MECANICA - Notiuni de Statica Si Cinematica [PDF]

Zitiervorschau

1 NOŢIUNI INTRODUCTIVE Mecanica clasică (newtoniană) este un capitol al fizicii şi reprezintă ştiinţa care studiază deplasarea corpurilor materiale alcătuite dintr-un număr mare de particule elementare, cu viteze relativ neglijabile în raport cu viteza de propagare a luminii în vid Din punct de vedere didactic, MECANICA se împarte în trei părţi: STATICA:

studiază sistemele de forţe care acţionează asupra punctului material, rigidului sau sistemului de corpuri respectând condiţiile de echilibrul.

CINEMATICA: studiază mişcarea punctului material, a rigidului şi a sistemului de corpuri, fără a lua în considerare forţele, şi caracteristicile inerţiale ale sistemului. DINAMICA:

studiază mişcarea punctului material, a rigidului şi a sistemului de corpuri, ţinând seama de forţele care acţionează asupra acestora şi de caracteristicile inerţiale ale corpurilor.

Mecanica tehnică este disciplina care studiază principiile şi legile mecanicii clasice şi aplicaţiile practice ale acestora în tehnică. 1.1 Noţiuni fundamentale şi noţiuni de derivate Noţiunile fundamentale reprezintă modele pentru entităţile universului material şi sunt: spaţiul, timpul masa şi forţa: Spaţiul: - reflectă spaţiul fizic în care au loc fenomenele mecanice; - este conceput ca fiind absolut, imobil, cu structură euclidiană şi având 3 dimensiuni. Timpul: - reflectă timpul fizic în care au loc fenomenele mecanice; - este conceput ca fiind absolut, ireversibil, cu structură euclidiană şi având o dimensiune. Masa:

- reflectă două proprietăţi ale materiei: - inerţia (corpul tinde să-şi păstreze starea de inerţie); - gravitatea (atrage sau este atras de alte corpuri). 1

Forţa:

- reflectă interacţiunea mecanică; - este o mărime vectorială, care are punct de aplicaţie, direcţie, sens şi modul.

Noţiunile derivate: Viteza: este definită ca fiind derivata vectorului de poziţie r al unui punct de pe traiectorie în raport cu timpul: def

v 

dr  r  v dt

(1.1)

unde  este versorul tangentei la traiectorie în punctul considerat. Acceleraţia: este definită ca fiind derivata vitezei în raport cu timpul: def

a

dv v r dt

(1.2)

Impulsul: este definit ca fiind produsul dintre masa unui corp de dimensiuni neglijabile şi viteza sa: def

H  mv

(1.3)

1.2 Modele ale mecanicii newtoniene Punctul material este un punct geometric caracterizat prin masă. Linia materială este o curbă geometrică căreia i se ataşează masă distribuită. În această categorie intră barele, grinzile şi firele. Suprafaţa materială este o suprafaţă geometrică căreia i se ataşează masă distribuită. În această categorie intră plăcile şi membranele. Sistemul de puncte materiale este o mulţime de puncte materiale aflate în interacţiune mecanică. Corpul material sau mediul continuu reprezintă o infinitate de puncte materiale ce ocupă în mod continuu un anumit domeniu din spaţiu, astfel încât un element de spaţiu oricât de mic din acest domeniu finit conţine materie. Solidul rigid este modelul matematic al corpului material care poate prelua sarcini exterioare oricât de mari, fără să se deformeze.

2

1.3 Principiile mecanicii newtoniene Principiul inerţiei: un punct material liber, neacţionat de nici o forţă, se află în raport cu spaţiul absolut fie în stare de repaus, fie în mişcare rectilinie şi uniformă. Enunţ 2: un corp îşi păstrează starea de repaus sau de mişcare rectilinie uniformă atâta timp cât asupra sa nu acţionează alte corpuri care să-i modifice această stare. Principiul acţiunii forţei: dacă un corp este acţionat de o forţă F , derivata în raport cu timpul a impulsului este egală cu forţa: d  mv  dt

F

(1.4)

unde: m este masa corpului (considerată constantă) şi dv dt  a . O altă formulare: forţa care se exercită asupra unui corp îi imprimă acestuia o acceleraţie direct proporţională cu masa corpului, având direcţia şi sensul forţei aplicate: F  ma

(1.5)

Principiul acţiunii şi al reacţiunii: dacă un corp ( i ) acţionează asupra altui corp ( j ) cu o forţă Fij numită acţiune, cel de-al doilea corp acţionează asupra primului cu o forţă F ji egală şi de sens contrar, numită reacţiune: Fji   Fij

(1.6)

3

1.4 Sisteme de referinţă. Grade de libertate Sistem de referinţă: - reprezintă un reper faţă de care se determină poziţia unui corp material. Coordonate: - parametrii geometrici (distanţe, unghiuri) necesari pentru definirea poziţiei unui corp material, în raport cu sistemul de referinţă adoptat. Sistem material liber: - un sistem material care poate ocupa orice poziţie în spaţiu. Sistem material supus la legături: - sistemul material supus la unele restricţii geometrice. Grade de libertate ale unui punct material, solid, etc.: - numărul parametrilor geometrici independenţi necesari pentru a defini poziţia acestuia; Cele mai utilizate sunt sistemele de coordonate carteziene, cilindrice, sferice (fig. 1.1). P  x, y, z 

z

z

iz

P   , , z 

P  r , ,  

z

ir

i

r k i

x

`

j

y x

z



O

O



i

r



r

y

i

i

y

O

x



Fig. 1.1 Poziţia punctului material liber

Între coordonatele carteziene, cilindrice şi sferice există relaţiile: x    cos  r  sin   cos y    sin   r  sin   sin  z  z  z  cos 

4

(1.7)

Observaţii: - un punct material liber are trei grade de libertate pentru că poziţia sa poate fi determinată cu ajutorul a trei parametri independenţi; - punctul material obligat să rămână: - pe o curbă fixă: => are un singur grad de libertate; - pe o suprafaţă fixă:

=> are două grade de libertate;

- un solid rigid liber are şase grade de libertate, trei posibilităţi de translaţie şi trei posibilităţi de rotaţie în jurul a trei direcţii ortogonale. 1.5 Forţa. Sisteme de forţe Forţa: - este o mărime vectorială ce măsoară interacţiunea între punctele materiale. - forţa aplicată unui punct material are caracter de vector legat. - forţa aplicată unui solid rigid are caracter de vector alunecător; se are în vedere ipoteza rigidităţii conform căreia forma şi dimensiunile unui solid rigid nu se modifică oricât de mari ar fi forţele exterioare care îl solicită. Clasificarea forţelor: a) după natura lor: - forţe exterioare: forţele efectiv aplicate corpului; - forţe interioare: forţele aceluiaşi sistem ce se exercită potrivit principiului acţiunii şi reacţiunii; - forţe de legătură: forţele care înlocuiesc legăturile geometrice impuse unui punct dintr-un sistem material; b) după modul de acţiune: - forţe concentrate: forţele cu acţiune punctuală; - forţe distribuite: forţe ce revin unei porţiuni elementare de volum, suprafaţă sau liniare. Sistem de forţe: - o mulţime de forţe care acţionează asupra unui punct sau sistem de puncte materiale. - pot fi: concurente; coplanare; paralele; cupluri; oarecare. 5

STATICA 2 STATICA PUNCTULUI MATERIAL 2.1 Compunerea forţelor Se consideră un punct material O şi două forţe F1 şi F2 , acţionând simultan asupra acestui punct (fig. 2.1). În aceste condiţii, cele două forţe pot fi înlocuite cu una singură, numită forţa rezultantă, R : R  F1  F2

(2.1)

Având în vedere că R este un vector, trebuie sa-i fie determinate: direcţia sensul şi modulul. B

F2

C

R



O

F2 y

 A

F1

F2 x

D

Fig. 2.1 Compunerea forţelor – regula paralelogramului

Mărimea, direcţia şi sensul rezultantei sunt date de diagonala paralelogramului construit cu ajutorul vectorilor celor două forţe şi care sunt vectori legaţi. Mărimea rezultantei este dată de relaţia: R  R  F12  F22  2F1 F2 cos 

(2.2)

Poziţia rezultantei în raport cu o direcţie cunoscută (de exemplu, suportul forţei F1 ) poate fi precizată prin determinarea unghiului  utilizând teorema sinusurilor în triunghiul OAC : R

sin    

rezultă:

tg  



F1 F R   2 sin  sin     sin 

F2 sin  F1  F2 cos

(2.3) (2.4)

6

Când asupra punctului material acţionează mai mult de două forţe (fig. 2.2) se aplică succesiv regula paralelogramului şi se obţine la o construcţie grafică, cunoscută sub numele de poligonul forţelor.

F4

Fn

F3 R

F2

O Fn

O F1

F4 F13 F1 2

F3

F1 F2

Fig. 2.2 Compunerea forţelor – regula poligonului închis

Regula poligonului închis: dacă se consideră forţele concurente F1 , F2 ,… Fn cunoscute ca mărime, direcţie şi sens, aplicându-se succesiv regula paralelogramului, se obţine vectorul R având originea în O şi vârful în extremitatea ultimului vector echipolent, vector numit rezultanta sistemului de forţe. Expresia rezultantei este: R  F1  F2 

n

 Fn   Fi

(2.5)

i 1

Observaţii: - regula poligonului nu introduce restricţii în privinţa suporturilor forţelor concurente, deci forţele pot ocupa orice poziţie în spaţiu; - dacă forţele concurente sunt coplanare, poligonul forţelor este plan; - dacă forţele concurente sunt spaţiale, poligonul forţelor este spaţial. Într-un sistem de axe de coordonate Oxyz se folosesc notaţiile:

 X i ,Yi , Zi  = proiecţiile forţei Fi pe cele trei axe  X ,Y , Z  = proiecţiile rezultantei R pe aceleaşi axe: Fi  X i i  Yi j  Zi k

(2.6)

R  Xi  Yj  Zk

(2.7)

7

Rezultă: R  F1  F2 

n

X   Xi , i 1

n

Fn   Fi

(2.8)

i 1

n

n

Z   Zi

Y   Yi ,

(2.9)

i 1

i 1

Relaţiile (2.9) exprimă cunoscuta teoremă a proiecţiilor: “Proiecţia rezultantei pe o axă este egală cu suma proiecţiilor tuturor forţelor pe acea axă”. Observaţii: - dacă R  0 , poligonul forţelor se închide şi sistemul de forţe este în echilibru; - mărimea rezultantei este: R  X 2 Y2  Z2

(2.10)

- direcţia şi sensul (fig. 2.3) se determină prin calculul cosinusurilor directoare: cos  X R ; cos   Y R ; cos   Z R

(2.11)

cos2   cos2   cos2   1

z





O x

R



y

Fig. 2.3 Definirea direcţiei şi sensului rezultantei

- când numărul necunoscutelor este egal cu numărul de ecuaţii se poate face descompunerea unică a rezultantei după mai multe direcţii concurente. 8

2.2 Echilibrul forţelor aplicate punctului material liber Conform teoremei de echilibru a punctului material liber, condiţia de repaus al unui punct material liber se poate enunţa astfel: “Condiţia necesară şi suficientă ca un punct material liber, aflat iniţial în repaus, să continue să rămână în repaus sub acţiunea unui sistem de forţe dat, este ca acest sistem să fie în echilibru, adică rezultanta să fie egală cu zero”. Rezultă ecuaţia vectorială de echilibru al punctului material liber: n

R   Fi  0

(2.12)

i 1

Proiectând această ecuaţie vectorială de echilibru pe axele sistemului de coordonate Oxyz se obţin condiţiile scalare de echilibru: n

n

n

X   X i  0 ; Y   Yi  0 ; Z   Zi  0 i 1

(2.13)

i 1

i 1

Problema existenţei soluţiilor (dacă ecuaţiile sunt suficiente sau nu pentru rezolvarea problemei echilibrului punctului material liber) este legată de compatibilitatea sistemului de ecuaţii respectiv. În general, problema echilibrului punctului material liber are soluţie unică, dacă numărul de necunoscute este egal cu numărul de ecuaţii independente. În problemele de echilibru al punctului material liber se întâlnesc următoarele trei situaţii: - se dau forţele care acţionează asupra punctului şi se cere să se determine poziţia lui; - se cunoaşte poziţia punctului şi se cer forţele care acţionează asupra acestuia; - se cunosc o parte din forţe şi o parte din parametrii care caracterizează poziţia punctului şi se cer celelalte forţe şi ceilalţi parametri ce determină poziţia lui.

9

2.3 Punctul material supus la legături Se consideră un punct material A , aflat în echilibru (fig. 2.3) pe o suprafaţă  S  , acţionat de forţele active (sau efectiv aplicate) având rezultanta R  a  . R A

A

S  R

leg 

S 

a

R

Fig. 2.3

a

În acest caz relaţia R    0 nu mai poate reprezenta o condiţie necesară şi suficientă pentru echilibru, din cauza legăturilor care exercită anumite constrângeri geometrice şi mecanice asupra punctului material. a

Pentru a rezolva această problemă se foloseşte axioma legăturilor: “Orice legătură geometrică poate fi întotdeauna suprimată şi înlocuită cu forţe corespunzătoare, numite forţe de legătură sau reacţiuni” Rezultanta forţelor de legătură se notează cu R 

leg 

.

Punctul material, eliberat de legături, este acţionat de: - forţele efectiv aplicate:

R  ;

- forţele de legătură:

R

a

leg 

.

Cazul este echivalent: - din punct de vedere geometric, cu punctul material supus la legături; - din punct de vedere mecanic, cu punctul material liber. Pe baza acestei axiome, condiţia necesară şi suficientă pentru ca un punct material supus la legături să rămână în repaus, este ca suma dintre rezultanta leg a forţelor direct aplicate R   şi rezultanta forţelor de legătură R   să fie nulă: R   R a

leg 

0

(2.14)

Relaţia (2.14) reprezintă ecuaţia vectorială de echilibru al punctului material supus la legături. 10

Proiectând ecuaţia vectorială pe cele trei axe ale sistemului cartezian Oxyz , rezultă condiţia necesară şi suficientă de echilibru al punctului material: X   X a

Y  Y a

leg 

Z   Z a

leg 

leg 

0

0

(2.15)

0

Observaţii: - din punct de vedere al tipului de legături, se deosebesc: - rezemarea pe o suprafaţă; - rezemarea pe o curbă (unilaterală sau bilaterală); - prinderea cu fire. - legăturile punctului material pot fi: - legături fără frecare - când suprafaţa sau curba este perfect lucioasă (legătură ideală); în realitate frecarea există, dar este foarte mică şi se neglijează; - legături cu frecare - când suprafaţa sau curba nu este perfect lucioasă (legătură reală, aspră); 2.3.1 Echilibrul punctului material supus la legături Dacă se consideră un punct material A , obligat să rămână pe o suprafaţă  S  (fig. 2.4), el va fi acţionat de: - rezultanta forţelor efectiv aplicate, R   ; a

- rezultanta forţelor forţă de legătură, R 

11

leg 

.

n

R

RT

a

leg 

d 

N

S   P

R

A

Ff RN  a

a

Fig. 2.4 Reprezentarea forţelor aplicate punctului material supus la legături

12

În cazul echilibrului, aceste două forţe sunt egale, au acelaşi suport, aceeaşi mărime, dar sensuri opuse. În punctul A se trasează planul tangent  P  la suprafaţă şi normala  n  la planul tangent. Rezultantele forţelor efectiv aplicate şi ale forţelor de legătură au expresia: R    RN   RT a

R

leg 

a

a

(2.16)

 N  Ff

(2.17)

unde: - RN  este componenta normală, după direcţia normalei  n  ; a

- RT  este componenta tangenţială, după direcţia dreptei  d  de intersecţie a

a planului format de  n  şi suportul forţei R   cu planul tangent  P  . a

- N este reacţiunea normală; - F f este forţa de frecare de alunecare. Observaţii: - componenta RN  tinde să deplaseze punctul A după direcţia normalei  n  şi efectul ei este anulat de reacţiunea normală N : a

N   RN  a

(2.18)

- componenta RT  tinde să deplaseze punctul A pe suprafaţa  S  după o direcţie din planul tangent. a

Cazuri: a) dacă legătura este fără frecare (suprafaţa lucie, ideală) este necesar ca: RT   0 a

=> rezultanta forţelor exterioare direct aplicate R  dirijată după normala la suprafaţă.

a

trebuie să fie

b) dacă suprafaţa este aspră, pentru realizarea echilibrului, este necesar şi suficient ca: Ff   RT

a

şi

N   RN  a

13

(2.19)

2.3.2 Echilibrul punctului material supus la legături cu frecare În cazul legăturilor punctului material pe curbe sau suprafeţe aspre, s-a constatat experimental că nu se mai poate neglija componenta tangenţială F f a reacţiunii R  este limitată.

leg 

, ca în cazul legăturilor ideale, dar mărimea acestei componente

Pentru a evidenţia forţa de frecare de alunecare F f , se efectuează experienţa conform figurii 2.5, în care F poate creşte continuu. R

leg 



R

N

leg 



Fmax

F G

Ff max

Ff

G

F

N

G

Fig. 2.5

La o anumită valoare a forţei orizontale F corpul rămâne pe loc, caz în leg care reacţiunea R   este înclinată cu un unghi  faţă de normală. În cazul limită când forţele F şi F f iau valori maxime şi unghiul  capătă, de asemenea valoarea maximă  , numit unghi de frecare. Conform (fig. 2.5) se poate scrie: Ff  N  tg

(2.20)

Ff max  N  tg

(2.21)

La limită:

Deoarece    , se obţine: Ff  N  tg

(2.22)

14

Coulomb (1736 - 1806) a efectuat asemenea experienţe cu corpuri de diferite greutăţi, de aceeaşi natură sau de naturi diferite şi a ajuns să formuleze următoarele legi ale frecării uscate: 1. Mărimea forţei de frecare de alunecare maximă Ff max este direct proporţională cu mărimea reacţiunii normale N . 2. Mărimea forţei de frecare de alunecare maximă Ff max depinde de natura şi starea suprafeţei de contact dintre corpuri. 3. Mărimea forţei de frecare de alunecare maximă Ff max nu depinde de viteza relativă de deplasare a celor două corpuri şi nici de mărimea suprafeţelor aflate în contact. Concluzii: - forţa de frecare F f poate varia între zero şi valoarea limită Ff max - forţa de frecare de alunecare (maximă): Ff max  N  tg    N

(2.23)

- coeficientul de frecare de alunecare:

  tg

(2.24)

- relaţia (2.22) reprezintă condiţia pentru echilibrul punctului material: Ff    N

Aspectul geometric al frecării de alunecare Se consideră un punct material A supus la legături cu frecare pe o suprafaţă  S  (fig. 2.6,a), asupra căruia acţionează un sistem de forţe ce dau rezultanta R   . a

Prin schimbarea direcţiei forţelor ce acţionează asupra punctului, se a modifică direcţia rezultantei R   faţă de normala  n  la planul tangent  P  . Pentru echilibrul la limită al punctului, reacţiunea R   , respectiv a rezultanta R   vor descrie o suprafaţă conică, numită con de frecare, având vârful în punctul A , cu axa după direcţia normalei  n  la planul tangent şi unghiul la vârf 2 . leg

Echilibrul punctului material supus la legături cu frecare pe o curbă  C  se evidenţiază în fig. 2.6,b: 15

R

n

leg 

2

C 

2

t 

S 

A

 P

R

leg 

R

a

A

 P R

a)

a

b)

Fig. 2.6 Conul de frecare în cazul punctului aflat a) - pe o suprafaţă b) - pe o curbă

La limita echilibrului, reacţiunea R   , respectiv rezultanta R   , vor descrie un con de frecare cu vârful în punctul A , având axa după direcţia tangentei la curbă şi unghiul la vârf. leg

a

Interpretare geometrică: a) pentru realizarea condiţiei de echilibru a unui punct pe o suprafaţă cu a frecare, trebuie ca suportul rezultantei forţelor efectiv aplicate R   , să se găsească în interiorul conului de frecare. Rezultă că unghiul dintre direcţia rezultantei şi axa conului de frecare,  , trebuie să fie mai mic decât unghiul de frecare:

  ;

(2.25)

b) pentru realizarea condiţiei de echilibru a unui punct pe o curbă cu a frecare, trebuie ca suportul rezultantei forţelor efectiv aplicate R   , să se găsească în exteriorul conului de frecare, sau să facă cu axa conului un unghi:

  90  

(2.26)

Concluzii: a) Problema echilibrului punctului material supus la legături cu frecare, introduce o necunoscută în plus faţă de problema legăturii ideale şi anume, a componenta tangenţială RT  . Pentru determinarea acestei necunoscute este disponibilă o relaţie suplimentară şi anume, inegalitatea: RT   Ff  N  tg a

(2.27)

16

- problemele de frecare sunt în general nedeterminate, adică există regiuni întregi (pe o curbă sau pe o suprafaţă) în care este posibil echilibrul. - problemele devin determinate dacă în rezolvarea unei astfel de probleme, interesează numai poziţiile echilibrului la limită, atunci când: RT   Ff max    N a

(2.28)

b) în cazul echilibrului punctului material pe o curbă aspră, pentru determinarea forţei de frecare F f este suficientă cunoaşterea unei singure necunoscute scalare, pentru că direcţia lui F f este direcţia tangentei la curbă şi este determinată. c) în cazul echilibrului punctului material pe o suprafaţă aspră este necesar să se cunoască două necunoscute scalare (întrucât, în planul tangent, direcţia lui F f este necunoscută). Observaţie: - în cazul echilibrului punctului material pe o curbă, reacţiunea normală N are o direcţie nedeterminată, cuprinsă în planul normal la curbă. Necunoscutele care intervin în probleme de statica punctului material supus la legături sunt de doua feluri: - necunoscute ce determină poziţia de echilibru; - necunoscute referitoare la forţele de legătură. O problemă de statica punctului material supus la legături se rezolvă în următoarele etape: - se figurează forţele efectiv aplicate; - se eliberează punctul de legături şi se introduc forţele de legătură; - se scrie condiţia vectorială de echilibru; - se alege un sistem de coordonate convenabil; - se proiectează ecuaţia vectorială pe axele sistemului de coordonate; - se rezolvă sistemul de ecuaţii scalare.

17

PROBLEME REZOLVATE Statica punctului material liber 2.1.1 Asupra unui punct material acţionează două forţe, F1  10 N şi F2  6 N , unghiul dintre ele fiind   60 . Să se determine rezultanta celor două forţe (direcţia, sensul şi modulul). B

F2

C

R





O

A

F1

Rezolvare: - pentru determinarea modulului rezultantei: se aplică formula cunoscuta de la regula paralelogramului, respectiv: R  R  F12  F22  2F1 F2 cos 

=>

R  14 N

- pentru determinarea direcţiei rezultantei se calculează unghiul  : tg  

2.1.2

F2 sin  => F1  F2 cos 

tg   0,399 şi   2145'7, 2''

Să se determine rezultanta forţelor: F1  i  2 j  2k ;

F2  i  k ;

F3   i  j  3k

Rezolvare: Forţele ce acţionează asupra unui sistem şi rezultanta lor pot fi scrise sub forma: Fi  X i i  Yi j  Zi k R  Xi  Yj  Zk

şi

R  F1  F2 

n

 Fn   Fi i 1

18

Având în vedere formulele şi datele din problemă, se alcătuieşte un tabel: X i Yi

Zi

F1

1

2

2

F2

1

0

1

F3

-1 -1 -3

n

R   Fi

1

1

0

i 1

Cunoscând componentele rezultantei, se determină: - modulul:

R 2

R  X 2 Y2  Z2 ;

- direcţia şi sensul (se determină prin calculul cosinusurilor directoare): cos  X R ;

cos   1

2;

  45

cos   Y R ;

cos   1

2;

  45

cos   Z R ;

cos   0 ;

  90

2.1.3 O forţă P având modulul de 26 N , este descompusă în trei componente perpendiculare între ele şi proporţionale respectiv cu 3:4:12. Să sa afle mărimile componentelor şi cosinusurile directoare. Rezolvare: Se consideră X , Y , Z componentele forţei P pe axele de coordonate. Atunci:

P2  X 2  Y 2  Z 2 Din condiţia de proporţionalitate:

X Y  3 4;

Din cele trei ecuaţii rezultă: X  6 N ; Y  8 N ; Z  24 N

Se determină cosinusurile directoare:

cos   X P ;

cos   3 13 ;

cos   Y P ;

cos   4 13 ;

cos   Z P ;

cos   12 13 ;

19

Y Z  4 12  1 3 ;

Statica punctului material supus la legături 2.1.4 Să se determine mărimea forţei P , necesară pentru menţinerea în echilibru a corpului de greutate Q , pe un plan înclinat. Se cunosc unghiurile  ,  şi  ,   arctg  ,    . Dimensiunile corpului se neglijează.

P





Q

Rezolvare: Neglijând dimensiunile corpului, acesta poate fi tratat ca un punct material. Se eliberează punctul material de legături şi se introduc forţele de legătură. Existând forţă de frecare, vom studia echilibrul în două cazuri, după cum punctul material are tendinţa de mişcare spre în sus sau în jos. a) tendinţa de mişcare în sus:

P

N

y

O



 x

Ff

Q

După eliberarea de legături şi introducerea forţelor de legătură, sistemul de forţe se prezintă conform figurii de mai sus Ecuaţia de echilibru este: R  P  Q  N  Ff  0

Alegând un sistem de coordonate cu axa Ox paralelă cu planul înclinat şi proiectând pe axe ecuaţia de echilibru, rezultă:

 x :

P cos   Q sin   Ff  0

(a)

 y :

P sin   Q cos   N  0

(b)

20

La aceste două ecuaţii se adaugă relaţia dintre forţa de frecare F f şi reacţiunea normală N , respectiv: Ff    N

(c)

Rezolvând sistem format din ecuaţiile (a), (b), (c), rezultă: P  Q sin     sin       Pmax

(d)

b) tendinţa de mişcare în jos:

P



N

y

x Ff



O

Q

Forţa de frecare îşi schimbă sensul. Urmând acelaşi procedeu se obţine: P  Q sin     sin       Pmin

(e)

Din relaţiile (d) şi (e) se obţine: Pmin  P  Pmax

(f)

2.1.5 O sferă de greutate P se sprijine fără frecare în punctele A şi B pe două suprafeţe plane fixe, înclinate cu unghiurile  şi  faţă de orizontală. Să se afle reacţiunile în punctele A şi B . y

NA

NB A



A

P



O P

B



21

x



B

Rezolvare: Asupra sferei acţionează forţa de greutate P . În punctele de contact apar reacţiuni normale N A şi N B , dirijate după raza care uneşte centrul sferei cu punctul respectiv. Ecuaţia de echilibru se scrie sub forma: R  P  N A  NB  0

Alegând un sistem de referinţă cu axa Oy trecând prin centrul sferei şi proiectând ecuaţia de echilibru, se obţine:

 x :  y :

N A sin   N B sin   0

(a)

 P  N A cos   N B cos   0

(b)

Rezolvând acest sistem de ecuaţii rezultă: N A  P sin  sin     N B  P sin  sin    

PROBLEME PROPUSE 2.2.1

Asupra unui punct material se aplică două forţe, F1  5 N şi F2  3 N ,

ce fac între ele un unghi   60 . Să se determine rezultanta forţelor şi unghiurile făcute de ea cu fiecare dintre cele două forţe. R:

R  7 N ; 1  21 48' ;  2  38 12'

C

2.2.2 Într-un cerc se duc diametrul AB şi două coarde, CD şi EF , perpendiculare pe diametru. Să se afle rezultanta R a celor cinci forţe reprezentate de vectorii AB , AE , AC , AD şi AF .

A

R  3  AB

22

B

O

D

R:

E

F

2.2.3 La distanţa a de mijlocul unei A bare de lungime AB  l , cu distribuţie liniară  a masei, se află un punct material de masă m . Fiecare punct al barei atrage punctul material cu o forţă dată de legea lui l Newton. Să se calculeze forţa cu care bara atrage punctul material. R:

b a

b B

F  klm / ab

2.2.4 Un punct material M , de greutate G , se reazemă pe un plan înclinat ce face unghiul  cu orizontala şi este fixat cu un fir AM ce face unghiul  cu planul înclinat.

 M

Să se determine reacţiunea planului înclinat şi tensiunea din fir. R:

m



N  G cos(   ) cos  ; T  G sin  cos 

2.2.5 Un punct material M 1 , de greutate P , este legat cu firul OM 1 , care face unghiul  cu verticala, şi cu firul M1 AM 2 , care trece peste scripetele ideal A şi poată la capătul M 2 greutatea Q . Să se determine Q şi tensiunea T1 din firul OM 1 pentru poziţia de echilibru, în ipoteza că firul M 1 A este orizontal. O



M1

A

P Q R:

T1  P cos ; Q  P tg 

23

M2

2.2.6 Un cilindru omogen A , de greutate P şi rază r , se sprijină pe suprafaţa cilindrului lucios C B , de rază R , şi este menţinut în echilibru cu ajutorului firului CD , de lungime l , dispus în planul vertical.

D

r

Să se determine tensiunea din fir şi reacţiunea suprafeţei cilindrice. R:

R

 2

N  P 1  r R  ; T  P  l  r  R

B

2.2.7 O sferă de greutate P este prinsă printrun fir de punctul fix B , iar în punctul A se sprijină pe un plan înclinat.

B



Să se determine reacţiunea planului înclinat şi tensiunea din fir dacă se cunosc unghiurile  şi  . R:

A

O



N  P sin  cos(   ) ; T  P cos cos(   )

A

2.2.8 Pe un ghidaj semicircular de rază r , situat într-un plan vertical, se sprijină două puncte de greutăţi G1 şi G2 , legate între ele printr-un fir perfect flexibil şi inextensibil, de lungime l . Să se determine valorile unghiurilor 1 şi  2 pentru poziţia de echilibru.

2

1 G1 O

R:

ctg 1  G1  G2 cos(l r ) G2 sin(l r ) ; ctg 2  G1 cos(l r )  G2  G1 sin(l r ) 24

G2

2.2.9 Un corp de greutate P este suspendat de două fire între doi pereţi verticali, aşa cum se arată în figură.

A

Să se determine tensiunile T1 şi T2 din



B



fire. R:

P

T1  P sin  sin(   ) ; T2  P sin  sin(   )

2.2.10 Un punct material M , de greutate P , este menţinut în echilibru pe suprafaţa interioară a unei semisfere lucii cu ajutorul unei greutăţi Q (vezi figura). Să se determine reacţiunea N a sferei şi unghiul  făcut de raza cu orizontala. O R

Q

M

R:



N  Q sin  2  cos  ; cos  2   Q  Q2  8P 2

 4P y

2.2.11 Un punct material M , de greutate G , se află în echilibru pe un arc de cerc de rază r sub acţiunea unei forţe orizontale H . Să se determine forţa H şi reacţiunea curbei asupra punctului material în funcţie de poziţia punctului pe curbă.

H r

R:

O

H  Gx y ; N  G x 2  y 2 y

25

x

2.2.12 Se dau două bare rigide OA şi OB , îmbinate rigid la un unghi de 90 . Pe aceste bare lunecă fără frecare două sfere de greutăţi P şi Q , legate între ele printr-un fir inextensibil.

O



C

D

P

Q



B Să se afle poziţia de echilibru (unghiul OCD   ), reacţiunile în punctele C şi D şi tensiunea din fir în cazul echilibrului, cunoscând că unghiul OAB   .

R:

A

tg    Q P  ctg  ; NC   P  Q  cos  ; N D   P  Q  sin 

2.2.13 Un punct material B , de greutate P , este în echilibru pe suprafaţa unei sfere, punctul fiind legat cu un fir de un punct fix A . Se cunosc: lungimea l a firului, raza r a sferei, precum şi unghiurile  şi  .

A



Să se determine reacţiunea sferei asupra punctului material şi tensiunea din fir. R:

T  P sin  sin    

r

Să se afle valorile forţei H şi a reacţiunii N a O parabolei, în funcţie de poziţia punctului pe curbă. H  2bG  x ; N  G  1   2bx 

B

 O

2.2.14 Un punct material M , de greutate G , se y află în echilibru fără frecare pe parabola y  bx 2 sub acţiunea unei forţe orizontale H .

R:

l

2

26

M

H x

2.2.15 De punctul cel mai înalt A al unei bile de rază r este legat un fir elastic de constantă elastică k şi de lungime l în stare M liberă. După ce de fir a fost atârnat un punct material M , unghiul la centrul este egal cu  .

A



r

Să se determine greutatea punctului material şi reacţiunea bilei. R: Firul elastic se consideră că se comportă ca un resort elastic. Forţa care apare în acest caz este Fe  k l1  l  , unde l1 este lungimea firului după întindere. P  k  r  l  sin  ; N  k  r  l  tg

2.2.16 Pe un plan înclinat cu un unghi  faţă de orizontală se găseşte o greutate Q . Cunoscând coeficientul de frecare de alunecare  , să se determine forţa P minimă şi unghiul  sub care trebuie ea aplicată pentru ca greutate să se deplaseze în sus. R:

Q



  arctg    ; Pmin  Q cos  sin  

1   2 ; N  Qcos   sin  

2.2.17 Un punct material M , de greutate G , se B poate deplasa fără frecare pe un cadru vertical de forma unui sfert de cerc de rază r , fiind respins de extremitatea A a diametrului orizontal şi atras de extremitatea B a diametrului vertical cu forţe proporţionale cu distanţele respective. Să se determine poziţia de echilibru a punctului material pe cerc şi reacţiunea cercului. O

R:



P

tg  G kr  1; N 

G  kr2  kr2 27

1 2

M

r



G A

2.2.18 Un punct material M , de greutate G , poate luneca fără frecare pe un cerc, fiind respins de extremitatea inferioară a diametrului vertical a cercului cu o forţă invers proporţională cu pătratul distanţei dintre cele două puncte. Să se determine poziţia de echilibru a punctului material pe cerc şi reacţiunea cercului. R:



F

 M



1   ;  2 2  arcsin kr G ; 3

r

O

G

N1  k 2r   G ; N 2  G 2

2.2.19. Un lanţ de lungime l şi greutate distribuită p  p   N/m  alunecă cu un coeficient de frecare  pe sistemul de plane înclinate ABC . Să se determine lungimea x pentru care se realizează echilibrul. R:

p

x B

 A

 C

sin    cos   sin    cos    l  x  x ; l  x  x  sin    cos  sin    cos  

2.2.20 Un punct material, aflat sub acţiunea forţei gravitaţionale, se poate deplasa cu frecare pe un cadru circular de rază r , aşezat într-un plan vertical. La ce diferenţă de nivel, faţă de centrul cercului, punctul material poate fi în echilibru, dacă coeficientul de frecare este  .

R:

r

1 2  h   r

1 2

28

2.2.21 Un punct material de greutate neglijabilă, obligat să rămână pe un semicerc de rază r , este legat cu două resorturi de constantă elastică k , de extremităţile diametrului AB . Să se determine poziţia de echilibru şi reacţiunea normală N . M

F1 F2

r

R:



O

A

B

N  2kr . Punctul este în echilibru în orice punct al cercului.

2.2.22 Două greutăţi P şi Q , situate pe câte un plan înclinat de unghi 1 şi, respectiv,  2 , sunt legate între ele printr-un fir de lungime l . Firul, de masă neglijabilă, este trecut peste un scripete ideal, aflat la înălţimea h deasupra liniei de intersecţie a celor două plane, presupusă orizontală. Să se determine unghiurile 1 şi  2 făcute de cele două porţiuni ale firului cu orizontala, în ipoteza absenţei frecărilor.

h

1

1

R:

2

Q

P

2

Se rezolvă sistemul de ecuaţii: P  sin 1 cos1  1   Q  sin  2 cos 2   2  ; l  h  cos1 cos1  1   cos 2 cos 2   2 

29

2.2.23 Să se determine valoarea limită a coeficient de frecare  de la care este mai convenabil ca un corp greu să fie ridicat direct, decât să fie deplasat pe un plan înclinat aspru, care formează cu orizontala un unghi  . R:

  1 sin   cos

2.2.24 Un inel de greutate G se poate deplasa fără frecare pe un cadru vertical circular, de rază r . Să se determine unghiul  şi reacţiunea circumferinţei pentru poziţia de echilibru. Să se stabilească condiţiile pentru care    2 .

B

Q A

O

 P

R:

G

Unghiul se obţine din ecuaţiile: P sin  2   4   Q sin  2   G sin   0 ; N  G cos   P cos  2   4   Q cos  2  .

Pentru     2 trebuie ca Q  G 2 2.2.25 Un punct material P , de greutate G , poate aluneca fără frecare pe o curbă plană y  f (x) , fiind respins (atras) de o forţă orizontală H  kxi (proporţională cu abscisa punctului). Să se afle poziţia de echilibru a punctului material şi reacţiunea N a curbei asupra acestuia. Aplicaţie: a) parabola y  ax 2 ; b) parabola y 2  2 px ; c) hiperbola xy  a 2 . R:

Ecuaţia care defineşte poziţia de echilibru este: Gy  H  kx ;

N  G 1  y2 ;

a) poziţia de echilibru este independentă de x ; N  G 1  a 2 x 2 ; b) x  3 G / k  p / 2 ; N  G 1 p / 2 x ; c) x  3 6a 2 / k ; N  G 1  a 4 / x 4 30

2.2.26 Un om deplasează uniform pe un plan rugos   0,3 un corp cu greutatea G  980 N , acţionând asupra acestuia cu o forţă care face cu orizontala un unghi   30 . Să se determine forţa F în cazurile când greutatea este trasă, respectiv împinsă, precum şi raportul forţelor în cele două cazuri. R:

Când greutatea este trasă: F1  290N . Când greutatea este împinsă: F2  410N ; F1 F2  0,707

2.2.27 O bară omogenă, de lungime AC  l , C este dispusă pe un plan orizontal, astfel încât porţiunea AB  0, 2  l a ei este suspendată.

A

B

0, 2  l

La capătul A al barei acţionează o forţă Q , dirijată vertical, spre în jos. Când Q  2940 N , capătul C al barei începe să se ridice.

Q

Să se determine masa m a barei. Dacă AB devine egală cu 0, 25  l , cu cât trebuie să se reducă Q ? R:

m  200 kg . Forţa Q se reduce cu aproximativ 1 3

2.2.28 Două greutăţi G1 şi A G2 sunt legate cu un fir BC între ele şi cu alte fire AB , respectiv CD . De firul CD este atârnată greutatea P .

2

Cunoscând 1 şi  2 , să se determine greutatea P şi unghiul  3 pentru echilibru, precum şi tensiunile din firele AB şi BC . R:

D

1

3

G1

T1  G1 cos 2 / sin(1   2 ) ; T2  G1 cos1 / sin(1   2 ) ; tg 3  G1 cos1  G2 sin(1   2 ) G1 cos1 cos 2  ; P  G1 cos 1 cos 2 cos3 sin 1   2 

31

P

C

B

G2

2.2.29 a) Un inel C de greutate G poate aluneca fără frecare pe un fir prins A între punctele A şi B . De inel este legat un alt fir, trecut peste un scripete ideal D , la celălalt capăt al firului fiind prinsă o greutate P .



B

D

C

Să se determine greutatea P astfel încât unghiul ACB  90 , admiţând CD AB ;

G

P

b) Se taie firul ACB în punctul C şi se leagă separat de inel. Deoarece greutatea P nu mai este necesară în acest caz, să se determine tensiunile TCA şi TCB . R:

a) P  G  1  tg  1  tg  ; T  G cos  sin   ; b) TCA  G sin  ; TCB  G cos

2.2.30 Un inel M , de greutate neglijabilă, se reazemă cu frecare pe un cadru circular vertical fix. De inel sunt prinse două fire, care trec peste scripeţii ideali A şi B . La capetele firelor sunt prinse greutăţile G1  G2  G . Pentru cazul în care firul MB face unghiul   30 cu diametrul orizontal al cadrului, să se determine: a) valoarea coeficientului de frecare  pentru care punctul M rămâne în repaus; b) raportul greutăţilor G1 G2 pentru ca echilibrul să se realizeze în absenţa frecării; c) reacţiunile din scripeţii A şi B . R:

a)  





2 1



3  2 ; b) G1 G2  1





A

G1

O B

G2

2;

c) H A  G 2 ; VA  G 1  2 ; H B  G 3 2 ; VB  G 2

32



M

3 SISTEME DE VECTORI ALUNECĂTORI 3.1 Vectori alunecători Solidul rigid este un model matematic care admite ipoteza ca distanţa dintre două puncte ale sale rămâne neschimbată indiferent de mărimea forţelor ce acţionează asupra lui. Se poate considera (fig. 3.1) că în cazul unui sistem de două forţe F şi  F , care acţionează pe acelaşi suport    , efectul asupra rigidului se anulează.

A

F

F

B



Fig. 3.1

Se consideră un rigid acţionat de o forţă F în punctul A (fig. 3.2-a). Pe suportul aceste forţe,    , se consideră un punct B (fig. 3.2-b) în care se aplică două forţe F şi  F ; acţionând în acelaşi punct, efectul lor asupra rigidului este nul. Rezultă că stările a) şi b) sunt echivalente din punct de vedere mecanic. Potrivit modelului solidului rigid, în starea b) forţele F din A şi  F din B se anulează reciproc.

A

F

B

 a)

A

F

F B F

 b)

A

B F

 c)

Fig. 3.2

Rezultă că starea a) este echivalentă cu starea c); se poate afirma că F este un vector alunecător. Concluzie: - efectul unei forţe F asupra unui rigid nu se schimbă dacă punctul ei de aplicaţie se deplasează pe suportul forţei    din A în B .

32

3.2 Momentul unei forţe în raport cu un punct Se consideră vectorul F (fig. 3.3) având suportul    şi originea în punctul de aplicaţie A , poziţionat faţă de un reper fix O cu ajutorul de vectorului de poziţie r . Definiţie: - momentul forţei F în raport cu punctul (polul) O este vectorul M O  F  , definit de produsul vectorial: M O  F   r  F  OA  F

(3.1)

MO  F 

 P

F

r

O



d



A

C

Fig. 3.3 Momentul unei forţe în raport cu un pol

M O  F  este un vector legat de polul considerat O şi este caracterizat prin:

- direcţie: perpendiculară pe planul definit de vectorii r şi F ; - sens: este dat de regula şurubului (burghiului) drept; - modul: se poate calcula cu relaţia:

Dacă:

=>

M O  F   r  F  r  F  sin   F  d

(3.2)

r  xi  yj  zk

(3.3)

F  Xi  Yj  Zk

(3.4)

M  Mxi  M y j  Mzk

(3.5)

i MO  F   r  F  x X

j y Y

k z  Z

  yZ  zY   i   zX  xZ   j   xY  yX   k

33

(3.6)

Prin identificare, din (3.5) şi (3.6) se obţin proiecţiile momentului forţei F în raport cu polul O :

M x  yZ  zY , M y  zX  xZ , M z  xY  yX

(3.7)

Proprietăţi: a) momentul polar este nul: - dacă suportul forţei F trece prin polul O ( d  0 ); - dacă F  0 ; b) momentul polar (fig. 3.4) al forţei F este un invariant: - faţă de alunecarea forţei pe suportul său; - faţă de mutarea polului pe o dreaptă paralelă cu vectorul dat.



F

F1

d r1

A1 r1

A

O1 r

F

r

O

O M O  F   M O1  F 

M O  F   M O  F1 

A

d



Fig. 3.4 Cazuri de invarianţă a momentul unei forţe în raport cu un pol

c) variaţia M O  F  prin schimbarea punctului de aplicaţie al vectorului F :





M 'O  F   r1  F  r  AA1  F  r  F  AA1  F

=>

M 'O  F   M O  F   AA1  F

(fig. 3.5,a) (3.8)

d) variaţia M O  F  prin schimbarea polului O :





M O1  F   r1  F  O1O  r  F  r  F  O1O  F

=>

M O1  F   M O  F   O1O  F

34

(fig. 3.5,b) (3.9)

F

F

O1

A1

A

A

r1 a)

F

r1

r

r



O

O

b)



Fig. 3.5 Variaţia momentul unei forţe în raport cu un pol: a) la schimbarea punctului de aplicaţie al forţei; b) la schimbarea polului

3.3 Momentul unei forţe în raport cu o axă Definiţie: - momentul unei forţe F în raport cu o axă    este o mărime scalară obţinută prin proiectarea pe axă a vectorului moment polar (fig. 3.6) calculat în raport cu un punct oarecare ce aparţine axei    . MO  F 





M F 

O

 P



r

F

A

Fig. 3.6 Momentul unei forţe în raport cu o axă

Dacă se notează cu  = versorul dreptei    :

=>

   x i   y j   zk

(3.10)

M   F   pr M O  F   M O  F   

(3.11)

35

Ţinând cont de relaţiile (3.6) şi (3.10) , expresia (3.11) devine:





M   F    x i   y j   z k   yZ  zY  i   zX  xZ  j   xY  yX  k  M   F    x  yZ  zY    y  zX  xZ    z  xY  yX 

(3.12)

Dacă se cunosc cosinusurile directoare ai versorului  : cos    x  , cos    y  , cos    z 

M   F   r  F   

=>

(3.13)

x

y

z

X

Y

Z

cos 

cos 

cos 

(3.14)

Observaţii: a) momentul unei forţe în raport cu o axă schimbarea polului O pe axa    :



este invariant faţă de

M   F   pr M O  F   M O  F   









 OA  F     O O  OA  F      



 





(3.15)



  OO  F  OA  F      









 OO  F    OA  F    OA  F    M   F 

unde:

OO  F     0 , deoarece vectorii OO şi 

sunt coliniari;

b) momentul axial este nul dacă suportul forţei F şi axa coplanare;



sunt

c) momentul axial este invariant faţă de alunecarea forţei pe suportul său; d) momentul axial al unei forţe F este egal cu suma momentelor axiale ale forţelor componente F1 şi F2 : M   F   M   F1   M   F2 

36

(3.16)

3.4 Teoremele momentelor (Varignon) Fie un sistem de n forţe Fi , i  1, n concurente într-un punct A şi fie O un punct oarecare în spaţiu (fig. 3.7). Fi

Fn

R

F2

O

A

O

F1

A

Fig. 3.7

Scriind momentele tuturor forţelor F i în raport cu punctul O se obţin relaţiile: M O  F1   OA  F1 , M O  F2   OA  F2 , … M O  Fn   OA  Fn

Adunând aceste relaţii membru cu membru, rezultă: M O  F1   M O  F2  

 M O  Fn   OA  F1  OA  F2 

 OA  Fn

n

 OA   Fi  OA  R i 1

Teoremele lui Varignon se pot scrie sub următoarele două forme: Enunţ 1: Suma momentelor a „ n ” forţe concurente în raport cu un punct O , este egală cu momentul rezultantei forţelor calculat în raport cu acelaşi punct:

 M  F   OA  R  M  R  n

i 1

O

i

O

(3.17)

Enunţ 2: Suma momentelor a „n” forţe concurente în raport cu o axă este egală cu momentul rezultantei forţelor luat în raport cu aceeaşi axă. Dacă punctul O se află pe o dreaptă (  ) de versor  , se obţine:

 M F   M R n

i 1



i

(3.18)



37

3.5 Cuplul de forţe. Momentul unui cuplu Definiţie: Două forţe egale în modul, paralele, (fig. 3.8) de sensuri contrare F1  F şi F2   F , având suportul diferit  1     2  , formează un cuplu de forţe. Mărimea care arată acţiunea unui cuplu este momentul cuplului: M cuplu  M O  F1   M O  F2   OA1  F1  OA2  F2





 OA1  F  OA2    F   OA1  OA2  F

MO A2

 2 

F1

O

F2

d

 P

 1 

A1

Fig. 3.8

Rezultă expresia momentului cuplului: M cuplu  A2 A1  F

(3.19)

M cuplu  A2 A1  F  F  d

(3.20)

Observaţii - momentul unui cuplu este: - un vector liber, perpendicular pe planul cuplului; - este invariant la schimbarea polului. - cuplurile care au acelaşi vector moment sunt mecanic echivalente.

38

3.6 Reducerea sistemelor de forţe 3.6.1 Reducerea unei forţe în raport cu un punct A reduce o forţă într-un punct înseamnă a găsi elemente mecanice echivalente legate de punctul considerat, care să producă acelaşi efect ca forţa dată. Fie forţa F care acţionează asupra unui solidul rigid (fig. 3.9).

F

F A

 1 

A





MO  F 

r

r

O

F

F

F

O

O

Fig. 3.9 Reducerea forţei F în punctul O

Pentru a reduce forţa F în punctul O , introducem un sistem de două forţe opuse F şi  F care au suportul  1  paralel cu suportul    . Se înlocuieşte perechea de forţe: F (aplicată în A ) şi  F (aplicată în O ), care formează un cuplu de forţe, cu vectorul moment polar: M O  F   OA  F  r  F

(3.21)

Sistemul mecanic echivalent cu forţa dată F se numeşte torsorul de reducere în raport cu polul O :



O  F   F, MO  F 



(3.22)

39

3.6.2 Reducerea unui sistem de forţe oarecare într-un punct Se consideră un solid rigid (fig. 3.10) asupra căruia acţionează un sistem de forţe oarecare F1 , F2 , , Fn având punctele de aplicaţie A1, A2 , , An şi se determină torsorul de reducere al forţelor în punctul O . Metodologia de rezolvare este următoarea: – se introduce în polul O perechi de forţe ( Fi ,  Fi ), i  1, n ; – se înlocuiesc cuplurile constituite din forţele Fi (aplicate în Ai ) şi  Fi (aplicate în O ), cu vectorii momente ale cuplurilor: M O  Fi   ri  Fi ,

i  1, n

M O1

1 R

ri1

O1

MO

Fi



ri

Ai

R O Fig. 3.10

În punctul O rezultă două sisteme de vectori concurenţi: - sistemul de forţe concurente Fi

 

- sistemul de vectori momente ale cuplurilor M O F i . – se calculează rezultantele celor două sisteme de vectori: n

R   F i  Xi  Yj  Zk ; i 1

n

 

n

M O   M O F i   ri  F i i 1

i 1

40

(3.23)

Sistemul format din vectorii RO şi M O este echivalent cu sistemul de forţe dat şi se numeşte torsorul de reducere al sistemului de forţe dat în raport cu polul O :

 

 O F i   R, M O 

(3.24)

Observaţii: - vectorul rezultantei R este un invariant la schimbarea polului de reducere; - momentul rezultant M O variază la schimbarea polului după legea (3.9): M O1  M O  O1O  R

- produsul scalar dintre R şi M O este o mărime constantă (este independent de poziţia punctului O ) ce se numeşte trinom invariant: R  M O  XM x  YM y  ZM z  ct.

(3.25)

- dacă R  0 , atunci vectorul moment rezultant, M O , este invariant faţă de polul de reducere; - proiecţia vectorului moment rezultant pe direcţia vectorului forţă rezultantă este un invariant al schimbării polului de reducere din O în O1 , adică: prR M O1  prR M O

(3.26)

3.6.3 Torsorul minimal. Axa centrală Definiţii: - torsor minimal torsorul sistemului de forţe atunci când vectorii rezultantei şi momentului sunt coliniari; - axa centrală este locul geometric al punctelor în raport cu care un sistem de forţe oarecare se reduce la un torsor minimal.

R

MO

R r

O



P

MP

Pentru determinarea ecuaţiei axei Fig. 3.11 Reprezentarea axei centrale centrale    se consideră un punct oarecare P  x, y, z  care aparţine acestei axe (fig. 3.11) şi se aplică relaţia (3.9) de calcul a momentului la schimbarea polului:

41

M P  M O  PO  R

(3.27)





=>

M P  M O  PO  R  M O  OP  R

=>

i j k M P  M Ox i  M Oy j  M Oz k   x  y  z X

Y

Z

M P   M Ox   yZ  zY   i 

=>

  M Oy   zX  xZ   j 

(3.28)

  M Oz   xY  yX   k

Din condiţia de coliniaritate dintre M P şi R  Xi  Yj  Zk rezultă ecuaţiile axei centrale: M Ox   yZ  zY  M Oy   zX  xZ  M Oz   xY  yX    X Y Z

(3.29)

Ţinând cont că vectorii M P şi R sunt coliniari se poate determina expresia momentului minim si, implicit, torsorul minim:

 min   R, M min    R, M P 

(3.30)

Valoarea momentului M P este:





M O  PO  R  R R MP  R R M P  M P iR    R R R R





M O  R  PO  R  R R R  MO  R  2 R R R unde s-a ţinut cont că: 

prR M P  M P  iR  M P 

R 1 1  M P  R   MO  R  R R R

 PO  R   R  0 =>





(3.32) (3.33)

M min  M P   M O  R 

 min   R ,  M O  R 

(3.31)

R R2

R   R2 

(3.34) (3.35)

42

PROBLEME REZOLVATE 3.1.1 Pentru sistemul de forţe din figură se cunosc: OA  OB  OH  a , F1  2 P ; F2  F3  F4  P 2 .

O

z

B

y

A

Să se determine:

F2

a) torsorul forţelor în punctul O ;

F4

x

b) torsorul forţelor în punctul E  a 2, a 2,  a  ;

H

F1

c) ecuaţia axei centrale;

E

d) torsorul forţelor într-un punct al axei centrale.

F3

D

C

Rezolvare: a) proiecţiile pe axe ale forţelor şi momentelor corespunzătoare în raport cu polul O sunt date în tabelul următor: Xi

F1 F2 F3 F4 

Deci:

Yi

M ix

Zi

M iy

M iz

0 2P 0  2Pa 0 0 0 0 Pa P P 0  Pa  Pa  Pa P P 0 P 0 0 0 P 0  P 3P  Pa  3Pa 0 0

R  P j  3k 

M O   Pai  3 j 

 O   R; M O  b) la calculul torsorului de reducere în punctul E se are vedere că se modifică numai momentul rezultant, după regula: M E  M O  EO  R  P

a  3i  3 j  k  2

Torsorul de reducere în punctul E este:  E  R; M E  .

43

c) ecuaţia axei centrale: M x  yZ  zY M x  zX  xZ M x  xY  yX   X Y Z

Pa  3Py  zP  3Pa  3Px Px ;   0 P 3P

devine în acest caz:

se obţine ecuaţia unei drepte conţinută într-un plan paralel cu planul (Oyz ) : 3 y  z  a  0 x  9 a  10

c) în orice punct Q aparţinând axei centrale, torsorul de reducere este compus din rezultanta R (invariant al sistemului de forţe) şi momentul rezultant minim (paralel cu rezultanta): M min

M O  R 3P 2 a 3a    P, R P 10 10

deci de acelaşi sens cu rezultanta, de versor: u

R P j  3k  10 3 10   j k R 10 10 P 10

Prin urmare: M min 

3Pa  j  3k ;  min  R ; M min . 10

3.1.2 Pentru sistemul de forţe care acţionează asupra cadrului din figură, să se determine torsorul în articulaţia O.

h h2

p2 A

F B

Se cunosc:

G

F  G  Q;

h

p1  Q h ;

G

p2  Q 2h .

O p1

44

h 2

h 2

G C

Rezolvare: Deoarece pe latura OA a cadrului acţionează un sistem de forţe paralele distribuite, se va calcula mai întâi torsorul acestuia într-un punct de pe axa centrală (unde se ştie că se reduce la o rezultantă unică). Legea p  p(x) este dată de relaţia: p  p1   p1  p2   x h

Se calculează: - rezultanta forţelor paralele distribuite, R p : h

Rp   p( x)dx  0

1  p1  p2  h (aria trapezului) 2

- distanţa  P faţă de punctul O al axei centrale, care determină punctul de aplicaţie al forţei R p (centrul de greutate al trapezului): h

 p( x)  xdx

1  p1  2 p2  h2 h  p2  P  0 h 6   1   1 3 p  p  1 2   p1  p2  h  p( x)dx 2 0

=>

Rp 

3 4 Q ; P  h . 2 9

Proiecţiile pe axe a forţelor şi momentelor corespunzătoare în raport cu punctul O sunt date în tabelul următor (se ţine cont că forţele se proiectează numai după axele x şi y , iar momentele numai după axa z ): Xi Mz Yi  2 3  Qh 3 2  Q F1 0

F2

0

Q

0

F3

Q

 1 2  Qh

F4

0 Q

Qh

F5

0

0 Q

1 2   Q

 3Q

 =>

1  R  Q i  3 j  ; 2 

 Qh

 7 6  Qh

7 M O   Qhk ; 6

Torsorul de reducere a sistemului de forţe în punctul O este  O   R; M O  . 45

3.1.3 Se consideră piramida patrulateră VABCD având toate muchiile egale cu l , asupra căreia acţionează un sistem de forţe. Dacă momentul rezultant, calculat în raport cu punctul A , este dirijat de-a lungul muchiei AV , dacă este calculat în raport cu punctul C are mărimea 2lF şi direcţia AC , iar în raport cu B este situat în planul bazei:

z

V

MC MA

D

y C

O B

A

x

a) ce relaţie trebuie să existe între mărimile celor 3 momente, pentru acelaşi sistem de forţe? b) să se determine torsorul sistemului de forţe în punctul O; c) să se stabilească ecuaţia axei centrale şi torsorul minim. Rezolvare: a)

M B  M Bxi  M By j

M C  M Ai  AC  R

Dacă se înmulţeşte scalar ultima relaţie cu AC , rezultă: M C  AC  M A  AC

sau =>

MC 

2 MA 2

2 2 M A   j  k , M C  MA  j. 2 2 Dacă se proiectează ecuaţiile: MA 

M C  M A  AC  R  M B  M A  AC  R

46

Pe cele 3 axe de coordonate, rezultă sistemul de ecuaţii: M Bx  0 

2 lZ 2

M By 

0  l

2 Y  X   2 M A 2 2

0  0l

MC 

2 MA 2

0

2 2 MA l Z 2 2 2 Z 2

2 2 MA l X 2 2

MC  2lF

 X   2F  cu soluţiile: Y  2 F . Z  0 

 M By  0   2 MA  M By   2

b) Ştiind că:

M C  M Ai  AC  R

=>

x y

2 2 l l; z  2 2

şi

M min 

MO  R  2lF . R

PROBLEME PROPUSE 3.2.1

Asupra manivelei din figură lucrează o forţă P  300 N , înclinată faţă

de planul orizontal (xOy ) cu un unghi   20 şi paralelă cu planul (xOz ) . Ştiind că l  300 mm , h  200 mm şi 2a  160 mm , să se determine momentul forţei P în raport cu punctul O . P

a



z

A

2a

O

y

x

l

R:

h

M O ( P )  P(a  l )sin   i  Ph cos   j  P(a  l ) cos   k

47

3.2.2 Pentru sistemul de forţe din figură se cunosc: F2 / /Oy , F1 / /Ox , OA  a , OB  b , F1  G , F2  Q , F3  P . Să se determine relaţia dintre modulele forţelor şi distanţele a şi b , astfel ca axa centrală a sistemului să treacă prin punctul O .

z

F2

B

F3 x

y

F1

Să se determine torsorul minimal.

R:

A

O

GQb  GPa PQ a ; , unde:   R ; M M     min min min G2 b P2  Q2  G 2

3.2.3 Trei forţe ( P , Q , S ) acţionează în lungul muchiilor unui paralelipiped dreptunghic de laturi a , b , c .

Q

z

c

Să se determine condiţia ca sistemul să se reducă la o forţă unică în punctul O .

y

b a

O

S

P

x

R:

aQS  bPS  cPQ  0

Pentru problemele 3.2.4 – 3.2.11 sunt reprezentate sisteme de forţe care acţionează asupra unor figuri geometrice rigide. Să se reducă sistemele de forţe în originea O , să se arate cu ce este echivalent sistemul dat pe axa centrală şi să se stabilească ecuaţia axei centrale. 3.2.4

C

z

OA  OB  OC  a F1  2 P ; F2  3P ; M1  2 Pa

F1 M1

B

O

y F2

x A

48

3.2.5

z

C

B

OA  a ; OB  3a ; OC  2a F1  P ; F2  2 P ; F3  10 P ;

F1

F2

y

O

F4  14P ; M1  2Pa

F4 M1

F3

x

A

3.2.6

z

C

F2

OA  2a ; OB  a ; OC  2a F1  P ; F2  P ; F3  3P F3

y

O

F1

B

x A

3.2.7

z

V

AB  BC  CD  DA  l ; VO  l 2 2 ;

F3

F1  F2  F3  F4  2P ; F5  2 2 P

F1

F2

F4

C O

x A

3.2.8

y

B

F5 V

F1

z

OA  r ; VO  2r ;   30 ; F1  F4  F5  P ; F2  F3  2 5P

F3



49



F2

C

F4

F5

O x

A

B

y

3.2.9

z

C

OA  a ; OB  b ; OC  c ; F1  1 AC ; F2  2 BC ; F3  3 AB ; a) 1   ; 2  2 ; 3  3 ; b) 1  2  3  

F1

F2 y

O B

x

F3

A

3.2.10 O'

OA  a ; OC  2a ; OO '  2a ; O ' D  DC '  a ; F1  P ; F2  2 P ; F3  6P ;

z

C'

D

F1

F2 F3

M  3Pa

C

M

O

y x

3.2.11

O'

OA  a ; OC  2a ; OO '  2a ; AD  DB  a ; F1  P ; F2  2 P ; F3  3P ;

B

A

z M

A'

F2

M  5Pa

B'

F3

F1 C

O

y x

50

A

D

B

4 CENTRUL DE GREUTATE. CENTRUL MASELOR 4.1 Centrul maselor pentru sisteme de puncte materiale Considerând un sistem de puncte materiale Ai de mase mi , atunci greutăţile lor Gi  mi  g , i  1, n pot fi considerate aproximativ ca un sistem de forţe paralele (fig. 4.1), deoarece dimensiunile corpului sunt neglijabile în raport cu cele ale Pământului. Greutatea (rezultanta forţelor) şi masa sistemului au expresiile: n

n

n

i 1

i 1

i 1

G   Gi   mi  g  g   mi  M  g

(4.1)

n

M   mi

(4.2)

i 1

A2

A1 g

G1

Gi

ri

z

C



O y

x

Ai

G2

An

Gn

G

Fig. 4.1 Centrul de greutate pentru un sistem de puncte materiale

Pentru sistemul discret de puncte materiale Ai de mase mi şi vectori de poziţie ri , în raport cu originea O a unui sistem de axe, suportul rezultantei G a forţelor de greutate Gi , trece prin centrul vectorilor paraleli (punctul C ) care mai este numit centrul de greutate al sistemului; acest punct are vectorul de poziţie dat de: n



 Gi ri i 1 n

G i 1

i

n



g  mi  ri i 1 n

g  mi

n



i 1

m r i 1 n

i

m i 1

51

i

i

(4.3)

Relaţia (4.3) arată că centrul de greutate este un element geometric al sistemului de puncte materiale, o caracteristică intrinsecă a sistemului, ce ilustrează modul de distribuţie a maselor în spaţiu şi nu depinde de intensitatea câmpului gravitaţional g , fapt care justifică şi denumirea de centrul maselor. Centrul maselor poate fi definit faţă de un sistem de referinţă fix sau mobil, indiferent dacă sistemul de puncte materiale se găseşte sau nu în câmp gravitaţional, prin vectorul de poziţie  . Proprietăţile centrului maselor: a) dacă un sistem de puncte materiale are un plan, o axă sau un centru de simetrie, centrul maselor se află în acel plan, pe acea axă sau în acel centru; b) dacă un sistem de puncte materiale (S) se compune dintr-un număr n de subsisteme:  S1  ,  S2  ,...,  Sn  de mase: M1 , M 2 , , M n şi centre de masă ( C1 , C2 , , Cn ) cunoscute, atunci poziţia centrului de masă al sistemului se poate determina cu relaţia:



n M1 1  M 2 2   M n n   M i  i M1  M 2   M n i 1

n

M i 1

i

(4.4)

unde:

i sunt vectorii de poziţie ai centrelor maselor subsistemelor C1 , C2 ,

, Cn ;

c) dacă un sistem de puncte materiale  S  considerat ca rezultând dintr-un sistem  S1  din care a fost eliminat un subsistem  S2  pentru care se cunosc masele M 1 şi M 2 centrele de masă C1 şi C2 corespunzătoare, atunci vectorul de poziţie al centrului de masă C al sistemului  S  se determină cu relaţia:



M1 1  M 2 2 M1  M 2

(4.5)

52

4.2 Momente statice Proiecţiile pe axe ale vectorului de poziţie al centrului de masă  ne furnizează coordonatele acestuia notate cu C  , ,  : n

   mi  xi i 1

n

   mi  yi i 1 n

   mi  zi i 1

n

S yOz

i 1

M

 mi  n

m  i 1

i

S zOx M

n

S xOy

i 1

M

 mi 

(4.6)

n

n

n

i 1

i 1

i 1

S yOz   mi  xi , S zOx   mi  yi , S xOy   mi  zi

=>

(4.7)

Definiţie: - expresiile S yOz , S zOx , S xOy se numesc momentele statice ale sistemului faţă de planele de coordonate yOz , zOx , respectiv xOy . În general, se poate defini momentul static al unui sistem de puncte materiale în raport cu un plan  P  , ca suma produselor dintre masele punctelor materiale care alcătuiesc sistemul şi distanţele corespunzătoare ale acestora, până la planul  P  . Momentele statice dau posibilitatea de a aprecia modul de distribuire a maselor sistemului de puncte materiale în raport cu un plan. Din relaţiile anterioare se deduce: n

m r  M   i 1

i

(4.8)

i

Ţinând cont de relaţiile (4.6) şi (4.7) rezultă: n

S yOz   mi  xi  M   , i 1 n

S zOx   mi  yi  M  , i 1 n

S xOy   mi  zi  M   i 1

53

(4.9)

Relaţiile (4.9) permit formularea teoremei generale a momentelor statice: “Momentul static al unui sistem de puncte materiale în raport cu un plan este egal cu produsul dintre masa întregului sistem şi distanţa de la centrul de masă al sistemului la acel plan” Rezultă din această teoremă că pentru calculul momentelor statice al unui sistem de puncte materiale, acesta poate fi redus la un punct material în care se consideră concentrată întreaga masă a sistemului, situat în centrul de masă al sistemului. O consecinţă a teoremei momentelor statice este următoarea lemă: “Dacă momentul static al unui sistem de puncte materiale în raport cu un plan este nul, centrul de greutate al sistemului se găseşte în acel plan”. 4.3 Centrul maselor pentru corpuri omogene Un corp material omogen poate fi considerat ca un sistem format dintr-o infinitate de puncte materiale. În Mecanică se foloseşte conceptul de mediu continuu sau continuu material. În baza acestui concept se consideră că nu există în interiorul corpului nici un volum, oricât de mic, care să nu fie “umplut” de materie. Se consideră un volum elementar de materie Vi (foarte mic) şi să notăm cu mi masa sa şi centrul de masă situat în punctul geometric Ci , având vectorul de poziţie ri . Vectorul de poziţie al centrului de masă al corpului este: n

   mi  ri i 1

n

 m i 1

(4.10)

i

Trecând la limită, adică făcând pe Vi  0 , mi  0 şi ni   (numărul volumelor elementare tinde către infinit), sumele de mai sus devin integrale pe domeniul  D  ocupat de corp, adică: n

 m  r   r  dm i 1

=>



i

i

(4.11)

 D

 r  dm

 D



(4.12)

dm

 D

54

Coordonatele centrului de masă C  , ,  vor fi în acest caz date de:



 x  dm

 D



dm

, 



y  dm

 D



 D

dm

,  

 z  dm

 D

 D



(4.13)

dm

 D

unde r şi  x, y, z  reprezintă vectorul de poziţie, respectiv coordonatele unui punct oarecare al unui element de masă dm luat în calcul. 4.4 Teoremele lui Guldin-Pappus Teorema I: aria suprafeţei generate de un arc de curbă plană, omogenă, care se roteşte în jurul unei axe din planul curbei, pe care nu o intersectează, este egală cu produsul dintre lungimea arcului de curbă şi lungimea cercului descris de centrul de masă al curbei date:

A  2 L unde:

(4.14)

 = ordonata centrului de greutate al curbei; L = lungimea curbei

L

ds

y

y

y y  dy

O

C x

O

 x

Fig. 4.2 – Teorema I Guldin-Pappus

Demonstraţie: Se consideră o curbă în planul Oxy (fig. 4.2) şi un arc elementar ds , ce poate fi aproximat cu un segment de dreaptă. Prin rotire, ds descrie suprafaţa laterală a unui trunchi de con, a cărei suprafaţă este: A    R1  R2  G

unde:

- R1 , R2 sunt razele bazelor - G este generatoarea trunchiului de con. 55

Dacă se înlocuieşte A cu dA , R1 cu y , R2 cu y  dy şi G cu ds : =>

dA    y  y  dy  ds  2 y  ds

=>

A  2  y  ds  2

(4.15)

 y  ds ds  2 L   ds

Teorema a II-a: volumul generat prin rotirea unei suprafeţe plane în jurul unei axe din planul său pe care nu o intersectează, este egal produsul dintre cu aria suprafeţei considerate şi lungimea cercului descris de centrul de masă al suprafeţei:

V  2 A unde:

(4.16)

 = ordonata centrului de greutate al secţiunii; A = aria secţiunii

Demonstraţie: Se consideră în planul Oxy un domeniu, de arie A şi centru de masă C , ce nu intersectează axa Ox (fig. 4.3) şi o arie elementară dA  dx  dy . Prin rotire, dA descrie un volum care este egal cu diferenţa volumelor a doi cilindri, având razele bazelor y  dy şi y , iar generatoarea dx .

y

dA

y

dy

A

C



y O

x

x dx

x

O

Fig. 4.3 – Teorema a II-a a lui Guldin-Pappus

=>

dV    y  dy  dx   y 2 dx  2 ydxdy

=>

V   dV  2  ydxdy  2

2

56

 ydxdy dxdy  2 A   dxdy

(4.17)

PROBLEME REZOLVATE 4.1.1 Să se determine centrul de greutate al liniei ABCDE pentru dimensiunile indicate pe figură. B

y

C

D

a 2 A

a

x

a

a

E

Rezolvare: Se alege un sistem de coordonate a cărui origine coincide cu punctul A . B

y y

C2

B

C1 y1





A

x1

C 3a 4

x

A

a 2

D

a 4

C4

3a 2

O

C3

E

x

5a 2

Se observă că linia se poate descompune în patru figuri simple, pentru care putem calcula uşor poziţia centrului de greutate. - arcul AB reprezintă un sfert de cerc şi se notează cu C1 ( x1 , y1 ) poziţia centrului său de greutate. C1 ( x1 , y1 ) se află pe bisectoarea unghiului AOB

Pentru distanţa C1O   :

   r sin   

=>    4 . =>   2a 2  .

coordonatele lui C1 :

x1  a   2   ;

lungimea arcului AB este:

l1   a 2

57

y1  2a 

- liniile BC , CD şi DE : (pentru o dreaptă omogenă, centrul de greutate este la mijlocul ei) =>

C2 ( x2 , y2 ) :

x2  3a 2 ;

y2  3a 4 ;

lungimea: l2  a 5 2 .

C3 ( x3 , y3 ) :

x3  5a 2 ,

y3  a 2 ;

lungimea: y3  a 2 .

C4 ( x4 , y4 ) :

x4  3a ,

y4  a 4 ;

lungimea: l4  a 2 .

Se calculează coordonatele centrului de greutate al liniei utilizând formulele: xG   l i xi yG   l i yi

     5  3  l  a 13  3 5  4   5  3

l

i

 a 2  3 5  12

i

Observaţie - ordonata yG a centrului de greutate se poate determina şi din teorema întâi a lui Guldin - Pappus:

yG  A 2 l Lungimea conturului ABCDE este:





l  a   3 5 2

Aria suprafeţei obţinută prin rotirea liniei ABCDE în jurul axei Ax este: A  2 a 2    a  a 2  a 5 2   a 2    a 2 

2

Înlocuind expresiile pentru l şi A în relaţia pentru determinarea lui yG , se obţine valoarea calculată anterior. 4.1.2 Să se determine poziţia centrului de greutate al unei plăci omogene, de grosime constantă, de forma unui sector de cerc de raza r şi unghi la centru 2 . Să se particularizeze rezultatele pentru un O sfert de cerc şi pentru un semicerc.

y

dA

d



d





rd

C  ,0 

r

Rezolvare: Sectorul circular admite o axă de simetrie, aşa că centrul său de greutate C  ,  va fi plasat pe axa Ox , deci:   0 58

x

Se consideră un element de suprafaţă la distanţa  de centrul O al sectorului:

dA   d  d  Abscisa centrului de greutate al ariei elementare, în sistemul de coordonate cartezian, este: x   cos .

   xd A

=>



r

dA   

2

d   cos d 

0

1

=>

    3 0r sin  3

=>

 r

 

 1 2 r   2  0 

 

r



0



 d   d

 

2 sin  3 

- sfert de cerc,    4 :

   2 3 r sin  4   4   4r 2 3

- semicerc,    2 :

   2 3 r sin  2   2   4r 3

4.1.3 Să se determine centrul de greutate al unei plăci omogene, de grosime constantă, având forma unui sfert de cerc din care se scoate un semicerc având diametrul egal cu raza sfertului de cerc. y

y

y

C2 C1

R

C

r  O



x

C1

d1

1

d2

x

1

O

2 O

C2

x

2

Rezolvare: Se foloseşte relaţia de calcul a poziţiei centrului de greutate a plăci omogene, de grosime constantă, de forma unui sector de cerc de raza r şi unghi la centru 2 : 2 sin  3 

 r

59

- pentru sfertul de cerc de rază R , centrul de greutate C2 al acestuia se află pe bisectoarea unghiului AOB , prin urmare 2  2 . d1   2 3 r sin  4   4   4r 2 3





2  2  d1 cos  4   4r 2 3 cos  4   4 R 3 - pentru semicercul de rază r  R 2 , centrul de greutate C1 al acestuia se află pe o dreaptă paralelă cu axa Ox , situată la distanţa r de acesta, adică 1  R 2 . Pentru aflarea lui  2 aplicăm rezultatele din problema anterioară. Obţinem: d2  2   2 3 r sin  2   2   4r 3  2 R 3

Având în vedere că semicercul de diametru R este decupat ("lipseşte") din sfertul de cerc de rază R figură, coordonatele centrului de greutate sunt:



1 A1   2 A2

şi

A1  A2

  2R  ,



1 A1  2 A2 A1  A2

  R 16  3  6

4.1.4 Să se determine poziţia centrului de greutate al volumului unei calote sferice, a cărei bază se află la distanţa a de centrul sferei de rază R din care face parte.

y

x dy

y

Să se particularizeze a rezultatul pentru cazul unei semisfere.

x

O

R

Rezolvare: Calota admite o axă de simetrie. Alegând în mod convenabil sistemul de coordonate astfel încît axa Oy să coincidă cu axa de simetrie, rezultă că centrul de greutate se va afla pe această axă. Pentru a determina poziţia acestuia se consideră un volum elementar situat la distanţa y de centrul sferei. dV   x 2 dy 60

Rezultă:

   ydV

R

2  dV    x ydy a



R

a

 x 2dy

Dar cum x 2  R 2  y 2 , relaţia de mai sus devine:

  

R

a

R

2

  y2    R2    2

=>

 y 2  ydy  

R

a

R

a

R y 4    4 a  

R

2

 y 2  dy

  R y3  R2  y a  3  

R

a

  3  R  a 2    4 2R  a 

Pentru o semisferă a  0 şi rezultatul devine:   3R 8 . 4.1.5 Un vas de porţelan are forma unei semisfere, cu raza exterioară R şi raza interioară r . Să se determine poziţia centrului de greutate a acestui corp.

R

r x

O

Rezolvare: Corpul se poate considera un corp compus, rezultat dintr-o semisfera de rază R din care este scoasă o semisferă de rază r .

C y

Axa Oy este axă de simetrie a corpului, deci centrul de greutate se va afla pe această axă. Se aplică rezultatele din problema precedentă. Pentru semisfera de rază R : V1  2 R3 3 ;

- volumul este:

- centrul de greutate are ordonata: y1  3R 8 . Pentru semisfera de rază r : V2  2 r 3 3 ;

- volumul este

- centrul de greutate are ordonata: y2  3r 8 . Având în vedere că semisfera de rază r „lipseşte", ordonata centrului său de greutate se va lua cu semnul minus.

61

Aplicând relaţia:



1V1  2V2 V1  V2

   3 8  R 4  r 4   R 3  r 3 

se obţine:

4.1.6 Să se determine volumul torului de secţiune eliptică de semiaxe a şi b , dacă centrul elipsei descrie un cerc de rază R .

R

a

b

C

Rezolvare: Se aplică teorema a doua a lui Guldin-Pappus:

unde se cunosc: C  R , A   ab

V  2C A

V  2 2 abR

=>

PROBLEME PROPUSE Să se determine centrul de greutate al liniilor din tabelul: y

4.2.1 OA  L ; OB  l ;    4



R: xG  2 L2  2l 2



B

4L  l  ;



yG  2l 2 2  L  l 

x

O

A

y

4.2.2 OA  a ; OB  b ; OC  c

A

C

R: xG  b  b  2c  2  a  b  c  ;

x

yG   a 2  c 2  2  a  b  c 

O

62

B

y

4.2.3 OA  OB  r ; BC  2r R: xG  2r   2  ; yG  0

x

O

A

B

C y

4.2.4 OA  r ; OB  h R: xG  0 ;



yG  h h  r  2r 2

2

2

  r  2

h r 2

2



B

A

C O

x

D

y

4.2.5 OO1  O1 A  2r ; OO2  O2 B  2r

A

O1

R: xG  r   2  3 ; yG  r   2  3

O2

B

O

x

y

4.2.6 OA  OB  a ; CD  a ; DE  a

D

R: xG  0, 22 ; yG  0,375

E

C B

A

O

x

4.2.7 Să se determine poziţia centrului de greutate al unui contur circular neomogen, de raza r , la care densitatea variază după legea:   k . R:

xG  0 ; yG   r  63

4.2.8 Să se calculeze coordonatele centrului de greutate al unei bare omogene formate din trei semicercuri, cu centrele, O1 , O2 , O3 , astfel încât:

y

OO1  r ; O1O2  2r ; O2 A  4r .

x

R:

xG  2r 7 ; yG  26 r 7

A

O1 O

O2

B

C

4.2.9 Să se calculeze lungimea l a liniei AB astfel y încât figura obţinută să se afle în echilibru indiferent pe un plan orizontal.

B

x

O

Se cunosc: OC  OD  OA  r

R:



D

A



l  r 1 5 ;

Să se determine coordonatele centrului de greutate pentru plăcile plane, omogene, de grosime constantă, din tabelul: y

4.2.12 OC  r ; OA  2r

B

x

A

R: xG  0,187r ; yG  0

O

C

y

4.2.10 OA  r

A

R: xG  0,14r ; yG  0,14r

O

B

x

64

y

4.2.11 OB  r ; O1 A  r 2

A

O1

R: xG  0 ; yG  r 6

x

O

y

4.2.13 OA  2r ; OO1  r

B

R: xG  r 3 ; yG  2r 

O1

A

x

C

O y

4.2.14 OA  OC  r

B

A

R: xG  2r 3  4    ; yG  2r 3  4   

x

O

4.2.15 OA  OD  AB  CD  r

C y B

C

R: xG  0 ; yG  2 3r 9

x

y

4.2.16 Se dă o placă omogenă, de grosime constantă, de forma unui segment circular de raza r şi unghi la centru 2 . Să se determine coordonatele centrului de greutate. Caz particular    4 .

A

O

R:

D

O

A

2

x

C

xG  2r sin  3   sin  cos   3

yG  0

B

65

4.2.17 Să se găsească centrul de greutate al unei coroane circulare sectoriale de raze R şi r , cu unghiul la centru 2 . Axa Ox este axă de simetrie. R:

3

2

r x

xG  2  R  r  sin  3  R  r   3

R

2

2

O

yG  0

4.2.16 Să se determine coordonatele centrului de greutate al plăcii omogene din figură. R:



xG  11R 2 2  3 3





y





yG  3 3  8 R 2 2  3 3

R

O

x



R 2

Să se determine coordonatele centrului de greutate pentru corpurile din tabelul: 4.2.17

z

A

OB  r ; OA  h1 ; OD  h2

R: xG  yG  0 ;

y

O

zG   h1  h2  4

B

C

x

D

66

4.2.18

z

1

R: xG  yG  0 ; zG   3r 8 1  2   1  2 

y

O

r

2

x

4.2.19 Un corp este alcătuit dintr-o semisferă de rază R şi un con de rază r  0,5R şi înălţime OA  h . În ipoteza că materialul din care sunt confecţionate semisfera şi conul este acelaşi, până la ce valoare a înălţimii h corpul este în echilibru stabil în poziţia din figură? Caz particular: r  R . R:

z

A

y O x

h  3, 46R ; h  3R

4.2.20 Folosind teoremele lui Guldin-Pappus să se calculeze aria şi volumul unei sfere de rază R . R:

A  4 R2 ; V  4 R3 3

4.2.21 Aplicând teorema a doua a lui Guldin-Pappus, să se determine volumul unui sector sferic obţinut prin rotaţia în jurul uneia din razele extreme a unui sector circular având unghiul la centrul 2  60 . R:

A

y

2

O

C

 B

V R 3 3

D

67

x

68

5 STATICA RIGIDULUI 5.1 Statica rigidul liber Rigidul liber este un corp care poate ocupa orice poziţie în spaţiu, poziţia lui depinzând numai de forţele care acţionează asupra lui. Dacă asupra unui solid rigid liber, care se află în repaus, acţionează un sistem de forţe, condiţia suficientă pentru ca rigidul să rămână în repaus este ca sistemul să fie echivalent cu zero: R0

şi

MO  0

(5.1)

Ţinând seama de expresiile rezultantei şi ale momentului rezultant (calculat faţă de un punct oarecare O ), condiţia de echilibru devine: n

R   Fi  0

(5.2)

i 1

M O   ri  Fi   M O  Fi   0 n

n

i 1

i 1

Expresiile vectoriale ale rezultantei şi ale momentului rezultant sunt R  Xi  Yj  Zk

(5.3)

M O  M x i  M y j  M z k  Li  Mj  Nk

Din relaţiile (5.2) şi (5.3), condiţiile de echilibru proiectate pe axele sistemului de axe Oxyz sunt: n

X   Xi  0 , i 1

n

Y   Yi  0 , i 1

n

n

i 1

i 1

M x   M xi  0 , M y   M yi  0 ,

n

Z   Zi  0 ,

(5.4)

i 1

n

M z   M zi  0 . i 1

Echilibrul unui rigid asupra căruia acţionează un sistem de forţe, este condiţionat deci de şase ecuaţii scalare: - trei ecuaţii de proiecţii ale forţelor pe axele de coordonate; - trei ecuaţii de momente în raport cu axele sistemului de coordonate.

68

În cazul unor sisteme particulare de forţe, numărul ecuaţiilor scalare de echilibru se reduc, astfel: a) pentru un sistem de forţe coplanare care acţionează asupra rigidului (de exemplu în Oxy ) se reduc la un sistem trei ecuaţii scalare de echilibru distincte: n

n

n

X   X i  0 , Y   Yi  0 , M z   M zi  0 i 1

i 1

(5.5)

i 1

b) pentru un sistem de forţe paralele care acţionează asupra rigidului (de exemplu, axa Ox ) se reduc la un sistem trei ecuaţii scalare de echilibru distincte: n

n

n

i 1

i 1

i 1

X   X i  0 , M y   M yi  0 , M z   M zi  0

(5.6)

c) pentru un sistem de forţe paralele şi coplanare care acţionează asupra rigidului (de exemplu, axa Ox şi planul Oxy ) se reduc la un sistem două ecuaţii scalare de echilibru distincte: n

n

i 1

i 1

X   X i  0 , M z   M zi  0

(5.7)

d) pentru un sistem de forţe concurente, trei dintre ecuaţiile sistemului devin identităţi (de exemplu, alegând originea sistemului de axe în punctul de concurenţă al forţelor rezultă: M x  0 , M y  0 , M z  0 ) rămânând numai trei ecuaţii scalare de echilibru distincte: n

n

n

i 1

i 1

i 1

X   X i  0 , Y   Yi  0 , Z   Zi  0

(5.8)

Observaţie: - relaţiile (5.8) sunt similare condiţiilor de echilibru ale punctului material liber. e) pentru un sistem de cupluri, ecuaţiile de proiecţii ale forţelor devin identităţi ( X  0 , Y  0 , Z  0 ), rămânând numai trei ecuaţii scalare de echilibru distincte: n

n

n

i 1

i 1

i 1

M x   M xi  0 , M y   M yi  0 , M z   M zi  0

(5.9)

Pentru a vedea în ce măsură aceste ecuaţii conduc la soluţionarea problemei echilibrului rigidului liber, este necesar să se determine numărul gradelor de libertate ale unui rigid liber.

69

Se ştie că pentru a determina poziţia unui corp în spaţiu este necesar să se cunoască coordonatele a trei puncte necoliniare ale sale: A1  x1, y1 , z1  , A2  x2 , y2 , z2  , A3  x3 , y3 , z3  . Aceste nouă coordonate (sau parametri) nu sunt independente, deoarece distanţele dintre cele trei puncte rămân constante, în cazul solidului nedeformabil, adică există relaţiile: d1  A1 A2 

 x2  x1    y2  y1    z2  z1 

d2  A2 A3 

 x3  x2    y3  y2    z3  z2 

d3  A3 A1 

 x1  x3    y1  y3    z1  z3 

2

2

2

2

2

2

2

2

(5.10)

2

Deoarece între cei nouă parametri scalari  x1, x2 , x3 , y1, y2 , y3 , z1, z2 , z3  există trei relaţii de legătură, rezultă că sunt independenţi doar şase parametri. Concluzie: - un rigid liber în spaţiu are şase grade de libertate. - gradele de libertate ale rigidului corespund, de exemplu, posibilităţilor rigidului de a efectua independent - trei translaţii în lungul axelor Ox , Oy , Oz - trei rotaţii în jurul aceloraşi axe. Problemele echilibrului rigidului liber sunt: a) se cunosc forţele care acţionează asupra rigidului şi se cere poziţia de echilibru (în general problema este static determinată); b) se cunoaşte poziţia de echilibru şi se cer forţele care acţionează asupra rigidului; problema este static determinată numai dacă numărul ecuaţiilor este egal cu numărul necunoscutelor.

70

5.2 Statica rigidului supus la legături fără frecare Rigidul supus la legături este un corp căruia i se impune cel puţin o restricţie geometrică (de exemplu un punct al rigidului este obligat să rămână pe o suprafaţă, pe o curbă sau într-un punct fix în spaţiu). Ca şi în cazul punctului material se aplică axioma legăturilor: „legăturile se înlocuiesc cu forţe şi momente de legătură (reacţiuni)”. Aplicând această axiomă, rigidul poate fi privit ca un rigid liber sub acţiunea: - forţelor şi momentelor efectiv aplicate (în general cunoscute); - reacţiunilor (necunoscute). Se studiază echilibrul unui corp  C1  , supus la forţele şi momentele direct aplicate (fig. 5.1): Fi , i  1, j şi M i , i  k , n , având o legătură cu corpul  C2  .

 C1 

 C1  F1

Fi A1

Fj

Ai A j Ak

R

M O

leg 

Mk

Mn

An

leg 

O

 C2 

R

a

M O  a

 C2 

Fig. 5.1 Torsorul forţelor efectiv aplicate şi al forţelor de legătură

Dacă se consideră punctul O ca punct de contact al celor două corpuri, prin înlăturarea corpului  C2  , se suprimă legătura dintre corpuri, înlocuindu-se cu forţe şi momente de legătură. Se notează torsorul de reducere în punctul O cu:



 O a  RO a  , M O a 





pentru forţele efectiv aplicate (exterioare);



 Oleg  ROleg  , M Oleg  pentru forţele de legătură.

71

Condiţia de echilibru se exprimă prin relaţiile vectoriale: R   R a

leg 

0

M O   M O a

leg 

0

(5.11)

În cazul general, din relaţiile (5.11) se obţin la şase ecuaţii scalare de echilibru de forma: X   X a

Y  Y a

leg 

Z   Z a

M x   M x

0

0

M y   M y

leg 

0

0

M z   M z

leg 

0

leg 

leg 

0

a

a

a

leg 

(5.12)

Relaţiile (5.12) exprimă faptul că forţele de legătură care îndeplinesc condiţiile de echilibru au acelaşi torsor şi anume, cel opus torsorului forţelor efectiv aplicate solidului rigid. Prin introducerea legăturilor se micşorează numărul gradelor de libertate ale rigidului. Legăturile ideale (fără frecare) ale rigidului sunt: - reazemul simplu; - articulaţia (cilindrică, sferică); - încastrarea - prinderea cu fire. În studiul legăturilor rigidului se deosebesc două aspecte: - aspectul geometric, legat de numărul gradelor de libertate (adică a posibilităţilor de mişcare independente care îi sunt răpite rigidului datorită legăturii); - aspectul mecanic, legat de elementele mecanice cu care se înlocuiesc legăturile (forţele şi momentele pe care le introduce legătura sau reacţiunile). Obs: - forţă aplicată rigidului are ca efect mişcarea de translaţie în lungul suportului ei; - un cuplu are ca efect mişcarea de rotaţie în jurul unei axe coliniare cu suportul său. Concluzie: - prin suprimarea unei legături care permitea: - o translaţie în lungul unei direcţii se introduce o forţă, - o rotaţie în lungul unei direcţii se introduce un cuplu. 72

Principalele tipuri de legături ideale ale rigidului: Legătura

Forţe de legătură

Simbol

Reazemul simplu

Articulaţia

cilindrică (plană)

H

Număr de necunoscute

N

1

V

2

Z leg

sferică (spaţială)

3

Y leg X leg N leg

H

plană

3

V

Z leg

Încastrarea spaţială

N leg Y leg

Lleg

6

M leg

X leg

Prinderea cu fire

T

1

5.3 Statica rigidul supus la legături cu frecare În practică se deosebesc mai multe tipuri de frecări: frecări în cazul reazemului simplu şi frecare din articulaţii. În cazul reazemului simplu, se disting: frecarea de alunecare, frecarea rostogolire şi frecarea de pivotare. Se consideră un corp rigid  C1  care se sprijină pe corpul  C2  într-un punct O (fig. 5.2). În realitate corpul considerat se deformează sub acţiunea forţelor exterioare (efectiv aplicate), astfel încât contactul se realizează practic pe o suprafaţă. În fiecare punct al suprafeţei de contact se dezvoltă reacţiuni, al căror torsor calculat faţă de punctul O este  O

leg 

 R

leg  O

73

, M O

leg 

.

C n  1 

M O

leg 

Mp N

R

 tR 

T

O

Mr

leg 

M t

a

Rt

R

 P

a

 Rn M n

a

 tM 

M O  a

Fig. 5.2 Componentele torsorilor forţelor efectiv aplicate şi al forţelor de legătură

Torsorul forţelor efectiv aplicate este  O

a

 R  , M    . a O

a O

Condiţiile vectoriale de echilibru (5.10) sunt: R   R a

leg 

0

şi

M O   M O a

leg 

0

Se descompun vectorii celor doi torsori după normala  On  la planul tangent în O şi după câte o direcţie din acest plan  OtR , OtM  aşa încât se obţin relaţiile vectoriale:  Rn  N  0   Rt  T  0

şi

 M n  M p  0   M t  M r  0

(5.12)

Observaţii: - forţa Rn tinde să deplaseze corpul în direcţia normală la suprafaţa de contact, deplasarea fiind împiedicată de reacţiunea normală N ; - forţa Rt tinde să deplaseze corpul în planul tangent la suprafaţa de sprijin după o axă din planul tangent  t1  . Această deplasare poartă numele de alunecare şi este împiedicată de reacţiunea T  Ff numită forţă de frecare de alunecare; - cuplul de moment M n are tendinţa de a roti corpul în jurul normalei la suprafaţa de contact, rotire care se numeşte pivotare şi este împiedicată de cuplul M p , numit cuplu de frecare de pivotare.

74

- cuplul de moment M t are tendinţa de a roti corpul în jurul unei axe din planul tangent la suprafaţa de contact  t2  , rotire care poartă numele de rostogolire şi este împiedicată de cuplul M r , numit cuplu de frecare de rostogolire. 5.3.1 Frecarea de alunecare Ca şi în cazul punctului material, frecarea de alunecare se manifestă printr-o forţă cuprinsă în planul tangent la suprafaţa de sprijin, are sens opus tendinţei de alunecare şi are modulul limitat: Ff    N

(5.13)

Analiza este similară mişcării punctului material, dar se va acorda mai multă atenţie analizei tendinţelor de alunecare şi se ţine cont că solidul rigid se poate sprijini în mai multe puncte, pentru fiecare fiind impuse condiţiile de echilibru conform relaţiilor (5.13).

O O

F

F

r

r

G G Ff

Ff

A

N

Fig. 5.3 Frecarea de alunecare

A

e

N

Fig. 5.4 Frecarea de alunecare şi de rostogolire

5.3.2 Frecarea de rostogolire Rostogolirea este mişcarea de rotaţie a rigidului în jurul unei axe din planul tangent la suprafaţa de sprijin. În consecinţă frecarea de rostogolire se va manifesta printr-un cuplu al cărui sens va fi opus tendinţei de rostogolire şi al cărui modul este limitat: Ms  s  N

(5.14)

unde: s poartă numele de coeficient de frecare de rostogolire. 75

Spre deosebire de coeficientul de frecare de alunecare  care apare în formula (5.13) şi care este adimensional, coeficientul de frecare de rostogolire arc dimensiunile unei lungimi. Introducând frecarea de rostogolire, se renunţă într-o oarecare măsură la ipoteza rigidităţii; în caz contrar conturul, de exemplu, dintre un disc circular şi planul orizontal se reduce la un punct A (fig. 5.3). În realitate se admite o anumită deformare asimetrică a căii de rulare, astfel încât rezultanta N a reacţiunilor verticale să fie deplasată cu distanţa e faţă de suportul iniţial. În acest caz, ecuaţia de momente în raport cu punctul A se scrie: F  r  N  e  0

(5.15)

Ţinând cont de ecuaţia de proiecţii pe verticală, rezultă: N e G e  r r

F

(5.16)

Faptul că F nu poate fi oricât de mare, rezultă că e nu poale fi oricât mare. Momentul de frecare de rostogolire, în cazul nostru, fiind M r  N  e , din condiţia (5.14) rezultă: es

(5.17)

Concluzie: - coeficientul de frecare de rostogolire, s , reprezintă distanţa maximă cu care se deplasează suportul reacţiunii normale. 5.3.3 Frecarea de pivotare

R

N

Pivotarea este mişcarea rotaţie a unui rigid în jurul unei axe normale la suprafaţa de sprijin. Pentru exemplificare se consideră cazul concret al unui arbore vertical (fig. 5.5) care se sprijină pe un lagăr plan de rază R . Se va determina expresia momentului de frecare de pivotare, M p Dacă se presupune că reacţiunea normala N se repartizează uniform pe suprafaţa lagărului, rezultă presiunea: p

N  R2

dFf

d

r dr

O

 Fig. 5.5 Frecarea de pivotare

(5.17)

76

Pe o suprafaţă elementară dA  r  dr  d va apăsa o forţă: dN  p  dA 

N dA  R2

(5.18)

Forţa de frecare elementară corespunzătoare va avea expresia: dFf    dN    p  dA 

N dA  R2

(5.19)

Această forţă de frecare elementară va da în raport cu axa de rotaţie a arborelui un moment elementar de pivotare: dM p  r  dFf 

N r  dA  R2

(5.20)

Momentul de pivotare va fi: M p   dM p 

N r  dA  R2 

(5.21) R

N  N R 2 2  N r3 Mp  r  r  dr  d  r dr  d   2 3  R2   R 2 0  R 0 0 Mp 

2  NR 3

2 R 0

(5.22)

Concluzii: a) necunoscutele care intervin în probleme de statica solidului rigid, liber sau supus la legături, sunt de doua feluri: - necunoscute ce determină poziţia de echilibru; - necunoscute referitoare la forţele şi momentele efectiv aplicate sau / şi de legătură, pentru o anumită poziţie de echilibru. b) o problemă de statica solidului rigid se rezolvă în următoarele etape: - se figurează forţele şi momentele efectiv aplicate; - se eliberează corpul de legături, se introduc forţele şi momentele de legătură; - se scriu condiţiile vectoriale de echilibru; - se alege un sistem de coordonate convenabil; - se proiectează ecuaţiile vectoriale pe axele sistemului; - se rezolvă sistemul de ecuaţii scalare (dacă este posibil).

77

PROBLEME REZOLVATE 5.1.1 O bară omogenă AB , de lungime 2l şi greutate P , este articulată în A şi sprijinită în C pe suprafaţa unui semicilidru de rază r , astfel încât unghiul format cu orizontala este  . Să se determine reacţiunile din A şi C negijând frecările. B

C

r



A

P y x

B

C

O

NC

VA



A

HA

P

Rezolvare: - se figureaza forţele efectiv aplicate: P ; - se eliberează bara de legături şi se introduc forţele de legătură: componenetele reacţiunii din articulaţia cilindrica: VA , H A şi reacţiunea normală (a semicilindrului asupra barei), N C ; - se impune condiţia vectorială de echilibru:  A  R, M A ( Fi )   0 de unde: R  P  H A  VA  NC  0 M A ( Fi )  M A  P   M A  H A   M A VA   M A  NC   0

- se alege un sistem de coordonate convenabil: sistemul cartezian Oxy ;

78

- se proiectează ecuaţiile vectoriale pe axele sistemului de coordonate:

 x :  y :  z :

H A  NC sin   0

(a)

VA  P  NC cos   0

(b)

Pl cos   NC r tg   0

(c)

Prin rezolvarea acestui sistem se determină: NC  Pl sin  / r ; H A  Pl sin 2  / r ; VA  P 1  l sin 2 / 2r 

(d)

5.1.2 O scară omogenă AB , de lungime 2l şi greutate P , este rezemată de sol (coeficient de frecare  B ) şi de un zid vertical (coeficient de frecare  A ). Pe scară, la distanţa b de punctul B , se află un om de greutate Q . Să se determine unghiul  la limită făcut de scară cu solul astfel încît scara să nu cadă. F fA

NA

A

A

b Q

NB

b y

 O

x

O

B

P

 Q

B

F fB

Rezolvare: - se figureaza forţele efectiv aplicate: P , Q ; - se eliberează scara de legături şi se introduc forţele de legătură: reacţiunile normale şi tangenţiale din A şi B : N A , F fA , N B , F fB ; - se impune condiţia vectorială de echilibru:  B  R, M B ( Fi )   0 de unde: R  P  Q  N A  FfA  N B  FfB  0 M B ( Fi )  M B  P   M B  Q   M B  N A   M B  FfA    M B  N B   M B  FfB   0

79

- se alege un sistem de coordonate convenabil: sistemul cartezian Oxy ; - se proiectează ecuaţiile vectoriale pe axele sistemului de coordonate:

 x :

N A  Ff B  0

(a)

 y :

 P  Q  Ff A  N B  0

(b)

 z :

Pl cos   Qb cos   N A 2l sin   Ff A 2l cos   0

(c)

La limita echilibrului: Ff A  Ff A max   A N A ;

Ff B  Ff B max  B N B

(d)

Din primele ecuaţiile (a), (b) şi (d) rezultă: N A   P  Q  1 1  12  ; N B   P  Q  1  12 

(e)

Se introduc expresiile (e) în ecuaţia (c), rezultă: tg   1  12  Pl  Qb   2l 12  P  Q  2l 1  P  Q 

(f)

5.1.3 Să se determine forţa orizontală F pentru care o roată trasă rămâne în echilibru. Se cunosc: greutatea roţii G , raza roţii R , coeficientul de frecare de alunecare  şi coeficientul de frecare de rostogolire s .

R

O

F

y

O

x

R

Mr

z Ff

A

F G

N

Rezolvare: Condiţia vectorială de echilibru este:  A  R, M A ( Fi )   0 de unde: R  F  G  N  Ff  0

M A ( Fi )  M A  F   M A  G   M A  N   M A  Ff   M r  0

80

Se proiectează relaţiile vectoriale pe axele sistemului de coordonate Oxyz :

 x :

F  Ff  0

 y :  z :

N G  0

(a)

M r  FR  0

Pentru că roata nu alunecă şi nu se rostogoleşte, se impun condiţiile: Ff   N

şi

M r  sN

(b)

M r  FR

(c)

Din relaţiile (a) rezultă: Ff  F , N  G ,

Având în vedere expresiile (c), inegalităţile (c) devin: s N R În concluzie la limita echilibrului, corpul are tendinţa de:

F  G

şi

F

- rostogolire, fără alunecare, dacă - alunecare, dacă

(d)

s   (caz des întâlnit) => R

F

s   (în cazul unui ac, cu R foarte mică) => R

s N R

F  G

5.1.4 Să se determine momentul motor M m necesar pentru a pune în mişcare de rostogolire fără alunecare roata motoare din fig. P2.1, dacă se cunosc forţa de tracţiune F , greutatea roţii G , raza roţii R , coeficientul de frecare de alunecare  şi coeficientul de frecare de rostogolire s .

O

F

O

F

Mm

Mm

y x

R

Mr

G

z A

N

Ff

Rezolvare: Dacă s-ar neglija frecarea cu solul, roata ar patina, adică s-ar învârti în jurul centrului O şi punctele de pe periferie în contact cu solul s-ar deplasa în sens 81

invers sensului de deplasare a roţii. În cazul real forţa de frecare de alunecare se opune tendinţei de patinare şi va fi dirijată în sensul de deplasare al roţii. Condiţia vectorială de echilibru este:  A  R, M A ( Fi )   0 de unde: R  F  G  N  Ff  0 M A ( Fi )  M A  F   M A  G   M A  N   M A  Ff   M m  M r  0

Se proiectează relaţiile vectoriale pe axele sistemului de coordonate Oxyz :

 x :

F  Ff  0

 y :  z :

N G  0

(a)

FR  M r  M m  0

Din condiţia ca roata să se rostogolească fără să alunece: Ff   N

şi

M r  sN

(b)

M r  sG , M m  FR  sG

(c)

Din relaţiile (a) rezultă: Ff  F , N  G ,

Revenind în inegalitatea din (b), rezultă:

F  G F

M m  sG  G R

(d) =>

Mm  G R  s

(e)

Observaţii: - pentru a se rostogoli fără alunecare, este necesar ca greutatea aferentă roţii motoare să fie suficient de mare, iar coeficientul de frecare de alunecare, de asemenea să fie suficient de mare astfel încât G  F ; în caz contrar, roata motoare va patina, centrul O rămânând pe loc. - în practică, de exemplu, în cazul unui autocamion, centrul de greutate, îndeosebi când este încărcat la capacitate maximă, se amplasează mai aproape de roţile motoare. - în situaţii speciale se foloseşte tracţiunea integrală pentru ca întreaga greutate G a vehiculului să intervină în formula (d).

82

PROBLEME PROPUSE 5.2.1 O bară AB , de greutate P , se sprijină fără frecare pe două planuri înclinate, ale căror unghiuri cu orizontala sunt  şi  . Să se găsească poziţia de echilibru (determinată de unghiul  ) şi reacţiunile N A şi N B . R:

A



B





N A  P sin  sin     ; N B  P sin  sin     ; tg   2sin  sin  sin      ctg 

5.2.2 O bară omogenă AB de greutate P este articulată în A iar în punctul B este legată cu un fir ce trece peste un B scripete ideal şi poartă la celălalt capăt o greutate Q .

C

Să se determine unghiul  dintre bară şi verticală şi componentele reacţiunii din articulaţia A , ştiind că echilibrul barei se realizează în plan vertical.

Q



A

R:

  arcsin  2Q P  ; H A  Q P 2  4Q2 P ; VA   P 2  2Q 2  P

5.2.3 O bară omogenă de greutate P este articulată în A şi se sprijină cu capătul B pe un plan înclinat cu unghiul  .

y

Să se determine reacţiunile din A şi B , A cunoscând că bara face unghiul  cu orizontala.

B



 x

R:

H A  P sin  cos  2cos     ; VA  P cos      sin  cos   2cos     ;

N B  P cos  2cos    

83

5.2.4 O bară omogenă AB , de lungime 2l şi greutate P , este fixată la capătul ei superior printrA o articulaţie de un punct fix A .

C



Q

De capătul inferior B este prins un fir ce trece peste un scripete ideal C , plasat pe aceeaşi orizontală cu punctul A şi care poartă la celălalt capăt o greutate Q .

B

Să se determine unghiul  şi reacţiunea din articulaţie în poziţia de echilibru dacă AB  AC .

R:

  cos    2

Q 

Q2  2P2 2P

; H

A

 Q sin  2  ; VA  P  Q sin  2 

5.2.5 O bară AB , de lungime l şi greutate neglijabilă, se reazemă cu capătul A pe un perete lucios, în punctul C  AB pe o muchie, iar la capătul B are atârnată o greutate P . Neglijând frecările, să se determine reacţiunile din reazeme şi distanta AC pentru echilibru, dacă unghiul  este cunoscut. R:

B

C P

 A

N A  P tg  ; NC  P cos  ; AC  l cos2 

5.2.6 O bară omogenă AB , de lungime 2l şi greutate G , se sprijină pe două plane perfect lucii, unul orizontal, celălalt vertical. În punctul C bara este fixată printr-un fir care face unghiul  cu orizontala.

A

Să se determine reacţiunile din A şi B şi tensiunea din fir ştiind că linia care uneşte punctul O cu centrul de greutate al barei, face unghiul  cu orizontala.

 O

R:

C



T  G cos 2sin     ;

N A  G 1  cos sin  2sin     ; N B  G cos cos  2sin    

84

B

5.2.7 O bară omogenă OB , de lungime 2l şi greutate G , este sprijinită ca în figură. Considerând legătura din O o articulaţie, să se determine reacţiunile din punctele de sprijin.

B

A

 O

R:

a

HO  Gl sin  cos  a ;

VO  G 1  l cos3  a  ; N A  Gl cos2  a

5.2.8 O cutie de lungime 2c , înălţime 2b şi greutate P este trasă cu ajutorul unei greutăţi Q pe un plan înclinat cu unghiul  faţă de orizontală. Să se colţului A cutia să nu punctele B R:

B

a

determine Q astfel încît la ajungerea pe aceeaşi orizontală cu scripetele B , se răstoarne. Diferenţa de înălţime între şi C este a , iar frecările se neglijează.

Q

C 2b



Q  P  b sin   c cos  a ctg   a B

5.2.9 Intr-un vas semisferic neted, de rază r , este aşezată o bară omogenă AB , de lungime 2l şi greutate P . Să se determine unghiul  şi reacţiunile în punctele A şi C în poziţia de echilibru şi să se stabilească în ce condiţii este posibil echilibrul.

R:

2c

A



cos  l  l 2  32r 2

 8r ; N

A

C



r A

 P tg  ; NC  Pl 2r

5.2.10 Să se determine forţa orizontală necesară pentru rostogolirea unui tăvălug de greutate P şi rază r peste un prag de înălţime h .

r

F O

R:

F  P h  2r  h   r  h 

h

85

5.2.11 O bară omogenă AB , de greutate P , este fixată de podea cu capătul ei inferior A printr-o articulaţie şi se menţine, sub unghiul  faţă de orizontală, cu ajutorul unui fir legat între capătul B al barei şi punctul C fix. Unghiul dintre fir şi orizontală este  .

C B A





Să se determine tensiunea T din fir şi reacţiunea articulaţiei. R:

T  P cos 2sin      ; H A  P cos  cos  2sin      ;

VA  P 2  cos  sin  sin      2

5.2.12 O bară omogenă AB , de lungime l şi greutate P , se sprijină fără frecare pe o semisferă de rază r şi de un perete vertical.

B

Să se determine unghiul  în funcţie de  pentru poziţia de echilibru. Să se stabilească condiţia de existenţă a soluţiei.

 A

r R:



tg    tg   2 ,   

5.2.13 O bară omogenă AB , de greutate P şi lungime C 2l , se reazemă cu capătul ei superior A de un perete neted. De capătul inferior B este prins un fir inextensibil  BC , fixat de perete în punctul C , care se află deasupra A punctului A pe aceeaşi verticală. Ştiind că unghiul dintre bară şi perete este egal cu  , că unghiul dintre fir şi perete este egal cu  şi presupunând că planul ABC este vertical şi perpendicular pe perete, să se determine relaţia dintre  şi  în poziţia de echilibru. R:

tg   2tg 

86

 B

5.2.14 O bară omogenă AB de lungime 2l şi greutate P , se sprijină cu capătul inferior pe podea, iar extremitatea superioară se sprijină de un plan înclinat, neted, care formează cu orizontala unghiul  . De acest capăt al barei este legat un fir, care trecut peste un scripete ideal, poartă la celălalt capăt al său o greutate Q .

B

Q A





Să se determine unghiul  dintre bară şi podea şi reacţiunile din A şi B în poziţia de echilibru. R:

Dacă există echilibru, el este indiferent de unghiul  . Condiţia de echilibru: Q  P sin  2 . N B  P cos  2 N A  P 2

5.2.15 O bară AB , de lungime l şi greutate G , având densitatea proporţională cu distanţa de la punctul A considerat de pe bară la extremitatea A , se reazemă cu capătul A pe un perete vertical şi cu capătul B pe un arc de cerc de rază R  l .

r



B

Neglijând frecările, să se determine unghiul  şi reacţiunile A şi B pentru poziţia de echilibru şi să se stabilească condiţiile necesare pentru realizarea lui. R:

Se determină mai întâi centrul de greutate al barei X C  2l 3 ; cos   r 2  l 2 2l 2 ; N B  2 2r 3 r 2  l 2 ; N A  9l 2  r 2 3 r 2  l 2 .

Din condiţiile de existenţă a soluţiilor, rezultă că echilibrul este posibil pentru r 3  l  r . 5.2.16 O bara omogenă AB , de greutate G , se sprijină într-un ghidaj semicircular de rază r , distanţa de la centrul ghidajului pînă la bară fiind b . Să se determine unghiul  pentru poziţia limită de echilibru a barei în ghidaj. R:

ctg   b2 1   2  r 2   

87

O A

b

r

 B

5.2.17 O bară omogenă AB , de lungime 2l şi greutate P , se reazemă de un plan orizontal şi de muchia unei trepte. Unghiul  este unghiul minim la care bara mai este în echilibru.

B

C

Să se determine coeficientul de frecare în punctul A . R:

h



A

  a sin  sin 2  2h  a cos sin 2 

5.2.18 O bară omogenă AB , de greutate P , se sprijină cu capătul inferior A pe un plan orizontal, iar la capătul superior B este legată cu un fir ce trece peste un scripete ideal.

B

Firul poartă la capătul trecut peste A scripete o greutate Q . Bara face cu orizontala un unghi  , iar firul face cu orizontala un unghi  .



Q



Să se determine valoarea maximă a lui Q pentru care echilibrul mai este posibil şi reacţiunea şi coeficientul de frecare în A pentru acest caz. R:

Q  P cos 2sin      ;   1  tg   2tg  ;

N A  P 1  cos sin  2sin     

5.2.19 O bară omogenă AB , de lungime 2l şi greutate P , se sprijină pe un plan orizontal şi pe un semicilindru fix, de rază r , coeficientul de frecare al barei cu cilindrul şi planul fiind  .

A

C

r

Să se determine unghiul  maxim la care bara este în echilibru.

R:

sin    r l 1   2 

88



B

5.2.20 O bară omogenă AB , de greutate G şi lungime l , este prinsă de capătul A cu un fir OA  AC  l , fixat în O , iar capătul B se reazemă cu frecare pe un perete vertical. Coeficientul de frecare în B fiind  , să se determine unghiul  făcut de bară cu verticala în poziţia de echilibru, precum şi reacţiunea în B şi tensiunea T din fir în această situaţie.

C

 A

 R:

  arctg  3   ; N B  3G 4 ; T  G 9   2 4

5.2.21 O bară omogenă AB , de lungime l , se reazemă fără frecare cu capătul A pe suprafaţa interioară a unui semicilindru de rază r şi cu capătul B pe un plan orizontal rugos  l  2r  . În poziţia de echilibru, centrul de greutate C al barei se află pe diametrul vertical al semicilindrului.

B

r O A

C

Să se determine unghiul  făcut de bară în B  poziţia de echilibru cu planul orizontal şi coeficientul de frecare de alunecare  dintre bară şi plan în ipoteza că forţa de frecare atinge în această poziţie valoarea sa maximă. R:

  l cos  2r ; cos    2 3b  3b2  2  4  3b2 , b  l 2r

5.2.22 O bară omogenă AB de greutate Q se sprijină în B de un perete vertical, coeficientul de frecare dintre bară şi perete fiind  . În punctul A , bara se reazemă fără frecare pe un plan orizontal. Bara se menţine în echilibru printr-un fir, care,trecut peste scripetele D , poartă la capăt o sarcină P . A Să se determine limitele în care poate varia mărimea sarcinii P pentru ca bara să rămână în echilibru.

B

 D P

R:

Q 2  tg      P  Q 2  tg     89

5.2.23 Pe o semisferă de greutate G şi rază r se aşează un punct material A de greutate G . Coeficientul de frecare dintre cele două corpuri este  . Să se determine unghiul  faţă de orizontală cu A care se aşează semisferă la echilibru, ştiind că centrul de greutate este la distanţa OC  3r / 8 .

 O x

C

a) să se determine distanţa maximă x  OA la care poate fi aşezat punctul material; b) aceeaşi problemă, dar între semisferă şi planul orizontal, se consideră în plus coeficientul de frecare de rostogolire, s .

R:

a) tg    ; x  3 r 8 ; b) tg    ; x  3 r 8  2s 1   2

5.2.24 O bară omogenă AB , de A C lungime l şi greutate G , se reazemă cu capătul A pe un plan orizontal aspru (coeficient de frecare  ), iar cu capătul r  B pe o suprafaţă cilindrică lucioasă S fixă, de rază r , astfel încât bara formează cu planul orizontal un unghi P  . De capătul A al barei este legat un fir, care, trecut peste un scripete ideal S , poartă la capăt o greutate P .

B

În ipoteza că punctele A şi O sunt în acelaşi plan, să se determine limitele de variaţie ale raportului P / G pentru ca bara să rămînă în echilibru. R:

l sin   sin    cos   2r    P G  l sin   sin    cos   2r  

5.2.25 O bară omogenă AB , de greutate G şi O lungime l , se sprijină cu capătul inferior de un perete vertical şi este menţinută înclinată cu un unghi  faţă de perete cu ajutorul unui fir ideal, care face unghiul  cu peretele. Se cunoaşte AD  AB 3 .  Să se determine valorile posibile ale coeficientului de frecare  dintre bară şi perete. R:

 A

  1 3 1 tg   2 tg 

90

B

D

6 STATICA SISTEMELOR 6.1 Statica sistemelor de puncte materiale 6.1.1 Forţe exterioare. Forţe interioare Forţele care acţionează asupra sistemului de puncte materiale se clasifică convenţional în: forţe exterioare şi forţe interioare. Forţele exterioare sunt toate forţele care acţionează asupra punctelor sistemului şi se clasifică în: - forţe active (efectiv aplicate) - forţe de legătură exterioare sistemului de puncte materiale. Forţele interioare reprezintă forţele ce se exercită asupra unui punct din sistem de către celelalte puncte ale sistemului; sunt egale ca mărime două câte două, au acelaşi suport şi sunt dirijate în sensuri opuse. Ai

Fij

ri

F ji

Aj

rj

O Fig. 6.1

Dacă se notează cu Fij şi F ji forţele de interacţiune dintre două puncte Ai şi A j ale unui sistem de puncte materiale (fig. 6.1), atunci conform principiului acţiunii şi reacţiunii rezultă: Fij  Fji  0 sau Fij   Fji

(6.1)

Pentru ca Fij şi F ji să fie orientate pe acelaşi suport, se impune condiţia ca momentul lor rezultant faţă de un punct fix O să fie nul: rij  Fij  rji  Fji  0

(6.2)

Observaţie: - forţele Fij şi F ji acţionează asupra a două puncte materiale diferite şi deci efectul lor nu se anulează; în cazul în care forţele ar acţiona asupra unui solid

91

rigid atunci ar forma un sistem de forţe în echilibru, dar situaţia a două puncte materiale libere este diferită; dacă cele două puncte vor fi iniţial în echilibru, sub acţiunea forţelor Fij şi F ji se vor deplasa unul spre celălalt pe dreapta Ai Aj 6.1.2 Condiţii de echilibru al sistemelor de puncte materiale Prin definiţie, un sistem de puncte materiale Ai , i  1, n este în echilibru, dacă fiecare punct al sistemului se află în echilibru şi reciproc. Condiţia ca un punct Ai din sistem să fie în echilibru, este ca rezultanta forţelor care acţionează asupra lui să fie nulă, adică: n

F i   F ij  0 ,

i  1, n , i  j

(6.3)

j 1

unde: - F i sunt forţele exterioare, efectiv aplicate în fiecare punct i ; - F ij sunt forţele interioare, de interacţiune a punctului i cu celelalte j puncte ale sistemului. În cazul echilibrului sistemelor de puncte, se pot deosebi două categorii de probleme: a) fiind date poziţiile punctelor care formează sistemul de puncte materiale în echilibru, se cere să se determine forţele care acţionează asupra acestui sistem; b) fiind date forţele care acţionează sistemul de puncte materiale, se cere să se determine poziţia de echilibru a acestui sistem. Condiţiile de mai sus sunt echivalente cu 3n ecuaţii scalare. În cazul echilibrului sistemelor de puncte materiale supuse la legături, numărul parametrilor geometrici este egal cu  3n  m  (legăturile introduc m relaţii scalare independente). Din cele 3n ecuaţii de echilibru: -

 3n  m  ecuaţii vor fi utile la determinarea poziţiei sistemului;

-

m ecuaţii se vor utiliza pentru determinarea forţelor de legătură.

Faţă de problemele menţionate, aceasta este o problemă mixtă, deoarece trebuie să se determine atât poziţia sistemului de puncte cât şi forţele de legătură respective. 92

Observaţie: - în cazul în care numărul de ecuaţii este mai mic decât al necunoscutelor sistemul de legături este static nedeterminat. 6.2 Statica sistemelor de corpuri Un corp rigid poate fi considerat ca un sistem nedeformabil de puncte materiale (distanţa dintre două puncte oarecare ale rigidului rămâne tot timpul constantă). Un sistem de corpuri rigide Ci , i  1, n poate fi considerat ca un sistem de puncte materiale format din subsisteme rigide (fiecare subsistem corespunde unuia dintre corpurile rigide). Forţele care acţionează asupra sistemului de corpuri pot fi: - forţe exterioare (forţe şi / sau cupluri efectiv aplicate) sistemului de corpuri; - forţe interioare, (forţe şi / sau cupluri) reprezentând interacţiunea mecanică dintre punctele diferitelor corpuri Ci . N A

V

H

A

H

A

V N

b)

F

a)

G

T

M

N

M

N

F

N

G

T

T Mr

c) Fig. 6.2

93

T d)

Mr

N

Exemplu: - în fig. 6.2 sunt prezentate cazurile des întâlnite în practică: a) două corpuri care se sprijină unul pe celălalt în punctul; prin izolarea corpurilor simplu rezemate se introduce o pereche de reacţiuni normale N , egale în modul şi de sensuri opuse; b) pentru două corpuri articulate, prin separare se introduc două perechi de reacţiuni H şi V , egale în modul şi de sensuri opuse; c) prin secţionarea unui corp, asupra fiecăreia din cele două părţi se introduc în secţiune reacţiunile: N , T şi M , egale în modul şi de sensuri opuse; d) prin izolarea discului de grinda încastrată se introduc în punctul de contact reacţiunile N , T şi M r , egale în modul şi de sensuri opuse; Observaţie: - în cazul a două corpuri care interacţioneză reciproc există aceeaşi regulă ca şi pentru sistemele de puncte materiale; forţele şi cuplurile interioare, ce apar doar după ce corpurile sunt izolate, sunt egale în modul, au sensuri opuse şi nu-si fac echilibrul, deoarece acţionează asupra a două corpuri diferite; Având in vedere observaţiile anterioare, sistemul de ecuaţii (5.25) se poate aplica şi sistemelor de corpuri şi reprezintă relaţiile teoremei izolării corpurilor, care se enunţă astfel: „Dacă un sistem de corpuri (liber sau supus la legături) se află în echilibru, atunci fiecare corp al sistemului, considerat ca un subsistem rigid, se află de asemenea în echilibru”. Teorema solidificării pentru sisteme de puncte materiale: n

F i 1

i

0

n

şi

r

i

 Fi  0

(6.4)

i 1

„dacă un sistem de puncte materiale, libere sau supuse la legături, se află în echilibru sub acţiunea unor forţe direct aplicate, el poate fi considerat ca un sistem rigid (sau nedeformabil) de puncte materiale”. Deoarece relaţiile (6.4) reprezintă condiţiile de echilibru şi pentru un sistem de puncte materiale, teorema solidificării pentru sisteme de corpuri se poate enunţa astfel:

94

„Dacă un sistem de corpuri rigide, liber sau supus la legături exterioare, se află în echilibru sub acţiunea unor forţe direct aplicate, el poate fi considerat ca un sistem rigid (sau nedeformabil) de corpuri, păstrându-se legăturile exterioare iniţiale”. Observaţii: a) ecuaţiile sunt valabile pentru un sistem material oarecare (de puncte materiale sau corpuri); b) pentru un sistem material nedeformabil, ecuaţiile reprezintă o condiţie necesară şi suficientă; c) pentru un sistem material deformabil, ecuaţiile reprezintă condiţii necesare, dar nu şi suficiente. Dacă se consideră numai o parte din ecuaţii şi anume, cele care exprimă condiţiile de echilibru pentru un subsistem izolat de puncte materiale (sau corpuri rigide), aceste ecuaţii sunt satisfăcute dacă întregul sistem este satisfăcut. Această constatare exprimă teorema echilibrului părţilor: „Dacă un sistem de puncte materiale, libere sau cu legături, se află în echilibru sub acţiunea unor forţe aplicate, atunci o parte a lui considerată ca subsistem rigid, va fi de asemenea în echilibru sub acţiunea forţelor corespunzătoare acelei părţi”. Prin urmare, presupunând că sistemul iniţial se află în echilibru, se poate studia echilibrul anumitor subsisteme alese convenabil şi nu neapărat echilibrul fiecărui subsistem în parte. Această teoremă este de obicei folosită pentru determinarea mai rapidă a unor necunoscute sau pentru verificări. În concluzie o problemă de statica sistemelor de corpuri poate fi rezolvată: a) izolând corpurile (aplicând metoda izolării corpurilor) şi utilizând ecuaţiile de echilibru pentru fiecare corp în parte; b) aplicând simultan teorema solidificării şi teorema echilibrului părţilor, utilizând pentru fiecare caz ecuaţiile de echilibru corespunzătoare.

95

PROBLEME REZOLVATE 6.1.1 O sferă de greutate necunoscută şi rază R este legată cu un fir inextensibil de lungime OD  l , de un punct fix O , care coincide cu articulaţia barei OB , de greutate G şi lungime L . Se cunosc: unghiul  pe care bara îl face cu orizontala şi unghiul  pe care firul îl face cu orizontala. Să se determine: a) reacţiunile din O şi E (punctul de tangenţă sferă-bară); b) tensiunea din fir TD ; c) greutatea P a sferei. y

VO

TD

O

O

 D

E

D

C

E

x



NE





HO



E



C NE

A

A

P P

G G

P B

1

 2

Rezolvare: Se aplică metoda izolării corpurilor (conform figurii). - se figureaza forţele efectiv aplicate: - pentru corpul 1 : P ; - pentru corpul  2  : G ; - se introduc forţele de legătură: - pentru corpul 1 :

- tensiunea din fir: TD ; - reacţiunea normală: N E ;

- pentru corpul  2  :

- reacţiunile din articulaţie: H O , VO ; - reacţiunea normală: N E ;

96

B

- se impun condiţiile vectoriale de echilibru: - pentru corpul 1 :  A  R, M A ( Fi )   0 ; R  P  TD  N E  0 ; M A ( Fi )  M A  P   M A TD   M A  N E   0

- pentru corpul  2  :  O  R, M O ( Fi )   0 ; R  G  N E  H O  VO  0 M O ( Fi )  M O  G   M O  N E   M O  H O   M O VO   0

- se alege un sistem de coordonate convenabil: sistemul cartezian Oxy ; - se proiectează ecuaţiile vectoriale pe axele sistemului de coordonate: pentru corpul 1

 x :  y :  z :

 N E sin   TD cos   0

(a)

 P  N E cos  TD sin   0

(b)

00

(c)

Obs: ecuaţia de momente faţă de centrul sferei A arată că tensiunea din fir, TD , trece prin A ; pentru corpul  2 

 x :  y :

N E sin   HO  0

(d)

VO  G  N E cos   0

(e)

L 2 cos   N E  l  R   R 2  0 2 Din triunghiul OAE se poate scrie relaţia dintre mărimile  ,  , l şi R :

 z :

G

(f)

 l  R  cos     90   R

(g)

Rezolvând sistemul format de ecuaţiile (a), (b), (d), (e), (f), (g), se obţin:  L cos 2   GL cos ; VO  G 1  ; NE  ; HO   2 2 2 4 l 2  2lR l  2 lR 2 l  2 lR   GL cos GL sin 2 TD  ; P  tg  sin   cos  2 2 2 l  2 lR 4 cos  l  2lR

GL sin 2

97

6.1.2 O bară de greutate P este rezemată cu capătul superior pe un perete vertical. Capătul inferior este articulat la o roată de rază r0 şi greutate G , ce se sprijină pe un plan orizontal rugos. Articulaţia dintre bară şi roată se realizează printr-un lagăr cilindric O , cu frecare neglijabilă. Se consideră că în poziţia din figură sistemul este în echilibru la limită. Se cunosc mărimile: P , G , l =lungimea barei, r0 ,  A =coeficientul de frecare la lunecare al barei cu peretele vertical,  =unghiul format de bară cu peretele vertical. Să se determine: a) reacţiunea normală cu peretele vertical, N A ; b) reacţiunile din lagărul O : H O , VO ; c) reacţiunea normală cu peretele orizontal, N B ; d) coeficientul de frecare la lunecare pe planul orizontal,  B ; e) coeficientul de frecare la rostogolire, s . y

F fA

A

A



C

x NA

VO

O

G O



C

F fB

y O

Mr

B

r

P

HO

VO

P

x

G

O

1

B

HO

NB

O

 2

Rezolvare: Se aplică metoda izolării corpurilor: pentru corpurile 1 şi procedează similar problemei anterioare.

 2

Se obţin următoarele ecuaţii de echilibru:

1  x  :  y :  z :

N A  HO  0

(a)

FfA  VO  P  0

(b)

 Pl 2 sin   N Al cos  FfAl sin   0

(c)

98

se

 2  x  :  y :  z :

H O  FfB  0

(d)

N B  VO  G  0

(e)

 HO r  M r  0

(f)

La limita echilibrului: FfA   A N A ; FfB   B N B ; M r  sN B

(g)

Rezolvând sistemul de ecuaţii rezultă: NA 

P sin  ; H O  N A ; VO  P   A N A ; 2  cos   sin  

N B  G  VO ; B  H O N B ; s  HO r0 N B

PROBLEME PROPUSE

6.2.1 Două corpuri de greutăţi G1 şi G2 sunt legate printr-un fir perfect flexibil şi inextensibil. Unul G1  dintre corpuri se sprijină pe un plan  înclinat aspru, care face unghiul  cu orizontala, iar celălalt corp se sprijină pe o suprafaţă cilindrică aspră.

G2

Cunoscând unghiurile de frecare ale planului înclinat şi suprafeţei cilindrice, 1 , respectiv  2 să se determine limitele de variaţie ale unghiului  pentru care sistemul rămâne în echilibru. R: Din tendinţa de deplasare spre dreapta rezultă: cos d  1   G1 cos2 sin   1  G2 cos1

Din tendinţa de deplasare spre stânga rezultă: cos s  2   G1 cos2 sin   1  G1 cos1

Pentru echilibru:

d     s

99

6.2.2 Un cilindru de greutate Q şi raza r este aşezat pe un plan orizontal şi rezemat de peretele vertical OA . Pe cilindru se reazemă o bară de lungime l şi greutate neglijabilă, articulată în O , având suspendată la capătul liber greutatea P . Cunoscînd unghiul 2 , pe care bara îl face cu peretele vertical, se cer forţele de legătură din O , A , B , C .

O 2

C

A

Q

P

R:

N A   HO 

NB  Q 

2 Pl 2 sin  cos 2 ; R

B

2 Pl 2 2 Pl 2 2 Pl 2 sin  sin 2 sin  sin 2 ; NC  sin  ; N B  P  R R R

6.2.3 Sistemul format din două bare rigide omogene OA  2l , BC  l , de greutăţi 2G respectiv G , sunt articulate în B . În C , culisa de P greutate Q , articulată cu bara BC în C şi prinsă de un resort cu constanta k , se poate deplasa fără frecare pe o tijă dispusă pe verticala articulaţiei O . Ştiind că resortul este nedeformat în poziţia sistemului cu  = 0 , că forţa elastică este proporţională cu deformaţia, iar la capătul barei OA acţionează forţa orizontală P se cer:

k A

C Q B

G



2G

O

a) valoarea unghiului  în poziţia de echilibru a sistemului; b) forţele de legătură în punctele O , B şi C pentru poziţia de echilibru, presupunînd  cunoscut. R:

a) unghiul  se obţine din ecuaţia: 4kl 1  cos    2Q   7 2  G  tg   2 P ;

b)

H O  2kl 1  cos   Q  G 2 tg   P ; VO  3G  Q  2kl 1  cos 

H B  H C  2kl 1  cos   Q  G 2 tg  ; VB  2kl 1  cos    Q  G 2 ; VC  Q  2kl 1  cos 

100

B 6.2.4 Bara rigidă AB de lungime l şi greutate neglijabilă, este introdusă în vasul cilindric de diametru d , înălţime h şi greutate P . Presupunând că bara nu poate luneca pe C peretele AE , iar grosimea pereţilor vasului se neglijează, să se determine greutatea minimă Q Q care atârnată de capătul B al barei este în stare să răstoarne vasul, reacţiunile din punctele A şi C .

d E

h

D

R:

Qmin 

A

Pa ; a  d 2  h2 2l  a 

H A  Qmin

 ld 2  Pdl ldh ; ; N  V  Q 1  C A min   a3  a3 2a  l  a  

6.2.5 Se consideră un sistem de două bare drepte articulate în A , bara OA de lungime l şi greutate G , iar bara AB , rezemată în C , are lungimea L şi greutatea P .

B

C

O



Cunoscând distanţa OC  l , să se G P A determine, poziţia de echilibru  a sistemului şi forţele de legătură din articulaţia O în ipoteza neglijării frecărilor. R: Se aplică iniţial metoda solidificării şi apoi, izolând bara AB , din ecuaţiile de echilibru se obţine: 4l  2P  G  sin 2   PL sin   2l  2P  G   0

ale cărei soluţii sunt:

sin 1,2 

PL  P 2 L2  32l 2  2 P  G 

2

8l  2 P  G 

Din condiţiile de echilibru mai rezultă relaţia:

cos 2   PL  4 Pl  2Gl   0 sin 

care conduce la soluţia unică pentru  cu semnul    înaintea radicalului. HO    PL 4l  cos  ; VO  G  P   PL 4l  sin 

101

6.2.6 O bară AB omogenă, de lungime 2l şi greutate P este r2 , 2 O articulată la capătul A şi menţinută în poziţie orizontală cu ajutorul unui fir ce trece peste un scripete de rază R , r1 , 1 articulat în O . Dacă se cunosc Q mărimile: l , P , razele articulaţiilor B A din A şi O , r1 , respectiv r2 , precum P şi coeficienţii de frecare din articulaţii 1 , 2 , să se determine forţa Q cu care trebuie tras firul pentru ca bara să fie în echilibru. R:

Neglijând termenii de ordin inferior se obţine relaţia:





Q  1  22r2 R  l  1r1   2l  1r1 

6.2.7 Se dă sistemul din figură în care barele AB şi BC sunt articulate în B , raza articulaţiei fiind r , iar coeficientul de frecare în articulaţie  . Cunoscând lungimile barelor AB  L , BC  l şi greutăţile lor Q , respectiv P , să se determine unghiul  la echilibru şi reacţiunile din A şi B . R:

r,  A



B

Q

P

C

H A  0 ; VA  P  Q ; H B  0 ; VB  P ;

cos   2 r l ; M fA  QL 2  P  L   r  6.2.8 Asupra pistonului din figură, de masă neglijabilă şi diametru d , se exercită o presiune p , uniform distribuită. O

B





p d

A În sistemul bielă-manivelă să se determine efortul tangenţial în punctul B şi reacţiunea asupra axei O datorate presiunii p ce acţionează asupra pistonului. Unghiurile  şi  sunt date, iar frecările se neglijează.

R:

P  p  d 2 4  ; F  P sin     cos ; R  P cos     cos 102

6.2.9 Se consideră frâna din figură, A unde OA  L , OB  l ,  este coeficientul de frecare în B (între placa OA şi disc), iar 1 este coeficientul de frecare între corpul de masă M şi P planul înclinat, ce face unghiul  cu orizontala.

B

R

Q O1

r

 M

Să se determine relaţia dintre forţa verticală, P şi masa M , în situaţia în care sistemul se află la echilibru. R:

 RLP  Mglr  sin    cos 

6.2.10 Pe un tambur sunt înfăşurate două fire. Unul din ele este legat de o sferă de rază Rs şi greutate P , iar celălalt de o greutate Q . Cunoscând că Rs  R  2r ,   60 şi neglijând frecările, să se determine greutatea Q pentru care sistemul se află în echilibru şi forţa de apăsare a sferei asupra peretelui. R:

QP

Rs

R

O



r

P

Q

N  3P

6.2.11 O roată de greutate G şi rază r se află pe un plan înclinat cu unghiul  = 30° faţă de orizontală. Roata este frânată cu o bară OA , de lungime l  2r şi greutate G , prin frecarea barei cu planul orizontal. Se cere coeficientul de frecare în A pentru poziţia de echilibru. R:



 2 3 3 103

O

A



r

6.2.12 Într-o semisferă de rază r şi greutate G , goală în interior, se introduce o bară omogenă AB , de lungime 2l şi greutate G1 . Pentru poziţia de echilibru să se calculeze unghiurile  şi  , precum şi reacţiunile în punctele A , C , D . Se consideră că distanţa de la centrul O al semisferei la centrul său de greutate E este egală cu a .

R:

r a E

A

B

C



 D

Notând sin   x , se obţine unghiul  ca soluţie a ecuaţiei:  2 4G1r 2 16r 2 4 8G1r 2 3  G12 r 2 16r 2 x  x   2 2  2  1 x  x 1  0 Gal Gal l2 l G a  ctg  2Ga G1 l cos  tg , NC  G1 cos  2   cos  , N A  G1 sin    cos , N D  G  G1

6.2.13 O bară omogenă AB , de lungime l şi greutate G , articulată în A , se sprijină în B pe un semicilindru de rază R şi greutate neglijabilă, aşezat pe un plan orizontal.

B A



x

C D Cunoscând coeficienţii de frecare dintre semicilindru şi plan şi dintre bară şi semicilindru  , respectiv 1 , să se determine unghiul  pentru poziţia de echilibru, reacţiunile din punctele B şi D în acest caz, precum şi poziţia reacţiunii normale N D în raport cu punctul C.

R:

N B  Gl sin 2R ; TB   N B ; N D  Gl sin  cos  1 sin   2R ; TD  Gl sin  sin   1 cos  2R ;

tg     1  1  1  ; x   R1  cos  1 sin  

104

6.2.14 Un semicilindru de greutate P şi rază R se sprijină pe un plan orizontal aspru. O bară omogenă OA , de lungime l şi greutate Q , fixată prin articulaţie în punctul O , se sprijină pe suprafaţa lucioasă a semicilindrului, formând unghiul  cu verticala.

O



B

h

A

C

D

Cunoscând că OD  h , să se determine valoarea minimă a coeficientului de frecare dintre semicilindru şi planul orizontal în poziţia de echilibru. R:

  cos sin    2P Q  2h l sin 2  r l cos 

6.2.15 Să se determine forţa P ce acţionează paralel cu planul înclinat cu unghiul  , necesară pentru a deplasa corpurile A şi B , de greutate G1 , respectiv G2 , pe planul înclinat. Coeficientul de frecare de alunecare pe planul inclinat este  .

O

A

r ,  , 1

P B



Există frecare în articulaţia O a scripetelui de rază r şi se cunosc: coeficientul de frecare, 1 , raza fusului,  . R:

P   kG2  G1  sin    kG2  G1   cos ,

unde: k   r  1    r  1   6.2.16 Se consideră sistemul de corpuri din figură. Masele M şi m sunt prinse cu fire înfăşurate pe două roţi de raze r , respectiv R , solidarizate şi fixate pe axul ce trece prin centrul comun O al celor două roţi. Presupunând cunoscute mărimile M M ,  ,  , R şi r , să se determine între ce limite poate varia masa m astfel încât  sistemul să rămînă în echilibru. R:

r



M  r R  sin    cos   m  M  r R  sin    cos 

105

R

O

m

6.2.17 O roată de greutate G şi rază r este situată pe un plan orizontal. În centrul O al roţii este articulată bara OB , de lungime 4r şi greutate G .

O

r



Pentru poziţia de echilibru se cer unghiul  şi coeficienţii de frecare de alunecare 0 şi de rostogolire s în C .

A B

C

Dacă ar exista frecare numai în A , cum s-ar schimba rezultatele? R:

Trebuie ca: sin 2 cos  1 2 ;

0  sin 2 sin   2  sin 2 cos  s  r sin 2 sin   2  sin 2 cos   .

Dacă ar exista frecare numai în A , atunci:

 A  tg  ; X C  0 ; 0  0 şi s  0 pentru orice unghi  . 6.2.18 Două bare omogene AB şi BC , de greutate P şi lungime l fiecare, sunt articulate în B între ele. Bara AB este articulată în A de un perete vertical, punctul A fiind la înălţimea h de planul orizontal, pe care se sprijină capătul C al barei BC . Cunoscând coeficientul de frecare  dintre bara BC şi planul orizontal, să se determine unghiul  la echilibru. R:

A B

h



C

Unghiul  se determină din relaţia: 3tg    h l  sin  

1   h l  sin    2  2

106



6.2.19 Bara cotită ABC este articulată în A , iar în C este articulat un disc ce se sprijină în D pe un plan înclinat. Peste disc este trecut un fir fixat de bară în E şi având fixată la celălalt capăt greutatea Q  1000 N .

A

E

C B

Să se determine forţele de legătură din A , C şi D . Q

R:







H A  10 3  6 Q 33 ;





   12  13 3  Q

D

VA   12  13 3 Q 22 ; N D  39  10 3 Q 33 ;





H C   27  10 3 Q 33 ; VC

22

6.2.20 Un cub omogen, de greutate P şi latură a , se sprijină cu o faţă pe un perete vertical neted, iar cu o muchie pe o bară lustruită AB de lungime l  4a , fixată de acelaşi perete prin articulaţia A . Capătul B al barei este legat cu un fir ce trece peste un scripete ideal O şi poartă la celălalt capăt o greutate Q .

O B

P

A Să se determine forţa Q necesară pentru echilibru şi acţiunea cubului asupra peretelui, dacă AC  BC .

R:

Q  2 P ; N  3P

107

C

Q

CINEMATICA 7 CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL 7.1 Consideraţii generale Cinematica studiază mişcările mecanice ale punctelor materiale, sistemelor de puncte, corpurilor solide sau ale sistemelor de corpuri, fără a lua în considerare masa acestora, forţele şi cuplurile care acţionează asupra lor. În cinematică se folosesc noţiunile fundamentale de spaţiu şi timp şi se face ipoteza că spaţiul este absolut, euclidian şi tridimensional, timpul este absolut, continuu, unidimensional, independent de spaţiu şi de orice altă mărime. Noţiunea de mişcare este relativă, întrucât se raportează la un sistem de referinţă (reper) care în general nu este fix, dar care poate fi presupus în mod convenţional, fix. În cazul reperelor mobile, mişcarea se numeşte relativă, iar în ipoteza că sistemul de referinţă este fix, mişcarea se numeşte absolută. 7.2 Traiectorie. Viteză. Acceleraţie. Mişcarea unui punct material faţă de un reper fix este definită atunci când se poate determina poziţia punctului la orice moment t . În general, poziţia punctului este cunoscută (fig. 7.1) dacă se cunoaşte vectorul său de poziţie x r , faţă de originea O a sistemului de referinţă (reperului) considerat fix: r  r t 

A  x, y, z 

z

C 

r

y

O Fig. 7.1

(7.1)

Relaţia (7.1) poate fi considerată ecuaţia parametrică vectorială a traiectoriei. Se presupune că această funcţie este continuă şi derivabilă de cel puţin două ori, aceste derivate având semnificaţia vitezei şi acceleraţiei: v  r t 

(7.2)

a  v t   r t 

(7.3)

108

Observaţii: a) există mişcări în care viteza nu este o funcţie continuă, cum este cazul ciocnirilor, în care vectorul viteză îşi poate schimba brusc, direcţia, sensul şi modulul; b) elementele care caracterizează din punct de vedere cinematic mişcarea unui punct material sunt: traiectoria, viteza şi acceleraţia. 7.2.1 Traiectoria unui punct în mişcare Definiţii: Traiectoria este locul geometric al poziţiilor succesive ale punctului material în spaţiu, sau al poziţiilor succesive ale vârfului vectorului de poziţie OA  r  t  . Ecuaţiile parametrice ale traiectoriei sunt exprimate de variaţia coordonatelor punctului în raport cu timpul ( t este considerat parametrul). A   , , z 

z

z

zk

O



Fig. 7.2 Coordonate cilindrice

C  r

O

y x





C 

r

x

A   , , z 



s

C 

y

B   , , 0 

Fig. 7.3 Coordonate sferice

A0

A

Fig. 7.4 Coordonate intrinseci

Prin eliminarea parametrului t se obţin ecuaţiile explicite ale traiectoriei: a) în coordonate carteziene: A  x, y, z  r  r  t   xi  yj  zk

=>

(7.4)

ecuaţiile parametrice ale traiectoriei sunt: x  x t  , y  y t  , z  z t 

(7.5)

b) în coordonate cilindrice: A   , , z  r  r  t    u  zk

(7.6)

109

ecuaţiile parametrice ale traiectoriei sunt:

=>

   t  ,    t  , z  z t 

(7.7)

c) în coordonate sferice: A  r , ,   r  r  t   rur

(7.8)

ecuaţiile parametrice ale traiectoriei sunt:

=>

r  r t  ,    t  ,    t 

(7.9)

d) în coordonate intrinseci: A  s  ecuaţia sau legea orară a mişcării:

=>

s  s t 

(7.10)

În cazul general, se consideră coordonatele q1 , q2 , q3 (care determină

biunivoc poziţia punctului). Determinarea vectorului de poziţie r  r  t  echivalează cu cunoaşterea funcţiilor scalare q1 , q2 , q3 , adică ecuaţiile parametrice ale traiectoriei: q1  q1  t  , q2  q2  t  , q3  q3  t 

(7.11)

7.2.2 Viteza unui punct în mişcare A0

Pe traiectoria unui punct (fig. 7.5) se consideră două poziţii succesive A şi A1 , corespunzătoare momentelor t0  t şi t1  t  t . Se constată o variaţie a vectorului de poziţie r  t  :

v

A

vm

A1

r

r

z O

r1

C 

y

x Fig. 7.5

AA1  OA1  OA  r1  r

 r  t  t   r  t   r

Definiţii: r t

Viteza medie:

vm 

Viteza instantanee:

v  lim

(7.12)

r dr notatie   r t 0 t dt 110

(7.13)

v1

Deci viteza unui punct la momentul t este derivata în raport cu timpul a vectorului de poziţie r . Se determină elementele caracteristice ale vectorului viteză instantanee notat cu r . Se deduce: r r r s ds  lim      s  t 0 t t 0 r s t dt

v  lim

(7.14)

deoarece: lim

t  0

r r



lim

t  0

s s t 0 t

r 1 s

(7.15)

lim

Relaţia (7.14) reprezintă expresia analitică a vitezei sub forma intrinsecă şi exprimă faptul că viteza este orientată întotdeauna după tangenta la curbă în punctul respectiv, iar valoarea scalară a ei, este derivata în raport cu timpul a legii orare a mişcării: v  s  , v  s

(7.16)

Ecuaţia dimensională a vitezei este: v   LT-1 . Unitatea de măsură în Sistemul Internaţional este m s . 7.2.3 Acceleraţia unui punct în mişcare Se consideră două poziţii succesive ale punctului material (fig. 7.6), A la momentul t şi A1 la momentul t1  t  t , vitezele A corespunzătoare celor două poziţii vor fi v  t  şi respectiv, v  t1   v  t  t  şi sunt orientate după tangentele în A şi A1 la traiectorie. am

v t 

v  t1 

A1

v

C 

v  t1 

a Fig. 7.6

Definiţii: v t

Acceleraţia medie:

am 

Acceleraţia instantanee:

a  lim

v dv  v r t 0 t dt

111

(7.17)

(7.18)

Din examinarea orientării la limită a vectorului v (şi deci şi a vectorului am ) se poate trage concluzia că acceleraţia instantanee este situată în planul oscular al curbei în punctul A şi că este orientată spre partea convexă a curbei. Ecuaţia de dimensiuni a acceleraţiei este:  a   LT-2 . Unitatea de măsură a acceleraţiei în Sistemul Internaţional este: m s 2 .

y

7.2.4 Viteza şi acceleraţia unghiulară Poziţia unui punct pe o traiectorie circulară se poate stabili cu ajutorul unui unghi  , măsurat fată de o axă fixă (fig. 7.7). Se obţine legea de variaţie a unghiului descris de raza vectoare ca o funcţie de timp:

   t 

A1

1 R

A



x

O

(7.19) Fig. 7.7

Dacă A şi A1 sunt două poziţii succesive ale unui punct pe cercul cu centrul în O : Definiţii:  t

Viteza unghiulară medie:

m 

Viteza unghiulară instantanee:

  lim

Acceleraţia unghiulară:

 d notatie   lim      (7.22) t 0 t dt

 d notatie    t 0 t dt

(7.20) (7.21)

Expresiile dimensionale ale vitezei şi acceleraţiei unghiulare sunt:

   T-1

şi

   T-2

Unităţile de măsură pentru viteza şi acceleraţia unghiulară în Sistemul Internaţional sunt rad s ( s -1 ), respectiv: rad s 2 ( s-2 ).

112

7.2.5 Viteza şi acceleraţia areolară

A1 Definiţie:

r1

z

Viteza areolară reprezintă viteza de variaţie a ariei „măturată” de raza vectoare în unitatea de timp. Pentru un interval mic de timp t , se aproximează aria triunghiului curbiliniu OAA1 cu aria triunghiului OAA1 corespunzător:

r

A



 x

v

C 

r

y

O Fig. 6.11

Rezultă: A 

1 1 r  r  r 2 2 2

(7.23)

unde: r  r  s  arc  AA1 

Viteza areolară medie:

m 

(7.24)

A 1 2   r t 2 t

(7.24)

1 Viteza areolară instantanee:   r 2 2

Acceleraţia areolară:



(7.25)

 

1d 2 r 2 dt

(7.26)

7.3 Studiul mişcării punctului material în diferite sisteme de coordonate 7.3.1 Mişcarea punctului în sistemul cartezian Se consideră un reper cartezian Oxyz , o curbă  C  şi un punct A  x, y, z  pe această curbă (fig. 7.8), având vectorul de poziţie r dat de relaţia (7.4): r  x t  i  y t  j  z t  k

v

a

A  x, y, z 

z k O

x

i

r

y

j Fig. 7.8

113

C 

Ecuaţiile parametrice ale traiectoriei sunt (7.4): x  x t  , y  y t  , z  z t 

(7.27)

Reperul fiind considerat fix, derivatele versorilor axelor sunt nule: i  j k 0

Viteza punctului A faţă de reperul dat are expresia:

v r v  xi  y j  zk

(7.28)

v  vx  i  v y  j  v z  k

Modulul vitezei: v  vx2  v y2  vz2  x 2  y 2  z 2

(7.29)

Unghiurile pe care le face v cu axele sistemului de coordonate se pot exprima cu ajutorul cosinusurilor directoare: cos  v , i   vx v , cos  v , j   v y v , cos  v , k   vz v

(7.30)

Acceleraţia punctului A faţă de reperul dat are expresia: a v r

a  ax  i  a y  j  az  k a  vx  i  v y  j  v z  k

(7.31)

a  xi  y j  zk

Modulul acceleraţiei: a  ax2  a y2  az2  vx2  v y2  vz2  x 2  y 2  z 2

(7.32)

Analog, unghiurile pe care le face suportul lui a cu axele reperului dat sunt: cos  a , i   ax a , cos  a , j   a y a , cos  a , k   az a

114

(7.33)

7.3.2 Mişcarea punctului în sistemul de coordonate cilindrice În sistemul de coordonate cilindrice (fig. 7.9) poziţia punctului A este definită de vectorul de poziţie r , care este determinat de coordonatele: A   , , z  , unde:

C 

z

u

k

A   , , z 

u

r

 = raza polară,

zk

y

O

 = unghiul polar, z = cota.

x

A0   , , 0 





Fig. 7.9

Cunoaşterea mişcării punctului se reduce la cunoaşterea ecuaţiilor parametrice (7.7) ale traiectoriei:

   t  ,    t  , z  z t 

(7.34)

Direcţiile pe care se proiectează vectorul de poziţie r în acest caz, sunt: a) direcţia razei polare OA0 ‚ caracterizată prin versorul u  ; b) direcţia normală pe raza polară, caracterizată prin versorul u ; c) direcţia axei Oz , caracterizată prin versorul k . Conform (7.6) vectorul de poziţie r are expresia: r    u  z  k

u

Observaţii: - versorul k este constant (deci k  0 ); - versori u  şi u sunt mobili.

u

 O

Din proiecţiile versorilor u  şi u pe axele

y

j



i x

Fig. 7.10

sistemului fix de versori i şi j se obţine (fig. 7.10): u  cos  i  sin   j

(7.35)

u   sin  i  cos  j Prin derivare în raport cu timpul, avem: u   sin     j  cos    i    u u   cos    j  sin     i    u

115

(7.36)

Viteza punctului A se scrie: v  r    u    u  z  k

(7.37)

v    u      u  z  k

Acceleraţia punctului A se obţine: a  v    u    u      u      u      u  z  k

    u      2      u





a    u      u      u      u        u  z  k



a      2





 zk

(7.38)

Concluzie: - componentele vitezei şi acceleraţiei în coordonate cilindrice: v   ,

v   ,

vz  z

(7.39)

a       2 ,

a    2   ,

az  z

(7.40)

7.3.3 Mişcarea punctului în sistemul de coordonate intrinseci În sistemul de coordonate intrinseci (fig. 7.11, denumit şi triedrul lui Frenet, poziţia punctului A în raport cu un punct A0 (stabilit ca origine) este determinată de lungimea arcului s , (distanţa măsurată pe curbă între punctele A0 şi A) Mişcarea punctului A este definită prin ecuaţia orară a mişcării (7.10): s  s t 

s

z

C  A0

 

r



O x

A

Fig. 7.11

Ecuaţia intrinsecă a traiectoriei este: r  r s

(7.41)

Ecuaţiile scalare ale traiectoriei sunt: x  xs , y  y s , z  z s

116

(7.42)

 y

Din geometria diferenţială se cunosc relaţiile: d 1 dr    , ds  ds

(7.43)

unde:

 este versorul tangentei la traiectorie;  este versorul normalei principale;  este raza de curbură a traiectoriei; 1



este curbura traiectoriei.

Viteza punctului A se obţine prin derivarea în raport cu timpul a vectorului r  r s : v

dr dr ds   s dt ds dt

(7.44)

Acceleraţia punctului A se obţine: a

dv d d   s   s  s dt dt dt

d ds s2 a  s  s  s   ds dt 

=>

(7.45)

Concluzie: - componentele vitezei şi acceleraţiei pe axele triedrului lui Frenet sunt: v  s ,

v  0 ,

v  0

(7.46)

a  s ,

a 

s2

, a  0

(7.47)



Observaţii: - proiecţia acceleraţiei pe binormală este nulă; rezultă că acceleraţia se află în planul determinat de tangentă şi normala principală, numit şi plan osculator. - singura mişcare în care acceleraţia poate fi nulă este mişcarea rectilinie şi uniformă.

117

7.4 Mişcări particulare ale punctului material Pentru a studia unele mişcări particulare ale punctului material, facem precizarea că prin condiţii iniţiale se înţelege poziţia şi viteza la momentul t  t0 : r  t0   r0

(7.48)

v  t0   r  t0   v0

(7.49)

7.4.1 Mişcarea rectilinie uniformă Se numeşte mişcare rectilinie uniformă mişcarea punctului a cărui traiectorie este o linie dreaptă şi vectorul vitezei este constant.

y

x

x0

Se alege sistemul de referinţă cartezian O astfel încât axa Ox să coincidă cu linia pe care are loc mişcarea (fig. 7.12).

v0 A0

v

x

A

Fig. 7.12

Prin urmare, datele problemei sunt: v  v0  const , y  0 , z  0

Dar v  x şi integrând avem:

x  C1t  C2 Constantele de integrare C1 şi C2 se determină din condiţiile iniţiale: pentru: t  t0  0 avem: x  0   x0 , v  0   v0

de unde rezultă: C1  v0 şi C2  x0 Se obţine ecuaţia mişcării rectilinie şi uniformă x  x0  v0t

.

(7.50)

7.4.2 Mişcarea rectilinie uniform variată Un punct material are o mişcare rectilinie uniform variată dacă se deplasează pe o linie dreaptă şi mărimea acceleraţiei sale este constantă.

118

Se alege sistemul de referinţă cartezian astfel încât axa Ox să coincidă cu linia pe care are loc mişcarea. Datele iniţiale ale problemei sunt: a  const , y  0 , z  0

(7.51)

Cum a  x , prin integrare succesivă se obţine: x  at  C1 ,

t2 x  a  C1t  C2 2

Condiţiile iniţiale ale mişcării (la t  0 ), sunt: v  0   x  0   v0  C1 x  0   x0  C2

Rezultă: - legea mişcării:

t2 x  x  t   a  v0t  x0 2

(7.52)

- legea vitezei:

v  v  t   at  v0

(7.53)

În unele aplicaţii este util să se calculeze viteza v  x  . Eliminând timpul t din relaţia (7.53) şi înlocuindu-i expresia în relaţia (7.52) se obţine: t

=>

x

v  v0 a 2 1 a  v  v0  a   v0  v  v0  a  x0  x0   v 2  v02  2a 2

de unde rezultă formula lui Galilei: v  v02  2a  x  x0 

(7.54)

Dacă mobilul pleacă din origine, fără viteza iniţială ( x0  0 , v0  0 ) rezultă formula lui Toricelli: v  2ax

(7.55)

Mişcările uniform variate pot fi: - uniform accelerate, dacă a  v  0 ( v şi a au acelaşi sens) - uniform încetinite, dacă a  v  0 ( v şi a au sensuri opuse).

119

7.4.3 Mişcarea circulară uniformă



Definiţie: y

- mişcarea circulară uniformă este mişcarea unui punct material care descrie o traiectorie circulară cu o viteză tangenţială de modul constant.

v

Observaţie:

A

a

- viteza punctului material, v , este un vector de direcţie şi sens variabile.



O



Se presupune (fig. 7.13) că punctul se găseşte la momentul iniţial în A0 , iar la un moment dat t se află în A .

r

x A0

Fig. 7.13

Ecuaţia orară este: s  t   arc  A0 A  r  t 

(7.56)

Definiţii: d  dt

- viteza unghiulară:



- acceleraţia unghiulară:

d d 2   2   dt dt

(7.57) (7.58)

Viteza şi acceleraţia mişcării se determină calculând proiecţiile pe axele triedrului Frenet: v  v  s  r

(7.59)

a  v  s  0

(7.60)

a 

s2





 2 R2 R

  2r

(7.61)

Concluzie: - ţinând cont că vectorul  este perpendicular pe planul mişcării, expresiile vitezei şi acceleraţiei se pot scrie: v r ,

v  r

(7.62)

a   2r ,

a   2r

(7.63)

Observaţii: - în această mişcare acceleraţia a are direcţia normalei la cerc (razei). 120

- în practică, de obicei se dă numărul de rotaţii pe minut sau turaţia n  rot min  . În acest caz viteza unghiulară  se calculează ţinând seama că într-un minut unghiul descris de raza OA  r este de 2 n , deci într-o secundă raza va descrie unghiul:



2 n  n  60 30

(7.64)

7.4.4 Mişcarea circulară neuniformă În această mişcare unghiul     t  este o funcţie neliniară oarecare, de timp (fig. 7.14). Din definiţia unghiulare avem:

vitezei

  ,

şi

a



y

a

a

acceleraţiei

A



a

   



Ecuaţia orară a mişcării (7.54):

O

r

x A0

s  t   arc  A0 A  r  t 

Componentele vitezei şi ale acceleraţiei sunt: v  v  s  r  r a  v  s  r  r   r

Fig. 7.14

(7.65)

r 2 2 a     2r  r s2

Mărimea acceleraţiei este: a  a  a2  a2   2r 2   4r 2

(7.66)

Direcţia şi sensul acceleraţiei se determină prin calculul unghiului dintre vectorul acceleraţiei şi raza OA este: tg 

a   2 a 

(7.67)

Observaţie: - aceleaşi expresii pentru viteză şi acceleraţie se deduc folosind sistemul de coordonate cartezian, dacă se consideră: x  R cos y  R sin  121

PROBLEME REZOLVATE 7.1.1 Să se studieze mişcarea unui punct M de pe periferia unei roţi de rază R , care se rostogoleşte fără alunecare pe un plan orizontal. Se consideră că roata este situată într-un plan vertical Oxy , iar centrul roţii C se deplasează rectiliniu şi uniform cu viteza v0 . y

v C

a M



v0

A1

R

O

x M1

A

R

Rezolvare: Condiţia de rostogolire fără alunecare se exprimă prin egalitatea dintre distanţa OA şi lungimea arcului AM : OA  arc  AM 

Deoarece: =>

OA  v0t

şi

arc  AM   R

v0 t  t R Coordonatele punctului M în funcţie de unghiul  sunt:

v0t  R =>  

x  OM1  OA  M1 A  arc  AM   A1M  R  R sin 

=>

x  R   sin  

y  M1M  A1 A  AC  AC  R  R cos 1

=>

y  R 1  cos 

Din geometria analitică se ştie că acestea sunt ecuaţiile parametrice ale cicloidei.

122

Înlocuind   t se obţin: x  R t  sin t 

- coordonatele punctului M:

y  R 1  cos t  vx  x  R 1  cos t 

- componentele vitezei în M:

vy  y  R sin t

- componentele acceleraţiei în M: ax  x  R 2 sin t a y  y  R 2 cos t

Observaţii: AM   xM  xA  i   yM  y A  j

a) deoarece:

AM   R t  sin t   Rt  i   R 1  cos t   0 j

AM   R sin t  i  R 1  cos t  j vM  R 1  cos t  i  R sin t  j

Calculând produsul scalar al celor doi vectori AM şi vM , se obţine: AM  vM   R sin t  R 1  cos t   R 1  cos t   R sin t

=> =>

AM  vM  R2   sin t  sin t cos t  sin t  sin t cos t   0 AM  vM

Modulele celor doi vectori sunt: AM 

  R sin t 

vM  R

=>

2

 R 2 1  cos t   R 2 1  cos t 

1  cos t 

2

2

 sin 2 t  R

 2  cos t    AM

vM   AM

b) similar se obţine: MC   xM  xC  i   yM  yC  j MC  R sin t  i  R cos t  j

a  ax i  a y j  R 2 sin t  i  R 2 cos t  j   2  MC

=>

a   2  MC 123

Concluzii: - vectorul vM este perpendicular tot timpul pe AM şi proporţional cu acesta, factorul de proporţionalitate fiind  ; - vectorii a şi MC sunt coliniari, deci proiecţiile lor sunt proporţionale, factorul de proporţionalitate fiind  2 . - în ceea ce priveşte vitezele, un punct de pe periferia roţii se comportă ca şi cum s-ar roti uniform cu viteza unghiulară  în jurul punctului A (numit şi centrul instantaneu al vitezelor); - în ceea ce priveşte acceleraţiile, un punct de pe periferia roţii se comportă ca şi cum s-ar roti în jurul punctului C (numit şi centrul instantaneu al acceleraţiilor). 7.1.2

Un punct material M descrie cercul x 2  y 2  2Rx  0 cu viteza

unghiulară d dt  1 1  t 2  , astfel că la momentul iniţial t  0 , 0  0 .

Să se determine ecuaţiile mişcării punctului M , viteza, acceleraţia şi hodograful vitezei. Rezolvare: Din condiţiile problemei rezultă t  tg  , astfel că: x  r cos  2 R cos2  

2R 1  t2

y  r sin   2 R sin  cos 

2 Rt 1  t2

Viteza şi acceleraţia au valorile: v  x2  y 2 

2R  R 1  cos 2  1 t2

a  x2  y 2 

4R (1  t 2 )3/ 2

Unghiul  dintre raza vectoare şi tangenta la traiectorie este: tg  

r      ctg   tg     sau     2 r 2 

124

Rezultă că unghiul  , format de viteză cu axa Ox , are valoarea:



 2

 2 .

În acest fel, hodograful vitezei este cardioida (v  r1 ) : r1  R 1  cos 2   R 1  sin  

Un punct material M descrie curba  C  de ecuaţii:

7.1.3

x  4 2 sin  ; y  sin 2 .

Se cere: a) să se calculeze viteza, acceleraţia tangenţială şi normală a punctului M . b) presupunând că  este soluţia ecuaţiei diferenţiale   d dt  sin  , unde pentru t  0 , 0   2 , să se expliciteze  în funcţie de t. c) este parcursă curba  C  în întregime de punctul M când t variază de la  la  ? Rezolvare: x  4 2 cos  , y  2 cos 2 ,

a) Viteza: =>

v  x 2  y 2  2  2  cos 2 

mărimea vitezei: Acceleraţia: a 

dv  2  2  cos 2   2 2 sin 2  dt

an 

v2



 4 2 2 sin 

unde raza de curbură a traiectoriei se calculează cu relaţia:

x 

2

 y2 

3/2

xy  yx

 2  cos 2   2sin 

b) Ecuaţia diferenţială se scrie:

 d  dt sau ln  t , 2 sin 

125

2

în virtutea condiţiilor iniţiale.

   Considerând   0,  , atunci tg  et . 2  2 c) Reprezentăm grafic curba (C ) . Se observă că relaţiile:  x(   )   x( )   y (   )  y ( )

 x(  2 )  x( )   y (  2 )  y( )

 x( )   x( )   y ( )   y ( )

  permit să reprezentăm curba (C ) în intervalul 0,  şi să completăm arcele  2 corespunzătoare prin simetrie în raport cu O şi axa Oy .

Se obţine tabelul:



0

 4

x y

0 0

4 1

 2 4 2 0

şi prin urmare graficul din figură: y x

O

4

Variaţia lui  se exprimă în tabelul: t  t 0 e  0

 



De aici, rezultă că arcul curbei (C ) , descris efectiv de punctul M , este situat în semiplanul x  0 . Dacă se calculează produsul scalar: v  a  v  a  12sin 2  cos   2cos2   1 2cos 2   1

înseamnă că mişcarea este: - accelerată pentru: v  a  0 sau cos   2cos 2   1  0 ceea ce corespunde arcului desenat cu linie continuă din figură - întârziată pentru : v  a  0 , adică pe arcul desenat cu linie punctată.

126

7.1.4 Un punct material M se mişcă pe un con circular, având unghiul de la vârf egal cu 2 , astfel că viteza v a punctului M şi viteza areolară din planul Oxy sunt constante. Să se afle ecuaţiile mişcării şi hodograful vitezei punctului M . Rezolvare: Coordonatele punctului M sunt: x  r sin  cos ; y  r sin  sin ; z  r cos .

Conform enunţului problemei avem: r 2  r 2 2 sin 2   v2 ; r 2 sin 2    ,  = viteza areolară

=>

2 r  2 2  v2 r sin  2

v 2 t 2 sin 2   2 1 v 2 t sin  r arctg => ; v sin  sin   Ecuaţiile hodografului vitezei sunt:

  x  r sin  cos  r sin  sin   y  r sin  sin   r sin  cos 

  z  r cos  => vârfurile vectorilor viteză descriu curba situată pe sfera  2   2   2  v2 . Tangenta la hodograful vitezelor este perpendiculară pe OM , adică pe tangenta la traiectorie şi în consecinţă, acceleraţia punctului M este dirijată pe normala la cerc în punctul M . 7.1.5 Un punct material se mişcă uniform cu viteza v pe suprafaţa unei sfere de rază R . Unghiul dintre viteză şi meridianul care trece prin punct este constant şi egal cu  .

z

v

 v

Să se determine traiectoria, acceleraţia absolută şi raza de curbură a traiectoriei punctului M .

M

r 

O

x

127

v



y

Rezolvare: Mişcarea punctului M pe suprafaţa sferei poate fi considerată ca rezultanta a două mişcări: - o mişcare pe meridian cu viteza v ; - o mişcare pe paralelă cu viteza v . Dacă se notează cu  = latitudinea şi  =longitudinea punctului M , atunci: v  R

d  v cos  dt

v  R cos 

d  v sin  dt

Prin împărţire membru cu membru: d cos 

=>

d  tg 

=>

   tg     e ctg  4 2

Curba dată de ecuaţia anterioară se numeşte loxodromă. Când  creşte, unghiul  creşte de asemenea. Pentru    ,  



. 2 Aceasta înseamnă că punctul M atinge polul P înconjurându-l de un număr infinit de ori. Proiecţia loxodromei pe planul ecuatorului este o spirală pentru care centrul sferei O este punct asimptotic. Pentru sistemul de coordonate sferice alese, acceleraţia punctului material are componentele: ar  r  r 2  r cos2    2

a 

1d 2 r    r sin  cos    2  r dt

a 

1 d 2 r cos2      r cos  dt

=>

v2 v2 v2 2 ar   ; a  tg  sin  ; a   tg  sin  cos  ; R R R

=>

a  ar2  a2  a2 

v2 1  tg 2  sin 2  R 128

Raza de curbură a loxodromei se calculează cu relaţia:



v3 v2  . v a a

PROBLEME PROPUSE Se cunosc ecuaţiile de mişcare ale unui mobil, în diferite sisteme de coordonate, să se determine elementele mişcării specificate în dreptul fiecăruia: Ecuaţiile de mişcare:

Elementele cerute:

Coordonate carteziene Traiectoria, viteza, hodograful mişcării, acceleraţia şi raza de curbură a traiectoriei

7.2.1 r   2t  1 i   2  3t  j

R: traiectoria: 3x  2 y  7 ; viteza: v  13 ; hodograful mişcării: un punct P  2,3 ; acceleraţia: a  0 ; raza de curbură:    . Traiectoria, viteza, hodograful mişcării, acceleraţia şi raza de curbură a traiectoriei

7.2.2 r   3  2cos 2t  i   2  3sin 2t  j

R: traiectoria:  x  3 4   y  2  9  1 ; viteza: v  2 4  5cos2 2t ; 2

2

hodograful mişcării: X 2 16  y 2 36  1; acceleraţia: a  4 4  5sin 2 2t ; raza de curbură:   4

 4  5cos 2t  2

16  4  5sin 2 2t 3  100sin 2 2t   

Coordonate polare 7.2.3 r  bt ,   c / t

Traiectoria, viteza, viteza areolară, acceleraţia şi raza de curbură a traiectoriei

R: traiectoria: r  bc /  ; viteza: v  b ; v  bc / t ; v   b / t  c 2  t 2 ; viteza areolară:   b2 c / 2 ;

acceleraţia: a  bc 2 / t 3 ; a  0 ;

a  bc 2 / t 3 ; raza de curbură:    bt c   c 2  t 2 

129

2

3

Ecuaţiile de mişcare:

Elementele cerute: Traiectoria, viteza, şi acceleraţia

7.2.4 r  r0 1  at  ,   at / 1  at 

R: traiectoria: r  r0 / (1   ) ; viteza: v 

ar0 2 r0  r 2 ; r

tg  v r   r0 r   1    ; acceleraţia: a  a 2 r04 r 3

Coordonate intrinseci 7.2.5 x  3t 2  5 , y  4t 3  3

Ecuaţia orară a mişcării (originea arcului s se ia punctul unde se află mobilul la momentul iniţial)

R: traiectoria: s  5t 2 7.2.6 v   3   5cos  2 t 5  cm s

Ecuaţia orară, poziţia pe traiectorie, (arcul s1 ) şi spaţiul s parcurs la t  5s

R: s  3t  0,5sin  2 t 5 t , s1  15cm , s  15cm 7.2.7 Un punct M ( x) se mişcă rectiliniu, spaţiul parcurs fiind legat de viteză prin relaţia x  a  bv 2 ( a, b  const. ). La t  0 punctul trece prin origine. Cât timp trebuie să se mişte punctul, pentru ca viteza lui să se dubleze? R. 7.2.8

t  6 ab Un punct M ( x, y) , în mişcare uniformă cu viteza v , descrie parabola: y 2  2 px .

Să se determine proiecţiile vitezei şi acceleraţiei în funcţie de y . La t  0 , punctul se află în vârful parabolei. Să se calculeze acceleraţia normală şi să se scrie ecuaţiile parametrice ale traiectoriei.

R.

vx  v

dy dx ; v y  v , etc. ds ds 130

Un punct P  r ,  descrie curba:

7.2.9

r   a 2 1  cos  

cu viteza constantă v0 . Să se determine r şi  în funcţie de timp. Să se calculeze componentele radiale şi transversale ale vitezei şi acceleraţiei. R:

sin  2   t 2 ; r  v0 1  t 2 4 

7.2.10

Un punct se mişcă în plan după legea x  x0 et , y  y0 et .

Să se determine traiectoria, viteza, acceleraţia şi raza de curbură a traiectoriei punctului. R:

xy  x0 y0 - hiperbolă; vx   x , v y   y

7.2.11 Bara OA se roteşte cu viteza A unghiulară constantă    t în jurul capătului ei O . De capătul A este legat un fir, care trece peste un scripete mic B şi poartă la extremitate o greutate P .

 B

O

Se cunosc: OA  3d , OB  5d .

P

Să se afle: a) viteza cu care se deplasează corpul P în funcţie de unghiul  ; b) valoarea lui  pentru care viteza corpului P atinge valori extreme; c) explicaţi mişcarea corpului P . R.

a) vP  5d cos  ; b) pentru AB  2d ,8d  => vP  0 , pentru AB  4d => vP  5 d

131

7.2.12 O bară ABC în formă de unghi drept se roteşte în planul său, în jurul punctului fix A după legea   kt . În acelaşi plan se află tija fixă    , la distanţă b de A . Se cunoaşte AB  a . Să se determine viteza şi acceleraţia punctului M de intersecţie a tijelor    şi BC , B în mişcarea sa pe tija    .

C



x

O M

b

 A

R.

y

x  (b  a cos )ctg

7.2.13 Un om, reprezentat prin punctul M , se deplasează rectiliniu şi uniform cu viteza v  k după o direcţie Oy . La t  0 , omul se află în punctul O şi îşi cheamă câinele, care se află în punctul A , dispus pe axa Ox , perpendiculară pe Oy . Distanţa OA  a . Câinele aleargă spre stăpânul său cu viteza v1  2k , astfel încât direcţia vitezei v1 este tot timpul orientată spre acesta. Să se determine curba descrisă de câine şi timpul în care acesta ajunge la stăpânul său. R:

y  x x 3 a  ax  2a 3 ; t  2a 3k

B

7.2.14 Bara OA se roteşte în plan vertical, în jurul punctului fix O după legea   t . La extremitatea A a barei este legat un fir trecut peste un scripete B , fir care poartă la M extremitatea liberă greutatea M .



A



Să se arate că viteza greutăţii este dată de formula v  h sin  , unde h  OB şi   OBA . O

7.2.15 Un avion zboară cu viteză constantă orizontală v . Din avion se observă printr-un tub, un obiect fix A . La un moment dat, unghiul dintre tubul de observaţie şi verticală este 1 . După t secunde, acelaşi unghi devine egal cu  2 . Să se determine înălţimea de zbor. R:

h  vt /  tg2  tg1  132

7.2.16 Două uşi OB şi O1C , de aceeaşi lăţime b , se rotesc în jurul axelor verticale ce trec prin punctele O şi O1 , situate la distanţa d . O uşă alunecă cu capătul C pe uşa OB , care se roteşte cu viteza unghiulară constantă  .

 C



d

Se cere viteza v cu care capătul C alunecă pe OB , în funcţie de distanţa OC  x . Cât este viteza capătului B când C ajunge în B ?

R:

v

 x 4d 2 x 2   b 2  d 2  x 2  x 2  b2  d 2

2

B

O b O1

bd 4b 2  d 2 ; vB  2b2  d 2

7.2.17 Dacă ecuaţiile de mişcare ale unui punct în coordonate polare sunt r  b 1  t 2  ,   arctg t , să se determine traiectoria, viteza, viteza areolară, acceleraţia şi raza de curbură.

R:

r  b / cos2  ; v  b 1  4t 2 ;   rb 2 ; a  b 4t 4  8t 2  1 1  t 2  ;

  1  t 2 1  4t 2 

3/ 2

 2t  1

7.2.18 La mecanismul din figură se cunosc: OB  l , OA  AC ,   kt , k  const . Să se determine:

y A

a) traiectoria punctului B .



b) viteza şi acceleraţia punctului B . O

R.

C

B

x

a) cercul x 2  y 2  l 2 ; b) v  kl 2 ; a  k 2 l 4 ;

7.2.19 O dreaptă D se roteşte în jurul punctului fix F cu viteză unghiulară  constantă, intersectând o elipsă de semiaxe a , respectiv b , în punctul M . Să se determine viteza de deplasare a punctului M pe elipsă.

R:

v

r r  2a  r  b 133

7.2.20 Se consideră mecanismul bielă-manivelă din figură pentru care se cunosc: OA  r , AB  l , AM  l 3 şi legea de mişcare a manivelei OA :

 (t )  3 t .

y

A M

O



x B

Se cer: a) ecuaţia traiectoriei punctului M al barei.

b) poziţia, viteza şi acceleraţia punctului la momentul t1  1/ 6s , dacă se cunosc valorile numerice: r  10cm , l  30cm . R:

x  r cos   l 2  r 2 sin 2  3 ; y   2 3 r sin  , etc.

7.2.21 Un punct material, pornind din repaus, se mişcă pe un cerc de rază R cu acceleraţie a constantă. După câte secunde de la începerea mişcării, acceleraţia tangenţială va fi numeric egală cu cea normală? R:

t  R a

7.2.22 Să se determine mişcarea pe o traiectorie dată, cunoscând că la momentul iniţial t  0 mobilul ocupă o poziţie A pentru care s  a , şi că la un moment t oarecare, valoarea algebrică a vitezei sale are una din formele următoare: a) v  ks ; b) v  ks ; c) v  ks 2 ; d) v  k / s . (k  const.) .

R:



a) s  aekt ; b) s  kt  2 a



2

4 ; c) s  2 / 1  akt  ; d) s   2kt  a 2

7.2.23 Un punct material M se mişcă cu viteza v , constantă în modul, pe curba y   b / 2   e x / b  e x / b   b ch  x / b  . Să se determine proiecţiile vitezei şi acceleraţiei, acceleraţia totală a punctului material şi raza de curbură a traiectoriei ca funcţii de coordonatele punctului material. R:

x  vb y ; y  v  e x / b  e x / b   e x / b  e x / b  ; x   v 2 b2  e x / b  e x / b  2 y 3 ; y  v 2 b 2 y 3 ; a  v 2 b y 2 ;   y 2 b

134

7.2.24 Două tije CM şi BD , unite între ele sub un unghi drept ( CBD  900 ) , se mişcă astfel încât tija CM trece prin punctul fix O , iar tija BD prin punctul fix A . Cunoscând OA  BM  2b şi   kt , luând pe O drept pol şi pe OA ca axă polară, să se determine în coordonate polare traiectoria, viteza şi acceleraţia punctului M . R:

v  4bk cos  kt 2  ; a  2bk

2

mişcare



O

A

D

y A



Ştiind că AB  a şi a  2r , să se determine: de

B

C

5  4cos kt

7.2.25 Manivela OA  r se roteşte după legea:   kt , în jurul punctului fix O . Biela AB este articulată în A şi trece printr-un punct fix C .

a) ecuaţiile punctului B ;

M

x

O

ale

C B

b) viteza şi acceleraţia punctului B. R:

x  r cos kt  a sin  kt 2  ; y  r sin kt  a cos  kt 2 

7.2.26 În timpul mişcării unui mobil pe un arc de cerc de rază R , acceleraţia tangenţială este proporţională cu rădăcina pătrată a acceleraţiei normale, a  k a . Să se determine viteza mobilului ca funcţie de timp şi legea de mişcare a acestuia pe traiectorie, dacă viteza iniţială este v0 .

R:





v  v0 ekR / t ; s(t )  v0 R k ekt /

R



1

135

7.2.27 În mişcarea unui mobil pe o curbă, legea vitezei este dată de expresia v  ln 1  t  . Să se determine relaţia dintre acceleraţia tangenţială a mobilului şi viteza sa. R:

a  e v

7.2.28 La mecanismul din figură, tija CM este articulată cu manivela OA şi trece prin punctul fix B .

M A

b

Se cunosc AM  b , BO  OA  d ,   kt , k  const. şi luând pe B drept pol al sistemului de coordonate polare, să se determine: a) ecuaţia traiectoriei punctului M ; b) viteza şi acceleraţia punctului M . R:

d B

 O

C

a) r  b  2d cos kt ;   kt ; b) v  k 4d 2  b2  4bd cos kt ; a  k 2 16d 2  b2  8bd cos kt

7.2.29

Un punct se mişcă pe o curbă plană după legea s  b  ekt  1 , unde b ,

k sunt constante. În timpul mişcării, acceleraţia punctului face un unghi de 60 cu tangenta la traiectorie.

Să se determine viteza, acceleraţia şi raza de curbură a traiectoriei punctului ca funcţii de lungimea s a arcului de curbă parcurs. R:

v  k  a  b  ; a  2k 2  s  b  ;    s  b 

3

7.2.30 Un punct se mişcă pe traiectorie după legea s  kv3  c , unde s este spaţiul, iar v este viteza. Să se determine timpul necesar punctului pentru a-şi dubla viteza avută la t  0. R:

t   9 2   kc 2 

1/3

136

8 CINEMATICA RIGIDULUI 8.1 Generalităţi Prin studiul cinematic al unui sistem material se înţelege exprimarea matematică a parametrilor cinematici ai sistemului. În cazul unui punct material parametrii cinematici sunt traiectoria, viteza şi acceleraţia. În cazul sistemelor de puncte şi solidelor rigide (considerate continuum-uri materiale) parametrii cinematici sunt familii de traiectorii, distribuţii de viteze şi acceleraţii (numite şi câmpuri de viteze şi acceleraţii). Studiul constă în determinarea legilor de distribuţie a parametrilor cinematici. 8.2 Mişcarea generală a rigidului 8.2.1 Parametrii mişcării. Grade de libertate. A cunoaşte mişcarea unui solid rigid, înseamnă determinarea, pentru un punct oarecare al rigidului, expresiilor generale pentru:

z

y k

z1 P

- vectorul de poziţie;

j

r

O

i

r1

- vectorul viteză; k1

- vectorul acceleraţie, faţă de un sistem de referinţă care se consideră în mod convenţional fix. Se consideră un solid rigid aflat în mişcare.

r0

i1 O1 x1

x

y1

j1 Fig. 8.1

Fiecare punct al său se deplasează pe o traiectorie proprie şi în fiecare moment al mişcării are o anumită viteză şi acceleraţie. Se consideră un sistem de referinţă cartezian fix, S1  Ox1 y1 z1  şi sistem de referinţă cartezian mobil, S  Oxyz  solidar cu rigidul, deci în mişcare faţă de S1 .

137

Poziţia lui S faţă de S1 se caracterizează prin: - vectorul de poziţie r0  r0  t  al originii; - legile de variaţie a versorilor lui S : i  i t  , j  j t  , k  k t 

(8.1)

Cunoaşterea acestor patru funcţii vectoriale de timp este echivalentă cu determinarea: - coordonatelor punctului O ; - cosinusurilor directoare ale axelor mobile faţă de axele sistemului de referinţă S1 . Poziţiile punctului P faţă de sistemul de referinţă fix S1 sunt definite prin vectorul de poziţie r1  r1  t  . Între vectorii r , r0 , r1 există relaţia vectorială:

r1  r0  r unde:

(8.2)

r1  x1i1  y1 j1  z1k1 r0  x0 i1  y0 j1  z0k1

(8.3)

r  xi  yj  zk

Observaţii: a) funcţia vectorială r0 (echivalentă cu trei funcţii scalare) trebuie să fie continuă, uniformă, derivabilă de două ori; b) versorii axelor triedrului ortonormat: i , j , k trebuie să aibă mărimile egale cu unitatea şi să fie ortogonale două câte două, adică există şase relaţii de legătură: i  i  j  j  k  k 1

(8.4)

i  j  j k  k i  0

Rezultă că numai 3 din cele 9 cosinusuri directoare pot fi luate arbitrar. Pentru că şi r0 poate fi luat arbitrar (deci încă trei parametri scalari), rezultă că, în cazul unei mişcări oarecare a unui solid rigid liber, poziţia sa raportată la un reper fix S1 , depinde de şase parametri independenţi, adică rigidul are şase grade de libertate cinematică.

138

8.2.2 Distribuţia de viteze în mişcarea generală a solidului rigid Din relaţia (8.2): r1  r0  r

r1  r0  xi  yj  zk

=>

(8.5)

Viteza unui punct oarecare P al rigidului în raport cu S1 se obţine prin derivarea relaţiei (8.5) în raport cu timpul: v1  r1  r0  r  r0  xi  yj  zk

(8.6)

Observaţii: a) viteza punctului O , care este originea reperului mobil S , este:

v0  r0

(8.7)

b) reperul S este solidar cu rigidul; poziţia punctului P nu se schimbă faţă de S , deci coordonatele  x, y, z  nu depind de timp, iar derivatele lor sunt nule: x yz0

(8.8)

c) se consideră un vector u care are în triedru mobil Oxyz expresia: u  ux i  u y j  uz k

(8.9)

Componentele vectorului: ux , u y , uz şi versorii: i , j , k sunt funcţii de timp. Derivata vectorului u în raport cu timpul este: u  ux i  u y j  uz k  ux i  u y j  u z k

unde:

ux i  u y j  uz k 

u t

(8.10)

ux i  u y j  uz k    u

(8.11)

Relaţia de calcul a derivatei unui vector oarecare în raport cu timpul este: du u   u dt t

(8.12)

- în cazul versorilor i , j , k , care au modul constant (egal cu 1), dar direcţia şi sensul variabile se obţin relaţiile, numite formulele lui Poisson: i i ; j  j ; k k

139

(8.13)

d) derivând r în raport cu timpul se obţine:

r r

(8.14)

 = viteza unghiulară a triedrului mobil S  Oxyz  :

unde:

  x i   y j  k k

(8.15)

Rezultă relaţia care descrie distribuţia vitezelor (sau câmpul vitezelor la un moment oarecare) a unui solid rigid în mişcare generală:

v1  v0    r

(8.16)

Aceasta formulă este cunoscută sub numele de formula lui Euler şi exprimă distribuţia de viteze în mişcarea cea mai generală a unui rigid.



2 v2

v2



2

v

1

1

P2

a)

r1

v P1

P1

P1 r2



v1 P1

P2

z1 P2

P2

v1





b)

c)

O

O1

x1

y1

d)

Fig. 8.2

Principalele proprietăţi ale distribuţiei de viteze (fig. 8.2) în cazul mişcării generale sunt: a) în orice moment al mişcării unui rigid, proiecţiile vitezelor a două puncte oarecare ale rigidului pe direcţia dreptei care uneşte punctele sunt egale. b) în orice moment al mişcării unui solid rigid, proiecţiile vitezelor tuturor punctelor sale pe direcţia lui  sunt egale între ele c) punctele aparţinând unui rigid în mişcarea generală care sunt situate pe o paralelă la vectorul  au aceeaşi viteză. d) vectorul  este acelaşi în orice punct al rigidului şi nu depinde de originea sistemului de referinţă S .

140

8.2.3 Distribuţia acceleraţiilor în mişcarea generală a rigidului Acceleraţia unui punct oarecare P al unui solid rigid în mişcare, faţă de un reper fix S1 , se obţine derivând viteza în raport cu timpul: a1  v1  v0    r    r

(8.17)

unde:

a0  v0

= acceleraţia originii O a reperului mobil S ;

 

= acceleraţia unghiulară;

(8.18)

r r Rezultă relaţia prin care se exprimă distribuţia acceleraţiilor punctelor rigidului (sau câmpul de acceleraţii) în mişcarea generală a acestuia: a1  a0    r      r 

(8.19)

8.3 Mişcări particulare ale rigidului În funcţie de vectorii v şi  care caracterizează distribuţia vitezelor în mişcarea generală a rigidului, mişcările particulare pe care le poate avea un rigid sunt: - mişcarea de translaţie; - mişcarea de rotaţie; - mişcarea rigidului cu un punct fix; - mişcarea elicoidală; - mişcarea plan-paralelă 8.3.1 Mişcarea de translaţie a rigidului Un solid rigid se află în mişcare de translaţie (fig. 8.3) dacă o dreaptă oarecare solidară cu rigidul rămâne tot timpul mişcării paralelă cu ea însăşi. Exemple de solid rigid care efectuează mişcare de translaţie: un ascensor, pistonul într-un cilindru, caroseria unui vehicul care se deplasează pe un drum rectiliniu, etc.

141

Ţinând cont că axele sistemului mobil S  Oxyz  , care este solidar cu rigidul, nu-şi schimbă orientarea faţă de reperul fix S1  Ox1 y1 z1  , rezultă că rigidul are trei grade de libertate cinematică.

z

v

P

z1

r

r1

r0

i

k1

k

v

O j

y

x

i1 x1

O1

y1

j1 Fig. 7.3

Parametrii mişcării sunt coordonatele originii O a sistemului mobil faţă de reperul S1  Ox1 y1 z1  considerat fix, adică poziţia rigidului la un moment dat, este determinată de trei funcţii scalare independente (parametrii mişcării): x0  x0  t  , y0  y0  t  , z0  z0  t 

(8.20)

Dacă axele celor două triedre S  Oxyz  şi S1  Ox1 y1 z1  , care rămân paralele, sunt alese în mod convenabil, atunci:

i  i1 , j  j1 , k  k1

(8.21)

Relaţia vectorială a traiectoriei este: unde:

r1  r0  r

r1  x1i1  y1 j1  z1k1 r0  x0 i1  y0 j1  z0k1

r  xi  yj  zk

Prin identificare se obţin ecuaţiile parametrice ale traiectoriei unui punct oarecare al rigidului în mişcarea de translaţie: x1  x0  x y1  y0  y

(8.22)

z1  z0  z

Se observă că traiectoriile diferitelor puncte sunt identice şi deplasate pe direcţiile axelor, respectiv cu distanţele x0 , y0 , z0 . 142

Distribuţia vitezelor în mişcarea de translaţie a rigidului - relaţia distribuţiei de viteze în cazul general (8.16) este: v1  v0    r

- deoarece vectorul   0 , în cazul translaţiei rezultă:

v1  v0

(8.23)

Concluzii: a) în mişcarea de translaţie, vitezele tuturor punctelor rigidului sunt egale între ele; b) distribuţia vitezelor poate fi reprezentată printr-un vector liber v , egal cu viteza unui punct oarecare O al rigidului. Distribuţia acceleraţiilor în mişcarea de translaţie a rigidului - se studiază cu ajutorul relaţiei generale (8.19): a1  a0    r      r 

- deoarece vectorii   0 ,   0 rezultă: a1  a0

(8.24)

Concluzie: - acceleraţiile tuturor punctelor rigidului aflat în mişcare de translaţie, sunt egale între ele şi deci câmpul acceleraţiilor poate fi reprezentat de asemenea printr-un vector liber, egal cu acceleraţia unui punct oarecare O al rigidului. 8.3.2 Mişcarea de rotaţie a rigidului Un rigid efectuează o mişcare de rotaţie, dacă două puncte ale sale rămân în tot timpul mişcării, fixe în spaţiu, în raport cu un reper fix S1  Ox1 y1 z1  . Solidul fiind rigid, toate punctele de pe dreapta care uneşte cele două puncte fixe sunt de asemenea fixe, deci în cazul acestei mişcări există o axă fixă care se numeşte axă de rotaţie. Exemple de corpuri care execută o mişcare de rotaţie sunt: rotorul unui electromotor, rotorul unei turbine, un volant, un arbore de transmisie, o uşă care se închide, etc.

143

Se aleg convenabil originile celor două sisteme de axe (sistemul fix S1 şi mobil S ), astfel încât să coincidă O1  O , iar axele Oz şi O1 z1 ale celor două sisteme de axe în lungul axei de rotaţie a rigidului (fig. 8.4).

z1 z O2

y

d P

r1  r

k1 k

x1

i1



j

O1  O2

 y1

y

j

O1

 y1 j1 Fig. 8.4

i

i1 x1

i x

j1



P

x

Fig. 8.5

În acest caz, formulele ce definesc a această mişcare sunt: r0  0 , k  k1

(8.25)

Observaţie: - în cazul mişcării de rotaţie în jurul unei axe fixe, corpul are un singur grad de libertate cinematică şi corespunde posibilităţii de a se roti în jurul axei fixe. Parametrul al mişcării este unghiul  dintre axele Ox şi Ox1 , adică:

   t 

(8.26)

relaţie care reprezintă legea orară a mişcării. În aceste condiţii, se obţine relaţia: r1  r

=>

x1i1  y1 j1  z1k1  xi  yj  zk

(8.27)

Proiectând versorii mobili i , j pe axele lui T1 de versori i1 , j1 (fig. 8.5) se obţin ecuaţiile parametrice ale traiectoriei unui punct oarecare al corpului în mişcare plană de rotaţie: x1  x cos   y sin 

(8.28)

y1  x sin   y cos 

144

Dacă din ecuaţiile parametrice se elimină parametrul  , (ridicând la pătrat membru cu membru şi însumând) se obţine: x12  y12  x2  y 2  d 2

(8.29)

Ecuaţia (8.29) reprezintă un cilindru circular drept, având ca axă de simetrie, axa fixă a rigidului, iar ca rază distanţa de la punct la axa fixă. Relaţia z1  z împreună cu relaţia anterioară reprezintă ecuaţiile traiectoriei unui punct oarecare, adică un cerc situat într-un plan perpendicular pe axa fixă, cu centrul pe această axă şi cu raza egală cu distanţa d a punctului până la această axă. Concluzie: - punctele rigidului descriu cercuri concentrice cu centrele pe axa fixă, cercuri situate în plane paralele, perpendiculare pe axa fixă. Distribuţia de viteze în mişcarea de rotaţie a rigidului (fig. 8.6) Distribuţia de viteze se determină din formula generală (8.16): v1  v0    r ,

Din: v0  0 rezultă: v1    r

(8.30)

Viteza unghiulară  , cu direcţia axei de rotaţie ( Oz ) şi modulul    , are aceeaşi valoare pentru toate punctele rigidului:

  k

(8.31)

 1 

z1 z O2

z

v d r

 2  P



vA

A1 vA

O  O1

O1

A

 x

vA

A2

y

 y1 x1

A3

vA

Fig. 8.6

Fig. 8.7

145

Pentru un punct oarecare P  x, y, z  , rezultă: i v1    r  0 x

j k 0    yi   xj y

(8.32)

z

iar modulul vitezei este: v1   2 y 2   2 x 2   y 2  x 2  d

(8.33)

Proprietăţi (fig. 8.7): a) viteza este nulă în punctele care aparţin axei de rotaţie; b) vitezele sunt conţinute în plane normale pe axa de rotaţie Oz , deoarece v1z  0 ; c) punctele situate pe o dreaptă paralelă cu axa de rotaţie au aceeaşi viteză. d) pe o dreaptă   2  care întâlneşte axa de rotaţie sub un unghi drept, vectorul viteză variază liniar (vârfurile vectorilor viteză ale punctelor de pe   2  se găsesc pe o dreaptă), modulul său fiind proporţional cu distanţa de la punct la axa de rotaţie. Distribuţia acceleraţiilor în mişcarea de rotaţie a rigidului (fig. 8.8) - se studiază plecând de la relaţia generală (8.19): a1  a0    r      r 

- se ţine seama că în mişcarea de rotaţie:

v0  0 , v1    r

(8.34)

Rezultă: a0  0

a1    r      r 

(8.35)

Vectorul acceleraţie unghiulară are expresia:

    k   k

(8.36)

Vectorul  are direcţia axei de rotaţie Oz şi scalarul egal cu acceleraţia unghiulară    , aceeaşi pentru toate punctele rigidului.

146

z1 z O2

d





z



P

y

r

 y1 x1



at

an

 1 

aA

A3

aA

A2

aA

A1

O  O1

aA



O1

a At

a An A

 Fig. 8.8

x

 2 

Fig. 8.9

Se obţine expresia acceleraţiei în mişcarea rigidului cu axa fixă: i a1    r      r   0 x

=>

j k 0   y

z

a1    y   2 x  i   x   2 y  j

i 0

j 0

 y  x

k

 0

(8.37)

Componentele acceleraţiei sunt: - acceleraţia de rotaţie sau tangenţială: at    r ,

at   d

(8.38)

- acceleraţia axială (axipetă) sau normală:

an    v1 ,

an   2 d

(8.39)

Proprietăţi (fig. 8.9): a) punctele de acceleraţie nulă sunt cele care aparţin axei de rotaţie; b) acceleraţiile sunt conţinute în plane normale pe axa de rotaţie, deoarece az  0 ; c) punctele situate pe o dreaptă paralelă cu axa de rotaţie au aceeaşi acceleraţie, deoarece cota z a punctului nu apare, deci toate punctele de pe dreapta  1  au aceeaşi acceleraţie; d) pe o dreaptă   2  care întâlneşte axa de rotaţie sub un unghi drept, vectorul acceleraţie: - are modulul proporţional cu distanţa de la punct la axa de rotaţie;

147

- variază liniar (vârfurile vectorilor acceleraţie ai diferitelor puncte de pe   2  se găsesc pe o dreaptă; - are direcţia determinată de un unghi constant (   ct ) cu dreapta   2  . tg   at an   d z  2 d z    2  const.

(8.40)

PROBLEME REZOLVATE

8.1.1 Se consideră două prisme ABC şi DEFG în mişcare de translaţie, la care se cunosc  , CB=2FG=2l. Prisma DEFG coboară pe verticală după legea: s  a0t 2 , unde a0  constant . La t  0 , punctele A şi D ale celor două prisme coincid. Să se calculeze legea de mişcare a prismei ABC , valoarea vitezei sale în momentul când cealaltă prismă atinge planul orizontal.

F

G a

v

A D

v1 a1

s s1 

B

E

C

Rezolvare: Relaţia dintre deplasările corespunzătoare ale celor două prisme este: s1  s ctg  a0t 2ctg

(a)

Prin derivări succesive, se poate scrie: v1  v ctg  2a0t ctg

(b)

a1  a ctg  2a0 ctg

(c)

Drumul parcurs pe verticală de prisma DEFG până la planul orizontal este:

în timpul:

s  l tg

(d)

t1  l tg / a0

(e)

În momentul atingerii planului, viteza prismei ABC este: v1  2 la0ctg

(f) 148

8.1.2 Un corp A este ridicat cu ajutorul unui troliu după legea: y   h 2 1  cos  , unde h este înălţimea la care se ridică greutatea. Unghiul  variază proporţional cu timpul:   t 2a0 h . În timpul ridicării corpului, cablul se înfăşoară pe toba B de rază R , care se roteşte în jurul axei fixe O . Să se determine viteza unui punct de la periferia tobei, momentele în care viteza şi acceleraţia unghiulară au valori maxime şi minime, acceleraţia unui punct de la periferia tobei, semnificaţia constantei a0 , precum şi timpul în care corpul A se ridică la înălţimea h .



B

O vy

y

A

Rezolvare: Pentru determinarea vitezei se observă că mărimea vitezei unui punct de pe periferia tobei este egală cu modului vitezei de ridicare a corpului A . Întrucât traiectoria pe care se mişcă corpul A este rectilinie, modulul vitezei sale se obţine prin derivarea coordonatei y în raport cu timpul, în care se introduce pentru derivata  valoarea obţinută prin derivarea legii unghiului  : vy  y  a0 h 2 sin 

(a)

Viteza unghiulară a tobei este:

  vy R 





a0 h 2 R sin 

(b)

Acceleraţia unghiulară se obţine prin derivarea relaţiei (b):

  





a0 h 2 R  cos    a0 R  cos 

(c)

Modulul vitezei unghiulare, după cum se vede din formulă, are valoarea maximă când: sin 1  1 => 1   2  n ,  n  0,1, 2,3  (d) Momentele pentru care   max sunt: t1   2  n  h 2a0

(e)

Pentru aceleaşi momente t1 ,   min  0 . Valoarea minimă a modulului vitezei unghiulare se obţine pentru:

sin 2  0

=> 2  n , n  0,1,2,3 t1  n h 2a0

ceea ce corespunde momentelor:

(f) (g)

Aceleaşi momente corespund valorilor maxime ale modulului acceleraţiei unghiulare. 149

Mărimea acceleraţiei punctului de la periferia roţii se obţine: a  R  2   4  a0

h

4R 2  sin 4   cos 2 

2

(h)

Din (h) rezultă că a0 reprezintă valoarea maximă a acceleraţiei greutăţii. Timpul de ridicare T se determină înlocuind în legea de mişcare a corpului A pe y cu h :



h  h 1  cos 2a0 hT

de unde:



(i)

2

T   h 2a0

(j)

8.1.3 O placă dreptunghiulară OABC  OA  b , OC  h  se roteşte cu y   const. în jurul unei axe fixe care trece prin O şi este perpendiculară pe placă. C Se cere să se calculeze vitezele şi acceleraţiile punctelor A şi B .

vB

y1

B

vA

aB

x

A

 Rezolvare:

aA

x1

O

Distribuţia de viteze: vA    OA  k  bi  bj

v

A



 OA şi vA  b

vB    OB   k   bi  bj   b i  b j

v

B

(a)

(b)



 OB şi vB   b2  h

Distribuţia de acceleraţii: aA    (  OA)  k  bj  b 2 i

a

A



OA şi aA  b 2

aB    (  OB)   k   b i  b j   b 2 i  b 2 j

a

B

(c)



OB şi aB   2 b2  h2

150

(d)

PROBLEME PROPUSE 8.2.1 În mişcarea de rotaţie a discului unui polizor se ştie că valoarea la un moment dat a unghiului la centru descris de la începutul mişcării este proporţională cu puterea a doua a timpului. Să se calculeze viteza şi acceleraţia unui punct oarecare de pe periferia discului de rază R la momentul t1 dacă după t2 secunde de la începutul mişcării, discul are turaţia t1 rot/min . R:

Pentru   kt 2 se obţine   2kt . La momentul t2 , turaţia fiind n2 , rezultă:

 n2 30

 2kt2 şi k 

La momentul t1 , viteza punctului de la raza R este: v1  Acceleraţia punctului este: a1 

 Rn2 900t2

2

 n2 60t2

 Rn2 t1 30t2

.

.

900t2 2   2 n2 2 t14

8.2.2 Arborele conducător 1 al unei roţi de fricţiune se roteşte cu turaţia constantă n  300 rot/min şi, în acelaşi timp, se deplasează în sensul săgeţii şi invers, după legea: d  4  3cos  2 t  [cm].

 2

1

2r

R

d

Razele roţilor sunt r  5 cm , R  20 cm . Să se determine: a) acceleraţia unghiulară a arborelui  2  în funcţie de timp; b) acceleraţia punctului de pe periferia roţii  2  la momentele t1  0s ; t2  0, 25s ; t3  0,5s .

R:

  300 2 sin  2 t   4  3cos  2 t   rad/s 2 ; 2

at1 0  100 m/s 2 ; at2 0,25  308 m/s2 ; at3 0,5  4950 m/s2

151

8.2.3 Un volant de rază R porneşte din repaus într-o mişcare uniform accelerată, astfel că după t1 secunde de la începutul mişcării, un punct de la periferia sa are acceleraţia a  v . Se cer legile de mişcare ale volantului, valoarea vitezei şi acceleraţiei unui punct situat pe raza r  R 4 la momentul t  t 1 2 de la începutul mişcării.

R:

  v R t1 ;    t t1  v R ;    t 2 2t1  v R ; la t  t 1 2 , v2  2 R 4  vR 8 ; a2  v 16 R  vt12  16t1

8.2.4 Un volant în mişcare de rotaţie faţă de o axă fixă are la un moment dat viteza unghiulară 0 . După N rotaţii făcute din acest moment, volantul se opreşte din cauza frecărilor din lagăre. Să se determine acceleraţia unghiulară  a volantului, presupusă constantă, viteza şi acceleraţia unui punct de pe cercul de rază R la jumătatea intervalului de timp până la oprire.

R:

0 2 4 N  ; t1  ( t1 timpul până la oprire); 4 N 0

0 0 t1 0 2 R 1 R ; a2  pentru t2  ; 2  ; v2  1. 2 2 2 2 4  N2 8.2.5 O greutate P începe mişcarea din repaus cu acceleraţie constantă a0 , punând în mişcare de rotaţie scripetele din figură. Să se scrie legile vitezei, acceleraţiei şi arcului s descris de un punct M de pe periferia scripetelui, în funcţie de drumul h parcurs de greutatea P de la începutul mişcării până la un moment dat t .

R:

vM 

aR R 2ha0 ; aM  02 r 2  4h 2 r r

152

M

r O R

P

a0

8.2.6 Mişcarea de ruliu (rotirea în jurul axei longitudinale a unei nave în apă liniştită) este descrisă de ecuaţia:

   18 cos  t 10  unde t   s ,    rad . Să se determine momentul în care înclinarea navei este maximă şi momentele în care viteza unghiulară este maximă, precum şi intervalele de timp în care mişcarea de rotaţie a navei este accelerată şi cele în care este întârziată. R:

max   18

pentru tn  10n,  n  0,1,

max   2 180

pentru tm  5  2m  1 ,  m  0,1,

 

În intervalele: 0  t  5s şi 10s  t  15s mişcarea de rotaţie este accelerată, 5s  t  10s şi 15s  t  20s mişcarea de rotaţie este încetinită.

8.2.7 Un disc se roteşte în jurul unei axe fixe, într-un anumit interval de timp, astfel încât acceleraţiile tuturor punctelor sale fac cu vitezele aceleaşi unghiuri, egale cu 45 . Să se determine viteza unghiulară a discului în funcţie de timp, dacă la t  0 aceasta a fost egală cu 0 . R:

  0 1  0t  pentru t  1 0

8.2.8 Roata 1 , de rază r1 , antrenează roata  2  , de rază r2 . Prima roată are la un moment dat viteza unghiulară 1 şi acceleraţia unghiulară 1 .

1 1 r1

Să se determine viteza unghiulară şi acceleraţia unghiulară a roţii  2  , precum şi 1 acceleraţiile normale ale punctelor ce se află în contact. R:

2  1 r1 r2 ;  2  1 r1 r2 ; an  r12 ; an  r12 r22 1 1

2

153

 2 r2

8.2.9 O roată având viteza iniţială 0 , are o mişcare întârziată şi efectuează până la oprire n rotaţii. Să se determine acceleraţia unghiulară  , presupunând că mişcarea de rotaţie este uniform întârziată. R:

  02 4 n

8.2.10 Să se determine distanţa y de zbor l a unui punct M, ce se desprinde în punctul A de pe roata de rază R  0,55 m. A Mişcarea se realizează în plan vertical cu acceleraţia 2 O g  10 m s constantă.

M vC g

C

R

x

l

Roata se rostogoleşte fără alunecare, viteza centrului său fiind v  5 m s . R:

l  5,5m

8.2.11 Un punct M descrie curba A ABC , formată din arcele de cerc AB şi BC , de raze şi unghiuri la centru r1 , 1 respectiv r2 ,  2 . Punctul execută o mişcare uniform încetinită, pornind cu viteza v0 din A şi ajungând cu viteza v2 în C .

1 O1

B

r1

O2

r2

2 C

Să se determine viteza şi acceleraţia punctului.

R:

v

2

 v2 2  t

v0 2  v2 2 ; a   ; v  v0  2  r11  r2 2  2  r11  r2 2  0

2

1  v0  (v0 2  v2 2 )t  1  v0  (v0 2  v2 2 )t  pe AB : a    ; pe BC : a    r1  2  r11  r2 2   r2  2  r11  r2 2  

154

2

8.2.12

Un avion ce zboară orizontal cu viteza v , este urmărit de un proiector.

Cu ce viteză unghiulară trebuie să se rotească fasciculul luminos al proiectorului, dacă distanţa cea mai scurtă dintre proiector şi traiectoria rectilinie a avionului este egală cu h ? R:

   v cos2   h

8.2.13 Un om aleargă pe pământ cu viteza constanta u , trăgând cu o frânghie un cărucior (de dimensiuni neglijabile) aflat pe un plan orizontal, dispus la înălţimea h faţă de extremitatea frânghiei.

y

M

A h

R:

sin  

x1 x12  h 2

; v  u sin  ; a 

B x1

x

Cunoscând lungimea l a frânghiei, să se determine viteza şi acceleraţia căruciorului.



u

x

h 2u 2

 x12  h2 

3

2

8.2.14 Două mobile încep să se mişte simultan, străbat acelaşi drum şi se opresc în acelaşi moment. Primul mobil are viteza iniţială v01 şi se mişcă uniform întârziat cu acceleraţia a1 . Al doilea mobil pleacă uniform accelerat, fără viteză iniţială, cu acceleraţia a2 , până atinge viteza v2  v01 , şi apoi uniform întârziat până se opreşte. Să se determine: a) timpul T până la oprirea ambelor mobile; b) spaţiul s parcurs; c) timpul t după care începe mişcarea întârziată a celui de-al doilea mobil. R:

2 2a1 ; c) t  v01 a2 a) T  v01 a1 ; b) s  v01

155

Un arbore se roteşte după legea:   k t   ect  1 c 

8.2.15

unde  este unghiul cu care se roteşte arborele, c şi k sunt constante pozitive, iar t este timpul. Să se determine valorile limită ale vitezei unghiulare şi ale acceleraţiei unghiulare, când timpul creşte nelimitat, precum şi viteza şi acceleraţia unui punct M aflat la distanţa r de axul arborelui. R:

lim   k ; lim v  kr ; lim a  k 2 r ; lim   0 t 

t 

t 

t 

8.2.16 Două automobile îşi încep simultan mişcarea din punctul A , având fiecare viteza iniţială v0 . Un automobil se deplasează uniform întârziat pe diametrul AB , iar celălalt parcurge uniform accelerat semicercul AB , astfel încât acceleraţia tangenţială să fie constantă.

v0

R a

A

v0

B

O a

Automobilele ajung simultan în B .

a

v0

Se cer: a) timpul după care se întâlnesc automobilele; b) valoarea acceleraţiei a ; c) pentru automobilul care se deplasează pe semicerc, să se determine acceleraţia totală în B şi unghiul pe care îl face cu viteza în B .

R:

a) t  R   2  2v0 ; b) a  4v02   2  c) a  v02  3  2 

2

 R   2 2  ;  

 R   2 2  ;  

2

a  v02 16   2    3  4  2

4

 R   2 2  .  

8.2.17 Un punct se mişcă rectiliniu cu acceleraţia a  6 3 x m s 2 , unde x este coordonata punctului. La momentul t1  2s , coordonata x1  27 m , iar v1  27 m s . Să se determine ecuaţia de mişcare a punctului, precum şi dependenţele vitezei şi acceleraţiei de timp.

R:

x   t  1 ; v  3  t  1 ; a  6  t  1 3

2

156

8.2.18 Dintr-un avion ce zboară cu viteza orizontală v0 la înălţimea h x deasupra Pământului, se aruncă la un moment dat un obiect M , a cărui h mişcare are loc într-un plan vertical, cu acceleraţia constantă g .

O v0

M g

A

l

Să se determine:

y

a) traiectoria punctului în sistemul fix de coordonate Oxy a cărui origine O coincide cu poziţia obiectului în momentul aruncării sale din avion; b) distanţa pe orizontală l de la care trebuie aruncat obiectul din avion pentru a cădea în punctul A ; c) viteza punctului M şi unghiul  dintre vectorul viteză şi verticală în punctul A .

R:

a) y  gx 2 2v0 2 ; b) l  v0 2h g ; c) v  v0 2  2 gh ; tg   v 0

8.2.19 Un avion (punctul O ) se mişcă în plan vertical după un arc de cerc de rază R , cu o viteză v0 constantă în modul. La un moment dat, când avionul se află în punctul A , din el se aruncă un obiect (punctul M ), a cărui mişcare are loc în acelaşi plan vertical, cu acceleraţia constantă g în raport cu sistemul de coordonate fix O1 x1 y1 .

2 gh

O1

x1

R

 O x

M

A y

y1

g Să se determine acceleraţia punctului M ca funcţie de unghiul  în raport cu sistemul de coordonate Oxy , legat de avion în punctul O , şi care are o mişcare de translaţie (axele O1 x1 şi Ox , respectiv O1 y1 şi Oy , rămân paralele).

R:

a  g 2   v02 R 2  v02  2 gR cos  

157

Să se determine în coordonate carteziene ecuaţiile de mişcare ale punctului B al roţii 1 , dacă unghiul de rotire al manivelei este   t ,   const.>0 .

1

y

8.2.20 Manivela OA se roteşte în jurul unei axe fixe, ce trece prin punctul O , perpendicular pe planul desenului. Ea antrenează în mişcare roata mobilă 1 , de rază r , care angrenează interior cu roata fixă  2  , de rază R .

r

A

R

B

O



C x

 2

La t  0 punctul B coincide cu punctul C de contact cu roata  2  , iar manivela OA a fost dispusă pe axa Ox .

R:

x   R  r  cos t  r cos y   R  r  sin t  r sin

 R  r  t ; r

 R  r  t r

8.2.21 Un punct se mişcă pe o orbită circulară după legea s   at  b   ct  d  , unde a , b , c , d sunt constante, s este lungimea arcului de curbă, t este timpul. Să se determine viteza medie a punctului pe un interval oarecare de timp. De asemenea, să se determine media geometrică a valorilor vitezelor punctului la capetele respectivului interval de timp. R:

Viteza medie pe intervalul  t1 , t2  este:  at2  b   ct2  d    at1  b   ct1  d   ad  bc vm    t2  t1  ct1  d  ct2  d 

Media geometrică a vitezelor este: vg  v1v2  s1 s2 

ad  bc  ct1  d  ct2  d 

Se observă că expresiile sunt identice.

158

8.2.22 Un punct se mişcă uniform accelerat pe o circumferinţă, conform 2 s  at  v0t  s0 , unde s este lungimea arcului de curbă parcursă, a , v0 şi s0 sunt constante, iar t este timpul. Să se determine viteza medie a punctului pe intervalul de timp de la t1 la t2 . Să se calculeze media aritmetică a valorilor vitezelor în cele două momente, t1 şi t2 . R:

Viteza medie pe intervalul  t1 , t2  este: vm   s2  s1  (t2  t1 ) vm   at2 2  v0t2  s0  at12  v0t1  s1   t2  t1   a  t2  t1   v0

Media aritmetică a vitezelor v1 şi v2 corespunzătoare momentelor t1 şi t2 este: va   v1  v2  2  a  t2  t1   v0 şi va  vm

8.2.23 Două puncte se mişcă pe o linie dreaptă, în acelaşi sens, având vitezele iniţiale v01 , respectiv v02 , şi acceleraţiile a1 , respectiv a2 . Dacă distanţa iniţială dintre puncte este s , după cât timp vor coincide punctele? Câte soluţii poate avea problema? R:

Timpul căutat se află din ecuaţia  a1  a2  t 2  2  v1  v2  t  2s  0 . Pentru a1  a2 , problema are o singură soluţie.

Pentru a1  a2 şi v1  v2 , problema nu are nici o soluţie (punctele nu se întâlnesc). Pentru a1  a2 şi v1  v2 şi soluţii.

 v1  v2 

2

 2s  a1  a2   0 , problema are 2

8.2.24 Acceleraţia unui punct este a  k  b  s  , unde k şi b sunt constante, iar s este spaţiul parcurs de punct. Dacă la t  0 , s  0 şi v  0 , să se scrie expresia spaţiului şi acceleraţiei în funcţie de viteză. R:

Plecând de la relaţia  dv ds  ds dt   a rezultă:



s  b 1  e v

2

2k

 ; a   k b e

 v2 2 k

159

8.2.25 Două nave A şi B se deplasează pe y două direcţii perpendiculare între ele, cu viteze constante şi egale cu 20 noduri (1 nod = 1 milă marină/oră, 1 milă marină = 1852 m). B Să se determine legea de variaţie a distanţei s  AB dintre cele două nave, dacă în momentul iniţial navele au ocupat poziţiile A0 , B0 respectiv B0 , iar OA0  OB0  3 mile. O R:

vB

x A0

vA

s  2  3  20t  mile.

8.2.26 O dreaptă    se roteşte în jurul punctului fix O cu viteza unghiulară constantă  şi intersectează un cerc fix, de centru O1 şi rază R , ce trece prin O , într-un punct M . Să se determine, viteza şi acceleraţia mişcării punctului M pe cerc şi pe dreaptă. R:

A

 R

M O1

 r

În mişcarea pe cerc: v  2 R ; a  4 2 R .

În mişcarea pe v   4R2  r 2 ; a   2r

O

dreaptă:

8.2.27 Paletele unui anemometru, aflate iniţial în repaus, sunt acţionate de un curent de aer, căpătând o mişcare uniform accelerată. După 4 secunde de la începerea mişcării, paleta execută 5rot s . Să se determine: a) viteza unui punct M al paletei după 3 secunde de la pornire, ştiind că acesta se află la distanţa de 20 cm de axul de rotaţie; b) componentele acceleraţiei punctului M ; c) numărul de rotaţii efectuat de paletă în 4 secunde de la pornire. R:

a)

v  4, 71m s ; a  1,57 m s2 ; a  12,32 m s2 ; c) n  10 rotaţii. 160

8.2.28 Manivela OA se roteşte în jurul unei axe fixe ce trece prin O , perpendicular pe planul figurii. Ea antrenează în mişcare roata 1 , de rază R , care angrenează exterior cu roata fixă  2  , de aceeaşi rază. Să se determine în coordonate carteziene şi polare traiectoria punctului B al roţii 1 , dacă unghiul de rotire al manivelei este   t ,   const.>0 .

 2

y R

A



r

R

O

Ca pol al sistemului de coordonate polare se consideră punctul O , iar ca axă polară - axa Ox .

B



x

C

1

La t  0 , punctul B coincide cu punctul C al roţii  2  , iar manivela OA este orientată după axa Ox . R:

Traiectoria este o cardioidă, ale cărei ecuaţii sunt: - în coordonate carteziene: x  R  2cos t  cos 2t  ; y  R  2sin t  sin 2t  ;

- în coordonate polare:

OB  r  R 5  4cos t ; tg   2sin t 1  cos t   2cos t  cos 2t 

8.2.29 In condiţiile problemei anterioare, să se determine valorile minimă şi maximă ale vitezei şi acceleraţiei punctului B în timpul unei rotaţii complete a manivelei OA din poziţia iniţială. Să se determine de asemenea, raza de curbură a traiectoriei punctului B la momentul t    .

R:

vmin  0 ; vmax  4R ; amin  2 R 2 la t  0 ; amax  6R 2 la t    .

Raza de curbură la momentul respectiv este:   8R 3

161

8.2.30 Două automobile se deplasează pe o porţiune circulară a unei şosele, astfel încât la un moment dat o persoană aflată în punctul O (centrul de curbură al porţiunii respective) le vede pe aceeaşi direcţie. După 6 secunde, maşina  2  este văzută înaintea maşinii 1 cu un unghi de 8°.

R2 R1

Ştiind că: v1  54 km/h , R1  80 m , R2  80 m

O

şi că viteza v2 este constantă, să se determine: a) viteza v2 a automobilului  2  ; b) spaţiile parcurse în intervalul de timp de observare; c) acceleraţiile automobilelor. R:

a) v2  57 km/h ; b) s1  90 m ; s2  94,95 m ; c) a1  2,81 m/s2 ; a2  3,34 m/s2

8.2.31 Un gimnast (punctul M ) se agaţă de bara trapezului, se lansează de pe suportul A cu viteza v0 ( v0  OA ) şi se mişcă împreună cu trapezul în plan vertical. Proiecţia acceleraţiei gimnastului pe tangenta la traiectoria sa pe porţiunea AB este egală cu g sin     , lungimea trapezului fiind OM  l . În poziţia B       gimnastul dă drumul trapezului şi continuă să se mişte în acelaşi plan vertical, cu acceleraţia constantă g . Să se determine: a) viteza şi acceleraţia gimnastului în poziţia B ; b) ecuaţia de mişcare în coordonate polare a gimnastului, după desprinderea sa de trapez.

R:

a) vB  v0 2  2 gl  cos   cos   ; aB   g sin  ; aB  [v0 2  2 gl  cos  cos  ] l ; aB  aB 2  aB 2 ;

b) r  t vB 2  gtvB sin   g 2t 2 4 ;   arctg  tg   gt 2vB cos  

162

8.2.32 Sub ce unghi trebuie aruncat din O un punct greu, astfel încât el să atingă dreapta  d  într-un timp minim? Ecuaţiile parametrice ale traiectoriei parabolice  C  a punctului sunt:

y

d 

C 

v0

h





x

O

x  v0t cos   y  v0t sin    g t 2 2

R:

d  :

y  h  x tg  ; y  h  v0t sin  tg  ;

f  t ,     gt 2 2 h  v0t  sin   cos  tg   h  0 ;

t  min pentru f x  0 => ctg   tg  şi v02  2 gh cos2 

8.2.33 Un proiectil de tun antiaerian este tras vertical în sus cu viteza v0 . Sunetul produs de explozia proiectilului se aude după t secunde de la tragere. Cunoscând viteza c a sunetului, să se determine înălţimea la care are loc explozia.

R:

h   c g   gt  v0  c   

 gt  v0  c 

163

2

 g  gt 2  2v0t   

8.3.3 Mişcarea elicoidală (de rototranslaţie) a rigidului Un rigid efectuează o mişcare elicoidală dacă două puncte ale sale rămân tot timpul mişcării conţinute pe o dreaptă fixă în spaţiu; aceasta se numeşte axa mişcării elicoidale. În cazul acestei mişcări, corpul are două grade de libertate cinematică care corespund celor două posibilităţi de mişcare: de a se deplasa de-a lungul dreptei fixe şi de a se roti în acelaşi timp în jurul acestei drepte. Exemple de mişcări elicoidale: x1 mişcarea unui şurub, mişcarea unui glonte în interiorul unei ţevi ghintuite, etc.

z

 

P

O2

r

k

y



O

j



i x

r1

r0

axă de rototranslaţie

k1

i1 O1

y1

j1

Fig. 8.10

Pentru studiul acestei mişcări (fig. 8.10) se consideră un reper fix S1  Ox1 y1 z1  şi un reper mobil S  Oxyz  , solidar cu rigidul, a cărui axă Oz coincide cu axa O1 z1 . Spre deosebire de mişcarea de rotaţie, în această mişcare originea O a reperului S se deplasează pe axa O1 z1 , deci vectorul r0  O1O  r0 k  r0 k1 este variabil ca mărime. Parametrii mişcării sunt:

   t  ,

z0  z0  t 

(8.41)

Ecuaţiile mişcării unui punct oarecare al rigidului în acest caz, rezultă din relaţia generală: r1  r0  r

unde:

r1  x1i1  y1 j1  z1k1 ;

r0  z0k1 ;

r  xi  yj  zk

(8.42)

Ecuaţiile parametrice ale traiectoriei unui punct oarecare coordonatele x, y, z faţă de T ):

P

x1  x cos   y sin  y1  x sin   y cos 

(8.43)

z1  z0  z

164

(de

Eliminând parametrul  din primele două ecuaţii se obţine: x12  y12  x2  y 2  d

(8.44)

unde d este distanţa de la un punct al rigidului până la axa fixă. Ecuaţia reprezintă un cilindru circular drept, având ca axă dreapta fixă. Rezultă deci că diferite puncte ale rigidului se mişcă pe cilindri coaxiali, axa comună Oz fiind axa mişcării elicoidale (axă de rototranslaţie) Distribuţia vitezelor în mişcarea elicoidală a rigidului (fig. 8.11) v

z1 z

v0

O2 d

O'





v0

P y

r

vrot



O r1



r0

x

O1

x1

y1

Fig. 8.11

Se notează cu v0 viteza originii sistemului mobil, care se deplasează pe axa fixă O1 z1 . Se utilizează legea lui Euler pentru distribuţia de viteze în mişcarea generală a rigidului: v  v0    r

   k  k

în care:

v0  z0k

=>

i v  z0 k    r  0

şi

x

j k 0    yi   xj  z0 k y

(8.45)

(8.46)

z

Modulul vectorului viteză este: 2 v   2 y 2   2 x 2  z02  vrot  v02

165

(8.47)

Proprietăţi: a) distribuţia de viteze se obţine prin suprapunerea a două câmpuri de viteze: - câmpul specific unei mişcări de rotaţie în jurul axei Oz , cu viteza unghiulară  ( vrot   d ) - câmpul specific unei mişcări de translaţie în lungul axei O1 z1 ( v0  z0k ); =>

v    yi   xj   z0 k  vrot  vtr

(8.48)

b) nu există puncte ale rigidului de viteză nulă, deoarece componenta v1z este diferită de zero, iar punctele de pe axa mişcării au viteza minimă.; c) punctele situate pe o dreaptă paralelă cu axa mişcării elicoidale (având aceleaşi coordonate  x, y  , au vitezele egale; d) pentru punctele situate pe o dreaptă (  ) care întâlneşte axa mişcării elicoidale sub un unghi drept, vectorul viteză variază liniar. e) între viteza unghiulară  şi viteza de translaţie v0 există relaţia: v0   h 2  

(8.49)

unde h este pasul şurubului. Distribuţia acceleraţiilor în mişcarea elicoidală a rigidului (fig. 8.12) a z1 z a0 O2  O' d arot





a0

P y

r



O

 x1

x

r0

O1 Fig. 8.12

166

r1

y1

 arot

Se notează cu a0 acceleraţia originii sistemului de axe mobil faţă de cel fix: a0  v0  a0k

(8.50)

Se foloseşte relaţia generală: a  a0    r      r 

unde:

   k  k

şi

    k   k

(8.51)

Relaţia generală devine: i a  a0    r      r   a0 k  0 x

j k 0   y

z

i 0

 y  x

a    y   2 x  i   x   2 y  j  a0 k

=>

j 0

k

 0

(8.51)

Observaţii: - componentele a x şi a y sunt identice cu cele din mişcarea de rotaţie; - componenta az  a0 este la fel ca în mişcarea de translaţie, deci: a  arot  atr .

(8.52)

Proprietăţi: a) distribuţia acceleraţiilor se obţine prin suprapunerea a două câmpuri de acceleraţii: unul corespunzând unei mişcări de rotaţie în jurul axei Oz şi celălalt corespunzând unei mişcări de translaţie în lungul axei Oz ; b) proiecţia acceleraţiei pe direcţia axei de rotaţie elicoidale este constantă (nu depinde de coordonatele punctului); c) în general, nu există nici un punct al rigidului de acceleraţie nulă, iar punctele de pe axa mişcării elicoidale au acceleraţia minimă. d) punctele situate pe o dreaptă paralelă cu axa mişcării elicoidale au acceleraţii egale (deoarece proiecţiile acceleraţiei nu depind de cota z ); e) pentru punctele situate pe o dreaptă (  ) perpendiculară pe axa mişcării elicoidale acceleraţiile variază liniar.

167

8.3.4 Mişcarea plan-paralelă (plană) Un corp rigid are o mişcare plan-paralelă (sau plană) dacă trei puncte necoliniare ale sale sunt conţinute tot timpul mişcării într-un plan fix din spaţiu. Exemple: mecanismul bielă-manivelă, mişcarea roţii unui vehicul pe un drum rectiliniu, etc. În acest caz, corpul are trei grade de libertate cinematică care corespund celor trei posibilităţi de deplasare: - două translaţii independente în planul fix (două grade de libertate); - o rotaţie în jurul unui ax propriu, perpendicular pe planul fix (un grad de libertate). Se consideră un sistem de coordonate fix S1  Ox1 y1 z1  astfel încât axele O1 x1 şi O1 y1 , să se găsească în planul considerat fix şi un sistem de coordonate mobil S  Oxyz  , solidar cu rigidul, ale cărui axe Ox şi Oy se găsesc de asemenea în planul fix (fig. 8.13). Se impun condiţiile: z0  0 ,

k  k1

(8.53)

Mişcarea rigidului este cunoscută dacă se determină trei funcţii scalare: - coordonatele x0 şi y0 ale originii reperului mobil în raport cu reperul fix; - unghiul  dintre axele O1 x1 şi Ox x0  x0  t  ,

y0  y0  t  ,

   t 

z1

Parametrii x0 , y0 şi  reprezintă parametrii mişcării, iar ecuaţiile (8.54) sunt ecuaţiile orare ale mişcării (şi corespund celor trei grade de libertate cinematică ) Ecuaţiile mişcării unui punct oarecare al corpului (adică ecuaţiile traiectoriilor) se obţin pornind de la relaţia vectorială:

(8.54)

y1

r0

z

r1

O





y

r

r1  r0  r

P

x Fig. 8.13

168

O1

x1

r1  x1i1  y1 j1  z1k1

=>

r0  x0 i1  y0 j1

(8.55)

r  xi  yj  zk

Ecuaţiile parametrice ale traiectoriilor (fig. 8.14): x1  x0  x cos   y sin  y1  y0  x sin   y cos 

(8.56)

z1  z

O1

Proprietăţi ale traiectoriilor: a) traiectoriile punctelor depind de parametrii mişcării x0 , y0 şi  .

y r0

b) toate punctele se mişcă în plane x0 paralele cu planul fix; c) toate punctele situate pe o x1 paralelă la Oz descriu traiectorii identice. Deci pentru a cunoaşte mişcarea în orice plan, este suficient să se studieze mişcarea în planul Oxy .

y1

y0

y

y1

r1

O

r

P

 x

x1

x

Fig. 8.14

Distribuţia vitezelor în mişcarea plan-paralelă a rigidului Se studiază cu ajutorul relaţiei generale a distribuţiei de viteze: v1  v0    r

unde:

v0  v0 x i  v0 y j ;

   k  k

(8.57)

Deci, vectorul  păstrează aceeaşi expresie ca şi în mişcarea de rotaţie. În mişcarea plan-paralelă viteza unui punct oarecare se scrie: i v1  v0 x i  v0 y j    r  v0 x i  v0 y j  0 x

=>

v1   v0 x   y  i   v0 y   x  j

169

j k 0  y

z

(8.58)

Proprietăţi ale distribuţiei de viteze: a) vitezele diferitelor puncte sunt paralele cu planul fix; b) există în general puncte a căror viteză este nulă; dacă notăm cu  , ,  coordonatele unui asemenea punct, ele sunt soluţiile sistemului: v0 x    0 ; v0 y    0 ;   oarecare

Rezultă coordonatele punctului de viteză nulă faţă de sistemul mobil:

   v0 y  ;   v0 x  ;   oarecare

(8.59)

Definiţii: Se observă că punctele rigidului care au y1 viteză nulă se găsesc pe o dreaptă perpendiculară pe planul mişcării (paralelă cu 1 Oz , denumită axă instantanee de rotaţie. Punctul planul mişcării (fig. 8.15) care are viteza nulă poartă numele de centru instantaneu de rotaţie (CIR) şi se notează, de regulă, cu: I  I  , ,    I 1 ,1 ,  1  .

y0

I 1 ,1  I  , 

x

y





r

r1

O

r0 O1



x1 x0 1

Fig. 8.15

Observaţii: - distribuţia de viteze într-o mişcare plan paralelă este identică cu cea de la mişcarea de rotaţie, ca şi când rigidul s-ar roti în jurul axei instantanee de rotaţie; - rigidul nu se roteşte permanent în jurul axei instantanee de rotaţie; această axă este în mişcare atât faţă de reperul fix cât şi faţă de reperul mobil, deoarece  şi  sunt în general funcţii de timp, deci sunt variabile. Studiul vectorial al vitezelor în mişcarea plan-paralelă (fig. 8.16) Se consideră două puncte A şi B ale unui corp în mişcarea plană, care aparţin planului mobil Oxy . Se determină relaţia vectorială între vitezele acestor două puncte. Pentru aceasta se aplică relaţia distribuţiei de viteze: vA  vO    OA

şi

vB  vO    OB

170

Dacă se scad cele două relaţii membru cu membru se obţine relaţia lui Euler pentru viteze: vB  vA    AB

sau vB  vA  vBA

Observaţii:

(8.60) vB

y

- viteza punctului B faţă de punctul A este vectorul vBA    AB , care este perpendicular pe suportul lui  şi pe dreapta AB ; - dacă în particular punctul A coincide cu centrul instantaneu de rotaţie, I , vI  vA  0 , din relaţia (8.60) rezultă:

vA

vA

vBA

A



B

x

O

Fig. 8.16

vB    IB

(8.61)

Relaţia (8.61) confirmă proprietatea prin care, la un moment dat, mişcarea plană a solidului este aceeaşi cu cea de mişcare de rotaţie a rigidului cu axă fixă, doar că rotaţia are loc în jurul unei axe mobile (axa instantanee de rotaţie). Metoda vectorială de determinare a poziţiei centrului instantaneu de rotaţie Se înmulţeşte vectorial la stânga cu  relaţia (8.61) şi se obţine:



 



  vB      IB    IB    2 IB

(8.62)

Deoarece:   IB şi   IB  0 , rezultă:   vB   2 IB   2 BI

=>

BI 

  vB 2

şi

BI 

 vB sin  2  vB   2

(8.63)

z Concluzie: - având în vedere relaţia (8.63) poziţia centrului instantaneu de rotaţie, I , (fig. 8.17) se găseşte în planul mişcării, pe perpendiculara dusă din punctul B pe vB , la distanţa BI  vB  , în sensul obţinut prin rotirea vitezei vB cu  2 în sensul lui  .

O x



y

I vB

B Fig. 8.17

171



 2

Metode geometrice de determinare a poziţiei CIR După cum s-a stabilit, în mişcarea plană a rigidului vectorul viteză este normal pe rază, iar modulul său este proporţional cu raza. Din acest fapt rezultă că dacă se cunosc direcţiile vitezelor în două puncte oarecare A şi B (fig. 8.18) ale unui rigid aflat în mişcare plană, atunci centrul instantaneu de rotaţie I se află la intersecţia normalelor duse în A şi B pe suporturile celor două viteze v A şi vB . vA

A

B

A

vB

v

B

v

I 

 0

 I

Fig. 8.19

Fig. 8.18

De exemplu, dacă se cunoaşte viteza unghiulară,  , se calculează distanţele IA şi IB şi se determină expresiile vitezelor: vA    IA

şi

vB    IB

În cazul care suporturile vitezelor celor două puncte A şi B sunt paralele (fig. 8.19), atunci perpendicularele pe aceste suporturi vor fi şi ele paralele. Centrul instantaneu se va găsi la infinit. Situaţia se întâlneşte doar dacă vA  vB  v , deci când rigidul efectuează, în momentul considerat, o mişcare de translaţie. vA

vA

vB

A

A

B

I



 B

I

vB Fig. 8.20

Când vectorii v A şi vB sunt paraleli şi au module diferite, dar cunoscute (fig. 8.20), CIR se află pe dreapta AB . Folosind proprietatea de variaţie liniară a vitezelor în lungul razei, se găseşte centrul instantaneu la intersecţia lui AB cu dreapta ce uneşte vârfurile vectorilor v A şi vB .

172

Baza şi rostogolitoarea Definiţii: - rostogolitoarea este locul geometric al CIR în raport cu sistemul de referinţă mobil S  Oxyz  (se mai numeşte şi centroidă mobilă); - baza este locul geometric al CIR în raport cu sistemul de referinţă fix S1  Ox1 y1 z1  (se mai numeşte şi centroidă fixă). Conform relaţiilor (8.59), ecuaţiile parametrice ale rostogolitoarei sunt:

   v0 y  ;

  v0 x  ;

(8.64)

Ecuaţiile parametrice ale bazei se pot obţine din ecuaţiile (8.56), în care: - coordonatele  x, y, z  faţă de triedrul mobil se înlocuiesc cu  , , 0  ; - coordonatele

 x1 , y1 , z1  faţă de triedrul fix se înlocuiesc cu 1 ,1 , 0

Rezultă sistemul:

1  x0   cos    sin  1  y0   sin    cos 

(8.65)

Observaţie: - ecuaţiile (8.65) pot fi deduse direct (geometric) din fig. 8.15, unde centrul instantaneu de rotaţie I este exprimat prin proiecţiile lui: - în raport cu triedrul fix, I 1 ,1 ,  1  ; - în raport cu triedrul mobil, I  , ,   . Înlocuind relaţiile (8.64) în (8.65), se obţin ecuaţiile parametrice ale bazei:

1  x0   v0 y   cos    v0 x   sin  1  y0   v0 y   sin    v0 x   cos 

(8.66)

Observaţii: - în timpul mişcării rigidului baza rămâne fixă, iar rostogolitoarea, tangentă la bază, se rostogoleşte fără să alunece pe bază; - dacă în loc de curbele descrise de CIR, în raport cu sistemul de referinţă fix, respectiv în raport cu cel mobil, se consideră suprafeţele generate de axele instantanee de rotaţie faţă de aceleaşi sisteme, se obţin două suprafeţe cilindrice: - suprafaţă fixă, numită axoidă fixă; - suprafaţă mobilă, numită axoidă mobilă care se rostogoleşte fără să alunece peste cea fixă. 173

Distribuţia acceleraţiilor în mişcarea plan-paralelă a rigidului Din formula generală:

=>

a1  a0    r      r 

i a1  a0 x i  a0 y j  0 x

=>

j k 0   y

z

i 0

j 0

k



 y  x

0

a1   a0 x   y   2 x  i   a0 y   x   2 y  j

(8.67)

Studiul vectorial al acceleraţiilor în mişcarea plan-paralelă Pentru punctele A şi B ale unui corp în mişcare plană, care aparţin planului mobil Oxy (fig. 8.21) se presupune cunoscută acceleraţia a A a punctului A şi se cere să se exprime acceleraţia aB a punctului B în funcţie de aA . aB

y

aA aBA

a BA

aA

A a BA



B

x

 O

Fig. 8.21

Aplicând formula acceleraţiei din mişcarea generală a rigidului pentru cele două puncte:

     OB      OB 

aA  aO    OA      OA aB  aO

Se reaminteşte formula produsului dublu vectorial a trei vectori: a  b  c    a  c  b   a  b  c

174

(8.68)

Se obţin expresiile pentru acceleraţiile punctelor A şi B :





a A  aO    OA    OA       OA   aO    OA   OA

(8.69)

2





aB  aO    OB    OB       OB   aO    OB   OB

(8.70)

2

unde s-a ţinut cont că:

  OA  0 şi   OA  0 (   OA şi   OB ). Scăzând membru cu membru relaţiile (8.70) şi (8.69), rezultă formula lui Euler pentru acceleraţii în mişcarea plan-paralelă: aB  aA    AB   2 AB

(8.71)

  aB  aA  aBA  aA  aBA  aBA

(8.72)

sau

Proprietăţi ale distribuţiei de acceleraţii: a) acceleraţia oricărui punct al rigidului este cuprinsă într-un plan paralel cu planul fix al mişcării Oxy (deoarece a1z  0 ); b) acceleraţiile punctelor care se găsesc pe o dreaptă perpendiculară pe planul fix (deci care are aceleaşi coordonate x, y ) sunt egale ca mărime, direcţie şi sens. c) în general există puncte de acceleraţie nulă, care se găsesc pe o dreaptă paralelă cu axa Oz ; în planul Oxy există un singur asemenea punct şi care se numeşte polul (centrul) acceleraţiilor (şi se notează cu J ). Componentele acceleraţiei punctului J  m, n  sunt nule, astfel că din relaţiile (8.67) se obţine sistemul: a0 x   n   2 m  0

(8.73)

a0 y   m   2 n  0

de unde rezultă coordonatele polului acceleraţiilor, J  m, n  :

 2 a0 x   a0 y , m 4   2

 a0 x   2 a0 y n 4   2 175

(8.74)

Polul acceleraţiilor este un punct care îşi schimbă permanent poziţia (întrucât a0 x şi a0 y sunt în general funcţii de timp).

y

a A



A

Cu ajutorul polului J (fig. 8.22)  distribuţia de acceleraţii pentru un punct  oarecare A se poate exprima prin relaţia: O

J

aA a A

x Fig. 8.22

aA    JA   2 JA  aA  aA

unde:

a   a    arctg   

aA 

- modulul este: - direcţia dată de:

(8.75)



2



A

2

A

 JA  2   4

(8.76)

2

(8.77)

Poziţia polului acceleraţiilor, J , se poate determina dacă sunt cunoscute: a) direcţiile acceleraţiilor a două puncte oarecare A , B şi unghiul  - din cele două puncte (fig. 8.23) se trasează două drepte care fac unghiul  cu direcţiile acceleraţiilor (  se construieşte plecând de la suporturile acceleraţiilor în sensul pozitiv al lui  ); la intersecţia acestor drepte se află punctul J ;

y

J A

 O

 2  4

B

x

Fig. 8.23

y

 - din punctul A (fig. 8.24) se trasează o dreaptă care face unghiul  cu direcţia acceleraţiei a A ;  punctul J se află pe această dreaptă la distanţa: O AJ  aA

aB

 a A



b) acceleraţia unui punct A , viteza unghiulară  şi acceleraţia unghiulară  ;



J A

 aA

x

Fig. 8.24

(8.78)

Observaţii: - în mişcarea plană, distribuţia de acceleraţii este identică cu cea din mişcarea de rotaţie, ca şi când rigidul s-ar roti în jurul unei axe normale pe planul mişcării şi care trece prin polul acceleraţiilor. - în general J şi I sunt două puncte diferite.

176

PROBLEME REZOLVATE

8.3.1 O roată de rază r0 se roteşte în jurul unui punct fix O , cu viteza unghiulară constantă 0 . O bielă AB este articulată de manivela BC  r1 , ce se poate roti în jurul punctului C , aflat pe aceeaşi orizontală cu punctul O . Se cunosc unghiurile  şi  . Să se determine vitezele unghiulare ale manivelei şi bielei.

A

 C

D

O r0

 r1 B

Rezolvare:



A

2 C

1



2  AB

 O

2

r0

r1

 B

0

D



1

vC

0 vB

Manivela CB execută o mişcare de rotaţie în jurul unei axe fixe, perpendiculare pe planul mişcării, care trece prin C : vB  vC  1  CB  1  CB

=>

vB  1r1

(a)

Punctul A descrie împreună cu roata  0  o mişcare de rotaţie în jurul unei axe fixe, perpendiculare pe planul mişcării, care trece prin O : vA  vO  0  OA  0  OA

=>

177

vA  0 r0

(b)

Biela AB , de lungime l , efectuează o mişcare plană, astfel că, relaţia dintre vitezele punctelor A şi B este: vB  vA  2  AB

(c)

Viteza unghiulară 2 a bielei AB este un vector perpendicular pe planul mişcării. Se alege arbitrar un sens pentru 2 şi se figurează vectorul 2  AB . Relaţia (c) se proiectează pe axele unui sistem de referinţă ales convenabil:

 AB  :   AB  : =>

vB cos   vA cos  (teorema proiecţiilor)

(d)

vB sin   vA sin   2l

(e)

1r1 cos   0 r0 cos 

(f)

1r1 sin   2l

(g)

Pentru cazul din figură, rezultă:

   4       2

=>

(h)

Din triunghiul BCD :

BC BD  => sin  sin 

Din triunghiul AOD :

=>

BD  r1 sin  sin  AD  2r2 cos 

l  AB  AD  BD  2r2 cos   r1 sin  sin 

(i)

Ţinând cont de relaţiile (h) şi (i), din relaţiile (f) şi (g) rezultă:

=>

1  0

r0 cos  r0 cos  r0 cos   0  0 r1 cos  r1 cos      2  r1 sin    

2  1

r1 r1 sin   1 sin     l 2r2 cos   r1 sin  sin 

1  0

r0 cos  r0  0 r1 sin     r1  sin   cos  

2  0

r0 sin  cos   r0  0 r2 sin 2  r1 sin  2 r2  r1 sin 

Observaţie: - s-a obţinut o valoare negativă pentru 2 , fapt ce arată că sensul ales arbitrar pentru viteza unghiulară a bielei este opus celui real.

178

8.3.2 O bară AC de lungime l , alunecă cu capătul A pe un suport fix vertical, cu viteza v A constantă. Bara trece mereu prin articulaţia fixă B , aflată la distanţa d de suport. Să se determine: a) centrul instantaneu de rotaţie ( CIR ); b) viteza unui punct M al barei în momentul trecerii prin articulaţia B ; c) viteza capătului C al barei pentru  dat.

A

y1

y1

I

A



1



vA

B

O

vA

x1

B

x1

O

d

vC

vB

C

C



Rezolvare: a) mişcarea barei la un moment dat se consideră definită de unghiul  . - CIR se va găsi în punctul I , la intersecţia perpendicularelor ridicate în A şi B pe vectorii vitezelor. b) având în vedere expresiile vitezelor punctelor M şi A : vM  IM  

şi

vA  IA  

=>

vM  vA  IM / IA .

- din triunghiul dreptunghic AMI rezultă: IM  IA cos

c) aplicând metoda de la punctul b)

=>

vM  vA cos

=>

vC  vA  IC / IA .

- din triunghiul IBC

=>

IC  d 2 / sin 4   l 2  2ld / sin 

- din ABI şi AOB :

=>

IA  AB / sin   d / sin 2 

- introducând aceste relaţii în expresia lui vC se obţine: vC  vA d 2  l 2 sin 4   2ld sin 3  / d

179

8.3.3 O placă OA se roteşte în jurul punctului O cu viteza unghiulară  constantă. Pe placa OA se rostogoleşte fără alunecare cilindrul de rază R , având viteza centrului C constantă în modul, v0 . Să se determine baza şi rostogolitoarea mişcării cilindrului. y

vC y1

y1

C

v0

vB



C

A

R

v0 r

vB



B



x1

I

0

1 B

O

O

A

x

d

x1

rB r1

Rezolvare: Placa OA are o mişcare de rotaţie în jurul unei axe fixe cu  ,   ct. Viteza punctului B de pe placă este: =>

=> vB   rB

vB  vO    OB    OB

Punctul B (al cilindrului) este centru instantaneu de rotaţie în mişcarea plană (relativă) a cilindrului faţă de placă, pentru că nu există alunecare: =>

vC  vB  0  BC  0  BC  v0

=> vC  v0  0 R

unde s-au notat cu vC şi vB componentele vitezelor punctelor C şi B paralele cu direcţia plăcii. Din condiţia de contact permanent dintre placă şi cilindru în punctul B (proiecţiile vitezelor pe normala comună, în punctul de contact, sunt egale) rezultă că viteza punctului B al cilindrului este: vB  vB  şi

vB   rB

Din distribuţia de viteze pentru cilindru rezultă: vC  vB  0  BC

şi

ctg  

180

vB  rB  v0 v0

Se trasează perpendicularele în C şi B pe suporturile vectorilor vC şi vB , iar la intersecţia acestora se determină poziţia CIR , I . Pentru determinarea bazei se stabileşte poziţia lui I faţă de sistemul de referinţă fix, Ox1 y1 , cu ajutorul parametrilor r1 şi 1 . Din triunghiul BCI rezultă: ctg   ctg  

=>

d  rB  R v0

=>

dR

BI d  BC R

 rB v0

Poziţia punctului în sistemul de referinţă fix este dată de r1 , unde: r1  rB  d  rB  R

 rB v0

 R   rB 1   v0  

Punctul C al cilindrului efectuează o mişcare de translaţie în lungul plăcii cu viteza v0  ct. : rB  v0t

Se obţin ecuaţiile parametrice ale bazei:  R  r1  1   v0 t   v0   R  t v 0  

1  t Dacă se elimină timpul din cele două relaţii, se obţine expresia implicită a bazei: r1   v0   R 

unde:

k

v0



R

1 v0   R v   1   0  R 1  k1     =>

r1  k1

Baza este o curbă de tipul r  k , numită spirala lui Arhimede. Pentru determinarea rostogolitoarei se consideră un triedru mobil Cxy legat de disc şi vectorul de poziţie r  CI ; coordonatele lui I sunt date de relaţiile:

  d cos   R sin  ,   d sin   R cos  .

181

Ridicând la pătrat şi adunând membru cu membru cele două relaţii rezultă:

 2   2  R2  d 2 . Avem: d  2

 2 R2 v02

r  2 B

 2 R2 v02

12 v 2  R 212  2 0

Prin urmare, expresia implicită a rostogolitoarei este:

 2   2  R2 1  12  8.3.4 Într-un mecanism bielă-manivelă, în momentul în care unghiul BOA   / 2 , se cunosc viteza şi acceleraţia unghiulară, 0 , respectiv  0 , ale manivelei OA  r . Cilindrul B descrie o altă circumferinţă de rază R , în poziţia dată el aflându-se pe dreapta orizontală ce trece prin O . Cunoscând AB  l , să se determine acceleraţia punctului B şi acceleraţia unghiulară instantanee a bielei AB.

 0

a A

A

A

1

0

0



B

1  AB

1

a A

 2

 O

O

B

aB

aB

2

R

2

O1

R

O1

Rezolvare: Se observă că punctele A şi B ale bielei AB execută mişcări de rotaţie în jurul unor axe fixe, perpendiculare pe planul mişcării, care trec prin punctele O , respectiv O1 : A împreună cu manivela OA , iar B împreună cu cilindrul. Distribuţia de viteze: În poziţia considerată, vitezele punctelor A şi B ale bielei sunt paralele una cu alta şi nu sunt perpendiculare pe segmentul AB . Prin urmare, centrul instantaneu al vitezelor se află la infinit, biela execută o mişcare instantanee de translaţie, vitezele tuturor punctelor fiind egale 1  0  . Pe de altă parte, viteza punctului A , şi prin urmare a oricărui punct al bielei este vA  vB . 182

Din vA  0  OA  0 r şi vB  2  O1 B  2 R rezultă:

2  0 r R

(a)

Distribuţia de acceleraţii: Acceleraţiile punctelor A şi B au câte două componente: - normale:

aB  22  O1 B  22 R  02 r 2 R

aA  02  AO  02 r ;

aB   2  O1 B   2 R

- tangenţiale: aA   0  AO   0 r ;

(b)

Cunoscând acceleraţia punctului A , se scrie acceleraţia punctului B sub forma: aB  aA  1  AB  12 AB .

(c)

unde s-a ales un sens arbitrar pentru 1 , iar 1  0 . Proiectând relaţia (c) direcţiile: paralelă şi perpendiculară pe AB se obţine:



AB  :

  AB  : unde:

aB sin   aB cos   aA sin   aB cos  aB cos   aB sin   aA cos   aB sin   1l

(d) (e)

sin   r / l şi se notează: k  r R .

Se înlocuiesc expresiile (b) în relaţiile (d) şi (e): =>

02 r 2 sin  R   2 R cos   02 r sin    0 r cos 

(f)

02 r 2 cos  R   2 R sin   02 r cos    0 r sin   1l

(g)

=>

 2  k 0  k  k  1 02 tg 

=>

1  02 1  k  tg  Cu valoarea determinată pentru  2 , se calculează: aB   2 R

Cunoscând componentele acceleraţiei punctului B , putem determina acceleraţia lui cu ajutorul relaţiei: aB 

a   a  

B

2



2

B

.

Unghiul făcut de această acceleraţie cu verticala O1 B este:

  arctg  aB / aBn  .

183

8.3.5 O bară AB , de lungime 2l , cade din poziţie verticală, lunecând fără frecare pe un planşeu orizontal, centrul său de greutate deplasându-se pe verticală cu viteza vO  gt . Să se determine poziţia CIR, baza şi rostogolitoarea mişcării şi polul acceleraţiilor. A

A

y

y1

x

O

I

O vO

B



vB

x1

B

O1

Rezolvare: Se alege un sistem de referinţă mobil Oxy , cu originea O în centrul de greutate al barei AB şi axa Oy în lungul barei. Rezultă: vOx   gt sin ;

vOy   gt cos ;

d  l cos    gt dt Se obţine expresia vitezei unghiulare:

Din: O1O  l cos : =>

  =>

l sin      gt

  gt l sin  . Derivând această expresie în raport cu timpul rezultă:

  g  l sin 2   gt 2 cos  l 2 sin 3  . Coordonatele CIR în raport cu sistemul mobil sunt:

   vOy   gt cos  gt l sin     l 2  sin 2 ;

  vOx    gt sin   gt l sin     l 2 cos 2  1 . Prin eliminarea parametrului  între aceste două relaţii, se obţine ecuaţia 2 2 rostogolitoarei sub forma  2    l 2    l 2  : ecuaţia unui cerc cu centrul în mijlocul distanţei OB şi rază l 2 . În raport cu sistemul de referinţă fix, CIR are coordonatele:

1   cos   sin  l sin

1   sin   cos  l cos 184

Eliminând parametrul  între aceste două ecuaţii, rezultă ecuaţia bazei sub forma 12  12  l 2 : ecuaţia unui cerc cu centrul în O1 şi raza l . Polul acceleraţiilor va avea coordonatele J  m, n  : m   aOx   aOy     2

4

n   aOy   aOx  2

2

l 2 sin 3    gt 2  l sin 2  cos  

 g t

2 4

 l 2 sin 4   2 glt 2 sin 2  cos 

l 3 sin 6       g 2t 4  l 2 sin 4   2 glt 2 cos sin 2  4

2

Se observă că dacă viteza barei ar fi constantă, polul acceleraţiilor ar coincide cu CIR , adică: m  l sin  cos  ; n  l sin 2  . 8.3.6 Un cilindru de rază r cade fără viteză iniţială, B desfăşurându-se de pe un fir. Axa cilindrului are o mişcare 2 de translaţie pe verticală cu viteza vA  3gy , unde: g 3 este acceleraţia gravitaţională şi y este distanţa parcursă de D centrul cilindrului.

O

A E

Să se determine vitezele şi acceleraţiile punctelor C , D, E, H .

C

vC  aDA

A

D

 

H  aCA

C  aCA

E

D

vA

 aDA  aD

aA



aA aA

aC A



aH aHA

vE vH

aE

  aHA

H

185

aA

y

C

H

 aEA 

E

aA  aEA

Rezolvare: Distribuţia de viteze: CIR al mişcării plane a cilindrului se află în punctul D , unde partea imobilă a firului BD atinge cilindrul. În acest loc, vitezele punctelor firului şi cilindrului sunt egale, adică ambele sunt nule. Vitezele celorlalte puncte sunt proporţionale cu distanţele la D şi perpendiculare pe segmentul ce uneşte punctul respectiv cu D . Mărimea vitezei punctului E se determină din teorema vârfurilor: vA r  vE 2r , de unde rezultă vE   4 3 3gy

(a)

Vitezele punctelor C şi H sunt egale în modul, întrucât distanţele la CIR sunt egale: DC  DH  r 2 . Valorile acestor viteze se determină din raportul vA r  vC r 2 , de unde rezultă : vC  vH   2 3 6 gy

(b)

Formulele stabilite pentru vitezele vE , vC şi vH dau valorile acestora ca funcţii de parametrul y . Plecând de la expresia lui v A şi având în vedere semnificaţia vitezei (derivata spaţiului în raport cu timpul), rezultă: vA  dy / dt   2 3 3gy

(c)

Prin separarea variabilelor:

dy 2  3gdt y 3

(d)

Prin integrarea acestei ecuaţii diferenţiale cu condiţiile iniţiale y  0 , t  0 , se determină ecuaţia de mişcare a cilindrului: y  gt 2 3 .

(e)

Înlocuind acum această valoare a lui y în (a) şi (b) rezultă: vE  4 gt 3

şi

vC  vH  2 2 gt 3

(f)

Observaţie: valorile vitezelor punctelor C şi H se pot găsi şi cu ajutorul teoremei proiecţiilor, observând că vitezele acestor puncte formează unghiuri de 45 cu dreapta CAH şi că viteza lui A este paralelă cu această dreaptă. Rezultă: vC cos 45  vH cos 45  vA

=>



vC  vH  vA cos 45  2 2 3

186



3gy  2 2 gt 3

Având în vedere că punctul D este CIR, se determină viteza unghiulară a cilindrului:

z  vA r   2 3r  3gy ,

(g)

care, având în vedere expresia (e), devine:

z  2 gt 3r

(h)

Distribuţia de acceleraţii: Având în vedere că  z  dz dt , rezultă:

 z  2 g 3r

(i)

Pentru a determina acceleraţia punctului A , cu ajutorul relaţiei (e) se obţine prin integrare vA  2 gt 3 . Întrucât punctul A se mişcă rectiliniu pe verticală, având în vedere că acceleraţia reprezintă derivata vitezei în raport cu timpul, putem scrie că aA  dvA dt , de unde rezultă:

aA  2 g 3

(j)

Determinarea acceleraţiei CIR, adică a punctului D . Acceleraţia punctului D se descompune geometric în trei componente:   aD  aA  aDA  aDA

(k)

Despre acceleraţia a A se ştie că este direcţionată pe direcţia verticalei, în  jos. Componenta aDA , având în vedere relaţia (i), se poate scrie:

aDA   r  2 g 3

(l)

Având în vedere sensul vitezei v A ca viteză de rotaţie în jurul CIR , acceleraţia punctului D va fi îndreptată vertical în sus, în sens opus lui a A . Din expresiile (j) şi (l), rezultă că aA  aDA şi prin urmare, cele două componente ale acceleraţiei punctului D se anulează reciproc. Prin urmare, în modul, acceleraţia punctului D este egală cu modulul acceleraţiei centripete, adică: aD  aDA   2 r  4 g 2t 2 9r

(m)

Se determină acceleraţia punctului E :   aE  aA  aEA  aEA

(n)

Componenta aEA este egală în modul cu aDA , conform relaţiei (i) şi are ca suport dreapta EA , cu sensul de la E spre A . Componenta aEA este egală cu 187

componenta aDA , dar este îndreptată vertical în jos. Prin urmare, acceleraţia punctului E este: aE 

a

 aEA    aEA    4 g 3 1  g 2t 4 9r 2 2

A

2

(o)

Direcţia acceleraţiei aE : tg    aA  aEA  aEA  r t 2

Acceleraţia punctului H :   aH  aA  aHA  aHA

(p)

Modulul acestor componente se calculează cu relaţii similare cu (j), (l) şi (m), având în vedere că distribuţia de acceleraţii în punctul H este similară celei  din punctul D . Întrucât sensul lui a A este însă opus celui al componentei aHA : aH 

a

 aA    aHA    2 g 3 2

 HA

1  2gt

2

3r   1 2

2

(r)

Direcţia acceleraţiei aH : tg    aEA  aA  aHA   2 3 gt 2 r  1

(s)

În mod analog se determină acceleraţia punctului C :

a tg    a

aC 

  aCA    aCA    2 g / 3 2

A

 CA

1  2 gt

2

/ 3r   1 2

2

  aA  aCA   2 3 gt 2 r  1

(t) (u)

Se determină poziţia polului acceleraţiilor, J :

  arctg   2  =>

C

  arctg  3r 2 gt 2 



Distanţa de la punctul A la polul acceleraţiei este AJ  aA

=>

AJ  r

D

 2  4 1  4 g t / 9r 2 4

aD

 

2

Cunoscând direcţia acceleraţiei a A , unghiul  şi distanţa AQ , se determină poziţia polului acceleraţiilor. 188

A aA



aC



J

 aH

aE H

E

PROBLEME PROPUSE

8.4.1 La un mecanism bielă-manivelă, centrul de rotaţie al manivelei se află la distanţa a de traiectoria pistonului B .

y1



Unghiul de rotaţie al manivelei este O descris de legea   kt , unde k este o constantă. Lungimea manivelei fiind OA  r , a bielei AB  l , să se determine ecuaţiile mişcării plane a bielei AB . R:

x1

x

B

sin   a l   r l  sin kt

barei în mişcare plană şi ecuaţiile de mişcare ale capătului B .

y1

C



x1

A

O

  hv  h2  x12  ; x1  x0  vt ; xB    h sin 2   l sin   ; yB  l cos 

8.4.3 Un fir este înfăşurat pe o bobină ale cărei raze exterioară şi interioară sunt R , respectiv r . Capătul liber al firului este trecut peste un scripete, fixat în punctul A de un perete, şi tras vertical în jos cu viteza v . Să se determine viteza v0 a centrului bobinei în momentul când firul face un unghi  cu verticala. Se consideră că deplasarea bobinei pe planul orizontal se face fără alunecare. R:



a

8.4.2 O bară AB se deplasează în planul x1Oy1 astfel B încât capătul A al barei alunecă pe axa Ox1 cu viteza constantă v , iar corpul barei trece printr-un punct fix C , situat pe axa Oy1 , la distanţa h de origine. Să se determine viteza unghiulară instantanee a h

R:

y

A

v0  vR / ( R sin   r ) 189

A

 r R

v B

8.4.4 O bară AB are la capete câte un piston. Pistonul A se deplasează pe o traiectorie orizontală rectilinie cu viteza vA  0, 4 m/s . Pistonul B se deplasează pe o traiectorie circulară cu raza OB  r  0, 2 m .

B

r C

O



A

Ştiind că şi AC  CB  r   30 , pentru poziţia din figură a mecanismului, să se determine:

vA

a) vitezele punctelor B şi C ; viteza unghiulară ale barei AB . b) acceleraţia punctelor B şi C ; acceleraţia unghiulară ale barei AB . c) centrul instantaneu de rotaţie, ecuaţia bazei şi rostogolitoarei barei AB . R. a) vB 

v v vA v 2  vA ;  AB  B  A ; vC   AB AC  A ; AB r 3 sin 2 3 3

vA2 (12  3)vA2 2 v A2 b) aBn   r  ; aBt  ;  AB  ; c) baza: x 2  y 2  4r 2 2 3r 18r 3 r 2 AB

8.4.5 La un mecanism cu manivelă excentrică se cunosc: OA  r , AB  l şi OC  h . Manivela OA se roteşte cu viteza unghiulară constantă 0 .

A

r l

O

B

h

Să se determine viteza şi acceleraţia unghiulară ale bielei AB , precum şi viteza şi acceleraţia culisei B , atunci când manivela OA ocupă:

C

a) poziţie orizontală spre dreapta; b) poziţie verticală superioară.

R:

a)   r0

l 2  h2 ;   hr 202

vB  hr0

b)   0 ;   r0

l

2

 h2 

3/ 2

;

3/ 2 l 2  h2 ; aB  r02 1  rl 2  l 2  h2   ;  

l 2   r  h ;

vB  r0 ; aB  r  r  h  02

2

l 2  r  h

190

2

8.4.6 Să se determine viteza vC a centrului scripetelui mobil de rază r şi viteza sa unghiulară de rotaţie, atunci când greutatea A urcă cu viteza v A iar greutatea B coboară B cu viteza vB . Se presupune că pe timpul mişcării, firul nu alunecă pe scripeţi şi că vB porţiunile lui libere sunt verticale. R:

O1

O

C

E

A

   vA  vB  2r ; vC   vB  vA  2

8.4.7 O bară OB se roteşte în jurul unui punct fix O cu viteza unghiulară  constantă, punând în mişcare o bară AD , ale cărei puncte A şi C se deplasează după axele Ox , respectiv Oy . Să se determine traiectoria punctului D şi viteza acestui punct pentru   450 , dacă AB  BC  CD  OB  c .

y

D

C B

 

A

x

O

R:

vA

F

x2 c 2  y 2 9c 2  1 ; vD  5c

8.4.8 O tijă AB se mişcă în planul Ox1 y1 astfel încât capătul A al ei alunecă pe axa Ox1 cu viteza v , tija fiind în permanenţă tangentă unui cerc de rază r şi centru O .

y

y1

B

C O1

r

x A

v

Să se determine: a) viteza unghiulară instantanee a tijei în funcţie de distanţa O1 A  x1 . b) ecuaţia bazei în sistemul Ox1 y1 . c) ecuaţia rostogolitoarei în sistemul Axy .

R:

a)   rv x1 x12  r 2 ; b) x14  rx12  ry12  0 ; c) y 2  rx

191

x1

C

8.4.9 Tija AB a unui mecanism se deplasează cu viteza v şi pune în mişcare de rotaţie în jurul punctului O tija OC , prin intermediul culisei B .

B

Tija OC este articulată într-un punct D al b ei cu biela DE . Ştiind că distanţa dintre dreptele OE şi AB este b , segmentul OD  c ,   60 şi   30 , să se determine viteza punctului E pentru această poziţie. R:

v

A

D



O

E



vE  vc 3 / 2b

8.4.10 O bară AB , articulată la capătul A    de o culisă, alunecă cu acest capăt de-a lungul dreptei verticale fixe    cu viteza constantă vA  c . Bara se poate deplasa printr-un manşon, al cărui centru este articulat în v A punctul fix C , situat la distanţa d de dreapta  .

y

y1

A

 d

Să se determine centrul instantaneu de rotaţie, baza şi rostogolitoarea mişcării. R:

x1

C B

x

Baza: y12  d  x1 ; rostogolitoarea: x4  d 2 ( x2  y 2 )  0

8.4.11 Două bare paralele AB şi CD se mişcă în A sensuri opuse, cu vitezele constante v1 şi v2 . Între ele se găseşte un disc de rază r , care se rostogoleşte fără alunecare pe cele două bare.

v1

E

B

r

O

Să se determine: a) viteza unghiulară  a discului. C

b) viteza vO a centrului O al discului.

v2

F

D

c) baza şi rostogolitoarea mişcării discului. R

a)    v1  v2  2r ; b) vO   v1  v2  2 ; c) baza: y1  r  v1  v2   v1  v2  ; rostogolitoarea: x 2  y 2  r 2  v1  v2   v1  v2  192

2

8.4.12 O bară AB , de lungime l , se mişcă într-un plan fix, astfel încât capătul ei A alunecă pe partea interioară a unui semicerc fix, de rază r (r  l 2) , tija trecând mereu prin punctul fix M al acestui cerc.

M

O

B

r

A

Să se determine traiectoriile punctelor tijei, baza şi rostogolitoarea mişcării tijei. R:

baza: cercul dat; rostogolitoarea: cercul cu centrul în A , de rază 2r

8.4.13 O placă A se deplasează pe un plan orizontal după legea sA (t )  0,1 t 4  7,5t  m . Pe

E

r

placă se află un cilindru de rază r  0, 2 m , pe care este înfăşurat un fir inextensibil, al cărui capăt E este fixat de un perete. Considerând că deplasarea cilindrului pe placă şi a firului pe cilindru se fac fără alunecare, să se determine la momentul t  0,5s , acceleraţiile punctelor B , C şi D ale cilindrului. R:

B

A

C D

sA  t 

aB  0,8m/s2 ; aC  0,15m/s2 ; aD  0,854m/s2

8.4.14 Culisele A şi B , articulate prin y intermediul unei bare rigide, AB  l , se 1 deplasează după axele fixe Ox1 şi Oy1 , astfel încât OA  s  0,5t 2 . Să se determine poziţia polului acceleraţiilor barei AB la momentul t  1s , dacă   600 şi l  8, 66 m .

B



A

O

x1



În ipoteza că vB  const , să se determine acceleraţia culisei A şi acceleraţia unghiulară a tijei AB , dacă unghiul format de tijă cu dreapta OA este egal cu  .

R.

aA  vB2 sin 2  l cos3  ;  AB  vB2 sin 2  cos  l 2 cos3  193

8.4.15 O roată de rază r se rostogoleşte fără alunecare pe un plan orizontal, centrul său având viteza v0 constantă. Prin intermediul unei biele AB , de lungime l , este pus în mişcare un piston B .

A

vO O

r

B

Cunoscând OA  r 2 , să se determine mărimile acceleraţiilor pistonului B pentru poziţiile extreme, inferioară şi superioară, ale punctului A . R:

superior: aB  3v02 2 4l 2  9r 2 ; inferior: aB  v02 2 4l 2  r 2

8.4.16 Un mosor de rază R se rostogoleşte fără alunecare pe un plan orizontal, fiind pus în mişcare de o greutate M . Greutatea, legată de un fir înfăşurat pe partea cilindrică a mosorului, se mişcă vertical în jos, având la momentul considerat viteza v şi acceleraţia a .

B

r R

Dacă raza cilindrului este r , să se determine acceleraţiile punctelor C şi B ale mosorului, aflate la momentul respectiv pe diametrul vertical. R:

aC  v 2 R  R  r  ; aB  R 4a 2  R  r   v 2 2

2

O

C

R  r

M

2

8.4.17 a. Pinionul  2  , de rază r2  0,2m , montat pe biela OA , rulează pe pinionul fix 1 , de rază r1  0,3m . Biela, care se roteşte în jurul axei O , are la un moment dat viteza unghiulară   1rad/s şi acceleraţia unghiulară

  4 rad/s . Când raza AB  OA , să se determine 2

acceleraţia punctului B de la periferia pinionului  2  ;

b. În ipoteza că razele pinionului şi ale roţii fixe sunt R  12cm şi că viteza unghiulară şi acceleraţia unghiulară

 2

C A

B P

1





O

ale manivelei sunt 0  2rad/s , respectiv  0  8rad/s2 , să se determine: 1) acceleraţia punctului pinionului mobil care la un moment dat se confundă cu centrul instantaneu de rotaţie; 2) acceleraţia punctului C , diametrul opus; c) poziţia polului J al acceleraţiilor. R.

a) aB  3,6m/s2 ; b1) aP  96cm/s2 ; b2) aC  480cm/s2 194

8.4.18 a) Centrul unei roţi, ce se rostogoleşte fără alunecare pe un plan înclinat, se mişcă după legea s  4t 2  16 , unde t   s , iar  s   cm .

s t 

C

Să se determine acceleraţia punctului I de contact dintre roată şi plan la t  2s , dacă raza A roţii este R  16cm.

B

r

I b) Ştiind că la un moment dat viteza şi acceleraţia roţii sunt v0  1m/s , respectiv a0  3m/s2 , şi că raza roţii este R  0,5m , să se determine acceleraţiile punctelor I , A , B , C .

R:

aI  16 m/s2

8.4.19 Un mecanism de adunare constă dintr-o roată dinţată de rază r şi din două cremaliere paralele, ce se mişcă în acelaşi sens cu vitezele constante v1 şi v2 .

B

Să se determine mărimile acceleraţiilor punctelor A şi B ale roţii dinţate, ce se găsesc în contact cu cremalierele. R:

v1 A

aB  aA   v2  v1  4r 2

8.4.20 În mecanismul bielămanivelă din figură, manivela OA are la un moment dat viteza unghiulară 0 , acceleraţia unghiulară  0 şi face cu orizontala un unghi de O   600 .  În acelaşi moment, OA  AB şi   300 . Dacă OA  b , AB  2b 3 şi O1 B  2b , se cer acceleraţiile normală şi tangenţială ale pistonului B .

R:

v2

r

O



a  2b02 ; a  b 2 0  302

0

 195

B







 0

O1 A

B

8.4.21 Elementul OA al mecanismului articulat OABO1 se roteşte cu viteza unghiulară constantă 0 .



A

Să se determine viteza unghiulară şi acceleraţia unghiulară ale barei AB , precum şi acceleraţia punctului B , pentru poziţia indicată în figură, ştiind O că AB  2  OA  2a .

R:

  0 ;   02 3 6 ; aB 



0

O1



3 3 a02

8.4.22 Biela AB , legată de culbutorul BC , este articulată de manivela OA  r  1m , ce se roteşte uniform în jurul punctului O cu viteza unghiulară 0  2rad/s .

C



A

B

0

Se cunosc: AB  2r şi BC  r 2 . Pentru poziţia mecanismului conform figurii, unde   45 , să se determine:

O

a) viteza şi acceleraţia punctului B al bielei. b) viteza unghiulară şi acceleraţia unghiulară pentru culbutorul BC . R:

a) vB  0 r 2 ; aBn  o 2 r 2 2 ; aBt  0 2 r 2 4 ; b) BC  0

2 ;  BC  0 2 4

8.4.23 Vagonul unui tramvai se deplasează rectiliniu orizontal, uniform încetinit cu acceleraţia a0  2 m/s2 , viteza sa la un moment dat fiind v0  1m/s . Roţile se rostogolesc pe şine fără să alunece. Să se determine acceleraţiile extremităţilor a două diametre ale rotorului ce formează cu verticala unghiuri de 450 , dacă raza roţii este R  0,5m , iar a rotorului r  R 2 .

R:

3 a0

2

v0

O

4

1

a1  2, 449m/s2 ; a2  3, 414 m/s2 ; a3  2, 449 m/s2 ; a4  0,586m/s2 196

8.4.24 Capătul B al tijei BC alunecă pe o dreaptă orizontală cu y C viteza şi acceleraţia vB  2 m/ s aB  1m/s2 .Tija trece prin punctul fix A . Cunoscând O1 A  b , pentru poziţia corespunzătoare unghiului   30 să se determine:

y1 A

x



x1

vB

O1

aB

a) viteza şi acceleraţia punctului A de pe tijă; b) viteza unghiulară şi acceleraţia unghiulară a tijei BC ; c) poziţia centrului instantaneu de rotaţie, baza şi rostogolitoarea mişcării plane a tijei BC . R:

a) vA  vB cos ; aA   vB2 sin 3   aB b cos   b  sin   cos   ; b) AB   vB AB  sin    vB b  sin 2  ; c) baza: x12  b  y1  b  ; rostogolitoarea: b2 x2  y 2 ( y 2  b2 )

8.4.25 Să se determine poziţia polului acceleraţiilor şi viteza vK a punctului figurii confundat cu acest pol la momentul respectiv, precum şi acceleraţia aC a punctului figurii ce coincide la un moment dat cu centrul instantaneu de rotaţie, ştiind că pinionul 1 , de rază r , angrenează interior cu pinionul  2  , de rază R  2r , şi că manivela OO1 se roteşte cu viteză unghiulară constantă 0 . R:

vK  2r0 ; aC  2r02

197

1 r O

 2

O1

0 R

8.3.5 Mişcarea rigidului cu punct fix Un solid are mişcare cu punct fix, dacă un punct al rigidului rămâne permanent în repaus. Pentru studiul mişcării rigidului cu un punct fix se va utiliza un triedru fix S1  Ox1 y1 z1  şi un triedru mobil S  Oxyz  solidar cu rigidul, ale căror origini coincid cu punctul fix  O  O1  (fig. 8.21). Rezultă că un punct oarecare M al rigidului se mişcă pe o sferă cu centrul în O şi de rază OM , de aceea această mişcare se mai numeşte şi sferică. y

z1

z

 



y1

O x1



 x



N Fig. 8.21

Punctul O fiind fix, rigidul efectuează numai rotaţii, în jurul axelor Oz1 , Oz şi ON (numită şi axă de nutaţie). Din r0  0 rezultă că vectorii de poziţie ai punctului M coincid tot timpul:

r  r1

(8.78)

În această mişcare corpul are trei grade de libertate cinematică care corespund celor trei posibilităţi de a se roti în jurul celor trei axe care trec prin punctul fix. Parametrii acestei mişcări sunt unghiurile lui Euler (fig.9.28): - unghiul de precesie:

   t 

- unghiul de rotaţie proprie:

   t  ;

- unghiul de nutaţie:

   t 

Se observă că traiectoriile diferitelor puncte sunt curbe pe sfere concentrice (cu centrul în punctul fix) cu raze egale cu distanţele punctelor la punctul fix.

198

Distribuţia vitezelor în mişcarea rigidului cu un punct fix Viteza unui punct oarecare M se obţine din relaţia generală: v1  v0    r

unde viteza originii O : v0  0 şi prin urmare:





v1    r        r

(8.79)

Viteza unghiulară,  , este un vector de mărime şi direcţie variabilă care se scrie:

  x i   y j  z k relaţia (9.130) devine: i

j

v1    r  x

 y z

x

=>

k

y

z

v1   y z  z y  i  z x  x z  j  x y   y x  k

(8.80)

Proiecţiile vitezelor pe axele triedrului mobil S sunt: v1x   y z  z y ; v1y  z x  x z ; v1z  x y   y x

(8.81)

Punctele de viteză nulă  v1  0  se pot determina din ecuaţia vectorială:   r  0 care, reprezentă chiar condiţia de coliniaritate a vectorilor  şi r şi are soluţia generală: r  

sau:

x

x



y

y

(8.82) 

z

z

şi

x1

x1



y1

 y1



z1

 z1

(8.83)

S-a obţinut ecuaţia unei drepte    paralele cu  , care trece prin O , ale cărei puncte au, la un moment dat, viteză nulă. Această axă poartă numele de axă instantanee de rotaţie şi ea descrie în timpul mişcării, faţă de reperul S (legat de corpul de mişcare), un con care se numeşte conul polodic (axoida mobilă), iar faţă de reperul fix S1 , un alt con numit conul herpolodic (axoida fixă). Conul polodic se rostogoleşte în tot timpul mişcării fără să alunece, peste conul herpolodic fix, tangenta lor comună fiind axa instantanee de rotaţie    .

199

Expresiile componentelor vitezelor unghiulare 1 şi  sunt:

x1   cos   sin  sin

x   cos   sin  sin 

 y1   sin   sin  cos

 y   sin   sin  cos  (8.84)

z1     cos

z    cos

Modulul vitezei unghiulare  se obţine din relaţia:

   2   2   2  2 cos

(8.85)

Distribuţia acceleraţiilor în mişcarea cu un punct fix Distribuţia acceleraţiilor în mişcarea cu un punct fix se obţine din relaţia generală: a  a0    r      r 

unde înlocuind acceleraţia punctului fix O : a0  0 , rezultă: a    r      r   arot  aax

(8.86)

unde: arot    r

se numeşte acceleraţie de rotaţie

aax      r 

se numeşte acceleraţie axipetă.

După cum s-a văzut anterior, în cazul rigidului cu un punct fix,  este un vector de modul şi direcţie variabilă: M    x i   y j  z k r Acceleraţia unghiulară    este  un vector al cărui suport este diferit de cel M1 al lui  : O  u   xi   y j  zk Fig. 8.22

Componenta axipetă (fig. 8.22): aax      r    2 M1M

(8.87)

unde M 1 este piciorul perpendicularei dusă din M pe suportul vectorului  .

200

Dacă se notează cu u versorul axei instantanee de rotaţie    , atunci:

  u Prin derivare se obţine:

 

d d du  u   1   2 dt dt dt

(8.88)

unde: - vectorul 1 este dirijat în lungul axei instantanee de rotaţie caracterizează variaţia modulului vectorului  ;



şi

- vectorul  2 caracterizează variaţia direcţiei unghiului  Pentru a se găsi eventualele puncte de acceleraţie nulă, se impune condiţia: ax1  a y1  az1  0 .

În afară de soluţia banală ( x  y  z  0 ) şi cea corespunzătoare coliniarităţii vectorilor  , r şi  , nu mai există alte puncte de acceleraţie nulă.

PROBLEME REZOLVATE

8.5.1

Mişcarea solidului cu punct fix este dată de ecuaţiile:

  2t 2  3t ;   24t ;    6. La momentul t1  1s să se determine viteza unghiulară şi acceleraţia unghiulară a solidului, precum şi viteza şi acceleraţia unui punct M de coordonate: x  3cm ; y  2cm ; z  5cm . Rezolvare: Proiecţiile vitezei unghiulare pe axele sistemului mobil sunt:

x  24  0,5  sin  2t12  3t1   3,17 s-1 ;  y  24  0,5  cos  2t12  3t1   1, 48s -1 z  24  0,866  4t1  3  30,1s -1 Modulul vitezei unghiulare:

  x 2   y 2  z 2  30,3s-1

201

mărime care se poate obţine direct:

   2   2   2  2 cos  30,3s-1 ; Avantajul cunoaşterii proiecţiilor  x ,  y şi  z constă în posibilitatea determinării cosinusurilor directoare ale vectorului  : cos  , x   x  ; cos  , y    y  ; cos  , z   z 

Proiecţiile acceleraţiei unghiulare pe axele sistemului mobil sunt:

 x  x  2sin 24t1   2t1  1,5   24 cos 24t1  33,8s -2  y   y  2 cos 24t1   2t1  1,5   24sin 24t1  76,9s -2  z  z  s 4  0,866  3, 46s -2 Modulul acceleraţiei unghiulare este:

   x 2   y 2   z 2  84,1s-2 ; Cosinusurile directoare ale vectorului  rezultă imediat: cos  , x    x  ; cos  , y    y  ; cos  , z    z 

Pentru determinarea vitezei şi acceleraţiei punctului M , calculăm vx , v y , vz respectiv ax , a y , az : v x   y z   z y; v y   z x   x z ; v z   x y   y z ax   y z   z y   x  x x  y y  z z   x 2 a y   z x   x z   y  x x  y y  zz   y 2 az   x y   y x   z  x x  y y  z z   z 2

La momentul t1  1s rezultă: vx  52,8cm/s; vy  106, 2cm/s; vz  10,7 cm/s .

v  vx 2  v y 2  vz 2  119 cm/s ; ax  2829cm/s2 ; a y  1780cm/s2 ; az  414cm/s 2 ;

a  ax 2  a y 2  az 2  3367 cm/s2 .

202

8.5.2 Un disc vertical de rază R, se rostogoleşte fără alunecare pe un plan cu viteza unghiulară 1 , descriind un cerc de rază l . La periferia discului se află un punct M poziţionat prin unghiul  , indicat pe figură. Să se determine viteza, acceleraţia axială şi acceleraţia de rotaţie a punctului M.

1



1

z

C

O

z1



M

2

R

C

l

O R A

A

Rezolvare: Discul are o mişcare cu punct fix O . Se alege un sistem mobil Oxyz , planul Oxy fiind paralel cu planul discului, iar axa Ox să fie paralelă cu CM. Punctul A, de contact disc-plan orizontal, are viteză nulă, deoarece discul se rostogoleşte fără alunecare. Dreapta OA este axă instantanee de rotaţie. Vectorul viteză unghiulară  , dispus pe axa instantanee de rotaţie, se descompune sub forma:

  1  2 unde: - 1 este viteza unghiulară de precesie; - 2 viteza unghiulară de proprie (dirijată în lungul axei OC).

2  1ctg  1l R ;   1 sin   1 l 2  R2 R

=>

Viteza punctului M se calculează cu relaţia

x

v  r

M

unde:



x  1 cos 180     1 cos   y  1 cos    90   1 sin  x  2   1l R r  OC  CM  Ri  lk 203

C R

y A

i v  i  cos 

=>

j  sin 

k l R

0

l

R

v  1 l sin   i  l 1  cos    j  R sin   k  ;

=>

v  v  1 sin 2   l 2 1  cos   R 2 sin 2   2

v  21

=>

l

2

    R 2   l 2  R 2 cos2  sin . 2 2 

Acceleraţia de rotaţie şi acceleraţia axială se calculează cu relaţiile: arot    r ; aax    v

 x  x  1 sin   12 sin   12  l R  sin   y   y  1 cos   12 cos   12  l R  cos 

unde:

 z  z  0 Utilizând exprimările cu determinanţi pentru produsul vectorial, deducem: arot  12  l R  l 2  R 2 cos2  aax  2 12 R  sin   2 

R

2

 l 2   l 2  R 2 cos 2   2  

Observaţie: Se pot determina componentele vitezei unghiulare pe axele sistemului mobil folosind unghiurile lui Euler şi relaţiile (8.84).

 z



Unghiul de nutaţie fiind 2  2    2 , nu există viteză unghiulară



z1

x



1   O

R

y

de nutaţie   0 .

C

A

Viteza unghiulară de rotaţie proprie este :   2  1l R . Linia nodurilor ON este perpendiculară pe planul format de Oz şi Oz1 la momentul respectiv. Unghiul   3 2   şi rezultă:

x   sin  sin    cos   1 sin   1 sin  3 2     1 cos  x   sin  cos    cos   1 cos   1 cos  3 2     1 sin  z     cos     2  1l R 204

8.5.3 Roata dinţată conică 1 , de rază r, aflată în angrenare cu roata conică fixă  2  , de rază R = 2r, este pusă în mişcare de manivela  3 , ce se roteşte în jurul unei axe verticale fixe după legea   3t 2 / 2 . Să se determine modulul vitezei unghiulare  şi modulul acceleraţiei unghiulare  a roţii (1) la momentul t  1s .

2

O

R

1



C

D

 2

B

1

r

A

Rezolvare: Axa instantanee de rotaţie a roţii 1 la momentul considerat este dreapta OA, vectorul viteză unghiulară instantanee  fiind dirijat în lungul acestei drepte. Viteza centrului roţii 1 se poate exprima în două moduri - în mişcarea cu viteza unghiulară de precesie; vC    OC  3t  2r  6rt

- în mişcarea faţă de axa instantanee de rotaţie: vC    CD    2r  cos 

Egalând cele două expresii şi ţinând seamă că:





cos   OB OA  r r 5  5 5

=>

  3 5t ; t 1  3 5 rad/s

Observaţie: Determinarea vitezei unghiulare instantanee de rotaţie  se poate obţine şi prin descompunerea vectorului  sub forma:

  1   în care 1   , iar  este viteza unghiulară de rotaţie proprie; =>



1    3 5t cos cos 205

Pentru calculul acceleraţiei unghiulare,  , se notează cu u versorul axei instantanee de rotaţie (     u ) şi prin derivare în raport cu timpul se obţine:

  d dt   d dt  u    du dt   1   2 , unde:

 1 are direcţia lui u :

1  d dt  3 5 rad/s2  2 este perpendicular pe planul OAB:

 2    du dt    1  u   1    2  1 sin    sin   18t 2 La t  1s =>

.

 2  18 rad/s2 , iar   1   2  3 41 rad/s2 . 2

2

PROBLEME PROPUSE

8.6.1

Mişcarea unui solid cu un punct fix este dată de ecuaţiile:

  t 2 t 4,   t 4 ,    3 Să se determine viteza şi acceleraţia punctului M care la un moment dat, în sistemul fix, are coordonatele  0;0;32  cm .

R: 8.6.2

vM  4 3 cm/s ; aM  3 2 cm/s2

Mişcarea unui solid cu punct fix este dată de ecuaţiile:

  t 2,   t ,    3 Să se determine mărimea acceleraţiei acelui punct al solidului ce se găseşte la momentul considerat pe axa instantanee de rotaţie la distanţa d  2 3 cm de punctul fix O . R:

a  3 2 2cm/s2

206

8.6.3 In condiţiile mişcării de la problema precedentă, să se determine viteza punctului M al solidului având la momentul dat, în sistemul fix,





coordonatele 0;0; 7 cm , precum şi acceleraţia punctului P al solidului, care în acel moment corespunde cu piciorul perpendicularei duse din punctul M pe axa instantanee de rotaţie. R:

vM   21 2cm/s ; aP   2 3 2cm/s2

8.6.4 Viteza unghiulară instantanee a unui solid rigid cu punct fix este   7 rad/s . Să se determine modulul vitezei v şi proiecţiile vx , v y , vz ale unui punct M al solidului de coordonate  0; 2;0  m , precum şi distanţa d , de la M la axa instantanee de rotaţie, dacă cosinusurile directoare ale vectorului  în raport cu axele sistemului fix sunt:

cos   2 7 , cos   6 7 , cos   1  cos2   cos2  . R:

vx  12 m/s ; v y  0 ; vz  4 m/s ; v  12, 65m/s ; d  1,82 m

8.6.5 Unghiurile lui Euler în mişcarea unul solid cu punct fix, variază după legile:   2t ,   30t ,    6 . Să se determine viteza unghiulară şi acceleraţia unghiulară a solidului, ecuaţia axei instantanee, axoida fixă şi axoida mobilă, precum şi viteza punctului P al solidului de coordonate, faţă de sistemul mobil: x  2cm , y  3cm , z  5cm .

R:

  31,8rad/s ;   30 rad/s2 ; în Ox1 y1 z1 :

x1 y1 z x y z     1 ; în Oxyz : sin 30t cos 30t 31, 73 15sin 2t 15cos 2t 28

axoida fixă: x12  y12  15z1 28  0 ; 2

axoida mobilă: x 2  y 2   z 31,73  0 ; 2

v   5cos30t  95,19  i   63, 46  5sin 30t  j   3sin 30t  2cos30t  k

207

8.6.6 Se consideră două triedre cu aceeaşi origine, unul fix, Ox1 y1 z1 şi al doilea mobil, Oxyz . Triedrul mobil se roteşte în jurul axei    , ce trece prin originea O şi formează cu axele sistemului mobil unghiuri egale, cu viteza unghiulară instantanee  . Să se afle vitezele a trei puncte situate pe bisectoarele feţelor triedrului Oxyz la distanţele r faţă de O .

R:

v1  v2  v3   r

3

8.6.7 Se consideră un solid rigid cu punct fix a cărui mişcare este dată de ecuaţiile:   2t ,   bt ,   c , unde a , b , c sunt constante reale, mişcarea fiind denumită precesie regulată . Să se determine proiecţiile vectorului viteză unghiulară instantanee  pe axele sistemului mobil. R:

8.6.8

 x  ab sin c cos  bt  ;  y  ab sin c sin  bt  ;  z  0 Un solid rigid cu punct fix are o mişcare dată de ecuaţiile:

   t  ,    t  ,    t  Să se determine componentele vitezei pe axele sistemului mobil, ale unui punct M al solidului, care la momentul t are, în raport cu sistemul mobil, coordonatele:

x  b cos  , y  b sin  , z  b  const. Să se demonstreze ca mărimea vitezei nu depinde de  .

R:





vx  b  sin         sin   ;





v y  b  cos         cos  

vz  b sin 

208

8.6.9 Proiecţiile vitezei unghiulare  , ale unui solid cu punct fix O , pe axele sistemului fix Ox1 y1 z1 au expresiile:

x1  2t ,  y1  t 2 , z1  t 3 . Să se determine, la momentul t  1s , viteza şi acceleraţia unui punct M de coordonate 1, 0, 0  cm .

R:

v  2 cm/s ; a  29 cm/s2

8.6.10 Viteza unghiulară a unui solid cu punct fix este   6rad/s . Direcţia axei instantanee de rotaţie, la momentul dat, are cosinusurile directoare: cos   1 3 , cos   2 3 ,   90

a) b) R:

să se determine punctul M , care se află în planul Oxy , a cărui viteză are proiecţiile vx  vy  2 m/s ; să se deducă ecuaţia axei instantanee de rotaţie.

a) x  0,5m ; y  0,5m ; z  0 ; b) x 2  y 4   z 4

8.6.11 Un solid cu punct fix are la un moment dat viteza unghiulară   8rad/s . Să se determine la momentul considerat: a)





viteza unui punct M al solidului, de coordonate 0,5; 3; 2 cm , dacă





axa instantanee trece în acel moment trece prin punctul N 2; 3;3 cm ; b)

R:

cosinusurile directoare ale vectorului viteză faţă de axele sistemului fix Ox1 y1 z1 .

a) vM  8cm/s ; b) cos  vM , i1   





3 3 3 5 ; cos  vM , j1    ; cos vM , k1  8 8 4

209

8.6.12 Un solid cu punct fix are la un moment dat viteza unghiulară   2rad/s şi acceleraţia unghiulară   3rad/s2 , vectorii  şi  fiind perpendiculari. Să se determine mărimea acceleraţiei unui punct P al solidului aflat la distanţa d  4cm de punctul fix, dacă dreapta ce uneşte originea O cu punctul P este perpendiculară pe planul vectorilor  şi  . R:

a  20cm/s2

8.6.13 Axa de rotaţie a Pământului, ce formează cu perpendiculara la planul orbital unghiul 0  25 , descrie în jurul acestei perpendiculare un con (conul de precesie) în timpul T1  25.700ani . Să se determine acceleraţia unghiulară  a Pământului, considerând că perioada lui de rotaţie în jurul axei este T0  24ore R:

   4 2 sin 0  T1T2  ;   2, 2 1016 rad/s2

8.6.15 Roata conică 1 , de rază r , ce angrenează cu roata conică fixă  2  de rază R  2r , este pusă în mişcare de arborele  3 , ce se roteşte uniform accelerat cu acceleraţia  2  unghiulară  0   2 rad/s2 , având la momentul  0 iniţial viteza unghiulară 0   rad/s . a)

b)

R:

viteza unghiulară instantanee şi acceleraţia unghiulară instantanee a roţii 1 ;

B

 3

La momentul t  1s să se determine: R

viteza punctului B al roţii 1 ;

a)   1,5 5 rad/s ;   0,5 5  81 2 rad/s2 ; b) vB  6 r

210

1

r

O

8.6.16 Un con circular drept, având înălţimea h  4cm şi raza bazei r  3cm , se rostogoleşte fără alunecare pe un plan orizontal   , vârful său fiind fixat în punctul O .

z1

C h

r

O Să se calculeze viteza unghiulară   v instantanee  şi acceleraţia unghiulară instantanee  a conului, dacă viteza centrului cercului de bază al conului este constantă: v  48cm/s .

R:

  20 rad/s ;   300rad/s2

8.6.17 Un con circular drept  2  cu raza r  2cm se rostogoleşte fără alunecare pe conul fix 1 astfel încât vârful lui O rămâne fix, iar centrul bazei A se mişcă cu viteza v  t cm/s .

z1

 2



1

z A

B

aC  2 11cm/s2

8.6.18 Să se determine viteza şi acceleraţia punctului B a roţii dinţate conice 1 care se roteşte uniform în jurul axului  3 , fiind în angrenare cu roata conică orizontală  2  . Se presupun cunoscute razele roţilor r1  15cm , r2  20cm şi viteza centrului roţii 1 , vA  40cm/s .

R:



O

Să se determine la momentul t  2s , mărimea acceleraţiei punctului C de pe diametrul vertical al bazei conului  2  , dacă ambele conuri au la vârf unghiuri egale cu 2   2 .

R:

C

vB  79cm/s ; aB  257 cm/s2

211

B

O

1 A

 3

 2

C

8.6.19 Un con circular, cu înălţimea h şi unghiul la vârf 2 , se rostogoleşte fără alunecare pe un plan orizontal în jurul normalei Oz1 la plan, O fiind punctul fix ce coincide cu vârful conului. Să se determine componentele acceleraţiei arot şi aax ale unui punct situat pe baza conului şi diametral opus punctului bazei conului aflat pe plan la momentul considerat, dacă viteza unghiulară de rotaţie a conului în jurul axei Oz1 , este constantă şi egală cu 1 . R:

arot  h12 sin  ; aax  2h12 cos2  sin 

8.6.20 Conul  2  , cu unghiul la vârf  2  45 , se rostogoleşte fără alunecare pe conul fix 1 , care are unghiul la vârf 1  90 . Înălţimea conului mobil este OO1  100cm , iar centrul bazei O1 descrie uniform un cerc în 0,5 s.

z1

z O1

M2

 2 M1

2

1

1 y1 Să se determine vitezele unghiulare de precesie  , rotaţie proprie  şi absolută  x1 O ale conului mobil precum şi acceleraţia unghiulară absolută  a acestuia. Să se determine vitezele şi acceleraţiile punctelor O1 , M 1 , M 2 ale conului mobil. R:

  4 s 1 ;   7,39 s 1 ;   4 s 1 ;   11,3 2 s 2 ; vO  153, 2 cm/s ; 1

aO1  612,8 2 cm/s2 ; vM1  306, 4 cm/s ; aM1 y1  362 2 cm/s2 ; aM1 z1  865 2 cm/s2 ; vM 2  0 ; aM 2  1225 2 cm/s2

8.6.21 O roată, de rază r ,  O1 A  r  , înclinată cu unghiul  faţă de verticală, parcurge pe un plan orizontal cu cerc în timpul t . Să se determine vitezele punctelor A şi B de la periferia roţii, dacă razele O1 A O şi O1 B sunt perpendiculare. R:

vA  4 r cos2   t sin   ; vB  2 r ctg2  t 212

z1

A

O1

z



9 CINEMATICA MIŞCĂRII RELATIVE 9.1 Generalităţi. Definiţii Se consideră un sistem de referinţă fix S1  Ox1 y1 z1  şi un sistem de referinţă S  Oxyz  . Se presupun cunoscute: - mişcarea punctului P în raport cu sistemul de referinţă mobil, S  Oxyz  ; - mişcarea sistemului de referinţă mobil, S  Oxyz  , în raport cu sistemului de referinţă fix, S1  Ox1 y1 z1  . Se cere determinarea mişcării punctului P în raport cu sistemul de referinţă fix, S1  Ox1 y1 z1  . În mişcarea relativă a punctului material intervin trei noţiuni importante: - mişcarea absolută este mişcarea punctului P în raport cu reperul fix, S1  Ox1 y1 z1  . Se numeşte viteză (respectiv acceleraţie) absolută, viteza (respectiv acceleraţia) punctului în această mişcare. - mişcarea relativă este mişcarea punctului P în raport cu reperul mobil, S  Oxyz  . Se numeşte viteză (respectiv acceleraţie) relativă, viteza (respectiv acceleraţia) punctului în această mişcare. - mişcarea de transport este mişcarea în raport cu reperul fix a unui punct solidar cu reperul mobil, care coincide cu punctul a cărui mişcare se studiază. Se numeşte viteză (respectiv acceleraţie) de transport, viteza (respectiv acceleraţia) punctului solidar cu reperul mobil. Aceste mărimi se determină cu ajutorul expresiilor generale cunoscute de la studiul mişcării rigidului: v1  v0    r

a1  a0    r      r 

şi reprezintă mişcarea pe care ar avea-o punctul în fiecare moment, dacă ar înceta mişcarea lui relativă (s-ar solidariza cu sistemul mobil).

213

Exemplu: Se consideră o culisă P , ce alunecă pe o bară OA , în timp ce bara se roteşte în planul fix O1 x1 y1 în jurul punctului O1 (fig. 9.1) cu viteza unghiulară  şi acceleraţie unghiulară  . Se cere să se studieze mişcările absolută, relativă şi de transport ale punctului.

y1

mişcare absolută

mişcare de transport

A x

y



P



mişcare relativă

x1

O1  O Fig. 9.1

Pentru aceasta se consideră reperul fix S1  O1 x1 y1 z1  şi un reperul mobil S  Oxyz  , solidar cu bara OA astfel încât O să coincidă cu originea O1 , iar axa Ox să coincidă cu axa tubului. Mişcarea absolută este mişcarea punctului faţă de reperul fix S1 . Punctul deplasându-se pe axa Ox , iar această axă rotindu-se, punctul va descrie faţă de reperul fix o curbă gen spirală; Mişcarea relativă este mişcarea punctului faţă de reperul mobil S  Oxyz  şi este o mişcare rectilinie după axa Ox ; Mişcarea de transport este mişcarea punctului P solidar în fiecare moment cu reperul mobil S  Oxyz  . În această mişcare, punctul nu se mai deplasează pe Ox , ci descrie un arc de cerc de rază OP . Viteza şi acceleraţia din mişcarea de transport vor fi deci cele de la mişcarea circulară a punctului material, adică: vt    OP

(9.1)

at    OP   2 OP

(9.2)

214

9.2 Derivata absolută şi relativă a unui vector Se consideră un reper fix S1  O1 x1 y1 z1  , un reper mobil S  Oxyz  şi un vector oarecare, u  t  , care poate fi definit fie prin proiecţiile sale: - pe axele triedrului mobil S  Oxyz  (având versorii axelor i , j , k ): u  ux i  u y j  uz k

(9.3)

- pe axele triedrului fix S1  O1 x1 y1 z1  : (având versorii axelor i1 , j1 , k1 ): u  ux1 i1  u y1 j1  uz1k1

(9.4)

Există relaţia vectorială evidentă: ux1 i1  u y1 j1  uz1k1  ux i  u y j  uz k

Derivând în raport cu timpul această relaţie rezultă:



    A   B 

ux1 i1  u y1 j1  uz1k1  ux i  u y j  u z k  u x i  u y j  u z k

ux1 i1  u y1 j1  uz1k1



(9.5) (9.5)

Termenii din primul membru al acestei egalităţi reprezintă derivata vectorului u faţă de triedrul fix. Aceasta se numeşte derivata absolută a vectorului u şi se notează cu: du  u  ux1 i1  u y1 j1  u z1k1 dt

(9.7)

Termenii din prima paranteză din membrul al doilea al egalităţii (notată cu A ) reprezintă derivata vectorului u calculată în raport cu triedrul mobil ca şi cum acest triedru ar fi fix (deci presupunând versorii i , j , k constanţi). Aceasta se numeşte derivata relativă sau derivata locală a vectorului u şi se notează în continuare (în mod convenţional) cu: A  ux i  u y j  uz k 

u t

(9.8)

Se notează cu B a doua paranteză din membrul al doilea al egalităţii:

B  ux i  u y j  uz k

(9.9)

Ţinând seama de relaţiile:

i i , j  j , k k

215

(9.10)

rezultă:





B    ux i  u y j  uz k    u

(9.11)

Ţinând cont de relaţiile (9.8) şi (9.11), relaţia (9.5) devine: du u   u dt t

(9.12)

Observaţii: - dacă un vector este invariabil legat de un triedru mobil, derivata sa absolută este în general diferită de zero; deoarece în aceste caz, derivata relativă (sau locală) este nulă  u t  0  , rezultă: u   u  0

(9.13)

- conform regulii de derivare, derivata absolută a vectorului  este: d        dt t t

(9.14)

Aşadar, oricare ar fi mişcarea triedrului mobil faţă de cel fix, derivata absolută a vectorului  va fi egală cu derivata sa locală;

    x1 i1   y1 j1  z1k1  x i   y j  z k

(9.15)

- dacă triedrul mobil are mişcare de translaţie faţă de triedrul fix, adică   0 , derivata absolută a vectorului u va fi egală cu derivata sa locală: du u  dt t

(9.16)

9.3 Distribuţia vitezelor în mişcare relativă Problema fundamentală în mişcarea relativă a punctului material este determinarea mişcării absolute a unui punct material, (traiectoria, viteza şi acceleraţia absolută), dacă se cunosc: - mişcarea punctului în raport cu un sistem de referinţă mobil S  Oxyz  ; - mişcarea sistemului de referinţă mobil S  Oxyz  în raport cu un sistem de referinţă fix S1  O1 x1 y1 z1  .

216

Mişcarea relativă a punctului P faţă de reperul mobil S este definită de legea de variaţie a vectorului de poziţie ca funcţie de timp r  r  t  sau x  x  t  , y  y  t  , z  z  t  , adică se cunosc coordonatele  x, y, z  ale lui P faţă de reperul mobil S . Mişcarea de transport reprezintă mişcarea lui S în raport cu S1 şi este definită de: - viteza v0 a originii O a reperului S faţă de S1 ; - viteza unghiulară  a reperului S faţă de S1 . Dacă se notează cu: - r1 = vectorul de poziţie al punctului P în raport cu S1 ; - r0 = vectorul de poziţie al originii lui S în raport cu S1 ; - r = vectorul de poziţie al punctului P în raport cu S , rezultă: r1  r0  r

(9.17)

Derivând în raport cu timpul se obţine: r1  r0  r  r0 

r r t

(9.18)

unde: va  r1 vr 

r t

= viteza absolută (viteza punctului în raport cu reperul fix S1 ); = viteza relativă (viteza punctului în raport cu reperul mobil, S );

vt  r0    r = viteza de transport (viteza lui P solidar cu S , faţă de S1 ).

Observaţie: - viteza de transport poate analizată ca şi în cazul mişcării generale a rigidului, astfel că viteza punctului P (atunci când este solidar cu S ) faţă de S1 are componentele: - o viteză din mişcarea de translaţie, v0  r0 ; - o viteză din mişcare de rotaţie,   r .

217

Cu aceste notaţii şi interpretări relaţia (9.18) devine: va  vr  vt

(9.19)

r t

(9.20)

unde: vr 

vt  v0    r

(9.21)

Relaţia (9.19) este formula fundamentală pentru compunerea vitezelor în mişcarea relativă. Ea arată că viteza absolută a unui punct este egală cu suma vectorială dintre viteza relativă şi viteza de transport. 9.4 Distribuţia acceleraţiilor în mişcarea relativă Dacă se derivează în raport cu timpul relaţia (9.19), rezultă: va  vr  v0    r    r

(9.22)

Se reaminteşte că vectorii r şi vr sunt doi vectori definiţi prin componentele lor pe axele triedrului mobil S , deci:  v   r  va   r    vr   v0    r        r   t   t   r r r    a0    r         r  t t t t

=>

aa 

=>

  2r aa   2  t

 r      a0    r      r     2   t   

(9.23)

În urma grupării termenilor, se obţin expresiile: - acceleraţia absolută a punctului P în raport cu S1 : aa  va  r1

(9.24)

- acceleraţia relativă sau derivata relativă a vitezei relative:  2r ar  2 t

(9.25)

- acceleraţia de transport: at  a0    r      r 

218

(9.26)

- acceleraţia Coriolis: ac  2 

r  2  vr t

(9.27)

Observaţie: - acceleraţia Coriolis reprezintă o acceleraţie ce apare datorită efectului combinat al celor două mişcări: cea de transport şi cea relativă. Expresia acceleraţiei absolute devine: aa  ar  at  ac

(9.28)

Relaţia (9.28) reprezintă formula fundamentală pentru compunerea acceleraţiilor în mişcarea relativă a punctului material. Ea arată că acceleraţia absolută a unui punct este egală cu suma vectorială dintre acceleraţia relativă, acceleraţia de transport şi acceleraţia Coriolis. Observaţie: - acceleraţia Coriolis se anulează când:

vr  0 ;

  0 , adică atunci când triedrul mobil execută în raport cu triedrul fix o mişcare de translaţie şi când mişcarea relativă a punctului material se face astfel încât viteza lui relativă vr rămâne tot timpul paralelă cu vectorul  (de exemplu cazul în care un punct se deplasează pe generatoarea unui cilindru care roteşte în jurul axei sale).

PROBLEME REZOLVATE 9.1.1 Se reconsideră exemplul anterior, adică o bară OA care se y roteşte în jurul capătului O al său.

y1

În acelaşi timp un punct material P (de exemplu, o culisă) se  deplasează în lungul barei după legea  OP  at 2 . Rotirea barei se face în O1  O planul fix  O1 x1 y1  după legea

A

P

x

x1

  t2 . Se cere să se determine viteza şi acceleraţia absolută ale punctului la momentul t . 219

Rezolvare: Originile celor două triedre se aleg astfel încât să coincidă, O  O1 . Bara OA se roteşte în jurul unei axe fixe, perpendiculare pe planul fix O1 x1 y1 , axa mobilă Ox este orientată de-a lungul barei şi axele O1 z1 şi Oz sunt coincidente. y1 va În aceste condiţii: y r  OP  at 2 i r0  0 x vt  v0  0    k  2 tk vr a0  0     k   k x1  P a) distribuţia de viteze:



va  vr  vt

O1  O

unde: - viteza de transport:

vt  v0    r    r

vt  r    OP  2a t 3

=>





vt  vt k  i  vt j  2a t 3 j

=>

r  2ati t

- viteza relativă:

vr 

- viteza absolută:

va  vr  vt  2at  i   t 2 j 

- modulul vitezei absolute:

va  vt2  vr2  2at 1   2t 4

- direcţia şi sensul vitezei absolute:

tg 

vt  t2 vr

b) distribuţia de acceleraţii:

aa

aa  ar  at  ac

y1 y

unde:

at

- acceleraţia relativă: ar 

 r  ri  ai t 2 2

- acceleraţia de transport: at  a0    r      r 

aC



at



 O1  O

220



x ar

P

x1

=>

at    r ,

at  a t 2

at   2 r ,

at  4a 2t 4

at  4a 2t 4 i  a t 2 j

- acceleraţia Coriolis: ac  2  vr

=>

=>

acceleraţia absolută va fi:

   a 1  4 t  i  9a t

ac  2 2 tk   2ati   8a t 2 j

aa

2 2

2

j

- modulul:

aa  ax2  a y2  a 1  4 2t 2   81 2t 4

- direcţia şi sensul:

tg  

2

ay ax



9 t 2

1  4 t  2 2

9.1.2 Un cadru dreptunghiular ABCDEF  BC  DE  r  se roteşte cu   const în jurul axei lagărelor AF , generând un cilindru. În acelaşi timp, pe latura CD un punct M cade liber cu acceleraţia g . Se cere viteza şi acceleraţia punctului M . A

A B

g

C

B

at

vt M  vr

C

 ar

aa

va

E

E D



D

 F

F

Rezolvare: Sistemul fix este batiul cu lagărele A şi F .

221

Sistemul mobil este cadrul care efectuează o mişcare de rotaţie în jurul axei AF . Mişcarea relativă este mişcarea rectilinie a lui M pe CD . Mişcarea de transport este efectuată de M imobilizat pe cadru, adică o mişcare circulară cu raza R şi viteza unghiulară  . Mişcarea absolută este mişcarea lui M faţă de batiu. Studiul vitezelor: - viteza relativă:

vr  gt .

- viteza de transport:

vt   R .

va  vt  vr

=> viteza absolută: - modulul:

va  vr2  vt2   2 R 2  g 2t 2

( vt şi vr sunt vectori perpendiculari) - este cuprinsă într-un plan tangent la cilindru în M . - direcţia: tg   vt vr   R gt Studiul acceleraţiilor: - acceleraţia relativă:

ar  g .

atn   2 R - acceleraţia de transport are componentele at   . a   R  0  t

- acceleraţia Coriolis: aC  2t  vr  2  vr - este nulă, deoarece vectorii  şi vr sunt paraleli. => acceleraţia absolută: aa  ar  at  aC  ar  atn - este cuprinsă într-un plan meridian al cilindrului. - modulul: aa  ar2  atn2  g 2   4 R 2 - direcţia:

tg   at ar   2 R g .

222

9.1.3 Un cadru ABCD , care are porţiunea BC semicirculară de rază R , se roteşte cu 1  const în jurul axei lagărelor AD , generând o sferă. În acelaşi timp, pe porţiunea semicirculară a cadrului se mişcă un punct M , care se roteşte cu 2  const în jurul lui O . Se cer viteza şi acceleraţia punctului M .

A

A

B

B

 E 2

M

O

vt

 E 2

 vr

at

O

aC ar

M

va

C

C

1

1 D

D

Rezolvare: Sistemul de referinţă fix este batiul cu lagărele A şi D . Sistemul de referinţă mobil este cadrul, care efectuează o mişcare de rotaţie cu viteza unghiulară 1 în jurul axei AD . Mişcarea relativă este mişcarea circulară a lui M cu viteza unghiulară 2 pe un cerc de rază OM  R (pe cadru). Mişcarea de transport este mişcarea lui M fixat pe cadru, adică pe un cerc de rază EM  R sin   R sin 2t , centrul fiind E , cu viteza unghiulară 1 . Mişcarea absolută este mişcarea lui M faţă de batiu. Studiul vitezelor: - viteza relativă:

vr  OM 2  2 R .

- viteza de transport:

vt  O' M 1  1 R sin .

=> viteza absolută:

va  vt  vr ;

- are modulul va  vr2  vt2  R 22  12 sin 2  , ( vt şi vr sunt vectori perpendiculari) 223

- este cuprinsă într-un plan tangent la sferă în M ; - direcţia: tg   vt vr  1 2  sin  Studiul acceleraţiilor: arn  OM 22  R22 - acceleraţia relativă: ar   . a  OM   0 2  r atn  EM 12  12 R sin  - acceleraţia de transport: at   . a  EM   0 1  t

- acceleraţia Coriolis: aC  2t  vr  21  vr - are suportul perpendicular pe planul cadrului, în sensul din figură - modulul: aC  2t vr sin t , vr   212 R cos . =>

acceleraţia absolută: aa  ar  at  aC - are modulul: aa  ar2  at2  aC2  2ar at aa  R 24  14 sin 2   41222 cos2   21222 sin 2  ,

deoarece ar  aC  at  aC  0 . 9.1.4 Un inel se mişcă cu viteza constantă v1 pe o sârmă îndoită în formă de semicerc de rază R . Inelul pleacă din repaus din punctul O1 şi ajunge la momentul t , în punctul M . Semicercul are o mişcare de rotaţie în planul său, cu viteza unghiulară constantă  , în jurul punctului O1 . Să se determine viteza şi acceleraţia absolută a inelului la momentul t . va

 vr

aC

vt

ar  aC



at

M





M



O1

 ar

O

O

224

aa

O1

Rezolvare: Mişcarea absolută este mişcarea inelului faţă de batiu. Mişcarea relativă este mişcarea inelului pe semicerc, deci o mişcare circulară pe semicercul cu centrul în O . Mişcarea de transport a inelului este mişcarea unui punct al sârmei cu care coincide inelul la momentul considerat. Studiul vitezelor: - viteza relativă:

vr  v1 ; vectorul vr este tangent la semicerc;

- viteza de transport:

vt  O1M  2 R sin , unde:   1t 2

Întrucât: 1 



v1 v , rezultă   1 t R R

=> viteza absolută: - are modulul sau

va  vt  vr ;

va  v12  4 2 R 2 sin 2

 2

 4v1 R sin 2

va  v12  4 R  R  v1  sin 2

 2

v1t . 2R

- direcţia: sin    R sin   va (din teorema sinusurilor) Studiul acceleraţiilor: - acceleraţia relativă: reprezintă acceleraţia inelului M în mişcare circulară uniformă (   const ,   0 ), deci va avea direcţia normalei la cerc în M - modulul: ar 

v12 . R

- acceleraţia de transport: at   2 MO1  2 2 R sin - acceleraţia Coriolis: aC  2t  vr  2  v1 - vectorul  este perpendicular pe vr  v1 - modulul: aC  2vr  2v1 .

225

 2

=>

acceleraţia absolută: aa  ar  at  aC - modulul: aa 

 ar  aC 

2

   at2  2  ar  aC  at cos  900   2 

2

=>

 v12   v12  vt 4 2 2 v1t aa    2v1   4 R sin  4   2v1   2 R sin 2 1 2R 2R R  R 

=>

 v12   v12 vt 2  2 aa    2v1   4 R   R   2v1  sin 2 1 R 2R R   

2

- direcţia: sin  

ar  aC  cos (din teorema sinusurilor). aa 2

PROBLEME PROPUSE

9.2.1 Se consideră mecanismul din figură, format din trei bare articulate în plan: OA  AB  BC  OC  l . Bara OA are o mişcare de rotaţie cu viteza unghiulară constantă 0 , în 0 jurul unei axe perpendiculare în O pe planul mecanismului, O fiind articulaţie O fixă.

A

M

B

 C

Pe bara AB se deplasează un punct mobil M după legea AM  t 2 2 . În momentul iniţial bara OA ocupă poziţia OC , iar punctul M se află în A.

Să se determine viteza şi acceleraţia absolută a punctului M la un moment dat.

R:

v  t 2  02l 2  2t0l sin ot ; a  1  04l 2  202l cos0t

226

t  0

9.2.2 Un cerc de rază R se roteşte cu viteza unghiulară constantă 0 , în jurul unei axe fixe, perpendiculară pe planul său în punctul O , aflat pe periferie. Cercul antrenează culisa M care se deplasează concomitent pe periferia sa şi pe dreapta orizontală fixă    . La t  0 cercul se află în poziţia reprezentată cu linia întreruptă din figură, iar culisa M este în O .

t  0



A





O

M

Să se determine viteza şi acceleraţia absolută a culisei M la un moment dat t . R:

v  20 R cos 0t ; a  2R02 sin 0t

9.2.3 Un triunghi dreptunghic isoscel OAB se roteşte în planul său, în jurul vârfului O , cu viteza unghiulară constantă. În acelaşi timp, un punct M se mişcă cu viteza  relativă constantă pe cateta AB , parcurgând distanţa AB O în timpul unei rotaţii complete a triunghiului. Să se afle viteza şi acceleraţia absolută a punctului M în momentul când el se află în B , dacă AB  d . R:

M

vr B

d

v  1  1 2   d ; a  1  1    2 d

9.2.4 Un mobil descrie un cerc de rază R cu viteza constantă  . În acelaşi timp, planul cercului se mişcă în direcţia normalei sale cu viteza constantă u . Să se afle viteza şi acceleraţia absolută ale punctului M ce pleacă la momentul t  0 din M 0 . Să se determine raza de curbură a traiectoriei punctului. M0

R:

A

v   2 R2  u 2 ; a   2 R ;  

u2   2 R2  2 R2

227

u

 O

R

u

9.2.5 Un cărucior se deplasează pe braţul unei macarale cu viteza constantă u . În acelaşi timp, macaraua se roteşte în jurul pivotului vertical cu viteza unghiulară constantă  .

r



Să se determine: a) traiectoria căruciorului, ştiind că la t  0 , r  0. b) viteza absolută. c) acceleraţia absolută.

R:

a) r  u  ; b) v  u 2   2 R 2 ; c) a   r 2 2  4r 2 C

9.2.6 Manivela OA a mecanismului cu culisă din figură se roteşte cu viteza unghiulară constantă 0 .

0

Ştiind că OA  r , OB  r 3 , h  2r 3 şi că punctele O şi B sunt pe aceeaşi verticală, să se determine viteza punctului C şi acceleraţia Coriolis a punctului A în momentul când manivela ocupă poziţia orizontală la dreapta.

R:



B



vC  2 3r0 3 ; aAC  5 3 12 02 r

9.2.7 Pe biela  2  a unui mecanism bielă-manivelă alunecă un inel M după legea AM  s  t   10t 2 cm . Să se determine viteza şi acceleraţia absolută ale inelului la momentul t  2s ,

A

1 O

dacă 1  1rad/s , 1  3rad/s 2 ,   30 , OA  40cm , R:

h

A

O

vM  77, 27cm/s ; aM  95,94cm/s2

228

M

 2

1 AOB  90 .

B

9.2.8 Să se afle viteza şi acceleraţia absolută ale mobilului M ce se mişcă uniform accelerat pe tangenta solidar legată de un disc.

A

r

Discul se roteşte în planul său în jurul centrului O cu viteza unghiulară constantă  .

M

 a

Mobilul pleacă din repaus din punctul A , legea mişcării pe tangentă fiind AM  s  at 2 2 .

R:

v

r  at 

2

 a 2t 4 2 4 ; a 

 at  2

2

2  a    2 r  2 at  2

2

9.2.9 În mecanismul unei maşini de rabotat, manivela OA se roteşte cu viteza unghiulară constantă 0 . C Se cunosc: distanţele dintre paralele la direcţia de deplasare a culisei C , care trec prin O şi O1 , egale cu b , respectiv 2b , b 0 OA  R , O1 B  r , BC  4b 3 3 . Se cer: viteza culisei C şi viteza unghiulară a manivelei O1 B în momentul când manivelele OA şi O1 B sunt orizontale.

A

O

b O1 B

R:

vC  0 R

3 ; O1B  0 R r

9.2.10 Într-un mecanism cu culisă, culisa A se deplasează de-a lungul y manivelei OC , în timp ce aceasta se roteşte în jurul axei O , perpendiculară pe planul desenului, şi antrenează tija AB , ce execută o mişcare rectilinie în ghidajul O vertical K .

C

A



K

l

Ştiind că OK  l , să se determine B viteza culisei A în raport cu manivela OC în funcţie de viteza unghiulară  şi de unghiul de rotaţie  ale manivelei. R:

vr  l tg  / cos 

229

x

O1

9.2.11 În mecanismul cu culisă al unei maşini de rabotat K manivela OA se roteşte cu viteza unghiulară 0 . Cunoscând OA  r 3 , O1 K  O1 B  r şi BC  4r , să se determine viteza pistonului C şi viteza unghiulară a manivelei O1 B , pentru poziţia indicată în figură. R:

B

A

O

vC  30 r ; O1B  30

C

9.2.12 O ţeavă BC , îndoită sub forma unui semicerc de rază r  6cm , se roteşte în jurul axei fixe    după legea   t   t  5  t  rad . Prin ţeavă se mişcă un punct M după legea, în raport cu ţeava, BM   t 2 cm . Să se determine viteza şi acceleraţia absolută ale punctului M la momentul t  2s , ştiind că AB  CD  4cm .

 B M

A

 t 

O

r

D

C

R:

vM  15,57cm/s ; aM  47, 46cm/s2

 9.2.13 Un mobil M se deplasează pe un cerc de rază R , plecând la t  0 din punctul M 0 , cu viteza unghiulară constantă 1 B   1t  . C În acelaşi timp, prin intermediul tijei OC  d , cercul este antrenat într-o mişcare de rotaţie, în jurul axei verticale AB , cu viteza unghiulară constantă  . A Să se determine viteza absolută şi acceleraţia absolută ale mobilului la un moment dat.

R:

v  12 R 2   2  d  R sin 1t 

a

 4

2

M0 M



R

O

2

 12 12 R 2 cos2 1t  12 R sin 1t   2  d  R sin 1t 

230

2

9.2.14 O prismă se deplasează rectiliniu pe un plan orizontal după legea s  t   2t  5  t  cm . Pe latura înclinată a prismei, ce face unghiul   30 cu orizontala, se sprijină cu capătul A , cu ajutorul unui arc, o pârghie cu lungimea de 20cm , care se roteşte în jurul axei ce trece prin punctul O , perpendicular pe planul desenului.

O



s t 

A



Să se determine viteza unghiulară şi acceleraţia unghiulară a pârghiei la momentul t  1s , ştiind că în acest moment   60 .

R:

  0,17 rad/s ;   0,13rad/s2

9.2.15 Pe coarda unui disc se deplasează un punct M cu viteză constantă, pornind din mijlocul coardei.

C

Se cunosc viteza unghiulară a discului  , distanţa d de la centrul discului la coardă şi distanţa x de la punctul M la centrul C al coardei.

va 

O



2 2 d  u    2 x2 ; aa  d  2u    2 x2

B 9.2.16 O bară OAB , îndoită în punctul A la un unghi drept, se roteşte în jurul unei axe C ce trece prin punctul O , perpendicular pe planul desenului. Bara pune în mişcare un inel M , aflat simultan pe bara mobila OAB şi pe bara fixă CD . Se cunosc:   2 rad/s ,

M

D

O



  1rad/s 2 ,   30 , OA  l  40cm . Să se determine: a) viteza absolută şi acceleraţia absolută a inelului M ; b) viteza şi acceleraţia inelului M în raport cu bara OAB . R:

M

d

Să se determine viteza absolută şi acceleraţia absolută în funcţie de poziţia punctului M pe coardă.

R:

u

x



 A

a) va  160cm/s ; aa  474,3cm/s2 ; b) vr  160cm/s ; ar  474,3cm/s2 231

9.1.17 În mecanismul prezentat în figură, tija 1 se mişcă în sus, având în momentul când   30 , viteza v1  3 cm/s şi acceleraţia a1  3 cm/s2 .

y1

1 v1

În acelaşi moment, capătul B al tijei  2  se află la distanţa BO  3cm de tija directoare 1 , având o mişcare uniform întârziată cu viteza v2  5cm/s şi acceleraţia 1cm/s2 . Să se determine:

 3

x



v2

x1

B

 2

b) acceleraţia culisei B în raport cu tija  3 .

O

v1

a)   3 2rad/s ;   3 6 rad/s2 ; b) ar  6,5cm/s2

9.1.18 Într-un mecanism cu culisă, manivela OA se roteşte cu viteza unghiulară constantă 0 .

B

0

OA  r ; OO1  r 3 ; h  2r 3

O

Pentru momentul când manivela ocupă poziţia orizontală la dreapta să se determine: a) viteza unghiulară unghiulară a tijei O1 D ;

şi

acceleraţia O1

0 4

;   02

A

  x

b) acceleraţia tijei BC .

a)  

y

D

y1

Se cunosc:

R:

a1

A

a) viteza şi acceleraţia unghiulară ale tijei  3 ;

R:

y

2 3 ; b) aB  r02 3 8

232

h x1

Anexe

ANEXA 1 SISTEMUL INTERNAŢIONAL DE UNITĂŢI În anul 1960 la „a XI-a Conferinţă Generală de Măsuri şi Greutăţi“ a fost adoptat Sistemul Internaţional de Unităţi. Sistemul Internaţional (SI) este un sistem de unităţi general, coerent şi practic pentru toate domeniile ştiinţei şi tehnicii. Unităţile de măsură din afara Sistemul Internaţional sunt numeroase. În tabelul A.1 sunt prezentate cele mai utilizate sisteme de unităţi. Tabelul A.1 Sisteme de unităţi de măsură Sistemul de Unităţi Mărimi fundamentale Reprezentare unităţi fundamentale m (metru) Lungime kg (kilogram) Masă Sistemul s (secundă) Timp Internaţional LMTIQJ A (amper) Intensitate curent electric SI K (kelvin) Temperatură termodinamică cdm(candela) intensitate luminoasă (metru) Lungime Sistemul tehnic kgf (kilogram forţă) Forţă LFT MKgfS s (secundă) Timp Sistemul tehnic ft (foot) Lungime britanic lbf (pound force) Forţă LFT GSU s (secundă) Timp cm (centimetru) Lungime Sistemul CGS g (gram) Masă LMT s (secundă) Timp m (metru) Lungime Sistemul MKS kg (kilogram) Masă LMT s (secundă) Timp m (metru) Lungime Sistemul MTS t (tonă) Masă LMT s (secundă) Timp

- A1 -

Anexe

ANEXA 2 ELEMENTE DE ALGEBRĂ VECTORIALĂ 2.1 Mărimi scalare şi vectoriale. Clasificarea vectorilor Din punct de vedere geometric, un vector a  AB este un segment de dreaptă orientat, caracterizat prin: B - punctul de aplicaţie (originea): A ; a A - suportul (direcţia): dreapta AB ; - sensul de parcurs: de la A la B ; - modulul (mărimea): lungimea segmentului: AB  a  a . În funcţie de originea vectorilor (punctului de aplicaţie) vectorii pot fi: - vectori liberi: vectori a căror origine poate ocupa orice poziţie în spaţiu (cu păstrarea mărimii, direcţiei şi sensului), fără ca efectul lui să se schimbe (de exemplu: cuplul a doi vectori, viteza unui rigid în mişcare de translaţie, viteza unghiulară a unui rigid, etc.); - vectori alunecători: vectori a căror origine poate ocupa orice poziţie pe suportul propriu, cu păstrarea direcţiei, mărimii şi sensului (de exemplu: forţa ce acţionează asupra unui rigid); - vectori legaţi: vectori a căror origine poate ocupa doar o singură poziţie în spaţiu (într-un anumit punct) (de exemplu: forţa ce acţionează asupra unui punct, momentul unei forţe în raport cu un punct). Vectorul echipolent cu un vector dat a se foloseşte pentru a caracteriza mulţimea tuturor vectorilor liberi având: - suporturi paralele cu suportul lui a ; - acelaşi sens şi aceeaşi mărime cu vectorul a .

- A2 -

Anexe

2.2 Suma vectorilor Suma a doi vectori a  OA şi b  OB este prin definiţie un vector c reprezentând diagonala paralelogramului cu laturile a şi b , având originea comună (regula paralelogramului):

c  a b unde vectorul c este caracterizat prin: - direcţie:

tg  

b sin  a  b cos 

- sens: de la O la C c  a 2  b2  2ab cos 

- modul: B

b

C c

c



O

C

by

 a

A

bx

D

b

O

Regula paralelogramului

a

A

Regula poligonului

Suma celor doi vectori se obţine şi cu regula poligonului. Proprietăţi: - comutativitate:

a b b a

- asociativitate:

 a  b   c  a  b  c 

2.3 Înmulţirea vectorilor cu un scalar Înmulţirea lui a cu un scalar m , este prin definiţie un vector b  ma , caracterizat prin: m0 - direcţie: aceeaşi cu direcţia lui a ; - sens:

- acelaşi sens cu a , dacă m  0 ; - sens opus lui a , dacă m  0 ;

- modul:

b  ma

- A3 -

a

b  ma

Anexe

Proprietăţi: Dacă m şi n sunt numerele reale, atunci: m  na   n  ma   mna

 m  n  a  ma  na





m a  b  ma  nb

2.4 Vector unitate (versor) Dacă se consideră un vector liber a , a  0 , atunci versorul lui a este un vector liber ia care are: - suportul paralel cu suportul lui a ; - acelaşi sens cu vectorul a ; - modulul egal cu unitatea: ia  iA  1 . Există relaţiile evidente: ia  vers a  a a

şi

a  aia

2.5 Reprezentarea unui vector liber într-o bază ortonormată Se consideră un vector liber a şi un sistem de axe de coordonate triortogonal drept Oxyz . Proiecţiile sale ortogonale pe axele Ox , Oy , Oz sunt a x , a y , respectiv a z se numesc componente scalare ale vectorului a în sistemul de axe Oxyz . Dacă i , j , k sunt versorii axelor Ox , Oy şi Oz , expresia analitică a vectorului a este: a  ax i  a y j  az k

Versorii bazei fiind perpendiculari doi câte doi şi având mărimile egale cu unitatea, baza se numeşte ortogonală şi normată sau mai pe scurt ortonormată. Modulul vectorului a este un număr pozitiv: a  ax2  a y2  az2

- A4 -

Anexe

z

z

az

az k



a

ay

O

ax

i

y

ax

ay



O

j

a

y



x

x

Direcţia şi sensul vectorului a se stabilesc cu ajutorul cosinusurilor directoare: cos   ax a

cos   a y a

cos   az a

Observaţii: a  ax , a y , az 

- vectorul a se mai scrie sub forma: - dacă a  0 atunci:

ax  a y  az  0

Un vector r echipolent cu vectorul a , reprezentat cu originea în punctul O (originea sistemului de axe) şi vârful în punctul A  x, y, z  , OA  r , se numeşte vectorul de poziţie al punctului A şi are expresia: r  OA  xi  yj  zk

unde:

r  x 2  y 2  z 2 ; cos   x r ;

cos   y r ; cos   z r

2.6 Paralelismul vectorilor Condiţia necesară şi suficientă de paralelism a doi vectori a  0 şi b  0 (adică vectorii să aibă suporturile paralele): este deci să existe un număr m astfel încât:

a  mb

sau:

ax  mbx ,

a y  mby ,

az  mbz

Concluzie: - doi vectori a şi b sunt paraleli dacă şi numai dacă între componentele lor există relaţia de proporţionalitate: ax a y az   m bx by bz - A5 -

Anexe

2.7 Coplanaritatea vectorilor Condiţia necesară şi suficientă de coplanaritate a trei vectori a  0 b  0 şi c  0 aceasta este ca între ei să existe o relaţie de forma: c  ma  nb

nb

cu m şi n nenuli în acelaşi timp.

c

Această condiţie se deduce uşor din definiţia sumei a doi vectori.

b

Vectorii a , b şi c se mai numesc în acest O caz vectori liniar dependenţi.

a

ma

2.8 Produsul scalar a doi vectori Se consideră doi vectori liberi a şi b care se pot reprezenta prin vectorii echipolenţi aplicaţi în O ; se defineşte produsul scalar al celor doi vectori (notat prin a  b ) scalarul: b d  a  b  ab cos 



unde:



 a , b  este unghiul dintre cei doi vectori.

O

a

Observaţie: - produsul scalar al vectorilor a şi b mai poate fi exprimat în funcţie de proiecţiile ortogonale ale acestor vectori unul pe direcţia celuilalt, sub forma: a  b  a  pra b  b  prb a

Concluzie: - proiecţia unui vector r pe o axă    de versor i este un scalar care se poate scrie: pr r  r  i

Proprietăţi: - comutativitate:

a b  b a

- distributivitate faţă de sumă:

a  b  c   a  b  a  c

- asociativitate la înmulţirea cu scalari:  ma    nb   mn  a  b 

- A6 -

Anexe

- produsul scalar a doi vectori identici: a  a  a 2

a  b  0 dacă: a  0 sau b  0 sau a  b

- produsul scalar este nul: Dacă se consideră doi vectori a  ax i  a y j  a z k

b  bx i  by j  bz k

şi

se obţine expresia analitică a produsului scalar: a  b  ax bx  a y by  az bz

În baza acestei relaţii se pot calcula: a) unghiul dintre doi vectori a şi b : cos  

ax bx  a y by  az bz a b  ab ax2  a y2  az2  bx2  by2  bz2

b) unghiul dintre un vector a şi axele de coordonate; de exemplu unghiul dintre vectorul a şi axa Ox : cos  

ax ai  a 1 ax2  a y2  az2

Cosinusurile celor trei unghiuri formate de a cu Ox , Oy şi Oz (numite şi cosinusuri directoare ai direcţiei a ) satisfac relaţia cunoscută din geometria analitică:

cos2   cos2   cos2   1 Expresia versorului unui vector a ia  vers a 

ia  sau:

a a

ax a a a 2 x

2 y

2 z

i 

ay a a a 2 x

2 y

2 z

j

az a a a 2 x

2 y

2 z

k

ia  cos   i  cos   j  cos   k

Condiţia de ortogonalitate a doi vectori a şi b analitic astfel: ax bx  a y by  az bz  0

- A7 -

a  b 

se exprimă

Anexe

2.9 Produsul vectorial a doi vectori Se consideră doi vectori liberi a şi b reprezentaţi prin vectorii echipolenţi, cu originea în O ; produsul vectorial al lui a şi b este un vector liber c , notat prin: c c  a b b având următoarele caracteristici: O



- direcţia: c este perpendicular pe planul definit de vectorii a şi b ;

a

- sensul este dat de regula burghiului (şurubului) drept. - modulul: c  ab sin  , unde:  

a,b 

Proprietăţi: - anticomutativitate:

a  b  b  a

- distributivitate faţă de sumă:

a  b  c   a  b  a  c

- asociativitate la înmulţirea cu scalari:  ma    nb   mn  a  b  - produsul vectorial este nul: a  b  0 , dacă: a  0 sau b  0 sau a b . Din ultima proprietate rezultă condiţia de paralelism a doi vectori a şi b nenuli. Expresia analitică a produsului vectorial este:

=>

i a  b  ax

j ay

k az

bx

by

bz

a  b   a y bz  az by   i   az bx  axbz   j   axby  a y bx   k

- A8 -

Anexe

2.10 Produsul mixt a trei vectori Dacă se consideră vectorii liberi a , b şi c aplicaţi în punctul O, se defineşte produsul mixt al celor trei vectori scalarul:  a  b   c . Produsul mixt se poate scrie formal astfel: ax  a  b   c  bx

ay by

az bz

cx

cy

cz

Proprietăţi: - permutativitate circulară:

 a  b   c  b  c   a   c  a   b - condiţia ca produsul mixt să fie nul:  a  b   c  0 dacă şi numai dacă: a b sau b c sau c a

sau

c  ma  nb

adică a , b şi c sunt coplanari sau liniari dependenţi. 2.11 Produsul dublu vectorial a trei vectori Dacă se consideră vectorii liberi a , b şi c , se defineşte produsul dublu vectorial al celor trei vectori, vectorul: d  a  b  c

Relaţia de descompunere a produsului dublu vectorial este: d  a  b   c  a  c b  a  b c

- A9 -

Anexe

BIBLIOGRAFIE

Ionescu D., Ştefan S., Fuiorea I. - Mecanică teoretică. Dinamica, Ed. Academia Militară, Bucureşti, 1989. Ionescu D., Ştefan S., Fuiorea I., ş.a., Mecanică. Culegere de probleme. Partea I. Statică, Ed. Academia Militară, Bucureşti, 1991. Ionescu D., Ştefan S., Fuiorea I., ş.a. - Mecanică, Culegere de probleme. Partea a II-a. Cinematică, Ed. Academia Militară, Bucureşti, 1991. Marin C., Huidu T – Mecanica, Ed. PRINTEH, Bucureşti, 1999. Staicu, Şt., Mecanică teoretică, Ed. D.P., Bucureşti, 1999. Ştefan S., Ionescu D., s.a. – Mecanică şi elemente de robotică, Ed. Academia Tehnică Militară, Bucureşti, 1998. Vâlcovici, V., Bălan, Şt., Voinea, R., Mecanică teoretică, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1969. Voinea R., Voiculescu D., Ceauşu V. - Mecanică, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983. Voinea R. - Mecanică şi vibraţii mecanice. Vol. 1, Ed. Academia Tehnică Militară, Bucureşti, 1999.

- A10 -