TD 2 Calcul [PDF]

Zitiervorschau

Fiche de TD n◦ 2 : Programmation linéaire (2)

Exercice 2.1 Un agriculteur possède 30 hectares sur lesquels il désire cultiver du blé, du seigle et du maïs irrigué. Il entend consacrer au moins 20 hectares à la culture du blé et du seigle. Il dispose d’un capital de 200000 euros. Le tableau cidessous donne une évaluation des coûts et des bénéfices à l’hectare : Blé Seigle Maïs Rendement (quintaux/hectare) 70 90 50 Prix à la vente (euros/quintal) 115 120 135 Rendement critique (quintaux/hectare) 60 75 40 Surface cultivée en hectare x y z En notant r le rendement, r0 le rendement critique et p le prix de vente, on a : - le coût à l’hectare r0 p; - le bénéfice à l’hectare (r − r0 ) p. 1. Calculer le coût et le bénéfice à l’hectare de chacune des céréales. 2. Écrire le programme linéaire à résoudre pour optimiser le bénéfice total. 3. À l’heure actuelle, l’agriculteur cultive 20 hectares en blé et 10 hectares en maïs. cette répartition est-elle optimale ? Justifier. 4. À l’aide des tableaux du simplexe, déterminer le schéma optimal d’exploitation. 5. Si le rendement critique du blé baisse de 10 % (les autres données du tableau restant inchangées), la rentabilité de la culture du blé en est-elle affectée ?

1

Exercice 2.2 On s’intéresse à l’entreprise RAFFINE qui est spécialisée dans le raffinage de produits pétroliers. Le pétrole brut qu’on lui livre est traité dans une unité de distillation qui permet d’obtenir 15 % d’essence normale, 10 % d’essence sans plomb et 75 % de fuel. Une partie du fuel obtenu est ensuite traité dans une unité de “cracking” qui en transforme 20 % en essence normale et 10 % en essence sans plomb. Le coût de la distillation du pétrole brut est de 120 euros par tonne et le coût du “cracking” est de 150 euros par tonne. Par ailleurs, l’entreprise RAFFINE doit fournir chaque jour au minimum 2000 tonnes d’essence normale, 1200 tonnes d’essence sans plomb et 2000 tonnes de fuel. 1. Si l’on note x1 la quantité de pétrole brut à distiller quotidiennement et x2 la quantité de fuel à craquer, expliquer la contrainte 0.75x1 −x2 ≤ 2000. 2. Écrire le programme à résoudre pour la recherche d’un coût quotidien minimum satisfaisant les contraintes de l’entreprise RAFFINE. Déterminer la solution optimale et analyser ce résultat. 3. Une seconde entreprise de raffinerie, PROCRAK, spécialiste du “cracking”, propose d’acheter du fuel obtenu après distillation par l’entreprise RAFFINE. À quels prix par tonne s’effectuerait cette transaction ? 4. Pour cette dernière question, on suppose que la transaction précédente ne s’est pas réalisée. Ici, on envisage le cas où les pouvoirs publics et les consommateurs modifient les données initiales en faisant passer la demande d’essence sans plomb à 1200 + S tonnes par jour. Selon les valeurs strictement positives de S, comment est modifié l’optimum de la question 2.

Exercice 2.3 L’entreprise DOGCAT désire produire à coût minimal, au moins 2000 kg de nourriture animale, comprenant au moins 1500 kg d’un élément nutritif A et entre 250 kg et 500 kg d’un élément nutritif B. La fabrication se fait à 2

partir de l’utilisation de deux produits de base qui ont les caractéristiques suivantes : - le produit M contient 70 % d’élément nutritif A, 5 % d’élément nutritif B et 25 % d’éléments nutritifs “autres”. Le produit M coûte 5 euros au kilogramme; - le produit N contient 5 % d’élément nutritif A, 95 % d’élément nutritif B. Le produit N coûte 95 euros au kilogramme. 1. Écrire le système de contraintes. 2. Représenter graphiquement ce système, quelle remarque peut-on faire ? 3. Tracer sur le même graphique une droite de coût. 4. Montrer qu’il existe une infinité de solutions donnant un coût minimal. Donner les deux solutions extrêmes. 5. Retrouver ces résultats par la méthode des tableaux du simplexe en partant de la solution : 10000 kg de M et 0 kg de N .

3