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Italian Pages 172 Year 2004
Lezioni di
MECCANICA QUANTISTICA K. Konishi, G. Paffuti
Settembre 2004 Dipartimento di Fisica, Facolt`a di Scienze M.F.N. Universit`a degli Studi di Pisa
2
Indice I Introduzioni 1
2
7
Introduzione e concetti principali 1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Complementi di Meccanica Analitica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Formalismo Lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Formalismo Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Parentesi di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Trasformazioni canoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Equazioni di Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6 Invariante adiabatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.7 Teorema del Viriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Sviluppo Storico: Nascita della Meccanica Quantistica . . . . . . . . . . 1.3.1 Radiazione del corpo nero e la formula di Planck . . . . . . . . . 1.3.2 Effetto fotoelettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Modello atomico di Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Condizione di quantizzazione di Bohr e Sommerfeld; Onda di de Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Princ`ıpi della meccanica quantistica 2.1 Princ´ıpi e Legge della Meccanica Quantistica . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Lo stato quantistico e il principio di sovrapposizione . . . . . . . 2.1.2 Principio di indeterminazione di Heisenberg . . . . . . . . . . . 2.1.3 Operatori, autovalori e autostati, risultati di un’osservazione . . . 2.1.4 Risultati reali per una misura; Operatori Hermitiani . . . . . . . . 2.1.5 Prodotti di operatori, Commutatori, Osservabili compatibili . . . 2.1.6 Operatori di posizione e di impulso, Commutatori fondamentali, Relazione di Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.7 Evoluzione del sistema, Equazione di Schr¨odinger . . . . . . . . 2.1.8 Spettro continuo; la funzione delta di Dirac; autostati di posizione 2.1.9 Relazione di Completezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.10 Autostati di posizione; autostati di impulso . . . . . . . . . . . . 2.1.11 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.12 Complemento: Integrale nel piano complesso e teorema di residuo 2.2 Equazione di Schr¨odinger: Propriet`a Generali . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Propriet`a generali dell’Equazione di Schr¨odinger; Teorema di Ehrenfest; Denisit`a e corrente di probabilit`a . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Equazione di Schr¨odinger in una dimensione . . . . . . . . . . . 2.2.3 Buche di potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Oscillatore armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5 Operatori di creazione e di distruzione . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.6 Barriera di potenziale e Effetto tunnel . . . . . . . . . . . . . . . 3
. . . . . . . . . . . . .
9 10 15 15 16 18 19 21 21 22 24 24 29 30
. 31 . 32
. . . . . .
35 36 36 39 42 44 45
. . . . . . . .
46 48 50 53 53 55 57 58
. . . . . .
58 61 64 68 73 75
INDICE
4 2.2.7 2.2.8 2.2.9 2.2.10
2.3
2.4
3
4
Sistemi in uno spazio topologicamente non banale . . . . . . . . buca/barriera di potenziale con funzioni δ . . . . . . . . . . . . . Applicazioni della buca infinitamente alta . . . . . . . . . . . . . Dalla fisica di una particella alla fisica dei sistemi di molti gradi di libert`a: Cristallo Unidimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenziale periodico e struttura di bande d’energia . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Esempio di simmetria: parit`a della funzione d’onda; doppia buca . 2.3.2 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Complemento sul sistema con il potenziale g δ(x) . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Spettro discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Spettro continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Ortogonalit`a tra lo stato discreto e uno stato nel continuo . . . . . 2.4.4 Ortogonalit`a tra gli stati del continuo . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.5 Completezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aspetti formali della meccanica quantistica 3.1 Rappresentazione delle coordinate e degli impulsi . . . . . . . 3.2 Bra e Ket, Spazio di Hilbert dei vettori . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Operatori autoaggiunti, variabili dinamiche e lo spettro 3.3 Trasformazioni unitarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Schema di Schr¨odinger e schema di Heisenberg . . . . 3.3.2 Oscillatore armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Stati misti e matrice densit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Polarizzazioni del fotone . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Funzioni di Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Teoria del momento angolare e Sistemi Tridimensionali 4.1 Momento Angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Definizione e regole di commutazione . . . . . . . . . . 4.1.3 Momento angolare come genetratore di rotazioni . . . . 4.1.4 Autovalori del momento angolare . . . . . . . . . . . . 4.1.5 Momento angolare orbitale; funzioni armoniche sferiche 4.1.6 Elementi di matrice di J. . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.7 Composizione dei momenti angolari . . . . . . . . . . . 4.1.8 Coefficienti di Clebsch-Gordan . . . . . . . . . . . . . 4.1.9 Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.10 Matrici di rotazione: spin 12 . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.11 Teorema di Wigner-Eckart . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Polinomi di Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Gruppi e Rappresentazioni: Elementi di Teoria dei Gruppi . . . 4.3.1 Assiomi del gruppo e alcuni esempi . . . . . . . . . . . 4.3.2 Rappresentazione del Gruppo . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Gruppo di Lie e Algebra di Lie . . . . . . . . . . . . . 4.4 Simmetrie in Meccanica Quantistica . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Considerazioni generali . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Parit`a (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Inversione del tempo (time reversal) . . . . . . . . . . . 4.5 Sistemi in Tre Dimensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Massa ridotta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Moto in campo a simmetria centrale . . . . . . . . . . . 4.5.3 Onde sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.4 Stati legati in una buca di potenziale tridimensionale . . 4.5.5 Atomo di idrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 78 . 78 . 83 . . . . . . . . . .
84 86 88 89 90 90 90 91 91 92
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
95 96 97 100 102 103 104 105 109 110
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113 114 114 114 116 117 120 122 125 128 129 131 132 133 135 135 136 137 140 140 141 142 145 145 145 146 149 150
INDICE 4.6 4.7 4.8 4.9
5 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Particelle cariche in campi elettromagnetici . . . . . . . . . . . . . . . . . Effetto Aharonov-Bohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Disuguaglianze di Bell, Disuguaglianza di CHSH e Quantum Entanglement 4.9.1 Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.2 Dimostrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.3 Coppie di fotoni correlati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154 159 159 165 165 166 167
6
INDICE
Capitolo 1
Introduzione e concetti principali
7
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE E CONCETTI PRINCIPALI
8
1.1
Introduzione
Il comportamento delle particelle quantistiche e` in molti aspetti straordinario, dal punto di vista delle nostre esperienze quotidiane, siano esse un elettrone, un protone, un atomo o una molecola. Discuteremo qui alcuni esempi. 1) Diffrazione e Interferenza L’aspetto pi`u caratteristico del comportamento “non classico” dell’elettrone e` quello della diffrazione e dell’interferenza, ambedue tipico di un’onda. Come e` ben noto, la luce e` un’onda, l’onda elettromagnetica, e come tale esibisce molti fenomeni caratteristici. Prendiamo in esame la famosa esperienza di Young (1801) in cui la luce di una lampada viene fatta attraversare una doppia fenditura, facendo poi incidere su uno schermo fotografico. Le immagini di frange di intensit`a regolari e alternate osservate in tale esperimento (Fig. 1.2) possono essere interpretate come conseguenza dell’interferenza di due raggi, passati da due fenditure diverse. Infatti, se la distanza tra le fenditure, la distanza tra la fenditura e lo schermo, la posizione verticale del punto sullo schermo sono date rispettivamente da d, L, x (vedi Fig. 1.1), allora l’angolo della diffrazione e` circa (assumendo d ≪ L; x ≪ L) θ ∼ x/L, perci`o la differenza del percorso tra i due raggi e` data da ∆d ≃ d sin θ ≃ dθ ≃ dx/L. Se la lunghezza d’onda della luce e` λ, la condizione per l’interferenza positiva e` ∆d/λ = n,
n = 0, 1, 2, . . . ,
mentre per x tale che ∆d/λ = n + 1/2,
n = 0, 1, 2, . . .
(1.1)
˚ = si avr`a interferanza distruttiva. Nell’esperimento di Young, L/d ∼ 103 ; λ ∼ 103 A −5 10 cm, perci`o tipicamente la spaziatura delle frange e` dell’ordine di 0.1mm.
x
d L
Figura 1.1: Esperienza di Young Nel caso di elettroni, un’analoga esperienza e` (per motivi tecnici) divenuta possibile solo qualche anno fa (1989). E` da notare che tale esperienza e` spesso qualificata nei libri
Figura 1.2: La frange di interferenza nell’esperimento a` la Young con la luce visibile
1.1. INTRODUZIONE
9
di meccanica quantistica come “Gedanken experiment”, cio`e una esperienza “pensata” o “ipotetica”. Non lo e` pi`u. La figura presa da un articolo di Tonomura et.al. (Am. Journ. Phys. 57 (1989)117) qui accanto dimostra una straordinaria somiglianza con la precedente Fig. 1.2 dell’esperienza di Young. Ad un’analisi pi`u attenta, per`o, si pu`o cogliere qualche differenza. La prima differenza riguarda la scala. Nel caso dell’esperienza con la luce visibile la spaziatura delle frange d’interferenza era dell’ordine del mm, mentre nel caso degli elettroni e` dell’ordine di 10−4 mm. Questa differenza - quantitativa ma non qualitativa - non e` concettualmente essenziale, ma comporta notevoli difficolt`a tecniche che sono state le ragioni per cui questa esperienza e` stata realizzata soltanto di recente. La differenza pi`u importante, apparentemente, e` il fatto che gli elettroni sono particelle (mentre la luce e` “ovviamente” un’onda ), con la massa e la carica elettrica ben definite: infatti non e` difficile distinguere i punti lasciati da singoli elettroni sullo schermo nell’esperienza di Tonomura et. al. In questo esperimento e` stato usato un fascio di elettroni di intensit`a molto ridotta, ∼ 103 / sec. Tenendo conto della velocit`a media dell’elettrone, ∼ 0.4 c, la distanza media tra due elettroni e` circa ∼ 150 Km, mentre l’intero apparecchio sperimentale ha una dimensione di circa 1.5 m. E` ragionevole, in tali condizioni, pensare che gli elettroni arrivino “uno ad uno”, senza interagire tra di loro in maniera significativa. Le cinque immagini corrispondono, rispettivamente, a 10, 100, 3000, 20000 e 70000 elettroni. Arriviamo quindi ad una conclusione apparentemente paradossale. Il singolo elettrone in qualche maniera “vede” le due fenditure, le sue due fronti d’ona differenti interferiscono! Questa propriet`a e` nota come “dualit`a ondacorpuscolo”. E` di fondamentale importanza il fatto che tale dualit`a si riferisce ai singoli elettroni, e non ad una propriet`a collettiva del fascio degli elettroni. Con recenti sviluppi tecnologici, anche l’esperienza di Young originale pu`o essere ripetuta con un fascio di fotoni molto debole, di modo che i fotoni arrivino uno a uno. Col senno di poi, ci si rende conto che non esiste nessuna differenza sostanziale tra l’esperienza di Young con i fotoni e quella di Tonomura et.al. fatta utilizzando un fascio di elettroni. Risulta infatti (de Broglie) che tutte le particelle elementari, atomi e molecole, posseggono tale propriet`a duale. Come vedremo in seguito Meccanica Quantistica descrive queste particelle con un linguaggio matematico coerente e molto elegante. 2) La stabilit`a e l’identit`a degli atomi. Il secondo aspetto riguarda la stabilit`a e l’assoluta identit`a di atomi (dello stesso tipo). Consideriamo l’atomo di idrogeno, che e` uno stato legato formato da un elettone e un protone. Il moto dell’elettrone intorno al nucleo e` descritto, nella meccanica di Newton,
10
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE E CONCETTI PRINCIPALI
dall’equazione, e2 + m r θ˙2 , (1.2) r2 dove abbiamo assunto un moto circolare per semplicit`a. Come e` noto l’eq.(1.2) ammette una soluzione stabile, r = costante. Nel mondo attuale, tuttavia, esistono altri effetti dovuti alle interazioni elettromagnetiche (la forza statica Coulombiana tenuta in conto nella (1.2) ne e` una delle manifestazioni fra tante). Infatti, secondo la teoria classica di Maxwell, una particella carica in un moto accelerato emette luce e perde l’energia. Per l’elettrone che si muove con accelerazione v˙ l’energia persa per un intervallo unitario di tempo e` : m r¨ = −
S=
2 e2 ˙ 2 (v) 3 c3
(erg/sec)
(1.3)
(vedi Landau-Lifshitz Vol. 2). Supponiamo che la perdita di energia sia piccola di modo che l’orbita possa essere considerata approssimativamente circolare, e calcoliamo in quanto tempo un atomo di raggio r ≃ 10−8 cm collassa ad un punto. Poniamo dunque r(t = 0) = 10−8 cm. (1.4) Da l’eq(1.2) si ha e2 ˙ ≃ mrθ˙2 = m|v|, r2 o
(1.5)
e2 . mr2
(1.6)
dE 2e6 . = dt 3m2 c3 r4
(1.7)
˙ = |v| Sostituendo questo in (1.3), si trova S=−
Ma per un moto circolare vale la relazione: E=
e2 e2 1 mv 2 − =− , 2 r 2r
(1.8)
perci`o r2 r˙ = −
4e4 . 3m2 c3
(1.9)
Integrando e ponendo r(t) = 0 si ha r(0)3 − t=
4e4 t = 0, m 2 c3
m 2 c3 (10−8 )3 ≃ 10−10 4e4
sec.
(1.10)
Secondo la fisica classica dunque un atomo di idrogeno collassa ad un punto in 10−10 sec! Questo non e` certamente quello che accade in Natura. Pur ammettendo che ci possa essere una ragione sconosciuta per cui la (1.3) non si applichi al mondo atomico - dopottutto la teoria di Maxwell e` stata scoperta nel mondo macroscopico - e quindi trascurando le difficolt`a che ne seguono, c’`e un altro problema molto serio per un modello “planetario” degli atomi come descritto da (1.2). La difficolt`a sta nel fatto che ogni atomo dovrebbe avere un raggio diverso, un raggio che dipende dalla condizione al contorno (condizione iniziale). Come vedremo in seguito, in meccanica quantistica tutti i moti (classicamente) priodici sono “quantizzati”: solo alcuni “stat” sono permessi. Di conseguenza due atomi dello
1.1. INTRODUZIONE
11
stesso tipo (nel loro stato normale) hanno propriet`a rigorosamente identiche. La “quantizzazione” del moto risolve in modo naturale anche il problema dell’instabilit`a dell’atomo accennato sopra. E` facile capire la ragione per la quale l’eq.(1.2) non pu`o avere una soluzione con un raggio ben definito (che non dipenda da una condizione iniziale accidentale). Gli unici parametri che appaiono nell’equazione sono m e e con dimensioni (in unit`a cgs) m = [gr];
e = [gr1/2 cm3/2 sec−1 ] :
e` ovviamente impossibile formare, tramite una loro combinazione, alcuna costante con la dimensione di una lunghezza. In Meccanica Quantistica esiste una costante fondamentale della natura chiamata costante di Planck (~) con dimensione ~ = [gr · cm2 /sec]; questa costante caratterizzer`a l’intera costruzione della Meccanica Quantistica. Infatti, avendo a disposizione anche ~, si pu`o trovare un’unica combinazione rB =
~2 m e2
(1.11)
chiamato “raggio di Bohr.” Con i valori numerici noti si ottiene rB ≃ 5 10−9 cm
(1.12)
che e` ragionevole come grandezza di un atomo. L’assoluta identit`a delle propriet`a intrinsiche di due atomi (o pi`u in generale, di due particelle elementari - due protoni, due elettroni, ecc.) della stessa specie, e` la base della regolarit`a e stabilit`a del mondo macroscopico (cristalli, sistemi biologici, ecc.) Senza tale esattezza il fenomeno biologico (riproduzione e metabolismo) sarebbe impossibile. Tale aspetto del mondo microscopico e` in chiaro contrasto, ma in certo senso in armonia, con le infinite variet`a dei fenomeni macroscopici. 3) Effetto Tunnel Il terzo esempio e` il fenomeno della conduzione elettrica. In un modello semplificato l’elettrone nel metallo e` rappresentato da una particella che si muove in un potenziale periodico (Fig.1.3). Secondo la meccanica classica la particella si sposter`a nel campo elettrostatico ma non riuscir`a ad attraversare le barriere di potenziale (se il campo esterno, che provoca il suo movimento, non e` sufficientemente forte). In meccanica quantistica, l’elettrone e` capace di attraversare la barriera anche se ha energia insufficiente dal punto di vista classico (“effetto tunnel”), permettendo cos`ı la conduzione elettrica osservata quotidianamente. L’effetto tunnel e` collegato strettamente con la dualit`a onda-corpuscolo delle particelle. V(x)
e
E=< βn qn2 >=
1 kT, 2
(indip. da n),
(1.78)
i.e., ogni grado di libert`a del sistema gode in media la stessa frazione 12 kT di energia. La teoria classica del Calore Specifico e` una conseguenza semplice della legge di equipartizione. Per esempio, nel caso di un gas ideale monoatomico, αi = 1/2m, βi = 0, mentre X (p2jx + p2jy + p2jz ) p2θ + p2φ / sin θ2 Ej ; Ej = E= + 2m 2I j per un gas bi-atomico, dove gli ultimi termini rappresentano i gradi di libert`a di rotazione (il grado di libert`a di oscillazione radiale tra le due molecole e` qui trascurato). L’energia totale per una mole e` allora 3 3 U = kT NA = RT ; 2 2 5 5 U = kT NA = RT, 2 2 rispettivamente per i gas monotomici e per i gas bi-atomici. NA e` il numero di Avogadro, R = NA k ≃ 8.31441 · 107 erg · mol−1 K−1 e` la costante di gas. Segue che il calore specifico nei due casi e` dato da: ( 3R/2 ≃ 2.98, gas monoatomici, ∂U = (1.79) C= ∂T 5R/2 ≃ 4.96 gas biatomici
1.3. SVILUPPO STORICO: NASCITA DELLA MECCANICA QUANTISTICA
23
(in unit`a Cal/K/mol). Questi risultati della teoria classica sono ben verificati sperimentalmente a temperatura ambiente ma a temperature pi`u basse il calore specifico osservato tende a valori pi`u piccoli. Lo stesso vale nel caso dei solidi dove il risultato classico, C ≃ 3R ≃ 5.9 (legge di DulongPetit), e` valido solo a temperature ambiente; il calore specifico sperimentale tende a zero a basse temperature. Sembra dunque che a basse temperature certi gradi di libert`a “muoiano” o “vengano congelati” e non prendano la loro parte di energia come ci si aspetterebbe dalla legge di equipartizione. (Infatti la teoria corretta del calore specifico e` stata formulata da Debye e da Einstein dopo la scoperta del quanto di energia da parte di Planck (1900).) Essenzialmente lo stesso problema appariva, in modo pi`u drammatico, negli ultimi decenni del 19-simo secolo, nel cos`ıdetto problema “del corpo nero”. Consideriamo una cavit`a tenuta ad una temperatura T . Il suo interno e` riempito delle radiazioni elettromagnetiche, in equilibrio con il serbatoio termico (la parete della cavit`a). Ora, qual’`e il colore della radiazione di un corpo nero? Detto in altri termini, quale colore (lunghezze d’onda) di luce si trova in un corpo nero, e con quale intensit`a relativa? O, qual’`e il calore specifico del “vuoto”, cio`e delle radiazioni elettromagnetiche a temperatura T? La risposta della fisica classica a questi problemi e` la seguente. L’energia del campo elettromagnetico nel vuoto e` (vedi Landau-Lifshitz, Vol. 2): Z 1 (E2 + H2 )dv. (1.80) H= 8π V Le soluzioni formali delle equazioni di Maxwell nel vuoto sono E=−
1 ∂ A; c ∂t
H = ∇ × A (φ = 0),
(1.81)
dove A e` un potenziale vettoriale arbitrario che soddisfa alle equazioni ∆A −
1 ∂2 A = c2 ∂t2 ∇·A =
0;
(1.82)
0.
(1.83)
La seconda condizione (1.83) e` la scelta di gauge per eliminare la ridondanza esistente nella parametrizzazione dei campi elettromagnetici in termini del potenziale vettoriale. La soluzione generica di (1.82),(1.83), e` un’onda piana del tipo ǫ1 cos(k · r − ckt) + ǫ2 sin(k · r − ckt)
(1.84)
ǫ1 · k = ǫ2 · k = ǫ1 · ǫ2 = 0.
(1.85)
con k arbitario, k ≡ |k|,
La soluzione generale e` una qualsiasi combinazione lineare di questi oscillatori armonici . L’Hamiltoniana che d`a luogo a una tale combinazione come soluzione, e` semplicemente: H=
X c2 k
4
p2(1)
+
k2 q2(1)
+
X c2 k
4
p2(2)
+
k2 q2(2)
:
(1.86)
il sistema e` equivalente a due gruppi di oscillatori indipendenti. Le due possibili direzioni dell’oscillazione corrispondono alle due polarizzazioni possibili della luce, fatto ben noto empiricamente. Nelle precedenti equazioni, k sono vettori arbitari: per “contare” i gradi di libert`a e` spesso conveniente immaginare che il sistema sia confinato (come lo e` nel caso di un corpo
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE E CONCETTI PRINCIPALI
24
nero finito) in un volume finito e introdurre un’opportuna condizione al contorno, per es., periodica. Ad esempio se la cavit`a e` un cubo di lato L, i valori permessi per k sono kx =
πnx ; L
ky =
πny ; L
kz =
πnz ; L
nx , ny , nz = 0, 1, 2, 3, . . . .∞
(1.87)
Visto che l’Hamiltoniana del campo della radiazione ha la forma standard (1.77), si pu`o applicare la legge di equipartizione per calcolare la sua energia. La risposta e` semplicemente U = f k T, f (= il numero dei gradi di libert`a) = ∞, (1.88) perci`o ∂U = ∞. (1.89) ∂T Dunque secondo la teoria di Maxwell l’energia del campo di radiazione elettromagnetica in un volume finito sarebbe infinita; per aumentare la temperatura di una cavit`a di un grado ci vorrebbe un calore infinito. Questi risultati sono in chiara contraddizione con le pi`u elementari esperienze quotidiane. Pi`u precisamente, U per unit`a di volume e` noto empiricamente (legge di Stefan): U = ∞;
U = σ T 4;
C=
σ = 7.64 · 10−15 ergcm−3 K−4 .
Questo e` il problema del corpo nero. La causa di questa catastrofe e` facile da individuare: secondo la legge classica di equipartizione alle luci (o le oscillazioni) di lunghezza d’onda arbitrariamente corta - nx , ny nz arbitrariamente grandi - dovrebbero essere assegnate la stessa parte kT dell’energia. I fatti sperimentali indicano che il numero effettivo di gradi di libert`a ad ogni temperatura e` in realt`a molto minore. E` istruttivo studiare l’energia del campo elettromagnetico, per intervalli di frequenze, Z ∞ U= dν u(ν), (1.90) 0
u(ν)dν e` l’energia del campo dovuta alle oscillazioni con frequenze tra ν e ν + dν. Calcoliamo ora u(ν). Siccome |n|c ν(n) = , (1.91) 2L segue che 2Ldν dn = . (1.92) c Ma le componenti di n = (nx , ny , nz ) sono numeri interi positivi, perci`o il numero dei modi tra ν e ν + dν e` dato da: 1 8πL3 2 N (ν)dν = 2 (4πn2 )dn = ν dν. 8 c3
(1.93)
Applicando la legge di equipartizione, troviamo un risultato finito per un volume unitario, u(ν)dν = kT N (ν)dν =
8πkT 2 ν dν. c3
(1.94)
(Formula di Reyleigh - Jeans). Osservazioni • A fissa T , la formula di Reyleigh - Jeans e` in accordo con i dati sperimentali a bassa frequenza.
1.3. SVILUPPO STORICO: NASCITA DELLA MECCANICA QUANTISTICA
25
• L’intervallo di frequenze dove la formula e` valida, si allarga verso alte frequenze con T ; in altri termini, a ν fissa, la formula e` valida ad alte temperature ma fallisce a basse temperature. E` chiaro che qui vediamo lo stesso problema che abbiamo incontrato per la teoria del calore specifico di altre sostanze: ad una data temperatura solo certi gradi di libert`a sono “attivi”; altri sembrano “inattivi” . • Facendo l’integrazione (1.94) da 0 a ∞ ritroviamo il risultato disatroso che e` stato notato prima (i.e., ∞). E` chiaro che la divergenza e` dovuta ai modi di frequenza arbitariamente alta. (Per questo motivo, il problema e` a volte chiamato catastrofe ultravioletta.) Il primo passo verso la soluzione e` stata compiuto da Wien (1893). Egli not`o che i dati sperimentali mostravano una “legge di scaling: u(ν) dν =
8π F (ν/T )ν 3 dν : c3
(1.95)
con una funzione F da determinare empiricamente. In altri termini, se u(ν) e` noto empiricamente ad una temteratura, siamo in grado di predire u(ν) a qualsiasi altra temperature usando (1.95). Come e` facile verificare, inoltre, la formula di scaling e` consistente con la legge di Stefan. Anche se Wien non riuscii a calcolare F , egli fu in grado di trovare una formula approssimata, F (x) = kβe−βx ; β = cost., (1.96) che e` in accordo con i dati ad alta frequenza x = ν/T . Sostituendo questa funzione troviamo la formula di Wien, u(ν) dν
= =
8πkβ −βν/T 3 e ν dν c3 8πhν −hν/kT 2 e ν dν, c3
(1.97)
dove h ≡ kβ = 6.626 · 10−27 erg · sec.
(1.98)
Abbiamo dunque la formula classica (1.94), valida a basse frequenze, e la formula di Wien (1.97), valida ad alte frequenze. Fu Planck (1900) a trovare la corretta formula di interpolazione, hν 8π ν 2 dν. (1.99) u(ν) dν = 3 hν/kT c e −1
Questa e` la celebre formula di Planck. Essa si riduce a (1.94) ed a (1.97), nei limiti, hν/kT ≪ 1 e hν/kT ≫ 1, rispettivamente. La morale della storia e` che per spiegare i dati sperimentali, nella formula classica (1.94) va fatta la sostituzione, kT ⇒
hν . ehν/kT − 1
(1.100)
Ma quel’`e il significato di questa sostituzione? Il contributo fondamentale dato da Planck (1900), che segna la nascita della nuova meccanica, fu quello di dare la corretta interpretazione a (1.100), i.e., che essa implica l’esistenza di un quanto di energia. Ripeteremo ora l’argomentazione di Planck e dimostreremo la formula (1.99), usando l’ipotesi di quanto di energia. (All’epoca l’esistenza degli atomi, i.e., il fatto che esistesse un’unit`a di materia, era universalmente accettato, anch se solo da recente. L’idea di Planck fu quella di generalizzare tale struttura discreta anche per l’energia elettromagnetica.)
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE E CONCETTI PRINCIPALI
26
Per ogni frequenza e per ognuna delle due polarizzazioni, l’Hamiltoniana per il campo elettromagnetico e` un semplice oscillatore armonico, H = aq 2 + bp2 .
(1.101)
L’energia media a temperatura T e` ∂ log N , (1.102) ∂(−1/kT ) Z Z 2 2 2 2 1 dx dy e−(x +y )/kT , (1.103) N = dq dp e−(aq +bp )/kT = √ ab √ √ dove nella seconda le variabili sono state cambiate a x = aq; y = bp. Cambiando ulteriormente le variabili a quelle sferiche, E ≡ x2 + y 2 ; θ ≡ tan−1 y/x, e notando che l’integrazione angolare e` banale, si ha < E >=
∂ log N ′ , ∂(−1/kT ) Z N ′ = dEe−E/kT .
< E >=
(1.104) (1.105)
Se si facesse l’integrazione su E normalmente si avrebbe < E >= kT e ritroveremmo la formula di Reyleigh-Jeans. Invece, supporremo, con Planck, che per qualche ragione l’energia possa prendere solo valori discreti, En = nǫ,
n = 0, 1, 2, 3, . . .
In questo caso l’integrale viene sostituito dalla somma, Z X dE → ǫ .
(1.106)
(1.107)
n
Di conseguenza si ha
∂ log N ′′ , ∂(−1/kT ) X ǫ . N ′′ = ǫ e−nǫ/kT = −ǫ/kT 1 − e n < E >=
Si ottiene cos `ı la formula “quantistica per < E > ǫ < E >= ǫ/kT . e −1
(1.108) (1.109)
(1.110)
Se scegliamo come unit`a (“quanto) di energia ǫ = hν,
(1.111)
usiamo (1.110) al posto del risultato classico kT per < E >, e alla fine sommiamo sulle frequenze, otteniamo precisamente la formula di Planck! Dunque il significato della formula empirica di Planck e` questo: l’energia del campo elettromagnetico e` “quantizzata. La luce monocromatica, di frequenza ν (i.e., di lunghezza d’onda λ = c/ν) e` fatta da un insieme di quanti (che chiameremo “fotoni), ciascuno con l’energia hν. La legge di equipartizione non e` pi`u valida perch´e i gradi di libert`a associati alle frequenze alte, avendo quanti troppo grandi ad una data temperatura (hν ≫ kT ) non riescono ad ottenere la loro porzione di energia (kT ) ed rimangono effettivamente inattivi. Un’analoga spiegazione del comportamento del calore specifico di varie sostanze e` stata data da Debye e Einstein. L’esempio pi`u grande di corpo nero e` l’universo stesso: come e` noto l’universo di oggi e` riempito di radiazioni microonde (cosmic microwave radiation) corrispondenti alla temperatura di circa 2.70 K, che e` una sorta di radiazione fossile dall’epoca iniziale dell’espansione dell’universo.
1.3. SVILUPPO STORICO: NASCITA DELLA MECCANICA QUANTISTICA
27
1.3.2 Effetto fotoelettrico La soluzione del problema del corpo nero e l’ipotesi del quanto di energia (Planck, 1900) segnarono la nascita della fisica quantistica, ma dovettero attendere quasi 10 anni prima di essere universalmente accettate. Un’evidenza pi`u diretta della propriet`a corpuscolare della luce venne dall’analisi (Einstein, 1905) del cos`ıdetto “effetto fotoelettrico (Hertz 1887). In questa esperienza, un raggio X (raggio elettromagnetico di alta frequenza) viene fatto incidere sulla superficie di un metallo alkalino (per es. Li). Dalla superficie del metallo saltano fuori gli elettroni, che vengono misurati in forma di corrente (Fig.1.5). I fatti empirici principali sono: (i) l’energia di ciascun elettrone e` indipendente dall’intensit`a della luce; (ii) al crescere dell’intensit`a della luce aumenta il numero degli elettroni (i.e., aumenta la corrente foto-elettrica); (iii) l’energia di ciascun elettrone dipende dal colore (λ) del raggio; (iv) la corrente fotoelettrica si accende immediatamente dopo che la superficie viene illuminata. E` estremamente difficile capire questi fatti nella teoria di Maxwell. (Vedi Tomonaga). Fu Einstein il primo a osservare che tutte le suddette caratteristiche dell’esperienza trovano una spiegazione naturale se si adotta l’ipotesi di quanto di energia di Planck. Infatti supponiamo che il raggio X sia un fascio di “fotoni, ciascuno con energia hν (ν sar`a uguale per tutti se la luce e` monocromatica; altrimenti si troveranno diversi tipi di fotoni nel fascio). Supponiamo inoltre che gli elettroni, originalmente legati agli atomi del metallo, ricevono tutta l’energia del fotone che li colpisce; se l’energia ricevuta e` sufficientemente grande (i.e., rispetto all’energia di legame) essi salteranno fuori. Questa teoria predice una semplice relazione tra l’energia massima dell’elettrone E e la frequanza della luce ν, E = hν − A,
(1.112)
dove A e` una costante che dipende dalla sostanza.
X
e
Li e
G Figura 1.5: Effetto fotoelettrico I dati sperimentali, presi dall’articoli di Millikan (1916) mostrano che la relazione lineare predetta da (1.112) e` effettivamente osservata; inoltre dall’inclinazione della retta sperimentale si trova il valore per h: h ≃ 6.65 · 10−27 ergsec,
(1.113)
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE E CONCETTI PRINCIPALI
28
in ottimo accordo con il valore ottenuto da Wien-Planck (1.98). In questa maniera l’ipotesi di quanto di energia di Planck per la luce, e` stata inequivocabilmente verificata. Prendiamo nota che il carattere corpuscolare della luce, messo in evidenza dall’analisi dell’effetto fotoelettrico, si manifesta chiaramente anche nelle diffusioni dei raggi X da elettroni (Effetto Compton: vedi Problema 2).
1.3.3 Modello atomico di Bohr Nella discussione dello sviluppo storico che ha portato alla scoperta della nuova meccanica, un successivo passo fondamentale e` stato quello compiuto da Bohr (1913). Come era gi`a noto allora, i gas ad alta temperatura emettono luce con spettro caratteristico dell’elemento. (Per es., la lampada al sodio con la caratteristica luce di colore arancione). Per l’idrogeno, lo spettro contiene le linee corrispondenti alle lunghezze d’onda, ˚ Per queste linee spettrali, Balmer (1885) aveva 6562.8, 4861.3, 4340.5, 4101.7, . . . (A). trovato una formula empirica, λ=
n2 λ0 , n2 − 4
˚ λ0 = 3645.6 A,
n = 3, 4, 5, . . .
(1.114)
Pi`u tardi Rydberg aveva scoperto una fomula universale R 1 R ν − ; = = 2 c λ (m + a) (m + b)2
(1.115)
dove R e` una costante universale (i.e., indipendente dall’atomo), R = 109678cm−1
(1.116)
(chiamata costante di Rydberg) e a, b sono costanti che dipendono dall’elemento. La (1.115) rappresentava bene tutte le linee spettrali misurate per vari atomi. Restava da interpretare e comprendere il significato della formula di Rydberg. L’idea di Bohr era che l’energia dell’elettrone legato nell’atomo potesse prendere soltanto valori discreti, in analogia con quanto avveniva per l’oscillazione elettromagnetica. Pi`u precisamente, Bohr formul`o le seguenti ipotesi sull’atomo (l’insieme di queste era chiamato modello di Bohr): [1] I valori possibili dell’energia di un atomo sono discreti, E1 , E2 , . . . (Livelli di energia). Finch´e l’atomo e` in uno dei possibili stati (stati stazionari) non emette luce; [2] L’atomo emette o assorbe luce quando un elettrone compie una transizione (un “salto) da uno stato (n) ad un altro (m); la luce emessa o assorbita in tale transizione ha la frequenza uguale a, hν = En − Em , (1.117) [3] l’elettrone che si trova in uno stato stazionario si muove secondo la Meccanica Classica (questa ipotesi subir`a una sostanziale modifica in Meccanica Quantisticao); [4] Per n ≫ 1, i risultati della nuova meccanica coincidono con quelli ottenuti in Meccanica Classica (Principio di Corrispondenza di Bohr). Notiamo che le ipotesi di Bohr eliminano immediatamente (per decreto) la difficolt`a legata alla stabilit`a dell’atomo, discussa nell’Introduzione. Le ipotesi [1] e [2] permettono una naturale interpretazione della struttura della formula di Rydberg, attribuendo ai singoli termini En (livelli di energia), e non alle loro differenze, il significato fondamentale. Con grande ingegno, combinando le ipotesi sopra descritte, Bohr fu in grado di ottenere En nel caso dell’atomo di idrogeno: En = −
Rhc ; n2
n = 1, 2, . . . .
(1.118)
1.3. SVILUPPO STORICO: NASCITA DELLA MECCANICA QUANTISTICA
29
e di calcolare la costante di Rydberg in termini di m, e, c e h: R=
2π 2 me4 ≃ 1.09 · 105 cm−1 ch3
(1.119)
in accordo con il suo valore empirico. (Vedi Tomonaga.) Bohr riusc´ı inoltre a determinare l’ordine di grandezza del raggio dell’atomo di idrogeno rBohr =
~2 ≃ 0.529177 · 10−8 cm me2
(1.120)
(chiamato raggio di Bohr) dove e` stata introdotta una costante legata a h, ~≡
h ≃ 1.05 · 10−27 erg · sec. 2π
(1.121)
Sia h che ~ sar`a chiamata costante di Planck. L’esistenza di stati stazionari discreti (livelli di energia) in atomi e` stata verificata in un’elegante serie di esperienze fatte da Franck e Hertz (1913).
1.3.4 Condizione di quantizzazione di Bohr e Sommerfeld; Onda di de Broglie La correttezza dell’idea di quantizzazione fu dunque inequivocabile dopo il lavoro di Planck (quantizzazione dell’energia elettromagntica); quello di Einstein-Debye (quantizzazione dell’oscillazione atomico/molecolare nella teoria del calore specifico) e ora quello di Bohr (quantizzazione del moto degli elettroni nell’atomo), ma la formulazione corretta della Meccanica Quantistica dovette attendere i lavori di Heisenberg e Schr¨odinger (1924). E` di un certo interesse storico, tuttavia, ricordare due altri contributi importanti dell’epoca “pre-meccanica-quantistica. Bohr e Sommerfeld tentarono di formulare l’idea della quantizzazione in modo universale, di modo che essa fosse applicabile a tutti i moti classici finiti (periodici). Essi ipotizzarono la regola, I p dq = nh (n = 0, 1, 2, . . .) (1.122) (condizione di quantizzazione di Bohr e Sommerfeld ) dove q e p si riferiscono a una coppia arbitraria di variabili canoniche, e l’integrale va calcolato su un periodo classico. Osservazioni: • La limitazione ai moti finiti (periodici) e` importante. Non vi e` nessuna indicazione empirica che i moti non periodici siano quantizzati, fatto che trover`a conferma in Meccanica Quantistica. • Per l’oscillatore armonico la (1.122), in accordo con l’ipotesi di Planck, d`a il risultato En = nω~ = nhν, che per l’esattezza differisce da quello corretto della Meccanica Quantistica solo per una costante. • Per l’atomo di idrogeno, la (1.122) d`a il risultato corretto, ottenuto da Bohr. H • Come e` noto, p dq e` “un invariante adiabatico”. In altri termini, se uno o pi`u parametri presenti nel sistema variano lentamente col tempo, l’integrale per un periodo di moto rimane invariante. Si noti che per le variazioni sufficientemente lenti, il moto delH sistema e` approssimativamente periodico per molti periodi, e perci`o l’nitegraH le p dq e` ben definito. Il fatto che p dq e` invariante adiabatico, e` fondamentale per la consistenza della condizione di Bohr-Sommerfeld, (1.122). Altrimenti, non avrebbe senso proporre tale condizione come condizione universale. Basti pensare due sistemi che differiscono poco nei parametri (massa, profondit`a del potenziale, etc.).
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE E CONCETTI PRINCIPALI
30
• In generale, la (1.122) non e` esatta in Meccanica Quantistica, ma risulta essere approssimativamente valida nel limite semi-classico (vedi dopo). L’ultimo tassello mancante, per cos`ı dire, alla formulazione della Meccanica Quantistica fu il concetto che la dualit`a onda - corpuscolo, scoperta per la luce e successivamente per gli elettroni (per es. l’esperienza di Davisson-Germer (1927)), fosse in realt`a valida per tutte le particelle elementari (de Broglie, 1925). In particolare, ad ogni particella di impulso p, va associata una sorta di onda (onda di de Broglie) di lunghezza d’onda λ=
h p
(1.123)
(de Broglie). Questa relazione, pur semplice, e` di fondamentale importanza. de Broglie fu in grado di dare una “derivazione della formula di Bohr e Sommerfeld a partire dalla (1.123). Inoltre, la consistenza dell’ipotesi (1.123) implica che ad ogni particella va associato un “pacchetto d’onda. La velocit`a della particella va associata alla velocit`a di gruppo di quest’ultimo (e non la velocit`a di fase). In altre parole il lavoro di de Broglie offr´ı una prima chiave per interpretare e quantificare l’inconsueta idea della dualit`a onda corpuscolo.
1.3.5
Problemi
1. Si consideri un pendolo semplice (peso sorretto da una fune di massa trascurabile) sostenuto da una carrucola. Si dimostri che, se quando la fune viene tirata molto lentamente mentre il pendolo e` in oscillazione, la quantit`a E/ν si mantiene costante (invariante adiabatico), dove E e` l’energia dell’oscilazione (i.e., senza l’energia di potenziale). 2. Effetto Compton e cinematica relativistica. Si consideri lo scattering di un raggio X su un elettrone in quiete. Il raggo X di lunghezza d’onda λ e` considerato come un
X φ
X
ψ e Figura 1.6: Effetto Compton fascio di fotoni, ciascuno con energia hν e impulso p = hν/c, dove ν = c/λ. Siano mv pe = p 1 − v 2 /c2
1 Ee = mc2 p −1 2 2 1 − v /c
e
l’impulso e l’energia dell’elettrone nello stato finale, e chiamiamo φ e θ gli angoli che formano le velocit`a finali del fotone e dell’elettrone, rispetto alla direzione incidente. Il fotone ha energia e impulso finali hν ′ e hν ′ /c. (vedi Fig. 1.6) • Si usi la conservazione dell’ impulso per trovare la relazione mv p 1 − v 2 /c2
!2
=
hν c
2
+
hν ′ c
2
−2
hν c
hν ′ c
cos φ.
1.3. SVILUPPO STORICO: NASCITA DELLA MECCANICA QUANTISTICA
31
• Si usi la conservazione dell’energia e la formula precedente per ottenere: ν′ =
ν 1 + (2hν/mc2 ) sin2 (φ/2)
• iii) Si dimostri che la lunghezza d’onda λ′ del raggio X emesso nella direzione φ soddisfa 2h sin2 (φ/2) λ′ − λ = mc • (Formula di Compton; h/mc = 2.42 · 10−10 cm si chiama lunghezza Compton dell’elettrone) • iv) Si trovi l’energia dell’elettrone Ee nello stato finale, in termini di ν e di φ. Si calcoli Ee per λ = 10−9 cm e φ = π/2. (m = 9.1 · 10−28 gr quindi mc2 = 8 · 10−7 erg). •
3. Si consideri un atomo d’idrogeno (1 protone + un elettrone; mp = 1836me). • Si calcoli la massa ridotta (e si concluda che possiamo usare mridotta ≃ me );
• Si risolva l’equazione del moto (classico) me r(dθ/dt)2 = (e/r)2 , assumendo r costante; • Sia θ(t) = 2πνt + δ. Si determini ν facendo uso di me = 9 · 10−28 gr, r = 5 · 10−9 cm, e2 = 2 · 10−19 erg · cm;
• Si calcoli hν, dove h e` la costante di Plank (h = 7 · 10−27 erg · sec) e lo si paragoni con kT per T = 273o K, dove k e` la costante di Boltzman (k = 1 · 10−16 erg · K−1 ). Dimostrare che i gradi di libert`a associati agli elettroni sono “congelati a T ∼ 0o C e giustificare il calcolo del calore specifico dei solidi, fatto senza tener conto degli elettroni. 4. Si costruiscano quantit`a che abbiano la dimensione di una lunghezza, facendo uso di [me ], [c], [h] e [e2 ]. 5. Si verifichi che i potenziali di Li`enard-Wiechart Z ρ(r 2 , t − r12 /c) φ(r, t) = dV2 r12 Z j(r 2 , t − r12 /c) 1 dV2 A(r, t) = c r12
sono soluzioni delle equazioni di Maxwell in presenza di una distribuzione di carica (di densit`a ρ) e di corrente (di densit`a j).
6. Si trovi la formula
2
I = 2d¨ /3c2 per l’intensit`a di energia irradiata per unit`a di tempo da un dipolo elettrico. 7. Sono state osservate (all’inizio del secolo) le seguenti linee spettrali per un atomo (in cm−1 ): ν˜1 = 82258.27 ν˜6 = 20564.57 ν˜10 = 2469
ν˜5 = 15232.97 ν˜9 = 7799.30
ν˜8 = 5331.52 ν˜3 = 102822.84
ν˜2 = 97491.28 ν˜7 = 23032.31
ν˜4 = 105290.58
dove ν˜ = 1/λ e` l’inverso della lunghezza d’onda (“numero d’onda).
(1.124)
32
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE E CONCETTI PRINCIPALI • Si trovino tutti gli esempi della regola di combinazione di Ritz. (P.e., ν˜7 − ν˜5 = ν˜9 ); • Si dimostri che tutte le linee corrispondono alle varie combinazioni di cinque termini spettrali; • Si trovi una formula semplice per questi termini (tenendo conto del fatto che le considerazioni i) e ii) danno solo le differenze tra i termini).; • Che atomo e` questo?
8. Si calcoli il numero di fotoni emessi al secondo da una sorgente di luce di 1 candela. ˚ (Una sorgente di una candela emette luce con una potenza Si assuma λ = 5600 A. di 0.01 watt). Supponete che un osservatore guardi una sorgente di luce isotropa di una candela a una distanza di 100 metri. Calcolate il numero di fotoni che entrano in uno dei suoi occhi al secondo; assumete che la pupilla abbia un diametro di 4mm. Poich´e il numero di fotoni e` cos`ı grande, non osserviamo alcun tremolio, anche se il flusso luminoso e` piccolo per gli standard macroscopici. 9. Una stella di prima magnitudo apparente, come la stella di Aldebaran, e` facilmente visibile a occhio nudo e la si vede lampeggiare. Tale stella produce un flusso sulla superfice della terra di 10−6 lumen/m2 . Un lumen alla lunghezza d’onda di massima ˚ corrisponde a 0.0016 watt. Si calcoli il numero di visibilit`a, che e` di circa 5560 A, fotoni che entrano nell’occhio di un osservatore che vede una tale stella.
Capitolo 2
Princ`ıpi della meccanica quantistica
33
` DELLA MECCANICA QUANTISTICA CAPITOLO 2. PRINCIPI
34
2.1 Princ´ıpi e Legge della Meccanica Quantistica In questo capitolo sono introdotti i postulati principali e la legge della meccanica quantistica. Lo stato quantistico e` descritto da una funzione d’onda; le variabili dinamiche da operatori hermitiani; infine l’evoluzione temporale dello stato dall’equazione di Schr¨odinger. Le predizioni della nuova meccanica sono formulate in termini di probablilit`a che la misura di una variabile, in un dato stato, dia uno dei possibili valori. Questi ultimi sono autovalori del relativo operatore Hermitiano.
2.1.1 Lo stato quantistico e il principio di sovrapposizione La discussione dell’esperimento di Tonomura et. al., discussa nell’Introduzione e` una conferma diretta della relazione di de Broglie, (1.123). Questi ci porta a definire uno stato quantistico non in termini di valori simultanei {p, q} delle variabili canoniche, ma con una sorta di onda. Infatti, abbiamo il primo Postulato Fondamentale della Meccanica Quantistica: lo stato e` descritto da una funzione complessa stato quantistico ∼ ψ({q}, t)
(2.1)
chiamata funzione d’onda. Essa dipende dalle coordinate canoniche e dal tempo ma non dagli impulsi.1 La conoscenza della funzione d’onda equivale alla completa conoscenza dello stato quantistico. Essa permette di calcolare le probabilit`a di ottenere determinati risultati in qualsiasi tipo di misura. Per esempio consideriamo la posizione di una particella, o pi`u in generale, le coordinate generalizzate del sistema (q). La probabilit`a di trovare il sistema nell’intervallo di coordinate [q, q + dq] e` , per postulato dato da dP = |ψ({q}, t)|2 dq
(2.2)
(dq ≡ dq1 dq2 . . . dqs ). Per una particella in tre dimensioni la probabilit`a che essa si trovi in un volume attorno al punto r e` |ψ(r, t)|2 d3 r. (2.3) Poich´e la probabilit`a totale deve essere 1, si deve imporre Z ||ψ||2 = |ψ({q}, t)|2 dq = 1.
(2.4)
L’eq.(2.4) e`R nota come condizione di normalizzazione. Ogni funzione d’onda per la quale l’integrale |ψ({q}, t)|2 dq converge, e` normalizzabile, con la moltiplicazione di un numero opportuno.2 Segue che la funzione ψ e un’altra funzione c ψ dove c e` un numero complesso costante qualsiasi diverso da zero, rappresentano lo stesso stato, i.e., ψ ∼ c ψ,
c 6= 0.
(2.5)
In altre parole, lo stato quantistico e` descritto dal raggio di ψ, nello spazio di funzioni normalizzabili.3 1 Tale
descrizione appare introdurre la perdita della simmetria per lo scambio tra le coordinate e gli impulsi, che caratterizza il formalismo canonico della fisica classica. In realt`a la legge della meccanica quantistica ha una completa simmetria per q ↔ p; l’apparente violazione di questa simmetria in (2.1) e` dovuta alla scelta del linguaggio, alla particolare scelta della rappresentazione per lo stato quantistico, come sar`a spiegato nei capitoli successivi. 2 Per esempio, ψ(r, t) = e+r2 non e ` normalizzabile, pertanto non rappresenta nessuno stato fisico. 3 Pi` u precisamente, ψ deve appartenere ad uno spazio di Hilbert, H.
´ E LEGGE DELLA MECCANICA QUANTISTICA 2.1. PRINCIPI
35
Il principio di sovrapposizione afferma che se ψ1 e ψ2 sono due stati possibili (fisici) qualsiasi 4 di un sistema, un terzo stato descritto da ψ = c1 ψ1 + c2 ψ2
(2.6)
dove c1 , c2 sono due costanti complesse arbitrarie, e` anche esso uno stato possibile (fisico). Significa che l’insieme degli stati ammissibili di un dato sistema e` descritto da uno spazio lineare di funzioni d’onda, H. Per consistenza, il principio di sovrapposizione richiede che l’evoluzione temporale della funzione d’onda sia descritta da un’equazione lineare in ψ, i.e., del tipo Sψ = 0.
(2.7)
dove S e` un operatore lineare, i.e., un operatore tale che S(c1 ψ1 + c2 ψ2 ) = c1 Sψ1 + c2 Sψ2 .
(2.8)
La forma esplicita dell’operatore S sar`a discussa in seguito. La descrizione dello stato quantistico in termini di funzione d’onda introduce una certa asomiglianza con quella della dinamica di onde classiche, e per questa ragione e` stata usata in passato la denominazione di “meccanica ondulatoria” per la dinamica di Schr¨odinger. Tuttavia, esistono delle differenze essenziali tra la dinamica delle onde classiche e quella dello stato quantistico. Per esempio, in meccanica quantistica la funzione d’onda ψ e un’altra funzione d’onda cψ (c 6= 0 ) rappresentano lo stesso stato, come abbiamo appena accennato, mentre due funzioni che differiscono di un fattore moltiplicativo rappresentano due onde classiche di diversa ampiezza, perci`o di diversa energia, fisicamente distinguibili. Il concetto stesso di sovrapposizione richiede un’interpretazione drasticamente diversa in meccanica quantistica, rispetto a quella delle onde classiche. Consideriamo per esempio due stati (quantistici) A e B.5 Siano questi stati tali che la misura di una determinata quantit`a fisica (O) dia con certezza (i.e., con probabilit`a 1) il risultato a nello stato A, e con certezza il risultato b, nello stato B. Ora secondo il principio di sovrapposizione esiste uno stato fisico C descritto da ψC = cA ψA + cB ψB , (2.9) dove ψA e ψB sono le funzioni d’onda (normalizzate) degli stati A e B; cA , cB sono due numeri complessi arbitrari. Le propriet`a fisiche dello stato C saranno in qualche modo intermedie tra quelle dello stato A e quelle dello stato B. Qual’`e il risultato di una misura della stessa quantit`a O fatta nello stato C? Secondo la regola della meccanica quantistica, il risultato di una singola misura non pu`o mai essere diverso da a oppure da b. Pi`u precisamente, la meccanica quantistica predice che le probabilit`a per ottenere i risultati a e b sono rispettivamente |cB |2 |cA |2 ; P = , (2.10) Pa = b |cA |2 + |cB |2 |cA |2 + |cB |2
e zero per tutti gli altri possibili valori di O. In altri termini, il carattere intermedio dello stato C si manifesta nelle probabilit`a di ottenere un determinato risultato in un’osservazione, e non nei risultati stessi di singole misure (Dirac). Queste “regole” della nuova meccanica saranno formulate nella successive sezioni. Osservazioni • Secondo quanto detto sopra le funzioni d’onda ψ e eiα ψ (con α reale), rappresentano lo stesso stato. La fase costante davanti alla funzione d’onda non ha un significato fisico. Ma ovviamente ψA = c1 ψ1 + c2 ψ2 e ψB = c1 ψ1 + c2 eiα ψ2 sono due stati diversi (per c1 c2 6= 0). 4 Ci
sono eccezioni a questa regola (regola di superselezione). in poi, eccetto quando c’`e un rischio di un’ambiguit`a o un malinteso, useremo semplicemente la parola “stato” al posto di “stato quantistico.” 5 D’ora
36
` DELLA MECCANICA QUANTISTICA CAPITOLO 2. PRINCIPI • Per due sistemi A e B non-interagenti tra di loro e scorrelati la funzione d’onda si fattorizza: ψA,B = ψA ψB . (2.11) Si noti che in presenza di particelle identiche, la funzione d’onda di molti corpi deve avere una certa propriet`a di simmetria per scambi di queste particelle, e questo introduce una correlazione anche tra particelle non-interagenti. Questo aspetto peculiare della meccanica quantistica, di fondamentale importanza nella fisica dei molti corpi, sar`a discusso nel Capitolo ??
Polarizzazione del fotone Lo stato di polarizzazione della luce e` descritta in teoria classica dal vettore di polarizzazione A = Aλ (k) ǫλ (k) eik·r−iωt + h.c.
(2.12)
Per semplicit`a abbiamo assunto una luce monocromatica. In gauge di radiazione, E=−
1 ∂A , c ∂t
B = ∇ × A,
ǫ · k = 0.
(2.13)
L’ultima condizione significa che ci sono due polarizzazioni indipendenti. La luce polarizzata linearmente corrisponde a, per es., ǫ1 = (1, 0, 0),
k = (0, 0, k),
(2.14)
con
A1 ω cos(k · r − ωt), Ey = 0, (2.15) c e analogamente per ǫ2 = (0, 1, 0). La luce polarizzata linearmente, ma in direzione (sin θ, cos θ) (nel piano perpendicolare alla direzione della propagazione) e` descritta da Ex =
ǫ = (cos θ, sin θ, 0).
(2.16)
La luce con polarizzazione circolare, corrisponde per es. a 1 ǫ1 = √ (1, i, 0), 2 A+ A+ Ex = √ ω cos(k · r − ωt), Ey = √ ω sin(k · r − ωt), (2.17) 2c 2c una polarizzazione elittica a ǫ = √15 (2, i, 0), etc. Secondo la meccanica quantistica la luce va considerato come un fascio di fotoni, e l’origine della proprit`a di polarizzazione pu`o essere attribuita ai due possibili stati indipendenti del singolo fotone. Tralasciando altre caratteristiche (l’impulso, direzione della propagazione), lo stato di un singolo fotone e` descritto da una combinazione generale |ψi = c1 |1i + c2 |2i,
|c1 |2 + |c2 |2 = 1.
(2.18)
|1i, |2i rappresentano due stati ortonormali di polarizzazioni lineari nelle direzioni x e y, corrispondono alle luci polarizzati linearmente (2.14), e soddisfano h1|1i = h2|2i = 1,
h1|2i = 0.
(2.19)
Certi cristalli hanno la propriet`a di fare passare solo la luce polarizzata lungo un asse caratteristico, chiamato asse di polarizzazione. Quando un fascio incidente ha una polarizzazione lineare nella direzione che fa un angolo θ rispetto all’asse di polarizzazione, si trova empiricamente che l’intensit`a di luce che passa e` I(θ) = I(0) cos2 θ (2.20) (Legge di Malus). Ora consideriamo lo stesso esperimento dal punto di vista di singoli fotoni che incidono sul cristallo, con l’asse di polarizzazione nella direzione di x ˆ. Se il fotone ha la polarizzazione lineare 1,
´ E LEGGE DELLA MECCANICA QUANTISTICA 2.1. PRINCIPI
37
passer`a con certezza, con probabilit`a P = 1. Se esso e` di tipo |2i, invece non passer`a (probabilit`a nulla di passare). Cosa succede se il fotone incidente e` nello stato, |θi = cos θ |1i + sin θ |2i
(2.21)
(stato di polarizzazione lineare nella direzione θ dall’asse x)? L’unica risposta sensata - ed e` la predizione della meccanica quantistica - e` che il fotone ha la probabilit`a P+ = |c1 |2 = cos2 θ di passare, e la probabilit`a P− = |c2 |2 = sin2 θ di non passare. Per una luce polarizzata perfettamente nella direzione θ, composta di molti fotoni nello stato |θi, ritroviamo la legge di Malus. In questo esempio, vediamo che l’interpretazione probabilistica della meccanica quantistica e` una diretta conseguenza dei fatti empirici, o meglio, l’unica formulazione logica possibile di questi fatti.
2.1.2 Principio di indeterminazione di Heisenberg Il fatto che l’elettrone sia descritto da una sorta di onda, funzione d’onda, significa che il concetto classico di traiettoria perde validit`a. Esso non pu`o avere simultaneamente valori definiti dell’impulso e della posizione. Questo non significa che i concetti stessi come la posizione, l’impulso e l’energia perdano totalmente senso. E` la descrizione dello stato quantistico che differisce sostanzialmente da quella della meccanica classica, dove “lo stato fisico” e` completamente specificato dai valori contemporanei di qi , pi ; E, .... D’altra parte, nei limiti in cui la costante di Planck h pu`o essere considerata piccola, le leggi della meccanica quantistica devono essere consistenti con quelle della meccanica classica. In qualche modo, allora, la costante h dovr`a segnare il confine tra il dominio quantistico e quello classico. L’espressione matematica della suddetta limitazione per la determinazione simultanea di qi e pi e` stata scoperta da Heisenberg. Essa viene espressa da un insieme di disuguaglianze: ∆x · ∆px ≥ ~;
∆y · ∆py ≥ ~;
∆z · ∆pz ≥ ~;
(2.22)
o pi`u generale, per una coppia canonica qualsiasi, ∆qi · ∆pi ≥ ~,
(2.23)
dove ~≡
h ≃ 1.054 · 10−27 2π
(erg · sec)
(2.24)
Queste relazioni sono chiamate relazioni di Heisenberg; o relazioni d’indeterminazione di Heisenberg. La relazione d’indeterminazione segue dalla descrizione di una particella come un pacchetto d’onda. Per esempio, consideriamo un pacchetto d’onda di forma Gaussiana in una dimensione, che a t = 0 e` dato da: ψ(x, 0) = cost. e−x
2
/d2
.
(2.25)
Notiamo che questo pacchetto e` concentrato attorno a x = 0 ma ha una dispersione, ∆x =
p h(x − hxi)2 i ∼ d,
(2.26)
che pu`o essere interpretato come una sorta di indeterminazione della sua posizione.6 6 Come accennato nella sezione precedente, il calcolo dei valori medii nella (2.26) coinvolge la densit` a di probabilit`a |ψ|2 anzich´e la funzione ψ stessa.
38
` DELLA MECCANICA QUANTISTICA CAPITOLO 2. PRINCIPI
D’altra parte ψ(x) = ψ(x, 0) pu`o essere visto come una sovrapposizione di onde piane: la sua trasformata di Fourier e` Z ∞ ψ(x) = dλ a(λ)e2πix/λ + a∗ (λ)e−2πix/λ Z0 ∞ dλ a(λ) e2πix/λ (2.27) = −∞
dove λ e` la lunghezza d’onda e a(−λ) ≡ a∗ (λ). Secondo de Broglie vale la relazione p=
h λ
(2.28)
per ogni particella (onda di de Broglie): la equazione precedente pu`o essere riletta allora come sovrapposizione di diverse componenti di impulso p: Z ∞ ˜ eipx/~ ψ(x) = dp ψ(p) (2.29) −∞
˜ si calcola facilmente nel dove e` stato introdotto ~ ≡ h/2π. La componente di Fourier ψ(p) −x2 /d2 caso di un’onda Gaussiana, ψ(x) = e : Z ∞ dx −ipx/~ −x2 /d2 ˜ e e ψ(p) = 2π~ −∞ Z ∞ dx −(x+ipd2 /2~)2 /d2 −d2 p2 /4~2 e e = 2π~ −∞ =
cost. e−d
2 2
p /4~2
.
(2.30)
Tale risultato e` interpretabile come un’indeterminazione dell’impulso dell’ordine di ∆p ∼
~ . d
(2.31)
Dalle equazioni (2.26) e (2.31) segue la relazione di Heisenberg. Risulta che il pacchetto Gaussiano minimizza il prodotto ∆x∆p: per un pacchetto generico si trova (vedi dopo) una disuguaglianza come nelle eq.(2.22). Le relazioni d’indeterminazione implicano che in uno stato in cui la posizione di un elettrone e` esattamente nota, la conoscenza dell’impulso e` completamente persa, o vice versa, ed in ogni modo il prodotto ∆q∆p non pu`o essere minore di ~. Il significato della relazione di Heisenberg va precisato meglio. E` naturale chiedersi se tale relazione abbia affatto senso. Infatti, non basterebbe prendere una particella di cui l’impulso, pz , per es., e` perfettamente noto grazie alla preparazione antecendente, e misurarne la posizione z con una precisione che si vuole, per ottenere uno “stato” in cui la posizione e l’impulso sono perfettamente determinati contemporaneamente, o per lo meno uno stato arbitrariamente vicino a tale stato? Queste questioni sono stati studiate da Heisenberg, attraverso esame di una serie di “Gedanken experiments” (le esperienze pensate, ipotetiche) 7 . Consideriamo qui solo due esempi. La prima riguarda la misura della posizione di un elettrone con un microscopio ottico. (Fig.2.1) La luce entra orizzontalmente, viene diffusa dall’elettrone e entra nella lente dell’obiettivo. Come e` noto dall’ottica, la risoluzione orizzontale di tale apparecchio e` data dalla formula: λ (2.32) ∆x ∼ sin ǫ 7 “Principi Fisici della Meccanica Quantistica (Bolinghieri); Physical Foundation of Quantum Mechanics” di Heisenberg.
´ E LEGGE DELLA MECCANICA QUANTISTICA 2.1. PRINCIPI
Fotone
39
ε Elettrone
Figura 2.1: Osservazione della posizione orizzontale di un elettrone con un microscopio dove λ e` la lunghezza d’onda della luce usata, ed ǫ e` l’apertura angolare dell’obiettivo. A causa della misura, l’elettrone ricever`a un rinculo dell’ordine di hν/c, i.e., dell’ordine del’impulso del fotone, da scattering Compton (vedi il Problema 2 della sezione precedente). Siccome la direzione del fotone e` nota solo entro il limite determinato dall’angolo ǫ, la componente orizzontale dell’impulso dell’elettrone sar`a anche essa affetta da un’incognita di h hν sin ǫ ∼ sin ǫ (2.33) ∆px ∼ c λ da cui segue la relazione ∆x ∆px ∼ h.
(2.34)
La dualit`a onda-corpuscolo della luce e` essenziale nell’argomentazione. Un altro “Gedanken experiment” e` la misura della posizione verticale (z) dell’elettrone che entra orizzontalmente in una fenditura (Fig. 2.2). Supponiamo che il fascio di elettroni sia ben collimato di modo che il suo impulso nella direzione verticale possa essere considerato zero. L’apertura della fenditura d introduce un’indeterminazione nella posizione dell’elettrone: essa sar`a misurata con la precisione di ∆z ∼ d
(2.35)
se l’elettrone attraversa la fenditura. Ora, secondo de Broglie l’elettrone con impulso p si comporta come un’onda di lunghezza d’onda λ = h/p: come tale, esso subir`a una diffrazione al passaggio dalla fenditura stretta. Questa onda si diffonde di un angolo α dove λ (2.36) sin α ∼ d dove e` stata usato un altro risultato ben noto in ottica. Perci`o l’elettrone, al passaggio dalla fenditura, acquista una componente verticale dell’impulso, nota entro il limite di ∆pz ∼ |p| sin α =
h λ h = . λ d d
(2.37)
Per il prodotto delle indeterminazioni della posizione e dell’impulso (le componenti verticali) vale perci`o la relazione ∆z ∆pz ∼ h. (2.38) Questa deduzione utilizza la dualit`a onda-corpuscolo dell’elettrone. Queste discussioni dimostrano che c’`e un limite nella precisione della determinazione simultanea delle variabili canonicamente coniugate, se interpretiamo la simultaneit`a
40
` DELLA MECCANICA QUANTISTICA CAPITOLO 2. PRINCIPI
z p
Figura 2.2: Determinazione della posizione verticale di un elettrone con il passaggio per una fenditura
nel senso fisico.8 Tale limite e` un limite fisico, indipendente dalla condizione esterna dell’osservazione (tecnica, perizia, esperienza, qualit`a dell’apparato di misura, ecc.); esso e` dovuto alla propriet`a dinamica del processo fisico coinvolto. Infatti queste argomentazioni di Heisenberg mettono in risalto un aspetto caratteristico importante della meccanica quantistica. Nelle esperienze che coinvolgono i sistemi atomici o sub-atomici la perturbazione dovuta al processo di una misura non pu`o essere controllata dall’osservatore oltre un certo limite, essendo tale limite una propriet`a fisica dei processi stessi. Il determinismo nel senso classico e` generalmente perso nel processo di osservazione. L’interpretazione probabilistica delle predizioni della meccanica quantistica, associata al processo della misura, e` legata intimamente al principio d’indeterminazione. Viceversa, i sitemi lasciati indistrubati evolvono in maniera perfettamente deterministica. La funzione d’onda obbedisce l’equazione di Schr¨odinger, un’equazione differenziale nel tempo t. Tutto ci`o e` in contrasto con quanto accade in meccanica classica. In processi macroscopici, il disturbo causato dalla misura (l’apparato e i processi) all’oggetto di misura e` trascurabile. Il concetto classico di determinismo e` basato su questo fatto. Dal punto di vista pi`u generale, tuttavia, c’`e da tenere presente che il determinismo tradizionale ha - negli ultimi decenni - subito una notevole revisione, anche nell’ambito della meccanica classica, collegata con i fenomeni nonlineari, il caos, ecc.
2.1.3 Operatori, autovalori e autostati, risultati di un’osservazione Abbiamo visto che lo stato quantistico e` descritto da una funzione complessa - funzione d’onda, ψ({q}, t). Come sono descritte le variabili dinamiche? Quali sono i risultati possibili di una misura? Qual’`e la predizione della meccanica quantistica? In meccanica quantistica, ad ogni variabile dinamica f viene associato un operatore lineare fˆ, che agisce nello spazio H delle funzioni d’onda. Un operatore lineare fˆ soddisfa per definizione, (2.39) fˆ(c1 ψ1 + c2 ψ2 ) = c1 fˆψ1 + c2 fˆψ2 , dove c1 c2 sono costanti complesse arbitrarie.9 Le relazioni di Heisenberg implicano l’introduzione del concetto di una media quantistica, o valore d’aspettazione di un operatore in un dato stato. Esso pu`o essere definito, nel caso dell’operatore di posizione, come Z Z 2 hqiψ = dq q |ψ(q)| = dq ψ ∗ (q) q ψ(q), (2.40) 8 Al contrario, il prodotto tra l’indeterminazione di p un istante prima e l’indeterminazione di z immediataz mente dopo il passagio dell’elettrone per la fenditura, nel secondo esempio discusso qui, ha solo un significato filosofico, non essendo tale prodotto utilizzabile come condizione iniziale per processi successivi. 9 Esempi: la funzione d’onda di una particella in tre dimensioni ha la forma ψ(r, t); gli operatori differenziali ∂ ∂2 , ∂ , ∂ , .. ∇2 = ∂x 2 ∂t ∂x ∂z ˆ = ψ2 non e` lineare. Qψ
+
∂2 ∂y 2
+
∂2 , ∂z 2
sono operatori lineari; l’operatore ψ → U (r)ψ e` lineare, mentre
´ E LEGGE DELLA MECCANICA QUANTISTICA 2.1. PRINCIPI
41
visto che |ψ(q)|2 e` la densit`a di probabilit`a. Generalizzando, e` naturale definire il valor medio dell’operatore generico fˆ nello stato ψ con Z hψ|fˆ|ψi = dq ψ ∗ (q) fˆ ψ(q); (2.41) ma la relazione tra questa quantit`a e la media dei risultati sperimentali della variabile f non e` ovvia. Infatti, il risultato di una singola misura della variabile dinamica f e` uno degli autovalori di fˆ, fn : fˆψn = fn ψn , ||ψn || = 1. (2.42)
Le autofunzioni ψn descrivono gli autostati dell’operatore: stato in cui la misura di f d`a con certezza il valore fn . Un generico stato e` descritto da una combinazione lineare X ψ(q) = cn ψn (q). (2.43) n
di autostati {ψn }. Il secondo Postulato Fondamentale della Meccanica Quantistica asserisce che la probabilit`a di ottenere il risultato fn nella misura di f fatta nello stato (2.43) e` data da Pn = |cn |2 (2.44) Facendo uso dell’ortonormalit`a degli autostati10 Z hψn |ψm i = dq ψn∗ ψm = δn m ,
(2.45)
(l’ortogonalit`a degli autostati relativi ad autovalori diversi sar`a dimostrata nella sezione successiva), la condizione della normalizzazione dello stato ψ, ||ψ|| = 1, implica che X n
Pn =
X n
|cn |2 = 1.
(2.46)
Segue allora che il valore d’aspettazione dell’operatore fˆ nello stato ψ, (3.84), e` uguale a Z X X ˆ hψ|f |ψi = dq ψ ∗ (q) fˆ ψ(q) = |cn |2 fn = Pn fn , (2.47) n
n
dove abbiamo usato la linearit`a dell’operatore. (2.47) e` giustamente la quantit`a da confrontare con il risultato mediato delle misure ripetute. Una formula alternativa per la probabilit`a (2.44) e` Pn = |hψn |ψi|2
(2.48)
visto che il coefficiente dello sviluppo, usando la relazione di ortonormalit`a, (2.45), e` uguale a Z hψn |ψi ≡ dq ψn (q)∗ ψ(q) = cn . (2.49)
In altre parole, la probabilit`a di trovare un determinato risultato nella misura di f e` il modulo quadrato della proiezione della funzione d’onda su relativa autofunzione. 10 Nelle
(2.45), (2.47), (2.49) introduciamo la notazione di Dirac, con i “ket”, |i, e i “bra”, h|.
42
` DELLA MECCANICA QUANTISTICA CAPITOLO 2. PRINCIPI
2.1.4 Risultati reali per una misura; Operatori Hermitiani Il fatto che il risultato di misura di una quantit`a fisica sia un numero reale, impone una condizione particolare sull’operatore associato. Infatti, visti i postulati della meccanica quantistica, fˆ deve essere tale che i suoi autovalori fn (i.e., possibili risultati sperimentali) e di conseguenza il suo valor medio siano in qualsiasi stato reali. Prima di tutto definiamo il trasposto f T di un operatore. Dato uno stato ψ, se esiste una funzione χ ∈ H tale che per qualsiasi φ ∈ H vale la relazione Z Z ∗ dq (f φ ) ψ = dq φ∗ χ, (2.50) allora
χ ≡ f T ψ.
(2.51)
f † ≡ (f T )∗ = (f ∗ )T .
(2.52)
f † = f,
(2.53)
Il coniugato Hermitiano di un operatore e` definito come
Un operatore e` Hermitiano se i.e., se hφ|f ψi = hψ|f φi∗ ≡ hf φ|ψi,
∀ψ, φ ∈ H.
(2.54)
∗
Per un operatore Hermitiano f si ha infatti hf i = hf i , prendendo ψ = φ in (2.54). In particolare, per ψ = ψn , si trova fn∗ = fn , come richiesto. Nota: L’Hermiticit`a di f e` anche necessaria. Infatti, supponiamo che valga hψ|f |ψi = hψ|f |ψi∗ per qualsiasi ψ. Ponendo ψ = χ + eiα φ, troviamo che eiα hχ|f |φi + e−iα hφ|f |χi ∈ R,
(2.55)
(reale) per qualsiasi valori di α costante reale. Segue che hφ|f |χi = hχ|f |φi∗ ,
(2.56)
per ogni scelta di χ, φ, che significa che f e` Hermitiano, per definizione ((2.54)).
Arriviamo alla conclusione che ad ogni variabile dinamica e` associato un operatore lineare e Hermitiano. Esempi: l’operatore x, y, x2 , i∂/∂x, i∂/∂t ecc., sono Hermitiani; ∂/∂x non e` Hermitiano. Teorema: Gli autostati corrispondenti ad autovalori diversi di un operatore Hermitiano sono ortogonali. Dall’eq.(2.42) segue Z Z ∗ ∗ dq ψm f ψn = fn dq ψm ψn ; (2.57)
e un’analoga relazione in cui n e m sono scambiati, Z Z dq ψn∗ f ψm = fm dq ψn∗ ψm .
Prendendo ora la combinazione, (2.57) - (2.58)∗, si trova Z Z ∗ ∗ (fn − fm ) dq ψm ψn = dq ψm (f − f † )ψn = 0, dove e` stato usato il fatto che {fn } sono numeri reali, e f † = f . Segue Z ∗ dq ψm ψn = 0, se fn 6= fm .
(2.58)
(2.59)
(2.60) ♠
´ E LEGGE DELLA MECCANICA QUANTISTICA 2.1. PRINCIPI
43
2.1.5 Prodotti di operatori, Commutatori, Osservabili compatibili Il prodotto di due operatori e` definito da f gψ ≡ f (gψ).
(2.61)
In generale gli operatori f g e gf sono diversi. Il commutatore tra due operatori f e g e` definifto da [f, g] ≡ f g − gf. (2.62) Se [f, g] = 0, i due operatori commutano. Inoltre, i commutatori soddisfano all’identit`a di Jacobi,
[f, [g, h]] + [g, [h, f ]] + [h, [f, g]] = 0
(2.63)
(cfr. vedi 1.2.2.) Nella discussione delle osservabili gioca un ruolo importante il seguente Teorema: Se due operatori f e g commutano, esiste una base di stati ortonormali e completi {ψn } tale che f ψn = fn ψn ; gψn = gn ψn . (2.64) In altre parole si possono trovare gli stati che sono simultaneamente autostati sia di f che di g. I due operatori corrispondono perci`o a due quantit`a fisiche (osservabili) compatibili, che possono avere simultaneamente valori definiti. Dimostrazione: Nel sottospazio di autostati di g con determinato autovalore gn , ψni g ψni = gn ψni :
i = 1, 2, . . . ,
(2.65)
g agisce come un operatore unit`a (a parte una moltiplicazione di un numero), Z Gij = dq ψ j∗ g ψ i = gn δij . L’operatore f in questo sottospazio in generale non e` diagonale, f ψni = Fij ψnj ,
(2.66)
dove abbiamo utilizzato la linearit`a di f e il fatto che f e g commutano, per concludere che f ψni e` un autostato di g con autovalore gn . Dal fatto che l’operatore f e` Hermitiano segue che (sopprimendo l’indice n) Z Z Z j∗ i ∗ j∗ i Fij = dq ψ f ψ = dq (f ψ )ψ = ( dq ψ i∗ f ψ j )∗ = Fji∗ : F e` una matrice Hermitiana. Una matrice Hermitiana pu`o essere diagonalizzata con un atrasformazione unitaria φi = (U −1 )ij ψ j = Uij† ψ j , f1 0 · · · 0 f2 . . . ˜ = U † FU = F .. .. . . , . . . 0 0 ...
ψ i = Uij φj ,
U † U = U U † = 1.
(2.67)
(2.68)
(2.69)
Nella nuova base, f φi
= Uij† f ψ j = Uij† Fjk ψ k = Uij† Fjk Ukl φl = (U † F U )il φl = fi φi .
(2.70)
44
` DELLA MECCANICA QUANTISTICA CAPITOLO 2. PRINCIPI
Chiramente una matrice unit`a Gij e` invariante per qualsiasi trasformazione unitaria, perci`o gli stati φi sono autostati simutanei di f e di g. In breve, si tratta semplicemente di diagonalizzare l’operatore f nello spazio di autostati (degeneri) appartenenti ad un autovalore di g, o vice versa. ♠ Ricapitolando, se [f, g] = 0, i due operatori corrispondono a due quantit`a fisiche di cui valori possono essere simultaneamente precisati: sono simultaneamente osservabili con arbitraria precisione e non sono condizionate dalle relazioni d’indeterminazione. La discussione sopra chiaramente pu`o essere generalizzata al caso di pi`u operatori che commutano tra di loro. Partendo da un operatore qualsiasi, si arriva al concetto di osservabili massimali, i.e., un insieme massimale di tutte le variabili dinamiche {Oi } con relativi operatori che commutano tra di loro. Gli autovalori di tale osservabili massimali forniscono una caratterizzazione completa dello stato. La scelta di tale insieme massimale di osservabili non e` in generale univoca. Vice versa, la relazione di Heisenberg si riferisce, appunto, a coppie di variabili dinamiche che non commutano, e in particolare a coppie canoniche delle variabili (vedi Sez. 2.1.6). Esercizio: Il valor medio di un operatore di forma A† A in qualsiasi stato e` semipositivo definito. Z Z hA† Aiψ = dq ψ ∗ A† A ψ = dq |A ψ|2 ≥ 0.
(2.71)
Esercizio: Dimostrare (A B)† = B † A†
2.1.6 Operatori di posizione e di impulso, Commutatori fondamentali, Relazione di Heisenberg L’operatore di posizione (coordinate generalizzate) agisce in modo semplice qˆ ψ(q, t) = q ψ(q, t),
(2.72)
esso corrisponde alla moltiplicazione di q (questo fatto era implicito nella definizione di hqi.) L’operatore dell’impulso canonicamente coniugato a q e` pˆ = −i ~
∂ , ∂q
(2.73)
e per una particella in tre dimensione, p = −i~∇
(2.74)
Segue che le due variabili canonicamente coniugate soddisfano la relazione di commutatore, [ˆ q , pˆ] = i ~ . (2.75) Per una particella in tre dimensione, [xi , pj ] = i ~ δij .
(2.76)
Le componenti di qˆ commutano tra loro, ed cos`ı anche le componenti di pˆ: [xi , xj ] = [pi , pj ] = 0. Osservazione
(2.77)
´ E LEGGE DELLA MECCANICA QUANTISTICA 2.1. PRINCIPI
45
La somiglianza tra queste relazioni e quelle soddisfatte da parentesi di Poisson in meccanica classica, (1.37), non e` casuale. Dal punto di vista formale, infatti, la meccanica quantistica pu`o essere vista come una deformazione, {f, g} →
1 [f, g], i~
(2.78)
della meccanica classica, espressa in termini di parentesi di Poisson. Relazione di Indeterminazione di Heisenberg Ora che abbiamo definito operatori, l’azione di un operatore sugli stati, i commutatori tra operatori e il valor medio di un operatore in uno stato, siamo finalmente in grado di dimostrare la relazione di Heisenberg in modo pi`u rigoroso. La discussione della sezione 2.1.2 lasciava molti punti oscuri. Dimostriamo infatti che, per una qualsiasi coppia di operatori Hermitiani Q, P che soddisfano [Q, P ] = i~,
(2.79)
e` valida la relazione di Heisenberg, (2.85) qui sotto. Si noti il fattore 21 . L’indeterminazione di Q o di P e` definito da ∆Q ≡ dove
p h(Q − Q0 )2 i,
Q0 = hQi = hψ|Q|ψi;
∆P ≡
p h(P − P0 )2 i,
P0 = hP i = hψ|P |ψi,
(2.80)
sono i valor medi dei due operatori nello stato ψ. Consideriamo un operatore A = Q − Q0 + iα(P − P0 ),
(2.81)
dove α e` un numero reale qualsiasi. Facendo uso del fatto che hψ|A† A|ψi ≥ 0,
(2.82)
h(Q − Q0 )2 i − α~ + α2 h(P − P0 )2 i ≥ 0,
(2.83)
per qualsiasi operatore A, si ha
una disuguaglianza valida per qualsiasi α. Un’espressione quadratica e` semidefinita positiva quando il suo discriminante e` negativo o zero: ~2 − 4(∆Q)2 · (∆P )2 ≤ 0;
(2.84)
i.e., ∆Q · ∆P ≥
~ , 2
(2.85)
dove abbiamo definito lo scarto quadrato come media sullo stato in questione, (∆Q)2 ≡ h(Q − Q0 )2 i = hQ2 − Q20 i = hQ2 i − hQi2 ,
(2.86)
(∆P )2 ≡ h(P − P0 )2 i = hP 2 |i − h|P i2 .
(2.87) ♠
46
` DELLA MECCANICA QUANTISTICA CAPITOLO 2. PRINCIPI
2.1.7 Evoluzione del sistema, Equazione di Schr¨odinger L’evoluzione temporale degli stati deve essere descritta da un’equazione lineare, come abbiamo gi`a accennato. L’equazione fondamentale della meccanica quantistica che descrive l’evoluzione temporale dello stato, Equazione di Schr¨odinger , e` : i~
∂ ˆ q , pˆ; t) ψ(q, t) ψ(q, t) = H(ˆ ∂t
(2.88)
ˆ e` l’operatore dell’energia, l’Hamiltoniana. La (2.88) sostituisce l’equazione di dove H ˆ e` uguale a, Newton. Per ipotesi, l’Hamiltoniana H ˆ q , pˆ; t) = H(q, p; t)| H(ˆ q→ˆ q =q; p→ˆ p=−i~ ∂
∂q
(2.89)
dove H(q, p; t) e` la Hamiltoniana classica. In altre parole, la regola fondamentale della meccanica quantistica e` l’associazione ∂ ; ∂t
H → i~
pi → −i ~
∂ ∂xi
(2.90)
La relazione tra l’impulso e l’energia, H = H(q, p; t)
(2.91)
2
p (per es., H(q, p) = 2m + V (q)) si traduce in una condizione sullo stato fisico (funzione d’onda), che e` l’equazione di Schr¨odinger.11
Onda piana E` possibile dare una motivazione euristica per questa procedura, considerando un’onda piana ψ0 = cost.e−i(ωt−τ x) ,
(2.92)
che rappresenta una luce monocromatica con polarizzazione fissa. L’idea e` di considerarla come ∂ soluzione di un’equazione quantistica. Applicando i~ ∂t su ψ0 si ha i~
∂ ψ0 = ~ ω ψ0 = h ν ψ0 ∂t
(ω = 2πν).
(2.93)
Ma sappiamo che per (il quanto di) una luce monocromatica h ν e` la sua energia, hν = E , i~
∂ ψ0 = E ψ0 : ∂t
(2.94)
i.e., l’autovalore di H e` l’energia. D’altra parte, la relazione di de Broglie rivela che τ=
2π p = , λ ~
(2.95)
di conseguenza ∂ ψ0 = p ψ0 . (2.96) ∂x ∂ e` l’operatore che rappresenta l’impulso. Questa relazione suggerisce che −i~ ∂x Inoltre, tra l’autovalore di energia E = h ν e quello dell’impulso p = h/λ esiste una nota relazione E = p c, la relazione cinematica (relativistica) corretta tra l’energia e l’impulso di una particella libera e senza massa (fotone). L’equazione quantistica in questione e` l’equazione di D’Alembert, −i ~
[ 11 E ` un fatto
1 ∂2 − ∆ ]ψ = 0, c2 ∂t2
(2.97)
misterioso, che queste regole scoperte nell’ambito di meccanica quantistica non relativistica, hanno ∂ una struttura perfettamente compatibile con il principio della relativit`a speciale, pµ → i ~ ∂x ` la base µ . Tale e delle equazioni relativistiche, come l’equazioni di Dirac, o quella di Klein-Gordon.
´ E LEGGE DELLA MECCANICA QUANTISTICA 2.1. PRINCIPI
47
che non e` altro che l’equazione di Maxwell nel vuoto per i potenziali scalare e vettoriale (ψ = φ, Ai ) nella gauge di radiazione. Nel caso nonrelativistico si ottiene l’equazione di Schr¨odinger. Questa osservazione euristica per la legge della meccanica quantistica non e` che uno dei modi per vedere la sua ragionevolezza, e in nessun modo la giustifica n´e dimostra la sua unicit`a. L’aspetto non “usuale”, rispetto alla legge classica, tuttavia, riflette semplicemente il fatto che la nostra intuizione e` basata (o meglio, si e` evoluta basandosi) sulle esperienze su scala macroscopica (la sensazione che il moto di una particella abbia una traiettoria ben marcata, etc.). Tale intuizione e` decisamente inadeguata al mondo atomico. In ultima istanza, la giustificazione delle leggi di meccanica quantistica e` la sua correttezza empirica, i.e., sta nelle innumerevoli conferme sperimentali, come del resto lo e` l’equazione di Newton. La correttezza e consistenza dell’equazione di Schr¨odinger e della regola di meccanica quantistica si pu`o verificare tuttavia anche dal fatto che essa d`a il risultato classico corretto, nel limite ~ → 0 (vedi dopo).
Esempi: • Per una particella in tre dimensioni, H=
~2 2 p2 + V (r) = − ∇ + V (r) 2m 2m
(2.98)
ed e` Hermitiano. •
•
p2 + g r · p, p = −i ~ ∇, 2m non e` Hermitiano, pertanto non e` accettabile come buona Hamiltoniana; H=
p2 g + (r · p + p · r) 2m 2 e` invece Hermitiano ed e` accettabile come operatore quantistico. H=
(2.99)
(2.100)
Quest’ultimo esempio mette in chiara luce il problema di “operator-ordering”, una sorta di ambiguit`a nel trovare l’operatore Hamiltoniano, per l’Hamiltoniana classica di un sistema. Consideriamo ora i sistemi per i quali l’Hamiltoniana e` indipendente dal tempo, H = H(ˆ q , pˆ; 6 t).
(2.101)
Hψn = En ψn ,
(2.102)
L’equazione agli autovalori per H,
e` chiamata anche essa equazione di Schr¨odinger, o equazione di Schr¨odinger indipendente dal dal tempo, En autovalori d’energia. Ora, Z Z d d d En = dq ψn∗ En ψn = dq ψn∗ Hψn dt dt dt Z 1 = dq ψn∗ [H, H]ψn = 0, (2.103) i~ perci`o En = cost.
(2.104)
Gli autovalori di energia di un’Hamiltoniana indipendente dal tempo sono costanti del moto, da cui il nome stati stazionari per autostati corrispondenti.
` DELLA MECCANICA QUANTISTICA CAPITOLO 2. PRINCIPI
48
La funzione d’onda di uno stato stazionario dipende dal tempo, ma in modo semplice. Risolvendo l’eq. di Schr¨odinger, (2.88), si ha in questi casi ψn (t) = e−iEn t/~ ψn (0),
(2.105)
dove ψn (0) e` la funzione d’onda all’istante t = 0. La soluzione generale della eq. (2.88) per uno stato generico ψ (i.e., non necessariamente stazionario) e` data da: X ψ(t) = an e−iEn t/~ ψn (0). (2.106) n
dove i coefficienti dello sviluppo sono determinati dalla condizione al contorno, ψ(t)|t=0 = ψ(0), X ψ(0) = an ψn (0), an = hψn |ψ(0)i. n
Pi`u in generale, la dipendenza temporale del valor medio di un operatore O in uno stato
ψ, hOiψ ≡ hψ|O|ψi ≡ e` data da:
Z
dq ψ ∗ Oψ,
∂ 1 d hOiψ = hψ|( O + [O, H])|ψi. dt ∂t i~
(2.107)
(2.108)
Segue dunque che se (∂/∂t)O = 0, e se l’operatore commuta con H, allora d hOiψ = 0. dt
(2.109)
In questo caso l’operatore O e` conservato. E` interessante notare la somiglianza dell’eq.(2.108) con l’equazione che descrive la dipendenza temporale di una variabile nella meccanica classica, in termini di parentesi di Poisson. Esercizio: Verificare l’eq.(2.103), l’eq.(2.106) e l’eq.(2.108).
2.1.8 Spettro continuo; la funzione delta di Dirac; autostati di posizione Finora gli autovalori di operatori sono stati assunti discreti. In meccanica quantistica, certi operatori prendono autovalori continui (per es., l’operatore della posizione, r, l’energia per l’elettrone non legato, ecc.). L’equazione agli autovalori prende la forma fˆψf (q) = f ψf (q)
(2.110)
dove ora f prende valori continui. (cfr. (2.42)) Una funzione generica pu`o essere sviluppata in termini di autostati ψf Z ψ(q) =
df a(f )ψf (q)
(2.111)
(cfr. (2.43)). La probabilit`a di trovare il risultato tra f e f + df nello stato ψ e` dP = |a(f )|2 df. (cfr. (2.44)). Poich´e la probabilit`a totale e` uno, Z df |a(f )|2 = 1;
(2.112)
(2.113)
´ E LEGGE DELLA MECCANICA QUANTISTICA 2.1. PRINCIPI mentre la condizione di normalizzazione della funzione d’onda e` Z dq ψ(q)∗ ψ(q) = 1.
49
(2.114)
La relazione di “ortonormalit`a” degli autostati e` pi`u sottile nel caso di spettro continuo. Sostituendo il coniugato complesso di (2.111) nell’eq.(2.114) si trova Z Z ∗ 1 = df a(f ) [ dq ψf∗ (q)ψ(q)], (2.115) da cui (cfr. (2.113)) Z
dq ψf∗ (q)ψ(q) = hf |ψi = a(f ),
(2.116)
che e` analogo dell’eq.(2.49). Un’ulteriore sostituzione dell’eq.(2.111) in (2.116) da luogo ad una relazione di consistenza: Z Z (2.117) a(f ) = df ′ a(f ′ )[ dq ψf∗ (q)ψf ′ (q)]. Nel caso di autovalori discreti, la relazione di ortonormalizzazione (2.60) segue da una analoga equazione. Perch´e l’eq.(2.117) sia valida per qualsiasi a(f ), l’espressione dentro la parentesi quadrata essere identicamente nulla per f 6= f ′ . D’altra parte l’integrale R deve ′ ′ ′ su f deve ridare df a(f )[. . .] = a(f ) : e` evidente che [. . .] non pu`o essere una funzione nel senso normale. Tale funzione generalizzata o distribuzione e` stata introdotta da Dirac e si chiama funzione δ(x) di Dirac. Definizione δ(x) = 0; x 6= 0; δ(0) = ∞; (2.118) e Z
b
dx δ(x)g(x) =
a
(
g(0), se a < 0 < b; 0, altrimenti,
(2.119) ♠
per una funzione qualsiasi g(x) continua a x = 0. Segue dalla definizione ( Z b g(c), dx δ(x − c)g(x) = 0, a
se a < c < b; altrimenti.
(2.120)
Alcune tra le pi`u importanti propriet`a della funzione delta sono: δ(−x) = δ(ax)
=
f (x)δ(x − y) = xδ(x)
=
d θ(x) dx
=
δ(f (x))
=
δ(x); 1 δ(x); |a| f (y)δ(x − y); 0;
δ(x); r X i=1
La funzione δ(x) e` pari, perci`o Z
0
θ(x) =
(
1, sex ≥ 0; 0, sex < 0;
1 δ(x − xi ), |f ′ (xi )|
∞
dx δ(x) f (x) =
f (xi ) = 0, i = 1, 2, . . . r. (2.121)
1 f (0). 2
(2.122)
` DELLA MECCANICA QUANTISTICA CAPITOLO 2. PRINCIPI
50
La funzione delta pu`o essere definita come limite di una funzione. Alcuni esempi (le operazioni di limite vanno fatte fuori l’integrazione): 2 2 1 δ(x) ≡ lim √ e−x /ǫ ; ǫ→0 πǫ
(2.123)
sin(Lx) ; L→∞ πx
(2.124)
sin2 (Lx) ; L→∞ πLx2
(2.125)
ǫ 1 ; 2 π ǫ + x2
(2.126)
P 1 = + π i δ(x), x−iǫ x
(2.127)
δ(x) ≡ lim δ(x) ≡ lim δ(x) = lim
ǫ→0+
dove P e` il valore principale di Cauchy. Dimostrazione di (2.124): Supponiamo che a < 0 < b. lim
L→∞
Z
a
b
dx
sin(Lx) f (x) = πx = =
lim
L→∞
Z
b
dx
a
sin(Lx) (f (0) + xf ′ (0) + . . .) πx
b sin(Lx) 1 lim [f (0) dx + O( )] L→∞ πx L a Z sin z f (0) ∞ = f (0), dz π z −∞
Z
(2.128)
dove l’ultimo integrale pu`o essere calcolato con il metodo di integrale nel piano complesso. Vedi il Complimento di questa Sezione. ♠ La dimostrazione di (2.125) e` analoga. (Dimostratela) In termini di funzione δ(x), la relazione di “ortonormalit`a” nel caso di autovalori continui dunque prende la seguente forma: Z (2.129) dq ψf∗ (q)ψf ′ (q) = δ(f − f ′ ). (cfr. (2.45) nel caso di autovalori discreti.) Un’importante applicazione della funzione delta e` il seguente integrale, Z ∞ ′ dx eix(k−k ) = 2π δ(k − k ′ ),
(2.130)
−∞
e analogamente in tre dimensioni Z ′ dr ei(k−k )·r = (2π)3 δ 3 (k − k′ ).
(2.131)
Sfruttando questi risultati si pu`o dimostrare la formula inversa delle trasformazioni di Fourier: se Z ∞ F (x) = dk e−ikx F˜ (k), (2.132) −∞
la trasformata di Fourier di F (x), F˜ (k), e` data da: Z ∞ 1 dx eikx F (x). F˜ (k) = 2π −∞
(2.133)
´ E LEGGE DELLA MECCANICA QUANTISTICA 2.1. PRINCIPI
51
2.1.9 Relazione di Completezza Esistono delle relazioni di completezza, in un certo senso duali alle relazioni di ortonormalit`a. Sostituendo (2.116) in (2.111) troviamo infatti Z Z ψ(q) = dq ′ ψ(q ′ ) [ df ψf∗ (q ′ )ψf (q)]; (2.134) la consistenza richiede allora che sia valida la seguente relazione Z df ψf (q)ψf∗ (q ′ ) = δ(q − q ′ )
(2.135)
(chiamata relazione di completezza). Il secondo membro e` simbolico: per una particella in tre dimensione, q → r, per esempio δ(q − q ′ ) → δ 3 (r − r′ ) ≡ δ(x − x′ )δ(y − y ′ )δ(z − z ′ ). Analogamente per autovalori discreti troviamo X ψn (q)ψn∗ (q ′ ) = δ(q − q ′ ).
(2.136)
(2.137)
n
Infine, per un operatore che possiede sia autovalori discreti (detti propri) che autovalori continui (detti impropri) vale la relazione di completezza, Z X ψn (q)ψn∗ (q ′ ) + df ψf (q)ψf∗ (q ′ ) = δ(q − q ′ ). (2.138) n
Il significato della completezza delle autofunzioni {ψn } sta nel fatto che qualsiasi stato ψ pu`o essere sviluppato in termini di esse: Z Z X X ψ(q) = an ψn (q)+ df a(f ) ψf (q) = hn|ψi ψn (q)+ df hf |ψi ψf (q). (2.139) n
n
2.1.10 Autostati di posizione; autostati di impulso Gli autostati di posizione sono dati in termini di funzione delta. In una dimensione, ψx0 (x) = δ(x − x0 ),
(2.140)
rappresenta una particella localizzata in x0 (questo e` ovvio intuitivamente), e soddisfa xψx0 (x) = x0 ψx0 (x) grazie alla propriet`a della funzione delta. L’insieme di autostati ψx0 (x) soddisfano le relazioni (2.129) e (2.136), come si verifica facilmente facendo uso di (2.121). L’operatore di impulso e` ˆ = −i~∇. p (2.141) Autostati dell’impulso sono dati da: ψp0 (r) =
ip0 ·r 1 e ~ , 3/2 (2π~)
(2.142)
dove p0 e` un vettore numerico (i.e., non un operatore). ψp0 soddisfa l’equazione agli autovalori, ˆ ψp0 = p0 ψp0 . (2.143) p In generale, gli autovalori dell’impulso sono continui: la relazione di ortonormalit`a (con la particolare normalizzazione degli autostati (2.142) ) e` : Z (2.144) dr ψp∗ (r) ψp′ (r) = δ 3 (p − p′ );
` DELLA MECCANICA QUANTISTICA CAPITOLO 2. PRINCIPI
52
mentre la completezza di stati {ψp } si esprime come Z dp ψp (r) ψp∗ (r′ ) = δ 3 (r − r′ ).
(2.145)
Dimostriamo ora la relazione (omettendo il simbolo “cappello” ) H(r + r0 , p) = e
ip·r0 ~
H(r, p)e
−ip·r0 ~
,
(2.146)
per un operatore qualsiasi. Dimostrazione: E` sufficiente considerare il caso di una dimensione: calcoliamo G(x, α) ≡ e
ipα ~
F (x)e
−ipα ~
;
p ≡ −i~
d . dx
(2.147)
G(x, 0) = F (x) ovviamente. La prima derivata rispetto ad α a α = 0 e` ipα −ipα d G(x, α)|α=0 = e ~ [ip/~, F (x)]e ~ |α=0 = F ′ (x), dα
(2.148)
dove e` stato usato il commutatore, [ip/~, F (x)] = [
d d d , F (x)] = · F (x) − F (x) = F ′ (x). dx dx dx
(2.149)
Analogamente si trova che d2 G(x, α)|α=0 = F ′′ (x), dα2
(2.150)
ecc. Si ottiene cos`ı G(x, α) =
X αn dn X αn dn G(x, α)|α=0 = F (x) = F (x + α). n n! dα n! dxn n n
(2.151)
La formula (2.146) dimostra che l’operatore di impulso genera la traslazione della posizione. Applichiamo ora questa formula all’Hamiltoniana. Se l’Hamiltoniana e` invariante per traslazione, i.e., H(r + r0 , p) = H(r, p), (2.152) allora H(r, p) = e
ip·r0 ~
H(r, p)e
−ip·r0 ~
.
(2.153)
Sviluppando il secondo membro in r0 al primo ordine, si ottiene [pi , H] = 0 :
(2.154)
cio`e, se il sistema e` invariante per traslazione l’impulso commuta con l’Hamiltoniana: esso e` conservato (vedi (2.108)). Questo risultato generalizza un’analoga e ben nota relazione tra l’invarianza per traslazione e la conservazione dell’impulso in meccanica classica. Notiamo infine che le propriet`a degli autostati dell’impulso e quelli della posizione sono in accordo con le relazioni di Heisenberg. Infatti, nello stato ψp0 l’impulso della particella e` ben definito; in compenso la sua posizione e` completamente indefinita, e come si vede da |ψp0 |2 = cost.. Viceversa, nell’autostato della posizione ψx0 (x) = δ(x − x0 ) la posizione e` perfettamente definita mentre l’impulso e` del tutto indefinito, come risulta dallo sviluppo di Fourier, Z ′ 1 3 ′ d3 p eip·(r−r )/~ a(p); a(p) = 1. (2.155) δ (r − r ) = 3 (2π~)
´ E LEGGE DELLA MECCANICA QUANTISTICA 2.1. PRINCIPI
53
Nota e Riflessione Uno studente attento avr`a notato che autostati che appartengono ad uno spettro continuo (autovalori continui) non sono normalizzabili. (Per esempio si paragoni (2.4) con (2.144).) Possono essere tali stati considerati “fisici” o comunque accettabili in meccanica quantistica, in vista dell’interpretazione di funzione d’onda, discussa in Sec.2.1.1? Dal punto di vista matematico, in meccanica quantistica si avr`a in generale a che fare con uno spazio vettoriale (di funzioni d’onda) di infinita dimensione; le operazioni di somma, limite, ecc. vanno definite in modo consistente in tale spazio. Questo rende indispensabile considerare spazi chiusi, i.e., spazi che contengono, insieme ad ogni successione {ψN }, N = 1, 2, . . . , ψN ∈ H, anche il suo limite limN →∞ ψN come suo elemento. Le propriet`a di questi spazi (spazi di Hilbert) saranno discusse con pi`u esattezza in Sec.??. Gli autostati dell’impulso (in una dimensione) in certo senso possono essere considerati come limiti di una successione, ψN = cost. eikx e−(x−x0 )
2
/d2 N 2
,
N = 1, 2, 3, . . .
(2.156)
C’`e una differenza evidente, dal punto di vista fisico, tra autostati di energia con autovalori discreti e quelli corrispondenti allo spettro continuo. I primi, avendo funzioni d’onda normalizzabili, descrivono infatti stati legati, i.e., stati in cui la particella e` confinata in una regione finita dello spazio; la probabilit`a per trovare la particella si annulla a |r| → ∞. Vice versa, i secondi, con |ψ|2 → cost. a |r| → ∞, descrivono stati di scattering. Ovviamente i concetti come onda piana (con loro infinita estensione spaziale) o particella completamente localizzazta in un punto spaziale, sono un’idealizzazione. Nessun sistema fisico ha realmente un’estensione infinita, per esempio. Nonostante ci`o, e` auspicabile, ed e` il caso in molte teorie fisiche (la meccanica quantistica inclusa ), che la struttura matematica di una teoria fisica sia tale che la descrizione di situazioni idealizzate sia naturalmente contenuta nella teoria stessa, spesso in modo particolarmente semplice e elegante.
2.1.11
Problemi
1. Si dimostri che: a) (f † )† = f ; b) (f g)† = g † f † ; c) [f, gh] = g[f, h] + [f, g]h,
[f g, h] = f [g, h] + [f, h]g;
d) x e` un operatore hermitiano; ∂ e` un operatore hermitiano; e) −i ∂x
f) Se f e g sono hermitiani, lo sono anche f g + gf e i[f, g]; g) Le seguenti matrici sono hermitiane: 0 1 0 σ1 = σ2 = 1 0 i
−i 0
σ3 =
mentre σ1 σ2 e` antihermitiana. ˆ vale l’identit`a di Jacobi: h) Per tre operatori qualsiasi fˆ, gˆ, h ˆ + [[ˆ ˆ fˆ] + [[h, ˆ fˆ], gˆ] = 0 [[fˆ, gˆ], h] g, h],
1 0 0 −1
` DELLA MECCANICA QUANTISTICA CAPITOLO 2. PRINCIPI
54
i) Si ricavi il passaggio dalle parentesi di Poisson classiche a quelle quantistiche (commutatori tra operatori) assumendo che le loro propriet`a siano le stesse. Si usi in particolare la propriet`a: {f, gh} = g{f, h} + {f, g}h e si assuma che la parentesi di Poisson quantistica di grandezze hermitiane sia hermitiana e che le dimensioni fisiche delle parentesi di Poisson siano le stesse nel caso classico e in quello quantistico. j) Se A e` un operatore qualsiasi A† A ha autovalori non negativi. 2. Verificare le propriet`a della funzione δ(x), (2.121). 3. Si trovino le espressioni esplicite dei seguenti operatori: 3 2 1 d d ; +x + ; dx dx x
2 d x dx
[i~∇ + A(r)]2
;
;
2 d x dx (L − M )(L + M )
4. Si trovino le regole di commutazione dei seguenti operatori: x,
d dx
;
i~∇, A(r)
∂ , f (r, θ, ϕ) ∂ϕ
;
5. Si trovi l’hermitiano coniugato degli operatori: ∂ ∂x
;
∂n ∂xn
6. Dati due operatori L ed M che soddisfano [L, M ] = 1 si calcolino: [L, M 2 ]
;
[f (L), M ].
7. Dati due operatori A e B che non commutano, con A invertibile, provare che: a) A−1 B 2 A = (A−1 BA)2 ; b) A−1 B n A = (A−1 BA)n ; c) A−1 f (B)A = f (A−1 BA). 8. Siano c un numero e ζ un parametro. Dimostrare che: implica eζA Be−ζA = B + Cζ
[A, B] = c
9. Trovare le autofunzioni e gli autovalori dei seguenti operatori: d dx
;
d dx
;
x+
d dϕ
;
eia dϕ
i cos
d
d dx
; ;
(Suggerimento per l’ultimo: fate agire l’operatore su f (x).)
d dϕ
;
sin
d dϕ
2 d d2 + dx2 x dx f (x) x
e studiate l’equazione per
´ E LEGGE DELLA MECCANICA QUANTISTICA 2.1. PRINCIPI
55
z
C
z=0 Figura 2.3:
2.1.12 Complemento: Integrale nel piano complesso e teorema di residuo L’integrale I=
Z
∞
−∞
dz
sin z z
nella (2.128) pu`o essere valutato facilmente col metodo di integrale nel piano complesso. Poich´e l’integrando e` analitico (olomorfo) attorno a z = 0, si pu`o modificare il cammino dell’integrazione, sostituendo un segmento di retta attorno all’origine con un semicerchio, per evitare z = 0. (Fig. 2.3) Z Z sin z ei z ei z dz I= dz [ = − ], z 2iz 2iz C C Ora che il cammino non passa a z = 0 si pu`o spezzare l’integrale, Z Z e−i z ei z dz , I2 = − , dz I = I1 + I2 , I1 = 2iz 2iz C C e in ciascuno di Ii , i = 1, 2, aggiungiamo un semicerchio di raggio R (R → ∞), nel semipiano superiore in I1 e nel semipiano inferiore per I2 (vedi le figure), Z Z ei z e−i z dz I1 = dz , I2 = − . 2iz 2iz C1 C2 Tale scelta e` dettata dalla convergenza degli integrali a |z| → ∞. Il contributo da semicerchi grandi e` trascurabile, per cui tale modifica non cambia il valore degli integrali. Secondo il teorema del residuo (teorema di Cauchy), il primo integrale e` zero, il secondo e` uguale a (−2 π i) volte il residuo a z = 0: perci`o I1 = 0, I2 = π, I = I1 + I2 = π.
z=0 C2
C1
z=0
56
` DELLA MECCANICA QUANTISTICA CAPITOLO 2. PRINCIPI
2.2 Equazione di Schr¨odinger: Propriet`a Generali In questo capitolo le propriet`a generali dell’equazione di Schr¨odinger sono discusse e saranno illustrate con alcuni sistemi uni-dimensionali.
2.2.1 Propriet`a generali dell’Equazione di Schr¨odinger; Teorema di Ehrenfest; Denisit`a e corrente di probabilit`a Consideriamo una particella in tre dimensioni. L’equazione di Schr¨odinger indipendente dal tempo Hψ = Eψ, (2.157) dove
p2 ~2 ∇2 + V (r) = − + V (r). (2.158) 2m 2m e` un’equazione differenziale del secondo grado. Di conseguenza la sua soluzione richiede un’opportuna condizione al contorno sul valore della funzione d’onda e delle sue derivate prime. In accordo con la sua interpretazione, richiederemo che la funzione d’onda sia continua e monodroma, dappertutto. Imporremo tale continuit`a anche dove il potenziale V risulta discontinuo, ma finito. La condizione di continuit`a sulla derivata prima al punto r0 segue dall’equazione di Schr¨odinger (scriviamo in una dimensione per semplicit`a, a x vicino a x0 ) H=
−
~2 ′′ ψ (x) = (E − V (x))ψ(x). 2m
(2.159)
Integrando infatti i due membri nell’intervallo [x0 − ǫ, x0 + ǫ], si ha ψ ′ (x0 + ǫ) − ψ ′ (x0 − ǫ) ≃ 2 ǫ
2m (E − V (x0 )) ψ(x0 ) → 0, ~2
(2.160)
se il potenziale e` finito a x = x0 . Segue che la derivata prima della funzione d’onda e` continua, dappertutto nella regione dove il potenziale e` finito. (Vedi la sezione 0.1.8 sulla condizione di continuazione in presenza di potenziale di tipo δ(x − x0 ). ) Dalla propriet`a hp2 i ≥ 0, (2.161) valida per qualsiasi operatore di forma A† A, segue immediatamente che gli autovalori di energia En soddisfano En > Vmin , (2.162) dove Vmin e` il minimo del potenziale. Supponiamo che V (r) → 0 a |r| → ∞, ma che il potenziale possa essere negativo a r finito. Risulta che tutti gli stati con E < 0 corrispondono a livelli discreti, i.e., a stati legati. La funziona d’onda non si annulla necessariamente nelle regioni classicamente proibite, i.e., dove E < V (r). Il valore di ψ e` determinato dall’equazione di Schr¨odinger e dalle opportune condizioni al contorno. Una conseguenza di questo fatto e` che le particelle possano infatti penetrare, con probabilit`a finita, le barriere di potenziale che sono insormontabili dal punto di vista classico (conservazione dell’energia). Questi fenomeni (effetto tunnel), tra i pi`u importanti che caratterizzano la Meccanica Quantistica, saranno discussi in pi`u occasioni in seguito. Teorema di Ehrenfest Consideriamo il moto di un pacchetto d’onda. L’Hamiltoniana e` la (2). Dimostriamo che:
¨ 2.2. EQUAZIONE DI SCHRODINGER: PROPRIETA` GENERALI
57
I valor medi degli operatori della posizione r, dell’impulso p e del potenziale V (r) soddisfano alle relazioni “classiche: d hmri = hpi; dt
d hpi = −h∇V i. dt
(2.163)
Dimostrazione: per un operatore generico indipendente dal tempo, vale (vedi Sec.2.1) i~
d hOi = h[O, H]i. dt
(2.164)
Per O = m r il commutatore e` [m r, H] = [m r,
p2 ] = i ~ p, 2m
(2.165)
dove abbiamo usato i commutatori, [x, p2x ] = 2 px [x, px ] = 2 i ~ px, ecc, nonch´e il fatto che r e V (r) commutano. Per O = p, invece, il commutatore [O, H] e` uguale a [p, V (r)] = −i~∇V.
(2.166)
♠ Ricapitolando, un pacchetto d’onda si muove secondo l’equazione di Newton, fatto che appare giustificare l’identificazione di tale pacchetto con la distribuzione materiale di una particella classica (Born). Tale identificazione e` errata. Una funzione d’onda rappresenta la distribuzione di probabilit`a. Si noti che un “frammento” dell’elettrone non e` stato mai osservato, la carica elettrica dell’elettrone e` sempre e, mentre un pacchetto d’onda si pu`o facilmente spezzare in due, se lo mandiamo contro una barriera. Densit`a di corrente; Equazione di continuit`a |ψ(r)|2 ≡ ρ rappresenta la densit`a (di probabilit`a) della particella. Un’altra quantit`a importante che ha una interpretazione fisica diretta e` la densit`a di corrente o di flusso (di probabilit`a), j. Facendo uso dell’equazione di Schr¨odinger, si ha d |ψ|2 dt
= = = =
∂ ∂ 1 ψ + ( ψ ∗ )ψ) = (ψ ∗ Hψ − (H ∗ ψ ∗ )ψ) ∂t ∂t i~ ~2 ∇2 ∗ 1 ∗ ~2 ∇2 [ψ (− ψ) − (− ψ )ψ] i~ 2m 2m ~2 ∇ ~2 ∇ ∗ 1 [∇ · {ψ ∗ (− ψ)} + ∇ · {( ψ )ψ}] i~ 2m 2m −∇·j (ψ ∗
dove j=
i~ {(∇ψ ∗ )ψ − ψ ∗ ∇ψ}, 2m
(2.167)
(2.168)
i.e.,
d ρ+∇·j =0 : dt equazione di continuit`a. Se prendiamo un volume finito V nello spazio, si ha I Z d dS n · j, d3 r |ψ|2 = − dt V ∂V
(2.169)
(2.170)
(il teorema di Gauss). Queste relazioni permettono di interpretare j come densit`a di corrente (di probablilit`a), le (13) e (14) come espressione della conservazione della probabilit`a.
` DELLA MECCANICA QUANTISTICA CAPITOLO 2. PRINCIPI
58
Per una particella libera, rappresentata da un’onda piana (autostato dell’impulso), i
ψp = e− ~ (Et−p·r) , si ha j=
p =v: m
(2.171)
(2.172)
uguale alla velocit`a classica. La funzione d’onda che rappresenta un flusso unitario (in media una particella attraverso una superficie unitaria in un intervallo unitario di tempo) e` i allora data da ψp = √1v e− ~ (Et−p·r) . Esercizio: Dimostrare che per una particella in un campo magnetico esterno B = ∇ × A, j=
i q q 1 h ∗ ψ (p − A)ψ − {(p − A)ψ}∗ ψ . 2m c c
(2.173)
Dimostrare che esso e` invariante di gauge, se la funzione d’onda si trasforma in modo opportuno. Teorema del Viriale Il teorema del Viriale (1.74) in meccanica classica riguarda una media temporale dei termini cinetici e termini di potenziale. E` interessante che esiste un teorema analogo in meccanica quantistica, che concerne le medie quantistiche dei vari termini dell’Hamiltoniana. Per dimostrarlo, basta considerare il valor medio del commutatore [ p x + x p, H ] = [ p x + x p,
p2 p2 + V (x) ] = 2 (i~) [ 2 − xV ′ ] 2m 2m
(per semplicit`a di scrittura consideriamo il caso unidimensionale) in uno stato stazionario, ψn . Il primo membro si annulla: hψn | [ p x + x p, H ] |ψn i = hψn | ( p x + x p)|ψn i En − En hψn | ( p x + x p)|ψn i = 0, dove abbiamo utilizzato la propriet`a di un operatore Hermitiano H, che agisce a sinistra e a destra ugualmente. Segue il teorema, 2 hψn |
p2 |ψn i = hψn | x V ′ |ψn i. 2m
(2.174)
La generalizzazione del teorema ai sistemi tridimensionali e` immediata: 2 hψn |
p2 |ψn i = hψn | r · ∇V |ψn i. 2m
(2.175)
(cfr. (1.74)). Teorema di Feynman-Hellman In molti problemi ci sono uno o pi`u parametri esterni; chiamiamolo g genericamente. Gli autovalori di energia En (g) e` una funzione di essi. Esiste un semplice teorema ∂En = ∂g
∂V ∂g
,
(2.176)
n
valido se il parametro g appare solo nel potenziale. (Dimostratelo). Tale teorema resta valido anche nel caso in cui il parametro esterno g varia lentamente col tempo, e d`a la variazione adiabatica dei livelli di energia col tempo.
¨ 2.2. EQUAZIONE DI SCHRODINGER: PROPRIETA` GENERALI
59
2.2.2 Equazione di Schr¨odinger in una dimensione L’equazione di Schr¨odinger per una particella che si muove in una dimensione e` ~2 d2 + V (x) ψ(x) = Eψ(x). − 2m dx2
(2.177)
Lo studio dell’eq.(21) e` importante come laboratorio teorico per studiare varie situazioni fisiche che possono sorgere e per imparare il funzionamento della Meccanica Quantistica. Tuttavia, l’interesse in (21) e` tutt’altro che accademico. Infatti, un problema dinamico tri-dimensionale si riduce effettivamente a quello uni-dimensionale, nel caso in cui il potenziale ha una particolare forma, V = V (x, 6 y, 6 z) :
(2.178)
se il potenziale dipende solo da x. La sostituzione ψ(x, y, z) = ψ(x)φ(y)η(z) in (2) infatti d`a luogo a una equazione 2 2 ~ d ~2 d 2 ~2 d 2 − 2m − 2m − 2m dx2 + V (x) ψ(x) dy 2 φ(y) dz 2 η(z) + + = E. (2.179) ψ(x) φ(y) η(z) I tre termini del primo membro, ciascuno dipendente solo da una delle variabili, devono essere costanti. L’equazione e` risolta in termini di soluzioni di ~2 d2 + V (x) ψ(x) = E1 ψ(x); − 2m dx2 ~2 d2 − φ(y) = E2 φ(y); 2m dy 2 ~2 d2 η(z) = E3 η(z); − 2m dz 2 E = E1 + E2 + E3 , (2.180) di cui la prima e` proprio la (21) (le altre sono equazioni di Schr¨odinger libere). L’equazione di Schr¨odinger tridimensionale si riduce, anche nei casi di potenziale a simmetria centrale, V = V (r), (2.181) (vedi Cap.0.1.1) Esempi • Per una particella libera, V (x) = 0, l’eq. di Schr¨odinger e` −
~2 ′′ ψ = Eψ, 2m
(2.182)
oppure ′′
2
ψ = −k ψ,
k=
r
2mE ; ~2
(2.183)
gli autostati dell’energia sono e±ikx ,
(2.184)
o una combinazione lineare qualsiasi di questi due ψ = Aeikx + Be−ikx ,
(2.185)
con k ≥ 0 arbitrario. La soluzione dipendente dal tempo e` ψ(x, t) = e−iEt/~ (Aeikx + Be−ikx ),
E=
k 2 ~2 . 2m
(2.186)
` DELLA MECCANICA QUANTISTICA CAPITOLO 2. PRINCIPI
60
Lo spettro di energia (l’intervallo degli autovalori permessi) e` E ≥ 0 in questo caso; per E < 0 la soluzione e` ψ ∝ exp ±|k|x ed e` non normalizzabile. Ogni livello con energia positiva e` doppiamente degenere. • Una particella libera che si muove su un anello (lungo il bordo di un cerchio). La soluzione e` come sopra (28), tranne che la funzione d’onda deve soddisfare la condizione ψ(x + L) = ψ(x) per essere ben definita. I valori permessi di k sono quindi k = 2πn/L, n = 0, 1, 2, 3, . . . , e lo spettro e` discreto in questo caso En =
(2πn)2 ~2 ; 2mL2
(2.187)
ogni livello energetico positivo e` doppiamente degenere mentre lo stato fondamentale con E = 0 e` singolo. Vedi il sottocapitolo 0.1.7 per una discussione pi`u approfondita del sistema. L’equazione di Schr¨odinger in una dimensione ha varie pripriet`a speciali. Una di queste e` il seguente teorema: In un problema uni-dimensionale, non esistono degerazioni dei livelli discreti. In altre parole, ad ogni autovalore En discreto corrisponde uno e soltanto un autostato ψn . Dimostrazione: supponiamo, per assurdo, che ci siano due soluzioni normalizzabili ψ1 e ψ2 dell’Eq.(21) con lo stesso autovalore E, i.e., ′′
ψ1 = −
2m (E − U )ψ1 , ~2
′′
ψ2 = −
2m (E − U )ψ2 . ~2
(2.188)
Moltiplicando la prima e la seconda equazione con ψ2 , ψ1 rispettivamente, e sottraendo termine per termine, si ottiene ′′ ′′ ψ1 ψ2 − ψ2 ψ1 = 0. (2.189) Integrando quest’ultimo, ′
′
ψ1 (x)ψ2 (x) − ψ2 (x)ψ1 (x) = cost.
(2.190)
Ma ψ1 = ψ2 = 0 a x = ±∞, essendo ambedue normalizzabili (stati discreti), perci`o cost. = 0 sopra: ′ ′ ψ1 (x)ψ2 (x) − ψ2 (x)ψ1 (x) = 0. (2.191) Integrando ancora, log ψ1 = log ψ2 + cost..,
ψ1 = cost.ψ2 :
(2.192)
dovremmo dunque concludere che le due funzioni d’onda in realt`a rappresentano lo stesso stato, al contrario all’ipotesi fatta. ♠
Figura 2.4: Andamento generale della funzione d’onda. Fig.a rappresenta la situazione per E > V (x); Fig.b quella per E < V (x)
¨ 2.2. EQUAZIONE DI SCHRODINGER: PROPRIETA` GENERALI
61
Poich´e l’Hamiltoniana e` Hermitiana, V (x) e E sono reali. L’equazione di Schr¨odinger (21) ha i coefficienti reali. Di conseguenza, la funzione d’onda pu`o essere scelta reale. L’andamento generale della funzione d’onda pu`o essere dedotto da: ′′
ψ =
2m(V (x) − E) ψ. ~2
(2.193)
Nell’intervallo dove E > V (x) (regione classicamente accessibile), ( ′′ ψ > 0 se ψ < 0, ′′ ψ < 0 se ψ > 0,
(2.194)
i.e., un andamento oscillatorio. Nell’intervallo di x dove E < V (x) (regione classicamente proibita) abbiamo una situazione opposta ( ′′ ψ > 0 se ψ > 0, (2.195) ′′ ψ < 0 se ψ < 0, ′′
un andamento instabile. In ambedue i casi, la curvatura |ψ | cresce con |E − V (x)|. La situazione e` illustrata in Fig.1. Tenendo conto di queste propriet`a non e` difficile dimostrare il teorema di oscillazione: La funzione d’onda dell’n-simo livello discreto di energia ha n − 1 nodi (zeri). Dimostrazione. Supponiamo che V (x) → ∞ a x → ±∞, di modo che il sistema abbia solo livelli discreti. L’eq.(37) ha due soluzioni (normalizzabili o no) generali. Nella ricerca di funzione d’onda normalizzabile, basta scegliere una soluzione ψ che tende a zero a x = −∞. Senza perdita di generalit`a si pu`o assumere che ψ sia positivo a x < 0 e |x| molto grande. La normalizzazione di ψ pu`o essere fissata di modo che ψ(x1 ) = 1 dove x1 e` un punto scelto in maniera opportuna. Partiamo con un valore di energia, E < Vmin e studiamo come cambia la situazione al crescere di E. ′′
(I) E < V (x), ∀x. ψ e` concavo (ψ > 0) dappertutto, ψ continua ad aumentare come funzione di x: ψ diverge inevitabilmente a x → ∞. Segue che non ci sono autovalori al di sotto di Vmin . (Questo “teorema” e` gi`a stato dimostrato prima). (II) E e` appena maggiore di Vmin , E1 > E > Vmin . Supponiamo che E > V (x) per x1 < x < x2 e E < V (x) altrimenti. ψ aumenta da zero (a x = −∞) fino a x = x1 , dove ψ(x1 ) = 1; tra x1 e x2 , ψ e` convesso; a x > x2 ψ e` di nuovo concavo ′′ (ψ > 0). E` ovvio, per continuit`a, che fino a un certo valore di E (appunto, E1 ) ψ continua a divergere a x = ∞, e rimane non normalizzabile. (Fig.2) (III) E = E1 . All’aumentare di E, l’intervallo x1 , x2 dove ψ e` convessa si allarga e la curvatura per x fissato aumenta. Per continuit`a ci deve essere un primo valore di E, E1 , per il quale ψ tende esattamente a zero a x = ∞. La funzione d’onda e` allora normalizzabile: il sistema e` nello stato fondamentale. (Fig.3) ψ non ha nodi. (IV) E1 < E < E2 . Quando E e` appena al di sopra di E1 , la funzione d’onda si annulla ad un valore di x finito, e diverge come ψ → −∞ a x → ∞. (Fig.4). Si noti che ′′ ψ = 0 dove ψ = 0, per cui non e` possibile che ψ ritorni su dopo aver toccato zero. (V) E = E2 . Al crescere di E, la regione classicamente accessibile (dove la funzione d’onda oscilla) diventa sempre pi`u grande. Per E = E2 la funzione d’onda tende esattamente a zero a x = ∞. La funzione d’onda ora ha un nodo. (Fig.5) (VI) Ripetendo l’argomentazione aumentando sempre l’energia, si dimostra che l’ n -simo stato stazionario ha esattamente n − 1 nodi. ♠
62
` DELLA MECCANICA QUANTISTICA CAPITOLO 2. PRINCIPI
Figura 2.5: Andamento della funzione d’onda per Vmin < E < E1
Figura 2.6: Andamento della funzione d’onda per E = E1 (Stato fondamentale)
2.2.3 Buche di potenziale Buca infinitamente alta Consideriamo come primo esempio non banale di potenziale con stati legati, la buca di potenziale di profondit`a infinita, V (x) V (x)
= 0, 0 < x < a, = ∞, x ≤ 0 I;
II; x ≥ a III
(2.196)
La soluzione negli intervalli I e III e` ψ = 0.
(2.197)
Nell’intervallo II, l’equazione di Schr¨odinger e` quella libera: −
~2 ′′ ψ = Eψ : 2m
(2.198)
con la soluzione generale ψ = A sin(kx + δ).
(2.199)
La condizione di continuit`a a x = 0 impone che A sin δ = 0,
→
sin δ = 0;
(2.200)
mentre quella a x = a d`a ψ = A sin(ka + δ) = 0,
→
sin(ka + δ) = 0.
(2.201)
La prima condizione si risolve con δ = 0 (la scelta δ = π essendo equivalente a A → −A.) La seconda d`a allora la quantizzazione ka = nπ,
En =
π 2 ~2 2 kn2 ~2 n , = 2m 2ma2
n = 1, 2, 3, . . .
(2.202)
¨ 2.2. EQUAZIONE DI SCHRODINGER: PROPRIETA` GENERALI
63
Figura 2.7: Andamento della funzione d’onda per E1 < E < E2
Figura 2.8: Andamento della funzione d’onda per E = E2 (Il primo stato eccitato) La funzione d’onda dell’n simo stato (normalizzata) e` r πn 2 ψ(x) = sin( x). a a
(2.203)
Esercizio Una particella si muove in tre dimensioni, confinata in un potenziale V (r)
= 0,
V (r)
= ∞,
0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c; altrimenti.
(2.204)
Trovare gli autosati e gli autovalori dell’energia. Discutere la degenerazione dei livelli energetici in generale, e nel caso di una scatola isotropa, a = b = c, in particolare. Buca di potenziale di altezza finita Consideriamo ora il caso di un potenziale di altezza finita V (x)
=
0,
0 < x < a,
V (x)
=
V0 ,
x ≤ 0 I;
II; x≥a
III
(2.205)
e cerchiamo le soluzioni di tipo stati legati, con 0 < E < V0 . La soluzione in II e` come prima: √ 2mE . (2.206) ψII = A sin(kx + δ); k = ~ Nelle regioni I e III, l’equazione di Schr¨odinger prende la forma: p ′′ 2m(V0 − E) 2m(E − V0 ) 2 ψ =− ψ = κ ψ; κ = > 0. (2.207) 2 ~ ~ I numeri d’onda k e κ non sono indipendenti: 2mV0 . (2.208) ~2 La soluzione di (51) e` exp ±κx: la condizione di normalizzazione implica che va fatta la scelta: k 2 + κ2 =
ψI
=
Beκx ;
ψIII
=
= Ce−κx ,
(2.209)
` DELLA MECCANICA QUANTISTICA CAPITOLO 2. PRINCIPI
64
nelle regioni I e III, di modo che la funzione d’onda tende a zero sia a x = −∞ che a x = ∞. La funzione d’onda e la sua derivata prima devono essere continue attraverso i confini ′ ′ delle diverse regioni, I, II, e II. A x = 0 si deve imporre dunque ψI = ψII ; ψI = ψII : k > 0. κ Si pu`o prendere, senza perdita di generalit`a, δ nel primo quadrante, B = A sin δ;
Bκ = Ak cos δ,
→
tan δ =
0 ≤ δ ≤ π/2;
(2.210)
(2.211)
da (54) si trova sin δ = √
k~ k = √ < 1. =√ 2 2 2mV0 k +κ 1 + tan δ tan δ
2
(2.212)
La condizione di continuit`a tra II e III e` : Ce−κa = A sin(ka + δ);
−Cκe−κa = Ak cos(ka + δ),
(2.213)
cio`e
k < 0. (2.214) κ Secondo questa condizione l’angolo ka + δ e` o nel secondo o nel quarto quadrante. Segue che tan(ka + δ) = ± sin δ : (2.215) sin(ka + δ) = ± p 1 + tan2 (ka + δ) o semplicemente ( −δ + 2nπ, (n = 1, 2, . . .) oppure , ka + δ = (2.216) −δ + (2n + 1)π, (n = 0, 1, 2, . . .) . −κ = k cot(ka + δ),
→
tan(ka + δ) = −
Ma poich´e δ soddisfa (56), si ottengono le equazioni implicite k~ ka = −2 sin−1 √ + nπ, 2mV0
(n = 1, 2, 3, . . .) :
queste danno (implicitamente) gli autovalori dell’energia. La (61) pu`o essere risolta graficamente. Da (59) si trova κ sin ka + cos ka = ±1. k Ponendo ka/2 ≡ ξ; κa/2 ≡ η, (ξ, η > 0).
(2.217)
(2.218) (2.219)
ξ, η soddisfano
ξ tan ξ = η,
(A),
(2.220)
(B)
(2.221)
oppure e allo stesso tempo
ξ cot ξ = −η,
ma2 V0 (2.222) 2~2 (vedi l’eq.(52)). I punti di intersezione tra le due curve (64) e (66), e quelli tra (65) e (66), nel quarto del piano ξ > 0, η > 0, corrispondono agli autovalori dell’energia. Tali soluzioni sono facilmente visualizzate nel piano ξ − η: (64) e (65) rappresentano i vari rami q delle curve η = ξ tan ξ e η = −ξ cot ξ mentre (66) rappresenta un cerchio di ξ 2 + η2 =
raggio
ma2 V0 2~2
col centro all’origine. (Fig.6). Non e` difficile vedere allora che il numero q π ma2 V0 nπ < degli stati legati e` n per (n−1) 2 2~2 ≤ 2 .
¨ 2.2. EQUAZIONE DI SCHRODINGER: PROPRIETA` GENERALI
65
q 2V π 0 (i) 0 < ma 2~2 ≤ 2 : Esiste una sola intersezione tra le curve (64) e (66), e nessuna tra (65) e (66) (vedi la Nota qui sotto). Vuol dire che esiste un solo stato legato; q ma2 V0 ≤ π. In questo intervallo ci sono due stati legati, una soluzione con (ii) π2 < 2~2 0 < ka/2 < π/2 (soluzione del tipo A), un’altra soluzione con π/2 ≤ ka/2 < π (tipo B); q 2V 0 ≤ 3π (iii) Per π < ma 2~2 2 , ci sono tre livelli dell’energia, uno con 0 < ka/2 < π/2 (soluzione del tipo A); uno con π/2 ≤ ka/2 < π (tipo B) e il terzo con π ≤ ka/2 < 3π/2 (del tipo A); ecc. Il numero dei nodi della funzione d’onda dell’n-simo stato di eccitazione obedisce al teorema di oscillazione (n − 1) come e` facile da verificare. Infine, nel limite V0 → ∞, l’eq.(61) si riduce a ka = nπ, e ψI , ψIII → 0, e ritroviamo le soluzioni per la buca 2 infinita, come ci si aspetta. Il modello illustra il fatto che, in generale, il numero di stati legati dipende dai dettagli del potenziale. Nota La buca con parametri esattamente corrispondenti ad uno dei valori critici r πn ma2 V0 = , n = 1, 2, . . . , 2 2~ 2
(2.223)
merita una particolare attenzione. Consideriamo infatti come cambia q il numero di stati 2V 0 legati, al variare dei parametri (V0 , a, m). Quando la combinazione ma in aumento 2~2 supera uno dei valori critici, il numero di stati legati aumenta di uno. Pi`u precisamente, uno stato nello spettro continuo diventa normalizzabile (diventa uno stato legato), e entra nello spettro discreto. (Fig. 7). Ma ad esattamente a uno dei valori critici, la soluzione nuova ha l’energia zero, se misuriamo partendo da V0 (η = 0, vedi Fig. (6)), e la funziona d’onda del nuovo stato nelle regioni fuori buca e` costante (κ = 0 nella (53)), e la soluzione non e` normalizzabile. Vuol dire che questi soluzioni non rappresentano stati q legati, ma uno stato del continuo che sta per diventare uno stato legato. Soltanto per maggiore di π2n il nuovo stato rappresenta un nuovo stato legato.
ma2 V0 2~2
strettamente
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
Figura 2.9: Soluzione grafica delle Eq.(64) e Eq.(66), oppure Eq.(65) e Eq.(66). Esercizi: q 2V 0 (i) Se ma 2~2 = ǫ ≪ 1 il sistema ha un solo stato legato. Calcolare approssimativamente, al primo ordine non banale in ǫ, l’energia di questo stato (come funzione di V0 e di ǫ.)
` DELLA MECCANICA QUANTISTICA CAPITOLO 2. PRINCIPI
66
a
b
Figura 2.10: Spettro della buca finita con (a)
q
ma2 V0 2~2
=
π 2 −ǫ, e con (b)
q
ma2 V0 2~2
=
π 2 +ǫ.
(ii) Considerare il limite a → 0, V0 → ∞, con il prodotto aV0 ≡ f fisso. Usando il risultato di questo sottocapitolo, dimostrare che esiste un solo stato legato, e determinare l’energia del livello, E − V0 , e la funzione d’onda. (iii) Calcolare lo spettro discreto del sistema H=
p2 + V (x), 2m
V (x) = −f δ(x),
f > 0,
direttamente (vedi Sec. 0.1.8) e verificare che il risultato coincide con quello del punto (ii). (iv) Determinare la funzione d’onda e l’energia dello stato legato (o degli stati legati) del potenziale, V (x) = −f δ(x + a) − f δ(x − a). Quanti stati legati ha il sistema?
2.2.4 Oscillatore armonico L’oscillatore armonico unidimensionale e` descritto dall’Hamiltoniana H=
p2 1 + mω 2 x2 , 2m 2
(2.224)
dove m e ω sono costanti. L’equazione di Schr¨odinger Hψ = Eψ pu`o essere riscritto come 2m 1 d2 ψ + 2 (E − mω 2 x2 )ψ = 0. 2 dx ~ 2
(2.225)
Introducendo una variabile adimensionale ξ≡ ′′
si ha (ψ ≡
d2 dξ 2 )
r
mω x, ~
(2.226)
′′
ψ + (λ − ξ 2 )ψ = 0, λ≡
(2.227)
2E > 0. ~ω
(2.228)
′′
Per grande ξ, ψ ∼ ξ 2 ψ, perci`o il comportamento asintotico di ψ e` ψ ∼ (polinomio)e−ξ
2
/2
.
(2.229)
¨ 2.2. EQUAZIONE DI SCHRODINGER: PROPRIETA` GENERALI
67
Poniamo allora ψ(ξ) = χ(ξ)e−ξ
2
/2
(Def. χ) :
(2.230)
l’equazione per χ e` : ′′
′
χ − 2ξχ + (λ − 1)χ = 0.
(2.231)
Supponiamo che una funzione rappresentata da una serie di potenze, χ(ξ) = ξ s (a0 + a1 ξ + a2 ξ 2 + . . .),
a0 6= 0;
s ≥ 0,
(2.232)
risolva la (75). Allora la sostituzione di (76) nel primo membro di (75) deve dare zero identicamente: tutti i coefficienti di ξ s−2+n (n = 1, 2, . . .) si devono annullare. Le condizioni sono: s(s − 1)a0 (s + 1)sa1
= =
0, 0;
(s + 2)(s + 1)a2 − (2s + 1 − λ)a0
=
0;
(s + ℓ + 2)(s + ℓ + 1)aℓ+2 − (2s + 2ℓ + 1 − λ)aℓ
=
(s + 3)(s + 2)a3 − (2s + 3 − λ)a1 = ...
0; ... 0.
(2.233)
La prima di queste relazioni e` soddisfatta se s = 0 o s = 1, mentre la seconda richiede o a1 = 0 o/e s = 0. In altre parole la serie inizia o con un termine costante o con un termine ∝ ξ. Consideriamo prima la sottoserie formata dai termini alternativi, con i coefficienti a0 , a2 , a4 , . . . (determinati da (77)). Questa serie o terminer`a dopo un numero finito di termini o non terminer`a. Se essa e` una serie infinita (i.e., non termina), il comportamento asintotico (a grande ξ) della somma e` principalmente determinato dai coefficienti a grande ℓ. Essi obbediscono alle relazioni: aℓ+2 ℓ→∞ 2 −→ . aℓ ℓ E` facile trovare che i coefficienti sono dati da a2n ≃
(2.234) 1 (n−1)!
: la somma si comporter`a come
∞ X
2 1 ξ 2n ≃ ξ 2 eξ . (n − 1)! n=1
(2.235)
Un tale comportamento asintotico di χ non e` accettabile: esso renderebbe ψ non normalizzabile (vedi (74)). La serie a0 + a2 ξ 2 + . . . deve perci`o terminare. Essa terminer`a se il parametro λ e` tale che 2s + 2ℓ + 1 − λ = 0, (2.236) per un valore di ℓ (pari). Infatti da (77) segue che in tal caso aℓ+2 = aℓ+4 = . . . = 0, e la serie si riduce ad un polinomio. Per quanto riguarda l’altra sottoserie con i coefficienti, a1 , a3 , . . ., essa non pu`o terminare. (Per s fisso, la condizione 2s+2ℓ+1−λ = 0 per ℓ dispari non e` compatibile con (80). ) Il comportamento asintotico della somma e` determinato da (78): a2n+1 ≃ 2n /(2n − 1)!! perci`o a1 ξ + a3 ξ 3 + a5 ξ 5 + . . . ≃ ξ exp ξ 2 . Anche questo contributo renderebbe ψ non normalizzabile e pertanto non e` accettabile. L’unica possibilit`a e` porre a1 = 0, che comporta a3 = a5 = . . . = 0 via la relazione di ricorrenza. La funzione d’onda ψ e` normalizzabile dunque se e solo se la condizione (80) e` soddisfatta per s = 0 o per s = 1. Mettendo insieme i due casi, la condizione e` λ = 2n + 1,
n = 0, 1, 2, . . .
(2.237)
68
` DELLA MECCANICA QUANTISTICA CAPITOLO 2. PRINCIPI
Da (72) e (81) troviamo En =
1 ω~ (2n + 1) = ω~(n + ), 2 2
n = 0, 1, 2, . . . ,
(2.238)
il famoso risultato per i livelli dell’energia di un oscillatore lineare in meccanica quantistica. Per trovare la funzione d’onda dell’n-simo livello dobbiamo risolvere l’equazione (sostituendo (81 ) in (75) e scrivendo χ = Hn (ξ) ): ′′
′
Hn − 2ξHn + 2nHn = 0,
(2.239)
nota come equazione di Hermite. La sua soluzione polinomiare e` nota come polinomio di Hermite. Digressione su polinomi di Hermite I polinomi di Hermite Hn (ξ) possono essere definiti tramite la funzione generatrice 2
e−s +2sξ = eξ ∞ X sn Hn (ξ), n! n=0
S(ξ, s) = =
2
−(s−ξ)2
(2.240)
dove s e` un parametro. Dalla considerazione di ∂S/∂ξ: ∞ ∞ X X 2 2sn+1 ∂S sn ′ Hn (ξ) = = 2se−s +2sξ = Hn (ξ), n! ∂ξ n! n=0 n=0
(2.241)
si ottiene una relazione ricorsiva ′
Hn = 2nHn−1 ;
(2.242)
mentre dalle due espressioni per ∂S/∂s: ∞ ∞ X X sn−1 (−2s + 2ξ)sn ∂S −s2 +2sξ Hn (ξ) = = (−2s + 2ξ)e = Hn (ξ), (2.243) (n − 1)! ∂s n! n=1 n=0
risulta un’altra relazione ricorsiva Hn+1 = 2ξHn − 2nHn−1 .
(2.244)
Prendendo una derivata (rispetto a ξ) dell’eq.(88) e facendo ripetuto uso di (86) troviamo ′′
′
Hn − 2ξHn + 2nHn = 0,
(2.245)
che e` precisamente l’equazione di Hermite. Le espressioni esplicite di Hn (ξ) si possono trovare facilmente dalla formula Hn (ξ) = (−)n eξ
2
dn −ξ2 e dξ n
(2.246)
che segue dalla seconda equazione in (84). Calcolando le derivate troviamo: H0 (ξ) =
1,
H1 (ξ) = H2 (ξ) =
2ξ, 4ξ 2 − 2,
H3 (ξ) = H4 (ξ) = ...
8ξ 3 − 12ξ, 16ξ 4 − 48ξ 2 + 12, ...
(2.247)
¨ 2.2. EQUAZIONE DI SCHRODINGER: PROPRIETA` GENERALI
69
I polinomi di Hermite soddisfano alla seguente relazione di ortonormalizzazione Z ∞ √ 2 (2.248) dξ e−ξ Hn (ξ)Hm (ξ) = δn,m π2n n!. −∞
Per dimostrarla basta considerare l’integrale Z
∞
2
dξ e−ξ S(ξ, s)S(ξ, t) =
−∞
Z ∞ X 2 s n tm ∞ dξ e−ξ Hn (ξ)Hm (ξ), n!m! −∞ n,m=0
(2.249)
che e` uguale a Z
∞
dξ e−{ξ−(s+t)}
2
+2st
=
−∞
∞ √ 2st √ X 2ℓ (st)ℓ πe = π . ℓ!
(2.250)
ℓ=0
Il paragone tra queste due espressioni comporta la relazione di ortonormalizazzione. ♠ La funzione d’onda dell’n-simo livello dell’oscillatore armonico (normalizzata) e` allora data da r mω 2 mω − 21 α2 x2 x)e− 2~ x ; ψn (x) = Cn Hn (αx)e = Cn Hn ( (2.251) ~ dove 1/2 mω 1/4 α Cn = = ~π π 1/2 2n n!
1 n 2 n!
1/2
;
α≡
r
mω ~
Lo stato findamentale e` descritto dalla funzione d’onda Gaussiana mω 1/4 mω 2 ψ0 (x) = e− 2~ x , π~
(2.252)
(2.253)
e ha l’energia
E0 =
1 ω~, 2
(2.254)
nota come energia di punto zero. q E` molto istruttivo osservare che l’estensione della funzione d’onda, ∆x ∼
~ mω
nonch´e la presenza dell’energia di punto zero, possono essere dedotti a partire dalle relazioni di Heisenberg e dalla forma dell’Hamiltoniana, ma senza usare la soluzione esplicita. Infatti, supponiamo che lo stato fondamentale sia lo stato in cui il prodotto delle indeterminazioni sia minimo: ~ ∆x∆p ≃ . (2.255) 2 Senza perdita di generalit`a possiamo inoltre supporre che i valor mediip di x e di p siano nulli: hxi = hpi = 0. Le indeterminazioni di x e di p sono allora uguali a h(x − hxi)2 i = p p p hx2 i; h(p − hpi)2 = hp2 i. Prendendo il valor di aspettazione dell’Hamiltoniana, H = p2 /2m + mω 2x2 /2, si avr`a quindi mω 2 ~2 (∆p)2 . (2.256) + hHi = 2m 8(∆p)2 Minimizziamo ora hHi rispetto a (∆p)2 , visto che si tratta dello stato fondamentale: mω 2 ~2 1 =0 − 2m 8(∆p)4
→
(∆p)2 ≃
1 mω~. 2
(2.257)
` DELLA MECCANICA QUANTISTICA CAPITOLO 2. PRINCIPI
70
Inserzione di questo risultato in (100) d`a la stima dell’energia dello stato fondamentale, Est.f ond ≃
1 ω~, 2
(2.258)
che e` in accordop con il risultato esatto. L’estensione della funzione d’onda e` stimata come ∆x ∼ ~/∆p ≃ ~/mω che e` pure in accordo con (97). L’energia di punto zero (chiamata alternativamente come energia del “vuoto”) e` cos`ı interpretata come effetto di fluttuazione quantistica minima compatibile con il principio di Heisenberg: una particella confinata in uno spazio finito ha un’indeterminazione dell’impulso non nulla, che equivale a una certa quantit`a di energia cinetica. Nei sistemi di infiniti gradi di libert`a (dei solidi, sistemi quantistici relativistici, ecc.) la presenza dell’energia del vuoto causa fenomeni interessanti (e.g., effetto Casimir). Esercizi: Si calcolino i valor di aspettazione (esatti) degli operatori x2 e p2 sullo stato fondamentale dell’osillatore armonico, (97). (Risposta: ~/2mω e mω~/2, rispettivamente. ) Per le applicazioni in suguito troveremo molto utili avere gli elementi di matrice degli operatori, x, x2 , i.e., Z Z xnm = hn|x|mi ≡ dx ψn∗ (x)xψm (x), (x2 )nm = hn|x2 |mi ≡ dx ψn∗ (x)x2 ψm (x), (2.259) calcolati. Tali quantit`a possono essere calcolate con l’aiuto della funzione generatrice dei polinomi di Hermite: i risultati sono: q n+1 1 α 2 , se m = n + 1, p 1 n (2.260) xnm = sem = n − 1, α 2, 0 altrimenti. (x2 )nm
dove
q (n+1)(n+2) 1 , se m = n + 2, 4 α2 q n(n−1) 1 = , se m = n − 2, α2 4 0 altrimenti, r
mω . ~ Analogamente gli elementi di matrice dell’operatore dell’impulso p sono: r √ √ mω~ pmn = hm|p|ni = −i (δm,n−1 n − δm,n+1 n + 1). 2 α≡
(2.261)
(2.262)
(2.263)
Osservazione Lo spettro di energia dell’oscillatore armonico, ω~(n + 1/2), e` discreto e equispaziato, e a parte l’energia di punto zero, ω~/2, assomiglia alla formula per l’energia di n particelle (ciascuno con massa ω~) non interagenti a riposo. Questa analogia e` di importanza fondamentale: esiste infatti un formalismo che discuteremo in seguito, che mette questo aspetto in risalto - formalismo di operatori di creazione e di annichilazione. L’intera teoria quantistica dei sistemi di infiniti gradi di libert`a (fisica dei solidi, fisica delle particelle elementari, teoria quantistica dei campi) e` basata su tale formalismo, detto seconda quantizzazione. In meccanica quantistica non ci sono differenze essenziali tra la massa di una particella “elementare, e l’energia di stati composti. Esercizio Plottare la funzione d’onda dell’n-simo livello, con il programma Mathematica. Risposta: il commando 2 1 HermiteH [n, x] e−x /2 , ψ[n− , x− ] := √ 1/2 n π 2 n!
(2.264)
¨ 2.2. EQUAZIONE DI SCHRODINGER: PROPRIETA` GENERALI
71
che definisce la funzione d’onda; il commando Plot [ ψ[10, x], {x, −11, 11} ]
(2.265)
plotta la funzione d’onda del livello n = 10, nella regione −11 ≤ x ≤ 11.
2.2.5 Operatori di creazione e di distruzione L’oscillatore armonico ammette soluzione con un’altro formalismo molto elegante, che e` la base del metodo di seconda quantizzazione. Introduciamo r r mω 1 x+i p; (2.266) a= 2~ 2mω~ e il suo coniugato hermitiano †
a =
r
mω x−i 2~
r
1 p, 2mω~
(2.267)
detti rispettivamente operatore di distruzione e operatore di creazione. L’inverso della trasformazione e` r r ~ mω~ † (a + a ); p = −i (a − a† ). (2.268) x= 2mω 2 Segue dal commutatore tra x e p che a, a† soddisfano alla relazione [a, a† ] = 1.
(2.269)
L’Hamiltoniana dell’oscillatore armonico e` uguale a H=
ω~ 1 (aa† + a† a) = ω~(a† a + ), 2 2
(2.270)
dove e` stato usato il commutatore (113). Usando i noti elementi di matrice degli operatori x e p si trova che gli unici elementi di matrice non nulli di a e a† sono (n = 0, 1, 2, . . .): √ √ (2.271) hn − 1|a|ni = n; hn + 1|a† |ni = n + 1. O equivalentemente, a|ni =
√ n |n − 1i,
a† |ni =
√ n + 1 |n + 1i.
(2.272)
Segue allora che a† a|ni = n|ni :
(2.273)
†
l’operatore N ≡ a a e` chiamato operatore del numero di occupazione o semplicemente come operatore del numero. Infine, l’Hamiltoniana e il suo autovalore sono ovviamente 1 1 H|ni = ω~(N + )|ni = ω~(n + )|ni, 2 2
(2.274)
risultato gi`a trovato risolvendo l’equazione di Schr¨odinger. L’n-simo autostato di energia di oscillatore armonico |ni e` interpretato - questo e` il linguaggio del formalismo di seconda quantizzazione - come stato di n “fononi. Lo stato fondamentale e` il “vuoto” senza fononi (ma con l’energia ω~/2 di “punto zero); l’operatore a† crea un fonone, l’operatore a ne distrugge uno. L’operatore N ≡ a† a “conta il numero dei fononi nello stato sul quale agisce. In questo sistema esiste un solo tipo di fonone
72
` DELLA MECCANICA QUANTISTICA CAPITOLO 2. PRINCIPI
con l’energia ω~. Qualsiasi elemento di matrice di tipo hn|F (x, p)|mi dove F (x, p) e` un polinomio di x e di p, pu`o essere trovato con facilit`a dagli elementi di matrice di a e a† . Infatti gli autovalori e gli autostati di H possono essere trovati caso direttamente da (114)) e (113), senza mai parlare dei polimoni di Hermite, ecc., in modo assiomatico. Prima di tutto si deve assumere l’esistenza di uno stato di minima energia (lo stato fondamentale), |0i. Per definizione tale stato (normalizzato) e` annichilato da a: h0|0i = 1.
a|0i = 0,
(2.275)
Agendo l’operatore a† iterativamente su questo stato, possiamo definire lo stato con n fononi, definito come (a† )n (2.276) |ni ≡ √ |0i, n = 1, 2, . . . n! dove la costante davanti e` introdotta di modo che hn|ni = 1.
(2.277)
[a, (a† )n ] = n(a† )n−1
(2.278)
Facendo uso del commutatore
e della (119) ripetutamente, si pu`o verificare la prima della (116), (la seconda della (116) e` ovvia), la (117), e infine la (118), il che equivale alla soluzione del problema. Esercizio: Si verfichi la (121). Si verifichi che la funzione d’onda ψ(x) ≡ hx|0i coincide con la (97). Stati coerenti Un importante applicazione dell’uso del formalismo con operatori a e a† riguarda i cos`ıdetti stati coerenti. Gli stati coerenti sono gli stati in cui il prodotto di indeterminazione di x e di p nella relazione di Heisenberg (vedi Sez. 2.1.6) prende il minimo valore possibile, ~/2: essi descrivono i “pacchetti d’onda i pi`u compatti possibili, e in un senso i pi`u classici. Gli stati coerenti possono essere convenientemente definiti come autostati dell’operatore di distruzione, a, a|βi = β|βi, (2.279) dove β e` un numero complesso. Per costruire lo stato |βi, introduciamo un operatore unitario, † ∗ U (β) = eβa −β a , (2.280) con β un numero complesso arbitrario. Allora |βi = U (β)|0i,
(2.281)
dove |0i e` lo stato fondamentale (119) nella base di numero di occupazione. Infatti, poich´e a U (β) = U (β) (a + β)
(2.282)
(Esercizio: verificatelo), la dimostrazione della (123) e` immediata. Un’identit`a molto utile per studiare gli stati coerenti e` la formula di Baker-CampbellHausdorff-Weyl, 1 (2.283) eX eY = eX+Y + 2 [X,Y ] , valida se [X, Y ] e` un c-numero (i.e., se esso commuta con tutti gli operatori). Per esempio, U (β) = e−|β|
2
/2 βa† −β ∗ a
e
e
.
(2.284)
Si ha dunque |βi = e−|β|
2
/2 βa†
e
|0i.
(2.285)
¨ 2.2. EQUAZIONE DI SCHRODINGER: PROPRIETA` GENERALI
73
Sviluppando l’esponenziale, si ha |βi =
X n
An |ni,
An = e−|β|
2
/2
βn √ , n!
(2.286)
dove |ni e` lo stato di n fononi. La probabilit`a di osservare n quanti nello stato coerente |βi allora e` 2n 2 |β| Pn = e−|β| : (2.287) n! e` una distribuzione Poissoniana, con il valor medio di numero di occupazione hβ|a† a|βi = |β|2 .
(2.288)
Infine, non e` difficile dimostrare che nello stato coerente i) il prodotto di indeterminazione h(∆x)2 i · h(∆p)2 i prende il valore minimo possibile, ~2 /4; ii) la funzione d’onda nella base x prende forma, ψ(x) = hx|βi = N exp[−
p0 x (x − x0 )2 +i ], 4h(∆x)2 i ~
(2.289)
dove x0 = (~/2mω)1/2 (β + β ∗ );
p0 = i(m~ω/2)1/2 (β ∗ − β);
h(∆x)2 i = ~/2mω.
(2.290) (2.291)
(vedi, per es., Davydov, “Quantum Mechanics). Gli stati coerenti hanno generalizzazioni interessanti chiamati stati “schiacciati (squeezed states), recentemente studiati in connessione con ottica quantistica, in cui le indeterminazioni h(∆x)2 i e h(∆p)2 i sono variati, tenendo fisso (e il minimo possibile) il loro prodotto.
2.2.6 Barriera di potenziale e Effetto tunnel Consideriamo ora la barriera di potenziale, ( 0 se x < 0, (I), x > a (III), V = V0 > 0 se 0 ≤ x ≤ a, (II).
(2.292)
Una particella e` incidente da x = −∞. Si vuole calcolare la probabilit`a di trasmissione attraverso/riflessione da tale potenziale. L’interpretazione con la densit`a di corrente di un onda piana (vedi Sec.0.1.2 ) ci permette di trattare il problema con l’equazione di Schr¨odinger indipendente dal tempo. (i) Dapprima consideriamo il caso E > V0 . Una particella classica che entra da sinistra, non sentirebbe nemmeno la presenza del potenziale, e continuerebbe il suo viaggio verso destra indisturbata. In Meccanica Quantistica il moto della particella e` descritto dall’equazione di Schr¨odinger, che e` una equazione libera nelle regioni I e III. Nella regione II l’equazione e` pure quella libera, a parte lo spostamento E → E − V0 dell’energia. La soluzione ha quindi la forma √ 2mE ikx −ikx ψI = e + Ae ; k= ; ~p ′ ′ ′ 2m(E − V0 ) ψII = Beik x + B ′ e−ik x ; k = ; ~ ψIII = Ceikx . (2.293)
` DELLA MECCANICA QUANTISTICA CAPITOLO 2. PRINCIPI
74
Nello scrivere (137 ) abbiamo arbitrariamente scelto la normalizzazione della funzione d’onda di modo che l’onda piana incidente (in ψI ) abbia il coefficiente 1. Inoltre abbiamo imposto la condizione al contorno adatta per il problema d’urto in considerazione: nella regione III abbiamo solo l’onda trasmessa (∝ exp(−iEt/~ + ikx)). La condizione di continuit`a tra le due regioni I e II e` : 1 + A = B + B′,
ik(1 − A) = ik ′ (B − B ′ ),
(2.294)
mentre quella tra II e III e` ′
′
′
B eik a + B ′ e−ik a = C eika ≡ C ′ ;
′
ik ′ (B eik a − B ′ e−ik a ) = i k C eika = i k C ′ . (2.295) Questi sistemi di equazioni si risolvono facilmente, eliminando B, B ′ da ika ′ B 1 B eik a Ce =M ; =M . (2.296) ′ −ik′ a B′ A 0 Be Un calcolo elementare d`a il risultato A = C′
=
i(k 2 − k ′2 ) sin k ′ a ; − i(k 2 + k ′2 ) sin k ′ a 2kk ′ 2kk ′ cos k ′ a − i(k 2 + k ′2 ) sin k ′ a
−
2kk ′ cos k ′ a
(2.297)
Si vuole calcolare soprattutto il coefficiente di trasmissione, D≡
|jtras | |jinc |
(2.298)
R≡
|jrif l | , |jinc |
(2.299)
e il coefficiente di riflessione
dove jinc , jtras e jrif l rappresentano rispettivamente la densit`a di corrente dell’onda incidente (il primo termine di ψI ), dell’onda trasmessa (ψIII ), e dell’onda riflessa (il secondo termine di ψI ). Le tre correnti sono k~/m, k~|C|2 /m e k~|A|2 /m, perci`o D = |C|2 = |C ′ |2 ;
R = |A|2 ,
(2.300)
cio`e D
=
R =
4k 2 k ′2 4k 2 k ′2 + (k 2 − k ′2 )2 sin2 k ′ a
(k 2 − k ′2 )2 sin2 k ′ a . 4k 2 k ′2 + (k 2 − k ′2 )2 sin2 k ′ a
(2.301)
Si osservi che: • D + R = 1. Questo e` quanto ci si aspetta per la probabilit`a totale. • La probabilit`a di riflessione non e` zero in generale, nonostante il fatto che l’energia della particella incidente sia al di sopra della barriera di potenziale. Questa e` una conseguenza dell’aspetto ondulatorio delle particelle in Meccanica Quantistica: in Meccanica Classica avremmo semplicemente D = 1, R = 0. p • Per certi valori discreti dell’energia incidente, ( 2m(E − V0 )a/~ = nπ, n = 1, 2, . . .), c’`e trasmissione completa (D = 1). Anche questo e` un fenomeno tipicamente quantistico: e` analogo dell’effetto Ramsauer-Taunsend in tre dimensioni.
¨ 2.2. EQUAZIONE DI SCHRODINGER: PROPRIETA` GENERALI
75
Consideriamo ora invece il caso E < V0 . Classicamente la particella, non avendo un’energia sufficiente per superare la barriera, sar`a riflessa a x = 0: avremmo D = 0; R = 1. Il comportamento di una particella quantistica e` ben diverso. Le soluzioni dell’equazione di Schr¨odinger in questo caso sono: √ 2mE ; = e + Ae ; k= p~ 2m(V0 − E) = Be−κx + B ′ eκx ; κ = ; ~ = Ceikx ; ikx
ψI ψII ψIII
−ikx
(2.302)
Si osservi che l’andamento della funzione d’onda nella regione intermedia e` del tipo esponenziale reale. Per il resto si proceder`a come prima: bisogner`a imporre la condizione di continuit`a a x = 0 e a x = a, per trovare C e A. Per fortuna, una semplice osservazione ci permette di arrivare al risultato senza fare nessun calcolo: le equazioni da risolvere sono identiche a (139) a parte la sostituzione k′
→
iκ.
(2.303)
Di conseguenza i coefficienti A e C ′ nel caso E < V0 sono dati da (141) con la suddetta sostituzione (si noti la sostituzioni, sin k ′ a → i sinh κa; cos k ′ a → cosh κa): (k 2 + κ2 ) sinh κa ; 2kκi cosh κa + (k 2 − κ2 ) sinh κa 2kκi . 2kκi cosh κa + (k 2 − κ2 ) sinh κa
A = C′
=
(2.304)
Le probabilit`a di trasmissione e di riflessione sono quindi date da D
=
4k 2 κ2 ; 4k 2 κ2 + (k 2 + κ2 )2 sinh2 κa
R
=
(k 2 + κ2 )2 sinh2 κa . 4k 2 κ2 + (k 2 + κ2 )2 sinh2 κa
(2.305)
Osservazioni • In generale si ha D 6= 0, D > 0. La particella ha una probabilit`a non nulla di attraversare la barriera, nonostante che la sua energia non e` sufficiente per superare la barriera dal punto di vista classico. Questo e` un esempio del celebre effetto tunnel che distingue la Meccanica Quantistica in modo cos`ı netto dalla Meccanica Classica. • Nel limite di barriera molto grande, V0 → ∞ e/o a → ∞, il coefficiente di trasmisssione si comporta come √ D ∼ e−2 2m(V0 −E) a/~ ; (2.306) ed e` esponenzialmente piccolo, (con due volte l’azione classica nell’esponente), caratteristica questa dell’effetto tunnel in generale. Esercizio: Calcolare il coefficiente di trasmissione della barriera unidimensionale, V (x) = f δ(x) (f > 0), prendendo il limite V0 → ∞, a → 0, con f = V0 a fisso. Esercizio: Lo stesso problema con V (x) = −f δ(x) (f > 0).
76
2.2.7
` DELLA MECCANICA QUANTISTICA CAPITOLO 2. PRINCIPI
Sistemi in uno spazio topologicamente non banale
Una particella che si muove su un anello (discussa in (31)), e` l’esempio di un sistema meccanico-quantistico, che possiede un parametro nascosto che non ha analoghi classici. Dovuto alla nota arbitrariet`a della fase della funzione d’onda, la periodicit`a dello spazio, x = x + L,
(2.307)
in generale richiede che la funzione d’onda obbedisca alla condizione pi`u generale, ψ(x + L) = eiθ ψ(x),
(2.308)
dove θ e` una costante che caratterizza il sistema quantistico. La soluzione dell’equazione di Schr¨odinger e` sempre ψ = eikx , ma la condizione al contorno e` ora kL = 2πn + θ,
n = 0, ±1, ±2, . . . ,
(2.309)
perci`o ~2 (2πn + θ)2 . (2.310) 2 m L2 Per un generico θ la doppia degenerazione del livello (31) del caso θ = 0 viene eliminata, En 6= E−n . E` interessante che per un particolare valore di θ, θ = π, i livelli di energia sono 1 ~2 (2π)2 (n + )2 . (2.311) En = 2 2mL 2 In questo caso, tutti i livelli sono doppiamente degeneri (le coppie di stati sono (0, −1), (1, −2), ecc.). Un’altro caso particolare, θ = 2π, e` interessante. In questo caso, lo spettro del sistema e` identico al caso θ = 0, come si vede facilmente. In generale, lo spettro e` periodico in θ con periodo 2π, risultato che ci si aspetta dalla definizione stessa del parametro, (152). Si noti che nella discussione la caratteristica topologica non banale dello spazio in questione (S 1 ) e` fondamentale. Esistono molti sistemi di interesse fisico, analoghi a questo sistema. Un esempio e` l’effetto Aharanov-Bohm (in questo caso, il ruolo del parametro θ e` giocato dal flusso magnetico, attraverso una superficie circondata da due classi di cammini dell’elettrone.) θ pu`o essere considerata in generale come un parametro esterno. Supponiamo ora che θ varia adiabaticamente da 0 a 2π. Lo spettro del sistema varia lentamente e alla fine del ciclo, ritorna a quello orignale. Se la particella e` inizialmente in uno stato stazionario, e.g., n-simo stato, la variazione adiabatica di θ aumenter`a l’energia del sistema. Alla fine, lo spettro ritorna allo spettro originale, il parametro esterno ritorna al valore originale (visto che θ e` una variabile angolare, 2 π ∼ 0), ma il sistema si trova nello stato n + 1! In altre parole, l’intero spettro si e` spostato di un’unit`a (n → n ± 1 se θ = 0 → ±2π). Questo fenomeno e` noto come “spectral flow.” Ci sono importanti applicazioni di questo fenomeno in teorie di gauge non abeliane. En =
2.2.8 buca/barriera di potenziale con funzioni δ Considerazione generale: condizioni di continuazione Consideriamo ora il moto di una particella in un potenziale delta unidimensionale H=
p2 − g δ(x), 2m
(2.312)
A causa della singolarit`a del potenziale a x = 0, le condizioni di continuit`a sulla funzione d’onda richiedono una considerazione particolare. Per quanto riguarda il valore della funzione d’onda dobbiamo richiedere semplicemente ψ(x)|x→0+ = ψ(x)|x→0− ,
ψ− (0) = ψ+ (0)
(2.313)
¨ 2.2. EQUAZIONE DI SCHRODINGER: PROPRIETA` GENERALI
77
per la continuit`a della densit`a ρ, dove con ψ± abbiamo indicato le funzioni d’onda definite nelle regioni x > 0 e x < 0. La condizione di continuit`a sulla derivata deve tenere conto della singolarit`a del potenziale. Infatti, integrando l’equazione di Schr¨odinger ~2 ′′ ψ − g δ(x)ψ = E ψ, 2m
(2.314)
~2 (ψ ′ (ǫ) − ψ ′ (−ǫ) ) − gψ(0) = O(ǫ). 2m
(2.315)
− nella regione [−ǫ, ǫ], si ha −
Considerando poi il limite ǫ → 0, si trova la condizione di continuit`a per la derivata prima della funzione d’onda, 2mg ′ ′ ψ+ (0) − ψ− (0) = − 2 ψ(0). (2.316) ~ La stessa condizione si trova, sostituendo la funzione d’onda ψ(x) = ψ− (x) θ(−x) + ψ+ (x) θ(x)
(2.317)
direttamente nell’equazione di Scr¨odinger, utilizzando θ′ (x) = δ(x), i.e., richiedendo che (161) effettivamente soddisfi quest’ultimo dappertutto, incluso x = 0. Esercizio: Dimostrare che la condizione (160) sia compatibile con la continuit`a della ~ [ (ψ ∗ )′ ψ − ψ ∗ ψ ′ ]. densit`a di corrente, j = 2i m i) Spettro discreto La funziona d’onda di uno stato legato, con energia E0 < 0 e` : r −2mE0 κx −κx ψ(x) = θ(−x)e + θ(x)e , κ= . ~2
(2.318)
dove abbiamo gi`a tenuto conto della normalizzabilit`a (per cui la scelta della soluzione eκx per x < 0 e e−κx per x > 0) e la continuit`a della funzione d’onda a x = 0; la normalizzazione globale e` lasciata arbitraria. Dalla (160) segue immediatamente la condizione di quantizzazione, κ=
mg ; ~2
E0 = −
mg 2 . 2~2
(2.319)
La funzione d’onda normalizzata e` √ ψ(x) = κ [ θ(−x)eκx + θ(x)e−κx ].
(2.320)
ii) Spettro continuo Si pu`o porre, per gli stati di E ≥ 0, ψ(x) = θ(−x)[ Ae
ikx
+ Be
−ikx
] + θ(x)[ Ce
ikx
+ De
−ikx
],
k=
r
2mE . ~2 (2.321)
La condizione di continuit`a tra le due regioni I e II e` : A + B = C + D.
(2.322)
La condizione di continuit`a per la derivata prima d`a (dalla (160): C−D =A−B+
2i m g (A + B) = (1 + 2iα)A − (1 − 2iα)B, k~2
(2.323)
` DELLA MECCANICA QUANTISTICA CAPITOLO 2. PRINCIPI
78 dove
mg > 0. k~2 Risolvendo (239) e (240) per C, D, si ha α=
(2.324)
C = (1 + iα)A + iαB,
(2.325)
D = −iαA + (1 − iα)B.
(2.326)
C 1 + iα iα A A = ≡S· . D −iα 1 − iα B B
(2.327)
O
La matrice S
1 + iα iα S= ; −iα 1 − iα
S
−1
1 − iα −iα = iα 1 + iα
e` nota come matrice di transizione; C 1 − iα −iα C A = = S −1 D iα 1 + iα D B
(2.328)
(2.329)
Per qualsiasi valore di k reale la (165) con tali coefficienti rappresenta gli autostati dell’Hamiltoniana. iii) Barriera di potenziale Per g < 0, il potenziale rappresenta una barriera, non una buca. In questo caso non ci sono stati legati. La funzione d’onda (165) con la (110) correttamente rappresenta lo stato di diffusione generale. Se la particella entra da x = −∞, allora la condizione al contorno e` D=0:
(2.330)
la soluzione e` A = (1 − i α) C;
B = i α C,
(2.331)
per cui le probablit`a di trasmissione e di riflessione sono: D=
1 , 1 + α2
R=
α2 . 1 + α2
(2.332)
Osserviamo che nel caso di portenziale delta, il risultato e` indifferente del segno di g, i.e., sia il potenziale ripulsivo che il potenziale attrattivo d`a lo stesso effetto. iv) Doppia barriera di potenziale delta Il risultato sopra pu`o essere immediatamente generalizzato al caso di multi barriere di potenziale. Consideriamo per esempio il problema col il potenziale con due barriere di forma delta, spaziati di a, V = g [ δ(x) + δ(x − a) ].
(2.333)
La funzione d’onda e` ora ψ(x) = θ(−x)[ Aeikx +Be−ikx ]+θ(x)θ(a−x)[ Ceikx +De−ikx ]+θ(x−a)[ F eikx +Ge−ikx ]. (2.334) Definendo ′
F = F eika ;
′
G = Ge−ika ;
′
C = Ceika ;
′
D = De−ika ,
(2.335)
¨ 2.2. EQUAZIONE DI SCHRODINGER: PROPRIETA` GENERALI
79
C, D sono dati in termini di A, B come nella (244), mentre ′ ′ ika F 1 − iβ −iβ C e 0 A = · ≡S· . (2.336) ′ ′ −ika · S · iβ 1 + iβ 0 e B G D Oppure −ika F e = G 0 dove
0 eika
ika e ·S· 0
1 − iβ S= iβ
0 e−ika
−iβ ; 1 + iβ
A ·S· . B
(2.337)
mg , (2.338) k ~2 dove la forma della matrice S qui (182) (cfr. (245)) riflette il segno opposto di delta nella (177) rispetto alla (156). β=
Rispetto al caso di una singola barriera delta, (176), la fisica qui e` decisamente pi`u interessante. Dalla matrice di transizione nella (180), si trova i coefficienti di trasmissione D e di riflessione R, 4β 2 (cos ka + β sin ka)2 . 1+ +β 1 + 4β 2 (cos ka + β sin ka)2 (2.339) Per una prima verifica, si noti che per a → 0, si ritrova il rusultato precedente con g → 2 g. Per generici valori di energia k, la situazione e` analoga al caso di singola barriera delta. In particolare, nel limite di β → ∞ (g → ∞), il coefficiente di trasmissione tende a zero. D=
1
4β 2 (cos ka
sin ka)2
;
R=
Per certi valori di energia incidente, 1 tan ka = − , β
(2.340)
tuttavia, si ha una trasmissione totale (R = 0, D = 1) ! Notiamo che nel limite di g → ∞, i valori di risonanza (R = 0, D = 1) sono a ka ≃ π n,
n = 1, 2, . . . :
(2.341)
essi corrispondono a stati stazionari nella buca di larghezza a, infinitamente alta (Eq. (46)). Per generico valore di k, si ha invece la riflessione totale (R → 1, D → 0) nel limite g → ∞. La situazione e` illustrata nellla figura (Fig.??), dove i coefficienti di trasmissione e di riflessione e` plottata come funzione di k, per tre valori in ordine crescente di β. E` interessante che il sistema della doppia barriera delta (nel limite di grande g) pu‘o essere considerato come un filtro per la misura dell’impulso: se la particella incidente ha l’energia ka ≃ π n passa, altrimente non passa.
La generalizzazione della formula (181) nel caso di N potenziali delta equispaziati e con lo stesso accoppiamento g, e` −i N k a ika e 0 e 0 A1 AN N = . (2.342) · [ · S ] · B1 BN 0 ei N k a 0 e−ika
2.2.9 Applicazioni della buca infinitamente alta Consideriamo ora alcune applicazioni del problema della buca di altezza infinita discusso in Sec.0.1.3. La pressione che una particella confinata nella buca (scatola) esercita sul muro pu`o essere calcolata nel modo seguente. Supponiamo che la particella sia nell’n-simo livello energetico. L’energia del sistema e` πn 2 ~2 . (2.343) En = a 2m
` DELLA MECCANICA QUANTISTICA CAPITOLO 2. PRINCIPI
80
1
0.8
0.6
0.4
0.2
2
4
6
8
10
8
10
8
10
Figura 2.11:
1 0.8 0.6 0.4 0.2
2
4
6
Figura 2.12:
1 0.8 0.6 0.4 0.2
2
4
6
Figura 2.13:
¨ 2.2. EQUAZIONE DI SCHRODINGER: PROPRIETA` GENERALI
81
Supponiamo di comprimere la scatola adiabaticamente, a → a − δa: il lavoro richiesto e` uguale a 1 1 π 2 n2 ~2 − En (a − δa) − En (a) = 2m (a − δa)2 a2 π 2 n2 ~2 = δa ≡ p · δa, (2.344) m a3 La pressione e` perci`o π 2 n2 ~2 2 = En . (2.345) m a3 a Consideriamo ora un gas di N particelle in equilibrio con il servatoio termico di temperatura T .12 Per tale insieme canonico la distribuzione di energia e` quella di Boltzman, p=
Pn = N e−En /k T ,
(2.346) 2 ~2 con N costante di normalizzazione. Per la particella in n-simo livello, En = πn a 2m ≡ 2 π 2 ~ 2 A · n , A = a 2 m . Il valor medio dell’energia e` X hEi = En Pn . (2.347) n
Ora per uno stato di N particelle con le interazioni trascurabili tra loro, E(n1 ,n2 ,...nN ) ≃ En1 + En2 + . . . EnN ,
(2.348)
il suo valor medio e` (N )
hEi
P
(n1 ,n2 ,...nN )
= =
Per temperature alte, √ i.e. con An ≡ x,
N
A kT
E(n1 ,n2 ,...nN ) e−E(n1 ,n2 ,...nN ) /kT
P
(n1 ,n2 ,...nN )
P
n
P1
e−E(n1 ,n2 ,...nN ) /k T
En1 e−En1 /k T
n1
e−En1 /k T
= N hEi.
(2.349)
≪ 1, la somma su n pu`o essere approssimata con un integrale, 2
dx x2 e−x /k T 1 = k T. hEi ∼ R 2 /k T −x 2 dx e R
(2.350)
L’energia del sistema e` data dall’espressione classica U = hEi(N ) =
1 Nk T 2
(2.351)
dalla quale segue il risultato noto per il calore specifico (per un gas monoatomico 1D) 1 C = ∂U ∂T = 2 N k. A temperature basse, la somma in hEi e` dominato dallo stato fondamentale, hEi ≃ E1 ,
(2.352)
per cui il calore specifico tende a zero a T → 0. Per quanto riguarda la pressione, si ha dalla (189) P = 12 Questa
2 2 kT 1 2 N hEi = N hEi ≃ N = N k T, a a a 2 a
(2.353)
discussione trascura la correlazione tra le particelle identiche, dovuta alla statistica di Bose-Einstein o di Fermi-Dirac, che sar`a discussa pi`u in l`a, e in questo senso non va considerata come approssimazione valida a sistemi fisici quantistici.
82
` DELLA MECCANICA QUANTISTICA CAPITOLO 2. PRINCIPI
a temperatura ambiente. Questa non e` altro che l’equazione di gas unidimensoinale, P V = Nk T . ♠ Infine, il numero di stati quantistici con E ≤ Emax per Emax grande pu`o essere stimato facendo uso della condizione di quantizzazione di Bohr e Sommerfeld: I dx p = n h. (2.354)
√ Siccome Emax corrisponde a pmax = 2 m Emax , il livello massimo nmax e` determinato dalla richiesta I p (2.355) nmax h = dx p = 2 m Emax · 2 a, max
per cui
√ 2a 2 m Emax . h Questo coincide con il risultato quantistico esatto nmax ≃
πn 2 ~2 ≤ Emax , a 2m √ 2 m a2 Emax nmax ≃ . π~
En =
(2.356)
(2.357) (2.358)
2.2.10 Dalla fisica di una particella alla fisica dei sistemi di molti gradi di libert`a: Cristallo Unidimensionale Come prototipo del modello dei cristalli (dei solidi) prendiamo in esame una catena di atomi in una dimensione, interagenti tra loro con una forza armonica. Il sistema e` descritto dalla Lagrangiana classica Xm κ (2.359) L= [ x˙ 2n − (xn+1 − xn )2 ], 2 2 n dove xn indica lo spostamento della posizione dell’n-simo atomo dalla sua posizione di equilibrio, e per semplificare le cose poniamo la condizione periodica xN ≡ x0 ;
xi+N = xi ,
(2.360)
e supponiamo che n in (203) prende valori n = 1, 2, . . . , N . La (203) descrive N particelle accoppiate tra loro, e il fatto che il sistema possa essere risolto con esattezza potrebbe sembrare mirocoloso. Come e` ben noto, la chiave della soluzione e` la trasformata di Fourier (discreta) , 1 X Ak eikna , xn = √ N k
Ak = A∗−k ,
(2.361)
dove la condizione sulle ampiezze complesse Ak riflette la realt`a delle variabili xn , l’impulso k prende valori k=
2πℓ ; Na
, ℓ = ±1, ±2, . . . ±
N −1 N , . 2 2
(2.362)
AN/2 = A−N/2 e` reale. Inoltre, il termine ℓ = 0 (che corrisponderebbe alla traslazione dell’intero sistema) e` assente. Perci`o il numero dei gradi di libert`a associati a vari Ak e` 2·
N −1 + 1 = N, 2
(2.363)
¨ 2.2. EQUAZIONE DI SCHRODINGER: PROPRIETA` GENERALI
83
uguale al numero dei xn indipendenti. Come e` facile verificare, ci sono delle identit`a, N N 1 X i2π(ℓ−ℓ′ )/N 1 X ina(k−k′ ) e = e = δℓ,ℓ′ ; N n=1 N n=1
1 X ik(n−n′ )a e = δn,n′ , N
(2.364)
(2.365)
k
che risulteranno molto utili. Usando queste indentit`a, infatti, si trovano X n
=
X k
(xn+1 − xn )2 = Ak A−k (e
X mx˙ 2
n
n
2
=
ika
X 1 XX ′ ′ Ak Ak′ eikna (eika − 1)eik na (eik a − 1) N ′ n k
− 1)(e
−ika
k
− 1) = 4
X k
Ak A−k sin2
ka ; 2
m X 1 X ˙ ˙ ikna ik′ na mX ˙ ˙ e = Ak Ak′ e Ak A−k . 2 n N 2 k
(2.366)
(2.367)
k
Ma usando la condizione di realt`a di xn (205) si pu`o scrivere (definendo Ak = ak + ibk , ak , bk reali per ℓ = 1, 2, . . . (N − 1)/2 ) A˙ k A˙ ∗k = a˙ 2k + b˙ 2k ;
Ak A−k = Ak A∗k = a2k + b2k ;
k = 1, 2, . . . (N − 1)/2;
(2.368)
e AN/2 A−N/2 = A2N/2 .
(2.369)
Raccogliendo tutti i termini, troviamo che la Lagrangiana e` uguale a L =
(N −1)/2
X ℓ=1
+
[
m 2 mωk2 2 m ˙ 2 mωk2 2 a˙ − a + bk − b ] 2 k 2 k 2 2 k
2 mω(N/2) m ˙2 AN/2 − A2N/2 , 2 2
ωk2 ≡
4κ ka sin2 . m 2
(2.370)
In altre parole, il sistema (203) e` equivalente ad un insieme di N oscillatori armonici indipendenti! In termini di coordinate generalizzate {qi } = {ak , bk , AN/2 }, e gli impulsi canonici corrispondenti, {pi }, l’Hamiltoniana del sistema e` semplicemente, H=
X p2 mωi2 2 q ]. [ i + 2m 2 i i
(2.371)
La quantitizzazione del sistema procede esattamente come nel caso di un singolo oscillatore armonico: la descrizione degli autostati di energia e` particolarmente semplice nel formalismo di seconda quantizzazione (con operatori di creazione e di distruzione, per ciascun modo), seguendo l’esempio di Sec. 0.1.5 Un generico stato di stato di eccitazione e` dato dal ket Y (a† )ni √i |0, 0, . . .i (2.372) | . . . , ni , . . .i = ni ! i
con energia,
E=
X i
1 ωi ~(ni + ). 2
(2.373)
A differenza col caso del singolo oscillatore, qui ci sono N tipi di fononi di energia ωi ~, i = 1, 2, . . . N . Si osservi che, corrispondente al passo reticolare (a) del sistema
` DELLA MECCANICA QUANTISTICA CAPITOLO 2. PRINCIPI
84
originale, c’`e un limite superiore della frequenza (limite inferiore della lunghezza d’onda, a). Nel limite continuo, (N → ∞, a → 0, N a = L con L fisso), il sistema si riduce al caso di una corda finita (con la condizione periodica, cfr Appendice 2): in tal caso non c’`e nessun limite inferiore alla lunghezza d’onda. Un’analogo trattamento e` possibile per i cristalli tri-dimensionali. I fononi sono quanti di eccitazioni collettive (con energia ωi ~ ciascuno). La radiazione elettromagnetica libera (senza particelle cariche) e` descritta in modo analogo, come un insieme di oscillatori armonici (Appendice 2 e Capitolo 1.3), il fonone e` chiamato fotone in questo caso. Il fatto che molti sistemi di molti o infiniti gradi di libert`a sono descritti nella prima approssimazione come un insieme di oscillatori indipendenti, e` basale nel permetterci di analizzare questi sistemi complessi con la teoria delle perturbazioni, nell’ambito del formalismo di seconda quantizzazione (teoria dei campi quantistici).
2.3 Potenziale periodico e struttura di bande d’energia Il comportamento in Meccanica Quantistica di una particella che si muove in un potenziale periodico V (x) = V (x + a) (2.374) (vedi Fig. 1.3) differisce in modo essenziale da quello che ci si aspetta dalla meccanica classica. Come e` stato anticipato gi`a nell’introduzione, tale sistema pu`o essere considerato come prototipo dei sistemi pi`u interessanti (per es., elettroni nei solidi). Supponiamo che l’energia della particella E sia tale che 0 < E ≪ V0 ,
(2.375)
dove 0 e V0 s`ono rispettivamente il valore minimo e il valore massimo del potenziale. Supponiamo inoltre che nell’approssimazione in qui il potenziale e` considerato infinitamente alto (V0 ≃ ∞) i livelli di energia e le funzione d’onda di una singola (n-sima) buca siano dati da (0)
(0)
(0)
E1 , E2 , . . . , Ei , . . . ;
ψ1 (x; n), ψ2 (x; n), . . . ψi (x; n), . . . .
(2.376)
I livelli di energia in altre buche sono identici a questi, mentre le funzioni d’onda dell’msima buca sar`a data da ψi (x − (m − n)a; n). In altre parole, nell’approssimazione in qui l’effetto tunnel e` trascurato ogni livello e` infinitamente degenere (con funzioni d’onda {ψi (x; n)}, n = . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . che rappresentano la particella varie buche). In seguito concentreremo la nostra attenzione ad un determinato livello (per es., i-simo), e lasceremo implicito l’indice i. Un’identica considerazione e` valida per tutti i livelli. Dovuto all’effetto tunnel, sappiamo che i stati {ψ(x; n)} non rappresentano gli autostati esatti dell’Hamiltoniana p2 + V. (2.377) H= 2m Tuttavia, considerando gli effetti dovuti alla penetrazione di barriera come perturbazione, possiamo scrivere Hψ(x; n) ≃ E (0) ψ(x; n) − ǫ [ψ(x; n + 1) + ψ(x; n − 1)],
(2.378)
n = . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .
(2.379)
dove ǫ corrisponde all’ampiezza di probabilit`a di tunnelling tra l’n-sima buca e le due buche adiacenti. La diagonalizzazione dell’Hamiltoniana, date il numero infinito di equazioni accoppiate, (223), appare un problema formidabile. In verit`a, essa si compie senza difficolt`a con la trasformata di Fourier rispetto a n, ψ˜k (x) ≡
∞ X
n=−∞
eikan ψ(x; n),
(2.380)
2.3. POTENZIALE PERIODICO E STRUTTURA DI BANDE D’ENERGIA
85
dove k e` un parametro reale (k~ = p e` una sorta di impulso coniugato a n). Essendo il coniugato di Fourier di una variabile discreta n, ka e` un parametro angolare: k ∈ [−π/a, π/a]. Infatti, moltiplicando con eikan e sommando su n in ambedue i membri di (223), e usando ψ(x; n ± 1) = ψ(x ∓ a; n), troviamo che le combinazioni lineari in (224) sono infatti autostati dell’energia: H ψ˜k (x) = [E (0) − 2ǫ cos(ka)] ψ˜k (x).
(2.381)
In altre parole, invece di un singolo livello E (0) infinitamente degenere, abbiamo trovato una spettro continuo compreso in [E (0) − 2ǫ, E (0) + 2ǫ] (banda di energia), parametrizzato dall’impulso p = k~. Ad ogni valore di energia nella banda sono associati solo due stati distinti, con k = ±|k|. Gli autostati di energia (224) non sono localizzati a una delle buche; sono estesi a tutto lo spazio −∞ < x < ∞. (Osserviamo a questo proposito il seguente fatto. Le autofunzioni vere differiscono in modo essenziale da quelle “non perturbate, (220), anche quando i termini di “perturbazioni ∝ ǫ sono infinitesimi. La ragione di tale fenomeno sta nella degenerazione degli stati nonperturbati. Vedi Capitolo ??) Le autofunzioni (224) non sono autostati dell’operatore d’impulso −i~(d/dx), tanto e` vero che l’invarianza per traslazioni x → x + ∆x e` violata dal potenziale. D’altra parte, l’invarianza per traslazioni discrete generate da x → x ± a (che e` una simmetria dell’Hamiltoniana) f`a s`ı che le autofunzioni soddisfano ψ˜k (x ± a) = e±ika ψ˜k (x),
(2.382)
(dove abbiamo usato la relazione ψ(x + a; n) = ψ(x; n − 1), ecc.), propriet`a condivisa da un’onda piana usuale. Questo aspetto si illustra meglio ancora se si considerasse i casi di piccoli impulsi, ka ≪ 1. La relazione energia-impulso in questi casi si riduce a E = E (0) − 2ǫ cos(ka)) ≃ E (0) − 2ǫ + ǫk 2 a2 .
(2.383)
A parte una costante, questa e` la relazione standard tra l’energia e l’impulso di una particella libera con la massa, ~2 . (2.384) mef f = 2ǫa2 Naturalmente si tratta di una massa efficace, dipendente da dettagli del potenziale e dalla banda considerata; essa non ha niente a che fare con la massa vera della particella m. Nonostante ci`o, resta il fatto che la particella “propaga liberamente attraverso le barriere di potenziale. Ricapiltolando, gli autovalori dell’energia sono le bande di energia, attorno a ciascuno (0) (0) (0) di E1 , E2 , . . . , Ei , . . .. Le autofunzioni descrivono una sorta di onda piana, con l’impulso limitato a p ∈ [−~π/a, ~π/a], e collegato al valore di energia tramite una relazione del tipo (225). Questo, dunque, e` il meccanismo con cui l’elettrone nei cristalli si muove liberamente (conduzione elettrica dei metalli), sebbene subisse diffusione da tutti gli atomi che formano il reticolo cristallino. In tutto ci`o, e` fondamentale il fatto che l’effetto tunnel descrive una penetrazione di particella a livello di ampiezza o di funzione d’onda (vedi (223)), e non a livello di probablilit`a. In questo senso, la conduttivit`a elettrica dei metalli e` uno dei fenomeni che meglio illustrano le caratteristiche della meccanica quantistica.
2.3.1 Esempio di simmetria: parit`a della funzione d’onda; doppia buca Il concetto di simmetrie e` di importanza sia in meccanica classica che in meccanica quantistica. Anticipando la discussione pi`u generale sulle simmetrie, discutiamo qui le conseguenze della simmetria della parit`a (simmetria per x → −x) del sistema.
` DELLA MECCANICA QUANTISTICA CAPITOLO 2. PRINCIPI
86
Molti sistemi come buca di potenziale, il sistema con il potenziale delta, etc, possiedono la propriet`a che l’Hamiltoniana e` invariante per l’operazione di riflessione spaziale, P H(x, p) P ≡ H(−x, −p) = H(x, p). Se definiamo la parit`a sulla funzione d’onda Pψ(x) = ψ(−x), segue dall’equazione di Schr¨odinger che se ψ (n) (x) e` l’autofunzione dell’n-simo livello energetico, con En , Pψ (n) (x) = ψ (n) (−x) lo e` anche. Visto che in una dimensione non ci sono degenerazione dei livelli discreti, segue che ψ (n) (−x) = ±ψ (n) (x) :
(2.385)
ogni autofunzione di energia deve essere o pari o dispari rispetto a x → −x. Secondo il teorema do oscillazione, lo stato fondamentale non ha nodi, perci`o e` pari. Il primo stato di eccitazione ha un nodo ed e` dispari, e cos`ıvia. Tali caratteristiche sono effettivamente possedute dalle autofunzioni in tutti gli esempi considerati, le buche di potenziale, il sistema con il potenziale delta, etc. E` interessante considerare il sistema di doppia buca di potenziale come quella in Fig. 11. Se la barriera centrale e` molto alta, si avranno approssimativamente due buche di potenziali (simmetriche), con i primi livelli di energia E = E0 , E1 , . . . , e le funzioni d’onda (n) (n) (n) saranno ψL (x) e ψR (x) = ψL (−x). In altre parole avremo una doppia degenerazione dei livelli, cosa che e` tuttavia proibita dal teorema di non degenerazione. Fisicamente, la particella che si muove in una delle buche non dovrebbe accorgersi dell’altra buca se la barriera centrale e` sufficientemente alta, ma la conclusione na¨ıva - doppia degenerazione dei livelli - non pu`o essere corretta. Come si evita la contraddizione? Il punto e` che, dovuto all’effetto tunnel, l’ampiezza per andare da una buca all’altra non e` nulla (anche se e` molto piccola) comunque alta sia la barriera centrale. D’altra parte, dalla discussione sulla parit`a qui sopra, e` chiaro che ogni autofunzione di energia deve avere la parit`a definita. Segue che lo stato fondamentale del sistema ‘e la combinazione simmetrica 1 (n) (n) ψ (f ond) (x) ≃ √ (ψL (x) + ψR (x)); 2
(2.386)
mentre il primo stato eccitato e` 1 (n) (n) ψ (primo) (x) ≃ √ (ψL (x) − ψR (x)). 2
(2.387)
Se consideriamo una situazione fisica dove l’energia rilevante e` piccola rispetto a E1 − E0 , un tale sistema pu`o essere approssimato con un sistema “a due stati”, descritta da E0 −ǫ , (2.388) H= −ǫ E0 (0)
(0)
nella base di ψL (x) e ψR (x), dove ǫ descrive l’ampiezza di penetrazione da una buca all’altra. La diagonalizzazione di H d`a i livelli di energia E ∓ ǫ, con ψ (f ond) (x) e ψ (primo) (x) come autofunzioni corrispendenti.
2.3.2
Problemi
1. Al tempo t = 0 lo stato di una particella libera e` espresso dalla funzione d’onda Ψ(x, 0) = A exp{−
x2 + ik0 x} a2
2.3. POTENZIALE PERIODICO E STRUTTURA DI BANDE D’ENERGIA
87
Figura 2.14: Una doppia buca di potenziale
a) Si calcoli il fattore A e la regione dove la particella e` localizzata. b) Si determini la densit`a di corrente di probabilit`a j. c) Si determinino Ψ(x, t), ρ(x, t) e j(x, t). d) Si trovino i valori di aspettazione della posizione e dell’impulso al tempo t = 0. e) Si calcolino < ∆x2 > e < ∆p2 > al tempo t = 0 e si verifichi la relazione di indeterminazione per queste due quantit`a. 2. Una particella si trova in una buca di potenziale unidimensionale 0 ≤ x ≤ a, per la quale V = 0 dentro la buca e V = ∞ al di fuori. Si risolva l’equazione di Schr¨odinger dipendente dal tempo per questo sistema. 3. Si trovino le funzioni d’onda e i livelli energetici per una particella in un potenziale V (x) della forma perx < −a, 0 V (x) = −V0 per − a ≤ x ≤ a, 0 perx > a.
4. Si trovino i livelli energetici e le funzioni d’onda di un oscillatore armonico unidimensionale che e` posto in un campo elettrico costante E. La carica elettrica dell’oscillatore e` e. 5. Si consideri un oscillatore armonico unidimensionale nel suo n-mo livello energetico. Si trovino < x2 > e il valore di aspettazione dell’energia potenziale per questo caso. 6. Si calcoli l’energia cinetica media di un oscillatore armonico unidemensionale la cui energia e` 27 ~ω.
7. Si trovino i livelli energetici e le funzioni d’onda per la buca di potenziale unidimensionale Coulombiano e2 V (x) = − . |x| 8. Si studi l’evoluzione temporale del pacchetto d’onda che all’istante t = 0 ha la forma 2
ψ(x, 0) = π −1/4 α1/2 e−α
(x−a)2 /2
, p (α ≡ mω/~.) L’Hamiltoniana e` quella dell’oscillatore armonico.
(2.389)
9. Disegnare la variazione dello spettro del sistema discusso nel sottocapitolo 0.1.7, come funzione di θ nell’intervallo, 0 ≤ θ ≤ 2π.
` DELLA MECCANICA QUANTISTICA CAPITOLO 2. PRINCIPI
88
2.4 Complemento sul sistema con il potenziale g δ(x) In questo complemento, illusteremo la relazione di ortonormalit`a e la relazione di completezza in un sistema in cui lo spettro contiene sia la parte discreta che quella continua. Il sistema e` quella di una buca delta, H=
p2 − g δ(x), 2m
g>0
(2.390)
x 0,
(2.391)
mg 2 . 2~2
(2.392)
gi`a discusso in una sezione precendente.
2.4.1 Spettro discreto In questo sistema esiste un solo stato legato, (√ κ eκx (0) ψ (x) = √ −κx κe dove κ=
mg ; ~2
E0 = −
2.4.2 Spettro continuo Si pu`o porre, per gli stati di E ≥ 0, ( ψ(x) =
A eikx + B e−ikx C eikx + D e−ikx
x < 0, x > 0,
(2.393)
dove
k 2 ~2 . 2m La condizione di continuit`a tra le due regioni I e II e` : E=
(2.394)
A + B = C + D.
(2.395)
La condizione di continuit`a per la derivata prima d`a (dalla (160): C −D =A−B+
2i m g (A + B) = (1 + 2iα)A − (1 − 2iα)B, k~2
(2.396)
dove
κ mg = > 0. k~2 k Risolvendo (239) e (240) per C, D, si ha α=
o
(2.397)
C = (1 + iα)A + iαB,
(2.398)
D = −iαA + (1 − iα)B.
(2.399)
C A =S , D B
(2.400)
dove S=
1 + iα iα ; −iα 1 − iα
S
−1
1 − iα −iα = , iα 1 + iα
α=
κ k
(2.401)
2.4. COMPLEMENTO SUL SISTEMA CON IL POTENZIALE G δ(X) e` la matrice di transizione. L’inverso e` C A 1 − iα −iα C = = S −1 D B iα 1 + iα D
89
(2.402)
Per qualsiasi valore di k reale la (165) con tali coefficienti rappresenta autostati possibili (continui) dell’Hamiltoniana. Per le applicazioni fisiche e per la considerazione sotto, conviene introdurre gli stati R (right mover) e L (left mover) corrispondenti alla particella incidente da x = −∞, e quelli corrispondenti a particella incidente da x = +∞. Gli stati R e L sono analoghi degli stati e±i k x nel caso libero. Essi sono (ponendo D = 0 o A = 0, rispettivamente) ( √1 [ eikx − F (k) e−ikx ], x < 0, (R) 2π (2.403) ψk (x) = 1 ikx √ (1 − F (k)) e , x > 0, 2π dove F (k) =
1 . 1 + i k/κ
(2.404)
e (L) ψk (x)
=
(
√1 (1 − F (k)) e−ikx , 2π √1 [ e−ikx − F (k) eikx 2π
x < 0, ],
x > 0,
(2.405)
con lo stesso F (k). k ≥ 0 sopra, e la normalizzazione e` stata fissata di modo che la relazioni di ortonomalit`a prende la forma canonica.
2.4.3
Ortogonalit`a tra lo stato discreto e uno stato nel continuo
Facendo uso di κ ± ik =
mg ± ik = ±ik(1 ∓ iα) ~2
(2.406)
si ha infatti hψcont |ψdis i = = = =
2.4.4
Z
0 ∗ −ikx
∗ ikx
dx [ A e
+B e
]e
κx
+
Z
∞
dx [ C ∗ e−ikx + D∗ eikx ]e−κx
0
−∞
A∗ B∗ C∗ D∗ + + + κ − ik κ + ik κ + ik κ − ik B∗ + C ∗ 1 1 + iα ∗ 1 1 − iα ∗ A∗ + D∗ + = (C + D∗ ) + (C + D∗ ) κ − ik κ + ik −ik 1 + iα ik 1 − iα 0.
(2.407)
Ortogonalit`a tra gli stati del continuo
Prendiamo due stati di tipo R: Rhk
′
|kiR
= +
Z 0 ′ ′ 1 dx [ e−ik x − F ∗ (k) eik x ] [ eikx − F (k) e−ikx ] 2π −∞ Z ∞ ′ 1 dx (1 − F ∗ (k)) (1 − F (k)) e−ik x eikx . (2.408) 2π 0
Utilizzando le formule Z ∞ Z 0 Z dx e−ikx = dx eikx = lim 0
−∞
ǫ→0+
0
−∞
dx eikx−ǫ x = lim
ǫ→0+
P 1 = π δ(k) + i , ǫ−ik k (2.409)
` DELLA MECCANICA QUANTISTICA CAPITOLO 2. PRINCIPI
90
dove P indica il valor principale di Cauchy, si ha Rhk
′
|kiR
1 P P − F (k) (π δ(k + k ′ ) − i ) [ π δ(k − k ′ ) + i ′ 2π k−k k + k′ P P − F (k ′ )∗ (π δ(k + k ′ ) + i ) + F (k ′ )∗ F (k) (π δ(k − k ′ ) − i ) k + k′ k − k′ P + (1 − F (k ′ )∗ )(1 − F (k))(π δ(k − k ′ ) − i ) ]. (2.410) k − k′ =
Notando δ(k + k ′ ) = 0;
1 + F (k ′ )∗ F (k) − (1 − F (k ′ )∗ )(1 − F (k))|k=k′ = 2;
1 − F (k ′ )∗ F (k) − (1 − F (k ′ )∗ )(1 − F (k)) = F (k) − F (k ′ )∗ = − e infine (k + k ′ ) troviamo
i κ (k
− k′ ) ; (1 + ik/κ)(1 − ik ′ /κ)
i κ (k
+ k′ ) , (1 + ik/κ)(1 − ik ′ /κ)
P P = (k − k ′ ) = 1, ′ k+k k − k′ Rhk
′
|kiR = δ(k − k ′ ).
(2.411) (2.412) (2.413)
(2.414) (2.415)
Analoghi calcoli dimostrano che Lhk
′
|kiL = δ(k − k ′ ),
Lhk
′
|kiR =R hk ′ |kiL = 0.
(2.416)
2.4.5 Completezza Illustriamo ora la relazione di completezza, Eq.(2.138), Z X ∗ ′ ψn (q)ψn (q ) + df ψf (q)ψf∗ (q ′ ) = δ(q − q ′ )
(2.417)
n
che in questo sistema coinvolge sia un termine di stato discreto e l’integrale sugli stati del continuo. Calcoliamo il contributo del continuo Z ∞ Z ∞ (R) (R)∗ (L) (L)∗ dk ψk (x) ψk (x′ ) + dk ψk (x) ψk (x′ ). (2.418) 0
0
dove le funzioni d’onda di una particella del tipo R (right-mover) e del tipo L(left mover) sono definite nelle (247), (249). Ora per x > 0, x′ > 0, troviamo Z ∞ Z ∞ ′ 1 (R) (R)∗ ′ dk ψk (x) ψk (x ) = dk (1 − F (k))(1 − F ∗ (k)) eik(x−x ) 2π 0 0 Z ∞ ′ 1 iκ κ2 iκ = − + ] eik(x−x ) dk [ 1 + 2π 0 k − iκ k + iκ (k − iκ) (k + iκ) Z ∞ ′ 1 κ2 ] eik(x−x ) ; = dk [ 1 − 2π 0 (k − iκ) (k + iκ) Z ∞ ′ ′ 1 dk [ e−ikx − F (k)eikx ] [ eikx − F (k)e−ikx ] = = 2π 0 0 Z ∞ ′ ′ i κ −ik(x+x′ ) κ2 i κ ik(x+x′ ) 1 e − e + eik(x−x ) ]. dk [ e−ik(x−x ) + 2π 0 k −iκ k +iκ (k − iκ) (k + iκ)
Z
∞
(L) dk ψk (x)
(L)∗ ψk (x′ )
2.4. COMPLEMENTO SUL SISTEMA CON IL POTENZIALE G δ(X)
91
Perci`o (ricordando che x > 0, x′ > 0), Z ∞ Z ∞ ′ i κ ik(x+x′ ) 1 (R) (R)∗ (L) (L)∗ e ] dk [ eik(x−x ) + dk [ ψk (x) ψk (x′ ) + ψk (x) ψk (x′ ) ] = 2π −∞ k −iκ 0 =
′
δ(x − x′ ) − κ e−κ (x+x ) = δ(x − x′ ) − ψ (0) (x) ψ (0)∗ (x′ ),
(2.419)
dove il secondo integrale e` stato fatto col teorema di residuo. Abbiamo quindi dimostrato esplicitamente (per x > 0, x′ > 0) la relazione di completezza, Z ∞ (R) (R)∗ (L) (L)∗ dk [ ψk (x) ψk (x′ ) + ψk (x) ψk (x′ ) ] = δ(x − x′ ). ψ (0) (x) ψ (0)∗ (x′ ) + 0
(2.420) Per x < 0, x′ > 0, il contributo dello spettro continuo e` Z ∞ (R) (R)∗ (L) (L)∗ dk [ ψk (x) ψk (x′ ) + ψk (x) ψk (x′ ) ] 0 Z ∞ ′ ′ ′ 1 = dk [ eikx − F (k) e−ikx ] (1 − F ∗ (k)) e−ikx + (1 − F (k)) e−ikx [ eikx − F ∗ (k) e−ikx ] 2π 0 Z ∞ ′ ′ iκ 1 eik(x−x ) ] dk [ eik(x−x ) − = 2π −∞ k +iκ =
′
δ(x − x′ ) − κ eκ (x−x ) = δ(x − x′ ) − ψ (0) (x) ψ (0)∗ (x′ )
che e` il risultato corretto. E` interessante considerare il caso di potenziale δ(x) ripulsivo, che corrisponde a prendere il segno g < 0 nella (234). In questo caso non esiste nessun stato legato. Il contributo del continuo deve dare esattamente δ(x − x′ ). La dimostrazione e` semplice: l’unico cambiamento nel precedente e` che ora κ < 0. I passaggi fino alla (263) non subiscono modifiche sostanziali, poich´e coinvolgono soltanto cancellazioni algebriche. Nel secondo termine della (263), per x > 0, x′ > 0, il polo dell’integrando ora sta nel piano inferiore: essendo x + x′ > 0, l’integrale su k d`a zero grazie al teorema di Cauchy. Perci`o Z ∞ (R) (R)∗ (L) (L)∗ dk [ ψk (x) ψk (x′ ) + ψk (x) ψk (x′ ) ] = δ(x − x′ ) (2.422) 0
semplicemente, come deve essere. Lo stesso vale per (265), che d`a nel secondo membro semplicemente δ(x − x′ ).
(2.421)
92
` DELLA MECCANICA QUANTISTICA CAPITOLO 2. PRINCIPI
Capitolo 3
Aspetti formali della meccanica quantistica
93
94
CAPITOLO 3. ASPETTI FORMALI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
Come abbiamo visto nei capitoli precedenti, i postulati principali della meccanica quantistica su (i) come descrivere stati quantistici e come specificare un particolare stato; (ii) come uno stato evolve nel tempo; (iii) come descrivere le variabili dinamiche; trovare tutti i possibili valori per ogni variabile dinamica e ottenere le probabilit`a che la misura di una quantit`a fisica in uno stato dia un determinato risultato, sono formulati in modo esatto e esauriente nell’approccio di Schr¨odinger. Prima di procedere ai problemi fisici pi`u realistici in tre dimensioni, ed elaborare le conseguenze delle regole della nuova meccanica in tutta la sua ampiezza, tuttavia, e` opportuno fermarci qui a riflettere sulla struttura logica e matematica della teoria e esaminare con pi`u attenzione i concetti principali trattati. In meccanica quantistica esiste una grande libert`a di linguaggio nel modo di descrivere sia gli stati che le variabili; i risultati fisici sono indipendenti dal linguaggio (detto rappresentazione) usato. Tale libert`a del linguaggio trova una certa analogia anche in meccanica classica (trasformazioni canoniche); tuttavia l’importanza e la portata delle sue conseguenze in meccanica quantistica a nostro parere vanno molto al di l`a di quanto non accade in meccanica classica . Questa libert`a della scelta delle rappresentazioni significa che i concetti come stati, operatori e evoluzioni temporali, vanno definiti in modo pi`u generale e pi`u astratto. Le descrizioni in diverse rappresentazioni sono collegate fra loro da cos`ıdette trasformazioni unitarie. La teoria delle trasformazioni unitarie fornisce, oltre il chiarimento concettuale, un metodo talvolta molto efficace di soluzioni.
3.1 Rappresentazione delle coordinate e degli impulsi La funzione d’onda ψ(x, t) rappresenta uno stato quantistico. Pi`u precisamente, essa va considerata come una particolare rappresentazione di uno stato quantistico “ψ” come distribuzione in x. Possiamo scrivere, infatti, Z Z ψ(x, t) = dx′ δ(x′ − x)ψ(x′ , t) = dx′ ψx∗ (x′ )ψ(x′ , t) = hx|ψi,
(3.1)
dove abbiamo usato la notazione di Dirac, Z dx′ φ∗ (x′ )χ(x′ ) ≡ hφ|χi.
(3.2)
Inoltre ψx (x′ ) = δ(x − x′ ) e` l’autostato della posizione con autovalore x. In (3.1) la funzione d’onda e` espressa come proiezione dello stato “ψ” sugli autostati della posizione. Analogamente deve essere possibile proiettare lo stesso stato sugli autostati degli impulsi (per esempio), e considerare la funzione d’onda nella rappresentazione degli impulsi. Ci`o e` fatto ricordando che gli autostati degli impulsi sono dati da: ′ 1 ψp (x′ ) = √ e−ipx /~ , 2π~
i.e., ψ(p, t) = hp|ψi =
Z
dx′ ψp (x′ )∗ ψ(x′ , t).
(3.3)
(3.4)
In altre parole la traduzione dalla rappresentazione delle coordinate alla rappresentazione degli impulsi equivale ad una trasformazione di Fourier.
3.2. BRA E KET, SPAZIO DI HILBERT DEI VETTORI
95
Per esempio, l’autostato della posizione con autovalore x0 e` , nella rappresentazione degli impulsi, 1 e−ipx0 /~ , (3.5) hp|x0 i = √ 2π~ mentre l’autostato dell’impulso con autovalore p0 1 hx|p0 i = √ eip0 x/~ 2π~
(3.6)
hp|p0 i = δ(p − p0 ).
(3.7)
viene tradotto a Infine, l’n-simo stato stazionario dell’oscillatore armonico “ψn ” 2
hx|ni = ψn (x) = Cn Hn (αx)e−α
x2 /2
(3.8)
(vedi Cap. 2.1) e` descritto, nella rappresentazione degli impulsi, dalla funzione d’onda Z 2 2 2 Cn (−i)n Hn (p/α~)e−p /2α ~ : (3.9) ψ(p) = hp|ni = dx hp|xihx|ni = 1/2 α~ la trasformata di Fourier della funzione d’onda (3.8). Nella rappresentazione degli impulsi l’impulso e` rappresentato da un operatore triviale (numero) pˆ = p, mentre l’operatore della posizione diventa x ˆ = +i~
∂ . ∂p
(3.10)
Si noti la differenza del segno rispetto all’espressione dell’operatore dell’impulso nella rappresentazione usuale. Tale segno e` necessario perch´e valga la relazione fondamentale [ˆ x, pˆ] = i~.
(3.11)
Questa relazione e` infatti valida in qualsiasi rappresentazione.
3.2 Bra e Ket, Spazio di Hilbert dei vettori La discussione precedente mette in chiara luce il fatto importante dal punto di vista concettuale: lo stato quantistico e` descritto dal raggio di vettori (chiamato ket ), |ψi.
(3.12)
(Inoltre e` conveniente introdurre una sorta di vettore coniugato, hψ| chiamato bra. Questi terminologie sono stati inventate da Dirac, dalla parola “bracket” in inglese.) La descrizione dello stato “ψ” in termini di una funzione complessa (per esempio) non e` che una delle possibili rappresentazioni. Gli operatori, equazione del moto, ecc., vanno definiti nello spazio dei tali vettori astratti. In seguito studieremo prima le propriet`a generali di questo spazio, lasciando lo studio delle relazioni tra le varie rappresentazioni ai sottocapitoli successivi. Le propriet`a richieste allo spazio H (dei vettori che rappresentano i possibili stati quantistici di un determinato sistema) sono: A. H e` uno spazio vettoriale; B. In H e` definito il prodotto interno (scalare) hχ|φi tra due vettori, che e` un numero complesso.
CAPITOLO 3. ASPETTI FORMALI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
96
C. H e` uno spazio completo (chiuso); D. H e` uno spazio separabile. Uno spazio che soddisfano queste propriet`a e` chiamato spazio di Hilbert. (Il concetto di spazio di Hilbert e` stato introdotto da D. Hilbert (∼1910) come una generalizzazione dello spazio Euclideo n dimensionale Rn (con elementi (x1 , x2 , . . . xn )) nel limite n → ∞. Molte delle propriet`a degli spazi di Hilbert sono di conseguenza generalizzazioni naturali di quelle in spazi Euclidei.) A. H e` uno spazio vettoriale (in seguito scriveremo spesso semplicemente ψ, φ, ecc. al posto di |ψi, |φi, ecc. :) ψ, φ ∈ H → cψ + dφ ∈ H, (3.13)
dove c, d sono numeri complessi (principio di sovrapposizione). In altre parole, in H la somma dei vettori e la moltiplicazione con numeri complessi sono definiti, con le seguenti propriet`a: ψ+φ (ψ + φ) + χ c(ψ + φ) (cd)ψ 0·ψ
1·ψ
= φ + ψ; = ψ + (φ + χ) = cψ + cφ, = c(dψ) = 0 = ψ.
(3.14)
Si noti in particolare che esiste un vettore nullo, ψ − ψ = 0. I vettori ψ1 , ψ2 , . . . ψk sono linearmente indipendenti se c1 ψ1 + c2 ψ2 + . . . + ck ψk = 0
(3.15)
c1 = c2 = . . . = ck = 0.
(3.16)
implica B. Per ogni coppia di vettori in H, ψ e φ, e` definito il loro prodotto scalare hφ|ψi ∈ C (un numero complesso) tale che hφ|c1 ψ1 + c2 ψ2 i = ∗
hφ|ψi = hψ|ψi ≥
c1 hφ|ψ1 i + c2 hφ|ψ2 i;
hψ|φi 0, (= 0,
se e solo se
|ψi = 0).
(3.17)
Si noti che la prima e la seconda relazioni implicano che hcφ|ψi = c∗ hφ|ψi.
(3.18)
In letteratura si trovano a volte notazioni diverse da quella usata qui: per esempio (ψ, φ) al posto di hφ|ψi. Nella rappresentazione delle coordinate il prodotto scalare tra due vettori ψ e φ prende la forma esplicita: Z hφ|ψi =
dq φ∗ (q)ψ(q).
(3.19)
L’ultima delle propriet`a sopra ci permette di introdurre la norma di un vettore, p (3.20) kψk ≡ hψ|ψi.
L’introduzione della norma - la grandezza di ogni vettore - in H, implica che si pu`o definire la distanza tra due vettori ψ e φ in modo naturale: p kψ − φk = hψ − φ|ψ − φi. (3.21)
3.2. BRA E KET, SPAZIO DI HILBERT DEI VETTORI
97
H e` dunque uno spazio metrico. In tale spazio, si pu`o definire il concetto di limite di una successione, {ψn } = ψ1 , ψ2 , . . . col criterio di Cauchy: se ogni ǫ > 0 esiste un numero intero N (ǫ) tale che per n, m > N (ǫ) vale kψn − ψm k < ǫ,
(3.22)
allora la successione converge. Disuguaglianza triangolare Ogni definizione di distanza deve essere tale che per tre punti qualsiasi dello spazio (che posono essere scelti 0, ψ e φ) valga kψ − φk ≤ kψk + kφk,
(3.23)
(dove l’eguaglianza e` valida se e solo se c1 ψ = c2 φ, c1 , c2 ∈ C. ) La dimostrazione che l’(3.23) e` infatti soddisfatta, non e` difficile. Si osservi prima hψ − φ|ψ − φi = kψk2 + kφk2 − 2Rehφ|ψi.
(3.24)
Ma per un numero complesso qualsiasi vale −Rehφ|ψi ≤ |hφ|ψi|,
(3.25)
perci`o si avr`a la dimostrazione se si pu`o provare la seguente disuguaglianza (disuguaglianza di Schwarz): |hφ|ψi| ≤ kφkkψk. (3.26)
Per provare la (3.26), basta considerare un vettore,
hψ|φi . φ˜ ≡ φ − ψ · kψk2
(3.27)
La (3.26) segue dal fatto che la norma di φ˜ e` positivo semidefinito. C. H e` completo nel senso che ogni successione ψ1 , ψ2 , . . . che soddisfa il criterio di Cauchy converge in H: cio`e limn→∞ ψn ≡ ψ ∈ H. (Nota: l’insieme (0, 1) non e` completo. Per esempio limn→∞ (1/n) = 0 6∈ (0, 1). ) D. H e` separabile. Cio`e esiste un sottoinsieme (base) numerabile S ⊂ H, denso dapperttutto in H. In altre parole ogni vettore ψ ∈ H e` il limite di una successione {φn } in S. (L’insieme di numeri razionali forma una base numerabile e densa dapperttutto nello spazio dei numeri reali, perci`o R e` separabile.) La conseguenza pi`u importante di A. − D. e` l’esistenza di un sistema completo e ortonormale dei vettori in H, {ψn }. In altre parole, ogni vettore in H pu`o essere scritto come N X X cn ψn ≡ cn ψn (3.28) ψ = lim N →∞
n=0
dove i coefficienti di sviluppo cn sono dati da
cn = hψn |ψi, cio`e per ogni vettore e` valida la relazione X |ψi = |ψn ihψn |ψi.
(3.29)
(3.30)
n
Questa equivale a
X n
|ψn ihψn | = 1,
(3.31)
la relazione di completezza, gi`a vista nel Cap.2.1. Si noti che in uno spazio di Hilbert, il numero massimo di vettori linearmente indipendenti (detto dimensione dello spazio) o e` finito o e` infinito. Nel primo caso, le propriet`a C. e D. sono automaticamente soddisfatte e quindi triviali. Viceversa per gli spazi di Hilbert di dimensione infinita, le richieste C. e D. sono fondamentali.
98
CAPITOLO 3. ASPETTI FORMALI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
3.2.1 Operatori autoaggiunti, variabili dinamiche e lo spettro Gli operatori sono ora definiti anche essi nello spazio di Hilbert astratto, A : H → H.
(3.32)
Se esiste un numero reale C tale che ||A ψ|| < C ||ψ||,
∀ψ ∈ H,
allora ||A|| e` definito come il pi`u piccollo di tale costante C. (||A|| = Sup||A ψ||/||ψ||; ∀ψ.) Un operatore con norma finito e` limitato. Se non esiste tale costante finito, l’operatore e` illimitato. In meccanica quantistica abbiamo spesso a che fare con operatori illimitati. (i) L’operatore energia dell’oscillatore armonico, H=
1 p2 + m ω 2 x2 , 2m 2
e` illimitato perch´e esistono stati ψn tali che H ψ (n) = En ψ (n) , ||ψn || = 1, con valori di En arbitrariamente grandi. (ii) L’operatore x e` illimitato. Per esempio, gli stati ψ (n) = normalizzati, ma n2 , ||x ψ (n) ||2 = 2 e pu`o essere arbitrariamente grande. p (iii) In una dimensione, ψ(x) = πa √x21+a2 ∈ H ma x ψ 6∈ H.
1 π 1/4 n1/2
e−x
2
/2n2
, sono
La necessit`a di trattare operatori illimitati rende indispensabile porre una condizione pi`u precisa su possibili operatori da associare a variabili dinamiche nella teoria. Infatti un teorema rilevante in questo contesto (Hellinger-Toeplitz) afferma che un operatore definito dappertutto in H, con la propriet`a hA φ|ψi = hφ|A ψi,
(3.33)
e` neccessariamente limitato. Segue che per un operatore illimitato, la definizione di “realt`a” (che abbiamo chiamato senza molta attenzione “Hermitiano” in una sezione precedente) richiede l’esame del dominio di ogni operatore. Il dominio di un operatore A, D(A), e` definito da ψ ∈ D(A) ⊂ H, se A ψ ∈ H. (3.34)
Se per un vettore ψ ∈ H, esiste un vettore η ∈ H tale che hA φ|ψi = hφ|ηi,
∀φ ∈ D(A),
(3.35)
allora per definizione A† |ψi ≡ |ηi.
(3.36)
hA φ|ψi = hφ|A† |ψi.
(3.37)
La relazione e` valida per definizione. L’esistenza del vettore η definisce D(A† ). L’operatore A† e` chiamato aggiunto (o coniugato Hermitiano) dell’operatore A. Dalla definizione segue la relazione, hφ|A† |ψi = (hψ|A|φi)∗ . (3.38) Un operatore con la propriet`a, A† ψ = A ψ,
∀ψ ∈ D(A),
D(A) ⊂ D(A† )
(3.39)
3.2. BRA E KET, SPAZIO DI HILBERT DEI VETTORI
99
e` detto operatore Hermitiano, o simmetrico. Se vale anche D(A† ) = D(A)
(3.40)
tale operatore e` autoaggiunto. Per un operatore autoaggiunto, vale hψ|A|ψi = hψ|A|ψi∗ ,
∀ψ ∈ D(A),
(3.41)
il suo valor medio in uno stato qualsiasi, e perci`o ogni suo autovalore, e` reale. Per postulato, ad ogni variabile dinamica e` associato ad un operatore autoaggiunto. Riportiamo qui due teoremi, senza dimostrazione, che valgono per ogni operatore autoaggiunto: Teorema Sia A un operatore autoaggiunto e U (t) ≡ ei t A
(3.42)
con unparametro coninuo t. Segue allora che (a) Se t, s sono reali, U † (t) U (t) = 1,
U (t + s) = U (t) U (s);
(b) Per φ ∈ H qualsiasi e per t → t0 vale U (t) φ → U (t0 ) φ; (c) Per ψ ∈ D(A) qualsiasi vale (d) Se limt→0
U(t) ψ−ψ t
U(t) ψ−ψ t→0 −→ t
i A ψ.
esiste, allora ψ ∈ D(A)
Teorema (Stone) Se U (t) e` un operatore unitario in H e fortemente continuo in t (i.e., soddisfano le propriet`a (a) e (b) sopra), allora esiste un operatore autoaggiunto A in H tale che U (t) = ei t A .
(3.43)
In altre parole, gli operatori autoaggiunti sono operatori per i quali valgono molte propriet`a note per una matrice Hermitiana. Il valor d’aspettazione di una classe di operatore autoaggiunti del tipo, A = B † B, e` semipositivo definito: hψ| B † B |ψi ≥ 0,
(3.44)
con l’uguaglianza valida se e solo se B |ψi = 0.
Lo spettro di un operatore autoaggiunto A e` l’insieme di suoi autovalori propri (autovalori discreti) e autovalori impropri (autovalori continui): I primi corrispondono ai valori λ tale che (A − λm )|ψm i = 0; kψm k = 1, m = 0, 1, 2, . . . ; (3.45) per lo spettro continuo la condizione e` sostituita dal seguente criterio pi`u generale: Criterio di Weyl: il valore λ fa parte dello spettro di un operatore A se e solo se esiste una successione ψn , tale che lim kAψn − λψn k = 0, kψn k = 1 (3.46) n→∞
Per esempio, nel caso di operatore dell’impulso, l’esistenza della successione ψn =
2 2 1 eipx/~ e−x /2n , π 1/4 n1/2
n = 1, 2, . . .
(3.47)
100
CAPITOLO 3. ASPETTI FORMALI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
dimostra che tutti i valori reali fanno parte dello spettro dell’operatore p = −i~(d/dx). Analogamente, per l’operatore della posizione, si ha lim k(x − x0 )ψn k = 0,
(3.48)
n→∞
per la successione
2n 1/4 −n(x−x0 )2 ) e . (3.49) π Esercizio: Si dimostri che la (3.46) e` infatti soddisfatta dall’operatore p = −i~(d/dx) con la successione (3.47) e con λ = p. Si verifichi la (3.48). ♠ L’insieme di spettro discreto e spettro continuo forma un insieme chiuso. L’insieme risolvente di un operatore A e` per definizione l’insieme di x ∈ ρ(A) tale che A − x 1 ha un operatore inverso limitato, (A − x 1)−1 , (3.50) ψn = (
(chiamato operatore risolvente di A). L’insieme risolvente e` ovviamente un aperto. Il complemento di ρ(A), σ(A), (i.e., l’insieme di x, x 6∈ ρ(A)), forma lo spettro dell’operatore A. Infine il cos`ıdetto teorema spettorale, riportato qui anche esso senza dimostrazione, asserisce che per ogni operatore autoaggiunto O esiste un insieme di autovalori (propri e impropri) {λn , λ} e relativi operatori di proiezione, (dove abbiamo assunto che lo spettro continuo e` [λ0 , ∞) ) Z λ dλ |λihλ|, Pn = |nihn|, (3.51) P(λ) = −λ0
tale che 1 O
= =
|ψi =
Z
dP(λ) +
Z
λ dP(λ) +
Z
dP(λ) |ψi +
X n
Pn ,
X n
λn Pn ,
X n
Pn |ψi,
∀ψ ∈ H
(3.52)
(vedi la (2.138)). Queste propriet`a garantiscono la consistenza del postulato della meccanica quantistica, (??), (2.112). Infatti, dalle formule delle probabilit`a (che la misura della quantit`a O d`a o dei valori tra λ e λ + dλ, oppure uno degli autovalori discreti, λn ): P (λ) dλ = |hλ|ψi|2 dλ;
Pn = |hn|ψi|2 ,
si ha per la probabilit`a totale, Z Z X X P (λ)dλ + Pn = hψ| { dλ |λihλ| + |nihn| }ψi = hψ|ψi = 1. n
(3.53)
(3.54)
n
3.3 Trasformazioni unitarie Le quantit`a fisiche in meccanica quantistica sono in generale associate a elementi di matrice di vari operatori, hφ|O|ψi. (3.55)
Sia U un operatore dotato di un inverso U −1 , tale che
U † U = U U † = 1;
(3.56)
3.3. TRASFORMAZIONI UNITARIE
101
cio`e U † = U −1 .
(3.57)
Tale operatore e` chiamato operatore unitario. Riscriviamo ora (113) inserendo due volte l’operatore di identit`a 1 = U † U : ˜ O| ˜ ˜ ψi, hφ|O|ψi = hφ|U † U OU † U |ψi = hφ|
(3.58)
dove ˜ ≡ |ψi ˜ ≡ O
U |ψi;
U OU † .
˜ ≡ U |φi; |φi
(3.59)
Si noti che la norma dello stato rimane invariante: ˜ ψi ˜ = hψ|U † U |ψi = hψ|ψi. hψ|
(3.60)
La trasformazione degli stati e degli operatori definita da (3.58), (3.59) e` chiamata trasformazione unitaria. Poich´e tutte le quantit`a fisiche trattate in meccanica quantistica si riducono a qualche combinazione di elementi di matrice del tipo (113), la teoria e` invariante per trasformazioni unitarie arbitrarie. In altre parole, gli stati e gli operatori in meccanica quantistica sono definiti a meno di trasformazioni unitarie.
3.3.1 Schema di Schr¨odinger e schema di Heisenberg Un risultato significativo della meccanica classica (Cap.1.2), e` che l’evoluzione temporale q(t), p(t) → q(t + dt), p(t + dt) e` una successione di trasformazioni canoniche infinitesime. Esiste un risultato analogo in meccanica quantistica: l’evoluzione temporale del sistema in meccanica quantistica e` una trasformazione unitaria, |ψ(t)i = e−iHt/~ |ψ(0)i.
(3.61)
Si noti che la (3.61) e` infatti la soluzione formale dell’equazione di Schr¨odinger i~
∂ |ψ(t)i = H|ψ(t)i, ∂t
|ψ(t)i|t=0 = |ψ(0)i :
(3.62)
Questa osservazione ci permette di studiare l’evoluzione temporale del sistema in meccanica quantistica da un punto di vista nuovo. Infatti, consideriamo una particolare trasformazione unitaria dipendente dal tempo, U (t) = eiHt/~ :
(3.63)
lo stato e l’operatore generico O si trasformano come: ψH = U (t)|ψ(t)i = eiHt/~ |ψ(t)i = |ψ(0)i;
(3.64)
OH (t) = U (t)OU (t)† = eiHt/~ Oe−iHt/~ .
(3.65)
L’elemento di matrice e` naturalmente invariante per tale trasformazione: hψ(t)|O|ψ(t)i = hψH |OH (t)|ψH i,
(3.66)
ma ora l’evoluzione temporale non e` pi`u descritto dall’equazione di Schr¨odinger; essa risiede invece nella dipendenza temporale non banale di operatori. L’equazione del moto per un operatore generico O si ottiene dalla (3.65) ed e` : i~
∂ OH d OH = i~ + [OH , H], dt ∂t
(3.67)
CAPITOLO 3. ASPETTI FORMALI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
102
dove il primo termine e` presente se l’operatore dipende esplicitamente dal tempo. La (3.67) e` nota come equazione di Heisenberg. (cfr. l’eq.(1.36) di Sec.1.2.) La descrizione dell’evoluzione temporale del sistema in meccanica quantistica basata su (3.64), (3.65), (3.67) e` chiamata schema di Heisenberg (o rappresentazione di Heisenberg). Nello schema di Heisenberg, lo stato non evolve col tempo, l’operatore varia col tempo. Viceversa, nella descrizione usuale basata sull’equazione di Schr¨odinger, chiamata schema di Schr¨odinger (o rappresentazione di Schr¨odinger), e` la funzione d’onda (lo stato) che evolve con il tempo. Ad un istante (t = 0) i due schemi coincidono: OH (0) = O;
|ψH i = |ψ(0)i.
(3.68)
Un fatto importante e` che il commutatore fondamentale a tempi uguali ha la stessa forma a qualsiasi istante e indipendente dall’Hamiltoniana: [xiH (t), pjH (t)] = i~δij .
(3.69)
La (3.69) segue da [xi , pj ] = i~δij : infatti, [xiH (t), pjH (t)] = [eiHt/~ xi e−iHt/~ , eiHt/~ pj e−iHt/~ ] = eiHt/~ [xi , pj ]e−iHt/~ = i~δij . (3.70) Si noti che il commutatore usuale nello schema di Schr¨odinger pu`o essere visto un caso particolare (per t = 0) di (3.70). Il fatto che il commutatore fondamentale prende la stessa forma a qualsiasi istante del tempo, e` essenziale per la consistenza dell’intera costruzione della meccanica quantistica: un istante particolare (per es. t = 0) non pu`o avere nessun significato speciale, vista l’uniformit`a del tempo. Vice versa, i commutatori a tempi non uguagli, [xiH (t), pjH (t′ )],
[xiH (t), xjH (t′ )],
[piH (t), pjH (t′ )],
(3.71)
contengono informazione dinamica, i.e., dipendono dal sistema. Esercizio: Risolvere le equazioni di Heisenberg per una particella libera in una dimensione. Calcolare il commutatore a tempi non uguagli [xH (t), xH (0)]. (Risposta: [xH (t), xH (0)] = −i~t/m. ) Esercizio (Teorema): Supponiamo che il sistema descritto dalla funzione d’onda ψS (t) all’istante t = 0 sia autostato di un operatore fˆ con autovalore f0 . La funzione d’onda all’istante t e` allora autostato dell’operatore di Heisenberg fˆH (−t), con lo stesso autovalore f0 .
3.3.2
Oscillatore armonico
Consideriamo un oscillatore armonico lineare, H = rappresentazione di Heisenberg e`
p2 2m
+
HH = U H( x, p ) U † = H( U x U † , U p U † ) =
m ω2 2
x2 . L’Hamiltoniana nella
p2H m ω2 2 + xH . 2m 2
(3.72)
L’equazione di Heisenberg e` m x˙ H = pH ;
p˙ H = −m ω 2 xH ,
(3.73)
di cui soluzione e` 1 1 pH (0) sin ω t = x cos ω t + p sin ω t; mω mω
(3.74)
pH (t) = pH (0) cos ω t − m ω xH (0) sin ω t = p cos ω t − m ω x sin ω t;
(3.75)
xH (t) = xH (0) cos ω t +
3.4. STATI MISTI E MATRICE DENSITA` Per esempio, supponiamo che all’istante t = chetto d’onda ψ0 e che siano noti hψ0 |p2 |ψ0 i ≡ lare hψ(t)|p2 |ψ(t)i nello schema di Schr¨odinger, Schr¨odinger, e poi calcolare il valor medio di p2 facilmente nello schema di Heisenberg:
103 0 il sistema sia descritto da un pacp20 e hψ0 |x2 |ψ0 i ≡ x20 . Per calcoe` necessario risolvere l’equazione di in ψ(t). Questo problema si risolve
hψ(t)|p2 |ψ(t)i = hψ0 | U (t) p2 U −1 (t) |ψ0 i = hψ0 |pH (t)2 |ψ0 i.
(3.76)
Ma pH (t)2 = p2 cos2 ω t + m2 ω 2 x2 sin2 ω t − m ω (x p + p x) cos ω t sin ω t,
(3.77)
dove abbiamo utilizzato il risultato (3.75); inoltre si noti che hψ0 | x p + p x |ψ0 i = 0,
(3.78)
(il primo membro deve reale essendo il valor medio di un operatore Hermitiano, ma e` puramente immaginario). Segue perci`o hψ(t)|p2 |ψ(t)i = p20 cos2 ω t + m2 ω 2 x20 sin2 ω t.
(3.79)
Analogamente, si trova che hψ(t)|x2 |ψ(t)i = x20 cos2 ω t +
1 p2 sin2 ω t. ω2 0
m2
(3.80)
3.4 Stati misti e matrice densit`a La descrizione in termini di una funzione d’onda e` una descrizione completa del sistema in meccanica quantistica. Ci sono delle situazioni, d’altra parte, nelle quali tale descrizione completa o non e` possibile o non e` richiesta. Tale situazione sorge, per esempio, nella descrizione di un sottosistema di un sistema pi`u grande: avendo accesso solo ad una parte delle variabili dinamiche, non e` possibile descrivere il sottosistema con una funzione d’onda. Un’altro importante esempio dei casi in cui dovremmo abbandonare la descrizione in termini di funzioni d’onda, riguarda i sistemi di molti gradi di libert`a (sistemi macroscopici, solidi, gas, ecc.). In questi casi e` ovviamente impossibile avere la completa conoscenza della funzione d’onda di (tipicamente) 1023 molecole: si dovr`a lavorare con quantit`a mediate in vari modi. Un analoga situazione statistica e` presente nei fasci di particelle (per es., fotoni) parzialmente polarizzati, o non polarizzati. In tutti i casi elencati sopra, quello che caratterizza questi sistemi ’‘e la mancanza dell’informazione completa. Consideriamo per concretezza il caso di primo tipo: un sistema chiuso Σ e un suo sottosistema, S. Siano x le variabili in S cui abbiamo accesso; q il resto delle variabili in Σ/S che non osserviamo. Anche se il sistema totale e` descritto da una funzione d’onda ψ(q, x), non e` vero in generale la fattorizzazione ψ(q, x) 6= ψS (x)ψΣ/S (q) :
(3.81)
il sottosistema S non ha funzione d’onda in generale. Come calcolare allora il valore d’aspettazione di un operatore fˆx che dipende solo dalle variabili del sottosistema? Secondo la regola standard, Z hf i = dq dx ψ ∗ (q, x)fˆx ψ(q, x), (3.82)
dove l’operatore agisce solo sulla dipendenza da x della funzione d’onda. Definiamo ora Z ρ(x; x′ ) ≡ dq ψ(q, x)ψ ∗ (q, x′ ), (3.83)
104
CAPITOLO 3. ASPETTI FORMALI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
chiamata matrice densit`a. Il valor medio e` dato allora da: Z hf i = dx {fˆx ρ(x; x′ )}x′ =x .
(3.84)
La necessit`a di tenere x e x′ distinte nella definizione di ρ(x; x′ ) e` evidente: nella (3.84) fˆx deve agire prima sulla dipendenza da x della matrice densit`a; va messa x = x′ solo dopo tale operazione. La matrice densit`a e` Hermitiana (considerando x e x′ come indici di una matrice): ρ(x; x′ )∗ = ρ(x′ ; x). Inoltre essa obbedisce ad una propriet`a importante Z Tr ρ = dx ρ(x; x) = 1.
(3.85)
(3.86)
Quest’ultimi segue dalla condizione di normalizzazione della funzione d’onda ψ(q, x). Gli stati descritti da una matrice densit`a sono chiamati stati misti; quelli descritti da una funzione d’onda sono chiamati stati puri. Il concetto di stato misto e` pi`u generale di quello di stato puro, descritto da funzioni d’onda. Infatti, e` vero che ogni stato puro pu`o essere considerato uno stato misto di particolare tipo, ma non vice versa. Per uno stato puro, la matrice densit`a e` data semplicemente da (considerando S = Σ), ρ(x; x′ ) = ψ(x)ψ ∗ (x′ ). (3.87) La matrice densit`a nel caso puro ha una propriet`a speciale: Z 2 ′ ρ (x, x ) ≡ dx′′ ρ(x; x′′ ) ρ(x′′ ; x′ ) = ρ(x; x′ ).
(3.88)
Per varie applicazioni e` pi`u conveniente usare una base generica |ni anzich´e la base |xi adoperata finora. Riscriviamo (3.82) come hf i = =
hψ|fˆ|ψi Z XX dq dq ′ hψ|q, nihq, n|fˆ|q ′ , mihq ′ , m|ψi n
=
Z
dq
XX n
m
m
hψ|q, nihn|fˆ|mihq, m|ψi,
(3.89)
dove abbiamo usato la relazione di completezza, nonch´e il fatto che l’operatore fˆ non agisce su q per cui hq, n|fˆ|q ′ , mi = hn|fˆ|miδ(q − q ′ ). Definendo ora la matrice densit`a Z ρmn ≡ dq hq, m|ψihψ|q, ni, (3.90) e l’elemento di matrice
fnm = hn|fˆ|mi,
(3.91)
il valore d’aspettazione si esprime semplicemente: hf i = Tr (ρf ).
(3.92)
La quantit`a hq, n|ψi che appare nell’eq.(3.89) ha un significato semplice: da X ψ(q, x) = cn (q)ψn (x) n
→ cn (q)
=
Z
dx ψn∗ (x)ψ(q, x) =
Z
dx hn|xihq, x|ψi = hq, n|ψi :
(3.93)
3.4. STATI MISTI E MATRICE DENSITA`
105
cio`e hq, n|ψi e` il coefficiente di sviluppo della funzione d’onda del sistema totale Σ in termini di stati {ψn (x)} del sottosistema S. La (3.90) si riscrive allora come Z ρmn = dq cm (q) c∗n (q) (3.94) Segue anche la relazione ρ(x; x′ ) =
X
′
∗ ψn (x)ρnm ψm (x ).
(3.95)
n,m
La matrice densit`a e` caratterizzata dalle seguenti propriet`a generali: Tr ρ †
ρ 0 |ρmn |2
= 1;
(3.96)
= ρ; (Hermiticit`a) ≤ ρmm ≤ 1;
(3.97) (3.98)
≤ ρmm ρnn .
(3.99)
Le propriet`a (3.96)-(3.98) sono ovvie. L’ultima propriet`a si dimostra direttamente:
= = ≥
ρmm ρnn − ρmn ρnm ZZ dq dq ′ [ cm (q) c∗m (q) cn (q ′ ) c∗n (q ′ ) − cm (q) c∗n (q) cn (q ′ ) c∗m (q ′ ) ] ZZ 1 dq dq ′ [ cm (q) cn (q ′ ) − cn (q) cm (q ′ ) ] [ cm (q) cn (q ′ ) − cn (q) cm (q ′ ) ]∗ 2 0. (3.100)
Nel caso di uno stato puro, con la funzione d’onda X ψ(x) = cn ψn (x),
(3.101)
n
la matrice densit`a e` semplicemente con elementi ρnm = cn c∗m .
(3.102)
Pi`u generalmente, uno stato e` puro se e solo se la relazione ρ2 = ρ
(3.103)
e` soddisfatta dalla matrice densit`a. Esercizio: Dimostrate (3.103) partendo dalla (3.95), e facendo uso della (3.88) e della relazione di completezza. Si verifichi che la (3.102) soddisfa (3.103). Come abbiamo accennato all’inizio, un’importante classe di applicazione della matrice densit`a riguarda la fisica statistica. In fisica statistica, il grande numero di gradi di libert`a ci costringe ad un trattamento statistico (Boltzman). La matrice densit`a ρmn = wmn in questi casi e` chiamata matrice statistica. Sia Wi la probabilit`a (nel senso statistico) che uno dei sistemi microscopici (per es. un atomo) si trovi nell’i-simo stato quantistico, X |ψ (i) (t)i = ain (t)|ψn i, (3.104) n
dove {ψn } e` una base ortonormale generica (e indipendente dal tempo), scelta una volta per tutte. Sopponiamo inoltre che le probabilit`a statistiche per i-simo stato siano note. Per
106
CAPITOLO 3. ASPETTI FORMALI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
esempio, se si tratta di un insieme canonico a temperatura T , e se gli stati |ψ (i) i sono autostati dell’energia, allora Wi = e−Ei /kT /N ,
X
Wi = 1,
(3.105)
i
P −Ei /kT . Tuttavia, la discussione qui e` dove N e` la funzione di partizione, N = ie generale e valida per qualsiasi tipo di distribuzione statistica. Il valor medio di un operatore f e` dunque dato da: hf i = =
X i
XX
(i)∗ (i) Wi am an fmn
m,n
i
=
Wi hψ (i) |f |ψ (i) i
X
ρnm fmn = Tr (ρ f ),
(3.106)
m,n
dove abbiamo introdotto la matrice densit`a (statistica) ρnm =
X
(i)∗ (i) Wi am an .
(3.107)
i
Si osservi che, grazie alla positivit`a Wi ≥ 0 della probabilit`a classica, la matrice densit`a definita qui soddisfa le stesse propriet`a (3.96)-(3.99) considerate prima. In ambedue i casi, l’apparizione della matrice densit`a riflette l’ignoranza da parte nostra, che e` rappresentata dalle variabili q nei primi casi; e dalle probabilit`a statistiche Wi nei secondi. L’evoluzione temporale della matrice densit`a segue dal fatto che |ψ (i) (t)i obbedisce all’equazione di Schr¨odinger i~
∂ (i) |ψ (t)i = H|ψ (i) (t)i. ∂t
(3.108)
(i) a(i) n (t) = hψn |ψ (t)i,
(3.109)
Poich´e
abbiamo (i) i~a˙ (i) n (t) = hψn |H|ψ (t)i =
X
(i)
ak Hnk .
(3.110)
k
Analogamente (i)∗ −i~a˙ m (t) = hψ (i) (t)|H|ψm i =
X
(i)∗
ak Hkm .
(3.111)
k
Si ha dunque per la matrice densit`a (3.107): i~
∂ ρnm ∂t
=
X i
=
X k
Wi
X k
(i)
(i)∗
(i)∗ (am Hnk ak − ak Hkm a(i) n )
(Hnk ρkm − ρnk Hkm ) = [H, ρ]nm .
(3.112)
Questa equazione sostituisce, per gli stati misti, l’equazione di Schr¨odinger o l’equazione di Heisenberg (nello schema di Heisenberg). Formalmente l’eq.(3.112) assomiglia all’equazione di Heisenberg; si noti tuttavia una curiosa (e ben nota) differenza di segno nelle due equazioni.
3.4. STATI MISTI E MATRICE DENSITA`
3.4.1
107
Polarizzazioni del fotone
Illustriamo ora l’uso della matrice densit`a, consideriamo lo stato di un fotone, tralasciando tutte le altre propriet`a (l’impulso, l’energia, ecc. ). Il fatto empirico che ci sono due componenti di luce con determinati valori di lunghezza d’onda, pu`o essere interpretato come presenza di due stati quantistici |1i e |2i del fotone. |1i e |2i possono essere presi come due stati di polarizzazioni lineari (e ortogonali); due stati di polarizzazione circolari, ecc. Uno stato puro generico sar`a descritto dalla funzione d’onda, c (3.113) |ψi = c1 |1i + c2 |2i ≡ 1 , c2 dove abbiamo introdotto una notazione vettoriale 1 0 |1i ≡ ; |2i ≡ ; 0 1 h1| = (1 0);
h2| = (0 1),
(3.114)
e c2 , c2 sono numeri comlessi sottoposti alla condizione di normalizzazione |c1 |2 + |c2 |2 = 1.
(3.115)
I due stati di base sono ortonarmali: h1|1i = h2|2i = 1;
h1|2i = h2|1i = 0.
(3.116)
Nella notazione (3.114) tale propriet`a sono esplicite. Il sistema di un fotone (dove la polarizzazione e` l’unica variabile dinamica) e` un esempio di sistema a due livelli o a due stati, di cui la Natura e` abbondantemente dotata. Altri esempi sono il sistema di spin (il momento angolare intrinseco) di una particella nel caso di spin 1/2 (e.g. elettrone; vedi il capitolo successivo); i due stati fondamentali della molecola di ammoniaca (N H 3 ); gli stati fondamentali dello ione della molecola di idrogeno, H2+ , ecc. Nonostante la loro semplicit`a, i sistemi a due stati illustrano molti aspetti caratteristici della meccanica quantistica. Per esempio, la misura della polarizzazione nello stato (3.113) risulter`a il fotone polarizzato nella direzione 1 con probabilit`a |c1 |2 e nella direzione 2 con probabilit`a |c2 |2 . (Vedi il Cap. 2.1.) Tutti gli operatori del sistema (in particolare, l’Hamiltoniana) sono semplicemente matrici hermitiane 2 × 2. L’operatore che “misura la polarizzazione nella direzione 1 e quella nella direzione 2, agiscono secondo la regola: P1 |1i = |1i;
P1 |2i = 0;
P2 |2i = |2i;
P2 |1i = 0;
(3.117)
P2 = |2i h2| =
0 0
(3.118)
in altre parole P1 = |1i h1| =
1 0 ; 0 0
0 1
sono operatori di proiezione sugli stati |1i e |2i, rispettivamente. La matrice densit`a nel caso di uno stato puro (3.113) e` data da 2 |c | c1 c∗2 ρ = ∗1 . (3.119) c1 c2 |c2 |2 Si ha uno stato misto se il fascio di fotone e` parzialmente polarizzato, o non polarizzato. Un fascio non polarizzato (totale ignoranza sullo stato di polarizzazione) e` descritto dalla matrice densit`a, 1 1 0 , (3.120) ρ= 2 0 1
CAPITOLO 3. ASPETTI FORMALI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
108
di modo che la media della polarizzazione 1 o 2 e` , rispettivamente, < P1 >= Tr (P1 ρ) =
1 ; 2
< P2 >= Tr (P2 ρ) =
1 . 2
Lo stato di polarizzazione parziale e` generalmente rappresentato da 1 1 1 + ξ3 ξ1 − iξ2 = ( 1 + σi ξi ) ρ= ξ + iξ 1 − ξ 2 1 2 2 3
(3.121)
(3.122)
con ξ12 + ξ22 + ξ32 ≤ 1, e σ1 =
0 1
1 , 0
σ2 =
0 −i , i 0
(3.123) σ1 =
1 0 , 0 −1
(3.124)
sono le matrici di Pauli. ξ1 , ξ2 , ξ3 (reali) sono chiamati parametri di Stokes. E` facile vedere che ρ2 = ρ, (3.125) se ξ12 + ξ22 + ξ32 = 1 : 1 − ξ12
+ ξ22
(3.126)
+ ξ32
in questo caso il sistema e` puro. e` una misura della nostra ignoranza sullo stato di polarizzazione. ξ3 descrive il grado di polarizzazione nelle direzioni 1 e 2, per es. ( 1 se ξ3 = 1, 1 + ξ3 = . (3.127) < P1 >= Tr P1 ρ = 2 0 se ξ3 = −1 Analogamente ξ1 descrive il grado di polarizzazione lineare nelle direzioni che fanno angolo ± π4 con quelle di 1 e 2, come si vede costruendo l’operatore di proiezione, P1′ = |1′ i h1′ |,
P2′ = |2′ i h2′ |,
|1′ i =
|1i + |2i √ , 2
|2′ i =
|1i − |2i √ , 2
(3.128)
e calcolando < P1 >, etc. Infine ξ2 d`a la misura di polarizzazioni circolari, corrispondenti agli autostati 1 1 (3.129) |+i = √ (|1i + i|2i); |−i = √ (|1i − i|2i). 2 2
3.5 Funzioni di Green Un concetto importante in meccanica quantistica e` quello di ampiezza di probabilit`a per due successivi eventi, i.e., che una particella che si trovava al punto x = x0 all’istante t = t0 si trovi al punto x in un istante successivo t. Data la nota evoluzione temporale della funzione d’onda, tale ampiezza, chiamata funzione di Green, e` data formalmente da: G(x, x0 ; t, t0 ) = hx|e−iH(t−t0 )/~ |x0 i.
(3.130)
Si noti che la funzione di Green e` intimamente collegata al concetto di funzione d’onda: G e` la funzione d’onda del sistema, che all’istante t = t0 era un autostato della posizione, ψ(x, t0 ) = δ(x − x0 ). Infatti, i~
∂ G(x, x0 ; t, t0 ) ∂t
∂ hx|e−iH(t−t0 )/~ |x0 i ∂t = hx|He−iH(t−t0 )/~ |x0 i = HSch hx|e−iH(t−t0 )/~ |x0 i = i~
= HSch G(x, x0 ; t, t0 )
(3.131)
3.5. FUNZIONI DI GREEN
109
(vedi l’Appendice sulla Meccanica Matriciale), e G(x, x0 ; t0 , t0 ) = hx|x0 i. La probabilit`a che la particella si trovi nell’intervallo (x, x + dx) all’istante t qualsiasi e` data da |G(x, x0 ; t, t0 )|2 dx. Per semplicit`a di notazione, qui e in seguito ci limiteremo a scrivere le formule per sistemi uni-dimensionali; la generalizzazione a sistemi di dimensione pi`u grande o a sistemi con pi`u di una particella, e` ovvia. L’importanza della funzione di Green sta nel fatto che se la funzione di Green di un sistema e` nota una volta per tutte, la soluzione dell’equazione di Schr¨odinger con una condizione al contorno arbitraria, ψ(x, t)|t=t0 = ψ0 (x, t0 ), e` espressa con aiuto di G(x, x0 ; t, t0 ): Z ψ(x, t) = dx′ G(x, x′ ; t, t0 ) ψ0 (x′ , t0 ).
(3.132)
(3.133)
Cio`e la conoscenza della funzione di Green equivale alla soluzione dell’equazione di Schr¨odinger generale. Esecizio: Si dimostri che ψ(x, t) soddisfa sia l’equazione di Schr¨odinger che la condizione al contorno a t = t0 . In questo proposito, vale la pena di menzionare che esiste un formalismo della meccanica quantistica equivalente a quello standard basato sull’equazione di Schr¨odinger, chiamato integrale sui cammini (Feynman), in cui la funzione di Green occupa il luogo centrale. La (3.130) pu`o essere riscritta in un’altra forma utile, inserendo due volte la relazione di completezza X 1= |ψn ihψn |, (3.134) n
dove |ψn i e` l’n-simo autostato dell’energia. Si ha allora, X G(x, x0 ; t, t0 ) = e−iEn (t−t0 )/~ ψn (x) ψn∗ (x0 ),
(3.135)
n
dove e` stata usata l’ortonormalit`a degli stati |ψn i. In casi semplici la funzione di Green pu`o essere calcolata esplicitamente. Prendiamo per esempio il caso di una particella unidimensionale libera. Dopo le sostituzioni: Z ∞ X 1 p2 eipx/~ ; → dp (3.136) ; ψn (x) → √ En → 2m 2π~ −∞ n nella formula (3.135), si ha Z ∞ dp −ip2 (t−t0 )/2m~ ip(x−x0 )/~ G(x, x0 ; t, t0 ) = e e −∞ 2π~ Z ∞ 2 i(t − t0 ) m(x − x0 ) 2 dp ] exp − [p − = eim(x−x0 ) /2~(t−t0 ) 2m~ t − t0 −∞ 2π~ s Z 2 2 1 2m~ = (3.137) eim(x−x0 ) /2~(t−t0 ) dξ e−ξ , 2π~ i(t − t0 ) C dove il contour√C dell’integrazione su ξ e` lungo la linea retta (1 + i)α; α = −∞ → ∞. L’integrale d`a π perci`o si ottiene r 2 m G(x, x0 ; t, t0 ) = eim(x−x0 ) /2~(t−t0 ) (3.138) 2i~π(t − t0 )
110
CAPITOLO 3. ASPETTI FORMALI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
per una particella libera. Esercizio: Si calcoli, all’istante t > t0 , la funzione d’onda di una particella libera, descritta da un pacchetto d’onda 2 2 1 ψ0 (x, t0 ) = √ e−x /4a , (3.139) 2 2πa all’istante iniziale t = t0 .
Capitolo 4
Momento angolare e Sistemi Tridimensionali
111
112
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
4.1 Momento Angolare Nei problemi tridimensionali una variabile dinamica importante e` il momento angolare. In meccanica quantistica il momento angolare risulta quantizzato in maniera universale (i.e., indipendente dal sistema considerato), in conseguenza dell’algebra degli operatori di momento angolare e della positivit`a della norma degli stati.
4.1.1 Introduzione L’equazione di Schr¨odinger per una particella che si muove in un potenziale a simmetria centrale e` : ~2 2 ∇ + V (r))ψ(r) = Eψ(r). (4.1) Hψ = (− 2m In coordinate sferiche (∆ ≡ ∇2 ) ∆ψ
1 ∂ 2 ∂ 1 1 ∂ ∂ 1 ∂2 ] ψ (r )+ 2[ (sin θ ) + r2 ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ sin2 θ ∂φ2 2m − 2 (E − V (r)) ψ. ~
= =
(4.2)
Separando le variabili ψ = R(r)Φ(θ, φ),
(4.3)
si ha ˆ 2 Φ(θ, φ) L = λ, Φ(θ, φ)
(4.4)
2 ˆ 2 Φ(θ, φ) = −[ 1 ∂ (sin θ ∂ ) + 1 ∂ ] Φ(θ, φ). L 2 sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂φ2
(4.5)
d d (r2 dr )+ [ dr
2m 2 ~2 r (E
R(r)
− V (r))] R(r)
=
ˆ 2 e` definito da dove l’operatore L
ˆ 2 risulta l’operatore del momento angolare quadrato, (r × p)2 (vedi Sottocapitolo 0.1.5), L λ e` il suo autovalore. L’equazione [
λ 2m 1 d 2 d (r ) + 2 (E − V (r)) − 2 ] R(r) = 0 2 r dr dr ~ r
(4.6)
e` chiamata equazione di Schr¨odinger radiale. In meccanica classica l’isotropia dello spazio implica che in un sistema chiuso il momento angolare totale X L= (ra × pa ) (4.7) a
e` conservato. Lo stesso vale per il momento angolare di una particella che si muove in un potenziale a simmetria centrale. Troveremo in seguito che in meccanica quantistica un analogo risultato e` valido.
4.1.2 Definizione e regole di commutazione L’operatore di momento angolare in meccanica quantistica (per una singola particella) e` data da ˆ = −i~r × ∇. L = ˆr × p (4.8)
4.1. MOMENTO ANGOLARE
113
In componenti, ∂ ∂ − z ); ∂z ∂y ∂ ∂ Ly ≡ L2 = zpx − xpz = −i~(z − x ); ∂x ∂z ∂ ∂ − y ). Lz ≡ L3 = xpy − ypx = −i~(x ∂y ∂x Lx ≡ L1 = ypz − zpy = −i~(y
(4.9)
Dovuto al fatto che le componenti delle coordinate e degli impulsi non coniugati commutano (per es. [y, pz ] = 0), non ci sono problemi di ambiguit`a nel definire il momento angolare quantistico a partire da quello classico. Se il sistema contiene pi`u di una particella il momento angolare totale e` definito da X Ltot = (ra × pa ) (4.10) a
dove la somma si riferisce alle particelle presenti. E` conveniente introdurre il tensore antisimmetrico se (ijk) = (123) o permutazioni pari 1, ǫijk = −1, se (ijk) = (213) o permutazioni pari 0 altrimenti
(4.11)
ǫijk e` totalmente antisimmetrico per scambi di due degli indici; inoltre e` invariante per permutazioni cicliche ǫijk = ǫjki = ǫkij . (4.12) La componente i-sima del momento angolare e` allora Li = ǫijk xj pk ,
(4.13)
dove la somma sugli indici ripetuti e` implicita. Facendo uso dei commutatori [xi , xj ] = [xi , pj ] =
[pi , pj ] = 0; i ~ δij , i = 1, 2, 3
(4.14)
e` facile trovare i commutatori tra le componenti del momento angolare, [L1 , L2 ] = i ~L3 ;
[L2 , L3 ] = i ~L1 ;
[L3 , L1 ] = i ~L2 ,
(4.15)
o in forma pi`u compatta, [Li , Lj ] = i ~ ǫijk Lk .
(4.16)
Le stesse regole di commutazione valgono per le componenti dell’operatore di momento angolare totale X Ltot = (ra × pa ) (4.17) a
nei sistemi con pi`u di una particella. Dall’Hermiticit`a degli operatori xi , pi , segue che le componenti del momento angolare sono operatori Hermitiani. Calcoliamo ora i commutatori tra Li e xj (e tra Li e pj ) usando sempre i commutatori fondamentali, (14). Il risultato e` [Li , xj ] = i ~ ǫijk xk ;
(4.18)
114
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI [Li , pj ] = i ~ ǫijk pk .
(4.19)
Consideriamo ora il modulo quadrato del momento angolare, L2 = L21 + L22 + L23 .
(4.20)
E` facile verificare che l’operatore L2 commuta con ciascun componente Li , [L2 , Li ] = 0,
i = 1, 2, 3
(4.21)
Per esempio, [L2 , L1 ] =
[L22 , L1 ] + [L23 , L1 ] i ~ (−L2 L3 − L3 L2 + L3 L2 + L2 L3 ) = 0.
=
(4.22)
Di conseguenza, i due operatori, L2 e (e.g.) L3 possono prendere valori definiti simultaneamente. L1 , L2 , non commutando con L3 , e di conseguenza non possono assumere valori definiti in generale, nella base in cui L2 e L3 sono diagonali.1
4.1.3
Momento angolare come genetratore di rotazioni
Il fatto che le formule (16), (18), e (19) hanno la stessa struttura non e` accidentale: essa indica che il momento angolare, la posizione e l’impulso sono tutti vettori e si trasformano nello stesso modo per rotazioni degli assi di coordinate. Ricordiamo (vedi 2.1) che l’operatore dell’impulso p = −i~∇ e` il generatore di traslazione: un operatore O(r, p) si trasforma e
ip·r0 ~
O(r, p) e
−ip·r0 ~
= O(r + r0 , p).
(4.23)
Sulla funzione d’onda l’operatore di traslazione agisce come: e
ip·r0 ~
ψ(r) = ψ(r + r0 ),
(4.24)
come si ottiene facilmente dalla formula di Taylor. Analogamente le componenti del momento angolare generano rotazioni. Si consideri un’operazione i L·ω U ψ = e ~ ψ(r) (4.25) per ω infinitesime. Si ha infatti ei L·ω/~ ψ(r)
L·ω ∂ )ψ )ψ(r) = (1 + ωi ǫijk xj ~ ∂xk ≃ ψ(r + ω × r).
≃ (1 + i
(4.26)
Come ei p·r0 /~ , l’operatore U = ei L·ω/~ genera una trasformazione unitaria: un generico operatore O si trasforma come O → U OU † . (4.27) In particolare, per O = r, si ha r → ˜r = =
ei L·ω re−i L·ω = r + r+ ω × r + ...
i ωi [Li , r] + . . . ~ (4.28)
dove abbiamo usato i commutatori (18). La (28) indica che la trasformazione unitaria con i L·ω U = e ~ infatti rappresenta una rotazione tridimensionale degli assi di coordinate, nella direzione del vettore ω di angolo |ω|. 1 C’` e un’eccezione. In uno stato di momento angolare totale nullo, tutte le componenti hanno il valore nullo. Vedi dopo.
4.1. MOMENTO ANGOLARE
115
I commutatori tra le componenti del momento angolare Li sono combinazioni lineari di esse stessi: Li sono dette di formare un’algebra. Ogni algebra e` caratterizzato da insieme di costanti, detti costanti di struttura. Nel caso di algebra del momento angolare - algebra del gruppo di rotazioni tridimensionali SO(3) - le costanti di struttura sono ǫijk . Unit`a del momento angolare: Il momento angolare ha la stessa dimensione di azione [L] = [r × p] = [~], ed e` misurato in unit`a di ~. In seguito, indicheremo con L l’operatore adimensionale L/~, liberandoci dell’onnipresente ~ dalle relazioni di commutazione, etc. Risulta conveniente introdurre i due operatori L+ e L− L+ ≡ L1 + iL2 ;
L− ≡ L1 − iL2 ,
(4.29)
e riscrivere l’algebra del momento angolare (16) come [L+ , L− ] = 2 L3 ;
[L3 , L+ ] = L+ ;
[L3 , L− ] = −L− ;
(4.30)
il quadrato del momento angolare si esprime in termini di L± L2 = L+ L− + L23 − L3 = L− L+ + L23 + L3 .
(4.31)
(Esercizio: si verifichi le (31). ) Nel caso di una particella in tre dimensione l’operatore del momento angolare quadrato ˆ 2 di (5), come esplicitamente verificato nel Capitolo (7.4). L2 coincide con l’operatore L
4.1.4 Autovalori del momento angolare E` un fatto empirico che in Natura molte particelle elementari (elettrone, protone, neutrone, ecc.) possiedono una sorta di momento angolare intrinseco, chiamato spin. A questo grado di libert`a associamo un operatore appropriato, S, che, per postulato, obbedisce alle stesse regole di commutazione di quelle soddisfatte dal momento angolare orbitale L = r×p. E` di comune uso indicare l’operatore di momento angolare generico con lettere Ji , riservando Li per i momenti angolari di tipo orbitali e Si per gli spin. I risultati fondamentali che troveremo in questa sezione infatti sono validi sia per il momento angolare orbitale, sia per lo spin, sia per una somma generica di momenti angolari di diverse nature fra loro. Come conseguenza delle regole di commutazione [Ji , Jj ] = i ǫijk Jk ,
(4.32)
e della positivit`a della norma, gli autovalori del momento angolare risultano quantizzati, in maniera universale. Consideriamo l’operatore del momento angolare J di un determinato sistema. La regola di commutazione riscritta con gli operatori J± ≡ J1 ± iJ2 e` , [J+ , J− ] = 2J3 ;
[J3 , J+ ] = J+ ;
[J3 , J− ] = −J− .
(4.33)
Inoltre [J2 , Ji ] = 0,
i = 1, 2, 3
(4.34)
perci`o possiamo prendere una base in cui J2 e di J3 sono diagonali. Siano |mi gli autostati normalizzati di J3 con l’autovalore m: J3 |mi = m|mi.
(4.35)
J3 J+ |mi = (J+ J3 + J+ )|mi = (m + 1)J+ |mi :
(4.36)
Usando la (33) si ha
116
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
i.e., lo stato J+ |mi, se non e` un vettore nullo, e` anche esso un autostato di J3 , con autovalore m + 1. Analogamente J3 J− |mi = (m − 1)J− |mi :
(4.37)
J− |mi e` un autostato di J3 con l’autovalore m−1, tranne quando J− |mi = 0. Gli operatori J+ e J− fungono, rispettivamente, da operatori di “innalzamento e di “abbassamento” del valore di m. Possiamo scrivere J± |mi = cost. |m ± 1i,
(4.38)
2 J± |mi = cost. |m ± 2i,
(4.39)
n n 2 n J2 (J± |mi) = J± J |mi = T (J± |mi);
(4.40)
etc. Inoltre, poich´e J± commutano con l’operatore J2 ,
dove abbiamo indicato con T l’autovalore del momento angolare quadrato J2 |mi = T |mi.
(4.41)
n In altre parole, gli stati J± |mi, n = 0, 1, 2, . . . (se sono non nulli) formano una torre di 2 autostati di J , con lo stesso autovalore, ma con autovalore m che differiscono di un’unit`a tra losro. La relazione tra T ( l’autovalore del momento angolare quadrato J2 ) e i possibili autovalori m di J3 , viene determinata dalla seguente considerazione. Dalla relazione
h J2 − J33 i ≥ 0,
(4.42)
(esercizio: dimostratela), segue la disuguaglianza T ≥ m ≥ −T.
(4.43)
Segue dunque che per un dato valore di T deve esistere il valore massimo di m, che indicheremo con j. Sia |ji l’autostato corrispondente, i.e., un autostato di J2 con l’autovalore ancora ignoto T e con autovalore di J3 , j = max {m}. Classicamente tale valore coincide con il valore assoluto del momento angolare e in queso caso il vettore del momento angolare e` diretto lungo l’asse z. Per definizione, |ji e` lo stato con il valore massimo di J3 , perci`o la costante in (38) deve essere tale che J+ |ji = 0. (4.44) Altrimenti J+ |ji sarebbe uno stato con un valore di J3 pi`u grande, j + 1, contrariamente all’ipotesi fatta. Segue che (vedi (31)) J2 |ji = (J− J+ + J32 + J3 )|ji = j(j + 1)|ji.
(4.45)
T = j(j + 1) :
(4.46)
Cio`e 2
l’autovalore dell’operatore J e` uguale a j(j + 1). A partire dallo stato |ji possiamo costruire una torre di stati applicando ripetutamente l’operatore J− n J− |ji ∝ |j − ni; n = 0, 1, 2, . . . , (4.47) con l’autovalore j, j − 1, j − 2, j − 3, . . . ,
di J3 , tutti autostati di J2 con lo stesso autovalore j(j + 1).
(4.48)
4.1. MOMENTO ANGOLARE
117
Ora, dalla (42) segue l’esistenza del minimo fra gli autovalori di J3 anche. Dunque esiste un numero intero n tale che J− |j − ni = 0.
(4.49)
In questo stato, troviamo, in virt`u della prima equazione della (31), J2 |j − ni = (J+ J− + J32 − J3 )|j − ni = ((j − n)2 − (j − n))|j − ni.
(4.50)
Ma lo stato |j − ni appartiene allo stesso autovalore j(j + 1) di stato |ji perci`o (j − n)2 − (j − n) = j(j + 1),
→
n = 2j.
(4.51)
Troviamo cos`ı un risultato fondamentale: visto che n e` un numero intero non negativo, segue che j prende soltanto valori o interi e semiinteri j = 0,
3 1 , 1, , 2, . . . . 2 2
(4.52)
Gli autovalori del momento angolare sono quantizzati, indipendentemente dal dettaglio dinamico. Ricapitolando, concludiamo che per un dato autovalore j(j + 1) dell’operatore J2 ci sono un 2j + 1 -pletto di stati |j, ji, |j, j − 1i, |j, j − 2i, . . . |j, −j + 1i, |j, −ji,
(4.53)
j, j − 1, j − 2, . . . , −j,
(4.54)
3 1 , 1, , 2, . . . , 2 2
(4.55)
autovalori di J3 , rispettivamente. Anche se gli autovalori dell’operatore J2 prendono il valore j(j + 1) in questo gruppo di stati, e` di comune uso parlare di multipletto di stati di momento angolare j. I valori possibili per il numero quantico j j = 0,
corrispondono a autovalori del momento angolare quadrato, j(j + 1) = 0,
3 15 , 2, , 6, . . . 4 4
(4.56)
Inoltre, risulta (vedi il prossimo sottocapitolo) che per i momenti angolari di tipo orbitale, j, indicato con L o con ℓ in questi casi, pu`o prendere soltanto valori interi. (Vedi dopo). In Natura queste predizioni della meccanica quantistica sono verificate senza eccezioni. Empiricamente le particelle elementari hanno lo spin o semiinteri o interi (e.g., l’elettrone, il protone, il neutrone, hanno s = 1/2; il pione ha lo spin zero, il bosone W spin s = 1, ecc.). Nessun valore frazionario di spin e` stato mai osservato. Una delle prime esperienze che hanno mostrato questo sorprendente fenomeno e` dovuta a Stern e Gerlach (1922). Nella loro esperienza, un sottile fascio di atomi d’argento e` fatto attraversare una zona con un forte campo magnetico non uniforme, con ∂Bz 6= 0, ∂z
(4.57)
dove l’asse z e` perpendicolare alla direzione del moto dell’atomo, e viene inciso su uno scherma fotografico. Un atomo che ha lo spin non nullo ha un momento magnetico non nullo e perci`o riceve una forza verticale, proporzionale alla componente z dello spin. Classicamente si aspetta, per un fascio incidente non polarizzato, che si osservi sullo scherma
118
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
una banda di punti scuri uniformemente distribuiti in essa, corrispondenti a direzioni arbitrarie dello spin; sperimentalmente furono osservati (nel caso di Ag) solo due strisce strette (due linee) separate verticalmente, confermando la quantizzazione di Jz in maniera drammatica (l’atomo di Ag nello stato fondamentale ha spin 1/2). Nota sulla quantizzazione del momento angolare in meccanica quantistica Supponiamo che esista un sistema con il momento angolare j semipositivo definito generico, n´e intero n´e semiintero. Sia |j, ji lo stato in cui J3 prende il valore massimo, j: J3 |j, ji = j|j, ji;
J+ |j, ji = 0;
J2 |j, ji = j(j + 1)|j, ji.
(4.58)
Applicando J− ripetutamente si ottiene una torre di stati (J− )n |j, ji ∝ |j, j − ni,
n = 1, 2, 3, . . . .
(4.59)
Per un valore generico di j ci saranno un numero infinito di tali stati. Non e` difficile dimostrare che: (i) tutti gli stati (59) sono autostati di J2 con l’autovalore, j(j + 1); (ii) lo stato (59) ha la norma positiva per m = j − n tale che −j − 1 < m < j;
(4.60)
(iii) per m tale che −j − 2 < m ≤ −j − 1,
(2j + 1 ≤ n < 2j + 2),
(4.61)
si ha hj, j|(J+ )n (J− )n |j, ji < 0 :
n
(4.62)
lo stato (J− ) |j, ji ha la norma negativa. Il valore di j generico dunque implica la presenza di stati con la norma negativa, e quindi non e` accettabile.
4.1.5 Momento angolare orbitale; funzioni armoniche sferiche Tutte le precedenti discussioni formali, basate solamente sulle regole di commutazioni, si ˆ . Tuttavia, dovuto alla applicano anche ai momenti angolari di tipo orbitale, L = ˆr × p richiesta che la funzione d’onda sia ben definita come funzione di variabili angolari, il numero quantico ℓ (j ) prende in questo caso solo valori interi, e non semi-interi. Nelle coordinate sferiche (r, θ, φ), p p x2 + y 2 y ; φ = tan−1 , (4.63) r = x2 + y 2 + z 2 ; θ = tan−1 z x
ˆ diventano: le componenti dell’operatore L = ˆr × p L3 = −i(x L+ = −(x + iy)
∂ ∂ ∂ − y ) = −i ; ∂y ∂x ∂φ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ +z( + i ) = eiφ ( + i cot θ ); ∂z ∂x ∂y ∂θ ∂φ
L− = −L+ (i → −i) = e−iφ (− Allora L2 = L+ L− + L23 − L3 = −[
∂ ∂ + i cot θ ). ∂θ ∂φ
∂ 1 ∂2 1 ∂ ], (sin θ ) + sin θ ∂θ ∂θ sin2 θ ∂φ2
(4.64) (4.65) (4.66)
(4.67)
4.1. MOMENTO ANGOLARE
119
come e` stato anticipato in Sec. 0.1.1 Risolviamo ora l’equazioni agli autovalori (che e` la parte angolare dell’equazione di Schr¨odinger nel caso di un potenziale a simmetria centrale), 2 ˆ 2 Φ(θ, φ) = −[ 1 ∂ (sin θ ∂ ) + 1 ∂ ]Φ(θ, φ) = ℓ(ℓ + 1)Φ(θ, φ). L 2 sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂φ2
(4.68)
∂ ˆ 2 , conviene prima risolvere l’equazione Poich´e L3 = −i ∂φ commuta con L
L3 ψ(φ) = −i La soluzione e` ovvia:
∂ ψ(φ) = mψ(φ). ∂φ
(4.69)
1 ψ(φ) = Φm (φ) = √ eimφ , 2π
(4.70)
che obbedisce alla condizione di normalizzazione Z 2π Φm′ (φ)∗ Φm (φ) = δm′ m .
(4.71)
0
Ma la funzione d’onda deve essere ben definita per ogni valore di φ perci`o m = 0, ±1, ±2, . . . .
(4.72)
Siccome m (chiamato il numero quantico azimutale) pu`o prendere solo 2m + 1 possibili valori −ℓ, −ℓ + 1, . . . , +ℓ, (4.73) vuol dire che anche ℓ pu`o prendere soltanto valori interi, ℓ = 0, 1, 2, 3, . . . .
(4.74)
Φ(θ, φ) = Φm (φ)Θℓ,m (θ)
(4.75)
Sostituiamo ora in (68). Si ha d m2 1 d (sin θ Θℓ,m (θ)) − Θℓ,m (θ) + ℓ(ℓ + 1)Θℓ,m (θ) = 0, sin θ dθ dθ sin2 θ
(4.76)
o in termini della nuova variabile x ≡ cos θ, d d m2 Θℓ,m + ℓ(ℓ + 1)Θℓ,m = 0. (1 − x2 ) Θℓ,m − dx dx 1 − x2
(4.77)
Questa equazione e` ben nota. Le soluzioni che sono finite e monodrome nell’intervallo −1 ≤ x ≤ 1 per ℓ ≥ |m| sono note come polinomi associati di Legendre, e indicate con Pℓm (x). Per i polinomi di Legendre e per i polinomi associati di Legendre, vedi Complemento. La soluzione di (77) normalizzata con Z π Z 1 dθ sin θ |Θℓ,m (θ)|2 = dx |Θℓ,m |2 = 1, (4.78) 0
−1
e` data da (x ≡ cos θ)) m ℓ
Θℓ,m = (−) i
s
(2ℓ + 1)(ℓ − m)! m Pℓ (x), 2(ℓ + m)!
m ≥ 0,
(4.79)
120
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI Θℓ,−|m| = (−)m Θℓ,|m|.
(4.80)
La soluzione dell’equazione di Schr¨odinger angolare, con i numeri quantici ℓ, m e` dunque (vedi (75)) s (2ℓ + 1)(ℓ − |m|)! m (m+|m|)/2 ℓ Pℓ (x) eimφ . (4.81) Φ(θ, φ) = Yℓ,m (θ, φ) = (−) i 4π(ℓ + |m|)! Le funzioni Yℓ,m (θ, φ) sono chiamate funzioni armoniche sferiche e rappresentano le autofunzioni simultanee degli operatori L2 (con l’autovalore ℓ(ℓ + 1)) e L3 (con l’autovalore m). Yℓ,m (θ, φ) sono normalizzate come Z
π
dθ sin θ
0
Z
2π
dφ Yℓ′ ,m′ (θ, φ)∗ Yℓ,m (θ, φ) = δll′ δmm′ .
(4.82)
0
(2ℓ + 1) funzioni d’onda Yℓ,m (θ, φ) per un dato ℓ corrispondono agli stati |ℓ, mi discussi nel precedente sottocapitolo, o pi`u precisamente, hθ, φ|ℓ, mi = Yℓ,m (θ, φ).
(4.83)
Infine, alcune funzioni armoniche sferiche pi`u semplici sono: Y0,0
=
Y1,0
=
Y2,0
=
Y2,±1
=
Y2,±2
=
1 √ , 4π r r 3 3 i cos θ, Y1,±1 = ∓i sin θ e±iφ , 4π 8π r 5 (1 − 3 cos2 θ), 16π r 15 ± cos θ sin θ e±iφ , 8π r 15 − sin2 θ e±2iφ , 32π
(4.84)
ecc. Alcune propriet`a importanti di Yℓ,m (θ, φ) sono: Yℓ,m (π − θ, φ + π) = (−)ℓ Yℓ,m (θ, φ),
(4.85)
∗ (−)ℓ−m Yℓ,−m = Yℓ,m .
(4.86)
4.1.6 Elementi di matrice di J. Abbiamo visto che i risultati come J± |mi = cost.|m ± 1i,
(4.87)
J2 |ji = j(j + 1)|ji,
(4.88)
seguono dalla regola di commutazione di Ji . Si vuole ora determinare le costanti in queste relazioni. Consideriamo il valore d’aspettazione di J2 = (J+ J− + J32 − J3 )
(4.89)
nello stato |j, mi. Si ha hj, m|J2 |j, mi = hj, m|J+ J− |j, mi + hj, m|J32 |j, mi − hj, m|J3 |j, mi,
(4.90)
4.1. MOMENTO ANGOLARE j(j + 1) =
X m′
121
hj, m|J+ |j, m′ ihj, m′ |J− |j, mi + m2 − m,
dove abbiamo utilizzato la relazione di completezza X |j ′ , m′ ihj ′ , m′ | = 1,
(4.91)
(4.92)
j ′ ,m′
e il fatto che gli operatori J± non cambia j. Dall’ultima relazione, tenendo conto dei risultati (87), segue che soltanto un termine contribuisce nella somma su m′ : hj, m|J+ |j, m−1ihj, m−1|J− |j, mi = j(j +1)−m2 +m = (j +m)(j −m+1). (4.93) † Ora, poich´e J+ = J− i due elementi di matrice nel primo membro sono collegati,
hj, m|J+ |j, m − 1i = hj, m − 1|J− |j, mi∗ .
(4.94)
|hj, m − 1|J− |j, mi|2 = (j + m)(j − m + 1).
(4.95)
Perci`o Con un’opportuna scelta della fase, si ha allora hj, m − 1|J− |j, mi = hj, m|J+ |j, m − 1i =
p (j + m)(j − m + 1),
(4.96)
e ovviamente tutti gli altri elementi di matrice di J+ , J− sono nulli. Gli elementi di matrice di J1 e J2 seguono dai risultati per J± tramite le relazioni: J1 = (J+ + J− )/2,
J2 = (J+ − J− )/2i.
(4.97)
Si trovano cos`ı i seguenti elementi non nulli: hj, m − 1|J1 |j, mi = hj, m + 1|J1 |j, mi = e hj, m − 1|J2 |j, mi = hj, m + 1|J2 |j, mi =
1p (j + m)(j − m + 1), 2 1p (j + m + 1)(j − m), 2 ip (j + m)(j − m + 1), 2 ip (j + m + 1)(j − m). − 2
(4.98)
+
(4.99)
Insieme a noti elementi di matrice non nulli di J3
hj, m|J3 |j, mi = m, questi determinano tutti gli elementi di matirice di vari operatori composti di Ji . Ritornando alle (87), abbiamo perci`o trovato che p (j + m)(j − m + 1)|j, m − 1i, J− |j, mi = p (j − m)(j + m + 1)|j, m + 1i. J+ |j, mi =
(4.100)
(4.101)
Si noti che J+ |j, ji = 0 e J− |j, −ji = 0 infatti. La scelta della fase fatta sopra (che gli elementi di matrice di J± siano reali e non negativi), fa parte della cos`ıdetta convenzione di Condon e Shortley sulle fase di stati di momento angolare. Vedi dopo. Esempio 1. Rappresentazione matriciale per il caso di spin 1/2 (j = 12 .)
122
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
In questo caso, la componente Jz avr`a solo autovalori possibili m = ± 21 . L’insieme degli elementi di matrice di Ji , i = 1, 2, 3 pu`o essere rappresentato da tre matrici 2 × 2, h1/2, m′ |J1 |1/2, mi = h1/2, m′ |J2 |1/2, mi = h1/2, m′ |J3 |1/2, mi = con σ1 =
0 1 , 1 0
σ2 =
0 i
−i , 0
1 (σ1 )m′ ,m ; 2 1 (σ2 )m′ ,m ; 2 1 (σ3 )m′ ,m , 2 σ3 =
1 0
(4.102) 0 . −1
(4.103)
Queste matrici sono chiamate matrici di Pauli. In tale notazione, le matrici di Pauli agiscono sullo spazio di spinori, 0 1 c1 , (4.104) + c2 = c1 1 0 c2 dove gli spinori di base 1 = |1/2, 1/2i = |↑i, 0
0 = |1/2, −1/2i = |↓i, 1
(4.105)
rappresentano stati di spin up e di spin down. Si noti che i tre matrici di Pauli (pi`u precisamente, 12 σi ) obbediscono alla stessa algebra del momento angolare, (16), σi σj σk [ , ] = i ǫijk . (4.106) 2 2 2 In altre parole, le tre matrici rappresentano l’algebra del gruppo SO(3). Le matrici di Pauli hanno seguenti propriet`a importanti, σi2 = 1,
(i = x, y, z);
σi σj = −σj σi = i ǫijk σk ,
(i 6= j).
Esempio 2. Momento angolare orbitale con ℓ = 1. r
3 cos θ. 4π r 3 = hθ, φ|1, ±1i = ∓i sin θ e±iφ . 8π
Y1,0 = hθ, φ|1, 0i = i
Y1,±1
(4.107)
(4.108) (4.109)
D’altra parte L+ = eiφ (
∂ ∂ + i cot θ ) ∂θ ∂φ
(4.110)
perci`o L+ Y1,0 = −i
r
3 sin θ eiφ . 4π
Per esempio, l’elemento di matrice di L+ tra gli stati |1, 0i e |1, 1i risulta Z ∗ h1, 1|L+ |1, 0i = dθ sin θ dφ Y1,1 L+ Y1,0 r r Z π Z 2π √ 3 3 dθ sin θ sin2 θ dφ = 2. = 4π 8π 0 0
(4.111)
(4.112)
Questo e` in accordo con il risultato generale (96). (Vuol dire che la convenzione di fase delle funzioni armoniche sferiche adottata da noi e` compatibile con la convenzione di Condon-Shortley.)
4.1. MOMENTO ANGOLARE
123
4.1.7 Composizione dei momenti angolari Consideriamo ora sistemi con pi`u di un momento angolare. Essi potrebbero essere due momenti di tipo orbitale, due spin (due particelle con spin) oppure il momento angolare orbitale e lo spin della stessa particella, etc. Si vuole sapere quali sono i valori del momento angolari totali, e qual’‘e la relazione tra gli stati del momento angolare totale e gli stati di momenti angolari componenti. La legge di addizione di due momenti angolari, J1 e J2 segue dall’algebra dei momenti angolari. Il momento angolare totale e` definito da J = J1 ⊗ 1 + 1 ⊗ J2 ≡ J1 + J2
(4.113)
[J1i , J2j ] = 0.
(4.114)
dove Grazie a questa seconda relazione, il momento angolare totale soddisfa la regola di commutazione standard, [Ji , Jj ] = iǫijk Jk . (4.115) Una domanda a cui si vuole rispondere e` : Dati due numeri quantici j1 e j2 dei momenti angolari J1 e J2 , quali sono i possibili valori del numero quantico j del momento angolare totale? (A) Ci sono due basi naturali degli stati di momento angolare: (i) una base in cui gli operatori J21 , J1z , J22 , e J2z sono diagonali, con autostati indicati con |j1 , m1 , j2 , m2 i = |j1 , m1 i ⊗ |j2 , m2 = |j1 , m1 i|j2 , m2 i,
(4.116)
J21 |j1 , m1 , j2 , m2 i = j1 (j1 + 1)|j1 , m1 , j2 , m2 i;
(4.117)
e con propriet`a J2z |j1 , m1 , j2 , m2 i = m2 |j1 , m1 , j2 , m2 i,
ecc.
(4.118)
Alternativamente si pu`o prendere (ii) una base in cui J2 , Jz , J21 , e J22 , sono diagonali, con autostati |j1 , j2 ; J, M i
(4.119)
J2 |j1 , j2 ; J, M i = J(J + 1)|j1 , j2 ; J, M i,
(4.120)
con propriet`a Jz |j1 , j2 ; J, M i = M |j1 , j2 ; J, M i,
(4.121)
ecc. Chiameremo queste come la prima e la seconda base rispettivamente, in seguito. Esercizio: Verificate che i due gruppi di operatori sopra formano ambedue infatti osservabili massimali. La seconda domanda, strettamente legata alla domanda (A), e` dunque questa: Qual’`e la relazione tra gli stati |j1 , m1 , j2 , m2 i e gli stati |j1 , j2 ; J, M i? Partiamo con lo stato in cui m1 , m2 prendono tutti i due i valori massimi possibili, cio`e lo stato “pi`u alto |j1 , j1 , j2 , j2 i = |j1 , j1 i|j2 , j2 i, (4.122)
della prima base. Visto che M = m1 + m2 , (Jz ovviamente commuta sia con J1z che con J2z ) lo stato (122) corrisponde allo stato con M massimo. Poich´e J ≥ M questo vorr`a dire che lo stato (122) corrisponde anche all’autovalore J massimo possibile. Ora J2 |j1 , j1 , j2 , j2 i = = =
(J12 + J22 + 2J1 · J2 )|j1 , j1 , j2 , j2 i (J12 + J22 + J1+ J2− + J1− J2+ + 2J1z J2z )|j1 , j1 , j2 , j2 i (j1 + j2 )(j1 + j2 + 1)|j1 , j1 , j2 , j2 i.
(4.123)
124
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
Lo stato (122) e` quindi infatti un autostato di J2 e il numero quantico corrispondente e` j1 + j2 , cio`e Jmax = j1 + j2 . (4.124) Allo stesso tempo abbiamo dimostrato l’equivalenza |j1 , j1 , j2 , j2 i = |j1 , j2 ; j1 + j2 , j1 + j2 i,
(4.125)
i.e., l’equivalenza tra lo stato “pi`u alto” della prima base e lo stato con Jmax e Mmax = Jmax della seconda base. (Per essere preciso, la fase relativa tra i due membri della (125) e` arbitrariamente stata messa uguale a 1. Questa scelta fa parte della “convenzione di Condon-Shortley”.) Applichiamo ora l’operatore J− = J1− + J2− sullo stato (125). Da una parte troviamo che p (4.126) J− |j1 , j2 ; j1 + j2 , j1 + j2 i = 2(j1 + j2 )|j1 , j2 ; j1 + j2 , j1 + j2 − 1i,
dove abbiamo usato (101); d’altra parte usando la stessa formula per J1− e per J2− , si ottiene p p (J1− + J2− )|j1 , j1 , j2 , j2 i = 2j1 |j1 , j1 − 1, j2 , j2 i + 2j2 |j1 , j1 , j2 , j2 − 1i. (4.127)
Perci`o si e` trovata la seconda relazione, s s j1 j2 |j1 , j2 ; j1 + j2 , j1 + j2 − 1i = |j1 , j1 − 1, j2 , j2 i + |j1 , j1 , j2 , j2 − 1i. j1 + j2 j1 + j2 (4.128) Si noti che l’applicazione di J− non pu`o cambiare il numero quantico J = j1 + j2 (e analogamente J1− non modifica l’autovalore di J21 . Si osservi che due stati linearmente indipendenti della prima base con M = j1 + j2 − 1 appaiono nelle eq.(126), (127), e (128). Nella seconda base questi devono avere J = j1 +j2 uno, e J = j1 + j2 − 1 l’altro. Il primo corrisponde alla combinazione lineare trovata sopra, (128). L’altro stato, con J = j1 + j2 − 1 deve essere ortogonale a quello stato, quindi a parte la fase (che va determinata con un’opportuna convenzione) deve essere uguale a s s j2 j1 iα |j1 , j2 ; j1 +j2 −1, j1 +j2 −1i = e ( |j1 , j1 −1, j2 , j2 i− |j1 , j1 , j2 , j2 −1i) j1 + j2 j1 + j2 (4.129) dove α e` la fase indeterminata per il momento. Procedendo in maniera analoga, e applicando J− = J1− + J2− su due stati (128) e (129), si ottengono due stati |j1 , j2 ; j1 + j2 , j1 + j2 − 2i,
|j1 , j2 ; j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 2i,
(4.130)
con M = j1 + j2 − 2, in termini di tre stati nella prima base. Il terzo stato con M = j1 + j2 − 2, per esclusione, deve essere lo stato |j1 , j2 ; j1 + j2 − 2, j1 + j2 − 2i: esso e` determinato (a parte la fase) dalla condizione di ortogonalit`a con gli stati (130). E cos`ı di seguito. Continuando in questo modo, all’n-sima volta che si applica J− = J1− + J2− si otter`a n + 1 stati, di cui uno corrisponde ad un nuovo multipletto con J = j1 + j2 − n. Si noti che ad ogni passaggio il numero di stati linearmente indipendenti ad un fisso valore di M aumenta di uno. Questo accade finch´e n < M in{2j1 , 2j2 }. Quando n = 2j1 , per esempio (supponendo j1 < j2 ), un ulteriore applicazione di J1− annulla lo stato |j1 , −j1 , j2 , j2 i perci`o il numero di stati linearmente indipendenti con M = j2 − j1 − 1 e` uguale al numero di tali stati con M = j2 − j1 .
4.1. MOMENTO ANGOLARE
125
Troviamo cos`ı che il valore minimo possibile (supponendo j1 < j2 ) di J e` j2 − j1 . Per generici j1 e j2 si ha J = j1 + j2 , j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 2, . . . , |j1 − j2 |.
(4.131)
Come verifica contiamo il numero totale degli stati linearmente indipendenti, aventi i numeri quantici j1 e j2 . Nella prima base esso e` dato da (2j1 + 1)(2j2 + 1),
(4.132)
che e` semplicemente il prodotto dei numeri delle componenti dei due multipletti. Nella seconda base (supponendo j1 < j2 ), esso e` calcolato, sapendo (131), con la formula jX 2 +j1
(2J + 1) =
J=j2 −j1
=
1 2 · [(j2 + j1 )(j2 + j1 + 1) − (j2 − j1 − 1)(j2 − j1 )] + 2j1 + 1 2 (2j1 + 1)(2j2 + 1),
(4.133)
che dimostra la consistenza del risultato (131) trovato sopra. Esempio j1 = j2 = 1. Ci sono in questo caso 9 stati linearmente indipendenti, che corrispondono a 5 stati con J = 2, a 3 stati con J = 1, e uno stato con J = 0. Esempio Il caso con j1 = j2 = 12 e` di particolare importanza. E` di uso comune indicare gli stati di singolo spin come 1 0 = |1/2, 1/2i, = |1/2, −1/2i (4.134) 0 1 (spin “up e spin “down); i quattro stati della prima base sono 1 1 1 0 0 1 0 0 , , , . 0 1 0 2 0 1 1 2 1 1 0 2 1 1 1 2
(4.135)
Gli operatori sono stot = s1 + s2 ;
s1 =
1 σ1 ; 2
s2 =
1 σ2 ; 2
dove le matrici σ1 , σ2 sono matrici di Pauli, (103). Per esempio, 1 0 1 s1+ = (σ1x + iσ1y ) = . 0 0 1 2
(4.136)
(4.137)
Applichiamo sugli stati (135) l’operatore s2tot =
3 3 + 2s1 · s2 = + s1+ s2− + s1− s2+ + 2s1z s2z . 2 2
Troviamo
(4.138)
1 1 1 1 =2 ; (4.139) 0 1 0 2 0 1 0 2 0 0 e analogamente per . In altre parole questi due stati sono autostati dello spin 1 1 1 2 totale, con stot = 1. D’altra parte, 1 0 1 0 0 1 2 stot = + ; (4.140) 0 1 1 2 0 1 1e 2 1 1 0 2 s2tot
126
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
e s2tot
0 1 1 0 0 1 = + . 1 1 0e 2 0 1 1 2 1 1 0 2
(4.141)
Questi due stati non sono autostati di s2tot . E` facile trovare tuttavia gli autostati di s2tot : essi sono le combinazioni “spin paralleli e “spin antiparalleli, √ 1 0 0 1 (4.142) |pari ≡ { + }/ 2; 0 1 1 2 1 1 0 2 √ 1 0 0 1 (4.143) |antii ≡ { − }/ 2. 0 1 1 2 1 1 0 2 Infatti essi soddisfano s2tot |pari = 2|pari;
(4.144)
s2tot |antii = 0,
(4.145)
dimostrando che il primo corrisponde a stot = 1, il secondo a stot = 0. Ricapitolando, il tripletto di stati √ 0 0 1 1 1 0 0 1 , (4.146) , { + }/ 2; 1 1 1 2 0 1 0 2 0 1 1 2 1 1 0 2 di spin 1 e un singoletto √ 1 0 0 1 { − }/ 2 0 1 1 2 1 1 0 2
(4.147)
di spin 0 costituiscono la seconda base di stati. Nella notazione pi`u pittoresca utilizzata spesso, gli stati di tripletto sono |↑i |↑i,
|↑i |↓i + |↓i |↑i √ , 2
|↓i |↓i,
(4.148)
mentre il singoletto e` la combinazione antisimmetrica |↑i |↓i − |↓i |↑i √ . 2
4.1.8
(4.149)
Coefficienti di Clebsch-Gordan
Rispondiama ora alla seconda domanda che si era posta all’inizio del sottocapitolo precedente. Ciascun stato della prima base pu`o essere sviluppato in termini di quelli della seconda base: X |j1 , m1 , j2 , m2 i = |j1 , j2 ; J, M ihj1 , j2 ; J, M |j1 , m1 , j2 , m2 i, (4.150) J,M
dove nella somma su M attualmente un solo termine (con M = m1 + m2 ) e` non nullo. La (150) pu`o essere vista come relazione di completezza degli stati di momento angolare. I coefficienti di sviluppo, hj1 , j2 ; J, M |j1 , m1 , j2 , m2 i ≡ hJ, M |j1 , m1 , j2 , m2 i
(4.151)
sono chiamati coefficienti di Clebsch-Gordan. Vice versa, ogni autostato di J2 , Jz , pu`o essere espresso come una combinazione lineare di stati dell’altra base: X |j1 , m1 , j2 , m2 ihj1 , m1 , j2 , m2 |j1 , j2 ; J, M i. (4.152) |j1 , j2 ; J, M i = m1 ,m2
4.1. MOMENTO ANGOLARE
127
I coefficienti di sviluppo in questo caso sono semplicemente coniugati complessi di quelli nella (150): hj1 , m1 , j2 , m2 |j1 , j2 ; J, M i = hj1 , j2 ; J, M |j1 , m1 , j2 , m2 i∗ .
(4.153)
Anche questi sono chiamati coefficienti di Clebsch-Gordan. I coefficienti che abbiamo trovato nelle (125), (128), e (129), sono infatti esempi di coefficienti di Clebsch-Gordan. Come abbiamo gi`a notato, i coefficienti di Clebsch-Gordan dipendono dalla convenzione di fase di stati di momento angolare. La convenzione frequentemente usata (che adotteremo anche noi) si chiama convenzione di Condon e Shortley e consiste nell’imporre le seguenti tre condizioni: 1. I massimi stati delle due basi sono identificati con il coefficiente 1, (125): questa convenzione fissa la fase relativa globale tra la prima e la seconda base; 2. Tutti gli elementi di matrice degli operatori, J1− , J2− , J− sono reali e semipositivi definiti: questa condizione fissa le fasi relativi tra gli stati nello stesso multipletto; 3. Gli elementi di matrice, hj1 , j2 ; J, M |J1z |j1 , j2 ; J ± 1, M i
(4.154)
sono reali e semipositivi definiti. Non e` difficile dimostrare che queste tre condizioni fissano univocamente tutte le fasi relativi tra gli stati, in modo esauriente e consistente. Vedi per es., il libro di Edmonds, “Angular Momentum in Quantum Mechanics”. I coefficienti di Clebsch-Gordan per i primi valori di j1 , j2 sono dati nella tabella seguente. In programma Mathematica, il commando input per ottenere il coefficiente di C-G, hj1 , j2 ; J, M |j1 , m1 , j2 , m2 i ≡ hJ, M |j1 , m1 , j2 , m2 i e` semplicemente ClebschGordan [{j1 , m1 }, {j2 , m2 },{J, M}]
4.1.9 Spin Ritorniamo ora alla propriet`a di trasformazione della funzione d’onda per rotazioni degli assi delle coordinate. Per una particella senza spin, la funzione d’onda si trasforma, per una rotazione attorno alla direzione di un vettore ω, secondo la regola (vedi (26)): r → r′ = r − ω × r + . . . ; ψ(r) → ψ(r)
= =
(4.155)
ψ(r′ + ω × r′ ) ˆ
ψ ′ (r′ ) = eiω·L ψ(r′ ).
(4.156)
In altre parole, per S = 0, il valore della funzione d’onda sullo stesso punto fisico non cambia, ma dovuto al cambiamento delle coordinate, la forma funzionale rispetto alle nuove coordinate e` modificata. Questo significa che la funzione d’onda forma una rappresentazione del gruppo di rotazione, SO(3). Ora dal punto di vista della teoria dei gruppi e` importante sapere quali sono le rappresentazioni irriducibili, cio`e oggetti che si trasformano tra di loro. Come e` chiaro intuitivamente, poich´e una rotazione tridimensionale non pu`o cambiare la grandezza del momento angolare, le rappresentazioni irriducibili corrispondono esattamente ai multipletti di stati di momento angolare definito (autostati del momento angolare quadrato). Nel caso di una particella senza spin, allora, essi sono le armoniche sferiche Yℓ,m (θ, φ), m = ℓ, ℓ − 1, . . . − ℓ. Una funzione d’onda generica pu`o essere sviluppata in termini di tali armoniche, X ψ(r) = Rℓ,m (r)Yℓ,m (θ, φ). (4.157) ℓ,m
128
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
Allora il cambiamento della forma funzionale della funzione d’onda (156) significa ψ → ψ′
ˆ
= eiω·L ψ X ˆ = Rℓ,m (r)eiω·L Yℓ,m (θ, φ).
(4.158)
ℓ,m
Ma poich´e gli operatori L non possono cambiare il valore di ℓ si avr`a e
ˆ iω·L
Yℓ,m (θ, φ) =
ℓ X
ℓ Dm ′ ,m (ω)Yℓ,m′ ,
(4.159)
m′ =−ℓ
dove la matrice
ˆ
ℓ ′ iω·L Dm |ℓ, mi, ′ ,m (ω) ≡ hℓ, m |e
(4.160)
e` chiamata matrice di rotazione. La funzione d’onda di particella con spin s ha 2s + 1 componenti; essa si trasforma secondo la legge ˆ ψ → eiω·(L+ˆs) ψ, (4.161) ψ1 (r) ψ2 (r) (4.162) ψ(r) = . .. . ψ2s+1 (r)
L’operatore L agisce sulla dipendenza da r di ciascun componente, mentre lo spin s agisce sullo spazio di spinore, X ψσ′ = (4.163) eiω·ˆs σ,σ′ ψσ′ . σ′
I suoi elementi di matrice sono esattamente determinati dalle (98), (99), (100) (leggi J1 → sx , J2 → sy , J3 → sz ,). Le componenti del momento angolare totale J=L+s
(4.164)
obediscono alla regola standard del momento angolare. Nota 1 Se l’Hamiltoniana H e` indipendente dallo spin, il sistema pu`o avere la funzione d’onda fattorizzata: ψσ (r) = ψ(r)χσ . (4.165) Per esempio, questo e` il caso per l’Hamiltoniana dell’atomo di idrogeno nell’approssimazione non relativistica ~2 2 e 2 H =− ∇ − . (4.166) 2m r Le prime correzioni relativistiche ad essa sono date dai termini p4 e2 πe2 3 + L · s + δ (r). 8m3 2m2 r3 2m2 Si osservi che l’Hamiltoniana totale H + ∆H e` invariante per rotazioni. Infatti ∆H = −
[J, H + ∆H] = 0,
(4.167)
(4.168)
dove J = L + s. (Esercizio: Dimostratela.) Nota 2 Nel caso di spin 1/2 l’operatore di spin e` rappresentato da tre matrici di Pauli, si = 21 σi . Un’identit`a molto utile e` a · σ sin |a|, (4.169) eia·σ = cos |a| + i |a| dove a e` un vettore costante. (Problema: Dimostrate la (169) usando le propriet`a delle matrici di Pauli, (107) ).
4.1. MOMENTO ANGOLARE
129
4.1.10 Matrici di rotazione: spin
1 2
La funzione d’onda di spin (per s = 21 ) si trasforma, per una rotazione di angolo φ attorno alla direzione n, come i χ → exp( φ(n · σ)) ψ ≡ U (φn) ψ. 2
(4.170)
Con l’uso dell’identit`a (169) la matrice di rotazione pu`o essere calcolato esplicitamente: U (φn) = cos
φ φ + in · σ sin . 2 2
Per esempio, per una rotazione attorno all’asse z, iφ/2 e 0 Uz (φ) = ; 0 e−iφ/2 mentre per rotazioni attorno agli assi x e y cos φ2 i sin φ2 ; Ux (φ) = i sin φ2 cos φ2 sin φ2 cos φ2 Uy (φ) = . − sin φ2 cos φ2
(4.171)
(4.172)
(4.173)
Si osservi che per una rotazioni di angolo 2π, Ux (2π) = −1;
Uy (2π) = −1;
Uz (2π) = −1 :
(4.174)
la funzione d’onda di una particella con spin 1/2 cambia segno! In questo senso (dal punto di vista della teorie dei gruppi ) questi sono le rappresentazioni di particolare tipo (detta “proiettiva o “spinoriale) del gruppo di rotazioni SO(3); spinori sono proprio i nomi dati a questi oggetti. I vettori si trasformano esattamente come r e perci`o U (2π) = 1 per essi. (Esercizio: Si verifichi che le matrici Ux (φ), Uy (φ), Uz (φ) sono infatti unitarie.) La matrice di rotazione per una generica rotazione e` di solito espressa in termini di tre angoli di Eulero, α, β e γ. D1/2 ≡ U (α, β, γ)
= Uz (γ) Uy (β) Uz (α) i(α+γ)/2 e−i(α−γ)/2 sin β2 e cos β2 = . −ei(α−γ)/2 sin β2 e−i(α+γ)/2 cos β2
(4.175)
Nota Le propriet`a di trasformazione (matrici di rotazione) per particelle di spin S = n2 , n = 1, 2, 3, . . . generico possono essere trovate nel seguente modo. Prendiamo n spinori (ciascuno con s = 1/2) e costruiamo i loro prodotti, totalmente simmetrici per scambi di n spinori. Ci sono esattamente n + 1 tali combinazioni, analoghe al tripletto di stati (146) nel caso particolare n = 2. E` ovvio che le rotazioni non possono cambiare le propriet`a di simmetrie, dunque questi n + 1 oggetti si trasformano tra di loro per rotazioni (i.e., e` una rappresentazione irriducibile). Dal numero quantico azimutale dello “stato pi`u alto, 1 1 1 ... (4.176) 0 1 0 2 0 n (Sz = n/2) si apprende che questo n + 1 -pletto di stati corrispondono ad uno spin S = n/2. Perci`o la matrice di rotazione per S generico e` semplicemente il prodotto tensoriale di n = 2S matrici (175), simmetrizzati per scambi di n indici. Da quanto sopra segue che le funzioni d’onda di spin interi (n pari) qualsiasi ritornano a se stesso dopo una rotazione di angolo 2π, mentre le funzionei d’onda di particelle con spin semiinteri cambiano segno.
130
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
4.1.11 Teorema di Wigner-Eckart Consideriamo uno stato descritto dalla funzione d’onda ψ0 (r): una funzione d’onda dipendente solo dal modulo r = |r| della posizione. Ovviamente tale stato e` invariante per rotazioni, i.e., e` uno stato di ℓ = 0. Ora, gli stati ψi (r) = cost. ri ψ0 (r)
(4.177)
ottenuti con l’azione di un operatore vettoriale su ψ0 (r) hanno invece ℓ = 1, essendo proporzionali a Y1,m (θ, φ). Il valore di ℓ, quindi le corrispondenti propriet`a per rotazioni, naturalmente non dipendono dal dettaglio dell’operatore (e dello stato), la stessa conclusione e` valida per ′ ψi (r) = cost. pi ψ0 (r) (4.178) Generalizzando questa discussione al generici stati di momento angolare e generici operatori, si arriva ad un teorema importante dovuto a Wigner e Eckart. Un operatore O si trasforma come ˆ
ˆ
O → eiω·J O e−iω·J ;
(4.179)
mentre uno stato qualsiasi come ˆ
| i → eiω·J | i.
(4.180)
Abbiamo visto che particolari stati, quelli col momento angolare definito (J, M ), si trasformano in un modo semplice e universale (vedi (159)), X J ′ |J, M i → DM,M (4.181) ′ (ω)|J, M i. M′
Si noti che la matrice di rotazione di spin J e` nota una volta per tutte; essa non dipende n´e dai dettagli dinamici della funzione d’onda n´e dalla natura del momento angolare stesso (i.e., se esso e` dovuto ad un moto orbitale o se si tratta di spin; se il sistema e` elementare o composto, ecc. ), ma dipende solo dal valore di j. Analogamente certi operatori si trasformano in un modo semplice. Operatori come r2 , 2 p , U (r), sono scalari: essi sono invarianti per rotazioni. Operatori r, p, e J, per esempio, sono vettori. I prodotti di vettori sono genericamente chiamati tensori. Per lo studio delle propriet`a della trasformazione per rotazioni spaziali, e` conveniente riorganizzare le componenti dei tensori (normalmente espressi in termini di componenti cartesiane), e introdurre la nozione di tensori sferici. Un operatore tensoriale sferico di rango 1 e` equivalente ad un vettore (Ax , Ay , Az ) ma le sue componenti sono chiamate T1,m , m = 1, 0, −1, dove T1,1 = −i
Ax + iAy √ ; 2
T1,0 = iAz ;
T1,−1 = i
Ax − iAy √ . 2
(4.182)
Nel caso dell’operatore r, il tensore sferico corrispondente e` semplicemente x + iy T1,1 = −i √ ; 2
T1,0 = iz;
x − iy T1,−1 = i √ : 2
(4.183)
essi sono proporzionali alle funzioni armoniche sferiche Y1,1 , Y1,0 , e Y1,−1 . (Vedi (84).) Le relazioni inverse, Ax = i
T1.1 − T1,−1 √ ; 2
sono anche esse utili.
Ay =
T1,1 + T1,−1 √ ; 2
Az = −iT1,0,
(4.184)
4.2. POLINOMI DI LEGENDRE
131
II tensore sferico di rango 2 (di “spin 2 ) e` , in termini di componenti cartesiane del tensore simmetrico (Axx , Axy = Ayx , ecc), r 1 (Axx + Ayy − 2Azz ); T2,0 = 6 T2,±1 = ±(Axz ± iAyz ); 1 (4.185) T2,±2 = − (Axx − Ayy ± 2iAxy ). 2 Per costruzione i tensori sferici di “spin p con 2p + 1 componenti si trasformano con la semplice legge X ˆ ˆ Tq p ⇒ eiω·J Tq p e−iω·J = Dp q,q′ Tqp′ . (4.186) q′
p
Vuol dire che l’azione di Tq sullo stato |j, m; ni produce uno stato Tq p |j, m; ni
(4.187)
che si trasforma esattamente come lo stato |p, qi ⊗ |j, mi,
(4.188)
i.e., ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Tq p |j, m; ni ⇒ eiω·J Tq p |j, m; ni = eiω·J Tq p e−iω·J eiω·J |j, m; ni X j p ′ = Dp q,q′ Dm,m (4.189) ′ Tq ′ |j, m ; ni. q′ ,m′
Di conseguenza gli elementi di matrice hJ, M ; n′ |Tq p |j, m; ni
(4.190)
dove n, n′ indicano tutti gli altri numeri quantici (e.g., radiale, tipo di particelle, ecc.) sono proporzionali ai coefficienti di Clebsch-Gordan, hJ, M ; n′ |Tq p |j, m; ni = hp, j; J, M |p, q, j, mihJ, n′ kTp kj, ni,
(4.191)
(teorema di Wigner-Eckart). Nella (191) il coefficiente di proporzionalit`a, hJ, n′ kTp kj, ni, chiamato elemento di matrice ridotto, dipende solo dalla grandezza dei momenti angolari e altri numeri quantici dinamici, ma non dai numeri quantici azimutali. Tutte le dipendenze azimutali sono contenute nei coefficienti di Clebsch-Gordan che sono universali. La (191) e` molto potente: essa fornisce relazioni non banali tra numerosi elementi di matrice (che differiscono solo per M, q, m) in termini di una sola quantit`a.
4.2
Polinomi di Legendre
Per cominciare, consideriamo l’eq.(77) per m = 0. L’equazione e` {
d d (1 − x2 ) + ℓ(ℓ + 1)}Θ = 0, dx dx
(4.192)
oppure ′′
′
(1 − x2 )Θ − 2xΘ + ℓ(ℓ + 1)Θ = 0.
(4.193)
Una delle soluzioni Pℓ (x) pu`o essere prese finita nell’intervallo −1 ≤ x ≤ 1: essa e` chiamata il polinomio di Legendre. (L’altra soluzione, indicata con Qℓ (x) non e` finita a x = ±1. )
132
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
Come per i polinomi di Hermite, le propriet`a dei polinomi di Legendre possono essere studiate con aiuto di una funzione generatrice, che in questo caso e` data da T (x, s) = (1 − 2sx + s2 )−1/2 =
∞ X
Pℓ (x)sℓ ,
s < 1,
(4.194)
ℓ=0
dove s e` un parametro arbitrario, x = cos θ. I primi polinomi possono essere trovati facilmente da (194): P0 (x)
= 1,
P3 (x)
=
P1 (x) = x,
1 (4x3 − 3x), 2
P2 (x) = P4 (x) =
1 (3x2 − 1), 2
1 (35x4 − 30x2 + 3), 8
(4.195)
ecc. E` nota una formula semplice e esplicita per Pℓ (x) (formula di Rodrigue) Pℓ (x) =
1 dℓ 2 (x − 1)ℓ . 2ℓ ℓ! dxℓ
(4.196)
Pℓ (x) sono normalizzati con la condizione Z
1
dx Pℓ (x)Pℓ′ (x) =
−1
2 δℓ,ℓ′ , 2ℓ + 1
(4.197)
e soddisfa inoltre Pℓ (1) = 1;
Pℓ (−1) = (−)ℓ .
(4.198)
Il fatto che i polinomi di Legendre definiti da (194) soddisfano l’equazione di Legendre (193) segue dalle equazioni di ricorrenza che si ottengono dalle considerazioni delle derivate ∂T (x, s)/∂x e ∂T (x, s)/∂s. Una rappresentazione conveniente dei polinomi di Legendre e` (formula di Schl¨afli) I (t2 − 1)ℓ 1 dt, (4.199) Pℓ (z) = 2πi 2ℓ (t − z)ℓ+1 dove il cammino di integrazione e` una curva chiusa qualsiasi che circonda il punto z. E` facile dimostrare che I ℓ+1 d (t2 − 1)ℓ+1 2 ′′ ′ (1 − z )Pℓ (z) − 2 z Pℓ (z) + ℓ(ℓ + 1)Pℓ (z) = = 0. dt 2πi dt 2ℓ (t − z)ℓ+2 (4.200) D’altra parte la formula di Rodrigue (196) segue immediatamente da questa rappresentazione, utilizzando il teorema di residuo. Infine, i polinomi associati di Legendre Pℓm (x) possono essere ottenuti da Pℓ (x) via la relazione dm (4.201) Pℓm (x) = (x2 − 1)m/2 m Pℓ (x) : dx il fatto che Pℓm (x) e` la soluzione regolare della (77) si dimostra facendo m derivate dm /dxm dell’eq.(193) e considerando l’equazione per (1 − x2 )m/2 dm /dxm Θ. (vedi,i.e., Whittaker and Watson, “Modern Analysis’.)
4.3. GRUPPI E RAPPRESENTAZIONI: ELEMENTI DI TEORIA DEI GRUPPI
4.3
4.3.1
133
Gruppi e Rappresentazioni: Elementi di Teoria dei Gruppi Assiomi del gruppo e alcuni esempi
Un insieme G, nel quale e` definita l’operazione di moltiplicazione, a ∈ G,
b∈G
→
c = a · b ∈ G,
(4.202)
e` chiamato gruppo se i seguenti assiomi sono soddisfatti: i) associativit`a del prodotto: (a · b) · c = a · (b · c);
(4.203)
ii) esistenza dell’elemento unit`a e, tale che ea = a
(4.204)
per ogni elemento a ∈ G; iii) ogni elemento a possiede un’inverso (a sinistra), a−1 a−1 · a = e.
(4.205)
Un gruppo G e` Abeliano (commutativo) se per ogni coppia dei suoi elementi vale a · b = b · a,
(4.206)
altrimenti il gruppo e` non Abeliano. Es. 1. L’insieme di numeri interi forma un gruppo (commutativo) per addizione, i.e., se la moltiplicazione e` definita come a · b ≡ a + b. (4.207) Es. 2. Gruppo di permutazione di tre oggetti (A, B, C) messi in posizioni 1, 2, 3: ci sono sei elementi nel gruppo, e : (ABC) → (ABC); (12) : (ABC) → (BAC);
(23) : (ABC) → (ACB); (31) : (ABC) → (CBA);
(123) : (ABC) → (CAB); (321) : (ABC) → (BCA).
(4.208)
La regola di moltiplicazione si trova direttamente, per es. (12) · (23) = (123); (23) · (123) = (31); ecc. (N.B. l’operazione che sta a destra va eseguita per prima). Es. 3. L’insieme di matrici complesse N × N con determinante unitario, G = {M : det M = 1},
(4.209)
in cui la moltiplicazione e` definita normalmente col prodotto matriciale, forma il gruppo lineare speciale SL(N, C). Es. 4. L’insieme di matrici ortogonali d × d reali con determinante unitario, G = {O : OT O = 1; det O = 1},
(4.210)
134
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
forma il gruppo ortogonale, SO(d). Gli elementi di questo gruppo possono essere identificati con tutte le possibili rotazioni tri-dimensionali (per d = 3) degli assi di coordinate. SO(d) pu`o essere definito come gruppo degli operatori di trasformazione (rotazioni) nello spazio di vettori d, che lasciano invariante il modulo quadrato, xT · x
(4.211)
dei vettori. Es. 5. L’insieme di matrici unitarie N × N complesse, G = {U : U † U = 1; },
(4.212)
forma il gruppo untario U (N ). Le matrici unitarie con det U = 1 formano il gruppo unitario speciale, SU (N ). Es. 6. Il gruppo di Lorentz e` formato dalle matrici 4 × 4 reali, L, che lasciano invariante la metrica 1 0 0 0 0 −1 0 0 (4.213) g= 0 0 −1 0 , 0 0 0 −1 i.e.,
Lt gL = g.
(4.214)
Equivalentemente, il gruppo di Lorentz e` il gruppo di trasformazioni quadrivettoriali (t, x, y, z) che lasciano invariante xµ xµ = t2 − x2 − y 2 − z 2 . (4.215) N.B. I gruppi degli esempi 2 - 6 sopra sono non Abeliani, ad eccezione del SO(2) (gruppo di rotazioni nel piano x − y) che e` commutativo. Esercizio Dimostrare che il gruppo unitario U (n), visto come gruppo di trasformazioni sullo spazio vettoriale complesso n dimensionale, lascia invariata la forma quadratica (o il prodotto scalare Hermitiano) n X zi∗ zi , (4.216) z† · z = i=1
dove (z1 , z2 , . . . , zn ) sono le componenti di un vettore complesso qualsiasi. Prodotto diretto dei gruppi Dati due gruppi G e H, il prodotto diretto G ⊗ H e` definito dagli elementi (g, h) dove g ∈ G, h ∈ H, e i loro prodotti sono definiti da (g1 , h1 ) · (g2 , h2 ) = (g1 g2 , h1 h2 ).
4.3.2
(4.217)
Rappresentazione del Gruppo
Dato un gruppo G, l’insieme R di matrici N × N (con N finito o infinito) M , forma una rappresentazione del gruppo G, se ad ogni elemento g di G corrisponde un elemento di R; g → M (g) ∈ R,
(4.218)
M (g1 )M (g2 ) = M (g1 g2 ),
(4.219)
tale che i.e., tale che la legge di moltiplicazione sia conservata.
4.3. GRUPPI E RAPPRESENTAZIONI: ELEMENTI DI TEORIA DEI GRUPPI
135
In Meccanica Quantistica gli operatori lineari O possono essere visti equivalenemente come matrici (finite o infinito-dimensionali) tramite la corrispondenza, Omn = hm|O|ni,
(4.220)
dove {|mi} e` una base completa e ortonormale di stati. Le rappresentazioni di un gruppo in termini di operatori lineari possono essere unitarie o non unitarie. Le rappresentazioni in termini di matrici unitarie sono rappresentazioni unitarie. Es. 1. Il gruppo di permutazione ha una rappresentazione, 1 0 0 0 1 0 0 0 1 M (e) = 0 1 0 ; M (12) = 1 0 0 ; M (13) = 0 1 0 ; 0 0 1 0 0 1 1 0 0 (4.221) 1 0 0 0 0 1 0 1 0 M (23) = 0 0 1 , M (123) = 1 0 0 ; M (321) = 0 0 1 . 0 1 0 0 1 0 1 0 0 (4.222) Se esiste una trasformazione di similitudine, S, tale che ˜ (g) S −1 , M (g) = S M
∀g ∈ G,
(4.223)
˜ (g) sono equivalenti. le rappresentazioni M (g) e M Def. Una rappresentazione di un gruppo G e` detto riducibile se essa e` equivalente ad una rappresentazione di forma blocco-diagonale, M1 (g) 0 M (g) = , ∀g ∈ G; (4.224) 0 M2 (g) altrimenti esso e` irriducibile. Lo spazio lineare di vettori in cui agiscono le matrici M (g) e` chiamato spazio delle rappresentazioni. Nelle applicazioni in Meccanica quantistica lo spazio delle rappresentazioni e` lo spazio delle funzioni d’onda. Ma poich´e gli stati quantistici di un dato sistema sono descritti dai raggi nello spazio di Hilbert (i.e., ψ ∼ cψ, c 6= 0), in generale dovremo permettere una rappresentazione di tipo generalizzato, i.e., ψ → U (g)ψ,
U (g1 ) · U (g2 ) = eiω(g1 ,g2 ) U (g1 · g2 ),
(4.225)
dove ω e` una fase che in generale dipende sia da g1 che da g2 . Tale rappresentazione e` chiamata rappresentazione proiettiva.
4.3.3
Gruppo di Lie e Algebra di Lie
Consideriamo un gruppo continuo G. Gli elementi di un gruppo continuo dipendono da uno o pi`u parametri {α} in modo continuo, g = g({α}).
(4.226)
Es. Il gruppo SO(2) e` un gruppo continuo, parametrizzato da un parametro θ, che prende valore nell’intervallo 0 ≤ θ ≤ 2π. La variet`a (spazio) su cui vivono i parametri del gruppo e` la variet`a del gruppo. Quando la variet`a del gruppo e` una variet`a analitica (rispetto ai suoi parametri) si ha un gruppo di Lie. (La definizione pi`u precisa del gruppo di Lie si trova per es., in Barut and Raczka,
136
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
“Theory of Group Representations and Applications.) Se inoltre lo spazio dei parametri del gruppo e` compatto (senza la pretesa di massima generalit`a, uno spazio chiuso e limitato), si ha un gruppo di Lie compatto. I gruppi SO(N ) e SU (N ) sono gruppi di Lie compatti. Uno spazio in cui un cammino chiuso arbitrario e` contrattibile in maniera continua ad un punto e` detto semplicemente connesso. Nota: Uno spazio in cui due punti arbitrari sono connessi da un cammino continuo, e` detto invece connesso per archi. Es. La sfera S 2 e` uno spazio semplicemente connesso, poich´e ovviamente ogni cammino chiuso su di esso pu`o essere modificato ad un punto in modo continuo; l’anello S 1 (l’insieme dei punti (x, y) che soddisfano x2 + y 2 = 1) non e` semplicemente conesso perch´e su di esso esistono cammini chiusi non contrattibili, ad es., (cos nθ, sin nθ), 0 ≤ θ ≤ 2π, con n = 1, 2, . . .); analogamente il toro (topologicamente S 1 × S 1 ) non e` semplicemente connesso, anche se e` connesso per archi. Infatti, ci sono infinite classi di cammini chiusi non banali su un toro (disegnateli), che sono non contrattibili. Ogni rappresentazione di un gruppo di Lie compatto e` equivalente ad una rappresentazione in termine di operatori unitari. Ogni elemento di un gruppo unitario che si possa ottenere dall’elemento unit`a con una variazione continua dei parametri pu`o essere scritto come U ({α}) = exp iαa Xa , (4.227) dove αa , a = 1, 2, . . . N sono parametri reali e Xa sono operatori Hermitiani. Xa sono generatori delle trasformazioni infinitesime, U ({ǫ}) ≃ 1 + iǫa Xa + O(ǫ2 ).
(4.228)
Es. Non tutti gli elementi di un gruppo continuo sono ottenibili tramite una variazione continua dei parametri. Per es., il gruppo O(N ) (gruppo ortogonale) contiene elementi con det O = −1 che non sono connessi all’elemento unit`a in maniera continua. Il gruppo SO(3) e` connesso per archi ma non e` semplicemente connesso (vedi dopo). I generatori Xa del gruppo G obbediscono alle relazioni di chiusura X [Xa , Xb ] = ifabc Xc , (4.229) c
dove [Xa , Xb ] ≡ Xa Xb − Xb Xa
(4.230)
sono commutatori tra due operatori Xa e Xb . Le relazioni (28) formano l’algebra del gruppo G, g. Le costanti fabc che caratterizzano le propriet`a attorno all’elemento unit`a del gruppo, sono costanti di struttura del gruppo. Momento angolare: L’algebra delle componenti del momento angolare tridimensionale e` l’algebra so(3), con generatori, J1 , J2 , J3 . Le costanti di struttura sono fabc = ǫabc in questo caso. L’algebra del gruppo SU (2) e quella del gruppo SO(3) sono le stesse: su(2) ∼ so(3). La struttura globale dei due gruppi e` tuttavia diversa, il gruppo SO(3) non e` semplicemente connesso mentre il gruppo SU (2) lo e` (vedi la nota successiva). Infatti, rotazioni tridimensionali possono essere parametrizzate in termini di tre angoli di Eulero, l’angolo α di una rotazione attorno all’asse z (0 ≤ α ≤ 2π) ; l’angolo β della rotazione attorno all’asse nuovo y (0 ≤ β ≤ π) ; e l’angolo γ della terza rotazione attorno all’asse z nuovo (0 ≤ γ ≤ 2π). L’elemento M1 = (α, β, γ) = (π, 0, π) coincide con l’identit`a come operazione di rotazione, per cui il cammino che connette l’unit`a e = (0, 0, 0) al punto M1 e` un cammino chiuso, ma non contrattile. Nota: Gli elementi del gruppo SU (2) possono essere parametrizzati come a b U= , (4.231) −b∗ a∗
4.3. GRUPPI E RAPPRESENTAZIONI: ELEMENTI DI TEORIA DEI GRUPPI
137
con |a|2 + |b|2 = 1.
(4.232)
(Verificate che le condizioni U U † = 1; e det U = 1 che definiscono un gruppo SU (N ) siano soddisfatte con le matrici suddette). Ponendo a = x1 + ix2 e b = x3 + ix4 , la (31) si riduce a (4.233) x21 + x22 + x23 + x24 = 1, che dimostra che il gruppo SU (2) e` topologicamente S 3 ed e` perci`o semplicemente connesso. Rappresentazione spinoriale: La funzione d’onda di particelle di spin semi-interi e` un esempio di rappresentazione proiettiva (24). Infatti, le componenti di spin della funzione d’onda si trasformano, per una rotazione tridimensionale degli assi delle coordinate, mediante la matrice di rotazione. Per spin 1/2 la matrice di rotazione e` data nella (175). Esse si trasformano, per una rotazione di angolo 2π come ψ → −ψ. (4.234) Queste rappresentazioni sono chiamate rappresentazioni spinoriali del gruppo SO(3).
138
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
4.4 Simmetrie in Meccanica Quantistica 4.4.1 Considerazioni generali Il concetto della simmetria e le conseguenti leggi di conservazione non sono propriet`a esclusive della Meccanica Quantistica. Basti ricordare il legame tra l’invarianza per traslazioni spaziali del sistema e la conservazione dell’impulso; quello tra l’omogeneit`a del tempo e la conservazione dell’energia, ecc., in Meccanica Classica. Tuttavia l’idea della simmetria porta le conseguenze pi`u profonde in Meccanica Quantistica. Supponiamo che in un sistema esista un operatore unitario S che commuta con l’Hamiltoniana: [S, H] = 0. (4.235) Ma poich´e S, essendo unitario, soddisfa la relazione SS † = S † S = 1,
(4.236)
S † HS = H :
(4.237)
la (4.233) e` equivalente con S e` una trasformazione unitaria che lascia invariante l’Hamiltoniana. Abbiamo gi`a visto alcuni esempi di tali operatori: ˆ S = eiJ·ω (4.238) che descrive una rotazione spaziale; S = eiˆp·r0 /~
(4.239)
che rappresenta una traslazione. Una delle possibili conseguenze di una simmetria e` la conservazione di una carica (numero quantico) associata. Supponiamo infatti che lo stato |ψi sia un autostato di una quantit`a dinamica (operatore Hermitiano) G, tale che S ≃ 1 − iǫG + . . . ,
(4.240)
i.e., G e` un generatore di S. Dalle (4.233) e (4.235) segue che [G, H] = 0.
(4.241)
G|ψ(0)i = g|ψ(0)i.
(4.242)
|ψ(t)i = e−iHt/~ |ψ(0)i,
(4.243)
G|ψ(t)i = Ge−iHt/~ |ψ(0)i = e−iHt/~ G|ψ(0)i = g|ψ(t)i.
(4.244)
Ora dall’ipotesi, Lo stato all’istante t > 0 e` dato da
per cui Il sistema dunque rimane autostato di G durante l’evoluzione, la “carica g e` conservata. La conservazione della carica elettrica nelle interazioni fondamentali e` dovuta a una tale ragione. L’operatore di carica elettrica Q agisce sugli stati di particelle elementari come Q|ei = −e|ei; Q|pi = +e|pi; (4.245) Q|ni = 0;
Q|π + i = +e|π + i,
(4.246)
ecc., dove i ket indicano gli stati di un singolo elettrone, del protone, del neutrone, e del pione +, rispettivamente. Q commuta con l’Hamiltoniana di tutte le forze conosciute oggi
4.4. SIMMETRIE IN MECCANICA QUANTISTICA
139
(le forze gravitazionali; le forze elettrodeboli; le interazioni forti): questo fatto garantisce che la carica totale del sistema sia conservata. Si noti che in Meccanica Quantistica nonrelativistica che si studia in questo corso la conservazione della carica elettrica e` una conseguenza della conservazione del numero della particella; vice versa, nell’ambito relativistico dove le particelle possono essere prodotte o distrutte la conservazione della carica elettrica presenta una regola di selezione non banale. Un’altra conseguenza della simmetria e` la degenerazione dei livelli. Si consideri uno stato stazionario H|ψn i = En |ψn i, (4.247)
e che esista un operatore Hermitiano G che commuta con H. Supponiamo per`o che lo stato |ψn i non sia un autostato di G: G|ψn i = 6 cost.|ψn i.
(4.248)
Ma dalla commutativit`a di G con H segue che H{G|ψn i} = GH|ψn i = En {G|ψn i}
(4.249)
il che implica una degenerazione dello stato stazionario. Un tipico esempio e` quello dovuto alla simmetria per rotazioni: se si prende {H, L2 , Lz } come osservabili (operatori simultaneamente diagonalizzati), la presenza di altri operatori Lx , Ly che commutano anche essi con H ma che non possono esere diagonali (non commutando con Lz ) implica che ogni livello e` degenere (tranne lo stato con L2 = 0.)
4.4.2 Parit`a (P) Ci sono le simmetrie continue (come rotazioni, traslazioni) in cui l’operazione di simmetria e` descritta da uno o pi`u parametri continui, e le simmetrie discrete che non hanno tali parametri. La part`a ne e` un esempio tipico. L’operazione di parit`a e` definito da Pψ(r) = ψ(−r)
(4.250)
PO(r, p)P −1 = O(−r, −p)
(4.251)
sugli stati, e da sugli operatori. Si tratta dunque di riflessione spaziale. Se H e` invariante per riflessione spaziale, PHP −1 = H (4.252)
(o equivalentemente, PH = HP,) allora la part`a e` conservata (i.e., P e` un operatore di simmetria). Visto che P commuta con l’Hamiltoniana, gli stati stazionari possono scelti autostati anche di P. Gli autovalori di parit`a sono limitati a ±1, perch´e ovviamente P 2 = 1.
(4.253)
Gli stati stazionari sono perci`o classificati secondo la parit`a: Pψ(r) = ψ(−r) = +ψ(r)
(4.254)
Pψ(r) = ψ(−r) = −ψ(r)
(4.255)
per gli stati di parit`a +; per gli stati di parit`a −. La parit`a e` un buon numero quantico quando il potenziale ha la simmetria sferica, V (r) = V (r), i.e., quando il momento angolare e` conservato. Infatti per gli stati di momento angolare definito, ψ(r) = R(r)Yℓ,m (θ, φ), si ha una semplice relazione, P = 1,
se ℓ = 2n, n = 0, 1, 2, . . . ;
(4.256)
140
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI P = −1,
se
ℓ = 2n + 1, n = 0, 1, 2, . . . .
(4.257)
Tale relazione tra la conservazione del momento angolare e quella della parit`a, tuttavia, non significa che quest’ultima e` una conseguenza del primo, in generale. Ci sono i casi in cui il potenziale e` invariante per riflessione spaziale, V (−r) = V (r),
(4.258)
perci`o la parit`a e` conservata, ma in cui il momento angolare non e` un buon numero quantico. Basti pensare un potenziale che dipende, per esempio, dalla combinazione, x2 + 2y 2 + 7z 2 . Come un altro esempio in cui l’indipendenza della parit`a rispetto al momento angolare si manifesta chiaramente, si consideri un sistema di due particelle, senza interazioni tra di loro, che si muovono in un campo (comune) a simmetria centrale. La funzione d’onda e` il prodotto di due funzioni d’onda, ciascuno un autostato di momento angolare orbitale, con ℓ1 , ℓ2 . Il momento angolare totale L potr`a prendere valori tra ℓ1 + ℓ2 , ℓ1 + ℓ2 − 1, . . . , |ℓ1 − ℓ2 |. Il sistema e` chiaramente un autostato di parit`a con l’autovalore, P = (−)ℓ1 +ℓ2 ,
(4.259)
e questo in generale non coincide con (−)L . La parit`a e` un concetto essenzialmente quantistica. La sua importanza in Meccanica Quantistica e` accentuata dal fatto che empiricamente alcune particelle elementari portano la parit`a intrinseca negativa, insieme all parit`a dovuta al moto orbitale. La situazine e` analoga allo spin (il momento angolare “intrinseco, non legato al moto orbitale). Per esempio, P|πi = −|πi;
P|Ki = −|Ki;
P|ni = +|ni;
P|pi = +|pi;
P|¯ pi = −|¯ pi;
(4.260) (4.261)
ecc., dove i ket rappresentano gli stati di alcune particelle elementari al riposo, quindi sprovvisti di momento angolare orbitale. Solo la parit`a totale (il prodotto di parit`a intrinseca e la parit`a del moto orbitale) e` conservata. Gli operatori di spin si trasformano per parit`a come quello del momento angolare, i.e., PsP −1 = s :
(4.262)
e` pari. Al contrario, l’operatori dell’impulso ovviamente e` dispari cos`ı come quello della posizione. In generale, gli operatori possono essere classificati secondo la loro parit`a, insieme al valore di spin: l’impulso, la posizione, il potenziale vettoriale, ecc., sono vettori; lo spin, il momento angolare orbitale sono vettori assiali. Le quantit`a scalari (invarianti per rotazioni per definizione) che cambiano segno per riflessione spaziale sono chiamate pseudoscalari. La parit`a, nonostante la sua definizione naturale, non e` una simmetria esatta della Natura, ma e` una simmetria approssimativa. Tra le interazioni fondamentali, le interazioi gravitazionali, le interazioni elettromagnetiche e le interazioni forti rispettano la parit`a, mentre le interazioni deboli (le interazioni responsabili al “decadimento beta dei nuclei) la violano. Nel linguaggio pi`u moderno, le interazione dovuto allo scambio di particelle W e Z non sono invarianti per parit`a.
4.4.3 Inversione del tempo (time reversal) Un altro esempio di una simmetria discreta e` l’inversione del tempo, T . In Meccanica Classica, l’equazione di Newton, m¨r = −∇V (4.263)
4.4. SIMMETRIE IN MECCANICA QUANTISTICA
141
e` invariante per l’inversione t → −t. Questo significa che se un moto da (r1 , t1 ) a (r2 , t2 ) e` possibile (i.e., e` una soluzione dell’equazione (4.261), lo e` anche un’altro moto da (r2 , −t2 ) a (r1 , −t1 ), attraverso l’identico cammino, ma tracciato nel senso opposto. In Meccanica Quantistica la dinamica e` descritta dall’equazione di Schr¨odinger, i~
∂ ψ(r, t) = Hψ(r, t). ∂t
(4.264)
Per esempio per una particella in tre dimensioni si ha H=−
~2 ∇2 + V (r) 2m
(4.265)
La trasformazione t → t′ = −t risulta un’equazione −i~
∂ ψ(r, −t′ ) = Hψ(r, −t′ ), ∂t′
(4.266)
diversa in generale dall’equazione di Schr¨odinger originale. Sembrerebbe che l’invarianza per l’inversione del tempo sia impossibile in Meccanica Quantistica. In verit`a, non c’`e motivo per ritenere che la funzione d’onda del moto invertito sia semplicemente ψ(r, −t). Infatti, prendendo il coniugato complesso dell’equazione sopra si trova ∂ i~ ′ ψ ∗ (r, −t′ ) = H ∗ ψ ∗ (r, t′ ) (4.267) ∂t che assomiglia pi`u all’eq.(4.262). L’equazione di Schr¨odinger sar`a ritrovata se esiste in operatore anti unitario O tale che OH ∗ O−1 = H.
(4.268)
Infatti in tal caso la funzione d’onda del moto invertito pu`o essere preso come ˜ t) = Oψ ∗ (r, −t) : ψ(r,
(4.269)
˜ t) soddisfa l’equazione di Schr¨odinger: e` un moto realizzabile e e` evidente allora che ψ(r, descrive il moto invertito. Un operatore O tale che per ogni vettori ψ, φ, hOφ|Oψi = hψ|φi
(4.270)
(vedi (4.267)), e` detto antiunitario. In contrasto, un operatore unitario U soddisfa ovviamente hU φ|U ψi = hφ|ψi, (4.271) come si vede dalla definizione, U U † = U † U = 1. E` chiaro che sia nel caso di una trasformazione unitaria che nel caso di una trasformazione antiunitaria le predizioni fisiche della teoria rimangono invariate. In questo contesto, esiste un teorema importante che riportiamo qui senza dimostrazione: (Teorema di Wigner) Ogni trasformazione di simmetria in Meccanica Quantistica e` realizzata tramite o una trasformazione unitaria o una trasformazione antiunitaria. Dalla discussione precedente traspare il fatto che anche l’invarianza per inversione del tempo, come nel caso della parit`a, e` una propriet`a di un dato tipo di interazione, piuttosto che un’assoluta legge di Natura. In Natura l’inversione del tempo (T) e` una buona simmetria approssimativa delle interazioni fondamentali. Le interazioni gravitazionali, le interazioni elettromagnetiche e le interazioni forti rispettano T, mentre una parte piccola delle interazioni deboli, dovuto allo scambio della particella W, lo viola.
142
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
Il mistero attorno alla simmetria T deriva dal fatto che nonostante che T sia conservato quasi esattamente nella fisica micoscopica, l’invarianza per T e` grossolanamente violata nel mondo macroscopico. Basti pensare alla seconda legge di termodinamica - dell’aumento dell’entropia - che implica una freccia preferita del tempo. Ora, e` mai possibile che la minuscola violazione della simmetria T nelle interazioni fondamentali (che e` certamente estranea per la stragrande maggioranza delle reazioni chimiche, elettromagnetiche e gravitazionali che sembrano dominare il mondo macroscopico) abbia a che fare con la seconda legge di termodinamica? L’espansione dell’universo in cui viviamo ha a che fare con essa?
4.5. SISTEMI IN TRE DIMENSIONI
143
4.5 Sistemi in Tre Dimensioni 4.5.1 Massa ridotta L’Hamiltoniana di un sistema di due particelle con masse m1 , m2 che interagiscono tramite il potenziale V (r) dove r = r1 − r2 (4.272) e` la posizione relativa, e` data da H=−
~2 ~2 ∆1 − ∆2 + V (r). 2m1 2m2
(4.273)
Cambiando le variabili r1 − r2 ; m1 r1 + m2 r2 m1 + m2
r = R si ha H =−
=
~2 ~2 ∆R − ∆r + V (r), 2(m1 + m2 ) 2µ
dove µ≡
m1 m2 m1 + m2
(4.274)
(4.275)
(4.276)
e` la massa ridotta. Separando le variabili ψ = Φ(R)ψ(r),
(4.277)
troviamo l’equazione per la funzione d’onda del moto relativo i~
~2 ∂ ψ = H (rel) ψ = {− ∆r + V (r)} ∂t 2µ
(4.278)
che e` l’equazione di Schr¨odinger per una singola particella che si muove nel potenziale V (r). Il problema di due corpi e` dunque ridotto a quello di un corpo.
4.5.2 Moto in campo a simmetria centrale Se il potenziale dipende solo dal modulo della posizione r ≡ |r| l’equazione di Schr¨odinger indipendente dal tempo ~2 2 ∇ + V (r))ψ(r) = Eψ(r). 2m
(4.279)
ψ(r) = R(r) Φ(θ, φ).
(4.280)
Hψ = (− pu`o essere risolta ponendo
La soluzione della parte angolare dell’equazione si esprimono in termini di funzioni armoniche sferiche Φ(θ, φ) = Yℓ,m (θ, φ); (4.281) l’equazione radiale e` data da [
ℓ(ℓ + 1) 2m 1 d 2 d ] R(r) = 0. (r ) + 2 (E − V (r)) − r2 dr dr ~ r2
Ponendo R(r) =
χ(r) r
(Def. χ),
(4.282)
(4.283)
144
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
l’equazione radiale diventa d2 χ 2m ℓ(ℓ + 1) + { 2 (E − V (r)) − }χ = 0, dr2 ~ r2
(4.284)
ma questa ha esattamente la forma dell’equazione di Schr¨odinger in una dimensione, con il potenziale “efficace, ℓ(ℓ + 1) ~2 Vef f (r) = V (r) + . (4.285) 2 m r2 Il secondo termine sopra ha un significato fisico evidente: e` l’energia associata alle forze centrifughe (si noti che classicamente F ∼ mrθ˙2 ∼ (r × p)2 /mr3 per un moto circolare). La condizione di normalizzazione e` Z ∞ Z ∞ dr r2 |R|2 = dr|χ|2 = 1, (4.286) 0
0
mentre la condizione di regolarit`a della funzione d’onda a r = 0 implica χ(0) = 0.
(4.287)
Il problema e` perci`o equivalente a quello di una particella che si muove in una semiretta 0 ≤ r < ∞, sottoposta al potenziale V = Vef f (r), r > 0; V (0) = ∞. Un noto teorema (vedi Sec.0.1.2) sull’assenza della degenerazione dei livelli discreti nei sistemi unidimensionali, vale anche per una particella che si muove in una semiretta: risulta che la funzione d’onda radiale e` univocamente determinata da un numero quantico n - chiamato il numero quantico principale - che numera gli autovalori dell’energia. Segue che uno stato stazionario in un campo a simmetria centrale e` univocamente specificato da tre numeri quantici (n, ℓ, m) corrispondenti agli osservabili massimali (E, L2 , Lz ). Per ragioni storiche gli stati stazionari con vari valori di ℓ sono denominati come onda S, P, D, F, G, H, I, K, . . . , rispettivamente per ℓ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . .
4.5.3 Onde sferiche Consideriamo prima di tutto il caso di una paticella libera (V = 0). L’equazione di Schr¨odinger in questo caso e` banalmente solubile nella base in cui l’impulso e` diagonale (le onde piane); tuttavia le soluzioni di questo problema nella base in cui il momento angolare e` ben definito, sono essenziali nello studio dei processi di diffusioni. Inoltre queste soluzioni forniscono il punto di partenza per analizzare i problemi di stati legati in potenziali a simmetria centrale. L’equazione da risolvere e` [ dove k 2 =
2m ~2 E,
ℓ(ℓ + 1) 1 d 2 d ] Rk,l (r) = 0, (r ) + k2 − r2 dr dr r2
(4.288)
o
′′ ℓ(ℓ + 1) 2 ′ )R = 0 R + R + (k 2 − r r2 Per ℓ = 0, la (17) si semplifica: ′′ 2 ′ R + R + k2 R = 0 r
(4.289)
(4.290)
oppure ′′
(rR) + k 2 (rR) = 0.
(4.291)
La soluzione regolare a r = 0 e` R=A
sin kr ; r
(4.292)
4.5. SISTEMI IN TRE DIMENSIONI
145
quella singolare e` cos kr . r La costante A di normalizzazione pu`o essere fissata dalla condizione Z ∞ dr r2 Rk′ ,ℓ Rk,ℓ = 2πδ(k ′ − k). R = A′
(4.293)
(4.294)
0
L’integrale e` fatta senza difficolt`a: Z ∞ A2 dr sin kr sin k ′ x 0
= −
A2 4 2
=
Z
∞
−∞
′
′
dr eikr (eik r − e−ik r )
πA δ(k − k ′ ), 2
(4.295)
da cui A = 2. La soluzione per ℓ 6= 0 si ottiene con la seguente considerazione. Se si pone Rℓ = rℓ ηℓ , l’equazione per ηℓ e` ′′ 2(ℓ + 1) ′ ηℓ + ηℓ + k 2 ηℓ = 0. (4.296) r Ora derivando questa equazione rispetto a r, si ha ′′′
ηℓ +
2(ℓ + 1) ′′ 2(ℓ + 1) ′ )ηℓ = 0. ηℓ + (k 2 − r r2
(4.297)
′
Ma con la sostituzione ηℓ = rζℓ essa diviene ′′
ζℓ +
2(ℓ + 2) ′ ζℓ + k 2 ζℓ = 0 : r
(4.298)
equazione soddisfatta da ηℓ+1 . Ci`o significa ζℓ = ηℓ+1 , cio`e ′
ηℓ = r ηℓ+1 :
(4.299)
abbiamo quindi una relazione ricorsiva. A partire da χ0 = R0 si pu`o determinare tutte le funzioni radiali. Le soluzioni regolari (che corrispondono a onde sferiche libere) sono Rℓ = Nℓ rℓ (
1 d ℓ sin kr ) . r dr r
(4.300)
1 d ℓ cos kr ) . r dr r
(4.301)
Analogamente per le soluzioni singolari, Qℓ = Nℓ r ℓ (
La costante di normalizzazione pu`o essere fissata considerando il loro andamento asintotico, con il risultato, Nℓ = (−)ℓ 2/k ℓ (vedi Laudau-Lifshitz). Per studiare il comportamento vicino a r = 0 di Rℓ conviene introdurre la variabile ξ ≡ r2 : infatti, (
1 d ℓ sin kr ) r dr r
∞ d ℓ X (−)n ) k 2n+1 ξ n dξ n=0 (2n + 1)!
=
(2
=
k 2ℓ+1 (−)ℓ + O(r2 ), (2ℓ + 1)!!
(4.302)
dove (2ℓ + 1)!! ≡ (2ℓ + 1)(2ℓ − 1)(2ℓ − 3) . . . 5 · 3 · 1, per cui Rℓ ≃
2 k ℓ+1 rℓ {1 + O(r2 )}. (2ℓ + 1)!!
(4.303)
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
146
Le onde sferiche libere si possono esprimere in termini di funzioni di Bessel sferiche jℓ , nℓ , che a sua volta sono funzioni di Bessel con ordini semi-interi: r 2πk J (kr) = 2k jℓ (kr), (4.304) Rk,ℓ (r) = r ℓ+1/2 r 2πk Qk,ℓ (r) = Nℓ+1/2 (kr) = 2k nℓ (kr). (4.305) r Jν (z), Nν (z) sono le due soluzioni indipendenti dell’equazione di Bessel, 1 ν2 d2 Z + )Zν = 0, Z + (1 − ν ν dz 2 z z2
(4.306)
di cui Jν (z) e` quella regolare a z = 0. (Vedi per es. Gradshteyn-Ryzhik) E` facile verificare che nel caso di ordine semi-intero, l’equazione di Bessel si riduce alla (18) (con z = kr). Le funzioni di Bessel di ordine semi-intero - funzioni di Bessel sferiche - sono funzioni elementari: jℓ (x) = (−)ℓ xℓ (
1 d ℓ sin x ) ; x dx x
nℓ (x) = −(−)ℓ xℓ (
1 d ℓ cos x ) . x dx x
(4.307)
Le prime funzioni di Bessel sferiche sono: j0 (x)
=
j1 (x)
=
j2 (x)
=
cos x sin x ; n0 (x) = − ; x x sin x cos x cos x sin x − ; n1 (x) = − 2 − ; x2 x x x 1 3 1 3 cos x 3 sin x 3 ; n2 (x) = −( 3 − ) cos x − (4.308) ; ( 3 − ) sin x − 2 x x x x x x2
ecc. L’andamento vicino a x = 0 di queste funzioni e` jℓ (x) ∼
xℓ ; (2ℓ + 1)!!
nℓ (x) ∼
(2ℓ − 1)!! , xℓ+1
(4.309)
mentre il comportamento asintotico (a x → ∞) e` jℓ (x) ∼
(ℓ + 1)π 1 cos (x − ); x 2
nℓ (x) ∼
1 (ℓ + 1)π sin (x − ). x 2
(4.310)
A volte e` conveniente introdurre le funzioni di Hankel sferiche, definite come (1)
hℓ (x) ≡ jℓ (x) + i nℓ (x);
(2)
hℓ (x) ≡ jℓ (x) − i nℓ (x) :
(4.311)
1 −i (x− (ℓ+1)π ) 2 . e x
(4.312)
il loro comportamento asintotico e` allora (1)
hℓ (x) ∼
1 i (x− (ℓ+1)π ) 2 ; e x
(2)
hℓ (x) ∼
(Si noti - a parte il fattore 1/x - che le funzioni di Hankel sferiche sono analoghe rispetto a j, n, alle funzioni esponenziali rispetto alle funzioni sin, cos. ) Le funzioni radiali corrispondenti , (1)
(1)
Rk,ℓ = 2k hℓ (kr);
(2)
(2)
Rk,ℓ = 2k hℓ (kr)
(4.313)
hanno l’andamento asintotico (1)
Rk,ℓ ∼
1 i (kr− (ℓ+1)π ) 2 e ; kr
(2)
Rk,ℓ ∼
1 −i (kr− (ℓ+1)π ) 2 e : kr
(4.314)
4.5. SISTEMI IN TRE DIMENSIONI
147
sono onde sferiche che si espandono (R(1) ) o si contraggono (R(2) ). Sia le onde piane (le soluzioni dell’equazione di Schr¨odinger libera nella base d’impulso) che le onde sferiche (col momento angolare ben definito) formano un insieme completo delle funzioni: le une possono essere sviluppate in termini delle altre. Per esempio, un’onda piana ha uno sviluppo e
ikz
=e
ikr cos θ
=
∞ X
(2ℓ + 1)iℓ jℓ (kr)Pℓ (cos θ).
(4.315)
ℓ=0
Questa formula pu`o essere verificata paragonando il coefficiente di (r cos θ)n nei due membri.
4.5.4 Stati legati in una buca di potenziale tridimensionale Il potenziale descritto da V (r) =
(
−V0 0
ser < a; ser > a
(4.316)
rappresenta un modello rudimentale di un nucleo atomico: la forza nucleare ha un raggio finito e ben definito. Si paragoni questa situazione con i sistemi atomici legati dalla forza Colombiana, cha ha il raggio d’azione infinita, che sar`a studiata nella sottosezione successiva. Per calcolare i livelli discreti consideriamo l’equazione di Schr¨odinger radiale ′′ ℓ(ℓ + 1) 2 ′ )R = 0, R + R + (k 2 − r r2
r > a;
(4.317)
r < a;
(4.318)
dove k 2 = 2mE/~2 < 0 (k immaginario), e ′′ 2 ′ ℓ(ℓ + 1) R + R + (k ′2 − )R = 0, r r2
dove k ′2 = 2m(E + V0 )/~2 > 0 (k ′ reale), per valori dell’energia −V0 < E < 0, Essa ha la forma dell’equazione di Schr¨odinger libera in ambedue i casi: la soluzione generale e` data da una combinazione lineare di funzioni di Bessel sferiche jℓ e nℓ , o equivalentemente, (1) (2) di hℓ e hℓ . Per la soluzione interna (r < a) la condizione di regolarit`a della funzione d’onda a r = 0 univocamente seleziona la soluzione (int)
Rℓ
= A jℓ (k ′ r)
(4.319)
(A e` una costante). D’altra parte, la soluzione esterna deve essere tale da garantire la normalizzabilit` √a della funzione d’onda. Dalle formule asintotiche (39), (41), si apprende che per k = i −2mE/~ ≡ iκ (κ > 0) e per r → ∞, (2)
jℓ , nℓ , hℓ
∼
1 +κr e ; r
(1)
hℓ
∼
1 −κr e , r
(4.320)
(1)
perci`o soltanto hℓ (iκr) e` compatibile con la normalizzabilit`a. Si ha allora (est)
Rℓ
(1)
= B hℓ (iκr).
(4.321)
La soluzione interna (48) e quella esterna (50) devono essere connesse di modo che la funzione d’onda e la sua derivata prima siano continue a r = a. Segue la condizione (1)′
iκhℓ
(1)
(iκa)
hℓ (iκa)
′
=
k ′ jℓ (k ′ a) , jℓ (k ′ a)
(4.322)
148
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI 8 7 6 5 4 3 2 1
4
2
6
8
10
Figura 4.1: Soluzione grafica della buca tridimensionale
che determina gli autovalori dell’energia. −κr ′ (1) Per esempio, per ℓ = 0 abbiamo j0 (k ′ r) = sink′kr r ; h0 (iκr) = − e κr , e la condizione sopra si riduce, col cambiamento di variabili, ξ ≡ k ′ a; η ≡ κa, a ξ cot ξ = −η.
(4.323)
Le variabili ξ e η non sono indipendenti ma sono legati da ξ 2 + η 2 = 2mV0 a2 /~2 .
(4.324)
Questo sistema di equazioni e` lo stesso di quello (cf. (65)) incontrato nel caso della buca di potenziale uni-dimensionale. Per essere pi`u precisi, qui troviamo un tipo solo di soluzioni (nel caso unidimensionale, ci sono due tipi di soluzioni). Dai grafici che rappresentano le curve (52) e (53) nel quadrante ξ > 0; η > 0 si vede allora che (Fig. 1): p (1) per 2mV0 a2 /~2 ≤ π/2, nessuna soluzione e` possibile: non ci sono i stati legati; p (2) per π/2 < 2mV0 a2 /~2 ≤ 3π/2 c’`e una sola soluzione (un solo stato legato); p (3) per 3π/2 < 2mV0 a2 /~2 ≤ 5π/2 esistono due livelli discreti, etc.
A differenza col caso p uni-dimensionale, perci`o, esiste un valore minimo dei parametri (corrispondenti a 2mV0 a2 /~2 = π/2) al di sotto del quale la buca non confina la particella. Qualitativamente, tale differenza pu`o essere attribuita al fatto che una particella confinata in una regione finita (∆xi ≤ a) deve avere una minima indeterminazione in ciascun componente dell’impulso (∆pi ≥ ~/a). Il contributo all’energia cinetica di tale fluttuazione quantistica minima e` pi`u grande, pi`u grande e` la dimensione spaziale del sistema. Esercizio: Determinare numericamente, con l’uso del programma Mathematica (Maple, etc.), tutti i livelli energetici discreti (stati legati) della buca di potenziale tridimensionale con i seguenti parametri, determinando il momento angolare orbitale ℓ di ciascuno: m = 940 MeV/c2 ;
a = 3 fm;
V = 300 MeV.
(4.325)
4.5.5 Atomo di idrogeno L’atomo di idrogeno - uno stato legato di un elettrone ed un protone - formato dal potenziale Coulombiano ~2 2 e 2 ∇ − (4.326) H=− 2m r
4.5. SISTEMI IN TRE DIMENSIONI
149
e` il pi`u semplice di tutti i sistemi atomici. La massa ridotta m in questo caso e` uguale a m = me mP /(me + mP ) ≃ 0.995 me e pu`o essere considerato uguale alla massa dell’elettrone, vista l’approssimazione (non-relativistica) implicita nella formula (vedi dopo). L’equazione radiale e` 2 d 2m e2 ℓ(ℓ + 1) d2 R+ R + 2 (E + )R = 0. R− 2 2 dr r dr r ~ r
(4.327)
Il potenziale “efficace” radiale Vef f (r) = −
e2 ℓ(ℓ + 1)~2 + r 2mr2
(4.328)
tende a zero a r → ∞. Stati legati sono possibili solo per i valori negativi dell’energia. Per semplificare la scrittura, conviene fare alcune sostituzioni: porremo me2 = [cm−1 ] ≡ 1. ~2
mE E˜ ≡ 2 = [cm−2 ]; ~ Non e` difficile recuperare la costante razione dimensionale. L’equazione
me2 ~2
(4.329)
alla fine dell’analisi, con una semplice conside-
2 d ℓ(ℓ + 1) d2 ˜ + 1 )R = 0, R+ R + 2(E R− 2 2 dr r dr r r
(4.330)
sar`a ulteriormente semplificata con il cambio della variabile ρ≡
2r ; λ
(59) ora prende forma
1 . λ≡ p ˜ −2E
2 1 λ ℓ(ℓ + 1) R′′ + R′ + [− + − ]R = 0, ρ 4 ρ ρ2
(4.331)
(4.332)
dove R′ ≡ (d/dρ)R. A piccoli ρ il termine centrifugo domina nella parentesi quadrata, e d`a il comportamento Rℓ ∼ ρℓ ,
(4.333)
mentre a grande ρ l’equazione si riduce a R′′ − (1/4)R ≃ 0 implicando 1
Rℓ ∼ e± 2 ρ .
(4.334) 1
Ovviamente dobbiamo scegliere la soluzione con e− 2 ρ per assicurare la normalizabilit`a. Poniamo ora 1 R ≡ ρℓ e− 2 ρ wℓ , (Def. wℓ ). (4.335) L’equazione per wℓ e` ′′
′
ρw + (2ℓ + 2 − ρ)w + (λ − ℓ − 1)w = 0;
(4.336)
si vuole trovarne la soluzione tale che w(0) = cost.(6= 0); w(ρ) < ρA , ρ → ∞. Risolviamo la (65) col metodo di sviluppo in serie di potenze. Sostituendo w(ρ) =
∞ X
k=0
ak ρk ,
a0 6= 0
(4.337)
nella (65) si trovano: (2ℓ + 2)a1 + (λ − ℓ − 1)a0 = 0;
(4.338)
150
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI 2a2 − a1 + 2(2ℓ + 2)a2 + (λ − ℓ − 1)a1 = 0; ......
(4.339) (4.340)
(k + 1)kak+1 − kak + (k + 1)(2ℓ + 2)ak+1 + (λ − ℓ − 1)ak = 0;
(4.341)
etc. Per k ≥ 1 si ha dunque una relazione ricorsiva
(k + 1)(2ℓ + 2 + k)ak+1 + (λ − ℓ − k − 1)ak = 0.
(4.342)
Se la serie (66) termina, w e` un polinomio. Altrimenti, e` una serie infinita; nel secondo caso, l’andamento asintotico di w e` determinato dai termini con k grandi. Ma per k grandi vale una relazione approssimativa ak+1 =
ak ak−1 1 = = . . . = cost. , k k(k − 1) k!
(4.343)
perci`o w(ρ) ∼ eρ ,
ρ → ∞.
(4.344) ℓ − 12 ρ
wℓ : Tale comportamento e` incompatibile con la richiesta della normalizabilit`a di R ≡ ρ e la serie (66) deve terminare. Dalla relazione ricorsiva si apprende che la serie di w termina se il parametro λ e` tale che λ−ℓ−k−1= 0 (4.345) per qualche intero nonnegativo k. Visto che anche ℓ (momento angolare) e` un numero naturale, segue che λ = n (n = 1, 2, 3, . . .). (4.346)
Ricordando le (60) e (58) questo risultato significa la condizione di quantizzazione dell’energia ~2 . (4.347) En = − 2 m n2 Il secondo membro (con la dimensione apparente [gr · cm4 · sec−2 ]) non ha la dimensione giusta di un’energia, ma questo e` dovuto all’unit`a peculiare adottata (la seconda relazione della (58)): ricuperando la dimensione mancante [cm−2 ] tramite il quadrato di “1′′ = me2 /~2 , si ottiene En = −
me4 e2 , = 2~2 n2 2 n2 rB
rB =
~2 m e2
(n = 1, 2, 3, . . .),
(4.348)
la famosa formula di Bohr. Ad ogni dato valore di n (> 0) il numero quantico ℓ prende i valori ℓ = 0, 1, 2, . . . n − 1
(4.349)
(vedi (74)). Visto che l’energia non dipende dal valore del momento angolare ℓ e visto che ad ogni valore di ℓ ci sono 2ℓ + 1 possibili valori di m, risulta che l’n-simo livello e` n−1 X
(2ℓ + 1) = n2
(4.350)
ℓ=0
volte degenere. Tale degenerazione e` specifica del caso Coulombiano. La soluzione sopra pu`o essere usata per costruire anche la funzione d’onda associata ad ogni autovalore. Anche in questo caso, come per l’oscillatore armonico, il metodo di funzione generatrice e` molto efficace. L’equazione soddisfatta da w(ρ) per λ = n ′′
′
ρw + (2ℓ + 2 − ρ)w + (n − ℓ − 1)w = 0
(4.351)
4.5. SISTEMI IN TRE DIMENSIONI
151
ha una nota soluzione regolare che e` il polinomio associato di Laguerre wn,ℓ = L2ℓ+1 n+ℓ (ρ).
(4.352)
I polinomi di Laguerre sono generati dalla funzione generatrice U (ρ, s) =
∞
X Lk (ρ) e−ρs/(1−s) = sk , 1−s k!
(4.353)
k=0
(s < 1). Come nel caso di polinomi di Legendre o di Hermite, procediamo considerando delle derivate rispetto alla variabile e al parametro s. La derivata d/dρ d`a luogo ad una relazione ′ ′ Lk − kLk−1 = −kLk−1 ; (4.354) mentre l’operazione d/ds sulla funzione generatrice risulta Lk+1 = (2k + 1 − ρ)Lk − k 2 Lk−1 .
(4.355)
L’equazione che contiene solo Lk e le sue derivate si trova da queste due relazioni ricorsiva: ′
′′
ρLk + (1 − ρ)Lk + kLk = 0.
(4.356)
Questa assomiglia all’eq.(80) ma non ha esattamente la forma giusta. Se inroduciamo invece i polinomi associati di Laguerre, Lpk (ρ) ≡
dp Lk (ρ), dρp
(4.357)
l’equazione soddisfatta da essi ′′
′
ρLpk + (p + 1 − ρ)Lpk + (k − p)Lpk = 0
(4.358)
coincide con la (80) se si identificano p = 2ℓ + 1,
k =n+ℓ:
(4.359)
ci`o significa la (81). I polinomi associati di Laguerre sono generati da ∞
X Lp (ρ) (−)p e−ρs/(1−s) k = sk . Up (ρ, s) = (1 − s)p+1 k!
(4.360)
k=0
In conclusione la funzione d’onda radiale e` Rn,ℓ = ρℓ e−ρ/2 w(ρ) = Cn,ℓ ρℓ e−ρ/2 L2ℓ+1 n+ℓ (ρ), ρ≡
2r me2 2r 2r ; = 2 = n ~ n n rB
rB ≡
~2 m e2
(4.361) (4.362)
rB ≃ 5.291 · 10−9 cm, che determina l’estensione della funzione d’onda dell’orbita fondamentale di Bohr, e` noto come raggio di Bohr. La costante di normalizzazione e` data da s Cn,ℓ = −
2 −3/2 r n2 B
(n − ℓ − 1)! . {(n + ℓ)!}3
(4.363)
152
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
Le prime funzioni d’onda possono essere calcolate senza difficolt`a dalla (89). Le funzioni radiali dei livelli (n = 1, ℓ = 0) (stato fondamentale) e (n = 2, ℓ = 0, 1) (il primo livello di eccitazione) sono: R1,0 (r)
=
R2,0 (r)
=
R2,1 (r)
=
−3/2
2 rB e−r/rB ; r 1 −3/2 √ rB (2 − ) e−r/2rB ; rB 2 2 1 −3/2 r −r/2rB √ rB . e rB 2 6
(4.364)
Infine, la funzione d’onda completa dello stato (n, ℓ, m) e` ψ(n,ℓ,m) = Rn,ℓ (r) Yℓ,m (θ, φ).
(4.365)
Per convenienza riportiamo qui le prime armoniche sferiche (84): Y0,0
=
Y1,0
=
Y2,0
=
Y2,±1
=
Y2,±2
=
1 √ , 4π r r 3 3 cos θ, Y1,±1 = ∓i sin θ e±iφ , i 4π 8π r 5 (1 − 3 cos2 θ), 16π r 15 cos θ sin θ e±iφ , ± 8π r 15 − sin2 θ e±2iφ . 32π
(4.366)
Con Programma Mathematica, le funzioni radiali Rn,L (r) si ottengono scrivendo un input: s L 2r 2 (n − L − 1)! 2 r e−r/n LaguerreL [n − L − 1, 2 L + 1, R[r− , n− , L− ] := 2 ] n (n + L)2 n n Osservazioni (i) La meccanica quantistica riproduce esattamente i livelli d’energia ottenuti da Bohr con l’uso del principio di corrispondenza (e che sono in accordo con le linee spettrali osservate.) Tuttavia, la degenerazione di stati stazionari (78) e i valori dei momenti angolari orbitali di n-simo livello, (79), non si possono ottenere dalle considerazioni ibride e euristiche di Bohr. (ii) L’estensione spaziale della funzione d’onda dello stato fondamentale r ≃ rB ≃ 5.291· 10−9 cm determina la grandezza dell’atomo d’idrogeno. (iii) Le formule (per l’energia e per la funzione d’onda) ottenute qui sono valide per tutti gli ioni composti di un elettrone e un nucelo di carica elettrica Z|e|, dopo la sostituzione e2 → Ze2 . p (iv) Il valor medio dell’impulso, hp2 i (calcolabile esplicitamente con la funzione d’onda data sopra, o con la relazione di Heisenberg con l’input ∆x ∼ rB ), e` dell’ordine di me2 /~. La “velocit`a media e` allora v ∼ p/m ≃ e2 /~ = αc ≃ c/137 ≪ c,
(4.367)
dove α ≡ e2 /~c ≃ 1/137 e` la costante di struttura fine. Il moto dell’elettone e` quindi non relativistico, e questo giustifica a posteriori l’approssimazione nell’Hamiltoniana (55). Allo stesso tempo si dovr`a aspettare in generale delle correzioni relativistiche dell’ordine di un per cento.
4.6. PROBLEMI
153
(v) L’energia di ionizzazione e` uguale all’energia richiesta per liberare l’elettrone dal legame atomico, ed e` uguale a
4.6
e2 ∼ 14 eV, 2 rB
(4.368)
hψ|J32 |ψi ≤ hψ|J2 |ψi
(4.369)
Problemi
(1) Si dimostri la disuguaglianza
per qualsiasi stato |ψi. Si dimostri che un autovalore m di J3 soddisfa m2 ≤ j(j+1). (2) Un sistema di spin 1/2 sottoposto ad un campo magnetico esterno uniforme si trova all’istante iniziale nello stato di spin “up (i.e., autostato di sz ). Sia H = −µ · B = −λσx
(4.370)
l’Hamiltoniana del sistema. Si calcoli la probabilit`a che il sistema si trovi all’istante t successivo nello stato di spin “up o nello stato di spin “down. (3) Costruire le tre matrici che rappresentano le componenti dell’operatore di spin nel caso di S = 1. (4) Una particella di spin 1 e` nell’autostato di Sn , Sn |ψi = |ψi, dove Sn ≡ S · n e` la proiezione (componente) dell’operatore di spin nella direzione n. Supponiamo che il versore n sia dato da n = (sin θ, 0, cos θ). All’istante t = 0 si accende un campo magnetico uniforme e costante, H = (0, 0, B). L’interazione e` descritta dall’Hamiltoniana, H = −µS · H (a) Calcolare la funzione d’onda all’istante t = 0. (b) Calcolare l’operatore di evoluzione U = e−iHt/~ . (c) Determinare la probabilit`a P (t) che una misura di Sx fatta all’istante t (per es., con un apparato di tipo Stern-Gerlach) dia il risultato, 1, come funzione di t. (5) Un sistema di due particelle (ambedue di spin 1/2 e` descritto dall’Hamiltoniana, H = −σx (1) − σx (2) + λσz (1)σz (2), dove σx (1) e` la matrice di Pauli σx per la particella 1, ecc. Calcolare i livelli energetici e le funzioni d’onda.
154
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
(6) Una particella classica con carica elettrica e si muove in un campo magnetico prodotto da un monopolo magnetico, B = gr/r3 , dove g e` la carica magnetica. L’equazione del moto (classico) e` e m¨r = r˙ × B. c Si dimostri che il “momento angolare r × m˙r non e` conservato, e che il momento angolare modificato r L = r × m˙r − eg r e` invece conservato. In meccanica quantistica le componenti del momento angolare sono quantizzate. Dalla considerazione della componente radiale del suddetto momento angolare modificato, si ottiene la famosa condizione di quantizzazione di Dirac, eg n = ~, n = 0, 1, 2, . . . . (4.371) c 2 La carica elettrica e` quantizzata, se supponiamo che da qualche parte dell’universo esiste un monopolo magnetico! (7) Il sistema composto di un elettrone e di un positrone (ambedue di spin 1/2) e` in un campo magnetico uniforme. L’Hamiltoniana (pi`u precisamente la parte dipendente dallo spin: ci interesseremo solo di questa) e` data da H = A s1 · s2 + B (s1z − s2z ), dove A e B sono costanti. (i) Determinare gli autovalori e gli autostati dell’energia nel caso B = 0, A 6= 0.
(ii) Determinare gli autovalori e gli autostati dell’energia nel caso A = 0, B 6= 0.
(iii) Calcolare gli autovalori dell’energia nel caso generale, A 6= 0; B 6= 0, e discutere i due limiti (A ≫ B; B ≫ A.)
(8) Si consideri una particella di spin 1/2 che si muove in una dimensione, con l’Hamiltoniana, 1 dW (x) H = (p2 + W (x)2 + ~σ3 ), (4.372) 2 dx dove p = −i~(d/dx); W (x) e` una funzione reale, e σ3 e` una delle matrici di Pauli. Supponiamo che |W | → ∞ (4.373) per x → ±∞, di modo che lo spettro e` puramente discreto.
(i) Per W (x) = ω x, dove ω e` una costante reale positiva, si trovi lo spettro, i.e., i livelli energetici e la loro degenerazione. (ii) Per generico W (x) si dimostrino le seguente identit`a: Q21 = Q22 = H, dove
1 Q1 ≡ √ (σ1 p + σ2 W (x)) ; 2 1 Q2 ≡ √ (σ2 p − σ1 W (x)) . 2
(4.374)
(4.375) (4.376)
(iii) Si calcolino i seguenti commutatori e “anticommutatori”, {Q1 , Q2 } ≡ Q1 Q2 + Q2 Q1 ; [Q1 , H]; [Q2 , H]; [σ3 , H]; [σ3 , Q1 ]; [σ3 , Q2 ]; {σ3 , Q1 }; {σ3 , Q2 }. (4.377)
4.6. PROBLEMI
155
(iv) Dimostrare che per uno stato qualsiasi hψ|H|ψi ≥ 0.
(4.378)
Si dimostri dunque che per l’energia dello stato fondamentale vale: E0 ≥ 0.
(4.379)
(v) Si dimostri che la condizione necessaria e sufficiente per E0 = 0 e` che esista una soluzione normalizzabile di p ψ0 (x) = −iW (x) σ3 ψ0 (x).
(4.380)
Di conseguenza, si dimostri che per W (x) di Fig.2 A esiste uno stato fondamentale con E0 = 0 mentre per W (x) di Fig.2 B non esiste alcuno. (vi) Dimostrare che tutti gli stati con E 6= 0 sono doppiamente degeneri, mentre lo stato con E = 0 (se esiste) e` singolo. Nota: Q1 , Q2 sono esempi di operatori di supersimmetria. Questo sistema (meccanica quantistica supersimmetrica in una dimensione - Witten (1981)) illustra bene l’uso e la potenza di una simmetria. W(x)
W(x)
A
B
Figura 4.2: W(x) (9) Un deutone e` composto da un protone e un neutrone. Si supponga che il potenziale tra i due nucleoni sia approssimato con una buca tridimensionale, ( −V0 ser < a; Vnucl (r) = (4.381) 0 ser > a dove r = r1 − r2 , r1 e r2 , sono le posizioni del protone e del neutrone. i) Supponendo che la massa ridotta dei due nucleoni µ = mN /2, il raggio delle forze nucleari, a, e la profondit`a del potenziale V0 , siano tali che p π 2µV0 a2 /~2 = + ǫ, ǫ ≪ 1, (4.382) 2 si trovi l’energia (all’ordine O(ǫ2 ) ) dello stato fondamentale (ℓ = 0) del deutone.
ii) Prendendo per valori del raggio del deutone e della massa del nucleone, a ≃ 2.0 fm,
mN ≃ 1.7 · 10−24 gr ≃ 940 MeV/c2
(4.383)
e usando il valore empirico dell’energia di legame del deutone 2.3 MeV, si determini V0 . (1 MeV ≃ 1.6 · 10−6 erg.)
156
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI Attenzione: per trovare E all’ordine O(ǫ2 ) e` sufficiente determinare η al primo ordine in ǫ, dalle equazioni √ soddisfatte da ξ e da η, dove ξ ≡ k ′ a; η ≡ κa, k ′2 = 2µ(E + V0 )/~2 > 0, κ = −2µE/~ > 0.
(10) Si consideri un atomo di idrogeno con un termine perturbativo, H ′ = V (r) s · p + s · p V (r)
(4.384)
dove s e` l’operatore di spin dell’elettrone, s = 12 σ ; p l’impulso, V (r) e` un potenziale a simmetria centrale. i) Spiegare perch´e H ′ non pu`o essere semplicemente scritto come 2 V (r) s · p;
ii) Dire quali degli operatori tra P (parit`a), L (momento angolare orbitale), J = L + s (momento angolare totale), J2 , e L2 , sono conservati; iii) Elencare, senza calcoli espliciti, gli stati non perturbati | n, ℓ, m; sz i per i quali l’elemento di matrice ′ 1 C(n, ℓ, m; sz ) = hn, ℓ, m; sz |H |1, 0, 0; i 2
(4.385)
e` non nullo, dove con (n, ℓ, m; sz ) sono indicati il numero quantico principale, il momento angolare orbitale, il numero quantico azimutale, e la componente z di spin dell’elettrone. Determinare i rapporti tra gli elementi non nulli per lo stesso valore di n, i.e., C(n, ℓ, m; sz ) . (4.386) C(n, ℓ′ , m′ ; s′z ) iv) Calcolare esplicitamente gli elementi di matrice C(n, ℓ, m; sz ) del punto (iii) per n = 2 e per la scelta del potenziale V (r) = g δ 3 (r), e verificare il risultato generale (114),
4.7. PARTICELLE IDENTICHE; STATISTICHE DI BOSE-EINSTEIN E DI FERMI-DIRAC157
4.7 Particelle Identiche; Statistiche di Bose-Einstein e di Fermi-Dirac 4.7.1 Indistinguibilit`a delle particelle identiche e la statistica In meccanica classica la traiettoria di una particella durante il moto e` ben definita. Questo implica che ogni particella mantiene la sua identit`a, anche in presenza di altre particelle dello stesso tipo, i.e., con identiche propriet`a intrinseche (la massa, la carica elettrica, etc.). Anche in meccanica classica, le particelle identiche sono identiche per definizione: non possono essere distinte per le loro propriet`a. Altrimenti non sarebbero identiche. Soltanto la loro storia (i.e., la possibilit`a di seguire istante per istante lo loro evoluzione temporale) ci permette di numerare ciascuna particella e di identificarle ad ogni istante. La situazione e` diversa in meccanica quantistica. A causa del principio d’indeterminazione, non esiste una traiettoria nel senso classico, lo stato e` descritto da una funzione d’onda. In presenza di pi`u di una particella dello stesso tipo, lo scambio di una coppia di particelle risulta lo stesso stato quantistico. Per esempio, lo stato di due particelle dello stesso tipo e` descritto dalla funzione d’onda, ψ(q1 , q2 ),
(4.387)
dove le coordinate generalizzate della particella 1 contiene, a parte la posizione tridimensionale, anche la componente dello spin, q ≡ {r, σ}, σ = s, s − 1, . . . − s. Lo scambio di due particelle non pu`o cambiare lo stato, perci`o ψ(q2 , q1 ) = eiα ψ(q1 , q2 ).
(4.388)
La fase α non e` arbitraria. Un secondo scambio riporta alla stessa funzione d’onda originale: segue che e2iα = 1, eiα = ±1 : (4.389) la funzione d’onda di due particelle identiche o e` simmetrica o e` antisimmetrica per scambi di queste due. Quali dei due segni scegliere? E` un fatto empirico che particelle con spin interi (chiamate bosoni) hanno funzione d’onda simmetrica, con il segno positivo nella (??), e quelle con spin semi-interi (chiamate fermioni) antisimmetrica, con il segno negativo. n particelle identiche di spin interi (o semi-interi) sono descritte dalle funzioni d’onda, completamente simmetriche (vis., antisimmetriche ) per scambi di due particelle. Queste propriet`a sono chiamate statistica di Bose-Einstein nel caso dei bosoni, e statistica di Fermi-Dirac nel caso dei fermioni. In Natura, gli elettroni, i protoni e i neutroni, e tutti i nuclei atomici con il numero di massa dispari, sono fermioni; i pioni, i kappa, i fotoni, tutti i nuclei con il numero di massa pari, sono bosoni. Per esempio, nel caso di due fermioni identici (due elettroni, due protoni, ecc.) la funzione d’onda del sistema e` della forma 1 1 Ψ = √ (ψ(q1 , q2 ) − ψ(q2 , q1 )) = √ (ψ(r1 , σ1 ; r2 , σ2 ) − ψ(r2 , σ2 ; r1 , σ1 )), (4.390) 2 2 dove per esempio σ1,2 =↑, ↓. Osservazione i) Sebbene la correlazione tra lo spin e la statistica fosse introdotta come legge empirica, e rimane tale, nell’ambito della meccanica quantistica nonrelativistica, essa segue correttamente dal principio della relativit`a speciale e della positivit`a dell’energia: e` uno dei risultati teorici fondamentali della meccanica quantistica relativistica. Vedi Laudau and Lifshitz, Vol. 4 (Berestetskii, Lifshitz e Pitaevskii).
158
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
ii) Il fatto che tutte le particelle con spin semi-interi (o interi) obbediscono alla statistica di Fermi-Dirac (o di Bose-Einstein), e` consistente con la statistica di Fermi-Dirac per una particella di spin 1/2. Si consideri due nuclei identici, composti da un numero totale n dei protoni e neutroni (chiamati indistintamente nucleoni). Essi sono o bosoni (se n e` pari) o fermioni (se n e` dispari). Visto che lo scambio dei due nuclei equivale allo scambio simultaneo degli n nucleoni, lo scambio di due nuclei deve risultare ψ → (−)n ψ.
4.7.2 Stato di N bosoni identici debolmente accoppiati Consideriamo ora un sistema di N bosoni identici, le interazioni tra le quali possono essere trascurate. Per N = 2, la funzione d’onda ha la forma ( √1 (ψp (q1 )ψp (q2 ) + ψp (q2 )ψp (q1 )), (p1 6= p2 ), 2 1 2 1 2 (4.391) ψ(q1 , q2 ) = (p1 = p2 ), ψp1 (q1 )ψp1 (q2 ), dove pi indica gli stati di una singola particella. Si noti che la probabilit`a che il sistema si trovi con q1 ≃ q2 e` doppia rispetto a quello che ci si aspetterebbe in meccanica classica: in meccanica quantistica i bosoni identici tendono a stare nello stesso punto spin-spaziale, o ad occupare lo stesso stato quantistico. Per N generico si ha una funzione d’onda completamente simmetrica ψ(q1 , q2 , . . . , qN ) =
N1 !N2 ! . . . Nr ! N!
1/2 X
ψp1 (q1 )ψp2 (q2 ) . . . ψpr (qN ),
(4.392)
N1 + N2 + . . . + Nr = N, e Ni indica il numero delle particelle nello stato pi . Tale struttura della funzione d’onda per bosoni identici ha delle conseguenze profonde nei fenomeni che coinvolgono sistemi macroscopici. Un esempio e` il fenomeno di condensazione di Bose-Einstein, nel quale il numero macroscopico di atomi identici occupano lo stesso stato quantistico, che si realizza a temperatura vicina allo zero assoluto di certi liquidi come l’elio (superfluidit`a).
4.7.3 Stato di N fermioni identici debolmente interagenti La situazione e` drasticamente diversa per i fermioni. Per N = 2, la funzione d’onda e` 1 ψ(q1 , q2 ) = √ (ψp1 (q1 )ψp2 (q2 ) − ψp1 (q2 )ψp1 (q1 )). 2 La generalizzazione a N generico e` data dal determinante di Slater: ψp1 (q1 ) ψp1 (q2 ) . . . ψp1 (qN ) ψp2 (q1 ) ψp2 (q2 ) . . . ψp2 (qN ) 1 ψ(q1 , q2 , . . . , qN ) = √ det .. .. .. .. N! . . . . ψp (q1 ) ψp (q2 ) . . . ψp (qN ) N N N
(4.393)
,
(4.394)
ed e` totalmente antisimmetrica. Lo scambio di una coppia qualsiasi (qi , qj ) comporta il cambiamento del segno della funzione d’onda. Di conseguenza, la funzione d’onda si annulla ogni volta che una coppia di coordinate coincidono; ψ(q1 , q2 , . . . , qN ) = 0,
qi = qj
(4.395)
o che due fermioni occupano lo stesso stato pi = pj . Queste propriet`a sono note come Principio di Esclusione di Pauli. Il principio di Pauli ha delle conseguenze profonde in tutti gli aspetti di fisica comtemporanea, dalla fisica delle particelle elementari e dei nuclei, fisica atomica (la stabilit`a della
4.7. PARTICELLE IDENTICHE; STATISTICHE DI BOSE-EINSTEIN E DI FERMI-DIRAC159 materia, la struttura periodica degli elementi, ecc.) e molecolare, fisica statistica e della materia, fino all’astrofisica (stella di neutroni, ecc.). In generale, lo stato fondamentale di N fermioni liberi (gas di Fermi) e` uno stato in cui N stati pi`u bassi sono occupati (gas degenere di Fermi), tale stato si realizza a T = 0.
4.7.4
Interazioni di scambio
A causa di statistica di B-E o F-D, l’autovalore di energia di un sistema composto di pi`u particelle identiche, ha in generale una peculiare dipendenza dallo spin, chiamato in generale interazioni di scambio, anche quando l’Hamiltoniana non contiene esplicitamente gli operatori di spin. Consideriamo per esempio un sistema di due bosoni identici di spin 0 (e.g., due pioni) che interagiscono tra di loro. Il problema si riduce ad un problema di una particella con coordinate r = r1 − r2 e con la massa ridotta. La funzione d’onda di spin essendo automaticamente simmetrica, la funzione d’onda orbitale deve essere simmetrica anche essa: ψ(−r) = ψ(r), (4.396) i.e., solo gli stati di parit`a +1 (ℓ pari) sono ammessi. La situazione e` ancora pi`u interessante nel caso di due fermioni di spin 1/2. Lo spin totale pu`o essere o nello stato di tripletto S = 1 con la funzione d’onda di spin simmetrica |↑i |↑i,
|↑i |↓i + |↓i |↑i √ , 2
|↓i |↓i,
(4.397)
o nello stato di singoletto S = 0, |↑i |↓i − |↓i |↑i √ , 2
(4.398)
che e` antisimmetrico rispetto allo sambio dei due spin. La funzione d’onda orbitale corrispondente deve essere o antisimmetrica o simmetrica, rispettivamente. In generale, la funzione d’onda in questo caso e` di forma φ(anti) (r1 , r2 ) χ(S = 1),
(4.399)
dove φanti e` antisimmetrica per r1 ↔ r2 , χ(S = 1) e` uno degli stati di tripletto, o della forma φ(simm) (r1 , r2 ) χ(S = 0). (4.400) Se il potenziale e` tale che la funzione orbitale simmetrica ha l’energia pi`u bassa, come accade spesso, lo stato fondamentale e` uno stato di spin totale 0. Esempio 1. Lo stato fondamentale dell’elio, 4 He Nell’approssimazione ad elettroni indipendenti, lo stato fondamentale dell’atomo di elio e` quello in cui i due elettroni stanno ambedue nella prima orbita di Bohr, ψ1,0,0 (questo segue dall’equazione di Schr¨odinger nella suddetta approssimazione.) La parte orbitale della funzione d’onda e` dunque simmetrica per scambio dei due elettroni, segue che la parte di spin deve essere antisimmetrica. I due elettroni sono nello stato di spin antiparallele, con Stot = 0. L’atomo di elio nello stato di singoletto di spin e` noto come paraelio; quello nello stato di spin tripletto come ortoelio. Esempio 2. Gli elettroni sulla luna. Discutiamo ora perch´e, nonostante la statistica di Fermi-Dirac, gli elettroni sulla luna possono essere praticamente trascurate nella considerazione di qualsiasi esperienza fatta sulla terra. Prendiamo in esame per semplicit`a il caso di un elettrone nel laboratorio e un elettrone sulla luna. Si noti prima di tutto che il fatto che le interazioni tra i due elettroni
160
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
possono essere trascurate e` necessario ma di per s´e non e` sufficiente. Tuttavia questo fatto fa s`ı che la funzione d’onda dei due elettroni (??) nella quale e` valida una forma fattorizzata, ψ(r1 , σ1 ; r2 , σ2 ) ≃ ψ1 (r1 , σ1 ) · ψ2 (r2 , σ2 ),
(4.401)
dove ψ1 (r, σ) e` una funzione con supporto nella regione di r corrispondente all’interno del nostro laboratorio (o in ogni caso nelle zone limitrofe) per ambedue i componenti σ, mentre ψ2 (r, σ) e` una funzione con supporto sulla luna. La funzione d’onda del sistema e` perci`o della forma 1 Ψ ≃ √ (ψ1 (r1 , σ1 ) · ψ2 (r2 , σ2 ) − ψ2 (r1 , σ1 ) · ψ1 (r2 , σ2 )), 2
(4.402)
ma il secondo termine della parentesi e` trascurabile poich´e le funzioni hanno gli argomenti fuori del loro supporto. Avendo solo il primo termine, l’effetto del secondo elettrone e` del tutto innoquo: in qualsiasi elemento di matrice del tipo hΨ|O1 |Ψi,
(4.403)
dove l’operatore O1 si riferisce soltanto alla particella 1. La normalizzazione “sbagliata √1 non ha nessun effetto fisico, come e ` ben noto. 2 Si paragoni questa discussione con la situazione pi`u generale nella quale l’effeto del secondo elettrone non e` trascurabile (pur assumendo interazioni deboli e di conseguenza una forma fattorizzata della funzione d’onda). Come abbiamo studiato nel Capitolo ?? in tal caso la considerazione degli elementi di matrice del tipo (??) ci induce al concetto di stati misti ed a formulare la teoria in termini di matrice densit`a.
4.7.5 Campo elettromagnetico classico vs elettrone classico come particella Gli elettroni sono stati “classicamente” concepiti come particelle, mentre i fotoni sono stati introdotti come “quanti” dell’energia del campo elettromagnetico, l’entit`a “classica essendo un’onda macroscopica, appunto, l’onda elettromagnetica. In meccanica quantistica, ambedue le particelle godono della stessa doppia natura onda - corpuscolo, e a prescindere dal fatto che il fotone e` sempre relativistico (avendo esso la massa di riposo nulla), essi sono delle particelle elementari essenzialmente simili. Si chiede allora qual’`e la causa della detta differenza concettuale. La questione non e` affatto filosofica, e ha a che fare con la differenza della statistica, Bose-Einstein per il fotone e Fermi-Dirac per l’elettrone. Prendiamo in considerazione particelle identiche debolmente accoppiate, e paragoniamo l’eq.(??) e l’eq.(??). Quando le due particelle occupano lo stesso stato quantistico, si ha la funzione d’onda, ψ(q1 , q2 ) = ψp (q1 )ψp (q2 )
(4.404)
ψ(q1 , q2 ) = 0
(4.405)
per i bosoni, mentre per i fermioni (principio di Pauli). In altre parole i bosoni identici tendono a occupare lo stesso stato mentre i fermioni lo evitano. Di conseguenza in sistemi con un numero macroscopico di bosoni identici pu`o accadere (a temperature sufficientemente basse) che gli stati importanti sono quelli in cui frazioni macroscopiche delle particelle sono nello stesso stato quantistico, che perci`o sono descritti da una funzione d’onda macroscopica. Ne e` un esempio il caso di superfluidit`a dell’elio liquido. Nel caso di fotoni, il fatto che l’equazione di Schr¨odinger (relativistica) sia quella libera (il fotone essendo neutro) e omogenea fa il resto: l’equazione di Maxwell (che descrive l’onda elettromagnetica “classica) e` infatti anche l’equazione di Schr¨odinger relativistica per un fotone!
4.7. PARTICELLE IDENTICHE; STATISTICHE DI BOSE-EINSTEIN E DI FERMI-DIRAC161 Per i fermioni, il principio di esclusione di Pauli proibisce a due o pi`u particelle di occupare lo stesso stato, e per questo e` naturale che l’elettrone e` stato sempre considerato pi`u simile ad una “particella che ad un’onda. E` piuttosto sorprendente perci`o che nel fenomeno di superconduttivit`a gli elettroni in certi metalli a temperature molto basse riescano ad condensare, formando uno stato legato - coppia di Cooper - che e` un bosone. Lo stato di (coppie di ) elettroni viene di conseguenza descritto da una “funzione d’onda che obbedisce una sorta di equazione di Schr¨odinger non lineare - l’equazione di Landau e Ginzburg. Vedi e.g., Feynman Lectures, III, Cap. 21; Davydov, Quantum Mechanics; Landau-Lifshitz, Vol.9. Nelle superconduttivit`a “ad alta temperatura”, che si hanno luogo in certe sostanze ceramiche, la natura dell’entit`a che condensa non e` ancora nota.
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
162
4.8 Particelle cariche in campi elettromagnetici Il moto di una particella carica (q) in un campo elettromagnetico E, B e` descritto dall’Hamiltoniana q H = [ p − A(r, t) ]2 + q φ(r, t) + V (r), (4.406) c dove V e` il potenziale meccanico. B = ∇ × A,
E = −∇φ −
1 ∂A . c ∂t
(4.407)
Il potenziale vettoriale A e il potenziale scalare φ sono definiti a meno di transformazioni di gauge 1 ∂f ; (4.408) A → A + ∇f ; φ→φ− c ∂t E, B sono invarianti. L’Hamiltoniana non e` invariante: H →H−
q ∂f . c ∂t
(4.409)
Tuttavia, la fisica resta invariante per tali trasformazioni, come si dimostra facendo trasformazioni di gauge sulla funzione d’onda q
ψ → ei c f ψ :
(4.410)
l’equazione di Schr¨odinger ha la forma originale i~
∂ ψ=Hψ ∂t
(4.411)
in termini di funzione d’onda trasformata. Le interazioni con il campo vettoriale, rappresentata da una sostituzione formale p → p − qc A(r, t) nel termine cinetico, e` noto come interazioni (o l’accoppiamento) minimali. L’equazione di Heisenberg (o l’equazione classica) che segue e` m¨r = q E +
q r˙ × B, c
(4.412)
con il noto termine di forza di Lorentz.
4.9 Effetto Aharonov-Bohm Consideriamo ora il moto di tale particella in un campo magnetico statico, φ = 0; A = A(r). Prima di tutto dimostreremo che la soluzione dell’equazione del moto i~
∂ ψ=Hψ ∂t
(4.413)
in presenza del campo magnetico, e` dato, in termini della soluzione del problema senza B, come iq Rr i ψ(r, t) = e c ~ dx Ai ψ (0) (r, t), (4.414) dove
∂ (0) ψ (r, t) = H|A=0 ψ (0) (r, t). ∂t La dismostrazione e` elementare: ogni azione di p = −i~∇ d`a i~
iq
p [ ec~
Rr
dxi Ai
iq Rr iq Rr i i q ψ (0) (r, t) ] = A e c ~ dx Ai ψ (0) (r, t) + e c ~ dx Ai p ψ (0) (r, t). c (4.415)
4.9. EFFETTO AHARONOV-BOHM
163 C
C'
Figura 4.3:
Perci`o ogni fattore p in H diventa p − qc A attraversando il fattore di fase, e cos`ı iq
H [ ec~
Rr
dxi Ai
iq
ψ (0) (r, t) ] = e c ~
Rr
dxi Ai
H0 ψ (0) (r, t) = i~
iq Rr i ∂ [ e c ~ dx Ai ψ (0) (r, t) ], ∂t (4.416)
per un campo magnetico statico. L’esponente nella (4.392) e` l’integrale lungo un cammino con l’estremit`a al punto r 2 . Tale fattore potrebbe essere mal definito se esso dipendesse dal cammino. La modifica dell’integrale al variare del cammino, C → C ′ e` Z Z I Z iq iq iq r i iq iq r i Φ, (4.417) dxi Ai = dS·(∇× A) = dx Ai − dx Ai = c ~ C′ c~ C c~ c~ c~ dove Φ e` il flusso magnetico attraverso la superficie circondata dalla curva chiusa C ′ − C. Il fattore esponenziale e` perci`o ben definito (i.e., dipende solo dal punto di estremit`a del cammino r) se il percorso e` interamente in una regione priva di campo magnetico. Vice versa, se due cammini rinchiudono una regione con un flusso magnetico non nullo (Φ) (Fig. 4.2), la fase della funzione d’onda in due casi differisce di ci q~ Φ. Si noti che la differenza della fase (4.395) e` , inoltre, invariante per trasformazioni di gauge 1 (4.418) A(r) → A(r) − ∇α(r); q a differenza della fase in assoluto che di per s´e non ha un significato fisico. Una situazione fisica molto interessante si presenta se si considera l’esperienza a` la Young con un fascio di elettroni, con una doppia fenditura e con uno schermo (Fig. 1.1)), ma con l’aggiunta di un solenoide molto lungo e sottile, posto giusto dietro la fenditura (Fig. ??, il solenoide si estende nella direzione perpendicolare alla pagina) di modo che la probablit`a che l’elettrone passi nella vicinanza del solenoide sia trascurabile. Senza la corrente nel solenoide, perci`o senza il flusso magnetico, l’effetto di tale solenoide sar`a trascurabile, e ci si aspetta di osservare la solita frange di interferenza equidistante sullo schermo, dovuta alla differenza dei percorsi tra le onde che hanno passato attraverso le due fenditure (Eqs. (122), (1.1)). Ora, in presenza del campo magnetico nel solenoide, la differenza delle fase delle due onde acquista un termine in pi`u, (4.395), ∆φ =
qΦ 2π ∆ℓ − , λ c~
∆ℓ ≃
2xd , L
(4.419)
di consegueza le posizioni delle massime intensit`a sullo schermo si sposteranno di δx =
qλLΦ . 4π c ~ d
(4.420)
Questo effetto e` stato predetto da Aharonov e Bohm ed e` stato sperimentalmente confermato. Esso e` sorprendente se ci rendiamo conto del fatto che con un solenoide molto sottile e 2 Il punto iniziale del cammino r e o essere compensato da un opportuno 0 ` arbitrario. La dipendenza da r0 pu` fattore di fase costante della funzione ψ(0) .
164
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
Figura 4.4:
molto lungo (solenoide ideale), il campo magnetico e` contenuto all’interno del solenoide: B = 0 fuori. In una buona approssimazione si pu`o supporre che l’elettrone passa sempre nella regione di spazio dove B = 0. In meccanica classica, in tale situazione non ci si aspetterebbe nessun effetto fisico osservabile. In meccanica quantistica, la particella interagisce con il potenziale vettoriale (l’accoppiamento “minimale”: vedi l’eq. (??)), e non direttamente al campo magnetico, B. L’effetto Aharonov-Bohm e` dovuto a questo fatto. Non si deve tuttavia affrettarsi a concludere che A abbia un significato fisico: esso dipende dalla scelta di gauge! In verit`a, in meccanica quantistica, e` il fattore di fase, o meglio, la differenza di tali fase, (4.395), che ha un significato fisico ben definito. Si noti che quest’ultima e` invariante di gauge. E` curioso che l’effetto Aharonov-Bohm, una semplice applicazione dei princ`ıpi della meccanica quantistica e dell’elettromagnetismo, fosse stato scoperto solo trenta anni dopo che la meccanica quantistica e` stata correttamente formulata da Heisenberg, Schr¨odinger, Bohr, attorno a 1924. La sottigliezza menzionata sopra (qual’`e la quantit`a fisica osservabile), tuttavia, ha portato alcuni fisici a mettere in discussione la correttezza dell’interpretazione dell’effetto osservato. Tale diatriba e` stata risolta in modo definitivo in una recente serie di esperimenti sorprendenti fatti al Laboratorio centrale di Hitachi, da Tonomura e dai suoi collaboratori. La diatriba nasceva dai seguenti aspetti pi`uttosto delicati, sia sperimentali che teorici, dell’effetto A-B. Prima di tutto, in meccanica quantistica, l’elettrone e` descritto da una funzione d’onda, ed e` difficile escludere completamente che esso penetri anche nella regione dove e` situato il solenoide, B 6= 0. Un altro problema sperimentale e` che un solenoide non e` mai ideale, non e` mai infinitamente lungo, il campo magnetico non e` mai completamente contenuto all’interno del solenoide. Inoltre, dal punto di vista teorico, ci sarebbe la possibilit`a di scegliere la gauge di modo che nelle equazioni appaiono soltanto il campo magnetico B (o le sue derivate), e non pi`u il potenziale vettoriale A (gauge di Schwinger). Se tale scelta di gauge fosse legittima, non ci si dovrebbe aspettare nessun effetto A-B, se l’elettrone non passa mai nella regione con il campo magnetico (o se l’apparato sperimentale e` costruito di modo che tale probabilit`a sia comunque trascurabile). Ogni effetto osservato sarebbe da attribuire alla non perfezione dell’apparato. A quest’ultima obiezione teorica pu`o essere risposta osservando che una gauge in cui il potenziale vettoriale viene eliminata in favore di B e` necessariamente singolare, e perci`o non e` una scelta accettabile. Le prime obiezioni sono per`o pi`u insidiose. L’idea brillante che ha permesso al gruppo di Tonomura di ovviare questi problemi, sotto il suggerimento di C.N. Yang, e` stato quello di ricoprire completamente un anello microscopico di magneto con uno strato superconduttore (Fig.4.4). Si veda la nota seguente su aspetti salienti della superconduttivit`a e del fenomeno della quantizzazione del flusso magnetico. Facendo attraversare il fascio di elettroni parzialmente dentro e parzialmente fuori il foro e osservando la frange dell’interferenza, si osservano gli effetti a` la Aharonov-Bohm. Ma l’osservazione determinante e` il fatto che lo spostamento di fase diventa o zero o π, quando il ricoprimento superconduttore dell’anello diventa superconduttore (al di sotto della
4.9. EFFETTO AHARONOV-BOHM
165 e
e
H
H
Ricoprimento Superconduttore
Interferenze
Figura 4.5: Lo schema dell’esperimento di Tonomura et.al.
temperatura critica per Nb, Tc = 9.2K), mentre al di sopra della temperatura critica, ∆φ prende un valore generico casuale, dipendente da come il campione e` stato preparato. Si osservino in particolare che (i) il campo magnetico e` contenuto all’interno dell’anello superconduttore e non pu`o fuoriuscire (effetto Meissner), e forma un selenoide di forma anullare ideale, i.e., senza le estremit`a; (ii) l’elettrone e` schermato dalla ricoprimento esterno dell’anello e non pu`o penetrare all’interno; (iii) il flusso magnetico all’interno del anello e` quantizzato: Φn =
πcn~ , e
n ∈ Z.
(4.421)
Sostituendo questo nella formula (4.397) e ricordando che per l’elettrone q = −e, si ha che lo spostamento di fase sia dato da un multiplo di π, come e` effettivamente osservato sperimentalmente. Si noti un fattore 2 determinante tra la carica della coppia di Cooper (q = 2 e) e quella dell’elettrone. E` da notare che questo esperimento rappresenta una doppia verifica, da un lato dell’effetto A-B (nelle campioni con lo sfasamento π), dall’altro della quantizzazione di flusso magnetico. Superconduttore Riportiamo qui gli aspetti principali della superconduttivit`a nei metalli a temperature extremamente basse, in un campo magnetico esterno. Dovute alle interazioni attrattive dai scambi di fononi gli elettroni formano stati legati chiamate coppie di Cooper. alle temperature extrememente basse (al di sotto di una temperatura critica, che dipende dalla sostanza) le coppie di Cooper - bosoni - condensano e sono descritti 3 da una sorta di 3 I bosoni identici debolmente accoppiati tendono a occupare lo stesso stato quantistico. A temperatura sotto quella critica, un numero macroscopico dei bosoni occupano gli stessi stati pi`u bassi - condensazione di BoseEinstein. Il sistema in un tale stato e` descritto dalla distribuzione dei numeri di occupazione d(p) o dalla sua trasformata di Fourier, Ψ(r). |Ψ(r)|2 rappresenta allora realmente la densit`a, non la densit`a di probabilit`a, delle particelle.
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
166
funzione d’onda macroscopica Ψ. Ψ soddisfa alle equazioni di Laudau-Ginzburg (prendiamo la carica di elettrone, −e < 0; quella di una coppia di Cooper q = −2 e; m e` la massa dell’elettrone), q 1 (p − A)2 Ψ + a Ψ + b |Ψ|2 Ψ = 0; (4.422) 4m c 4π j, B = ∇ × A; (4.423) ∇×B= c i q 1 h ∗ q Ψ (p − A)Ψ − {(p − A)Ψ}∗ Ψ , j= (4.424) 4m c c dove a, b sono parametri che dipendono dalla materia e dalla temperatura. Nello stato superconduttore, le coppie di Cooper condensano: Ψ= con
∂ρ ∂t
√ iθ ρe ,
ρ(r) = Ψ∗ Ψ 6= 0,
(4.425)
= 0. La corrente e` data da j=
q ρ (~ ∇θ − A) : 2m c
(4.426)
l’equazione di continuit`a allora implica che ∇ · j = 0, i.e., ∇2 θ = 0,
(4.427)
dove e` stata assunta la gauge ∇ · A = 0. In una massa di superconduttore la (4.405) implica θ = const.
(4.428)
Segue la relazione
qρ A, (4.429) 2mc nota come equazione di London. Visto che la corrente elettrica delle coppie di Cooper e` jel = q j = −2 e j, l’equazione di Maxwell d`a j=−
∇2 A = −
4π 2 π ρ q2 A ≡ λ−2 A jel = c m c2
(4.430)
di cui la soluzione, assumendo che essa dipende solo da una delle componenti di r, e` A = A0 e−z/λ ,
λ=
2 π ρ q2 m c2
−1/2
.
(4.431)
Nel gergo della fisica delle particelle, il fotone ha acquistato una massa effettiva tramite il meccanismo di Higgs! In un linguaggio pi`u tradizionale, la (4.409) significa che il campo magnetico e` fortemente dampato in una media superconduttore: B pu`o penetrare nel corpo di superconduttore soltanto per uno spessore λ chiamato lunghezza di penetrazione di London. Con dei parametri appropriati per il piombo, per es., (assumendo che ognuno degli atomi dia un elettrone di conduzione), ρ ∼ 3. · 1022 / cm3 , si ha r r 1 m c2 1 1 1 1 λ∼ ∼ ∼ O(10−5 ) cm. (4.432) 8π e2 1022 25 3 · 10−13 1022 Questo fenomeno, che il campo magnetico viene espulso dalla sostanza superconduttore e` noto come effetto Meissner.
4.9. EFFETTO AHARONOV-BOHM y
167
z=0
z z = T= 0 x
Figura 4.6: Coordinate del toro
j=0
C j
Figura 4.7:
Quantizzazione del flusso magnetico Accade una cosa molto interessante nel caso che la materia superconduttrice ha una forma di un toro (topologicamente l’interno di T ). Riflettendo il fatto che θ e` una variabile angolare, la (4.405) ammette ora una soluzione non banale 4 , θ(x, y, z) = c z,
c=
2πn , T
n ∈ Z,
(4.433)
dove z e` la coordinata lungo il cerchio del toro, con il periodo T . (Fig.4.5). In questo caso, j 6= A, ma vale ancora ρq 2 1 ∇2 j = − (4.434) ∇ A = 2 j. 2mc λ La (4.411) e la (4.412) implicano che la corrente j nella direzione di z circola soltanto sulla superficie del toro, i.e., in uno strato di spessore dell’ordine di λ; vice versa, all’interno del toro abbiamo j = 0. Quest’ultimo fatto significa che lungo il cerchio al centro del toro (la curva C della Fig.4.6)) vale q (4.435) ~ ∇θ = A, c per cui integrando questa equazione lungo C si ha (Eq.(4.411)) I Z q dxi Ai = ~ dθ = 2 π n~. (4.436) c D’altra parte,
H
I
dxi Ai =
Z
dS · ∇ × A =
Z
dS · B = Φ :
(4.437)
dxi Ai e` uguale al flusso magnetico intrappolato dal toro. Segue perci`o che il flusso magnetico che attraversa un toro di superconduttore e` quantizzato: Φ=
2π n c ~ , q
n ∈ Z.
(4.438)
4 Dal punto di vista matematico, le soluzioni non banali (4.411) rappresentano elementi del gruppo fondamentale di S 1 , Π1 (S 1 ) = Z.
168
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
4.10 Disuguaglianze di Bell, Disuguaglianza di CHSH e Quantum Entanglement 4.10.1 Problema L’aspetto probabilistico della meccanica quantistica, nonstante innumereboli verifiche sperimentali, ci produce tuttora un certo senso di inquietudine. Il paradosso di EinsteinPodolsky-Rosen e` stato infatti proposto per “dimostrare che la meccanica quantistica non poteva essere una teoria completa, ma che essa doveva essere completata da variabili addizionali, di modo che la natura probabilistica della predizione della Meccanica Quantistica fosse dovuta alla media statistica su queste variabili (dette variabili nascoste). Le ipotesi fondamentali del loro argomento sono la localit`a e la causalit`a. J.S. Bell ha formulato l’idea delle variabili nascoste matematicamente, ed ha dimostrato che, indipendentemente dalla natura delle variabili nascoste, tale teoria non pu`o riprodurre completamente le predizioni della meccanica quantistica. Le verifiche sperimentali successivamente escogitate hanno confermato l’esattezza delle predizioni della meccanica quantistica, escludendo cos`ı qualsiasi tipo di teorie con variabili nascoste. L’esempio considerato da Bell (Physics 1 (1964) p.195) e` quello di un sistema di due spin 12 , in uno stato di singoletto, Stot = 0, 1 Ψ = √ [ | ↑↓i − | ↓↑i], 2
(4.439)
dove sz | ↑i = 12 | ↑i, etc. Supponiamo che le due particelle A, B siano i prodotti di decadimento di una particella parente con J = 0 e che le particelle A, B viaggino in due direzioni opposte, di modo tale che la misura eseguita sulla particella A non pu`o influenzare il risultato della misura fatta sulla particella B (o vice versa). Supponiamo inoltre che gli osservatori A e B misurino la componente di spin A o B, i.e., (a · σA ), (b · σB ), dove a, b sono due versori arbitrari. Prima consideriamo il caso particolare, a = b. La misura di (a · σA ), d`a o +1 o −1 come risultato. Supponiamo che la misura della quantit`a (a·σB ), sia fatta immediatamente dopo quella di A. Nel caso (a · σA ) = 1 il risultato di (a · σB ), e` predetto con certezza ad essere −1, e vice versa. Visto che la misura a A non pu`o influenzare dinamicamente quella di B per ipotesi (la localit`a e la causalit`a), sembrerebbe che tale predittivit`a del risultato di singole misure contradisca con il principio della meccanica quantistica, secondo il quale il risultato dovrebbe essere ±1, con probabilit`a 12 per ciascuno. L’unica via di uscita sembrerebbe che in realt`a le cose siano “predeterminate: l’aspetto probabilistico della predizione della meccanica quantistica sarebbe dovuto alla mancanza della conoscenza nel senso classico - del processo microscopico. Perci`o la meccanica quantistica dovrebbe essere sostituito da una teoria pi`u completa, con delle variabili addizionali, di modo che le predizioni probablistiche della meccanica quantistica seguono come legge statistica su quese ultime. Questa argomentazione in realt`a non e` corretta. Infatti, visto che i due eventi (le misure di A e di B) non possono essere collegati causalmente, anche l’informazione che riguarda i risultati della misura di A risulta inutile (o meglio, inutilizzabile) per l’osservatore B. Infatti, non avendo accesso ai risultati di A (almeno non immediatamente prima della misura), l’osservatore B troverebbe semplicemente per la met`a delle volte il risultato +1 e per l’altra met`a delle volte −1, in accordo con la predizione standard della meccanica quantistica. Inoltre, il concetto della successione cronologica dei due eventi non e` un concetto relativisticamente invariante. Secondo la teoria della relativit`a speciale, si pu`o realizzare una situazione di modo che sia A che B vede, nel loro rispettivo sitema di riferimento, la propia misura anticedente alla misura dell’altro osservatore. In questo caso l’impostazione del “paradosso stesso non avrebbe senso.
4.10. DISUGUAGLIANZE DI BELL, DISUGUAGLIANZA DI CHSH E QUANTUM ENTANGLEMENT169 Resta tuttavia il fatto che, paragonando le registrazioni delle successive misure fatte a A con quelle fatte a B, si pu`o a posteriori verificare la correlazione tra i risultati dei due esperimenti. Secondo la meccanica quantistica una successione di risultati ad A, (+ + − + − − . . .), dovrebbe essere accompagnato dalla successione (− − + − + + . . .), trovata a B: le due serie di risultati sono perfettamente correlate. Naturalmente questa predizione della meccanica quantistica e` verificata sperimentalmente. Dal punto di vista filosofico la situazione appare infatti un po’ paradossale. Per l’osservatore B, la successione (− − + − + + . . .), appare completamente casuale. Ogni misura d`a il risultato o 1 o −1, con probabilit`a 21 ciascuno, la funzione d’onda essendo la (4.417) prima della misura. Se si dovesse considerare il collasso della funzione d’onda 5 dovuta ad ogni misura a B, per es. 1 √ [ | ↑↓i − | ↓↑i] =⇒ | ↓↑i, (4.440) 2 come processo fisico (che avviene attorno al punto B in un determinato momento), la predizione della meccanica quantistica implicherebbe che la misura fatta al punto B induce istantaneamente il collasso della funzione d’onda anche al punto A. Il che sarebbe una violazione grossolana della localit`a delle interazioni e della causalit`a. Nel caso in cui i due apparecchi a` la Stern-Gerlach sono orientati in maniera generica, i risultati delle misure a B non saranno pi`u univocamente determinati da quelli delle misure fatte a A. Per es., la successione di risultati ad A (+ + − + − − . . .) potrebbe essere accompagnata da (+ − + + − + . . .) con assenza apparente delle correlazioni tra le due. In questo caso, dunque, non ci sono contraddizioni? Il fatto e` che la meccanica quantistica d`a una precisa predizione sulla media della correlazione tra le due serie di misure, per generico orientamento relativo di a e b. Se definiamo la correlazione spin-spin, F (a, b) = h(a · σA ) (b · σB )i = R(a · σA )R(b · σB ),
(4.441)
dove R(a · σA ) = ±1 e R(b · σB ) = ±1 rappresentano i possibili risultati delle misure, la meccanica quantistica predice che ci sia una correlazione tra le due registrazioni, M.Q.:
F (a, b) = h(a · σA ) (b · σB )i = −(a · b) = − cos θ,
(4.442)
(dimostratelo) dove θ e` l’angolo tra a e b. Il problema e` perci`o ben definito, indipendente da qualsiasi questione filosofica: e` capace una teoria di tipo con le variabili nascoste, riprodurre esattamente il risultato della meccanica quantistica, Eq.(4.420)?
4.10.2 Dimostrazione La dimostrazione che la risposta e` negativa, e` stata data da J.S. Bell (1960). Siano A(a, λ) = ±1,
B(b, λ) = ±1
(4.443)
la predizione per R(a·σA ) e R(b·σB ), rispettivamente, di una teoria con variabili nascoste {λ}. Naturalmente teorie che predicono i risultati diversi da ±1 possono essere esclusi, visto che tale e` un fatto empirico. La correlazione spin-spin e` dato, in questa teoria da Z Teo. Var. Nasc: F (a, b) = dλ P(λ) A(a, λ) B(b, λ), (4.444) dove P(λ) e` la probabilit`a statistica per vari valori di λ, con 6 Z P(λ) ≥ 0, ∀λ, dλ P(λ) = 1.
(4.445)
5 Erwin Schr¨ odinger disse: “If we should go on with this dammned wave function collapse, then I’m sorry that I ever got involved. 6 Tutte le formule saranno scritte con una variabile λ, ma la generalizzazione ai casi con pi` u variabili e` immediata.
170
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
Inoltre, per garantire che questo modello riproduca il risultato della meccanica quantistica per il caso particolare, a = b, possiamo porre B(a, λ) = −A(a, λ)
(4.446)
per cui F (a, b) = −
Z
dλ P(λ) A(a, λ) A(b, λ).
(4.447)
Ora consideriamo
= =
F (a, b) − F (a, c) Z − dλ P(λ) [ A(a, λ) A(b, λ) − A(a, λ) A(c, λ) ] Z dλ P(λ) A(a, λ) A(b, λ) [ A(b, λ) A(c, λ) − 1 ],
(4.448)
perci`o |F (a, b) − F (a, c)| ≤ = 1 + F (b, c).
Z
dλ P(λ) (1 − A(b, λ) A(c, λ) ) (4.449)
Dunque in qualsiasi teoria con delle variabili nascoste, la correlazione spin-spin soddisfa la disuguaglianza, |F (a, b) − F (a, c)| ≤ 1 + F (b, c). (4.450) (Disuguaglianza di Bell). Si vede facilmente che la meccanica quantistica viola tale relazione. Se a e` in una generica direzione e b ≃ c, il primo membro della (4.428) sar`a dell’ordine di O(|b − c|): di conseguenza la funzione F (b, c) non pu`o essere al minimo stazionario e uguale a −1, poich´e in questo caso il secondo membro sarebbe dell’ordine di O((b − c)2 ). Visto che in meccanica quantistica, la funzione di correlazione spin-spin e` F (a, b) = −(a · b) e ha il minimo stazionario ad a = b, concludiamo che nessuna teoria del tipo (4.425) pu`o riprodurre le predizioni della meccanica quantistica per tutte le scelte di a e b. Bell ha dimostrato che e` possibile costruire un modello di una teoria con variabili nascoste, se tal modello dovesse riprodurre il risultato della meccanica quantistica soltanto per particolare configurazioni di a e b, per es. a = b, a = −b, o a ⊥ b. E` l’impossibilit`a che tale modello “imiti perfettamente la predizioni della meccanica quantistica per tutte le scelte di a e b, che esclude teorie di questo genere come teorie fisiche. La correlazione tra le due particelle che non possono interagire n´e nel presente n´e in futuro, ma che sono interagite nel passato, come nell’esempio di due elettroni, e` caratteristica tipica di tutti i sistemi quantistici. Questa correlazione, sperimentalmente osservata e perfettamente in accordo con la predizione della meccanica quantistica, ma che non pu`o essere riprodotta da nessun tipo di teoria con variabili statistiche classiche addizionnali, e` nota come “Quantum Entanglement.
4.10.3 Coppie di fotoni correlati Si pu`o fare un’analisi molto analoga con una coppia di fotoni, invece di elettroni. Consideriamo un atomo in uno stato eccitato con J = 0, che decade con due successive transizioni a dipolo elettrico, (J = 0) → (J = 1) → (J = 0), (4.451) processo chiamato cascata atomica SPS. Se i due fotoni sono osservati in direzioni opposte, essi avranno la stessa polarizzazione. Infatti, gli stati iniziali e finali dell’atomo sono
4.10. DISUGUAGLIANZE DI BELL, DISUGUAGLIANZA DI CHSH E QUANTUM ENTANGLEMENT171 ambedue invarianti per rotazioni tridimensionali. Segue che anche lo stato di due fotoni deve essere invariante. Se indichiamo con |xi|xi,
|xi|yi,
|yi|xi,
|yi|yi,
(4.452)
i quattro possibili stati di polarizzazioni lineari dei due fotoni, soltanto le due combianzioni lineari |xi|yi − |yi|xi |xi|xi + |yi|yi √ √ , ψ− = , (4.453) ψ+ = 2 2 sono invarianti per rotazioni attorno all’asse z (la direzione dell’impulso di uno dei fotoni). Visto che le interazioni elettromagnetiche sono invarianti per parit`a, si trova che la funzione √ . d’onda corretta dei due fotoni in questo sistema e` ψ+ = |xi|xi+|yi|yi 2 La misura della polarizzazione e i possibili risultati per un fotone sono descritti dall’operatore 1 0 P1 = |xihx| = ; (4.454) 0 0 che misura la polarizzazione lineare nella direzione x, con il risultato 1 o 0. (Vedi la (3.118)), o da 0 0 P2 = |yihy| = . (4.455) 0 1
che misura la polarizzazione lineare nella direzione y, o pi`u in generale da cos2 θ cos θ sin θ Pθ = (|xi cos θ + |yi sin θ)(hx| cos θ + hy|| sin θ) = . (4.456) cos θ sin θ sin2 θ
che misura la polarizzazione lineare nella direzione (cos θ, sin θ, 0). Gli autovalori di questi operatori sono 1 o 0. Introdurremo operatori associati Σθ ≡ 2Pθ − 1,
Σ1,2 ≡ 2P1,2 − 1
(4.457)
con autovalori ±1. Se i due osservatori misurassero la stessa polarizzazione, per es., Σ1 , le due registrazioni saranno perfettamente correlati, per es., A : (+ + − − − + . . .) e B : (+ + − − − + . . .). Lo stesso vale se i due polarizzatori sono messi nella stessa direzione (cos θ, sin θ, 0). Se invece i due osservatori misurano la polarizzazione in due direzioni generiche A : (cos θ, sin θ, 0) e B : (cos θ′ , sin θ′ , 0), allora la predizione della meccanica quantistica per la correlazione F (θ, θ′ ) = R(Σθ )R(Σθ′ ) (4.458) e` hψ+ |Σθ ⊗ Σθ′ |ψ+ i = cos 2(θ − θ′ ).
(4.459)
L’argomento di Bell si applica esattamente (quasi) cos`ı com’`e, alla correlazione F (θ, θ′ ): Z F (θ, θ′ ) = dλ P(λ) A(θ, λ) A(θ′ , λ), A(θ, λ) = ±1. (4.460) Perci`o in una teoria qualsiasi con le variabili nascoste, si avr`a la disuguaglianza, |F (θ, θ′ ) − F (θ, θ′′ )| ≤ 1 − F (θ′′ , θ′ ).
(4.461)
Tale disuguagliaza e` violata dalla meccanica quantistica per generica scelta di θ, θ′ , θ′′ . Esercizio Dimostrare che la disuguagliaza di Bell (4.439) e` violata dalla meccanica quantistica (4.437), per es. per θ − θ′ = θ′ − θ′′ = π6 . La disuguaglianza di Bell pu`o essere generalizzata. Una combinazione delle funzioni di correlazione, F (θ1 , θ2 ) + F (θ3 , θ2 ) + F (θ1 , θ4 ) − F (θ3 , θ4 ) (4.462)
172
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
e` data, secondo una teoria con variabili nascoste, dall’espressione Z dλ P(λ) [ (A(θ1 , λ) + A(θ3 , λ)) A(θ2 , λ) + (A(θ1 , λ) − A(θ3 , λ)) A(θ4 , λ) ]. (4.463) Ma l’espressione tra la parentesi quadrata di (4.441) e` sempre ±2, poich´e se A(θ1 , λ) = A(θ3 , λ) il primo termine e` ±2 mentre se A(θ1 , λ) = −A(θ3 , λ) il secondo termine e` ±2. Segue perci`o (disugualgianza di CHSH) | F (θ1 , θ2 ) + F (θ3 , θ2 ) + F (θ1 , θ4 ) − F (θ3 , θ4 ) | ≤ 2.
(4.464)
E` facile verificare che la meccanica quantistica viola tale disuguaglianza, in generale.