Trasee Metodologice Introducere Nr. [PDF]

Zitiervorschau

1. Exercițiu: a. Descrieți traseul metodologic al introducerii numerelor în concentrul 0-31. b. Descrieți traseul metodologic al introducerii numerelor în concentrul 0-100. c. Descrieți traseul metodologic al introducerii numerelor în concentrul 0-1000. d. Descrieți traseul metodologic al introducerii numerelor în concentrul.0-10000. e. Descrieți traseul metodologic al introducerii numerelor în concentrul 0-100000. f. Descrieți traseul metodologic al introducerii numerelor în concentrul 0-1000000. I.Traseul metodologic al introducerii numerelor în diverse concentre A. Traseul metodologic al introducerii numerelor în concentrul 0-9 Strategia inductivă 1. Faza de familiarizare: Introducerea noului număr și a cifrei corespunzătoare Etapa concretă: a.Se construieşte o mulţime care reprezintă numărul anterior învăţat şi se verifică prin numărare (conștientă, prin încercuire succesivă, de jos în sus), ataşându-se eticheta cu cifra corespunzătoare. b. Se formează, prin punere în corespondenţă, o mulţime cu un element mai mult. c.Se numără conştient, prin încercuire, elementele din noua mulţime, numindu-se numărul care îi corespunde (noul număr predat). d. Se prezintă simbolul grafic al noului număr (cifra corespunzătoare) și se atașează mulțimii (se face corespondența mulțime-etichetă). e.Se scrie cifra respectând etapele de scriere: se intuieşte forma cifrei, se recunoaşte cifra în diverse contexte, se familiarizează elevii cu forma cifrei prin scriere în aer, se modelează din sârmă, plastilină, se scrie pe bancă, pe caiet fără liniatură, se scriu după model 3-4 cifre, se corectează, se scriu 1-2 rânduri, se corectează, având grijă la greșelile de percepție (când văd cifra în oglindă), formă (când nu sesizează toate elementele componente ale cifrei), poziție (când nu sesizează poziționarea corectă a cifrei în spațiul rândului). 2. Faza de structurare noțională: Construirea clasei de echivalenţă a noului număr (caracterul cardinal) Etapa concretă: a.Se fac exerciţii de recunoaştere (identificare) în spaţiul înconjurător a mulţimilor de elemente concrete care reprezintă noul număr; se verifică prin punere în corespondenţă şi numărare. b. Se fac exerciții de formare de mulţimi cu elemente concrete care reprezintă noul număr; se verifică prin punere în corespondenţă şi numărare. D-nul Pârîială construiește trecerea de la etapa concretă la cea semiconcretă realizând două mulțimi cu același număr de elemente, una reprezentată cu elemente concrete și una cu elemente iconice, semiconcrete. X X X

1

Etapa semiconcretă: Se fac aceleași exerciții ca în etapa concretă, dar cu mulţimi de elemente semiconcrete (jetoane, piese din trusa Diènes, imagini, desene) care reprezintă noul număr; se verifică prin punere în corespondenţă şi numărare. 3. Faza de aplicare și exersare direcționată: Prezentarea caracterului ordinal al noului număr Etapa abstractă: a.Se introduce noul număr în şirul numeric: se numără crescător şi descrescător până (de la) numărul nou, se compară noul număr cu precedentele, subliniindu-se faptul că acesta este cu o unitate mai mare decât precedentul, se numesc vecinii şi se fac exerciţii de completare a vecinilor. b. Se fac exerciţii de ordonare a unor mulţimi de numere care conţin noul număr. c.Se compune noul număr din precedentul şi încă o unitate; se compune apoi şi din alte numere. d. Se descompune noul număr în diferite forme. e.Se compun probleme în care intervine noul număr și operația de adunare sau scădere. B. Traseul metodologic al introducerii numerelor în concentrul 10-19 Sistemul de numerație zecimal (din 10 în 10) este de tip pozițional, deci fiecare cifră are o valoare dată și de poziția sa în număr. De exemplu: 1234, cifra 1 este cifra unităților de mii, 2 este cifra sutelor, 3 este cifra zecilor și 4 este cifra unităților, deci 1234 se descompune în 1000+200+30+4. În această etapă, se construiește treptat conceptul de ordin (ordinul unităților, zecilor, sutelor) și cel de clasă (clasa unităților, miilor, milioanelor, miliardelor), numărându-se ordinele astfel: ordinul unităților este ordinul 1, ordinul zecilor este ordinul 2, ordinul sutelor este ordinul 3, ordinul unităților de mii este ordinul 4 ș.a.m.d. În plus, copiii trebuie să înțeleagă faptul că o zece reprezintă o structură unitară nouă, o unitate nouă, o sută reprezintă o unitate nouă, o mie reprezintă o unitate nouă ș.a.m.d., adică orice nou ordin reprezintă o unitate nouă. 1. Faza de familiarizare: Formarea noțiunii de zece Etapa concretă: Se construiesc mulțimi de obiecte cu cardinalul un număr între 10 și 19, se numără și se atașează eticheta cu noul număr. Se explică faptul că noul număr se scrie cu două cifre, deoarece depășește numărul 9 și astfel se formează o zece, dar mai rămân și unități care indică despre ce număr este vorba: „o zece și o unitate” înseamnă că este vorba despre numărul unu spre zece, scris „unsprezece”, „o zece și două unități” înseamnă că este vorba despre numărul doi spre zece, scris „doisprezece”, „o zece și patru unități” înseamnă că este vorba despre numărul patru spre zece, scris „paisprezece”,. 2. Faza de structurare noțională: Formarea, citirea și scrierea în cifre și litere a numerelor în concentrul dat Etapa concretă: Se construiesc mulțimi de obiecte cu cardinalul un număr între 10 și 19, se numără și se atașează eticheta cu noul număr. Se explică faptul că noul număr este format dintr-o zece și unități. Se 2

explică citirea, scrierea cu cifre și în litere a numărului nou. Se reprezintă numărul la numărătoarea pozițională. Etapa semiconcretă Se face convenția ca o zece să fie reprezentată printr-un triunghi, iar o unitate printr-un pătrat și se citesc sau se scriu numere în concentrul dat, în cifre și în litere, apoi sunt reprezentate folosind convenția dată și se denumesc ordinele obținute: Z și U. Se fac exerciții de citire, scriere în cifre și litere a numărului. Se fac exerciții de compunere și descompunere a unui număr în zeci și unități și exerciții de reprezentare a sa cu convenția dată. 3. Faza de aplicare și exersare direcționată Construirea noțiunii de ordin (Z zece și U unități) Etapa abstractă Se fac exerciții de citire și scriere cu cifre și litere a noului număr, precizând cifra zecilor și a unităților și utilizând tabelul: Numărul Cifra zecilor Z Cifra unităților U 14 1 (o zece) 4 (patru unități) 10 1 (o zece) 0 (0 unități) 11 1 (o zece) 1 (o unitate) 19 1 (o zece) 9 (nouă unități) Se fac exerciții de compunere și descompunere a unui număr în zeci și unități și exerciții de reprezentare a sa sub forma ZU. Z U 1 5 C. Traseul metodologic al introducerii numerelor în concentrul 20-31 D. Traseul metodologic al introducerii numerelor în concentrul 31-100 E. Traseul metodologic al introducerii numerelor în concentrul 100-1000 1. Faza de familiarizare: Formarea noțiunii de sută Etapa concretă: Se construiesc mulțimi de obiecte cu cardinalul un număr între 100 și 999, se numără și se atașează eticheta cu noul număr. Obiectele trebuie așezate în mănunchiuri de câte 10 sau chiar 100, depinde de numărul utilizat. 2. Faza de structurare noțională Formarea, citirea și scrierea în cifre și litere a numerelor în concentrul dat Etapa semiconcretă Se face convenția ca o sută să fie reprezentată printr-un cerc, o zece printr-un triunghi, iar o unitate printr-un bețigaș și se citesc sau se scriu numere în concentrul dat, în cifre și în litere, apoi sunt reprezentate folosind convenția dată și se denumesc ordinele obținute: S, Z și U. Se fac exerciții de citire, scriere în cifre și litere a numărului. Se fac exerciții de compunere și descompunere a unui număr în zeci și unități și exerciții de reprezentare a sa cu convenția dată. 3. Faza de aplicare și exersare direcționată Construirea noțiunii de ordin (S sute Z zece și U unități) Etapa abstractă 3

Se fac exerciții de citire și scriere cu cifre și litere a noului număr, precizând cifra zecilor și a unităților și utilizând tabelul: Numărul Cifra sutelor S Cifra zecilor Z Cifra unităților U 143 1 (o sută) 4 (patru zeci) 3 (trei unități) 510 5 (cinci sute) 1 (o zece) 0 (zero unități) 731 7 (șapte sute) 3 (trei zeci) 1 (o unitate) 469 4 (patru) 6 (șase zeci) 9 (nouă unități) Se fac exerciții de compunere și descompunere a unui număr în zeci și unități și exerciții de reprezentare a sa sub forma SZU. S Z U 9 1 5 F. Traseul metodologic al introducerii numerelor în concentrul 1000-10000 Pentru a ordona si sistematiza secvențele numerice, fiecărei unități îi este atașat un ordin, care reprezintă numărul de ordine în scrierea numărului: unitățile (simple) vor fi numite unități de ordinul întâi; zecile, unități de ordinul doi; sutele, unități de ordinul trei. Pe măsură ce cunosc ordinele, elevii constată că grupuri de trei ordine consecutive, începând cu primul, conțin unități care se numesc la fel: unități, unități de mii, unități de milioane ș.a.m.d., zeci etc. Dată fiind această periodicitate, este firesc ca un grup de trei ordine consecutive să formeze o nouă structură, numit clasă. Ordinele 1, 2, 3, formează clasa unităților; ordinele 4, 5, 6 formează clasa miilor; ordinele 7, 8, 9 – clasa milioanelor ș.a.m.d. Se poate sugera astfel că procedeul poate fi aplicat în continuare, la nesfârșit și că, implicit, există numere naturale oricât de mari. În scrierea unor astfel de numere, evidențierea claselor se realizează prin plasarea unui spațiu liber între ele. G. Traseul metodologic al introducerii numerelor în concentrul 10000-1000000 2. Exercițiu:Realizați traseul metodologic al compunerii și descompunerii unui număr. Indicație: Structurați traseul după fazele strategiilor inductive (faza de familiarizare, de structurare noționale, de aplicare și exersare direcționată) și pe etape: concretă, semiconcretă (pentru primele două faze), abstractă (pentru ultima fază), ca în exemplele ce urmează. Construiți 6 exemple de sarcini diferite care să exerseze descompunerea și compunerea unui număr. Utilizați ca material bibliografic Activități matematice în grădiniță, de Neagu și Beraru.

4

II.Traseul metodologic al compunerii și descompunerii unui număr Faza de familiarizare În etapa concretă, pentru compunerea numărului 4, de exemplu, se pot concepe exerciții în care se pornește de la o mulțime cu 3 creioane și apoi se cere copiilor să construiască o mulțime care are un element în plus, să numere conștient, să asocieze numărul la cantitate, atașând eticheta cu cifra corespunzătoare și să concluzioneze că numărul 4 a fost compus din 3 și 1. La fel se poate proceda, pornind de la mulțimi cu mai puține elemente, pentru a obține și alte compuneri. Apoi se poate cere copiilor să găsească variante diferite de compunere a numărului 4, așezând un număr diferit de bețișoare pe fiecare secțiune a unui tablou înfățișând două culori. Fiecare copil explică ce variante a descoperit (0+4,1+3,2+2,3+1,4+0), verbalizând cum a lucrat. Se pot așeza cărți pe două rafturi astfel încât să se obțină diferite compuneri ale lui 4 sau se pot așeza mere în două coșuri astfel încât să se obțină diferite compuneri ale lui 4. Se verbalizează astfel : Câte mere sunt în primul coș ? Câte mere sunt în al doilea coș ? Dacă le așezăm într-un singur coș, ce număr compunem ? În etapa semiconcretă se pot efectua exerciții de același tip, cu diferite enunțuri, în care utilizăm jetoane, pentru a obține toate variantele de compunere a numărului 4, se pot efectua exerciții la tabla magnetică. Se pot folosi jetoane care indică diferite numere pentru a se obține compunerea numărului 4, astfel: se afișează un jeton care indică numărul unu și apoi se cere copiilor să completeze cu jetonul corespunzător pentru a compune numărul 4. Se concluzionează că numărul 4 a fost compus dintr-o mulțime cu 1 element la care s-a reunit o mulțime cu trei elemente. Copiii pot desena un număr de pătrate pe care le colorează în două culori, după preferință, și explică câte pătrate au o culoare și câte au cealaltă culoare, obținându-se toate compunerile numărului 4. Faza de structurare noțională În etapa concretă se reiau exercițiile din faza de familiarizare, în același concentru, dar cu un grad mai mare de dificultate și cu enunțuri diferite, folosind piese din trusa Dienes sau riglete Cuisenaire. În etapa semiconcretă, se realizează exerciții cu un grad mai mare de dificultate. De exemplu, se pot rezolva fișe de lucru, în care intervin exerciții de tipul : 1. Colorează în tablou numai compunerile numărului 4 : O OOO OOO OO OOO O OO OO OO OOOO 4

2. Arată în tablou cum se mai poate compune numărul 4. Completează în căsuțele din dreapta ce numere compun numărul 4. O OOO

4

3. Colorează în tablou astfel încât să obții modele diferite. Scrie în căsuțele din dreapta ce numere compun numărul 4. 5

OOOO OOOO OOOO 4

4. Desenează câte buline mai trebuie pe aripa dreaptă, pentru ca buburuza să aibă în total patru buline. Încercuiește în șirul de numere câte buline ai desenat. Cum îl compunem pe 4 ? (R : Trei și unu îl compun pe 4.)

4 1234

5. Încercuiește cifra corespunzătoare numărului pe care l-am compus cu ajutorul piesei de domino.

1 2 3 4

6. Completază spațiul liber al dominoului cu numărul necesar de buline, astfel încât să obții compunerea numărului indicat. 4

7. Completează cu buline pătratele de mai jos, astfel încât să obții compunerea numărului indicat. 3

Faza de aplicare și exersare direcționată În etapa abstractă, se pot realiza fișe asemănătoare cu cele din faza anterioară, etapa semiconcretă, doar că nu mai apar elemente de suport, pe care copiii să poată număra, ci doar numere. 3. Exercițiu: a. Realizați traseul metodologic al introducerii operației de adunare. b. Realizați traseul metodologic al introducerii operației de scădere. Observația 1: Trecerea de la limbajul uzual se face treptat, întâi la formula matematică și apoi la limbajul matematic. Observația 2 : Proba operației de adunare se face prin comutativitate și prin operația inversă. Proba operației de scădere (D-S=R) se face prin scădere (D-R=S) sau prin operația inversă (R+S=D).

6

III. A. Traseul metodologic al introducerii operației de adunare/ scădere cu 1-5 unități la clasa pregătitoare: Suma a două numere naturale reprezintă intuitiv reuniunea a două mulțimi disjuncte, care au cardinalele egale cu termenii sumei (A∩B=ϕ, |A|=T1 și |B|=T2, |AUB|=S-suma). Diferența a două numere naturale reprezintă intuitiv diferența a două mulțimi cu proprietatea că una este submulțimea celeilalte și prima are cardinalul egal cu al descăzutului, iar a doua are cardinalul egal cu al scăzătorului (B⊂A, |A|=D și |B|=S, |A\B|=R-rest sau diferență). I. Faza de familiarizare: Etapa concretă: 1.Cu ajutorul obiectelor, bețigașe sau riglete 2.Folosind jocul de rol, sau probleme-acțiune, de exemplu: un copil având un număr de bețigașe egal cu primul termen și un alt copil având un număr de bețigașe egal cu al doilea termen. Al treilea copil vine și ilustrează operația dorită. Etapa semiconcretă: 1. Cu ajutorul pătratelor: Limbajul uzual: Trei pătrate și cu două pătrate fac cinci pătrate. 2. Cu ajutorul jetoanelor: 3

+

2

=

5

II. Faza de structurare noțională Etapa concretă 1.Cu numărătoarea poziţională

2. Folosind balanța (cu ajutorul ei se explică și inegalitățile).

Limbajul uzual: Trei mingi și cu două mingi fac cinci mingi. Formula: 3+2=5 Limbaj matematic: Trei plus doi egal cinci. Etapa semiconcretă 3 1.Prin schema arbore:

2 5

Limbajul uzual: Trei mingi și cu două mingi fac cinci mingi. Formula: 3+2=5 7

Limbaj matematic: Trei plus doi egal cinci. 2. Metoda calculului desfășurat prin descompunere 2 3

1 4

1 5

3.Prin procedeul de calcul, prin numărare, pe axa numerelor (se precizează primul termen / descăzutul și se încercuiește, apoi se numără crescător/descrescător de la primul număr cât indică al doilea termen/scăzătorul, se încadrează rezultatul obținut. Totdeauna se scrie formula operației și se precizează denumirile). 0

1

2

3

4

5

6

7

⏟ +2

III. Faza de aplicare și exersare direcționată Etapa abstractă: 1. Rezolvarea unei probleme simple care să conducă la operația dorită. 2. Formularea de către elevi a enunţului cu datele problemei de tipul anterior (se păstrează exercițiul problemei), prin schimbarea contextului. 3. Formularea unei probleme cu date schimbate (se schimbă exercițiul problemei), dar același context. Exemplu Descrieți traseul metodologic al predării operației de scădere cu 1-5 unități. Rezolvare: Copii, astăzi vom învăța să efectuăm scăderea 5-2 și proba sa. I.Etapa concretă 1.Cu ajutorul obiectelor a.Haideți să formăm o mulțime cu 5 mașini (desemnăm un copil care va construi mulțimea). S-au stricat 2 mașini pe care le vom duce la mecanic (extragem /deplasăm două mașini). Câte mașini au mai rămas?(R: „Cinci mașini fără două mașini fac trei mașini”) Cum scriem matematic? (R: 5-2=3.) Cum citim? („Cinci minus doi egal trei.”) Observație: Atunci când dăm exemple concrete din viața curentă, vorbim în limbajul uzual (fără…, și cu…, fac…), când scriem exercițiul matematic, folosim limbajul matematic (minus…, plus,…, egal…). Cum facem proba? (R: „Trei plus doi egal cinci.”) b. Vă rog să formați o mulțime cu cinci mere și să le așezați în coșul cu fructe (desemnăm un copil care va construi mulțimea). S-au stricat două dintre ele și le ducem bunicii să le dea la găini (extragem din coș două mere). Câte mere au rămas? (R: „Cinci mere fără două mere fac trei mere”) Cum scriem matematic? (R: 5-2=3.) Cum citim? („Cinci minus doi egal trei.”) Cum facem proba? (R: „Trei plus doi egal cinci.”) 2. Folosind jocul de rol (Copiii vor fi termenii operației) 8

a. Astăzi la activitatea de matematică cinci copii au răspuns foarte bine (numim cinci copii care vor merge în fața clasei). Doi dintre ei au primit deja bulină (trimitem deoparte doi dintre copii). Câți copii mai trebuie să primească bulină? Numim un copil care să răspundă. (R: „Cinci copii fără doi copii fac trei copii”) Cum scriem matematic? (R: 5-2=3) Cum citim? („Cinci minus doi egal trei.”) Cum facem proba?( R: „Trei plus doi egal cinci.”) 3. Folosind balanța d. Construim cu ajutorul copiilor mulțimea cu cinci mere și mulțimea cu două mere. Așezăm pe talerul din stânga cele cinci mere și apoi luăm două mere, în timp ce copiii repetă în cor „cinci mere fără două mere fac…”, în acest timp un copil vine și așează pe talerul din dreapta și numără câte mere trebuie așezate pentru a se echilibra balanța „un măr, două mere, trei mere”, apoi repetă cu toții „Cinci mere fără două mere fac trei mere”. Cum scriem matematic? (R: 5-2=3) Cum citim? („Cinci minus doi egal trei.”) Cum facem proba? (R: „Trei plus doi egal cinci.”) II. Etapa semiconcretă 4. Cu ajutorul pătratelor Construim pe masă mulțimea cu cinci pătrate albastre. Două pătrate albastre pleacă din poveste. Le vom tăia cu o linie. Câte pătrate rămân? (R: „Cinci pătrate fără două pătrate fac trei pătrate”) Cum scriem matematic? (R: 5-2=3) Cum citim? („Cinci minus doi egal trei.”) Cum facem proba? (R: „Trei plus doi egal cinci.”) 5

2

5.Prin schema arbore: Haideți să completăm următoarea schemă: Cum scriem matematic? (R: 5-2=3) Cum citim? („Cinci minus doi egal trei.”) Cum facem proba? (R: „Trei plus doi egal cinci.”) 5

-

2 2

3

6. Metoda calculului desfășurat prin descompunere Să completăm schema: Cum îl putem descompune pe doi?( R:„Doi se descompune în unu și unu”). . Ce scădere efectuăm mai întâi? (R:„Cinci minus unu egal patru”) Ce scădere mai avem de făcut? (R: „Patru minus unu egal trei”) Cum scriem matematic? (R: 5-2=3) Cum citim? (R:„Cinci minus doi egal trei.”) Cum facem proba?(R:„Trei plus doi egal cinci.”) Pentru etapa abstractă: 7.Rezolvarea unei probleme simple care să conducă la operația dorită. Haideți să rezolvăm problema „Bunica avea cinci boboci de rața. Doi au fugit în pădure și i-a mâncat vulpea. Cu câți boboci de rață a rămas bunica?”. Câți boboci avea bunica? (R. Bunica avea cinci boboci de rață.) Așadar, ținem minte: cinci boboci avea bunica. Câți boboci au fugit? (R: Doi boboci au fugit. Așadar, ținem minte :doi boboci au fugit.) Dacă au fugit, bunica are mai mulți sau mai puțini boboci acum? (R: Dacă au fugit, bunica are mai puțini boboci. ) Cum aflăm câți boboci are acum bunica? (R: Prin operația de scădere: Cinci boboci fără doi boboci fac trei boboci.) Cum scriem matematic? (R: 5-2=3) Cum citim? („Cinci minus doi egal trei.”) Cum facem proba? (R: „Trei plus doi egal cinci.”) 8.a.Formularea de către elevi a enunţului cu datele problemei de tipul anterior, apoi întrebarea problemei, prin schimbarea problemei. 5

9

Ce scădere am descoperit noi, copii? (R: Noi am descoperit scăderea„Cinci minus doi egal trei”) Foarte bine. Acum, ne gândim împreună la o altă problemă în care să folosim scăderea pe care am descoperit-o . Cine poate să enunțe o nouă problemă care se rezolvă prin aceeași scădere? (R: Maria are cinci păpuși, ea îi dă vecinei ei două păpuși. Câte păpuși are acum Maria?) Foarte bine. Să rezolvăm împreună problema. Câte păpuși avea Maria? (R: Maria avea cinci păpuși.) Reținem: Cinci păpuși avea Maria. Câte păpuși a dat vecinei? (R: Maria a dat vecinei două păpuși.) Reținem: Două păpuși a dat. Cum aflăm câte păpuși are acum Maria? (R: Cinci păpuși fără două păpuși fac trei păpuși.) Cum scriem matematic? (R: 5-2=3) Cum citim? (R: „Cinci minus doi egal trei”) Cum facem proba? (R: „Trei plus doi egal cinci.”). b. Formularea problemei cu același context, dar cu datele schimbate. Să vedem cine formulează o problemă asemănătoare cu problema despre Maria, dar cu alte numere. (R: Maria are 6 păpuși, ea dă verișoarei ei două păpuși. Câte păpuși are acum Maria?) Foarte bine. Să rezolvăm împreună problema. Câte păpuși avea Maria? (R: Maria avea șase păpuși.) Reținem: Șase păpuși avea Maria. Câte păpuși a dat vecinei? (R: Maria a dat vecinei două păpuși.) Reținem: Două păpuși a dat. Cum aflăm câte păpuși are acum Maria? (R: Șase păpuși fără două păpuși fac patru păpuși.) Cum scriem matematic? (R: 5-2=3.) Cum citim? („Cinci minus doi egal trei”.) Cum facem proba? (R: „Trei plus doi egal cinci.”) Cum scriem matematic? (R: 6-2=4.) Cum citim? („Șase minus doi egal patru”) Cum facem proba? (R: „Patru plus doi egal șase”). B. Traseul metodologic al introducerii operație de adunare/scădere în alte concentre 1. Fără trecere peste ordin Faza de familiarizare Etapa semiconcretă Se fac exerciții în care reprezentarea numerelor se realizează folosind convenția ca o sută să fie reprezentată printr-un cerc, o zece printr-un triunghi, iar o unitate printr-un bețigaș, ceea ce facilitează înțelegerea operațiilor de adunare sau scădere fără trecere peste ordin. De exemplu: 257 + 142 = 399 257+ IIIIIII 142 II 399 IIIIIIIII 257 – 142 = 115 257IIIIIII 142 II 115 IIIII Faza de structurare noțională Etapa semiconcretă Se exersează în paralel exerciții care utilizează scrierea zecimală și care utilizează scrierea convențională, pentru a înțelege mai bine modalitatea de calcul. Faza de aplicare și exersare direcționată Etapa abstractă Se întărește terminologia specifică (Pentru adunare: termeni, sumă, 0 este element neutru la adunare, comutativitate, asociativitate –eventual fără denumirea proprietății, ci doar subliniind proprietatea: suma dintre 0 și orice număr este acel număr; dacă schimbăm ordinea a doi termeni, suma lor nu se schimbă; dacă grupăm convenabil termenii, suma nu se schimbă. 10

Generalizat: 0+a=a+0=a; a+b=b+a; (a+b)+c=a+(b+c). Pentru scădere: descăzut, scăzător, rest sau diferență) Se realizează exerciții variate de adunare sau scădere: 1. Tabele a 25 57 43 b 14 11 24 a+b 49 58 79 a-b 10 1 1

-

-

+

23 = 35 2. 21 11 3. … 2. Cu trecere peste ordin Faza de familiarizare Etapa semiconcretă Se fac exerciții în care reprezentarea numerelor se realizează folosind convenția ca o sută să fie reprezentată printr-un cerc, o zece printr-un triunghi, iar o unitate printr-un bețigaș, ceea ce facilitează înțelegerea operațiilor de adunare sau scădere cu trecere peste ordin. De exemplu: 257 + 145 = 402 257+ IIIIIII 142 IIIII 399 IIIIIIIIIIII II II 257 – 149 = 118 Transformăm o zece în zece unități 257IIIIIII 149 IIIIIIIII 118 IIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIII IIIIIIII Faza de structurare noțională Etapa semiconcretă Se exersează în paralel exerciții care utilizează scrierea zecimală și care utilizează scrierea convențională, pentru a înțelege mai bine modalitatea de calcul. Faza de aplicare și exersare direcționată Etapa abstractă Se întărește terminologia specifică (Pentru adunare: termeni, sumă, 0 este element neutru la adunare, comutativitate, asociativitate –eventual fără denumirea proprietății, ci doar subliniind proprietatea: suma dintre 0 și orice număr este acel număr; dacă schimbăm ordinea a doi termeni, suma lor nu se schimbă; dacă grupăm convenabil termenii, suma nu se schimbă. Generalizat: 0+a=a+0=a; a+b=b+a; (a+b)+c=a+(b+c). Pentru scădere: descăzut, scăzător, rest sau diferență) Se realizează exerciții variate de adunare sau scădere.

11

C. Tehnici de calcul rapid Adunarea: 1. Descompunem numerele în zeci și unități, apoi adunăm separat unitățile și zecile: Exemplu: 87+48=(80+7)+(40+8)=(80+40)+(7+8)=120+15=135 2. Doar al doilea termen îl descompun în zeci și unități 87+48=87+(40+8)=127+8=135 3. Unul din termeni îl rotunjesc la zeci (la cel mai apropiat număr natural): 87+48=87+(50-2)=137-2=135 4. Cresc convenabil primul termen cu un număr și scad cu același număr pe cel de al doilea termen: (87+3) +(48-3)=138-3=135 5. Folosind asociativitatea: grupăm convenabil termenii pentru a obține un nou termen cu cifra unităților 0: 36+79+64=(36+64)+79=179 Scăderea: 1. Reducerea cifrelor care sunt egale și de același ordin: 1765-1703=65-3=62 2. Calculul prin rotunjire la zeci 143-57=(140+3)-(60-3)=(140-60)+(3+3)=86 3. Descompunerea în sute, zeci și unități, efectuând pe pași scăderea: 2485-248=2485-200-48=2285-40-8=2245-8=2237 4. Exercițiu : a. Compuneți o problemă care se rezolvă prin metoda figurativă, de tipul sumă și diferență. Descrieți traseul metodologic al rezolvării ei. b. Compuneți o problemă care se rezolvă prin metoda figurativă, de tipul sumă și raport. Descrieți traseul metodologic al rezolvării ei. c. Compuneți o problemă care se rezolvă prin metoda figurativă, de tipul diferență și raport. Descrieți traseul metodologic al rezolvării ei. IV.Traseul metodologic al rezolvării aritmetice a problemelor de matematică 1. Citirea și memorarea enunțului 2. Repetarea enunțului problemei 3. Ghidarea prin întrebări în înțelegerea enunțului și scrierea succintă a datelor problemei 4. Schița, desenul 5. Discutarea metodei de rezolvare și rezolvarea orală 6. Realizarea planului logico-operațional și rezolvarea scrisă 7. Verificarea răspunsului 8. Redactarea răspunsului 9. Scrierea problemei în exercițiu 10. Generalizarea problemei 11. Compunerea de probleme după același exercițiu, dar schimbând contextul 12. Compunerea de probleme după același context cu cel inițial, dar schimbând numerele Metoda figurativă de tipul sumă și diferență Ioana așează 28 de flori în două vaze, astfel încât în prima vază să fie cu 4 flori mai multe decât în a doua. Câte flori sunt în fiecare vază? Metoda figurativă de tipul sumă și raport 12

Într-un magazin există două valuri de material, unul alb și altul verde, în total 52,8 m. Stiind că cel alb are metrajul egal cu triplul celui verde mai puțin 4 m, aflați câți m sunt din fiecare culoare. Rezolvare: Metoda figurativă: v

-4

52,8

Planul logico-operațional 1. Cât ar deveni suma, dacă numărul mai mare se mărește cu 4? 52,8  4 = 56,8 (4v) 2. Cât este numărul mai mic? 56,8 : 4 = 14, 2 (v) 3. Cât este numărul mai mare? 14, 2  3  4 = 42, 6  4 = 38, 6 (a) Verificare: 38,6+14,2=52,8(A) Răspuns: a=38,6; v=14,2 Exercițiul problemei: (52,8+4):4·3-4=36,8 Generalizarea problemei: (S+R):(C+1)·C-R=numărul mai mare Metoda figurativă de tipul diferență și raport Maria are cu 275 mai multe probleme rezolvate decât Ana. Dacă împărțim numărul problemelor rezolvate de Maria la numărul celor rezolvate de Ana, obținem câtul 3 și restul 35. Câte probleme a rezolvat fiecare? Metoda falsei ipoteze Metoda falsei ipoteze se bazează pe construirea unei ipoteze noi, false în contextul dat, care să conducă la informații noi, în baza cărora se pot calcula datele cerute. Într-o fermă sunt găini și oi, în total 9 capete și 28 de picioare. Câte animale sunt de fiecare fel? Traseul metodologic: 1. Citirea și memorarea enunțului 2. Repetarea enunțului și discutarea datelor probleme 3. Ghidarea prin întrebări pentru a înțelege textul problemei 4. Schițarea și notarea datelor problemei 9 capete (găini și oi) 28 picioare oi?găini? Notăm o=număr oi g= număr găini 13

5. Transpunerea în limbaj matematic datele problemei (modelarea matematică a problemei) o+g=9 4o+2g=28 6. Realizarea desenului problemei ………….. …………. 7. Construirea falsei ipoteze Presupunem că toate animalele sunt găini, deci vom avea 2 x 9 = 18 (picioare) 8. Construirea planului logico-operațional 1. Câte picioare sunt în plus în total? 28-18=10 (picioare în plus în total) 2. Câte picioare sunt în plus la o oaie? 4-2=2 (picioare în plus la fiecare oaie) 3. Câte oi sunt? 10:2=5 (oi) 4. Câte găini sunt? 9-5=4 (găini) 9. Verificarea 5x4+4x2=28 (A) 10. Scrierea în exercițiu 9 - [28 – 2 x 9] : (4 - 2) = 4 11. Generalizarea problemei Fie n=număr animale, p= număr de picioare, g= număr găini n - [p – 2 x n]: (4-2) = g 12. a. Compunerea de probleme cu același context, dar alte numere Matei are 11 mașinuțe (cu 2 uși și cu 5 uși), în total 40 de uși. Câte mașini de fiecare fel sunt? c. Compunerea de probleme cu aceleași numere, dar alt context Maria are 9 timbre. Ioana are patru verișori și cu 2 mai puține verișoare. Ea are 28 de timbre, din care dă la doi verișori ai săi câte 9 timbre. Restul timbrelor îl împarte verișoarelor sale. Cu câte timbre are mai multe Maria decât o verișoară a Ioanei? Metoda retrogradă Mă gândesc la un număr. Din el scad 123, restul îl adun cu 23. Suma o înmulțesc cu 12 și obțin 20400. Care este numărul la care m-am gândit? x

-120

R

+23

S

x120

2040 0

Rezolvarea se realizează retrograd, de la capăt spre început, efectuând operația inversă, iar verificarea se realizează direct, efectuând operațiile înscrise pe schemă. Planul logico-operațional: 1. Cât este suma? 20400:120=170 (S) 14

2. Cât este restul? 170-23=147 (R) 4. Care este numărul la care m-am gândit? 147+120=267 (x) Verificare: 267-120=147 147+23=170 170x120=2040 (A) Răspuns x=2040 5. Exercițiu: Descrieți traseul metodologic al compunerii de probleme: a. După ilustrații b. După un exercițiu c. După model V. Traseul metodologic al compunerii problemelor de matematică în clasa pregătitoare și în clasele I-IV În activitatea de rezolvare de probleme, se exersează algoritmi de cunoaştere, algoritmi de lucru și algoritmi de control. În plus, activitatea rezolutivă conduce la dezvoltarea operațiilor gândirii și a creativității matematice, deoarece raţionamentul care conduce către găsirea soluției presupune esențializarea relațiilor dintre elementele cunoscute și cele necunoscute, modelarea matematică a acestor relații și descoperirea operaţiilor simple de calcul, implicate în contextul unor probleme. Tipuri de probleme: 1. probleme joc de rol 2. probleme-acțiune 3. probleme cu suport intuitiv  obiecte concrete  ilustrații 4. probleme după model (în care se păstrează contextul, dar se schimă numerele) 5. probleme după un exercițiu dat Observație: 1. Este bine ca în lecțiile de compunere de probleme să se realizeze alternativ compunerea de probleme care presupun operația de adunare sau scădere și să se insiste asupra asemănărilor și deosebirilor care apar. 2. Primele două tipuri de probleme sunt utilizate în clasa pregătitoare, iar următoarele două, sunt utilizate în clasele I-IV Clasele CP-IV 1. Traseul metodologic al compunerii de probleme : 1. Se intuiește  materialul suport (ilustrațiile, problema model sau exercițiul). Observație : Ilustrațiile trebuie să aibă suficiente elemente astfel încât să se preteze la compunerea de mai multe probleme pe aceeași imagine. 15

2. Se discută pe marginea materialului evidențiindu-se relațiile între datele care apar. 3. Se compune o problemă asemănătoare de către învățător-problema demonstrativă (opționaldepinde de nivelul clasei) și se discută dacă respectă cerințele exercițiului. 4. Se compune o problemă asemănătoare de către un elev-problema de probă și se discută dacă respectă cerințele exercițiului. 5. Se compun probleme de către copii și se discută dacă respectă cerințele exercițiului. 6. Se alege una dintre problemele compuse și se rezolvă, urmărind traseul metodologic de rezolvare a problemelor. Exemplu: Clasa pregătitoare Exemple de compuneri de probleme-acțiune Se cheamă un copil în faţa clasei şi i se cere să ia de pe masă 5 mere. Un alt copil îi mai dă un măr. Un alt copil formulează problema: “Matei are 5 mere, Mirela îi mai dă un măr. Câte mere are acum Matei?”. Se repetă cu câțiva copii enunțul. Ghidăm copiii prin întrebări pentru a-i ajuta să rezolve problema. Câte mere are Matei? Câte jucării îi mai dă Mirela? Ce înseamnă că „Mirela îi mai dă un măr”? Ce trebuie să aflăm? Ce operație trebuie să facem pentru a afla câte mere are acum Matei? Mimând enunțul problemei, copiii îşi dau seama de ce trebuie să adauge la cele 5 mere încă un măr pentru a obține răspunsul. b. Se chemă un copil în faţa clasei şi i se cere să ia de pe masă 5 mere. Un alt copil îi cere un măr. Un alt copil formulează problema: “Matei are 5 mere și îi dă Mirelei un măr. Câte mere are acum Matei?”. Se repetă cu câțiva copii enunțul. Ghidăm copiii prin întrebări pentru a-i ajuta să rezolve problema. Câte mere are Matei? Câte jucării îi mai dă Mirela? Ce înseamnă că „Matei îi dă Mirelei un măr”? Ce trebuie să aflăm? Ce operație trebuie să facem pentru a afla câte mere are acum Matei? Mimând enunțul problemei, copiii îşi dau seama de ce trebuie să scadă un măr din cele 5 mere pentru a obține răspunsul. După rezolvarea unor probleme de același tip, se concluzionează asupra modului de gândire a problemei, asupra metodei de rezolvare și se generalizează metoda. Exemple de compuneri de probleme cu suport material Probleme compuse pe bază de obiecte concrete Prezentăm o mulțime cu cinci lebede (așezate pe o diagramă Venn - Euler în formă de lac) și încă o lebădă. Rugăm copiii să formuleze o problemă care se rezolvă prin adunare cu o unitate şi apoi o problemă care se rezolvă prin scădere cu o unitate. Pe măsuţă fiecare copil are fişa suport, pe care aşează cifrele şi semnele corespunzătoare exerciţiului de rezolvare a problemei. Ghidăm copiii prin întrebări pentru a putea compune probleme: Ce observați? Câte lebede înoată pe lac? Câte lebede zboară spre lac? Câte lebede v or fi pe lac? Problema de adunare: Pe un lac înoată cinci lebede și mai vine o lebădă în zbor. Câte lebede sunt acum pe lac? Ghidăm copiii prin întrebări pentru a rezolva problema. Câte lebede înoată pe lac? Câte lebede zboară spre lac? Ce înseamnă că o lebădă zboară spre lac?(Vor fi mai multe lebede.) Dacă vor fi mai multe lebede, cum aflăm câte lebede sunt acum pe lac? Rezolvare: Cinci lebede plus o lebădă fac șase lebede. 16

Copiii aşează pe fișa suport: 5 + 1 = 6 și citesc „Cinci plus unu egal șase”. Problema de scădere: Pe un lac se plimbă șase lebede, iar una hotărăște să plece. Câte lebede rămân pe lac? Ghidăm copiii prin întrebări pentru a rezolva problema. Câte lebede sunt pe lac? Câte lebede zboară de pe lac? Ce înseamnă că o lebădă zboară de pe lac?(Vor fi mai puține lebede.) Ce înseamnă cuvintele „să plece”? (Cuvintele „să plece” înseamnă că trebuie să facem operația de scădere.) Dacă vor fi mai puține lebede, cum aflăm câte lebede rămân pe lac? Răspuns: Șase lebede fără o lebădă fac cinci lebede. Copiii aşează pe fișa suport: 6 – 1 = 5 și citesc „Șase minus unu egal cinci”. Probleme compuse pe bază de ilustraţii Conţinutul problemei este ilustrat de o planşă (la flanelograf, la tabla magnetică) sau de imagini video. Pentru a avea posibilitatea să schimbăm valorile variabilelor care apar în problemă și pentru ca preșcolarii să poată opera cu imaginile obiectelor, putem folosi imagini detaşabile, pentru a formula mai multe probleme de adunare sau scădere. Prezentăm o planșă pe care sunt desenate 4 ghivece cu flori și mama care are în mână un ghiveci cu flori. Rugăm copiii să formuleze o problemă care se rezolvă prin adunare cu o unitate şi apoi o problemă care se rezolvă prin scădere cu o unitate. Ghidăm copiii prin întrebări pentru a putea compune probleme: Ce se observă pe planșă? Câte ghivece sunt pe masă? Câte ghivece a a mai primit mama? Câte ghivece are mama acum? Problema de adunare: Mama are 4 ghivece cu flori și a mai primit un ghiveci. Câte ghivece are mama? Ghidăm copiii prin întrebări pentru a rezolva problema. Câte ghivece sunt pe masă? Câte ghivece a mai primit mama? Ce înseamnă că „a mai primit” un ghiveci?( „A mai primit” înseamnă că vor fi mai multe ghivece.) Dacă vor fi mai multe ghivece, cum aflăm câte ghivece are mama? Răspuns: Patru ghivece și cu un ghiveci fac cinci ghivece. Copiii aşează pe fișa suport: 4+1=5 și citesc „Patru plus unu egal cinci”. Problema de scădere: Mama are cinci ghivece cu flori. Ea hotărăște să planteze una din flori în grădină. Cu câte ghivece cu flori rămâne mama? Ghidăm copiii prin întrebări pentru a rezolva problema. Câte ghivece cu flori are mama? Câte flori plantează mama? Ce înseamnă că plantează o floare?(Vor fi mai puține ghivece cu flori.) Dacă apare cuvântul „rămâne”, ce însemnă acesta? (Cuvântul „rămâne” însemnă că trebuie să facem operația de scădere). Dacă vor fi mai puține ghivece, cum aflăm cu câte ghivece cu flori rămâne mama? Răspuns: Cinci ghivece fără un ghiveci fac patru ghivece. Copiii aşează pe fișa suport: 5-1=4 și citesc „Cinci minus unu egal patru”. Activităţile cu conţinut matematic, prin rezolvarea de probleme, oferă posibilitatea de a observa raporturi cantitative între elementele din enunțul problemelor, de a concluziona asupra modului de rezolvare a problemei (prin scădere sau adunare), de a compune probleme, de a rezolva corect problema utilizând raţionamentul logic, deductiv. 17

Probleme compuse pe baza unui exercițiu Pe măsuţă fiecare copil are fişa suport, pe care aşează cifrele şi semnele corespunzătoare exerciţiului de rezolvare a problemei. Ghidăm copiii să scrie adunarea 5 + 1 = 6. Copiii aşează pe fișa suport: 5 + 1 = 6 și citesc „Cinci plus unu egal șase”. Ghidăm prin întrebări pentru a putea compune probleme: Ce pot fi numerele cinci și unu? R? Mere, lebede, păpuși….. Să presupunem că sunt păpuși. Cine poate să compună o problemă care se rezolvă prin adunarea 5 + 1 = 6? Problema de adunare: Maria are cinci păpuși, mai primește de la sora ei o păpușă. Câte păpuși are acum Maria? Ghidăm copiii prin întrebări pentru a rezolva problema. Câte păpuși are Maria? Câte păpuși mai primește? Ce înseamnă că mai primește o păpușă?(Vor fi mai multe păpuși.) Dacă vor fi mai multe păpuși, cum aflăm câte păpuși are acum Maria? Rezolvare: Cinci păpuși și cu o păpușă fac șase păpuși. Copiii aşează pe fișa suport: 5 + 1 = 6 și citesc „Cinci plus unu egal șase”. Problema de scădere: Maria are șase păpuși, iar una hotărăște să o dea bunicii. Câte păpuși are acum Maria? Ghidăm copiii prin întrebări pentru a rezolva problema. Câte păpuși are Maria? Câte păpuși se hotărăște să dea? Ce înseamnă că a dat o păpușă?(Vor fi mai puține păpuși.) Ce înseamnă cuvintele „să dea”? (Cuvintele „să dea” înseamnă că trebuie să facem operația de scădere.) Dacă vor fi mai puține păpuși, cum aflăm câte păpuși are acum Maria? Răspuns: Șase păpuși fără o păpuși fac cinci păpuși. Copiii aşează pe fișa suport: 6 – 1 = 5 și citesc „Șase minus unu egal cinci”. 6. Exercițiu: Realizați traseul metodologic al introducerii operației de înmulțire. VI.Traseul metodologic al introducerii operației de înmulțire Înmulțirea a două numere natural reprezintă intuitiv produsul cartezian a două mulțimi, una având cardinalul egal cu primul factor și cea de a doua având cardinalul egal cu cel de al doilea factor. Sensurile înmulțirii: 1. Adunare repetată cu:  Acțiune repetată Exemplu: Eu mănânc 2 mere pe zi. Câte mere mănânc într-o săptămână ?  Reuniune repetată  Exemplu : Mama a făcut 4 prăjituri. Ea pune pe fiecare dintre ele câte trei bomboane. Câte bomboane a folosit mama ? 2. Produs cartezian sau număr de asociații Exemplu :Maria are 4 bluze si 3 fuste. În câte moduri diferite se poate ea îmbrăca ? b1 f1 b2 f2 b3 f3 b4 3. Compararea multiplicativă : Expresiile de atâtea ori mai mult, de atâtea ori mai puțin care conduc la operația de înmulțire. Exemplul 1: Maria are 3 mere. Sandu are de 5 ori mai multe. Câte mere are Sandu ? 18

Exemplul 2: Ana are 4 bile. Aflați câte bile are Maria, știind că Ana are de două ori mai puține decât Maria. 5. Dispunerea dreptunghiulară Așezarea într-o configurație geometrică a obiectelor. Exemplu : Într-o clasă sunt 3 rânduri a câte 6 bănci. Câte bănci sunt în clasă ? x x x x x x x x x x x x x x x x x x de 3 ori 6 bănci=3x6=18 Înmulțirea poate fi introdusă prin două modalități : a.Prin adunare repetată cu termeni egali A înmulți m cu n (m ori n) înseamnă a aduna pe n de m ori : n+ n+…+n m x n=⏟ den ori

În această etapă se precizează că numerele care se înmulțesc se numesc factori, iar rezultatul înmulțirii se numește produs, dar nu se scrie pe caiete, ci doar se precizează oral. b. Folosind produsul cartezian (mulțimea tuturor perechilor ordonate cu primul element din prima mulțime și al doilea element din a doua mulțime). Se aleg două mulțimi M ={ x 1 ,… , x m }și N={ y 1 , … , y n }, cu cardinalele m, respectiv n, apoi se formează mulțimea produs cartezian : M x N={( x1 , y 1) , … , ( x m , y n ) }. y3 y2 y1 x1 x2 x3

A.Traseul metodologic al introducerii operației de înmulțire în concentrul 0-100 Faza de familiarizare  : Etapa concretă  : 6. Exerciții de numărare a unor grupe de obiecte, pentru exemplificarea înmulțirii : „Dacă sunt 3 grupe a câte 4 bile, câte bile sunt ?”

19

……………. ⏟ 4 bile

Trei grupe a patru bile înseamnă de trei ori câte patru, adică 3 grupe a câte 4 bile fac 12 bile, deci 3x4=12. 7. Exerciții care să evidențieze comutativitatea operației de înmulțire. Faza de structurare noțională Etapa semiconcretă : 1. Exerciții de numărare a grupelor cu același număr de elemente și a numărului de elemente din fiecare grup, pentru intuirea operației de înmulțire. ”Ai 5 grupe a câte 3elemente. Câte elemente sunt în total?” Scrie operația de înmulțire corespunzătoare desenului :

… …………. ⏟ 3 elemente

5 x3=15. 2. Exerciții de numărare cu pas dat, cu sprijin pe obiecte sau desene, pentru intuirea operației de înmulțire. Exemplu  de numărare cu pasul 2 : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 .⏟. .⏟. .⏟. .⏟. .⏟. .⏟. 2 2 2 2 2 2

Câte numere am numărat, dacă am 6 grupe a câte 2 numere? 6 x 2 = 12 (numere) Faza de aplicare și exersare direcționată: Etapa abstractă 1. Exerciții de scriere în cât mai multe moduri a unui număr ca sumă repetată de termeni egali: 6=1x6 (o grupă de 6 elemente) 3+3=2x3 (două grupe de câte trei elemente) 2+2+2=3x2 (trei grupe de câte două elemente) 1+1+1+1+1+1=6x1 (șase grupe de câte un element) 2. Probleme simple care modelează operația de înmulțire: Câte creioane sunt în 5 grupe de câte două creioane? Câte creioane sunt în 2 grupe de câte 5 creioane? 3. Compunerea de probleme care modelează operația de înmulțire. 4. Se precizează terminologia : factorul 1, factorul 2și produsul (rezultatul înmulțirii), se scrie formula : F1 x F2 = P. Se scriu probele înmulțirii: F 2 x F1 = P (comutativitatea) și, după învățarea împărțirii, P: F1 = F2 sau P: F2= F1. 20

5. Se evidențiază proprietățile înmulțirii (1 este element comun și comutativitatea, fără terminologie) 6.Tabla înmulțirii Traseul metodologic al predării tablei înmulțirii Exemplu : tabla înmulțirii cu 2 : 4. Se scriu cu ajutorul copiilor adunările repetate 2 2+2 2+2+2 2+2+2+2 … 5. Se calculează sumele 2=2 2+2=4 2+2+2=6 2+2+2+2=8 … 6. Se scriu ca produs 2=2=2x1 2+2=4=2x2 2+2+2=6=3x2 2+2+2+2=8=4x2 … 7. Se șterg sumele pentru a rămâne doar tabla înmulțirii 2=2x1 4=2x2 6=3x2 8=4x2 … 8. Se întărește terminologia specifică : factor (numere care se înmulțesc), produs (rezultatul înmulțirii), comutativitate (produsul nu se schimbă dacă se schimbă ordinea factorilor), element neutru (produsul dintre 1 și orice număr este acel număr), distributivitatea înmulțirii față de adunare sau scădere (ax(b+c)=axb+axc ; ax(b-c)=axb-axc ) 9. Se fac exerciții de aflare a produsului când se cunosc cei doi factori 10. Se fac exerciții de aflare a unui factor necunoscut când se cunosc celălalt factor și produsul (se pot folosi tabele, în care se cunosc un factor și produsul sau se cunosc ambii factori) a 4 2 b 5 7 axb 16 35 11. Se face proba înmulțirii : prin înmulțire, folosind comutativitatea și, după studierea împărțirii, prin împărțire 12. Rezolvarea de probleme care conduc la operația de înmulțire, folosind expresii specifice (de exemplu, pentru înmulțirea cu 2: dublul, de două ori mai mare/mic, mărit de două ori, îndoitul etc.) B. Traseul metodologic al introducerii operației de înmulțire în alte concentre

21

1. Înmulțirea cu 10, 100, 1000…prin copierea zerourilor factorului format numai din zeci, sute, mii etc., la sfârșitul produsului 2. Înmulțirea cu un factor care este format numai din zeci (prin descompunerea sa în sumă de zeci, folosindu-se scrierea sistemică-în baza zece/utilizând sistemul zecimal și apoi folosind 10+10+10 distributivitatea înmulțirii față de adunare) De exemplu : 7 x 30 = 7 x ( ⏟ ) = scrierea sistemică a lui30

7 x 10+7 x 10+7 x 10 ⏟ distributivitatea înmulțiriifață de adunare

3. Înmulțirea a doi factori în care unul este de o cifră și celălalt de două cifre (prin descompunerea celui de două cifre în scrierea zecimală/sistemică) De exemplu : 7 x 21 = 7 x (20+1) = 7 x 20 + 7 x 1 4. Înmulțirea a doi factori când ambii factori sunt de două sau mai multe cifre (prin descompunere, folosind scrierea sistemică) De exemplu : 14 x 21 = (10+4) x (20+1) = 10 x 20 + 10 x 1 + 4 x 20 + 4 x 1 5. Metode de calcul rapid 1. Calculului înmulțirii unui număr care se termină prin 5, cu el însuși : 35x35=(3 x ´4) 25=1225 2. Înmulțirea cu 11 : Se copiază ultima cifră a numărului, apoi se adună două câte două cifrele de la dreapta la stânga : 294 x 11=2+1 1+2+9 4+9 4=3234 3. Înmulțirea cu 10 n – 1 45x9=45x10-45=450-45=405 45x99=45x100-45=4500-45=4505 4. Înmulțirea cu 5, efectuând întâi înmulțirea cu 10 și apoi împărțirea cu 2 658x5=658x10 :2=6580 :2=3290 5. Inmulțirea cu 55, efectuând înmulțirea cu 11, apoi cu 10 și împărțind la 2 : 34x55=34x11x10 :2=3740 :2=1870 427x55=427x11x10 :2=46970 :2=23485 385x55=385x11x10 :2=42350 :2=21175 6. Tehnica înmulțirii pe degete pentru cifre mai mari decât 5: 6 x 7 1 (un deget ridicat) 4(degete coborâte) 2(două degete ridicate) 3(trei degete coborâte) (1+2)x10+4x3=42 7. Înmulțirea prin raportarea la același număr±ceva 197x193=(195+2)x(195-2)=1952-22 =38021 8. Folosind diferența pătratelor 9882=9882 -122=(988-12)(988+12)+144=97744 9. Prin înmulțirea cu descompunerea unui număr în factori primi 380x15=380x3x5=1140x5=570 8. Exercițiu: Realizați traseul metodologic al introducerii operației de împărțire. VIII Traseul metodologic al introducerii operației de împărțire Împărțirea a două numere naturale reprezintă intuitiv separarea unei mulțimi în submulțimi disjuncte două câte două și numărarea submultimilor sau a elementelor din fiecare submulțime. Sensurile împărțirii

22

1. Împărțirea în părți egale, la care cunoaștem numărul de submulțimi și se dorește aflarea numărului de elemente ale fiecărei submulțimi. Prin urmare, împărțitorul este numărul de submulțimi și câtul este numărul de elemente ale fiecărei submulțimi . Exemplu : Dana împarte în mod egal 12 creioane la 4 copii. Câte creioane primește fiecare copil? 10. Împărțirea prin cuprindere, la care cunoaștem numărul de elemente ale fiecărei submulțimi și dorim să aflăm câte submulțimi se formează. Prin urmare împărțitorul este numărul de elemente ale fiecărei submulțimi și câtul este numărul de submulțimi. 11. Exemplu : Diana împarte unor copii câte 4 creioane din cele 12 creioane. Câți copii sunt ? Împărțirea poate fi introdusă prin două modalități : 1. Prin scădere repetată de scăzători egali Exemplu : 12 : 4 = 3 (de câte ori l-am scăzut pe 4) 12-4=8 (prima scădere) 8-4=4 (a doua scădere) 4-4=0 (a treia scădere) 2. Pe baza tablei înmulțirii 12 : 4 = ? 4 x ? =12 4 x 3 = 12 Așadar, 12 : 4 = 3 Traseul metodologic al introducerii operației de împărțire Faza de familiarizare  : Etapa concretă  : 1. Exerciții de grupare de obiecte și de partajare pe grupe după reguli date, pentru exemplificarea împărțirii : „Ai 12 bile. Câte grupe a patru bile se pot forma ?” Scrie operația de împărțire corespunzătoare desenului : … ………….… ………….… …………. ⏟ ⏟ ⏟ 4 bile

4 bile

4 bile

Dacă din 12 bile putem forma trei grupe a patru bile înseamnă că 12 : 4 = 3. 2. Exerciții de grupare de elemente și de partajare pe grupe după reguli date, pentru exemplificarea împărțirii : „Ai 20 jetoane. Câte grupe a 5 jetoane se pot forma ?” Faza de structurare noțională Etapa semiconcretă : 1. Exerciții de partajare a elementelor în grupe cu același număr de elemente și numărarea numărului de grupe, pentru intuirea operației de împărțire. ”Ai 15 elemente. Câte grupe a trei elemente se pot forma ?” Scrie operația de împărțire corespunzătoare desenului : … ………….… ………….… ………….… ………….… …………. ⏟ ⏟ ⏟ ⏟ ⏟ 3 elemente

3 elemente

3 el emente

3 elemente

3 elemente

15 : 3 = 5. 2. Exerciții de numărare cu pas dat, cu sprijin pe obiecte sau desene, pentru intuirea operației de împărțire. Exemplu  de numărare cu pasul 2 : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 23

.⏟. .⏟. .⏟. .⏟. .⏟. .⏟. 2 2 2 2 2 2

Faza de aplicare și exersare direcționată: Etapa abstractă 1. Exerciții de scriere în cât mai multe moduri a unui număr ca diferență repetată de numere egale: 6-6=0 (o grupă de 6 elemente), deci 6:6=1 6-(3+3)=0 (două grupe de câte trei elemente), deci 6:3=2 6-(2+2+2)=0 (trei grupe de câte două elemente), deci 6:2 =3 6-(1+1+1+1+1+1)=0 (șase grupe de câte un element), deci 6:1=6 2. Probleme simple care modelează operația de împărțire: Câte grupe de câte 5 creioane se pot forma din 15 creioane? (împărțire prin cuprindere) Câte creioane are fiecare grupă, dacă împărțim 35 de creioane în 7 grupe? (împărțire în părți egale) 3. Compunerea de probleme care modelează operația de împărțire. 4. Se precizează terminologia : deîmpărțitul (numărul care se împarte), împărțitorul (numărul la care se împarte) și câtul (rezultatul împărțirii), se scrie formula : D :Î = C. Se scriu probele împărțirii: D = Î x C, Î = D : C. 5. Tabla împărțirii Traseul metodologic al predării tablei împărțirii Exemplu: Tabla împărțirii la 2: 1. Se scriu cu ajutorul copiilor scăderile repetate 2-2 4-2-2 6-2-2-2 8-2-2-2-2 … 2. Se calculează diferențele 2-2=0 4-2-2=0 6-2-2-2=0 8-2-2-2-2=0 … 3. Se scriu ca un cât 2 :2=1 4 :2=2 6 :2=3 8 :2=4 … 4. Se întărește terminologia specifică : deîmpărțit (numărul care se împarte), împărțitor (numărul la care se împarte) 5. Se fac exerciții a. de aflare a produsului când se cunosc deîmpărțitul și împărțitorul b. de aflare a unui număr necunoscut când se cunosc celălalt număr și câtul (se pot folosi tabele) a 16 42 14 b 5 7 24

a:b 8 7 7 6. Se face proba împărțirii : prin înmulțire (D=I x C) și prin împărțire (Î = D : C) 7. Rezolvarea de probleme care conduc la operația de împărțire, folosind expresii specifice (de exemplu, pentru împărțirea la 2: doimea, de două ori mai mic/mare, micșorat de două ori etc.) B. Traseul metodologic al introducerii operației de împărțire în alte concentre 1. Împărțirea la 10, 100, 1000…, prin eliminarea la cât a atâtor zerouri câte are împărțitorul 2. Împărțirea în care împărțitorul este de format numai din zeci / sute / mii. Se aplică etapa 1 și apoi tabla împărțirii. De exemplu : 210 : 30 = 21 : 3 = 7 3. Împărțirea în care deîmpărțitul este de două cifre și împărțitorul este de o cifră (prin cuprindere) De exemplu : 224 : 7 = 32 (Spunem 7 se cuprinde în 2 de zero ori, atunci spunem 7 se cuprinde în 22 de 3 ori și scriem 3 la cât, apoi facem produsul 7 x 3, îl scriem pe 21 sub 22, facem scăderea și obținem o zece. Zece adunat cu 4 de la cifra unităților fac 14. Spunem 7 se cuprinde în 14 de 2 ori, scriem 2 la cât, apoi facem produsul 7 x 2, îl scriem pe 14 sub 14, facem scăderea și ne oprim pentru că am obținut zero și nu mai avem cifre la deîmpărțit.) 4. Împărțirea a două numere când ambele sunt de două sau mai multe cifre (prin cuprindere) De exemplu : 441 x 21 = 21 (Spunem 21 se cuprinde în 44 de două ori și scriem 2 la cât, apoi facem produsul 21 x 2, îl scriem pe 42 sub 44, facem scăderea și obținem două zeci. Două zeci adunate cu 1 de la cifra unităților fac 21. Spunem 21 se cuprinde în 21 o dată, scriem 1 la cât, apoi facem produsul 21 x 1, îl scriem pe 21 sub 21, facem scăderea și ne oprim pentru că am obținut zero și nu mai avem cifre la deîmpărțit.) 5. Metode de calcul rapid Împărțirea succesivă: 330:15=(330:3):5=110:5=22 6. Se fac exerciții de compunere de probleme, în care să se facă diferența între „cu atâtea mai mult” și „de atâtea ori mai mult” 7. Se fac exerciții în care intervin cele patru operații și ordinea rezolvării lor, exerciții cu paranteze etc. 8. Exercițiu : Realizați traseul metodologic al introducerii noțiunii de fracție. VIII.Traseul metodologic al introducerii noțiunii de fracție Prima oră : Formarea noțiunii de unitate fracționară Faza de familiarizare Etapa concretă: 1. Se ia un măr și se împarte în două jumătăți. Se arată fiecare bucată și se precizează că cele două bucăți sunt egale, împreună formând un întreg. Spunem că dacă împărțim un întreg în două 1 părți egale, obținem o doime și precizăm că doimea se scrie . Le spunem că doimea este o 2 unitate fracționară obținută prin împărțirea întregului în două părți egale. 2. Se fac exerciții asemănătoare și pentru alte unități fracționare, precizându-se denumirea lor: 1 1 1 1 1 1 1 treime , pătrime , cincime , șesime , șeptime , optime , noime etc. și 3 4 5 6 7 8 9 precizăm de fiecare dată denumirea părții fracționare, de ce se numește așa și faptul că unitatea fracționară se scrie ca 1 supra numărul la care s-a împărțit întregul. Precizăm că doimea se mai numește jumătate și pătrimea se mai numește sfert. Explicăm că toți acești întregi împărțiți în mai multe părți egale formează de fiecare dată câte o unitate fracționară, care se denumește în funcție de numărul la care a fost împărțit întregul. Faza de structurare noțională

()

()

()

()

25

()

()

()

Etapa concretă 1.Le dăm copiilor câte patru cartoane împărțite în 6 părți egale. Unul din cartoane rămâne necolorat. Rugăm copiii să coloreze pe câte un carton din cele rămase câte părți trebuie pentru a obține a) o șesime b) o treime c) doime. a) O șesime

Decupăm șesimea și punem copiii să numere câte șesimi încap în cartonul necolorat. Apoi concluzionăm că un întreg are șase șesimi. b) O treime

Decupăm treimea și punem copiii să numere câte treimi încap în cartonul necolorat. Apoi concluzionăm că un întreg are trei treimi. c)O doime

Decupăm doimea și punem copiii să numere câte doimi încap în cartonul necolorat. Apoi concluzionăm că un întreg are două doimi. 2.Întărim terminologia specifică. Le spunem că fracția se scrie folosind linia de fracție, numărătorul este cel care numără câte unități fracționare se consideră, iar numitorul arată în câte părți s-a împărțit întregul pentru a se forma unitatea fracționară. Etapa semiconcretă 1. Parcurgem aceiași pași, ca la 3, doar că folosim desene. Reprezentăm mai multe unități fracționare, folosind diferite modalități de a reprezenta întregul. 2. Întărim terminologia specifică. Etapa abstractă 1. Scriem pe caiete definițiile pentru fracție (o expresie matematică, formată din numărător, numitor și linie de fracție), unitate fracționară (o fracție cu numărătorul 1), numărătorul (numărul care se scrie deasupra liniei de fracție și care numără câte unități fracționare se consideră), numitorul (numărul care se scrie sub linia de fracție și care arată în câte părți s-a împărțit întregul pentru a forma unitatea fracționară). numărător numără unitățile fracționare = (tehnică mnemonică) num itor num ește unitatea fracți onară 2. Facem exerciții de scriere în limbaj uzual sau matematic diferite unități fracționare. A doua oră: Fracții. Reprezentări de fracții Faza de aplicare și exersare direcționată Etapa concretă Se fac exerciții de formare de fracții folosind obiecte concrete sau materiale didactice realizate de profesor. Se întărește terminologia specifică. Etapa semiconcretă Se fac exerciții de reprezentare sau de recunoaștere a reprezentărilor unor fracții folosind desenele. 26

Exemplul 1. Desenați pe caiete un dreptunghi format din cinci pătrățele. Împărțiți întregul în 5 părți egale. Ce unitate fracționară s-a format? Cum scriem unitatea fracționară cincimea în cifre. Dar în litere? Colorați atâtea unități fracționare (pătrățele) câte formează trei cincimi. Cum scriem în litere trei cincimi? Dar în cifre? 1 Unitatea fracționară este cincimea 5

Am reprezentat fracția

3 5

Exemplul 2. Este reprezentată fracția

Este reprezentată fracția

4 (patru cincimi). 5

2 (două cincimi) . 5

A treia oră: Tipuri de fracții Etapa concretă 1. Se fac exerciții concrete de construire a diferitelor tipuri de fracții: Se iau trei mere și se împart în jumătăți. Se întreabă copiii: 1 2 Dacă luăm o jumătate, ce fracție se obține? Dar dacă luăm două jumătăți? Dar dacă luăm 2 2

()

()

( 32 ) Dar dacă luăm patru jumătăți? ( 42 ) Dar dacă luăm cinci jumătăți? ( 52 ) Dar dacă 6 luăm șase jumătăți? ( ) La fiecare fracție obținută se scrie denumirea ei în limbaj uzual și 2 trei jumătăți?

matematic (în litere și cifre). Le spunem că fracția mai puțin decât un întreg), fracția întreg), iar fracțiile

1 se numește subunitară (pentru că reprezintă 2

2 se numește fracție echiunitară (pentru că reprezintă un 2

3 4 5 6 , , , se numesc fracții supraunitare (pentru că reprezintă mai mult 2 2 2 2

decât un întreg). 27

2. Fiecare copil primește un set de trei cartonașe împărțite în șase părți egale.

Apoi sunt rugați să coloreze astfel încât să formeze o fracție subunitară, una supraunitară și două fracții echiunitare 2 6 8 10 ൬; ; ; ൰ 6 6 6 6 . 3.Aceleași exerciții, dar pentru alte reprezentări ale întregului. Se poate organiza colectivul fie individual, în perechi sau pe grupe.

Etapa semiconcretă Urmărește fidel etapa concretă, diferența este că nu vor mai folosi obiecte concrete, ci desene. Totul este la nivel verbal: conversație, explicație. Etapa abstractă 1. Se notează în caiet definițiile pentru fracție subunitară, echiunitară, supraunitară. 2. Exerciții de tipul: 2 2 2  Scrie toate fracțiile subunitare cu numărătorul 2 și numitorul mai mic decât 6 , , . 3 4 5

(

)

( 41 , 42 , 43 ).

 Scrie toate fracțiile supraunitare cu numărătorul 4 și numitorul cel mult 3

 Scrie toate fracțiile echiunitare cu numărătorul mai mare decât 3 și numitorul de la 3 la 5

( 44 , 55 ).

 Unește cu o linie fiecare fracție cu tipul său corect: 4 fracție subunitară 3 1 fracție echiunitară 3

28

3 fracție supraunitară 3 2 3  Fie următoarea mulțime de figuri geometrice:

( 23 )Cât din numărul figurilor reprezintă 1 1 2 cercurile?( )Dar pătratele?( )Cât din numărul figurilor reprezintă triunghiurile și cercurile? ( ) 3 3 3 Cât din numărul figurilor reprezintă figurile cu colțuri?

 Probleme de genul: O bucată de ciocolată este împărțită în 12 părți egale. Exprimă sub formă de fracție : o parte. Trei părți, cinci părți, șase părți.  Scrie toate fracțiile care au numitorul de la 2 la 6 și numărătorul cel mult egal cu numitorul.  Scrie toate fracțiile care au numărătorul mai mic de cât 6 și numitorul cu 1 mai mare decât numărătorul. A patra oră: Fracții egale Etapa concretă 1. Avem o cutie de brânză topită cu 6 triunghiuri ambalate individual. Se cere reprezentarea

( 12 ) (am împărțit conținutul cutiei în două părți egale și am luat o parte, adică 3 3 triunghiuri) și( ) (am împărțit conținutul cutiei în șase părți egale și am luat trei părți, adică 3 6 fracțiilor

triunghiuri) și se constată că reprezintă fracții egale (același număr de triunghiuri). Se 1 3 concluzionează că = 2 6 2. Fiecare copil primește două bucăți de carton egale, împărțite în nouă părți egale. Se cere ca 2 din primul carton să se coloreze reprezentarea fracției și să se decupeze, iar din al doilea carton 3 6 să se coloreze reprezentare fracției și să se decupeze. Apoi se suprapun cele două reprezentări 9 2 6 și se concluzionează că = . 3 9 Etapa semiconcret Aceleași probleme reprezentate prin desen: 1 3 1. Se concluzionează că = . 2 6

29

2. 2 6 = . 3 9 Etapa abstractă

Se concluzionează că

4 . 4 2. Asociați fracțiile date cu fracțiile cu care sunt egale: 3 6 8 12 4 1 8 2 2 2 4 3 6 9 4 6 1 2 3 3. Demonstrați prin reprezentare că = = . 2 4 6 1. Scrieți cinci fracții care sunt egale cu

4. Demonstrați prin reprezentare că

1 1 < . 3 2

9. Exercițiu : Realizați o probă de evaluare la clasa pregătitoare, simulați administrarea ei și analizați rezultatele, precizând ce soluție pedagogică se impune. IX. Proiectarea și interpretarea probelor de evaluare în învățământul primar Clasificarea evaluării după momentul utilizării:  Evaluare inițială  Evaluare formativă  Evaluare sumativă. Clasificarea evaluării după criteriile utilizate:  Evaluare normativă (prin raportare la o normă impusă de cerinţele curriculare - defineşte condiţiile de eficacitate ale predării şi învăţării);  Evaluare criterială (prin raportare la nivelul real atins de elevii clasei - defineşte condiţiile de eficienţă ale predării-învăţării);  Evaluare de progres (prin raportare la posibilităţile fiecărui elev). 30

Proba principală de evaluare este testul docimologic care reprezintă „un set de întrebări cu ajutorul cărora se verifică și se evaluează nivelul asimilării cunoștințelor și al capacităților de a opera cu ele, prin raportarea răspunsurilor la o scară de apreciere etalon, elaborată în prealabil” (Nicola, 2000). Itemul „reprezintă în sens restrâns, întrebarea, problema sau sarcina de efectuat, și, în sens larg, răspunsul așteptat din partea elevilor” (Stoica, 2003, p. 50). Taxonomia itemilor realizată în funcție de caracteristicile răspunsului așteptat cuprinde itemi obiectivi (de tip pereche, cu alegere duală, cu alegere multiplă), itemi semiobiectivi (de completare, cu răpuns scurt, întrebări structurate, eseu structurat) și itemi subiectivi (rezolvare de probleme, eseu). Itemi obiectivi testează un număr și o varietate mare de elemente de coținut, dar, de cele mai multe ori, capacități cognitive de nivel inferior. Au fidelitate si validitate ridicate (sunt folosiți în testele standardizate); au obiectivitate și aplicabilitate ridicate; folosesc scheme de notare foarte simple; necesită timp scurt de răspuns și de corectare; oferă posibilitatea utilizării unui număr mare de astfel de itemi într-un test. Itemii cu alegere duală solicită răspunsuri prin da/nu, adevărat/fals, acord/dezacord; Itemii de tip pereche solicită stabilirea de corespondențe / asociații între elemente așezate pe două coloane. Criteriile pe baza cărora se stabilește răspunsul corect sunt enunțate explicit în instrucțiunile care preced coloanele de premise și răspunsuri. Itemii cu alegere multiplă solicită alegerea unui singur răspuns corect, alternativa optimă dintr-o listă de soluții / alternative. Itemi semiobiectivi necesită un răspuns produs efectiv de elevi, limitat ca spațiu, formă, conținut prin structura enunțului / întrebării, prezintă ușurință și obiectivitate în notare. Au sarcina foarte bine structurată, permit utilizarea materialelor auxiliare, dar nu oferă libertate de reorganizare a informației și de formulare a răspunsului în forma dorită, fapt care presupune, pe lângă cunoștințe, și abilitatea de a structura un răspuns scurt. Itemii cu răspuns scurt  solicită un răspuns de tipul expresie, cuvânt, număr, simbol. Itemii de completare sunt construiți pe baza unui enunț incomplet care solicită completarea de spații libere cu 1-2 cuvinte care să se încadreze în contextul dat. Întrebarile structurate reprezintă o structură de mai multe subîntrebari (de tip obiectiv, semiobiectiv sau minieseu) legate printr-un element comun. Itemi subiectivi reprezintă forma tradițională de evaluare specifică învățământului românesc. Sunt ușor de construit, solicită răspunsuri deschise, evaluează procese cognitive de nivel înalt, verifică obiective care vizează creativitatea, originalitatea; Situațiile problemă (rezolvarea de probleme) reprezintă o activitate noua, diferită de cele de învățare curente, menită să rezolve o situație problemă. Prin acest tip de itemi se evaluează elemente de gândire convergentă și divergentă, operații mentale complexe (analiza, sinteza, evaluare, transfer). Itemi de tip eseu solicită elevilor să producă un răspuns liber, în conformitate cu un set de cerințe date. În cadrul eseului structurat / semistructurat, răspunsul așteptat este dirijat, orientat și ordonat cu ajutorul unor cerințe, sugestii. În cadrul eseului liber / nestructurat se valorifică gândirea creativă, originalitatea, creativitatea, deoarece nu impune cerințe de structură. 31

Exemple de itemi pentru evaluare școlară Itemul de tip pereche solicită stabilirea unei corespondențe unice între întrebare și răspunsul corect. Exemplu: Unește fiecare imagine cu cifra corespunzătoare numărului de pătrate:

9

3

5

7

Itemul cu alegere duală solicită selectarea unuia din cele două răspunsuri, de tipul adevărat/fals; corect/greșit; da/nu; acord/ dezacord. Exemplu: Unește cu A afirmațiile adevărate și cu F afirmațiile false: 2+3=5 9-6=4 A 20-10=1 F 4+6=9 30-20=10 Itemul cu alegere multiplă solicită alegerea dintr-o listă de variante a răspunsului corect. Exemplu:Încercuiește răspunsul 2 corect. 5 6-?=3 1 0 3 Itemul de completare sau lacunar solicită completarea cu un cuvânt, două sau mai multe, pentru completarea enunțului. Exemplu: Completează șirul de numere: 9, 7, , 3, 1. Itemul cu răspuns scurt solicită formularea răspunsului sub formă de fraze scurte, cuvinte, simboluri, numere. Exemplu: Completează cu trei numere astfel încât să păstrezi regula: 3, 6, 9; , , . Itemul de tipul întrebărilor structurate solicită răspunsul la mai multe subîntrebări înlănțuite logic. Exemplu: Pe un lac sunt în prima zi 11 lebede. În a doua zi mai vin 3 lebede. A treia zi pleacă 5 lebede. Câte lebede erau pe lac a doua zi? Dar a treia zi?

32

Itemul de tip eseu structurat solicită elaborarea integrală a răspunsului de către copil, fără ajutorul cadrului didactic și presupune evaluarea atât a cunoștințelor, cât și a originalității și creativității. Exemplu: Compune o problemă după exercițiul: (17+3)-5=15 . Itemul de tip rezolvare de probleme solicită construirea răspunsului, în integralitate, fără ajutorul sau indicațiile profesorului. Exemplu: Adrian are o sumă de bani. Ei dăruiește mamei un cadou de 5 lei și rămâne cu 9 lei. Câți lei a avut Adrian? Exemplu de interpretare a testului de evaluare Exemplu de interpretare a testului de evaluare compus din itemii exemplificați anterior: Nr. Itemi Cerințe Barem Descriptori de performanță crt. S B FB 1 Itemul de Unește fiecare imagine 7;3;9;5 Un răspuns Două sau trei Toate tip pereche cu cifra corect răspunsuri răspunsuril corespunzătoare corecte e corecte. numărului de pătrate. 2 Itemul cu Unește cu A afirmațiile Un răspuns Două sau trei Patru sau alegere adevărate și cu F A;F;F;F;A corect răspunsuri toate duală afirmațiile false. corecte răspunsuril e corecte. 3 Itemul cu Încercuiește răspunsul 3 Indică alegere corect. răspunsul multiplă corect 4 Itemul de Completează șirul de 5 Indică completare numere. răspunsul sau lacunar corect 5 Item cu Completează cu trei 12;15;18 Un răspuns Două Toate răspuns corect răspunsuri răspunsuril numere astfel încât să scurt corecte e corecte. păstrezi regula 6 Itemul de Pe un lac sunt în prima 11+3=14 Sesizează Rezolvă Rezolvă tipul corect corect primul corect zi 11 lebede. În a doua 14-5=9 întrebărilor zi mai vin 3 lebede. A operațiile, calcul integral structurate dar greșește problema. treia zi pleacă 5 lebede. calculele. Câte lebede erau pe lac a doua zi? Dar a treia zi? 7 Item de tip Compune o problemă Ana are 17 lei, Nici un Compune o Compune eseu după exercițiul: mai primește 3 răspuns parte din corect structurat (17+3)-5=15 lei și dăruiește 5 corect problemă. problema. lei. Câți lei are acum Ana? 8 Item de Adrian are o sumă de 9+5=14 Intuiește că Intuiește Rezolvă tipul V: 14-5=9 se operația de corect bani. Ei dăruiește rezolvare efectuează o scădere, dar integral mamei un cadou de 5 33

de probleme

lei și rămâne cu 9 lei. Câți lei a avut Adrian?

operație cu greșește numerele 5 calcule. și 9.

la problema.

Probele acțional-practice trebuie structurate în 3 pași: rezolvarea cu material demonstrativ, rezolvarea cu material distributiv, rezolvarea individuală, conform fazelor: demonstrativă, de probă, de exersare. Etapele unei elaborări de probă de evaluare sunt: stabilirea obiectivelor și a conținuturilor evaluării, construirea itemilor (câte 1-2 itemi per obiectiv), rezolvarea itemilor și construirea baremului rafinat de corectare și notare, administrarea probei și corectarea acesteia, analiza rezultatelor obținute și stabilirea soluției pedagogice optime, acțiuni ameliorative sau de dezvoltare, acolo unde este cazul. Gradul de reușită se calculează raportând numărul de cazuri de copii ce au rezolvat itemul la numărul total de copii care au participat. De exemplu, dacă o probă de evaluare are patru obiective operaționale urmărite și pentru fiecare probă are alocați câte doi itemi, atunci în urma administrării probei, putem construim tabelul sinoptic, în care am notat cu: + reușită totală, un comportament atins (rezolvare totală, fără sprijin), corespunzător unui punctaj între 85% și 100%, pentru calificativul FB / reușită parțială, un comportament în dezvoltare (rezolvare parțială), corespunzător unui punctaj între 60% și 85%, pentru calificativul B -eșec, un comportament care necesită sprijin (rezolvă problema cu sprijin permanent), corespunzător unui punctaj sub 60%, pentru calificativul S. Obiective operațional Nr. Nume Total O1 O2 O3 O4 prenum I.1

I.2

I.3

I.4

I.5

I.6

I.7

I.8

1 2 3 4 5

A.B. C.D. E.F. G.H. I.J. Gradul de reușită se calculează raportând numărul de cazuri de copii care au rezolvat itemul la numărul total de copii care au participat. În urma analizei rezultatelor obținute se stabilește soluția pedagogică optimă, care constă fie în trecerea la următoarea situație de învățare dacă rezultatul general este peste 85% și se consideră reușită totală, fie în reluarea diferențiată (acțiuni ameliorative, recuperatorii, corective sau de dezvoltare, acolo unde este cazul) dacă rezultatul general este între 60% și 85% și se consideră reușită parțială, fie se identifică posibilele cauze și se reproiectează situația de învățare, se parcurge și se retestează printr-o nouă probă de evaluare, dacă rezultatul general este sub 60% și se consideră eșec.

Evaluare

Rezultate Peste 85% - reușită totală Între 60% și 85% -

Soluție pedagogică Trecerea la următoarea situație de învățare Reluarea diferențiată (activități recuperatorii, 34

formativ ă

reușită parțială Sub 60% - eșec

corective, de dezvoltare) a unor sarcini de învățare Identificarea cauzelor și reproiectarea situației de învățare, parcurgerea ei și retestarea cu o nouă probă de evaluare.

Matricea de specificaţii etalează capacităţi ce urmează a fi evaluate, structurate pe domeniile cognitive (cunoaştere şi înţelegere, aplicare, integrare) conform conţinuturilor de învăţare supuse evaluării. Pentru fiecare element structural se prezintă şi ponderea cantitativă şi procentuală. De exemplu: Conţinut de C1 C2 C3 C4 Total învăţare Domenii cognitive Cunoaştere şi înţelegere I4, I6 2 itemi (20%) Aplicare I2, I3 I5 I7 I10 5 itemi (50%) Integrare I1 I8, I9 3 itemi (30%) Total 2itemi 4itemi(40 3itemi 1 item (10 10 itemi (20%) %) (30 %) %) (100%) Baremul de corectare şi notare se structurează astfel: Nr. Punctaj Răspuns Acordarea Observaţii item maxim corect punctajulu i Pentru a face conversia punctajului în note poate fi aplicată formula: punctaj acumulat X 10 nota= punctaj maxim

35