ISA 1 - Electricité - TD Loi D Ohm - Correction - 2019-2020 [PDF]

Zitiervorschau

Chapitre 2

LOI D'OHM EN COURANT ALTERNATIF DÉPHASAGE Exercice 1: Rappels du cours Soit les dipôles élémentaires et idéaux R, L et C alimentés indépendamment par une tension sinusoïdale u(t) et parcourus par une intensité i(t).

1. Rappeler la définition du déphasage.

Le déphasage  (rad) est la différence de phases à l'instant t entre la phase de la tension u (prise comme origine) et la phase de l'intensité i :  =  u – i. Pour retrouver le déphasage, on peut utiliser les relations tension-courant ou encore la définition même de l'impédance Z :

2. Donner les valeurs de  pour ces dipôles. Justifier vos résultats.

D'après le cours :

Selon la relation précédente, on a : R = 0, j L = /2 et C = - /2. 3. Soit et les vecteurs de Fresnel associés à la tension aux bornes d’un dipôle simple

et à l’intensité parcourant ce dipôle. Pour les deux cas représentés ci-dessous, indiquer le déphasage  en précisant son signe et donner la nature du dipôle correspondant. Le déphasage est l'angle orienté entre I et U,  = (I, U). C'est donc l'angle dont il faut tourner le vecteur intensité pour l'amener sur le vecteur tension, d'où les orientations indiquées ci-dessus. Pour le cas a), on a  = - /2, il s'agit donc d'un condensateur. Dans le cas b), on a  = /2, il s'agit donc d'une bobine pure.

GRANDEURS COMPLEXES Exercice 2 : Calcul d'impédances Déterminer les impédances complexes des différents montages ci-dessous sous la forme = R + jX et ej pour les cas A, B et E.

ZAB

Méthodologie : Écrire les impédances de chaque dipôle du circuit. Considérer les lois d'association des impédances (série ou parallèle). Mettre l'impédance finale sous la forme ZAB = R + j X = (partie réelle) +j (partie imaginaire) Transformer l'expression de l'impédance sous forme de somme en l'expression ej On rappel : ●

et

A:



B:

Le circuit est en dérivation :

soit :

(on multiplie par le conjugué du dénominateur pour avoir ZAB finale sous la forme : ZAB = R + j X).

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

C:

D'où :



D : les trois éléments étant en parallèle, il est plus simple de résonner en admittance complexe :

Avec = C – 1/L)

où G est la conductance (G = 1 / R) et S la susceptance

(S

Ou encore :

 E: Calculons d'abord l'impédance équivalente Zèq des deux branches parallèles comportant la bobine et la résistance :

d'où :

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Exercice 3 : Détermination d'une intensité complexe Soit les intensités instantanées 𝑖 (𝑡) = 8cos𝜔𝑡 et 𝑖 (𝑡) = 10cos(𝜔𝑡 + ) de deux branches en parallèle. Déterminer l'expression de l'intensité totale i(t) à la sortie de ces deux branches.

La loi des nœuds (additivité des intensités : la somme des intensités qui arrivent à un nœud est égale à la somme des intensités qui en partent) ne s'applique qu'à l'instant t en courant alternatif (i(t) ≠ i1(t) + i2(t)), pour les grandeurs complexes et non les grandeurs réelles. Il faut donc passer par l'additivité des grandeurs complexes (ou des vecteurs de Fresnel) associées aux grandeurs physiques (ici les intensités) réelles. C’est la loi des nœuds appliquée aux complexes. Grandeurs complexes associées : , d'où par la construction de Fresnel en représentant les vecteurs associés à I1 et I2 et leur résultante I : de module : donc i = 0,89 rad ~ 51,3 °.

et d'argument :

Donc : i(t) = √164 cos(t + 0,89).

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Exercice 4 : Détermination d'une tension complexe Soit trois dipôles montés en série. Les tensions instantanées u(t) (en V) aux bornes de chaque dipôles sont : 𝑢 (𝑡) = 8cos𝜔𝑡; 𝑢 (𝑡) = 6cos(𝜔𝑡 + ); 𝑢 (𝑡) = 3cos(𝜔𝑡 − ).

1. Que représentent les valeurs 8, 6 et 3 des u(t) ? Ces valeurs représentent les tensions maximales (ou amplitudes) notées Um des tensions ui(t). : Um1 = 8 V, Um2 = 6 V et Um3 = 3 V. 2. Représenter les vecteurs de Fresnel associés à ces tensions en déterminant les valeurs caractéristiques des vecteurs associés aux grandeurs complexes. Attention aux règles d'addition ! La loi d'additivité des tensions dans un circuit série ne s'applique qu'en un instant t en régime variable, soit : u(t) ≠ u1(t) + u2(t) + u3(t) Mais valable est valable en complexe : U = U1 + U2 + U3. A chaque tension (qui est une grandeur physique réelle) on va lui associer une grandeur complexe qui est représentée par un vecteur de Fresnel. Vecteurs de Fresnel (Um, angle du vecteur avec l'axe des réels) : , et

avec Um1 = 8 V, Um2 = 6 V et Um3 = 3 V on rappelle :

.

On réalise la somme de ces vecteurs représentatifs de grandeurs complexes 2 à 2, car ils sont tous associés à une grandeur physique réelle :

et

et

.

Donc : U = 8,54 ej(t+0,36) D'où : u(t) = 8,54 cos (t+0,36)

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3. Déterminer la tension instantanée u(t) aux bornes de l'ensemble des dipôles à partir à partir des grandeurs complexes associées. Grandeurs

complexes

:

,

et soit

Donc :

et

donc  = 0,36 rad.

Donc : u(t) = 8,54 cos (t + 0,36)

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Exercice 5 : Intensité dans des dipôles Trois dipôles D1, D2 et D3 indépendants et traités indépendamment, soumis à une tension sinusoïdale 𝑢(𝑡) = 300√2cos100𝜋𝑡. Ils ont respectivement pour impédance Z1 = 100 j, Z2 = -75 j et Z3 = 150. Donner l'expression de l'intensité dans chaque dipôle (expression complexe puis sa grandeur réelle associée) et préciser la nature et la valeur du paramètre caractérisant chaque dipôle.

Exprimons la grandeur complexe associée à la tension u(t) :

.

Ici (d'après identification) u = 0,  = 100 Exprimons les impédances des dipôles en valeurs complexes : et

D'après la loi d'Ohm :



.

que l'on applique aux bornes de chaque dipôle.

Donc dans D1 :

.

D'où : i1(t) = 3√2 cos(t- /2) On calcule le déphasage dans ce cas : une bobine, sa caractéristique est son inductance L.

ce composé est donc

On sait que pour une bobine : ZL = jL donc ici :



.

Dans D2 :

.

D'où : i2(t) = 4 cos(t+/2).

On calcule le déphasage dans ce cas : un condensateur, sa caractéristique est sa capacité C. On

sait

que

pour

un

condensateur

:

ZC

ce composé est donc =

-j/C

.

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donc

ici

:



Dans D3 :

.

D'où : i3(t) = 2√2 cos(t) On calcule le déphasage dans ce cas : une résistance, sa caractéristique est sa résistance R.

On sait que pour une résistance : ZR = R donc ici :

ce composé est donc

.

D'où : i3(t) = 150 cos(t)

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CIRCUIT SERIE Exercice 6 : Rappel du cours On considère le circuit RLC série représenté ci-contre, alimenté par une

e(t )  Em cos(t   e ) . Le circuit est parcouru par un courant d’intensité i(t )  I m cos(t   i ) . source de tension sinusoïdale de f.é.m.

1. Exprimer la loi d'Ohm s'appliquant à ce circuit en notation complexe. On écrit tout d'abord les grandeurs complexes associées aux grandeurs physiques réelles : donc en complexe : donc en complexe : On calcule l'impédance totale Zt de ce circuit

Elle est de la forme : La loi d'Ohm en notation complexe donne :

2. En déduire : a. la relation donnant l’amplitude Em en fonction de Im, R, L et C et.

D'après la loi d'Ohm écrite ci-dessus et :

b. le déphasage

   e   i (on écrira  en fonction de R, L, C et ).

On sait d'après définition que :

Donc :

et d'après la loi d'Ohm :

par identification : ISA 1 – Électricité en courant alternatif : principes de base –Correction TD 2

.

et

.

3. Tracer le diagramme de Fresnel correspondant à la tension dans ce circuit série (discuter les

1 1 1 différents cas possibles : L  C , L  C et L  C ).

Si : , on a comporte comme un circuit inductif (voir TP).

1 Si : L  C , on a se comporte comme un circuit capacitif (voir TP).

le circuit dans ce cas se

le circuit dans ce cas

1 Si L  C alors on est à la résonance (voir chapitre 3 de ce cours).

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Exercice 7 : Calculs d'intensité et de tensions On considère le circuit représenté sur la figure ci-contre, alimenté par une source de tension sinusoïdale telle que : e(t) = 220√2 cos (2ft). On donne : f = 50 Hz, R = 40 , L = 0,2 H, C = 5 µF.

1. Déterminer l'intensité i(t) traversant le circuit.

Ici f = 50 Hz or  = 2f soit  = 100. On détermine l'intensité i(t) par la loi d'Ohm appliquée aux grandeurs complexes associées aux grandeurs physiques caractéristiques de ce circuit. A i(t) on associe

et à e(t)

On a la tension d'alimentation soit aux bornes de tous les éléments du circuit, il faut donc appliquer la loi d'Ohm aux bornes de tous les composants, on calcule donc l'impédance équivalente ou impédance totale Zt de ce circuit série :

et soit

. D'après la loi d'Ohm :

et e = 0 (par identification origine des

Donc : phases)

Soit : Par identification : Finalement : i(t) = Im cos (2ft + i) = 0,54 cos (100t + 1,5).

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2. Déterminer les tensions aux bornes de chaque composant.

On est dans un circuit série : donc i(t) est la même dans les trois composants. On cherche donc la tension u(t) dans R, dans L et dans C en appliquant pour chacun la loi d'Ohm avec la valeur complexe associée à i(t) et l'impédance Z complexe du composant. 

Aux bornes de la résistance R : ZR = R, UR = ZR.I = R.I or pas de déphasage induit par R. On a donc : Um,R = R. Im = 21,6 V. u(t) = 21,6 cos (100t + 1,5).



Aux bornes de la bobine L : UL = ZL.I = jL.I et uL(t) est en avance de /2 sur i(t). On a donc : UmL = L . Ieff = 33,7 V.

uL(t) = 33,7 cos (100t + 1,5+ /2) = - 33,7 sin (2ft + 1,5) 

Aux bornes du condensateur C : UC = ZC.I = I/jC et uC(t) est en retard de /2 sur i(t). On a donc : UmC = Im/C = 343,7 V.

uC(t) = 343,7 cos (100t + 1,5- /2) = 343,7 6 sin (100t + 1,5) Remarque : on doit vérifier qu'il y a additivité des tensions complexes qui sont égales à la tension E complexe (E = UC = UR = UL) mais pas additivité des tensions réelles soit u(t) ≠ uR(t) + uL(t) + uC(t).

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Exercice 8 : Étude d'un circuit CL On considère un circuit CL série alimenté par une source de tension sinusoïdale : u(t) = 220√2 sin 150t. On donne : C = 5 µF et L = 0,5 H.

1. Quelle est l'amplitude de cette tension ?

L'amplitude, notée ici Um, est de 220√2 V. 2. Calculer Umoy et Ueff d'après l'expression de cette tension u(t) pour sa période T.

Umoy = 0 (avec T = 2/ et 150 = )

donc : Ueff = √Ueff² = 220 V. On rappel :

donc :

avec x/2 = 150t et x = 300t.

3. Déterminer l'impédance totale ZT du circuit de façon littérale puis numérique.

A.N. : ZT = - 188, 79 j = 188, 8 ej(-2) 4. Déterminer littéralement puis numériquement l'intensité i(t) traversant le circuit.

D'après la loi d'Ohm avec les grandeurs complexes : U = Zt.I donc : I = U/Z

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Donc :

avec u = 0 car origine des phases

Soit :

Par identification : Finalement : i(t) = 1,65 sin (150t + /2)

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CIRCUIT PARALLELE Exercice 9 : Rappel du cours On considère le circuit RLC représenté sur la figure ci-contre, alimenté par une source de tension sinusoïdale de f.e.m.

e(t )  E m cos(t   e )

.

i (t )  I m cos(  t   i ) . Le circuit est parcouru par un courant d’intensité

1. Écrire en notation complexe la relation : I m  Y .Em

On détermine la grandeur complexe associée à : et celle associée à

,

, .

On calcule l'admittance totale YAB du circuit (les trois composants sont en parallèle) :

Avec C – 1/L)

où G est la conductance (G = 1 / R) et S la susceptance (S =

avec

La

loi

d'Ohm

On en déduit que :

appliquée

à

ce

circuit

et

s'écrit

:

et

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d'où

:

2. En déduire : a) la relation donnant l’amplitude Im en fonction de Em, R, L et C et .

De ce qui précède on tire :

b) le déphasage

et

   e   i en fonction de R, L, C et .

, d'où :

3. Tracer le diagramme de Fresnel correspondant à ce circuit parallèle (discuter les 1 1 1 différents cas possibles : C  L , C  L et C  L ).

Cas 1 : circuit capacitif. Cas 2 : circuit inductif Cas 3 : antirésonance

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Exercice 10 : Courant dans un circuit RC La tension 𝑢(𝑡) = 300√2cos200𝜋𝑡 est appliquée par un générateur à un circuit formé d'un condensateur C et d'une résistance R montés en parallèle. La pulsation du circuit est celle imposée par la tension. On donne : C = 4,7 µF et R = 0,6 k.

1. Quelle est la valeur maximale de cette tension d'alimentation ?

2. Calculer Umoy et Ueff d'après l'expression de la tension u(t) pour sa période T.

Umoy = 0 V

donc : Ueff = √Ueff² = √90000 = 300 V 3. Déterminer l'expression du courant iR(t) dans la résistance et iC(t) dans le condensateur (on passera avant par une détermination à l'aide des complexes).

Déterminons la grandeur complexe associée à la tension u(t) réelle : Donc  = 200, Um = 300√2 et u = 0 (pris comme origine des phases) et cette tension est la même dans la branche du condensateur et dans la branche contenant la résistance. ISA 1 – Électricité en courant alternatif : principes de base –Correction TD 2



Dans la branche contenant R : d'après la loi d'Ohm :

et

Z R= R= R e

donc : Et la grandeur réelle associée 

Dans la branche contenant C : d'après la loi d'Ohm :

et

soit

avec tension comme origine des phases et la grandeur réelle associée

4. Déterminer l'expression du courant total fourni par le générateur.

La loi d'additivité des intensités (loi des nœuds) s'applique avec les valeurs complexes : Donc :

et

soit

.

et on vérifie qu'il n'y a pas additivité des intensités réelles : it(t) ≠ iR(t) + iC(t) . Remarque : on peut aussi calculer It car on a Ut et on peut avoir ZAB, impédance totale du circuit. D'après la loi d'Ohm :

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j (0)

Exercice 11 : Étude d'un circuit Le circuit représenté ci-dessous est alimenté par une tension sinusoïdale alternative : e(t) = 40√2 sin t de période T. La phase de cette tension est nulle et sera prise comme origine des phases. On donne : R1 = 8 , R2 = 2  et ZC = - 4 j ;𝑓 =

𝐻𝑧.

1. Calculer la valeur moyenne Emoy de la tension sur sa période T.

D'après

le

cours :

2. Retrouver la valeur efficace Eeff de la tension e(t) sur sa période T.

D'après les relations trigonométriques :

soit

avec ici

x/2 = t et x = 2t

Donc :

.

3. Exprimer Z1, Z2 et ZAB respectivement les impédances complexes des branches 1, 2 et impédance totale du circuit (aux bornes du générateur, soit entre les points A et B) sous les deux formes Z = R + jX et Z = ej, sous forme numérique directement.

et soit : 4. Exprimer E, valeur complexe associée à e(t). 5.

et  = 2f = 100 rad.s-1

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6. Calculer, en fonction de  et t, I1 et I2 les grandeurs complexes associées aux grandeurs réelles i1(t) et i2(t). En déduire les expressions de i1(t) et i2(t).

Les trois branches sont en parallèle d'où :

et

(les lois sont valables uniquement avec les grandeurs complexes). On a déterminé la grandeur complexe associée à : tension prise comme origine des phases. loi d'Ohm dans chaque branche :



Branche 1 :

avec la On applique la

soit

associée à : 

Branche 2 :

soit associée à : Comme ici la branche ne contient qu'une simple résistance, pas de déphasage induit et i2(t) et u(t) en phase après le passage dans R. 7. Utiliser la représentation de Fresnel pour dessiner les grandeurs I, I1 et I2. 8. Calculer I, grandeur complexe associée à i(t) intensité délivrée par le générateur et en déduire l'expression de i(t).

Pour calculer I totale il existe deux solutions, avec la loi d'Ohm appliquée à l'ensemble du circuit (aux bornes du générateur) donc avec l'impédance total ZAB, ou avec la loi des nœuds en additionnant les vecteurs dans le repère de Fresnel. Loi d'Ohm : associée à : 

Loi des nœuds :

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