THERMODYNAMYQUE Résumé de Cours Et Exercices Corrigés PDF [PDF]

Zitiervorschau

Université des sciences et de la Technologie H. Boumediene Alger

Les cours de la Faculté de physique

THERMODYNAMYQUE

Résumé de cours et exercices corrigés Domaine L2 SM

Dr Nouri Sabrina Eps Laziri

Année universitaire 2017-2018

Préface Ce cours du module Thermodynamique est destiné aux étudiants des deuxièmes années de licence scientifique spécialité science de la matière SM. Il couvre en quatre chapitres les notions de base de la thermodynamique et les machines thermiques. Chaque chapitre commence par des rappels mettant l'accent sur les points fondamentaux du cours, illustrés par quelques exemples classiques et accompagné par des exercices d'application. Ce document est accompagné par des annexes comportant des rappels de notions de base en thermodynamique et des grandeurs physiques ainsi que la bibliographie utilisée. L’auteur tient à remercier tous les collègues qui ont fait partie du collectif de l’enseignement de ce module. Cette première édition comporte sûrement quelques imperfections, nous serions reconnaissants à tous ceux qui nous ferait part de leurs remarques et suggestions.

Le cours se trouve sur le lien : http://perso.usthb.dz/~snouri/

L’auteur

Table des matières 1

I.

Outil mathématique …………………………………………………………...

I.1.

Rappel sur les dérivée partielle…………………………..……………………

I.2.

Exercices …….……………………………………………………………….

2

II.

Premier principe de la thermodynamique……………………………………...

3

II.1.

Travail...……………………………………………………………………….

3

II.2.

Quantité de chaleur……………………………………………….………….

3

II.3.

Variation d’énergie interne…………………………………………………..

4

II.4.

Transformation d’un gaz parfait………………………………………………

4

a)

Transformation isochore……………………………………………………

4

b)

Transformation isobare ….………………………………………………….

4

c)

Transformation isotherme……..…………………………………………….

4

d)

Transformation adiabatique………………………………………………….

5

II.5.

Exercices…………………………..…………………………………………

6

III.

Deuxième principe de la thermodynamique……….…………………………

19

III.1.

Système fermé……………….………………………………………………

19

III.2.

Bilan d’entropie…………………………...…………………………………

20

III.3.

Application du deuxième principe à un système isolé. …………………….

21

III.4.

Irréversibilité ................................................................……………………

22

III.5.

Entropie……………………...………………………………………………

22

III.6.

Les applications du second principe…………………………………………

22

III.7.

Exercices sur le deuxième principe………………………….. ……………..

25

IV.

Rappel sur les machines thermiques………………………………………..

29

IV.1.

Grandeurs thermodynamiques…………….………………………………..

29

IV.2.

Machine thermique monotherme……………………………………………..

29

IV.3.

Machine thermique ditherme………………………………………………...

29

a)

Inégalité de Clausus……………………………………… …………………

30

b)

Diagramme de Ravau……..………………………………………………….

30

V.

Théorème de Carnot…………………………………………………………

32

a)

Les moteurs……………………………………….…………………………

32

b)

Les récepteurs…………………..…………………………………………….

33

V.4

Bilan énergétique…………………………………………………..…………

33

V.5.

Exercices sur les machines……………………………………………………

18

NOMENCLATURE Principales notations C d f f’ J K kg L l m n P Q R S T t U V W

: capacité calorifique : dérivée totale : fonction : dérivée : joule : kelvin : kilogramme : chaleur latente : litre : masse : quantité de matiére :pression : quantité de chaleur : constante universelle des gaz parfaits : entropie : température : temps : énergie interne : volume : travail

Lettres grecques ∂

∆ ρ γ

: dérivée partielle : opérateur de Laplace : densité : indice adiabatique du gaz parfait

Indices 0 ext f f i irrév int p réver v

: état initiale : extérieur : finale : fusion : initiale : irréversible : intérieur : à pression constante : réversible : à volume constant

Introduction

Le mot thermodynamique est d’origine grec.il est composé de deux parties : « thermo » qui signifie chaleur et « dynamique » qui signifie travail ou mouvement. Le mot composé veut dire mouvement produit à partir de la chaleur. La thermodynamique est apparue en tant que science à partir du XVIII siècle avec la découverte de la machine à vapeur. Son but est d’étudier les différentes formes d’énergies et les possibilités de conversion entre elles. La thermodynamique compte plusieurs branches : • Thermodynamique classique : étudie les systèmes à l’échelle macroscopiques en utilisant des grandeurs mesurables telles que la pression P, la température T et le volume V • Thermodynamique chimique : étude des chaleurs des réactions et des propriétés thermodynamiques des équilibres chimiques. • Thermodynamique statistique : prend en considération les systèmes sous leurs aspects microscopiques et s’appuie sur la mécanique statistique. • Thermodynamique technique : pour les machines thermiques, frigorifiques, pompe à chaleur……ect).

Etat de l’art de la thermodynamique : • 1747 : le physiologiste A. HALLER a attribué la constance de la température, du corps humain au frottement accompagnant la circulation du sang. • 1765 : J. WATT a créé la première machine à vapeur pratiquement sans fondement théorique. • 1824 : S. CARNOT a découvert le deuxième principe de la thermodynamique, qui a été complété plus tard (en 1848) par W. THOMSON et R. CLAUSIUS (en 1850). • 1842 : R. MAYER a découvert le premier de la thermodynamique, qui a été confirmé par J. JOULE en 1845. • 1869 : M. MASSIEU, J.W. GIBBS (1875), H.L.F. HELMOTZ (1882), et P. DUHEM (1886) ont découvert les fonctions caractéristiques et les potentielles thermodynamiques, et ont initié l’application de la thermodynamique à la chimie. • 1877 : L. BOLTZMANN a introduit la thermodynamique statistique.

THERMODYNAMIQUE

I.

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

Outil mathématique :

I.1. Rappel sur les dérivées partielles : Soit une fonction F(x) à une seule variable : La dérivée de F est f’ f ' (x) =

f ( x + ∆x ) − f ( x ) df ( x ) lim = ∆x → 0 dx ∆x

(I.1)

 ∂f  dF= dF   dx ( x ) F' ( x ) dx ⇒ =  ∂x 

(I.2)

Soit

Exemple : calculer la différentielle de cette fonction : F ( x ) = 4x 2 + 2x + 5 ⇒ dF ( x ) =

(8x + 2 ) dx

(I.3)

Pour une fonction de deux variables x et y, par exemple F ( x, y ) :  ∂f   ∂f  = f ( x, y )   dx +   dy  ∂x  y  ∂y  x

(I.4)

 ∂f    : est la dérivée partielle de f par rapport à x pour y constant.  ∂x  y  ∂f    : est la dérivée partielle de f par rapport à y pour x constant.  ∂y  x

Exemple : calculer la différentielle de cette fonction : F ( x, y= ) 7x 2 y + y3 + x + 10

(I.5)

 ∂f   =  14 xy + 1  ∂x  y

(I.7)

 ∂f  2 2  =  7x + 3 y ∂ y  x

(I.8)

I.2. Exercice Soit F une fonction d’état définit à partir des trois variables d’états P, V, T d’un système tel que : F ( x, y ) = 0 . Ecrivons les différentielles dV, dP et dT pour en déduire les relations suivantes :

1

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

 ∂V   ∂T      =1  ∂T  P  ∂V  P  ∂V   ∂P      =1  ∂P T  ∂V T

(I.9)

 ∂T   ∂P      =1  ∂P  V  ∂T  V  ∂T   ∂P   ∂V        = −1  ∂P  V  ∂V T  ∂T  P

Solution : On peut écrire les différentielles dV, dP et dT comme suit :  ∂V   ∂V  = dV   dT +   dP ∂ T  P  ∂P T  ∂T   ∂T  = dT   dV +   dP  ∂V  P  ∂P  V

(I.10)

 ∂P   ∂P  = dP   dT +   dV  ∂T  V  ∂V T

à P = C te

⇒ dP = 0 , donc : dV  ∂V   ∂V  dV  =  dT ⇒ =   dT  ∂T  P  ∂T  P dT  ∂T   ∂T  dT  =  dV ⇒ =   V dV ∂  P  ∂V  P

(I.11)

dV dT  ∂V   ∂T  1 ⇒  1 × =  ×  = dT dV  ∂T  P  ∂V  P

à T = C te

⇒ dT = 0 , donc : dV  ∂V  dV  =  dP ⇒ = dP  ∂P T  ∂P  dP  =  dV ⇒  ∂V T dV dP × =1 dP dV

à V = C te

⇒

⇒ dV = 0 , donc :

2

 ∂V     ∂P T

dP  ∂P  =   dV  ∂V T  ∂V   ∂P    ×  =1  ∂P T  ∂V T

(I.12)

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

 ∂T  = dT   dP ⇒  ∂P  V

dT  ∂T  =   dP  ∂P  V

dP  ∂P   ∂P  = dP   dT ⇒ =   dT  ∂T  V  ∂T  V dT dP × = 1 ⇒ dP dT

à V = C te

(I.13)

 ∂T   ∂P  1   ×  =  ∂P  V  ∂T  V

⇒ dV = 0 , donc :  ∂V   ∂V   ∂V   ∂V  V= Cte ⇒  0 ⇒  −   dT +   dP =  dT =  dP T P T ∂ ∂ ∂  P  T  P  ∂P T ⇒

II.

1  ∂V   dT  − ⇒     =  ∂T  P  dP  v  ∂P     ∂V T

(I.14)  ∂V   dT   ∂P  −1       =  ∂T  P  dP  v  ∂V T

Premier principe de la thermodynamique

Au cours d’une transformation quelconque d’un système fermé, la variation de son énergie est égale à la quantité d’énergie échangée avec le milieu extérieur, par transfert thermique (chaleur) et transfert mécanique (travail)

II.1. Travail w : δW = Pext dV

(II.1)

δW : travail élémentaire

Pext : la pression du milieu extérieur

Si la transformation est irréversible : 2

δWirrèv = − p ext dV ⇒ Wirrèv = − ∫ p ext dV = − p ext ( V2 − V1

−p )=

ext

∆V

(II.2)

1

Si la transformation est réversible à chaque instant : p ext =psystème =p ⇒ δWrév =− pdV

(II.3)

II.2. Quantité de chaleur Q : Qirrév se calcul directement du premier principe de la thermodynamique.

Pour une transformation réversible, la quantité de chaleur échangée avec le milieu extérieur Q réver se calcul comme suit : δQ = CV dT + ldV δQ = Cp dT + hdP δQ = µ dV + λ dP

Avec : 3

(II.4)

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

 ∂P   ∂V   ∂T   ∂T  l = T  , k = − T  , λ = CV   , η = CP    ∂T  v  ∂T  P  ∂P  V  ∂V  P

(II.5)

Remarque : Pour les corps incompressibles, les solides et liquides δw = 0 et δQ = m CdT

II.3. Variation d’énergie interne dU = δW + δQ ∆U = W + Q

(II.6)

∆U = CV ∆T

Relations de Mayer : nR , C= P γ −1

CP − C= nR, C= V V

nRγ γ −1

(II.7)

II.4. Transformation d’un gaz parfait a) Transformation isochore 2

δWisochore = − ∫ pdV = 0 réverssible

(II.8)

1

δQ = CV dT + ldV V= Cte ⇒ dV= 0 ⇒ δQ = CV dT ⇒ Qisochore =

CV Tf − Ti 

(II.9)

b) Transformation isobare 2

δWisobare réverssible

= − ∫ pdV = P ( V2 − V1

)

(II.10)

1

δQ = Cp dT + hdP P= Cte ⇒ dP= 0 ⇒ δQ = CP dT ⇒ Qisobare =

Cp Tf − Ti 

(II.11)

c) Transformation isotherme : 2

δWisotherme = − ∫ pdV réverssible

(II.12)

1

Pour un gaz parfait : nRT PV = nRT ⇒ P = V

2

⇒ Wisotherme = − ∫ nRT

dV V

⇒ Wisotherme = − nRT ln

V2 V1

réverssible

1

réverssible

⇒ Wisotherme = − nRT ln réverssible

∆U =CV ∆T =Q + W =0

4

(II.13)

P1 P2

⇒ Q =− W

(II.14)

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

Q = nRT ln

V2 V1

(II.15)

Où : δQisotherme = CV dT + ldV = P dV

(II.16)

réversible

2

V Qisotherme = PdV = − Wisotherme = nRT ln 2 ∫ V1 réversible réversible 1

(II.17)

d) Transformation adiabatique : PV γ = Cte TV γ−1 = Cte TP

1−γ γ

(II.18)

= Cte

2

w adiabatique = P= Cte V − γ − ∫ PdV réverssible

(II.19)

1

2

 1  − ∫ Cte V − γ dV = − Cte  Wadiabatique = V − γ+1  réverssible  −γ + 1 1 1

(II.20)

∆U = CV ∆T = Q + W = 0

(II.21)

2

= Wadiabatique réverssible

⇒ W = CV ∆T

1  P2 V2 − P1 V1  γ −1 

(II.22)

Où δQadiabatique = 0

∆U = CV ∆T = Q + W = 0

Transformation

P = P(V)

Equation caractéristique

(II.23)

⇒ W = CV ∆T

W

(II.24)

= Q CV ( T2 − T1

Isochore V = Cte T = Cte P

W=0 CV =

5

∆U

Q

nR γ −1

)

= ∆U CV ( T2 − T1

)

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

Isobare P = Cte

W= − P ( V2 − V1

T = Cte V

PV = Cte

W = − nRT1 ln

Isotherme T = Cte

= Q CP ( T2 − T1

)

V2 V1

)

nγR CP = γ −1

Q = − nRT1 ln

= ∆U CV ( T2 − T1

V2 V1

)

∆U = 0

PV γ = Cte

Adiabatique

TV γ−1 = Cte

Q=0

TP

1−γ γ

= W CV ( T2 − T1

)

Q=0

= Cte

= ∆U CV ( T2 − T1

II.5. Exercices sur le Premier principe de la thermodynamique Exercices 1 : Un morceau de glace de masse m = 500g, pris à -10 °C, reçoit une quantité de chaleur p = 175J/s, selon le diagramme de la figure 1. T (°C) 150 100

0

1

16

37

144.5

149

- 10 Figure 1 Sachant que la pression est maintenue constante et que les pertes thermiques sont négligeables : 1) Décrire les différentes phases 6

t (mn)

)

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

2) Evaluer les chaleurs latentes de changement de phase 3) Evaluer les chaleurs massiques de chacune des phases ainsi que la chaleur molaire de la vapeur d’eau. Solution : 1) Les différentes phases sont : a) t ∈ [0,1mn] : Le morceau de glace subit un échauffement de -10°C jusqu’à 0°C. b) t ∈ [1, 16 mn] : Le morceau de glace subit une fusion à 0°C et se transforme en liquide. c) t ∈ [16, 37 mn] : Le morceau de glace liquide subit un échauffement de 0°C jusqu’à 100°C. d) t ∈ [37, 144.5 mn] : Le liquide obtenu de la phase précédente subit une évaporation à température constante égale à 100°C. e) t ∈ [144.5, 149 mn] : La vapeur obtenue de la phase précédente subit un échauffement de 100 °C jusqu’à 149°C. 2) Les chaleurs latentes de changement de phase : a) La phase de fusion, t ∈ [1, 16 mn] : P= ×∆t m Lf

A.N : Lf =

⇒= Lf

P ×∆t m

175 × (16 − 1) × 60 = 315 kJ / kg 0.5

b) La phase d’évaporation t ∈ [37, 144.5 mn] = P ×∆t m L V

A.N : = Lf

⇒= LV

P ×∆t m

175 × (144.5 − 37 ) × 60 = 2257.5 kJ / kg 0.5

3) Les chaleurs massiques de chacune des phases ainsi que la chaleur molaire : a) La phase de d’échauffement, t ∈ [0, 1 mn] : P ×∆ = t m CP ∆T ⇒ = CP

P ×∆t m∆T

A.N : = CP

175 ×1 × 60 = 2.1 kJ / kg.K 0.5 × ( 0 − ( −10 ) )

7

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

b) La phase d’échauffement, t ∈ [16, 37 mn] : P ×∆ = t m CP ∆T ⇒ = CP

A.N :

P ×∆t m∆T

175 × 60 × ( 37 − 16 ) = 4410 J / kg.K 0.5 × (100 − 0 )

= CP

c) La phase d’échauffement, t ∈ [149, 144.5 mn] : P ×∆ = t m CP ∆T ⇒ = CP

A.N : = CP

P ×∆t m∆T

175 × 60 × (149 − 144.5 ) = 1890 J / kg.K 0.5 × (150 − 100 )

La chaleur molaire de la vapeur : P ×∆t P ×∆t = m × ∆T n × M × ∆T Avec M : la masse molaire de la vapeur d 'eau P ×∆t CP × M= , M H O= 2M H + M O 2 n × ∆T = CP

A.N : CP × M = 1890 × 18 = 34020 J / mole.K

Exercices 2 : Un récipient contient 10 litres d’eau à la température T 0 =600C. 1) Quel volume d’eau à T 0 =150C faut-il y verser pour obtenir de l’eau à la température T 0 =300C ? 2) Dans le récipient contenant 10 l d’eau à 600C, on met un morceau de glace de masse m=800g à la température T g = 00C. quelle est la température finale du mélange ? 3) Dans le récipient contenant 10 l d’eau à 60 °C, on plonge une résistance R = 600 Ω parcourue par un courant d’intensité I=1.2 A. a) Quel temps faudra-t-il pour porter l’eau à ébullition ? b) Une fois l’ébullition est atteinte, combien de temps faudra-t-il pour vaporiser 1/2 l d’eau ? Les pertes sont supposées négligeables et la pression, maintenue constante, est égale à 1 atm On donne : C P = 4.18 Kj.kg-1.K-1 , Lv = 2260Kj.kg-1, Lf = 334Kj.kg-1.

8

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

Solution : 1)

Figure 2   isolè ) ⇔  ∑ Q Re çue + ∑ QCédée = 0   =0 ⇒ ρV1 CP ( Tf − T1 ) + ρV2 CP ( Tf − T2 ) =0

( Les pertes de chaleur sont negligeables ) ⇔ ( système m1 CP ( Tf − T1

)

+ m 2 CP ( Tf − T2 ) V2 = − V1

(T (T

f

− T1

f

− T2

) )

⇒ V2 = − 10

( 30 ( 30

− 60 ) − 15 )

20 l =

2)

Tf = ?0C

mg=800g Ti = 600C V =10 l

Etat final

Etat initial Figure 3

 La quantité de chaleur fournie   La quantité de chaleur   La quantité de chaleur d 'échauffement  =    +  par l'eau chaude de fusion de la glace liquide      

ρVCPeau ( Tf − Ti )= m g Lf + m g CPglace ( Tf − Tglace liquide ) avec Tglace liquide= 0 °C, ρ= 1 kg / l

Tf =

ρVCPeau Ti + m g Lf − m g CPglace Tglace liquide ρVCP + m g Cglace

9

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

3) a) Le temps nécessaire pour porter l’eau à ébullition

Figure 4  La quantité de chaleur   La quantité de chaleur nécéssaire   =  pour porter l'eau à ébullition   dégagée par effet Joule  

RI 2 ∆t =ρV CP ( Tf − Ti

)

⇒

∆t =

= ⇒ ∆t

ρV CP ( Tf − Ti RI

)

2

1 × 0.5 × 4.18 × 102 ( 373 − 333) = 1920s 2 600 × (1.2 )

b) Une fois l’ébullition est atteinte, le temps nécessaire pour l’évaporation :

Figure 5  La quantité de chaleur   La quantité de chaleur    =   d 'évaporation   dégagée par effet Joule  

10

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

RI 2 ∆t =ρV L V ⇒ ∆t =

ρV L V RI 2 1 × 0.5 × 2260 × 103 = 1307s = 21.7 mn 2 600 × (1.2 )

⇒ = ∆t

Exercices 3 : Une mole de gaz parfait monoatomique se trouve dans l’état

( P , v , T ) . Au cours d’une

transformation réversible, il reçoit une quantité de chaleur Q =

0

0

0

3RT0 . 2

1. Evaluer la pression et le volume finaux si la transformation est isotherme. 2. Evaluer la pression et la température finales si la transformation est isochore. 3. Evaluer la température et le volume finaux si la transformation est isobare. On rappelle que la quantité de chaleur reçue d’un gaz considéré au cours d’une transformation δQ élémentaire réversible est : =

3 5 RdT + PdV RdT − VdP . = 2 2

Solution :

Figure 6 1. Transformation isotherme : Le calcul de V 1 : T =Cte et n = 1 ⇒ PV = RT0 = δQ

3 5 RdT + PdV = RdT − VdP et= T Cte ⇒ = dT 0 2 2 ⇒ δQ = PdV = − VdP

Où :

11

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

⇒ Q =− W =∫ Pext dV

∆ U =CV ∆T =W + Q =0

( Transformation réversible = Q

∫ P dV= RT0

V1

∫

V0

⇒ ln

V1 3 = V0 2

⇒ Pext = Pint = P

)

⇔ Q=

∫ P dV

3RT0 V ⇒ Q = RT0 ln 1= V0 2

dV V

⇒ V1 = V0 e 3/ 2

Le calcul de P 1 : P1 V= 1

P0 V0 ⇒ P1=

P0 V0 V1

⇒ P= 1

P0 e −3/ 2

4) Transformation isochore : Le calcul de la température : V = Cte et n =1

P R = T V0

⇒

= δQ

3 5 = RdT + PdV RdT − VdP et = V Cte ⇒ = dV 0 2 2 ⇒= δQ

3 3 3 = R dT ⇒ Q R ( T1 −= T0 ) R T0 2 2 2 ⇒ T1 = 2T0

Le calcul de la pression : RT0 P1 R = ⇒ P1 V0 = R T1 ⇒ P1 = 2 = 2 P0 T1 V0 V0

5) Transformation isobare : P =Cte et n =1

⇒

V R = T P0

= δQ

3 5 RdT + PdV RdT − VdP et= P Cte ⇒ = dP 0 = 2 2 ⇒= δQ

5 5 3 RdT ⇒= Q R ( T1 − = T0 ) R T0 2 2 2 8 T0 ⇒ T1 = 5

Le calcul du volume : V1 R = T1 P0

⇒ V1 =

R T1 P0

12

⇒ V1 =

8 V0 5

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

Exercices 4 : On considère une masse m d'azote, considéré comme gaz parfait, dans les conditions normales de pression et de température (état A).

1. Le gaz est comprimé de façon isotherme et réversible jusqu'à la pression P B = 10 Po (état B). Calculer le travail et la quantité de chaleur reçus par le gaz.

2. Après avoir été ramené à l'état A, le gaz est comprimé de façon adiabatique et réversible jusqu’à la pression P B ' = P B (état B'). Calculer le travail reçu par le gaz. 3. Représenter dans le diagramme (P,V) les transformations (AB) et (AB') et calculer les pentes des tangentes aux deux courbes au point A.

4. Partant du point A, le gaz est comprimé de façon isotherme réversible jusqu'à la pression P B ; il est ensuite détendu de façon adiabatique jusqu'à une pression Pc = Po. Calculer Vc et Tc et représenter la transformation ABC.

Solution : 1.

Figure 7 PA V= A

PB VB

⇒ VB=

VB =

PV PA VA ⇒ VB= 0 0 PB 10 P0

V0 10

Travail W :

( Compression isotherme )

( δW =− P

ext

dV )

⇒ ( Transformation rèversible )

Transformation rèversible 

13

 Pext = P= P  int   − P dV   δW =

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

VB

VB

VB

VA

VA

VA

∫ δW =− ∫ P dV =− nRT0

∫

dV V

V  W= nRT0 ln  A  = nRT0 ln10  VB 

⇒

La quantité de chaleur Q :

( Transformation

isotherme ) ⇒

( ∆U =

W + Q = 0)

C v ∆T =

Q = −W= − nRT0 ln10

2.

Figure 8 Le calcul du travail W :  Transformation adiabatique    ⇒ rèversible  

γ A

γ B'

PA V = PB' V

 VB' ⇒   VA 

( ∆U =

nC v ( TB' − TA

)=

W+Q = W+0

γ

 P0 P 1  = A = =  PB' 10 P0 10 

PB' VB= n R TB' '

⇒

⇒

TB= '

TB'

PB' VB' nR

V 10 P0 1/0 γ 10 = nR P0 V0 10V0 × n R 101/ γ

⇒

TB' =

⇒

TB' = T0 ×

⇒

TB' = T0 ×10

14

⇒ VB' =

10V0 101/ γ γ−1 γ

V0 101/ γ

)

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

γ−1  W =∆U =nC v  T0 ×10 γ − T0  

  =n C v T0 

 γ−γ 1  10 − 1  

3)     V V A ( P0 , V0 , T0 ) , B 10P0 , 0 , T0  , B' 10P0 , 1/0 γ , T0  10 10    

Transformation isotherme de A à B :

( Transformation isotherme ) PV = nRT0

⇒ ( PV = nRT0 )

⇒ P=

nRT0 V

La pente au point A : nRT0 nRT0  ∂P   dP  ⇒  − P =  =   = V V2  ∂V T  dV T  dP  ⇒    dV  V = V0

nRT0 nRT0 V0 P = − = − = − 0 2 V0 V0 V0

P  dP  = − 0   V0  dV  V = V0

Transformation adiabatique réversible de A à B :

( Transformation adiabatique réversible ) P=

P0 V0γ ⇒ P = Vγ

(P V ) V 0

γ 0

−γ

⇒ ( PV γ =P0 V0γ =C te )

 dP  ⇒  = − γ ( P0 V0γ ) V − γ−1   dV  V = V0

( P0 V0γ )  dP  = − γ   V γ+1  dV T

La pente au point A :  dP     dV  V

= − γ (P V

)V

 dP     dV 

γ − γ−1 0 0 0 V= V V0 0

=

=

(P V ) −γ 0

V0γ+1

= −γ

P0 V0γ V0γ V0

= −γ

P0 V0

P  dP  = −γ 0   V0  dV  V = V0

15

γ 0

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

D’après le calcul des deux tangentes au point A, la pente de la courbe associée à la transformation adiabatique réversible est plus importante que celle de la transformation isotherme.

Figure 9 : Diagramme (P, V) 4)

A ( P0 , V0 , T0 ) Isotherme rèversible B (10P0 , VB , T0 ) Adiabatique   C ( P0 , VC , TC ) P0 V0 V0 PA VA PB VB = PA VA ⇒ VB = = = PB 10 P0 10

VB =

V0 10 γ

γ B

γ C

PB V = PC V

V  10P P 10 ⇒  C  =B = 0 = PC P0  VB  ⇒

VC 1/ γ = (10 ) VB

⇒

V0 1/ γ VC = (10 ) 10

⇒

VC = V0 (10 )

1−γ   C  P0 , V0 (10 ) γ , TC     

16

1−γ γ

THERMODYNAMIQUE

( Gaz parfait )

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

⇒ PC VC= nR TC

⇒ TC=

⇒

PC VC = nR

P0 V0 (10 )

1−γ γ

P0 V0 T0

1 −2 γ 0

TC = T0 V

Exercices 5 : Un cylindre vertical, fermé par un piston de masse négligeable, mobile sans frottement, contient n moles d’un gaz parfait dont le rapport γ =Cp / C v γ est constant. Initialement le gaz se trouve dans l’état A (P .o , V o, T o ). Les parois du cylindre sont perméables à la chaleur. Préciser les paramètres d’état du gaz à la fin de chaque transformation. Evaluer le travail, la quantité de chaleur reçus par le gaz ainsi que la variation de son énergie interne en fonction de Po et Vo entre l’état d’équilibre initial et l’état d’équilibre final au cours de chacune des transformations suivantes :

a. Partant de l’état A, on place sur le piston une masse M qui comprime le gaz jusqu’à un volume Vo/2. Soit B l’état d’équilibre final. b. Partant de l’état B, on enlève la masse M. Soit C l’état d’équilibre final. c. Partant de l’état A, on place progressivement sur le piston des masses infiniment petites dont la somme est égale à M. Soit B’ l’état d’équilibre final. d. Partant de l’état B’, on enlève progressivement les masses. Soit C’ l’état d’équilibre final.

a)

Figure 10 En état d’équilibre mécanique : P= P0 + B

Pour un gaz parfait :

17

Mg S

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

PB VB =

n R TB

⇒ TB =

PA VA =

n R TA ⇒ n R=

PB VB P V = B B T0 ⇒ TB = nR P0 V0

1 2P0

Mg    P0 +  T0 S  

P V PA VA = 0 0 TA T0

Comme les parois du cylindre sont perméables à la chaleur, dans ce cas il y a un équilibre thermique :

( Un

équilibre thermique est vérifié δW = − Pext dV ⇒ W = − 2P0



) ⇔  TB = 

V0 / 2

∫

V0

 1 PB T0 = T0  ⇔ ( PB = 2P0 2P0 

V dV =− 2P0  0 − V0  2

)

 P0 V0 / 2 = 

W = P0 V0 / 2

Pour un gaz parfait :

∆U =n CV ( TB − TA ) =W + Q =0 ⇒ W =− Q

Remarque : la transformation n’est pas isotherme, T A =T B grâce à l’équilibre thermique. b)

Figure 11 A cause de l’équilibre mécanique, la pression revient à P 0 . A cause de l’équilibre thermique, la température revient à T 0 .

( Gaz parfait )

 VC ⇔ = 

     nR TC  VC  ⇔ = PC      

18

 V0  2P0 2   T0   PC

   TC   =

     V0      

THERMODYNAMIQUE

δW = − Pext dV ⇒ W = − P0

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

 V  dV =− 2P0  V0 − 0  = − P0 V0 / 2 2   V0 / 2 V0

∫

WB→C = − P0 V0 / 2

Pour un gaz parfait : PV ∆U =n CV ( TC − TB ) =W + Q =0 ⇒ Q =− W = 0 0 2

c) Compression isotherme réversible A ( P0 , V0 , T0

)

(

→ B' PB' , VB' , T0

):

nRT0 V  nRT0 V0   = ( Equilibre méanique ) ⇒ PB' = 2P0 ⇒  VB' = PB' 2    V0 V0 / 2 V0 / 2 dV δW = − Pext dV ⇒ W = − ∫ P dV =− ∫ nRT0 = − nRT0 ln 2 = nRT0 ln 2 V V0 V V P= V nRT0 ⇒ = P

(

0

)

0

WA → B' = nRT0 ln 2

 ∆U =0 ⇒ WA →B' =− Q A →B'   Q A →B' = − nRT0 ln 2 

( Transformation isotherme ) ⇔

(

d) Détente isotherme réversible B' PB , VB , T0 '

'

) → C (P '

C'

P= V nRT0 ⇒ = P

( Equilibre méanique ) δW = − Pext dV ⇒ W = −

V0

∫

⇒

P dV =−

V0 / 2

(P

C'

= P0

V0

∫

V0 / 2

nRT0

)

, VC' , T0

   

):

nRT0 V  nRT0 ⇒  VC' = = V0  PC' 

V dV = − nRT0 ln 0 = − nRT0 ln 2 V0 V 2

WB' →C' = − nRT0 ln 2

 ∆U =0 ⇒ WB' →C' =− Q B' →C' ⇔ Transformation isotherme )  (  Q B' →C' = nRT0 ln 2 

19

   

   

THERMODYNAMIQUE

III.

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

Deuxième principe de la thermodynamique

C’est un principe d’évolution. Il distingue entre transformation possible et impossible, réversible ou irréversible. = ∆S

Séchangé + Sgénéré

(III.1)

III.1. Système fermé : La variation d’entropie au cours d’une transformation élémentaire quelconque est donnée par : = dSsystème

∂Qd 'échange

+ δ Sgénéré

Td 'échange

(III.2)

∂Q Extérieur : entropie d’échange entre le système et le milieu extérieur TExtérieur δ Sgénéré : entropie générée à l’intérieur du système.

Exemple : On considère deux systèmes A et B d’entropie S A et S B . SA  SB ⇒ le système A est plus désordonée que le système B δ Sgénéré n’est pas une fonction d’état, par conséquent :

δ Sgénéré ≠ dSgénéré

δ Sgénéré ≥ 0

⇒

δ Sgénéré = 0 si la transformation est réversible  δ Sgénéré  0 si la transformation est irréversible

Le terme δ Sgénéré est lié à l’irréversibilité. En intégrant entre l’état initial et l’état final : 2

S ∫ dS = f

− Si =∆S

(III.3)

1

III.2. Bilan entropique : Dans le cas d’un équilibre thermique ( TExtérieure = T ) et une transformation réversible

(δS

généré

= 0) :

∆Ssystème = ∆ eS

(III.4)

∆ eS : la variation d’entropie échangé avec l’extérieur

Dans le cas d’une transformation irréversible : dSsystème =

∂Q Extérieur + δ Sgénéré , TExtérieur ∂Q Extérieur ∫1 TExtérieur +

2

2

dSsystème ∫= 1

∂Q Extérieur ∫1 TExtérieur + 2

= ∆Ssystème

20

2

∫ δS

généré

1

2

∫ δS

généré

1

δ Sgénéré  0

(III.5)

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

2

Le terme

∫ δS

généré

est difficile à calculer directement. Donc, il faut le calculer indirectement :

1

2

∆Ssystème − ∫ δ Sgénéré = 1

∂Q Extérieur TExtérieur 1 2

(III.6)

∫

2

∫ δS

généré

 0

⇒

transformation impossible

généré

 0

⇒

transformation irréversible

= 0

⇒

transformation réversible

1

2

∫ δS 1

2

∫ δS

généré

1

III.3. Application du deuxième principe à un système isolé = dSsystème système isolé ( Q = 0) ⇔ système isolé ( Q = 0 ) ⇔

∂Q Extérieur + δ Sgénéré TExtérieur

(III.7)

  δ Sgénéré = dSgénéré   dSsystème = isolé  

(III.8)

2

∆Ssystème = isolé

∆Ssystème isolé

∆Ssystème  0  isolé ≥ 0  ∆Ssystème =0  isolé

∫ δS

généré

= ∆Sgénéré

(III.9)

1

⇒ transformation irréversible ⇒ transformation rèversible

(III.9)

L’entropie d’un système isolé ne peut qu’augmenter.

III.4. Irréversibilité En thermodynamique, la notion d'évolution réversible est une évolution du système pour laquelle aucune entropie n'est produite. Par opposition, tous les autres phénomènes sont dits irréversibles à cause des forces de frottement. Les trois expériences suivantes indiquent les causes d’irréversibilité. Expérience 1 :

Figure 12 21

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

Sur la figure 12, la cause d’irréversibilité est que la température n’est pas homogène partout et il y a un sens unique du transfert de chaleur de T2 vers T1 .

Figure 13 La figure 13 illustre un mouvement de la paroi de P 2 vers P 1 . Dans ce cas, la cause d’irréversibilité est que la pression n’est pas homogène.

Figure 14 Dans l’expérience illustrée sur la figure 14, on a une solution ou on verse de la grenadine. Au cours du temps, on a une migration des particules. On sait que les particules ne vont pas se réintégrées une fois qu’elles sont mélangées avec le reste. Et finalement, la cause d’irréversibilité pour ce cas est que la concentration n’est pas homogène.

III.5. Entropie L’interprétation en terme statistique de l’entropie, qu’a donné Boltzmann, est une mesure de désordre. = S

k B log ( Ω )

Avec : k B : est la constante de Boltzmann Ω : combinaison possible du système, ou la façon dont le système est arrangé.

III.6. Les applications du second principe Exemple 1 : mélange de deux gaz parfaits A et B 22

(III.10)

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

Etat initial

Etat final Figure 15

Pour effectuer le calcul, on utilise l’identité de thermodynamique suivante : = dU TdS − PdV

(III.11)

On déduit : dU = TdS − PdV

⇒ dS =

dU P + dV T T

(III.12)

Si on revient sur la variation globale de l’entropie du système est : ∆S = ∆SA + ∆SB

(III.13)

D’autre part on a : dU A T  Comme les parois sont indéformables   et le transfert thermique est nul = dS A

P dVA T  D 'aprés le premier principe :    ⇔  dU A = 0    +

(III.14)

A l’équilibre thermodynamique on a : PA VA = n RTA finale

dS A = nR

⇒

PA nR = TA VA

dVA ⇒ ∫ dS A =∆ S A =n R VA initiale

⇒ dS A = n R

dVA VA

dVA V + VB = n R ln A = n R ln 2 VA VA initiale

(III.15)

finale

∫

(III.16)

Après le calcul de ∆SB , on utilise la relation d’entropie globale : ∆S = ∆SA + ∆SB = 2nR ln 2

(III.17)

La relation (III.17) montre que pour un système isolé avec une variation d’entropie totale du système positive, la transformation se fait dans un sens unique (de la gauche vers la droite). Exemple 2 : une pierre dans l’eau Quand on met la pierre dans l’eau, le transfert thermique va être de la pierre vers l’eau et pas dans le sens contraire. Le système n’est pas isolé, donc on peut avoir de l’entropie échangé.

23

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

Figure 16 D’après l’identité de thermodynamique : dU P + dV T T

= dS

 Dans cette expérience, on n’a pas    ⇔ ( dV = 0 ) une variation de volume  

dS =

dU T

D’après le deuxième principe de la thermodynamique : dS = δSéchangé + δScrée

⇒ δScrée = dS − δSéchangé ⇒ δScrée =

δQ dU − T Téchange

En appliquant le premier principe de la thermodynamique : dU = δW + δQ

( Dans cette expérience

δW =0 )

⇒

( dU

=δQ =Cpierre dT

)

1  dT δQ dU 1  dT δScrée = − = δQ  − = C −     T Téchange Téchange  T Téchange   T  T T − Ti  = Scrée C  ln f − f  Tf  Ti 

  

A.N : Cpierre 4kj / k , Ti 300k, Tf 350k ⇒ = = =

Scrée = 45 J / k

Exemple 3 : On plonge la pierre dans l’eau dont la température égale à 325k puis on la met sous la température 300 k.

24

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

Figure 17 Ti 300k, Tf 350k, T= 325k = = int ermediaire  T  − Ti  T T − Tint ermediaire  Tf − f Cpierre  ln int ermediaire − int ermediaire  + C  ln  Ti Tint ermediaire  Tf   Tint ermediaire   T − Ti T T − Tint ermediaire  = Cpierre  ln f − int ermediaire − f  Tint ermediaire Tf  Ti 

Scrée=

= 23.19 J / k

Dans ces expériences, on a réussi de contrôler l’irréversibilité d’un processus

III.7. Exercices sur le deuxième principe de la thermodynamique Exercices 1 : 1. Un solide de masse m 1 , de chaleur massique à pression constante C P1 à la température T 1 est mis en contact thermique avec un corps de masse m 2 de chaleur massique C P2 à la température T 2 . Le système ( Σ ) formé par l’ensemble des deux corps est isolé. a. Evaluer ∆S1 et ∆S2 , variations d’entropie du système ( Σ1 ) constitué par le premier

corps et du système ( Σ 2 ) constitué par le deuxième corps. En déduire ∆S , variation

d’entropie du système ( Σ ) . Application numérique : m1 = 500g, CP1 = 900 J.kg −1 .k −1 , m 2 = 600g, CP2 = 380 J.kg −1 , T1 =° 27 C, T2 =° 60 C

Conclusion b. Examiner le cas= où m1 m= CP2 2 , C P1 2. Un morceau de glace de masse m g = 200g , pris à 0 °C est plongé dans un récipient contenant 1l d’eau à 18 °C. L’ensemble est isolé, la capacité calorifique du récipient est négligeable et la pression est constante. Quelle est la variation d’entropie du mélange sachant que la glace a entièrement fondu ? On donne : CP eau = = 4.2 kJ.kg −1 .k −1 , Lglace 334 kJ.kg −1 3. Un récipient est divisé en deux compartiments A et B de volumes V 1 et V 2 par une cloison. A contient n 1 moles d’un gaz parfait dans l’état ( P1 , V1 ) . B contient n 2 moles d’un gaz parfait dans l’état ( P2 , V2 ) . Les parois du récipient sont indéformables et

parfaitement calorifugées. On perce un petit trou dans la cloison. Calculez ∆S , variation d’entropie du mélange de gaz supposé idéal, dans les deux cas suivants : a. La cloison est imperméable à la chaleur ; T1 = 27°C, V1 = 5l, n1 = 0.2 mole de H e , T2 = 600 °C, V2 = 15 l, n 2 = 0.5 mole de O 2

b. La cloison est diatherme = : V1 2l, = V2 4l, = n1 0.2 mole de O= 0.4 mole de N 2 . 2 , n2 Que vaudrait ∆S si les gaz qui diffusent étaient identiques ? Solution : 1. 25

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

Figure 18 a)

(Système

isolè )

  Q  = Q1 + Q 2 = 0  Totale   ⇔  S échangé = 0  du système global    Scréé du système global   ∆Ssystème = isolé  

D’après l’identité de thermodynamique suivante : dU = T dS − PdV ⇒ dS =

dU P + dV T T

L’entropie globale du système composé des deux solides est comme suit :  dU   dU  P P dSTotale = dS1 + dS2 =  1 + dV1  +  2 + dV2  T T  T   T 

( δS

=

échangé1

+ δScréé1 ) + ( δSéchangé 2 + δScréé 2

( Les deux solides sont indéformables ) dSTotale = dS1 + dS2 =

⇒

( dV

1

)

=dV2 =0

)

dU1 dU 2 + T T

En appliquant le premier principe de la thermodynamique :

( dV

1

 dU1 =δQ1 =m1 CP1 dT = dV2 = 0 ⇒ δW1 = δW2 = 0 ) ⇔   dU = m 2 CP2 dT  2 δQ 2 =

  

D’où : ∆S

Totale du système

=

TE

∫

T1

δQ1 T

+

TE

∫

T2

δQ 2 = T

TE

∫

T1

m1 CP1dT + T

TE

∫

T2

m 2 CP2 dT T T = m1 CP1 ln E + m 2 CP2 ln E T T1 T2

Le calcul de la température d’équilibre TE : m1 CP1 ( TE − T1

TE =

)

+ m 2 CP2 ( TE − T2 ) = 0

m1 CP1T1 + m 2 CP2 T2 m1 CP1 + m 2 CP2

D’autre part :

26

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

dSsystème = δ S isolè

+ δS

échangè du système

créé du système

   =  δ S échangè 1 + δ S échangè 2  +  δ S     

créé1

+ δS

créé 2

  

= 0

S échangè = 0 ⇒ S créé du système isolè

= ∆ S Totale

du système

du système

  ≠ 0 ⇔  S créé  du système 

b) Si = m1 m = m 2

= m1 CP1 ln

( Transformation irréversible )

et C = C= CP P1 P2

T1 + T2 = TE 2

TE T + m 2 CP2 ln E ≠ 0 T1 T2

:

∆Ssystème m CP et =

(T ln

1

+ T2 )

2

4T1 T2

2. Température d’équilibre : m e CPe ( Te − T1

Te =

)+

m g Lfusion + m g CPe ( Te − Tfusion ) = 0

m e CPe T1 + m g CPe Tfusion − m g Lfusion CPe ( m e + m g

∆S

fusion

)

m g Lfusion = Tfusion

Entropie d’échauffement de la température de fusion jusqu’à la température d’équilibre : ∆S

Echauffement

Téquilibre = m g CPe ln Tfusion

Entropie totale : = ∆S

m g Lfusion Tfusion

+ m g CPe ln

Téquilibre Tfusion

+ m e CPe ln

3. Système isolé : ∆U = 0 Température des gaz à l’équilibre : n1 CV1 ( Te − T1 Te =

) + n C (T 2

V2

e

− T2

n1 CV1T1 + n 2 CV 2 T2 n1 CV1 + n 2 CV 2

∆S = ∆S1 + ∆S2

27

0 )=

Te T1

THERMODYNAMIQUE

= dS 1 = ∆S1

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

δQ dT dV = n1 CV1 +l= T T T

1 2 dT dV + n1 R = ∫ T V V

n1 CV1

T1

= ∆S2

dT dV +p= T T

V +V

Te

∫

n1 CV1

n1 CV1 ln

1

∫nC 2

T2

V2

dT dV + n2R = ∫ T V V

dT dV + n1 R T V

Te V + V2 + n1 R ln 1 T1 V1

V1 + V2

Te

n1 CV1

n 2 CV 2 ln

2

Te V + V2 + n 2 R ln 1 T2 V2

Avec: 3R 5R = et CV 2 2 2 T1 + T2 et = n1 n= Te 2 2

= CV1 = CP1 CP1

b) Paroi diatherme : Une paroi séparant deux milieux est dite diathermane lorsqu'elle permet l'échange de chaleur entre ces deux milieux T= T= T0 i1 i2 Pi1 V1 = n1 R Ti1 avec T= Ti2=  i1 Pi2 V2 = n 2 R Ti2

T0 , V= 2

2 V1 , n= 2n1 d 'où P= P0 2 i1 P= i2

n1 CV1 ( Te − Ti1 ) + n 2 CV 2 ( Te − Ti2 ) = 0

avec CV1 = CV 2 =

5R 2

Te = T0 = ∆S1

V1 + V2

dV

∫= V

n1 R ln

V1

V1 + V2 V1

V +V

= ∆S2

1 2 dV n 2 R= ∫ V V 2

= ∆S

n1 R ln

n 2 R ln

V1 + V2 V2

V1 + V2 V + V2 + n 2 R ln 1 V1 V2

Si les gaz étaient identiques, on aurait dû avoir ∆S = 0 où le système était en équilibre thermodynamique (même pression, même température et même concentration dans chacun des deux compartiments).

IV.

Rappel sur les machines thermiques :

Une machine thermodynamique est un système fonctionnant grâce a un fluide auquel on fait subir des transformations cycliques au cours desquelles il y a échange d’Energie avec le milieu extérieur. Le milieu extérieur est constitué de n sources de chaleurs (idéalement n thermostats) échangeant de la chaleur avec le fluide, et d’un système mécanique échangeant du travail avec le fluide.

28

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

Figure 19

(W

 la machine reçoit du travail   0) ⇔   ⇔ ( Système récepteur ) de l'extérieur  

(W

 la machine donne du travail   0) ⇔   ⇔ à l'extérieur  

( Moteur )

IV.1. Grandeurs thermodynamiques : Mettre en équation le fonctionnement d’une machine :

( Dans le cas d 'un cycle ) ∆U=

 U= U f ⇒ ∆U cycle = 0 i  ⇔   S=  S ⇒ ∆ S = 0 i f cycle   W + ∑ Qi i

= ∆S Séchangé + Scrée Qi

∑T

Séchangé =

i

IV.2. Machine themique monotherme : Ce moteur se caractérise par un seul thermostat (i=1). La mise en équation de cette machine est comme suit : ∆U= 0 ⇒ Q + W = 0

⇒ Q = −W

∆S = − Scrée , Scrée  0 0 ⇒ Séchangé + Scrée = 0 ⇒ Séchangé = Q Séchangé = T

( W ≥ 0)

⇒ Scrée = −

Q T

⇒

Q ≤ 0 ⇒ W≥0 T

 Le travail se fait de l'extèrieur   La machine monotherme est  ⇒   ⇒   vers la machine un système récepteur    

29

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

IV.3. Machine thermique ditherme :

Figure 20 a) Inégalité de Clausus : ∆U = 0 ⇒ Qf + W + Qc = 0 ∆S= 0

Qf Tf

⇒ Séchangé ≤ 0 ⇒

+

Qc ≤ 0 Tc

Qf Tf

⇒ Qf + Qc = − W +

Qc ≤ 0 Tc

⇒ Inégalité de Clausus

b) Diagramme de Ravau W = 0 ⇒ Qf + Qc = 0 ⇒ Qf = − Qc

Figure 21 30

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

 Qf  Pour que la machine   Il faut que l'entropie créé par    ⇔   ⇔ puisse exister le cycle soit positif      Tf

(Système rèversible ) Qf Tf

Comme

+

⇔

( Entropie créé est nul )

Qc Qf = 0 ⇒ Tc Tf

Q = − c Tc

Q ⇔  f  Tf

+

+

 Qc ≤ 0 Tc 

 Qc = 0  Tc 

T ⇒ Qf = − f Qc Tc

Tf 0 dans le diagramme de  1 , la position du graphe correspondant à ∆ Scréé = Tc

Ravau est comme suit :

La pente de la droite ∆ Scréé = 0 est plus douce que celle associée à W = 0 .

31

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

Figure 22 Le domaine coloré sur la figure 22 représente le domaine où

Q QF  + C TF TC

0 ⇒ Scréé  0 .

Dans ce cas, physiquement, ce domaine n’existe pas. Il reste les quatre domaines numérotés à discuter. Zone 1 : W  0, Q F  0, QC  0 Dans ce cas, cette machine prend de l’énergie de la source chaude et elle la cède à la source froide en fournissant au même temps du travail au milieu extérieur. Ce cas correspond parfaitement aux moteurs à combustion interne et externe et toutes les machine qui fournissent du travail au milieu extérieur. Zone 2 : W  0, Q F  0, QC  0 La machine consomme du travail en prenant de la chaleur à la source chaude et en en cédant à la source froide. Ces machines sont peu intéressantes car on peut obtenir la même chose sans consommer de travail. Zone 3 : W  0, Q F  0, QC  0 La machine consomme du travail et cède de l’énergie aux deux sources chaude et froide. C’est le cas d’un radiateur ou une résistance. Donc, on n’a pas besoin d'une machine pour faire ça. Ça n’a aucun intérêt d’un point de vue thermodynamique. Zone 4 : W 0, Q F 0, QC  0

32

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

La machine consomme du travail pour faire un transfert d’énergie du thermostat froid vers le thermostat chaud, ce qui est contre la nature. Ce cas correspond parfaitement à un réfrigérateur ou à un climatiseur.

V.4. Théorème de Carnot Pour une machine diatherme, rendement et efficacité théoriques ne dépendent que de la température des thermostats. a) Les moteurs Les moteurs sont caractérisés par un rendement η donné par : = η

η =

énergie recherchée = énergie payée

−w Qc

, 0  η  1

Qc + Qf Q = 1+ F Qc Qc

D’après l’égalité de Clausus : QF T ≤ − F Qc Tc

⇒ η ≤1−

TF Tc

b) Les récepteurs Les récepteurs (réfrigérateur, climatiseur et pompe à chaleur) sont caractérisés par l’efficacité e (coefficient de performance) qui peut être supérieur à 1. e =

énergie recherchée , e  0 énergie payée

Climatisation : e =

QF QF = = W −Q F − Q C

QC T ≤ − C QF TF

⇒

33

1 −1 −

QC QF

1 e = TC −1 TF

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

Pompe à chaleur : QC −Q C = = W QF + QC

e =

QC T ≤ − C QF TF

⇒

1 Q 1+ F QC

1 e = T 1− C TF

V.4. Bilan énergétique Les machines fonctionnent par cycle. En appliquant le premier principe de la thermodynamique : ∆U cycle =

w cycle + Qcycle =

0

En appliquant le deuxième principe de la thermodynamique : ∆= Scycle Séchangé

+= Scrée

0

avec l 'extèrieu

Figure 23 ∆Scycle =

Q QF + C + Scrée = TF TC

0

Si la transformation est réversible : Scrée=

0

⇒ ∆Scycle=

Q QF + C= TF TC

Pour un système réel :  Scrée

0 ⇒

Q QF + C  0 TF TC

Diagramme de Clapeyron (P ,V) :

34

0

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

Figure 24 Le cycle présenté dans la figure 24 est décrit dans le sens trigonométrique ⇒ w cycle  0 , donc c’est un récepteur

Figure 25 Le sens du cycle de la figure 25 est contraire au sens trigonométrique ⇒ w cycle  0 . Dans ce cas, le système fournit un travail à l’extérieur donc il s’agit d’un moteur

V.5. Exercices sur les machines thermiques : Exercices 1 : Au cours d’un cycle, une machine thermique échange : - Une quantité de chaleur Q 2 avec une source chaude à la température T 2 = 600 °C. - Une quantité de chaleur Q 1 avec une source froide à la température T 1 - Un travail W avec le milieu extérieur. 35

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

Les cycles suivants sont -ils possibles ? a.

Q1 = 1200K; T1 = 300K − 60 kJ; Q 2 = −150 kJ; W = − 210 kJ; T2 =

b.

Q1 = − 60 kJ; Q 2 = 150 kJ; W = − 90 kJ; T2 = 650K; T1 = 300K

c.

Q1 =150 kJ; Q 2 =− 180 kJ; W =30 kJ; T2 =27 °C; T1 =− 20°C

2. Une pompe à chaleur fonctionnant entre T 1 = - 5°C et T 2 = 20 °C peut -elle avoir un coefficient d’efficacité η =15 ? Solution : 1. On doit vérifier : Le premier principe pour un cycle : ( ∆U = 0 ) ⇔ ( W + Q1 + Q 2 = 0 ) Le deuxième principe :

a. b.

c.

(Q

1

       

Q1 Q + 2 ≤0 T1 T2

+ W + Q 2 =− 60 −150 − 210 ≠ 0

)

⇔

( Le

premier principe n 'est pas vérifié )

 Q1 Q2 += 0.43  0  ⇔ ( Le deuxième principe n 'est pas vérifié ) T1 T2   Q1 Q + 2 = − 0.21 ≤ 0   Les deux principes sont vérifiés et qui correspond  T1 T2   ⇔  le cas d 'une machine frigorifique    W + Q1 + Q 2 = 0 

2. Le rendement η doit être inférieur ou égale à η Carnot η Carnot =

Q2 = W

−Q 2 = W

Q2 = Q1 + Q 2

T2 T2 − T1

=

11.72 ≠ 15

Exercices 2 : 1. Dans une machine frigorifique, le système que l’on assimilera à un gaz parfait dont le rapport est constant, décrit un cycle de Carnot. Au cours d’un cycle le gaz échange une quantité de chaleur Q1 avec la source chaude à la température T1=27°C, une quantité de chaleur Q2 avec la source froide à la température T2=0°C et un travail W avec le milieu extérieur. a- Représenter le cycle dans le diagramme (P,V) puis (T,S). b- Exprimer en fonction de T1, T2 et de Q2 le travail théorique W reçu par le gaz au Cours d’un cycle. En déduire qu’une machine frigorifique ne permet pas d’atteindre le zéro absolu.

2. Du fait de l'irréversibilité de la machine, le rapport

36

Q2 T est égal à 0.8 2 . Q1 T1

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

a- Exprimer W’, travail reçu, en fonction de T1, T2 et de Q2. b- Quel travail faut-il fournir pour congeler 0.5 l d’eau prise à 0°C ? (on donne la chaleur latente de congélation de l’eau: L=334 kJ/kg).

3. Exprimer en fonction de T1 et T2 puis calculer le coefficient d’efficacité de la machine dans les deux cas. Conclusion ? 4. Exprimer en fonction de Q et T la variation d’entropie au cours d’un cycle du système formé par le gaz et les deux sources de chaleur (dans les deux cas). Conclusion.

Solution : a) Machine frigorifique de Carnot : AB : compression adiabatique (isentropique) amenant le système de T 1 à T 2 . BC: compression isotherme (T = T 2 ), le système reçoit la quantité de chaleur Q 2  0 de la source chaude. CD : détente adiabatique (isentropique) ramenant le système de T 2 à T 1 DA : détente isotherme (T = T 1 ), le système reçoit la quantité de chaleur Q1  0 de la source froide.

b) Le travail W

( Machine thermique )

 ∆U Cycle = 0  ⇔   ∆SCycle =  0  

 machine frigorifique    de Carnot 0)⇔   ⇔ ( Scréé =    

37

 W + Q1 + Q 2 =  0   Q1 Q 2 S   échangé = T + T = 0  1 2  

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

W = − ( Q1 + Q 2 )      ⇔ Q1 T1 = −   Q2 T2  

 T  T  W =−  − 1 Q 2 + Q 2  =Q 2  1 − 1  T2   T2 

T  = W Q 2  1 − 1  T2 

2. Du fait de l'irréversibilité de la machine : a)  T1  Q2 T T = − 0.8 2 ⇒ Q1 = 1 − 1 Q2 ⇒ W ' = Q2  Q1 T1 0.8 × T2  0.8 × T2 

b) Q2 = ρ V Lfusion ⇒

 T1  W' = ρ V Lfusion  − 1  0.8 × T2 

avec T1 = 300 K et T2 = 273K

3. Le calcul de l’efficacité de la machine : e

=

rèversible

Q2 W

Q2

⇒ e=

T  Q 2  1 − 1  T2 

= e rèversible

e=

Q2 W'

⇒ e=

1  T1  − 1   T2 

1 = 10  300  − 1   273 

Q2  T1  − 1 Q2   0.8 × T2 

= e irrèversible

=

=

1  T1  − 1   0.8 × T2 

1 =  300  − 1   0.8 × 273 

2.67

Conclusion e irrèversible  e rèversible

Exercices 3: Dans un moteur thermique le système que l’on assimilera à n moles de gaz parfait dont le rapport γ est constant décrit le cycle d’Ericsson suivant : 

Transformation isotherme AB à la température T 2 de PA = P1 jusqu’à PB = P2 , P2 > P1



Transformation isobare BC de la température TB = T2 à TC = T1 ; T1 > T2

38

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS



Transformation isotherme CD jusqu’à PD = P1



Transformation isobare DA

1. Représenter le cycle dans le diagramme (P, V) puis dans le diagramme (T, S) en précisant le sens de parcours. 2. Evaluer le travail échangé avec le milieu extérieur. Montrer qu’on le mettre sous la forme : W= − nRT1 (1 − T2 / T1 )Ln(P2 / P1 )

3. Evaluer le rendement du moteur 4. En supposant que le moteur est muni d’un régénérateur si bien que l'énergie nécessaire au réchauffage isobare est entièrement récupérée au cours du refroidissement isobare, calculer les quantités de chaleur Q1 = QCD et Q 2 = Q AB échangées avec les sources de chaleur. En déduire le rendement du moteur et le comparer au rendement de Carnot

Solution : 1.

Diagramme de Clapeyron (P,T)

39

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

Diagramme (T, S)

δQ dT dP = nCP + h T T T Transformation isobare    T  δQ dT = nCP ⇒ S − S0= nCP ln   ⇔  dS=  te T T T0  P= C    = dS

S/ nCP T T0 e −S0 / nCP e= = ⇒ T C te eS/ nCP

On conclut que l’allure de l’isobare dans le diagramme (T, S) est une exponentielle croissante. 2.Travail W : Compression isotherme AB := T Cte = T2 dV δW = − PdV = − nRT2 ⇒ WA →B = − nRT2 V

PA VA =PB VB =nRT2 ⇒

VB

∫

VA

V dV = nRT2 ln B V VA

VB P P P = A = 1 ⇔ WA → B =nRT2 ln 2 VA PB P2 P1

Echauffement isobare BC : P = P2 δW = − PdV = − P2 dV ⇒ WB→C = − P2

VC

∫ dV

= P2 ( VB − VC )

VB

VB =

nRT2 nRT1 et VC = ⇒ WB→C = nR ( T2 − T1 P2 P2

Détente isotherme CD : T = T1 De même que pour W AB : 40

)

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

WC→ D = nRT1 ln

P1 P2

Refroidissement isobare DA : P = P1 De même que pour W BC : W = nR ( T1 − T2 ) D→A

Le travail du cycle : WTotale= WA → B + WB→C + WC→ D + WD → A = nRT2 ln

P2 + nR ( T2 − T1 P1

) + nRT

1

ln

P1 + nR ( T1 − T2 ) P2

 T  P WTotale = − nRT1 1 − 2  ln 2  T1  P1

2. D’après la définition du rendement d’un moteur : η=

−W Q1

D’après le premier principe de la thermodynamique : ∆U Cycle =+ W Q1 + Q 2 =⇔ 0 W= − ( Q1 + Q 2 )

η =

−W = Q1

− ( Q1 + Q 2 ) = Q1

1 +

Q2 Q1

3. Pour un gaz parfait : dU = nCV dT

La quantité de chaleur échangée avec la source chaude : − W ⇒ QCD = − WCD = − nRT1 ln T= Cte ⇒ dU =⇒ 0 Q= Q1 =

QCD = Q1 = − nRT1 ln

P1 P2

La quantité de chaleur échangée avec la source froide : Q AB = Q2 = − WAB = − nRT2 ln

Le calcul du rendement :

41

P2 P1

P1 P2

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

P2 Q P1 −W η= = 1 + 2 = 1+ = P1 Q1 Q1 − nRT1 ln P2 − nRT2 ln

η= 1−

1−

T2 T1

T2 T1

Le rendement dans le cas d’un cycle de Carnot : η=

Q −W = 1 + 2 Q1 Q1

D’après l’inégalité de Clausus :  Transformation Rèversible    ⇔ SCrèè = 0   Q1 Q 2 + =0 ⇒ T1 T2

(∆S

Cycle

= 0 ⇒ Séchangé = 0 )

Q2 T =− 2 Q1 T1

42

⇒ ηcarnot =1 −

T2 T1

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

Références 1. C. COULON, S. LE BOITEUX et P. SEGONDS THERMODYNALMIQUE PHYSIQUE Cours et exercices avec solutions Edition DUNOD, 1997

2. H.B. Callen THERMODYNALMICS, Cours, Edition John Wiley and Sons, 1960 3. R. CLERAC, C. COULON, P. GOYER, S. LE BOITEUX et C. RIVENC THERMODYNALMICS, Cours et travaux dirigés de thermodynamique Université Bordeaux 1, 2003

4. O. PERROT, COURS DE THERMODYNALMIQUE I.U.T. de Saint-Omer Dunkerque, 2011 5. C. LHUILLIER, J. ROUS, Introduction à la thermodynamique, Edition Dunod,1994

43

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

Annexe 1 Sujet d’examen et solution

44

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

USHB-Faculté de physique

Jeudi 17/05/2018 Thermodynamique (L2) Interrogation 2

Exercice 1 : On considère 1 kg d’air (considéré comme un gaz parfait), subissant un cycle de Carnot ABCDA : AB et CD isotherme et BC et DA adiabatiques réversibles. A ( PA , TA ) , B ( PB , TB ) , C ( PC , TC ) , D ( PD , TD ) .

La température au point A est TA = 300 K et son volume est VA = 0.86 m3 . les pressions aux points A, B et C sont respectivement = PA 1= bar, PB 3bar et PC = 9 bar. On donne CP 103 = JK −1 kg et γ 7 / 5. = 1-Remplir le tableau suivant :

Points

Pression P

Volume

Température

A

B C

D 2- Représenter le cycle dans les diagrammes ( P , V ) et ( T,S) 3-Calculer le rendement thermodynamique du cycle de deux manières : a- En faisant le bilan thermique du cycle b-

A partir des températures extrêmes du cycle

45

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

Corrigé Exercice 2 :

Points

Volume V(m3)

Pression P (Pa) A

105

0.86

B

3 × 105

0.29

C

9 × 10

0.13

D

3 × 10

Température T(K) 300

300 5

410 5

0.39

413

Transformation isotherme AB : T= T = 300 K A B PA VA= PB VB ⇒ VB=

PA VA PB

Transformation adiabatique BC : 1/ γ

γ

PB VB= PC VC γ−1

TB V= TC VC B

P  ⇒ V= VB  B  C  PC 

γ

γ−1

V  ⇒= TC TB  B   VC 

γ−1

Transformation isotherme CD : TC = TD

⇒ TD = 413.53 K

Transformation adiabatique DA : 1

γ−1

TD VD= TA VA

γ−1

 T  γ−1 VD VA  A  ⇒ =  TD 

Transformation isotherme CD : PC V= PD VD C

⇒ P= D

46

PC VC VD

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

3) Rendement à partir du bilan thermique : η =

W Q1

= −

W Q1

Appliquant le premier principe pour un cycle : ∆U = W + Q1 + Q 2 = 0 η=

Q1 + Q 2 = Q1

1+

Q2 Q1

Avec = Q1 QCD et = Q2 Q AB , = T2 T= 300 K, = T1 AB

T= 413 K CD

Transformation isotherme AB : dU = δW + δ Q = n CV dT = 0 VB

VB

VA

VA

Q AB = − WAB = ∫ P dV = ∫ nRT2 Q AB = nRT2 ln

VB VA

QCD = nRT1 ln

VD VC

dV V

De même sur l’isotherme CD :

VB T VA η = 1+ 2 = VD T1 ln VC ln

0.28

b) A partir des températures, pour un cycle de Carnot η = 1 − η = 1−

300 = 413

47

0.27

T2 T1

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

USTHB/Faculté de physique

Mai 2018 L 2 Licence Physique Examen de Thermodynamique

Exercice 1 On fait subir à une mole de gaz parfait les transformations réversibles suivante : A : état (1) ----- état (2) : compression adiabatique. B : état (2) ----- état (3) : dilatation isobare. C : état (1) ----- état (2) : détente adiabatique. D : état (1) ----- état (2) : refroidissement isochore. On définit = a

V1 V4 = et b V2 V3

1/ Représenter sommairement le cycle sur un diagramme de Clapeyron 2/Donner les expressions de la pression, du volume et de la température des états (2), (3) et (4) en fonction de P 1 , V 1 , T 1 , a et b et calculer numériquement ces valeurs. 3/Calculer les travaux et quantités de chaleur échangés par le gaz au cours des 4 transformations. Que passe-t-il si b=a ? 4/Calculer le rendement de ce cycle et comparer au rendement du cycle de Carnot fonctionnant entre T 1 et T 3 . 5/Calculer la variation d’entropie pour chaque transformation. En déduire cette variation pour tout le cycle. Données numérique : R= 8.314 J.K −1.mol−1 , P1= 1.0 bar, a= 9, b= 3, γ= 1.4 Exercice 2 I-Au cours d’une transformation élémentaire réversible, un système ( Σ ) reçoit une quantité de chaleur : 1-Donner la signification de CV et de l  ∂P    ∂T  V

2- A partir des équation des deux principes, montrer que l s’exprime par : l = T 

3- Construire la fonction ψ ( T, V ) transformée de Legendre de la fonction U ( S, V ) Quelle est cette nouvelle fonction ? puis donner sa forme différentielle. En déduire les relations de Max well correspondantes. 48

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

II-On considère une mole de gaz de Van der Waals d’équation d’état :  a  RT  P + 2 (V − b) = V  

1-Donner l en fonction de P et V, puis montrer que C v ne dépend pas de V. 2-On donne C v =

5 R 2

a. Donner les expressions de l’énergie interne U ( T, V ) et de l’entropie S ( T, V ) qui correspondent à ce gaz. b. On fait subir à une mole de ce gaz une détente de Joule-Gay Lussac (détente dans le vide) de l’état ( P1 , V1 ,T1 = 293K ) à l’état ( P2 , V2 ,T2 ) avec V2 = 10 V1 . Calculer T2 . A.N : V1 = 2.5l, a = 0.14 J.m3 .mol−2 , b = 3.2 × 105 m3 .mol−1 , R = 8.314 J.mol−1 .K −1

49

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

Annexe 2 Fonctions d’état usuelles en thermodynamique •

L’énergie interne : U exprimée en J (joule).

•

L’enthalpie : H = U + pV exprimée en J.

•

L’entropie : S exprimée en J.K-1.

•

L’énergie libre : F = U – T.S exprimée en J.

•

L’enthalpie libre : G = H – T.S exprimée en J.

Notion de système thermodynamique

Système

Caractéristiques (isolé, ouvert, fermé) •

(Σ 1 )

Isolé

V=cte •

(Σ 2 )

Fermé

Transfert (masse, chaleur, travail) • pas de transfert de masse • pas de transfert de chaleur • sans travail • pas de transfert de masse • Transfert de chaleur

• sans travail • pas de transfert de masse • Transfert de chaleur

(Σ 3 )

•

Fermé

Fonction

∆U=0

∆U = (∆Q) V

• avec travail

∆F = (∆W) T

• pas de transfert de masse • pas de transfert de chaleur • avec travail

∆U =(∆W) Q=0

T = cte

(Σ 4 ) P=cte

• • •

(Σ 5 )

Fermé adiabatique

Fermé

• pas de transfert de masse • transfert de chaleur • avec travail

∆H =(∆Q) P

• transfert de masse • transfert de chaleur • avec travail

∆G==(∆W*) T

P=cte •

Ouvert’

(Σ 6 ) T = cte

50

THERMODYNAMIQUE

RESUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

Variables intensives et extensives

Grandeur Capacité calorifique C P Le travail W

extensive Intensive + +

Enthalpie libre G

+

Chaleur latent de changement de phase L

+

Entropie

+

Volume

+

+ +

Pression

+

Température

+

51

Function d’état +