Calcul Integral Serie D Exercices 1 2 [PDF]

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CALCULS INTEGRALES Exercices d’applications et de réflexions PROF : ATMANI NAJIB

2BAC sciences expérimentales (pc et svt.)

TD : CALCULS INTEGRALES Exercice1 :Calculer les intégrales suivantes : 1) I 

2) J    2 x  3 dx

4

1

2 3xdx e



4) L   4 cos  2 d 0

Exercice2 :Calculer les intégrales suivantes : 1) I1    2 x  1 dx 2

0

3) I 3  

1 dx x2

2

1

ln 2

5) I5   7) I 7  

0



1

ln 2

0

6) I 6  

2

8) I8  

ln2

0

0

l n16 ex  3 1 dx et J   dx x x 0 e 4 e 4

1)Calculer I  J et I  3J 2)en déduire I et J Exercice6: Calculer les intégrales suivantes :

2t

e dt



1) I 

e x  e x dx e x  e x

l n3

l n16

0

ln 2 x dx x

e

1

ex dx ex  1

ln2



on pose : I  

2) I 2   x 4  4 x3  2 dx 4) I 4  

tet dt

0

1



1)Calculer I  J et I  J 2)en déduire I et J Exercice5 :

0

1 dt t

e2

3) K  



Exercice4: on pose I   4 cos 2 xdx et J   4 sin 2 xdx

x2

3

1

x

2

ln 3

 4x

2

dx

2) I   2  e x dx 0

2

3) I   x 2  x  2 dx 0 Exercice7:on pose :

9) I 9  

ln x dx x

e

1

10) I10   2

 3x  4 

5

dx 14) I14 



15) I15   cos xdx 2

4 0

17) I17  

19) I19  

2

1

1

  2  cos 3x  dx 3 0

18) I18    x  1 e 1

x 1

8x 9  4x  2 dx x

1) I   x  1dx 0

2) J   x  x  1 dx

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0

2

J   2 sin 2 x  cos 2 xdx 0

1)Calculer I  J et I  J 2)en déduire I et J 

2

0

Exercice3: Calculer les intégrales suivantes : 3

0



  16) I16    1 2  1  dx 0 2x  1    x  1 

 1 2 dx 20) I 20   4  tan x  dx 0 x 1  ln x 

e

21) I 21   1



Exercice8:on pose : I   2 cos2 x  cos 2 xdx et

1

ln 3 x dx x

e

Calculer A  B



3

2

e e1 1  A     ln t dt et B   1  ln   dt 1 1 t   t  

dx

12) I12   2 cos x sin 3 xdx 0

0

1

x  3x  4 2



1

11) I11   2 x  1dx 13 I13  

2x  3

3

dx

Exercice9 :on pose : K   4 0



L4 0

cos x dx et cos x  sin x

sin x dx cos x  sin x

1)Calculer K  L et K  L 2)en déduire K et L Exercice10 :1)verifier que :

x 

 1

t2 1  t 1 1 t 1 t 1

t2 dt 0 1 t

2) Calculer l’ intégrale suivante : I  

1

Exercice11 : 1)verifier que :

x 

 1;1

4x  5 9 1   2 x  1 2  x  1 2  x  1

2) Calculer l’ intégrale suivante : I  

5

3

4x  5 dx x2  1

Exercice12 : Calculer l’ intégrale suivante : I  

1

0

x 1 dx x 1

Exercice13 : 1) determiner les réels a et b tels que :

Exercice19 :soit la suite numérique u n  définie 1 dx 0 1  xn

par : un  

1

n 

1)Montrer que u n  est croissante 2) Montrer que :

1  un  1 2

n 

Exercice 20:soit la suite numérique u n  e nx dx 0 1  ex

définie par : un  

1

n 

1)Montrer que :

x3 bx  ax  2 2 x 1 x 1

x   0;1 :

n 

2)en déduire l’ intégrale suivante : I  

1

0

x3 dx x2  1

Exercice14 : Calculer l’ intégrale suivante : 1 1 I  2 dx 0 x 4

enx enx enx   1  e 1  ex 2 u  et lim  nn  n  e  

2) En déduire: lim un n 

Exercice 21: on considére la fonction numérique par : f  x  

définie sur



Exercice15 :on pose : I   2 cos 4 xdx 0

1 1)montrer que : cos x   cos 4 x  4 cos 2 x  3 8

ex

e

x



1

2

Déterminer La valeur moyenne de f sur  0;ln 2

4

x 

(linéarisation de cos 4 x )

2)en déduire l’ intégrale I Exercice16 : Montrer les inégalités suivantes 1 e 2 1 1)  ln xdx  0 2)   e x dt  1 1 e 0 2 1 x 1 1 dx  Exercice17 : Montrer que :  I   0 1 x 6 3

Exercice18 :d’application Soit f : x  e  x ²

Exercice 22: Calculer les intégrales suivantes :

 ln x 

e

1) B  

x

1

F  a    f  x dx 0  f  x  e . x

2) En déduire que pour tout réel a  1 :

0  F  a   e1 . Prof/ATMANI NAJIB

1

2) C   2 x x ²  1dx 0



ln 2

0

0

1) I   x sin xdx 2) J  

e

xe x dx 3) K   ln xdx 1

Exercice24 : En utilisant une intégration par partie calculer :1) I 

J 

e3

1

3) K 

1

1)Démontrer que pour tout réel x  1 :

dx

Exercice 23 : Calculer l’ intégrale suivante :

ln x 3

Définie sur R. Pour tout réel a  1 , on s’intéresse à l’intégrale a

3

1

0

4) M 

x2

1

0 xe

2x

dx

2)

dx

x ex dx 3) L 

1 x ln x dx e



02 x

2

sin xdx

5) N 

1 cos  ln x dx e

Exercice25 : En utilisant une intégration par partie calculer : J    x  1 e  x dx 1

0

1





K   ln 1  x dx 0

2

M   x 1  ln x  dx e

N 

x dx cos 2 x

4 0

1

R





e

1 x ln xdx

Q

02 x

Exercice26 : On pose : I 0  

1

0

n 



1

In   x

2

cos xdx

x  3dx

0

Soit f définit par : f  x   1  e x Calculer 𝑆 la surface du domaine limité par : 𝐶𝑓, l’axe des abscisses et les droites : x  ln 2 et x  ln 4





Calculer A la surface du domaine limité par : 𝐶𝑓, l’axe des abscisses et les droites : x  ln 3 et x  ln 6

b) Calculer I1 en utilisant une I.P.P 2- Montrer que la suite  I n n est décroissante. 3- a) En utilisant un encadrement adéquat,

3 2  In  n 1 n 1

b) En déduire la limite de la suite  I n n



 2cm

i  2cm et Soit f définit par : f  x   e x  3

1- a) Calculer I 0

montrer que :

 o; i; j  repère orthonormé avec i

Exercice 31: o; i; j repère orthonormé avec

x  3dx

n

Exercice30 :







Exercice 32: o; i; j repère orthonormé avec i  2cm et Soit f définit par : f  x   ln x  1

Calculer A la surface du domaine limité par : 𝐶𝑓, l’axe des abscisses et les droites : x  1et x  e Exercice 33: o; i; j orthonormé avec i  2cm





Exercice 27: o; i; j repère orthonormé avec Soit f et g deux fonctions tels que: i  1cm Soit f définie sur 1;3 par : f  x   2 x  1 2e x f x    x  e x et g  x   e x 1)verifier que f est continue et positif sur 1;3 e 1 2)tracer 𝐶𝑓 la courbe représentative de la fonction 𝑓 sur 1;3 calculer en cm 2 𝑆 la surface du domaine limité par 3) calculer 𝑆 la surface du domaine limité par : 𝐶𝑓, l’axe des abscisses et les droites : 𝑥 = 1  C f  ; Cg  et les droites x  0 et x  ln 2 et 𝑥 = 3



4)calculer l’intégrale : I   f  x  dx 3

Que peut-on dire ? Exercice 28:

 o; i; j  repère orthonormé avec

i  2cm et Soit f définit par : f  x   x



Prof/ATMANI NAJIB

i  0.5cm et Soit f définit par : f  x   x²  8x  12

et  D  la tangente à la courbe  C f  au point

2

1)tracer 𝐶𝑓 la courbe représentative de 𝑓 2) calculer 𝑆 la surface du domaine limité par : 𝐶𝑓, l’axe des abscisses et les droites : 𝑥 = 1 et 𝑥 = 2 Exercice 29: o; i; j repère orthogonale avec i  2cm et j  3cm Soit f définit par : f  x   x 2  2 x 1)tracer 𝐶𝑓 la courbe représentative de 𝑓 2) calculer 𝑆 la surface du domaine limité par : 𝐶𝑓, l’axe des abscisses et les droites : 𝑥 = 1 et x  3





Exercice34 : o; i; j repère orthonormé avec

1

A  3; f (3) 

Calculer A la surface du domaine limité par :

 C  et les droites :  D  et x  1 et x  e f





Exercice35 : o; i; j repère orthonormé avec ln x x Calculer A la surface du domaine limité par : 𝐶𝑓 et les droites : y  x  1 et x  1 et x  e i  1cm et Soit f définit par : f  x   x  1 

3





Exercice36 : o; i; j repère orthonormé Soit 𝑓 et 𝑔 deux fonctions tels que: f  x   e g  x   xe

x

x

et

Calculer A la surface du domaine

limité par :  C f

 ; C  et les droites g

x  0 et x  1

Exercice37 : Soit la fonction 𝑓 définie sur ℝ par : f  x 

C’est en forgeant que l’on devient forgeron Dit un proverbe. C’est en s’entraînant régulièrement aux calculs et exercices Que l’on devient un mathématicien

xe x  x  1 ex 1

1) Déterminer la fonction dérivée de la fonction 𝑓 et vérifier qu’elle est strictement croissante. 2) Déterminer la surface 𝑆1 du domaine limité par l’axe (𝑂𝑥) ; la courbe 𝐶𝑓 et les droites: 𝑥 = 0 et 𝑥 = 1. 3) Déterminer la surface 𝑆2 du domaine limité par la droite (Δ) 𝑦 = 𝑥 ; la courbe 𝐶𝑓 et les droites: 𝑥 = 0 et 𝑥 = 1. Exercice38 : o; i; j; k orthonormé avec i  2cm





Soit la fonction 𝑓 définie sur



par : f  x   x

Déterminer en cm3 le volume du solide engendré par La rotation de la courbe 𝐶𝑓 au tour de l’axe des abscisses entre 𝑎 = 0 et 𝑏 = 4





2 Exercice39 : o; i; j; k orthonormé avec i  cm

Soit la fonction 𝑓 définie sur



3

par :



f  x   x e x  1 et  C  la courbe de 𝑓

Déterminer en cm3 le volume du solide engendré par La rotation de la courbe 𝐶𝑓 au tour de l’axe des abscisses dans l’intervalle  0;1





Exercice40: o; i; j; k orthonormé avec i  2cm Soit la fonction 𝑓 définie sur

par : f  x   ln x

et  C  la courbe de 𝑓 Déterminer en cm3 le volume du solide engendré par La rotation de la courbe 𝐶𝑓 au tour de l’axe des abscisses dans l’intervalle 1;e Prof/ATMANI NAJIB

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