Topologie Cours Et Exercices Corrigés by Queffélec, Hervé [PDF]

Zitiervorschau

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Ill ustration de couverture: L. Bouvier - Fotolia.com

Le pictogramme qui figure ci-contre d'enseignement supérieur, provoquant une mérite une explication. Son objet est baisse brutale des achats de livres et de d'alerter le lecteur sur la menace que revues, au point que Io possibilité même pour représente pour l'avenir de l'écrit, - - - - - les aulaJrs de créer des œuvres porticulièrement dans le domaine DANGER nouvelles et de les faire éditer cor· rectement est aujourd'hui menacée. de l'édition technique et universi· taire, le développement massif du Nous rappelons donc que toute photocodopdillage. Il . d reproduction, portielble ou totale, Le C e e Io propriété inte ec· e 1a présente pu 1ication est tuelle du l er juillet 1992 interdit LE PIK)TCQllll.LAŒ interdite sans autorisation de en effet expressément la photoco· TUE LE LIVRE l'auteur, de son éditeur ou du pie à usage collectif sans autori· Centre français d'exploitation du sation des ayants droit. Or, cette pratique droit de copie (CFC, 20, rue des s'est généralisée dans les établissements Gra nds·Augus~ns, 75006 Paris).

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© Dunod, Paris, 2012 ISBN 978-2-10-057772-9

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Le Code de Io propriété intellectuelle n'autorisant, aux termes de l' article L. 122-5, 2° et 3° a), d'une port, que les «copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective» el, d ' autre port, que les analyses et les courtes ci tations dons un but d ' exemple et d'illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle fa ite sons le consentement de l'auteur ou d e ses ayants droi t ou ayan ts couse est illicite » (art. L. 122-4). Cette représentation ou reproduction, par q uelq ue procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles L. 335-2 et suivants du Code de Io propriété intellectuelle.

À ma famille, très affectueusement

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TABLE DES MATIÈRES

Avant-propos Notations Chapitre 1. Le corps des réels

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XII 1

1 Définition axiomatique de lR Il Le théorème de la borne supérieure Exercices Corrigés

1 4 ll l5

Chapitre 2. Espaces topologiques; espaces métriques

20

1 Définitions générales; notations Il Sous-espace topologique; topologie induite Ill Notion de limite; continuité IV Espaces métriques V Produit d'espaces topologiques Exercices Corrigés

21 26 28 36 45 52 59

Chapitre 3. Espaces compacts

75

1 Définition et premières propriétés Il Fonctions continues sur un espace compact Ill Produit d'espaces compacts IV Espaces métriques compacts Exercices Corrigés

75 79 85 88 99 104

Chapitre 4. Espaces connexes

113

1 Définition et premières propriétés Il Théorèmes de stabilité Ill Espaces métriques connexes IV Composantes connexes V Applications de la connexité; homotopie Exercices Corrigés

l l3 ll5 l l9 l 21 127 145 154

"'0c .,c Chapitre S. Espaces métriques complets ë. u

IX

1 Définition; premières propriétés Il Théorème du point fixe de Picard Ill Théorème de Baire Exercices Corrigés

171

l 71 175 183 193 201 VII

Topologie

Chapitre 6. Espaces localement truc

214

Définition générale; premiers exemples Il Espaces localement compacts Ill Espaces localement connexes Exercices Corrigés

214 215 222 235 238

Chapitre 7. Dimension et fractalité

244

1 Dimension de boîte (ou dimension métrique) Il Dimension de Hausdorff Ill Dimension topologique Exercices Corrigés Problème

245 259 275 285 289 295

Références bibliographiques

300

Index

301

1

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VIII

AVANT-PROPOS

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La plupart des traités de topologie générale suit l'une des deux voies suivantes : La première s'attache aux raffinements les plus extrêmes de la théorie (axiomes de séparation T 1 , .•• , T 4 , critères de métrisabilité de Nagata-Smimov, etc.). La seconde (cf. [C] ou [De] par exemple) passe relativement vite sur les notions fondamentales pour arriver à leur application à la théorie des fonctions (théorèmes d' Ascoli et Stone-Weierstrass par exemple) ou à celle des espaces normés (théorème de F. Riesz par exemple) ; ces applications sont aussi excellemment développées dans les ouvrages classiques [D], [S] ou dans l'ouvrage plus récent [HL]. Nous avons donc choisi une troisième voie, en ne traitant que les notions fondamentales de la topologie générale (et il y en a peu : limites, continuité, compacité, connexité, complétude) dans le cadre d'espaces le plus souvent séparés, voire métriques mais en creusant sur des exemples l'étude de ces notions, ce qui peut mener assez loin, même si on demeure résolument (comme c'est le cas dans cet ouvrage) aux niveaux L3 et Master; ainsi le théorème du point fixe de Picard et le théorème de Baire débouchent sur les notions de dimension topologique et de dimension de Hausdorff, d'objet fractal, etc., sans parler des applications plus classiques à l' Analyse. Nous traitons donc de façon approfondie des notions en nombre restreint, mais qui se retrouvent ensuite partout dans le cursus d' un étudiant en mathématiques (calcul différentiel et intégral, analyse fonctionnelle ou complexe, topologie algébrique ou différentielle, etc.) et nous renvoyons (cf. bibliographie) à d' autres ouvrages pour les grands résultats sur les espaces de fonctions. Le livre est divisé en sept chapitres (à l'intérieur desquels nous nous permettons parfois le renvoi à un chapitre ultérieur). Le chapitre 1 donne une construction de IR et de ses principales propriétés. Le chapitre II comprend les principales définitions et l'étude des espaces métriques. Le chapitre III traite la compacité, le chapitre IV la connexité, le chapitre V la complétude, le chapitre YI la compacité et la connexité locales et leurs applications; Le chapitre VII enfin introduit différentes notions de dimensions, fractionnai res ou non, et la notion d' objet fractal. Nous nous sommes efforcé de donner beaucoup d'exemples significatifs et d' applications à 1' Analyse (principe du maximum, théorème de Runge, etc.). De nombreux exercices corrigés viennent clore chacun des chapitres, mais nous n'avons pas (bien au contraire !) cherché à écrire des corrigés types et nous ne saurions trop encourager le lecteur à réfléchir longtemps sur un énoncé avant d'aller lire la solution. Il s'agit, la plupart du temps, de véritables exercices (pas de cours déguisé en exercices) même si certaines notions (groupe topologique, fonction semi-continue, IX

Topologie

courbes et courbes de Jordan auto-similaires) y sont proposées; les exercices plus difficiles, ou utilisant des notions un peu transversales, sont signalés par une astérisque. Deux principes nous ont guidés pour cette troisième édition : 1) Mettre davantage en évidence les liens étroits de la topologie générale avec

d'autres branches des mathématiques, comme : - Théorie de la mesure (théorème de Steinhaus au chapitre 1). - Géométrie (distance géodésique au chapitre 2). - Analyse complexe (métrique pseudo-hyperbolique au chapitre 2, théorème de d'Alembert -Gauss selon Korner au chapitre 6). - Analyse fonctionnelle (lemme de Zabrejko au chapitre 5). 2) Renforcer le plus possible la cohérence de l'ouvrage : - En complément à l' exercice 16 du chapitre 6, le caractère inépuisable des compacts connexes est établi au chapitre 7. - La construction explicite d' une partie de R 2 connexe et localement connexe, mais non localement connexe par arcs, est donnée au chapitre 6. Une preuve fonctionnelle de la connexité de l' ensemble A du chapitre 4 (exercice 32) est donnée, qui utilise les caractérisations séquentielles de la continuité. L'égalité des composantes par chaînes et connexes pour un métrique compact est prouvée au chapitre 4. Nous pensons que ce livre peut être utile à un étudiant en L3 connaissant bien le programme de Ll/L2, mais aussi à des étudiants plus avancés : CAPES, Ml , agrégation interne ou externe, et qu'il peut être utilisé à différents niveaux. Pour cela, nous avons défini, dans la partie préliminaire « Notations», toutes les notions et symboles utilisés dans le texte; nous conseillons donc au lecteur de s'y référer souvent, ainsi qu'aux ouvrages cités dans la bibliographie. Nous avons beaucoup appris sur la topologie générale de A. Ancona et M. Rogalski, qu'ils en soient remerciés ici. Enfin, nous adressons tous nos remerciements à Mme A. Bardot pour la compétence, la célérité et la gentillesse avec lesquelles elle a assuré la frappe de ce livre ainsi qu' à MM. C. Suquet, C. Sacré et B. Morel pour leur précieuse aide dans la réalisation des figures. Cette quatrième édition a bénéficié des remarques très pertinentes de quelques collègues, au premier rang desquels Bruno Calado, que nous remercions chaleureusement. Nous avons ainsi clarifié et complété des points de cours (homotopie au chapitre 4, applications en Analyse fonctionnelle du lemme de Zabrejko au chapitre 5, définition et propriétés de l'indice au chapitre 6, ce qui rend plus accessible la preuve du difficile théorème de Jordan-Schonfiiess).

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Avant-propos

Nous avons également ajouté ou modifié de nombreux exercices : 1. Intérieur d'un convexe au chapitre 2

2. Espaces weierstrassiens et preuve simple du théorème de Darboux au chapitre 3 3. Applications du théorème de Brouwer et réciproque du théorème de Runge au chapitre 4 4. Applications du théorème de Baire à l'itération et du théorème du point fixe aux fonctions non-dérivables au chapitre 5 5. Et enfin au chapitre 7 dimension de Hausdorff d'un Cantor de rapport de dissection variable, et étude métrique précise d'une suite de limite nulle, convergeant lentement vers zéro. Enfin, plusieurs dessins ont été incorporés au chapitre 4 : un dessin n' est pas une preuve, répète-t-on souvent. Ajoutons qu' une preuve sans dessin est souvent une preuve ennuyeuse et sans consistance, que l' on s'empresse d'oublier. Nous accueillerons avec plaisir et gratitude toutes les remarques et suggestions envoyées à l' adresse électronique suivante: Herve.Queffelec @univ-lillel.fr

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XI

NOTATIONS

• Si A est une partie de X, on note Ac le complémentaire de A dans X; si A c X et B c X, on note A\ B = An Be; si les Ai (i E l) sont des parties de X, on note leur union par .u Ai, UAi, ou UAi s'il n'y a pas de risque de confusion; on note de même 1E/

l

n, n Ai, n Ai pour l'intersection, et u Ai, u Ai, u Ai pour l'union disjointe.

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l

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l

• IA désigne la fonction indicatrice de A c X; IA (x) = 1 si x

E

A, et IA (x) = 0 si

X ~A.

• IAI désigne le nombre d'éléments de l'ensemble fini A. • Si les ensembles Xi (i E /) ont une propriété (P) sauf peut-être un nombre fini d'entre eux, on dit que presque tous les Xi ont la propriété (P) ; si X = Il Xi est leur iE/

produit cartésien, Pi désigne la projection canonique de X sur lei-ème facteur Xi : si x = (xi)ie/ EX, Pi(x) = Xi·

• N, Z, Q, lfl, C désignent respectivement l'ensemble des nombres entiers naturels, entiers relatifs, rationnels, réels, complexes; si E est l'un de ces ensembles, ou plus généralement un demi-groupe d'élément neutre 0, on note E* = E \ {0}. • Pour f : X ~ lfl et a E lfl, on note {f > a} pour {x même {f ~a}, {f a. 0

u

XII

Notations

• Tous les espaces vectoriels (en abrégé K -ev ou ev) considérés (à l'exception de l'exercice 1, chapitre 1) seront sur le corps K = lR ou C ; on note evn un espace vectoriel normé; un espace de Banach est un evn complet. Une semi-norme sur un K -ev E est une application p : E ~ R + ayant toutes les propriétés d'une norme sauf peut-être l'implication p(x) = 0 =:::::> x = O. Un hyperplan d 'un ev E est un sous-espace vectoriel de E de codimension 1. • Le produit scalaire sur un espace de Hilbe1t H est toujours noté (x/y), la norme associée lxl; i.e. lxl = y(x/x). L' inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit: l(x/y)I ~ lxl lyl pour x , y E H. L'espace !L'(H) des applications linéaires continues de H dans H est normé par: llfll = sup{lf(x)I; lxl = l}. u* désigne l'adjoint de u E 2 (H): (x/u*(y)) = (u(x)/y) pour tous x, y E H.

Kn usuel » désignera toujours Rn (resp. en) muni de son produit scalaire euclidien (resp. hermitien usuel) ; la norme associée définit la topologie usuelle sur Kn, c' est• «

à-dire la topologie produit de la topologie usuelle de K n fois par elle-même ; la base canonique de K n est notée (e 1 , .. . , en ), et on identifie f E !L'(Kn) et sa matrice sur la base canonique. Sn est la Sphère unité euclidienne de JRn+I : XE Sn Ç::} lxl = 1. • Si E est un ensemble de référence, I désigne l'identité de E dans E ; si E = Kn, I désigne aussi la matrice unité d'ordre n. det désigne la fonction déterminant sur K n, n01malisée par det l = 1.

• GL(n, K) désigne le groupe des matrices carrées inversibles (n x n) à coefficients dans K , O(n) (resp. U(n)) le sous-groupe des éléments orthogonaux (resp. unitaires) de GL(n, JR) (resp. GL(n, C)). O(n) est aussi le groupe des bijections linéaires de !Rn qui conservent le produit scalaire euclidien.

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t) a+ tb; = {a + b;

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.,"' • Si A, B sont deux parties d' un groupe multiplicatif G, on note de même A · B = {ab; a E A, b E B}. ·E 0

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• Une homographie est une application de la forme h(z) = ~~:~ avec ad h2 = /, h est dite involutive. • Si E est un K -ev, a, b E E, A, B c E, À E K, on note : [a, b] = {(1 t E JR, 0 ~ t ~ l} ; c'est le segment d' origine a et d'extrémité b; A+ B a E A, b E B} ; AA = {!la; a E A}. A est dite convexe si: a, b E A =:::::> [a, b]

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• Aux rares endroits du livre où intervient la théorie de la mesure, on emploie les notations usuelles à cette théorie ; par exemple si p E [ 1, oo [, LP(µ) désigne l'espace de Banach des classes de fonctions intégrables par rapport à la mesure positive µ , normé par (inégalité de Minkowski) llfllp = ( lflP dµ) l/p; on pose 11µ11 = dµ ~ +oo; µest une mesure de probabilité si 11µ11 = 1, une mesure borélienne si elle est définie sur la tribu borélienne (i.e. engendrée par les ouverts) de l'espace topologique

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J

XIII

Topologie

X; la mesure de Lebesgue sur JR.n est notée mn, ou même m, s'il n'y a pas de risque

de confusion. • Une fonction entière est la somme d'une série entière de rayon de convergence infini. Plus généralement, une fonction holomorphe sur un ouvert U de C est une application f : U -7 C qui est C-différentiable en tout point de U. H est l'espace des fonctions holomorphes bornées sur D , le disque unité ouvert. 00

• Log x désigne le logarithme népérien du réel x > 0; Arc cos, Arc sin, Arctg désignent les déterminations principales des fonctions réciproques des fonctions trigonométriques cosinus, sinus, tangente et on a des bijections Arc cos : [-1, 1] -7 [O, n], Arc sin : [-1, l] -7 [ - ~ , ~], Arctg : lR. -7 ] - ~ , H· • Dans le plan complexe C, on emploie les notations suivantes : lzl est le module de z ; = x - iy est le conjugué de z = x + iy. f!lz = x, Imz =y sont respectivement les parties réelle et imaginaire de z. D(a, r) = {z E C; lz - al < r} est le disque ouvert de centre a et de rayon r. D(a, r) = {z E C; lz - al : :; r} est le disque fermé de centre a et de rayon r. C(a, r) = {z E C; lz - al = r} est le cercle de centre a et de rayon r. D = D(O, 1) est le disque unité ouvert; r = C(O, 1) est le cercle unité. C'est aussi l'ensemble des eit, où t parcourt un intervalle de longueur 2n.

z

• Une courbe est une application continue y : [u, v] y * = y([u , v]) s'appelle l'image de y.

-7

C où u, v

E

lR. et u < v;

• Une progression arithmétique dans Z est une partie de Z de la forme a+ b Z, où a, b E Z. On emploie les abréviations usuelles pgcd et ppcm pour plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple.

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• Pour f, g : C -7 C, la notation (de Landau) f = O(g) signifie qu'on peut trouver M > 0 et 8 > 0 tels que lf(z)I :::;; Mlg(z)I si lzl :::;; 8. • Un ensemble inductif E est un ensemble partiellement ordonné (E, :::;;) dans lequel toute partie totalement ordonnée possède un majorant ; b E E est dit maximal si x E E et x ~ b entraîne x = b. Si E est inductif et a E E, on peut trouver b maximal avec b ~ a (lemme de Zorn; cf. [HL]). Si a E E vérifie a :::;; x pour tout x E E, on dit que a est le minimum de E et on note a = min E; on définit de même max E, quand il existe. • Si X, Y sont deux espaces métriques, f : X -7 X est dite lipschitzienne s'il existe k > 0 tel que d[f(a), f(b)] :::;; k d(a, b) pour tous a, b E X. f est dite isométrique si d[f(a), f(b)] = d(a, b) pour tous a , b EX. • On dit (supposant connue la notion d' action de groupe) que le groupe G agit transitivement sur l'ensemble X si, étant donné a, b EX, il existe g E G tel que ga = b. XIV

LE CORPS DES RÉELS

1

DÉFINITION AXIOMATIQUE DER

1.1

Corps archimédiens; segments emboÎtés

On adopte ici le point de vue de Dieudonné ([D], chapitre II), c'est-à-dire qu'on prend en cours de route la construction de Dedekind par la méthode dite « des coupures», qui consiste à adjoindre aux rationnels déjà connus de nouveaux éléments ; cette construction possède des propriétés dont la preuve n'est au début qu'une vérification ennuyeuse ; on prend ces premières propriétés comme axiomes (axiome voulant dire propriété admise) et on renvoie à [L] pour leur vérification; à partir de ces « axiomes », on démontre de façon rigoureuse d' autres propriétés fondamentales du nouvel ensemble lR considéré, notamment celle de la borne supérieure. On suppose donc qu'il existe un ensemble lR (appelé corps des (nombres) réels) tel que : Axiome 1. lR est un corps commutatif (de lois notées + , et ·), les éléments neutres pour l' addition et la multiplication étant respectivement notés 0 et 1 (zéro et un). Axiome 2. JR est un corps ordonné, i.e. il existe sur lR une relation d' ordre total notée ~'compatible avec la structure de corps au sens où pour tous x, y, z de lR :

X

x ~y~ x + z ~y+ z

(I.1)

~ Û , y ~ Û ~ xy ~ Û .

(l.2)

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On posera max(x, y) =y six~ y et= x

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si x ~

y; on définit de même min(x, y).

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Axiome 3. JR est un corps ordonné archimédien , i. e. x > 0, y ~ 0 entraîne l'existence c den EN* tel que nx ~y (où nx = x + · · · + x n fois). Pour a~ b, on appelle segment ::> .,.,"' ab, et on note [a, b] , l'ensemble des x tels que a~ x ~ b . ,., ;a; "O

·E 0 ;;

"'0c Axiome 4. lR a la propriété des segments emboîtés, c'est-à-dire: toute suite décrois.,c sante [an, bn] de segments (cela équivaut à dire an+I ~ an et bn+I ~ bn) a une interë. 0 0

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section non vide.

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Remarque. Le corps Q des rationnels vérifie les axiomes 1, 2, 3 ; il est donc prévisible que c' est l' axiome 4 qui jouera le rôle essentiel dans les preuves à venir. 1

Chapitre 1 • Le corps des réels

1.2

Partie positive, négative, valeur absolue; intervalles; distance sur R

Étant donné x

E

JR, on pose : x+ = max(x,O) = {

~

SI X~ Û

(l.3)

X< 0,

SI

et x + s' appelle la partie positive de x ; -x x- = max(-x, 0) = { 0

SI X~ Û SI

(l.4)

X> 0,

et x- s'appelle la partie négative de x ;

lxl = max(x, - x) = { _:

Si X~ Û Si X< Û,

(I.5)

et lxl s'appelle la valeur absolue de x. Les premières propriétés de ces trois symboles sont données par la proposition simple qui suit ; pour plus de clarté, définissons d'abord les intervalles de lR ; a et b désignent des réels. • ]a, b[ := {x; a < x < b} s'appelle l'intervalle ouvert d'extrémités a et b; on définit de même les intervalles ouverts ]a , oo[ := {x; x

> a} , ] - oo, b[ = {x; x < b} , ] - oo, +oo[ = lR .

• [a, b] := {x; a ~ x ~ b} s'appelle le segment (ou intervalle fermé) d'extrémités a

et b (cf. axiome 4); on définit de même les intervalles fermés [a , +oo[ := {x; x

~a}

, ] - oo , b] = {x; x

~

b} , ] - oo, +oo[ = lR .

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• [a, b[ := {x;a ~ x < b} s'appelle l'i ntervalle d'extrémités a et b, fermé en a et

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ouvert en b.

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• ]a, b] := {x; a < x ~ b} s'appelle l'intervalle d'extrémités a et b, ouvert en a et

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fermé en b.

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• Par convention, 0 est un intervalle ouvert et fermé ; 0 et lR sont les deux seuls intervalles à la fois ouverts et fermés.

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Proposition 1.1. Soit a, b, x

E

lR avec a~ b, et soit c = a;b; alors

X= X+ - X- ;

{

b-a} - ;

]a, b[ = u; lu - cl < -

2

2

lxl

(l.6)

=X+ + X-

{

[a, b] = u; lu - cl

~

b-a} - .

-

2

(I.7)

1. Définition axiomatique de lR

Démonstration. (1.6) est évidente, mais utile; on voit que a< u < b 0)(3 no E N)(V p, q ~no) : d(xp, xq) = lxp - xq l :::;;; s .

(II.5)

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En termes intuitifs, (xn) est de Cauchy si Xp - Xq ~ 0 quand p, q ~ oo; une suite (xn) convergeant vers e est de Cauchy (cf. chapitre II) d'après l'inégalité d(xp, xq):::;;; d(xp, t ) + d(t, xq), mais l'intérêt de (II.5) est de ne pas faire intervenir la 5

Chapitre 1 • Le corps des réels

limite éventuelle et de pouvoir parfois conclure à son existence sans être capable de la calculer. Voici d'autres définitions importantes : (xn) est croissante si

(On a alors

Xq ~ Xp

pour q

xq ~ Xp

pour q

pour tout n

E

(Il.6)

N.

~ p).

(xn) est décroissante si

(On a alors

Xn+ 1 ~ Xn

~

Xn+ 1

~ Xn

pour tout n

E

(II.7)

N.

p ).

(xn) est monotone si elle est soit croissante soit décroissante .

(II. 8)

« Tout ce qui monte converge » selon Teilhard de Chardin ; voici la version mathéma-

tique qui dit la même chose en termes peut-être moins poétiques ... Théorème 11.3.

a) Toute suite de réels croissante, majorée converge dans lR vers sa borne supérieure. b) Toute suite de réels croissante, non majorée converge vers +oo.

Démonstration. a) Soit A l'ensemble des termes Xn de la suite ; A étant majoré, sa borne supérieure m = supA existe d'après le théorème II.1; soit s > 0; toujours d'après 11.1, il existe no tel que Xno ~ m - s; la suite étant croissante, on voit que: n

~

no :::::} m -

ê ~ Xn0 ~ Xn ~

m , d' où lxn - ml

~ ê .

Par définition (cf. chapitre II) Xn converge vers m. b) Soit y un réel ; A étant cette fois non majoré, il existe no tel que Xno que:

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y et on voit

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Par définition, cela signifie que

N

Xn

converge vers +oo.

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On a bien sûr un énoncé analogue avec des suites décroissantes.

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Théorème 11.4. Toute suite de Cauchy de lR converge dans lR; en d'autres termes, lR est complet (cf chapitre V).

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Démonstration. Soit (xn) une suite de Cauchy de lR ; définissons n 1 comme le plus petit entier tel que lxp - xn, 1 ~ 2- 2 pour tout p ~ n 1, puis par récurrence nk comme le plus petit entier~ 1 + nk-l tel que lxp - Xnkl ~ 2 - k- l pour tout p ~ nk; nous avons alors (II.9) 6

Il. Le théorème de la borne supérieure

Il en résulte que les segments h = [ Xnk - 2-k , Xnk + 2-k] sont décroissants, puisque Xnk+I + 2-k-I ~ Xnk + 2- k-l + 2 - k- I = Xnk + 2-k et de même x - 2 -k-l 7~ x - 2-k-l - 2 -k-J = x nk - 2 -k ·d'après l'axiome 4 ' leur intersection nk+1 nk ' contient un réel l, avec (Il.10) (II.10) montre que la suite (yk) = (xnk ) converge verse quand k ~ oo; et une suite de Cauchy qui contient une sous-suite convergente converge, vérifions-le ici; soit s > 0, no comme dans (II.5), ko E N assez grand pour qu' on ait 2-ko ~ set nko ~ no (c'est possible d'après (II.9)) ; alors n ~ nko entraîne lxn -li~ lxn - Xnkol + lxnko -li~ s + 2-ko ~ 2s, ce qui prouve le théorème puisque s est arbitrairement petit. D Remarque 11.5. Là encore (cf. exercice 13) le fait d'être complet est une propriété

possédée par le corps des réels, et non par celui des rationnels.

11.3 Le théorème de Borel-Lebesgue • Une partie de lR s'appelle un ouve1t si c'est une réunion d' intervalles ouverts (avec la convention u ... = 0). 0

• On dit qu' une famille (wi\EJ de paities de X est un recouvrement de A c X si Ac Uwi. l

Le théorème suivant semble avoir été découvert par Borel et Lebesgue lorsqu'ils tentèrent d'établir de façon rigoureuse que la longueur b - a d'un segment [a, b] est plus petite que la somme des longueurs des segments non triviaux le recouvrant. Théorème 11.6 (Théorème de Borel-Lebesgue). Soit (wi )iEI un recouvrement ouvert du segment [a, b] = K; alors il existe J fini, J c I tel que (wi)iEJ soit encore un recouvrement de K (on dit que K admet un sous-recouvrement.fini extrait des wï).

"O 0

c

::J

0 N T"-f

0 N

@

;a; "O

c

::>

Ol

.,"' ,.,.,

>a.

;;

~

..c ï:::: 0

u

Démonstration. Soit A l'ensemble des x E K tels que [a, x] puisse être recouvert par un nombre fini de Wi , et soit m = sup A ~ b; nous allons voir que

·E 0

mEA; m=b .

(Il.11)

"'0c En effet, m E K , donc il existe j tel que m E w.i, eth> 0 tel que [m - h, m + h] c w .i ; .,c ë. on peut trouver x E A tel que x ~ m - h; [a, x] est recouvert par un nombre p de wi; 0 u 0 0 en leur ajoutant w 1, on voit que [a, m+h] est recouvert par p+ 1 des wi; en particulier ..c o. m E A; si m < b, en diminuant au besoin h, on am+ h E K et donc m + h E A, ce j -ci 0 qui contredit la définition de met achève de prouver (11.11). Or, (11.11) dit que K est c ::> 0 D recouve1t par un nombre fini de Wi· @ 7

Chapitre 1 • Le corps des réels

11.4 Racine carrée; caractérisation des réels positifs Le théorème de la borne supérieure permet d'avoir une caractérisation algébrique remarquable de la demi-droite positive JR+ = [0, oo[. Proposition 11.7. Soit x

E

JR ; on a équivalence entre:

a) XE JR.+,

b) x est un carré parfait: x = y 2 , y E R

Démonstration. b)::::}a) est facile; si y ~ 0, x = y 2 ~ 0 par l'axiome 2; si y < 0, x=(-y)2 ~0.

a)::::}b) : six= 0, il n'y a rien à prouver; six> 0, posons A = {y

E

lR+; y2 ~ x} .

A est non vide car 0 E A ; A est majoré par x + 1 car y ~ x + 1 entraîne y 2 ~ (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 > x ; A admet donc une borne supérieure m E lR+ ; m > 0 car, si p E N* · d.is que et -p1 ~ x, 2p1 ~ -p1 ~ x et -p1 E A ; Je m2

(Il.12)

=X .

Soit en effets > 0; d'après l'axiome 3, il existe n E N* tel que 1n ~ met · d'après les propriétés de m = supA, il existe y E A tel que y~ m - ~;d'où 2

x~y

~m

2

2m n

2

--~m

2 m n

~ s :

-s .

s étant arbitraire, il vient m2 ~ x; si m2 < x, on trouves > 0 tel que (m + s)2 ~ x, d'où m + s E A, ce qui contredit la définition de m; on a donc (II.12). D

"O 0

c

::J

0

Remarque 11.8. Si z E lR. est une racine carrée de x (i.e. z2 = x), on a (z - y)(z +y) = z2 - y 2 = x - x = 0, donc x > 0 a exactement deux racines caITées : l'une positive y,

N T"-f

0 N

@

l'autre négative -y. y s'appelle la racine carrée positive de x et se note yx. Voici une application classique mais frappante de la caractérisation algébrique de JR+.

~

..c Ol

ï::::

>a. 0

u

Proposition 11.9. Soit f: lR ~ lR un homomorphisme d'anneau (f(x +y)= f(x)+ f(y);f(xy) = f(x) f(y) , V x, y) non identiquement nul; alors f est l'identité.

Démonstration. La simple hypothèse d'additivité sur f suffit à impliquer f (rx) = r f (x) , 8

Vr

E

Q, Vx

E

lR .

(II.13)

Il. Le théorème de la borne supérieure

On vérifie (11.13) d'abord pour r EN, par récurrence; puis pour r E Z, d'après l'imparité de f; si r = ~avec p E Z, q EN, on voit que pf(x) = f(px) = f(qrx) = qf(rx), d'où f(rx) = ~ f(x) = rf(x) . .Malgré la densité de Q dans R, on ne peut en général aller plus loin sans condition de régularité sur f. Mais les deux hypothèses vont permettre de montrer que f est croissante, la proposition II.7 jouant un rôle décisif: (II.14) u ~ v =} /(u) ~ /(v) . En effet, u ~ v =}

v - u ~ 0 =} v - u = y2 =} f(v - u) = (j(y))2 =} f(v - u) ~ 0 /(v) - f(u) ~ 0 =} /(u) ~ /(v). Il est maintenant facile de conclure, en observant =}

d'abord que (Il.15)

/(1) = 1 .

*

0; alors (1 - /(1)) /(xo) = f(xo) - /(lxo) = 0, et (Il existe xo tel que f(xo) 1 - /(1) = 0). Soit ensuite x E R, s > 0, ri et r2 E Q tels que x - s ~ ri ~ x ~ r2 ~ x + s; (II.13), (11.14), (II.15) entraînent r1 = f(r1) ~ f(x) ~ f(r2) = r2, d'où x - E ~ f(x) ~ x + E; s étant arbitraire, /(x) = x. D Remarque Il. 1O. Il existe des fonctions très inégulières (non mesurables au sens

de Lebesgue) vérifiant : (*) f(x +y)= f(x) +/(y) pour tous x , y E R . Mais on peut montrer que, dès que f

est un peu régulière (mesurable au sens de Lebesgue précisément !), ( *) suffit à entraîner /(x) = xf(l) pour tout x

E

R.

cf. Exercices 1et16, et remarque 11.15.

11.5 Intervalles se coupant deux à deux; propriété des deux boules de lR

"O 0

c

::J

0

Ol

Voici encore une conséquence du théorème II.1 , qui joue notamment un rôle clé dans la preuve du théorème de Hahn-Banach et peut aussi passer pour un cas particulier ;a; c ::> du théorème de Helly (cf. [Eg]) : « des convexes compacts de !Rn qui se coupent n + 1 .,.,"' ,., à n + 1 se coupent tous » .

>a.

;;

N T"-f

0 N

@ ~

..c ï:::: 0

u

"O

·E 0

"'0c Proposition 11.11. Soit (/1) rET une famille de segments se coupant deux à deux; .,c ë. alors les 11 se coupent tous : n 11 0 u 0

tET

* (/).

0

..c

o.

j -ci

Démonstration. Posons I, = [a, , b,], A = {a,; t

E

T}, B = {bs; s E T} et notons que

0

c

::>

0

@

a1 ~ bs ,

Vs, t

E

T .

(II.16) 9

Chapitre 1 • Le corps des réels

En effet, [a,, b,] n [as, bs] contient un point c, et a1 ~ c ~ bs. Fixons s; (II.16) montre que A est majoré par bs, donc a := supA existe et a ~ bs, puis a E l s; faisant maintenant varier s, on voit que a En ls. D Remarque 11.12. Il est facile de voir qu'on a plus précisément n I, = [a, b] avec a= sup A, b = inf B.

D'après (I.7), la proposition II.11 admet la reformulation suivante (cf. chapitre II pour la définition d'une boule). Proposition 11.13 (Propriété des deux boules). Toute famille de boules fermées de IR se coupant deux à deux a une intersection non vide.

Cette propriété est partagée par très peu d'espaces métriques : par exemple, il est clair qu'on peut trouver dans JR2 euclidien trois boules fermées se coupant deux à deux et d'intersection vide (cf. figure 1.1) ; pour insister sur l'importance de la proposition 11.11 ou de la remarque II.12, voici encore une proposition qui n'est autre, comme on l'a déjà dit, que le point central du théorème de Hahn-Banach (forme analytique; cf. par exemple [R], p. 106).

"O 0

c

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..c Ol

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>a. 0

u

Figure 1.1

Proposition 11.14. Soit E un JR- ev, Mun hyperplan de E, p une sous-norme sur E, f une forme linéaire sur M telle que f(x) ~ p(x) pour tout x E M; alors, f peut être prolongée en une forme linéaire g sur E telle que g(z) ~ p(z) pour tout z E E. 10

Exercices

Démonstration. Par hypothèse, il existe x0 E Etel que E = M EB lR xo; il s'agit de définir g(xo) = a, puis g(x + t xo) = f (x) + ta, de façon que f(x)

+ta~

p(x + t xo) ,

Vt

E

lR , V x

E

(II.17)

M.

t = 0 correspond à l'hypothèse; t > 0 s'écrit aussi bien, vu l' arbitraire sur x et le fait que p est positivement homogène :

f (x) + a

~

p(x + xo) ,

Vx

E

M .

f (x ) - a

~

p( x - xo) ,

Vx

E

M.

De même, t < 0 donne

a

En d'autres termes, on veut trouver:

E

n l x,

xEM

où

l x = [ax, bx],

ax = f(x) - p(x - xo), bx = -f(x) + p(x + xo); d 'après II.11 , tout revient à montrer que, pour tous x , y E M : ax ~ by ; mais ax

~

by

f(x) - p(x - xo)

f(x +y)

~

~

p(y + xo) - f(y)

p(x - xo ) + p(y + xo) ;

or, cette dernière inégalité est vraie puisqu'on a

f(x +y)

~

p(x +y) = p(x - xo +y+ xo)

~

p(x - xo) + p(y + xo ) .

D

Exercices

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c

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0 N T"-f

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Ol

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~

..c ï:::: 0

u

Certains exercices font appel à des notions et définitions des chapitres suivants.

"O

·E 0

Ill

a) Soit f : lR --7 lR continue avec f(x + y) = f(x) + f(y) pour tous x, y montrer que f(x) =ex, où c = /(1).

E

lR;

"'0c b) Soit (ei)iE/ une base du Q -espace vectoriel JR, et (e;)iE/ le système dual, i.e: .,c ë. 0 0

u

0

..c

o.

j -ci 0

c

::>

0

@

e;

Montrer que, pour tout i, vérifie l'équation fonctionnelle précédente, mais n'est pas continue sur lR n'est même pas mesurable-Lebesgue; cf. remarque II.15 et exercice 16).

(e;

11

Chapitre 1 • Le corps des réels

16

Soit f

: R ~ R isométrique,

i.e. lf(x) - f(y)I = lx - yl pour tous x, y.

a) Montrer que f(O) = 0 entraîne f(x) f(y) = xy pour tous x, y. b) M.ontrer que f est une application affine x Ha+ x ou x Ha - x.

œ

Soit a> 0 et (xn) la suite de réels définie par xo = 1 et Xn+I = -21.(xn + J!_ ), n EN. Xn

a) Montrer que (xn)nEN'* décroît et en déduire que Xn tend vers b) Soit En =

x" - ~;montrer x 11 + -ya

ya.

que En+I = ~;quelles informations cela donne-t-il sur

la vitesse de convergence de Xn vers

ya ?

lllJ

On sait que (cf. par exemple [HL]) pour tout ensemble X le cardinal de 9(X) est strictement supérieur à celui de X. n

a) Soit w = (sn(w))

E

{0, l}N* ; montrer que la suite de terme général

L Ek(w) 3-k est 1

OO

croissante majorée; on note sa limüe par a.

a) M.ontrer que l'ensemble des µ(A 1 ) admet une borne supérieure m, et qu' il existe l o dénombrable tel que m = µ(A10 ).

0

u

b) Soit A = A 10 E Pl ; montrer que A contient « presque » tous les Ai au sens où : i E I ==} µ(Ai n A c) = O. Et que si B E Pl vérifie µ(Ai n Be) = 0 Vi E / , on a µ(An Be)= O.

12

Exercices

IE x

E

Soit (an) une suite de réels non bornée; on se propose de montrer qu'il existe lR tel que eianx ne tend pas vers 1.

a) Construire par récurrence des segments emboîtés non réduits à des points / 1 :::> •.• :::>

h

:::> h+1 ... et des entiers n1 < ... < nk < nk+I ···avec y Eh==>

lé'

11

kY -

l i;:;

Ol

.,"' b) Soit X= (x 1 , ... , xp ) une suite de p réels distincts avec p = n2 + 1, n EN* ; ,.,.,

>a.

;;

~

..c ï:::: 0

u

·E 0

"'0c .,c ë. 0 0

u

0

..c

o.

j -ci 0

c

::>

0

@

i) soit f : X ~ N*2 définie par /(xi) = (ai, bi) où ai (resp. bi) est la longueur de la plus grande suite croissante (resp. décroissante) commençant par xi et extraite de X ; montrer que f est injective. ii) .Montrer qu'on peut extraire de X une suite monotone de longueur n + 1 ; en considérant l'exemple n, ... , 2, l, 2n, ... , n+2, n+ l, ... , n2 , ... , n2 -n+ 1, montrer que ce résultat est optimal en général. 13

Chapitre 1 • Le corps des réels

On considère les deux suites de rationnels an = 1 + 11! + ... + ~ ! et bn = an+ n·~!, (n E N*).

llit

a) Montrer que (an) est strictement croissante, (bn) strictement décroissante, et que ai ~ b.i pour tous i, j E N* . b) Montrer que les segments de rationnels In = [an, bn] sont emboîtés et d 'intersec-

tion vide. c) Montrer que l' ensemble A des an n' a pas de borne supérieure dans Q .

d) M.ontrer que la suite (an) est de Cauchy, mais divergente dans Q .

1111 a) Soit G un sous-groupe de R non réduit à zéro; on pose

c+ = {x;

X E

G, X> 0}, et m = infG+.

i) Si m > 0, montrer que G = mZ . ii) Sim = 0, montrer que Gest dense dans R, c' est-à-dire : tout intervalle ]a, b[, où a< b, contient au moins un point de G.

b) Soit a

E

R un ÎlTationnel ; montrer que le sous-groupe Za + Z est dense dans Ilt

11..j Montrer que

llld

Y2 est irrationnel.

Théorème de Steinhaus

Soit m = dx la mesure de Lebesgue sur R, A et B deux parties mesurables de R. On se propose de montrer que : m(A) > 0 et m(B) > 0 =>A + B contient un ouvert non vide Q

(A+ B désigne l' ensemble des sommes a + b, où a "O

E

A, b

E

(*)

B).

a) Montrer qu' on peut, sans perte de généralité, supposer en plus que m(A) < oo et m(B) < oo, hypothèse qu'on fait dans la suite.

0

c

::J

0 N

......

b)Soitu = IA E L 1(R), v = Is E L 00 (R) n L 1(R), w = U*V leurproduitde convolution . M.ontrer que w est continue, non identiquement nulle.

0

N

@

......

..c

n sur lequel w > O.

Ol

c) M.onter qu'il existe un ouvert non vide

>a.

d) M.ontrer que Q c A + B, ce qui prouve ( *) (théorème de Steinhaus).

ï:::: 0

u

14

Corrigés

Corrigés

Ill

a) Variante facile de la proposition 11.9.

b) e~ est une forme Q- linéaire sur R, donc est additive par définition ; mais e;(O) = 0, e~1 (ei) = 1, donc e*l ne vérifie pas le théorème de la valeur intermédiaire, étant à va, leurs rationnelles; a fortiori, elle n'est pas continue (on montre même facilement que son graphe est dense dans R2 !).

16

a) On «élève l'hypothèse au carré» et on simplifie.

b) Si f (O) = 0, a) montre que f (x) = sx, où s = f (l) = ±1; le cas général s'en déduit par translation.

œ

a) L'inégalité u+2v

YïW pour u, V

;:;

lit)

Ol

.,"' ,.,.,

>a.

·E 0 ;;

Cas 1 : (3 p) (V q > p) (3 r > q);

~

..c ï:::: 0

u

l

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"'0c .,c ë. 0 0

u

0

..c

o.

j -ci 0

c

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0

@

a) Distinguons deux cas exclusifs. Xr ~ Xq.

Alors on peut fabriquer par récurrence des entiers n 1 < n 1 = p + 1 et (xnk) croissante. Cas 2 : (V p) (3 q > p) (V r > q):

Xr


1 et x,. < Xnk pour tout r > nk ; (xnk) est strictement décroissante.

nk

< ... avec

17

Chapitre 1 • Le corps des réels

b) i) Six;

* Xj, on a par exemple i < j; distinguons ensuite deux cas :

Cas 1 : Xi < x j : alors (x;, x j) est le début d'une suite croissante, donc ai ;:;::: 1 + a j. Cas 2 : xi> Xj: alors (x;, xj) est le début d'une suite décroissante, donc bi ;:;::: 1 + bj·

* f(xj).

Dans tous les cas, f(xi)

ii) Si on a toujours max(ai, b;) ~ n, f est une injection de X dans le cané d'entiers [1, n] x [1, n], et X a moins de n 2 éléments, contrairement à l'hypothèse; donc on peut trouver i tel que max(ai, bi) ;:;::: n + 1 ; si ai ;:;::: n + 1, on peut extraire une suite croissante de longueur n + 1 ; si bi ;:;::: n + 1, on peut extraire une suite décroissante de longueur n + 1. Sur l'exemple à n2 termes considéré, on peut extraire au mieux une suite croissante k, k + n, k + 2n, .. . , k + (n - 1) n ; ou une suite décroissante kn, kn - l, ... , kn - n + 1, avec 1 ~ k ~ n.

llit a) an+I

- an = (n1l)! et bn+I - bn =

n·n!(n~J)2 ; Si k = max(i, j), ai ~ Qk ~ bk

~ bj. OO

b) Si E.q

E

an < an+ 1

nln, on a pour tout n : E.q = an+ n·n. B" ,, où 0 < Bn < 1. (En effet, 1

~ ~ ~

bn+ l < bn). En particulier :

~

= aq +

q~~! ; en multipliant par OO

q · q!, on obtient Bq E .Z, ce qui est absurde : Bq E]O, 1 [.On a donc n ln = 0. 1

c) Si m = sup A existe dans Q, on a pour tout n : m ;:;::: an, et m

~ bn,

puisque bn est un

OO

majorant de A; donc, m

E

n ln, ce qui contredit b). 1

d) Soit p, q entiers avec p < q; a) montre que 0 ~ aq - ap ~ bp - ap = p·~! ; (an) est donc de Cauchy; si an

~

OO

e E Q, on a encore une fois la contradiction e E n1 ln. Bien

sûr, an converge dans lR vers le célèbre nombre e, et b) est la preuve, due à Fourier, de l'irrationalité de e.

"O

0

c

::J

0 N

......

1111 a) i) Supposons que m fi. c+ ; alors on peut trouver X E G tel que m
0}. L' ensemble n est non-vide c) Soit n = {x E IRd; w(x) d'après b). Il est ouvert car w est continue.

"O 0

c

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0

u

=

.&. l A(x -

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X

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.,"' ,.,.,

~

n. On a w(x)

y)lB(y)dy > 0, donc il existe y E IR tel que l A(x - y)* 0 et lB(Y) *O. On a alors x - y E A , y E B, et x = (x - y)+ y E A+ B .

d) Soit

N

·E 0

"'0c .,c ë. 0 0

u

0

..c

o.

j -ci 0

c

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0

@

19

ESPACES TOPOLOGIQUES ESPACES MÉTRIQUES L'algèbre étudie beaucoup la notion d'égalité (identité de Bézout, formule du binôme, etc.), mais aussi des notions en apparence plus floues comme celle de congruence ou égalité modulo un sous-groupe, et cette étude se révèle d'une grande utilité. On va s'intéresser ici, également avec profit, à d'autres notions d'égalité floue, celle de voisinage topologique ou encore celle de proximité; c'est peut-être cette seconde notion qui est la plus facile à saisir : à deux points x, y d'un ensemble X, on associe un réel positif d(x, y) appelé leur distance (voilà pourquoi il a fallu bien dégager les propriétés des réels au chapitre I), et les points x , y sont considérés comme proches si d(x, y) est petit; x et y jouent des rôles symétriques et la petitesse de d(x, y) est une propriété du couple (x, y). Un cas extrême est celui de la distance discrète: d(x, y) = 1 six* y, d(x, x) = 0; alors la petitesse de d(x, y) se traduit par l'égalité x = y. Un cas moins extrême est celui de la distance p-adique sur Z de l'exercice 21, où la petitesse de d(x, y) équivaut à la congruence de x et y modulo une grande puissance de p, et on retrouve les notions algébriques évoquées plus haut. De manière générale, la notion de distance se prête fort bien à la Géométrie (avec le langage des boules ouvertes ou fermées) du plan ou de la sphère notamment, et aussi à l' Analyse avec la résolution exacte ou approchée d'équations numériques ou fonctionnelles par la méthode itérative de Picard, et le concept d'espace métrique complet. Ce qui était à l'origine une propriété de certains espaces de nombres ou de fonctions (théorème de Riesz-Fischer par exemple) s'est révélé d'une importance telle (théorème de Baire entre autres) qu'on en a dégagé un axiome. La première notion (qui intervient quand la seconde se révèle insuffisante, cf par exemple le théorème de Tychonoff au chapitre III) est plus délicate et abstraite : on fixe x E X et on lui associe de façon plus ou moins arbitraire une famille de parties de X contenant x, baptisées voisinages de x. De façon très grossière, on dira que y est voisin de x si y E V, où V est voisinage de x; ici x et y ne jouent plus des rôles symétriques, x joue un rôle privilégié. On fait ainsi ce qu'on appelle de la topologie générale (c'est par là que nous commencerons) et il faut au début accepter un catalogue de définitions (ouvert, fermé, intérieur, adhérence, etc.); mais à l'usage, le langage de la topologie générale (recouvrement, compacité, connexité, dimension topologique, etc.) se prête lui aussi très bien à la Géométrie et à l' Analyse, même dans le cas des espaces métriques, lorsqu'on pourrait en principe s'en passer (cf par exemple chapitre III, exercice 17). Enfin, ce langage permet de concilier intuition et rigueur d'une façon remarquable ; nous le verrons tout au long des six chapitres qui suivent, mais il nous faut d'abord défricher un terrain un peu aride et dégager, comme nous l'avons dit, un certain nombre d'axiomes et de définitions.

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c

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@ ~

..c Ol

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>a. 0

u

20

1. Définitions générales; notations

1

DÉFINITIONS GÉNÉRALES; NOTATIONS

1.1

Ouverts, fermés, voisinages; intérieur, adhérence, frontière; partie dense

Soit X un ensemble ; on appelle topologie sur X une famille f7 de parties de X, appelées ouverts, telles que (0 1) (02 ) { (03)

toute réunion d'ouverts est un ouvert toute intersection finie d'ouverts est un ouvert 0 et X sont des ouverts.

Un exemple simple est celui où !Y = {0, X} mais cette topologie, appelée d'ailleurs topologie grossière, n'a aucun intérêt car elle a trop peu d'ouverts. Définition 1.1. !Y est dite séparée si

a* b

~ 3

u, VE g ;

a

E

u'

b

E

V'

un V= 0.

(04)

Une topologie séparée est donc une topologie qui a suffisamment d'ouverts pour distinguer les points de X, et on peut être tenté d'inclure (04 ) dans les axiomes des ouverts. La plupart des topologies qu'on rencontrera seront d'ailleurs séparées, et cette notion est stable par beaucoup d'opérations : produit, sous-espace, etc. ; malheureusement elle n'est pas stable par passage au quotient, ce qui force à la traiter à part dans la présentation générale de ce chapitre. • Si f7 est une topologie sur X, le couple (X,!'/) s'appelle un espace topologique. Souvent, on sous-entend f7 et on parle de l'espace topologique X. Un autre exemple extrême est celui de la topologie discrète : f7 = .9(X); elle vérifie évidemment (04 ), avec U = {a}, V= {b}.

"O 0

c

::J

0 N T"-f

0 N

@

;a; "O

c

::>

Ol

.,"' ,.,.,

>a.

;;

~

..c ï:::: 0

u

Proposition-Définition 1.2. Soit I c &(X); il existe une plus petite topologie f7 contenant I; elle s'appelle topologie engendrée par I et se note f7 (.E); de plus !7(.E) est constituée des unions d'intersections finies d'éléments de I

(I.1)

·E 0

= 0, n = X). "'0c (avec la convention U (1) (1) .,c ë. 0 0

u

0

Si I est« presque» stable par intersection, c'est-à-dire si

(I.1')

..c

o.

j -ci

A1,A2

E

I

et x

E

A, nA2

~

3A3 E .E;x E A 3 c A, nA2,

0

c

::>

0

@

!7(.E) est constituée de X et des unions d'éléments de .E . 21

Chapitre 2 • Espaces topologiques; espaces métriques

Démonstration. Toute intersection de topologies est une topologie (évident), donc t7 existe; soit t7' le second membre de (I.1); t7' est une topologie, car A 1 = u Ba et A2 = U Bfi entraîne A 1 n A2 = U(Ba n Bfi) où Ba, Bfi sont des intersections finies d'éléments de.E; t7 ::> t7', donc t7 = t7', ce qui prouve (I.l); (I.1') se prouve de même. D Définition 1.3. Soit t7 une topologie, L' c t7; l: s'appelle une base de t7 si tout élément de t7 est union d'éléments de L'. l: s'appelle une sous-base de t7 si t7 = t7(.E). En particulier, une famille l: contenant X et vérifiant (I.1') est une base de topologie.

Ces définitions serviront dans la suite. En voici d'autres.

• F c X est dite fermée si son complémentaire est ouvert : p c = X \ F E t7. Les fermés de X vérifient les propriétés suivantes :

{

(F 1) (F2 )

(F3)

toute intersection de fermés est un fermé une réunion finie de fermés est un fe1m é 0 et X sont des fe1més.

On note§" l'ensemble des fermés. • V c X s'appelle un voisinage de x E X si

3wEt7;

XEW,

wcV.

(I.2)

La famille 86'(x) des voisinages de x vérifie les propriétés suivantes :

"O 0

c

(Vi)

VE 86'(x), V' ::> V=:::} V' E 86'(x).

(V2)

Une intersection finie d'éléments de 86'(x) est dans 86'(x).

(V3)

V E 86'(x)

(V4)

(V VE 86'(x)) (3 W E 86'(x)); y E W

=:::}

x E V. =:::}

VE 86'(y).

::J

0

Ces propriétés sont évidentes; dans (V4 ), il suffit de prendre W = w, où w est comme dans (I.2).

N T"-f

0 N

• x EX est dit point isolé si {x} est ouvert, i.e. si {x} est voisinage de x. • x EX est dit point d'accumulation de X s'il n'est pas point isolé: tout voisinage de x contient d'autres points de X. Plus généralement, x EX est dit point d'accumulation de A c X si tout voisinage de x contient des points de A autres que x (x n'est pas forcément dans A).

@ ~

..c Ol

ï::::

>a. 0

u

0

•L' intérieur de A c X, noté A ou intA, est la réunion des ouverts contenus dans A, i.e. le plus grand ouvert contenu dans A; il est caractérisé par 0

xEAÇ::}3wEt7; 22

xEw,

wcA.

(I.3)

1. Définitions générales; notations

intA est donc aussi l'ensemble des points dont A est voisinage; intuitivement, c'est 1' ensemble des points qui sont dans A avec une ce11aine marge de sécurité. •L'extérieur de A , noté extA , est par définition int(Ac). Proposition 1.4. 0

1) X= X; 0

2) Ac A; 0

0

0

3) A= A; 0

0

0

4) (A n B) = A n B. 0

0

0

Démonstration. Posons w = (A n B); A n B est un ouvert contenu dans A n B, 0

0

donc dans w; w ouve11 est contenu dans A , donc dans A; de même w c B , ce qui donne 4). D •L' adhérence (ou fermeture) de A c X, notée A , est l' intersection des fermés contenant A, c'est-à-dire le plus petit fermé contenant A; elle est caractérisée par x

E

A

Ç::>

VV

E

36'(x) : V n A

*0 .

(I.4)

Intuitivement, A est l'ensemble des points qui sont tout près de A. Proposition 1.5 (duale de 1.4). 1) 0=0; 2) A c A;

"O 0

c

::J

3) A= A;

0 N T"-f

0 N

@

;a;

4) Au B =Au B.

"O

c

::>

Ol

.,"' Démonstration. Par définition, on a pour tout P c X : ,.,.,

>a.

;;

~

..c ï:::: 0

u

·E 0

- c

ë. 0 0

u

0 ..c

o.

j -ci 0

c

::>

0

@

0

P = (Pc) ;

"'0c .,c

0

-

(Pf = pc .

(I.5)

- -c -c -c - Donc AU B =[(AU B)c]=[Ac n Bc]=(Ac) n (Be)= A n B = (A U B)C, d'où 4) (on a utilisé I.4). L'exemple A = [0, l], B = ]l, 2] pour lequel A n B = 0 et An B = {l} montre que 1' inclusion A n B c A n B peut être stricte. D 0

0

0

0

23

Chapitre 2 • Espaces topologiques; espaces métriques

Proposition 1.6. 0

0

a) Ac B =}Ac B et Ac B; b) O 1, 0 2 E f/ et O 1 n 0 2 = 0 c) f/ séparée, x

EX==}

==}

O1 n 0 2 = 0 ;

{x}f ermé.

0

0

Démonstration. a) Ac A c B; comme Best le plus grand ouvert contenu dans B, 0

0

-

-

A c B; de même A c B.

b) 01 c

o~

o~

est fermé ; comme 01 est le plus petit fermé contenant 0,, on a o, c o~ et o 1 n 0 2 = 0. c) Si y :f:. x, il existe w E f/ tel que y E w , x t/. w; donc w est contenu dans {x}c, ce D qui montre que {x}c est ouvert. -

-

et

• La frontière de A c X , notée oA ou bA, est l'ensemble des points voisinage coupe à la fois A et Ac, soit encore :

X

dont tout

0

(1.6)

oA =A\ A

Intuitivement, oA est l'ensemble des points qui hésitent entre A et Ac. •A c X est dite dense dans X si A= X.

• X est dit séparable s'il contient une partie dénombrable dense. L' ensemble R des réels, avec la topologie f/ des réunions d'intervalles ouve1ts, est séparable puisque l' ensemble Q des rationnels est dénombrable et dense dans R (cf exemple 1) qui suit). Proposition 1.7. On a équivalence entre

a) A est dense dans X. "O 0

b) A coupe tout ouvert non vide w de f/.

c

::J

0

Démonstration. a) ==} b). Soit x E w ; x E A et w est voisinage de x, donc coupe A d' après (1.4). b) ==} a). Soit w = Ac ; w est un ouvert disjoint de A, donc w = 0 et A = X . D

N T"-f

0 N

@ ~

..c Ol

ï::::

>a.

1.2

Régularité, normalité

u

On a souvent besoin de propriétés de séparation plus fortes que ( 0 4), qui sera supposée avoir lieu dans tout ce sous-paragraphe.

0

• (X, f/) est dit régulier si pour tout fermé F et tout x t/. F , on peut séparer x et F par deux ouverts disjoints. Symboliquement cela s'écrit F 24

E

§

, x t/. F ==} 3 01 , 02 E f/ ;

x

E

01 , F

C

0 2 , 01 n 0 2 = 0 .

(1. 7)

1. Définitions générales; notations

•(X, 3") est dit normal si deux fe1més disjoints peuvent être séparés par deux ouverts disjoints. Symboliquement F 1, F 2 E § , F 1 n F 2 = 0 => 3 01 , 0 2 E !!7 ; { F 1 c 01 , F 2 c 0 2 , 01 n 0 2 = 0 .

(I.8)

Un point étant fermé d'après la proposition I.6, on voit que (X, !!7) normal => (X, !!7) régulier .

(I.9)

La proposition suivante est un critère simple mais utile. Proposition 1.8. Soit (X, !!7) un espace séparé.

a) On a équivalence entre : i) X est régulier; ii)

X

E

V, V

E

!!7 => 3

u E !!7 ;

X

uc uc

E

V.

b) On a équivalence entre : i)

X est normal;

ii) F c V, F

E §,

V

E

!!7 => 3 U

!!7; F c V c U c V.

E

Démonstration. b) i) => ii) : F et v c sont des fermés disjoints, donc il existe 0 1, 0 2 ouverts disjoints tels que F c 0 1, v c c 0 2 ; 0 1n 0 2 = 0 d'après I.6, donc 0 1 c V et U = 0 1 répond à la question. ii) => i) : si F 1, F 2 sont fermés disjoints, soit V = F~ et U E !!7 tel que F 1 c U c U c V; posons 01. = V , 02 =if; 01 et 0 2 vérifient (I.8); a) se prouve de même. D

"O 0

c

::J

1.3

0 N T"-f

0 N

@ ~

..c Ol

ï::::

>a. 0

u

Exemples

1) X = R, !!7 = famille des unions d' intervalles ouverts; la famille l: des intervalles ouverts contient R et est stable par intersection, donc !!7 est la topologie engendrée .,.,"' ,., par l: d'après (I.1'); !!7 peut aussi être définie par la distance d(x, y)= lx - yl, donc ·E ;; (cf IV) (R, !!7) est automatiquement normal, a fortiori séparé; si A est un intervalle ;a; "O

c

::>

0

"'0c .,c ë. 0 0

u

0

-

d'extrémités réelles a, b, on a clairement A= ]a, b[, A = [a, b], BA = {a, b}; si Q est l'ensemble des rationnels, montrons que (cf aussi chapitre I)

0

..c

o.

j -ci

0

Q =0;

(I.10)

Q=R.

(I.11)

0

c

::>

0

@

25

Chapitre 2 • Espaces topologiques; espaces métriques

Soit en effet a, b E lR avec a < b, et c= b-a; ajustons q EN* tel que V2 < c, et soit p q

V:- soit ~ a ; alors a < ~ Yi = (p - 1) V:- + V:- < a + c = b, donc ]a , b[ contient l'in·ationnel ~ Yi; cela prouve (I. 10) ; la même construction, où on remplace Yi par 1, montre (I.11); donc Q est dense dans lR et lR le plus grand entier tel que (p - 1)

est séparable, ce qui a précédemment été énoncé sans preuve. 2) X = [0, 1], !Y = !Y(E), où E est la famille des intersections d'intervalles ouverts

de lR avec X (on verra plus loin que !Y est la topologie induite par celle de lR sur X); soit Dl' ensemble des rationnels dyadiques de X (d E D {::::} d = ; , , k = 0 , 1, ... , 2n et n EN); alors D est dense dans X; soit en effet x EX et kn = [2nx], où []désigne la partie entière; alors kn2-n ED et kn2- n ~ x quand n ~ oo, d'où x ED et D = X . 0

3) Soit (IR, !Y) l'espace de l'exemple 1; on pose de façon générale œ(P) =P, f3(P) = 0

0

-

P; alors on peut trouver A c lR tel que les sept ensembles A, A, A, œ(A), f3(A), 0

œ(A), f3(A) soient distincts (c'est un maximum; cf exercice 1). Prenons en effet A = (Q n [0, l]) u [2, 3[ u ]3, 4] u {5} . Alors 0

A= ]2, 3[ u ]3, 4[

u [2, 4] u {5} œ(A) =JO, l[ u ]2, 4[

A = [0, 1]

f3(A) = [2, 4] 0

0

œ(A) =[B(A)]= ]2, 4[ f3(A) = œ(A) = [O, 1] u [2, 4] . "O

§

Il

Sous-ESPACE TOPOLOGIQUE; TOPOLOGIE INDUITE

11.l

Définition

0 N

,..-!

0 N

@ ~

Soit (X, 3'") un espace topologique, Ac X, et 5A = {w n A; w E !Y} =: !Y n A; on appelle sous-espace de (X, !Y) associé à A le couple (A, §A) et on dit que 5A est la topologie induite par !Y sur A (ou topologie trace de !Y sur A); cette définition est justifiée par le fait que 5A hérite des propriétés 01 , 02, 03. On notera §A l'ensemble des fermés de A.

"5i ï:::: ~

0

u

Exemple Il. 1. La topologie induite par la topologie de lR sur Z est la topologie discrète ; en effet, n E Z entraîne {n} = ]n - 1, n + 1[ n Z, donc 3Z = 9 (Z). 26

Il. Sous-espace topologique; topologie induite

La notion de topologie induite joue un rôle très impo1tant, notamment dans l'étude de la connexité ; il impo1te donc de bien se famüiariser avec elle ; voici une proposition qui va dans ce sens. Proposition 11.2.

a) (X, f/) séparé==} (A,

SA) séparé.

SA) sont les intersections avec A des fermés de (X, f/). Les voisinages de a E A pour SA sont les intersections avec A des voisinages de

b) Les fermés de (A, c)

a pour f/. d) Si Best une partie de A, l'adhérence de B pour rence de B pour f/.

3A est la trace sur A de l'adhé-

Démonstration. a) Soit a, b E A avec a =f:. b, U , V Un V = 0; posons u = Un A, v = V n A; u, v E SA, a

E E

f/ avec a E U, b E V,

u, b E v, un v

= 0.

b) Soit F une partie de A ; on voit que F fermé dans A signifie A\ F E 3"A c'est-à-dire A \ F = w n A pour un ouvert w E f/. Cela équivaut à F = A \ A n w = A n (X \ w) pour un ouvert w E f/, autrement dit F = A n G pour un fermé G E §'. c), d) Même méthode.

D

Remarque 11.3. Un ouvert d'un sous-espace n'est pas forcément un ouvert du

grand espace: {0} est ouvert dans Z, pas dans lR; de même [0, 1[= [0, 2] n] - 1, 1[ est un ouvert dans [0, 2], pas dans lR; le paragraphe suivant va préciser les choses.

11.2 Propriétés : transitivité; cas d'un ouvert ou d'un fermé Proposition 11.4 (transitivité). Soit (X, f/) un espace topologique, A c B c X.

Alors: "O 0

les topologies induites sur A par f/ et fl"s sont les mêmes.

c

::J

(II.1)

0 N T"-f

0 N

@ ~

..c Ol

ï::::

>a. 0

u

;a; "O

c

Démonstration. 3A est l'ensemble des w n A, w E f/; la topologie induite par f/8 sur A est l'ensemble des (w n B) n A = w n A, w E f/; ce sont les mêmes. D

::>

.,"' ,.,.,

Cette proposition, qui dit que la trace sur A de la trace sur B de f/ est la trace sur ;; A de f/, rappelle le théorème des trois perpendiculaires dans un espace de Hilbert. "'0c Voici deux cas particuliers où la topologie induite est facile à décrire. .,c

·E 0

ë. 0 0

u

0

Proposition 11.5. Soit (X, f/) un espace topologique.

..c

o.

j -ci 0

c

::>

a) Soit A un ouvert de X; alors P E b) Soit A un fermé de X; alors P

E

3A {:::}

P E f/ et P c A.

!FA {:::} P

E

§'et P c A.

0

@

27

Chapitre 2 • Espaces topologiques; espaces métriques

Démonstration. a) Si P E 3A, P = w n A, où w E f7 ; or A E f7, donc P E f7 ; si p E g et p c A' p = p n A E 3A. b) Même preuve, via la proposition II.2. D

111 NOTION DE LIMITE; CONTINUITÉ 111. l Limite et valeur d'adhérence d'une suite; suite extraite Soit (xn)n;;;.I une suite de points de (X,$"), e EX; on dit que (xn) converge verse (en abrégé Xn --7 f) OU que f est limite de (xn) Si (VVE

pg(f)) (3 no)

(V

n

~no)

: Xn

E

V.

(III. l)

Cette notion n'est raisonnable que dans les espaces séparés. Proposition 111.1 (unicité de la limite). Soit (X, !'/) un espace séparé. Si (xn) converge verse et t', alors e = t'.

*

Démonstration. Supposons e t'; soit u, V E !'/,disjoints, avec e E U, t' E V; d'après (III.l), il existe no, n~ EN tels que Xn EU pour n ~no et Xn E V pour n ~ n~; en particulier, Xno+n(i E U n V, ce qui est absurde. D

La notion suivante est un affaiblissement souvent utile de la notion de limite; on dit que eest une valeur d'adhérence de (xn) si (V VE pg(f)) (V no) (3 n ~ no); Xn E V .

(III.2)

Cette notion est reliée à celle de suite extraite : soit (xn)n;;;.1, (yk)k;;;. I deux suites de points de X; on dit que la suite (yk) est extraite de la suite (xn) s'il existe une suite strictement croissante n 1 < n2 < ... < nk < ... d'entiers telle que

"O 0

c

::J

0

Yk = Xnk '

N

k

E 1~î* ~

•

(III.3)

,..-!

0 N

Pour comparer ces deux notions, introduisons une définition.

@

• Une base de voisinages de e est une partie Cef' de pg(t) telle que tout élément de pg(t) contienne au moins un élément de Cef' ; si on peut prendre Cef' dénombrable, on dit que ea une base dénombrable de voisinages.

~

..c Ol

ï::::

>a. 0

u

Proposition 111.2. a) Si (yk) = (xnk) est extraite de (xn) et converge vers t, e est valeur d'adhérence de (xn).

b) Réciproquement, si e est valeur d'adhérence de (xn) et possède une base dénombrable de voisinages (Vk), il existe (yk) extraite de (xn) et convergeant vers e. 28

Ill. Notion de limite; continuité

Démonstration. a) Soit V E fg(t ), no E N* ; il existe ko entier tel que IJk E V pour k ~ ko, et il existe k 1 entier tel que ki ~ ko et nk1 ~ no; alors Xnk, = IJki E V. b) Posons Wk = Vi n ... n Vk; je dis qu' il existe (nk) telle que Xnk E Wk ,

(III.4)

(k = l, 2, ... ) .

En effet, (III.2) permet de trouver n 1 E N* tel que xn, E W1 ; ayant choisi n 1 < ... < nk vérifiant (III.4), on réapplique (Ill.2) avec V = Wk+ I, no = 1 + nk. pour trouver nk+ I > nk tel que Xnk+i E Wk+ l, ce qui prouve (Ill.4) par récun-ence ; montrons maintenant que (yk) := (xnk ) converge verse ; soit VE fg(t ); par hypothèse, il existe ko tel que Vk-0 c V ; et (Ill.4) montre que

D Voici déjà quelques exemples dans JR. • (xn ) = (~)converge vers O. • (xn) = (-l)ll ne converge pas, mais a pour valeurs d' adhérence 1 et -1; les suites extraites (x2k) et (x2k+ I) convergent respectivement vers 1 et -1.

• Si œ = 1+2../5 , (xn) = (cos 2mrœ) a pour valeurs d' adhérence le segment [-1, l]; si ( Pk ) est une suite de rationnels telle que lœ- Pk 1: :; ; \ , la suite extraite (xqk) converge qk qk qk ' vers 1. La proposition simple suivante décrit l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite. Proposition 111.3. Soit A l'ensemble des valeurs d'adhérence de (xn); alors A = OO

n Fn, où Fn = {xn , Xn+l

"O 0

n= I

c

::J

1 • • • }.

0 N T"-f

0 N

;a;

@

::>

~

..c Ol

ï::::

>a. 0

u

"O

c

Démonstration. Soit e E A, n EN* , V E fg(t); d' après (Ul.2), V coupe l'ensemble OO

{xn, Xn+ l 1 • • • } , donc

e E Fn ; n étant arbitraire, e E n1 Fn,, d' où A c

.,"' ,.,., inverse se montre de même .

OO

n Fn ; l'inclusion 1 D

·E 0 ;;

"'0c .,c ë. 0 0

u

Observons que, si on pose An = [n, oo[ n N, An1 n An2 = An3 où n3 = max(n1, n2), et que (III. l) s'écrit aussi

0

..c

o.

j -ci

(VVE fg(t)) (3 no)) (V n E An0 )

:

Xn E V .

(Ill.1')

0

c

::>

0

@

Ceci motive la généralisation suivante (due à H. Cartan) de la notion de suite. 29

Chapitre 2 • Espaces topologiques; espaces métriques

111.2 Limite et valeur d'adhérence suivant un filtre Définition 111.4. On appelle filtre sur un ensemble E une famille non vide / de parties de E vérifiant les trois propriétés suivantes : (01) (02) { (03)

A E / , B :) A => B E / A 1, A2 E / =>A 1 n A2 E / F E / => F -:F 0 .

Définition 111.5. Soit (X,$") un espace topologique, E muni du filtre / , on dit que

0

@

Démonstration. a) Il suffit de prendre V = {xo} dans (111.7). b) Soit Q un voisinage de h(xo) = g(yo); il existe W g(W) c Q et f (V) c W ; d'où h(V) c g(W) c Q.

E f,8(yo)

et V

E f,8(xo)

tels que

31

Chapitre 2 • Espaces topologiques; espaces métriques

c) (=:::})Soit xo E 1- 1(w), où w est ouvert; w est voisinage de f(xo), donc il existe VE 88(x0 ) tel que /(V) c w, i.e. V c 1- 1(w); 1- 1(w) est voisinage de chacun de ses points, donc ouvert. 0

({::::)Soit xo EX, W E 88(yo), w =W, V= f - 1(w); V est ouvert et contient xo, donc V E 88(xo) et f (V) c W. d) Découle de c) et de l'identité f- 1(Bc) = [f- 1(B)]C. e) Découle de d) et du fait que {y} est fermé. f) A c

f - 1(/(A)) c / - 1(/(A)),

et ce dernier ensemble est fe1mé, comme image réciproque d'un fermé par f continue; donc A c 1- 1(/(A)) et f(A) c f(A).

g) Soit W E 88(f)); il existe VE 88(l) tel que f(V) c W et FE , / tel que a.

si f(x) = Arctgx, f(R.) =] - ~ , ~ [n' est pas un fermé.

0

u

On donne d'ailleurs un nom aux applications ayant de bonnes propriétés d'image directe.

• f:

X~

•f :X 32

Y est dite ouverte si l'image par f d'un ouvert de X est un ouvert de Y.

~ Y

est dite fermée si l'image par f d'un fermé de X est un fermé de Y.

Ill. Notion de limite; continuité

Ces applications jouent un rôle impo11ant en Analyse (calcul différentiel, fonctions holomorphes, théorie des opérateurs, etc.). Voici une autre définition fondamentale. Définition 111.12.

f: X~

Y est appelée un homéomorphisme si

a)

f est une bijection continue de X sur Y ;

b)

Y ~ X est continue. (On dit aussi quel est bicontinue). S'il existe un homéomorphisme entre X et Y, X et Y sont dits homéomorphes.

f-1

:

La condition b) n'est nullement une conséquence automatique de a), comme le montre l'exemple suivant.

u {2},

Y = ]0, l], l(x) = x si 0 < x < 1 et 1(2) = 1 ; l est une bijection continue de X sur Y, car 2 est isolé dans X; mais f- 1 n'est pas continue en 1 : f - 1 (1 - ~) = 1 - ~ tend vers 1, alors que f - 1(1) = 2. Cet exemple réapparaîtra au chapitre IV. Exemple 111.13. X = ]0, 1[

Puisque la continuité de 1- 1 n'est pas automatique, il est intéressant d'avoir des critères qui l'entraînent. Proposition 111.14. Soit l: X~ Y une bijection continue.

a) On a équivalence entre : i) f est ouverte ; ii) f est fermée; iii) lest un homéomorphisme. b) Si X et Y sont des ouverts de )Rn usuel,

"O 0

c

::J

0 N T"-f

0

1-I est automatiquement continue.

Démonstration. a) i)::::} ii). Soit Fun fermé de X; (l(F)Y = f(Fc), donc (f(F)Y est ouvert, et f (F) fermé. ii) ::::} iii). Soit g = f - 1, F un fermé de X; g- 1(F) = l(F) est fermé, donc g est continue. iii)::::} i). Soit w un ouvert de X; l(w) = g- 1(w) est ouvert dans Y.

N

;a;

@ Ol

c b) La preuve est difficile (sauf pour n = 1) et repose sur le théorème de l'invariance ::> .,.,"' du domaine de Brouwer (cf [Du]): ,.,

>a.

;;

~

..c ï:::: 0

u

"O

·E 0

"'0c .,c ë. 0 0

u

0 ..c

o.

j -ci 0

c

::>

0

@

soit w, w' deux parties homéomorphes de ]Rn { alors w et w' sont simultanément ouvertes .

;

3 (III. )

Pour voir comment prouver b) en admettant (III.8), se reporter au théorème III.8 du chapitre 6. D Le cas n = 2 de (III.8) sera prouvé au chapitre VI ; cf aussi exercice 3. Pour n = 1, cf exercice 11 chapitre IV. Pour n quelconque, cf [Du] . 33

Chapitre 2 • Espaces topologiques; espaces métriques

111.4 Exemples 1) Soit, pour n EN, (Pn) : [0, l] Po= 0 et Vx

E

-7

[0, 1],

lR la suite de polynômes définie par: 1 2 Pn+1(x) = Pn(x) + l(x - Pn(x) ).

M.ontrons que cette suite converge (uniformément) pour x E [0, l]. Sous-entendons provisoirement la dépendance en x des Pn et posons En = Pn; les relations EO = et En+L = En(l - 4C + Pn)) montrent par récurrence que En est positif (de façon équivalente, Pn ~ yx); d'où Pn+l ;;;:: Pn;;;:: ... Po= 0, et

yx

yx -

yx

fr

fr.

f

On en déduit que En ~ Eo( 1 = 1Posant 1 = s, on voit que En ~ 2sn(l - s) ~ 2 s up 0 ~ 1~ 1 fl(l - t); un calcul de dérivée montre que ce sup est atteint en tn = n~ l et que donc x E [O, 1] implique 0

~

vx(

r: - Pn(x) En(x) = -VA-

~

2(1 - tn) = - 2- . n+l

yx

On voit ainsi que la suite numérique Pn(x) converge vers et même que la suite de polynômes Pn converge vers la fonction continue uniformément sur [0, l]. Ce fait est souvent utilisé dans la preuve du théorème de Stone- Weierstrass.

yx

2) Si A est l'ensemble des valeurs d'adhérence de (xn) c X, A est fermé d'après la proposition III.3; on va voir que ce fermé est arbitraire quand X = lR (par un raisonnement qui vaudrait dans tout espace métrique séparable, sauf si F = a.

;;

~

..c ï:::: 0

u

Théorème 111.1 5. Soit X un espace topologique et f : X ~ r continue non surjective. Alors, il existe g: X~ lR continue telle que f = eig (en d'autres termes, fa un logarithme continu).

·E 0

"'0c .,c ë. 0 0

u

0

..c

o.

Démonstration. Supposons d'abord que f évite la valeur 1 Er; alors g = h- 1 0 f est une application continue de X dans ]0, 2n[, donc de X dans IR, telle que eig = ho g = h 0 h- 1 0 f = f. Supposons ensuite que f évite la valeur eia E r; alors f e-ia évite la valeur 1, donc il existe go : X~ lR continue telle que f e-ia = eigo; d 'où f = eig, avec g = œ + go. D

j -ci 0

c

::>

0

@

7) Soit X un evn, Y sa boule unité ouverte, f(x) = l +~.x1I ; f est un homéomorphisme de X sur Y.

35

Chapitre 2 • Espaces topologiques; espaces métriques

Soit en effet y E Y; l'équation I+~xll =y se résout en prenant d'abord les n01mes : nxll -- 11 , . l +llxll Y11 , d' ou' Ilx Il -- Hllylllyll ·, c ' est poss1"ble car Ily Il < 1 ·, revenant a~ l',equation, on trouve x = y(l + llxll) = 1 ~riyll ; f est donc une bijection de X sur Y, et f- 1(y) = 1 ~riyll ; cette formule explicite montre que 1- 1 est continue, f l'étant évidemment aussi. 8) Projection stéréographique : soit X = s n \ {en+d la sphère euclidienne de !Rn+ l privée de son « pôle nord» en+I et Y= {y E JRn+ 1; (y/en+1) = 0} homéomorphe à !Rn; 1 l'application f : X~ Y définie par f(x) = en+l + 1 _~"(j"+ ) est un homéomorphisme , X en+I de X sur Y, appelé projection stéréographique; cf chapitre VI. 9) Lettres de l' alphabet. Le lecteur s'entraînera à montrer que les lettres de chaque ligne sont des figures homéomorphes, et que les lettres de deux lignes distinctes n'en sont pas; pour les résultats négatifs, on peut s' aider de la notion de bout d'un espace topologique (cf chapitre IV). A R B E

IV

c

F I

D

0

T

y

J

L

M

N

S

u

V

w z

ESPACES MÉTRIQUES

IV.1 Écarts, métriques, boules • Un écart sur X est une application (E1) (E2) { (E3)

"O 0

c

::J

o : X2 ~ [0, oo] telle que

o(x, y)= o(y, x) , V x , y EX (symétrie) o(x, x) = 0, V X E X o(x, z) ~ o(x, y)+ o(y, z) , V X , y, z E X (inégalité triangulaire).

Si oest à valeurs dans JR+ = [0, oo[, on dit que c'est un écart fini; si la réciproque de (E2 ) est vraie, au sens où o(x, y) = 0 entraîne x =y, on dit que c'est un écart séparé.

0 N ,..-!

0 N

• Une distance (ou métrique) sur X est une application d: X2 ~ JR+ telle que

@ ~

_c

Ol

ï::::

>a. 0

u

{

(D1) (D2)

(D3 )

d(x, y)= d(y, x) , V x, y EX d(x, y) = 0 {::} x = y d(x, z) ~ d(x , y) + d(y, z), V x, y, z EX.

Autrement dit, une distance est un écart à la fois fini et séparé. Un exemple fondamental est le suivant: ô1(x, y) = l/(x) - /(y)I avec f : X ~ C; Of est un écart fini; c'est une distance si f est injective. Toute distance est obtenue à partir des of, comme le montre la proposition suivante. 36

IV. Espaces métriques

Proposition IV.1.

a) Soit (ôi)iel une famille d'écarts sur X et ô = supôi; ô est un écart. b) Soit d une distance sur X; il existe une famille A d'applications de X dans IR telle

que d = supf eA ÔJ.

Démonstration. a) (E 1), (E2 ) sont évidents; soit x, y, z EX, i E I; alors : ôi(x, z) ~ ôi(x, y)+ Ôï(IJ, z) ~ ô(x, y) + ô(y, z), d' où en passant au sup sur 1: ô(x, z)

~

ô(x, y)+ ô(y, z).

b) Soit A = {f : X ~ IR; lf(u) - f(v)I ~ d(u, v), V u, v E X}. Par définition, supfeAÔJ ~ d. Soit x EX et g(u) = d(u, x). On va montrer que g E A, soit que

ld(u, x) - d(v , x)I

~

d(u, v) .

(IV.1)

En effet d(u, x) - d(v, x) ~ d(u, v) + d(v, x) - d(v, x) = d(u, v), et de même d(v, x) d(u , x) ~ d(u, v); d'autre part g(x) = 0 et g(y) = d(x , y), donc supfeAô1(x, y) ~ lg(x) - g(y)I = d(x , y), d' où le résultat. D Soit (X, d) un espace métrique, a EX, r > O. On définit

B(a, r) = {x; d(x, a) < r} = boule ouverte de centre a et de rayon r . B(a, r) = {x; d(x, a)

c

::J

0 N T"-f

N

@ ~

..c Ol

ï::::

>a. 0

u

r} = boule fermée de centre a et de rayon r .

On prendra garde de bien distinguer la boule fermée B(a, r) et l'adhérence de la boule ouverte B(a, r) qui sera définie plus loin ; on a toujours B(a, r) c B(a, r), mais l'inclusion peut être stricte (cf exercice 5). Voici un moyen de fabriquer des distances sur X à partir d ' une distance donnée.

"O 0

0

~

;a;

•Une jauge est une application

0 si u > 0;

0; B(x , s) rencontre A en a; et dA(x) ~ d(x, a) < s; s étant arbitraire, dA(x) = 0; la réciproque est immédiate. D 38

IV. Espaces métriques

Les fonctions dA vont permettre de montrer que tout espace métrique a une propriété de séparation bien plus forte que (IV.3). Proposition IV.4. Tout espace métrique X est normal; plus précisément, si A et B sont des fermés dfajoints de X, il existe f : X ~ IR continue telle que

flA = 0 ;

fis = 1 ;

0

~

f

~

1.

(IV.4)

Démonstration. On peut supposer A, B non vides; notons que dA(x) + ds(x) est> 0 pour tout x EX; en effet, dA(x) + ds(x) = 0 ::::} dA(x) = ds(x) = 0 ::::} x E An B = An B, contrairement à l'hypothèse; la formule f = dA~d 8 définit donc f : X ~ IR continue, à valeurs dans [0, l]; de plus, si x E A, dA(x) = 0 et f(x) = 0; et si x E B, f(x) = ~~i~~ = 1, d'où (IV.4), qui est une propriété plus forte que la normalité ;

posons en effet U = {f < 4}, V = {f > 4}; U, V sont ouverts disjoints et A c U, Be V. D Remarque IV.5. a) (IV.4) n'est qu'en apparence plus fort que la normalité; on

verra au chapitre III (théorème d'Urysohn) que tout espace normal vérifie cette propriété. b) (IV.4) permet de démontrer l'important théorème de prolongement de Tietze: si X est un espace normal, A un fermé non vide de X,

a.

Définition IV.9. Si X, Y sont métriques, continue si

0

u

f :

X

(VE> 0) (3 ô > 0) (V x, x' EX) : d(x, x') ~ ô

~

=:::}

Y est dite uniformément

d(/(x), /(x')) ~

E.

(IV .5)

Cette notion, qui fait intervenir les distances de X et Y (notées de la même façon pour ne pas alourdir les notations), est une notion métrique, non pas topologique, 40

IV. Espaces métriques

même si à l'évidence la continuité unifo1me implique la continuité. Le ô de (IV.5) s'appelle un module de continuité uniforme pour/, et se note w(f, s). On a l'analogue de IV.8 pour les fonctions uniformément continues. Proposition IV.1 O. Soit X, Y métriques et f:

X~

Y. On a équivalence entre :

a) f est uniformément continue. b) V (xn), (X,), d(xn,

x~) ~

c) V (xn), (x~), d(xn, ~) la suite des entiers.

~

0 ==} d(f(xn), /(x~))

~O.

0 ==} d(f(xnk), f(x~k))

~

0, où (nk) est une sous-suite de

Démonstration. a) ==} b). Soit s > 0, ô = w(f, s), no tel que d(xn, n ;;;:: no; alors n;;;:: no entraîne d(f(xn), /(x~)) ~ s. b) ==} c). Évident.

x~) ~

ô pour

c) ==}a). Supposons f non uniformément continue; la négation de (IY.5) s'écrit (3 s > O)(V ô > 0)(3 x, x' EX); d(x, x') ~ ô et d(f(x), /(x')) > s .

(IV.5')

Donnant à ô les valeurs 1, ~' ... ,~' ... on trouve Xn, ~ E X avec d(xn, ~) ~ ~ et d(f(xn), /(x~)) > s; d(xn, x~) ~ 0, mais la suite d(f(xn), /(x~)) ne contient aucune D sous-suite convergeant vers zéro, d'où le résultat. La proposition IV.10 permet une preuve très courte du théorème de Heine (cf chapitre III), et parfois de montrer rapidement qu'une application n'est pas uniformément continue; soit par exemple f : IR ~ IR définie par /(x) = sin(x2); soit Xn = .yiiii,

~

=

~mr + i; Xn-X~ ~ 0, mais lf(xn) - /(x~)I

= 1; f n'est donc pas uniformément

continue (cf exercice 13). "O 0

IV.4 Diverses notions d'équivalence des métriques

c

::J

0 N T"-f

0 N

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Ol

.,"' ,.,.,

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u

0

..c

o.

j -ci 0

c

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0

@

Soit (X, 3'") un espace topologique; 3'" peut ne pas être définie par une métrique sur X, ou être définie par une ou plusieurs métriques (on dit alors qu'elle est métrisable; cf chapitre III); par exemple, la topologie usuelle sur IR peut être définie par d(x, y) = lx - yl, mais aussi par 2d, l~d' d'où d'(x, y) = 1Arctg x - Arctg yl; ces métriques sont donc en un sens équivalentes, mais il convient de préciser; on désignera par i l'identité de X dans X. • d 1 , d 2 sont dites topologiquement équivalentes si les topologies associées 51 et .92 sont les mêmes; cela revient à dire que toute d 1- boule ouverte est réunion de d2-boules ouvertes et réciproquement; ou encore (et c'est souvent plus maniable) que i : (X, 51) ~ (X, .92) est bicontinue; en effet, si cela a lieu, pour w E .92, i- 1(w) = w E 31; d'où .92 c 51 et de même 51 c .92; la réciproque est immédiate. 41

Chapitre 2 • Espaces topologiques; espaces métriques

Voici un exemple: X= JR, di (x, y)= lx-yl, d2(x, y) = 1 Arctg x-Arctg yl; la fonction Arctg étant un homéomorphisme de lR sur] - ~ , ~ [,on voit que i: (X, di)~ (X, d 2 ) est bicontinue. • d 1, d 2 sont dites uniformément équivalentes si i: (X, di)~ (X, d 2 ) est uniformément continue ainsi que son inverse. Voici un exemple : X = JR, d 1(x, y) = lx - yl, d2(x, y)= lx - yla, où 0 A

E

32 ,

3}) si

(i.e. ,9j c

32) .

(V.1)

0

..c

o.

j -ci 0

c

::>

0

@

Intuitivement, plus une topologie est fine, plus elle a d'ouverts, de fermés, de voisinages, etc. ; la topologie grossière est comme son nom l'indique la moins fine possible ; la topologie discrète est au contraire la plus fine puisqu'elle contient toutes les 45

Chapitre 2 • Espaces topologiques; espaces métriques

paities de X; mais elle est en un sens trop fine pour être intéressante : si l'on veut être près de x, il faut carrément être égal à x. La remarque (évidente) suivante relie la comparaison des topologies et la continuité des applications. Remarque V. 1. Soit

l :X

~ Y

une application,

31

et

3'i des topologies

sur X,

f!i;' et t7{ des topologies sur Y.

31) ~ (Y, f7i' { j : (X, 3'2) ~ (Y, ~) l.:

(X,

)

1

continue,

3'i ~ 31, t7{ ::::; !Y]' =>

(V.2)

continue .

Autrement dit si on raffine au départ et si on épaissit à l'arrivée, on ne peut qu'accroître la famille de fonctions continues ; (V.2) est évidente : on a par hypothèse l- 1(f!i;') c 31, d'où l- 1(5'"{) c l- 1(f!i;') c 31 c 3'2.

V.2 Topologie initiale, finale, quotient On rencontre souvent l'une des situations suivantes : X est un ensemble, (Yi, 3';) une famille d'espaces topologiques et on s'est donné, pour chaque i E I (V.3)

ou (V.4)

On veut munir X, de la manière la plus économique possible, d'une topologie t7 rendant continues toutes les fi ; la remarque (V.2) nous indique déjà que si t7 convient, toute topologie plus fine convient aussi ;

"O 0

c

{ il est donc naturel de choisir t7 la moins fine possible.

::J

0

(V.3')

N T""f

0

si t7 convient, toute topologie moins fine convient aussi;

N

@

{ il est donc naturel de choisir t7 la plus fine possible.

~

..c Ol

(V.4')

ï::::

>a.

La possibilité de tels choix est montrée par les deux propositions suivantes :

0

u

Proposition V.2.

a) Dans (V.3), il existe sur X une topologie t7 moins.fine que toutes les autres rendant les f;, continues ; on l'appelle topologie initiale sur X associée aux f;,, Yi; une base E de cette topologie est constituée des intersections finies n t;- 1( Ui), où ui E 3';. l

46

V. Produit d'espaces topologiques

b) On suppose les

3i séparées et la famille x

=F

x'

=:::}

(Ji) séparante au sens où

3 i E l ; Ji(x)

=F

Ji(x');

alors 3" est séparée. c) 3" jouit de la propriété universelle suivante: si (Z, 32) est un espace topologique et g une application de Z dans X, g est continue si et seulement si les Jiog : Z ~ Yi sont toutes continues. Démonstration. a) Si une topologie convient, elle doit contenir tous les h- 1(Ui), Ui E 3;, donc être plus fine que 3"(.E); et 3"(.E) rend chaque fi continue, elle est donc la moins fine des topologies répondant à la question.

b) Supposons x =F x'; il existe i E I tel que li(x) =F li(x'); puisque 3i est séparée, il 1(Ui), existe Ui, Vi E !Ji tels que Ji(x) E Ui, Ji(x') E Vi, Ui n Vi = 0; posons U = V= 1;- 1(Vi); par définition, u, VE 3", XE U, y E V et un V= h- 1(Ui n Vi) = 0; 3" est donc séparée.

1;-

c) g est continue si et seulement si g- 1(3") c 32; il revient au même de dire g- 1(.E) c 32, ou encore g- 1(h-1(Ui)) c 32, pour tout Ui E 3;, i E I; cela revient à demander (fi o g)- 1(3;) c 32, V i, soit encore à demander que toutes les fi o g : Z ~ Yi soient continues. D Proposition V.3.

a) Dans (V4), il existe sur X une topologie 3" plus.fine que toutes les autres rendant les Ji continues ; on l'appelle topologie finale sur X associée aux Ji, Yi. b)

3" jouit de la propriété universelle suivante : si (Z, 32) est un espace topologique et g une application de X dans Z, g est continue si et seulement si les go Ji : Yi sont toutes continues.

"O 0

c

~

Z

::J

0

1;-

Ol

1 (U) E 3;, V i}; 3" est une topologie Démonstration. a) Soit 3" = { U c X; ;a; rendant continues les Ji, donc répond à la question ; si 3"' est une autre topologie c ::> convenable, soit U E 3"', i E l; fi : (Yi, 3;) ~ (X, 3"') est continue, donc h- 1(U) E .,.,"' ,., 3;, i.e. U E 3"; 3" est donc la plus fine des topologies répondant à la question .

>a.

;;

N T"-f

0 N

@ ~

..c ï:::: 0

u

"O

·E 0

"'0c .,c ë.

0 u 0

b) Si g est continue, les go Ji aussi ; réciproquement, si les go Ji sont toutes continues, 1 1(W)) = (g o 1i)- 1(W) E 3i; donc par définition soit W E 32 et i E I ; g- 1(W) E 3" et g est continue. D

1;- cg-

0

..c

o.

j -ci 0

c

::>

0

@

La proposition V.3 admet l'important cas particulier suivant : Y est un espace topologique, Rune relation d'équivalence sur Y, X est l'espace quotient ~ et cr : Y~ X la surjection canonique. On dira que Ac Y est saturée si cr- 1 [cr(A)] =A.

47

Chapitre 2 • Espaces topologiques; espaces métriques

Proposition V.3.bis.

a) Il existe sur X une topologie !Y plus fine que les autres rendant cr continue; on l'appelle la topologie quotient (de !Yr par R) ; elle se déc rit ainsi : w E !Y {::} cr- 1(w)

E

!Yy.

b) Si deux classes d'équivalence düjointes peuvent être séparées par des ouverts

saturés düjoints, !Y est séparée (et réciproquement). c)

!Y jouit de la propriété de relèvement suivante :

z 9 continue {::} 9 o cr continue.

Démonstration. a) et c) sont des cas particuliers de la proposition V.3, quand il y a une seule application f;,; seul b) est à démontrer. Soit a, b E X, distincts; a = cr(x), b = cr(y), où cr(x), cr(y) sont disjointes en tant que parties de Y; il existe donc des ouverts saturés V, V de Y avec cr(x) c V, cr(y) c V, V n V = 0; par définition cr- 1 [cr( V)] = V et cr- 1 [cr(V)] = V, donc cr( V) et cr(V) sont des ouverts de !Y contenant respectivement a et b; de plus cr- 1 [cr(U) n cr(V)] = cr- 1(cr(U)) n cr- 1(cr(V)) = V n V = 0, donc cr( V) n cr(V) = 0 car cr est surjective; cela montre bien que (X, !Y) est séparé. La réciproque est facile. D

"O 0

c

::J

0 N

ï::::

Exemple de topologie quotient; grassmannienne rk. Soit (e1, ... , en) la base canonique de !Rn euclidien, k un entier entre 1 et n - 1 ; on note Ek le sous-espace engendré par e 1 , .•• , ek. O(n, k) le sous-groupe de O(n) constitué des g tels que g(Ek) = Ek. r k l'ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension k de !Rn ; on

0

munit rk d'une distance den posant

,..-!

0 N

@ ~

..c Ol

>a.

u

d(E, F) = inf {Il/ -

gll;

g E O(n), g(E) = F} .

(V.5)

Vérifions par exemple 1' inégalité triangulaire d(E, G) : :; ; d(E, F)+d(F, G) ; soit s > 0, 91 et 92 E O(n) tels que 91(E) = F, 92(F) = G et Ill - 91 Il : :; ; d(E, F) + s, Ill - 9211 : :; ; 48

V. Produit d'espaces topologiques

d(F, G) + s. Alors 92 91

E

O(n) et 92 91(E) = G, donc

d(E, G):::;;; Ill - 92 9ill =Ill - 91 + (l - 92) 9Jll:::;;; Il l - 9111 +Il(! - 92) 9ill

: :; ; Ill - g1ll +Ill - g2ll:::;;; d(E, F) + d(F, G) + 2s;

s étant arbitraire, on a le résultat. Considérons d'autre pait sur O(n) la relation d' équivalence des classes à gauche selon O(n, k) pour laquelle la classe d'équivalence g de g E O(n) est g O(n, k); nous allons voir que

(fki d) est homéomorphe à l'espace topologique quotient

O(n) O(n, k)

(V.6)

(Observons au passage que, pour k = 1, cet espace quotient n'est autre que l'espace projectif réel Pn- 1). Définissons pour cela T : ~~~k) --7 rk par T(g) = g(Ek); Test bien définie, car si 9' équivaut à g il s'écrit gy avec y E O(n, k), si bien que g'(Ek) = 9[y(Ek)] = 9(Ek); T est injective car T(g1) = T(g2) implique 91 (Ek) = 92(Ek) soit 92 1 91 (Ek) = Ek et 92 1 91 = y E O(n, k). On en déduit 91 = 92Y et {J1 = {J2; T est surjective car tout E sous-espace de dimension k s'écrit 9(Ek) = T(g), pour un 9 E O(n) convenable; si a- : O(n) --7 ~~~·k) est la smjection canonique, on a par définition T oa- = S, où S : O(n) --7 [k est définie par S (9) = 9(Ek); si 91, 92 E O(n), g29[ 1 91(Ek) = 92(Ek),doncd(S(91),S(92)):::;;; ll/ -929[ 1 11=1191-9211,cequimontre que S est continue; d'après la propriété de relèvement de la proposition V.3 bis, Test continue aussi; cela montre déjà que ~~~k) est séparé (cf aussi exercice 19); soit en effet x, x' E ~~:k) distincts; T(x) =f:. T(x') donc (tout espace métrique étant séparé) il existe des ouverts disjoints w, w' contenant respectivement T(x) et T(x'), et r- 1(w), r- 1(w') sont des ouverts disjoints contenant respectivement x et x'; or, en anticipant sur les résultats du chapitre III, O(n) est compact, donc son image continue et séparée ~~~k) l'est aussi, et T est automatiquement un homéomorphisme.

"O 0

c

::J

0

V.3 Produit de topologies; cas des produits finis

N T"-f

0 N

@ ~

..c Ol

ï::::

>a. 0

u

;a;

Soit (Xi, tii)iEI une famille d'espaces topologiques, X = Il Xi le produit cartésien .,"' des X;, Pi : X --7 Xi la projection canonique qui à un point associe sa coordonnée ,.,., ·E d'indice i. "O

c

::>

0

;;

"'0c .,c ë. 0 0

u

0

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o.

j -ci 0

c

::>

0

@

•On appelle topologie produit des tii la topologie initiale t7 sur X associée aux Pi· Xi, c'est-à-dire la topologie la moins fine rendant les Pi continues . D'après la proposition V.2, une base E de t7 est constituée des intersections .n pj 1(wï), où J est une paitie finie de l, w; E t7; soit encore des II Wi x II Xi, ~]

~]

~]

appelés ouverts élémentaires ; E étant stable par intersection, tout ouve1t est réunion d 'ouverts élémentaires. 49

Chapitre 2 • Espaces topologiques; espaces métriques

Proposition V.4.

a) Si les (Xi, 3j') sont tous séparés, l'espace produit l'est aussi. b) Soit (E, /)un ensemble muni d'un .filtre et 'P = ('Pi) : E = (fi) si et seulement si chaque 'Pi converge vers ei.

--7

X;

'P

converge vers

e

c) Soit f = (fi) une application de (Z, ment si chaque fi est continue.

32) dans (X, 3"); f

d) Une base de la topologie produit de (X 1 , 5j), . .. , (Xn, . . . X Wn, où Wi E 3j, 1 ~ i ~ n.

est continue si et seule-

~)est constituée

des w 1 x

Démonstration. a) Par définition, les projections canoniques Pi séparent les points de X, donc il s'agit d' un cas particulier de la proposition V.2 b). b) Si 'P tend vers e, 'Pi = Pi of tend vers Pi(l) = fi, d'après la proposition 111.9; si réciproquement chaque 'Pi tend vers li, soit V un voisinage de e; V contient un ouvert élémentaire u = II Wi X II xi contenante, donc ei E Wi, i E J; pour chaque i E J, il iE]

existe Fi

E /

i~J

tel que ip(Fi) c wi ; soit F = .n Fi ; F

E /,

comme intersection finie

LE]

d'éléments de / , et ip(F) c U c V, donc 'P converge verse. c) C'est un cas particulier de b); puisque fi= la proposition V.2 c).

Pi

of, c'est aussi un cas particulier de

d) Si les espaces sont en nombre fini, la base E décrite plus haut n'est autre que l'ensemble des w 1 x ... x Wn, où chaque wi est ouvert dans 3j. D On prendra garde au fait que la description de d) ne s'étend pas au cas d' un produit infini d'espaces ; dans ce cas, un élément de E s'obtient en restreignant un nombre fini de coordonnées seulement.

"O 0

c

::J

0

V.4 Exemples

N T'-f

0

Ol

1) La topologie produit n fois par elle-même de la topologie usuelle de R s'appelle la topologie usuelle sur Rn ; il est clair qu'elle peut être définie par la norme sup : llxlloo = sup lxil six = (x1, ... , xn ); la boule B(a, r) est en effet l'ouvert élémentaire

>a.

II]ai - r,ai + r[; cette topologie peut d'ailleurs (cf chapitre III) être définie par

N

@ ~

..c ï::::

n

0

u

i=l

n' importe quelle norme sur Rn. 2) La topologie usuelle 3" sur Rn peut aussi être définie par la métrique d(x, y) = n

L:

lx1 - Y11°\ où œ1, ... , Œn E]O, l]. En effet, il est clair que i : (Rn, 3")

J=l

est bicontinue. 50

--7

(R n, d)

V. Produit d'espaces topologiques

3) Soit (X, .9") l'espace produit {-1, üN* où chaque facteur est muni de la topologie discrète; si x = (é:n(x))n;;;.I E X, une base de voisinages de x est constituée des ensembles VN = {y EX; é:n(Y) = é:n(x), 1 ~ n ~ N}

où NE N* . En particulier, X n'est pas discret (alors qu'un produit fini d'espaces discrets est discret), il est infini et compact et c'est un avatar de l'ensemble triadique de Cantor (cf chapitre III); la topologie de X peut être métrisée (comme c'est d'ailleurs le cas pour tous les produits dénombrables d'espaces métriques) par (V.7)

d(x, y) = sup (œn lé:n(x) - ên(Y)I) n)I

où (œn) est une suite fixe de réels > 0 qui tend vers zéro; montrons en effet que i : (X, .9") ~ (X, d) est bicontinue; fixons x E X, ê > 0; il existe no tel que n > no entraîne Œn ~ ~ ; alors y E Vn0 entraîne d(x, y) = supn>no Œnlé:n(x) - ên(Y)I ~ 2 supn>no Œn ~ ê, ce qui montre que i est continue en x; fixons maintenant no, et soit ê < 2 minn~no Œn; alors d(x, y) ~ ê entraîne Œnlé:n(x) - ên(Y)I < 2œn pour n ~ no et donc é:n(x) = é:n(Y) pour n ~no, i.e. y E Vn0 , ce qui montre que i- 1 est continue en x. On prendra garde au fait que la métrique p(x, y) = supn)l lt:n(x)- &n(Y)I ne définit pas sur X la topologie .9", mais la topologie discrète! En effet, p(x, y) = 2 six* y, 0 si x =y; c'est d'ailleurs un phénomène général : la topologie discrète sur un ensemble E est dé.finie par la «métrique discrète» h: h(x, y) = 1 six* y, 0 six= y. OO

4) Soit X l'espace précédent et f : X

~

C définie par f(x) = Lan é:n(x), où (an)n)l 1

OO

est une série absolument convergente :

L lan

1

< oo ; alors

f

est continue ; posons en

1 "O 0

c

::J

0 N T"-f

0

effet un(x) = an é:n(x); un est continue sur X car é:n (qui n'est autre que la projection canonique Pn) l'est; de plus llunlloo = supxEX lun(x)I = lanl, donc la série J: Un est normalement convergente, et sa somme f est continue sur X ; cette propriété a des applications intéressantes.

N

;a;

@

::> 5) Soit X un espace séparé; alors la diagonale li de X x X est fermée dans X x X. Soit .,.,"' ,., en effet (a, b) tt li; a b, donc il existe des ouverts disjoints U, V tels que a E U, ·E 0 ;; b E V; Ux V est un ouvert élémentaire contenant (a, b), disjoint de li, donc voisinage "'0c de (a, b) dans tic; cela montre que tic est ouvert, et li fermé. .,c

~

..c Ol

ï::::

>a. 0

u

"O

c

*

ë. 0 0

u

0

..c

o.

j -ci 0

c

::>

0

@

51

Chapitre 2 • Espaces topologiques; espaces métriques

Exercices 0

-

0

gJ Soit (X, 3 ) un espace topologique ; pour A c X , on pose œ(A) =A etf3(A) =A; il est clair que A c B =} a(A) c a(B) et f3(A) c f3(B). a) Montrer que A ouvert entraîne A c a(A) et A fermé entraîne f3(A) c A. b) Montrer qu'on a toujours œ(œ(A)) = œ(A) etf3(/3(A)) = f3(A). 0

0

(Noter que a(A) = f3(A) et (/3(A)) = œ(A)). Ainsi, en itérant les opérations

et - , on obtient au plus sept ensembles distincts.

0

c) On suppose maintenant que A est un convexe d'intérieur non-vide d'un espace vectoriel normé X. 1. Si x

E

A, et 0 est intérieur à A, montrer que le segment semi-ouvert [O, x [ est 0

-

inclus dans A (Si B = B(O, ô) c A et 0

ô llx - rxll ~ 2(1 1

~

- r)

r < 1, montrer que

=}

x / = ru + (1 - r) v

avec u E A et llvll ~ ô, autrement dit montrer que si u E A est proche de x, et x' proche de rx, alors x' E co(B u {u}), l'enveloppe convexe de B et u). Montrer alors que À > 1 =}A c M. Montrer par un exemple que ce derni er résultat peut être faux si A est simplement étoilé par rapport à O. 2. On revient au cas A convexe. Montrer que l'on a l'implication 0

0

A=t: 0 ==:::}A = /3(A) et A= œ(A). "O

0

c

0

::J

(Indication : il s'agit de montrer que œ(A) C A etf3(A) ::) A).

0 N

......

Soit r le cercle unité du plan complexe, z croissante d' entiers positifs. On fait l'hypothèse :

gJ

0

N

@

......

E

r

et (iln) une suite strictement

..c Ol

ï::::

def

>a.

Un

0

=

i

11

---?

f

E

[quand n

---? OO .

u

a) On suppose que Àn =

nP

où p est un entier

~

1. Montrer que

z=

b) On suppose que Àn = p n où p est un entier ~ 2. Montrer que f Ppour n assez grand. c) Peut-on avoir l = 1 et un 52

* 1 pour tout n ?

l

1. = 1 et que u n = l

Exercices

B

On considère les parties suivantes de C :

A est la bande horizontale {z = x + iy; 0 < y < l}. B est la croix grecque {z = x + iy; min(lxl, lyl) < l}. a) Montrer que A et B sont homéomorphes. -

-

b) M.ontrer que A et B ne sont pas homéomorphes.

g)

[Métrique pseudo-hyperbolique]

a) On considère l'exemple 3 de IV.5. Montrer que d vérifie une inégalité triangulaire renforcée d(a, c) + d(c, b) . d( a, b) : : :; 1 + d(a, c)d(c, b)

b) Est-ce que d vérifie l'inégalité ultramétrique d(a, b) : : :; max[d(a, c), d(c, b)] ? c) .M ontrer que D avec la métrique d est un espace métrique complet : les suites de Cauchy de (D , d) convergent dans D .

fm

a) Dans un espace métrique, vérifier l'inclusion B(a, r) c B(a, r).

b) Dans l'exemple 2 du paragraphe IV, E ayant plus d' un élément, montrer que pour tout x EX, B(x , 1) est strictement incluse dans B(x, 1).

D

Soit a. 0

u

.!

c) Soit Bk l'ensemble des œ = (ai, ... , ak-1) E Ak-1 ayant au moins deux prolongements a = (a1, ... , ak-l ak) et a' = (ai, ... , ak-l a~) dans Ak; montrer que IBkl ~ 1, puis que IAkl ~ IAk-1I + 1. 1

1

d) Montrer que x appartient à n + 1 des B(a, p) au plus. 54

Exercices

tjt;,j Soit

X = [0, I]n ; en utilisant l'exercice précédent, montrer que, pour tout r > 0, X admet un recouvrement ouvert (U 1, ... , Uk) tel que diamUi < r, Vi, et tout X de X E n + 1 des au plus. Cela exprime que la dimension topologique de X est ~ n (cf chapitre V, où on montre en exercice que dimX = n).

ui

tjit Soit E

fi

= Cb(IR) avec la norme sup; pour f E E, t E IR, on pose ft(x) = f(x+t); E E. Soit g E E défini par g(x) = sin(x2).

a) Montrer que si f E E est uniformément continue,

limr~o

lift - flloo = O.

b) Montrer que t i= 0 entraîne llg, - glloo = 2 (ainsi, en un sens très fort, g n 'est pas uniformément continue).

titi

On considère l'exemple 3 de IV ; montrer que si a E D et r E ]0, 1[, B(a, r) n'est autre que le disque euclidien D(a*, r*) où *

a(l - r 2 ) - 1 - r2 lal2

*

r =

a -

'

r(l - lal 2 ) . 1 - r2 lal 2

(Indication : si l/Ja(Z) = f_.=-~~' l/Ja est un automorphisme involutif de D et B(a, r) = l/Ja[D(O, r)] ; utiliser le fait qu 'une homographie conserve les angles et transforme une droite ou un cercle en une droite ou un cercle).

tj ..j Soit f : IR ~ IR définie par f (x) = x - sin x. a) Montrer que f:

IR~

IR est un homéomorphisme uniformément continu.

b) Soit (un), (vn) deux suites de réels. Montrer que [f(un) - f(vn) =(un - Vn) - (sin un - sin vn) ~

ü] =:}[un - Vn ~ ü].

c) Montrer que 1- 1 est uniformément continu. d) Montrer que f (x) = x ~ : lR ~ IR est un homéomorphisme qui vérifie

l/(x) - /(y)I ~ 2lx - yl ~ , mais que son inverse n 'est pas uniformément continu.

"O 0

c

::J

0 N T"-f

0 N

@

;a; "O

c

::>

Ol

.,"' ,.,.,

>a.

;;

~

..c ï:::: 0

u

·E 0

"'0c .,c

tjut Donner un exemple de f E C 1(IR, IR), uniformément continue à dérivée non bornée (on pourra faire un dessin ou chercher f sous la forme d'un « chirp » x-/3 sin(xa), avec œ, f3 EN*).

tlt4

Dans l'exemple 6 de IV, montrer que si r E]O, n], la boule fe1mée B(en , r) est n

une calotte sphérique {x =

L, x.i e.i;

Xn

~a}, où on exprimera a en fonction der.

1

ë. 0 0

u

0

..c

tjl:t On désigne par PQ la di stance euclidienne usuelle de P, Q E IR2 et on pose

o.

j -ci 0

c

::>

0

@

PQ si P, Q sont alignés avec l'origine 0 d(P, Q) =

{ OP+ OQ sinon . 55

Chapitre 2 • Espaces topologiques; espaces métriques

a) Montrer que d est une djstance sur JR2 ( « djstance SNCF»). Dans la suite, on suppose JR2 muni de la topologie associée. b) Soit H le demi-plan {(x, y); y> 0}; déterminer H.

c) Quelle est la topologie induite par d sur le cercle unité r? d) Lesquelles des transformations suivantes sont continues : homothéties de centre 0 ; rotations de centre 0 ; translations ?

tjW

Groupes topologiques

Soit G un groupe multiplicatif muni d'une topologie séparée :!7; on dit que (G, :!7) est un groupe topologique si les opérations (x, y) H xy et x H x- 1 sont continues respectivement de G x G dans G et de G dans G. On se propose d'étudier quelques propriétés de (G, :!7) ; e désignera l'élément neutre de G. a) Montrer que si VE ~(e),

v- 1 E ~(e).

b) Montrer que (VVE ~(e)) (3 W E ~(e)); W· W c V; montrer qu'on peut supposer w symétrique : w- 1 = w.

c) Montrer que, V a E G, translation.

~(a)

= {a V; VE ~(e)} : on dit que :!7 est invariante par

d) Soit H un sous-groupe de G d'intérieur non vide; montrer que H est ouve1t, puis qu'il est fe1mé.

e) Montrer que (G, :!7) est un espace régulier. f) Soit H un sous-groupe fermé de G, R la relation d'équivalence des classes à gauche selon H, pour laquelle o-(x) = xH; montrer que le saturé 0-- 1 [o-(A)] de A est A · H; en déduire que deux classes d'équivalence disjointes peuvent être séparées par des ouverts saturés disjoints, et que ~ est séparé; reprendre l'exemple G = O(n), H = O(n, k); si Gest abélien, montrer que ~ est un groupe topologique. "O

0

g) Montrer que (JR, +)avec sa topologie usuelle est un groupe topologique, et que le groupe quotient ~ est homéomorphe au cercle unité r; le groupe quotient ~ est-il séparé?

c

::J

0 N

......

0

N

@

tl'.a. 0

u

(V

ê

> 0) (3 VE

:X

~(xo))

f

--7

lR est dite semi-continue inférieurement

(Vx E V) : f(x) ;;;:: f(xo) -

est dite sci si elle est sci en tout point de X. De même, supérieurement(en abrégé ses) en xo si (V

56

ê

> 0) (3 VE

~(xo))

f

ê.

est dite semi-continue

(Vx E V) : f(x) ~ f(xo) + ê.

Exercices

f est dite ses si elle est ses en tout point de X. On désigne par 1 (resp. S) l'ensemble des f:

X~

R sci (resp. ses).

et il ~ 0, f + g, il.f et max(f, g) min); on dit que I est un cône convexe réticulé.

a) Montrer que si f, g

E /,

E

I (idem pour S avec

b) Montrer que f E I si et seulement si {f ~ t} est fermé pour tout t réel; de même, f ES si et seulement si {f ~ t} est fermé pour tout t réel.

c) Montrer que f est continue si et seulement si f

E

I n S.

d) Soit fi : X ~ R continues et f = supi fi, supposée finie en chaque point; montrer que f est sci; formuler et démontrer un résultat analogue pour inf fi. e) Montrer que la fonction indicatrice d'un ouvert (resp. d'un fe1mé) est sci (resp. ses).

Dans la suite, on suppose X métrique. ~ ]0,

oo[, sci; on pose fn(x) = infaExLf(a) + nd(x, a)], où n E N*; montrer que j~ est continue à valeurs dans ]O, oo[, et que fn croît vers f; en déduire

t) Soit f : X

que toute f E I est limite simple d' une suite croissante (j~) de fonctions continues; de même, toute g E S est limüe simple d' une suite décroissante (gn) de fonctions continues. g) Avec les notations précédentes, on suppose de plus g ~ f; on pose OO

h1 = 91' h2n = - (gn - fn )+' h2n+1 = (9n+l - !nt sin E N* ' h =

I

hn ;

1

montrer que h est continue sur X et que (théorème de Baire-Katetov) h se glisse entre f et g: g~h~f.

t.>ji

"O 0

Soit p un nombre premier fixé; sin E Z, soit vp(n) la plus grande puissance de p qui divise n (avec la convention vp(O) = oo); on pose d(x, y) = 2-vp(x-y) , V x, y E Z .

c

::J

0 N

a) Montrer que d est une ultramétrique sur Z (cf exemple 2 du paragraphe IV).

T"-f

0 N

;a; "O

Ol

c b) Montrer que les boules dans Z sont des progressions arithmétiques dont on préci::> .,.,"' sera la raison. ,.,

>a.

;;

@ ~

..c ï:::: 0

u

·E 0

"'0c .,c ë. 0 0

u

0

..c

o.

j -ci 0

c

::>

0

@

c) Soit q un entier ~ 2, premier avec p; montrer que toute progression arithmétique qZ +a est dense dans (Z , d) (utiliser l'identité de Bézout). d) Les topologies associées à deux nombres premiers distincts p, p' sont-elles comparables?

t>JJ

On définit a- et

œ. Si œ n'est pas entier, ces différences p-ièmes tendent vers 0 par valeurs entières non-nulles, ce qui est absurde) et se vérifie facilement par récurrence sur p. Dans le cas présent, puisque f l 1z~-z ZpZq 61

Chapitre 2 • Espaces topologiques; espaces métriques

avec p

> N(s) fixé donne : l ,z~-z z,,z

1

~ s, ce qui forcez E lD car on a vu dans (IV.5) 3)

que lzl = 1 ==} 1t~~vzz 1= 1. On peut donc dire que p

> N(s)

==}

d(zp, z)

~

s,

ce qui achève la preuve.

œ

a) La fonction f: X H d(a, x) est continue et B(a, r) = est fe1mée; elle contient B(a, r), donc aussi B(a, r).

1- 1([0, r]), donc B(a, r)

b) Par définition, d est toujours~ 1, donc B(x, 1) =X. D 'autre part, d(x, y) < 1 signifie p(x, y) > 2, soit YI = xi ; ainsi B(x, 1) = {y E X; YI = x 1 }; cette relation montre que B(x, 1) est fermée, donc B(x, 1) = B(x, 1); d'autre part, E contient un élément a différent de x 1 ; soit y= (a, a ... ); y fi. B(x, 1), d'où l'inclusion stricte demandée.

D

a) cp étant continue et f mesurable, cp(f) est mesurable; de plus lcp(f)I ~ donc lcp(f)I est intégrable, et cp(f) E L 1(R).

1/1,

b) Il existe une suite extraite (fnk) avec Il! - fnklli ~ 2-k; soit OO

S =Ifni + ~ lfnk+l - fnkl; 1

k= l

d'après le théorème de Beppo Levi (cf [R]),

[

S = ll/n,111 +

t

llfn,. , -

/n,111a.

;;

~

..c ï:::: 0

u

·E 0

"'0c .,c

et sin(-ie + t) 2 = sin(x'~ + y~) = sin (2krc - ~ + Yk) = - cos y~ = - cos(y~ - 2trc) tend vers 1. En effet, (VIl.l) et (VII.2) entraînent y~ - 2trc ~ rc quand t ~ +oo; et le passage à la limite dans llgt - glloo ;;;a.

x~-oo

0

u

x~+ oo

donc f est une bijection continue strictement croissante de homéomorphisme. b) Écrivons

Un - Un

lu n -

66

Un

1

~

= (sin Un . 2 1 sm

-

Un -

2

sin un )+ Sn avec S n Un Il

cos

Un + Un 1

2

---7

~

sur

~

et par suite un

O. Cela entraîne

. Un + lsnl ~ 2 1 sm

- Un 1

2

+ lsnl·

Corrigés

Si l est une valeur d' adhérence de la suite bornée un - un, le passage à la limite dans l'inégalité précédente donne Ill ~ 21sinf1 et par suite l = 0car1 sin ul < lul pour u réel :f:. O. D'où un - un ---7 0, en anticipant sur les résultats du chapitre 3. c) Si I

: R ---7 R est un homéomorphisme tel que

cet homéomorphisme est d'inverse uniformément continu, d'après le b) de la proposition IV.10 pour 1 - 1, et en appliquant l' hypothèse (*) aux deux suites un = 1- 1(xn) et un = 1- 1(x~). Cela donne le résultat ici. d) L' inégalité (u + v)e ~ ue + ve pour u, v ;;;

.,"' ,.,.,

0

0

..c

o.

j -ci 0

c

::>

0

@

tlt4

d(en, x) ~ r signifie Arc cos Xn ~ r ou encore Xn ;;;

0

@

Si cr(a) =F cr(b), b- 1a =: x fi. H , donc il existe V E Pfi(x) tel que V n H = 0 et W voisinage symétrique de e tel que W xW c V; posons w 1 = aW, w2 = bW et montrons que (VII.6) 69

Chapitre 2 • Espaces topologiques; espaces métriques

Si ce n'est pas le cas, on a une relation a w 1 h 1 = b w2 h2 avec w 1 E W, h1 E H; on en tire: w;- 1 b- 1a w1 = x 1 = h2 hï 1 EH, ce qui contredit WxW n H = 0.

w;-' w

D'après ce qui précède, w 1 · H est le saturé de w 1, et il est ouvert comme égal à la réunion des ouverts w 1h, h E H; d'autre part, w 1 · H contient o-(a) = aH et w2 · H contient o-(b) = bH; donc o-(a) et o-(b) peuvent être séparées par des ouverts saturés disjoints et (cf proposition V.3 bis) ~ est séparé. Si G = O(n), l'opération (x, y) H xy est continue comme restriction à G x G de la multiplication (x, y) H xy sur Mn.(R) x Mn.(R), continue car bilinéaire en dimen1 sion finie; l'opération x H x- 1 aussi car x- 1 = -ed t x (où x est la comatrice de x) X est une fonction rationnelle des coefficients de x; O(n) est donc un groupe topologique; si (g1) est une suite de O(n, k) convergeant vers g, et a E Ek> gj(a) E Ek et gj(a) ~ g(a), donc g(a) E Ek car Ek est fermé (on est en dimension finie); cela montre que O(n, k) est un sous-groupe fermé; on retrouve le fait que l'espace topologique quotient tc~~k) est séparé. Supposons maintenant G abélien ; ~ est un groupe ; si A est ouve1t dans G, 0-- 1[o-(A)] =A · H est ouvert aussi, donc o-(A) est ouvert par définition (autrement dit a- est ouverte); on en déduit comme suit la continuité de la multiplication dans ~ : soit U un ouvert contenant o-(a) o-(b) = o-(ab); 0-- 1(V) est un voisinage ouvert de ab, donc il existe des ouverts A, B tels que a E A, b E B, A· B c o-- 1(U); alors cr(A), cr(B) sont des ouverts contenant cr(a), cr(b) respectivement, et cr(A) · cr(B) c a-(A · B) c V, ce qui montre la continuité de la multiplication en (cr(a), cr(b)); celle de cr(x) H (o-(x))- 1 s'établit de même; comme de plus ~ est séparé, c'est un groupe topologique. (N.B. Ce1tains auteurs ne demandent pas à un groupe topologique d'être séparé ... ). g) Le résultat classique concernant (R , +) et ~ est laissé au lecteur. ~ n'est pas séparé ; en effet, si A et B sont ouverts non vides de R, A - B aussi, donc (A - B) n Q i= 0 puisque Q est dense dans R, soit (A + Q) n (B + Q) i= 0; il en résulte que si U, V sont ouverts non vides dans ~ ' cr- 1(U) et cr- 1(V) se coupent, a fortiori V et V. On démontre d'ailleurs que réciproquement, si ~ est séparé, alors H est fe1mé; voici comment : six fi. H, on a cr(x) i= a-(e), où e est l'élément neutre du groupe; il existe donc un ouvert U :> cr(x) tel que cr(e) fi. U; a-- 1(U) est un voisinage ouvert de x, disjoint de H, car si h EH n cr- 1(U), on a cr(e) = cr(h) EV. Ainsi, cr- 1(U) c He, ce qui montre que He est ouvert, et que H est fermé.

"O

0

c

::J

0 N

......

0

N

@

......

..c Ol

ï::::

>a.

t.tf:.Jt)

0

u

a) à e) sont laissés au lecteur.

f) Soit x E X, s E]Ü, f(x)[, ô > 0 tel que d(a, x) ::;; ô ~ f(a) ~ f(x) - s. Je dis que lfn.(x) - fn(Y)I ::;; nd(x, y) pour tous x, y (laissé au lecteur) et que

fn(x) 70

~

min(nô, f(x) - E) .

(VII.7)

Corrigés

En effet, d(x, a) ~ ô =} f(a) + nd(x, a) ;;?:: f(a) ;;?:: f(x) - ê; si d(x, a) ;;?:: ô, f(a) + nd(x, a) ;;;:: nd(x, a) ;;;:: nô. (VII.7) avec ê = f~x) montre que fn(x) est > 0; sin ;;?:: f~x), fn(x) est ;;?:: f(x) - ê, donc fn(x) tend vers f(x) (noter que fn(x) ~ f(x)). Dans le cas général, soit 'P = ef; 'P E /, donc par ce qui précède il existe une suite ('Pn) de fonctions continues > 0 qui croît vers 'P; (j~) = (Log 'Pn) est une suite de fonctions continues qui croît vers f. n

g) Soit Sn=

l:

hj; S2n+I -

S2n-I =

(gn+I - fn) + - (gn - fn) + ~ 0;

S2n+2 -

S2n =

.i= I

(9n+1-fn) +-(gn+I - fn+1)+ ;;?:: 0; S 2n+1-S 2n = (gn+1- fn) + ;;?:: 0; S 2n+ 1-S 2n tend vers (g - j)+ = 0; en pa1ticulier, les suites de fonctions (S 2n), (S 2 n+ 1) sont adjacentes, et h est bien définie ; h est limite croissante de la suite de fonctions continues S 2n, donc est sci (d'après d)); elle est limite décroissante de la suite de fonctions continues S 2n+ 1, donc est ses ; h est continue d'après c). Pour montrer qu'elle se glisse là où il faut, distinguons deux cas.

Cas 1. g(x) = f(x). Alors, les sommes partielles de h valent alternativement g 1 , h(x) = f(x) = g(x).

f 1,

g2,

fi, . . . donc

Cas 2. g(x) < f (x). Alors il existe un plus petit entier k tel que gk(x) Si k = 1, h(x) = g1 (x)

E

~

fk(x).

[g(x), f(x)].

Si k > 1, h = g1 - (g1 - f1) + + (g2 - fi t - . .. - (gk - jk)+ en x, et les sommes partielles successives sont : 91' !1' g2, Ji, ... ' e, e, ... où e = fk-1 + (gk - fk-1)+ ; autrement dit : si 9k(x) ~ fk-l (x), h(x) = fk-l (x) E [g(x), f(x)] ; si gk(x) > fk-l (x), h(x) = gk(x) E [g(x), f(x)]. "O 0

L'écriture compliquée de h sous forme de série n' est qu'une façon commode d'obtenir sa continuité.

c

::J

0 N T"-f

0 N

@ ~

..c Ol

ï::::

>a. 0

u

;a; "O

t.>ji

a) est laissé au lecteur.

c

1 .,.,"' b) On trouve facilement B(x, 2-a ) = p 1 ; on a des résultats analogues pour les ·E 0 ;; boules fermées. "'0c .,c c) Soit A= qZ +a, w un ouvert non vide de (Z , d); il s'agit de montrer que Anw 0; ë. 0 u d'après b), w contient une progression arithmétique p az + x; il suffit donc de montrer 0 0 ..c o. que ::>

*

j

-ci 0

c

::>

0

@

(qZ +a) n (pa z + x)

*0 .

(VII.8) 71

Chapitre 2 • Espaces topologiques; espaces métriques

Il nous faut trouver u, v E Z tels que qu +a = pav + x, soit qu - pav = x - a; or, q et pa sont premiers entre eux, donc il existe uo, vo E Z tels que quo - pa vo = 1 ; u = (x - a) uo, v = (x - a) vo conviennent. d) Non; dp(Pa , 0) = 2-œ tend vers 0 quand œ même dp'(p'œ, 0) tend vers 0, et dp(p'œ, 0) = 1.

-7

oo,

alors que dp' (pet, 0) = 1 ; de

tl'.J;,j

0

@

forment un recouvrement ouvert de X, donc il existe J fini tel que X= u wi; d'où n Fi = 0; J

wi

.T

ii) ~ i) se prouve de même. b) Ce n'est que la contraposée de a) ii) ! Mais c'est une des formes les plus utiles de D la compacité ; voici une variante. 75

Chapitre 3 • Espaces compacts

Proposition 1.1.bis. Soit

(Fn)n~l

une suite décroissante de fermés non vides de X

OO

compact; alors n Fn 1

'

;t:.

0.

Démonstration. Soit J une partie finie de N*, p = maxi; nFn = Fp OO

n Fn 1

J

* 0 d'après la proposition I.1.

* 0, donc D

Voici une conséquence importante de I. l bis. Théorème 1.2. Soit (xn) une suite de points de X compact. Alors

a) (xn) admet au moins une valeur d'adhérence. b) Si (xn) admet une seule valeur d'adhérence e, (xn) converge verse.

c) Les propriétés a) et b) restent valables pour un filtre. OO

Démonstration. a) L'ensemble des valeurs d'adhérence de (xn) est A = n Fn, où : 1

Fn =

{xn, Xn+l

1 • • .}

(proposition III.3 du chapitre Il). Et A est non vide d'après I. l bis. b) Si (xn) ne tend pas vers e, on peut trouver U voisinage ouvert de e et une suite extraite (xnk) avec Xnk E F = uc (k = l, 2, ... ). D'après a), cette suite extraite a elle-même une valeur d'adhérence t'; t' E A n F, donc A contient au moins deux éléments distincts eet t', ce qui est contraire à l'hypothèse. c) Mêmes preuves via la formule (III.6') du chapitre II. (Cf. exercices 1 et 14 de ce chapitre pour des applications). D

1.2 "O 0

Parties compactes d'un espace topologique

Une partie A de X est dite compacte si le sous-espace topologique A est compact; les wi étant des ouverts de X, cela se traduit ainsi : du recouvrement A = U(wi n A),

c

::J

0

I

N

on peut extraire un sous-recouvrement fini A = u

T"-f

0

(wi

J fini

N

n A); ou encore par

@

A c u wi::::} 3 J fini; Ac u w 1 . I J

~

..c Ol

ï::::

>a.

(I.2)

Voici quelques exemples simples.

0

u

a) Une partie finie de X est compacte: c'est évident. b) Si A = {xn, n ~ l} U {f}, où (xn) tend verse, A est compacte. Soit en effet (wi)ie/ un recouvrement ouve1t de A; soit io tel que e E Wio• et no entier tel que Xn E wio pour n > no ; soit aussi J finie telle que xi, ... , Xno soient dans u wi; on a A c u wi, où L = J u {io} . .!

76

L

1. Définition et premières propriétés

c) JO, l[ n' est pas compact; en effet JO, l[=

u ]l, 1- l[ où les ]l, 1- l[ n n n n

n~I

sont

ouverts, et une réunion finie de tels ouverts ne recouvre pas ]0, 1[. d) Un segment [a, bJ est compact: c'est l'exemple fondamental découvert par Borel et Lebesgue (cf chapitre 1). Les parties compactes d'un espace compact ont une description simple, comme le montre le théorème qui suit. Théorème 1.3. Soit A une partie d'un espace compact X; on a équivalence entre

a) A est fermée; b) A est compacte.

Démonstration. a) => b). Soit wi des ouverts de X recouvrant A ; les wi UA c sont des ouverts de X recouvrant X, donc il existe J c / , J fini, tel que X= U(wi U Ac), d'où J

Ac Uwi. J

b) => a). Soit y E Ac; pour chaque x E A, il existe des ouverts disjoints x E Wx, y E w~; soit June partie finie de A telle que A c U W x ; U = .T

W x , w~

n w~ .!

avec est un

ouve1t contenant y et conten u dans Ac, ce qui montre que Ac est ouvert (on a utilisé le fait que X est séparé). Plus précisément, si u wx = Ay et n w~ = Uy, Ay et Uy sont .T

ouve1ts disjoints, et A c Ay, y

E

.T

D

Uy.

Pour la réciproque, la compacité de X n'intervient pas et on a donc aussi prouvé le théorème suivant. Théorème 1.4. Soit A une partie d'un espace topologique X. Si A est compacte, alors A est fermée.

Les parties compactes de X possèdent la propriété de stabilité suivante. "O 0

c

Proposition 1.5.

0

a) Toute intersection A= n Ai de parties compactes est compacte.

::J

N

l

T"-f

0 N

;a;

@

::>

~

..c Ol

ï::::

>a. 0

u

"O

b) Toute union finie de parties compactes est compacte.

c

.,"' Démonstration. a) Fixons Aio ; les Ai sont fermés dans X par le théorème 1.3, donc ·E leur intersection A aussi ; a fortiori, A est fermée dans Aio compacte, donc est com0 ;; "'0c pacte par 1.3. .,c b) Soit A 1, A2 des compacts de X, (wi)ie/ un recouvrement ouvert deA1 UA2, a fortiori ë. 0 u de A 1 et de A 2 ; il existe des paities finies 1 1, li del telles que 0

,.,.,

0

..c

o.

j -ci 0

A 1 c u wi; A2 c u wi ; d 'où A 1 u A2 c .11

Ji

u wi .

.11U./i

c

::>

0

@

L'extension à un nombre fini de compacts est immédiate.

D 77

Chapitre 3 • Espaces compacts

1.3

Normalité des espaces compacts

On va voir que tout espace compact, séparé par définition, possède automatiquement une propriété de séparation beaucoup plus forte étudiée au chapitre II. Théorème 1.6. Tout espace compact X est normal.

Démonstration. Soit F 1, F2 deux fermés disjoints de X; d'après la preuve du théorème I.3, on sait que a) F 2 est compact ; b) si y E F 2 , il existe des ouverts disjoints ~11 et Wy tels que F 1 c Vy et y E W:11 • Soit alors 1 fini avec F 2 c u Wy; posons 0 1 = n Vy, 0 2 = u Wy ; les ouverts 0 1, 0 2 J

.

J

J

répondent à la question: F 1 c 0 1,F2 c 0 2,0 1 n 02 = 0.

D

Dans un espace métrique, ce théorème a la version suivante. Théorème 1.7. Deuxfermés disjoints Fi, F1 d'un espace métrique compact X sont à une distance positive, i.e. :

d(F1, F2) : = inf {d(x, y); x

E

F 1, y

E

F2} > 0.

(I.3)

Plus généralement, (/.3) subsiste si X est métrique, F2fermé et F, compact.

Démonstration. Il est clair que d(Fi, F1) = infxEFi O. D

1.4

Exemples

• Une partie A de X est dite relativement compacte si A est compacte. On a déjà vu quelques exemples; le théorème I.3 et le théorème de Borel-Lebesgue permettent de donner une description complète des compacts et des relativement compacts de Ill, description qu ' on étendra aux evn de dimension finie.

"O 0

c

::J

0 N T"-f

0 N

@

Théorème 1.8. Soit A une partie de R

~

..c Ol

a) On a équivalence entre :

ï::::

>a. 0

i) A compacte ;

u

ii) Afermée, bornée.

b) On a équivalence entre : i) A relativement compacte; ii) A bornée. 78

Il. Fonctions continues sur un espace compact

Démonstration. a) i) =:::} ii). A fermée résulte de 1.3 ; d'autre pait A c u ]a - 1, a+ 1[, ,

aEA

donc il existe une partie finie B de A telle que A c U ]a - l, a + 1[, ce qui montre aEB

que A est bornée. ii) =:::} i). Il existe un segment I = [a, b] contenant A; I est compact (BorelLebesgue) et A est une partie fermée de/, donc A est compacte (théorème 1.3). b) i) =:::} ii). A est compacte, donc bornée; a fortiori, A est bornée. ii) =:::} i). A est fermée, bornée, donc compacte.

D

Un exemple important de compact de R autre qu' un segment est l'ensemble triadique de Cantor qui sera étudié au paragraphe IV Voici pour finir un exemple très simple : les parties compactes A d'un espace discret D sont les parties finies. En effet, si A est compacte, la famille {a} aEA est un recouvrement ouvert de A dont on peut extraire un sous-recouvrement fini {a }aeB; autrement dit, A est égal à l'ensemble fini B; la réciproque a déjà été vue.

Il

FONCTIONS CONTINUES SUR UN ESPACE COMPACT

11.1

Image continue d'un compact

Voici une nouvelle propriété de stabilité de la compacité, très utile dans la pratique surtout quand on la combine avec la stabilité par produit qu'on verra au III. Théorème 11. l. Soit X compact et f : X de Y.

~

Y continue; alors f(X) est un compact

Démonstration. Soit (wi)ie/ un recouvrement de /(X) par des ouverts de Y ; 1 ( / - (wi))iet est un recouvrement ouvert (puisque f est continue) de X compact, donc il existe J fini tel que X= u / - 1(wi); il en résulte que /(X) c u wi. D

"O 0

c

J

::J

J

0 N

11.2 Bicontinuité automatique

T"-f

0 N

;a;

@

c On a vu au chapitre II qu' une bijection continue de X sur Y n' est pas automatique::> .,.,"' ment bicontinue ; le théorème suivant donne une classe importante d'exemples pour ,., ·E lesquels cette bicontinuité a toujours lieu. 0 ;; "'0c .,c Théorème 11.2. Soit X compact et f : X ~ Y une bijection continue; alors f est

~

..c Ol

ï::::

>a. 0

u

"O

ë. 0 0

u

bicontinue, i.e. 1- 1 est continue.

0

..c

o.

j -ci 0

c

::>

0

@

Démonstration. D' après la proposition III.14 du chapitre II, il suffit de montrer que f est fermée ; soit donc A un fe1mé de X; la proposition 1.3 et le théorème II. l entraînent D successivement: A compact, /(A) compact, /(A) fermé. 79

Chapitre 3 • Espaces compacts

11.3 Fonctions numériques continues sur un compact; théorèmes de Dini et Urysohn Les théorèmes II.l et de Borel-Lebesgue se combinent pour donner l'important résultat suivant. Théorème 11.3. Soit X un espace compact et f : X ~ R continue. Alors

a) f est bornée; b) f atteint ses bornes. c) En particulier, toute fonction continue : [a, b] bornes.

~

R est bornée et atteint ses

Démonstration. a) f(X) est compact par II.l, donc borné d'après I.8. b), c) Soit m = inf f(X), M = sup f(X) les bornes inférieure et supérieure de f; m, M sont adhérents à f (X) et f (X) est fermé car compact, donc m, M E f (X) ; ceci s'applique en particulier à un segment [a, b] qui est compact d'après le théorème de D Borel-Lebesgue. Rappelons qu'une importante application de II.3 est le théorème de Rolle: si f est réelle continue sur [a, b ], dérivable sur ]a, b[ avec f(a) = f(b), il existe c E]a, b[ tel que f'(c) =O. Si maintenant on considère des suites de fonctions numériques continues, on a la propriété suivante. Théorème 11.4 (théorème de Di ni). Soit X un espace compact et f, f 1 , j~, ... : X ~ R continues. On suppose que :

i) (fn) croît, i.e. fn(x) "O 0

~

fn+I (x) pour tous n EN* et x EX.

ii) (fn) converge simplement vers

c

••• ,

f.

Alors, (fn) converge uniformément vers f.

::J

0 N T"-f

Démonstration. Notons d'abord que i) entraîne f(x) s > 0; posons

0 N

@ ~

~

fn(x) pour tous n, x; soit

..c Ol

Fn = {x; lf(x) - fn(x)I ~ s} = {x; f(x) - fn(x) ~ s} ;

ï::::

>a. 0

u

les Fn fo1ment une suite décroissante de fe1més d'intersection vide d'après ii); d'après I. l bis, il existe n 0 tel que n ~ no entraîne F n = (/) ; autrement dü : V n ~ no , V x

E

X,

If(x) - fn (x)1 < s

.

C'est exactement dire que (fn) converge uniformément vers f sur X. 80

D

Il. Fonctions continues sur un espace compact

On a vu au chapitre II qu'un espace métrique possède une propriété de n01malité renforcée exprimée par la proposition IV.4 ; en réalité tous les espaces normaux possèdent cette propriété ; cela pourra s'appliquer avec profit aux espaces compacts, d'après le théorème I.6. Théorème 11.5 (théorème d'Urysohn). Soit A, B deux fermés pace normal X; il existe f : X ---7 R continue telle que

fi A

= 0;

f

B

1

0~

= 1;

f

~

di~joints

1.

d'un es-

(Il. l)

Remarquons d'abord que ce théorème est un théorème de prolongement continu, puisqu'il exprime que la fonction valant 0 sur A et 1 sur B se prolonge continûment à X en gardant ses valeurs dans [0, 1]; il entraîne d'ailleurs un autre théorème de prolongement (cf par exemple [QZ] ou [Du]) qu'on utilisera de façon répétée aux chapitres IV et VI. Théorème 11.5.bis (théorème de Tietze). Soit A un fermé d'un espace normal X et soit f : A ---7 R continue ; alors f se prolonge en une fonction g : X ---7 R continue ; idem en remplaçant R par C.

La preuve du théorème II.5 est un peu délicate et demande le lemme suivant, vrai pour tout espace topologique X. Lemme 11.6. Soit Dune partie dense de [O, 1] et (U(s)) sED une famille d'ouverts de X indexée par D telle que

(II.2) Soit f : X

"O 0

---7

[0, 1] définie par

c

inf{s ED; x E U(s)} =: inf Ax

::J

0

f(x) =

N T"-f

0 N

{1

six E u U(s) sED si x ft u U(s). sED

@

.:t:Ol ·c

>-

g-

u

~ ,., ·E

!

Alors, f est une fonction continue.

0

Démonstration. Soit t

E

[0, 1] ; montrons que

0

c:

"'ë.

80

{x; f(x) < t} = U U(s) st

(II.4)

=i

~ avec la convention U0 = 0, et n0 =X. 81

Chapitre 3 • Espaces compacts

En effet, si l(x) < t ~ 1, il existe s < t tel que s E Ax, autrement dit tel que x E U(s); réciproquement six E U(s) avec s < t, l(x) ~ s < t; cela prouve (11.3). Si l(x) ~ t, on voit que s > t ::::} s > l(x) ::::} 3 a E]l(x), s[ ; a E Ax ::::} x E U(a)

c U(s) ;

supposons réciproquement que x appartient au membre de droite dans (II.4); soit s > 0; d'après la densité de D, on peut trouver s 1 , s2 ED avec t < s 1 < s2 ~ t + s; or x E U(s1) c U(s2), donc l(x) ~ s2 ~ t + s; s étant arbitraire, on a l(x) ~ t, ce qui prouve (II.4). Il résulte de (II.3) et (II.4) que {x; l(x) < t} est ouvert pour tout t E R . En effet, cela résulte de (II.3) si 0 vaut (/J si t < 0 et X si t > 1. {x; l(x)

~

~

t

~

(II.3')

1, alors que le membre de gauche dans (II.3')

t} est fermé pour tout t E R .

(Il.4')

En effet, cela résulte de (Il.4) si 0 ~ t ~ 1, alors que le membre de gauche dans (Il.4') vaut (/J si t < 0 et X si t > 1. (II.3') et (II.4') entraînent la continuité de I; en effet 1- 1(]a, b[) = {I < b} \ {I ~a} est ouvert dans X comme intersection de deux ouverts; 1- 1(w) est donc ouvert pour tout ouvert w de R, puisque w est réunion d'intervalles ouverts. D OO

Pour achever la preuve du théorème II.5, prenons D = U D111 , où 0

'O

0

c

::J

0

on va construire par récunence sur m les U(s) vérifiant (II.2) et aussi

N ,..-!

0 N

(II.5)

@ ~

..c Ol

ï::::

>a.

A c U(s) pour tout s .

u

Pour m = 0, on prend U(l) = seet puisque A c se, la normalité de X permet de trouver un ouvert U(O) tel que A c U(O) c U(O) c Be = U(l); ayant défini U(s) vérifiant (II.2) pour s E Dm-1, définissons-le pour s = :f,n E Dm, où k est impair

0

(sinon s E Dm-1); d'après l'hypothèse de récurrence, normal il existe un ouvert 82

u tel que uc;-;})

c

uc

(Il.6)

ue2-;}) c U(k.;.,1 ), donc X étant u c ue2+;}); il n'y a plus qu'à

Il. Fonctions continues sur un espace compact

poser U(s) = U. En effet, soit s1 = k2-m, s2 = t 2-m E Dm avec k < t. Si k = 2k' + 1 est impair et = 2 e' est pair, on a k' + 1 : : ; t', donc par construction :

e

U(s1)

C

k + 1 ) = U ( k'm-I + 1) U (~ 2

C

t' ) = U ( em) = U(s2), U ( m-I 2 2

d'après l'hypothèse de récmTence au rang m - 1; les autres cas se traitent de même. Soit alors f comme dans le lemme; f est continue à valeurs dans [O, l]; A c U(O), donc flA = 0; d 'après (Il.5), six E B, x n'appartient à aucun des U(s) et f(x) = 1; f répond donc à la question.

11.4 Applications Le théorème de Dini reçoit classiquement comme application la convergence uniforme vers yx (sur [0, 1]) de la suite de polynômes définie par Po = 0, Pn+l (x) = Pn(x) + P~(x)); mais cette application paraît peu convaincante puisqu'on établit à moindres frais (cf chapitre II, III.) un résultat plus fo1t; voici un cas où ce théorème semble incontournable.

4a. 0

u

;a; "O

c

::> .,.,"' Théorème 111.2 (théorème de Tychonoff). Soit (Xi)iEI des espaces topologiques ,., non vides, X= II Xi. On a équivalence entre ·E

iEl

0

;;

xi

"'0c a) compact pour tout i. .,c ë. b) X compact. 0 u 0

0

..c

o.

j -ci 0

c

::>

0

@

Démonstration. b) ~ a) est facile ; Xi = Pi(X), où Pi est la projection canonique de X sur son i-ème facteur; Pi est continue par définition de la topologie produit, donc Xi est compact par le théorème II.1. 85

Chapitre 3 • Espaces compacts

a)

=:::}

b) est plus difficile et demande d'abord deux définitions et un lemme; On dit qu'une famille JZI de parties de X a (P) { si toute intersection finie de paities de JZI est non vide . Une famille JZI est dite maximale si elle a (P) et si toute { famille f-8 ayant (P) et contenant JZI est égale à JZI .

(III.4)

(Ill.5)

D Lemme 111.3. Soit JI une famille maximale. Alors: a) JI est stable par intersection .finie. b) Si B c X est tel que B n A 0 pour tout A E JI, on a B

*

E

JI.

Démonstration du lemme. a) Si A 1 , ... ,Ap E JZI et A = A 1 n · · · n Ap, soit f-8 = JZI u {A}; &8 a (P) et &8 contient JZI , donc f-8 = JZI, autrement dit A E JZI. b) Soit &8 = JZI U {B} ; &8 a (P) par ce qui précède, et on conclut de même que B E JZI. Venons-en à la compacité de X; soit JZI une famille de fermés de X ayant (P); il s'agit de montrer que (111.6) n A* 0. AEJ?f

Or l'ensemble des familles ayant (P), ordonné par inclusion, est clairement inductif, donc on peut d'après le lemme de Zorn (cf [HL]) trouver une famille maximale f-8 contenant JZI ; pour tout indice i, la famille des Pi(B) où B pai·court f-8 a (P) dans Xi (soit B 1 , ... , Bp E &8 et x E B 1 n ... n Bp ; alors Pi(x) E Pi(B1) n ... n Pi(Bp)); Xi étant compact et les Pi(B) fermés, ils ont une intersection non vide

(111.7) "O 0

c

Soit alors x = (xi)iE/ et w un ouvert élémentaire contenant x : w = IIwi , avec Wi ouvert et Wi = X i pour i 0, ô = w(f, &), Run 8-réseau de X; alors f(R) est un &-réseau de f(X); soit en effet y E f(X); il existe x tel que y= f(x), et r ER tel que d(x, r) ~ ô; d'où c ::> .,"' d(y, f(r)) = d(f(x) , f(r)) ~ ê. D ,.,.,

>a.

;;

T"-f

0 N

@ ~

..c ï:::: 0

u

;a; "O

·E 0

"'0c .,c ë. 0 0

Voici un corollaire facile, dans lequel Rn est muni de la norme llxlloo = sup lxïl. Corollaire IV.2. Soit A une partie de Rn; on a équivalence entre

u

0

..c

o.

j -ci 0

a) A est bornée; b) A est précompacte ;

c

::>

0

@

c) A est relativement compacte.

89

Chapitre 3 • Espaces compacts

Démonstration. a) => b). A est fermée, bornée donc compacte (théorème III.4), a fortiori précompacte; Ac A est précompacte d'après la proposition IV.l. b) => c). A est encore précompacte, donc bornée (c.f preuve du théorème I.8). A est fermée, bornée, donc compacte.

D

c) =>a). A est compacte, donc bornée; a fortiori, A est bornée. Venons-en au théorème fondamental de ce paragraphe. Théorème IV.3. Soit (X, d) un espace métrique. On a équivalence entre : a) X est compact;

b) toute suite (xn)n;;;;l de X contient une sous-suite convergente; c) X est précompact et complet.

Démonstration. a) => b). Cela découle du théorème I.2 et de la proposition III.2 du chapitre Il (si t EX, les B(t, j- 1), où j = 1, 2, ... , forment une base dénombrable de voisinages de t). b) => c). Si X n'est pas précompact, il existes> 0 tel que X ne soit jamais recouvert par un nombre fini de boules de rayon E ; cela permet de construire par récurrence une suite (xn) avec d(xn+i, x1) ;:; OO .,.,"' ,., effets > 0, N entier tel que ,l: 2-n ~ s, R 1, ... , RN des &-réseaux de X 1, ... , XN, ·E N+ l 0 ;; OO "'0c R =Ri x ... x RN x TI {an}, où an E Xn est fixé.Rest fini car IRI = IR11 ... IRNI ; c 'est .,c N+ l ë. un 2s- réseau de (X, d); soit en effet x = (xn ) EX, rn E Rn tel que dn(Xn , rn) ~ s pour 0 u 0 0 1 ~ n ~ N, r =(ri, .. . , rN, aN+ l 1 • • • ) ER; on a ..c o.

~

..c Ol

ï::::

>a. 0

u

"O

j

N

-ci 0

c

::>

0

@

d(x, r) =

I

1

N

OO

2-n dn(Xn , rn) +

I

N+ I

2-n dn(Xn, an)~

I

1

OO

2-n

ê

+

I

2-n ~ 2s.

N+ I

91

Chapitre 3 • Espaces compacts

Maintenant (IV.6), (IV.7), (IV.8) et le théorème fondamental IV.3 donnent le résultat annoncé. D

IV.2 Théorème de Heine Voici un théorème de régularité automatique dont la preuve est très simple, mais qui est absolument fondamental en Analyse (Riemann-intégrabilité des fonctions continues, compacité des opérateurs à noyau continu, etc.). Théorème IV.5 (théorème de Heine). Soit X un espace métrique compact, Y un espace métrique. Alors :

toute application continue de X dans Y est uniformément continue .

Démonstration. Soit (xn), (.:a.

compacte de

0

u

fP.

D'après le théorème IV.3, il s'agit de montrer que K est complet .

(IV.11)

Évident, car K est fermé dans tP complet (cf chapitre V). K est précompact . 92

(IV.12)

IV. Espaces métriques compacts

OO

Soit

> 0, N entier tel que ,2: ~ ~

E

EP,

Ro un

N-I/p_réseau du com-

E

N+ I

N

pact II [-En, En] de RN muni de la norme « sup »; chaque r

E Ro

est une suite

n=I

(r(l), ... , r(N)) avec lr(n)I ~ En; on prolonge r en un élément r de K en posant r(n) = 0 sin> N; soit R = {r}rERo ; montrons que Rest un 2s-réseau de K; soit donc f E K; on peut trouver r E Ro tel que lf(n) - r(n)I ~ s N-I/p pour 1 ~ n ~ N, d'où N

Il! - rllp =

I

lf(n) - r(n)IP +

1

et Il! - rll

~

I

p

OO

lf(n)IP

N+ J

~ N ~ + Ep ~ 2 sP ~ (2s)P ' N

2s. Ceci montre (IV.12) et achève la preuve.

3) Ensemble triadique de Cantor. Soit A = {0, l}N*, muni de la topologie produit des topologies discrètes sur chaque facteur; A est compact métrisable d'après IV.4 (théorème de Tychonoff dénombrable) et s'appelle l'ensemble de Cantor abstrait; la variante {- 1, 1}N* a déjà été étudiée dans les exemples du V, chapitre II ; on va voir que A est homéomorphe à un compact K de R, appelé ensemble triadique de Cantor; pour décrire K , il nous faut d'abord définir l'opération T : si I = [a, a+ h] est un segment de R, on pose

si X est union finie de segments disjoints fi, ... , l p, on pose p

T(X) =

u T(lj).

j=l "O 0

c

::J

0 N T"-f

0 N

@ ~

..c Ol

ï::::

>a. 0

u

L'opération T sur I consiste donc à enlever le « tiers médian » ouvert ]a+ ~ , a+ 2 ~ [ ; elle s'étend comme indiqué en une application T : d ~ d, où d est la classe des unions fini es de segments ; itérée, elle définit l'ensemble triadique de Cantor par les ~ c:: formules OO .,t;., ,., (IV.13) Ki = T([O, 1]) ; Kn+l = T(Kn) ; K = n Kn . "O

::l

·c: "'

1

s

::l 0, N entier~ s- 1 , p, q ~ N, f

E

B; distinguons deux cas.

Cas 1 : f E Bn et n ~ N. Alors lf(xp) - f(xq)I ~ ~ d(xp, xq) ~ ~ ~ ~ ~ s. Cas 2 : f E Bn et n < N. Alors p, q > net donc f(xp) = f(xq) =O. D'après (IV.16) et (IV.17), d'(xp, xq) si p, q ~ N, et (xn) est de Cauchy pour d'.

~

s

2) d' ~ d, donc l'identité i : (X, d) ~ (X, d') est continue; montrons que i- 1 : (X, d') ~ (X, d) est continue en tout point a E X; soit s > 0; a n'est pas point d'accumulation des Xn, donc: (3 no) (V n >no) : d(xn, a) ~ s.

(IV .18)

Posons f(x) = ..!.. (s - d(x, a)r; f est _!__lipschitzienne (car s, t E R ets < t =:::} no no i+ - s+ ~ t - s), et n > no entraîne (s - d(xn, a))+ = 0, donc f E Bn0 c B; supposons d' (x a) < .§.... • alors '

no '

_!_ ls - (s - d(x, a))+I = lf(x) - f(a)I ~

~ d'(x, a)< ~

,

~

donc d(x, a) ~ s, ce qui montre bien la continuité de i- 1 et l'équivalence de d' et d; en particulier, 1' écart d' définit une topologie séparée, donc est une vraie métrique, ce qui achève la démonstration, due à A. Ancona.

5) Distance de Hausdorff. Soit JZI l'ensemble des fermés non vides d'un espace métrique compact X; pour A, BE JZI, on pose h(A, B) =

lldA - dsll

(IV . 19)

"O 0

c

::J

0 N T"-f

0 N

@

;a; "O

c

::>

Ol

.,"' ,.,.,

>a.

~

..c ï:::: 0

u

où dF est la fonction distance à F (cf chapitre II, IV.) et la norme celle de l'espace C(X, R) des applications continues de X dans R ; h est une distance (appelée distance de Hausdorff) sur JZI car si h(A, B) = 0, on a dA =dB puis A =Ben observant que A (resp. B) est l'ensemble des zéros de dA (resp. dB). On va voir que de plus:

·E 0 ;;

(JZI, h) est précompact;

(IV.20)

"'0c .,c

(JZI, h) est complet .

(IV.21)

ë. 0 0

u

0

..c

o.

j -ci 0

c

::>

0

@

Soit en effet R un &-réseau de X, ~ c JZI l'ensemble fini des parties non vides de R ; si A E JZI, notons P l'élément de ~ défini par P = {r ER; B(r, s) n A 0}. Soit x E X; si r E P, il existe a E A avec d(a, r) ~ s; alors dA (x) ~ d(x, a) ~ d(x, r) + d(r, a)~ d(x, r) + s, d'où en passant à l'inf sur r, dA(x) ~ dp(x) + s.

*

97

Chapitre 3 • Espaces compacts

Si a E A , il existe r E R tel que d(a, r) ~ s; alors r E P et dp(x) ~ d(x, r) ~ d(x, a)+ d(a, r) ~ d(x, a)+ s, d'où en passant à l'inf sur a, dp(x) ~ dA(x) + s. Il en résulte que h(A, P) = lldA - dpll ~ s, autrement dit que ~ est un s-réseau de d, ce qui prouve (IV.20). Soit maintenant (An) une suite de Cauchy pour h; la suite de fonctions (dA,) vérifie le critère de Cauchy de convergence uniforme, donc il existe 'P E C(X) avec lldA11 'Pli ---? 0; on va voir que

A : = 'P- I (0)

*- 0 ;

'P = dA .

Pour cela, on associe à x E X un Xn E An tel que dA 11 (x) = d(x, Xn) et on extrait de (xn) une suite (xnk) convergente de limite f; vu la convergence uniforme de dA k vers 'fJ, le passage à la limite dans dA k(xnk) = 0 donne (cf exercice 3) 'P(t) = 0, i.e. e E A et A est* (/); d' autre part, le passage à la limite dans dA"k (x) = d(x, Xnk) donne 'P(x) = d(x, f) ~ dA (x); enfin, si a E A, le passage à la limite dans l' inégalité ldA,.(x) - dA (a)I ~ d(x, a) donne 'P(x) ~ d(x, a), puis 'P(x) ~ dA(x) en passant à l'inf sur a; on a donc 'P(x) = dA(x), ce qui achève de prouver(*); puisque A E d, la relation lldA 11 - 'Pli ---? 0 se lit alors h(An, A) ---? 0, ce qui prouve (IV.21). (IV.20), (IV.21) et le théorème fondamental IV.3 montrent que 11

11

11

(d , h) est un espace métrique compact.

(IV.22)

Une variante de cet espace, quand X est seulement complet, réapparaîtra au chapitre V avec l'étude de plusieurs contractions. On verra dans ce chapitre V une définition alternative et plus intuitive de h(A, B) : h(A, B) = min{s ~ O;A

-g

où de façon générale E 8 = {x EcX.

c

::J

0

N ,..-!

0 N

@ ~

..c Ol

ï::::

>a. 0

u

98

E X;

d(x, E)

c ~

B 8 et B

c

As}

s} est l'epsilon-épaississement de

Exercices

Exercices

Dl

Soit E un evn, A et B deux parties non vides de E (cf chapitre II, exercice 19). a) Montrer que A, B compacts entraînent A + B compact. b) M.ontrer que A compact, B fe1mé entraînent A + B fermé. c) Donner un exemple où A, B sont fermés, mais pas A + B. d)* Mêmes questions que a), b) en remplaçant Epar un groupe topologique abélien G (cf chapitre II, exercice 19).

lfJ

Théorème de Darboux

Soit f une fonction réelle et dérivable sur un intervalle I c R et a, b E I avec a < b. a) On suppose f'(a)f'(b) a.

;;

ï:::: 0

u

Forme forte du théorème de Heine

.,"' Soit X, Y métriques,

Ol

..c

œ

·E 0

"'0c .,c ë. 0 0

u

0

..c

o.

j -ci 0

c

::>

0

@

f:

X~

Y continue, Kun compact de X. Montrer que

(Vs> 0) (3 ô > 0) (V x E K, V x' E X) : d(x , x') ~ ô ~ d(f(x), f(x')) ~ s .

Ill

Soit (Kn) une suite décroissante de compacts non vides d'un espace X, OO

K = n Kn. l

a) Montrer que K

* 0;

b) Soit w un ouvert contenant K; montrer qu' il existe no tel que Kn c w pour n >no. 99

Chapitre 3 • Espaces compacts

ID

Soit E un JR-evn, Q un ouvert de IR x E et f: Q ~ E, continue et localement lipschitzienne en la deuxième variable, au sens où (V m

E

(V(x, Y1), (x, Y2)

Q) (3 Vm ouvert 3 m) (3 Cm > 0) E

Vm) : 11/(x, YI) - f(x, Y2)ll ~ CmllY1 - Y2ll ·

Soit Kun compact den; montrer qu'il existe C = C(K) > 0 telle que

11/(x, Y1) - f(x, y2)ll

IB

~

CllY1 - Y2ll ,

V (x, Yi), (x, y2)

E

K.

Caractérisation des matrices semblables à une matrice unitaire

dans Md(

.,"' On se propose de donner un exemple où G pL (groupe engendré par L) est de mesure ,.,., ·E de Lebesgue nulle; on pose Ln = Ln U - Ln; p Ln = {xi + ... + xp; Xj E Ln}; on 0 ;; "'0c définit de même L, p L. .,c ë. c) i) M.o ntrer que GpL = u p L. 0 u 0

0 ..c

o.

j -ci 0

p> l

ii) Montrer que p Ln est inclus dans la réunion de 2

0

@

iii) Indiquer un choix de ln pour lequel m(GpL) =O. 101

Chapitre 3 • Espaces compacts

llit

Soit X un espace métrique compact, Y = C(X, X) l'espace des applications continues de X dans X avec la distance uniforme : d(f, g) = supx d(f(x), g(x)); on pose A = ensemble des f : X ---7 X ayant un point fixe . I = ensemble des injections de X dans X . S = ensemble des surjections de X sur X . a) Montrer que A et S sont fermés dans Y. b) I est-il ouvert ? Fermé ?

1111 Soit X= Cb(IR) avec la norme sup; on fixe f EX ; pour t E IR, on désigne par la translatée par - t de f : f,(x) = f( x + t); soit O(f) l'ensemble des f,; montrer que: O(f ) précompact entraîne f uniformément continue.

j~

(Au chapitre V, on caractérisera en termes de O(f) les fonctions uniformément continues, presque périodiques, périodiques).

Q ..j

Soit E 1' ensemble des

f : IR ---7 IR croissantes et telles que

lim f (x) =: f( - oo) = 0,

lim f(x) =: f( + oo) = 1 .

x~-oo

Soit

U~),

f

x~ + oo

des fonctions de E telles que :

i) fn converge simplement vers f sur lR ; ii) f est continue.

a) Soit M E N* ; montrer qu' on peut trouver x0 < x 1 < .. . < XM avec x0 = -oo, XM = +oo, f( xk ) = ~' 0 : :; ; k:::;;; M . b) On pose On = sup 0~k~M lf(xk) - f n(xk)I (M fixé). Montrer que llf n - f lloo :::;;; On + "O

0

c

::J

0 N

......

0

I,.

c) Montrer que f n converge uniformément vers f (deuxième forme du théorème de Dini, souvent rencontrée en Calcul des Probabilités).

Qld

Une partie K de

fP,

(1 : :; ; p < oo) est dite équi-intégrable si

N

@

OO

......

(V ê > 0) (3 N) (V f

..c Ol

ï:::: 0

K) :

.2: lf(n) IP : :; ;

sP .

N+ l

>a.

u

E

a) Montrer qu' on a équivalence entre : i) K compacte ; ii) K équi-intégrable et fermée, bornée.

b) Donner un exemple de compact K de fP « non dominé », i. e. pour lequel il n'existe pas de g E fP telle que lf(n) I : :; ; g(n), pour toute f E K , et tout n E N* . 102

Exercices

llJ4

Lemme de Lebesgue

Soit (X, d) un espace métrique compact, (wi)iE/ un recouvrement ouvert de X; montrer qu'il exister> 0 tel que: (V a EX) (3 i E /); B(a, r) C w i .

Ol:t

Espaces weierstrassiens

Soit X un espace topologique. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : 1. Toute fonction continue f

:X

---7

lR est bornée

2. Toute fonction continue et bornée f

:X

---7

lR atteint ses bornes.

On dit alors que l'espace X est weierstrassien. Un espace compact est évidemment weierstrassien. cf chap. IV. Ex. 22 pour un autre exemple.

llW

Soit X un espace compact, f et g E C(X) telles que : f (x) ; : : 0, V x et f(x) = 0 ==> g(x) > O. Montrer qu'il existe il > 0 tel que ilf(x) + g(x) > 0 pour tout x EX.

ft"l1I

Rang stable topologique

Soit X = [-1 , l]n , A = C(X, IR); g = (g1, ... , gr) E A r est dit générateur de A si l'idéal engendré par g 1 , ... , gr est A , c'est-à-dire s'il existe h 1 , ... , hr E A telles que r

"Z 9i hi =

1.

1

a) Montrer qu'on a équivalence entre : i) g est générateur de A; ii) les 9i n'ont pas de zéro commun. b)* Soit (f1, ... , fn+1) E An+ I, ô > 0; montrer qu'il existe (g1, ... , 9n+i) générateur tel que li.fi - 9ïlloo ~ ô, V i.

"O 0

c

::J

0 N T"-f

0 N

@

;a; "O

c

::>

Ol

.,"' ,.,.,

>a.

;;

~

..c ï:::: 0

u

c) En considérant les fonctions coordonnées fi(x) = xi, (x = (x 1, ... , xn)), 1 ~ i ~ n, montrer que le résultat du b) est faux avec n fonctions (on pourra utiliser le théorème du point fixe de Brouwer; cf [Du]).

ftjl Soit

X un espace métrique complet séparable (un espace « polonais » ), "'0c (xn)n)'l une suite dense de X, d la tribu des boréliens de X, P : d ---7 [0, 1] une .,c probabilité sur (X, d ). ë.

·E 0

0 0

u

0

..c

a) Soit s > 0, q

o.

j -ci 0

c

::>

0

@

Aq =

E

N* ; montrer qu' il existe Nq

E

N* tel que P(Aq) ; : : 1 - s 2-q, où

Nq -:1 U B(xn, -q). n= l

b) Montrer qu'il existe un compact K de X tel que P(K);;:::: 1 - s. 103

Chapitre 3 • Espaces compacts

c) Soit B E J2I; montrer que P(B) = sup {P(K); K compact c B } (on rappelle que P(B) = sup {P(F); F fermé c B}).

ftj..I

Soit X un espace métrique compact, Y un espace métrique, A une partie équicontinue de C(X, Y); on rencontre dans la littérature les deux énoncés suivants du théorème d' Ascoli : Énoncé 1 (cf [C]): Si Y est compact, A est relativement compacte dans C(X, Y).

Énoncé 2 (cf [D]) : Si Y est complet et si A(x) : = {/(x) ; f E A} est relativement compact dans Y pour tout x EX, A est relativement compacte dans C(X, Y). Expliquer pourquoi l'énoncé 2 n'est qu' une généralisation illusoire de l'énoncé 1.

ftJJ f

a) Soit X, Y, Z trois espaces métriques, Y étant compact; soit c E Z et : X x Y ---? Z continue avec la propriété suivante :

Pour tout x EX, l'équation (en y) f(x, y) = c { possède une solution unique y=

.,"' ,.,.,

Quitte à faire une deuxième extraction (X étant compact), on peut supposer que Xn ;; tend vers x. Alors lfn(xn)- f(xn)I ~ lfn(xn)- /(x)I + 1/(x)- f(xn)I, et le second membre "'c .,c tend vers zéro d'après l'hypothèse et la continuité de f; mais cela contredit(*); la ë. convergence de fn vers f est donc uniforme. u

·E 0 0

0 0

0

..c

o.

j -ci 0

c

::>

0

@

lm

En raisonnant par l'absurde, on voit qu'il revient au même de montrer : (xn) E K, (x~) E X, d(xn, x~) ~ 0 ::::} 3 (nk); d(f(xnk), f(~k)) ~ 0 ; pour cela, on s'aperçoit que la preuve du théorème IV.5 fonctionne sans changer un seul mot! 105

Chapitre 3 • Espaces compacts

œ

a) Les Kn sont une suite décroissante de fermés non vides du compact KI·

b) Il suffit de montrer qu'il existe n tel que Kn n wc = (/); si ce n'est pas le cas,

les Kn n wc sont une suite décroissante de fermés non vides du compact K 1, donc n(Kn n wc) = K n w c =F 0, contrairement à l'hypothèse.

œ

Première méthode : munissons lR X E de la norme ll(x, y)ll = lxl + llyllE; pour m E K, on peut prendre Vm de la forme B(m, Ôm); les B(m, 62,1 )mEK re-

couvrent K, donc il existe m1, .. . , mN A Ll -

max (Cm i , ... , CmN ) , u,a.

;;

..c ï:::: 0

u

·E 0

b) d'après 8), g est une isométrie de X sur X ; donc f = g- 1 est l'isométrie inverse.

OltJ a) Il n'y a qu'à prendre pour Rn un

~-réseau de X .

OO

"'0c .,c

b) Soit R = U Rn; Rest dénombrable, et a) entraine d(x, R) = 0, pour tout x EX, i.e.

ë.

x ER, pour tout x EX; Rest donc dense dans X.

0 u 0

1

0

..c

o.

j -ci 0

c

::>

0

@

l i). Posons hi = ,.9i ; hi est définie et continue car les gi n'ont pas de zéro comL: gl r 2 1

mun; autrement dit hi

N

......

0

N

@

......

..c Ol

ï::::

>a.

E

r

L;gi

1

L:1 g21

A et L, gi hi = ~ - = 1.

b) Cette question est un peu délicate; voici une solution possible : d'après le théorème de Stone-Weierstrass (cf [HL]), les fonctions polynomiales sont denses dans C(X) ; en particulier on peut trouver

a.

;;

..c ï:::: 0

u

·E 0

"'0c .,c ë. 0 0

u

En effet, il est clair que a E As; si x E As, la boule B(x, .s) = B est incluse dans As; en effet y E B entraîne y ! x puisque (x, y) est une .s-chaîne joignant x à y, et par transitivité y ! a; ceci montre que As est ouvert ; d'autre part soit y E As et x E B(y , .s) n As; on a comme précédemment y ! x et x ! a, d' où y! a et y E A s, ce qui prouve (III.1). Supposons maintenant X connexe ; alors (III.1) entraîne As = X pour tout s > 0, ce qui est exactement dire que X est bien enchaîné. D

0

..c

o.

j -ci 0

c

::>

0

@

La réciproque du théorème III. l est fausse en général : l'ensemble des rationnels est bien enchaîné mais non connexe ; on va décrire une classe d'espaces pour laquelle cette réciproque a lieu. 119

Chapitre 4 • Espaces connexes

111.2 Une condition nécessaire et suffisante en présence de corn pacité Théorème 111.2. Supposons X métrique compact. On a équivalence entre

a) X est connexe; b) X est bien enchaîné.

Démonstration. Il suffit de montrer que b) entraîne a) ; soit 'P : X ---? Z continue ; X étant compact, 'P est uniformément continue par le théorème de Heine, donc il existe s > 0 tel que d(x, y) ~ s entraîne l'P(x) - 'P(Y)I < 1 et par suite 'fJ(X) = ({J(y); si a, b E X, soit (ao, .. . , an) une &-chaîne joignant a à b; d(ai, ai+I) ~ s montre que ({J(ai) = ({J(ai+1), d'où ({J(a) = ({J(a1) = ... = ({J(an) = ({J(b) et 'Pest constante. D

111.3 Description des connexes de lR Théorème 111.3. Soit A une partie de IR ; on a équivalence entre

a) A est connexe; b) A est un intervalle.

Démonstration. a) ~ b). Si A n'est pas un intervalle, il existe a, b, c tels que a < c < b, a, b E A, c fi. A. Mais alors 'P : A ---? Z définie par 'P(x) = 0 si x < c et ({J(x) = 1 si x > c est continue non constante. b)

"O 0

c

::J

0

~

a). Montrons d'abord qu'un segment [a, b] est connexe; on peut supposer a < b, alors [a , b] est homéomorphe à [0, l], donc connexe d'après les théorèmes 1.5 et 11.3 ; mais on peut aussi uti liser le théorème III.2 : en effet [a, b] est compact (BorelLebesgue) et bien enchaîné; pour vérifi er ce dernier point, soit s > 0, n enti er~ b~a, x E [a, b], ak =a+ k(x;a) ; ao, ... , an est une &- chaîne joignant a à x dans [a, b]. Le cas général en découle puisque tout intervalle I est la réunion des segments contenus dans l et contenant un point fixé a E /. D

N ,..-!

Voici deux applications importantes du théorème III.3.

0 N

@ ~

..c Ol

ï::::

>a. 0

u

Théorème de la valeur intermédiaire 111.4. Soit X un espace connexe (métrique ou non) et f : X ---? IR continue; si f prend deux valeurs œ et /3, elle prend toute valeur y intermédiaire entre œ et f3 (œ ~y~ /3).

Démonstration. f(X) est un connexe, c'est donc un intervalle de IR ; par hypothèse, œ E f (X) et f3 E f (X), donc y E f (X) ; autrement dit f prend la valeur y. D Théorème 111.5 (théorème de Brouwer en dimension 1). Toute fonction continue f : [a, b] ---? [a , b] possède un point fixe. 120

IV. Composantes connexes

Démonstration. Soit g(x) = f(x) - x; [a, b] est connexe, g continue avec g(a) = f(a) - a ~ 0, g(b) = f(b) - b ~ 0; 0 est donc une valeur intermédiaire entre g(a) et g(b), et il existe xo tel que 0 = g(xo); xo est un point fixe de f. D Remarque 111.6. Qu'on puisse décrire aussi précisément les connexes de R est un miracle (lié à la dimension un de R) qui ne se reproduit ni pour les compacts de R (penser à l'ensemble triadique de Cantor) ni pour les connexes de Rd, d ~ 2 (leur

structure est inextricable) ; cette description a la conséquence utile suivante (elle aussi propre à la dimension un) : un connexe de R non réduit à un point est { d'intérieur non vide (cf exercice 2) .

IV

(III.2)

COMPOSANTES CONNEXES

Dans ce paragraphe, on va voir qu'on peut toujours plus ou moins se ramener au cas où l'espace X est connexe.

IV.1 Définition; propriétés Définissons une relation binaire x

~

y

~

~

dans X par

3 C connexe de X ; x

E

C et y

E

C.

(IV. l)

Cette relation est évidemment réflexive et symétrique ; elle est aussi transitive car si x, y E C et y, z E C', où Cet C' sont connexes, Cu C' = D est connexe comme réunion de connexes dont l'intersection contient y, et de plus x, z E D. C'est donc une relation d'équivalence (la troisième rencontrée dans ce chapitre). •Les classes d'équivalence

"O 0

c

s'appellent les composantes connexes de X.

• La classe d'équivalence de x pour connexe de x.

::J

0 N T"-f

0

de~

~

se note C(x) et s'appelle la composante

N

;a;

@

c Proposition IV.1. ::> .,.,"' ,., a) C(x) est la réunion de tous les connexes contenant x; c'est aussi le plus grand ·E 0 connexe contenant x. ;; "'0c .,c b) C(x) estfermée dans X.

~

..c Ol

ï::::

>a. 0

u

"O

ë. 0 0

u

0

..c

o.

j -ci 0

c

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0

@

Démonstration. a) Soit D la réunion de tous les connexes contenant x; D est connexe d'après le théorème II.1, donc y ED entraîne y~ x, ce qui prouve l'inclusion de D dans C(x); réciproquement, y E C(x) entraîne l'existence d'un connexe C contenant x et y, donc contenu dans D; ceci montre l'inclusion réciproque de C(x) dans D. 121

Chapitre 4 • Espaces connexes

b) C(x) est connexe et contient x; d'après a) cela entraîne C(x) c C(x), ce qui donne le résultat. D La proposition facile suivante est utile pour identifier les composantes connexes d'un espace, qui sont souvent non seulement fermées mais aussi ouvertes (cf exercice 10). Proposition IV.2. Si X =

lJ w;,

où les wi sont ouverts connexes non vides, alors

I

les wi sont les composantes connexes de X.

Démonstration. Soit C la composante connexe d'un point x; si C rencontre Wï, CUwi est un connexe contenant x, donc CU wi = C d'après la proposition IV.l; autrement dit, C est la réunion des wi qu'elle rencontre; mais C ne peut rencontrer plusieurs wi, sinon elle se partagerait en ouverts non vides disjoints; comme elle en rencontre effectivement un, soit w.i (les Wi recouvrent X), C = w .i ; on a donc aussi la réciproque : y E w; entraîne w; = C(y). D

IV.2 Composante connexe d'un point dans un espace compact • La quasi-composante (connexe) de x E X est par définition l'intersection des paities ouve1tes et fermées de X contenant x; on la note Co(x) ; si X est métrique, la composante caténaire de x est par définition l'ensemble des points de X joignables à x par une s-chaîne, pour tout s > 0; on la note C 1(x) ; voici des classes d'espaces pour lesquelles l'une ou l'autre de ces notions coïncident. Théorème IV.3. a) On a toujours l'inclusion C(x) c Co(x). "O 0

c

::J

0 N T"-f

0

b) On a l'égalité C(x) = Co(x) si X est compact. c) Si X est métrique, on a l'inclusion Co(x) c C1(x). Si X est métrique compact, on a l'égalité C(x) = Co(x) = C1(x).

N

@ ~

..c Ol

ï::::

>a. 0

u

Démonstration. a) Soit A un ouvert-fermé de X contenant x; C(x) n A est ouvertfermé dans C(x) connexe, et contient x; il en résulte que C(x) n A = C(x) et que C(x) c A ; A étant arbitraire, on a bien C(x) c Co(x). b) D'après la proposition IV.1, il suffit de montrer que C0 (x) est connexe; supposons donc C0 (x) = F 1 u F2 , où les F; sont des fermés disjoints de C0 (x) fermé dans X, donc aussi des fermés de X; on peut supposer x E F 1 ; X est normal car compact, on peut donc trouver U, V ouverts de X tels que F1 c U , 122

F2 c V ,

Un V = 0 ,

Co(x) c U

uV.

(IV.2)

IV. Composantes connexes

Je dis qu'il existe un ouve1t-fe1mé F contenant x tel que FcUUV.

(IV.3)

En effet, si tel n'était pas le cas, les ensembles A n ( U U V)c, où A parcourt les ouverts-fermés contenant x, auraient la propriété de l'intersection finie et par compacité une intersection non vide; autrement dit on aurait C0 (x)n (U u vy =F 0, ce qui contredit (IV.2). Remarquons maintenant que

F n U est un ouvert-fermé contenant x.

(IV.4)

En effet, F n U est ouvert, comme intersection finie d'ouverts; d'autre part (IV.3) et (IV.2) entraînent un F c un F =un (U u V) n F =[(Un U) u (Un V)] n F =un F

car Un V= 0 implique Un V = 0; et ceci prouve (IV.4) puisque x que F2 c Co(x) c Un F c U .

E

F 1. Il en résulte

(IV.5)

En effet, par (IV.4) et la définition de Co(x), Co(x) est inclus dans Un F; enfin, (IV.2) et (IV.5) entraînent F2 = 0, ce qui achève la preuve. c) Pour s > 0, soit A(s) l'ensemble des y joignables à x par une s-chaîne; A(s) est ouve1t-fermé dans X (cf preuve du théorème III.l) et C 1(x) = n A(s), donc e>O

Co(x) c C 1(x). Supposons maintenant X compact; nous allons montrer que C 1(x) est connexe, ce qui entraînera C 1(x) c C(x), et achèvera la démonstration (en donnant

au passage une nouvelle preuve de b) dans le cas métrique compact). Supposons C1(x) non connexe. Alors, C1(x) = F1 U F2 , où F1, F2 sont compacts non-vides disjoints, donc à une distance positive: d(F 1 , F2) = r >O. "O 0

On fixe 0

Ol

.,"' ,.,.,

>a.

;;

~

..c ï:::: 0

u

·E 0

"'0c .,c ë.

i'

et on épaissit un peu F 1 et F2 en posant G 1 = {yld(y, F 1) a. 0

u

•Rappelons (cf chapitre III, proposition IV.8) qu'un espace topologique totalement discontinu est un espace dans lequel la composante connexe d'un point est réduite à ce point. Un espace discret est évidemment totalement discontinu ; Q est non discret mais totalement discontinu ; en effet, un connexe C de Q est un connexe de lR donc un intervalle ; mais alors C est réduit à un point : sinon l'intervalle C contiendrait des irrationnels. Voyons maintenant des exemples moins extrêmes. 124

IV. Composantes connexes

Proposition IV.5. Soit w un ouvert de JR ; w s'écrit de façon unique

(IV.6) Cette union di!!Jjointe est finie ou dénombrable.

Démonstration. lR étant localement connexe (cf chapitre VD, les composantes connexes de w sont des ouverts de JR, donc des intervalles ouverts ; ces intervalles ouverts sont deux à deux disjoints en tant que classes d'équivalence, et lR étant séparable, ils sont en nombre fini ou dénombrable, appelons-les In =Jan, bn[; In est fermé dans w et donc an, bn ne sont pas dans w (mais on peut avoir an = -oo ou bn = +oo) ; cela donne l'existence d'une décomposition telle que (IV.6), où les Jan, bn[ sont les composantes connexes de w; l'unicité découle de la proposition IV.2. D On a par exemple lR \ {0} = J - oo , O[ u JO, +oo[. Proposition IV.6. Soit Kun compact non vide de R}; WR est connexe comme image du produit de connexes ]R, oo[x[O, 2.rr] par l'application continue (r, B) H r ei8 ; la composante connexe de R + 1 contient donc WR et toute autre composante connexe den est incluse dans D(O, R). b) C est ouverte car n est ouvert et

Ol

.,"' ,.,.,

>a.

;;

~

..c ï:::: 0

u

La notion de connexité a de nombreuses applications en topologie et en analyse ; il est parfois souhaitable d'introduire une autre notion, celle d'homotopie des applications, ce que nous ferons à la fin de ce paragraphe.

·E 0

V.1

Espaces non homéomorphes

"'0c Nous allons nous contenter d'une approche intuitive, très facile à mettre en forme .,c ë. quand il le faut ; certains espaces topologiques X ont de façon claire un ensemble E 0 u 0 0 d'extrémités (ou bouts) c'est-à-dire un ensemble Etel que X\ E soit connexe; par ..c o. j exemple X= [O, 1] et E = {O, 1} ; supposons pour simplifier que E a un nombre fini -ci 0 c p d'éléments et que f est un homéomorphisme de X sur Y ; la restriction de f à X\ E ::> 0 @ induit un homéomorphisme de X\ E sur Y\ f (E), en particulier Y\ f (E) est connexe; 127

Chapitre 4 • Espaces connexes

si donc Y est tel que Y\ F est non connexe chaque fois que F a p éléments, Y ne peut être homéomorphe à X; voici quelques exemples. Deux intervalles de IR de nature différente ne sont pas homéomorphes.

(V .1)

Montrons par exemple que X= [0, 1[ n'est pas homéomorphe à Y =]0, 1[; en effet, X a une extrémité 0, tandis que Y privé d'un point n'est plus un intervalle, donc n'est plus connexe; or, si f était un homéomorphisme de X sur Y, Y\ {f(O)} devrait être homéomorphe à X \ {0}. [0, l] et

r

ne sont pas homéomorphes.

(V .2)

En effet, [O, 1] a les deux extrémités 0 et 1, tandis que r privé de deux points est réunion de deux arcs ouverts disjoints, donc n'est pas connexe. Les lettres T et L ne sont pas homéomorphes.

(V .3)

En effet, la lettre T a trois extrémités; la lettre Lest homéomorphe à un segment, et un segment privé de trois points est non connexe. On peut faire des variations sur le thème des extrémités : Le segment [0, 1] = I et le can·é

!2

ne sont pas homéomorphes.

(V.4)

HJ

En effet, 1 \ est non connexe, et /2 privé d'un point est toujours connexe. On pourrait de cette façon redémontrer (V.2). On va maintenant énoncer un théorème plus précis et en donner une application.

"O 0

c

::J

0 N T"-f

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@ ~

..c Ol

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>a. 0

u

V.2 Absence d'un théorème de Cantor-Bernstein topologique Le théorème de Cantor-Bernstein affirme ceci : si X, Y sont deux ensembles, s'il existe une injection de X dans Y et une injection de Y dans X, il existe une bijection de X sur Y (cf [HL]). Il est naturel de se poser la même question dans la catégorie des espaces topologiques : s'il existe une injection continue de X dans Y et une injection continue de Y dans X, existe-t-il une bijection bicontinue de X sur Y, autrement dit X et Y sont-ils homéomorphes? On va voir qu'il n'en est rien, sous une forme renforcée. Proposition V.1. Soit h un homéomorphisme de X sur Y; h échange les composantes connexes de X et Y, c'est-à-dire h(C(x)) = C(h(x)) , 128

V x EX .

(V.5)

V. Applications de la connexité; homotopie

Démonstration. Soit y = h(x); h(C(x)) est un connexe contenant y, d'où l'inclusion h(C(x)) c C(y); on a de même h- 1(C(y)) c C(x), ce qui entraîne l'inclusion mverse. D Considérons maintenant l'exemple suivant, où on répète une infinité de fois un exemple donné au chapitre II (exemple III.13). OO

X= U (]3n,3n+l[ U {3n+2}); n=O

Y=(X\{2})U{l}.

*

Soit f : X --7 Y définie par f (x) = x si x 2, et f (2) = 1. La restriction de f à ]O, 1[ U {2} a déjà été considérée au chapitre II; f est évidemment une bijection continue de X sur Y, mais 1- 1 n'est pas continue en 1; d'ailleurs il n'existe pas de bijection continue cp de ]0, 1] sur ]0, l[ U {2}; pour Y, les choses sont différentes : Y «commence» par ]0, l] et ]3, 4[; ces deux intervalles, rapprochés par la pensée, donnent un intervalle de la forme ]O, 1[, qui est le début de X; « ensuite » Y est «pareil» à X, avec un décalage de trois; cela suggère donc de définir g : Y --7 X par (cf figure 4.4) X

J~~[--~J~[--~]----+-[---~J-[~0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

y

J~~]~~]---+-[--~]--+-[---~J-[~0

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Figure 4.4

X

SI

2 g(x) =

"O 0

:! 2

1 Si

3


Ol

.,"' ,.,.,

>a.

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u

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u

0

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o.

j -ci 0

c

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0

@

E

A.

3) A est ouvert dans w : soit en effet b çant a par b et n par w) ; ainsi r ~ rb entraîne

E

A et rb > 0 tel que (V.7) ait lieu (rempla-

1 ( 2;r [ 7r

2

Jo

f(b) - f(b + r e

. ]

18

)

dB ~ 0 ;

mais la fonction a. 0

u

B

En effet, suivant la formule de Taylor, P(a + r e1 ) = P(a) +

n p (.J) (a) . .B L: -.,rl él , où n est . 1 l·

j=

le degré de P; prenant la moyenne des deux membres sur [0, 2n], on obtient (V.8) pour P; puis appliquant l'inégalité triangulaire on obtient (V.7) pour IPI, ce qui prouve (V.13). n

Théorème V.4 (inégalité de Bernstein). Soit P(z) = L: ak l k=O degré n; alors

un polynôme de

sup {IP' (z)I ; lzl ~ 1} ~ n sup {IP(z)I ; lzl ~ 1} .

(V.14)

132

V. Applications de la connexité; homotopie

Démonstration. Par homogénéité, on peut supposer que sup{IP(z)I; lzl

~

l} = 1;

montrons d'abord que lzl ~ 1 ~ IP(z)I ~ lzln .

(V.15)

Soit pour cela Q(z) = ~ P(~) le polynôme réciproque de P; d'après (V.13), on peut appliquer le principe du maximum à IQI et à l'ouve1t borné D , ce qui donne lai ~ 1 ~ IQ(a)I ~ sup {IQ(w)I ; lwl = 1} .

(V.16)

lan

Or (V.16) se lit P(~) I ~ sup {jP(~)I; lwl = 1} = 1, d'où IP(~)I ~ l~l n pour ce qui prouve (V.15). Montrons ensuite que IÀI > 1 et lwl = 1 ~ P'(w) Soit en effet Q(X) = P(X) - il xn; si lzl IQ(z)I ~ Il ~l

~

*

aED*, (V.17)

nÀwn-I.

1, (V.15) entraîne:

- IP(z)I

~ (IÀI -

1) lzln > O.

Autrement dit Q a toutes ses racines dans le convexe D; il en est de même (cf exercice 14) de Q', ce qui prouve (V.17), et lwl = 1 ~ IP' (w)I ~ n .

(V.18)

Posons en effet À = :~~}1 ; la contraposée de (V.17) donne IAI ~ 1. Enfin, (V.18) et une nouvelle application du principe du maximum donnent 1' inégalité (V.14) D annoncée.

Remarque V.S. L'inégalité de Bernstei n (cf [QZ]) a lieu dans des cas plus généraux; l'exemple P(z) =~montre qu'elle est optimale.

"O 0

c

::J

0

Le théorème d'approximation suivant est une nouvelle application de la connexité.

N T"-f

0 N

;a;

@ Ol

c Théorème V.6 (théorème de Runge). Soit K un compact de C de complémen::> .,.,"' taire connexe, et a E Kc. Alors ,.,

>a.

;;

~

..c ï:::: 0

u

"O

·E 0

"'0c .,c ë. 0 0

1 - - est limite uniforme sur K de polynômes.

(V.19)

z-a

u

0

..c

o.

j -ci

Démonstration. Désignons par P(K) l'adhérence des polynômes dans C(K); c'est une sous-algèbre de C(K) car il est clair que, Pn. Qn désignant des polynômes :

0

c

::>

0

@

Pn ~

f ,

Qn ~ g

~ Pn

+ Qn

~

f +g

et P n Qn ~

fg, 133

Chapitre 4 • Espaces connexes

où la convergence est celle de l'espace normé C(K); pour a E Kc, désignons aussi par 'Pa l'élément de C(K) défini par 'Pa(Z) = z~a; (V.19) se reformule ainsi

a

Kc ::::} 'Pa

E

E

P(K) .

(V .19')

Pour prouver (V .19'), on va chanter le même refrain que dans la preuve du théorème V.3; posons A = {a E Kc; 'Pa E P(K)}, et montrons que

1) A

0. Soit R = sup{ lzl ; =f:-

lai > R; 'Pa(z)

= -~

z

E K} ;

,2 .?;

= -

a 1

on va voir que

lal > R entraîne a

E

A ; en effet, soit

OO

L: ;,:1 , la série convergeant normalement sur K puisque 0

1 a~: 1 1 est inférieur à ( 1~.1 t R- ; si donc on pose PN(Z) = -

N

L: a~: 1 , PN tend vers 'Pa 0

dans C(K), et 'Pa E P(K).

2) A est fermé dans Kc. Cela a lieu presque par définition, modulo la propriété a E An Kc ::::} 'Pa E P(K) (= P(K)) .

(V.20)

En effet, pour un tel a, soit d = d(a, K) et (an) une suite de A tendant vers a avec lan - al ~ ~ ; pour z E K ,

an - a 1 lan - al ~xd ' 1 z - an - z - a = (z - an.)(z - a) ~

1

1

1

1

d'où

ce qui prouve (V.20) et 2). "O 0

c

::J

0

3) A est ouve1t dans Kc. Soit a E A, d = d(a, K) ; il suffit de montrer que

N T"-f

0

D(a,

N

@

~) c A.

(V .21)

~

..c Ol

ï::::

>a.

Or, si

lhl ~ ~ et z E K ,

0

u

OO

1 _1_=~ ---= 1 (z - a)n+I ' z-a-h z-a 1 - ...l!... L.J z-a 0

la série convergeant n01malement sur K puisque son terme général est majoré par d- 1 2-n ; donc 134

N

N

0

0

L: hn

Ol

.,"' ,.,.,

>a.

;;

~

..c ï:::: 0

u

y

~

"O 0

0

(V.22)

·E 0

"'0c .,c ë. 0 0

u

0

..c

o.

j -ci 0

c

::>

0

@

Figure 4.5

fr

En effet, (V.22) entraîne /IK = u~ f(w) 'Pw dw; on approche cette intégrale vectorielle par des sommes de Riemann vectorielles L Ài 'Pw; et on applique (V.19) ; la difficulté est d'établir (V.22) qui est intuitive, mais très difficile à formaliser ; pour une preuve vraiment rigoureuse, cf [Bu]. 135

Chapitre 4 • Espaces connexes

Remarque V.8. Le théorème de Runge sert à prouver d) de la proposition IV.5

(cf exercice 3).

V.4 Passage du local au global

f:

X~

Y est dite localement constante si tout point a EX possède un voisinage V

sur lequel f vaut /(a). Proposition V.9.

a) Soit X connexe et f

:X

~

Y localement constante; alors f est constante.

b) Soit y une courbe fermée C 1 par morceaux d'image y* et soit /(a, y ) = -1.

l

-dz2m yz-a

l'indice de a par rapport à y; alors l'indice est constant sur chaque composante connexe X de y*c.

Démonstration. a) Soit a

X; /(x) = /(a)}; A est ouvert par hypothèse et contient a; mais Ac est aussi ouvert; soit en effet x €t A, V un voisinage E

X et A = {x

E

*

de x tel que flv = f(x); si y E V, f(y) = f(x) et /(y) f(a); V est donc inclus dans Ac; A est non vide, ouvert-fermé dans X connexe, d'où A =X et f est constante. b) On sait que (cf [R]) a ~ /(a, y) est une application continue de C \y* dans Z; le résultat découle donc de a), ou de la quatrième définition de la connexité. D

"O 0

c

::J

0 N ,..-!

0

Remarque V. 1O. Une application classique de a) est celle où X est un ouvert connexe d'un espace normé E et f une application de classe C 1 sur X, de dérivée nulle; si B(a, r) est incluse dans X, le théorème de la moyenne (cf [D]) appliqué à l'ouvert convexe B(a, r) montre que f est constante sur B(a, r), donc localement 2

constante; l'exemple E = IR , X= {(x, y); y* 0}, f(x, y)=

N

@

{

1

_

1

SI SI

y> Ü montre Y< 0

que l'hypothèse X connexe est essentielle.

~

..c Ol

ï::::

>a. 0

u

Dans le même ordre d'idées, on a les résultats suivants que nous énonçons sans démonstration (cf respectivement [Ca] et [R]). Théorème V. l l (théorème d'unicité globale de Cauchy-Lipschitz). Soit f : JR.2 ~ IR continue et localement lipschitzienne en la deuxième variable; soit YI et y2 deux solutions sur l'intervalle Ide l'équation d(fférentielle y' = f(x, y); si YI et Y2 sont égales en un point de /, alors YI = Y2· 136

V. Applications de la connexité; homotopie

Théorème V.12 (théorème d'unicité du prolongement analytique). Soit .Q un ouvert connexe de C, f et g: n ~ C holomorphes et E une partie de .Q ayant un point d'accumulation dans .Q; alors f lE = glE entraîne f = g.

Voici une application du théorème V.12, qui est une forme très faible du principe d'incertitude d'Heisenberg (c.f [HJ]); soit f E L 1(IR), Î sa transformée de Fourier dé.finie sur IR par Î(x) =

l:

e- itx f(t)dt .

Alors, si f et Î sont à support borné, f = O. En effet, si f est nulle presque partout hors de [-A, A], on peut prolonger Î en une fonction entière par la formule Î(z) =

l:

e-ilzf(t)dt;

par hypothèse, Î s'annule sur un ensemble de la forme [B, oo[ dont tous les points sont d'accumulation dans C ; d'après le théorème V.12, Î(z) = 0 pour tout z E C, en particulier Î(x) = 0 pour tout x E IR ; le théorème d'unicité de Fourier entraîne alors f =O.

V.5 Homotopie; existence de logarithmes continus Soit X, Y deux espaces topologiques,/ le segment [0, l]; dans l'étude de la connexité (entre autres), il est utile d'introduire une relation d'équivalence dans l'espace C(X, Y) des applications continues de X dans Y. Définition V.13. "O 0

: X x 1 ~ Y continue telle que F(x, 0) = f(x) et F(x, 1) = g(x) pour tout x EX. On note f : : : : g ; la relation : : : : est clairement une relation d'équivalence.

ii)

f

c

::J

0 N T"-f

0 N

@

;a; "O

c

::>

Ol

.,"' ,.,.,

>a.

;;

~

..c ï:::: 0

u

·E 0

"'0c .,c ë. 0 0

u

0

..c

o.

j -ci 0

c

::>

0

@

f , g E C(X, Y) sont dites homotopes s'il existe F

i)

C(X, Y) est dite équivalente à zéro si f est homotope à une application constante de X dans Y. On note f::::::: O. E

Intuitivement, F représente une déformation continue de f vers g quand le temps t varie de 0 à 1 ; posons en effet F1(x) = F(x, t); F, varie continûment avec t (si X est métrique compact, t H Fr est même un chemin joignant f à g dans C(X, Y)) , F1 E C(X, Y), Po = f et F 1 = g. Sig : : : : f, g hérite souvent des bonnes propriétés de f comme on le verra plus loin ; enfin la notion d'homotopie, convenablement «relativisée», sert à définir les espaces simplement connexes, mais nous n'aurons pas besoin ici de cette nouvelle notion. 137

Chapitre 4 • Espaces connexes

Définition V.14. Soit f : X --7 C* continue; on dit que f admet un logarithme continu s'il existe g : X --7 C continue telle que f(x) = eg(x) pour tout x E X; en abrégé, on écrit f = e9 et on dit que f a un log continu.

f est plus précisément à valeurs dans le cercle unité r;

Remarque V. 15. Souvent,

un logarithme continu de f (s'il existe) est nécessairement à valeurs imaginaires pures et on écrit plutôt f = eig où g : X --7 IR est continue; d'ailleurs on a l'équivalence immédiate:

f : X --7 C* a un log continu ~ l~I : X

--7

r

a un log continu .

(*)

En effet, la paitie modulaire 1/1peut toujours s'écrire eLoglfl, où Log est le logarithme népérien. Voici une première application de l'homotopie. Théorème V.16. Soit X un espace métrique compact et fo, fi : X --7 C* continues; on suppose que fo a un log continu et que f1 est homotope à fo ; alors f1a un log continu. Démonstration. D'après la remarque V.15 (et quitte à remplacer F(x, t) par ;~~:h ), on peut supposer que fo , / 1 sont à valeurs dans r et qu'il existe une homotopie F : X x 1 --7 r déformant continûment fo en fi ; X x 1 est métrique compact, donc F est

1

1

uniformément continue ; en particulier, on a la propriété suivante 3n "O 0

c

~î*

E i~

lt - t ' 1~ -1 n

;

~

(V.23)

llFr - F1 llqx) < 2. 1

Rappelons que (théorème 111.15, chapitre II)

::J

0

si

N ,..-!

f

E

C(X, f) est non Sllljective,

f a un log continu .

(V.24)

0 N

@

Posons a. 0

u

Par hypothèse, o = fo a un log continu; et on remarque que k = eiv ' 'f/

IR sont continues), ce qui prouve (V.25); en particulier, D

V. Applications de la connexité; homotopie

Le théorème V.16 possède à son tour l'importante application suivante qui peut (cf exercice 26) être établie par un pur raisonnement de connexité. Théorème V.1 7. Soit Kun compact étoilé d'un evn E, a

E

K.

a) Toute fonction continue f : K ~ C* possède un logarithme continu g; deux tels logarithmes diffèrent d'un multiple entier constant de 2in; si f(a) = eb, on peut choisir g(a) = b. b) Toute fonction continue f : Rn ~ C* possède un logarithme continu; les précisions de a) restent valables, avec a E Rn.

Démonstration. a) Par translation, on peut supposer K étoilé par rapp01t à 0; posons F(x, t) = f(tx), où x E K, t E [0, 1] ; cela a un sens car tx E K; F est continue : K x 1 ~ C* avec F(x, 0) = f (0), F(x, 1) = f (x) ; f est donc homotope à l'application constante f (0) dans C* ; cette application a un log continu, à savoir une constante c telle que f(O) = é; il en est de même pour f d'après le théorème V.16; d'autre part, eY1 = e92 = f entraîne 9 1 - 92 = 2inn, (n E Z) d'après la proposition I.3; enfin si f = eg et f(a) = eb, on a g(a) = b + 2inn, (n E Z) et il suffit de remplacer g par y= g - 2nin pour avoir f = e'>' et y(a) = b. b) Posons f(O) = é 1 et Kj = {x E Rn; llxll ~ j}, où Il Il est une norme sur Rn, j = l, 2, ... ; Kj est compact et étoilé par rapp01t à 0, donc il existe gj E C(Kj) telle que gj(O) = a et e9J = flKJ ; de plus éJ+ 1 = egi sur Kj, donc gj+ilKJ - gj = Cj, où Cj est une constante; et c.i = 9j+1 (0) - 9.i(O) = a - a = 0, autrement dit 9j+1IK; = 9.i ; les 9j se recollent donc en g E C(Rn) telle que f = e9; les précisions se prouvent comme D dans a). • Soit X un espace topologique et A c X. A s'appelle un retract de X si l'identité i : A ~ A se prolonge en une application continue r : X ~ A ; r s'appelle une rétraction de X sur A. Le théorème V.17 et la notion de retract vont donner un important théorème de point fixe.

"O 0

c

::J

0 N T"-f

0 N

@

;a; "O

c

::>

Ol

.,"' ,.,.,

>a.

;;

~

..c ï:::: 0

u

·E 0

"'0c .,c ë. 0 0

u

0 ..c

o.

j -ci

Théorème V.18 (théorème de Brouwer en dimension 2). Soit B une boule euclidienne fermée de IR.2 . Alors: a) {)B n'est pas un retract de B . b) Toute application continue f : B

~

B possède un point fixe.

Démonstration. a) On peut supposer que Best la boule unité, de sorte que oB = r; soit rune rétraction éventuelle de B sur r; d'après le théorème V.17, r = éP, où cp : B ~ IR. est continue ; notons t/f la restriction de cp à r ; on a par définition :

0

c

::>

0

@

X

=

eiif;(x) '

VX E

r.

(V.26) 139

Chapitre 4 • Espaces connexes

Si J = l/t(r), J est compact connexe, c'est donc un segment de lR ; d'autre pait, l/f est injective d'après (V.26): l/f(x) = l/f(x') ~

eii/J(x)

=

eii/J(x')

~ x = x' .

r étant compact, l/f est un homéomorphisme de r sur J, ce qui est impossible d'après (V.2); éJB n'est donc pas un retract de B. b) Supposons f sans point fixe et définissons r : B ~ r ainsi (cf figure 4.6)

r(x)

f(x)

B

Figure 4.6

r(x) est le point où la demi-droite d'origine /(x) et de vecteur directeur x - f(x) percer. Analytiquement, r(x) = f(x) + t(x - f(x)) avec t ~ 0 et lr(x)I = 1 ; élevant au carré, on obtient l'équation du second degré lx - /(x)l2

t2 + 2(f(x)/(x -

/(x))) t + l/(x)l2 - l = 0 .

Le discriminant réduit est "O 0

Li' (x) = 1(/(x)/(x - /(x)))l 2 + lx - /(x)l 2 (1 - 1/(x)l2 )

c

::J

>0 ,

0 N T"-f

0 N

@ ~

..c Ol

ï::::

>a. 0

et le produit des racines est négatif; il y a donc une racine pos1t1ve t(x) = -(f(x)/(~;!(i~~2+ YiYW et on a r(x) = f(x) + t(x)(x - f(x)); on voit que r est une application ~ontinue de B dans r, par définition égale à l'identité sur r; r est donc une rétraction de B sur éJB, ce qui est impossible d'après a), et prouve b) par l'absurde. D

u

Remarque V. 19. Le théorème de Tietze (théorème II.5 bis, chapitre III) affirme que si A est un fermé d'un espace métrique X, toute fonction continue f : A ~ lR se prolonge en f : X ~ lR ; le résultat reste vrai si on remplace lR par C (en prolongeant

les parties réelles et imaginaires de/), mais le théorème de Brouwer dit qu'il ne l'est plus si on remplace C par C* ou r ; on a cependant la proposition utile suivante. 140

V. Applications de la connexité; homotopie

Proposition V.20. Soit A un fermé d'un espace métrique X et f : A ~ C* continue ; alors il existe un ouvert w ::> A et une extension continue J de f, avec w ~ c*.

J:

Démonstration. Soit F: X~ C un prolongement continu de f, et soit w = {F ::/:- 0}, = Flw; w est un ouvert contenant A, donc w et répondent à la question. D

J

J

Étant donné un compact A de IR2 et p, q E Ac, il est souvent important de savoir si A ne sépare pas pet q, c'est-à-dire si pet q sont dans une même composante connexe de Ac ; on va donner un critère« algébrique» pour qu'il en soit ainsi; ce critère utilise l'application /3p (variante de l'application de Borsuk x H 1 ;=~ 1 ) ainsi définie sur A /3p(x) = x - p, p

E

Ac ,

XE

A ;

/3p

E

C(A, C*).

(V.27)

Nous aurons besoin de deux résultats préliminaires. Proposition V.21 (critère de Borsuk). Soit A un fermé d'un espace métrique X et fo, fi : A ~ C* continues; on suppose que

a) fo a une extension continue Fo : X~ C* ; b)

Ji

~

fo (dans C(A, C*)).

Alors f 1 a aussi une extension continue F l

:

X

~

C*.

Démonstration. Soit

0

@

(c' est possible car X est métrique). 141

Chapitre 4 • Espaces connexes

Y = partie grisée

... - ...... _ .... -------- · - - -

--- ... ..... - .. - .. - .. ,,

'

A

'' '

'

Figure 4.7

On pose alors F 1(x) = t/f(x, p(x)); F 1 a un sens et est continue, comme composée des applications continues x H (x, p(x)) de X dans U et t/J : U -7 C* (en effet, si x E V, on a (x, p(x)) E Vxl c U, et sixa. 0

u

Proposition V.22. Soit A un compact de JR.2, C une composante connexe bornée de Ac, p E C; alors, f3P n'a pas d'extension continue à A U C (à valeurs dans C* ); il en est de même de /3~, n E N*.

Démonstration. On se ramène par translation au cas p = 0; supposons qu'il existe une extension continue F : Au C -7 C* de x H X1' (X7' étant la puissance n-ième de x dans C , assimilé à JR.2 ); considérons une grande boule fermée B de centre 0 et de 142

V. Applications de la connexité; homotopie

rayon r dont l'intérieur contient C et posons xi· g(x) =

{ F(x)

Sl

x

E

Si XE

B\ C

C.

ôC est inclus dans A (proposition IV.6), donc la définition de g est cohérente; B \ C et C sont fermés, g est donc continue sur B (proposition III. l 0, chapitre Il) ; le théorème V.17 donne alors h : B ~ C continue telle que g = eh ; en particulier : X1 = eh(x) si lxl = r; par changement de variable yn = eh(ry)- nLog r =: eiip(y) si lyl = 1, où

a.

;;

~

..c ï:::: 0

u

·E 0

Le critère d' Eilenberg a l'importante conséquence suivante, qu'on utilisera au chapitre VI.

"'0c Théorème V.24 (théorème de Janiszewski). Soit A, B des compacts de JR2 et .,c ë. p, q tt. AU B. On suppose que 0 u 0

0 ..c

o.

a) ni A ni B ne séparent p et q;

j -ci 0

c

::>

0

@

b) A

n B est connexe.

Alors, A U B ne sépare pas p et q. 143

Chapitre 4 • Espaces connexes

Démonstration. Notons d'abord que /3p /3q Soit en effet F : A x I

~0 ~

dans C(A, C*) et dans C(B, C*) .

(V.30)

C* continue avec F(x, 0) = /3p(x), F(x, 1) = /3q(x) (F

existe d'après le critère d'Eilenberg) ; alors G = ~ est une homotopie de ~; vers la constante 1 dans C(A, C*); idem avec B. A et B étant compacts, le théorème V.16 fournit cp : A ~ C et l/J : B ~ C continues telles que

/3 _..!!_ = e'P sur A · /3q '

/3p - = e"'"' sur B. /3q

(V.31)

Ainsi e'P = et/! sur A n B ; A n B étant connexe (éventuellement vide), il existe n E Z tel que (V.32) cp = l/J + 2imr sur A n B . Définissons x : A

u B ~ C par x(x) =

xEA

cp(x) ' { l/J(x) + 2imr ,

XE

B.

D'après (V.32), cette définition est cohérente ;x est continue sur A et B fermés, donc continue sur A u B (proposition III.10, chapitre II) ; et (V. 31) montre que ~; = eX sur AU B; posant G(x, t) = e~a.

;;

~

..c ï:::: 0

u

·E 0

2. Montrer que, si lzol < 1, on a : Zn.+J - Zn expliquer la différence avec le b) ?

---?

0, mais que (Zn) diverge; comment

"'0c .,c

Il) Enveloppe polynomiale d'un compact; cf. proposition IV.6

ë.

Soit Kun compact de C , Î x} est connexe dans JR 2 .

b) Montrer que g(x, y) = f(y) - f(x) ne s'annule pas sur A; en déduire que f est

monotone (strictement) et ouverte.

llt'I "O 0

Ovales de Cassini

Soit a, R deux nombres > 0, et

c

::J

0 N T"-f

0 N

@

;a; "O

>a.

;;

ï:::: 0

u

z E C; j ·(z) clef = lz2- a21 < R2 .}.

c

Ol

..c

{

::>

.,"' ,.,.,

~

G=

·E 0

(Gest le lieu des points dont le produit des distances à a et -a est< R2 . Sa frontière s'appelle une ovale de Cassini, et une lemniscate de Bernoulli si a= R).

"'0c .,c a) On suppose a < R. Montrer que 0 E G et que G est étoilé par rapport à 0 (Montrer ë. 0 u que, à() fixé, on a f 2 (rei6 ) = g(r2 ) avec g convexe sur JR+). Puis montrer que G est 0 0 ..c o. connexe. Est-ce que Gest toujours convexe? j

-ci 0

c

::>

0

@

b) On suppose a ~ R. Montrer que G n i!R = 0, puis que G est non-connexe. Combien a-t-il de composantes connexes? 147

Chapitre 4 • Espaces connexes

llil

a) Soit F un fermé de IR avec la propriété suivante a

·E 0

Gfl':.I Un exemple d'espace weiestrassien connexe et non-compact "'0c .,c Soit X= N*; on désigne par (a, b) le pgcd de a , b EN* et par I la famille des parties ë. 0 u de X qui sont soit 0, soit une progression arithmétique Pa,b := {a, a+ b, a+ 2b, .. .} 0 0 ..c o. avec (a, b) = 1. ;;

j

-ci 0

c

::>

0

@

a) i) Montrer que I est stable par intersection (montrer que Pa,b n Pa' ,b' vaut 0 ou Pa,f:J, avec œ = min(Pa,b n Pa',b') et/3 = ppcm(b, b')). 149

Chapitre 4 • Espaces connexes

ii) Décrire la topologie !!7 engendrée par E, et une base de voisinages de a E X; montrer que !!7 est séparée.

b) Soit Pu,v' Pu' ,v' E E avec (u, u') = 1; montrer que Pu,v n Pu',v' :/= 0. (Indication: utiliser l'identité de Bézout pour trouver r, s puis corriger les deux membres de façon adéquate).

E

Z tels que u+ru = u' +su',

c) Montrer que l'espace (X, !!7) est connexe; est-il métrisable? d) Montrer que toute fonction numérique continue sur X est bornée. On dit alors que X est weierstrassien.

e

e) On considère la suite Xn = n! dans X. Soit E X une valeur d'adhérence éventuelle de (xn). En considérant le voisinage V de défini par V = + p Z, où p est un nombre premier > t, aboutir à une absurdité. En déduire que X n' est pas compact.

e

e

(Ainsi, X est non-compact, et pourtant weierstrassien. Cela ne pomTait pas se produire si X était métrisable. Voir aussi le commentaire à la fin du corrigé).

GfJI

Une application du théorème de Brouwer

Soit Il li la norme euclidi enne sur JRd et soit f : JRd ~ JR.d une application continue qui est négligeable devant l'identité au sens où : lim (llxll - llf(x)ll) = +oo.

llxll- HX>

a) Montrer que, pour tout y E JRci il existe R > 0 telle que la fonction gy définie par gy(x) = y - f(x) envoie la boule B(y, R) dans elle-même. b) Montrer que la perturbation de l'identité g définie par g(x) = x + f(x) est surjective : JRd ~ JR.d . c) Cette fonction g est-elle aussi injective? -0

§ 0

Gfll

Une preuve courte du théorème des trois cercles de Hadamard

......

Soit A = {r1 < lzl < r2} où r 1 > 0 et soit f holomorphe sur A, continue sur A .

N

a) Montrer que si ga(z) = lzla If(z)I, ga

N

0

@

.:c Ol

ï::::

~

b) Pour r Hadamard

u

GfJj

E

E

S h(A) pour tout œ réel.

[r1, r2], on pose M(r) = sup{lf(z)I; lzl = r}; montrer l'inégalité de [M(r)]Log ~ ~ [M(ri)]Log 9.- [M(r2)]Log fi"

.

Principe de subordination de Littlewood

Soit cp : D ~ D holomorphe avec cp(O) = 0; soit u, v : D ~ lR sous-harmoniques telles que u = u o cp (on dit que u est subordonnée à u); on fixer E [0, 1[. 150

Exercices

a) i) M.ontrer qu' il existe w : D(O, r) ~ R continue, harmonique sur D(O, r), telle que u(z) = w(z) si lzl = r et u(z) ~ w(z) si lzl ~ r. ii) Montrer que w o r.p est continue sur D(O, r), harmonique sur D(O, r) ; en déduire que

OO

b) (Application, cf [Sh]) i) Soit f holomorphe sur D avec f(z) =

L akt

et

0 OO

L lakl2

< oo ; montrer que, si g =

0

ii) M.o ntrer qu'on a plus précisément

lfld

OO

OO

0

0

f o r.p, g s'écrit g(z) = L bkt avec L lbkl 2 n

n

0

0

~

OO

L lakl2 . 0

L lbkl 2 ~ L lak l2 , pour n = 0, l, ....

Autre preuve du théorème V.1 7

Soit Kun compact de Rn étoilé par rapport à 0, G le groupe multiplicatif des éléments inversibles de C(K), (G = C(K, C*)), Go le sous-ensemble des éléments de G ayant un logarithme continu. a) Montrer que G avec la topologie induite par C(K) est un groupe topologique abélien.

b) Montrer que Go est un sous-groupe de G et que 1 est intérieur à Go. c) Montrer que Go = G.

d) Pour K compact quelconque, montrer que Go est la composante connexe de 1 dans G.

lf.J4

Soit A la couronne ouverte {1 < lzl < 2} et fun homéomorphisme de A sur A. On pose B = {1 < lzl < Yl} et K = oB (frontière de B dans A)= {lzl = Yl}.

"O 0

c

a) Montrer que f est propre, au sens où :

::J

0 N T"-f

0 N

@ ~

..c Ol

ï::::

>a. 0

u

;a;

lim d(z, oA) = 0

entraîne

lim d(f(z), oA) =O.

"O

c

::>

.,"' ,.,., b) Soit A s = { 1 < lzl < 1 + s}; montrer qu'il existe so > 0 tel que f(Ae) n K = 0 pour ·E 0 ;; 0 < s ~ so. "'0c .,c c) Montrer que 0 < s ~ so entraîne f(A e) c Bou f(A e) c A\ B. ë. 0 (Indication : appliquer le lemme de passage des douanes). u 0 0

..c

o.

j -ci 0

c

::>

0

@

d) Montrer qu'il existe e, {' établir alors que f ' = ~ .

E

{l, 2} tel que lim1z1~1 lf(z)I =

eet lim1z1~2 lf(z)I

= {';

(Indication : si t = f', aboutir à une contradiction en considérant 1- 1). 1 51

Chapitre 4 • Espaces connexes

e) Soit f une bijection holomorphe de A sur A; montrer que: ou bien f(z) = ÀZ, pour tout z E A ; ou bien f (z) = À x ~, pour tout z E A (l désignant une constante de module 1).

lf"f:t

Soient A0 , A 1 deux fe1més connexes de IRn avec A0 de montrer que Ao n A 1 est connexe.

u A 1 = IRn ; on se propose

a) Soit r.p : Ao n A 1 ~ Z continue ; montrer qu' il existe r.p j r.p = 'PI - 'Po sur Ao n A 1 (utiliser le théorème de Tietze). e2irr 0, Sr = {x E E; llxll = r} et.E,- = {y E F; llyll = r}. En utilisant le théorème de l'invariance du domaine, montrer que /(S ,-) =Ir, puis que f est surjective, et que toute isométrie de E dans F est automatiquement surjective, et par suite affine.

Corrigés

Dl

a) Facile et laissé au lecteur.

b) Soit y: [0, l] ---7 X un chemin continu d'origine y(O) E [-i, i]; posons 0 et h > 0!). d) Soit Q un ouvert de IR.2 , et f: Q "O

0

c

::J

0 N

......

0

N

@

......

i) logf est sous-harmonique sur Q

-

-

l'hypothèse ii), on a: f(a)e - ha.

JO, oo[, continue. On a équivalence entre:

ii) Pour tout disque ouvert D tel que D c Q , et pour toute fonction h : D continue sur D et harmonique sur D, fe - h est sous-harmonique sur D.

..c Ol

---7

logf(a)

~ h(a) =

< ~

2

l:m

f(a + re 18 )e- h(aHe">dlJ = 1, soit puisque

2

_..!._ (

2n ) 0

2

rr

h(a + reifJ)dB = _..!._ (

2n

Jo

rr

logf(a + rei8 )d(}

ce qui prouve i). On voit ensuite de même que la somme de deux fonctions log-sousharmoniques est log-sous-harmonique. 156

Corrigés

Ill

Soit f : A U B ~ Z continue ; A et B étant connexes, il existe a, b E Z tels que flA = a et fis = b ; par continuité, f vaut encore a sur A n (A u B) qui est l'adhérence de A dans A U B; a fortiori, f vaut a sur A n B; d'où a = b et f est constante.

ID

a) Soit f : A ~ Z continue ; c'est donc une constante c sur A connexe. On définit F : A U B ~ Z par

F(x) =

{c

f(x)

six

E

B

six

E

A

nB

qui est

La fonction Fest bien définie car f(x) = c sur An B. Elle est continue sur A U B par le principe de recollement, car F 1A et F 18 sont continues, et A, B sont fermés. Elle vaut donc une constante d puisque A u B est connexe. Et d = c puisq ue B :f:. 0. En particulier, f (x) = c sur A , ce qui montre que A est connexe. De même, Best connexe.

!l

H·

b) Prenons X= R ,A = [O, U [~, 1], B = [!, Alors, A n'est pas connexe, bien que A n B = { et A u B = (0, 1] le soient. Noter que B n' est pas fermé.

!}

GE

Supposons f - 1({a}) borné, alors il existe un disque compact ~ contenant f - 1({a}); ~c est connexe (cf. cours) et par définition a rt f(~c); f(~c) est un connexe, donc un intervalle l de R; puisq ue a rt l, l c] - oo, a[ ou lc]a, oo[, disons I c] - oo, a[; d' autre part f(~) est un compact de R, donc il est majoré par b E R , et f(R 2 ) = f(~) U f(~c) c] - oo, c], avec c = max(a, b); ceci contredit la surjectivité de f.

œ

a) C'est le théorème de la valeur intermédiaire pour f (x) - X continue sans zéros sur le connexe J. Si f(x) = yx, on a le premier cas; si f(x) = x 2 , on a le second.

b) Dans le premier cas, une récurrence montre que (xn) est croissante ; elle est majorée par 1, donc converge vers w ::::; 1 et w ~ xo > O. Si w < 1, on a w E 1 et w est point fixe de f car f est continue sur J. Ceci est contraire à l'hypothèse. Donc, w = 1 ne dépend pas de la valeur de xo. De même, dans le cas f(x) < x, on trouve w =O.

"O 0

c

::J

0 N T"-f

0 N

@ ~

..c Ol

ï::::

>a. 0

u

;a; "O

c Remarque. Le vrai théorème de Denjoy-Wolff (cf [Sh], p. 78) dit que si f: D ~ D ::> .,.,"' ,., est une fonction holomorphe sans point fixe dans D, il existe w E oD tel que, pour ·E 0 ;; tout zo E D, la suite définie par son premier terme zo et la relation de récurrence "'0c Zn+l = f( zn ) converge vers w. Par exemple, w = 1 si f(z) = (~'; 1 ) 2 . 2 .,c

ë. 0 0

u

0

..c

o.

j -ci 0

c

::>

0

@

Il] a) C'est facile. b) Soit Xn = (0, ~ ); Xn E ln, Xn tend vers Po et F est voisinage de po, il existe donc no tel que n ~ no entraîne Xn E F , d' où ln n F :f:. 0; de plus ln n F est ouvert-fermé dans In connexe, donc Inn F =In et In c F. 157

Chapitre 4 • Espaces connexes

c) Soit Yn = (1, ~) ; Yn E F pour n ;;?:: no, Yn tend vers Pl et F est fe1mé, d'où Pl E F et la quasi-composante Co(po) contient Po et p 1 ; d'autre part, pour tout entier q EN*, la réunion des In pour n > q et de {po} et {PI} est un ouvert-fermé contenant po, donc Co(po)nlq = 0; q étant arbitraire, Co(po) c {po, PI } et finalement Co(po) = {po, PI }; il est clair que la composante connexe de Po est C(po) = {po}, donc C(po) =F Co(po); le théorème IV.3 ne s'applique pas car X n'est pas compact.

Ille]

n

a) rang p = tr p =

L: (p(ej)/e1). }=1

b) L'application p constante.

H

rang p est continue sur C connexe, à valeurs dans Z , donc

c) Supposons par exemple A E GL+(n, JR) et soit t H A, un chemjn continu dans GL+(n, JR) avec Ao = T, A 1 = A. Posons e1(t) = A,(e1), 1 ~ j ~ n, 0 ~ t ~ 1. (eI (t), ... , en(t)) est une base de JR.n; définissons Pt E Xk par p,(ej(t)) = {

~J:t) ' ~ ~ ~ ;alors t

>--> p, est un chemin continu dans Xk qui joint

PO àp. d) On a vu dans c) que chaque Xk est connexe par arcs, donc connexe; les Xk sont fermés disjoints en nombre fini, donc ouverts disjoints puisque X = Xo u ... u Xn ; d'après la proposition IV.2, ce sont les composantes connexes de X .

1111

a) A est convexe.

b) g ne s'annule pas car f est injective; A étant connexe, g a un signe constant sur A. Si g > 0 sur A , y > x entraîne f(y) > f(x) et f est croissante; si g < 0 sur A , y > x entraîne f(y) < f(x) et f est décroissante . "O

0

c

::J

Si par exemple f est croissante, f(]a, b[) = ]f(a), f(b)[ pour a < b, f est donc ouverte.

0 N

......

0

Glt:J

a) On a f(O) = a 2 < R2 , donc 0

E

G. On a ensuite

N

@

f\reiB) = l?e2iB - a212 = r4 - 2a2r2 cos 2() + a4 = g(r2),

......

..c Ol

ï::::

>a. 0

u

avec g(t) = t2 - 2a2 tcos 28 + a 4 . La fonction g est convexe car g" = 2 ou simplement parce qu'elle correspond à une parabole tournée vers le bas ! Soit alors z = reiB E G et À E [O, l]. On a puisque g est convexe:

f 2(Az)

= g(A2r 2) ~ A2g(r2) + (1 - A2)g(O) ~max (g(r2), g(O)) 4

=max (f\z), a 158

)

< R4

Corrigés

puisque z E G et puisque a< R. On voit donc que /lz E G, qui est connexe comme le sont tous les ensembles étoilés. Mais G, ou même G, ne sont pas convexes en général. Par exemple, si a < R < a Y2 et si R' = R + s 3 avec s > 0, en posant

u = h/R'2 on a w

0 petit.

b) si y

E

JR, on a l(iy)2 - a 2 1= 1- y2

-

a 2 1= y2 + a 2 ~ a 2 ~ R2 , donc iy

G+ = {z E G; ~z > 0}

et

G- = {z

E

a.

;;

~

..c ï:::: 0

u

·E 0

"'0c .,c ë. 0 0

u

0

..c

o.

j -ci 0

c

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0

@

Cas où a >R

Gill

a) Supposons que l' ouvert w =]a, b[ n pc est non vide; soit ]u, v[ une de ses composantes connexes; on sait que u, v (D(O, n)Y, ce qui est exclu par le caractère borné de w; il existe donc a fi. n tel que w coupe D(a, ~),et cela implique de même D(a, ~) c w. En particulier, a E w.

c) Avec les notations de b), soit a E ne n w, C la composante connexe de a dans ne; n e c K~, donc C est un connexe de K~ rencontrant la composante connexe w de K~, ce qui implique Cc w. De plus, C est borné car w est borné. "O

0

c

::J

0 N

......

0

N

@

......

..c Ol

ï::::

>a. 0

u

n étant borné, ne a une composante connexe non bornée C

si K~ n'est pas connexe, il a au moins une composante connexe bornée w; d'après c), w contient une composante connexe bornée Co de ne; donc ne a au moins deux composantes connexes Co et C 00 , ce qui est absurde.

d)

00 ;

lllFI

a) Posons P = f \ K, Ao = D , Bo = {lzl > 1}, A = Ao U P, B = Bo U P; Ao, Bo sont connexes et Ao c A c Ao, Bo c B c Bo, donc A et B sont aussi connexes; AnB =P donc A U B est connexe ; or A U B = Ke.

* (/),

b) Ke étant connexe, le théorème de Runge entraîne 'Pa E P(K) pour a fi. K, en particulier 'Po E P(K) ; P(K) étant une algèbre, on a aussi 'Pb E P(K) pour j EN*; comme z = 1 sur K, cela revient à dire que la fonction z H -zi est dans P(K).

z

160

Corrigés

c) P(K) vérifie toutes les hypothèses du théorème de Stone-Weierstrass complexe, la seule propriété non évidente étant: f E P(K) entraîne f E P(K). Soit donc f E P(K), (Pn) une suite de polynômes telle que llPn - fllqK) --7 0 ; P n(Z) = L: a j,n zj enj

traîne Pn(Z) =

.l:: aj,n z/,

donc Pn

E

P(K) d'après b); de plus llPn - fllC(K)

--7

0,

j

donc f E P(K). En conclusion, P(K) est fermée et dense dans C(K), c'est-à-dfre égale à C(K). Une solution plus élémentaire est la suivante : soit f E C(K). Prolongeons f en F E C(f) en appliquant le théorème de Tietze aux parties réelle et imaginaire de f. Puis approchons F uniformément sur r par un polynôme trigonométrique S (z) = L: ~N aki, ce qui est possible par le théorème de Fejér. En particulier, f est proche de S sur K. Et la question b) précédente permet d'approcher z- 1 , ..• z-N uniformément sur K par des polynômes. Finalement, f s'approche uniformément sur K par un polynôme.

llt4

a) On sait d'après le cours que ôw c K. D'après le principe du maximum, on a aussi IQ(a)I = 1 ~ supzeâw IQ(z)I, d'où finalement 1 = IQ(a)I ~ sup IQ(z)I ~ sup IQ(z)I = llQllqK)· ze K

ZEÔW

b) On a puisque Q = (z - a)('Pa - P) :

1 ~ llQllC(K)

~

llz - allqK)ll'Pa - PllqK)

~

Rllcpa - PllqK) ,

ce qui donne le résultat demandé.

"O 0

c

::J

0 N T"-f

0 N

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;a; "O

c

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Ol

.,"' ,.,.,

>a.

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~

..c ï:::: 0

u

K = région hachurée

·E 0

"'0c .,c ë. 0 0

u

0

..c

o.

j -ci 0

c

::>

0

@

111:1 a) x

f + g avec f

F, g E G* ; puisque dimE < oo, f + g est un homéomorphisme de F x G* sur E \ F (mais dans tous les E

E \ F équivaut à x =

E

(f, g) H cas E \ F est image continue de F x G*) ; or si S est la sphère unité de G, S est connexe d'après l'exemple 5 de II, et G* est homéomorphe à Sx]O, oo[ par l'application (u, r) H ru, (u E S , r E]Ü, oo[). E \ F est donc homéomorphe au produit de connexes F x S x]O, oo[ (on a utilisé dim G ;;::: 2 pour la connexité de S). 161

Chapitre 4 • Espaces connexes

b) F est un hyperplan, donc le noyau d'une forme linéaire non nulle 1, et E \ F = 01 u 02, où 01 = {I < O}, 02 = {I > O}; 01, 02 sont ouverts puisque I est continue (dim E < oo ), convexes et donc connexes ; ce sont donc les deux composantes connexes de E \ F d'après la proposition IV.2.

l lW

a) Si X = 0 1 u 02 avec 0 1, 02 ouverts non vides, soit a

. par I() x = Ide/fi me

{ba

---7

01. et b

E

02;

. . si. xE0 1 est contrnue fi xe. sans pornt SI XE 0 2

b) r est connexe, mais si IÀI = 1 et continue sans point fixe der sur r. c) Définissons g : Y

E

Y eth : Z

g(y) = { la(y)

---7

À

* 1, la rotation z

H

ÀZ

est une application

Z par les formules

si l(y) E y si l(y) fi. Y

et h(z) = { l(z)

·

a

si l(z) E Z si l(z) fi. Z

où on a posé {a} = Y n Z. g eth sont continues; en effet, si F est un fermé de Y, 1 { 1- (F) n Y si a fi. F , . , l'l / .fi . / 1(F) g= 1-'(F u Z) n y si a E F comme on 1e ven e aisement grace a 1ypothèse Y n Z = {a}; idem pour h. D'après l'hypothèse, il existe y g(y) =y, h(z) = z. Distinguons deux cas. Cas 1. l(y)

E

E

Y, z

E

Z tels que

y ou l(z) E Z.

Dans le premier sous-cas, y est point fixe de I, dans le second z est point fixe de

I.

Cas 2. l(y) fi. Y et l(z) fi. Z.

Alors y = a et l(a) fi. Y; de même z = a et l(a) fi. Z; ce cas ne peut donc pas se produire. d) Un segment a (P F) (théorème de Brouwer III.5) et la lettre X est réunion de deux segments se coupant en un seul point, donc X a (P F). "O

0

= sup{ lzl; z E A} et Coo la composante connexe non bor1p 1 > M , p E C oo et 'Yp ·/3p ·. A. ---7 f ev1te / . 1a va· 1eur iPi P ,· en eIBet, .- lBpl

c

lf"l1J ii) ::::} i). Soit M

0

/ de Ac nee . .

::J

N

......

0

X -

N

@

......

..c Ol

ï::::

>a. 0

u

P

s·1

P ·r ·r ·r = = e1 avec x E A entraînerait x = p + lx - ple1 = e1 (lpl + lx - pl),

lx-pl lpl d'où lxl = lpl + lx - pl ~ lpl > M, ce qui est absurde ; Yp possède donc un logarithme continu et il en est de même pour (Jp = l(Jpl Yp; si on pose (Jp = e'P, F(x, t) = etip(x) définit une homotopie de 1 vers fJP ; un point quelconque q de Coo est joignable à p par un chemin dans Coo, d'où(Jq:::::: (Jp:::::: O. i)::::} ii). (Jp :::::: 0 et le théorème V.16 entraînent (Jp = e'P, où r.p : A ---7 C est continue; d'après le théorème de Tietze, r.p possède une extension continue r.p* : C ---7 Cet fJ; := e'P· est une extension continue : C ---7 C* de (Jp; si maintenant p fi. Coo, on a p E C, où C est une composante connexe bornée de Ac, et d'après la proposition V.22, 162

Corrigés

f3P n'a pas d'extension continue (à valeurs dans a+ a'; alors Pa,b et Pa',b sont des voisinages disjoints de a et a' respectivement.

*

b) L'identité de Bézout fournit ro, so E Z tels que sou' - rov = 1; les nombres entiers relatifs r = (u- u') ro et s = (u- u') so vérifient su' - ru = u- u', soit u +ru = u' +su' ; ajoutant Àvv' aux deux membres, il vient u + (r +Av') v = u' + (s +Av) v' =: x,i; pour À EN* assez grand, on a r + ilv' et s + ilv EN*, d' où x,i E Pu,v n Pu',v'·

"O 0

c

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0 N T"-f

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c

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0

c) Soit tp: X~ Z continue et a, a' EX; d 'après a) ii), il existe des voisinages P a,b et Pa' ,b' de a et a' sur lesquels tp est constante, soit tp = c sur P a,b et tp = c' sur Pa' ,b' ; soit aussi Pbb' ,r =: P un voisinage de bb' sur lequel tp vaut la constante c 1 ; r est premier avec bb', donc avec b et b', ce qui, d'après b), entraîne P n Pa,b f/J, P n Pa',b' 0; la première relation entraîne ci = c, la seconde c 1 = c'; d' où tp(a) = c = c' = tp(a'); tp est donc constante et (X, !!/') connexe ; il ne peut être métrisable d'après l'exercice précédent, puisque X est dénombrable; soit dit en passant il n'est pas non plus régulier (cf chapitre II) puisqu' on démontre qu'un espace régulier à base dénombrable d' ouve1ts (ici les Pa,b) est métrisable (la preuve découle facilement de l'exercice 25, chapitre II et du théorème d'Urysohn, chapitre III).

*

*

@

163

Chapitre 4 • Espaces connexes

d) Soit f : X ~ C continue. Puisque f est continue et puisque X est connexe, dénombrable, f (X) est connexe au plus dénombrable, donc réduit à un élément, cf Exercice IV.21. Autrement dit, f est constante ! A fortiori, elle est bornée. e) Soit V= e + pZ. Puisque p est premier> e, on a (p, l) = 1, donc V est un voisinage ouvert de e. Par définition d'une valeur d'adhérence, il existe des n;;::: p tels que n! E V, soit: ~T* n.f -- · + pq, q El~ .

e

e

Mais alors, = n! - pq est divisible par p, ce qui est absurde. Cette contradiction montre que (xn) n' a aucune valeur d' adhérence. Ainsi, X n' est pas compact. Ce fait découle aussi de la question c), puisque tout espace compact est normal, a fortiori régulier.

lfJI

a) Soit A > 0 tel que llx - yll ;;::: A ==> 11/(x)ll ~ llxll - 21 1yll, puis soit B = supllx-yll~A 11/(x) - yll et R = max(A, B). Ce R répond à la question. En effet, on voit que

1. llx - yl l ~A ==> llgy(x)ll ~ B

~

R.

2. A < llx - yll ~ R ==> llgy(x)ll ~ 11/(x)ll + llyll ~ llxll - 21 1yll + llyll

= llxll b) Soit y

E

llyll ~ llx - yll ~ R.

JRd. Résoudre l'équation g(x) = y équivaut à résoudre l'équation

gy(x) = x. Or, la question a) a montré l'existence d'une boule compacte B stable

par 9y· D'après le théorème du point fixe de Brouwer (prouvé en détail dans ce chapitre pour d = 2), gy admet un point fixe x dans B, et ce point fixe vérifie g(x) = y.

"O

0

c

::J

0 N .--!

0 N

@

.....

..c

Ol

ï::::

>a. 0

u

c) L'exemple d = 1, f(x) = 2sin x montre qu'il n'en est rien en général. Ici, g' (x ) = 1 + 2 cos x change de signe et la fonction g(x) = x + f (x) ne risque pas d'être monotone, et donc injective (rappelons qu' une injection continue de lR dans lui-même est toujours monotone).

lfll

a) Fixons a E A; il existe ra > 0 tel que D(a, 2ra) c A et tel que le logarithme de z ait une détermination holomorphe sur D(a, 2ra), notée Logz (cf [R 1], p. 274); sur D(a, 2ra), lzla lf(z)I est le module de la fonction holomorphe eaLog zf(z), donc est une fonction sous-harmonique; en particulier, pour 0 ~ r ~ ra, gela) ~ 2 2~ JT ga(a + r ei8 ) dB, ce qui prouve que get E S h(A); il est clair que 9a E C(A), donc

fo

9a ES h(A).

b) Fixons z E A, avec lzl = r E]r 1, r2[; le principe du maximum pour 9a donne lga(z)I ~ sup lgal = max (rf M(r1), r~ M(r2)) . âA

164

Corrigés

Laissant r fixe et faisant varier

z, on obtient

ra M(r)

~

max (rf M(r1), r~ M(r2)) .

On ajuste maintenant a pour avoir rf M(r1) = ~ M(r2), ce qui donne a =

Locr ~

Lo: 7J., o 'I

où on pose M 1 = M(r 1), M2 = M(r2), M = M(r). On reporte dans l'inégalité a Log r + Log M ~ a Log r 1 + Log M 1 pour obtenir L

M

og

LogM 1 -LogM2 L r1 L M Log r2 og -; + og i

~

ri

Log =

Multipliant par Log l'énoncé.

r2 ri

r

r

ri

Log

2

Logri

LogM1 +

~ '1

,. LogM2 .

1 Log ....:. r1

> 0 et prenant l'exponentielle, on obtient l'inégalité de

If.Ji

a) i) Soit w la fonction continue sur D(O, r), harmonique sur D(O, r), égale à u sur C(O, r) (w existe d'après le théorème de Dirichlet); u - w E S h(D(O, r)), et u - w = 0 sur C(O, r); le principe du maximum entraîne donc: u - w ~ 0 sur D(O, r).

ii) Observons d' abord que w o