Introduzione Ai Metodi Matematici Della Fisica [PDF]

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Introduzione ai METODI MATEMATICI DELLA FISICA M. B. Barbaro, M. Frau, P. Gambino e S. Sciuto Dipartimento di Fisica, Universit`a di Torino

Dispense del corso 2013

Indice I Funzioni Analitiche e Equazioni Differenziali in Campo Complesso 4 1 Analisi Complessa 1.1 Il campo complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Richiami sui numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Funzioni reali di variabile complessa . . . . . . . . . . . . . 1.2 Funzioni complesse di variabile complessa . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Derivata di una funzione complessa di variabile complessa 1.2.2 Condizioni di Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Funzioni analitiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Integrazione in campo complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Curve (richiami) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Integrali in campo complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Teorema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Rappresentazione integrale di Cauchy . . . . . . . . . . . . 1.4 Serie in campo complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Serie di potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Serie di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Zeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Serie di Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.5 Singolarit`a isolate: poli e singolarit`a essenziali . . . . . . . 1.5 Residui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Teorema dei residui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Calcolo dei residui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Calcolo di integrali definiti mediante il teorema dei residui . . . . 1.6.1 Integrali trigonometrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3 Lemma di Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.4 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.5 Singolarit`a sul cammino di integrazione . . . . . . . . . . . 1.7 Studio del punto all’infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5 5 5 9 10 12 12 15 15 19 19 20 24 32 35 35 36 38 40 41 43 44 45 47 47 47 50 52 59 61

1.8

1.7.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.2 Calcolo del residuo nel punto all’infinito . . . . . . . . . . . . . Le funzioni ln z e z α nel piano complesso . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Equazioni differenziali in C 2.1 Equazioni differenziali ordinarie II ordine . . . . . . . . . . . 2.1.1 Soluzione nell’intorno di un punto regolare . . . . . . . 2.1.2 Soluzione nell’intorno di un punto singolare fuchsiano 2.1.3 Esempio: l’equazione di Bessel . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Studio del comportamento all’infinito . . . . . . . . . 2.1.5 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II

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Introduzione all’analisi armonica

62 64 68 69 69 72 77 79 81 83

86

3 Serie di Fourier 3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Funzioni periodiche e serie di Fourier . . . . . . . . . . . 3.2.1 Convergenza puntuale delle serie trigonometriche di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Importanti commenti . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Altri esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

87 87 92

. . . . . . . . 93 . . . . . . . . 96 . . . . . . . . 101

4 Trasformate Integrali 4.1 Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Propriet`a della trasformata di Fourier . . . . . . 4.1.3 Soluzione di equazioni differenziali mediante la Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Propriet`a della trasformata di Laplace . . . . 4.2.3 Trasformate di Laplace ed equazioni differenziali cienti costanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103 . . . . . . . . . 103 . . . . . . . . . 104 . . . . . . . . . 107 trasformata di . . . . . . . . . 110 . . . . . . . . . 114 . . . . . . . . . 115 . . . . . . . . . 116 lineari a coeffi. . . . . . . . . 119

5 Spazi L2 e distribuzioni 5.1 Spazi L2 e serie di Fourier . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Trasformata di Fourier in L2 . . . . . . . . 5.2 Alcuni sistemi ONC . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Sistemi ONC in L2 e distribuzioni. . . . . . . . . 5.3.1 Operatori autoaggiunti e sistemi ortogonali 5.3.2 La δ di Dirac e cenni sulle distribuzioni . .

. . . . . .

2

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. . . . . .

124 124 131 134 137 137 139

A Funzioni armoniche

146

B Corollari della rappresentazione integrale di Cauchy

151

C

Equazioni differenziali del second’ordine 156 C.1 Metodo di separazione delle variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

D Propriet` a dell’integrale di Lebesgue

3

162

Parte I Funzioni Analitiche e Equazioni Differenziali in Campo Complesso

4

Capitolo 1 Analisi Complessa 1.1

Il campo complesso

1.1.1

Richiami sui numeri complessi

Un numero complesso z `e una coppia ordinata di numeri reali z = a + ib = (a, b)

a, b ∈ R

dove i `e l’unit`a immaginaria i2 = −1 . a = Re z ,

b = Im z .

L’insieme dei numeri complessi `e un campo, indicato N con C, dato dal prodotto cartesiano del campo reale R con se stesso (C = R R), dotato di due leggi di composizione interna, l’addizione e la moltiplicazione, che godono delle seguenti propriet`a: 1) Addizione (+) Definizione: z1 = a1 + ib1 ,

z2 = a2 + ib2 −→ z1 + z2 = (a1 + a2 ) + i(b1 + b2 ) .

Propriet`a: Associativa: z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3 Commutativa: z1 + z2 = z2 + z1 . 5

z1 , z2 , z3 ∈ C .

Esiste l’elemento neutro 0 ∈ C, tale che z+0=0+z =z

∀z ∈ C .

Per ogni z ∈ C esiste l’elemento inverso −z ∈ C, tale che z + (−z) = (−z) + z = 0 . Quindi C `e un gruppo abeliano rispetto all’addizione, con elemento neutro 0. 2) Moltiplicazione (·) Definizione: z1 · z2 = (a1 + ib1 ) · (a2 + ib2 ) = (a1 a2 − b1 b2 ) + i(a1 b2 + b1 a2 ) . Propriet`a: Associativa: z1 · (z2 · z3 ) = (z1 · z2 ) · z3 . Commutativa: z1 · z2 = z2 · z1 . Esiste l’elemento neutro 1 ∈ C, tale che z·1=1·z =z

∀z ∈ C .

Per ogni z ∈ C, z 6= 0 esiste l’elemento inverso z −1 ∈ C, tale che z · z −1 = z −1 · z = 1 z = a + ib −→ z −1 =

1 a b = 2 −i 2 . 2 a + ib a +b a + b2

Quindi C − {0} `e un gruppo abeliano rispetto alla moltiplicazione, con elemento neutro 1. Vale inoltre la propriet`a distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione z1 · (z2 + z3 ) = z1 · z2 + z1 · z3 .

6

Figura 1.1: Rappresentazione cartesiana del numero complesso z

Rappresentazione geometrica dei numeri complessi Un numero complesso z si pu`o rappresentare graficamente come un punto nel piano complesso di z (o piano di Argand), sulle cui ascisse e ordinate si pongono rispettivamente la parte reale e immaginaria di z. La rappresentazione cartesiana di z `e (Fig 1.1) z = x + iy . Una rappresentazione equivalente `e quella polare (Fig 1.2) z = reiθ = r cos θ + ir sin θ con r = |z| =

p x2 + y 2

modulo di z

e θ = arg z = tan−1

y x

argomento o fase di z .

Graficamente r `e il modulo del vettore ~r congiungente l’origine con il punto z, e θ `e l’angolo che questo vettore forma con l’asse delle ascisse. Le relazioni fra componenti cartesiane e polari di z sono: x = r cos θ y = r sin θ 7

Figura 1.2: Rappresentazione polare del numero complesso z

Il complesso coniugato di un numero complesso z `e un numero complesso z ∗ ∈ C cos`ı definito: z = x + iy = reiθ −→ z ∗ = x − iy = re−iθ . (si veda Fig 1.3) Si noti che z · z ∗ = |z|2 = r2 .

Figura 1.3: Rappresentazione polare del numero complesso z e del suo complesso coniugato z ∗

8

1.1.2

Funzioni reali di variabile complessa

Una funzione reale di variabile complessa f : E −→ R ,

E⊆C

`e un’applicazione che associa un numero reale f (z) ad ogni z ∈ E, con E sottoinsieme del campo C. Definizione di funzione continua. La funzione f (z) si dice continua nel punto z = z0 se lim f (z) = f (z0 )

z→z0

ossia, ricordando la definizione di limite, se ∀ > 0 ∃δ > 0 / |f (z) − f (z0 )| <  ,

∀z ∈ Iδ (z0 ) ,

dove Iδ (z0 ) `e un intorno di raggio δ del punto z0 : Iδ (z0 ) = {z ∈ C/|z − z0 | < δ} . Esempi 1) La funzione modulo f (z) = |z| `e una funzione reale di variabile complessa, continua in tutto il piano complesso. 2) Le funzioni f (z) = Rez

e g(z) = Imz

sono funzioni reali di variabile complessa, continue in tutto il piano complesso. 3) La funzione argomento ϕ(z) = arg z `e una funzione reale di variabile complessa:

ϕ:

C − {0} −→ I2π ⊂ R , 9

Figura 1.4: Discontinuit`a dell’argomento di z.

dove I2π `e un intervallo semiaperto di lunghezza 2π. Tale intervallo non `e univocamente definito e pu`o essere scelto in infiniti modi diversi, ma in ogni caso la funzione ϕ(z) `e discontinua su una semiretta uscente dall’origine del piano complesso. Si considerino per esempio i due casi rappresentati in Fig. 1.4: a) I2π = (−π, π] b) I2π = [0, 2π) Nel caso a) ϕ(z) `e discontinua sul semiasse reale negativo. Infatti ϕ(−x) = π

x ∈ R+

ma il limite limz→−x ϕ(z) non `e definito, perch´e i limiti destro e sinistro sono diversi: lim ϕ(−x + i) = π

→0+

lim ϕ(−x − i) = −π .

→0+

Nel caso b) invece ϕ(z) `e discontinua sul semiasse reale positivo.

1.2

Funzioni complesse di variabile complessa

Una funzione complessa di variabile complessa f : E −→ C , 10

E⊆C

`e un’applicazione che associa un numero complesso f (z) ad ogni z ∈ E, con E sottoinsieme del campo C. Useremo la seguente notazione: f:

z 7→ w = f (z) z ∈ E , E ⊆ C , w ∈ C , z = x + iy w(z) = u(x, y) + iv(x, y) .

Quindi dare la f `e equivalente a specificare due funzioni reali di due variabili reali: u = u(x, y) e v = v(x, y) . Analogamente a quanto accade nel caso di funzioni reali, una funzione complessa di variabile complessa f (z) `e detta continua se lim f (z) = f (z0 )

z→z0

ovvero se ∀ > 0 ∃δ > 0 / |f (z) − f (z0 )| <  ,

∀z ∈ Iδ (z0 ) ,

dove Iδ (z0 ) `e un intorno di raggio δ del punto z0 e |f (z) − f (z0 )| `e il modulo del numero complesso f (z) − f (z0 ). Esempi 1)

f (z) = z 2 = (x + iy)2 = x2 − y 2 + 2ixy u(x, y) = x2 − y 2 v(x, y) = 2xy . In coordinate polari z = reiϕ w = r2 e2iϕ .

2)

f (z) = z ∗ = x − iy u(x, y) = x v(x, y) = −y . In coordinate polari z = reiϕ w = re−iϕ . 11

1.2.1

Derivata di una funzione complessa di variabile complessa

Definizione: una funzione f (z) si dice derivabile nel punto z se esiste il limite per h → 0 (h ∈ C) del rapporto incrementale f (z + h) − f (z) h considerato come funzione della variabile complessa h. Tale limite deve essere quindi indipendente dal modo in cui h → 0. Esistono infatti infinite direzioni lungo le quali h pu`o tendere a 0 (si veda Fig 1.5)

Figura 1.5: Direzioni dell’incremento h nel rapporto incrementale

La funzione f `e derivabile se tutte queste direzioni danno lo stesso risultato per il limite del rapporto incrementale. In questo caso il limite si chiama derivata di f rispetto a z: df (z) f (z + h) − f (z) = f 0 (z) = lim . h→0 dz h

1.2.2

Condizioni di Cauchy-Riemann

Consideriamo una funzione f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 12

tale che nel punto z = x + iy sia la sua parte reale u(x, y) che la sua parte immaginaria v(x, y) siano di classe C 1 , cio`e continue con le loro derivate prime: ∂u(x, y) ∂v(x, y) ∂v(x, y) ∂u(x, y) = u0x , = u0y , = vx0 , = vy0 . ∂x ∂y ∂x ∂y ∆ Teorema 1: le condizioni di Cauchy e Riemann (CR)

∂u(x, y) ∂v(x, y) = ∂x ∂y ∂u(x, y) ∂v(x, y) = − ∂y ∂x

(1.1)

sono condizioni necessarie e sufficienti affinch´e la funzione f (z) sia derivabile nel punto z. Dimostrazione. Dimostriamo dapprima che le condizioni di (CR) sono necessarie, ossia che f (z) derivabile ⇒ (CR) . Per ipotesi la derivata di f (z) f (z + h) − f (z) h→0 h

f 0 (z) = lim

esiste ed `e indipendente dalla direzione di h = hx + ihy . In particolare si potr`a scegliere h puramente reale (h = hx ) o puramente immaginario (h = ihy ). Se h = hx f (z + hx ) − f (z) hx →0 hx u(x + hx , y) + iv(x + hx , y) − u(x, y) − iv(x, y) = lim hx →0 hx u(x + hx , y) − u(x, y) v(x + hx , y) − v(x, y) = lim + i lim hx →0 hx →0 hx hx ∂u(x, y) ∂v(x, y) = +i . ∂x ∂x

f 0 (z) =

lim

13

(1.2)

Se h = ihy f (z + ihy ) − f (z) hy →0 ihy u(x, y + hy ) + iv(x, y + hy ) − u(x, y) − iv(x, y) = lim hy →0 ihy u(x, y + hy ) − u(x, y) v(x, y + hy ) − v(x, y) = lim + i lim hy →0 hy →0 ihy ihy ∂u(x, y) ∂v(x, y) + . (1.3) = −i ∂y ∂y Uguagliando ora le parti reali e immaginarie delle espressioni (1.2) e (1.3) per la derivata f 0 (z) otteniamo le condizioni di Cauchy-Riemann: f 0 (z) =

lim

u0x = vy0 u0y = −vx0 . Dimostriamo ora che le condizioni di CR sono sufficienti per la derivabilit`a di f (z), ossia (CR) ⇒ f (z) derivabile . Consideriamo a questo scopo il rapporto incrementale f (z + h) − f (z) u(x + hx , y + hy ) + iv(x + hx , y + hy ) − u(x, y) − iv(x, y) = . h hx + ihy (1.4) Poich´e le funzioni u e v sono per ipotesi continue con le loro derivate prime in z, esse sono differenziabili e si pu`o quindi scrivere nell’intorno del punto (x, y): u(x + hx , y + hy ) = u(x, y) + hx u0x (x, y) + hy u0y (x, y) + o(|h|) v(x + hx , y + hy ) = v(x, y) + hx vx0 (x, y) + hy vy0 (x, y) + o(|h|) . Sostituendo questi sviluppi nel rapporto incrementale (1.4) si ottiene hx u0x (x, y) + ihx vx0 (x, y) + hy u0y (x, y) + ihy vy0 (x, y) + o(|h|) f (z + h) − f (z) = . h hx + ihy Utilizzando ora le condizioni di Cauchy-Riemann (1.1) e prendendo il limite per hx , hy → 0 si ha f (z + h) − f (z) lim = hx ,hy →0 h hx u0x (x, y) + ihx vx0 (x, y) − hy vx0 (x, y) + ihy u0x (x, y) + o(|h|) lim = hx ,hy →0 hx + ihy (hx + ihy )[u0x (x, y) + ivx0 (x, y)] lim = u0x (x, y) + ivx0 (x, y) = f 0 (z) . hx ,hy →0 hx + ihy (1.5) 14

La derivata di f (z) `e quindi definita univocamente indipendentemente dalla direzione di h: la funzione `e pertanto derivabile e la sua derivata `e f 0 (z) = u0x (x, y) + ivx0 (x, y) . [q.e.d.] Utilizzando le condizioni di Cauchy-Riemann `e possibile dare quattro espressioni equivalenti della derivata di una funzione in termini delle sue parti reale e immaginaria: f 0 (z) = = = =

u0x (x, y) + ivx0 (x, y) vy0 (x, y) − iu0y (x, y) u0x (x, y) − iu0y (x, y) vy0 (x, y) + ivx0 (x, y) .

(1.6)

N.B. Dalle ultime due espressioni si deduce che per calcolare la derivata di f (z) `e sufficiente conoscerne o la parte reale u o la parte immaginaria v. Ovvero: nota una delle due, si pu`o ricavare l’altra a meno di una costante.

1.2.3

Funzioni analitiche

Definizione: Una funzione f (z) f : F −→ C

F ⊂C

si dice analitica (o regolare, o olomorfa) in un punto z0 se esiste un intorno I(z0 ) in cui f (z) `e derivabile, con derivata continua, in ogni punto z ∈ I(z0 ). (N.B. non `e sufficiente che le condizioni di CR siano soddisfatte solo nel punto z = z0 .) La funzione `e analitica in una regione aperta E ⊂ F se essa `e derivabile, con derivata continua, in ogni punto z ∈ E. ` quindi necessario e sufficiente affinch´e f (z) sia analitica in E che siano soddisfatte E le seguenti condizioni in tutti i punti di E: 1) parte reale u(x, y) e parte immaginaria v(x, y) siano di classe C 1 ; 2) siano soddisfatte le condizioni di Cauchy-Riemann (1.1). I punti in cui f (z) `e analitica si dicono punti di analiticit`a o punti regolari della funzione. I punti in cui f (z) non `e analitica si dicono punti singolari o singolarit` a della funzione.

1.2.4

Esempi

Esempio 1 f (z) = costante = c = cx + icy 15

c ∈ C, cx , cy ∈ R

u(x, y) = cx ,

v(x, y) = cy

u0x = u0y = vx0 = vy0 = 0 La funzione f (z) `e continua in tutto il piano complesso C, le funzioni u e v sono continue e derivabili e le condizioni di Cauchy-Riemann sono verificate ∀z ∈ C. Quindi una funzione costante `e analitica in tutto il piano complesso e la sua derivata `e zero: f 0 (z) = u0x + ivx0 = 0 Esempio 2 f (z) = z ∗ = x − iy u(x, y) = x , u0x = 1 ,

v(x, y) = −y vy0 = −1

La funzione f (z) = z ∗ non `e analitica. Si pu`o infatti mostrare che il rapporto incrementale dipende dalla direzione dell’incremento h. Sia h = ρeiθ in rappresentazione polare. Allora il rapporto incrementale (z + h)∗ − z ∗ h∗ ρe−iθ f (z + h) − f (z) = = = = e−2iθ h h h ρeiθ dipende dall’angolo θ. La derivata di z ∗ non esiste in alcun punto di C. Esempio 3 f (z) =

u(x, y) =

1 1 x − iy = = 2 z x + iy x + y2

x , x2 + y 2

v(x, y) = −

y x2 + y 2

Le funzioni u e v sono continue e derivabili in C − {0}. Le condizioni di CR u0x =

u0y =

y 2 − x2 , (x2 + y 2 )2 −2xy , + y 2 )2

(x2

vy0 =

vx0 = 16

y 2 − x2 = u0x (x2 + y 2 )2

(x2

2xy = −u0y 2 2 +y )

sono soddisfatte. La funzione f (z) `e quindi analitica in C − {0}. La sua derivata `e f 0 (z) = u0x + ivx0 =

y 2 − x2 + 2ixy (y + ix)2 1 = =− 2 . 2 2 2 2 2 (x + y ) (y + ix) (y − ix) z

Vale pertanto la stessa regola di derivazione valida in campo reale  0 1 1 =− 2 . z z Si dimostra, esattamente come nel campo reale, che vale dz n = nz n−1 dz per n intero qualsiasi 1 . Le funzioni analitiche in tutto il piano complesso, come, per esempio, i polinomi, la funzione esponenziale e le funzioni seno e coseno, si chiamano funzioni intere. ∆ Teorema 2: se f1 (z) e f2 (z) sono due funzioni analitiche nel punto z, allora le funzioni 1) f1 (z) + f2 (z) 2) f1 (z) · f2 (z) 3) f1 (z)/f2 (z) se f2 (z) 6= 0 4) f1 (f2 (z)) sono analitiche in z e valgono le seguenti regole di derivazione a) [f1 (z) + f2 (z)]0 = f10 (z) + f20 (z) b) [f1 (z) · f2 (z)]0 = f10 (z)f2 (z) + f1 (z)f20 (z) c) [f1 (z)/f2 (z)]0 = [f10 (z)f2 (z) − f1 (z)f20 (z)]/[f2 (z)]2 d)

d [f (f (z))] dz 1 2

=

df1 df2 df2 dz

.

La dimostrazione segue banalmente dalla definizione di derivata o dalla (1.6). 1

La stessa formula vale per ogni esponente, reale o complesso, ma non ne parliamo qui perch´e non abbiamo ancora definito z α per α non intero.

17

∆ Corollario: le funzioni razionali di z sono analitiche in tutto il piano complesso esclusi gli zeri del denominatore. Dimostrazione: Poich´e le funzioni f1 (z) = 1 e f2 (z) = z sono analitiche in C, segue dalla propriet`a 2) che tutte le potenze di z sono analitiche in C, e quindi per la propriet`a 1) i polinomi di z Pn (z) =

n X

ck z k = c0 + c1 z + c2 z 2 + ...cn z n

k=0

sono funzioni ovunque analitiche. Per la propriet`a 3) le funzioni razionali (rapporto di due polinomi Pn e Qm ) R(z) =

Pn (z) Qm (z)

sono funzioni analitiche in tutto il piano complesso esclusi i punti zi tali che Qm (zi ) = 0. [q.e.d.] ∆ Teorema 3 : se la parte reale (immaginaria) di una funzione analitica `e costante, anche la sua parte immaginaria (reale) `e necessariamente costante. Infatti da u(x, y) = costante segue u0x = u0y = 0 e quindi dalle condizioni di CR segue che: vy0 = vx0 = 0 ⇒ v(x, y) = K 0 = costante . Pertanto f (z) = costante . Nel caso particolare in cui v(x, y) = 0, oppure u(x, y) = 0, ne segue banalmente che una funzione analitica a valori reali (o immaginari puri) `e necessariamente costante. [q.e.d.] ∆ Teorema 4: una funzione analitica di modulo costante `e costante (cio`e le sue parti reale e immaginaria sono separatamente costanti): f (z) analitica e |f (z)| = cost. ⇒ f (z) = cost. Dimostrazione Per ipotesi u2 (x, y) + v 2 (x, y) = K . Se K = 0 la dimostrazione `e banale perch´e ci`o implica f (z) = 0; assumiamo quindi nel seguito K 6= 0. 18

Derivando rispetto a x e a y si ottiene 2u∂x u + 2v∂x v = 0 2u∂y u + 2v∂y v = 0 . Moltiplicando la prima equazione per u, la seconda per v, sommando membro a membro e utilizzando le condizioni di CR, si ottiene (u2 + v 2 )∂x u = 0 da cui segue che, poich´e u2 + v 2 `e per ipotesi costante e diverso da zero, ∂x u = 0. Analogamente, moltiplicando la prima equazione per −v e la seconda per u, si ottiene (u2 + v 2 )∂y u = 0. Questa implica che anche ∂y u = 0 e quindi u(x, y) = costante. Dalle CR segue immediatamente che se le derivate parziali di u sono nulle, anche le derivate parziali di v sono nulle, e pertanto f (z) = costante, come nel teorema precedente. [q.e.d.]

1.3 1.3.1

Integrazione in campo complesso Curve (richiami)

Una curva γ nel piano complesso `e una applicazione continua γ : J −→ C

J = [a, b] ∈ R

dove J `e un intervallo reale limitato e chiuso: γ : t −→ z(t) = x(t) + iy(t)

a≤t≤b.

L’applicazione γ associa ad ogni valore del parametro t due funzioni reali x(t) e y(t). Spesso si considera la curva γ non solo come l’applicazione appena definita, ma come l’immagine (o sostegno) di tale applicazione, cio`e come l’insieme di punti γ = {z ∈ C/z = z(t), t ∈ [a, b]} . Una curva si dice regolare nell’intervallo [a, b] se le funzioni x(t) e y(t) hanno derivate prime continue e non entrambe nulle ∀t ∈ [a, b]. Una curva si dice regolare a tratti nell’intervallo [a, b] se l’intervallo pu`o essere suddiviso in un numero finito di sottointervalli chiusi in cui la curva sia regolare. Una curva si dice chiusa se z(a) = z(b). Un caso particolare di curva chiusa `e un punto, cio`e una curva di equazione z(t) = costante ∀t ∈ [a, b]. 19

Una curva si dice semplice se z(t1 ) 6= z(t2 ) ∀t1 6= t2 , con t1 , t2 ∈ [a, b). (N.B. L’intervallo [a, b) `e semi-aperto per includere le curve chiuse nella definizione di curve semplici.) In pratica una curva semplice `e una curva che non si interseca con se stessa. Una curva chiusa e semplice si dice curva di Jordan. Enunciamo, senza dimostrarlo, il seguente teorema: ∆ Teorema 5: ogni curva di Jordan γ divide il piano in due regioni, una interna e una esterna a γ. Ad ogni curva chiusa si assegna un verso di percorrenza. Convenzionalmente si considera come positivo il verso antiorario. Si definisce convenzionalmente interna ad una curva chiusa la zona lasciata a sinistra se si percorre la curva nel suo verso di percorrenza (ed esterna quella lasciata a destra). Due curve di Jordan γ1 e γ2 si dicono omotopicamente equivalenti (O.E.) in una regione D se possono essere deformate con continuit`a l’una nell’altra senza uscire ` essenziale specificare la regione D in cui le due curve sono O.E. da D. N.B. E Esempio: se D = C ogni curva di Jordan `e O.E. a un punto, ma questo non `e pi` u vero se da C si sottraggono uno o pi` u punti. Una regione D ⊆ C si dice connessa per archi se, ∀z1 , z2 ∈ D, esiste una curva γ tutta interna a D, che congiunge z1 e z2 . Una regione S ⊆ C si dice semplicemente connessa (s.c.) se ogni curva chiusa contenuta is S `e O.E. a un punto. (Definizione alternativa: una regione S `e s.c. se per ogni curva di Jordan γ contenuta in S la regione interna a γ `e sottoinsieme di S). Intuitivamente una regione s.c. `e una regione senza buchi. Lemma di Gauss (o teorema di Green): siano P (x, y), Q(x, y) ∈ C 1 due funzioni reali e continue con derivate prime continue in un dominio E semplicemente connesso. Allora per ogni curva γ chiusa regolare a tratti contenuta in E ZZ 

I [P (x, y)dx + Q(x, y)dy] =

S

γ

 ∂Q(x, y) ∂P (x, y) − dxdy , ∂x ∂y

(1.7)

dove S `e la regione interna a γ.

1.3.2

Integrali in campo complesso

Integrale di una funzione di variabile reale a valori complessi Consideriamo una funzione complessa di una variabile reale w(t) = u(t) + iv(t): w : [a, b] −→ C

[a, b] ⊂ R

t ∈ [a, b] , w(t) ∈ C . 20

Definiamo l’integrale di w(t) in t Z b Z b Z b w(t)dt = u(t)dt + i v(t)dt . a

a

a

L’integrale esiste se la funzione w(t) `e continua o se ha un numero finito di discontinuit`a di prima specie. L’integrale (alla Riemann) si pu`o interpretare come limite di somme integrali: Z b w(t)dt = lim In n→∞

a

dove In =

n X

w(τl )(tl − tl−1 )

l=1

=

n X

u(τl )(tl − tl−1 ) + i

l=1

n X

v(τl )(tl − tl−1 ) .

l=1

Si divide cio`e l’intervallo [a, b] in n sottointervalli a = t0 < t1 < t2 < ... < tn = b e si valuta la funzione w(t) nei punti τl interni a ciascun sottointervallo (tl−1 < τl < tl ). Dalla disuguaglianza triangolare (|a1 + a2 + ... + an | ≤ |a1 | + |a2 | + ... + |an |): |In | ≤

n X

|w(τl )|(tl − tl−1 )

l=1

segue, prendendo il limite per n → ∞, la relazione Z b Z b ≤ w(t)dt |w(t)|dt . a

(1.8)

a

Integrale di una funzione complessa di variabile complessa Sia f (z) una funzione: f : D ⊆ C −→ C f : z = (x + iy) ∈ D 7→ w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) ∈ C . Si consideri una curva γ regolare a tratti nell’intervallo [a, b] γ : t 7→ z(t)

a≤t≤b

e siano A = z(a) e B = z(b) gli estremi di tale curva (Fig. 1.6) 21

Figura 1.6: Curva aperta che unisce i punti A e B nel piano complesso

Se f (z) `e continua ∀z ∈ γ, si definisce l’integrale curvilineo di f (z) tra A e B lungo γ Z

B

b

Z

A(γ)

dz dt . dt

f (z(t))

f (z)dz = a

(1.9)

N.B. Il secondo membro della (1.9) esiste perch´e γ `e regolare a tratti (quindi dz/dt ha un numero finito di discontinuit`a). ∆ Teorema 6: l’integrale di una funzione continua f (z) = u(x, y) + iv(x, y) lungo una curva γ regolare a tratti `e dato da Z

B

Z

B

B

[u(x, y)dx − v(x, y)dy] + i

f (z)dz = A(γ)

Z

A(γ)

[v(x, y)dx + u(x, y)dy] . A(γ)

(1.10) Dimostrazione Dalla definizione (1.9) segue che

22

Z

B

f (z)dz = A(γ)

= + =

b

  Z b dz(t) dx(t) dy(t) f (z(t)) dt = [u(x, y) + iv(x, y)] +i dt dt dt dt a a  Z b dy(t) dx(t) − v(x, y) dt u(x, y) dt dt a  Z b dx(t) dy(t) i v(x, y) + u(x, y) dt dt dt a Z B Z B [v(x, y)dx + u(x, y)dy] . [u(x, y)dx − v(x, y)dy] + i Z

A(γ)

A(γ)

[q.e.d] N.B. In generale l’integrale dipende dalla curva γ e non solo dagli estremi di integrazione. Valgono per l’integrale (1.10) le propriet`a degli integrali curvilinei. In particolare, se C `e un punto sulla curva γ, Z B Z C Z B f (z)dz f (z)dz + f (z)dz = C(γ)

A(γ)

A(γ)

e Z

B

Z

A

f (z)dz = −

f (z)dz . B(γ)

A(γ)

∆ Teorema 7: Disuguaglianza di Darboux Sia M il valore massimo assunto dal modulo della funzione f (z) lungo la curva γ: M = max |f (z)| z∈γ

e l la lunghezza di γ tra A e B: Z l= a

b

ds dt ≡ dt

Z a

b

s

dx dt

2

 +

Allora vale la disuguaglianza di Darboux: Z B f (z)dz ≤ M l .

dy dt

2 dt .

(1.11)

A(γ)

Dimostrazione: Applicando la disuguaglianza (1.8) alla definizione (1.9) si ottiene Z B Z b dz ≤ dt f (z)dz |f (z(t))| dt A(γ) a Z b dz dt . ≤ M dt a 23

Ora, s 2  2 dz dx dy ds = ; + ≡ dt dt dt dt pertanto Z b dz dt = l dt a e quindi: Z

B

A(γ)

f (z)dz ≤ M l .

[q.e.d.] Consideriamo qualche esempio di integrale in campo complesso. Sia C la circonferenza di raggio R attorno all’origine. Vogliamo calcolare l’integrale della funzione analitica f (z) = z I I=

z dz .

(1.12)

C

Sostituiamo quindi z = Reiθ e facciamo riferimento alla (1.9): Z 2π 2 I = iR e2iθ dθ = 0.

(1.13)

0

Nel caso della funzione non analitica f (z) = z ∗ troviamo invece I Z 2π ∗ 2 z dz = iR dθ = 2πiR2 . C

1.3.3

(1.14)

0

Teorema di Cauchy

∆ Teorema 8: sia f (z) una funzione regolare all’interno di un dominio aperto E semplicemente connesso. Il teorema di Cauchy asserisce che, per ogni curva γ chiusa, regolare a tratti, tutta contenuta in E,

I f (z)dz = 0 .

(1.15)

γ

L’integrale di una funzione analitica `e nullo lungo una qualsiasi curva chiusa omotopicamente equivalente a un punto nel dominio di analiticit`a della funzione. 24

Figura 1.7: Curva chiusa che non contiene l’origine

Dimostrazione Dal teorema (1.10) si ha che I

I

I

[u(x, y)dx − v(x, y)dy] + i

f (z)dz =

[v(x, y)dx + u(x, y)dy] γ

γ

γ

e, per il lemma di Gauss (1.7) (si ponga P = u, Q = −v nel primo integrale e Q = u, P = v nel secondo)  ZZ  I ∂v(x, y) ∂u(x, y) f (z)dz = − − dxdy ∂x ∂y S γ  ZZ  ∂u(x, y) ∂v(x, y) − dxdy , + i ∂x ∂y S dove S ⊂ E `e la regione interna a γ. Poich´e f (z) `e analitica valgono le condizioni di Cauchy-Riemann u0x = vy0 e u0y = −vx0 . Pertanto I f (z)dz = 0 . γ

[q.e.d.] In altre parole, γ f (z)dz = 0 se γ `e contenuta nel dominio E di analiticit`a di f (z) ed `e deformabile con continuit`a in un punto senza uscire da E. In modo pi` u conciso si pu`o anche dire che la forma differenziale f (z)dz = u(x, y)dx− v(x, y)dy + i[v(x, y)dx + u(x, y)dy] `e chiusa in un aperto E: d(f (z)dz) = 0, se valgono le condizioni di CR; essa diventa esatta se il dominio `e semplicemente connesso. H

25

Figura 1.8: Curve aperte che uniscono i punti A e B in un dominio semplicemente connesso

Corollario al teorema di Cauchy ∆ Teorema 9: siano γ1 e γ2 due curve semplici e regolari a tratti che congiungono i punti A e B e γ = γ1 ⊕ (−γ2 ) sia tutta contenuta nel dominio semplicemente connesso di analiticit`a di f (z) (Fig. 1.8). Allora Z

B

Z

B

f (z)dz

f (z)dz = A(γ2 )

A(γ1 )

ovvero: l’integrale di una funzione analitica non dipende dal cammino di integrazione purch´e i cammini siano deformabili con continuit`a l’uno nell’altro senza incontrare singolarit`a. Dimostrazione Z

B

Z

B

f (z)dz − A(γ1 )

Z

B

Z +

f (z)dz = A(γ2 )

A

A(γ1 )



I f (z)dz =

B(γ2 )

f (z)dz = 0 γ

per il teorema di Cauchy (1.15). [q.e.d.] Esempio: consideriamo l’integrale I I= γ

dz . z

La funzione 1/z `e analitica in C − {0}. Se la regione interna alla curva γ non contiene l’origine (Fig. 1.7) l’integrale `e nullo per il teorema di Cauchy. Se invece l’origine `e interna a γ, per esempio γ `e una circonferenza C di raggio R centrata in O (Fig. 1.9) l’integrale `e diverso da zero. Calcoliamone il valore. L’equazione

26

Figura 1.9: Curva chiusa che contiene l’origine

della curva C in coordinate polari `e z = z(ϕ) = Reiϕ = R(cos ϕ + i sin ϕ) dz = R(− sin ϕ + i cos ϕ) = iz dϕ I I= C

dz = z

Z 0

2π

1 0 z (ϕ)dϕ = z(ϕ)

0 ≤ ϕ ≤ 2π

Z 0

2π

iReiϕ dϕ = 2πi Reiϕ

N.B. L’integrale non dipende da R. Ne segue che, se γ1 e γ2 sono due semicirconferenze centrate nell’origine (Fig. 1.10) gli integrali Z B dz I1 = A(γ1 ) z e Z

B

I2 = A(γ2 )

dz z

non devono necessariamente essere uguali poich´e non si pu`o applicare il Corollario del teorema di Cauchy. Infatti essi valgono Z π Z −π I1 = i dϕ = iπ , I2 = i dϕ = −iπ . 0

0

27

Figura 1.10: Semicirconferenze centrate nell’origine

N.B. I1 6= I2 perch´e deformando γ1 in γ2 si attraversa una singolarit`a (z = 0). In modo analogo si pu`o calcolare il seguente integrale I I= C

dz z−a

a∈C

(1.16)

dove la curva C `e la circonferenza di raggio R centrata in a (Fig. 1.11). Infatti, ponendo z = z(ϕ) = a + Reiϕ si ha z 0 (ϕ) = iReiϕ = i(z − a) e quindi Z I= 0

2π

1 z 0 (ϕ)dϕ = z(ϕ) − a

Z 0

2π

iReiϕ dϕ = 2πi . Reiϕ

∆ Teorema 10: Teorema di Cauchy generalizzato Sia f (z) una funzione analitica in un dominio D qualsiasi e siano γ1 e γ2 due curve chiuse omotopicamente equivalenti in D. In queste ipotesi: I I f (z)dz = f (z)dz . γ1

γ2

28

Figura 1.11: Circonferenza centrata nel punto a

Dimostrazione: Per dimostrare il teorema consideriamo 3 casi: a) D semplicemente connesso b) D generico, γ1 e γ2 non si intersechino c) D generico, γ1 e γ2 si intersechino Caso a) In questo caso la dimostrazione `e banale perch´e, per il teorema di Cauchy, I I f (z)dz = f (z)dz = 0 . γ1

γ2

Caso b) Effettuiamo due tagli AB e CD (Fig. 1.12). Poich´e γ1 e γ2 sono O.E. in D, la regione compresa tra le due curve appartiene tutta a D. Si ha allora (per il corollario al teorema di Cauchy): Z

D

Z

B

= Z

A(E) A

C

Z

+

+

Z

A C

=

Z

B(F ) B

+

D(G)

D

D

Z Z

C A

+ C(H)

. B

Sommando membro a membro si ottiene I I f (z)dz = f (z)dz γ1

γ2

poich´e Z

B

Z

A

=− A

Z

C

Z

D

=−

e B

D

29

. C

Figura 1.12: Curve γ1 e γ2 che non si intersecano in un dominio D

Caso c) In questo caso si ha (vedi Fig. 1.13):

Figura 1.13: Curve γ1 e γ2 che si intersecano in un dominio D

Z

B

Z

B

= Z

A(E) A

Z

A(F ) A

= B(G)

. B(H)

Sommando membro a membro si ottiene I I f (z)dz = f (z)dz . γ1

γ2

30

N.B. Non `e detto che la regione (AGBF A) appartenga a D (γ1 e γ2 sono O.E. in D). [q.e.d.] • Corollario: l’integrale (1.16) vale 2πi per ogni curva chiusa γ che circondi il punto a: I dz = 2πi, a∈C (1.17) I= γ z −a Inoltre, sempre per ogni curva chiusa γ che circondi il punto a, I γ

dz = 2πi δn,1 , (z − a)n

dove δnl `e la delta di Kr¨onecker definita da  1 se n = l δnl = 0 se n 6= l

n∈Z

(1.18)

n, l ∈ Z .

La (1.18) si dimostra osservando che il cammino γ pu`o essere deformato in una circonferenza C di raggio R e centro a e ponendo z − a ≡ Reiθ ⇒ dz = iReiθ dθ ;

(1.19)

ne segue immediatamente, per n 6= 1: I γ

dz = (z − a)n

Z 0

2π

i iReiθ dθ = n−1 n inθ R e R

Z

2π

e

i(1−n)θ

0

dθ =

i Rn−1

2π ei(1−n)θ = 0, i(1 − n) 0

mentre per n = 1 vale la eq.(1.17) Abbiamo visto che l’integrale di f (z) tra i punti A e B non dipende dalla curva d’integrazione se essa rimane all’interno del dominio di analticit`a D di f e se D `e semplicemente connesso. In questi casi possiamo allora definire una primitiva di f (z) attraverso l’integrale Z z

f (z 0 ) dz 0 .

F (z) =

(1.20)

z0

Si dimostra che F (z) `e unica e analitica in D e che F 0 (z) = f (z). Di conseguenza valgono anche Z b f (z) dz = F (b) − F (a) (1.21) a

31

e le usuali regole di calcolo integrale. Per esempio l’integrale indefinito di z `e z 2 /2, quello di ez `e ez , quello di 1/z `e ln z. Naturalmente in quest’ultimo caso il dominio di analiticit`a C − {0} non `e semplicemente connesso, e l’integrale su ogni curva chiusa che contiene l’origine vale 2πi. Tuttavia la (1.21) vale ancora, in virt` u della polidromia del logaritmo (vedi sezione 1.8): dopo un giro attorno all’origine il logaritmo risulta incrementato di 2πi e si dice che siamo passati su un altro ramo della funzione logaritmo. La (1.18) ci dice che talvolta l’integrale su un cammino chiuso si annullaHanche se questo racchiude una singolarit`a; questo accade per n > 1. L’annullarsi di γ f (z)dz infatti non garantisce che la funzione sia analitica all’interno di γ. Il teorema di H Morera ci assicura invece che se f (z) `e continua e γ f (z) dz = 0, ∀γ chiusa in D connesso, allora f (z) `e analitica in D.

1.3.4

Rappresentazione integrale di Cauchy

∆ Teorema 11: sia f (z) una funzione analitica in un dominio E aperto semplicemente connesso e γ una curva di Jordan contenuta in E. Sia S la regione interna a γ. Sotto queste ipotesi vale la rappresentazione integrale di Cauchy per la funzione f (z):

1 f (z) = 2πi

I γ

f (z 0 ) 0 dz z0 − z

∀z ∈ S , γ = ∂S .

(1.22)

N.B. Perch´e valga la (1.22) `e essenziale che z appartenga a S, cio`e sia interna a γ. Infatti, 1) se z ∈ γ la funzione integranda ha una singolarit`a sul cammino di integrazione e quindi l’integrale non esiste; 2) se z `e esterno a γ, la funzione integranda f (z 0 )/(z 0 −z) `e analitica in S e l’integrale `e nullo per il teorema di Cauchy (1.15) ; 3) se z `e interno a γ, la funzione integranda f (z 0 )/(z 0 − z) in generale non `e analitica in S, ma pu`o avere una singolarit`a in z 0 = z. Dimostrazione Consideriamo il seguente integrale I f (z 0 ) − f (z) 0 I(z) = dz . z0 − z γ

32

Per il teorema generalizzato di Cauchy γ pu`o essere deformata in una circonferenza C centrata in z di raggio arbitrario r, interna a S: I f (z 0 ) − f (z) 0 I(z) = dz . z0 − z C Per la disuguaglianza di Darboux (1.11), f (z 0 ) − f (z) 2πr = 2π max |f (z 0 ) − f (z)| , |I(z)| ≤ max z 0 ∈C z 0 ∈C z0 − z dove si `e usato |z 0 − z| = r, ∀z 0 ∈ C. Poich´e la funzione f (z) `e continua in S, il secondo membro pu`o essere reso arbitrariamente piccolo. Infatti, dalla definizione di continuit`a di una funzione, limz0 →z f (z 0 ) = f (z), segue ∀ > 0 ∃δ / |f (z 0 ) − f (z)| <  ∀z 0 ∈ Iδ (z) . Basta allora scegliere r < δ per dimostrare che ∀ > 0 si ha |I(z)| ≤ 2π. Ma l’unico numero non negativo minore o uguale a un numero positivo arbitrario `e lo zero, quindi I(z) = 0, ossia, utilizzando l’integrale (1.17), I I f (z) 0 f (z 0 ) 0 dz = dz = f (z) 2πi , 0 0 γ z −z γ z −z da cui la (1.22). [q.e.d.] La rappresentazione integrale di Cauchy permette quindi di conoscere i valori di una funzione analitica in tutta la regione interna ad una curva chiusa γ una volta noti i suoi valori nei punti appartenenti alla curva γ. Rappresentazione integrale di Cauchy per le derivate ∆ Teorema 12: sia f (z) una funzione analitica in un dominio E aperto semplicemente connesso e γ una curva di Jordan contenuta in E. Sia S la regione interna a γ. In queste ipotesi vale la rappresentazione integrale di Cauchy (1.22); derivando ripetutamente sotto il segno di integrale e utilizzando l’identit`a: dn 1 n! , = 0 n 0 dz z − z (z − z)n+1 33

si ottiene (in modo non rigoroso) la rappresentazione integrale di Cauchy per le derivate della funzione f (z):

dn f (z) n! = n dz 2πi

I γ

f (z 0 ) dz 0 (z 0 − z)n+1

∀z ∈ S .

(1.23)

Un’importantissima conseguenza della (1.23) `e che una funzione analitica ` e infinitamente derivabile, ovviamente con derivate continue. Vale la pena sottolineare che nulla di simile accade per le funzioni reali di variabili reali: una funzione f (x) differenziabile non `e necessariamente infinitamente differenziabile (si pensi a f (x) = x|x|, con derivata 2|x| che non `e differenziabile nell’origine).

34

1.4

Serie in campo complesso

1.4.1

Serie di potenze

Una serie di potenze `e una serie del tipo ∞ X

ak (z − z0 )k .

k=0

Per le serie di potenze in campo complesso valgono teoremi analoghi a quelli validi in campo reale: • La regione di convergenza di una serie di potenze in C `e un cerchio (centrato in z0 ), il cui raggio si dice raggio di convergenza della serie. All’interno di tale cerchio la serie `e uniformemente e assolutamente convergente. All’esterno non converge mai. Sulla circonferenza pu`o convergere o no, a seconda dei casi, e c’`e sempre almeno un punto di non convergenza. • Teorema di Weierstrass: una serie di potenze `e, per ogni z interno al cerchio di convergenza, derivabile termine a termine n volte (con n arbitrario): ∞

∞ X

dn f (z) X dn (z − z0 )k ak = , ak (z − z0 ) ⇒ f (z) = n n dz dz k=0 k=0 k

quindi essa `e analitica all’interno del cerchio di convergenza. • Teorema il raggio di convergenza ρ della serie di poP∞ di Cauchy-Hadamard: k tenze k=0 ak (z − z0 ) coincide con l’inverso del massimo fra i punti di accumulazione della successione {|ak |1/k }, ovvero, se il limite esiste, con: ρ=

n

lim |ak |1/k

k→∞

o−1

.

Si pu`o mostrare che la (1.24) `e equivalente alla pi` u comoda: an , ρ = lim n→∞ an+1 sempre che il limite, finito o infinito, esista.

35

(1.24)

(1.25)

1.4.2

Serie di Taylor

Lo sviluppo in serie di Taylor `e uno sviluppo in serie di potenze di una funzione nell’intorno di un suo punto di analiticit`a. Sia f (z) una funzione analitica in un dominio D e sia C un intorno circolare, tutto contenuto in D, di un punto regolare z0 (si veda ` facile dimostrare che la funzione f (z), infinitamente derivabile 2 , pu`o Fig. 1.14). E essere rappresentata, per ogni z ∈ C, dalla serie di Taylor:

f (z) =

∞ X

ak (z − z0 )k

(1.26)

k=0

con

ak

  1 dk f (z) = k! dz k z=z0 I f (z) 1 dz , = 2πi c (z − z0 )k+1

(1.27)

dove per l’ultimo passaggio si `e usata la rappresentazione di Cauchy (1.23) delle derivate di una funzione analitica. Dimostrazione: partendo dalla rappresentazione integrale di Cauchy I 1 f (z 0 ) dz 0 , f (z) = 2πi c z 0 − z usando (vedi Fig. 1.14) n ∞  1 1 1 X z − z0 = 0 = 0 z0 − z z − z0 − (z − z0 ) z − z0 n=0 z 0 − z0

(1.28)

e integrando termine a termine la serie (uniformemente convergente, poich´e |z − z0 | < z−z0 0 |z − z0 |, quindi z0 −z0 < 1) ) si ottiene I ∞ X f (z 0 ) n 1 f (z) = (z − z0 ) dz 0 , 0 − z )n+1 2πi (z 0 c n=0 2

(1.29)

Nel campo reale l’infinita derivabilit` a non `e sufficiente per garantire che una funzione sia sviluppabile in serie di Taylor; nel campo complesso basta invece la analiticit`a.

36

Figura 1.14: Intorno circolare del punto z0 nel dominio D

che coincide con la (1.26). [q.e.d] Poich´e il cerchio C deve essere tutto interno al dominio di analiticit`a di f (z), il suo raggio r deve essere minore della distanza di z0 dal pi` u vicino punto singolare di f (z): il cerchio C `e certamente contenuto nel cerchio di convergenza della serie di Taylor (1.26). ` molto importante sottolineare che esiste una completa equivalenza tra analiticit`a E di una funzione in un punto e sua sviluppabilit`a in serie di Taylor in un suo intorno: f (z) analitica in z0

⇐⇒

∃I(z0 ) / ∀z ∈ I(z0 ) , f (z) =

∞ X

ak (z − z0 )k .

k=0

Esempio: la serie geometrica

P∞

k=0

z k converge uniformemente a

f (z) =

1 1−z

nella regione |z| < 1. Il punto z = 1 `e infatti un punto singolare di f (z). Talvolta conosciamo una funzione solo attraverso una serie di potenze, che converge nel cerchio S1 , ma potrebbe avere un dominio di analiticit`a pi` u ampio. L’estensione tramite serie di Taylor al di fuori dell’originale dominio S1 viene detta continuazione analitica (alla Weierstrass) della funzione di partenza. Nel caso in Fig.1.15 abbiamo una serie di potenze attorno all’origine con raggio di convergenza determinato dalla distanza dalla singolarit`a z1 . L’espansione di Taylor attorno a z2 ∈ S1 converge nel cerchio S2 , che si estende al di l`a del dominio S1 (abbiamo qui assunto che z1 sia la 37

Figura 1.15: Continuazione analitica

singolarit`a pi` u vicina a z2 , ma potrebbe non essere cos`ı). In S1 ∩ S2 le due serie sono rappresentazioni diverse della stessa funzione e coincidono. Si dimostra poi che due funzioni analitiche che coincidono su un insieme continuo di punti, coincidono ovunque siano entrambe ben definite e rappresentano la stessa funzione. Il procedimento pu`o essere ripetuto un numero arbitrario di volte, anche in presenza di altre singolarit`a, fino a raggiungere qualsiasi punto del dominio di analiticit` a connesso a quello di partenza. P∞ Nell’esempio in figura la prima serie `e f1 (z) = n=0 (−z)n attorno all’origine con raggio di convergenza 1. Questa serie pu`o essere derivata in z2 interno a S1 ottenendo un nuovo sviluppo di Taylor attorno a z2 che converge in S2 . Trattandosi di serie geometriche, sappiamo che in entrambi i casi la somma `e f (z) = 1/(1 + z), analitica in C − {0}. Si pu`o pensare a quest’ultima rappresentazione come una continuazione analitica delle prime due serie. Riassumendo, la conoscenza di una funzione analitica e delle sue derivate in un unico punto di analiticit`a permette, in linea di principio, di ricostruire la funzione in tutto il suo dominio di analiticit`a.

1.4.3

Zeri

Un punto regolare z = z0 `e uno zero di ordine n della funzione f (z) se:

38

1) La funzione si annulla in z0 : f (z0 ) = 0 2) Le prime n − 1 derivate si annullano in z0 : dk f (z) =0, k = 1, 2, ... , n − 1 dz k z=z0 3) La derivata n-esima `e diversa da zero in z0 : dn f (z) 6= 0 . dz n z=z0 Per esempio la funzione f (z) = z 2 ha uno zero di ordine 2 in z = 0. Infatti: f 0 (0) = 0 ,

f (0) = 0 ,

f 00 (0) = 2 6= 0 .

Uno zero `e un punto regolare di f (z), che sar`a quindi rappresentabile tramite uno sviluppo in serie di Taylor intorno a quel punto: f (z) =

∞ X

ak (z − z0 )k .

(1.30)

k=0

Se z0 `e uno zero di ordine n di f (z), si ha, dalla (1.27), che a1 = a2 = ... = an−1 = 0

an 6= 0 .

e

Quindi la (1.30) diventa f (z) =

∞ X

ak (z − z0 )k .

k=n

Cambiando l’indice nella sommatoria, k → k 0 = k − n, si ottiene f (z) =

∞ X

0

ak0 +n (z − z0 )k +n

k0 =0 n

= (z − z0 )

∞ X k0 =0

La funzione g(z) =

∞ X

ak+n (z − z0 )k

k=0

39

0

ak0 +n (z − z0 )k .

`e una funzione analitica in z0 , in quanto sviluppabile in serie di Taylor intorno al punto z = z0 . Inoltre g(z) `e non nulla in z0 : g(z0 ) = an 6= 0 . Pertanto una funzione f (z) che abbia in z0 uno zero di ordine n pu`o sempre essere scritta nella forma f (z) = (z − z0 )n g(z) ,

(1.31)

con g(z) analitica e non nulla in z = z0 .

1.4.4

Serie di Laurent

Fra le varie possibili singolarit`a di una funzione analitica giocano un ruolo particolarmente importante le singolarit`a isolate: un punto singolare z0 si dice singolarit` a isolata della funzione f (z) se esiste un suo intorno privato di z0 in cui f (z) `e analitica. Nell’intorno di una singolarit`a isolata `e necessario considerare anche serie a potenze negative; per esempio, per ogni z 6= 0 vale: e

1/z

=

∞ X z −k

k!

k=0

,

(1.32)

come si vede subito ponendo w = 1/z; evidentemente l’origine `e una singolarit`a isolata per la funzione e1/z . Lo sviluppo in serie di Laurent `e uno sviluppo in serie di potenze positive e negative di una funzione f (z) in un intorno bucato I(z0 ) di un suo punto singolare isolato z0 (si veda Fig. 1.16); Il teorema di Laurent dice che se esiste un I(z0 ) in cui f (z) `e analitica, per ogni z ∈ I(z0 ), si pu`o scrivere3 :

f (z) =

∞ X

dk (z − z0 )k .

(1.33)

k=−∞

Ricordando la (1.18) `e immediato calcolare i coefficienti dk ; basta dividere la (1.33) per (z − z0 )n+1 e integrare su una curva chiusa γ interna a I(z0 ) e che circondi z0 per ottenere: 3

La dimostrazione `e analoga a quella dello sviluppo in serie di Taylor, con la differenza che la curva γ da scegliere per la rappresentazione integrale di Cauchy di f (z) `e composta dalle due circonferenze (percorse in verso opposto) che delimitano una corona circolare centrata in z0 e contenuta in I(z0 ).

40

Figura 1.16: Curva γ in un intorno bucato del punto z0

1 dk = 2πi

I γ

f (z) dz , (z − z0 )k+1

(1.34)

N.B. Anche per k > 0, il coefficiente dk in generale non `e la derivata dk f (z)/dz k perch´e f (z) non `e analitica nel punto z0 . Notare inoltre che lo sviluppo in serie di Taylor (1.26) si ottiene come caso particolare dello sviluppo in serie di Laurent (1.33) se invece z0 `e un punto regolare di f (z). Infatti, se z0 `e regolare, per il teorema di Cauchy dk = 0 per tutti i k ≤ −1 e la (1.33) si riduce alla (1.26).

1.4.5

Singolarit` a isolate: poli e singolarit` a essenziali

Il punto singolare isolato z0 si definisce polo della funzione f (z) se lo sviluppo in serie di Laurent intorno a z0 possiede un numero finito n di potenze negative; un polo si dice di ordine n se: 1) I coefficienti ..., d−n−2 , d−n−1 si annullano: d−k = 0 ,

∀k > n

2) Il coefficiente d−n `e diverso da zero: d−n 6= 0 .

41

Un polo di ordine 1 si dice polo semplice, di ordine 2 polo doppio e cos`ı via. Nell’intorno di un polo di ordine n lo sviluppo (1.33) si riduce quindi a ∞ X

f (z) =

dk (z − z0 )k

(1.35)

k=−n

e, mediante il cambiamento di indice k → k 0 = k + n, a f (z) =

∞ X

0

dk0 −n (z − z0 )k −n

k0 =0

= (z − z0 )

−n

∞ X

dk−n (z − z0 )k .

k=0

Definiamo ora g(z) =

∞ X

dk−n (z − z0 )k .

k=0

La funzione g(z) `e data da uno sviluppo in serie di Taylor intorno a z0 : essa `e pertanto analitica in z0 . Inoltre g(z) `e diversa da zero in z0 : g(z0 ) = d−n 6= 0 . Pertanto se z0 `e un polo di ordine n della funzione f (z), questa pu`o essere espressa come f (z) =

g(z) , (z − z0 )n

(1.36)

con g(z) analitica e non nulla in z = z0 . Dalle (1.36) e (1.31) segue che il punto z = z0 `e uno zero di ordine n per la funzione 1/f (z): 1 = h(z)(z − z0 )n , f (z) dove h(z) = 1/g(z) `e di nuovo una funzione analitica e non nulla in z0 . Singolarit` a essenziali Il punto z = z0 si definisce invece singolarit` a essenziale isolata della funzione f (z) se `e un punto singolare isolato e lo sviluppo in serie di Laurent intorno a z0 possiede un numero infinito di potenze negative. Come si vede dallo sviluppo in serie di Laurent (1.32), un esempio di singolarit`a essenziale isolata `e l’origine per la funzione e1/z , e analogamente per le funzioni sin(1/z), cos(1/z) e simili. 42

Dalle definizioni di polo e singolarit`a essenziale isolata segue che un polo di ordine n pu`o essere rimosso moltiplicando la f (z) per (z − z0 )n , mentre questo non `e possibile per una singolarit`a essenziale. Un’altra importante differenza fra poli e singolarit`a essenziali `e la seguente: `e evidente dalla (1.36) che limz→z0 f (z) = ∞ se il punto z0 `e un polo di f (z); se invece z0 `e una singolarit`a essenziale il limite non esiste, perch´e nell’intorno di z0 la funzione oscilla forsennatamente: per farsene un’idea, basta pensare all’andamento nell’intorno dell’origine della funzione sin z1 con z reale o immaginario puro. Pi` u in generale, si pu`o dimostrare il Teorema di Weierstrass per le singolarit` a essenziali isolate: se z = z0 `e una singolarit`a essenziale isolata della funzione f (z), allora per ogni  e δ piccoli a piacere e per ogni numero complesso c ∈ C, esiste un valore di z ∈ I δ (z0 ) tale che |f (z) − c| <  . In altre parole, il teorema di Weierstrass afferma che in qualunque intorno di una singolarit`a essenziale isolata, la funzione f (z) approssima indefinitamente qualunque valore prefissato c, senza necessariamente raggiungerlo.

1.5

Residui

Sia f (z) una funzione analitica in un dominio D, z0 un punto singolare isolato, γ una curva di Jordan, tutta contenuta in D e contenente al suo interno il punto z0 , ma non altre singolarit`a (questo `e possibile, perch´e z0 `e isolato). Si definisce residuo della funzione f (z) nel punto z = z0 la quantit`a

{Resf (z)}z=z0

1 ≡ 2πi

I f (z)dz .

(1.37)

γ

Dalla eq.(1.34) che definisce i coefficienti di Laurent, calcolata per k = −1, si vede subito che vale:

{Resf (z)}z=z0 = d−1 .

(1.38)

Quindi il residuo di una funzione in un punto singolare isolato z0 `e il coefficiente della potenza (−1) − esima del suo sviluppo in serie di Laurent intorno a z0 .

43

Esempio 1 1 ⇒ {Resf (z)}z=0 = f (z) = z 2πi

I γ

dz =1, z

dove γ `e una curva che circonda l’origine. Ovviamente, se z0 `e un punto regolare di f (z) e cerchiamo ugualmente di calcolare il residuo, troviamo zero per il teorema di Cauchy. Non vale per`o il viceversa: una funzione pu`o avere residuo nullo in un punto ed ivi essere singolare, se d−1 = 0 ma esiste qualche d−n 6= 0 per n > 1; un esempio caratteristico `e f (z) = 1/z 2 che nell’origine ha un polo doppio, con residuo nullo.

1.5.1

Teorema dei residui

∆ Teorema 13: sia f (z) una funzione analitica in un dominio D, eccetto che in un numero finito di singolarit`a isolate. Sia γ una curva di Jordan contenuta in D, non passante per alcun punto singolare di f (z). In queste ipotesi vale il teorema dei residui:

I f (z)dz = 2πi γ

n X

{Resf (z)}z=zk ,

(1.39)

k=1

dove z1 , z2 , ..., zn sono le singolarit`a di f (z) interne a γ. Dimostrazione Il teorema dei residui si dimostra facilmente per induzione completa. Infatti la (1.39) `e vera per n=1 per la definizione di residuo. Se le singolarit`a sono n + 1 isoliamo la (n + 1)-esima come in Fig. 1.17. Usando la tesi (1.39) per n singolarit`a si ottiene I I I f (z)dz f (z)dz = f (z)dz + γ

γ1

γ2

= 2πi {Resf (z)}z=zn+1 + 2πi

n X

{Resf (z)}z=zk

k=1

= 2πi

n+1 X

{Resf (z)}z=zk .

(1.40)

k=1

Quindi la (1.39) `e vera per n+1 singolarit`a. ` utile osservare che il numero di singolarit`a interne alla curva γ deve essere finito; E se fosse infinito, all’interno di γ ci sarebbe un punto di accumulazione di singolarit`a e quindi una singolarit`a non isolata, per cui non ha senso definire il residuo. 44

Figura 1.17: Curva γ che contiene n + 1 singolarit`a della funzione

1.5.2

Calcolo dei residui

Vediamo ora come si calcola esplicitamente il residuo di una funzione in un suo punto singolare isolato. Se z0 `e una singolarit` a essenziale non c’`e altro modo4 che usare le equazioni (1.37) e (1.38). Se invece z = z0 `e un polo di ordine n di f (z) c’`e un modo alternativo che richiede solo di calcolare derivate. Infatti in un intorno di z0 si pu`o scrivere:

f (z) =

g(z) (z − z0 )n

con g(z) analitica e non nulla in z0 . Il residuo `e, dalla (1.37), I g(z) 1 dz . {Resf (z)}z=z0 = 2πi γ (z − z0 )n Ora, dalla rappresentazione di Cauchy per le derivate di f (z) (1.23)  k  I d g(z) k! g(z) = dz , k dz 2πi γ (z − z0 )k+1 z=z0 si ottiene, ponendo k = n − 1, 1 2πi

I γ

g(z) 1 dz = n (z − z0 ) (n − 1)!

4



dn−1 g(z) dz n−1

 z=z0

locale, perch´e vedremo pi` u avanti che il discorso pu`o essere diverso se si conosce il comportamento globale della funzione in tutto il piano complesso, punto all’infinito compreso.

45

e quindi, poich´e g(z) = (z − z0 )n f (z) ,

{Resf (z)}z=z0

1 = lim (n − 1)! z→z0



 dn−1 n [(z − z0 ) f (z)] . dz n−1

(1.41)

Nel caso particolare in cui z0 sia un polo semplice (n = 1), si ha {Resf (z)}z=z0 = lim [(z − z0 )f (z)] . z→z0

Ricordando lo sviluppo in serie di Laurent nel caso di un polo semplice (1.35)

f (z) =

∞ X

dk (z − z0 )k

k=−1

=

d−1 + d0 + d1 (z − z0 ) + ... , z − z0

si ottiene ( {Resf (z)}z=z0 = lim

z→z0

d−1 +

∞ X

) dk (z − z0 )k+1

k=0

e quindi {Resf (z)}z=z0 = d−1 ,

(1.42)

a conferma di quanto visto in generale in eq.(1.38). Esempio: la funzione f (z) = z sin z/(z − π)3 ha un polo doppio in z = π, infatti la sua serie di Laurent nell’intorno di z = π `e P 2k+1   k (z−π) z ∞ 1 1 z sin z k=0 (−1) (2k+1)! =− = (π + z − π) − + ... f (z) = (z − π)3 (z − π)3 (z − π)2 6 π2 1 π = − − + ... (z − π)2 z − π 6 da cui segue d−1 = −1, che coincide col residuo sul polo secondo la (1.38). Alternativamente definiamo h(z) = (z − π)3 f (z) e applichiamo la (1.41). Il residuo `e 1 00 1 h (z)|z=π = (2 cos z − z sin z)|z=π = −1 . 2 2 46

Si sar`a notato che abbiamo applicato la (1.41) come se la funzione avesse un polo triplo. Infatti la derivazione della (1.41) `e valida anche se n `e maggiore dell’ordine del polo. Nel caso in questione, il calcolo del residuo si pu`o fare usando n = 3 o n = 2, ma `e pi` u diretto con n = 3.

1.6

Calcolo di integrali definiti mediante il teorema dei residui

Il teorema dei residui (1.39) `e di grande utilit`a perch´e permette non solo di calcolare integrali naturalmente definiti su curve chiuse nel piano complesso, ma anche ampie classi di integrali definiti sull’asse reale, trasformandoli in integrali in campo complesso.

1.6.1

Integrali trigonometrici

Una prima classe da considerare `e la seguente5 : Z 2π f (cos θ, sin θ)dθ .

(1.43)

0

Per calcolare integrali di questo tipo a) si usano le formule di Eulero per esprimere sin θ e cos θ in funzione di eiθ (senza usare la complessa coniugazione!) e si effettua la sostituzione z = eiθ ⇒ dθ = −i

dz ; z

(1.44)

b) ci si riconduce ad un integrale nel piano z lungo una circonferenza di raggio unitario; c) si calcola l’integrale con il teorema dei residui.

1.6.2

Esempi

Esempio 1 Z I= 0

2π

dθ . 5 + 3 cos θ

Con la sostituzione (1.44) si ha: eiθ + e−iθ 1 = cos θ = 2 2 5

  1 z+ . z

Naturalmente l’intervallo d’integrazione potrebbe essere anche (−π, π) o qualsiasi altro intervallo di ampiezza 2π.

47

Sostituendo in I: I

1 dz C z 5 + 3/2 (z + 1/z) I 2i dz = − 2 3 C z + 10 z+1 3

I = −i

dove C `e una circonferenza di raggio unitario centrata nell’origine. Studiamo ora le singolarit`a della funzione integranda:

f (z) =

z2 +

10 z+1=0 3

⇒ ⇒

1 z2 +

10 z 3

+1

.

1 , z2 = −3 3   10 1 2 z + z+1= z+ (z + 3) . 3 3

z1 = −

La funzione f (z) ha due poli semplici in z = −1/3 (interno alla curva C e z = −3 (esterno alla curva C). Pertanto   2i 1 I = − 2πi Res 2 10 3 z + 3 z + 1 z=−1/3 4π z + 1/3
lim 3 z→−1/3 z + 13 (z + 3) π = . 2 =

Esempio 2 Z I= 0

2π

dθ , 1 − 2p cos θ + p2

Poniamo

z = eiθ ⇒ dθ = −i

dz z

Allora (vedi esempio precedente) 1 cos θ = 2

  1 z+ . z 48

p∈C

Sostituendo in I: I

dz 1 2 C z 1 − p (z + 1/z) + p dz 2 2 C pz − (1 + p )z + p

I = −i I = i

dove C `e una circonferenza di raggio unitario centrata nell’origine. La funzione integranda f (z) =

pz 2

1 − (1 + p2 )z + p

ha due poli semplici: pz 2 − (1 + p2 )z + p = 0

−→ −→

z1 = 1/p , z2 = p pz 2 − (1 + p2 )z + p = p (z − 1/p) (z − p)

e quindi i I= p

I C

dz . (z − 1/p) (z − p)

Dove sono situati i poli di f (z)? se se

|p| < 1 |p| > 1

−→ −→

z = p interno a C , z = 1/p esterno a C z = p esterno a C , z = 1/p interno a C .

Ne segue che, se |p| < 1,   i 1 I = 2πi Res p (z − p)(z − 1/p) z=p   2π z−p = − lim p z→p (z − p)(z − 1/p) 2π = 1 − p2 e, se |p| > 1,   i 1 I = 2πi Res p (z − p)(z − 1/p) z=1/p   2π z − 1/p = − lim p z→1/p (z − p)(z − 1/p) 2π . = 2 p −1 49

Se |p| = 1, l’integrando ha una singolarit`a sul cammino di integrazione e I non `e definito. Si noti che l’esempio 1 `e un caso particolare dell’esempio 2.

1.6.3

Lemma di Jordan

Molto spesso possono essere calcolati con il metodo dei residui anche integrali estesi a tutto l’asse reale: Z ∞ g(x) dx , (1.45) I= −∞

dove supporremo che g(x) non abbia singolarit`a su R. In tal caso la strategia da seguire `e di considerare accanto all’integrale I l’integrale: Z Z R g(x)dx + g(z)dz, (1.46) J(R) = −R

γR

dove γR `e una semicirconferenza, centrata nell’origine e di raggio R, situata nel semipiano Im z > 0 o Im z < 0 a seconda dei casi (vedi Fig. 1.18).

Figura 1.18: Semicirconferenze di raggio r nel semipiano inferiore (a) e superiore (b)

L’integrale J(R) `e esteso a una curva chiusa e si pu`o quindi calcolare con il metodo dei residui; dalla conoscenza di J(R) `e poi immediato calcolare l’integrale I se la funzione g(z) `e tale che: Z lim g(z)dz = 0 . (1.47) R→∞

γR

50

Ci`o succede nei casi seguenti6 : 1) La funzione g(z) tende a zero pi` u velocemente di 1/|z| per z → ∞:

 g(z) = o

1 |z|

 z→∞.

,

(1.50)

In questo caso la semicirconferenza γR pu`o giacere sia nel semipiano Im z > 0 sia nel semipiano Im z < 0. Dimostrazione. Passando a coordinate polari (e supponendo di considerare la semicirconferenza nel semipiano superiore) Z Z π
g(z)dz = iR g Reiθ eiθ dθ γR

0

e applicando la disuguaglianza (1.8) si ottiene Z Z π
g Reiθ dθ g(z)dz ≤ R 0

γR

da cui, sfruttando l’ipotesi
lim R g Reiθ = 0 ,

R→∞

si ottiene infine la (1.47). (Notare che non si `e fatto altro che ridimostrare la disuguaglianza di Darboux (1.11) in questo caso particolare.) [q.e.d.] 2) La funzione integranda g(z) `e della forma eiαz f (z), con α > 0, dove f (z) `e una funzione che tende uniformemente (rispetto all’argomento di z) a zero quando |z| 6

In realt` a dalla (1.47) segue che Z

R

lim J(R) = lim

R→∞

g(x)dx,

R→∞

(1.48)

−R

che coincide con Z I=

R2

lim

R1 →∞,R2 →∞

g(x)dx,

(1.49)

−R1

solo nel caso che quest’ultimo integrale esista; se ci`o non succede, ma esiste il limite (1.48), allora questo si chiama valore principale dell’integrale (1.45), si veda anche Sez. 1.6.5

51

tende a infinito e l’argomento di z `e compreso fra 0 e π (cio`e nel semipiano Im z ≥ 0), ovvero 7 z → ∞,

f (z) = o(1),

0 ≤ arg z ≤ π .

(1.51)

In tal caso, se si sceglie per γR una semicirconferenza nel semipiano superiore (Im z > 0), centrata nell’origine e di raggio R, `e facile dimostrare che vale: Z lim

R→∞

eiαz f (z)dz = 0 .

(1.52)

γR

3) Con la sostituzione z → −z, si vede subito che la (1.52) vale anche per α < 0, purch´e valga la (1.51) con π ≤ arg z ≤ 2π e la semicirconferenza γR stia nel semipiano inferiore. 4) Con la sostituzione z → −iz si vede subito che vale anche Z eαz f (z) dz = 0 , α>0 lim R→∞

(1.53)

γR

purch´e valga la (1.51) con π2 ≤ arg z ≤ 3π e la semicirconferenza γR , centrata 2 in qualsiasi punto x0 dell’asse reale, stia a sinistra della parallela dell’asse immaginario passante per x0 . Ovviamente se α < 0 vale un discorso analogo per una semicirconferenza γR che stia a destra della parallela dell’asse immaginario passante per x0 . Per capire subito su quale semicirconferenza chiudere il cammino per poter applicare il lemma di Jordan, basta ricordare che essa va scelta in modo che, lungo la sua freccia, l’esponente del fattore che moltiplica f (z) deve essere reale e tendere a −∞ per |z| → ∞. Si indica con lemma di Jordan il contenuto dei punti 2), 3) e 4), ma per comodit`a denoteremo con questo termine tutto quanto detto in questo paragrafo.

1.6.4

Esempi

Esempio 1 Z I= 0

∞

x2 dx (x2 + 1)(x2 + 4)

7

Notare che questa condizione `e molto meno restrittiva della (1.50); qui `e l’esponenziale, rapidamente decrescente per Im z → +∞, che si incarica di far tendere rapidamente a zero l’integrando.

52

La funzione integranda `e simmetrica: f (x) =

x2 = f (−x) . (x2 + 1)(x2 + 4)

Quindi 1 I= 2

Z

∞

−∞

x2 dx . (x2 + 1)(x2 + 4)

Inoltre |z|→∞

f (z) ∼

1 ; z2

le ipotesi del lemma di Jordan (caso 1) sono soddisfatte in entrambi i semipiani. Possiamo quindi chiudere il cammino di integrazione nel piano complesso come indicato in Figura 1.18 (scegliamo di chiuderlo nel semipiano positivo). Indichiamo con CR il cammino chiuso e con ΓR la semicirconferenza. Il lemma di Jordan ci assicura che Z f (z)dz = 0

lim

R→∞

ΓR

e quindi Z

∞

I f (z)dz = lim

−∞

R→∞

f (z)dz . CR

Pertanto 1 I = lim 2 R→∞

I f (z)dz . CR

Studiamo la funzione f (z): (z 2 + 1)(z 2 + 4) = 0 −→ z = ±i , z = ±2i . f (z) ha 4 poli semplici, due nel semipiano Im z > 0 e due nel semipiano Im z < 0. Quindi 1 I = 2πi [{Resf (z)}z=i + {Resf (z)}z=2i ] 2 53

{Resf (z)}z=i = lim(z − i) z→i

i z2 = − (z + 2i)(z − 2i)(z 2 + 1) 3

{Resf (z)}z=2i = lim (z − 2i) z→2i

 I = πi

z2 i = 2 (z + i)(z − i)(z + 4) 6

i i − 6 3

 =

π . 6

Si noti che in questo esempio, e nei successivi esempi 2 e 3, l’integrando `e positivo; se il risultato trovato fosse un numero negativo (o peggio immaginario) si sarebbe certo commesso un errore di segno (o dimenticato un fattore i). Esempio 2 Z

∞

I= −∞

dx , 1 + x2n

f (z) =

n intero positivo

1 1 + z 2n

|z|→∞

∼

1 z 2n

Vale il caso 1). Chiudiamo il cammino di integrazione in Im z > 0: I I = lim

R→∞

CR

dz . 1 + z 2n

I poli di f (z) sono dati da 1

1 + z 2n = 0 −→ z 2n = −1 −→ z = (−1) 2n . Quanti poli giacciono nel semipiano Im z > 0? Poich´e −1 si pu`o rappresentare come − 1 = ei(π+2kπ) con k intero, i poli saranno z = zk = eiπ

2k+1 2n

= eiθk

con θk =

2k + 1 π 2n 54

cio`e π

3π

π

z0 = ei 2n , z1 = ei 2n , z−1 = e−i 2n , etc. I poli zk giacciono nel semipiano Im z > 0 se 0 < θk < π, ovvero se 0
0 57

Figura 1.20: Chiusura del cammino che aggira l’origine nel semipiano superiore (a) ed inferiore (b)

e Im z < 0, rispettivamente. Pertanto si possono chiudere i cammini di integrazione nelle curve γ1 e γ2 (vedi Figura 1.20). I iz I −iz  e e 1 dz − dz . I= 4i γ1 z γ2 z Si noti che la curva γ2 `e percorsa in senso orario. Ora, il primo integrale `e nullo per il teorema di Cauchy e il secondo si calcola con il teorema dei residui, tenendo conto del cambiamento di segno necessario perch`e la curva γ2 `e percorsa in senso orario: 1 I=− 4i

I γ2

  π e−iz 1 e−iz = . dz = + 2πi Res z 4i z z=0 2

` facile verificare che lo stesso risultato si ottiene integrando su C2 . E ii) Z  Z 1 eiz e−iz I= dz − dz . 4i C1 z C1 z Cambiamo variabile nel secondo integrale: z → −z ,

C1 → −C2

Allora 1 I= 4i

Z C1

eiz dz − z

Z −C2

eiz dz z



58

1 = 4i

Z

Z  +

C1

C2

eiz dz . z

(1.55)

Ma Z

Z −

C1

I

Z

=− C2

−→ γ

Z =

C2

I +

C1

, γ

dove γ `e una curva chiusa che circonda l’origine. Pertanto  Z I iz  eiz e 1 2 dz + dz . I= 4i C1 z γ z

(1.56)

Ora, Z C1

eiz dz = 0 z

per il lemma di Jordan (applicabile in Im z > 0) e per il teorema di Cauchy, e   I iz e eiz dz = 2πi Res = 2πi . z z=0 γ z Sostituendo infine nella (1.56) si ottiene I=

1.6.5

π . 2

Singolarit` a sul cammino di integrazione

A differenza di quello in (1.55) l’integrale Z ∞ cos x I= dx x −∞

(1.57)

ha una singolarit`a sul cammino d’integrazione e non `e definito. Nel caso in questione, e pi` u generalmente per integrali logaritmicamente divergenti con singolarit`a 1/(x − x0 ), si pu`o introdurre il valore principale P dell’integrale (o PV), definito da Z −  Z ∞ Z ∞ cos x cos x cos x P dx = lim dx + dx (1.58) →0 x x x −∞ −∞  che risulta finito, per via della cancellazione esatta della singolarit`a a destra dell’origine con quella (negativa) a sinistra dell’origine. Nel caso specifico il valore principale `e nullo, perch`e i due integrali in (1.58) si cancellano: Z − Z − Z ∞ cos x cos(−x) cos x dx = d(−x) = − dx . (1.59) x x −∞ −∞ (−x) 

59

Si pu`o anche attribuire all’integrale (1.57) un significato deformandone il cammino d’integrazione sul piano complesso in modo da evitare la singolarit`a aggirandola in uno dei due modi in Fig.1.19, per es.:  Z Z  iz cos z 1 e−iz e I= dz = + dz . z 2 C1 z z C1 Chiudendo poi in cammino d’integrazione sul semipiano Imz > 0(< 0) per eiz (e−iz ) si ottiene I iz I −iz  e e 1 dz + dz = −iπ I= 2 γ1 z γ2 z dove abbiamo usato (1.55). Se si sceglie invece C2 si ottiene I = +iπ. La parte reale `e nulla e coincide con il valor principale. E’ importante notare che l’integrale sul cammino C1 `e identico a quello ottenuto su una retta parallela all’asse reale e posta i sopra ad esso, perch`e in tutti i punti, tranne nell’intorno dell’origine, si pu`o mandare  a zero. Si noti anche che la deformazione del cammino in C1 o C2 `e equivalente allo spostamento della singolarit`a sotto o sopra l’asse reale di una quantit`a infinitesima, e cio`e Z ∞ Z cos x cos z dz = dx z −∞ x ∓ i C1,2 con  > 0. In generale, l’integrale Z

∞

−∞

f (x) dx x − x0

(1.60)

dove f (x) `e non nulla in x0 , regolare in R, e tale da assicurare la convergenza dell’integrale per x → ∞, pu`o essere trattato nello stesso modo: Z ∞ Z ∞ f (x) f (x) dx = P dx ± iπf (x0 ) (1.61) −∞ x − x0 ∓ i −∞ x − x0 dove il valore principale `e definito in maniera analoga alla (1.58) e il valore f (x0 ) emerge dal calcolo del residuo in z = x0 (nell’esempio (1.57) cos z|z=0 = 1). In termini di distribuzioni (che studieremo pi` u avanti) si scrive anche 1 1 =P ± iπ δ(x − x0 ) x − x0 ∓ i x − x0

60

(1.62)

Figura 1.21: Proiezione stereografica della sfera sul piano complesso.

1.7

Studio del punto all’infinito

Una sfera di Riemann (vedi figura) `e topologicamente equivalente al piano complesso esteso al punto all’infinito: C = C ∪ {∞}; a ogni punto sulla sfera corrisponde infatti un unico punto sul piano complesso. Al polo Nord della sfera corrisponde il punto all’infinito, ∞, che ha argomento indefinito e modulo +∞. L’estensione di C a C `e un esempio di compattificazione. Il comportamento della funzione f (z) per z → ∞ si studia effettuando il cambiamento di variabile 1 t= (1.63) z−a per un opportuno a ∈ C, che generalmente si prende uguale a zero, e valutando il comportamento della funzione φ(t) = f (a + 1/t) per t → 0. La sostituzione (1.63) manda un intorno circolare (di raggio ) dell’origine nel piano complesso di t in un intorno dell’infinito IΩ (∞), cio`e nell’esterno di un cerchio di raggio Ω = 1/ centrato in a. Per esempio, se t = 0 `e un polo di ordine n di φ(t), z = ∞ `e un polo di ordine n di f (z); se t = 0 `e uno zero di ordine n di φ(t), z = ∞ `e uno zero di ordine n di f (z), eccetera. Esempi • La funzione f (z) =

1 z

`e regolare all’infinito e ivi ha uno zero semplice.

• La funzione f (z) = z 2 ha un polo doppio all’infinito. • La funzione f (z) = ez ha una singolarit`a essenziale all’infinito, cos`ı come le funzioni sin z e analoghe. • La funzione f (z) = sin1 z ha poli semplici nei punti zk = kπ con k intero qualsiasi; quindi in ogni intorno del punto all’infinito cade almeno un polo (in realt`a ne cadono infiniti): l’infinito non `e una singolarit`a isolata, ma un punto di accumulazione di poli. 61

Naturalmente, se f (z) `e regolare all’infinito pu`o essere sviluppata in serie di Taylor in un intorno dell’infinito IΩ (∞), cio`e all’esterno di un cerchio, centrato in un punto a scelto secondo convenienza (spesso a = 0), e di raggio Ω tale che all’esterno del cerchio la f (z) non abbia singolarit`a. Tale serie si ottiene sviluppando in serie di Taylor la funzione φ(t) = f (a + 1/t) nell’intorno del punto t = 0, tornando poi alla variabile originaria z con la sostituzione t = 1/(z −a); lo sviluppo di Taylor nell’intorno del punto all’infinito conterra’ quindi solo potenze negative di z − a, oltre alla potenza nulla. Per esempio lo sviluppo (1.32) della funzione e1/z , che abbiamo gi`a visto essere lo sviluppo di Laurent nell’intorno della singolarit`a essenziale z = 0, pu`o anche essere letto come lo sviluppo di Taylor nell’intorno del punto regolare z = ∞. Discorso analogo per lo sviluppo di Laurent; solo che stavolta la parte principale dello sviluppo (cio`e quella singolare) conterr`a solo potenze positive di (z −a), in numero finito o infinito a seconda se il punto all’infinito `e un polo o una singolarit`a essenziale. Per ogni funzione intera lo sviluppo di Taylor f (z) =

∞ X

an z n

(1.64)

n=0

nell’intorno dell’origine pu`o anche essere letto come sviluppo di Laurent intorno all’infinito; quindi: • se ci sono infiniti an 6= 0 l’infinito `e una singolarit`a essenziale di f (z); • se an 6= 0 e al = 0, ∀l > n, f (z) `e un polinomio di grado n e l’infinito `e un polo di ordine n (per n 6= 0) o `e regolare (per n = 0). Ne segue anche che: • una funzione regolare in tutto C e anche all’infinito `e necessariamente una costante (in accordo con il teorema di Liouville - vedi Appendice B).

1.7.1

Esempi

Esempio 1: la funzione f (z) = ez `e regolare in z = 0. Infatti, lo sviluppo in serie che definisce la funzione esponenziale

z

e =

∞ X zk k=0

k!

ha solo potenze positive (sviluppo di Taylor intorno a z = 0). La stessa serie pu`o essere letta come sviluppo di Laurent attorno alla singolarit`a essenziale z = ∞. 62

Esempio 2: la funzione f (z) = e−1/z

2

ha una singolarit`a essenziale in z = 0. Infatti, lo sviluppo in serie che definisce la funzione esponenziale −1/z 2

e

=

∞ X (−1/z 2 )k

k!

k=0

=

∞ X (−1)k k=0

k!

z −2k

ha un numero infinito di potenze negative. La stessa serie pu`o essere letta come sviluppo di Taylor attorno al punto regolare z = ∞; essa non contiene infatti potenze positive di z; pertanto f (z) `e analitica in z = ∞. Esempio 3: consideriamo la funzione

f (z) = ze

−1/z

=z

∞ X (−1/z)k

k!

k=0

=

∞ X (−1)k k=0

k!

z

−k+1

1 X

0

(−1)k 0 =− zk . 0 (−k + 1)! k0 =−∞

La serie ha un numero infinito di potenze negative e quindi il punto z = 0 `e una singolarit`a essenziale. Studiamo z = ∞: la serie contiene una potenza positiva (la prima) di z, quindi la funzione ha un polo di ordine 1 in z = ∞. Esempio 4: consideriamo la funzione f (z) = ez/(1−z) . Poniamo z 0 = z − 1: ∞

0

0

0

f (z) = e−(1+z )/z = e−1/z e−1 =

∞

1X (z − 1)−k 1 X (−1/z 0 )k = (−1)k e k=0 k! e k=0 k!

La serie ha un numero infinito di potenze negative e quindi il punto z = 1 (z 0 = 0) `e una singolarit`a essenziale. Per z → ∞ (z 0 = ∞) la funzione ammette limite (uguale a e−1 ) e quindi il punto all’infinito `e regolare; la serie che abbiamo scritto, che `e di Laurent attorno al punto z = 1, pu`o anche essere letta come serie di Taylor nell’intorno dell’infinito. Esempio 5: sia f (z) = ez−1/z = ez e−1/z . I punti z = 0 e z = ∞ sono singolarit`a essenziali. 63

Figura 1.22: Curva che contiene tutte le singolarit`a al finito della funzione f (z).

1.7.2

Calcolo del residuo nel punto all’infinito

Per valutare il residuo di una funzione f (z) in z = ∞ supponiamo che esista una curva di Jordan γ che contenga al suo interno tutte le singolarit`a al finito di f (z) (per esempio una circonferenza c di raggio sufficientemente grande - Figura 1.22- ) Allora nel punto all’infinito la funzione f (z) o `e regolare, o ha una singolarit`a isolata. In entrambi i casi definiamo il residuo all’infinito come: I 1 f (z)dz , (1.65) {Resf (z)}z=∞ = − 2πi γ dove l’integrale `e calcolato percorrendo come al solito la curva γ in senso antiorario; il segno − ricorda che per avere z = ∞ al suo interno la curva γ dovrebbe essere percorsa in senso orario8 . Sostituendo nella definizione (1.65) lo sviluppo in serie di Laurent (o di Taylor) della f (z) attorno al punto all’infinito, e ricordando l’integrale (1.18), si ricava che il residuo all’infinito `e dato dal coefficiente, cambiato di segno, della potenza 1/(z − a). Per esempio, il residuo all’infinito della funzione regolare all’infinito f (z) = 1/z vale −1, mentre quello della funzione f (z) = z (che ha un polo semplice all’infinito) `e nullo. Una conseguenza immediata di quanto abbiamo detto `e che una funzione pari ha sempre residuo nullo all’infinito (sempre che abbia senso definirlo), poich´e il suo sviluppo, di Taylor o di Laurent, in potenze di z non potr`a contenere il termine 1/z; lo stesso succede per una funzione che all’infinito sia O( z12 ). 8

Ricordiamo che un punto z0 si definisce interno ad una curva γ se, immaginando di percorrere γ nel senso di percorrenza indicato, z0 viene lasciato a sinistra.

64

Un altro modo per calcolare il residuo all’infinito si basa sul calcolo diretto dell’integrale (1.65) mediante il cambiamento di variabile: 1 z= , t

(1.66)

che manda z → ∞ in t → 0. Si vede subito che una circonferenza c di raggio R centrata nell’origine del piano z, di equazione |z| = R, viene trasformata in un’analoga circonferenza c0 di raggio 1/R nel piano t di equazione |t| = 1/R. Se c `e percorsa in senso antiorario, c0 sar`a percorsa in senso orario; infatti quando la fase φ di z = Reiφ cresce, quella di t = 1/R e−iφ diminuisce. La circonferenza cR viene quindi “mappata” dalla trasformazione (1.66) in una circonferenza c01/R percorsa in senso opposto. Di conseguenza: I 1 f (z)dz {Resf (z)}z=∞ = − 2πi c I 1 1 dz = + f ( ) dt . 2πi c0 t dt Ora, dz/dt = −1/t2 , e quindi {Resf (z)}z=∞

I   1 1 1 = − f dt 2πi c0 t t2      1 1 = − Res f . t t2 t=0

(1.67)

Si noti che il residuo di f (z) in z = ∞ non `e uguale al residuo di f (1/t) in t = 0: {Resf (z)}z=∞ 6= {Resf (1/t)}t=0 . N.B. Esistono funzioni che, pur essendo regolari in z = ∞, hanno residuo non nullo all’infinito. Per esempio la funzione

f (z) =

1 z

`e regolare in z = ∞ (perch´e la funzione f (1/t) = t `e uguale a 0 in t = 0) ma il suo residuo, calcolato tramite la (1.67), vale 

1 Res z

 z=∞

   I 1 1 1 = − Res t 2 =− dt = −1 , t 2πi c0 t t=0

come abbiamo gi`a visto. L’interesse principale nel definire il residuo all’infinito sta nel seguente: 65

∆ Teorema 14: se una funzione analitica f (z) possiede solo singolarit`a isolate in tutto il piano complesso, punto all’infinito compreso, la somma di tutti i suoi residui, compreso l’eventuale residuo all’infinito, `e zero. Dimostrazione. Sia γ una curva di Jordan che non passa per alcuna singolarit`a di f (z). Allora, per il teorema dei residui (1.39), si ha I X f (z)dz = +2πi {Resf (z)} γ

interni

I f (z)dz = −2πi γ

X

{Resf (z)} ,

esterni

da cui si ottiene, sottraendo membro a membro, X {Resf (z)} = 0 .

(1.68)

tot

[q.e.d.] La verifica pi` u immediata di questo teorema `e data dalla solita funzione f (z) = 1/z che ha residuo +1 nell’origine e −1 all’infinito; conviene richiamare questo esempio elementare ogni volta che non ci si ricordi con quale segno si debba prendere il coefficiente della potenza 1/(z − a) per calcolare il residuo all’infinito. Esempio 1 A volte pu`o essere conveniente usare l’eq. (1.68) per semplificare il calcolo di integrali in campo complesso. Per esempio l’integrale I z3 dz con C = {z, |z| = 1} (1.69) 4 C 2z + 1 richiederebbe di valutare i 4 residui interni alla curva C, nei punti zi soluzioni di z 4 = −1/2. Utilizzando invece il teorema (1.68) si ha semplicemente   I 1 t13 z3 z3 = +2πi lim 2 2 dz = −2πi Res 4 4 t→0 t 4 + 1 2z + 1 z=∞ C 2z + 1 t = iπ . (1.70) Ancor pi` u semplicemente si trova che il residuo all’infinito dell’integrando `e −1/2 guardando allo sviluppo: z3 1 1 = + O( ) 2z 4 + 1 2z z2

66

Esempio 2 Il teorema 14 permette a volte di calcolare pi` u facilmente il residuo di una funzione in una singolarit`a essenziale. Per esempio il calcolo del residuo della funzione f (z) =

sin(π/z) z−2

(1.71)

nella singolarit`a essenziale z = 0 `e {Resf (z)}z=0 = − {Resf (z)}z=2 == − lim sin z→2

π = −1 , z

dove si `e tenuto conto che f (z) = O( z12 ) per z → ∞ e quindi {Resf (z)}z=∞ = 0. Invece il calcolo diretto `e pi` u complicato: #)
∞ ∞ π 2k+1 1 X  z l X Res − (−1)k z 2 l=0 2 k=0 (2k + 1)!

( {Resf (z)}z=0 =

"

z=0

∞ X

k

2k+1

= −

(−1) π δ l+1 l−2k−1,−1 (2k + 1)! 2 l,k=0

= −

∞ X (−1)k  π 2k+1 π = − sin = −1 . (2k + 1)! 2 2 k=0

∆ Corollario del Teorema 14: ogni funzione intera f (z) ha residuo nullo all’infinito. Dimostrazione. L’infinito pu`o essere punto regolare di f (z) (allora f (z) `e costante Teorema di Liouville, Appendice B) o singolarit`a isolata; in entrambi i casi ha senso definire il residuo all’infinito. Poich`e la somma dei residui fa zero e non ci sono singolarit`a al finito, si deduce che necessariamente il residuo all’infinito `e nullo. In alternativa, basta vedere che lo sviluppo (1.64) di f (z) in serie di Laurent nell’intorno dell’infinito non contiene la potenza z −1 .

67

1.8

Le funzioni ln z e z α nel piano complesso

La funzione logaritmo w = ln z `e definita nel campo complesso ∀z 6= 0 dalla equazione ew = z ,

(1.72)

ovvero eRe w eiIm

w

= |z|eiarg

z

(1.73)

da cui segue, prendendo il modulo di ambo i membri, eRe

w

= |z| ⇒ Re w = ln |z| ,

(1.74)

dove il logaritmo del numero positivo |z| `e quello definito in campo reale. Sostituendo nella (1.73) si ottiene eiIm w = eiarg z , (1.75) la cui soluzione generale `e Im w = arg z + 2πn , ∀n ∈ Z .

(1.76)

Si rimuove l’ambiguit`a, insita nella stessa definizione di arg z, fissando il valore di n (per esempio n = 0) e scegliendo un intervallo di ampiezza 2π in cui far variare arg z, come discusso nel par.1.1.2. Quindi ln z = ln |z| + i arg z .

(1.77)

La funzione logaritmo `e perci`o completamente definita solo se si specifica in che intervallo varia arg z ed `e discontinua su una semiretta (taglio) uscente dall’origine del piano complesso, perch´e tale `e la funzione arg z, come si `e visto nel paragrafo 1.1.2. L’origine `e perci`o una singolarit` a non isolata della funzione logaritmo detta punto di diramazione (branching point); lo stesso dicasi per il punto all’infinito. La funzione z α , con α ∈ C, si definisce come z α = eα ln z

(1.78)

` facile e, salvo che per α ∈ N, soffre degli stessi problemi della funzione logaritmo9 . E dimostrare che d ln z 1 = , ∀z 6= 0 (1.79) dz z e quindi anche dz α = αz α−1 , ∀α ∈ C . (1.80) dz

9

Per α ∈ N non ci sono ambiguit` a poich´e eN (ln z+2πin) = eN ln z .

68

Capitolo 2 Equazioni differenziali in C 2.1

Equazioni differenziali ordinarie II ordine

La forma pi` u generale di equazione differenziale ordinaria del II ordine omogenea `e A(z)u00 (z) + B(z)u0 (z) + C(z)u(z) = 0 .

(2.1)

Dividendo per A(z) (supposto diverso da zero, altrimenti l’equazione sarebbe del I ordine) si ottiene la cosiddetta forma standard u00 (z) + P (z)u0 (z) + Q(z)u(z) = 0 .

(2.2)

Note due soluzioni dell’equazione omogenea `e sempre possibile risolvere, almeno in linea di principio, l’equazione inomogenea u00 (z) + P (z)u0 (z) + Q(z)u(z) = f (z) . Condizione necessaria e sufficiente affinch`e due soluzioni u1 (z) e u2 (z) della (2.3) siano linearmente indipendenti `e che il wronskiano differisca da zero, ovvero u1 u2 6= 0 W (z) = det 0 u1 u02 Si noti che il wronskiano `e sempre nullo o sempre diverso da zero. Di conseguenza due soluzioni che si annullano in z0 sono la stessa soluzione. Soluzioni linearmente indipendenti non hanno zeri in comune. Punti regolari e singolari di una equazione differenziale Consideriamo la forma (2.3) di un’equazione differenziale del II ordine omogenea. Le propriet`a delle soluzioni dipendono dal comportamento delle funzioni P (z) e Q(z) nel campo complesso; se esse sono regolari nel punto z = z0 , il punto z0 si dice punto 69

regolare, o ordinario, dell’equazione differenziale e qualunque soluzione `e regolare in z0 . Altrimenti il punto z0 si dice punto singolare dell’equazione differenziale poich`e generalmente le soluzioni saranno ivi singolari. I punti singolari sono a loro volta classificati in due categorie: singolarit` a fuchsiane, o regolari, e singolarit` a essenziali, o irregolari. Il punto singolare z0 si definisce punto singolare fuchsiano (dal nome del matematico Fuchs) se in z → z0 la funzione P (z) ha al pi` u un polo semplice e Q(z) al pi` u un polo doppio; quindi le funzioni (z − z0 )P (z) e (z − z0 )2 Q(z) rimangono finite per z → z0 : lim (z − z0 )P (z) = p0

z→z0

lim (z − z0 )2 Q(z) = q0 ,

z→z0

con p0 e q0 finiti; `e possibile che uno o anche entrambi siano nulli. Se invece per esempio P (z) diverge pi` u velocemente di 1/(z − z0 ), in modo tale che (z − z0 )P (z) tenda a infinito per z → z0 , oppure se Q(z) diverge pi` u velocemente di 1/(z − z0 )2 , 2 in modo tale che (z − z0 ) Q(z) tenda a infinito per z → z0 , il punto z0 `e un punto singolare irregolare, o essenziale. Queste definizioni valgono per tutti i valori finiti di z0 . Lo studio del punto z → ∞ verr`a trattato separatamente in un prossimo paragrafo.

Esempi Elenchiamo alcuni esempi di equazioni differenziali ordinarie del II ordine e studiamone le singolarit`a al finito. 1) Equazione dell’oscillatore armonico semplice: u00 + ω 2 u = 0

(2.3)

P (z) = 0 , Q(z) = ω 2 L’equazione `e ovunque regolare al finito. 2) Equazione di Legendre: (1 − z 2 )u00 − 2zu0 + αu = 0

(2.4)

α 2z , Q(z) = 1 − z2 1 − z2 L’equazione ha due punti singolari fuchsiani in z = ±1. Infatti sia P (z) che Q(z) hanno un polo semplice in z = ±1: P (z) = −

lim (z − (±1))P (z) = 1 = p0

z→±1

lim (z − (±1))2 Q(z) = 0 = q0 .

z→±1

70

3) Equazione di Bessel: z 2 u00 + zu0 + (z 2 − α2 )u = 0

(2.5)

1 α2 , Q(z) = 1 − 2 z z L’equazione ha una singolarit`a di tipo fuchsiano in z = 0 con p0 = 1 e q0 = −α2 . P (z) =

4) Equazione di Laguerre zu00 + (1 − z)u0 + au = 0

(2.6)

1 a − 1 , Q(z) = z z L’equazione ha una singolarit`a di tipo fuchsiano in z = 0. P (z) =

5) Equazione di Hermite: u00 − 2zu0 + 2αu = 0

(2.7)

P (z) = −2z , Q(z) = 2α L’equazione `e regolare al finito. 6) Equazione di Chebyshev: (1 − z 2 )u00 − zu0 + n2 u = 0

(2.8)

n2 z , Q(z) = 1 − z2 1 − z2 L’equazione ha due punti singolari fuchsiani in z = ±1. P (z) = −

7) Equazione ipergeometrica: z(z − 1)u00 + [(1 + a + b)z − c]u0 + abu = 0 P (z) = −

(2.9)

(1 + a + b)z − c ab , Q(z) = z(z − 1) z(z − 1)

L’equazione ha due punti singolari fuchsiani in z = 0 e z = 1. 8) Equazione ipergeometrica confluente: zu00 + (c − z)u0 − au = 0 c−z a , Q(z) = − z z L’equazione ha un punto singolare fuchsiano in z = 0. P (z) = −

71

(2.10)

2.1.1

Soluzione nell’intorno di un punto regolare

Se z0 `e un punto ordinario di un’equazione differenziale nella forma standard, le solu` allora possibile cercare una soluzione che abbia zioni sono certamente regolari in z0 . E la forma di uno sviluppo in serie di Taylor intorno al punto z0 , u(z) =

∞ X

ck wk ,

(2.11)

k=0

con w ≡ z − z0 , e determinare i coefficienti ck mediante la sostituzione della serie nell’equazione differenziale. Poich´e P (z) e Q(z) sono analitiche in z0 valgono gli sviluppi in serie di Taylor ∞ X

P (z) =

l=0 ∞ X

Q(z) =

pl w l

(2.12)

ql w l .

(2.13)

l=0

Sostituendo le (2.12) e (2.13) e le derivate di u(z) 0

u (z) = u00 (z) =

∞ X l=1 ∞ X

lcl w

l−1

=

∞ X

(n + 1)cn+1 wn

l(l − 1)cl wl−2 =

∞ X

(n + 1)(n + 2)cn+2 wn

(2.15)

n=0

l=2

nell’equazione differenziale (2.3) si ottiene # " n ∞ n X X X cl qn−l wn = 0 . (l + 1)cl+1 pn−l + (n + 1)(n + 2)cn+2 + n=0

(2.14)

n=0

(2.16)

l=0

l=0

Una serie di potenze `e nulla se e solo se tutti i suoi coefficienti sono nulli, e pertanto l’espressione in parentesi quadra deve annullarsi, ∀n. Si ottengono cos`ı delle relazioni di ricorrenza che permettono di determinare i coefficienti ck una volta noti c0 e c1 . Infatti per n = 0 si ottiene: 2c2 + c1 p0 + c0 q0 = 0 ;

(2.17)

6c3 + c1 p1 + 2c2 p0 + c0 q1 + c1 q0 = 0

(2.18)

per n = 1: e cos`ı via. Le costanti arbitrarie c0 e c1 , fissate dalle condizioni iniziali c0 = u(z0 ) c1 = u0 (z0 ) , 72

(2.19) (2.20)

determinano univocamente la soluzione u(z). Se per esempio chiamiamo u1 la soluzione corrispondente a c0 = 1 e c1 = 0 e u2 quella corrispondente a c0 = 0 e c1 = 1, la soluzione generale dell’equazione differenziale sar`a u(z) = c0 u1 (z) + c1 u2 (z) ;

(2.21)

infatti u1 e u2 sono linearmente indipendenti, essendo il loro Wronskiano diverso da zero: 1 0 u1 u2 =1. = det W (z0 ) = det 0 0 1 u1 u02 z=z0 In generale si pu`o dimostrare che questo metodo fornisce sempre la soluzione generale nell’intorno di un punto regolare z0 e che, per valori generici di c0 e c1 il raggio di convergenza della serie `e uguale alla distanza fra z0 e la singolarit`a pi` u vicina dell’equazione differenziale (talvolta, ma solo per particolari valori di c0 e c1 , pu`o anche essere maggiore).

Esempi 1. L’ equazione dell’oscillatore armonico semplice u00 (z) + ω 2 u(z) = 0 ,

(2.22)

`e, come si `e detto, regolare per ogni z finito, in particolare per z = 0. Possiamo quindi cercare una soluzione del tipo ∞ X ck z k . u(z) = k=0

Sostituendo nella (2.16) z0 = 0, pi = 0 e qi = ω 2 δ1,0 si ottiene: ck+2 (k + 1)(k + 2) + ω 2 ck = 0

∀k ≥ 0 .

(2.23)

da cui segue la relazione di ricorrenza per i coefficienti ck : ck+2 = −

ω2 ck . (k + 1)(k + 2)

(2.24)

Dati i coefficienti c0 e c1 , che saranno determinati dalle condizioni al contorno, la (2.24) permette di costruire tutti i coefficienti delle potenze pari ω2 c0 2 ω2 (ω 2 )2 = − c2 = c0 (3)(4) 4! ω2 (ω 2 )3 = − c4 = − c0 (5)(6) 6! 2 n n (ω ) = (−1) c0 (2n)!

c2 = − c4 c6 c2n

73

e delle potenze dispari ω2 c1 (2)(3) ω2 (ω 2 )2 = − c3 = c1 (4)(5) 5! (ω 2 )3 ω2 c5 = − c1 = − (6)(7) 7! (ω 2 )n = (−1)n c1 . (2n + 1)!

c3 = − c5 c7 c2n+1 Pertanto la soluzione cercata `e u(z) = c0

∞ ∞ X (ωz)2n c1 X (ωz)2n+1 (−1)n + (−1)n (2n)! ω n=0 (2n + 1)! n=0

= c0 cos(ωz) + c01 sin(ωz) ,

(2.25)

che `e proprio, come noto, la soluzione dell’equazione (2.22). 2. L’equazione di Legendre (1 − z 2 ) u00 (z) − 2z u0 (z) + α u(z) = 0 ,

(2.26)

compare nella soluzione dell’equazione di Laplace in coordinate sferiche e in molte altre applicazioni. Poich`e il punto z = 0 `e un punto regolare dell’equazione, cercheremo una soluzione data dalla serie: u(z) =

∞ X

ck z k .

(2.27)

k=0

Per determinare i coefficienti calcoliamo le derivate 0

u (z) =

∞ X

kck z

00

k−1

u (z) =

k=0

∞ X

k(k − 1)ck z k−2

k=0

e sostituiamole nella (2.26): ∞ X

k(k − 1)ck z k−2 −

k=0

∞ X

ck [k(k − 1) + 2k − α] z k = 0 .

(2.28)

k=0

La prima sommatoria si pu`o riscrivere come segue (si noti che i termini k = 0, 1 sono nulli): ∞ X k=2

k(k − 1)ck z k−2 =

∞ X

0

(k 0 + 2)(k 0 + 1)ck0 +2 z k ;

k0 =0

74

l’equazione (2.28) diventa quindi: ∞ X

{(k + 2)(k + 1)ck+2 − ck [k(k + 1) − α]} z k = 0 .

k=0

Uguagliando a zero ogni coefficiente della serie di potenze si ottiene la relazione di ricorrenza: ck+2 = ck

k(k + 1) − α , (k + 2)(k + 1)

da cui si ricava per α generico −α c0 2 (6 − α)(−α) 6−α c2 = c0 = 12 4! 20 − α (20 − α)(6 − α)(−α) = c2 = c0 30 6!

c2 = c4 c6 etc... e

2−α c1 6 12 − α (12 − α)(2 − α) = c3 = c1 20 5! 30 − α (30 − α)(12 − α)(2 − α) = c5 = c1 42 6!

c3 = c5 c7 etc...

Quindi se scegliamo c0 = 1 e c1 = 0 tutti i coefficienti delle potenze dispari nella (2.27) sono nulli e la soluzione `e pari (u(z) = u(−z)), mentre per c0 = 0 e c1 = 1 la soluzione `e dispari (u(z) = −u(−z)). Notiamo anche che, poich´e il il raggio di convergenza della serie (2.27) `e ck lim =1, (2.29) k→∞ ck+2 ci aspettiamo almeno una singolarit`a sulla circonferenza |z| = 1: l’equazione ha infatti due punti singolari fuchsiani in z = ±1. Le soluzioni trovate valgono ∀α ∈ C. Ora, se e solo se α = n(n + 1), con n intero positivo o nullo, il coefficiente cn+2 `e nullo e cos`ı cn+4 = cn+6 = · · · = 0; la serie (2.27) si riduce cos`ı a un polinomio di grado n: Pn (z) =

n X k=0

75

ck z k

(2.30)

Figura 2.1: I primi 6 polinomi di Legendre. Non hanno zeri fuori da [−1, 1].

se n `e pari per c0 = 1 e c1 = 0, oppure se n `e dispari per c0 = 1 e c1 = 0. Per c0 e c1 generici la soluzione generale `e la combinazione lineare di un polinomio e una serie. I polinomi (2.30) (opportunamente normalizzati) si chiamano polinomi di Legendre e sono regolari in tutto il piano complesso. Si noti che la richiesta che u(z) sia finita in tutto l’intervallo [−1, 1] seleziona gli α = n(n + 1), in accordo con quanto si vedr`a in generale nel capitolo 5 a proposito degli autovalori di operatori differenziali. 3. L’equazione di Hermite u00 − 2z u0 + 2α u = 0

(2.31)

compare nello studio dell’oscillatore armonico quantistico ed `e regolare in z = 0. Cerchiamo una soluzione ∞ X u(z) = ck z k . (2.32) k=0

Questa, sostituita con le sue derivate nella (2.31), fornisce ∞ X

  ck k(k − 1)z k−2 − 2kz k + +2αz k = 0 .

k=0

76

(2.33)

Il primo termine della serie pu`o essere riscritto, cambiando l’indice di somma da k in k − 2, come visto in precedenza. Sostituendo nella (2.33) si ottiene ∞ X

z k [ck+2 (k + 2)(k + 1) + ck (2α − 2k)] = 0 ,

(2.34)

k=0

da cui si ricava la relazione di ricorrenza ck+2 = ck

2(k − α) . (k + 2)(k + 1)

(2.35)

L’eq. (2.35) mostra che la serie (2.32) ha raggio di convergenza infinito. Scegliendo c0 = 1, c1 = 0 oppure c0 = 1, c1 = 0 si ottengono soluzioni pari o dispari, come si `e visto per i polinomi di Legendre. Se α = n `e intero positivo o nullo, una delle due serie (quella pari se α `e pari, quella dispari se α `e dispari) si riduce a un polinomio di grado n, il polinomio di Hermite Hn .

2.1.2

Soluzione nell’intorno di un punto singolare fuchsiano

Esistono talvolta soluzioni particolari di un’equazione differenziale che sono regolari in un punto z0 singolare, come abbiamo gi`a visto nel caso dei polinomi di Legendre che sono regolari in z = ±1. Tuttavia, la soluzione generale non pu`o essere regolare in z0 singolare, e viceversa. Supponiamo infatti che ci siano due soluzioni u1 e u2 regolari in z e che esse siano linearmente indipendenti. Siccome u1,2 sono entrambe soluzioni, il sistema u001 (z) + P (z)u01 (z) + Q(z)u1 (z) = 0 u002 (z) + P (z)u02 (z) + Q(z)u2 (z) = 0 permette di ottenere P e Q algebricamente, come rapporto di determinanti nelle funzioni regolari ui , u0i e u00i (i = 1, 2). A denominatore c’`e il Wronskiano di u1 e u2 , ovunque diverso da zero perch´e u1 e u2 sono indipendenti. Ne consegue che P (z) e Q(z) sono regolari dove la soluzione generale `e regolare. Sotto quali condizioni `e possibile espandere in serie nell’intorno di un punto singolare? e che tipo di serie risulta? Vale il Teorema di Fuchs: se z0 `e un punto singolare fuchsiano, esiste sempre almeno una soluzione del tipo: u1 (z) = (z − z0 )

ρ

∞ X

ck (z − z0 )k ,

con c0 6= 0 .

(2.36)

k=0

La seconda soluzione o `e ancora della forma (2.36) oppure contiene anche un termine aggiuntivo du1 ln(z − z0 ), come vedremo nell’eq. (2.42). Le serie che compaiono nella soluzione hanno raggio di convergenza almeno uguale alla distanza fra z0 e la pi` u vicina singolarit`a dell’equazione differenziale. 77

Come si determina l’esponente ρ? Supponiamo che z0 sia un punto singolare fuchsiano. In questo caso le funzioni P (z) e Q(z) possono essere scritte come P∞ pl (z − z0 )l p(z) P (z) = = l=0 (2.37) z − z0 z − z0 P∞ l q(z) l=0 ql (z − z0 ) Q(z) = = , (2.38) (z − z0 )2 (z − z0 )2 dove le funzioni p(z) e q(z) sono regolari in z = z0 , e sono state quindi sviluppate in serie di Taylor intorno a z0 . Sostituendo ora le (2.36), (2.37) e (2.38) nell’equazione (2.3) e moltiplicando per (z − z0 )2 si ottiene: ∞ X

ck (ρ + k)(ρ + k − 1)(z − z0 )

k=0 ∞ X

+

ρ+k

+

∞ X

ck (ρ + k)

k=0

ck

k=0

∞ X

∞ X

pl (z − z0 )ρ+k+l

l=0

ql (z − z0 )ρ+k+l = 0 .

l=0

Uguagliamo ora a zero il coefficiente della potenza (z − z0 )ρ ; poniamo cio`e k = l = 0 nell’equazione precedente. Otteniamo cos`ı: c0 [ρ(ρ − 1) + ρp0 + q0 ] = 0 , ovvero, per c0 6= 0, ρ2 + (p0 − 1)ρ + q0 = 0 .

(2.39)

L’equazione (2.39), detta equazione indiciale o caratteristica dell’equazione differenziale (2.3), `e un’equazione di secondo grado in ρ e ha quindi due soluzioni, ρ1 e ρ2 . Per risolvere l’equazione differenziale occorre quindi risolvere l’equazione indiciale (2.39), dove p0 = lim (z − z0 )P (z) z→z0

e q0 = lim (z − z0 )2 Q(z) , z→z0

e ricavare gli indici ρ1 , ρ2 . Scelti gli indici in modo che Reρ1 ≥Reρ2 il teorema di Fuchs ci assicura che esiste sempre la soluzione particolare ρ1

u1 (z) = (z − z0 )

∞ X

ck (z − z0 )k ,

c0 6= 0

(2.40)

k=0

i cui coefficienti si possono determinare in modo univoco in funzione di c0 sostituendo la serie nell’equazione differenziale e ricavando delle relazioni di ricorrenza. Per risolvere completamente l’equazione differenziale occorre pero’ ricavare una seconda soluzione, linearmente indipendente dalla prima. Distinguiamo due casi 78

1) Se le due radici differiscono per un numero non intero, la seconda soluzione `e simile alla prima: ρ2

u2 (z) = (z − z0 )

∞ X

dk (z − z0 )k ,

d0 6= 0

(2.41)

k=0

2) Se le due radici ρ1 e ρ2 differiscono per un numero intero n ≥ 0 la seconda soluzione `e ρ2

u2 (z) = (z − z0 )

∞ X

dk (z − z0 )k + du1 (z) ln(z − z0 ) ,

(2.42)

k=0

dove d e i dk (per k 6= ρ1 − ρ2 )1 si determinano per sostituzione in funzione di d0 ; pu`o anche succedere che si ottenga d = 0 ma solo se ρ1 6= ρ2 .

2.1.3

Esempio: l’equazione di Bessel

L’equazione di Bessel z 2 u00 (z) + zu0 (z) + (z 2 − α2 )u(z) = 0

(2.43)

si incontra nella soluzione dell’equazione di Laplace in coordinate cilindriche e in molte altre applicazioni. Ha un punto singolare fuchsiano in z = 0. L’equazione indiciale `e ρ2 − α 2 = 0 , con soluzioni ρ1,2 = ±α. Se 2α ∈ / Z allora ρ1 − ρ2 ∈ / N ed entrambe le soluzioni sono della forma uρ (z) = z

ρ

∞ X

ck z k .

(2.44)

k=0

Sostituendo la (2.44) nella (2.43) si ottiene: ∞ X

ck (k + ρ)(k + ρ − 1)z

k+ρ

k=0

+

∞ X

ck (k + ρ)z

k+ρ

+

k=0

∞ X

ck z

k=0

k+ρ+2

−ρ

2

∞ X

ck z k+ρ = 0

k=0

da cui c1 (1 + 2ρ)z 1+ρ +

∞ X

ck k(k + 2ρ)z k+ρ +

k=2

∞ X

ck z k+ρ+2 = 0 .

(2.45)

k=0

1

dn pu` o essere scelto arbitrariamente poich´e la differenza fra due soluzioni del tipo u2 con diversi valori di dn `e proporzionale alla prima soluzione u1 di (2.40).

79

Se nella prima sommatoria effettuiamo il cambiamento di indice k → k − 2 otteniamo: ∞ X 1+ρ c1 (1 + 2ρ)z + [ck+2 (k + 2)(k + 2 + 2ρ) + ck ]z k+ρ+2 = 0 , (2.46) k=0

da cui (essendo α 6= −1/2) c1 = 0

(2.47) ck . (2.48) ck+2 = − (k + 2)(k + 2 + 2ρ) La serie ha quindi solo potenze pari. Notare che se 2α fosse un intero n, diciamo positivo, la (2.48) non avrebbe senso per ρ2 = −α = −n/2 e per k = n − 2, impedendo cos`ı di trovare la seconda soluzione nella forma (2.44) se n `e pari. Dalla relazione di ricorrenza (2.48) ricaviamo infine che tutti i coefficienti di indice dispari sono nulli, mentre i coefficienti pari sono: c0 c2 = − 2(2 + 2ρ) c0 c2 = c4 = − 4(4 + 2ρ) 2 · 4(2 + 2ρ)(4 + 2ρ) c0 c4 =− c6 = − 6(6 + 2ρ) 2 · 4 · 6(2 + 2ρ)(4 + 2ρ)(6 + 2ρ) c0 . c2n = (−1)n 2 · 4 · 6...2n(2 + 2ρ)(4 + 2ρ)(6 + 2ρ)...(2n + 2ρ) Le funzioni di Bessel Jα (z) sono definite come segue: Jα (z) = Nα uα (z) ,

(2.49) 2

dove Nα `e un’opportuna costante di normalizzazione. Nel caso particolare α = 1/4 le due soluzioni dell’equazione di Bessel sono   √ z2 z4 J1/2 (z) = N1/2 z 1 − + + ··· 3! 5!   N1/2 sin z z3 z5 + + · · · = N1/2 √ . = √ z− (2.50) 3! 5! z z e cos z J−1/2 (z) = N−1/2 √ . (2.51) z Notare che ρ1 −ρ2 = 1 ma non c’`e il termine con il logaritmo (d = 0). Si pu`o dimostrare che per tutti gli α semi-interi le Jα sono esprimibili tramite funzioni trigonometriche. Per esempio:   N3/2 sin z J3/2 (z) = √ − cos z (2.52) z z  N−3/2  cos z J−3/2 (z) = √ − − sin z . (2.53) z z 80

2.1.4

Studio del comportamento all’infinito

Il comportamento delle soluzioni dell’equazione differenziale u00 (z) + P (z)u0 (z) + Q(z)u(z) = 0

(2.54)

nell’intorno del punto z → ∞ si studia effettuando il cambiamento di variabile t = z1 e studiando il comportamento di u( 1t ) per t → 0. Che forma assume l’equazione (2.54) in termini di t? du(1/t) du(1/t) dt = −t2 dt dz dt 0 du (1/t) du(1/t) d2 u(1/t) dt u00 (z) = = 2t3 + t4 . dt dz dt dt2 u0 (z) =

Sostituendo nella (2.54) si ottiene t4

d2 u du + (2t3 − t2 P ) + Qu = 0 2 dt dt

ovvero, in forma standard, d2 u + dt2



2 P − t t2



du Q + 4u = 0 . dt t

(2.55)

Il punto t = 0 (z → ∞) `e un punto ordinario se le funzioni   1 2 P (1/t) P˜ − = t t t2   Q(1/t) ˜ 1 Q = t t4

(2.56) (2.57)

sono regolari in t = 0, ovvero 2 P (z) = + O z



1 z2



 ,

Q(z) = O

1 z4

 per z → ∞ .

(2.58)

Le condizioni necessarie e sufficienti affinch`e il punto z = ∞ sia fuchsiano sono che le funzioni   1 ˜ (2.59) p˜(t) = tP t   1 2˜ q˜(t) = t Q (2.60) t siano regolari in t = 0, ovvero   1 P (z) = O , z

 Q(z) = O 81

1 z2

 per z → ∞ .

(2.61)

Se l’infinito `e un punto ordinario, si pu`o cercare una soluzione come sviluppo in serie di Taylor intorno a z = ∞: u(z) = u(1/t) =

∞ X

k

ck t =

k=0

∞ X

ck z −k

k=0

e determinare i coefficienti ck tramite le relazioni di ricorrenza che si ricavano dalla sotituzione della serie nell’equazione differenziale. Se invece l’infinito `e un punto singolare fuchsiano, si cercheranno due soluzioni particolari linearmente indipendenti, del tipo: u1 (z) = u1 (1/t) = tρ1

∞ X

ck tk = z −ρ1

k=0

∞ X

ck z −k ,

c0 6= 0

k=0

e  u2 (1/t) =

P k 6 n , d0 6= 0 tρ2 ∞ k=0 dk t P∞ ρ1k− ρ2 = ρ2 ρ1 − ρ2 = n , b0 6= 0 au1 (1/t) ln t + t k=0 bk t

(2.62)

ovvero  u2 (z) =

P −k ρ1 − ρ2 = 6 n , d0 6= 0 z −ρ2 ∞ k=0 dk z P −k b z ρ1 − ρ2 = n , b0 6= 0 . −au1 (z) ln z + z −ρ2 ∞ k=0 k

(2.63)

Gli esponenti ρ1 e ρ2 sono le soluzioni dell’equazione indiciale relativa all’equazione differenziale (2.55), cio`e ρ2 + (p˜0 − 1)ρ + q˜0 = 0 , dove  2 P (1/t) P (1/t) = lim t − = 2 − lim 2 t→0 t→0 t t t Q(1/t) Q(1/t) = lim t2 = lim . 4 t→0 t→0 t t2 

p˜0 q˜0

In termini della variabile z: p˜0 = 2 − lim zP (z) q˜0 =

z→∞ 2

lim z Q(z) .

z→∞

Detti ora p0 = q0 =

lim zP (z)

z→∞

lim z 2 Q(z) .

z→∞

82

l’equazione indiciale diventa ρ2 + (1 − p0 )ρ + q0 = 0 . Si noti il cambiamento di segno nel termine lineare rispetto all’equazione indiciale per singolarit`a al finito. I coefficienti ck , dk , bk e a nelle equazioni (2.62) si ottengono sostituendo le soluzioni nell’equazione differenziale e usando gli sviluppi ∞

P (z) =

1 X pn z n=0 z n

∞ 1 X qn Q(z) = 2 . z n=0 z n

(2.64) (2.65)

Le serie (2.62) convergono certamente all’esterno di un cerchio centrato nell’origine e che comprende al suo interno tutte le singolarit`a dell’equazione differenziale.

2.1.5

Esempi

Consideriamo le equazioni (2.3-2.10) e studiamone il comportamento per z → ∞. 1) Equazione dell’oscillatore armonico semplice: u00 + ω 2 u = 0 ω2 2 ˜ , Q(1/t) = 4 P˜ (1/t) = t t All’infinito l’equazione ha una singolarit`a irregolare. 2) Equazione di Legendre: (1 − z 2 )u00 − 2zu0 + αu = 0 2 2/t α ˜ P˜ (1/t) = − 2 , Q(1/t) = 4 t t −1 t − t2 All’infinito l’equazione ha una singolarit`a fuchsiana. 3) Equazione di Bessel: z 2 u00 + zu0 + (z 2 − α2 )u = 0 2 1 1 1 − α2 t2 ˜ P˜ (1/t) = − = , Q(1/t) = t t t t4 All’infinito l’equazione ha una singolarit`a irregolare. 83

4) Equazione di Laguerre zu00 + (1 − z)u0 + au = 0 2 t−1 a ˜ P˜ (1/t) = − 2 , Q(1/t) = 3 t t t All’infinito l’equazione ha una singolarit`a irregolare. 5) Equazione di Hermite: u00 − 2zu0 + 2αu = 0 2 2α 2 ˜ = 4 P˜ (1/t) = + 3 , Q(1/t) t t t All’infinito l’equazione ha una singolarit`a irregolare. 6) Equazione di Chebyshev: (1 − z 2 )u00 − zu0 + n2 u = 0 1 n2 2 ˜ , Q(1/t) = 2 2 P˜ (1/t) = + 2 t t(t − 1) t (t − 1) All’infinito l’equazione ha una singolarit`a fuchsiana. 7) Equazione ipergeometrica confluente: zu00 + (c − z)u0 − au = 0 2 ct − 1 a ˜ P˜ (1/t) = − , Q(1/t) =− 3 2 t t t All’infinito l’equazione ha una singolarit`a irregolare. 8) Equazione ipergeometrica: z(z − 1)u00 + [(1 + a + b)z − c]u0 + abu = 0 2 1 + a + b − ct ab ˜ P˜ (1/t) = − , Q(1/t) = 2 t t(1 − t) t (1 − t) All’infinito l’equazione ha una singolarit`a fuchsiana. 84

L’equazione ipergeometrica `e un esempio di equazione totalmente fuchsiana con tre punti singolari in 0, 1, ∞ i cui indici valgono rispettivamente (0, 1 − c), (0, c − a − b), (a, b); questa informazione si racchiude nel simbolo P di Riemann   1 ∞  0  0 0 a z P = .   1−c c−a−b b Per c 6= 0, −1, −2, · · · l’equazione ipergeometrica ammette una soluzione regolare nell’origine detta funzione ipergeometrica: F (a, b; c; z) =

∞ X (a)l (b)l l=0

l!(c)l

zl

(2.66)

dove (a)l ≡ a(a + 1) · · · (a + l − 1). L’equazione ipergeometrica `e particolarmente importante perch´e ogni equazione totalmente fuchsiana con 3 punti singolari pu`o essere ad essa ricondotta con un cambiamento di variabile indipendente del tipo w = αz+β e γz+δ a meno di potenze a fattore della soluzione.

85

Parte II Introduzione all’analisi armonica

86

Capitolo 3 Serie di Fourier 3.1

Introduzione

Per presentare l’argomento della seconda parte di questo corso iniziamo a discutere un problema fisico molto semplice ma molto significativo. Consideriamo il circuito oscillante in figura 3.1. Ricordando che le tensioni ai capi di un condensatore di capacit`a C, di una resistenza R e di una bobina di induttanza L sono date rispettivamente da q(t)/C, Ri(t) e Ldi/dt, dove q(t) `e la carica su una faccia del condensatore e i(t) = dq/dt la corrente, si ricava facilmente che la tensione in uscita u(t) `e legata a quella in entrata f (t) dall’equazione: du d2 u + RC + u(t) = f (t) , 2 dt dt che pu`o essere utile scrivere nella forma LC

(3.1)

Lt u(t) = f (t) , dove Lt `e l’operatore differenziale

Lt = LC

d2 d + RC + 1 . 2 dt dt

(3.2)

Se la tensione d’ingresso `e sinusoidale f (t) = V cos(ωt)

(3.3)

`e facile trovare una soluzione dell’equazione (3.1) della forma u(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt) . 87

(3.4)

Figura 3.1: Circuito oscillante.

Basta infatti sostituire (3.4) nell’eq.(3.1) per ottenere il sistema di due equazioni − ω 2 LCA + ωRCB + A = V −ω 2 LCB − ωRCA + B = 0

(3.5) (3.6)

nelle due incognite A e B e ricavare quindi 1 − ω 2 LC A= V ; (1 − ω 2 LC)2 + ω 2 R2 C 2

B=

(1 −

ωRC V . + ω 2 R2 C 2

ω 2 LC)2

(3.7)

Ponendo A = ρ cos α e B = ρ sin α, la (3.4) diventa:   u(t) = ρ cos(ωt − α) = Re ρei(ωt−α) . Ne segue che, introducendo l’ampiezza complessa U = A − iB = ρe−iα ,

(3.8)

la (3.4) pu`o anche scriversi nella forma: u(t) = Re(U eiωt ) .

(3.9)

La soluzione generale dell’eq. (3.1) si ottiene aggiungendo alla soluzione particolare (3.4) la soluzione generale dell’equazione omogenea associata all’eq. (3.1); noi tuttavia non ci occupiamo del transitorio, che tende esponenzialmente a zero per t → ∞ e che `e quindi trascurabile per tempi t molto pi` u grandi della costante di tempo L/R; in altre u elegantemente, parole, ci interessano solo le soluzioni periodiche dell’eq. (3.1). Pi` possiamo dire che noi intendiamo risolvere l’equazione: Lu = f , 88

(3.10)

dove l’operatore L `e definito non solo dalla sua espressione differenziale Lt di eq.(3.2), ma anche dal suo dominio, specificato dalle condizioni al contorno periodiche: u(t + T ) = u(t) , dove T = 2π/ω `e il periodo della funzione termine noto f (t). L’eq. (3.1) gode di una propriet`a molto importante, la linearit` a: Propriet` a P1: se u1 (t) `e soluzione dell’eq. (3.1) con termine noto f1 (t): LC

d2 u1 du1 + u1 (t) = f1 (t) + RC 2 dt dt

(3.11)

e analogamente u2 (t) soddisfa: LC

d2 u2 du2 + u2 (t) = f2 (t) + RC 2 dt dt

(3.12)

allora u(t) = α1 u1 (t) + α2 u2 (t)

(3.13)

sar`a soluzione dell’eq. (3.1) con f (t) = α1 f1 (t) + α2 f2 (t) ,

(3.14)

dove α1 e α2 sono costanti complesse qualsiasi. Per dimostrare la propriet`a P1 basta moltiplicare per α1 l’eq. (3.11) e per α2 l’eq. (3.12) e poi sommarle. La linearit`a dell’eq. (3.1) pu`o anche esprimersi dicendo che l’operatore differenziale Lt (3.2) `e lineare, cio`e che vale: Lt [α1 u1 (t) + α2 u2 (t)] = α1 Lt u1 (t) + α2 Lt u2 (t) .

(3.15)

La P1 suggerisce per esempio di scegliere come termine noto anzich´e la f (t) dell’eq. (3.3) la eω (t) = V eiωt , (3.16) dal momento che cos ωt = (eiωt + e−iωt )/2. Allora la soluzione dell’equazione du d2 u LC 2 + RC + u(t) = eω (t) dt dt

(3.17)

`e ancora pi` u immediata; infatti se si pone1 u(t) = U (ω)eiωt ≡ uω (t) , 1

(3.18)

Sia nelle incognite U e u(t) che nella funzione di entrata e(t) si `e esplicitamente ricordata la dipendenza dal parametro ω per motivi che diventeranno chiari fra poco (vedi eq. (3.23).

89

sostituendo (3.18) nell’eq. (3.17) si ottiene:   LC(iω)2 + RCiω + 1 U (ω)eiωt = V eiωt ,

(3.19)

da cui U (ω) =

V 1−

ω 2 LC

=

+ iωRC

V ZC , R + ZL + ZC

(3.20)

dove

1 (3.21) iωC sono le impedenze complesse dell’induttanza L e della capacit`a C. Usando poi l’identit`a di Eulero ZL (ω) = iωL ,

cos(ωt) =

ZC (ω) =

eiωt + e−iωt = Re eiωt , 2

(3.22)

si pu`o scrivere la f (t) di (3.3) come 1 [eω (t) + e−ω (t)] = Re eω (t) per V reale . (3.23) 2 Allora la propriet`a di linearit`a P1 ci permette di scrivere subito la soluzione dell’eq. (3.1) nella forma f (t) =

1 [uω (t) + u−ω (t)] = Re uω (t) (3.24) 2 con uω (t) dato dall’eq. (3.18)2 . Osservando che la U (ω) dell’eq. (3.20) coincide con la U di (3.8), si verifica subito che la soluzione (3.24) coincide con la soluzione (3.4). La propriet`a P1 ha anche una conseguenza molto pi` u importante e generale: u(t) =

Propriet` a P2: se “in qualche modo” si riesce a scrivere il termine noto dell’eq. (3.1) nella forma f (t) =

X

Vn eiωn t ,

(3.25)

n

allora sar`a possibile risolvere l’eq. (3.1) e la soluzione sar`a (sempre a meno del transitorio) ancora della stessa forma: u(t) =

X

Un eiωn t

(3.26)

n

Si `e usata l’identit` a U ∗ (ω) = U (−ω) che segue dalla (3.20); con ∗ indichiamo la complessa coniugazione. 2

90

con i coefficienti Un dati dalla Un =

Vn Vn ZC (ωn ) = . R + ZL (ωn ) + ZC (ωn ) 1 − ωn2 LC + iωn RC

(3.27)

Lo scopo della seconda parte di questo corso sar`a proprio di trovare il modo per esprimere ampie classi di funzioni f (t) nella forma (3.25); in linguaggio matematico possiamo dire che oggetto di questo corso `e la analisi armonica. L’analisi armonica `e uno strumento matematico di enorme importanza in fisica: infatti le equazioni differenziali lineari del secondo ordine (in particolare a coefficienti costanti ) intervengono in numerosissimi problemi in ogni campo della fisica, non solo per i circuiti RLC, ma ogni volta che si vogliano descrivere piccole oscillazioni attorno a una situazione di equilibrio. Inoltre l’analisi armonica, in particolare la trasformata di Fourier, gioca un ruolo fondamentale nella Meccanica Quantistica. ` utile osservare che alla radice del ruolo privilegiato che giocano le funzioni eiωt E nella soluzione dell’eq. (3.1) sta il fatto che esse sono autofunzioni dell’operatore differenziale Lt , cio`e che vale l’equazione Lt eiωt = λeiωt ,

(3.28)

λ = −LCω 2 + iRCω + 1 .

(3.29)

dove l’autovalore λ vale

Nel capitolo successivo vedremo che ulteriori specificazioni dell’operatore differenziale (le “condizioni al contorno”) faranno s`ı che non tutti i valori di ω siano ammissibili.

91

3.2

Funzioni periodiche e serie di Fourier

Una prima classe di funzioni per cui si pu`o effettuare l’analisi armonica (3.25) contiene le funzioni periodiche (di periodo T ), tali cio`e che f (t + T ) = f (t),

∀t ∈ R .

(3.30)

In tal caso `e lecito aspettarsi che gli ωn dell’eq. (3.25) siano tutti multipli interi dell’armonica fondamentale ω = 2π ovvero T ωn = n

2π ,n ∈ Z . T

(3.31)

Infatti dall’identit`a e2πin ≡ cos(2πn) + i sin(2πn) = 1 , ∀n ∈ Z

(3.32)

segue 2π

eiωn (t+T ) ≡ ei T

n(t+T )

2π

= ei T

nt i2πn

= eiωn t ,

e

∀n ∈ Z , ∀t ∈ R .

(3.33)

Notare che la scelta di condizioni al contorno periodiche seleziona fra le possibili soluzioni dell’equazione agli autovalori (3.28) solo quelle con ωn dato dalla (3.31). Senza occuparci per il momento di discutere la convergenza della serie f (t) =

X

Vn eiωn t

(3.34)

n∈Z

detta serie trigonometrica di Fourier, vediamo subito come si possono calcolare i coefficienti Vn nota la f (t); basta moltiplicare ambo i membri per e−iωl t (l ∈ Z) e integrare su un periodo (supponendo di poter integrare termine a termine) per ottenere: Z T X Z T −iωl t e f (t)dt = Vn e−iωl t eiωn t dt. (3.35) 0

Con il cambio di variabile x =

n∈Z 2πt , T

0

suggerito dalla (3.31), e usando l’identit`a

2π

Z

ei(n−l)x dx = 2πδnl ,

(3.36)

0

detta relazione di ortogonalit` a, si ottiene subito: 1 Vl = T

Z

T

0

92

e−iωl t f (t)dt .

(3.37)

L’eq. (3.37) `e di grande importanza perch´e ci fornisce i coefficienti della serie di Fourier (3.34) e quindi, grazie alla propriet`a P1, il modo per risolvere l’equazione differenziale (3.1) con termine noto f (t) periodico. I passi sono i seguenti: • con la (3.37) si calcolano i coefficienti Vl della serie di Fourier (3.34) di f (t); • per ognuna delle armoniche, cio`e per ognuno dei termini di tale serie, si applica la procedura che ci ha portato dal termine noto (3.16) alla soluzione (3.18), ottenendo cos`ı i coefficienti Un dati dalla (3.27); • la soluzione dell’equazione differenziale sar`a data perci`o dalla serie di Fourier (3.26).

3.2.1

Convergenza puntuale delle serie trigonometriche di Fourier

Vogliamo ora discutere le propriet`a di convergenza della serie X an einx

(3.38)

n∈Z

con i coefficienti an dati da 1 an = 2π

2π

Z

e−inx f (x) dx .

(3.39)

0

Per comodit`a siamo passati alla variabile x = 2πt , in cui il periodo `e 2π. Notiamo subito T che per f (x) periodica, f (x + 2π) = f (x), l’integrale pu`o essere esteso a qualsiasi altro intervallo di ampiezza 2π 3 . Notiamo inoltre che affinch´e la (3.39) abbia senso bisogna che l’integrale esista; ci`o succede certamente se f (x) `e sommabile4 , perch´e tale rimane dopo essere stata moltiplicata per il fattore einx , il cui modulo vale 1. 3

Vale infatti l’identit` a, ∀x0 ∈ R Z x0 +2π g(x)dx =

Z

π

Z

−π

+

x0

Z

−π π

=

Z

x0 +2π 

+ x0

Z

g(x)dx π −π

g(x)dx + −π

Z

x0

g(x)dx + x0

g(y + 2π)dy

(3.40)

−π

(nell’ultimo integrale si `e effettuato il cambio di variabile x = y + 2π). Se l’integrando g(x) `e una funzione periodica di periodo 2π, allora i due ultimi addendi della (3.40) si cancellano e vale Z x0 +2π Z π g(x)dx = g(x)dx, ∀x0 . (3.41) x0

−π

Le due scelte pi` u consuete sono x0 = −π oppure x0 = 0. 4 Definiremo pi` u avanti che cosa significa funzione sommabile; per ora pu`o essere tranquillamente letto come sinonimo di funzione assolutamente integrabile.

93

Prima di considerare la convergenza della serie conviene considerare il seguente Lemma di Riemann: Qualunque sia l’intervallo (a, b), finito o infinito, per ogni f (x) sommabile, vale Z b Z b Z b ±ikx lim f (x)e dx = lim f (x) cos(kx) dx = lim f (x) sin(kx) dx = 0 . k→∞

k→∞

a

k→∞

a

a

(3.42) Dimostrazione: ci limitiamo a dimostrare tale lemma nel caso particolare in cui f (x) sia di classe C 1 , cio`e continua con la sua derivata prima. In tal caso `e lecito integrare per parti e si ha Z Z b 1 b 0 1 ±ikx ±ikx b f (x) e ∓ f (x)e±ikx dx , (3.43) f (x)e dx = a ±ik ik a a da cui

Z b   Z b 1 0 ±ikx f (x)e dx ≤ |f (x)| dx . |f (b)| + |f (a)| + |k| a a

(3.44)

La parentesi graffa non contiene pi` u termini dipendenti da k, quindi il secondo membro tende a zero per k → ∞, e di conseguenza anche il primo. Usando le formule di Eulero si completa la dimostrazione, nel caso particolare di funzioni di classe C 1 ; nel caso generale la dimostrazione prosegue usando ilR fatto che per ogni funzione sommabile b f (x) e ogni ε > 0 esiste una g ∈ C 1 tale che a |f (x) − g(x)|dx < ε. [q.e.d.] TEOREMA: Condizione sufficiente affinch´e la serie (3.38) converga puntualmente a f (x0 ) `e che la funzione f (x) (sommabile nell’intervallo (0, 2π)) sia di classe C 1 nell’intorno del punto x0 . Dimostrazione Definiamo la ridotta N-esima della serie (3.38) come N X

SN (x0 ) =

al eilx0 .

(3.45)

l=−N

Sostituendo in (3.45) la definizione (3.39) dei coefficienti al si ottiene 1 SN (x0 ) = 2π

Z

2π

dyf (y) 0

N X

eil(x0 −y) .

(3.46)

l=−N

Usando l’identit`a N X

e

ilα

−iN α

= e

2N X

eiα


n

n=0

l=−N

=

= e−iN α

i2(N +1/2)α 1 − ei(2N +1)α −iα(N +1/2) 1 − e = e 1 − eiα e−iα/2 − eiα/2

sin(N + 1/2)α sin α/2

(3.47) 94

la (3.45) diventa Z 2π 1 sin [(N + 1/2)(x0 − y)] SN (x0 ) = dyf (y) 2π 0 sin(x0 − y)/2 Z π 1 sin [(N + 1/2)t] = dtf (x0 + t) , 2π −π sin t/2

(3.48)

dove nell’ultimo passaggio si `e posto t = x0 −y e si `e usata la periodicit`a dell’integrando per fissare l’intervallo di integrazione5 . Notare che per calcolare limN →∞ SN (x0 ) non si possono applicare direttamente le formule di Riemann (3.42) alla (3.48), poich´e la (x0 +t) 0) non `e integrabile: essa diverge come 2f (x per t → 06 . funzione fsin t/2 t Si noti che l’integrale si pu` o spezzare come segue: Z π Z −δ1 Z δ2 Z = + + −π

−π

−δ1

π

;

(3.49)

δ2

∀δ1 , δ2 ∈ (0, 2π) si possono applicare le formule di Riemann al primo e terzo integrale, quindi Z π Z δ2 sin [(N + 1/2)t] sin [(N + 1/2)t] f (x0 + t) lim f (x0 + t) dt = lim dt ; (3.50) N →∞ −π N →∞ −δ sin t/2 sin t/2 1 perci` o la somma della serie nel punto x0 dipende solo dal comportamento locale della funzione f (x) (sommabile in (0, 2π)) in un intorno (arbitrariamente piccolo) del punto x0 . Usando l’identit` a

1 2π

Z

π

−π

sin [(N + 1/2)t] dt = 1 , sin t/2

(3.51)

che si pu`o verificare direttamente con il metodo dei residui (o anche considerando il caso particolare della (3.48) per f (x) = 1), si pu`o scrivere    Z π 1 1 f (x0 + t) − f (x0 ) dt sin N + SN (x0 ) − f (x0 ) = t . (3.52) 2π −π 2 sin t/2 Adesso la funzione che moltiplica sin(N + 1/2)t `e sommabile nell’intervallo (−π, π); infatti in tale intervallo sin t/2 si annulla solo nell’origine e f (x0 + t) − f (x0 ) = 2f 0 (x0 ) . t→0 sin t/2

lim

(3.53)

Si pu`o quindi passare al limite per N → ∞ e applicare le formule di Riemann per ottenere f (x0 ) = lim SN (x0 ) . N →∞

(3.54) [q.e.d]

5

sin(N + 1/2)t e sin t/2 hanno periodo 4π, ma il loro rapporto ha periodo 2π. `e integrabile se f (x0 ) = 0, allora si applicano le formule di Riemann e si ottiene correttamente limN →∞ SN (x0 ) = 0. 6

95

Notare che il Teorema (3.54) pu`o essere esteso al caso in cui nel punto x0 la funzione abbia una discontinuit`a di I specie, ma sia di classe C 1 sia in un intorno sinistro che in un intorno destro di x0 . Al posto della (3.52) si scrive infatti    Z 0 1 1 f (x0 + t) − f (x0 −) f (x0 +) + f (x0 −) = dt sin N + t SN (x0 ) − 2 2π −π 2 sin t/2    Z π 1 1 f (x0 + t) − f (x0 +) + dt sin N + t , 2π 0 2 sin t/2 (3.55) dove f (x0 −) e f (x0 +) sono i limiti destro e sinistro nel punto x0 e si `e usata l’identit`a Z 0 Z π sin (N + 1/2) t sin (N + 1/2) t dt = dt = π . (3.56) sin t/2 sin t/2 −π 0 Dalle formule di Riemann segue allora: lim SN (x0 ) =

N →∞

f (x0 +) + f (x0 −) , 2

(3.57)

di cui la (3.54) `e ovviamente un caso particolare. Se il punto x0 cade in uno degli estremi dell’intervallo di definizione della f (x0 ), continua a valere la (3.57) purch´e la funzione sia continuata periodicamente: f (x + 2π) = f (x).

3.2.2

Importanti commenti

Il teorema appena visto garantisce la convergenza puntuale, mentre per la convergenza uniforme in [a, b] `e necessario che la funzione f (x) sia ivi continua e la sua derivata continua a tratti. Questione diversa `e l’integrabilit`a termine a termine della serie di Fourier, che `e invece garantita sotto le ipotesi del teorema precedente. Notiamo infatti che l’integrale della serie ha coefficienti soppressi da k Z x +∞ X ak ikx x e |x0 f (x) dx = (3.58) ik x0 k=−∞ e converge pi` u rapidamente. In vista di una successiva applicazione fisica, torniamo alla variabile t = f (t) =

∞ X

an eiωn t

T x: 2π

(3.59)

n=−∞

i cui coefficienti sono, secono la (3.37), Z 1 T /2 am = f (t)e−iωm t dt . T −T /2 96

(3.60)

Se la funzione f (t) assume valori reali si vede subito che i coefficienti an soddisfano la relazione seguente: a∗n = a−n . ` utile osservare che, posto an = |an |e E

−iαn

(3.61)

, si pu`o allora scrivere:

  an eiωn t + a−n e−iωn t = |an | ei(ωn t−αn ) + e−i(ωn t−αn ) = An cos(ωn t − αn ),

(3.62)

con An = 2|an | .

(3.63)

Quindi per f (t) reale la serie (3.59) diventa

f (t) = a0 +

∞ X

An cos(ωn t − αn ) .

(3.64)

n=1

Un integrale dalle importanti applicazioni fisiche `e ! Z Z T /2 ∞ ∞ X X 1 1 T /2 2 ∗ −iωm t |am |2 . |f (t)| dt = a e f (t) = T −T /2 T −T /2 m=−∞ m m=−∞ dove si sono sfruttate le identit`a: Z T /2

e−iωm t eiωn t = T δmn ,

(3.65)

(3.66)

−T /2

note come relazioni di ortogonalit` a, su cui torneremo pi` u avanti. La (3.65), che prende il nome di equazione di Parseval scritta nella base delle funzioni esponenziali, illustra come ogni componente di Fourier contribuisca separatamente all’integrale; non ci sono cio`e termini di interferenza del tipo a∗m an . Qualora f (t) rappresenti la corrente elettrica attraverso una resistenza R, la (3.65) moltiplicata per R mostra che la potenza media dissipata per effetto Joule `e uguale alla somma delle potenze dissipate sulle varie frequenze. Per f (t) reale la (3.65) diventa infatti: 2 Z ∞ ∞  X X An 1 T /2 2 2 2 2 √ |f (t)| dt = a0 + 2 |an | = a0 + , (3.67) T −T /2 2 n=1 n=1 dove nell’ultimo passaggio si `e ricordata √ la (3.63). In questo caso a0 `e la componente di corrente continua della f (t) e An / 2 il valore efficace della corrente alternata di pulsazione ωn . 97

Serie di Fourier e funzioni trigonometriche. Molto spesso anzich´e usare il si stema trigonometrico in forma esponenziale eilx , l ∈ Z `e utile usare il sistema trigonometrico tout court: {1, sin x, cos x, sin(2x), cos(2x), ...} = {sin(nx), cos(nx)} ,

n = 0, 1, 2, ... (3.68)

` immediato verificare direttamente che le (3.68) formano un sistema di funzioni E ortogonali nell’intervallo (−π, π) (o in qualunque altro intervallo di ampiezza 2π). Infatti: Z π sin(mx) sin(nx)dx = πδmn (m 6= 0) −π Z π cos(mx) cos(nx)dx = πδmn (m 6= 0) −π

= 2πδmn Z

(m = 0)

π

sin(mx) cos(nx)dx = 0 .

(3.69)

−π

Data una f (x) sommabile nell’intervallo (−π, π), anzich´e la serie (3.38) proviamo a scrivere ∞

f (x) =

A0 X [An cos(nx) + Bn sin(nx)] . + 2 n=1

(3.70)

Se la (3.70) `e vera, i coefficienti An e Bn si ottengono moltiplicando la (3.70) rispettivamente per cos(mx) e sin(mx), integrando su x fra −π e π e sfruttando le relazioni di ortogonalit`a (3.69), nell’ipotesi che la serie converga a f (x) e si possa integrare termine a termine. Si ricava cos`ı

An Bn

Z 1 π cos(nx)f (x)dx = π −π Z 1 π = sin(nx)f (x)dx π −π

n = 0, 1, . . .

(3.71)

n = 1, 2, . . . .

(3.72)

Il coefficiente A0 si ricava integrando la (3.70) tra −π e π. Per la convergenza puntuale della serie (3.70) valgono esattamente gli stessi teoremi dimostrati per la serie (3.38), cio`e se in un punto x interno all’intervallo (−π, π) la funzione f (x) `e di classe C 1 , cio`e continua assieme alla sua derivata prima, allora la (3.70) `e vera nel senso della convergenza puntuale. Se invece nel punto x0 la f (x) 98

ha una discontinuit`a di prima specie, ma `e di classe C 1 sia in un intorno sinistro che in un intorno destro di x0 , vale allora: ∞

A0 X f (x0 +) + f (x0 −) + [An cos(nx0 ) + Bn sin(nx0 )] = . 2 2 n=1

(3.73)

dove f (x0 +) e f (x0 −) sono rispettivamente i limiti destro e sinistro di f (x) nel punto x0 . Se il punto x0 cade in uno degli estremi dell’intervallo di definizione continua a valere quanto abbiamo detto per i punti interni purch´e la funzione sia continuata periodicamente su tutto l’asse reale secondo la f (x + 2π) = f (x). L’equazione di Parseval, in termini dei coefficienti An e Bn , assume la forma seguente: ∞ X
π 2 |An |2 + |Bn |2 . |f (x)| dx = |A0 | + π 2 −π n=1

Z

π

2

Se la funzione f (x) `e pari (f (−x) = f (x)), i coefficienti Bn sono nulli e la (3.70) si riduce a una serie di coseni: ∞

A0 X f (x) = + An cos(nx) . 2 n=1 Se la funzione f (x) `e dispari (f (−x) = −f (x)), i coefficienti An sono nulli e la (3.70) si riduce a una serie di seni:

f (x) =

∞ X

Bn sin(nx) .

n=1

Esempio Sviluppiamo in serie di Fourier la funzione a gradino:  −1 −π a . Analogamente, se x < −a conviene aggirare l’origine nel semipiano immaginario negativo, perch´e entrambi gli integrali in (4.11) ricadono nel caso α < 0 del lemma di Jordan e pertanto si pu`o chiudere il cammino d’integrazione con una semicirconferenza nel semipiano inferiore, ottenendo di nuovo zero: I(x) = 0 se x < −a . 105

Se invece |x| < a, e si aggira l’origine nel semipiano immaginario positivo, il primo integrale, che si pu`o chiudere nel semipiano superiore, d`a zero, mentre il secondo, che va chiuso nel semipiano inferiore, d`a: eik(x−a) 1 (−2πi)Res =1. I(x) = − 2πi k k=0 Abbiamo cos`ı dimostrato che I(x) = f (x) per ogni x 6= a. Per x = a possiamo deformare il cammino sopra la singolarit`a scrivendo, come in Sez. 1.6.5,  Z +R  2ika e 1 1 I(a) = lim − dk . (4.12) 2πi R→∞ −R k + i k + i Il primo integrale si chiude nel semipiano immaginario positivo e si annulla per il teorema di Cauchy, mentre per il secondo usiamo la (1.61) sapendo che la parte principale dell’integrale si annulla. Il risultato `e I(a) = −

1 1 f (a−) + f (a+) (−iπ) = = . 2πi 2 2

(4.13)

Questo mostra che nei punti di discontinuit`a di prima specie la situazione `e analoga a quella vista per le serie di Fourier: l’antitrasformata d`a il valor medio tra i limiti destro e sinistro della funzione. Esempio 3. La trasformata di Fourier della funzione gaussiana f (x) = e−x

2 /a2

`e Z +∞ Z 2 e−(ka) /4 +∞ −(x/a−ika/2)2 1 −(x/a)2 −ikx e dx = √ e dx F (k) = √ 2π −∞ 2π −∞ Z +∞ 2 e−(ka) /4 a 2 2 2 √ = a e−t dt = √ e−a k /4 , 2π 2 −∞

(4.14)

cio`e ancora una gaussiana, di larghezza inversamente proporzionale a quella della funzione trasformanda. 1 La verifica della (4.6), che d`a l’antitrasformata di F (k), `e immediata: non si tratta che di rifare lo stesso conto con a → A = 2/a. 1

Con il cambiamento di variabile x → t = x/a − ika/2, il cammino di integrazione nel piano complesso di t non `e pi` u l’asse reale ma `e diventato una retta ad esso parallela; tuttavia, usando la teoria dell’integrazione in campo complesso, `e facile mostrare che ci`o non fa differenza.

106

4.1.2

Propriet` a della trasformata di Fourier

Elenchiamo alcune importanti propriet`a delle trasformate di Fourier. Per comodit`a introduciamo il simbolo Fk (f ) per indicare la trasformata di Fourier della funzione f (x): Z +∞ 1 f (x)e−ikx dx . (4.15) Fk (f ) ≡ √ 2π −∞ • Linearit` a:

Fk (a1 f1 + a2 f2 ) = a1 Fk (f1 ) + a2 Fk (f2 ) , ∀a1 , a2 ∈ C .

(4.16)

• Trasformata di Fourier di funzioni a parit` a definita Cos`ı come la serie trigonometrica di Fourier di una funzione pari (dispari) contiene solo coseni (seni), le trasformate di Fourier di funzioni a parit`a definita si possono semplificare come segue: Z ∞ 1 f (x)[cos(kx) − i sin(kx)]dx F (k) = √ 2π −∞ r  R∞ 2 f (x) cos(kx)dx se f (−x) = f (x) 0R ∞ = se f (−x) = −f (x) . π −i 0 f (x) sin(kx)dx

(4.17)

Una ovvia conseguenza delle (4.17) `e che la Trasformata di Fourier di una funzione pari (dispari) `e una funzione pari (dispari). • La trasformata di Fourier della derivata f 0 (x) (ammesso che f 0 (x) esista e sia sommabile) `e legata alla trasformata di f (x) dalla relazione: Fk (f 0 ) = ik Fk (f )

(4.18)

Infatti integrando per parti si ottiene: Z ∞ 1 0 f 0 (x)e−ikx dx Fk (f ) = √ 2π −∞ ∞ Z ∞ f (x) −ikx ik = √ e +√ f (x)e−ikx dx 2π 2π −∞ Z ∞ −∞ ik f (x)e−ikx dx = ikFk (f ) , = √ 2π −∞ dove il termine integrato deve essere nullo affinch´e la trasformata di Fourier esista. 107

La relazione (4.18) pu`o essere iterata per ottenere le trasformate delle derivate successive: Fk (f 00 ) = ikFk (f 0 ) = (ik)2 Fk (f ) Fk [f (n) ] = (ik)n Fk (f ) ,

(4.19)

ovviamente supponendo che la funzione f (x) ammetta derivate fino all’ennesima e che f (n) (x) sia sommabile sull’asse reale. Moltiplicando ambo i membri della (4.18) per −i e usando la linearit`a della Trasformata di Fourier si pu`o simbolicamente stabilire la corrispondenza: d ↔k (4.20) dx fra l’operatore derivata nello spazio delle funzioni f (x) e la semplice moltiplicazione per k nello spazio delle funzioni F (k); tale corrispondenza `e di grande importanza in Meccanica Quantistica. −i

• Dalla disuguaglianza 1 |Fk (f )| ≤ √ 2π

Z

+∞

|f (x)|dx = cost.

(4.21)

−∞

segue che la TF di una funzione sommabile `e sempre una funzione limitata. Dalla (4.19) segue quindi che la TF di una funzione n volte derivabile `e almeno O(1/k n ) per k → ∞; in breve, quanto pi` u una funzione `e liscia (ovvero quanto maggiore `e il suo ordine di derivabilit`a) tanto pi` u velocemente la sua TF va a zero all’infinito. Nell’esempio 2 della sezione precedente f (x) `e discontinua e la sua TF `e O(1/k). Negli esempi 1 e 3 abbiamo invece considerato funzioni infinitamente derivabili, la cui TF `e esponenzialmente soppressa a grandi k. • Se l’argomento della funzione f (x) viene traslato di una costante reale a, per la F vale la seguente relazione: Fk [f (x + a)]

= eika Fk [f (x)].

Infatti Fk [f (x + a)]

Z ∞ 1 f (x + a)e−ikx dx = √ 2π −∞ Z ∞ Z 0 0 eika ∞ 1 f (x0 )e−ik(x −a) dx0 = √ f (x0 )e−ikx dx0 = √ 2π −∞ 2π −∞ ika = e Fk (f ) .

• Se si moltiplica la funzione f (x) per un esponenziale, la trasformata di Fourier `e:   Fk e−iαx f (x) = Fk+α [f (x)] , ∀α ∈ R come si pu` o facilmente verificare a partire dalle definizioni di F.

108

(4.22)

• Se si moltiplica la funzione f (x) per x, le trasformata di Fourier diventa: d Fk [f (x)] (4.23) dk come si pu`o facilmente verificare derivando sotto il segno, nell’ipotesi che la funzione xf (x) sia ancora sommabile sull’asse reale. Come la (4.18), anche la (4.23) si pu`o iterare, ottenendo  n d n Fk [x f (x)] = i Fk [f (x)] (4.24) dk Fk [xf (x)] = i

sempre nell’ipotesi che la funzione xn f (x) sia ancora sommabile sull’asse reale. La (4.23) stabilisce la corrispondenza, duale della (4.20), x↔i

d , dk

fra moltiplicazione per x nello spazio delle f (x) e la derivata nello spazio delle F (k). • L’equazione (4.24) mostra che quanto pi` u rapidamente una funzione decresce all’infinito, tanto pi` u la sua TF `e liscia (cio`e maggiormente derivabile). Nell’esempio 1 abbiamo infatti visto che la TF di una funzione O(1/x2 ) all’infinito ha derivata discontinua nell’origine, mentre la TF di una gaussiana `e ancora una gaussiana (infinitamente derivabile). • Se chiamiamo S lo spazio lineare delle funzioni di prova, rapidamente decrescenti e infinitamente derivabili: S = {f ∈ C ∞ ; xn f (x) limitata su R, ∀n ∈ N} ,

(4.25)

le (4.19) e (4.24) implicano che la TF manda le funzioni di prova (nella variabile x) in funzioni di prova (nella variabile k): Fk (f ) ∈ S , ∀f ∈ S .

(4.26)

• Teorema di convoluzione. Definiamo la convoluzione g = f1 ∗ f2 di due funzioni f1 e f2 : Z

∞

g(x) =

f1 (x0 )f2 (x − x0 )dx0 .

(4.27)

−∞

` immediato vedere che il prodotto convolutivo `e commutativo e associativo: E f1 ∗ f2 = f2 ∗ f1 f1 ∗ (f2 ∗ f3 ) = (f1 ∗ f2 ) ∗ f3 . 109

(4.28) (4.29)

Il teorema di convoluzione afferma che la trasformata di Fourier della convoluzione di due funzioni `e (a parte una costante moltiplicativa) il prodotto delle trasformate di Fourier delle due funzioni: √ Fk (g) = 2πFk (f1 )Fk (f2 ) . (4.30) Dimostrazione: Z ∞ 1 dx g(x) e−ikx Fk (g) = √ 2π −∞ Z ∞ Z ∞ 1 = √ dx dx0 f1 (x0 )f2 (x − x0 )e−ikx 2π −∞ Z−∞ Z ∞ ∞ 1 0 0 √ dx0 f1 (x0 )e−ikx f2 (x − x0 )e−ik(x−x ) . dx = 2π −∞ −∞ Se ora passiamo dalle variabili (x, x0 ) alle variabili (z = x − x0 , x0 ) e scambiamo l’ordine di integrazione usando il Teorema di Fubini Tonelli (vedi eq.(D.5) in Appendice D), otteniamo: Z ∞ Z ∞ √ 1 0 0 −ikx0 Fk (g) = √ dx f1 (x )e dzf2 (z)e−ikz = 2π Fk (f1 ) Fk (f2 ) . 2π −∞ −∞ [q.e.d.]

4.1.3

Soluzione di equazioni differenziali mediante la trasformata di Fourier

La propriet`a (4.20) trasforma un’equazione differenziale a coefficienti costanti in un’elementare equazione algebrica lineare; chiamando U (k) e F (k) le Trasformate di Fourier dell’incognita u(x) e del termine noto f (x), l’equazione differenziale au00 (x) + bu0 (x) + cu(x) = f (x),

(4.31)

− ak 2 U (k) + ibk U (k) + c U (k) = F (k),

(4.32)

diventa semplicemente:

da cui `e immediato ricavare U (k); infine antitrasformando si ricava la funzione incognita u(x). Notare come questo procedimento per risolvere equazioni differenziali a coefficienti costanti mediante la trasformata di Fourier sia l’esatto parallelo di quello illustrato nel Capitolo 2, dopo l’eq.(3.37), per l’uso della Serie trigonometrica di Fourier; allora richiedevamo che termine noto e soluzione fossero funzioni periodiche, ora abbiamo lasciato cadere questa richiesta; va tuttavia osservato che la procedura appena descritta 110

per risolvere l’equazione (4.31) ha senso solo se il termine noto e la soluzione sono sommabili e ci`o `e molto restrittivo. Torneremo su questo punto quando parleremo della Trasformata di Laplace; per ora limitiamoci a illustrare un esempio di soluzione di un’equazione differenziale (alle derivate parziali) mediante la trasformata di Fourier. Esempio: l’equazione del calore Risolviamo l’equazione di diffusione del calore 1 ∂T (x, t) ∂ 2 T (x, t) = ∂x2 κ ∂t

(4.33)

con la condizione iniziale T (x, 0) = f (x) . Fisicamente T (x, t) rappresenta la distribuzione di temperatura al tempo t in una sbarra di lunghezza infinita, e la distribuzione iniziale `e data dalla funzione sommabile f (x)2 . La costante κ `e la conducibilit`a termica. Moltiplicando l’equazione (4.33) per e−ikx e integrando su x da −∞ a ∞ si ottiene: Z ∞ Z 2 1 ∞ −ikx ∂T (x, t) −ikx ∂ T (x, t) e e dx = dx . ∂x2 κ −∞ ∂t −∞ Chiamando F (k, t) la trasformata di Fourier rispetto a x della T (x, t), ovvero F (k, t) = R +∞ −ikx √1 e T (x, t) dx, e ricordando la (4.19) si ottiene 2π −∞ − k 2 F (k, t) =

1 ∂ F (k, t) . κ ∂t

Questa `e un’equazione differenziale del prim’ordine in F (k, t), la cui soluzione `e 2

F (k, t) = F (k, 0)e−κk t . Dalle condizioni iniziali si ha Z ∞ Z ∞ 1 1 −ikx T (x, 0)e dx = √ f (x)e−ikx dx ≡ F (k) F (k, 0) = √ 2π −∞ 2π −∞ da cui 1 2 F (k, t) = √ e−κk t 2π

Z

∞

f (x)e−ikx dx .

−∞

2

Essendo la lunghezza della sbarra infinita, l’equilibrio termico viene raggiunto alla temperatura data dal limx±∞ f (x). Per avere f (x) sommabile, `e necessario che lo zero della scala delle temperature venga fissato a questo valore.

111

Per ricavare T (x, t) antitrasformiamo secondo Fourier Z ∞ 1 F (k, t)eikx dk T (x, t) = √ 2π −∞ Z ∞ Z ∞ 1 0 2 = dk dx0 f (x0 )e−ikx eikx e−κk t 2π −∞ −∞ Z ∞ Z ∞ 1 0 −κk2 t dx0 f (x0 )e−ik(x −x) , dke = 2π −∞ −∞ integriamo su k Z

∞

−κk2 t−ik(x0 −x)

dke

Z

  (x0 −x)2 (x0 −x)2 − κk2 t+ik(x0 −x)− 4κt + 4κt

∞

=

dke

−∞

−∞ −

(x0 −x)2 4κt

Z

∞

h √ − k κt+ 2i

= e dke −∞ r π − (x0 −x)2 e 4κt , = κt

0 −x x√ κt

i2

e giungiamo finalmente al risultato: r Z ∞ (x0 −x)2 1 T (x, t) = f (x0 )e− 4κt dx0 . 4πκt −∞ 2

Si pu`o arrivare pi` u facilmente allo stesso risultato osservando che e−κk t `e la TF di 2 √ 1 e−x /(4κt) ; quindi F (k, t) ` e il prodotto di due TF e l’antitrasformata `e la convolu2κt 1 zione di f (x) e √2κt e−x La funzione3

2 /(4κt)

. r

1 − (x0 −x)2 e 4κt θ(t), (4.34) 4πκt detta nucleo del calore (heat kernel), `e la funzione di Green o propagatore dell’eq. (4.33) ed `e tale che la Z ∞ T (x, t) = G(x, x0 , t)f (x0 )dx0 (4.35) G(x, x0 , t) =

−∞ 3

Con  θ(t) =

0 1

t0

` necessario introdurla perch´e tutto il discorso fatto denotiamo la funzione a gradino di Heaviside. E −κk2 t perde completamente senso per t < 0: e da gaussiana diventa furiosamente crescente per k → ±∞ se t < 0.

112

descrive la propagazione del calore dal punto x0 al punto x al tempo t > 0. Se, per esempio, la sorgente `e puntiforme (cio`e diversa da zero solo nell’origine): f (x) = δ(x) (per la definizione della delta di Dirac δ(x), vedi pi` u avanti, paragrafo 5.3.2) allora il calore si propaga √ in modo che la temperatura assume una distribuzione gaussiana di larghezza proporzionale a t: Z

∞

T (x, t) =

r 0

0

0

G(x, x , t)δ(x )dx = G(x, 0, t) = −∞

1 − x2 e 4κt . 4πκt

` anche interessante notare che per t → 0+ il nucleo del calore (4.34) tende alla delta di Dirac E (vedi eq. (5.63)): lim G(x, x0 , t) = δ(x − x0 ), (4.36) t→0+

come deve essere affinch´e la (4.35) riproduca le condizioni iniziali per t → 0+.

113

4.2

Trasformata di Laplace

Come abbiamo gi`a detto nel paragrafo precedente, il metodo della TF permette di risolvere equazioni differenziali a coefficienti costanti soltanto in un campo molto ristretto; la stessa funzione f (x)=1 non potrebbe essere accettata n´e come soluzione n´e come termine noto. D’altra parte, se vogliamo risolvere un’equazione con condizioni iniziali ` quindi conveniente al tempo t = 0, ci interessa sapere solo ci`o che succede per t ≥ 0. E considerare una sorta di TF definita da un integrale esteso solo al semiasse delle t > 0. In tal caso, se f (t) `e localmente sommabile, cio`e `e sommabile su ogni intervallo finito del semiasse reale t ≥ 0, e se esistono α0 ∈ R, M > 0 e t0 ≥ 0 tali che ∀t > t0 valga 0

e−α t |f (t)| < M

(4.37)

la funzione gα (t) ≡ e−αt f (t)θ(t) `e sommabile sull’intero asse reale ∀α > α0 . Infatti ∀t > t0 0 −(α−α0 )t −α0 t e f (t) ≤ e−(α−α )t M |gα (t)| = e

(4.38)

e quindi tende esponenzialmente a zero per t → +∞, rimanendo localmente sommabile se tale era f (t). Quindi gα (t) possiede la trasformata di Fourier: Z ∞ Z ∞ 1 1 −αt −iωt f (t)e θ(t)e dt = √ f (t)e−(α+iω)t dt . (4.39) Gα (ω) = √ 2π −∞ 2π 0 √ Introduciamo ora la variabile complessa s = α + iω e definiamo F (s) = 2πGα (ω). Allora la (4.39) diventa Z ∞ f (t)e−st dt (4.40) F (s) = 0

e prende in nome di trasformata di Laplace (TL) della funzione f (t); chiamando ascissa di convergenza α0 ∈ R l’estremo inferiore degli α0 per cui vale la (4.37), la F (s) `e definita nel semipiano Res > α0 e ivi `e analitica, come si vede facilmente derivando sotto il segno, poich´e, grazie alla (4.38), tn f (t) ha la stessa ascissa di convergenza di f (t), per ogni n naturale. L’antitrasformata di Laplace `e definita da un integrale in campo complesso. Infatti antitrasformando la (4.39) si ricava, nell’ipotesi che f (t) sia di classe C 1 nell’intorno di t, Z R 1 −αt f (t)e θ(t) = √ lim Gα (ω)eiωt dω , (4.41) 2π R→∞ −R da cui 1 f (t)θ(t) = √ lim 2π R→∞

Z

R (α+iω)t

Gα (ω)e −R

114

1 dω = 2πi

Z γ

F (s)est ds ,

(4.42)

dove il cammino di integrazione γ `e una retta parallela all’asse immaginario del piano di s, di equazione Re s=α > α0 . L’antitrasformata (4.42) si indica di solito, sottintendendo la θ(t), come Z α+i∞ 1 f (t) = F (s)est ds , (4.43) 2πi α−i∞ che per essere pi` u precisi andrebbe scritta come Z α+iR 1 F (s)est ds . f (t) = lim 2πi R→∞ α−iR

(4.44)

Osserviamo subito: si pu`o dimostrare che F (s) = o(1) per s → ∞ in ogni direzione del semipiano di analiticit`a. Per t < 0 si pu`o quindi applicare il lemma di Jordan (vedi caso 4) chiudendo il cammino con una semicirconferenza nel semipiano a destra di Re s = α, ottenendo f (t) = 0, visto che F (s) `e analitica nel semipiano Re s > α0 .

4.2.1

Esempi

• La trasformata di Laplace della funzione f (t) = 1 `e Z ∞ 1 e−st dt = . F (s) = s 0 L’integrale converge per Re(s) > 0 (cio`e α0 = 0). Il calcolo dell’integrale (4.43) mediante il metodo dei residui mostra subito che l’antitrasformata di Laplace di 1/s `e θ(t). • La trasformata di Laplace della funzione f (t) = t `e   Z ∞ Z ∞ Z ∂ −st d 1 d ∞ −st 1 −st e dt = − = 2 te dt = − e dt = − F (s) = ∂s ds 0 ds s s 0 0 • La trasformata di Laplace della funzione f (t) = tn `e Z ∞ Z ∞ n ∂ −st n −st n t e dt = (−1) F (s) = e dt ∂sn 0 0   n Z ∞ n 1 n d −st n d = (−1) e dt = (−1) n n ds 0 ds s n! = n+1 . s • La trasformata di Laplace della funzione f (t) = cos t `e Z Z ∞
1 ∞ −st it −st F (s) = e cos tdt = e e + e−it dt 2 0 0 ∞   −(s−i)t ∞ 1 e e−(s+i)t s . = + = 2 2 −(s − i) 0 −(s + i) 0 s +1 115

Tutte le funzioni discusse in questi esempi hanno ascissa di convergenza α0 = 0; la loro Trasformata di Laplace `e perci`o analitica in tutto il semipiano Res > 0; nell’esempio successivo vedremo che non `e sempre cos`ı. • La trasformata di Laplace della funzione f (t) = eat , con a ∈ C, `e ∞ Z ∞ e−(s−a)t 1 −st at e e dt = , F (s) = = −(s − a) 0 s−a 0 dove `e stato necessario supporre Re s > Re a per poter affermare che limt→+∞ e−(s−a)t = 0; per Re s < Re a l’integrale che definisce la trasformata di Laplace diverge, quindi l’ascissa di convergenza della funzione f (t) = eat `e α0 = Re a; ci`o concorda con il fatto che la trasformata di Laplace F (s) `e analitica nel semipiano Re s > Re a. Per tutti questi esempi lasciamo allo studente la verifica dell’eq. (4.43). Riflettendo su questi esempi lo studente si convincer`a anche della seguente importante propriet`a: • Se la TL Ls (f (t)) ha poli con Re s > 0 la funzione f (t) esplode esponenzialmente per t → +∞; viceversa se Ls (f (t)) ha singolarit`a solo a sinistra dell’asse immaginario allora f (t) decresce esponenzialmente per t → +∞; se i poli sono sull’asse immaginario f (t) pu`o oscillare o crescere come una potenza di t. Questa propriet`a `e di grande importanza per le applicazioni a sistemi fisici e fornisce un criterio di stabilit`a nel tempo. Quando, per esempio, un sistema di amplificazione comincia a produrre un sibilo di ampiezza crescente (fortunatamente limitata dalla non linearit`a e quindi saturazione del sistema) possiamo dire che una qualche singolarit`a della TL della sua funzione di trasferimento ha acquistato parte reale non negativa.

4.2.2

Propriet` a della trasformata di Laplace

Studiamo ora alcune propriet`a delle trasformate di Laplace, analoghe a quelle viste per le trasformate di Fourier. Indicheremo la trasformata di Laplace (4.40) con il simbolo Z ∞ f (t)e−st dt . Ls [f (t)] = F (s) = 0

• La trasformata di Laplace `e lineare (per linearit`a degli integrali): Ls [a1 f1 (t) + a2 f2 (t)] = a1 Ls [f1 (t)] + a2 Ls [f2 (t)] • La trasformata di Laplace della derivata f 0 (t), se f 0 (t) esiste e ammette TL, `e legata alla trasformata di f (t) dalla relazione: Ls [f 0 (t)] = sLs [f (t)] − f (0) , 116

(4.45)

come si ottiene integrando per parti: Z ∞ 0 f 0 (t)e−st dt Ls [f (t)] = 0

=



∞

Z

∞ f (t)e−st 0

+s Z ∞

= −f (0) + s

f (t)e−st dt

0

f (t)e−st dt = sLs [f (t)] − f (0) .

0

` evidente che qui con f (0) si intende il limite destro di f (x) per x → 0. E Nell’ipotesi che anche le derivate successive di f (t) esistano e ammettano TL, la relazione (4.45) pu`o essere iterata per ottenere le trasformate delle derivate successive: Ls [f 00 (t)] = = 000 Ls [f (t)] = = (n) Ls [f (t)] = =

sLs [f 0 (t)] − f 0 (0) s2 Ls [f (t)] − sf (0) − f 0 (0) (4.46) 00 00 sLs [f (t)] − f (0) s3 Ls [f (t)] − s2 f (0) − sf 0 (0) − f 00 (0) (4.47) (n−1) (n−1) sLs [f (t)] − f (0) n n−1 s Ls [f (t)] − s f (0) − sn−2 f 0 (0) − ... − sf (n−2) (0) − f (n−1) (0) . (4.48)

Dalla (4.48) segue che se la funzione f (t) `e n volte derivabile e f (n) (t) ammette TL vale f (0) f 0 (0) f (n−1) (0) Ls [f (n) ] Ls [f (t)] = + 2 + ··· + , (4.49) s s sn sn che d`a utili informazioni sull’andamento per s → ∞ della trasformata di Laplace (teorema di Tauber) a partire dalla funzione f e dalle sue derivate in t = 0+. La (4.49) si pu`o verificare anche negli esempi precedenti; la TL di tn `e O(s−n−1 ) ` da notare per grande s perch`e vanno a zero tutte le prime n derivate in t = 0. E ∞ che, anche se f (t) ∈ C , non `e affatto detto che la serie che facilmente si deduce dalla (4.49) converga. In realt`a essa `e in generale una serie asintotica, che sar`a definita nel corso di Metodi Matematici della Fisica II. • La trasformata di Laplace dell’integrale di una funzione g(t) `e legata alla trasformata di g(t) dalla relazione: Z x  1 Ls [g(x)] . (4.50) Ls g(t)dt = s 0 Partendo dalla formula per la trasformata di Laplace per le derivate (4.45) e ponendo g(x) = f 0 (x) si ottiene infatti Z x f (x) = f (0) + g(t)dt . 0

117

La (4.45) diventa cos`ı:  Z Ls [g(x)] = sLs f (0) +

x

 Z g(t)dt − f (0) = sLs [f (0)] + sLs

x

 g(t)dt − f (0) .

0

0

Ricordando ora che Ls [1] = 1/s, otteniamo 1 Ls [g(x)] = sf (0) + sLs s

x

Z

 g(t)dt − f (0) ,

0

ovvero x

Z Ls [g(x)] = sLs

 g(t)dt ,

0

da cui segue immediatamente la (4.50). • Se l’argomento della funzione f (t) viene traslato di una costante a, per la trasformata di Laplace vale la seguente relazione:   Z a as −st Ls [f (t + a)] = e Ls [f (t)] − θ(a) f (t)e dt . (4.51) 0

Per dimostrare la (4.51) bisogna distinguere i due casi a < 0 e a > 0. Ricordiamo infatti che la trasformata di Laplace `e un integrale tra 0 e ∞ e che `e sottintesa una θ(t), che implica f (t) = 0 se t < 0. Quindi Z ∞ Z ∞ 0 (t0 =t+a) Ls [f (t + a)] = f (t + a)e−st dt = f (t0 )e−s(t −a) dt0 0 a Z ∞ sa 0 −st0 0 = e f (t )e dt . a

Ora, se a < 0, Ls [f (t + a)] = e

sa

Z

∞ 0

f (t )e

−st0

0

dt = e

sa

Z

a

∞

0

f (t0 )e−st dt0 = esa Ls [f (t)] .

0

Se invece a > 0, Ls [f (t + a)]

= e

sa

Z

∞ 0

f (t )e

−st0

0

sa

Z

∞ 0

dt = e f (t )e a 0 Z a 0 = esa Ls [f (t)] − esa f (t0 )e−st dt0 .

−st0

0

dt − e

sa

Z

a

0

f (t0 )e−st dt0

0

0

• Se si moltiplica la funzione f (t) per un esponenziale, la trasformata `e:   Ls eαt f (t) = Ls−α [f (t)] , ∀α ∈ C come si pu` o facilmente verificare derivando sotto il segno la L. Per esempio ricordando che Ls [sin t] =

1 s2 + 1

segue che Ls [e2t sin t] = senza un calcolo esplicito della TL.

118

1 (s − 2)2 + 1

• Se si moltiplica la funzione f (t) per t, la trasformata diventa: Ls [tf (t)] = −

d Ls [f (t)] , ds

come si pu`o facilmente verificare a partire dalle definizioni di L. Notare che, diversamente da quanto avviene per la TF, qui siamo sempre sicuri che se f (t) ammette TL anche tn f (t) la ammette, ∀n ∈ N; equivalentemente, ogni TL `e sempre infinitamente derivabile nella sua regione di convergenza, mentre ci`o non 1 `e affatto detto per la TF (vedi per esempio la TF di a2 +x 2 , par.4.1.1). • Teorema di convoluzione. Sia g(t) la convoluzione di due funzioni f1 e f2 nulle per t < 0 (la loro TL non dipende da questo). Allora ∀t > 0 abbiamo Z ∞ Z t 0 0 0 g(t) = f1 (t )f2 (t − t )dt = f1 (t0 )f2 (t − t0 )dt0 , (4.52) −∞

0

dove abbiamo usato l’annullarsi di f1,2 per argomenti negativi. Allora Ls [g(t)] = Ls [f1 ∗ f2 ] = Ls [f1 (t)] Ls [f2 (t)] .

(4.53)

La dimostrazione `e del tutto analoga a quella vista per le trasformate di Fourier.

4.2.3

Trasformate di Laplace ed equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti

Come si `e detto nel par. 4.1.3 il metodo della trasformata di Fourier per risolvere equazioni differenziali lineari si pu`o applicare solo in un numero ristretto di casi, cio`e quando il termine noto e la soluzione dell’equazione differenziale sono sommabili. La trasformata di Laplace permette di risolvere equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti du d2 u + c0 u = f (t) (4.54) c2 2 + c1 dt dt per una classe pi` u estesa di funzioni e permette inoltre di tener conto automaticamente delle condizioni iniziali u(0) = u0 du = u1 . dt

(4.55)

t=0

Infatti trasformando secondo Laplace la (4.54) e ponendo Ls [u(t)] ≡ U (s) e Ls [f (t)] ≡ F (s) (ammesso che queste esistano) si ottiene, utilizzando le (4.45) e (4.46),   c2 s2 U (s) − su0 − u1 + c1 [sU (s) − u0 ] + c0 U (s) = F (s) , (4.56) 119

che d`a immediatamente U (s) =

F (s) c2 su0 + c2 u1 + c1 u0 + . 2 2 c2 s + c1 s + c0 c2 s + c1 s + c0

(4.57)

Antitrasformando si ottiene θ(t)u(t). L’antitrasformata del primo addendo d`a la soluzione generale dell’omogenea associata (interpretando u0 e u1 come parametri liberi), mentre l’antitrasformata del secondo d`a la soluzione particolare dell’inomogenea con condizioni iniziali u(0) = u0 (0) = 0. Notare che la soluzione cos`ı ottenuta `e particolarmente interessante quando la “sollecitazione esterna” f (t) sia inserita al tempo t = 0. In questo caso θ(t)u(t) ci dice cosa succede dopo aver chiuso o aperto l’interruttore. Ovviamente la procedura `e estendibile a equazioni differenziali lineari di ordine qualsiasi. Esempio Consideriamo il circuito oscillante di Fig. 3.1 e cerchiamo la soluzione dell’equazione differenziale d2 u du + LC 2 = f (t) (4.58) u + RC dt dt con le condizioni iniziali u0 = i0 =

lim u(t)

(4.59)

t→0+

lim C

t→0+

du . dt

(4.60)

Trasformando la (4.58) secondo Laplace e chiamando U (s) e F (s) le trasformate di u(t) e f (t) otteniamo   i0 2 U (s) + RC [sU (s) − u0 ] + LC s U (s) − su0 − = F (s) . (4.61) C Consideriamo due casi: a) Chiusura del circuito: se il circuito `e inizialmente aperto e il condensatore `e scarico e lo si chiude all’istante t = 0 su un generatore che fornisca una tensione alternata V eiωt (in particolare continua, se ω = 0), il termine noto `e: f (t) = θ(t)V eiωt ,

(4.62)

u0 = i0 = 0

(4.63)

le condizioni iniziali sono e la trasformata di Laplace di f (t) `e Z ∞ F (s) = V eiωt e−st dt = 0

120

V . s − iω

(4.64)

Quindi la (4.61) fornisce in questo caso: U (s) =

V . (s − iω)(1 + RCs + LCs2 )

(4.65)

Per ottenere u(t) dobbiamo antitrasformare la (4.65), che possiede tre poli semplici in s0 = iω ,

s1,2 = −

R 1√ ± ∆ 2L 2

con ∆ =

R2 4 . − 2 L LC

(4.66)

Ora, se ∆ > 0, s1 e s2 giacciono sull’asse reale negativo (perch´e R > 0), se √ R i ∗ ∆ < 0, s1 = s2 = − 2L + 2 −∆ e se ∆ = 0 i due poli sono reali e coincidenti (polo doppio). L’antitrasformata di U vale, secondo la (4.43), Z r+i∞ 1 u(t) = est U (s) , con r > 0 (4.67) 2πi r−i∞ ovvero, se s1 6= s2 ,   V X est u(t) = Res LC i=0,1,2 (s − iω)(s − s1 )(s − s2 ) s=si   eiωt es1 t e s2 t V + + . = LC (s1 − iω)(s2 − iω) (s1 − iω)(s1 − s2 ) (s2 − iω)(s2 − s1 ) (4.68) A parte il termine sinusoidale V eiωt /LC V eiωt V eiωt = = , (4.69) LC (s1 − iω)(s2 − iω) s1 s2 − i(s1 + s2 )ω − ω 2 1 + iωRC − ω 2 LC che riproduce esattamente la (3.18), la tensione u(t) `e quindi una somma di funzioni sinusoidali smorzate nel caso ∆ < 0 , mentre per ∆ > 0 `e una somma di ` immediato verificare che a t = 0 le condizioni iniziali esponenziali decrescenti. E sono soddisfatte:   1 1 1 V + + =0 u(0) = LC (s1 − iω)(s2 − iω) (s1 − iω)(s1 − s2 ) (s2 − iω)(s2 − s1 )   V iωeiωt s1 es1 t s2 es2 t i(t) = + + L (s1 − iω)(s2 − iω) (s1 − iω)(s1 − s2 ) (s2 − iω)(s2 − s1 ) ⇒ i(0) = 0 , mentre per una volta che il condensatore si sia caricato, quindi t→ +∞ (ovvero 1 1 R per t  Res1 = Res2 = 2L ) la tensione ai capi del condensatore si riduce a 121

quella sinusoidale (4.69). Se invece s1 = s2 , U (s) ha un polo doppio in s1 e il residuo vale   d est test est est es1 t = = − (s1 t − 1) , (4.70) Res = s(s − s1 )2 s=s1 ds s s=s1 s s2 s=s1 s21 dove si `e scelto per semplicit`a ω = 0, da cui la soluzione u(t) =

 V 1  s1 t 1 + e (ts − 1) , 1 LC s21

che verifica le condizioni iniziali V 1 [1 − 1] = 0 LC s21 V 1 s1 t 2 i(t) = e (ts1 − s1 + s1 ) ⇒ i(0) = 0 LC s21

u(0) =

e per t → +∞ si comporta come nel caso precedente. b) Apertura del circuito: se all’istante t = 0 il circuito viene aperto, dopo essere stato per lungo tempo a contatto con la batteria a tensione costante V , si avr`a f (t) = 0 per t > 0, con le condizioni iniziali u0 = V e i0 = 0 . L’eq. (4.61) diventa in questo caso (F (s) = 0): U (s)(1 + RCs + LCs2 ) = V (RC + sLC) da cui U (s) = V

s+ R L s2 + R Ls +

1 LC

=V

s+ R L . (s − s1 )(s − s2 )

Si noti che, per qualunque valore di ∆, s1 , s2 6= −R/L; quindi non c’`e cancellazione fra numeratore e denominatore e U (s) ha sempre due poli semplici (o un polo doppio). Per s1 6= s2 si ha (
) X est s + R L u(t) = V Res (s − s1 )(s − s2 ) s=s ,s 1

2

es1 t (s1 + R/L) − es2 t (s2 + R/L) = V , s1 − s2 che soddisfa le condizioni iniziali: u(0) i(t)

s1 − s2 =V s1 − s2      CV R R s1 t s2 t e s1 s1 + − e s2 s2 + ⇒ i(0) = 0 . s1 − s2 L L

= V =

122

R Se invece s1 = s2 = − 2L

( u(t)

=

Res 

= V

est s + R L (s − s1 )2


) s=s

d =V ds



R s+ L



e

1  R 1 + s1 t + t es1 t . L

st s=s1

Si verifica facilmente che le condizioni iniziali sono soddisfatte: u(0) i(t)

=

V

   d R 1 + s1 t + t es1 t dt L   R s1 t R e = CV s21 t + s1 t + 2s1 + L L   R ⇒ i(0) = 2s1 + =0. L =

CV

In entrambi i casi, per t → +∞ sia la tensione u(t) che la corrente i(t) tendono esponenzialmente a zero, come ci si aspetta. Anche qui t → +∞ significa t  2L/R.

123

Capitolo 5 Spazi L2 e distribuzioni Sin dall’inizio del Capitolo 3.2 abbiamo visto l’importante ruolo giocato dalle relazioni di ortogonalit`a (3.36) nel calcolo dei coefficienti di Fourier. In questo capitolo torneremo su questo argomento trattandolo in modo un po’ pi` u approfondito, e ci`o ci permetter`a di dare una definizione di convergenza delle serie (e trasformata) di Fourier molto pi` u generale ed appropriata. Allargheremo inoltre il campo delle funzioni introducendo il concetto di distribuzione; riusciremo cos`ı a derivare funzioni anche nei loro punti di discontinuit`a di I specie e ad ampliare di molto il campo delle funzioni che ammettono TF

5.1

Spazi L2 e serie di Fourier

L’insieme di tutte le funzioni a valori complessi in un intervallo reale [a, b] costituisce uno spazio vettoriale, ovvero spazio lineare, sui complessi. Ogni funzione rappresenta quindi un vettore e lo spazio vettoriale si chiama spazio funzionale; la somma di vettori e il prodotto per un numero complesso sono definiti dalle corrispondenti operazioni sulle funzioni. Nello spazio funzionale si pu`o inoltre definire il prodotto scalare di due vettori, f e g, come Z (f , g) =

b

f ∗ (x)g(x)dx .

(5.1)

a

Per aiutare la memoria, `e utile notare l’analogia fra l’integrale (5.1) e la consueta definizione (f , g) =

X

fi∗ gi .

(5.2)

i

di prodotto scalare negli spazi vettoriali (sui complessi) di dimensione finita; negli spazi funzionali la variabile x gioca un ruolo analogo a quello dell’indice i che individua la 124

componente i-esima; la somma su i `e sostituita dall’integrale perch´e l’indice x corre su un insieme continuo, l’intervallo [a, b]. L’integrale (5.1) soddisfa le propriet`a del prodotto scalare negli spazi unitari (cio`e negli spazi vettoriali su C dotati appunto di prodotto scalare) : 1) linearit` a nel secondo fattore: Z

b

f ∗ (x) [αg(x) + βh(x)] dx a Z b Z b ∗ = α f (x)g(x)dx + β f ∗ (x)h(x)dx

(f , αg + βh) =

a

a

= α(f , g) + β(f , h) . 2) Hermiticit` a: ∗

Z

(f , g) =

∗

b ∗

f (x)g(x)dx

Z =

a

b

f (x)g ∗ (x)dx = (g, f ) ,

a

che si riduce alla commutativit`a nel caso di spazio vettoriale sui reali. 3) Positivit` a1 : Z (f , f ) =

b

|f (x)|2 dx ≥ 0 ,

(5.3)

a

La radice quadrata del numero non negativo (f , f ) si dice norma del vettore f : p (5.4) kf k = (f , f ) Dalle propriet`a 1) e 2) segue che il prodotto scalare (5.1) `e antilineare nel primo fattore: (αf + βg, h) = α∗ (f , h) + β ∗ (g, h) . Vale inoltre per il prodotto scalare la seguente disuguaglianza, detta disuguaglianza di Schwartz: |(f , g)| ≤ kf k · kgk .

(5.5)

La disuguaglianza di Schwartz si pu`o considerare come un’estensione agli spazi funzionali della ben nota disuguaglianza della geometria euclidea |~a · ~b| = |ab cosϑ| ≤ ab, dove a e b sono le lunghezze (norme) dei due vettori e ϑ l’angolo compreso. 1

Questa propriet` a rende chiaro perch´e nelle definizioni (5.1) e (5.2) le “componenti” del primo vettore siano soggette alla complessa coniugazione.

125

` importante osservare che la definizione (5.1) di prodotto scalare ha senso solo se E le funzioni che consideriamo sono quadrato sommabili cio`e se esiste l’integrale (5.3) che definisce la norma di un vettore2 . Il prodotto scalare deve ancora soddisfare una propriet`a: l’eguaglianza nella (5.3) deve valere se e solo se f (x) = 0. Ma anche una funzione nulla ovunque tranne che in in alcuni punti isolati ha norma nulla. Occorre essere precisi al riguardo, e dobbiamo anche dire che nella definizione di prodotto scalare, e quindi di norma, si deve usare una generalizzazione dell’integrale di Riemann dovuta a Lebesgue. Per i nostri scopi non `e necessario definire l’integrale di Lebesgue, ma `e sufficiente enunciarne alcune propriet`a. Propriet` a A: ogni funzione assolutamente integrabile alla Riemann, in modo proprio o improprio, lo `e anche alla Lebesgue e i due integrali coincidono. Viceversa, se in un punto x0 ∈ [a, b] una funzione diverge troppo per essere integrabile alla Riemann (per esempio una f (x) = O(xα ) per x → 0, con α ≤ −1, su un intervallo d’integrazione comprendente l’origine) allora non `e nemmeno integrabile alla Lebesgue. Analogamente, se all’infinito una funzione va a zero troppo lentamente per essere integrabile alla Riemann su intervallo infinito (per esempio una f (x) = O(xα ) per x → ∞, con α ≥ −1), allora non `e nemmeno integrabile alla Lebesgue. Propriet` a B: come per l’integrale di Riemann, ogni funzione assolutamente integrabile `e anche integrabile, ma per l’integrale di Lebesgue vale anche il viceversa3 . Grazie alla propriet`a A, per calcolare un integrale alla Lebesgue di fatto si continua a calcolare il solito integrale di Riemann. Perch´e allora complicarci la vita con l’integrale di Lebesgue? La ragione `e che esistono delle funzioni piuttosto bizzarre che sono sommabili, cio`e integrabili alla Lebesgue, senza esserlo alla Riemann 4 ; tali funzioni, del tutto prive di interesse per la fisica, sono per`o essenziali per rendere completo lo spazio funzionale, nel senso che preciseremo fra poco. Un esempio di tali funzioni `e la funzione di Dirichlet, cos`ı definita su tutto l’asse reale:  1 x∈Q d(x) = 0 x∈ /Q, dove Q `e l’insieme dei numeri razionali. Si pu`o dimostrare che tale funzione, che evidentemente non `e integrabile alla Riemann, `e per`o sommabile e che il suo integrale di Lebesgue vale zero. 2`

E molto facile mostrare che l’esistenza della norma di due vettori implica che anche il loro prodotto scalare esiste. 3 L’assoluta integrabilit` a implica l’integrabilit`a alla Lebesgue solo nell’ipotesi che la funzione sia misurabile, ma questo `e il caso per tutte le funzioni di interesse in fisica; quindi daremo sempre per scontata la misurabilit` a, senza nemmeno preoccuparci di definirla. 4 Inoltre l’integrale di Lebesgue gode di propriet`a, discusse in Appendice D, che rendono molto pi` u semplice derivare sotto il segno, scambiare il limite con l’integrale e scambiare l’ordine d’integrazione in integrali multipli.

126

La funzione di Dirichlet `e diversa da zero solo sui razionali, cio`e su un’infinit`a numerabile di punti; il fatto che il suo integrale si annulli `e un caso particolare della pi` u generale Propriet` a C: Condizione necessaria e sufficiente affinch´e una funzione a valori reali non negativi abbia integrale di Lebesgue nullo `e che essa sia quasi ovunque nulla nell’intervallo (finito o infinito) di integrazione; dicendo che una propriet`a vale quasi ovunque (che si abbrevia con q.o.) su un intervallo si intende che l’insieme dei punti in cui non vale sia di misura nulla, cio`e, in pratica, finito o infinito numerabile5 . Come conseguenza della Propriet`a C si pu`o allora affermare che il vettore nullo (cio`e il vettore di norma nulla, che vogliamo sia unico) `e rappresentato dall’intera classe delle funzioni quasi ovunque nulle; analogamente, a ogni vettore dello spazio astratto corrisponde una classe di funzioni quasi ovunque uguali quadrato sommabili; tale spazio, dotato del prodotto scalare (5.1), 6 si denota con il simbolo L2 (a, b). Si denota invece con L(a, b) lo spazio delle funzioni sommabili 7 Se e solo se l’intervallo (a, b) `e finito vale L2 (a, b) ⊂ L(a, b), ovvero ogni funzione quadrato sommabile, su un intervallo finito, `e ivi anche sommabile; per convincersene basta l’identit`a Z b

f (x) dx = (1, f ) , a

dove con 1 intendiamo il vettore corrispondente alla funzione f (x) = 1, che `e sommabile su ogni intervallo finito. Non `e invece vero che ogni funzione sommabile sia quadrato sommabile; per esempio 1 / L2 (0, 1) . f (x) = √ ∈ L(0, 1) ma ∈ x Su intervallo infinito non esiste invece alcuna relazione di inclusione fra L e L2 ; per esempio 1 f (x) = √ ∈ L2 (0, ∞) ma ∈ / L(0, ∞) . 2 1+x Due funzioni f (x) e g(x) appartenenti a L2 (a, b) si definiscono ortogonali se il loro prodotto scalare `e nullo: Z b (f , g) = f ∗ (x)g(x)dx = 0 . a 5

Nel piano, un insieme di misura nulla pu`o essere costituito non solo da un’infinit`a numerabile di punti, ma anche da un numero finito o infinito numerabile di segmenti (o curve differenziabili) e cos`ı via. 6 che evidentemente non dipende da quale funzione si sceglie per rappresentare la classe. 7 In L(a, b) non `e definito il prodotto scalare, anche se `e ancora uno spazio vettoriale normato.

127

Un sistema di funzioni {φi (x)} ∈ L2 (a, b) si definisce ortonormale (ON) se Z b φ∗i (x)φk (x)dx = δik , ∀i, k . (φi , φk ) = a

Sia {φ1 φ2 ..., φn } un sistema ortonormale finito di L2 (a, b) e sia f (x) ∈ L2 (a, b) definita da: f (x) =

n X

ck φk (x)

(5.6)

k=1

o equivalentemente, in linguaggio vettoriale: f=

n X

ck φk ,

(5.7)

k=1

dove ck sono arbitrari numeri complessi. Le componenti ci del vettore f lungo le direzioni φi si calcolano subito moltiplicando scalarmente la (5.7) per il vettore φi ; si ottiene: Z b n n X X ∗ φi (x)f (x)dx = (φi , f ) = ck (φi , φk ) = ck δik = ci . (5.8) a

k=1

k=1

Questo risultato era ovviamente atteso, poich´e stiamo lavorando in uno spazio a numero finito di dimensioni, la variet`a n-dimensionale generata dai vettori φ1 , · · · φn . In L2 (a, b) esistono per`o sistemi ON formati da un’infinit`a numerabile di vettori; per esempio la eq.(3.36) mostra che in L2 (0, 2π) le funzioni trigonometriche (in forma esponenziale) eilx (5.9) φl (x) = √ 2π formano un sistema ON infinito numerabile. Per estendere la (5.6) al caso in cui n sia infinito, bisogna affrontare il problema della convergenza della serie, e questo `e l’argomento centrale di questo paragrafo. Se {φi , i = 1, 2, ...} `e un insieme infinito numerabile di funzioni ortonormali di 2 L (a, b) e ∀f (x) ∈ L2 (a, b), consideriamo dapprima la proiezione ortogonale fN del vettore f sul sottospazio generato dai vettori ON φ1 , · · · φN . Essa `e data da fN (x) =

N X

N = 1, 2 · · · ,

ci φi (x)

(5.10)

i=1

con Z ci = (φi , f ) ≡

b

φ∗i (x)f (x)dx,

a

128

(5.11)

e si dice ridotta N -esima dello sviluppo in serie di Fourier del vettore f nel sistema {φi }, mentre le costanti ci sono i coefficienti di Fourier dello sviluppo. Dimostriamo innanzitutto la seguente disuguaglianza, detta disuguaglianza di Bessel: ∞ X |ck |2 ≤ (f , f ) . (5.12) k=1

Da kf − fN k2 ≥ 0

(5.13)

segue che

kf − fN k2 = (f , f ) +

N X

c∗k cl (φk , φl ) −

k,l=1

= (f , f ) +

N X

= (f , f ) −

[ck (f , φk ) + c∗k (φk , f )]

k=1

|ck |2 −

k=1 N X

N X

N X

(ck c∗k + c∗k ck )

k=1

|ck |2 ≥ 0 ,

k=1

da cui N X

|ck |2 ≤ (f , f ) .

k=1

Questo risultato vale per qualunque N . Facendo tendere N a infinito si ottiene infine la disuguaglianza di Bessel (5.12): la serie dei moduli quadrati dei coefficienti di Fourier di un vettore f `e minore o uguale alla norma quadrata del vettore. Se il sistema di vettori {φk } `e tale che la disuguaglianza di Bessel vale con il segno = per ogni f , allora il sistema di vettori {φk } si dice completo e costituisce una base ON in L2 (a, b). La (5.12) diventa allora ∞ X

|ck |2 = (f , f )

(5.14)

k=1

e prende il nome di equazione di Parseval. In uno spazio unitario a N dimensioni un sistema ON `e completo se e solo se `e costituito da N vettori; un insieme infinito numerabile invece non cambia il numero dei suoi elementi (la sua potenza) anche se da esso ne tolgo uno o pi` u; quindi l’unico criterio che mi assicura che non mi sia perso dei vettori base, cio`e che il sistema sia completo, `e, come abbiamo appena detto, che sia soddisfatta l’equazione di Parseval (5.14), che generalizza il Teorema di Pitagora agli spazi infinito dimensionali. 129

Uno spazio unitario infinito dimensionale in cui esista un sistema ON completo infinito numerabile si dice separabile; si pu`o dimostrare che L2 (a, b) `e separabile, qualunque sia l’intervallo (a, b), finito o infinito; in particolare per (a, b) = (0, 2π) un sistema completo `e dato dalle funzioni trigonometriche (5.9). Per aiutare la memoria si pu`o dire, in modo molto rozzo, che uno spazio separabile ha dimensione infinita numerabile. L’equazione di Parseval ci permette anche di dare un senso preciso alla convergenza della serie di Fourier. Infatti da: kf − fN k2 = (f , f ) −

N X

|ck |2

(5.15)

k=1

e dall’equazione di Parseval (5.14) segue che: lim kf − fN k2 = 0.

N →∞

(5.16)

Per definizione di limite nello spazio vettoriale astratto , l’equazione (5.16) `e equivalente alla scrittura: f = lim fN = N →∞

∞ X

ck φk .

(5.17)

k=1

Abbiamo cos`ı definito la somma della serie di Fourier nello spazio vettoriale astratto; in termini di funzioni la (5.16) significa: Z b lim |f (x) − fN (x)|2 dx = 0, (5.18) N →∞

a

dove la ridotta N -esima della serie di Fourier `e data dalla (5.10) con i coefficienti (5.11). La (5.18) si abbrevia nel modo seguente: f (x) = l . i. m. fN (x) , N →∞

(5.19)

dove l.i.m. si legge per limite in media quadratica. La convergenza della serie di Fourier si pu`o quindi esprimere nei 5 modi (5.14), (5.16), (5.17), (5.18), (5.19) perfettamente equivalenti. Molto spesso si scrive pi` u semplicemente (e lo faremo anche noi): f (x) =

∞ X

ci φi (x),

(5.20)

i=1

ma l’espressione (5.20) `e corretta solo se interpretata come un’abbreviazione della (5.19); in generale, la serie dei numeri complessi a secondo membro della (5.20) pu`o 130

non convergere, o convergere a un valore diverso dal numero complesso f (x); infatti le eq. (5.18) o (5.19) non ci dicono assolutamente nulla della convergenza puntuale della serie a secondo membro della eq.(5.20), come era da aspettarsi, visto che la funzione f (x) `e solo un rappresentante all’interno di una classe di funzioni quasi ovunque uguali; quindi, per esempio, se in un punto x0 si aggiunge a f (x0 ) una costante, non cambia nulla nei coefficienti di Fourier ci dati dalla (5.11) e quindi nel secondo membro della eq.(5.20), ma ovviamente cambia il primo membro. La convergenza (5.19) richiede solo che f ∈ L2 (a, b) e che il sistema {φi } sia ONC; la convergenza puntuale della (5.20) in uno specifico punto x0 ∈ [a, b] richiede invece tutt’altre condizioni su f , discusse nel Cap. 3.2. Si pu`o dimostrare che lo spazio L2 (a, P b) `e completo 8 , cio`e che per ogni infinit`a numerabile di numeri complessi ci tali che i |ci |2 < ∞, esiste una f ∈ L2 (a, b) tale che P ` per questa dimostrazione che `e importante che l’integrale sia di Lebesgue f = ci φi (E e che vengano quindi incluse nello spazio funzionale anche funzioni non integrabili alla Riemann). Uno spazio vettoriale sui complessi, dotato di prodotto scalare e completo, si dice spazio di Hilbert. La completezza di uno spazio, in particolare dello spazio L2 (a, b), e la sua separabilit` a, permettono di stabilire una corrispondenza biunivoca fra i suoi elementi f e gli insiemi infiniti numerabili dei loro coefficienti di Fourier ci , che possiamo considerare come le componenti di un vettore rispetto alla base φi prefissata. ` P che tale corrispondenza conserva i prodotti scalari: se f (x) = P E facile mostrare i di φi , allora i ci φi e g(x) = ! Z b ∞ ∞ ∞ X X X ∗ ∗ (f , g) = f (x)g(x) dx = ci φi , g = ci (φi , g) = c∗i di , (5.21) a

i=1

i=1

i=1

dove si sono usate l’antilinearit`a e la continuit`a9 del prodotto scalare nel primo fattore. Quindi tutti gli spazi di Hilbert separabili (infinito dimensionali), in particolare gli spazi L2 (a, b), sono isomorfi fra loro e con lo spazio di Hilbert delle componenti, i cui sono i vettori colonna di componenti ci , con i = 1, 2, .., con il vincolo P∞elementi 2 |c | < ∞; le propriet`a di uno spazio si traducono in corrispondenti propriet`a i=1 i dell’altro.

5.1.1

Trasformata di Fourier in L2

Gli spazi L2 intervengono spesso in fisica; in particolare l’ambiente in cui vive naturalmente la Meccanica Quantistica `e quello degli spazi di Hilbert separabili, che 8

Qui la parola completo viene usata in due contesti diversi: la completezza dello spazio non ha nulla a che fare con la completezza di un sistema di funzioni o vettori. 9 La continuit` a del prodotto scalare, cio`e l’uguaglianza (limN →∞ fN , g) = limN →∞ (fN , g), pu`o essere facilmente dimostrata a partire dalla disuguaglianza di Schwartz (5.5) e dalla definizione (5.16) di f = limN →∞ fN .

131

` quindi concettualpossono essere realizzati da spazi di funzioni quadrato sommabili. E mente molto importante estendere la definizione di Trasformata di Fourier, che nella sua forma (4.7) si applica solo a f (x) ∈ L(R), anche a f (x) ∈ L2 (R). Su intervallo infinito una funzione pu`o essere quadrato sommabile senza essere sommabile (vedi esempio 5.6 in Appendice D), ma su intervallo finito L2 (a, b) ⊂ L(a, b); quindi per una generica f (x) ∈ L2 (R) l’integrale Z N 1 √ e−ikx f (x)dx = FN (k) (5.22) 2π −N esiste certamente, ma non `e detto che ne esista il limite (puntuale) per N → ∞. Si pu`o invece dimostrare che ∀f (x) ∈ L2 (R) esiste sempre una F (k) ∈ L2 (R) tale che F (k) = l . i . m. FN (k) ,

(5.23)

N →∞

dove l.i.m. `e stato definito sopra la (5.19), ovvero Z +∞ 2 |F (k) − FN (k)|2 dk = 0 . lim kF − FN k = lim N →∞

N →∞

∞

Si pu`o anche dimostrare che la f (x) `e la antitrasformata di Fourier della F (k) nello stesso senso di media quadratica, ovvero Z +∞ |f (x) − fN (x)|2 dx = 0 , (5.24) f (x) = l . i . m. fN (x) ⇔ lim N →∞

N →∞

∞

dove 1 fN (x) = √ 2π In fisica si continua a scrivere Z +∞ 1 F (k) = √ e−ikx f (x)dx , 2π −∞

Z

N

eikx F (k) dk .

(5.25)

−N

1 f (x) = √ 2π

Z

+∞

eikx F (k)dk

(5.26)

−∞

anche per f (x) ∈ L2 , ma la scrittura corretta `e data dalle equazioni (5.22), (5.23), (5.24),T (5.25). Naturalmente le (5.26) sono anche formalmente corrette se f (x) ∈ L(R) L2 (R), F (k) ∈ L(R) e f (x) `e di classe C 1 nel punto x. Come lo sviluppo in serie di Fourier, anche la Trasformata di Fourier conserva i prodotti scalari (ha senso parlare di questi perch´e lavoriamo in L2 ); vale cio`e l’uguaglianza di Parseval generalizzata Z Z +∞

+∞

∗

f ∗ (x)g(x) dx ,

F (k)G(k) dk = −∞

−∞

dove f, g ∈ L2 (R) e F, G ∈ L2 (R) sono le loro trasformate di Fourier. 132

(5.27)

La dimostrazione `e immediata10 , usando il teorema di Fubini Tonelli (vedi Appendice D) per scambiare l’ordine di integrazione: Z +∞ Z ∞ Z +∞ 1 ∗ ∗ F (k)G(k) dk = √ dk F (k) dx e−ikx g(x) 2π −∞ −∞ −∞ Z +∞ ∗ Z +∞ Z +∞ 1 =√ dx g(x) dk e−ikx F ∗ (k) = f ∗ (x)g(x) dx . 2π −∞ −∞ −∞ Il contenuto di questo paragrafo va sotto il nome di “Teorema di Plancherel” per i matematici. Caso particolare della (5.27) `e la conservazione della norma; un interessante esempio a questo proposito `e il seguente esempio. Esempio La trasformata di Fourier della funzione f (t) = e−t/T sin(ω0 t)θ(t) , che descrive il moto di un oscillatore armonico smorzato, `e Z ∞ Z ∞ 1 1 −iωt f (t)e dt = √ e−t/T sin(ω0 t)e−iωt dt F (ω) = √ 2π −∞ 2π 0  Z ∞ Z ∞ 1 (−1/T −iω−iω0 )t (−1/T −iω+iω0 )t √ = e dt e dt − 2i 2π 0 0   1 1 1 √ = − , 2i 2π 1/T + i(ω − ω0 ) 1/T + i(ω + ω0 ) cio`e   1 1 1 F (ω) = √ − . (ω − ω0 ) − i/T 2 2π (ω + ω0 ) − i/T Per dare un’interpretazione fisica alle funzioni f (t) e F (ω), supponiamo che f (t) sia il campo elettrico di un’onda irradiata. RAllora la potenza irradiata `e W ∝ |f (t)|2 e ∞ l’energia totale irradiata `e proporzionale a 0 |f (t)|2 dt. Dal teorema di Parseval Z ∞ Z ∞ 2 |f (t)| dt = |F (ω)|2 dω . 0

−∞

Quindi |F (ω)|2 rappresenta (a meno di costanti) l’energia irradiata per intervallo unitario di frequenza: |F (ω)|2 =

1 ω02 2 2π (ω 2 − ω 2 )2 + 2 ω02 +ω + 0 T2

10

1 T4

.

Per semplicit` a qui si usano le ipotesi (non necessarie) che g(x) sia anche sommabile e valga puntualmente la (4.6).

133

Se T `e molto grande (T  ω0−1 ), l’energia irradiata per intervallo unitario di frequenza `e fortemente piccata in ω = ω0 e la larghezza del picco `e inversamente proporzionale a T: ω02 T 2 . |F (ω)| ' 2 (ω0 − ω 2 )2 T 2 + 2(ω02 + ω 2 ) 2

5.2

Alcuni sistemi ONC

Passiamo ora a considerare alcuni esempi di spazi L2 e di relativi sistemi ONC al loro interno. Esempio: le funzioni trigonometriche Il sistema delle funzioni esponenziali  ikx  e √ , 2π

k = 0, ±1, ±2, ...

(5.28)

che avevamo gi`a visto in (5.9), costituisce una base ON in L2 (0, 2π). Usando le formule di Eulero, esso pu`o essere riscritto come sistema trigonometrico:   1 cos nx sin nx √ , √ , √ ; n = 1, 2, · · · (5.29) π π 2π Il sistema delle potenze e i polinomi ortogonali Oltre al sistema delle funzioni trigonometriche, di cui ci siamo occupati finora, un altro esempio di sistema completo in uno spazio L2 `e il sistema delle potenze {xn } = {1, x, x2 , x3 , ...}

(5.30)

Si pu`o dimostrare che il sistema (5.30) `e completo in L2 in qualsiasi intervallo finito (a, b), ma evidentemente esso non `e ortogonale: Z

b

xn xm dx 6= 0

(5.31)

a

anche per n 6= m. ` possibile tuttavia ortogonalizzarlo, passando dalle funzioni xn a loro combinazioni E lineari, che saranno polinomi Pn (x), costruiti in modo tale che11 Z b Pn (x)Pm (x)dx = hn δnm . a 11

Per ragioni di comodit` a e tradizione non sempre le costanti positive hn sono scelte uguali a 1.

134

A questo scopo si sceglie P0 (x) = 1, si pone P1 (x) = x + α e si fissa α in modo che P1 (x) sia ortogonale a P0 (x); poi si pone P2 (x) = x2 + βx + γ e si fissano β e γ in modo ` ovvio che i coefficienti α, β, che P2 (x) sia ortogonale a P1 (x) e a P0 (x), e cos`ı via. E 2 γ ... dipenderanno dall’intervallo (a, b) che definisce L (a, b); inoltre i polinomi Pn (x) cos`ı ottenuti potranno essere moltiplicati per opportune costanti per normalizzarli a 1 o a un’altra costante hn a scelta. Il sistema di polinomi ortogonali cos`ı ottenuto `e completo in L2 (a, b). Di conseguenza ogni funzione f (x) ∈ L2 (a, b) pu`o essere approssimata in media quadratica, bene quanto si vuole, con una serie di polinomi ortogonali: f (x) =

∞ X

αn Pn (x) .

n=0

Per esempio nell’intervallo (−1, 1) la procedura di ortogonalizzazione conduce ai polinomi di Legendre, definiti dalla formula di Rodrigues: Pn (x) =

1 dn 2 (x − 1)n , n n 2 n! dx

dove si `e usata la normalizzazione convenzionale: Z 1 2 Pm (x)Pn (x)dx = δmn . 2n + 1 −1

(5.32)

(5.33)

Per dimostrare che (Pm , Pn ) = 0 per n 6= m basta scrivere, per m < n  n  Z 1 Z 1 dn 2 d n (Pm , Pn ) = cost dxPm (x) n (x −1) = cost dx P (x) (x2 −1)n , (5.34) n m dx dx −1 −1 dove si `e integrato n volte per parti tenendo conto che i contributi negli estremi si annullano poich´e +1 dl 2 n (x − 1) (5.35) = 0 per ogni l ≤ n − 1 , dxl −1 e accorgersi che

dn Pm (x) = 0 ∀n ≥ m + 1 . dxn Dalla (5.32) segue che i primi polinomi di Legendre sono

(5.36)

1 P0 (x) = 1 , P1 (x) = x , P2 (x) = (3x2 − 1) , · · · . 2 Inoltre `e facile dimostrare che i polinomi di Legendre obbediscono all’equazione differenziale di Legendre (1 − x2 )Pn00 (x) − 2xPn0 (x) + n(n + 1)Pn (x) = 0 con n = 0, 1, 2, · · · 135

(5.37)

che si pu`o scrivere nella forma compatta d d 2 (x − 1) e λn = n(n + 1) . (5.38) dx dx d 2  d Dimostrazione: Fn (x) = dx (x − 1) dx Pn (x) `e ancora evidentemente un polinomio di grado n; pu`o quindi essere scritto nella forma Lx Pn (x) = λn Pn (x) con Lx =

Fn (x) =

n X

(n)

αl Pl (x)

(5.39)

l=0 (n)

con gli αl proporzionali a Z 1 Z 1 d d dxPl (x) (x2 − 1) Pn (x) dxPl (x)Fn (x) = dx dx −1 −1   Z 1 Z 1 d d 2 dx (x − 1) Pl (x) = − dxFl (x)Pn (x) , Pn (x) = dx dx −1 −1 dove si `e ripetutamente integrato per parti; usando di nuovo la (5.39) e la (5.33) si (n) (n) ricava subito che αl = 0 per l < n; che αn valga proprio n(n + 1) segue dal conto esplicito della potenza pi` u alta di Fn : d d 2 d d 2 (x − 1) xn + · · · = (x − 1)nxn−1 + · · · = n xn+1 + · · · = n(n + 1)xn + · · · dx dx dx dx Polinomi ortogonali su intervallo infinito Se l’intervallo `e infinito non `e possibile utilizzare direttamente le potenze perch´e esse non sono quadrato sommabili (l’integrale (5.31) non esiste). Tuttavia sull’intervallo 2 (−∞, +∞) si pu`o introdurre un fattore di convergenza e−x , definire il sistema di 2 funzioni {e−x /2 xn }, quadrato sommabili sull’asse reale qualunque sia n = 0, 1, 2, ..., e ortogonalizzarlo secondo il metodo appena descritto. Questo conduce ai polinomi di Hermite, dati dalla formula di Rodrigues generalizzata Hn (x) = (−1)n ex

2

dn −x2 e , dxn

n = 0, 1, 2 · · ·

(5.40)

e normalizzati come segue: Z

+∞

√ 2 e−x Hm (x)Hn (x)dx = 2n n! πδmn .

−∞

L’ortogonalit`a dei polinomi dati dalla (5.40) si dimostra come per i polinomi di Legendre. I primi polinomi di Hermite sono 136

H0 (x) = 1 , H1 (x) = 2x , H2 (x) = 4x2 − 2 · · · . L’equazione differenziale a cui obbediscono i polinomi (5.40) `e l’equazione differenziale di Hermite: Hn00 (x) − 2xHn0 (x) + 2nHn (x) = 0 con n = 0, 1, 2, , · · · , ovvero

 d −x2 d e Hn (x) = −2nHn (x) , e dx dx mentre le funzioni associate di Hermite x2

(5.41)



ψn (x) = e−x

2 /2

Hn (x) ,

n = 0, 1, 2 · · ·

(5.42)

(5.43)

2

che formano una base ortogonale in L (R), (ψn , ψm ) = δnm hn , sono soluzioni dell’equazione dell’oscillatore armonico quantistico: d2 + x2 e λn = 2n + 1 , (5.44) dx2 che si dimostra in stretta analogia alla (5.38). L’esistenza del sistema ONC (5.43), ovviamente numerabile, implica che anche lo spazio delle funzioni quadrato sommabili sull’intero asse reale `e separabile. Lx ψn (x) = λn ψn (x) con Lx = −

5.3 5.3.1

Sistemi ONC in L2 e distribuzioni. Operatori autoaggiunti e sistemi ortogonali

Abbiamo dato qualche esempio di sistemi ONC, ma ci si pu`o chiedere se esista un modo pi` u generale per costruirli. Per rispondere a questa domanda osserviamo che i polinomi di Legendre {Pn } e le funzioni associate di Hermite {ψn }, che sono sistemi ONC in un opportuno spazio L2 (a, b), condividono la propriet`a di essere autofunzioni di un operatore differenziale L, la cui espressione `e data rispettivamente da eq. (5.38) e eq. (5.44). Come vedremo tra poco, l’operatore L, munito di opportune condizioni al contorno, `e in entrambi i casi autoaggiunto. Ricordiamo la definizione di aggiunto o hermitiano coniugato A† di un operatore lineare A in uno spazio vettoriale finitodimensionale su C dotato di prodotto interno (x, y) (spazio unitario): (A† y, x) = (y, Ax), per ogni x, y nel dominio di definizione di A. In termini di matrici che rappresentano A, (A† )ij = A∗ji . Valgono (A + B)† = A† + B † , (AB)† = B † A† , (αA)† = α∗ A† per α ∈ C, (A† )† = A. Se A = A† , l’operatore A si dice hermitiano o autoaggiunto e (Ay, x) = (y, Ax). 137

Un operatore hermitiano ha autovalori reali, i suoi autovettori corrispondenti a autovalori differenti sono ortogonali, e si possono scegliere gli autovettori in modo da formare una base completa ortonormale dello spazio. Nel caso dello spazio di Hilbert infinito dimensionale che stiamo studiando un operatore differenziale L `e autoaggiunto se (u, Lv) = (Lu, v) ≡ (v, Lu)∗ ,

(5.45)

∀u, v nel dominio di definizione di L. Questa propriet`a non dipende solo da L ma anche dal suo dominio. Infatti il dominio di L deve comprendere solo quelle funzioni che, oltre a essere derivabili quanto basta, sono anche limitate e quadrato sommabili, cosicch´e si possa ripetutamente integrare per parti in modo da poter dimostrare la (5.45). Per esempio su L2 (R) l’operatore differenziale di cui le funzioni associate di Hermite sono autofunzioni (autovettori) `e autoaggiunto:   Z +∞ Z +∞ d2 2 ∗ ∗ u (x)Lx v(x) dx = u (x) − 2 + x v(x) dx (u, Lv) = dx −∞ −∞  ∗ Z +∞  2 d = − 2 + x2 u(x) v(x) dx . dx −∞ d Lo stesso vale anche per l’operatore in (5.38) (verificare per esercizio) e per Lx = −i dx , iλx le cui autofunzioni sono esponenziali complessi e , con condizioni al contorno periodiche u(π) = u(−π). Infatti   Z +π d ∗ v(x) = −i u∗ (x)v(x)|+π dx u (x) −i (u, Lv) = −π dx −π  ∗ Z +π  Z +π  d ∗ d + dx i u (x) v(x) = dx −i u(x) v(x) dx dx −π −π = (Lu, v) .

Notare l’importanza delle condizioni al contorno periodiche per l’annullarsi del contributo agli estremi nell’integrazione per parti. Confrontando (φn , Lφn ) = λn (φn , φn ) con la sua complessa coniugata e usando la (5.45) si vede subito che • gli autovalori di un operatore autoaggiunto sono reali. ` anche facile dimostrare che E • l’insieme delle autofunzioni degli operatori autoaggiunti ` e ortogonale: da Lφn = λn φn , Lφm = λm φm , moltiplicando scalarmente la prima equazione per φm e la seconda per φn , usando la (5.45) e sottraendo dalla prima equazione il complesso coniugato della seconda segue 0 = (λn − λm ) (φn , φm ) 138

da cui (φn , φm ) = 0 se λn 6= λm .

(5.46)

Notare che queste due propriet`a sono identiche a quelle degli operatori (matrici) hermitiani negli spazi unitari finito dimensionali. Il discorso invece sulla completezza dei sistemi di autofunzioni di un operatore autoaggiunto in uno spazio infinito dimensionale `e molto pi` u delicato e non sar`a affrontato qui: ci limitiamo a dire che tale sistema `e generalmente completo, come negli esempi visti qui (polinomi di Legendre in L2 (−1, 1), funzioni associate di Hermite in L2 (R), sistema trigonometrico in L2 (−π, π)), ma ci`o non `e sempre vero. Perch´e il sistema di autofunzioni di un operatore autoaggiunto sia completo `e talvolta necessario includervi autofunzioni generalizzate, rappresentate da “distribuzioni” anzich´e da funzioni quadrato sommabili; daremo un esempio nel prossimo paragrafo. Vogliamo terminare questo paragrafo sottolineando l’importanza delle condizioni al contorno. Per esempio l’equazione −i

d u(x) = λu(x) dx

(5.47)

ammette la soluzione eiλx per ogni λ ∈ C; `e solo la richiesta di periodicit`a u(π) = u(−π) che seleziona i λ ∈ Z, e questa ci d`a una base ortogonale in L2 (−π, π); sull’intervallo (−∞, +∞) i valori reali di λ sono selezionati dalla richiesta che u(x) sia limitata su tutto l’asse reale.

5.3.2

La δ di Dirac e cenni sulle distribuzioni

Le funzioni eiλx , con λ ∈ R, sono autofunzioni non quadrato sommabili dell’operatore autoaggiunto −id/dx e costituiscono una “base generalizzata” in L2 (R) nel senso che ogni f (x) ∈ L2 (R) `e sviluppabile, per cos`ı dire, in una loro “combinazione lineare continua” mediante l’antitrasformata di Fourier (5.26). Non si pu`o invece dire che le funzioni φλ (x) = eiλx costituiscano un sistema ortogonale in senso stretto in L2 (R); infatti, proprio perch´ sono quadrato sommabili, se cerchiamo di calcolare il prodotto
eRnon +∞ scalare φλ , φµ = −∞ dxe−iλx eiµx troviamo un integrale privo di senso. Tuttavia se ci ricordiamo la definizione (4.7) di Trasformata di Fourier e quella (4.6) di antitrasformata, per ogni funzione f (x) sommabile e di classe C 1 su tutto R possiamo scrivere Z +∞ Z +∞ Z +∞ 1 1 ikx ikx dk F (k) e = dk e dy e−iky f (y) . (5.48) f (x) = √ 2π −∞ 2π −∞ −∞
Per la stessa ragione per cui non esiste il prodotto scalare φλ , φµ non `e possibile scambiare l’ordine di integrazione in (5.48). Se scriviamo per`o 1 f (x) = lim N →∞ 2π

Z

+N

dk e −N

ikx

Z

+∞

−∞

139

dy e−iky f (y)

(5.49)

60

40

20

0

-0.2

0.0

-0.1

0.1

0.2

Figura 5.1: La funzione dN (t) per N = 50 e 200.

il teorema di Fubini Tonelli ci permette di scambiare l’ordine di integrazione ottenendo Z +∞ f (x) = lim dN (y − x)f (y)dy , (5.50) N →∞

−∞

dove 1 dN (t) = 2π

Z

+N

dk e−ikt =

−N

1 sin N t . π t

(5.51)

Ovviamente non ha senso scambiare il limite con l’integrale poich´e il limite puntuale per N → ∞ di dN (t) non esiste. Tuttavia si pu`o scrivere lim dN (t) = δ(t) ,

N →∞

(5.52)

dove la “funzione δ di Dirac” non `e una funzione ma un nuovo oggetto chiamato distribuzione; il limite `e inteso “in senso debole” o “nel senso delle distribuzioni” e significa esattamente la eq. (5.50); per dare senso alla (5.52) si deve cio`e moltiplicare per una “funzione di prova” (che per comodit`a in matematica si sceglie infinitamente derivabile e decrescente all’infinito pi` u rapidamente di ogni potenza; chiamiamo S lo spazio lineare di tali funzioni di prova), integrare sulla variabile e poi fare il limite. Si scrive allora per ogni funzione di prova g(x) Z +∞ Z +∞ lim dy dN (y − x) g(y) = δ(y − x) g(y) dy = g(x) . (5.53) N →∞

−∞

−∞

L’ultima uguaglianza, che si pu`o anche scrivere Z +∞ δ(t) g(t) dt = g(0) , −∞

140

(5.54)

va intesa come definizione della δ di Dirac, dove il segno di integrale `e puramente simbolico. Simbolicamente si scrive anche Z +∞ 1 sin N t 1 = δ(t) = lim dk e−ikt , (5.55) N →∞ π t 2π −∞ dove il limite (anche degli estremi di integrazione) va inteso in senso debole; si deve cio`e prima moltiplicare per una funzione di t, integrare su t, e poi integrare su k. Pi` u in generale la δ di Dirac non `e che un esempio (il pi` u importante) di distribuzione, definita nel modo seguente: • una distribuzione (temperata) T `e un funzionale lineare continuo sullo spazio S delle funzioni di prova, cio`e un’applicazione lineare continua12 di S in C: T : S→C

(5.56)

che si indica con la notazione seguente: T : g 7→ (T, g) ∈ C ,

(5.57)

dove g `e una qualsiasi funzione di prova. Il simbolo (T, g) richiama quello di prodotto scalare, e infatti in fisica si scrive abitualmente Z +∞ (T, g) ≡ T (x)∗ g(x)dx ; (5.58) −∞

tuttavia l’integrale a secondo membro non sempre `e un vero integrale (di Lebesgue); lo `e se, per esempio, T (x) e g(x) sono entrambe funzioni quadrato sommabili. Nella teoria delle distribuzioni g(x) `e una funzione non solo quadrato sommabile ma che va a zero pi` u rapidamente di 1/xn , ∀n ∈ N (S ⊂ L2 (R)); in compenso non `e necessario che T (x) sia quadrato sommabile; basta che sia localmente sommabile e non troppo crescente per x → ±∞ (ci pensa g(x) ad assicurare la convergenza dell’integrale) o addirittura, come nel caso della δ di Dirac, non `e nemmeno necessario che sia una funzione; in quest’ultimo caso la (5.58) non `e che un modo simbolico di scrivere la (5.57), dove la prescrizione per associare ad ogni g ∈ S il numero complesso (T, g) `e data in qualche altro modo, per esempio per la δ di Dirac δ : g 7→ g(0) ∈ C , ∀g(x) ∈ S

(5.59)

che i fisici scrivono nella forma (5.54). Il concetto di distribuzione generalizza quindi quello di funzione (i russi chiamano le distribuzioni funzioni generalizzate). La δ di Dirac pu`o essere rappresentata come limite debole di una successione non solo mediante la (5.55)ma in molti altri modi. Per ogni funzione D(x) ∈ L(R) e tale che Z +∞ D(x) dx = 1 (5.60) −∞ 12

Per dare un senso compiuto all’aggettivo “continua” dovremmo definire il concetto di limite in S, che `e molto pi` u forte del semplice limite puntuale, ma non abbiamo tempo di farlo qui.

141

si pu`o provare δ(x) = lim N D(N x) debole;

(5.61)

N →∞

basta infatti moltiplicare per una funzione di prova qualsiasi g(x) e integrare per ottenere Z +∞ Z +∞ Z +∞ y dy δ(x)g(x)dx = lim N D(N x)g(x)dx = lim D(y)g N →∞ −∞ N →∞ −∞ N −∞ = g(0) , (5.62) dove: a) si `e prima integrato e poi preso il limite, in accordo con la definizione di limite debole; b) si `e fatto il limite sotto il segno usando il teorema (D.1) dell’Appendice D, tenendo conto che g ∈ S ⇒ ∃M > 0/|g(x)| < M, ∀x ∈ R e quindi che |D(y)g(y/N )| < M |D(y)|. Tra le possibili rappresentazioni della delta di Dirac citiamo le seguenti (dove si `e anche posto  = N1 ): 1.

2.

1 1 N 2 2 2 2 D(x) = √ e−x ⇒ δ(x) = lim √ e−(N x) = lim √ e−x / →0+  π N →∞ π π   0 1 D(x) =  0

  0 N lim N →∞  0  0 = lim 1

x < − 12 |x| < 12 ⇒ δ(x) = x > 21 .

→0+



(5.63)

1 x < − 2N 1 |x| < 2N 1 x > 2N .


x∈ / − 2 , 2
x ∈ − 2 , 2 (5.64)

3.

D(x) =

1 1 N 1 1  ⇒ δ(x) = lim = lim 2 2 2 →0+ π x + 2 N →∞ π (N x) + 1 π x +1 (5.65)

` importante osservare che il limite debole nella (5.61) non ha niente a che fare con il E limite puntuale, che ha tuttavia importanza storica poich´e esso coincide con la definizione intuitiva data da Dirac alla sua funzione δ: “una funzione che `e nulla dappertutto salvo che nell’origine, dove vale infinito, in modo tale che il suo integrale sull’asse reale R +∞ valga uno” (notare che −∞ N D(N x)dx = 1, ∀N ). Ritornando al “prodotto scalare”
φλ , φµ , con φλ (x) = eiλx , si pu`o quindi scrivere
φλ , φµ = 2πδ(λ − µ) , (5.66) 142

che generalizza a intervallo infinito la relazione di ortogonalit`a in L2 (−π, π) (φl , φm ) = 2πδlm

(5.67)

con φl (x) = eilx . La δ di Dirac pu`o quindi essere vista come generalizzazione della δ di Kr¨onecker a indice continuo; si confrontino anche le propriet`a caratteristiche δlm = 0 , l 6= m X δlm = 1

↔

δ(λ − µ) = 0 , λ 6= µ Z ↔ dλδ(λ − µ) = 1 .

(5.68) (5.69)

l

Enunciamo ora un’importante propriet` a della delta di Dirac. Sia f (x) una funzione con n zeri semplici: f (x) = 0 per x = x1 , x2 , ..., xn ; f 0 (xi ) 6= 0 . Allora: δ(f (x)) =

n X δ(x − xi ) . df i=1 dx

(5.70)

x=xi

Per esempio, se f (x) = x2 − a2 , la (5.70) fornisce δ(x2 − a2 ) =

δ(x − a) δ(x + a) 1 + = [δ(x − a) + δ(x + a)] . 2|a| 2|a| 2|a|

Caso particolare importante della (5.70) `e δ(ax) =

1 δ(x) , |a|

∀a ∈ R, a 6= 0 .

(5.71)

Si calcoli come esempio Z 3 Z 3 δ(x − 21 ) 1 1 1 (5x − 2) (5x − 2)δ(1 − 2x)dx = dx = (5 − 2) = . 2 2 2 4 0 0 Un’altra propriet`a della δ di Dirac `e f (x)δ(x − x0 ) = f (x0 )δ(x − x0 ) ,

∀f ∈ C ∞

(5.72)

come si dimostra moltiplicando ambo i membri per una qualsiasi funzione di prova g(x) e integrando su x. • Ogni distribuzione T ` e infinitamente derivabile secondo la definizione     dg dT , g = − T, , (5.73) dx dx che `e la generalizzazione dell’identit`a Z +∞ Z +∞ dT ∗ dg g(x)dx = − T ∗ (x) dx dx dx −∞ −∞ 143

(5.74)

T valida per ogni funzione di prova g ∈ S se T ∈ L C 1 (nell’integrazione per parti il contributo agli estremi sparisce perch´e g(x) va rapidamente a zero per x → ±∞). La definizione (5.74) di derivata generalizzata permette di derivare nel senso delle distribuzioni anche funzioni non derivabili in senso ordinario, purch´e localmente sommabili. Per esempio `e possibile derivare anche funzioni dotate di discontinuit`a di prima specie, il cui esempo paradigmatico `e la funzione θ di Heaviside: dθ = δ(x) dx

(5.75)

nel senso delle distribuzioni13 . Infatti, Z ∞ Z ∞ Z ∞ dθ 0 g(x)dx = − θ(x)g (x)dx = − g 0 (x)dx = − g(x)|+∞ = g(0) . 0 dx −∞ −∞ 0 (5.76) • La derivata nel senso delle distribuzioni `e continua rispetto al limite debole: dT dTn = lim debole . (5.77) n→∞ dx n→∞ dx La (5.77) fornisce un altro modo per ricavare la (5.75): partendo dalla rappresentazione T = lim Tn debole ⇒

1 1 x + lim arctan ; (5.78) 2 →0+ π  della θ di Heaviside, derivando ambo i membri e scambiando il limite con la derivata (il che `e sempre lecito solo nel senso delle distribuzioni) si ottiene la rappresentazione (5.65) della δ. θ(x) =

• Ogni distribuzione temperata T ammette Trasformata di Foruier, secondo la definizione: (Fk (T ), Fk (g)) ≡ (T, g) , ∀g ∈ S

(5.79)

che generalizza l’analoga identit`a (5.27) valida per funzioni quadrato sommabili. La definizione (5.79) `e sensata poich´e, come dimostrato nel paragrafo 4.1.2, la trasformata di Fourier manda lo spazio S in se stesso, quindi Fk (g) ∈ S, ∀g ∈ S, e quindi Fk (T ) `e a sua volta una distribuzione temperata. Grazie alla definizione (5.79) si pu`o calcolare la TF anche di funzioni che non siano n´e sommabili n´e quadrato sommabili su R; basta che siano localmente sommabili e “non troppo crescenti”14 . In particolare si pu`o dθ In senso ordinario vale invece dx =q.o. 0. Non si pu` o invece calcolare la TF di funzioni f che all’infinito crescano pi` u di ogni potenza, per esempio esponenzialmente; queste infatti non sono distribuzioni temperate e per dare senso a Z +∞ (f, g) = f ∗ (x)g(x)dx (5.80) 13

14

−∞

bisognerebbe usare funzioni di prova “a supporto compatto” che non sono per`o mandate in se stesse dalla TF

144

calcolare la TF F (k) della funzione f (x) = eik0 x (k0 ∈ R); detta Z +∞ 1 e−ikx g(x)dx G(k) = √ 2π −∞ la TF di g(x), per la (5.79) abbiamo Z (F, G) = (f, g) =

+∞

e−ik0 x g(x)dx =

√ 2πG(k0 ) ,

(5.81)

(5.82)

−∞

da cui si deduce


√ (5.83) F (k) ≡ Fk eik0 x = 2πδ(k − k0 ) . √ Per k0 = 0 la TF di f (x) = 1 `e 2πδ(k). Viceversa scegliendo f (x) = δ(x − x0 ) la catena di identit`a Z +∞ Z +∞ 1 (F, G) = (f, g) = δ(x − x0 )g(x)dx = g(x0 ) = √ eikx0 G(k)dk (5.84) 2π −∞ −∞ implica 1 F (k) ≡ Fk (δ(x − x0 )) = √ e−ikx0 . (5.85) 2π Notare che le (5.83) e (5.85) potevano anche essere dedotte (in modo rozzo e scorretto ma mnemonicamente efficace) scrivendo semplicemente Z +∞ 1 F (k) = √ e−ikx f (x)dx (5.86) 2π −∞ ed utilizzando rispettivamente la rappresentazione (5.55) della δ di Dirac e la sua definzione (5.53). Invitiamo lo studente a verificare che tale modo diventa corretto se si usano invece i limiti deboli eik0 x = δ(x − x0 ) =

lim eik0 x e−x

2 /N 2

N →∞

N 2 2 lim √ e−N x , N →∞ π

la TF della gaussiana (4.14), e la propriet`a: • La TF nel senso delle distribuzioni `e continua rispetto al limite debole: T = lim TN debole ⇒ F(T ) = lim F(TN ) debole . N →∞

N →∞

(5.87)

Usando infatti le (5.87) l’integrale (5.86) acquista senso proprio, poich´e il suo integrando diventa sommabile. Da quanto abbiamo sommariamente detto si deduce che la TF `e lo strumento pi` u utile per risolvere equazioni differenziali a coefficienti costanti, purch´e venga estesa alle distribuzioni temperate. L’unica delle tecniche discusse in questo corso che non venga del tutto riassorbita dalla TF estesa alle distribuzioni `e la Trasformata di Laplace, che permette anche di studiare soluzioni che crescono esponenzialmente per t → ∞ (di solito per evitarle!). 145

Appendice A Funzioni armoniche Una funzione di due variabili g(x, y) si dice armonica se soddisfa l’equazione di Laplace 42 g(x, y) = 0 ,

(A.1)

dove 42 `e l’operatore Laplaciano in due dimensioni 42 =

∂2 ∂2 + . ∂x2 ∂y 2

Teorema: Se f (z) = u(x, y) + iv(x, y) `e una funzione analitica (e le funzioni u e v sono di classe C 2 1 ) , le funzioni u(x, y) e v(x, y) sono armoniche. Dimostrazione: Se f (z) `e analitica, u e v soddisfano le condizioni di CauchyRiemann: ∂v(x, y) ∂u(x, y) = ∂x ∂y ∂u(x, y) ∂v(x, y) = − ∂y ∂x

(A.2) (A.3)

Derivando la (A.2) rispetto a x e la (A.3) rispetto a y si ottiene ∂ 2 u(x, y) ∂ 2 v(x, y) = ∂x2 ∂x∂y 2 ∂ u(x, y) ∂ 2 v(x, y) ∂ 2 v(x, y) = − = − . ∂y 2 ∂y∂x ∂x∂y Nell’ultima equazione `e lecito scambiare l’ordine di derivazione perch´e v(x, y) `e di classe C 2 . Sottraendo membro a membro le precedenti equazioni si ottiene: 1

In realt` a questa condizione `e sempre soddisfatta perch´e ogni funzione analitica `e infinitamente derivabile.

146

∂ 2 u(x, y) ∂ 2 u(x, y) + = 4u(x, y) = 0 . ∂x2 ∂y 2 Analogamente, derivando la (A.2) rispetto a y e la (A.3) rispetto a x e sottraendo membro a membro si ottiene ∂ 2 v(x, y) ∂ 2 v(x, y) + = 4v(x, y) = 0 . ∂x2 ∂y 2 [q.e.d.] Data una funzione u(x, y) armonica in una certa regione del piano (x, y) `e possibile costruire (a meno di una costante) la corrispondente funzione armonica v(x, y) tale che f (z) = u(x, y) + iv(x, y) sia analitica. Infatti, nota u, le condizioni di Cauchy-Riemann ci consentono di ricavare le derivate parziali vx0 e vy0 e da queste, integrando, la funzione v(x, y). Esempio 1 Sia u(x, y) = cos xe−y . Dimostrare che u(x, y) `e armonica e costruire la corrispondente funzione analitica f (z). Per dimostrare che u `e armonica occorre dimostrare che essa soddisfa l’equazione di Laplace (A.1): ∂u(x, y) = − sin xe−y , ∂x ∂ 2 u(x, y) = − cos xe−y , ∂x2

∂u(x, y) = − cos xe−y ∂y ∂ 2 u(x, y) = cos xe−y ∂y 2

Pertanto 42 u(x, y) = 0 e u `e armonica. Dalle condizioni di CR si ricava che ∂v(x, y) ∂u(x, y) = = − sin xe−y ∂y ∂x ∂v(x, y) ∂u(x, y) = − = cos xe−y . ∂x ∂y Integrando la (A.4) rispetto a y si ottiene Z v(x, y) = − sin xe−y dy + g(x) = sin xe−y + g(x) .

147

(A.4) (A.5)

Sostituendo quest’ultima nella (A.5) ∂v(x, y) = cos xe−y + g 0 (x) = cos xe−y . ∂x Pertanto g 0 (x) = 0 ⇒ g(x) = costante = K ⇒ v(x, y) = sin xe−y + K e la funzione f (z) cercata `e (ponendo la costante K = 0) f (z) = u(x, y) + iv(x, y) = cos xe−y + i sin xe−y = eix−y = ei(x+iy) = eiz , analitica in tutto C. Esempio 2 La funzione u(x, y) = x2 − y 2 `e armonica. Infatti u00xx = 2 ,

u00yy = −2 ⇒ 42 u(x, y) = 0

Dalle condizioni di CR segue che: vy0 = u0x = 2x ⇒ v(x, y) = 2xy + φ(x) e vx0 = −u0y = 2y ⇒ 2y + φ0 (x) = 2y ⇒ φ(x) = K . Pertanto v(x, y) = 2xy + K ⇒ f (z) = x2 − y 2 + 2ixy + iK = (x + iy)2 + iK = z 2 + iK , Esempio 3 La funzione u(x, y) =

x2

x + y2

`e armonica in R2 − {0}. Infatti: u0x

y 2 − x2 , = 2 (x + y 2 )2

u00xx 148

2x(x2 − 3y 2 ) = (x2 + y 2 )3

K∈R

Figura A.1: Mappa conforme.

−2x(x2 − 3y 2 ) = −u00xx . (x2 + y 2 )3

u0y =

−2xy , (x2 + y 2 )2

−u0y

2xy ⇒ v(x, y) = = 2 (x + y 2 )2

u00yy =

Dalle CR: vx0

=

Z

2xy dx + g(y) + y 2 )2 y + g(y) . = − 2 x + y2 (x2

Per fissare g(y) usiamo l’altra condizione di CR: 1 2y 2 + + g 0 (y) x2 + y 2 (x2 + y 2 )2 y 2 − x2 y 2 − x2 0 0 + g (y) = ux = 2 = (x2 + y 2 )2 (x + y 2 )2 ⇒ g(y) = K .

vx0 = −

Quindi f (z) = u(x, y) + iv(x, y) = =

x2

z∗ 1 + iK = + iK , |z|2 z

x y −i 2 + iK 2 +y x + y2 K∈R.

Esiste uno stretto legame tra funzioni analitiche e armoniche, per le quali valgono teoremi simili a quelli che abbiamo visto nella prima parte. Le funzioni armoniche 149

~ ·E ~ = 0 e il compaiono in molti problemi fisici. In elettrostatica nel vuoto abbiamo ∇ ~ = −∇V ~ , da cui ∆V = 0. Anche un fluido campo elettrico pu`o essere scritto come E incompressibile in assenza di vortici `e descritto da un potenziale di flusso che soddisfa l’equazione di Laplace, e quindi `e una funzione armonica. Dalle condizioni di Cauchy-Riemann abbiamo anche ~ · ∇v ~ = ∂u ∂v + ∂u ∂v = 0 ∇u ∂x ∂x ∂y ∂y

(A.6)

e si dice che u e v sono funzioni armoniche coniugate. Poich`e il gradiente `e perpendicolare alle linee su cui la funzione `e costante, questo implica che le curve di u = cost sono localmente perpendicolari a quelle di v = cost, vedi Fig.(A.1), esattamente come perpendicolari sono le rette x = cost e y = cost nel piano complesso di partenza. Attraverso la funzione analitica f (z) = u(x, y) + iv(x, y) si realizza pertanto una mappa conforme (che rispetta localmente gli angoli) del piano complesso (x, y) nel piano (u, v). Per concludere notiamo il seguente teorema: Il campo vettoriale ~a = v(x, y)~i + ~ · ~a = 0) e irrotazionale (∇ ~ × ~a = 0) se e solo se f (z) = u(x, y) ~j `e solenoidale (∇ u + iv `e analitica. La verifica segue dalle Cauchy-Riemann. Un campo solenoidale e irrotazionale definisce una funzione analitica e viceversa.

150

Appendice B Corollari della rappresentazione integrale di Cauchy 1. Principio della media Il principio della media si ricava dalla rappresentazione integrale di Cauchy (1.22) nel caso in cui la curva γ sia una circonferenza. Se f (z) `e una funzione analitica in una regione S semplicemente connessa e C `e una circonferenza di raggio r e centro z0 ∈ S interna a S: C = {z ∈ S / |z − z0 | = r} , allora 1 f (z0 ) = 2π

Z

2π

f [z(ϕ)]dϕ

∀z ∈ C .

(B.1)

0

Dimostrazione: Applichiamo la rappresentazione integrale di Cauchy con γ = C e passiamo a coordinate polari (z ∈ C) z(ϕ) = z0 + reiϕ −→ dz = ireiϕ dϕ = i(z − z0 )dϕ da cui segue 1 i f (z0 ) = 2πi

Z 0

2π

z − z0 1 f [z(ϕ)]dϕ = z − z0 2π

Z

2π

f [z(ϕ)] dϕ . 0

[q.e.d.]

2. Teorema N´e la parte reale n´e la parte immaginaria di una funzione f (z) = u(x, y) + iv(x, y) analitica in un dominio D s.c. possono avere estremi all’interno di D. 151

Dimostrazione: dimostriamo il teorema per la parte reale u(x, y). La dimostrazione `e analoga per v(x, y). Sia z0 un punto interno a D, tale cio`e che esista un intorno I(z0 ) tutto contenuto in D. Mostriamo che possono esistere solo due alternative: ∃I(z0 ) ⊂ D / ∀z ∈ I(z0 ) u(z) = u(z0 ) ,

a)

esiste cio`e un intorno di z0 in cui la funzione u(x, y) `e costante; b)

∀I(z0 ) ⊂ D ∃z1 , z2 ∈ I(z0 ) / u(z2 ) < u(z0 ) < u(z1 ) ,

cio`e in qualunque intorno di z0 la funzione u assume valori sia maggiori che minori di u(z0 ). Neghiamo infatti l’alternativa b), ammettiamo cio`e che esista un intorno I(z0 ) ⊂ D tale che ∀z ∈ I(z0 ) sia, per esempio, u(z) ≥ u(z0 ). Dalla parte reale del principio della media (B.1) segue allora che Z 2π 1 u(z0 ) = u[z(ϕ)]dϕ . (B.2) 2π 0 D’altra parte `e vera la relazione 1 u(z0 ) = 2π

2π

Z

u(z0 )dϕ .

(B.3)

0

Uguagliando le (B.2) e (B.3) si ottiene Z 2π {u[z(ϕ)] − u(z0 )}dϕ = 0 , 0

che implica, poich´e la funzione integranda `e per ipotesi continua e non negativa, u(z) = u(z0 ) ovvero l’alternativa a). L’altro modo di negare l’alternativa b) `e di affermare che esiste un intorno I(z0 ) ⊂ D tale che ∀z ∈ I(z0 ) sia u(z) ≤ u(z0 ));allora dalle (B.2) e (B.3) deduciamo di nuovo che Z

2π

{u(z0 ) − u[z(ϕ)]}dϕ = 0; 0

poich´e la funzione integranda `e per ipotesi continua e non negativa, ne segue ancora l’alternativa a): u(z) = u(z0 ) . [q.e.d.] 152

3. Teorema Sia f (z) una funzione analitica in un dominio D s.c. . Il suo valore assoluto |f (z)| non pu`o avere massimi all’interno di D e pu`o avere minimi solo nei punti in cui f (z) = 0. Dimostrazione: Per quanto riguarda il massimo, la dimostrazione `e perfettamente analoga alla precedente. Supponiamo che: ∃I(z0 ) ⊂ D / |f (z)| ≤ |f (z0 )|

∀z ∈ I(z0 ) .

Per ogni circonferenza C centrata in z0 e interna a I(z0 ) vale, per il principio della media, la seguente relazione Z 2π Z 2π 1 1 f [z(ϕ)] dϕ ≤ |f [z(ϕ)]| dϕ . (B.4) |f (z0 )| = 2π 0 2π 0 ` vero inoltre che E 1 |f (z0 )| = 2π

2π

Z

|f (z0 )| dϕ .

(B.5)

0

Sottraendo membro a membro le (B.4) e (B.5) si ottiene Z 2π {|f [z(ϕ)]| − |f (z0 )|} dϕ ≥ 0 0

Poich´e l’integrando `e per ipotesi una funzione continua e non positiva, ne segue che |f (z)| = |f (z0 )| per ogni z ∈ C. Variando il raggio r della circonferenza C in modo da coprire tutto l’intorno I(z0 ) si dimostra che |f (z)| = |f (z0 )| per ogni z ∈ I(z0 ). Abbiamo cos`ı dimostrato che |f (z)| non pu`o avere un massimo all’interno di D. Per dimostrare che |f (z)| non pu`o avere minimi, se non nei punti in cui si annulla, consideriamo la funzione g(z) = 1/f (z), analitica in D esclusi gli zeri zi di f (z). In questi punti |f (zi )| `e ovviamente minima. Se z 6= zi , i minimi di |f (z)| corrispondono ai massimi di |g(z)|. Ma, come si `e appena dimostrato, la funzione |g(z)|, analitica in D, non pu`o avere massimi in D, e quindi la |f (z)| non pu`o avere minimi. [q.e.d.]

4. Teorema Sia f (z) una funzione analitica in un dominio semplicemente connesso S, γ ⊂ S una curva di Jordan di lunghezza l, f (z) limitata sulla curva γ e M = maxz∈γ |f (z)| il suo valore massimo su γ, z0 un punto appartenente alla regione interna a γ e δ = minz∈γ |z − z0 | la distanza minima della curva γ dal punto z0 . Sotto queste ipotesi: 153

a) |f (z0 )| ≤

Ml 2πδ

(B.6)

b) n d f (z) dz n

≤ n! z=z0

Ml 2πδ n+1

∀n = 1, 2, ...

(B.7)

Dimostrazione: La dimostrazione segue immediatamente dalle rappresentazioni di Cauchy (1.22) e (1.23) e dalla disuguaglianza di Darboux (1.11): I 1 f (z) dz |f (z0 )| = 2πi γ z − z0 f (z) 1 l max ≤ 2πi z∈γ z − z0

a)

≤

b)

n d f (z) dz n

z=z0

1 Ml 2πi δ

I n! f (z) dz = 2πi γ (z − z0 )n+1 n! M l ≤ 2π δ n+1 [q.e.d.]

5. Teorema di Liouville Una funzione analitica e limitata in tutto il piano complesso C `e necessariamente costante. Dimostrazione: Poich´e f (z) `e limitata in C, esiste un M reale tale che |f (z)| ≤ M , ∀z ∈ C. Allora ∀z0 ∈ C possiamo applicare il teorema precedente (B.7) nel caso n = 1: df (z) Ml . ≤ dz 2πδ 2 z=z0 Se scegliamo γ come una circonferenza centrata in z0 di raggio r (l = 2πr,δ = r) otteniamo df (z) M 2πr M ≤ = . dz 2 2πr r z=z0 154

Ora, poich´e f (z) `e regolare e limitata in tutto il piano complesso, si pu`o scegliere r arbitrariamente grande, rendendo il rapporto M/r piccolo quanto si vuole; quindi df (z) =0 dz z=z0

∀z0 ∈ C

da cui df (z) =0 dz

∀z ∈ C ⇒ f (z) = costante

∀z ∈ C .

[q.e.d.] Se definiamo una funzione intera come una funzione regolare in tutto il piano complesso (cio`e priva di singolarit`a al finito), il teorema di Liouville afferma che una funzione intera e limitata `e costante. N.B. Lo stesso teorema non vale nel campo reale. Infatti esistono funzioni f (x) di variabile reale non costanti che sono infinitamente derivabili e limitate in tutto R. Per esempio le funzioni f (x) =

1 , 1 + x2

f (x) = e−x

2

sono limitate (f (x) ≤ 1) e infinitamente derivabili. Tuttavia le corrispondenti funzioni nel campo complesso non sono limitate in C. Infatti f (z) =

1 1 + z2

non `e regolare n´e limitata in z = ±i. Invece la funzione f (z) =

1 1 + |z|2

`e limitata in C (f (z) ≤ 1) ma non `e analitica (poich´e u(x, y) = (1 + x2 + y 2 )−1 e v(x, y) = 0, le condizioni di Cauchy-Riemann non sono soddisfatte). Per quanto riguarda f (z) = e−z

2

`e regolare in tutto C ma per z = iy, con y reale, f (iy) = ey

2

non `e limitata. Invece la funzione 2

f (z) = e−|z| = e−z

∗z

`e limitata ma non analitica (si ricordi che z ∗ non `e analitica). 155

Appendice C Equazioni differenziali del second’ordine La maggior parte dei problemi in fisica `e formulata in termini di equazioni differenziali, che sono molto spesso equazioni differenziali alle derivate parziali, che coinvolgono cio`e derivate rispetto a pi` u di una variabile. Tra queste, le equazioni che si incontrano pi` u frequentemente sono: 1) L’equazione di Laplace: ∆ψ(~r) = 0 ,

(C.1)

dove l’operatore Laplaciano (in tre dimensioni) `e ∆ = ∇2 =

∂2 ∂2 ∂2 + + . ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

L’equazione di Laplace compare spesso nello studio di fenomeni elettromagnetici, nell’idrodinamica, nella propagazione del calore e nello studio della gravitazione. 2) L’equazione di Poisson: ∆ψ(~r) = −

ρ , 0

(C.2)

che `e una generalizzazione dell’equanzione di Laplace (C.1) in presenza di una sorgente. 3) L’equazione di Helmholtz, o equazione delle onde ∆ψ(~r) + k 2 ψ(~r) = 0

(C.3)

e l’equazione di diffusione indipendente dal tempo ∆ψ(~r) − k 2 ψ(~r) = 0 . 156

(C.4)

Queste equazioni si incontrano nello studio di diversi fenomeni, come la propagazione di onde elastiche nei solidi, la propagazione del suono e l’acustica, le onde elettromagnetiche e i reattori nucleari. 4) L’equazione delle onde dipendente dal tempo, o equazione di d’Alembert, ψ(~r, t) = 0 ,

(C.5)

dove si `e introdotto l’operatore d’alembertiano: =

∂2 ∂2 ∂2 ∂2 ∂2 − − − = −∆ . ∂t2 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 ∂t2

5) L’equazione del potenziale scalare: ψ(~r, t) = −

ρ 0

6) L’equazione di Klein-Gordon ψ(~r, t) = µ2 ψ(~r, t) .

(C.6)

7) L’equazione di Schroedinger −

∂ψ(~r, t) ~2 ∆ψ(~r, t) + V (~r)ψ(~r, t) = i~ , 2m ∂t

che `e alla base della meccanica quantistica non relativistica. 8) Le equazioni di Maxwell, che sono un sistema di equazioni alle derivate parziale accoppiate per i campi elettrico e magnetico. 9) L’equazione di Dirac, che governa la meccanica quantistica relativistica. Tutte queste equazioni possono essere scritte nella forma Hψ = F , dove H `e un operatore differenziale,   ∂ ∂ ∂ ∂ H=H , , , , x, y, z , ∂x ∂y ∂z ∂t F `e una funzione nota e ψ `e la funzione incognita (scalare o vettoriale). Inoltre le equazioni (1,3,4,6,7,9) sono lineari: questo significa che, se ψ1 e ψ2 sono soluzioni dell’equazione differenziale, qualsiasi loro combinazione lineare ψ = a1 ψ1 + a2 ψ2 157

ne `e ancora soluzione. Le equazioni (1-8) sono tutte equazioni del secondo ordine: esse contengono cio`e derivate di ordine massimo 2 (in realt`a le equazioni di Maxwell sono del prim’ordine, ma contengono due funzioni incognite e possono essere ricondotte, eliminando una delle due incognite, a equazioni del second’ordine). Esistono diversi metodi per la soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali del second’ordine: 1) metodo di separazione delle variabili; 2) metodo delle funzioni di Green; 3) metodo delle trasformate integrali di Fourier e di Laplace; 4) metodi numerici.

C.1

Metodo di separazione delle variabili

Il metodo di separazione delle variabili consiste nel separare una equazione differenziale alle derivate parziali in n variabili in n equazioni differenziali ordinarie (contenenti cio`e derivate totali), ciascuna corrispondente a una variabile. Ogni separazione introduce una costante arbitraria, detta costante di separazione. Se le variabili sono n, si ottengono n − 1 costanti di separazione, determinate dalle condizioni al contorno del problema. Illustriamo il funzionamento di questo metodo con un esempio: la soluzione dell’equazione di Helmholtz (C.3). In coordinate cartesiane l’equazione (C.3) diventa: ∂ 2 ψ(x, y, z) ∂ 2 ψ(x, y, z) ∂ 2 ψ(x, y, z) + + + k 2 ψ(x, y, z) = 0 . ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

(C.7)

Il metodo di separazione delle variabili consiste nel cercare una soluzione fattorizzata del tipo ψ(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z) ,

(C.8)

dove X(x) dipende solo dalla variabile x, Y (y) solo dalla y e Z(z) solo dalla z. Non `e detto, in generale, che una soluzione di questo tipo esista, ma, se esiste, il procedimento `e giustificato. Se non esiste, si dovr`a risolvere l’equazione con un altro metodo. Sostituiamo dunque la (C.8) nell’equazione (C.7): d2 Y (y) d2 Z(z) d2 X(x) + X(x)Z(z) + X(x)Y (y) + k 2 X(x)Y (y)Z(z) = 0 Y (y)Z(z) 2 2 2 dx dy dz e dividiamo per X(x)Y (y)Z(z), supponendo che ψ 6= 0 (soluzione banale dell’equazione differenziale): 1 d2 X(x) 1 d2 Y (y) 1 d2 Z(z) + + + k2 = 0 . 2 2 2 X(x) dx Y (y) dy Z(z) dz 158

Si noti che le derivate sono derivate ordinarie, non parziali. Separiamo ora i termini che dipendono da x da quelli che non ne dipendono: 1 d2 X(x) 1 d2 Y (y) 1 d2 Z(z) = − − − k2 . X(x) dx2 Y (y) dy 2 Z(z) dz 2

(C.9)

Ora, il primo membro `e una funzione della sola variabile x, mentre il secondo membro dipende solo da y e z. Poich`e x, y e z sono variabili indipendenti, questo `e possibile solo se entrambi i membri della (C.9) sono uguali a una costante, la costante di separazione, che indicheremo con −l2 . Otteniamo cos`ı due equazioni: 1 d2 X(x) = −l2 X(x) dx2 1 d2 Y (y) 1 d2 Z(z) + + k 2 = l2 . Y (y) dy 2 Z(z) dz 2 Consideriamo ora la seconda di queste equazioni e ripetiamo il procedimemto; separiamo i termini dipendenti da y: 1 d2 Z(z) 1 d2 Y (y) = − − k 2 + l2 . Y (y) dy 2 Z(z) dz 2 Questa equazione pu`o essere verificata solo se ambo i suoi membri sono uguali a una costante di separazione, −m2 : 1 d2 Y (y) = −m2 2 Y (y) dy 1 d2 Z(z) = −k 2 + m2 + l2 = −n2 , 2 Z(z) dz dove abbiamo introdotto, per motivi di simmetria formale, la costante n2 , legata a l, m e k dalla relazione l2 + m2 + n2 = k 2 . Riassumendo, abbiamo trasformato l’equazione differenziale alle derivate parziali in n=3 variabili ∂ 2 ψ(x, y, z) ∂ 2 ψ(x, y, z) ∂ 2 ψ(x, y, z) + + + k 2 ψ(x, y, z) = 0 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 in n=3 equazioni differenziali ordinarie 1 d2 X(x) = −l2 X(x) dx2 1 d2 Y (y) = −m2 Y (y) dy 2 1 d2 Z(z) = −n2 2 Z(z) dz 159

e abbiamo introdotto n − 1=2 costanti di separazione l e m (la terza costante, n, non `e indipendente dalle altre due). La nostra soluzione sar`a caratterizzata da tre indici l, m, n: ψlmn (x, y, z) = Xl (x)Ym (y)Zn (z)

(C.10)

e varr`a per qualunque scelta delle costanti l, m, n purch`e l2 +m2 +n2 = k 2 . La soluzione generale sar`a una combinazione lineare delle (C.10): X Ψ(x, y, z) = almn ψlmn (x, y, z) , l,m,n

dove i coefficienti almn saranno determinati dalle condizioni al contorno. Risolviamo ora l’equazione di Helmholtz in coordinate sferiche. Cerchiamo una soluzione fattorizzata del tipo ψ(r, θ, φ) = R(r)Θ(θ)Φ(φ) . L’espressione dell’operatore laplaciano in coordinate sferiche `e:       ∂ ∂ ∂ 1 ∂2 1 2 ∂ sin θ r + sin θ + . ∆= 2 r sin θ ∂r ∂r ∂θ ∂θ sin θ ∂φ2

(C.11)

(C.12)

Le (C.11) e (C.12), sostituite nell’equazione (C.3), forniscono:     d2 Φ 1 d dΘ 1 1 d 2 dR = −k 2 . r + sin θ + Rr2 dr dr r2 Θ sin θ dθ dθ Φr2 sin2 θ dφ2 Si noti che le derivate sono diventate derivate ordinarie, perch`e agiscono su funzioni di una sola variabile. Moltiplicando per r2 sin2 θ possiamo isolare i termini dipendenti da φ:      1 d2 Φ 1 d 1 d dΘ 2 2 2 2 dR = r sin θ −k − r − 2 sin θ . (C.13) Φ dφ2 Rr2 dr dr r Θ sin θ dθ dθ Questa equazione `e una uguaglianza fra una funzione che dipende solo da φ e una che dipende solo da r e θ: l’unica soluzione possibile `e che ambo i membri della (C.13) siano uguali a una costante, che indicheremo con −m2 : 1 d2 Φ = −m2 Φ dφ2     1 d 1 d dΘ m2 2 dR r + sin θ − = −k 2 . Rr2 dr dr r2 Θ sin θ dθ dθ r2 sin2 θ

(C.14)

Moltiplicando ora la seconda equazione per r2 e riarrangiando i termini si ottiene:     1 d 1 d dΘ m2 2 dR 2 2 r +k r =− sin θ + . R dr dr Θ sin θ dθ dθ sin2 θ 160

Le variabili r e θ sono cos`ı separate. Se uguagliamo il primo e il secondo membro ad un’unica costante Q otteniamo:   QR 1 d 2 dR 2 r + k R − = 0 (C.15) r2 dr dr r2   dΘ m2 1 d sin θ − Θ + QΘ = 0 . (C.16) sin θ dθ dθ sin2 θ Abbiamo ottenuto cos`ı tre equazioni differenziali ordinarie (C.14), (C.15) e (C.16), con l’introduzione di 2 costanti di separazione, m2 e Q. La soluzione di queste equazioni `e discussa nel capitolo 2.1.1. La soluzione generale dell’equazione di Helmholtz in coordinate sferiche avr`a la forma: X Ψ(r, θ, φ) = aQm RQ (r)ΘQm (θ)Φm (φ) . Q,m

Mediante il metodo di separazione delle variabili ci siamo quindi ricondotti a equazioni differenziali ordinarie del second’ordine, delle quali ci occupiamo qui.

161

Appendice D Propriet` a dell’integrale di Lebesgue Elenchiamo qui di seguito (senza dimostrarle) alcune propriet`a dell’integrale di Lebesgue che lo rendono spesso molto pi` u maneggevole dell’integrale di Riemann. • Teorema di Lebesgue sullo scambio di limite con integrale (per successioni). Se lim fn (x) q.o. = f (x) ,

n→∞

con le fn (x) sommabili, ed esiste una F (x) sommabile tale che ∀n ∈ N, |fn (x)| ≤q.o. F (x), allora anche f (x) `e sommabile e si pu`o scambiare il limite con l’integrale: Z

Z

b

b

Z lim fn (x) dx ≡

fn (x) dx =

lim

n→∞

b

f (x) dx .

a n→∞

a

(D.1)

a

La seconda propriet`a `e molto simile: • Scambio di limite con integrale (per integrali dipendenti da un parametro). Se in y0 la funzione f (x, y), intesa come funzione di y, `e continua per quasi ogni x ∈ (a, b), cio`e se vale lim f (x, y) =q.o. f (x, y0 ), (D.2) y→y0

ed esiste una F (x) sommabile tale che in un opportuno intorno di y0 valga |f (x, y)| ≤q.o. F (x), allora si pu`o scambiare il limite con l’integrale: Z lim

y→y0

b

Z f (x, y) dx =

a

b

Z lim f (x, y) dx ≡

a y→y0

Anche la terza propriet`a vale sotto condizioni analoghe:

162

b

f (x, y0 ) dx . a

(D.3)

• Derivazione sotto il segno. Posto Z

b

f (x, y) dx ,

G(y) = a

se in un opportuno intorno di y0 e per quasi ogni x ∈ (a, b) la derivata parziale fy0 (x, y) esiste e vale ≤ F (x) con F (x) sommabile , |fy0 (x, y)| q.o. allora si pu`o derivare sotto il segno: Z b dG fy0 (x, y0 ) dx . = dy y=y0 a

(D.4)

Enunciamo infine • Teorema di Fubini Tonelli sullo scambio dell’ordine di integrazione. Se esiste almeno uno degli integrali

Z

b

Z

d

dx|f (x, y)| a

c

c

b

Z dy

dy|f (x, y)| ,

dx a

d

Z

allora vale Z

b

Z

Z

c

d

Z

c

b

dxf (x, y)

dy

dyf (x, y) =

dx a

d

(D.5)

a

L’importanza di questi quattro teoremi diventa evidente se si osserva che essi valgono sia per intervallo finito che infinito e sia per funzioni limitate che non limitate; gli analoghi teoremi validi per integrali di Riemann, specie per integrali di Riemann impropri, richiedono condizioni sufficienti estremamente pi` u restrittive e difficili da verificare. Naturalmente nel caso di intervallo finito anche per l’integrale di Lebesgue si possono avere ulteriori semplificazioni: se e solo se l’intervallo `e finito, F (x) = M costante `e sommabile; si pu`o quindi dire, come caso particolare della propriet`a (D.1), che condizione sufficiente affinch´e valga la (D.1) `e che le fn (x) siano q.o. uniformemente limitate, cio`e che esista una costante M , indipendente da n, che le maggiori tutte (in modulo) quasi ovunque. Affermazioni analoghe si possono fare per le propriet`a (D.3) e (D.4). 163