TP04 Ferme Simple [PDF]

Zitiervorschau

I.

Introduction :

Définition : On appelle treillis un assemblage de barres articulées entre elles de manière à ce que chacune des barres ne soit sollicitée qu’en tractioncompression. Les figures ci-dessous présentent des exemples de réalisation de treillis.

Exemples de treillis plans

On appelle nœud une articulation entre plusieurs barres. La figure ci dessous présente le détail de la réalisation pratique d’un nœud de treillis. Pour assurer que chacune des barres ne soit sollicité qu’en traction ou en compression il faut que : – le poids des barres soit négligeable devant les autres sollicitations, – les sollicitations extérieures ne soient que des efforts appliqués sur les nœuds, – les liaisons avec l’extérieur soit des appuis fixes ou des appuis mobiles. Lorsque toute la géométrie est dans un même plan (au décalage près entre les barres due à la réalisation pratique des nœuds) et que les efforts appliqués sont dans ce plan, le treillis est dit plan.

Détails d’un nœud

II.

But de l’essai :

La détermination des efforts normale a l’intérieur des barres.

III.

IV. 1.

Principe de l’essai : -

Détermination des efforts dans les barres d’un treillis sur appuis et soumis à des charges Extérieures. Sous les hypothèses simplificatrices de modélisation discutées au cours, il est souvent aisé de calculer les efforts dans les barres par une méthode de coupure (Décomposition en 2 corps au moyen d’une coupure au travers de 3 barres)

-

Détermination des réactions aux appuis et des efforts internes (force normale, effort tranchant, Moment fléchissant) pour une poutre soumise à un système de charges.

Théorie : Equilibre d’un treillis : a. Equilibre global du treillis :

Dans certaines situations, on peut calculer les réactions aux appuis en écrivant l’équilibre global du treillis.

Fig.01 Equilibre global du treillis

Par exemple, pour le treillis de la figure 01, l’équilibre des efforts donne :

Et l’équilibre des moments :

Ce qui permet bien de calculer les réactions XA, YA et XD.

b. Equilibre d’une barre : L’écriture de l’équilibre d’une barre n’apporte aucune information supplémentaire. En effet, la barre n’étant sollicité que par deux forces à ses extrémités, on sait déjà que ces efforts peuvent être exprimés à partir de la tension T dans la barre. Cette tension est l’effort normal N, comme le montre la figure ci-dessous :

Fig.02 Equilibre d’une barre

c. Equilibre des nœuds : La complexité d’un treillis ne provient pas de la complexité de ses éléments (les barres) mais plutôt de la complexité de l’arrangement des barres entre elles. C’est pourquoi, pour étudier

Fig.03 équilibre d’un nœud

L’équilibre du nœud A de la cette figure donne directement :

Fig.04 Equilibre d’un nœud soumis à un effort

Si le nœud est soumis à un effort extérieur donné, l’équilibre fait intervenir les composantes de cet effort.

Si le nœud est en appui fixe (fig. suivante), les deux inconnues de liaison interviennent dans les équations d’équilibre. Ces équations sont celles qui permettront de calculer les réactions aux appuis si celles-ci n’ont pas été obtenues par l’équilibre global du treillis

Fig.05 Equilibre d’un nœud en appui fixe

Si le nœud est en appui mobile (fig. suivante), l’inconnue de liaison intervient dans l’équation d’équilibre dont la direction correspond au blocage. Cette équation est celle qui permettra de calculer cette réaction si elle n’a pas été obtenue par l’équilibre global du treillis

Fig.06 Equilibre d’un nœud en appui mobile

d. Isostaticité : Considérons un treillis constitué de n nœuds et de m barres. Il y a m inconnues d’efforts intérieurs (Ni,i = 1 . . .m). Par ailleurs, supposons qu’il y a p inconnues de liaison (XA, YA, . . .). L’équilibre des n nœuds conduit à 2n équations. Trois situations peuvent alors se produire : • m + p = 2n : le treillis est isostatique, c’est-à-dire que les efforts intérieurs peuvent être calculés et ne dépendent pas du comportement des barres. C’est par exemple le cas du treillis de la figure 01 pour lequel n = 4, m = 5 et p = 3. • m + p < 2n : le treillis possède des mobilités internes : il ne peut être en équilibre. C’est par exemple le cas du treillis de la figure 07 pour lequel n = 4, m = 4 et p = 3. • m + p > 2n : le treillis est hyperstatique c’est à dire que les efforts intérieurs ne pourront être calculés qu’après prise en compte de la déformation des barres.

2.

Déformation des barres :

Compte tenue du mode de sollicitation des barres, la contrainte est homogène (constante) dans chaque barre. Si la barre i à un comportement élastique, caractérisé par le module d’Young.

Fig.07 Treillis avec mobilité interne

Ei, une section Si et une longueur initiale Li alors son allongement s’écrit :

3.

Déplacement des nœuds :

Lorsque l’allongement d’une barre est connu, il permet le calcul du déplacement des nœuds par la relation :

Qui exprime que l’allongement d’une barre est lié aux déplacements de ses extrémités notés µA et µB (fig.08).

Fig.08 Allongement d’une barre

Les déplacements sont notés :

4.

Critère de résistance :

La connaissance des efforts intérieurs permet de déterminer la barre la plus chargée au sens de la contrainte :

Si on appelle σmax la contrainte maximale dans le treillis, le critère de résistance du treillis vis-à vis de la plasticité sera :

Où σe est la limite élastique du matériau employé.

V.

Description de l’appareil :

Ce modèle de table permet d'étudier la décomposition et la répartition des forces dans des structures à barres simples. Il se compose de trois barres reliées entre elles par des disques de jonction articulés. L'une des barres

est disponible en trois longueurs différentes pour pouvoir régler des angles différents dans la structure. Les barres s'enclenchent dans les disques par des bouchons à déclic. Deux des disques servent simultanément d'appui et sont immobilisés sur le robuste cadre en profilés d'aluminium. L'un des deux se présente sous la forme d'un appui pendulaire. Un porte-poids est accroché à la structure à barres pour obtenir une charge définie. Les forces sont mesurées à l'aide de comparateurs à cadran, grâce à la déformation d'éléments ressorts fixés au milieu des barres

Spécification : [1] Expérience de table sur la décomposition et la répartition des forces dans des structures à barres simples [2] Nombre de jonctions et de barres: 3 [3] Longueurs des barres: 440, 622, 762mm [4] Angle des jonctions: 30°, 45°, 60°, 90°, 120° [5] Comparateur à cadran: 0...10mm [6] Jeu de poids: 10...50N [7] Lxlxh 900x200x600mm

VI.

Résultat obtenu : a) Méthode de détermination des efforts :

Pour déterminer les efforts dans les barres, il existe trois méthodes qui sont comme suit:  Méthodes analytiques : -

Méthode d'isolation des nœuds.

-

Méthode des sections.

 Méthode graphique : -

Méthode de Cremona.

b) Détermination des efforts dans les barres Théoriquement : En utilisant la méthode d'Isolation des nœuds, on a :   30  sin   0.5 cos   0.86   120

F

S2

S3 S1

RA

RA

nrégistré sur le comparateur.:iques sont dressées dans le tableau ci-après :

Détermination des réactions :

F / y  0  R

M / B 0 R  RA 

A

A

 RB  F ............1

.L  F .

L 0 2

F 2 RB 

De 1 on obtient :

F 2

Isolation des nœuds : Nœud A

: F

F / y 0. 2 S S3   F

. sin   0

(Effort de compression)

 F / x  0  .S

1

S1  0.86 F

Nœud B

3

 S 3 . cos   0

(Effort de traction)

: F

F / y 0. 2 S S2  F

2

. sin   0

(Effort de compression)

Les valeurs es efforts théoriques sont dressées dans le tableau ci-après.

c) Tableau des résultats:  Résultat expérimental :

P (N)

Δ23l (mm)

Δ12l (mm)

Δ13l (mm)

S3 (N)

S2 (N)

S1 (N)

10

-0.04

-0.04

0.035

-9.08

-9.08

7.95

20

-0.09

-0.08

0.08

-20.43

-18.16

18.6

30

-0.14

-0.12

0.12

-31.78

-27.24

27.24

40

-0.185

-0.72

0.16

-42

-36.77

36.32

50

-0.235

-0.2

0.2

-53.35

-45.4

45.4

Sachant que : S i  K .x i ; K 

F0 . x0

K : Constante de la force. Xi : allongement enregistré sur le comparateur.

Commentaire: Selon les graphes obtenus on remarque qu'il y a: -

Une proportionnalité entre la force appliquée et l'effort produit dans la barre.

-

Les graphes obtenus sont linaires définies par une droite croissante, sont des graphes de l'effort normal S en fonction de la force F.

-

Les valeurs théoriques et pratiques trouvés sont proches et identiques parfois.

 Résultat théorique :

P (N)

Ra

Rb

S3 (N)

S2 (N)

S1 (N)

10

5

5

-10

-10

8.6

20

10

10

-20

-20

17.3

30

15

15

-30

-30

25.95

40

20

20

-40

-40

34.6

50

25

25

-50

-50

44.25

VII.

Conclusion :

Les poutres à treillis n'assument pas seulement dans les planchers préfabriqués les tâches finales d'un plancher fini en béton armé. Elles sont aussi l'élément essentiel supportant les charges de montage et/ou de bétonnage. Ce mode de construction a désormais été tellement modifié que, pour des dimensions de pièces préfabriquées suffisamment grandes, on utilise des poutres à treillis Filigran qui, vu leurs dimensions et leur conception, sont couramment utilisées pour la construction de halles. L'exemple d'application de plancher au-dessus de la salle plénière du Reichstag montre tout l'intérêt que présente le concept de la préfabrication partielle judicieusement utilisée dans certains cas spéciaux. Il prouve aussi que les innovations techniques permettent de découvrir de nouvelles applications.