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MPD

CHAPITRE I OPERATION SUR LES SOLIDES

1

MPD

1 - INTRODUCTION Dans toute les opérations chimiques ou pétrochimique nous rencontrons l’écoulement des fluides à travers les milieux poreux, dans ce cas la majorité des opérations industrielles font l’appel à la présence au moins deux phases (S-L, S-G) l’une des phases est stationnaire et l’autre est en mouvement ces opérations ont pour but l’amélioration de transfert de mouvement ou bien de chaleur : Le but du module est la compréhensions- des phénomènes- d’écoulement bi phasique. II - DEFINITION D’UN MILIEU POREUX DISPERSE (M.P.D) Un milieu poreux est un système composé de deux phases, l’une des deux phases solide continue et l’autre phase fluide occupée l’espace libre. Cette phase pouvant être gaz ou bien liquide dispersé. Autrement dit, un milieu poreux est défini comme étant un milieu solide contenant des pores, ou les pores sont des espaces vides. II.1- QUELQUES EXEMPLES DE MILIEUX POREUX Milieux poreux naturels : Dans la nature, les roches et les sols sont les milieux poreux les plus exploités exemple : Couche d’argile, roches volcanique, les roches sédimentaires. Milieux poreux artificiels : Exemple bétons, ciments, empilement de grains (métallique, plastique, verre).

Sable et Gravier (inter granulaire)

Roches fracturée (Fissures)

Exemple de la forme de dispersion :  continu

 discontinu

Forme de dispersion

Liquide

Gaz

Mousse

Solide

Boue

Liquide

Nuage

Solide

Poussière

Gaz

2

MPD Une dispersion est caractérisée par un facteur β qui représenté la fraction volumique occupé par la  dispersé. β=

𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝝋 𝒅𝒊𝒑𝒆𝒓𝒔é𝒆 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 𝒓é𝒆𝒍 𝒐𝒖 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍

Il existe 3 cas en fonction de β : β < 0.05 : Les bulles ont peu d’influence les unes par rapport aux autres, c’est le

1.

mouvement d’une particule dans un milieu infini exemple: nuage. 2.

β > 0.05 : Il faut tenir compte des chocs internes exemple : mousse.

3.

β > 0.75 : Emulsion ; c’est un cas particulier exemple : l’eau - l’huile.

III - MORPHOLOGIE DES GRAINS ET EMPILEMENT III.1- LA POROSITE: C’est la fraction volumique occupée par le fluide entre les gains c.à-d. le degré de vide. Ԑ=

𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 𝒅𝒆 𝒗𝒊𝒅𝒆 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍

𝑽𝒗

= 𝑽𝑻

Cette porosité dépend de la forme et de la disposition géométrique de ces grains.



Vv = f (Vs), Vs = f (VT), Vv = f (VT)

Trouvez :

On a : 

VT = Vs + Vv

Vv = f (Vs) Ԑ=

𝑉𝑣 𝑉𝑇

=

𝑉𝑣 𝑉𝑠+𝑉𝑣

→ ԐVs + ԐVv = Vv

(1- Ԑ)Vv = ԐVs 

Vv =

Ԑ 1−Ԑ

𝑉𝑠

Vs = f (VT) Vs = VT -Vv = VT - ԐVT. Vs = (1- Ԑ)VT



Vv=f (VT) 𝑽𝒗

Ԑ = = 𝑽𝑻

VV= Ԑ.VT

III.2- SURFACE SPECIFIQUE DE LIT: C’est le rapport entre la surface et le volume [m‾¹], donc :

alit =

𝐴 𝑉𝑇

=

𝐴(1−Ԑ) 𝑉𝑠

= ag (1-Ԑ)

a lit = ag (1-Ԑ)

3

MPD

Avec:

ag: surface spécifique des gains.

III.3- LA MASSE VOLUMIQUE DU LIT Soit; ρs : la masse volumique de la  continu (Solide). ρf : la masse volumique de la  discontinu (Fluide). Ԑ : la porosité du lit. Trouvez

ρlit = f (Ԑ, ρs, ρf).

0n a : la masse du lit est mlit = mT = ms + mf. ρT VT =ρs. VS + ρf.Vf ρlit.VT= ρs. (1-Ԑ) VT+ ρf.Ԑ.VT

ρlit= (1 - Ԑ)ρs+ Ԑ.ρf III.4- TEXTURE DES EMPILEMENTS DES GRAINS

A

b

a-

Empilement ordonné ou régulier : cas idéal.

b-

Empilement désordonné ou irrégulier : c’est un système rencontré dans l’industrie.

IV - PROPRIETES DES SOLIDES IV.1- SPHERE EQUIVALENTE

Soit un grain de forme quelconque qu’on veut caractériser par une dimension, pour cela certaines méthodes directes donnent le diamètre des particules exemple: tamisage. Par contre la sédimentation, la filtration sont des méthodes indirectes qui nous donnent des grandeurs liés soit au volume soit à la surface des particules, ces méthodes conduisent à introduire à la notion de la sphère équivalente à la particule. Soit une particule quelconque. Ap : surface externe de la particule, cette particule est non poreuse. Vp : volume de la particule.

4

MPD

Donc: a)- Le diamètre de la sphère qui a même volume que la particule. Vsph = Vp

4

𝑑3

4

𝜋

𝜋𝑅³ = 3 𝜋 ( 8 ) = 6 . 𝑑v³ 3 𝟑

dv = √

𝟔.𝐕𝐩 𝛑

b)- Le diamètre de la sphère qui a même surface que la particule. Ap= Asph = 4𝜋𝑅² = 4𝜋

𝑑² 4

= 𝜋dA².

dA= √

𝐀𝐩 𝝅

c)- Le diamètre de la sphère qui a même maitre couple que la particule. Maitre couple c’est la projection orthogonale de l’obstacle sur un plan ┴ a l’écoulement du fluide.

fluide.

𝛺 = 𝜋𝑅² = 𝜋

𝑑²

dc= √

4

𝟒𝜴 𝝅

d)- Le diamètre de la sphère qui a même surface spécifique que la particule. La surface spécifique de la particule est une caractéristique importante elle est rapportée à l’unité de masse ou de volume ( On a:

ap =

𝑨𝐩 𝑽𝐩

=

𝝅𝒅𝟐𝑨 𝝅 𝟑 𝒅 𝟔 𝑽

𝑚² 𝑔

=𝟔

𝑚²

. 𝑚³ ). 𝒅𝟐𝑨

.………..… 𝟏

𝒅𝟑𝑽

D’autre part on a:

ap = 𝐚𝐬𝐩𝐡 = 1= 2 ↔ 𝟔

𝑨 𝑽

𝒅𝟐𝑨 𝒅𝟑𝑽

= =

𝟒 𝝅 𝑹² 𝟒 𝝅𝑹³ 𝟑

𝟔 𝒅𝐬𝐬

=

𝟑 𝒅 (𝟐)

=

𝟔 𝒅𝐬𝐬

….………..𝟐

dss =

𝒅𝟑𝑽 𝒅𝟐𝑨 5

MPD

IV.2- FACTEUR DE SPHERICITE Pour les particules non sphériques il est nécessaire d’introduire un paramétré qui exprime dans quel mesure les particules s’écartent de la forme sphérique. On a défini 3 facteurs de sphéricité:

Ψ𝒗 =

Ψ𝑨 =

𝒔𝒖𝒓𝒇𝒂𝒄𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝐬𝐩𝐡é𝐫𝐞 𝒂𝒚𝒂𝒏𝒕 𝒎𝒆𝒎𝒆 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒆 𝒔𝒖𝒓𝒇𝒂𝒄𝒆 𝒅𝒆 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒆

𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝐬𝐩𝐡é𝐫𝐞 𝒂𝒚𝒂𝒏𝒕 𝒎𝒆𝒎𝒆 𝒔𝒖𝒓𝒇𝒂𝒄𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒆 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 𝒅𝒆 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒆

Ψ𝒔𝒔 = Ψ𝒈 = Remarque:

𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝐬𝐩𝐡é𝐫𝐞 𝒂𝒚𝒂𝒏𝒕 𝒎ê𝒎𝒆 𝒔𝒖𝒓𝒇𝒂𝒄𝒆 𝒔𝒑é𝒄𝒊𝒇𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒖𝒓𝒇𝒂𝒄𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝐬𝐩𝐡é𝐫𝐞 𝒂𝒚𝒂𝒏𝒕 𝒎ê𝒎𝒆 𝒔𝒖𝒓𝒇𝒂𝒄𝒆 𝒔𝒑é𝒄𝒊𝒇𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒖𝒓𝒇𝒂𝒄𝒆 𝒅𝒆 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒆 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 𝒅𝒆 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒆

Ψ𝐴 > 1 ,

Ψ𝑉 < 1 ,

Ψ𝑠𝑠 < > 1

ΨA

Ψv

1

0

Forme spécifique

Exemple: Une colonne de 50 cm de diamètre contient un empilage désordonné d’anneaux Raching de 2,5 cm de diamètre de 5 cm de la hauteur et de 0.4 cm d’épaisseur, sur une hauteur de 2 m. la masse volumique globale du lit est de 1200 kg/m³. 1-

Calculer les diamètres des sphères équivalents de même, volume, surface externe, surface spécifiques des particules.

2-

Calculer les facteurs de sphéricité des particules par rapport au volume et au surface.

Solution:

1-

Calcul des diamètres de sphère équivalents de même:



Volume: 4

4

3

3

Vp = Vsph = π. R3 =

.π

d3 8

=

πdV3 6

6

MPD

3

dv = √

6Vp

Vp = πR22 . h − π. R21 . h = =

3,14 ₓ 5 4

𝑉p =?

;

π

π.h 4

(d22 − d12 )

[(2,5)² − (1,7)²]

𝑉p = 13,18 𝑐𝑚³ = 1318.10‾⁶ 𝑚³ 3

dv = √ 

6 ₓ13,17.10‾⁶

dv= 0,029 m

3,14

Surface:

dA = √

Ap

;

π

Ap =? π

Ap = π(d2 + d1). h + 2 ( ) ( d22 − d12 ) 4 dA = √



Ap

=√

π

0,0071

Ap = 0,0071m²

dA = 0.047m

3,14

Surface spécifique: 3 𝑑𝑉

𝑑𝑆𝑆 =

d2A

=

(0,02)³

𝑑𝑠𝑠 = 0,01 m

(0,04)²

2-

Calcul les facteurs de sphéricité:



Par rapport au Volume:

Ψv = Ψv = 

ΨA =

𝐴sph 𝐴𝑃

avec

𝐴sph = 𝜋𝑑𝑉2 = 3,14(0,02)2 = 0,0026 𝑚²

0,0026

Ψv = 0,37

0,07

Par rapport à la surface: 𝑉sph 𝑉𝑝

et

4

𝜋

3

6

𝑉sph = . 𝜋𝑅³ = 𝑑𝐴3 = 5,4 . 10‾5 𝑚³

ΨA = 4,15 7

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V- ANALYSE GRANULOMETRIQUE L’importance de la taille et de la répartition dans les phénomènes de fluidisation : amené l’utilisateur à contrôler la granulométrie du produit, généralement ou définit la taille des particules par le diamètre, pour les grains non sphériques le diamètre est approximativement qui sera liée à la méthode de la mesure. V.1- METHODES DIRECTES 

Pied à coulisse.



Tamisage.

V.2- METHODES INDIRECTES  

Filtration: Cette méthode pour les particules de diamètre entre 1- 50µm. Centrifugation: Pour les particules de Ø 0.5µm ou encore ultracentrifugation pour les particules de 0.01µm de diamètre.



Spectroscopie acoustique (ultrasonique): Cette méthode est utilisé pour la mesure de la taille des particules dans les systèmes concentrés.

VI- BROYAGE (REDUCTION DES TAILLES DE PARTICULES) V1.1- DEFINITION Le broyage c’est le concassage, il permet la libération des grains de matériaux pour l'obtention d'une composition granulométrique nécessaire des particules (roches) (fragmentation). Dans ce procédé la destruction des matériaux est réalisée par les forces extérieures mécaniques. Certain réductions peuvent être amélioré par l’élévation de T° à titre d’exemple : Les produits humides sont fragmentes mieux par l’effet d’introduire un gaz chaud qui permettra le séchage des particules solides, donc fragmentation plus facile. Les différentes méthodes de concassage sont: écrasement, spallation, cassure, coupe, trituration, choc

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MPD

Méthodes de destruction des roches: a) écrasement; b) spallation; c) cassure; d) coupe; e) trituration; f) choc. Suivant les dimensions maximales des morceaux à concasser et à broyer, on distingue les stades suivants de la destruction des roches: 1. Concassage grossier (primaire): de 1200-500 à 350-100 mm; 2. Concassage secondaire (intermédiaire): de 350-100 à 100-40 mm; 3. Concassage fin: de 100-40 à 30-10 mm; 4. Broyage préalable: de 30-10 à 6-2 mm; 5. Broyage fin: de 6-2 à1-0,5 mm; 6. Broyage surfin: de 1-0,5 à 0,1-0.005 mm. VI.2- ENERGIE DE BROYAGE L’énergie généralement utilisées est très importante, elle varie selon la nouvelle surface à obtenir. Nous pouvons donner à titre d’exemple:

a-

Ø de 1m

100 mm ; 0.25 < énergie < 1kWh/t.

b-

Ø de 100mm

c-

Ø de 10mm

1mm ; 1 < énergie < 5 kWh/t.

d-

Ø de 1mm

0.1 mm ; 5 < énergie < 30 kWh/t.

e-

Ø de 0.1mm

10µm ; 20 < énergie < 100 kWh/t.

f-

Ø de 10µm

1µm ; 100 < énergie < 1000 kWh/t.

g-

Ø < 1µm. énergie < 1000 kWh/t.

10 mm ; 0.5 < énergie < 2 kWh/t.

Plusieurs lois ont été proposées pour estimer l’énergie nécessaire dans une opération de broyage.

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VI.2.1- Loi de RITTINGER L’énergie nécessaire pour broyer un corps est: Avec

E=

𝟏 𝒌

(𝑨𝟐 − 𝑨 𝟏)

A1 : surface externe initiale. A2 : surface externe finale ( Ʃ Des nouvelles surfaces). K : le nombre de Rittinger.

Remarque: Notons que l’énergie réelle consommée par le broyeur est toujours > à celle obtenue par la loi de Rittinger.

E=

Autre formulation. Avec

𝟏

(

𝒌

𝟏

−

𝑳𝟐

𝟏 𝑳𝟏

)

L1 : dimension de la particule finale. L2 : dimension de la particule initiale.

VI.2.2- Loi de KICK Le travail nécessaire pour une masse donnée de matériau est constant pour le même taux de réduction Avec

𝑷

𝐷

, d’où: 𝑑

𝒎

= 𝑲𝑲 𝑳𝒏

𝑫 𝒅

KK : constante de Kick. P : puissance nécessaire. m: débit d’alimentation en tonne/h.

VI.2.3- Loi d Bond Le travail nécessaire pour faire broyage un matériau est: 𝑷 𝒎



=

𝑲𝑩 √𝑫𝑷

KB : constante de Bond.

L'expérience montre que ces formules sont valables pour les limites suivantes: Hypothèse

Formule

Kirpitchev-Kick

𝑷 𝑫 = 𝑲𝑲 𝑳𝒏 𝒎 𝒅 𝑷 𝑲𝑩 = 𝒎 √𝑫𝑷

Bond Rittinger 

;

E=

𝟏 𝒌

(

𝟏 𝑳𝟐

−

𝟏 𝑳𝟏

)

Limites d'application en mm >30

Stade de la destruction

80 - 1

Concassage intermédiaire

Concassage grossier et Intermédiaire

fin, broyage préalable, fin 1 - 0,05

Broyage fin et surfin

L'hypothèse de Bond est utilisée plus fréquemment. 10

MPD

Exemple: Una matériau est broyé de tel maniéré que le diamètre moyen est réduit de 50 à 10 mm avec consommation d’énergie de 13 kW/(Kg/s) en utilisant la loi de Rittinger : -

Déterminer la consommation de l’énergie nécessaire pour broyer le même matériau de diamètre moyen 75 mm à un diamètre de 25 mm.

Solution :

𝑬𝟏 =

1

1

( − 𝐾 𝐿2

A.N: 𝐾 = A.N:

1

) → 𝐾= 𝐿1

1

1

− ( 13 10.10‾³

𝑬𝟐 =

1

1

1

1

( − 𝐸1 𝐿2

1

1 𝐿1

) 𝐾𝑔

) = 6,15 ( 𝑠 )⁄𝑘𝑊. 𝑚 50.10‾³

− ( 6,15 25.10‾³

1

) 75.10‾³

→ 𝐸2 =

1

1

( − 𝐾 𝐿2

1 𝐿1

)

𝑘𝑔

𝐸2 = 4,33 𝑘𝑊/( ). 𝑠

VII- CRIPLAGE ET TAMISAGE VII.1- CRIBLAGE Les procédés de séparation d'un matériau composé de mélange des morceaux ou particules de différentes dimensions en classes de grosseur s'appellent criblage et classification. Donc, le criblage est une opération de classement dimensionnel de grains de matières, sur une surface tamisante.

a b c Surfaces tamsantes: a – trous carrés; b- trous carrées en diagonale; c -trous ronds; VII.2- TAMISAGE Ø1 Ø2 Ø3 Ø4

Tamis Tamisseus es 11

MPD Bien que cette méthode soit l’une les plus anciennes et aussi l’une les plus largement utilisé, elle permet de séparer les particules en catégorie d’après leur taille sans tenu compte à ces propriétés (nature du matériau). L’opération consiste à placer un échantillon de poudre sur un tamis à des ouvertures de taille déterminée. Ou : deq =

Ø1+Ø2 2

;

Ø2 < deq < Ø1

Ø1, Ø2 ouvertures des tamis successifs. 

Toutes les opérations de tamisage sont influencées par les facteurs suivants:

1-

Forme des ouvertures;

2-

Chargement des tamis;

3-

Méthode et vitesse d’agitation ou de vibration;

4-

Durée de l’opération;

5-

Forme des particules.

VII.2.1- Efficacite d’un tamisage L’efficacité d’un tamisage industriel est la mesure de succès du tamis à séparer le matériau, donc on peut définir l’efficacité comme étant le produit de deux fractions celle du matériau désiré obtenu avec celle du matériau non désiré obtenue et éliminé. ET = Xmdo . Xmndo Avec :

mdo : matériau désiré obtenu. mndo : matériau non désiré obtenu.

Soit l’exemple suivant:

A.XA

TAMIS

P.XP

R.XR XA : fraction massique du matériau désiré obtenu dans l’alimentation A; XP : fraction massique du matériau désiré obtenu dans le produit P; XR : fraction massique du matériau désiré obtenu dans le rejet R.

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MPD

Le bilan : A= P+R AXA = PXP + RXR On a : R = A - P 

et

P = A - R.

Xmdo = ?

AXA = PXP + (A-P)XR A (XA – XR) = P (XP – XR)

→

𝑷 𝑨

=

𝐗 𝐀 −𝐗 𝐑 𝐗 𝐏 −𝐗 𝐑

On obtient donc pour Xmdo la formule suivante. 𝑷𝐗

( 𝐗 −𝐗 )𝐗

Xmdo = 𝑨𝐗𝐏 = ( 𝐗𝐀 −𝐗𝐑)𝐗𝐏 𝐏 𝐑 𝐀 𝐀 

Xmndo = ?

AXA = (A-R) XP +RXR A (XA – XP) = R (XR – XP)

→

𝑅 𝐴

=

XA −XP XR −XP

d’ou: 𝑹(𝟏−𝐗 )

𝐑 Xmndo = 𝑨(𝟏−𝑿𝐀) =

( 𝐗𝐀 −𝐗𝐏 )(𝟏−𝐗𝐑 ) ( 𝐗𝐑 −𝐗𝐏 )(𝟏−𝐗𝐀 )

Alors

ET = Xmdo . Xmndo =

(𝐗 𝐀 −𝐗 𝐑 )(𝐗 𝐀 −𝐗 𝐏 )(𝟏−𝐗 𝐑 )𝐗 𝐏 (𝐗 𝐏 −𝐗 𝐑 )(𝐗 𝐑 −𝐗 𝐏 )(𝟏−𝐗 𝐀 )𝐗 𝐀

En fin :

ET =

(𝑿𝑨 −𝑿𝑹 )𝑿𝑷 (𝑿𝑷 −𝑿𝑨 )(𝟏−𝑿𝑹 ) (𝑿𝑷 −𝑿𝑹 )²𝑿𝑨 (𝟏−𝑿𝑨 )

Remarque: ET décroît si le tamis est fait trop rapidement ou encore trop lent, et si le matériau est humide. VII.2.2- Représentation graphique des résultats Les résultats obtenues par tamisage peuvent être présenté sur différents diagrammes, ou en portant en abaisse la limite de la classe considérée et on ordonnée le % en masse ou en nombre des individus de la classe considérée dans l’échantillon.

a-

Diagramme des pourcentages commutatifs et différentiel

On a : Ø₁> Ø₂> Ø₃> Ø₄> Ø₅.

et

mT = m₁+ m₂ + m₃ +m₄+ m₅.

13

MPD

6 5 4 3 2 1

0

Histogramme cumulatif

Histogramme différentiel

Les méthodes qui on vient de voir peuvent calculer le diamètre moyen de l’échantillon soit à la masse globale pour chaque classe des particules, ou bien au nombre des particules dans chaque classe.

dm =

∑ 𝐦𝐢.𝐝𝐢 ∑ 𝐦𝐢

Avec : di : Ø moyen pour la classe i. mi : Poids des particules de la classe i. dm : Ø moyen de l’échantillon.

dn =

∑ 𝐧𝐢.𝐝𝐢 ∑ 𝐧𝐢

Avec: ni : nombre des particules. dn : Ø moyen de l’échantillon.

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CHAPITRE II MOUVEMENT DES PARTICULES (GRAINS) DANS UN FLUIDE

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I- ECOULEMENT DES FLUIDES AUTOUR DES GRAINS I.1- NATURE DES FORCES EXERCEES PAR UN FLUIDE SUR LES GRAINS

FT

R p

Soit un obstacle placé dans un fluide, les forces exercées par le fluide sur l’obstacle sont de deux sortes : 1)

Résistance de frottement liée à l’aire de la paroi, à la viscosité et la turbulence

générale du fluide. 2)

Résistance de forme d’obstacle. Production de force de trainage (FT).

Avec : D’où :

FT= CD.A.K.

CD : coefficient trainée (adimensionnel) A : l’aire de maitre couple. K : pression dynamique du fluide.

K=

𝐟 .𝐔𝐓𝟐 𝟐

,

avec UT : vitesse de chute terminale.

I.1.1- VARIATION DE COEFFICIENT DE TRAINEE Les études expérimentales montrent que le coefficient CD est en fonction de Reynolds de la particule Rep, donc il sera défini plusieurs fois en fonction du régime. A /- Cas des particules sphériques: a.

Régime laminais de STOCKES: Rep < 1

avec: Rep =

𝑼𝑻 .𝒅𝒑 .𝝆𝒇 𝝁𝒇

Dans ce cas le coefficient de traînée est de la forme suivante :

CD = b.

𝟐𝟒 𝐑𝐞𝐩

Régime intermédiaire de VAN ALLEN: 1 < Rep < 10³

Une micro turbulence apparait à l’obstacle dans ce cas :

CD =

𝟏𝟖,𝟓 𝐑𝐞𝟎.𝟔 𝐩

16

MPD

c.

Régime turbulent de NEWTON: 10³ < Rep < 4.10⁵

CD = 0.4 Remarque: On peut tirer CD pour chaque régime à partir de la formule générale suivante :

CD= a . Rep -n Formule

a

n

Domaine de validité

24

1

10‾⁴ < Rep < 1

Allen (R.I)

18,5

0,6

1 < Rep < 10³

Newton(R.T)

0.4

0

10³ < Rep < 4 105

Stokes (R.L)

B/- Traînée des particules non sphérique: La relation : FT =

1

2

𝜌 .CD.UT 2 𝑓

𝟏

FT = 𝝆𝒇 .CD.UT2.A.Ψ

coefficient de sphéricité relatif. Ex : sable Ψ = 2

;

.A reste toujours valable mais introduisant un 𝟐

charbon Ψ = 2,25 ;

Talc Ψ = 3,25 ;

graphite Ψ = 22.

II- MOUVEMENT VERTICAUX DE PARTICULES OU GLOBULES DANS LE CHAMP DE LA PESANTEUR II.1- VITESSE TERMINALE DE CHUTE LIBRE D’UN GRAIN On considéré une particule sphérique de masse volumique  𝑠 , tombant librement dans un fluide immobile et tranquille de masse volumique  𝑓 .

FT

R

P

Les forces exercées sur la particule sont : 

La force de gravite liée au poids (P)



La poussée d’Archimède (R)



La force de trainée (FT)

Trouvez : UT = ?

17

MPD

à l’

∑𝐹 = 0

on a:

P + R + FT = 0 P – R - FT = 0 ms.g - mf.g = FT (s. Vs –f. Vf) g = FT

et

Vs = Vf (volume du solide = volume du liquide

écarté) 𝜋

(s – f) 𝑑𝑝3 𝑔 = 𝐹𝑇 = 𝐴. 𝐾. 𝐶𝐷 6

𝜋𝑑𝑝 ³ f . UT2 𝜋 3 (s – 𝑓 ) 𝑑𝑝 𝑔 = . 𝐶𝐷 6 4 2 

Pour le régime laminais de Stockes on a: CD =

(s –f)

𝑑p 6

.𝑔 =

f 8

𝑈𝑇2 .

𝟐𝟒.𝝁𝒇 𝑼𝑻 .𝒅𝒑 .𝝆𝒇

𝑈𝑇 .𝑑p.f

(𝐬 –𝐟 )𝐠.𝒅𝟐𝒑 𝟏𝟖µ𝐟

Pour le régime intermédiaire de Van Allen: CD=

UT= 

𝑹𝐞𝐩

=

24 .µf

UT= 

𝟐𝟒

𝟏𝟖,𝟓 𝐑𝐞𝟎.𝟔 𝐩

𝒅𝐩𝟏,𝟏𝟒 [(𝐬 –𝐟)𝐠]𝟎 ,𝟕𝟏𝟒 𝟔,𝟓𝟓.µ𝟎.𝟒𝟐𝟖 .𝟎.𝟐𝟖𝟔 𝒇 𝐟

Pour le régime turbulent de Newton: CD= 0,4 UT= √

(𝐬 –𝐟)𝐠.𝒅𝐩 𝟎,𝟑.𝐟

La formule générale de la vitesse terminale de chute est:

𝑼𝟐−𝒏 𝑻

=

𝟒 𝒅𝒏+𝟏 𝒑 𝐠.(𝐬 –𝐟 ) 𝟑

𝟏−𝐧 𝒂.µ𝒏 𝒇 .𝛒𝐟

Exemple: Une bille de verre tombe en chute libre dans l’eau. *Calculer la vitesse terminale de chute si: Rep = 0,1 ;

𝝆𝒔 = 𝟐𝟕𝟓𝟎

𝐊𝐠 𝐦𝟑

;

µf = 10‾³ pas

18

MPD

Solution:

Rep = 0,1 =

UT=

Régime laminaire

𝑑p².9,8.(2750 – 1000) 18 .10‾3

(𝐬 –𝐟 )𝐠.𝒅𝟐𝒑 𝟏𝟖µ𝐟

= 9,527.10⁵𝑑p²…………………………….…1

D’autre part on a : Rep = UT =

𝑼𝑻 .𝒅𝒑 .𝝆𝒇

U T=

𝝁𝒇

0,1.10‾3 1000.𝑑p

Rep .µ𝑓 ρf .𝑑p

1

=10‾⁷ …………………..………………………….….…2 𝑑p

9,527.10⁵ dp² = 10‾⁷.

1=2

1

𝑑p

dp = 4,717.10‾⁵ m UT = 2,11.10‾³ m/s

UT = 9,527.10⁵ .(4,717.10‾⁵)2

III- CHUTE COLLECTIVE DES PARTICULES DANS UN FLUIDE Dans les opérations industrielles de sédimentation ou autre, les lignes de courant est grossièrement #, mais ces trajectoires s’influencent les unes par rapport aux autres pour 2 raisons: 

Chaque particule ne se meut pas dans un fluide au repos, mais dans un fluide

perturbé par le sillage des globules. 

Les globules du diamètre # se déplacent avec des vitesses # ce qui de nombreux

chocs inter globulaires, dans ce cas le modèle est le suivant :

𝑼²‾ⁿ 𝑻 =

Soit l’expression de UT :

𝟒 𝒅𝐩ⁿ+𝟏 𝐠.(𝛒𝐬 – 𝛒𝐟 ) 𝟑

𝟏−𝐧 𝒂.µ𝒏 𝒇 .𝛒𝐟

Dans cette équation le fluide intervient 2 propriétés: ρf , µf donc on pourra intervenir 𝛒𝐚 et µ𝐚 . a) La masse volumique apparente:

𝛒𝐚 = 𝛃. 𝛒𝐬 + (𝟏 + 𝛃)𝛒𝐟 Avec

β : La fraction volumique de la phase dispersée.

b) La viscosité apparente: VAND a démontré que: Si K= 4,2

µ𝐚 = µ𝐟 .e⁽KB⁾

2,4 < K< 6

pour STEINOUR.

19

MPD Donc l’expression générale avec les nouvelles propriétés (ρa , µa ) est comme suit:

𝑼𝟐−𝒏 𝒄

=

𝟒 𝒅𝒏+𝟏 𝒑 𝐠.(𝐬 –𝐚 ) 𝟑

𝟏−𝐧 𝒂.µ𝒏 𝒂 .𝛒𝐚

Avec : Uc : Vitesse de chute collective. Pour : K= 4,2 on a

𝑼𝟐−𝒏 𝒄

=

𝒏+𝟏

𝐠.(𝐬 –𝐟 )(𝟏 – 𝛃) 𝒏 𝟒,𝟐.𝐧.ß 𝟑 𝒂.µ𝒇 .𝐞 [𝛃𝛒𝐬 +(𝟏−𝛃)𝛒𝐟 ]𝟏−𝐧 𝟒

𝒅𝒑

Le rapport de Uc à UT est: 𝑼

[ 𝑪] 𝑼𝑻

𝟐−𝒏

=

(𝟏 – 𝛃)𝐞−𝟒,𝟐.𝒏.ß [𝛃𝛒𝐬 +(𝟏 – 𝛃)𝛒𝐟 ]𝟏

𝟏−𝐧

20

MPD

CHAPITRE III ECOULEMENT DES FLUIDES A TRAVERS UN MILIEU POREUX

21

MPD I- ECOULEMENT D’UN SEUL FLUIDES A TRAVERS UN LIT Dans de nombreuses opérations industrielles un fluide s’écoute a travers une couche de particule solide (catalyseur, garnissage) ces milieux poreux sont généralement le siège de transfert de matière pour avoir une réaction chimique ou bien séparateur des produits. On trouve leur application dans les opérations suivantes: 

Purification des fluides sur un lit adsorbant (adsorption).



Fractionnement des vapeurs organiques (cracking).



Réaction chimique (catalyseur) (A+B

C).

I.1- LOIS EXPERIMENTALE DE DARCY QV  1 =  1 +

𝑃1

2 =  2 +

𝑃2

𝜌g

L

𝜌g

Soit une conduite de section A () contenant un lit poreux de hauteur L à travers lequel circule un débit Qv de viscosité µ. DARCY a observé que le débit volumique est proportionnelle () à la section de la conduite et à la différence entre les hauteurs piézométriques et inversement  a la hauteur de la conduite c.-à-d.

Qv = ₒ.

𝑨.∆∅ 𝑳

Avec : ₒ : coefficient de proportionnalité appelé « conductivité hydraulique ».  : A : section de filtre m².  : Hauteur piézométrique m.

i =  i +

𝐯𝐒 =

𝑸𝐯 𝑨

𝑷𝐢 𝝆𝐠

=

₀.∆∅ 𝑳

22

MPD

Ou : vs : vitesse superficielle.

vi: vitesse interstitielle.

vs = . vi Remarque: Dans la loi de DARCY la vitesse est très faible (R.L). I.1.1- Conductivité hydraulique perméabilité ₒ La perméabilité ₒ c’est la facilité dans lequel un fluide peut être transporté à travers l’espace vide, il est donc un coefficient qui dépend d’une part par les propriétés du fluide (𝜌, µ) et d’autre part par la distribution granulométrique.

ₒ = k.

𝝆𝐠 µ

ₒ : perméabilité m/s K : c tem² G : accélération de la gravité m/s². µ : viscosité dynamique kg/m.s

Qv = ₒ. →

𝐐𝐯 𝑨

=

𝑨.∆∅ 𝑳

𝐤.𝝆𝐠 µ.𝑳

= k.

.(∆+

𝝆𝐠 𝑨.∆∅ µ ∆𝑷 𝝆𝐠

.

𝑳

)

∆P: pression motrice. ∆P

∆P = ρg∆+ ρg

Vs=

𝐐𝐯 𝐀

=

𝐤.∆𝐏 µ.𝐋

Vi =

𝐕𝐬 

=

𝐤.∆𝐏 .µ.𝐋

I.2- LES MODELES REPRESENTATIFS DU MPD I.2.1- Modèle géométrique simple – modèle de Kozeny (RL) Le MP assimilé a un faisceau de pores cylindriques (un capillaire) ce qui permet d’utiliser l’équation de POISEUILLE. ∆𝑷 𝑳

=

𝟏𝟐𝟖µ.𝑸𝑽 𝝅.𝒅𝒄⁴

23

MPD

QV

dp

ZP

Z

2émecas assimilé

1er cas réel µ : viscosité dynamique. dc : diamètre de la colonne. L : longueur de la colonne. π.dc²

128. µ. 4 . s ∆P 128. µ. S. s = = L π. d4C π. d4C ∆𝐏 𝐋

=

𝟑𝟐.µ.𝐬 𝐝𝟐𝐂

Pour le système réel (1 er cas)

Alors pour le 2eme cas on a : ∆𝐏 𝐙𝐩

=

𝟑𝟐.µ.𝐕𝐦𝐩.Ɣ 𝐝𝐩²

Avec : Ɣ : facteur de forme

Ɣ=1± 0,15

dh = dp: diamètre hydraulique (diamètre de pore). Zp: longeur de pore Zp ≥ Z. Z : longueur de la couche. Vmp : vitesse au niveau du couche( moyen). cos ∝ =

𝑍 𝑍𝑝

→

𝑍𝑝 =

1 . 𝑍 = 𝑇. 𝑍 cos ∝

𝐙𝐩 = 𝐓. 𝐙 1

T : coefficient de tortuosité = cos∝ 

Pour calculer

∆P Zp

(perte de charge) il faut déterminer

dh = ? ;  mp =? 24

MPD

Pour déterminer dh le modèle repose sur 2 hypothèses importantes. 

1erehypothèse : Le volume poreux du (milieu réel) = le volume des nombre des pores indépendante (Np).

Vvide = Np.Vp 𝜋dh ²

.VT = Np. 

4

. Zp…………………….…………………….….1

2emehypothèse : La surface interne du milieu réel est la même de Np pores.

Aréel = Np.Ap = Np. 𝜋dh . Zp………………………………..........……….2 .VT

1/2 =

dh =

4.VT Aréel

Aréel

=

4 Aréel VT

𝜋d ²

Np. 4h .Zp Np.𝜋dh .Zp

= =

=

4

4 𝑎lit

𝐝𝐡 =

-

dh

𝟒 𝐚𝐠(𝟏 − )

Pour calculer Vmp on a : Qv (syst réel) = Qv (syst assimile) THEOREME DE D’UPUIT

.Vs = ( Np. p). Vmp

  = Np.p.T

……………………….…………..…..1

  = Np.p.T

Np.p=   / T ……………..…….2 . Vs = ( / T). Vmp

En remplace 2 dans 1

Vmp = (Vs .T)/  D’après 2 on a : Np =

A 𝜋dR.Zp

; 𝐴 =?

4

Et d’après 3 on a : A = VT . dh

→ 𝐍𝐩 =

𝟒.𝐕𝐓 𝝅𝐝𝐑².𝐙𝐩

=

𝟒.𝐕𝐓 𝝅𝐝𝐑².𝐓.𝐙

25

MPD Revenant à l’équation du système assimilé. ∆𝑃 𝑍

=

32.µ.Vmp .Ɣ 𝑑p²

∆𝑃 32. µ. Ɣ Vs. T = 16² . 𝑍  ag²(1−)² ∆𝑃 𝑍p

=

2.µ.Ɣ.ag²(1−)²Vs.T ³

∆𝑃 µ. ag²(1 − )² = 2. Ɣ. T² . Vs 𝑍 ³ ∆𝑷 𝒁

= 𝒉𝑲

µ.𝐚𝐠 𝟐 (𝟏−)𝟐 𝟑

𝐕𝐒

Equation de KOZENY en régime laminaire.

Avec : 𝒉𝑲 = 𝟒, 𝟏𝟔  𝟓 : cst de KOZENY Remarque: Pour de lit de particules de  > 0.7 le modèle de KOZENY n’est plus valable. I.2.2- Modèle de Burke-Plummer (RT) Le modèle suppose que l’axe de chaque pore cylindrique est une ligne brisée dans lequel une certaine fraction d’énergie cinétique du fluide est convertie en chaleur. La chute de la pression par glissement visqueux sur la paroi des pores représente par 𝝆

∆P = .Nc. . 𝐕𝐦𝐩 ²

l’équation:

𝟐

 : Coefficient de proportionnalité (fraction de l’énergie cinétique du fluide); λ : nombre des coudes; Nc : Nombre Capillaires.

∆P = .

𝒁𝐩

𝝆

𝟐 . 𝐕𝐦𝐩 ;

𝐝𝐩 𝟐

Trouvez :

∆𝑃 𝑍

=?

Après le remplacement Zp,Vmp,dp

∆P = .

𝑻.𝒁

𝟒 .𝐚𝐠(𝟏−)

𝒉𝑩 =

𝝆 𝐕𝐬².𝐓²

. . 𝟐

²

∆P= 𝒉𝑩 . 𝝆. 𝐚𝐠

(𝟏−) ³

. 𝐕𝐒𝟐

𝐁.𝐓³ 𝟖.𝛌

26

MPD

𝒉𝑩 = 𝟎, 𝟐𝟗: cst de Burke. I.2.3- Modèle d’Hergun HERGUN addition les deux termes pour le RL et RT, cette équation est valable en ∆𝑷

permanence.

𝒁

µ.𝐚𝐠²(𝟏−)²

= 𝒉𝑲

𝐕𝐒 + 𝒉𝑩 . 𝝆. 𝐚𝐠

³

RL

(𝟏−) ³

. 𝐕𝐒𝟐

RT

On a aussi une autre forme de l’équation d’HERGUN en fonction de diamètre équivalent : 𝟔

ag = 𝒅𝐬𝐬 ;

dss: Diamètre de la sphère qui à même surface spécifique. ∆𝑷

µ(𝟏−)²

𝒁

𝐝𝐬𝐬².³

= 150

. 𝐕𝐒 +

𝟏,𝟕𝟓.𝛒(𝟏−) 𝐝𝐬𝐬 .³

𝐕𝐒𝟐

∆𝑷 𝒁

KOZENY

BUREK

𝐕𝐒 Remarque: La relation d’hergun rende compte non seulement de la chute de pression dans les lits poreux fixe ; mais aussi à la chute de pression dans les lits libre exp : lit fluidisé. 

Formes adimensionnelles de l’équation d’hergun: ∆𝑷

[ 𝒁 = 150 ∆𝑷 𝒁

µ(𝟏−)² 𝐝𝐬𝐬².³

𝐝𝐬𝐬 .𝟑

. 𝐕𝐒 +

[𝝆(𝟏−)𝐕𝐬𝟐 ]= 150 µ

𝟏,𝟕𝟓.𝛒(𝟏−) 𝐝𝐬𝐬 .³

(𝟏−)𝟐 𝐕𝐬 𝐝𝐬𝐬 𝟐 .𝟑

𝐕𝐒𝟐 ].[

𝝆 (𝟏−) 𝐕𝐬² 𝐝𝐬𝐬.³

𝐝𝐬𝐬 .𝟑

]‾ 1 (𝟏−)

[𝝆(𝟏−)𝐕𝐬𝟐 ]+1,75 = 150 µ 𝐝𝐬𝐬.𝝆.

.𝐕𝐬

+ 𝟏, 𝟕𝟓

∆𝑷 𝐝𝐬𝐬 . 𝟐³ µ (𝟏 − ) = 𝟏𝟓𝟎 + 𝟏, 𝟕𝟓 𝒁 𝟐(𝝆𝐕𝐬𝟐 ) (𝟏 − ) 𝐝𝐬𝐬. 𝝆. 𝐕𝐬 Rep =

𝐝𝐬𝐬.𝝆.𝐕𝐬 µ (𝟏−)

f.

𝟐³

𝟏−

=

𝟏𝟓𝟎 𝐑𝐞

+ 𝟏, 𝟕𝟓

27

MPD

Avec ;

f : facteur de frottement

Exemple: Des vapeurs hydrocarbures sont craqués dans un réacteur catalytique constitué d’un garnissage ou les grains de forme cubique de cote a= 0,5cm ; 𝝆𝒔 = 𝟓𝟎𝟎𝐤𝐠/𝐦³ , 𝝆𝒍𝒊𝒕 = 𝟑𝟎𝟎𝐤𝐠/𝐦³. La section droite du réacteur est 1m² et la couche du catalyseur à une profondeur de 1,8m. 1°/ Calculer le volume Vp ; la surface Ap et la surface spécifique ag. 2°/ Calculer les diamètres des sphères équivalentes dv, dA, dg. 3°/ Démontrer que : 𝛙𝐠 . 𝛙𝟐𝐀 = 𝟏

𝛙𝟑𝐕 . 𝛙𝟐𝐀 = 𝟏

et

4°/ Calculer les pertes de charge subit au passage d’un gaz à travers la couche ou VS = 0,9m/s. Avec : 𝛒𝐟 = 𝟎, 𝟏𝟒 𝐤𝐠/𝐦𝟑 , µ = 𝟎, 𝟎𝟏𝟓. 𝟏𝟎‾³𝐤𝐠/ 𝐬. 𝐦 5°/ calculer le facteur de frottement. Solution: 1°/ calcul de Ap, Vp, ag

Ap = 6a² = 6(0,5.10‾²)² = 1,5.10‾⁴m² Vp = a³ = (0,5.10‾²)3 = 0,125.10‾⁶ m³ ag =

Ap Vp

6

= = 12.10² m‾ 1 a

2°/ calcule de dv, dA, dg 𝟑 𝟔𝐕𝐩



dv = √



dA = √



dg = dss =

𝛑

𝐀𝐩 𝛑

3°/ Démontration

1°/ 𝛙𝐠 =

3 6

3 6

π

π

= = √ 𝑎³ = 𝑎 √ 6a²

=√ 𝐝𝐯³ 𝐝𝐀²

π

= 6,2.10‾³𝑚

6

= 𝑎√ = 6,9.10‾³m π

= a = 0,5.10-2m

𝛙𝐠 . 𝛙𝟐𝐀 = 𝟏

et

𝛙𝟑𝐕 . 𝛙𝟐𝐀 = 𝟏

𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 𝒅𝒖 𝒔𝒑𝒉é𝒓𝒆 𝒂𝒚𝒂𝒏𝒕 𝒎𝒆𝒎𝒆 𝒔𝒖𝒓𝒇𝒂𝒄𝒆 𝒔𝒑é𝒄𝒊𝒇𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒆 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 𝒅𝒆 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒆

28

MPD

=

𝜋 6

𝑑g³

Vp

𝜋 6

=

=

3 𝑑𝐴

Vp

=

6

𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 𝒅𝒖 𝒔𝒑𝒉é𝒓𝒆 𝒂𝒚𝒂𝒏𝒕 𝒎𝒆𝒎𝒆 𝒔𝒖𝒓𝒇𝒂𝒄𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒆 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒆 𝜋 6

6 𝜋

(𝑎√ )³ 𝑎³

𝛙𝐠 . 𝛙𝟐𝐀 =

Alors :

3°/ 𝛙𝐕 =

=

𝜋

=

𝑎³

2°/ 𝛙𝐀 = 𝜋 6

𝑎³

2 𝜋𝑑𝑉

Ap

6

6

𝜋

𝜋

= √ = ( )1/2 𝜋 6

6

. (√ )² = 1. 𝜋

𝒔𝒖𝒓𝒇𝒂𝒄𝒆 𝒅𝒖 𝒔𝒑𝒉é𝒓𝒆 𝒂𝒚𝒂𝒏𝒕 𝒎𝒆𝒎𝒆 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒆

=

𝒔𝒖𝒓𝒇𝒂𝒄𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒆 3 6 π

𝜋(𝑎 √ )2 6𝑎²

3

𝜋

= ( )1/3 6

𝜋

6

𝜋

6

𝜋

6

𝛙𝟑𝐕 . 𝛙𝟐𝐀 = ( √ )³. (√ )² =

6

. =1 𝜋

4°/ Calculer les pertes de charge: Rep= ?

Rep =

Vs.dss.ρf µ(1−)

 = ? (Porosité) mT = mf+ ms ρT . VT = 𝜌𝑓 . Vf + 𝜌𝑠 . Vs ρlit . VT = ρ𝑠 (1 − ). VT + ρ𝑓 . . VT

=

𝝆𝐥𝐢𝐭 − 𝝆𝒔

300 − 500

 = 0,74 − 500 Rep =

0.9∗0.5.10‾²∗0,74 µ(1−0.4)

𝝆𝒇 − 𝝆𝒔

 = 0.4 = 370

Rep > 10 (RT)

29

MPD Donc d’après Burke on a: ∆𝑷 𝒁

=

𝟏,𝟕𝟓.𝛒(𝟏−) 𝐝𝐬𝐬 .³

𝐕𝐒𝟐

∆𝑷

;

=

𝒁

[pas/m]

II- DISPERSION Le bilan de matière pour le constituant i dans un élément de volume dVc de la colonne, qui décrit le phénomène de transfert intergranulaire au sein du lit s’écrit: dVc CiS E

Ci





Grain

[

𝐅𝐥𝐮𝐱 𝐝𝐞 𝐢 𝐞𝐧𝐭𝐫𝐚𝐧𝐭 𝐅𝐥𝐮𝐱 𝐝𝐞 𝐢 𝐬𝐨𝐫𝐭𝐫𝐚𝐧𝐭 𝐃é𝐛𝐢𝐭 𝐝′ 𝐚𝐜𝐮𝐦𝐮𝐥𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 ] =[ ] +[ ] à 𝐭𝐫𝐚𝐯𝐞𝐫𝐬 𝐥𝐚 𝐬𝐞𝐜𝐭𝐢𝐨𝐧  𝐳 à 𝐭𝐫𝐚𝐯𝐞𝐫𝐬 𝐥𝐚 𝐬𝐞𝐜𝐭𝐢𝐨𝐧  𝐳+𝐝𝐳 𝐝𝐚𝐧𝐬 𝐥𝐞 𝐯𝐨𝐥𝐮𝐦𝐞

Le flux axial de matière qui entre à travers la section  au point z est donné par : [𝐮𝛆𝐂𝐢 − 𝐃𝐋 𝛆

𝛛𝐂𝐢

] 

𝛛𝐳 𝐳

(Diffusion + Dispersion axiale)

Le flux axial de matière qui sort à travers la section  au point z+dz est donné par : [𝐮𝛆𝐂𝐢 − 𝐃𝐋 𝛆

𝛛𝐂𝐢 ]  𝛛𝐳 𝐳+𝐝𝐳

L’accumulation du constituant i à l’intérieur du volume élémentaire est donnée par : 𝜺

𝝏𝐂𝐢 𝝏𝒕

Le bilan par unité de volume s’écrit alors : [𝐮𝛆𝐂𝐢 − 𝐃𝐋 𝛆

𝛛𝐂𝐢 𝛛𝐂𝐢 𝝏𝐂𝐢 ]  = [𝐮𝛆𝐂𝐢 − 𝐃𝐋 𝛆 ] +𝜺 𝒅𝑽 𝛛𝐳 𝐳 𝛛𝐳 𝐳+𝐝𝐳 𝝏𝒕

Après simplification, on obtient l’équation de la distribution de la concentration du constituant i. 𝛆

𝝏𝐂𝐢 𝛛𝐂𝐢 𝛛 𝟐 𝐂𝐢 + 𝐮𝛆 = 𝐃𝐋 𝛆 𝟐 𝝏𝒕 𝛛𝐳 𝛛𝐳

III- TRANSFERT DE CHALEUR DANS DES LITS FIXE KRAMERS a montré que pour les conditions de convection forcée, le coefficient de transfert de chaleur peut être représenté par:

30

MPD

Nu = 2 + 1.3 Pr0.15 + 0.66 Pr0.31 ReO.5 Pr : nombre de Prandtl ( Cp.μ / k) Pour la convection naturelle, RANZ et MARSHALL ont donné:

Nu = 2 + 0.6Pr1/3 Gr1/4 Gr : Number de Grashof. Les résultats pour les lits garnis sont beaucoup plus difficiles à obtenir pou cela les résultats expérimentaux a déterminée le facteur jh pour le transfert de chaleur, comme suit: .jh = 2.06.Re−0.575 ……….

(**)

Les facteurs j pour le transfert de chaleur et de masse, jh et jd, sont égaux et, par conséquent, l'équation (**) peut également être utilisée pour le calcul des taux de transfert de masse. IV- COLONNES GARNIES La construction de la colonne garnies est relativement simple. La coquille de la colonne peut être fabriquée en céramique, en verre ou en matière plastique, ou en métal résistant à la corrosion. La colonne devrait être montée vraiment verticalement pour aider la distribution uniforme de liquide. Les organes de la colonne sont: 

Le garnissage présent dans une colonne a pour objectif de mettre en contact la phase liquide, qui redescend par gravité, avec la phase vapeur qui monte vers la tête de colonne. Il doit offrir un degré de vide suffisant pour laisser passer le liquide et la vapeur à contre-courant, Et cela pour améliorer l'échange de matière entre le liquide et la vapeur.



Grille-support est également utilisée pour soutenir le garnissage.



Grille de retenue

est également utilisée pour éviter au garnissage de se

soulever. 

Distributeurs et collecteurs sont également nécessaires pour assurer une bonne répartition des flux sur l’ensemble des éléments de garnissage.



Redistributeurs sont nécessaires lorsque la hauteur totale du garnissage est supérieure à 4,5 mètres.

IV.1- LES DIFFERENTS TYPES DES COLONNES 31

MPD

IV.1.1- Colonne à garnissage structuré: Le garnissage ordonné, aussi appelé garnissage structuré, est un garnissage reconnu pour son efficacité et ses faibles pertes de charge. Il permet de diminuer la taille des colonnes. Ce garnissage est composé d’un ensemble de tôles ondulées assemblées dos à dos en forme de nids d’abeilles (hauteur moyenne de 270 mm). Les matériaux mis en œuvre sont métalliques (aciers inoxydables, aluminium,..) ou plastiques (PS, PPH, PVC,…). Le garnissage structuré assure une répartition uniforme des phases ascendantes vapeur et descendantes liquide ainsi qu’un contact optimal favorable au transfert de matière. Ce garnissage permet une faible résistance à l’écoulement et des pertes de charges réduites par rapport à celles du garnissage en vrac. IV.1.2- Le garnissage vrac: Le garnissage vrac est composé d’éléments aux formes complexes disposés de manière aléatoire dans la colonne. Le transfert de matière entre le liquide et la vapeur se fait à la surface de chaque élément.

Garnissage V- ECOULEMENT D’UNE SUSPENSION « FILTRATION » La filtration est un processus de rétention de la fraction des matières solides en suspension lors du passage d’un fluide (solide + liquide) à travers un milieu poreux (filtre), elle est surtout utilisée pour diminuer les matières solides des eaux potables, aussi que les eaux usées.

32

MPD Si 

0 on a Microfiltration, ou bien ultrafiltration c.-à-d. à travers les membranes.

Les particules solides qui sont retenues sur la surface filtrante forment un dépôt, désigné sous le nom gâteau. A l'échelle laboratoire, la filtration est généralement mise en œuvre dans des cellules selon la technique utilisée (filtration gravitaire, filtration sous pression et filtration sous vide). Dans l'industrie, la filtration est mise en œuvre dans diverses machines et sous différentes conditions opératoires : Les filtres sous pression (filtres presses, à plateaux), les filtres sous vide (rotatifs, buchner). * termes : 

Milieu filtrant : milieux poreux.



Support (toile, grille, membrane).



Filtrat : liquide récupéré après filtration.



Gâteau : couche formée par les particules solides après filtration.



Filtre : toute la machine. Suspension

Gâteau

P2

P1

Toile filtrante (support)

P0

p

Filtrat

P2: Pression appliqué au liquide à l’entrée du gâteau (contacte suspension gâteau). P1: Pression appliqué au liquide à la sortie du gâteau (contacte gâteau support). P0: Pression du liquide à la sortie du support. V.1- LOIS GENERALE DE LA FILTRATION Les lois de la filtration sont obtenues à partir de l’équation de DARCY, qu’on applique sur une couche élémentaire de gâteau d’épaisseur dz. Les hypothèses sont: * Le régime laminaire.

33

MPD  = Cte

* Le gâteau est incompressible

a)- Les pertes de charges à travers le gâteau: A partir de DARCY on a : Vs =

𝒌 ∆𝑷 µ 𝒁

Avec : k = ß : cte de perméabilité de la couche. ∆𝑃 : Chute de pression. D’autre part nous définissons de la résistance du gâteau par : RG = ∆𝑷𝟐

→ 𝐕𝐬 =

µ.𝑹𝑮

=

𝒁 𝒌

k :[L] ‾ 1

𝑷𝟐 −𝑷𝟏 µ.𝑹𝑮

∆𝑷𝟐 = µ. 𝑹𝑮 𝐕𝐬

Perte de charge à travers le gâteau.

*D’autre part la résistance du gâteau RG peut être définit par le rapport M/.

RG = ∝

𝐌 

Avec ; M : Masse de gâteux sèche. ∝ : C’est la résistance spécifique du gâteux est une constante si le gâteau est incompressible.

∆𝑷𝟐 = µ. ∝ 

𝐌 𝐕  𝐬

L’écoulement à travers le gâteau peut être décrit par l’équation au lit fixe tel que

l’équation de KOZNEY. → ∆𝑷𝟐 = µ. ∝

𝐌

. 𝐕𝐬 = 𝒉𝑲 

RG RG = 𝒉𝑲 .

µ.𝐚𝐠²(𝟏−)² ³

𝐕𝐒

RG

𝐚𝐠 𝟐 (𝟏−)𝟐 𝐙 ³

b)- Les pertes de charges à travers la membrane: Par analogie on a : ∆𝑷𝟏 = 𝐏𝟏 − 𝐏𝟐 = µ. 𝑹𝒎 𝐕𝐬 Rm : la résistance de la membrane. c)- Les pertes de charges totales: Donc la perte de charge totale ∆𝑃 est:

∆𝑷 = ∆𝑷𝟏 + ∆𝑷𝟐 = 𝑷𝟐 − 𝑷𝟎 = (𝑹𝑮 + 𝐑 𝐦 ). µ. 𝐕𝐬 34

MPD

𝐕𝐬 = (𝑹

L’équation générale de la filtration est:

∆𝑷 𝑮 +𝐑 𝐦

).µ.

V.2- CALCULE LA HAUTEUR DU GATEAU 𝑾 𝑴𝑺 𝑴𝒂𝒔𝒔𝒆 𝒅𝒖 𝒔𝒐𝒍𝒊𝒅𝒆 𝒅𝒂𝒏𝒔 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒔𝒑𝒆𝒏𝒔𝒊𝒐𝒏 = = 𝟏 − 𝑾 𝑴𝑳 𝑴𝒂𝒔𝒔𝒆 𝒅𝒖 𝒍𝒊𝒒𝒖𝒅𝒆 𝒅𝒂𝒏𝒔 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒔𝒑𝒆𝒏𝒔𝒊𝒐𝒏 W: fraction massique du solide dans la suspension. Ms = S.VS = S (1-)..L ML = ML(gateau)

avec

VS = (1-)VT = (1-)..L

MLfiltrat

+

L. Vvide = L ..L + L.V = L.(..L + V)

; V volume du filtrat.

 (1 − ). . L 𝑊 𝑀𝑆 = = S 1 − 𝑊 𝑀𝐿 L . (. . L + V) Si V  ..L

𝑊 1−𝑊

=

S (1−)..L

W.L .V

L = (1−𝑊)

L .V

S

(1−).

V.3- CALCULE LE TEMPS NECESSAIRE POUR L’OBTENTION D’UN CERTAIN VOLUME DE FILTRAT. Le régime est laminaire d’après KOZENY on a: ∆𝑷 µ. 𝐚𝐠²(𝟏 − )² = 𝟓. 𝐕𝐒 𝒁 ³ Ou : hK = 4,5  5 ³

𝑽𝑺 = On a : QV = .VS

=

VS =

1=2

𝟓. µ. 𝐚𝐠 𝟐 (𝟏 −

𝑑𝑉

)𝟐

∆𝑷 ………………………..𝟏 𝒁

puisque V =f(t)

𝑑𝑡 1 𝑑𝑉

 𝑑𝑡

……….…………………………2

𝑑𝑉 𝑑𝑡

=

.³

∆𝑷

𝟓.µ.𝐚𝐠 𝟐 (𝟏−)𝟐

𝑳

𝑑𝑉 . ³ = 𝑑𝑡 𝟓. µ. 𝐚𝐠𝟐 (𝟏 − )𝟐

et

𝐖.𝐋 .𝐕

L = Z = (𝟏−𝑾)

𝐒

(𝟏−).

∆𝑷 𝐖.𝐋 .𝐕

(𝟏−𝑾)𝐒 (𝟏−).

35

MPD

𝟓.𝐚𝐠 𝟐 (𝟏−).𝛒𝐋

On note que : La résistance spécifique  =

𝑑𝑉 = 𝑑𝑡

 𝟑 𝛒𝐬

2 . µ. 𝛂

∆𝑷 𝐖

𝑽

(𝟏−𝑾)

Par l’intégration de l’équation on a : 𝟐 . ∆𝑷 ∫ 𝑽𝒅𝑽 = ∫ 𝒅𝒕 𝟎 𝟎 µ. 𝛂 𝑾 𝑽

𝒕

Cas ∆P = constante. 𝑽𝟐 𝟐

=

𝟐 . ∆𝑷 µ.𝛂 𝑾

𝒕

𝒕=

𝑽𝟐 𝟐

(

µ.𝛂.𝑾 𝟐 .∆𝑷

)𝒕

V.4- FILTRATION IDEALE: C’est la filtration ou les particules du gâteau

est

parfaitement rigides qui ne puissent être tassées quelque soit les efforts de pression  = cst sur toute l’épaisseur du gâteau.

appliquées au gâteau

D’après l’équation générale de la filtration on a:

𝐕𝐬 = (𝑹

∆𝑷 𝑮 +𝐑 𝐦

………………………………….……………………….1

).µ

D’autre part on a: QV = .VS

VS = 1= 2 Donc :

∆𝑷 = (𝑹𝑮 + 𝐑 𝐦 ). µ. 𝐕𝐬

=

𝒅𝑽 𝒅𝒕

puisque V =f(t)

𝟏 𝒅𝑽  𝒅𝒕

……………………………………………..........2

VS = 𝟏 𝒅𝑽  𝒅𝒕

Avec : W =

=

𝟏 𝒅𝑽  𝒅𝒕

= (𝑹

∆𝑷 𝑮 +𝐑 𝐦

∆𝑷 (

∝

𝐌 

+𝐑 𝐦 ).µ

∆𝑷 (

∝

𝐌 

+𝐑 𝐦 ).µ

…………..……………….….…3

𝑴(𝒎𝒂𝒔𝒔𝒆 𝒅𝒖 𝒈𝒂𝒕𝒆𝒂𝒖 𝒔é𝒄𝒉𝒆) 𝑽(𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 𝒅𝒖 𝒇𝒊𝒍𝒕𝒓𝒂𝒕)

= ).µ

;

D’après l’équation 3 ; ∆𝑷 = ( ∝

Donc : 𝑽.𝑾 

M = W.V µ 𝒅𝑽

+ 𝐑𝐦 ) . .

 𝒅𝒕

………………..4

V.4.1- Filtration à débit constant (Qv = cst): 𝒅𝑽 Soit QV = 𝒅𝒕

=

𝑽 𝒕

= 𝒄𝒔𝒕

donc l’équation 4 devient:

36

MPD 𝑾. 𝑽 µ 𝑽 𝑾. µ 𝐑𝐦. µ + 𝐑𝐦 ) . . = ( ∝ 𝟐 . 𝐕𝟐 + 𝐕)   𝒕 . 𝐭  .𝐭

∆𝑷 = ( ∝

𝑾.µ

∆𝑷 = ( ∝



𝟐

. 𝐐𝐕 𝟐 . 𝐭 +

𝐑 𝐦 .µ 

𝐐𝐕 )

V.4.2- Filtration à pression constante (∆𝐏 = 𝐜𝐬𝐭): D’après l’équation 4 ; ∆𝑷 = ( ∝

𝒅𝒕 =∝

𝑽.𝑾 

µ 𝒅𝑽

+ 𝐑𝐦 ) . .

𝑾. µ 𝟐 . ∆𝑷

 𝒅𝒕

on a:

µ. 𝐑 𝐦 . 𝒅𝑽 . ∆𝑷

. 𝑽. 𝒅𝑽 +

à t = 0 , V =0 𝒕

𝐕 µ. 𝐑 𝐦 ∫ 𝒅𝒕 =∝ 𝟐 . ∫ 𝑽 . 𝒅𝑽 + . ∫ 𝒅𝑽 . ∆𝑷 𝟎  . ∆𝑷 𝟎 𝟎

𝑾. µ

𝒕 =∝

𝑽

𝑾. µ 𝟐. 𝟐 . ∆𝑷

. 𝑽𝟐 +

µ. 𝐑 𝐦 .𝑽 . ∆𝑷

V.5- EQUATION DE Ruth Ruth obtient une relation qui permet, pour une filtration réalisée à pression ∆𝑷 constante, d'exprimer l'inverse du débit moyen de filtrat en fonction du volume de filtrat :

𝒕 𝑾. µ µ. 𝐑 𝐦 =∝ . 𝑽 + 𝑽 . ∆𝑷 𝟐. 𝟐 . ∆𝑷 L'interprétation de cette équation suggère que 𝛂 et Rm peuvent être déterminées respectivement par la pente et l'ordonnée à l'origine de la courbe t/V = f(V). t/V (s/m3) 5E+05 4E+05 3E+05 ∝

2E+05

𝑾.µ 𝟐.𝟐 .∆𝑷

µ.𝐑 𝐦

1E+05

.∆𝑷

0,0E+00

1,0E-04

2,0E-04

3,0E-04

V (m3)

37

MPD

Représentation selon Ruth les données de filtration Le modèle basé sur l'équation de Ruth est largement utilisé pour la caractérisation des gâteaux de filtration et son domaine de validité est limité. V.6- FILTRATION SUR GATEAU COMPRESSIBLE L'écoulement d'un liquide à travers un milieu poreux génère, sur les particules solides, des forces de traînée. Ces forces de compression déforment la structure du gâteau et forcent les particules solides à se coller les unes aux autres, alors le milieu poreux est compressible cela implique que  et ag varient.

Compressibilité du gâteau au cours de la filtration. Les variations de porosité dans un gâteau entraînent une variation de la résistance à l’écoulement et modifient la vitesse locale du liquide. Les compressions internes se manifestent par une restructuration de la matrice solide, c’est le réarrangement des particules.

38

MPD

CHAPITRE IV FLUIDISATION

39

MPD

I- DEFINITION La fluidisation c’est la mise en suspension le solide en mouvement sous l’effet d’écoulement du fluide. *On note qu’aussi dans la fluidisation. - La porosité variable. - La hauteur du lit variable. - Il ya une possibilité que le mélange de solide de différent taille. Sortie

Grille supérieur

Garnissage Grille inferieur (distributeur) Fluide

Colonne à lit fluidisée.

II- CARACTERISTIQUES DES SYSTEMES FLUIDISE II.1- ETAPES DE FLUIDISATION Lit fixe (stationnaire): Pour les plus faibles vitesses du fluide, les particules restent sur la grille sans mouvements en contact les unes avec les autres et la structure du lit reste stable. Si on augmente encore la vitesse, on observe des vibrations de particules, dans ce cas les pertes de charges (∆𝑃) du fluide et ∝ a la vitesse d’écoulement c.-à-d. à 𝑄𝑉 (Darcy). Lit fluidisée: Si la vitesse du fluide augmente jusqu’à un certain point (vitesse minimale de fluidisation), on note une expansion de la couche (dilate), on atteint ainsi la transition entre l'état fixe et l'état fluidisé du lit de particules. En augmentant encore la vitesse, le lit poursuit son expansion on peut alors décrire l'état fluidisé. Les particules sont indépendantes les unes des autres. Elles sont soumises à des mouvements désordonnés de faible amplitude (la force de frottement totale restant égale au poids des particules). Dans

40

MPD

ce cas le système se comporte de la même manière avec les liquides et les gaz, ou la perte de charge atteint son max est reste constante. 

Lit transportée: Si on augmente la vitesse du fluide ont plus les particules sont

entrainée et transportées le long de la colonne.

Remarque: Il existe généralement une distinction assez nette entre le comportement des deux systèmes. Avec un liquide, le lit continue se dilater en fonction de la vitesse et il conserve son caractère uniforme, le degré d'agitation des particules augmentant progressivement. Ce type de fluidisation est connu sous le nom de fluidisation particulaire. Avec

un

gaz,

une

fluidisation

uniforme

n'est

souvent

obtenue

qu'à

faible

vitesses. A des vitesses plus élevées, deux phases distinctes peuvent se former une phase continue, souvent appelée phase dense ou émulsion, et une phase discontinue appelée la phase maigre ou bulle. La fluidisation est alors dite agrégative.

P

Augmentation de la vitesse du fluide

 Variable  Cte

Lit transportée Lit fixe

Lit fluidisée

Vmin

VMax

Qv

Etapes de fluidisation.

41

MPD

II.2- LES PERTES DE CHARGES DANS UN LIT FLUIDISE *Bilan de force (BF) dans un lit fluidisée: Force de poids: 

W1 (poids de solide) = ms.g = 𝜌𝑆 . VS . g = 𝜌𝑆 . VT (1 − ). g



W2 (poids de fluide) = mf.g = 𝜌𝑓 . Vf . g = 𝜌𝑓 . VT . . g



Force de pression : ∆𝑃 = BF:

𝐹 

→ 𝐹 = . ∆𝑃

W 1 + W2 + F = 0

VT.(1-) s.g + f.g.VT. + . ∆𝑃 = 0 . Z.(1-) s.g + f.g. . Z. + . ∆𝑃 = 0 . Z.(1-) s.g +f.g. . Z.  + . ∆𝑃 + 𝑍. f . g − Z. f . g = 0 −

∆𝑃 + 𝐿. f . g − (1 − )(S − f )g 𝑍

Avec |−∆𝑃 − 𝐿. f . g| = ∆𝑃𝐹 (la perte de pression motrice de frottement). ∆𝑷𝑭 𝒁

= (𝟏 − )(𝐒 − 𝐟 )𝐠 … … . … … 𝟏

(Les pertes de charge dans un lit fluidisée).

III - SYSTEME GAZ - SOLIDE III.1-VITESSE MINIMALE DE FLUIDISATION En général, le comportement des systèmes à gaz fluidisé est considérablement plus complexe que celui des systèmes à fluidisation liquide. Une partie de la complication avec les systèmes gaz-solide provient du fait que le les forces hydrodynamiques agissant sur les particules sont relativement faibles par rapport aux forces de frottement, les forces entre les particules, les forces électrostatiques et les forces de surface qui jouent beaucoup plus rôle dominant lorsque les particules sont très fines. 1ere possibilité: (∆𝑷)𝐥𝐢𝐭 𝐟𝐢𝐱𝐞 = (∆𝑷)𝐥𝐢𝐭 𝐟𝐥𝐮𝐢𝐝𝐢𝐬é𝐞 Au minimum de fluidisation le lit est au repos :  lit (fluidisée) =  (lit fixe) 

En régime laminaire, nous pouvons utiliser la relation de KOZNEY. ∆𝑷

µ(𝟏−)²

𝒁

𝐝𝐬𝐬².³

= 150

. 𝐕𝐦𝐢𝐧 𝐟𝐥𝐮𝐢𝐝𝐢𝐬𝐚𝐭𝐨𝐧 … … … … … … … … … … . . 𝟐

42

MPD

Pour 1 = 2 on peut tirez:

𝐕𝐦𝐢𝐧 𝐟𝐥𝐮𝐢𝐝𝐢𝐬𝐚𝐭𝐨𝐧 = 

𝐠. (𝐒 − 𝐟 ). 𝐝𝐬𝐬². ³

𝟏𝟓𝟎. µ. (𝟏 − )

(𝐑𝐋)

En régime turbulent : on utilise l’équation de Burke-Plummer (RT)

∆𝑷

𝟏,𝟕𝟓.𝛒(𝟏−)

𝒁

𝐝𝐬𝐬 .³

=

𝟐 𝐕𝐦𝐢𝐧 𝐟𝐥𝐮𝐢𝐝𝐢𝐬𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 … … … … … … … … … … … … … … . … . . . 𝟑

Pour 3 = 1 on tire:

( 𝛒𝐒 − 𝛒𝐟 ). 𝐠. 𝐝𝐬𝐬 . ³ 𝐕𝐦𝐢𝐧 𝐟𝐥𝐮𝐢𝐝𝐢𝐬𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 = √ 𝟏, 𝟕𝟓 . 𝛒𝐟 

En régime intermédiaire l’équation de HERGUN



∆𝑷

µ(𝟏−)²

𝒁

𝐝𝐬𝐬².³

= 150

. 𝐕𝐦𝐢𝐧 𝐟𝐥𝐮𝐢𝐝𝐢𝐬𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 +

𝟏,𝟕𝟓.𝛒𝐟 (𝟏−) 𝐝𝐬𝐬 .³

(𝐑𝐓)

𝟐 𝐕𝐦𝐢𝐧 𝐟𝐥𝐮𝐢𝐝𝐢𝐬𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧……. 𝟒

Et pour 4 = 1 𝟏𝟓𝟎

µ(𝟏 − )² 𝟏, 𝟕𝟓. 𝛒𝐟 (𝟏 − ) 𝟐 . 𝐕𝐦𝐢𝐧 𝐟𝐥𝐮𝐢𝐝𝐢𝐬𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 + 𝐕𝐦𝐢𝐧 𝐟𝐥𝐮𝐢𝐝𝐢𝐬𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 = (𝟏 − )(𝐒 − 𝐟 )𝐠 𝐝𝐬𝐬². ³ 𝐝𝐬𝐬 . ³ 𝟐 A 𝐕𝐦𝐢𝐧 𝐟𝐥𝐮𝐢𝐝𝐢𝐬𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 + B 𝐕𝐦𝐢𝐧 𝐟𝐥𝐮𝐢𝐝𝐢𝐬𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 + C = 0

Il suffit de résoudre l’équation du seconde ordre et avoir la vitesse min de fluidisation. 2eme possibilité: A partir de correction de GRACE (1982) on peut calculer 𝐕𝐦𝐢𝐧 𝐟𝐥𝐮𝐢𝐝𝐢𝐬𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐑𝐞𝐦𝐢𝐧 𝐟𝐥𝐮𝐢𝐝𝐢𝐬𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 = √𝑪𝟐𝟏 + 𝑪𝟐 𝑨𝒓 - C1 avec C1 = 27,2

Avec: 𝑨𝒓 =

𝒈.𝝆𝒇 𝒅𝟑 .(𝝆𝑺 − 𝝆𝒇 )

Remin fluidisation =

𝝁𝟐𝒇

C2 = 0,04

Ar : Nombre d’Archimède

𝝆.𝐝𝐩.𝐕𝐦𝐢𝐧 𝐟𝐥𝐮𝐢𝐝𝐢𝐬𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 µ𝐟

III.2-VITESSE MAXIMALE DE FLUIDISATION

43

MPD

On suppose que la vitesse max de fluidisation est égale à la vitesse terminale de chute libre

VMax fluidisation=

en régime de STOKES.

(𝐬 –𝐟 )𝐠.𝒅𝟐𝒑 𝟏𝟖µ𝐟

III.3- RELATION DE Richardson-Zaki (R-Z) (1954) Cette relation est utilisée pour déterminée la porosité dans un lit fluidisé.

n =VL / VT VT : vitesse terminale. n : coefficient de la relation de R-Z.et ce coefficient est déterminé à partir de la relation DAPTON qui on fait dépond de régime. 𝑑p



n = 4,65 + 20



n = [4,4 + 18



n = [4,4 +18



n = 4,4 Re−0,1 T



n = 2 ,4

ReT =

𝐷c 𝑑p 𝐷c

𝑑p 𝐷c

]Re−0,03 T

] Re−0,1 T

𝝆𝒇 .𝐝𝐩.𝐕𝐓 µ𝐟

< 0,2

0 ,2 < ReT < 1 1 < ReT < 200 200 < ReT < 500 ReT > 500

Dc : diamètre de la colonne. Il existe d’autre corrélation permettant de calculer n d’après la relation de carey : (𝟏+𝟒,𝟏𝟓.𝟏𝟎‾𝟓 .𝐑𝐞𝟐𝑻 .𝐟)⁰´⁴

n = 1,09 [7,54 - Ln [

𝟐,𝟎𝟕.𝟏𝟎‾𝟓 .𝐑𝐞𝐓

− 𝟏]

f : facteur de frottement Résume: R. Stokes

Ar < 27.6  30

10-4 < ReT = Ar/18

R.Van Allen

30 < Ar < 105

1.7 < ReT = 1,732 Ar0.714 < 600

R. Newton

105 < Ar < 1011

500 < ReT = (3Ar)1/2 < 5.105

< 1

Remarque: Fluidisation hétérogène (gaz- solide) dans cette fluidisation on note que :

44

MPD

Vf



Pour les microsphères de solide (ex : silice, alimine) on obtient Vmin flui = 3



Pour les grosses on trouve que : Vf = Vmin fluidisation

Ex : Une expansion du lit de l’ordre de 30%.

H = H0 + 0,3 H0 = 1,3 H0

Hauteur du lit initiail

expension

VI- SYSTEMES LIQUIDE- SOLIDE Dans le cas d’une fluidisation par un liquide, le lit fluidisé est beaucoup plus homogène ce que l’on appelle la fluidisation particulaire. La fluidisation liquide- solide se traite d’un point de vue théorique exactement de la même manière que la fluidisation gaz – solide ce pendant l’expression de vitesse (min – max) tien conte de régime d’écoulement du liquide. VI.1- VITESSE MINIMALE DE FLUIDISATION

𝐕𝐦𝐢𝐧 𝐟𝐥𝐮𝐢𝐝𝐢𝐬𝐚𝐭𝐨𝐧 =

𝟏𝟓𝟎

𝐠. (𝐒 − 𝐟 ). 𝐝𝐬𝐬². ³

𝟏𝟓𝟎. µ. (𝟏 − )

(𝐑𝐋)

µ(𝟏 − )² 𝟏, 𝟕𝟓. 𝛒𝐟 (𝟏 − ) 𝟐 . 𝐕𝐦𝐢𝐧 𝐟𝐥𝐮𝐢𝐝𝐢𝐬𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 + 𝐕𝐦𝐢𝐧 𝐟𝐥𝐮𝐢𝐝𝐢𝐬𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 = (𝟏 − )(𝐒 − 𝐟 )𝐠 𝐝𝐬𝐬². ³ 𝐝𝐬𝐬 . ³

VI.2- VITESSE MAXIMALE DE FLUIDISATION



Pour laminais de Stockes on a : UT=

(𝐬 –𝐟 )𝐠.𝒅𝟐𝒑 𝟏𝟖µ𝐟

 Pour le régime intermédiaire de Van Allen : UT=

𝐝𝐩𝟏,𝟏𝟒 [(𝐬 –𝐟)𝐠]𝟎 ,𝟕𝟏𝟒 𝟔,𝟓𝟓.µ𝟎.𝟒𝟐𝟖 .𝟎.𝟐𝟖𝟔 𝐟 𝐟

 Pour le régime turbulent de Newton : UT= √

(𝐬 –𝐟)𝐠.𝒅𝐩 𝟎,𝟑.𝐟

V- TRANSFERT THERMIQUE ET DE MASSE La fluidisation présente l’avantage de favoriser les transferts de matière et de chaleur entre solide et fluide, ou entre solides et parois, grâce à l’agitation des particules au sein du fluide. En effet, cette agitation est intense et assure une bonne homogénéité, sans qu’il soit besoin de faire appel à des dispositifs mécaniques. Ces transferts sont régis par deux facteurs: – Le coefficient de transfert; – L’aire interfaciale.

45

MPD

V.1-TRANSFERT THERMIQUE DANS LE LIT FLUIDISE L’estimation quantitative du transfert de chaleur est nécessaire afin de pouvoir effectuer le dimensionnement thermique du dispositif de fluidisation. La chaleur peut être introduite ou évacuée par: – Le fluide soufflé afin de provoquer la fluidisation; – La paroi du récipient. L’échange de chaleur se fait entre: – La paroi de l’appareil et les particules en contact avec celle-ci; – Les particules elles-mêmes entrant en contact; – Les particules et le fluide de fluidisation; – Le fluide et la paroi. V.1.1- Transfert de chaleur entre le fluide et les particules solides En tenant compte de la complexité du phénomène, on définir le transfert thermique par l’équation générale:

Q = αp.Sp.(Tfl – Tp)

Avec αp : le coefficient partiel d’échange de chaleur fluide-particules solides; Sp : surface d’échange thermique (surface des particules) ; Tfl et Tp : les températures du fluide et des particules. Il existe de nombreuses relations issues de l’expérience, qui restent toutefois valables dans le domaine où elles ont été établies. V.1.2- Transfert de chaleur entre le lit fluidisé et la paroi Le transfert dépend des caractéristiques géométriques du système, de la vitesse et des propriétés du fluide, ainsi que des dimensions et de la distribution granulométrique des particules solides. • pour l’échange thermique à travers la paroi extérieur de l’appareil (Ullmann,1972). Nu =

𝑲.𝑫𝑪 𝝀

𝑫𝒄 𝟎.𝟔𝟓

= 0.55( ) 𝒁

𝑫

(𝒅𝒑𝒄 )

𝟎.𝟏𝟕 (𝟏−𝜺).𝝆𝒑.𝑪 𝒑

[

𝜺.𝝆𝒈 .𝑪𝒑𝒈

] 𝑹𝒆𝟎.𝟖

• pour l’échange thermique à travers des surfaces intérieures: Nu = 0.33.(1-).Cr. Rep

0.23

[(

𝑪𝒑𝒈 𝝆𝒈 𝝀𝒈

𝟎.𝟒𝟑

)

𝝆𝒔

𝑪𝒑𝒔

𝒈

𝒑𝒈

(𝝆 ) (𝑪 )

𝟎.𝟖

]

avec Nu : nombre de Nusselt ;

46

MPD

Cps : chaleur spécifique de la particule; Cpg : chaleur spécifique du gaz ; K : coefficient du transfert de chaleur ; λ: conductivité thermique du gaz. Cr : facteur de correction. Remarque: La température à l’intérieur du lit fluidisé est assez uniforme, l’écart entre différents points ne dépassant pas les 5 °C. V.2- TRANSFERT DE MASSE DANS LE LIT FLUIDISE Le flux de matière (en kg/s ou en mol/s) entre une surface S, où la concentration d’espèce est Cs, et l’extérieur, de concentration d’espèce C∞, peut être écrit sous la forme: Φm = k.S.(Cs − C∞) ; K : coefficient de transfert de masse (m/s). Si la concentration du composant diffusant est faible, alors le facteur j pour le transfert de matière entre une particule et le lit extérieur peut être défini par: 𝒌

jd = 𝑺𝒄𝟎.𝟔𝟕 𝒖

jd : facteur de Colburn pour la diffusion (transfert de masse); k : coefficient de transfert de masse; u : vitesse de fluidisation; Sc : nombre de Schmid (μ /ρ.D); μ : viscosité du fluide; ρ : density du fluide; D : diffusivité du composant transféré dans le fluide. . jd = 5,7 Rem – 0,78 jd = 1,77 Rem – 0,44

pour pour

1 < Rem < 30 30 < Rem < 5 000

où Rem est le nombre de Reynolds modifié (Rem = u.d.ρ /μ). Exemple: Fluide c’est l’eau: µf = 10‾³ kg/s. m Solide : dp = 2 mm ; 𝜌s = 3500 kg/m³ Trouvez VT = ?

47

MPD

Solution: 𝒈.𝝆𝒇 𝒅𝟑 .(𝝆𝑺 − 𝝆𝒇 )

On a: 𝑨𝒓 =

ReT =

𝛒𝐟 ..𝐝𝐩.𝐕𝐓

→

µ𝐟

ReT = ?

𝐀𝐫 =

𝝁𝟐𝒇

𝐕𝐓 =

𝐑𝐞𝐓 .µ𝐟 𝛒𝐟 .𝐝𝐩

ReT = f(Ar)

et

𝐠.𝛒𝐟 𝐝𝟑 .(𝛒𝐒 − 𝛒𝐟 ) 𝛍𝟐𝐟

=

10.1000.(0,002)³(3500−1000)

105 < Ar < 1011 ReT = (3Ar)1/2 ;

(10‾3 )²

; Ar = 2.105

Rrégime Newton ReT = 774.59

VT = 0,38 m/s Exemple2: Un ensemble de particules de 5mm de diamètre et de 2200kg/m³ de masse volumique Constitue un lit fluidisé avec un liquide ayant les propriétés physique –chimiques suivantes :

µL= 1,2 m pas ,

𝛒𝐋 = 𝟏, 𝟐𝐠/𝐜𝐦𝟑

La masse de solide employée est de 30kg, le diamètre de la colonne est 100mm 

Calculer :

1°/ La vitesse minimale de la fluidisation. 2°/ Le coefficient n et VT de l’équation de R-Z. 3°/ Quelle est la porosité du lit lorsque la vitesse du liquide est égale à 3 fois celle correspondante au minimum de fluidisation. Solution: 1°/ calcule du Vminf :

Reminf =

𝜌𝑓 .𝑑p.𝑉min µL

→ 𝑉minf =

Remin .µL 𝜌𝑓 .𝑑p

Reminf = ? Remin fluidisation = √𝐶12 + 𝐶2 𝐴𝑟 - C1 avec C1 = 27,2

C2 = 0,0408

48

MPD

= √(27,2)2 + 0,0408𝐴𝑟 − 27,2

;

Ar= ?

g. ρf d3 . (ρs − ρf ) Ar = µ2f Ar =

10(1,2.103 ).(0,005)³(2200−1200) (1,2.10‾3 )²

;

Ar = 1,041.106

Reminf = √(27,2)2 + 0,0408.1,041. 106 - 27,2 ; Reminf = 180,74 Vminf =

180,74∗1,2.10‾3 1,2.103 (0,005)

;

𝑉minf = 0,036m/s

2°/ calcul de n et VT: Ar = 1,041.106 → 105 < 𝐴𝑟 < 1011

Régime Newton

.ReT = (3Ar)½ = (3.1,04.106)½ ReT = 1767,20 ReT > 500

VT =

n = 2,4

ReT .µL

=

ρf .dp

1767,20 .1,2.10‾³

VT = 0,353 m/s

1200. 0,005

3° / calcul de ɛ: n =VL / VT =

3Vmin

3.0,036

ɛ2.4 =

0,353

VT

VL= 3𝑉min

= 0,305

→ 2.4 Ln ɛ = Ln 0,305 Ln 0,305 2.4

=e

ou

→ Ln ɛ =

Ln 0,305 2.4

ɛ = 0,610

49

MPD

CHAPITRE V SEDIMENTATION

50

MPD

I- DEFINITION La sédimentation c’est le dépôt des particules solides en suspension dans les fluides (liquides et gaz), sous l’action de leur poids (par les forces gravimétrique). Ce phénomène ayant pour but de séparer les particules en suspension dans un liquide. 

Les objectifs de la sédimentation sont:

- Produire un liquide clair; - Concentrer les solides en une boue plus dense qu’à l’origine (l'épaississement); - Réaliser une classification des particules.

II- LES TYPES DE SEDIMENTATION Type I: Sédimentation de particules isolées  En milieu dilué, pour des particules non floculantes;  Les particules décantent indépendamment les unes des autres;  La vitesse de chute des particules est constante. Type II: Sédimentation de particules floculantes  Dans un milieu encore dilué (50< MES