Oscilatii Mecanice [PDF]

Zitiervorschau

10. Oscilatorul armonic liniar (oscilații libere, amortizate şi forțate; rezonanța şi factorul de calitate). O mişcare periodică, ce se reia cu regularitate la intervale egale de timp se numeşte mişcare oscilatorie. Oscilatorul armonic este un punct material care execută oscilaţii sinusoidale pe o dreaptă, sub acţiunea unei forţe atractive proporţionale cu distanţa până la centrul atractiv (centrul mişcării). Scriem principiul al II-lea

= deplasarea până la poziția de echilibru 

=

+

=0

ecuație liniară și omogenă ce admite soluții generale de forma = =

=

=

=

înlocuind în ecuație, avem ignorând soluția banală notând



=

=0 

+

+



=0 =0

(



)=0

=0

=

unde

așadar soluția generală a ecuației oscilatorului armonic este

= =

deoarece ambele soluții satisfac simultan ecuația, alegem o combinație liniară a acestora

=

+

(care este o mărime complexă)

utilizând formulele lui Euler =

=

, avem

[

] =

=(

)

Se obțin valori reale pentru ( ) dacă Căutăm să scriem

+

=

și

sunt complex conjugate.

și

=

cu

.

Sumând relațiile 

=

(

)



=

(

)

Scăzând relațiile 

=

(

) 

=

(

)



=

=

(

+ )

( ) = elongația oscilațiilor +

= amplitudinea(elongația maximă)

= faza

= faza inițială

=

(



+ )

= ( )=

+ )

+





Din condițiile inițiale + 

(

=1=



+

=

=



=

=

= pulsația proprie a oscilațiilor libere

=

=2

=

Accelerația oscilațiilor armonice libere ( )=



=

( )=

(

Energia oscilatorului armonic liber = 

=

=

=

( )=

=

=



=

=

( )+



+

=

=

=

)

( )

+ +

=

= constant

Energia medie a oscilatorului armonic pe durata unei perioade = =

(

=

( )

=

)

=

(

=



= ( )

=

= =

· =

)

(

) =

=

= 

( =

)

=

Compunerea oscilațiilor armonice paralele 1) Oscilații libere paralele de aceeași frecvență =

+

=

+

=

=

+

=

= =

=

unde am notat

=

=

+

=

= constant

+2

(

= constant

În reprezentarea fazorială, =

+

=

=

=

+2

iar (*) dacă



)

=



)

și

= iar

(

+ =

= =0 (

=

+

+2

·

·

+2

) 

(

(

)

= oscilații în fază) 

=

=



=

=

+

oscilațiile se adună (se întăresc reciproc) =

=

= 

=

=

=



(**) dacă

=

=

(oscilații în opoziție de fază)

=



=

oscilațiile se scad (se slăbesc reciproc), iar dacă

=

=

=





=



( )=(

dacă



=



( )= (

(

+

=(

)



)

( )

+ (

+ ) 

=

=

=

=

=

) +

)=

+

(cuadratură de fază) 

=

=

=

=

dacă

=

, acestea se anulează

= =

(***) dacă

=

=

=

=

=



= 

=



(

+



(

)= )=



) 

(

=

=

= = 

= (

)=



( 

)= =



=

=

 

)=

+

=

=

(



= 

=

) 

(

( ) 

( 

) 

+ (

)=



2) Oscilații libere paralele de frecvențe diferite (aceeași amplitudine) =

+

=

+

=

= În diagrama de mai sus, paralelogramul fazorilor devine romb, deci faza oscilației rezultante este

= (

)

iar amplitudinea

termenul ce conține faza este =2

+

e variabilă, de pulsație

Dacă pulsațiile (frecvențele) oscilațiilor sunt foarte apropiate ca valoare

=

și

deci oscilația rezultantă este practic sinusoidală având pulsația destul de rapidă, în timp ce amplitudinea variază periodic cu pulsație foarte lentă (fenomenul de “bătăi”).

Compunerea oscilațiilor armonice perpendiculare, de frecvențe egale =

=

=

= (

)

=

= (

)

Se elimină timpul între ecuații =

|·

=

|·(

(+) 

= 

) ) 

( =

rel(1)

=

|·

=

|·(

(+) 

= 

) ) 

( =

rel(2)

ridicăm la pătrat cele 2 relații și le însumăm + +

+

+ 



= +

=

ecuația unei elipse înscrise într-un dreptunghi cu laturile 2 respectiv 2 (*) dacă 

= +

=0

 =0 



=0 

+

=0 



=

ecuația unei drepte ce trece prin origine (diagonala dreptunghiului) elongația este =

(

+ )

pulsația oscilației rezultante este aceeași cu pulsațiile individuale

(**) dacă

=



 (***)

=0 

+ 

=0

=

=



=

(dacă

mișcare pe cealaltă diagonală = 1  mișcare pe elipsă în cuadratură

+ =

= 1 elipsa devine cerc) =

= (****)

(

)

= =

= = =

=0 

+

= =

(

(

)

= (

) =

) rel(3)

= (

)

rel(4)

(3),(4)  elipsa este parcursă în sens opus față de cazul anterior

Compunerea oscilațiilor armonice perpendiculare, de frecvențe diferite Dacă punctul material este supus simultan acţiunii a două mişcări oscilatorii perpendiculare cu frecvenţe diferite, traiectoria sa va fi complexă. Pentru un raport raţional al frecvenţelor traiectoriile vor fi stabile, dar dependente de diferenţa lor de fază (figuri Lissajoux). Dacă se utilizează două axe, orizontală şi verticală, şi se face raportul dintre numărul punctelor de tangenţă a traiectoriei cu axele se obţine raportul frecvenţelor oscilaţiilor.

Pentru un raport iraţional al frecvenţelor, punctul va descrie o curbă care va acoperi treptat o arie. Cazul particular al oscilațiilor de faze egale dar de semn opus, având amplitudini egale (oscilații circulare de sens opus)

Descompunem fazorii pe axe =

[

2

=

2( =

)

)] = [ (

=

(

=

[ ( )] = =

)] = (

=2

(

) (

)

) (

)

1) Suprapunând două mişcări circulare de sensuri opuse, cu fazele egale în modul, se obţine o oscilaţie armonică liniară cu amplitudine dublă descrisă de ecuaţia =2 ( ) 2) Reciproc, o oscilaţie armonică liniară poate fi descompusă în două mişcări circulare de aceeaşi frecvenţă, cu sensuri opuse şi amplitudini pe jumătate. Această descompunere este utilă pentru legătura dintre lumina polarizată liniar şi lumina polarizată circular.

Oscilații amortizate Datorită interacțiunii cu mediul exterior (ex. frecări), oscilatorul pierde continuu energie iar oscilațiile sale vor fi amortizate (amplitudinea va scădea în timp). Considerăm forțe de rezistență direct proporționale cu viteza (sensul fiind mereu opus vitezei). ( )= ( ) ( ) ( = coeficient de rezistență al mediului) 

=

=0



=0

ecuație diferențială liniară omogenă = coeficient de amortizare



= 0 ce admite soluții de forma

înlocuind în ecuație, se obține  (1)

+2

+

+2 

=0

=

( )=

+



=0

=

mişcare sub-amortizată; efectul forţei de frecare nu e determinant, amortizarea este slabă  = Soluția ecuației oscilatorului amortizat este o combinație liniară a celor 2 soluții ale ecuației caracteristice

( )=

+ =

Ω=

(

=

+

)

este pulsația oscilațiilor amortizate (pseudopulsație)

Obținem valori reale pentru ( ) dacă Căutăm să scriem

+

Sumând relațiile 

=

(

Scăzând relațiile 

=

(

( )=

( =

=

(

= 

=

(

) 

=

(

)

)= +

sunt complex conjugate.

și +

+

și

+

)

( )=

)

)= (

Oscilația rezultantă este tot periodică, dar de pulsație mai mică și de amplitudine amortizată în timp cu factorul

)

Mişcarea oscilatorie amortizată se ”stinge”, cu atât mai repede cu cât factorul de amortizare δ este mai mare. Într-un interval de timp numit constanta de timp a oscilatorului, amplitudinea oscilaţiilor scade de “e” ori. =

=

=



=

=



=

= timp de relaxare sau timp de viață Definim decrementul logaritmic ca logaritmul natural al raportului elongațiilor sau amplitudinilor oscilațiilor amortizate după o perioadă =

=

=

=

=

= =

= =

Inversul decrementului

=

=

=

=

reprezintă nr. de oscilații

realizate în timul de relaxare mărimea

=

=

=

=

se numește factor de calitate

oscilatorul va fi cu atât mai bun cu cât este este mai mare, adică cu cât coeficientul de amortizare va fi mai mic. După un interval de timp t = 5τ , amplitudinea oscilaţiilor amortizate scade sub 1% din valoarea maximă.

=

==

=

=

=6

De aceea, acest interval de timp se numeste durata practică a procesului de ” stingere ” a oscilaţiilor. Pentru a avea oscilaţii practic sesizabile şi după acest interval de timp, este necesar să fie întreţinute cu o sursă exterioară (forțate).

(2)

mişcare supra-amortizată sau aperiodică; efectul forţei de frecare devine determinant  = valori reale Mișcarea nu mai este periodică, oscilatorul revine la poziția de echilibru după un timp considerabil. Este utilizată acolo unde se dorește amortizarea fără oscilații (amortizoare auto).

( )= (3)

+

mişcare cu amortizare critică

=

ecuația oscilatorului admite soluții de forma

(t) =

(

)

verificăm că această soluție satisface ecuația ( )=

(

( )= 

(

)+

(

)

) +2 (

+ 

(

 

(

(

)+ )(

)+

)+

+

)=0 

( (

)+

)=0 

(

+

=0

)=0 

( ) = 0 dar cum

ecuația e într-adevăr satisfăcută de soluția generală

(t) =

(

)

Pentru aceleaşi condiţii iniţiale, în cazul amortizării critice, corpul se va întoarce în poziţia de echilibru în cel mai scurt timp. În funcţie de valorile constantelor şi şi de semnul acestora, corpul se apropie asimptotic de poziţia de echilibru sau o traversează o singură dată înainte de a reveni la ea. Regimul amortizat critic este ales în funcţionarea instrumentelor magnetoelectrice, întrucât în acest regim deviaţia echipajului mobil are loc foarte rapid şi nu apar oscilaţii mecanice ale acului indicator în jurul valorii indicate.

Oscilaţii forţate Să analizăm în continuare ce se întâmplă dacă acţionăm din exterior cu o forţă care să compenseze pierderile prin frecare. Presupunem că forţa exterioară este periodică, cu amplitudinea şi frecvenţa Ω, de forma: =

Ecuația diferențială a mișcării devine 

=



= unde

=

=

=

este o ecuaţie diferenţială liniară de ordinul doi, neomogenă (din cauza termenului independent de variabila x, din membrul doi). Soluţia unei astfel de ecuaţii este de forma: ( )=

( )+

( )

unde ( ) este soluţia ecuaţiei omogene (cunoscută deja) iar ( ) este o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene, de forma termenului liber: ( )=

(

)

Înlocuim în ecuația diferențială a mișcării, ținând cont că ecuația omogenă. 

(

) 2

(

)

Căutăm să scriem (  (

+ (

(

(

)



)=

) 2

)

( ) satisface



= ) 2

=

(

)

2

= –

= +

[

]= identificând termenii, se obține = =

+

Ridicând la pătrat și însumând relațiile, se obține  =

=



( faza



)=

trebuie să fie zero 

=0= 



=

De asemeni

=

(



=

)

=

Soluția generală a ecuației diferențiale a mișcării oscilatorului este ( )=

( )+

( )=

+

+

(

)+

(

)

Primul termen se atenuează foarte mult după un timp de tranziție, apoi rămâne doar termenul datorat oscilației forțate. Se observă că dependenţa amplitudinii de frecvenţa forţei exterioare este neliniară, prezentând un maxim pentru o frecvență de rezonanță Ω = ce poate fi determinată din condițiile de maxim

=0 =0 

= 

=

 4(



)=4

=

La rezonanţă, amplitudinea oscilaţiilor forţate este =

= sau

=

= =

fiind pulsația oscilației amortizate (pseudopulsația

= = =

).

Să comparăm amplitudinea la rezonanță cu elongația maximă produsă de forța exterioară în absența amortizării =



=

=

·

=



pentru amortizări foarte mici



1

amplitudinea la rezonanță crește foarte mult chiar în raport cu amplitudinea oscilațiilor libere neamortizate, putând duce chiar la distrugerea sistemului. La pulsația de rezonanță

=

are loc deci rezonanța elongațiilor.

Viteza oscilatorului este ( ) = ( ) = Amplitudinea vitezei este

=

=

=

Pentru a afla maximul, se pune condiția +

·

=0 =

+

· [2 

(

+4

=

] = 0





=  1 =

 2

)+

 +

Viteza oscilatorului e maximă pentru Pentru această frecvență, amplitudinea este



+4 =

=



(rezonanța vitezei)

=

=

Distingem așadar între: - rezonanța elongațiilor, când amplitudinea este maximă la pulsația = ( = pulsația oscilațiilor libere amortizate (pseudopulsație)), și - rezonanța vitezelor, când amplitudinea vitezei este maximă la pulsația oscilațiilor proprii în absența amortizării ( ). La amortizare foarte mică, aceste pulsații coincid practic.

Lărgime de bandă, factor de calitate

În apropierea rezonanței (pulsația ), avem și deci | iar pentru amortizări mici ; scriem amplitudinea astfel

=

| 0

=

,

=

=

= =

=

În imediata vecinătate a rezonanței 0  = apoi scade pe măsură ce ne îndepărtăm de rezonanță. Lărgimea curbei de rezonanță pentru = (la care puterea = 

=



=

1



=



) =

Lărgimea curbei de rezonanță e cuprinsă deci între valorile pulsației forței exterioare = și =  = =2 Factorul de calitate

=

=

Energia și puterea =

+

=

+ =

=

+ +

=

Energia medie

=



+



= constant

=

Deoarece energia medie a oscilatorului rămâne constantă, puterea absorbită continuu pe seama forței externe este disipată continuu de către forțele de rezistență. Puterea dezvoltată de forța exterioară este = =  = Puterea medie în intervalul de o perioadă este =

=

=

=

=

=

=

+

=

=

+ =

+

=

(

=

( =

(

=

(

= +

=

)

(

)

(

)

(

)

)= )= )= ) 

( =

Dar

=

iar vecinătatea rezonanței 





=

· =

=



=

Puterea dezvoltată de forța de rezistență este = = =  = = Puterea medie disipată de forțele de rezistență în intervalul de o perioadă este =

=

=

=

=

= =

=

+

·

=

·

= =

·

·

·



=

·

= =

·

·

=

în vecinătatea rezonanței

Se observă așadar că la pulsația de rezonanță (pulsația proprie) la care are loc rezonanța vitezelor, puterea absorbită este egală cu puterea disipată = Defazajul defazajul este dat de (*) pentru

=

=

(rezonanța vitezelor)  ( )= ( )=

(

(

 )

) =

elongația este în cuadratură cu forța exterioară, viteza este în fază cu aceasta (*) pentru



defazajul este în cadranul 4

(

,2 )

(*) pentru 0 variația forței externe este mult mai lentă decât pulsația proprie a oscilatorului liber

0 

=

(limita superioară a cadranului 4)

elongația este în fază cu forța exterioară, viteza este în cuadratură de fază cu aceasta; corpul urmărește variația forței exterioare iar efectele inerției sunt insesizabile



(*) pentru

defazajul trece în cadranul 3

(

)

(*) pentru , variația forței externe este mult mai rapidă decât pulsația proprie a oscilatorului liber =



=

=

0

(limita inferioară a cadranului 3)

Elongația este în opoziție de fază cu variația forței externe; corpul nu poate urmări variația forței exterioare iar efectele inerției sunt foarte mari.