TD 18 Corrigé - Loi Entrée-Sortie Par Fermeture Géométrique [PDF]

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TD 18 corrigé - Loi Entrée-Sortie par fermeture géométrique

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Corrigé Exercice 1 : MINI-COMPRESSEUR. Question 1 : Donner le graphe de liaison de ce système. 3

Pivot glissant d’axe (D, x 0 )

Sphérique de centre C

0

2 Pivot glissant d’axe (B, z 0 )

Pivot d’axe

( A, z 0 )

1

Question 2 : Donner les caractéristiques, le paramètre d’entrée et le paramètre de sortie du système. Caractéristiques : longueur de la bielle L et longueur de la manivelle e Paramètre d’entrée : position angulaire du vilebrequin 1 par rapport au bâti 0 :  Paramètre de sortie : position linéaire du piston 3 par rapport au bâti 0 : X

Question 3 : Déterminer la loi E/S en position du système à l’aide d’une fermeture géométrique. y0

y1

On souhaite une loi entrée-sortie de type X  f () y2

Fermeture géométrique : OB  BC  CO  0 Donc : e.x1  L.x2  X .x0  0





x2

e  (cos   x0  sin   y0 )  L  (cos   x0  sin   y0 )  X  x0  0

  / x0 : e.cos   L.cos   X  0 En projetant :    / y 0 : e.sin   L.sin   0

x1

 

x0

z0  z1  z2

1ère méthode plus rapide pour cet exercice : En connaissant la relation cos(arcsin u )  sin(arccos u )  1  u 2 .  / x0 : X  e.cos   L.cos   Et en déterminant  :  e  / y 0 : sin    .sin   L



e   Donc X  e.cos   L.cos arcsin( .sin ) L  

X  e.cos   L. 1  (



/ x0 : X  e.cos   L.cos    e  / y 0 :   arcsin( .sin  )  L

e.sin  2 ) L

2ème méthode moins rapide pour cet exercice :   / x0 : L.cos   X  e.cos  En isolant cos et sin :    / y 0 : L.sin   e.sin  Puis, en élevant au carré et en sommant :

L2  ( X  e.cos )2  (e.sin )2

( X  e.cos )2  L2  ( e.sin )2 X  e.cos    L2  (e.sin )2 X  e.cos   L2  e2 .sin2  X  e.cos   L2  e2 .sin2  car X  0

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Question 4 : En déduire la vitesse du piston par rapport au bâti (c'est-à-dire la loi E/S en vitesse).   dO C   d ( X .x0 )  2.e2 ..cos .sin    .x0 VC3/0  VC /0  " C  3 "  VC /0   0      X .x0  e..sin     dt 0  dt 0 2. L2  e2 .sin2   u' Car u '  2. u

 

Corrigé Exercice 2 : POMPE HYDRAULIQUE À PISTONS AXIAUX. Question 1 : Donner le graphe de liaison de ce système. Glissière de direction x 0

2 Sphère-plan (ou ponctuelle) de point de contact C

0

et de normale x 0 Pivot d’axe 1

( A, z 0 )

Question 2 : Donner les caractéristiques, le paramètre d’entrée et le paramètre de sortie du système. Caractéristiques : rayon de l’excentrique R et excentricité e Paramètre d’entrée : position angulaire de l’excentrique 1 par rapport au bâti 0 :  Paramètre de sortie : position linéaire du piston 2 par rapport au bâti 0 : X

Question 3 : Déterminer la loi E/S en position du système à l’aide d’une fermeture géométrique. On souhaite une loi entrée-sortie de type X  f () Fermeture géométrique : OB  BC  CD  DO  0 e.x1  R.x0  .y0  X .x0  0

e  (c os   x0  sin   y0 )  R  x0    y0  X  x0  0

  / x0 : e.cos   R  X  0 En projetant :    / y 0 : e.sin     0 Donc

y0

y1 



X  e.cos   R z

x1 x0

Question 4 : En déduire la vitesse du piston par rapport au cylindre (c'est-à-dire la loi E/S en vitesse).  dO D   d ( X .x0 )  VD2/0  VD /0  " D  2 "  VD /0   0      X .x0  e..sin .x0  dt 0  dt 0 MPSI-PCSI

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Corrigé Exercice 3 : SYSTÈME D’ORIENTATION D’ANTENNE Question 1 : Réaliser, en s’inspirant de la figure ci-dessus, le schéma cinématique du système d’orientation d’antenne dans le plan (O, x0 , y 0 ) . Paramétrer ce schéma cinématique.

Question 2 : Donner le graphe de liaison de ce système.

Question 3 : Donner les caractéristiques, le paramètre d’entrée et le paramètre de sortie du système. Caractéristiques : distances L0 et L1 Paramètre d’entrée : position linéaire de la tige du vérin par rapport corps du vérin : d (t ) Paramètre de sortie : position angulaire de l’antenne par rapport au support : 1(t )

Question 4 : Déterminer la loi E/S en position du système à l’aide d’une fermeture géométrique. On souhaite une loi entrée-sortie de type 1  f (d )

y1

Fermeture géométrique : AB  BC  CA  0 Donc : L1  x1  d  y 2  L0  x0  0

y0

y2 2 

1 

x2

L1  (cos 1  x0  sin 1  y0 )  d  ( sin 2  x0  cos 2  y0 )  L0  x0  0

  / x0 : L1.cos 1  d  sin 2  L0  0 En projetant :    / y 0 : L1.sin 1  d  cos 2  0   / x0 : d  sin 2  L0  L1.cos 1 En isolant cos 2 et sin 2 :    / y 0 : d  cos 2  L1.sin 1 En élevant au carré et en sommant :

x1

2 

1 z0  z1  z2

d 2  (L0  L1.cos 1 )2  (L1.sin 1 )2 d 2  L02  2  L0  L1.cos 1  L12

L 2  L12  d 2 cos 1  0 2  L0  L1

1  arccos(

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L02  L12  d 2 2  L0  L1

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x0

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Question 5 : Déterminer la vitesse de sortie de la tige par rapport au corps. Rappel pour une liaison hélicoïdale : 2 (rad )   p (mm) p p Pas à droite + et Pas à gauche  v x  x .   x  .  (rad )  x (mm)  2 2 Avec  en rad/s et v en mm/s et pas en mm Relation entre  en rad/s et N en tr/min :  

2  N 60

Donc dans ce problème, la vitesse de sortie de tige du vérin est : 2  Ntige / corps p Ntige /corps  p 1 Naxe moteur / corps  p p v tige / corps  tige /corps       2 60 2 60 5 60 1 6000  2 AN : v tige / corps    v tige /corps  40 mm / s 5 60

Question 6 : Déterminer, à l’aide de la courbe de la loi entrée-sortie donnée ci-dessous, la durée d’alimentation du vérin électrique permettant ce changement de position. Ce changement de position de l’antenne nécessite donc une sortie de la tige de 20,5 cm :

La durée d’alimentation du moteur est donc : t 

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d 19,9  V 4

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

 t  4,98 s

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