RDM - Flexion Composée [PDF]

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LA FLEXION COMPOSEE 1°) Définition On appelle flexion composée la combinaison d’un effort de flexion avec les effets produits par la compression, la traction etc. En d’autres termes une section est dite sollicitée à la flexion composée lorsqu’elle supporte à la fois un moment fléchissant M et un effort normal N de compression ou de traction. L’étude de la flexion composée est essentiellement basée sur le principe de superposition des sollicitations. Il s’agit donc de la superposition des résultats obtenus dans l’étude de la compression simple (traction et dans celle de la flexion simple. NB. Somme algébrique des sollicitations. 2°) Sollicitations de Flexion Composée dans les Pièces de la Construction a°) Piliers (Poteaux) Les piliers sont fréquemment soumis aux effets conjugués de la compression provoquée par la charge du plancher et de la flexion engendrée par un moment ou par l’excentrement par rapport à l’axe du poteau.

b°) Elément de Ferme Cours de RDM

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La membrure d’une ferme sans diagonales

c°) Parois de Réservoir Enterré (mur de soutènement)

3°) Contraintes Normales et Tangentielle dans la section droite travaillant en flexion composée (prendre N dans le 1er cadrant) a°) Contraintes Normales (barre quelconque)

Dans la section les sollicitations sont les suivantes a°) No effort normal (longitudinal) b°) Mx = No.yo (Moment par rapport à x1) c°) My = No.xo (Moment par rapport à y) Utilisant le principe de superposition des sollicitations nous pouvons écrire :   1   2   3

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  1   2   3 

Ix

bh 3  12

Iy

M y .x M x.y N   F Iy Iy

bh 3  12

;

Ix  i 2 x  I x  F .i 2 x F Iy F

 

 

 

2  i 2 y  I y  F .i y

M .x N M .y  2 x  2 y F i x.F i y.F X et y coordonnées point de la N0 . y 0 . y N 0 .x0 x d’un section   2 2

No F

N0 F

i x.F

i y .F

 N 0 . y0 . y x0 .x    1   2 2   i x i y  

Pour

 0

1 

N0 ; F

Compression

N0 0 et F

2 

 y0 . y x0 .x    1   2 2  0 i x i y  

Mxy ; Ix

; Flexion par rapport à x

;

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3 

M y .x Iy

Flexion par rapport à y

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Faisons la somme algébrique :

  1   2   3

M y .x N0 M x.y    F Ix Iy

Dans cette formule générale : - F représente l’aire de la section - I x ; I y les moments principaux d’inertie axiaux - x ; y les coordonnées d’un point dans le plan de la section, où on aimerait calculer la contrainte normale. N.B. : la contrainte maximale aux points, les plus éloignés de la section. Les contraintes de cisaillement En générale, les contraintes de cisaillement dans le cas de la flexion composée sont assez faibles (petites) et n’ont pas une valeur appréciable dans les calculs pratiques. Elles sont donc négligeables. 4°) Axe neutre ou ligne de contrainte nulle

Ix 

3

bh 12

;

Iy

hb 3  12

Transformons ces formules on aura : Iy

 i 2 x ;  I x  F .i 2 x ; I y  F .i 2 y F Où i 2 x ; i 2 y ; sont des rayons de giration de la section alors

;

  1   2   3  Or

N 0 F

d’où 1 

N y x (1  2 0  2 0 .x) = 0  axe neutre caractéristique F i x i y

y0 x . y  2 0 .x  0 cette formule est appelée équation de 2 i x i y

l’axe neutre. L’équation se présente sous la forme ax + by + c = 0 ; x et y

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représentent les coordonnées des points où la contrainte est égale à 0 (axe neutre) x0 et y0 les coordonnées des points d’application de la force (s). Construction de l’axe neutre Posons 1 

y0 x . y  2 0 .x  0 2 i x i y

i2 y x  a ( y  0) x0 i2 x y   b( x  0) y0

5°) Remarques L’axe neutre divise toujours la section en deux parties.  Le signe de la partie où se trouve appliquée la force est toujours celui de la contrainte (compression ou traction)  La ligne neutre ne traverse jamais le cadrant où la force (P) est appliquée.  Lorsqu’on fait déplacer la force extérieure selon une droite passant par le point d’application de la force et le centre de gravité de la section, l’axe neutre se rapproche ou s’éloigne du centre de gravité parallèlement à sa position initiale  Lorsque le point d’application de la force se déplace suivant une ligne droite ne passant pas par le centre de gravité de la section, l’axe neutre subit une rotation que nous étudierons dans les pages suivantes

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6°) Ordre chronologique de construction des diagrammes 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

Situer le centre de gravité du système Identifier les axes principaux Calcul des moments d’inertie par rapport aux axes principaux Visualisation de la ligne neutre Tracé des lignes extrêmes parallèles à l’axe neutre Mener la perpendiculaire à la ligne neutre Calculer les contraintes des points les plus éloignés et les reporter perpendiculairement à la droite perpendiculaire à la ligne neutre

Recherche de la ligne neutre et son tracé lorsqu’à part les forces de compression ou de traction il existe des forces horizontales créant des moments de flexion.

  y

My N0 Mx  .y  .x  0 F I Iy My Mx

.

Ou

Ix N0 I x .x  . 0 Iy Mx F

Ordonnées du point de rencontre de l’axe neutre avec l’axe des x =0 Pour x = 0

 y

N0 I x . Mx F

Il ne reste plus qu’à déterminer  pour connaître la direction de la ligne neutre

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y

M y Ix N Iy . .x  0 . Mx Iy Mx F

;

est de la forme

y = ax + b où a est le coefficient directeur donc la tg  tg   

M y Ix . la valeur numérique permet de déterminer enfin l’angle  Mx Iy

Exemple

Exercice d’application Calculer max ; min ; yn ; xn on prend P = 6, 4t ; b = 4cm ; h = 8cm ;yo = 2 cm x0 = 1 cm de l’axe neutre N   p  6,4t ;

M y   px0  6,4 x1  6,4t

M x   py0  6,4 X 2  12,8t.cm

 max  min

My N Mx ±  F wx wy

F  bh  4.8  32cm

2

 max  400 Kgf / cm 2

wx 

x ymax

bh2 wx  6

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 min  800Kgf / cm2

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; wx 

4.64 128  cm3 6 3

 max  min

wy

bh 2 8 X 16   cm 3 6 6

 6,4.103 6,4.103.3 12,8.103.3   32 64 128

Recherchons deux points de l’axe neutre Pour y = 0 et pour x = 0 xN   yN 

i2 y 16   1,33cm x0 12

i2x 64   2,67cm y0 24

8°) Etude du cas où la force de traction ou de compression est appliquée sur des axes princiapux P (x0 ; y0)

1

x 0 .x y 0 . y  2 0 i2 y i x

(l’équation de l’axe neutre)

i2 y x a x0 i2x y b y0 Nous savions qu’au fur et à mesure que la force se rapproche du centre de gravité de la section, la ligne neutre s’en éloigne et vice versa. Lorsque

y0  0  y  

i2 x i2 x    x  a; y    y0 0

Lorsque

x0  0  x  

i2 y i2 y    x  ; y  b  x0 0

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Lorsque x0 = 0 ou x0 = y0 ; la force P étant appliquée sur l’un des axes principaux entraîne un axe neutre parallèle à l’un des axes principaux. x=  y=b

LN // à 0y

x = a y 

9°) Exploitation de la dynamique de la ligne neutre ou ligne de contrainte nulle La ligne neutre peut couper la section ou aussi bien passer en dehors selon l’application de la forme extérieure. Il est donc intéressant de déterminer la disposition avantageuse de la ligne neutre pour une meilleure structure ? Certains matériaux tels que les maçonneries ou le béton non - armé ne peuvent supporter, en toute sécurité que des contraintes normales de compression. Cette question intervient par exemple dans le calcul des colonnes en briques …… Un briquetage résiste mal à la traction. Il est donc désirable que les contraintes en compression excentrée soient comprimantes pour toute la section et que la ligne neutre passe en dehors de la section. Il faut à cet effet que la force extérieure soit appliquée suffisamment près du centre de gravité. Il existe donc au voisinage du centre de gravité une région dite noyau central de la section où tant que la force extérieure se trouvera où l’intérieur du noyau les contraintes normales auront le même signe en tous les points de la section.

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Apprenons donc à déterminer ce noyau Les étapes sont les suivantes : a) Déterminer le centre de gravité de la section b) Situer les axes principaux c) Calculer les moments d’inertie axiaux et les rayons de giration.

I x ; I y ;i 2 x 

Iy Ix ;i2 y  F F

d) Contourner la section avec la signe neutre (axe neutre) pour chaque position de l’axe neutre, déterminer les coordonnées du point d’application de la force extérieure.

i2 y a x0 i2x b y0 axe neutre

i2 y x0   a i2x y0   b coordonnées du point d’application de la force.

e) Joindre par les lignes droites les différents points calculés (application force extérieure). La figure dessinée constitue le noyau central que l’on hachure horizontalement ou en oblique N.B. : Le noyau central présente toujours une convexité (bombé) et jamais une concavité (creux)

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10°)

Construction de quelques noyaux centraux

a) SECTION RECTANGULAIRE Section h x b bh 3 hb 3 ;Iy  12 12 3 Ix bh h2 i2x    F 12bh 12 3 Iy hb b2 i2 y    F 12bh 12 Ix 

i2x  h

2

i2 y  b

2

I

12 (LN) y 12 III

b

X 01

b a1   ; b1    LN 2

 b2  i2 y b2 2 b 12    x  a1  b12 12 b 6

 i2x i2x Y01   0 b1  b   ,0  6 

X 02

II - II

a2  ; b2   h

2

 LN // ox

Y02

 i2 y  i2 y    0 a2 

 i 2 x h2 2 h   x  b2 12 h 6 0, h / 6

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III - III

X 03 a3 

b ; b3    LN // oy 2

 i 2 y  b2 2 b   X  a3 12 b 6

 i2x  i2x Y03   b3  b  ;0   6  

IV - IV

X 04 a4  ; b4  h

2

 LN // ox

Y04

 i2 y  i2 y   0 a4 

 i 2 x h3 2 h   X  b4 12 h 6

0;h / 6

b°) SECTION CIRCULAIRE DE RAYON R S = R2

 R4 Ix  Iy  4  R4 1 R2 2 2 i x  i y  X  4  R2 4 a1   R; b1    i2 x R2 1  R x01   .   r a1 4 R 4

Par raison de symétrie, le noyau doit être également circulaire. Le rayon du noyau est :

r

R 4

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c°) Section en double

TE

Prenons pour aller vite (le N° 20a) ix  8,37cm

; iy  2,32cm

; h  20cm

; b  11cm

Construire le noyau central de la section suivante

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