Serie Dexercices Calcul Vectoriel - 2nd Sunudaara [PDF]

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Accueil / Série d'exercices : Calcul vectoriel - 2nd

Série d'exercices : Calcul vectoriel - 2nd Classe: Seconde Exercice 1

Dans chacun des cas suivants, reproduire le quadrillage, puis construire le vecteur w tel que w = u + v . →

  a) 

b) 

c)

d)

e) 

→

→

→

f)

g) 

h)  

Exercice 2

On considère la figure ci-dessous :  

Corrections des exercices     → → → → → → Construire les points B et C tels que : AB = u + v et AC = u − v   Représenter les vecteurs u + v et u − v →

→

→

→

Exercice 3 → Dans chacun des cas suivants, reproduire le quadrillage, puis construire le vecteur → u +→ v +w

a)  

b)  

c)  

d)  

Exercice 4

→ → 4→ 1→ Soit ABC un triangle. Construire les points E et F tels que : AE = AB et BF = − AC 3 2 Exercice 5

Sur une feuille à carreaux, reproduis la figure ci-dessous, puis construis des points A , B , C , D tels que → → 7→ → → → AB = 5 u − v et CD = − 3 u + 2 v 2  

  Exercice 6

→ → → On considère un triangle ABC et on pose u = AB et v = AC. →

  Construire les vecteurs 2→ u − 3→ v , −

3→ 5 u + 2→ v , − 3→ u− → v. 2 2

Exercice 7

→ → 1→ → → Construire les points E et F tels que DE = w − 3→ u et DF = − w + u. 2  

  Exercice 8

Compéter à l'aide de la relation de Chasles :   → → → a) IL = IK + K. . .

→ → → b) CD = CE + . . . D 

  → → → c) CD = . . . J + ⋯

→ → → d) . . . D = C. . . + H. . .

  → → → e) CD = . . . A + A. . .

→ → → f) H. . . = . . . + BD 

  → → → g) PQ = P. . . + . . . Q

→ → → h) ⋯ = AB + . . . Q

  → → → → → i) AB + BD + DJ + JH = ⋯

→ → → → j) AB = . . . K + . . . P + ⋯ 

  → → → → k) . . . A = BD + ⋯ + C. . . Exercice 9

On considère la figure ci-dessous constituée de triangles équilatéraux. Les points A , B , . . . , L sont les sommets des précédents triangles.   Compléter  

    → → → 1) AE + AF = A. . .

→ → → 2) AE + EK = A. . .  

  → → → 3) EG + GE = ⋯

→ → → 4) EG + AF = E. . .

Exercice 10

[AB] est un segment de longueur 8 , cm. On se propose de construire un point M tel que : → → → MA + 3MB = 0 a) Démontrer en utilisant la relation de Chasles que la relation ci-dessus s'écrit aussi : → → → 4MA + 3AB = 0 → → b) En déduire l'expression de AM en fonction de AB et construire le point M. Exercice 11

En utilisant la relation de Chasles, compléter les égalités suivantes :   → → → a) IJ = IB + B. . .

→ → → b) CD = . . . A + A. . .  

  → → → c) MN = . . . P + ⋯

→ → → → d) . . . E = F. . . + P. . . + G. . .

  → → → e) H. . . = ⋯ + IJ

→ → → f) . . . = JK + . . . M 

  → → → → g) AB + CD + BC = ⋯

→ → → → h) AB = . . . C + . . . D + ⋯

Exercice 12

On donne un triangle ABC.   1) Démontrer que, lorsque M varie dans le plan P, le vecteur v

→

M

→ → → = 2MA − 5MB + 3MC reste constant.

→ → → → → → (Écrire MB = MA + AB et MC = MA + AC)   → → → 2) Même question pour le vecteur − 3MA + MB + 2MC Exercice 13

On donne un triangle ABC. On considère les points A ′ , B ′ et C ′ tels que : →′ 1→ AA = BC , 3   →′ →′ →′ → Démontrer que : AA + BB + CC = 0 Exercice 14

→′ 1→ BB = CA , 3

→ ′ 1→ CC = AB 3

→ 4→ → → → ABC est un triangle. J est le point tel que BJ = BC. Exprimer AJ en fonction de AB et BC. 3 Exercice 15

→ 2→ → 1→ IJK est un triangle. Les points E et F sont tels que : IE = IJ et IF = IK 3 3   M est le milieu du segment [IK].   → → → → Exprimer EF et JM en fonction de IJ et IK Exercice 16

→ 2→ → 3→ ABCD est un parallélogramme. Les points E et F sont tels que  IE = DC et BF = BC 3 2   → → → → Exprimer AE et AF en fonction de AB et AD Exercice 17

ABC est un triangle,α un nombre réel. On considère les points P , Q et R définis par : → → AP = αAB ,

→ → CQ = αCA ,

→ → CR = αBC

  → → → → Exprimer PQ et PR en fonction de AB et AC Exercice 18

A , B et C sont trois points non alignés. Les points D , E et F sont définis par les égalités de vecteurs → → → → 3→ → suivants : AD = 3AB , AE = AC , BF = 2BC 2   → → → → Exprimer DE et DF en fonction de AB et AC Exercice 19

Le segment [AB] est divisé en 6 parties de même longueur. Compléter les relations suivantes par la lettre ou le nombre qui convient.  

  1) EC = . . . EF

2) C. . . = . . . G

3) AB = A. . .

4) CE = . . . AB

5) AD = . . . BF

Exercice 20

→ → → Reprendre l'exercice 14 précédent. Soit I le point tel que AI = 3AB + 2BC.   Montrer que les points A , I et J sont alignés. Exercice 21

Reprendre l'exercice 15 précédent.   Montrer que les droites (EF) et (JM) sont parallèles. Exercice 22

6) DE = . . . BF

Reprendre l'exercice 16 précédent.   Montrer que les points A , E et F sont alignés. Exercice 23

Reprendre l'exercice 17 précédent.   Existe-t-il des valeurs de α pour que les points P , Q et R sont alignés. Exercice 24

Reprendre l'exercice 18 précédent.   Montrer que les points D , E et F sont alignés. Exercice 25 

Soit ABC un triangle quelconque.   → → 1) Construire les points D et E tels que AD = BC ,

→ → CE = 2BA

  2) Démontrer que D est le milieu de [CE] Exercice 26

Soit ABC un triangle. Construire les points M et N tels que :

{

→ → AN + AM

=

→ AB

→ → AN − AM

=

→ AC

Exercice 27

Construire trois vecteurs u , v et w tels que →

→

→

{

→

→

→

=

→

=

u + v − 2w →

→

u− v+w

→

0

→

0

Démontrer que u et v sont colinéaires au vecteur w  →

→

→

Exercice 28

ABC un triangle quelconque, M milieu de [AB] et I milieu de [MC]   → 1→ 1) Construire le points K tel que CK = CB 3   2) Démontrer que les points A , I et K sont alignés. Exercice 29

Soit A et B deux points distincts du plan, I milieu de [AB]   1) Démontrer que pour tout point M du plan → → → AM + BM = 2IM   2) Déterminer et construire l'ensemble C des points M du plan tels que → → | | AM + BM | | = 2AB

Exercice 30

Soit un triangle DIM et soit A le milieu de [DM]   → → → → a) Construire les points T et H tels que DT = 4DI et IH = 3IM   b) Démontrer que (TH) / / (IA) Exercice 31

Soit ABC un triangle quelconque.   → → → → → → → 1) a) Montrer que l'égalité DA − 3DB + DC = 0 équivaut à l'égalité AD = 3AB − AC. Construire le point D.   → → → → b) Montrer que MA − 3MB + MC = − 4MD quelque soit le point M   → → → c) Montrer que BA + BC = − BD   → → → → 2) Soit M un point quelconque, on pose V = MA − 2MB + MC   → → → → Montrer que V = BA + BC et placer le point E défini par V = AE →

  3) Montrer que les droites (BD) et (AE) sont parallèles Exercice 32

Soit ABC un triangle   → → 2→ 2→ 1) Construire les points M et N tels que AM = − AB et AN = − AC 3 3   2) Démontrer que (MN) / / (BC)   3) Soient S et T les milieux respectifs de [BC] et [MN]. Démontrer que les points A , S et T sont alignés. Exercice 33

Soit ABC un triangle de centre de gravité G et I milieu de [BC]   1) Démontrer que pour tout point M du plan → → → → MA + MB + MC = 3MG ;

→ → → → 2MA − MB − MC = 2 IA

  → → → → → → 2) Quel est l'ensemble des points M tels que les vecteurs MA + MB + MC et 2MA − MB − MC soient colinéaires.   3) Quel est l'ensemble des points M tels que → → → → → → | | MA + MB + MC | | = | | 2MA − MB − MC | | Exercice 34

ABCD est un parallélogramme, I milieu de [AB] et J celui de [CD]   1) Démontrer que les droites (ID) et (JB) sont parallèles.   → → 1→ 2→ 2) a) Construire les points M et N tels que AM = AC et  AN = AC 3 3

  b) Démontrer que les points M et N appartiennent respectivement aux droites (ID) et (JB)   3) Démontrer que MINJ est un parallélogramme   4) Soit {E} = (ID) ∩ (BC), montrer que B est milieu de [CE] Exercice 35

→ → 1→ 1→ ABCD est un parallélogramme, E et F deux points définis par AE = − AD et  EF = BA 2   → → → → 1) Exprimer AC et AF en fonction de AB et AD   2) Démontrer que les points A , F et C sont alignés   → → 3) Exprimer les coordonnées de A , F et C dans le repère (A ; AB , AD) puis calculer les coordonnées de → → AF et AC Exercice 36

→ → 1→ Soit ABCD un parallélogramme. On considère E défini par CE = DA − AB et le point F symétrique de D 2 par rapport à E   1) Démontrer que E est le milieu de [AB] et B le milieu de [CF]   2) Démontrer que ADBF est un parallélogramme Exercice 37

Soit ABC un triangle, I , k et M trois points tels que :   → 1→ → 1 → → 1→ CK = CB , CI = CM , AM = AB 3 2 2   → 1→ 1→ 1) Montrer que AI = AB + AC 4 2   → 1→ 2→ 2) Montrer que AK = AB + AC 3 3   3) En déduire que A , I et K sont alignés Exercice 38 

  On considère l'hexagone régulier ABCDEF de centre O ci-dessus, et I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [ED]. En utilisant les lettres de la figure citer :    a) deux vecteurs égaux   b) deux vecteurs colinéaires de sens contraire et normes distinctes.   c) deux vecteurs colinéaires de même sens et de normes différentes.   d) deux vecteurs orthogonaux.   e) deux vecteurs non colinéaires et de même norme.    f) deux vecteurs opposés.   g) deux vecteurs non colinéaires et de norme distinctes. Exercice 39 

On considère la figure ci-dessous :  

    → 1) Citer tous les vecteurs égaux à AB.   → 2) Citer tous les vecteurs égaux à FE.   → → 3) Déterminer un ou plusieurs vecteurs égaux à AB + FE.

  4) Déterminer un vecteur égal aux vecteurs suivants :   → → a) AB + AH

→ → b) BA + BC

→ → c) BC + DE

  → → d) BF + GF

→ → e) AE + FB

  N.B. Pour chacune des réponses, on utilisera uniquement les lettres de la figure. Exercice 40

A , B , C , D sont quatre points. Démontrer que :   → → → → → 1) AB − CD − (AB − BA) = DA    → → → → 2) AD + BC = (AC + BD) Exercice 41

Écrire les vecteurs suivants en utilisant le moins de vecteurs possibles :   → → → u = DE + AB − DB (1 vecteur)

→

  → → → v = 2(AB + AC) + BC (2 vecteurs)

→

 

(

)

→ 1→ 1→ w = BA − 2 DB − AC (2 vecteurs) 2 4 →

Exercice 42

O et A sont deux points distincts :   1) Placer les points M , N , P tels que :   → → a) OM = 2OA

→ → b) ON = − 3.5OA

→ → c) OP = − 7OA

  → → → 2) a) Exprimer le vecteur OM + ON en fonction de OA.   → → b) Exprimer le vecteur OP en fonction de ON. Exercice 43

A , B , C et D sont quatre points quelconques du plan.   → → → → → → 1) Construire les points R et S tels que AR = AB + CD et AS = AD + CB.   Quelle remarque peut-on faire ?   → → → → 2) Démontrer que AB + CD = AD + CB. Exercice 44

ABCD est un parallélogramme de centre O.   → → → → 1) Calculer la somme vectorielle OA + OB + OC + OD.  

2) M étant un point quelconque du plan, placer les points E , F , G et H tels que :   → → → → → → → → ME = AB ; MF = BC ; MG = CD et MH = DA   Démontrer que le quadrilatère EFGH est un parallélogramme. Exercice 45

→ → → → → → → OAB est un triangle, D et C les points tels que : OD = OA + OB et OA + OB + OC = 0 .   1) Démontrer que O est le milieu de [CD].   → → → → → → 2) E et F sont les points tels que :  OE = OA + OC et OF = OB + OC. Démonter que ABFE est un parallélogramme. Exercice 46

A , B , C , D sont quatre points   1) Construire les points E , F tels que    → → → → → → → → AE = AB + AC − BC et AF = AB − AC + AD.   → → → 2) Montrer que FE = AC + DB Exercice 47

    Sur la figure, les quadrilatères SALE , SAIC , SCAE , BAEL , LAIB et BACI sont des parallélogrammes.   En n'utilisant que les points de la figure, écrire chacune des sommes suivantes sous forme d'un seul vecteur.   → → AB + AL ,

→ → → AB + BL + LA ,

  → → → AB + AL + AE ,   → → → SI − EL − SL ,

→ → AB − AL

→ → → AE − (CA + SC) ,

→ → SA − LB

→ → → SI − EL + SL 

Exercice 48

Simplifier au maximum l'écriture des vecteurs suivants en utilisant la relation de Chasles :   → → → → 1) u = AB − AC − CB ;  

→ → → → v = BC − BA − BD − BC

→

→ → → w = AB − AC − CB ; →

→ → → t = MA − MB + AB

→

  → → → → 2) u = DA + BC + CD ;

→ → → → v = AB + BC − CD + AD

→

  → → → w = AC + 2CB + BA ;

→ → → t = 2AB − BC − CA

→

→

  → → 3) en fonction de AB et AC   → 1→ → → → → → u = 2AB − AC + BC ; v = BA + 3CA − 2BC 3   → → → → → → 2 → → → w = (AB − 5BC) + CA ; t = 2(MB − AC) + MB − 3MC 5 →

Exercice 49

→ → → ABC est un triangle. Exprimer le vecteur AM en fonction de AB et AC et construire le point M dans chacun des cas suivants :   → → → a) AM + BC = AB ;

→ → → b) 2MA + AC = AB

  → → → c) MA + MB = AC ;

→ → → → d) MA + MB + MC = 0

Exercice 50

ABCD est un parallélogramme, I et J les points tels que :    → 1→ → 1→ AI = AB ; AJ = AD. 2 3   → 3→ Soit G le point tels que : IG = IJ . 5   Construire la figure et monter que les points A , C , G sont alignés. Exercice 51

Dans un triangle ABC, on considère par M le milieu de [AB], par I celui de [MC] et K le point tel que → 1→ CK = CB 3   → 1→ 1→ → 1→ 2→ 1) Montrer que AI = AB + AC et AI = AB + AC. 4 2 3 3   2) En déduire que les points A , I , K sont alignés. Exercice 52

ABC un triangle,O un point quelconque, G et P les points tels que :    → → → → → 2→ AG = AB et OP = OA + 2OB − 3OC 3   → → → 1) Montrer que 3OG = OA + 2OB.   2) Montrer que les droites (OP) et (CG) sont parallèles. Exercice 53

Soit ABC un triangle. Placer les points D et E tels que :   → → → → EB = BA et ED = 2BC   Montrer que le point C est le milieu du segment [AD]. Exercice 54

Soit ABCD un parallélogramme, E le milieu de [BC] et F le milieu de [DC].   → → → 1) Démontrer que AC + BD = 2BC   → → 3→ 2) Démontrer que AE + AF = AC. 2 Exercice 55  Caractérisation du milieu d'un segment

1) Soit [AB] un segment et I son milieu. Démontrer que :   → → → si M est un point quelconque du plan, alors : 2MI = MA + MB   2) Soit [AB] un segment et M  un point quelconque du plan. Démontrer que, si le point I est défini par la relation vectorielle : → → → 2MI = MA + MB alors I est le milieu du segment [AB]. Exercice 56

1) Soit ABC un triangle, I le milieu de [AB] et J le milieu de [AC].   → 1→ Montrer que IJ = BC. 2   2) Soit ABDC un quadrilatère quelconque, I , J , K et L les milieux respectifs de [AB], de [AC], de [DB] et de [DC].   Démontrer que IJKL est un parallélogramme (on pourra utiliser la question 1).   Quelle condition faut-il rajouter sur ABDC pour que IJKL soit un losange ? un rectangle ? un carré ? Exercice 57

ABCD un parallélogramme de centre O , E est le milieu de [AB] , F celui de [CD]. Les droites (DE) et (BF) coupent la droite (AC) en L et M respectivement.   1) Montrer que L est centre de gravité du triangle ABD.   → 1→ En déduire que OL = OA. 3   → 1→ 2)Prouver que OM = OC et que O est le milieu de [ML] 3 Exercice 58

→ → → → ABCD est un trapèze tel BC = 2AD , k est un nombre réel et M le point défini par AM = kAB se projette en K sur (AC) parallèlement à (BC) et en N sur (CD) parallèlement à (BC).   → → → → 1) Montrer que MK = 2kAD et NK = (k − 1)AD.

  → 3→ 2) Déterminer le réel k pour que K soit le milieu de [MN], puis pour que MN = AD 2 Exercice 59

Soit ABCD un carré. On construit sur [DC] et à l'intérieur du carré le triangle équilatéral DCE.   On construit sur [BC] et à l'extérieur du carré le triangle équilatéral BCF.   → → → → 1) Exprimer les vecteurs AE et AF en fonction des vecteurs AB et AD.   2)En déduire que les points A , E , F sont alignés. Exercice 60

Soit un triangle ABC ; D et E les symétriques de B par rapport à A et C ; F et G les milieux des segments [DC] et [AE].   On désigne par M le point d'intersection de (BF) et (AC) , N celui de (BG) et (AC).   → → → Montrer que l'on a AM = MN = NC.   On désigne par I et J les milieux de [AD] et [CE].     Montrer que les points I , F , G , J sont alignés et que :   → → → IF = FG = GJ.   On désigne par K le milieu de [BF]. Montrer que les points K , N et J sont alignés.   On désigne par P le point d'intersection de (DC) et (AE). Montrer que (MN) est parallèle à (BC).   → → Déterminer le réel α tel que BK = αBM. Exercice 61

Soit ABCD un parallélogramme et les points I et J milieux respectifs des segments [AB] et [CD].   1) Démontrer que les droites (ID) et (JB) sont parallèles.   2) Construire les points M et N tels que :   → → 1→ 2→ AM = AC et AN = AC. 3 3   → → → → 3) Exprimer IM et ID en fonction des vecteurs AB et AC.   En déduire que M appartient à la droite (ID).   → → → → 4) Exprimer BJ et BN  en fonction des vecteurs AB et AC.   En déduire que N appartient à la droite (JB).   5) Démontrer que MINJ est un parallélogramme.   6) Soit E le point d'intersection des droites (ID) et (BC).   Démontrer que B est le milieu du segment [CE].

Exercice 62

Soit ABC un triangle non rectangle ; O le centre et r le rayon de son cercle circonscrit C.   → → → → 1) On considère le point H défini par : OH = OA + OB + OC.   → →′ → →′ → → ′ a) Montrer que : AH = 2OA , BH = 2OB et CH = 2OC , avec A ′ , B ′ , C ′ milieux respectifs de [BC] , [CA] et [AB].   b) En déduire que : (AH) ⊥ (BC) et (BH) ⊥ (CA).   Que représente alors le point H ?   2) On désigne par I , J , K les milieux de [AH] , [BH] , [CH]. Montrer que les segments [OH] , [IA ′ ] , [JB ′ ] , [KC ′ ] ont le même milieu Ω.   → 1→ → → 1→ 1→ 3) Montrer que : ΩI = OA , ΩJ = OB et ΩK = OC. 2 2 2   En déduire que les points I , J , K appartiennent au cercle C ′ de centre Ω et de rayon

1 r. 2

  →′ → ′ 1→ →′ 1→ 1→ 4) Montrer que : ΩA = − OA , ΩB = − OB et ΩC = − OC 2 2 2   En déduire que les points A ′ , B ′ , C ′ appartiennent au cercle C ′ .   5) On désigne par A 1 , B 1 , C 1 les pieds sur (BC) , (CA) , (AB) des hauteurs du triangle ABC.   Montrer que les points A 1 , B 1 et C 1 sont éléments du cercle C ′ .   6) Soit G le centre de gravité du triangle ABC. Montrer que les points O , G et H sont alignés.   7) Les résultats précédents sont-ils vérifiés lorsque le triangle ABC est rectangle ? Faire par exemple une figure avec le triangle ABC rectangle en A.   Que dire des points O , G , H , Ω, lorsque le triangle ABC est équilatéral ?   Notes :   ⋅ C ′ est appelé cercle d'Euler du triangle ABC.   ⋅ Lorsque le triangle ABC n'est pas équilatéral, la droite (OH) est appelée droite d'Euler de ABC.

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