Sujets Examens Elasticit 2 PDF [PDF]

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Université A. Belkaid – Tlemcen Tlemcen, le 28 Novembre 2016 Faculté de Technologie Durée : 1h00 min Département de Génie Civil MASTER 1 : Constructions Métalliques et Mixtes

Contrôle Continu de l’élasticité Exercice Sous l’action de charges extérieures, les déplacements en un point quelconque P(x,y,z) d’un corps sont définis comme suit : √3

1

⎧ u = 4 kx − 4 ky ⎪ 3 √3 v = kx − ky 4 4 ⎨ w = 0 ⎪ ⎩

k : Constante

1/ Définir le tenseur de déformations en un point quelconque P(x,y,z) 2/ Déterminer les contraintes et directions principales au point P. 3/ Déterminer la contrainte maximale. 4/ Calculer les composantes du vecteur contraintes (σ n , τ) dans la direction de la première bissectrice du plan (x,z). 1/1

Université A. Belkaid TLEMCEN Faculté de Technologie, Dpt Génie Civil Janvier 2017 Durée : 1h30 mn

EXAMEN FINAL Théorie d’élasticité M1 Construction métallique (CM) Toute documentation est non autorisée QUESTIONS DE COURS (4.00 pts) (2.00 Pts) 1) Quelle est la différence entre un état de contrainte plane et un état de déformation plane ? Donner un exemple pour chaque cas. (2.00 Pts) 2) Donner une définition claire, complète et précise des termes suivants : Isotropie, Homogénéité, Linéarité, Elasticité EXERCICE I (9.00 pts) En un point donné d’un milieu élastique, le tenseur des contraintes est donné par ce qui suit : 12 4 [𝜎𝜎]𝑀𝑀 = � 4 12 0 4

0 4� 12

(1.50 Pts) i) Décomposer ce tenseur en partie sphérique et en partie déviatorique. Que peut représenter la partie déviatorique ? (3.50 Pts) ii) Déterminer les contraintes et directions principales du tenseur déviatorique. En déduire les contraintes et directions principales du tenseur initial. (1.00 Pt) iii) Calculer la valeur de la contrainte de cisaillement maximale. (3.00 Pts) iv) Déterminer le plan défini par sa normale N(l,m,n) dans lequel agit une contrainte de composantes : 𝜎𝜎𝑛𝑛 = 12 − 2√2

3 2

𝜏𝜏 = 4. �

;

EXERCICE II (7.00 pts)

Le tenseur des déformations en un point quelconque M(x,y,z) d’un milieu élastique est donné par :

Où « a » est une constante non nulle.

0 [𝜖𝜖] = �𝑎𝑎 0

𝑎𝑎 0 0

0 0� 0

(3.00 Pts) i) Calculer les déformations et directions principales de ce tenseur en fonction de « a ». (4.00 Pts) ii) Calculer le vecteur déplacement (u,v,w) en un point quelconque M(x,y,z).

BON COURAGE Pr Abdellatif MEGNOUNIF

Université A. Belkaid - Tlemcen Faculté de Technologie Département de Génie Civil

Jeudi 16 Mars 2017. Durée: 1H30mn. Aucun document n’est autorisé.

Master 1 Constructions métalliques et mixtes

Examen de rattrapage de l’élasticité (GM 722) Questions (3 pts) (1 pt)

1/ Pourquoi I 1 , I 2 et I 3 sont appelés les invariants de contraintes ?

(1 pt)

2/ Que traduisent les conditions de compatibilité ?

(1 pt)

3/ Que représentent les conditions aux limites de chargement ?

Exercice 1 (8 pts) (3 pts)

1/ Calculer les contraintes principales et leurs directions pour le tenseur ci-après : 25 45 [𝜎𝜎] = �45 77 0 0

0 0 � 𝐾𝐾𝐾𝐾/𝑚𝑚² −40

(2 pts)

2/ Calculer la contrainte de cisaillement maximale.

(3 pts)

3/ Calculer les composantes du vecteur contrainte (σ n ,τ) dans la direction de la première bissectrice du plan (x,z).

Exercice 2 (9 pts) Le vecteur déplacement en un point quelconque M(x,y,z) d’un corps est donné par ses composantes : 𝑢𝑢 = 2𝑥𝑥𝑥𝑥 � 𝑣𝑣 = 2𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑤𝑤 = 2𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2

(2 pts)

1/ Définir le tenseur des déformations en M(x,y,z).

(3 pts)

2/ Calculer les déformations principales ainsi que leurs directions au point (0,y,0).

(2 pts)

3/ En déduire les contraintes principales et leurs directions.

(2 pts)

4/ Calculer le vecteur normal 𝑛𝑛 ���⃑ passant par le point (0,y,0) pour lequel on a : σn=0 et τ=1

Bon Courage

1/1

Université A. Belkaid - Tlemcen Faculté de Technologie Département de Génie Civil

Tlemcen, 16 Mars 2017. Durée: 1H30mn. Aucun document n’est autorisé.

Master 1 Constructions métalliques et mixtes

Correction de l’Examen de rattrapage de l’élasticité (GM 722) Exercice 1 (8 pts) (3 pts)

1/ Les contraintes principales sont données par : 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑�[𝜎𝜎] − 𝜎𝜎[𝐼𝐼]� = 0 𝜎𝜎1 = −40 est une contrainte principale suivant la direction de Z. (0,5pt) Sa direction est 𝑙𝑙1 = 0; 𝑚𝑚1 = 0; 𝑛𝑛1 = ±1 (0,5pt)

25 − 𝜎𝜎 45 Les deux autres contraintes sont déterminées par � �=0 45 77 − 𝜎𝜎 (25 − 𝜎𝜎)(77 − 𝜎𝜎) − 45(45) = 0 Après résolution on obtient : 𝜎𝜎2 = −0,97~ − 1 𝐾𝐾𝐾𝐾/𝑚𝑚² (0,5pt) 𝜎𝜎3 = 102,97~103 𝐾𝐾𝐾𝐾/𝑚𝑚² (0,5pt) 𝑙𝑙𝑖𝑖 0 Les directions principales sont obtenues par résolution de �[𝜎𝜎] − 𝜎𝜎𝑖𝑖 [𝐼𝐼]� �𝑚𝑚𝑖𝑖 � = �0� 𝑛𝑛𝑖𝑖 0 45 0 25 − 𝜎𝜎𝑖𝑖 𝑙𝑙𝑖𝑖 0 77 − 𝜎𝜎𝑖𝑖 0 � 45 � �𝑚𝑚𝑖𝑖 � = �0� 0 0 −40 − 𝜎𝜎𝑖𝑖 𝑛𝑛𝑖𝑖 0 1

Pour 𝜎𝜎2 = −1 𝐾𝐾𝐾𝐾/𝑚𝑚²

(2 pts)

(3 pts)

𝑙𝑙2 = ± ;

2 √3 ± ; 2

𝑚𝑚2 = ∓

√3 ; 2

1

𝑛𝑛2 = 0 (0,5pt)

Pour 𝜎𝜎3 = 103 𝐾𝐾𝐾𝐾/𝑚𝑚² 𝑙𝑙3 = 𝑚𝑚3 = ± ; 𝑛𝑛3 = 0 (0,5pt) 2 2/ La contrainte de cisaillement maximale est obtenue par : 1 𝜏𝜏𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 � �𝜎𝜎𝑖𝑖 − 𝜎𝜎𝑗𝑗 �� 2 𝑖𝑖,𝑗𝑗=1,2,3 1 𝐾𝐾𝐾𝐾 1 |𝜎𝜎 | |𝜎𝜎 | 𝜏𝜏1 = 2 − 𝜎𝜎3 = 52 2 ; 𝜏𝜏2 = 1 − 𝜎𝜎3 = 71,5 𝐾𝐾𝐾𝐾/𝑚𝑚² 2 1

𝑚𝑚

2

𝜏𝜏3 = |𝜎𝜎1 − 𝜎𝜎2 | = 19,5 𝐾𝐾𝐾𝐾/𝑚𝑚² ⟹ 𝜏𝜏𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 71,5 𝐾𝐾𝐾𝐾/𝑚𝑚2 2 3/ Les composantes du vecteur contrainte (σ n ,τ) dans la direction de la première √2

√2

bissectrice du plan (x,z). 𝑙𝑙 = ; 𝑚𝑚 = 0; 𝑛𝑛 = 2 2 Les composantes de la contrainte agissant sur cette face inclinée sont : 𝑞𝑞𝑥𝑥 =

𝑞𝑞𝑦𝑦 =

√2 (25) 2 √2

2 √2

= 12,5√2 𝐾𝐾𝐾𝐾/𝑚𝑚² ; (0,5pt)

(45) = 22,5√2 𝐾𝐾𝐾𝐾/ 𝑚𝑚² ; (0,5pt)

𝑞𝑞𝑧𝑧 = (−40) = −20√2 𝐾𝐾𝐾𝐾/𝑚𝑚² (0,5pt) 2 L’intensité de la contrainte en un point sur cette facette inclinée est : 𝜎𝜎 = �𝑞𝑞𝑥𝑥2 + 𝑞𝑞𝑦𝑦2 + 𝑞𝑞𝑧𝑧2 = 46,1 𝐾𝐾𝐾𝐾/𝑚𝑚2 (0,5pt) La composante normale de cette contrainte est : √2

√2

𝜎𝜎𝑛𝑛 = 𝑙𝑙𝑞𝑞𝑥𝑥 + 𝑚𝑚𝑞𝑞𝑦𝑦 + 𝑛𝑛𝑞𝑞𝑧𝑧 = �12,5√2� + 0�22,5√2� + (−20√2) 2 2 𝜎𝜎𝑛𝑛 = −7,5 𝐾𝐾𝐾𝐾/𝑚𝑚2 (0,5pt) La composante tangentielle est : 𝜏𝜏 = �𝜎𝜎 2 − 𝜎𝜎𝑛𝑛2 = �46,12 − 7,5² 𝜏𝜏 = ±45,48 𝐾𝐾𝐾𝐾/𝑚𝑚2 (0,5pt)

Exercice 2 (9 pts) (2 pts)

(3 pts)

(2 pts)

(2 pts)

1/ Le tenseur de déformations en M(x,y,z) : 2𝑧𝑧 0 3𝑥𝑥 [𝜀𝜀] = � 0 2𝑧𝑧 2𝑦𝑦� 3𝑥𝑥 2𝑦𝑦 0 2/ Les déformations principales au point P(0,y,0). Au point P, le tenseur s’écrit : 0 0 0 −𝜀𝜀 2𝑦𝑦 [𝜀𝜀] = �0 0 2𝑦𝑦� → � � = 0 les déformations principales sont donc : 2𝑦𝑦 −𝜀𝜀 0 2𝑦𝑦 0 𝜀𝜀1 = −2𝑦𝑦 (0,5pt) 𝜀𝜀2 = 0 (0,5pt) 𝜀𝜀3 = 2𝑦𝑦 (0,5pt) 𝑙𝑙𝑖𝑖 0 Les directions principales sont obtenues par résolution de �[𝜀𝜀] − 𝜀𝜀𝑖𝑖 [𝐼𝐼]� �𝑚𝑚𝑖𝑖 � = �0� 𝑛𝑛𝑖𝑖 0 −𝜀𝜀𝑖𝑖 0 0 𝑙𝑙𝑖𝑖 0 � 0 −𝜀𝜀𝑖𝑖 2𝑦𝑦 � �𝑚𝑚𝑖𝑖 � = �0� 0 2𝑦𝑦 −𝜀𝜀𝑖𝑖 𝑛𝑛𝑖𝑖 0 √2 ; 𝑛𝑛1 2

Pour 𝜀𝜀1 = −2𝑦𝑦 ⟹ Pour 𝜀𝜀2 = 0 ⟹

𝑙𝑙1 = 0; 𝑚𝑚1 = ± 𝑙𝑙2 = ±1; 𝑚𝑚2 = 0;

Pour 𝜎𝜎1 = −4𝐺𝐺𝐺𝐺 ⟹ Pour 𝜎𝜎2 = 0 ⟹

𝑙𝑙1 = 0; 𝑚𝑚1 = ± 𝑙𝑙2 = ±1; 𝑚𝑚2 = 0;

√2

=∓ 𝑛𝑛2 = 0

√2 2

(0,5pt) (0,5pt)

√2

Pour 𝜀𝜀3 = 2𝑦𝑦 ⟹ 𝑙𝑙3 = 0; 𝑚𝑚3 = ± ; 𝑛𝑛3 = ± (0,5pt) 2 2 3/ les contraintes principales et leurs directions 𝜎𝜎1 = 2𝐺𝐺𝜀𝜀1 + 𝜆𝜆𝜀𝜀𝑣𝑣 ; 𝜎𝜎2 = 2𝐺𝐺𝜀𝜀2 + 𝜆𝜆𝜀𝜀𝑣𝑣 et 𝜎𝜎3 = 2𝐺𝐺𝜀𝜀3 + 𝜆𝜆𝜀𝜀𝑣𝑣 avec 𝜀𝜀𝑣𝑣 = 𝜀𝜀1 + 𝜀𝜀2 + 𝜀𝜀3 = 0 (0,25pt) Ce qui donne : 𝜎𝜎1 = −4𝐺𝐺𝐺𝐺 ; 𝜎𝜎2 = 0 et 𝜎𝜎3 = 4𝐺𝐺𝐺𝐺 (0,75pt) Leurs directions sont les mêmes que celles des déformations principales (1pt) c'est-à-dire : √2 ; 𝑛𝑛1 2 √2

=∓ 𝑛𝑛2 = 0

√2 2

√2

Pour 𝜎𝜎3 = 4𝐺𝐺𝐺𝐺 ⟹ 𝑙𝑙3 = 0; 𝑚𝑚3 = ± ; 𝑛𝑛3 = ± 2 2 4/ Le vecteur normal 𝑛𝑛 ���⃑ passant par le point (0,y,0) pour lequel on a : σn=0 et τ=1 𝜎𝜎𝑛𝑛 = 𝑙𝑙𝑞𝑞1 + 𝑚𝑚𝑞𝑞2 + 𝑛𝑛𝑞𝑞3 = 0 → 𝜏𝜏 2 = 𝜎𝜎 2 = 𝑞𝑞12 + 𝑞𝑞22 + 𝑞𝑞32 =1 𝑞𝑞1 = 𝑙𝑙𝜎𝜎1 = −4𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 Avec : � 𝑞𝑞2 = 𝑚𝑚𝜎𝜎2 = 0 (0,75pt) 𝑞𝑞3 = 𝑛𝑛𝜎𝜎3 = 4𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝜎𝜎𝑛𝑛 = 𝑙𝑙2 𝜎𝜎1 + 𝑛𝑛2 𝜎𝜎3 = 4𝐺𝐺𝐺𝐺(−𝑙𝑙2 + 𝑛𝑛2 ) = 0 Ce qui donne : �𝜎𝜎 2 = 𝑞𝑞12 + 𝑞𝑞22 + 𝑞𝑞32 = 16𝐺𝐺 2 𝑦𝑦²(𝑙𝑙2 + 𝑛𝑛2 ) = 1 (0,75pt) 𝑙𝑙2 + 𝑚𝑚2 +𝑛𝑛2 = 1 1 √2 𝑙𝑙 = −𝑛𝑛 = ± � � 2 4𝐺𝐺𝐺𝐺 ⇒� pour y≠0 (0,5pt) 1 2 � 𝑚𝑚 = ± 1 − � � 4𝐺𝐺𝐺𝐺

Si y=0 le vecteur normal 𝑛𝑛 ���⃑ prend toutes les directions.

Université A. Belkaid - Tlemcen Faculté de Technologie Département de Génie Civil

Dimanche 18 Juin 2017. Durée: 1H30mn. Aucun document n’est autorisé. Master 1 Structures

Examen de rattrapage de l’élasticité (GS 811) Questions de cours (4 pts) (2 pts)

1/ Exprimser les tenseurs de contraintes et de déformations dans les cas de contraintes planes

(2 pts)

2/ Quelles sont les conditions à respecter pour qu’un problème soit résolu en « déformation plane » ?

Exercice 1 (7 pts) Dans un milieu, le tenseur de contraintes est défini par la matrice : 0 10 [𝜎𝜎] = � 10 0 −10 20

−10 20 � KN/cm² 0

(1 pt)

1/ Que représente l’état de contraintes donné par ce tenseur ?

(3 pts)

2/ Déterminer les contraintes principales et leurs directions ;

(1 pt)

3/ Calculer la valeur de la contrainte de cisaillement maximale ;

(2 pts)

4/ En sachant que E= 3000 KN/cm² et ν=0,3, en déduire les déformations principales et leurs directions ;

Exercice 2 (9 pts) Le vecteur déplacement en un point quelconque M(x,y,z) d’un corps est donné par ses composantes : 𝑢𝑢 = 2𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑣𝑣 = 2𝑦𝑦𝑦𝑦 � 𝑤𝑤 = 2𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2

(2 pts)

1/ Définir le tenseur des déformations en M(x,y,z).

(3 pts)

2/ Calculer les déformations principales ainsi que leurs directions au point (0,y,0).

(2 pts)

3/ En déduire les contraintes principales et leurs directions.

(2 pts)

4/ Calculer le vecteur normal 𝑛𝑛 ���⃑ passant par le point (0,y,0) pour lequel on a : σn=0 et τ=1 Bon Courage

1/1

Université A. Belkaid - Tlemcen Faculté de Technologie Département de Génie Civil

Tlemcen, le 14 Février 2011. Durée: 1H30mn. Aucun document n’est autorisé.

4ème année Ingénieur, option Voies et Ouvrages d’Art

Epreuve de Moyenne Durée de GCL402 : Elasticité Questions (4 pts) (1 pts)

1/ Est-ce qu’un corps homogène est automatiquement isotrope ?

(1 pt)

2/ Pourquoi I 1 , I 2 et I 3 sont appelés les invariants de contraintes ?

(2 pt)

3/ Quelle est la différence entre un état de contraintes planes et état de déformations planes ?

Exercice 1 (8 pts) Le tenseur de contraintes en un point quelconque P est défini par : 0,7𝛼𝛼 [𝜎𝜎] = �3,6𝛼𝛼 0

3,6𝛼𝛼 2,8𝛼𝛼 0

0 0� 7,6

(1 pts)

1/ Que représente l’état de contraintes pour α=0 ?

(2 pts)

2/ Calculer les composantes du vecteur contrainte (σ n ,τ) dans la direction de la première bissectrice du plan (x,y).

(3 pts)

3/ Calculer en fonction de α, les contraintes principales et leurs directions.

(2 pt)

4/ Quelle serait la contrainte de cisaillement maximale ?

Exercice 2 (8 pts) Un milieu élastique en équilibre est soumis à un champ de contraintes défini par : 𝜎𝜎𝑥𝑥 = 𝜎𝜎𝑦𝑦 = 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝜏𝜏𝑦𝑦𝑦𝑦 = 0 et 𝜎𝜎𝑧𝑧 = 𝑎𝑎(𝑙𝑙 − 𝑧𝑧)

où a est une constante et l est une longueur données. (1,5 pts)

1/ Calculer les forces volumiques dans ce milieu ;

(3 pts)

2/ Calculer les composantes du tenseur de déformation ε en fonction du module de Young E et du coefficient de poisson ν ;

(3,5 pts)

3/ Calculer les composantes du déplacement (u,v,w). Bon Courage Dr. Z.Benadla/Yahiaoui-Youcefi

1/1

Université A. Belkaid - Tlemcen Faculté des sciences de l’ingénieur Département de Génie Civil

Tlemcen, le 22 Juin 2010. Durée: 3H00mn. Le cours et le TD sont autorisés.

4ème Année Ingénieurs Génie Civil

Devoir Annuel de GCL402 : Elasticité Exercice 1 (8 pts) Un cylindre de révolution homogène a pour rayon R, pour hauteur h et pour axe (oz) (Figure 1). En coordonnées cartésiennes, le champ des contraintes est donné par : −2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 𝐾𝐾(𝑥𝑥 2 − 𝑦𝑦 2 ) 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 [𝜎𝜎] = �𝐾𝐾(𝑥𝑥 2 − 𝑦𝑦 2 ) 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 � 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 0 Le matériau, isotrope, a une loi de comportement élastique linéaire définie par le module d’Young E et le coefficient de Poisson ν. Le cylindre est en équilibre et les forces de volumes sont négligeables. (1,5 pts) 1/ Calculer les composantes du tenseur de déformations ; (3 pts)

2/ Déterminer à l’aide des équations d’équilibre et des équations de Beltrami, les constantes A,B et C en fonction de la constante K ;

(3 pts)

3/ En supposant que C=2K, B=2C et A=-2C, déterminer les contraintes principales et leurs directions au point P(1,1,1) ; 4/ En déduire la contrainte de cisaillement maximale.

(0,5 pt)

Exercice 2 (7 pts) Soit un barrage poids schématisé sur la figure 2. Ce barrage de masse volumique 𝜌𝜌𝑏𝑏 et de section trigulaire OAB repose sur le sol par le côté AB et retient une hauteur H d’eau sur son côté OA. (5 pts) 1/ Montrer qu’en prenant comme fonction d’AIRY un polynôme de degré 3 en x et y, il est possible de déterminer la répartition des contraintes en fonction de 𝜌𝜌𝑏𝑏 et 𝜌𝜌𝑒𝑒 (masse volumique de l’eau) et les dimensions H et α. (2 pts) 2/ En déduire les efforts surfaciques du sol sur le barrage. Exercice 3 (5 pts) Soit une plaque rectangulaire simplement appuyée sur les cotés x=0 et x=a et encastrée sur les deux autres côtés (y=-b/2 et y=+b/2). (figure 2). Cette plaque est uniformément chargée par une charge q(x,y)=q 0 . Déterminer la flèche w(x,y) en utilisant la solution de LEVY. z R H

h y x

y

A

O

AS

α a

q0

y encastrements

AS O

B

x

b

AS :Appui simple Figure 3 : Plaque rectangulaire uniformément chargée par p(x) x

Figure 1 : cylindre de révolution

Figure 2 : Barrage poids

Bon Courage Dr. Z.Benadla/Yahiaoui-Youcefi 1/1

Université A. Belkaid - Tlemcen Faculté de Technologie Département de Génie Civil

Tlemcen, le 29 Juin 2011. Durée: 2h00mn. Aucun document n’est autorisé.

4ème Année Ingénieurs Voies et Ouvrages d’Art

Devoir Annuel de GCL402 : La Théorie de l’Elasticité Exercice 1 (7 pts) En un point quelconque de la structure, le tenseur de contraintes est défini par : 25 [𝜎𝜎] = � 0 0

0 0 23 √14� √14 10

daN/cm2

(3 pts)

1/ Déterminer les contraintes et directions principales.

(2 pts)

2/ Déterminer la contrainte maximale et sa direction.

(2 pts)

3/ Calculer les composantes du vecteur contraintes (σ n , τ) dans la direction de la première bissectrice du plan (x,z).

Exercice 2 (7 pts) Soit une poutre console de section rectangulaire (2.h x 1) et de longueur l (figure 1). L’étude des contraintes a donné la distribution suivante :  p(l − x) M y− y σ x = − I I  σ y = 0  p 2 h − y2 τ xy = 2I 

(

)

(3 pts)

1/ Déterminez le chargement de la poutre correspondant à cet état de contraintes

(2 pts)

2/ Calculez les résultantes des charges trouvées.

(2 pts)

3/ Déterminez le tenseur de déformations associées.

Exercice 3 (6 pts)

(3 pts)

Soit une plaque rectangulaire simplement appuyée sur les cotés x=0 et x=a et encastrée sur les deux autres côtés (y=-b/2 et y=+b/2). (figure 2). Cette plaque est uniformément chargée par une charge q(x,y)=q 0 . 1/ Déterminer la flèche w(x,y) en utilisant la solution de LEVY.

(3 pts)

2/ En fonction des conditions aux limites, déterminer les constantes A m , B m , C m et D m

1/2

1 AS

x

D

h

C

a

l

D

y

h

B

A

encastrements

q0 AS

y

b

y

x

Figure 1 : Poutre console

𝐸𝐸 𝐷𝐷 = 2(1 + 𝜈𝜈) ∞

𝜔𝜔(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = � Ym (y) sin 𝑚𝑚=1

AS :Appui simple Figure 2 : Plaque Rectangulaire Simplement Appuyée sur deux côtés opposés et uniformément chargée par q 0

Rappel

𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑥𝑥 𝑎𝑎

2 𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑞𝑞𝑚𝑚 = � 𝑞𝑞(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) sin 𝑥𝑥 dx 𝑎𝑎 0 𝑎𝑎

𝑞𝑞𝑚𝑚 (𝐼𝐼𝐼𝐼) (𝐼𝐼𝐼𝐼) 𝑌𝑌𝑚𝑚 (𝑦𝑦) − 2𝛼𝛼 2 𝑌𝑌𝑚𝑚 (𝑦𝑦) + 𝛼𝛼 4 𝑌𝑌𝑚𝑚 (𝑦𝑦) = 𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝛼𝛼 = 𝑎𝑎 ∞

𝜔𝜔(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = � �Ymp (y) + Am cosh αy + Bm y sinh αy + Cm sinh αy + Dm y cosh αy� sin 𝑚𝑚=1

𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑥𝑥 𝑎𝑎

Bon Courage Dr. Z.BENADLA

2/2

Université A. Belkaid - Tlemcen Faculté de Technologie Département de Génie Civil

Tlemcen, le 22 Septembre 2010. Durée: 2h00mn. Aucun document n’est autorisé. 4ème Année Ingénieurs

Epreuve de Rattrapage de GCL402 : La Théorie de l’Elasticité Exercice 1 (7 pts)

(3 pts) (2 pts)

Dans un milieu, le tenseur de contraintes est défini par la matrice : 0 10 −10 [𝜎𝜎] = � 10 0 20 � daN/cm² −10 20 0 1/ Déterminer les contraintes principales ;

2/ Déterminer la contrainte de cisaillement maximale et sa direction ;

3/ Calculer les composantes du vecteur contraintes (σ n , τ) dans la direction de la première bissectrice du plan (x,y). Exercice 2 (7 pts)

(2 pts)

(1,5 pt)

Soit une poutre console de longueur l, de hauteur h, et d’épaisseur e (figure 1). Elle supporte une charge sur sa section extrémité libre équivalente à une force –P passant par le centre de la section. 1/ En négligeant les forces volumiques, montrer que la fonction d’Airy de la forme peut être solution du problème.

(1,5 pts)

2/ Calculer le tenseur de contraintes obtenu à partir de cette fonction.

(4 pts)

3/ Déterminer les constantes a,b,c et d en fonction de P, l, e et h.

Exercice 3 (6 pts) (1,5pts)

(2pts)

1/ En utilisant la solution de Navier, calculer la flèche maximale d’une plaque rectangulaire de dimensions a et b (figure 2). Cette plaque est simplement appuyée sur les 4 bords et soumise à une charge uniforme q 0 . 2/ Déterminer les contraintes σ x et σ y .

(2pts)

3/ Quelle serait l’épaisseur minimale de cette plaque. On donne : a=10cm, b=25cm, q 0 =25 N/cm2, E= 6,9.106N/cm² σ e =13800 N/cm2, et ν=0,3.

(0,5 pts)

4/ Endéduire la valeur de la flèche maximale. y

AS

y a

h/2

AS

q0

AS

x

z

P

h/2

AS

l

b

e x Figure 1 : Poutre console

Figure 2 : Plaque Rectangulaire Simplement Appuyée Bon Courage Dr. Z.BENADLA 1/1

Université A. Belkaid - Tlemcen Faculté de Technologie Département de Génie Civil

Tlemcen, le 14Septembre 2011. Durée: 2h00mn. Aucun document n’est autorisé.

4ème Année Ingénieurs Voies et Ouvrages d’Art

Rattrapage de GCL402 : La Théorie de l’Elasticité Exercice 1 (7 pts) Sous l’action de charges extérieures, les déplacements en un point quelconque P(x,y,z) d’un corps sont définis comme suit : √3

1

⎧ 𝑢𝑢 = 4 𝑘𝑘𝑘𝑘 − 4 𝑘𝑘𝑘𝑘 ⎪ 3 √3 𝑣𝑣 = 𝑘𝑘𝑘𝑘 − 𝑘𝑘𝑘𝑘 4 4 ⎨ 𝑤𝑤 = 0 ⎪ ⎩

k : Constante

(2 pts)

1/ Définir le tenseur de déformations en un point quelconque P(x,y,z)

(3 pts)

2/ Déterminer les contraintes et directions principales au point P.

(1 pt)

3/ Déterminer la contrainte maximale et sa direction.

(1 pt)

4/ Calculer les composantes du vecteur contraintes (σ n , τ) dans la direction de la première bissectrice du plan (x,z).

Exercice 2 (6 pts) On étudie l’équilibre, sous l’action de diverses répartitions de charges, d’une pièce parallèlépipèdique dont la section dans le plan xOy est représentée par le carré ABCD de côté 2a. L’étude du parallélépipède se ramène à l’étude de la section ABCD sous l’hypothèse d’un état plan de contraintes. Le chargement est représenté sur la figure 1 et les forces de volume sont négligées. (1 pt)

1/ Montrer que la fonction d’Airy solution du problème.

(2 pts) 2/

Déterminer l’état de contraintes.

(3 pts) 3/

Déterminer les constantes A,B et C.

𝜑𝜑(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝐴𝐴(𝑥𝑥 3 + 3𝑎𝑎𝑥𝑥 2 ) + 𝐵𝐵(𝑦𝑦 3 + 3𝑎𝑎𝑦𝑦 2 ) + 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 est

Exercice 3 (7 pts) Une plaque carrée (axa) est simplement appuyée sur les quatre côtés est soumise à une charge « q 0 » uniformément distribuée sur un carré de côtés (a/2 x a/2) situé en son centre (voir figure 2) (2pts)

1/ Calculer par la méthode de NAVIER l’expression de la flèche W(x,y) en un point

quelconque de la plaque. (1 pt)

2/ En déduire la flèche maximale.

1/2

(2pts)

3/ En sachant que l’épaisseur de la plaque h=2 cm, déterminer sa dimension (a)

On donne : q=14N/cm², E=7x106 N/cm²,σ e =15 000 N/cm² et ν=0,3. (2 pts)

4/ En supposant que w(x,y) s’écrit sous la forme 𝑊𝑊(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = ∑𝑚𝑚 ∑𝑛𝑛 𝐹𝐹𝑚𝑚𝑚𝑚 sin 𝑚𝑚𝑚𝑚 sin 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑎𝑎

Retrouver l’expression de la flèche W(x,y) par la méthode énergitique.

q

𝑎𝑎

x A

y a

p

a/2

p

x

a

O a

a/2

a

a

D

C

y

q

Figure 1 : carré ABCD de coté 2a

a

Figure 2 : Plaque carrée Simplement Appuyée sur les quatres côtés et uniformément chargée par q 0

Rappel ∞

∞

𝜔𝜔(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = � �

𝑚𝑚=1 𝑛𝑛=1 𝜋𝜋 4 𝐷𝐷 �

𝑞𝑞𝑚𝑚𝑚𝑚

2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑛𝑛2

𝑚𝑚2 + � 𝑎𝑎2 𝑎𝑎2

𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑦𝑦 𝑎𝑎 𝑎𝑎

{pour une charge uniformément répartie sur un carré (axa)} :

 𝑞𝑞𝑚𝑚𝑚𝑚 =  𝐷𝐷 =

𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑛𝑛𝑛𝑛 ∫ ∫ 𝑞𝑞(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) sin 𝑎𝑎 𝑥𝑥 sin 𝑎𝑎 𝑦𝑦 𝑎𝑎2 0 0 4

𝐸𝐸ℎ3

12(1−𝜈𝜈 2 ) 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝜕𝜕2 𝑤𝑤

 𝜎𝜎𝑥𝑥 = − 𝑎𝑎

 ∫0 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠  

1−𝜐𝜐

𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑎𝑎

2�

𝜕𝜕𝜕𝜕 2

𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

+ 𝜈𝜈

𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑎𝑎

𝜕𝜕2 𝑤𝑤 𝜕𝜕𝜕𝜕 2

�

𝑎𝑎

𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫0 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑎𝑎

2 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝐸𝐸𝐶𝐶𝐶𝐶 = ∫0 ∫0 ��𝑤𝑤𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑤𝑤𝑦𝑦𝑦𝑦 � + 2(1 2 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝐸𝐸𝑝𝑝 = − ∫0 ∫0 𝑞𝑞(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑤𝑤(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐷𝐷

dx dy

𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑎𝑎

0 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑚𝑚 ≠ 𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = �𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑚𝑚 = 𝑛𝑛 2

2 − 𝜈𝜈)�𝑤𝑤𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑤𝑤𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑤𝑤𝑦𝑦𝑦𝑦 �� 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

Bon Courage Dr. Z.BENADLA 2/2