Poly MDF BELGACEM [PDF]

Zitiervorschau

Notes de cours Mécanique des Fluides

Une introduction à la Mécanique Des Fluides incompressibles

Par Dr Ibtissem BELGACEM Maître de Conférences à l’Ecole Nationale Polytechnique d’Alger

2017/2018

Table des Matières Avant-propos I

Fiche technique du module MDF IV

Liste des figures Liste des tableaux

V VI

Chapitre I : Eléments utiles de Mécanique des Fluides I.1 I.2

Introduction Définitions I.2.1 Qu’est –ce qu’un fluide ? I.2.2 Classifications de fluides I.2.2.1. Classification par compressibilité I.2.2.1.1. Fluide compressible I.2.2.1.2. Fluide incompressible I.2.2.2 .Classification par effet de frottement I.2.2.2.1. Fluide parfait I.2.2.2.2. Fluide réel I.2.2.3. Classification par effet de viscosité I.2.2.3.1. Fluide newtonien I.2.2.3.2.Fluide non newtonien I.3. Propriétés physico-chimique des fluides I.3.1.Masse volumique I.3.2.Poids volumique I.3.3.Densité I.3.4.Viscosité I.3.4.1.Viscosité dynamique I.3.4.2.Viscosité cinématique I.3.5.La tension de surface Chapitre II : Statique des fluides II.1 Introduction II.2 Notion de pression en un point fluide II.2.1.Définition II.2.2.Unités de pression II.2.3.Types de pression II.2.4.Mesure de pression II.3. Statique d’un fluide incompressible dans le champ de pesanteur -Relation fondamentale de l’hydrostatique II.4 Force de pression hydrostatique II.4.1.Définition II.4.2.Cas de surface horizontale II.4.3.Cas de surface verticale II.4.4.Cas de surface inclinée II.4.5.Cas de surface courbée

1 1

1 2 3 3

3 3 3

3 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 8 9 9 9 10 10 11 12

12 12 13 14 14

II.5.

Autres théorèmes en hydrostatique II.5.1. Théorème de Pascal II .5.2.Théorème d’Archimède II.6. Statique d’un fluide incompressible dans d’autres champs de force-Equilibre relatif d’un fluide II.6.1. Positionnement du problème II.6.2. Equilibre d’un fluide entraîné en mouvement uniformément accéléré sur un plan incliné II.6.3.Equilibre d’un fluide dans un vase en rotation uniforme Chapitre III: Dynamique des Fluides Incompressibles Parfaits III.1. Introduction III.2. Notions fondamentales pour l’étude des écoulements III.2.1. L’écoulement ? III.2.2. Ecoulement Permanent ou stationnaire III.2.3.Ligne de courant et tube de courant III.2.4. Notion de Débit III.2.4.1 Débit massique III.2.4.2 Débit volumique III.2.4.3 Relation entre débit massique et débit volumique III.3. Equation de Continuité III.4. Théorème de Bernoulli III.4.1. Théorème de Bernoulli – Cas d’un écoulement sans échange de travail III.4.2.Théorème de Bernoulli – Cas d’un écoulement avec échange de travail III.4.3.Exemple d’application du théorème de Bernoulli III.4.3.1. Tube de Venturi III.4.3.2.Tube de Pitot III.4.3.3.Vidange d’un réservoir : Formule de Torricelli III.5. Théorème d’Euler Chapitre IV : Dynamique des Fluides Incompressibles Réels IV.1. Introduction IV.2 Fluide Réel IV.3. Régimes d’écoulement IV.3.1.Expérience de Reynolds IV.3.2.Nombre de Reynolds et classification des régimes d’écoulement IV.4. Pertes de charges IV.4.1. Pertes de charges linéaires IV.4.1.1.Pertes de charges linéaires en régime laminaire IV.4.1.1.Pertes de charges linéaires en régime turbulent IV.4.2. Pertes de charges singulières IV.4.3. Pertes de charges totales IV.5. Théorème de Bernoulli appliqué à un fluide réel Annexes Références bibliographiques

17 17 19 20 20 20 21 23

23 23 23 23 24 24 24 24 25 27 27 29 29 29 31 32 33 34 34 34 34 35 36 36 37 37 40 40 40 42 53

III

Fiche Technique du Module MDF

Filières

Unité d’enseignement UEF

-Génie des Procédés -Hydraulique

Intitulé de la matière Mécanique des Fluides

Volume horaire totale

Cours 19.30H

Code

Semestre

MDF

1

TD 39 H

Prérequis -Mécanique du point matériel ; -Statique d’un corps solide ; -Analyse mathématique.

Objectifs Ce document présente les connaissances de bases de la mécanique des fluides. Ces connaissances portent sur : -Les propriétés des fluides, -La statique des fluides ; -Les éléments de base nécessaires à la résolution des problèmes d’écoulements de fluides parfaits et réels.

IV

Liste des figures

Figure .I.1.Représentation schématique d’un gaz. Figure .I.2.Représentation schématique d’un liquide. Figure I.3.Figure Newtonien et non newtonien / Contrainte de déformation dans un fluide Figure .I.4.a .Mouvements relatifs des couches Figure.I.4.b.Répartition des vitesses Figure .I.5. Exemple d’écoulement de fluides visqueux. Figure. II. 1. Pression en un point. Figure .II.2. Cas surface horizontale. Figure. II. 3. Cas surface verticale. Figure .II.4. Cas surface inclinée. Figure. II. 5. Cas surface courbée. Figure. II. 6. Equilibre d’une particule de fluide Figure. II. 7. Equilibre d’un fluide entraîné en mouvement uniformément accéléré sur un plan incliné Figure. II. 8. Equilibre d’un fluide dans un vase en rotation uniforme Figure .III.1.Ligne de courant Figure .III.2.Tube de courant Figure. III.3.Ecoulement de fluide dans un tube de courant Figure .III.4.Ecoulement de fluide entre deux points 1 et 2. Figure.III.5. Tube de venturi Figure III.6. Cas d’étude tube de Pitot Figure. III. 7. Réservoir connecté à un tuyau ouvert à l’atmosphère. Figure IV.2.Ecoulement turbulent dans un tube. Figure.IV.3. Régimes d’écoulement Figure IV.4. Diagramme de Moody. Figure IV.5. Rugosité d'une conduite.

V

Liste des tableaux Tableau .I.1.Ordre de grandeur des masses volumiques à 20°C. Tableau.I.2.Valeurs de la tension superficielle pour certains liquides à une température de 20°C.

VI

Chapitre I Eléments utiles de Mécanique des Fluides

Cours de MDF

Chapitre I

I.1.Introduction La mécanique des fluides est une discipline ancienne, d’applications très variées et encore en pleines évolution comme l'ingénierie navale, l'aéronautique, mais aussi la météorologie, la climatologie ou encore l'océanographie. C’est

une

branche

de

la

physique

qui

étudie

le

comportement

des

fluides

(liquides, gaz et plasmas) et des forces internes associées. C’est aussi une branche de la mécanique des milieux continus qui modélise la matière à l’aide de particules assez petites pour relever de l’analyse mathématique mais assez grandes par rapport aux molécules pour être décrites par des fonctions continues.. Elle comprend deux grandes sous branches: - la statique des fluides, ou hydrostatique qui étudie les fluides au repos. C'est historiquement le début de la mécanique des fluides, avec la poussée d'Archimède et l'étude de la pression. - la dynamique des fluides qui étudie les fluides en mouvement. Comme autres branches de la mécanique des fluides. On distingue également d’autres branches liées à la mécanique des fluides : L’hydraulique, l'hydrodynamique, l'aérodynamique, …Une nouvelle approche a vu le jour depuis quelques décennies: la mécanique des fluides numérique. I.2. Définitions I.2.1.Qu’est –ce qu’un fluide ? Un fluide peut être considéré comme étant une substance formé d'un grand nombre de particules matérielles, très petites et libres de se déplacer les unes par rapport aux autres. C’est donc un milieu matériel continu, déformable, sans rigidité et qui peut s'écouler. Les forces de cohésion entres particules élémentaires sont très faibles de sorte que le fluide est un corps sans forme propre qui prend la forme du récipient qui le contient. Parmi les fluides, on fait souvent la distinction entre liquides et gaz. Gaz : Dans un gaz, les forces d'attraction intermoléculaire sont faibles (nulles dans le cas d'un gaz parfait). Un gaz va par conséquent occuper tout le volume qui lui est offert : il n'existe pas de surface de séparation entre deux gaz de natures différentes mis en contact.

1

Cours de MDF

Chapitre I

Figure .I.1.Représentation schématique d’un gaz. Liquide : Dans un liquide, les molécules sont soumises à des forces d'attraction et de répulsion du même ordre de grandeur. Les forces d'attraction intermoléculaire sont suffisamment fortes pour maintenir les molécules très proches les unes des autres, mais cette proximité est limitée par les forces de répulsion qui s'opposent à l'interpénétration des nuages électroniques. Ainsi un liquide occupe un volume bien déterminé, limité par une surface libre, toutefois il y a glissement des molécules les unes par rapport aux autres et donc pas de forme prédéterminée.

Figure .I.2.Représentation schématique d’un liquide. Les gaz et les liquides habituellement étudiés sont isotropes, c’est-à-dire que leurs propriétés sont identiques dans toutes les directions de l’espace. I.2.2. Classifications de fluides Avant de se jeter dans leur étude, distinguons les grandes catégories de fluides qui nous intéressent.

2

Cours de MDF

Chapitre I

I.2.2.1. Classification par compressibilité I.2.2.1.1. Fluide compressible : Un fluide est compressible quand pour une masse donnée, son volume varie en fonction de la pression extérieure. Les gaz sont des fluides compressibles. Par exemple, l’air, l’hydrogène, le méthane à l’état gazeux, sont considérés comme des fluides compressibles. I.2.2.1.2. Fluide incompressible : Un fluide est incompressible quand pour une masse donnée, son volume est indépendant de la pression extérieure. . Les liquides peuvent être considérés comme des fluides incompressibles (eau, huile, etc.). I.2.2.2. Classification par effet de frottement I.2.2.2.1. Fluide parfait En mécanique des fluides, un fluide est dit parfait s'il est possible de décrire son mouvement sans prendre en compte les effets de frottement. (Voir chapitre III) I.2.2.2.2.Fluide réel Contrairement à un fluide parfait, qui n’est qu’un modèle pour simplifier les calculs, pratiquement inexistant dans la nature, dans un fluide réel les forces tangentielles de frottement interne qui s’opposent au glissement relatif des couches fluides sont prises en considération. Ce phénomène de frottement visqueux apparaît lors du mouvement du fluide.

I.2.2.3. Classification par viscosité Les fluides peuvent se classer selon leur viscosité en : I.2.2.3.1. Fluides Newtoniens : qui ont une viscosité constante comme l’eau, l’air, et la pluparts des fluides. I.2.2.3.2.Fluides non Newtoniens : comme le sang, les boues, les pattes qui ont la particularité d'avoir leur viscosité qui varie en fonction de la vitesse et des contraintes qu'ils subissent lorsque ceux-ci s'écoulent. Ce cours est limité uniquement à des fluides Newtoniens.

3

Cours de MDF

Chapitre I

Figure I.3.Figure Newtonien et non Newtonien / Contrainte de déformation dans un fluide I.3.Propriétés physico-chimique des fluides I.3.1 Masse volumique La masse volumique, aussi appelée densité volumique de masse, est une grandeur physique qui caractérise la masse d'un matériau par unité de volume.

Où :

Eau (liquide)

1000 kg/m3

Huile

914kg/m3

Mercure

13400 kg/m3

Air

1.2 Kg/m3

Tableau I.1.Ordre de grandeur des masses volumiques à 20°C.

I.3.2 Poids volumique Poids volumique est le poids par unité de volume.

4

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Chapitre I

I.3.3 Densité

Dans le cas des liquides en prendra l’eau comme fluide de référence. Dans le cas des gaz on prendra l’air comme fluide de référence. I.3.4 Viscosité C’est une grandeur qui caractérise les frottements internes du fluide, autrement dit sa capacité à s’écouler. Elle caractérise la résistance d'un fluide à son écoulement lorsqu'il est soumis à l'application d'une force. C’est à dire, les fluides de grande viscosité résistent à l'écoulement et les fluides de faible viscosité s'écoulent facilement. Elle peut être mesurée par un viscosimètre à chute de bille, dans lequel en mesure le temps écoulé pour la chute d’une bille dans le fluide. Elle peut également être mesurée par un récipient dont le fond comporte un orifice de taille standardisée. La vitesse à laquelle le fluide s'écoule par cet orifice permet de déterminer la viscosité du fluide. I.3.4.1.Viscosité dynamique La viscosité dynamique exprime la proportionnalité entre la force qu'il faut exercer sur une plaque lorsqu'elle est plongée dans un courant et la variation de vitesse des veines de fluide entre les 2 faces de la plaque. ...Elle est exprimée par un coefficient représentant la contrainte de cisaillement nécessaire pour produire un gradient de vitesse d'écoulement d'une unité dans la matière. Considérons deux couches de fluide adjacentes distantes de Δz. La force de frottement F qui s'exerce à la surface de séparation de ces deux couches s'oppose au glissement d'une couche sur l'autre. Elle est proportionnelle à la différence de vitesse des couches soit Δv, à leur surface S et inversement proportionnelle à Δz : Le facteur de proportionnalité μ est le coefficient de viscosité dynamique du fluide.

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Cours de MDF

Chapitre I

où : F : force de glissement entre les couches en (N), μ : Viscosité dynamique en (kg/m.s), S : surface de contact entre deux couches en (m2), ΔV : Écart de vitesse entre deux couches en (m/s), ΔZ : Distance entre deux couches en (m). Remarque Dans le système international (SI), l'unité de la viscosité dynamique est le kg/m⋅s plus simplement exprimé pascal-seconde (Pa·s) ou Poiseuille (Pl) : 1 Pa⋅s = 1 Pl = 1 kg/m⋅s

(a)

(b) Figure .I.4.a.Mouvements relatifs des couches I.4.b.Répartition des vitesses

I.3.4.2.Viscosité cinématique La viscosité cinématique est le quotient de la viscosité dynamique par la masse volumique du fluide. Elle représente la capacité de rétention des particules du fluide et quantifie sa capacité à s’épancher.

υ= L'unité de la viscosité cinématique est le (m2/s).

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Cours de MDF

Chapitre I

Figure .I.5. Exemple d’écoulement de fluides visqueux. Remarque 1 (unité) On utilise souvent le Stokes (St) comme unité de mesure de la viscosité cinématique. 1 St= 10-4 m2/s Remarque 2 (Influence de la température) Lorsque la température augmente, la viscosité d'un fluide décroît car sa densité diminue. Remarque 3 (différence entre viscosité dynamique et viscosité cinématique) La viscosité cinématique caractérise le temps d'écoulement d’un liquide. Par contre, la viscosité dynamique correspond à la réalité physique du comportement d’un fluide soumis à une sollicitation (effort). En d’autre terme, cette dernière exprime la « rigidité » d’un fluide à une vitesse de déformation en cisaillement Application Déterminer la viscosité dynamique de l’huile d’olive sachant que sa densité est 0,918 et sa viscosité cinématique est 1,089 Stockes. Dans le système international (SI), l'unité de la viscosité dynamique est le Pascal seconde (Pa⋅s) ou Poiseuille (Pl).

Application numérique

7

Cours de MDF

Chapitre I

I.3.5.La tension de surface L’interface est une surface de contact entre deux milieux différents. La création d'une interface entre deux milieux est toujours accompagnée d'une consommation d'énergie. Cette énergie de surface

est égale à l'aire de la surface

multipliée par une quantité appelé

tension de surface ou encore tension superficielle . L'énergie de surface s'exprime en J/m². Elle peut s'exprimer aussi comme une force par unité de longueur, en N/m. On note l'énergie de surface :

La tension superficielle est une force qui existe depuis la création d’une interface qui sépare deux milieux différents. Elle existe jusqu’à ce qu’il n'y ait plus d’interface. Nom du liquide

Tension superficielle N.m-1

Mercure

480.10-3

Eau

73. 10-3

Chlore

34. 10-3

Éthanol

22. 10-3

Glycérine

63. 10-3

Azote

9. 10-3

Tableau.I.2.Valeurs de la tension superficielle pour certains liquides à une température de 20°C.

8

Chapitre II : Statique des fluides

Cours MDF

Chapitre II

II.1 Introduction La statique des fluides est la science qui étudie les conditions d’équilibre des fluides au repos. Plus précisément, elle concerne toutes les situations dans lesquelles il n’y a pas de mouvement relatif entre les particules fluides : -fluides au repos -fluides uniformément accélérés Il n’y a pas de contraintes dues aux frottements entre particules. Les forces en jeu sont uniquement des forces de volume dues au poids et de forces de surface dues à la pression. Ce chapitre est consacré à l’étude des fluides au repos. Les lois et théorèmes fondamentaux en statique des fluides y sont énoncés. La notion de pression, la relation fondamentale de l’hydrostatique ainsi que les théorèmes généraux y sont expliqués. II.2 Notion de pression en un point d’un fluide II.2.1.Définition La pression est une notion physique fondamentale. Elle correspond à la force par unité de surface qu'exerce un fluide ou un solide sur celle-ci. Il s'agit d'une grandeur scalaire dont l'unité dans le système international d'unités (SI) est le pascal(Pa), lequel correspond à une force de un newton par mètre carré. En tant que paramètre physique, la pression, tout comme la température, joue un rôle extrêmement

important

dans

la

plupart

des

domaines.

Du

point

de

vue

de

la thermodynamique, il s'agit d'une grandeur intensive. Si on appelle ds l’élément de surface d’un fluide qui est soumis en un point A, à l’action d’une force ⃗ dont la direction est normale à ds, on dit que le rapport de la norme de la force ⃗ sur la surface ds est la pression du fluide au point A. ‖ ⃗‖

Figure II. 1. Pression en un point. 9

Cours MDF

Chapitre II

II.2.2.Unités de pression L’unité de pression dans le système international est le pascal (Pa=N/m2). Cette unité étant faible, on exprime les pressions en hectopascals (hPa), kilo pascals (KPa) ou méga pascals (MPa). D’autres unités existent : -Le bar : 1bar=105 Pa. -L’atmosphère normale (atm) : 1atm=101 325 Pa. - Le pièze (pz) : 1pz=1000 Pa. -Le millimètre de mercure (mm Hg) ou encore appelé torr : 1bar=750mmHg=750torr -Le millimètre d’eau (mmH2O) ou le centimètre d’eau (cmH2O) : 1cmH2O=98.0638Pa. -L’atmosphère technique (atm), ou ATA : 1at=98 066.5Pa. -Le psi : 1psi=6894 Pa. Application La pression atmosphérique est d’environ 1,01. 105 Pas. Quelle est la force qu’exerce la pression atmosphérique sur une surface de 2cm2 au sommet de votre tête ? Comme P=F/S ou F est perpendiculaire à S, alors on a F= PS En supposant qu’une surface de 2cm2 au-dessus de votre tête est plate, est que la force due à la pression atmosphérique est perpendiculaire à votre crane (ce qui est vrais) , on a : F=PS= (1.01 * 105) (2.10-4) F=20 N II.2.3.Types de pression La pression atmosphérique : est la pression exercée par l’atmosphère à la surface de la terre. Au niveau de la mer cette pression est équivalente à celle exercée par une colonne d’environ 760mm Hg. La pression absolue : est la pression mesurée par rapport au vide absolu (c’est-à-dire l’absence totale de matière).Elle est toujours positive. La pression relative : se définit par rapport à la pression atmosphérique existant au moment de la mesure, cette pression peut donc prendre une valeur positive si la pression est supérieure à la pression atmosphérique ou une valeur négative si la pression est inférieure à la pression atmosphérique.

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Cours MDF

Chapitre II

Les deux types de pressions correspondent physiquement à la même pression, elles sont simplement exprimées sur des échelles ayant des zéros différents. La relation suivante permet de passer de l’une à l’autre : On parle parfois de pression différentielle ; il s’agit de la différence de pression mesurée entre deux points. Cette différence a évidemment la même valeur pour des pressions exprimées en pression absolue ou pression relative. On parle de dépression quand la pression absolue est inférieure à la pression atmosphérique : la pression relative est négative dans le cas d’une dépression. II.2.4.Mesure de pression Il existe plusieurs appareils pour mesurer la pression. -Baromètre : il s’agit d’un tube contenant un fluide lourd (en général du mercure) dont le niveau varie en fonction de la pression atmosphérique. Le premier baromètre à mercure date de 1644 (c’est une invention de Torricelli*). Le baromètre ne sert qu’à mesurer une pression atmosphérique. -Manomètre à liquide : c’est un appareil qui mesure la pression statique au sein d’un fluide. On distingue le tube piézométrique au fonctionnement similaire au baromètre, les tubes en U droits ou inclinés, etc.

*Evangelista Torricelli (1608-1647), Physicien, Mathématicien italien.

11

Cours MDF

Chapitre II

-Manomètre mécanique ou électrique : une structure élastique se déforme linéairement avec la pression. Donc si l’on est capable de mesurer la déformation, on dispose d’un moyen de mesurer la pression. Les tubes de Boudon sont des exemples historiques (1848) de manomètre mécanique : un tube fin élastique est enroulé sur lui-même et contenu dans une boite rigide hermétique. L’intérieur du tube est lié à l’extérieur (pression du fluide ambiant) ; sous l’effet de la pression extérieure, le tube va se recroqueviller ou bien se raidir. La faible déformation qui en résulte met en mouvement une aiguille qui permet d’indiquer la déformation. Il existe de nos jours des appareils électroniques qui estiment la pression en mesurant le courant électrique qui est généré par une substance cristalline déformée sous l’effet de la pression du fluide ambiant (jauge piézoélectrique). Un manomètre nécessite un étalonnage. II.3. Statique d’un fluide incompressible dans le champ de pesanteur -Relation fondamentale de l’hydrostatique Enoncé Pour tout point i quelconque, dans un liquide au repos, définit par son altitude

par rapport à

un plan de référence, on a :

Démonstration Etudiant l’équilibre d’une particule de fluide en forme de cylindre vertical de section droite très petite

et d’une hauteur .

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Cours MDF

Chapitre II

Figure. II. 6. Equilibre d’une particule de fluide Le cylindre est soumis à l’action de son poids et à l’action des forces de pression du milieu extérieur. Poids: Forces de pression: Section A: Section B : Section latérale :

(les forces de pression perpendiculaires à l’axe du cylindre

s’opposent et s’annulent) A l’équilibre

⃗ ⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

On projette l’équation sur l’axe

Avec :

13

Cours MDF

Chapitre II

Remarque L’équation générale de l’hydrostatique peut s’écrire en pression absolue ou en pression effective. Application Quelle est la pression dans l’océan à une profondeur H = 2000 m? On prendra ρ =1025 kg /m3 (eau salée). Appliquons la loi de fondamental de l’hydrostatique entre le point A situé à la surface de la mer et le point B situé à une profondeur H : (1) On a au point A : On pose : On remplace dans l’expression (1) : Donc :

II.4.Force de pression hydrostatique Les forces hydrostatiques sur une surface proviennent des forces de pressions du fluide agissant sur cette surface. II.4.1.Définition La force de pression exercée sur une paroi de surface ⃗ Avec

normale à la surface élémentaire

∫ (

est :

⃗⃗)

, orientée de l’intérieur vers l’extérieur. Le calcul

de la force se fait en plusieurs étapes : 1. Calculer de pression ; 2. Identifier les surfaces où la pression 3. Déterminer la surface infinitésimale

est constante ; compte tenu de la géométrie de la surface .

4. Calculer les composantes de 5. On intègre ⃗

∫ (

⃗⃗)

Dans le but de fournir des résultats facilement applicables, on distingue les cas suivants :

14

Cours MDF

Chapitre II

II.4.2.Cas de surface horizontale On considère un réservoir ouvert à l’air libre de surface de base liquide de masse volumique ρ. On veut calculer la force totale

contenant une hauteur

de

qui s’exerce sur la surface de

base

Figure .II.2. Cas surface horizontale. ∫ Avec : ∫ ∫

II.4.3.Cas de surface verticale On considère un réservoir avec une hauteur

et une largeur , ouvert à l’air libre et rempli

d’un liquide de masse volumique ρ. On veut calculer la force totale

qui s’exerce sur le mur

du réservoir.

15

Cours MDF

Chapitre II

Figure. II. 3. Cas surface verticale.

La pression en un point B quelconque de la surface du mur est : (

)=

(

( ∫

)

∫ ∬ ∫

(

( ∫

)

)

) (

)

II.4.4.Cas de surface inclinée

Figure II.4. Cas surface inclinée.

16

Cours MDF

Chapitre II

II.4.5.Cas de surface courbée Soit une paroi AB de surface

courbée complètement immergée sans un liquide de masse

volumique ρ. La résultante des forces de pression

peut-être décomposée en composantes :

: Force agissant sur la surface

projection de

sur l’axe z.

: Force agissant sur la surface

projection de

sur l’axe x.

d’où :

On a :

La composante horizontale de la force de pression

selon l’axe z

hydrostatique qui agirait sur la projection de ∫

Avec :

sur toute la surface correspond à la force

∫

: projection verticale de la surface courbée AB.

Le calcul de la composante horizontale

est ramené au calcul d’une force de pression sur

une surface plane verticale.

De même : =∫

∫

∫

Avec : W est le volume délimité par : -La surface courbée AB. -La surface libre du fluide EC -Les deux verticales BC et AOE menées des deux extrémités A et B de la surface. Le calcul de la composante verticale

se résume donc au calcul du poids du fluide

représenté par le volume déplacé par la surface AB. L’intensité de la force F agissant de façon normale est obtenue par l’expression suivante : √

17

Cours MDF

Chapitre II

Figure. II. 5. Cas surface courbée.

II.5. Autres théorèmes en hydrostatique II.5.1. Théorème de Pascal* Enoncé : Pour tout fluide incompressible en équilibre, la variation de la pression en un point se transmet intégralement en tout point du fluide.

Blaise Pascal (1623 -1662), est un mathématicien, physicien, inventeur, philosophe, moraliste et théologien français. Démonstration Soit un liquide incompressible de masse volumique

et soit deux points A et B appartenant à

ce fluide. On appliquant la relation fondamentale de l’hydrostatique en A et B on trouve :

On exerce une force sur la surface, et on provoque une surpression

.

L’équation générale de l’hydrostatique entre A et B devient :

Avec :

On a : 18

Cours MDF

Chapitre II

Donc :

Application Un réservoir industriel contient du gaz carbonique et à une hauteur de 20 m. Calculer : a. La différence de pression entre la base et le sommet. b. Comparer avec comme fluide l’eau ; conclusion. On donne: Masse volumique du gaz carbonique : gaz carbonique : 2 kg.m-3 Masse volumique de l’eau : eau : 1000 kg.m-3 a. En appliquant le principe de Pascal on a : b . Donc :

=1000. 9,81. 20=196 200 Pa On note en comparant ces deux résultats que l’influence de la masse volumique est prépondérante.

II .5.2.Théorème d’Archimède* Enoncé Tout corps plongé dans un liquide de masse volumique

subit une poussée

(résultante des

forces de pression) verticale dirigée vers le haut dont l’intensité est égale au poids du volume déplacé.

[ ]

[

]

[

]

[

]

Condition de flotabilité et d’immersion

Flotabilité

solide partiellement

solide complètemnt

immergé

immergé et touche le fond

19

Cours MDF

Chapitre II

Condition de stabilité : Corps complètement immergée

Corps flottant

Corps hommogène

-G en dessous de C équilibre parfaitement

Le point de gravité G et le point de poussé C

stable.

sont confondus , la stabilité est indifférente.

-G en dessus de C l’équilibre peut etre stable

Corps hétérogène

ou instable.

-G en dessous de C (equilibre stable) -G en dessus de C équilibre instable)

*Archimède de Syracuse (287 av. J.-C -212 av. J.-C), est un grand scientifique grec de Sicile de l'Antiquité, physicien, mathématicien et ingénieur. II.6.Statique d’un fluide incompressible dans d’autres champs de force-Equilibre relatif d’un fluideII.6.1.Positionnement du problème Si le fluide est au repos dans un système de référence particulier lui-même en mouvement par rapport à un système d’axes absolu, dans ce cas le fluide est entraîné en mouvement rectiligne, ou rotatif, sera soumis à un champ de forces autres que celui de la gravité, de ce fait la surface libre du liquide aura une forme autre que l’horizontale. On considère que nous sommes en équilibre stable et qu’on peut appliquer l’équation de la statique des fluides, à condition de prendre en considération les forces d’inertie correspondants au mouvement d’entraînement. Soit ⃗⃗⃗⃗⃗ le champ de forces extérieures s'exerçant par unité de volume sur un fluide au repos dans un référentiel galiléen. L'équilibre du fluide se traduit par la relation locale. ⃗⃗⃗⃗⃗ -⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗

20

Cours MDF

Chapitre II

II.6.2. Equilibre d’un fluide entraîné en mouvement uniformément accéléré sur un plan incliné Soit le cas d’un liquide entraîné en mouvement accéléré sur un plan incliné d’un angle α.

Figure. II. 7. Equilibre d’un fluide entraîné en mouvement uniformément accéléré sur un plan incliné L’équation fondamentale de l’hydrostatique s’écrit : ( ) Le liquide dans ce cas est soumis à l’action de la pesanteur et celle de l’accélération du mouvement, a l’unité d’une accélération. (**)

Sachant que la surface libre est une surface isobare : En remplaçant le système (**) en (*) on obtient : ( ) ( ) Après intégration on obtient : (

)

C’est l’expression de la surface libre pour un liquide uniformément accéléré vers le bas. La surface libre forme un angle avec l’horizontal.

-Si le mouvement est vers le haut on inverse les composantes de l’accélération. - Si le plan est horizontal 21

Cours MDF

Chapitre II

II.6.3.Equilibre d’un fluide dans un vase en rotation uniforme Soit un cylindre remplis d’eau à une hauteur de , on entraîne ce dernier en rotation avec une vitesse angulaire uniforme.

Figure. II. 8. Equilibre d’un fluide dans un vase en rotation uniforme On considère un repère , or, est l’axe de rotation. Toujours en appliquant l’équation fondamentale de la statique : 22

Cours MDF

Chapitre II

Donc Pour une surface isobare :

On aura Les surfaces isobares ont une forme paraboloïde. Pour la surface libre :

23

Chapitre III : Dynamique des Fluides Incompressibles Parfaits

Cours MDF

Chapitre III

III.1 Introduction Alors que le chapitre précédent s’intéressait à l’étude des fluides au repos, nous abordons ici l’étude des fluides en mouvement (dynamique). La dynamique des fluides relie l’écoulement d’un fluide aux actions qui lui sont appliquée. Nous limiterons ce chapitre aux écoulements incompressibles parfaits. Ce cadre a un sens pour les écoulements à faible gradient de vitesse tels que les frottements soient négligeables. On trouvera de telles conditions d’écoulements en dehors des couches limites et des zones turbulentes. Par souci de simplicité, on supposera que ces conditions sont respectées partout. III.2. Notions fondamentales pour l’étude des écoulements III.2.1. L’écoulement ? Dans un fluide incompressible, lorsque la charge des particules n'est pas uniforme, un écoulement se crée de la charge la plus élevée vers la charge la plus faible. III.2.2. Ecoulement Permanent ou stationnaire Un écoulement est dit permanent ou stationnaire, si les paramètres qui caractérisent le fluide (pression, vitesse, température, masse volumique) sont indépendants du temps en chacun des points de l’écoulement. III.2.3.Ligne de courant et tube de courant Une ligne de courant est une ligne tangente en tous ces points au vecteur vitesse des particules qui se trouvent sur cette ligne au moment donné. L’ensemble des lignes de courant s’appuyant sur un contour fermé forme le tube de courant.

Figure III.1.Ligne de courant.

23

Cours MDF

Chapitre III

Figure III.2.Tube de courant III.2.4. Notion de Débit Un débit

est une quantité transitant dans un tube de courant pour un intervalle de temps

donné.

III.2.4.1 Débit massique Lorsque la quantité en transit est identifiée par sa masse, le débit est alors le débit-masse.

III.2.4.2 Débit volumique Lorsque la quantité en transit est identifiée par son volume, le débit est alors le débit-volume.

Lorsque le transit d’un fluide traversant une section

est identifié par sa vitesse, on écrit :

Avec :

III.2.4.3 Relation entre débit massique et débit volumique Pour convertir un débit-masse en débit-volume, et vice-versa, il faut faire appel à la masse volumique du fluide.

24

Cours MDF

Chapitre III

Avec :

III.3. Equation de Continuité Considérons une veine d’un fluide incompressible de masse volumique

animée d’un

écoulement permanent.

Figure III.3.Ecoulement de fluide dans un tube de courant

On désigne par : et

respectivement la section d’entrée et la section de sortie du fluide à l’instant t,

⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗ les vecteurs vitesse d’écoulement respectivement à travers les sections

et

de la

veine. : masse élémentaire entrante au niveau de la section : masse élémentaire entrante au niveau de la section :masse comprise entre

et

Par conservation de la masse :

Ou encore :

En devisant par

on a : 25

Cours MDF

Chapitre III

Donc :

Application Si la vitesse dans un tuyau de 30 cm de diamètre est de 0,5 m/s, quelle est la vitesse d’un jet de 7,5 cm de diamètre sortant d’une buse fixée au tuyau ? Appelons : : La section du tuyau : La vitesse dans le tuyau : La section du jet SD la section du tuyau VD la vitesse dans le tuyau Sd la section du jet Vd la vitesse du jet Le fluide étant incompressible, le débit Q se conserve. Par conséquent : Q = SD VD = Sd Vd On en déduit la vitesse du jet: Vd = VD . SD /Sd Application numérique: Vd = 8 m/s

26

Cours MDF

Chapitre III

III.4. Théorème de Bernoulli * III.4.1. Théorème de Bernoulli – Cas d’un écoulement sans échange de travail Enoncé A partir du principe de conservation de l’énergie, on peut démontrer que : - Si l’écoulement est stationnaire, - Si la viscosité est négligeable, - Si le fluide n’est soumis qu’aux forces de pesanteur, Alors la somme des énergies cinétique, potentielle et de pression par unité de volume de fluide est constante le long d’une ligne de courant, Si 1 et 2 sont deux points sur une même ligne de courant, on peut écrire :

Démonstration Soit un tube de courant de fluide parfait, incompressible et s’effectue en écoulement permanent, soumis aux seules forces de pesanteur. Les deux sections et délimitent à l’instant une masse de fluide. Les caractéristiques du fluide à l’instant sont : Section Section

Figure III.4.Ecoulement de fluide entre deux points 1 et 2.

*Daniel Bernoulli (1700-1782).Est un médecin, physicien et mathématicien suisse.

27

Cours MDF

Chapitre III

Appliquons le théorème de l’énergie cinétique à La variation de l’énergie cinétique est égale à la somme des travaux des forces extérieures

La variation de l’énergie cinétique :

Le travail de la force de pesanteur :

(

)

(

)

(

(

)

)

Le travail des forces de pression : Sur la section Sur la section Sur la section latérale :

(

( On a : Donc :

)=

-

)=

+(

-

+(

)

)

(conservation de débit) (

)

(

)

Pression [Pa] Energie cinétique par unité de volume [J/m3] Energie potentille de position par unité de volume [J/m3] La charge du fluide [Pa] Avec : 1 J/m3=1N/m2=1Pa

28

Cours MDF

Chapitre III

III.4.2.Théorème de Bernoulli – Cas d’un écoulement avec échange de travail Lorsqu’un fluide traverse une machine hydraulique, il échange de l’énergie avec cette machine sous forme de travail

pendant une durée

.

Avec :

La relation de Bernoulli s’écrit donc sous la forme : (

)

(

)

(

)

Remarque : Si : Si : III.4.3.Exemple d’application du théorème de Bernoulli Cette partie est présentée sous formes de problèmes III.4.3.1. Tube de Venturi* Dans un tube horizontal de section S variable, l’écoulement d’un fluide en écoulement incompressible et permanent s’accompagne d’une dépression là où il y a rétrécissement : c’est l’effet Venturi Le tube de venturi est un tube convergent-divergent muni de prise de pression statique, l'un en amont du convergent, l'autre au niveau du col (voir figure). Ce tube est intercalé dans une tuyauterie dont on veut mesurer le débit. De l'eau (fluide parfait incompressible) s'écoule dans le venturi et on appelle h la dénivellation dans les tubes indiquant la pression. Les vitesses dans et sont uniformes. 1 - Calculer la vitesse du fluide dans la section contractée en fonction des sections et et de la différence des pressions au niveau de et de au niveau de . 2 - Exprimer le débit (en volume) de la conduite. *Giovanni Battista Venturi (physicien italien, 1746–1822). Était un physicien italien. Il a découvert et formalisé l'effet du même nom. Deux dispositifs utilisant cet effet portent également son nom, la pompe Venturi et le tube de Venturi.

29

Cours MDF

Chapitre III

Figure.III.5. Tube de venturi 1-Soit

et

les pressions dans les sections

et , on applique la relation de Bernoulli :

et sont les côtes respectives de la ligne de courant choisie et passant par les sections et . Appelons et les termes , avec la conservation du débit en volume( ) , on obtient :

√

√ ( )

2-Exprimer le débit en volume de la conduite Le débit de la conduite est donnée par la formule suivante : √

√ ( )

Ce qui nous donne avec √

( )

30

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Chapitre III

III.4.3.2.Tube de Pitot* Le tube de Pitot est un dispositif simple permettant de mesurer la vitesse d’écoulement d’un fluide par la mesure de la pression dynamique exercée par son mouvement. Ce dispositif est très répandu en aéronautique, il est aussi utilisé en hydraulique pour mesurer la vitesse d’un liquide dans une conduite, la vitesse d’un bateau, d’un sous-marin etc. On considère l’écoulement permanent d’un gaz dans une conduite cylindrique munie d’un tube de Pitot double. Soit la masse volumique du gaz et la masse volumique du liquide remplissant le tube en U. On admettra que la vitesse V du gaz a la même valeur en tout point d’une section droite de la conduite. Exprimer la vitesse V puis le débit vulumique de la section droite S de la conduite.

de la conduite en fonction de

et

Figure III.6. Cas d’étude tube de Pitot Remarque –Caractéristiques géométriques du tube de Pitot Le diamètre du tube de Pitot est fixé entre 6 et 12 mm. On néglige la dénivellation entre A et B. La relation de Bernoulli entre un point d’arrêt).

et

donne : ( est

De même, entre et (mêmes altitudes et vitesses) : *Henri Pitot (1695–1771). Est un ingénieur en hydraulique français, inventeur du tube de Pitot qui sert à mesurer la vitesse des fluides.

31

Cours MDF

Chapitre III

On en déduit : Loin du tube, le théorème de Bernoulli donne : Finalement :

Dans le tube en U, on peut écrire :

(

)

Soit : (

)

Finalement : √ √

Et

(

(

)

)

III.4.3.3.Vidange d’un réservoir : Formule de Torricelli* Considérons un réservoir de section dont le fond est ouvert sur une tuyauterie de section , terminée par un robinet. Soit

la hauteur entre le robinet et la surface libre dans le

réservoir.

Figure. III. 7. Réservoir connecté à un tuyau ouvert à l’atmosphère.

*Evangelista Torricelli (1608-1647), Physicien, Mathématicien italien.

32

Cours MDF

Chapitre III

Quelle est la vitesse à la sortie de la conduite? Soient 1 et 2 deux points sur une meeme ligne de courant pris respectivement sur la surface libre et sur l’extrémité de la section d’ouverture à cause du rapport des surfaces , la conservation du débit massique . Le théorème de Bernoulli s’applique car le fluide est parfait, l’écoulement est incompressible et au début , stationnaire :

On a , au moment de l’ouverture :

Par conséquent, l’équation de Bernoulli entre 1 et 2 s’écrit sous la forme : 0+

√

Formule de Torricelli*

Remarque : Remarquons que cette vitesse est égale à celle d’un corps tombant en chute libre, sans vitesse initiale, d’une hauteur . III.7 Théorème d’Euler On considère un fluide parfait et incompressible. On applique le principe de conservation de la quantité de mouvement. La variation de la quantité de mouvement ⃗⃗⃗ est définie, avec les notations de la figure III.3, par : ⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) Où :

est le débit massique du fluide.

Le principe de conservation de quantité de mouvement s’écrit alors : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =

⃗⃗⃗

(⃗⃗⃗

⃗⃗⃗ ) Théorème d’Euler

33

Chapitre IV : Dynamique des Fluides Incompressibles Réels

Cours MDF

Chapitre IV

IV.1 Introduction Les fluides réels engendrent des forces de frottements dues à la viscosité. La présence de ces forces induit une perte de charge qui est une transformation irréversible de l’énergie. Ce chapitre aborde, dans un premier temps quelques définitions fondamentales. Dans un deuxième temps, l’évaluation des pertes de charges ainsi que le théorème de Bernoulli généralisé sont exposées. IV.2 Fluide Réel Un fluide est dit réel si, pendant son mouvement, les forces de contact ne sont pas perpendiculaires aux éléments de surface sur lesquelles elles s’exercent (elles possèdent donc des composantes tangentielles qui s’opposent au glissement des couches fluides les unes sur les autres). Cette résistance est caractérisée par la viscosité. IV.3 Régimes d’écoulement Pour une même conduite on distingue deux situations d’écoulement selon la vitesse du fluide. -Un écoulement laminaire à faible vitesse pour lequel les lignes de courant ne se mélangent pas. Ce sont les forces de frottement qui dominent et imposent ce régime d’écoulement. -Un écoulement turbulent à très grande vitesse pour lequel les lignes de courant se coupent et forment des tourbillons. Ces modifications de régimes se répercutent sur la forme des écoulements, notamment sur le profil des vitesses. IV.3.1.Expérience de Reynolds L'expérience historique de Reynolds consiste à faire s'écouler dans un tube transparent un filet coloré du même liquide que celui qui circule dans le tube et à la même vitesse. Lorsque la vitesse commune du filet coloré et du liquide principal est faible, le liquide coloré suit une trajectoire rectiligne, parallèle à l'axe du tube. En fait chaque élément de fluide se déplace en ligne droite, parallèlement aux parois solides qui le guident, on l'appelle parfois écoulement en filets parallèles. Ce type d'écoulement est appelé laminaire.

Figure IV.1.Ecoulement laminaire dans un tube. Lorsque la vitesse commune du filet coloré et du liquide principal est élevée, le mouvement du liquide coloré devient beaucoup plus complexe, dans toutes les directions et variant dans le temps et dans l'espace, en direction et en intensité ; pourtant leurs moyennes dans le temps et radiale ou angulaire dans l'espace sont nulles et on observe un moment global macroscopique dans l'axe du tube et à la vitesse imposée en entrée. De plus le liquide coloré perd son identité

34

Cours MDF

Chapitre IV

: il est dispersé dans le liquide transparent. Ce type d'écoulement complexe, avec des fluctuations dans le temps et l'espace, est appelé turbulent.

Figure IV.2.Ecoulement turbulent dans un tube. On peut tenter d'identifier les paramètres qui peuvent induire le passage d'un type d'écoulement à un autre : La vitesse du fluide : comme l'a montré l'expérience, plus elle est grande plus on aura tendance à observer le régime turbulent ; La viscosité du fluide : plus elle est grande, plus on aura tendance à observer le régime laminaire, car les frottements gêneront la formation des tourbillons ; Le diamètre de la conduite : plus il est petit, plus on aura tendance à observer le régime laminaire, car les tourbillons seront plus difficile à obtenir dans une géométrie étroite. IV.3.2. Nombre de Reynolds et Classifications des régimes d’écoulement La transition entre régime laminaire et régime turbulent est naturelle et inévitable dès lors que l'on augmente la vitesse d'écoulement d'un fluide donné dans un tube de diamètre donné, mais elle peut également se produire sous l'effet des propriétés du fluide (masse volumique et viscosité) ou selon le diamètre du tube. On construit ainsi le nombre adimensionnel dit nombre de Reynolds

donné par la relation :

Ou : Avec :

35

Cours MDF

Chapitre IV

Remarque Dans le cas où la conduite n'est pas circulaire, on définit ce que l'on appelle le diamètre hydraulique

On distingue trois régimes d’écoulement en fonction de la valeur du nombre de Reynolds : -Le régime est laminaire si -Le régime est turbulent si -Le régime est transitoire ou turbulent si

E. Laminaire

E. Transitoire

E. Turbulent

Figure.IV.3. Régimes d’écoulement I.V.4 Pertes de charges Lorsqu’on considère un fluide réel, les pertes de charges dépendent de la forme, des dimensions et de la rugosité de la canalisation, de la vitesse d’écoulement et de la viscosité du fluide mais non de la valeur de la pression qui règne dans le fluide. La différence de pression

=

entre deux points 1 et 2 d’un circuit hydraulique a pour

origine : -Les frottements du fluide sur la paroi interne de la tuyauterie, on les appelle pertes de charges linéaires (régulières). -Des ‘accidents’ sur la tuyauterie : élargissements ou rétrécissements brusques, coudes, vannes, clapets, tés, etc. on les appelle pertes de charges singulières. IV.4.1. Pertes de charges linéaires Entre deux points séparés par une longueur L, dans un tuyau de diamètre D apparait une perte de pression

, la perte de charge linéaire est calculée par la formule de Darcy-Weisbach

(1857) :

Avec : 36

Cours MDF

Chapitre IV

)

Le calcul des pertes de charges repose entièrement sur la détermination de

IV.4.1.1.Pertes de charges linéaires en régime laminaire Dans ce cas le coefficient de pertes de charges linéaire λ est uniquement fonction du nombre de Reynolds ; l’état de la surface n’intervient pas, ni la nature de la tuyauterie.

IV.4.1.2.Pertes de charges linéaires en régime turbulent Dans le cas du régime turbulent, plusieurs formules de calcul du coefficient

sont

proposées : -Formule de Blasius (cas d’un tube lisse)

-Fomule de Colebrook-White (en tube lisse ou rugueux*) √ Avec :

(

⁄ √

)

est la taille caractéristique des aspérités du tube.

Dans le cas de tube de section non circulaire, on remplace usuellement hydraulique

par le diamètre

défini par :

De façon générale, on pourra utiliser le diagramme de Moody (Figure IV.4 ) qui fournit le coefficient de perte de charge linéaire dans tous les cas.

37

Cours MDF

Chapitre IV

*La rugosité désigne la hauteur moyenne des aspérités, comme illustré sur la figure cicontre. 𝜖

Figure IV.5. Rugosité d'une conduite.

38

Cours MDF

Chapitre IV

Figure .IV.4. Diagramme de Moody. 39

Cours MDF

Chapitre IV

IV.4.3 Pertes de charges singulières La perte de charge singulière, se produit localement au niveau d’une section de la conduite, elle peut être provoquée par : -Un branchement de section de la conduite ; -Un changement de direction (coude) ; -Un branchement ou raccordement ; -Un dispositif de mesure et contrôle de débit…. Comme pour les pertes de charges linéaires, les pertes de charges singulières se traduisent par la formule :

Avec :

Les valeurs de

pour différents cas sont données dans l’annexe A3

IV.4.4.Pertes de charges totales Lors d’un écoulement dans une conduite , les pertes de charges totales sont l’addition de deux types de pertes de charges (linéaires et singulières).

IV.5 Théorème de Bernoulli appliqué à un fluide réel Lors d’un écoulement d’un fluide réel entre deux points 1 et 2, il peut y avoir des échanges d’énergie entre le fluide et le milieu extérieur : -Par travail à travers une machine, pompe ou turbine. La puissance échangée est P. -Par pertes de charges dues aux frottements du fluide sur les parois ou les accidents de parcours, la différence de pression est

.

Le théorème de Bernoulli s’écrit alors sous la forme générale :

Avec :

40

Cours MDF

Chapitre IV

41

ANNEXES

Cours MDF

Annexes

Le Système d’Unités SI En mécanique des fluides, le système d’unités SI (Système International) comporte trois unités principales à partir desquelles les autres quantités peuvent être décrites : Grandeur de base

Nom de l’unité

Symbole

Longueur

Mètre [m]

L

Masse

Kilogramme [Kg]

M

Temps

Seconde [s]

T

On résume les unités SI des différentes caractéristiques utilisées en mécanique des fluides : Caractéristique

Unités SI

Dimensions

Vitesse Accélération Force

,

Energie

,

,

Puissance ,

Masse volumique

Poids volumique

42

Cours MDF

Annexes

Pression

Viscosité

43

Cours MDF

Annexes

Outils mathématiques

-Elément de volume :

-Dérivée partielle : -Dérivée totale :

-Gradient d’un scalaire : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ [ ]

⃗

-Gradient d’un vecteur :

[

]= [

]

(

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ).

-Coordonnées cartésiennes On considère un point Le point

et le référentiel

est repéré par les coordonnées cartésiennes

.

44

Cours MDF

Annexes

̅̅̅̅̅ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Le déplacement élémentaire vaut : ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗

̅̅̅̅̅̅

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

est repéré par les coordonnées cylindrique

.

⃗⃗⃗⃗ , il sert pour calculer

les surfaces et volumes élémentaires. On en déduit :

-Coordonnées cylindriques Le point

On utilisera les coordonnées cylindriques dès que la distance à l’axe

joue un rôle

important dans le problème étudié.

45

Cours MDF

Annexes

̅̅̅̅̅̅

⃗

̅̅̅̅̅

⃗⃗⃗

̅̅̅̅̅̅

Le déplacement élémentaire vaut : ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ , il sert pour calculer

les surfaces et volumes élémentaires. On en déduit :

On a souvent besoin du volume élémentaire compris entre les cylindre de rayon

et de rayon

. (

)

(

)

46

Cours MDF

Annexes

Le volume élémentaire compris entre les cylindre de rayon du cylindre de rayon

et de hauteur

et de rayon

est la surface

multipliée par

47

Cours MDF

Annexes

Coefficient de perte de charges singulières -Raccordement d’une conduite avec un grand réservoir Départ Sans saillis à l’intérieur du réservoir, avec raccordement à angles vifs.

Sans saillis à l’intérieur du réservoir, avec raccordement à angles vifs, ajutage débitant à gueule bée.

Avec saillie à l’intérieur du réservoir

48

Cours MDF

Annexes

Sans saillie à l’intérieur du réservoir, avec raccordement de profil arrondi. Cette valeur est moyenne, elle dépend du profil de l’arrondi.

Arrivée (

)

( )

49

Cours MDF

Annexes

Coudes arrondis

(

(

) )

Coudes brusques

22.5

30

45

60

90

0.07

0.11

0.24

0.47

1.13

Divergent (

( ))

(

(

(

) )

) )

Rétrécissement brusque (

0.01

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0.500

0.495

0.480

0.455

0.420

0.375

0.320

0.255

0.180

0.095 50

Cours MDF

Annexes

Elargissement brusque (

)

( )

0.01

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.000

0.980

0.922

0.829

0.708

0.569

0.424

0.287

0.175

0.109

Vanne operculle

0.07

0.26

0.81

2.06

5.52

17

98

51

Cours MDF

Annexes

Vanne à papillon 5

10

15

20

30

40

50

60

70

0.24

0.52

0.90

1.5

3.9

11

33

118

750

20

30

40

45

50

55

60

65

70

75

1.7

3.2

6.6

9.5

14

20

30

42

62

90

Clapet à battant

52

Références bibliographiques [1] BELGACEM I., 2016. Exercices d’entrainement en Mécanique des Fluides, Editions Universitaires Européennes, Allemagne. [2] Céline Anthoine – Guillaume Levèvre – Samuel Marque- 1999 .Mécanique de fluides – Prépas PC-PSI. [3] Christian Grossetête .,1999,Mécanique des fluides.Cours, exercices et problèmes corrigés.Classes préparatoires- Premier cycle universitaire. [4] Candel S., 1995, Mécanique des Fluides, Cours, Ed. Dunod. [5] Jean-Fraçois Sini. Cours de Mécanique des Fluides. Ecole d'ingénieur. 2006, pp.213. [6] Carlier M., 1986, Hydraulique Générale et Appliquée, Collection de la Direction des Etudes et Recherches d’EdF, n°14, Ed. Eyrolles. [7] Idel’cik I.E., 1986, Memento des Pertes de Charges, Collection de la Direction des Etudes et Recherches d’EdF, n°13, Ed. Eyrolles. [8] Meier D. et O. Kempf, 1996, Mécanique des Fluides, Cours avec exercices résolus, Ed. Masson. [9] Candel S., 1995, Mécanique des Fluides, Problèmes résolus, Ed. Dunod.

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