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Italian Pages 172 Year 2007
Meccanica Classica - versione provvisoria realizzato da i Matematici e i Fisici del primo anno (a.a. 2006-2007)
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Introduzione alla prima RI-edizione ` forse opportuno spiegare perch´e abbiamo preso questa folle iniziativa di E traduzione, integrazione e rivisitazione de il Rutherford. L’anno scorso, Normalisti novizi, seguendo le premurose direttive del prof. Fo`a, ci siamo diligentemente procurati quel libro di testo cui `e tanto affezionato: chi in biblioteca, chi da studenti dell’anno passato, chi in copisteria. Nessuno, per`o, lo ha acquistato. Un motivo, non meramente venale, per`o, c’era: la terza ed ultima edizione di questo best seller `e del lontano 1964 per le Oxford Edition. Ora, non `e nelle mie intenzioni insinuare che una ragione, in fondo, ci sia stata del fatto che nessuno abbia mai deciso di rivedere ed aggiornare questo libro. Ma `e un dato di fatto che, per quanto abbia la lodevole intenzione di voler presentare sinteticamente ma non per questo meno rigorosamente la meccanica classica (pregio, a mio parere, quasi del tutto assente nella maggior parte dei testi universitari su cui oggi vengono basati i nostri corsi), `e un dato di fatto che il Rutherford sia ricco di passaggi criptici e/o farraginosi, nonch´e di innumerevoli barbatrucchi e magheggi. Sar`a, forse, che il neo-Normalista medio di oggi `e carente in analisi (specialmente vettoriale) o che non sa destreggiarsi agevolmente n´e con talune formule di geometria analitica (come quelle delle coniche in forma polare) n´e coi tensori, o semplicemente con l’inglese, ma pi` u e pi` u volte abbiamo perso delle ore per cercare di decifrare passaggi a nostro (certo inesperto) parere per lo meno arditi. Premurosi (e direi quasi paterni) come siamo, abbiamo cos`ı deciso di risparmiare questo genere di fatiche alle generazioni di matematici, fisici e (sic!) biologi che ci avrebbero seguito. Mi auguro, insomma, che questo testo allevi le vostre, gi`a per loro conto considerevoli, fatiche (mi rivolgo in particolare ai fisici, e non certo ai matematici...) di questo primo anno; voglio, per`o, che sappiate che quelle ore che abbiamo perso a discutere, interrogarci e disperare, non sono state del tutto buttate, anzi! Spesso `e proprio attraverso questo tipo di confronto e di sforzo che si impara di pi` u. Ma soprattutto, e i
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INTRODUZIONE ALLA PRIMA RI-EDIZIONE
lo scoprirete da voi, tra i pi` u bei momenti dell’anno che state per trascorrere in Normale ci sono proprio quelle discussioni corali attorno ai pi` u disparati problemi. Come ultima nota, vorrei chiedervi di dare voi a noi una mano, segnalandoci eventuali errori e sviste (tanto di ortografia, grammatica, traduzione, quanto di ordine fisico-matematico) e passaggi ancora troppo criptici. Buono studio, allora! Aldo
Indice Introduzione alla prima RI-edizione
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INTRODUZIONE
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1 Cinematica 1.1 Spazio e Tempo . . . . . . . . 1.2 Velocit`a e Accelerazione . . . 1.3 Velocit`a relativa . . . . . . . . 1.4 Velocit`a angolare . . . . . . . 1.5 Assi complanari in movimento 1.6 Variazioni di vettori . . . . . . 1.7 Cinematica del corpo rigido . 1.8 Assi istantanei di rotazione . .
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1 1 2 3 4 6 9 11 12
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15 15 17 17 18 20
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2 La natura della forza 2.1 Le leggi di Newton sul moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Considerazioni sulle leggi di Newton . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Il poligono delle forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Le leggi di Keplero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 La legge di gravitazione di Newton . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Attrazione dovuta ad un anello circolare uniforme su un punto lungo l’asse di simmetria . . . . . . . . . . 2.5.2 Attrazione dovuta ad un guscio sferico uniforme . . . 2.5.3 Attrazione dovuta ad una distribuzione di materia a simmetria sferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 La forza peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Forze elettromagnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Forze elastiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Forze centrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10 Forze centrifughe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11 Forze conservative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
. 21 . 22 . . . . . . .
24 24 25 26 27 27 29
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INDICE 2.12 Energia potenziale . . . . . . . . 2.13 Conservazione dell’energia . . . . 2.14 Moto vincolato e attrito . . . . . 2.14.1 Piano inclinato con attrito
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3 La dinamica del punto 3.1 Moto rettilineo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Forza costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Resistenza del mezzo, proporzionale alla velocit`a . . . 3.1.3 Goccia di pioggia che cade nell’atmosfera . . . . . . . 3.1.4 Moto armonico semplice . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.5 Oscillatore armonico smorzato con forza esterna periodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.6 Un altro tipo di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Moto nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Moto di un proiettile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Orbita dovuta ad forza centrale . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Caso della forza gravitazionale . . . . . . . . . . . . . 3.4 Moto dei pianeti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Equazioni del tempo di Keplero . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Dall’orbita alla forza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Il pendolo semplice e problemi connessi . . . . . . . . . . . . 3.8 Particella carica in un campo magnetico . . . . . . . . . . . 3.9 Quantit`a di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9.1 Rinculo di un cannone . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9.2 Moto rettilineo di un razzo . . . . . . . . . . . . . . . 3.10 Momento di un vettore applicato . . . . . . . . . . . . . . . 3.11 Momento della quantit`a di moto . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12 Forze impulsive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13 Un esempio di moto vincolato . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.14 Il pendolo di Focault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Dinamica del corpo rigido 4.1 Il centro di massa . . . . . . . . . 4.2 Il moto del centro di massa . . . . 4.3 Momento angolare di un sistema . 4.4 Energia cinetica di un sistema . . 4.5 Corpi rigidi . . . . . . . . . . . . 4.6 Equilibrio . . . . . . . . . . . . . 4.7 Lavori virtuali . . . . . . . . . . . 4.8 Equazioni del moto . . . . . . . .
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31 32 34 35
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37 37 38 38 39 40
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43 44 44 45 47 48 50 52 54 55 58 59 60 61 62 63 64 65 67
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71 71 73 74 76 77 78 78 79
INDICE 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16
v Energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.1 Moto impulsivo . . . . . . . . . . . Piccole oscillazioni . . . . . . . . . . . . . 4.10.1 Pendolo fisico . . . . . . . . . . . . Equilibrio stabile . . . . . . . . . . . . . . Il tensore d’inerzia . . . . . . . . . . . . . 4.12.1 Considerazioni sul tensore d’inerzia Rotazioni degli assi . . . . . . . . . . . . . Traslazione degli assi . . . . . . . . . . . . Energia cinetica di un corpo rigido . . . . Equazioni di Eulero . . . . . . . . . . . . . 4.16.1 Nutazioni euleriane . . . . . . . . . 4.16.2 Precessione di un girostato . . . . .
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5 Equazioni di Lagrange - parte 1 5.1 Coordinate generalizzate . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Vincoli olonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Equazioni di Lagrange per un sistema olonomo . . . . . 5.4 Equazioni di Lagrange per le forze impulsive . . . . . . 5.5 La funzione di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Coordinate cicliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Piccole oscillazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.1 Appendice al capitolo Rivisitazione in forma vettoriale delle equazioni 6 Equazioni di Lagrange - parte 2 6.1 Cenni di calcolo delle variazioni . . . . 6.2 Il principio di minima azione . . . . . . 6.3 Sistemi inerziali e principio di relativit`a 6.4 Teorema del viriale . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . di Galilei . . . . . .
7 Relativit` a speciale 7.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 I postulati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Spazio-tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Dilatazione del tempo e contrazione dello Un altro modo di ricavare le equazioni . 7.4 Quadrivettori e scalari universo . . . . . . . . . 7.5 Quantit`a di moto relativistica . . . . . . . . . .
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82 83 85 87 88 91 93 94 96 97 98 100 100
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103 . 103 . 104 . 106 . 111 . 111 . 112 . 113
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119 . 119 . 121 . 123 . 125
129 . . . . . . . . 129 . . . . . . . . 130 . . . . . . . . 131 spazio . . . . . . . . 135 . . . . . . . . 137 . . . . . . . . 140
vi 8 Appendice 8.1 Coniche . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Ellisse: forma cartesiana . . 8.1.2 Ellisse: forma polare . . . . 8.1.3 Iperbole: forma cartesiana . 8.1.4 Iperbole: forma polare . . . 8.1.5 Parabola: forma cartesiana . 8.1.6 Parabola: forma polare . . . 8.1.7 Coniche in forma polare . . 8.2 Equazioni differenziali . . . . . . . 8.2.1 Caso omogeneo . . . . . . . 8.2.2 Caso non omogeneo . . . . . 8.3 Equazioni di Focault . . . . . . . .
INDICE
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149 . 149 . 149 . 150 . 152 . 152 . 154 . 154 . 155 . 156 . 156 . 159 . 161
INTRODUZIONE Un libro di meccanica pu`o essere visto in diversi modi in accordo con gli interessi e gli scopi dell’autore, e in accordo con il tipo di lettore per cui il lavoro `e inteso. In questo volume la fisica `e vista come una parte della matematica applicata; cio`e a dire, l’enfasi `e posta su quegli aspetti della meccanica che si possano trattare in modo matematico e che possano essere basati su certi assiomi. Naturalmente ci dovremo limitare a quegli assiomi che sembrino avere una qualche validit`a nel mondo fisico, ma deve essere ben chiaro come alcune di queste apparenze siano ingannevoli alla luce delle recenti scoperte fisiche. Possiamo, dunque, aspettarci che la costruzione della meccanica classica, come ritratta in questo libro, non sia sempre in accordo con l’esperienza. E’ comunque all’infuori dagli scopi di questo libro trattare le pi` u moderne teorie di meccanica relativistica e di fluidomeccanica, teorie che pur rispondono pi` u da vicino a certi esperimenti fisici. Per poter seguire questo libro il lettore avr`a bisogno di alcuni strumenti matematici. Tra questi `e probabile che gi`a possieda un’adeguata conoscenza del calcolo e della geometria analitica. Una certa familiarit`a con la teoria delle equazioni differenziali pu`o essere senz’altro utile, ma per la maggior parte questi metodi sono spiegati non appena ne sorga la necessit`a. Quindi restano solo alcuni elementi di algebra vettoriale, senza la quale la gran parte di questo libro sarebbe incomprensibile. Limitazioni di spazio impongono purtroppo di escludere la teoria elementare dei vettori. Il lettore che manchi di queste conoscenze deve dapprima trovarle altrove. Saranno adottate le seguenti convenzioni notazionali. I vettori sono indicati in grassetto, gli scalari in corsivo. Il modulo del vettore a `e pertanto indicato con a, e in modo analogo per le altre lettere. i, j, k denotano i vettori unitari nelle direzioni coordinate OX, OY , OZ e le componenti del vettore a in queste direzioni sono indicate come ax , ay , az . Il prodotto scalare e vettoriale di a e b sono indicati rispettivamente con a · b e a × b. In questo libro `e stato fatto lo sforzo di sviluppare la teoria della meccanica in un modo logico ma altres`ı conciso. Come risultato si pu`o trovare che vii
viii
INTRODUZIONE
i vari argomenti correlati non sono ordinati per difficolt`a crescente. Molti lettori potrebbero pertanto trovare utile leggere le varie sezioni in un ordine diverso da quello in cui esse sono presentate. Gli insegnanti, senza dubbio, spingeranno i loro studenti in questa direzione, basandosi sulla loro maturit`a.
Capitolo 1 Cinematica 1.1
Spazio e Tempo
La natura precisa dello spazio e del tempo fisico `e ancora causa di controversie, ma `e noto che, escludendo misure di grande precisione e raffinatezza, questo spazio `e sotto tutti i punti di vista e per tutti i nostri scopi euclideo. Semplicemente parlando ci`o significa che il teorema di Pitagora pu`o essere verificato sperimentalmente. Allo stesso modo il tempo pu`o essere visto come Newtoniano; cio`e il tipo di tempo studiato da Newton, o, a tutti gli effetti, dall’uomo della strada. Nella meccanica classica adottiamo come assiomi lo spazio euclideo e il tempo Newtoniano. Questo ovviamente `e un modo di procedere diverso da quello della teoria della relativit`a, ma le differenze tra i risultati ottenuti da queste due teorie sono irrilevanti ad eccezione di alcuni problemi particolari che tengano conto di velocit`a paragonabili a quella della luce. Prima di misurare qualsiasi distanza spaziale o temporale, dobbiamo decidere riguardo a quali unit`a scegliere. Le unit`a di misura comunemente usate sono i piedi e i centimetri, nei sistemi britannico e metrico rispettivamente. Entrambi i sistemi scelgono i secondi come unit`a di misura temporale. Il soggetto della cinematica `e lo studio del moto. In questo capitolo non consideriamo ci`o che lo produca ma la natura del moto stesso. I vari tipi di moto saranno solitamente riferiti ad un sistema di coordinate. Nella maggior parte dei problemi gli assi coordinati cartesiani OXY Z sono i pi` u adeguati allo scopo, e bisogna aver chiaro che quando questi sono utilizzati, essi formano una terna destrorsa. Cio`e a dire X, Y, Z appaiono in senso orario se osservate da O. La necessit`a di fare distinzioni tra le terne destrorse e sinistrorse non sorge ovviamente nel caso di riferimenti piani OXY .
1
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CAPITOLO 1. CINEMATICA
In alcuni problemi sar`a vantaggioso usare coordinate polari sferiche r, θ, ψ. Le useremo sempre come illustrato in figura 1. Sono perci`o collegate alle coordinate x, y, z dalle formule x = r sin θ cos ψ, y = r sin θ sin ψ, z = r cos θ.
1.2
Velocit` a e Accelerazione
Dopo aver fissato nello spazio un sistema di coordianate, la posizione di ogni punto pu`o essere specificata dal suo vettore posizione, cio`e, dal vettore r tracciato dall’origine al punto in questione. Per semplicit`a chiameremo spesso questo punto il punto r. Se r `e un punto in movimento, allora le sue componenti sono funzioni del tempo t, e se queste funzioni sono note, i vettori r˙ e ¨r possono essere valutati (i punti indicano la derivazione rispetto al tempo). Questa convenzione verr`a usata per tutto il libro. Perci`o poniamo queste definizioni: r˙ =il vettore velocit` a del punto r, ¨r=il vettore accelerazione del punto r. In generale le componenti di r˙ e ¨r sono ancora funzioni del tempo t. Perci`o se scegliamo un sistema di coordinate OXY Z come fissato, troviamo
` RELATIVA 1.3. VELOCITA
3
r = xi + yj + zk r˙ = xi ˙ + yj ˙ + zk ˙ ¨r = x¨i + y¨j + z¨k dove x, y, z sono le coordinate del punto r e i, j, k sono i versori nelle direzioni OX, OY , OZ rispettivamente. Otterremo nei prossimi capitoli le corrispondenti formule per sistemi di coordinate polari e per assi coordinati in movimento. Bisogna enfatizzare il fatto che sia la velocit`a che l’accelerazione siano quantit`a vettoriali. La norma del vettore velocit`a di un dato vettore `e pure chiamata velocit`a [Nota: mentre in italiano sussiste questa confusione terminologica, in inglese le due quantit`a hanno nomi diversi, velocity il vettore, speed la sua norma.]. Se le componenti di r sono funzioni note del tempo, allora l’evoluzione del moto del punto r e nota. In ogni istante la sua velocit`a e accelerazione possono essere calcolate derivando l’equazione del moto. Pi` u spesso, comunque, r non `e noto in termini del tempo ma, al posto di questo, r˙ oppure ¨r `e specificato in un modo o in un altro. E’allora compito del matematico integrare le relazioni date, usando dati noti, se `e possibile ricavarli, per determinare le costanti di integrazione e perci`o per ottenere r in termini di t.
1.3
Velocit` a relativa
Nel passato si credeva che esistesse un sistema di riferimento assoluto, chiamato etere, e che di conseguenza l’espressione velocit`a assoluta avesse un qualche significato. La difficolt`a nel trovare evidenze sperimentali di questo etere ha modificato questo modo di vedere, ed oramai `e generalmente accettato che non esista nessuna quiete assoluta n`e velocit`a assoluta. Tutte le velocit`a sono relative ad un certo sistema di riferimento, ma questo sistema di riferimento pu`o essere arbitrariamente scelto dall’osservatore. L’osservatore pu`o per semplicit`a assumere che il suo sistema di riferimento sia fisso nello spazio. Riferir`a, dunque, tutto il moto ad un sistema di coordinate fissato in questo sistema, e lui chiamer`a questi assi coordinati assi fissi. Se r1 e r2 sono i vettori posizione di due punti relativi ad un fissato sistema di riferimento, il vettore posizione di r2 rispetto a r1 `e r2 − r1 . Di conseguenza la velocit`a di r2 rispetto r1 `e la derivata di r2 − r1 rispetto al tempo, cio`e a dire, r˙2 − r˙1 Allo stesso modo, la velocit`a di r1 rispetto a r2 `e r˙1 − r˙2
4
CAPITOLO 1. CINEMATICA
Supponiamo ora che ci siano diversi punti in movimento r1 ...rn ; se i punti finali dei vettori velocit`a r˙ 1 ...˙rn sono uniti tra loro in tutti i modi possibili, otteniamo un diagramma delle velocit` a. Questo diagramma offre una rappresentazione grafica della velocit`a di ciascun punto ri rispetto ad ogni altro punto rj , e questo perch´e il vettore ri − rj `e semplicemente il segmento tracciato dal punto r˙ i al punto r˙ j nel diagramma delle velocit`a. Il diagramma completo `e indipendente dalla scelta dell’origine a meno che l’origine stessa sia uno dei punti in movimento considerati. Potrebbe dunque essere costruito anche nel caso che sia sconosciuta qualcuna delle velocit`a r˙ 1 ... r˙ n a patto che siano fornite informazioni sufficienti per determinare le posizioni relative di tutti i vertici del diagramma. Esempio Per illustrare la teoria appena esposta, consideriamo il caso di tre areoplani le cui posizioni relative al suolo sono r1 , r2 ,r3 . Supponiamo che la velocit`a del vento sia sconosciuta, ma che le velocit`a di r1 e di r2 rispetto all’aria siano i vettori noti a e b rispettivamente, mentre la velocit`a di r3 rispetto a r1 sia il vettore c. Iniziando da un punto arbitrario, che rappresenta il punto fianale della velocit`a del vento r˙ 0 , tracciamo i vettori a e b e poi costruiamo il vettore c a partire dal punto finale di a. Si veda la figura. Dal diagramma ottenuto possiamo leggere la velocit`a di r3 rispetto all’aria, infatti c + a = (˙r3 − r˙ 1 ) + (˙r1 − r˙ 0 ) = r˙ 3 − r˙ 0 e anche la velocit`a di r˙ 2 rispetto a r˙ 1 : b − +a = (˙r2 − r˙ 0 ) − (˙r1 − r˙ 0 ) = r˙ 2 − r˙ 1 e cos`ı via. Si pu`o osservare che in questo esempio le velocit`a r˙ 1 , r˙ 2 , r˙ 3 rispetto al suolo sono sconosciute e, in effetti, irrilevanti se facciamo riferimento solo al moto rispetto all’aria. Il diagramma di fig. 2 `e perci`o indipendente dal moto della terra rispetto all’aereo. Per questo motivo, solo parti dei vettori r˙ 0 , r˙ 1 , r˙ 2 , r˙ 3 sono mostrate nel diagramma.
1.4
Velocit` a angolare
Le rotazioni finite attorno ad assi diversi, sebbene possano essere rappresentate con segmenti dotati di modulo e verso, non commutano e perci`o non si pu`o applicare loro le leggi dell’addizione vettoriale. Le rotazioni infinitesime, invece, possono essere rappresentate da vettori come ora dimostreremo. Consideriamo una rotazione infinitesima di un angolo δθ attorno ad un asse
` ANGOLARE 1.4. VELOCITA
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passante per l’origine identificato dal versore e. A causa di questa rotazione un punto la cui posizione iniziale era individuata dal vettore r descriver`a un arco di circonferenza di raggio r sin φ, dove φ `e l’angolo compreso tra r ed e. Lo spostamento sar`a dunque di r sin φδθ e sar`a perpendicolare sia a r che a e. Di conseguenza, δr sar`a parallelo al prodotto vettoriale e × r e sar`a lungo δθ volte la sua lunghezza. In altre parole δr = δθe × r e la velocit`a di questo punto risulter`a essere δr ˙ ×r=ω×r = θe δθ→0 δt
r˙ = lim
(1.1)
˙ dove ω indica il vettore θe. Il vettore ω cos`ı definito `e una velocit` a angolare. Rappresenta una rotazione attorno ad un asse passante per l’o˙ rigine nella direzione di ω, cio`e di e, con una velocit`a angolare ω, ovvero θ. L’effetto di questa velocit`a angolare sul punto r `e di imprimere a quel punto una velocit`a ω × r. Bisogna ancora dimostrare, comunque, che le rotazioni infinitesime sono soggette alle leggi della somma vettoriale. Abbiamo visto che se un punto r `e soggetto ad una rotazione infinitesima δθ1 attorno ad un asse e1 , il punto assumer`a la nuova posizione r1 = r + δθ1 e1 × r Se la prima rotazione `e poi seguita da un’ulteriore rotazione δθ2 attorno all’asse e2 , la posizione finale del punto sar`a identificata da r12 = r1 + δθ2 e2 × r1 = (r + δθ1 e1 × r) + δθ2 e2 × (r + δθ1 e1 × r) . Trascurando l’infinitesimo del second’ordine δθ1 δθ2, concludiamo che r12 = r + (δθ1 e1 + δθ2 e2 ) × r = r21 , che mostra come le rotazioni infinitesime commutino. Lo stesso `e vero per le velocit`a angolari, infatti r12 − r ˙ = θ1 e1 + θ˙1 e2 × r r˙ = lim δt→0 δt Perci`o r˙ = (ω1 + ω2 ) × r , che `e la stessa velocit`a che avrebbe acquistato se il punto r fosse stato soggetto ad una signola velocit`a angolare ω1 + ω2 rispetto all’origine. Da questo
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CAPITOLO 1. CINEMATICA
concludiamo che velocit`a angolari attorno allo stesso punto si sommano secondo la legge vettoriale e possono essere risolte in componenti attorno a questo punto nel modo usuale. Le velocit`a angolari a cui si fa riferimento nella precedente dimostrazione sono tutte attorno all’origine, che pu`o, ovviamente, essere scelta in ogni punto fissato. In questo caso esiste una linea di punti, l’asse di rotazione, quell’asse passante per l’origine e parallelo ad ω, che non ottiene alcuna velocit`a ad esito della velocit`a angolare. Gli effetti della velocit`a angolare ω attorno a ciascuno di questi punti `e evidentemente lo stesso, e di conseguenza ω pu`o essere risolto in componenti rispetto a un punto qualsiasi dell’asse di rotazione. Analogamente due velocit`a angolari attorno ad assi diversi ma incidenti possono sempre essere composte in una singola velocit`a angolare attorno al punto di incidenza. [Nota: due rotazioni contemporanee attorno ad assi incidenti si possono sommare e considerare un’unica rotazione ma questo non `e vero per rotazioni successive, ci`o perch´e, come dimostrato, solo le rotazioni infinitesime commutano, e quindi si possono sommare.] Bisogna per`o notare che due velocit`a angolari ω applicate ad assi paralleli producono effetti diversi dal momento che gli assi che restano in quiete sono diversi nei due casi. La velocit`a angolare `e pertanto un vettore localizzato, cio`e non solo `e dotato di intensit`a e verso, ma anche di un ben definito asse di azione. In seguito mostreremo che anche le forze sono vettori localizzati. Se un punto r acquisisce una velocit`a ω × r a causa di una velocit`a angolare ω attorno all’origine, acquister`a una velocit`a ω × (r − a) in virt` u di una velocit`a angolare ω attorno al punto a. Poich´e la differenza ω × a tra queste due velocit`a `e indipendente da r, una velocit`a angolare ω atorno all’origine `e equivalente ad una velocit`a lineare ω × a unita ad una velocit`a angolare ω attorno al punto a. Per questo il moto di un corpo in rotazione pu`o essere specificato indicando la sua velocit`a angolare ω attorno ad un punto qualsiasi a purch`e a questo si aggiunga una velocit`a lineare ω × a. Per esempio il moto di un cilindro di raggio b pu`o essere considerato sia dicendo che rotola attorno al punto istantaneo di contatto con una velocit`a angolare ω, oppure che stia ruotando attorno al suo asse sempre con velocit`a angolare ω ma considerando che l’asse si muova con velocit`a lineare ωb.
1.5
Assi complanari in movimento
Consideriamo un sistema di coordinate rettangolari OX 0 Y 0 che stiano ruotando attorno all’origine O con una velocit`a angolare ω = θ˙ rispetto al sistema di coordinate fisse OXY , dove ω sia misurata nella direzione di una rotazione da OX 0 a OY 0 . Poich´e le punte dei vettori i0 e j0 (che indicano le direzioni
1.5. ASSI COMPLANARI IN MOVIMENTO
7
degli assi coordinati in movimento) descrivono una circonferenza di raggio unitario, δi0 e δj0 sono paralleli, rispettivamente, a j0 e a −i0 , e la norma di entrambi `e δθ, cio`e l’angolo di cui i0 e j0 sono stati ruotati. Questo significa che: δi0 = δθj0 , δj0 = −δθi0 Da questo segue, differenziando, che: ˙ 0 , j˙ 0 = −θi ˙ i˙0 = θj Ci sono due importanti applicazioni di queste formule. La prima: supponiamo che P sia un punto in movimento nel piano OXY e scegliamo OP come l’asse OX 0 . Questo significa che OX 0 `e lungo la direzione radiale e, dunque, OY 0 `e lungo la direzione trasversa. Se r `e il vettore posizione del punto P e r e θ sono le sue coordinate polari piane, allora r = ri0 ˙0 r˙ = ri ˙ + ri˙0 = ri ˙ 0 + rθj 0
Le componenti radiale e trasversa della velocit`a sono pertanto, rispettivamente: ˙ r, ˙ θr (1.2) La velocit`a del punto P risulta invece p r˙ 2 + θ˙2 r2 Derivando di nuovo, si ottiene che ˙ 0 + rθj ¨ 0 + rθ˙j˙ 0 ) ¨r = (¨ ri0 + r˙ i˙0 ) + (r˙ θj 2 0 ¨ 0 = (¨ r − rθ˙ )i + (2r˙ θ˙ + rθ)j Le componenti radiali e trasversa dell’accelerazione sono pertanto: ( r¨ − rθ˙2 radiale ˙ ¨ 2r˙ θ + rθ trasversa
(1.3)
La componente trasversa dell’accelerazione si pu`o anche scrivere nella forma 1 d 2˙ (r θ) r dt
8
CAPITOLO 1. CINEMATICA
L’area δA spazzata dal raggiovettore OP nel tempo δt `e pari ad 21 r2 δθ. La velocit` a areolare A˙ del punto P `e pertanto 21 r2 θ˙ come si pu`o ottenere derivando rispetto al tempo. Perci`o `e una caratteristica di ogni punto in moto, la cui accelerazione trasversa sia nulla, che la sua velocit`a areolare sia costantemente pari a 12 h dove h = r2 θ˙ Bisogna notare che un punto materiale, che si muova nel piano con velocit`a areolare costante rispetto ad un’origine data, non ha alcuna accelerazione trasversa rispetto all’origine, e dunque ogni sua accelerazione deve essere diretta lungo la congiungente punto-orignine. Le accelerazioni di questo tipo sono dette accelerazioni centrali e le forze che le producono sono dette forze centrali. La seconda importante applicazione delle formule ˙ i˙0 = θj,
˙ j˙0 = −θi
`e la seguente: supponiamo che P sia un punto in movimento nel piano, scegliamo l’asse OX 0 nella direzione della tangente alla traiettoria nel punto P [attenzione ha la stessa direzione della tangente, non `e la tangente stessa]. Sia ψ l’angolo formato da quest’asse rispetto ad un asse fissato OX; OX 0 ruoter`a con ˙ 0 , dove velocit`a angolare ψ˙ e quindi, per le formule appena ricavate i˙0 = ψj j0 e OY 0 sono tracciate nella direzione perpendicolare alla traiettoria in P . Sia v la velocit`a (scalare) del punto P , allora la velocit`a (vettoriale) di P `e ovviamente vi0 [la velocit`a di un punto in moto `e tangente la traiettoria], e la sua accelerazione `e vi ˙ 0 + v i˙0 (ottenuta per semplice derivazione), cio`e, usando le formule appena ricavate:
1.6. VARIAZIONI DI VETTORI
9
˙ 0 r¨ = vi ˙ 0 + v ψj Le componenti tangenziali e normali dell’accelerazione del punto P sono dunque rispettivamente v, ˙ v ψ˙ (1.4) Poich´e il raggio di curvatura ρ `e l˙ dl dl dt v = = = dψ dt dψ ψ˙ ψ˙ dove dl `e l’elemento dell’arco, la componente normale dell’accelerazione pren2 ˙ Un punto che si muova lungo una de la forma di vρ (ottenuta sostituendo ψ). circonferenza con velocit`a costante ha quindi accelerazione normale costante.
1.6
Variazioni di vettori
Sia OXY Z un sistema di assi ortogonali che sono considerati fissi e che coincidono istantaneamente al tempo t = 0 con un altro sistema OX 0 Y 0 Z 0 che sta ruotando rispetto a OXY Z con velocit`a angolare ω. Consideriamo ora il vettore a che vari nel tempo. Pu`o essere rappresentato come il vettore posizione OP di un punto in movimento P . Poniamo che Pt rappresenti la posizione di P al tempo t. Sia Q il punto fissato nel sistema OX 0 Y 0 Z 0 che coincida con P al tempo t = 0 (Q0 = P0 ). δa sar`a dunque l’incrementto del vettore a nel tempo δt rispetto al sistema OXY Z, e sar`a cio`e pari al vettore P0 Pδt . Allo stesso modo poniamo δ 0 a = Qδt Pδt che, siccome Q `e fisso rispetto al riferimento OX 0 Y 0 Z 0 , corrisponde all’incremento del vettore a nel tempo δt rispetto al sistema di riferimento OX 0 Y 0 Z 0 . Sappiamo per`o che, siccome Q `e fisso nel sistema OX 0 Y 0 Z 0 , la sua velocit`a `e pari a ω × a. Quindi nel sistema OXY Z (la variazione di tempo `e infinitesima quindi δs = vδt) Q0 Qδt = ω × aδt. Perci`o, riassumendo quanto detto P0 Pδt = Q0 Pδt = Q0 Qδt + Qδt Pδt dove la prima uguaglianza `e data dalla coincidenza all’istante iniziale di P0 e Q0 ; allora sostituendo abbiamo che δa = ω × aδt + δ 0 a dividendo per δt e passando al limite per δt tendente a zero, si ottiene che Da = ω × a + D0 a
10
CAPITOLO 1. CINEMATICA
dove D `e l’operatore d/dt, cio`e la detivata prima della posizione rispetto agli assi fissi, mentre D0 `e l’operatore d0 /dt, ovvero la velocit`a di cambiamento della posizione rispetto al sistema di assi in movimento OX 0 Y 0 Z 0 . In particolare Dω = D0 ω in quanto ω × ω = 0. Un’interpretazione alternativa delle formule precedenti chiarifica il loro significato. Sia R un punto in movimento tale che in ogni istanteP0 , Qδt , Pδt , Rδt sia un parallelogramma. Chiamiamo OR come a0 . Poich´e P0 Rδt = Qδt Pδt , otteniamo che D0 a = Da0 ; questo significa che la velocit`a di cambiamento di a0 rispetto a OXY Z `e la stessa che la velocit`a di cambiamento di a rispetto a OX 0 Y 0 Z 0 . Inoltre a e a0 coincidono al tempo t = 0. L’equazione precedente pu`o quindi essere riscritta come a˙ = a˙ 0 + ω × a oppure come a˙ = a˙ 0 + ω × a0
(1.5)
Poich´e a e a0 coincidono nell’istante in cui a˙ e a˙ 0 sono valutati [nel limite che abbiamo fatto li abbiamo considerati al tendere di δt a zero]. Comunque dal momento che OP0 Rδt e OQδt Pδt sono, al limite, triangoli congruenti, `e possibile, per piccoli intervalli δt, considerare a0 come il vettore posizione di P rispetto agli assi in movimento OX 0 Y 0 Z 0 .
In particolare, la velocit`a r˙ di un punto in movimento r pu`o essere espressa rispetto a degli assi in movimento con la formula r˙ = r˙ 0 + ω × r0 Considerando poi r˙ nel ruolo assunto dal vettore a nei calcoli precedenti, otteniamo una formula corrispondente per l’accelerazione di r rispetto agli assi OXY Z. Troviamo infatti che ¨r = Dr˙ = D0 (˙r0 + ω × r0 ) + ω × (˙r0 + ω × r0 ) = ¨r0 + ω˙ × r0 + 2ω × r˙ 0 + ω × (ω × r0 ) (1.6) Nel caso bidimensionale (ωx = ωy = 0, ωz = ω), le componenti della velocit`a r˙ nelle direzioni degli assi in movimento OX 0 e OY 0 sono rispettivamente x˙ 0 − y 0 ω,
y˙ 0 + x0 ω
e quelle dell’accelerazione ¨r x¨0 − y 0 ω˙ − 2y˙ 0 ω − x0 ω 2 ,
y¨0 + x0 ω˙ + 2x˙ 0 ω − y 0 ω 2
1.7. CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO Se ω `e costante queste componenti dell’accelerazione diventano ( x¨0 − 2y˙ 0 ω − x0 ω 2 y¨0 + 2x˙ 0 ω − y 0 ω 2
1.7
11
(1.7)
Cinematica del corpo rigido
Consideriamo inizialmente un corpo rigido di cui un punto sia fissato. Mostreremo che il moto in ogni istante pu`o essere considerato come dovuto ad una velocit`a angolare ω attorno al punto fissato che sceglieremo come l’origne O. Siano i0 , j0 , k0 tre vettori unitari tra loro perpendicolari nelle direzioni degli assi coordinati OX 0 , OY 0 , OZ 0 che sono fissi nel corpo e quindi in moto nello spazio. Derivando rispetto al tempo le relazioni fondamentali i0 · i0 = j0 · j0 = k0 · k0 = 1 j0 · k0 = k0 · i0 = i0 · j0 = 0 otteniamo: i˙0 · i0 = j˙ 0 · j0 = k˙ 0 · k0 = 0,
(1.8)
j˙ 0 · k0 = −k˙ 0 · j0 , k˙ 0 · i0 = −i˙0 · k0 , i˙0 · j0 = −j˙ 0 · i0 .
(1.9)
Da queste equazioni segue che i˙0 = +γj0 − βk0 j˙ 0 = −γi0 + αk0 k˙ 0 = βi0 − αj0
(1.10)
dove α, β, γ sono caratteristici del moto in questione. Queste equazioni sono state ottenute dalle precedenti osservando che per la (1.8) i˙0 non pu`o avere componenti nella direzione di i0 , e che per la (1.9)la componente di i˙0 nella direzione di j0 `e l’opposto della componente di j˙ 0 nella direzione di i0 . Consideriamo ora un generico punto r0 del punto in moto. Osserviamo che (αi0 + βj0 + γk0 ) × r0 = = = = =
(αi0 + βj0 + γk0 ) × (x0 i0 + y 0 j0 + z 0 k0 ) (βz 0 − γy 0 ) i0 + (γx0 − αz 0 ) j0 + (αy 0 − βx0 ) k0 x0 (γj0 − βk0 ) + y 0 (−γi0 + αk0 ) + z 0 (βi0 − αj0 ) x0 i˙0 + y 0 j˙ 0 + z 0 k˙ 0 r˙ 0
Il moto di questo punto arbitrario e dunque di tutto il corpo pu`o essere visto come dovuto ad una velocit`a angolare
12
CAPITOLO 1. CINEMATICA ω = αi0 + βj0 + γk0
attorno al punto fissato O. Pi` u in generale, se P `e un punto qualunque di un corpo rigido in movimento, il moto di tutto il corpo pu`o essere specificato con la velocit`a v di P insieme con una velocit`a angolare di tutto il corpo attorno a P . Nella maggior parte dei problemi, in cui nessun punto del corpo resta fisso, sar`a vantaggioso scegliere P come il centro di massa del corpo.
1.8
Assi istantanei di rotazione
Abbiamo appena visto che il moto di ogni corporigido pu`o essere specificato attraverso la velocit`a v di un arbitrario punto P del corpo unitamente alla velocit`a angolare ω con cui il corpo ruota attorno a P . Se R `e un qualunque punto del corpo identificato attraverso il vettore r0 tracciato da P a Q, allora la velocit`a di Q `e r˙ = v + ω × r0 Esaminiamo ora la possibilit`a che questa velocit`a sia pari a zero, escludendo il caso banale in cui ω = 0. Sia in primo luogo v = 0. Il vettore ω × r0 `e nullo se e solo se r0 `e parallelo a ω. C’`e dunque in ogni istante una linea di punti r0 = kω, in cui k `e un parametro libero, che `e istantaneamente in quiete. Nel secondo caso, cio`e quello in cui v! = 0, non ci possono essere punti del corpo in quiete a meno che v non sia perpendicolare a ω, perch´e solo in quel caso `e possibile che ω × r0 = −v (1.11) Supponiamo allora che v · ω = 0. Cerchiamo tutti i punti r0 tali che la (1.12) sia vera. Evidentemente ognuno di questi punti deve soddisfare la condizione v · r0 = 0, Poich´e anche r0 deve essere perpendicolare a v. Possiamo dunque supporre che r0 sia della forma r0 = κω + µω × v [Poich´e ω × r0 deve essere parallelo a v, r0 non pu`o avere componenti nella direzione di v, ma solo in quella di ω, che si elide eseguendo il prodotto vettoriale, e in quella perpendicolare a ω e v, che, moltiplicata vettorialmente per ω, risulter`a proprio nella direzione di v] Dobbiamo ora per`o determinare κ e µ perch´e si abbia la relazione richiesta: ω × r0 = µω × (ω × v) = µ ((ω · v) ω − (ω · ω) v) = −µω 2 v
(1.12)
1.8. ASSI ISTANTANEI DI ROTAZIONE
13
e da qui ricaviamo che, se vogliamo che la (1.12) sia soddisfatta, dobbiamo imporre µ = ω12 . I punti richiesti giacciono pertanto sull’asse 1 0 ω×v r = κω + ω2 Siamo dunque giunti alla conclusione che non c’`e alcun punto del corpo in quiete a meno che v e ω siano perpendicolari. Se questa condizione `e soddisfatta, c’`e una linea di punti parallela a ω che `e in quiete. Questa linea `e detta asse istantaneo di rotazione. Nel caso bidimensionale l’asse istantaneo `e perpendicolare al piano del moto e lo incontra in un unico punto che chiamiamo centro istantaneo di rotazione. Nel caso di un cilindro che rotoli senza scivolare su un cilindro fisso `e chiaro che l’asse di contatto sia l’asse istantaneo di rotazione Poich´e altrimenti questo asse si muoverebbe tangenzialmente rispetto al cilindro fisso e ci sarebbe scivolamento.
14
CAPITOLO 1. CINEMATICA
Capitolo 2 La natura della forza 2.1
Le leggi di Newton sul moto
Cos`ı come in geometria `e conveniente usare nozioni astratte come punti, rette e piani, cos`ı in Meccanica introdurremo spesso delle astrazioni e considereremo concetti come punti materiali, corpi rigidi, superfici perfettamente lisce e cos`ı via, nessuno dei quali risulta effettivamente realizzato nel mondo fisico nel quale viviamo. Un punto materiale (o particella) `e un punto geometrico che si pu`o muovere ed `e dotato di una certa massa. Per i fini pratici, un punto materiale `e un oggetto materiale del quale si posso trascurare le dimensioni, rispetto alle altre lunghezze prese in considerazione. Cos`ı ci possiamo aspettare che le conclusioni della meccanica classica si mantengano valide per il moto di un elettrone, in molti problemi nei quali il raggio dell’elettrone possa essere trascurato rispetto alle altre distanze considerate. Ci sono, comunque, alcuni importanti problemi in fisica atomica nei quali tale approssimazione risulta inammissibile. In tali casi possiamo aspettarci una certa discrepanza tra i risultati sperimentali e qualsiasi teoria che assuma che un elettrone sia una particella del tipo detto prima. L’obbiettivo del presente capitolo `e quello di considerare la natura degli agenti responsabili delle modificazioni del moto di una particella. A questa domanda rispondono, in via generale, le tre leggi sul moto di Newton, che noi considereremo come assiomi e che enunciamo nella seguente forma: • N.1 Una particella si muove con velocit`a costante (eventualmente nulla) in modulo, direzione e verso, finch´e non agiscono forze su di essa. • N.2 Una particella, su cui agisce una certa forza, si muover`a con una accelerazione proporzionale alla forza; (il fattore di proporzionalit`a `e indipendente dalla forza e dal tempo). 15
16
CAPITOLO 2. LA NATURA DELLA FORZA • N.3 Se due particelle interagiscono, le due forze agenti sulle particelle sono uguali e opposte e risultano dirette lungo la retta congiungente le due particelle.
Queste tre leggi sono strettamente collegate con la natura della forza, un concetto non ancora definito. Possiamo, comunque, usare N.1 e N.2 per definire il concetto di Forza e la sua misurazione. Possiamo ipoteticamente scegliere una particella di prova e osservarne il moto. Se essa si muove con velocit`a costante, possiamo dire da N.1 che la forza totale agente su di essa `e zero, ma se la sua velocit`a non `e costante deve avere una certa accelerazione, che supponiamo misurabile, e riconosciamo che una forza sta agendo sulla particella. Da N.2 sappiamo che questa forza `e proporzionale all’accelerazione e che risulta una grandezza vettoriale. Se scegliamo una certa particella come particella di riferimento, possiamo definire un’unit`a di misura della forza, in modo che la forza risulti numericamente uguale all’accelerazione prodotta sulla particella di riferimento. Supponiamo ora che ci sia una interazione reciproca tra la particella di riferimento S e un’altra particella P. Supponiamo, inoltre, che le accelerazioni ¨rS ,¨rP di tali particelle possano essere misurate. La forza agente su S `e, per quanto abbiamo appena detto, ¨rS , mentre dalla N.3 la forza che agisce su P deve essere −¨rS . Dal momento che questa forza produce un’accelerazione ¨rP , segue da N.2 che −¨rS = mP ¨rP dove mP `e un fattore di proporzionalit`a caratteristico del corpo P. Questo fattore mP `e chiamato massa del corpo P ed `e definito come il rapporto −
¨rS ¨rP
(Si `e assunto che la massa della particella di riferimento sia unitaria.) L’unit`a di misura della massa `e il kg, quella della forza `e il Newton. Possiamo allora esprimere la N.2 nella forma: forza = massa × accelerazione oppure F = m¨r dopo aver portato forza, massa ed accelerazione nello stesso sistema di misura. La precedente equazione vettoriale `e chiamata equazione del moto della particella in questione. Spesso `e conveniente risolverla nelle tre componenti scalari: Fx = m¨ x,
Fy = m¨ y,
Fz = m¨ z
2.2. CONSIDERAZIONI SULLE LEGGI DI NEWTON
2.2
17
Considerazioni sulle leggi di Newton
` Il lettore noter`a una certa arbitrariet`a nella nostra definizione di Forza. E evidente che una particella possa muoversi con una velocit`a costante in un sistema di riferimento, mentre risulta accelerare in un altro sistema. Questo `e un aspetto familiare agli studenti della teoria della relativit`a, ma non `e stato considerato da Newton. Newton credeva all’esistenza di un sistema di riferimento privilegiato, assolutamente in quiete. L’infruttuosa ricerca di ` chiaro anche tale sistema di riferimento ha gettato le basi della relativit`a. E che qualsiasi particella possa ritenersi libera, cio`e, non soggetta all’azione di forze, scegliendo semplicemente come sistema di riferimento quello che ha come origine la particella stessa. Questo, comunque, non pu`o in generale essere assunto senza introdurre nuove forze per giustificare il moto delle altre particelle nell’universo. Scegliendo un sistema di riferimento con assi fissi rispetto alle stelle fisse e avente come origine il centro di massa del sistema solare, si `e scoperto che quasi tutti i fenomeni microscopici della meccanica classica possono essere interpretati in termini di interazioni gravitazionali ed elettromagnetiche. A volte, `e conveniente scegliere un sistema di riferimento con gli assi che ruotano rispetto a quelli appena descritti; in tali casi, le forze gravitazionale ed elettromagnetica devono essere corrette con altre forze (ad es. forza centrifuga).
2.3
Il poligono delle forze
Come abbiamo gi`a detto, la N.2 implica che la forza sia una grandezza vettoriale. Conseguentemente, se una particella `e soggetta a diverse forze F1 , F2 , ... la cui somma vettoriale `e F, allora l’accelerazione risultante acquistata dalla particella `e la stessa che avrebbe avuto se fosse stata soggetta alla singola forza F. Questa forza risultante F pu`o essere costruita graficamente completando il poligono avente i lati uguali in modulo e direzione alla forze F1 , F2 , ... Cos`ı, se la particella P `e soggetta alle forze F1 , F2 , F3 , la risultante F di tali forze `e ottenuta come in figura. Sar`a opportuno tenere a mente, quando arriveremo a parlare di corpi rigidi, che due forze le cui linee di azione non si intersecano, non sono equivalenti ad una singola forza. Il poligono delle forze `e applicabile esclusivamente se le forze agiscono tutte nel medesimo punto.
18
CAPITOLO 2. LA NATURA DELLA FORZA
2.4
Le leggi di Keplero
Sulla base di osservazioni astronomiche eseguite dal suo maestro e collega Tycho Brahe, Keplero propose le tre seguenti leggi: • K.1 I pianeti descrivono delle ellissi, delle quali il Sole occupa uno dei due fuochi. • K.2 Il raggio vettore che va dal Sole al pianeta spazza aree uguali in tempi uguali. • K.3 Il quadrato del periodo di rivoluzione di ciascun pianeta `e proporzionale al cubo della rispettiva distanza media dal Sole. Fu proprio lo studio di queste tre leggi, supportato dalle nuove regole di calcolo infinitesimale, che portarono Newton a proporre la sua ben nota legge di gravitazione, della quale parleremo tra breve. In linguaggio matematico, la K.2 implica che per ogni pianeta che si muova intorno al Sole (preso come origine) si ha r2 θ˙ = costante = h
(2.1)
Per quanto visto nel paragrafo 1.5, ci`o implica che la forza agente sul pianeta `e centrale. Da K.1 l’equazione dell’orbita del pianeta, in coordinate polari1 (r, θ) con il Sole nell’origine `e l = r(1 − e cos θ)
(2.2)
dove l rappresenta una costante caratteristica dell’ellisse: per il suo significato geometrico basta osservare che corrisponde alla distanza dal fuoco quando cos θ = 0. Possiamo dunque valutare tale forza centrale nel modo seguente. Dalla 2.2 abbiamo che l = 1 − e cos θ r l e cos θ = 1 − r deriviamo ora rispetto al tempo la precedente espressione, −eθ˙ sin θ = l 1
vedi Appendice 8.1
r˙ r2
2.4. LE LEGGI DI KEPLERO
19
Usando la (2.1) abbiamo che θ˙ = −
h , r2
quindi
eh r˙ sin θ = l 2 2 r r
Quindi, moltiplicando per −r2 /h, e sin θ = −l
r˙ h
deriviamo ancora rispetto al tempo, per ottenere l eθ˙ cos θ = − r¨ h ˙ si ha usando ancora la (2.1) per ricavare θ, e cos θ
l h = − r¨ 2 r h
da cui, sempre grazie alla (2.1) l h l 1− = − r¨ 2 r r h 2 quindi r¨ = hl − r12 + rl3 . Ora, per determinare la componente radiale dell’accelerazione, calcoliamo la seguente quantit`a: 1 l h2 1 h2 h2 2 ˙ − 2 + 3 − 3 =− r¨ − rθ = l r r r l r2 Quindi, la forza che attrae un pianeta di massa m verso il Sole `e mµ r2 2
avendo posto µ = hl . Per spiegare l’enunciato della K.3, diciamo che l’espressione distanza media `e usata in senso astronomico e, nel caso di orbite ellittiche intorno ad un fuoco, si riferisce alla lunghezza del semi-asse maggiore. Cos`ı, la K.3 si pu`o formalizzare come τ12 a31 = τ22 a32 dove τ1 e τ2 sono i periodi di rivoluzione dei due pianeti attorno al Sole e a1 e a2 sono le lunghezze dei semi-assi maggiori delle loro orbite.
20
CAPITOLO 2. LA NATURA DELLA FORZA
Ora, usando la notazione introdotta all’inizio del paragrafo, l’area dell’ellisse `e πab, e 12 h `e la velocit`a areolare con la quale il raggio vettore del pianeta spazza l’area dell’ellisse. Di conseguenza, il periodo τ `e dato da 2πab . Cos`ı h a21 b21 a22 b22 τ12 = / τ22 h21 h22 Dal momento che b2 = a2 (1 − e2 ) = al, segue che: τ12 a31 l1 a32 l2 = / τ22 h21 h22 ed usando la K.3 abbiamo che h22 h2 = 1 l2 l1 In altre parole, la K.3 implica che il fattore µ introdotto precedentemente `e lo stesso per tutti i pianeti del sistema solare. Osserveremo successivamente che ci`o `e vero solo in prima approssimazione. Dato che la forza tra il Sole ed un pianeta `e proporzionale alla massa del pianeta, sembra logico supporre che essa risulti proporzionale anche alla massa M del Sole. Concludiamo, dunque, che tale forza possa essere espressa nella forma Mm r2 dove γ `e un fattore costante che dipende dalle unit`a di misura adottate per le masse e le lunghezze, M `e la massa del Sole, m `e la massa del pianeta considerato ed r `e la distanza tra il Sole ed il pianeta. F =γ
2.5
La legge di gravitazione di Newton
Con l’aiuto del calcolo infinitesimale chiunque sarebbe arrivato molto avanti, ma fu necessaria la genialit`a di Newton per vedere che la formula appena ottenuta si applica a qualunque coppia di corpi nell’universo, e per capire che la forza che tiene i pianeti sulla loro orbita `e la stessa che fa cadere una mela a terra. La legge di gravitazione di Newton afferma che Due corpi qualsiasi nell’universo si attraggono l’un l’altro con una forza pari a F =γ
m1 m2 r2
2.5. LA LEGGE DI GRAVITAZIONE DI NEWTON
21
dove m1 , m2 sono le masse dei due corpi e r `e la distanza tra loro. Il fattore γ `e conosciuto come costante di gravitazione universale e vale 6.67 · 10−11
N · m2 kg 2
Abbiamo seguito un approccio coincidente con l’evoluzione storica della teoria. Cio`e, abbiamo mostrato che la legge di attrazione gravitazionale sembra ben spiegare i risultati delle osservazioni astronomiche del sistema solare. Preferiamo, tuttavia, considerare anche un altro punto di vista e assumere la legge di gravitazione come un assioma. Apparir`a che le principali implicazioni di tale assunzione risultano compatibili con i fenomeni osservati.
2.5.1
Attrazione dovuta ad un anello circolare uniforme su un punto lungo l’asse di simmetria
Supponiamo di avere un anello di densit`a lineare di massa λ con raggio pari a c. Stiamo per calcolare l’attrazione gravitazionale su una particella che si trova sull’asse di simmetria dell’anello, ad una distanza p dal centro. Nota: per semplificare i passaggi consideriamo la particella di massa unitaria, quindi il nostro risultato sar`a l’accelerazione della particella. Usando la legge di gravitazione abbiamo che l’attrazione dovuta ad un frammento di massa dm = λdl `e λdl γ 2 p + c2 ` evidente che per simmetria la componente ortogonale all’asse di simmetria E risulter`a perfettamente bilancia dalla massa dm opposta sull’anello. Ci baster`a, dunque, considerare l’attrazione lungo la componente parallela all’asse dell’anello (moltiplicando per √ 2p 2 ): p +c
γ
(p2
λpdl + c2 )3/2
22
CAPITOLO 2. LA NATURA DELLA FORZA Quando integriamo su l da 0 a L, otteniamo γ
λLp (p2 + c2 )3/2
dove, per la definizione di λ si ha che λL = M , detta M la massa dell’anello, quindi: Mp γ 2 (p + c2 )3/2
2.5.2
Attrazione dovuta ad un guscio sferico uniforme
Supponiamo di avere un guscio sferico uniforme di raggio a e con densit`a superficiale di massa σ. Stiamo per calcolare l’attrazione gravitazionale su una particella che si trova a distanza r dal centro. Nota: anche in questo caso, assumeremo unitaria la massa della particella e ricaveremo, quindi, l’accelerazione. Dividiamo il guscio in anelli elementari come quello mostrato in figura. Per ricondurci al caso precedente ci baster`a calcolare le grandezze necessarie. Il raggio dell’anello risulta a sin θ, il suo spessore adθ e, dunque, la sua massa σ(adθ)(2πa sin θ). Il centro di tale anello si trova a distanza r − a cos θ dalla particella.
L’attrazione dovuta a tale anello elementare `e, per quanto visto prima, γ
(2πσa2 sin θdθ)(r − a cos θ) [(r − a cos θ)2 + (a sin θ)2 ]3/2
2.5. LA LEGGE DI GRAVITAZIONE DI NEWTON
23
Facciamo ora le seguente sostituzione: u2 = (r − a cos θ)2 + (a sin θ)2 = r2 − 2ar cos θ + a2 derivando rispetto a θ abbiamo che 2u
du = 2ar sin θ dθ
da cui otteniamo la forma differenziale u
du = ar sin θ dθ
Riprendiamo ora la definizione di u e aggiungiamo r2 ad ambo i membri: u2 + r2 = 2r2 − 2ar cos θ + a2 da cui, portando a2 a primo membro e dividendo per 2r, otteniamo: r − a cos θ =
u2 + r2 − a2 2r
Siamo quindi in grado di determinare l’attrazione in funzione di u: 2 2πσa(a sin θdθ)(r − a cos θ) udu u + r 2 − a2 1 γ = γ2πσa 2 2 3/2 [(r − a cos θ) + (a sin θ) ] r 2r u3 Quindi l’attrazione sar`a γσπa r2
r 2 − a2 1+ u2
du
Abbiamo ora due casi: r > a, per cui u va da r − a a r + a, oppure r < a, per cui u va da a − r a a + r. Nel primo caso abbiamo: Z γσπa r+a r 2 − a2 γσπa r2 − a2 r+a 4πa2 γσ M 1 + du = u − | = = γ r−a r2 u2 r2 u r2 r2 r−a dove M `e la massa totale del guscio sferico. Nel secondo caso abbiamo: Z γσπa a+r r 2 − a2 γσπa r2 − a2 a+r 1+ du = u− |a−r = 0 r2 u2 r2 u a−r Abbiamo cos`ı mostrato che la forza dovuta ad un guscio sferico `e del tutto equivalente a quella che si avrebbe se la massa del guscio fosse concentrata ` invece nulla, se la nel centro, nel caso in cui la particella si trova fuori. E particella si trova all’interno del guscio sferico.
24
2.5.3
CAPITOLO 2. LA NATURA DELLA FORZA
Attrazione dovuta ad una distribuzione di materia a simmetria sferica
Supponiamo di avere una distribuzione di materia, che abbia simmetria sferica. Usando i risultati del precedente paragrafo abbiamo che la particella di riferimento (massa unitaria) sente una forza γ M , dove M `e la massa totale r2 della distribuzione e r `e la distanza della particella dal centro della distribuzione. In tali casi, sulla particella agisce una forza equivalente a quella che si avrebbe se tutta la materia fosse concentrata nel centro della distribuzione. Ci`o significa che la formula γ m1r2m2 si applica non solo a due particelle, ma anche a due distribuzioni sferiche di materia, i cui bordi non si intersecano. In tal caso, r `e la distanza tra i centri delle due distribuzioni. D’altra parte, se la particella si trova all’interno della distribuzione, essa sen0 , dove M 0 `e la massa totale contenuta all’interno della tir`a un’attrazione γ M r2 sfera di raggio r, dal momento che, come visto prima, i gusci esterni non esercitano alcuna forza sulla particella. 3 Nel caso in cui la distribuzione sia una sfera uniforme di raggio a, M 0 = ( ar 3 M ) e la forza esercitata sulla particella di massa unitaria alla distanza r (< a) dal suo centro `e: Mr (2.3) γ 3 a
2.6
La forza peso
Se assumiamo che la Terra abbia una forma sferica, l’attrazione gravitazionale percepita da una particella di massa m sulla sua superficie, sar`a γ
Mm R2
dove M e R sono rispettivamente la massa e il raggio della Terra. Questa forza `e chiamata peso della particella e si scrive mg, avendo posto g = γ RM2 . Ora, in ogni luogo in cui venga condotto un esperimento, il valore del raggio R `e costante e dunque anche g lo `e. Tuttavia, in posti differenti sulla superficie terrestre, la distanza dal centro della Terra pu`o variare. Riportiamo una tabella con i valori di g in diverse localit`a della Terra, a livello del mare. Luogo Equatore New York Londra Polo Nord
g (m/s2 ) 9.7810 9.8022 9.8119 9.8321
2.7. FORZE ELETTROMAGNETICHE
25
Dato che la forza peso di una massa m `e mg, si ha che l’accelerazione di tale massa in caduta libera `e g. In un certo luogo, tale accelerazione `e la stessa per tutti i corpi indipendentemente dalla forma, dalla massa o dalla densit`a; questo fatto fu dimostrato sperimentalmente per la prima volta da Galileo Galilei. Altri tipi di forze
2.7
Forze elettromagnetiche
C’`e una grande somiglianza tra la legge di gravitazione di Newton FG = γ
m1 m2 r2
e le leggi di Coulomb per la forza elettrostatica FE tra due cariche puntiformi e1 , e2 e per la forza magnetostatica FM tra due poli magnetici puntiformi p1 , p2 . Queste ultime possono essere scritte nella forma FE = α
e1 e2 r2
FM = β
p1 p2 r2
nelle quali α e β sono costanti che dipendo dal sistema di misura e dalla natura del mezzo. Bisogna, tuttavia, tener bene a mente che, mentre FG `e una forza esclusivamente attrattiva, FE e FM possono essere attrattive o repulsive a secondo del segno delle grandezze coinvolte. La somiglianza tra queste leggi port`o i fisici dell’Ottocento e dell’inizio del Novecento a ritenere che tutte le forze fondamentali dovessero dipendere dall’inverso del quadrato della distanza tra le particelle, e che qualsiasi altra interazione fosse dovuta alla composizione di queste forze. Questo, tuttavia, fu confutato da scoperte successive. Pu`o comunque essere menzionato, per uno sguardo su certi problemi di dinamica dei corpi, che la forza su una particella avente carica e, nel vuoto, dovuta ad un campo elettrico E `e eE, mentre quella dovuta ad un campo magnetico H `e ec v × H, dove c `e la velocit`a della luce e v `e la velocit`a della particella. Inoltre, la forza su un polo magnetico p, dovuta ad un campo magnetico H `e pH. Non `e nostro scopo giustificare tali formule in questo libro.
26
2.8
CAPITOLO 2. LA NATURA DELLA FORZA
Forze elastiche
Abbiamo gi`a osservato che in un punto all’interno di una sfera solida uniforme, la forza gravitazionale `e proporzionale allo spostamento della particella dal centro della sfera. Questo tipo di forza mostra un’elevata affinit`a con le forze elastiche che entrano in gioco quando un pezzo di gomma o di altro materiale viene deformato, applicando una forza su di esso. Bench´e una precisa spiegazioni di tali forze non sia ancora stata fornita e accettata, `e probabile che esse siano di carattere statistico a possano essere dovute, come nel caso della sfera solida, ad una complessa combinazione di forze che vanno come l’inverso del quadrato della distanza. Il seguente ragionamento indica in via generale come si genera una forza elastica. Possiamo immaginare che un filo di materiale elastico consista di un numero molto grande di particelle simili, disposte con regolarit`a lungo una linea. L’esatta natura delle forze tra le particella non `e nota ma assumiamo che la tensione del filo sia una funzione f (l) della sua lunghezza l. Il filo tender`a a contrarsi o espandersi a seconda che f (l) sia positiva o negativa, ma se per un certo valore di l che chiameremo l0 si ha che f (l0 ) = 0, la tensione sparisce e il filo manterr`a la propria lunghezza l0 indefinitamente (nel caso in cui non siano presenti altre forze). Se scriviamo l = l0 + x ed sviluppiamo f (l0 + x) in serie di Taylor, otteniamo x2 00 f (l) = f (l0 ) + xf (l0 ) + f (l0 ) + . . . 2 0
Come abbiamo gi`a visto, il primo termine `e nullo; anche il terzo termine ed i seguenti sono trascurabili se x `e sufficientemente piccolo. Cos`ı, in prima approssimazione, f (l) = xf 0 (l0 ) Supponiamo che f 0 (l0 ) sia positivo. In tal caso la tensione risulta proporzionale all’allungamento x del filo, e l0 pu`o essere chiamato la lunghezza naturale (a riposo) del filo. Questo `e la legge di Hooke, che Hooke come risultato di ricerche sperimentali. Per la maggior parte dei materiale questa legge `e valida solo per allungamenti x molto piccoli in confronto a l0 ; per i materiali elastici come la gomma, la legge risulta valida anche se x `e dello stesso ordine di grandezza di l0 . In questi ultimi casi, infatti, f 00 (l0 ), f 000 (l0 ), . . . sono molto piccoli. Abbiamo assunto che f 0 (l0 ) > 0. Se ci`o non fosse vero, qualsiasi piccolo spostamento delle particelle che costituiscono il filo provocherebbe l’innesco di una forza distruttiva, nel qual caso l0 non potrebbe essere considerato propriamente come la lunghezza naturale del filo.
2.9. FORZE CENTRALI
2.9
27
Forze centrali
Supponiamo che una particella sia soggetta ad una forza diretta sempre nella direzione di un certo punto fissato: in tal caso, la forza `e detta centrale. Se scegliamo come origine il punto fissato, allora la forza centrale deve essere parallela al vettore posizione r della particella. Le forze centrali hanno alcune importanti propriet`a in comune e meritano, dunque, di essere trattate approfonditamente. Cos`ı, se una particella di massa m `e soggetta all’attrazione gravitazionale di un’altra particella di massa M e se la particella M viene scelta come origine del sistema di riferimento, allora la particella m `e soggetta ad una forza centrale di intensit`a γ
Mm r2
e dato che questa forza `e parallela a r possiamo scriverla come F=−
mµ r r3
avendo posto µ = γM . Questa formula si applicher`a (per quanto visto precedentemente) anche al caso di una particella m attratta da una distribuzione sferica di materia di massa M , supponendo che la particella m rimanga sempre all’esterno di tale distribuzione e scegliendo il centro della sfera come origine. Formule simili (con opportuno segno) si potranno usare nel caso delle forze elettromagnetiche. Analogamente, la formula F = −mkr dove k `e una costante, rappresenter`a la forza sulla particella all’interno della distribuzione sferica. Possiamo considerare tale forza, come una forza elastica, bench´e siano presenti alcune differenze con la legge di Hooke. Nonostante sia possibile immaginare altri tipi di forze centrali, le uniche che saranno per noi di particolare interesse sono quelle del tipo F = mφ(r)r dove φ(r) `e una funzione solo della distanza r, e m `e la massa della particella sulla quale agisce la forza.
2.10
Forze centrifughe
Supponiamo che gli assi OX0 Y0 stiano ruotando intorno a OZ con velocit`a angolare costante ω e che il moto di una certa particella e le forze agenti su
28
CAPITOLO 2. LA NATURA DELLA FORZA
di essa siano parallele al piano OX0 Y0 . Riprendiamo la (6.2): ¨r = ¨r0 + ω × (ω × r0 ) + ω˙ × r0 + 2ω × r˙0 dove, ricordiamo, r `e il vettore posizione nel sistema di riferimento fisso e r0 `e il vettore posizione nel sistema rotante. Possiamo dunque scomporre tale uguaglianza vettoriale nelle tre componenti scalari: nel nostro caso ci baster`a prendere le componenti x ed y; ricordiamo che abbiamo supposto ω costante e diretto lungo OZ, quindi ω˙ = 0, e che il moto si svolge nel piano OXY, quindi z = 0 e z˙ = 0. avremo dunque che x¨ = x¨0 − 2y˙ 0 ω − x0 ω 2 y¨ = y¨0 + 2x˙ 0 ω − y 0 ω 2 Se con Fx e Fy indichiamo le componenti lungo x ed y (nel sistema di riferimento fisso) della forza agente sulla particella, allora le equazioni del moto divengono semplicemente m¨ x0 = Fx + 2my˙ 0 ω + mx0 ω 2 m¨ y 0 = Fy + 2mx˙ 0 ω + my 0 ω 2 Come avevamo detto in precedenza, l’uso di sistemi di riferimento non inerziali comporta l’aggiunta di forze apparenti da tenere in considerazione. L’esempio precedente mostra alcuni tipi di forze: • la forza centrifuga che ha componenti mx0 ω 2 lungo x e my 0 ω 2 lungo y, ed `e una forza di intensit`a mrω 2 che agisce nella direzione e verso del vettore posizione. • la forza di Coriolis che ha componenti 2my˙ 0 ω lungo x e 2mx˙ 0 ω lungo y. Bisogna osservare che la forza di Coriolis scompare se la particella `e ferma nel sistema di riferimento rotante. Essa risulta sempre proporzionale alla velocit`a, ma perpendicolare ad essa. A titolo di esempio, fissiamo l’origine del nostro sistema di riferimento nel Sole e prendiamo come asse OX0 la retta passante attraverso la Terra. Supponiamo che la Terra si muova con velocit`a costante lungo una circonferenza di raggio R intorno al Sole, che ne `e il centro. In questo caso la Terra `e a riposo nel sistema di riferimento rotante. C’`e quindi equilibrio tra l’attrazione gravitazionale e le forze centrifughe. Dunque γ
mM = mRω 2 R2
2.11. FORZE CONSERVATIVE
29
dove M e m sono le masse del Sole e della Terra rispettivamente. Quindi M=
R3 ω 2 γ
conoscendo la distanza media tra il Sole e la Terra (R =), la velocit`a angolare di rivoluzione (ω =) e la costante di gravitazione universale (γ =) possiamo stimare per il Sole una massa M = Ancora, possiamo osservare che la verticale in un qualunque punto sulla superficie della Terra, rappresenta la direzione dell’attrazione gravitazionale in tale luogo. Se ci mettiamo in un sistema di riferimento in cui la Terra `e ferma, invece di ruotare attorno al suo asse, dobbiamo considerare le forze centrifughe apparenti che ne derivano. Ad esempio, se ci troviamo ad una latitudine λ la forza centrifuga in quel punto sar`a mω 2 a cos λ, dove a `e la distanza dal centro della Terra. Ne segue che il peso apparente della massa m, cos`ı come verrebbe misurato da una bilancia, e la verticale, indicata da un filo con una pallina di piombo ad un estremo, sono rispettivamente l’intensit`a e la direzione della risultante delle due forze (mg e maω 2 cos λ). Scomponendo tali forze lungo due assi (uno ortogonale e uno tangente alla superficie terrestre in tale punto) si ha: m¨ y = mg − mω 2 a cos 2 λ
m¨ x = mω 2 a cos λ sin λ
Ne segue, quindi, che l’intensit`a della forza apparente risulti p F = m (g − ω 2 a cos 2 λ)2 + (ω 2 a cos λ sin λ)2 e che la verticale apparente risulta inclinata di un angolo α, dove tan α =
2.11
ω 2 a cos λ sin λ g − ω 2 a cos 2 λ
Forze conservative
Si dice che una forza compie lavoro se il suo punto di applicazione si muove. Se una forza F agisce su una particella, e questa si muove da r a r + δr, il lavoro effettuato dalla F in tale spostamento δr viene definito come il prodotto scalare F · δr Bisogna notare che F · δr `e il lavoro siano presenti altre forze che agiscano spostamento δr della particella sia in nel qual caso F · δr risulter`a negativo.
fatto dalla F anche nel caso in cui sulla particella. Pu`o capitare che lo direzione opposta a quella della F, Inoltre, se la spostamento δr risulta
30
CAPITOLO 2. LA NATURA DELLA FORZA
perpendicolare alla forza F il lavoro eseguito `e nullo. Quando una particella, su cui agisce una certa forza, compie uno spostamento finito, il lavoro totale eseguito dalla forza pu`o essere calcolato integrando sugli spostamenti infinitesimi del percorso; ad esempio, se la particella va dalla posizione r1 alla posizione r2 il lavoro sar`a Z r2 F · dr r1
Per alcuni tipi di campi di forza, il lavoro fatto da tali forze non dipende dal particolare percordo, ma solo dalla posizione iniziale e finale della particella. Campi di forze di questo tipo vengono chiamati conservativi. Ci accingiamo ora a dimostrare che una forza centrale del tipo F = mφ(r)r `e una forza conservativa. Per iniziare osserviamo che 1 1 r · dr = d(r · r) = dr2 = rdr 2 2 Avremo quindi che Z
r2
Z
r2
F · dr = r1
mφ(r)rdr r1
Dal momento che l’integrale a secondo membro `e evidentemente una funzione soltanto delle distanze r1 e r2 degli estremi dall’origine, segue che la forza centrale in considerazione `e conservativa. In particolare, nel caso familiare della forza attrattiva gravitazionale, dove φ(r) = − rµ3 , si ha Z r2 1 1 − F · dr = mµ r2 r1 r1 Nel caso della forza elastica, invece, con φ(r) = −k si avr`a Z r2 1 F · dr = mk(r12 − r22 2 r1 Invece, in un campo uniforme, dove F =costante, si ottiene Z r2 Z r2 F · dr = F · dr = F · (r2 − r1 ) r1
r1
che risulta indipendente dal percorso d’integrazione (e quindi la forza `e conservativa).
2.12. ENERGIA POTENZIALE
2.12
31
Energia potenziale
Il lavoro fatto da forze conservative su una particella, per portarla dalla posizione r ad una posizione fissta r0 `e chiamato energia potenziale della particella nella posizione r e verr`a indicata con V. Quindi, se F `e la forza conservativa risultante agente sulla particella avremo che Z r0 F · dr V = r
Dal momento che F `e conservativa, V deve essere una funzione soltanto della posizione (x, y, z) della particella. Cio`e V = V (x, y, z) I punti con la stessa energia potenziale descrivono una superficie, detta superficie equipotenziale V (x, y, z) = costante Per calcolare il lavoro fatto da forze conservative su una particella per portarla dalla posizione r1 alla posizione r2 posso sfruttare la definizione di energia potenziale come mostrato nei seguenti passaggi Z r2 Z r0 Z r0 F · dr = F · dr − F · dr = V (x1 , y1 , z1 ) − V (x2 , y2 , z2 ) r1
r1
r2
Il lavoro fatto dalle forze, dunque, `e uguale alla variazione dell’energia potenziale, cambiata di segno. In particolare, se V (x + δx, y + δt, z + δz) = V (x, y, z) + δV allora si avr`a che Z
r+δr
−δV =
F · dr = F · δr = Fx δx + Fy δy + Fz δz r
e quindi , Fx = − ∂V ∂x
Fy = − ∂V , ∂y
Fz = − ∂V ∂z
Possiamo riassumere tali relazioni scrivendo semplicemente F=−
∂V ∂V ∂V i− j− k ∂x ∂y ∂z
32
CAPITOLO 2. LA NATURA DELLA FORZA
o in notazione ancora pi` u compatta F = −∇V Utilizzando le relazione trovate nel paragrafo precedente avremo che, per la forza gravitazionale 1 1 V = mµ − r0 r per la forza elastica 1 V = mk(r2 − r02 ) 2 Per una forza costante F la formula dell’energia potenziale `e V = F · (r0 − r) Ad esempio, nel caso della forza peso mg di una particella, se prendiamo l’asse z diretto verticalmente verso l’alto, si ha F = −mgk e quindi l’energia potenziale sar`a: V = mgz dove z rappresenta l’altezza della particella sopra la posizione di rifermento. ` opportuno osservare che l’energia potenziale `e sempre definita a meno E di una costante additiva, che pu`o solitamente essere ignorata scegliendo opportunamente il sistema di riferimento.
2.13
Conservazione dell’energia
L’energia cinetica T di una particella di massa m pu`o essere definita dalla relazione 1 1 T = m˙r · r˙ = mv 2 2 2 dove v `e il modulo della velocit`a della particella. Se la particella si muove dal punto r al punto r + δr, l’energia cinetica aumenta di d 1 δT = m˙r · r˙ δt = m¨r · r˙ δt = F · δr dt 2 Dunque, l’aumento di energia cinetica `e equivalente al lavoro fatto dalle forze che agiscono sulla particella. Ne segue che l’energia cinetica di una particella rappresenta il lavoro totale fatto dalle forze che agiscono su di essa per fornirle velocit`a. Queste forze
2.13. CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA
33
possono essere in parte conservative e in parte no, ma se le forze non conservative non compiono lavoro durante lo spostamento, allora F · δr = −δV , dove V `e l’energia potenziale. In questi casi si ha che δ(T + V ) = 0 e quindi T + V = costante Se riconosciamo l’energia cinetica e quella potenziale come uniche forme di energia meccanica, possiamo esprimere la precedente equazione nel modo seguente: Per una particella che si muove sotto l’azione di forze conservative, o comunque in modo che quelle non conservative non facciano lavoro alcuno, l’energia meccanica totale si conserva. Questo `e il teorema di conservazione dell’energia meccanica. Il suo uso come integrale dell’equazione del moto, permette spesso di evitare calcoli e manipolazioni algebriche sulle equazioni stesse. Ad esempio, nel caso dell’attrazione gravitazionale, si pu`o scrivere, applicando la conservazione dell’energia che 1 1 1 2 − mv + mµ = costante 2 r0 r che, derivata rispetto al tempo, d`a proprio l’equazione del moto m m¨ r+µ 2 =0 r Bisogna fare, tuttavia, una attenta distinzione concettuale tra il teorema appena dimostrato e il pi` u generale principio di conservazione dell’energia, che afferma che l’energia non pu`o distruggersi o crearsi, ma soltanto passare da una forma all’altra. Altre forme di energia possibili, oltre a quelle cinetica e potenziale, possiamo ricordare l’energia elettromagnetica o l’energia che, secondo la teoria della relativit`a, viene associata alla massa di un corpo. Quando agiscono soltanto forse conservative l’energia cinetica pu`o diventare potenziale e viceversa, ma non pu`o andare a finire in altre forme (e questo `e per il teorema di conservazione dell’energia meccanica). Nel caso di forze non conservative, come l’attrito, l’energia meccanica non si conserva e viene parzialmente convertita in luce o calore. L’energia talvolta si ritrova nelle forme pi` u disparate, come calore o onde acustiche: entrambi questi fenomeni sono dovuta all’agitazione delle molecole del mezzo. Cos`ı, quando una bomba cade nell’atmosfera, le forze possono essere conservative, ma la bomba cede energia cinetica alle molecole dell’aria che la circonda. Se, comunque, decidiamo di trattare la bomba come un punto materiale e di ignorare l’esistenza delle molecole dell’aria, dobbiamo essere pronti a trovare una perdita di energia meccanica, che attribuiremo alla presenza di una forza non conservativa di resistenza del mezzo, come la viscosit`a o l’attrito.
34
CAPITOLO 2. LA NATURA DELLA FORZA
2.14
Moto vincolato e attrito
Se una particella `e a contatto con una superficie rigida fissata, il suo moto sar`a in generale diverso da quello che avrebbe in assenza di tale superficie. Ne deduciamo che la superficie esercita una qualche forza addizionale sulla particella. Questa forza `e chiamata reazione del vincolo sulla particella. La componente di tale forza, ortogonale alla superficie `e chiamata reazione normale e la componente parallela `e detta attrito. Per tutto il tempo di contatto, la reazione normale deve essere tale da produrre l’accelerazione normale che la particella possiede come conseguenza del suo moto sulla superficie. Dal momento che questa reazione si modifica a seconda delle circostanze `e evidente che non `e una funzione della sola posizione e, dunque, non `e una forza conservativa. D’altra parte, essa non compie mai lavoro, dato che risulta sempre perpendicolare al moto della particella. Quindi, la conservazione dell’energia meccanica `e applicabile anche in questo caso (dopo aver mostrato che non ci sono altre forze non conservative). Le leggi riguardanti le forze di attrito sono empiriche e non necessariamente accurate. Sono le seguenti: • La forza di attrito `e appena sufficiente per impedire lo scivolamento, noto comunque che non pu`o superare una certa frazione della reazione normale. • Il valor µ di tale frazione `e costante per ogni coppia di materiali in contatto. Viene chiamato coefficiente di attrito. • Mentre un corpo scivola, la forza di attrito si oppone al moto ed assume il suo massimo valore, cio`e µ volte la reazione normale. L’attrito, cos`ı come la reazione normale, `e una forza non conservativa, ma, a differenza della reazione normale, compie lavoro quando le superfici a contatto scivolano l’uno sull’altra. Quando non c’`e scivolamento, comunque, l’attrito non compie lavoro, e in tali circostanze, come nel caso di rotolamento puro, la conservazione dell’energia meccanica `e applicabile. Dagli esperimenti si verifica che 0 λ comincer`a a scendere una volta fermatasi, sempre sotto la forza W sin (θ − λ) cos λ
Capitolo 3 La dinamica del punto 3.1
Moto rettilineo
In questo paragrafo considereremo alcuni dei casi pi` u interessanti di una particella che si muova lungo una retta. Supponiamo di scegliere l’asse x coincidente con tale retta. Allora l’equazione vettoriale F = m¨r si riduce alla pi` u semplice equazione scalare F = m¨ x dove m `e la massa della particella e F `e la forza che agisce su di essa, lungo l’asse x. Conoscere la massa m e la forza F implica la conoscenza dell’accelerazione x¨. Il nostro problema sar`a quello di dedurre x(t) conoscendo x¨ e le condizioni iniziali.1 Prima di iniziare sar`a opportuno mostrare un trucco che useremo spesso: x¨ =
dx dx˙ dx˙ dx˙ = = x˙ dt dt dx dx
e quindi Z
Z xd ˙ x˙ =
1
x¨dx
Tratteremo i casi pi` u semplici di equazioni differenziali lineari del secondo ordine in x, a coefficienti costanti. Come noto dalla teoria delle equazioni differenziali, l’insieme delle soluzioni di tali equazioni `e uno spazio vettoriale di dimensione 2; quindi, per determinare univocamente x(t) ci serviranno 2 condizioni: ad esempio, la posizione iniziale e la velocit`a iniziale.
37
38
CAPITOLO 3. LA DINAMICA DEL PUNTO
3.1.1
Forza costante
Supponiamo che la particella si muova sotto l’azione di una forza F costante. F , quindi Poniamo f = m x¨ = f (3.1) dx˙ = f dt x˙ − u = f t
(3.2)
dx = (u + f t)dt 1 x − x0 = ut + f t2 2 Inoltre, da (3.1), moltiplicando per 2x, ˙ si ha 2x˙
(3.3)
dx˙ dx = 2f dt dt
2xd ˙ x˙ = 2f dx˙ x˙ 2 − u2 = 2f (x − x0 )
(3.4)
Esempio 3.1 Una particella sparata verticalmente verso l’alto, con una velocit`a u raggiunge un’altezza h dopo un tempo t1 e passa nuovamente in tale punto dopo un tempo t2 . Trovare h ed u in funzione di t1 e t2 . Siamo nel caso appena trattato, in cui la particella ha accelerazione costante g dovuta alla gravit`a. Applichiamo quindi la (3.3) dove x − x0 = h e f = −g. In particolare t1 e t2 saranno le radici dell’equazione
√ Quindi t1 = e h = 21 gt1 t2
3.1.2
u−
u2 −2gh g
1 2 gt − ut + h = 0 2 √ u+ u2 −2gh 2 e t2 = , da cui possiamo ricavare u = g t1 +t g 2
Resistenza del mezzo, proporzionale alla velocit` a
In questo caso l’equazione del moto sar`a x¨ = −k x˙ dove k `e una costante positiva. Essa equivale a dx˙ = −k xdt ˙
3.1. MOTO RETTILINEO
39
o anche a
dx˙ = −kdt x˙
(3.5)
Integrando otteniamo log
x˙ = −kt u
x˙ = ue−kt dx = ue−kt dt u x − x0 = (1 − e−kt ) k Inoltre, riprendendo la (3.5) abbiamo, moltiplicando x˙
(3.6)
(3.7)
dx˙ = −k xdt ˙ dx˙ = −kdx x˙ − u = −k(x − x0 )
(3.8)
Dalla (3.6) concludiamo che la particella si fermer`a dopo un tempo infinito. Da (3.8) o da (3.7) si pu`o vedere che prima di fermarsi compie un tragitto uk .
3.1.3
Goccia di pioggia che cade nell’atmosfera
Quando le velocit`a sono limitate in un certo intervallo, possiamo assumere che la resistenza dell’aria sia proporzionale alla velocit`a stessa. Quindi la gocciolina d’acqua che cade del cielo `e soggetta a tale resistenza e alla forza peso. Se prendiamo come asse x quello diretto verticalmente verso il basso, avremo che: x¨ = g − k x˙ dove k `e una costante positiva. Da tale equazione possiamo ricavare che dx˙ = g − k x˙ dt dx˙ = dt g − k x˙ moltiplicando per −k ambo i membri, ed integrando si avr`a log
g − k x˙ = −kt g − ku
g − k x˙ = (g − ku)e−kt
(3.9)
40
CAPITOLO 3. LA DINAMICA DEL PUNTO
dx = g − (g − ku)e−kt dt kdx = [g − (g − ku)e−kt ]dt 1 k(x − x0 ) = gt + (g − ku)(e−kt − 1) (3.10) k Dalla (3.9) abbiamo che la gocciolina tende ad una velocit` a limite kg dopo un tempo infinito. In qualsiasi altro momento la velocit`a sar`a sempre minore o maggiore, a seconda che la velocit`a iniziale u fosse minore o maggiore rispettivamente. k
3.1.4
Moto armonico semplice
Questo tipo di moto si genera quanto una particella P `e soggetta ad una forza diretta verso un punto fissato, proporzionale alla distanza da tale punto (come nel caso di una forza elastica). L’equazione del moto `e del tipo x¨ = −n2 x
(3.11)
Moltiplichiamo tale equazione per 2x˙ 2x˙
dx dx˙ = −2n2 x dt dt
2xd ˙ x˙ = −2n2 xdx integrando si ottiene x˙ 2 − u2 = −n2 (x2 − x20 ) Quest’ultima equazione pu`o essere riscritta come x˙ 2 = n2 (a2 − x2 ) avendo posto a2 = x20 +
u2 n2
(3.12)
Otteniamo dunque: dx p = ndt ± (a2 − x2 ) Prendendo ad esempio il segno negativo, otteniamo, integrando, che arccos
x x0 − arccos = nt a a
x = a cos (nt + )
(3.13)
3.1. MOTO RETTILINEO
41
dove
x0 (3.14) a Dalla (3.13) segue che il moto della particella P pu`o essere considerato come la proiezione sull’asse x del moto di un’altra particella Q che si muove a velocit`a angolare costante (ω = n)sulla circonferenza x2 + y 2 = a2 . La costante a `e detta ampiezza del moto. Essa `e sempre positiva e pu`o essere determinata dalle condizioni iniziali, usando la (3.12). L’angolo nt+, espresso in radianti, `e detto fase al tempo t. La fase iniziale `e l’angolo che pu`o essere determinato dalle condizioni iniziali, usando la (3.14). La soluzione (3.13) mostra che x(t) `e una funzione periodica del tempo ed il periodo τ di una oscillazione completa `e = arccos
τ=
2π n
Il periodo, quindi, risulta indipendente dalle condizioni iniziali.
Osservazione Usando le regole trigonometriche possiamo scrivere a cos(nt + ) = A cos(nt) + B sin(nt) dove abbiamo posto A = a cos e B = −a sin . Valgono, inoltre, le seguenti relazioni a2 = A 2 + B 2
cos =
A a
sin =
−B a
42
CAPITOLO 3. LA DINAMICA DEL PUNTO
Pu`o capitare che la soluzione, scritta come x = A cos nt + B sin nt
(3.15)
risulti pi` u semplice della (3.13) per effettuare calcoli. Derivandola rispetto al tempo si ottiene x˙ = −An sin nt + Bn cos nt (3.16) Le costante A e B si determinano dalle condizioni iniziali come: A = x0
B=
u n
Queste relazioni seguono da (3.15) e (3.16) ponendo t = 0. Il tipo di moto appena descritto `e noto come moto armonico semplice ed `e di grande importanza in fisica matematica, in quando molti fenomeni vengono approssimati a questo tipo di moto.
Esempio 3.2 Una particella di massa m `e appesa ad un elastico fissato nel punto O ad una estremit`a. L’elastico si suppone di massa trascurabile e di lunghezza a riposo pari a l0 , con una costante di richiamo pari a λ. Il sistema viene messo in moto da una piccola perturbazione verticale della massetta. Se con l indichiamo la lunghezza dell’elastico, allora, secondo la legge di Hooke si avr`a l − l0 m¨l = mg − λ l0 Se poniamo x = l − l0 − mg lλ0 , l’ultima equazione diventa x¨ = −
λ x ml0
Confrontando tale equazione con la (3.11), possiamo dedurre che si tratta di un moto armonico semplice, di periodo r ml0 τ = 2π λ intorno alla posizione di equilibrio x = 0, cio`e l = l0 +
mgl0 λ
Esempio 3.3 Un’altra interssante illustrazione di moto armonico semplice `e la seguente. Consideriamo un tunnel diritto che attraversa la Terra (non necessariamente attraverso il suo centro). Il tempo necessario ad una massa per attraversare
3.1. MOTO RETTILINEO
43
tale tunnel risulta di 42 minuti, supponendo uniforme la densit`a della Terra. Chiamiamo A eB gli estremi del tunnel (sulla superficie terrestre) e O il punto medio di AB. In accordo con quanto visto nel paragrafo (1.6.3), usando il risultato della (2.3), una particella nel punto P `e soggetta ad una forza r verso il centro della Terra. attrattiva γ mM a3 x dove x = OP e a `e il raggio La componente lungo l’asse AB sar`a −γ mM a3 della Terra. L’equazione del moto, diviene dunque x¨ = −n2 x dove
M g = 3 a a q Il periodo dell’oscillazione `e dunque τ = 2π ag e il tempo che ci accingiamo n2 = γ
a calcolare `e esattamente la met`a di tale periodo. Prendendo g = 9.81m/s2 e a = 6400km otteniamo r 1 6.4 · 106 τ =π ≈ 42min 2 9.81
3.1.5
Oscillatore armonico smorzato con forza esterna periodica
Studiamo ora il caso in cui l’equazione del moto `e x¨ + k x˙ + n2 x = f cos pt
(3.17)
Questa equazione differenziale `e interessante non solo per lo studio della meccanica, ma riveste un ruolo importante anche nella teoria dei circuiti a corrente alternata. Il caso meccanico si presenta quando una particella di massa m si muove lungo una retta, sotto l’azione di tre forze: • una forza elastica −mn2 x di richiamo; • una resistenza −mk x; ˙ • una forza periodica applicata mf cos pt di periodo
2π p
In questo caso la soluzione `e pi` u complicata e per una trattazione pi` u approfondita si rimanda all’Appendice 8.2. Per questo paragrafo diciamo soltanto che la soluzione `e data dalla somma tra una componente dovuta al moto proprio dell’oscillatore smorzato e una componente forzante, che risulta anch’essa periodica con pulsazione ω.
44
3.1.6
CAPITOLO 3. LA DINAMICA DEL PUNTO
Un altro tipo di moto
Considerando alcuni problemi, come ad esempio la stabilit`a o instabilit`a dell’equilibrio di un certo sistema, capiter`a di imbattersi nell’equazione x¨ = kx. In tali casi risulta di primaria importanza il segno di k; infatti, nel caso k < 0, che abbiamo gi`a visto nel paragrafo (3.1.4), il moto risulta armonico semplice, e la posizione x = 0 risulta di equilibrio stabile (infatti, in seguito ad una piccola perturbazione il sistema agir`a per riportare la particella nel punto di equilibrio). Nel caso k > 0 la situazione cambia radicalmente: se si sposta la particella dalla posizione di equilibrio essa continuer`a ad allontanasene con un’accelerazione sempre maggiore (equilibrio instabile). Risolviamo la sequente equazione x¨ = n2 x Possiamo risolverla applicando semplicemente la teoria di integrazione delle equazioni differenziali, oppure usare il seguente trucco: poniamo x = ξent sostituiamola nell’equazione precedente ed otteniamo che ˙ nt = 0 (ξ¨ + 2nξ)e da cui ξ¨ + 2nξ = 0. Quindi dξ˙ = −2ndt ξ˙ ξ˙ = Ce−2nt e integrando ancora rispetto al tempo si ottiene ξ =A−C
e−2nt 2n
C Quindi, x = Aent +b−nt , dove B = − 2n . In modo equivalente questa soluzione si pu`o scrivere nella forma
x(t) = a cosh nt + b sinh nt
3.2
Moto nel piano
In molti casi importanti, il moto di una particella rimane limitato in un piano. In tali casi, la scelta di tale piano, come piano OXY appare la pi` u ovvia, nonch´e la pi` u semplice. A seconda delle necessit`a si pu`o far uso delle coordinate cartesiane piuttosto che di quelle polari.
3.2. MOTO NEL PIANO
45
Esempio 3.4 Se la forza `e centrale, il moto si svolge in un piano. Sappiamo che ¨r = φ(r)r. Consideriamo il vettore r × r˙ . d (r × r˙ ) = r˙ × r˙ + r × ¨r = φ(r)r × r = 0 dt Dunque, il vettore r × r˙ rimane costante. Ci`o implica che il piano contenente il vettore posizione r ed il vettore velocit`a r˙ rimane sempre lo stesso (in quanto ortogonale ad un vettore costante nel tempo). Esempio 3.5 Se la forza `e costante, il moto della paricella rimane in un piano. Infatti ¨r = c r˙ = ct + b 1 r = ct2 + bt + a 2 Quindi, `e evidente che il moto rimane nel piano che contiene il punto a (la posizione iniziale della particella) e contenente i vettori b e c.
3.2.1
Moto di un proiettile
Il caso pi` u noto di accelerazione costante `e quello dell’accelerazione di gravit`a in prossimit`a della superficie terrestre. Possiamo considerare come esempio, il moto di un proiettile. Fissiamo l’origine O nel punto in cui lanciamo la particella. Sia OY l’asse che va verticalmente verso l’alto e OX l’asse orizzontale. L’accelerazione ha dunque il valore −g nella direzione OY . Se la particella viene lanciata nell’istante t = 0 con una velocit`a u = ux i + uy j possiamo scrivere le seguenti equazioni x¨ x˙ x
y¨ = −g y˙ = −gt + uy y = − 21 gt2 + uy t
= 0 = ux = ux t
La traiettoria del proiettile si pu`o ottenere eliminando il tempo t dalle ultime due equazioni. Si ricava, cio`e x t= ux e si sostituisce nell’ultima equazione, ottenendo y=−
1 g 2 uy x + x 2 u2x ux
(3.18)
46
CAPITOLO 3. LA DINAMICA DEL PUNTO
Essa rappresenta l’equazione di una parabola che ha vertice nel punto di coordinate ux uy u2y , g 2g e la cui direttrice ha equazione y=
u2 u2x u2y + = 2g 2g 2g
Supponiamo che α sia l’angolo iniziale con quale viene lanciato il proiettile. Allora si avr`a che ux = u cos α
uy = u sin α
Ponendo y = 0 nella (3.18), troviamo la gittata orizzontale l=
2ux uy 2u2 cos α sin α u2 sin 2α = = g g g
Il corrispondente tempo di volo si ottiene sostituendo tale valore della x nell’equazione x = ux t, o direttamente ponendoy = 0 nell’equazione y = − 21 gt2 + uy t. Tale tempo vale: 2uy 2u sin α = g g L’altezza massima si ha quando y˙ = 0 (o, in modo analogo, sfruttando la simmetria della parabola), cio`e per t=
uy g
In tale istante, come era lecito aspettarsi, la pallina si trova nel vertice della parabola. Per la trattazione di alcuni problemi pu`o essere un approccio geometrico che sfrutti le propriet`a della parabola, come ad esempio, il fatto che in ogni punto la particella risulta equidistante dal fuoco e dalla direttrice. Quindi se prendiamo un punto sulla parabola, sappiamo che il fuoco appartiene alla circonferenza centrata in tale punto e tangente alla direttrice. Quindi, in generale cotruendo due circonferenze con i requisiti appena detti, centrate in due generici punti, si presentano 3 casi: • non hanno punti in comune: non esiste alcuna parabola che li contenga entrambi;
3.3. ORBITA DOVUTA AD FORZA CENTRALE
47
• hanno un solo punto in comune: esiste un’unica parabola, che li contiene entrambi: • hanno 2 punti in comunue: esistono 2 parabole distinte, che li contengono entrambi. Esempio 3.6 La cime di una torre di altezza h `e appena all’interno della portata di tiro di un cannone che pu`o sparare un proiettile a velocit`a u. Si trovi la distanza d tra il cannone e i piedi della torre. Chiamiamo a l’altezza della direttrice rispetto al cannone, quindi l’altezza rispetto alla torre sar`a a − h. Tracciamo le circonferenze che hanno come centri il punto dove si trova il cannone e la cima della torre, che risultino tangenti alla direttrice. Dall’ipotesi che la distanza del cannone sia appena sufficiente per raggiungere la cima della torre, deduciamo che se la parabola esiste allora `e unica (il secondo dei casi enunciati in precedenza). Quindi si deve avere che d2 = (a + a − h)2 − h2 p 2 cio`e d = 4a(a − h). Dal momento che a = u2g la distanza richiesta sar`a d=
3.3
up 2 u − 2gh g
Orbita dovuta ad forza centrale
In questo paragrafo consideriamo il caso generale di una particella di massa m, sulla quale agisce una forza F = mφ(r)r. Le componenti radiale e trasversa di tale forza sono evidentemente mφ(r)r e 0 rispettivamente, quindi le equazioni del moto saranno: r¨ − rθ˙2 = φ(r)r
d ˙ (r2 θ) dt
=0
dove r e θ sono le coordinate polari nel piano dell’orbita. La seconda di tali equazioni ha come integrale r2 θ˙ = h dove h `e una costante. Questo ci ricorda che la velocit`a areolare `e costante. Sostituendo θ˙ nella prima delle due equazioni del moto, abbiamo 2 dr˙ h = φ(r)r −r dt r4 dr˙ dr h2 − 3 = φ(r)r dr dt r
48
CAPITOLO 3. LA DINAMICA DEL PUNTO
dr˙ h2 r˙ − 3 = φ(r)r dr r Integriamo in dr, ed otteniamo Z 1 2 1 h2 r˙ + = φ(r)rdr 2 2 r2 Z h2 2 r˙ = − 2 + 2 φ(r)rdr r Quindi, la velocit`a v in un generico punto dell’orbita sar`a Z 2 2 2 ˙ v = r˙ + (rθ) = 2 φ(r)rdr mentre l’orbita si pu`o ottenere integrando l’equazione differenziale 2 2 Z dr r˙ 2 r4 h = = 2 − 2 + 2 φ(r)rdr dθ h r θ˙2
(3.19)
(3.20)
Per poter procedere nel determinare l’orbita risulta necessario conoscere la funzione φ(r).
3.3.1
Caso della forza gravitazionale
Usiamo i risultati del precedente paragrafo nel caso della forza gravitazionale. Gi`a sappiamo dalle leggi di Keplero (vedi K.1) che il moto dei pianeti di svolge in un ellisse. Ricaviamolo usando le formule appena determinate. Nel caso della forza gravitazionale µ φ(r) = 3 r Quindi le equazioni del moto divengono d ˙ (r2 θ) dt
r¨ − rθ˙2 = − rµ2 Inoltre
=0
2 v =µ +C r 2 2 dr r4 h µ µCr2 µr 2 +2 2 −1 = 2 − 2 + 2 + µC = r dθ h r r h2 h 2
(3.21) (3.22)
Mostriamo ora che l’espressione della (3.22) `e equivalente a quella che si ottiene per le coniche (ellisse, iperbole, parabola): prendiamo la forma polare 2
l = r(1 − e cos θ) 2
vedi Appendice 8.1
3.3. ORBITA DOVUTA AD FORZA CENTRALE
49
dove il tipo di conica `e determinato dal valore di e: se e > 1 `e un’iperbole, se e = 1 `e una parabola, se 0 < e < 1 `e un’ellisse. Scriviamo allora l r= 1 − e cos θ quindi, derivando rispetto a θ si avr`a dr le sin θ le sin θ 2 =− = − r dθ (1 − e cos θ)2 l2 2 dr r4 r4 = 2 e2 sin 2 θ = 2 (e2 − e2 cos 2 θ) (3.23) dθ l l Riprendiamo ora la forma polare l = r(1 − e cos θ); in particolare abbiamo che l2 = (1 − e cos θ)2 = 1 + e2 cos 2 θ − 2e cos θ = r2 l = e2 cos 2 θ +(2−1)−2e cos θ = e2 cos 2 θ −1+2(1−e cos θ) = e2 cos 2 θ +2 −1 r Quindi l l2 e2 cos 2 θ = 2 − 2 + 1 r r Andiamo a sostituire questa espressione nella (3.23). Otteniamo che 2 dr l r4 2 l2 = 2 e − 2 +2 −1 dθ l r r o, svolgendo alcuni semplici passaggi, 2 2 dr r (e − 1)r2 2 +2 −1 =r dθ l2 l
(3.24)
Notiamo, dunque, che la (3.22) ha la stessa forma della (3.24), imponendo che i parametri che compaiono nelle due espressioni verifichino le seguenti uguaglianze µC e2 − 1 = h2 l2 µ 1 = h2 l oppure, in modo equivalente h2 l= µ e2 − 1 = Cl Ci si presentano, dunque, 3 casi diversi:
50
CAPITOLO 3. LA DINAMICA DEL PUNTO • se − hµ2 < C < 0, allora 0 < e < 1 e quindi l’orbita `e ellittica; • se C = 0, allora e = 1 e l’orbita `e parabolica; • se C > 0, allora e > 1 e l’orbita `e iperbolica.
Usando la relazione (3.21) possiamo osservare che il tipo di orbita pu`o essere completamente determinato dalla velocit`a della particella quando si trova ad una distanza r dal centro di attrazione. Infatti 2 2 v =µ +C r Quindi, se alla distanza r la velocit`a `e uguale al valore r 2µ v= r allora l’orbita `e parabolica; se `e minore `e ellittica, se maggiore iperbolica. Per questo motivo tale valore della velocit`a `e detto velocit` a critica della particella a distanza r dal centro di attrazione.
3.4
Moto dei pianeti
Nel capitolo precedente abbiamo mostrato come si possa dedurre la legge di Newton dalle leggi di Keplero. Nel presente paragrafo mostreremo come si possano dedurre le leggi di Keplero dalla legge di gravitazione, e se siano necessarie modifiche. Assumendo che l’attrazione gravitazionale tra il Sole ed un pianeta sia γ
mP mS r2
dove mP , mS sono le masse del pianeta e del Sole rispettivamente e r `e la distana tra loro; trascuriamo, naturalmente, l’influenza dovuta agli altri pianeti. Deduciamo, dunque, che il Sole ed il pianeta accelerano con accelerazioni, rispettivamente γ
mP r2
, γ
mS r2
Se i vettori posizione del Sole e del pianeta (per un’origine arbitraria) sono rS e rP , segue che r, il vettore posizione del pianeta relativo al Sole come
3.4. MOTO DEI PIANETI
51
origine, sar`a rP − rS , cosicch´e le equazioni del moto divengono mP mS (rS − rP ) r3 mP mS (rP − rS ) = γ r3
mP ¨rP = γ mS ¨rS
Da queste equazioni otteniamo le relazioni mP + ¨rP + mS ¨rS = 0 (mP + mS )(rP − rS ) mS + mP ¨r = −γ 3 r r3 Dalla prima equazione deduciamo che il punto di coordinate ¨r = ¨rP − ¨rS = −γ
mP rP + mS rS mP + mS cio`e il centro di massa del sistema Sole-pianeta, si muove con accelerazione nulla (velocit`a costante). Dalla seconda equazione abbiamo che µ ¨r = − 3 r r dove µ = γ(mP + mS ), indicando che il pianeta si muove intorno al Sole sotto l’azione di una forza centrale. Abbiamo gi`a visto, nel precedente paragrafo, che la particolare forma di questa forza, d`a origine a orbite che sono sezioni di coniche, col Sole in un fuoco. Risulta evidente il motivo per cui la K.1 non menziona i casi di orbite paraboliche o iperboliche. Se infatti esistesse un qualche corpo celeste che si muovesse su tale tipo di orbita, esso risulterebbe visibile al massimo una volta. Si ritiene, comunque, che alcune comete che entrano nel sistema solare possano muoversi su orbite di questo tipo. K.2 `e un’immediata conseguenza del fatto che l’accelerazione ¨r del pianeta relativa al Sole, `e centrale. La velocit`a areolare vale 21 h. Dal momento che l’area dell’ellisse, secondo la notazione introdotta precedentemente, `e πab, si avr`a che il periodo di rivoluzione tau, sar`a dato da τ2 =
4π 2 a2 b2 4π 2 a2 b2 4π 2 a3 = = h2 µl µ
Quindi, per due pianeti P1 e P2 si avr`a che τ12 a31 /µ1 = τ22 a32 /µ2
52
CAPITOLO 3. LA DINAMICA DEL PUNTO
Se µ1 e µ2 fossero uguali, tale equazione porterebbe esattamente a K.3 ma, come appena visto, µ1 = γ(mP1 + mS )
µ2 = γ(mP2 + mS )
Se assumiamo che mP1 e mP2 siano piccole rispetto a mS , abbiamo che K.3 `e effettivamente un’ottima approssimazione della realt`a; una formulazione pi` u precisa dovrebbe, per`o, tener conto delle diverse masse dei pianeti. Si dovrebbe avere, infatti, che a31 /(mP1 + mS ) τ12 = τ22 a32 /(mP2 + mS )
3.5
Equazioni del tempo di Keplero
Nell’orbita ellittica di un pianeta, il punto A di massimo avvicinamento al Sole `e chiamato perielio, mentre il punto A0 di massimo allontanamento `e detto afelio. Il segmento AA0 `e quindi l’asse maggiore dell’ellisse ed `e lungo 2a, secondo la notazione mostrata nell’introduzione del precedente capitolo. Sia O il punto medio del segmento AA0 . Tracciamo la circonferenza di centro O e raggio a. Sia P un punto sull’ellisse che indica la posizione del pianeta nell’orbita intorno al Sole. Tracciamo ora la perpendicolare al segmento AA0 passante per P ; sia Q l’intersezione con la circonferenza e N l’intersezione con l’asse maggiore. Indichiamo con S la posizione del Sole.
3.5. EQUAZIONI DEL TEMPO DI KEPLERO
53
Introduciamo le seguenti definizioni: d = θ, • l’angolo effettivo3 al tempo t = ASP d • l’angolo eccentrico4 al tempo t = AOQ= E, • l’angolo medio5 al tempo t = nt dove n `e la velocit`a angolare media 2π = n= τ
r
µ a3
L’equazione del tempo di Keplero fornisce la relazione tra l’angolo medio nt e l’angolo eccentrico E. Essa pu`o essere ottenuta nel modo seguente. La velocit`a areolare del pianeta `e 1 πab = nab τ 2 Dal momento che questa velocit`a `e costante, abbiamo che areaASP 2 b t= 1 = areaASQ nab a nab 2 2 = 2 (areaAOQ − areaSOQ) na 2 a2 E a2 e sin E = 2 − n 2 2
dove si `e usato il fatto che AOQ `e un settore circolare di raggio a e angolo al centro E, mentre SOQ `e un triangolo con OQ = a, OS = ea e l’angolo tra essi compreso pari ad E. Moltiplicando per n ambo i membri e svolgendo semplici calcoli, otteniamo la relazione cercata nt = E − e sin E (3.25) Per ottenere E in funzione di θ, basta usare il fatto che a(1 − e2 ) = l = r(1 + e cos θ) 3
Nella versione originale si chiama ”true anomaly” Nella versione originale si chiama ”eccentric anomaly” 5 Nella versione originale si chiama ”mean anomaly” 4
54
CAPITOLO 3. LA DINAMICA DEL PUNTO
da cui r=
a(1 − e2 ) 1 + e cos θ
Quindi si avr`a che
√ a 1 QN r sin θ 1 − e2 sin θ sin E = = PN = √ = a b a 1 + e cos θ a 1 − e2
(3.26)
dove si `e usato il fatto che b2 = a2 (1 − e2 ). Citiamo un’altra relazione usata dagli astronomi: √ b 1 ab sin E 1 − e2 sin E PN = QN = 2 = tan θ = SN a ON − OS a (cos E − e) cos E − e (3.27) Gli astronomi usano la (3.25), la (3.26) e la (3.27) per determinare la posizione di un pianeta in un certo istante, o per predire quando quel pianeta si trover`a in una certa posizione.
3.6
Dall’orbita alla forza
Supponiamo di sapere che una particella si muova sotto l’effetto di una forza centrale. Per quanto gi`a visto in precedenza abbiamo che r2 θ˙ = costante = h Immaginiamo che, in seguito ad alcune ossevazioni, conosciamo la forma dell’orbita della particella soggetta a tale forza centrale, descritta da un’espressione del tipo θ = f (r) Allora abbiamo che θ˙ = f 0 (r)r˙ quindi θ˙ h = 2 0 0 f (r) r f (r) Derivando ulteriormente si avr`a che h(2rf 0 (r) + r2 f 00 (r))r˙ h2 (2f 0 (r) + rf 00 (r)) r¨ = − = − r4 (f 0 (r))2 r5 (f 0 (r))3 r˙ =
E quindi, l’accelerazione radiale, dovuta alla forza centrale sar`a 2 f 00 (r) h2 2 ˙ r¨ − rθ = − 3 + +1 r r2 (f 0 (r))2 r(f 0 (r))3 cosicch´e la forza `e una funzione soltanto della distanza.
3.7. IL PENDOLO SEMPLICE E PROBLEMI CONNESSI
55
Esempio 3.7 Supponiamo che l’orbita dovuta ad una forza centrale sia una spirale: θ = kr , quindi f 0 (r) = − rk2 e f 00 (r) = 2k . La forza centrale avr`a r3 h2 quindi modulo pari a F = m r3 .
3.7
Il pendolo semplice e problemi connessi
Considereremo ora tre problemi contemporaneamente. Nel primo di questi, un corpo puntiforme di massa m oscilla in un piano verticale, intorno ad un punto fissato O, al quale `e attaccato tramite un filo inestensibile di lunghezza a. Nel secondo la situazione `e uguale, escluso il fatto che il filo `e rimpiazzato da una sbarretta rigida, di massa trascurabile. Nel terzo, invece, il corpo oscilla in un piano verticale, all’interno di una sfera di raggio a.
Dal punto di vista dinamico, il primo ed il terzo problema sono equivalenti, con l’unica differenza che nel primo caso la forza del vincolo `e dovuta alla tensione, mentre nel terzo problema `e dovuta alla reazione normale della superficie sferica. La caratteristica che contraddistingue il secondo problema `e che la sbarretta rigida `e in grado di sopportare anche una tensione negativa. Fissiamo per tutti e tre i problemi il punto O come il centro della circonferenza su cui si muove il corpo, la cui posizione verr`a indicata con P . Indichiamo con θ l’angolo formato da OP con la verticale. La velocit`a della particella ˙ e quindi, la sua energia cinetica sar`a 1 ma2 θ˙2 . L’energia potenziale risulta aθ, 2 `e −mga cos θ, ponendo il punto O a potenziale 0.
56
CAPITOLO 3. LA DINAMICA DEL PUNTO
La conservazione dell’energia meccanica ci dice che 1 2 ˙2 ma θ − mga cos θ = E 2
(3.28)
dove E `e costante. Dal momento che r¨ = 0, l’equazione del moto proiettata lungo la componente radiale sar`a −maθ˙2 = mg cos θ − R dove R ha un significato diverso nei tre problemi: la tensione del filo, della sbarretta o la reazione normale della superficie sferica. Le precedenti due equazioni possono essere riscritte, dopo semplici passaggi, come 2E (3.29) v 2 − 2ga cos θ = m aR v 2 + ga cos θ = (3.30) m dove v indica la velocit`a della particella. Iniziamo dal secondo dei problemi. Dato che il moto `e un’oscillazione, si deve avere che per un certo valore α dell’angolo, la velocit`a deve annullarsi (altrimenti il corpo eseguirebbe un giro completo). Per tale angolo si avr`a 2E = −2ga cos α m Cos`ı, in generale, si avr`a che v 2 = 2ga(cos θ − cos α) Ci`o `e possibile solo se α < π e cos α > −1 (se la disuguaglianza non fosse stretta, ma valesse il ≥, il corpo potrebbe eseguire il giro completo). Quindi, per il moto oscillatorio, abbiamo che 2 vθ=0 = 2ga(1 − cos α) < 4ag 2 Se, comunque, vθ=0 > 4ag, il moto di oscillazione non `e possibile e
2E > 2ga m Il primo ed il terzo problema sarebbero equivalenti al precedente, escluso il fatto che la forza R pu`o diventare negativa; in tal caso, il corpo si stacca dal percorso circolare in una certa posizione θ = β. In tale posizione la forza R si annulla e, quindi, dalla (3.30) 2 vθ=β = −ga cos β
3.7. IL PENDOLO SEMPLICE E PROBLEMI CONNESSI
57
Quindi, ponendo θ = β nella (3.29), otteniamo 2E = −3ga cos β m 2 Ora, se vθ=0 < 4ag si ha
2E m
= −2ga cos α, cosicch´e cos β =
2 cos α 3
Affinch´e questa relazione abbia senso, β deve essere pi` u piccolo di α, quindi π α > 2 , da cui 2 vθ=0 = 2ga(1 − cos α) > 2ga D’altra parte, dal momento che β deve essere reale, si deve avere 2E < 3ga m e
2E < 5ga m Riassumiamo i risultati appena ottenuti: 2 = 2ga + vθ=0
2 • se vθ=0 < 2ga il corpo oscilla su una circonferenza. 2 • se 2ga < vθ=0 < 4ga il corpo si comporta come nel caso precedente nel problema con la sbarretta rigida, ma si staccher`a dal suo percorso circolare negli altri due problemi. 2 < 5ga il corpo descriver`a una circonferenza completa nel • se 4ga < vθ=0 caso della sbarretta, mentre cadr`a negli altri due casi. 2 • se vθ=0 > 5ga il corpo descriver`a una circonferenza completa, per tutti e tre i problemi.
Nel primo di questi casi, come abbiamo visto, la conservazione dell’energia meccanica ci dice che a2 θ˙2 = 2ga(cos θ − cos α) L’integrazione di questa equazione differenziale del primo ordine richiede l’uso (e la conoscenza) degli integrali ellittici, quindi non verr`a inclusa in questa trattazione, ma se α e quindi θ sono sufficientemente piccoli, possiamo usare 2 lo sviluppo di Taylor al secondo ordine per la funzione cos x ≈ 1 − x2 . Quindi g θ˙2 = (α2 − θ2 ) a
58
CAPITOLO 3. LA DINAMICA DEL PUNTO
che, derivata rispetto al tempo, d`a g θ¨ = θ a che sappiamo risolvere. Tale equazione ci dice che θ si muove di moto arq a monico semplice di periodo 2π g . Il fatto che il periodo sia indipendente dall’ampiezza α `e una conseguenza delle nostre approssimazioni, e non `e valida in generale.
3.8
Particella carica in un campo magnetico
Abbiamo gi`a accennato al fatto che una particella di carica e soggetta ad un campo magnetico H percepisce una forza ec v × H, dove c `e una costante e v `e la velocit`a della particella. Cos`ı, se H `e costante (in modulo, direzione e verso) e parallelo all’asse OZ, e se la particella si sta muovendo, nell’istante iniziale, nel piano OXY , essa continuer`a a muoversi nel piano, poich´e la forza `e in ogni istante perpendicolare a H. Il modulo di tale forza `e ec vH e la sua direzione `e perpendicolare alla traiettoria della particella. In accordo con ci`o, possiamo scrivere le equazioni del moto, proiettate nelle componenti radiale e tangenziale, nella forma mv˙ = 0
2
m vρ = ec vH
dove ρ `e il raggio di curvatura del percorso. La prima equazione ci dice che la velocit`a `e costante e, quindi, dalla secon. La da abbiamo che anche il raggio di curvatura `e costante e vale ρ = mvc eH traiettoria della particella sar`a una circonferenza di raggio ρ. In particolamc . Questi re il periodo per completare un’intera circonferenza sar`a τ = 2π eH risultati hanno importanti applicazioni: in tal modo, nello spettrografo di massa di Bainbridge, ioni differenti aventi la stessa velocit`a vengono lanciati attraverso una fessura in un campo magnetico perpendicolare; ciascuno di essi segue un’orbita circolare il cui raggio `e proporzionale alla massa dello ione. Inoltre, il fatto che τ sia indipendente dalla velocit`a `e impiegato nella costruzione del ciclotrone. Per affrontare un problema un po’ pi` u complicato, consideriamo una particella di carica −e, inizialmente a riposo nell’origine del nostro sistema di riferimento, soggetta ad un campo elettrico E diretto nella direzione positiva dele x, e di un campo magnetico H diretto nella direzione positiva delle z. Come prima, l’elettrone rimane nel piano OXY e cos`ı l’equazione del moto e −eE − r˙ × H = m¨r c
` DI MOTO 3.9. QUANTITA
59
proiettata lungo le componenti diviene e ˙ = m¨ x −eE − yH c e xH ˙ = m¨ y c Queste possono essere scritte come x¨ = k + ay˙ y¨ = −ax˙ dove k = − me E e a = − eH . La seconda equazione, integrata una volta, d`a mc y˙ = −ax avendo usato le condizioni iniziali y˙ = 0 e x = 0 per t = 0. Quindi x¨ = k − a2 x o x¨ + a2 (x − b) = 0 dove b =
k a2
2
= − mEc . Ne segue che eH 2 x−b x˙ y˙ y
= = = =
A cos at + B sin at −aA sin at + aB cos at −a(b + A cos at + B sin at) −abt − A sin at + B cos at + C
Dalle condizioni iniziali (x = y = 0 e x˙ = y˙ = 0 per t = 0), otteniamo B = C = 0 e A = −b. Cos`ı la traiettoria dell’elettrone `e una cicloide x = b(1 − cos at)
3.9
y = b(sin at − at)
Quantit` a di moto
I vari problemi trattati nei precedenti paragrafi dipendono, nelle loro soluzioni, dall’integrazione delle equazioni del moto espresse in forma vettoriale da F = m¨r
60
CAPITOLO 3. LA DINAMICA DEL PUNTO
Una comprensione completa e corretta dei concetti di quantit`a di moto ed energia fornisce, d’altra parte, uno strumento molto utile per scrivere direttamente gli integrali delle equazioni del moto, riducendo considerevolmente il numero di calcoli e manipolazioni matematiche, determinando, nello stesso tempo, una maggiore comprensione delle caratteristiche prettamente fisiche del problema. Definiamo dunque la quantit` a di moto p di una particella, come il vettore m˙r. Assumendo che la massa di tale particella rimanga costante durante il moto possiamo quindi esprimere la seconda legge di Newton come F = p˙ da cui risulta chiaro che la quantit`a di moto si conserva se e solo se la forza risultante agente sulla particella `e nulla. Inoltre, dal momento che `e un’equazione vettoriale, proiettando tali quantit`a lungo le tre componenti, possiamo dire, pi` u in generale che si conserva la componente della quantit`a di moto nella direzione lungo la quale non agiscono forze. Ad esempio, nel caso del corpo lanciato nel campo gravitazionale, la componente orizzontale della quantit`a di moto si conserva in quanto lungo tale direzione la forza `e nulla. Quindi x˙ = costante = u cos α
3.9.1
Rinculo di un cannone
Quando un cannone di massa M spara un proiettile di massa m non ci pu`o essere una variazione improvvisa della quantit`a di moto, dal momento che non ci sono forze esterne. Guardando da un diverso punto di vista, potremmo dire che le forze agenti sul cannone e sul proiettile sono (come conseguenza della terza legge di Newton) uguali ed opposte. Gli impulsi percepiti dal cannone e dal proiettile sono quindi uguali ed opposti. Di conseguenza, se il proiettile viene sparato ad una velocit`a u, la velocit`a iniziale di rinculo del cannone sar`a U , determinata dalla relazione mu = M U L’energia cinetica 12 mu2 + 12 M U 2 venutasi a creare `e ottenuta dalla conversione dell’energia potenziale dei gas liberati dall’esplosione. Parte dell’energia chimica dell’esplosione viene sempre trasformata in suono e calore, ma se cone E indichiamo l’energia meccanica liberata dall’esplosione, avremo che 1 1 m2 u2 m(m + M )u2 2 2 2 E = (mu + M U ) = mu + = 2 2 M 2M
` DI MOTO 3.9. QUANTITA
61
Abbiamo quindi che E 2m 2M E u = = m m(m + M ) 1+ M 2
E 2M U = 1+ M m 2
Da tali relazioni osserviamo che, mantenendo inalterata l’energia liberata, la velocit`a del proiettile `e tanto pi` u grande quanto maggiore risulta il rapporto M m
3.9.2
Moto rettilineo di un razzo
Supponiamo che la massa di un razzo al tempo t sia M e che la velocit`a sia v. Sia M che v saranno funzioni del tempo t. La massa M `e costituita da una parte di materiale esplosivo che possiamo supporre vengano bruciata ). I gas formati vengono espulsi ad una ad un ritmo costante (m = − dM dt velocit`a costante w relativa al razzo, quindi con una velocit`a w − v rispetto alla Terra. Supponiamo che la forza F si opponga al moto del razzo; questa potrebbe essere dovuta alla resistenza dell’atmosfera, o alla gravit`a, oppure ad entrambe. In un intervallo di tempo δt la quantit`a di moto subir`a un decremento −δp = = = =
M v − (M + δM )(v + δv) − δM (w − v) = M v − M v − M δv − δM v − δM δv − δM w + δM v = −M δv − δM w −M δv + mwδt
Abbiamo visto che la variazione della quantit`a di moto nel tempo `e pari alla forza che agisce sulla particella, ma nel nostro caso F `e la forza che si oppone . Dunque al moto, quindi sar`a uguale e contraria a dp dt F =−
dp = mw − M v˙ dt
Sappiamo che M = M0 − mt; quindi possiamo riscrivere tale equazione nella forma mw − F v˙ = M0 − mt la cui integrazione dipende ovviamente dalla forma di F . Cos`ı, nel caso del missile che viene lanciato fuori dall’atmosfera, trascurando la resistenza
62
CAPITOLO 3. LA DINAMICA DEL PUNTO
dell’aria (cosa che si pu`o fare a distanze elevate dalla superficie terrestre) abbiamo che F = M g = (M0 − mt)g e v˙ =
mw −g M0 − mt
Quindi v − v0 = w log
M0 M0 − mt
cio`e
v = v0 − gt + w log
M0 M
− gt
` facile vedere che se w `e molto grande o se il carburante viene espulso E molto rapidamente, l’ultimo termine predomina sugli altri, dando al razzo un’elevata velocit`a v.
3.10
Momento di un vettore applicato
Un vettore applicato `e un vettore del quale risulti definito un punto di applicazione, oltre che a modulo, direzione e verso. Per tale vettore risulta definita una linea di azione, cio`e la retta passante per il punto di applicazione e diretta come il vettore stesso. Se w `e un vettore applicato e r indica un punto appartenente alla sua linea di azione, allora risulta ben definito il vettore (r − a) × w Tale vettore si chiama momento di w rispetto al punto a. Sottolineiamo che il momento cos`ı definito risulta del tutto indipendente dal particolare punto della linea d’azione del vettore w scelto, dal momento che ogni punto su tale retta pu`o essere parametrizzato come r0 + kw, con k reale. Risulta quindi evidente l’affermazione precedente in quanto (r0 + kw) × w = r0 × w + kw × w = r0 × w In particolare, il momento di w rispetto al punto a ha modulo pw dove p `e la distanza perpendicolare di a dalla linea d’azione di w. In accordo con la nostra definizione di momento di un vettore applicato rispetto ad un punto, esso risulta una quantit`a vettoriale e dunque pu`o essere scomposta lungo gli assi di un certo sistema di riferimento cartesiano. Esempi di vettori applicati sono: velocit`a angolare, forza e quantit`a di moto. Le forza,
` DI MOTO 3.11. MOMENTO DELLA QUANTITA
63
come sappiamo, sono quantit`o vettoriali che possiedono modulo, direzione e verso, ma, come vedremo nel prossimo capitolo, determinano anche una propria linea d’azione. Infatti, si vedr`a che due forze con uguale intensit`a, direzione e verso, ma con differenti linee d’azione non sono dinamicamente equivalenti. Dal fatto che la forza `e la derivata della quantit`a di moto rispetto al tempo, si pu`o vedere che anche la quantit`a di moto risulta un vettore applicato. La dinamica del corpo rigido (argomento del prossimo capitolo) si concentra proprio sui momenti di forze e quantit`a di moto.
3.11
Momento della quantit` a di moto
Il prodotto vettore (r − a) × p `e il momento della quantit`a di moto di una particella rispetto ad un punto che si trova nella posizione definita da a, e che possiamo indicare con h. Viene spesso chiamato momento angolare della particella rispetto al punto a. Osserviamo che r˙ × p = r˙ × m˙r = 0 quindi possiamo dire che d {(r − a) × p} dt = (r − a) × p˙ − a˙ × p = (r − a) × F − a˙ × p
h˙ =
Se il punto a rimane fermo rispetto al sistema di coordinate, allora a˙ = 0 e h˙ = (r − a) × F Questo significa che la rapidit`a di cambiamento del momento angolare di una particella rispetto ad un punto fisso `e uguale al momento della forza agente sulla particella, calcolato rispetto a tale punto. Inoltre, il momento angolare rispetto ad un punto a si conserva se • r = a; • F = 0; • r − a e F sono vettori paralleli. In generale, si conserva la componente del momento angolare parallela alla direzione lungo la quale le forze hanno momento nullo. Come esempio del precedente argomento ricordiamo il caso di una particella
64
CAPITOLO 3. LA DINAMICA DEL PUNTO
soggetta ad una forza centrale. Chiaramente la forza ha momento pari a 0 rispetto al punto verso il quale la forza `e diretta. Ne segue che il momento angolare rispetto a tale punto si conserva. Si pu`o lasciare come esercizio al ˙ La familiare equazione lettore, la verifica che il momento angolare vale mr2 θ. r2 θ˙ = h `e una semplice affermazione della conservazione del momento angolare6
3.12
Forze impulsive
Quando una particella collide con un’altra particella o con un corpo rigido, essa subisce una variazione finita di velocit`a in un tempo molto piccolo. Questo cambiamento `e cos`ı rapido che la velocit`a sembra essere discontinua, bench´e non lo sia. Le forze reali che producono questa variazione devono essere molto intense, dal momento che producono una variazione finita di velocit`a quasi istantaneamente. Se supponiamo che il tempo necessario per produrre tale variazione `e cos`ı piccolo che la particella possa considerarsi ferma, diciamo che sta agendo una forza impulsiva o semplicemente un impulso. Questi impulsi vengono misurati dell’effettiva variazione della quantit`a di moto che pu`o essere misurata pi` u facilmente della variazione della quantit`a di moto. Quindi I = p0 − p dove p e p0 sono le quantit`a di moto prima e dopo l’applicazione dell’impulso I. L’equazione precedente `e vettoriale, quindi non vi `e alcuna variazione della quantit`a di moto in direzione perpendicolare a quella dell’impulso. Per compredere meglio il concetto di forze impulsive consideriamo il seguente Esempio 3.8 Consideriamo una particella lanciata contro un punto fisso, k r, dove k `e una quantit`a dal quale `e respinta con una forza conservativa rn+1 molto piccola. L’entit`a di tale forza sar`a trascurabile per distanze sufficientemente grandi. Soltanto quando r diviene piccolo, la forza diventa apprezzabile e, al diminuire di r, l’intensit`a della forza aumenta molto rapidamente. Cos`ı, in un breve intervallo di tempo la particella inverte il suo moto raggiungendo una zona in cui l’interazione risulta nuovamente trascurabile. Consideriamo, ad esempio, una particella di massa m = 1g, soggetta ad una forza conservativa rk2 con k = 10−6 dyne, lanciata dall’infinito contro il centro 6
Si osservi che h non rappresenta in generale il momento angolare h: ci`o `e vero soltanto per una particella di massa unitaria.
3.13. UN ESEMPIO DI MOTO VINCOLATO
65
della forza, con una velocit`a v = 100cm/s. Prendendo l’asse x nella direzione del moto si avr`a, come applicazione della (3.21), abbiamo che x˙ 2 = v 2 = 104 − 2
10−6 x
Dal momento che nel punto di inversione la velocit`a si annulla, abbiamo x˙ = 0. Risolvendo rispetto ad x si ottiene che x = 2 · 10−10 cm dal centro di repulsione, mentre per x = 10−7 cm abbiamo che v = 99.9cm/s. In questo esempio solo un millesimo della quantit`a di moto viene perduta passando da x = ∞ a x = 10−7 cm; tutta la quantit`a di moto rimanente viene annullata 1 cm. in meno di 10.000 Dovrebbe essere evidente da quanto appena mostrato che il comportamento della particella `e equivalente a quello che avrebbe nel caso di una collisione, nonostante la particella non raggiunga mai il centro della forza; la forza di repulsione si pu`o quindi considerare una forza impulsiva. Abbiamo definito l’impulso agente su una particella come l’effettiva variazione della quantit`a di moto della particella nel tempo in cui agisce la forza. Se chiamiamo questo intervallo di tempo τ , allora Z
t=τ
I=
Z
Z ˙ = pdt
dp = t=0
τ
0
τ
Fdt 0
dove F `e la risultante delle forze agenti sulla particella, che ne determinano la variazione di quantit`a di moto nel tempo τ . Se consideriamo infinitesimo il valore di τ , appare evidente che ogni forza finita non contribuisce al valore dell’integrale. Bench´e ogni forza `e in realt`a finita, si `e soliti considerare le forze agenti sulla particella che contribuiscono a tale integrale come forze infinite agenti in un tempo infinitesimo, mentre quelle che non contribuiscono all’integrale come forze finite.
3.13
Un esempio di moto vincolato
Si consideri una particella di massa m costretta a scivolare sulla superficie interna di un cono liscio, il cui asse `e verticale, con il vertice rivolto verso il basso. Indichiamo con α l’angolo tra l’asse e la generatrice del cono. Scegliamo un sistema di coordinate cilindriche (r; θ; z) con il vertice nell’origine. La velocit`a in ogni istante ha componente r˙ nella direzione radiale e rθ˙ nella direzione trasversale. Dunque, la velocit`a v della particella sar`a quindi data da ˙ 2 + z˙ 2 v 2 = r˙ 2 + (rθ)
66
CAPITOLO 3. LA DINAMICA DEL PUNTO
ma, dal momento che la particella `e vincolata a muoversi sulla superficie del cono si avr`a che r = z tan α r˙ = z˙ tan α e quindi 1 z˙ 2 cos2 α L’energia potenziale risulta semplicemente mgz, quindi la conservazione dell’energia meccanica pu`o scriversi come v 2 = (z˙ tan α)2 + (z θ˙ tan α)2 + z˙ 2 = (z tan α)2 θ˙2 +
1 m(z 2 θ˙2 tan 2 α + z˙ 2 sec2 α) + mgz = costante 2 Inoltre, le uniche forze che agiscono sulla particella sono la forza peso e la reazione del vincolo. Se consideriamo il momento di tali forze rispetto ad un qualsiasi punto appartenente all’asse del cono, osserviamo che la componente verticale `e nulla. Quindi il momento angolare della particella, nella componente verticale, calcolato rispetto all’origine `e costante. Quindi r2 θ˙ = z 2 θ˙ tan2 α = costante = h Sostituendo l’espressione per θ˙ ricavata dalla precedente equazione, nell’espressione della conservazione dell’energia meccanica, abbiamo che h2 + z˙ 2 sec2 α + 2gz = costante (3.31) z 2 tan2 α Supponiamo ora che nell’istante iniziale la particella venga lanciata orizzontalmente con velocit`a u all’altezza z = a. Allora z˙ = 0 per z = a e h = r2 θ˙ = ru = au tan α Cos`ı il valore costante della (3.31) `e h2 + 2ga a2 tan2 α e quind h2 z˙ sec α = 2g(a − z) + tan2 α Da questa equazione segue che z˙ = 0 quando 2
2
z 2 − a2 a2 z 2
(a − z)(2gz 2 − u2 z − u2 a) = 0 cio`e quando
3.14. IL PENDOLO DI FOCAULT
67
√
z=a
z=
u2 +u
u2 +8ag 4g
√
z=
u2 −u
u2 +8ag 4g
La prima soluzione ci era gi`a nota dalle condizioni iniziali del problema. La terza `e negativa, il che `e assurdo per le condizioni del problema. √ Dunque u2 +u
u2 +8ag
la particella si muove nella fascia compresa tra z = a e z = . 4g Si verifica facilmente che la seconda soluzione risulta maggiore o minore di a conseguentemente al fatto che u2 risulti maggiore o minore di ag. Quello che pu`o sembrare inaspettato `e che questo risultato `e del tutto indipendente dall’angolo α di apertura del cono.
3.14
Il pendolo di Focault
Indichiamo con ω la velocit`a angolare della Terra intorno al suo asse. Fissiamo un punto P in prossimit`a della superficie della Terra ed indichiamo con λ la sua latitudine. La velocit`a angolare della Terra pu`o essere scomposta nel centro della Terra in una componente ω sin λ in direzione verticale rispetto al punto P (radialmente alla Terra) e ω cos λ parallela alla direzione Nord nel punto P . Cos`ı, se introduciamo il sistema di coordinate che ruotano insieme alla Terra, avente l’asse OX parallelo alla direzione Est nel punto P , OY parallelo alla direzione Nord in P e OZ diretto verticalmente verso l’alto, si avr`a che ωx = 0
ωy = ω cos λ
ωz = ω sin λ
Ricordiamo ora la formula (1.6) che abbiamo appreso nel primo capitolo, per un sistema di riferimento non inerziale ¨r0 = ¨r + ω × (ω × r) + 2ω × r + ω˙ × r Nel nostro caso ω `e costante, quindi ω˙ = 0; inoltre, il termine dovuto a ω 2 `e trascurabile rispetto agli altri. Se proiettiamo l’equazione precedente lungo gli assi OX, OY e OZ otteniamo x¨0 = x¨ + 2ω(z˙ cos λ − y˙ sin λ) y¨0 = y¨ + 2ω x˙ sin λ z¨0 = z¨ − 2ω x˙ cos λ Quindi le equazioni del moto possono essere scritte come Fx = x¨ + 2ω(z˙ cos λ − y˙ sin λ) m Fy = y¨ + 2ω x˙ sin λ m Fz −g + = z¨ − 2ω x˙ cos λ m
68
CAPITOLO 3. LA DINAMICA DEL PUNTO
dove F `e la risultante di tutte le forze esterne, ad eccezione della forza peso −mgk. Queste equazioni rimarrebbero valide per un sistema di assi paralleli a quelli considerati, avente l’origine in P : dovremmo aggiungere una componente centrifuga ω 2 R cos λ dovuta alla rotazione di P rispetto all’asse della Terra, ma tale componente `e trascurabile per quanto detto prima. Appendiamo ora un pendolo di lunghezza l nel punto P (evidentemente l R). Le componenti di F saranno quindi Fx = − Tlx
Fy = − Tly
Fz = − Tlz
dove T `e il modulo della tensione del filo. Le equazioni del moto del pendolo divengono quindi T x ml T y y¨ + 2ω x˙ sin λ = − ml T z −g z¨ − 2ω x˙ cos λ = − ml
x¨ + 2ω(z˙ cos λ − y˙ sin λ) = −
Facciamo ora l’approssimazione delle piccole oscillazioni. In queste condizioni x, x, ˙ x¨, y, y, ˙ y¨ rimangono tutti piccoli, mentre z `e approssimativamente costante pari a −l; quindi z˙ e z¨ sono infinitesimi del secondo ordine. Trascurando i termini del secondo ordine, le equazioni del moto diventano: T x ml T y¨ + 2ω x˙ sin λ = − y ml T 0 = −g m
x¨ − 2ω y˙ sin λ = −
L’ultima equazione d`a come risultato che T = mg e le prime due diventano x¨ − 2ay˙ + n2 x = 0 y¨ + 2ax˙ + n2 y = 0 avendo posto a = ω sin λ e n2 = gl . Le soluzioni di questo sistema di equazioni differenziali sono le seguenti7 √ x = A cos at cos n2 + a2 t √ y = −A sin at cos n2 + a2 t 7
Per il metodo risolutivo si veda Appendice 8.3
3.14. IL PENDOLO DI FOCAULT
69
che in coordinate polari diventano p √ r = x2 + y 2 = A cos n2 + a2 t y = −at θ = arctan x Dunque, il pendolo si muove di moto armonico semplice con periodo τ = √ 2π su di un piano che ruota con velocit`a angolare −a rispetto ad un asse n2 +a2 verticale fisso. ` interessante notare che il risultato ottenuto `e lo stesso che si avrebbe se il E pendolo fosse messo in oscillazione su una piattaforma rotante con velocit`a angolare ω sin λ. q Il periodo di questo pendolo `e solo di poco diverso dal familiare 2π gl ; infatti, risulta s l τ = 2π g + lω 2 sin2 λ
70
CAPITOLO 3. LA DINAMICA DEL PUNTO
Capitolo 4 Dinamica del corpo rigido 4.1
Il centro di massa
Si consideri un sistema di n particelle; indichiamo con mi la massa dell’iesima particella, con ri la sua posizione in un certo istante: velocit`a ed accelerazione saranno rispettivamente r˙ i e ¨ ri . La massa totale del sistema P m ; definiamo allora la posizione del centro di massa (o risulta M = i i centro di inerzia) del sistema attraverso l’equazione vettoriale M¯ r=
X
mi ri
(4.1)
i
Si avr`a, di conseguenza, che le espressioni della velocit`a e dell’accelerazione del centro di massa verificano le relazioni X M¯ r˙ = mi r˙ i i
M¨ ¯ r=
X
mi¨ ri
i
Il fatto che la posizione del centro di massa Q non dipenda dall’origine del sistema di riferimento pu`o essere mostrato con la seguente osservazione. Sia a il vettore posizione della nuova origine O0 , rispetto all’origine O del vecchio sistema di riferimento; indichiamo tutti i vettori posizione nel nuovo sistema di riferimento mediante l’uso degli apici. Se la posizione del centro di massa Q0 `e ¯ r0 , allora M¯ r0 =
X i
mi r0i =
X
mi (ri − a) =
i
X i
71
mi ri − M a = M (¯ r − a)
72
CAPITOLO 4. DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
Quindi ¯ r0 = ¯ r − a, mostrando che Q0 coincide con Q. Nel caso di una distribuzione continua di materia di densit`a volumica τ , l’equazione (4.1) deve essere sostituita dalla forma pi` u generale Z Z M¯ r = rdm = τ rdv dove M rappresenta la massa totale della distribuzione e r `e il vettore posizione dell’elemento di volume infinitesimo dv. Segue dall’ultima equazione che le coordinate x¯, y¯ e z¯ sono date da Z M x¯ = τ xdv Z M y¯ = τ ydv Z M z¯ = τ zdv Esempio 4.1 Determinare la posizione del centro di massa di una semisfera omogenea di raggio a. Scegliamo il centro della base come origine e l’asse di simmetria come asse z. Semplici considerazione di simmetria ci permettono di concludere che x¯ = y¯ = 0. Dal √ momento che il raggio della sezione circolare piana ad altezza z risulta a2 − z 2 , segue che il volume dv di un disco elementare di spessore dz a distanza z dalla base vale dv = π(a2 − z 2 )dz Di conseguenza Z M z¯ = 0
a
3 1 τ πz(a2 − z 2 )dz = τ πa4 = M a 4 8
Quindi per la semisfera in questione si ha z¯ = 38 a Consideriamo ora un sistema di particelle costituito da un certo numero di sottosistemi, dei quali risultano note le masse totali Mj e le posizioni dei rispettivi centri di massa Rj . Allora la posizione del centro di massa di tutto il sistema si trova dall’equazione ! X X X X M¯ r= mij rij = mij rij = Mj Rj i,j
j
i
j
La somiglianza di questa espressione con la (4.1) `e evidente. Di conseguenza, quando la posizione del centro di un qualsiasi sistema debba essere determinata, `e possibile rimpiazzare qualsiasi sottosistema del sistema di partenza con una singola particella che si trova nel centro di massa del sottosistema e la cui massa `e la massa totale del sottosistema.
4.2. IL MOTO DEL CENTRO DI MASSA
73
Esempio 4.2 Un solido di densit`a uniforme `e composto da una semisfera di raggio a ed un cono circolare retto di altezza a e raggio di base a. Le basi dei due solidi sono sovrapposte. Si determini la posizione del centro di massa. Dall’esempio 4.1 sappiamo gi`a che la pozione del centro di massa per la a semisfera si trova ad una distanza 83 a dalla base, cio`e a distanza 38 a + a = 11 8 dal vertice del cono. La massa della semisfera `e 32 πτ a3 . Il centro di massa del cono (verificare per esercizio) si trova a 43 a dal vertice, mentre la massa vale 13 πτ a3 . Quindi il solido composto avr`a centro di massa si trova 11 3 1 2 πa3 τ z¯ = πτ a3 a + πτ a3 a 3 8 3 4 Quindi si avr`a che x¯ = y¯ = 0 e z¯ = 76 a. Talvolta sar`a conveniente scegliere il centro di massa di un sistema come origine. Se ρi `e la posizione della i-esima particella di massa mi relativa al centro di massa, si avr`a che ρ¯ = ¯ ρ˙ = ¨ ¯ ρ=0 dove ρ¯ indica la posizione del centro di massa rispetto a se stesso. Ne segue che X X X mi ρ i = mi ρ˙i = mi ρ¨i = 0 (4.2) i
i
i
Formule corrispondenti possono essere ottenute per il caso di distribuzioni continue di massa.
4.2
Il moto del centro di massa
Supponiamo ora che ci sia una qualche interazione tra le particelle di un sistema. In accordo con il terzo principio di Newton (Azione-Reazione) la forza Fij , che la particella mj esercita sulla particella mi `e uguale ed opposta alla forza Fji esercitata da mi su mj . Cio`e vale Fij + Fji = 0
(4.3)
In aggiunta, possiamo tener conto della presenza di forze esterne agenti su ogni particella mi , che indicheremo con Fii . Con tale notazione il moto delle n particelle pu`o essere descritto da X Fij = mi¨ ri , i = 1, 2, ..., n (4.4) j
Sommando queste n equazioni si ottiene: X X Fij = mi¨ ¯ ri = M ¨ ¯ r i,j
i
74
CAPITOLO 4. DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
Ma, usando la (4.3), tutte le forze nella doppia sommatoria si cancellano, con l’eccezione delle forze esterne. Quindi ¨r F = M¯ P dove F = i Fii rappresenta le forze totali esterne agenti sul sistema. Abbiamo cos`ı ottenuto l’importante risultato che il centro di massa di un sistema di particelle si muove come se tutta la massa fosse concentrata in tale punto e tutte le forze esterne agissero su di esso. Possiamo anche esprimere tale risultato nella forma F = p˙ (4.5) P dove p(= M ¯ r˙ = i mi¯r˙ ) `e la quantit`a di moto totale del sistema. Dalla (4.5) deduciamo subito il principio di conservazione della quantit`a di moto, che afferma: se `e nulla una componente in una qualsiasi direzione della risultante delle forze esterne, la componente in tale direzione della quantit`a di moto `e conservata.
4.3
Momento angolare di un sistema
Il fatto che le forze Fij e Fji agiscano lungo la retta congiungente le particelle di masse mi e mj pu`o essere espresso dalla relazione (ri − rj ) × Fij = 0 Questo `e equivalente all’equazione ri × Fij + rj × Fji = 0 Ora, dalla (4.4) segue che X ri × Fij = mi ri × ¨ri ,
(4.6)
i = 1, 2, ..., n
j
e, sommando, che X i.j
ri × Fij =
X
mi ri × ¨ri
(4.7)
i
Grazie alla (4.6) i termini nella doppia sommatoria nel termine di sinistra si cancellano a due a due, ad esclusione dei termini dovuti alle forze esterne. Inoltre, da d (ri × r˙ i ) = r˙ i × r˙ i + ri × ¨ri = ri × ¨ri dt
4.3. MOMENTO ANGOLARE DI UN SISTEMA
75
l’equazione (4.7) diventa semplicemente X i
d ri × Fii = dt
! X
mi ri × r˙ i
i
Il termine di sinistra della precedente equazione `e chiaramente il momento risultante GO delle forze esterne rispetto all’origine 0, mentre il termine di destra `e h˙ O , dove hO `e il momento angolare risultante del sistema rispetto allo stesso punto. Cos`ı GO = h˙ O (4.8) Mostreremo ora che esistono altri punti per i quali vale la relazione GP = h˙ P , dove GP e hP sono rispettivamente il momento delle forze e il momento angolare calcolati rispetto al punto P . Sia c il vettore posizione di P rispetto a O, e scriviamo ri = c + si , dove si sono le posizioni dell’i-esima particella rispetto al punto P . Allora X X X hP = mi si × r˙ i = mi ri × r˙ i − c × mi r˙ i = hO − c × p i
i
i
h˙ P = h˙ O − c˙ × p − c × p˙ X X X GP = si × Fii = ri × Fii − c × Fii = GO − c × p˙ i
i
i
Dato che GO = h˙ O , avremo che GP = h˙ P
(4.9)
nel caso in cui c˙ × p = 0. Tale condizione `e verificata nel caso in cui P `e fermo rispetto a O, per cui c˙ = 0. Risulta vera anche quando c˙ `e parallelo a p, cio`e quando P si muove parallelamente al centro di massa Q; quindi, un caso particolare in cui `e vera, si ha per P =Q, cio`e rispetto al centro di massa. Tale risultato mostra, quindi, che se P `e un punto fisso, che pu`o essere scelto come origine O, oppure se `e un qualsiasi punto che si muove con velocit`a parallela a quella del centro di massa Q, allora il momento totale delle forze esterne rispetto a P `e uguale alla derivata temporale del momento rispetto allo stesso punto P della quantit`a di moto rispetto a O. Prima di procedere oltre, stabiliremo un’importante relazione tra i vettori hO e hQ . Come caso particolare della formula hP = hO − c × p, possiamo scegliere P coincidente col centro di massa Q del sistema ed ottenere hO = ¯ r × M ¯r˙ + hQ
(4.10)
76
CAPITOLO 4. DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
Questo significa che il momento angolare di un sistema rispetto ad un punto O fissato `e uguale al momento angolare rispetto ad O di una particella che ha la massa di tutto il sistema, che si trova nel centro di massa Q e si muove con esso, pi` u il momento angolare del sistema rispetto al centro di massa. Inoltre, in accordo con la nostra definizione, hQ `e il momento rispetto a Q della quantit`a di moto relativa a O, ma proveremo ora che essa coincide con il momento rispetto a Q della quantit`a di moto relativa a Q stesso. Dato che ri = ρi + ¯r ! X X X hQ = mi ρi ×˙i = mi ρ × ρ˙ i + mi ρi × ¯r˙ i
i
i
e, dalla (4.2) il termine all’estrema destra `e nullo. Cos`ı X hQ = mi ρi × ρ˙ i i
Il principio di conservazione del momento angolare segue semplicemente dalla (4.9). Esso afferma che se la componente in una qualsiasi direzione del momento risultante delle forze esterne rispetto ad un punto P `e nullo, allora la componente del momenteo angolare rispetto a P si conserva, se P `e un punto fisso o altrimenti si muove con velocit`a parallela a quella del centro di massa.
4.4
Energia cinetica di un sistema
Dal momento che l’energia di una singola particella di massa mi `e Ti = 1 m r˙ · r˙ i , l’energia cinetica del sistema sar`a data da 2 i i X X 2T = mi r˙ i · r˙ i = mi ¯r˙ + ρ˙ i · ¯r˙ + ρ˙ i i
i
! =
X i
mi¯r˙ · ¯r˙ + 2
X i
mi ρ˙ i · ¯r˙ +
X
mi ρ˙ i · ρ˙ i
i
Ora dalla (4.2) si ha che il termine centrale si annulla, quindi 1X 1 mi ρ˙ i · ρ˙ i T = M ¯r˙ · ¯r˙ + 2 2 i
(4.11)
che dimostra che l’energia cinetica di un sistema di particelle `e uguale all’energia cinetica di una particella, la cui massa `e quella dell’intero sistema, che si trova nel centro di massa Q e si muove con esso, pi` u l’energia cinetica delle particelle nel sistema di riferimento del centro di massa.
4.5. CORPI RIGIDI
4.5
77
Corpi rigidi
Il concetto di corpo rigido `e, come quello di punto materiale, un’astrazione matematica. Possiamo, infatti, definire il corpo rigido come un “assemblaggio” di particelle tali che la distanza tra due qualsiasi di esse rimanga invariata. Nonostante in natura non sia conosciuto un tale assemblaggio, molti oggetti come le palle da biliardo presentano una certa apparenza di rigidit`a e ci si ` pu`o aspettare che sotto molti aspetti essi si comportino come corpi rigidi. E certamente vero che un apparente corpo rigido consista in realt`a di una moltitudine discreta di atomi o molecole, per i quali la distanza non `e costante; ad esempio, durante una collisione tra due palle da biliardo, esse subiscono una piccola modificazione. Alla luce della nostra definizione di corpo rigido sar`a possibile sfruttare la teoria della dinamica di un sistema di particelle, anche se, per alcuni scopi che vedremo, sar`a conveniente considerare una distribuzione continua di massa, piuttosto che vederla come agglomerato di particelle. In tali casi, invece di sommare su un certo indice, si proceder`a al calcolo dell’integrale. La configurazione di un corpo rigido nello spazio `e determinata da 6 coordinate. Queste 6 coordinate possono essere scelte in molto modi diversi, ma sar`a sufficiente menzionarne un paio di essi. Ad esempio, la configurazione `e perfettametne determinata dalle posizione nello spazio di 3 punti non collineari. Se (x1 , y1 , z1 ), (x2 , y2 , z2 ) e (x3 , y3 , z3 ) sono le coordinate di tali punti, queste 9 coordinate determinano in modo univoco la posizione del corpo; certamente esse non sono indipendenti, dal momento che sono legate dalle relazioni (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 + (z1 − z2 )2 = costante (x1 − x3 )2 + (y1 − y3 )2 + (z1 − z3 )2 = costante (x3 − x2 )2 + (y3 − y2 )2 + (z3 − z2 )2 = costante che esprimono l’invarianza della distanza tra i 3 punti. Un’altra determinazione consiste nell’indicare la posizione di un punto del corpo rigido e poi specificarne l’orientazione attraverso i coseni direttori. Ne segue che, per determinare il moto di un corpo rigido, sono necessarie 6 equazioni del moto indipendenti. Dal momento che abbiamo postulato che un corpo rigido `e un assemblaggio di particelle, possiamo applicare i risultati dei paragrafi precedenti. Cos`ı, le due equazioni vettoriali F = p˙ e GO = h˙ O oppure le F = p˙ e GQ = h˙ Q , forniscono le 6 necessarie equazioni scalari. Il ˙ mentre, come moto del centro di massa `e determinato dall’equazione F = p, vedremo fra poco, l’altra equazione determina il moto angolare. In particolare pu`o essere utile usare GO = h˙ O quando un punto del corpo rigido `e fermo,
78
CAPITOLO 4. DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
scegliendolo in tal caso come origine O. In alternativa `e possibile determinare il moto di rotazione dall’espressione GP = h˙ P , una volta provato che il punto P ha velocit`a parallela a quella del centro di massa. Per esempio, nel caso di un cilindro o una sfera che rotolano a contatto con un piano o un cilindro, possiamo usare i centri istantanei di rotazione come il punto P , poich´e il suo moto nello spazio `e istantaneamente parallelo al moto del centro di massa. I principi di conservazione di quantit`a di moto e momento angolare sono certamente applicabili ai corpi rigidi, dal momento che un corpo rigido `e considerato come un sistema speciale di particelle. Se tali principi sono applicabili, essi forniscono degli integrali primi del moto, permettendo di diminuire l’entit`a dei calcoli.
4.6
Equilibrio
Una qualsiasi configurazione di un corpo rigido o di un sistema di corpi `e detta di equilibrio se il corpo, o il sistema di corpi, possono rimanere in tale configurazione per un tempo indefinito, sotto l’azione delle forze presenti. Tale definizione implica che, se il corpo viene posto fermo nel punto di equilibrio, allora l’accelerazione ¨ri di ciascuna particella che lo compone deve essere nulla. Quindi, se le forze agenti sul corpo hanno risultante F in un certo punto e momento G, allora si deve avere che X F= mi¨ri = 0 i
Dal momento che la forza F scompare, il momento delle forze assume lo stesso valore G calcolato rispetto a qualsiasi punto, e cos`ı X G = h˙ O = mi ri × ¨ri = 0 i
Dunque, condizioni necessarie affinch´e un corpo si trovi in equilibrio sono F=G=0 Si deve avere, dunque, che: (i) la risultante delle forze esterne sia nulla; (ii) il momento totale delle forze esterne sia nullo.
4.7
Lavori virtuali
Consideriamo un sistema dinamico formato da uno o pi` u corpi rigidi. Il sistema pu`o essere visto come assemblaggio di particelle, di cui l’i-esima si
4.8. EQUAZIONI DEL MOTO
79
trova nella posizione ri . Usiamo le precedenti notazioni per quanto riguarda le forze Fij . Se il sistema subisce un piccolo spostamento, il lavoro totale risulta X Fij · δri (4.12) i,j
Se il sistema si trova all’equilibrio, ogni particella si deve trovare all’equilibrio; dunque, per ogni particella mi si ha X Fij = 0 j
e quindi X
Fij · δri
j
Sommando l’ultima equazione sull’indice i, `e chiaro che il lavoro totale (4.12) per un sistema all’equilibrio, a seguito di uno spostamento infinitesimo, `e nullo. Questo `e noto come principio dei lavori virtuali. L’utilit`a di questo principio `e dovuta al fatto che calcolando il lavoro totale mediante la (4.12) molti termini possono essere trascurati.
4.8
Equazioni del moto
Prima di procedere oltre con la trattazione generale del corpo rigido, sar`a utile ed istruttivo analizzare il caso in cui il moto di ogni particella risulta ortogonale ad un asse fissato OZ. In tali casi, `e chiaro che il centro di massa dove muoversi in un piano con z costante, per cui il suo moto `e determinato dalle due equazioni Fx = M x¨, Fy = M y¨ (4.13) Per determinare il moto di rotazione del corpo sar`a necessaria un’ulteriore equazione. Come conseguenza delle restrizioni che abbiamo imposto al problema, `e evidente che l’unica equazione `e quella riferita alla componente parallela all’asse OZ, cio`e Gz = h˙ z (4.14) nella quale i momenti possono essere presi sia rispetto ad un punto fisso nello spazio, sia rispetto al centro di massa, a seconda di quale dei due risulti pi` u conveniente. Se il corpo sta ruotando intorno ad un punto fisso O e scegliamo coordinate polari piane r, θ, allora si ha x = r cos θ x˙ = −rθ˙ sin θ
y y
= r sin θ = rθ˙ cos θ
80
CAPITOLO 4. DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
Dal fatto che θ˙ `e la stessa per tutti i punti del corpo Z Z hz = τ (xy˙ − y x) ˙ dv = τ r2 θ˙ = C θ˙ dove τ `e la densit`a di massa e il coefficiente C `e stato posto tale che Z C = τ r2 dv (4.15) L’espressione C `e chiamata momento d’inerzia del corpo, rispetto all’asse OZ `e nel caso presente `e evidentemente indipendente dall’orientazione del corpo (cio`e dal particolare angolo di cui `e ruotato in un generico istante). Nei paragrafi successivi studieremo pi` u approfonditamente le propriet`a dei momenti di inerzia. Per adesso ci limitiamo ad osservare che per un generico corpo i momenti d’inerzia rispetto agli assi x, y e z possono essere calcolati dalla (4.15). Quando tali momenti sono noti, l’equazione (4.14) diviene Gz = C θ¨
(4.16)
e l’orientazione del corpo in un qualsiasi istante pu`o essere determinata risolvendo tale equazione. In questa equazione θ pu`o essere visto come l’angolo che una qualche linea fissata del corpo, forma con una fissata linea dello spazio, con l’accorgimento che entrambe le linee siano perpendicolare all’asse OZ. Alternativamente, se i momenti sono presi rispetto al centro di massa, l’argomento precedente e l’equazione (4.16) risultano ancora applicabili, considerando C come il momento d’inerzia rispetto ad un asse che passa per il centro di massa Q. Nella seguente tabella riportiamo alcuni dei pi` u comuni momenti d’inerzia, utili negli esercizi. Il lettore potr`a verificare tali espressioni calcolando l’integrale della (4.15). Corpo con densit`a uniforme Cilindro di raggio a Sfera di raggio a Guscio sferico di raggio a Parallelepipedo di lati 2a, 2b e 2c
Asse passante per Q Momento d’inerzia 1 Asse del cilindro M a2 2 2 Diametro M a2 5 2 Diametro M a2 3 1 Asse parallelo al lato 2c 3 M (a2 + b3 )
Per illustrare le modalit`a di calcolo, consideriamo il primo caso: cilindro uniforme di raggio a e altezza h. Possiamo dividere il cilindro in “gusci” cilindrici, di raggio r, spessore dr ed altezza h; il volume di tali solidi sar`a dv = 2πhrdr. Il momento d’inerzia rispetto all’asse del cilindro, sar`a dunque Z Z a a4 1 2 C = τ r dv = 2πτ r3 hdr = 2πτ h = πτ ha4 4 2 0
4.8. EQUAZIONI DEL MOTO
81
Dal fatto che la massa totale del cilindro `e M = πτ ha2 si ha che C = 12 M a2 . Osserviamo, in particolare, che questa espressione non contiene l’altezza h del cilindro, quindi sar`a applicabile anche al caso di un disco sottile di raggio a. Esempio 4.3 Si trovi il moto di un disco circolare uniforme di raggio a che rotola gi` u da un piano inclinato di un angolo α rispetto all’orizzontale. Il disco `e soggetto all’azione di 3 forze (si veda la figura): la forza peso M g, una reazione R ortogonale al piano ed una forza di attrito T , tangente al piano. Scomponendo tali forze parallelamente e perpendicolarmente al piano otteniamo, usando la (4.13) T − M g sin α = M x¨ R − M g cos α = 0
(4.17) (4.18)
Abbiamo gi`a calcolato il momento d’inerzia del disco rispetto al suo asse: C = 21 M a2 . Di conseguenza, considerando i momenti rispetto al suo asse, che passa per il centro di massa, 1 T a = M a2 θ¨ 2 Dobbiamo ancora imporre la condizione di rotolamento che connette l’angolo θ che indica di quanto il disco ruota mentre il corpo scende di una distanza x¯. Dal momento che l’angolo θ, come `e uso, viene misurato in senso antiorario, la condizione di rotolamento diventa aθ = −¯ x Ne segue, quindi, che aθ¨ = −x¨¯ e che 1 T = − M x¨¯ 2
82
CAPITOLO 4. DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
Sostituendo questa espressione per la forza di attrito T nella (4.17) otteniamo 2 x¨¯ = − g sin α 3 cosicch´e il corpo rotola gi` u dal piano con accelerazione costante 32 g sin α. Le equazioni (4.17) e (4.18) danno ora i valori T = 31 M g sin α,
R = M g cos α
dell’attrito e della reazione normale. In alternativa, potremmo usare il fatto che il punto di contatto `e istantaneamente il centro di rotazione. Per osservare questo fatto, osserviamo che la ˙ che `e nulla per la condizione di velocit`a del punto di contatto `e v = x¯˙ + aθ, rotolamento. Dato che il moto del centro istantaneo di rotazione `e parallelo a quello del centro di massa, possiamo usare la (4.9). Dato che il momento u avanti il d’inerzia del disco rispetto al punto di contatto `e 23 M a2 (si veda pi` Teorema degli assi paralleli ) e che il peso M g `e l’unica forza che ha momento non nullo rispetto a tale asse, 3 3 M ga sin α = M a2 θ¨ = − M ax¨¯ 2 2 Quindi 2 x¨¯ = − g sin α 3 come precedentemente visto.
4.9
Energia cinetica
˙ Se un corpo sta ruotando intorno all’asse fissato OZ con velocit`a angolare θ, allora la velocit`a di un qualsiasi punto a distanza r dall’asse di rotazione `e ˙ Di conseguenza, l’energia cinetica T del corpo `e rθ. Z 1 2 ˙2 τ r θ dv T = 2 Questa pu`o dunque essere scritta come 1 ˙2 Cθ 2 dove C ha lo stesso significato del paragrafo precedente. Possiamo quindi scrivere l’energia cinetica usando la (4.11), ottenendo 1 1 T = M v¯2 + C θ˙2 2 2
4.9. ENERGIA CINETICA
83
dove v¯ `e la velocit`a del centro di massa e C `e il momento d’inerzia del corpo rispetto all’asse passante per il centro di massa e parallelo all’asse OZ. Possiamo applicare l’espressione appena ottenuta all’esempio 4.3 del paragrafo precedente. In tale caso si ha infatti che l’energia del cilindro vale 1 3 1 1 1 M x¯˙ 2 + · M a2 θ˙2 = · M x¯˙ 2 2 2 2 2 2 oppure, usando il fatto che il cilindro ruota istantaneamente rispetto al punto di contatto, vale 1 3 1 3 · M a2 θ˙2 = · M x¯˙ 2 2 2 2 2 L’energia potenziale del cilindro, dovuta alla sola gravit`a, `e M g (¯ x sin α + a cos α) Scegliendo un’origine arbitraria. La conservazione dell’energia ci dice allora che 1 3 · M x¯˙ 2 + M g (¯ x sin α + a cos α) = costante 2 2 che derivata rispetto al tempo diviene 3 M x¯˙ x¨¯ + M g x¯˙ sin α = 0 2 cio`e ancora una volta
4.9.1
2 x¨¯ = − g sin α 3
Moto impulsivo
Come esempio di moto impulsivo in 2 dimensioni, consideriamo una sbarretta rigida di densit`a uniforme, lunga 2a e di massa M , disposta orizzontalmente. Supponiamo che la sbarretta si muova verticalmente (cio`e in una direzione perpendicolare a quella della retta su cui giace) con velocit`a u. Supponiamo che essa urti un perno P , che rimane fisso anche dopo l’urto, e che la colpisce ad una distanza a2 da un suo estremo. Prima dell’urto la quantit`a di moto della sbarretta `e M u della direzione verticale, mentre il momento angolare rispetto al punto P vale 21 M ua. Quando colpisce il perno, la sbarretta riceve un impulso J che ne altera il moto. Supponiamo che la sbarretta cominci a ruotare con velocit`a angolare ω e che il suo centro di massa prosegua con velocit`a u0 subito dopo l’urto. Dal momento che che J non ha momento rispetto al punto P si deve avere che il momento angolare rispetto a P si conserva; usando la (4.10) si ha 1 1 1 M u0 a + M a2 ω = M ua 2 3 2
84 o, dividendo per
CAPITOLO 4. DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Ma , 6
3u0 + 2aω = 3u Ora, se ipotizziamo che il punto della sbarretta che colpisce il perno venga respinto con una velocit`a e volte la velocit`a di avvicinamento (u), si avr`a, dalla semplice composizione delle velocit`a, che 1 −u0 + aω = eu 2 Risolviamo, dunque, il seguente sistema: ( 3u0 + 2aω = 3u −u0 + 12 aω = eu dividendo per 3 la prima e sommando si passa a (
7 aω 6
= (1 + e)u −eu + 21 aω = u0
per cui si ottiene ( aω = 67 (1 + e)u u0 = 37 (1 + e)u − eu = 17 (3 − 4e)u E cos`ı il moto dopo l’urto rimane determinato. L’intensit`a dell’impulso J viene determinata dalla variazione della quantit`a di moto. Cio`e 4 J = M (u − u0 ) = (1 + e)M u 7 In modo equivalente si sarebbe potuto considerare il momento angolare rispetto al centro della sbarretta. Ci`o avrebbe portato 1 1 M a2 ω − 0 = Ja 3 2 Usando ancora il fatto che J = M (u − u0 ) si ottiene, come prima, 1 1 1 M a2 ω + M au0 = M au 3 2 2
4.10. PICCOLE OSCILLAZIONI
4.10
85
Piccole oscillazioni
La teoria generale delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile verr`a discussa nel capitolo 5, ma vale la pena menzionare a questo livello concettuale il caso particolarmente semplice con un solo grado di libert`a, cio`e, dove `e possibile descrivere il sistema con una singola coordinata q. Tali problemi presentano spesso, ma non sempre, un aspetto 1 o 2-dimensionale. Per prima cosa scegliamo q in modo tale che l’equilibrio si trovi in posizione q = 0 (`e evidente che ci`o `e sempre possibile; basta, infatti, traslare la coordinata affinch´e assuma l’energia potenziale assuma il valore desiderato in q = 0). Possiamo scrivere in generale energia cinetica e potenziale come 1 T = A(q)q˙2 , V = V (q) 2 Dove A(q) e V (q) sono funzioni della solo coordinata q. La conservazione dell’energia ci permette di scrivere 1 A(q)q˙2 + V (q) = costante 2
(4.19)
Derivando rispetto a q otteniamo 1 0 A (q)q˙2 + A(q)¨ q + V 0 (q) = 0 2
(4.20)
dove si `e usato il fatto che d 2 dt (q˙ ) = 2q˙q¨ = 2¨ q dq dq Per ipotesi la (4.19) e la (4.20) sono soddisfatte quando q = q˙ = q¨ = 0, da cui concludiamo che V 0 (0) = 0 (condizione per altro ovvia dal fatto che l’energia potenziale ha un minimo nel punto). Espandiamo in Taylor le espressioni seguenti A(q) = A(0) + qA0 (0) + ... A0 (q) = A0 (0) + qA00 (0) + ... V 0 (q) = V 0 (0) + qV 00 (0) + ... Sostituiamo tali espressioni nella (4.20) ed otteniamo 1 0 [A (0) + qA00 (0) + ...] q˙2 +[A(0) + qA0 (0) + ...] q¨+[V 0 (0) + qV 00 (0) + ...] = 0 2
86
CAPITOLO 4. DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
Se ci limitiamo a considerare i termini di ordine inferiore o uguale al terzo, ricordando che V 0 (0) = 0, otteniamo A(0)¨ q + V 00 (0)q = 0
(4.21)
Ora, A(0) `e positiva, perch´e l’energia cinetica `e sempre positiva. Se V 00 (0) `e anch’esso positivo (che coincide con la condizione di equilibrio stabile), si ha che la (4.21) rappresenta l’equazione di un moto armonico semplice con s 00 A(0) V (0) , T = 2π (4.22) ω2 = A(0) V 00 (0) Per completare la trattazione, usiamo l’osservazione iniziale per scrivere le espressioni appena ottenute, nel caso in cui l’equilibrio si abbia in q = α, cio`e V 0 (α) = 0. Allora vale A(α)
d2 (q − α) + V 00 (α)(q − α) = 0 dt2
(4.23)
Il moto `e ancora un moto armonico semplice con q 00 (α) ω 2 = VA(α) , T = 2π VA(α) 00 (α) Esempio 4.4 Consideriamo un cilindro di raggio a come in figura, il cui centro di massa Q si trova ad una distanza h dal suo asse C e che rotola avanti e indietro su un piano ruvido, intorno alla posizione di equilibrio θ = 0.
4.10. PICCOLE OSCILLAZIONI
87
Con le coordinate indicate, la posizione (¯ x, y¯) del centro di massa `e data da x¯ = aθ − h sin θ,
y¯ = a − h cos θ
Quindi ˙ − h cos θ), x¯˙ = θ(a
y¯˙ = hθ˙ sin θ
L’energia cinetica risulta, allora, 1 1 1 2 2 2 A(θ)θ˙ = M {(a − h cos θ) + (h sin θ) } I θ˙2 2 2 2 dove I indica il momento d’inerzia rispetto ad un asse parallelo all’asse del cilindro e passante per il centro di massa. Allora A(0) = M (a − h)2 + I D’altra parte, l’energia potenziale `e V (θ) = M g y¯ = M g(a − h cos θ) e V 00 (0) = M gh. Il periodo delle piccole oscillazioni, in accordo con la (4.22), vale s M (a − h)2 + I τ = 2π M gh
4.10.1
Pendolo fisico
Un’importante applicazione del paragrafo precedente `e il pendolo fisico. Questo consiste di un corpo di massa M libero di oscillare intorno ad un asse orizzontale, che si trova a distanza d dal suo centro di massa. Sia M k 2 il momento d’inerzia del corpo, rispetto a tale asse. Se θ `e l’angolo di inclinazione rispetto alla verticale, della retta perpendicolare alla verticale e passante per il centro di massa, allora l’energia cinetica `e 1 T = M k 2 θ˙2 2 mentre l’energia potenziale vale V = −M gd cos θ dove si `e preso l’asse orizzontale come riferimento. dell’energia si ha 1 M k 2 θ˙2 − M gd cos θ = E 2
Dalla conservazione
88
CAPITOLO 4. DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
Osserviamo dunque che un tale pendolo pu`o essere trattato come un pendolo 2 semplice di lunghezza kd e stessa ampiezza. Infatti, se consideriamo solo piccole oscillazioni, il periodo deve essere s k2 2π gd Questo pu`o essere visto anche dal fatto che V 00 (0) = M gd
A(0) = M k 2 ,
Il periodo si trova allora sostituendo queste espressioni nella (4.22). Mostreremo pi` u avanti che il momento d’inerzia di un corpo rispetto ad un asse passante per il centro di massa e parallelo all’asse orizzontale fissato `e M κ2 , dove vale M k 2 = M κ2 + M d2 Cosicch´e k 2 = κ2 + d2 e la lunghezza del pendolo semplice equivalente `e l=
κ2 + d2 d
Per trovare il valore minimo, deriviamo tale espressione rispetto a d. Questo ci d`a κ=d . Il pendolo semplice equivalente ha dunque lunghezza 2κ. Quindi, il minimo periodo per le piccole oscillazioni di un pendolo fisico, tra tutti gli assi paralleli a quello dato, `e r 2κ 2π g e tale valore `e assunto quando l’asse si trova a distanza κ dal centro di massa.
4.11
Equilibrio stabile
Quando un sistema `e messo a riposo in una configurazione vicina all’equilibrio, le forze che agiscono su di esso potrebbero tendere a portare il sistema nella configurazione di equilibrio o ad allontantrlo definitivamente da essa. Se, per ogni possibile “piccolo” 1 spostamento, le forze tendono a riportare 1
Con “piccolo” intendiamo che esiste un intorno del punto di equilibrio, per il quale i punti verificano le propriet` a richieste nelle varie definizioni
4.11. EQUILIBRIO STABILE
89
il sistema nella configurazione di equilibrio, tale equilibrio `e detto stabile. Una sfera che giace nell’estremit`a inferiore di una grande superficie sferica `e un esempio di equilibrio stabile. Diremo, invece, che l’equilibrio `e instabile se almeno un “piccolo” spostamento in una qualche direzione causa un allontanamento dalla configurazione di equilibrio, a causa delle forze agenti sul sistema. Per esempio, una sfera appoggiata sulla sommit`a di un guscio sferico `e una condizione di equilibrio instabile. Analogamente, anche una sfera posta alla sommit`a di un passo tra 2 montagne `e in equilibrio instabile: infatti, bench´e muovendosi verso una delle due montagne la sfera tende a tornare indietro, in direzione perpendicolare la sfera tender`a a rotolare gi` u verso il basso. Esiste anche un caso, detto di equilibrio neutro, nel quale per ogni “piccolo” spostamento, la nuova posizione rimane ancora di equilibrio. Ad esempio, si consideri una sfera a riposo su un piano orizzontale. Ci restringeremo ad una situazione di equilibrio, nella quale le forze agenti sono tutte conservative. Come abbiamo visto, in tale configurazione l’energia potenziale ha un valore stazionario. A meno di equilibrio neutro, un piccolo spostamento porter`a il sistema in una situazione non pi` u di equilibrio, anche se, in alcuni casi, `e possibile eseguire spostamenti neutri anche in condizioni di equilibrio instabile. Possiamo comunque aspettarci che il sistema inizi immediatamente a muoversi dalla nuova configurazione, e che il sistema sia governato dalla legge T + V = V1 dove V1 rappresenta l’energia potenziale nella posizione in cui abbiamo posto il sistema. Dal momento che l’energia cinetica `e definita positiva, dobbiamo avere, per ogni possibile posizione successiva del sistema, che V ≤ V1 Ora, a seguito di un piccolo spostamento, V1 pu`o essere reso arbitrariamente vicino a V0 (potenziale della configurazione di equilibrio). Ne segue che se V0 `e un minimo assoluto del valore di V , l’equilibrio deve essere stabile. In modo simile, se `e possibile perturbare il sistema in modo da ottenere V1 < V0 e il sistema viene posto a riposo in tale configurazione, esso non torner`a mai nella configurazione di equilibrio, dal momento che per ogni istante successivo si deve avere V ≤ V1 < V0 Il caso in cui V0 `e un massimo per V `e un caso particolare di questo tipo. Tali configurazioni risultano di equilibrio instabile. Possiamo applicare i risultati appena ottenuti alla teoria delle piccole oscillazioni per sistemi ad 1 grado di libert`a. Posto q = 0 nella configurazione di
90
CAPITOLO 4. DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
equilibrio da studiare, si ha V 0 (0) = 0. L’equilibrio pu`o quindi essere studiato in base al segno di V 00 (0): infatti il coefficiente A(0) `e sempre positivo. Dunque, se V 00 (0) `e positivo, q = 0 `e un minimo per l’energia potenziale e quindi una configurazione stabile; ci`o pu`o essere visto anche dal fatto che nella (4.21) si arriva ad un’espressione del tipo q¨ + n2 q = 0 che implica un moto armonico semplice intorno alla posizione di equilibrio. In modo simile, se V 00 (0) `e negativo, q = 0 `e un massimo per l’energia potenziale e la configurazione risulta instabile. Dalla (4.21) si ha allora q¨ − n2 q = 0 che ha una soluzione divergente del tipo q(t) = q0 cosh nt. Il caso in cui V 00 (0) = 0 richiede in generale ulteriori considerazioni, ma il solito criterio di ricerca di massimi o minimi pu`o essere applicato per studiare la stabilit`a o instabilit`a della configurazione del sistema. Ovviamente l’argomento appena esposto si generalizza facilmente al caso in cui l’equilibrio si ha in q = α. Esempio 4.6 Un bullone pu`o scorrere lungo una guida circolare di raggio a, posta in un piano verticale. Il bullone `e fissato all’estremit`a superiore della guida con una molla di lunghezza a riposo pari ad a e costante elastica λ. Trovare le configurazioni di equilibrio e discuterne la stabilit`a. Indichiamo con w la forza peso che agisce sul bullone e con θ l’angolo formato tra la verticale e la molla. Il triangolo avente per vertici il punto pi` u alto e il punto pi` u basso della guida, e il punto in cui si trova il bullone, `e un triangolo rettangolo; la coordinata y del bullone, risulta allora (2a cos θ) cos θ. Dunque, l’energia potenziale pu`o essere scritta come 1 V = −w2a cos2 θ + λa(q − 2 cos θ)2 2 Di conseguenza si ha che dV dθ
= (2aw)(2 sin θ cos θ) + aλ(1 − 2 cos θ)(2 sin θ) = 2a sin θ [2(w − λ) cos θ + λ]
d2 V = 2a cos θ [2(w − λ) cos θ + λ] + 2a sin θ [−2(w − λ) sin θ] dθ2 Le posizioni di equilibrio si trovano imponendo dV = 0. Si ha cio`e dθ θ = 0, cos θ = I valori corrispondenti per
d2 V dθ2
λ . 2(λ − w)
sono rispettivamente
4.12. IL TENSORE D’INERZIA
91 4a(λ − w) sin2 θ
2a(2w − λ),
Dobbiamo allora considerare i seguenti casi: • Se w > 21 λ, allora 2a(2w − λ) `e positivo, quindi θ = 0 `e una configurazione stabile. L’altra posizione non corrisponde ad un valore reale per θ, dato che si dovrebbe avere cos θ > 1. Si ha dunque una sola configurazione di equilibrio. • Se w < 12 λ, allora 2a(2w − λ) `e negativo e θ = 0 `e una configurazione instabile. L’altra posizione, invece, implica che 4a(λ − w) `e necessariamente positivo, quindi `e una configurazione stabile. 2
= ddθV2 = • Se w = 12 λ, le due posizioni coincidono. Per θ = 0, si ha che dV dθ 3 0. Il lettore pu`o comunque verificare facilmente che ddθV3 = 0, mentre d4 V > 0 quindi la posizione θ = 0 `e un minimo e la configurazione `e di dθ4 equilibrio stabile.
4.12
Il tensore d’inerzia
In questo paragrafo e nei seguenti introdurremo un concetto matematico, che permette di trattare un corpo rigido in casi molto pi` u generali di quanto visto precedentemente. Abbiamo visto che, quando conosciamo le forze esterne che agiscono su un corpo rigido, siamo in grado di calcolare le quantit`a F, GO e GQ . Dalla forma e dalla distribuzione di massa nel corpo siamo in grado di determinare la posizione del centro di massa. Possiamo dunque trovare il moto del centro di massa risolvendo l’equazione F = p˙ = M¨r Tuttavia, non siamo ancora in grado di utilizzare le relazioni GO = h˙ O ,
GQ = h˙ Q
Consideriamo, per iniziare, il caso di un corpo rigido del quale un punto `e fermo: sceglieremo tale punto come origine O. Come abbiamo visto, il moto di questo corpo `e completamente determinato dalla sua velocit`a angolare ω. Ricordando quanto avevamo ottenuto nei primi paragrafi di questo manuale, abbiamo che la velocit`a di un punto che si trova nel punto r vale ω × r. Cos`ı,
92
CAPITOLO 4. DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
nel caso che stiamo considerando, supponendo una densit`a uniforme τ , si ha Z hO = τ r × r˙ dv Z = τ r × (ω × r) Z Z = τ (r · r)ωdv − τ (r · ω)rdv dove, nell’ultimo passaggio abbiamo usato la nota identit`a vettoriale a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b) La componente x di hO prende dunque la forma Z Z 2 2 2 hOx = τ (x + y + z )ωx dv − τ (xωx + yωy + zωz )xdv o anche Z hOx = ωx
2
2
Z
τ (y + z )dv − ωy
Z τ xydv − ωz
τ xzdv
Dunque, le componenti di hO nelle tre direzioni coordinate, saranno hx = Aωx − F ωy − Eωz (4.24) hy = −F ωx + Bωy − Dωz hz = −Eωx − Dωy − Cωz nelle quali abbiamo definito R R A ≡ R τ (y 2 + z 2 )dv B ≡ R τ (x2 + z 2 )dv D ≡ τ yzdv E ≡ τ xzdv
R C ≡ R τ (x2 + y 2 )dv F ≡ τ xydv
Le quantit`a A, B e C sono chiamate momenti d’inerzia del corpo rispetto agli assi OX, OY e OZ, mentre D, E ed F sono chiamati prodotti d’inerzia rispetto alla coppie di assi (OY, OZ), (OX, OZ) e (OX, OY ). Osserviamo che le relazioni (4.24) possono essere espresse in forma compatta dalla relazione hO = Iω dove
A −F −E H = −F B −D −E −D C
4.12. IL TENSORE D’INERZIA
93
`e chiamato tensore d’inerzia. Formule simili alle (4.24) valgono anche per le componenti di hQ se consideriamo A, B, C, D, E ed F riferiti agli assi disegnati uscenti dal centro di massa Q. Grazie alle espressioni appena trovate siamo in grado di calcolare i momenti e i prodotti d’inerzia (e quindi il tensore d’inerzia) per un qualsiasi sistema di assi fissati nel corpo rigido, e quindi, per un qualsiasi sistema di assi fissi nello spazio, in un dato istante. Bisogna, tuttavia, tenere a mente che il tensore d’inerzia, bench´e rimanga costante se riferito ad assi fissati nel corpo, pu`o in generale cambiare a seguito del moto del corpo, per assi fissi nello spazio. Esempio 4.5 Trovare il tensore d’inerzia di un parallelepipedo uniforme di lati 2a, 2b e 2c, dove l’origine `e in un vertice e gli assi sono paralleli ai lati. Dal momento che τ `e costante, possiamo scrivere Z C = τ (x2 + y 2 )dv L’elemento di volume, rispetto alle coordinate x e y, vale dv = 2cdxdy. Quindi Z 2a Z 2b Z 2a 8 3 2 2 2 C = τ (x + y )2cdxdy = 2τ c 2bx + b dx 3 0 0 0 4 16 3 16 3 32 ba + ab = τ abc(a2 + b2 ) = M (a2 + b2 ) = 2τ c 3 3 3 3 in quanto M = 8τ abc. Analogamente si ricavano A e B. Inoltre Z 2a Z Z 2a Z 2b 4 2 xydxdy = 2cτ F = τ xydv = 2cτ b xdx 2 0 0 0 = 8τ ca2 b2 = M ab Si avr`a dunque che H=
4.12.1
4 M (b2 3
+ c2 ) −M ab −M ac
−M ab 4 M (a2 + c2 ) 3 −M bc
−M ac −M bc 4 M (a2 + b2 ) 3
Considerazioni sul tensore d’inerzia
Nel precedente paragrafo, abbiamo mostrato come momenti e prodotti d’inerzia possano essere espressi come integrali di volume e quindi calcolati esplicitamente mediante un processo d’integrazione. Tuttavia, dato che in
94
CAPITOLO 4. DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
generale sar`a possibile scegliere infinite terne di assi ortogonali nel corpo rigido, `e auspicabile trovare un metodo di valutare il tensore d’inerzia per una certa terna di assi OX 0 Y 0 Z 0 , noto il tensore per un’altra terna OXY Z. Questo passaggio viene solitamente effettuato in 2 passaggi. Nel primo gli assi vengono ruotati rispetto ad un’origine fissata; nel secondo traslati rigidamente, senza rotazioni. La tralslazione stessa viene effettuata in due parti, passando per uno stato intermedio che porta l’origine nel centro di massa. Inoltre, in alcuni casi pi` u semplici, che stiamo per descrivere, `e possibile applicare semplici considerazioni sulle simmetrie del corpo. Ad esempio, per una sottile lamina che si trova nel piano OXY possiamo porre z ≡ 0 nelle definizioni di momenti e prodotti d’inerzia ed ottenere cos`ı C = A + B,
D=E=0
. Se sappiamo in aggiunta che A = B, da considerazioni di simmetria (come nel caso di un disco circolare o di un quadrato), possiamo concludere C = 2A. Cos`ı, ad esempio, dato che per un anello circolare C = 21 M a2 rispetto all’asse del disco, si ha A = 41 M a2 per un asse passante per il diametro. Inoltre, se OXY `e un piano di simmetria per il corpo allora D = E = 0, dal momento che per ogni elemento τ yzdv, c’`e un corrispondente τ y(−z)dv. Tali contributi, dunque, si eliminano e D `e nullo.
4.13
Rotazioni degli assi
In questo paragrafo mostreremo che il tensore d’inerzia `e effettivamente un tensore, cio`e si comporta “bene” sotto rotazioni degli assi. Sia OXY Z un sistema di assi rispetto ai quali siano noti i momenti e i prodotti d’inerzia A, B, C, D, E ed F . Sia OX 0 Y 0 Z 0 un secondo sistema di assi con la stessa origine del precedente i cui momenti saranno A0 , B 0 , C 0 , D0 , E 0 ed F 0 . Indichiamo con i, j e k i versori paralleli ai tre assi OX, OY e OZ, mentre i0 , j0 e k0 sono i versori paralleli agli assi OX 0 , OY 0 e OZ 0 . Allora possiamo scrivere i0 = λ1 i + µ1 j + ν1 k j 0 = λ 2 i + µ 2 j + ν2 k k 0 = λ 3 i + µ 3 j + ν3 k dove (λ1 , µ1 , ν1 ), (λ2 , µ2 , ν2 ) e (λ3 , µ3 , ν3 ) sono i coseni direttori di i0 , j0 e k0 rispetto a OXY Z. Usiamo ora la seguente identit`a vettoriale (a × b) · (c × d) = (b · d)(a · c) − (a · d)(b · c)
4.13. ROTAZIONI DEGLI ASSI
95
In particolare si avr`a (r × i) · (r × j) = (i · j)(r · r) − (r · j)(i · r) = −xy (r × i) · (r × i) = (i · i)(r · r) − (r · i)(r · i) = r2 − x2 = y 2 + z 2 e in modo analogo, gli altri prodotti. Si avr`a dunque −x0 y 0 = (r × i0 ) · (r × j0 ) = (r × (λ1 i + µ1 j + ν1 k)) · (r × (λ2 i + µ2 j + ν2 k)) = λ1 λ2 (y 2 + z 2 ) + µ1 µ2 (z 2 + x2 ) + ν1 ν2 (x2 + y 2 ) −(µ1 ν2 + µ2 ν1 )yz − (ν1 λ2 + ν2 λ1 )xz − (λ1 µ2 + λ2 µ1 )xy Si avr`a quindi che −F 0 = λ1 λ2 A+µ1 µ2 B+ν1 ν2 C−(µ1 ν2 +µ2 ν1 )D−(ν1 λ2 +ν2 λ1 )E−(λ1 µ2 +λ2 µ1 )F (4.25) e formule analoghe per D0 ed E 0 . Allo stesso modo si ottiene A0 = λ21 A + µ21 B + ν12 C − 2µ1 ν1 D − 2ν1 λ1 E − 2λ1 µ1 F
(4.26)
e formule analoghe per B 0 e C 0 . Queste trasformazioni si possono pi` u facilmente memorizzare come applicazione della matrice di rotazione λ1 µ1 ν1 P = λ2 µ2 ν2 λ3 µ3 ν3 Si ha infatti che A −F −E λ1 µ1 ν1 λ1 λ2 λ3 A0 −F 0 −E 0 −F 0 B 0 −D0 = λ2 µ2 ν2 −F B −D µ1 µ2 µ3 λ3 µ3 ν3 −E −D C ν1 ν2 ν3 −E 0 −D0 C 0 Cio`e, vale l’uguaglianza matriciale H 0 = P HP t dove con P t intendiamo la trasposta della matrice P . Come noto dall’algebra lineare si ha che la rotazione P appartiene al gruppo ortogonale, cio`e verifica la relazione P P t = Id. Inoltre, osservando che il tensore d’inerzia H `e una matrice simmetrica possiamo applicare il teorema spettrale che afferma l’esistenza di una rotazione degli assi che renda il tensore d’inerzia H 0 diagonale. A seguito di tale rotazione si ha quindi ∗ A 0 0 H 0 = 0 B∗ 0 0 0 C∗
96
CAPITOLO 4. DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
dove A∗ , B ∗ e C ∗ possono essere calcolati, trovando le radici del polinomio det (H − tId) = 0 Cio`e trovando i valori di t per i quali A − t −F −E det −F B − t −D = 0 −E −D C − t
(4.27)
Gli autovalori A∗ , B ∗ e C ∗ cos`ı calcolati sono chiamati momenti principali d’inerzia riferiti al punto O (abbiamo effettuato solo rotazioni, quindi l’origine `e rimasta la stessa); le nuove direzioni OX ∗ , OY ∗ e OZ ∗ sono chiamate direzioni principali. La caratteristica importante `e che tutti i prodotti d’inerzia sono nulli, semplificando i calcoli. I coseni direttori λ, µ e ν delle direzioni principali associati al momento principale A∗ sono dati dalle equazioni (A − A∗ )λ − F µ − Eν =0 −F λ + (B − A∗ )µ − Dν = 0 (4.28) ∗ −Eλ − Dµ + (C − A )ν = 0 2 λ + µ2 + ν 2 =1 Dato che (4.27), `e chiaro che al massimo 2 delle prime 3 equazioni possono essere indipendenti. Il risultato importante di questo paragrafo `e che per ogni punto appartenente al corpo, esistono tre direzioni privilegiate ortogonali rispetto alle quali i momenti d’inerzia sono A∗ , B ∗ e C ∗ , mentre i prodotti d’inerzia sono nulli. L’esistenza dei momenti principali d’inerzia e delle direzioni principali pu`o anche essere visto da un punto di visto geometrico. Le direzioni principali su quelle del cosiddetto ellissoide d’inerzia, descritto dall’equazione quadratica Q = Ax2 + By 2 + Cz 2 − 2Dyz − 2Ezx − 2F xy che prende la forma Q = A∗ x∗2 +B ∗ y ∗2 +C ∗ z ∗2 quando si scelgono le direzioni principali come assi coordinati.
4.14
Traslazione degli assi
In questo paragrafo mostreremo in che modo il tensore d’inerzia si modifica a seguito di una traslazione degli assi, che ne lascia inalterate per`o le direzioni. Sia OXY Z il sistema di riferimento di assi cartesiani di partenza e QX 0 Y 0 Z 0 quello centrato nel centro di massa. Allora si avr`a
4.15. ENERGIA CINETICA DI UN CORPO RIGIDO x = x¯ + ξ,
y = y¯ + η,
97
z = z¯ + ζ
dove (ξ, η, ζ rappresentano le coordinate nel sistema QX 0 Y 0 Z 0 del punto (x, y, z). Allora Z
2
Z
τ x dv =
Z
2
τ (¯ x + ξ) dv = M x¯ + x¯
Z τ xydv =
Z
2
Z τ ξdv +
Z τ (¯ x + ξ)(¯ y + η)dv = M x¯y¯ + x¯
τ ξ 2 dv
Z τ ηdv + y¯
Z τ ξdv +
τ ξηdv
Ora, dal momento che Q `e il centro di massa, abbiamo, in modo analogo alla (4.2), Z Z Z τ ξdv = τ ηdv = τ ζdv = 0 Quindi R R A = R τ (y 2 + z 2 )dv = MR(¯ y 2 + z¯2 ) + τ (η 2 + ζ 2 )dv = M (¯ y 2 + z¯2 ) + A0 , 0 F = τ xydv = M x¯y¯ + τ ξηdv = M x¯y¯ + F . Formule analoghe valgono per i momenti e i prodotti d’inerzia relativi agli altri assi. Possiamo riassumere quanto ottenuto dicendo:i momenti ed i prodotti d’inerzia di un corpo rigido rispetto ad un qualsiasi sistema cartesiano di assi sono uguali ai momenti e ai prodotti d’inerzia rispetto ad assi paralleli a quelli del sistema, centrati nel centro di massa, sommati con i momenti ed i prodotti d’inerzia del centro di massa rispetto agli assi del sistema. Il teorema degli assi paralleli afferma proprio questo. M k 2 = M κ2 + M d2
4.15
Energia cinetica di un corpo rigido
Come conseguenza della nostra definizione di corpo rigido possiamo usare la (4.11) per calcolare l’energia cinetica; si ottiene Z 2T =
τ r˙ · r˙ dv = M ¯r˙ · ¯r˙ +
Z τ ρ˙ · ρdv ˙
98
CAPITOLO 4. DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
Ora, per il caso in cui il corpo rigido ruota con velocit`a angolare ω intorno ad un punto fissato O, abbiamo che Z 2T = τ r˙ · r˙ dv Z = τ (ω × r) · r˙ dv Z = τ ω · (r × r˙ )dv Z = ω · τ r × r˙ dv = ω · hO Sostituendo le espressioni (4.24) delle componenti di hO , otteniamo 2T = Aωx2 + Bωy2 + Cωz2 − 2Dωy ωz − 2Eωx ωz − 2F ωx ωy = ω 2 (Aλ2 + Bµ2 + Cν 2 − 2Dµν − 2Eλν − 2F λµ) dove λ, µ e ν rappresentano i coseni direttori degli assi istantanei di rotazione. Comparando l’ultima espressione con la (4.26), si verifica facilmente che 1 T = ω2I 2 dove I `e il momento d’inerzia rispetto all’asse istantaneo di rotazione. Osserviamo, tra parentesi, che in modo analogo possiamo scrivere l’energia cinetica usando il tensore d’inerzia: 1 H ω ω T = 2 Un ragionamento simile si pu`o applicare al caso in cui nessun punto del corpo rimane fermo nello spazio. In tal caso, come abbiamo gi`a visto nei precedenti paragrafi, l’energia cinetica `e data da una componente traslazionale 12 M ¯r˙ e una parte rotazionale 12 Iω 2 , con I che rappresenta il momento d’inerzia del corpo rispetto ad un asse passante per il centro di massa e parallelo alla velocit`a angolare ω.
4.16
Equazioni di Eulero
Torniamo ora a considerare le equazioni
4.16. EQUAZIONI DI EULERO GO = h˙ O ,
99 GQ = h˙ Q
Possiamo naturalmente sostituire le espressioni che abbiamo trovato nei precedenti paragrafi per hO e hQ . Tuttavia, il tensore d’inerzia riferito ad assi fissi nel sistema cambia nel tempo ed avremmo un’espressione che coinvolge dA dD , dt , ecc. dt Se, invece, consideriamo una terna assi fissi OX 0 Y 0 Z 0 all’interno del corpo, che in un certo istante coincidono con gli assi OXY Z fissati nello spazio, abbiamo, dalla (1.5) che h˙ O = h˙ 0O + ω × h0O In particolare, scegliendo come sistema OX 0 Y 0 Z 0 quello costituito dagli assi principali del corpo, e scegliamo OXY Z assi fissi, che in un certo istante coincidono con i precedenti, si ottiene h0O = A∗ ωx i + B ∗ ωy j + C ∗ ωz k h˙ 0O = A∗ ω˙ x i + B ∗ ω˙ y j + C ∗ ω˙ z k Otteniamo allora le equazioni del moto di Eulero nella forma ∗ ∗ ∗ Gx = A ω˙ x + (C − B )ωy ωz Gy = B ∗ ω˙ y + (A∗ − C ∗ )ωx ωz Gz = C ∗ ω˙ z + (B ∗ − A∗ )ωx ωy
(4.29)
Queste equazioni descrivono il moto di un corpo rispetto sia ad un punto fisso O, sia rispetto al centro di massa Q, dando l’opportuno valore ad i simboli usati. Bisogna comunque enfatizzare che le formule appena scritte non valgono in generale per una qualsiasi terna di assi OXY Z, ma solo per quelli momentaneamente coincidenti con gli assi principali del corpo di cui stiamo considerando il moto. Un caso di particolare interesse `e quello in cui il corpo possiede una qualche simmetria di rotazione nel punto in questione. Questo `e il caso, ad esempio, in cui due momenti principali sono uguali. Se ad esempio A∗ = B ∗ si avr`a dalla (4.29) ∗ ∗ ∗ Gx = A ω˙ x + (C − A )ωy ωz (4.30) Gy = A∗ ω˙ y − (C ∗ − A∗ )ωx ωz Gz = C ∗ ω˙ z Ne vedremo un’applicazione nel prossimo paragrafo.
100
4.16.1
CAPITOLO 4. DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
Nutazioni euleriane
La Terra, bench´e non sia una sfera perfetta, ha simmetria rispetto al suo asse. Se trascuriamo i momenti delle forze esterne dovute a Sole, Luna e agli altri pianeti, abbiamo le seguenti equazioni ∗ ∗ ∗ A ω˙ x + (C − A )ωy ωz = 0 (4.31) A∗ ω˙ y − (C ∗ − A∗ )ωx ωz = 0 ∗ C ω˙ z =0 dove l’asse terrestre `e preso con asse OZ ∗ . Dall’ultima equazione si ottiene direttamente ωz = costante = n Se poniamo m =
n(C ∗ −A∗ ) , A∗
le prime due equazioni diventano ( ω˙ x + mωy = 0 ω˙ y − mωx = 0
derivando la prima si ha ω ¨ x = −mω˙ y = −m2 ωx Cos`ı ωx = a cos(mt + ), dove a ed sono costante; allora si avr`a anche ωy = a sin(mt + ). Dal momento che ωx2 + ωy2 = a2 , `e evidente che il vettore √ velocit`a angolare ω mantiene modulo costante pari a a2 + n2 e forma un angolo costante arctan na con l’asse terrestre. Questo vettore ω, comunque, ruota intorno all’asse delle Terra con velocit`a angolare costante, pari a m. Ci`o vuol dire, che se l’asse di rotazione terrestre non coincide con il suo asse geometrico, il primo ruoter`a intorno al secondo. Sono state effettuate delle osservazioni che provano la realt`a di questo fenomeno, noto come nutazioni di Eulero.
4.16.2
Precessione di un girostato
Il moto inaspettato ed apparentemente capriccioso di un girostato ha sempre affascinato l’uomo; ci limiteremo, tuttavia, ad una trattazione a grandi linee del fenomeno. Con il termine “girostato” intendiamo un disco che ruota molto velocemente intorno al suo asse di simmetria. Se supponiamo che le forze esterne non abbiano momento rispetto all’asse OZ ∗ (si veda la figura) che coincide istantaneamente con l’asse del girostato, abbiamo dalle (4.30) che la velocit`a angolare rispetto a tale asse si mantiene costante in modulo, diciamo n.
4.16. EQUAZIONI DI EULERO
101
Ci chiediamo ora quali tipi di forze devono essere applicate per far ruotare il girostato (farlo cio`e precedere), con velocit`a angolare costante φ˙ in un piano che chiamiamo OXY . Supponiamo che al tempo t = 0 l’asse OZ ∗ coincida con l’asse fissato OX. In tale istante le componenti nelle direzioni OX e OY del momento angolare risultano hx = C ∗ n e hy = 0. Ad un istante successivo δt, comunque, l’asse OZ ∗ ha ruotato di un angolo di un angolo δφ verso OY e il momento angolare avr`a ora componenti hx = C ∗ n cos δφ ∼ = C ∗n e ∗ ∗ ∼ hy = C n sin δφ = C nδφ. Quindi, al tempo t = 0 la variazione del momento angolare `e C ∗ nφ˙ nella direzione OY , e per produrla bisogna applicare delle forze che abbiano momento C ∗ nφ˙ lungo OY . Se indichiamo con OL l’asse perpendicolare in ogni istante all’asse OZ ∗ , allora risulta evidente che bisogna applicare un momento C ∗ nφ˙ lungo tale asse. La cosa inaspettata `e che un momento G lungo OL ruota l’asse OZ ∗ rispetto all’asse OZ con velocit`a angolare φ˙ = CG∗ n e non ruota l’asse OZ ∗ lungo OL, come ci si potrebbe aspettare. Tra le pi` u importanti applicazioni di questo fenomeno ricordiamo soltanto la bicicletta. Il lettore sar`a certamente in grado di dimostrare dal precedente ragionamento che ogni tentativo di girare il manubrio verso destra (rispetto all’asse verticale) avr`a come unico effetto quello di far piegare la ruota anteriore verso sinistra. Come `e certamente gi`a noto al lettore, per spostarsi cerso destra, in bicicletta, `e necessario piegarsi lentamente verso destra; ci`o permette alla forza peso e alla reazione normale di creare una coppia lungo la direzione del moto. Tale momento permette alla bicicletta di curvare nella direzione voluta.
102
CAPITOLO 4. DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
Capitolo 5 Equazioni di Lagrange - parte 1 5.1
Coordinate generalizzate
Per dare la posizione dello spazio di N punti materiali liberi, `e necessario fornire N raggi vettore, cio`e 3N coordinate cartesiane. Si dice che questo sistema ha 3N gradi di libert`a. Generalizzando, un sistema dinamico - comprensivo di vincoli - pu`o essere univocamente determinato dai valori di n grandezze indipendenti: questo numero n `e detto numero di gradi di libert`a del sistema. Queste grandezze non sono necessariamente le coordinate cartesiane del punto: la loro natura `e dettata dalla peculiarit`a del problema che si sta affrontando; in questo senso, una delle scelte pi` u frequenti `e quella che si tratti di angoli (si immagini il problema pendolo). Cos`ı, n grandezze qualsiasi q1 , q2 , . . . , qn che caratterizzano completamente la posizione del sistema (con n gradi di libert`a), sono dette coordinate generalizzate e le loro derivate q˙r , velocit`a generalizzate (analogamente si pu`o parlare di momenti e forze generalizzati). Se da un lato le n coordinate generalizzate determinano univocamente la posizione del sistema a un tempo t0 , esse non sono sufficienti per prevedere la posizione del sistema stesso al tempo t + dt: per determinare il sistema a un tempo qualunque t1 (precedente o successivo al tempo t0 ) `e, come dimostra l’esperienza, necessario e, in linea di massima, sufficiente fornire tutte le coordinate e le velocit`a nello stesso istante. Ci`o significa che noti i valori q1 (t0 ), . . . , qn (t0 ), q˙1 (t0 ), . . . , q˙n (t0 ), si definiscono univocamente anche i valori delle accelerazioni q¨1 (t0 ), . . . , q¨n (t0 ). Le relazioni che legano le accelerazioni con le coordinate e le velocit`a, sono dette equazioni del moto. Rispetto alle funzioni q(t) esse sono equazioni differenziali del secondo ordine la cui integrazione permette di determinare, in linea di massima, queste funzioni, cio`e le traiettorie del sistema meccanico. 103
104
5.2
CAPITOLO 5. EQUAZIONI DI LAGRANGE - PARTE 1
Vincoli olonomi
1
`e noto che in molti problemi di fisica classica sia necessario porre dei vincoli che limitino il moto del sistema. Un esempio di sistema sottoposto a vincoli `e il corpo rigido, per il quale i limiti imposti dai vincoli alle particelle sono tali che le loro distanze reciproche restino immutate. Le palline su un pallottoliere sono costrette a muoversi unidimensionalmente lungo i fili. Le molecole di un gas contenuto in un recipiente, sono vincolate dalle pareti del recipiente stesso a muoversi solo all’interno di esso. Una particella, posta sulla superficie di una sfera solida, `e costretta dal vincolo a muoversi solo sulla superficie o nella regione esterna ad essa. Ci sono vari modi di classificare i vincoli; uno `e il seguente. Se le condizioni imposte dal vincolo sono tali che le sole coordinate delle particelle (non le loro velocit`a!) e il tempo siano legate da equazioni del tipo f (r1 , . . . , rN , t) = 0
(5.1)
allora si dice che i vincoli sono olonomi. Forse l’esempio pi` u semplice di vincolo olonomo `e rappresentato dal corpo rigido, per il quale i vincoli sono esprimibili mediante relazioni della forma (ri − rj )2 − c2ij = 0 Un altro ovvio esempio di vincolo olonomo `e quello della particella costretta a muoversi lungo una curva o su di una superficie. Tutti i vincoli non esprimibili nel modo suddetto sono chiamati anolonomi. Le pareti di un contenitore di gas costituiscono un vincolo anolonomo. Cos`ı, `e anolonomo il vincolo nel caso di una particella posta sulla superficie di una sfera; infatti, le condizioni imposte da questo vincolo sono esprimibili mediante la disuguaglianza r 2 − a2 ≤ 0 (dove a `e il raggio della sfera). Cos`ı, sotto l’azione di un campo gravitazionale, una particella, posta alla sommit`a di una sfera, scivoler`a lungo la superficie, per un certo tratto (e fino a quel momento il vincolo sar`a olonomo), ma finir`a con l’abbandonarla. Le forze esercitate dai vincoli non sono note a priori, ma solo per gli effetti che essi hanno sul sistema; esse fanno parte delle incognite del problema e uno dei vantaggi della seguente trattazione `e che, per risolvere il moto di un sistema olonomo, prescinde dalla determinazione di tali forze vincolari 1
La seguente trattazione dei vincoli `e tratta in parte dal Goldstein e in parte dal Landau.
5.2. VINCOLI OLONOMI
105
(ed `e un approccio volto ad eliminare tali reazioni dalle equazioni che ha portato per primi James Bernoulli e d’Alambert a sviluppare l’impostazione della meccanica argomento di questo capitolo). I vincoli impongono, inoltre, delle relazioni fra le varie coordinate del sistema in considerazione e fanno, cos`ı, diminuire il numero di gradi di libert`a del sistema stesso. Un modo per tenerne in considerazione questo fatto `e quello di inserire fra le equazioni del moto del sistema, le k equazioni della forma (5.1) che esprimono le relazioni tra le coordinate dettate dai vincoli stessi. Un altro modo, assai pi` u conveniente, `e quello di scegliere direttamente 3N − k coordinate generalizzate (q1 , . . . , q3N −k ) che riassumano in se stesse le k condizioni aggiuntive ri = ri (q1 , . . . , q3N −k , t)
i = 1, . . . , N
Nel caso di vincoli anolonomi, non `e possibile utilizzare le equazioni dei vincoli per eliminare le coordinate dipendenti. Un esempio spesso riportato di vincolo anolonomo `e quello del rotolamento puro. La condizione a cui deve soddisfare il moto dei corpi nel rotolamento consiste nell’uguaglianza delle velocit`a dei punti di contatto (cos`ı, per un corpo che rotola su una superficie fissa, la velocit`a del punto di contatto dev’essere nulla). Nel caso generale questa condizione `e espressa da un relazione che lega le q1 , . . . , qn e e le q˙1 , . . . , q˙n . Cos`ı per l’α-esimo vincolo X cαi q˙i i
dove cαi sono funzioni delle sole coordinate. Se i primi membri delle uguaglianze non sono derivate totali rispetto al tempo di funzioni delle coordinate, queste equazioni non si possono integrare e non possono dunque essere espresse nella forma (5.1). Consideriamo, ad esempio, una sfera che rotoli su una superficie piana. Indichiamo con V la velocit`a del moto traslatorio (velocit`a del centro della sfera), e con Ω la velocit`a angolare della sua rotazione. La velocit`a del punto di contatto della sfera con il piano si ottiene ponendo r = −an nella formula generale v = V − aΩ × n (dove a `e il raggio della sfera e n il versore della normale al piano di rotolamento nel punto di contatto). Il vincolo di rotolamento puro `e espresso allora dalla condizione V−aΩ×n=0
(5.2)
Mentre V `e la derivata totale rispetto al tempo del raggio vettore del centro della sfera, la velocit`a angolare non `e invece generalmente la derivata totale di alcuna delle coordinate. Il vincolo non `e, dunque, integrabile ed `e quindi anolonomo.2 La presenza di vincoli anolonomi del tipo appena descritto, 2
Osserviamo, per` o, che per il rotolamento di un cilindro un tale vincolo sarebbe olonomo. In questo caso, l’asse di rotazione conserva una direzione costante nello spazio, e di
106
CAPITOLO 5. EQUAZIONI DI LAGRANGE - PARTE 1
impone determinate restrizioni ai possibili valori delle variazioni delle coordinate. Tuttavia per affrontare questo genere di difficolt`a bisogna fare uso dei metodi descritti nel prossimo capitolo, generalizzandoli al fine di poter analizzare anche casi pi` u complessi come questo.
5.3
Equazioni di Lagrange per un sistema olonomo
In questo paragrafo ricaveremo un modo nuovo e pi` u agevole di derivare le equazioni del moto dalla conoscenza del sistema meccanico in analisi. In particolare ricaveremo l’equazione di Lagrnage, a partire dalle leggi della dinamica di Newton; pi` u avanti prenderemo in considerazione altri principi da cui si pu`o ricavare la medesima equazione. Assumiamo che il nostro sistema sia composto da un certo numero di particelle (si noti che non `e n!), di cui la i-esima ha massa mi , e coordinate (xi , yi , zi ). Dal momento che la posizione del sistema al tempo t `e specificata dai valori delle grandezze q1 , . . . , qn , t , abbiamo xi = xi (q1 , . . . , qn , t) yi = yi (q1 , . . . , qn , t)
(5.3)
zi = zi (q1 , . . . , qn , t) Ne segue che x˙ i =
X ∂xi r
y˙ i =
∂qr
X ∂yi r
∂qr
q˙r +
∂xi ∂t
q˙r +
∂yi ∂t
(5.4)
X ∂zi ∂zi z˙i = q˙r + ∂qr ∂t r E da quest’espressione risulta ∂ x˙ i ∂xi ∂ y˙ i ∂yi ∂ z˙i ∂zi = , = , = ∂ q˙r ∂qr ∂ q˙r ∂qr ∂ q˙r ∂qr
(5.5)
conseguenza, Ω = dϕ/dt `e la derivata totale dell’angolo di rotazione ϕ del cilindro intorno al suo asse. La relazione (5.2) `e allora integrabile e d`a la relazione tra la coordinata del centro di massa e l’angolo ϕ.
5.3. EQUAZIONI DI LAGRANGE PER UN SISTEMA OLONOMO
107
Ora, l’energia cinetica del sistema `e
T = =
1X mi (x˙ 2i + y˙ i2 + z˙i2 ) 2 i 1 [a11 q˙12 + a22 q˙22 + . . . + 2a12 q˙1 q˙2 + . . . + 2a1 q˙1 + . . . + a] 2
Dove ∂x ∂x ∂yi ∂yi ∂zi ∂zi i i + + ∂qr ∂qs ∂qr ∂qs ∂qr ∂qs i X ∂xi ∂xi ∂yi ∂yi ∂zi ∂zi + + ar = mi ∂q ∂t ∂q ∂t ∂qr ∂t r r i X ∂xi ∂yi 2 ∂zi 2 )2 + ( ) +( a = mi ∂t ∂t ∂t i
ars =
X
mi
E anche dalla (5.5) segue che x¨i
3
∂xi ∂ x˙ i = x¨i ∂qr ∂ q˙r d ∂ x˙ i d ∂ x˙ i = x˙ i − x˙ i dt ∂ q˙r dt ∂ q˙r d ∂xi d ∂ x˙ i x˙ i − x˙ i = dt ∂ q˙r dt ∂qr d ∂ x˙ i ∂ x˙ i = x˙ i − x˙ i dt ∂ q˙r ∂qr d ∂ 1 2 ∂ 1 2 = x˙ i − x˙ dt ∂ q˙r 2 ∂qr 2 i
Analogamente, relazioni simili valgono per le coordinate yi e zi . Ne segue 3
Dimostriamo il passaggio
d ∂xi dt ∂qr
=
∂ x˙ i ∂qr .
X ∂ 2 xi d ∂xi ∂ x˙ i ∂ 2 xi = = q˙s + dt ∂qr ∂qr ∂qr ∂qs ∂qr ∂t s che confrontata con la (5.4) d` a immediatamente il risultato cercato.
108
CAPITOLO 5. EQUAZIONI DI LAGRANGE - PARTE 1
che X ∂xi d ∂T ∂T ∂yi ∂zi − = + y¨i + z¨i mi x¨i dt ∂ q˙r ∂qr ∂qr ∂qr ∂qr i X ∂xi ∂yi ∂zi = Xi + Yi + Zi ∂qr ∂qr ∂qr i Essendo Xi , Yi , Zi le componenti della risultante delle forze (interne ed esterne) agenti sulla i-esima particella. dal momento che si `e supposto il sistema olonomo si pu`o applicare uno spostamento tale che qr diventi qr + δqr e tutte le qs con s 6= r restino invariate. Sia, allora, Qr δqr il lavoro fatto in questo spostamento, allora X Qr δqr = (Xi δxi + Yi δyi + Zi δyi ) i
=
X i
∂xi ∂yi ∂zi + Yi + Zi δqr Xi ∂qr ∂qr ∂qr
Ne segue che Qr =
X i
Xi
∂xi ∂yi ∂zi + Yi + Zi ∂qr ∂qr ∂qr
Le equazioni d ∂T ∂T − = Qr dt ∂ q˙r ∂qr
r = 1, . . . , n
(5.6)
sono le equazioni del moto di Lagrange per un sistema olonomo. Analizziamo i due termini di ques’equazione: il termine di sinistra coinvolge l’energia cinetica espressa in termini delle q1 , . . . , qn , q˙1 , . . . , q˙n (si noti che l’energia cinetica T espressa in coordinate generalizzate pu`o essere funzione non solo delle q˙r ma anche delle qr !), che sappiamo esprimere; il termine di destra (Qr ) `e semplicemente il coefficiente di δqr nell’espressione del lavoro Q1 δq1 + . . . + Qn δqn ottenuto mediante uno spostamento δqq , . . . , δqn infinitesimo e istantaneo (dt = 0), che pu`o essere a sua volta espresso in funzione di q1 , . . . , qn , t. Otteniamo, quindi, esattamente n equazioni con le quali `e possibile determinare la coordinate q1 , ..., qn e tali equazioni non coinvolgono alcune reazione
5.3. EQUAZIONI DI LAGRANGE PER UN SISTEMA OLONOMO
109
vincolare ignota. Come esempio, consideriamo il caso del moto dei pianeti. Usando coordinate polare r, θ come coordinate generalizzate, si ha 1 T = m(r˙ 2 + r2 θ˙2 ) 2 Da questa otteniamo che ∂T d ∂T 2 ∂T ˙ = mrθ , = mr, ˙ = m¨ r; ∂r ∂ r˙ dt ∂ r˙ ∂T ∂T ∂T 2˙ d ¨ = 0, = mr θ, = m(2rr˙ θ˙ + r2 θ). ∂θ dt ∂ θ˙ ∂ θ˙ Il lavoro infinitesimo dovuto ad una forza centrale −m rµ3 r `e µ − 2 δr = Qr δr + Qθ δθ r doves µ Qr = −m 2 , Qθ = 0 r Le equazioni di Lagrange per questo sistema danno, allora, µ m¨ r − mrθ˙2 = −m 2 r ¨ = 0 m(2rr˙ θ˙ + r2 θ) Il lettore pu`o facilmente verificare che tali equazioni sono equivalenti alle (3.3.1). Esempio 5.1 Consideriamo il sistema di carrucole proposto in figura. Supponiamo che le carrucole abbiano massa trascurabile e raggio a e che le funi possano scorrere liberamente su tali supporti. La carrucola in alto `e fissa. Le funi sono di lunghezza l + πa e m + πa rispettivamente. Le masse sono m1 = 1, m2 = 2 e m3 = 3 in unit`a arbitrarie. Si chiede di determinare il moto del sistema. Scriviamo la “quota” delle 3 masse; esse risultano: x + y, x + m − y e l − x, come mostrato in figura, per cui le velocit`a saranno x˙ + y, ˙ x˙ − y˙ e −x˙ rispettivamente. L’energia cinetica del sistema risulta dunque 1 T = (x˙ + y) ˙ 2 + 2(x˙ − y) ˙ 2 + 3(−x) ˙ 2 2 1 = (6x˙ 2 − 2x˙ y˙ + 3y˙ 2 ) 2 Si ha dunque
110
CAPITOLO 5. EQUAZIONI DI LAGRANGE - PARTE 1 ∂T ∂x ∂T ∂y
∂T ∂ x˙ ∂T ∂ y˙
= 0, = 0,
= 6x˙ − y, ˙ = −x˙ + 3y, ˙
d dt d dt
∂T x − y¨; ∂ x˙ = 6¨ ∂T = −¨ x + 3¨ y; ∂ y˙
Ora, a seguito di un piccolo spostamento, l’energia potenziale viene modificata a seguito della forza di gravit`a di gδ(x + y) + 2gδ(x + m − y) + 3gδ(l − x) = g(δx + δy + 2δx − 2δy − 3δx) = −gδy Quindi, usando la notazione introdotta prima, si ha Qx = 0, Qy = −g Di conseguenza 6¨ x − y¨ = 0,
−¨ x + 3¨ y = −g
ed infine si ricava 1 x¨ = − 17 g,
6 y¨ = − 17 g
Spostamenti e lavori virtuali Approfondiamo quanto introdotto nel paragrafo precedente. δx si chiama spostamento virtuale infinitesimo. Esso corrisponde ad un’arbitraria variazione infinitesima delle coordinate δx, purch´e compatibile con le forze e i vincoli imposti al sistema all’istante dato t. Viene detto virtuale per distinguerlo da uno spostamento reale che avviene in un intervallo di tempo dt, durante il quale le forze e i vincoli del sistema possono subire modificazioni. In analogia Xδx `e detto lavoro virtuale (lungo la componente x. Per ricondurre i lavori virtuali alle generalizzate, `e necessario fare la P coordinate ∂x δq . seguente sostituzione: δx = r ∂q r r Si noti che che in quest’ultima variazione non compare alcuna variazione δt del tempo, poich´e, per definizione, uno spostamento virtuale implica solo spostamenti delle coordinate e avviene in un intervallo di tempo nullo. A questo punto, si ha X ∂x Xδx = X δqr ∂qr r Il lavoro virtuale totale `e dato quindi da X r
X
X ∂x ∂y ∂z +Y +Z δqr = Qr δqr ∂qr ∂qr ∂qr r
5.4. EQUAZIONI DI LAGRANGE PER LE FORZE IMPULSIVE
111
dove si `e introdotta la cosiddetta forza generalizzata 4 X ∂x ∂y ∂ Qr = X +Y +Z ∂qr ∂qr ∂qr i
5.4
Equazioni di Lagrange per le forze impulsive
Mostriamo ora come si possa adattare la (5.6) a forze di tipo impulsivo. Supponiamo anzitutto che esse agiscano per un intervallo di tempo infinitesimo τ . La (5.6) diventa allora Z τ Z τ ∂T ∂T ∂T Qr dt − = dt + ∂ q˙r t=τ ∂ q˙r t=0 0 ∂qr 0 ´e evidente che essendo τ infinitesimo e ciascun qr e ciascun q˙r finiti, il primo integrale del termine destro dell’uguaglianza pu`o essere trascurato, cos`ı come ogni termine che contribuisca a Qr , che `e dato da forze finite. Otteniamo cos`ı la seguente uguaglianza ∂T ∂T − = Jr r = 1, . . . , n ∂ q˙r dopo ∂ q˙r prima Rτ dove Jr = 0 Qr dt `e la variazione della quantit`a di moto generalizzata (impulso generalizzato) dovuta da quelle uniche componenti impulsive delle Qr .
5.5
La funzione di Lagrange
Se le forze agenti sul sistema sono tutte conservative, cio`e dovute a un potenziale V = V (q1 , . . . , qn ) (non dipendente dal tempo!), allora l’equazione di Lagrange pu`o assumere una forma assai pi` u conveniente. Osserviamo anzitutto che X ∂xi ∂yi ∂zi + Yi + Zi Qr = Xi ∂qr ∂qr ∂qr i X ∂V ∂xi ∂V ∂yi ∂V ∂zi = − + + ∂xi ∂qr ∂yi ∂qr ∂zi ∂qr i = − 4
∂V ∂qr
per un ulteriore approfondimento si veda il capitolo 1 del H. GOLDSTEIN, Meccanica Classica.
112
CAPITOLO 5. EQUAZIONI DI LAGRANGE - PARTE 1
Essendo inoltre5
∂V =0 ∂ q˙r
Possiamo scrivere d ∂L ∂L − =0 dt ∂ q˙r ∂qr
r = 1, . . . , n
(5.7)
dove si `e posto L=T −V
(5.8)
L cos`ı definita `e detta funzione di Lagrange o lagrangiana del sistema.
5.6
Coordinate cicliche
Consideriamo ora l’eventualit`a che L non dipenda dalle esplicitamente dalle coordinate q1 , . . . , qk . Queste coordinate sono dette cicliche. Si avr`a in particolare ∂L =0 j = 1, . . . , k ∂qj Dalla (5.7) si ha allora immediatamente ∂L = cj ∂ q˙j
j = 1, . . . , k
dove cj `e una costante (o integrale) del moto. Si ha, dunque, che il momento = pr si conservi generalizzato associato alla coordinata qr , definita come ∂∂L q˙r per tutte le coordinate generalizzate q1 , . . . , qk p j = cj
j = 1, . . . , k
Il vantaggio di conoscere integrali del moto `e evidente:6 essi sono l’espressione di leggi di conservazione proprie del sistema che si sta considerando (per esempio il momento angolare nel problema di Keplero).7 Si pu`o poi 5
Se fosse diversamente e il potenziale dipendesse dalla velocit`a, allora andare dal punto A al punto B per un dato percorso a velocit`a v1 o a velocit`a v2 comporterebbe diverse variazioni ∆V , il che `e assurdo, trattandosi di un sistema conservativo. 6 Questo argomento verr` a approfondito nel prossimo capitolo. 7 La lagrangiana del problema relativo all’orbita dei pianeti attorno al Sole `e L=
GM m 1 m(r˙ 2 + r2 ϕ˙ 2 ) + 2 r
e non contiene esplicitamente la variabile ϕ. Dunque ne deduciamo che non `e altro che la legge di conservazione del momento angolare.
∂L ∂ ϕ˙
= mr2 ϕ, ˙ che
5.7. PICCOLE OSCILLAZIONI
113
introdurre una nuova funzione (funzione di Routh8 ), analoga all’equazione di Lagrange, che permette per`o di ridurre il numero di equazioni da n a n − k, con evidente vantaggio computazionale.
5.7
Piccole oscillazioni
Si tratta di uno dei principali argomenti di tutta la fisica ed `e oggetto di investigazione ad ogni livello. Vedremo in questa sezione come si possa spesso (ma non sempre!) approssimare le piccole oscillazioni attorno a un punto di equilibrio di un sistema, come armoniche. Per poter procedere nella seguente analisi dobbiamo innanzitutto supporre che nessuna delle equazioni di trasformazione che definiscono le qr dipenda dal tempo. Dalle (5.3), (5.4) e dall’espressione dell’energia cinetica T da esse ricavata, si nota che sotto questa ipotesi T `e una funzione quadratica delle velocit`a generalizzate ed escludiamo i sistemi con vincoli dipendenti dal tempo.9 Analizziamo anzitutto le posizioni di equilibrio del sistema. Dal momento che l’energia cinetica T `e per quanto osservato funzione quadratica delle velocit`a generalizzate, una volta poste le velocit`a stesse uguali a zero, si trova ∂L ∂V ∂T = 0 e dunque ∂q = − ∂q . Quindi l’equazione che deve soddisfare un ∂qr r r punto di equlibrio `e Qr =
∂V =0 ∂qr
r = 1, . . . , n
(dove ogni velocit`a q˙r `e posta uguale a zero). Perch´e l’equilibrio sia stabile, in a1 , . . . , an che soddisfano la precedente equazione, dev’essere anche ∂ 2V >0 r = 1, . . . , n ∂qr2 qr =ar Possiamo porre senza perdita di generalit`a a1 , . . . , an = 0. La prima delle due precedenti equazioni diventa allora ∂ V (0) = 0 ∂qr
r = 1, . . . , n
Che dallo sviluppo in serie di Taylor d`a X ∂ 1X ∂2 V (q1 , . . . , qn ) = V (0) + q˙r V (0) + qr qs V (0) + . . . ∂qr 2 r,s ∂qr ∂qs r 8
Che non tratteremmo in questa sede, ma che sono esaurientemente trattati nel Goldstein (pagg. 215-216). 9 Osserviamo che una delle conseguenze importanti di questa assunzione `e che ∂L ∂t = 0, che come vedremo nel prossimo capitolo, implica la conservazione dell’energia.
114
CAPITOLO 5. EQUAZIONI DI LAGRANGE - PARTE 1
Se ora poniamo V (0) = 0, cosa sempre possibile dato che V `e definita a meno di costanti addittive, e trascuriamo tutti i termini di ordine superiore al secondo, troviamo V (q1 , . . . , qn ) =
∂2 1X qr qs V (0) 2 r,s ∂qr ∂qs
E ricordando quanto ricavato all’inizio del capitolo e quanto osservato all’inizio di questa sessione, troviamo anche T (q˙1 , . . . , q˙n ) =
1 XX ∂ ∂ mi q˙r q˙s ri (q1 , . . . , qn ) · ri (q1 , . . . , qn ) 2 r,s i ∂ q˙r ∂ q˙s
Che pu`o essere a sua volta approssimato come nX o 1X ∂ ∂ T (q˙1 , . . . , q˙n ) = q˙r q˙s mi ri (0) · ri (0) 2 r,s ∂ q˙r ∂ q˙s i Avendo ottenuto delle forme quadratiche sia per V (q1 , . . . , qn ) sia per T (q˙1 , . . . , q˙n ), possiamo riassumere il tutto nella seguente forma matriciale b11 b12 . . . b1n q1 .. q 1 b22 . 2 b q1 q2 . . . qn 21 V (q1 , . . . , qn ) = .. . .. 2 .. . . qn bn1 . . . . . . bnn O per brevit`a di notazione10 1 V = Vrs qr qs 2 1 T = Trs q˙r q˙s 2
dove dove
∂ 2V ∂qr ∂qs 0 X ∂xi ∂xi Trs = mi ∂ q˙r 0 ∂ q˙s 0 i Vrs =
(5.9) (5.10)
Possiamo allora impostare le equazioni di Lagrange ∂L d ∂L − dt ∂ q˙r ∂qr = Trs q¨s + Vrs qs
0 =
Notiamo che si tratta di n equazioni (per r = 1, . . . , n), in generale ciascuna di n variabili (somme sull’indice ripetuto s = 1, . . . , n). Questo sistema di 10
La convenzione di sommare sugli indici ripetuti `e stata introdotta da Einstein.
5.7. PICCOLE OSCILLAZIONI
115
equazioni lineari non `e sempre di facile risoluzione. Possiamo, per`o, semplificare il problema ricorrendo al teorema spettrale.11 Osserviamo quindi che la matrice (Trs ) `e definita positiva e che la matrice (Vrs ) `e simmetrica; possiamo quindi concludere che, attraverso un opportuno cambio di coordinate (che corrisponde a definire delle nuove coordinate generalizzate ρ1 , . . . , ρn come opportune combinazioni lineari delle q1 , . . . , qn ), possiamo ottenere le 0 matrici (Vrs0 ) e (Trs ) in forma diagonale, con evidenti vantaggi: le (5.9) e (5.10) diventano: 1 V = Vrr0 ρ2r 2 1 0 2 ρ˙ r T = Trr 2 E le equazioni del moto saranno allora 0 ρ¨1 + V110 ρ1 = 0 T11 0 T22 ρ¨2 + V220 ρ2 = 0 ... 0 0 Tnn ρ¨n + Vnn ρn = 0
Si tratta ora di un sistema di n equazioni, ciascuna di un’unica variabile.Ognuna di queste equazioni ha una soluzione armonica caratterizzata da una propria ωr e indipendente dalle altre. Abbiamo cio`e trovato, in generale, n modi normali di oscillazione del sistema, che possono avvenire indipendentemente l’uno dall’altro per opportune condizioni iniziali. I modi normali costituiscono dunque una base dello spazio delle soluzioni dell’equazione differenziale iniziale. In definitiva la soluzione del problema per una qualunque configurazione iniziale, `e data da un’opportuna combinazione lineare (“sovrapposizione”) dei modi normali di oscillazione. Un altro approccio computazionale al problema delle piccole oscillazioni Ora che conosciamo il tipo di soluzione che dobbiamo cercare, possiamo affrontare il problema in un modo in qualche modo pi` u “brutale”, tale cio`e da condurre direttamente alla soluzione, a patto di svolgere una talvolta ingente quantit`a di calcoli. Introduciamo intanto delle convenzioni che snelliranno la notazione. Indicheremo con V e T le matrici rispettivamente di entrate Vrs e Trs e con q 11
L’enunciato del teorema spettrale sul campo reale reale `e il seguente: date due matrici simmetriche n x n, una delle quali definita positiva (con tutti gli autovalori positivi), esiste un isomorfismo che le diagonalizza entrambe.
116
CAPITOLO 5. EQUAZIONI DI LAGRANGE - PARTE 1
un modo normale di oscillazione del sistema (cio`e una particolare funzione di q1 , . . . , qn , t). Cerchiamo dunque soluzioni della seguente equazione: T¨ q + Vq = 0
(5.11)
Tuttavia, siamo a conoscenza della forma della soluzione di q(t) = q0 cos(ωt + φ) dove q0 `e una combinazione lineare di q1 , . . . , qn . Essendo quindi ¨ (t) = −ω 2 q0 cos(ωt + φ) = −ω 2 q(t) q La (5.11) diventa dunque (−ω 2 T + V)q = 0
(5.12)
La (5.12) ha soluzione se e solo se det(V − ω 2 T) = 0 Il che ci permette di individuare le pulsazioni ωr per cui questo `e possibile. I modi normali di pulsazione ωk saranno poi una base di ker(V − ωk2 T) Infine, imponendo le 2n condizioni iniziali si possono determinare i coefficienti di ciascuno degli n autovettori q0r e ciascuna delle n fasi φi . Osserviamo per concludere che i q0r di questo paragrafo corrispondono ai ρr dello scorso.12
12
il cambio di notazione `e dovuto a un problema con il programma di elaborazione del testo.
5.7. PICCOLE OSCILLAZIONI
5.7.1
117
Appendice al capitolo Rivisitazione in forma vettoriale delle equazioni
Riportiamo, senza alcun commento, nell’ordine, le equazioni che possono essere contratte per brevit`a in forma vettoriale. Questa notazione `e assai pi` u conveniente, ma il dr. Rutherford ha preferito a suo tempo non usarla. ri = xi yi zi r˙ i =
X ∂ri ∂ri q˙r + ∂qr ∂t r ∂ri ∂ r˙ i = ∂ q˙r ∂qr
T =
1X 1 mi r˙ 2i = [a11 q˙12 + a22 q˙22 + . . . + 2a12 q˙1 q˙2 + . . . + 2a1 q˙1 + . . . + a] 2 i 2 X ∂ri ∂ri X ∂ri ∂ri X ∂ri 2 ars = mi · ar = mi · a= mi ∂q ∂q ∂q ∂t ∂t r s r i i i ∂ 1 2 ∂ri d ∂ 1 2 ¨ri · = r˙ i − r˙ ∂qr dt ∂ q˙r 2 ∂qr 2 i X d ∂T ∂T ∂ri X ∂ri − = mi¨ri · = Fi · dt ∂ q˙r ∂qr ∂qr ∂qr i i Qr δqr =
X i
Fi · δri =
X i
Fi ·
∂ri δqr ∂qr
F · δr = Q1 δq1 + . . . + Qn δqn
118
CAPITOLO 5. EQUAZIONI DI LAGRANGE - PARTE 1
Capitolo 6 Equazioni di Lagrange - parte 2 6.1
Cenni di calcolo delle variazioni
Prima di affrontare l’approccio pi` u teorico che dedicheremo alla derivazione e studio dell’equazione di Lagrange in questo capitolo, `e assai utile farsi un’idea della matematica che supporta le nostre deduzioni (per la maggior parte astratte e di oscuro significato fisico). Alla base di questo nuovo approccio c’`e la necessit`a di minimizzare il valore di una certa quantit`a (l’azione). Di per s`e l’azione `e un funzionale che associa ad un particolare cammino, un particolare scalare: si tratta dunque di un funzionale (vale a dire una funzione che manda lo spazio delle funzioni nel campo degli scalari). La branca della matematica che si occupa di problemi di questo tipo `e il calcolo delle variazioni. Cominciamo col considerare il problema nella sua forma unidimensionale: cerchiamo cio`e una curva y = y(x), definita nell’intervallo [x1 ; x2 ], tale che l’integrale di linea di una certa funzione f (y, y, ˙ x) (con l’ovvio significato y˙ = dy/dx), abbia un estremo. Z x2 J= f (y, y, ˙ x)dx (6.1) x1
deve assumere un valore massimo o minimo. Poniamo il problema in maniera tale da poter usare i metodi usuali del calcolo differenziale per la ricerca dei valori estremi. A questo scopo, possiamo individuare tutte le possibili y(x) mediante un parametro α, in modo che per certi suoi valori (diciamo per α = 0) la curva corrispondente sia un estremale per l’integrale considerato. La quantit`a y sar`a allora funzione sia di x sia del parametro α. Per esempio, si pu`o rappresentare y sotto la forma y(x, α) = y(x, 0) + αη(x) 119
(6.2)
120
CAPITOLO 6. EQUAZIONI DI LAGRANGE - PARTE 2
dove η(x) `e una funzione arbitraria di x che si annulla per x = x1 e per x = x2 . La relazione (6.2) rappresenta soltanto una delle possibili famiglie di curve y. Usando una qualunque rappresentazione parametrica di questo tipo (anche diversa dalla precedente), anche la (6.1) risulta espressione di α Z x2 f (y(x, α), y(x, ˙ α), x)dx J(α) = x1
e la condizione di estremo si riduce a ∂J ∂α
=0 α=0
Applicando le regole di derivazione sotto il segno di integrale, si ottiene Z x2 n ∂J ∂f ∂y ∂f ∂ y˙ o = + dx (6.3) ∂α ∂y ∂α ∂ y˙ ∂α x1 E considerando il secondo di questi integrali " # x2 Z Z x2 Z x2 x2 ∂f ∂y ∂f ∂ y˙ ∂f ∂ 2 y d ∂f ∂y dx = dx = dx − ∂ y˙ ∂α x1 ∂ y˙ ∂α x1 ∂ y˙ ∂x∂α x1 dx ∂ y˙ ∂α x1
Tuttavia, avevamo imposto che tutte le curve variate passassero per i punti (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) e quindi [∂y/∂α]xx21 = 0. Di conseguenza la (6.3) si riduce Z x2 ∂J ∂f d ∂f ∂y = − dx ∂α ∂y dx ∂ y˙ ∂α x1 Per ottenere la condizione di estremo non ci resta che moltiplicare ambo i membri per dα e calcolare le derivate in α = 0 Z x2 n ∂J ∂f d ∂f o ∂y dα = − dαdx ∂α 0 ∂y dx ∂ y˙ ∂α 0 x1 Definiamo ora la variazione di J ∂J ∂α
dα := δJ 0
E analogamente le variazioni di y e y˙ ∂y dα = δy ∂α 0
∂ y˙ ∂α
dα = δ y˙ 0
Qui δy rappresenta una certa variazione di arbitraria di y(x), ottenuta facendo variare il parametro arbitrario α attorno al suo valore zero. Questa
6.2. IL PRINCIPIO DI MINIMA AZIONE
121
variazione corrisponde allo spostamento virtuale precedentemente definito. Poich´e δy `e arbitraria, si ha Z x2 ∂f d ∂f − δydx δJ = ∂y dx ∂ y˙ x1 solo se1
∂f d ∂f − =0 ∂y dx ∂ y˙
(6.4)
Pertanto J ha un estremo solo in corrispondenza a quelle curve y(x) tali che f soddisfi all’equazione differenziale (6.4), che `e molto simile - non a caso all’equazione di Lagrange.
6.2
Il principio di minima azione
Il principio della minima o azione (o di Hamilton) `e un tentativo (ben riuscito, a giudicare anche dai futuri sviluppi in meccanica quantistica) di applicare le leggi dell’ottica (principio di Fermat) alla meccanica. Spendiamo due parole per descrivere in cosa consiste il procedimento che stiamo per portare avanti. Immaginiamo che un sistema di particelle debba muoversi da una data posizione2 iniziale a una data posizione finale, n´e come effettivamente si muoverebbero sotto l’azione delle forze reciproche fra le particelle, e neppure come potrebbero muoversi constistentemente con le leggi della dinamica o le equazioni del moto, ma soltanto in modo tale da non violare i vincoli geometrici e la conservazione dell’energia; supponiamo anche che questo moto, geometricamente plausibile, ma magari impossibile da un punto di vista fisico, sia fatto variare infinitamente poco dal suo particolare svolgersi tra le posizioni iniziali e finali fissate; allora la variazione di quella che chiamiamo azione varier`a infinitamente meno dal suo attuale valore. Tuttavia, attraverso un tale procedimento puramente astratto e apparentemente poco giustificato3 da un punto di vista fisico, possono ricavarsi indipendentemente (con l’aggiunta di qualche considerazione fisica “di base”) le equazione della meccanica. Aggiungiamo, per completezza, che questo non `e l’unico modo di applicare il calcolo variazionale per la deduzione delle leggi del moto dalla definizione 1
Osserviamo che si tratta di una condizione necessaria e non sufficiente! Osserviamo che si tratta di sole posizioni e non si parla ancora di velocit`a. 3 L’obiezione principale che viene in mente ad un tale procedimento `e che tratta una condizione necessaria come anche sufficiente. Tuttavia esistono teoremi che dimostrano l’equivalenza fra il principio di Hamilton e le equazioni di Lagrnage. Qui dimostreremo soltanto una delle due proposizioni: che dal principio di Hamilton discendono le equazioni di Lagrange. 2
122
CAPITOLO 6. EQUAZIONI DI LAGRANGE - PARTE 2
di un’“azione”; nella formulazione hamiltoniana si lasciano variare anche le posizioni estreme del sistema, senza irrigidire troppo le condizioni. Possiamo ora passare a definire formalmente l’azione e il principio di minimo. L’azione relativa a un cammino `e il valore del seguente integrale Z
t2
L(q, q, ˙ t)dt
S= t1
dove q indica la posizione nello spazio di tutte le particelle del sistema. E il principio di minima azione afferma che il moto del sistema fra le configurazioni estreme q1 e q2 (raggiunte rispettivamente agli istanti t1 e t2 ) `e tale da rendere estremo il valore di S. Per quanto discusso nel precedente paragrafo si ottiene, facendo variare i cammini q(t) in q(t) + δq(t) (dove δq(t1 ) = δq(t2 ) = 0) Z
t2
Z
t2
L(q + δq, q˙ + δ q, ˙ t)dt −
0 = δS = t1
Z = δ Z =
L(q, q, ˙ t)dt t1
t2
L(q, q, ˙ t)dt t1 t2
∂L ∂L δq + δ q˙ dt ∂q ∂ q˙ t1 " #t2 Z t2 ∂L d ∂L ∂L = δq + − δq ∂ q˙ ∂q dt ∂ q˙ t1 t1
da cui, ricordando che quanto ricavato finora deve valere per ogni qr , per l’arbitrariet`a e l’indipendenza dei δqr (i vincoli sono olonomi ), si ricava d ∂L ∂L − =0 dt ∂ q˙r ∂qr
r = 1, . . . , n
dove n sono il numero di gradi di libert`a del sistema. Attraverso questo sistema di n equazioni in n incognite, una volta nota la lagrangiana de sistema, `e possibile ricavare le equazioni del moto. Concludiamo mostrando che due funzioni L(q, q, ˙ t) e L0 (q, q, ˙ t) che differiscono per una derivata totale rispetto al tempo di una funzione delle coordinate e del tempo, sono equivalenti dal punto di vista del principio di minima azione. d L0 (q, q, ˙ t) = L(q, q, ˙ t) + f (q, t) dt
` DI GALILEI123 6.3. SISTEMI INERZIALI E PRINCIPIO DI RELATIVITA S
0
Z
t2
Z
0
t2
t1 (2)
t2
L(q, q, ˙ t)dt +
L (q, q, ˙ t)dt =
=
Z
t1 (1)
t1
df dt dt
= S + f (q , t2 ) − f (q , t1 )
cio`e differiscono per un termine supplementare che si annulla quando varia l’azione. Dunque la condizione δS 0 = 0 coincide con la condizione δS = 0, e la forma delle equazioni del moto resta immutata. La funzione di Lagrange `e determinata quindi a mendo di una derivata totale additiva rispetto al tempo di una funzione qualsiasi delle coordinate e del tempo.
6.3
Sistemi inerziali e principio di relativit` a di Galilei
L’argomento di questa sezione `e di carattere molto astratto, ma di grande fascino. Dedurremo, infatti, a partire da principi puramente astratti (quali principio di relativit`a, omogeneit`a e isotropia di tempo e spazio) alcune fondamentali leggi fisiche e la forma della formula di Lagrange. Uno dei primi problemi che vanno affrontati e da cui non si pu`o prescindere nella risoluzione di un problema fisico, `e la scelta del sistema di riferimento rispetto cui impostare le equazioni che descrivono il sistema. In generale, rispetto ad un sistema di riferimento qualsiasi, lo spazio non n´e isotropo n´e omogeneo; e anche il tempo pu`o non essere a sua volta omogeneo. Per esempio, nel sistema di riferimento di una piattaforma rotante, eseguire un qualche esperimento vicini o lontani dal suo centro di rotazione `e cosa ben diversa (non omogeneit`a dello spazio); inoltre, se ad esempio la velocit`a angolare della piattaforma sta accelerando, non `e neppure indifferente eseguire l’esperimento in due istanti diversi (non omogeneit`a del tempo). Infine, sempre restando nel sistema della piattaforma rotante, lanciare una palla verso il centro di rotazione della piattaforma stessa o verso la sua periferia, dar`a risultati ancora diversi (anisotropia dello spazio). Sar`a, di conseguenza, difficile, trovare delle leggi generali in un sistema di riferimento qualunque, o, anche se riuscissimo a trovarle, esse sarebbero arbitrariamente complicate. L’esperienza, per`o, dimostra che esiste un sistema, o meglio, un “fascio” di sistemi di riferimento in qualche modo privilegiato. In uno di questo sistemi di riferimento lo spazio ci apparir`a isotropo e omogeneo e il tempo omogeneo; un tale sistema di riferimento `e detto inerziale. In particolare, un corpo libero (non soggetto a forze esterne) che ad un dato istante si trova in stato
124
CAPITOLO 6. EQUAZIONI DI LAGRANGE - PARTE 2
di quiete, vi rester`a periodo di tempo illimitato. Semplici considerazione come queste, ci permettono di decifrare passo passo la struttura della funzione di Lagrange. Consideriamo un sistema di riferimento inerziale e in esso una particella libera. Per l’ipotesi di omogeneit`a dello spazio e del tempo, la funzione di Lagrange non pu`o contenere esplicitamente n´e la posizione r della particella, n´e il tempo t. Ne risulta che L `e funzione solo di v. Tuttavia, in virt` u l’isotropia dello spazio, la funzione di Lagrange non pu`o dipendere dalla direzione del moto della particella, quindi pu`o essere funzione solo del modulo della sua velocit`a, cio`e di v 2 . Siamo, quindi, giunti al seguente fondamentale risultato L = L(v 2 ) per una particella libera in un sistema di riferimento inerziale. Essendo ∂L/∂r = 0, l’equazione di Lagrange ci impone anche d ∂L =0 dt ∂v da cui ∂L/∂v costante. Essendo 0 = ∂L/∂t = (∂L/∂v)(∂v/∂t), segue anche che v = costante Arriviamo cos`ı alla conclusione che il moto di una particella libera in un sistema di riferimento inerziale `e rettilineo uniforme. Questa asserzione costituisce la cosiddetta legge d’inerzia. Se accanto a un sistema inerziale introduciamo un altro sistema, che si muove rispetto al primo di moto rettilineo uniforme, le leggi del moto libero saranno evidentemente le stesse che rispetto al sistema originario: il moto libero sar`a ancora un sistema a velocit`a costante. Tuttavia, l’esperienza mostra non solo che le leggi del moto libero coincidono in questi due sistemi, ma che essi sono del tutto meccanicamente equivalenti. Esiste quindi non uno, ma una molteplicit`a di sistemi di riferimento, reciprocamente in moto rettilineo uniforme. In tutti questi sistemi le propriet`a dello spazio e del tempo sono identiche, come pure sono identiche tutte le leggi della meccanica. Questa asserzione costituisce il principio di relativit`a di Galilei, uno dei principi fondamentali della meccanica. La completa equivalenza meccanica di tutta l’infinit`a di questi sistemi dimostra, al tempo stesso, che non esiste un sistema di riferimento “assoluto” che possa essere preferito agli altri. Le coordinate r e r0 di uno stesso punto date in due sistemi di riferimento
6.4. TEOREMA DEL VIRIALE
125
differenti K e K 0 , dei quali il secondo si muove con velocit`a V rispetto al primo, sono legate dalla relazione r = r0 + Vt
(6.5)
in cui si sottintende che il trascorrere del tempo avvenga in modo identico nei due sistemi t = t0 (6.6) L’ipotesi di un tempo assoluto sta alla base stessa dei concetti della meccanica classica (si veda, a tal proposito, il prossimo capitolo). Le formule (6.5) e (6.6) sono dette trasformazioni di Galileo. Il principio di relativit`a galileiano pu`o essere formulato come requisito di invarianza de`oo`e equazioni del moto della meccanica rispetto a queste equazioni. Proseguendo in modo analogo a quanto fatto in questa sezione4 , si possono ricavare i seguenti risultati: (a) dal principio di relativit`a di Galilei si pu`o dedurre la forma esplicita della formula di Lagrange per una particella isolata in un sistema di riferimento inerziale; (b) dall’omogeneit`a del tempo la legge di conservazione dell’energia; (c) dall’omogeneit`a dello spazio la legge di conservazione della quantit`a di moto; (d) dall’isotropia dello spazio la legge di conservazione del momento angolare. I teoremi (a) - (c) sono dedotti per sistemi isolati di particelle interagenti fra loro e sono formulazioni particolari di un celebre teorema dovuto a Emmy Noether, matematica tedesca vissuta a cavallo del XIX e del XX secolo. Albert Einstein lo defin`ı “un monumento del pensiero umano”.
6.4
Teorema del viriale
Nel caso di forze centrali, si pu`o ricavare un’altra interessante propriet`a del moto che lega i valori medi delle energie, cinetica e potenziale. Si consideri a tale scopo un sistema costituito da punti materiali, individuati da vettori di posizione ri e soggetti a forze Fi (reazioni vincolari incluse). Si consideri la grandezza X G= pi · ri (6.7) i
ˇ Tratta in gran parte dal capitolo primo de LANDAU, LIFSIT, Meccanica, dove si trova anche la sua naturale continuazione. 4
126
CAPITOLO 6. EQUAZIONI DI LAGRANGE - PARTE 2
Dove la sommatoria va estesa a tutte le particelle del sistema. Deriviamo ora la (6.7) rispetto al tempo X X dG = p˙ i · ri + pi · r˙ i dt i i X X = Fi · ri + mi r˙ i · r˙ i i
=
X
i
Fi · ri + 2 T
i
Integriamo la precedente nel tempo fra t = 0 e t = τ e dividiamo membro a membro per τ , in modo da ottenere i valori medi delle grandezze X 1 [G(τ ) − G(0)] = 2hT i + h Fi · ri i (6.8) τ i Osserviamo che se il moto (ri ) e le quantit`a di moto (∂L/∂ r˙ i ) sono limitate (si dice in questo caso che il moto `e limitato), allora si pu`o maggiorare il valore di G e, per un tempo τ sufficientemente elevato, si pu`o rendere il termine di sinistra dell’uguaglianza (6.8) piccolo a piacere. Possiamo dunque scrivere X 2hT i = −h Fi · ri i (6.9) i
L’espressione (6.9) `e nota sotto il nome di teorema del viriale e il secondo membro dell’uguaglianza `e chiamato viriale di Clausius. In questa forma il teorema `e molto utile nella teoria cinetica dei gas: con qualche passaggio si pu`o dimostrare, infatti, la legge di Boyle per i gas perfetti (noto che la temperatura in Kelvin `e una misura dell’energia cinetica media - primo membro - e moltiplicando e dividendo il secondo membro per la superficie S del contenitore supposto ad esempio sferico5 , il risultato `e immediato). Il teorema `e poi praticamente indispensabile per ricavare l’equazione di stato dei gas reali, dove le forze Fi rappresentano non solo le forze vincolari che mantengono le particelle di gas all’interno del contenitore, ma anche le forze di interazione fra le particelle stesse. Consideriamo ora un caso particolare di grande interesse. Se le forze derivano da un potenziale, allora il teorema (6.9) prende la forma X 2hT i = h ∇V · ri i i 5
Perch´e il risultato non dipenda dalla geometria del contenitore, bisogna considerare localmente dei pezzi piccoli di superficie orientata δS.
6.4. TEOREMA DEL VIRIALE
127
Ora, se V = αrn+1 , si ha6 2hT i = (n + 1)hV i Questo risultato, nel caso di forze gravitazionali d`a 2hT i = −hV i. Da quest’ultima equazione si pu`o ricavare (con davvero pochi dati) una stima abbastanza attendibile della temperatura media del sole. Consideriamo il Sole (di massa MS e raggio RS ) una stella omogenea, in modo da poter affermare che la sua energia gravitazionale propria Up sia7 Up = −
3GMS2 5RS
L’energia cinetica media di un singolo atomo della stella `e proporzionale8 alla temperatura assoluta T secondo la legge T i = 32 kT ; e sommando su tutte le N particelle che compongono la stella, si ha per una qualche temperatura media Tm 3 T = N kTm 2 Allora per il teorema del viriale si trova 3GMS2 3 2 · N kTm ≈ 2 5RS Da cui si ricava
GMS2 GMS µ = 5RS N k 5RS k dove µ = MS /N `e la massa media delle particelle che compongono la stella. La maggior parte degli atomi delle stelle sono atomi di idrogeno o di elio. Possiamo dunque stimare µ ≈ 2mp+ e ottenere sostituendo i valori M = 2 · 1027 kg, MS = 2 · 1030 kg, k = 1.38 · 10−9 J K−1 e RS = 7 · 108 m Tm ≈
T ≈ 107 K 6 7
e quindi F ∝ rn Questo semplice risultato si ottiene scrivendo dV (r) =
3 2 G( 4π Gmint dm 3 ρr )(4πρr dr) = r r
e, integrando da 0 a RS e ricordando che MS = ρ(4π/3)RS3 , si ottiene il risultato cercato. 8 Questo noto risultato, di cui non riportiamo la dimostrazione, non `e in realt`a sempre valido in condizioni di alta densit` a, a causa di effetti quantistici; tuttavia esso d`a risultati soddisfacenti nelle condizioni che prevalentemente si verificano nella maggior parte delle stelle calde.
128
CAPITOLO 6. EQUAZIONI DI LAGRANGE - PARTE 2
Il risultato ottenuto andrebbe corretto in vari modi, innanzitutto tenendo conto che µ `e discretamente minore di quella sopra stimata, perch´e a una tale temperatura gli atomi si ionizzano e di conseguenza vi `e una grande presenza di elettroni liberi all’interno del Sole (in questo caso la temperatura si ridurrebbe di un fattore 2 o 3 rispetto al valore calcolato). Risultati ottenuti con tecniche assai sofisticate mostrano che il risultato da noi ottenuto coincida con buona approssimazione alla temperatura interna della stella, mentre quella superficiale sarebbe assai pi` u bassa (da calcoli relativi al flusso di radiazione emesso dal Sole - spettro di emissione del corpo nero - si ricava che la temperatura superficiale `e poco inferiore ai 104 K ). Ad ogni modo va tenuto conto, come gi`a osservato all’inizio, che il teorema del viriale, ci ha fornito una stima di discreta accuratezza, usando assai poca teoria e ancor meno risultati sperimentali.
Capitolo 7 Relativit` a speciale 7.1
Introduzione
Verso la fine del XIX secolo era opinione diffusa aver raggiunto, o quasi, una conoscenza completa della natura fisica del mondo: la meccanica newtoniana e l’elettromagnetismo sembravano esaurire tutti i fenomeni allora conosciuti. La rottura di questa torre di avorio avvenne in due direzioni. La prima condusse alla formulazione della Teoria della Relativit`a, la seconda a quella della Meccanica Quantistica. Malgrado la meccanica newtoniana e l’elettromagnetismo fossero in grado di ottenere eccellenti risultati per cos`ı dire indipendenti, non erano conciliabili fra loro, nel senso che le equazioni di Maxwell non risultavano invarianti per le trasformazioni galileiane. In poche parole, le leggi dell’elettromagnetismo sembravano essere diverse per due osservatori inerziali distinti. Era evidente che vi fosse un baco in una delle due teorie. Lorentz osserv`o che le equazioni di Maxwell, pur non essendo invarianti per trasformazioni galileiane, lo erano per una loro “variante”, oggi nota come trasformazioni di Lorentz:1 0 x = √ x−vt2 2 1−v /c y0 = y 0 z = z t−vx/c2 0 √ t = 2 2 1−v /c
1
Il formalismo con cui sono scritte le trasformazioni di Lorentz `e il medesimo di quello con cui si scrivono le trasformazioni di Galileo. Inoltre il simbolo c sta ad indicare la velocit` a con cui si propaga la luce nel vuoto. Ad ogni modo su queste relazioni torneremo ampiamente nel seguito.
129
` SPECIALE CAPITOLO 7. RELATIVITA
130
All’epoca ad andare per la maggiore era l’idea di dover correggere, o comunque comprendere pi` u a fondo, l’elettromagnetismo, in modo da renderlo concorde alla meccanica newtoniana (che aveva reso ottimi servigi e risultati per oltre due secoli). Fu cos`ı che si ipotizz`o l’esistenza di un etere “fisso”, nel quale la luce si propagava come un onda, come suono nell’aria. Il celebre esperimento di Michelson-Morley,2 anzich´e confermare tale teoria, a dispetto di tutti, la confut`o: non vi era nessun etere in cui la luce si propagasse; essa, invece, si muove con la medesima velocit`a rispetto a un qualunque osservatore, sia che le viaggi “incontro”, sia che “scappi” da lei. Risult`o, cos`ı, evidente che le leggi che governano la propagazione della luce, e dei fenomeni elettromagnetici in generale, non sono affatto iscrivibili in un contesto newtoniano. Da questi presupposti Einstein svilupp`o la Teoria della Relativit`a Speciale3 (1905), la cui bellezza risiede in particolar modo nell’eleganza dei ragionamenti puri attraverso cui pu`o essere dedotta.
7.2
I postulati
La Teoria della Relativit`a Speciale (d’ora in poi TRS) si fonda sui seguenti due postulati:4 • N.1 La velocit`a della luce `e la stessa per ogni osservatore (c). • N.2 Le leggi fisiche sono le stesse in ogni sistema di riferimento inerziale. Il primo di questi due postulati deriva direttamente dalle evidenze sperimentali descritte nel paragrafo precedente (o comunque dalla teoria dell’elettromagnetismo5 ). Il secondo postulato, invece, `e di carattere assai pi` u astratto, e non costituiva certo una novit`a nella fisica del tempo; ci`o che fu rivoluzionario ed estremamente elegante fu il modo con cui questo postulato fu 2
L’esperimento consisteva, per mezzo di un interferometro, nel misurare la differenza di fase tra due raggi di luce identici aventi compiuto cammini perpendicolari tra loro rispetto ad un sistema di riferimento in moto, quale era la Terra stessa. L’esperimento fu ripetuto e affinato diverse volte, senza mai ottenere alcuna prova circa l’esistenza di un etere. 3 Si parla di Teoria della Relativit`a Speciale, o Ristretta, per non confonderla con la Teoria della Relativit` a Generale, che `e assai pi` u complicata e comprende anche - e soprattutto - l’effetto di fenomeni gravitazionali sulla geometria stesso dello spazio-tempo. 4 Come `e ovvio, questi due postulati da soli non sono sufficienti a sviluppare una teoria fisica completa: si utilizzer` a l’omogeneit`a dello spazio-tempo, la sua isotropia e cos`ı via. Ad ogni modo, abbiamo voluto evidenziare in particolare questi due assiomi, su tutti gli altri, perch´e costituiscono la vera spina dorsale della TRS. 5 Nel senso che se si ritiene che essa sia corretta, allora le leggi di trasformazione sono quelle di Lorentz, per le quali la velocit`a della luce `e invariante.
7.3. SPAZIO-TEMPO
131
utilizzato. Vediamo ora alcuni modi di ragionare che possano condurci, a partire da questi postulati, a una riformulazione delle leggi della fisica.6
7.3
Spazio-tempo
Riportiamo, anzitutto, ancora una volta le trasformazioni di Lorentz (TL): 0 x = √ x−vt2 2 1−v /c y0 = y (7.1) 0 z = z 2 t0 = √t−vx/c 2 2 1−v /c
Analizziamone ora in dettaglio il contenuto. Consideriamo per prime la seconda e la terza equazione, che riguardano le due direzioni spaziali ortogonali a quella del moto, che avviene lungo l’asse delle x. Non vi `e alcuna contrazione o dilatazione; si pu`o facilmente mostrare che non potrebbe essere altrimenti. Immaginiamo due sbarre A e B di lunghezza unitaria (se confrontate in un medesimo sistema di riferimento), reciprocamente in moto rettilineo uniforme in direzione perpendicolare alla loro lunghezza. Diciamo che all’istante zero esse passano l’una accanto all’altra in modo tale che uno degli estremi di A coincida con un estremo degli estremi di B. Cosa possiamo dire dell’altro estremo? Supponiamo di essere nel riferimento di A: quando B ci passa accanto, possiamo segnare con una tacca sulla nostra sbarra la lunghezza dell’altra in movimento, e supponiamo per assurdo che questa risulti, ad esempio, pi` u corta. Ora, per`o, per il principio di relativit`a, lo stesso farebbe un osservatore nel sistema di riferimento di B: da cui l’assurdo. Osserviamo, per`o, che `e stato fondamentale nel nostro ragionare sulle lunghezze trasverse al moto, poter affermare che all’istante t = 0 i due osservatori, A e B, hanno compiuto la misura: le due misure sono cio`e due eventi che avvengono nello stesso istante (e nello stesso luogo) secondo entrambi gli osservatori. Questo fatto, all’apparenza banale, `e di cruciale importanza in relativit`a. Come noto, e come mostra la prima delle equazioni (7.1), lo stesso non si 6
Purtroppo lo spazio qui presente non ci `e sufficiente per mostrare un risultato assai interessante: a partire da isotropia e omogeneit`a dello spazio-tempo si pu`o dimostrare che le trasformazioni galileiane e quelle lorentziane sono le uniche fisicamente possibili a rispettare il principio di relativit` a: le prime nel caso non esista una velocit`a limite, le seconde in quello in cui esista una velocit`a limite c. La dimostrazione di questo fatto di grande importanza concettuale, pu` o essere reperita nel breve e chiaro articolo Nothing but Relativity, Palash B. Pal, Saha Institute of Nuclear Physics, Calcutta, India.
` SPECIALE CAPITOLO 7. RELATIVITA
132
pu`o infatti dire per la lunghezza della sbarra lungo l’asse del moto. O pi` u precisamente, una sbarra di lunghezza propria (cio`e se misurata nel sistema di riferimento in cui essa `e a riposo) pari a L = 1 e in movimento rispetto al sistema di riferimento di un dato osservatore, apparir`a a questo osservatore tanto pi` u accorciata quanto pi` u veloce `e il moto della sbarra stessa. Prima di passare a una dimostrazione esplicita e quantitativa di questo fatto, osserviamo che non potremmo - ovviamente - ripetere il ragionamento di cui sopra per le direzioni trasverse, perch´e in questo caso non vi `e simultaneit`a di tempo fra le due misure o, almeno, i due osservatori non saranno mai d’accordo sulla loro simultaneit`a, come stiamo per dimostrare. Passiamo ora al calcolo esplicito, che dovrebbe essere chiarificatore. Indichiamo con un apice il sistema della sbarra, che si trova in moto rispetto al nostro. Supponiamo inoltre che si aver scelto l’origine dei tempi e dello spazio in modo tale che un estremo della sbarra coincida con l’origine del sistema di riferimento di S 0 e che le origini dei sistemi di S e di S 0 coincidano a t = t0 = 0. Cos`ı, a t0 = 0l’osservatore S 0 misura la sbarra e le assegna lunghezza L, essendo quella a riposo rispetto a lui. Ma che cosa ha visto, intanto, l’osservatore S? Per facilitarci il compito di rispondere a questa domanda scriviamo le TL inverse (non serve fare calcoli, basta osservare che S, rispetto ad S 0 si muove con velocit`a −v) 0 0 x = √x +vt2 2 1−v /c t0 +vx0 /c2
t = √
1−v 2 /c2
Anche secondo S le origini coincidevano a t = 0, infatti x(0, 0) = 0 e t(0, 0) = 0; ma la misura dell’altro estremo `e avvenuta, sempre secondo S, non a t = 0, 2 bens`ı a t(L, 0) = √vL/c2 2 : S, cio`e, non concorda sulla contemporaneit`a fra 1−v /c
le due misure! Se fosse S stesso, invece, a compiere la misura, farebbe in modo che t = 0. Dunque, ponendo t = 0, troviamo t0 = −vx0 /c2 ; risultato che possiamo, quindi, sostituire nella prima delle due equazioni e trovare p x0 − v 2 x0 /c2 x= p = x0 1 − v 2 /c2 1 − v 2 /c2 Ma la misura della sbarra eseguita da S 0 d`a x0 = L e quindi p L0 = L 1 − v 2 /c2 < L Si potrebbe procedere in modo analogo per quanto riguarda gli intervalli di tempo, ma `e pi` u istruttivo considerare un esperimento differente. Il modo pi` u semplice, e per noi in assoluto pi` u funzionale, di costruire un
7.3. SPAZIO-TEMPO
133
orologio `e il seguente: prendiamo due specchi paralleli posti a una certa distanza e consideriamo un fotone che “rimbalzi” fra questi due e chiamiamo secondo il tempo che trascorre fra due urti successivi del fotone con gli specchi. Possiamo costruire senza difficolt`a due orologi di questo tipo identici e sincronizzati (e comunque tarare su uno di questi un qualsiasi tipo di orologio, sia esso a molla a sabbia ecc.: ed `e questa la cosa pi` u sorprendente che emerger`a dai risultati: non importa come si comporti un orologio, esso - per il principio di relativit`a - sar`a costretto a battere il tempo come l’orologio “a luce” che stiamo per descrivere). Ora muniti di due orologi cos`ı fatti e sincroni, li mettiamo uno in movimento rispetto all’altro in direzione ortogonale a quella della distanza che separa i due specchi (per intendersi, il fotone va su e gi` u, lo specchio si muove da sinistra verso destra). Cosa notano i due osservatori? L’orologio di S 0 non ha ovviamente per S 0 stesso alcuna “anomalia”: esso batte normalmente i secondi in modo ordinario. Tuttavia quello che vede S `e che il fotone di S 0 si muove in “diagonale” e deve dunque percorrere tra un urto e l’altro un cammino pi` u lungo di quello del proprio orologio. Poich´e la distanza tra gli specchi, essendo ortogonale rispetto alla direzione del moto, `e invariata per il principio di relativit`a e poich´e la velocit`a della luce `e la medesima in ogni sistema di riferimento, ci`o che risulta da questo esperimento `e che il tempo di S 0 appare ad S dilatato: se i fotoni di S e di S 0 partono assieme all’istante t = t0 = 0, l’orologio di S segner`a il primo secondo, prima di quanto non lo segni l’orologio di S 0 . Quantitativamente, si trova che la velocit`a trasversa (quella che determina la scansione del tempo) √ del fotone di S 0 `e pari a c2 − v 2 (semplicemente per il teorema di Pitagora); la distanza tra gli specchi resta c · 1 sec, e, dunque, si ha ∆t0 = 1 sec √
c2
c 1 sec =p > 1 sec 2 −v 1 − v 2 /c2
Un esempio classico - e prova sperimentale di tutto questo - che usualmente si riporta, `e quello dei mesoni µ che, generati dall’impatto dei raggi cosmici con l’alta atmosfera, giungono fino alla superficie terrestre. La prova consiste nel fatto che la vita media di un mesone `e assai breve, tanto breve (dell’ordine di 2 · 10−6 s) da non giustificare secondo la meccanica classica il fatto che questi percorrano pi` u di 600 m, anche supponendo che viaggino pressoch´e alla velocit`a della luce. Tuttavia, essi percorrono oltre 10 km nell’atmosfera prima che noi li possiamo rilevare. Questo `e possibile, perch´e, viaggiando a velocit`a relativistiche, il loro tempo scorre sensibilmente pi` u lentamente rispetto al nostro; altrimenti, stavolta dal loro punto di vista, perch´e lo spazio che li separa dalla superficie terrestre appare loro di molto contratto. Questi due fenomeni, a loro modo simmetrici, rendono conto delle osservazioni e dei dati sperimentali relativi ai muoni (mesoni µ), nonch´e forniscono una prova
134
` SPECIALE CAPITOLO 7. RELATIVITA
della validit`a dei risultati finora ottenuti grazie alla TRS. Dai ragionamenti fino a qui condotti risulta oramai evidente che non ci sia pi` u alcun significato nel concetto di simultaneit`a in luoghi diversi, n´e quello di uno spazio indipendente da un tempo assoluto. Le trasformazioni di Lorentz, infatti, mescolano coordinate spaziali e temporali, proprio come una rotazione ordinaria nello spazio mescola le tre coordinate x, y, z. Inoltre, proprio come il modulo di un vettore non varia prima o dopo una rotazione degli assi spaziali, cos`ı vi `e una grandezza invariante per TL; la metrica, tuttavia, non `e quella euclidea, ma `e quella cosiddetta di Minkowski, di segnatura σ = (3, 1, 0): la separazione fra un evento nello spazio-tempo quadridimensionale dall’origine del riferimento `e data da s2 = x2 + y 2 + z 2 − c2 t2 Ma allora, se lo spazio e il tempo non sono pi` u due entit`a distinte, ma solo due facce di uno stesso unicum, perch´e continuare a misurare intervalli spaziali e temporali con unit`a di misure differenti? Vi `e una scelta del tutto naturale per quanto riguarda il fattore di conversione fra un’unit`a di misura e l’altra: la velocit`a della luce. Misureremo, cio`e, lo spazio in secondi (1 unit`a spaziale `e pari all’intervallo percorso dalla luce in un secondo) o il tempo in metri (1 unit`a temporale sar`a allora pari all’intervallo di tempo necessario alla luce a percorrere un metro). Questa scelta equivale, computazionalmente, a porre c = 1. Inoltre, cos`ı come la velocit`a della luce non sar`a altro che un fattore di conversione numerico e adimensionale, cos`ı tutte le velocit`a non sarebbero altro che delle “tangenti”, dei “coefficienti angolari” (in un certo senso delle direzioni ) - adimensionali - nello spazio-tempo.7 Riscriviamo, quindi, le trasformazioni di Lorentz alla luce di queste osservazioni 0 x = √x−vt 1−v 2 0 y = y (7.2) 0 z = z 0 t = √t−vx 1−v 2 Ne risulta una sorprendente simmetria fra le equazioni di x0 e t0 , finora celata dai fattori c; questo a riprova del fatto che spazio e tempo sono un tutt’uno inseparabile. D’ora in poi adotteremo la convenzione di porre c = 1. In ogni momento, 7
L’analogia nasce dalla definizione di velocit`a: v = dx/dt che, dal nostro nuovo punto di vista, non `e molto diverso da scrivere dy/dx. Non dimentichiamo, per`o, che la coordinata temporale non `e in tutto e per tutto uguale alle altre, come lo dimostra la sua segnatura; altrimenti ci saremmo accorti prima dell’interdipendenza fra spazio e tempo! Una definizione che si d` a in questo senso `e quella di rapidit`a, definita come φ = arctanh(v/c).
7.3. SPAZIO-TEMPO
135
per`o, si possono aggiungere dei coefficienti del tipo cα (con α ∈ Z) per riportare la coerenza dimensionale usuale.
7.3.1
Dilatazione del tempo e contrazione dello spazio Un altro modo di ricavare le equazioni
Mostriamo ora un altro modo di ragionare nel ricavare le equazioni della dilatazione del tempo e della contrazione dello spazio. Il metodo che seguiremo `e ispirato all’esperienza di Michelson-Morley. Consideriamo una sorgente di fotoni diretta lungo l’asse delle x; dopo un tratto di lunghezza L1 poniamo uno specchio semiriflettente inclinato di 45¡, cosicch´e met`a del fascio di luce procede lungo la direzione di emissione e met`a viene deviato in una direzione ortogonale a questa. Si formano cos`ı due fasci ortogonali e in fase. Ciascuno di questi due fasci sia intercettato dopo un tratto di lunghezza L da uno specchio, che rifletta il fascio in verso opposto a quello di arrivo. I due fasci possono, dunque, essere ricollimati e raccolti una volta che sono stati di nuovo riflessi dallo specchio semiriflettente. Per chiarezza diamo dei nomi: chiamiamo A la sorgente del fascio, S lo specchio semiriflettente, Rx e Ry gli altri due specchi, e B i fasci nuovamente collimati. Questo `e l’apparato necessario per compiere l’esperienza di M.-M. Se noi facciamo funzionare “da fermo” l’apparato appena descritto, troviamo che i fasci che si reincontrano in B sono in fase: ogni singolo fotone ha percorso la medesima lunghezza tra A e B, qualunque sia il percorso che ha seguito una volt intercettato S. Per il principio di relativit`a, che pu`o anche essere formulato affermando che non vi `e esperienza che possa stabilire se si `e o meno “in moto”,8 anche se poniamo l’apparato in movimento con velocit`a v in direzione +x, non possiamo che osservare lo stesso fenomeno. Analizziamo, per`o, i percorsi compiuti dai due fotoni, diciamo γx e γy , dopo la loro separazione. Il fotone γy si comporta proprio come il fotone dell’orologio che abbiamo descritto in precedenza: per lui possiamo scrivere (con la convenzione c = 1) (ty /2)2 = L2 + (vty )2 dove ty `e il tempo necessario al fotone per andare e tornare a S. Ricaviamo, allora 2L (7.3) ty = √ 1 − v2 8
Michelson e Morley volevano verificare proprio un presunto moto rispetto a un presunto etere, in cui la luce si propagava come le onde sonore in un mezzo. L’esperienza non ha, infatti, fornito alcun risultato positivo che confermasse le loro ipotesi.
136
` SPECIALE CAPITOLO 7. RELATIVITA
Osserviamo che siamo certi che la distanza SRy = L, questo ancora una volta per il principio di relativit`a, come gi`a dimostrato in precedenza. Per quanto riguarda la lunghezza che separa S e Rx , la indichiamo con Lx : qui il principio di relativit`a da solo non ci aiuta a decidere se effettivamente la lunghezza rimanga o meno. Ad ogni modo il fotone γx percorre tra S e Rx un tratto pi` u lungo di Lx : lo specchio sta per cos`ı dire “scappando” da lui; dunque tx1 = Lx + vtx1 Al contrario, nel tratto di ritorno da Rx a S si ha tx2 = Lx − vtx2 Infine per il tempo totale, svolgendo i calcoli, si trova tx = tx1 + tx2 =
2Lx 1 − v2
(7.4)
Poich´e una differenza nei tempi comporterebbe fenomeni di interferenza (quelli cercati da Michelson e Merloy), dal momento che i fasci di fotoni finirebbero con l’essere fuori fase, e poich´e da questo fenomeno si potrebbe stabilire se ci si trova o meno “in moto”, dobbiamo concludere per salvaguardare il principio di relativit`a che tx = ty (7.5) Cosa abbiamo ottenuto? L’equazione (7.3) ci dice che il tempo dell’apparato in moto si `e dilatato di un fattore (1−v 2 )−1/2 , poich´e se esso fosse stato fermo avremmo trovato ty = 2L (che `e giustamente il risultato che si ottiene per v = 0). Confrontando ora le (7.3), (7.4) e (7.5) troviamo immediatamente che le lunghezze nella direzione del moto si contraggono di un fattore (1 − v 2 )1/2 √ Lx = L 1 − v 2 Questo modo di ottenere le formule per la dilatazione del tempo e la contrazione dello spazio, equivalente al precedente, ma assai pi` u elegante e concettuale, fornisce un ottimo esempio di ragionamenti in campo relativistico, basati spesso pi` u sull’utilizzo di pochi concetti fondamentali, piuttosto che sull’impostazione di complicati sistemi di equazioni; ad esempio quest’ultimo approccio ci ha permesso di non utilizzare mai le trasformazioni di Lorentz e di vedere con occhio pi` u fisico, quello che prima sembrava soltanto astrazione matematica.
7.4. QUADRIVETTORI E SCALARI UNIVERSO
7.4
137
Quadrivettori e scalari universo
Siamo abituati a scrivere le leggi della fisica in forma invariante per rotazioni spaziali; infatti, ogni legge fisica `e del tipo a=b dove a e b sono scalari, oppure r=s dove r e s sono vettori, o in generale T =U dove T e U sono tensori dello stesso ordine. Da un punto di vista astratto siamo certi dell’invarianza delle leggi della fisica per rotazioni (se scritte in una delle forme precedenti), poich´e le entit`a che matematiche che stiamo utilizzando (scalari, vettori tensori) sono oggetti matematici astratti, indipendenti dalla base (sistema di riferimento) in cui decidiamo di scriverli: un matematico, prima definisce in modo intrinseco un vettore e uno spazio vettoriale; d`a poi una definizione di base dello spazio stesso e solo a questo punto deriva dalle precedenti definizioni le regole di cambiamento di base. Spesso, per`o, il fisico deve lavorare al contrario: ha un oggetto matematico e sa come trasforma per cambiamenti di base. Egli dedurr`a allora, per esempio, che `e un vettore soltanto se quell’oggetto segue le regole di cambiamento di base di un vettore. Abbiamo visto nel paragrafo precedente, che il vettore posizione nello spazio r = (x, y, z) non ha pi` u significato in relativit`a. Ad esempio un uguaglianza come la seguente ||r1 − r2 || = d, che esprime la distanza fra due punti, non `e invariante per variazioni di sistema di riferimento, cio`e per TL. In meccanica classica, al contrario, saremmo certi che lo sarebbe, perch´e si tratta di un uguaglianza fra scalari: il modulo di un vettore non varia, cambiando il riferimento. Come risolvere, allora, a questo problema? In relativit`a, come abbiamo gi`a osservato, si ha a che fare con uno spaziotempo quadridimensionale e la prova di questo fatto `e che nelle TL si mescolano componenti spaziali e temporali. Per questo un “normale” vettore di uno spazio tridimensionale non pu`o trasformare bene rispetto alle TL: esso non vive nello spazio giusto! Abbiamo, dunque, bisogno di uno spazio vettoriale quadridimensionale in cui poter lavorare correttamente. Questo spazio `e lo spazio-tempo di Minkowski. La sua metrica, per`o, non `e euclidea, ma ha segnatura σ = (3, 1, 0) con indice di negativit`a relativo alla componente temporale.Cerchiamo ora di dare degli esempi sul modo di lavorare in questo spazio vettoriale, che ci permette di
` SPECIALE CAPITOLO 7. RELATIVITA
138
scrivere le leggi in modo Lorentz-invariante. Indichiamo le componenti del vettore posizione nello spazio-tempo con xµ (µ = 1, ..., 4), anzich´e con xi , per evitare qualsiasi confusione con gli usuali vettori spaziali. Avremo, dunque x1 x x2 y s= x3 = z x4 t Abbiamo cos`ı ottenuto un quadrivettore posizione che, in quanto quadrivettore, trasforma per variazioni di sistema di riferimento inerziale, con le TL. Mentre una particella si muove secondo una qualche traiettoria nello spazio ordinario, essa descriver`a nello spazio-tempo quadridimensionale una linea chiamata linea universo. Il quadrivettore di componenti dxµ rappresenta la variazione del quadrivettore posizione corrispondente ad uno spostamento infinitesimo lungo la linea universo. Proprio come gli scalari usuali risultano invarianti per rotazioni nello spazio, cos`ı gli scalari universo risultano invarianti per TL. Un esempio di scalare universo `e il modulo di un quadrivettore. Consideriamo a titolo di esempio il modulo di ∆s = s2 − s1 , cio`e del vettore separazione fra due eventi nello spazio tempo. ||∆s||2 = h∆s, ∆si(3,1,0) = (∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2 − (∆t)2 ∆s =
p (∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2 − (∆t)2
(7.6)
Notiamo anzitutto, che ||∆s||2 pu`o essere maggiore o minore di 0. Questo comporta che ∆s pu`o essere reale o immaginario. Consideriamo anzitutto il caso ||∆s||2 > 0; in questo caso possiamo trovare attraverso un opportuno cambio di sistema di riferimento, un osservatore per cui ∆s = (∆x, ∆y, ∆z, 0), cio`e per cui i due eventi sono contemporanei ma divisi da una certa distanza spaziale. Per questa ragione i quadrivettori di modulo reale sono detti di tipo spazio. Osserviamo che due eventi con separazione di tipo spazio non possono influenzarsi a vicenda: nessun segnale pu`o propagarsi con velocit`a infinita. Al contrario se ||∆s||2 < 0, esiste un sistema di riferimento in cui ∆s = (0, 0, 0, ∆t), cio`e in cui i due eventi avvengono nello stesso luogo ma in tempi diversi. I quadrivettori di modulo immaginario sono per questo detti di tipo tempo. Al contrario di due eventi di tipo spazio, due eventi di tipo tempo possono essere collegati fra loro da un qualche segnale. Se, infine, ||∆s|| = 0 ci troviamo di fronte a due eventi di tipo luce. Questo perch´e per tutti gli eventi “toccati” da uno stesso
7.4. QUADRIVETTORI E SCALARI UNIVERSO
139
fotone si ha (∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2 = (∆t)2 ; si tratta di una conseguenza diretta del principio per cui la velocit`a della luce `e la stessa per tutti gli osservatori: il fronte d’onda di un impulso luminoso dev’essere quindi sempre sferico, e dunque si ha che in un qualunque sistema di riferimento inerziale (∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2 = c2 (∆t)2 . Analizziamo ora il significato del modulo di una variazione infinitesima ds nella posizione di una particella lungo la sua linea universo. Definiamo (dτ )2 = −[(dx)2 + (dy)2 + (dz)2 − (dt)2 ]
(7.7)
Il significato di dτ risulta chiaro se calcoliamo la (7.7) in un sistema di riferimento rispetto al quale la particella `e istantaneamente a riposo. In tale sistema di riferimento (dτ )2 = (dt0 )2 (7.8) Dunque, dτ `e l’intervallo di tempo misurato da un orologio in moto con la particella (per definizione si sceglie la radice positiva della (7.8) ) ed `e chiamato di conseguenza tempo proprio della particella. Per capire che relazione c’`e fra il tempo proprio di una particella e il tempo misurato in sistema di riferimento inerziale arbitrario, riscriviamo la (7.7) r h dx 2 dy 2 dz 2 i + + dτ = dt 1 − dt dt dt che equivale a √ dτ = dt 1 − v 2 (7.9) Quest’espressione discende anche dalla formula di dilatazione del tempo, dal momento che dτ `e l’intervallo di tempo misurato da un orologio in quiete rispetto alla particella e dt `e il corrispondente intervallo di tempo misurato da un osservatore in moto rispetto alla particella. Possiamo creare altri quadrivettori, ad esempio derivando un quadrivettore per uno scalare universo (solo cos`ı saremo sicuri dell’invarianza del nuovo quadrivettore per TL); definiamo ad esempio la quadrivelocit`a uµ di una particella dxµ (7.10) uµ = dτ troviamo cos`ı vi 1 ui = √ e u4 = √ (7.11) 1 − v2 1 − v2 Fatto interessante `e che la quadrivelocit`a ha modulo costante, essendo v2 1 − = −1 = −c2 2 1−v 1 − v2 Nel prossimo paragrafo in qualche modo ritroveremo queste formule, analizzando il comportamento della quantit`a di moto relativistica. ||u||2 =
140
7.5
` SPECIALE CAPITOLO 7. RELATIVITA
Quantit` a di moto relativistica
Potremmo adottare come definizione di quantit`a di moto relativistica la seguente pµ = muµ (7.12) e utilizzare i risultati del paragrafo precedente per mostrare che si tratta di una quantit`a che si conserva egli urti e cos`ı via. ´e, tuttavia, assai pi` u conveniente e istruttivo trattare il problema per cos`ı dire nel verso opposto. Otterremo per pµ una versione equivalente alla (7.12), ma che si pone in un’ottica complessiva differente. Cercheremo, infatti, per p un’espressione del tipo p = mv v dove mv rappresenta una qualche funzione della massa che dipende dalla velocit`a. Consideriamo dapprima un urto fra due particella identiche A e B completamente elastico. Per facilitare i calcoli, consideriamo la seguente geometria del problema. Inizialmente A e B si muovono nella stessa direzione con versi opposti a velocit`a ±vi : la quantit`a di moto complessiva `e zero. Dopo l’urto, per la conservazione della quantit`a di moto (che assumiamo si conservi), le due particelle possono aver cambiato direzione ma le loro velocit`a hanno ancora la medesima direzione e versi opposti; poich´e l’urto `e elastico, anche il loro modulo deve rimanere invariato, per la conservazione dell’energia. Diciamo che l’angolo di scattering9 delle due particelle `e θ. Introduciamo ora un sistema di riferimento nel seguente modo: l’origine O `e posto nel punto in cui A e B si urtano, l’asse delle x biseca θ e l’asse delle y `e posto in modo che l’urto si svolga nel piao xOy. La tabella (7.1) riporta, a scanso qualsiasi fraintendimento, i valori delle velocit`a delle particelle prima e dopo l’urto. Ora immaginiamo di vedere la collisione dal punto di vista di un osservatore SISTEMA DI RIFERIMENTO “PRINCIPALE” particella A PRIMA DOPO particella B PRIMA DOPO asse x −vx −vx asse x vx vx asse y −vy vy asse y vy −vy Tabella 7.1: sistema di riferimento principale che si muove lungo l’asse delle ascisse con velocit`a vx . Quello che vediamo `e 9
Si tratta dell’angolo compreso fra le direzioni del moto delle particelle prima e dopo l’urto. Per θ = 0 la particella continua in direzione e verso uguali a quelli iniziali; per θ = π, invece, essa inverte il verso e cos`ı via.
` DI MOTO RELATIVISTICA 7.5. QUANTITA
141
che la particella B si muove semplicemente con velocit`a diciamo w su e gi` u, senza alcun moto lungo l’asse delle x. La particella A, invece, si muover`a con un moto simile a prima ma con velocit`a di componenti diverse da quelle iniziali e tali che vy0 /vx0 = tan α. I dati relativi a questo secondo sistema di riferimento sono riportati in tabella (7.2). SISTEMA DI RIFERIMENTO 1 (+vx ) particella A PRIMA DOPO particella B PRIMA asse x −vx0 −vx0 asse x 0 0 0 asse y −vy vy asse y w
DOPO 0 −w
Tabella 7.2: Sistema di riferimento 1 (+vx ) In questo sistema di riferimento, abbiamo che la quantit`a di moto lungo l’asse x `e, banalmente, conservata. Quindi dobbiamo imporre la legge di conservazione della quantit`a di moto solo lungo l’asse y; per farlo avremmo bisogno di conoscere il valore di vy0 = vx0 tan α. Immaginiamo allora di vedere quest’urto da un altro sistema di riferimento ancora: uno che si muove rispetto al riferimento 1, con velocit`a −vx0 (e quindi rispetto al principale con velocit`a −vx ), cosicch´e esso appaia in un certo senso speculare (tabella (7.3) ). SISTEMA DI RIFERIMENTO 2 (−vx ) particella A PRIMA DOPO particella B PRIMA asse x vx0 asse x 0 0 asse y vy0 asse y −w w
DOPO vx0 −vy0
Tabella 7.3: Sistema di riferimento 1 (−vx ) Il riferimento 2 si muove rispetto al riferimento 1 con velocit`a −vx0 e quindi si ha dt0 dy 00 = dy 0 e dt00 = p 1 − (vx0 )2 da cui
p dy 00 dy 0 p 0 )2 = w = 1 − (v 1 − (vx0 )2 x dt00 dt0 La variazione di quantit`a di moto per la particella B nel riferimento 1 sar`a allora ∆p = 2mw w vy0 =
Se ora imponiamo la conservazione della quantit`a di moto lungo l’asse delle y troviamo p 2mw w = 2mv0 vy0 = 2mv0 w 1 − (vx0 )2
` SPECIALE CAPITOLO 7. RELATIVITA
142
Relazione da cui si ricava immediatamente p mw = 1 − (vx0 )2 mv0
(7.13)
A questo punto, per trovare la funzione mv , non ci resta che far tendere w → 0, cosicch´e v 0 → vx0 e si possa, infine, scrivere al limite m0 mvx0 = p 1 − (vx0 )2
(7.14)
La quantit`a m0 viene anche detta massa a riposo. ´e ora interessante controllare se la (7.13) `e effettivamente vera per valori arbitrari di w, assumendo che la (7.14) sia la formula corretta per la massa relativistica. Notiamo che la velocit`a v 0 usata nella (7.13) pu`o essere calcolata dal triangolo rettangolo: (v 0 )2 = (vx0 )2 + w2 (1 − (vx0 )2 ) Si trover`a, cos`ı, che la (7.13) `e automaticamente verificata per velocit`a arbitrarie, anche se la (7.14) `e stata ricavata soltanto nel limite di w piccolo. Abbiamo, dunque, trovato che la quantit`a di moto relativistica (nelle sue tre componenti ordinarie) pu`o essere definita come il prodotto della massa relativistica per la velocit`a: p = mv v
dove
mv = √
m0 1 − v2
(7.15)
Si tratta di una formulazione del tutto equivalente alla (7.12). Tuttavia in questa definizione si stressa l’accento sull’idea che la massa inerziale di un corpo cresca man mano che v cresce e si avvicina a c, valore per il quale esplode. Conseguenza di ci`o `e che pi` u un corpo `e veloce, pi` u risulta difficile accelerarlo (torneremo in seguito sul concetto di forza) e che un corpo con massa a riposo non nulla non pu`o mai essere accelerato fino a una velocit`a pari a c. Analizziamo ora un urto totalmente anelastico. Consideriamo due particelle di massa a riposo m0 che si muovono l’una verso l’altra con velocit`a orizzontale v; le due masse, una volta entrate in contatto fra loro, restano attaccate. Per la conservazione della quantit`a di moto il nuovo corpo di massa a riposo M0 rester`a fermo. Osserviamo, ora, nuovamente lo stesso urto da un sistema di riferimento che si muova rispetto al primo verticalmente con velocit`a −w piccola rispetto a v. In questo riferimento le masse inizialmente in movimento hanno velocit`a orizzontale v e velocit`a verticale w; mentre il corpo finale, risultato dell’accorpamento delle due masse iniziali, avr`a anch’esso velocit`a
` DI MOTO RELATIVISTICA 7.5. QUANTITA
143
w. Imponiamo, in questo secondo riferimento, la conservazione della quantit`a di moto lungo l’asse verticale, non dimenticando che w v 2mv w = Mw w Da cui, essendo Mw ' M0 M0 = 2mv
(7.16)
Questo risultato, all’apparenza banale, `e, invece piuttosto sorprendente: la massa a riposo risultante non `e uguale alla somma delle due masse a riposo iniziali (M0 6= 2m0 ), ma delle due masse relativistiche iniziali! Cio`e il nuovo corpo, fermo, ha una massa maggiore della somma delle due masse a riposo iniziali. Ma da dove arriva questo strano “incremento” nella massa del sistema? Per rispondere a questa domanda, eseguiamo il seguente esperimento. Consideriamo una scatola piena di gas; il gas avr`a una certa massa M . Ora scaldiamo il gas all’interno della scatola: per farlo forniamo una certa quantit`a di calore, quindi di energia. Ora le molecole del gas si muoveranno pi` u velocemente di quanto non si muovessero all’inizio e questo per conservare l’energia. Ma, muovendosi pi` u velocemente, le molecole di gas acquisteranno una certa inerzia ∆M . Da questo semplice esperimento, si pu`o dedurre che l’energia in qualche modo possiede una sua inerzia. Possiamo, dunque, pensare di misurare l’energia proprio attraverso questa sua propriet`a.10 Esiste, dunque, un legame profondo fra massa ed energia. Per ricavare un’espressione esplicita per l’energia relativistica procediamo in analogia con la meccanica newtoniana (questo per avere definizioni il pi` u simili possibili delle diverse quantit`a) F=
dp dt
δW = dE = F · dr
(7.17)
(7.18)
E se F `e costante si ha dE dp = ·v dt dt 10
cosa in realt` a fattibile solo da un punto di vista teorica, ma di fatto impossibile: un grammo di energia corrisponde a circa 1014 J.
` SPECIALE CAPITOLO 7. RELATIVITA
144
Riarrangiamo quest’ultima uguaglianza dv dE dv dp = ·v dt dv dt dv 1 dv d = (m2v v 2 ) 2m dt dv √ v 1 − v 2 2 dv d v 2 = m0 2m0 dt dv 1 − v 2 m0 v dv = dt (1 − v 2 )3/2 Da cui si ottiene Z
Ev
Z dE = 0
E0
v
m0 v dv (1 − v 2 )3/2
E, infine, risolvendo si ottiene Ev − E0 = mv − m0 Dunque l’energia di una particella di massa a riposo m0 e dotata di velocit`a v `e pari alla sua massa relativistica. Riportando la coerenza dimensionale si ottiene la ben nota equazione E = mv c2
( o anche E = mv
)
(7.19)
Spendiamo ora due parole per chiarire le conseguenze di questa equazione. Anzitutto verifichiamo che quest’equazione per l’energia concordi con quella newtoniana. Per valori di v c, sviluppiamo in serie di Taylor la (7.19) m0 c2 m0 v 2 = m 0 c2 + + ... E=p 2 1 − v 2 /c2 o anche
m0 m0 v 2 + ... E=√ = m0 + 2 1 − v2 E in effetti troviamo che questa equazione `e in perfetto accordo con quelle precedenti per l’energia cinetica; troviamo, per`o, una costante additiva (m0 c2 ), che naturalmente `e in meccanica newtoniana ininfluente, ma che `e di fondamentale importanza in meccanica relativistica. Essa ci dice che un corpo possiede un’energia intrinseca, dovuta alla sua massa. Quest’energia, che `e in realt`a enorme, pu`o essere sfruttata in processi quali la fusione e la fissione nucleari, attraverso i quali, ad esempio, si produce energia all’interno delle stelle. Infatti, quest’uguaglianza pu`o essere, per cos`ı dire, letta in entrambi i versi: l’energia possiede di per s´e una certa inerzia e la stessa massa
` DI MOTO RELATIVISTICA 7.5. QUANTITA
145
pu`o essere, i opportune condizioni, convertita in energia. Inoltre, fatto ancora pi` u interessante, l’energia, in questa forma, costituisce la quarta componente del quadrivettore quantit`a di moto. Verifichiamo questo fatto considerando l’equazione (7.12) pµ = m0 uµ che, se sviluppata nelle sue quattro componenti, d`a ux mv vx uy mv vy p µ = m0 uz = mv vz = u4 mv
px py pz E
Naturalmente, trattandosi di un quadrivettore, per variazioni di sistema di riferimento, esso trasforma secondo le TL. Dunque, l’energia, in questa nuova ottica, non `e altro che la parte, per cos`ı dire, temporale della quantit`a di moto. E si pu`o verificare che il quadrivettore quantit`a di moto (quindi anche l’energia relativistica, e non solo la quantit`a di moto ordinaria) `e sempre conservato negli urti, anche anelastici. Difatti, la perdita di energia che in meccanica newtoniana veniva interpretata come aumento di temperatura del corpo, ora non `e pi` u tale: lo stesso calore guadagnato dal corpo ha una sua inerzia ed `e proprio grazie a questa sua propriet`a, che si riesce a tenerne conto (si confronti con l’equazione (7.16) ). Si pu`o anche banalmente verificare che lo scalare universo associato al modulo del quadrivettore quantit`a di moto `e proprio la massa a riposo presa col segno negativo; infatti, proprio come la quadrivelocit`a uµ , anche pµ `e un quadrivettore di tipo tempo. Mostreremo ora alcune relazioni che intercorrono fra le principali grandezze dinamiche relativistiche, che risultano di massima utilit`a nella risoluzione dei problemi. Ad esempio, dal calcolo del modulo di pµ , risulta E 2 − p2 = m20
(7.20)
Mentre dall’uguaglianza fra massa ed energia si ricava la seguente E = p/v
(7.21)
Queste equazioni, scritte per un fotone, che ha come noto massa a riposo nulla, danno p = E = hν (7.22) In relativit`a generale, dove si assume l’equivalenza (non solo quantitativa) fra massa inerziale e massa gravitazionale, la (7.22) ha un’importante conseguenza. Ricordando che l’energia possiede una sua inerzia troviamo mγ = hν
` SPECIALE CAPITOLO 7. RELATIVITA
146
e se affermiamo che l’inerzia crea un campo gravitazionale, si ha che anche i fotoni vengono attratti dai corpi massicci. Per questa ragione dall’intenso campo gravitazionale di un buco nero non possono “sfuggire” nemmeno i fotoni, malgrado essi abbiano massa a riposo nulla. Proponiamo ora un esercizio svolto come esempio di risoluzione dei problemi attraverso le relazioni proposte. Una particella `e sottoposta a una forza costante. Trovare la oraria generale e dire sotto quali ipotesi la particella subisce un’accelerazione costante. Forza e quantit`a di moto relativistiche. F =
dp = cost. dt
s(t) =? Procediamo cos`ı: troviamo dapprima una relazione fra forza e spazio percorso; per farlo introduciamo come variabile l’energia della particella s
Z
Z
E
F ds = 0
dE Ei
da cui si ricava (F s + Ei )2 = E 2 = p2 + m20 ora, per legare la quantit`a di moto della particella alla forza e al tempo, utilizziamo la relazione dp =F dt
Z
p
ossia
Z
t
dp = pi
F dt 0
e quindi si trova (F s + Ei )2 = (F t + pi )2 + m20 (s +
Ei 2 Ei vi 2 m20 ) = (t + ) + 2 F F F
Ei s=− + F
r (t +
Ei vi 2 m20 ) + 2 F F
` DI MOTO RELATIVISTICA 7.5. QUANTITA
147
In definitiva si ha Ei Ei + F F
s
Ei Ei + F F
s
Ei Ei = − + F F
s
s(t) = − = −
m20 2F vi t F 2 t2 2 + v + 2 + i Ei2 Ei Ei 1 − vi2 + vi2 + 1+
2F vi t F 2 t2 + 2 Ei Ei
2F vi t F 2 t2 + 2 Ei Ei
Abbiamo, dunque, trovato la formula esatta per s(t). Passiamo ora al caso approssimato. Aggiungiamo, allora, la seguente l’ipotesi 2F vi t F 2 t2 + 2 1 Ei Ei che in parole povere equivale a richiedere o tempi brevi o forze piccole (rispetto alla massa relativistica della particella). Allora, sotto quest’ipotesi, possiamo approssimare la formula esatta come segue F vi t F 2 t2 Ei Ei ) + s(t) ' − + (1 + F F Ei 2Ei2 1F 2 ' vi t + t 2 Ei Quest’espressione `e evidentemente quella di un’accelerazione uniforme. Nel caso di vi 1 si pu`o anche approssimare Ei ' m0 , ottenendo cos`ı il risultato newtoniano 1 F 2 s(t) ' vi t + t 2 m0 Osserviamo che applicando le relazioni fra le varie quantit`a ricavate nel paragrafo scorso, ci ha permesso di risolvere questo problema aggirando calcoli di integrazione (in questo caso non particolarmente complessi), che sarebbero invece stati necessari, impostando il problema con una serie di equazioni differenziali che legassero p, v, s e t. Mostriamo brevemente i passaggi necessari ad arrivare al risultato seguendo questa via. v d √ F = m0 dt 1 − v2 m0 vi m0 v Ft + p =√ 2 1 − v2 1 − vi
` SPECIALE CAPITOLO 7. RELATIVITA
148 (F t + pi )2 = m20
1 v2
1 −1
dove
m0 vi pi = p = Ei vi 1 − vi2
ds 1 =q m2 dt 1 + (F t+p0 i )2 Z 1 F t+pi F t + pi ξ p p dξ dt = F pi (F t + pi )2 + m20 ξ 2 + m20 v=
Z
s(t)
Z ds =
0
0
t
s(t) = =
q q 1 (F t + pi )2 + m20 − p2i + m20 F s Ei F
1+
2F vi t F 2 t2 Ei + 2 − Ei Ei F
Capitolo 8 Appendice 8.1
Coniche
In questo paragrafo vogliamo mostrare come passare dalla forma cartesiana a quella polare per le tre coniche non degeneri: ellisse, parabola, iperbole.
8.1.1
Ellisse: forma cartesiana
Ricordiamo la definizione Il luogo dei punti del piano aventi somma delle distanze da due punti fissi (detti fuochi) costante Troviamo la forma cartesiana dell’ellisse in un sistema di riferimento che ha orgine nel punto medio tra i due fuochi, e asse x sulla retta passante per i due fuochi. Chiamiamo c la distanza dei due fuochi dall’origine, quindi un fuoco avr`a coordinate (c; 0) e l’altro (−c; 0). Scriviamo dunque la condizione che deve soddisfare un punto P = (x; y) per appartenere all’ellisse. p p (x − c)2 + y 2 + (x + c)2 + y 2 = 2a dove a, come `e facile verificare, rappresenta proprio la lunghezza del semiasse maggiore. p p (x − c)2 + y 2 = 2a − (x + c)2 + y 2 p x2 + c2 − 2xc + y 2 = 4a2 + x2 + c2 + 2xc + y 2 − 4a (x + c)2 + y 2 p 4a (x + c)2 + y 2 = 4a2 + 4xc 149
150
CAPITOLO 8. APPENDICE
dividiamo tale equazione per 4, ed eleviamo al quadrato a2 (x2 + c2 + 2xc + y 2 ) = a4 + x2 c2 + 2xca2 a2 x2 + a2 x2 + 2xca2 + a2 y 2 = x2 c2 + a4 + 2xca2 x2 (a2 − c2 ) + y 2 (a2 ) = a2 (a2 − c2 )
Poniamo ora a2 − c2 = b2 ; osserviamo che b rappresenta la lunghezza del semiasse minore: se prendiamo il punto sull’ellisse che ha uguale distanza dai due fuochi, il triangolo che ha estremi in quel punto, nell’origine e in uno dei due fuochi `e rettangolo, ed ha ipotenusa di lunghezza a ed un cateto di lunghezza c. Arriviamo quindi alla forma b 2 x 2 + a2 y 2 = a2 b 2 cio`e alla ben nota equazione canonica x2 y 2 + 2 =1 a2 b
8.1.2
(8.1)
Ellisse: forma polare
Scrivere l’equazione dell’ellisse in forma polare, vuol dire trovare la relazione tra r e θ, dove r `e la distanza di un punto da un fuoco (supponiamo quello di coordinate (c; 0), e θ `e l’angolo formato dal vettore r con una certa direzione fissata. Osserviamo che, il fatto di riferire l’espressione ad un particolare fuoco, fa perdere la simmetria dell’equazione in forma cartesiana. Partiamo dall’equazione (8.1). Dobbiamo scrivere le coordinate di un punto P = (r; θ) nel sistema cartesiano: ( x = c + r cos θ y = r sin θ
8.1. CONICHE
151
Sostituiamo tali espressioni nella (8.1) c2 + r2 cos 2 θ + 2cr cos θ r2 sin θ + a2 b2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b c + b r cos θ + 2b cr cos θ + a r − a r cos2 θ (b2 − a2 )r2 cos2 θ + 2b2 cr cos θ + a2 r2 + b2 (c2 − a2 ) −c2 r2 cos2 θ + 2b2 cr cos θ + a2 r2 − b4 a2 r2 − (r2 c2 cos2 θ − 2b2 cr cos θ + b4 ) (r2 c2 cos2 θ − 2b2 cr cos θ + b4 ) b2 − cr cos θ r(a + c cos θ) Se, per concludere, poniamo
c a
=ee
b2 a
= 1 = = = = = = =
a2 b 2 0 0 0 a2 r 2 ar b2
= l otteniamo
r(1 + e cos θ) = l
(8.2)
che `e proprio l’equazione dell’ellisse in coordinate polari. Prima di concludere, osserviamo che 0 < e < 1, dal momento che 0 < c < a in un’ellisse. Ci`o vuol dire che il fattore 1 + e cos θ, non si annulla mai (cosa che in realt`a ci aspettavamo), e quindi, per ogni valore di θ, il punto sull’ellisse risulta perfettamente definito. Cerchiamo ora di scrivere qualche formula che ci permetta di passare dai parametri caratteristici della forma polare a quelli della forma cartesiana. 2 Sappiamo che ac = e e ba = l, quindi c = ae. Ricordiamo, inoltre, che b 2 = a2 − c 2 . Quindi al = a2 − c2 al = a2 − (ae)2 dunque a=
l 1 − e2
(8.3)
c=
el 1 − e2
(8.4)
b= √
l 1 − e2
(8.5)
152
CAPITOLO 8. APPENDICE
8.1.3
Iperbole: forma cartesiana
Come gi`a fatto per l’ellisse, ricordiamo la definizione di iperbole: un’iperbole `e il luogo geometrico dei punti del piano in cui `e costante il valore assoluto della differenza delle distanze dai fuochi. Mettiamoci anche in questo caso, in un sistema di riferimento cartesiano, in cui l’origine O `e il punto medio dei fuochi, che di trovano a distanza c da essa. L’asse x `e la retta passante per i fuochi. Scriviamo l’equazione dell’iperbole. p p | (x + c)2 + y 2 − (x − c)2 + y 2 | = 2a dove a rappresenta la minima distanza dell’iperbole, dall’origine degli assi. Prendiamo in considerazione solo un ramo dell’iperbole (quelle che si trova nel semipiano x > 0), cos`ı possiamo togliere il modulo p p (x + c)2 + y 2 = 2a + (x − c)2 + y 2 p x2 + c2 + 2xc + y 2 = 4a2 + x2 + c2 − 2xc + y 2 + 4a (x − c)2 + y 2 p 4xc − 4a2 = 4a (x − c)2 + y 2 p xc − a2 = a (x − c)2 + y 2 x2 c2 + a4 − 2xca2 = a2 x2 + a2 c2 + a2 y 2 − 2xca2 x2 (c2 − a2 ) − a2 y 2 = a2 (c2 − a2 ) b2 x2 − a2 y 2 = a2 b2
Quindi x2 y 2 − 2 =1 a2 b
(8.6)
`e l’equazione canonica dell’iperbole. Osserviamo che in questo caso b2 = c2 − a2 , poich´e nell’iperbole si ha che 0 < a < c al contrario dell’ellisse.
8.1.4
Iperbole: forma polare
Scriviamo anche in questo caso il cambiamento di coordinate da (r; θ) a (x; y): ( x = −c + r cos θ y = r sin θ
8.1. CONICHE
153
Sostituiamo tali espressione nella (8.6) ed otteniamo c2 + r2 cos 2 θ − 2cr cos θ r2 sin θ − a2 b2 b2 c2 + b2 r2 cos2 θ − 2b2 cr cos θ − a2 r2 + a2 r2 cos2 θ (b2 + a2 )r2 cos2 θ − 2b2 cr cos θ + b2 (c2 − a2 ) c2 r2 cos2 θ − 2b2 cr cos θ + b4 b2 − cr cos θ r(a + c cos θ) ponendo, come gi`a visto,
c a
=ee
b2 a
= 1 = = = = =
a2 b 2 a2 r 2 a2 r 2 ar b2
= l otteniamo
r(1 + e cos θ) = l
(8.7)
che `e l’equazione dell’iperbole in forma polare. Seppure la forma `e identica a quella dell’ellisse ci sono sostanziali differenze, come ad esempio il fatto che, in questo caso, e > 1, quindi esiste tutto un intervallo di valori, per i quali la (8.7) non ha soluzione, mentre esistono 2 angoli θ1;2 (che corrispondono alle direzioni degli asintoti), per i quali lim r(θ) = ∞
θ→θ1;2
Scriviamo anche in questo caso un semplice ”dizionario” per passare dalla forma polare a quella cartesiana: ricordiamo che c = ae e che al = b2 . Quindi al = c2 − a2 al = (ae)2 − a2 da cui ricaviamo che a= c=
e2
l −1
(8.8)
e2
el −1
(8.9)
b= √
l e2 − 1
(8.10)
154
8.1.5
CAPITOLO 8. APPENDICE
Parabola: forma cartesiana
Seguendo la definizione della parabola come luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta detta direttrice, possiamo mettere il vertice della parabola nell’origine: scegliamo un sistema di riferimento che ha l’origine nel punto medio del segmento avente un estremo nel fuoco e l’altro nel punto d’intersezione tra la direttrice e la perpendicolare alla direttrice passante per il fuoco; orientiamo l’asse x parallelo alla direttrice. Chiamiamo d la distanza del fuoco dall’origine (che `e uguale alla distanza della direttrice dall’origine). L’equazione cartesiana si ricava dall’uguaglianza p x2 + (y − d)2 = y + d x2 + y 2 + d2 − 2dy = y 2 + d2 + 2dy x2 = 4dy Quindi y=
8.1.6
x2 4d
(8.11)
Parabola: forma polare
In modo analogo a quanto fatto per i casi precedenti, riferiamo le coordinate polari (ρ; θ) al fuoco, con θ = 0 indicante il vertice della parabola. La coordinate verificano le seguenti relazioni ( x = r sin θ y = d − r cos θ Sostituiamo tali espressioni nella (8.11) ed otteniamo d − r cos θ = 4d2 − 4dr cos θ r2 cos2 θ − 4dr cos θ + 4d2 (2d − r cos θ)2 2d − r cos θ 2d
= = = = =
r2 sin 2 θ 4d r2 − r2 cos2 θ r2 r2 r r(1 + cos θ)
Da cui, ponendo 2d = l otteniamo la forma polare della parabola l = r(1 + cos θ)
(8.12)
8.1. CONICHE
155
Osserviamo che nel caso limite per e → 1 l’espressione polare dell’iperbole e quella dell’ellisse convergono effettivamente al caso della parabola.
8.1.7
Coniche in forma polare
Per quanto appena osservato possiamo riassumere le forme polare delle tre coniche non degeneri nell’unica espressione l = r(1 + e cos θ) ricordando che • 0 < e < 1 si tratta di un’ellisse; • e = 1 si tratta di una parabola; • e > 1 si tratta di un’iperbole.
156
8.2
CAPITOLO 8. APPENDICE
Equazioni differenziali
Una trattazione completa ed esaustiva dei metodi di soluzione delle equazioni differenziali esula dagli scopi di questo libro. D’altra parte, mostriamo qui di seguito alcuni esempi, relativi ad equazioni differenziale del secondo ordine, lineari ma non omogenee. Nella loro forma pi` u generale, esse possono essere pensate come equazione del moto nel caso dell’oscillatore armonico smorzato, al quale venga applicata una forza F , che in generale sar`a funzione del tempo t. x¨ + 2γ x˙ + ω02 x = f (t)
(8.13)
Cerchiamo di analizzare prima qualche caso pi` u semplice.
8.2.1
Caso omogeneo
Supponiamo che non vi sia alcuna forza esterna agente sull’oscillatore. L’equazione (8.13) risulta quindi omogenea: x¨ + 2γ x˙ + ω02 x = 0
(8.14)
Come noto dalla teoria delle equazioni differenziali, l’insieme delle soluzioni `e uno spazio vettoriale di dimensione 2. Consideriamo, dunque, l’equazione associata α2 + 2γα + ω02 = 0 Le soluzioni risultano α1;2
q = −γ ± γ 2 − ω02
Tale uguaglianza ha senso sempre se la risolviamo sui complessi. Vediamo ora i tre casi che si presentano
8.2. EQUAZIONI DIFFERENZIALI
157
Soluzioni reali distinte (γ > ω0 ) In tal caso la soluzione pi` u generale sar`a del tipo x(t) = Ae−(γ+
√
γ 2 −ω02 )t
+ Be−(γ−
√
γ 2 −ω02 )t
dove A e B sono parametri da determinare grazie alle condizioni iniziali. Una funzione di questo tipo `e quella mostrata nel grafico seguente 0.8
0.6
0.4
0.2
x(t)
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1 0
0.5
1 t
1.5
2
Soluzioni reali coincidenti (γ = ω0 ) La soluzione sar`a del tipo x(t) = Ae−ω0 t + Bte−ω0 t Il grafico di tale funzione pu`o essere del tipo mostrato in figura 0.5
0.4
0.3
x(t)
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3 0
0.5
1
1.5 t
2
2.5
3
158
CAPITOLO 8. APPENDICE
Soluzioni complesse coniugate (γ < ω0 ) In questo caso la soluzione `e data dal prodotto di un’esponenziale con una combinazione di seno e coseno: x(t) = e−γt (A cos Ωt + B sin Ωt) si `e posto Ω2 = ω02 − γ 2 . Nel grafico che segue abbiamo rappresentato anche le funzioni esponenziali tra le quali la funzione rimane compresa 1
x(t)
0.5
0
-0.5
-1 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
t
Per concludere osserviamo che il fattore esponenziale causa il progressivo annullamento dell’ampiezza del moto, per tempi pi` u o meno lunghi (che dipendono dal valore di γ), indipendentemente dal fatto che γ sia maggiore, minore od uguale a ω0 .
8.2. EQUAZIONI DIFFERENZIALI
8.2.2
159
Caso non omogeneo
Introduciamo ora una forza esterna F (t). Supponiamo che tale forza sia tale che l’equazione del moto soddisfi la (8.13), con f (t) = x0 cos ωt. Dalla teoria delle equazioni differenziali sappiamo che la soluzione pi` u generale `e data da una soluzione particolare, sommata alla soluzione generica dell’omogenea associata (vedi paragrafo precedente). Ci resta, quindi, da trovare la soluzione particolare di tale equazione. Cerchiamo una soluzione del tipo x(t) = α cos (ωt + φ) dove ω `e la stessa frequenza di quella della forza esterna applicata. Abbiamo quindi che x(t) ˙ = −αω sin (ωt + φ) x¨(t) = −αω 2 cos (ωt + φ) Sostituiamo tali valori nella (8.13) ed abbiamo −αω 2 cos(ωt + φ) − 2γαω sin(ωt + φ) + ω02 α cos(ωt + φ) = x0 cos ωt Usando semplici formule trigonometriche si arriva al sistema ( −αω 2 cos φ − 2γαω sin φ + ω02 α cos φ = x0 αω 2 sin φ − 2γαω cos φ − ω02 α sin φ = 0 Dalla seconda si ricava tan φ =
2γω − ω02
ω2
A questo punto, isolando α dalla prima, si ottiene che x0 |α| = p (ω 2 − ω02 )2 + 4γ 2 ω 2
(8.15)
La soluzione pi` u generale, come gi`a detto, `e data dalla somma della soluzione particolare appena ottenuta, con una soluzione dell’omogenea vista nel precedente paragrafo. Gi`a prima si era osservato che dopo un certo tempo τ , l’entit`a dell’oscillazione, dovuta al termine della soluzione dovuto all’equazione omogenea, tende a diventare arbitrariamente piccola. L’intervallo di tempo in cui gli effetti dovuti a tale termine non possono essere trascurati viene chiamato dai fisici transitorio. Osserviamo dalla (8.15) che l’ampiezza dell’oscillazione, dovuta al termine forzante, dipende dalla frequenza propria ω0 dell’oscillatore.
160
CAPITOLO 8. APPENDICE
Il grafico seguente mostra α(ω)1
2
1.5
1
0.5
0 0
1
2
3
4
5
Come si pu`o vedere tale funzione ha un massimo. In un intorno [ω1 ; ω2 ] nel quale si ha il massimo per |α|, si dice che l’oscillatore `e in risonanza.
1
La funzione rappresentata `e α(ω) = √
3 (ω 2 −4)2 +0.6ω 2
8.3. EQUAZIONI DI FOCAULT
8.3
161
Equazioni di Focault
Nel capitolo (3.14) abbiamo detto che le soluzioni del sistema di equazioni differenziali ( x¨ − 2ay˙ + n2 x = 0 (8.16) y¨ + 2ax˙ + n2 y = 0 sono √ x = A cos at cos n2 + a2 t √ y = −A sin at cos n2 + a2 t Dimostrare che esse siano effettivamente soluzioni richiede semplicemente di andare a sostituire tali funzioni del tempo t nel sistema (8.16). Mostriamo ora un metodo che permette di ricavare tali soluzioni. Consideriamo la variabile complessa z = x + iy. Avremo che z˙ = x˙ + iy˙ z¨ = x¨ + i¨ y Prendiamo la prima equazione del sistema (8.16) e aggiungiamo i volte la seconda: otteniamo x¨ − 2ay˙ + n2 x + i(¨ y + 2ax˙ + n2 y) = 0 Quindi x¨ + i¨ y + 2a(ix˙ − y) ˙ + n2 (x + iy) = 0 cio`e z¨ + 2aiz˙ + n2 z = 0 Questa `e un’equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine, che si pu`o risolvere facilmente come gi`a visto nel paragrafo 8.2, cercando le soluzioni complesse di α2 + 2aiα + n2 = 0 Avremo allora che α1 = −ai −
√
α1 = −i(a +
−a2 − n2
√
a2 + n 2 )
α2 = −ai +
√
α2 = −i(a −
−a2 − n2
√
a2 + n 2 )
162
CAPITOLO 8. APPENDICE
Si avr`a dunque una soluzione del tipo √
z(t) = λe−i(a+
a2 +n2 )t
√
+ µe−i(a−
a2 +n2 )t
Cerchiamo qualche condizione su λ e µ. Ad esempio, sappiamo che in certo istante t¯ il pendolo raggiunge la verticale, cio` e z(t¯) = 0. Questo vuol dire √ √ −i(a+ a2 +n2 )t¯ −i(a− a2 +n2 )t¯ che i due vettori del piano complesso λe e µe sono opposti, ed in particolare hanno stessa norma: dunque, λ = µ. Inoltre, se come condizione iniziale poniamo x = A e y = 0, otteniamo che λ + µ = A, quindi λ = µ = A2 . Dalla definizione di z possiamo dedurre che x = Re(z)
y = Im(z)
Quindi √ √ A A cos (a + a2 + n2 )t + cos (a − a2 + n2 )t 2 2 √ √ A A y(t) = − sin (a + a2 + n2 )t − sin (a − a2 + n2 )t 2 2
x(t) =
cio`e, dopo semplici passaggi a base di trigonometria √ x(t) = A cos at cos n2 + a2 t √ y(t) = −A sin at cos n2 + a2 t