Referat Statistica Matematica [PDF]

Zitiervorschau

UNIVERSITATEA TEHNICA CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE CONSTRUCTII DE MASINI CATEDRA MASINI-UNELTE SI ROBOTI INDUSTRIALI

REFERAT MATEMATICA APLICATA

INTOCMIT: drd. Ing. TIDOR ADRIANA

Statistica matematica si aplicatii in controlul calitatii 1. Statistica ca stiinta Statistica reprezinta ansamblul activitatilor de culegere, organizare, analizare, prezentare si interpretare a datelor. Utilizarea statisticii in industrie a condus la recunoasterea faptului ca statistica constituie un domeniu de sine statator. Metodele statistice pot sa fie sau pot sa nu fie necesare pentru rezolvarea unei probleme. 1.1 Scurt istoric Conturarea statisticii ca ştiinţă autonomă, cu obiect de studiu şi metode de cercetare proprii, reprezintă rezultatul unui proces istoric îndelungat, marcat de numeroase schimbări majore impuse de necesităţile practicii. În procesul apariţiei şi evoluţiei statisticii pot fi delimitate mai multe perioade de dezvoltare. Primele forme de activitate statistică îşi au originea în antichitate, servind evidenţei terenurilor, a populaţiei, averilor etc. În Imperiul Roman, ca şi în China, Egipt şi Grecia, se efectuau înregistrări periodice (asemănătoare recensămintelor statistice de astăzi) ale numărului populaţiei şi soldaţilor, ale averilor particulare şi structurii terenurilor. Această primă etapă a evoluţiei statisticii este cunoscută sub denumirea de “statistică practică”. O etapă importantă în evoluţia statisticii o reprezintă apariţia, în secolul XVI, a “statisticii descriptive”. Acest curent de gândire, bine reprezentat în Germania, urmărea descrierea situaţiei statelor lumii sub aspectul populaţiei, al avuţiei, industriei şi comerţului. Se înregistrează un progres semnificativ prin trecerea la analiza comparativă a datelor şi lărgirea formelor de investigare statistică a fenomenelor social-economice, dar şi o limitare severă a ariei de cercetare prin descrierea acestor fenomene fără identificarea factorilor de influenţă şi a legităţilor de evoluţie. În faza “probabilistică”, statistica se îmbogăţeşte prin introducerea unor metode matematice. Începe să se utilizeze calculul probabilităţilor, se formulează legea numerelor mari şi alte legităţi statistice. Pentru evoluţia statisticii aceasta a însemnat un important pas înainte, facilitat de progresele considerabile realizate în domeniul matematicii. Au avut contribuţii remarcabile la dezvoltarea statisticii în această perioadă: P.S. Laplace, J. Bernoulli, K.F.Gauss, S.D. Poisson şi alţii. Apariţia “statisticii moderne”, la sfârşitul secolului XIX, este legată de numele lui A. Quételet, care a avut contribuţii importante în direcţia evidenţierii regularităţilor statistice în fenomenele de masă şi a analizei variabilităţii acestor fenomene în jurul unor medii. În această etapă începe organizarea congreselor internaţionale de statistică (pentru prima dată în 1853), se înfiinţează oficiile naţionale de statistică, iar statistica devine disciplină de învăţământ. Apare delimitarea între statistica matematică şi statistica aplicată în cunoaşterea fenomenelor social-economice, ca parte a ştiinţelor economice.

După un proces istoric îndelungat de afirmare ca metodă de cunoaştere a realităţii economico-sociale, statistica a devenit o componentă indispensabilă a conducerii moderne a vieţii economice, la nivel micro şi macroeconomic. Statistica este unul din instrumentele care îi orientează pe agenţii economici în direcţia unui comportament raţional, eficient. Evoluţia sa continuă şi în prezent ca răspuns la solicitările tot mai ample şi mai diversificate ale mediului economico-social. 1.2 Concepte statistice fundamentale Statistica , ca stiinta generala, reprezinta multimea proceselor prin care se studiaza proprietati, caracteristici ale colectivitatilor. Statistica matematica are drept obiect cercetarea si perfectionarea metodelor de inregistrare, descriere si analiza a datelor statistice experimentale referitoare la un anumit fenomen de masa in scopul obtinerii unor previziuni privind desfasurarea sa ulterioara. 1.2.1 Elemente de Statistică Matematică Statistica matematica se ocupa de gruparea, analiza si interpretarea datelor referiotare la un anumit fenomen precum si cu unele previziuni privind producerea lui viitoare. Populatia statistica este orice multime definite de obiecte de aceeasi natura. Elementele unei populatii se numesc unitati statistice sau indivizi. Numarul de elemente care constituie populatia se numeste volumul populatiei. Caracteristica (sau variabila statistica) a populatiei trasatura comuna tuturor unitatilor (indivizilor) populatiei. Caracteristica poate fi cantitativa sau calitativa. Caracteristicile cantitative pot fi discrete (sau discontinue) daca variabila statistica ia valor finite sau continue daca variabila poate lua orice valoare dintr-un interval finit sau infinit. Numarul tuturor indivizilor unei populatii se numeste efectivul total al acelei populatii. Multimea tututor perechilor (xi,ni),1≤ i ≤ p formeaza o serie statistica cu o singura variabila. Se numeste frecventa absoluta a unei valori x a caracteristicii, numarul de unitati ale populatiei corespunzatoare acestei valori. Se numeste frecventa relativa a unei valori xi a caracteristicii raportul dintre frecventa absoluta ni a valorii xi si efectivul total al populatiei. Metodele si procedeele de observare statistica sunt in functie de natura fenomenelor studiate, de modul de organizare a activitatii agentilor economici, de posibilitatile de inregistrare a fenomenelor si de mijloacele tehnice de prelucrare de care se dispune. Gruparea metodelor de inregistrare (observare) in sisteme are la baza diferite criterii: a) după modul de organizare a activitatii social-economice deosebim: • observări permanente, care se efectuează prin intermediul sistemului informational statistic;

• observari special organizate ca: recensaminte, anchete, monografii; b) dupa timpul la care se refera datele, observarile statistice pot fi: • curente, cum sunt rapoartele statistice; • periodice, care se efectuează la un anumit interval de timp (recensamantul); • unice (observări speciale), care se fac pentru consemnarea statistică a unui eveniment nerepetabil; c) după numărul unitatilor inregistrate, observările pot fi: • totale, cum sunt recensămintele si raportările statistice, prin care se culeg date de la toate unitatile colectivitatii; • partiale, cum este sondajul prin care se realizează inregistrări numai la o parte din unitatile colectivitatii. Etapele sistematizarii statistice implica parcurgerea urmatoarelor etape: • centralizarea; • gruparea sau clasificarea datelor si calculul indicatorilor statistici absoluti; • calculul indicatorilor derivati; • prezentarea rezultatelor prelucrarii sub formă de: serii, tabele si grafice. Variabilitatea formelor individuale de manifestare in timp si spatiu a proceselor si fenomenelor economice a determinat pe statisticieni să elaboreze metodologii si tehnici specifice acestor determinari cantitative numite indicatori. Acesti indicatori trebuie sa asigure compatibilitatea informatiilor atat pe plan national, cat si international, deoarece acestia au un continut real, obiectiv determinat, o formula proprie de calcul si o forma specifica de exprimare. Functiile indicatorilor statistici sunt multiple si complexe in concordantă cu mesajul pe care trebuie sa-l transmita. In literatura de specialitate s-au evidentiat mai multe functii ale indicatorilor: Functia de comparare, care deriva din cunoasterea modificarilor intervenite in nivelul de dezvoltare sau in structura fenomenelor. Aceasta functie se realizeaza prin respectarea catorva reguli: • intre termenii comparati trebuie sa existe o legatură obiectiva, reala, de conditionare, de cauzalitate • termenii inclusi in modelele de comparatie trebuie să fie pe deplin comparabili (ca metodologie de calcul, ca preturi de exprimare, ca sfera de cuprindere, ca perioade de referinta etc); • baza de comparatie să fie semnificativa pentru ca indicatorul rezultat din comparatie sa aiba o valoarea de cunoastere. Functia de masurare se realizeaza prin observarea directa la nivelul fiecarei unitati, operatie in urma careia se obtin indicatori absoluti exprimati cantitativ sau valoric, si ocupa un loc bine determinat in sistemul de indicatori care caracterizeaza in final colectivitatea. Acesti indicatori, numiti si indicatori primari, sunt supusi in continuare unui proces de prelucrare cu ajutorul unor modele de calcul si analiza statistica. Functia de analiza provine din faptul ca statistica opereaza cu variabile complexe care se gasesc in diferite relatii de cauzalitate si actioneaza intre „parte si intreg” sau intre „factor si rezultat”. Necorelarea unor elemente duce la repetarea

calculelor si descoperirea greselilor aparute datorita unor calcule eronate sau unor metodologii gresit aplicate. Functia de sinteza este cea prin care se evidentiaza ceea ce este esential, tipic, pentru intreaga masa de fenomene de acelasi fel, omogene si apare sub forma de valori medii sau agregate complexe. Functia de estimare se manifesta prin masurarea tendintei de dezvoltare a fenomenului in aceleasi conditii de evolutie, dar variabile in timp. Functia de verificare a ipotezelor si de testare a semnificatiei unor indicatori calculati, fapt ce se impune datorita folosirii mai multor ipoteze de calcul cu privire la posibila evolutie 絜 timp, spatiu, dar si din punct de vedere managerial, a fenomenului studiat. Marimile relative Marimile relative exprima rezultatul compararii, sub forma de raport, a doi indicatori statistici si arata cate unitati din indicatorul de la numarator revin la o unitate a indicatorului considerat ca baza de raportare.Pentru ca obiectivul urmarit prin cercetare sa fie atins, adica sa se obtina informatii corecte si o imagine reala asupra fenomenului, in cazul folosirii marimilor relative, se cer a fi parcurse urmatoarele etape: • alegerea bazei de comparare, care trebuie sa fie in functie de gradul de interdependenta dintre caracteristici; • asigurarea comparabilitatii datelor care formeaza raportul, din punctul de vedere al gradului de cuprindere a elementelor, cat si al metodologiei de culegere si prelucrare; • alegerea formei de exprimare a marimilor relative, care trebuie sa corespunda scopului cercetarii si care se poate concretiza sub forma de: coeficienti, procente, promile, prodecimile. Coeficientul arata cate unitati din indicatorul raportat revin unei singure unitati a indicatorului baza de raportare. Procentul este forma cea mai obisnuita de exprimare a marimilor relative si arata cate unitati din indicatorul raportat revin la 100 unitati ale indicatorului baza de raportare. Promilele se folosesc cand indicatorul comparat este mult prea mic fata de indicatorul baza de comparare. In analiza statistica se utilizeaza diferite tipuri de marimi relative, cum ar fi: • marimile relative de structura; • marimile relative de intensitate; • marimile relative de coordonare; • marimile relative ale dinamicii; • marimile relative ale prevederilor (programului de dezvoltare).

Marimile medii Marimile medii sunt instrumente statistice care exprima in mod sintetic si generalizat ceea ce este normal, esential, tipic si general in evolutia fenomenelor.

Media aritmetica (xa )este cea mai utilizata forma sub care se calculeaza valoarea medie a unei caracteristici si se foloseste in general cand fenomenul supus cercetarii inregistreaza modificari aproximativ constante in progresie aritmetica. Media aritmetica după tehnica de calcul este de doua feluri: simpla si ponderata. Media armonica xh este o varianta cu aplicatii speciale a mediei aritmetice. Se foloseste in cazul in care avem de calculat o medie generala din medii partiale Aceasta este marimea inversa a mediei aritmetice,calculata din mărimile inverse ale valorilor individuale ale caracteristicii. Media armonica este de doua feluri: simpla si ponderata. Media patratica xp este o marime medie calculata prin extragerea radacinii patrate din media aritmetica a patratelor termenilor seriei. Aceasta este de doua feluri: simpla si ponderata. Media geometrica xg se bazeaza pe relatia de produs a termenilor seriei si se mai numeste si medie logaritmica. Cu ajutorul acestei medii se calculeaza: ritmurile medii de crestere a populatiei, a productiei,venitului national etc. Media cronologica este indicata pentru determinarea nivelului mediu al seriilor cronologice de moment. Indicatori calculati pe baza frecventelor Frecventa sau ponderea reprezinta numarul de aparitii care corespund grupelor de unitati in urma centralizarii statistice. Frecventele absolute (ni) reprezinta unitati concrete de masura, ce corespund fiecarei grupe. Totalizarea frecventelor absolute corespunde cu numarul de unitati din colectivitatea studiata (ni). Frecventele relative (ni) sunt marimi relative de structura si se obtin prin raportarea frecventei fiecarei grupe (ni) la totalul frecventelor relative. Prin totalizarea frecventelor relative se obtine 1 sau 100 (dacă se lucrează cu coeficienti se obtine 1, daca se lucreaza cu procente se obtine 100). Frecventele cumulate se calculeaza atat pentru frecventele absolute, cat si pentru cele relative. Cumularea se face succesiv pornind de sus in jos si se obtin frecvente cumulate crescator, sau pornind de jos in sus si se obtin frecvente cumulate descrescator. Indicatorii medii de pozitie, denumiti si medii de structura sunt: - Mediana este valoarea centrala a unei serii statistice, dupa ce termenii acesteia au fost aranjati in ordine crescatoare sau descrescatoare. Mediana va fi egala cu valoarea termenului central intr-o serie simpla formata dintr-un numar impar de termeni centrali daca seria este formata dintr-un numar par de termeni. In concluzie, mediana depinde de numarul termenilor ordonati dupa marimea lor, nu dupa valoarea absoluta a termenilor. - Quartilele sunt in numar de trei (Q1, Q2, Q3) si se definesc ca valori de caracteristici care impart volumul colectivitatii in patru parti egale. - Decilele impart seria in zece parti egale si se determina la fel ca mediana, tinand cont de locul pe carel ocupa.

- Mediala (Md) este un indicator de pozitie egal cu acel nivel al caracteristicii care imparte suma termenilor seriei (Σxini) in doua parti egale. Mediala nu se confunda cu mediana, care reprezinta acel nivel al caracteristicii ce imparte efectivul total (Σni) al unei serii in doua parti egale. - Valoarea modala sau dominanta este valoarea caracteristicii cea mai frecvent observata intr-o distributie, adica valoarea ce corespunde frecventei dominante.

Reprezentarea Grafica a Datelor Statistice Graficul unei serii statistice se numeste diagrama structurala. 1.Reprezentarea grafica folosind diagrama circulara Cercul de structura sau diagrama circulara este un cerc a carui arie reprezinta efectivul total al populatiei statistice (100%).Valorile variabilei se reprezinta prin sectoare de cerc ale caror arii sunt proportionale cu frecventele relative ale valorilor variabilei.Cu ajutorul regultii de trei simpla se determina masura unghiului la centru corespunzator fiecarei frecvente. 2.Reprezentarea grafica folosind dreptunghiul de structura Pentru desenarea dreptunghiului de structura se considera un reper cartezian in plan.Axa verticala va fi axa frecventelor relative fi ale valorilor xi ale variabilei statistice. Cu baza pe axa verticala se deseneaza un dreptunghi cu inaltimea de 100 de unitati.Se divizeaza dreptunghiul pe linii orizontale obtinand dreptunghiuri cu ariile proportionale cu frecventele fi. 3.Reprezentarea grafica prin batoane Diagrama structurala cu ajutoarul batoanelor se obtine astfel: 2 se alege un reper cartezian in plan 3 pe axa orizontala se reprezinta valorile xi ale variabilei statistice 4 pe axa verticala se reprezinta frecventele absolute ni sau frecventele relative fi corespunzatoare valorilor xi 1≤ i ≤ p 5 segmentul cu extremitatile in punctele cu coordonatele (xi,0), (xi, ni) respectiv (xi, fi) reprezinta batonul corespunzator valorii xi. 4.Reprezentarea grafica prin coloane sau benzi Acest tip de reprezentare grafica foloseste dreptunghiuri cu latimi egale si lungimile proportionale cu frecventele absolute sau cu frecventele relative ale valorilor variabilei statistice. Daca dreptunghiurile sunt asezate vertical,reprezentarea grafica se numeste diagrama prin coloane, iar daca sunt asezate orizontal reprezentarea grafica se numeste diagrama prin benzi.

2. Controlul statistic al calitatii SPC (Statistical Process Control, în germană Statistische Prozeß-regelung) este o metodă a managementul calităţii, cu ajutorul căreia poate fi supravegheat un proces iar la nevoie se poate efectua o intervenţie de reglare, respectiv de corectare a procesului, înainte de a rezulta neconformităţi. În cazul unui proces tehnologic complex, procedeele statistice ne ajută să identificăm atât de timpuriu abaterile sistematice ale procesului, încât caracteristicile calitative se menţin încă în limitele de toleranţă prestabilite. Datorită acestei proprietăţi controlul statistic al proceselor şi produselor se numără printre metodele preventive ale managementul calităţii. Principiul de bază al metodei nu este identificarea erorilor, ci evitarea lor. SPC contribuie astfel la reducerea costurilor datorate rebuturilor, prelucrărilor ulterioare şi a costurilor de verificare. La utilizarea SPC, se remarcă influenţarea pozitivă a procesului din punct de vedere calitativ. Utilizarea SPC permite realizarea unor economii prin reducerea frecvenţei de schimbare a sculei, reducerea numărului de intervenţii în proces sau reducerea pierderilor datorate operaţiilor de reglare. Controlul statistic se utilizează în domeniul producţiei de serie mijlocie până la mare, pentru: • fabricarea produselor materiale cum ar fi: - piese pentru maşini; - produse chimice; - produse de turnătorie; - piese din materiale plastice; - subansamble electrice; - medicamente; - ambalaje;

• supravegherea caracteristicilor procesului sau produsului: - dimensiunile particulelor; - valoarea pH; - concentraţia; - gradul de puritate; • supravegherea produselor şi serviciilor: - software; - servicii bancare; - servicii telefonice; - servicii expediţionale. Avantajele care pot fi obţinute prin utilizarea metodei SPC sunt: ♦ evitarea erorilor în producţie; ♦ reducerea măsurilor de verificare în controlul final; ♦ posibilitatea de detectare a erorilor care nu mai pot fi evidenţiate pe standul de verificare finală; ♦ supravegherea procesului de fabricaţie şi garantarea că etapele următoare ale procesului nu vor conţine nici o piesă defectă din punct de vedere al dimensiunilor iniţiale de intrare (procesul următor este considerat clientul beneficiar al procesului anterior); ♦ detectarea şi eliminarea mărimilor perturbatoare ale unui proces atât în ceea ce priveşte amplitudinea acestora cât şi în ceea ce priveşte optimizarea parametrilor care influenţează procesul, cum sunt de exemplu materialul şi toleranţele piesei, specificaţiile referitoare la maşini, reglarea sculei sau specificaţiile referitoare la mijloacele de verificare; ♦ identificarea timpurie a problemelor referitoare la calitate, procesele tehnologice ♦ stabilitatea fabricaţiei, adică menţinerea sub control statistic a tuturor proceselor de fabricaţie ♦ reducerea costurilor, a procentului de rebuturi şi a cheltuielilor de verificare atât în ceea ce priveşte numărul lor cât şi restrângerea sferei de verificare ♦ creşterea nivelului calitativ general şi ca urmare creşterea productivităţii prin utilizarea sistematică a analizelor şi prin documentarea lor, prin evaluarea prognozelor pe termen lung şi printr-un procedeu continuu de feed-back aplicat datelor de măsurare. Efectuarea SPC este structurată pe trei nivele. La nivelul de planificare a calităţii, se impun mai întâi câteva indicii preliminare. Se stabilesc caracteristicile de verificare, numărul de unităţi conţinute în proba de sondaj şi frecvenţa acestor probe, tipul cartelei de control pentru verificarea SPC. În nivelul operativ sunt determinate valorile de măsurare şi sunt documentate datele de verificare de către operatorii maşinii. Desfăşurarea procesului este documentată într-o cartelă de controlul calităţii şi controlul procesului începe. În nivelul administrativ se întocmesc rapoartele de verificare şi se realizează prognoze pe termen lung cu privire la frecvenţa intervenţiilor, capacitatea performantă medie a procesului şi modificările de distribuţie.

Caracteristicile verificate se pot diviza în două categorii importante care la rândul lor pot fi divizate în: 1. Caracteristici cantitative, care pot fi măsurate: 1.1 Caracteristici cantitative continue (exprimate prin valori care aparţin mulţimii numerelor reale): - temperatura băii de lipire, în [0K]; - masa de umplere a unui ambalaj, în [g]; - diametrul unei piese aflate în mişcare de rotaţie, în [mm]; - fiabilitatea unui bec cu incandescenţă, în [h]; 1.2 Caracteristici cantitative discrete continue (exprimate prin valori care aparţin mulţimii numerelor întregi): - numărul valorilor de măsurare aflate domeniul de toleranţă; - numărul pieselor din lot care prezintă defecte; - numărul erorilor de tipar de pe fiecare pagină a unei cărţi; 2. Caracteristici atributive (exprimate prin atribute de genul corect-defect): 2.1 Caracteristici atributive ordinale: - Temperatura: - Rece - Călduţ - Cald - Fierbinte - Calificative şcolare: - "foarte bine" - "bine" - "satisfăcător" 2.2 Caracteristici atributive nominale: - Culoarea figurinelor de jucărie: - albastru - galben - roşu - Fixarea preţului de cost: Există două tipuri diferite de factori de influenţare care acţionează asupra unui proces: ♦ factorii de influenţare accidentală (aleatoare). Cauzele apariţiei acestora pot fi minore şi nu pot fi prevăzute. Apariţia lor se face neregulat fiind oricând posibilă apariţia lor dacă nu se iau măsuri de înlăturare. ♦ factorii de influenţare sistematică. Apariţia lor se datorează unor cauze importante previzibile prin aplicarea teoriei probabilităţilor. Conditiile pentru introducerea controlului statistic ♦Procesul este controlabil; ♦Procesul este performant;

♦Procesul se află sub control statistic; ♦Se cunosc caracteristicile produsului; ♦Se cunoaşte forma distribuţiei; ♦Mijloacele de măsurare sunt performante; ♦Angajaţii sunt instruiţi şi motivaţi; Pentru supravegherea mărimilor cantitative ale unui proces se utilizează diverse funcţii de distribuţie. În cazul caracteristicilor atributive (bun/rău) se va utiliza adesea distribuţia binomială, respectiv distribuţia Poisson. Caracteristicile variabile (măsurabile) au o distribuţie normală în majoritatea cazurilor. La realizarea unei cuprinzătoare examinări preliminare înainte de aplicarea SPC, prin procedeele statistice de testare trebuie să se verifice dacă distribuţia reală a valorilor caracteristice poate fi apreciată ca fiind asemănătoare cu una dintre distribuţiile teoretice menţionate mai sus.

Grafice de control – importanta evolutiei in timp De-a lungul timpului un proces poate fi supus diferitelor perturbatii (cauze speciale) care pot genera un comportament instabil fata de nivelul mediu sau nivelul de variabilitate sau ambele. Exemplu: Realizarea a100 de arcuri; se doreste masurarea elongatiai fiecarui arc. S-a construit un grafic statistic de control pentru valorile masurate. 1) masuratorile s-au incadrat in specificatii

2) a existat o sursa de variatie, in sesnul ca la un moment dat valorile au inceput sa scada 3) investigatiile au aratat ca operatorul a facut mai multe ajustari care au dus la scaderea elongatiei, deci nu toate arcurile au fost supuse acelorasi conditii; astfel, operatorul a invatat sa faca ajustari doar cand acestea sunt cerute de grafic.

Bibliografie • Marius Bulgaru – Ingineria calitatii • M.Juran – Calitatea produselor • Angela Popescu; Gabriela Neacsu: George Goanta, STATISTICA