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Zitiervorschau

B - CONTREVENTEMENT PAR VOILES I. CARACTERISTIQUES GEOMETRIQUES DES VOILES (CALCUL DE L’INERTIE EQUIVALENTE): La notion d’inertie équivalente permet, par une série de calcul, d’assimiler les refends avec ouvertures aux refends linéaires pleins. Pour la distribution des efforts horizontaux, il suffit de remplacer chaque refend avec ouvertures par un refend fictif dont l’inertie équivalente est évaluée comme suit : Par définition, on appelle « inertie équivalente » I e du refend considéré, l’inertie d’un refend linéaire plein fictif qui, soumis au même effort horizontal, présenterait à son sommet une flèche égale à celle du refend avec ouvertures. 1. REFENDS AVEC UNE FILE D’OUVERTURES : Elément de refend (1 , E ) (Trumeau 1)

Elément de refend ( 2 , E) (Trumeau 2)

 =1

Linteau (I, E’)

H

H h x

V

 = 0

V

2a 2c •G1

Ie •G2

Refend à une file d’ouvertures

Refend fictif

La flèche de ce refend fictif est : -Charge uniformément répartie (Vent) : f = -Charge triangulaire (Séisme) : f = où : V est l’effort tranchant à la base du refend 1

60 V .H 3 11 E.I e

V .H 3 8.E.I e

Il suffit d’évaluer le déplacement horizontal, flèche, au sommet du refend à une file d’ouvertures, et d’égaliser cette flèche avec la flèche du refend plein fictif. La flèche au sommet du refend à ouvertures est: • Charge uniformément répartie (vent) : V .H 3 2.m.c  0 ( ,  ) V .H 3 f = + E ( I1 + I 2 ) I 8.E.I 2 •Charge triangulaire (Séisme) : V .H 3 2.m.c  0 ( ,  ) V .H 3 f = + E ( I1 + I 2 ) I 8.E.I 2 De l’égalité des deux formules précédentes on obtient l’inertie équivalente: Charge uniformément répartie (vent) : I Ie = 16.m.c  0 ( ,  ) +1 ( I1 + I 2 )  2

Charge triangulaire (Séisme) : an I Ie = 60 2.m.c  0 ( ,  ) +1 11 ( I 1 + I 2 )  2

Avec : 1 1 1 sh 2 2 −  2 sh 2 + 2 (1 − )− ;  0 ( ,  ) = + − 2 3 2  ch  ch 3 ch  ch   = x/H avec : x = hauteur d’un niveau donné par rapport au niveau d’encastrement du refend. Les principales notations utilisées sont définies comme suit : I: inertie totale du refend. I = I1 + I 2 + 2.m.c E’: coefficient d’élasticité réel du matériau constituant le linteau E : coefficient d’élasticité réel du matériau constituant le refend. m : moment statique de chacun des éléments de refend par rapport au centre de gravité de 2c l’ensemble, m = 1 1 + 1  2 an = 11/20 + 9/20n – 1/30n2 – 1/30n3 (an est un coefficient dépendant du nombre d’étages) i: inertie du linteau. h : hauteur d’étage. H : hauteur du bâtiment. I 1 : inertie de l’élément 1. (trumeau1) I 2 : inertie de l’élément 2. (trumeau 2) Ω 1 : aire de section de l’élément 1. Ω 2 : aire de section de l’élément 2. 2a : intervalle entre les deux sections d’encastrement S1 et S 2 des linteaux. 2c : distance entre les centres de gravité de deux trumeaux consécutifs.  = .H (coefficient de monolithisme exprimant le taux de participation du linteau à la déformation de l’ensemble)  : voir paragraphe « calcul des sollicitations dues aux charges horizontales ».

 0 ( ,  ) =

2

2. REFENDS A PLUSIEURS FILES D’OUVERTURES :

H

H

V

V

I1

2.a1

I2

2.a 2

G3

G2

G1 2.c1

I3

I =  I i +  2.mi .ci Refend fictif

2.c2

Refend à plusieurs files d’ouvertures La même méthode que pour un refend à une file d’ouvertures est utilisée pour un refend à plusieurs files d’ouvertures. On évalue la flèche du refend plein fictif et on l’égalise avec la flèche du refend à ouvertures. On obtient l’inertie équivalente: -Charge uniformément répartie: I Ie = 8.I  0 ( ,  ) +1  Ii  2

-Charge triangulaire (séisme): an I Ie = 60 I  0 ( ,  ) +1 11  I i 2

3

II. CALCUL DU CENTRE DE MASSE ET DU CENTRE DE TORSION 2.1. Eléments de définition d’un voile :

y

yi

yoi

y i

i •

Oi

• i

Gi

xi

i xi

Y X

C

δ

j

O

xoi

i

x H

Hy

Hx

Chaque voile i est défini par : - son centre de torsion Oi ; - ses axes principaux d’inertie par rapport à son centre de gravité Gi : Oi xi et Oi yi ; - ses moments d’inertie principaux : I xi = ∫ y ² dS et I yi = ∫ x²dS par rapport à Gi ; - l’orientation  i avec le repère général :  i = angle de l’axe principal de l’inertie la plus grande avec l’axe O yi . Il est rappelé que : - le centre de torsion d’un voile simple (rectangulaire) est confondu avec son centre géométrique ou son centre de gravité ; - pour un voile composé possédant un centre de symétrie, le centre de torsion est confondu avec ce centre de symétrie ; - pour un voile composé de plusieurs voiles simples concourant au même point, ce point est le centre torsion ; - pour un voile en U symétrique, le centre de torsion est situé à l’extérieur de l’âme à une certaine distance. Par simplification, pour des voiles composés ne jouant pas un rôle prépondérant dans le contreventement, on pourra prendre leur centre de gravité comme centre de torsion. 2.2. Action d’une translation sur un voile due à l’effort extérieur H : Pour toute translation unitaire du voile n°i parallèlement à Ox, on obtient deux forces de rappel : - l’une parallèle à Ox et proportionnelle à l’inertie I yi par rapport à Oi y i ; 4

- l’autre perpendiculaire à Ox et proportionnelle à l’inertie composée I xyi . De même, pour toute translation du voile n°i parallèlement à Oy, on obtient deux forces de rappel : - l’une parallèle à Oy et proportionnelle l’inertie I xi par rapport à Oi xi ; - l’autre perpendiculaire à Oy et proportionnelle à l’inertie composée I xyi Les inerties I xi , I yi et I xyi sont obtenues à partir des inerties principales I xi , I yi avec  i = (Oi xi; Oi xi ) On obtient ainsi : I xi = I xi cos²  i + I yi sin²  i I

I yi = I xi sin²  i + I yi cos²  i

I xyi = ( I xi − I yi ) cos  i sin  i

=

Refend incliné

 = 0 puisque I xi et I yi sont les moments principaux d’inerties. car I xyi

+

I2

I1

Afin de déterminer le centre de torsion de la structure et la distribution des efforts horizontaux au niveau de chaque voile ; il est nécessaire de passer par le calcul des caractéristiques de tous les voiles (calcul des inerties). 2.3 Centre de masse : est par définition le point d’application de la résultante des efforts extérieurs (séisme).Les coordonnées (Xm ; Ym) du centre de masse par rapport au système d’axe Oxy sont données par :

 yi mi  xi mi ; Ym =  mi  mi mi - masse reprise par chaque voile (G et Q)

Xm =

2.4 Centre de torsion: le centre de torsion d'une structure est le centre de gravité de l'ensemble des voiles constituant le contreventement dans la structure. Si le centre de torsion est excentré par rapport au centre de masse, la résultante des forces horizontales provoque une translation parallèle à la direction de la force et une rotation des voiles due à cette excentricité.  I yi y i  I xi xi YCT = ; X CT =  I yi  I xi I xi I yi

: Inertie propre réelle ou équivalente d'un refend transversal. : Inertie propre réelle ou équivalente d'un refend longitudinal.

xi yi

: Distance algébrique d'un refend (i) transversal à l'axe Oy. : Distance algébrique d'un refend (i) longitudinal à l'axe Ox.

2.5 Détermination de l'excentricité: - Excentricité théorique: e x = X m − X CT et e y = Ym − YCT - Excentricité effective: eeff = e x = e y = 5% L ;

L est la plus grande dimension en plan.

(RPA version 2003) 2.6 Inertie polaire: Le calcul de cette inertie nous permettra d'effectuer la distribution des efforts sismiques éventuels dus à une excentricité entre le CDT et le CDM, au niveau de chaque étage. Elle est donnée par la relation: J  = J x + J y avec J x = I xi (d xi ) 2 et J y = I yi (d yi ) 2

d xi : Distance algébrique entre le CDG du voile (i) et l'axe du CDT dans le sens Ox. 5

d yi : Distance algébrique entre le CDG du voile (i) et l'axe du CDT dans le sens Oy.

I xi ; I yi : Inerties propres ou équivalentes des voiles.

III- DISTRIBUTION DES EFFORTS : Après avoir déterminé la force sismique au niveau de chaque plancher (étude parasismique), on effectue la distribution aux refends. Pour cela on utilisera la méthode du centre de torsion « Calcul pratique des tours en BA- Marius Diver). 3.1. Hypothèses de la méthode : Nous supposerons que : - les voiles sont de sections constantes sur la toute la hauteur du bâtiment, ou au moins que les inerties varient toutes dans les mêmes proportions et aux mêmes niveaux ; - pour des voiles avec ouvertures, on prendra leur inertie équivalente ; - les planchers sont infiniment rigides dans leur plan ; - les voiles ont les mêmes conditions d’encastrement en pied et même module d’élasticité ; - la répartition de l’effort H sera faite au prorata des rigidités, donc des inerties des voiles, car le rapport rigidité/inertie est le même pour une même déformation à une même altitude. Dans ce qui suit, nous utiliserons la notation des inerties au lieu de celle des rigidités. 3.2. Principe de la méthode : Il n’est pas rare d’avoir des voiles de contreventement irréguliers : voiles composés de forme complexe, orientations non perpendiculaire aux façades, elles mêmes non orthogonales. Il est proposé deux méthodes : - la méthode du centre de torsion ; - la méthode de la rigidité. Le principe de la méthode du centre de torsion consiste à faire distribuer l’action extérieure au niveau de chaque voile en fonction de leur rigidité (inertie) tout en tenant compte d’un : - effort H passant par le centre de torsion CT de l’ensemble des éléments de contreventement et provoquant une translation sans rotation ; - moment M = H e de l’effort extérieur H par rapport au centre de torsion provoquant une rotation du plancher sans translation. -

sens transversal : Y ex

M y = ex H y • CT

CT•

X • CM

=

+

• CT

Hy = Hy

Hy -

• CM

sens longitudinal : Y

M x = −ey H x • CT

ey

X • CM

Hx =

• CT

Hx = Hx • + CM

Avec ex et ey = max (eth ; eeff) 6

• CT

• CM

3.3. Effet de la translation : La résultante passe par le CDT et l’effort tranchant sera distribué aux différents éléments de contreventement proportionnellement à leurs inerties. Cet effet concerne les refends parallèles à la direction de l’effort horizontal : H jy I x H jx I y - sens transversal : H jy = - sens longitudinal : H jx = I x I y 3.4. Effet de rotation : L’augmentation de l’effort tranchant provoqué par la torsion horizontale due à l’excentricité accidentelle doit être prise en compte : M jx I y d y M jy I x d x - sens transversal : H jy = - sens longitudinal : H jx = J J -

H jx et H jy : efforts horizontaux à l’étage j sens x et y.

-

I x et I y

: inerties propres des refends longitudinaux et transversaux.

-

d x et d y

: distance en valeur algébrique par rapport au système d’axe CTXY.

-

ex et ey

: excentricité en valeur algébrique par rapport au système d’axe CTXY.

D’où l’effort résultant repris par chaque voile : H jy = H jy + H jy - sens transversal : - sens longitudinal :

H jx = H jx

H jx

+

IV- CALCUL DES SOLLICITATIONS DUES AUX CHARGES HORIZONTALES : 4.1. Voiles pleins : On les assimile à des consoles encastrées à leur base et soumises aux charges horizontales concentrées au niveau des planchers. Les forces F 1 , F 2 …..F n sont soit des forces sismiques calculées par le RPA2003, soit des forces dues au vent calculées par le règlement NV65. Fn

Vn = Fn

Fn-1

Vn −1 = Fn + Fn−1

Fj

Mn Mn-1

V j = Fn + Fn −1 + .... + F j +1 + F j

H

.

Mj Hn-1

Hj

V1 = Fn + Fn −1 + ... + F j + ... + F1

F1

M1

H1 M0 Diagramme des moments fléchissants

7

- L’effort tranchant d’étage est la somme des forces agissantes au-dessus de l’étage "j" considéré. - Le moment fléchissant en chaque niveau est égal à la somme des moments des forces extérieures (Fi) par rapport à l’étage « j » considéré : Mn-1= Mn + Fn h Mo = Fn H + Fn-1 Hn-1+…. + Fj Hj + …..+ F1 H1 4.2. Voiles à ouvertures : L’ensemble des voiles à ouvertures est constitué par des trumeaux reliés par des éléments horizontaux dits « linteaux ». Pour déterminer les sollicitations, on a choisi la méthode exposée par Albiges et Goulet. Principe :

Le principe consiste à admettre qu’un refend présentant des ouvertures peut-être assimilé, du point de vue de la résistance aux efforts horizontaux, à une structure constituée par deux ou plusieurs éléments de refends liés par des linteaux uniformément distribués sur la hauteur du bâtiment.

Hypothèses : 1- Les efforts localisés transmis par les linteaux peuvent être considérés comme répartis le long de la fibre moyenne de chaque trumeau. 2- Les éléments du refend subissent le même déplacement horizontal au niveau de chaque étage (si on néglige les déformations dues aux efforts normaux dans les linteaux). 4.2.1. Calcul pratique des refends à une file d’ouvertures : - Importance de l’ouverture (dimension) : La valeur de  permet de connaître l’importance de l’ouverture, trois types d’ouvertures peuvent être considérées: •si  < 1, le refend sera calculé comme un refend de grandes ouvertures. •si 1 <  < 10, le refend sera calculé comme un refend de moyennes ouvertures. •si  > 10, le refend sera calculé comme un refend de petites ouvertures. - Etape de calcul (valable pour les trois types d’ouvertures) : a) Calcul de  2 puis  , b) Calcul de  = H .  est une caractéristique géométrique de refend et sa valeur ne dépend pas de l’épaisseur du refend. Un refend d’épaisseur variable sur la hauteur possède une valeur unique de  . - Etape de calcul des linteaux: a) Calculer  = x / H . b) Trouver la valeur de  en fonction de  et  . c) Calculer l’effort tranchant à la section d’encastrement du linteau  d) Dimensionner le linteau en le considérant comme une poutre encastrée aux extrémités. Le moment d’encastrement est M =  .a ; l’effort tranchant V =  . Les efforts provenant du plancher seront superposés. - Etude des deux éléments de refends (Trumeaux) : a) Trouver la valeur de  en fonction de  et  . b) Calculer les moments dans les éléments de refends (Trumeaux). c) Calculer les forces axiales dans les éléments de refends (provoquées par les charges horizontales vent ou séisme).

N = 

8

A chaque étage on obtient: (   est la somme des efforts horizontaux à partir du sommet et jusqu'à l’étage considéré). - Vérification : Il est recommandé d’effectuer à la base du refend une vérification de l’équilibre extérieure: M = M 1 + M 2 + 2 N.c (M est le moment d’ensemble distribué au refend pris en considération). Les valeurs de M1 , M 2 , M et N sont celles calculées à la base du refend.

4.2.1.1. Cas général (moyennes ouvertures) :





h

H

N

N

M1 V

M2 M





- Cas d'une charge uniforme, vent:

-Cas d'une charge triangulaire, séisme: Vmh  ( ,  ) ; N =   I  (2 − 3 +  3 ) 2cm  I1 M1 = VH  − ( ,  ) I1 + I 2 3 I  

Vmh  ( ,  ) ; N =   I  (1 −  ) 2 2cm  I1 M1 = VH  −  ( ,  ) I1 + I 2 I  2 

=

=

M2 =

M2 =

 (1 −  )  I2 2cm VH  −  ( ,  ) I1 + I 2 I  2  2

Avec :

m=

2c 1 1 + 1  2

; 2 =

 (2 − 3 +  3 ) 2cm  I2 VH  − ( ,  ) I1 + I 2 3 I  

3E i I c E ( I 1 + I 2 )m a 3 h

Les valeurs de  ,  et  peuvent être calculées en fonction de  et  comme suit : Cas du séisme :

 ( ,  ) = 1 −  2 −

2

2

+

2 −  2 ch (1 −  ) 2 sh + ch  ch 2 9

1 2 2 −  2 sh (1 −  ) 2 ch ( ,  ) = (2 − 3 +  3 ) + 2  + − 2 3 ch  3  ch Cas du vent :

sh ch (1 −  ) −  ch sh 1 ch sh (1 +  )  ( ,  ) = (1 −  ) 2 + 2 (1 − )− ch  ch 

 ( ,  ) = 1 −  +

4.2.1.2. Cas des petites ouvertures : Quand α >10 on peut considérer que, pratiquement, α =>  .Les variations de  et  sont linéaires. A la base  = 1 et  = Vmh(1-  ) /I ; au sommet  = 0 et  = 0. Le refend se comporte comme un refend plein, l’influence des ouvertures ayant un caractère local. La valeur de M 1 et M 2 est nulle.





h

N

V

N M



  -Cas d'une charge uniforme, vent: α >10 (pratiquement α Vmh = (1 −  ) I M1 = M 2 = 0 N =  =

)

-Cas d'une charge triangulaire, séisme: α >10 (pratiquement α V .m.h = (1 −  2 ) I M1 = M 2 = 0 N =  =

M 2c

)

M 2c

4.2.1.3. Cas des grandes ouvertures : Quand α< 1 on peut considérer que, pratiquement, α 0. En conséquence  0. La rigidité des linteaux étant très faible (cas des planchers dalles par exemple), les deux éléments de refend sont simplement entretoisés par les linteaux, donc assujettis aux mêmes déformations horizontales. La répartition du moment fléchissant est proportionnelle aux inerties des refends ( = 0).

10

- Cas d'une charge uniforme, vent:

 < 1 (pratiquement  =0 ; N=0 I1 I1 H M1 = V = M I1 + I 2 2 I1 + I 2 I2 I2 H M2 = V = M I1 + I 2 2 I1 + I 2

-Cas d'une charge triangulaire, séisme:

 0,025.fc28 : At ≥ 0,0025 bs • Armatures en section courante (armatures de peau): Ac (2 nappes) ≥ 0,002 bh • Armatures diagonales: •si  b  0,06. f c 28 : AD = 0,0015 bh A

Coupe A-A : Al

AD

•

Fc

• • •

• •

•

•

•

•

•

•

 6 t = 10

 h

At

Ft

• s

h 4

• •

• •

•

Ac

Al

b A

l

 h 4 + 50

Armatures de linteaux •

5.2.2. Ferraillages des trumeaux: Les trumeaux seront calculés en flexion composée avec effort tranchant dans la direction de leur plan moyen. Si la 2ème condition fixée en 5.1 n’est pas respectée il y a lieu de faire le calcul dans les 02 directions (2ème direction orthogonale à la direction du plan moyen). Le calcul se fera en bandes verticales de largeur d: d  min (he / 2 , 2l ' / 3) l ' - étant la longueur de la zone comprimée. he - étant la hauteur entre nus de planchers du trumeau considéré. On devra disposer les ferraillages suivants des aciers verticaux et horizontaux.

16

5.2.2.1. Aciers verticaux: Lorsqu’une partie du voile est tendue sous l’action des forces verticales et horizontales, l’effort de traction doit être pris en totalité par les armatures, le pourcentage minimum des armatures verticales sur toute la zone tendue est de 0,20 %. Il est possible de concentrer des armatures de traction à l’extrémité du voile ou du trumeau; la section totale des armatures verticales de la zone tendue devant rester au moins égale à 0,20 % de la section horizontale du béton tendue. Les barres verticales des zones extrêmes devraient être ligaturées avec des cadres horizontaux dont l’espacement ne doit pas être supérieur à l’épaisseur du voile. Si des efforts importants de compression agissent sur l’extrémité, les barres verticales doivent respecter les conditions imposées aux poteaux. Les barres verticales du dernier niveau doivent être munies de crochets à la partie supérieure. Toutes les autres barres n’ont pas de crochets (jonction par recouvrement). A chaque extrémité du voile (trumeaux), l’espacement des barres doit être réduit de moitié sur 1/10 de la largeur du voile. Cet espacement doit être au plus égal à 15cm. ≥ 4HA10 S/2

• • • •

• •

• •

S

• •

• •

• •

L/10

• •

• •

• •

• •

L/10 L

Disposition des armatures verticales dans les voiles 5.2.2.2. Aciers horizontaux: Les barres horizontales doivent être munies de crochets à 135° ayant une longueur de 10  . Dans le cas où il existe des talons de rigidité, les barres horizontales devront être ancrées sans crochets si les dimensions des talons permettent la réalisation d’un ancrage droit. 5.2.2.3. Règles communes: Le pourcentage minimum d’armatures longitudinales et verticales des trumeaux, dans chaque direction, est donné comme suit: • globalement dans la section du voile : 0,15% • en zone courante: 0,10% L’espacement des barres horizontales et verticales doit être inférieur à la plus petite des deux valeurs suivantes: s ≤ min (1,5a ; 30 cm) Les deux nappes d’armatures doivent être reliées avec au moins 4 épingles au mètre carré. Dans chaque nappe, les barres horizontales doivent être disposées vers l’extérieur. Le diamètre des barres verticales et horizontales des voiles (à l’exception des zones d’about) ne devrait pas dépasser 1/10 de l’épaisseur du voile. Les longueurs de recouvrement doivent être égales à: - 40  pour les barres situées dans les zones où le renversement du signe des efforts est possible; - 20  pour les barres situées dans les zones comprimées sous l’action de toutes les combinaisons possibles de charges. Le long des joints de reprise de coulage, l’effort tranchant doit être pris par les aciers de couture dont la section doit être calculée avec la formule: V Avj = 1,1.

s

Cette quantité doit s’ajouter à la section d’aciers tendus nécessaires pour équilibrer les efforts de traction dus aux moments de reversement. 17

BIBLIOGRAPHIE

- M. ZERARI : « Calcul pratique des structures parasismiques ». - R. LACROIX- A. FUENTES- H.TONIER : « Traité de Béton Armé » Eyrolles. - A.CHANTI : « Contreventement des bâtiments par voiles ». OPU - H.TONIER : « Le projet de Béton Armé ». Eyrolles. - M. DIVER : « Calcul pratique des tours en Béton Armé ».DUNOD - ALBIGES et J. GOULET : « Contreventement des bâtiments ». - Y. CHERAIT : « Calcul des ouvrages en Béton Armé ».OPU. - DTR Algérien : « Règles Parasismiques Algériennes ». RPA 2003.

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