Problemas de Estadística [PDF]

Zitiervorschau

Problemas de estadística: Prueba de hipótesis para una muestra grande: Problema 1: Students Against Drunk Driving ha establecido que el uso del cinturón de seguridad es un paso positivo para reducir accidentes y lesiones. Antes de una campaña importante en una secundaria, el 44% de 150 conductores que entraba al estacionamiento de la escuela llevaban puesto el cinturón. Después del programa de sensibilización, la proporción de uso se elevó al 52% en una muestra de 200 vehículos. A un nivel de significancia de 0.04, ¿pueden los estudiantes concluir que su campaña fue efectiva? 1) Ho: p=0.44 Ha: p>0.44 2) α=0.04 3) Z 4)

5) Calcular el estadístico: 𝑍𝑘 =

𝑍𝑘 =

𝑝 − 𝑝0 √𝑝0 (1 − 𝑝0 ) 𝑛 0.52 − 0.44

√0.44(1 − 0.44) 200

𝑍𝑘 = 2.279211529

𝑍𝑘 ∈ 𝑎 𝑅𝐶 → 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑜 𝑙𝑎 𝐻𝑜 𝑦 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝐻𝑎 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑝𝑟𝑒𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛: " 𝐴𝑢𝑛 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 0.04 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑢𝑠𝑎𝑛 𝑐𝑖𝑛𝑡𝑢𝑟𝑜𝑛 ℎ𝑎 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑎ñ𝑎 𝑠𝑖 𝑓𝑢𝑒 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎".

Problema 2: En octubre de 1992, una investigación entre 120 macroeconomistas indicó que 87 de ellos creían que la recesión ya había terminado. Una investigación de 150 agente de adquisiciones encontró que 89 de éstos creían que la recesión ya había terminado. Al nivel α=0.10, ¿Se puede concluir que los agentes de adquisiciones eran más pesimistas acerca de la economía de Estados Unidos que los macreoconomistas?

𝑃𝑚 =

87 = 0.725 120

𝑃𝑎 =

89 = 0.593 150

1) 𝐻𝑜: 𝑃𝑎 = 0.725 𝐻𝑎: 𝑃𝑎 < 0.725 2) α=0.10 3) Z 4)

5) Calcular el estadístico: 𝑍=

0.593 − 0.725 √0.725(1 − 0.725) 150

= −3.62

𝑍𝑘 ∈ 𝑎 𝑙𝑎 𝑅𝐶 → 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑜 𝑙𝑎 𝐻𝑜 𝑦 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝐻𝑎 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑝𝑟𝑒𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛: "𝐴 𝑢𝑛 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑑𝑒 0.10 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑑𝑞𝑢𝑖𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑟𝑎𝑛 𝑚𝑎𝑠 𝑝𝑒𝑠𝑖𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎𝑠 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑜𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜𝑒𝑐𝑜𝑛𝑜𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎𝑠".

Prueba de hipótesis de 2 muestras poblacionales: Problema 3: En 1993, el Consejo de Estándares para Contabilidad Financiera (CECF) consideró una propuesta para requerir que las compañías informaran el efecto potencial de la opción de compra de acciones de los empleados sobre los ingresos por acción (IPA). Una muestra aleatoria de 41 empresas de alta tecnología (AT) reveló que la nueva propuesta reduciría el IPA en un promedio del 13.8% con una desviación estándar del 18.9%. Una muestra aleatoria de 35 productores de bienes de consumo (BC) mostró que la propuesta reduciría el IPA en 9.1% en promedio, con una desviación estándar del 8.7% .Con base en estas muestras ¿es razonable concluir (para α=0.10) que la propuesta de la CECF causaría una mayor reducción en el IPA para las empresas de alta tecnología que para los productores de bienes de consumo?

1) Prueba de hipótesis: 𝐻𝑜: 𝜇1 = 𝜇2 𝐻𝑎: 𝜇1 > 𝜇2

2) α=0.1 3) Z 4) Calculo de la RC y RA:

5) Cálculo del estadístico: 𝜇1 = 0.138

𝜇2 = 0.091

𝛿1 = 0.189

𝛿2 = 0.087

𝑛1 = 41 𝑍𝑘 =

𝑛2 = 35 𝜇1 − 𝜇2 2 2 √𝛿1 + 𝛿2 𝑛1 𝑛2

𝑍𝑘 =

0.138 − 0.091 2 2 √0.189 + 0.087 41 35

= 1.4187

𝑍𝑘 ∈ 𝑎 𝑅𝐶 → 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝑙𝑎 𝐻𝑜 𝑦 𝑠𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝐻𝑎 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑝𝑟𝑒𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛: "𝐴 𝑢𝑛 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝛼 = 0.10 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝐸𝐶𝐹 𝑐𝑎𝑢𝑠𝑎𝑟í𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝐼𝑃𝐴 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑡𝑎 𝑡𝑒𝑐𝑛𝑜𝑙𝑜𝑔𝑖𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑏𝑖𝑒𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜". Problema 4:

Block, una compañía fabricante de chips para computadoras, está en proceso de decidir si sustituye su línea de ensamble semiautomática por otra completamente automatizada. Block ha reunido algunos datos de pruebas preliminares acerca de la producción de chips por hora que se resumen en la tabla siguiente y desea saber si debe actualizar su línea de ensamble. Establezca (y pruebe con α=0.02)las hipótesis apropiadas para ayudar a Block a tomar una decisión.

1) 𝐻𝑜: 𝜇1 = 𝜇2 𝐻𝑎: 𝜇1 > 𝜇2 2) α=0.02 3) Z 4) Calculo de la RC y RA:

5) Cálculo del estadístico: 𝜇1 = 206

𝜇2 = 198

𝛿1 = 29

𝛿2 = 32

𝑛1 = 200

𝑛2 = 150

𝑍𝑘 =

𝜇1 − 𝜇2 2 2 √𝛿1 + 𝛿2 𝑛1 𝑛2

𝑍𝑘 =

206 − 198 2 2 √ 29 + 32 200 150

= 2.408626

𝑍𝑘 ∈ 𝑎 𝑅𝐶 → 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝑙𝑎 𝐻𝑜 𝑦 𝑠𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝐻𝑎 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑝𝑟𝑒𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛: "𝐴 𝑢𝑛 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝛼 = 0.20 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑡𝑜𝑚𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑎𝑢𝑡𝑜𝑚𝑎𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑎 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑚𝑎𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑐ℎ𝑖𝑝𝑠 𝑝𝑜𝑟 ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟í𝑎". Prueba de hipótesis para diferencia entre dos medias (muestra pequeña) Problema 5: Una organización de investigación de mercados selecciona varios modelos de automóviles cada año y evalúa su eficiencia en el consumo de combustible. Este año, el análisis de dos modelos subcompactos similares de dos fabricantes distintos, el millaje promedio de 12 autos de la marca A fue 27.2 millas por galón, y la desviación estándar fue 3.8 mpg. Los 9 autos de la marca B que se probaron promediaron 32.1 mpg con desviación estándar de 4.3 mpg. Para 𝛼=0.01. ¿se puede concluir que la marca A da un millaje promedio menor que la marca B?

A

B

𝑛1 = 12

𝑛2 = 9

𝜇1 = 27.2

𝜇2 = 32.1

𝛿1 = 3.8

𝛿2 = 4.3

1) Prueba de hipótesis: 𝐻𝑜: 𝜇1 = 𝜇2 𝐻𝑎: 𝜇1 < 𝜇2 2) α=0.01 3) t 4) Cálculo de la RA y RC.

Según la tabla el valor de 𝑡(1−∝,𝑛1 +𝑛2 −2) = -2.539 ya que es cola izquierda. 5) Calculo del estadístico: 𝑡=

𝑡=

𝜇1 − 𝜇2 1 1 √𝑠𝑝2 ( + ) 𝑛1 𝑛2

27.2 − 32.1 1 1 12 + 9)

= −1.560829

√𝑠𝑝2 (

2

𝑠𝑝 = 𝑠𝑝2 =

((𝑛1 − 1)𝑠12 + (𝑛2 − 1)𝑠22 ) 𝑛1 + 𝑛2 − 2

((12 − 1)3.8² + (9 − 1)4.3²) = 16.14526 12 + 9 − 2

𝑇𝑘 ∈ 𝑎 𝑅𝐴 → 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝑙𝑎 𝐻𝑎 𝑦 𝑠𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝐻𝑜 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑝𝑟𝑒𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛: "𝐴 𝑢𝑛 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝛼 = 0.10 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑟𝑐𝑎 𝐴 𝑑𝑎 𝑢𝑛 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑗𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑟𝑐𝑎 𝐵 ".

Problema 6: Una muestra de tasas hipotecarias convencionales a 30 años tomadas al azar en 11 bancos de California produjo una tasa media del 7.61% y una desviación estándar del 0.39%. Una muestra parecida tomada aleatoriamente en ocho bancos de Pennsylvania tuvo una tasa media del 7.43% con desviación estándar del 0.56%. ¿Estas muestras proporcionan evidencia para llegar

a la conclusión (a un nivel 𝛼=0.10) de que las tasas de hipotecas convencionales de California y Pennsylvania provienen de poblaciones con medias distintas?

A

B 𝑛1 = 11

𝑛2 = 8

𝜇1 = 0.0761

𝜇2 = 0.0743

𝛿1 = 0.0039

𝛿2 = 0.0056

1) Prueba de hipótesis: 𝐻𝑜: 𝜇1 = 𝜇2 𝐻𝑎: 𝜇1 ≠ 𝜇2 2) α=0.1 3) t 4) Cálculo de la RA y RC.

Por tabla el T toma un valor de = 1.740 5) Calculo del estadístico: 𝑡=

𝜇1 − 𝜇2 1 1 √𝑠𝑝2 ( + ) 𝑛1 𝑛2

𝑡=

2

0.0761 − 0.0743 √𝑠𝑝2 ( 1 + 1) 11 8

𝑠𝑝 = 𝑠𝑝2 =

= 0.782458

((𝑛1 − 1)𝑠12 + (𝑛2 − 1)𝑠22 ) 𝑛1 + 𝑛2 − 2

((11 − 1)0.0039² + (8 − 1)0.0056²) = 2.186𝑥10−5 11 + 8 − 2

𝑍𝑘 ∈ 𝑅𝐴 → 𝑠𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝐻𝑜 𝑦 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝑙𝑎 𝐻𝑎 A un nivel de confianza de 0.1, se concluye que las tasas de hipotecas convencionales de California y Pennsylvania no provienen de poblaciones con medias distintas.