Metoda Inductiei Matematice [PDF]

Zitiervorschau

Metoda inducţiei matematice Aceasta metoda este expusa in manualul ,, Matematica” pentru clasa X-a, insa numărul de exerciţii este limitat, si nu da posibilitatea de a forma la elevi deprinderi practice complete. Profesorul n-are posibilitatea de a controla cunoştinţele elevilor cu ajutorul lucrărilor individuale. Exerciţiile suplimentare vor putea fi folosite de invatator in clasa, cit pentru alcătuirea testelor de evaluare curenta, cit si cea tematica. La baza metodei inducţiei matematice se afla principiul inducţiei matematice, care este acceptat drept axioma. O afirmaţie P(n) depinde de numărul natural n este adevărata (justa) pentru orice n  N, daca: 1. afirmaţia (propoziţia) P(n) este adevărata pentru n=1 2. si din faptul ca este adevărata pentru orice n=k, k  N, rezulta ca este adevărata si pentru n=k+1, atunci afirmaţia P(n) este adevărata pentru orice n. Acest principiu permite a demonstra unele propoziţii generale. Demonstraţia se efectuează in trei etape: 1. Se verifica daca afirmaţia P(n) este adevărata pentru n=1. (baza inducţiei) 2. Utilizând presupunerea (ipoteza) ca afirmaţia P(n) este adevărata pentru n=k, se demonstrează ca propoziţia P(k+1) este adevărata. (presupunerea inducţiei). 3. Daca sunt verificate etapele 1. si 2. se face concluzia ca propoziţia P(n) este adevărata pentru orice n  N. Exemple: Ex.1. Folosind metoda inducţiei matematice sa se demonstreze: a) (  n  N*) (7n+1+82n-1) 19 1. Daca n=1 atunci 72+8=57 57 19 57:19=3 2. Presupunem ca afirmaţia este justa in cazul când n=k adică: (7k+1+82k-1) 19 In baza acestei presupuneri sa demonstram ca: afirmaţia este justa si pentru n=k+1. Demonstraţie: 7k+1+1+82(k+1)-1= 7k+1*7+82k-1+2=7*7k+1+64*82k-1= (7*7k+1+7*82k-1)+57*82k-1=7(7k+1+82k-1)+57*82k-1 Primul termen se împarte la 19 in baza presupunerii, al doilea termen se împarte la 19 pentru ca factorul 57 se împarte la 19. In manual nu este nuci un exemplu cu inegalitati, care ar arata metoda de rezolvare. In continuare vom arata câteva exemple de rezolvare a exerciţiilor cu inegalitati.

1

Ex.2. Demonstraţi ca daca n  3, 2n > 2n+1. I metoda 1. n=3 23>2*3+1 8>7 2. Presupunem ca afirmaţia este adevărata pentru n=k, adică 2k>2k+1 Sa demonstram ca afirmaţia este justa pentru n=k+1. 2k+1 > 2(k+1) +1 2k+1 > 2k+2+1 2*2k > (2k+1) +2 2k+2k > (2k+1) +2 De unde rezulta ca: 2k >2 pentru k  3

II metoda 1. n=3 8>7 2. n=k 2k >2k+1 Demonstraţie: 2k >2k+1 înmulţim cu 2 2*2k > (2k+1)*2 2k+1 > 4k+2 2k+1 > (2k+3) + (2k-1) k  N  k N 2k-1> 0 2k> 1 2k+1> 2k+3 == > 2k+1>2k+1 3. Concluzia: Afirmaţia este justa pentru orice n.

Ex.3. Demonstraţi pentru n  5, 2n >n2 1. Arătam ca afirmaţia este adevărata, pentru n=5. 25 > 52 == > 32 >25 2. Facem presupunerea ca: 2k > k2 Demonstram ca afirmaţia este justa si in cazul când n=k+1. 2k+1 >(k+1)2 == > 2k+1 >k2+2k+1 ==> 2k *2> k2+2k+1 2k+2k > k2+2k+1 2k >k2 – in baza presupunerii 2k>2k+1 – in baza exemplului 2. Ex.4. Demonstraţi ca pentru orice n  N are loc relaţia: 1

1 1 1 1 n    ...  n > 2 , observam ca expresia din stânga prezintă suma fracţiilor 2 3 4 2 -1

numitorii cărora prezintă numerele naturale de la 1 pin la 2n-1. 1

1. Arătam ca afirmaţia are loc pentru n=1, 1> 2 2. Presupunem ca relaţia este adevărata pentru n=k 1 2

1 3

1 4

Sk= 1     ... 

1 k >2 2 -1 k

Demonstram in baza afirmaţiei făcute ca relaţia este adevărata si in cazul următor 1 1 1 1    ...  k1 ; 2 3 4 2 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Sk+1= (    ...  k ) + k1 = (    ...  k1 ) + = 2 3 4 2 -1 2 3 4 2 -1 2 -1 2 * 2k  1

n=k+1. Adică Sk+1=

2

1 1 1 1 1 1 1 1  k  ...  k 1 = (    ...  k ) + ( k  k ) = Sk+ Pk. 2 3 4 2 -1 2 2 1 2  2 2 1

Sk Pk =

Pk

1 1 1 1 1 1 1 1  k  k  ...  k 1 > k + k + k +....+ k k 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2  2 2 1

2k- termeni

2k- termeni

1 1 1 1 1 1  + k + k +....+ k = 2k * k 2 1 2 1 2 1 2 1 2 *2 2 k

2k- termeni

k 2 Sk >

Pk >

Sk+1 > Sk+ Pk k 2

1 2

Sk+1 >

+

k 1 2

1 2

>

3. Relaţia este adevărata pentru orice n  N.

Ex. 5. Sa se demonstreze inegalitatea: Fie An=

1 3 2n  1 * * ... *  2 4 2n

1 3 2n  1 * * ... * . 2 4 2n

De demonstrat ca: A k+1