Notiuni de Baza Pentru Fizica [PDF]

Zitiervorschau

BREVIAR NOȚIUNI DE BAZĂ ALFABETUL GRECESC Simbol Denumire Simbol Denumire Simbol Denumire Simbol XI (citit ALPHA RO α ρ ξ ϕ, Φ CSI) BETA THETA PSI β θ ψ ζ γ, Γ

GAMMA

σ

SIGMA

λ

LAMBDA

χ

ω, Ω η

OMEGA ETA

τ δ, ∆

TAU DELTA

µ ν

MIU NIU

ε π

Denumire PHI (citit FI) ZETA CHI (citit HI) EPSILON PI

MULTIPLI ȘI SUBMULTIPLI MULTIPLI 1 dam = 10 m 1 hm = 102 m 1 kW =103 m 1 MV =106 V 1 GW = 109 W 1TW = 1012 W 1 PV =1015 V 1 EW =1018 W

deca hecto kilo Mega Giga Tera Peta Exa -

SUBMULTIPLI deci 1 dm = 10- 1 m centi 1 cm =10- 2 m mili 1 mm =10- 3 m micro 1 µA = 10- 6 A nano 1 nV =10- 9 V pico 1 pW =10- 12 W femto 1 fs =10- 15 s atto 1 as = 10-18 s

PUTERI ȘI LOGARITMI LOGARITMI m n m+n ℓog ( A ⋅ B ) = ℓogA + ℓogB x ⋅x = x A xm ℓog   = ℓogA − ℓogB = x m−n n B x PUTERI

m n

(x )

( x) n

ℓog ( A n ) = n ⋅ ℓogA

= x m ⋅n

m

=x

m n

ℓog b X =

ℓog a X ℓog a b

SISTEMUL INTERNAȚIONAL DE MĂRIMI ȘI UNITĂȚI (Mărimile fizice fundamentale și unitățile lor de măsură)

Nr. crt. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Denumire mărime fizică fundamentală Lungime Masă Timp Intensitatea curentului electric Temperatura termodinamică (absolută) Intensitatea luminoasă Cantitatea de substanță Notații: ℓ SI = [ ℓ ]SI 1

Simboluri uzuale pentru mărimea fizică fundamentală ℓ, L, d, D m, M t, ∆t i, I T I ν = 1m; ℓ = 1 µm

Unitatea de măsură fundamentală Denumire

Simbol

metru kilogram secundă Amper Kelvin candela kilomol

m kg s A K cd kmol

Mărimi fizice și unități de măsură derivate – exemple

1.

Denumire mărime fizică derivată Arie

2.

Viteză

3.

Forța

Newton

4.

Presiunea

Pascal

Nr. crt.

Unitatea de măsură derivată Denumire

Simbol

Metru pătrat Metru pe secundă

m2 m/s 1N = 1kg ⋅

m

s2 N kg 1Pa = 1 =1 2 m m ⋅ s2

Exemplu deducere unitate de măsură derivată: m SI m kg ρ SI = = =1 3 V SI V SI m Exemplu de transformare de unități de măsură: 1g 10−3 kg 10−3 kg 1kg kg 3 1g / cm = = = −6 3 = −3 3 =103 3 3 3 − 2 1cm m (10 m ) 10 m 10 m NOȚIUNI DE TRIGONOMETRIE - pentru unghiuri: θ

SI

= 1rad

(1 radian)

0

180 = π rad 1800 ……………………. π rad α (0 - grade) ……………. α (rad) π⋅α( 0 ) α ( rad ) = 1800 π ⋅ 300 π π ⋅ 450 π 0 0 ex: 30 = = rad = rad 45 = 1800 6 1800 4 0 0 π ⋅ 60 π π ⋅ 90 π = rad = rad 600 = 900 = 0 0 180 3 180 2

α sinα α

00 0

300 ½

450

cosα α

1

3/2

tgα α

0

3/3

2/2 1

ctgα α

∞

3

2/2

1

∀ α − 1 ≤ sin α ≤ 1 − 1 ≤ cos α ≤ 1

2

600 3/2 ½

900 1

1800 0

0

-1

3

∞

0

3/3

0

-∞

FORMULE FUNDAMENTALE DE TRIGONOMETRIE: 1.

sin 2 α + cos 2 α = 1

2.

tgα =

3.

4.

5. 6.

π  sin  − α  = cos α 2  π  cos  − α  = sin α 2 

7.

sin α 1 = cos α ctgα

8.

sin ( − α ) = − sin α

sin ( 2α ) = 2 ⋅ sin α ⋅ cos α

9.

(funcție impară)

cos ( 2α ) = cos 2 α − sin 2 α

cos ( − α ) = cos α

10.

(funcție pară)

cos ( 2α ) = 2 ⋅ cos α 2 − 1 cos ( 2α ) = 1 − 2 ⋅ sin α 2

sin ( α ± β ) = sin α ⋅ cos β ± cos α ⋅ sin β cos ( α ± β ) = cos α ⋅ cos β ∓ sin α ⋅ sin β

11.

sin ( π ± α ) = ∓ sin α

12.

cos ( π ± α ) = − cos α

FUNCȚII INVERSABILE f  f −1 ( x ) = f −1  f ( x ) = x

1.

eℓnx = x

4.

ℓg (10 x ) = x

2.

ℓn ( e x ) = x

5.

( x) ( x)

3. 10ℓgx = x

6. DERIVATE

Definiție: f ' ( x 0 ) = ℓim

f ( x ) − f ( x0 )

x →x0

notatii

Notații:

f '( x ) =

x − x0 df • =f dx

notatii

f '' ( x ) =

d 2 f •• =f dx 2

Exemple: La mișcarea rectilinie: - definiția vitezei momentane (instantanee): x ( t ) − x ( t0 ) ∆x dx • v = ℓim = ℓim = x '( t ) = =x t → t 0 ∆t t →t0 t − t0 dt - definiția accelerației momentane (instantanee): v ( t ) − v ( t0 ) ∆v dv • a = ℓim = ℓim = v '( t ) = =v t → t 0 ∆t t →t0 t − t0 dt OBS: a = v ' ( t ) = x " ( t ) =

d 2 x •• =x dt 2

3

n

2

n

=x =x

Interpretarea grafică a derivatei:

f ' ( x 0 ) = tgα în x = x 0 f ' ( x 0 ) >< 0

Teorie

Exemplu

REGULI DE DERIVARE: 1). a ⋅ f ( x ) ′ = a ⋅ f ′ ( x ) 2). a ⋅ f ( x ) ± b ⋅ g ( x ) ′ = a ⋅ f ′ ( x ) ± b ⋅ g′ ( x ) 3). ( f ig )′ = f ′ ⋅ g + f ⋅ g′  f ′ f ′ ⋅ g − f ⋅ g′ 4).   = g2 g 5). ( f  g )′ = ( f ′  g ) ⋅ g′

FORMULE DE DERIVARE: 1 x

1.

a ′ = 0 (a=constantă)

6.

( ℓnx )′ =

2.

x′ = 1

7.

( sin x )′ = cos x

3.

( x )′ = n ⋅ x

8.

( cos x )′ = − sin x

4.

( e )′ = e

9.

( tgx )′ =

5.

( a )′ = a

n

x

x

n −1

x

x

10.

⋅ ℓna

1 cos 2 x 1 ( ctgx )′ = − 2 sin x

Derivări de funcții compuse – exemple: 1 ⋅ cos x = ctgx 11). ℓn ( sin x ) ′ = sin x

′ 12). cos ( x n )  = − sin ( x n ) ⋅ n ⋅ x n −1

Exemplu aplicativ: Se dă legea de mișcare: x = 4 ⋅ t 3 − 2 ⋅ t + 9 ( m ) . Aflați modulul vitezei la 3 secunde de la începerea cronometrării. Rezolvare: v = x ′ ( t ) = ( 4 ⋅ t 3 − 2 ⋅ t + 9 )′ = 12 ⋅ t 2 − 2 ( m / s ) , de unde, numeric: v ( 3s ) = 12 ⋅ 32 − 2 = 106 m / s 4

DERIVATE PARȚIALE: Fie f(x,y) Notații: -

derivata parțială a lui f în raport cu x: derivata parțială a lui f în raport cu y:

∂f ∂x

y = cons tan t

∂f ∂y x =cons tan t

∂ 2f ∂  ∂f  ∂ 2f ∂  ∂f  = ; =  ;   2 2 ∂x ∂x  ∂x  ∂y ∂y  ∂y  ∂ 2f ∂  ∂f  ∂ 2f ∂  ∂f  =   = ;   ∂y∂x ∂y  ∂x  ∂x∂y ∂x  ∂y  ∂f ∂f - diferențiala unei funcții: df = dx + dy ∂x ∂y 5 2 Exemplu: Fie f ( x, y ) = 3x − 2x ⋅ y + 5x ⋅ y − y 2 . Să se calculeze toate derivatele sale parțiale de ordinele

-

derivate parțiale duble:

I și al II-lea și să se exprime diferențiala acestei funcții. Rezolvare: ∂f = 15x 4 − 2y 2 + 5y ∂x

∂f = −4x ⋅ y + 5x − 2y ∂y

∂ 2f ∂ ∂ 2f ∂ 4 2 3 15x − 2y + 5y ) = 60x = ( −4x ⋅ y + 5x − 2y ) = −4x − 2 = ( 2 2 ∂x ∂x ∂y ∂y 2 ∂f ∂  ∂f  ∂ = ( −4x ⋅ y + 5x − 2y ) = −4y + 5  = ∂x∂y ∂x  ∂y  ∂x ∂ 2f ∂  ∂f  ∂ =   = (15x 4 − 2y 2 + 5y ) = −4y + 5 ∂y∂x ∂y  ∂x  ∂y ∂ 2f ∂ 2f = = −4y + 5 ∂x∂y ∂y∂x ∂f ∂f df = dx + dy = (15x 4 − 2y 2 + 5y ) dx + ( −4x ⋅ y + 5x − 2y ) dy ∂x ∂y

Obs:

INTEGRALE - integrala nedefinită: ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C ⇔ F′ ( x ) = f ( x ) , cu F(x) – primitiva - integrala definită:

b

b

a

a

∫ f ( x ) dx = F ( x )

= F(b) − F(a )

REGULI DE INTEGRARE:

∫ a ⋅ f ( x ) ± b ⋅ g ( x ) dx = a ⋅ ∫ f ( x ) dx ± b ⋅ ∫ g ( x ) dx 2). ∫∫∫ f ( x ) ⋅ g ( y ) ⋅ h ( z ) dx dy dz = ∫ f ( x ) dx ⋅ ∫ g ( y ) dy ⋅ ∫ h ( z ) dz 1).

5

INTERPRETAREA GRAFICĂ A INTEGRALEI:

Teorie

exemplu FORMULE DE INTEGRARE:

1). ∫ a dx = ax + C n +1

x +C n +1 x dx = e x + C

∫x 3). ∫ e 4). ∫ a

2).

7).

n

x

dx =

6).

1 ∫ x + a dx = ℓn ( x + a ) + C

(cu

9). ∫ cos x dx = sin x + C

1

∫ x dx = ℓnx + C

1

demonstrație) 8). ∫ sin x dx = − cos x + C

1 dx = ⋅ax + C ℓna

5).

1

∫ a ⋅ x + b dx = a ⋅ ℓn ( a ⋅ x + b ) + C

10).

∫x

11).

∫

1 1 x dx = ⋅ arctg   + C 2 +a a a 1 x dx = arcsin   + C 2 2 a a −x

2

Exemplu aplicativ: Un mobil execută o mișcare rectilinie, având legea vitezei: v = 3 ⋅ t 2 − 5 . Aflați variația coordonatei sale în intervalul de timp [0, 2 s]. Rezolvare: 2

∫

2

0

 3 ⋅ t3  − 5 ⋅ t  = ( 23 − 5 ⋅ 2 ) − ( 03 − 5 ⋅ 0 ) = −2 m v ( t ) dt = x ( 2s ) − x ( 0s ) = ∫ ( 3 ⋅ t − 5 ) dt =  0  3 0 2

IX.

2

CONICE

1). ecuația dreptei: y = a ⋅ x + b , unde a - panta dreptei; a = tgα >< 0 b – ordonata la origine

6

2). ecuația cercului cu centrul C(xC; yC) și raza R:

2

( x − x C ) + ( y − yC )

2

= R2

3). ecuația elipsei cu centrul C(xC; yC), având axele de simetrie paralele cu Ox și, respectiv Oy, și cu 2 2 ( x − x C ) + ( y − yC ) = 1 a2 b2 semiaxele a și b:

4). Ecuația parabolei:

y = a ⋅ x2 + b ⋅ x + c

SAU

-

dacă a > 0 → parabolă concavă (”ține apa”) dacă a < 0 → parabolă convexă (”nu ține apa”) ∆   b V− ;−  2 vârful parabolei:  2 ⋅ a 4 ⋅ a  , cu ∆ = b − 4 ⋅ a ⋅ c

-

x1, 2 =

-

−b± ∆ , dacă ∆ ≥ 0 2⋅a

7

x = a ′ ⋅ y 2 + b′ ⋅ y + c′

5). ecuația hiperbolei echilatere: x ⋅ y = cons tan t

Exemplu: la transformarea izotermă (la T = constant) a gazelor ideale, relația dintre presiunea, p și volumul V (ecuația transformării izoterme) este: p ⋅ V = constant

-

operații cu vectori: o suma a doi vectori:

   s =a+b;

    s = a + b = a 2 + b 2 + 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos α ( α =≺ a; b )

( )


reguli geometrice de adunare a vectorilor: regula triunghiului: regula paralelogramului:




metoda analitică de compunere/adunare a vectorilor:

8

regula poligonului:

       o diferența a doi vectori: d = a − b ; d = a − b = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos α ( α =≺ a; b )   o produs scalar: a • b = a ⋅ b ⋅ cos α ;         Considerând: a = a x i + a y j + a z k și b = b x i + b y j + b z k   a • b = a x ⋅ bx + a y ⋅ b y + a z ⋅ bz     o produs vectorial: a × b , cu: - modulul: a × b = a ⋅ b ⋅ sin α     - direcția: a × b ⊥ planul a; b

( )

( )

- sensul: - regula burghiului (tirbușonului)

9