Tarea Sem 5-Toma de Decisiones [PDF]

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Ejercicios para ser presentados en TAREA 2 DISTRIBUCION DE LA MEDIA MUESTRAL 1) En un servicio de atención al cliente, el tiempo de espera hasta recibir atención es una variable normal de media 10 minutos y desviación típica 2 minutos. Se toman muestras aleatorias del tiempo de espera de los clientes que llegan un día concreto. Se pide: a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de espera en una muestra de 25 clientes no supere los 9 minutos? b) ¿Cuál es la distribución de la media muestral, si se toman muestras aleatorias de 64 clientes? Especificar sus parámetros.

Solución: a) Las muestras de tamaño n obtenidas en una población de media  y desviación típica , σ ) N (. ), se distribuye según una normal N ( μ , √n ( Z< P ¿0.5 )=1−P ( Z =P ( Z> 1.5 )=1−P ¿ P ¿ 4 3

En este caso: N (12 ,

(

)

σ ) √n

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4) La duración de las baterías de un determinado modelo de teléfono móvil tiene una distribución normal de media 34,5 horas y desviación típica 6,9 horas. Se toma una muestra aleatoria simple de 36 teléfonos móviles. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración media de las baterías de la muestra esté comprendida entre 32 y 33,5 horas? b) ¿Y de que sea mayor de 38 horas? Solución: La media de las muestras de tamaño n obtenidas en una población de media  y desviación típica , N(. ), se distribuye según una normal N ( μ ,

σ ) √n

En nuestro caso (μ= 34,5, ơ= 6,9, n = 36), se distribuirán según la normal N (34.5 , 6.9/√ 36)⟷ N (34.5 ; 1.15)=Z =

X−34.5 1.15

33.5−34.5

1.15 )

a) P ¿¿ 33.5 ¿=P b)

5) Las estaturas de 1000 estudiantes de UPAO campus Trujillo, están distribuidas aproximadamente en forma normal con una media de 174.5 centímetros y una desviación estándar de 6.9 centímetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 sin reemplazo de esta población, determine: a) El número de las medias muestrales que caen entre 172.5 y 175.8centímetros. b) El número de medias muestrales que caen por debajo de 172centímetros σ N−n n N−1

√√

6.9

=

=1.36

1000−25 25 1000−1

√√

a) 172.5 ≤≤ 175.8¿=0.7607 R=0.7607 ×200=152medias muestrales b) P ¿≤ 172¿=0.00336 R=0.00336 ×200=7 medias muestrales

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6) MoviClaro afirma que el tiempo que emplean los clientes en pagar sus facturas es una variable normal de valor medio 30 días y desviación estándar 8 días. a) Si se escogen al azar las cuentas de 40 clientes, ¿cuál es la probabilidad de observar un promedio muestral inferior a 32 días? b) Si la muestra es de 25 cuentas, ¿qué tan probable es de tener un promedio entre 28.5 y 32.5 días? c) En una muestra al azar de 16 cuentas, ¿qué valor máximo tomará el promedio con probabilidad 0.90? Solución Sea X: Tiempo que un cliente se tarda en pagar sus facturas a) P (¿ 32 ¿=P=30 ,

8 =1.2649 √ 40

¿ Distr . Norm ( 32 ,30,1.2649 , 1 )=0.943078 En este caso cuando n 25,  =N (30, 16^2) b) P ¿≤ 32.5¿=0.940915−0.17425=07667 Debemos encontrar c) P ¿≤ K ¿=30.64

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7) De un lote de focos ahorradores enviados por un proveedor, se han tomado al azar, 12 focos. El propósito es observar la duración del producto para determinar su conveniencia en compras futuras. Se les dejaron encendido hasta que se quemen. Los datos (en horas) obtenidos con el experimento fueron: 120, 128, 132, 130 124, 127, 130, 135, 122, 129, 131, 130. Si el proveedor indica que su producto tiene una duración media de 127.5 horas. a) Calcule la media de la muestra y luego determine la probabilidad de que una muestra del mismo tamaño arroje un promedio superior al que usted calculó. b)¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral se aparte del valor real en a lo más 2 horas? Duración

x−μ 128.167−127.5 ¿ 128.165 ¿= p( > ) s 4.303 a) P ¿ √n √12 ¿ P ( t ( 11 ) >0.5367 )=0.3011

≤ 129.5¿=P=( b) P ¿

125.5−127.5 X−μ 129.5−127.5 ≤ ≤ ) 4.303 S 4.303 √12 √n √ 12

¿ P (−1.61≤ t ( 11 ) ≤ 1.61 )=0.8643

120 128 132 130 124 127 135 130 122 129 131 130 Media de la muestra Varianza de la muestra Desv. est. de la muestra

128.167 18.515 4.303

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8) Una fábrica de coches lanza al mercado el modelo “Mathe” del que se sabe que sus pesos siguen una distribución normal de media 3100 kilos y una desviación típica de 130 kilos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que, al comprar un coche Mathe, pese más de 3.130 kilos? Nos piden la probabilidad, (P X > 3130), primero tipificaremos y luego buscamos la probabilidad correspondiente en la N (0,1) P ( X >3130 )=P

3130−3100 > ( X−3100 )=P ( Z >0.23 )=0.4090 130 130

b) ¿Qué distribución seguirán las muestras de tamaño 100 de coches Mathe? La media,, de una muestra de tamaño n, de normales independientes de media µ y desviación típica σ, sigue una distribución, N ( μ , ¿ N (3100 ,

σ ) √n

130 ) → 3100.13 √100

c) Cuál será la probabilidad de que al comprar un coche pese más de 2900 kilos y menos de 3500? Nos piden la probabilidad, P (2900< X < 3500), primero tipificaremos y luego buscamos la probabilidad correspondiente en la N (0,1). P ( 2900< X ( 2900−3100 ) 130 130 130

¿ P (−1.54< Z< 3.08 )=1−P ( Z> 3.08 )−P ( Z ←1.54 ) =¿ ¿ 1−P ( Z >3.08 )−P ( Z >1.54 ) =1−0.001−0.0618=0.9381

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9) Suponga que los sueldos semanales en cientos de dólares de los ingenieros en la región Piura, es una v.a. X, cuya distribución de probabilidad es: X 1 2 3 4 5 P(X = x ) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 Si se toman al azar 30 sueldos de igual número de personas. a) Halle la media y la varianza de la media muestral. X

P(X=x=)

1 2 3 4 5  

0.1 0.2 0.4 0.2 0.1  

Media Varianza

Errores al X*P(X=x=) cuadrado 0.1 0.4 0.4 0.2 1.2 0 0.8 0.2 0.5 0.4 3 1.2

3 1.2

b) Calcule la probabilidad de que la media muestral este entre 260 y 330 dólares media= desviación= n= desviación ajus.= x= z calc= Prob (x μ2,en caso contrario se acepta que μ1 = μ2.Calcular la probabilidad de aceptar que μ1 > μ2 cuando realmente μ1 = μ2.Suponga que las varianzas de las duraciones de B1 y B2 son respectivamente σ 12=16 y σ 22=9 8) El jefe de compras está por decidir si comprar una marca A o una marca B de focos para la compañía. Para ayudarle a optar por una de ellas se escogen dos muestras aleatorias de tamaño n1 = 10 y n2 = 9 focos respectivamente de las marcas A y B,resultando,las desviaciones estándares respectivamente S1 = 200 y S2 = 150.Si la diferencia entre las medias muéstrales es mayor que 173 horas, se acepta μ1 # μ2 .En caso contrario, se acepta que μ1 = μ2.¿Cuál es la probabilidad de aceptar que μ1 # μ2 cuando realmente μ1 = μ2?.Se asume que la vida útil de ambas marcas tiene distribución normal con varianzas iguales. 9) En un estudio para comparar los pesos promedio de niños y niñas de sexto grado en una escuela primaria de la ciudad de Piura, se usará una muestra aleatoria de 20 niños y otra de 25 niñas. Se sabe que tanto para niños como para niñas los pesos siguen una distribución normal. El promedio de los pesos de todos los niños de sexto grado de esa escuela es de 100 libras y su desviación estándar es de 14.142, mientras que el promedio de los pesos de todas las niñas del sexto grado de esa escuela es de 85 libras y su desviación estándar es de 12.247 libras. Si representa el promedio de los pesos de 20 niños y

es el promedio de los pesos de una

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muestra de 25 niñas, encuentre la probabilidad de que el promedio de los pesos de los 20 niños sea al menos 20 libras más grande que el de las 25 niñas. 10) Se llevan a cabo dos experimentos independientes en lo que se comparan dos tipos diferentes de pintura. Se pintan 18 especímenes con el tipo A y en cada uno se registra el tiempo de secado en horas. Lo mismo se hace con el tipo B. Se sabe que las desviaciones estándar de la población son ambas 1.0. Suponga que el tiempo medio de secado es igual para los dos tipos de pintura. Encuentre la probabilidad de que la diferencia de medias en el tiempo de secado sea mayor a uno a favor de la pintura A. 11) Se toma al azar una muestra de tamaño n1 = 5 de una población que está distribuida normalmente, con media X 1 = 50 y variancia s 2 = 9, y se registra la media de la muestra x1. 1

Se selecciona una segunda muestra aleatoria de tamaño n2 = 4, independiente de la primera muestra, de una población diferente que también está distribuida, en forma normal con media

X 2 = 40 y variancia s 2 = 4, y se registra la media de la muestra x2 Si: μ1 −μ 2 =5 . Hallar P 2 X (2.8< X 1 - 2