Série 1 Réflexion - Réfraction 20 21 [PDF]

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2019 2020 // 2020 2021 Filière: BCG Module: Optique et radioactivité Partie A : Optique géométrique et instrumentale Série N° 1

Exercice 1 Un individu prenant place à bord d’une automobile s’intéresse à la longueur de la façade d’une maison qu’il désire acheter. Une idée brillante lui permet d’effectuer son calcul. Il dispose son automobile dos à la maison de façon à ce que la façade de la maison occupe entièrement son rétroviseur. Le rétroviseur a une largeur de 20 cm et l’individu est placé au centre du rétroviseur, à 50 cm de ce dernier. L’individu estime que sa position est à 20 m du devant de la maison. Quelle est la longueur de la façade de la maison ?

Exercice 2 Un verre a l'indice n = 1,595 pour la lumière rouge et n = 1,625 pour la lumière violette. Un rayon de lumière blanche, qui contient ces deux couleurs, se propage dans ce verre et arrive à la surface de séparation avec l'air sous une incidence de 35°. 1) Calculer l'angle que font dans l'air les rayons rouge et violet. 2) Calculer les angles d’incidence critiques pour ces deux longueurs d'onde.

Exercice 3 Pour s’échapper des prédateurs, une grenouille s'est cachée sous un nénuphar qui flotte sur l'étang. La grenouille a une hauteur h et le nénuphar un rayon R et une épaisseur très faible. 1) Quel doit être le rayon minimal R0 du nénuphar pour que les pieds de la grenouille ne soient pas visibles par un prédateur situé en-dehors de l'eau? 2) On suppose R1 < R < R0. Montrer que les rayons diffusés par les pieds de la grenouille

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et sortant de l'eau ont une inclinaison dans l'air comprise entre deux valeurs que vous calculerez. Données: Indice de réfraction de l'eau n = 1.33, R1 = 10 cm et h = 10 cm.

Exercice 4 On considère un bassin rempli d'eau d'indice n2 = 4/3 et de hauteur h = 1,6 m. 1) On place au fond du bassin un miroir plan horizontal. Soit un rayon lumineux incident venant de l’air d’indice n1 = 1 sous l’angle d'incidence i1 = 30°. 1-a) Déterminer l'angle de réfraction i2, du rayon lumineux qui pénètre dans le bassin et calculer sa valeur. 1-b) Tracer la marche du rayon lumineux jusqu’à sa sortie du bassin. 1-c) Déterminer l’angle de réfraction i6 du rayon lumineux qui émerge du bassin. 1-d) Calculer la valeur de i6 et comparer la à i1.

Exercice 5 On considère un prisme en verre dont la section est un triangle rectangle isocèle. L’indice de réfraction du prisme est 1,5. 1) Dessiner les rayons obtenus par réfraction sur les 2 faces AB et BC. 2) De quelle face et sous quel angle, par rapport à la normale à cette face, le rayon émerge du prisme.

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2019 2020 // 2020 2021 Filière: BCG Module: Optique et radioactivité Partie A : Optique géométrique et instrumentale Solution Série N° 1 Exercice 1 Le schéma de la situation est illustré cicontre. Le bilan des données est : * Largeur du rétroviseur : l = 0,2 m, * la distance entre l'œil de l’individu et le rétroviseur : d = 0,5 m, * la distance entre l’observateur et le devant de la maison : D = 20 m, * longueur de la façade de la maison : L = ?

Déterminons la longueur L de la façade de la maison : Nous considérons la maison comme source de lumière et utilisons le modèle du rayon lumineux. Nous traçons les rayons issus des extrémités de la façade et qui entrent dans l'œil. Nous considérons seulement les deux rayons qui partent des extrémités de la façade et qui frappent les bords du rétroviseur. Tous les autres rayons réfléchis tomberont entre ces deux. La figure ci-contre utilise la loi de réflexion pour avoir les angles de réflexion égaux aux angles d’incidence. Les autres angles ont été identifiés simplement à l’aide de la géométrie. Le rayon incident issu d’une extrémité de la façade, et qui frappe l’extrémité correspondante du rétroviseur, fait avec la normale N1, au rétroviseur au point Figure 1 d’incidence I, l’angle 1 : A partir de la figure 1 : X tan(θ1 )  D d On a aussi : 2X + l = L

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Soit: X 

L-l 2 tan(θ1 ) 

Donc:

L-l 2(D  d)

(1)

En considérant la normale N2, qui passe par l’œil de l’observateur et le milieu du rétroviseur, on obtient également : l/2 l (2) tan(θ1 )   d 2d L-l l  (1) = (2)  2(D  d) 2d d(L - l)  l(D  d) 

d L  l(D  2d)

l(D  2d) d * d = 0,5 m,

Soit finalement : L 

A.N. : * l = 0,2 m, * D = 20 m, 0,2 x (20  1) L  0,5 La maison a une façade dont la longueur est de 8,4 m.

L = 8,4 m

Autrement : On place l'image de l’œil symétriquement à l'arrière du rétroviseur. On trace ensuite les rayons issus des extrémités de la façade et qui entrent dans l'œil (c'est-à-dire les rayons dont les prolongements sont alignés avec l'image de l'œil). Nous considérons seulement les deux rayons qui partent des extrémités de la façade et qui frappent les bords du rétroviseur. Tous les autres rayons réfléchis tomberont entre ces deux.

La distance entre les points de rencontre des rayons avec le rétroviseur définit la largeur minimale du rétroviseur. Par triangles semblables, on déduit que : Hauteur du petit triangle Hauteur du grand triangle  Base du petit triangle Base du grand triangle D  2d d   l L

L 

l(D  2d) d

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A.N. : * l = 0,2 m, * d = 0,5 m, * D = 20 m, 0,2 x (20  1) L = 8,4 m L  0,5 La maison a une façade dont la longueur est de 8,4 m. En pratique, on prendra une largeur du rétroviseur légèrement grande, comme par exemple 24 cm, pour se donner une marge de manœuvre. Remarquons que l'équation utilisée dans cet exercice n’est pas à mémoriser : elle découle simplement du schéma réalisé dans lequel on voit deux triangles semblables, d'où l'importance de faire un schéma clair et détaillé qui représente bien la situation. Exercice 2 * indice de réfraction pour la lumière rouge : nr = 1,595 * indice de réfraction pour la lumière violette : nv = 1,625 *Un rayon de lumière blanche se i2r

propage dans le verre et arrive à

i2v

la surface de séparation avec l'air sous une incidence i1 = de 35°. 1) Angles que font dans l'air les rayons rouge et violet : Appliquons la loi de Snell au point I: n1sin(i1) = n2sin(i2)  sin(i 2 ) 

n1 n2

sin(i 1 )  n 1 sin(i 1 ) car n2 = 1: indice de l‘air

* Pour le rayon lumineux rouge n1 = nr Donc : sin(i2 r )  n r sin(i1 ) A.N. : nr = 1,595

,

i1 = de 35°

Sin(i2 r) = 1,595 x sin(35) = 0,915

soit : i2 r = 66°

* Pour le rayon lumineux violet n1 = nv Donc : sin(i2 v )  n v sin(i1 ) A.N. : nv = 1,625

,

i1 = de 35°

Sin(i2 v) = 1,625 x sin(35) = 0,932

soit : i2 v = 68,6°

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2) Angles d’incidence limites pour ces deux longueurs d'onde: L’angle d’incidence critique correspond à l’angle d’incidence permettant de réaliser la réflexion totale et donc le rayon réfracté sort en rasant la surface de séparation et 100% de la lumière incidente est réfléchie : c’est la réflexion totale Un angle d’incidence critique i1c est atteint quand l’angle de réfraction i2 = 90°. Puisque sin(90°) = l, la loi de Snell donne l'angle critique d’incidence comme : sin(i 1 c ) 

n2 n1

A.N. : * Pour le rayon lumineux rouge n1 = nr = 1,595 soit: sin(i 1c (rouge)) 

,

1  0 , 627 1,595

: i1 c(rouge) = 38,8°

* Pour le rayon lumineux violet n1 = nv = 1,625 Soit: sin(i 1c (violet)) 

n2 = 1

,

n2 = 1

1  0 , 615 1,625

: i1 c(violet) = 38°

Exercice 3 * h : hauteur de la grenouille, h = 10 cm

* R : rayon du nénuphar

* Indice de réfraction de l'eau : n1 = 1,33,

* R1 = 10 cm

1) Rayon minimal R0 du nénuphar pour que les pieds de la grenouille ne soient pas visibles par un prédateur situé en-dehors de l'eau : Indice : Comme la grenouille, pensez à la réflexion totale. Pour cela, il faut que le rayon issu des pieds de la grenouille, et passant par l’extrémité du nénuphar, ne soit pas réfracté en dehors de l’eau, c.à.d. il doit subir la réflexion totale. * La loi de réfraction de Descartes – Snell : n1sin(i1) = n2sin(i2) devient dans le cas de la réflexion totale, c.à.d. pour i1 = ic (angle d’incidence critique)



et i2 = 90° A.N. : n1 = 1,33

;

n2 = 1 

sin(ic ) 

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n1sin(ic) = n2  sin(ic )  1  0,752 1,33

n2 n1

Soit : ic = 48,7° * tg(i c ) 

R0 h

A.N. : h = 10 cm



R0 = h . tg(ic)

;

ic = 48,7°



R0 = 10 x tg(48,7)

R0 = 11,4 cm

2) On suppose R1 < R < R0. Montrons que les rayons diffusés par les pieds de la grenouille et sortant de l'eau ont une inclinaison dans l'air comprise entre deux valeurs : * Pour R = R0 l’angle incident est égale à ic et le rayon sortant de l’eau fait une inclinaison de 90° par rapport à la normale de la surface de l’eau (réflexion totale): R = R0 : i1 = ic et i2 = 90° * Pour R = R1 la loi de réfraction donne : n1sin(i1) = n2sin(i2) Combien vaut i1 ? * tg(i1 ) 

R1 h

A.N. : h = 10 cm

;

R1 = 10 cm 

tg(i1) = 1

i1 = 45° * Connaissant i1 on peut trouver donc i2, d’après la loi de Snell :

sin(i2 ) 

n1 sin(i1 ) n2

A.N. : n1 = 1,33

;

n2 = 1

sin(i2 )  1,33. sin(45)  0,940

;

i1 = 45°



i2 = 70°

Récap. Pour R1 < R < R0 alors = 70° < i2 < 90°

Exercice 4 1-a) D'après la loi de la réfraction en I, on a : n1 sin(i1) = n2 sin(i2). Ainsi,

sin(i 2 ) 

n 1 .sin(i 1 ) n2

A.N. : n1 = 1 ; n2 = 4/3 ; i1 = 30°  sin(i2) = 0,375

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d'où

i2 = 22°

1-b) Le rayon lumineux subit : * une première réfraction au point I, * une réflexion au point J, * une deuxième réfraction au point K. Donc la marche du rayon lumineux qui émerge du bassin après réflexion sur le miroir est représentée sur la figure ci contre.

1-c) * D’après la trigonométrie on a : i2 = i3 * D'après la loi de la réflexion en J, on a : i3 = i4 * De même d’après la trigonométrie on a : i4 = i5. d’où

i5 = i2

(1)

* de même, en K il y a réfraction, donc : n2 sin(i5) = n1 sin(i6)

sin(i 6 ) 



Soit alors, d’après (1) n2 sin(i2) = n1 sin(i6)

n 2 .sin(i 2 ) n1

1-d) Valeur de i6 A.N. : n1 = 1 ; On remarque que

n2 = 4/3

;

i2 = 22°

i6 = i1

Exercice 5

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d'où

i6 = 30°

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