringer (maximal 86 Elemente anstatt 644 Elemente). Die damit verbundene Rechenzeitersparnis kann in Tabelle 6.1 nachvollzogen werden. Außerdem sind dort die maximal ereichte Last mit der dazugeh¨origen, vertikalen Verschiebung der Lasteinleitungsplatte f¨ ur jede der vier Berechnungsarten angegeben. Um Einblick in den Netzverfeinerungsprozeß zu bekommen, ist in Bild 6.12 eingezeichnet, welcher Abschnitt der Last–Verschiebungskurve mit welcher Diskretisierung berechnet wurde. Das Startnetz N1 liefert bereits f¨ ur das erste Lastinkrement zu große Fehler, was eine zweimalige Netzverfeinerung gleich zu Beginn der Berechnung erforderlich macht (Netz N3). Bis knapp
102
Kapitel 6. Numerische Untersuchungen
41 Elemente
161 Elemente
644 Elemente
Verfeinertes Netz mit 62 Elementen
Abbildung 6.11: Rißbild im verformten Netz bei Erreichen der Bruchlast 41 El.
161 El.
644 El.
adaptiv
Fu [kN ]
76,748
71,638
68,172
68,136
v0 [mm] T TE644
0,04313
0,0400
0,04156
0,04174
6,74 %
20,69 %
100 %
15,94 %
Tabelle 6.1: Spaltzugversuch: maximale Last mit zugeh¨origer Verschiebung und Rechenzeit unterhalb der Bruchlast spricht der Fehlersch¨atzer vor allem im Bereich der Lasteinleitung an, da dort die gr¨ oßten plastischen Dehnungen aber auch die gr¨oßten Spannungsspr¨ unge auftreten, w¨ahrend die Spannungen im restlichen Netz glatt verlaufen (Netz N4 bis N5). Mit Erreichen der Maximallast kommt es zum bereits geschilderten Aufspalten des Zylinders entlang der vertikalen Symmetrieachse. Die damit verbundenen großen Rißdehnungen gehen im Fehlerindikator ein und f¨ uhren zu einer Netzverdichtung in der gerissenen Zone (Netz N6 bis N12). Da ein m¨oglichst genauer Verlauf der Last–Verschiebungskurve im Nachbruchbereich weniger von Interesse ist, wird dort, um Rechenzeit zu sparen, der Netzverfeinerungsalgorithmus abgeschaltet.
6.1. Unbewehrter Beton
103
F [kN] 80 Fu
70 60 50 40 30
N4
N5
N12 N6
N3
v 0 [mm]
N10 N1
0
–0,05
–0,10
–0,15
–0,20
Startnetz N1: 41 Elemente
N3: 56 Elemente
N4: 59 Elemente
N5: 62 Elemente
N6: 65 Elemente
N10: 80 Elemente
N12: 86 Elemente
Abbildung 6.12: Spaltzugversuch: Netzverfeinerung im Rechenablauf
104
6.1.3
Kapitel 6. Numerische Untersuchungen
Gekerbter Biegebalken
Mit einer numerischen Untersuchung an einem gekerbten Biegebalken aus unbewehrtem Beton wird in [CS94] der Nachweis erbracht, daß ein Rißmodell basierend auf dem Bruchenergiekonzept zu objektiven L¨ osungen f¨ uhrt, was bedeutet, daß f¨ ur eine Finite–Element–Diskretisierung die Berechnungsergebnisse mit feiner werdender Netzeinteilung gegen die exakte L¨osung streben. Eine solche numerische Untersuchung soll nun auch mit dem in dieser Arbeit entwickelten Werkstoffmodell durchgef¨ uhrt werden. Dazu sind in Bild 6.13 die Geometrie und die Materialkennwerte f¨ ur den Probek¨ orper angegeben. E + 30Ă 000Ă N 2 mm
Längen [mm] tĂ +Ă 50Ă mm F res 200
s cu + 35Ă N 2 mm
100 1000
wm
n + 0, 2
G c + 10, 0Ă Nmm mm 2
1000
s tu + 3, 33Ă N 2 mm G f + 0, 124Ă Nmm mm 2
Abbildung 6.13: Gekerbter Biegebalken, Geometrie und Materialkennwerte Die Breite der Kerbe ist durch die Breite der Elemente in Verl¨angerung der Kerbe vorgegeben. In der groben Netzdiskretisierung betr¨agt die Kerbenbreite dK = 40 mm im feinen Netz gilt dK = 20 mm (Bild 6.14). F resńd K
d K + 40Ă mm F resńd K
d K + 20Ă mm
Abbildung 6.14: Gekerbter Biegebalken, Netzdiskretisierungen Die Elemente, in denen sich die Kerbe bei Aufbringen der Last als Riß fortpflanzt, sind somit in der feinen Diskretisierung nur halb so breit wie im groben Netz. Liegt ein objektives L¨osungsverfahren vor, so d¨ urfen die Berechnungsergebnisse aus den beiden Diskretisierungen nur aufgrund des unterschiedlichen, r¨ aumlichen Diskretisierungsfehlers geringf¨ ugig voneinander abweichen. Tats¨ achlich differieren die Last–Verschiebungskurven in Bild 6.15, in denen der Betrag der angreifenden Einzellast F res gegen die Durchbiegung in Feldmitte wm angetragen ist, nur gering.
6.1. Unbewehrter Beton
105
F res [N]
800 600 400
d K + 40Ă mm d K + 20Ă mm
200
d K + 40Ă mmĂ [CS94] d K + 20Ă mmĂ [CS94] 0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
w m [mm]
Abbildung 6.15: Gekerbter Biegebalken, Last–Verschiebungskurven, f¨ ur eigene Untersuchungen und f¨ ur numerische Analysen in [CS94] Auff¨allig ist, daß aus der feineren Diskretisierung ein sehr viel glatterer Verlauf der Last– Verschiebungskurve resultiert. Letzteres l¨aßt sich mit dem geringeren Abstand der Integrationspunkte im feinen Netz erkl¨ aren, da sich dadurch ein Riß sehr viel kontinuierlicher von Gauߨ punkt zu Gaußpunkt fortpflanzen kann. Diese Uberlegung wird einsichtig, wenn man sich in Darstellung 6.16 das Rißbild unter maximaler Last betrachtet.
Abbildung 6.16: Gekerbter Biegebalken, Rißbild unter maximaler Last Im groben Netz liegt an sechs Integrationspunkten, im feinen Netz an 15 Integrationspunkten jeweils ein Riß vor. Da die Maschenweite beim vorliegenden Bruchenergiekonzept u ¨ber das Maß der ¨aquivalenten L¨ ange in das Rißmodell eingeht, liefern beide Diskretisierungen ann¨ahernd die gleiche Durchbiegung im Bruchzustand.
106
Kapitel 6. Numerische Untersuchungen
Die oben geschilderte Beobachtung, daß der geringere Abstand der Integrationspunkte bei feineren Netzen zu glatteren Last–Verschiebungskurven f¨ uhrt, l¨aßt sich auch an ein und demselben Netz verifizieren, wenn in zwei Berechnungen bei gleicher Netzdiskretisierung verschiedene Integrationsordnungen verwendet werden. Dazu sind in Bild 6.17 die Last–Verschiebungskurven f¨ ur Berechnungen mit dem feinen Netz aus Bild 6.14 dargestellt. Einmal werden die achtknotigen Scheibenelemente u ¨ ber 2×2 Gaußpunkte, das andere Mal u ¨ber 3×3 Gaußpunkte integriert. Wie bereits angedeutet liefern beide Berechnungen qualitativ das gleiche Ergebnis mit dem kleinen Unterschied, daß bei einer geringeren Integrationsordnung die Last–Verschiebungskurve eckiger verl¨auft. F resĂ [N]
800 600 400
d K + 20Ă mm 2 3
200
0
0,2
2Ă Integration 3Ă Integration 0,4
0,6
0,8
1,0
w mĂ [mm]
Abbildung 6.17: Gekerbter Biegebalken, Last–Verschiebungskurven f¨ ur verschiedene Integrationsordnungen Weiterhin eignet sich dieses Berechnungsbeispiel sehr gut, um die Effizienz des in Abschnitt 3.5.3 vorgestellten Verfahrens zur automatischen Steuerung der Lastschrittweite zu u ufen. ¨berpr¨ Dazu wird die Berechnung der Netzdiskretisierung f¨ ur eine Kerbenbreite von dK = 40 mm mit verschiedenen maximal zul¨ assigen Lastschrittweiten gestartet. Als erstes wird unter Verwendung einer sehr kleinen Lastschrittweite von s = 0, 01 mm eine Referenzl¨osung erzeugt, bei deren Berechnung in keinem Inkrement eine weitere Subinkrementierung notwendig wird, um in Beziehung (3.92) eine Toleranzschranke von δ = 0, 1 % einzuhalten. Als n¨achstes folgt eine Berechnung mit einer maximal zul¨ assigen Lastschrittweite von s = 0, 1 mm. W¨ahrend in der dargestellten Last–Verschiebungskurve (Bild 6.18) bei Anwendung der automatischen Subinkrementierung kaum Abweichungen von der Referenzl¨osung auftreten, entstehen bei der Berechnung ohne Subinkrementierung zum einen Abweichungen von der Referenzkurve, zum anderen ¨ kann im L¨osungsalgorithmus nach Uberschreitem der Bruchlast keine Konvergenz mehr erreicht werden. Der Rechenlauf bricht ab. Noch deutlicher wird die Abweichung von der Referenzl¨osung bei einem maximal zul¨assigen Verschiebungsinkrement von s = 0, 175 mm. Die Berechnung ohne automatische Subinkrementierung weicht vor allem im Bereich der Maximallast stark von der Referenzl¨osung ab, zudem kommt es wegen Divergenz des L¨ osungsverfahrens zum Rechenabbruch (Bild 6.19). Da der Rechenabbruch vor Auftreten eines abfallenden Astes geschieht, ist mit dieser Berechnungsvariante alleine keine Information u ¨ber die Traglast des Systems gewonnen. Bei Verwendung der automatischen Subinkrementierung ergibt sich aber auch f¨ ur s = 0, 175 mm eine Last–Verschiebungskurve fast deckungsgleich zur Referenzl¨osung. Da in den Bildern 6.18 und 6.19 mit Ausnahme der Referenzkurve die errechneten Gleichgewichtslagen durch Rauten gekennzeichnet sind, l¨ aßt sich die Wirkungsweise der adaptiven Lastschrittsteuerung sehr
6.1. Unbewehrter Beton
107
F resĂ [N]
F resĂ [N]
800
800
600
600
400
400 s + 0, 01Ă mm
200
s + 0, 01Ă mm
200
s + 0, 1Ă mm 0
0,2
0,4
0,6
s + 0, 1Ă mm 0,8
0
w mĂ [mm]
mit Subinkrementierung
0,2
0,4
0,6
0,8
w mĂ [mm]
ohne Subinkrementierung
Abbildung 6.18: Gekerbter Biegebalken dK = 40 mm, Last–Verschiebungskurven f¨ ur unterschiedlich vorgegebene Verschiebungsinkremente F resĂ [N]
F resĂ [N]
800
800
600
600
400
400 s + 0, 01Ă mm
200
s + 0, 01Ă mm
200
s + 0, 175Ă mm
s + 0, 175Ă mm 0
0,2
0,4
0,6
0,8
mit Subinkrementierung
w mĂ [mm]
0
0,2
0,4
0,6
0,8
w mĂ [mm]
ohne Subinkrementierung
Abbildung 6.19: Gekerbter Biegebalken dK = 40 mm, Last–Verschiebungskurven f¨ ur unterschiedlich vorgegebene Verschiebungsinkremente
gut nachvollziehen. W¨ ahrend sich im linearen und im schwach nichtlinearen Vorbruchbereich in Abh¨angigkeit des maximal vorgegebenen Verschiebungsinkrementes s relativ große Lastschrittweiten ergeben, erzeugt die adaptive Lastschrittsteuerung im Bereich der Traglast und im Bereich von starken Kr¨ ummungen sehr kleine Inkrementfortschritte.
Zusammenfassend kann gesagt werden, daß erst die Anwendung der adaptiven Lastschrittsteuerung auf der Basis des Fehlersch¨ atzers f¨ ur den zeitlichen Diskretisierungsfehler nach Gleichung (3.90) es erlaubt, hochgradig nichtlineare Berechnungen f¨ ur Betonstrukturen effektiv und ausreichend genau zu l¨ osen.
108
6.2 6.2.1
Kapitel 6. Numerische Untersuchungen
Stahlbetonstrukturen Versuche am Panel Tester der Universit¨ at Toronto
Der Panel Tester ist eine Versuchsanlage, die 1979 von Vecchio und Collins an der Universit¨at Toronto mit dem Ziel entwickelt worden ist, das Last–Verformungsverhalten von Stahlbetonscheiben unter beliebiger Beanspruchung bis zum Bruch zu erforschen [VC83]. Die Versuchsscheiben besitzen die Abmessungen b × h × d = 890 mm × 890 mm × 70 mm und sind entweder orthogonal oder auch nur in einer Richtung bewehrt. Die Bewehrungsf¨ uhrung ist allerdings immer parallel zu den Scheibenr¨ andern. Da die Lastaufbringung u ¨ber sogenannte Schubz¨ahne erfolgt, von denen f¨ unf je Probenk¨ orperseite angeordnet sind, ist bei der Belastung jedes beliebige Verh¨altnis von Normalkraft zu Schubkraft m¨ oglich. Gemessen wird die aufgebrachte Last, die Relativverschiebungen zwischen 16 Meßstellen sowie die L¨angsverzerrungen in den Bewehrungsrichtungen.
Abbildung 6.20: Versuchsk¨orper und Lastaufbringung am Panel Tester Als erstes sollen Versuche nachgerechnet werden, die Bhide und Collins 1986 [BC87] am Panel Tester durchgef¨ uhrt haben. Hierbei handelt es sich um einaxiale Zugversuche an nur in einer Richtung bewehrten Scheiben. Diese Versuche eignen sich daher sehr gut, das in Abschnitt 4.3 vorgestellte Tension Stiffening Modell zu u ufen. ¨ berpr¨ Da in jeder Versuchsscheibe ein homogener Spannungszustand mit jeweils festem Hauptspannungsverh¨altnis vorliegt, gen¨ ugt die Modellierung mit nur einem achtknotigen Scheibenelement. Die Bewehrung wird u ¨ber die Scheibe verschmiert und in eine ¨aquivalente Schichtdicke umgerechnet. Die Scheibe PB13 ist mit zwei Lagen gerippten Stabstahl ø 6,55 mm bewehrt. Der geometrische Bewehrungsgrad in x–Richtung betr¨ agt :sx = 0, 01085, in y–Richtung liegt keine Bewehrung vor. Die Materialkennwerte f¨ ur Stahl und Beton sind in Tabelle 6.2 angegeben. W¨ahrend die Betondruckfestigkeit, die Stahlfließspannung und der Stahlelastizit¨atsmodul direkt aus [BC87] u onnen, errechnen sich die restlichen Materialparameter des ¨bernommen werden k¨ Betons aus der einaxialen Betondruckfestigkeit mit den Formeln, die in den Abschnitten 4.1.2 ¨ und 4.1.3 angegeben sind. Um eine gute Ubereinstimmung der Versuchsergebnisse mit den Berechnungsergebnissen zu erhalten, wird die Betonzugfestigkeit unter der Bedingung bestimmt,
6.2. Stahlbetonstrukturen
109 tĂ +Ă 70Ă mm
px
890 mm
y x
890Ă mm
Abbildung 6.21: Finite–Element–Diskretisierung f¨ ur Versuche PB13 und PB25
Beton
Stahl
27 000
N mm2 N mm2 N mm2
ν
0,15
Gf
0,06
Gc
25
σcu
23,4
σtu
1,36
EC
σsy
414
ES
200 000
HP
5000
N mm2 N mm2 N mm2
[−]
:sx
0,01085
[−]
N mm mm2 N mm mm2
:sy
0
[−]
srm
130
mm
Tabelle 6.2: Materialkennwerte und Bewehrung f¨ ur Scheibe PB13 daß in der Berechnung die gleiche Rißlast auftritt wie im Versuch. Wie in Abschnitt 4.2.3 geschildert ist, wird zur Ermittlung der spezifischen Bruchenergie von Stahlbeton zus¨atzlich der mittlere Rißabstand als Eingabewert erforderlich. F¨ ur die Scheibe PB13 ergibt sich mit den Formeln aus Abschnitt 4.2.3 ein Rißabstand srm = 130 mm. Dieser Wert stimmt ausreichend genau mit dem im Versuch gemessenen Rißabstand des abgeschlossenen Rißbildes von 111 mm u ¨berein. Die in Bild 6.22 abgebildeten Spannungs–Dehnungslinien lassen die Mitwirkung des Betons auf ¨ Zug im Zustand I wie im Zustand II sehr gut erkennen. Eine gute Ubereinstimmung zwischen Versuch und Berechnung ergibt sich nur, wenn im Berechnungsmodell die Zugfestigkeit des Betons und die Mitwirkung des Betons auf Zug zwischen den Rissen ber¨ ucksichtigt wird. Der Versuchskurve am n¨ achsten kommt dabei die Berechnung, bei der mit dem Skalar α die Versteifungsspannung im effektiven Betonquerschnitt σTST auf 66 % der Betonzugfestigkeit begrenzt wird (vgl. Beziehung (4.73)). Ob nun der Verlauf der Entfestigung des Betons auf Zug und somit auch der Verlauf der Zugversteifung exponentiell oder linear abgebildet wird, f¨ uhrt zu keinen großen Unterschieden in den Berechnungsergebnissen. Allerdings ist es notwendig, einen linearen bzw. exponentiellen Entfestigungsverlauf, wie in Abschnitt 4.3 geschildert, mit dem entsprechenden Verlauf f¨ ur die Zugversteifung zu kombinieren. Andernfalls sind die Berechnungsergebnisse inkonsistent. Im Vergleich zu Scheibe PB13 ist in Scheibe PB25 der geometrische Bewehrungsgrad mit :sx = 0, 02195 doppelt so hoch. Als Bewehrung in x–Richtung dienen hier St¨abe mit einem
110
Kapitel 6. Numerische Untersuchungen
p xĂ
N ƫ ƪmm
p xĂ
2
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
N ƫ ƪmm
mit linearer Zugentfestigung 0
0
1
2
3
4
5 e x [ğ]
Versuch PB13 [BC87]
0
2
mit exponentieller Zugentfestigung 0
1
2
3
ohne TST
4
5 e x [ğ]
mit TST, a = 0,66
ohne Betonzugfestigkeit
mit TST, a = 1,00
Abbildung 6.22: Spannungs–Dehnungslinien f¨ ur Scheibe PB13 im Versuch und f¨ ur verschiedene Berechnungsannahmen Durchmesser von ø 6,59 mm. Die y–Richtung ist wiederum unbewehrt. Die Materialkennwerte f¨ ur die Scheibe PB25 k¨ onnen der Tabelle 6.3 entnommen werden und sind in gleicher Weise bestimmt wie die f¨ ur Scheibe PB13. Der errechnete mittlere Rißabstand ergibt sich hier zu ¨ 90 mm, was in sehr guter Ubereinstimmung mit dem Versuch steht, f¨ ur den 81 mm Rißabstand im abgeschlossenen Rißbild angegeben werden.
Beton
Stahl
26 000
N mm2 N mm2 N mm2
ν
0,15
Gf
0,06
Gc
25
σcu
20,6
σtu
2,36
EC
σsy
414
ES
200 000
HP
5000
N mm2 N mm2 N mm2
[−]
:sx
0,02195
[−]
N mm mm2 N mm mm2
:sy
0
[−]
srm
90
mm
Tabelle 6.3: Materialkennwerte und Bewehrung f¨ ur Scheibe PB25 In Bild 6.23 sind die Spannungs–Dehnungslinien f¨ ur den Versuch und f¨ ur die Berechnungen bei unterschiedlicher Ber¨ ucksichtigung des Tension Stiffening Effektes angegeben. Wie schon vorher stimmt auch hier wieder f¨ ur α = 0, 66 die Berechnung am besten mit dem Versuchsergebnis u angig davon, ob ein linearer oder exponentieller Entfestigungsverlauf zur ¨berein und das unabh¨ Anwendung gekommen ist. Aufgrund des h¨oheren Bewehrungsgrades im Vergleich zu Scheibe PB13 spielt jedoch der Tension Stiffening Effekt eine sehr viel geringere Rolle. Dies wird nochmals deutlich, wenn man die Spannungs–Dehnungslinien f¨ ur die Berechnungen mit und ohne
6.2. Stahlbetonstrukturen p xĂ
111
N ƫ ƪmm
p xĂ
2
10 9
10 9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1 0
1
2
3
4
5
2
1
mit linearer Zugentfestigung 0
N ƫ ƪmm
6
0
7
mit exponentieller Zugentfestigung 0
1
2
e x [ğ] Versuch PB25 [BC87]
3
4
5
6 7 e x [ğ]
mit TST, a = 0,66
ohne TST
ohne Betonzugfestigkeit
mit TST, a = 1,00
Abbildung 6.23: Spannungs–Dehnungslinien f¨ ur Scheibe PB25 im Versuch und f¨ ur verschiedene Berechnungsannahmen Ber¨ ucksichtigung der Betonzugfestigkeit vergleicht. Bei der st¨arker bewehrten Scheibe PB25 ist der Unterschied sehr viel geringer. Zusammenfassend kann gesagt werden, daß sich der Tension Stiffening Effekt f¨ ur auf Zug beanspruchte Stahlbetonscheiben gut mit dem in Abschnitt 4.3 vorgestellten Modell abbilden l¨ aßt. Als n¨achstes sollen Versuche nachgerechnet werden, die Vecchio und Collins 1982 am Panel Tester durchgef¨ uhrt haben [VC83]. Hierbei handelt es sich um Probek¨orper, welche in zwei Richtungen jeweils parallel zu den Scheibenr¨ andern bewehrt sind und durch eine reine Schubbeanspruchung belastet werden. Genau wie bei den vorhergehenden Berechnungen gen¨ ugt auch hier aufgrund des homogenen Spannungszustandes in der gesamten Scheibe die Diskretisierung mit nur einem achtknotigen Scheibenelement. Zur Erzeugung eines reinen Schubspannungszustandes ist es jedoch erforderlich, daß das Scheibenelement statisch bestimmt gelagert wird (Bild 6.24). tĂ +Ă 70Ă mm
p xy
890 mm
y x
p xy 890Ă mm
Abbildung 6.24: Finite–Element-Diskretisierung f¨ ur Versuche PV4 und PV11 Die Versuchsscheibe PV4 ist in x– und y–Richtung mit dem gleichen geometrischen Beweh-
112
Kapitel 6. Numerische Untersuchungen
rungsgrad :sx = :sy = 0, 01056 versehen. Die Stabdurchmesser betragen ø 3,45 mm bei 6 mm Betondeckung. Wegen des gleichen Bewehrungsgrades in x– und y–Richtung kommt es w¨ahrend des Belastungsvorganges im Beton zu keiner Drehung der Hauptspannungsrichtung. Die Materialkennwerte f¨ ur die Scheibe PV4 k¨ onnen der Tabelle 6.4 entnommen werden und sind mit den in den Abschnitten 4.1.2 und 4.1.3 angegebenen Formeln aus der in [VC83] ermittelten einaxialen Betondruckfestigkeit abgeleitet. Die Stahlkennwerte sind direkt aus [VC83] u ¨ bernommen.
Beton
Stahl
28 400
N mm2 N mm2 N mm2
ν
0,15
Gf
0,06
Gc
25
σcu
26,6
σtu
1,64
EC
σsy
242
ES
200 000
HP
5000
N mm2 N mm2 N mm2
[−]
:sx
0,01056
[−]
N mm mm2 N mm mm2
:sy
0,01056
[−]
srm
86
mm
Tabelle 6.4: Materialkennwerte und Bewehrung f¨ ur Scheibe PV4 Der mittlere Rißabstand wird auch hier wieder zur Ermittlung der spezifischen Bruchenergie des Stahlbetons ben¨ otigt. Die berechneten 86 mm k¨onnen aber nicht einem Versuchswert gegen¨ ubergestellt werden, da hierf¨ ur in [VC83] keine Angaben gemacht sind. In Bild 6.25 ist die auf Scheibe PV4 aufgebrachte Schubspannung gegen die Schubverzerrung f¨ ur den Versuch und verschiedene Berechnungsannahmen eingezeichnet. p xyĂ
N ƫ ƪmm
p xyĂ
2
3
3
2.5
2.5
2
2
1.5
1.5
1
1 0.5
0.5 0
mit linearer Zugentfestigung 0
2
4
6
8
10
12
14
16 g xy [ğ]
0
N ƫ ƪmm 2
mit exponentieller Zugentfestigung 0
2
4
6
8
10
12
14
16
g xy [ğ]
Versuch PV4 [VC87]
ohne TST
ohne Betonzugfestigkeit
mit TST, a = 1,00
Abbildung 6.25: Schubspannungs–Schubverzerrungslinien f¨ ur Scheibe PV4 im Versuch und f¨ ur verschiedene Berechnungsannahmen Wie zu erkennen ist, bildet das Modell die Wirklichkeit in jedem Fall zu weich ab, wenn auch
6.2. Stahlbetonstrukturen
113
die Berechnungskurven, bei denen der Tension Stiffening Effekt ber¨ ucksichtigt wird, n¨aher an der Versuchskurve liegen. Wie schon bei den Berechnungen zu den Versuchen von Bhide und Collins ist aber auch hier kein gravierender Unterschied zu erkennen, ob nun ein linearer oder ein exponentieller Entfestigungsverlauf im Berechnungsmodell eingesetzt wird. Die Versuchsscheibe PV11 wird ebenso wie Scheibe PV4 auf reinen Schub beansprucht, allerdings liegen hier in den beiden Bewehrungsrichtungen mit :sx = 0, 01785 und :sy = 0, 01306 unterschiedliche Armierungsgrade vor. Die Stabdurchmesser betragen ø 6,35 mm in x– und ø 5,40 mm in y–Richtung; die Betondeckung ist gegen¨ uber Scheibe PV4 mit 6 mm unver¨andert. Die ungleichen Bewehrungsgrade in x– und y–Richtung f¨ uhren zu einer Drehung der Hauptspannungsachsen im Beton nach dem Reißen, deshalb eignet sich dieser Versuch besonders, um das vorliegende Modell bei einer Drehung der Rißrichtung zu beurteilen. Die Materialkennwerte f¨ ur die Scheibe PV11 k¨ onnen der Tabelle 6.5 entnommen werden und sind in gleicher Weise wie die Materialparameter der Scheibe PV4 ermittelt. Der mittlere Rißabstand ergibt sich zu ca. 100 mm, was im Einklang mit dem Versuch steht, wo 75 bis 100 mm Abstand im abgeschlossenen Rißbild gemessen worden sind.
Beton
Stahl
24 000
N mm2 N mm2 N mm2
ν
0,15
Gf
0,06
Gc
25
σcu
15,6
σtu
1,05
EC
σsy
235
ES
200 000
HP
5000
N mm2 N mm2 N mm2
[−]
:sx
0,01785
[−]
N mm mm2 N mm mm2
:sy
0,01306
[−]
srm
100
mm
Tabelle 6.5: Materialkennwerte und Bewehrung f¨ ur Scheibe PV11 Bei der Auswertung der Schubspannungs–Schubverzerrungskurven in Bild 6.26 k¨onnen im Prinzip die gleichen Aussagen wie bei Scheibe PV4 getroffen werden. Die Berechnungwerte, auch unter Einbeziehung des Tension Stiffening Effektes, liegen generell etwas unter der Versuchskurve. Das nachgiebigere Verhalten des Modells erkl¨art sich aus den dort getroffenen Vereinfachungen: Sowohl die Schubtragwirkung des gerissenen Betons wie auch die D¨ ubelwirkung der Bewehrung sind im Modell nicht abgebildet. Im Fall einer drehenden Hauptspannungsrichtung macht sich zus¨atzlich der Ansatz einer isotropen Entfestigung bemerkbar. Das bedeutet entfestigt der ¨ Beton im Modell aufgrund Uberschreitung der Zugfestigkeit in einer Richtung, so ist auch in jeder anderen Richtung in diesem Punkt die Zugfestigkeit im gleichen Maße herabgesetzt. In der Summe liefern diese Vereinfachungen ein etwas zu nachgiebiges Verhalten des Betons bei Schubbeanspruchung. Zusammenfassend verh¨ alt sich das vorliegende Betonmodell basierend auf einer Rankine–Fließfl¨ache mit isotroper Entfestigung im Zugbereich bei Schubbeanspruchung etwas zu weich. Wird die Berechung jedoch unter Einbeziehung des Tension Stiffening Effektes durchgef¨ uhrt, so bleiben die Abweichungen im vertretbaren Rahmen, mit dem Vorteil, daß ein isotropes Werkstoffmodell mit einem robusten und schnellen L¨osungsalgorithmus kombiniert werden kann.
114
Kapitel 6. Numerische Untersuchungen p xyĂ
N ƫ ƪmm
p xyĂ
2
4
4
3.5
3.5
3
3
2.5
2.5
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5 0
0.5
mit linearer Zugentfestigung 0
1
2
3
4
5
6
7 g xy [ğ]
0
N ƫ ƪmm 2
mit exponentieller Zugentfestigung 0
1
2
3
4
5
Versuch PV11 [VC87]
ohne TST
ohne Betonzugfestigkeit
mit TST, a = 1,00
6 7 g xy [ğ]
Abbildung 6.26: Schubspannungs–Schubverzerrungslinien f¨ ur Scheibe PV11 im Versuch und f¨ ur verschiedene Berechnungsannahmen
6.2.2
Versuche an gedrungenen Tr¨ agern
Lehwalter f¨ uhrte 1988 an der TH Darmstadt Versuche an gedrungenen Einfeldtr¨agern durch, die mit einer Einzellast in Feldmitte beansprucht wurden [Leh88]. Dazu wurden ca. 60 Versuchsscheiben mit unterschiedlichen Verh¨altnissen von Spannweite zu Scheibenh¨ohe hergestellt, die allesamt eine so starke L¨ angsbewehrung erhielten, daß immer ein Versagen des Betons auf Druck maßgebend wurde. Um den Einfluß einer Schubbewehrung auf die Traglast zu studieren, wurde die erste H¨ alfte der Versuchsscheiben ohne Schubbewehrung hergestellt, die zweite H¨alfte jedoch mit verschiedenen Schubbewehrungsarten versehen. Durch den Einsatz von vertikalen Schubb¨ ugeln konnte dann auch die Tragf¨ahigkeit der Scheiben erheblich gesteigert werden. Wandartige Stahlbetontr¨ ager werden in der Regel mit einem Fachwerkmodell bemessen, das aus Stahlzugb¨andern und Betondruckstreben zusammengesetzt ist [SS98]. W¨ahrend die Tragf¨ahigkeit der Zugb¨ ander sehr genau bestimmt werden kann, bestehen bei der Tragf¨ahigkeit von Knoten und Druckstreben noch einige Unklarheiten, die mit den oben beschriebenen Versuchen n¨aher beleuchtet werden sollten. F¨ ur eine Berechnung mit Hilfe des vorliegenden Finite–Element–Modells werden die Versuchsscheiben W511 und W2511 gew¨ ahlt. Die Scheibenh¨ohe betr¨agt in beiden F¨allen 60 cm, die Spannweite ist bei Scheibe W511 bei ungef¨ahr gleicher Betonfestigkeit mit 112 cm aber doppelt so groß wie bei Scheibe W2511. Damit ergeben sich unterschiedliche Druckstrebenneigungen, was von maßgeblichem Einfluß auf die Tragf¨ahigkeit ist. Bei den ausgew¨ahlten Scheiben ist keine Schubbewehrung angeordnet, wodurch das Versagen durch einen Druckbruch der schr¨agen Druckstrebe im Bereich der Lasteinleitung hervorgerufen wird. Die Geometrie und Materialkennwerte der Scheibe W511 sind in Bild 6.27 angegeben. Bei den Materialparametern k¨onnen die Betonfestigkeiten direkt aus [Leh88] u ¨ bernommen werden, nur der Elastizit¨atsmodul und die spezifische Bruchenergie m¨ ussen mit den entsprechenden Beziehungen aus Abschnitt 4.1.2 und 4.1.3 bestimmt werden. F¨ ur die Berechnung wird nur eine H¨ alfte der Scheibe W511 unter Ausnutzung der Symmetrie
6.2. Stahlbetonstrukturen Längen [cm]
115 tĂ +Ă 25Ă cm
2Ă P 4 vm
60 56
14 5 Ø20 BSt 420/500 R 56 69
56 69
E C + 2900Ă kN2 cm
n + 0, 2
s cu + 2, 00Ă kN2 cm
G c + 0, 1 kNcm cm 2
s tu + 0, 176Ă kN2 cm
G f + 0, 001Ă kNcm cm 2
E S + 21Ă 000Ă kN2 cm
s sy + 42 kN2 cm
Abbildung 6.27: Scheibe W511, Geometrie und Materialkennwerte mit 110 achtknotigen Scheibenelementen diskretisiert. F¨ ur die Modellierung der Lasteinleitungsplatten kommen nochmals 3 Elemente hinzu (vgl. Bild 6.28). PĂ [kN]
PĂ [kN] 400
v mĂ
300 200 100 v mĂ [cm]
S A
0
0.1
0.2
0.3
Abbildung 6.28: Scheibe W511, Netzdiskretisierung und Last–Verschiebungskurve Der in der Scheibe eingelegte Stabstahl wird als verschmierte Bewehrung in die zweite Elementreihe von unten mit integriert. Die Netzgeometrie ist dabei so gew¨ahlt, daß die Elementmittelpunkte dieser Elementreihe in H¨ ohe der Schwerachse der L¨angsbewehrung zu liegen kommen. Die Belastung wird dreiecksf¨ ormig verteilt auf die Lastplatte am oberen Scheibenrand angesetzt. Die Lastaufbringung geschieht dabei weggesteuert mit der vertikalen Verschiebung vm am Rand der Lastplatte als maßgebende Gr¨ oße. Die Last–Verschiebungskurve ist ebenfalls in Bild 6.28 ¨ eingezeichnet. Sie erreicht ihr Maximum bei 418 kN, was in guter Ubereinstimmung mit dem Versuch steht, f¨ ur den die Bruchlast zu 425 kN angegeben wird. Einen Einblick in den Versagensmechnismus erh¨alt man, wenn die Verteilung der effektiven plastischen Dehnungen im System getrennt f¨ ur das Zugkriterium und das Druckkriterium im Verlauf der Belastungsgeschichte betrachtet wird. Tats¨achlich stellt sich der Versagensmechanismus in der Berechnung so ein, wie ihn Lehwalter [Leh88] f¨ ur den Versuch beschreibt. Betrachtet man zuerst die Verteilung der effektiven plastischen Dehnung εR , den inneren Parameter, u ¨ber den die Entfestigung im Zugbereich gesteuert wird, so liefert die Finite–Element–Berechnung die ersten Biegerisse in Feldmitte bei rund 40% der Bruchlast (vgl. Bild 6.29). Bei 60% der Bruchlast tritt zus¨ atzlich ein Schr¨agriß beginnend am Auflager auf, der sich bei steigender Belastung bis unterhalb der Lasteinleitungsplatte fortpflanzt und sich mit dem ebenfalls
116
Kapitel 6. Numerische Untersuchungen P + 0, 50Ă P u
P + 0, 65Ă P u
P + 0, 86Ă P u
P + P uĂ + 418, 12Ă kN
Abbildung 6.29: Scheibe W511, Verteilung von εR [−] in ausgew¨ahlten Lastschritten gewachsenen Biegeriß verbindet. Kurz vor Erreichen der Bruchlast treten neben der Lasteinleitungsplatte ebenfalls Risse auf, die in [Leh88] als Keilrisse bezeichnet werden. P + 0, 50Ă P u
P + 0, 65Ă P u
P + 0, 86Ă P u
P + P uĂ + 418, 12Ă kN
Abbildung 6.30: Scheibe W511, Verteilung von εDP [−] in ausgew¨ahlten Lastschritten Da die Versuchsscheibe letztendlich auf Druck im Bereich der Lasteinleitungsplatte versagt, ist die Verteilung des inneren Parameters εDP noch von gr¨oßerem Interesse, da dieser Parameter die plastische Verfestigung und anschließende Entfestigung des Betons im Druckbereich steuert. Bereits bei 30% der Bruchlast treten plastische Dehnungen im Bereich der Lasteinleitung auf und zwar genau an der Stelle, wo sp¨ ater durch Entfestigung des Betons auf Druck das Versagen des Scheibentragwerks eingeleitet wird. Bevor das Versagen eintritt, kann man in Bild 6.30 sehr gut u age ¨ ber die einzelnen Laststufen hinweg verfolgen, wie die hoch beanspruchte schr¨
6.2. Stahlbetonstrukturen
117
P + 0, 50Ă P u
P + 0, 65Ă P u
P + 0, 86Ă P u
P + P uĂ + 418, 12Ă kN
Abbildung 6.31: Scheibe W511, Risseverteilung in ausgew¨ahlten Lastschritten Druckstrebe von der Lasteinleitungsplatte bis zur Auflagerplatte auf Druck durchplastifiziert. Dadurch ist auch der vorher angesprochene Schr¨agriß erkl¨arbar. Er entsteht aus sogenannten Querzugspannungen, die sich senkrecht zur Druckstrebenrichtung ausbilden. Dies wird nochmals deutlich, wenn man die Rißrichtungen in Bild 6.31 studiert. Im Bereich der Druckstrebe verlaufen die Risse wie erwartet parallel zur Druckstrebe. In der vorliegenden Berechnung der Scheibe W511 wird nach 56 Lastinkrementen der Bruchzustand erreicht. Im Mittel ben¨ otigt der nichtlineare L¨osungsalgorithmus drei bis f¨ unf Iterationsschritte, bis im jeweiligen Lastinkrement die vorgegebenen Konvergenzschranken unterschritten sind. Dies ist der Fall, wenn die euklidische Norm des iterativen Verschiebungszuwachses bezogen auf den inkrementellen Zuwachs, die euklidische Norm des Kr¨afteresiduums in Relation zum inkrementellen Lastvektor und das Skalarprodukt der genannten iterativen Gr¨oßen bezogen auf das Skalarprodukt der Inkremente den Wert 10−4 unterschreiten. An einigen Stellen der Berechnung kann jedoch die vorgegebene Konvergenzschranke nur mit einer sehr hohen Anzahl an Iterationsschritten oder in einigen F¨ allen gar nicht erreicht werden. Die Ursache dieser Konvergenzprobleme ist mit dem Auftreten von u ¨ berz¨ahligen kinematischen Eigenformen zu erkl¨aren. Bei linearen Berechnungen ist ein ¨ ahnliches Ph¨anomen beim Einsatz von reduziert integrierten Elementen zu beobachten. Dort erzeugen Nullenergieeigenformen (Zero Energy Modes), die keine Starrk¨orperverschiebung repr¨ asentieren, ein kinematisches System. L¨aßt man die drei Nullenergieeigenformen, die bei einem Scheibenelement die Starrk¨orperverschiebung erm¨oglichen, außer Betracht, so k¨ onnen bei einem entfestigenden Werkstoffmodell trotz eines vollst¨andigen Integrationsschemas mehr kinematische Eigenformen im Element auftreten als negative Eigenwerte in der tangentialen Werkstoffmatrix vorhanden sind. Diese u ¨berz¨ahligen kinematischen Moden bezeichnet de Borst in [dB89] als Spurious Kinematic Modes; diese Moden haben keine physikalische Bedeutung und k¨ onnen zur Divergenz des L¨osungsalgorithmus f¨ uhren. Nach de Borst liegt die Ursache dieses Ph¨ anomens im Verlust der Elliptizit¨at des maßgebenden Differentialgleichungssystems, was sich bei auftretenden Lokalisierungen trotz der Verwendung eines Bruchenergiekonzeptes einstellen kann. Stabilit¨atstheoretisch gesehen f¨ uhrt das Auftreten eines Spurious Kinematic Mode zu einer Bifur-
118
Kapitel 6. Numerische Untersuchungen
kation im Last–Verschiebungspfad. Mit Erreichen eines Bifurkationspunktes ¨andert die Tangentialsteifigkeitsmatrix die Anzahl der negativen Eigenwerte um eins. Liegt z.B. bis zum Bifurkationspunkt ein aufsteigender stabiler Lastpfad vor, so tritt mit Erreichen des Verzweigungspunktes ein negativer Eigenwert auf und der Lastpfad wird instabil. Wird die Eigenform zu diesem negativen Eigenwert berechnet und als Plot ausgegeben, kann das Element, in dem die u ¨berz¨ahlige kinematische Eigenform auftritt, sehr einfach lokalisiert werden. W¨ahrend das gesamte Netz nahezu unverformt bleibt, tritt im Extremfall nur an einem einzigen Knoten eine sehr große Verschiebungskomponente auf (vgl. Bild 6.32). In diesem Fall werden innerhalb des L¨osungsalgorithmus die betroffenen Elemente mit additiven Steifigkeiten versehen um den Spurious Kinematic Mode zu unterdr¨ ucken. Durch dieses Vorgehen verliert das Newton–Raphson–Verfahren zwar seine quadratische Konvergenz, in vielen F¨allen ist dies aber die einzige M¨oglichkeit, den n¨achsten Gleichgewichtszustand, wenn auch mit sehr vielen Iterationsschritten, zu erreichen. Im darauffolgenden Lastinkrement weisen die manipulierten Elemente aufgrund von Spannungsumlagerungen meistens keine u ahligen kinematischen Moden mehr auf, und es kann ohne ¨ berz¨ zus¨atzliche Maßnahmen weitergerechnet werden.
Abbildung 6.32: Scheibe W511, u ¨ berz¨ahlige kinematische Eigenform In Einzelf¨allen f¨ uhrt jedoch auch das geschilderte Verfahren zu keiner Konvergenz. Ein m¨oglicher Ausweg ist dann, die gesamte Berechnung nochmals von vorne mit einem flacher abfallenden Ast in der Entfestigungsbeziehung zu starten. Das kann bei gleichbleibender Netzdiskretisierung mit einer erh¨ ohten spezifischen Bruchenergie oder mit einer geringeren Betonfestigkeit erreicht werden. In der Regel empfiehlt sich jedoch die Abminderung der Betonfestigkeit, was der Annahme eines qualitativ schlechteren Betons entspricht, im Gegensatz dazu wird bei Erh¨ohung der spezifischen Bruchenergie ein qualitativ besserer Beton unterstellt. Als n¨achstes soll die Scheibe W2511 numerisch untersucht werden. Von der Scheibe W511 ausgehend unterscheiden sich die Materialkennwerte nur geringf¨ ugig (vgl. Bild 6.33). Allerdings ist die Spannweite bei gleicher Scheibenh¨ ohe auf die H¨alfte reduziert, was zu einem steileren Verlauf der schr¨agen Druckstreben f¨ uhrt. Die Netzdiskretisierung und die Modellierung der Bewehrung entsprechen dem Vorgehen bei Scheibe W511. Die Elemente, denen eine verschmierte Bewehrung u ¨berlagert ist, sind in Bild 6.34 grau hinterlegt. Wie der Last–Verschiebungskurve zu entnehmen ist, ergibt sich aus der Berechnung eine Traglast von 504,8 kN, was exakt den 505 kN Bruchlast entspricht, die als Versuchsergebnis in [Leh88] angegeben sind. Betrachtet man die Verteilung der effektiven plastischen Dehnungen u ¨ ber die einzelnen Laststufen hinweg, l¨ aßt sich im Prinzip der gleiche Versagensmechanismus nachvollziehen wie bei Scheibe W511. Wie jedoch den Bildern 6.35 und 6.37 entnommen werden kann, spielen bei der Scheibe W2511 die Biegerisse in Feldmitte eine sehr viel geringere Rolle als bei Scheibe W511. In Bild 6.36 ist aus der Verteilung der effektiven plastischen Dehnungen f¨ ur das Drucker–Prager– Kriterium die Plastifizierung der schr¨ agen Druckstrebe zu erkennen, die wie erwartet sehr viel steiler verl¨auft als bei Scheibe W511. Der Versagensausl¨oser ist jedoch wiederum die Entfestigung
6.2. Stahlbetonstrukturen Längen [cm]
119
2Ă P
tĂ +Ă 25Ă cm
4 vm 60
56
14 4 Ø20 BSt 420/500 R 28 41
28 41
E C + 2900Ă kN2 cm
n + 0, 2
s cu + 2, 08Ă kN2 cm
G c + 0, 1 kNcm cm 2
s tu + 0, 194Ă kN2 cm
G f + 0, 001Ă kNcm cm 2
E S + 21Ă 000Ă kN2 cm
s sy + 42 kN2 cm
Abbildung 6.33: Scheibe W2511, Geometrie und Materialkennwerte PĂ [kN]
PĂ [kN] 600 500
v mĂ
400 300 200 100
S A
0
v mĂ [cm] 0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Abbildung 6.34: Scheibe W2511, Netzdiskretisierung und Last–Verschiebungskurve des Betons auf Druck im Bereich der Lasteinleitungsplatte. Nun stellt sich die Frage, warum sich bei gleicher Versagensart aus Versuch und Berechnung f¨ ur Scheibe W2511 eine um rund 20% h¨ ohere Traglast ergibt als f¨ ur Scheibe W511. Dazu soll im folgenden der Lasteinleitungsbereich mit Hilfe eines typisierten Knotenmodells analysiert werden, welches von Schlaich und Sch¨ afer [SS98] f¨ ur den vorliegenden Fall einer Scheibe unter Einzellast angegeben ist (Bild 6.38). Dabei ist im Knoten die Knotenh¨ohe a0 w¨ahlbar, Schlaich und Sch¨afer empfehlen allerdings a0 = a∗0 zu setzen, da dann ein ebener hydrostatischer Spannungszustand im Knoten vorliegt, f¨ ur den sich der Nachweis sehr einfach gestaltet. ur die einaxiale Betondruckfestigkeit bezeichnet Mit fcd1 wird in [SS98] der Bemessungswert f¨
fcd1 = α
fck , γc
(6.4)
der sich mit Hilfe der charakteristischen Zylinderdruckfestigkeit nach [EC2], des Abminderungsbeiwertes zur Ber¨ ucksichtigung der Langzeitwirkung α = 0, 85 und des Teilsicherheitsbeiwertes ur eine vergleichende Berechnung zu den Versuchsergebnissen f¨ ur Beton γc = 1, 5 bestimmt. F¨ f¨ ur Scheibe W511 und W2511 werden α und γc jedoch zu 1, 0 gew¨ahlt.
120
Kapitel 6. Numerische Untersuchungen P + 0, 45Ă P u
P + 0, 64Ă P u
P + 0, 84Ă P u
P + P uĂ + 504, 76Ă kN
Abbildung 6.35: Scheibe W2511, Verteilung von εR [−] in ausgew¨ahlten Laststufen P + 0, 45Ă P u
P + 0, 64Ă P u
P + 0, 84Ă P u
P + P uĂ + 504, 76Ă kN
Abbildung 6.36: Scheibe W2511, Verteilung von εDP [−] in ausgew¨ahlten Laststufen Damit ergeben sich allerdings ungef¨ ahr gleiche Traglasten f¨ ur die beiden Scheiben, die nur aufgrund der unterschiedlichen Betondruckfestigkeiten voneinander abweichen:
kN · 7 cm · 25 cm = 350 kN cm2 kN b = 2, 08 · 7 cm · 25 cm = 364 kN cm2
P u = C1r = fck a1r b = 2, 00
( W511)
(6.5)
P u = C1r = fck a1r
(W2511) .
(6.6)
Die beiden mit dem Knotenmodell errechneten Werte liegen zudem um 17,6% (W511) bzw.
6.2. Stahlbetonstrukturen
121
P + 0, 45Ă P u
P + 0, 64Ă P u
P + 0, 84Ă P u
P + P uĂ + 504, 76Ă kN
Abbildung 6.37: Scheibe W2511, Risseverteilung in ausgew¨ahlten Lastschritten a1 a 1l
a 1r C1
C 1l
a *0 +
C 1r
a1 tan Q 2 ) tan Q3
für a 0 + a *0 a0
s c0 C2 a2
Q2
Q3
C3
s c1 +
C1 + s c0 v f cd1 a 1Ă b
s c1, Ă s c2
nicht maßgebend
a3
Abbildung 6.38: Typischer Knoten einer Scheibe unter Einzellast, nach [SS98] um 27,9% (W2511) unter den Versuchstraglasten. Die Ursache f¨ ur eine solche Abweichung wird auch in [SS98] aufgegriffen mit der Feststellung, daß f¨ ur reine Druckknoten die Zweiaxialfestigkeit ausgenutzt werden k¨ onnte, die je nach Verh¨altnis der Hauptspannungen die Einaxialfestigkeit um 10% bis 20% u ¨ berschreitet. Zur Vereinfachung wird in [SS98] aber empfohlen, von dieser M¨oglichkeit keinen Gebrauch zu machen. In Bezug auf den Normenentwurf [EDI] geben Zilch und Rogge in [ZR98] jedoch an, daß im genannten Fall der Bemessungswert der Druckfestigkeit um 10% erh¨ oht werden darf. Wird im Knotenmodell die Knotenh¨ ohe a0 (vgl. Bild 6.38) nicht unter der Bedingung gew¨ahlt, einen ebenen hydrostatischen Spannungszustand zu erzeugen, sondern zu a0 = a1r , ergeben sich f¨ ur die Versuchsscheiben Hauptspannungsverh¨altnisse, die im Lasteinleitungsbereich direkt von
122
Kapitel 6. Numerische Untersuchungen
der Druckstrebenneigung abh¨ angig sind (vgl. Bild 6.39). a 1r +
a1 2
s c1 s c0
a 0 + a 1r
C1 C0
tan a + 2 @ h l a
h
S A l 2
Abbildung 6.39: Hauptspannungsverh¨altnis im Lasteinleitungsbereich F¨ ur die beiden Versuchsscheiben leiten sich damit folgende Verh¨altnisse der Hauptspannungen zueinander ab:
σ1 : σ2 =
C1r C0 Pu Pu : = : =1 : 1 a0 b a1r b a1r b tan α a1r b
( W511)
(6.7)
σ1 : σ2 =
C1r C0 Pu Pu : = : =1 : 2 a0 b a1r b a1r b tan α a1r b
(W2511) .
(6.8)
Bei Verwendung der Drucker–Prager–Fließfl¨ache ergibt sich somit eine Erh¨ohung der einaxialen Festigkeit f¨ ur die Scheibe W511 um 16% und f¨ ur Scheibe W2511 um 28% (vgl. Bild 4.2 und Gleichung (4.2)), was sich auf die rechnerischen Bruchlasten nach der Fachwerkanalogie wie folgt auswirkt.
P u = 1, 16 · 350 kN = 406 kN
( W511 im Versuch 425 kN)
P u = 1, 28 · 364 kN = 466 kN
(W2511 im Versuch 505 kN) .
(6.9) (6.10)
Nach dieser Korrektur bildet die Fachwerkanalogie die Wirklichkeit schon wesentlich besser ab. Unklar ist aber, warum die Finite–Element–Berechnung, in der die mehraxiale Festigkeit mit der Drucker–Prager–Bruchfl¨ ache ber¨ ucksichtigt wird, gr¨oßere Werte als die Fachwerkanalogie liefert. Dazu muß man sich in Erinnerung rufen, daß in der Finite–Element–Berechnung die Spannungsauswertung und somit auch die Anwendung der Bruchkriterien in den Integrationspunkten stattfindet, wie in Bild 6.40 dargestellt. Bei den f¨ ur die Scheiben W511 und W2511 vorliegenden Netzdiskretisierungen befindet sich die oberste Reihe an Integrationspunkten um 0, 113 hel = 0, 68 cm unterhalb des oberen Scheibenrandes. Geht man unter Ber¨ ucksichtigung der Schubsteifigkeit im plastifizierten Beton von einem Lastausbreitungswinkel von 30◦ aus, kann man in den Integrationspunkten eine vom oberen Rand abgeminderte Spannung σyy absch¨atzen. Die Bruchlast wird dadurch entsprechend vergr¨oßert:
6.2. Stahlbetonstrukturen
123 Pu b el
0, 113Ă h el y
0, 387Ă h el
30° x
h el + 6cm
b el + 7cm S A
Integrationspunkt
Abbildung 6.40: Integrationspunkte des FE–Modells im Bereich der Lasteinleitung
7 + 0, 68 tan 30◦ = 428 kN 7 7 + 0, 68 tan 30◦ = 492 kN = 466 kN · 7
P u = 406 kN ·
( W511)
(6.11)
Pu
(W2511) .
(6.12)
¨ Die oben angestellten Uberlegungen sollen dazu dienen, die Unterschiede in den Ergebnissen des Versuches, der Finite–Element–Berechnung und der Fachwerkanalogie zu erkl¨aren. Keinesfalls soll eine M¨ oglichkeit vorgestellt werden, die eine exakte Voraussage der Versuchsergebnis liefern kann. Denn die heterogene Verteilung der Betonfestigkeit, das Vorhandensein von Schwindrissen, geometrische Imperfektionen und die Schwierigkeiten bei der Dehnungs– und Kraftmessung im Versuch machen es unm¨ oglich, Versuchsergebnisse exakt abzubilden. Vielmehr muß die Fachwerkanalogie unter dem Blickwinkel gesehen werden, daß sie ein einfaches und anschauliches Vorgehen darstellt, sogenannte D–Bereiche [SS98] zu bemessen. Dabei ist Schlaich und Sch¨ afer sicherlich beizupflichten, wenn sie unter dem Aspekt von Ungenauigkeiten in der Modellbildung empfehlen, die h¨ oheren Werte der mehraxialen Betondruckfestigkeit im Vergleich zur einaxialen nicht auszunutzen. Auch die Finite–Element–Methode kann die Wirklichkeit nur im Rahmen der Modellannahmen absch¨ atzen, jedoch niemals exakt abbilden. Nach dieser kurzen Diskussion der Fachwerkanalogie soll im folgenden die adaptive Finite– Element–Methode wieder in den Mittelpunkt ger¨ uckt werden. Die Versuchsscheibe W2511 wird daf¨ ur adaptiv mehrmals berechnet, wobei in jedem Rechenlauf eine andere Toleranzschranke f¨ ur den r¨aumlichen Diskretisierungsfehler eingegeben wird. Als Startnetz dient in jedem Fall die Diskretisierung, die f¨ ur die Berechnung ohne Adaption verwendet worden ist. Als Auswahlschranken f¨ ur den Fehlerindikator (vgl. Gl. (5.31)) kommen nacheinander die Werte 12%, 6% und 3% zum Einsatz. Daraus resultieren bei 69 Elementen im Startnetz 90, 135 und 253 Elemente bei Erreichen der Bruchlast. Die Last–Verschiebungskurven sind im Bild 6.41 angegeben und unterscheiden sich nur minimal, obwohl nat¨ urlich der Rechenaufwand mit kleiner werdender Toleranzschranke sehr stark ansteigt. Zum Vergleich ist in Bild 6.41 auch nochmals die Last–Verschiebungskurve f¨ ur die Berechnung ohne Netzverfeinerung eingezeichnet. Das Maximum dieser Kurve liegt geringf¨ ugig h¨oher als die der adaptiven Berechnungen, was sich aber unter anderem mit den im vorhergehenden Absatz
124
Kapitel 6. Numerische Untersuchungen PĂ [kN] 600 500 TOL = 0,03
400
TOL = 0,06
300
TOL = 0,12 ohne Adaption
200 100
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
v mĂ [cm]
Abbildung 6.41: Scheibe W2511, Last–Verschiebungskurven f¨ ur adaptive Berechnungen ¨ angestellten Uberlegungen zur Spannungsauswertung an den Integrationspunkten erkl¨aren l¨aßt, da bei feinerer Netzeinteilung die Integrationspunkte n¨aher am Rand der Struktur zu liegen kommen. In den Bildern 6.42 bis 6.44 sind die durchlaufenen Verfeinerungsstufen mit Angabe der jeweiligen Belastung dargestellt.
P + 0Ă
P + 0, 10Ă P u
P + 0, 65Ă P u
P + P uĂ +Ă 483, 7Ă kN
Abbildung 6.42: Scheibe W2511, Verfeinerungsstufen bei einer Fehlerschranke von 12% Wie leicht nachzuvollziehen ist, wird bei Vorgabe einer geringen Toleranzschranke im Bereich der gesamten schr¨ agen Druckstrebe sehr stark verfeinert (Bild 6.44), dar¨ uber hinaus nat¨ urlich auch immer in Bereichen von einspringenden Ecken, da dort bei Anwendung der Elastizit¨ atstheorie singul¨ are Spannungen und somit sehr große Spannungsgradienten vorliegen. Bei Eingabe einer sehr groben Toleranz (Bild 6.42) wird hingegen nur im Bereich der Lasteinleitung am oberen Scheibenrand verfeinert, was im vorliegenden Fall vollkommen ausreichend ist, da sich dort lokal beschr¨ ankt letztendlich der Versagensmechanismus abspielt. Allerdings ist es bedenklich, daß bei einer Toleranzschranke von 12% nicht einmal im Bereich der einspringenden Ecken am unteren Auflager verfeinert wird. Dies deutet darauf hin, daß im allgemeinen eine Fehlerschranke von u ¨ber 10% zu hoch ist, um eine qualitativ ausreichende Netzverfeinerung zu garantieren. Da der in Abschnitt 5.2.4 vorgestellte Fehlerindikator nur als Kriterium f¨ ur die Netzverfeinerung dient und keine Aussage u urfen die hier angegebenen ¨ ber die absolute Fehlergr¨oße geben kann, d¨ Fehlerschranken nicht dazu verwendet werden, um eine Aussage u ber die quantitative Fehler¨ gr¨oße zu machen. Im vorliegenden Fall erscheint jedoch eine Toleranzschranke von 6% f¨ ur das Verfeinerungskriterium als guter Kompromiß zwischen Genauigkeit und Rechenaufwand.
6.2. Stahlbetonstrukturen
P + 0Ă
P + 0, 63Ă P u
125
P + 0, 10Ă P u
P + 0, 65Ă P u
P + 0, 79Ă P u
P + P uĂ +Ă 480, 9Ă kN
P + 0, 70Ă P u
Abbildung 6.43: Scheibe W2511, Verfeinerungsstufen bei einer Fehlerschranke von 6%
P + 0Ă
P + 0, 10Ă P u
P + 0, 54Ă P u
P + 0, 67Ă P u
P + 0, 70Ă P u
P + 0, 69Ă P u
P + 0, 76Ă P u
P + 0, 91Ă P u
P + P uĂ + 474.3Ă kN
Abbildung 6.44: Scheibe W2511, Verfeinerungsstufen bei einer Fehlerschranke von 3%
126
6.2.3
Kapitel 6. Numerische Untersuchungen
Traglastversuch an einer Wandscheibe
Cervenka und Gerstle [CG72] unterzogen die in Bild 6.45 dargestellte Wandscheibe einem Traglastversuch. Da diese Wandscheibe durch Anordnung von Lisenen in den Lasteinleitungs– und Auflagerbereichen verst¨ arkt ist, wird im Gegensatz zum vorangegangenen Abschnitt nicht ein reines Druckversagen im Bereich der Lasteinleitung maßgeblich, sondern der Versagensprozeß wird durch das Fließen der Bewehrung eingeleitet. Die Geometrie, die Bewehrung des Versuchsk¨orpers und die Werkstoffkennwerte sind in Bild 6.45 angegeben. Die Scheibe besitzt eine Netzbewehrung, die im unteren Scheibenbereich mit Zulagen in horizontaler Richtung und im Bereich der Lisenen mit Zulagen in vertikaler Richtung erg¨anzt wird. mx =2,34ğ
2Ă P
my =4,68ğ
Längen in [cm]
mx =2,34ğ my =4,68ğ
mx =9,17ğ
n + 0, 2 scu + 25, 2Ă MN m2
y
my =9,17ğ
61,0
E C + 20Ă 000Ă MN m2
76,2
x
stu + 3, 1Ă MN m2 G c + 5, 0 @ 10 ć2Ă MNm m2
15,2
mx =4,69ğ
mx =18,3ğ
my =4,68ğ
my =9,17ğ
S A
91,5
G f + 1, 0 @ 10 *4Ă MNm m2
mx =4,69ğ my =4,68ğ
E s + 190Ă 000Ă MN m2
91,5
ssy + 353Ă MN m2
7,6 29,8
10,2
10,2
10,2
ssu + 385Ă MN m2 H p + 4500Ă MN m2
Abbildung 6.45: Geometrie, Bewehrung und Werkstoffkennwerte der Wandscheibe In einer ersten Berechnungsstudie wird eine Symmetrieh¨alfte der Versuchsscheibe mit 110 achtknotigen Elementen untersucht (Bild 6.46). Dabei l¨auft die numerische Integration nach Gauß u utzstellen je Element. Da die Lisenen gr¨ober diskretisiert sind als das restliche ¨ber 3 × 3 St¨ System, m¨ ussen die dadurch entstehenden inkompatiblen Knoten kinematisch an die Nachbarknoten angekoppelt werden. Die Lastaufbringung geschieht u ¨ ber eine gleichm¨aßig verteilte Linienlast an der Unterkante der Randlisene. Der inkrementelle Lastfortschritt wird mit einer Wegsteuerung kontrolliert, wobei die vertikale Verschiebung vm der Lisenenunterkante als maßgebende Weggr¨ oße daf¨ ur hergenommen wird. Die erste Berechnungsreihe wird ohne Netzadaption durchgef¨ uhrt. Variiert werden die Betonzugfestigkeit, die spezifische Bruchenergie Gf und die Erfassung des Tension–Stiffening Effektes, wie Tabelle 6.6 zu entnehmen ist. Alle Berechnungsvarianten liefern Traglasten, die sehr gut mit dem Versuchsergebnis u ¨ bereinstimmen. Unterhalb der Traglast, also der Bereich, der f¨ ur einen Gebrauchsf¨ahigkeitsnachweis interessant ist, ergeben sich aber je nach Variante unterschiedliche Verl¨aufe im Vergleich zur Ver-
6.2. Stahlbetonstrukturen
127
Längen in [mm]
PĂ [kN] 120 100
762,0
80 Versuch [CG72]
60
v mĂ
Variante 1
40 S A
P + qĂ l El
Variante 2 Variante 3
20
Variante 4
0 108,3
752,5
0
54,2
2.0
4.0
6.0
8.0
v mĂ [mm]
Abbildung 6.46: Finite–Element–Diskretisierung und Last–Verschiebungskurven
σtu
MN m2
Gf
MN m m2
Variante
Diskretisierung
TST–Effekt
1
110 Elemente
nein
2, 4
1, 0 · 10−4
2
110 Elemente
ja
2, 4
1, 0 · 10−4
3
110 Elemente
nein
0
1, 0 · 10−4
4
110 Elemente
nein
2, 4
2, 0 · 10−4
Tabelle 6.6: Berechnungvarianten der Finite–Element–Analyse suchskurve. Die Berechnung ohne Ansatz der Betonzugfestigkeit liefert ein zu weiches Verhalten, das heißt die entsprechende Last–Verschiebungskurve verl¨auft unterhalb der Versuchskurve. Die Berechnung mit Ansatz der Betonzugfestigkeit aber ohne Ber¨ ucksichtigung des Tension Stiffening Effektes kommt der Versuchskurve am n¨achsten, wird jedoch f¨ ur diese Variante eine doppelt so hohe spezifische Bruchenergie Gf eingegeben, ergibt sich unterhalb der Traglast ein zu steifes Verhalten. Das gleiche gilt bei Ber¨ ucksichtigung des Tension Stiffening Effektes. Aus dieser Betrachtung lassen sich folgende Schl¨ usse ziehen: - Das Verhalten des Rechenmodells unterhalb der Traglast wird sehr stark von der angestzten Betonzugfestigkeit und der spezifischen Bruchenergie Gf beeinflußt. ¨ - Beim Ubergang in Zustand II hat der Tension Stiffening Effekt eine versteifende Wirkung, die nicht vernachl¨ assigt werden darf. - Die Traglast ergibt sich jedoch unabh¨angig von der angesetzten Betonzugfestigkeit, der spezifischen Bruchenergie Gf und dem Ansatz des Tension Stiffening Effektes. Die Abweichungen von der Versuchskurve liegen in der Tatsache begr¨ undet, daß im Rechenmodell zu Beginn eine homogen verteilte Betonzugfestigkeit vorgegeben wird. Im Versuchsk¨orper
128
Kapitel 6. Numerische Untersuchungen
stellt die Betonzugfestigkeit jedoch eine stark streuende Gr¨oße dar, die zudem nur schwer zu ermitteln ist, und kann zum Beispiel im Bereich von Schwindrissen schon vor der Lastaufbringung auf Null abgesunken sein. Gleiches gilt f¨ ur die spezifische Bruchenergie Gf . Es ist deshalb nicht m¨oglich, den exakten Verlauf der Last–Verschiebungskurve mit dem hier vorgestellten Rechenmodell zu bestimmen. Allerdings kann durch mehrere Rechenl¨aufe, in denen jeweils Extremwerte f¨ ur die genannten Materialparameter vorgegeben werden, eine Absch¨atzung f¨ ur den Verlauf der Last–Verschiebungskurve ermittelt werden. ¨ Trotz der angesprochenen Abweichungen kann der Versagensprozeß in guter Ubereinstimmung mit der Wirklichkeit simuliert werden. Dazu sind in den Bildern 6.47 und 6.48 die Entwicklung des Rißbildes und die fortschreitende Plastifizierung des Betons auf Druck f¨ ur die Berechnungsvariante 2 mit Ansatz der Betonzugfestigkeit und des Tension Stiffening Effektes in charakteristischen Laststufen dargestellt.
P + 0, 203Ă P u
P + 0, 932Ă P u
P + 0, 574Ă P u
P + 0, 852Ă P u
P + 0, 975Ă P u
P + P uĂ + 120Ă kN
Abbildung 6.47: Entwicklung des Rißbildes f¨ ur Variante 2 Die Traglast wird im Versuch [CG72] wie im Rechenmodell f¨ ur Variante 2 bei P u = 120 kN erreicht, die ersten Risse ergeben sich jedoch bereits bei 20,3% der Bruchlast. Mit Erreichen von 57,4% der Bruchlast geht der Beton an der Oberkante der Biegdruckzone von einem elastischen in ein plastisches, verfestigendes Materialverhalten u ¨ ber. Bei 85,2% der Bruchlast hat sich die plastische Zone im Druckbereich ausgeweitet und an der Tr¨agerunterseite beginnt der Betonstahl in Feldmitte zu fließen. Mit Erreichen der Laststufe 93,2% hat der Beton an der Oberkante der Biegedruckzone die maximale Verfestigungsspannung erreicht und es folgt eine Entfestigung des Betons auf Druck. Eine weitere Laststeigerung ist aber noch m¨oglich da der Betonstahl erst bei 97,5% seine Bruchspannung erreicht und die resultierende Betondruckkraft trotz lokaler Entfestigung an der Tr¨ ageroberkante noch zunehmen kann. Da im Rechenmodell das Verhalten des Stahls nach Erreichen der Bruchspannung als idealplastisch angenommen wird, kann die Last durch Anwachsen des inneren Hebelarms nochmals um 2,5% bis zum Systemversagen gesteigert werden. Letztendlich ist dann zwar die Entfestigung der Biegedruckzone als Versagensursache zu nennen, dieses ist aber dadurch bedingt, daß bereits bei 85,2% der Bruchlast der Stahl zu fließen beginnt, und die damit verbundene Zunahme der Tr¨agerkr¨ ummung in Feldmitte zu einer
6.2. Stahlbetonstrukturen
129
P + 0, 203Ă P u
P + 0, 932Ă P u
P + 0, 574Ă P u
P + 0, 852Ă P u
P + 0, 975Ă P u
P + P u + 120Ă kN
Abbildung 6.48: Verteilung des innerer Parameter εDP f¨ ur Variante 2 Einschn¨ urung der Biegedruckzone f¨ uhrt, welche die oben angesprochene Versagensursache nach sich zieht. Aus dem Versagensprozeß heraus wird klar, daß die Traglast durch die Fließgrenze des Stahls und die Druckfestigkeit des Betons bestimmt ist. Beides sind Materialparameter, die sehr gut zu bestimmen sind und die bei weitem nicht so stark streuen wie die Biegezugfestigkeit oder die spezifische Bruchenergie Gf . Daher liefern auch alle in Tabelle 6.6 angegebenen Berechnungsvarianten fast exakt die im Versuch ermittelte Traglast. In einer zweiten Berechnungsserie wird die Wandscheibe ausgehend von einem Startnetz mit 35 achtknotigen Elementen (Bild 6.49) adaptiv berechnet. Dabei unterscheiden sich die einzelnen Varianten in der Ber¨ ucksichtigung des Tension Stiffening Effektes und in der maximal zul¨assigen Verfeinerungstiefe. PĂ [kN] Längen in [mm] 120 100 762,0
80 Versuch [CG72] Variante 5 Variante 6 Variante 7 Variante 8
60
v mĂ
40 P + qĂ l El 108,3
752,5
S A 54,2
20 0 0
2.0
4.0
6.0
8.0
Abbildung 6.49: Startdiskretisierung und Last–Verschiebungskurven
v mĂ [mm]
130
Kapitel 6. Numerische Untersuchungen
Variante
Startnetz
zul¨assige Verfeinerungstiefe
TST–Effekt
Fehlerschranke γ
5
35 Elemente
2
ja
0, 01
6
35 Elemente
1
ja
0, 01
7
35 Elemente
2
nein
0, 01
8
35 Elemente
1
nein
0, 01
Tabelle 6.7: Berechnungvarianten der adaptiven Finite–Element–Analyse Der zuletzt genannte Parameter gibt an, wie oft ein Element des Startnetzes hierarchisch unterteilt werden darf. Eine solche Beschr¨ankung ist notwendig, da in stark plastifizierten und entfestigten Zonen oder an Orten mit singul¨aren Spannungsspitzen die Auswertung des Fehlerindikators zu extrem hohen Verfeinerungsgraden mit entsprechend starkem Anstieg der Systemfreiheitsgrade f¨ uhrt. Im vorliegenden Fall erzeugt ausgehend von einer Kantenl¨ange von 150 mm im Vaterelement die erste Elementunterteilung eine minimale Kantenl¨ange von 75 mm und die zweite Elementverfeinerung eine Kantenl¨ange von 37, 5 mm. Mit einer zul¨assigen Verfeinerungstiefe von drei w¨ are man mit einer minimalen Kantenl¨ange von 18, 75 mm bereits in der Gr¨oßenordnung des Korndurchmessers des Zuschlags. Anhand der Berechnungsergebnisse kann jedoch gezeigt werden, daß eine solch starke Netzverfeinerung nicht notwendig ist. Die Eingangsparameter f¨ ur die einzelnen Berechnungsvarianten sind in Tabelle 6.7 nochmals explizit zusammengestellt, dabei bezieht sich die in der letzten Spalte angegebene Fehlerschranke f¨ ur den r¨aumlichen Diskretisierungsfehler auf die Anwendung des Auswahlkriteriums (5.31). Die Last–Verschiebungskurven der adaptiven Berechnungsvarianten verlaufen ann¨ahernd dekkungsgleich zu den Berechnungskurven ohne Adaption (Bild 6.49). Deshalb lassen sich in Bezug auf die Ber¨ ucksichtigung des Tension Stiffening Effektes auch die gleichen Schlußfolgerungen ziehen. Bei Ber¨ ucksichtigung verh¨ alt sich das Berechnungsmodell vor Erreichen des Bruchzustandes steifer als der Versuchsk¨ orper, w¨ ahrend bei Vernachl¨assigung des Effektes das Modell n¨aher an der Versuchskurve liegt. Die Ursache daf¨ ur liegt wie bereits angesprochen in der stark streuenden Betonzugfestigkeit bzw. spezifischen Bruchenergie im Versuchsk¨orper. Die Traglast wird hingegen fast exakt abgebildet und dies unabh¨angig davon, welche zul¨assige Verfeinerungstiefe gew¨ahlt wird. In den Bildern 6.50 und 6.51 sind die durchlaufenen Verfeinerungsstufen f¨ ur die Varianten 5 und 6 dargestellt. Vergleicht man den Verlauf der adaptiven Netzverfeinerung in Bild 6.50 und 6.51 mit der Entwicklung des Rißbildes u ¨ ber die Lastinkremente hinweg (Bild 6.44), wird offensichtlich, daß die Netzverfeinerung der Rißausbreitung in der Struktur folgt. Zus¨atzlich findet in der plastifizierten Biegedruckzone eine Elementunterteilung statt. Ausgel¨ost werden diese Verfeinerungsprozesse haupts¨achlich dadurch, daß im verwendeten Fehlerindikator (Gl. (5.24)) die L1 –Norm der inkrementellen Dehnungen als Wichtungsfaktor eingeht, und der Zuwachs der plastischen Dehnungen in den plastifizierten Bereichen sehr groß wird. Wie schon angesprochen, liefern die Berechnungsvarianten 2, 5 und 6 fast identische Ergebnisse. Vergleicht man jedoch den Rechenaufwand von Variante 2 mit dem von Variante 6, ergibt
6.2. Stahlbetonstrukturen
131
53 Elemente
65 Elemente
P + 0, 254Ă P u
P + 0, 442Ă P u
89 Elemente
185 Elemente
P + 0, 690Ă P u
P + 0, 764Ă P u
74 Elemente P + 0, 595Ă P u
290 Elemente P + 0, 814Ă P u
P u + 119, 1Ă kN
296 Elemente
335 Elemente
P + 0, 869Ă P u
P + 0, 908Ă P u
Abbildung 6.50: Netzverfeinerungsstufen der Berechnungsvariante 5
sich eindeutig ein Vorteil zugunsten der adaptiven Berechnung, da selbst bei Erreichen der Traglast das verfeinerte Netz weniger Elemente und somit auch Freiheitsgrade als die uniforme Diskretisierung in Variante 2 enth¨ alt. Die Berechnungsvariante 5 mit einer h¨oheren zul¨assigen Verfeinerungstiefe hat jedoch einen sehr viel h¨oheren Rechenzeitbedarf als Variante 2 und ist, da sie mit Ausnahme eines glatteren Spannungsverlaufes zu keinen besseren Ergebnissen f¨ uhrt, deshalb als unwirtschaftlich einzustufen.
Anhand dieser Ergebnisse l¨ aßt sich folgende Schlußfolgerung ziehen: Da im Falle von Stahlbeton Entfestigungszonen des Betons durch den Verbund mit der Bewehrung u ¨ber gr¨oßere Bereiche verteilt werden, liegt im eigentlichen Sinne keine Lokalisierung vor. Daher ist es unzweckm¨aßig, sehr hohe Verfeinerungstiefen und somit das Entstehen von sehr kleinen Elementen zu erlauben. Liegt f¨ ur die adaptive Berechnung eine Startdiskretisierung vor, die f¨ ur eine linear–elastische Berechnung ohne Adaption zu ausreichend guten Ergebnissen f¨ uhrt, so gen¨ ugt nach Erfahrung des Verfassers eine zul¨ assige Verfeinerungstiefe von maximal drei Stufen.
132
Kapitel 6. Numerische Untersuchungen
47 Elemente
59 Elemente
62 Elemente
P + 0, 252Ă P u
P + 0, 444Ă P u
P + 0, 541Ă P u
65 Elemente
71 Elemente
74 Elemente
P + 0, 642Ă P u
P + 0, 677Ă P u
P + 0, 715Ă P u
83 Elemente
86 Elemente
89 Elemente
P + 0, 760Ă P u
P + 0, 855Ă P u
P + 0, 870Ă P u P u + 119, 7Ă kN
Abbildung 6.51: Netzverfeinerungstufen der Berechnungsvariante 6
6.2.4
Traglastversuch an einer gedrungenen Konsole
Den Abschluß der Berechnungsbeispiele bildet eine gedrungene Stahlbetonkonsole, an der Mehmel und Freitag [MF67] im Rahmen einer gr¨oßeren Versuchsreihe die Traglast experimentell bestimmt haben. Das Ziel dieser Versuchsreihe war es, den Einfluß der Konsolengeometrie und der Bewehrungsf¨ uhrung auf die Traglast zu ermitteln. Numerisch untersucht werden soll die Konsole I2, deren Geometrie, Bewehrung und Materialkennwerte in Bild 6.52 angegeben sind. Neben der hier vorgestellten Berechnung ist diese Konsole bereits in sehr vielen anderen Arbeiten numerisch behandelt worden [KM86] [Mes91] [Ebe91], was weitere Vergleichsm¨oglichkeiten liefert. F¨ ur die Finite–Element–Berechnung wird der Versuchsk¨orper mit insgesamt 95 achtknotigen Scheibenelementen diskretisiert (Bild 6.53). Der Betonstahl wird zum Teil als verschmierte Bewehrung modelliert; diese Elemente sind in Bild 6.53 grau hinterlegt. Der restliche Betonstahl darunter vor allem die Schr¨ agbewehrung wird mit in den Elementen eingebetteten Bewehrungsst¨aben abgebildet (vgl. Abschnitt 4.2.2). Die Lagerung erfolgt in der Symmetrieachse und
6.2. Stahlbetonstrukturen 2
S A
133
2 Ø14
E C + 2187Ă kN2 cm
4 Ø16 2 Ø14
25
n + 0, 2 s cu + 2, 26Ă kN2 cm
65
2 Ø16 40
2 Ø18
Ø8 25
Ø14
Ø8
40
Längen in [cm]
E S + 20600Ă kN2 cm s sy + 42Ă kN2 cm s su + 51Ă kN2 cm
Ø16 40
G c + 0, 5Ă kNcm cm 2 G f + 0, 001Ă kNcm cm 2
Ø18
Ø14
s tu + 0, 23Ă kN2 cm
20
H P + 500Ă kN2 cm
Abbildung 6.52: Konsole I2, Geometrie, Bewehrungsf¨ uhrung und Materialkennwerte an der St¨ utzenunterseite. Die 4 cm dicke Stahlplatte, u ¨ ber welche die Einleitung der Einzellast in die Konsole erfolgt, wird mit zwei Scheibenelementen modelliert. Dabei geschieht die Lastaufbringung weggesteuert mit der vertikalen Knotenverschiebung unterhalb der Einzellast als maßgebende Weggr¨ oße. Die Berechnung wird sowohl mit als auch ohne Ber¨ ucksichtigung des Tension Stiffening Effektes durchgef¨ uhrt. Aufgrund der starken Bewehrung in der Konsole unterscheiden sich jedoch die Ergebnisse der beiden Varianten nur so gering, daß in Bild 6.53 nur die Variante ohne Ber¨ ucksichtigung des Versteifungseffektes angegeben ist. Zus¨atzlich sind Last–Verschiebungskurven eingezeichnet, die aus numerischen Untersuchungen von Meschke [Mes91] resultieren, in denen er sein eigenes hypoplastisches 3D–Werkstoffmodell und ein elasto–plastisches 3D–Werstoffmodell [HC87] eingesetzt hat. W¨ ahrend die Modelle f¨ ur den allgemein r¨aumlichen Spannungszustand die Versuchstraglast von 933 kN sehr genau abbilden, f¨ uhrt das eigene Modell mit der Annahme eines ebenen Spannungszustandes auf eine zu geringe rechnerische Traglast. Eine Erkl¨arung f¨ ur die beschriebene Abweichung liefert die gedrungene Geometrie und die starke Verb¨ ugelung der Konsole I2. Diese beiden Faktoren erlauben die Ausbildung eines r¨aumlichen Spannungszustandes, der mit dem in dieser Arbeit entwickelten Werkstoffmodell nicht abgebildet werden kann. Als Folge davon liefert das ebene Modell eine rechnerische Traglast, die mit 680 kN ¨ bei nur 73% der Versuchstraglast liegt. Ahnliche Erfahrungen bei der Untersuchung der Konsole I2 mit einem ebenen Werkstoffmodell werden auch in [KM86] berichtet. Auch hier ergab sich eine rechnerische Traglast von nur 60% des Versuchswertes. Ein weiterer Grund f¨ ur die Abweichung der vorgestellten Berechnung vom Versuch ist in der Nichtber¨ ucksichtigung der D¨ ubelwirkung
134
Kapitel 6. Numerische Untersuchungen PĂ [MN]
P
25
Versuch [MF67]: P u + 933Ă kN
1,0 v KĂ
0,8
65 0,6 0,4 40 Längen in [cm]
0,2 v KĂ [cm] 0
25
40
20
0
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
eingebettete Bewehrungsstäbe
elasto-plastisches 3D-Modell [HC87]
verschmierte Bewehrung
hypoplastisches 3D-Modell [Mes91] aktuelle Berechnung für den ESZ
Abbildung 6.53: Konsole I2, Modellierung und Last–Verschiebungskurven zu suchen, die selbst bei großen Riߨ offnungsweiten immer noch eine Schub¨ ubertragung senkrecht zum Riß gew¨ ahrleistet. Der Verlauf des Versagensprozeßes wird allerdings auch durch das ebene Modell richtig erfaßt. Dazu sind in Bild 6.54 die Entwicklung des Rißbildes und in Bild 6.55 die Verteilung des inneren Parameters εDP in verschiedenen Laststufen angegeben. Der innere Parameter εDP steuert die Verfestigung und anschließende Entfestigung des plastifizierten Betons auf Druck und stellt somit ein Maß f¨ ur die Sch¨ adigung des Betons im Druckbereich dar.
P + 0, 416Ă P u
P + 0, 627Ă P u
P +Ă P u + 680Ă kN
Abbildung 6.54: Konsole I2, Rißbild in verschiedenen Laststufen Bereits bei 18,3% der rechnerischen Traglast beginnt die Rißbildung in der Zugzone an der Konsole oben, eine Plastifizierung des Betons auf Druck an der Konsole unten stellt sich jedoch erst bei einem Wert von 41,6% ein. W¨ahrend sich die Risse und die auf Druck plastifizierte Zone im Beton mit zunehmender Belastung ausbreiten, beginnt bei 77,8% der Maximallast der
6.2. Stahlbetonstrukturen
P + 0, 416Ă P u
135
P + 0, 627Ă P u
P +Ă P u + 680Ă kN
Abbildung 6.55: Konsole I2, Verteilung des inneren Parameters εDP ¨ Betonstahl in der Zugzone der Konsole im Ubergang zur St¨ utze zu fließen. Durch die plastische Verfestigung des Stahls und die Vergr¨oßerung des inneren Hebelarms kann die Belastung noch weiter gesteigert werden, allerdings f¨ uhrt die damit verbundene Einschn¨ urung der Betondruckzone zur Entfestigung des Betons und somit zum Systemkollaps. Die starke Verb¨ ugelung der Konsole in der Entfestigungszone erzeugt im Anschnitt zur St¨ utze nicht nur einen zweiaxialen sondern einen dreiaxialen Druckspannungszustand. Im dreiaxialen Druckspannungszustand ergibt sich eine wesentlich h¨ ohere Druckfestigkeit als im Zweiaxialen, was nat¨ urlich auch nur mit einem entsprechend r¨ aumlichen Werkstoffmodell abgebildet werden kann. Anhand dieses Berechnungsbeispiels wurden die Anwendungsgrenzen des in dieser Arbeit entwickelten Werkstoffmodells f¨ ur den ebenen Spannungszustand aufgezeigt. F¨ ur die bei Fl¨achentragwerken u unnen Bauteils, kann das Materialmodell uneingeschr¨ankt ¨ bliche Annahme eines d¨ eingesetzt werden. F¨ ur den Spezialfall eines gedrungenen Bauk¨orpers ist allerdings der Einsatz eines allgemein r¨ aumlichen Werkstoffmodells notwendig. R¨aumliche Modelle erfordern jedoch nicht nur einen entsprechenden Mehraufwand bei der Programmierung, sondern auch eine wesentlich aufwendigere Finite–Element–Diskretisierung mit Hilfe von Volumenelementen. Als Nachteile einer solchen Diskretisierung ergeben sich eine hohe Anzahl von unbekannten Systemfreiheitsgraden und eine schwierige Ergebnisauswertung, da es bei Volumenelementen nicht mehr m¨oglich ist, die Verl¨ aufe der Zustandsgr¨oßen als H¨ohenlinien– oder Farbplot u ¨ber das ganze System anzugeben. Daher ist es ¨ außerst vorteilhaft, ebene Modelle einzusetzen, aber nur wenn die bestehenden Anwendungsgrenzen eingehalten sind.
136
Kapitel 6. Numerische Untersuchungen
Kapitel 7
Zusammenfassung und Ausblick In der vorliegenden Arbeit wird ein Verfahren zur physikalisch nichtlinearen Berechnung von Stahlbetonscheiben mit Hilfe der adaptiven Finite–Element–Methode vorgestellt. Da sich die Forschung schon seit u ur die For¨ber 30 Jahren mit Verfahren dieser Art besch¨aftigt, kann f¨ mulierung des Materialgesetzes auf mehrere bereits vorliegende Forschungsergebnisse aufgebaut werden [Che82] [Din87] [OOOL87] [Rot88] [DO90] [Mes91] [WH91] [Fee93]. Jedoch ben¨otigen viele der vorliegenden Modelle Werkstoffparameter, die oft nur unter großem Aufwand zu ermitteln sind, was den Einsatz solcher Modelle stark einschr¨ankt. Ein weiteres Problem ist die numerische Sensitivit¨ at der L¨ osungsalgorithmen, die durch das hochgradig nichtlineare Verhalten des Stahlbetons bedingt wird. Oft f¨ uhrt nur eine Lockerung der Konvergenzschranken zu einem vollst¨ andigen Rechenlauf, dessen Ergebnisse jedoch dann a¨ußerst fragw¨ urdig erscheinen. Daher wird im Rahmen dieser Arbeit ein Werkstoffmodell auf der Grundlage der Fließtheorie pr¨asentiert, das mit wenigen Werkstoffkennwerten auskommt, die entweder leicht zu bestimmen sind oder f¨ ur die in den einschl¨ agigen Normen Angaben vorliegen. Mit der Zielsetzung eines robusten L¨ osungsalgorithmus wird die Fließbedingung f¨ ur den unbewehrten Beton mit Hilfe von superquadratischen Funktionen in einer einzigen, geschlossen darstellbaren Gleichung formuliert, die zudem im gesamten Wertebereich mehrfach stetig differenzierbar ist. Dadurch entfallen spezielle Algorithmen, um an den Kanten einer mehrteiligen Fließfl¨ache die Richtungen der inkrementellen, plastischen Dehnungen zu ermitteln. Trotz dieser einfachen Darstellung ist es m¨oglich, die isotrope plastische Ver– bzw. Entfestigung des Betons f¨ ur Druckbereich und Zugbereich unabh¨ angig voneinander zu steuern. Dabei wird die Entfestigung des Betons auf Zug mit Hilfe eines verschmierten Rißkonzeptes unter Einbeziehung der spezifischen Bruchenergie formuliert. F¨ ur die Entfestigung auf Druck wird eine analoge Vorgehensweise gew¨ahlt, womit ein durchg¨angig konsistentes Modell entsteht. Der Betonstahl kann als verschmiertes Bewehrungslayer, als eingebettete Bewehrung oder durch diskrete Bewehrungsst¨abe erfaßt werden. Das zugeh¨orige Materialgesetz ist ebenfalls elasto–plastisch formuliert. Die Ber¨ ucksichtigung der Mitwirkung des Betons auf Zug, der sogenannte Tension–Stiffening Effekt, wird mit einem eigenen Steifigkeitsanteil in Richtung der Bewehrung ber¨ ucksichtigt. F¨ ur die Spannungsintegration kommt das numerisch robuste R¨ uckw¨arts–Eulerverfahren zur Anwendung, das mit einem in dieser Arbeit entwickelten Fehlersch¨atzer f¨ ur den zeitlichen Diskre¨ tisierungsfehler kombiniert wird. Uberschreitet der Fehler eine vorgegebene Toleranzschranke, so wird die inkrementelle Lastschrittweite entsprechend verringert und das aktuelle Inkrement damit nochmals berechnet. Die Lastaufbringung erfolgt also inkrementell, wobei in jedem Inkrement die Gleichgewichtsiteration mit Hilfe einer konsistenten Tangente und dem Newton– Raphson–Verfahren durchgef¨ uhrt wird. Zur Steuerung der Lastaufbringung kann das Verfahren 137
138
Kapitel 7. Zusammenfassung und Ausblick
mit verschiedenen Nebenbedingungen verkn¨ upft werden, so daß eine Laststeuerung, eine Wegsteuerung und ein Bogenl¨ angenverfahren wahlweise zur Verf¨ ugung stehen. Am besten bew¨ahrt hat sich jedoch in diesem Zusammenhang die Anwendung einer Wegsteuerung. Nach Erreichen eines Gleichgewichtspunktes wird der r¨aumliche Diskretisierungsfehler abgesch¨atzt. Dies erfolgt mit Hilfe eines Fehlerindikators, der sich aus residualen Fehlersch¨atzern f¨ ur elastische und ideal–plastische Probleme ableitet [BR78] [JH92] [CRSW96], jedoch an die spezi¨ ellen Eigenschaften des vorliegenden Stahlbetonmodells angepaßt werden muß. Uberschreitet der Fehlerindikator eine vorgegebene Schranke, so wird das Netz hierarchisch adaptiv unterteilt und die Zustandsgr¨ oßen des alten Netzes auf das neue, verfeinerte u ¨ bertragen. Das ist notwendig, da das Stoffgesetz von der Lastgeschichte abh¨angig ist. Der Transfer der inneren Parameter, welche den Ver– und Entfestigungsprozeß steuern, stellte ein bisher noch nicht befriedigend gel¨ostes Problem dar und wird hier dadurch gel¨ost, daß die Entfestigungsbeziehung f¨ ur das verfeinerte Netz entsprechend modifiziert wird. Das vorgestellte Modell ist wegen der verwendeten Algorithmen ¨außerst robust und erm¨oglicht durch die eingebauten Fehlerkontrollen eine Qualit¨atssicherung der Ergebnisse. Diese Eigenschaften werden an einigen Rechenbeispielen demonstriert, aber auch die Anwendungsgrenzen des Modells aufgezeigt. Das adaptive Verfahren eignet sich sehr gut, um die Traglast von bewehrten und unbewehrten Betonscheiben zu bestimmen. Da wegen der zeitlichen wie r¨aumlichen Adaption im elastischen Vorbruchbereich mit relativ großen Lastschritten und groben Netzeinteilungen gerechnet werden kann, ergibt sich eine deutliche Rechenzeiteinsparung gegen¨ uber der Verwendung von uniformen Netzen und konstanten Lastschrittweiten bei qualitativ gleichwertigen Ergebnissen. Abstriche an der Genauigkeit m¨ ussen jedoch gemacht werden, falls das Last–Verformungsverhalten unterhalb der Bruchlast im Zustand II ermittelt werden soll. Vor allem bei schwach bis m¨aßig bewehrten Stahlbetonscheiben ist die Systemantwort stark von Betonzugfestigkeit und spezifischer Bruchenergie abh¨ angig. Beides sind Eingangswerte f¨ ur das Rißmodell, die in der Praxis nur schwer zu ermitteln sind und f¨ ur die deshalb oftmals auf Vorgaben in den entsprechenden Normen zur¨ uckgegriffen werden muß. W¨ ahrend diese Parameter in der Modelldiskretisierung als homogen verteilt angenommen werden, liegt im tats¨achlichen Bauteil eine starke Streuung vor, was die exakte Voraussage der Systemantwort unm¨oglich macht. Durch Besetzen der besagten Eingabeparameter mit unterschiedlichen Grenzwerten in verschiedenen Rechenl¨aufen kann jedoch eine obere und untere Absch¨ atzung der Last–Verschiebungskurve gewonnen werden. Die oben angesprochenen sehr viel besseren Resultate f¨ ur die Traglast ergeben sich aus dem Sachverhalt, daß die daf¨ ur verantwortlichen Materialparameter Betondruckfestigkeit und Stahlzugfestigkeit genauer bestimmt werden k¨ onnen und sehr viel weniger streuen. F¨ ur weitere Forschungsarbeiten zur genaueren Erfassung des Tragverhaltens unterhalb der Traglast, scheinen folgende Ansatzpunkte sinnvoll:
• Die Kombination einer deterministischen Berechnung durch das vorgestellte nichtlineare Finite–Element–Verfahren mit einem probabilistischen Algorithmus, in dem die statistische Verteilung der streuenden Werkstoffparameter und der Lasten ber¨ ucksichtigt werden, liefert zuverl¨ assigkeitstheoretisch fundierte Bemessungswerte, z.B. auch f¨ ur den Nachweis des Grenzustandes der Gebrauchstauglichkeit [Vis95, B¨o97]. Da aber bei dieser Vorgehensweise die Systemantwort f¨ ur die variierenden Parameter mehrmals vollst¨andig nichtlinear berechnet werden muß, bis im probabilistischen Rechenalgorithmus das Konvergenzkriterium erreicht ist, resultieren bei großen Systemen sehr lange Rechenzeiten.
139 • In einer Kombination des vorgestellten Finite–Element–Verfahrens mit einem Fuzzy–Modell m¨ ussen streuende Werkstoffkennwerte nicht als scharfe Zahlenwerte, sondern k¨onnen als unscharfe Zahlenmenge eingegeben werden. Allerdings liefert diese Berechnung keine exakten Ergebniswerte, sondern unscharfe Ergebnisbereiche, die mit einem sogenannten M¨oglichkeitsmaß behaftet sind. Damit ist eine Sicherheitsbeurteilung auch des Gebrauchszustandes eines Tragwerkes m¨ oglich [M¨o97].
140
Kapitel 7. Zusammenfassung und Ausblick
Notation Alle Vektoren und Matrizen werden fett gedruckt. Bei Verwendung der Komponentenschreibweise gilt die Einstein‘sche Summationskonvention, wobei die lateinischen Buchstaben i, j, k, l ... von 1 bis 3 laufen.
Koordinaten, Symbole und Indizes Die Darstellung geschieht falls n¨ otig am Beispiel einer nicht n¨aher spezifizierten Variablen a: X = [x; y; z]
raumfeste Koordinate des Kontinuums
Ξ = [ξ; η]
loakale Elementkoordinaten
[p; q]
lokale Koordinaten in Bewehrungsrichtung
aT
transponierte Matrix
a,i =
∂a ∂xi
partielle Ableitung nach xi
an
unterer rechter Index f¨ ur die globale Gleichgewichtsiteration bei Matrizenschreibweise
an
oberer rechter Index f¨ ur die iterative Spannungsintegration am Gaußpunkt bei Matrizenschreibweise
◦
a
Grundzustand
a
Inkrement
˜ a
Nachbarzustand
Skalare Gro ¨ßen c
Betondeckung
EC
Elastizit¨ atsmodul des Betons
ES
Elastizit¨ atsmodul des Stahls
g
plastisches Potential
F, f
Fließfunktion
141
142
Notation
Gf
spezifische Bruchenergie f¨ ur Versagen des Betons auf Zug
Grc f
spezifische Bruchenergie f¨ ur Versagen des Stahlbetons auf Zug
Gc
spezifische Bruchenergie f¨ ur Versagen des Betons auf Druck
HP
plastischer Verfestigungsmodul
I1
1. Invariante des Spannungstensors
J2 , J3
2. und 3. Invariante des Spannungsdeviators
Leq
aquivalente L¨ ange ¨
m
Anzahl der Subinkremente
s
vorgegebenes Verschiebungsinkrement oder vorgegebene Bogenl¨ange
srm
mittlerer Rißabstand im abgeschlossenen Rißbild
t
Scheibendicke
teff
Dicke der effektiven Betonzugzone
u
Verschiebungsverlauf in x–Richtung
v
Verschiebungsverlauf in y–Richtung
εc0
einaxiale Betondehnung bei Erreichen der Betonzugfestigkeit
εDP
innerer Parameter bei verfestigendem Drucker–Prager–Kriterium
εR
innerer Parameter bei entfestigendem Rankine–Kriterium
εsy
Stahldehnung bei Erreichen der Fließgrenze
ηEL
Elementindikator f¨ ur r¨aumlichen Diskretisierungsfehler
λ
plastischer Multiplikator auf Gaußpunktebene, bzw. Lastfaktor auf Systemebene
ν
Querdehnzahl
σ1 , σ2 , σ3
Hauptspannungen: σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
σce
Betonvergleichsspannung am einaxialen Druckversuch
σcu
einaxiale Betondruckfestigkeit
σsu
einaxiale Stahlzugfestigkeit
σsy
Stahlfließspannung
σte
Betonvergleichsspannung am einaxialen Zugversuch
σtu
einaxiale Betonzugfestigkeit
σTST
Zugspannungsanteil bei Mitwirkung des Betons auf Zug
ø
Stabstahldurchmesser
Notation
143
Tensoren, Matrizen, Vektoren B
Matrix f¨ ur die Beziehung zwischen den Knotenverschiebungen und den Dehnungsverlauf im Element
Cijkl , C
elastischer Werkstofftensor bzw. –matrix
Du
Differentialoperator f¨ ur die Kinematik
F
Vektor der inneren Knotenkr¨afte
J
Vektor der Spannungsspr¨ unge an den Element– und Systemr¨andern
K
tangentiale Gesamtsteifigkeitsmatrix
n
Suchrichtung bei Line–Search
N
Matrix der Formfunktionen
pV
Belastung im Feld
pS
Belastung am Rand
P
Vektor der ¨ außeren Knotenkr¨afte
r
Gleichgewichtsresiduum im Feld
R
Kr¨ afteresiduum an den Knoten
T
Transformationsmatrix
u
Vektor der Verschiebungen
δu
Vektor der virtuellen Verschiebungen
v
Knotenverschiebungen
δv
virtuelle Knotenverschiebungen
∆v
iterativer Zuwachs der Knotenverschiebungen
∆vP
Lastanteil der iterativen Knotenverschiebungen
∆vR
Residuumsanteil der iterativen Knotenverschiebungen
εij , ε
Komponenten, Matrix des Verzerrungstensors
δεij , δε
Komponenten, Matrix des virtuellen Verzerrungstensors
el εel ij , ε
elastischer Anteil des Verzerrungstensors
pl εpl ij , ε
plastischer Anteil des Verzerrungstensors
κ
Vektor der inneren Parameter
σij , σ
Komponenten, Matrix des Spannungstensors
ψ
Vektor mit den Beziehungen der Arbeitsverfestigungshypothese
ωij
Komponenten des Rotationstensors
144
Notation
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