Matematika : mini formule [PDF]

Zitiervorschau

SADR2AJ PREDGOVOR Zbirka f ormWa iz matematike namijenjena je najširem krugu čitalaca: osnovcima, srednjolkolcima, s uđentima, KV radnicima, tehničarima, in· felljertma, ekonomistima, ptofesorima i svim ostalim kOji hnimaju za matematiku.

U knjizi iu sabrane sve run.tje forr11Ule iz matefbtt e kqe su potrebne za itradu zadataka iz aritmetike, algebre, geometrije, analitičke geonaetiije i elemenata matematičke analite. Praktična

vrijednost ove zbirke je u tome što su fonnwe llot.ene pregledno i SV8ka se može brzo i lako naći iz sadtt.lja. Autori

Strana MATEMATICKI ZNACI I SIMBOLI 1 Znaci reda, poretka . . . . . . . . . . 1 Znaci jednakosti i nejednakosti ~ . . 1 Znaci osnovnih računskih operacija . 2 Geometrijski znaci . . . . . . . . . . . 2 Znaci u algebri i elementima analize . 3 Znaci graničnih vrijednosti . . . . . . 4 Znaci diferencijalnog i integralnog računa

. . . . . . . . . . . ••. . . . boli t ~on1e .. „t-. Sun u..upova . . . . . . . Poseban znak . . . . . . . . . . . . . ELEMENTI TEORIJE SKUPOVA . . PREGI .ED OSNOVNIH SKUPOVA

. . . .

BROJEVA . . . . . . . . . . . . . .. Skup svih prirodnih l>rojeva . . . . .. Skup svih cijelih brojeva . . . . . . .

4

s

s 6

7 7

8

Skup svih racionalnih brojeva . . . . . Sirup svih iracionalnih brojeva . . . . Sirup svih realnih brojeva . . . . . . . Skup svih kompleksnih brojeva . . . .

8 8 9 9

NAJVECI ZAJEDNIĆKI DJEUTEU . NAJMANJI ZAJEDNICKI SADRŽILAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

18 18 18

17

ARITMETIKA .... .

10

Brojna osa. Predstavljanje brojeva . . .

10 10 10 ll li 11

RA.Z:l.OMO . . . . . . . . . . . . . . . Proširivanje i skraćivanje razlomaka . .

SA RAZI OMCIMA . . . . . . . . . . . Sabiranje i oduzimanje razlornaka · ..

19 19

11 12

Množenje razlomaka . . . . . . . . . . Dijeljenje razlomak.a . . . . . . . . . .

20 20

OSNOVNE RACUNSKE Sabiranje . . . . . . . . Oduzimanje . . . . . . . Množenje . . . . . . . Dijeljenje ~ . . . . . . Stepenovanje . . . . . .

Korjenovanje

OPERACUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

Poređenje

razlomaka . . . . . . . . . .

OSNOVNE RACUNSKE OPERACIJE

•

REDOSUJED RADND. ZAGRADE . .

12

PROSTI I SLOtENI BROJEVI . . . . Tabela prostih brojeva od 1 do 1069. Uslovi djeljivosti brojeva . . . . . . . .

13 14 15

RASTAVUANJE NA PROSTE

FAKTORE . . . . . . . . . . . . . . .

16

DVOJNI (DVOSTRUKI) RAZl.OMO . BROJEVI

21

. . . . . . . .

21

Osobine decimalnih brojeva • • • • • Sabiranje i oduzimanje de · ·~--„ brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . Množenje decimalnih brojeva .. . . . Dijeljenje decimalnih brojeva . . . . .

21 22 23 23

RACUNSKE OPERACI Sabiranje. • • • • • • • • 'e • • • • • • • Od Množenje • • • • • • • • Dijeljenje • • • • • • • •

A L G E B R A . • NEGATIVNI BROJEVI Apsolutna vrijednost

•

•

SA NULOM •

• •

•

•

•

• • • • •

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

• •

•

•

•

•

•

•

•

•

•

24 24

•

• • • •

•

•

•

1S

• • •

•

•

• •

•

•

• •

•

•

• •

•

•

•

• •

•

• •

• • • • •

•

•

•

•

•

• • • • • • • • • •

• •

•

•

•

•

•

• • • • • • • •

RACUNSKE OPERACIJE SA OPS'l'IM B OJEVIMA • • • Oslobađanje zagrada • • • • • S biranje Množenje

•

• • •

RACUNSKE OPERACIJE SA NEGA BROJEVIMA Sabiranje • • • • • • • • • • • Oduzimanje • • • • • • • • • • Množenje Dijeljenje

•

oduzimanje

I

•

•

•

•

•

• • •

23 23 24

•

•

•

•

• •

•

•

•

•

•

• • • •

•

•

•

•

•

• • • • • • •

25 25 25 25

26 26 26 26 26

27 27

Množenje više faktora • • • • Množenje algebarskih zbirova

Dijeljenje • • • • S'l'EPENOVANJE

•

• • •

•

•

•

•

•

27 l8

•

•

•

•

•

•

•

•

28

• • •

•

• • •

•

•

•

29

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

19

• • •

•

• •

•

•

• •

• •

29

•

• •

30

• • • •

Stepenovanje nulom

Predznak stepena

•

•

•

oduzimanje stepena Množenje stepena . • • • • • • • Dijeljenje stepena . • • • • • • • Stepen sa negativnim cijelim eksponentom •

Sabiranje

1

•

• •

•

•

• • •

•

•

• •

• •

Stepenovanje stepena .

• •

•

""

•

•

•

•

St·epenovanje binoma

•

•

•

•

•

•

•

• •

•

•

•

•

•

•

•

• ••

•

•

•

•

•

•

•

• •

•

Rastavljanje na faktore . • • • KORJENOVANJE • • • • • • Pretvaranje koljena u stepen. Korjen proizvoda Korjen količnik& Korjen stepena • Korjen korjena •

•

• •

•

• • • • •

•

•

•

•

•

•

•

• •

•

•

•

•

•

•

•

• •

• •

•

•

•

•

•

•

•

•

• •

•

•

•

•

•

•

30 30

31 31 32 33 35 35 3S 35

•

36 36

Proizvod korjena istog radikanda Količnik korjena istog radikanda • Stepen korjena . . . . . . . . . .

•

•

•

36

•

•

•

36

•

•

•

36

KOMPLEKSNI BROJEVI . . . . • • • • Stepen imaginarne jedinice . . . . . . . Kompleksan broj . . . . . . . . . . . . K.onjugovano-kompleksni brojevi . . . . RačwWce operacije sa kompleksnim

37

37 37 37

br~evima

. . . . . . . . . . . . . . . Geometrijsko predstavljanje

38

kompleksnih brojeva . . . . . . . . . .

39

Trigonometrijski oblik kompleksnih • brojeva

. . . . . . . . . . . . . . . .

Računske

operacije sa kompleksnim brojevima u trigonometrijskom obli.ku . . . . . . . . . . . . . . . . .

JEDNA CINE llNEARNE JEDNACINE (PRVOG STEPENA) . . . . . . . . . . . . . .

•

40 41

42

Linearna jednačina sa jednom nepoznatom . . . . . . . . . . . . . . . . Sistem od dvije linearne jed.načine aa dvije nepoznate . . . . . . . . . . . . Metode rješavanja . . . . . . . . . . . . Metoda komparacije . . . . . ·. . . . . Metoda supstitucije . . . . . . . . . . Metoda jednakih koeficijenata . . . . . Metoda đeter11ainante . . . . . . . . . . Sistem od tri linearne jednačine sa tri nepoznate . . . . . . . . . . . . . . Metode rješavanja . . . . . . . . . . . . Svođenje na sistem od dvije jednačine sa dvije nepoznate . . . . . . . . . . . Metoda deter11linante . . . . . . . . . . Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih . . . . . . . . . . . . . . KVADRATNA JEDNACINA . . . . . . Opiti oblik . ·. . . . . . . . . . . . . . Diskusija rješenja kvadratne jednačine .

42 43 43

43 44

44 45

45 46 46

46

48 48 48

49

Nepotpune kvadratne

jednačine

.... Normalni oblik kvadratne jednačine . .

Viet-ova pravila . . . . . . . . . . . . . Rutavljanje kvadratnog trinoma na faktore

. . . . . . . . . . . . . . . . .

49· 49

so

so so

Geometrijski niz . . . . . . . . Interpolacija . . . . . . . . . .

LOG

•

•

•

Osobine logaritama

•

•

•

•

•

„ „

•

•

•

•

•

•

S6 57

•

•

•

•

S8

ss

. . . . . . . . . . . . . .

S9 S9

. .

59

. .

60

Proširene razmjere . . . . . . . . . . . . DObivanje jedne raz111jete iz druge

52

Logaritam proizvoda . . . . . . . . Logaritam količnika. . . . . . . . . Loguitam stepena . . . . . . . . . Logaritam korjena . . . . . . . . . Dekadski i prirodni logaritmi . . Veza između dekadskih i prirodnih logaritama . . . . . . . . . . . . . .

60

dVIJ··e • • • • • • • • • • • • • • • • • • POSTOTNI (PROCENTNI) RACUN .. KaJnatni račun . . . . . . . . . . . . . Složeni kam•tni račun . . . . . . . .

53

RACUN VJEROVATNOCE . . . . . . Prosta (matematička) vjerovatnoća. . .

53 S4 54 55

Suprotna

. . . . . . . . .

60

vjerovatnoća

. . . . . . . . . .

61

vjerovatnoća

. . . . . . . . . .

61

. . . . . . . . . .

55

Permutacije . . Kombinacije .. Varijacije . . .

• • • •

61 61

„ • • • • • • • • • • • •

62

•

61

JBDNACINE VISEG REDA .. Bi.lcvadratne jednačine . . . . • Binomne jednačine . . . . . • Trinomne

jednačlne

. . . .

. . . . • •

•

•

50

•

• • •

SI

• • • • • •

SJ

RE. PROPORCUE . .

Neprekidno

t1k1m1ćivanje

•

•

•

• • •

. . . . . . .

NW>VI I REDOVI . . . . . . . . . . Arlu1aetičlci niz . . . . . . . . . . . . .

52

55

Totalna Složena

vjerovatnoća

KOMBINATORIKA •

•

•

•

•

•

•

•

•

•

„

•

•

• •

•

•

•

•

. . . .

•

•

59 59

60

GEOMETRIJA .....

63

PITAGORINA TEOREMA . . . . . . .

PLA.NIME'l"RIJA . . . • • • • • • • • • Ugao . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mjerenje ugla . . . . . . . . . . . . . Veza između stepena i radijana . . . . Komplementni i suplementni uglovi .

63

OBIM I POVRbA OSTAIJH RAVNIH SLIKA . . . . . . . . . . . . Pravougaonik . . . . . . . . . . . . . . Kvadrat . . . . . . . . . . „ • • • • • •

Uporedni i unaknni uglovi . . . . . . .

65 66

63 63 64 65

Romb

72

73

. .

73 73 73 73

• •

74

. . . .

74

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

TROUGAO . . . . . . . . . . . . . . .

67

Romboid . . . . . . . . . . . . . . Trape~ . . . . . . . . „ • • • • • . Deltoid . . . . . . . . . . . . . . Trapezoid (pro~oljan ,četverougao) Cetverougao oko kojeg se mote

POdudamost trouglova . Osobine uglova trougla . Slienost trouglova . . . Cetiri značajne tačke u

68

opisati kružnica

69 69 70

Mnogougli (poligoni sa n strana) . . .

75 15

KllUtNICA. KRUG . . . . . . . . . .

75

71 71 71

Uglovi u kružnici Sekanta i tangenta Obim i površina . K.ru1ni isječak . . Kru!lli odaje čak . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76 76

UJiovi na transverzali dvaju pravih . . Uglovi sa normalnim kracima . . . . . Uglovi aa paralelnim kracima . . . . .

. . . . . . . . . . . . ttouglu

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

OBIM I POVRbA TROUGLA . . Raznostraničan trougao . . . . . . . Jednakokraki trougao . . . . . . . . Jednakostrani čan trougao . . . . . . Pravougli trougao . . . . . . . . . .

. . . . .

67 67

72 72

. . . . . . . . . . .

.. . . . . . . . . . . ,

Kružni prsten . . . . . . . . . . . . . Dio kružnog prstena . . . . . . . . . .

74

76 77 77

77 78

s

o

T E R E

Izračunavanje

Kvadu Kocka • PJiz11•1 .

M E T R I J A

povrline i volumena •

•

• • •

•

79

• •

•

•

•

•

•

80

•

•

• •

•

•

• • • •

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

• •

• • •

•

•

•

•

• •

•

• •

Piramida .

• •

•

•

•

•

•

• •

Z•n•hljena piramida • • Valjak • • • • • • • • • • Suplji valjak • • • • • • Kupa • • • • • • • • • • Zarubljena kupa • • • • Kugla • • • • • • • • • • šuplja lopta . • • • • • • Kalota (kuglin odsje čak) Kug)in isječak • • • • • Kuglio poju (sloj) • • • Kružna karika

• •

79 79

•

•

•

80 80

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

81 81

•

• •

• •

•

~

•

•

•

•

•

•

•

•

81 82

•

•

• • •

•

•

•

82

•

•

• • • • • •

81

•

•

•

•

• •

•

•

• • •

• •

•

•

•

• • • • • •

83 83

•

•

•

•

•

•

84

•

•

.

•

•

•

••

•

•

• •

„

•

•

• • •

Pravilni poliedri .

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

83

84 85

T R I GO N O M ETRI JA

•

Definicija trigonometrijskih funk cija kod pravouglog ttougla • • • • • • • • Sinus • • • • • • • • • • • • • • • • • • Kosinus • • • • • • • • • • • • • • • • • "fangens • • • • • • • • • • • • • • • • Kotangens • • • • • • • • • • • • Definicija trigonometrijskih funkcija na trigonometrij·skom krugu • • • • • • Znak trigonometrijskih funkcija • • • • Periodičnost trigonometrijskih funkcija Parnost trigonometrijskih funkcija • • Vrijednost trigonometrijskih funkcija • Nule trigonometrijskih funkcija • • • • Grafici trigonometriiskih f11rtkcija • • • Uputstvo za crtanje grafika y = a sin (bx + c) • • • • • • Neke karakteristične vrijednosti trigonometrijskih funkcija • • • • • • •

•

•

86 86 86 86 87 87

87 88

88 88 89 89 90

91

92

Veza

između

IUESAVANJE K.OSOUGLOG

trigonometrijskih

funkcija istog ugla . . . . . . . . . . . Funkcije zbira uglova . . . . . . . . . Funkcije razlike uglova . . . . . . . .

93 94 94

Funkcije dvostrukog ugla . . . . . . . Funkcije polovičnog ugla . . . . . . . Pretvaranje zbira i razlike trigonometrijskih f unlccija u proizvod . Pretvaranje proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir i razliku .. . . . . . . Funkcije višestrukih uglova . . . . . . Stepeni trigonometrijskih funkcija . . . Svođenje na prvi kvadrant . . . . . . .

95 95 96

97 97 · 98

100

RJEŠAVANJE PRAVOUGLOG TROUGLA Katete . . Hipotenuza Površina . Uglovi

... . .. . ... . .. . . . . • • • • • • • • • • • • • . . . .' . . . . . . . . . . . • . . • • • • • • • • • • • • •

. . . .

•

•

• • • •

•

•

•

• • • •

1J)O 100 101 101 101

TROUGLA . . . . . . Sinusna teorema . . . K.osinusna teorema . Tangensna teorema . Mollweide·-0ve formule

.. . . . . . .

. . . .

. • • • • • . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . Veza između poluobima i uglova Poluprečnik opisane kružnice . . Poluprečnik upisane . . Površina trougla . . . . . . . . . . Veza između uglova u trouglu .

. . . . . .

102

102

102 103 . . 103 . . 104 . . 104 . . IOS . . 105 . . 106

INVERZNE TRIGONOME'l'RIJSKE FUNKCIJE (CIKLOME1'RIJSKE FUNKCTJE) . . .. . . . .. . . . . . .

107

Glavna vrijednost ciklometrijskih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Osnovni odnosi između ciklometrij· skih funkcija . . . . . . . . . • • . . . 108 Veza između ciklometrljskih funkcija istog argumenta . . . . . . . . . . . . .

109

ZbiI ciklometrijskih funkcija . . . . . . 109 Ciklometrijske funkcije negativnih ugu~nata . . . . . . . . . . . . . . 110 Grafici cildo11aetrijskih funkcija . . . . 110

ANALITICKA GEOMETRIJA . ..... . 112 KOORDINATNI SISTEMI . . . . . . . 112 Predznak koordinata i vrijednost polarnog ugla po kvadrantima . . . . 113 Veza između pravouglih i polarnih k()()rdirta.~ . . . . . . . . . . . . . . . . 113 TACKA. Udaljenost dvaju tački . . . . Udaljenost tačke od Qhođišta . . . . . K()()rdinate tačke koja dijeli zadanu duž u zadanom omjeru. . . . . . . . . K()()rdinate tačke koja polovi zadanu

dUŽ

•

• • • • •

•

• •

• • •

•

• •

• • • •

Povrlina trougla u ravni . . . . . . . . Uslov da tri tačke leže na jednom pravcu . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114

115 115

116 116 116

PRAVAC. JEDNACINE PRAVCA

. .

117

Eksplicitni oblile . . . . . . . . . . . . .

117

Segmentni oblile . . . . . . . . . . . . .

117 118 118

Pravac kroz jednu tačku . . . . . . . . Pravac kroz dvije tačke . . . . . . . Nor111alni (Hesse-ov) oblik . . . . . . .

118

Implicitni oblik . . . . . . . . . . . . . 119 Polarni oblile . . . . . . . . . . . . . . 119

SPECJALNI PRAVCI . . . . . . . . . Pravac kroz iahodiite . . . . . . . . . Simetrale kvadranta . . . . . . . . . .

l l9 119 110

Pravac paralelan x osi . . . . . . . . Pravac paralelan y osi . . . . . . . . Jel'tfite>ru

••. . • . • • . • • • • • • • .

Koordinate taeke u datoaa omjeru Koordinate taeb clu.t • • • • • • •

koja . . . koja •• •

155 156

Specijalne ravni . . . . . . . . . Jednačina ravni kroz tri tačke Ugao između dvije ravni . . . Uslov paralelnosti dvaju ravni Uslov norntalnosti dvaju ravni

. . . . . . . . . . . .

160 161 161

. . . . . . . .

162

Jednačina

162

prave preko dvije projekcije

•

u ravni . . . . . . . . . . 15' 157

datu dut dijeli . . . . . . . . . • 157 polovi datu • • • • • • • • • 158

151

Volumen tetnedra u prOlle>ru • • • . .

159

\I

160

PRAVA U PROSTORU .. . . . . . . . 162

• • • • • •

Povrlina troti1'•

Nor111alno rastojanje ravni od ishodišta

RAVAN U PROSIORU •.••...• 159 Opita jednaelna raftli . . . . . • . • . 159 Odlječd na koordinatnim osama • • • 159

•

•

'

163 163 164 164

„ • •

164

• • • •

Specijalni slučajevi pravih . . . • Upo između dvije prave . . . • Uslov paralelnosti dvaju pravih . Uslov nor111alnosti dvaju pravih •

•

• • • •

•

..

•

POVRŠINE DRUGOG REDA • • • • 165 Sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Elipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Hiperboloid

. . . . . . . . . . . . . .

165

Paraboloid

. . . . . . . . . . . . . .

166

PREGLED OSNOVNIH ELEMENTARNIH FUNKOJA . . . . .

167

Funkcija prvog reda (Line•ma f1mkcija) . . . . . . . . . . . . . . . . Funkcija drugog reda tna f\Ulk.cija) . . . . . . . • • . • . . . . . Funkcija trete& red• . . . . . . . . . .

167

NEPRED~OST FUN~QJA . . . . .

1'8 169

Geonwtrijlka interpretacija Izvoda . • . lm>dl ele11aent•mlh funkcija . . . . . Pravila o nal•tenju Izvoda . . . . . . .

STEPENA PUNl.aJA • . . . . . . . .

169

KOIUENA Fm&aJA • . . . . . . . . tJP.Oredba lineame, ltepeM i korjene

171

. . . . . . .. ' . . . . . . . 17l ALNA fUNKOJA. . . ln ~

Cl.E

FUNKCIJA

. . . .

173

FIJNl:QJE • • • • • 174

PUNIO JE

G R. A

UCNIM P N I CNE

AMA . . .

VRJJhJNOSl1 ~a.JA . . . . . . . . . . . . , . . Pra'rila u n••••enje paničnih

175

177 178

112 POJAM IZVODA FUNK.aJA ••. . . 183 • 183 184

186 IZVOD SlDZENE FUNK.CJE .. . . 187 Primjeri irloda alot.ene . . . ~ 187

IZVODI VISEG RFDA . . . . . . . . . 189 LOPITAIOVA 'IYOREMA · · · · · 189 Pllmjeri Izvoda vile1 reda • • • • • 190 ISPmVANJE TOIA FUNKaJE • . . 191

PRIMITIVNA F U N K C I J A . . . . . . . . . IM NEODREBENI INTEGRAL . . . . . . IM Tablica neoche4enih intepala. . . . . . 195 OSNOVNA PRAVILA ZA . . . . . . . . . . . . 197 Integral zbira I nrlike flankcija . . . .

197

Integral funkcije aa konstantnim

FUNK.aJA

faktorom . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Integracija metodom supstitucije . . . 198 Parcijalna integracija . . . . . . . . . . 198

ODREĐENI

INTEGRAU RACONAINIB

INTEGRAL . . . . . . . . . . n2

F'UNKt1JA INTEGRAU

•• . . •. . . • . . . . .

199

Dt.Aao

FUBOJA . . . . . . . . . . . . . . . INTEGRAU 'I RIGONOME"l'RIJSJCJB FUNICaJA

. . . • . . . . . . . . . .

208

. . . . . . . . . . . . . . 214

INTEGRAU LOGARrIAMSKIH FUNK . . . . . . . . . .. . . < .. . .. . . . . .

veće

od manje od ~ . . . . . . . . . . . veće ili ednako . . . . . . . . . . . mnogo veće < . . . . . . . . . . mnogo manje

1

Znak

Cita se

3. 0..0YDe *lllllb

+ . . . . . . . . . . . . plus. više -~

............ mlnw man~e X , ~ • I .· · . . . . - . . . . puta · . . . . . . .... kro~. podijeljena % . . . . . . . . . . . . . . postotak, procenat ••• •• „

4. Geo

e

· · zmd

li . . . . . . . . . . . . . paralelno

~

. . . . . . . . . . ~ paralelno 1 ............ nor111alno 1 okomito 0 • '• '' · · • • . • • • . stepen, minut. sekund rad. . . . . . . . . . . r:adijan ~

• • • ••••••• „ •

~

ugao

· · - . .· . • . . . praVJ ugao (90°) 6 . . . . . ...... trougao ,...., · . . . . . . . . . !:!!!

slično

• • • • . • • ••• poduduno

AB .. ...... ... dut AB AB ......... .. luk AB 2

Znak

Ctta ee

5. Zn1ci U llaebd i elementi11•1 9neliu IZ\ . . . . .. .... apsolutna vrijednost bro· jaZ,moduo Z sgn ........... signum n! . . . . . . . . . . n f aktoriel n nad k t . . . . . . .... suma n 3 · · · · · . . ... prou.•vu :..._,...a 2 0 x , X , .•• , x • • . . . . x na kvadrat, x na kub x na n-ti (stepen) Vx. kvadratni, kubnl(treći) n-ti korjen iz x 1oSt, a . . . . . ........ logaritam a za bazu b log x . . . . . . . . . . . logaritam x za bazu 1O ili logx 1n x . . . . . . . . . . . loprit•m x za bazu e ili lnx i . . . . . .. . .. . . a jedinica 1f • . . . • . . • • . . . pi ( ) . . . . . . . . . . . . matrica

(k) . . . . .. .. ..

w. ...,rx ...

I I ili det . . . . . . . . detenninan ta f (X) .. ......•.. f od X

3

Znak

Clta se

6. Granične vrijednOlti oo

. ·. . . . . . . . . . . beskonačno

(a, b) . . . . . . . . . . interval ab [a, b] . . . . . . . . . .segment ab(zatvoreni interval) -+ . . . . • . . .. . ... teži ka lim . . . . . . . . limes lim f (x) . . . . . . . .limes f od x kad x teži ka a ll+a 7. Difere11djalni i intep •Ini rač1m /lx. . . . . . . . . . .. delta x M(x) . . . . . . . . . . Jielta f od x f' (X , f>' X), . . . . . f . od X, f sekund .1., n) {x ...... o x, f n-ti od x dy . . . . . . . . . . . dy, diferencijal od y df (x) ....... . .. diferencijal (od x 0 2 ~ , đ y ,... , d y dy po dx, d dva y po dx na dx dx2 dx" .. kvadrat, dn·ti y pp dx na n

f . . . . . . . . . . . . . . integral

ff (x) dx ... ..... integral f od x dx } f(x) dx _ .... . ... integral f od x dx od a do b a

F(x) • . . . .. ... _ . F od x u granicama a i b b

4

Cita se

Znak

8. Simboli teorije skupova A = a 1 , a2 , ... , a0 } skup A ie skup elemenata

= aktk = 1,2,... }

a2 , 32 ,..., a0 (ak) . . . . . . . . . . . opšti član skupa V' x . . . . . . . . . . . . . za svako x I . . . . . . . . _ . _ .. postoj i E . . . . . . . . . . . . . element iz fl. .. .... . . . . . . nije element iz :> . . . . . . . . . . . . . .

slijedi

* . . . . . , . . . . . . .eKvivalentno nazivnik Mje oviti razlomak: zbir cijelog broja J pravog razlomka (znak+ se izostavNpr. 2-j= 2

+f

~j

2 _ 2 ·S_ JO

3-3.s-rr 15 15 : 3 s 36 = 36: 3 =12

18

>2 S

7

> J..

Veti je ODlj razlo11mk čtjl

s

Nađe •

4 o je n1z;ly11it ~ c) Razlomci ndičitih brojnib i nuivr•lb

2 S

3 7

lja).

· razlomlb Vrijednost razlomka se ne mijenJ ako se i brojnik i nazivnik pomnože ili podijele proizvoljnim, istim bro . jern ; O.

Poredenje raz.lomaka a) Razlomci istih nazivnika 3 5

b) JarJomd istih brojnika

Veći je onaj railomak čiji je brojnik veći.

„

2·1

T."f' •

l35i

NZS n1zj•nik1,

razl · te proMn tako da im n•zivnid budu Isti i ond1 ae primijeni praa). N2S (S,7) • 3S

„

d brojnik• U

b:i= proižvod D AI U n•ri•••ik. ,..,.

f ___.- Glavna razlomačka crta

Nl.S (3,4) • 12

8

= 2,8 - vanjski članovi S,7 - unutrašnji članovi

-

2·8 = . ~ .•,

BROJEVI Decimalni br~evt su razlon1ci sa nazivnikom 1O, 100, 1000 itd. Npr. 0,2

• . • 1,....

=yft-;

10,35 = 10

S

o.ow.

11i: 2cl:-f ' •i

1. Decimalni broj se ne mi~nja ako mu 11 desne

•

strane dopilemo p~oizvoljan broj nula. Npr . 9,2 c: 9.20 = 9,200 = itd. 21·

2. Dedn1••nt broj 1e ne mijenja ako odbait•*O nule · • m•11 e clano na J9Dlo'IOID biju. Npr. o. 00. 0,025. • NUlie kaje• ne mWlze na ~u ne 11ri1JU • odbam1d: oms.,. o,25.

3.

Ded11111n1

broj

1e

potKI"- 10, 100, 1000 itd.

puta ako mu • u•ez

tri itd. ••ljel'• ...... 4.

· za

. l 00 . o

, đ~

s == 36,S

· btoj le sni•Djuje 10, 100, 1000 itd. puta ako mu • zaaez p1emjulU r.a jodoo, dw, tri itd. mje1ta Npr. 12,8 : 10 • 1,28.

I

..... ,

1,*10

2,380 O,oll 3fi)l

+

brojeta Vrli se lato kao i kod cijelih brojeva vodeći raču­ na da proizvod mora imati broj mjesta iza đeci· malnog 1.1.reza jednak zbiru mjesta kod faktora.

Prije upisivanja decimalnog zareza ne 1•niu se odbacivati nule sa desnog kraja (ako se pojave). Npr.

0,04 · l ,125 ; 4 · 1125 = 4500. Broj mjesta u proizvodu mora biti 2 + 3 =S pa je 0,04 · 1,125 = = 0.04500 = 0,045 Djelitelju se premjetti decimalni zarez uđemo 1.1. onoliko mjesta koliko je pouebno da postane cio broj. Za isto toliko ntjesta zirez se pomjeri udes· no dijeijenilru i dijeljenje· obavi bo kod cijelih brojeva vodeći računa o decimalnom zarezu kod količnika. Npr. 0,144 : 0,6 - l ,44 : 6 = 0,24 ,24

RACUNSIE OPERAOJE SA NUI.011 Sabh•nje

S+O=-S

f+ O=t;

1,2S +O= 1,2S

23

Qduzi1111nje

8- o - 8 ; 3{- o= 3f;

ALGEBRA 0,3S-0•0,3S

Mnot.enje 4 ·O= O;

2-t.o=o;

3,63. o c; o

l)ijeljenje

a) O : 3 =-O ; O : 2,17 •O;

o: 1f-o

b) Opencija dijeljenja • nulom ne111a ultrMtlč· kOB 1111ia11 tj. 3 : Onepostoji. U llu~ da djelitelj nije nula nego • neograničeno prib~va

nuli količnik teti u be•onačno.t. c) O : Oje neodređeno, jer za bilo koji broj x \'Ili X • o m o. Ako dtjeljenik j djelitelj DWJ nule nego ae ne01f1ničeno pribli!aYllju n1ali onda je, metodom graniCnih vdjednOlti, moa• 0 •a količnik.

.li.I.

spa• a

+l u a> O 1 aa-;1_.) • (--4) + (-3) 25

agi adom staji znak + zagrada broj ~taje 11 onim predmakon1

Ako pred ~vlja

(-4 - (- 3) = +S -(-2)=

4-3 :: - 1 5+2 = 7 (-3)-(-4)*(-4)-(- 3) ne važi zakonkO

X

'-'X2

-

ER

Xl

=

Xi

-

ER

x 1 , x2

-

.AA t----~--&~_:;..~------A~

li:

o

110,

=O c=O

u2=0

Rješenja su: 1 ,2

=

-b +

Rješenja

b - 4ac

-..;:;___-&-~a ·-..;..;::;.;;

tj.

Nor11•1 •ni ~ kwdratne jednef1nl ax2 + bx + c =O/ : a x2 + b x + c =O '

Označimo:

No111~t11ni

b+ -- - 23 48

b - 4ac a

b -=p

a

'

I

c -=q

a

.?J

( xi + px + q = oblile je: Rješenja su: X1,2 = +

8

'

-1-

Cf-q 49

Binon1ne jednači•K Opiti oblik:

Yie1-ota pnvila + X2 = -p X1 ' ~ ::= q. - gdje su: x 1 i "2 rjelenja. a p i q koeficijenti kvadratne jednačlne u normalnom oblilcu. X.1

-

-

R11tatljanje ktadratnog trlaotn1 aa faktore Kvadratni trinom se može .predstaviti ~u o~liku: +b~: c =..i (X- X1) (X-Xi)]

E2

gdje su: x 1 i~ rjelenja kvadratne jednačine ax2 + bx + c~o

JEDNACJNE VIŠEG RBl>A Blmdlatne jectneei11e

(1)

Rjelenja: Smjenom x 2 = y ( 1) se svodi na opitu kvadratnu jednačinu a~l + +c =O (2)

50

Dijeljenjem sa a i s111jenom dobivamo: xn ± 1 =O (xn ± }n::: O)

::r

+~ .

-:ti= x

0

Prema pravilhna o rastavljanju na faktore rastavimo gornju relaciju i izjednačavanjem. pojedinih faktora sa nulom dobivamo n rješenja (realnih i kompleksnih).

Trino jedn1eiuc Opšti oblik: 2 n +~bio e" =OJ ( l) Smjenom xn = y dobivamo kvadratnu jednačinu ayl + by + c =O (2)

fli

~4 + bx~~+ c =O]

Rješenja su: 1 = + Ya , x3 gdje iu y 1 i y 2 IJe n1a Je na me

Wn±a=O)

+

Rješavanjem jednačine (2) i vraćanjem smjene xn c y dobivamo 2n rješenja (realnih i kom-

pleksnih).

•

st

RAZMJERE PROPORCIJE a :b

=

•

a. d - vanjski članovi , b, c - unutrdnji član .

c:d

ad = bc Svaki unu tralnji (vanjski) član razmjere jednak je proizvodu vanjs19h (unutrašnjih) članova podijeljenim sa preostalim unutrašnjim (vanjskim) čla­ nom. c _ ad b ad d bc • c a

=

:a=lf

-,,-

Ako je a·b=c·d=„·f= =m·n= =q tada~ e: c = ( q, e= q, a= bc, , m =nqJ (a± c ± e ± ... ± m ± ...) =y (b±d±f± ... ±n±... ) Dobiftnje jedne nzmjere iz dna• dvije a:b =c :d ae : bf = cg : dh a o e:f = g:h

=

•

V

•

•••

!

•

• ••

-e=r : :. ~=t g

Prolirene raz•oje:re

POSTOTNI (PROCa:..1

Ako je a : b = c : d onda važe relacije:

G - Osnovna svota (glavnica) p(%) - Postotak (procenat) I - Procentni (postotni) iznos

b:a=d :c a-n : b·n=c:d

a.].=c ·d n·n ·

(n*O)

'a±b' : ctd' =a: c=b: d (a+ b) : (a- b) = (c + d): .(c-d) ·(ma + nb) : (me + nđ) = (ina- 11b) : (mc- nd) .ma ± nb) : 1.mc ± nd. = J>a ± ql,t: 1pc ±qd,1· 1

Sl

I

-

~ 100

100 I G= p

p

=

100 I G

RACUN

nepoznato I

nepoznato G nepoznato p

53

KAMA'INI RACUN

G

- Osnovna svota (glavnica) p (%) - Postotak (procenat) k - Kamate Za godine (v) Za dane (d) - G·p·V k - 100

k

G= - -

P·V

lOOk p = G. V 100 k

= G·

~I.

ru

= 36000

C0 = C·e/Jk

d = 36000 k nepoznato G. V d račun

a = S4

·&,>" ,

c. q" (q-

1)

1+

& =q

- anuitet

=2,7 1828 ....

nepoznato k

C - Osnovna vrijednost Cn - Konačna vrijednost n - Vajemeugodinama a - Anuitet

Cn = C( 1+

e

NIZOVI I REDOVI

36000k G = nepoznato P·d 36000k p = G.d nepoznato p

100 k

V

G·p-d

Neprekidno ukamaćivanje

kamatni faktor

Aritmetički

niz je niz brojeva a 1 , a2 , a3 , .•. , a 0

sa osobinom a2

-

a1

=a3 -

••••

a2 = ... = an - 3n-i =d

gdje je d - diferencija niza .

Niz se može predstaviti u obliku: 1 • a 1 +d, a 1 +2 d, ... , a 1 +(n- 1) d. ... : •

n- ti

član

niza je: a 0 = a 1 + (n- 1) d

Zbir prvih n č lanova niza je: Sn =(a I + an ) .!! -- ~ + an+ I 2 2 Ako članove niza spojimo znakom plus, dobivamo aritmetički red a i + ~ + a3 + ... + an + ... = l; ai 55

Georoetrij!ki niz

b)

Geometrijski niz je niz brojeva a 1 , a1 , a3 , •.. ,a., ... sa OIObinOm

82 13 - = a,

.a

a •••

al

::: ..::.L =...

sa

q

an- t

gdje je: I

Dekadski logaritmi su logaritmi za bazu l O. Označavaju se sa log x (bez označavanja baze). Prirodni logaritmi su logaritmi za bazu e (e = 2,71828 ....). Označavaju se sa 1n x.

59

=

Veza iz••du cltkal*ih i prirocl••lh Jopritama loga = ln a · log e, log e =0,434294 ...

~

8

1

:=

0,434294 ....

gdje su: v1 , v2 • itd. proste vjerovatnoće

p. . i•m:ter: log

3a2 b3

2'Vć'f

Tohlna 'fjerofttnofa (li - IH) p I + Pi + ... + p ll v=v 1 +vi+ ... +v8 = m

=log 3 + 2 · log a + 3 · log b -

2 -loge - log 2 3 • log (a± b) :#:loga± log b

Slok••• Yjero•atnoća (1 - 1)

gdje su: v1 , v2 , itd. proste

vjerovatnoće događaja.

RACUN VJEROVATNOCE

KOMBINATORIKA

Prolta, m11em1tička vjerovatnOO. v = -2... p - broj povoljnih slučajeva

Per11•tacte - Broj pennutacija

m

m - broj mogućih. slučajeva

v'= 1- v 60

da se

događaj n~

a) Bez ponavljanja P(n)

=n!

b) Sa ponavljanjem n elemenata od kojih je a; b; ... jednakih:

Suprotna ljetofatn9Q

Vjerovatnoća

događaja.

desiti.

p ab..•

n!

(n) =a! b! ...

61

- Broj kon1binaeija

a) Bez ponavljanja. klue r od n elemenata

GEOMETRIJA PLANIMETRIJA

~(n)•{:) pOlupr&~

b) Sa ponavl~em

dui

K; (n) "n-,_r+1)

• ugla O

- Broj varijacija

a) Bez ponavljanja, klate V, (n)

1

I

od n elemenata

(:}r I=~ (n) · P(r)

b) Sa ponavljanjem V!r (n)=n'

- tjeme u

o

A

OA iOB - uael uila „ Qblljeiava • ~< AOB li

< am a.

Miera ugla „e dio un kJ1JR ko·1 · otre pređe krak OA da bi ae . klo 10 11 OB. ...... 06~ au sm~m

-

~

.suprotnom smjeru laeta-

62

63

nja kazaljke na uzima se za mgeru lae ·a kazal"ke na satu

vno atimo . .

Mjerenje uglow

Uglovi a i + =90° Uglovi a i (3 su suplementni ako je: 0

p+~= 18~ ] o

či ·i

·e luk jednak kraku

Jedan krak za'edničk.i -~\JK.l· m edno · :;;: ra.,.v;::;aa.. eme za dničto

~u

1 [rad]= ~„ [stepeni) iooS'7° 17' 4S" 1o= "" [rad] . 180

iliiilillll.......-.-----

< 900( ~ Ugao > 90°( ~

Ugao

)

je oštar

)

je tup

Ugao = 90°(-f) 64

f3 c b)

o

Q

-

•

A

uglOYi

a+ f3 = 180° u oredni lovi su suplementni.

-

-

1jeme za e č o, baci jednog u prođutenju kraka drugog lJ8}a.

je pravi 6S

Uglovi na

dviju p1atih

a)

{ji «1 "Y1 ~

a.

b I) 69

4. Sw trl 1t11ni~ propordon••oe •1 : b t : c1 ••a : b2 : ct

OBIM I POVRSINA TROUGLA RazRG1b1nlean ttGupo

O=a+b+c a·h. b·hb = c·hc

c

P= 2 = 2

(1)

(2) (3)

p

ne

),

ltrulica (centar opisa-

I (mtocenw),

B

abc

Heronov obrazac p =v'l(a- a) (1- b) (s-c} O a+b+c adje je S =2• 2 r _

R _.

poluprečnik up~no

.lupročnik op111ne ....oe

~

Jedukoknki troupo

c

tefilnih linija (linija koje li-Jaju ft1t • •edltem suprotne stnnice) -

O=a+2b

ta•••te.

b

Kocl jednak-oetranićmh tmlglo'a ive čethl tai!b ,_..u u

C

p =T. s= 4R

pnljecllte •'•••bile uato+a (centar upjlane bul••tce), viaina, njihovih produf,e

(•)

ai11tttt1l1

A

2

I·

pa 2

JM•u.

A

I

h l

=2 I

8

?1

JedmkOltrmič-10

c

O= 3a p =a· h =a2 .'13

• •

A

troupo

2

•

B

h

=

B

a

Pravo1tponik

4

al -

8

4

=a . ../3 2

O=a+b+c a·b

•

OBIM I POVRSINA OSTAIJH RAVNIH SUKA O= 2 (a+ b) P= a· b d = .J,....a"'2r"-+-b-2·

b

a Kwdnt

0=4a P= a2

P=-2

d=aVi

~

Romb c1

= al +hl

a =

.jc2 - b'1

b =

J~i

- a2

c == Ja +b2 2

Kvadrat nad hipotenuzom ,t.dnak je "bina kvadrata nad k1tetama.

72

•

a

Romboid

h

a

O= 2 (a+ b') P = a · h = ab · sina

73

T1111ez

Cetvoroupo oko kojeg te

aIc

c

O=a+b+c+d

.h

m-•+c

- 2

a

0=2(a+b) _d · D P

- ž"

Tmpezoid (proizvoljan četveroupo)

c b

d1

d

a

c •

b

d

O=a+b+c+d p =d 1 d1 sin Q'. 2

ps~(hl +hl)

opati

O=a+b+c+d

P=h · m

m

d

11t0k

c

d

b

P •v'(s-a)(a-b)(a-c)(s-d)

_.Q._ a+b+c+d 9 -22

a

Mn ovi Broj dijagonala mnogouata: :.._~:..::

Zbir unutrašnjih uglova:

n-2) · 1800

KRU2 NICA. KRUG

D

s

Kružnica je geometrijsko mjesto tačaka u ravni koje su podjednako udaljene od je~e stalne tačke (are· dišta, centra kružnice).

a

D =2r 75

74

Uglovi u kruf.nici 1. Obodni uglovi nad

ist1111

lukom su jednaki (a) i iznose polovinu središnjeg ugla (~)nad istim lukom . 2. Obodni uglovi nad nikom su pravi.

preč-

P- 360 KJU!ni odsječak

o Za sekantu:

A

180 + 2r

_ ,2wa 0 = .

R

Sekanta i tanaenta

-

O=

r 1f' ao

OA · OB = OC · OD

o=

a0

.

ex

+ 2r. SU1T 1 0

2 r2 w~ 0 r P= ~ -,.-sin a 60 j,

Za tangentu: ......._~

T

OA · OB

= (OT)2

Krut.ni pnten O= 21f (R + r)

Obim i povrlina

p = (R2 - r2) 1r

O =2

= 2r11" = D 1r p =rl 7r =02,,.

=(R + r) (R-

= r)'7r

4

77 76

Dio bat.nom p11te1a

STEREOMETRIJA

O= 21 +ii+2 (R- r)

P=m ·d

2r

mo

i volu n)Claa

Izraeunavanje

ndu

= •2 2

a

P, c

c

l'ao

b

'

ii +ii m= · 2 'd = R- r

c

P1 P2

c

a

a

P2 b

P1

c

p3

a P = 2P1+2Pi + 2P, = 2ab + 2bc + 2 c = = 2(ab + ac + bc)

V=a·b · c c

b

a Dijagonala kvadra

d=

Ja

2

2

1

+b +c

78 79

Kocka

Zarubljena piramida P

. -.a

a

, /

/

a Prizma

~d

-

= 6a

2

V= a 3

•

d =av'3

a

P = 2B +O h

Valjak P =2r 1r(r + h)

V =B·h

B - površina baze O - površina omotač a

h. - r

V= r 2 Ih

Piranlida

Suplji valjak

P == B+O y

80

=B · 11 3

R ---......

~ I Ll:_.._,

1 1 = 2w(R r )+211h (Rfl) „ V = ft'(R2 - r 2 ) h = = W h (R + r) (R- r)

P h

81

Kupa

P

=rl'(r + 1)

V=.._r2_w_h 3

S••pfja lopta

"'

p = 41" (Ri + r2) = 1r (D2 + d2)

V

=-;t (R' -

r3)

=f

(D'-d3)

)

•

2

pa tr [R + r2 + (R + r)a)

•

h

V=

p = tr(2Rh + r 1 ) Povrtina kape: P' = 2 I' Rh

(R1 +r2 +Rr)

r2 =h(2R-h) r

X:nal1•• ilieč*

P•4r2 w 4r3tr

V= 3

81 •

r

h

p = trR (2h + r) 2

V=1-•R h

83

PRAY.1LN1 POLIEDRI Pravilni polledri tu tijela čije IU sve atrane pravil·

K11alin poj• (lloJ) r1 h ~"'""'1~

....._.......

ni mJ!CIOUgloYi i u čijem 1e n•kom vrhu llltaje lltl broj ltrana.

p = 1f (~ + ~ )+ 2 •Rh

-

R

V =-f1(3~ + 3r~ + h

2

)

POLIEDAR

I II lo

Tetnedar

Bekaaeclu ktaeđar

lko111d11

•

3 ~

4

4

6

1,73 a2 O,l2 ~

4 3

6

I

12

a

6

12 3,46 a2 o,4'7

•

3 4

•

' ' ,_o 12

6a'J

a3

I

30 I 1,66"' 2.111

85

TRIGONO A

ET IJA T. . . .

l.a upo «je: - n11pr•mn1 kateta

a b - nalesla kateta b I

I

1

C

- hipoten1171 c Za upo6je: - "'lpilJDDI kateta b

nmnabteta

~

- nalesla kateta • - hi

"od

a

~ prat0uglog trougla hb•Jg1n1onol'll'-1•-aetrtjlb funtdje:

ten•aza c

&sfiitilu

•

~ Trigonometrijaki krug je m~ krug čiji je poluprečnik Q jednak jedinici.

· bte1a tem1n 86


O, dok kod obila.skfh smjeru kretanja kazaljke nasatujeP

1

T iCsa,71>

tigao koji p zaklapa tXOIOm.

li

A, B, C konst. :;: O

• -

Polarni oblik p

T(r; 1)

cos (a - f)

P - visina iz pola na pravu a - ugao koji p zakla„ pasaOxosom o r, f - tekuće P91arne koordinate SPECIJALNI PRAva PraYIC kroz illtodiite

xcol/j+ y~ - p =O P - Tisina na pravu iz isbodilta

fJ -

.

=

r=

hmc laoz cbte tačke c

.

.

T (x1 , y 1 )

y-y l

..

Ax+By+C=O;

k=tga Tačka

.

y=kx

X

y

o

ili

X

:

o

Ax+By=O

118

119

Sin>etJ ale lmdranta y

1Jm

UGAO IZMEĐU DVIJE PRAVE

y = x ili y - x = O

a) U eksplidtnom obliku

X

Prave y =k. 1 .x + ~l i y ugao a gd1e 1e:

II i IV y =

- X

ili

X

+y = 0

Pravac panleJan X osi y = ~

k2 - kl tgQ =1+kt k2

y

ili By+C=O

X

(za ' Q'.1 )

b) U implicitnom obliku

Prave

o x = aru Ax+C = O

=k2 x + 22 zatvaraju

ll = I

A 1 x + B1 y + C1 = O i A2 x+B 2 y+ C2 = O

zatvaraju ugao a, gdje je: o Jed•••čina X Jed1•1čin1

•

me: y = 0

y Oie: X • 0

120 r21

b) Za p1Pe u lnaptidtuom obali: Ualov panlelnoeti chaju pnmh a) U ektplicitnom obl•u

Prave y_= k 1 x + 21 i y = k1 x + 22 su paralelne ako 1e: -

-

k1 = ~

•

a 1 =~ ± 180°

--

T TACKB OD PRAVCA a) U lna. . .tnom obllm Tačka .T(x 1 3 1 )od prave Ax + By + C =O

b) U implicitnom obliku

(d>O)

Prave A 1 x + B1 y + C 1 =O i Aix+B2y+C2=0 su paralelne ako je:

b) U noa 111al11om obliku d = ± (x 1 coslJ + y t

sinJ3 -

p

(d > O)

Prave su nor111alne ako zatvaraju ugao od 90°

JEDNACINA SIMETRALA UGLA Ugao čine prave y = k1x + 21 i y = kix +~koje se sijeku u tačld T (Xo, y 0). Jednačina jedne si-

(tangens ugla beskonačan) . Slijedi uslov:

metrale ·e:

Uslov 00111•.anosti dvaju pravih

a) Za pnve u eksplicitnom obliku 1

ka= - k2 122

y - y 0 = k(x- Xo) a druge: Y-Y0 •

•

1

=- T

(x - Xo)

g e 1e: Ql +a;a k = tg 2 , ki = tSCX1 , k2 = tg02 123

Jedn•čina

si11+ctrale d11fi Duž AB A(xs, Y1), B(x2, Y2) led.načina simetnle je: Y - Yo = k(x- Xo)

x = X1 + xa 0

2

2

Y

k=_

2

X2 - X1

Y

Y2 - Yt

+ Y2

x, y r -

koordinate

poluprečnik

Opita jednačim kr••tnice 2

2

(x-c) + (y- d) = r Središte kruga u M (c, d).

124

o

2

tački

·

y

y tač.ki

M(-r,O)

o

O)

Jednačim X

tački

= - 2rx - x 2

M (-r,

=r2

tekuće

x

Središte kruga u

KR.U2NICA. JEDNACINE KRU2NICE y SautHr• jw1•ačina bulllice xl

-

red.ište kruga u M (r, O)

gdje je:

Yo = Y1 + Ya, ' 2

= 2rx

1

krumlce kroz tri

tačke

Jednačina kružnice kroz tačke T 1 (x1 , y 1) „ T2(x2, Y2), T1 (xa , Y1) dataje deter1ni·

nantom:

x2 + y2

X

y

1

x2+ Y2

Xt

YI

l

1

1

. 2+

l

l

~2 3

=o

Y2

+y2

3

xa

y, 1 125

kl.11hlice

Pol11111 2

2

-

g;'f

-

0

cos (f - f ) +

~=:.!8"1e

2

o

truf.nice

-

=r

Pravac Ax + By + C = O i kružnica (x- p)l + (y- q)l = r2

l'(y;'f)

· 'f koordinate centra 9 o' o r

Polof..aj pnve prema kruau

2

poluprečnik

o

,

I Rj Ax+By+C=O (x- p)2 +. (y- q)2 = r2

X

o

Pan11-et-*a 1"1•1ačin1 kJufJ•lce

y

po x i y dobivamo x 1 , y 1 , x 2 , y 2

x == r cost + c y = r sint + d o Poloblj tačke p1e•••• ktugu Udaljenost tačke T(xo , y o ) od centra (x-p)2 1+ (y- q)2 c rl je:

Jcx

d= - p)2 0 Ako je: d > r tačka đ =r tačka d < r tačka

126

+ (y 0 - q)i van kruga na kružnici u krugu

Ako je: X1

= X2, Y1 = Y2. prava tangira kružnicu

X

kru!nice

Y1 *Y2, (x1,Y1,X2,Y2)ER prava siječe kružnicu, xi #:x2,

(x1, x2, Y1, Y2) EC (kompleksni) prava leži van kružnice. D Odredi ae udaljenost ce11tn krumice od pravca (udaljenoet tačke od piatca) Ako je: d = r - prava tangira krumicu d > r - prava izvan kruga

d < r - prava siječe kružnicu

127

JEDNACINA NOR)f.ALE UDATOJ TACKI T(x1, Y1) KRU2NJCE

USLOV DA PRAVAC y = kx + 2 TANGIRA KRUtNICU

a) Centralni•

R2

(x2

+ yl = rl)

a) Na centralnu kružnicu (x2 + y1 =

rl)

b) Na opštu kružnicu (x- p)2 + (y-q)l

=r2

=r 2

(1 + k2) 2 1 b) Opštu (x- p) + (y-q) = r2 -

(- kp + q - 2)2 = r 2 (1 +k2)

Y- Y1-= Yl Xt -

-

Koordinate tačke dodira tangente i kružnice su rješenja sistema jednačina: a) Za središnju b) Za opštu kružnicu y=kx+ 2. y=k..x+2

x2 + yl = rl

(x- p)l + (y- q)l =

r2

JEDNACINA TANGENTE U DATOJ TACKI T(x 1 , y 1) KRU2NICE a) Na centralnu kružnicu (x

2

2

+y = r

2

JEDNACINE TANGENTI NA KltU2NICU IZ DATE TACKE (POLA) P (Xo, y 0 ) VAN

KRU2NICE

a) Na centralnu kružnicu (x2 + y 2

= rl)

I Način - Pomobi uslova dodira

RJešenjem sistema

jednačina

Yo = k.xo + 2

)

+ Y1Y = ~ b) Na opštu kružnicu 1„x- p)l + (y-q)l = r2 ( {x1 - P} (x- i>) + (y 1- q) (y- q) = ri ~1 X1X

dL

128

q_ (x- x ) p l

~

= r2

(1 + k 2 )

129

po ki ~dobivamo k 1 , k2, 21, i 22. Jednačine tangenti su:

ll NKin - Pomobl polaR (Polara je prava koja prolazi kroz

po ki 2 dobiftJDO k1, k2, 21, i~. Jednačine

(y=k1 x+21 I y=k2 x+~ .

tačke

dodira

tangenti i kružnice). 2 2 2 Rješenjem sistema x + Y = r Oednačina polare)xXa + yy0 = r 1 po X i y dobivamo .Y Xt' X2, y 1 i Yi Jednačine tangenti su: _f.:::=::~~~~ ~x... . 2 o xx1 + YY1 = r 2 XX2 + YY2 r

-

=

2

2

b) Na opštu kružnicu (x- p) + (y-q) = r I N tin - Pomoou oslova dodira Rješenje sistema jednačina y o =kxo +.2 (- k2 + q- 2)l = [2 (1 + kll

2

c

Rješenjem sistema jednačina {x0 - p) (x- p)+(y0 - q)(y-q)=r2 - (polara)

(x-p)2 + (y - q)2 = r2 •

i

I

Po x i y dobivamo X1' X2, Yt i Y2 (koordinate dodirnih tačaka tangenti i kružnice su:

y

•

T1 (x1 !Y1) i T2(x2: Y2)).____. _ 0 Jednaaine ta11genti su: .

XX1+YY1=r · XX2

130

tangenti su:

+ YY2

~r

"""' ~t'f „ M(P.q)

~o~

" ,..f'4 ~

X

2 2

131

ELIPSA

Jed•a1čin1

elipse sa središtem u

tački

oeama paralelnim koordinatnim (x

Elipsa je geometrijsko mj~o ta~aka u ravni za ka. ;e je zbir uđaljeno~ti (r 1 i r 2) od dvije stalne tačke (žiže, fokusa F 1 i F i) stalan i jednak velikoj osi

2a.

r1

+ r2 = 2a

Omot• e

veličine

2

b (x- c) + a (y- d)

{x- c)2 + (y- d)2

=a

y

2 2

b

=1

bi c

V1l••1 (tje11we:n1) jed111či111 eliple eliple

2a - velika osa 2b - mala osa e = Ja2 - b2 - llneuni ekscentricitet

&=~ &< l) - numerički ekscentritet a

2b 2 2p - parametar elipse a Centtalna jedn•čina e b x2 + a2 y 2 = a2 b w

db2 -- l

2

2

al .

x2 l

2

I

M ( c, d) i a, y I b)

y 1 =2px - P x 2

a

čki

Središte u

M (a, O)

y

M(a;O) X

Pol•ma )ed11ačin1 elipae

a) Pol u desnoj žiži, polarna y

osa na velikoj osi X

p

1

= i+ & cosf 133

132

b) Pol u centru,

Polof.aj

polarna osa na velikoj osi

2 2

prema elipsi 2 2

2 2

U izrazu b x + a y - a b (1) zamijeniti tekuće koordinate x i y koordinatama tačke čiji se položaj prema elipsi tr ži T(x 1 , y 1 ) i koordinatama sredifta elipse M (c, d). Ako su vri· jednosti izraza (1) za obje tač e istog znaka, tačka

r2=--b_2__ 1- &2 cos1 'f y

x =a cost y = b sint

tačke

b

•o

leži unutar elipse. Ako su

ražličitog

t11čka

znaka

je van elipse. Ako za koordinate tačke T(x 1 , y 1 ) izraz (1) postane jednak nuli, tačlca leži na elipsi.

Polof.aj prwe prema elipsi Postupiti analogno kao kod Određivanja položaja

lne1m• ..... Velika osa na y osi Mala osa na x osi Fokusi na y osi

„

prave prema krugu (u sistemu jedna~ina umjesto

jednačine kružnice staviti jednačinu elipse).

Ualov da pnva tanglra elipsu 2 2

2 2

Prava y = k.x + 2 je tangenta elipse b x +a y

=a2 b2

134

=

ako vrijedi u&lov:

135

Jednačine

tangenti iz date blxl + a2y2 = a1b2

elip·

tačke

P(x0 , Yo) -van

I Način - Pomoću oslova dodira Rješenjen1 sistema jednačina

o Nor1ne11 (n)

X

Yo

= kxo

~2

= a2k2 + b2

po k i

Jedn 1

2

2

2

2

b) Na opitu eliplU b (x c) + a (y- df =a b T....-ta(t)

2

2 dobivamo k 1 , k2 •

čine

1

i ~

tangenti• su:

= kIX

i Y = k1 X + ~

+ ~l

II Način - Pomoću polate

Rješenjem sistema Jedna čine 2 2 2 2 b xo x + a y o y = a b Gednačina potare)

2

b (x- c) (x 1 - c) +

y

+

y

2 2

+a (y- d) (y 1 - d)=a b

b2x2

+

po x

1

.

M(c,d)

Nor•••al1 (n)

= 3 2b2

alyl

y dobivamo

X 1.X2, Y 1

i

Y2

o

136

137

+ 82Y1Y

= a2b2

bl "2 x + a2yl y

=a2b2

b2x1x

2a - realna osa 2b - im•ginama osa 2 2 e = ./a + b - linearni ekscentricitet

Povr11•••

= : (& > 1)- nu11ae1ički ekscentricitet

&

y

2p =

elipee

2b2

a

- parametar hiperbole

X

y

'

P=abw I

IBPERBOLA Definidja hqx:1bole Hiperbola je geometrij o ·esto tačaka u ravni • za koje je razlile• udaljenosti (r 1 i r2 ) od dvije stalne tačke (žiže, fokusa F 1 i F 2 ) stalna i imosi 2a.

r1

-

r2 = 2a

I

• I I t

b 2 (x-c)2 -a2 (y- d):a

=a2 b 2 '

(x- c)2

fv- d)2

----- - ~ a2 b1

_

-1 o

138 139

lstostJana hiperbola

b) Pol u središtu,

lstostrana hiperbola je hiperbola kod koje je a=b. x2 _ y2 = al x2 a2

na polarnoj osi rl =

_L;:; i

b2 2

Inwnna hiperbola

Tjemena jednačina hiperbole 2

y = 2px +i. x

2

X

a

Pol•ma jednačina hiperbole a) Pol u žiži F i , realna osa na polarnoj osi

1 + aEosr

y F

Ib2 - 92 xl -1 Pololaj

Središte u tački M(- a), O)

--

b

X

a

tačke prema hiperboli

Postupiti analogno kao kod

određivanja

polobja

tačke

prema elipsi. (Izraz (t) ima oblik b2x2 - a2y2 - a2b2) X

Polobj prave prema hiperboli Postupiti analogno kao kod određivanja položaja prave prema krugu. (U sistemu jeđnačina umjesto jednačine

140

2

& cos f - 1

a2

r=

realna osa

kružnice staviti

jednačinu

hiperbole).

141

lllimptota

•

>

y

y

Asi111ptote hiperbole -

al

..2

a2

b2

_ _ .L

IU

=1

-

-

-

.

Nonmla(•)

prate: Jed111čtne tan11-nti Iz date tačke P (x0 , Y0) '''' hiperbole b2x2 - a2y2 • a2b2

I Način - Po oću Ullota dodira . Rjelenjem sistem.a jednačina

Yo =kxo +2

i2

= a2k2 - b2

po ki 2 dobivamo k 1 , k 2 , 21 i~ Jednačine

nnpntl

:

~

Vdna ( Rješenjem sistema jednačina

yi . 2px

blxox- alyoy = alb2 Oednačina polare) b2x2 _ alyl =

a2 bl y

po t i y dobivamo X 1 , Xl •

Jeclme„

= al bl

l

Tl(x l :yl)

X2 X- l2Y1Y

va x •-~,za p o

2

D

F

ll

pre1111 - x osi,

diJektxl• prava

JMn1e1nt taqeati 111 :

b

za P > O panbola onoren1 pre111• +x osi, direktrila prabola onoren1

y I i y2

blX1X- 8lY 1Y

,

X •

! • X oll

a t.&l S (c, ci) y

PARABOLA Parabola je geometrijsko mjesto tač aka u ravni za koje je ~daljeno1t od jedne stalne tačke (tiu, fokusa F) Jednaka udaljenosti od jednog staln

pravca ( direktrue ). 144

(y-4)2

=lp (x-c)

s d

--r---X

c

145

PGlollltl&e

Pnl1r ••• Jedn1člna p••abole

~•

I

Taeb Ti (x 1 , y 1 ), J>.IJ'bola y

a) Pol u ti!i, polarna osa okrenuta suprotno od ote Ox

---

y~

b) Rol na tjemenu, po1•ma o• 1e poklapa sa otom o

> 2px1 -

y~ • 2px 1 y~

PJrabole

I

-

< 2px 1 -

2

•

2 px

tačb izvan penbole tačka na puJboli tačka unutar parabole

Postupiti anal~o kao kod određivanja polot.aja prave prema trup. (U liltemu jedna~ina ~sto jednaćine staviti jednačinu pa.rabole).

2

r • 2trto1f (l +ctg T) laves 11•1 p111bola X~= 2py

lJlloy da· ,.... .........

-

Za p > O otvorena ka gore (+ Y ou).

P>o X

Za p < Ootvorena ki dole (- y osa).

14'

Prava y = kx + 2 jo tangenta ~abole ako vrijedi Ullov:

2 y

=2 px

p•2k2 '

147

i normale u datoj

„čkl

D

y

N~in

-

pomoću

polue

Rjelenjem mtema jednačina: •

Y0 Y = p(x0 +x) y 1 = 2px

y

X

No1111••• (n) _

Y-Y1 - -

X1( ) X- Xi

Jeclnečlm

t•nie••ti h: perabole y2 = 2 px Način

I

-

Pomoću

da~ tačke P(x0

oslova dodin

Rjelenjem sistema

jed.načina

y o =kxo +2

p = 21& po k i 2 dobivamo k 1 , k 2 , 21 i ~ Jed••ačine tangenti su: Y =k;x + 21 i y = k 2 x + g'.2 )

1.

148

Y1Y ::: P (x + Xi) . Y2Y = P (x + X1)

p

,

y 0 ) van

Po.18111 I

4 3

=.

..,•enta parabole

Xi

Y1

KONUSNI PRF.Sma Ako kupu presječemo ravninom koja ne prolazi vrhom kupe, u presjeku se dobiju alijedeće laive: 149

- lcru!nica, ako je ravan paralelna osnovi kupe, a siječe sve izvodnice (J3 1 = O), - elipsa, ako ravan siječe sve izvodnice. a prikloni ugao ravni manti od priklonog ugla izvodnica~

a) Ovdje je a tzv. prikloni ugao izvodnice kupe, a /3 prikloni ugao ravni. I

I

omA JEDNACINA PRESJEKA KUPE

I

a) U pravougllm koordinatama

a-----

Ax + 2Bxy + Cy + 2Dx + 2Ey + F =O 2

(

2

Jednačim

predstavlja: 2 1 - krulnieu ako je: A=C, B '0, D +B - AF=O - elipsu a_ko je: AC - Bi> O

- hiperbolu ako je: AC - B:i l

chx E ( l , oo·)

X

1 l X

•

ltbxl < 1

174

·1

·I

INVERZNE FUNKt1JE HIPERBOUCNIM FUNKCIJAMA Za shx inverzna funkcija je y == Arshx (Aiea sinus hi rbolni od X • Arshx = in (x + x + 1) ( xE (- 00 , + oo ) ) Za shx inverma funkcija je y = Archx (Area kosinus hiperbolni x)

Archx =in {Je.+ Je - 1) Za thlt lnverma funkcija je y ns hi bolni X Arthx. = 2n + X 1- x

(x E (t.+ .oo ))

=Arthx (Area tan(lxl

< l)

17~

GRANICNE VRIJEDNOSTI FUNKCIJA

Za cthx lmerzna f11nkcija

J• y

• Arcthx (Are&

kont1npm hiperbolni x). Arcthx

;a

1 1n

2

X

+1

x- 1

(lxl>l)

Za funkciju y = f (x) se kaže da teži

x

gr~čnoj

vrijednosti A kad teži ka a ako ~ svaki niz "n iz obluti definlsanosti koji teti ka a, teži i niz vrijednosti y = f (Xo) ka konačnoj graničnoj vri· jednosti A.

lim f (x) =A X-+ a •

Funkcija f (x) je defmlsana u okolini ta~ke x = a, a u samoj tački mole(ali ne mora) biti defmisana. Zavisno od toga sa koje se strane, na brojnoj osi, približava x ka a, razlikujemo: - lijevu graničnu vrijednost

lim f (x)

ili

x-+a

lim f (x) x-+a - 0

xa 177

Ako postoje lijeva i desna granična vrije.~ost i ako su one jednake i konačne~ tada funkctJa f (x)

ima graničnu vrijednost u tački x = a. Ptad1 za batenje 111uičuih ••P4noed

lim ~f(x) = {Ylim f(x) x „a x i.o a llin f(x)

lim [ct(x)] = ~ r ~.

(cER)

Ako postoje granič.ne nijednosti funkcija f (x) i 8 ~) tada vrijedi:

lim [f(x) r+a

8 (x)]

t

=lim f (x) ± lim 8 (x) x-+e

x-+a

lim [flx) · g(x)] = lim f (x) · lim g (x) x-+a x.....,a x -+a

1hn [logbflx)] = lBt, [lim f(x)]

x -+a

x •a

PRIMJERI GRANICNIH

NOSTI

lim [c f (x)] = c lim f (x) (1iln c =c) x-+a X ~I X.-• lim f(x) 1 lim ~ = . _. (lim g(x) + O) x •a g(x) 8x -+a x--+a x 8

liJD [ f ( X) X •a 178

)

= (lim f (:X.) X

•a

f

lim

n -+oo

(l +~)b = elt n

n X - I

•

tt

----=na

nal

x- a

179

lim X

-+o

lim 11

a• - t

ti 00

(a> O)

X

1 za lal < 1 1 l I• I = 1 a•"' za 1+a ,/0 za 1·a I > 1

x8 Um • z ..... 00. lim

c: Ina

1

X

x""+o

!&ryt

=n

X

lim

t1•ix = n

x~ tgmx

m

1 • . 1 ... limarctg-= ·; limarctg-= - x-+o+ X 2 x -+o- x 2

= O (a> 1, n E N)

= O

•

•

lim anx = 1.

lim

z-+o

x-+o

X

•

1

'

n nx n =-

sinmx m 180

x--+o

tgx = 1; lim

D

a~oon!

1

lim

lim

x =•oo

amnx=n X

•

IU1X

=O

X

181

NEPREllllNOl'I' FUNk.aJA Da bi fUbkaija f (x) bila neprekidna u tački x

biti !adofo}jeni slijedeti uslon: a) P••nKcija mora biti Mfini••na u ot-Olhii

=a

lllOfljU

xaa

b) Furikcija mon im•ti X -+a tj, limf(X)

paničnu

tačke

Yrijednost kad

ll-+. c) Gnnična vrijednost funkcije kad Jt =t-a mora bi ti jednak• wijednolti funkdj8 U ti~ki X = I

llmf( )= t{a)

X-·

P••nkcija f (x)je neprekidna u inteivalu (1, b) ako je neprekidni u av•koj tačld inte1v•l1. Funkcija je neprekidna za Vrijednosti x ako je lim lly = O R(lje je: ~-.o

Ax pdrut ugumenta x, a ~y ptiiut ~unkdje koji CJdaO•ua dato1n prirastu ugu11JCnta tj. 6y = f (x+-6x) - f (x)

112

POJAM IZVODA FUNKCIJE Izvodom funkcije f (x) u tačld x =a naziva se konačna granična vrijednost u tačk:i a količnilca pri· raštaja funkcije i prirašt.a,ja argt1menta kad priral· taj argt•menta teži nuli (x· •a), tj. (a) c lim f (x) --f (a} x-+1 x - a

r

f, (a) - prvi jzyod funkcije u tački a. Izvod funlcclje f (x) u tački x Je:

f' (x) =lim ffx+&t) - f(x) =lbn {i=~ Ar+o b.x &: •o

f (x) - f(a):; tga,

x- a

" „8

x-a

f(a)

=ta~

Prvi izvod predstaYlja tangens ugla tangente na krivu u datoj tački.

I•.1 I JIAo+-- ,,,__

o

R

a

x

• 183

IZVODI ELEMENTARNIH FUNKCJA

'

Funkcija

Prvi izvod

y=c • y=x

y• = O

y=u+ y=x° y=ax y=ex y = ls.x

y = lnx

•

)

y. ctgx

y• ucsinx

'

y.-= 1 y" =a

.

I

yc

.'

y' = a"lna y' : e.A

I

I

•

y=smx

y' = 1 . 0,434294 . ... y'

=cosx

y = cosx

y' = - sinx

y=tgx

y'-

184

1 - coslx

y• ucctgx

• 1 Y -=-1 +x2

,, ,,

X

-

1

Y • l+x2

'

y, = 1

t

-

y • uctax '

Y' = ~·las_e

X

UCCOIJt

li

y• = nxD·l

;

y = logx

y'-- - sin2x

y•shx y•chx

-

y' „ dJ.x y' I: lhx

' '

y•thx

y' -=ti. 1 c-Ji2x

y • cthx

y'• -

I

' •

:

" '

y :: Anhx

,

y

1 sh~x 1

=v'l+x

185

IZVOD SLO!BNE FUNKCIJE 1 l

J

[)' = Arcb.x

y> = t.

X

ty

-1

i

(I X I > 1)

1

=Arthx

y' = _;2 (lxl < 1) 1 y' =

1Y = Arcth.x

1 2

1-x Ptsril1 o·ntlefenJu izvoda

(l X\ > 1)

Ako su f (x) i 8 (x) funkcije nez:aviano prornjenljl· W X i ako imaju :prve izvode r (X) i g' (X) onda vrijedi: I

(

I

f (x) ± g (x)] = f (x) ± g' (x)

[f(x) g (x) l' = ( (x) 1 (x) + f (x) g' (x) I

f (x) _ f' (x) g {x) -:-. f.ix}g~ (x) ( (x) ;/=O) (x) (g(x)f g

,

(cf(x)l = c f' (x) 186

Funkcija y

a

y (u) gdje je u = u (x) ima prvi izvod

pox y' (x) = y' (u)u' (x)

iz•-'• ....

.

F ...... s

~

·•

-

.a

lzwd 0

[f (x)]

y' = n [f(x)f·

1

f' (x)

IV= af(x)

y' =a' oi

IY = ef(x)

y' =ef(a) f' (x)

=

=r.f {xl (x)

1Y ln lr(x) I

y'

1Y =sin (f (x)]

y' = f' (x) cos (f (x)]

1Y =cos [f (x)]

y'

~ = tg

[f (x)]

=- f' (x) sin [f (x)]

y'=

r. {x} cos2 [f(x)] 187

y • ctg (f (x)]

, y = - sin2 (f (x)]

y-= shf (x)

y, :s chf (x) r· (x)

,

f' (x)

r· (x)

y = c:hf (x)

y' = shf (x)

y-= thf (x)

, • f' {xl Y ch2 f(x)

y = cthf (x)

y' • _ f' (x) sh2f ·x·

"

IZVODI VISEG REDA Izvodom drugog reda ftankclje f (x) (drugi izvod) naziva se izvod prvOB izvoda te funkcije, tj. y' ' (x) = [y' (x) ]' Izvodom n-tog reda (n EN) naziva se izvod izvoda (n-1 )-og reda te f11nkcije, tj. y l)

dx„ :

arc.Vnx + c = -uocosx + c

A.-6L„ l'UUJ.A

+ C :!}n l+X + J.

1-x

c

(lxl < 1) .

1 +X~

dx ch2 x

Jx~+l == Anhx + c = 2n (x+

.

dx

f shxdx

dx

+ c

. . dx x2..:0 1

= - Arcthx + c =tm ~;l + c

•

(lxl > 1)

OSNOVNA PRAVILA ZA INTEGRIRANJE Integral zbira i razlite ft1•*c4• J[f(x) ± g(x)) dx = ff (x) dx ± f g (x) dx

lntepal funkcije u kon1t1ntni111 t.ktorom dx 2

- sh 196

x

c

-cthx + c (x -:I= O)

f c f (x) dx =c f f (x) dx 197

INTEGRALI RACONALNIH FUNKCIJA

Jlci r, (x) :I: ~fi (x) i: .•. ± cnfn {x)J dx =

.i..=.:---..- {n

=c1 Jf1 (x) dx ± ei Jf2 (x) dx ± ... :1: c8 /f.(x) dx 2·

ID

/f (x) dx = ff [Y (u)) f' (u) du

3.

adje je U DOYI proiiQenljift

Jx

clln lu+ bi a

= {ax+b)a+2 (ax + b) dx 12 (n + l) n

Kt.. +b)n+ 1 ~(n+l)

(b ~ -1 . -2)

4.

f udv =uv -

ax +

„ - l)

dx ax+b

c.!-~ 1n lax +bi I

I

Jvdu

gdje su u I v f11nkcije nezavimo promjenljive x.

s. 6.

xd.x (ax+b)2 xdx (ax+b)1

a

1 b ... 1n f d +bi a2(ax + b) a2

_ ___ b_~_ ~ (n-1) (ax+b)n-1

=

1

- {n·2) (~+b )n-2 (n ""' 1~2) 198

199

7.

=

1

&'"

2

(ax+b)

2

· 2b(ax+b) +

dx

12.

1

+ b ln lax +bi xldx

8.

13

2

10.

x dx

(ax+b)n

+

l

ln lax+b I+ lb -

=-a3 . 2b

2

_ 2 b3

b

ax+b 2(ax+b)1·

1 + (n~3) (u+b)D·3

14.

dx x2+a1

b2

16. 11.

x(ax+b)

200

lnl ax+bl X

_ 1 t X - a are g a

1 a- x = 2a ln a+x (lxl a)

=

201

dx

17 ·

ax2 +hx+c =

xdx bx + 2c 20· (ax2 +brtc)8 = • (n·1)(4ac--b2 )(ax2 +bx+c)S1dx '\n..1(n~1) ( IX2 + b X + C,-

b(2n-3) [ (n-1) (41C-b2) 7

21

·

4 2

1 1n ax2 + bx 0,4ac-b1>0) 2

X

(a>0,4ac-b =O)

1 =-

(I xi >a)

'1=i

21

Jbi

· J1:x - 2.

•

2ax+b ( . ia) m y; X

dx :: Arcll X 7 1 . Jx2 - a2 a

axi+bx+c

.

,/u.'+b~+~

đx

Jax1+bx+c

•

-

INTEGRALI TRIGONOME'l'RJJSICIH FUNKCIJA

1. f sinaxdx = - l 2 . Jsinnaxd.x

8.

COllX

a

· n-1

=_ stn

dx = _ 1 . cosax + sinnax a(n-1) sinn·I ax dx ( > ) smn·2ax n 1

n·2 + n·l

ax · cosax +

na

(n> O)

dx

9·

_

1

1 ± sinax - a tg

( ax

1f' ) '

2 +4 , •

3.

Jx sinax dx ::: sin2ax - xcosax a

10.

a

4. /x0 sinaxdx = -~cosax + !!.fx8*1 cosaxdx a a S. 6.

linax X

dx

= _ (ax) 8X

sinax dx -_ -

i'

208

3

5

(n>O)

(ax) 3-3! +5.5! - +...

1 sin•x a + -~ n- 1 xn·l n- 1

cosax dx

f 1+:~ =! tg

xm+t(2nx)n x•(inx)ndx = · m + 1

7.

O vrijedi: -

l. f 2nxđx = x ~nx - I J 2_ f(.enx)2 dx =x (~nx)l - 2x2ruc + 2x

m11J"

(inxf!h = (2nxf+

8.

::x : :

4. 5.

dx

(2nx) (2nx)3 2n I~ I + 2nx t 2 . 2 ! + - 3 . 3 l + „. _- ·

n-1

6.

xm

IJl.

+

- - (m·l)x11 · 1

xm

dx

(n

(2nx)n-l

'* 1)

+

n m-1

- - (m-l)x• 1 1

{fnx>; dx (m ":/: l); (n 4'-1) X

m

+1( 2nx 1 2 (m :;it: - 1) xm 2n.xd.x = rr1 m+l - (m+ 1) a

11.

1 ad. (m?:l) (m·l)2 x 1

_ •

(2nx)". +

!2nxfdx _

m+l

dx X ·n 1 + (2nx)n- - (n-1) (2nx) X

)

m+l + n-1

216

2nx

(n- 1) (2nx)R-l

(2nx)n -

+· l

X

2nx dx _

9.

1

n+l

X

3". I (2nx)ndx = x (2nx)n - n /(2nx)n-ldx (n#:-1) 2

(m;n* - 1)

n ·'Xm(2nx)n-1 dx

xmdx . (2nx)n-t

(n ~ 1)

117

ll.

ll.

1::X = 2n 12MI /x

*

iax"' ln lfMI - ~t) 2nx +

- 1/

2

_. (n- 1} (iof _ 2. 2! 14.

2 2 1. farelin.!.d.x • x1rc1ln .!.+ v'a - x

r. 2. f xarcstn • dx.