TD de Cours GPS [PDF]

Zitiervorschau

UNIVERSITÉ D’ORLEANS UFR Sciences

SCL1PY01 PANORAMA

Année universitaire 2007-2008 Licence de Physique-Chimie, 1ère année

DE LA PHYSIQUE

:

EXERCICES

L OCALISATION PAR SATELLITES

Quelques valeur utiles Rayon moyen de la Terre Masse de la Terre Constante de gravitation Vitesse de la lumière dans le vide Altitude moyenne d’un satellite NAVSTAR Altitude moyenne d’un satellite de Galileo

R T = 6370 km m T = 5.97 · 1024 kg G = 6.67 · 10−11 N kg−2 m2 c = 2.9979 · 108 m s−1 h = 20184 km. h = 23616 km.

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Eratosthène observa en 205 av. J.-C. qu’à midi, lorsque le Soleil était au zénith à Syène, il faisait en revanche un angle de 7° avec la verticale à Alexandrie, située plus au nord. Il estima la distance entre les deux villes à 5000 stades. Selon les historiens, un stade vaut 157 m. Déterminez à partir de cela la circonférence de la Terre. Est-il nécessaire que les deux villes aient la même longitude (= soient situées sur le même méridien) ?

Terre

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La parallaxe de Bételgeuse (une étoile massive) vaut α = 7.63 millièmes de seconde d’arc. Cette parallaxe est l’angle sous lequel un observateur situé sur Bételgeuse verrait le rayon de l’orbite terrestre. Ce dernier égale une unité astronomique. A quelle distance (exprimée en UA) de la Terre Bételgeuse se trouve-t-elle ?

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1 U.A.

α d Soleil

Le système LORAN C a pendant plusieurs décennies servi à la navigation maritime près des côtes. Tous les émetteurs du réseau LORAN émettent exactement en même temps un signal

périodique. Le récepteur à bord du navire est capable d’identifier chaque émetteur dont il reçoit le signal. Il calcule aussi le décalage entre le temps d’arrivée des différents signaux. Montrez comment la connaissance de ce décalage ainsi que de l’emplacement de chaque émetteur permet de déterminer sa position. Combien d’émetteurs faut-il capter simultanément ?

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Les satellites du système GPS se déplacent sur des orbites circulaires non géostationnaires. Pour cette raison, ils ne restent jamais au-dessus du même lieu terrestre. Or il semble a priori plus simple d’avoir une constellation de satellites GPS géostationnaires répartis autour de la Terre. Expliquez pourquoi ceci n’est pas le cas.

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Combien au minimum faut-il disposer de satellites de positionnement autour de la Terre pour qu’en tout point du globe on puisse en voir au minimum quatre simultanément ?

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Le principe de la localisation par satellites est principalement basé sur le temps de propagation d’ondes électromagnétiques, qui se déplacent à une vitesse proche de celle de la lumière dans le vide. On pourrait aussi envisager d’utiliser des ondes sonores (dont la vitesse est typiquement 106 plus faible). Or cela pas. Pourquoi ?

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Ganymède est l’un des multiples satellites naturels de la planète Jupiter. Il fut découvert en 1610 par Galileo Galilei, qui en détermina la période orbitale T = 7.16 jours et le demi-grand axe a = 1.07 · 109 m. Cette découverte joua un rôle capital dans l’histoire de l’astronomie, car elle permit à Galilei d’estimer la masse de Jupiter. Montrez comment procéder pour estimer cette masse.

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La masse de la planète Mars vaut un dixième de celle de la Terre. Si un satellite placé sur une orbite circulaire de rayon R T fait le tour de la Terre en un temps donné, quel devrait être le rayon R M de l’orbite nécessaire pour faire un tour complet de Mars pendant la même durée ?

9 Les satellites géostationnaires se déplacent sur des orbites circulaires et se situent toujours à la verticale du même lieu sur la Terre. Déterminez le rayon de leur orbite, ainsi que leur altitude au-dessus de la surface terrestre. 10

Les satellites NAVSTAR se déplacent sur des orbites circulaires, à une altitude moyenne donnée ci-dessus. Quelle est leur période orbitale ?

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Dès 2011, Galileo fournira un service équivalent à celui du GPS. Ses satellites se déplaceront sur des orbites circulaires, à une altitude moyenne de 23616 km. Comparez leur période orbitale à celle des satellites du système GPS, sans faire appel à la masse de la Terre.

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Déterminez comment varie la vitesse orbitale d’un satellite avec son altitude (prenez une orbite circulaire). Déduisez-en la vitesse maximale que pourrait avoir un satellite en orbite circulaire.

13 Si l’altitude d’un satellite change, sa période orbitale change aussi. Prenons deux satellites qui se trouvent côte à côte sur des orbites circulaires concentriques, de telle sorte que le rayon d’orbite du premier soit r et celui du second r − d . Après un tour d’orbite complet du premier satellite, le second aura pris un léger retard/avance sur le premier. Estimez de combien varie la distance (le long de l’orbite) qui sépare deux satellites après que le premier ait fait un tour complet autour de la Terre. Déterminez cette distance pour d = 0.1 cm.

14 Calculez le temps que met un signal radio émis par un satellite GPS situé au zénith pour atteindre un récepteur situé au niveau de la mer. Comparez cette durée avec celle d’une onde sonore (en supposant que celle-ci se propage toujours à la vitesse du son). 15

Une onde électromagnétique qui traverse l’ionosphère terrestre est très légèrement ralentie pendant la traversée de cette dernière. Estimez le retard subi par une onde (émise par un satellite GPS qui se trouve au zénith) et déterminez l’erreur qui en résultera sur la position relevée par le récepteur. Application numérique : approximez l’ionosphère par une couche homogène située entre 100 et 500 km d’altitude, dans laquelle l’indice de réfraction passe de n = 1 à n = 1.0001.

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L’ionosphère dévie très légèrement les ondes électromagnétiques qui la traversent. Estimez l’écart au sol subi par une onde électromagnétique émise depuis un satellite proche au zénith, à 4° de la verticale. Approximez l’ionosphère par une couche homogène située entre 100 et 500 km d’altitude, dans laquelle l’indice de réfraction passe de n = 1 à n = 1.0001.

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Un observateur muni d’un récepteur GPS observe en même temps deux satellites dans le ciel, situés à égale distance de lui et de façon symétrique (cf. dessin). L’un des satellites souffre d’un défaut qui entraîne un retard systématique de 10 µs sur le temps universel. Estimez l’erreur commise sur la calcul de la position du récepteur.

18 L’effet Doppler explique l’écart observé entre la fréquence f s d’une onde émise par une source qui se déplace par rapport à un observateur immobile, et la fréquence f o que perçoit ce dernier. Si v est la vitesse de l’émetteur par rapport à celle du récepteur (ici v < 0 si l’émetteur s’éloigne) alors s fo = fs

c0 + v c0 − v

Dans quel cas (pour quelle position du satellite) cet l’écart ∆ f = f o − f s est-il maximal ? Application numérique : Déterminez l’écart maximal ∆ f pour un récepteur immobile qui reçoit le signal d’un satellite GPS dont l’émetteur fonctionne à la fréquence f = 1575.42 MHz. La vitesse orbitale du satellite est v = 3800 m/s.

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Un récepteur GPS immobile capte un signal émis par un satellite GPS. La fréquence de ce signal est légèrement décalée par effet Doppler : elle est ∆ f = 31.5 kHz inférieure à la fréquence d’émission du satellite, qui vaut f s = 1575.42 MHz. – Le satellite et le récepteur se rapprochent-ils l’un de l’autre ou est-ce le contraire ? Justifiez votre réponse. – Déduisez-en la vitesse v à laquelle les deux s’approchent (ou s’éloignent). – Cette vitesse vous paraît-elle réaliste ? Justifiez votre réponse. Réponse : v = −5996 m/s, la source s’éloigne car v < 0.

20 La plupart des récepteurs du commerce peuvent mesurer par effet Doppler des vitesses de déplacement du récepteur allant jusqu’à 1 m/s. Quelle doit être la résolution en fréquence du récepteur pour mesurer correctement un telle vitesse ? 21

Déterminez la dilatation du temps, due aux effets relativistes, observée à bord d’un satellite GPS. Si on néglige cette dilatation, quelle sera l’erreur de positionnement (en mètres) au bout d’une durée de t s = 10 minutes ?

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D’après la théorie de la relativité restreinte, le temps s’écoule différemment dans un référentiel mobile animé d’une vitesse v , que dans un référentiel au repos. En 1971, pour vérifier cela, une horloge atomique fut embarquée sur un avion qui fit deux fois le tour de la Terre (une fois vers l’Est et une fois vers l’Ouest), à une vitesse moyenne de v = 960 km/h. De retour sur Terre, l’heure de cette horloge fut comparée avec celle d’une horloge atomique identique, qui était restée sur Terre. Estimez l’écart observé entre les deux horloges. Le sens de la trajectoire (vers l’Est ou vers l’Ouest) a-t-il une incidence sur le résultat ?

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Estimez la force exercée par la pression photonique sur un satellite en orbite autour de la terre. Si cette force s’exerce de façon continue pendant 2 heures, quel changement de vitesse en resulte-t-il ? Donnez d’abord l’expression analytique de cette force et du changement de vitesse. Application numérique : masse du satellite m = 500 kg, surface du satellite S = 10 m2 , densité de puissance reçue par unité de surface Π = 1350W/m2.

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La vitesse de la lumière dans le vide est actuellement évaluée à c = 299′792′ 458 m/s. Si les trois dernières décimales n’étaient pas connues, quelle erreur en résulterait-il sur la détermination de la position par un récepteur GPS ? Réponse : δz = 30.8 m. 10 août 2007