Meccanica Dei Solidi [PDF]

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MECCANICA DEI SOLIDI E DELLE STRUTTURE Lezioni di Scienza delle Costruzioni a.a.2012-2013

Roberta Sburlati, Ph.D. Università degli Studi di Genova DICCA - Scuola Politecnica Via Montallegro 1, 16145 Genova [email protected]

Introduzione

Introduzione La Meccanica di Solidi è un argomento classico della Scienza delle Costruzioni, disciplina che fornisce gli strumenti di base e i metodi necessari per la determinazione del grado di sicurezza e di funzionalità di una qualsiasi struttura soggetta a carichi statici o dinamici. Si tratta di una materia tradizionalmente insegnata in molti ambiti dell’ingegneria e che si pone a cavallo tra materie di carattere prettamente teorico, quali la Matematica, la Fisica e la Fisica Matematica, e materie di carattere più applicativo, come la Tecnica delle Costruzioni, la Geotecnica, le Costruzioni Idrauliche, le Costruzioni di Strade, Ferrovie ed Aeroporti, le Costruzioni di Macchine, le Costruzioni Navali, le Costruzioni Aeronautiche, le Costruzioni Aerospaziali, e così via. L’introduzione di conoscenze di rilevante robustezza concettuale e di grandissima utilità applicativa fornite dalla Scienza delle Costruzioni ha sempre avuto una valenza formativa molto forte per l’allievo ingegnere. La finalità operativa dello studio di questa disciplina è di fornire gli strumenti necessari per valutare la sicurezza e la funzionalità di una struttura, dove con il termine struttura si intendono solidi di forma particolare il cui studio può essere svolto utilizzando modelli semplificati della Meccanica dei Solidi. Verificare la sicurezza significa controllare che le parti resistenti fondamentali di una costruzione (struttura) siano in grado di sopportare i carichi che graveranno su di loro, senza provocarne il crollo totale o parziale. Tale verifica richiede di conoscere lo stato di sforzo cui è soggetta la struttura per confrontarlo con la resistenza del materiale con cui è realizzata la struttura stessa. Verificare la funzionalità significa controllare che la risposta delle strutture resistenti ai carichi sia compatibile con un corretto esercizio. Tale verifica si effettua controllando che la deformazione degli elementi strutturali sia compatibile con le funzioni che essi devono svolgere durante l’esercizio.

Per valutare sicurezza e funzionalità di una struttura occorre conoscerne: • la geometria, • i carichi, • i vincoli, • il materiale che la compone, per poterli rappresentare attraverso modelli adeguati.

Lezioni di Meccanica dei Solidi e delle Strutture - a.a.2012-‘13

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Introduzione

La Meccanica dei Solidi introduce un modello matematico in grado di descrivere il comportamento tensionale e deformativo di un solido di forma generica, sottoposto ad azioni di carico e di vincolo, attraverso l’individuazione delle grandezze significative che governano il fenomeno (incognite e dati) e delle relazioni che legano queste grandezze (equazioni). In tal modo si definiscono le equazioni fondamentali che descrivono il problema fisico, la cui soluzione permette di conoscere la deformazione di un corpo soggetto a un assegnato sistema di forze e di vincoli. In particolare, lo studio si articola nei seguenti argomenti: 1. Statica (analisi della tensione) 2. Cinematica (analisi della deformazione) 3. Legame costitutivo 4. Problema dell’equilibrio elastico

La risoluzione delle equazioni di campo per un problema meccanico specifico richiede la definizione della forma del corpo e delle sue condizioni al contorno. Esistono solidi la cui forma particolare ha suggerito l’introduzione di modelli elastici semplificati il cui stato deformativo e tensionale è descritto in termini di grandezze integrali o medie nello spessore. In tal modo si può introdurre il concetto di struttura mono o bidimensionale, ossia di solido in cui una o due dimensioni prevalgono sulle restanti.

Trave 1D

Piastra 2D

Guscio 3D

Oggetto della Meccanica delle Strutture è lo studio di solidi in cui la forma consente l’introduzione di ipotesi semplificative tali da fornire soluzioni robuste ed efficaci dal punto di vista operativo. Si tratta, in altri termini, di una disciplina in cui sono definiti differenti modelli elastici (collezione di modelli elastici) che possono essere utilizzati in base agli obiettivi specifici della nostra indagine. Lezioni di Meccanica dei Solidi e delle Strutture - a.a.2012-‘13

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Introduzione

Il più semplice modello strutturale è quello della trave la cui teoria si basa sulla risoluzione di un particolare problema dell’equilibrio elastico: un solido cilindrico con una dimensione (lunghezza del cilindro) prevalente rispetto alle altre due (sezione retta del cilindro) e con condizioni di carico sulle basi. Tale soluzione è stata proposta da Saint Venant ed sugli elementi caratteristici della sua soluzione si basa la formulazione dei modelli della meccanica delle strutture (trave, piastra, guscio). La teoria di Saint-Venant, consente di considerare separatamente i classici 4 casi di sollecitazione semplice che agiscono sulla trave: 1. 2. 3. 4.

Sforzo normale Flessione Flessione e taglio Torsione.

Nella Meccanica delle Strutture si forniscono inoltre gli strumenti fondamentali per l’analisi di sistemi costituiti da una o più travi vincolate. Se il grado di vincolo è tale che le sole equazioni di equilibrio non sono sufficienti a definire univocamente lo stato di sforzo e di deformazione cui è soggetto il sistema di travi, vengono allora forniti gli strumenti e le metodologie fondamentali per affrontare tale studio tenendo conto della deformabilità della struttura. In particolare gli argomenti che si affrontano sono i seguenti: 1. Equazione della linea elastica 2. Principio dei lavori virtuali 3. Equazioni di congruenza (metodo delle forze) 4. Equazioni di equilibrio (metodo degli spostamenti)

Per descrivere il comportamento di strutture reali occorre introdurre il concetto di modello matematico. I modelli della meccanica dei solidi oggetto del nostro corso saranno i seguenti. a) Il modello di corpo rigido, ossia un corpo che non varia la propria forma e volume se soggetto ad azioni di carico; di questo modello studieremo la cinematica e la statica con riferimento a solidi “tipo trave”. b) Il modello di corpo deformabile, ossia solido che varia la propria forma e il proprio volume sotto l’azione di carichi; di questo modello studieremo la cinematica, la statica e il legame costitutivo con riferimento a solidi “tipo trave”. La scelta del modello dipende dall’obiettivo della nostra indagine. I problemi specifici che affronteremo nel corso sono i seguenti: • determinare come le forze si diffondono nella struttura (azioni interne); • determinare gli spostamenti subiti a causa del carico; • fornire gli strumenti per poter verificare che la struttura sia in grado di sopportare in sicurezza tali azioni interne e che gli spostamenti siano compatibili con la funzionalità della struttura.

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Introduzione

Perché studiamo la Meccanica dei Solidi e delle Strutture? Almeno per tre validi motivi: 1. Fornisce gli strumenti di base necessari con i quali é possibile studiare una qualsiasi struttura, indipendentemente dall’ambito specifico dell’ingegneria in cui si opera (meccanica, aeronautica, navale, civile,…); i corsi che seguono utilizzeranno tali strumenti per applicarli ed estenderli, dal punto di vista progettuale, ai problemi dell’ingegneria meccanica. 2. Illustra i robusti principi teorici sui quali si basano formidabili approcci di soluzione di “tipo numerico”, intensivamente utilizzati in ogni campo dell’ingegneria (FEM, BEM,…). Permette all’ingegnere di utilizzarli con consapevolezza (modellazione) e saperne interpretare i risultati in modo corretto attraverso la conoscenza di soluzioni analitiche di base (benchmark solutions).

3. Abitua l’allievo ingegnere alla risoluzione di problemi - problem solving - alle diverse scale di osservazione, confrontandosi attraverso la definizione di modelli matematici, strategie di soluzione e interpretazione dei risultati. Tale disciplina rappresenta inoltre, uno dei punticardine su cui si articola la cosiddetta detta "modellazione multi-scala dei materiali", secondo la quale le proprietà di un materiale sono descritte ricorrendo a modelli meccanici teorici diversi, definiti per operare a scale diverse: mentre alla nanoscala opera la meccanica quantistica, alla micro e meso-scala opera il continuo; alla macroscala la meccanica delle strutture.

Ambito di applicazione della meccanica dei solidi e delle strutture

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