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Italian Pages X, 258 pagg. 22 figg. [266] Year 2015
UNITEXT for Physics
Giampaolo Cicogna
Metodi matematici della Fisica Second Edition
UNITEXT for Physics Series editors Michele Cini, Roma, Italy Attilio Ferrari, Torino, Italy Stefano Forte, Milano, Italy Massimo Inguscio, Firenze, Italy G. Montagna, Pavia, Italy Oreste Nicrosini, Pavia, Italy Luca Peliti, Napoli, Italy Alberto Rotondi, Pavia, Italy
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Giampaolo Cicogna
Metodi matematici della Fisica Second Edition
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Giampaolo Cicogna Dipartimento di Fisica ‘‘E. Fermi’’ Università degli Studi di Pisa e I.N.F.N., Sez. di Pisa Pisa Italy
ISSN 2198-7882 ISSN 2198-7890 (electronic) ISBN 978-88-470-5683-1 ISBN 978-88-470-5684-8 (eBook) DOI 10.1007/978-88-470-5684-8 Springer Milan Heidelberg New York Dordrecht London Springer-Verlag Italia 2008, seconda edizione 2015 Quest’opera è protetta dalla legge sul diritto d’autore e la sua riproduzione è ammessa solo ed esclusivamente nei limiti stabiliti dalla stessa. Le fotocopie per uso personale possono essere effettuate nei limiti del 15 % di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall’art. 68. Le riproduzioni per uso non personale e/o oltre il limite del 15 % potranno avvenire solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, Corso di Porta Romana n.108, Milano 20122, e-mail [email protected] e sito web www.aidro.org. Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all’utilizzo di illustrazioni e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla registrazione su microfilm o in database, o alla riproduzione in qualsiasi altra forma (stampata o elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. La violazione delle norme comporta le sanzioni previste dalla legge. L’utilizzo in questa pubblicazione di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi registrati ecc., anche se non specificatamente identificati, non implica che tali denominazioni o marchi non siano protetti dalle relative leggi e regolamenti. Printed on acid-free paper Springer is part of Springer Science+Business Media (www.springer.com)
Prefazione
Dalla prefazione della Prima Edizione: Questo libro trae la sua origine dagli appunti preparati per le lezioni di Metodi Matematici della Fisica tenute al Dipartimento di Fisica dell’Universit`a di Pisa, e via via sistemati, raffinati e aggiornati nel corso di molti anni di insegnamento. Tuttavia, questi appunti sarebbero rimasti nella loro primitiva stesura senza l’aiuto di Emilio d’Emilio (a cui desidero rivolgere un caloroso e amichevole ringraziamento) che ha voluto trascrivere gran parte del manoscritto originale, per conferirgli una veste tipografica presentabile. Un ringraziamento anche a tutti gli studenti che mi hanno segnalato sviste e imprecisioni nei precedenti manoscritti. Grazie anche all’incoraggiamento di Giuseppe Gaeta, questo libro e` infine approdato alla Casa Editrice Springer Italia. Ringrazio la sig.a Marina Forlizzi per la sua assistenza nella preparazione del testo in conformit`a agli standard di Springer. L’intento generale e` di fornire una presentazione per quanto possibile semplice e diretta dei metodi matematici basilari e rilevanti per la Fisica. Anche allo scopo di mantenere il testo entro i limiti di un manuale di dimensioni contenute e di agevole consultazione, sono stati spesso sacrificati i dettagli tecnici delle dimostrazioni matematiche (o anzi le dimostrazioni per intero – con l’eccezione di qualche dimostrazione particolarmente significativa ed istruttiva descritta in dettaglio). Sono stati anche tralasciati i formalismi eccessivi che tendono a nascondere la vera natura dei problemi; al contrario, si e` cercato di evidenziare il pi`u possibile le idee sottostanti e le motivazioni che conducono ai diversi procedimenti e concetti, introducendoli sempre in modo graduale, anche mediante applicazioni immediate e dirette. L’obiettivo principale e` quello di mettere in condizione chi ha letto questo libro di acquisire gli strumenti adatti e le conoscenze di base che gli possano permettere di affrontare senza difficolt`a anche testi avanzati e impegnativi. Pisa, Aprile 2008
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Prefazione
Prefazione alla Seconda Edizione Questa nuova Edizione conserva la stessa struttura generale, gli orientamenti e gli obiettivi della prima Edizione sopra descritti, ma e` sensibilmente arricchita dall’inserimento di numerosi esempi (e controesempi), con molte nuove osservazioni, chiarimenti e discussioni su tutti gli argomenti proposti. Particolarmente arricchita e ampliata e` la parte dedicata alla teoria delle simmetrie, un argomento di fondamentale rilevanza nella Fisica, che era confinato in una Appendice nella vecchia Edizione (ora Capitolo 6). La prima parte del libro e` dedicata alle strutture vettoriali nella Fisica. Dopo un breve richiamo, con vari esempi, agli spazi vettoriali a dimensione finita (Capitolo 1), il Capitolo 2 e` dedicato agli spazi di Hilbert: dalle serie di Fourier (trigonometrica e “astratta”), agli operatori lineari con le loro diverse importanti caratteristiche e propriet`a. Il Capitolo 3 riguarda le funzioni di variabile complessa, con le applicazioni alle varie tecniche di integrazione (e non solo). I due Capitoli successivi sono dedicati alle trasformate di Fourier (con un richiamo alle trasformate di Hilbert e alle relazioni di dispersione) e di Laplace. Alcune propriet`a della delta di Dirac e della funzione di Green sono anticipate per comodit`a nel Capitolo 4, per essere poi riprese con un approccio rigoroso nell’ambito delle distribuzioni nel Capitolo 5. In tutti i Capitoli, tranne che nel Capitolo 1, c’`e spazio per le applicazioni dei vari metodi allo studio di equazioni differenziali alle derivate parziali di interesse fisico: l’equazione di d’Alembert, l’equazione del calore e l’equazione di Laplace per i problemi di potenziale. Infine, il Capitolo 6 e` interamente dedicato a presentare, partendo realmente dalle definizioni di base, le nozioni fondamentali della teoria dei gruppi (discreti e di Lie) e delle propriet`a di simmetria in vista delle loro applicazioni alla Fisica. Le varie idee sono illustrate da molti esempi suggeriti dalla Fisica: le simmetrie discrete, il momento angolare e lo spin, il gruppo di Lorentz, il gruppo SU3 , e le simmetrie, particolarmente significative, dell’atomo di idrogeno e dell’oscillatore armonico in meccanica quantistica. Concludo con un vivo ringraziamento a mia moglie, che ha riletto con grande attenzione anche questa nuova versione, per le sue osservazioni e suggerimenti.
Pisa, Maggio 2014
Giampaolo Cicogna
Indice
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Spazi a dimensione finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Primi esempi di strutture vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Spazi vettoriali (a dimensione finita) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Matrici come trasformazioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Cambiamenti di base e matrici unitarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Autovalori e autovettori di una matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Diagonalizzazione di una matrice hermitiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Problemi agli autovalori: esempi. Evoluzione temporale di sistemi dinamici lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Proiettori e decomposizione spettrale di una matrice . . . . . . . . . . . . . 1.9 Considerazioni geometriche elementari sulle trasformazioni del piano reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Gruppi di simmetrie e gruppi di matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11 Strutture vettoriali e principio di sovrapposizione . . . . . . . . . . . . . . . .
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Spazi di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Equazione di d’Alembert. Onde stazionarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Primi problemi concernenti gli spazi a dimensione infinita . . . . . . . . 2.3 La serie di Fourier trigonometrica: le sue prime propriet`a e difficolt`a 2.4 Evoluzione temporale di un’onda elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 L’equazione del calore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Prodotto scalare e norma: definizione generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Il concetto di norma come “distanza” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Alcune osservazioni sulla integrazione delle funzioni . . . . . . . . . . . . . 2.9 Lo spazio L2 (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10 Lo spazio di Hilbert: definizione generale. Teorema di Fourier in L2 2.11 Sistemi indipendenti e ortonormali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12 Serie di Fourier “astratta” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13 Propriet`a dei sistemi completi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14 Spazi separabili e lo spazio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.15 Propriet`a ed applicazioni delle serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27 28 31 32 36 38 39 41 44 46 48 49 50 52 55 59
1 1 3 5 7 8 10 13 19
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Indice
2.16 Trasformazioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.17 Continuit`a, limitatezza e norma di un operatore. Estensione per continuit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.18 Una applicazione concernente il problema della corda elastica. . . . . 2.19 Operatore aggiunto. Operatori unitari. Proiettori . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.20 Autovalori ed autovettori. Spettro di un operatore . . . . . . . . . . . . . . . . 2.21 Problema di Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.22 L’equazione di d’Alembert in due dimensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.23 Equazione di Sturm-Liouville con punti singolari. Alcune funzioni speciali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.24 Equazione di Laplace e funzioni armoniche. Problemi di Dirichlet e di Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.25 Equazioni alle derivate parziali. Il metodo di d’Alembert . . . . . . . . . 2.26 Funzionali. Teorema di Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.27 Operatore aggiunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.28 Operatori chiusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.29 Varie nozioni di convergenza per successioni di vettori e operatori . . 2.30 Operatori compatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62 63 67 68 73 77 79 81 84 87 89 90 91 94 96
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Funzioni di una variabile complessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.1 Prime definizioni. Condizioni di olomorfia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.2 Serie di potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.3 Integrazione delle funzioni di variabile complessa . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.4 Teoremi di Cauchy. Esistenza di tutte le derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.5 Sviluppi in serie di Taylor-Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.6 Propriet`a degli zeri delle funzioni olomorfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.7 Singolarit`a removibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3.8 Punti singolari isolati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.9 Calcolo dei residui. Prime applicazioni al calcolo di integrali definiti 112 3.10 Punto all’infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.11 Residuo all’infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.12 Punti di diramazione. Tagli. Integrazione lungo tagli . . . . . . . . . . . . . 120 3.13 Il lemma di Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 3.14 Funzioni armoniche e trasformazioni conformi. Il potenziale complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
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Trasformate di Fourier e Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.1 Le serie di Fourier come “analisi in frequenza”. Dalla serie all’integrale di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.2 L’analisi in frequenza e il “principio di indeterminazione” . . . . . . . . 139 4.3 La trasformata di Fourier in L1 (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.4 Continuit`a della trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 4.5 Derivazione e trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 4.6 Trasformata di Fourier in L2 (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 4.7 Inversione della trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Indice
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4.8 Propriet`a della trasformata di Fourier. La trasformata come operatore unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.9 L’“impedenza” dei circuiti elettrici e la trasformata di Fourier . . . . . 157 4.10 Propriet`a della funzione di Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 4.11 Prime propriet`a della delta di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 4.12 Relazioni di dispersione: introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 4.13 Teorema di Titchmarsh. Trasformate di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 4.14 Relazioni di dispersione di Kramers e Kronig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 4.15 Presenza di singolarit`a nella χ(ω) . Mezzi conduttori . . . . . . . . . . . . 170 4.16 Modello dell’elettrone legato elasticamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 4.17 Trasformata di Laplace: prime propriet`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 4.18 Olomorfia della trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 4.19 Inversione della trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 4.20 Alcune osservazioni sulla trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 178 4.21 La funzione Γ di Eulero ed altre trasformate di Laplace. . . . . . . . . . . 181 4.22 Applicazioni alle equazioni alle derivate parziali . . . . . . . . . . . . . . . . 182 5
Elementi di teoria delle distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 5.1 Distribuzioni temperate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 5.2 Convergenza “debole” fra distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 5.3 Derivata delle distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 5.4 Trasformata di Fourier delle distribuzioni temperate . . . . . . . . . . . . . . 192 5.5 Distribuzione “parte principale” P(1/x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 5.6 Distribuzioni di Schwartz e distribuzioni a supporto compatto . . . . . 198 5.7 Propriet`a e applicazioni delle distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 5.8 Prodotto e convoluzione fra distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 5.9 Funzioni di Green. Il potenziale coulombiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 5.10 Funzioni di Green con condizioni al contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 5.11 Funzione di Green per il potenziale nel semipiano . . . . . . . . . . . . . . . 211
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Introduzione alla teoria dei gruppi e alle propriet`a di simmetria . . . . . 213 6.1 Alcune definizioni generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 6.2 Omomorfismi tra gruppi. Gruppi quoziente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 6.3 Rappresentazioni di un gruppo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 6.4 Rappresentazioni dei gruppi finiti. Caratteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 6.5 Lemma di Schur. Le simmetrie nella fisica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 6.6 Livelli vibrazionali di sistemi con simmetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 6.7 Gruppi di Lie. Definizioni ed esempi generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 6.8 Algebre di Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 6.9 Gruppi e algebre di Lie e loro rappresentazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 6.10 Rappresentazioni differenziali. Gruppi delle traslazioni e delle rotazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 6.11 Gruppo delle rotazioni ed SU2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 6.12 Alcune propriet`a generali delle algebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 6.13 Rappresentazioni tensoriali e loro decomposizione. Il gruppo SU3 . . 242
x
Indice
6.14 6.15 6.16 6.17
Il potenziale centrale e l’atomo di idrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 L’oscillatore armonico isotropo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Il gruppo di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 Un cenno ad altri sviluppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
Riferimenti bibliografici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Indice analitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
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Spazi a dimensione finita
Questo Capitolo inizier`a con un “ripasso guidato” dedicato agli spazi vettoriali a dimensione finita, allo scopo di fissare le nozioni (e le notazioni) di base in vista delle successive estensioni agli spazi di dimensione infinita (pi`u precisamente gli spazi di Hilbert) che saranno affrontati nel Capitolo 2. Verranno anche proposti semplici esempi fisici e geometrici di strutture vettoriali, e studiati alcuni problemi significativi di evoluzione temporale di “sistemi dinamici lineari”.
1.1 Primi esempi di strutture vettoriali a) La fisica fornisce esempi naturali di grandezze vettoriali (velocit`a, campo elettrico etc.). Indicando con e1 , e2 , e3 i versori degli assi cartesiani dello spazio reale tridimensionale R3 , ogni vettore x di R3 si pu`o scrivere − come e` ben noto − nella forma x = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 ≡ (a1 , a2 , a3 ) . D’ora innanzi scriveremo per brevit`a, con la usuale convenzione di sottintendere la somma sugli indici ripetuti, x = ai e(i) oppure x = ai ei . b) Un esempio meno ovvio: le soluzioni di un’equazione differenziale lineare omogenea formano uno spazio vettoriale. Sia L[ y ] = 0 l’equazione e n il suo grado. Se e1 (x), e2 (x), · · · , en (x) sono n soluzioni indipendenti, anche ∑i ai ei (x) e` soluzione dell’equazione (e viceversa: ogni soluzione si pu`o scrivere in questa forma). Quindi ciascuna soluzione e` individuata da un ele Springer-Verlag Italia 2015 G. Cicogna, Metodi matematici della Fisica, UNITEXT for Physics, DOI: 10.1007/978-88-470-5684-8_1
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Spazi a dimensione finita
mento dello spazio Cn , cio`e lo spazio costituito dalle n-uple di numeri complessi (a1 , a2 , · · · , an ). c) Ancora un esempio dalla fisica: gli stati di polarizzazione della luce. Come e` noto, per un’onda elettromagnetica piana di frequenza ν che si propaga nel vuoto, il vettore di propagazione k, il campo elettrico E e il campo magnetico B formano una terna ortogonale. Indicando con z l’asse su cui giace k, il vettore E avr`a componenti sul piano x-y. Fissate arbitrariamente le direzioni degli assi x e y, l’andamento del campo E si potr`a descrivere nel modo seguente E1 cos(k z − ω t + ϕ1 ) Ex = = E ≡ Ey E2 cos(k z − ω t + ϕ2 ) E 1 e i ϕ1 E1 i(k z−ω t) = Re e ei(k z−ω t+ϕ1 ) = Re E2 ei ϕ2 E2 ei ϕ dove k = |k| = 2π ν/c = 2π/λ ; ω = c k; ϕ = ϕ2 − ϕ1 . Come si vedr`a, la notazione complessa usata qui sopra e` particolarmente comoda. Se, per esempio, E2 = 0, allora l’onda e` polarizzata linearmente lungo l’asse x; similmente, se E1 = 0, la polarizzazione e` lungo y. Pi`u in generale, se e` ϕ = 0 cio`e se le due componenti non sono sfasate, il campo E oscilla restando lungo una linea che forma con l’asse x un angolo θ = arctan(E2 /E1 ). Si tratta quindi ancora di polarizzazione rettilinea, elo E1 stato di polarizzazione si descrive mediante il vettore a componenti reali , E2 ovvero come una sovrapposizione a coefficienti reali dei due stati di polarizzazione lineare lungo x e lungo y. Se invece ϕ = 0 , si hanno stati di polarizzazione circolare o ellittica; per esempio, se ϕ = ±π/2 e E1 = E2 , si ha E1 cos τ E1 cos(k z − ω t + ϕ1 ) Ex = = = E ≡ Ey ∓E1 sin(k z − ω t + ϕ2 ) ∓E1 sin τ E1 1 i(k z−ω t+ϕ1 ) = Re = Re E1 ei(k z−ω t+ϕ1 ) e E1 e±i π/2 ±i e si vede (fig. 1.1) che, al variare del tempo t, il vettore E descrive nel piano x-y una circonferenza in senso orario o antiorario (polarizzazioni circolari). In conclusione, il generico stato di polarizzazione si pu`o descrivere mediante 2 1 un vettore complesso a due componenti (spazio vettoriale C) . Una base per lo 1 0 , E (2) = spazio C2 pu`o essere, per esempio E (1) = ; un’altra base pos0 1
1
Si noti che, se interessa solo lo stato di polarizzazione di una singola onda, se p e` un vettore di C2 che descrive tale stato di polarizzazione, in realt`a anche α p (con α numero complesso = 0) descrive lo stesso stato. In questo senso, quindi non c’`e corrispondenza biunivoca fra C2 e gli stati di polarizzazione di un’onda. Naturalmente, quando si devono sovrapporre due onde, allora interessano anche i coefficienti relativi dei due stati, che ne forniscono l’ampiezza e la fase relativa. Fissato p ∈ C2 , l’insieme dei vettori α p si chiama raggio.
1.2 Spazi vettoriali (a dimensione finita)
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y E
τ x
Figura 1.1 Polarizzazioni circolari delle onde e.m.
1 1 (−) sibile e` = ,E = . Fisicamente questo corrisponde ad affermai −i re che ogni stato di polarizzazione si pu`o ottenere sovrapponendo opportunamente le due polarizzazioni rettilinee lungo x e lungo y, oppure anche sovrapponendo opportunamente le due polarizzazioni circolari oraria e antioraria E (+) , E (−) . E (+)
1.2 Spazi vettoriali (a dimensione finita) Come e` noto, ogni vettore x di uno spazio vettoriale V reale o complesso a dimensione finita n si pu`o scrivere - avendo prescelto una base e(1) , e(2) , · · · , e(n) per lo spazio - nel modo seguente (1.1) x = xi e(i) e quindi individuare biunivocamente mediante una n-upla di numeri reali o complessi x ←→ (x1 , x2 , · · · , xn ) (1.2) che sono le componenti di x rispetto alla base scelta. Questo e` esattamente l’enunciato del teorema che assicura che ogni spazio vettoriale V a dimensione finita n e` isomorfo a Cn o a Rn (a seconda che sia definito sul corpo complesso C o sul corpo reale R). Gli esempi visti sopra indicano chiaramente come la struttura matematica degli spazi vettoriali sia quella adatta a descrivere e tradurre i problemi lineari, cio`e le situazioni (fisiche o matematiche) in cui e` valido il principio di sovrapposizione. La stessa fisica e la geometria suggeriscono di arricchire la struttura di spazio vettoriale con un nuovo concetto, che generalizza quello di angolo fra due vettori. Si pu`o infatti generalizzare l’operazione di prodotto scalare fra due vettori x e y nello spazio ordinario R3 x · y = x i yi
4
Spazi a dimensione finita
nel modo seguente: si definisce prodotto scalare di due vettori x, y in Cn (o Rn ) e si indica con (x, y) il numero dato da (x, y) = xi∗ yi
(1.3)
dove xi∗ indica il complesso coniugato di xi . Si noti che i matematici usano una definizione diversa dalla precedente che e` quella di regola usata in fisica: (x, y)mat = xi y∗i = (x, y)∗fis . Naturalmente le due definizioni coincidono nel caso di vettori reali. La definizione (1.3) di prodotto scalare porta all’introduzione della norma di un vettore x, che e` il numero reale positivo indicato con x e dato da x =
(x, x) =
n
∑ |xi |2
1/2 .
(1.4)
i=1
e che generalizza il concetto di modulo dei vettori di R3 e insieme quello di modulo dei numeri complessi. In realt`a, si possono introdurre definizioni assai pi`u generali di prodotto scalare e di norma; le (1.3) e (1.4) sono le definizioni pi`u semplici o “canoniche”. Per definizioni pi`u generali v. § 2.6. Alcune ovvie propriet`a sono (λ e` un numero complesso qualsiasi): (x, y)∗ = (y, x) ;
(x, y + z) = (x, y) + (x, z) ;
(x, λ y) = λ (x, y) ;
λ x = |λ | x .
(1.5)
Un vettore x si dice normalizzato (sottinteso: all’unit`a) se x = 1 ; due vettori x, y si dicono ortogonali se (x, y) = 0 . Per esempio, sono ortogonali non solo i vettori di polarizzazione E (1) , E (2) , ma anche E (+) , E (−) (v. § 1.1). Un insieme di vettori x(1) , x(2) , · · · , x(n) , · · · si dice ortonormale se (i) ( j) 0 se i = j (1.6) x ,x = δi j = 1 se i = j (avendo usato il ben noto il simbolo di Kronecker δi j ). Se la base prescelta per lo spazio vettoriale e` ortonormale, allora dalla (1.1), facendone il prodotto scalare “da sinistra” per ciascun e(k) , si ha (k) (k) e , x = e , xi e(i) = xk (1.7) che esprime la componente xk tramite un prodotto scalare, generalizzando cos`ı un 2 3 risultato ben noto per i vettori di R o R da notare che la (1.7) vale solo se la base e` ortonormale! . Quindi, invece della (1.1), si pu`o scrivere n x = ∑ e(i) e(i) , x . i=1
1.3 Matrici come trasformazioni lineari
5
Una base ortonormale (detta anche base canonica) per Cn (o Rn ) e` data dai vettori e(1) = (1, 0, 0, · · · , 0), e(2) = (0, 1, 0, · · · , 0), . . . , e(n) = (0, 0, 0, · · · , 1) .
(1.8)
1.3 Matrici come trasformazioni lineari Ricordiamo qui alcuni risultati fondamentali concernenti le trasformazioni lineari fra spazi a dimensione finita. Siano V e V due spazi vettoriali a dimensione finita rispettivamente n e m, siano e(i) ed e ( j) due basi ortonormali scelte in V e V rispettivamente (i = 1, · · · , n; j = 1, · · · , m) e sia T una trasformazione lineare di V in V
T : V → V
(in generale ci servir`a il caso V = V ed e(i) = e (i) , tuttavia questa maggiore generalit`a pu`o essere utile). Scelte le basi, e` chiaro che per definire la trasformazione T baster`a conoscere la sua azione sui vettori di base e(i) : per tali vettori si potr`a scrivere evidentemente (i) (1.9) T e(i) = α j e ( j) cio`e ogni e(i) verr`a trasformato in una combinazione lineare dei vettori di base e ( j) , (i) con determinati coefficienti α j ; la trasformazione e` univocamente determinata da tali coefficienti. Infatti, per calcolare il trasformato x di un generico vettore x di V , grazie alla linearit`a di T , basta osservare che (i) T x = T xi e(i) = xi α j e ( j) = x . Quindi la componente j-esima del vettore trasformato x = T x e` data da (i)
x j = α j xi = T ji xi
(1.10)
dove si e` introdotta in modo naturale una notazione matriciale: T ji risulta infatti l’elemento di posto j i (cio`e riga j-esima, colonna i-esima) di una matrice che viene a rappresentare la trasformazione T rispetto alle basi scelte. Tale matrice si ottiene (1) dunque ponendo nella prima colonna le componenti α j del trasformato di e(1) etc.: ⎞ ⎛ (1) (2) (3) α1 α1 α1 ··· ⎟ ⎜ (1) (2) ⎟ ⎜ α2 α2 ··· ⎟. T → ⎜ (1) ⎟ ⎜α ··· ⎠ ⎝ 3 .. .. . . Si noti la relazione per gli elementi di matrice: ( j) e , T e(i) = T ji .
(1.11)
6
Spazi a dimensione finita
Introducendo inoltre l’usuale convenzione di scrivere le componenti dei vettori x come una matrice colonna di n righe e una colonna ⎛
⎞ x1 ⎜ x2 ⎟ ⎟ x = ⎜ ⎝ ... ⎠ xn l’equazione (1.10) pu`o esser vista, come ben noto, come la moltiplicazione “righe × colonne” x = T x . Nel seguito considereremo di regola trasformazioni lineari (che chiameremo anche operatori lineari) di uno spazio V in se stesso; le corrispondenti matrici saranno quindi matrici quadrate. Se si ha una catena di trasformazioni lineari secondo lo schema T2 T1 V −→ V
V −→ (e analogamente per pi`u di due trasformazioni), la “composizione” di T1 e T2 induce una trasformazione di V in V
, definita da T x = T2 (T1 x) = x
. La matrice che rappresenta T e` il prodotto righe × colonne T = T2 T1 delle matrici che rappresentano T2 e T1 (e, naturalmente, T2 T1 sar`a in genere diverso da T1 T2 ). Osserviamo infine la seguente propriet`a che ci sar`a utile in seguito. Sia T un operatore lineare di uno spazio V in s´e; si consideri la matrice che rappresenta T rispetto alla base prescelta, si prenda la trasposta di tale matrice e il complesso coniugato di ciascun elemento. La matrice che si ottiene si chiama hermitiana coniugata o anche aggiunta della matrice T e si indica con T + oppure con T † , cio`e (1.12) (T + )i j = T ji∗ . La matrice T + rappresenter`a un’altra trasformazione di V in s´e che gode della seguente propriet`a caratteristica, valida per ogni coppia di vettori x, y: (y, T + x) = (T y, x) .
(1.12 )
Infatti (y, T + x) = y∗i (T + x)i = y∗i (T + )i j x j = y∗i T ji∗ x j = (T y)∗j x j = (T y, x) . In alternativa, si pu`o definire T + proprio mediante la (1.12 ), con il vantaggio “concettuale” che la (1.12 ) non richiede di aver prescelto una base; la (1.12) viene allora di conseguenza, dopo aver assegnato la base. Se, in particolare, avviene che T = T + la matrice si chiama hermitiana o autoaggiunta. Se poi la matrice e` reale, la condizione di hermiticit`a diventa T = T t (dove T t e` la matrice trasposta) e quindi una matrice reale hermitiana e` simmetrica.
1.4 Cambiamenti di base e matrici unitarie
7
1.4 Cambiamenti di base e matrici unitarie Tra le trasformazioni di uno spazio vettoriale V in s´e, prendiamo ora in esame quelle trasformazioni M che hanno la propriet`a di “conservare” i prodotti scalari, cio`e tali che per ogni coppia di vettori x, y si abbia (M x, M y) = (x, y) .
(1.13)
Ci`o avviene se (M x, M y) = (M x)∗i (M y)i = Mi∗j x∗j Mik yk = (M + )∗ji Mik∗ x∗j yk = (M + M) jk x∗j yk e quest’ultima quantit`a e` uguale a δ jk x∗j yk = xk∗ yk = (x, y) ∀ x , y, se e solo se (M + M) jk = δ jk
ovvero M + M = I
(1.14)
dove con I si e` indicata la trasformazione “identit`a” x → x . Pi`u sinteticamente, cio`e senza prefissare la base, si pu`o scrivere (M x, M y) = (x, M + M y) che e` uguale a (x, y) se e solo se vale appunto la (1.14). Una trasformazione lineare (e la corrispondente matrice) si dice unitaria se soddisfa alla condizione (1.14). In particolare, quindi, le trasformazioni unitarie conservano la norma dei vettori e l’ortogonalit`a; inoltre trasformano basi ortonormali in basi ortonormali. Nel caso particolare che lo spazio sia reale, la condizione diventa chiaramente Mt M = I
(1.15)
e la trasformazione si dice in tal caso ortogonale (ad esempio le rotazioni e le riflessioni nello spazio reale R3 ). Si noti che le matrici unitarie (od ortogonali) non sono degeneri, infatti det(M + M) = |det M|2 = 1 (dunque det M = eiα , e det M = ±1 se M e` ortogonale), quindi esiste la trasformazione inversa M −1 e si ricava anche dalla (1.14) M + M M −1 = M −1
⇒
M + = M −1
⇒
M M+ = I .
E` facile vedere che tutte queste ⇒ possono essere invertite e da MM + = I si ritorna a M + M = I. Immaginiamo ora di eseguire in uno spazio vettoriale V un cambiamento di base mediante una trasformazione unitaria, in modo quindi che la vecchia e la nuova ba-
8
Spazi a dimensione finita
se siano entrambe ortonormali. Ci domandiamo: data una qualsiasi trasformazione lineare di V in s´e, rappresentata da una matrice T rispetto alla vecchia base, qual e` la matrice T che descrive la stessa trasformazione rispetto alla nuova base? Per rispondere a questa domanda, consideriamo una matrice unitaria U e, per ogni vettore x di V , chiamiamo x = U x il vettore che si ottiene applicando U ad x; sia invece y = T x il vettore che si ottiene applicando ad x la trasformazione T . Si ha la situazione descritta nel seguente diagramma: U
x −→ x T↓ ↓ T =? U y −→ y
(1.16)
La matrice richiesta T si ottiene dunque cos`ı: y = T x, ma y = U y = U T x = U T U −1 x , quindi (1.16 ) T = U T U −1 = U T U + . Per esempio, se T e` la rotazione di un angolo θ intorno all’asse e3 nello spazio R3 , la matrice T e` la rotazione del medesimo angolo θ intorno ad un altro asse (che e` precisamente U e3 ). Pi`u in generale, si possono prendere in considerazione anche basi non ortonormali; naturalmente il passaggio da una base ortonormale ad una non ortonormale sar`a descritto da una matrice non unitaria. La condizione affinch´e una base qualsiasi venga trasformata in un’altra base e` che la trasformazione sia invertibile (ovvero che la corrispondente matrice sia non degenere: questo assicura che vettori indipendenti vengano trasformati in vettori indipendenti). Ripetendo il ragionamento fatto sopra, detta S la matrice che opera il cambiamento di base, una generica matrice T si trasformer`a, per effetto del cambiamento di base, come segue T
→
T = S T S−1 .
(1.17)
Tale tipo di trasformazione si chiama trasformazione per similitudine.
1.5 Autovalori e autovettori di una matrice E` questo un argomento di particolare importanza perch´e un’ampia classe di problemi (fisici, geometrici etc.) si traduce appunto in un “problema agli autovalori”: vedi § 1.7 per qualche esempio; moltissimi altri problemi agli autovalori si incontreranno negli spazi a dimensione infinita (Cap. 2). Sia dunque T una trasformazione di uno spazio vettoriale V (a dimensione finita n) in se stesso. Vogliamo vedere se esiste qualche particolare vettore (non nullo) x di V per il quale T x sia proporzionale ad x stesso: si tratta cio`e di risolvere l’equazione T x = λ x,
x = 0
(1.18)
1.5 Autovalori e autovettori di una matrice
9
dove λ e` un numero complesso. Se la (1.18) e` soddisfatta da un vettore x con un certo λ , si dice che λ e` un autovalore di T e che x e` un autovettore di T relativo (o corrispondente o ancora appartenente) all’autovalore λ . La (1.18) si chiama equazione agli autovalori. Si vede immediatamente che, se x e` autovettore di T , anche ogni suo multiplo α x lo e` , con lo stesso autovalore; inoltre, se x e x sono due autovettori relativi allo stesso autovalore, anche ogni combinazione lineare α x + β x e` ancora autovettore con lo stesso autovalore. Ne viene che per ogni autovalore λ esiste un sottospazio Vλ di autovettori: la dimensione di tale sottospazio si chiama degenerazione dell’autovalore. Se in particolare la dimensione e` uno, l’autovalore si dice non degenere. Per esempio, prendendo come spazio V lo spazio R3 , la riflessione rispetto al piano x-y ha come autovettori tutti i vettori del piano di riflessione con autovalore 1 (degenere due volte), ed il sottospazio ortogonale unidimensionale (cio`e l’asse z) con autovalore (non degenere) −1. Avendo scritto la T in forma di matrice, la (1.18) e` un sistema algebrico lineare e omogeneo nelle n componenti incognite x1 , · · · , xn ; la (1.18) si pu`o anche scrivere evidentemente (T − λ I) x = 0 e, come e` ben noto, affinch´e ci siano soluzioni non nulle, x = 0, di tale sistema, occorre e basta che det (T − λ I) = 0 (1.19) cio`e
⎛
T11 − λ ⎜ T21 det ⎜ ⎝ T31 .. .
T12 T22 − λ T32
T13 T23 T33 − λ
⎞ ··· ···⎟ ⎟ ···⎠ = 0. .. .
L’equazione (1.19) e` detta equazione secolare. Essa e` un’equazione algebrica di grado n in λ : possiede quindi n soluzioni complesse λ1 , λ2 , · · · , λn , ma non necessariamente distinte. Le soluzioni della (1.19) sono gli autovalori di T : infatti andando a sostituire nel sistema (1.18) a λ uno dei valori trovati λi , il sistema stesso diventa risolubile e determina almeno un vettore v(i) che e` (con tutti i suoi multipli) autovettore relativo a λi . Per`o, se λi e` una soluzione dell’equazione secolare con molteplicit`a maggiore di uno, non e` detto che il numero di autovettori indipendenti che si trovano in corrispondenza a questo λi sia ugale alla molteplicit`a di λi . Cio`e non e` detto che la degenerazione di ciascun autovalore sia uguale alla sua molteplicit`a algebrica nell’equazione secolare, e quindi non sempre una trasformazione lineare possiede esattamente n autovettori indipendenti. Ad esempio la matrice 1 1 0 1 ha il solo autovalore λ = 1 con molteplicit`a due nell’equazione secolare, ma non 1 degenere: infatti l’unico autovettore e` (a meno di multipli) il vettore . 0
10
Spazi a dimensione finita
Si deve notare infine che le soluzioni dell’equazione secolare sono in generale complesse; pertanto, se lo spazio in considerazione e` reale, pu`o avvenire che alcuni autovalori vengano “perduti”. Ad esempio, e` chiaro che una rotazione di un angolo θ in R3 ha un solo autovettore, cio`e l’asse di rotazione, con autovalore 1 (a meno che θ = π , nel qual caso . . . ). Tuttavia, risolvendo l’equazione secolare in campo complesso, si trovano altri due autovalori e±i θ con autovettori pure a componenti complesse 2 .
1.6 Diagonalizzazione di una matrice hermitiana Come caso particolarmente importante di quanto visto nel paragrafo precedente, consideriamo ora l’equazione agli autovalori per una matrice hermitiana. Sia T una trasformazione lineare di uno spazio V in s´e e, rispetto ad una base ortonormale e(i) di V , la matrice che rappresenta T sia hermitiana. Osserviamo innanzi tutto che T conserva la sua hermiticit`a anche cambiando comunque la base (ma sempre ortonormale): infatti l’hermiticit`a di una trasformazione lineare si traduce nella propriet`a, valida per ogni x, y : (x, T y) = (T x, y)
(1.20)
che chiaramente non dipende dalla base (ortonormale) scelta; in altre parole si tratta di una propriet`a intrinseca della trasformazione “in astratto” e non legata alla particolare rappresentazione (cio`e alla base) scelta. La verifica di questo fatto e` del resto immediata: se T + = T , allora anche (si ricordiil § 1.4) T = U T U + e` hermitiana: T + = T per qualsiasi matrice unitaria U per la verifica si osservi che (A B)t = Bt At e (A B)+ = B+ A+ . Analogamente, se T ammette un autovettore v con autovalore λ , questo, com’`e naturale, e` vero indipendentemente dalla base scelta. Infatti se T v = λ v, e` anche vero che, per qualunque trasformazione unitaria U, (U T U + )(U v) = U T v = U λ v = λ (U v) (questa propriet`a e` vera anche se si passa a basi non ortonormali con una trasformazione per similitudine). Sia allora λ1 una soluzione dell’equazione secolare per la matrice hermitiana T , e sia v1 un autovettore corrispondente. Si immagini ora di eseguire un cambiamento di base in modo che il vettore normalizzato w1 = v1 / v1 sia il primo vettore della nuova base; sia U1 una qualsiasi matrice unitaria che realizza questo cambiamento.
2 Da notare che tali autovettori sono proprio i vettori che descrivono le polarizzazioni circolari (§ 1.1) nel piano ortogonale all’asse di rotazione. In geometria analitica essi individuano le cosiddette rette isotrope del piano stesso.
1.6 Diagonalizzazione di una matrice hermitiana
11
Nella nuova base il vettore w1 e` dato evidentemente da ⎛ ⎞ 1 ⎜0⎟ ⎜.⎟ ⎝ .. ⎠ 0 e, posto T1 = U1 T U1+ , dovr`a essere per quanto detto qui sopra ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 ⎜ ⎜ ⎟ 0⎟ 0 ⎜ ⎟ ⎟ ( T1 ) ⎜ ⎝ ... ⎠ = λ1 ⎝ ... ⎠ 0
0
il che implica, come si vede direttamente, ⎛ λ1 ⎜ 0 T1 = ⎜ ⎝ ...
⎞
X
⎟ ⎟. ⎠
A1
0 Ma anche T1 dev’essere hermitiana, quindi X = 0 , inoltre λ1 e` un numero reale e infine A1 e` una matrice (n − 1) × (n − 1) anch’essa hermitiana. Si immagini di ripetere il procedimento sulla matrice A1 , che opera sul sottospazio dei vettori ortogonali a w1 : si trover`a un altro autovettore v2 in questo sottospazio, con autovalore λ2 (eventualmente potr`a anche essere λ2 = λ1 ); si eseguir`a quindi, sempre in questo sottospazio in modo da non alterare w1 , un altro cambiamento di base per far coincidere il secondo vettore col vettore w2 = v2 / v2 , e cos`ı via. Si pu`o cos`ı concludere che per una trasformazione hermitiana: (i) gli autovalori sono tutti reali; (ii) gli autovettori costituiscono una base per lo spazio; (iii) gli autovettori sono ortogonali; pi`u esattamente: gli autovettori appartenenti ad autovalori diversi sono ortogonali; se un autovalore e` degenere, nel sottospazio corrispondente si possono scegliere autovettori ortogonali fra loro; (iv) esiste una trasformazione unitaria U (che trasforma la base e(i) nella base ortonormale formata dagli autovettori di T ) tale che la matrice trasformata T = U T U + risulta una matrice diagonale, che nella diagonale presenta gli autovalori: ⎛ T = ⎝
λ1
⎞ λ2
..
⎠.
(1.21)
.
Una matrice hermitiana e` dunque completamente diagonalizzabile con una trasformazione unitaria.
12
Spazi a dimensione finita
Si potrebbe infine dimostrare che, pi`u in generale, tutte le matrici N che verificano la condizione N N+ = N+ N cio`e le cosiddette matrici normali (o operatori normali) sono tutte e sole quelle che godono delle propriet`a (ii), (iii), (iv), e sono quindi diagonalizzabili con trasformazioni unitarie. Ovviamente le matrici hermitiane e quelle unitarie sono casi particolari di matrici normali, mentre la matrice considerata come esempio in fondo al § 1.5 non e` una matrice normale. Si ha inoltre il seguente: Teorema. Se due trasformazioni normali T ed S commutano, cio`e T S = S T (e quindi commutano le matrici che le rappresentano), allora esiste una base di vettori che sono contemporaneamente autovettori sia di T che di S (si dice brevemente che T ed S hanno una base di autovettori comuni). Dimostrazione. Sia v un qualsiasi autovettore di T e sia λ l’autovalore corrispondente: T v = λ v . Allora, grazie alla commutativit`a di T ed S: T (S v) = S (T v) = λ (S v) quindi il vettore S v e` ancora autovettore di T corrispondente allo stesso autovalore λ . Pertanto, se λ e` non degenere, S v deve essere proporzionale a v, cio`e S v = μ v e quindi v e` autovettore anche di S. Se invece λ e` degenere, S v appartiene sempre al sottospazio Vλ degli autovettori di T con autovalore λ . Possiamo quindi considerare la restrizione di S a tale sottospazio; e` facile vedere che S e` normale anche in questo sottospazio e quindi ammette in esso una base di autovettori, che risulta cos`ı formata da vettori che sono anche autovettori di T . Il ragionamento si ripete per ogni autovalore di T . Da questo risultato segue che le due matrici sono diagonalizzabili simultaneamente, cio`e con la stessa matrice unitaria U: basta infatti prendere come U una trasformazione che cambia la base e(i) nella base degli autovettori comuni; in questa base S = U SU + T = U T U+ , sono entrambe diagonali della forma (1.21). E` facile vedere che vale anche il viceversa: Teorema. Se T ed S hanno una base di autovettori comuni, esse commutano. Dimostrazione. Innanzitutto T ed S sono diagonalizzabili simultaneamente per mezzo della matrice unitaria U, come fatto sopra. Quindi, sulla base degli autovettori comuni, esse sono della forma (1.21): ma due matrici diagonali evidentemente commutano. Il teorema resta provato osservando che la commutativit`a di due matrici e` , come l’hermiticit`a, una propriet`a intrinseca, indipendente dalla base (come e` immediato verificare). Infine, pu`o anche avvenire che una matrice T non normale possieda un numero di autovettori indipendenti (ma non ortogonali) uguale alla dimensione dello spazio,
1.7 Problemi agli autovalori: esempi. Evoluzione temporale di sistemi dinamici lineari
13
come avviene ad esempio per la matrice 1 0 ; 1 0 in tal caso gli autovettori possono essere scelti come base non ortonormale dello spazio e la matrice T si pu`o diagonalizzare mediante una trasformazione di similitudine T → T = S T S−1 , dove S e` la matrice (non unitaria) che trasforma la base iniziale nella base degli autovettori di T .
1.7 Problemi agli autovalori: esempi. Evoluzione temporale di sistemi dinamici lineari Analizziamo ora qualche applicazione tipica del problema agli autovalori. a) Si consideri un sistema lineare di n equazioni differenziali per le n funzioni xi = xi (t) dipendenti dalla variabile t, del tipo dxi = Ai j x j (t) dt
ovvero
x˙ = Ax
(1.22)
dove tutti gli elementi Ai j (i, j = 1, . . . , n) della matrice A sono assegnati e costanti. Cerchiamo soluzioni del tipo xi (t) = ci eα t ,
i = 1, 2, · · · , n
(1.23)
dove le ci sono costanti ed α e` lo stesso per ogni i = 1, 2, · · · , n ; cerchiamo cio`e soluzioni (che chiameremo soluzioni fondamentali o normali) nelle quale ogni “componente” xi varia con t secondo la stessa legge eα t . Sostituendo la (1.23) nel sistema e indicando con c il vettore di componenti c1 , c2 , · · · , cn si ottiene α c = Ac
(1.23 )
che e` appunto un’equazione agli autovalori. Se α e` un autovalore di A e c l’autovettore corrispondente, si ottiene la soluzione xi = ci eα t , che e` del tipo cercato. Se la matrice A possiede n autovettori indipendenti (dunque formano una base; non e` necessario che siano ortogonali) si avranno n soluzioni fondamentali: per ciascun autovalore αk di A si ottiene una soluzione le cui componenti variano tutte con la stessa legge eαk t e sono proporzionali alle componenti del corrispondente autovettore c(k) . Naturalmente, trattandosi di un problema lineare, qualunque combinazione lineare di tali soluzioni sar`a pure soluzione. Se il sistema (1.22) descrive un problema in cui t e` la variabile tempo (sistema dinamico lineare) 3 , gli autovalori αk si diranno costanti di tempo caratteristiche del sistema. In generale, il problema ti3
Lo studio dei sistemi dinamici non lineari e` assai complesso e porta a risultati anche sorprendenti, che includono la presenza di soluzioni fortemente irregolari (“caotiche”). Si pu`o vedere per esempio il libro di Ott [32].
14
Spazi a dimensione finita
pico (problema di Cauchy) che si deve risolvere e` quello di trovare l’evoluzione temporale del sistema, essendo note le “condizioni iniziali”, cio`e il valore delle xi al tempo t = 0. A tale scopo, posto ai = xi (0) , baster`a esprimere il vettore delle condizioni iniziali a ≡ (a1 , a2 , · · · , an ) come combinazione lineare degli autovettori c(k) (e questo e` sempre possibile se la matrice A possiede n autovettori indipendenti): a = x(0) = ∑ bk c(k) (1.24) k
l’evoluzione temporale cercata sar`a dunque data da x(t) = ∑ bk c(k) eαk t
(1.24 )
k
in cui ogni termine c(k) varia secondo la propria costante di tempo αk . Osservando d’altra parte che, per qualsiasi matrice M, la serie eM ≡
∞
∑
n=0
M2 M3 Mn = I+M+ + +... n! 2! 3!
(1.25)
e` convergente, si pu`o verificare che la soluzione del sistema (1.22) si pu`o anche scrivere nella forma (1.25 ) x(t) = eAt x(0) basta infatti osservare che derivando termine a termine la serie eAt si ha d At e = A eAt dt mentre la condizione iniziale e` chiaramente verificata. Se A possiede n autovettori indipendenti, si ritrova dalla (1.25 ) il risultato appena descritto dalla (1.24 ); in caso contrario, il procedimento che ha portato alla (1.24 ) non e` pi`u applicabile, mentre usando la (1.25 ) si trova che la soluzione conterr`a in t . anche termini del tipo eα t × polinomio 1 1 Per esempio, se A = si trova 0 1 eAt =
et 0
t et et
.
Si consideri come esempio un circuito come in fig. 1.2 (trasformatore), le cui equazioni sono, con notazioni usuali, ⎧ di2 di1 ⎪ ⎪ − L12 = R1 i1 +V1 ⎨ −L11 dt dt ⎪ di di ⎪ ⎩ −L21 1 − L22 2 = R2 i2 dt dt
1.7 Problemi agli autovalori: esempi. Evoluzione temporale di sistemi dinamici lineari
R1
15
R2
L
V1
Figura 1.2 Un trasformatore
Sia V1 = 0: con immediati passaggi le equazioni possono essere riscritte ⎧ di1 ⎪ ⎪ = A11 i1 + A12 i2 ⎨ dt ⎪ di ⎪ ⎩ 2 = A21 i1 + A22 i2 dt 2 ) etc. (si ricordi che L = L ). dove A11 = −R1 L22 /(L11 L22 − L12 12 21 Per semplicit`a supponiamo che la matrice A sia del tipo
A=
−k k
k
−k
k, k > 0 .
,
Si verifica facilmente che il sistema possiede le due soluzioni fondamentali: c1 = c2 con costante di tempo α1 = −(k − k ) , e c1 = −c2 con costante di tempo α2 = −(k + k ) . L’andamento temporale delle correnti i1 (t) e i2 (t) nei due rami del circuito sar`a quindi, per la prima soluzione, proporzionale a (1)
i (t) =
i1 (t) i2 (t)
1 = e−(k−k )t 1
e, per la seconda soluzione i(2) (t) =
i1 (t) i2 (t)
=
1 −1
e−(k+k )t .
Supponiamo che al tempo t = 0 il sistema si trovi nella condizione i1 (0) = I0 , i2 (0) = 0 . Per trovare il successivo andamento delle correnti nei due rami basta scrivere la condizione iniziale come combinazione lineare delle due i(1) (0) e i(2) (0), cio`e I0 I0 1 1 = + . 0 1 −1 2
16
Spazi a dimensione finita
E quindi l’andamento delle correnti sar`a dato da I0 i1 (t) 1 1 −(k−k )t −(k+k )t e e = + i2 (t) −1 1 2 cio`e
⎧
I0 −k t k t ⎪ e + e−k t ⎨ i1 (t) = e 2 ⎪ I ⎩ i (t) = 0 e−k t ek t − e−k t . 2 2 Equazioni come in (1.22) si ottengono per esempio studiando l’andamento nel tempo delle miscele radioattive: in tal caso xi (t) indica la concentrazione di atomi di tipo “i” e Ai j la probabilit`a di transizione i → j . b) Si consideri un sistema costituito da tre masse che possono muoversi liberamente lungo una retta. La particella centrale di massa M e` legata tramite due molle di uguale costante elastica k alle due laterali, ciascuna di massa m. Detti x1 , x2 , x3 gli spostamenti di ciascuna particella dalla propria posizione di equilibrio, le equazioni di moto del sistema sono: ⎧ ⎨ m x¨1 = −k (x1 − x2 ) (1.26) M x¨2 = −k (2x2 − x1 − x3 ) ⎩ m x¨3 = −k (x3 − x2 ) . Cerchiamo soluzioni del tipo xi (t) = ci sin(ω t + δ ) ,
i = 1, 2, 3 .
(1.27)
Si noti che, come nell’esempio a), si cercano soluzioni in cui la frequenza ω e` la stessa per ciascuna particella i = 1, 2, 3 ; tali soluzioni fondamentali rappresentano quindi movimenti particolari del sistema, che si chiamano modi normali o armonici di oscillazione, mentre le corrispondenti frequenze si chiamano frequenze proprie o autofrequenze del sistema. Sostituendo le (1.27) nelle equazioni del moto si ottiene un’equazione che si pu`o scrivere, analogamente alla (1.23 ), ω2 c = K c dove c ≡ (c1 , c2 , c3 ) e K e` la matrice ⎛ k/m K = ⎝ −k/M 0
(1.27 )
⎞ −k/m 0 2k/M −k/M ⎠ . −k/m k/m
Anche qui dunque ci si riduce ad un problema agli autovalori. Le autofrequenze che si trovano sono: k k k ω2 = ; ω3 = 2 + · ω1 = 0 ; m M m
1.7 Problemi agli autovalori: esempi. Evoluzione temporale di sistemi dinamici lineari
17
Il primo valore, sostituito nelle (1.26) d`a c1 = c2 = c3 , che corrisponde al caso in cui il sistema non oscilla, ma trasla rigidamente. La seconda soluzione corrisponde invece all’autovettore c1 = −c3 , c2 = 0 , cio`e al caso in cui le due particelle laterali oscillano “in opposizione di fase” fra loro, mentre quella al centro sta ferma. La terza soluzione d`a infine c1 = c3 , c2 = −2 (m/M) c1 e corrisponde ad oscillazioni in fase delle due particelle laterali, mentre quella al centro oscilla in opposizione di fase alle due laterali con ampiezza diversa (in modo da conservare la posizione del centro di massa del sistema!). E` immediato verificare che le tre soluzioni trovate sono indipendenti e quindi ogni movimento del sistema si pu`o esprimere come sovrapposizione di questi tre modi di oscillazione. Infine, il problema di trovare l’andamento temporale del sistema a partire dalle condizioni iniziali e` sostanzialmente simile al caso a), solo un po’ pi`u complicato, poich´e ora, trattandosi di equazioni del secondo ordine, occorre assegnare insieme alle posizioni iniziali xi (0) anche le velocit`a iniziali x˙i (0), affinch´e il problema sia determinato. Vale la pena di notare che il sistema ora studiato rappresenta una semplice schematizzazione di una molecola triatomica in cui gli atomi sono allineati, come avviene per esempio per la molecola di CO2 o di SO2 . In tal caso le frequenze sopra trovate si chiamano frequenze molecolari vibrazionali e possono essere sperimentalmente osservate in assorbimento nell’infrarosso e misurate. c) Altre situazioni interessanti si ricavano considerando lo spazio C2 degli stati di polarizzazione della luce (vedi § 1.1c). E` chiaro intanto che ogni strumento ottico che operi linearmente sugli stati di polarizzazione e` descritto da una matrice. Per esempio un polarizzatore che filtri la luce polarizzata nello stato E (1) e` descritto dalla matrice 1 0 P= . 0 0 Gli autovettori di un filtro polarizzatore sono rispettivamente lo stato di polarizzazione che esso lascia passare (autovalore 1) e quello ortogonale (autovalore 0). Se, ad esempio, P1 e P2 sono le matrici corrispondenti a due polarizzatori che filtrano polarizzazioni rettilinee a 45o fra loro, si vede subito che P1 P2 = P2 P1 : fisicamente questo significa che cambiando l’ordine dei polarizzatori, cambia anche lo stato della luce emergente. L’unico caso in cui P1 P2 = P2 P1 si verifica quando i polarizzatori sono incrociati (allora P1 P2 = P2 P1 = 0 ), e in effetti in tal caso essi hanno i due autovettori in comune. Come altro esempio, una matrice del tipo iα 0 e L= 0 i ei α in cui α e` un numero reale qualsiasi, descrive una lamina “quarto d’onda” con gli assi paralleli alle direzioni E (1) ed E (2) : due onde con polarizzazioni date rispettivamente da E (1) ed E (2) che incidono normalmente sulla lamina incontrano indici di rifrazione diversi n1 e n2 , in modo tale che la differenza di cammino ottico δ (n2 − n1 ) fra le due onde all’uscita della lamina (δ e` il suo spessore) e` pari ad un
18
Spazi a dimensione finita
quarto di lunghezza d’onda; quindi lo sfasamento relativo risulta pari a π/2. Un’onda incidente normalmente sulla lamina e polarizzata in una direzione formante un angolo di 45o rispetto agli assi della lamina stessa ne esce polarizzata circolarmente. d) L’espressione pi`u generale di una conica “a centro” (ellisse, iperbole), avente il proprio centro coincidente con l’origine delle coordinate x, y e` , come e` noto 4 a x2 + 2b x y + c y2 = (x, Ax) = 1 (1.28) avendo indicato con x il vettore di componenti (x, y) e con A la matrice caratteristica della conica, di elementi A11 = a, A12 = A21 = b, A22 = c. Pi`u in generale si considerano le forme quadratiche in n variabili reali x1 , x2 ,· · ·, xn , cio`e le espressioni della forma F = A11 x12 + 2A12 x1 x2 + · · · + A22 x22 + · · · = Ai j xi x j = (x, A x)
(1.29)
dove A e` una matrice reale simmetrica. Il problema che normalmente si presenta e` quello di scrivere la forma quadratica nella sua forma canonica, cio`e trovare nuove coordinate x1 , x2 , · · · , xn , combinazioni lineari delle x1 , x2 , · · · , xn , in modo che esprimendo nella F le xi mediante le xi , scompaiano tutti i termini misti, cio`e che si ottenga un’espressione del tipo F = α1 (x1 )2 + α2 (x2 )2 + · · · + αn (xn )2 .
(1.30)
E` chiaro che il problema si enuncia in modo semplice in termini di autovettori. L’espressione canonica cercata (1.30), infatti, si pu`o scrivere F = (x , A x ) dove A e` la matrice diagonale che presenta α1 , α2 , · · · , αn lungo la diagonale: si tratta quindi di diagonalizzare la matrice A e questo pu`o essere ottenuto (v. § 1.6) con una matrice unitaria U (matrice ortogonale in questo caso): F = (x, Ax) = (x,U +U AU +Ux) = (x,U + A Ux) = (Ux, A Ux) = (x , A x ) le coordinate x = Ux saranno allora gli autovettori di A e α1 , α2 , · · · , αn i corrispondenti autovalori (reali: v. § 1.6). Nel caso della conica gli autovettori di A individuano le direzioni dei suoi assi, e quindi questo significa eseguire una rotazione per far coincidere gli assi della conica con gli assi cartesiani, mentre dagli autovalori si pu`o ottenere la lunghezza dei semiassi (ad esempio, x2 /α 2 + y2 /β 2 = 1 rappresenta un’ellisse scritta in forma canonica di semiassi α, β ). Inoltre essendo det A = ac − b2 uguale al prodotto degli autovalori di A, si ottiene subito che la conica e` un’ellisse (eventualmente immaginaria) se det A > 0, un’iperbole se det A < 0.
4
Con la condizione ac − b2 = 0 per escludere il caso “degenere ” di due rette parallele.
1.8 Proiettori e decomposizione spettrale di una matrice
19
1.8 Proiettori e decomposizione spettrale di una matrice Un caso particolarmente interessante di trasformazione lineare e` dato dagli operatori di proiezione (ortogonali) o, pi`u brevemente, proiettori. Dato uno spazio vettoriale V , di dimensione n, sia V1 un suo sottospazio, di dimensione n1 < n, e sia V2 il suo complemento ortogonale, di dimensione n2 = n − n1 , cio`e il sottospazio dei vettori ortogonali a tutti i vettori di V1 . Si scrive allora V = V1 ⊕V2
(1.31)
e ogni vettore x ∈ V si pu`o pu`o sempre decomporre in modo unico nella forma x = x1 + x2 ,
xi ∈ Vi
(i = 1, 2)
(1.32)
per esempio scegliendo una base ortonormale e(1) , · · · , e(n) in V in modo tale che i suoi primi n1 elementi siano contenuti in V1 e i rimanenti n − n1 siano contenuti in V2 : allora le prime n1 componenti di x rispetto a tale base individuano il vettore x1 e le rimanenti il vettore x2 (v. la fig. 1.3).
V2
x V1 P1 x = x 1
Figura 1.3 Proiezione del vettore x
In tal modo si definiscono le trasformazioni lineari Pi (operatori di proiezione) che associano ad ogni vettore x la proiezione ortogonale xi su Vi P1 x = x1 ,
P2 x = x2 .
(1.33)
Gli operatori P1 , P2 soddisfano P1 + P2 = I, P1 P2 = P2 P1 = 0. E` facile verificare che per ogni proiettore P si ha P = P+ ,
P2 = P .
Un polarizzatore (v. § 1.7c) e` un particolare esempio di proiettore: allora la propriet`a P2 = P acquista un preciso significato fisico . . . Sia ora T un qualsiasi operatore lineare hermitiano (o, pi`u in generale, normale). E` chiaro che, quando esso e` applicato al sottospazio Vλi dei vettori vi relativi ad un suo autovalore λi , esso si comporta come un “multiplo dell’identit`a”, cio`e T vi = λi vi (qui non e` sottintesa la somma sull’indice i !). Se P1 , P2 , · · · , Pk sono i
20
Spazi a dimensione finita
proiettori su ciascuno dei sottospazi Vλi , ortogonali fra loro, formati dagli autovettori relativi agli autovalori λ1 , λ2 , · · · , λk di T , si ha intanto P1 + P2 + · · · + Pk = I ;
Vλ1 ⊕ · · · ⊕Vλk = V
e, per ogni vettore x in V , si ha che il vettore xi = Pi x e` autovettore di T con autovalore λi . Allora, dato che ogni x si pu`o scrivere x = x1 + x2 + · · · + xk = P1 x + P2 x + · · · + Pk x , si ha che T x = T (x1 + x2 + · · · + xk ) = λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λk xk = = λ1 P1 x + λ2 P2 x + · · · + λk Pk x e quindi si ottiene la importante relazione, detta decomposizione spettrale dell’operatore T : k
T = ∑ λi Pi ,
Pi Pj = 0
se
i = j .
(1.34)
i=1
1.9 Considerazioni geometriche elementari sulle trasformazioni del piano reale Questo paragrafo sar`a dedicato ad alcune considerazioni elementari - essenzialmente di carattere geometrico - concernenti le trasformazioni del piano reale R2 in se stesso. Si consideri dunque nel piano R2 una trasformazione che muta il punto generico (x1 , x2 ) nel punto (x1 , x2 ) con la legge seguente
x1 = a11 x1 + a12 x2 + b1 . (1.35) x2 = a21 x1 + a22 x2 + b2 Con notazioni vettoriali la trasformazione si pu`o scrivere nella forma x = A x + b
(1.36)
x1 x1
, x = e A e` la matrice di elementi ai j . x2 x2
Si noti che la trasformazione x → x non e` lineare se b = 0, poich´e per ogni trasformazione lineare si deve avere T (0) = 0 infatti: T (0) = T (x − x) = T (x) − T (x) = 0 . Le trasformazioni (1.36), con l’ipotesi det A = 0 per garantire la biunivocit`a delle trasformazioni stesse, sono dette affinit`a del piano; ogni affinit`a si pu`o quindi individuare assegnando la matrice A e il vettore b. Se si eseguono successivamente dove x =
1.9 Considerazioni geometriche elementari sulle trasformazioni del piano reale
21
due affinit`a (A, b) e (A1 , b1 ) (A,b)
(A1 ,b1 )
x −→ x −→ x
la trasformazione x → x
che ne risulta e` anch’essa un’affinit`a (C, d), cio`e x
= C x + d . Infatti
x
= A1 x + b1 = A1 (A x + b) + b1 = A A1 x + (A1 b + b1 )
quindi C = A1 A, d = A1 b + b1 , e si pu`o dunque scrivere simbolicamente la legge di composizione (1.37) (A1 , b1 ) · (A, b) = (A A1 , A1 b + b1 ) . La trasformazione (I, 0) e` la trasformazione “identica” x → x; per ciascuna affinit`a (A, b) ne esiste una “inversa” data da (A−1 , −A−1 b), infatti (A−1 , −A−1 b) · (A, b) = (A, b) · (A−1 , −A−1 b) = (I, 0) grazie alla (1.37). L’insieme G delle affinit`a possiede quindi in modo naturale la struttura di un gruppo (per la definizione vedi Capitolo 6). Il sottoinsieme del gruppo affine G costituito dalle trasformazioni del tipo (I, b) forma un sottogruppo di G: si tratta del sottogruppo abeliano (cio`e commutativo) delle traslazioni. Un altro sottogruppo di G e` costituito dalle trasformazioni del tipo (A, 0) , cio`e dalle trasformazioni lineari propriamente dette. Studiando queste trasformazioni da un punto di vista geometrico, e` chiaro che in generale non tutte le propriet`a geometriche elementari sono “invarianti” rispetto a tali trasformazioni: ad esempio due rette perpendicolari possono venire trasformate in rette oblique. Questo tipo di trasformazioni si presta a molte applicazioni: ne citiamo una, assai semplice. Si consideri l’ellisse x2 /a2 + y2 /b2 = 1 ; se si esegue la trasformazione (A, 0) con 1/a 0 A= , 0 1/b
a, b > 0
l’ellisse viene trasformata in un cerchio di raggio 1 e quindi di area π. E` immediato ora ottenere da questa l’area dell’ellisse: basta osservare che lo Jacobiano della trasformazione eseguita e` uguale a J = det A−1 = a b = costante e che pertanto l’area dell’ellisse e` data da J π = π a b . Un altro sottogruppo di G e` costituito dalle trasformazioni (A, b) nelle quali la matrice A e` ortogonale: esso viene chiamato gruppo Euclideo o delle isometrie o trasformazioni rigide del piano e lo indicheremo con E. Esso e` importante perch´e la geometria euclidea e` invariante rispetto a tutte le trasformazioni contenute in esso (l’area di un quadrato e` la stessa comunque esso venga spostato o ruotato o
22
Spazi a dimensione finita
riflesso!). In questo senso si pu`o dire che la geometria euclidea e` caratterizzata dal gruppo E delle isometrie, poich´e essa studia appunto le propriet`a invarianti sotto tale gruppo. Analogamente, il sottogruppo S di G costituito dalle trasformazioni del tipo (α I, b) cio`e delle “dilatazioni” (dette anche omotetie) combinate con traslazioni, caratterizza la geometria delle “similitudini”, che si occupa non pi`u delle propriet`a “metriche” delle figure, ma solo di quelle propriet`a (ad esempio, il fatto che in ogni triangolo equilatero le altezze sono anche mediane) che rimangono inalterate sotto le trasformazioni del gruppo S, cio`e appunto sotto le similitudini della geometria elementare. E ancora, esiste una geometria “affine”, che si occupa delle propriet`a lasciate invariate dalle trasformazioni del gruppo delle affinit`a (ad esempio il parallelismo fra rette).
1.10 Gruppi di simmetrie e gruppi di matrici Come introduzione preliminare allo studio di alcune propriet`a dei gruppi e delle operazioni di simmetria (v. Capitolo 6), vogliamo ora esaminare in qualche dettaglio il “gruppo di simmetria” di una figura piana. Per concretezza ci riferiremo al caso che tale figura sia un quadrato, che possiamo immaginare col centro nell’origine di R2 e con i lati paralleli agli assi cartesiani. E` chiaro che, se si esegue una rotazione di 90o intorno all’origine, il quadrato resta “inalterato”, nel senso che, avvenuta la rotazione, il quadrato ruotato va a sovrapporsi esattamente al quadrato iniziale. In generale, data una figura geometrica, possiamo considerare l’insieme di tutte le trasformazioni lineari del piano che lasciano inalterata la figura stessa nel senso appena visto. Tale insieme ha la struttura di gruppo: esso viene chiamato gruppo di simmetria della figura. Il gruppo di simmetria del quadrato, che qui indicheremo con Q, e` costituito dai seguenti otto elementi: Q = {I, Rπ , Rπ/2 , R3π/2 , Sd , Sd , Sl , Sl } dove I e` l’identit`a, Rα la rotazione di angolo α, Sd e Sd le riflessioni rispetto alle diagonali, Sl e Sl le riflessioni rispetto agli assi di simmetria paralleli a due lati. E` interessante rilevare che l’intero gruppo Q si pu`o generare a partire dalle due sole riflessioni Sd e Sl si ricordi, per esempio, che se S e S sono le riflessioni rispettoa due assi formanti un angolo α fra loro, allora S S = R2α e S S = (S S )−1 = R−2α . E` pure istruttivo cercare tutti i sottogruppi del gruppo Q. Essi sono: il sottogruppo R4 delle quattro rotazioni, i sottogruppi Σdd e Σll contenenti rispettivamente (oltre all’identit`a) le operazioni Sd , Sd , Rπ e Sl , Sl , Rπ ; questi tre gruppi sono tutti abeliani, inoltre Σdd e Σll sono isomorfi fra loro ma non ad R4 . A sua volta R4 contiene il sottogruppo R2 = {I, Rπ } , mentre Σdd contiene due sottogruppi isomorfi Σd = {I, Sd } e Σd = {I, Sd } , e analogamente Σll contiene Σl e Σl .
1.10 Gruppi di simmetrie e gruppi di matrici
23
Riassumendo, la situazione e` descritta nello schema seguente
Σdd
Q ↓
R4
↓
↓
Σd
R2
Σll ↓ Σl
↓ I dove sono indicati in posizione “gerarchica” tutti i gruppi qui nominati (con l’esclusione - per semplicit`a - dei sottogruppi Σd e Σl ) e dove la freccia A → B significa che B e` sottogruppo di A. Si noti che alcuni di questi gruppi sono gruppi di simmetria per alcune figure: ad esempio R4 e` il gruppo di simmetria della svastica, Σdd e` quello del rombo, Σll quello del rettangolo, Σd descrive la simmetria di una figura come quella data in fig. 1.4. L’esistenza di queste simmetrie corrisponde naturalmente a ben precise Sd
Figura 1.4 Una figura con simmetria Σd
propriet`a geometriche: per esempio, l’esistenza della simmetria descritta dall’operazione Sd implica che la figura data in fig. 1.4 ha i lati a due a due uguali, le diagonali perpendicolari etc. Il gruppo Q e` un sottogruppo delle trasformazioni ortogonali del piano. Tale gruppo, che si indica con O2 (che si pu`o intendere come il gruppo di simmetria della circonferenza), e` composto dalle rotazioni (a determinante +1) e dalle rotazioni combinate con le riflessioni (a determinante −1). Si pu`o naturalmente introdurre anche in Rn il gruppo affine tramite la stessa (1.36), dove ovviamente ora x, x , b ∈ Rn ed A e` una matrice invertibile n × n con la legge di composizione (1.37); analogamente il sottogruppo Euclideo En , e cos`ı via. Si indica poi con On il gruppo delle matrici ortogonali n × n, con SOn il sottogruppo delle matrici ortogonali a determinante +1.
24
Spazi a dimensione finita
Se lo spazio e` complesso, Cn , si indica con Un il gruppo delle matrici unitarie, con SUn il sottogruppo delle matrici con determinante +1. Si indicano invece con GLn (R) e GLn (C) i gruppi di tutte le matrici n × n invertibili rispettivamente reali e complesse, e con SLn (R) e SLn (C) i relativi sottogruppi di matrici con determinante +1. Ancora pi`u in generale, se V e` uno spazio vettoriale “astratto”, si indica con GL(V ) il gruppo di tutte le trasformazioni lineari invertibili di V in s´e. In questo senso, se ad esempio V = Rn , il gruppo GLn (R) diventa una “rappresentazione” (v. Capitolo 6) tramite matrici del gruppo astratto GL(V ) , On e` una rappresentazione del gruppo delle trasformazioni ortogonali etc. Non si confonda il gruppo GL(V ) con L (V ) , che indica l’insieme di tutte le trasformazioni lineari di V in s´e, inteso come spazio vettoriale (le combinazioni lineari fra trasformazioni, cos`ı come fra matrici, sono intese in maniera naturale: se V ha dimensione n , la dimensione di L (V ) sar`a n2 ).
1.11 Strutture vettoriali e principio di sovrapposizione L’analisi delle situazioni considerate in questo capitolo mette chiaramente in evidenza il ruolo fondamentale che viene svolto dal principio di sovrapposizione. Risulta pure chiaro che la struttura matematica adeguata a descrivere tale principio e` precisamente quella degli spazi vettoriali. Tutti gli esempi visti fin qui mostrano casi di sovrapposizioni fra componenti in numero finito: in realt`a presto vedremo che esistono moltissime situazioni in cui occorre sovrappore infinite componenti. Naturalmente questo comporter`a nuovi e notevoli problemi, che affronteremo nel prossimo Capitolo. Si pu`o ancora osservare che in meccanica quantistica il principio di sovrapposizione e` uno dei “principi costitutivi” fondamentali. In modo necessariamente incompleto e sommario, ricordiamo che in meccanica quantistica gli stati vengono rappresentati da vettori x (o meglio da “raggi”), mentre le grandezze fisiche “osservabili” - quali l’energia, il momento angolare etc. - vengono rappresentate da trasformazioni lineari hermitiane T . Il problema agli autovalori per una trasformazione T acquista in questo modo un importante significato: gli autovalori λi di T vengono infatti interpretati come i possibili risultati che si ottengono eseguendo misure della grandezza rappresentata da T sullo stato fisico rappresentato dal vettore x. Se gli autovettori v1 , v2 , · · · di T sono una base, ogni stato x si potr`a scrivere come sovrapposizione (finita o infinita) x = ∑ ai vi . i
Se i vettori x e vi sono scelti normalizzati, ciascun numero |ai |2 si interpreta come la probabilit`a pi di ottenere come risultato di una misura della grandezza T sullo stato x il valore λi , cio`e l’autovalore corrispondente al vettore vi . Immaginando di eseguire pi`u misure di T sullo stato assegnato x, il valor medio teorico T x delle
1.11 Strutture vettoriali e principio di sovrapposizione
misure di T su x sar`a allora dato da T x = ∑ pi λi = ∑ |ai |2 λi i
i
e si verifica facilmente che si ha T x = (x, T x) .
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2
Spazi di Hilbert
Dopo aver richiamato nel Capitolo 1 le nozioni di base relative agli spazi vettoriali a dimensione finita, questo secondo Capitolo sar`a dedicato agli spazi a dimensione infinita, e pi`u precisamente agli spazi di Hilbert. Il formalismo vettoriale non rappresenta semplicemente una “sovrastruttura” matematica (magari soltanto elegante) per molte situazioni fisiche, bens`ı costituisce la vera e propria struttura matematica adeguata a tradurre e descrivere il “principio di sovrapposizione” o di “linearit`a”. Il principio di sovrapposizione e` alla base di moltissimi processi fisici e ricordiamo che e` uno dei “principi costitutivi” della meccanica quantistica. Ovviamente non tutti i fenomeni fisici obbediscono a leggi lineari; anzi, gli effetti non lineari (purtroppo assai difficili da studiare) stanno ricevendo attualmente sempre maggiore attenzione, tuttavia e` ben chiaro che la schematizzazione lineare costituisce una prima (e spesso buona o quanto meno istruttiva) approssimazione dei fenomeni. Partendo dalla serie trigonometrica di Fourier, verr`a mostrata la necessit`a di introdurre gli spazi di funzioni L2 e pi`u in generale gli spazi di Hilbert, dove sar`a possibile ambientare correttamente il procedimento degli sviluppi in serie, e di introdurne una generalizzazione “astratta” che porter`a alla importante nozione di “set completo” di vettori. Verranno poi studiati gli operatori lineari fra spazi di Hilbert, illustrandone le propriet`a fondamentali, e introducendo classi di operatori con speciali caratteristiche, come gli operatori unitari, i proiettori, gli operatori simmetrici, gli operatori compatti. Particolare attenzione sar`a rivolta ai problemi agli autovalori e alle propriet`a spettrali, che rivestono enorme importanza, anche in meccanica quantistica. Questi problemi si presentano in dimensione infinita con propriet`a radicalmente diverse rispetto alla dimensione finita, come verr`a illustrato da numerosi esempi. Il caso specialmente interessante dell’equazione agli autovalori di Sturm–Liouville porter`a ad un cenno (necessariamente sommario) ad alcune funzioni speciali spesso incontrate in fisica. Springer-Verlag Italia 2015 G. Cicogna, Metodi matematici della Fisica, UNITEXT for Physics, DOI: 10.1007/978-88-470-5684-8_2
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28
Spazi di Hilbert
Come applicazioni immediate, potremo studiare l’evoluzione temporale di problemi periodici, delle oscillazioni elastiche (le vibrazioni di una corda o di una membrana) e della propagazione del calore, descritte rispettivamente dalle equazioni a derivate parziali di d’Alembert e di Fourier. Un’altra applicazione riguarder`a le funzioni armoniche (equazione di Laplace), ovvero i problemi di potenziale. Alcuni fra questi ultimi problemi verranno poi ripresi, con tecniche diverse, nei Capitoli successivi.
2.1 Equazione di d’Alembert. Onde stazionarie Cominciamo a studiare il movimento di una corda perfettamente flessibile ed elastica, tesa fra i suoi estremi. Fissato l’asse x lungo la posizione di equilibrio della corda, e` chiaro intanto che per descrivere completamente la situazione della corda
u(x, t) 0
L x
Figura 2.1 Una configurazione della corda elastica a estremi fissi.
occorre una funzione u = u(x,t) di due variabili che descriva lo spostamento u (v. fig. 2.1) dalla posizione di equilibrio di ciascun punto della corda di ascissa x al tempo t . Si pu`o immaginare che la corda sia costituita da una successione di infinite particelle uguali e molto vicine legate fra loro da forze elastiche, in modo analogo a quanto succedeva nel problema del § 1.7b (la differenza e` che ora si prendono in considerazione solo movimenti trasversali, mentre nel § 1.7b si consideravano quelli longitudinali). Proprio utilizzando questa idea, si arriva a dimostrare che la funzione u(x,t) che descrive le piccole vibrazioni della corda obbedisce alla seguente equazione 1 ∂ 2u ∂ 2u = 2 2 (2.1) 2 ∂x v ∂t dove v e` una costante che dipende dalle caratteristiche fisiche del problema (v = τ/ρ, dove τ e` tensione della corda e ρ la sua densit`a lineare). L’equazione (2.1) e` una equazione differenziale alle derivate parziali e prende il nome di equazione di d’Alembert. Studiamo il caso in cui gli estremi della corda (siano posti in x = 0 e x = L) vengano tenuti fissi. Questo si traduce nelle condizioni, per ogni t, u(0,t) = u(L,t) = 0 che sono dette condizioni al contorno o al bordo o agli estremi.
(2.2)
2.1 Equazione di d’Alembert. Onde stazionarie
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Cerchiamo intanto particolari soluzioni dell’equazione di d’Alembert (cio`e particolari tipi di movimento della corda) e precisamente soluzioni u(x,t) che siano esprimibili come un prodotto: u(x,t) = X(x) T (t) in cui X(x) e` una funzione della sola variabile x e T (t) della sola t. Questo procedimento si chiama metodo della separazione delle variabili. Sostituendo nella (2.1), l’equazione si scompone e diventa X
1 T
= 2 . X v T In questa equazione il primo membro dipende solo da x, il secondo solo da t: dovendo i due membri essere identicamente uguali fra loro, l’unica possibilit`a e` che entrambi siano uguali ad una costante C. Si ottengono cos`ı le due equazioni separate X
−C X = 0 (2.1 ) T
−C v2 T = 0 . La pi`u generale soluzione della prima equazione e` X(x) = A e
√ Cx
+ B e−
√ Cx
,
ma le condizioni al contorno (2.2), che ora diventano X(0) = X(L) = 0 impongono che
e cio`e
X(0) = A +√B = 0 √ X(L) = A e C L + B e− C L = 0 e
√ CL
= e−
√ CL
. √ Allora C non pu`o essere reale, e ricordando che per due numeri complessi α, β si ha ⇐⇒ α = β + 2n π i , n = 0, ±1, ±2, · · · e α = eβ ne risulta che deve essere C=−
n2 π 2 L2
e dunque le soluzioni possibili saranno X(x) = Xn (x) = An ei kn x − e−i kn x = an sin (kn x)
(2.3)
dove si sono indicate con An e an le costanti moltiplicative arbitrarie (per ciascun n) e dove nπ (2.3 ) , C = −kn2 . kn = L
30
Spazi di Hilbert
Si vede cos`ı che le condizioni al contorno impongono alla costante C di assumere soltanto i valori indicati dalla condizione (2.3 ), nella quale vanno assegnati i valori n = 1, 2, 3, · · · dato che n = 0 corrisponde alla soluzione identicamente nulla e il cambiamento di segno di n non produce soluzioni nuove. Per la seconda delle equazioni (2.1 ) non ci sono condizioni al contorno e la soluzione pi`u generale sar`a T (t) = A n sin (ωn t) + B n cos (ωn t) = En cos (ωn t + δn ) avendo posto ω = ωn = v kn e indicato con A n , B n , En , δn le solite costanti arbitrarie, per ciascun n. Fin qui abbiamo considerato il caso della corda ad estremi fissi. Naturalmente sarebbe possibile trattare in modo simile altre condizioni al contorno, ad esempio ∂ u(0,t) = 0 , ∂x
∂ u(L,t) = 0 ∂x
ovvero, eseguita la separazione delle variabili, X (0) = 0 ,
X (L) = 0 ,
che corrisponde ad una situazione in cui gli estremi della corda possono spostarsi conservando per`o la tangente orizzontale in x = 0 e x = L . In questo caso le soluzioni per le Xn (x) sarebbero Xn (x) = 1 , cos (kn x)
(n = 1, 2, . . .)
avendo ora tralasciato di scrivere le costanti arbitrarie. Altre condizioni al bordo potrebbero essere p.es. u(0,t) = 0, ∂ u(L,t) ∂ x = 0 ; oppure anche le “condizioni di periodicit`a”: v. § 2.15. Tornando comunque per concretezza al caso X(0) = X(L) = 0 , si sono dunque trovate infinite soluzioni a variabili separate, che – a meno del solito fattore arbitrario – sono date da un (x,t) = sin (kn x) cos (ωnt + δn ) ;
kn =
nπ , ωn = kn v . L
(2.4)
Queste soluzioni sono caratteristiche per la loro particolare dipendenza da x e da t e si chiamano onde stazionarie ; esse descrivono i modi pi`u semplici di oscillazione della corda (modi armonici o normali ). Il modo n-simo corrisponde alla configurazione in cui il profilo della corda e` in ogni istante una sinusoide di lunghezza d’onda λn = 2π/kn = 2L/n , mentre al variare del tempo cambia solo l’ampiezza di tale sinusoide (v. fig. 2.2, dove e` rappresentata la situazione nel caso n = 3 ); la variazione col tempo di questa ampiezza avviene con legge sinusoidale con “frequenza”
2.2 Primi problemi concernenti gli spazi a dimensione infinita
31
u(x, t) 0
L
Figura 2.2 Onde stazionarie per la corda elastica a estremi fissi.
ωn = kn v = n π v/L . Quando la corda si trova in uno di questi stati di vibrazione un , essa emette un “suono puro” cio`e una nota con lunghezza d’onda fissata λn .
2.2 Primi problemi concernenti gli spazi a dimensione infinita Quanto visto nel paragrafo precedente offre immediatamente lo spunto e la motivazione per vari approfondimenti. Anzitutto, si pu`o osservare che l’equazione che si e` ottenuta per la X(x), riscritta nella forma d2 X = −k2 X , X(0) = X(L) = 0 dx2 pu`o essere vista come una equazione agli autovalori nello spazio vettoriale (di dimensione infinita!) delle funzioni X(x) derivabili almeno due volte, definite nell’intervallo 0, L e che si annullano agli estremi di questo intervallo. E` chiaro che l’operatore di cui si cercano gli autovalori e le autofunzioni e` l’operatore “derivata seconda”, che e` un operatore lineare su questo spazio. Da notare che sono precisamente le condizioni di annullamento al bordo a limitare gli autovalori λ = −k2 a ben determinati valori “discreti” k2 = kn2 = n2 π 2 /L2 . E` ovvio che dovremo riconsiderare accuratamente questo fatto (v. § 2.20). Ma c’`e un altro punto che dobbiamo subito mettere in evidenza. Poich´e l’equazione di d’Alembert e` un’equazione lineare, se u1 e u2 sono soluzioni dell’equazione, anche ogni combinazione lineare α1 u1 +α2 u2 lo e` . Ma ora di soluzioni indipendenti ce ne sono a disposizione infinite (le soluzioni trovate prima) e quindi, al posto delle combinazioni lineari finite (come nel primo capitolo), ci aspettiamo di dover scrivere delle serie di funzioni. Naturalmente questo comporter`a nuovi problemi, che dovremo affrontare con cura. Prima di tutto, dovremo ovviamente preoccuparci della convergenza di tali serie, o – pi`u esattamente – di quale dovr`a essere il tipo di convergenza da richiedere: le nozioni di convergenza puntuale, di convergenza puntuale quasi ovunque, di convergenza uniforme avranno un ruolo importante, ma vedremo che il tipo di convergenza pi`u appropriato sar`a un altro. D’altronde la effettiva necessit`a di ricorrere a queste “combinazioni infinite” si intuisce facilmente pensando al tipico problema di Cauchy , cio`e: data una configurazione iniziale della corda, determinarne il suo andamento nel tempo (il pro-
32
Spazi di Hilbert
blema e` analogo – a parte appunto la dimensione – a quello risolto nel § 1.7a). Poich´e conosciamo l’evoluzione temporale delle onde stazionarie, sar`a dunque necessario decomporre la situazione iniziale come “somma” (cio`e qui come opportuna serie) delle onde stazionarie. E prima ancora sar`a da chiedersi se le onde stazionarie sono in numero “sufficiente” per risolvere tutti i possibili problemi di Cauchy. Per affrontare questi problemi, e` necessario cominciare rivedendo qualche risultato classico dell’analisi matematica a proposito degli sviluppi in serie tramite funzioni trigonometriche.
2.3 La serie di Fourier trigonometrica: le sue prime propriet`a e difficolt`a Sia f = f (x) una funzione, definita nell’intervallo finito (−L, L) , continua, oppure solo generalmente continua (cio`e dotata al pi`u di un numero finito di punti di discontinuit`a, tale che nei punti di discontinuit`a esistono finiti i limiti destro e sinistro; tali funzioni sono anche dette continue a tratti ), e inoltre dotata di derivata prima pure generalmente continua. Si considerino i seguenti integrali ⎧ +L ⎪ ⎪ α0 = 1 f (x) dx ⎪ ⎪ ⎪ 2L −L ⎪ ⎪ ⎨ nπ 1 +L n = 1, 2, . . . (2.5) f (x) cos αn = x dx ⎪ L −L L ⎪ ⎪ ⎪ nπ ⎪ 1 +L ⎪ ⎪ ⎩ βn = x dx f (x) sin L −L L e poi la serie
∞
α0 + ∑ αn cos n=1
nπ ∞ nπ x + ∑ βn sin x L L n=1
(2.6)
che viene detta serie di Fourier (trigonometrica) della funzione f (x). Si dimostra che valgono le due seguenti basilari propriet`a di convergenza: (a) Se la funzione f (x) e` continua con derivata prima generalmente continua, e inoltre f (L) = f (−L), allora la serie (2.6) converge uniformemente alla f (x). (b) Se la funzione f (x) e` generalmente continua, con derivata prima generalmente continua, la serie (2.6) converge in ogni punto; ha per somma la f (x) in tutti i punti in cui la f (x) e` continua, mentre in ciascun punto x0 di discontinuit`a, essa converge alla “media” 12 [ f (x0+ ) + f (x0− )]. Infine, nei punti estremi ±L la serie converge alla media 21 [ f (L) + f (−L)]. Da osservare anzitutto che serie (2.6) definisce in realt`a una funzione periodica, che si estende “automaticamente” anche fuori dell’intervallo (−L, L) con periodo 2L. Questo spiega anche la particolare convergenza della serie nei punti ±L: infatti, se f (L) = f (−L), ripetendo periodicamente la f (x) si viene a manifestare una discontinuit`a negli estremi dell’intervallo.
2.3 La serie di Fourier trigonometrica: le sue prime propriet`a e difficolt`a
33
Da osservare pure che nei punti in cui la f (x) presenta delle discontinuit`a, la convergenza della serie non pu`o essere uniforme: basta infatti ricordare che – come e` ben noto – una serie (o una successione) di funzioni continue che converge uniformemente ha per somma (o per limite) una funzione continua. Ad esempio, il prolungamento periodico della funzione definita in |x| < L da f (x) = x risulter`a discontinuo nei punti x = ±L (anzi in tutti i punti x = ±L, ±3L, . . .): in tali punti la serie di Fourier converger`a a zero e non ci potr`a essere convergenza uniforme. Grazie ai risultati (a) e (b), si scrive ∞
f (x) = α0 + ∑ αn cos n=1
nπ ∞ nπ x + ∑ βn sin x L L n=1
(2.7)
e si dice che la funzione f (x) e` stata sviluppata nella serie (trigonometrica) di Fourier (2.7). Ovviamente, se p.es. la funzione f (x) e` pari allora si ha βn = 0 per ogni n e la formula per gli αn si pu`o semplificare: α0 =
1 L
L 0
f (x) dx
αn =
2 L
L 0
f (x) cos
nπ x dx . L
Un risultato simile vale chiaramente per le funzioni dispari. Consideriamo p.es. l’“onda quadra” (con L = π) −1 per −π < x < 0 f (x) = 1 per 0 < x < π i suoi coefficienti di Fourier sono dati da βn = 4/(nπ) per n dispari e βn = 0 per n pari e dunque si ottiene f (x) =
4 1 1 sin x + sin 3x + sin 5x . . . . π 3 5
In fig. 2.3 e` riportato il grafico della somma dei primi 4, e dei primi 11 termini non nulli di questo sviluppo in serie. Una osservazione utile a proposito della convergenza delle serie e` la seguente. Si ricordi che una una serie di funzioni ∑n fn (x) e` detta convergere totalmente se esiste una successione di costanti Mn tali che | fn (x)| ≤ Mn e la serie numerica ∑n Mn e` convergente; si ricordi pure che la convergenza totale implica la convergenza uniforme. Ne segue che se i coefficienti αn , βn di una serie di Fourier assegnata (2.7) soddisfano la condizione ∑ |αn | + ∑ |β |n < ∞ n
n
allora la f (x) risulta continua e soddisfa f (L) = f (−L). Si noti che, partendo dalla (2.7), e almeno nei casi in cui la serie converge uniformemente, le formule (2.5) possono essere ottenute direttamente: basta moltiplicare
34
Spazi di Hilbert 1
−π π −1
1
−π π −1
Figura 2.3 Somma dei primi 4 e dei primi 11 termini della serie di Fourier dell’onda quadra.
entrambi i membri della (2.7) per cos (nπx/L) e integrare termine a termine (l’ipotesi di uniformit`a della convergenza garantisce infatti questa possibilit`a; per qualche controesempio circa la possibilit`a di passare al limite sotto integrale v. alla fine del § 2.8); osservando poi che L −L
cos
mπ nπ x cos x dx = L δnm L L
L
nπ mπ x sin x dx = 0 cos L L −L
(2.8)
si ottiene proprio la formula (2.5) per αm (e analogamente per α0 e βm ). L’insieme delle funzioni f che stiamo considerando in questo paragrafo forma evidentemente uno spazio vettoriale: emerge allora abbastanza chiara una qualche analogia della decomposizione (1.1) del vettore x = xi e(i) in dimensione finita con lo sviluppo (2.7) della funzione f come “combinazione lineare infinita” di una “base” costituita dai vettori nπ nπ x , sin x ; n = 1, 2, 3, · · · . (2.9) 1 , cos L L Introducendo infatti un prodotto scalare ( f , g) fra le funzioni del nostro spazio nel modo naturale seguente ( f , g) =
+L −L
f (x) g(x) dx
(2.10)
2.3 La serie di Fourier trigonometrica: le sue prime propriet`a e difficolt`a
35
pi`u in generale, se le funzioni sono complesse, il prodotto scalare si dovr`a definire cos`ı: ( f , g) =
+L
−L
f ∗ (x) g(x) dx
(2.10 )
(v. pi`u avanti, §§ 2.6, 2.9) , le funzioni elencate in (2.9) risultano ortogonali fra loro grazie alla (2.8). Tenendo ancora conto delle (2.8), il sistema di vettori (2.9) si pu`o anche normalizzare: basta prendere nπ 1 √ sin x ; n = 1, 2, 3, · · · (2.11) L L e ottenere cos`ı un sistema ortonormale: f (m) , f (n) = δnm , avendo indicato con 1 √ , 2L
nπ 1 √ cos x , L L
f (n) la generica di queste funzioni; la (2.7) si pu`o cos`ı scrivere nella forma f=
∞
∑ an f (n)
(2.12)
n=0
dove a0 =
√
2L α0 ,
a2n−1 =
√
L βn ,
a2n =
√
L αn .
(2.13)
I coefficienti an dello sviluppo rappresentano le “componenti” di f rispetto al sistema ortonormale f (n) e, grazie alla (2.5), essisi possono calcolare, esattamente come in dimensione finita v. ad esempio la (1.7) , mediante prodotti scalari: an = ( f (n) , f ) .
(2.14)
Ma l’analogia con Cn non pu`o essere spinta oltre. Innanzitutto, mentre in ogni spazio a dimensione finita a qualsiasi n-pla di numeri (a1 , a2 , · · · , an ) corrisponde un vettore dello spazio e viceversa, qui non e` certamente vero che ad ogni successione {an } corrisponda un elemento dello spazio, o comunque si ottenga una serie convergente in qualche senso. E` insomma necessario individuare contemporaneamente: (i) un opportuno spazio di funzioni (con propriet`a abbastanza generali) (ii) una precisa condizione sulla successione dei coefficienti am in modo tale che ogni funzione di tipo (i) ammetta uno sviluppo con i coefficienti cos`ı individuati, e – viceversa – ogni serie costruita con questi coefficienti sia convergente (e in che senso) ad una funzione di tipo (i). E resta ancora da precisare chiaramente questa nozione di “base” per uno spazio di dimensione infinita, da vedere se esistono altre possibili basi (e come si possono individuare), e come estendere il problema ambientandolo in un opportuno spazio “astratto” con caratteristiche generali. Tuttavia, prima ancora di affrontare questa serie di questioni, quanto detto finora e` gi`a sostanzialmente sufficiente per dare un’idea di come risolvere qualche problema concreto concernente il movimento della corda elastica o la propagazione del calore su una sbarra conduttrice.
36
Spazi di Hilbert
2.4 Evoluzione temporale di un’onda elastica Premettiamo un’osservazione importante. Sia f (x) una funzione con le propriet`a assegnate all’inizio del paragrafo precedente, definita per`o nell’intervallo (0, L) . Immaginiamo ora di prolungare tale funzione “con legge dispari” all’intervallo (−L, L) , cio`e introduciamo una funzione f (x) definita in (−L, L) in modo che f (x) sia una funzione dispari e sia tale che f (x) = f (x) quando 0 < x ≤ L . Se ora si sviluppa la f (x) in serie di Fourier (2.7) nell’intervallo (−L,L) , lo sviluppo che si ottiene dovr`a quindi contenere i soli termini in sin n π x/L e fornir`a uno sviluppo della funzione f (x) in serie di soli seni nell’intervallo (0, L): f (x) =
∞
∑ βn sin
n=1
nπ x . L
(2.15)
Naturalmente, questo sviluppo estende automaticamente oltre l’intervallo (−L, L) la funzione f (x) cos`ı prolungata, producendo una funzione periodica di periodo 2L. La possibilit`a di avere uno sviluppo in (0, L) della forma (2.15) e` importante in relazione alproblema della corda elastica a estremi fissi in 0 ed L, poich´e le funzioni sin n π x/L esprimono proprio la dipendenza da x delle onde stazionarie in questo caso, come si e` gi`a visto (§ 2.1). Il problema classico che ora affrontiamo e` il problema di Cauchy, cio`e quello di determinare, date le opportune informazioni sullo stato iniziale della corda, la configurazione u(x,t) della corda stessa negli istanti successivi (la evoluzione temporale dell’onda ), e anche di individuare quali sono le frequenze che la corda emette (la analisi in frequenza ). Il problema si pu`o risolvere completamente assegnando le condizioni iniziali della corda e cio`e assegnando due funzioni che hanno il seguente significato: f (x) = posizione della corda all’istante zero = u(x, 0) . (2.16) g(x) = “velocit`a” di ciascun punto della corda all’istante zero = ∂ u(x,t) ∂t t=0
Tenendo conto di quanto detto nei precedenti paragrafi, cerchiamo di risolvere questo problema partendo da una soluzione pi`u generale dell’equazione di d’Alembert (2.1) espressa tramite una opportuna serie di onde stazionarie, cio`e 1 u(x,t) =
∞
∞
n=1
n=1
∑ an un (x,t) = ∑ an sin(kn x) cos(ωn t + δn )
(2.17)
dove kn = n π/L , ωn = vkn . Si riconosce subito che, per ogni fissato t, questa serie e` proprio una serie di Fourier. 1 Va sottolineato che il procedimento qui adottato e ` esatto, anche se richiederebbe ora una giustificazione pi`u rigorosa. Il problema e` essenzialmente quello di assicurarsi che e` lecito eseguire le operazioni di derivazione della serie termine a termine. V. pi`u avanti, i §§ 2.15, 2.28 e anche § 5.7 (i).
2.4 Evoluzione temporale di un’onda elastica
37
A questo punto baster`a determinare i coefficienti incogniti an e δn che compaiono nella serie: e questo si ottiene imponendo che al tempo t = 0 siano soddisfatte le condizioni (2.16). Il procedimento generale, del resto facilmente deducibile, e` meglio illustrato da un esempio semplice. Consideriamo il caso in cui nelle condizioni iniziali (2.16) la funzione g e` nulla, mentre f = 0 , cio`e il caso in cui la corda viene spostata dalla sua posizione di equilibrio e quindi lasciata ripartire liberamente. Ponendo t = 0 nella derivata ut = ∂ u/∂t della (2.17) si ottiene g(x) =
∞
∑ −an ωn sin δn sin(kn x)
n=1
che e` lo sviluppo di Fourier (con coefficienti βn = −an ωn sin δn ) della funzione g. Poich´e ora g = 0 , si ha evidentemente an sin δn = 0 per ogni n e quindi si pu`o porre δn = 0 per tutti gli n per cui an = 0 . Rimane quindi u(x,t) =
∞
∑ an sin(kn x) cos(ωn t)
(2.18)
n=1
Supponiamo ora di assegnare esplicitamente anche la funzione iniziale f (x): sia per esempio (v. fig. 2.4)
0
d
L
Figura 2.4 Una configurazione iniziale per la corda elastica.
⎧ 2d ⎪ ⎪ x ⎨ L f (x) = ⎪ 2d ⎪ ⎩ (L − x) L
L 2
per
0≤x≤
per
L ≤ x ≤ L. 2
Imponendo nella (2.18) f (x) = u(x, 0) , i coefficienti an coincidono proprio con i coefficienti βn dello sviluppo di Fourier della f che – per quanto visto all’inizio di questo paragrafo – deve essere prolungata con legge dispari all’intervallo (−L, L) in serie di soli seni (2.15). Essi quindi si calcolano facilmente e si ottiene: ⎧ 0 per n pari ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 8d per n = 1, 5, · · · , 4m + 1, · · · an = 2 n2 π ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ − 8d per n = 3, 7, · · · , 4m + 3, · · · . π 2 n2 Questo risultato intanto mostra che le lunghezze d’onda che vengono emesse dalla corda in questo caso sono i sottomultipli dispari della lunghezza λ1 = 2L ; il modo
38
Spazi di Hilbert
di oscillazione con la lunghezza d’onda pi`u alta (e quindi la frequenza pi`u bassa) si chiama “armonica principale” o “fondamentale”, e le altre “armoniche secondarie”. Inoltre si vede che l’intensit`a con cui viene emessa l’n-sima armonica, essendo proporzionale al quadrato dell’ampiezza con cui tale armonica compare nello sviluppo (2.18), risulta proporzionale a 1/n4 , e quindi decresce rapidamente all’aumentare di n. La (2.18), inserendovi gli an ora trovati, fornisce l’evoluzione temporale cercata. Ad esempio si verifica immediatamente che negli istanti t = 0, 2L/v, 4L/v, · · · , si ha u(x,t) = u(x, 0) = f (x) , cio`e la corda riassume la sua posizione iniziale; mentre per t = L/v, 3L/v, · · · , si ha u(x,t) = −u(x, 0) = − f (x) . Resta poi da notare che, qualsiasi siano le condizioni iniziali f (x) e g(x), la soluzione presenta una periodicit`a nel tempo con periodo 2L/v , cio`e u(x,t + 2L/v) = u(x,t) . Una situazione simile e` ottenuta, p.es., partendo dalle equazioni di Maxwell. Come e` noto, queste equazioni per il campo elettrico associato a un’onda elettromagnetica nel vuoto conducono alle equazioni di d’Alembert in tre dimensioni ∂2 ∂2 ∂2 1 ∂ i = 1, 2, 3; Δ≡ 2+ 2+ 2 Δ E i = 2 2 Ei , c ∂t ∂x ∂y ∂z a cui deve obbedire ogni componente del campo elettrico stesso E = E(x, y, z,t) (come ogni componente del campo magnetico). Supponiamo che il campo si trovi fra due pareti piane indefinite perfettamente riflettenti; assumendo opportunamente gli assi, siano x = 0 e x = L le equazioni di questi piani e si assuma che il campo elettrico abbia componenti E = (0, 0, E) , con E funzione solo di x, oltre che del tempo t; la precedente equazione diventa allora 1 ∂ 2E ∂ 2E = ∂ x2 c2 ∂t 2
E = E(x,t)
con le condizioni al contorno E(0,t) = E(L,t) = 0 . Si ottiene quindi un problema identico a quello gi`a studiato per le vibrazioni della corda elastica.
2.5 L’equazione del calore Un’altra importante equazione alle derivate parziali e` l’equazione del calore (o della diffusione, chiamata anche equazione di Fourier); si tratta di un’equazione che descrive tipicamente fenomeni fisici irreversibili. Per un esempio concreto, si consideri una sbarretta conduttrice di calore; se u(x,t) indica la temperatura presente all’istante t nel punto x della sbarretta, si dimostra che l’equazione che regola l’andamento di tale temperatura e` ∂u ∂ 2u =C ∂ x2 ∂t
(2.19)
2.6 Prodotto scalare e norma: definizione generale
39
dove C > 0 e` una costante caratteristica del mezzo conduttore. Si supponga che gli estremi della sbarretta siano posti in x = 0 e x = L, e siano mantenuti a temperatura costante T0 (si pu`o sempre assumere T0 = 0 : basta sostituire nella (2.19) u con u − T0 ). Se si esegue la separazione delle variabili, come nei §§ 2.1, 2.4, si trova, sostituendo nell’equazione, che Xn (x) = sin(πn x/L) , esattamente come nei §§ 2.1, 2.4, mentre le Tn (t) soddisfano l’equazione π 2 n2 dTn =− Tn , dt C L2 da cui Tn (t) ∝ e−αn t con α = π 2 /CL2 . La soluzione generale che si ottiene sotto forma di serie e` quindi 2
u(x,t) =
∞
∑ an sin
n=1
π n 2 x e−α n t . L
(2.18 )
Per determinare i coefficienti an (e quindi risolvere il problema di Cauchy) basta osservare che l’equazione contiene la derivata prima rispetto al tempo, e quindi l’evoluzione temporale risulta determinata da una sola condizione iniziale f (x) = u(x, 0) . Ponendo t = 0 nella (2.18 ) si vede che i coefficienti an sono, come nel paragrafo precedente, i coefficienti di Fourier della condizione iniziale f (x) riin questo caso, la f (x) va prolungata con legge dispari spetto al set Xn (x) anche all’intervallo (−L, L) . Per altre considerazioni, v. anche il § 2.15. Anche l’equazione di Schr¨odinger per una particella quantistica vincolata sul segmento (0, L) (buca di potenziale rettangolare infinita), che ha la forma ∂ 2u ∂u = −i 2 ∂x ∂t
u(0) = u(L) = 0
(2.20)
porta a soluzioni analoghe alle precedenti (cambia radicalmente l’andamento temporale!). Come gi`a anticipato, i risultati di questo e del precedente paragrafo saranno in seguito opportunamente ripresi e studiati in un contesto pi`u ampio e “adeguato”.
2.6 Prodotto scalare e norma: definizione generale Torniamo ora al problema, indicato nella seconda parte del § 2.3, di chiarire in un contesto preciso l’applicabilit`a della tecnica dello sviluppo in serie di Fourier, di cui abbiamo appena visto qualche utilizzazione interessante. Il punto di partenza sta proprio nella definizione di prodotto scalare (2.10) oppure (2.10 ) , che in realt`a e` stata introdotta in modo del tutto naturale. Ma per poter utilizzare a questo proposito i risultati generali che ci fornisce la matematica, e` utile ricordare alcune considerazioni “astratte” e quindi indipendenti dal particolare caso in esame.
40
Spazi di Hilbert
Sia V un qualsiasi spazio vettoriale (di dimensione finita o infinita): si ricorda che in V e` definito un prodotto scalare se e` definita una legge di V × V → C , che ad ogni coppia di vettori x, y ∈ V associa un numero complesso che si indica con il simbolo (x, y) in modo che siano soddisfatte le seguenti propriet`a per ogni x, y, z ∈ V e λ ∈ C: (p1) (x, y)∗ = (y, x) (p2)
(x, x) ≥ 0
(p3)
(x, λ y) = λ (x, y)
e inoltre
(x, x) = 0 e quindi :
se e solo se x = 0 (λ x, y) = λ ∗ (x, y)
(p4) (x, y + z) = (x, y) + (x, z) (si e` indicato semplicemente con 0 il vettore “zero” dello spazio V ). Si dice invece che in V e` definita una norma se e` definita una legge V → R+ (R+ indica l’insieme dei numeri reali ≥ 0 ), che ad ogni x ∈ V associa un numero reale positivo o nullo, che si indica con x , in modo che siano soddisfatte le seguenti propriet`a, per ogni x, y ∈ V e λ ∈ C: (n1) x ≥ 0 e inoltre x = 0 se e solo se x = 0 (n2) λ x = |λ | x (n3) x + y ≤ x + y . Vogliamo ora mostrare che il prodotto scalare implica una norma: si ponga infatti (2.21) x = (x, x) . E` immediato vedere che con tale definizione le propriet`a (n1) e (n2) sono soddisfatte grazie alle (p1,p2,p3); per provare che vale anche la (n3) (detta disuguaglianza triangolare ), si deve prima dimostrare l’importante disuguaglianza di Schwarz : |(x, y)| ≤ x y
(2.22)
che e` conseguenza delle sole propriet`a formali del prodotto scalare e della definizione (2.21). Per provare la (2.22) si osservi che, detto λ un qualsiasi numero reale, si ha ovviamente x + λ (x, y) y 2 ≥ 0 e quindi, usando anche la (p4), x + λ (x, y) y 2 = x 2 + 2λ |(x, y)|2 + λ 2 |(x, y)|2 y 2 ≥ 0 che, dovendo essere vera per ogni λ , implica |(x, y)|4 − |(x, y)|2 x 2 y 2 ≤ 0 da cui segue la (2.22). Si ha allora x + y 2 = (x + y, x + y) ≤ x 2 + y 2 + 2 x y = ( x + y )2 cio`e appunto la disuguaglianza triangolare (n3). Questo prova che la posizione (2.21) e` corretta.
2.7 Il concetto di norma come “distanza”
41
Si pu`o dimostrare che una norma pu`o essere dedotta da un prodotto scalare se e solo se tale norma soddisfa la seguente regola del parallelogramma: x + y 2 + x − y 2 = 2 x 2 + 2 y 2 per ogni x, y. Naturalmente, le definizioni date a suo tempo (1.3) e (1.4) di prodotto scalare e di norma per i vettori di Cn soddisfano a tutte le propriet`a formali richieste sopra. Ma anche la posizione (2.10 ) soddisfa alle propriet`a richieste 2 e quindi correttamente definisce un prodotto scalare. Resta allora definita anche una norma per le funzioni considerate, e sar`a verificata la disuguaglianza di Schwarz, che in questo caso diventa L L L f ∗ (x) g(x) dx ≤ | f (x)|2 dx |g(x)|2 dx. (2.23) −L −L −L E` anche possibile introdurre diverse definizioni di prodotto scalare: p.es. introducendo una funzione peso (o densit`a) ρ = ρ(x) > 0 si pu`o definire ( f , g)ρ =
I
f ∗ (x) g(x) ρ(x) dx
che infatti soddisfa tutte le propriet`a richieste per il prodotto scalare (e la norma da esso indotta). Talvolta l’introduzione di un prodotto scalare modificato pu`o essere un utile accorgimento: per esempio due funzioni non ortogonali rispetto al prodotto scalare ordinario possono risultare ortogonali rispetto ad un prodotto scalare opportunamente modificato: v. qualche esempio ai §§ 2.21, 2.23(b).
2.7 Il concetto di norma come “distanza” Dati ad esempio due vettori x, y dello spazio R3 , la quantit`a x − y esprime, da un punto di vista geometrico, la “distanza” fra i due vettori. Preso un vettore x0 , l’insieme dei vettori x tali che x − x0 < δ costituisce un “intorno sferico” di x0 di raggio δ . Il concetto di norma fornisce dunque una struttura metrica, cio`e un concetto di distanza fra gli elementi di uno spazio vettoriale, qualunque esso sia. Bisogna per`o notare che in uno stesso spazio vettoriale V e` possibile definire pi`u tipi di norme, cio`e varie leggi V → R+ che soddisfano i requisiti (n1,n2,n3) assegnati nel paragrafo precedente. Per esempio in Cn , oltre alla norma gi`a usata (1.4)
2
Ci`o e` senz’altro veroper funzioni continue; in caso contrario occorre una precisazione che riguarda le propriet`a (p2) ed (n1) , e che faremo nel § 2.8.
42
Spazi di Hilbert
che ha la propriet`a di essere indotta da un prodotto scalare, anche la seguente legge x → |x1 | + |x2 | + · · · + |xn | definisce una norma, diversa dalla precedente (e non ottenibile da un prodotto scalare). Analogamente, nello spazio vettoriale delle funzioni considerate nel § 2.3 a proposito della serie di Fourier, oltre alla norma f =
1/2
I
| f (x)|2 dx
(2.24)
indotta dal prodotto scalare (2.10 ), si pu`o considerare anche la norma f = sup | f (x)|
(2.25)
x∈I
spesso indicata con f ∞ , dove I e` l’intervallo in cui varia la x. E` importante sot-
f (x)
g(x)
x Figura 2.5 Funzioni “lontane” nella norma del sup, “vicine” nella norma L1 (2.24 ) o L2 (2.24).
tolineare che, come mostra la fig. 2.5, due funzioni f , g possono essere “vicine” rispetto alla prima norma f − g =
I
1/2 | f (x) − g(x)|2 dx
ed essere invece “lontane” rispetto alla seconda f − g = sup | f (x) − g(x)| . x∈I
E` a questo punto essenziale osservare che in generale la serie di Fourier di una funzione non e` “vicina” alla funzione stessa nel senso della norma (2.25), che – come noto – individua la convergenza uniforme; pi`u esattamente, la successione delle somme parziali della serie di Fourier non approssima bene nel senso di tale norma la funzione data: basta infatti ricordare quanto succede nei punti di discontinuit`a della funzione stessa. Come enunceremo in modo completo e preciso pi`u avanti, si ha invece che la serie di Fourier approssima veramente la funzione nel senso della
2.7 Il concetto di norma come “distanza”
43
norma (2.24), che d’altronde e` proprio quella che segue dal prodotto scalare (2.10 ) introdotto in modo del tutto naturale nel calcolo dei coefficienti della serie, come si e` visto. Tutto questo suggerisce che la giusta “ambientazione” della teoria delle serie di Fourier e` quella che coinvolge le funzioni per le quali e` definibile la norma (2.24), cio`e le funzioni con modulo quadrato integrabile. Accanto alla norma (2.24), citiamo anche un’altra scelta utile (che incontreremo pi`u avanti) e che indichiamo qui con f 1 : f 1 =
I
| f (x)| dx .
(2.24 )
Un altro importante concetto, legato a queste considerazioni, e` quello di spazio completo (o chiuso ). Ricordiamo intanto che in uno spazio V in cui e` definita una norma, una successione di elementi xn ∈ V si dice successione di Cauchy se xn − xm → 0; lo spazio si dir`a completo o chiuso (rispetto alla data norma) se ogni successione di Cauchy converge ad un elemento x dello spazio stesso (sempre nel senso della norma: xn − x → 0). L’esempio pi`u ovvio di spazio non completo e` dato dall’insieme dei numeri razionali, con la norma “naturale” |x1 − x2 |: e` ben noto infatti che ci sono successioni di Cauchy di numeri razionali che convergono ad un numero irrazionale. Invece, la propriet`a caratteristica dei numeri reali e` appunto quella di costituire uno spazio completo, o – meglio ancora – di essere il completamento (o chiusura) dello spazio dei razionali. Consideriamo ora lo spazio delle funzioni continue definite in un intervallo compatto qualsiasi I, con la norma (2.25), che ora si pu`o anzi scrivere f = max | f (x)| . x∈I
(2.25 )
Questo spazio e` completo, infatti una successione di funzioni continue che sia successione di Cauchy rispetto alla norma (2.25 ) e` una successione uniformemente convergente, e pertanto – come e` noto e altrove gi`a ricordato – essa converge (uniformemente) ad una funzione continua e quindi contenuta nello spazio. Invece, lo stesso spazio di funzioni per`o dotato della norma (2.24) non e` completo, e nemmeno lo e` con la norma (2.24 ): e` facile trovare esempi di successioni di Cauchy rispetto a queste normeche per`o convergono puntualmente e nel senso della norma (2.24) o della (2.24 ) a funzioni discontinue; p.es. la successione di funzioni continue ⎧ (n = 1, 2, . . .) ⎨ −1 per − 1 ≤ x ≤ −1/n fn (x) = nx per − 1/n ≤ x ≤ 1/n ⎩ 1 per 1/n ≤ x ≤ 1 converge puntualmente e in senso (2.24 ) ad una funzione discontinua. Ricordiamo infine la seguente propriet`a generale: se una successione xn e` convergente, cio`e xn − x → 0, allora essa e` di Cauchy. Infatti, per la disuguaglianza triangolare, si ha xn − xm = xn − x + x − xm ≤ xn − x + x − xm .
44
Spazi di Hilbert
2.8 Alcune osservazioni sulla integrazione delle funzioni Le considerazioni fatte nei paragrafi precedenti ci conducono in modo naturale ad introdurre una norma da definire attraverso un integrale come nella (2.24). Ma si deve osservare che, affinch´e la (2.24) definisca una vera norma, cio`e soddisfi in particolare al requisito (n1) (v. § 2.6), occorre anzitutto che f = 0 implichi f = 0. In realt`a, invece, per una funzione che sia diversa da zero solo in un numero finito o numerabile di punti, l’integrale (2.24) risulta uguale a zero. Per poter allora considerare la definizione (2.24) come una vera norma, basta convenire di considerare equivalenti (e cio`e di “identificare”) le funzioni quasi ovunque uguali fra loro, ovvero le funzioni che differiscono fra loro soltanto in un insieme finito o numerabile di punti (o – come si dice pi`u esattamente – in un insieme di punti di misura nulla secondo Lebesgue). Nel seguito questa convenzione verr`a sempre sottintesa. Naturalmente identiche osservazioni valgono anche per la norma (2.24 ). Come si vede, la nozione di integrale a cui occorre far riferimento in questo contesto e` quella dell’integrale secondo Lebesgue. Come noto, l’integrale di Lebesgue e` una estensione dell’integrale elementare 3 (quello dei plurirettangoli inscritti e circoscritti, o di Riemann), nel senso che esso permette di definire l’integrale anche per alcune funzioni che non risultano integrabili secondo il metodo elementare. L’esempio tipico e` dato dalla funzione di Dirichlet fD , cos`ı definita nell’intervallo [0, 1] : 0 se x e` irrazionale fD (x) = 1 se x e` razionale che non e` integrabile nel senso dell’integrazione elementare, ma e` integrabile secondo Lebesgue, e in particolare ha integrale nullo: in effetti essa differisce dalla funzione nulla soltanto in un insieme numerabile di punti (si ricordi che l’insieme dei numeri razionali e` numerabile), e dunque e` da considerare equivalente alla funzione nulla. Alcune importanti propriet`a dell’integrale di Lebesgue che ci serviranno nel seguito sono le seguenti: (a) Se F(x) e` una funzione integrabile, ed f (x) un’altra funzione tale che | f (x)| ≤ F(x) allora anche f e` integrabile. (b) f e` integrabile se e solo se | f | e` integrabile. E` da osservare che tali propriet`a sono in generale false se riferite all’integrale elementare (per esempio, per la funzione di Dirichlet fD si ha fD = | fD | ≤ F = 1 in [0, 1]); tuttavia tornano ad essere vere se ci si limita alle funzioni f generalmente continue. 3
Per maggiori dettagli, v. per esempio i testi di Rudin [30], di Royden [29] o di Fano [3]. In particolare, dovremo sempre sottintendere – come d’abitudine – che le funzioni che verranno considerate siano “misurabili” secondo Lebesgue. Naturalmente, questa non e` una grave limitazione, dato che gli esempi che si possono costruire di insiemi o funzioni non misurabili sono piuttosto “astrusi”, non solo dal punto di vista fisico, ma anche da quello matematico, poich´e per costruire questi esempi occorre utilizzare l’assioma della scelta.
2.8 Alcune osservazioni sulla integrazione delle funzioni
45
In realt`a, occorre osservare che la propriet`a (b) risulta vera qui “per definizione”: infatti la definizione stessa di integrabilit`a secondo Lebesgue richiede che siano separatamente integrabili la “parte positiva” f (x) se f (x) > 0 + f (x) = 0 se f (x) < 0 e la “parte negativa” f − (x) (definita analogamente) della f (x) 4 , dunque e` f = f + + f − e | f | = f + − f − , e la propriet`a (b) segue automaticamente. E` tuttavia importante far presente che e` possibile introdurre una nozione “meno restrittiva” di integrabilit`a: consideriamo, ad esempio, la funzione (definita e continua su tutto R ) sin x f (x) = x +∞ si vede, anche solo osservandone il grafico, che l’integrale −∞ | f (x)| dx si comporta come la serie armonica ∑n (1/n) e dunque diverge, mentre esiste finito l’integrale definito mediante il seguente limite (ora il comportamento e` all’incirca come la serie armonica a segni alternati): lim
R→+∞ R →+∞
+R −R
f (x) dx
(2.26)
dove i limiti per R → ∞ e per R → ∞ vanno eseguiti indipendentemente. La (2.26) definisce il cosiddetto integrale improprio della funzione f (x). Per sottolineare la differenza fra la nozione di integrabilit`a secondo Lebesgue e quella pi`u “debole” secondo questa nozione di integrale improprio, le funzioni sin x integrabili secondo Lebesgue si dicono anche sommabili . Dunque f (x) = x ammette integrale improprio su R, ma non e` sommabile. Nel § 3.13 calcoleremo questo integrale con le tecniche della variabile complessa. L’insieme delle funzioni sommabili su un insieme I si indica con L1 (I), e dunque la (2.24 ) e` precisamente la definizione della norma L1 (I). La propriet`a rilevante dello spazio L1 (I) e` che esso e` completo rispetto a tale norma (teorema di Riesz ), ed anzi e` il completamento (o chiusura), sempre rispetto a tale norma, del sottospazio C0 (I) delle funzioni continue. Infine, particolarmente importante, anche nelle applicazioni, e` il seguente Teorema di Lebesgue o Teorema della convergenza dominata . Sia fn (x) una successione di funzioni sommabili che converge puntualmente quasi ovunque per n → ∞ ad una funzione f (x); se esiste una funzione F(x) sommabile, tale che, per ogni n, sia (2.27) | fn (x)| ≤ F(x) ,
4
Se f e` complessa, lo stesso procedimento si applica alla parte reale e alla parte immaginaria della f .
46
Spazi di Hilbert
allora: (i) anche f e` sommabile; (ii) si ha
lim
n→∞ I
fn (x) dx =
I
f (x) dx
(2.28)
analogo risultato vale anche se – invece di una successione fn (x) – si ha una famiglia fε (x) dipendente da un parametro continuo ε → 0 . Questo teorema costituisce una importante generalizzazione del noto risultato dell’analisi elementare, che assicura la possibilit`a di passare al limite sotto l’integrale come nella (2.28) nelle ipotesi che la successione fn converga uniformemente in un intervallo di lunghezza finita. Un paio di controesempi per mostrare che se qualcuna di queste ipotesi non e` verificata, allora la possibilit`a di passare al limite per n → ∞ sotto l’integrale non e` garantita: i) Se n sin nx per 0 ≤ x ≤ π/n fn (x) = (n = 1, 2, . . .) 0 per π/n ≤ x ≤ π π
si ha che fn (x) → 0 puntualmente per ogni x ∈ [0, π], ma ii) Se
fn (x) =
0
fn (x) dx = 2.
1/n per − n ≤ x ≤ n (n = 1, 2, . . .) 0 per |x| ≥ n
si ha che fn (x) → 0 uniformemente per ogni x ∈ R, ma
R
fn (x) dx = 2.
Ovviamente, nessuna di queste due successioni pu`o essere maggiorata da una funzione F(x) sommabile.
2.9 Lo spazio L2 (I) Sia I un qualsiasi intervallo o sottoinsieme di R (misurabile, eventualmente anche di misura infinita, per esempio l’intera retta); si indica con L p (I) l’insieme delle funzioni f tali che esiste finito l’integrale
I
| f (x)| p dx .
Ovviamente, si possono considerare anche funzioni in Rn . Per semplicit`a, ci limiteremo in generale al caso n = 1; l’estensione a funzioni di n > 1 variabili non presenta difficolt`a. Come si e` visto precedentemente, l’insieme delle funzioni a quadrato sommabile L2 (I) merita particolare attenzione. Proviamo intanto che L2 e` uno spazio vettoriale: siano infatti f , g ∈ L2 (I) , cio`e I
| f |2 dx < +∞ ,
I
|g|2 dx < +∞ ;
2.9 Lo spazio L2 (I)
47
osservando che | f + g|2 ≤ | f + g|2 + | f − g|2 = 2 | f |2 + 2 |g|2 segue, per la propriet`a (a) del paragrafo precedente, che anche f + g ∈ L2 (I) . E` immediato poi osservare che anche α f ∈ L2 (I) per ogni numero complesso α. Nello spazio L2 (I) si pu`o inoltre definire un prodotto scalare nel modo gi`a visto ( f , g) =
I
f ∗ (x) g(x) dx
(2.29)
e l’integrale esiste finito per qualunque coppia di funzioni f , g ∈ L2 (I) grazie alle propriet`a (a), (b) del paragrafo precedente. Infatti | f ∗ g| = | f | |g| ≤ 12 | f |2 + 12 |g|2 dove si e` fatto uso della ovvia disuguaglianza 0 ≤ (| f | − |g|)2 = | f |2 + |g|2 − 2 | f | |g| dunque f ∗ g ∈ L1 (I) e cos`ı anche ovviamente f g e | f |2 . Si pu`o notare che se I e` un intervallo finito, allora se f ∈ L2 (I) si ha anche f ∈ L1 (I), infatti f L 1 =
I
| f (x)| dx = (1, | f |) ≤ mis(I) f L2
√ ma non e` vero il viceversa, p.es. f = 1/ x ∈ L1 (0, 1) ma ∈ / L2 (0, 1). Se I ha misura 2 1 2 / L1 (R). infinita, f ∈ L non implica f ∈ L : p.es. f (x) = x/(1 + x ) ∈ L2 (R) ma ∈ Vale inoltre il seguente Teorema di Riesz-Fischer . Lo spazio L2 (I) e` completo rispetto alla norma f 2 =
I
| f |2 dx
(2.30)
indotta dal prodotto scalare (2.29). Inoltre L2 (I) e` il completamento, rispetto alla norma (2.30), del sottospazio delle funzioni continue C0 (I). Naturalmente, la convergenza cui ora ci si riferisce e` quella in media di ordine due, come gi`a osservato, cio`e fn − f 2 =
I
| fn − f |2 dx → 0 .
Enunciamo, infine, una generalizzazione della disuguaglianza di Schwarz e cio`e la cosiddetta Disuguaglianza di Schwarz-H¨older : Siano f ∈ L p (I) e g ∈ Lq (I) , dove p e q sono numeri tali che 1/p + 1/q = 1 . Allora il prodotto f g e` sommabile e vale la
48
Spazi di Hilbert
disuguaglianza I
| f g| dx ≤
I
| f | p dx
1/p I
1/q |g|q dx
.
(2.31)
2.10 Lo spazio di Hilbert: definizione generale. Teorema di Fourier in L2 Uno spazio di Hilbert e` uno spazio vettoriale in cui e` definito un prodotto scalare e che e` completo rispetto alla norma indotta da tale prodotto scalare 5 . Quindi gli spazi L2 (I) sono spazi di Hilbert. Ma anche gli spazi a dimensione finita Cn (o Rn ) sono spazi di Hilbert, dato che sono automaticamente spazi completi (usualmente per`o, quando si parla di spazi di Hilbert, ci si riferisce a spazi di dimensione infinita). Consideriamo ora lo spazio L2 (I) nel caso che I sia l’intervallo (−L, L) . Osserviamo intanto che l’insieme delle funzioni che soddisfano i requisiti dati all’inizio del § 2.3, e per le quali avevamo introdotto lo sviluppo in serie di Fourier, e` ovviamente un sottospazio delle funzioni a quadrato sommabile L2 (−L, L). Siamo ora in grado di generalizzare questo risultato con la seguente formulazione precisa del classico teorema sulla sviluppabilit`a in serie (trigonometrica) in L2 : Teorema di Fourier. Sia f = f (x) ∈ L2 (−L, L) e siano an i prodotti scalari an = ( fn , f ) fra f (x) e le funzioni fn (x) del set (2.11); allora la serie (2.12) che cos`ı si costruisce risulta convergente alla funzione f nella norma di L2 (cio`e la successione delle somme parziali approssima la funzione f “in media di ordine due”). Abbiamo dunque ampliato (rispetto a quanto visto in § 2.3) lo spazio delle funzioni per le quali e` possibile calcolare lo sviluppo in serie tramite funzioni trigonometriche (2.11), confermato le formule per il calcolo dei coefficienti di Fourier an , e soprattutto abbiamo precisato qual e` il tipo di convergenza che e` corretto richiedere. Grazie alla propriet`a descritta da questo teorema, il sistema (2.11) viene detto sistema completo in L2 (−L, L) (si noti bene che, accanto alla parola “sistema”, l’aggettivo “completo” porta al concetto di “base”, ben diverso dal significato che ha accanto alla parola “spazio”, v. § 2.7, dove ammette come sinonimo “chiuso”). Ma e` anche chiaro che questa fondamentale propriet`a del set (2.11) deve essere “formalizzata”, allo scopo di estenderla ad altri sistemi, e a spazi di Hilbert qualsiasi. Svilupperemo dunque nei prossimi paragrafi una teoria fondata solo sulle propriet`a “astratte” dello spazio di Hilbert, che ci consentir`a di introdurre una nozione generale e astratta di sistema completo e di serie di Fourier di vettori.
5
Se manca la completezza, si parla di spazio pre-Hilbertiano ; se invece lo spazio e` completo, ma la norma non proviene da un prodotto scalare, si ha uno spazio di Banach . Tutti gli spazi L p sono spazi di Banach, ma solo L2 e` spazio di Hilbert.
2.11 Sistemi indipendenti e ortonormali
49
2.11 Sistemi indipendenti e ortonormali Sia H un generico spazio di Hilbert e sia x1 , x2 , . . . , xn , · · · un insieme (finito o infinito) di vettori linearmente indipendenti contenuti in H. Se lo spazio ha dimensione infinita (ed e` il caso che qui ci interessa), e` evidentemente possibile trovare infiniti vettori indipendenti 6 . Pu`o essere utile il seguente criterio, che sarebbe facile dimostrare: condizione necessaria e sufficiente affinch´e gli n vettori x1 , x2 , · · · , xn siano linearmente indipendenti e` che il determinante ⎛ (x , x ) (x , x ) 1 1 1 2 ⎜ (x2 , x1 ) (x2 , x2 ) G(x1 , x2 , · · · , xn ) = det ⎜ ⎝ .. . (xn , x1 )
··· ··· .. .
···
(x1 , xn ) ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ (xn , xn )
detto determinante di Gram , sia diverso da zero. Per esempio, vettori ortogonali sono (ovviamente!) indipendenti. Si ha il seguente importante risultato: comunque sia dato un insieme x1 , x2 , · · · , xn , · · · di vettori indipendenti, si pu`o sempre ricavare un altro insieme e1 , e2 , · · · , en , · · · di vettori ortonormali in modo che, per ogni m, i vettori e1 , e2 , · · · , em siano combinazioni lineari dei soli primi m vettori x1 , x2 , · · · , xm . Per costruire tale sistema ortonormale si pu`o seguire il procedimento di ortonormalizzazione di Schmidt : si comincia ponendo e1 =
x1 · x1
Si sottrae poi ad x2 la componente “parallela” a e1 , cio`e e 2 = x2 − (e1 , x2 ) e1 e si pone e2 =
e 2 · e 2
I vettori e1 ed e2 sono ortonormali, come si verifica subito. Il procedimento si ripete analogamente: il termine generale e` k−1
e k = xk − ∑ (ei , xk ) ei i=1
,
ek =
e k e k
(si noti che e k = 0 , altrimenti x1 , x2 , · · · , xk sarebbero linearmente dipendenti).
6
Per l’esattezza, parlare di un insieme infinito (numerabile) di vettori indipendenti significa questo: comunque si fissi un intero n, i primi vettori x1 , x2 , . . . , xn sono linearmente indipendenti fra loro.
50
Spazi di Hilbert
2.12 Serie di Fourier “astratta” Sia {en } un qualsiasi sistema ortonormale in uno spazio di Hilbert “astratto” H. Fissato comunque x ∈ H ed un intero n, vogliamo determinare n numeri complessi a1 , a2 , · · · , an in modo tale che la “distanza” n
x − ∑ ai ei i=1
sia minima. Cio`e vogliamo trovare quale combinazione lineare dei primi n vettori “approssima” meglio il vettore x. Si ha n
n
n
n
i=1
i=1
i=1
i=1
0 ≤ x − ∑ ai ei 2 = x 2 − ∑ ai (x, ei ) − ∑ a∗i (ei , x) + ∑ |ai |2 = 2 = x 2 − ∑ |(ei , x)|2 + ∑ ai − (ei , x) n
n
i=1
i=1
(2.32)
e tale quantit`a e` chiaramente minima quando ai = (ei , x)
(2.33)
cio`e scegliendo come ai proprio la “componente” di x sul vettore ei . n
In questo modo, con la (2.33), il vettore
∑ ai ei rappresenta quella che si pu`o
i=1
chiamare la proiezione ortogonale di x sul sottospazio generato da e1 , e2 , · · · , en . Sempre con la scelta (2.33) e usando x − ∑ ai ei 2 ≥ 0, la (2.32) d`a ancora n
n
i=1
i=1
x 2 ≥ ∑ |(ei , x)|2 = ∑ |ai |2 che e` verificata per ogni n e coinvolge solo quantit`a reali positive, con il primo membro indipendente da n. Quindi si pu`o prendere il limite n → ∞ al secondo (e terzo) membro, la serie converge e si ottiene ∞
∞
i=1
i=1
x 2 ≥ ∑ |(ei , x)|2 = ∑ |ai |2
(2.34)
che si chiama disuguaglianza di Bessel . I coefficienti ai definiti dalla (2.33) si chiamano coefficienti di Fourier del vettore x rispetto al sistema {ei } : la ragione di questa denominazione e` chiara grazie, ad esempio, all’analogia con la (2.14). Si consideri ora la seguente “serie di vettori” ∞
∞
i=1
i=1
∑ ai ei = ∑ (x, ei ) ei
2.12 Serie di Fourier “astratta”
51
costruita con i coefficienti di Fourier del vettore x, che si chiama serie di Fourier del vettore x rispetto al sistema {ei } : naturalmente “sommare” questa serie vuol dire cercare il limite x (beninteso: nel senso della norma assegnata in H) della successione delle somme parziali n
x n = ∑ ai ei i=1
e l’esistenza di questo limite e` assicurata dal fatto che la successione xn e` di Cauchy: infatti (se n > m ) xn − xm 2 =
n
∑
i=m+1
2 ai ei =
n
∑
|ai |2 → 0
i=m+1
grazie alla convergenza della serie numerica ∑ |ai |2 v. la (2.34) . Il vettore x sar`a dunque la migliore approssimazione di x mediante una serie degli {ei }, ma non coincider`a in generale col vettore di partenza x. Ci`o dipender`a da come e` stato scelto all’inizio il sistema ortonormale {ei } : ad esempio, se prendiamo H = L2 (I) dove I e` l’intervallo (−L, L) e come sistema ortonormale l’insieme {L−1/2 sin(π n x/L)} , e` chiaro che lo sviluppo in serie di Fourier di soli seni di una funzione f ∈ L2 (−L, L) converger`a alla funzione stessa solo se essa e` dispari, mentre ne dar`a in generale la sola “parte dispari” 7 12 [ f (x) − f (−x)] , e addirittura dar`a zero se la funzione e` pari. Come altro semplice esempio, sia, in L2 (−1, 1), 0 per − 1 < x < 0 f (x) = : 1 per 0 < x < 1 √ se si prende il set ortonormale {1/ 2 , sin nπx (n = 1, 2, . . .)}, lo sviluppo di questa √ f (x) coincide con la funzione stessa; scegliendo invece il set ortonormale {1/ 2 , cos nπx (n = 1, 2, . . .)}, la migliore approssimazione f (x) della f (x) sar`a la funzione costante f (x) = 1/2 (non occorrono calcoli: basta osservare che f (x) = 1/2 + una funzione dispari!). Tornando al caso generale, diremo che {ei } e` un sistema (o set) ortonormale completo in H se, per ogni x ∈ H , la serie di Fourier di x rispetto a tale sistema converge nella norma di H ad x stesso, cio`e se xn − x → 0 , e si scriver`a ∞
x = ∑ ai ei ,
ai = (ei , x) .
(2.35)
i=1
I sistemi completi generalizzano dunque, in dimensione infinita, il concetto di base per gli spazi a dimensione finita.
7
Ogni funzione f definita in un intervallo simmetrico rispetto all’origine si pu`o scomporre nella somma di una funzione pari f p e di una dispari fd : f (x) = 12 [ f (x) + f (−x)] + 12 [ f (x) − f (−x)] ≡ f p + fd .
52
Spazi di Hilbert
Come si e` gi`a detto, grazie al teorema di Fourier (§ 2.10), il set (2.11) e` un esempio di set ortonormale completo per lo spazio H = L2 (−L, L) . Dobbiamo ora vedere altre importanti e utili propriet`a caratterizzanti i sistemi completi.
2.13 Propriet`a dei sistemi completi Dimostriamo ora che la completezza di un sistema ortonormale {en } e` equivalente ad altre propriet`a, che spesso risulteranno pi`u agevoli a verificare negli esempi concreti. Precisamente proveremo che le seguenti quattro propriet`a sono equivalenti fra loro (cio`e basta verificarne una sola perch´e siano verificate anche le altre). (i) Il sistema {en } e` completo secondo la definizione del paragrafo precedente, cio`e – in breve – ogni vettore x ∈ H coincide con la sua serie di Fourier (2.35) rispetto a tale sistema. (ii) L’insieme delle combinazioni lineari finite n
∑ ai ei
i=1
al variare di n e dei coefficienti ai e` denso in H, cio`e ogni vettore x ∈ H pu`o essere “approssimato” in norma quanto si vuole da una combinazione lineare finita degli {en }. Fra queste combinazioni, quella che approssima meglio ogni prefissato vettore x ∈ H e` quella i cui coefficienti ai sono dati da ai = (ei , x). (iii) Per ogni x ∈ H vale la seguente identit`a: x 2 =
∞
∑ |(en , x)|2
(2.36)
n=1
detta identit`a di Parseval . (iv) L’unico vettore ortogonale a tutti gli en e` il vettore nullo, cio`e: sia x0 un vettore tale che per ogni n si abbia (en , x0 ) = 0 , allora x0 = 0 . Dimostrazione: (i) ⇒ (ii): In realt`a la (ii) e` un altro modo di enunciare la (i). Infatti, se il sistema e` completo, per ogni x ∈ H , la somma parziale xn della sua serie di Fourier approssima in norma x quanto si vuole, e la migliore approssimazione e` proprio quella che si ottiene con ai = (ei , x). (ii) ⇒ (iii): Ricordando la (2.32) con la scelta (2.33), si ha per n → ∞ che il primo membro della (2.32) tende a zero, e quindi, direttamente dal secondo membro, segue la (2.36). (iii) ⇒ (iv): La (2.36) applicata al vettore x0 d`a x0 = 0 , infatti x0 2 =
∞
∑ |(en , x0 )|2 = 0 .
n=1
2.13 Propriet`a dei sistemi completi
53
(iv) ⇒ (i): Fissato comunque x ∈ H, si consideri x=
∞
∑ (en , x) en .
n=1
Come gi`a visto, tale serie e` convergente e x ∈ H. Per ogni intero j si ha ∞ ∞ (e j , x − x) = e j , ∑ (ei , x) ei − (e j , x) = ∑ (ei , x) δ ji − (e j , x) = 0 i=1
i=1
cio`e x − x e` ortogonale a tutti gli e j , quindi x = x e cio`e x coincide con la sua serie di Fourier. Nota . Nella dimostrazione precedente si e` scritto
∞ e j, ∑ . . . =
∞
∑ (e j , . . .)
i=1
i=1
“scambiando” il prodotto scalare con la serie. Poich´e la linearit`a del prodotto scalare vale – per definizione! – per le combinazioni lineari finite, occorre provare che il passaggio sopra eseguito e` lecito. Si ha in effetti: Lemma (continuit`a del prodotto scalare): Sia xn una successione di vettori convergente ad x ∈ H, cio`e xn → x ovvero xn − x → 0 , allora, per ogni y ∈ H, si ha (2.37) (y, x) = lim (y, xn ) . n→∞
Dimostrazione: Immediata: infatti, usando la disuguaglianza di Schwarz (y, x) − (y, xn ) = (y, x − xn ) ≤ y x − xn → 0 .
Questo giustifica la dimostrazione precedente: basta infatti prendere come successione xn la successione delle somme parziali della serie di Fourier di x . Questo Lemma fornisce pure un’altra condizione di “passaggio al limite sotto integrale” in H = L2 (I): se g, fn ∈ L2 (I) e fn → f in senso L2 (I) , ossia fn − f L2 → 0 , la (2.37) diventa I
g∗ fn dx →
I
g∗ f dx .
Se in particolare I ha misura finita si pu`o prendere g = 1 e si ottiene I
fn dx →
I
f dx .
Inoltre, il Lemma giustifica la possibilit`a di scambiare l’integrazione con la serie, cio`e di integrare termine a termine (v. § 2.3) una serie di Fourier come la (2.7): e` infatti sufficiente la sola ipotesi della convergenza in norma L2 .
54
Spazi di Hilbert
Si considerino ora due vettori x, y ∈ H, con le rispettive serie di Fourier rispetto al set ortonormale completo {en }: ∞
x = ∑ ai ei , i=1
∞
y = ∑ bi ei . i=1
Usando il precedente Lemma, si ha (x, y) = lim
n→∞
a e , y = lim i i ∑ n
n
∑ a∗i n→∞
i=1
n
∞
∞
i=1
i=1
i=1
ei , y =
i=1
= lim ∑ a∗i bi = ∑ a∗i bi = ∑ x, ei ei , y n→∞
(2.36 )
che si chiama identit`a di Parseval generalizzata (infatti la (2.36) si ottiene da questa ponendo x = y ). Pertanto, anche tale identit`a e` una propriet`a equivalente alla completezza del sistema ortonormale {en }. Un esempio (molto istruttivo!) di set ortonormale completo { fn } e` √ f1 = (e1 − e2 )/ 2 √ f2 = (e1 + e2 − 2e3 )/ 6 .. . (2.38) fn = (e1 + e2 + . . . + en − n en+1 )/ n(n + 1) .. . infatti la condizione (iv), cio`e ( fn , x0 ) = 0 , ∀n, implica che i coefficienti di Fourier ai rispetto al set ei del vettore x0 ∈ H devono essere tutti uguali, e dunque tutti nulli dovendo ∑i |ai |2 < ∞. Le combinazioni lineari finite ∑m n=1 βn f n dei vettori del set fn hanno chiaramente la propriet`a ∑i ai = 0. Dunque, grazie alla prima parte della condizione (ii), il sottospazio delle combinazioni finite z = ∑ni=1 ai ei tali che ∑ni=1 ai = 0 e` – sorprendentemente – denso in H; a maggior ragione, sar`a denso in H il sottospazio pi`u generale V (0) dei vettori ∞
z = ∑ ai ei i=1
∞
tali che
∑ ai = 0 .
(2.38 )
i=1
Ci si pu`o rendere conto di questo fatto su un esempio semplice: la successione dei vettori zn = e1 − (e2 + . . . + en+1 )/n soddisfa ∑i ai = 0 ma approssima e1 quanto si vuole, infatti 1 zn − e1 2 = . n In altre parole, si pu`o dire che il sottospazio V (0) ⊂ H e` un sottospazio vettoriale in H, denso in H, ma non e` un sottospazio di Hilbert, poich´e non e` un sottospazio completo (forse sarebbe meglio per chiarezza dire qui chiuso; ancora una volta, non si confonda l’aggettivo “completo” riferito a sottospazio con lo stesso aggettivo
2.14 Spazi separabili e lo spazio 2
55
riferito a set di vettori, v. § 2.10). E si potr`a anche dire che H e` il completamento (o chiusura) di V (0) . Dato un sistema di vettori {wn } non ortogonali, ci si pu`o chiedere se tale sistema e` o no, completo, anche senza eseguirne preliminarmente la sua ortonormalizzazione. Naturalmente non saranno pi`u vere n´e la (2.33) n´e la (2.35), enemmeno la propriet`a (iii) che non sarebbero vere neppure in dimensione finita! ; la completezza del set wn pu`o tuttavia essere definita mediante la prima parte della propriet`a (ii), che si dovr`a ora enunciare in questa forma: per ogni x ∈ H e per ogni ε > 0, si possono trovare un intero N ed N opportuni coefficienti αi in modo che N
x − ∑ αi wi < ε i=1
anche se non c’`e un procedimento generale per trovare i coefficienti αi . Tenendo presente il procedimento di ortonormalizzazione di Schmidt, e` facile quanto importante vedere che resta vera, anche per un set “obliquo” wn , l’equivalenza della completezza con la propriet`a (iv). Un esempio di set completo non ortogonale e` dato dal set di vettori wn = {e1 − e2 , e1 − e3 , · · · , e1 − en , · · ·}, dove en (n = 1, 2, · · ·) e` un set ortonormale completo (infatti . . .). Usando un esempio come quello visto poco sopra, si vede che il vettore zn = (1/n)(w1 + . . . + wn+1 ) e` una combinazione di vettori wn che approssima e1 , infatti zn − e1 2 = 1/n. Da notare che ortonormalizzando il set di vettori wn si ritrova il set fn (2.38). Un altro caso istruttivo: sia H = L2 (I) e vn (x) un set ortonormale completo in H; sia ϕ(x) una funzione (continua e limitata, per semplicit`a). Allora wn (x) = ϕ(x) vn (x) e` un set completo (in generale, non ortogonale) se ϕ(x) = 0 oppure anche se ϕ(x) ammette qualche zero isolato: infatti dalla condizione (iv) di completezza 0 = (wn , f0 ) = (vn , ϕ ∗ f0 ) segue che f0 (x) e` la funzione nulla (quasi ovunque!). Un importante esempio di set completo non ortogonale verr`a dato nel prossimo paragrafo. Si pu`o notare come quanto detto in questo paragrafo si traduca in fatti elementari e ben noti se ci si riduce allo spazio R3 (o a spazi a dimensione finita). Per esempio, la (2.36) e` in R2 il teorema di Pitagora, mentre nello spazio H = L2 (I) diventa
I
| f (x)|2 dx =
∞
∑ |an |2 .
n=1
2.14 Spazi separabili e lo spazio 2 Si deve anzitutto notare che non in tutti gli spazi di Hilbert e` presente un sistema completo 8 . Si chiamano separabili quegli spazi (e sono gli unici che ci interes8
Si possono infatti costruire esempi di spazi di Hilbert in cui, comunque si scelga un insieme numerabile di vettori, le combinazioni lineari di questi vettori non risultano dense nello spazio.
56
Spazi di Hilbert
sano) nei quali esiste un set completo. E` allora separabile, per esempio, lo spazio L2 (−L, L) , nel quale il set (2.11) e` completo. Nello stesso spazio e` completo anche il sistema di vettori ortogonali vk (x) = ei π k x/L = ei ωk x
ωk = k
;
2π , 2L
k = 0, ±1, ±2 , . . .
(2.39)
che pu`o essere normalizzato ponendo uk = (2L)−1/2 vk avendo osservato che (vh , vk ) = 2L δhk . Per provarne la completezza, basta applicare la propriet`a√(iv), oppure semplicemente osservare che mediante le combinazioni (uk ± u−k )/ 2 si riottiene il set (2.11). Lo sviluppo in serie di una f (x) rispetto al set (2.39) avr`a la forma f (x) =
+∞
∑
+∞
ck eiωk x =
k=−∞
∑
c k uk (x)
k=−∞
dove i coefficienti ck sono dati da basta calcolare (uh , f ) e ricordare la continuit`a del prodotto scalare ck =
1 2L
L
1 1 e−iωk x f (x) dx = √ (uk , f ) = √ c k −L 2L 2L
mentre l’identit`a di Parseval diventa qui f 2 = 2L
+∞
∑
k=−∞
|ck |2 =
+∞
∑
|c k |2 .
(2.39 )
k=−∞
Ancora, tenendo conto di quanto visto all’inizio del § 2.4, si conclude che anche il sistema {sin π n x/L} e` completo nello spazio L2 (0, L). Con una traslazione x → x − L in cui L = L/2 (e osservando poi che L e` generico), lo si pu`o riportare all’intervallo (−L, L) e ottenere cos`ı quest’altro set completo per L2 (−L, L): ⎧ ⎨ √1 cos π nd x = √1 cos (h − 1 ) πx , nd = 2h − 1 = 1, 3, 5, · · · 2L 2 L L L vn (x) = (2.40) ⎩ √1 sin π n p x = √1 sin h π x , n p = 2h = 2, 4, · · · 2L L L L che e` diverso dal set (2.11): provare infatti a disegnare i primi elementi del set (2.11) e di questo set vn (x); notare p.es. che tutti gli elementi del set (2.11) tranne il primo (la costante) hanno valor medio nullo su (−L, L), mentre per le funzioni (2.40) . . . . Per motivo analogo basta prolungare le funzioni con legge pari all’intervallo (−L, L) , e` completo in L2 (0, L) il set {1 , cos (πnx/L)}.
2.14 Spazi separabili e lo spazio 2
57
Se I e` un qualsiasi intervallo (di lunghezza finita), tutti i sistemi sopra ricordati sono – opportunamente traslati – altrettanti set completi in L2 (I). Dalla propriet`a (ii) dei set completi segue dunque che il sottospazio vettoriale delle funzioni continue, e anche quello delle funzioni C∞ , e` denso in L2 , ovvero che L2 e` il completamento di C∞ rispetto alla norma L2 . Un altro importante sistema completo (ma non ortonormale) su un insieme compatto I e` fornito dalle potenze {xn } (n = 0, 1, 2, . . .). Per provare questa propriet`a si pu`o anzitutto ricordare che, come ora osservato, ogni f ∈ L2 (I) pu`o essere approssimata in norma L2 da una funzione continua g, e ricorrere poi ad un classico teorema di Weierstrass, che afferma che l’insieme dei polinomi e` denso rispetto alla norma (2.25) nello spazio delle funzioni continue; per concludere basta osservare che se g e h sono “vicine” nella norma (2.25) (su un compatto I), lo sono anche nella norma L2 (I):
g − h 2L2 (I) = I |g − h|2 dx ≤ max |g(x) − h(x)|2 mis(I) . x∈I
Dunque anche i polinomi sono densi nella norma L2 (I) in L2 (I). Un altro fatto sorprendente e` che risulta completo in L2 (I) anche il set delle potenze {xn } con n ≥ N dove N e` un qualsiasi numero intero > 0. Infatti, utilizzando la propriet`a (iv) della completezza, la condizione (xn , f0 ) = 0, ∀n ≥ N si pu`o riscrivere (xm , xN f0 ) = 0 , ∀m ≥ 0, ma la completezza di {xm } per m ≥ 0 implica xN f0 (x) = 0, dunque . . .. Se poi I e` tutta la retta R, oppure una semiretta, si pu`o dimostrare ritroveremo pi`u avanti questo fatto, v. § 2.23 (1)-(2) che sono set completi in L2 (R) e in L2 (0, +∞) insiemi di funzioni del tipo e−x
2 /2
Hn (x)
e rispettivamente
e−x Ln (x) ,
n = 0, 1, 2, · · ·
dove Hn (x) e Ln (x) sono opportuni polinomi di grado n, detti rispettivamente polinomi di Hermite e polinomi di Laguerre (importanti anche perch´e descrivono soluzioni dell’equazione di Schr¨odinger per l’oscillatore armonico e rispettivamente per l’atomo di idrogeno: v. pi`u avanti il § 2.23). E` facile estendere questi risultati sulla esistenza di set completi anche a funzioni L2 di pi`u variabili reali (v. ad esempio § 2.22 e anche il § 6.13, a proposito degli spazi “prodotto tensore”). In conclusione, tutti gli spazi L2 sono separabili; inoltre in tutti gli spazi L2 il sottospazio delle funzioni C∞ e` denso. Negli spazi L2 (R) e L2 (0, +∞), e` denso anche il sottospazio delle funzioni C∞ che “decrescono esponzialmente” all’infinito. Sia ora H un qualsiasi spazio di Hilbert separabile ed {en } un set ortonormale completo in H. Come gi`a detto, ogni vettore x ∈ H e` individuato dalla successione delle sue componenti di Fourier an rispetto ad en : x → (a1 , a2 , · · · , an , · · ·) ,
(2.41)
58
Spazi di Hilbert
e, grazie all’identit`a di Parseval, questa successione gode della propriet`a: ∞
2
∑ a n
< +∞ .
(2.42)
n=1
Questo suggerisce di considerare lo spazio costituito da tutte le successioni di numeri complessi {an } che soddisfano la (2.42): questo spazio si indica con 2 e verificheremo tra poco che anch’esso e` uno spazio di Hilbert, con la seguente definizione di prodotto scalare: se a ≡ {an } e b ≡ {bn } sono due successioni di 2 , si definisce ∞ (2.43) (a, b) = ∑ a∗n bn . n=1
Lo spazio 2
gioca nei confronti degli spazi di Hilbert separabili lo stesso ruolo svolto da Cn nei confronti degli spazi vettoriali di dimensione n: cio`e la corrispondenza data dalla (2.41) fra il generico elemento x ∈ H e una successione numerica a ∈ 2 individua un isomorfismo fra qualsiasi spazio di Hilbert separabile H e 2 . Infatti, la corrispondenza (2.41) e` in realt`a biunivoca, cio`e e` anche vero che ogni successione a ∈ 2 individua un x ∈ H: i calcoli eseguiti nel § 2.12 per costruire il vettore x = limite delle migliori approssimazioni del vettore generico x tramite combinazioni degli {en } mostrano infatti che la condizione (necessaria e sufficiente) sui coefficienti an affinch´e la serie ∑n an en sia convergente in H e` precisamente la condizione “ 2 ” (2.42) (cf. la fine del § 2.3). E ancora, l’identit`a di Parseval (2.36) ci dice che la norma, calcolata secondo la definizione data in H, coincide con la norma calcolata in 2 della successione numerica {an } individuata da x tramite la (2.41). Resta da provare che 2 e` uno spazio di Hilbert: dimostriamo intanto che se a ≡ {an } e b ≡ {bn } sono due successioni di 2 , anche a + b ≡ {an + bn } ∈ 2 : infatti |an + bn |2 ≤ 2|an |2 + 2|bn |2 e quindi anche ∑n |an + bn |2 < +∞; e` d’altronde immediato che α a ∈ 2 per ogni α ∈ C , a ∈ 2 . Inoltre, la definizione (2.43) di prodotto scalare e` corretta: la serie e` anzi assolutamente convergente, poich´e |a∗n bn | = |an ||bn | ≤ 12 |an |2 + 12 |bn |2 e le propriet`a (p1,. . .,p4) del § 2.6 sono evidentemente soddisfatte. Infine si potrebbe dimostrare senza difficolt`a che lo spazio 2 e` anche completo rispetto alla norma indotta dal prodotto scalare (2.43) a 2 =
∞
∑ |an |2
1/2
(2.44)
.
n=1
Un esempio naturale di set ortonormale completo in 2 e` dato dal “set canonico”: e1 ≡ (1, 0, 0, · · · ) , e2 ≡ (0, 1, 0, · · · ) , · · · , en ≡ ( 0, · · · 1, 0, · · ·) , · · · . !" # n
(2.45)
2.15 Propriet`a ed applicazioni delle serie di Fourier
59
Si pu`o anche introdurre lo spazio 1 , formato dalle successioni di numeri complessi a = {an } (n = 1, 2, . . .) tali che ∞
∑ |an | < ∞ .
n=1
Si tratta di uno spazio di Banach, non di Hilbert, perch´e la norma a 1 = ∑∞ n=1 |an | non e` ottenibile tramite un prodotto scalare. Si vede facilmente che se {an } ∈ 1 allora anche ∈ 2 (ma non viceversa!). Nonostante le notazioni, non c’`e alcun collegamento diretto fra gli spazi 1 ed L1 (I).
2.15 Propriet`a ed applicazioni delle serie di Fourier La tecnica degli sviluppi in serie di Fourier trova innumerevoli applicazioni in diversi contesti. Un esempio particolarmente semplice e` il seguente. Si consideri una massa m legata ad una molla di costante elastica K e sottoposta ad una forza f (t) periodica di periodo 2T ; l’equazione del moto per lo spostamento x = x(t) della massa dalla posizione di riposo e` mx¨ + K x = f (t) . Supponendo per semplicit`a che la funzione f (t) sia dispari, il suo sviluppo in serie di Fourier e` (ovviamente qui si sostituisce la variabile x con il tempo t) f (t) =
∞
∑ fn sin ωnt
ωn = n
n=1
2π . 2T
Cerchiamo una soluzione x(t) anch’essa periodica con lo stesso periodo 2T , dunque del tipo ∞
∞
n=1
n=1
x(t) = α0 + ∑ αn cos ωnt + ∑ βn sin ωnt sostituendo nell’equazione del
moto 9
si trova subito che α0 = αn = 0, mentre
(−mωn2 + K)βn = fn . Dunque, se per tutti gli n si ha K = mωn2 , si trova la soluzione x(t) =
∞
fn
∑ K − mωn2 sin ωnt .
n=1
9 Anche qui valgono le osservazioni gi` a fatte nello studio dell’evoluzione della corda elastica; v. la nota nel § 2.4.
60
Spazi di Hilbert
Se invece per qualche n0 si ha ωn20 = K/m e fn0 = 0, l’equazione per βn0 non ha soluzione (`e il ben noto fenomeno della risonanza). Ci si pu`o meravigliare che il metodo dello sviluppo di Fourier non riesca a risolvere il caso della presenza di una risonanza (e nemmeno trovi le soluzioni dell’equazione omogenea): la spiegazione sta semplicemente nel fatto che, avendo usato la serie di Fourier e quindi cercato soluzioni periodiche con un fissato periodo, tutte le soluzioni non periodiche (la soluzione nel caso di risonanza) e quelle con periodo diverso (le soluzioni dell’equazione omogenea) vengono perdute. Se nel precedente problema della molla inseriamo anche la presenza di uno smorzamento viscoso: mx¨ + β x˙ + Kx = f (t) si pu`o ripetere lo stesso procedimento, con l’unica differenza che ora nella soluzione x(t) saranno presenti anche componenti in cos ωnt. Alternativamente, pu`o essere utile sviluppare f (t) e x(t) in serie rispetto al set completo 10 vk = e−iωk t (2.39). Il set (2.39) risulta anche particolarmente utile ad esempio quando si vuole studiare la risposta di circuiti elettrici sottoposti a tensioni periodiche: in tal caso le vk = vk (t) rappresentano i termini “alternati puri” di frequenza ωk ; il segnale periodico verr`a espresso come serie di questi; v. pi`u avanti in questo paragrafo, e anche i §§ 2.28, 4.2 e 4.10. Tornando allo studio della evoluzione temporale nel problema della corda elastica e dell’equazione del calore (§§ 2.4, 2.5), varie osservazioni possono essere utili. Anzitutto si vede ora che le condizioni iniziali possono essere tutte prese in L2 (0, L); inoltre, la (2.18) mostra, per quanto detto nel paragrafo precedente, che la soluzione u(x,t) del problema della corda resta – per ogni t fissato – in L2 . Nel caso poi dell’equazione del calore (2.19), si pu`o anche osservare che la serie nella (2.18 ) risulta convergente, per t > 0, anche totalmente e dunque uniformemente, e pertanto si ha che u(x,t) e` anche una funzione continua (oltre che L2 , ovviamente). Ma si pu`o dire di pi`u. Ricordiamo intanto un teorema elementare sulla derivazione delle successioni (e quindi anche delle serie) di funzioni: se una successione di funzioni derivabili converge puntualmente ad una f = f (x) e se la successione delle derivate e` uniformemente convergente, allora la successione delle derivate converge alla derivata f (x) della f (si noti che non basterebbe l’ipotesi di convergenza uniforme della serie di partenza: p.es. fn (x) = 1n sin nx converge uniformemente a 0, ma fn = cos nx non converge nemmeno puntualmente!). Tornando all’equazione del calore, questa osservazione permette di concludere che u(x,t) diventa “immediatamente” (cio`e appena t > 0) infinitamente derivabile sia rispetto ad x che rispetto a t – nonostante che alla condizione iniziale u(x, 0) si richieda solo che di essere L2 . Questo segue dalla convergenza totale e quindi uniforme delle serie ottenute derivando termine a termine: infatti, qualsiasi derivata eseguita termine a termine nella (2.18 ) conduce a una serie di Fourier i cui coeffi-
10 E ` ovviamente irrilevante scrivere eiωk t oppure e−iωk t , dato che k ∈ Z; nel seguito, per coerenza con la scelta che sar`a fatta per la trasformata di Fourier, scriveremo generalmente e−iωk t .
2.15 Propriet`a ed applicazioni delle serie di Fourier
61
cienti sono del tipo an nk e−n t (si e` posto per semplicit`a C = 1, L = π) e dunque e` garantita, per ogni t > 0, la convergenza uniforme (e anche quella L2 , ovviamente). Si pu`o pure verificare che la soluzione u(x,t) trovata nel § 2.5 tende a zero, in norma L2 (0, π), per t → +∞: infatti si ha 2
u(x,t) 2 =
∞ 2 π ∞ π |an |2 e−2n t ≤ e−2t ∑ |an |2 = e−2t u(x, 0) 2 → 0 ∑ 2 n=1 2 n=1
anzi, pi`u precisamente, la “velocit`a di decrescenza a zero” di tale norma sar`a 2 e−2n1 t se an1 e` primo coefficiente non nullo dello sviluppo in serie di Fourier di u(x, 0). Possiamo dare ora anche una motivazione pi`u precisa del procedimento della “separazione delle variabili” adottato per la soluzione delle equazioni di d’Alembert e del calore. Considerando infatti, per esempio, l’equazione di d’Alembert (2.1) e scegliendo di nuovo le condizioni al contorno (2.2), basta chiedere che la soluzione sia, per ogni t ∈ R , una funzione di L2 (0, L): si pu`o allora scrivere la pi`u generale soluzione come serie u(x,t) =
+∞
∑ an (t) sin(n x)
n=1
(L = π, v = 1 ), con coefficienti an (t) dipendenti dal tempo. Sostituendo nell’equazione si trova a¨n = −n2 an e si ritrovano le soluzioni gi`a note. E` anche possibile introdurre diverse condizioni agli estremi: p.es., le condizioni dette “di periodicit`a” agli estremi, cio`e (si e` scelto qui per comodit`a L = 2π) u(0,t) = u(2π,t) ,
ux (0,t) = ux (2π,t) ;
ora il set completo appropriato e` vn = e−i n x , n ∈ Z (2.39), e la soluzione va scritta nella forma +∞
u(x,t) =
∑
an (t) e−i n x .
n=−∞
Il metodo si presta ad essere generalizzato: si consideri per esempio l’equazione del calore con un termine “non omogeneo” F(x) ∈ L2 (0, 2π) (con C = 1, L = 2π): ut = uxx + F(x) con le condizioni di periodicit`a agli estremi, e con la condizione iniziale assegnata u(x, 0) = f (x) ∈ L2 (0, 2π). Sviluppando F(x) =
∞
∑
Fn e−inx
e
f (x) =
n=−∞
∞
∑
n=−∞
e sostituendo, si trova per an (t) l’equazione a˙n = −n2 an + Fn
fn e−inx
62
Spazi di Hilbert
che si risolve facilmente tenendo conto della condizione iniziale, che implica an (0) = fn . La soluzione e` u(x,t) =
∞
∑
fn e−n t + 2
n=−∞
Fn −n2 t (1 − e ) e−inx . n2
Del teorema sopra ricordato circa la derivazione delle serie di funzioni anticipiamo una versione “avanzata” pi`u generale, che verr`a precisata pi`u avanti: v. § 2.28; in breve: la possibilit`a di derivare termine a termine una serie di funzioni e` ancora garantita se la serie delle derivate e` convergente in senso L2 . Una importante conseguenza e` , per esempio, che se si ha una serie di Fourier del tipo f (x) = ∑ an e−i n x
con
n
|an | ≤
c |n|α
e α > k + 12
almeno per “grandi” n, |n| > n0 , dove c e` una costante e k un intero, allora f e` derivabile k volte con derivata in L2 , ma la k-esima derivata potr`a essere non continua. (Ovviamente un risultato analogo vale per sviluppi rispetto a set completi costituiti da funzioni come cos nx e/o sin nx).
2.16 Trasformazioni lineari La definizione di trasformazione (od operatore) lineare T fra due spazi di Hilbert H ed H
T : H → H
e` , almeno al principio, del tutto ovvia e simile al caso degli operatori fra spazi a dimensione finita: T (α x + β y) = α T (x) + β T (y) ;
α, β ∈ C ,
x, y ∈ H .
In realt`a si vedr`a immediatamente che la dimensione infinita produce notevoli (forse non inattese) differenze e – naturalmente – qualche difficolt`a. La prima “sorpresa” viene quando si osserva che – a differenza di quanto avviene in dimensione finita – pu`o succedere che non sia semplice definire una trasformazione lineare su tutti i vettori dello spazio. Ad esempio se H = L2 (I) = H e T e` l’operatore di derivazione d/dx , e` chiaro che T non pu`o essere definito su tutto 2 H poich´e non tutte le funzioni di e inoltre H sono derivabili, non sempre f ∈ L √ 2 2 implica che anche d f /dx ∈ L p.es., f = x in L (0, 1) . Ma l’aspetto forse pi`u sorprendente di questa particolarit`a consiste nel fatto che pu`o capitare che la trasformazione T sia in realt`a perfettamente definita su tutti i vettori di un sistema completo dello spazio (questo avviene, per esempio, proprio per l’operatore d/dx considerato sopra, che e` certamente definito su tutti i sistemi completi visti finora negli spazi L2 ) senza che questo permetta di estenderne la definizione a tutti gli altri vettori. Anche questa e` una notevole differenza rispetto al caso della dimensione
2.17 Continuit`a, limitatezza e norma di un operatore. Estensione per continuit`a
63
finita, dove era sufficiente definire una trasformazione sui vettori di base per poterla poi estendere “per linearit`a” a tutti i vettori. Per capire meglio questo fatto consideriamo quest’altro esempio: sia H = H e (n) {e } un sistema ortonormale completo in H, sia T l’operatore cos`ı definito 11 T e(n) = n e(n) ,
n = 1, 2, · · ·
(2.46)
Sia x il vettore, appartenente ad H, le cui componenti di Fourier rispetto ad {e(n) } sono date da an = 1/n (la successione {an = 1/n} ∈ 2 ), cio`e x=
∞
∑
n=1
1 (n) e . n
Grazie alla linearit`a dell’operatore T si pu`o immediatamente calcolare come T trasforma tutte le somme parziali finite di tale serie: T
N
∑
n=1
N N 1 (n) 1 = ∑ T e(n) = ∑ e(n) , e n n=1 n n=1
ma si vede che, mentre – da un lato – la successione delle somme parziali tende al vettore x, dall’altro la successione delle loro trasformate sotto l’operatore T non converge, e quindi non d`a la possibilit`a di estendere ad x la definizione della trasformazione T . Nel prossimo paragrafo analizzeremo meglio questa situazione. L’insieme dei vettori su cui e` definita una trasformazione lineare T costituisce un sottospazio vettoriale dello spazio H; tale sottospazio D si chiama dominio di T . Gli esempi mostrati ora indicano casi in cui D = H ; naturalmente in altri casi si potr`a avere D = H , come vedremo su molti esempi. Si chiama invece immagine o codominio o range di T il sottospazio D di H costituito da tutti i vettori “trasformati” T x . Come avviene per il dominio, pu`o anche avvenire che l’immagine di un operatore T contenga tutti i vettori di un set completo, e tuttavia non coincida con l’intero spazio: p.es. l’immagine dell’operatore di H in s´e definito da T e(n) = e(n) /n (n = 1, 2, . . .) contiene tutti gli {en } ma non contiene il vettore y = ∑ e(n) /n (infatti . . .).
2.17 Continuit`a, limitatezza e norma di un operatore. Estensione per continuit`a E` innanzitutto chiaro che, in dimensione finita, se si fa tendere a zero un vettore x, facendone tendere a zero le sue componenti, anche il vettore T x , qualunque sia la trasformazione lineare (cio`e la matrice) T , tende a zero. La stessa cosa per`o non e` in generale vera in dimensione infinita, cio`e se x → 0 (nel senso della norma: 11 In meccanica quantistica l’operatore “energia” dell’oscillatore armonico e ` un operatore di questo tipo, v. i §§ 2.23(1) e 6.15.
64
Spazi di Hilbert
x → 0 ) non e` detto che T x → 0 . Ad esempio, se e(n) e` il set canonico (2.45) nello spazio 2 , la successione di vettori x(n) = e(n) /n tende evidentemente a zero per n → ∞, poich´e x(n) = 1/n , mentre se prendiamo come trasformazione T l’operatore T e(n) = n e(n) considerato nel paragrafo precedente, la successione T x(n) = e(n) non tende a zero, anzi non e` convergente (non e` di Cauchy). Una trasformazione lineare T si dice continua in x0 (x0 ∈ D) se x → x0 cio`e x − x0 → 0 ⇒ T x → T x0
cio`e
T x − T x0 → 0
(dove naturalmente x ∈ D). E` assai utile notare che, in realt`a, affinch´e una trasformazione lineare T sia continua ovunque e` sufficiente che essa sia continua in un punto, ad esempio nello zero, cio`e e` sufficiente verificare che x→0
⇒
T x → 0.
Infatti, se x e x0 sono elementi qualsiasi del dominio D e x → x0 , si ha (x − x0 ) → 0 e quindi, se T e` continua nello zero, anche T x − T x0 = T (x − x0 ) → 0 . Vale la pena di notare che il concetto di continuit`a di una trasformazione e` fondato sul concetto di “intorno” (e cio`e di “vicinanza”: una trasformazione e` continua se trasforma elementi “vicini” in elementi “vicini”). Come sappiamo, nel nostro caso e` proprio la norma che fornisce questa struttura “topologica” allo spazio. Oltre all’esempio dato all’inizio di questo paragrafo, anche l’operatore d/dx non e` continuo: la successione in L2 (0, π) (v. anche il § 2.15) fn = 1n sin nx → 0 in norma L2 per n → ∞, ma T fn non e` convergente. Il concetto di continuit`a di un operatore e` importante in relazione alla questione vista nel paragrafo precedente. Infatti, sappiamo che ogni vettore x e` il limite della successione delle somme parziali della sua serie di Fourier rispetto ad un dato sistema completo e(n) : xn =
n
∑ ak e(k) ,
xn → x .
k=1
Allora, se T e` un operatore continuo, sar`a anche T xn → T x e, in questo caso, si potr`a scrivere ∞ ∞ (2.47) T x = T ∑ ak e(k) = ∑ ak T e(k) . k=1
k=1
Dimostreremo alla fine di questo paragrafo che la continuit`a di un operatore T e` equivalente ad un’altra importante propriet`a, che viene detta limitatezza di T e che e` in genere pi`u facilmente verificabile, come si vedr`a presto; tale propriet`a si definisce come segue. Un operatore lineare T si dice limitato se la quantit`a T x / x al variare di x nel dominio D di T si mantiene limitata, ovvero – in altre parole – se sup x∈D
T x = K < +∞ x
(2.48)
2.17 Continuit`a, limitatezza e norma di un operatore. Estensione per continuit`a
65
va ovviamente escluso in questo rapporto il caso x = 0; ricordare che T (0) = 0, infatti T (0) = T (x − x) = T (x) − T (x) = 0 . Se un operatore T e` limitato, la quantit`a finita K definita dalla (2.48) si chiama norma di T e si indica con T : si vede subito infatti che si tratta di una vera norma, nel senso che tale definizione, applicata allo spazio vettoriale L (H) degli operatori lineari limitati di H, verifica le condizioni assegnate nel § 2.6. Molti esempi verranno visti nel seguito. Naturalmente, per ogni vettore x ∈ H, vale la maggiorazione T x ≤ T x .
(2.49)
Qualche esempio di calcolo della norma di un operatore (altri esempi saranno incontrati pi`u avanti): i) Se T e` l’operatore di traslazione in L2 (R) definito da T f (x) = f (x − a), dove a e` un numero reale, si ha T f = f (x − a) = f (x) , ∀ f (x) ∈ L2 (R). Dunque T = 1. ii) Sia en (n = 1, 2, . . .) un set ortonormale completo e T l’operatore cos`ı definito sui vettori x = ∑n an en : Tx =
∞
∑ a2n en = a2 e1 + a4 e2 + . . .
n=1
Si ha subito T x ≤ x ; questo implica T ≤ 1, ma prendendo p. es. x$ = e2 si ha T x$ = $ x , dunque T = 1. iii) Se T e` definito in 2 da T (a) = (a1 /2, 0, a3 /3, 0, . . . , a2n−1 /(n + 1), 0, . . .) dove a = (a1 , a2 , . . .), si ha T (a) 2 = (|a1 |2 /4 + |a3 |2 /9 + . . .) ≤ (1/4)(|a1 |2 + |a3 |2 + . . .) ≤ a 2 /4 x , dunque da cui T ≤ 1/2. Ma prendendo p. es. x$ = e1 si ha T x$ = (1/2) $ T = 1/2. In questi esempi, la norma e` stata ottenuta come “max”, infatti si e` sempre trovato un vettore x$ tale che T x$ / $ x = T . Ma ecco un esempio in cui la norma si ottiene veramente come “sup”. iv) Si consideri in L2 (0, a) l’operatore T f (x) = x f (x) si ha: T f 2 =
a 0
x2 | f (x)|2 dx ≤ a2
a 0
(2.50)
| f (x)|2 dx = a2 f 2 .
Dunque T ≤ a. Per avere una f$ tale che T f$ a f$ occorre prendere una f$ con supporto il pi`u possibile vicino al punto x = a non si pu`o prendere una f$ con supporto nel solo punto x = a: questa sarebbe (equivalente a) la funzione nulla! ;
66
Spazi di Hilbert
occorre dunque prendere una famiglia di funzioni del tipo 0 per 0 < x < a − ε fε (x) = 1 per a − ε < x < a e si pu`o verificare in questo modo che T fε / fε → a per ε → 0. Lo stesso operatore (2.50) e` invece non limitato in L2 (R), e ha dominio denso in 2 L (R) ma non coincidente con l’intero L2 (R), infatti . . . . v) Pi`u in generale, per gli “operatori di moltiplicazione” T f (x) = h(x) f (x) con f (x) ∈ L2 (I) e dove h = h(x) e` una funzione assegnata, si ha T = supx∈I |h(x)|, infatti T f 2 = |h(x) f (x)|2 dx ≤ sup |h(x)|2 f 2 I
x∈I
e dunque Analogamente, T e` non limitato se supx∈I |h(x)| = +∞. P.es., T f = (1/x) f e` non limitato (ma ha dominio denso, infatti . . .) in L2 (0, 1), mentre T = 1 in L2 (1, +∞) . vi) L’operatore d/dx e` non limitato: basta ricordare che non e` continuo, oppure, osservare che, p.es. in L2 (0, π), si ha (d/dx)(sin nx) / sin nx = n. Torniamo ora al caso in cui un operatore lineare viene definito soltanto sugli elementi di un set ortonormale completo {e(n) } di uno spazio H, e si vuole vedere se e` possibile estenderne la definizione a tutto lo spazio. Come gi`a detto, se H avesse dimensione finita, l’operatore risulterebbe automaticamente definito su tutti i vettori dello spazio. In caso contrario, invece, utilizzando la linearit`a dell’operatore, possiamo intanto definirlo certamente sull’insieme (denso!) F delle combinazioni lineari finite degli e(n) . Si pu`o ora procedere “a vista”, controllando direttamente se, presa una qualsiasi successione di vettori {xn } ⊂ F , la successione T xn e` tale che il rapporto T xn / xn si mantiene limitato. Pi`u formalmente, si calcola l’estremo superiore T x sup x∈F x . . . 12 .
come nella (2.48), ma ora restringendosi ai soli vettori del sottoinsieme F; se tale estremo superiore e` finito, e sia KF , allora se ne pu`o concludere che T si pu`o prolungare (o estendere) “per continuit`a” su tutti gli elementi di H. Infatti, se x e` un elemento qualsiasi in H (e ∈ / F), c’`e senz’altro una successione di vettori xn ∈ F che tende in norma ad x (per esempio la successione delle “troncate” della serie di Fourier di x rispetto al set {e(n) }): basta ora osservare che la successione T xn e` una successione di Cauchy, infatti T xn − T xm = T (xn − xm ) ≤ KF xn − xm essendo pure di Cauchy la successione xn in quanto convergente. Se ne conclude (per la completezza dello spazio di Hilbert) che anche la T xn deve essere convergente Si noti che qui non e` possibile usare la disuguaglianza di Schwarz, perch´e n´e |h(x)|2 n´e | f (x)|2 sono 2 in generale funzioni L2 . E non e` vero che I |h f |2 dx ≤ I h f dx !
12
2.18 Una applicazione concernente il problema della corda elastica.
67
e il vettore limite y di tale successione si prende come definizione del “trasformato” T x del vettore x: T xn → y := T (x) . In questo modo l’operatore T risulta definito su tutto H, e si potrebbe pure dimostrare che, se si approssima il vettore x con qualsiasi altra successione zn → x , si otterrebbe lo stesso risultato, cio`e anche T zn → y (quindi la definizione di T x non dipende dalla successione scelta per approssimare x). In altre parole, l’operatore cos`ı prolungato risulta continuo e, in particolare, il vettore T x pu`o essere calcolato mediante la formula (2.47), dove gli ak sono ovviamente i coefficienti di Fourier di x rispetto al set {e(k) } . Inoltre si ha che l’operatore prolungato su tutto H ha ancora norma KF : T x T x sup = sup = T . x∈F x x∈H x Dimostriamo ora: Teorema . Continuit`a e limitatezza di un operatore lineare sono propriet`a equivalenti. Dimostrazione. (i) Sia T continuo. Supponiamo, per assurdo, che non sia limitato: allora, per ogni numero n, si potrebbe trovare un vettore xn tale che T xn > n xn . Si consideri ora la successione yn =
xn · n xn
Poich´e yn → 0 , dovrebbe anche essere Tyn → 0 – essendo T continuo – mentre la precedente disuguaglianza d`a Tyn =
1 T xn > 1 . n xn
(ii) Se T e` limitato, si ha T x − T x0 = T (x − x0 ) ≤ T x − x0 → 0 e quindi T e` continuo.
2.18 Una applicazione concernente il problema della corda elastica. Come semplice applicazione di quanto visto nei precedenti paragrafi, studiamo il problema dell’evoluzione temporale di una corda elastica mantenuta ad estremi fissi.
68
Spazi di Hilbert
Supponiamo che nelle condizioni iniziali sia g=
∂ u =0 ∂t t=0
mentre f (x) = u(x, 0) sia una funzione generica (ovviamente, come gi`a detto, f ∈ L2 ; le notazioni sono quelle del § 2.4). Supponiamo per`o – per pura comodit`a – che ora la corda abbia lunghezza 2 L e abbia gli estremi in x = ±L . Detto I l’intervallo (−L, L) , si tratta, come si e` gi`a visto, di sviluppare la funzione f ∈ L2 (I) in serie di Fourier rispetto al sistema ortonormale completo costituito dalle “onde stazionarie”, che in questo caso ha la forma vn (x) data nella (2.40): u(x, 0) = f (x) =
∞
∑ an vn (x) = ∑
n=1
αn cos
n dispari
π n π n x + ∑ βn sin x . 2L 2L n pari
Prima di cercare l’evoluzione temporale di questa configurazione, consideriamo l’operatore lineare T di L2 (I) in se stesso cos`ı definito: T f (x) = − f (−x) . E` immediato provare che T e` limitato (anzi: T = 1 ) e quindi continuo, e pertanto e` valida la relazione (2.47), che ora diventa T f (x) =
∞
∑ an T
vn (x) =
n=1
=
∑
(−αn ) cos
n dispari
π n π n ∞ x + ∑ βn sin x = ∑ (−1)n an vn (x) . 2L 2L n=1 n pari
Tornando al problema precedente, l’evoluzione temporale dell’onda risulta π n π n u(x,t) = ∑ αn cos x cos(ωn t) + ∑ βn sin x cos(ωn t) 2L 2L n dispari n pari dove ωn = π n v/2L . Si pu`o concludere allora, per esempio, che negli istanti t = 2L/v, 6L/v, · · · si ha u(x,t) = − f (−x) .
2.19 Operatore aggiunto. Operatori unitari. Proiettori (a) Operatore aggiunto La definizione dell’operatore aggiunto T + di un operatore lineare T e` formalmente identica a quella introdotta in dimensione finita tramite la (1.12 ): dato l’operatore T : H → H , si dice trasformazione aggiunta (o semplicemente aggiunto)
2.19 Operatore aggiunto. Operatori unitari. Proiettori
l’operatore
69
T + : H → H
(indicato anche con T † ) tale che, per ogni x, y nel rispettivo dominio, si ha (y , T x) = (T + y , x) .
(2.51)
Rinviando al § 2.27 per una discussione pi`u completa, ci limitiamo qui a dire che, se l’operatore T e` limitato, allora il suo aggiunto esiste sempre ed e` anch’esso un operatore lineare e limitato, anzi si ha T = T + , infatti T + x 2 = (T + x, T + x) = (x, T T + x) ≤ x T T + x avendo usato la disuguaglianza di Schwarz e la limitatezza di T ; se ne ricava T + x ≤ T x , dunque T + e` limitato e T + ≤ T . Scambiando i ruoli di T e T + si arriva al risultato. Si ha inoltre che il dominio di T + coincide con tutto H . Si verifica anche immediatamente che (T + )+ = T
(T S)+ = S+ T +
e
dove T ed S sono due qualsiasi operatori limitati. Scegliendo ora per semplicit`a H = H , e preso un set ortonormale completo {en } in H, i prodotti scalari (ei , T e j ) = Ti j si chiamano, come in dimensione finita, elementi di matrice dell’operatore T . Da notare per inciso che – utilizzando gli elementi Ti j e almeno nel caso che T sia limitato – si pu`o generalizzare alla dimensione infinita la (1.10): posto x = T x, le componenti xi del vettore “trasformato” x
si possono infatti esprimere tramite le componenti xi di x nella forma xi =
∞
∑ Ti j x j .
j=1
Per quanto riguarda l’operatore aggiunto T + , si verifica subito che si ha come nella (1.12) (T + )i j = (ei , T + e j ) = (T ei , e j ) = (e j , T ei )∗ = T ji∗ . Maggiore cautela e` richiesta invece se T non e` limitato, soprattutto per quanto riguarda la determinazione del dominio D dell’aggiunto T + (v. anche il § 2.27); in ogni caso, comunque, la propriet`a caratterizzante e` ancora la (2.51). Per esempio, si vuole trovare l’aggiunto dell’operatore di derivazione T = d/dx in L2 (α, β ): si ha intanto (naturalmente nel sottinsieme delle funzione derivabili con derivata in L2 ) dg β % &β β ∗ % & df = ( f , T g) = f , f ∗ g dx = f ∗ g α − f g dx = · · · + − ,g ; dx dx α α % & occorre dunque eliminare il termine · · · , che non pu`o essere messo nella forma di prodotto scalare (h, g). Per esempio si pu`o chiedere che il dominio di T sia costituito
70
Spazi di Hilbert
dalle funzioni derivabili che si annullano agli estremi α, β : allora il dominio di T + e` dato dalle funzioni derivabili limitate agli estremi. Ma si pu`o invece chiedere che il dominio di T e quello di T + siano dati entrambi dalle funzioni derivabili che soddisfano le condizioni di periodicit`a agli estremi, cio`e f (α) = f (β ) (si noti che tutti questi domini sono densi in L2 ). Restringendosi a quest’ultimo dominio, che indicheremo con D0 , si pu`o allora dire che in D0 si ha T + = −T . Se poi si considera l’operatore 13 T =i
d dx
(2.52)
ne segue che in D0 sussiste l’identit`a ( f , T g) = (T f , g)
∀ f , g ∈ D0 .
(2.53)
Un operatore T per il quale si pu`o trovare un opportuno dominio D0 , denso in H, contenuto nel dominio di T , in cui e` soddisfatta la (2.53), si dice simmetrico o hermitiano (in D0 ). Se poi avviene che il dominio D di un operatore T coincide con il dominio D di + T e che in tale dominio vale la (2.53), allora si scrive T = T+
(2.54)
e si dice che T e` autoaggiunto . E` chiaro allora che la (2.53) e` in generale un po’ pi`u debole della (2.54); esse sono equivalenti se T e` continuo: in tal caso infatti e` D = H. Si pu`o dire tuttavia che, per esempio, l’operatore (2.52) “si comporta come autoaggiunto” nel dominio D0 sopra definito 14 . Si pu`o anche dimostrare che un operatore hermitiano il cui dominio e` l’intero spazio di Hilbert H e` limitato. (b) Trasformazioni unitarie Sia U : H → H ; la propriet`a caratteristica di conservare i prodotti scalari: (U x,U y) = (x, y)
(2.55)
che si pu`o anche scrivere U + U = I , ora, in dimensione infinita, non e` pi`u sufficiente a garantire l’invertibilit`a dell’operatore U. Precisamente, la (2.55) assicura (oltre alla limitatezza dell’operatore, anzi U = 1 ) soltanto l’iniettivit`a di U, infatti Ux =Uy
⇒
0 = U(x − y) = x − y
⇒
x=y ma non la sua surgettivit`a per un esempio, v. pi`u sotto la (2.57) . Aggiungendo alla (2.55) l’ulteriore condizione (che, in dimensione finita, e` automaticamente verificata, v. § 1.4) ImmU = H (2.56)
E` proporzionale all’operatore “impulso” o “quantit`a di moto” in meccanica quantistica. Per maggiori dettagli, v. per esempio i testi di Abbati e Cirelli [23], di Akhiezer e Glazman [27], di Reed e Simon [19], o di Yoshida [31]. 13 14
2.19 Operatore aggiunto. Operatori unitari. Proiettori
71
(dove ImmU indica l’immagine di U), allora U risulta anche surgettivo e dunque invertibile, e si ricava – come in dimensione finita – U −1 = U + . Riassumendo, un operatore si dice unitario se soddisfa entrambe le (2.55-56). E` anche utile osservare che la (2.55) pu`o essere sostituita dalla condizione pi`u “debole” della sola conservazione delle norme: (2.55 )
Ux = x ;
infatti si prova facilmente che, grazie alla linearit`a di U, la (2.55 ) implica la (2.55). Come gi`a detto, la sola condizione (2.55), non e` sufficiente a garantire la surgettivit`a (e dunque l’unitariet`a): basta considerare, per esempio, l’operatore lineare, detto anche “operatore di salita”, definito da T en = en+1 ,
n = 1, 2, 3, · · ·
(2.57)
dove en e` un set ortonormale completo. Questo operatore soddisfa la (2.55), dunque conserva i prodotti scalari ed e` iniettivo (il suo nucleo e` infatti Ker(T ) = {0} ), ma non e` surgettivo. Da notare che l’aggiunto di T , che e` T + en = en−1
se
n > 1,
e T + e1 = 0
(2.57 )
(operatore “di discesa”) e` invece surgettivo ma non iniettivo (il suo nucleo e` unidimensionale, Ker(T ) = {α e1 }, α ∈ C ) e T + T = I ma T T + = I ; si ha anche T = T + = 1. Sono, per esempio, unitari lo stesso operatore (2.57) se n = 0, ±1, ±2, · · · , oppure gli operatori di traslazione Ua : f (x) → g(x) = f (x − a) in L2 (R), o la trasformazione considerata nel § 2.18. Una propriet`a caratteristica degli operatori unitari, che e` semplice controllare, e` quella di trasformare set ortonormali completi in set ancora ortonormali completi. In altre parole, gli operatori unitari possono essere visti come “cambiamenti di base” che ne conservano l’ortonormalit`a. Esattamente come in dimensione finita (v. il § 1.4), ci si pu`o chiedere come si trasforma un generico operatore T passando alla nuova base: il diagramma (1.16) e la (1.16 ) sono ancora validi, dunque si ha T = UTU + . Da qui segue, in particolare, che se A e` l’aggiunto di T , allora A = UTU + e` l’aggiunto di T ; se T e` simmetrico in un dominio D0 , allora T e` simmetrico nel dominio U D0 dei vettori trasformati Ux (con x ∈ D0 ). Se T e` un proiettore v. il prossimo punto (c) che proietta su un sottospazio H1 , anche T lo e` e proietta sul sottospazio trasformato U H1 . Pi`u in generale, se S e` un operatore invertibile si pu`o considerare la trasforma zione T → T
= ST S−1 . Una trasformazione di questo tipo v. ancora il § 1.4) non conserva l’ortonormalit`a delle basi, n´e p.es. le propriet`a di autoaggiunzione degli
72
Spazi di Hilbert
operatori. Tuttavia, se T ammette un autovettore x con autovalore λ (v. il prossimo paragrafo), allora T
ammette l’autovettore Sx con autovalore λ . Se T soddisfa un’equazione algebrica an T n + . . . + a0 I = 0, anche T
soddisfa la stessa equazione. (c) Proiettori Sia V1 un sottospazio vettoriale di H: se V1 e` denso in H, allora chiaramente non (o esiste in H alcun vettore ortogonale a tutti i vettori x1 ∈ V1 e il completamento 2 (I) e V e ` esempio, questo avviene se H = L chiusura) V1 di V1 coincide con H per 1 il sottospazio delle funzioni continue . Se invece V1 non e` denso, si considerino tutti i vettori x2 ∈ H ortogonali a tutti gli x1 ∈ V1 : e` facile verificare che l’insieme di tali vettori x2 forma un sottospazio di Hilbert cio`e e` anche automaticamente completo (o chiuso): basta applicare la continuit`a del prodotto scalare, v. la (2.37), infatti . . . . Si indichi con H2 tale sottospazio. Se V1 non era un sottospazio di Hilbert (cio`e non era completo), sia H1 = V1 il suo completamento (o chiusura): H1 risulta costituito da tutti i vettori ortogonali agli x2 ∈ H2 , dunque H1 e H2 sono due spazi di Hilbert ortogonali e “complementari”. Si scrive allora H come somma diretta H = H1 ⊕ H2
(2.58)
e si dice che H2 e` il complemento ortogonale di H1 (si scrive anche H2 = H1⊥ , e naturalmente pure H1 = H2⊥ ). Si pu`o ora dimostrare che per ogni vettore x ∈ H e` sempre possibile eseguire, in modo unico, la decomposizione, esattamente come in dimensione finita (cfr. § 1.8) x = x1 + x2 ;
x1 ∈ H1 ,
x2 ∈ H2 .
(2.59)
Ad esempio, se si sceglie in H un set ortonormale completo in modo che una parte dei suoi elementi {en } sia un set completo per H1 e la rimanente {en
} sia un set completo per H2 , allora {en } ∪ {en
} e` set completo per H, le componenti (en , x) sono le componenti di Fourier di x1 , e le componenti (en
, x) sono quelle di x2 . Ed e` anche facile dimostrare che la decomposizione (2.59) e` unica, infatti se fosse x = x1 + x2 = x1 + x2 si otterrebbe x1 − x1 + x2 − x2 = 0 da cui 0 = (x1 − x1 , x1 − x1 + x2 − x2 ) = x1 − x1 2 . Una volta eseguita la decomposizione (2.59), e` naturale definire gli operatori di proiezione (o proiettori): P1 x = x1 ,
P2 x = x2
e P1 + P2 = I ,
P1 P2 = P2 P1 = 0 .
(2.60)
E` immediato vedere che si tratta di operatori lineari, che ogni proiettore e` continuo (anzi e` P = 1 ), e inoltre valgono le propriet`a P+ = P ,
P2 = P .
(2.61)
E` facile anche verificare che un operatore definito su tutto H e` un proiettore se e solo se soddisfa le (2.61). I proiettori qui definiti si chiamano pi`u propriamente proiettori
2.20 Autovalori ed autovettori. Spettro di un operatore
73
ortogonali sono proiettori “obliqui” quelli che soddisfano soltanto la seconda delle (2.61) . Ad esempio, se I = (−L, L) , lo spazio H = L2 (I) e` somma diretta dei due sottospazi H1 = L2p (I) e H2 = Ld2 (I) costituiti rispettivamente dalle funzioni pari e dispari; un set completo in H1 = L2p (I) e` dato dalle funzioni 1 , cos (nπ x/L), uno in H2 = Ld2 (I) dalle funzioni sin (nπ x/L). Una utile e semplice propriet`a dei proiettori: se P e P
sono due proiettori su due sottospazi rispettivamente H e H
, si ha che P + P
e` un proiettore se e solo se P P
= P
P = 0, ovvero se H e H
sono ortogonali: (x , x
) = 0, ∀x ∈ H , x
∈ H
. Naturalmente, se questa ipotesi e` soddisfatta, P + P
proietta sul sottospazio H ⊕ H
.
2.20 Autovalori ed autovettori. Spettro di un operatore Sia T : H → H. L’equazione agli autovalori si imposta esattamente come in dimensione finita: si tratta cio`e di trovare soluzioni non nulle x ∈ D dell’equazione T x = λ x;
λ ∈ C,
x = 0 .
(2.62)
La situazione ora e` per`o totalmente diversa: nulla infatti si pu`o dire, in generale, circa l’esistenza di autovettori di un operatore in dimensione infinita. Questa difficolt`a non dipende dall’eventualit`a che l’operatore sia o no limitato. Ecco alcuni esempi significativi; v. pi`u avanti per altri esempi: i) L’operatore (2.57) e` limitato (estendibile per continuit`a) e T = 1. L’equazione agli autovalori, con x = ∑n an en , e` Tx =
∑ an en+1 = a1 e2 + a2 e3 + . . . = λ (a1 e1 + a2 e2 + . . .)
da cui si ottiene un sistema di infinite equazioni 0 = λ a1 , a1 = λ a2 , . . . che ammette la sola soluzione x = 0. ii) Per l’operatore (2.57 ) invece, le analoghe equazioni danno il sorprendente risultato che c’`e un autovettore per ogni λ tale che |λ | < 1. iii) Lo stesso operatore (2.57) ma ora con n = 0, ±1, ±2, . . .: si vede facilmente che non ha autovettori si ricordi sempre che deve essere ∑n |an |2 < ∞ !). iv) Nemmeno l’operatore (unitario) di traslazione T : f (x) → f (x − a) in L2 (R) , a ∈ R , ammette alcuna autofunzione: infatti, osservando che T f = f , si ha che gli eventuali autovalori λ devono soddisfare |λ | = 1 , ne segue che le autofunzioni di T dovrebbero soddisfare | f (x − a)| = | f (x)| ; ma questo implica che | f (x)| e` una funzione periodica e dunque f ∈ / L2 (R) . v) Anche l’operatore di moltiplicazione (2.50) non ha autofunzioni: infatti, l’equazione (x − λ ) f (x) = 0 e` risolta solo da funzioni f (x) diverse da zero solo al pi`u in un punto, dunque . . . , indipendentemente dal fatto che I sia o no un in-
74
Spazi di Hilbert
tervallo finito (ma v. i §§ 4.12, 5.4, 5.6). Pi`u in generale, un operatore di moltiplicazione T f (x) = h(x) f (x) ammette autofunzioni se la funzione h(x) e` costante in qualche sottointervallo: le autofunzioni sono le funzioni con supporto in questo sottointervallo. vi) Si pu`o trovare una “realizzazione” concreta dell’operatore assegnato nell’esempio iii): scegliendo H = L2 (0, 2π) e en = e−inx , l’operatore diventa T en = e−ix en , e dunque semplicemente T f (x) = e−ix f (x) su tutte le f (x) ∈ L2 (0, 2π). Ovviamente l’equazione agli autovalori T f = λ f non ha soluzioni, confermando il risultato visto in iii). vii) L’operatore definito da T x = v(w, x), dove v , w ∈ H sono due vettori fissati, ammette l’autovalore λ = 0 con autovettori tutti i vettori x ortogonali a w, e l’autovalore λ = (w, v) con autovettore x = v. Se v = w e v = 1, T e` il proiettore sul sottospazio unidimensionale generato da v. viii) Ogni operatore di proiezione § 2.19(c) ammette ovviamente un set completo di autovettori (i vettori indicati con {e n } ed {e
n }, rispettivamente con autovalori 1 e 0). Anche un operatore lineare T cos`ı definito su un set ortonormale completo {en } Ten = cn en
(2.63)
dove cn e` una qualsiasi successione di numeri complessi, possiede un set ortonor male completo di autovettori gli {en } stessi , con autovalori λn = cn che possono essere o no degeneri a seconda di come sono scelti i numeri cn . Si ha anche T = supn |cn | e dunque T pu`o essere o no limitato a seconda di come sono scelti i numeri cn . Sussiste comunque il seguente (semplice ma importante): Teorema . Se T e` simmetrico e se possiede qualche autovettore, si ha che: (i) suoi autovalori sono reali; (ii) autovettori relativi ad autovalori diversi sono ortogonali. Dimostrazione. (i) Sia T x = λ x, allora λ (x, x) = (x, T x) = (T x, x) = λ ∗ (x, x), essendo T simmetrico, quindi λ = λ ∗ . (ii) Siano λ1 e λ2 due autovalori diversi: T x1 = λ1 x1 , T x2 = λ2 x2 . Allora (x2 , T x1 ) = λ1 (x2 , x1 ) ,
(T x2 , x1 ) = λ2 (x2 , x1 ) ;
ma (T x2 , x1 ) = (x2 , T x1 ), quindi, sottraendo membro a membro: (λ1 − λ2 )(x2 , x1 ) = 0 da cui (x2 , x1 ) = 0, essendo λ1 = λ2 .
Naturalmente questa dimostrazione poteva essere data anche nel caso di operatore T hermitiano in spazi a dimensione finita. La dimostrazione data nel § 1.6 era stata in quel caso preferita perch´e aveva permesso di giungere alla ulteriore conclusione, valida in dimensione finita, che gli autovettori formano una base per lo spazio. Un altro esempio gi`a incontrato di operatore (in dimensione infinita) che possiede un set completo di autofunzioni e` dato dall’operatore T = d 2 /dx2 con la condizione di annullamento agli estremi dell’intervallo: il set delle sue autofunzioni
2.20 Autovalori ed autovettori. Spettro di un operatore
75
{ sin nπx/L } e` infatti completo in L2 (0, L) ovvero il set (2.40) in L2 (−L, L) . Gli insiemi (2.11) e (2.39) sono autofunzioni di T scegliendo invece la condizione di periodicit`a agli estremi, cio`e: f (−L) = f (L), f (−L) = f (L) e sono set completi in L2 (−L, L) . Si noti pure che – come si verifica facilmente – l’operatore d 2 /dx2 risulta simmetrico sia nel dominio delle funzioni che si annullano agli estremi, sia scegliendo le condizioni di periodicit`a. Ma si tratta comunque di operatori diversi: p.es., se si vuole risolvere l’equazione f
= g in L2 (0, π) (dove g(x) e` data e f (x) e` l’incognita) con condizioni di annullamento agli estremi, un set completo appropriato sar`a {sin n x}; sviluppando f e g in serie di Fourier si trova f
=
∞
∑ (−n2 fn ) sin n x
n=1
∞
=
∑ gn sin n x
= g(x)
n=1
e si vede che la soluzione f (x) esiste unica, con coefficienti fn = −gn /n2 , per ogni g(x). Invece, considerando lo stesso problema, nello stesso spazio, ma con condizioni di periodicit`a agli estremi 0 e π, un set completo appropriato e` {e−2inx }; sviluppando si ha f
= 4
∞
∑
(−n2 fn ) e−2inx =
n=−∞
∞
∑
gn e−2inx = g(x)
n=−∞
ma ora il problema ha soluzione soltanto se g0 = 0 (dovendo essere −4n2 fn = gn , n = 0, ±1, ±2, . . .), e la soluzione, quando esiste, non e` unica, ma e` data a meno di una costante additiva f0 . Una utile osservazione pu`o essere la seguente: sia T = −d 2 /dx2 in L2 (0, π) con condizioni di annullamento agli estremi x = 0 e x = π. L’equazione del calore (§ 2.5) pu`o essere scritta come du = Tu , dt
u = u(x,t)
e si vede che la soluzione (2.18 ) e` esattamente l’equivalente “infinito-dimensionale” dell’evoluzione temporale trovata nel § 1.7 per i sistemi dinamici a dimensione finita, e precisamente della (1.24 ): le autofunzioni {sin nx} (set completo!) di T prendono il posto degli autovettori c(k) della matrice A nella (1.23 ), e la condizione iniziale u(x, 0) si sviluppa come nella (1.24). Enunceremo nel prossimo paragrafo un teorema che fornisce una classe di operatori con propriet`a simili all’operatore d 2 /dx2 e nel § 2.30 vedremo un’altra speciale classe di operatori che ammette un set ortonormale completo di autovettori. Altri risultati utili sono i seguenti. (1) Se un operatore T soddisfa un’equazione algebrica (dove I e` l’operatore identit`a) P(T ) = an T n + · · · + a0 I = 0
76
Spazi di Hilbert
si vede facilmente che i suoi autovalori λ sono le soluzioni dell’equazione P(λ ) = 0 . Inoltre T possiede effettivamente autovettori: infatti, detta λ1 una soluzione di P(λ ) = 0 , si ha P(T ) = (T − λ1 ) Q(T ) = 0 e dunque, per qualsiasi v ∈ H , si ha (T − λ1 ) Q(T ) v = 0 ; allora, se v e` tale che Q(T )v = 0 , si deduce che w := Q(T )v e` autovettore di T con autovalore λ1 ; se invece Q(T ) v = 0, il problema si riconduce ad un’equazione di grado n − 1. (2) Se T ed S sono due operatori tali che T S = S T , e T ha un autovalore λ , allora il sottospazio Vλ dei corrispondenti autovettori e` un sottospazio invariante sotto S, cio`e S|Vλ : Vλ → Vλ , infatti, per ogni vλ ∈ Vλ (cfr. con § 1.6), T S vλ = S T vλ = λ S vλ
⇒
S vλ ∈ Vλ .
Se, in particolare, λ e` non degenere, ne segue che vλ e` anche autovettore di S. Se invece Vλ ha dimensione finita, allora per la restrizione S|Vλ valgono i teoremi per le matrici (a dimensione finita), e dunque se, per esempio, tale restrizione e` una matrice normale allora esiste in Vλ una base di autovettori anche per S, etc. Una estensione del concetto di autovalore e` quella di spettro di un operatore: un numero (reale o complesso) σ si dice che appartiene allo spettro dell’operatore T se l’operatore (T − σ I) non ammette inverso limitato: cio`e se non e` invertibile, oppure se ammette un inverso non limitato. Anzitutto, se σ e` un autovalore di T , si ha che T − σ I non e` iniettivo e dunque non invertibile; ne segue che ogni autovalore di un operatore appartiene al suo spettro. Se si considera p.es. l’operatore lineare definito da T en = (1/n)en (n = 1, 2, . . .) oltre ai suoi autovalori λn = 1/n, appartiene al suo spettro anche σ = 0, infatti l’inverso T −1 esiste ma non e` limitato. E` anche evidente che in dimensione finita lo spettro di un operatore coincide con l’insieme dei suoi autovalori. Si vede invece facilmente, per esempio, che lo spettro dell’operatore T f (x) = x f (x) in L2 (I) e` dato dai numeri reali σ ∈ I = chiusura dell’insieme I: infatti l’operatore inverso e` (T −σ I)−1 f (x) = f (x)/(x −σ ) e risulta non limitato se (e solo se) σ ∈ I: in tal caso T − σ I e` iniettivo e il suo range (o immagine) e` denso in L2 (I), ma non coincidente con L2 (I). Invece, come altro esempio, l’operatore (2.57) pur essendo iniettivo, ha range non denso in H (essendo dato dal sottospazio ortogonale a e1 ), dunque non e` invertibile (nemmeno con inverso non limitato), e si pu`o concludere cos`ı che σ = 0 appartiene al suo spettro. Si chiama risolvente di T l’insieme complementare dello spettro: dunque se λ ∈ C e` nel risolvente, l’equazione (T − λ )x = v, dove v ∈ H e` assegnato e x il vettore incognito, ha una unica soluzione x = (T − λ )−1 v. Se invece λ e` nello spettro, l’equazione ha soluzione solo se v ∈ Imm (T − λ I) e in questo caso la soluzione e` unica se λ non e` autovalore di T altrimenti si possono aggiungere le soluzioni z dell’equazione omogenea (T − λ )z = 0 . Si pu`o anche dimostrare che lo spettro e` un insieme chiuso (e dunque il risolvente un insieme aperto).
2.21 Problema di Sturm-Liouville
77
2.21 Problema di Sturm-Liouville Si consideri l’equazione 1 d d p(x) − q(x) u + λ u = 0 ρ(x) dx dx
(2.64)
per la funzione u = u(x) , dove p(x), q(x), ρ(x) sono funzioni assegnate “abbastanza regolari”, come preciseremo pi`u avanti, in un intervallo finito α ≤ x ≤ β ; si supponga inoltre che la funzione u(x) debba soddisfare alle condizioni al bordo, per esempio di annullamento agli estremi 15 u(α) = u(β ) = 0 .
(2.65)
Si tratta evidentemente di un problema agli autovalori, detto Problema di SturmLiouville: ci si deve attendere che solo per particolari valori di λ la u(x) possa soddisfare la (2.64) con le condizioni (2.65). L’operatore che si sta studiando, cio`e T =−
d 1 d p(x) − q(x) ρ(x) dx dx
(2.66)
e` un operatore (non limitato) nello spazio L2 (α, β ) e generalizza l’operatore −d 2 /dx2 (che infatti si ottiene ponendo ρ(x) = p(x) = 1, q(x) = 0) incontrato nei primi paragrafi di questo capitolo e nel paragrafo precedente. Supponiamo che le funzioni p, q, ρ verifichino le seguenti condizioni p(x) > 0 , derivabile e con derivata continua; q(x) ≥ 0 , ρ(x) > 0 entrambe continue .
(2.67)
Intanto, grazie alla condizione di positivit`a di ρ(x), e` possibile definire correttamente il prodotto scalare (v. § 2.6) ( f , g)ρ =
β α
f ∗ (x) g(x) ρ(x) dx .
(2.68)
Si controlla subito facilmente che l’operatore (2.66) e` simmetrico, rispetto a que sto prodotto scalare, nel sottinsieme denso in L2 (α, β ) delle funzioni derivabili 2 (2.65). Ne segue almeno due volte in L e soddisfacenti le condizioni agli estremi v. § 2.20 chese u1 (x) e u2 (x) sono due autofunzioni di T e quindi due soluzioni delle (2.64,65) relative ad autovalori diversi, esse risultano ortogonali rispetto alla funzione peso ρ(x): (u1 , u2 )ρ =
β α
u∗1 (x) u2 (x) ρ(x) dx = 0 .
(2.69)
Si ottengono risultati simili anche imponendo altre condizioni al bordo, per esempio u (α) = u (β ) = 0 , oppure u(α) = u (β ) = 0 , o condizioni di periodicit`a. V. anche il paragrafo precedente.
15
78
Spazi di Hilbert
Possiamo infine enunciare i seguenti risultati: a) Gli autovalori del problema di Sturm-Liouville (2.64, 65) sono tutti reali e maggiori di zero. b) Le corrispondenti autofunzioni {un (x)} , che risultano ortogonali fra loro rispetto al prodotto scalare (2.68), formano un sistema completo nello spazio, relativamente alla norma indotta da tale prodotto scalare. Ci`o significa che ogni funzione f tale che β α
| f |2 ρ dx < +∞
pu`o essere sviluppata in serie di Fourier di tali autofunzioni un : f=
∞
∑ an un
(2.70)
n=1
nel senso che, per N → ∞ , β α
2 N f − ∑ an un ρ dx → 0 , n=1
cio`e la serie di Fourier converge in media del secondo ordine rispetto alla funzione densit`a ρ. Per quanto riguarda il calcolo dei coefficienti an , si ottiene, grazie anche alla (2.69), la regola naturale (um , f )ρ = ∑ an (um , un )ρ = am (um , um )ρ . n
Si noti ad esempio che l’equazione di Schr¨odinger indipendente dal tempo unidimensionale per una particella quantistica soggetta ad un potenziale V (x) e` del tipo d2 − 2 +V (x) u = λ u dx cio`e appunto del tipo di Sturm-Liouville. Le corrispondenti autofunzioni formano quindi un sistema completo: risultato importante in fisica, perch´e assicura la possibilit`a di esprimere qualsiasi “stato” (v. § 1.11) come sovrapposizione (cio`e come serie di Fourier) degli “autostati” dell’operatore energia. Possiamo ancora enunciare altri risultati di questa teoria. (i) Gli autovalori λ1 , λ2 , · · · , λn , · · · sono crescenti e λn → +∞ . (ii) Se λ1 e` il pi`u piccolo degli autovalori, la corrispondente autofunzione u1 (x) si annulla solo nei punti x = α e x = β . (iii) Teorema di monotonia . Mantenendo inalterate le p, q, ρ ma riducendo l’intervallo da [α, β ] ad [α , β ] con α < α < β < β , aumentano tutti gli autovalori. La stessa cosa succede aumentando p e/o q ; oppure diminuendo la ρ.
2.22 L’equazione di d’Alembert in due dimensioni
79
(iv) Teorema di separazione . Dette un , um due autosoluzioni con autovalori λn , λm rispettivamente, se λn > λm allora fra due zeri consecutivi di um cade almeno uno zero di un . (v) Teorema di oscillazione . Supponendo di aver ordinato gli autovalori λn in ordine crescente, la n-sima autosoluzione un ha n − 1 zeri nell’intervallo aperto (α, β ) , ossia n + 1 includendo gli estremi x = α e x = β . E` immediato constatare come tutti questi risultati sono verificati nel caso particolare dell’operatore −d 2 /dx2 . Prima di passare ad altre considerazioni sul problema di Sturm-Liouville, accenniamo ad un altro caso in cui e` assicurata l’esistenza di un sistema completo di autovettori. Si consideri l’operatore di L2 (0, 1) in s´e cos`ı definito: Tf=
1 0
K(x,t) f (t) dt
dove f ∈ L2 (0, 1) e K(x,t) e` una funzione assegnata di L2 (0, 1) × L2 (0, 1) , cio`e tale che 1 1 |K(x,t)|2 dx dt < +∞ . 0
0
L’equazione agli autovalori T f = λ f e` , come si vede, un’equazione integrale (l’“incognita” f compare infatti anche sotto il segno di integrale). Si riesce a provare che, se K(x,t) = K ∗ (t, x) , allora l’equazione ha un sistema completo di autosoluzioni fn e che i corrispondenti autovalori sono reali, decrescenti e tendono a zero (v. anche il § 2.30).
2.22 L’equazione di d’Alembert in due dimensioni Casi notevoli di equazioni di Sturm-Liouville si ottengono da molte equazioni differenziali alle derivate parziali con il metodo della separazione delle variabili e con assegnate condizioni agli estremi. Ne vedremo qualche esempio speciale nel prossimo paragrafo. Un esempio semplice verr`a dato anche dall’equazione di d’Alembert in due dimensioni x, y: ∂2 ∂2 1 ∂ 2u + 2 u= 2 2 2 ∂x ∂y v ∂t
u = u(x, y;t)
(2.71)
che e` l’equazione cui obbediscono le vibrazioni di una superficie elastica. Separata, come nel § 2.1, la dipendenza da t: u(x, y;t) = w(x, y) T (t) si ottiene per w(x, y) l’equazione agli autovalori ∂2 ∂2 + w = −k2 w . ∂ x2 ∂ y2
(2.72)
80
Spazi di Hilbert
Se supponiamo ora che la superficie abbia un contorno rettangolare fisso, si debbono aggiungere le seguenti condizioni al contorno i vertici del rettangolo siano (0, 0), (a, 0), (a, b), (0, b) : w(0, y) = w(a, y) = w(x, 0) = w(x, b) = 0 . Separando ulteriormente w(x, y) = X(x)Y (y) l’equazione diventa X
Y
+ = −k2 X Y che si spezza nelle due equazioni usuali (che sono due semplici equazioni di SturmLiouville!) Y
= −k22 Y ; k2 = k12 + k22 X
= −k12 X , con le rispettive condizioni X(0) = X(a) = 0 ,
Y (0) = Y (b) = 0 .
Le autosoluzioni sono allora (a meno del solito fattore arbitrario) wn1 n2 (x, y) = sin(kn1 x) sin(kn2 y) ,
n1 , n2 = 1, 2, 3, · · ·
n2 n2 π π kn2 = n2 ; kn21 n2 = π 2 12 + 22 . n1 , a b a b Si verifica subito che tali funzioni wn1 n2 (x, y) sono un sistema completo nello spazio di Hilbert L2 (D) , dove D e` il dominio rettangolare in esame [0, a] × [0, b], con il prodotto scalare definito naturalmente da kn1 =
( f , g) =
a b 0
0
f ∗ (x, y) g(x, y) dx dy .
Si noti in particolare che l’autovalore k2 pu`o risultare degenere: per esempio, nel caso a = b, all’autovalore kn21 n2 = (π/a)2 (n21 + n22 ) corrispondono, per ogni n1 = n2 , le due soluzioni indipendenti wn1 n2 e wn2 n1 . Le linee nodali di ciascuna soluzione wn1 n2 , cio`e il luogo dei punti in cui wn1 n2 = 0 , sono date da segmenti che congiungono i lati opposti del rettangolo considerato parallelamente ai suoi lati e che lo dividono esattamente in n1 × n2 rettangoli uguali fra loro. La parte dipendente dal tempo, corrispondentemente a ciascuna wn1 n2 , sar`a naturalmente T (t) = cos(ωn1 n2 t + δn1 n2 ) , con ωn1 n2 = v kn1 n2 . Il caso di superficie con contorno circolare sar`a considerato nel prossimo paragrafo (punto 4).
2.23 Equazione di Sturm-Liouville con punti singolari.Alcune funzioni speciali
81
2.23 Equazione di Sturm-Liouville con punti singolari. Alcune funzioni speciali Le autosoluzioni dell’equazione di Sturm-Liouville sono funzioni regolari (continue e limitate) se α e β sono finiti e se sono verificate le condizioni (2.67) sulle funzioni p(x), q(x) e ρ(x) . I punti in cui una o pi`u di queste condizioni non sono verificate si chiamano punti singolari dell’equazione e sono punti in cui la soluzione pu`o presentare singolarit`a. In generale, si riesce a dimostrare che, imponendo opportune condizioni di regolarit`a alle soluzioni, le autosoluzioni formano un set completo anche in questo caso. Accenneremo ad alcuni esempi particolarmente importanti di questa situazione 16 . (1) Polinomi e funzioni di Hermite L’equazione d2 2 − x + λ u(x) = 0 , dx2
−∞ < x < +∞
(2.73)
presenta come punti singolari i punti x = ±∞ . Si vede facilmente che le soluzio2 ni della (2.73) si comportano “asintoticamente” (per grandi x) come e±x /2 . Si pu`o provare che si hanno soluzioni non divergenti all’infinito soltanto se λ assume i valori “discreti” λ = λn = 2n + 1 , n = 0, 1, 2, · · · , ed in tal caso le soluzioni corrispondenti hanno la forma un (x) = Hn (x) e−x
2 /2
,
n = 0, 1, 2, · · ·
dove Hn (x) polinomi sono detti polinomi di e` un polinomio di grado n. Questi Hermite e le un (x) funzioni di Hermite ; si prova anche che tali autovalori λn sono non degeneri e che per le soluzioni cos`ı trovate rimangono vere tutte le propriet`a date nel § 2.21; in particolare si ha che il set un (x) e` completo in L2 (R) . Si ha inoltre che i polinomi di Hermite sono pari per n pari e dispari per n dispari. Poich´e l’operatore −d 2 /dx2 +x2 e` il doppio dell’operatore “energia” dell’oscillatore armonico in meccanica quantistica (di massa m = 1 , costante elastica k = 1 e avendo posto h¯ = 1), se ne ricava che gli autovalori dell’energia dell’oscillatore armonico quantistico sono dati da 12 λn = n + 12 . (2) Polinomi di Legendre e armoniche sferiche L’equazione (Δ −W (r) + λ ) u = 0
(2.74) dove W e` una funzione assegnata della sola variabile r = x2 + y2 + z2 , scritta in coordinate sferiche r, θ , ϕ, diventa 1 ∂ ∂ ∂ 1 ∂ 1 ∂2 2 −W (r)+λ u=0. (2.75) r + sin θ + r2 ∂ r ∂r r2 sin θ ∂ θ ∂θ r2 sin2 θ ∂ ϕ 2 16
Per maggiori dettagli, v. per esempio i testi di Weinberger [22] o di Morse e Feshbach [18].
82
Spazi di Hilbert
Posto u = R(r)Θ (θ ) Φ(ϕ) , l’equazione si separa in tre equazioni di SturmLiouville. Nell’equazione per Φ(ϕ) la condizione che va imposta per ϕ e` ovviamente Φ(ϕ + 2π) = Φ(ϕ) con questa, l’equazione per Φ si risolve immediatamente: Φm (ϕ) = ei m ϕ ,
m = 0, ±1, ±2, · · ·
L’equazione per Θ diventa 1 d d m2 sin θ − 2 Θ +μΘ = 0 sin θ dθ dθ sin θ
(2.76)
dove naturalmente μ e` la costante introdotta dalla separazione delle equazioni ed m un numero intero fissato dalla soluzione Φm (ϕ) . La (2.76) presenta i punti θ = 0, θ = π come punti singolari. Si dimostra che si hanno soluzioni regolari solo se μ = ( + 1), con = 0, 1, 2, . . ., e se |m| ≤ , e le autosoluzioni corrispondenti (m) Θ (θ ) sono polinomi in sin θ e cos θ . Le funzioni (m)
Y m (θ , ϕ) = Θ (θ ) ei m ϕ si chiamano armoniche sferiche . Si noti che le ei m ϕ sono ortogonali fra loro per (m) valori diversi di m, mentre, con lo stesso m, le Θ sono ortogonali fra loro, per valori diversi di , rispetto alla funzione peso sin θ . Quindi le Y m risultano ortogonali fra loro proprio rispetto all’angolo solido dΩ = sin θ dθ dϕ . Esse forniscono un set completo nello spazio delle funzioni f = f (θ , ϕ) ∈ L2 (S), dove S e` la su(0) perficie della sfera. In particolare, le funzioni Θ (θ ) si chiamano polinomi di Legendre e sono un altro esempio di sistema completo in L2 (0, π) . (3) Polinomi di Laguerre La terza delle equazioni in cui si e` separata la (2.75) riguarda la funzione R(r) ed e` l’unica che contiene la funzione W (r) : essa e` 1 d d ( + 1) 2 −W (r) + λ R=0 r − r2 dr dr r2
(2.77)
dove ora e` un numero intero fissato da quanto detto nel precedente esempio. Scegliendo (proporzionale al potenziale coulombiano) W (r) = −
2 r
(2.77 )
i punti singolari sono r = 0 e r = ∞ . Le autosoluzioni regolari che si ottengono, imponendo in particolare la condizione lim R(r) = 0 ,
r→∞
2.23 Equazione di Sturm-Liouville con punti singolari.Alcune funzioni speciali
sono del tipo
()
()
Rn (r) = e−α r Ln (r)
83
(n = 1, 2, . . .)
()
dove α > 0 e` una costante e gli Ln (r) sono dei polinomi di grado n − 1 nella (0) variabile r. Se in particolare e` = 0 , i polinomi Ln (r) si chiamano polinomi (0) di Laguerre . Il sistema Rn (r) e` un sistema completo in L2 (0, ∞) rispetto alla funzione peso ρ = r2 . Anche l’operatore Δ − W (r) nella (2.74) e` collegato (a meno di costanti moltiplicative) all’energia in meccanica quantistica; in particolare gli autovalori che si trovano nel caso del potenziale (2.77 ) sono proporzionali a 1/n2 , a loro volta proporzionali agli autovalori dell’energia dell’atomo di idrogeno (v. anche il § 6.14). (4) Funzioni di Bessel Si scriva l’equazione di d’Alembert in due dimensioni previa separazione della variabile t: v. (2.71-72) (Δ + k2 ) w = 0 in coordinate polari r, ϕ ; si ottiene 1 ∂ ∂ 1 ∂2 2 r + 2 w(r, ϕ) = 0 . + k r ∂r ∂r r ∂ ϕ2
(2.78)
Se tale equazione si riferisce al problema di una superficie elastica a contorno circolare fisso, si deve imporre la condizione al contorno w(a, ϕ) = 0 dove a e` il raggio del contorno circolare. Separando w = R(r) Φ(ϕ) e scrivendo ora la soluzione dell’equazione per ϕ nella forma pi`u conveniente si ricordi la condizione Φ(ϕ + 2π) = Φ(ϕ) Φ = sin(m ϕ + δm ) ,
m = 0, 1, 2, · · ·
si ottiene per R
1 d d m2 r − 2 + k2 R = 0 r dr dr r e infine, posto x = k r , f (x) = R(x/k) : f
+
1 m2 f + 1− 2 f = 0 x x
(2.79)
che si chiama equazione di Bessel . I suoi punti singolari sono x = 0, x = ∞ . Pi`u in generale l’equazione pu`o essere studiata anche per valori non interi di m. Per ogni
84
Spazi di Hilbert
valore intero di m = 0, 1, 2, · · · , la soluzione regolare in x = 0 si chiama funzione di Bessel di prima specie e si indica col simbolo Jm (x) . Le Jm (x) hanno andamento oscillante smorzato con infiniti zeri non equidistanti. Inoltre J0 (0) = 1 mentre Jm (0) = 0 per m = 1, 2, · · · ; le Jm (x) sono espresse da serie di potenze del tipo Jm (x) = xm
∞
∑ an x2n
n=0
dove le serie convergono per ogni x.
φ
r
Figura 2.6 Linee nodali di una soluzione dell’equazione di d’Alembert per il cerchio.
Per quanto riguarda la condizione al contorno, essa diventa nel nostro caso Jm (k a) = 0 e quindi k a deve coincidere con uno degli zeri della Jm (x) . Questo determina k, cio`e l’autovalore. Le linee nodali di ogni autosoluzione sono di due tipi e si ottengono cercando i punti in cui sin(m ϕ + δm ) = 0 oppure Jm (k r) = 0 nell’interno del cerchio considerato. La prima equazione fornisce m diametri del cerchio, la seconda dei cerchi concentrici al primo aventi i raggi ri tali che k ri coincida con gli (eventuali) zeri della Jm contenuti fra 0 e k a v. fig. 2.6, dove sono indicate le linee nodalirelative al caso m = 2 e con k a coincidente con il terzo zero della funzione J2 (x) . Zeri delle funzioni di Bessel J0 = 0 J1 = 0 J2 = 0
per per per
x= x= x=
− ±2.41 . . . ±5.52 . . . · · · 0 ±3.83 . . . ±7.02 . . . · · · 0 ±5.14 . . . ±8.42 . . . · · ·
2.24 Equazione di Laplace e funzioni armoniche. Problemi di Dirichlet e di Neumann Passiamo ora a considerare l’equazione alle derivate parziali per la funzione incognita u = u(x, y) ∂ 2u ∂ 2u Δu= 2 + 2 =0 (2.80) ∂x ∂y
2.24 Equazione di Laplace e funzioni armoniche. Problemi di Dirichlet e di Neumann
85
che si chiama equazione di Laplace e le cui soluzioni si chiamano funzioni armoniche . Le funzioni armoniche descrivono, per esempio, fra molte altre grandezze fisiche, il potenziale elettrostatico piano in assenza di cariche. Risolviamo ora esplicitamente il problema di trovare il potenziale all’interno di una circonferenza di centro l’origine e raggio r = 1 , essendo noto il potenziale al bordo F(ϕ), ovvero risolviamo la (2.80) con la condizione u(r = 1, ϕ) = F(ϕ)
(2.81)
avendo introdotto coordinate polari r, ϕ e assumendo che F(ϕ) ∈ L2 (0, 2π). Scritta l’equazione nelle coordinate r, ϕ Δu= e separate le variabili
∂ 2u 1 ∂ u 1 ∂ 2u + + =0 ∂ r2 r ∂ r r2 ∂ ϕ 2 u(r, ϕ) = R(r) Φ(ϕ)
si trovano immediatamente per Φ(ϕ) le solite soluzioni Φ(ϕ) = ei m ϕ
m = 0, ±1, ±2, · · ·
mentre l’equazione per R(r) , che diventa 1 m2 R
+ R − 2 R = 0 r r e` facilmente risolta, per ogni m ≥ 0, a meno di una costante moltiplicativa, da Rm (r) = rm . In realt`a l’equazione per R(r) ha anche le soluzioni singolari nell’origine r−m se m = 0 , e log r se m = 0 , che nel problema che stiamo ora considerando vanno escluse in quanto divergenti (naturalmente, se il problema si pone per esempio in una corona circolare, occorre tener conto anche di queste soluzioni). La soluzione sar`a allora da ricercare fra le funzioni del tipo ∞
u(r, ϕ) = α0 +
∑ rm (αm ei m ϕ + βm e−i m ϕ )
(2.82)
m=1
dove, per soluzioni u(r, ϕ) reali, si ha α0 = α0∗ ,
αm = βm∗ .
Dobbiamo ora imporre la condizione al contorno (2.81): per r = 1 dovr`a essere: u(1, ϕ) = α0 +
∞
∑ (αm ei m ϕ + βm e−i m ϕ ) = F(ϕ)
m=1
86
Spazi di Hilbert
e dunque i coefficienti α0 , αm , βm sono i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier della funzione reale assegnata F(ϕ) rispetto al set completo ei m ϕ : α0 =
1 2π
2π 0
F(θ ) dθ ,
αm =
1 2π
2π 0
F(θ ) e−i m θ dθ = βm∗ .
(2.83)
Da notare in particolare che, per r = 0 , si ha dalla (2.82) che il potenziale al centro e` dato da u(0, ϕ) = α0 = valor medio dei valori al bordo F(ϕ) , come e` ben noto. Sostituendo le (2.83) nella (2.82), si trova 2π u(r, ϕ) =
2π 0
2π
F(θ ) dθ + 2 Re
=
2π 0
0
∞
dθ F(θ )
dθ F(θ ) 1 + 2 Re
∞
∑
∑ rm ei m (ϕ−θ ) =
m=1 m
z
m=1
avendo posto z = r ei(ϕ−θ ) . Essendo ∞
z
1
∑ zm = 1 − z − 1 = 1 − z ,
|z| = r < 1
(2.84)
m=1
e inoltre (come si verifica con semplici passaggi) 1 + 2 Re
1 − r2 z = 1 − z 1 + r2 − 2r cos(ϕ − θ )
ne segue la formula finale, detta formula di Poisson u(r, ϕ) =
1 − r2 2π
2π 0
F(θ ) 1 + r2 − 2r cos(ϕ
−θ)
dθ
(2.85)
che risolve completamente il problema posto all’inizio. Il risultato si generalizza immediatamente a circonferenze di raggio a arbitrario: u(r, ϕ) =
a2 − r 2 2π
2π 0
F(θ ) dθ a2 + r2 − 2r a cos(ϕ − θ )
(2.85 )
Anche il problema di risolvere la (2.80) per regioni a contorno rettangolare pu`o essere risolto con la separazione delle variabili u(x, y) = X(x)Y (y) e mediante serie di Fourier. P.es., se il rettangolo e` [0, π] × [0, 1] e si impone che la u(x, y) sui lati “verticali” sia nulla: u(0, y) = u(π, y) = 0, si ricava facilmente che la soluzione dovr`a avere la forma u(x, y) =
∞
∑ sin nx (an eny + bn e−ny )
n=1
dove le an , bn sono determinate dalle altre condizioni al bordo da assegnare sui lati “orizzontali” u(x, 0) e u(x, 1).
2.25 Equazioni alle derivate parziali. Il metodo di d’Alembert
87
Il problema di trovare una funzione armonica u all’interno di una regione S essendo noto il suo valore F lungo il bordo si chiama problema di Dirichlet . Si chiama invece problema di Neumann il problema di determinare una funzione armonica u essendo noto il valore della sua derivata normale G = ∂ u/∂ n lungo il bordo. Il procedimento visto in questo paragrafo pu`o essere applicato, con le opportune modifiche, anche al problema di Neumann: naturalmente la funzione u risulter`a determinata a meno di una costante additiva. Si consideri p.es. il caso del cerchio: assegnata la condizione al bordo ∂ u G = G(ϕ) = ∂ r r=1 cio`e il valore della derivata radiale del potenziale sulla circonferenza, si dovr`a uguagliare la derivata radiale ∂ u/∂ r dell’espressione (2.82) calcolata per r = 1 allo sviluppo in serie della G(ϕ) rispetto al set ei m ϕ . Poich´e nella derivata viene a mancare il termine costante, si vede che dovr`a essere nullo il coefficiente g0 dello sviluppo di G(ϕ), cio`e dovr`a essere g0 =
2π
1 2π
0
G(ϕ) dϕ = 0 .
Ma in questo caso la condizione e` automaticamente verificata, poich´e g0 e` precisamente il flusso del campo elettrico attraverso la circonferenza, che e` nullo grazie al teorema di Gauss (non ci sono cariche all’interno). Il risultato e` generale: la soluzione del problema di Neumann richiede che i valori della derivata normale assegnati lungo il bordo non possono essere arbitrari, ma devono soddisfare la condizione '
∂u d = 0 ∂n
ovvero, grazie ancora al teorema di Gauss: '
∂u d = ∂n
S
Δ u dS = 0
(2.86)
dove S e` la parte di piano racchiusa dalla linea , che risulta ovviamente soddisfatta se in S si ha Δ u = 0.
2.25 Equazioni alle derivate parziali. Il metodo di d’Alembert Abbiamo incontrato fin qui vari esempi di equazioni differenziali lineari alle derivate parziali del secondo ordine. La pi`u generale equazione di questo tipo sar`a evidentemente L[u] = A
∂ 2u ∂u ∂ 2u ∂ 2u ∂u + B +D +C +E +F u = 0 ∂ x2 ∂x∂y ∂ y2 ∂x ∂y
88
Spazi di Hilbert
dove u = u(x, y) e A, B, . . . sono costanti reali. A seconda che sia B2 − 4AC > 0 , = 0 , < 0 l’equazione si dice rispettivamente di tipo iperbolico, parabolico, ellittico. La tipica equazione iperbolica e` l’equazione di d’Alembert (y = vt): 1 ∂ 2u ∂ 2u − = 0. ∂ x2 v2 ∂t 2 Ponendo ξ = x − vt, η = x + vt , l’equazione diventa ∂ 2u =0 ∂ξ ∂η
(2.87)
che e` la forma canonica dell’equazione di d’Alembert (e in generale delle equazioni iperboliche: le linee in cui ξ = cost., η = cost. si chiamano linee caratteristiche dell’equazione). La (2.87) e` facilmente risolta: u = Φ(ξ ) +Ψ (η) = Φ(x − vt) +Ψ (x + vt) dove Φ, Ψ sono funzioni arbitrarie. Dunque per questa via (metodo di d’Alembert) si vede che la pi`u generale soluzione dell’equazione di d’Alembert e` la sovrapposizione di due onde che si propagano lungo l’asse x con velocit`a v e −v. E` facile collegare le funzioni Φ, Ψ con le condizioni iniziali u(x, 0) e ut (x, 0) e al bordo. Infatti, p.es., se si impone la condizione ad un estremo u(0,t) = 0 (corda con un estremo fisso) segue che deve essere Φ(−vt) = −Ψ (vt) , e questa – dovendo essere verificata per ogni t – implica che Ψ e` il prolungamento “con legge dispari” della Φ. In altre parole, la soluzione diventa u(x,t) = Φ(x − vt) − Φ(−x − vt) cio`e la sovrapposizione di un’onda progressiva e di una uguale onda regressiva “ribaltata”. Se si impone anche la condizione u(L,t) = 0 (secondo estremo fisso), si ottiene Φ(L − vt) = Φ(−L − vt), che – dovendo nuovamente essere valida per ogni t – implica che la funzione Φ deve essere periodica di periodo 2L, in accordo con quanto ottenuto nel § 2.4. Un esempio tipico di equazione parabolica e` dato dall’equazione del calore (2.19). L’equazione di Schr¨odinger (dipendente dal tempo) e` del tipo −
∂ψ ∂ 2ψ +V (x) ψ = i ∂ x2 ∂t
ed e` simile ad un’equazione parabolica anche se non rientra propriamente nella classificazione data sopra, a causa del coefficiente immaginario. Infine, la tipica equazione ellittica e` l’equazione di Laplace (2.80), gi`a incontrata nel paragrafo precedente. Vedremo nel § 3.14 che lo studio di tale equazione pu`o
2.26 Funzionali. Teorema di Riesz
89
essere affrontato anche con i metodi della variabile complessa. Altre tecniche generali di ricerca di soluzioni per tutte queste equazioni sono basate sull’uso delle trasformate integrali, come mostreremo nei Capitoli 4 e 5.
2.26 Funzionali. Teorema di Riesz Negli ultimi paragrafi di questo Capitolo verranno presentate alcune nozioni pi`u approfondite sugli operatori fra spazi di Hilbert. Anzitutto, si chiama funzionale ogni trasformazione Φ definita da uno spazio di Hilbert H allo spazio dei numeri complessi: Φ : H → C. Poich´e lo spazio C e` un particolare spazio di Hilbert, i funzionali sono dunque una speciale famiglia di operatori; risulta allora chiaro che cosa significa che un funzionale e` lineare, continuo, limitato e il significato di dominio D di un funzionale. Anche l’equivalenza fra continuit`a e limitatezza e` automaticamente valida per i funzionali, la cui norma sar`a data da |Φ(x)| · x∈D x
Φ = sup
Per esempio, sia x0 ∈ H un vettore fissato; per ogni x ∈ H il prodotto scalare (x0 , x) definisce evidentemente un funzionale lineare e continuo di x: Φ(x) = (x0 , x). Si ha Φ = x0 , come si vede immediatamente applicando la disuguaglianza di Schwarz e ricordando che |(y, x)| e` massimo quando y ∝ x. Questo per`o non e` soltanto un esempio particolare di funzionale continuo: si ha infatti il seguente fondamentale: Teorema di Riesz . Ogni funzionale lineare continuo Φ pu`o essere espresso come un prodotto scalare con un vettore x0 , univocamente individuato da Φ: Φ(x) = (x0 , x) .
(2.88)
Il vettore x0 si chiama vettore rappresentativo di Φ, e si ha, come appena visto, Φ = x0 . Esiste quindi una corrispondenza biunivoca fra i vettori di H e l’insieme dei suoi funzionali lineari e continui. Tale insieme si chiama duale di H e si indica usualmente con H . Grazie al teorema di Riesz, si pu`o dunque dire che gli spazi di Hilbert sono “autoduali”. La dimostrazione del teorema di Riesz si basa su questo procedimento: sia K il nucleo di Φ ed H1 il suo complemento ortogonale. Si prendono due qualsiasi vettori x1 , y1 ∈ H1 ; sia z = α x1 + β y1 la loro combinazione lineare con coefficienti α = Φ(y1 ), β = −Φ(x1 ) (per ipotesi α, β sono diversi da zero), allora Φ(z) = 0, dunque z ∈ H1 ∩ K, ma H1 e K sono ortogonali e pertanto z = 0 . Questo implica che x1 e y1 sono linearmente dipendenti e dunque H1 e` unidimensionale. Allora x0 e` una base per H1 ; in parole diverse, il teorema di Riesz afferma che il nucleo K di
90
Spazi di Hilbert
un funzionale lineare continuo ha codimensione 1 (la codimensione e` la dimensione del sottospazio complemento ortogonale), essendo dato da tutti i vettori ortogonali a x0 . Se invece il funzionale non e` limitato, il suo nucleo risulta denso in H. Per esempio, il funzionale in 2 dato da Φ(a) = ∑Nn=1 an e` limitato, e x0 = 2 1 ` : per il suo (1, 1, . . . , 1, 0, 0, . . .); invece Φ(a) = ∑∞ n=1 an (definito in ∩ ) non lo e
nucleo, v. le (2.38-38 ) . . .. Il funzionale Φ( f ) = f (a) in L2 (I) (o meglio, cos`ı definito nel dominio delle funzioni continue in un intorno del punto a ∈ I ) e` non limitato, e il suo nucleo, dato dall’insieme delle funzioni continue h(x) tali che Φ(h) = h(a) = 0, e` denso in L2 (I), infatti si pu`o certamente approssimare quanto si vuole in norma L2 (I) qualunque f ∈ L2 (I) con una funzione continua che si annulla in un punto (o anche in pi`u punti e perfino in un insieme numerabile di punti .. .). a Il funzionale in L2 (R) dato da Φ( f) = −a f (x) dx e` limitato, mentre Φ( f ) = ∞ 2 1 ` , e le funzioni f0 ∈ L2 (R) ∩ L1 (R) −∞ f (x)dx definito in L (R) ∩ L (R) non lo e ∞ f0 (x) dx = 0 sono dense in L2 (R) 17 . tali che −∞
2.27 Operatore aggiunto Mediante il teorema di Riesz e` immediato provare l’esistenza dell’operatore aggiunto , indicato con T + (oppure con T † ), di ogni operatore limitato T fra due spazi di Hilbert H e H (cf. § 2.19). Sia infatti T : H → H
una trasformazione lineare continua di H in H . Per ogni fissato y ∈ H , il prodotto scalare (y , T x) definisce, al variare di x in H, un funzionale di H: (y , T x) = Φy (x) . Si verifica subito che tale funzionale e` lineare e continuo; allora, per il teorema di Riesz, esiste un vettore (ed uno solo) y ∈ H tale che Φy (x) = (y, x) . Resta cos`ı definita una corrispondenza y → y , e, posto T + y = y , si scrive (y , T x) = (y, x) = (T + y , x) esattamente come nella (2.51). Per questa via si conclude pure, come gi`a anticipato § 2.19(a) , che l’operatore T + e` lineare, che ha per dominio l’intero spazio H e 17 Per verificarlo, si pu` o osservare che (v. § 4.4) le trasformate di Fourier f(0 (ω) di queste f0 (x) sono ∞ funzioni continue e che −∞ f0 (x)dx = f(0 (0) = 0 dunque . . .
2.28 Operatori chiusi
91
che e` anch’esso limitato ( T + = T ). Inoltre, si ha T ++ = T e (T S)+ = S+ T + (dove S e` un altro operatore limitato). Se invece T non e` limitato, non si pu`o pi`u applicare il teorema di Riesz per definire T + , ma si deve partire direttamente dalla (2.51), e inoltre in questo caso e` necessario, come vedremo, fare l’ipotesi che il dominio D di T sia denso in H. Precisamente, fissato un y ∈ H , si considera il prodotto scalare (y , T x) al variare di x nel dominio D di T e si cerca se esiste un vettore y ∈ H tale che, per ogni x ∈ D , risulti (2.89) (y , T x) = (y, x) . In genere, non per tutti i vettori y sar`a possibile trovare un y che soddisfi tale uguaglianza (v. esempi ai §§ 2.19 (a), 2.28); certamente per`o quando – dato un y – si trova in corrispondenza un y siffatto, questo e` anche l’unico, infatti, se la (2.89) fosse verificata anche da un altro vettore z ∈ H: (y , T x) = (y, x) = (z, x),
∀x ∈ D
sarebbe (y − z, x) = 0, ∀ x ∈ D da cui y = z grazie all’ipotesi fatta sul dominio D, ovvero che D = H. Resta cos`ı ben definita una corrispondenza y → y e si scrive y = T + y
(2.90)
e questo definisce l’operatore lineare T + , con dominio D costituito dai vettori y
che godono della propriet`a detta. Tale dominio e` comunque uno spazio vettoriale; se poi avviene che D e` denso in H, allora sar`a definibile anche T ++ , e si verifica subito che T ++ e` un’estensione di T , e si scrive T ++ ⊃ T , cio`e il dominio D
di T ++ contiene D e sui vettori x ∈ D ⊂ D
si ha T x = T ++ x 18 .
2.28 Operatori chiusi Si consideri in uno spazio di Hilbert H un punto arbitrario x0 , e sia xn una qualsiasi successione convergente a x0 . Se T e` un operatore continuo, questo implica, per definizione, che T xn → T x0 per ogni successione xn → x0 . Se T non e` continuo, ci sar`a qualche successione xn → x0 tale che la successione dei trasformati T xn non risulta convergente, ma pu`o avvenire anche che esistano successioni xn e xn
entrambe convergenti ad x0 : xn → x0 ,
xn
→ x0
(con xn , xn
, x0 ∈ D = dominio di T ) che vengono trasformate da T in successioni convergenti a vettori diversi: T xn → y ,
T xn
→ y
= y .
18 Per maggiori dettagli, v. per esempio i testi di Abbati e Cirelli [23], di Akhiezer e Glazman [27], di Reed e Simon [19], o di Yoshida [31].
92
Spazi di Hilbert
Un operatore T si dice chiuso se, ∀x0 ∈ D, considerate le successioni xn → x0 per le quali le successioni trasformate T xn risultano convergenti, avviene che tutte tali T xn convergono a T x0 (cio`e non si hanno successioni T xn e T xn
convergenti a vettori diversi anche se xn e xn
erano convergenti allo stesso x0 ). Se poi avviene che per un certo x0 (anche non appartenente a D), considerate tutte le successioni xn → x0 per le quali T xn risulta convergere, si ha che tali successioni T xn convergono tutte allo stesso vettore z, allora T sar`a “chiudibile”, cio`e sar`a possibile includere x0 nel dominio di T definendo naturalmente (e senza ambiguit`a) z := T x0 , e ottenere cos`ı una “estensione per chiusura” di T . Un esempio semplice ma istruttivo: si pu`o avere qualche dubbio se includere nel dominio dell’operatore di derivata d/dx funzioni del tipo |x| o x2/3 . Si pu`o allora “per sicurezza” decidere di definire d/dx solo nel dominio delle funzioni continue con derivata continua (ed ovviamente L2 ); ma si pu`o vedere che l’operatore risulta estendibile per chiusura anche alle funzioni continue con derivata non continua (ma L2 ). Come verifica diretta, si vede p.es. che derivando termine a termine la serie di Fourier di |x| in L2 (−π, π) sulla base (2.9) si trova lo sviluppo dell’onda quadra; v. anche pi`u avanti. Un esempio di operatore non chiuso (e dunque non continuo) e` l’operatore lineare T cos`ı definito sui vettori di un set ortonormale completo {en } T en = e1
(n = 1, 2, . . .) .
(2.91)
Sull’insieme F delle combinazioni lineari finite x = ∑m am em si ha T (x) = (∑m am ) e1 ; dunque il nucleo di T e` denso in H! v. le (2.38-38 ); notare che il set ortonorma le completo { fn } dato nella (2.38) e` contenuto in F e T fn = 0 , ∀n = 1, 2, · · · . L’operatore T e` non chiuso: infatti p. es. le successioni xn = e1 + (1/n)en e xn
= e1 − (e2 + · · · en+1 )/n tendono entrambe ad e1 , ma T (xn ) → e1 mentre T (xn
) = 0. L’operatore (2.91) presenta varie altre “patologie”: ad esempio si verifica subito che il vettore e1 non appartiene al dominio dell’aggiunto T + : infatti poich´e (e1 , T x) = e1 , (∑ m am ) e1 = ∑m am , e` impossibile trovare un vettore y tale che (e1 , T x) = (y, x) v. la (2.89) : dovrebbe essere y = ∑m em ! Un altro esempio di operatore non chiuso e` dato dal funzionale Φ( f ) = f (a) gi`a incontrato nel § 2.26. E` infatti facile costruire successioni di funzioni (continue) fn (x) convergenti a 0 in senso L2 ma tali che la successione numerica fn (a) non tenda a 0 ma tenda a qualsiasi valore, oppure non converga affatto. Dalla definizione stessa di aggiunto, segue invece che l’aggiunto T + di qualsiasi operatore T e` chiuso. Infatti, sia y n una successione contenuta nel dominio D di T + , convergente ad un vettore y e tale che la successione trasformata T + y n risulti convergente: T + y n → w . y n → y , Allora, per ogni x nel dominio D (denso in H, per ipotesi) di T , si ha (y n , T x) = (T + y n , x) → (w, x) , ma anche
(y n , T x) → (y , T x)
2.28 Operatori chiusi
93
ovvero w soddisfa la condizione (y , T x) = (w, x)
∀x ∈ D (2.92) il che significa – per la definizione stessa di aggiunto T + v. le (2.89-90) – che y
sta nel dominio D di T + e che w = T + y = limn T + y n . Ne segue, per esempio, che qualsiasi operatore della forma (2.63) e` chiuso. Per lo stesso motivo, ricordando quanto visto nel § 2.19, anche l’operatore di derivazione d/dx e` un operatore chiuso (o estendibile per chiusura). In breve, ci`o significa che derivando una successione (o una serie) di funzioni fn (derivabili in L2 ) ed L2 -convergente si pu`o ottenere una successione non L2 -convergente (v. l’esempio gi`a dato nel § 2.17: fn = 1n sin nx), ma se la successione delle derivate fn
e` L2 -convergente, allora il limite e` proprio la derivata del limite (v. anche quanto anticipato nei §§ 2.4, 2.5, 2.15). Questa propriet`a dell’operatore d/dx e` importante anche perch´e giustifica certi passaggi dell’operatore di derivazione sotto il segno di serie (di Fourier) che si eseguono abitualmente quando, ad esempio, si cerca di risolvere per serie una equazione differenziale. Si consideri il semplice esempio seguente (oltre agli altri gi`a incontrati e che ancora incontreremo). Si vuole trovare la soluzione “forzata” y = y(t), periodica di periodo 2π, dell’equazione y˙ + y = w(t)
(2.93)
dove w(t) e` una funzione assegnata, periodica di periodo 2π; per esempio, la (2.93) pu`o essere l’equazione di un circuito “serie RL”, in cui R = L = 1 , w(t) e` la tensione applicata e y(t) la corrente che circola. Se in particolare w(t) e` una tensione “alternata pura” w = wk = e−i k t con frequenza ωk = k , la soluzione sar`a yk =
1 e−i k t . −i k + 1
Se w(t) e` una funzione periodica di L2 (0, 2π) , essa potr`a essere scritta in serie di Fourier sulla base e−i k t : w(t) =
+∞
∑
ck e−i k t
k=−∞
e la soluzione si potr`a scrivere sotto forma di serie y(t) =
+∞
ck e−i k t . −i k +1 k=−∞
∑
(2.94)
Questa serie risulta convergente, e inoltre si pu`o derivare termine a termine in modo da verificare che la (2.93) e` soddisfatta. Il risultato precedente sull’operatore di derivazione ci assicura infatti la possibilit`a di derivare termine a termine una serie ogni volta che la serie delle derivate risulti convergente in senso L2 . Da notare anche che la serie (2.94) converge ad una funzione continua: un modo elegante per dimostrarlo pu`o essere quello di provare che la serie converge
94
Spazi di Hilbert
totalmente (v. § 2.3), ovvero che c k ∑ 1 − ik < ∞ k=−∞ +∞
(2.94 )
ma questo e` certamente vero perch´e la (2.94 ) pu`o essere vista come il prodotto scalare in 2 fra le due successioni {|ck |} e {1/|1 − ik|}, entrambe ∈ 2 .
2.29 Varie nozioni di convergenza per successioni di vettori e operatori E` gi`a stata data (e usata varie volte!) la seguente definizione di convergenza per una successione di vettori xn in uno spazio di Hilbert: xn → x
se
xn − x → 0
(`e sempre sottinteso per n → ∞). Oltre a questa, che si chiama anche convergenza in norma, e` possibile introdurre una diversa nozione di convergenza, che si chiama: convergenza debole: si dice che xn converge debolmente a x ∈ H se ∀y ∈ H
si ha
(y, xn ) → (y, x) .
E` immediato vedere che la convergenza in norma di una successione xn ad un vettore x implica anche la sua convergenza debole allo stesso vettore. Invece, una successione pu`o convergere debolmente ma non in norma: per esempio, una successione di infiniti vettori en di un set ortonormale (non necessariamente completo) converge debolmente a zero, dato che per ogni y ∈ H si ha, dovendo sussistere la disuguaglianza di Bessel (2.34) o l’uguaglianza di Parseval (2.36) |(y, en )| → 0 √ ma non e` convergente in norma (in effetti, en − em = 2 se n = m ). Si pu`o dimostrare che ogni spazio di Hilbert, che per definizione e` completo rispetto alla convergenza in norma, e` anche debolmente completo, ovvero ogni successione che sia “debolmente di Cauchy” (cio`e |(y, xn − xm )| → 0 ) possiede un limite x ∈ H a cui converge debolmente. Varie nozioni di convergenza si possono introdurre anche per le successioni di operatori Tn (considereremo solo il caso di operatori limitati): (i) convergenza in norma: si dice che Tn → T in norma se Tn − T → 0 ; (ii) convergenza forte: si ha convergenza in senso forte se per ogni vettore x ∈ H avviene che (Tn − T ) x → 0 ;
2.29 Varie nozioni di convergenza per successioni di vettori e operatori
95
(iii) convergenza debole: si parla di convergenza in senso debole se per ogni coppia di vettori x, y ∈ H si ha (x, Tn y) → (x, T y) . Si verifica subito che se Tn → T in norma, allora anche converge in senso forte e debole allo stesso T , e cos`ı pure la convergenza forte implica quella debole. Viceversa, invece, sia per esempio Pn il proiettore che proietta sul sottospazio n -dimensionale generato dai primi n vettori di un set ortonormale completo en nello spazio H: dunque Pn x = ∑nm=1 am em , dove naturalmente am sono le componenti di x ∈ H rispetto al set en . E` abbastanza naturale ipotizzare che – in qualche senso – Pn tenda all’identit`a I per n → ∞. Si vede subito che Pn tende infatti all’identit`a in senso forte: (I − Pn )x 2 = ∑ |am |2 → 0 m>n
grazie all’identit`a di Parseval. Ma la successione Pn non ha limite in norma: infatti, il limite in norma, se esistesse, dovrebbe essere ancora I, si ha invece sup x
(I − Pn )x 2 ∑m>n |am |2 = sup =1 ∞ 2 x 2 x ∑m=1 |am |
(basta prendere un vettore x$ con le prime n componenti nulle; oppure osservare che I − Pn e` un proiettore!). La stessa cosa si verifica per esempio per la successione di operatori in L2 (0, 1) definiti da Tn f (x) = xn f (x), che tendono a 0 in senso forte (usare il teorema di Lebesgue, v. § 2.8) ma non in norma. Infine, se Tn e` l’operatore lineare cos`ı definito Tn x = (en , x) y dove {en } e` un set ortonormale (non necessariamente completo) e x , y sono due vettori fissati. Si vede che Tn → 0 debolmente, grazie all’identit`a di Parseval o alla diseguaglianza di Bessel, ma non converge in senso forte. E` interessante notare che un operatore T come nella (2.63) pu`o essere scritto sotto forma di una decomposizione spettrale cf. con la (1.34) : T=
∞
∑ cn Pn
n=1
in cui la serie e` convergente in norma se |cn | → 0, mentre e` convergente solo in senso forte se i cn sono limitati, cio`e se esiste una costante M tale che |cn | ≤ M. Da notare infine che lo spazio vettoriale L (H) degli operatori lineari e continui di H in s´e, e` completo rispetto a tutte e tre le nozioni di convergenza ora definite.
96
Spazi di Hilbert
2.30 Operatori compatti Un operatore si dice compatto se, data comunque una successione di vettori xn debolmente convergente ad x, si ha che la successione dei vettori trasformati T xn converge in norma a T x, cio`e T xn − T x → 0. Evidentemente ogni operatore compatto e` anche continuo, ma non e` vero il viceversa (per esempio l’identit`a e` continua ma non compatta!). Un esempio tipico di operatore compatto e` dato da T en =
1 en n
n = 1, 2, · · ·
dove en e` un set ortonormale completo in uno spazio di Hilbert. Un altro esempio e` l’operatore integrale dato alla fine del § 2.21. E` pure compatto l’inverso di ogni operatore di Sturm–Liouville (purch´e λ = 0 non sia autovalore di quest’ultimo). Infine, un proiettore e` compatto se e solo se il sottospazio su cui proietta ha dimensione finita: infatti se tale sottospazio avesse dimensione infinita, qualunque successione di vettori ortonormali contenuta in esso (e dunque debolmente convergente a zero) sarebbe mandata in se stessa dal proiettore. L’importanza degli operatori compatti sta nel seguente Teorema . Ogni operatore compatto T autoaggiunto (o pi`u in generale normale: T + T = T T + ) possiede un set ortogonale e completo di autovettori un : T u n = λ n un . Inoltre, ogni autovalore non nullo ha necessariamente degenerazione finita, e – se ci sono infiniti autovalori λn = 0 – si ha che λn → 0 per n → ∞ (λ = 0 pu`o essere o non essere autovalore di T ). Ed e` vero anche il viceversa: se un operatore ammette un set ortogonale completo di autovettori con autovalori che soddisfano le propriet`a suddette, l’operatore e` compatto. Da notare, in questo teorema, che se λ = 0 non e` autovalore, allora T ha immagine densa in H (ma non coincidente con l’intero spazio) e T −1 esiste ma non e` limitato (per esempio l’operatore suggerito qui sopra) e σ = 0 appartiene al suo spettro.
3
Funzioni di una variabile complessa
Questo Capitolo e` interamente dedicato alla teoria delle funzioni di una variabile complessa: si tratta di un metodo veramente insostituibile come effettivo ausilio di calcolo, specie per il calcolo di integrali definiti, come verr`a provato da numerosi esempi: integrali di funzioni razionali, integrazioni lungo tagli nel piano complesso, integrali basati sul Lemma di Jordan, integrali con punti singolari. Ma esso e` anche utile perch´e fornisce un linguaggio idoneo per interpretare e spiegare varie propriet`a (per esempio, gli sviluppi in serie di potenze), e trova infine una naturale applicazione nello studio delle funzioni armoniche, ovvero – per esempio – nei problemi di potenziale. Le tecniche della variabile complessa trovano poi estesa applicazione in un argomento di fondamentale interesse per la Fisica, cio`e la trasformata di Fourier e la trasformata di Laplace, a cui sono dedicati i Capitoli 4 e 5.
3.1 Prime definizioni. Condizioni di olomorfia Consideriamo in questo capitolo le funzioni complesse di una variabile complessa, cio`e le corrispondenze fra il piano complesso C e se stesso (o fra suoi sottoinsiemi): f : C → C. Potremo scrivere w = f (z) ;
z = x+iy ∈ C,
w = u+iv ∈ C.
Quindi w, u, v potranno anche essere intese come funzioni delle due variabili reali x, y: w = f (x, y) ; u = u(x, y) , v = v(x, y) . Springer-Verlag Italia 2015 G. Cicogna, Metodi matematici della Fisica, UNITEXT for Physics, DOI: 10.1007/978-88-470-5684-8_3
97
98
Funzioni di una variabile complessa
Anzitutto, per poter costruire una “teoria” concernente le funzioni complesse f (z) , e` necessario definire i concetti base da assumere come punto di partenza. Il primo concetto e` – naturalmente – quello di limite: la sua definizione e` in realt`a del tutto ovvia e identica al caso delle funzioni reali. Diremo che la funzione f (z) ha limite finito α nel punto z0 1 lim f (z) = α z→z0
se per ogni ε > 0 si pu`o trovare un δ > 0 tale che si abbia | f (z) − α| < ε
(3.1)
per ogni z = z0 tale che |z − z0 | < δ , cio`e per ogni z (escluso al pi`u z0 ) contenuto nel cerchio di centro z0 e raggio δ . La funzione sar`a poi continua in z0 se lim f (z) = f (z0 )
z→z0
cio`e se la funzione e` definita in z0 ed e` ivi uguale a lim f (z) . z→z0
Per esempio, la funzione f (z) = z/z∗ (dove z∗ indica il complesso coniugato di z) e` continua in tutto il piano complesso, con esclusione del punto z = 0 , dove la funzione non ha limite: per convincersene, basta osservare che, scritto z = ρ ei θ , si ha f (z) = e2 i θ , e si vede che, comunque piccolo si prenda un intorno circolare dell’origine |z| < δ , per nessun numero α pu`o essere soddisfatta la (3.1). Anche la definizione di derivata di una funzione f (z) appare abbastanza naturale: sia f (z) definita in un campo A (cio`e in un insieme aperto di C), si considera il rapporto incrementale f (z) − f (z0 ) z − z0
z, z0 ∈ A
e, se esiste finito il limite di tale rapporto per z → z0 , si dice che f (z) e` derivabile nel punto z0 e si scrive f (z) − f (z0 ) · (3.2) f (z0 ) = lim z→z0 z − z0 Si verifica subito – come e` naturale – che se f (z) e` derivabile in z0 , e` ivi continua. E` importante a questo punto osservare che questa definizione di derivabilit`a per le funzioni complesse, nonostante essa appaia come la pi`u naturale possibile, e` in realt`a uno dei punti fondamentali della teoria, sul quale si fondano le “novit`a” che questa teoria presenta nei confronti dell’usuale analisi reale. Si deve infatti rilevare che la condizione di derivabilit`a espressa dalla (3.2) e` in realt`a una condizione assai forte, perch´e essa implica in sostanza (grazie alla definizione stessa di limite) che il limite del rapporto incrementale deve essere indipendente da ogni “direzione” 1
Naturalmente, in queste definizioni occorre assumere che z0 non sia un “punto isolato” ma un punto interno, o almeno un punto di accumulazione dell’insieme di definizione di f (z) .
3.1 Prime definizioni. Condizioni di olomorfia
99
o “percorso” lungo cui si faccia tendere la variabile z a z0 . E` chiaro allora che, se si considera la funzione f (z) come funzione delle due variabili reali x e y, la condizione di derivabilit`a “in senso complesso”, cio`e nel senso della (3.2), e` un requisito assai pi`u forte della derivabilit`a parziale rispetto a x e a y, e pi`u forte anche della derivabilit`a lungo tutte le direzioni uscenti dal punto considerato. Per esempio, si verifica che le funzioni f (z) = Re z = x ,
g(z) = z∗ = x − i y
sono derivabili parzialmente in ogni punto del piano rispetto alle variabili reali x e y e tuttavia non sono derivabili in nessun punto in senso complesso, poich´e per entrambe il rapporto incrementale ha un limite che dipende dalla direzione lungo cui viene eseguito (il che e` quanto dire che non ha limite!). Una funzione f (z) che sia derivabile con continuit`a in tutti i punti di un campo A viene detta olomorfa o analitica (oppure ancora monogena, con un termine ora alquanto antiquato) in A. Si ha il seguente criterio: Teorema . Condizione necessaria e sufficiente affinch´e una funzione f (z) sia olomorfa in un campo A e` che in ogni punto di A esistano le derivate parziali prime continue fx ed fy e che si abbia 1 (3.3) fx = fy . i Dimostrazione. Necessit`a. Se f (z) e` olomorfa in A, significa che in ogni punto z0 ∈ A il rapporto incrementale che appare nella (3.2) ha limite indipendente dalla direzione lungo cui esso viene eseguito. Scegliendo allora in particolare la direzione parallela all’asse reale e quella parallela all’asse immaginario, si dovr`a avere rispettivamente ⎧ f (x + Δ x, y) − f (x, y) ⎪ ⎪ = fx ⎨ lim f (z + Δ z) − f (z) Δ z=Δ x→0 Δx = f (z) = lim f (x, y + Δ y) − f (x, y) 1 ⎪ Δ z→0 Δz ⎪ = fy . ⎩ lim Δ z=i Δ y→0 iΔy i Sufficienza. L’esistenza delle derivate parziali prime continue in A (e quindi la differenziabilit`a della funzione f (x, y) nel senso dell’analisi reale) assicura che si pu`o scrivere f (z + Δ z) = f (x + Δ x, y + Δ y) = f (x, y) + fx Δ x + fy Δ y + O(|Δ z|) dove O(|Δ z|) e` un infinitesimo con |Δ z| di ordine superiore al primo. Usando allora la condizione (3.3), si ha lim
Δ z→0
fx Δ x + fy Δ y + O(|Δ z|) f (z + Δ z) − f (z) = lim = Δ z→0 Δz Δx+iΔy = lim
Δ z→0
(Δ x + i Δ y) fx + O(|Δ z|) = fx Δx+iΔy
che prova la derivabilit`a di f (z) . In particolare si vede che fx = −i fy .
100
Funzioni di una variabile complessa
Un esempio ovvio di funzioni olomorfe e` dato dalle funzioni f (z) = zn che per n = 0, 1, 2, · · · sono olomorfe in tutto il piano complesso, mentre per n = −1, −2, · · · sono olomorfe in tutto il piano con esclusione del punto z = 0 ; inoltre f (z) = d f /dz = n zn−1 . Dalla (3.3) segue, p.es., che una f (z) “a valori reali”, ci`e f : C → R, e` olomorfa solo se f (z) = costante. Ponendo f = u + i v , la condizione di olomorfia (3.3) diventa u x = vy (3.4) u = −v . y
x
La condizione (3.3), o le condizioni equivalenti (3.4), vengono dette condizioni di Cauchy-Riemann .
3.2 Serie di potenze Consideriamo ora la serie di potenze a termini complessi ∞
∑ an (z − z0 )n = F(z) .
(3.5)
n=0
Esattamente come per le serie reali, si pu`o determinare un numero positivo r (eventualmente uguale a zero o a infinito), detto raggio di convergenza , tale che la serie converge in tutti i punti z interni al cerchio |z − z0 | < r (e anzi converge totalmente, e quindi assolutamente ed uniformemente, in ogni cerchio chiuso |z − z0 | ≤ ρ < r ), mentre non converge nei punti z per i quali |z − z0 | > r . Si verifica subito, inoltre, che all’interno del cerchio di convergenza, la serie di potenze e` olomorfa. Infatti, basta applicare il criterio (3.3) visto nel paragrafo precedente, osservando che le derivate parziali della serie (3.5) possono essere eseguite derivando termine a termine 2 e quindi ∞ 1 ∂F ∂F = ∑ n an (z − z0 )n−1 = . ∂ x n=1 i ∂y
Altro esempio importante e` dato dalle cosiddette serie bilatere : ∞
∞
+∞
n=0
n=1
n=−∞
∑ an (z − z0 )n + ∑ bn (z − z0 )−n = ∑
2
an (z − z0 )n .
(3.6)
Infatti, la serie delle derivate, ottenuta derivando termine a termine una serie di potenze, ha – come e` noto dall’analisi elementare – lo stesso cerchio di convergenza della serie di partenza (3.5) e quindi la serie delle derivate converge uniformemente in questo cerchio. Pertanto essa converge alla derivata della serie (3.5).
3.2 Serie di potenze
101
Sia r il raggio di convergenza della prima parte di tale serie (quella a potenze positive). La seconda, posto 1 w= z − z0 ∞
diventa
∑ bn wn ; sia r il raggio di convergenza di questa: allora essa converge per
n=1
|w| < r , ovvero per |z−z0 | > 1/r ; non converge per |w| > r , ovvero per |z−z0 | < 1/r . Pertanto la serie (3.6) converge nella corona circolare di raggio interno 1/r
e raggio esterno r. Ovviamente, se 1/r > r , non ci sono punti di convergenza; se r ed r sono infiniti il campo di convergenza e` tutto il piano complesso escluso il punto z0 , etc. Naturalmente, all’interno del campo di convergenza, la serie bilatera e` olomorfa. Ricordiamo alcuni esempi notissimi di serie di potenze: la serie geometrica ∞
1
∑ zn = 1 − z ,
r = 1;
n=0
e ancora, p.es., ∞
1 d 1 = , dz 1 − z (1 − z)2
∑ nzn−1 =
n=1
r = 1;
la serie esponenziale ∞
zn
∑ n! := ez ,
r = ∞.
n=0
Da notare che si ha ez1 +z2 = ez1 ez2 (risultato non ovvio partendo da questa definizione!). Alla funzione ez sono collegate poi le funzioni sin z, cos z, etc: ez = ex ei y = ex (cos y + i sin y) , cos z =
1 iz z2 z4 (e + e−i z ) = 1 − + − . . . 2 2! 4!
sin z =
1 iz z3 z5 (e − e−i z ) = z − + − . . . 2i 3! 5!
Da queste definizioni si pu`o subito vedere che p.es. non e` pi`u vero che |sin z| ≤ 1, anzi, l’equazione sin z = α ha infinite soluzioni per qualsiasi α ∈ C! v. anche i §§ 3.8(b e 3.10). Risultano ancora valide le formule di derivazione d/dz(ez ) = ez , d/dz(sin z) = cos z, etc.
102
Funzioni di una variabile complessa
E ancora, per esempio, la serie di potenze ad esponenti negativi ∞
1 1
∑ n! zn = e1/z
n=0
sar`a convergente per |z| > 0 , cio`e per z = 0 . Come altro esempio, la serie bilatera ∞
z n
n=0
a
∑
∞
b n
n=0
z
+∑
e` convergente nella corona |b| < |z| < |a| (dunque c’`e convergenza solo se |a| > |b|) e converge a a/(a − z) + z/(z − b).
3.3 Integrazione delle funzioni di variabile complessa Sia f (z) continua (non necessariamente olomorfa) in un campo A e γ una curva generalmente regolare orientata, contenuta in A. Si definisce l’integrale della f (z) esteso alla curva γ come l’integrale lungo la curva γ della forma differenziale in due variabili f (x, y) dx + i f (x, y) dy , cio`e si pone γ
f (z) dz :=
γ
f (x, y) dx + i f (x, y) dy
(3.7)
con tutte le note propriet`a degli integrali curvilinei piani. Si ha in particolare (Lemma di Darboux): (3.8) f (z) dz ≤ M L , γ
dove M = max | f (z)| ed L e` la lunghezza della curva γ. z∈γ
Dimostrazione. Assumendo una rappresentazione parametrica su γ: x = x(t) t0 ≤ t ≤ t1 y = y(t) si ha, per definizione f (z) dz = γ
t1 %
t0
& f x(t), y(t) x (t) + i f x(t), y(t) y (t) dt =
t1 2 2
& t1 )
= f x(t), y(t) [x (t) + i y (t) dt ≤ | f | x (t) + y (t) dt ≤ t0
≤M
t1 ) t0
t0
2 2 x (t) + y (t) dt = M L .
Il risultato e` valido, in particolare, anche per curve chiuse.
3.4 Teoremi di Cauchy. Esistenza di tutte le derivate
103
3.4 Teoremi di Cauchy. Esistenza di tutte le derivate I teoremi di Cauchy rappresentano lo strumento principale della teoria delle funzioni olomorfe. (a) Teorema di Cauchy . Sia f (z) una funzione olomorfa in un campo A semplicemente connesso (cio`e “senza buchi”; pi`u esattamente: ogni curva semplice chiusa contenuta in A racchiude solo punti di A), allora per ogni curva semplice chiusa γ ' contenuta in A si ha f (z) dz = 0 . (3.9) γ
Dimostrazione. La (3.9) segue dalle condizioni di olomorfia (v. § 3.1) e da un noto teorema per le forme differenziali in due variabili X(x, y) dx + Y (x, y) dy , osservando in particolare che, in questo caso, la condizione ∂Y ∂X = ∂y ∂x affinch´e il differenziale sia esatto coincide con la (3.3).
(a )
Sfruttando ancora una propriet`a delle forme differenziali in due variabili, si pu`o generalizzare il precedente teorema al caso di campi A non semplicemente connessi, nel modo seguente. Sia Γ una curva chiusa generalmente regolare contenuta in A, e si supponga che dentro Γ siano presenti p “buchi” di A (cio`e p regioni ove f non e` olomorfa, v. fig. 3.1): si traccino p curve semplici chiuse γ1 , γ2 , · · · , γ p che racchiudono al loro interno ciascuna di queste regioni (queste curve possono essere qualsiasi, purch´e esterne l’una all’altra e tutte interne a Γ ); in tal modo nella regione interna a Γ ed esterna alle γ1 , γ2 , · · · , γ p la f (z) e` olomorfa. Si ha allora ' Γ
p
f (z) dz = ∑
'
i=1 γi
f (z) dz
(3.10)
A
Γ
γ1 × γ3
×
γ2
Figura 3.1 L’integrale eseguito lungo Γ e` uguale alla somma degli integrali eseguiti lungo γ 1 , γ2 , γ 3 .
104
Funzioni di una variabile complessa
dove tutti gli integrali sono percorsi nello stesso senso (convenzionalmente si assume come positivo il verso antiorario). (b) Formula integrale di Cauchy (o anche secondo Teorema di Cauchy) . Sia f (z) olomorfa in un campo A, sia ζ un qualsiasi punto di A e Γ una curva chiusa generalmente regolare contenente ζ al suo interno e racchiudente solo punti di olomorfia per f (z) . Si ha allora f (ζ ) =
1 2π i
' Γ
f (z) dz . z−ζ
(3.11)
Dimostrazione. Fissato ζ , l’integrando nella (3.11), visto come funzione di z, potr`a non essere olomorfo – entro Γ – soltanto nel punto z = ζ . Se γ e` una circonferenza di centro ζ e raggio ρ abbastanza piccolo da rendere γ tutta interna a Γ , si pu`o applicare il teorema (a ) e si ottiene ' Γ
f (z) dz = z−ζ
' γ
f (z) dz . z−ζ
Il secondo membro di questa eguaglianza pu`o essere riscritto nel modo seguente, osservando che se z ∈ γ si ha z = ζ + ρ ei θ , la rappresentazione parametrica della circonferenza γ si scrive facilmente, e dz = i ρ ei θ dθ : '
f (z) dz = z−ζ
γ
2π f (ζ + ρ ei θ ) 0
ρ ei θ
i ρ ei θ dθ = i
2π 0
f (ζ + ρ ei θ ) dθ .
(3.11 )
Nella (3.11 ) il primo membro non dipende da ρ, quindi nemmeno l’ultimo, che pu`o allora essere calcolato prendendone il limite ρ → 0 , ma l’integrando e` funzione continua di ρ e θ , quindi si ha ' Γ
f (z) dz = lim i ρ→0 z−ζ
2π 0
f (ζ +ρ ei θ ) dθ = i
2π 0
f (ζ ) dθ = 2π i f (ζ ) .
Vale la pena di notare come la formula integrale di Cauchy costituisca un primo sorprendente risultato della teoria che stiamo sviluppando: la (3.11) dice infatti che i valori che la funzione olomorfa f assume nei punti interni a Γ restano determinati dai valori assunti lungo Γ . Risultato questo che non ha nessun analogo, in generale, per le funzioni di variabile reale (v. per`o § 3.14). Come importante corollario della (3.11), si ha che, se f (z) e` olomorfa in un campo A, allora essa e` derivabile quante volte si vuole in A, e quindi tutte le sue derivate sono pure olomorfe in A (ed anche questo risultato e` piuttosto sorprendente). Basta infatti osservare che l’integrando della (3.11) e` , lungo la curva Γ , una funzione continua di z e ζ e inoltre derivabile con continuit`a rispetto a ζ : quindi la derivata n-sima f (n) (ζ ) esiste e pu`o essere calcolata derivando sotto il segno di integrale.
3.5 Sviluppi in serie di Taylor-Laurent
105
Si ha cos`ı (formula integrale di Cauchy generalizzata) f (n) (ζ ) =
n! 2π i
' Γ
f (z) dz . (z − ζ )n+1
(3.12)
Da notare che le relazioni (3.11-12) possono anche essere utilizzate per calcolare alcuni integrali lungo curve chiuse nel piano complesso, come indica il seguente esempio ' sin z 2π i d 2 dz = sin z =0 3 2! dz2 z=0 γ z dove γ e` una qualsiasi curva chiusa che circonda l’origine.
3.5 Sviluppi in serie di Taylor-Laurent Un risultato fondamentale e` costituito dal seguente Teorema . Sia f (z) una funzione olomorfa in un campo A e z0 un punto qualsiasi: allora in ogni corona circolare C aperta, di centro z0 , che sia interamente contenuta in A (cio`e contenga solo punti di olomorfia), la f (z) pu`o essere sviluppata in una serie di potenze (bilatera): f (z) =
+∞
∑
an (z − z0 )n ,
z ∈C.
(3.13)
n=−∞
Se, in particolare, z0 ∈ A , cio`e z0 e` un punto di olomorfia, allora nel pi`u grande cerchio aperto C0 di centro z0 contenuto nel campo di olomorfia A, la funzione pu`o essere sviluppata in una serie “puramente di Taylor”, cio`e in una serie con sole potenze positive di z − z0 : f (z) =
+∞
∑ an (z − z0 )n ,
z ∈ C0 .
(3.14)
n=0
La serie (3.13) si chiama serie di Taylor-Laurent della funzione f (z) nell’intorno del punto z0 e il punto z0 si chiama centro dello sviluppo. Nella fig. 3.2 sono rappresentate due possibili situazioni. Nel caso generale (3.13), chiameremo parte di Taylor la parte dello sviluppo contenente le potenze posivive (n ≥ 0) di z − z0 , e parte di Laurent o parte singolare la parte contenente le potenze negative. Nel secondo caso (3.14) si ha evidentemente l’usuale relazione an =
f (n) (z0 ) , n!
n = 0, 1, 2, · · · .
(3.14 )
Per illustrare meglio questo risultato (la cui dimostrazione parte dalla formula integrale di Cauchy, e quindi da un risultato tipicamente valido nell’ambito delle fun-
106
Funzioni di una variabile complessa
C1
A z1
z2
C2
Figura 3.2 Lo sviluppo in serie di Taylor-Laurent intorno al punto z1 converge nella corona C1 ; lo sviluppo intorno a z2 e` uno sviluppo di Taylor convergente nel cerchio C2 .
zioni olomorfe), possiamo fare qualche confronto con la situazione corrispondente per le funzioni reali. Come e` noto, nell’analisi reale, la derivabilit`a di una funzione non basta ad assicurare la sviluppabilit`a in serie di Taylor: ad esempio la funzio2 ne f (x) = e−1/x e` ovunque indefinitamente derivabile, ma non e` sviluppabile in serie di Taylor nell’intorno del punto x0 = 0 , infatti la funzione e tutte le sue derivate hanno limite nullo in x0 = 0. La situazione si chiarisce invece in variabile complessa, dove e` precisamente l’olomorfia della funzione che ne garantisce la sviluppabilit`a. A proposito dell’esempio dato sopra, si pu`o notare che la funzione 2 f (z) = e−1/z non e` olomorfa in z0 = 0: basta osservare che – a differenza di quanto risulta studiando la funzione per valori reali – la f (z) non e` nemmeno continua in z = 0, e per vederlo basta per esempio far tendere z a zero lungo l’asse reale e poi lungo l’asse immaginario, oppure ancora lungo la bisettrice del primo quadrante z = x + i x. Inoltre, l’analisi reale non e` in grado di fornire criteri generali diretti per prevedere l’intervallo entro cui lo sviluppo di Taylor di una funzione e` convergente: ad esempio la funzione 1 f (x) = 1 + x2 e` infinitamente derivabile su tutto l’asse reale e tuttavia la convergenza del suo sviluppo in serie di Taylor nell’intorno del punto x = 0 non si estende oltre l’intervallo |x| < 1 . Invece il teorema dato qui sopra risolve in modo completo anche questa questione, poich´e sono le regioni di singolarit`a per la funzione a delimitare i cerchi in cui essa e` sviluppabile. Nel caso appena citato, infatti, la funzione f (z) =
1 1 + z2
presenta punti di singolarit`a in z = ±i e quindi il suo sviluppo di Taylor con centro nell’origine potr`a convergere appunto solo entro il cerchio di raggio 1.
3.6 Propriet`a degli zeri delle funzioni olomorfe
107
Come esempio semplice, la funzione f (z) = 1/(1 − z) ammette il ben noto sviluppo in serie di Taylor gi`a visto, con centro z0 = 0 e valido in |z| < 1, ma ammette anche lo sviluppo ∞ −1 f (z) = ∑ n+1 z n=0 ancora con centro z0 = 0 per`o valido nella corona |z| > 1. E ammette anche lo sviluppo con centro il punto singolare z0 = 1: ma in questo esempio lo sviluppo coincide . . . con la funzione stessa (a−1 = −1 e tutti gli altri an = 0 !). Si osservi ora il seguente importante risultato: ' dz 2πi se n = 1 = (3.15) n 0 se n = 1 (z − z ) γ 0 dove n = 0, ±1, ±2, . . . e γ e` una qualsiasi curva chiusa che racchiude z0 al suo interno. Il risultato e` ovvio se n = 0, −1, −2, . . . poich´e in tali casi l’integrando risulta olomorfo, mentre per n > 0 pu`o essere ottenuto esplicitamente calcolando l’integrale scegliendo come γ una circonferenza di centro z0 e applicando direttamente la definizione e il procedimento dati nel § 3.3, oppure immediatamente applicando la (3.12) ponendo f = 1. Utilizzando la (3.15), si ricava dalla (3.13) (occorre integrare termine a termine una serie, ma questo e` lecito, grazie alla uniforme convergenza della serie di potenze all’interno del suo raggio di convergenza) la seguente espressione generale per i coefficienti an dello sviluppo di Taylor-Laurent: an =
1 2π i
' γ
f (z) dz , (z − z0 )n+1
n = 0, ±1, ±2, · · ·
(3.16)
dove γ e` una curva chiusa contenente al suo interno z0 e contenuta in C. Di qui si ritrova in particolare che se la f (z) e` olomorfa in z0 e all’interno di γ cadono solo punti di olomorfia, allora a−1 = a−2 = · · · = 0 e si ottiene – come gi`a detto – uno sviluppo con la sola parte di Taylor (3.14), mentre se n ≥ 0, e sempre nel caso di f (z) olomorfa in z0 , la (3.16) riproduce con la (3.14 ) la formula di Cauchy generalizzata (3.12).
3.6 Propriet`a degli zeri delle funzioni olomorfe Abbiamo visto nel paragrafo precedente che per la funzione reale e−1/x esiste un punto (il punto x = 0 ) nel quale la funzione e insieme tutte le sue derivate hanno limite nullo. Questo fatto non si pu`o verificare per le funzioni olomorfe; in realt`a 2 abbiamo gi`a detto che passando al campo complesso la funzione e−1/z non e` nemmeno continua nell’origine. Pi`u precisamente si ha il seguente 2
108
Funzioni di una variabile complessa
Teorema . Sia f (z) una funzione olomorfa in un campo A; se in un punto z0 ∈ A la funzione si annulla insieme con tutte le sue derivate f (z0 ) = f (z0 ) = f
(z0 ) = · · · = f (n) (z0 ) = · · · = 0 allora f (z) = 0 identicamente 3 in tutto A . Dimostrazione. In breve, la dimostrazione e` la seguente. Lo sviluppo in serie di Taylor della f (z) nell’intorno di z0 ha tutti i coefficienti nulli, quindi esiste un intorno di z0 in cui f (z) ≡ 0 con tutte le sue derivate pure nulle; sia X l’insieme di tutti i punti di A in cui f (z) = f (z) = f
(z) = · · · = f (n) (z) = · · · = 0 . Se X non invadesse tutto A, sarebbe possibile, detto z un punto della frontiera di X interno ad A, eseguire un altro sviluppo di Taylor di f (z) con centro z . Ma anche in z la funzione e tutte le sue derivate sono nulle: basta infatti calcolare f (n) (z ) eseguendo il limite lim f (n) (z) z→z
facendo variare z nell’insieme X. Pertanto tale sviluppo produce un intorno di z in cui f (z) = f (z) = f
(z) = · · · = f (n) (z) = · · · = 0 e quindi una ulteriore estensione dell’insieme X. Deve essere allora X = A . Sia ora f (z) una funzione olomorfa non identicamente nulla, e sia z0 un punto tale che f (z0 ) = 0 . Per quanto visto sopra dovr`a certamente esistere un numero intero n tale che f (z0 ) = f (z0 ) = f
(z0 ) = · · · = f (n−1) (z0 ) = 0 ,
f (n) (z0 ) = 0 .
(3.17)
Si dice allora che il punto z0 e` per f (z) uno zero di ordine n. Si ha inoltre il seguente Teorema . L’insieme degli zeri di una f (z) non identicamente nulla, olomorfa in un campo connesso A, e` costituito da punti isolati (eventualmente e` vuoto), e i suoi eventuali punti di accumulazione non sono punti di olomorfia. Dimostrazione. Sia z0 uno zero di f (z) e n il suo ordine. Pertanto lo sviluppo della f (z) nell’intorno di z0 sar`a, grazie alla (3.14 ), del tipo seguente f (z) = an (z − z0 )n + an+1 (z − z0 )n+1 + · · · = (z − z0 )n ϕ(z) con
f (n) (z0 ) = 0 . n! Ma allora la funzione ϕ(z) dovr`a mantenersi diversa da zero almeno in un intorno di z0 , e quindi anche la f (z) sar`a diversa da zero in tutto quest’intorno (escluso, naturalmente, il punto z0 ): ci`o significa appunto che gli zeri della f (z) sono isolati. Supponiamo ora che l’insieme degli zeri della f (z) abbia uno o pi`u punti di accumulazione; sia z uno qualsiasi di tali punti e supponiamo, per assurdo, che esso ϕ(z0 ) = an =
3
Si deve in realt`a aggiungere l’ovvia condizione che il campo A sia connesso, cio`e – in termini semplici – che esso non sia costituito da pi`u parti fra esse disgiunte.
3.6 Propriet`a degli zeri delle funzioni olomorfe
109
appartenga al campo di olomorfia A. Allora si avrebbe f (z) = lim f (z) z→z
e il valore di tale limite potrebbe essere calcolato, in particolare, facendo muovere z lungo l’insieme degli zeri che ha z come punto di accumulazione. Ne seguirebbe allora che f (z) = 0 e quindi che anche z sarebbe uno zero per f . Ma ci`o e` impossibile, perch´e z non sarebbe uno zero isolato, in contrasto con la prima parte del teorema. Per esempio, la funzione f (z) = z sin(1/z) si annulla nei punti zn = 1/(nπ) (n = ±1 ± 2, . . .) ma il punto di accumulazione z = 0 di questa successione di zeri non e` punto di olomorfia della funzione (infatti . . .). Una immediata ma assai notevole conseguenza di tali teoremi e` la seguente. Si consideri un campo A e una f (z) olomorfa in A. Ci si pu`o porre il problema di “estendere” la definizione della f (z) in modo da trovare un’altra funzione f0 (z) che coincide con f (z) in tutti i punti di A e che sia olomorfa in un campo A
contenente A. Contrariamente a quanto ci si potrebbe aspettare, questa estensione analitica della funzione f (z) e` unica: infatti, se f0 e f1 fossero due estensioni, olomorfe in A , della funzione f , si avrebbe f0 − f1 = 0 in tutto il sottoinsieme A e quindi, applicando il teorema precedente alla funzione f0 − f1 , si avrebbe f0 ≡ f1 in tutto A 4 . Un risultato simile e` il seguente: siano f1 e f2 due funzioni olomorfe in uno stesso campo A e si supponga di aver verificato che in un certo insieme di punti di A si ha f1 (z) = f2 (z) ; ebbene, e` sufficiente che questo insieme possegga almeno un punto di accumulazione contenuto in A per poterne concludere che f1 ≡ f2 in tutto A. Anche qui basta applicare il teorema gi`a citato alla funzione f1 − f2 . Da qui segue subito, p.es., che anche in campo complesso sin2 z + cos2 z = 1: basta infatti applicare quanto detto alle due funzioni (olomorfe) f1 = sin2 z + cos2 z e f2 = 1 e osservare che la relazione e` vera in tutto l’asse reale. Osserviamo, infine, che quanto visto in questo paragrafo garantisce la possibilit`a di applicare il teorema di de l’Hˆopital nella forma consueta pi`u semplice lim
z→z0
f (z) f (z) = lim
z→z0 g (z) g(z)
nell’ipotesi che f e g siano olomorfe in un intorno di z0 e che f (z0 ) = g(z0 ) = 0 . Per convincersi di questo basta eseguire lo sviluppo in serie di Taylor delle funzioni f e g in un intorno del punto z0 . L’estensione al caso che sia anche f (z0 ) = g (z0 ) = 0 (e cos`ı via) e` ovvia.
4
Si usa chiamare analitica anche una funzione della variabile reale che ammette estensione analitica, e dunque e` sviluppabile in serie di Taylor (almeno localmente).
110
Funzioni di una variabile complessa
3.7 Singolarit`a removibili In questo e nel prossimo paragrafo studieremo il caso di funzioni f (z) che presentano singolarit`a isolate, cio`e che sono olomorfe in tutti i punti di un campo A tranne uno o pi`u punti isolati contenuti in A. In questo paragrafo studieremo il caso in cui la singolarit`a e` “apparente”, nel sin z senso che vedremo. Un esempio tipico e` dato dalla funzione f (z) = , che e` z olomorfa in tutto il piano escluso il punto z0 = 0 . E` per`o immediato verificare che sin z =1 z→0 z lim
e quindi, definendo f (0) = 1 , e` possibile “prolungare con continuit`a” la funzione anche nel punto z = 0 . Come vedremo meglio tra poco, se una funzione f (z) e` olomorfa in tutti i punti di un campo A con esclusione di un punto z0 ∈ A , ma se esiste finito il limite (3.18) lim f (z) = l z→z0
allora, definendo f (z0 ) = l , si estende la definizione di f (z) anche al punto z0 e la funzione cos`ı prolungata e` olomorfa in tutto A. Pi`u in generale, vale il seguente teorema, assai pi`u forte: Teorema . Se una funzione f (z) , olomorfa in un campo A escluso un punto z0 ∈ A , si mantiene limitata in un intorno I contenente z0 al suo interno, cio`e se esistono una costante M e un intorno I contenente z0 al suo interno tali che, per ogni z ∈ I −{z0 } , si abbia | f (z)| ≤ M (3.19) allora si pu`o definire f (z0 ) in modo che la funzione cos`ı prolungata sul punto z0 risulta olomorfa in tutto A. Dimostrazione. Si pu`o certamente calcolare lo sviluppo in serie di Taylor-Laurent della f (z) con centro in z0 , e i coefficienti an saranno dati dalla (3.16). In particolare, per quanto riguarda i coefficienti delle potenze negative a−n , n = 1, 2, · · · , se si sceglie come curva γ nella (3.15) una circonferenza di raggio z0 contenuta nell’intorno I, si avr`a, grazie alla (3.8) e all’ipotesi: 1 ' f (z) | f (z)| 1 max dz ≤ 2π ρ ≤ M ρ n |a−n | = −n+1 2π i γ (z − z0 ) 2π γ ρ −n+1 avendo indicato con ρ il raggio della circonferenza γ. D’altronde i coefficienti a−n non dipendono da ρ, ed inoltre ρ pu`o essere preso piccolo a piacere. Pertanto an = 0, per ogni n = 1, 2, · · · . Ci`o significa che lo sviluppo della f (z) non contiene la parte di Laurent, e quindi la f (z) e` olomorfa anche in z0 ; o, pi`u esattamente, esiste finito il limite lim f (z) = l , per cui, ponendo f (z0 ) = l , la funzione cos`ı prolungata z→z0
in z0 e` olomorfa in tutto A.
3.8 Punti singolari isolati
111
Si dice in questi casi che z0 e` un punto di singolarit`a removibile (o eliminabile) per la f (z); la funzione risulta allora prolungabile in z0 e tale punto diventa punto di olomorfia. 2 P. es., f (z) = (ez − 1)/z ha una singolarit`a removibile in z0 = 0, dove anzi presenta uno zero di ordine 1. Vale la pena di notare che il risultato ora provato e` abbastanza sorprendente, se confrontato con quanto suggerirebbe l’analisi reale: infatti, ad esempio, la funzione reale sin(1/x) e` limitata nell’intorno di x = 0 e tuttavia non esiste certo il limite per x → 0 (invece, in variabile complessa, la funzione sin(1/z) non e` certamente limitata nell’intorno di z = 0, come gi`a fatto notare; v. anche la fine del prossimo paragrafo).
3.8 Punti singolari isolati Studieremo ora il caso di singolarit`a isolate “vere”, cio`e non removibili. Sia allora f (z) olomorfa in un campo A tranne che in un punto z0 ∈ A : eseguito lo sviluppo in serie di Taylor-Laurent della f (z) nell’intorno di z0 , ed escluso il caso che z0 sia una singolarit`a removibile, si potranno dunque presentare soltanto i due casi seguenti. (a) La parte di Laurent contiene un numero finito di termini. Si dice allora che z0 e` una singolarit`a polare (o polo). Si dice che il polo e` di ordine n se n e` il numero intero tale che, in detto sviluppo, si ha: a−n = 0 ,
a−m = 0 per ogni m > n .
Per esempio le funzioni 1/z2 , (sin z)/z3 , (z − sin z)/z5 hanno tutte un polo di ordiz2 ha quattro poli del primo ordine nelle quattro rane 2 in z0 = 0 ; la funzione 1 + z4 dici quarte di −1. Ogni funzione razionale f (z) = P(z)/Q(z) dove P(z) e Q(z) sono polinomi, presenta poli nei punti zi in cui Q(zi ) = 0 di ordine uguale alla molteplicit`a degli zeri zi assumendo P(zi ) = 0, ovviamente . (b) La parte di Laurent contiene infiniti termini. Si dice allora che il punto z0 e` una 2 singolarit`a essenziale . Per esempio la funzione e−1/z presenta tale singolarit`a in z0 = 0 . Vediamo ora alcune propriet`a per ciascuno di questi casi. (a) Singolarit`a polari. Si hanno i seguenti criteri. (i) Condizione necessaria e sufficiente perch´e un punto z0 sia un polo di ordine n per una funzione f (z) e` che esista finito e diverso da zero il limite lim (z − z0 )n f (z) = l = 0 .
z→z0
(3.20)
112
Funzioni di una variabile complessa
(ii) Condizione necessaria e sufficiente perch´e un punto z0 sia un polo di ordine n per una funzione f (z) e` che z0 sia uno zero di ordine n per la funzione 1/ f (z) . (iii) Condizione necessaria e sufficiente perch´e un punto z0 sia un polo per una funzione f (z) e` che (3.21) lim | f (z)| = +∞ . z→z0
Dimostrazione. Proviamo che la (i) e` condizione necessaria. Se infatti f (z) ha un polo di ordine n nel punto z0 , si ha, per definizione, f (z) = T (z − z0 ) + a−1 (z − z0 )−1 + · · · + a−n (z − z0 )−n ,
a−n = 0
dove T (z − z0 ) e` la parte di Taylor dello sviluppo. Allora (z − z0 )n f (z) = (z − z0 )n T (z − z0 ) + a−1 (z − z0 )n−1 + · · · + a−n . Grazie alla convergenza uniforme della serie di potenze, il limite pu`o essere calcolato termine a termine e si ottiene la (3.20) con l = a−n = 0 . La dimostrazione che la condizione (i) e` anche sufficiente non e` molto diversa da questa e per brevit`a verr`a tralasciata. Lo stesso vale per le dimostrazioni dei criteri (ii) e (iii). Per esempio, applicando il criterio (i), oppure (ii), alla funzione z/ sin z si conclude immediatamente che tale funzione presenta poli del primo ordine nei punti z = ±π, ±2π, · · · , ma non nel punto z = 0, dove ha una singolarit`a removibile. (b) Singolarit`a essenziali. Tenuto conto di quanto gi`a detto, se z0 e` un punto di singolarit`a essenziale per una funzione f (z) , il lim f (z) non pu`o esistere, n`e finito n`e infinito. z→z0
Ma il comportamento di una f (z) nell’intorno di una singolarit`a essenziale e` assai pi`u complicato, come mostra il seguente risultato, di cui non diamo la dimostrazione: Teorema di Picard . Se z0 e` un punto singolare essenziale per f (z) , comunque si scelgano un numero complesso α (escluso al pi`u un valore eccezionale) ed un intorno I di z0 , esistono in I infiniti punti in cui f (z) = α . Per esempio, la funzione e1/z assume, in ogni intorno di z = 0 tutti i valori escluso il solo valore α = 0 ; la funzione sin(1/z) assume, in ogni intorno di z = 0 , tutti i valori senza eccezione.
3.9 Calcolo dei residui. Prime applicazioni al calcolo di integrali definiti Sia z0 un punto singolare isolato di una funzione f (z) . Si definisce residuo della f (z) nel punto z0 , e si scrive R f (z0 ) , il seguente integrale R f (z0 ) =
1 2π i
' γ
f (z) dz
(3.22)
3.9 Calcolo dei residui. Prime applicazioni al calcolo di integrali definiti
113
dove γ e` una qualsiasi curva semplice chiusa percorsa in senso antiorario contenuta nel campo di olomorfia di f e contenente z0 (e nessun altro punto singolare) al suo interno. Ovviamente, per il primo teorema di Cauchy, il residuo e` indipendente dalla curva γ. Confrontando con la (3.16), oppure integrando termine a termine la serie (3.13) e ricordando la (3.15), si ha R f (z0 ) = a−1
(3.23)
dove a−1 indica il coefficiente di (z − z0 )−1 nello sviluppo in serie di TaylorLaurent nell’intorno del punto z0 . Se, in particolare, z0 e` un polo di ordine n, si ha f (z) = T (z − z0 ) +
a−1 a−n + ··· + z − z0 (z − z0 )n
dove T (z − z0 ) e` la parte di Taylor dello sviluppo; ne segue (z − z0 )n f (z) = (z − z0 )n T (z − z0 ) + (z − z0 )n−1 a−1 + · · · + a−n e da questa si verifica subito, derivando successivamente, che R f (z0 ) = a−1 =
d n−1 1 (z − z0 )n f (z) . n−1 (n − 1)! dz z=z0
(3.24)
In particolare, se n = 1 , % & a−1 = (z − z0 ) f (z) z=z = lim (z − z0 ) f (z) . 0
z→z0
(3.25)
E` chiaro che – salvo che nel caso di polo del primo ordine – il residuo potr`a anche risultare nullo. Naturalmente, pi`u in generale, una funzione f (z) potr`a presentare pi`u punti di singolarit`a isolati in un dato campo A. Tutti i risultati precedenti sono ancora chiaramente validi per ciascun punto singolare, pur di sottintendere sempre, quando si parla di “intorno” del punto singolare o di “curva contenente” il punto singolare, che ci si deve riferire a intorni e curve che non contengono altri punti singolari. Si ha il seguente fondamentale teorema, la cui dimostrazione segue immediatamente dal teorema di Cauchy e dalla definizione di residuo. Teorema dei residui . Sia f (z) una funzione olomorfa in un campo A. Se γ e` una curva chiusa generalmente regolare contenuta in A che contiene al suo interno solo punti di olomorfia per f (z) escluso un numero finito di punti singolari isolati z1 , z2 , · · · , z p (nessun punto singolare deve trovarsi sulla curva γ), si ha ' γ
f (z) dz = 2π i
∑
R f (zi )
i (interni)
dove la somma e` estesa a tutti i punti singolari interni a γ.
(3.26)
114
Funzioni di una variabile complessa
Possiamo a questo punto mostrare una prima applicazione del calcolo dei residui. Si debba calcolare l’integrale definito +∞ −∞
f (x) dx
(3.27)
dove f (x) e` una funzione della variabile reale x. Il caso tipico al quale e` possibile applicare direttamente tutte le considerazioni seguenti, e` quello in cui f (x) e` una funzione razionale, cio`e un rapporto di polinomi f (x) = P(x)/Q(x) primi fra loro. Si supponga che siano verificate le seguenti condizioni: (i) e` noto a priori che l’integrale esiste finito; (ii) si pu`o estendere al piano complesso la definizione della funzione f (x) in modo da ottenere una funzione f (z) olomorfa in un campo contenente tutto l’asse reale; (iii) la funzione f (z) introdotta in (ii) e` olomorfa in tutto il semipiano complesso “superiore” (cio`e quello in cui Im z > 0 ) escluso al pi`u un numero finito di punti singolari. Se f (x) e` una funzione razionale P(x)/Q(x), la condizione (i) e` verificata se il denominatore Q(x) non ha radici reali (altrimenti f divergerebbe con ordine di infinito maggiore o uguale a uno) e inoltre se, detti nP ed nQ i gradi rispettivi del polinomio al numeratore e di quello al denominatore, si ha nP ≤ nQ − 2 (affinch´e f decresca per x → ±∞ con ordine di infinitesimo maggiore di uno). Le condizioni (ii) e (iii) sono senz’altro verificate: basta semplicemente sostituire x con z nell’espressione di f (x) = P(x)/Q(x) .
Γ
z
× × x −R
R
Figura 3.3 Percorso di integrazione per l’integrale (3.27)
Nelle ipotesi (i), (ii) e (iii), si consideri nel piano complesso z una curva chiusa (v. fig. 3.3) costituita dal segmento [−R, R] dell’asse reale e da una semicirconferenza Γ nel semipiano superiore, di centro l’origine e raggio R. Sia R abbastanza grande da contenere tutti i punti singolari z1 , z2 , · · · , zk di f (z) posti nel semipiano superiore. Grazie al teorema dei residui si ha R −R
f (z) dz +
Γ
f (z) dz = 2π i
∑
i (Im zi >0)
R f (zi ) .
3.9 Calcolo dei residui. Prime applicazioni al calcolo di integrali definiti
115
Prendiamo ora il limite R → ∞ : il secondo membro di questa eguaglianza non cambia; per quanto riguarda l’integrale lungo Γ si ha f (z) dz ≤ max | f (z)| · π R . Γ
z∈Γ
Si aggiunga allora l’ulteriore condizione (automaticamente verificata, come conseguenza della (i), nel caso che f sia una funzione razionale): (iv) per R → ∞ sia (3.28) R · max | f (z)| → 0 . z∈Γ
Si ha allora che Γ · · · → 0 per R → ∞ . Infine l’integrale sul segmento reale tende proprio all’integrale cercato (3.27), per cui si ottiene +∞ −∞
f (x) dx = 2π i
∑
R f (zi ) .
(3.29)
i (Im zi >0)
E` bene sottolineare che la conclusione che l’integrale della f (x) sull’intervallo [−R, R] tenda, per R → ∞ , proprio all’integrale (3.27) e` in realt`a valida solo nell’ipotesi (i) dell’esistenza dell’integrale stesso. Va tenuto presente infatti che l’ integrale (3.27) deve essere inteso, per definizione 5 , nel modo seguente ∞ −∞
f (x) dx = lim
R
R→∞ R →∞
−R
f (x) dx
(3.30)
dove i limiti vanno eseguiti indipendentemente e l’integrale esiste se il risultato non dipende dall’ordine in cui questi due limiti vengono eseguiti. Se invece si sceglie in particolare R = R , il limite che ne risulta definisce il cosiddetto integrale nel senso principale di Cauchy (o parte principale di Cauchy), indicato con P
+∞
−∞
f (x) dx := lim
R
R→∞ −R
f (x) dx .
(3.30 )
E` chiaro che se l’integrale esiste nel senso della (3.30), allora esiste anche nel senso principale di Cauchy e i due valori dell’integrale, calcolati secondo la (3.30) oppure la (3.30 ), coincidono. Questo assicura che il procedimento sopra indicato fornisce il risultato corretto. Viceversa, ci potranno essere delle funzioni per le quali esiste finito l’integrale nel senso principale (3.30 ), che tuttavia non sono integrabili fra −∞ e +∞ : un esempio ovvio e` fornito dalla funzione f (x) = x il cui integrale in senso principale esiste (ed e` evidentemente uguale a zero). Una osservazione simile vale anche p.es. per la funzione f (x) = x/(1 + x2 ): se si tentasse di applicarle la (3.29) ∞ si otterrebbe il risultato paradossale −∞ f (x) dx = πi! In realt`a questa funzione non soddisfa n´e la (i) n´e la (iv). 5
L’integrale nella (3.30) e` l’integrale improprio, gi`a introdotto v. la (2.26) .
116
Funzioni di una variabile complessa
Possono essere utili alcune osservazioni su questo metodo di integrazione. Anzitutto e` chiaro che, affinch´e il procedimento possa funzionare, e` essen ziale che il contributo del percorso “di chiusura” Γ f (z)dz tenda a zero quando R → ∞, ovvero sia verificata la (3.28). Questa condizione e` verificata automaticamente nel caso f (x) = P(x)/Q(x) come gi`a specificato, ma se non e` verificata questo procedimento di integrazione pu`o non essere applicabile. L’esem2 pio forse pi`u evidente e` dato dalla funzione f (x) = e−x : l’integrale eseguito lungo qualsiasi percorso di integrazione come in fig. 3.3 d`a come risultato zero, poich´e all’interno sono contenuti solo punti di olomorfia, ma e` certamente falso che ∞ −x2 dx = 0! ∞ e E` anche chiaro che sarebbe ugualmente possibile richiudere il percorso di integrazione con una semicirconferenza Γ nel semipiano complesso inferiore Im z < 0 (ovviamente nelle ipotesi che ci sia un numero finito di singolarit`a isolate anche nel semipiano inferiore e che −Γ f (z)dz → 0), l’unica differenza e` che la (3.29) diventa ∞
∞
f (x)dx = − 2 π i
∑i
R f (zi )
(3.29 )
(Im zi 1) la funzione cambia per un fattore e4πi/3 . Invece, per f (z) = z (z − 1) e per f (z) = ln z − ln(z − 1) i punti di diramazione sono in z = 0, 1 (e non all’∞): un possibile taglio e` √ z non allora il segmento che congiunge i punti 0 e 1. Infine,√la funzione f (z) = cos √ ha alcun taglio v. infatti le (3.41) , mentre per sin z la discontinuit`a e` 2 sin x. Un altro artificio per studiare le funzioni “a pi`u valori” e` quello di introdurre i fogli di Riemann o “Riemann sheets ”. Considerata una funzione f (z) e introdotto un certo taglio nel piano complesso, si immagina di sovrapporre al primo un secondo piano complesso (secondo foglio di Riemann) identico al primo; indicando con a, b e rispettivamente a , b i margini del taglio nel primo e i corrispondenti nel secondo foglio, si “salda” il margine b con il margine a e si prolunga con continuit`a la funzione f (z) mentre la variabile z passa dal primo al secondo foglio. Dopo che z ha compiuto un intero giro intorno al punto di diramazione nel secondo foglio, se la funzione assume lo stesso valore che aveva sul margine a del primo foglio, si “salda” a questo il margine b del secondo foglio. Se invece il valore e` ancora √ diverso, si prolunga la variabile su di un terzo foglio, e cos`ı via. La funzione z ha due soli fogli; z1/n ha n fogli; ln z ne ha infiniti. Studieremo ora qualche applicazione di quanto visto. Si debba calcolare l’integrale ∞ √ x dx . (3.44) 2 0 1+x Si consideri innanzitutto la corrispondente funzione di z variabile complessa √ z F(z) = 1 + z2 fissando il taglio per questa funzione lungo l’asse reale positivo. Nel piano z si consideri ora il percorso indicato in fig. 3.5; siano R ed r i raggi di Γ e γ rispettivamente.
124
Funzioni di una variabile complessa
z +i
Γ
I+
γ
I− −i
Figura 3.5 Percorso di integrazione per l’integrale (3.44).
Osservando che le uniche singolarit`a isolate della F(z) sono in z = ±i, si ha dal teorema dei residui, se R > 1 , che '
F(z) dz =
Γ
F(z) dz +
···+
−γ
I−
···+
I+
F(z) dz = 2π i RF (i) + RF (−i) .
Da notare che, grazie alla scelta fatta per la posizione del taglio e quindi con la 3i π/4 prescrizione (3.40), si ha ad esempio R √F (−i) = e√ /2i; il secondo membro della precedente relazione risulta cos`ı 2π i · 2/2i = π 2 . Si prendono ora i limiti R → ∞ e r → 0 in maniera tale che I+ e I− tendono a coincidere rispettivamente con il margine superiore e quello inferiore del taglio; si ha inoltre per R → ∞ : F(z) dz ≤ max |F(z)| · 2π R → 0 Γ
z∈Γ
poich´e |F(z)| ∼ 1/R3/2 per R → ∞. Analogamente, per r → 0 F(z) dz ≤ max |F(z)| · 2π r → 0 z∈γ
γ
e, tenendo conto dei due diversi limiti (3.41) e dei sensi di percorrenza, si ha ∞ √ 0 √ ∞ √ x − x x F(z) dz + F(z) dz → dx + dx = 2 dx . 2 2 2 0 1+x ∞ 1+x 0 1+x I+ I− Combinando tutti i risultati si ha infine ∞ √ x π dx = √ . 2 0 1+x 2 Con lo stesso procedimento si pu`o calcolare p.es. l’integrale ∞ 0
√
dx x(x + 1)
3.12 Punti di diramazione. Tagli. Integrazione lungo tagli
125
notare che l’integrale esiste (la divergenza in x = 0 e` di ordine 1/2), del resto sono soddisfatte anche le condizioni di annullamento del contributo delle circonferenze di chiusura: | Γ F dz| ∼ R−3/2 · 2πR → 0 per R → ∞ e | γ F dz| ∼ r−1/2 · 2πr → 0 per r → 0 (con notazioni ormai chiare). Coerentemente con la scelta del taglio, nel √ calcolo del residuo si deve porre −1 = i (e non −i). L’integrale proposto risulta uguale a π. Pi`u in generale, si possono calcolare integrali della forma ∞ 0
xα f (x) dx
dove α > −1 e` un numero non intero (anche non razionale) ed f (x) una funzione razionale senza divergenze sul semiasse reale positivo e infinitesima all’infinito con ordine > α + 1. Si procede integrando F(z) = zα f (z) lungo lo stesso percorso di fig. 3.5 e si ottiene cos`ı l’integrale voluto a meno del fattore (1 − e2πiα ) come sempre, occorre ricordare la scelta del taglio, dunque p.es. in presenza di un polo in z = −i, si deve scrivere (−i)α = e3iπα/2 . Dai calcoli appena conclusi si vede che questo procedimento conduce ad eseguire l’integrazione sui due margini del taglio (fig. 3.5), che a sua volta porta ad integrare la discontinuit`a al taglio della funzione integranda F(z), ovvero (con simboli ∞ evidenti) F+ (x) − F− (x) dx = 2πi ∑ RF (zi ) . + = 0 I+ I− log z Se ora si va ad eseguire p.es. l’integrazione della funzione F(z) = lungo il 1 + z4 percorso della fig. 3.5, si ottiene ∞ 0
F+ (x) − F− (x) dx =
0
∞
−2πi dx 1 + x4
poich´e F+ (x) = log x/(1 + x4 ) e F− (x) = (log x + 2πi)/(1 + x4 ), e non ∞ log x 0
1 + x4
dx .
Allora, se si vuol calcolare quest’ultimo integrale si deve ricorrere ad una funzione “ausiliaria” g(z) la cui discontinuit`a sia “collegata” a log x/(1 + x4 ). Una possibilit`a e` g(z) = (log z)2 /(1 + z4 ) . . .. Oppure si pu`o integrare log z/(1 + z4 ) lungo un percorso nel primo quadrante del piano complesso cos`ı formato: da 0 a ∞ sul margine superiore dell’asse reale positivo, un quarto di circonferenza (da mandare poi all’∞) e infine da richiudere scendendo lungo l’asse immaginario positivo; occorre ricordare che lungo l’asse immaginario si ha dz = i dy , log(iy) = log y + iπ/2, e notare che all’interno del percorso di integrazione si trova un solo polo del primo ordine. Ancora, ci pu`o essere la necessit`a di eseguire integrazioni lungo tagli di lunghezza finita: p.es. per calcolare integrali del tipo b a
(x − a)±1/2 (b − x)±1/2 f (x) dx
dove f (x) e` una funzione razionale senza divergenze per a ≤ x ≤ b.
(3.44 )
126
Funzioni di una variabile complessa
zi
I+
γa
γb
I− Figura 3.6 Percorso di integrazione nei casi della eq. (3.44’).
L’integrale va eseguito lungo il percorso mostrato in fig. 3.6 e questa volta occorre fare ricorso al teorema esterno dei residui. Si ha infatti '
F(z) dz = 2πi ∑ RF (zi ) + 2πi RF (∞)
notare che il cammino di integrazione nella fig. 3.6 e` percorso in senso orario: cf. con la (3.38)! avendo indicato con F(x) le funzioni integrande nelle (3.44 ) e dove a secondo membro vanno inseriti tutti i residui della funzione F(z), incluso il residuo all’∞ anzi: il solo RF (∞) se, p.es. f (x) = 1, o pi`u in generale se f (x) e` un polinomio . Il primo membro diventa '
=
I+
+
γb
+
I−
+
γa
→
b a
F+ (x) − F− (x) dx
poich´e γa e γb → 0 e dove l’ultimo termine e` proporzionale (a meno di un fattore) all’integrale da calcolare (3.44 ).
3.13 Il lemma di Jordan Si consideri un integrale del tipo +∞ −∞
f (x) ei ν x dx
(3.45)
dove ν e` un qualsiasi numero reale = 0. Si supponga, come gi`a fatto nel § 3.9, che si possa estendere la funzione f (x) al piano complesso in modo da ottenere una funzione f (z) olomorfa in tutto il piano complesso con esclusione di un numero finito di punti singolari (non contenuti sull’asse reale). Si immagini ora di procedere al calcolo dell’integrale con il metodo seguito nel § 3.9: il termine ei ν x diventa, per valori complessi ei ν z = ei ν x e−ν y e ci si pu`o attendere che, quando si valuta il contributo all’integrale lungo la semicirconferenza Γ , la presenza del fattore e−ν y possa servire (nel caso che sia
3.13 Il lemma di Jordan
127
ν y > 0 ) a “migliorare” la situazione, nel senso che esso possa contribuire a far tendere pi`u rapidamente a zero l’integrando e quindi assicurare che Γ · · · → 0 per R → ∞ . Ci attendiamo anzi che, se ν > 0 e si sceglie la semicirconferenza Γ nel semipiano complesso superiore, si possa anche indebolire la condizione (3.28) sulla funzione f (z) ; mentre se ν < 0 si debba “richiudere” il percorso di integrazione scegliendo Γ nel semipiano inferiore. Tutto questo dovrebbe naturalmente essere pi`u rigorosamente provato; ci limitiamo qui ad enunciare il risultato finale che e` noto come Lemma di Jordan : Si consideri l’integrale (3.45) e si supponga che f (z) sia olomorfa in tutto il piano complesso tranne che un numero finito di punti zi (con Im zi = 0). Sia ν > 0 (risp. ν < 0); allora, se Γ e` una semicirconferenza centrata nell’origine e raggio R posta nel semipiano complesso superiore Im z > 0 (risp. nel semipiano complesso inferiore Im z < 0 ) e se e` soddisfatta la condizione pi`u debole della (3.28) (3.46) lim max | f (z)| = 0 R→∞
segue che
z∈Γ
lim
R→∞ Γ
f (z) ei ν z dz = 0 .
Applicando questo risultato si ottiene quindi, se ν > 0 +∞ −∞
f (x) ei ν x dx = 2π i
∑
RF (zi )
ν >0
(3.47)
i (Im zi >0)
dove con F si e` indicata la funzione F(z) = f (z) ei ν z e la somma e` estesa a tutti i punti singolari zi contenuti nel semipiano superiore. Se invece ν < 0 , si ha +∞ −∞
f (x) ei ν x dx = − 2π i
∑i
RF (zi )
ν T . Evidentemente il segnale sar`a tanto pi`u monocromatico quanto pi`u grande e` T per`o non si pu`o prendere T = ∞ poich´e in tal caso non si potrebbe eseguire l’integrale (4.11); vedi per`o pi`u avanti la (4.55 ) . La trasformata di Fourier ottenuta facilmente dalla (4.11) di questo segnale e` sin (ω − ω0 )T g(ω) = 2 (4.13) ω − ω0 e ne concludiamo che – in completo accordo con tutti i precedenti argomenti – questa funzione descrive giustamente la distribuzione spettrale che ci dovevamo attendere per il segnale (4.12); infatti essa indica (v. fig. 4.1) un prevalente contributo delle frequenze vicine ad ω0 (tanto pi`u quanto pi`u T e` grande), insieme alla presenza di altre frequenze che hanno lo scopo di “cancellare” per interferenza il segnale al di fuori dell’intervallo (−T, T ) .
|g(ω)|
ω0
|
ω0+π/T
Figura 4.1 Analisi di Fourier dell’onda “quasi monocromatica” (4.12).
ω
4.2 L’analisi in frequenza e il “principio di indeterminazione”
141
Questo risultato ci conferma dunque – almeno qualitativamente – che la definizione (4.11) di trasformata di Fourier possiede le propriet`a di interpretazione fisica desiderate. Possiamo quindi assumere tale definizione (4.11) come punto di partenza. La funzione |g(ω)|2 prende il nome di densit`a spettrale del segnale f (t) . L’esempio del segnale elettromagnetico (4.12) ora considerato contiene un altro notevolissimo risultato: si vede infatti che quanto pi`u grande si prende T , cio`e se si allunga l’intervallo entro cui il segnale si mantiene monocromatico, tanto pi`u si riduce l’intervallo centrale ω0 ± π/T delle frequenze che costituiscono il segnale e quindi la riga spettrale centrata sulla frequenza ω0 diventa pi`u sottile (oltre che pi`u intensa). Questo fatto non e` casuale, ma si tratta di un risultato ben pi`u generale che – da un punto di vista matematico – dipende solo dalla definizione (4.11). Tale risultato si pu`o enunciare in maniera generale e precisa come segue. Sia data una funzione f (t) , abbastanza “regolare” affinch´e esistano finiti tutti gli integrali che calcoleremo fra poco 2 , e sia g(ω) la sua trasformata di Fourier. Per fissare le idee supporremo che la f (t) rappresenti un treno d’onde elettromagnetiche. Indichiamo con t il cosiddetto baricentro temporale del pacchetto d’onde, definito nel modo seguente 1 +∞ t= t | f (t)|2 dt (4.14) M −∞ dove M=
+∞ −∞
| f (t)|2 dt
(4.15)
e, come vedremo pi`u avanti, si ha anche M=
+∞ −∞
|g(ω)|2
dω . 2π
(4.15 )
Si definisce poi larghezza temporale Δt del pacchetto d’onde la quantit`a Δt 2 = (t − t )2 =
+∞
1 M
−∞
(t − t)2 | f (t)|2 dt .
(4.16)
Analogamente vengono definiti il baricentro spettrale (o frequenza media) ω e la larghezza spettrale Δ ω del segnale nel modo seguente 1 ω= M Δ ω 2 = (ω − ω )2 =
2
+∞ −∞
1 M
ω |g(ω)|2
+∞ −∞
dω 2π
(ω − ω)2 |g(ω)|2
(4.17) dω · 2π
(4.18)
Per esempio, il segnale (4.12) studiato sopra non soddisfa a questa condizione, poich´e darebbe nella (4.18) Δ ω = ∞ (il che non e` in contrasto con il risultato generale (4.19)!). In realt`a l’esempio (4.12) e` un po’ troppo semplificato.
142
Trasformate di Fourier e Laplace
Intuitivamente si pu`o pensare che Δt sia all’incirca uguale al periodo di tempo in cui la f (t) e` apprezzabilmente diversa da zero e Δ ω all’intervallo entro cui cadono le frequenze prevalenti nella corrispondente distribuzione spettrale g(ω) . Come verr`a dimostrato pi`u avanti (§ 4.8), risulta che e` sempre soddisfatta la relazione 1 Δt Δ ω ≥ · (4.19) 2 Proveremo anche che il segno di uguaglianza nella (4.19) si verifica soltanto quando il pacchetto d’onde e` di tipo “gaussiano”, cio`e f (t) = e−α(t−t0 ) e−i ω0 t 2
(4.19 )
per il quale si ottiene (v. la parte finale di questo paragrafo per il calcolo della trasformata di Fourier) t = t0 ,
ω = ω0 ,
Δt 2 =
1 , 4α
Δ ω2 = α .
Il “principio di indeterminazione” (4.19) costituisce un risultato di importanza fondamentale. Esso implica, per esempio, che dovendo necessariamente qualsiasi treno d’onde avere lunghezza temporale finita, non e` possibile ottenere righe spettrali infinitamente sottili anche se il treno d’onde e` quanto pi`u possibile monocromatico. Viceversa, un treno d’onde assai breve avr`a righe spettrali piuttosto allargate. Se ad esempio ci riferiamo al caso della riga rossa atomica del Cd, osservando che per tale riga si ha Δ ω/ω 10−6 in corrispondenza a una lunghezza d’onda di riga ˚ ne ricaviamo subito, usando la (4.19), che tale riga viene prodotta da λ 7000 A, treni d’onde la cui lunghezza spaziale Δ x = c Δt e` dell’ordine della decina di centimetri. Con i laser invece si pu`o arrivare a lunghezze di coerenza spaziale di vari chilometri, con un Δ ω/ω 10−12 . Non e` qui il luogo di soffermarsi su altre implicazioni fisiche della (4.19). Notiamo solo che essa e` valida ogni volta che si e` in presenza di un fenomeno da interpretare in termini ondulatori. E` chiara allora la sua estensione alla meccanica quantistica: il passaggio e` ottenuto tramite il principio di de Broglie, il quale “associa” ad ogni particella con impulso p un’onda di lunghezza d’onda λ = h/p, cio`e un’onda p 2π e−i k x = · con k= λ h¯ La trasformata di Fourier per una funzione del punto x (invece che del tempo t) si potr`a scrivere, volendo mantenere notazioni “fisiche”, g(k) =
∞ −∞
f (x) eikx dx
(4.20)
nel caso di una “funzione d’onda” ψ(x) in meccanica quantistica, sar`a data da +∞ −∞
ψ(x) eikx dx =
+∞ −∞
ψ(x) eipx/¯h dx = ϕ(p)
4.2 L’analisi in frequenza e il “principio di indeterminazione”
143
e la funzione ϕ(p) – o meglio la |ϕ(p)|2 – descriver` a la “distribuzione in impulsi” – anzich´e l’analisi in frequenza – della ψ(x) . La (4.19) diventa ora Δ xΔ k ≥ 1/2 , e quindi, grazie alla formula di de Broglie, si ottiene il ben noto “principio di indeterminazione” di Heisenberg Δ xΔ p ≥ h¯ /2 . Infine, si pu`o introdurre la trasformata di Fourier anche per funzioni di pi`u variabili reali f (x1 , . . . , xn ): g(k1 , k2 , . . . , kn ) =
f (x1 , x2 , · · · , xn ) ei (x,k) d n x
Rn
(4.20 )
dove k1 , k2 , . . . , kn sono n variabili reali e (x, k) = x1 k1 + x2 k2 + · · · + xn kn . Se la f dipende da una (o pi`u) variabili spaziali x e dal tempo t, si pu`o definire la trasformata nel modo seguente g(ω; k) =
R2
f (t; x) ei (ω t−k x) dt dx
in modo che l’analogo delle “componenti monocromatiche” sia dato qui dalle “onde piane” ei (k x−ω t) . In realt`a la scelta del segno davanti alla “ i ” nell’esponente nelle (4.11, 4.20) e` del tutto inessenziale (basta restare coerenti!); per concretezza, nel seguito sceglieremo sempre la definizione (4.11,4.20-20 ). Concludiamo questo paragrafo con il calcolo della F -trasformata della (4.19 ), ovvero (a meno di un cambiamento di variabili t − t0 → t, ω − ω0 → ω ) della gaussiana f (t) = e−α t , 2
α > 0.
Il calcolo pu`o essere eseguito facilmente osservando che √ ω 2 ω 2 −α t 2 + i ω t = − α t − i √ − · 4α 2 α √ √ Posto z = α t −i ω/2 α (usare anche il teorema di Cauchy per riportare l’integrazione sull’asse reale), ci si riconduce al ben noto integrale +∞ −∞
e−x dx =
e si trova
2
g(ω) =
√
π
π −ω 2 /4α e . α
Da notare che anche questa trasformata e` una gaussiana, che risulter`a tanto pi`u “stretta” quanto pi`u la f (t) e` “larga” e viceversa (in accordo con il “principio di indeterminazione”!).
144
Trasformate di Fourier e Laplace
4.3 La trasformata di Fourier in L1 (R) E` chiaro anzitutto che, affinch´e la definizione di partenza (4.11) della trasformata di Fourier sia corretta, basta che la funzione f (t) sia sommabile: +∞
| f (t)| dt < ∞ .
−∞
(4.21)
In tal caso infatti, per ogni ω ∈ R, anche f (t) ei ω t ∈ L1 (R) , essendo | f ei ω t | = | f | . Allora, l’integrale (4.11) esiste e definisce una funzione della nuova variabile reale ω che – come gi`a detto – si chiama trasformata di Fourier (o F −trasformata) della f (t) e si indica con uno dei seguenti simboli +∞ −∞
f (t) ei ω t dt = g(ω) = f((ω) = F ( f ) .
(4.22)
Vi sono alcune immediate propriet`a della trasformata. Anzitutto, se f (t) e` una funzione reale, allora f((−ω) = f(∗ (ω), il che esprime un preciso collegamento fra i valori assunti dalla f((ω) sulle “frequenze negative” con quelli delle frequenze positive. Scrivendo poi eiωt = cos ωt + i sin ωt, si vede immediatamente che la F −trasformata di una funzione reale pari e` una funzione reale pari, e che la F −trasformata di una funzione reale dispari e` una funzione immaginaria pura dispari. Inoltre: (1) La F -trasformazione e` lineare: (si noti che L1 (R) e` uno spazio vettoriale) F (α1 f1 + α2 f2 ) = α1 F ( f1 ) + α2 F ( f2 ) . (2) La funzione g(ω) e` limitata, infatti sup |g(ω)| ≤ sup
ω∈R
+∞ −∞
| f (t) ei ω t | dt =
+∞ −∞
| f (t)| dt = f L1 < ∞
(4.23)
grazie all’ipotesi di sommabilit`a per f (t) . (3) Valgono i seguenti teoremi di traslazione (spesso assai utili in pratica) (i)
F f (t − a) =
−∞
= (ii)
+∞
+∞ −∞
f (t − a) ei ω t dt =
f (t ) ei ω t ei ω a dt = ei ω a F f (t)
F e−i at f (t) =
+∞
−∞
f (t) e−i at ei ω t dt = f((ω − a) .
(4.24) (4.25)
(4) Si ha il seguente Teorema di Riemann-Lebesgue (che non dimostriamo). lim f((ω) = 0 .
ω→±∞
(4.26)
4.4 Continuit`a della trasformata di Fourier
145
(5) Siano f1 , f2 ∈ L1 (R) ; si definisce il prodotto di convoluzione (o prodotto integrale ) delle f1 , f2 , e si indica con f1 ∗ f2 , la funzione ottenuta mediante il seguente integrale ( f1 ∗ f2 )(x) =
+∞ −∞
f1 (x − t) f2 (t) dt .
(4.27)
Si riesce a provare che, nell’ipotesi detta, tale integrale esiste e che anche la funzione ( f1 ∗ f2 )(x) appartiene a L1 (R) . Si verifica poi facilmente che il prodotto di convoluzione e` commutativo e associativo: f1 ∗ f2 = f2 ∗ f1
f1 ∗ ( f2 ∗ f3 ) = ( f1 ∗ f2 ) ∗ f3 .
La fondamentale propriet`a che ci interessa e` la seguente: F ( f1 ∗ f2 ) = f(1 · f(2 .
(4.28)
Infatti si ha F ( f1 ∗ f2 ) = =
+∞ −∞
dx ei ω x
+∞
−∞
+∞
+∞
+∞
−∞
−∞
−∞
dt f2 (t)
dx f1 (x − t) ei ω x = =
+∞ −∞
iω t
dt f2 (t) e
dt f1 (x − t) f2 (t) =
dt f2 (t)
+∞ −∞
+∞ −∞
dy f1 (y) ei ω y ei ω t =
dx f1 (y) ei ω y = f(2 · f(1
avendo potuto scambiare l’ordine delle integrazioni grazie all’ipotesi di sommabilit`a per f1 ed f2 (teoremi di Fubini e Tonelli).
4.4 Continuit`a della trasformata di Fourier Oltre alle propriet`a viste nel paragrafo precedente, si ha ancora: (6) Se f (t) ∈ L1 (R) , la sua trasformata di Fourier f((ω) e` una funzione continua della variabile ω. Dimostrazione. Sia ε un numero reale; si ha, per ogni ω, ( ( | f (ω + ε) − f (ω)| =
+∞ %
−∞
≤
& ei (ω+ε)t − ei ω t f (t) dt ≤
+∞ +∞ iω t iε t e − 1 f (t) dt = |ei ε t − 1| | f (t)| dt . e −∞
−∞
Provare la continuit`a di f((ω) significa evidentemente provare che, quando ε → 0 , il primo membro di questa relazione tende a zero. A tal fine, basta assicurarsi che nell’ultimo membro sia possibile eseguire il limite ε → 0 sotto il segno di integrale.
146
Trasformate di Fourier e Laplace
Si ha infatti eiεt → 1, per ε → 0, puntualmente per ogni t, e la possibilit`a di eseguire il limite nell’ultimo membro dentro l’integrale e` assicurata dal teorema di Lebesgue (enunciato nel § 2.8), poich´e la funzione integranda e` , per ogni ε, maggiorata da una funzione sommabile: |ei ε t −1| | f (t)| ≤ 2 | f (t)| .
Se ora indichiamo con C 0 (R) lo spazio vettoriale delle funzioni continue e limitate, possiamo dunque vedere l’operazione “trasformata di Fourier” come una trasformazione lineare F fra gli spazi vettoriali L1 (R) e C 0 (R) : F : L1 (R) → C 0 (R) .
(4.29)
Introducendo ora negli spazi L1 e C 0 le rispettive norme naturali (v. §§ 2.6, 2.7), e cio`e, se f = f (x) ∈ L1 (R) e g = g(x) ∈ C 0 (R) , f L 1 =
+∞ −∞
| f (x)| dx ,
g C 0 = sup |g(x)| x∈R
(4.30)
si nota cos`ı che l’operatore lineare F e` un operatore continuo rispetto a tali norme 3 : ci`o significa, per definizione, che se L1
f −→ϕ ,
+∞
f − ϕ L1 =
ossia
−∞
| f − ϕ| dt → 0
ne segue che C0
f(−→ϕ( ,
( C 0 = max | f((ω) − ϕ(ω)| ( f(− ϕ → 0.
ossia
ω∈R
Infatti: ( C 0 = max | f((ω) − ϕ(ω)| ( f(− ϕ = max ω∈R
ω∈R
≤
+∞
−∞
[ f (t) − ϕ(t)] ei ω t dt ≤
+∞ −∞
f (t) − ϕ(t) dt = f − ϕ
L1
→ 0.
In altre parole ci`o significa che se una successione di funzioni fn ∈ L1 (R) converge ad una funzione ϕ ∈ L1 (R) rispetto alla norma di L1 (R) (cio`e in media di ordine uno), allora la successione f(n delle trasformate di Fourier converge uniformemente ( alla funzione ϕ.
3
Nella (4.30) si pu`o sostituire il sup con il max, grazie al Teorema di Riemann-Lebesgue (4.26).
4.5 Derivazione e trasformata di Fourier
147
4.5 Derivazione e trasformata di Fourier Nel paragrafo precedente abbiamo visto che, se f ∈ L1 (R) , la sua trasformata di Fourier g(ω) e` una funzione continua. Vediamo ora sotto quali ipotesi la g(ω) e` anche derivabile: a tale scopo scriviamo il rapporto incrementale: g(ω + ε) − g(ω) = ε
+∞ −∞
ei ω t
ei ε t − 1 f (t) dt . ε
Ragionando come nel paragrafo precedente, osserviamo che per la funzione integranda nel secondo membro si ha, per ogni ε, ei ε t − 1 i ω t ei ε t − 1 f (t) = t f (t) ≤ t f (t) . e ε iε t Quindi, se oltre a f (t) ∈ L1 (R) si ha anche t f (t) ∈ L1 (R) , si pu`o eseguire il limite sotto il segno di integrale, grazie al gi`a citato teorema di Lebesgue, e si conclude dg = dω
+∞ −∞
ei ω t it f (t) dt = F it f (t)
(in pratica si e` derivato rispetto ad ω dentro l’integrale). Pi`u in generale, ripetendo il ragionamento, si ha che se f , t f , · · · , t k f ∈ L1 (R) , allora g = F ( f ) ∈ C k (R) (avendo indicato con C k l’insieme delle funzioni continue insieme con le loro prime k derivate); inoltre dhg = F (it)h f (t) , h dω
h = 1, 2, · · · , k
(4.31)
e queste derivate sono tutte (v. § 4.3) funzioni limitate e infinitesime per ω → ±∞ . Se poi f (t) e` una funzione a decrescenza rapida (sottinteso: all’infinito), cio`e, pi`u precisamente, se per ogni intero k si ha t k f (t) ∈ L1 (R) , allora la sua trasformata di Fourier e` indefinitamente derivabile : F ( f ) ∈ C ∞ e tutte le derivate sono limitate. Diamo ora risultati “simmetrici”, validi per il calcolo della trasformata della derivata di una f (t) . Sia allora f (t) ∈ L1 (R) e sia derivabile con derivata f = d f /dt ∈ L1 (R) . Si ha F f (t) =
+∞
−∞
f (t) ei ω t dt = −
+∞ −∞
f (t) i ω ei ω t dt = −i ω F f (t)
avendo integrato per parti e facendo presente che le ipotesi fatte sulla f assicurano che 4 lim f (t) = 0. t→±∞
4 La sola ipotesi f (t) ∈ L1 (R) non implica che f (t) tenda a zero quando t → ±∞ : potrebbe infatti non ammettere limite all’infinito, e | f (t)| potrebbe presentare infinite “oscillazioni” di area ∼ 1/n2 ! Le ipotesi indicate su f ed f escludono questa eventualit`a.
148
Trasformate di Fourier e Laplace
Pi`u in generale, ripetendo il procedimento: se f e` derivabile k volte e inoltre f , f , · · · , f (k) appartengono a L1 (R) , si ha F
dh f dt h
= (−i ω)h F ( f ) ,
h = 1, 2, · · · , k .
(4.32)
Inoltre, per quanto visto nel § 4.3, si ha che |ω k f((ω)| e` limitata, quindi per ω → ±∞ , f((ω) = F ( f ) tende a zero almeno come 1/ω k . Se infine si ha f ∈ C ∞ (R) e se, per ogni intero k, si ha pure che f (k) ∈ L1 (R) , allora |ω k f(| e` limitata per ogni k, quindi f((ω) e` una funzione a decrescenza rapida. Ecco alcuni esempi di trasformate di Fourier che si ottengono mediante (semplice) calcolo diretto. Si introduce per comodit`a la funzione “a gradino” θ (t) talvolta chiamata funzio ne di Heaviside e indicata con H(t) , che sar`a molto usata anche in seguito, definita da 0 per t < 0 . θ (t) = 1 per t > 0 In tutti gli esempi sar`a a > 0. sin aω 1 per |t| < a (i) se f (t) = si trova F f (t) = 2 0 per |t| > a ω eiaω − 1 1 per 0 < t < a si trova F f (t) = (i ) se f (t) = 0 altrimenti iω * 1 0 per t < 0 = θ (t) e−at si trova F f (t) = (ii) se f (t) = −at per t > 0 e a − iω 1 (ii ) F θ (−t) eat = a + iω −a|t| 2a . (iii) F e = 2 a + ω2 Usando la (4.31) si trovano immediatamente le F -trasformate F t k f (t) , dove al posto della f (t) si pu`o sostituire qui sopra. ciascuna delle funzioni degli esempi Usando il lemma di Jordan v. § 3.13, in particolare le (3.47-47 ) , si trova F
π 1 = e−a|ω| . 2 2 a +t a
Infatti, per calcolare l’integrale ∞ −∞
eiωt a2 + t 2
dt
passando al campo complesso (dunque sostituendo t con z), per ω > 0 si deve richiudere il percorso di integrazione nel semipiano superiore e dunque contribuisce il polo in t = i a; mentre per t < 0 si deve richiudere nel semipiano inferiore e dun-
4.6 Trasformata di Fourier in L2 (R)
149
que contribuisce il polo in t = −i a. Da notare che la F -trasformata ottenuta e` una funzione continua, in accordo con il fatto che f (t) = 1/(a2 + t 2 ) ∈ L1 (R). dk 1 Da questa, usando la (4.32) si trovano le F -trasformate di k 2 2 . dt a + t E` facile verificare che tutte queste trasformate soddisfano le varie propriet`a di derivabilit`a, decrescenza, etc. ottenute sopra.
4.6 Trasformata di Fourier in L2 (R) Enunciamo intanto la seguente propriet`a che sar`a utile fra poco. Si consideri il sottoinsieme di L1 (R) costituito dalle funzioni che sono anche a quadrato sommabile, cio`e dalle funzioni f ∈ L1 (R) ∩ L2 (R) . Per tali funzioni, oltre alla norma f L1 , si pu`o definire ovviamente anche la f L2 . Si dimostra allora, mediante alcuni calcoli che non riportiamo, il seguente: Teorema . Se f ∈ L1 (R) ∩ L2 (R) , allora f( ∈ L2 (R) e √ (4.33) f( L2 = 2π f L2 . La (4.33) viene detta uguaglianza di Parseval . Il problema che ora dobbiamo risolvere e` quello di giungere a definire la trasformata di Fourier a quadrato sommabile. E` chiaro intanto che, se anche per funzioni f ∈ L2 (R) ma f ∈ L1 (R) , la definizione di partenza (4.22) non e` applicabile. D’altronde la necessit`a di introdurre una trasformata di Fourier anche in L2 e` motivata da varie ragioni: anzitutto L2 (R) possiede la struttura (pi`u ricca) di spazio di Hilbert; inoltre la trasformata in L2 gode – come vedremo – di particolari propriet`a che, tra l’altro, permettono in modo naturale di definire la trasformazione inversa (e questo e` importante anche per le applicazioni fisiche). Infine, se la funzione f rappresenta p.es. il campo elettrico di un segnale elettromagnetico, la condizione f ∈ L2 si traduce nella condizione fisicamente pi`u accettabile che il segnale trasporti una quantit`a finita di energia, etc. L’introduzione della trasformata di Fourier per funzioni f ∈ L2 (R) e` interessante anche da un punto di vista “metodologico” e per questo verr`a illustrata con ogni dettaglio: si tratta infatti di un esempio esplicito e concreto di “estensione per continuit`a”, simile a quella gi`a studiata nel § 2.17. Il procedimento consiste dei seguenti punti. (i) Provare che ogni funzione f ∈ L2 (R) pu`o essere “approssimata” quanto si vuole (nella norma L2 ) da funzioni contenute in L1 ∩ L2 , cio`e che, per ogni f ∈ L2 , esiste una successione di funzioni fn ∈ L1 ∩ L2 tale che L2
fn −→ f ,
ossia
fn − f L2 → 0
(4.34)
(ovvero che L1 ∩ L2 e` denso, rispetto alla norma L2 , in L2 ). (ii) Detta f(n la successione ( f(n ∈ L2 , per il teorema enunciato all’inizio di questo paragrafo) delle trasformate di Fourier delle funzioni fn sopra trovate, verificare
150
Trasformate di Fourier e Laplace
che tale successione e` anch’essa convergente (in L2 ). Questo fatto suggerisce allora di assumere come trasformata di Fourier della funzione f il limite di questa successione f(n , cio`e di porre per definizione F ( f ) := lim f(n .
(4.35)
n→∞
Affinch´e questa posizione sia completamente lecita resta solo da provare che: (iii) Sia gn un’altra successione ( gn ∈ L1 ∩ L2 ) convergente in L2 alla funzione f , cio`e gn − f → 0 ; allora si ha lim g(n = lim f(n
n→∞
n→∞
cio`e il limite (4.35) non dipende dalla successione che era stata scelta per approssimare la f ∈ L2 . Dimostriamo ora i tre punti del procedimento. Dimostrazione. (i) Data f ∈ L2 , si pu`o considerare la successione delle funzioni “troncate” fn (t) cos`ı definite f (t) per |t| < n fn (t) = (4.36) 0 per |t| > n . Ovviamente fn ∈ L2 (R) , ma anche fn ∈ L1 (R) : infatti l’integrale +∞ −∞
| fn (t)| dt =
+n −n
| f (t)| dt
pu`o essere visto come il prodotto scalare fra la | f | e la funzione (v. § 2.9) 1 per |t| < n g(t) = 0 per |t| > n L2
appartenenti entrambe a L2 (R) . Quindi fn ∈ L1 ∩ L2 . Infine fn −→ f , poich´e f − fn 2 =
+∞ −∞
| f − fn |2 dt =
|t|>n
| f |2 dt =
+∞ −∞
| f |2 dt −
+n −n
| f |2 dt → 0
essendo f ∈ L2 (R) . (ii) Posto f(n = F ( fn ) ∈ L2 , si ha, per l’uguaglianza di Parseval (4.33) √ f(n − f(m L2 = 2π fn − fm L2 → 0 poich´e la successione fn e` convergente in L2 . Allora anche la successione f(n e` di Cauchy e quindi, per la completezza dello spazio L2 , converge ad una funzione appartenente a L2 . Come gi`a detto, questa funzione definisce la trasformata di Fourier f( della f .
4.6 Trasformata di Fourier in L2 (R) L2
151
L2
(iii) Siano fn −→ f e gn −→ f ; allora, grazie ancora alla (4.33), si ha √ √ f(n − g(n = 2π fn − gn ≤ 2π fn − f + gn − f → 0 tutte le norme essendo intese in L2 . Quindi lim f(n = lim g(n = f(. Resta cos`ı provato che la definizione (4.35), che possiamo riscrivere nella forma f((ω) = lim f(n (ω) = lim n→∞
+n
n→∞ −n
f (t) ei ω t dt
(4.37)
definisce correttamente la trasformata di Fourier per le funzioni f ∈ L2 (R) . Notiamo intanto che grazie alla definizione stessa (4.35) e all’uguaglianza di Parseval (4.33), si ha per ogni f ∈ L2 (R) , √ f( = lim f(n = lim 2π fn n→∞
n→∞
dove tutte le norme sono intese in L2 , e quindi √ f( = 2π f
(4.38)
cio`e l’uguaglianza di Parseval e` valida anche per le funzioni f ∈ L2 (R) . Si deduce anche facilmente la seguente eguaglianza di Parseval generalizzata, valida per ogni f , g ∈ L2 (R) : f(, g( = 2π f , g (4.39) che, scritta in forma esplicita, diventa ∞ −∞
f ∗ (t)g(t) dt =
1 2π
∞ −∞
f(∗ (ω)g(ω) dω .
(4.39 )
Riassumendo, possiamo dire che la trasformata di Fourier risulta definita anche per funzioni f ∈ L2 (R) tramite la (4.37), che pu`o essere anche riscritta in modo pi`u conveniente F f (t) = f((ω) = lim
+R
R→∞ −R
f (t) ei ω t dt = P
+∞ −∞
f (t) ei ωt dt
(4.37 )
con l’introduzione del simbolo P di “parte principale di Cauchy” v. alla fine del § 3.9, in particolare la (3.30 ) . La trasformata di Fourier F risulta dunque un operatore lineare dello spazio L2 (R) in se stesso: (4.40) F : L2 (R) → L2 (R) . Inoltre, grazie all’eguaglianza di Parseval, esso e` un operatore continuo nel senso – √ si intende – della norma L2 (R) , con norma F = 2π. Dunque, in particolare, se fn ∈ L2 e fn → f in senso L2 (R) , anche la successione delle F -trasformate f(n e` convergente in senso L2 (R) alla f(, cio`e anche f(n − fˆ L2 → 0 .
152
Trasformate di Fourier e Laplace
Da osservare che si pu`o ricorrere al lemma di Jordan (§ 3.13), anche per il calcolo di trasformate di funzioni f (t) ∈ L2 (R) e non appartenenti a L1 (R) e si debba quindi applicare la (4.37 ): basta infatti osservare che il lemma di Jordan prevede appunto l’esecuzione del lim
+R
· · ·.
si ha f ∈ L2 (R) ma f ∈ / L1 (R) , e – usando Sia per esempio f (t) le (3.47, 47 ) ma anche la (3.46) del lemma di Jordan – si trova +∞ i ω t te π i e−ω per ω > 0 dt = F f (t) = P +ω 2 +1 per ω < 0 −π i e t −∞ R→+∞ −R = t/(1 + t 2 );
(si noti la discontinuit`a di questa trasformata in ω = 0 ).
4.7 Inversione della trasformata di Fourier Proviamo ora che la trasformata di Fourier in L2 (R) e` un operatore invertibile: intanto la iniettivit`a dell’operatore F : L2 (R) → L√2 (R) e` garantita dalla (4.38): infatti da F ( f1 − f2 ) = 0 si ricava 0 = f(1 − f(2 = 2π f1 − f2 e dunque f1 = f2 ; la surgettivit`a verr`a dimostrata fra poco direttamente, verificando che, data comunque una g ∈ L2 (R) , si pu`o trovare una f ∈ L2 (R) la cui trasformata di Fourier coincide con la g, ossia F ( f ) = g . Si pu`o in tal modo introdurre l’operatore inverso F −1 , che si chiamer`a naturalmente antitrasformata di Fourier: F −1 : L2 (R) → L2 (R) .
(4.41)
Precisamente, dimostreremo tra poco che, data una g ∈ L2 (R) , la sua antitrasformata di Fourier f si ottiene mediante la seguente formula f = F −1 (g) =
1 (∗ ∗ g . 2π
(4.42)
In particolare, se g = g(ω) e` una funzione che appartiene anche a L1 (R) , questa formula, scritta esplicitamente, diventa 1 +∞ F −1 g(ω) = f (t) = g(ω) e−i ω t dω . 2π −∞
(4.43)
Se invece g ∈ / L1 (R) , tale integrale andr`a naturalmente sostituito dal limite eseguito sulle funzioni “troncate”, come nella (4.37) o (4.37 ): F
−1
+∞ 1 P g(ω) e−i ω t dω · g(ω) = f (t) = 2π −∞
(4.43 )
Dimostriamo ora la formula (4.42) (Teorema di inversione di Fourier ). Dimostrazione. Si tratta di provare che, assegnata una qualsiasi funzione g ∈ L2 (R) ,
4.7 Inversione della trasformata di Fourier
153
la funzione f definita dalla (4.42) e si noti che f ∈ L2 (R) ha come F -trasformata la g, cio`e che f( = g , ovvero che f(− g L2 = 0. Si ha infatti f(− g 2 =2π f 2 + g 2 − ( f(, g) − (g, f()=2π
1 2π g 2 + g 2 − ( f(, g)−(g, f() 4π 2
avendo usato l’eguaglianza di Parseval e la (4.42). D’altronde, dette fm e gn le funzioni “troncate” rispettivamente di f e di g, si ha (il ricorso alle funzioni troncate – essendo queste sommabili – consente di eseguire il cambiamento nell’ordine di integrazione) (g, f() = lim (gn , f(m ) = lim n,m→∞
n,m
dξ
g∗n (ξ )
dη fm (η) ei ξ η =
= lim dη fm (η) dξ g∗n (ξ ) ei ξ η = lim fm∗ , g(∗n = n,m
n,m
1 (∗ 2 g = g∗ 2 = g 2 = f ∗ , g(∗ = 2π e osservando infine che ( f(, g) = (g, f()∗ = g 2 , si ottiene finalmente quanto volevasi. Ecco qualche esempio di antitrasfomata: intanto, considerando gli esempi di F trasformata visti nel § 4.7, si ha subito, p.es. 1/2 per |t| < a −1 sin aω F = ; 0 per |t| > a ω 1 = θ (t) e−at a − iω Con calcolo diretto si trova invece: 1 per |ω| < b se g(ω) = 0 per |ω| > b F −1
;
F −1
si ha
1 a2 + ω 2
=
1 −a|t| e . 2a
1 sin bt f (t) = F −1 g(ω) = π t
da cui si ricava anche sin bt 1 per F = π g(ω) = π 0 per t
|ω| < b . |ω| > b
Naturalmente, per il calcolo di antitrasformate il lemma di Jordan e` utile1 anche / L (R) . E` istruttivo applicare il lemma di di Fourier anche se g(ω) ∈ L2 (R) e ∈ Jordan per ritrovare una delle antitrasformate riportate pi`u sopra: f (t) = F −1
1 1 = a − iωb 2π
∞
e−iωt dω . −∞ −ib(ω + ia/b)
Ora la variabile di integrazione e` ω (dunque si deve passare al piano complesso ω), allora, se −t > 0, cio`e t < 0, si deve richiudere nel semipiano superiore, dove non ci
154
Trasformate di Fourier e Laplace
sono singolarit`a e pertanto f (t) = 0; se −t < 0, cio`e t > 0, se richiude nel semipiano inferiore e si trova cos`ı * 0 per t < 0 1 f (t) = = θ (t) e−at/b . 1 1 a 1 −at/b b 2π (−2πi) −ib R − i b = b e Non e` difficile generalizzare questi risultati. Per esempio, volendo trovare la antitrasformata di funzioni del tipo 1 (ω + i a − b)n si pu`o applicare il lemma di Jordan (polo di ordine n in ω = −ia + b), oppure osservare che dn 1 F θ (t)t n e−at−itb = (−i)n = ... n dω a − i ω + i b Se ne conclude che e` possibile calcolare la antitrasformata di Fourier di ogni funzione razionale (rapporto di polinomi) in L1 (R) oppure in L2 (R) , semplicemente riscrivendo tale funzione come combinazione di “frazioni semplici”. (Se il deno/ L2 (R) e la trasforminatore ammette zeri sull’asse reale, la funzione ∈ / L1 (R) e ∈ mata e antitrasformata di Fourier si devono fare ricorrendo alle distribuzioni, come vedremo nel prossimo Capitolo.) Come emerge da tutti questi esempi, si vede che la trasformata e la antitrasformata di Fourier sono operazioni “analoghe” e intercambiabili (a parte il fattore 1/2π, basta scambiare t ed ω e cambiare un segno). Ne segue che molte delle propriet`a dell’una valgono anche per l’altra: per esempio, se la f((ω) e` una funzione L1 (R) , allora la f (t) = F −1 f((ω) e` una funzione continua, etc. infine che la formula per l’antitrasformata di Fourier in pi`u variabili Osserviamo v. la (4.20 ) e` data da f (x1 , x2 , . . . , xn ) =
1 (2π)n
Rn
g(k1 , k2 , . . . , kn ) e−i(x,k) d n k
4.8 Propriet`a della trasformata di Fourier. La trasformata come operatore unitario −1 dia l’espressione precisa della Si pu`o notare come la formula (4.43) della F formula che ci si attendeva v. il § 4.1 e in particolare la (4.5) sulla base della interpretazione della g(ω) come di “distribuzione spettrale” di “componenti monocromatiche” e−i ω t . Anche la (4.33) pu`o essere confrontata con l’identit`a di Parseval (2.39 ) valida per una f (t) ∈ L2 (−T, T ): si ha rispettivamente
+∞ −∞
| f (t)|2 dt =
+∞ −∞
|g(ω)|2
dω 2π
T
,
−T
| f (t)|2 dt ∝
+∞
∑
k=−∞
| fk |2
4.8 Propriet`a della trasformata di Fourier. La trasformata come operatore unitario
155
e il confronto fra queste due identit`a conferma l’analogia che ci ha condotto alla definizione “euristica” (4.11) della g(ω) a partire dalla definizione dei coefficienti fk della serie di Fourier della f (t) in L2 (−T, T ). Tornando al problema esaminato nel § 4.1, e` da notare come il procedimento “empirico” che ci ha condotto a sostituire l’equazione differenziale (4.1) per lo spostamento x(t) con l’equazione algebrica (4.9) per x0 = x0 (ω), acquista un significato preciso: l’equazione (4.9) si ottiene infatti prendendo la trasformata di Fourier di ambo i membri della (4.1), ove si ponga x0 (ω) = F x(t) . Possiamo ora dimostrare la “relazione di indeterminazione” (4.19). Sia f (t) ∈ L2 (R) e abbastanza regolare si richiedono: t f (t) ∈ L1 (R) ∩ L2 (R), ω f((ω) ∈ L2 (R) , lim ω | f((ω)|2 = 0 . Con una eventuale traslazione nel tempo, si pu`o inω→±∞
tanto scegliere per comodit`a t = 0, in tal modo t 2 = Δt 2 . Si consideri la seguente norma in L2 (R): ω −ω d f( 1 2 f((ω) + Δ ω 2 f((ω) 2 + F it f (t) 2 + 0≤ = 2 4 2Δ ω dω 4Δ ω +∞ (∗ ( 1 (∗ (ω) d f + f((ω) d f dω = (4.44) f (ω − ω) + 2Δ ω 2 −∞ dω dω 2π 1 = f (t) 2 +2π Δt 2 f (t) 2 − f((ω) 2 = 4Δ ω 2 2Δ ω 2 1 = 2π f (t) 2 Δt 2 − 4Δ ω 2 (avendo usato l’eguaglianza di Parseval e calcolato per parti l’integrale nella seconda riga), da cui appunto la (4.19). Imponendo infine che la norma che compare all’inizio della (4.44) sia zero (e dunque che Δt Δ ω = 12 ), si ottiene facilmente che f((ω) deve essere una gaussiana, come gi`a anticipato. Riconsiderando ora le propriet`a dell’operatore F (e di F −1 ), in particolare la (4.39) e la invertibilit`a, e` molto importante osservare che, ponendo +( f ) = (2π)−1/2 F ( f ) = √1 P F 2π
∞ −∞
f (t) eiωt dt
+ e` un vero isomorfismo dello spazio di Hilbert L2 (R) in se stesso, o – l’operatore F pi`u precisamente – un operatore unitario v. § 2.19 (b) , e dunque un “cambiamento unitario di base” in L2 (R) . Si pu`o dire dunque che e` totalmente equivalente considerare un problema in termini della f (t) o della F -trasformata f((ω). Questo pu`o fornire – tra l’altro – grandi semplificazioni nei calcoli. Qualche esempio: Usando l’uguaglianza di Parseval (4.33) e una delle F -trasformate gi`a trovate, si calcola facilmente l’integrale ∞ sin2 t −∞
t2
dt =
2π 4
1 −1
dω = π .
156
Trasformate di Fourier e Laplace
Il fatto che l’operatore F e` una trasformazione unitaria implica per esempio che { fn (t)} e` un set ortonormale in L2 (R) se e solo se { f(n (ω)} lo e` . Per esempio, il set sin ωπ f(n (ω) = ω −n
n = 0, ±1, ±2, . . .
e` un set ortogonale ma non completo in L2 (R) poich´e si ha (−1)n e−int per |t| < π fn (t) = F −1 f(n (ω) = 0 per |t| > π 2 che e` ortogonale ma non completo in L2 (R). Ovviamente, qualunque funzione g(ω) ∈ L2 (R) la cui antitrasformata ha supporto fuori dell’intervallo −π, π e` ortogonale a tutte le f(n (ω). Si pu`o anche dire che la successione f(n (ω) tende debolmente a zero per n → ∞ (ma ovviamente non in norma) poich´e queste propriet`a sono verificate dalle fn (t) la convergenza debole segue dalla disuguaglianza di Bessel: v. (2.34) . E ancora, p. es., considerando la successione n t per |t| < 1 n = 0, 1, 2, . . . fn (t) = 0 per |t| > 1 si pu`o subito dire che
d n sin ω f(n (ω) = 2 n dω ω
tende a zero in norma L2 (R), anzi si ha precisamente f(n (ω) 2 = π/(2n + 1). E` inoltre certamente importante vedere come si trasforma un generico operatore lineare T : L2 (R) → L2 (R) per effetto della trasformata di Fourier. Come gi`a visto v. § 2.19(b) , se si ha T f = g , l’operatore trasformato T sar`a definito da T f( = g(
dove
f( = F f ,
T = F T F −1 .
g( = F g,
(4.45)
Ad esempio, se T e` l’operatore di traslazione (T f )(x) = g(x) = f (x − a) , si ha T f((ω) = ei ω a f((ω) , e si vede immediatamente che T e` unitario e che non possiede autofunzioni (infatti . . .), confermando cos`ı quanto gi`a noto per l’operatore T (v. § 2.20). E ancora, se e` T f = h ∗ f dove h = h(x) e` una funzione assegnata, si ha
( T f (ω) = ( h(ω) f((ω) dunque in particolare v. §§ 2.17, 2.20) T = T = sup f(
T f( = sup |( h(ω)| . f( ω∈R
Se, per esempio, sin x h(x) = , πx
allora ( h(ω) =
1 0
per per
|ω| < 1 |ω| > 1
4.9 L’“impedenza” dei circuiti elettrici e la trasformata di Fourier
157
dunque T (e allora anche T ) e` un proiettore: e` il “filtro passa-basso” (fa passare inalterate le frequenze |ω| < 1 e cancella le altre). Un’altra applicazione interessante e` la seguente. Se e` T =−
d2 + x2 dx2
si ha T = T , dunque F T = T F . D’altronde, presa una qualunque autofunzione u = u(x) di T che e` l’operatore di Hermite: v. § 2.23(1) : T u = λ u , ne segue T (F u) = F T u = λ (F u) e, ricordando che λ e` non degenere, se ne ricava F u = μ u (cfr. § 2.20), cio`e che u e` anche autofunzione di F . Allora pure l’operatore F possiede un set completo di autovettori, che sono appunto le funzioni di Hermite. Si osservi ora che sussiste l’eguaglianza + +−1 S = F F dove S e` l’operatore di parit`a in L2 (R) , infatti ∞ ∞ 1 + f (ξ ) +−1 S f (ξ ) = √1 e−iηξ f (−ξ ) dξ = √ eiηξ f (ξ ) dξ = F F 2π −∞ 2π −∞
+4 = I ; ne segue che gli autovalori di F + sono ±1, ±i. Si pu`o an+2 = S e F da cui F che verificare che le funzioni di Hermite u0 (x), u4 (x), . . . , u4n (x) sono autofunzioni con autovalore 1, le u1 (x), . . . , u4n+1 (x) con autovalore i, le u2 (x), . . . , u4n+2 (x) con autovalore −1 e le u3 (x), . . . , u4n+3 (x) con autovalore −i.
4.9 L’“impedenza” dei circuiti elettrici e la trasformata di Fourier Mostreremo ora la trasformata di Fourier in un’altra naturale importante applicazione. A tale scopo ci riferiremo ad un esempio assai semplice, che in realt`a e` soltanto un caso particolare di una situazione ben pi`u generale, che verr`a considerata pi`u avanti, e che serve ad illustrare bene gli aspetti fondamentali della questione. Si consideri dunque il circuito elettrico “serie RL”, descritto dall’equazione RI +L
dI = V (t) , dt
(4.46)
dove V (t) e` la tensione applicata in “entrata” ed I(t) la corrente che circola. In analogia a quanto si e` fatto a proposito del problema delle oscillazioni elastiche (v. § 4.1), cominciamo a supporre che la tensione applicata sia del tipo V (t) = V0 e−i ω t cio`e una tensione alternata di frequenza ω, e cerchiamo una soluzione dello stes-
158
Trasformate di Fourier e Laplace
so tipo: I(t) = I0 e−i ω t . Sostituendo nella (4.46) si ricava la relazione ben nota dall’elettrotecnica elementare (R − i ω L) I0 = V0
(4.47)
la quale mostra come l’ampiezza I0 = I0 (ω) della “risposta” e` collegata a V0 semplicemente da un fattore, dipendente dalla frequenza ω, che esprime l’“impedenza” del circuito. In realt`a si deve notare che in elettrotecnica l’impedenza del circuito “serie RL” e` data normalmente da Z(ω) = R + i ω L : la differenza di segno rispetto alla nostra (4.47) e` dovuta alla diversa definizione che viene usata di regola in elettrotecnica della trasformata di Fourier FE di una funzione f = f (t) e cio`e FE ( f ) =
+∞ −∞
f (t) e−i ω t dt .
Con tale definizione si ha – per esempio – come conseguenza FE
d f dt
= +i ω FE ( f )
e il segno opposto rispetto alla nostra formula (4.32) spiega la differenza di segno riscontrata sopra. Naturalmente cambia coerentemente anche l’espressione dell’antitrasformata; non cambiano – come e` ovvio – i risultati fisici, e dunque continueremo ad usare la nostra definizione. Nel caso che la tensione applicata V (t) sia espressa da una funzione generica, ripetendo il solito ragionamento, possiamo immaginare di farne in frequen l’“analisi za”, cio`e di calcolarne la trasformata di Fourier V( (ω) = F V (t) . Come gi`a visto, questo equivale a sostituire l’equazione (4.46) del circuito con la sua trasformata di Fourier, ovvero ( ( I(ω) = G(ω) V( (ω) (4.48) ( dove I(ω) = F I(t) , e la funzione ( = G(ω) ( G =
1 R−iω L
(4.49)
esprime l’“ammettenza” del circuito. Dunque, nota la V (t), e quindi V( (ω), la corrispondente I(t) si ottiene direttamente calcolando l’antitrasformata della (4.48). Il risultato (4.48) e` particolarmente notevole, perch´e intanto mostra direttamente ( che, detta G(t) l’antitrasformata di Fourier della G(ω) , la soluzione I(t) corrispondente ad un dato input V (t) si pu`o scrivere, antitrasformando la (4.48) e usando la (4.28) 5 ( I(t) = G(t) ∗ V (t) , G(t) = F −1 G(ω) . (4.50) 5
Pu`o essere utile far presente che – nella pratica – il calcolo esplicito di un prodotto di convoluzione pu`o risultare non agevole; in genere, e` pi`u semplice utilizzare la (4.48) ed eseguirne la antitrasformata, anzich´e ricorrere alla (4.50).
4.10 Propriet`a della funzione di Green
159
Grazie a questo risultato, si pu`o dire che le propriet` del circuito sono in a fisiche ( teramente riassunte dalla funzione G(t) = F −1 G(ω) . Tale funzione si chiama funzione di Green del sistema. Nel caso del circuito “serie RL”, si ha 1 1 (4.50 ) = θ (t) e−(R/L)t . G(t) = F −1 R − iωL L Da notare che, utilizzando la (4.50) e la (4.48), si ottiene da questa 1 1 ( ( ≤ sup |G(ω)| V (t) = V (t) I(t) = √ I(ω) R 2π ω∈R dove le norme sono ovviamente calcolate in L2 (R) che esprime una sorta di legge di Ohm. In modo del tutto analogo, la funzione ( G(ω) =
(1/m) Ω 2 − ω2 − i γ ω
v. (4.10) e` la trasformata di Fourier della funzione di Green del sistema elastico considerato nel § 4.1, mentre ( G(ω) =
−iω −Lω 2 − iωR + (1/C)
e` la funzione di Green del circuito “serie RLC” descritto dall’equazione differenziale d2I dV dI 1 L 2 +R + I = . dt dt C dt Si lascia per esercizio il calcolo dell’antitrasformata di Fourier di queste funzioni ( G(ω). E` anche chiaro come il procedimento si possa estendere ad equazioni differenziali dello stesso tipo (lineari e a coefficienti costanti).
4.10 Propriet`a della funzione di Green Come mostra l’equazione (4.48), la funzione di Green di un sistema pu`o essere vista come la “risposta” del sistema ad un segnale la cui trasformata di Fourier V( (ω) sia uguale a uno. Evidentemente, per`o, non esiste alcuna funzione la cui trasformata di Fourier sia uguale ad uno; tuttavia si pu`o dare un’interpretazione intuitiva di questo punto con un particolare procedimento di limite, nel modo seguente. Riprendiamo in considerazione il semplice circuito “serie RL” e supponiamo che la tensione V (t) in ingresso sia espressa da una funzione fτ (t) cos`ı definita 1/(2τ) per |t| < τ (4.51) fτ (t) = 0 per |t| > τ .
160
Trasformate di Fourier e Laplace
Si ha immediatamente sin(ω τ) V( (ω) = F ( fτ ) = , ωτ
( I(ω) =
sin(ω τ) · ω τ (R − i ω L)
Immaginiamo ora di eseguire il limite τ → 0 : la funzione fτ (t) tende a zero per ogni t = 0 , mentre non ha limite finito in t = 0 ; corrispondentemente per`o la sua ( tende trasformata F ( fτ ) tende puntualmente, per ogni ω, proprio ad 1, e la I(ω) puntualmente alla trasformata G(ω) della funzione di Green (4.49). Si verifica pure che la risposta I(t) del circuito al segnale fτ (t) ⎧0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 1 1 − e−(R/L) (t+τ) I(t) = 2R τ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎩ e(R/L) τ − e−(R/L) τ e−(R/L)t 2R τ
t ≤ −τ |t| ≤ τ t ≥τ,
ottenibile applicando i procedimenti di calcolo esposti nel § 3.13, tende precisamente, per τ → 0, alla funzione di Green G(t) del circuito “serie RL” (4.50 ) ottenuta nel paragrafo precedente. La funzione di Green di un sistema si pu`o dunque vedere come la risposta all’ipotetico segnale che si ottiene considerando τ → 0 nella fτ (t) (4.51): intuitivamente, un segnale “impulsivo” di durata brevissima e grandissima ampiezza. Il limite per τ → 0 della fτ (t) e` una definizione empirica e alquanto grossolana della delta di Dirac, indicata con δ0 o δ (t), che naturalmente non e` una funzione nel senso usuale del termine (essa viene chiamata distribuzione). Senza soffermarci per ora su una introduzione matematicamente corretta di questo procedimento (v. il Cap. 5), possiamo assumere questa come una definizione “di lavoro” (che verr`a per altro perfettamente giustificata) e utilizzarla per concludere, grazie a quanto appena visto a proposito della trasformata F fτ (t) e del suo limite per τ → 0 , che F δ (t) = lim F fτ (t) = 1 (4.52) τ→0
e cos`ı interpretare la funzione di Green G(t) di un sistema come la risposta del sistema alla δ (t) 6 . Una funzione di Green si dice causale se G(t) = 0 per t < 0: infatti questa propriet`a traduce l’idea che il sistema “risponde” all’input δ (t) solo negli istanti successivi (per un approfondimento di questo aspetto, v. i §§ 4.12-13-14). E` importante notare che negli esempi considerati fin qui (§ 4.9), usando la trasformata di Fourier, si e` ottenuta solo una soluzione particolare dell’equazione differenziale; la soluzione pi`u generale si otterr`a naturalmente sommando alla soluzione particolare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea (questo sar`a necessario, p.es., se si deve trovare la soluzione che soddisfa una assegnata condizione iniziale). 6
Naturalmente, altri tipi di funzioni “approssimanti”, invece delle (4.51), possono essere usati per giungere alla definizione della δ . Importanti esempi saranno presentati e discussi nel § 5.2.
4.11 Prime propriet`a della delta di Dirac
161
Consideriamo come altro esempio l’equazione y˙ − y = f (t) . Usando la trasformata di Fourier, si trova per la funzione di Green ( G(ω) =
−1 1 + iω
da cui
G(t) = −θ (−t) et
dunque una funzione di Green “anticausale” (= 0 per t > 0). In realt`a, aggiungendo a questa la soluzione generale y0 = A et dell’equazione omogenea y˙0 − y0 = 0, cio`e: G(t) = A et − θ (−t) et si vede che la funzione di Green causale si ottiene con A = 1 ed e` Gcaus (t) = θ (t) et . Questa per`o non ammette F -trasformata (nemmeno usando le distribuzioni: v. il prossimo Capitolo), dunque il ricorso alla trasformata di Fourier “seleziona” fra le infinite funzioni di Green quella F -trasformabile, anche se non causale. Invece, nel caso dell’equazione y˙ + y = f (t), la funzione di Green (4.50 ) e` causale ed e` anche l’unica ad ammettere F -trasformata. Situazioni pi`u generali verranno viste nel § 5.7 (ii). ( La funzione di Green G(t) o la sua trasformata G(ω) descrivono dunque completamente il sistema: se si indicano genericamente con a = a(t) il “segnale” e con b = b(t) la “risposta”, si ha, come nelle (4.48,4.50), b(t) = G(t) ∗ a(t)
( ( b(ω) = G(ω) a((ω) .
Negli esempi considerati qui sopra, il sistema era descritto da una equazione differenziale; ma questo e` solo un caso particolare: assai pi`u in generale, un sistema pu`o essere descritto proprio assegnando direttamente una funzione di Green o la sua trasformata di Fourier. Giusto per fare qualche esempio: un “filtro ideale” su un in( ( = 1 per |ω| < ω0 e G(ω) =0 tervallo di frequenze |ω| < ω0 sar`a descritto da G(ω) iωτ ( altrimenti. Oppure, una G(ω) = e /(R − iωL) descrive un circuito RL in cui la risposta e` “ritardata” di un tempo τ. Questo fa intuire la grande potenzialit`a della nozione di funzione di Green, di cui si vedranno vari esempi e applicazioni nel seguito.
4.11 Prime propriet`a della delta di Dirac Pur rinviando, come gi`a detto, al Cap. 5 per una trattazione rigorosa e globale, pu`o essere utile anticipare, usando la nostra definizione “euristica”, altre notevoli propriet`a della delta di Dirac. Anzitutto, partendo da funzioni approssimanti traslate 1/(2τ) per |t − a| < τ fτ, a (t) = (4.53) 0 per |t − a| > τ
162
Trasformate di Fourier e Laplace
e prendendone il limite τ → 0 , si pu`o introdurre la delta traslata δa = δ (t − a) (intuitivamente, un segnale impulsivo concentrato nell’istante t = a ). Utilizzando ancora la nostra definizione della δ , possiamo anche introdurre la derivata di una funzione discontinua: ad esempio, se si vuole calcolare la derivata della θ (t) , si pu`o anzitutto approssimare la θ (t) con funzioni (continue), per esempio: ⎧ per t ≤ −τ ⎨0 1 t per |t| ≤ τ uτ (t) = 2 1 + τ ⎩ 1 per t ≥ τ ; si ha allora
duτ = fτ dt dove le fτ sono ancora le funzioni definite in (4.51); d’altronde uτ (t) → θ (t) (puntualmente) per τ → 0 , e dunque si pu`o dire che (per una giustificazione completa v. il Cap. 5) dθ = δ (t) . dt Il risultato pu`o essere esteso facilmente ad altre funzioni discontinue con discontinuit`a finita: in corrispondenza di una discontinuit`a in un punto t0 , la derivata presenter`a un termine addizionale σ δ (t − t0 ), dove σ e` la discontinuit`a: σ = lim f (t) − lim f (t) . t→t0+
t→t0−
E` importante notare che le formule (4.31) e (4.32) continuano ad essere valide anche in presenza di funzioni discontinue, pur di interpretare la loro derivata nel senso detto qui sopra (v. § 5.3 per la discussione del caso generale). −t Per esempio, sia f (t) = θ (t) e−t : siha d f /dt = δ (t)− θ (t) e : si vede che resta df ancora valida la (4.32) ovvero F dt = −i ω F f (t) infatti F
d f dt
= F δ (t) − θ (t) e−t = 1 −
−iω 1 = = −iω F θ (t) e−t . 1 − iω 1 − iω
Una propriet`a caratteristica della delta di Dirac δ (t − a) e` la seguente: sia ϕ(t) una qualsiasi funzione continua (detta funzione test ) nell’intorno del punto t = a, allora si ha ϕ(t) δ (t − a) dt = ϕ(a) (4.54) I
dove I e` un qualsiasi intervallo contenente il punto a. Questo risultato pu`o essere giustificato utilizzando ancora le funzioni approssimanti fτ, a (t) (4.53): infatti (per il teorema elementare del valor medio) a+τ a−τ
ϕ(t) fτ, a (t) dt = ϕ(t0 )
a+τ a−τ
fτ, a (t) dt = ϕ(t0 )
dove t0 e` un punto contenuto nell’intervallo (a − τ, a + τ) : da ci`o segue la (4.54) quando τ → 0 .
4.11 Prime propriet`a della delta di Dirac
163
La delta pu`o dunque essere considerata come un funzionale: δa (ϕ) = ϕ(a): questo punto di vista e` precisamente alla base della definizione delle distribuzioni e sar`a sviluppato nel prossimo Capitolo. Dalla (4.54) si ha anche I
ϕ(t)t δ (t − a) dt = a ϕ(a) = a
I
ϕ(t) δ (t − a) dt = ϕ(a)
da cui t δ (t) = 0 ,
t δ (t − a) = a δ (t − a) .
Dunque si pu`o interpretare la δ (t − a) come un “autovettore” dell’operatore di moltiplicazione per t, ovvero la δ (x − a) come un “autovettore” dell’operatore di moltiplicazione per x, v. la (2.50). In meccanica quantistica questo si interpreta dicendo che le “autofunzioni” dell’operatore “posizione” x, che non ha autofunzioni in L2 , v. § 2.20, sono pacchetti d’onda infinitamente stretti “localizzati” nel punto x = a. Calcolando la trasformata di Fourier delle fτ,a (t) datenella (4.53) e prendendone il limite per τ → 0 come nel paragrafo precedente oppure anche ponendo ϕ(t) = ei ω t nella (4.54) si trova F δ (t − a) = ei ω a
(4.55)
che generalizza alle δ il teorema di traslazione (4.24). Infine, possiamo facilmente trovare la antitrasformata di Fourier di δ (ω − a): si pu`o ad esempio approssimare δ (ω − a) con funzioni 1/(2κ) per |ω − a| < κ gκ, a (ω) = 0 per |ω − a| > κ calcolare F −1 gκ, a (ω) e poi prendere κ → 0 , oppure estendere alle delta la “simmetria” fra trasformata e antitrasformata; si trova 1 −i at e , F −1 (δ (ω − a) = 2π da cui anche F e−i at = 2π δa = 2π δ (ω − a) ,
1 F −1 δ (ω) = 2π
F (1) = 2π δ0 = 2π δ (ω) .
(4.55 )
La prima delle (4.55 ) ha una chiara interpretazione fisica: essa significa infatti che se si esegue l’analisi in frequenza di un segnale perfettamente monocromatico e−i at di frequenza ω = a , si ottiene – come e` giusto – una distribuzione spettrale interamente concentrata sulla frequenza ω = a e nulla per tutte le frequenze ω = a cio`e una riga spettrale infinitamente sottile; confrontare con la situazione vista nel § 4.2, in particolare a proposito del segnale “quasi monocromatico” descritto dalla (4.12) .
164
Trasformate di Fourier e Laplace
4.12 Relazioni di dispersione: introduzione I risultati visti nei precedenti paragrafi a proposito della funzione di Green di un circuito elettrico non sono che un caso particolare di una situazione ben pi`u generale che ora esamineremo. Consideriamo dunque un sistema fisico qualsiasi, che sia in grado di fornire una “risposta” alle sollecitazioni che gli vengono applicate: per semplicit`a chiameremo “entrata” (o “in”) queste ultime e “uscita” (o “out”) le risposte. I circuiti elettrici sono un esempio di questa situazione: nei paragrafi precedenti abbiamo posto V (t) = “in” ed I(t) = “out”. Un altro esempio al quale dedicheremo fra poco qualche attenzione e` fornito da un campione di materiale dielettrico soggetto a un campo elettromagnetico esterno: in tal caso si pu`o prendere “in” = E(t) = campo elettrico dell’onda incidente, e “out” = P(t) = polarizzazione del mezzo dielettrico, legata – com’`e noto – alla permeabilit`a dielettrica χ e quindi alla costante dielettrica ε del mezzo, come vedremo meglio fra poco. Supponiamo di non conoscere nulla circa la struttura e le propriet`a interne del sistema fisico che stiamo esaminando; le sole ipotesi che assumiamo, dette a(t) l’“entrata” e b(t) l’“uscita” del sistema, sono le seguenti. (1) L’uscita b(t) e` funzione lineare dell’entrata a(t) , cio`e vale il principio di sovrapposizione. (2) La b(t) dipende causalmente da a(t). Come vedremo meglio tra poco, questa ipotesi e` del tutto naturale e ovvia: essa significa in sostanza che c’`e una connessione di “causa-effetto” fra “in” e “out”. (3) Le propriet`a interne del sistema sono indipendenti dal tempo. Vale la pena di notare che queste ipotesi sono estremamente ampie, e per questa ragione quanto diremo sar`a applicabile alle pi`u diverse categorie di fenomeni. Naturalmente vi sono pure molti fenomeni che non le soddisfano: un sistema (ad esempio un circuito) che si riscaldi nel tempo avr`a in generale propriet`a interne che cambiano col tempo e quindi non soddisfa l’ipotesi (3); un magnete vicino alla saturazione non obbedisce certo all’ipotesi di linearit`a, ma la soddisfa approssimativamente quando e` lontano dalla saturazione; nemmeno un circuito contenente un diodo “perfetto” dar`a risposte lineari. Le ipotesi (1-3) sopra enunciate possono essere tradotte in linguaggio matematico nel modo seguente. Sia b(t) la risposta ad un certo istante t, e si assuma per un momento che l’input a(t) agisca solo per un breve istante t : l’ipotesi (1) di linearit`a implica che b(t) deve essere proporzionale ad a(t ) , cio`e b(t) = G(t,t ) a(t ) dove la “costante di proporzionalit`a” G dipender`a in generale da t e t . Dovendo poi “sommare” su tutti gli istanti di tempo t , sar`a b(t) =
+∞ −∞
G(t,t ) a(t ) dt
(4.56)
(naturalmente, per ora non ci preoccupiamo delle propriet`a della G(t,t ), che in realt`a potr`a anche essere una funzione molto “singolare”, come vedremo meglio in seguito, n´e di dare ipotesi che assicurino l’esistenza di questo integrale). La richiesta
4.12 Relazioni di dispersione: introduzione
165
(2) di causalit`a implica poi che il valore della risposta all’istante t deve dipendere soltanto dalle sollecitazioni subite negli istanti t precedenti a t, dunque l’integrale (4.56) va eseguito solo sui contributi degli istanti t < t : b(t) =
t
−∞
G(t,t ) a(t ) dt .
(4.56 )
Infine, l’ipotesi (3) implica, affinch´e il sistema sia “invariante” nel tempo, che la funzione G(t,t ) dipenda solo dall’intervallo di tempo t −t intercorso tra fra l’“in” a(t ) e l’“out” b(t) , e cio`e non dipenda dalla scelta dell’origine dei tempi. Concludendo, le ipotesi (1-3) si riassumono in b(t) =
t −∞
G(t − t ) a(t ) dt
che pu`o anche essere riscritta, mediante cambiamento di variabili b(t) =
∞ 0
G(τ) a(t − τ) dτ = G ∗ a
(4.57)
dove va notato che la funzione G(τ) = G(t −t ) e` uguale a zero per t > t (cio`e per τ < 0 ) per l’ipotesi di causalit`a (2), come si e` visto sopra. Prendendo la trasformata di Fourier della (4.57 ) si ha ( ( b(ω) = G(ω) a((ω) dove naturalmente
( G(ω) =
∞ 0
ei ω t G(t) dt
(4.57 ) (4.58)
e si riconosce che la funzione G(t) e` la funzione di Green del sistema (detta anche funzione di correlazione, o di trasferimento, o di memoria). Nel caso che il sistema in esame sia un circuito elettrico, abbiamo gi`a visto nei paragrafi precedenti qual e` l’interpretazione fisica della funzione di Green e della sua trasformata di Fourier; se dunque la struttura del circuito e` nota, la sua funzione di Green pu`o essere scritta e studiata esplicitamente. Viceversa, l’ipotesi da cui – come gi`a detto – ora intendiamo partire e` che non si conosca nulla circa la struttura del sistema salvo che soddisfi le ipotesi (1-3) e quindi le (4.57, 57 ) , e pertanto il nostro scopo e` quello di ricavare da queste sole ipotesi propriet`a del tutto generali (alle quali poi obbediranno certamente i vari casi particolari esplicitamente noti). Il caso in cui il sistema fisico preso in considerazione e` costituito da un mezzo dielettrico qualsiasi sottoposto a un’onda elettromagnetica si presta assai bene a questa discussione, poich´e certamente conosciamo assai poco circa la struttura interna e il meccanismo con cui esso “risponde” al campo incidente (conosciamo, al pi`u, qualche modello pi`u o meno approssimato e realistico). Nel seguito, per concretezza, ci riferiremo a questo problema, anche per ragioni “storiche”, poich´e queste tecniche sono state usate per la prima volta appunto per questo scopo. Porremo quindi nel seguito a(t) = E(t) = campo elettrico incidente, b(t) = P(t) = polarizzazione
166
Trasformate di Fourier e Laplace
del mezzo; avremo allora, invece della (4.57 ), ( ( P(ω) = χ(ω) E(ω) ( dove si e` usata la notazione χ(ω) = G(ω) , che generalizza la relazione “statica” P = χ E . La dipendenza dalla frequenza della χ = χ(ω) , e quindi di ε = ε(ω) = 1 + 4π χ(ω) si chiama legge di dispersione .
4.13 Teorema di Titchmarsh. Trasformate di Hilbert Se, nelle ipotesi viste, E(t) e P(t) , e quindi anche G(t) , sono funzioni reali, si ha ( subito dalla (4.58), posto G(ω) = χ(ω) = χ + i χ
, χ (ω) = χ (−ω) ,
χ
(ω) = −χ
(−ω) .
(4.59)
Infatti χ(−ω) = χ ∗ (ω) . Se poi nella stessa (4.58) si suppone che la variabile ω sia una variabile complessa, si ottiene χ(−ω ∗ ) = χ ∗ (ω)
(4.59 )
che fornisce una prima precisa restrizione sulla funzione χ(ω) . Supponiamo ora che la funzione di Green G(t) sia una funzione a quadrato sommabile: G(t) ∈ L2 (ipotesi in generale ben accettabile da un punto di vista fisico 7 ); possiamo allora provare che la sua trasformata di Fourier χ(ω) , vista come funzione della variabile complessa ω, e` una funzione olomorfa nel semipiano complesso superiore Im ω > 0 . Infatti, posto ω = ω + i ω
e detto ε un qualsiasi numero complesso, si ha χ(ω + ε) − χ(ω) = ε
∞ iε t e −1 0
iε t
it ei ω t e−ω
t
G(t) dt ;
ma anche t e−ω t ∈ L2 (0, ∞) se ω
= Im ω > 0 , allora t e−ω t G(t) e` sommabile e si pu`o quindi eseguire il limite per ε → 0 sotto il segno di integrale (usando ancora una volta il teorema di Lebesgue), e cos`ı provare che la χ(ω) e` derivabile nel semipiano complesso ω
> 0 . La χ(ω) , per ω reale, e` allora una funzione (∈ L2 ) che si ottiene come “valore al contorno” (cio`e per ω
→ 0+ ) di una funzione olomorfa. Applicando ora il teorema di Cauchy, si ha che '
7
χ(ν) dν = 0 ν −ω
Questa ipotesi esclude tuttavia alcuni casi importanti: ad esempio, il pi`u banale dei sistemi, cio`e quello in cui output ≡ input, e` descritto dalla funzione di Green G(t) = δ (t) . Il teorema dato in questo paragrafo richiede effettivamente l’ipotesi G(t) ∈ L2 . Non e` difficile per`o modificare opportunamente il risultato (e il procedimento) in molti casi in cui tale ipotesi non e` verificata. Qualche esempio verr`a accennato nel seguito.
4.13 Teorema di Titchmarsh. Trasformate di Hilbert
167
se il percorso di integrazione e` contenuto nel campo di olomorfia di χ(ω) e non racchiude il punto ν = ω . Scegliendo ω reale e il percorso di integrazione come in fig. 4.2, si ottiene, con i simboli indicati in figura
ν
γ
I1
I2
|
ω Figura 4.2 Percorso di integrazione per il Teorema di Titchmarsh.
I1
χ(ν) dν + ν −ω
I2
··· +
−γ
··· +
Γ
χ(ν) dν = 0 . ν −ω
Supponiamo ora di poter far coincidere I1 e I2 con l’asse reale (questa possibilit`a non e` ovvia, poich´e sappiamo soltanto che χ(ω) e` olomorfa per ω
> 0 e quindi l’asse reale pu`o non essere interno al campo di olomorfia), e supponiamo anche che quando R (= raggio di Γ ) tende all’infinito l’ultimo integrale tenda a zero; allora, quando r (= raggio di γ ) tende a zero, si pu`o concludere P
+∞ χ(ν) −∞
ν −ω
dν =
1 2π i χ(ω) 2
(4.60)
avendo indicato con P la parte principale di Cauchy e ricordando quanto visto nel § 3.13. Prendendo la parte reale e la parte immaginaria di questa equazione si ha, dette χ (ω) = Re χ(ω) e χ
(ω) = Im χ(ω) : χ (ω) =
1 P π
+∞
χ (ν) −∞
ν −ω
dν ,
χ
(ω) = −
1 P π
+∞
χ (ν) −∞
ν −ω
dν
(4.61)
e si dice allora che χ (ω) e χ
(ω) sono le trasformate di Hilbert l’una dell’altra 8 . Abbiamo cos`ı dato una parziale dimostrazione del Teorema di Titchmarsh, il quale, oltre a garantire la legittimit`a dei passaggi al limite sopra eseguiti, assicura precisamente quanto segue:
8 Esistono varie generalizzazioni di questo procedimento. Ad esempio, in certi casi, e ` noto – per altra via – che la χ(ω) presenta un taglio lungo l’asse reale ed ha un buon andamento all’infinito: si pu`o allora ottenere un collegamento come nella (4.60) utilizzando percorsi di integrazione del tipo di fig. 3.4.
168
Trasformate di Fourier e Laplace
Teorema di Titchmarsh . Per la funzione di Green di un sistema lineare indipendente dal tempo le tre seguenti propriet`a sono equivalenti: 2 (i) G(t) = 0 per t < 0 (che e` l’ipotesi di causalit`a), inoltre G(t) ∈ L e ammette quindi F -trasformata χ(ω) = F G(t) .
(ii) χ(ω ) ∈ L2 , con ω reale, ed e` il limite per ω
= Im ω → 0+ di una funzione χ(ω + i ω
) olomorfa in ω
> 0 , tale inoltre che esiste finito 9 il sup
ω
>0
+∞ −∞
|χ(ω + i ω
)|2 dω
(iii) χ (ω) di Hilbert l’una dell’altra cio`e valgono e χ (ω) sono le trasformate le (4.61) , ed appartengono a L2 .
4.14 Relazioni di dispersione di Kramers e Kronig Le relazioni (4.61) per la permeabilit`a dielettrica χ(ω) sono state ottenute per la prima volta da Kramers e Kronig. Esse sono note sotto il nome di relazioni di spersione e sono una conseguenza del principio di causalit`a, oltre che, naturalmente, delle altre ipotesi (linearit`a, indipendenza dal tempo) viste nel § 4.12, ed anzi ne esprimono, grazie al Teorema di Titchmarsh, una formulazione equivalente. Il loro uso pi`u tipico e` legato al fatto che esse collegano strettamente fra loro due quantit`a fisicamente significative e misurabili, cio`e la parte reale χ della permeabilit`a dielettrica, che e` legata all’indice di rifrazione del mezzo, e la parte immaginaria χ
, che e` √ proporzionale all’indice di assorbimento. Infatti, come e` noto, si √ ha n = ε μ ε e, posto ε = ε + i ε
, n = n + i n
, si√ha ε = 1 + 4π χ , ε
= 4π χ
, e, se l’assorbimento non e` troppo forte, n ε , n
ε
/2 n . D’altronde, l’andamento di un’onda piana di lunghezza d’onda λ0 (nel vuoto) che si propaga nel dielettrico lungo l’asse x e` del tipo ei k0 (x−vt) dove k0 = 2π/λ0 e
v = c/n c(n − i n
)/n 2 ; quindi si ha ei k0 (x−ct/n ) e−n α t , con α > 0 . Il Teorema di Titchmarsh pu`o anche servire, ad esempio, per controllare se un modello teorico obbedisce al principio di causalit`a. Vediamo ora alcune conseguenze che si possono trarre dalla (4.61). (1) Intanto, grazie alle (4.59), le (4.61) diventano anche χ (ω) =
1 P π
+∞ 0
··· +
1 P π
0 −∞
2 χ (ω) = − P π
··· = +∞ 0
2 P π
+∞ 0
ν χ
(ν) dν (4.61 ) ν2 − ω2
ω χ (ν) dν ν2 − ω2
Questo esprime in sostanza una propriet`a della χ(ω) di “buon andamento” all’infinito nel semipiano ω
> 0; si verifica infatti facilmente che la sola ipotesi di olomorfia in ω
> 0 non e` sufficiente in generale a garantire la causalit`a: considerare ad esempio le funzioni e±i ω /(1 − i ω). 9
4.14 Relazioni di dispersione di Kramers e Kronig
169
che hanno il vantaggio, rispetto alle (4.61), di contenere integrali estesi alle sole frequenze “fisiche” ν ≥ 0 . (2) Un mezzo, trasparente in un certo intervallo di frequenze nel quale presenta il fenomeno della dispersione (cio`e il suo indice di rifrazione dipende dalla frequenza), e` necessariamente assorbente ( χ
= 0 ) in qualche altro intervallo di frequenza. Viceversa, tale assorbimento influenza l’andamento della dispersione anche fuori delle regioni di assorbimento. χ
(ω) χ (ω)
ω ω
Figura 4.3 Curve tipiche per la χ(ω) in presenza di un assorbimento.
(3) Una curva tipica per χ
(ω) in vicinanza di una frequenza di assorbimento e` data in fig. 4.3 a sinistra. Usando la prima delle (4.61) – o delle (4.61 ) – si pu`o ricavare, almeno qualitativamente, l’andamento della χ (ω) in corrispondenza della stessa regione di frequenze. Mediante semplici considerazioni sul segno dell’integrando nelle equazioni dette, si pu`o vedere che il conseguente andamento della χ (ω) e` del tipo indicato dalla fig. 4.3 a destra, che mostra la curva tipica della dispersione anomala . (4) Nelle regioni di trasparenza si ha χ
(ω) 0 , quindi nella prima delle (4.61) e delle (4.61 ) si pu`o togliere la P di Cauchy, poich´e il punto ν = ω cade appunto nella regione in cui χ
non contribuisce all’integrale. Derivando la prima delle (4.61 ) per ω reale positivo e ammettendo, come capita di regola, che χ
(ω) > 0 (infatti χ
e` proporzionale all’energia dissipata, che si manifesta come calore emesso, in accordo col secondo principio della termodinamica), si vede che dχ
>0 dω
(4.62)
cio`e nelle regioni di trasparenza l’indice di rifrazione cresce con la frequenza (dispersione normale ). (5) Ancora nelle regioni di trasparenza, con procedimento analogo a quello seguito sopra, si ottiene d (ω 2 χ ) > 0 dω ma, essendo n 2 ε = 1 + 4π χ , tale disuguaglianza diventa, per ω reali positivi n + ω
1 dn
> · dω n
170
Trasformate di Fourier e Laplace
Detta vg la velocit`a di gruppo dell’onda trasmessa, si ha allora 1
1 d
dk dn 1 = n +ω = ω n (ω) = vg dω c dω c dω
da cui
vg < c n .
Analogamente la disuguaglianza (4.62) d`a vg
1 oppure n < 1; in ogni caso si conclude vg < c che, come e` noto, e` un’altra espressione del principio di causalit`a. (6) Si supponga una zona di trasparenza compresa fra due frequenze ω1 e ω2 : se ω2 , si ha dalla prima delle (4.61 ) ω1 ω χ (ω) −
2 1 π ω2
ω1 0
ν χ
(ν) dν +
2 π
∞ ω2
χ
(ν)
B dν = A− 2 ν ω
con A, B positive. Questo risultato precisa il precedente (4.62). Se infine ω e` molto maggiore di tutte le frequenze di assorbimento, si ottiene χ −
C , ω2
ossia
ε 1 −
4π C ω2
che e` l’andamento tipico che si ritrova nel caso dei gas fortemente ionizzati.
4.15 Presenza di singolarit`a nella χ(ω) . Mezzi conduttori Vedremo ora un esempio fisicamente significativoin cui la funzione χ(ω) presenta una singolarit`a in ω = 0 per cui χ(ω) ∈ / L2 . Si supponga che il mezzo considerato sia anche conduttore, con coefficiente di conducibilt`a σ : allora, quando e` sottoposto ad un campo elettrico E, esso viene percorso da una densit`a di corrente totale dP dPeff ≡ Jtot = σ E + dt dt dove si e` introdotta una grandezza efficace Peff per tener conto di entrambi gli effetti fisicamente inseparabili. Ne segue ( ( σ E(ω) − i ω P(ω) = −i ω P(eff (ω) e ponendo
( P(eff (ω) = χ$(ω) E(ω)
4.16 Modello dell’elettrone legato elasticamente
si ricava
χ$(ω) = χ(ω) + i
171
σ · ω
In luogo di χ(ω) si pu`o quindi usare χ$(ω) , che presenta un polo in ω = 0 . Per tale χ$(ω) si pu`o ripetere il ragionamento fatto per ottenere la (4.61) con la differenza che ora bisogna modificare il percorso di integrazione introducendo un’altra semicirconferenza intorno al polo ω = 0 . Facendo tendere a zero il raggio di tale semicirconferenza si ottiene P
+∞ −∞
iσ πσ 1 χ$(ν) dν = π i + π i χ$(ω) = + i π χ$(ω) ν −ω −ω ω
che e` l’analoga della (4.60). Questa tecnica di “isolare” dalla funzione le parti singolari si presta a varie generalizzazioni: “relazioni di dispersione sottratte”. Per esempio, quando la funzione non ha un “buon comportamento” all’infinito, si pu`o provare a sottrarne un termine (ad esempio una costante, oppure un polinomio).
4.16 Modello dell’elettrone legato elasticamente Uno dei pi`u semplici modelli microscopici per un dielettrico e` dato dal cosiddetto modello classico dell’elettrone legato elasticamente, nel quale si suppone che ogni elettrone (massa m, carica e) sia legato tramite una forza elastica al suo nucleo e sia pure soggetto ad un effetto di smorzamento (comprensivo di tutti gli effetti smorzanti: urti, irraggiamento etc.) semplicemente proporzionale alla velocit`a dell’elettrone stesso. Detto x(t) lo spostamento dell’elettrone dalla sua posizione di riposo, l’equazione di moto dell’elettrone sottoposto al campo elettrico E(t) di un’onda elettromagnetica incidente e` allora m x¨ + β x˙ + k x = e E(t) identica all’equazione (4.1) studiata nei primi paragrafi di questo capitolo. Ne segue allora che la polarizzazione totale del mezzo in considerazione, se N e` il numero di elettroni contenuti nell’unit`a di volume, e` P(t) = N e x(t) e quindi, eseguita la trasformata di Fourier, se ne ricava per la χ(ω) la seguente espressione χ(ω) =
N e2 /m ω02 − ω 2 − i γ ω
(4.63)
dove ω02 = k/m e` la “frequenza propria” dell’elettrone e γ = β /m . E` assai interessante ritrovare nella (4.63), come caso particolare, le propriet`a generali viste precedentemente, ivi comprese – per esempio – le relazioni (4.61), il comportamento della χ (ω) nella zona di assorbimento (che e` situata intorno alla frequenza ω0 e che ha larghezza dell’ordine di γ ) e lontano da questa zona. Si noti pure che la
172
Trasformate di Fourier e Laplace
funzione χ(ω) ora ottenuta presenta due poli nel semipiano complesso inferiore, conformemente al principio di causalit`a: se ω02 − γ 2 /4 ≡ a2 > 0 , i poli sono situati in ω± = ±a − i γ/2 e – come si verifica facilmente – la corrispondente funzione di Green ha andamento oscillante smorzato esponenzialmente; se invece ω02 − γ 2 /4 ≡ −α 2 < 0 , i poli sono situati in ω± = −i (γ/2 ± α) e la funzione di Green ha andamento smorzato non oscillante. Pure smorzata non oscillante e` la funzione di Green nel caso ω0 = γ/2 , in cui la χ(ω) presenta un polo doppio in ω = −i γ/2 . Infine, nel caso limite in cui l’elettrone e` non legato (k = 0), si ha ω0 = 0 e quindi la χ(ω) data dalla (4.63) presenta un polo per ω = 0 (tipico dei conduttori, come si e` visto) ed uno per ω = −i γ ; se anche γ 0 si riottiene per la χ(ω) l’andamento previsto per questa situazione nel § 4.14. Terminiamo questo paragrafo indicando un altro esempio semplice di modello per la polarizzazione di un dielettrico: si tratta del cosiddetto “modello viscoso” che e` per`o di natura diversa dal precedente, in quanto non microscopico. Si parte infatti assegnando la funzione di Green nella forma G(t) =
χ0 −t/τ e θ (t) τ
con χ0 e τ costanti, il che corrisponde ad un andamento della polarizzazione che si avvicina esponenzialmente al suo valore asintotico P0 = χ0 E0 “statico”. Anche qui e` facile ritrovare nuovamente le propriet`a generali previste dalla teoria sopra esposta.
4.17 Trasformata di Laplace: prime propriet`a Passiamo ora a definire la trasformata di Laplace : si tratta di una tecnica che, per certi aspetti, generalizza la trasformata di Fourier ed e` assai interessante sia per le sue propriet`a intrinseche che per le sue applicazioni anche elementari (per esempio alla risoluzione dei circuiti elettrici). Applicheremo la trasformata di Laplace soltanto alle funzioni f (x) che sono localmente sommabili, cio`e sommabili su ogni intervallo finito, e inoltre tali che f (x) = 0
per
x < 0.
(4.64)
Quindi, parlando di trasformata di Laplace, sottintenderemo sempre che queste ipotesi siano soddisfatte. Anzi, per semplificare e chiarire fin d’ora le notazioni, precisiamo che quando nel seguito scriveremo – per esempio – f (x) = cos x , intenderemo sempre riferirci alla funzione θ (x) cos x: lasceremo cio`e spesso sottintesa la θ (x), almeno quando non ci sar`a ambiguit`a. Indichiamo con s una variabile complessa e consideriamo la funzione f (x) e−s x
(4.65)
4.17 Trasformata di Laplace: prime propriet`a
173
dove f (x) soddisfa alle ipotesi indicate. Per tutti i valori di s per i quali la (4.65) risulta sommabile rispetto a x, l’integrale ∞ 0
f (x) e−s x dx
definisce quindi una funzione della variabile s che si chiama trasformata di Laplace della funzione f (x) e si indica con L f (x) = F(s) ≡
∞
0
f (x) e−s x dx = f$(s) .
(4.66)
Anzitutto, essendo | f (x) e−s x | = | f | e−s x , dove si e` posto s = Re s , si nota che la sommabilit`a della (4.65) dipende solo dalla parte reale di s. Inoltre, se la (4.65) e` sommabile per un certo valore di s, essa e` sommabile per ogni s1 tale che Re s1 > Re s ; infatti | f (x) e−s1 x | = | f | e−(Re s1 ) x ≤ | f | e−(Re s) x e la sommabilit`a di f (x) e−s1 x segue dalla sommabilit`a di f (x) e−s x e da una propriet`a ricordata nel § 2.8. Ne viene di conseguenza che esister`a un numero reale λ0 con la propriet`a che quando s e` tale che Re s > λ0 la (4.65) e` sommabile, e quando invece Re s < λ0 non e` sommabile. Tale numero λ0 si chiama ascissa di sommabilit`a o ascissa di convergenza della trasformata di Laplace della funzione f (x) . Il semipiano formato dai numeri s tali che Re s > λ0 si chiama semipiano di convergenza della trasformata. L’ascissa di convergenza λ0 dipende ovviamente dalla funzione f e pu`o essere espressa da un qualsiasi numero reale, eventualmente anche da +∞ , nel qual caso la f non ammette trasformata di Laplace (p.es. se 2 f (x) = e+x ), oppure −∞ , nel qual caso l’intero piano complesso s e` piano di conver2 genza per la trasformata (4.66), p.es. se f (x) = e−x oppure se f (x) ha supporto compatto. E` utile, per determinare la trasformabilit`a di una funzione f (x) e il relativo semipiano di convergenza, il seguente Criterio di trasformabilit`a: Data f (x), se esistono tre costanti reali x0 ≥ 0, M > 0, k tali che per ogni x ≥ x0 (4.67) | f (x)| ≤ Mek x allora la trasformata di Laplace della f esiste certamente in tutto il semipiano complesso tale che Re s > k cio`e si ha λ0 ≤ k . Dimostrazione. Scrivendo
∞ 0
| f (x) e−s x | dx =
x0 0
···+
∞ x0
···
il primo degli integrali al secondo membro esiste grazie all’ipotesi di sommabilit`a locale; per quanto riguarda il secondo, si ha, grazie all’ipotesi,
| f (x) e−s x | = | f | e−s x ≤ M e−(s −k) x
174
Trasformate di Fourier e Laplace
e l’ultimo termine, per s = Re s > k , e` chiaramente sommabile tra x0 e ∞ ; quindi e` sommabile anche il primo membro. √
Da quanto detto fin qui, si ricava facilmente, p.es., che le funzioni e± x e xα (α > −1) ammettono trasformata di Laplace con ascissa λ0 = 0. Diamo ora alcuni esempi di L -trasformate, alcune propriet`a e primi teoremi sulla trasformata di Laplace. (1) La trasformata di Laplace e` una trasformazione lineare. (2) Usando la funzione “funzione a gradino” θ (x − a) si ha subito L θ (x − a) =
∞
a
e−s x dx =
e−s x ∞ e−a s = −s a s
dove l’ultimo passaggio e` lecito solo se Re s > 0 , e quindi si ha λ0 = 0 . In particolare si ha L θ (x) = 1/s . (3) Teoremi di traslazione (i) Sia L f (x) = f$(s) con ascissa di convergenza λ0 ; allora cx L e f (x) =
∞
0
f (x) e−(s−c) x dx = Ls−c f (x) = f$(s − c)
inoltre, dovendo essere Re (s − c) > λ0 , ne segue che l’ascissa di L ec x f (x) e` data da λ0 + Re c . Per esempio L (ec x ) =
1 s−c
con
λ0 = Re c
1 1 1 ω − = 2 L sin(ω x) = 2i s − i ω s + i ω s + ω2
(ii) L f (x − a) θ (x − a) = =
∞ a
f (x ) e
Per esempio, sia
λ0 = 0 .
f (x − a) e−s x dx = e dx = e−s a L f (x) .
a −s x −s a
f (x) =
∞
con
sin x 0
per 0≤x≤π altrove ,
allora si pu`o scrivere L f (x) = L θ (x) sin x − θ (x − π) sin x = 1 + e−π s = L θ (x) sin x + θ (x − π) sin(x − π) = 1 + s2 e l’ascissa di questa trasformata e` λ0 = −∞ , poich´e, come gi`a notato, se una funzione f (x) ha supporto compatto, allora evidentemente f (x) e−s x risulta sommabile per ogni valore di s. Questo risultato e` d’altronde in accordo col criterio (4.67).
4.18 Olomorfia della trasformata di Laplace
175
(4) Ricordando la definizione (4.27) di prodotto di convoluzione f1 ∗ f2 di due funzioni, si vede che se le due funzioni soddisfano alla (4.64), tale prodotto diventa ( f1 ∗ f2 )(x) =
+∞ −∞
f1 (x − y) f2 (y) dy =
x
=
0
+∞
f1 (x − y) f2 (y) dy =
0
x 0
f1 (x − y) f2 (y) dy = f1 (t) f2 (x − t) dt
poich´e f2 (y) = 0 per y < 0 e f1 (x − y) = 0 per x − y < 0 . Naturalmente si pone f1 ∗ f2 = 0 per x < 0 . Si verifica immediatamente che si ha L ( f1 ∗ f2 ) = L ( f1 ) L ( f2 ) = f$1 (s) f$2 (s)
(4.68)
che in particolare permette di estendere alla trasformata di Laplace il formalismo e l’interpretazione fisica delle funzioni di Green v. anche il seguente punto (6) . Una utile conseguenza della (4.58) e` la seguente: L
0
x
1 f (t) dt = L ( f ∗ θ ) = L ( f ) . s
(4.69)
(5) Si potrebbe pure dimostrare che lim
Re s→+∞
L ( f ) = 0.
(4.70)
(6) E` anche possibile definire la trasformata di Laplace della distribuzione δ (x − a), (a ≥ 0): utilizzando p.es. un procedimento simile a quello che ha condotto alla sua trasformata di Fourier (4.52) e (4.55), si ottiene L δ (x) = 1 (4.71) e pi`u in generale L δ (x − a) = e−sa .
4.18 Olomorfia della trasformata di Laplace Sia f (x) una funzione e sia λ0 l’ascissa di convergenza della sua trasformata di Laplace F(s) . E` assai notevole il seguente: Teorema . La trasformata di Laplace F(s) e` una funzione olomorfa nel suo semipiano di convergenza Re s > λ0 . Dimostrazione. Proviamo intanto che per ogni numero intero n = 1, 2, · · · , anche la funzione xn f (x) e` trasformabile per ogni s con Re s > λ0 . Fissato infatti un intero n e preso comunque un ε > 0 , si ha xn < eε x per ogni x ≥ x0 , dove x0 e` sufficientemente grande. Nell’intervallo [0, x0 ] la funzione xn f (x) e−s x e` sommabile grazie
176
Trasformate di Fourier e Laplace
alla solita ipotesi di sommabilit`a locale della f , mentre per x ≥ x0 si ha |xn f (x) e−s x | ≤ |e−(s−ε) x f (x)| e quindi la stessa funzione e` certamente sommabile per ogni s tale che Re (s − ε) > λ0 , cio`e Re s > λ0 + ε ; d’altronde ε pu`o essere preso arbitrariamente piccolo. Esattamente come si `fatto altre volte, calcoliamo ora il rapporto incrementale di F(s) ∞ −σ x F(s + σ ) − F(s) e − 1 −s x f (x) dx = e σ σ 0 dove σ e` un incremento complesso della variabile s, ed eseguiamo il limite σ → 0 . Tale limite esiste certamente ed anzi si pu`o dimostrare che esso pu`o essere calcolato eseguendo la derivazione sotto il segno di integrale, se s e` un qualsiasi punto all’interno del semipiano di convergenza della F(s) : in tal caso infatti, per quanto visto sopra, la funzione xn f (x) e−s x risulta sommabile. Ne risulta quindi che la funzione F(s) e` olomorfa in tutto il semipiano di convergenza, essendo ivi derivabile. Ne segue inoltre dF = ds
∞ 0
− x f (x) e−s x dx = L − x f (x)
e pi`u in generale, iterando il ragionamento, dnF = (−1)n L xn f (x) . dsn
(4.72)
Dunque, p.es., la L -trasformata di una funzione a supporto compatto sar`a olomorfa in tutti i punti (al finito) del piano complesso s (v. l’esempio visto nel punto (3) (ii) del paragrafo precedente). In generale, sar`a proprio la singolarit`a con la parte reale pi`u grande a fissare l’ascissa di convergenza λ0 . Una immediata conseguenza della (4.75) e` , ad esempio, n! L (xn ) = L xn θ (x) = n+1 · s da cui anche
L (xn ec x ) =
(4.73)
n! . (s − c)n+1
(4.74)
E` facile ricavare anche le formule “simmetriche” della (4.75) per ottenere la trasformata di Laplace delle derivate di una funzione f (x) . Supponiamo infatti che la funzione f (x) sia derivabile e che anche la sua derivata f (x) sia localmente sommabile; supponiamo inoltre che, per un certo valore di s, entrambe le funzioni e−s x f (x) e e−s x f (x) siano sommabili; si ha allora
L f (x) =
∞ 0
f (x) e−s x dx = − f (0) + s L f (x)
(4.75)
avendo integrato per parti e dove, naturalmente, si intende f (0) = lim f (x) . x→0+
4.19 Inversione della trasformata di Laplace
Pi`u in generale L f (n) (x) = sn L f (x) − sn−1 f (0) − sn−2 f (0) − · · · − f (n−1) (0) .
177
(4.76)
Dall’espressione della trasformata della derivata prima, ricordando la propriet`a (5) del precedente paragrafo, si ha il cosiddetto Teorema del valore iniziale . f (0+ ) = lim f (x) = lim s L ( f ) x→0+
Re s→∞
(4.77)
che permette di ottenere direttamente f (0+ ) dalla L ( f ) .
4.19 Inversione della trasformata di Laplace Come si e` gi`a visto nel caso della trasformata di Fourier, affinch´e un problema concreto possa essere completamente risolto tramite la trasformata di Laplace, e` necessario anche saper “invertire” la trasformata, cio`e, assegnata una funzione F(s) , trovare la funzione f (x) tale che L f (x) = F(s) . Prima di dare la formula generale, notiamo che – come gi`a visto in occasione della trasformata di Fourier – in molti casi abbastanza comuni il calcolo della antitrasformata di Laplace si pu`o effettuare immediatamente: se infatti la funzione F(s) da antitrasformare e` un rapporto di polinomi F(s) = P(s)/Q(s), basta trasformare tale rapporto in una combinazione di “frazioni semplici” 1/(s − k)m e tener conto della (4.74). Si ricordi che, grazie alla (4.70), il grado di P(s) deve essere inferiore al grado di Q(s); se questo non avviene, significa che la F(s) contiene anche la trasformata di qualche distribuzione come la δ (x): v. infatti la (4.71) e anche il § 5.7 (vi). Se compaiono nella F(s) anche fattori della forma e−as , baster`a ricordarsi del teorema di traslazione visto nel § 4.17. Una formula generale per l’antitrasformata di Laplace pu`o essere ottenuta utilizzando le formule note per le trasformate di Fourier nel modo seguente. Data una funzione f (x) , la sua trasformata di Laplace pu`o essere scritta – avendo posto s = s + i s
, con s > λ0 – nella forma ∞
F(s) =
0
f (x) e−s x e−i s x dx = F(−s
) e−s x f (x)
dove F(−s
) indica la trasformata di Fourier, nella variabile ω = −s
, della funzione
e−s x f (x) . Dalla formula per l’antitrasformata di Fourier se ne ricava −s x
e
1 f (x) = 2π
+∞ −∞
F(s , s
) ei s x ds
da cui anche, essendo s = s + i s
, f (x) =
1 2π i
a+i ∞ a−i ∞
F(s) es x ds
(4.78)
178
Trasformate di Fourier e Laplace
dove l’integrale e` eseguito lungo una retta “verticale” di ascissa a > λ0 nel piano complesso s (il risultato non dipende dalla scelta di a, per l’olomorfia di F(s) nel semipiano s > λ0 ). L’integrale stesso pu`o essere calcolato esplicitamente utilizzando i risultati noti per l’integrazione nel piano complesso. In particolare, per x < 0, un’ovvia generalizzazione del lemma di Jordan mostra che richiudendo il cammino di integrazione con una semicirconferenza di raggio R nel semipiano Re s > 0 il contributo dell’integrale su questa semicirconferenza tende a zero quando R → ∞; si ottiene cos`ı che f (x) = 0 per x < 0, come doveva essere.
4.20 Alcune osservazioni sulla trasformata di Laplace Osserviamo innanzitutto che, se una funzione f (x) soddisfa alla (4.64) e inoltre appartiene ad L1 , e` possibile calcolarne sia la trasformata di Fourier f((ω) mediante la (4.22) che la trasformata di Laplace f$(s) mediante la (4.66). Ma si nota che in tal caso questi due integrali sono del tutto simili, l’unica differenza essendo la sostituzione della variabile complessa s nel secondo con la variabile puramente immaginaria −i ω nel primo. Pertanto, se l’ascissa di convergenza λ0 della L -trasformata e` negativa e quindi il semipiano di convergenza contiene l’asse immaginario, la trasformata di Fourier f((ω) e` ottenuta da quella di Laplace f$(s) semplicemente sostituendo in quest’ultima la variabile s con −i ω, cio`e F ( f ) = f((ω) = L(s=−i ω) ( f ) = f$(−iω) . Per esempio, se f (x) = θ (x)e−x si ha rispettivamente F f (x) = 1/(1 − iω) e L f (x) = 1/(s +1). Reciprocamente, sempre nel caso che f (x) soddisfi la (4.64), la sua F trasformata f((ω) , quando si passa a considerare ω come variabile complessa, si pu`o naturalmente intendere come trasformata di Laplace: ne viene allora che f((ω) sar`a una funzione olomorfa nel semipiano di convergenza Re (−i ω) > λ0 cio`e nel semipiano Im ω = ω
> λ0 . Per esempio, nel § 4.13 abbiamo provato che se la funzione di Green G(t) di un sistema lineare causale soddisfa la condizione G(t) ∈ L2 , allo ( $ = L G(t) ra G(ω) e` olomorfa in tutto il semipiano complesso superiore, e G(s) avr`a in tal caso λ0 ≤ 0 ; alla stessa conclusione si giunge se si fa l’ipotesi che la G(t) |k|t ” nel senso preper t → +∞ sia “meno divergente di qualsiasi esponenziale e ciso del criterio (4.67) . Se f (x) ha supporto compatto, allora la sua F -trasformata F f (x) sar`a olomorfa in tutti i punti (al finito) del piano complesso ω. L’uso della L -trasformata in luogo della F -trasformata risulter`a utile quando la funzione in esame non ammette F -trasformata (nemmeno nell’ambito delle distribuzioni, v. il Cap. 5), ma pu` o essere anche conveniente nei casi in cui la F trasformata risulta complicata e semprech´e la (4.64) sia soddisfatta . Ad esempio, possiamo facilmente trovare come il “modello viscoso” di un dielettrico, presentato alla fine del § 4.16, risponde ad un campo elettrico “a scalino” E(t) = E0 θ (t) : si trova facilmente che la risposta e` P(t) = χ0 E0 θ (t) (1 − e−t/τ ) , il che conferma per
4.20 Alcune osservazioni sulla trasformata di Laplace
179
questo modello una polarizzazione che tende asintoticamente al suo valore statico P0 = χ0 E0 . Un altro esempio significativo e` il seguente: sia f(x) una funzione periodica nel senso che, per ogni x ≥ 0 , si ha f (x + T ) = f (x) . Detta F0 (s) =
T 0
f (x) e−s x dx
la L -trasformata della funzione ristretta all’intervallo [0, T ] , le L -trasformate delle funzioni ristrette ai successivi intervalli, grazie al secondo teorema di traslazione, risultano e−s T F0 (s), e−2s T F0 (s), · · · . E` facile concludere che la trasformata di Laplace di una qualsiasi funzione periodica f (x) ha la seguente particolare espressione ∞
L ( f ) = F(s) = F0 (s) ∑ e−nsT = n=0
1 F0 (s) , 1 − e−s T
Re s > 0 ,
λ0 = 0
che presenta infiniti poli del primo ordine nei punti sn = 2nπi/T , n = 0, ±1, . . . a meno che per qualche n sia F0 (sn ) = 0 . Ricordiamo l’applicazione allo studio dei circuiti elettrici: ad esempio l’equazione del circuito “serie RLC” R I(t) + L
dI 1 + dt C
t 0
I(t ) dt = V (t)
diventa mediante trasformata di Laplace, se I(0) = 0, e grazie anche alle (4.69-72), 1 L I(t) = L V (t) R+sL+ Cs e quindi
L V (t) L I(t) = , Z(s)
Z(s) = R + s L +
1 Cs
che riconduce la ricerca della risposta I(t) ad una data tensione V (t) al calcolo di $ = 1/Z(s), si ottiene un’antitrasformata di Laplace. Posto G(s) $ V$ (s) ovvero $ = G(s) I(s)
I(t) = G(t) ∗V (t)
(4.79)
$ , che chiaramente mostra l’applicazione della nozione di con G(t) = L −1 G(s) funzione di Green alla trasformata di Laplace. La trasformata di Laplace e` utile nella risoluzione di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti, omogenee o non, cio`e del tipo an y(n) + an−1 y(n−1) + · · · + a1 y + a0 y = f (x)
(4.80)
in cui f (x) e` una funzione assegnata soddisfacente la (4.64) e sono inoltre assegnate le condizioni iniziali y(0), y (0), · · · , y(n−1) (0) (si tratta quindi di un tipico
180
Trasformate di Fourier e Laplace
“problema di Cauchy”). Calcolando la trasformata di Laplace di entrambi i membri dell’equazione differenziale data (4.80) e tenendo conto della (4.76), l’equazione stessa si trasforma in un’equazione algebrica per la trasformata Y (s) = L y(x) della soluzione cercata y = y(x) : (an sn + an−1 sn−1 + · · · + a0 )Y (s) + n−1 − an s y(0) − an−1 sn−2 y (0) − · · · − a1 y(0) =
f$(s) .
(4.81)
Il problema di calcolare y = y(x) e` dunque anche qui ricondotto al calcolo di un’antitrasformata di Laplace. Un vantaggio di questo procedimento sta nel fatto che la soluzione y(x) che si trova in questo modo soddisfa automaticamente le condizioni iniziali y(0), y (0), · · · , y(n−1) (0) assegnate. Un’altra propriet`a dei procedimenti basati sull’uso della trasformata di Laplace e` che essi sono applicabili anche se la funzione f (x) a secondo membro della (4.80) e` una funzione non continua (purch´e L -trasformabile). Si pu`o notare, a questo proposito, che se la funzione f (x) e` discontinua, allora l’esistenza ed unicit`a della soluzione e` in realt`a garantita in generale solo localmente. Un semplice esempio illustra la situazione: sia 1 per 0 0, l’integrale, certamente convergente Γ (z) =
∞
t z−1 e−t dt
0
(4.83)
che definisce dunque una funzione, detta Gamma di Eulero, olomorfa almeno nel semipiano Re z > 0, come si verifica con i soliti procedimenti (limite del rapporto incrementale, etc.). Si osservi intanto che, per ogni intero n ≥ 0, Γ (n + 1) = n! inoltre, mediante integrazione per parti, si ottiene dalla (4.83) Γ (z + 1) = zΓ (z) che dunque generalizza la propriet`a caratteristica del fattoriale n!. Ne segue in particolare che deve essere per ogni n ≥ 0, z(z + 1) · · · (z + n)Γ (z) = Γ (z + n + 1) e dunque Γ (z) (o meglio il suo prolungamento analitico al semipiano Re z ≤ 0) deve presentare un polo di ordine uno in ciascun punto z = −n con residuo dato da (−1)n /n! . Si potrebbe poi provare che la funzione Γ (z) non ha altre singolarit`a al finito e che non ha zeri.
182
Trasformate di Fourier e Laplace
Fra le altre numerose e importanti propriet`a della Γ di Eulero, segnaliamo le seguenti, che si ottengono facilmente mediante cambiamenti di variabile nella definizione (4.83): √ Γ 12 = π e la trasformata di Laplace valida per qualsiasi numero reale α > −1 L (xα ) =
Γ (α + 1) sα+1
che generalizza la (4.73); dunque in particolare 1 π √ π 1 , L ( x) = · L √ = x s 2s s (2) Ecco uno dei (rari) casi in cui si applica una trasformata ad un’equazione a coefficienti non costanti. Si consideri l’equazione di Bessel (2.79) con m = 0: xy
+ y + xy = 0 la cui soluzione regolare e` la funzione di Bessel y(x) = J0 (x). Ponendo Y0 (s) = insieme le formule (4.72) e (4.76) L J0 (x) e applicando si osservi che, p.es., L (xy
) = −d/ds L (y
) = −d/ds s2Y (s) − sy0 − y 0 , ecc. , si ottiene per Y0 (s) l’equazione differenziale di primo grado (s2 + 1)
dY0 + sY0 = 0 ds
che si risolve facilmente la costante arbitraria si determina usando il teorema del valore iniziale (4.77) e ricordando che J0 (0) = 1, v. § 2.23 (4) , ottenendo 1 Y0 (s) = L J0 (x) = √ · 2 s +1 Pi`u in generale, si trovano le seguenti trasformate di Laplace per le funzioni di Bessel Jm (x) : 1 1 L Jm (x) = √ m · √ 2 s + 1 s + s2 + 1
4.22 Applicazioni alle equazioni alle derivate parziali Gli esempi seguenti mostrano come affrontare problemi riguardanti equazioni alle derivate parziali usando le trasformate integrali di Fourier e di Laplace. (a) Utilizzando la trasformata di Fourier, si possono trattare problemi di propagazione del calore riguardanti l’intera retta, cio`e casi in cui nell’equazione del calore
4.22 Applicazioni alle equazioni alle derivate parziali
183
(§ 2.5) la variabile x si muove su tutto R . Per esempio si vuole risolvere il “problema di Cauchy”, cio`e ricavare l’evoluzione temporale u(x,t) delle temperature conoscendone la distribuzione all’istante iniziale t = 0: u(x, 0) = f (x)
x∈R.
Si pu`o allora introdurre la seguente trasformata di Fourier rispetto alla variabile x, in cui ora t viene trattato come parametro: u((k,t) =
+∞ −∞
(4.84)
u(x,t) ei k x dx .
Ammettendo lecita la derivazione sotto l’integrale (questa possibilit`a pu`o essere provata rigorosamente) l’equazione del calore diventa un’equazione differenziale ordinaria d( u = −C k2 u( dt che, risolta con la condizione iniziale assegnata, d`a 2 ( . u((k,t) = f((k) e−C k t = f((k) G(k,t)
(4.85)
E` importante sottolineare che la soluzione u(x,t) del problema pu`o essere messa nella forma di prodotto di convoluzione e−x /4C t G(x,t) = √ 2 π Ct 2
u(x,t) = f (x) ∗ G(x,t)
dove
(4.86)
oppure ricavata direttamente dalla (4.85) mediante antitrasformata di Fourier. Naturalmente, la funzione G(x,t) nella (4.86), che pu`o essere vista come la funzione di Green del problema, descrive la distribuzione delle temperature lungo la retta se la condizione iniziale e` f (x) = δ (x). C’`e da notare che, essendo tali temperature diverse da zero in ogni punto x ∈ R anche per tempi t vicini quanto si vuole all’istante iniziale t = 0 , ne risulta che l’equazione del calore prevede una propagazione “istantanea” (certamente non realistica) del calore lungo la retta. Dalla (4.85) si ricava per esempio che, se f (x) ∈ L2 (R) , la u(x,t) e` – come gi`a avviene nel caso di propagazione su intervalli finiti (v. § 2.15) – una funzione limitata e C ∞ sia rispetto ad x che rispetto a t: basta osservare che, per qualsiasi n e 2 per ogni fissato t > 0 , si ha f((k) kn e−C k t ∈ L1 (R) (la stessa conclusione e` valida anche pi`u in generale, ad esempio basta che f((k) sia limitata, oppure maggiorata da un polinomio). (b) Con lo stesso procedimento si possono studiare problemi di oscillazione elastica su una corda di lunghezza infinita, cio`e l’equazione di d’Alembert (§ 2.1,2.4) con x ∈ R. P.es., si vuole trovare l’evoluzione temporale della corda supponendo di aver assegnato una generica condizione iniziale u(x,t) = f (x) con velocit`a iniziale ut (x, 0) = g(x) nulla. Utilizzando ancora la F -trasfomata (4.84), l’equazione di
184
Trasformate di Fourier e Laplace
d’Alembert diventa un’equazione differenziale ordinaria: d 2 u( = −v2 k2 u( dt 2 facilmente risolubile; con le condizioni iniziali assegnate ha la soluzione u((k,t) =
1 ( ikvt f (k) e + e−ikvt . 2
Antitrasfomando, si trova la u(x,t) come sovrapposizione di due onde: u(x,t) =
1 f (x − vt) + f (x + vt) . 2
(c) In questo esempio la trasformata di Fourier viene applicata alla ricerca della soluzione dell’equazione di Laplace bidimensionale (cf. § 2.24) Δu = 0,
u = u(x, y)
nel semipiano y > 0 con la condizione al bordo assegnata u(x, 0) = F(x) . Eseguendo la trasformata di Fourier rispetto alla variabile x, l’equazione alle derivate parziali diventa anche in questo caso un’equazione differenziale ordinaria: d 2 u( −k2 u((k, y) + 2 = 0 dy la cui soluzione si pu`o scrivere nel seguente modo qui pi`u conveniente u((k, y) = A(k) e|k| y + B(k) e−|k| y .
(4.87)
La condizione di limitatezza per la soluzione nel semipiano y > 0 impone che ( . sia A(k) = 0 , mentre la condizione al bordo implica B(k) = F F(x) = F(k) Si recupera cos`ı l’unicit`a della soluzione e il problema e` ricondotto al calcolo dell’antitrasformata di ( e−|k|y . u((k, y) = F(k) (4.87 ) Si ritrova, come nel caso (a), che la soluzione u(x, y) si presenta nella forma di un prodotto di convoluzione. In questo modo si e` risolto il problema di Dirichlet per il semipiano (v. i §§ 3.14 e 5.11, specie per quanto riguarda la unicit`a o non unicit`a della soluzione). Utilizzando la tecnica delle trasformazioni conformi (§ 3.14), e` possibile risolvere il problema di Dirichlet per ogni regione che sia trasformabile nel semipiano tramite una trasformazione di questo tipo. Ricordando che la trasformazione
4.22 Applicazioni alle equazioni alle derivate parziali
185
(3.57) trasforma il cerchio nel semipiano e viceversa, e` un utile esercizio confrontare le soluzioni ottenute con il metodo della trasformata di Fourier esposto qui sopra con il metodo visto nel § 2.24 per il problema di Dirichlet nel cerchio. Per esempio, si pu`o scegliere F(x) = 1/(1 + x2 ) come alla fine del § 3.14 e ritrovare immediatamente dalla (4.87 ), mediante antitrasformata di Fourier, il risultato (3.58). (d) Infine una applicazione della trasformata di Laplace ad un’equazione alle derivate parziali. Si consideri l’equazione di d’Alembert per la corda elastica in 0 ≤ x ≤ L (con v = 1) ∂ 2u ∂ 2u − + f (x,t) = 0 (4.88) ∂ x2 ∂t 2 in cui si e` aggiunto un termine non omogeneo che descrive la eventuale presenza di una forza esterna assegnata f = f (x,t) . Ponendo u$(x, s) =
∞
u(x,t) e−st dt
0
(4.89)
cio`e eseguendo questa volta la trasformata di Laplace rispetto alla variabile t, si ha, ricordando le (4.76) d 2 u$ 2 − s u$ = −s u(x, 0) − ut (x, 0) − f$(x, s) dx2
(4.90)
dove u(x, 0), ut (x, 0) sono le funzioni che descrivono la configurazione iniziale della corda (v. § 2.4) ed f$(x, s) e` la L -trasformata della f (x,t) . Ancora una volta si ottiene una equazione differenziale ordinaria, in cui s compare come un parametro. La soluzione sar`a dunque della forma u$(x, s) = A(s) ex s + B(s) e−x s + Φ(x, s) . Per determinare le funzioni A(s) e B(s) occorre dare le condizioni agli estremi x = 0 e x = L. Oltre alla condizione pi`u semplice u$(0, s) = u$(L, s) = 0 corrispondente alla corda con estremi fissi, si pu`o pi`u in generale ammettere che uno o entrambi gli estremi siano sottoposti ad un movimento assegnato: u(0,t) = ϕ0 (t)
,
u(L,t) = ϕ1 (t) .
In tal caso si dovr`a porre u$(0, s) = L ϕ0 (t) = ϕ$0 (s) ,
u$(L, s) = L ϕ1 (t) = ϕ$1 (s) .
Il metodo si pu`o generalizzare facilmente al caso in cui la corda sia illimitata, con un estremo in x = 0 e l’altro all’infinito. Per esaminare un caso semplice, sia u(x, 0) = ut (x, 0) = 0 e anche f (x,t) = 0, ma sia ϕ0 (t) = 0. Imponendo A(s) = 0 in modo da
186
Trasformate di Fourier e Laplace
escludere la divergenza per x → ∞, si trova u$(x, s) = ϕ$0 (s) e−xs da cui la soluzione u(x,t) = θ (t − x)ϕ0 (t − x) che mostra come la condizione ϕ0 (t) assegnata all’estremo x = 0 della corda si “distribuisca” come un’onda che si propaga lungo la corda.
5
Elementi di teoria delle distribuzioni
Nel Capitolo precedente abbiamo introdotto in modo “empirico” la nozione di delta di Dirac e mostrato alcune sue propriet`a che ne mettono in chiara evidenza la sua importanza. Questo Capitolo e` essenzialmente dedicato a introdurre in modo rigoroso e a giustificare le propriet`a della delta, e non soltanto di essa. La necessit`a di un approccio corretto a questi concetti non e` solo una ovvia esigenza di chiarezza e rigore, ma anche un modo per mettere in evidenza quali sono le operazioni lecite (e quali no) sulla delta (che non pu`o essere trattata come una “funzione” qualsiasi!) e sulle “funzioni generalizzate” collegate ad essa. Questo ci porter`a ad introdurre il grande mondo delle distribuzioni, pi`u precisamente delle distribuzioni temperate, dove “coesistono” p.es. le funzioni L1 , L2 , i polinomi, la funzione θ , le delta, insieme con varie altre entit`a. Fra queste, introdurremo anche la distribuzione “Parte Principale”, che – insieme con la delta – e` collegata alla importante nozione di funzione di Green. Vedremo che sar`a possibile eseguire le operazioni di derivata e di trasformata di Fourier di qualunque distribuzione, ed introdurre una nozione estremamente conveniente e “multicomprensiva” di convergenza. Vari esempi ed applicazioni illustreranno l’importanza di questi concetti.
5.1 Distribuzioni temperate Ci limiteremo per il momento a considerare funzioni di una sola variabile reale x; tutte le definizioni e i risultati che vedremo si possono immediatamente estendere a funzioni di pi`u variabili. Si indica con S lo spazio vettoriale costituito dalle funzioni ϕ = ϕ(x) che sono infinitamente derivabili e che sono inoltre a decrescenza rapida con tutte le loro Springer-Verlag Italia 2015 G. Cicogna, Metodi matematici della Fisica, UNITEXT for Physics, DOI: 10.1007/978-88-470-5684-8_5
187
188
Teoria delle distribuzioni
derivate, cio`e tali che, per ogni h, k numeri interi fissati, si ha dkϕ sup xh < +∞ . dxk x∈R Sia {ϕn } una successione di funzioni di S ; si introduce la seguente nozione di convergenza in S : si dice che {ϕn } → 0 in S se, per ogni h, k fissati, si ha che 1 xh
d k ϕn →0 dxk
per
n → ∞,
uniformemente .
Si capir`a via via il motivo per cui si introducono condizioni cos`ı restrittive sulle funzioni S . Si dir`a naturalmente che ϕn → ϕ in S se (ϕn − ϕ) → 0 in S . Le funzioni ϕ ∈ S si chiamano funzioni test o funzioni di prova. Si dicono distribuzioni temperate i funzionali lineari e continui di S in C, cio`e le applicazioni T : S → C dello spazio S nello spazio dei numeri complessi, che sono lineari rispetto alla struttura di spazio vettoriale in S e continue rispetto alla convergenza appena introdotta in S , ovvero tali che T (ϕn ) → T (ϕ)
se
ϕn → ϕ
in S .
L’insieme delle distribuzioni temperate viene indicato con S ed e` lo spazio duale di S . Mentre il duale di uno spazio di Hilbert e` isomorfo allo spazio stesso (v. il § 2.26), vedremo subito che lo spazio S e` assai “esteso”. In luogo di T (ϕ) , useremo spesso la notazione T , ϕ , che apparir`a presto pi`u comoda. Ecco i primi esempi di distribuzioni: 1 (R) (cio` (1) Si considerino le funzioni localmente sommabili u(x) ∈ Lloc e sommabili su ogni compatto) e limitate p.es. le funzioni costanti, funzioni come l’onda quadra, la θ (x), sin x e cos x (x ∈ R) : l’integrale +∞ −∞
u(x) ϕ(x) dx
esiste per ogni ϕ ∈ S ed e` un funzionale lineare di S in C. Inoltre, se ϕn → ϕ in S , si ha certamente +∞ +∞ ϕn (x) − ϕ(x) dx → 0 . u(x) ϕn (x) − ϕ(x) dx ≤ sup u(x) −∞
x∈R
−∞
Infatti le funzioni |ϕn (x)−ϕ(x)| possono sicuramente essere maggiorate da una fun zione sommabile, grazie alla loro decrescenza rapida dunque ϕn (x) risultano con vergenti a ϕ(x) anche in senso L1 (R) , allora tale funzionale e` continuo e individua
Con questa “topologia”, cio`e con questa nozione di convergenza, lo spazio S risulta completo, cio`e ogni successione ϕn (x) convergente nel senso S converge ad una ϕ(x) ∈ S .
1
5.2 Convergenza “debole” fra distribuzioni
189
una distribuzione temperata che indicheremo con Tu ∈ S : Tu (ϕ) :=
+∞ −∞
u(x) ϕ(x) dx = Tu , ϕ
(5.1)
e diremo Tu distribuzione associata alla funzione u(x) , o distribuzione con densit`a u(x) . Con un piccolo abuso di notazione, invece di Tu , ϕ si usa anche scrivere u , ϕ , “confondendo” la funzione u(x) con la distribuzione Tu ad essa associata. Analogamente, ogni u(x) ∈ L1 (R) individua una distribuzione Tu tramite la (5.1), grazie ancora al teorema di Lebesgue. La stessa cosa se u(x) ∈ L2(R), poich´e in tal 2 caso Tu , ϕ diventa proprio un prodotto scalare (u, ϕ) in L (R) pi`u precisamente ∗ 2 il prodotto scalare e` (u , ϕ); chiaramente ϕ ∈ L , e la convergenza della successione delle ϕn in S assicura certamente che (u∗ , ϕn ) → (u∗ , ϕ). E ancora, e` facile vedere che anche se u(x) e` un polinomio, la (5.1) definisce correttamente una distribuzione, grazie alla decrescenza rapida delle funzioni test ϕ(x). In questo senso, possiamo dire che le funzioni limitate localmente sommabili, le funzioni L1 o L2 , i polinomi formano un “sottoinsieme” delle distribuzioni S . (2) Si indica con δx0 o con δ (x − x0 ) e si chiama delta di Dirac (nel punto x0 ) la distribuzione cos`ı definita v. i §§ 4.10-11 e in particolare la (4.54) δx0 , ϕ = ϕ(x0 )
(5.2)
continuo 2 .
In base all’analogia con la che e` evidentemente un funzionale lineare e (5.1), si scrive usualmente la (5.2) nel modo (leggermente improprio) δx0 , ϕ =
+∞ −∞
δ (x − x0 ) ϕ(x) dx = ϕ(x0 ) .
(5.2 )
Da notare che la δx0 e` una distribuzione “singolare”, cio`e non e` associata a nessuna funzione u(x). Altri esempi di distribuzioni singolari verranno visti pi`u avanti. (3) Sia T ∈ S una qualsiasi distribuzione e P(x) un polinomio: allora si vede subito che anche P(x) T ∈ S ; infatti basta porre, grazie al fatto che pure P(x) ϕ(x) ∈ S , P(x) T , ϕ = T , P(x) ϕ .
5.2 Convergenza “debole” fra distribuzioni Sia Tn una successione di distribuzioni di S . Si dice che Tn converge a T ∈ S
se, per ogni fissata ϕ ∈ S , si ha Tn , ϕ → T , ϕ .
(5.3)
2 Come si spiega che il funzionale Φ( f ) = f (a) non e ` continuo, n`e chiuso, in L2 (v. i §§ 2.26, 2.28) mentre la δ e` un funzionale continuo in S ?
190
Teoria delle distribuzioni
Questa (fondamentale) nozione di convergenza “ in S ” (chiamata anche “convergenza debole”) e` particolarmente conveniente e ampia, anzitutto perch´e “include” come caso particolare molte nozioni di convergenza gi`a note, ma anche perch´e fa spazio a situazioni completamente nuove: (i) Se un (x) e` una successione di funzioni in L2 convergente ad u(x) nel senso della norma L2 , oppure anche nel senso della convergenza debole in L2 (R), e` immediato verificare che la successione delle distribuzioni associate Tun e` anche S -convergente a Tu : un , ϕ = (u∗n , ϕ)L2 → (u∗ , ϕ)L2 = u, ϕ. (ii) La stessa conclusione sussiste se un (x) ∈ L1 e un (x) → u(x) puntualmente quasi ovunque ed e` soddisfatta la condizione di “convergenza dominata” di Lebesgue (2.27). (iii) Anche pi`u importante e` osservare che si ha ancora Tun → Tu in senso S
se le un (x) convergono puntualmente quasi ovunque ad u(x), sono localmente sommabili e sono limitate: |un (x)|, |u(x)| < M (in realt`a basta siano maggiorate da un polinomio): infatti, per ogni funzione test ϕ ∈ S , si ha +∞ Tu (ϕ) − Tu (ϕ) = (un − u) ϕ dx → 0 n −∞
dato che, certamente, in queste ipotesi, l’integrando |(un − u) ϕ| pu`o essere maggiorato da una funzione in L1 . (iv) Ma la convergenza in S comprende anche situazioni nuove: per esempio, le funzioni fτ (x) definite nei §§ 4.10-11, pur non essendo convergenti puntualmente individuano delle in tutti i punti x ∈ R (n´e in senso L1 , n´e L2 ), tuttavia distribuzioni T fτ che convergono in senso S alla δ (x) ovvero alla δ (x − a) , come si vede applicando precisamente la definizione (5.3). E` da sottolineare che l’applicazione esplicita della (5.3) ripete esattamente il procedimento seguito nei §§ 4.10-11: questo e` dunque il significato preciso (e la giustificazione) del modo “empirico” usato per “definire” la δ . Si verifica facilmente che anche, p.es., un (x) =
n 1 π (1 + n2 x2 )
,
2 1 uε (x) = √ e−x /ε πε
,
1 uε (x) = θ (x) e−x/ε ε
+ tendono tutte, rispettivamente per n → ∞ la prima e per ε → 0 le altre due, alla δ (x) per le un (x) basta scrivere esplicitamente un , ϕ, eseguire il cambiamento di variabile y = nx ed applicare il teorema di Lebesgue; analogo procedimento per le altre . Ovviamente l’affermazione “le funzioni un (x) tendono alla δ (x)” e` un modo abbreviato per dire “le funzioni un (x) individuano delle distribuzioni che tendono in senso S alla δ (x)”. (v) Pi`u in generale, si dimostra senza difficolt`a (usando ancora il teorema di +∞ Lebesgue) che se h(x) ∈ L1 (R) e −∞ h(x) dx = 0 , allora la successione n h(n x) un (x) = +∞ −∞ h(x) dx
tende a δ (x) per n → ∞.
5.3 Derivata delle distribuzioni
191
(vi) Ancora, un altro limite “nuovo”: si ha che un = einx → 0 (x ∈ R) in senk inx so S per n → ±∞, e anche x e → 0 per ogni fissato k = 0, 1, 2, . . .: infat∞
ti xk einx , ϕ = einx , xk ϕ = einx xk ϕ(x) dx → 0 grazie al Teorema di Riemann−∞ Lebesgue § 4.3 (5) poich´e certamente xk ϕ(x) ∈ L1 (R). Si pu`o dimostrare infine che S , rispetto a questa nozione di convergenza, e` uno spazio completo.
5.3 Derivata delle distribuzioni Per definire la derivata, che potremo scrivere T oppure D T , di una distribuzione T , si parte, com’`e naturale, con la richiesta che se T e` associata ad una funzione derivabile u = u(x) , cio`e se e` T = Tu , allora la derivata di T coincida con la distribuzione associata alla funzione derivata u (x) , cio`e che sia D Tu = Tu . Osservando allora che, in questa ipotesi, si ha, per ogni ϕ ∈ S Tu (ϕ) =
+∞ −∞
u ϕ dx = −
+∞ −∞
u ϕ dx = − Tu (ϕ )
si definisce per analogia, T , ϕ = −T , ϕ e, pi`u in generale Dk T , ϕ = (−1)k T , Dk ϕ . Dk T
(5.4)
Si noti che e` ovviamente un funzionale lineare e continuo, grazie a come sono definite le funzioni test ϕ, quindi Dk T e` una distribuzione temperata per ogni k = 1, 2, . . . . Si ha cos`ı l’importante risultato che le distribuzioni sono sempre infinitamente derivabili. Questo fatto pu`o apparire sorprendente, dato che anche funzioni discontinue individuano delle distribuzioni, ma si spiega facilmente poich´e – come gi`a visto nel § 4.11 e come si ritrover`a nell’esempio (1) qui sotto – la derivata di una distribuzione associata ad una funzione discontinua e` una distribuzione “singolare”. Se poi si considerano funzioni test di pi`u variabili reali, cio`e ϕ = ϕ(x) ∈ S (Rn ) , le corrispondenti distribuzioni S risultano derivabili parzialmente quante volte si vuole e si pu`o sempre invertire l’ordine di derivazione (infatti questo e` possibile per le funzioni test ϕ). Esempi: (1) Considerata la funzione “a scalino” o di Heaviside θ (x) , si ha D θ , ϕ = −θ , ϕ = − =−
+∞ 0
+∞ −∞
θ (x) ϕ (x) dx =
, ϕ (x) dx = ϕ(0) = δ0 (ϕ) = δ (x) , ϕ
192
Teoria delle distribuzioni
quindi si ritrova il risultato gi`a anticipato nel § 4.11: D θ (x) = δ (x) . (2) Pi`u in generale, sia u = u(x) una funzione derivabile in ogni punto salvo che in un punto x0 , dove presenta una discontinuit`a finita, cio`e con limite destro e sinistro esistenti e finiti: σ = lim u(x) − lim u(x) x→x0+
x→x0−
|σ | < +∞
con
mentre negli altri punti la derivata u (x) e` generalmente continua e limitata. Proce dendo come nell’esempio precedente, si prova facilmente la seguente formula che generalizza quanto ottenuto sopra e nel § 4.11 (5.4 )
D Tu = σ δ (x − x0 ) + Tu
dove naturalmente u (x) e` la derivata della funzione u(x) da intendersi “a tratti”, cio`e eseguita separatamente in x < x0 e in x > x0 , “ignorando” il punto di discontinuit`a x0 . (3) Direttamente dalla definizione, si ha Dk δx0 , ϕ = (−1)k ϕ (k) (x0 ) . Da questa, segue, per esempio, x2 δ (x) = 0 infatti x2 δ , ϕ = δ , x2 ϕ = . . . , e x δ (x) = −δ (x).
5.4 Trasformata di Fourier delle distribuzioni temperate Si deve anzitutto premettere il seguente lemma (la cui dimostrazione segue dalle propriet`a della trasformata di Fourier per le funzioni, v. in particolare il § 4.5, e dalle propriet`a delle funzioni S ): Lemma : La trasformata di Fourier F e la sua inversa F −1 sono trasformazioni lineari dello spazio delle funzioni test S in s´e, e sono continue rispetto alla convergenza introdotta in S . Per definire ora la trasformata di Fourier F T = T( di una distribuzione T ∈ S
si segue un criterio simile a quello usato per definire la derivata di una distribuzione. Se cio`e u(x) ∈ L1 (R) , si richiede – come e` naturale – che F (Tu ) = TF u , ovvero F Tu , ϕ = Tu( , ϕ = =
+∞ −∞
+∞ −∞
u((ξ ) ϕ(ξ ) dξ =
dx u(x)
+∞ −∞
+∞
+∞
−∞
−∞
dξ ϕ(ξ )
u(x) ei ξ x dx =
, dξ ϕ(x) ei ξ x = Tu , F (ϕ) .
5.4 Trasformata di Fourier delle distribuzioni temperate
193
Si pone allora, per definizione: F T , ϕ = T , F ϕ
(5.5)
e tale definizione e` lecita, grazie al Lemma precedente (in particolare, F ϕ ∈ S ), e la F T e` ancora una distribuzione temperata. Ad esempio, si ottiene immediatamente dalla (5.5) . ( = δ (x) , F δ0 , ϕ = δ0 , ϕ
/ ( ϕ(ξ ) ei ξ x dξ = ϕ(0) =
+∞
−∞
+∞
−∞
ϕ(ξ ) dξ = 1 , ϕ
cio`e F δ0 = 1 , come ci si attendeva (v. § 4.11). Analogamente si definisce F −1 T , ϕ = T , F −1 ϕ .
(5.5 )
Si ricavano subito dalla (5.5) e dalle (4.31-32) le formule che estendono le (4.31-32) anche ad S : F (Dh T ) = (−i ω)h F (T ) , F (i x)k T = Dk (F T ) (5.6) (e analoghe per la F −1 ) 3 . Si ottiene anche (cf. il § 4.11) F e−iax = 2πδ (ω − a) , F −1 eibω = δ (x − b)
F δ
(h)
(x) = (−i ω) , h
F xk = (−i)k 2π δ (k) (ω) .
(5.6 )
In particolare, se e` T = Tu , dove u = u(x) e` una funzione discontinua con le propriet`a richieste nell’esempio (2) del § 5.3, la prima delle (5.6) diventa F (D Tu ) = F Tu + σ δ (x − x0 ) = F (u ) + σ ei ω x0 = −i ω F (u) con le notazioni della (5.4 ). Un esempio e` stato visto nel § 4.11. E` da notare che anche la (4.72) per la trasformata di Laplace della derivata si pu`o scrivere nella forma L (D T f ) = s L ( f ) se si intende la derivata DT f nel senso delle distribuzioni, cio`e tenendo conto della discontinuit`a in x = 0. In modo simile, la seconda delle (5.6) estende le propriet`a della F - trasformata / L1 (R) (v. § 4.5): resta al caso in cui e` , per esempio, u(x) ∈ L1 (R) , ma x u(x) ∈
infatti vero (essendo x Tu ∈ S ) F (x u) ≡ F (x Tu ) = −i D(F Tu ) = −iD(Tu() dove l’ultima derivata si pu`o scrivere −i d u(/dω ma va coerentemente intesa “come distribuzione”, dato che u( = F (u) risulter`a in generale non derivabile “come 3 Le (5.6) si possono ottenere anche ragionando cos`ı: le (5.6) sono certamente valide per le funzioni ∈ S , v. le (4.31-32), ma e` possibile provare che ogni T ∈ S pu`o essere approssimata quanto si vuole in senso S da funzioni ϕ ∈ S (o – meglio – da distribuzioni Tϕ individuate da ϕ): cio`e “S e` denso in S ” (v. anche il § 5.6). D’altronde le operazioni D ed F sono continue in S , v. pi`u avanti, dunque . . .
194
Teoria delle distribuzioni
funzione”. Il risultato si estende ovviamente a xk u(x). Per esempio: F
x2 1 2 F = −D = −D2 π e−|ω| = 2π δ (ω) − π e−|ω| 2 2 1+x 1+x
(che si pu`o controllare anche per altra via osservando che
x2 1 = 1− , 1 + x2 1 + x2
dunque . . .). E` ovvio che risultati di questo tipo sono assai utili anche per il calcolo di F trasformate di funzioni e di distribuzioni. Segue immediatamente dalla stessa definizione, il seguente importante Teorema . La trasformata di Fourier F e` un operatore continuo in S , cio`e: se Tn → T , allora anche T(n → T( . Questo teorema pu`o essere utile proprio per calcolare trasformate di Fourier di distribuzioni: infatti la (5.5) serve soprattutto come definizione (e come prova della esistenza) della F −trasformata di una distribuzione, ma non e` molto pratica in generale per il calcolo esplicito della trasformata (a parte il caso della F δ0 visto sopra). Possiamo, p.es., trovare di nuovo la F δ0 utilizzando questo teorema: basta ricordare che δ (x) e` il limite (ovviamente in senso S ) per τ → 0 delle funzioni fτ (x) considerate nei §§ 4.10-11, e osservare che sin(ω τ) f(τ (ω) = →1 ωτ
dove il limite e` ora correttamente inteso nel senso S , grazie a quanto visto nel § 5.2 (iii). Resta dunque perfettamente il procedimento seguito nei giustificato §§ 4.10-11 per calcolare F δ (x) ed F δ (x − a) (nonch´e le F −1 , naturalmente). Questo stesso teorema pu`o essere utile anche per il calcolo di limiti in S . Per esempio, ricordando la ben nota F -trasformata u(n (ω) di un (x) =
sin(n x) πx
e` immediato vedere che u(n (ω) → 1 anche in senso S (utilizzando ancora quanto visto nel § 5.2), se ne deduce che un (x) → δ (x) , ottenendo cos`ı un’altra successione che “approssima” la delta. Il risultato F (1) = 2π δ (ω) si usa scrivere nella forma impropria ma espressiva +∞ −∞
ei ω t dt = 2π δ (ω)
e con questa si pu`o dare una dimostrazione “empirica” della formula di inversione (4.43): si ha infatti +∞ −∞
g(ω) e−i ω t dω =
+∞ −∞
dω e−i ω t
+∞ −∞
f (t ) ei ω t dt = . . .
5.5 Distribuzione “parte principale” P(1/x)
195
a questo punto gli integrali non si possono scambiare, poich´e ovviamente ei ω t non e` sommabile, tuttavia, usando la formula precedente, si ha ... =
+∞ −∞
dt f (t )
+∞ −∞
dω ei ω(t −t) =
+∞ −∞
dt f (t ) 2π δ (t − t) = 2π f (t) .
Un’altra notevole propriet`a della δ si ricava osservando che l’equazione xT = 0 nella quale l’incognita e` la distribuzione T , e` certamente risolta da T = δ (x) (v. anche § 4.11); si potrebbe anzi dimostrare che la soluzione pi`u generale e` T = c δ (x) dove c e` una costante arbitraria 4 . Analogamente, l’equazione x T = a T , dove a e` una costante, e` risolta da T = c δ (x − a) . Come gi`a notato (§ 4.11), questa equazione pu`o essere impropriamente vista come una “equazione agli autovalori” per l’operatore x, che non ha autofunzioni ∈ L2 : si pu`o dire che le sue “autofunzioni” sono le δ (x − a). Pi`u in generale, se u(x) e` una funzione continua e in un punto x0 si ha u(x0 ) = 0, allora u(x)δ (x − x0 ) = 0: infatti si pu`o scrivere (v.anche il § 5.8) u(x)δ (x − x0 ), ϕ = δ (x − x0 ), u(x)ϕ = 0 .
5.5 Distribuzione “parte principale” P(1/x) Per introdurre un nuovo ed importante esempio di distribuzione, cominciamo a sottolineare che nessuna fra le funzioni 1/x , 1/x2 , 1/x3 , . . . individua distribuzioni. Tuttavia, nel caso di 1/x, si pu`o ricordare la nozione di Parte Principale di Cauchy P (v. § 3.51) e osservare che scrivendo la generica funzione test nella forma ϕ(x) = ϕ(0) + xψ(x) si ha P
a ϕ(x) −a
x
dx = P
a ϕ(0) −a
x
dx +
a −a
ψ(x) dx =
a −a
ψ(x) dx .
Si pu`o allora introdurre il funzionale P
+∞ 1 −∞
x
ϕ(x) dx = lim
σ →0
−σ
−∞
1 ϕ(x) dx + x
+∞ 1 +σ
. 1 / ϕ(x) dx = P , ϕ x x
(con σ > 0). Questo funzionale e` effettivamente una distribuzione temperata, chiamata Parte Principale e indicata con P(1/x) , e si pu`o chiaramente vedere (per Vedi anche pi`u avanti, § 5.7. Prendendo la F -trasformata di questa equazione si trova D T( = 0 , dunque questo equivale ad affermare che le uniche distribuzioni con derivata nulla sono proprio le costanti: T( = c e T = c δ (x) . 4
196
Teoria delle distribuzioni
definizione!) come limite per σ → 0 delle distribuzioni Tσ associate alla funzione uσ (x) cos`ı definita 0 per |x| < σ uσ (x) = 1/x per |x| > σ . Tenendo conto di questo, si pu`o calcolarne la trasformata di Fourier: la funzione uσ (x) ammette infatti F -trasformata anche come funzione uσ (x) ∈ L2 (R) , e quindi – ricordando i procedimenti di calcolo visti nel § 3.13 – ed eseguendo il limite σ → 0 , si conclude facilmente 1 −π i per ω 0 x dove si e` introdotta la funzione (e anche distribuzione) “segno di x” sgn(x) talvolta indicata anche con ε(x) definita da −1 per x 0. Vengono spesso usate in fisica le due distribuzioni 1 1 1 δ (x) ± P 2 2π i x le cui trasformate di Fourier sono dunque F δ± (x) = θ (±ω). In modo analogo, si ottiene 1 1 = sgn(x) F −1 P ω 2i da cui 1 1 F sgn(x) = 2i P , F θ (±x) = ± i P + π δ (ω) = 2π δ∓ (ω) ω ω δ± (x) =
e ancora
F θ (x) eiax = i P
1 + π δ (ω + a) . ω +a Come utile esercizio si pu`o ritrovare la trasformata di Fourier di una funzione elementare usando le F -trasformate ottenute qui sopra: sia p.es. 1 per 0 < x < a f (x) = 0 altrimenti si ha, tenendo conto delle propriet`a della delta e della Parte Principale, 1 1 F f (x) = F θ (x) − θ (x − a) = i P + πδ (ω) − i eiaω P − eiaω πδ (ω) = ω ω iaω 1 − e 1 = (1 − eiaω ) iP + πδ (ω) = i ω ω come era stato ottenuto con semplice integrazione diretta (v. § 4.5).
5.5 Distribuzione “parte principale” P(1/x)
197
Osservando ora che (verificare!) x P(1/x) = 1 , si ha che la pi`u generale soluzione dell’equazione (dove l’incognita e` T ) xT = 1 e` data da
1 T = P + c δ (x) , x
(5.7 )
c = costante arbitraria .
cos x +c δ (x), Analogamente, una equazione come x T = cos x e` risolta da T = P x sin x + c δ (x) (qui la P non serve!). mentre x T = sin x e` risolta da T = x Ricordando poi quanto ottenuto nel § 5.3 (3), l’equazione x T = δ (x) e` risolta da T = −δ (x) + c δ (x). Come esempio di altre possibili applicazioni, troviamo F (arctan x). Si ha −iω F (arctan x) = F
1 d arctan x = F = π e−|ω| dx 1 + x2
e−|ω| + c δ (ω) , ma in questo caso c = 0 perch´e ω arctan x e` una funzione dispari e dunque anche la sua F -trasformata e` dispari la δ (ω) e` pari . 1 Dalla distribuzione P , si possono ottenere per derivazione le altre distribuzioni x 1 1 2 D P , D P , . . .. x x1 soddisfa l’equazione P. es., la D P x 1 x2 D P = −1 x dunque F (arctan x) = iπ P
infatti 1 / . 1 / . 1 / , x2 ϕ = − P , D(x2 ϕ = x2 D P , ϕ = D P x x x ∞ ∞ ∞ . 1 / ϕ dx − x ϕ dx = − ϕ dx = −1, ϕ = − P , 2xϕ + x2 ϕ = −2 x −∞ −∞ −∞ .
avendo eseguito una integrazione per parti nel penultimo passaggio. La soluzione pi`u generale dell’equazione x2 T = 1 e` allora data da
1 T = −D P + c1 δ (x) + c2 δ (x) . x
198
Teoria delle distribuzioni
Infine, per quanto riguarda le trasformate, si ha 1 = −iω π i sgn ω = π |ω| F D P x
1 1 F −1 D P = |x| . ω 2
,
Concludiamo questo paragrafo con un importante “limite notevole” (nel senso S ): lim
ε→0+
1 1 = P ∓ i π δ (x) , x ± iε x
ε >0
che si dimostra facilmente osservando, per esempio, che 1 = F −1 uε (ω) x−iε
dove
uε (ω) = 2π i θ (ω) e−ε ω ,
ε > 0,
eseguendo poi il lim uε (ω) e tenendo presenti le osservazioni fatte nel § 5.2. ε→0+
P. es., si ricava che
lim
∞ −x4 e
ε→0+ −∞ x − iε
dx = iπ
(l’integrale con la P e` nullo grazie al fatto che l’integrando e` dispari).
5.6 Distribuzioni di Schwartz e distribuzioni a supporto compatto Si indica con E (oppure con C ∞ ) lo spazio vettoriale delle funzioni infinitamente derivabili. In E si introduce la seguente nozione di convergenza: se {ϕn } e` una successione di funzioni di E , si dice che ϕn → 0 in E se in ogni insieme compatto K ⊂ R e per ogni numero intero fissato h, si ha che d h ϕn →0 dxh
per
n → ∞,
uniformemente in K .
Si indica invece con D (oppure con C0∞ ) lo spazio vettoriale delle funzioni che hanno supporto compatto e che sono infinitamente derivabili. In D si introduce la seguente convergenza: se {ϕn } e` una successione di funzioni di D, si dice che ϕn → 0 in D se esiste un insieme compatto K0 che contiene i supporti di tutte le ϕn (x) della successione considerata, e se per ogni numero intero fissato h, si ha che d h ϕn →0 dxh
per
n → ∞,
uniformemente in K0 .
Si ha evidentemente D ⊂ S ⊂ E e questa relazione “rispetta” anche la topologia introdotta ora in ciascuno dei tre spazi, nel senso che, se {ϕn } e` una successione di D (e dunque anche di S e di
5.6 Distribuzioni di Schwartz e distribuzioni a supporto compatto
199
E ), e si ha che ϕn → 0 in D (cio`e secondo la nozione di convergenza assegnata in D), allora si vede facilmente che ϕn → 0 anche in senso S . E analogamente le successioni ϕn → 0 in S risultano convergenti anche in E . Si indicano con D e con E gli spazi “duali” di D e di E , cio`e gli spazi dei funzionali lineari e continui di D e, rispettivamente, di E , in C; naturalmente la continuit`a va intesa rispetto alle corrispondenti nozioni di convergenza appena introdotte, cio`e sar`a T ∈ D se si verifica che T (ϕn ) → 0 ogni volta che ϕn → 0 in D (e analogo per T ∈ E ). Accanto alle distribuzioni temperate S , abbiamo quindi altri due tipi di distribuzioni: D ed E . Si ha immediatamente D ⊃ S ⊃ E . Per esempio, se T ∈ E , cio`e T e` un funzionale definito sulle funzioni test di E , allora sar`a definito anche sulle funzioni test ϕ ∈ S , che e` un sottoinsieme di E , e sar`a anche continuo in S per quanto detto sopra, e dunque T ∈ S . Le distribuzioni D si chiamano distribuzioni di Schwartz. Ad ogni funzione u = u(x) localmente sommabile e` associata una distribuzione di Schwartz Tu nel modo usuale, v. (5.1): Tu (ϕ) =
Supp ϕ
u(x) ϕ(x) dx
avendo indicato con Supp ϕ il supporto (compatto) della funzione ϕ(x) , infatti e` ovvia la linearit`a di Tu , mentre per provarne la continuit`a basta osservare che, se ϕn = ϕn (x) → 0 in D, preso un insieme compatto K0 che contenga tutti i supporti delle ϕn (x) , si ha u ϕn dx ≤ max |ϕn (x)| u(x) dx → 0 . |Tu (ϕn )| = K0
x∈K0
K0
1 e ` quindi associata una distribuzione di Schwartz Ad ogni funzione u = u(x) ∈ Lloc Tu , ma in generale non una distribuzione temperata (per esempio, u = ex individua una distribuzione in D , ma non in S ). Si dice che una distribuzione qualsiasi T e` uguale a zero in un insieme aperto Ω ⊂ R se, per ogni funzione test ϕ(x) con supporto contenuto in Ω si ha T (ϕ) = 0 . Si consideri “il pi`u grande” di tali insiemi Ω : il suo complementare si chiama supporto della distribuzione T e si indica con Supp T . Si vede immediatamente che se T = Tu , cio`e se T e` associata ad una funzione u(x) , allora si ha
Supp Tu = Supp u . Si potrebbe dimostrare che le distribuzioni T ∈ E sono tutte e sole le distribuzioni a supporto compatto. Quindi, ad esempio, la distribuzione θ appartiene a S ma non a E , mentre δ (x − x0 ) ∈ E , poich´e il supporto di δ (x − x0 ) e` costituito dal solo punto x0 . A questo proposito, si potrebbe anche dimostrare che le uniche distribuzioni aventi supporto in un solo punto sono le delta e le loro derivate. Questo fatto e` importante quando, per esempio, si devono cercare tutte le distribuzioni T che
200
Teoria delle distribuzioni
risolvono equazioni del tipo h(x) T = 0, dove h(x) e` una funzione “regolare” (ad esempio un polinomio, o comunque una funzione con zeri isolati sull’asse reale). Per mettere ancor pi`u in evidenza il ruolo – sia concettuale che pratico – delle distribuzioni, e` utile darne la seguente propriet`a. Osservando che ogni funzione ϕ(x) ∈ D individua certamente una distribuzione Tϕ ∈ D , si pu`o anzitutto affermare che – in questo senso – D e` un sottoinsieme di D ; ma il fatto pi`u importante e` che si pu`o provare che D e` denso in D . Questo significa che ogni distribuzione pu`o essere ottenuta come limite (si intende ovviamente nel senso “debole” della convergenza delle distribuzioni) da una successione di funzioni di D, ovvero che pu`o essere “approssimata” quanto si vuole da funzioni infinitamente derivabili e a supporto compatto. In termini ancora diversi – dato che anche lo spazio D e` completo – si pu`o dire che ogni successione (debolmente) convergente di funzioni di D ha per limite una distribuzione di D . Propriet`a simili valgono per le distribuzioni S ed E 5 . Le definizioni e i risultati dati fin qui per le distribuzioni temperate e riguardanti la derivazione delle distribuzioni restano validi anche per le distribuzioni di Schwartz D . Invece la trasformata di Fourier non pu`o essere introdotta per le distribuzioni di Schwartz, perch´e se ϕ ∈ D si ha che F (ϕ) non pu`o avere supporto compatto (segue dal fatto che la F (ϕ) e` olomorfa in tutto il piano complesso ω, v. § 4.20, dunque ha al pi`u zeri isolati) e quindi non e` pi`u possibile applicare il ragionamento adottato nel § 5.4 che ha permesso la definizione di trasformata come nella (5.5). La trasformata di Fourier pu`o dunque essere definita per le distribuzioni temperate S (e dunque anche per le distribuzioni E ). Per questo motivo, continueremo nel seguito a considerare soltanto le distribuzioni S .
5.7 Propriet`a e applicazioni delle distribuzioni Una conseguenza importante ed immediata delle definizioni stesse e` il seguente Teorema . Se Tn → T , si ha anche D Tn → D T e cos`ı pure naturalmente per le derivate successive: Dk Tn → Dk T , cio`e l’operatore di derivata e` continuo in S . Infatti, per qualsiasi funzione test ϕ, si ha D Tn , ϕ = −Tn , ϕ → −T , ϕ = D T , ϕ . In questo modo resta anche giustificato il procedimento seguito nel § 4.11 per calcolare la derivata della θ : si e` infatti approssimata la θ con funzioni derivabili (in senso elementare) e . . . .
5
Per maggiori dettagli, v. ad esempio i testi di Schwartz [20] , [40], di Vladimirov [41], o di Gilardi [9].
5.7 Propriet`a e applicazioni delle distribuzioni
201
Per vedere l’importanza di questo teorema, si deve ricordare che invece – nella norma L2 – l’operatore di derivazione non e` continuo. Si consideri ancora la successione gi`a pi`u volte incontrata un (x)= (sin nx)/n (x ∈ R): per n → ∞ essa converge uniformemente (ed anche S ) a zero; la successione nemmeno puntualmente e tuttavia delle derivate u n (x) = cos(n x) non e` convergente e` S -convergente a zero v. § 5.2 (vi) , in accordo con il teorema appena enunciato. La stessa cosa vale per le derivate successive: d k un /dxk → 0 in senso S per ogni fissato k. Ecco altre importanti propriet`a che seguono: (i) E` possibile derivare quante volte si vuole lo sviluppo in serie di Fourier di una qualunque funzione u(x) ∈ L2 (dato che tale sviluppo e` convergente L2 e dunque anche S ): si intende che la serie delle derivate potr`a essere non convergente in senso L2 , ma converger`a comunque (nel senso S ) ad una distribuzione. Per esempio, considerando il problema della corda elastica visto nel § 2.4, e` immediato vedere che la derivata seconda della configurazione iniziale u(x, 0) = f (x) di fig. 2.4 e` – restringendosi all’intervallo (0, L) – proporzionale alla δ (x − L/2) ; pi`u esattamente, tenendo conto del necessario prolungamento “dispari” all’intervallo (−L, 0) e della periodicit`a 2L del problema, tale derivata e` data dalla serie (che risulta convergente in S ), dove ora si e` posto L = 1, d = 1/2, +∞ +∞ f
(x) = ∑ δ x − 2m + 32 − ∑ δ x − 2m + 12 · m=−∞
m=−∞
Analogamente, derivando lo sviluppo dell’onda quadra in serie di sin(n x) (v. § 2.3) in L2 (−π, +π), e ricordando di nuovo la periodicit`a di tale serie, si trova +∞ +∞ 2 +∞ cos(nd x) = ∑ δ (x − m p π) − ∑ δ (x − md π) ∑ π n =1 m p =−∞ md =−∞ d
(nd , md = interi dispari, m p = interi pari). Ancora, calcolando lo sviluppo in serie di Fourier in L2 (−π, +π) rispetto al set {e−i n x } delle funzioni fτ (x) approssimanti la δ (x) definite in (4.51), e poi eseguendo il limite τ → 0, si trova il seguente “sviluppo in serie di Fourier” rispetto al set {e−i n x } della δ (x) , che naturalmente va ripetuta periodicamente, ottenendo dunque +∞ +∞ 2π
∑
δ (x − 2m π) =
m=−∞
∑
e−i n x .
n=−∞
(ii) Si supponga di voler trovare la funzione di Green G(t) dell’equazione y˙ = f (t)
( procedendo tramite trasformata di Fourier: si ha che G(ω) = F G(t) risolve ( l’equazione ω G(ω) = i , uguale alla (5.7 ). Si trova cos`ı, antitrasformando: G(t) =
1 sgn(t) + c = θ (t) + c1 2
come si poteva ottenere anche direttamente, dovendo essere G˙ = δ (t) .
202
Teoria delle distribuzioni
Consideriamo ora l’equazione y¨ + y = f (t) ( si trova che la F -trasformata G(ω) della sua funzione di Green deve soddisfare ( (−ω 2 + 1)G(ω) =1. 1 1 1 − , si trova −ω 2 + 1 2 ω + 1 ω − 1 1 1 1 ( + c+ δ (ω + 1) − P + c− δ (ω − 1) G(ω) = P 2 ω +1 ω −1 1
Grazie alla ovvia uguaglianza algebrica
=
da cui, antitrasformando, si trova la pi`u generale funzione di Green (c± , c1 , c2 , A , B sono costanti arbitrarie) G(t) = θ (t) sint + c1 eit + c2 e−it = θ (t) sint + A cos t + B sin t (si noti che scegliendo c1 = c2 = 0 si ottiene la funzione di Green causale del problema). Si giunge allo stesso risultato risolvendo direttamente (cio`e senza ricorrere alla F -trasformata) l’equazione G¨ + G = δ (t) .
(5.8)
Tale equazione pu`o infatti essere risolta nel modo seguente: per t < 0 e rispettivamente per t > 0 la soluzione pi`u generale dovr`a essere del tipo G− (t) = A− cost + B− sint
e
G+ (t) = A+ cost + B+ sint ;
si deve poi imporre che per t = 0 la soluzione sia continua, mentre la derivata a G˙ + (0) − G˙ − (0) = 1 in modo che sia soddisfatta la (5.8) presenti una discontinuit`
si ricordi la (5.4 ) ; si ottiene cos`ı A+ = A− , B+ = B− + 1 , cio`e esattamente la G(t) trovata sopra con A+ = A , B+ = B + 1. Nel caso dell’equazione y¨ = f (t) ( = 1 e dunque si deve ricorrere alla distribuzione D P(1/ω) . si trova −ω 2 G(ω) Usando quanto ottenuto nel § 5.5, si trovano le ∞2 funzioni di Green G(t) =
1 |t| + c + c t = t θ (t) + c + c
t 2
e la funzione di Green causale si ottiene con c = c
= 0. Si deve ora ridiscutere il problema della (non) unicit`a delle funzioni di Green per queste equazioni. Nel § 4.10 si e` visto che, nel caso delle equazioni y˙ ± y = f (t), se si opera mediante F -trasformata, si riesce a trovare soltanto una funzione di / S e non Green, perch´e le soluzioni dell’equazione omogenea y0 = e±t ∈ D ma ∈ ammettono F -trasformata.
5.7 Propriet`a e applicazioni delle distribuzioni
203
Nel caso dell’equazione y¨ + y = f (t), invece, le soluzioni dell’equazione omogenea sono y0 = A cos t + B sin t e ammettono F -trasformata (nell’ambito delle distribuzioni); in effetti in questo caso la trasformata di Fourier ha fornito automaticamente tutte le ∞2 funzioni di Green. La stessa cosa per le equazione y˙ = f e y¨ = f . E` ora chiara la (ormai ovvia) conclusione: se si procede tramite trasformata di Fourier, si “perdono” le soluzioni non F -trasformabili. Per conferma, si vede, p. es., che – se si procede con F -trasformata – si trovano tutte le ∞1 soluzioni di y˙ ± iy = f (t), si trova una sola soluzione per la y¨ − y = f (t), se ne trovano soltanto ∞1 (le costanti) per la y¨ ± y˙ = f (t). Si pu`o evidentemente studiare con queste tecniche qualsiasi equazione differenziale lineare a coefficienti costanti non omogenea L[y] = f (t) . (iii) Come altra applicazione, calcoliamo la trasformata di Fourier della distribuzione, in 3 variabili, associata alla funzione (che e` localmente sommabile in R3 ) 1 1 u = u(x, y, z) = 2 = 2· 2 2 x +y +z r Si ha infatti, utilizzando coordinate sferiche, |x| x che nei punti x < x . Un importante (e ben noto!) esempio e` fornito dal problema (in R3 ) di trovare il potenziale coulombiano V = V (x), x ∈ R3 , prodotto da una distribuzione assegnata di cariche ρ = ρ(x) : l’equazione differenziale e` l’equazione di Poisson ΔV = −4πρ la cui soluzione e` ben conosciuta: V (x) =
R3
ρ(x ) dx . |x − x |
Come si vede, questa pu`o essere scritta V=
1 1 ∗ ρ = ∗ρ . |x| r
(5.12)
208
Teoria delle distribuzioni
Dunque G=
1 1 = |x| r
(5.13)
e` la funzione di Green del problema (5.12). Infattfi, tale G(x, x ) = G(x − x ) d`a precisamente il potenziale coulombiano prodotto nel punto x da una carica puntiforme localizzata nel punto x , cio`e appunto dalla “distribuzione” di cariche ρ(x) = δ (x − x ). E` possibile dare una dimostrazione rigorosa di quanto detto, cio`e che Δ
1 = −4π δ (x) |x|
(5.12 )
ma si pu`o verificarla usando la trasformata di Fourier (in 3 variabili): si ha infatti, utilizzando gli stessi calcoli eseguiti in § 5.7 (iii), con k = |k|, r = |x| , 1 1 2π 2 1 F −1 2 = = 3 k (2π) r 4π r da cui
1
4π (5.14) = 2 r k che e` esattamente la F -trasformata della (5.12 ) ovvero −k2 F (1/r) = −4π . Nel caso del potenziale sul piano, la funzione di Green che soddisfa l’equazione F
Δ2 G(x) = −δ (x) , e` data da
G(x) =
x ∈ R2
1 log(|x|) 2π
(5.15) (5.16)
infatti, interpretata in R3 , e` il noto potenziale prodotto da un filo carico. E` istruttivo studiare l’equazione di Laplace sul piano Δ2 u = 0 delle funzioni armoniche u = u(x, y) utilizzando questa volta la trasformata di Fourier nelle 2 variabili x , y: si trova (5.17) −(k12 + k22 ) u((k1 , k2 ) = 0 . Dunque, ogni funzione armonica deve soddisfare questa equazione: verifichiamolo, come esempio, per u = x2 − y2 . Si ha F x2 − y2 = u((k1 , k2 ) = 2π − δ
(k1 )δ (k2 ) + δ (k1 )δ
(k2 ) (si noti bene che, in 2 variabili, si ha F f (x) g(y) = f((k1 ) g((k2 ) e dunque F f (x) = f((k1 ) 2πδ (k2 ) !) e si vede immediatamente che la (5.17) e` soddisfatta.
5.10 Funzioni di Green con condizioni al contorno Come si e` visto, il significato intuitivo della funzione di Green G(x − x ) e` quello di fornire il valore della soluzione prodotta nel punto x da un termine “concentrato”
5.10 Funzioni di Green con condizioni al contorno
209
nel punto x . Il fatto che questo dipenda solo dalla distanza fra i due punti si traduce naturalmente nella propriet`a della funzione di Green di dipendere solo dalla differenza x − x . A sua volta, questa propriet`a (cio`e la invarianza per traslazioni : e` chiara l’analogia con quanto visto nel § 4.12) comporta che la soluzione prodotta da un termine non omogeneo generico w(x) e` esprimibile proprio come prodotto di convoluzione v = G ∗ w. Ma e` possibile generalizzare: p.es. in presenza di condizioni al contorno in punti fissati x = α e x = β , la funzione di Green dipender`a separatamente da entrambe le coordinate x e x (e non solo dalla loro distanza x − x ). La G(x, x ) dovr`a dunque soddisfare (5.18) L[ G(x, x ) ] = δ (x − x ) con le notazioni della (5.11) , pi`u le condizioni al contorno, e la soluzione v(x) del problema % & L v(x) = w(x) (5.18 ) con le stesse condizioni al contorno, si potr`a scrivere nella forma v(x) =
G(x, x ) w(x ) dx
(5.19)
come del resto si pu`o verificare direttamente applicando ad entrambi i membri l’operatore differenziale L e tenendo conto della (5.18) (supponendo come di consueto di poter eseguire le derivazioni dentro l’integrale). Come primo esempio di questo procedimento (il secondo sar` a oggetto del prossimo paragrafo), consideriamo l’equazione di Sturm-Liouville v. (2.64) nella forma non omogenea e (per esempio) con le condizioni di annullamento agli estremi α, β : d d p(x) + q(x) − λ ρ(x) v(x) = w(x) , L[v(x)] := − dx dx
v(α) = v(β ) = 0
dove p, q, ρ (e ovviamente w) sono funzioni assegnate. Prima di studiare la funzione di Green, e` utile controllare l’esistenza e l’unicit`a della soluzione v(x): se λ non e` un autovalore dell’operatore di Sturm-Liouville l’equazione omogenea (con le condizioni al contorno) non ha soluzione, dunque la soluzione v(x) e` unica; viceversa, se λ e` un autovalore, la soluzione esiste solo se w(x) e` contenuta nell’immagine dell’operatore L, e alla soluzione si pu`o sempre aggiungere un termine proporzionale all’autofunzione corrispondente (per qualche esempio, v. i §§ 2.20, 2.24). L’equazione per la funzione di Green si ottiene sostituendo δ (x − x ) al posto di w(x) , come nella (5.18), dunque la G(x, x ) deve soddisfare la
−
d d p(x) + q(x) − λ ρ(x) G(x, x ) = 0 dx dx
per x < x e per x > x
mentre, per tenere conto della δ (x − x ) a secondo membro, si dovr`a imporre che la G(x, x ) sia continua in x = x ma presenti una discontinuit`a nella sua derivata prima
210
Teoria delle distribuzioni
data da lim
x→x +
dG dG 1 − lim =− dx p(x) x→x − dx
ricordare infatti la (5.4 ) e il metodo adottato per risolvere direttamente la (5.8) . Si pu`o verificare che, con queste condizioni, insieme con le condizioni al bordo, la funzione G(x, x ) risulta univocamente determinata. Come esempio semplice di questo procedimento, si scelga il caso p = 1,
q = λ = 0;
α = 0,
β =1
insieme con le condizioni di annullamento agli estremi. Il problema diventa −v
= w
v(0) = v(1) = 0
(5.20)
con funzione di Green che deve soddisfare −
d2 G(x, x ) = δ (x − x ) , dx2
G(0, x ) = G(1, x ) = 0 .
Scrivendone la soluzione generale A− + B− x
G(x, x ) = A+ + B+ x
per per
(5.20 )
0 ≤ x ≤ x
x ≤ x ≤ 1
(dove A∓ , B∓ sono costanti) e imponendo le condizioni al contorno e le prescrizioni sopra descritte, si trova facilmente per 0 ≤ x ≤ x
x(1 − x )
G(x, x ) =
x (1 − x) per x ≤ x ≤ 1 .
G(x, x )
0
|
x
x
1
Figura 5.1 Funzione di Green per l’equazione (5.20).
Tale risultato conferma (v. fig. 5.1) il consueto significato fisico della funzione di Green: in questo esempio si pu`o vedere come l’effetto prodotto da una pressione “puntiforme” δ (x−x ) concentrata nel punto x = x su una corda elastica ad estremi fissi in x = 0 e x = 1. Infatti la precedente equazione per v(x) si pu`o ottenere se si considera l’equazione di d’Alembert utt − uxx = f (x) in presenza di una forza esterna f = w(x) e si cerca una sua soluzione u = v(x) indipendente dal tempo.
5.11 Funzione di Green per il potenziale nel semipiano
211
Si pu`o notare che scegliendo invece λ = π 2 , che e` un autovalore dello stesso operatore, il problema non ha soluzione e la (5.20 ), che diventa ora (−d 2 /dx2 + π 2 ) G(x, x ) = δ (x, x ), non ha soluzione.
5.11 Funzione di Green per il potenziale nel semipiano Un altro esempio interessante di calcolo della funzione di Green per un problema con condizioni al contorno assegnate riguarda l’equazione bidimensionale di Laplace non omogenea Δ u = −w ,
u = u(x, y)
(5.21)
nel semipiano y > 0 con la condizione che sul bordo sia u(x, 0) = 0 . Fisicamente, la ricerca della funzione di Green significa in questo caso trovare il potenziale elettrostatico nel piano prodotto da una carica puntiforme, o meglio (interpretando il problema in R3 , v. § 3.14), il potenziale prodotto da un filo carico posto nel semipiano y > 0 di fronte ad un piano mantenuto a potenziale nullo. Tramite questa funzione di Green, mediante una formula analoga alla (5.19) in due dimensioni, si potr`a poi trovare il potenziale prodotto da qualsiasi distribuzione di cariche w(x, y) nel semipiano. Sia dunque x ≡ (x , y ) la posizione della carica: l’equazione da risolvere e` dove x ≡ (x, y) e` un punto generico in y > 0 Δx G(x; x ) ≡
∂2 ∂2 + 2 G(x; x ) = δ (x − x ) , 2 ∂x ∂y
G(x, 0; x ) = 0 .
Come e` noto, il problema si risolve con il metodo delle immagini: il potenziale cercato G si ottiene sommando al potenziale prodotto dal filo considerato posto in x v. la (5.16) quello prodotto da un secondo filo con carica opposta situato nella posizione speculare x
≡ (x , −y ) rispetto al piano a potenziale nullo. Si trova dunque, con la condizione di annullamento all’infinito, G(x; x ) =
| x − x | 1 log · 2π |x − x
|
(5.22)
Naturalmente, questo risultato si pu`o trasferire a qualunque altro problema che possa essere ottenuto a partire da questo mediante una trasformazione conforme: per esempio al problema di trovare il potenziale prodotto all’interno di un cerchio da una data distribuzione di cariche sapendo che sulla circonferenza il potenziale e` nullo. A tale scopo occorrer`a trovare il potenziale complesso per la (5.22), cio`e la funzione olomorfa della variabile z ≡ (x, y) ≡ x di cui la (5.22) e` la parte reale: tale funzione e` evidentemente G(z, z ) =
z − z
1 log 2π z − z
dove
z
= z ∗
e poi eseguire la necessaria trasformazione z → ζ = Φ(z) (v. il § 3.14).
212
Teoria delle distribuzioni
E` opportuno infine ridiscutere la (non) unicit`a della soluzione in tutti i casi in cui e` coinvolta l’equazione di Laplace bidimensionale nel semipiano y > 0: v. i §§ 3.14, 4.22 (c) e qui sopra. E` ovvio infatti che a ciascuna delle soluzioni trovate si pu`o sempre aggiungere una qualsiasi sull’asse x, cio`e tale che funzione armonica2u(x, y) che si annulli x sin y = Re(−i ez ), come gi` /2), oppure u = e a u(x, 0) = 0, p.es. u = xy = Re(−iz notato nel § 3.14 . Questa arbitrariet`a si ritrova anche introducendo la trasformata di Fourier u((k, y) (rispetto alla variabile x) della u(x, y): scrivendo infatti la soluzione della F -trasformata dell’equazione Δ u = 0, cio`e −k2 u( + d 2 u(/dy2 = 0 nella forma cf. con la (4.87), dove la trasformata di Fourier non era ancora stata definita per le distribuzioni u((k, y) = C(k)eky + D(k)e−ky
(5.23)
e imponendo la condizione di annullamento su y = 0, ovvero u((k, 0) = 0 = C + D, si trova u((k, y) = C(k) eky − e−ky . Ma questa u((k, y), a causa della presenza degli esponenziali e±ky , pu`o stare in S
soltanto se C(k) ha supporto nel solo punto k = 0, cio`e se C(k) e` una combinazione della δ (k) e delle sue derivate δ (h) (k) : per esempio, se C(k) = δ (k) si trova u(x, y) = y (a meno di fattori), se C(k) = δ
(k) si trova u(x, y) = xy v. la (5.9) . L’unicit`a della soluzione si recupera imponendo condizioni di regolarit`a (non divergenza) all’infinito, che esclude queste soluzioni: cfr. il § 3.14. A questo proposito, v. anche il § 4.13, e in particolare la (4.61), da cui si ricava che se una funzione armonica u(x, y) si annulla sull’asse x ed e` regolare all’infinito, allora anche la sua armonica coniugata v(x, y) si annulla sull’asse x; ne segue che la funzione olomorfa f = u + iv e` nulla ovunque (per le propriet`a degli zeri delle funzioni olomorfe) e dunque si conferma anche per questa via che u(x, y) ≡ 0.
6
Introduzione alla teoria dei gruppi e alle propriet`a di simmetria
I principi e le propriet`a di simmetria hanno svolto e continuano a svolgere un ruolo assolutamente fondamentale in moltissimi campi della fisica. In questo Capitolo verranno presentate le nozioni di base, partendo veramente “da zero”: dalle prime definizioni ed esempi, verr`a introdotta la definizione di rappresentazione di un gruppo e il fondamentale Lemma di Schur, insieme con alcune sue tipiche e significative applicazioni fisiche. Verranno presentate le propriet`a principali dei gruppi finiti, anche con un riferimento alla teoria dei caratteri. Si passer`a poi a considerare i gruppi e le algebre di Lie, senza far ricorso a nozioni (talvolta meno familiari) di Geometria Differenziale, ma ricorrendo per quanto possibile all’uso delle matrici. L’interesse sar`a concentrato soprattutto sulle idee fisiche pi`u comuni: le traslazioni, le rotazioni, la presenza dello spin. Verranno introdotte, in vista delle applicazioni fisiche, le prime propriet`a del gruppo SU3 e del gruppo di Lorentz; infine saranno descritte le simmetrie, particolarmente significative, dell’atomo di idrogeno e dell’oscillatore armonico in meccanica quantistica.
6.1 Alcune definizioni generali Un insieme G di elementi si dice che costituisce un gruppo se sono verificate le seguenti condizioni: (i) e` definita una legge di composizione interna G × G → G , cio`e una legge che ad ogni coppia di elementi g1 , g2 ∈ G associa un elemento g ∈ G ; con notazione generale “astratta” si scrive g = g1 ◦ g2 , ma negli esempi concreti (come vedremo subito) si usano notazioni come g = g1 · g2 , o semplicemente g = g1 g2 ; (ii) la legge di composizione e` associativa, cio`e g1 (g2 g3 ) = (g1 g2 ) g3 ; Springer-Verlag Italia 2015 G. Cicogna, Metodi matematici della Fisica, UNITEXT for Physics, DOI: 10.1007/978-88-470-5684-8_6
213
214
Teoria dei gruppi
(iii) esiste in G un elemento e (talvolta indicato con I) detto elemento neutro o identit`a, tale che per ogni g ∈ G si ha e g = g e = g ; (iv) per ogni g ∈ G esiste un elemento g tale che g g = g g = e . Tale elemento g
viene detto inverso di g e si indica in genere con g−1 . Per esempio, l’insieme R(0) dei numeri reali diversi da zero forma un gruppo prendendo come legge di composizione il prodotto; l’insieme R di tutti i numeri reali forma un gruppo prendendo come legge di composizione la somma: in questo caso l’elemento neutro e` lo zero e l’inverso del numero x ∈ R e` il suo opposto −x. L’insieme Z degli interi relativi e` un gruppo rispetto alla somma, ma ovviamente non rispetto al prodotto. L’insieme delle matrici n × n non singolari (cio`e con determinante non nullo) forma un gruppo rispetto all’usuale prodotto righe per colonne; tale gruppo (detto gruppo generale lineare) viene indicato con GLn (C) o con GLn (R) se gli elementi delle matrici si prendono rispettivamente complessi o reali (v. § 1.10). Un gruppo si dice abeliano o commutativo se la sua legge di composizione e` commutativa: g1 g2 = g2 g1 , ∀ g1 , g2 ∈ G . I primi esempi dati qui sopra sono gruppi commutativi, l’ultimo no. Forma pure un gruppo non abeliano l’insieme Sn costituito dalle n! permutazioni di n elementi fra loro. Vari esempi di gruppi sono stati dati nei §§ 1.9-10, e molti altri verranno incontrati e studiati nel seguito. Un sottoinsieme H di un gruppo G e` un sottogruppo di G se, per ogni h ∈ H , anche h−1 ∈ H e se per ogni h1 , h2 ∈ H anche h1 h2 ∈ H . L’insieme delle rotazioni intorno ad un asse fissato in R3 e` ovviamente un sottogruppo del gruppo SO3 di tutte le rotazioni in R3 . A sua volta, SO3 e` un sottogruppo delle trasformazioni ortogonali O3 . L’insieme dei multipli interi di un numero fissato p ∈ Z e` un sottogruppo di Z, che si indica con pZ : pZ = {np , n ∈ Z} = {0, ±p, ±2p, . . .} . In qualsiasi gruppo, fissato un g ∈ G , il sottoinsieme degli elementi gm (m ∈ Z) e` un sottogruppo (detto sottogruppo ciclico), che pu`o essere costituito di un insieme finito o infinito di elementi. Si pensi per esempio al gruppo formato dai numeri complessi α di modulo 1 con legge moltiplicativa: l’elemento α = eiπ/5 genera un sottogruppo di 10 elementi, l’elemento α
= ei genera un sottogruppo costituito da infiniti elementi. Se l’insieme degli elementi gm coincide con l’intero G, si dice che G e` un gruppo ciclico. Preso un gruppo G, due suoi elementi g1 , g2 si dicono coniugati se esiste un elemento g ∈ G tale che g2 = g g1 g −1 . E` facile vedere che in questo modo si individua una relazione di equivalenza fra gli elementi del gruppo, che quindi realizza una partizione del gruppo in classi di coniugazione : in altre parole, il gruppo risulta formato dall’unione di vari sottoinsiemi disgiunti, ciascuno costituito dagli elementi fra loro coniugati. Per esempio, in SO3 ciascuna classe e` formata dalle rotazioni del medesimo angolo (intorno a tutti i possibili assi).
6.2 Omomorfismi tra gruppi. Gruppi quoziente
215
Siano G un gruppo ed S un insieme qualsiasi. Si dice che G “opera su S” se G e` un insieme di trasformazioni (invertibili) di S in s´e: g : x → x = g x ∈ S . Si chiama allora orbita di un elemento x ∈ S l’insieme {g x , g ∈ G} , cio`e l’insieme dei punti raggiunti dalle trasformazioni g ∈ G partendo da x. Il gruppo si dice transitivo se ∀ x1 , x2 ∈ S c’`e qualche g ∈ G tale che x2 = g x1 . Fissato un x ∈ S , il suo gruppo di stabilit`a e` il sottoinsieme Gx ⊂ G degli elementi g$ che “lasciano fisso” x, cio`e tali che g$x = x ed e` facile vedere che Gx e` un sottogruppo di G. Se Gx e` il gruppo di stabilit`a di x ∈ S e x = g x , allora il gruppo di stabilit`a Gx di x e` costituito dalle trasformazioni della forma g g$g −1 , dove g$ ∈ Gx (e i due sottogruppi di stabilit`a Gx e Gx sono coniugati). Semplici esempi si trovano pensando al gruppo delle rotazioni e/o delle traslazioni in S = R2 (o R3 ). Si pu`o far operare G su se stesso, cio`e prendere S = G, mediante – per esempio – moltiplicazione a sinistra, g : h → g h, e si vede subito che tale operazione e` transitiva.
6.2 Omomorfismi tra gruppi. Gruppi quoziente Dati due gruppi G e G , eventualmente con leggi di composizione diverse, che qui indicheremo rispettivamente con · e con ◦ , si dice che e` stabilito un omomorfismo fra essi se e` stabilita una corrispondenza, non necessariamente biunivoca, Φ : G → G fra gli elementi di G e quelli di G che “conserva le operazioni”, cio`e tale che se g3 = g1 · g2
allora anche
Φ(g3 ) = Φ(g1 ) ◦ Φ(g2 ) .
Ci`o implica in particolare Φ(e) = e = identit`a di G e Φ(g−1 ) = Φ −1 (g) . Un omomorfismo che e` anche biunivoco, si dice isomorfismo ; in tal caso si scrive usualmente G G per indicare che G e G sono isomorfi. Per esempio, detto C0 il gruppo moltiplicativo dei numeri complessi diversi da zero, la corrispondenza Φ : GLn (C) → C0 definita da Φ(M) = det M , dove M ∈ GLn (C) , e` un omomorfismo, grazie alla nota propriet`a del determinante. La corrispondenza fra il gruppo additivo dei numeri reali x e il gruppo moltiplicativo dei reali strettamente positivi definita da Φ(x) = ex e` un isomorfismo, infatti Φ(x1 + x2 ) = ex1 +x2 = ex1 ex2 = Φ(x1 ) Φ(x2 ) e la corrispondenza e` biunivoca. Si vede anche facilmente che il gruppo di simmetria del triangolo equilatero, costituito da 6 elementi (identit`a, le rotazioni di ±2π/3, le riflessioni rispetto a ciascuna altezza) e` isomorfo al gruppo delle permutazioni S3 ; invece, il gruppo di simmetria del quadrato (v. § 1.10) non e` isomorfo ad S4 ma
216
Teoria dei gruppi
soltanto ad un suo sottogruppo. Il gruppo SO2 e` isomorfo al gruppo moltiplicativo dei numeri complessi di modulo 1. Un sottogruppo H di G si dice invariante (o normale) se ∀h ∈ H,
∀g ∈ G
si ha
g h g−1 ∈ H
(6.1)
(in breve si scrive g H g−1 = H , oppure g H = H g). Per esempio il sottogruppo SO2 delle rotazioni intorno ad un asse fissato in R3 non e` chiaramente sottogruppo invariante in SO3 , dato che ghg−1 cambia l’asse di rotazione. Nel gruppo Euclideo E3 delle rotazioni, riflessioni e traslazioni in R3 , o – pi`u in generale – nel gruppo invariante abeliano, il sottoEn in Rn , il sottogruppo delle traslazioni e` sottogruppo ` non lo e per verificarlo, basta utilizzare la gruppo On delle rotazioni e riflessioni regola di composizione (1.37) . Ovviamente, se un gruppo e` abeliano, ogni suo sottogruppo e` automaticamente invariante. Un gruppo si dice semplice se non possiede sottogruppi invarianti (a parte ovviamente l’identit`a e se stesso); per esempio, il gruppo SO3 e` un gruppo semplice. Si dice semisemplice un gruppo se non possiede sottogruppi invarianti abeliani; per esempio, per quanto detto pi`u sopra, il gruppo Euclideo En non e` semisemplice. E` assai facile quanto importante verificare che il nucleo di ogni omomorfismo Φ : G → G , cio`e l’insieme degli elementi g0 ∈ G tali che Φ(g0 ) = e , e` un sottogruppo invariante di G. Dunque, per esempio, il gruppo speciale lineare SLn (C) e` sottogruppo invariante di GLn (C), essendo nucleo dell’omomorfismo Φ = det, e cos`ı SUn e` sottogruppo invariante di Un , ed SOn di On . Si indica con Z p l’insieme dei p numeri interi {0, 1, . . . , p − 1} prendendo come legge di composizione la “somma modulo p”: per esempio, se p = 7, si intende 2 + 3 = 5, 2 + 6 = 1, 3 + 4 = 0, · · · . Si stabilisce un omomorfismo Φ di Z in Z p mediante la relazione Φ(n) = resto della divisione n/p ; per esempio, ancora con p = 7, la corrispondenza e` Φ(1) = 1, Φ(7) = 0, Φ(8) = 1, · · · . Il nucleo di tale omomorfismo e` il gruppo pZ. Il gruppo Z p e` isomorfo al gruppo moltiplicativo dei numeri complessi e2i m π/p (m = 0, 1, · · · , p − 1); spesso si usa lo stesso simbolo Z p per indicare entrambi i gruppi: in particolare Z2 = {1, −1}. Se H e` un sottogruppo qualsiasi in G, si pu`o eseguire una partizione di G (ben diversa da quella introdotta nel paragrafo precedente!) in sottoinsiemi disgiunti procedendo in questo modo: per ogni g ∈ G , si inseriscono nella stessa classe tutti gli elementi della forma g h, con h ∈ H . Ovviamente, una classe sar`a formata dal sottogruppo H. E` facile verificare che si ottengono classi disgiunte, che potremo indicare con g H, che ricoprono tutto G; inoltre si ha che queste classi contengono tutte lo stesso numero di elementi, o – pi`u esattamente – possono essere messe in corrispondenza biunivoca fra loro, e in particolare con H. Dunque, se G ha un numero finito N di elementi, allora il numero m di elementi che costituiscono ogni suo sottogruppo deve essere un divisore di N. Da questo segue che se N e` un numero primo, allora il gruppo e` ciclico.
6.2 Omomorfismi tra gruppi. Gruppi quoziente
217
Ma il fatto pi`u rilevante e` che se il sottogruppo H e` un sottogruppo invariante, allora l’insieme di queste classi ha la struttura di gruppo: infatti, se g1 h e g2 h sono due elementi contenuti nelle classi g1 H e g2 H, si ha
g1 h · g2 h = g1 g2 g−1 2 h g2 h = g1 g2 h h = g1 g2 h ∈ (g1 g2 ) H
grazie appunto alla propriet`a (6.1) caratterizzante il sottogruppo invariante H. Il gruppo cos`ı ottenuto si chiama gruppo quoziente di G rispetto ad H e si indica con Q = G/H . In questo gruppo l’elemento neutro e` H. Non si pu`o tuttavia dire che G e` il ‘prodotto’ di Q per H, a causa del diverso ruolo svolto dal sottogruppo H e dal quoziente Q (anzitutto, in generale, Q non e` isomorfo ad alcun sottogruppo invariante di G). Per esempio, se G e` il gruppo Euclideo En e H e` il sottogruppo invariante delle traslazioni, il gruppo quoziente e` isomorfo al sottogruppo delle rotazioni e riflessioni, che non e` sottogruppo invariante in En . Si dice che G e` il prodotto diretto di due suoi sottogruppi H1 e H2 se h1 h2 = h2 h1 (∀ h1 ∈ H1 , h2 ∈ H2 ) e se si pu`o scrivere ogni g ∈ G come prodotto (in modo unico) g = h1 h 2 con h1 ∈ H1 , h2 ∈ H2 . Si scrive in tal caso G = H1 ⊗ H2 . Per esempio, O3 =SO3 ⊗Z2 ; si noti che O3 /SO3 {1, −1}, ma anche il sottogruppo di O3costituito dalle matrici {I, −I} Z2 e` sottogruppo invariante in O3 e O3 /Z2 SO3 si osservi infatti che, in O3 , si ha det(−I) = −1 . Pi`u in generale, si possono considerare due gruppi qualsiasi H1 e H2 , anche con leggi di composizione diverse, e osservare che l’insieme delle coppie (h1 , h2 ), con h1 ∈ H1 , h2 ∈ H2 , forma evidentemente un nuovo gruppo G con la legge di composizione naturale (h1 , h2 ) · (h 1 , h 2 ) = (h1 h 1 , h2 h 2 ) . In questo gruppo i due insiemi della forma (h1 , e2 ) e (e1 , h2 ) sono sottogruppi isomorfi a H1 e rispettivamente a H2 , e si pu`o dunque dire che G e` il prodotto diretto G = H1 ⊗ H2 . E` chiaro che quando G e` un prodotto diretto G = H1 ⊗ H2 , sia H1 che H2 sono sottogruppi invarianti, e si ha G/H1 H2 e G/H2 H1 . Si chiama centro di un gruppo G il sottogruppo (invariante) degli elementi z ∈ G tali che zg = gz ∀g ∈ G . P. es., nel caso del gruppo GLn (C), il centro e` dato dalle matrici della forma λ I. Si ha anche il seguente risultato:
218
Teoria dei gruppi
Teorema di Cayley. Ogni gruppo G con un numero finito N di elementi e` isomorfo ad un sottogruppo del gruppo delle permutazioni di N elementi. Dimostrazione (un cenno). Sia G = {e, g1 , . . . , gN−1 }; moltiplicando tutti gli elementi di G per uno dei suoi elementi, p.es. per g1 , si ottiene {g1 , g21 , . . .}, dunque g1 individua una permutazione degli elementi di G. D’altronde non tutte le permutazioni sono ottenibili in questo modo: p.es. una permutazione che lascia invariato solo l’elemento neutro non pu`o essere ottenuta da nessuna moltiplicazione.
6.3 Rappresentazioni di un gruppo La nozione di rappresentazione di un gruppo e` assolutamente fondamentale per le applicazioni fisiche, come vedremo. Dato un gruppo G, si dice rappresentazione di G e si indica generalmente con D oppure con R, un omomorfismo di G nel gruppo delle trasformazioni lineari invertibili di uno spazio vettoriale V in se stesso. Per il momento, considereremo spazi a dimensione finita, dunque V = Rn (oppure Cn ); lo spazio V si chiama spazio base della rappresentazione e la sua dimensione n si chiama dimensione della rappresentazione. In altre parole, una rappresentazione R e` un omomorfismo di G nel gruppo delle matrici: R : G → GLn (C) . Sar`a conveniente indicare con R(g) la matrice che corrisponde all’elemento g del gruppo G. Se l’omomorfismo e` iniettivo, la rappresentazione si dice fedele; in tal caso, la rappresentazione e` in realt`a un isomorfismo fra G e un gruppo di matrici, sottogruppo di GLn (C) . Nei gruppi semplici, che – per definizione – non possiedono sottogruppi invarianti, ogni rappresentazione e` necessariamente fedele, esclusa ovviamente la rappresentazione “banale” D0 che trasforma ogni g ∈ G nel numero 1 (anche questa e` una rappresentazione!). Una rappresentazione R si dice unitaria se per ogni g ∈ G la matrice R(g) e` una matrice unitaria. Due rappresentazioni R e R si dicono equivalenti se esiste una matrice non singolare X (la stessa per tutti i g ∈ G ) tale che R (g) = X R(g) X −1 . L’equivalenza di due rappresentazioni corrisponde dunque semplicemente ad una diversa scelta della base dello spazio V . Un concetto particolarmente importante nella teoria delle rappresentazioni e delle loro applicazioni e` quello della riducibilit`a : data una rappresentazione D di un gruppo G operante su uno spazio V , se esiste un sottospazio vettoriale V ⊂ V tale che ∀g ∈ G D(g)V ⊆ V
6.3 Rappresentazioni di un gruppo
219
cio`e se V e` lasciato invariante (nel suo insieme, non vettore per vettore!), allora si dice che D e` riducibile. Si dir`a invece irriducibile se non c’`e alcun sottospazio invariante. Se V e` invariante e si sceglie la base in V in modo che e1 , . . . , en1 sia una base per V (dove n1 e` la sua dimensione), la rappresentazione D assumer`a la forma R1 S D(g) = · 0 R2 Se poi avviene che S = 0, cio`e che V
= sottospazio complementare, di dimensione n2 = n − n1 e` anch’esso invariante sotto l’azione di D, allora D risulta (equivalente a) una rappresentazione fatta con matrici “a blocchi”, e in tal caso si dice che D e` completamente riducibile. Dimostreremo presto che ogni rappresentazione unitaria e` completamente riducibile (oppure irriducibile). E` evidente che le matrici R1 e R2 di ciascun blocco formano altre due rappresentazioni R1 e R2 di G, operanti sugli spazi V e V
rispettivamente: R1 : V → V ,
R2 : V
→ V
di dimensioni n1 e n2 . Si scrive allora D = R 1 ⊕ R2 e si dice che D e` somma diretta delle due rappresentazioni R1 e R2 . Alcuni esempi semplici (altri importanti esempi saranno discussi pi`u oltre): (a) Sia G il gruppo delle rotazioni in R3 : ogni suo elemento si pu`o individuare assegnando per esempio il versore dell’asse di rotazione e l’angolo di rotazione. Fissata una base ortonormale in R3 , ogni rotazione e` rappresentata da una matrice ortogonale 3 × 3 a determinante uguale a uno, come ben noto. Il gruppo delle matrici SO3 pu`o dunque essere visto come una rappresentazione di G. Oltrech´e ovviamente irriducibile, tale rappresentazione e` un isomorfismo, tanto che in genere si identifica il gruppo “astratto” delle rotazioni con il gruppo di matrici SO3 , che potr`a essere chiamato la “rappresentazione naturale” (o “fondamentale”) del gruppo. Come vedremo, tale gruppo possiede infinite altre rappresentazioni irriducibili fedeli, non equivalenti fra loro. (b) Se G e` il gruppo (abeliano) delle rotazioni eseguite intorno ad un asse fissato in R3 , la rappresentazione considerata in (a) diventa completamente riducibile e si decompone nella somma diretta della rappresentazione bidimensionale (equivalente ad SO2 ) operante sullo spazio ortogonale all’asse di rotazione e nella rappresentazione “banale” R(g) = 1 . (c) Se G e` il gruppo di simmetria del quadrato (v. § 1.10), e si sceglie una base ortonormale in R2 con origine nel centro del quadrato, le otto operazioni di simmetria possono essere rappresentate scrivendole nel modo consueto come altrettante matrici ortogonali 2 × 2 (e ottenendo cos`ı una rappresentazione fedele). Vi sono altre quattro rappresentazioni, tutte unidimensionali: oltre alla rappresentazione banale R0 (g) = 1 per ogni g del gruppo, le altre rappresentazioni sono date da (ordinando
220
Teoria dei gruppi
gli elementi del gruppo come nel § 1.10: identit`a, rotazione di angolo π, rotazioni di angolo ±π/2, riflessioni rispetto alle diagonali, riflessioni rispetto alle parallele ai lati) R1 = {1, 1, 1, 1, −1, −1, −1, −1},
R1 = {1, 1, −1, −1, 1, 1, −1, −1},
R1
= {1, 1, −1, −1, −1, −1, 1, 1} . Applicando un risultato che verr`a dato nel prossimo paragrafo, si vede che queste esauriscono tutte le possibili rappresentazioni irriducibili inequivalenti del gruppo del quadrato, nel senso che ogni altra rappresentazione e` equivalente ad una di esse o ad una somma diretta di due o pi`u fra esse. (d) Come visto nel §1.10, ogni elemento del gruppo Euclideo En e pi`u in generale del gruppo affine pu`o essere individuato assegnando una coppia (A, b), con legge di composizione data dalla (1.37). Una sua rappresentazione (fedele) si pu`o ottenere nello spazio Rn+1 ponendo A b (A, b) → 0 1 come si verifica facilmente. Questa rappresentazione e` dunque riducibile, ma non completamente riducibile.
6.4 Rappresentazioni dei gruppi finiti. Caratteri Un gruppo si dice finito se e` costituito da un numero finito N di elementi (N e` anche detto ordine del gruppo). Sussiste il seguente Teorema : Ogni rappresentazione R di un gruppo finito e` equivalente ad una rappresentazione R$ unitaria. Dimostrazione. Si costruisca la matrice A=
∑ R+ (g)R(g)
g∈G
dove R(g) e` la matrice (della data rappresentazione R) che rappresenta l’elemento g del gruppo e la somma e` estesa a tutti gli elementi del gruppo. Per ogni fissata R(g ) , si ha R+ (g ) A R(g ) = ∑ R+ (g ) R+ (g) R(g) R(g ) = ∑ R+ (g g ) R(g g ) = g
g
= ∑ R+ (γ)R(γ) = A . γ
R+ (g g )
Infatti = [R(g) R(g )]+ = R+ (g ) R+ (g) e γ = g g ripercorre nella somma l’intero G (l’azione di G su se stesso e` transitiva). Inoltre si ha che A = A+ , dunque
6.4 Rappresentazioni dei gruppi finiti. Caratteri
221
(v. § 1.6) esiste una matrice unitaria M che diagonalizza A: Ad = M A M +
ovvero
A = M + Ad M
e gli autovalori di A sono reali e positivi, come e` facile verificare. Si pone ora 1/2
Q = Ad M
dunque
Q + Q = M + Ad M = A
$ = Q R(g) Q−1 sono unitarie, infatti e le matrici R(g) $ + R(g) $ = (Q−1 )+ R+ (g) Q+ Q R(g) Q−1 = (Q−1 )+ R+ (g) A R(g) Q−1 = R(g) = (Q−1 )+ A Q−1 = I .
Questo fatto e` particolarmente importante perch´e ogni rappresentazione unitaria e` irriducibile oppure completamente riducibile. Infatti, se V1 e` un sottospazio invariante per una rappresentazione unitaria R, detto V2 il suo complemento ortogonale, presa una qualsiasi matrice R(g) della rappresentazione, si ha, ∀ v1 ∈ V1 , v2 ∈ V2 , v1 , R(g) v2 = R+ (g) v1 , v2 = R−1 (g) v1 , v2 = R(g−1 ) v1 , v2 = (v 1 , v2 ) = 0 poich´e, grazie all’ipotesi, R(g−1 ) v1 = v 1 ∈ V1 . Dunque R(g)v2 ∈ V2 , ∀ g ∈ G e allora anche V2 e` invariante sotto R. Si pu`o inoltre dimostrare che, presa una qualsiasi rappresentazione irriducibile Rα di un gruppo G di ordine N e fissata una posizione i j (riga e colonna) nelle matrici Rα (g), il vettore ad N componenti ottenuto al variare di g in G [ Rα (g) ]i j e` ortogonale a tutti gli altri analoghi vettori ottenuti prendendo le altre coppie di indici e le altre rappresentazioni irriducibili. Pi`u precisamente, dette Rα e Rβ due rappresentazioni irriducibili inequivalenti, dα e dβ le loro dimensioni, fissate due posizioni i j e kl nelle rispettive matrici, si dimostra la seguente “relazione di ortogonalit`a” in CN : ) ∗ d [ R (g) ] dβ [ Rβ (g) ]kl = N δα β δik δ jl . α α ∑ ij
(6.2)
g∈G
Si pu`o verificare facilmente questa propriet`a nel caso delle rappresentazioni del gruppo di simmetria del quadrato date nel paragrafo precedente. D’altronde, non ci possono essere pi`u di N vettori ortogonali in CN . Si ha allora il seguente pi`u completo e preciso risultato: Teorema (di Peter-Weyl ): Le rappresentazioni irriducibili inequivalenti R1 , R2 , · · ·, Rs di un gruppo di ordine N sono in numero finito s uguale al numero delle classi di coniugazione (v. § 6.1) in cui il gruppo e` suddiviso, e sono tali che l’insieme dei
222
Teoria dei gruppi
vettori ad N componenti
dα [ Rα (g) ]i j N che si ottiene al variare di α = 1, · · · , s e per 1 ≤ i, j ≤ dα = dimensione di Rα , forma un set ortonormale completo in CN . Osservando ora che le matrici della rappresentazione Rα sono matrici dα × dα , ne segue che dovr`a essere (Teorema di Burnside): d12 + d22 + . . . + ds2 = N . Si pu`o anche dimostrare che le dimensioni dα delle rappresentazioni irriducibili sono divisori dell’ordine N del gruppo G. Questi risultati consentono quindi di individuare le rappresentazioni irriducibili di un gruppo finito e danno anche un’idea di come decomporre una rappresentazione riducibile nelle sue componenti irriducibili utilizzando la completezza delle rappresentazioni irriducibili garantita dal teorema di Peter-Weyl e grazie alla (6.2). Il procedimento si pu`o formalizzare e anche semplificare introducendo la nozione di carattere di una rappresentazione: si definisce carattere di una rappresentazione R (anche se riducibile) il vettore ad N componenti χ(g) = ∑ [ R(g) ]ii i
cio`e la traccia della matrice R(g) , per ogni g ∈ G . Usando la (6.2), si ricava per i caratteri di due rappresentazioni irriducibili Rα , Rβ la relazione di ortogonalit`a N
∑ χα∗ (g) χβ (g) = dα δα β ∑ δii = N δα β . g
(6.3)
i
Dunque i caratteri di due rappresentazioni irriducibili inequivalenti sono vettori ortogonali fra loro in CN . Ne segue anche – dato che la traccia di una matrice non cambia sotto trasformazioni di similitudine R → R = S R S−1 – che due rappresentazioni con caratteri diversi sono necessariamente inequivalenti. Ma si pu`o dimostrare che e` vero anche il viceversa: due rappresentazioni irriducibili sono equivalenti se e solo se hanno gli stessi caratteri. Data una qualunque rappresentazione (unitaria) R del gruppo G, risulta ora facile trovarne la decomposizione nella somma diretta delle sue componenti irriducibili: scrivendo tale decomposizione come R = n1 R1 ⊕ · · · ⊕ ns Rs dove nα e` il numero di volte (incognito) con cui la rappresentazione Rα compare nella rappresentazione R, il vettore dei caratteri χR (g) della R sar`a dato da χR (g) = n1 χ1 (g) + · · · + ns χs (g)
(6.4)
6.5 Lemma di Schur. Le simmetrie nella fisica
223
(questo risulta evidente nella base in cui R e` nella forma “a blocchi”, v. § 6.3, ma i caratteri non cambiano sotto cambiamento di base, come gi`a notato). Allora i coefficienti nα si trovano semplicemente calcolando i prodotti scalari (χR , χα ) in CN , grazie alla (6.3): 1 ∗ (g)χα (g) . (6.4 ) nα = ∑ χR N g Da notare ancora che le matrici che rappresentano gli elementi contenuti nella stessa classe di coniugazione del gruppo hanno lo stesso carattere, poich´e tali elementi differiscono solo per una similitudine, dunque il vettore χα dei caratteri di una rappresentazione irriducibile Rα pu`o essere visto come un vettore a sole s componenti, una per ciascuna delle s classi di coniugazione del gruppo G. Allora, la precedente formula per il calcolo dei coefficienti nα pu`o essere semplificata eseguendo la somma solo sulle s classi: nα =
1 N
s
∑ gκ χR∗ (κ) χα (κ)
κ=1
dove χα (κ) e` il carattere della rappresentazione sulla κ-esima classe e gκ e` il numero degli elementi presenti nella classe stessa.
6.5 Lemma di Schur. Le simmetrie nella fisica Uno dei fatti fondamentali su cui si appoggiano – direttamente o indirettamente – molte delle applicazioni della teoria dei gruppi alla fisica e` fornito dal Lemma di Schur. Esso vale per qualsiasi tipo di gruppo (finito o infinito, discreto o continuo) e, nella sua forma pi`u semplice si pu`o enunciare nel modo seguente. Teorema (Lemma di Schur): Sia G un gruppo qualsiasi ed R una sua rappresentazione irriducibile operante su uno spazio vettoriale V definito sul campo complesso C. Se T e` un operatore lineare di V in s´e tale che T R(g) = R(g) T
∀g ∈ G
allora deve essere T = λ I. Cio`e, in breve, ogni operatore che commuta con tutte le matrici di una rappresentazione irriducibile e` necessariamente un multiplo dell’identit`a. Dimostrazione. Sia v un autovettore di T con autovalore λ (qualsiasi matrice T ammette almeno un autovettore), e sia Vλ il sottospazio degli autovettori di T con autovalore λ . Dunque Vλ = {0} ; preso un qualsiasi w ∈ Vλ , si ha T R(g) w = R(g) T w = λ R(g) w
224
Teoria dei gruppi
allora anche R(g) w ∈ Vλ , ∀g ∈ G ; ma questo significa che Vλ e` un sottospazio invariante sotto R. Poich´e d’altronde R e` irriducibile, ne segue che Vλ deve coincidere con l’intero spazio base della rappresentazione, ovvero che T − λ I = 0 su tutto lo spazio, cio`e T = λ I. Una prima conseguenza del lemma di Schur e` che ogni rappresentazione irriducibile di un gruppo abeliano e` unidimensionale (basta prendere come matrice T le matrici stesse della rappresentazione). Si deve naturalmente ricordare che questo fatto e` vero solo se si considerano rappresentazioni complesse: per esempio, la rappresentazione reale su R2 che definisce SO2 diventa riducibile solo se “estesa” a vettori complessi, dove assume la forma diagonale iϕ 0 e 0 e−i ϕ come somma diretta di due rappresentazioni unidimensionali. Sono possibili varie generalizzazioni del lemma di Schur: per esempio, e` facile verificare che, se la rappresentazione R e` somma diretta di due o pi`u rappresentazioni irriducibili fra loro inequivalenti R = R1 ⊕ R2 ⊕ · · ·
(6.5)
e T e` una matrice che commuta con R, allora se ne deduce che: (i) T commuta con tutti i proiettori P1 , P2 , · · · che proiettano sui sottospazi base V1 , V2 , · · · delle varie componenti irriducibili R1 , R2 , · · · ; (ii) T e` del tipo T = λ1 P1 + λ2 P2 + · · · cio`e e` multiplo dell’identit`a su ciascun sottospazio V1 , V2 , · · · e ogni λα ha degenerazione uguale alla dimensione della rappresentazione Rα . Se poi nella (6.5) compaiono anche rappresentazioni Rα irriducibili equivalenti fra loro, la forma di T pu`o essere pi`u complicata, ma comunque la degenerazione dei suoi autovalori e` uguale alla dimensione delle rappresentazioni irriducibili contenute nella (6.5). L’utilit`a di questi risultati e` facilmente compresa se si osserva che la propriet`a di commutazione di T con la rappresentazione R si pu`o scrivere T = R (g) T R−1 (g)
(6.6)
per ogni g ∈ G , il che significa che ogni cambiamento di base prodotto dalle trasformazioni R(g) non muta l’operatore T , ovvero che T e` invariante sotto le operazioni R(g) v. la (1.17) . D’altronde se si considera un sistema fisico dotato di una propriet`a di simmetria descritta da un gruppo G, e T e` un qualsiasi operatore che descrive tale sistema, l’operatore T non deve variare se viene eseguita una trasformazione del gruppo di simmetria G (il sistema infatti viene trasformato da G in un sistema identico a quello iniziale): dunque T deve soddisfare proprio la condizione (6.6). Il lemma di Schur ci dice allora che dobbiamo attenderci che gli autovalori di T , cos`ı
6.6 Livelli vibrazionali di sistemi con simmetria
225
come di qualsiasi operatore che “descriva la fisica del problema”, devono presentare degenerazioni ben precise, uguali alle dimensioni delle rappresentazioni irriducibili contenute in R; inoltre gli autovettori dovranno essere cercati nei sottospazi base di tali rappresentazioni. Nel prossimo paragrafo sar`a descritto un esempio esplicito in cui si applicano queste considerazioni. Un esempio semplice in cui le stesse vengono estese ad un problema in dimensione infinita, e` fornito dal problema di d’Alembert bidimensionale per una superficie elastica a contorno quadrato fisso (v. § 2.22): posto T = −Δ , il problema diventa −Δ w = λ w e presenta la simmetria del quadrato. Il gruppo di simmetria del quadrato ha rappresentazioni uni- e bi-dimensionali (v. § 6.3), ed effettivamente gli autovalori di Δ hanno in questo caso degenerazione 1 e 2, come ben noto (v. § 2.22). La situazione descritta qui sopra e` assai comune in meccanica quantistica: tipicamente, T e` l’Hamiltoniana di un sistema dotato di qualche propriet`a di simmetria, e – anche se non si conosce l’espressione esplicita di tale Hamiltoniana – la sola presenza della simmetria fornisce informazioni precise sulla distribuzione di livelli energetici con la loro degenerazione. Qualche caso importante verr`a esaminato pi`u avanti. Va comunque precisato che non si pu`o escludere che gli autovalori di un operatore T relativi a due sottospazi diversi nella decomposizione (6.5) possano risultare fra loro uguali: si parla in tal caso di degenerazione accidentale; ovviamente in tal caso la degenerazione di questo autovalore sar`a la somma delle dimensioni delle rappresentazioni coinvolte. Per esempio, nel caso del problema di d’Alembert per il quadrato sopra ricordato, l’autovalore λ = 50(π/a)2 ha degenerazione 3, poich´e ad esso corrispondono le 3 autosoluzioni sin (π/a)x sin 7(π/a)y, sin 7(π/a)x sin (π/a)y, sin 5(π/a)x sin 5(π/a)y. A proposito della presenza di qualche propriet`a di simmetria, e` da sottolineare un fatto naturale quanto importante – e del tutto generale: se e` data una soluzione di un problema dotato di una simmetria, allora applicando a tale soluzione una trasformazione del gruppo di simmetria, si ottiene ancora una soluzione del problema stesso.
6.6 Livelli vibrazionali di sistemi con simmetria Un’altra tipica applicazione di quanto detto riguarda lo studio dei modi normali di vibrazione e delle autofrequenze di sistemi oscillanti dotati di propriet`a di simmetria. Un problema di questo tipo e` gi`a stato risolto nel § 1.7(b), ma e` chiaro che quel procedimento diventa sempre pi`u complicato aumentando la complessit`a del sistema. Consideriamo – come esempio del procedimento – il caso semplice di tre particelle uguali legate elasticamente fra loro con tre molle uguali. Si supponga che
226
Teoria dei gruppi
all’equilibrio le tre masse siano poste ai vertici di un triangolo equilatero e che siano vincolate a muoversi sul piano individuato da tale triangolo. La simmetria del problema e` dunque descritta dal gruppo di simmetria del triangolo equilatero. Per descrivere i possibili spostamenti dalla posizione di equilibrio delle tre particelle servir`a allora un vettore bidimensionale per ciascuna di esse: sia dunque x ∈ R6 il vettore che descrive tutti gli spostamenti nel piano delle tre particelle, dove x1 , x2 descrivono gli spostamenti di una particella, x3 , x4 quelli della seconda, e x5 , x6 quelli dell’ultima. Operando sull’insieme di questi vettori mediante le trasformazioni del gruppo di simmetria se ne otterr`a cos`ı una rappresentazione R di dimensione 6, certamente riducibile, dato che le rappresentazioni irriducibili del gruppo del triangolo equilatero hanno dimensione 1 e 2, come si verifica facilmente (v. § 6.4). Se T e` la matrice che descrive le mutue interazioni fra le masse, l’equazione del moto sar`a x¨ = T x . Cercando soluzioni (modi normali) della forma v. § 1.7(b) x = c sin(ω t + δ ) si trova come nella 1.27 )
−ω 2 c = T c
dunque gli autovalori di T sono le frequenze proprie del sistema. Allora, anche senza conoscere l’espressione esplicita di T , possiamo affermare che T “per ragioni di simmetria” dovr`a necessariamente soddisfare la propriet`a (6.6) e dunque obbedire al lemma di Schur. Per avere informazioni sugli autovalori di T e sui modi normali del sistema, occorrer`a dunque decomporre nelle sue componenti irriducibili la rappresentazione a dimensione 6 del gruppo del triangolo operante sullo spazio R6 sopra introdotto. Prima di ricorrere alla tecnica dei caratteri, come indicato nel § 6.4, in questo caso e` anche semplice individuare direttamente alcuni sottospazi invarianti sotto l’azione del gruppo del triangolo. Si riconosce subito, per esempio, la presenza di un sottospazio bidimensionale, invariante sotto le trasformazioni di simmetria del triangolo, costituito dai vettori della forma (c1 , c2 , c1 , c2 , c1 , c2 ), corrispondente ai moti rigidi di traslazione, e dunque con autovalore ω = 0 e degenerazione 2; si trova pure un altro autovalore ω = 0 corrispondente al moto rigido di rotazione, con degenerazione 1. E si trovano finalmente due altri sottospazi corrispondenti ai moti vibrazionali del sistema, con autovalori ω = 0 che hanno degenerazione 1 e 2. Come nel caso studiato nel § 1.7(b), questo sistema e` una schematizzazione della molecola di ozono O3 o di ammoniaca NH3 (trascurando ovviamente gli spostamenti dell’atomo di azoto). Volendo ricorrere alla tecnica dei caratteri, occorre scrivere anzitutto i caratteri delle 3 rappresentazioni irriducibili inequivalenti del gruppo di simmetria del triangolo equilatero: la rappresentazione banale R1 ha evidentemente carattere χ1 = {1, 1, 1, 1, 1, 1}
6.7 Gruppi di Lie. Definizioni ed esempi generali
227
l’altra rappresentazione unidimensionale R ha χ = {1, 1, 1, −1, −1, −1} dove i numeri 1 corrispondono all’identit`a e alle rotazioni di ±2π/3 e i numeri −1 alle tre riflessioni rispetto alle altezze. Infine la rappresentazione (fedele) bidimensionale R2 che si ottiene scrivendo le operazioni di rotazione e riflessione nel modo consueto rispetto ad una base ortonormale in R2 ha χ2 = {2, −1, −1, 0, 0, 0} . Quanto poi alla rappresentazione R a dimensione 6 che si vuole ridurre, non e` difficile vedere che il suo carattere e` (ricordare che basta trovare solo gli elementi sulla diagonale!) χ = {6, 0, 0, 0, 0, 0} Utilizzando allora le (6.4,4 ), si trova R = R1 ⊕ R ⊕ 2R2 = R ⊕ R2 ⊕ R1 ⊕ R2 dove, nell’ultimo membro di questa uguaglianza, le prime due rappresentazioni descrivono i moti rigidi del sistema e le ultime due i moti oscillatori. Da notare che se si perturba il sistema supponendo p.es. che una delle tre particelle abbia una massa diversa dalle altre, allora la simmetria viene rotta e resta soltanto la simmetria del triangolo isoscele, che e` formata da due soli elementi (identit`a e riflessione). Ovviamente le rappresentazioni irriducibili di questa simmetria residua sono unidimensionali, e questo implica – grazie ancora al lemma di Schur – che ci si deve attendere una “rimozione” della degenerazione delle frequenze, ovvero che i valori delle frequenze che presentavano degenerazione 2 ora si debbano separare, in modo da ottenere frequenze non degeneri. Questo fenomeno e` estremamente importante e frequente in fisica; ne vedremo alcuni significativi esempi nel § 6.14. Questo procedimento trova applicazioni per esempio nella spettroscopia molecolare e nello studio di sistemi complessi dotati di propriet`a di simmetria.
6.7 Gruppi di Lie. Definizioni ed esempi generali Fra i gruppi con infiniti elementi, ci interesseremo soltanto dei gruppi di Lie: senza entrare troppo nei dettagli tecnici, potremo dire anzitutto che un gruppo di Lie e` un gruppo “continuo”, in cui e` definito un concetto di “intorno” (`e un gruppo topologico) e quindi ha senso parlare di “elementi vicini”, in cui ci si pu`o spostare con continuit`a da un elemento ad un altro, e inoltre e` tale che i suoi elementi g si possono individuare tramite un numero finito di parametri reali a ≡ (a1 , a2 , . . . , ar ) , detti coordinate o parametri di Lie: g = g(a1 , . . . , ar )
228
Teoria dei gruppi
variabili con continuit`a in un sottoinsieme di Rr . Si richiede che questa parametrizzazione sia tale che se g = g(a) e g = g (a ) (a, a ∈ Rr ), allora i parametri b che individuano il prodotto g g siano esprimibili come funzioni analitiche b = γ(a, a ) dei parametri a, a . La nozione di gruppo di Lie e` molto pi`u naturale e intuitiva di quanto questa definizione lasci supporre. Per esempio, il gruppo delle rotazioni in R3 e` un gruppo di Lie: infatti ogni rotazione e` parametrizzata in modo naturale da tre parametri reali (per esempio gli angoli di Eulero), etutti i gruppi continui incontrati fin qui GLn (C), Un , On , il gruppo Euclideo, etc. sono gruppi di Lie. Altri esempi di gruppi di Lie (tra questi, il gruppo di Lorentz) verranno considerati nel § 6.16. In concreto, per studiare i gruppi di Lie, si pu`o ricorrere ad un importante risultato (Teorema di Ado) che assicura che ogni gruppo di Lie e` isomorfo ad un gruppo di matrici 1 . Grazie a questo, per il momento e per quanto pi`u possibile, ci restringeremo a considerare solo gruppi di Lie G di matrici, con evidenti vantaggi pratici, concettuali e calcolativi. In altre parole, possiamo dire che studieremo una rappresentazione fedele G del gruppo “astratto”. Allora le matrici M ∈ G avranno gli elementi dipendenti da r parametri reali: Mi j = Mi j (a) , a ∈ Rr . Sar`a sempre possibile e conveniente scegliere i parametri a in modo che l’elemento neutro del gruppo (qui: la matrice identit`a) sia parametrizzata da (0, 0, · · · , 0); se i parametri sono piccoli si potr`a scrivere (ritroveremo pi`u avanti questo fatto importante; naturalmente, ∂ /∂ ai significa derivare rispetto al parametro ai ogni elemento della matrice) M(a) = M(0) +
∂M ai + · · · = I + Ai ai + · · · ∂ ai
avendo posto Ai =
∂ M . ∂ ai a=0
(6.7)
(6.8)
Ora un utile risultato tecnico la cuisemplice dimostrazione viene lasciata per esercizio e che parte dalla definizione v. (1.25) eA =
∞
An . n=0 n!
∑
Lemma. Se S e` una matrice invertibile e A una matrice qualsiasi, allora −1
S eA S−1 = eSAS .
(6.9)
Una prima conseguenza di questo lemma e` che ogni matrice M invertibile e diagonalizzabile pu`o essere messa nella forma M = eA . 1
(6.10)
Almeno in un intorno dell’identit`a del gruppo. Si deve sottolineare che molti dei risultati che verranno enunciati saranno validi con questa limitazione: pi`u avanti ne sar`a chiaro il motivo e il senso – v. § 6.9 per un enunciato pi`u preciso.
6.8 Algebre di Lie
Per dimostrarlo, basta mettere M in forma diagonale: ⎛ μ1 ⎜ −1 .. M = SMd S = S ⎝ .
229
M → Md = S−1 M S , ovvero ⎞ ⎟ −1 ⎠S
μn poi porre μ j = eα j (si noti che μ j = 0 ); si scelga per α j = log |μ j | + i θ j la determinazione −π < θ j ≤ π, in modo che se μ j = 1 sia α j = 0 e dunque I = e0 ; osservare infine che, indicando con Ad la matrice diagonale Ad = diag(α1 , · · · , αr ) , si ha Md = eAd , da cui M = S Md S−1 = S eAd S−1 = eS Ad S
−1
= eA .
E` da notare che la corrispondenza fra μ j e α j = log |μ j | + i θ j potr`a essere continua in generale solo localmente (in un intorno di α j = 0) 2 , a causa proprio delle propriet`a della funzione logaritmo in campo complesso (v. il § 3.12): per convincersene, basta considerare il caso in cui la fase θ j di μ j assume valori in un intorno di π. Il risultato (6.10) si pu`o estendere anche a matrici M non diagonalizzabili (si e` cos`ı introdotto il logaritmo delle matrici M invertibili). Naturalmente, in generale, eA eB = eA+B . L’eguaglianza e` vera solo se A e B commutano: [A, B] = 0, avendo introdotto il simbolo di commutatore: [A, B] = A B − B A . In generale, per conoscere almeno i primi termini del prodotto eA eB si pu`o ricorrere alla formula di Baker–Campbell–Hausdorff : % & 1% & 1 eA eB = exp A + B + 12 [A, B] + 12 A, [A, B] − 12 B, [A, B] + · · · . (6.11)
6.8 Algebre di Lie Ed ora un primo risultato importante: Teorema : Sia G un gruppo di Lie di matrici, e sia M = eA . La corrispondenza
(6.12)
M→A
(in particolare con I → 0)) e` una corrispondenza biunivoca e continua (“omeomorfismo”) fra un intorno dell’identit`a I del gruppo e le matrici di un intorno della 2 Questo e ` uno dei motivi per cui la corrispondenza fra le matrici M e le matrici A di cui si parla nel teorema del successivo paragrafo pu`o essere in generale continua solo “localmente”, cio`e in un intorno dell’identit`a I di G.
230
Teoria dei gruppi
matrice 0 in uno spazio vettoriale reale A di dimensione uguale al numero r dei parametri che individuano il gruppo. Faremo solo una verifica di questo risultato nel caso semplice G = SUn . Osserviamo intanto che +
M −1 = e−A ,
det M = e Tr A ,
M+ = e A .
Se dunque M ∈ SUn , si ha +
+
I = M + M = M M + = eA eA = e(A+A ) , e dunque
A+ = −A ,
1 = det M = e Tr A
Tr A = 0 .
(6.13)
Ma queste sono appunto condizioni lineari e dunque l’insieme delle matrici A che le soddisfano, cio`e le matrici antihermitiane a traccia nulla, forma un sottospazio vettoriale A dello spazio vettoriale delle matrici complesse n × n . Poich´e questi spazi vanno qui intesi come spazi vettoriali sul corpo reale (e dunque, quando le matrici sono complesse, si devono considerare separatamente parte reale e parte immaginaria dei coefficienti), la dimensione dello spazio vettoriale delle matrici complesse n × n e` 2n2 , mentre la dimensione del sottospazio A delle matrici che soddisfano le (6.13) e` n2 − 1 , come mostra un rapido calcolo. Per esempio, la dimensione di questo spazio nel caso del gruppo SU3 e` 8 (come e` ben noto nella fisica delle particelle elementari!). Lo spazio vettoriale A viene chiamato spazio tangente al gruppo. Sia A1 , . . . , Ar una sua base; allora ogni A ∈ A potr`a essere scritta r
A = ∑ ai Ai
(6.14)
i=1
dove i coefficienti ai sono scelti reali (come gi`a detto, se le matrici del gruppo sono complesse, si devono considerare separatamente parte reale e parte immaginaria dei parametri). Naturalmente questi parametri ai forniscono una parametrizzazione del gruppo, in accordo con la definizione stessa di gruppo di Lie. Scelta ora una matrice A ∈ A , l’insieme (6.15)
g(a) = ea A
dove a ∈ R , descrive un sottogruppo (di Lie) abeliano a un parametro, “generato” da A. Le Ai si chiamano generatori infinitesimi del gruppo. I generatori infinitesimi si possono ottenere direttamente cos`ı: dato l’elemento generico del gruppo r M(a) = exp
∑ ai Ai
i=1
si ha
∂ M = Aj M ∂aj
dunque
∂ M = Aj ∂aj a=0
(6.16)
6.8 Algebre di Lie
231
e si ritrovano le (6.7-8). In particolare, nel caso dei sottogruppi a un parametro (6.15), si ha d g(a) = A. (6.16 ) da a=0 Anche l’“evolutore temporale”, cio`e l’insieme delle matrici {et A }, incontrato nella soluzione dei sistemi dinamici lineari § 1.7(a), v. la (1.25 ) , costituisce un esempio naturale di gruppo di Lie a un parametro: il parametro e` fornito proprio dalla variabile tempo t e il generatore e` dato dalla matrice A. Si pu`o pensare il gruppo G come una ipersuperficie (“variet`a”, o manifold, differenziale) r-dimensionale nella quale sono definite le matrici M(a); allora si pu`o considerare la curva contenuta in questa ipersuperficie e definita da M(0, · · · , 0, ai , 0, · · ·) , in cui cio`e tutti gli r parametri sono zero salvo ai . La quantit`a dM dai a=0 pu`o dunque essere vista come il vettore tangente nell’origine (= identit`a del gruppo) a tale curva. L’insieme di questi r vettori e` la base di A , come gi`a visto con linguaggio diverso. Lo spazio tangente A viene dotato, grazie alle propriet`a del gruppo, di una spe ciale struttura algebrica: si osservi intanto che, per il lemma enunciato sopra v. −1 (6.9) , se A ∈ A , anche S A S−1 ∈ A (infatti se M = eA , allora S M S−1 = eS A S ); sia ora S = S(t) = et Ai e A = A j , allora, per t ∈ R , S(t) A j S−1 (t) = (I + t Ai + · · ·) A j (I − t Ai + · · ·) = = A j + t (Ai A j − A j Ai ) + · · · = A j + t [Ai , A j ] + · · · ∈ A
(6.17)
Dunque, al primo ordine in t o – pi`u accuratamente – calcolando d S(t) A j S(t)−1 = Ai et Ai A j e−t A j − et Ai A j Ai e−t Ai = [Ai , A j ] dt t=0 t=0 e ricordando che A e` uno spazio vettoriale, ne segue che [Ai , A j ] ∈ A ; cio`e anche il commutatore fra due elementi contenuti in A deve appartenere ad A e quindi deve essere una combinazione lineare della base Ai , cio`e deve essere: [Ai , A j ] = ci jk Ak .
(6.18)
Da osservare che la (6.18) basta ad assicurare che anche i termini di ordine superiore al primo nella (6.17) appartengono ad A , poich´e sono tutti della forma “commutatore di commutatore”, come nella formula di Baker-Campbell-Hausdorff (6.11). Per & % esempio, i coefficienti di t 2 sono 12 Ai , [Ai , A j ] . I numeri ci jk sono determinati soltanto dalle propriet`a algebriche del gruppo (o meglio, dell’algebra) e si chiamano costanti di struttura dell’algebra. Dotato di questa nuova struttura algebrica, espressa dalle regole di commutazione (6.18), la spazio A si chiama algebra di Lie del gruppo G.
232
Teoria dei gruppi
Come primo (e importante!) esempio, calcoliamo le regole di commutazione per il gruppo SO3 . Scriviamo la matrice del sottogruppo a un parametro delle rotazioni intorno all’asse z, indicando ora con ϕ il parametro: ⎛ ⎞ cos ϕ − sin ϕ 0 cos ϕ 0 ⎠ . (6.19) g3 (ϕ) = ⎝ sin ϕ 0 0 1 Il corrispondente generatore infinitesimo e` dunque, utilizzando la (6.16 ), ⎞ ⎛ 0 −1 0 d A3 = = ⎝1 0 0⎠ . g3 (ϕ) dϕ ϕ=0 0 0 0
(6.19 )
Viceversa, calcolando esplicitamente eϕA3 si ottiene ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 1 2 3 ⎠+⎝ ⎠ 1 − ϕ + . . . + A3 ϕ − ϕ + . . . = eϕA3 = ⎝ 0 1 2! 3! 1 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 1 ⎠+⎝ ⎠ cos ϕ + A3 sin ϕ =⎝ 0 1 1 0 e si ritrova la (6.19). Analogamente si trovano i generatori A1 e A2 delle rotazioni intorno agli assi x e y. I tre generatori formano una base per l’algebra A di SO3 , ed e` facile vedere che le regole di commutazione che definiscono l’algebra di Lie del gruppo SO3 sono date da (6.20) [Ai , A j ] = εi jk Ak dove εi jk e` il ben noto tensore totalmente antisimmetrico di Ricci (vale 1 se gli indici sono in ordine “ciclico”, −1 se sono in ordine “anticiclico”, 0 altrimenti). Fino a questo punto, l’algebra di Lie e` stata ottenuta a partire da un gruppo G di matrici. In realt`a sarebbe stato possibile (anzi concettualmente pi`u corretto) fare la stessa costruzione con un opportuno procedimento formale a partire da un gruppo astratto (ricordiamo che il nostro gruppo G era una rappresentazione fedele del gruppo astratto). Ne segue che l’algebra di Lie di matrici che abbiamo costruito sopra e` semplicemente una particolare rappresentazione matriciale dell’algebra (astratta) del gruppo. Usando un procedimento “astratto”, si proverebbe che le costanti di struttura ci jk non dipendono dalla particolare scelta della rappresentazione del gruppo, ma sono una caratteristica dell’algebra astratta, cio`e – come vedremo fra poco nel caso del gruppo delle rotazioni – si sarebbero trovate le stesse costanti di struttura anche partendo da una diversa rappresentazione fedele del gruppo. D’altra parte, una volta introdotta un’algebra di Lie, ci si potrebbe proporre di trovare le rappresentazioni dell’algebra, cio`e di trovare – utilizzando soltanto le
6.9 Gruppi e algebre di Lie e loro rappresentazioni
233
propriet`a dell’algebra, ossia le leggi di commutazione (6.18) caratterizzanti l’algebra stessa – gli insiemi di matrici che soddisfano tali leggi. Ci si dovr`a allora chiedere quale relazione sussiste fra le rappresentazioni del gruppo e le rappresentazioni della sua algebra, e se ci sono rappresentazioni dell’algebra che non provengono da rappresentazioni del gruppo; collegato a queste domande, c’`e il problema: ci possono essere gruppi diversi (non isomorfi) con la stessa algebra? Nei prossimi paragrafi daremo una risposta a tutto questo, insieme con esempi fisicamente rilevanti (in particolare i gruppi delle traslazioni e delle rotazioni).
6.9 Gruppi e algebre di Lie e loro rappresentazioni Prima di studiare le relazioni fra il gruppo e la sua algebra di Lie (e le loro rispettive rappresentazioni), occorre dare qualche definizione astratta. Un gruppo G di matrici si dice connesso se, prese due qualsiasi matrici M1 , M2 ∈ G si pu`o trovare una funzione continua t → M(t), t1 ≤ t ≤ t2 , tale che M(t1 ) = M1 e M(t2 ) = M2 ; pi`u intuitivamente: se si possono cambiare con continuit`a gli elementi della matrice M1 in modo da passare da M1 a M2 . Per esempio SO2 e` connesso, ma n´e O2 n´e O3 lo sono, infatti e` impossibile passare con continuit`a da una matrice a determinante 1 ad una a determinante −1 (una funzione reale continua non pu`o passare da valori positivi a valori negativi senza passare per zero, cio`e dovrebbe includere matrici con determinante nullo). La stessa osservazione vale per GLn (R) , mentre i gruppi Un sono connessi (p.es. U1 = {eiα } dove α varia con continuit`a su tutti i numeri complessi di modulo 1); sono pure connessi SLn (R), SUn . Ci si deve ora chiedere se, data una rappresentazione di un’algebra di Lie, l’insieme delle matrici {eΣ ai Ai } descrive veramente, al variare dei parametri ai , tutto il gruppo G. La risposta e` irrimediabilmente negativa, in generale, perch´e, variando con continuit`a i parametri da a = 0 (cio`e dall’identit`a), la matrice eΣ ai Ai varier`a anch’essa con continuit`a e quindi – se il gruppo non e` connesso – non potr`a passare da una “falda” all’altra del gruppo, ma potr`a descrivere al pi`u la “componente connessa” all’identit`a. Per esempio, nel caso di O3 , non potr`a passare da matrici con determinante 1 a matrici con determinante −1. Ma c’`e un altro problema: un gruppo pu`o essere connesso ma non semplicemente connesso. Ricordiamo che un insieme e` semplicemente connesso se (intuitivamente) ogni linea chiusa contenuta in esso pu`o essere deformata con continuit`a, restando nell’insieme, fino a diventare un punto. Per esempio il gruppo U2 (e tutti i gruppi Un ) sono connessi ma non semplicemente connessi: intuitivamente, una linea in Un , dovendo essere | det M| = 1, pu`o “circondare” lo zero. Non e` semplicemente connesso nemmeno SO2 , che infatti e` “topologicamente” equivalente ad una circonferenza, n´e lo e` SO3 (e cos`ı tutti i gruppi SOn ), mentre e` semplicemente connesso SU2 (e tutti gruppi SUn ), anche se e` meno facile provare tutto questo. Questo fatto ha enorme importanza in fisica (`e “responsabile” dell’esistenza dello spin, come vedremo pi`u avanti), e in matematica. Si ha infatti il seguente risultato, che risponde alle domande iniziali sulla relazione fra gruppo e algebra:
234
Teoria dei gruppi
Teorema : Se un gruppo G e` connesso e semplicemente connesso c’`e corrispondenza biunivoca fra le rappresentazioni del gruppo e quelle della sua algebra di Lie. In parole semplici, in queste ipotesi, ogni rappresentazione dell’algebra e` anche una rappresentazione dell’intero gruppo, o meglio: e` estendibile, calcolando eΣ ai Ai , all’intero gruppo. Tutto questo risulter`a un po’ pi`u chiaro tra poco, soprattutto dopo aver considerato qualche esempio significativo. A questo punto, e` anche possibile dare un enunciato preciso, in termini di algebre (non di gruppi) del teorema di Ado (v. § 6.7): ogni algebra di Lie ammette una rappresentazione fedele mediante matrici. La dimostrazione e` basata su questa idea: si prende come spazio base della rappresentazione dell’algebra A lo spazio vettoriale fornito dall’algebra stessa e si fa agire sui vettori Ai di questo spazio gli elementi A j dell’algebra tramite il commutatore: Ai : A j → [Ai , A j ] = ci jk Ak che – come si vede – realizza una trasformazione lineare dello spazio vettoriale A in se stesso, e dunque una rappresentazione dell’algebra, detta rappresentazione aggiunta. In alcuni casi (p.es. nel caso dell’algebra di SO3 e di SU3 ), questa rappresentazione e` fedele, altrimenti (p.es. nel caso delle traslazioni, in cui il commutatore e` nullo), la dimostrazione richiede qualche passo ulteriore. Occorre dare ancora un’altra definizione: un gruppo di Lie si dice compatto se (detto nel modo pi`u semplice) i suoi parametri ai occupano un insieme compatto in Rr . Ne viene che, per esempio, SO3 e` compatto, mentre il gruppo delle traslazioni e il gruppo di Lorentz (v. § 6.16) non lo sono. L’importanza di questa definizione sta nel seguente Teorema : Ogni rappresentazione di un gruppo compatto e` equivalente ad una rappresentazione unitaria, pertanto e` irriducibile o completamente riducibile “a blocchi”. Inoltre queste rappresentazioni irriducibili hanno dimensione finita. La dimostrazione e` simile a quella fatta per i gruppi finiti (v. § 6.4): si dovr`a sostituire la somma eseguita sugli N elementi del gruppo con un integrale sul gruppo (si parla di integrazione invariante sul gruppo, ma questo e` possibile solo se il gruppo e` compatto). Inoltre si dimostra che le tecniche per trovare la decomposizione di una rappresentazione nella somma diretta delle sue componenti irriducibili (inclusa la tecnica dei caratteri) possono essere applicate sostanzialmente come per i gruppi finiti. In generale, invece, i gruppi non compatti non ammettono rappresentazioni fedeli unitarie a dimensione finita, come vedremo presto su importanti esempi.
6.10 Rappresentazioni differenziali. Gruppi delle traslazioni e delle rotazioni Sia V lo spazio vettoriale sul quale operano gli elementi di un gruppo di Lie G (negli esempi che considereremo sar`a V = R oppure V = R3 ), e si consideri lo spazio
6.10 Rappresentazioni differenziali. Gruppi delle traslazioni e delle rotazioni
235
delle funzioni definite su V : f : V →C
f = f (x) ,
ossia
x ∈V
per esempio di tipo L2 (V ). Per ciascun g ∈ G , la trasformazione Tg : L2 → L2 definita da
Tg : f → f$
f$ = f$(x) = f (g−1 x)
dove
(6.21)
(ovvero: Tg trasforma f nella funzione f$ = Tg f che assume nel punto x il valore che la f assumeva nel punto g−1 x ), e` una trasformazione lineare di L2 in s´e, che inoltre soddisfa la propriet`a gruppale Tg1 g2 = Tg1 Tg2 . Per la verifica si procede in questo modo: Tg1 (Tg2 f ) = Tg1 f$ dove −1 −1 −1 (Tg1 f$)(x) = f$(g−1 1 x) = f (g2 g1 x) = f ((g1 g2 ) x) = (Tg1 g2 f )(x) .
Dunque l’insieme delle trasformazioni Tg costituisce una rappresentazione di dimensione infinita del gruppo G (cio`e non pi`u con matrici, ma ora con operatori su spazi di Hilbert). Per esempio, sia V = R e G il gruppo delle traslazioni sulla retta (si tratta di un gruppo non compatto, isomorfo a R): per effetto della traslazione x → x + a la (6.21) diventa Ta : f (x) → f (x − a) e questa definisce una rappresentazione del gruppo delle traslazioni mediante operatori unitari Ta in L2 (R). Restringendosi al dominio delle funzioni abbastanza regolari, si pu`o scrivere la precedente relazione, per a piccolo, d df + · · · = 1 − a + · · · f = (1 + a A + · · ·) f (6.21 ) dx dx e cos`ı si ottiene confrontare con le (6.7-8) una rappresentazione differenziale del generatore A dell’algebra del gruppo delle traslazioni, data da Ta : f (x) → f (x) − a
A=−
d . dx
Se si considerano le traslazioni in R3 , e dunque lo spazio delle funzioni f (x, y, z) ∈ L2 (R3 ) , si trovano i tre generatori Ai = −
∂ ∂ xi
dove
xi ≡ (x, y, z)
f =
(6.22)
236
Teoria dei gruppi
e l’algebra di questi generatori e` caratterizzata dalla regola di commutazione [Ai , A j ] = 0 e dunque e` un’algebra commutativa. In fisica, si preferisce introdurre gli operatori $k = i Ak in modo da avere operatori simmetrici v. § 2.19 (a) , o anzi Pk = i h¯ Ak , A che in meccanica quantistica descrivono le componenti dell’impulso. Il fatto che i generatori Ak siano antisimmetrici e` in accordo con il seguente Teorema di Stone. Il generatore infinitesimo A di una rappresentazione unitaria fortemente continua di un gruppo di Lie e` un operatore simmetrico. La continuit`a forte degli operatori Ta f = f (x − a), ovvero la propriet`a che Ta → I nel senso della convergenza forte (§ 2.29) in L2 (R) per a → 0 si verifica facilmente usando la trasformata di Fourier: Ta f − f 2 =
1 1 T f(− f( 2 = (eika − 1) f( 2 = 2π a 2π
R
|eika − 1|2 | f((k)|2
dk →0 2π
grazie al teorema di Lebesgue (§ 2.8), poich´e |eika − 1|2 ≤ 2 e | f((k)|2 ∈ L1 (R). Come altro esempio, consideriamo il gruppo SO2 delle rotazioni (intorno all’asse z), che opera sullo spazio L2 (0, 2π) : (Tα f )(ϕ) = f (ϕ − α) = f (ϕ) − α
df + · · · = (1 + αA + · · ·) f dϕ
esattamente come nella (6.21 ). Ne segue che A = −d/dϕ ; dunque il gruppo SO2 e il gruppo delle traslazioni lungo la retta hanno la stessa algebra di Lie (unidimensionale)! (e in effetti “localmente” una rotazione e una traslazione si confondono). Due gruppi con la stessa algebra di Lie si dicono localmente isomorfi. Un altro esempio anche pi`u importante sar`a incontrato nel prossimo paragrafo. Dato che – a differenza del gruppo delle traslazioni – il gruppo SO2 e` compatto, esso deve avere rappresentazioni unitarie a dimensione finita, anzi a dimensione 1, essendo abeliano, come gi`a visto nel § 6.5. E infatti si vede subito che la rappresentazione unitaria infinito-dimensionale in L2 (0, 2π) appena considerata ammette infiniti sottospazi invarianti unidimensionali: i sottospazi generati da e−i m ϕ . Infatti Tα e−i m ϕ = ei m α e−i m ϕ ,
m ∈ Z.
In altre parole, i vettori e−i mϕ sono autovettori degli operatori unitari Tα ; in linguaggio gruppale, essi sono la base per tutte le (infinite) rappresentazioni inequivalenti di SO2 , individuate dunque dal numero intero m, mentre la rotazione di angolo α e` rappresentata da α → ei mα . Da notare che la completezza di queste rappresentazioni e` un aspetto del teorema di Peter-Weyl in versione infinito-dimensionale!
6.10 Rappresentazioni differenziali. Gruppi delle traslazioni e delle rotazioni
237
Vale la pena di sottolineare che se si parte dal generatore infinitesimo −d/dϕ del gruppo SO2 (cio`e dalla sua algebra) e se ne cercano gli autovettori −
d f (ϕ) = λ f (ϕ) dϕ
si ritrovano i vettori base e−i m ϕ delle rappresentazioni di SO2 , ma soltanto se si impone la condizione di periodicit`a dopo una rotazione di angolo 2π, cio`e dopo rotazioni “grandi”, ovvero con condizioni “estranee” all’algebra di Lie. Si deve confrontare questa situazione con quanto avviene per il gruppo delle traslazioni lungo la retta, che e` localmente isomorfo ad SO2 ma non e` compatto. Si vede subito che, non essendoci da imporre condizioni di periodicit`a, per qualsiasi fissato k0 ∈ R, il gruppo ammette la rappresentazione unidimensionale unitaria a → eik0 a (dove a e` il parametro che individua la traslazione), ma questa non e` fedele (eik0 a = eik0 b non implica a = b!). D’altronde, la rappresentazione infinito-dimensionale a → Ta tramite gli operatori unitari Ta ( f ) = f (x − a) in L2 (R) e` riducibile e anzi ammette infiniti sottospazi invarianti. Per individuarli, conviene passare alla trasformata di Fourier: Ta f((k) = eika f((k). Si vede subito che ogni sottospazio (di Hilbert) L2 (I) formato dalle funzioni f (x) la cui F -trasformata f((k) ha supporto su un qualsiasi intervallo (o sottoinsieme) I ⊂ R, viene mandato in se stesso, e cos`ı il suo complemento ortogonale L2 (J), con L2 (R) = L2 (I) ⊕ L2 (J). A loro volta, ciascuno di questi sottospazi ammette altri sottospazi invarianti L2 (I ) con I ⊂ I e cos`ı via, ma senza ottenere rappresentazioni unidimensionali! Si pu`o ottenere una rappresentazione unitaria unidimensionale abbandonando L2 e passando a considerare distribuzioni: allora scegliendo f0 (x) = e−ik0 x (k0 ∈ R fisik0 a sato), si ha Ta f0 = eik0 a f0 , dunque e−ik0 x e` base per la rappresentazione a → e ovvero T f(0 (k) = eika 2πδ (k − k0 ) = eik0 a f(0 , ma questa non e` fedele, come gi`a visto! C’`e ancora una rappresentazione a dimensione 2 per il gruppo delle traslazioni, data da v. § 6.3 (d) 1 a a→ 0 1 ma non unitaria n´e completamente riducibile. Tornando alla ricerca delle rappresentazioni di SO2 , si e` visto poco sopra che e` necessario il ricorso alle condizioni “al bordo”, cio`e estranee all’algebra, per ottenere la forma corretta delle rappresentazioni stesse. Questa osservazione fa intuire che l’algebra “da sola” non determina le ‘vere’ rappresentazioni del gruppo SO2 . A maggior ragione, se si vogliono trovare le rappresentazioni di O2 , che non e` connesso, l’algebra non aiuta; tuttavia, basta in questo caso osservare che il gruppo O2 include la trasformazione ϕ → −ϕ che “collega” gli elementi e−i m ϕ con m opposti, e si pu`o cos`ı vedere che le sue rappresentazioni irriducibili sono tutte 2-dimensionali
238
Teoria dei gruppi
(a parte la rappresentazione banale “1” e la {1, −1} = det M ) e sono date da cos m α ∓ sin m α , m = 1, 2, · · · . sin m α ± cos m α
6.11 Gruppo delle rotazioni ed SU2 Cominciamo a trovare le rappresentazioni differenziali dell’algebra di SO3 , procedendo come fatto per il gruppo delle traslazioni. Sia dunque f (x) ∈ L2 (R3 ) , con x ≡ (x, y, z) , e consideriamo una rotazione infinitesima intorno all’asse z: usando la (6.21) si ottiene, al primo ordine nell’angolo di rotazione ϕ (per cui sin ϕ ϕ etc.), ∂ ∂ −x f (x) → f (g−1 x) = f (x + y ϕ, y − x ϕ, z) = f (x) + ϕ y f = (1 + ϕ A3 ) f ∂x ∂y che dunque assegna al generatore A3 l’espressione A3 = y
∂ ∂ −x · ∂x ∂y
(6.23)
Analoghe espressioni si trovano per A1 , A2 , ed e` facile controllare che anche queste Ai verificano le regole di commutazione (6.20) di SO3 , come ci aspettavamo (le costanti di struttura non dipendono dalla rappresentazione). $k = i Ak , o anzi porre Anche qui si preferisce introdurre gli operatori hermitiani A Lk = i h¯ Ak , da cui, per esempio, L3 = x Py − y Px , in modo da ottenere le componenti del momento angolare in meccanica quantistica. Le (6.20) diventano cos`ı [Li , L j ] = i h¯ εi jk Lk . Prima di cercare le rappresentazioni irriducibili del gruppo delle rotazioni, passiamo a considerare il gruppo di matrici SU2 : un rapido calcolo mostra che SU2 e` un gruppo a 3 parametri e – ricordando quanto visto nel § 6.8 e in particolare la (6.13) – si vede che si possono prendere come generatori le tre matrici 0 i 0 −1 i 0 A1 = , A2 = , A3 = (6.24) i 0 1 0 0 −i (se si pone σk = −i Ak in modo da ottenere matrici hermitiane, le σk si chamano matrici di Pauli e servono a descrivere in meccanica quantistica lo spin 12 ), e si vede che le Ak soddisfano alle regole di commutazione [Ai , A j ] = 2 εi jk Ak . Se allora si pone A k = 12 Ak si trova che le A k soddisfano alle stesse leggi (6.20) dell’algebra di SO3 ! D’altronde SU2 e SO3 non sono isomorfi, come vedremo subito,
6.11 Gruppo delle rotazioni ed SU2
239
e dunque questo e` un altro esempio importante di gruppi non isomorfi che ammettono la stessa algebra di Lie (o meglio algebre di Lie isomorfe), ovvero di gruppi localmente isomorfi. Pi`u esattamente, si pu`o costruire un omomorfismo non iniettivo tra SU2 ed SO3 nel modo seguente. Si osservi anzitutto che la pi`u generale matrice 2 × 2 hermitiana a traccia nulla M pu`o essere scritta nella forma z x+iy M= x−iy −z (si noti che M = x σ1 + y σ2 + z σ3 ), dove x ≡ (x, y, z) ∈ R3 . Si ha anche det M = − x 2 = −(x2 + y2 + z2 ) . Per ogni U ∈ SU2 , si consideri la trasformazione M → M = U M U −1 = U M U + .
(6.25)
Si vede subito che anche M e` hermitiana e a traccia nulla, dunque si potr`a scrivere x − i y
z
M = x + i y
−z
e inoltre si ha det M = det M ovvero x 2 = x 2 . Dunque la trasformazione M → M individua una trasformazione ortogonale x → x = R x ; si e` allora definita tramite la (6.25) una corrispondenza fra le matrici U ∈ SU2 e le matrici ortogonali R, e si potrebbe pure provare che tale corrispondenza e` un omomorfismo surgettivo fra SU2 e SO3 . Non e` per`o iniettivo e dunque non e` un isomorfismo: infatti U e −U individuano tramite la (6.25) la stessa R ∈ SO3 . Il nucleo di tale omomorfismo e` Z2 = {I, −I} e si ha anche SO3 SU2 /Z2 .
(6.26)
Torniamo ora al problema di trovare tutte le rappresentazioni irriducibili dei gruppi SO3 ed SU2 . Essendo entrambi gruppi compatti, essi ammettono rappresentazioni irriducibili unitarie a dimensione finita. Come e` dimostrato in qualsiasi testo di meccanica quantistica, utilizzando esclusivamente le regole di commutazione (6.20) caratterizzanti l’algebra di tali gruppi, si vede che per ogni numero intero N esiste una rappresentazione irriducibile di questa algebra cio`e si trovano 3 matrici N × N che soddisfano le (6.20) . Poich´e SU2 e` un gruppo connesso e semplicemente connesso, queste rappresentazioni diventano anche le rappresentazioni del gruppo; in particolare, per N = 2 , si ritrova la rappresentazione “naturale” che definisce SU2 come gruppo di matrici unitarie 2×2. Si osservi ancora che l’operatore A2 ≡ A21 + A22 + A23
(6.27)
240
Teoria dei gruppi
commuta con tutti i generatori del gruppo, e quindi, grazie al lemma di Schur, su ogni rappresentazione irriducibile del gruppo, A2 deve essere un multiplo dell’iden$k = i Ak ; tit`a: A2 = λ I . E` pi`u utile anche qui introdurre gli operatori hermitiani A utilizzando ancora soltanto le regole “astratte” dell’algebra (6.20), si riesce a dimo$2 = −A2 assume, su ciascuna rappresentazione irriducibile di dimenstrare che A sione N, l’autovalore j( j + 1) , dove N = 2 j + 1 e j e` un numero “semintero”: j = 0, 12 , 1, 32 , · · · . Queste rappresentazioni vengono usualmente indicate con D ( j) . Poich´e invece il gruppo SO3 non e` semplicemente connesso, ci si deve attendere che, nonostante esso abbia la stessa algebra di SU2 , non tutte le rappresentazioni ora trovate siano estendibili ad SO3 . Per trovare le rappresentazioni irriducibili di SO3 si considera di nuovo l’operatore (6.27), ma ora se ne cercano le autofunzioni ricorrendo alla rappresentazione differenziale degli operatori Ak . Utilizzando coordinate $2 = −A2 un’espressione esattamente coincidente con sferiche r, θ , ϕ, si ottiene per A la parte dipendente dagli angoli θ , ϕ del Laplaciano v. (2.75) , e naturalmente si $3 = −i∂ /∂ ϕ . Allora l’equazione agli autovalori trova anche A $2 ψ(θ , ϕ) = λ ψ(θ , ϕ) A e` la stessa gi`a considerata nel § 2.23(2), e ora possiamo concluderne che le rappresentazioni irriducibili di SO3 , generalmente indicate con D () , sono individuate da un numero intero = 0, 1, 2, · · · , hanno dimensione 2 + 1, con λ = ( + 1), e hanno come spazio base le funzioni chiamate armoniche sferiche Y,m (θ , ϕ), m = 0, ±1, · · · , ± , incontrate nel § 2.23(2) e che sono ben note in meccanica quantistica poich´e descrivono gli stati di momento angolare (intero) . E` opportuno osservare che l’azione di SO3 lascia r invariato, e dunque si vede che – anzich´e lo spazio L2 (R3 ) – occorre qui considerare lo spazio delle funzioni f (θ , ϕ) definite sulla superficie della sfera L2 (S), in cui r = costante (che si pu`o prendere = 1). La rappresentazione “naturale” di SO3 , cio`e quella che lo definisce come gruppo delle matrici ortogonali 3 × 3 sullo spazio dei vettori x ∈ R3 , si ottiene dal caso = 1 , infatti le armoniche sferiche con = 1 sono Y1,±1 = sin θ e±i ϕ ,
Y1,0 = cos θ
dunque Y1,±1 = x ± i y e Y1,0 = z , cio`e le armoniche sferiche con = 1 sono i vettori x ∈ R3 . Per conferma, si pu`o vedere che l’operatore A3 , che – come gi`a notato – qui e` dato da −∂ /∂ ϕ, ammette sulle funzioni Y1,m gli autovalori 0, ±i , che sono precisamente gli autovalori della matrice A3 (6.19 ). E` anche evidente che il sottospazio dei polinomi in x, y, z di grado fissato k sar`a invariante sotto rotazioni (che sono trasformazioni x → x cos ϕ − y sin ϕ etc.); per esempio se k = 2, i sei polinomi quadratici x2 , y2 , z2 , x y, x z, y z saranno trasformati gli uni negli altri. Ma r2 = x2 + y2 + z2 e` gi`a un invariante sotto rotazioni, dunque resta un sottospazio invariante a dimensione 5, che coincide con lo spazio base della rappresentazione con = 2 ; infatti, per esempio, si ha 2 1 2 2 2 Y2,2 +Y2,−2 = sin θ cos 2ϕ = x − y .
6.12 Alcune propriet`a generali delle algebre
241
Si dimostra pure che le rappresentazioni D () trovate in questo modo sono tutte e sole le rappresentazioni irriducibili del gruppo SO3 ; dunque il gruppo SO3 ammette solo rappresentazioni di dimensione dispari 2 + 1, a differenza di SU2 . Ci si convince subito che le rappresentazioni di dimensione pari di SU2 non possono essere estese a SO3 : per esempio sia N = 2, cio`e j = 1/2, dunque si devono considerare i generatori A k = 12 Ak definiti in (6.24); se si cerca di rappresentare mediante questi una rotazione di angolo ϕ intorno all’asse 3 dovr`a essere i ϕ/2 1A ϕ 0 e 3 2 = R(ϕ) = e (6.28) 0 e−i ϕ/2 e si vede che per ϕ = 2π si ottiene R(2π) = −I (e non l’identit`a I, come dovrebbe!); pi`u in generale si ha R(ϕ + 2π) = −R(ϕ) . Dunque questa non e` una rappresentazione per il gruppo delle rotazioni. Si pu`o vedere in questo modo che solo se N e` dispari la rappresentazione di SU2 pu`o essere estesa ad SO3 , con N = 2 + 1 , altrimenti e` una rappresentazione “a due valori”. E` ancora una volta da notare che sono le “condizioni al bordo” (cio`e le condizioni per rotazioni ‘grandi’, v. § 2.23(2)) che escludono per SO3 le rappresentazioni con N pari, ovvero j = 1/2, 3/2, . . ., mentre le pure operazioni sull’algebra ‘ignorano’ queste condizioni.
6.12 Alcune propriet`a generali delle algebre Data un’algebra di Lie A , si dice che A ⊂ A e` una sottoalgebra di A se A e` un sottospazio di A e il commutatore fra gli elementi di A e` contenuto in A , ovvero, con notazioni evidenti, [A i , A j ] = c i jk A k ; esattamente come per i gruppi (v. § 6.2), si dice che una sottoalgebra A e` invariante se [Ai , A j ] = c
i jk A k , ∀ Ai ∈ A , A j ∈ A ; infine un’algebra si dir`a semplice se non ha sottoalgebre invarianti e semisemplice se non ha sottoalgebre invarianti abeliane. Un operatore come A2 , definito nella (6.27), cio`e ogni operatore sotto forma di polinomio costruito con i generatori Ai di un’algebra, con la propriet`a di commutare con tutti gli Ai , si chiama operatore di Casimir. Grazie al lemma di Schur, gli operatori di Casimir diventano multipli dell’identit`a sulle rappresentazioni irriducibili. Data l’algebra di un gruppo, il massimo numero di generatori che commutano fra loro si chiama rango ρ dell’algebra; questi generatori possono essere diagonalizzati simultaneamente (se – come avviene di regola – sono rappresentati da matrici normali). Si dimostra che il numero degli operatori di Casimir C1 , · · · , Cρ di un’algebra di Lie semisemplice e` uguale al rango dell’algebra stessa. E` ovvio che anche qualsiasi funzione f (C1 , · · · , Cρ ) degli operatori di Casimir commuter`a con tutti i generatori: e` dunque sottinteso “operatori funzionalmente indipendenti”. Per esempio, il rango di SO3 e di SU2 e` 1: infatti, scelto un qualsiasi generatore nell’algebra A , non c’`e nessun altro generatore che commuta con esso; dunque non c’`e nessun altro operatore di Casimir per questi gruppi oltre ad A2 (o pi`u esatta-
242
Teoria dei gruppi
mente: qualsiasi altro operatore che commuti con tutta l’algebra e` una funzione di A2 ). Pi`u in generale, SUn ha rango n − 1 , Un ha rango n; invece per quanto riguarda i gruppi SOn si ha che SO2m+1 e SO2m hanno rango m. Dato un gruppo G non semplicemente connesso e la sua algebra di Lie, ci si pu`o chiedere se esiste un gruppo connesso e semplicemente connesso G con la stessa algebra, e dunque tale che tutte le rappresentazioni dell’algebra siano estendibili all’intero G. Si pu`o dimostrare che il gruppo G esiste sempre, ed e` chiamato rivestimento universale (universal covering ) di G. Nel caso G = SO3 si e` appena visto che G = SU2 , si e` anche visto che SO3 SU2 /Z2 v. (6.26) . Nel caso di SO2 , il gruppo G e` dato dal gruppo T1 delle traslazioni lungo la retta: infatti le rotazioni sono date dalle traslazioni “modulo 2π”, ovvero SO2 T1 /Z dove Z e` (isomorfo a) il sottogruppo delle traslazioni di 2π k, k ∈ Z . Si pu`o ancora dimostrare che sussiste sempre la relazione (6.29)
G G/D
dove D e` un gruppo discreto, sottogruppo invariante di G, detto gruppo di omotopia di G.
6.13 Rappresentazioni tensoriali e loro decomposizione. Il gruppo SU3 Siano V e W due spazi vettoriali (pu`o anche essere V = W ) e siano ei ed f j due basi in V e W rispettivamente. Considerando formalmente tutte le coppie ei f j e le loro combinazioni lineari (6.30) ∑ λi j ei f j i, j
si ottiene uno spazio vettoriale; se V e W hanno dimensione finita m ed n rispettivamente, tale spazio ha dimensione m × n , ma il procedimento pu`o essere eseguito anche se uno o entrambi gli spazi sono spazi di Hilbert (a dimensione infinita). Tale spazio si chiama prodotto tensore di V e W e si indica con V ⊗W ; i suoi elementi (“tensori”) si indicano genericamente con T . In particolare, fra gli elementi di V ⊗W sono contenuti i vettori v ⊗ w , definiti da v ⊗ w = ∑ vi w j ei f j i, j
dove
v = ∑ vi ei ∈ V , i
w = ∑wj fj ∈ W . j
Spesso si scrive semplicemente v w anzich´e v ⊗ w , oppure, con le notazioni della meccanica quantistica, anche |v |w; se V e W sono spazi di funzioni e f =
6.13 Rappresentazioni tensoriali e loro decomposizione. Il gruppo SU3
243
f (x) ∈ V , g = g(y) ∈ W , allora f ⊗ g e` il prodotto f (x) g(y) delle due funzioni. Naturalmente, il set ei ⊗ f j = ei f j e` un set completo in V ⊗W . Se V = W = Rn , lo spazio V ⊗V e` (isomorfo a) lo spazio delle matrici T reali n × n , intese qui come spazio vettoriale. Se V = W = L2 (0, π) , lo spazio V ⊗V e` L2 (Q), dove Q e` il quadrato di lato π, in cui infatti il set wn1 ,n2 = sin n1 x sin n2 y dato nel § 2.22 e` un set completo. Analogamente L2 (R2 ) = L2 (R) ⊗ L2 (R). Pu`o avvenire che V sia lo spazio base di una rappresentazione R di un gruppo G e W lo spazio base di una rappresentazione S di un gruppo H: allora G agisce tramite R sugli indici “i” ed H tramite S sugli indici “ j”: Ti1 j1 → Ti 1 j1 = Ri1 i2 (g) S j1 j2 (h) Ti2 j2
,
g ∈ G, h ∈ H .
(6.31)
In altre parole, il gruppo G ⊗ H agisce su V ⊗ W con la rappresentazione che indicheremo con R ⊗ S . Per esempio, questo avviene quando G agisce sulle variabili spaziali (con rotazioni e traslazioni, p.es.) di una funzione d’onda, mentre H agisce indipendentemente sulle “variabili interne” (p.es. lo spin isotopico). Una situazione pi`u interessante si ha quando uno stesso gruppo G agisce con due sue rappresentazioni R e S sugli spazi V e W : in tal caso R ⊗ S e` una rappresentazione prodotto tensore o prodotto diretto del gruppo G, operante sullo spazio V ⊗ W . In particolare, poi, pu`o essere V = W e R = S ; si ottiene cos`ı in modo naturale la nuova rappresentazione R ⊗ R di G operante sullo spazio V ⊗ V . Per esempio, sia V = Rn , G = SOn ed R la sua rappresentazione “naturale” operante su Rn , allora la (6.31) si pu`o riscrivere pi`u semplicemente, tenendo conto di come vengono sommati gli indici, T → T = R T Rt = R T R−1 ∈ Rn ⊗ Rn .
(6.31 )
Ci si pu`o ora chiedere se questa rappresentazione, che e` di dimensione n2 , e` riducibile. Si vede subito intanto che la traccia di T non viene alterata dalle trasformazioni (6.31 ) (dunque e` base per la rappresentazione ‘banale’ unidimensionale di G); si controlla poi facilmente dalla (6.31 ) che e` invariante il sottospazio delle matrici ana traccia nulla tisimmetriche, e lo e` anche il sottospazio delle matrici simmetriche se T e` una matrice, si ottiene da questa una matrice T (0) a traccia nulla ponendo (0) Ti j = Ti j − (1/n)δi j (Tr T ) . Dunque la rappresentazione R ⊗ R si decompone nella somma diretta di tre rappresentazioni. Per esempio, nel caso particolarmente interessante V = R3 , G = SO3 con la sua rappresentazione naturale tridimensionale R, la rappresentazione R ⊗ R, di dimensione 9, si decompone in questo modo nella somma diretta di 3 rappresentazioni di dimensione 1, 3, 5, che corrispondono alle rappresentazioni con = 0, 1 , 2 v. (§ 6.11) . Con il linguaggio della meccanica quantistica, il prodotto tensore V ⊗V corrisponde, ricordando che la rappresentazione “naturale” di SO3 e` D (1) , alla “composizione” di due momenti angolari = 1 ; si e` dunque ottenuto: D (1) ⊗ D (1) = D (0) ⊕ D (1) ⊕ D (2) .
244
Teoria dei gruppi
Il procedimento si pu`o naturalmente iterare, con l’introduzione di tensori a pi`u indici Ti1 i2 ··· is ∈ V ⊗ · · · ⊗V che si trasformano sotto il gruppo G tramite la rappresentazione R ⊗ · · · ⊗ R (s volte), o esplicitamente Ti1 i2 ··· is → T i1 i2 ··· is = Ri1 j1 Ri2 j2 · · · Ris js T j1 j2 ··· js che generalizza la (6.31). Come nel caso dei tensori a due indici (6.30), queste rappresentazioni si possono ridurre assegnando propriet`a di simmetria o antisimmetria per scambi di indici, etc. Nel caso di SO3 , si ritrovano per questa via, a partire dalla D (1) , tutte le rappresentazioni D () gi`a incontrate (§ 6.11). Sorge qualche differenza nel caso dei gruppi SUn : per questi infatti, se si considera la rappresentazione “naturale” n-dimensionale che opera nello spazio V = Cn , e si prende la complessa coniugata di ogni matrice R del gruppo, si ottiene un’altra rappresentazione inequivalente alla precedente (fa eccezione il gruppo SU2 , per il quale queste due rappresentazioni risultano equivalenti; in altre parole, SU2 ha una sola rappresentazione irriducibile di dimensione N = 2, e cos`ı pure una sola di dimensione N = 3, ecc.). Se x ∈ Cn , si usa scrivere xi∗ = xi . Ci saranno di conseguenza tensori con indici in alto e con indici in basso: ··· ir T ji11 ··· js
(6.32)
nei quali gli indici in basso vengono trasformati dalle matrici R (i cui elementi saranno ora scritti per comodit`a con indici in basso) e gli indici in alto dalle matrici R∗ (con indici in alto). Per esempio, nel caso del gruppo SU3 , ci sar`a, oltre alla rappresentazione “naturale” sullo spazio xi ∈ C3 , la rappresentazione complessa coniugata operante sullo spazio xi , entrambe di dimensione 3 (e ormai note come tripletti dei “quarks e “antiquarks”). Ci sar`a poi la rappresentazione sullo spazio dei tensori T ji di dimensione 9; questa rappresentazione risulta riducibile, infatti la legge di trasformazione e` (ricordare che le matrici R sono matrici unitarie) Ti j → Ti j = Rik R∗ jm Tkm = Rik Tkm (R+ )m j = (RT R+ )ij e si vede che la traccia Tr T = Tii e` invariante. Si ottiene cos`ı – oltre alla rappresentazione unidimensionale – una rappresentazione irriducibile di dimensione 8 (non ulteriormente riducibile) operante sullo spazio dei tensori a traccia nulla (gli “ottetti” di SU3 ), cio`e 3∗ × 3 = 1 + 8. Invece, se T e` un tensore a due indici in basso Ti j , la sua legge di trasformazione e` Ti j → Ti j = Rik R jm Tkm = (RT Rt )i j
6.14 Il potenziale centrale e l’atomo di idrogeno
245
dunque ora Tr T = Tr T , mentre risultano invarianti le parti simmetriche e antisimmetriche del tensore, di dimensione rispettivamente 6 e 3. Si pu`o vedere che la rappresentazione sui tensori antisimmetrici a due indici in basso, ponendo T$i := ε i jk T jk e tenendo presente che il tensore antisimmetrico εi jk = ε i jk e` invariante sotto SU3 , risulta equivalente alla rappresentazione tridimensionale operante su xi , cio`e 3 × 3 = 3∗ + 6. Ci saranno ancora la rappresentazione sui tensori simmetrici a due indici in alto, pure di dimensione 6, inequivalente a quella con gli indici in basso, la rappresentazione sui tensori antisimmetrici con due indici in alto, equivalente alla rappresentazione tridimensionale operante su xi ; poi due rappresentazioni inequivalenti di dimensione 10 operanti sui tensori simmetrici su tre indici Ti jk e T i jk , etc., v. anche il § 6.15.
6.14 Il potenziale centrale e l’atomo di idrogeno Anzitutto, si pu`o subito osservare che qualunque operatore che descrive un problema con simmetria sferica, cio`e con simmetria SO3 , dovr`a necessariamente presentare autovalori con degenerazione dispari (data da 2 + 1), grazie al lemma di Schur. Quanto detto vale in particolare per l’equazione di Schr¨odinger per l’atomo in un potenziale centrale V (r) v. anche § 2.23 (2)-(3) Hu = −
h¯ 2 Δ u +V (r) u = E u 2m
con le notazioni usuali, in cui l’Hamiltoniana verifica le propriet`a [Li , H] = [Ai , H] = 0 dove Li sono le componenti del momento angolare, proporzionali (v. § 6.11) ai generatori Ai delle rotazioni in SO3 . Se poi il sistema e` posto in un campo magnetico uniforme, per esempio lungo l’asse z, la simmetria “superstite” e` data dal solo sottogruppo SO2 che descrive le rotazioni intorno all’asse z (non O2 , perch´e il campo magnetico si inverte per riflessioni rispetto a piani passanti per l’asse z). Ne segue che – dato che le rappresentazioni irriducibili di SO2 sono unidimensionali – ci si deve attendere che gli autovalori con degenerazione 2 + 1 si separino in 2 + 1 valori distinti, con completa “rimozione della degenerazione” (effetto Zeeman). Se invece il sistema e` posto in un campo elettrico, allora la simmetria residua e` data dal gruppo O2 , che ha rappresentazioni bidimensionali (§ 6.10) e ci si deve aspettare che resti una degenerazione doppia degli autovalori (effetto Stark). Ma se si considera il caso speciale dell’atomo di idrogeno, si trova che gli autovalori En dell’energia hanno una degenerazione molto maggiore di 2 + 1, che e` data precisamente da n2 , dove n e` un numero intero n = 1, 2, . . . (numero quantico principale); si noti la decomposizione 12 = 1 =“s” , 22 = 1 + 3 =“s” + “p” , 32 = 1 + 3 + 5 = “s”+“p”+“d” , etc.
246
Teoria dei gruppi
(con le notazioni s, p, d, . . . ben note dalla chimica e dalla spettroscopia), cio`e ogni autovalore En contiene i “multipletti” di dimensione 2 + 1 descritti dalle rappresentazioni D () (con 0 ≤ ≤ n − 1). Precisamente si ha
n−1
∑ (2 + 1) = n2 .
l=0
Non si tratta di degenerazione accidentale, ma e` una conseguenza del fatto che il potenziale coulombiano ammette – oltre alla simmetria per rotazione SO3 – una ulteriore simmetria. E` noto infatti fin dalla meccanica classica che il vettore di Runge-Lenz r R = −p ∧ L + mα r e` una costante del moto (o meglio, le sue 3 componenti Ri lo sono) per il problema di Keplero con potenziale V = −α/r, e descrive un vettore che giace sul piano dell’orbita: L·R = 0. Riscrivendo questo vettore in termini corretti quantisticamente nel caso del potenziale dell’atomo di idrogeno r 1 R = − (p ∧ L − L ∧ P) + me2 2 r si trova che
[Ri , H] = 0
e dunque l’Hamiltoniana ammette queste ulteriori simmetrie. Ponendo i Bj = √ Rj h¯ −2mH (considereremo solo stati legati, cio`e con autovalori negativi dell’energia) si trova che (i, j = 1, 2, 3) (6.33) [Bi , B j ] = εi jk Ak e [Ai , B j ] = εi jk Bk che insieme con le regole di commutazione di SO3 (6.33 )
[Ai , A j ] = εi jk Ak definiscono l’algebra del gruppo SO4 . Si conclude dunque che l’atomo di idrogeno ammette la simmetria SO4 . Ponendo ora 1 1 Mi = (Ai + Bi ) e Ni = (Ai − Bi ) 2 2 si ricava immediatamente [Mi , M j ] = εi jk Mk
,
[Ni , N j ] = εi jk Nk
,
[Mi , N j ] = 0 .
Dunque i tre operatori Mi commutano con gli Ni , e generano ciascuno l’algebra di SU2 ; in altre parole, l’algebra di SO4 e` isomorfa al prodotto diretto di due algebre SU2 (da notare che questa propriet`a dell’algebra non si estende al gruppo SO4 , che anzi e` un gruppo semplice!). Dunque le rappresentazioni dell’algebra di SO4 sono individuate da due numeri seminteri jM , jN (= 0, 1/2, 1, . . .) e sono della forma D ( jM ) ⊗ D ( jN ) , dunque di dimensione (2 jM + 1)(2 jN + 1).
6.15 L’oscillatore armonico isotropo
247
Tornando all’atomo di idrogeno, si deve osservare che L·R = A·B = 0 ma A · B = M 2 − N 2 e dunque sulle rappresentazioni irriducibili sar`a jM = jN e ci`o implica che tali rappresentazioni avranno dimensione (2 j + 1)2 = n2 , come infatti avviene per gli autostati dell’energia dell’atomo di idrogeno. $ j = iA j , B$ j = Anche qui e` conveniente ora introdurre gli operatori hermitiani A $ j = iM j , N $ j = iN j ; con un po’ di pazienza, usando le definizioni di A j , B j ed iB j , M H, si pu`o provare che si ha $2 + B$2 + 1) H = − (A
me4 2¯h2
$2 + B$2 = 2(M $2 + N $ 2 ) = 4M $ 2 ; e quest’ultimo operatore ha autovalori 4 j( j + 1), ma A e quindi l’uguaglianza precedente fornisce, sugli autostati dell’energia, En = −
me4 2¯h2 n2
che e` esattamente l’espressione per i livelli energetici dell’atomo di idrogeno. Si noti che questi calcoli coinvolgono i due operatori di Casimir A2 + B2 e A · B dell’algebra di SO4 , che ha rango 2. Naturalmente, se si considerano gli atomi alcalini, che sono “simili” all’atomo di idrogeno poich´e il loro potenziale e` approssimativamente coulombiano, si trova che i loro autovalori dell’energia perderanno la degenerazione n2 (mantenendo comunque la degenerazione 2 + 1 ), pur restando relativamente “vicini” fra loro.
6.15 L’oscillatore armonico isotropo Un altro esempio interessante e` fornito dall’oscillatore armonico isotropo in dimensione n > 1 in meccanica quantistica. Sia p.es. n = 3 (l’estensione ad n qualsiasi e` immediata). Come nel caso dell’atomo di idrogeno, e` certamente presente la simmetria per rotazione, ma e` in realt`a presente una simmetria maggiore, che e` descritta dal gruppo U3 . Anche in questo caso, tale propriet`a risulta gi`a evidente dalla meccanica classica: basta infatti scrivere l’usuale Hamiltoniana nella forma H =
1 2 k 2 p + r = (ζ,ζ ) 2m 2
dove ζ ∈ C3 e` il vettore di componenti √ ζ j = k/2 x j + i/ 2m p j , cio`e nella forma di un prodotto scalare in C3 .
j = 1, 2, 3
248
Teoria dei gruppi
Scritta ora l’equazione di Schr¨odinger (con h¯ = m = k = 1) 1 1 H u = − Δ u + r2 u = E u 2 2 si pone
Akj = ζ j+ ζk
( j, k = 1, 2, 3)
dove ora gli ζ j sono interpretati come operatori √ ζ j = (x j + ∂ /∂ x j )/ 2 e si trova che gli operatori Akj commutano con l’Hamiltoniana. Si noti in particolare che si ha H = Tr A + (3/2). I 9 operatori antihermitiani A12 − A21 , A23 − A32 , A31 − A13 , i(A12 + A21 ) , i(A23 + A32 ) , i(A31 + A13 ) , i(A11 − A22 ) , i(A11 + A22 − 2A33 ) , i(A11 + A22 + A33 ) generano l’algebra di U3 . Si riconosce che i primi 3 sono generatori del sottogruppo SO3 , mentre l’ultimo genera il sottogruppo U1 . Il gruppo U3 e` infatti il prodotto diretto U3 = SU3 ⊗ U1 . Le rappresentazioni di U1 sono unidimensionali, dunque le rappresentazioni irriducibili di U3 hanno le stesse dimensioni di quelle di SU3 . La rappresentazione “banale” unidimensionale descrive lo stato fondamentale dell’o2 scillatore u = e−r /2 , che e` invariante sotto U3 (e in particolare sotto rotazioni). La rappresentazione “naturale” a dimensione 3 descrive il primo stato eccitato: la base 2 della rappresentazione e` data da x j e−r /2 . Il secondo stato eccitato ha degenerazione 2 6: la base e` data da x j xk e−r /2 , ovvero e` descritta dal tensore simmetrico T jk , e cos`ı via: l’n-esimo stato (n = 0, 1, 2, . . .) e` descritto dalla rappresentazione irriducibile operante sui tensori simmetrici con n indici “in basso” (v. § 6.13) e con dimensione (n + 1)(n + 2)/2. E` anche utile considerare la riduzione di queste rappresentazioni sotto il sottogruppo delle rotazioni SO3 ⊂ U3 : p.es., lo stato fondamentale ha (ovviamente) = 0, il primo stato eccitato ha = 1, il secondo si decompone in = 0 ed = 2 (D (0) ⊕ D (2) , ovvero 6 = 1 + 5), e cos`ı via.
6.16 Il gruppo di Lorentz Si possono introdurre altri importanti esempi di gruppi di Lie nel modo seguente. Si consideri la forma quadratica in Rn+m un “prodotto scalare” non positivo definito fra vettori x, y ∈ Rn+m , che – per evitare confusioni – qui indicheremo con la nuova notazione ( , )± (x, y)± = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn − (xn+1 yn+1 + · · · + xn+m yn+m ) .
(6.34)
6.16 Il gruppo di Lorentz
249
Il gruppo delle trasformazioni lineari reali M in Rn+m che lascia invariante la forma sopra definita, cio`e tale che (M x, M y)± = (x, y)± , si indica con O(n, m) ed e` ovviamente un gruppo di Lie. In particolare, in R3+1 , ponendo x ≡ (x, ct), la (6.34) fornisce (x, x)± = |x |2 − 2 2 c t , ed O(3, 1) e` il gruppo di Lorentz. Il gruppo O(1, 1) e` invece il sottogruppo delle trasformazioni di Lorentz che coinvolgono una sola variabile spaziale e il tempo (incluse le inversioni spazio-temporali). Ancora pi`u in particolare, le matrici del sottogruppo delle trasformazioni di Lorentz unidimensionali “pure” si possono scrivere nella forma cosh α − sinh α (6.35) − sinh α cosh α dove α, definito da tanh α = v/c, e` il parametro di Lie. Poich´e il gruppo e` abeliano, le sue rappresentazioni irriducibili sono unidimensionali; infatti anche la (6.35), che e` la “rappresentazione naturale” (non unitaria!) del gruppo, si riduce alla forma α e 0 0 e−α con autovettori le direzioni del “cono luce” x = ±ct. I gruppi O(3, 2) ed O(4, 1) si chiamano gruppi di de Sitter e sono importanti in relativit`a generale. Se g indica la matrice diagonale g = diag(1, 1, . . . , 1, −1, . . . , −1) !" # !" # n
(6.36)
m
si ha (x, y)± = (x, g y) e si vede che M ∈ O(n, m) se e solo se Mt g M = g
(6.37)
(Mt = trasposta di M, che e` anche M + , essendo M reale). Se ne ricava, in particolare, che det M = ±1 . Nessuno di questi gruppi e` compatto. In modo simile si definisce il gruppo simplettico (importante in meccanica classica) Sp(n, R) come il gruppo delle trasformazioni M che lasciano invariante la forma bilineare “simplettica” definita in R2n da (x, y)± = (x, J y) ,
dove J=
0 −In
x, y ∈ R2n In 0
,
con In = matrice identit`a n × n, ovvero delle matrici tali che Mt J M = J . E ancora, partendo da una forma quadratica in Cn+m ∗ ∗ (x, y)± = x1∗ y1 + · · · + xn∗ yn − (xn+1 yn+1 + · · · + xn+m yn+m )
si possono analogamente definire i gruppi U(n, m), anch’essi non compatti.
250
Teoria dei gruppi
Il gruppo di Lorentz O(3, 1) non e` connesso, e anzi e` composto di quattro componenti fra loro sconnesse, e precisamente: il sottogruppo di Lorentz “proprio” L0 delle trasformazioni con determinante uguale a 1 e che conservano il verso del tempo, il sottoinsieme delle trasformazioni con determinante uguale a 1 ma che includono l’inversione temporale t → −t, il sottoinsieme delle trasformazioni con determinante uguale a −1 che conservano il verso del tempo, e infine il sottoinsieme delle trasformazioni con determinante uguale a −1 e con l’inversione temporale. Il fatto che le componenti con determinante uguale a 1 e con determinante uguale a −1 siano fra loro sconnesse e` gi`a stato riscontrato nel caso del gruppo O3 ; per provare che anche le componenti che invertono il tempo sono sconnesse fra loro basta osservare che questa propriet`a dipende solo dal segno dell’elemento M44 delle matrici M ∈ O(3, 1) . Ma si ha M44 ≥ 1
oppure
M44 ≤ −1
infatti, considerato il vettore e4 = (0, 0, 0, 1) , si trova 2 2 2 2 (e4 , e4 )± = −1 = (M e4 , M e4 )± = M14 + M24 + M34 − M44 2 ≥ 1. da cui M44 Troviamo ora l’espressione differenziale dei generatori del gruppo di Lorentz, cominciando dal gruppo (a 1 parametro) delle trasformazioni di Lorentz “pure” 1-dimensionali (6.35). Procedendo come per le rotazioni (§ 6.11), si trova ora il generatore ∂ ∂ · (6.38) K1 = x + t ∂t ∂x Considerando poi il gruppo di Lorentz (a 6 parametri) operante sulle x e t, si trovano analoghe espressioni per K2 , K3 , e l’algebra del gruppo risulta caratterizzata dalle regole di commutazione
[Ai , A j ] = εi jk Ak ,
[Ki , K j ] = −εi jk Ak ,
[Ai , K j ] = εi jk Kk
(6.39)
dove Ai sono i generatori delle rotazioni gi`a visti (6.20). Si noti in particolare che le rotazioni Ai formano una sottoalgebra, mentre le Ki non sono una sottoalgebra. Si pu`o notare che l’algebra del gruppo di Lorentz e` definita da leggi di commutazione (6.39) quasi identiche – a parte un segno (essenziale!) – alle leggi (6.33-33 ) dell’algebra del gruppo SO4 . Un altro esempio si trova considerando l’algebra del gruppo di Poincar´e, che e` formato dal gruppo di Lorentz insieme con le traslazioni spaziali e temporali, generate ovviamente da ∂ /∂ xi e ∂ /∂t: e` facile trovare le regole di commutazione per questa algebra e verificare che il sottospazio delle traslazioni forma una sottoalgebra (commutativa) di dimensione 4. Si osservi che il sottogruppo (a 4 parametri) delle traslazioni spazio-temporali e` un sottogruppo invariante commutativo del gruppo di Poincar´e, che dunque non e` semisemplice, e non lo e` la sua algebra. Ovviamente, i 6 generatori Ai e ∂ /∂ xi descrivono un’altra sottoalgebra, che e` l’algebra del gruppo Euclideo E3 .
6.17 Un cenno ad altri sviluppi
251
Si pu`o infine vedere che il gruppo di Lorentz “proprio” L0 non e` semplicemente connesso, e che il suo rivestimento universale e` il gruppo SL2 (C): si ha precisamente (6.40) L0 SL2 (C)/Z2 . Ovviamente, connesso n´e il fatto che il gruppo di Lorentz non e` semplicemente compatto e nemmeno e` compatto il suo rivestimento SL2 (C) rende pi`u complicata la ricerca delle sue rappresentazioni irriducibili: tale problema non verr`a trattato in questa introduzione alla teoria dei gruppi.
6.17 Un cenno ad altri sviluppi Non si pu`o terminare questa presentazione della teoria dei gruppi e in particolare delle algebre di Lie senza un accenno ad alcuni degli sviluppi e applicazioni dei concetti ad esse collegati. Un importante sviluppo concerne lo studio delle propriet`a di simmetria delle equazioni differenziali, sia alle derivate ordinarie che alle derivate parziali. Se u = u(x1 , x2 , . . .) e` l’incognita dell’equazione, si considerano trasformazioni generate da operatori infinitesimi della forma pi`u generale A = ξ1 (x1 , . . . , u)
∂ ∂ ∂ + ξ2 (x1 , . . . , u) + . . . + ϕ(x1 , . . . , u) ∂ x1 ∂ x2 ∂u
(6.41)
dove le funzioni ξi possono essere qualsiasi (e non soltanto funzioni lineari delle variabili, come era nei casi pi`u semplici delle traslazioni e delle rotazioni), e dove si ammette che non solo vengano trasformate le variabili indipendenti xi (come in tutti i casi considerati finora), ma che anche la variabile dipendente u possa essere variata. Si introduce cos`ı la nozione di gruppo di simmetria di un’equazione differenziale, che e` – in breve – il gruppo delle trasformazioni che mutano soluzioni dell’equazione in altre soluzioni. E` anche possibile determinare tale gruppo e applicare questa tecnica, che ammette pure vari importanti sviluppi, alla soluzione, allo studio, alla classificazione delle equazioni differenziali 3 . Un’altra applicazione riguarda il celebre Teorema di Noether, che collega le propriet`a di invarianza di una funzione Lagrangiana sotto trasformazioni generate da operatori che hanno ancora la forma generale (6.41), con l’esistenza di teoremi di conservazione. E` ovvia l’importanza fisica di questo risultato, che infatti ha conosciuto numerosi sviluppi ed estensioni e che ovviamente non possono essere nemmeno accennati in questo testo 4 .
3
Si pu`o vedere per esempio il libro di Olver [45], oppure – per una breve introduzione a queste idee – il testo di Bernardini et al. [1]. 4 Anche per questo argomento si pu` o vedere per esempio il libro di Olver [45].
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Indice analitico
affinit`a, 20 algebra (v. anche gruppo) di Lie, 231, 232 semplice, semisemplice, 241 analisi in frequenza, 36, 138, 140 antitrasformata di Fourier, 139, 152 antitrasformata di Laplace, 177 armoniche sferiche, 82, 240 ascissa (per la L -trasformata) di convergenza, di sommabilit`a, 173 atomo di idrogeno, 83, 245 autovalore, autovettore, 8, 73 baricentro spettrale, temporale, 141 base, 4, 51 campo (insieme aperto), 98 carattere (di rappresentazione), 222 causalit`a, 160, 164 centro (di un gruppo), 217 classi di coniugazione, 214 codimensione, 90 codominio, 63 coefficienti di Fourier, 50 complemento ortogonale, 19, 72 completamento (o chiusura), 43 condizioni al contorno (o agli estremi), 28 di Cauchy–Riemann, 100 continuit`a del prodotto scalare, 53 convergenza debole, 95 dominata, 45 forte, 94 fra distribuzioni, 189 in norma, 94
totale, 33 costanti di struttura, 232 criterio di L -trasformabilit`a, 173 decomposizione spettrale, 20, 95 degenerazione (di un autovalore), 9 accidentale, 225 delta di Dirac, 160, 189 densit`a spettrale, 141 determinante di Gram, 47 determinazione principale (del log), 123 diagonalizzazione (di matrici), 10 discontinuit`a al taglio, 123 distribuzione/i, 188 a supporto compatto, 198 δ (x), 160, 189 δ± (x), 196 di Schwartz, 198 P(1/x), 195 sgn(x), 196 temperate, 188 disuguaglianza di Bessel, 50 di Schwarz, 40 di Schwarz–H¨older, 47 triangolare, 40 dominio, 63 effetti Stark, Zeeman, 245 equazione del calore (o di Fourier), 38 di Bessel, 83 di d’Alembert, 28, 79 differenziale a derivate parziali, 87 di Laplace, 85 di Schr¨odinger, 39, 88, 245, 248 di Sturm–Liouville, 77
Springer-Verlag Italia 2015 G. Cicogna, Metodi matematici della Fisica, UNITEXT for Physics, DOI: 10.1007/978-88-470-5684-8
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con punti singolari, 81 di tipo ellittico, iperbolico, parabolico, 88 integrale, 79 secolare, 9 estensione analitica, 109 per continuit`a, 66 per chiusura, 92 evoluzione temporale, 13, 36, 37, 75 fogli di Riemann, 123 forma canonica (d’Alembert), 88 formula di Baker–Campbell–Hausdorff, 229 di Poisson, 86 integrale di Cauchy, 104 generalizzata, 105 frequenze proprie, 16 funzionale, 89, 188 funzione/i a decrescenza rapida, 147, 187 analitica, 99, 109 armonica, 85, 130 armoniche coniugate, 130 continua a tratti, 32 densit`a, 41 di Bessel, 83 di Green, 159, 165, 179, 201, 207 con condizioni al bordo, 209, 211 di Heaviside, 148 di Hermite, 57, 81 di Laguerre, 57, 82 generalmente continua, 32 intera, 119 localmente sommabile, 188 olomorfa (o monogena), 99 peso, 41 quasi ovunque uguali, 44 sommabile, 45 test (o di prova), 188 trascendente intera, 119 θ (o di Heaviside), 148 Γ di Eulero, 181 generatori infinitesimi, 230 gruppo/i, 21, 213 abeliano (o commutativo), 214 affine, 21, 220 ciclico, 214 compatto, 234 connesso, 233 semplicemente, 233 delle traslazioni, 235 di de Sitter, 249
di Lie, 227 di Lorentz, 249 di omotopia, 242 di Poincar´e, 250 di simmetria, 22, 226, 245, 247 di stabilit`a, 215 Euclideo, 21, 220 finito, 220 localmente isomorfi, 236 quoziente, 217 semplice, semisemplice, 216 simplettico, 249 GLn , SLn , 24 O2 , SO2 , SO3 , SU2 , 236, 238 SO4 , 246 SU3 , 244 SUn , 230, 244 U3 , 248 topologico, 227 transitivo, 215 identit`a di Parseval, 52 generalizzata, 54 immagine (di un operatore), 63 impedenza (dei circuiti), 158 integrale di Lebesgue, 44 improprio, 45, 115 in campo complesso, 102 lungo tagli, 123 in senso principale di Cauchy, 115, 129 invariante su un gruppo, 234 isomorfismo fra spazi, 58 fra gruppi, 215 locale, 236 larghezza spettrale, temporale, 141 legge di dispersione, 166 di Kramers-Kronig, 168 lemma di Darboux, 102 di Jordan, 127 di Schur, 223 linee caratteristiche (d’Alembert), 88 matrice/i aggiunta, 6 caratteristica (di una conica), 18 di Pauli, 238 hermitiana, 6 normale, 12
Indice analitico ortogonale, 7 simmetrica, 6 unitaria, 7 metodo di d’Alembert, 88 modi normali (o armonici), 16, 30 norma, 4, 40 di un operatore, 65 nucleo (di omomorfismo), 216 omomorfismo, 215 omotetia, 22 onde stazionarie, 30 operatore (o trasformazione) aggiunto, 68, 90 autoaggiunto, 70 chiuso, 92 compatto, 96 continuo, 64 di Casimir, 241 di proiezione, 19, 72 hermitiano (o simmetrico), 70 lineare, 62 limitato, 64 normale, 96 unitario, 70 orbita, 215 ordine (di un gruppo), 220 ortonormalizzazione di Schmidt, 49 oscillatore armonico, 81, 247 parametri di Lie, 227 parte di Laurent o singolare, 105 di Taylor, 105 principale di Cauchy, 115, 129, 195 polinomi di Hermite, 57, 81 di Laguerre, 57, 82 di Legendre, 82 polarizzazione (onde e.m.), 2 polo (di ordine n), 111 potenziale complesso, 131 principio di indeterminazione, 142, 155 principio di sovrapposizione, 24, 25, 164 problema di Cauchy, 14, 31 di Dirichlet, 87 di Neumann, 87 di Sturm – Liouville, 77 prodotto di convoluzione, 145 diretto (di gruppi), 217 fra distribuzioni, 204
integrale, 145 scalare, 4, 40 tensore, 242 proiettori, 19, 72 proiezione stereografica, 117 punto/i all’infinito, 117 (intorno del), 117 di diramazione, 122 singolari per funzioni olomorfe, 111 per equazione di Sturm-Liouville, 81 raggio, 2 di convergenza, 100 range (di un operatore), 63 rango (di gruppo o algebra), 241 rappresentazione/i, 218 aggiunta, 234 completamente riducibile, 219 differenziale, 235 equivalenti, 218 fedele, 218 (ir)riducibile, 219 prodotto tensore, 243 unitaria, 218 regola del parallelogramma, 41 relazioni di dispersione, 164, 168, 171 residuo, 112 all’infinito, 119 rette isotrope, 10 risolvente, 76 rivestimento universale, 242 semipiano di convergenza, 173 separazione delle variabili, 29 serie bilatera, 100 di Fourier trigonometrica, 32 astratta, 50 di potenze, 100 di Taylor–Laurent, 105 totalmente convergente, 33 similitudine (trasformazione), 8 singolarit`a eliminabile, 110 essenziale, 111 polare, 111 removibile, 110 sistema (o set) completo, 48, 51 ortonormale completo, 51 sistema dinamico lineare, 13 soluzione fondamentale (o normale), 13,16
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somma diretta di sottospazi, 72 di rappresentazioni, 219 sottoalgebra, 241 invariante, 241 sottogruppo, 214 ciclico, 214 invariante (o normale), 216 spazio base della rappresentazione, 218 completo (o chiuso), 41 debolmente completo, 94 duale 89, 188 di Banach, 48 di Hilbert, 48 L1 , 45 L2 , 46 L p , 46 2 , 58 pre–Hilbertiano, 48 separabile, 55 tangente, 230 vettoriale (a dimensione finita), 3 spettro, 76 sviluppo di Taylor–Laurent, 105 nell’intorno di z = ∞, 118 taglio (nel piano complesso), 122 tensore, 242 teorema dei residui, 113 della convergenza dominata, 45 del valore iniziale, 177 di Ado, 228, 234 di Burnside, 222 di Cauchy, 103 (secondo) di Cauchy, 104
di Cayley, 218 di de l’Hˆopital, 109 di Fourier, 32, 48 di Lebesgue, 45 di Liouville, 118 di monotonia, 78 di oscillazione, 79 di Peter–Weyl, 221 di Picard, 112 di Riemann–Lebesgue, 144 di Riesz, 45, 89 di Riesz–Fischer, 47 di separazione, 79 di Stone, 236 di Titchmarsh, 168 di traslazione, 144, 174 di Weiertrass, 57 esterno dei residui, 120 fondamentale dell’algebra, 118 trasformata di Fourier, 139, 144, 149, 192 come operatore unitario, 155 di Hilbert, 167 di Laplace, 172 olomorfia (della L -trasformata), 175 trasformazione (v. operatore) conforme (diretta), 133 uguaglianza di Parseval, 149 generalizzata, 151 vettore rappresentativo, 89 zero/i di funzione olomorfa, 108 di ordine n, 108