Un Modelo para El Estudio Del Tránsito [PDF]

Zitiervorschau

UN MODELO PARA ESTUDIO DEL TRÁNSITO APLICACIONES DEL ÁLGEBRA LINEAL – STANLEY I. GROSSMAN

PRESENTADO A: Jhon Jaber Camelo Daza

PRESENTADO POR: Laura X. Esquivel Miranda - Código 2320201011 Cárol N. López Varón - Código 2320201017 Juan J. González Cruz - Código 2320201014

UNIVERSIDAD DE IBAGUÉ

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS

2020

UN MODELO PARA ESTUDIO DEL TRÁNSITO RESUMEN El objetivo de este proyecto es demostrar que a partir del uso del álgebra lineal es posible resolver un problema practico de tránsito presente en la cotidianidad. Cabe resaltar que los elementos del Algebra Lineal son esenciales para poder establecer relaciones entre problemas de asignación de recursos y mediante esto, plantear un sistema de ecuaciones lineales para la resolución del problema en cuestión; en este caso utilizando el método de Gauss-Jordán.

METODOLOGIA EXPERIMENTAL



Ecuaciones de las intersecciones

A: 𝑋 + 600 = 𝑋 + 400

D: 𝑋 + 800 = 𝑋 + 900

𝑋 − 𝑋 = 400 − 600

𝑋 − 𝑋 = 900 − 800

𝑋 − 𝑋 = −200

𝑋 − 𝑋 = 100

B: 𝑋 + 𝑋 = 𝑋 + 100

E: 𝑋 + 𝑋 = 𝑋 + 600

𝑋 − 𝑋 +𝑋 = 100

𝑋 − 𝑋 + 𝑋 = 600

C: 𝑋 + 𝑋 = 400 + 300

F: 𝑋 + 𝑋 = 700 + 200

𝑋 + 𝑋 = 700

𝑋 + 𝑋 = 900

Sistema de ecuaciones:

𝑥 − 𝑥 = −200 ⎧𝑥 − 𝑥 + 𝑥 = 100 ⎪ 𝑥 + 𝑥 = 700 ⎨ 𝑥 − 𝑥 = 100 ⎪𝑥 − 𝑥 + 𝑥 = 600 ⎩ 𝑥 + 𝑥 = 900 

Matriz aumentada: método Gauss

1 ⎡0 ⎢0 ⎢ ⎢1 ⎢0 ⎣0

0 1 0 0 1 0

0 −1 0 0 0 −200 1 ⎡0 0 −1 1 0 0 100 ⎤ ⎢0 1 0 1 0 0 700 ⎥ ⎥ -F1+F4 ⎢ 0 0 0 −1 0 100 ⎥ ⎢0 ⎢0 0 0 0 −1 1 600 ⎥ ⎦ ⎣0 0 0 0 900 1 1

1 ⎡0 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎣0

0 1 0 0 0 0

0 −1 0 −1 1 0 0 1 0 1 1 0

0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 −1 0 −1 −1 1 0 0 1 0 1 1 0 −1 −1

−200 1 ⎡0 100 ⎤ ⎢0 700 ⎥ ⎥ -F3+F6 ⎢ 300 ⎥ ⎢0 ⎢0 500 ⎥ ⎣0 900 ⎦

1 ⎡0 ⎢0 -F4+F5 ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎣0

0 1 0 0 0 0

0 −1 0 −1 1 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 −1 0 0

1 ⎡0 ⎢0 F5+F6 ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎣0

0 1 0 0 0 0

0 −1 0 0 0 −200 0 −1 1 0 0 100 ⎤ 1 0 1 0 0 700 ⎥ ⎥ 0 1 0 −1 0 300 ⎥ 0 0 1 0 −1 −200⎥ 0 0 0 0 0 0 ⎦

0 1 0 0 1 0

0 −1 0 0 0 0 −1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 0 −1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0

0 −1 0 0 −1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 −1 0 0 −1

0 −200 1 0 0 −1 ⎤ ⎡ 0 100 0 1 0 −1 ⎢0 0 1 0 0 700 ⎥ ⎥ -F5 ⎢ 0 300 ⎥ ⎢0 0 0 1 ⎢0 0 0 0 1 200 ⎥ ⎣0 0 0 0 1 200 ⎦

0 0 0 −1 −1 0

−200 100 ⎤ 700 ⎥ ⎥ -F2+F5 300 ⎥ 600 ⎥ 900 ⎦ 0 −200 0 100 ⎤ 0 700 ⎥ ⎥ 0 300 ⎥ 1 500 ⎥ 1 200 ⎦

0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 −1 0 1 0 −1 −1 0 1

−200 100 ⎤ 700 ⎥ ⎥ 300 ⎥ −200⎥ 200 ⎦

1 ⎡0 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎣0

0 1 0 0 0 0

0 −1 0 0 −1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0

1 ⎡0 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎣0

-F5+F2 -F5+F3



0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 −200 1 0 0 0 0 0 100 ⎤ F4+F1 ⎡0 1 0 0 ⎢0 0 1 0 0 0 700 ⎥ ⎥ ⎢ −1 0 300 ⎥ F4+F2 ⎢0 0 0 1 ⎢0 0 0 0 0 −1 −200⎥ ⎣0 0 0 0 0 0 0 ⎦

0 −1 0 100 1 −1 0 400 ⎤ 1 0 0 700 ⎥ ⎥ 0 −1 0 300 ⎥ 1 0 −1 −200⎥ 0 0 0 0 ⎦

0 −1 0 100 0 −1 1 600 ⎤ 0 0 1 900 ⎥ ⎥ RESULTADO: matriz con soluciones infinitas. 0 −1 0 300 ⎥ 1 0 −1 −200⎥ 0 0 0 0 ⎦

Ecuaciones resultantes:

𝑋 = 𝑋 + 100 𝑋 = 𝑋 − 𝑋 + 600 𝑋 = −𝑋 + 900 𝑋 = 𝑋 + 300 𝑋 = 𝑋 − 200

Teniendo en cuenta la ecuación 𝑋 (calle la cual se debe reducir el flujo) y que 𝑋 no puede

ser un valor negativo: 𝑋 = 𝑋 + 300 𝑋 ≥ 300

Le damos el menor valor posible a 𝑋 para que el resultado de 𝑋 sea la cantidad mínima de vehículos por hora y se pueda minimizar el tráfico de esa calle.

𝑋 = 300

𝑋 =0

Se reemplazando 𝑋 en las ecuaciones anteriores de obtiene: 𝑋 = 100 𝑋 = −𝑋 + 600 𝑋 = −𝑋 + 900 𝑋 = 300 𝑋 = 𝑋 − 200

Es posible determinar 𝑋 a partir de la segunda ecuación (𝑋 ) y de la última (𝑋 ): 200 ≤ 𝑥 ≤ 600

Entonces para lograr que el tránsito sea mínimo en 𝑋 determinamos las siguientes soluciones: 𝑋 = 100 0 ≤ 𝑋 ≤ 400 300 ≤ 𝑋 ≤ 700 𝑋 = 300 0 ≤ 𝑋 ≤ 400 𝑋 =0 200 ≤ 𝑥 ≤ 600

CONLUSIONES A partir de los resultados se logra concluir que efectivamente la aplicación del sistema de ecuaciones permitió encontrar las opciones más efectivas para reducir el tráfico en la vía determinada (Merritts Ave) resaltando que, para minimizar el flujo de dicha vía, fue necesario establecer rangos de cantidad de vehículos en cada calle, quedando esto en criterio de los encargados de manejar el tráfico.