138 5 12MB
Serbian Pages [128] Year 1981
SADR2AJ PREDGOVOR Zbirka f ormWa iz matematike namijenjena je najširem krugu čitalaca: osnovcima, srednjolkolcima, s uđentima, KV radnicima, tehničarima, in· felljertma, ekonomistima, ptofesorima i svim ostalim kOji hnimaju za matematiku.
U knjizi iu sabrane sve run.tje forr11Ule iz matefbtt e kqe su potrebne za itradu zadataka iz aritmetike, algebre, geometrije, analitičke geonaetiije i elemenata matematičke analite. Praktična
vrijednost ove zbirke je u tome što su fonnwe llot.ene pregledno i SV8ka se može brzo i lako naći iz sadtt.lja. Autori
Strana MATEMATICKI ZNACI I SIMBOLI 1 Znaci reda, poretka . . . . . . . . . . 1 Znaci jednakosti i nejednakosti ~ . . 1 Znaci osnovnih računskih operacija . 2 Geometrijski znaci . . . . . . . . . . . 2 Znaci u algebri i elementima analize . 3 Znaci graničnih vrijednosti . . . . . . 4 Znaci diferencijalnog i integralnog računa
. . . . . . . . . . . ••. . . . boli t ~on1e .. „t-. Sun u..upova . . . . . . . Poseban znak . . . . . . . . . . . . . ELEMENTI TEORIJE SKUPOVA . . PREGI .ED OSNOVNIH SKUPOVA
. . . .
BROJEVA . . . . . . . . . . . . . .. Skup svih prirodnih l>rojeva . . . . .. Skup svih cijelih brojeva . . . . . . .
4
s
s 6
7 7
8
Skup svih racionalnih brojeva . . . . . Sirup svih iracionalnih brojeva . . . . Sirup svih realnih brojeva . . . . . . . Skup svih kompleksnih brojeva . . . .
8 8 9 9
NAJVECI ZAJEDNIĆKI DJEUTEU . NAJMANJI ZAJEDNICKI SADRŽILAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
18 18 18
17
ARITMETIKA .... .
10
Brojna osa. Predstavljanje brojeva . . .
10 10 10 ll li 11
RA.Z:l.OMO . . . . . . . . . . . . . . . Proširivanje i skraćivanje razlomaka . .
SA RAZI OMCIMA . . . . . . . . . . . Sabiranje i oduzimanje razlornaka · ..
19 19
11 12
Množenje razlomaka . . . . . . . . . . Dijeljenje razlomak.a . . . . . . . . . .
20 20
OSNOVNE RACUNSKE Sabiranje . . . . . . . . Oduzimanje . . . . . . . Množenje . . . . . . . Dijeljenje ~ . . . . . . Stepenovanje . . . . . .
Korjenovanje
OPERACUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
Poređenje
razlomaka . . . . . . . . . .
OSNOVNE RACUNSKE OPERACIJE
•
REDOSUJED RADND. ZAGRADE . .
12
PROSTI I SLOtENI BROJEVI . . . . Tabela prostih brojeva od 1 do 1069. Uslovi djeljivosti brojeva . . . . . . . .
13 14 15
RASTAVUANJE NA PROSTE
FAKTORE . . . . . . . . . . . . . . .
16
DVOJNI (DVOSTRUKI) RAZl.OMO . BROJEVI
21
. . . . . . . .
21
Osobine decimalnih brojeva • • • • • Sabiranje i oduzimanje de · ·~--„ brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . Množenje decimalnih brojeva .. . . . Dijeljenje decimalnih brojeva . . . . .
21 22 23 23
RACUNSKE OPERACI Sabiranje. • • • • • • • • 'e • • • • • • • Od Množenje • • • • • • • • Dijeljenje • • • • • • • •
A L G E B R A . • NEGATIVNI BROJEVI Apsolutna vrijednost
•
•
SA NULOM •
• •
•
•
•
• • • • •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
24 24
•
• • • •
•
•
•
1S
• • •
•
•
• •
•
•
• •
•
•
• •
•
•
•
• •
•
• •
• • • • •
•
•
•
•
•
• • • • • • • • • •
• •
•
•
•
•
•
• • • • • • • •
RACUNSKE OPERACIJE SA OPS'l'IM B OJEVIMA • • • Oslobađanje zagrada • • • • • S biranje Množenje
•
• • •
RACUNSKE OPERACIJE SA NEGA BROJEVIMA Sabiranje • • • • • • • • • • • Oduzimanje • • • • • • • • • • Množenje Dijeljenje
•
oduzimanje
I
•
•
•
•
•
• • •
23 23 24
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
• • • •
•
•
•
•
•
• • • • • • •
25 25 25 25
26 26 26 26 26
27 27
Množenje više faktora • • • • Množenje algebarskih zbirova
Dijeljenje • • • • S'l'EPENOVANJE
•
• • •
•
•
•
•
•
27 l8
•
•
•
•
•
•
•
•
28
• • •
•
• • •
•
•
•
29
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
19
• • •
•
• •
•
•
• •
• •
29
•
• •
30
• • • •
Stepenovanje nulom
Predznak stepena
•
•
•
oduzimanje stepena Množenje stepena . • • • • • • • Dijeljenje stepena . • • • • • • • Stepen sa negativnim cijelim eksponentom •
Sabiranje
1
•
• •
•
•
• • •
•
•
• •
• •
Stepenovanje stepena .
• •
•
""
•
•
•
•
St·epenovanje binoma
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
• ••
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
Rastavljanje na faktore . • • • KORJENOVANJE • • • • • • Pretvaranje koljena u stepen. Korjen proizvoda Korjen količnik& Korjen stepena • Korjen korjena •
•
• •
•
• • • • •
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
• •
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
30 30
31 31 32 33 35 35 3S 35
•
36 36
Proizvod korjena istog radikanda Količnik korjena istog radikanda • Stepen korjena . . . . . . . . . .
•
•
•
36
•
•
•
36
•
•
•
36
KOMPLEKSNI BROJEVI . . . . • • • • Stepen imaginarne jedinice . . . . . . . Kompleksan broj . . . . . . . . . . . . K.onjugovano-kompleksni brojevi . . . . RačwWce operacije sa kompleksnim
37
37 37 37
br~evima
. . . . . . . . . . . . . . . Geometrijsko predstavljanje
38
kompleksnih brojeva . . . . . . . . . .
39
Trigonometrijski oblik kompleksnih • brojeva
. . . . . . . . . . . . . . . .
Računske
operacije sa kompleksnim brojevima u trigonometrijskom obli.ku . . . . . . . . . . . . . . . . .
JEDNA CINE llNEARNE JEDNACINE (PRVOG STEPENA) . . . . . . . . . . . . . .
•
40 41
42
Linearna jednačina sa jednom nepoznatom . . . . . . . . . . . . . . . . Sistem od dvije linearne jed.načine aa dvije nepoznate . . . . . . . . . . . . Metode rješavanja . . . . . . . . . . . . Metoda komparacije . . . . . ·. . . . . Metoda supstitucije . . . . . . . . . . Metoda jednakih koeficijenata . . . . . Metoda đeter11ainante . . . . . . . . . . Sistem od tri linearne jednačine sa tri nepoznate . . . . . . . . . . . . . . Metode rješavanja . . . . . . . . . . . . Svođenje na sistem od dvije jednačine sa dvije nepoznate . . . . . . . . . . . Metoda deter11linante . . . . . . . . . . Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih . . . . . . . . . . . . . . KVADRATNA JEDNACINA . . . . . . Opiti oblik . ·. . . . . . . . . . . . . . Diskusija rješenja kvadratne jednačine .
42 43 43
43 44
44 45
45 46 46
46
48 48 48
49
Nepotpune kvadratne
jednačine
.... Normalni oblik kvadratne jednačine . .
Viet-ova pravila . . . . . . . . . . . . . Rutavljanje kvadratnog trinoma na faktore
. . . . . . . . . . . . . . . . .
49· 49
so
so so
Geometrijski niz . . . . . . . . Interpolacija . . . . . . . . . .
LOG
•
•
•
Osobine logaritama
•
•
•
•
•
„ „
•
•
•
•
•
•
S6 57
•
•
•
•
S8
ss
. . . . . . . . . . . . . .
S9 S9
. .
59
. .
60
Proširene razmjere . . . . . . . . . . . . DObivanje jedne raz111jete iz druge
52
Logaritam proizvoda . . . . . . . . Logaritam količnika. . . . . . . . . Loguitam stepena . . . . . . . . . Logaritam korjena . . . . . . . . . Dekadski i prirodni logaritmi . . Veza između dekadskih i prirodnih logaritama . . . . . . . . . . . . . .
60
dVIJ··e • • • • • • • • • • • • • • • • • • POSTOTNI (PROCENTNI) RACUN .. KaJnatni račun . . . . . . . . . . . . . Složeni kam•tni račun . . . . . . . .
53
RACUN VJEROVATNOCE . . . . . . Prosta (matematička) vjerovatnoća. . .
53 S4 54 55
Suprotna
. . . . . . . . .
60
vjerovatnoća
. . . . . . . . . .
61
vjerovatnoća
. . . . . . . . . .
61
. . . . . . . . . .
55
Permutacije . . Kombinacije .. Varijacije . . .
• • • •
61 61
„ • • • • • • • • • • • •
62
•
61
JBDNACINE VISEG REDA .. Bi.lcvadratne jednačine . . . . • Binomne jednačine . . . . . • Trinomne
jednačlne
. . . .
. . . . • •
•
•
50
•
• • •
SI
• • • • • •
SJ
RE. PROPORCUE . .
Neprekidno
t1k1m1ćivanje
•
•
•
• • •
. . . . . . .
NW>VI I REDOVI . . . . . . . . . . Arlu1aetičlci niz . . . . . . . . . . . . .
52
55
Totalna Složena
vjerovatnoća
KOMBINATORIKA •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
„
•
•
• •
•
•
•
•
. . . .
•
•
59 59
60
GEOMETRIJA .....
63
PITAGORINA TEOREMA . . . . . . .
PLA.NIME'l"RIJA . . . • • • • • • • • • Ugao . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mjerenje ugla . . . . . . . . . . . . . Veza između stepena i radijana . . . . Komplementni i suplementni uglovi .
63
OBIM I POVRbA OSTAIJH RAVNIH SLIKA . . . . . . . . . . . . Pravougaonik . . . . . . . . . . . . . . Kvadrat . . . . . . . . . . „ • • • • • •
Uporedni i unaknni uglovi . . . . . . .
65 66
63 63 64 65
Romb
72
73
. .
73 73 73 73
• •
74
. . . .
74
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
TROUGAO . . . . . . . . . . . . . . .
67
Romboid . . . . . . . . . . . . . . Trape~ . . . . . . . . „ • • • • • . Deltoid . . . . . . . . . . . . . . Trapezoid (pro~oljan ,četverougao) Cetverougao oko kojeg se mote
POdudamost trouglova . Osobine uglova trougla . Slienost trouglova . . . Cetiri značajne tačke u
68
opisati kružnica
69 69 70
Mnogougli (poligoni sa n strana) . . .
75 15
KllUtNICA. KRUG . . . . . . . . . .
75
71 71 71
Uglovi u kružnici Sekanta i tangenta Obim i površina . K.ru1ni isječak . . Kru!lli odaje čak . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76 76
UJiovi na transverzali dvaju pravih . . Uglovi sa normalnim kracima . . . . . Uglovi aa paralelnim kracima . . . . .
. . . . . . . . . . . . ttouglu
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
OBIM I POVRbA TROUGLA . . Raznostraničan trougao . . . . . . . Jednakokraki trougao . . . . . . . . Jednakostrani čan trougao . . . . . . Pravougli trougao . . . . . . . . . .
. . . . .
67 67
72 72
. . . . . . . . . . .
.. . . . . . . . . . . ,
Kružni prsten . . . . . . . . . . . . . Dio kružnog prstena . . . . . . . . . .
74
76 77 77
77 78
s
o
T E R E
Izračunavanje
Kvadu Kocka • PJiz11•1 .
M E T R I J A
povrline i volumena •
•
• • •
•
79
• •
•
•
•
•
•
80
•
•
• •
•
•
• • • •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
• • •
•
•
•
•
• •
•
• •
Piramida .
• •
•
•
•
•
•
• •
Z•n•hljena piramida • • Valjak • • • • • • • • • • Suplji valjak • • • • • • Kupa • • • • • • • • • • Zarubljena kupa • • • • Kugla • • • • • • • • • • šuplja lopta . • • • • • • Kalota (kuglin odsje čak) Kug)in isječak • • • • • Kuglio poju (sloj) • • • Kružna karika
• •
79 79
•
•
•
80 80
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
81 81
•
• •
• •
•
~
•
•
•
•
•
•
•
•
81 82
•
•
• • •
•
•
•
82
•
•
• • • • • •
81
•
•
•
•
• •
•
•
• • •
• •
•
•
•
• • • • • •
83 83
•
•
•
•
•
•
84
•
•
.
•
•
•
••
•
•
• •
„
•
•
• • •
Pravilni poliedri .
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
83
84 85
T R I GO N O M ETRI JA
•
Definicija trigonometrijskih funk cija kod pravouglog ttougla • • • • • • • • Sinus • • • • • • • • • • • • • • • • • • Kosinus • • • • • • • • • • • • • • • • • "fangens • • • • • • • • • • • • • • • • Kotangens • • • • • • • • • • • • Definicija trigonometrijskih funkcija na trigonometrij·skom krugu • • • • • • Znak trigonometrijskih funkcija • • • • Periodičnost trigonometrijskih funkcija Parnost trigonometrijskih funkcija • • Vrijednost trigonometrijskih funkcija • Nule trigonometrijskih funkcija • • • • Grafici trigonometriiskih f11rtkcija • • • Uputstvo za crtanje grafika y = a sin (bx + c) • • • • • • Neke karakteristične vrijednosti trigonometrijskih funkcija • • • • • • •
•
•
86 86 86 86 87 87
87 88
88 88 89 89 90
91
92
Veza
između
IUESAVANJE K.OSOUGLOG
trigonometrijskih
funkcija istog ugla . . . . . . . . . . . Funkcije zbira uglova . . . . . . . . . Funkcije razlike uglova . . . . . . . .
93 94 94
Funkcije dvostrukog ugla . . . . . . . Funkcije polovičnog ugla . . . . . . . Pretvaranje zbira i razlike trigonometrijskih f unlccija u proizvod . Pretvaranje proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir i razliku .. . . . . . . Funkcije višestrukih uglova . . . . . . Stepeni trigonometrijskih funkcija . . . Svođenje na prvi kvadrant . . . . . . .
95 95 96
97 97 · 98
100
RJEŠAVANJE PRAVOUGLOG TROUGLA Katete . . Hipotenuza Površina . Uglovi
... . .. . ... . .. . . . . • • • • • • • • • • • • • . . . .' . . . . . . . . . . . • . . • • • • • • • • • • • • •
. . . .
•
•
• • • •
•
•
•
• • • •
1J)O 100 101 101 101
TROUGLA . . . . . . Sinusna teorema . . . K.osinusna teorema . Tangensna teorema . Mollweide·-0ve formule
.. . . . . . .
. . . .
. • • • • • . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . Veza između poluobima i uglova Poluprečnik opisane kružnice . . Poluprečnik upisane . . Površina trougla . . . . . . . . . . Veza između uglova u trouglu .
. . . . . .
102
102
102 103 . . 103 . . 104 . . 104 . . IOS . . 105 . . 106
INVERZNE TRIGONOME'l'RIJSKE FUNKCIJE (CIKLOME1'RIJSKE FUNKCTJE) . . .. . . . .. . . . . . .
107
Glavna vrijednost ciklometrijskih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Osnovni odnosi između ciklometrij· skih funkcija . . . . . . . . . • • . . . 108 Veza između ciklometrljskih funkcija istog argumenta . . . . . . . . . . . . .
109
ZbiI ciklometrijskih funkcija . . . . . . 109 Ciklometrijske funkcije negativnih ugu~nata . . . . . . . . . . . . . . 110 Grafici cildo11aetrijskih funkcija . . . . 110
ANALITICKA GEOMETRIJA . ..... . 112 KOORDINATNI SISTEMI . . . . . . . 112 Predznak koordinata i vrijednost polarnog ugla po kvadrantima . . . . 113 Veza između pravouglih i polarnih k()()rdirta.~ . . . . . . . . . . . . . . . . 113 TACKA. Udaljenost dvaju tački . . . . Udaljenost tačke od Qhođišta . . . . . K()()rdinate tačke koja dijeli zadanu duž u zadanom omjeru. . . . . . . . . K()()rdinate tačke koja polovi zadanu
dUŽ
•
• • • • •
•
• •
• • •
•
• •
• • • •
Povrlina trougla u ravni . . . . . . . . Uslov da tri tačke leže na jednom pravcu . . . . . . . . . . . . . . . . . .
114
115 115
116 116 116
PRAVAC. JEDNACINE PRAVCA
. .
117
Eksplicitni oblile . . . . . . . . . . . . .
117
Segmentni oblile . . . . . . . . . . . . .
117 118 118
Pravac kroz jednu tačku . . . . . . . . Pravac kroz dvije tačke . . . . . . . Nor111alni (Hesse-ov) oblik . . . . . . .
118
Implicitni oblik . . . . . . . . . . . . . 119 Polarni oblile . . . . . . . . . . . . . . 119
SPECJALNI PRAVCI . . . . . . . . . Pravac kroz iahodiite . . . . . . . . . Simetrale kvadranta . . . . . . . . . .
l l9 119 110
Pravac paralelan x osi . . . . . . . . Pravac paralelan y osi . . . . . . . . Jel'tfite>ru
••. . • . • • . • • • • • • • .
Koordinate taeke u datoaa omjeru Koordinate taeb clu.t • • • • • • •
koja . . . koja •• •
155 156
Specijalne ravni . . . . . . . . . Jednačina ravni kroz tri tačke Ugao između dvije ravni . . . Uslov paralelnosti dvaju ravni Uslov norntalnosti dvaju ravni
. . . . . . . . . . . .
160 161 161
. . . . . . . .
162
Jednačina
162
prave preko dvije projekcije
•
u ravni . . . . . . . . . . 15' 157
datu dut dijeli . . . . . . . . . • 157 polovi datu • • • • • • • • • 158
151
Volumen tetnedra u prOlle>ru • • • . .
159
\I
160
PRAVA U PROSTORU .. . . . . . . . 162
• • • • • •
Povrlina troti1'•
Nor111alno rastojanje ravni od ishodišta
RAVAN U PROSIORU •.••...• 159 Opita jednaelna raftli . . . . . • . • . 159 Odlječd na koordinatnim osama • • • 159
•
•
'
163 163 164 164
„ • •
164
• • • •
Specijalni slučajevi pravih . . . • Upo između dvije prave . . . • Uslov paralelnosti dvaju pravih . Uslov nor111alnosti dvaju pravih •
•
• • • •
•
..
•
POVRŠINE DRUGOG REDA • • • • 165 Sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Elipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Hiperboloid
. . . . . . . . . . . . . .
165
Paraboloid
. . . . . . . . . . . . . .
166
PREGLED OSNOVNIH ELEMENTARNIH FUNKOJA . . . . .
167
Funkcija prvog reda (Line•ma f1mkcija) . . . . . . . . . . . . . . . . Funkcija drugog reda tna f\Ulk.cija) . . . . . . . • • . • . . . . . Funkcija trete& red• . . . . . . . . . .
167
NEPRED~OST FUN~QJA . . . . .
1'8 169
Geonwtrijlka interpretacija Izvoda . • . lm>dl ele11aent•mlh funkcija . . . . . Pravila o nal•tenju Izvoda . . . . . . .
STEPENA PUNl.aJA • . . . . . . . .
169
KOIUENA Fm&aJA • . . . . . . . . tJP.Oredba lineame, ltepeM i korjene
171
. . . . . . .. ' . . . . . . . 17l ALNA fUNKOJA. . . ln ~
Cl.E
FUNKCIJA
. . . .
173
FIJNl:QJE • • • • • 174
PUNIO JE
G R. A
UCNIM P N I CNE
AMA . . .
VRJJhJNOSl1 ~a.JA . . . . . . . . . . . . , . . Pra'rila u n••••enje paničnih
175
177 178
112 POJAM IZVODA FUNK.aJA ••. . . 183 • 183 184
186 IZVOD SlDZENE FUNK.CJE .. . . 187 Primjeri irloda alot.ene . . . ~ 187
IZVODI VISEG RFDA . . . . . . . . . 189 LOPITAIOVA 'IYOREMA · · · · · 189 Pllmjeri Izvoda vile1 reda • • • • • 190 ISPmVANJE TOIA FUNKaJE • . . 191
PRIMITIVNA F U N K C I J A . . . . . . . . . IM NEODREBENI INTEGRAL . . . . . . IM Tablica neoche4enih intepala. . . . . . 195 OSNOVNA PRAVILA ZA . . . . . . . . . . . . 197 Integral zbira I nrlike flankcija . . . .
197
Integral funkcije aa konstantnim
FUNK.aJA
faktorom . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Integracija metodom supstitucije . . . 198 Parcijalna integracija . . . . . . . . . . 198
ODREĐENI
INTEGRAU RACONAINIB
INTEGRAL . . . . . . . . . . n2
F'UNKt1JA INTEGRAU
•• . . •. . . • . . . . .
199
Dt.Aao
FUBOJA . . . . . . . . . . . . . . . INTEGRAU 'I RIGONOME"l'RIJSJCJB FUNICaJA
. . . • . . . . . . . . . .
208
. . . . . . . . . . . . . . 214
INTEGRAU LOGARrIAMSKIH FUNK . . . . . . . . . .. . . < .. . .. . . . . .
veće
od manje od ~ . . . . . . . . . . . veće ili ednako . . . . . . . . . . . mnogo veće < . . . . . . . . . . mnogo manje
1
Znak
Cita se
3. 0..0YDe *lllllb
+ . . . . . . . . . . . . plus. više -~
............ mlnw man~e X , ~ • I .· · . . . . - . . . . puta · . . . . . . .... kro~. podijeljena % . . . . . . . . . . . . . . postotak, procenat ••• •• „
4. Geo
e
· · zmd
li . . . . . . . . . . . . . paralelno
~
. . . . . . . . . . ~ paralelno 1 ............ nor111alno 1 okomito 0 • '• '' · · • • . • • • . stepen, minut. sekund rad. . . . . . . . . . . r:adijan ~
• • • ••••••• „ •
~
ugao
· · - . .· . • . . . praVJ ugao (90°) 6 . . . . . ...... trougao ,...., · . . . . . . . . . !:!!!
slično
• • • • . • • ••• poduduno
AB .. ...... ... dut AB AB ......... .. luk AB 2
Znak
Ctta ee
5. Zn1ci U llaebd i elementi11•1 9neliu IZ\ . . . . .. .... apsolutna vrijednost bro· jaZ,moduo Z sgn ........... signum n! . . . . . . . . . . n f aktoriel n nad k t . . . . . . .... suma n 3 · · · · · . . ... prou.•vu :..._,...a 2 0 x , X , .•• , x • • . . . . x na kvadrat, x na kub x na n-ti (stepen) Vx. kvadratni, kubnl(treći) n-ti korjen iz x 1oSt, a . . . . . ........ logaritam a za bazu b log x . . . . . . . . . . . logaritam x za bazu 1O ili logx 1n x . . . . . . . . . . . loprit•m x za bazu e ili lnx i . . . . . .. . .. . . a jedinica 1f • . . . • . . • • . . . pi ( ) . . . . . . . . . . . . matrica
(k) . . . . .. .. ..
w. ...,rx ...
I I ili det . . . . . . . . detenninan ta f (X) .. ......•.. f od X
3
Znak
Clta se
6. Granične vrijednOlti oo
. ·. . . . . . . . . . . beskonačno
(a, b) . . . . . . . . . . interval ab [a, b] . . . . . . . . . .segment ab(zatvoreni interval) -+ . . . . • . . .. . ... teži ka lim . . . . . . . . limes lim f (x) . . . . . . . .limes f od x kad x teži ka a ll+a 7. Difere11djalni i intep •Ini rač1m /lx. . . . . . . . . . .. delta x M(x) . . . . . . . . . . Jielta f od x f' (X , f>' X), . . . . . f . od X, f sekund .1., n) {x ...... o x, f n-ti od x dy . . . . . . . . . . . dy, diferencijal od y df (x) ....... . .. diferencijal (od x 0 2 ~ , đ y ,... , d y dy po dx, d dva y po dx na dx dx2 dx" .. kvadrat, dn·ti y pp dx na n
f . . . . . . . . . . . . . . integral
ff (x) dx ... ..... integral f od x dx } f(x) dx _ .... . ... integral f od x dx od a do b a
F(x) • . . . .. ... _ . F od x u granicama a i b b
4
Cita se
Znak
8. Simboli teorije skupova A = a 1 , a2 , ... , a0 } skup A ie skup elemenata
= aktk = 1,2,... }
a2 , 32 ,..., a0 (ak) . . . . . . . . . . . opšti član skupa V' x . . . . . . . . . . . . . za svako x I . . . . . . . . _ . _ .. postoj i E . . . . . . . . . . . . . element iz fl. .. .... . . . . . . nije element iz :> . . . . . . . . . . . . . .
slijedi
* . . . . . , . . . . . . .eKvivalentno nazivnik Mje oviti razlomak: zbir cijelog broja J pravog razlomka (znak+ se izostavNpr. 2-j= 2
+f
~j
2 _ 2 ·S_ JO
3-3.s-rr 15 15 : 3 s 36 = 36: 3 =12
18
>2 S
7
> J..
Veti je ODlj razlo11mk čtjl
s
Nađe •
4 o je n1z;ly11it ~ c) Razlomci ndičitih brojnib i nuivr•lb
2 S
3 7
lja).
· razlomlb Vrijednost razlomka se ne mijenJ ako se i brojnik i nazivnik pomnože ili podijele proizvoljnim, istim bro . jern ; O.
Poredenje raz.lomaka a) Razlomci istih nazivnika 3 5
b) JarJomd istih brojnika
Veći je onaj railomak čiji je brojnik veći.
„
2·1
T."f' •
l35i
NZS n1zj•nik1,
razl · te proMn tako da im n•zivnid budu Isti i ond1 ae primijeni praa). N2S (S,7) • 3S
„
d brojnik• U
b:i= proižvod D AI U n•ri•••ik. ,..,.
f ___.- Glavna razlomačka crta
Nl.S (3,4) • 12
8
= 2,8 - vanjski članovi S,7 - unutrašnji članovi
-
2·8 = . ~ .•,
BROJEVI Decimalni br~evt su razlon1ci sa nazivnikom 1O, 100, 1000 itd. Npr. 0,2
• . • 1,....
=yft-;
10,35 = 10
S
o.ow.
11i: 2cl:-f ' •i
1. Decimalni broj se ne mi~nja ako mu 11 desne
•
strane dopilemo p~oizvoljan broj nula. Npr . 9,2 c: 9.20 = 9,200 = itd. 21·
2. Dedn1••nt broj 1e ne mijenja ako odbait•*O nule · • m•11 e clano na J9Dlo'IOID biju. Npr. o. 00. 0,025. • NUlie kaje• ne mWlze na ~u ne 11ri1JU • odbam1d: oms.,. o,25.
3.
Ded11111n1
broj
1e
potKI"- 10, 100, 1000 itd.
puta ako mu • u•ez
tri itd. ••ljel'• ...... 4.
· za
. l 00 . o
, đ~
s == 36,S
· btoj le sni•Djuje 10, 100, 1000 itd. puta ako mu • zaaez p1emjulU r.a jodoo, dw, tri itd. mje1ta Npr. 12,8 : 10 • 1,28.
I
..... ,
1,*10
2,380 O,oll 3fi)l
+
brojeta Vrli se lato kao i kod cijelih brojeva vodeći raču na da proizvod mora imati broj mjesta iza đeci· malnog 1.1.reza jednak zbiru mjesta kod faktora.
Prije upisivanja decimalnog zareza ne 1•niu se odbacivati nule sa desnog kraja (ako se pojave). Npr.
0,04 · l ,125 ; 4 · 1125 = 4500. Broj mjesta u proizvodu mora biti 2 + 3 =S pa je 0,04 · 1,125 = = 0.04500 = 0,045 Djelitelju se premjetti decimalni zarez uđemo 1.1. onoliko mjesta koliko je pouebno da postane cio broj. Za isto toliko ntjesta zirez se pomjeri udes· no dijeijenilru i dijeljenje· obavi bo kod cijelih brojeva vodeći računa o decimalnom zarezu kod količnika. Npr. 0,144 : 0,6 - l ,44 : 6 = 0,24 ,24
RACUNSIE OPERAOJE SA NUI.011 Sabh•nje
S+O=-S
f+ O=t;
1,2S +O= 1,2S
23
Qduzi1111nje
8- o - 8 ; 3{- o= 3f;
ALGEBRA 0,3S-0•0,3S
Mnot.enje 4 ·O= O;
2-t.o=o;
3,63. o c; o
l)ijeljenje
a) O : 3 =-O ; O : 2,17 •O;
o: 1f-o
b) Opencija dijeljenja • nulom ne111a ultrMtlč· kOB 1111ia11 tj. 3 : Onepostoji. U llu~ da djelitelj nije nula nego • neograničeno prib~va
nuli količnik teti u be•onačno.t. c) O : Oje neodređeno, jer za bilo koji broj x \'Ili X • o m o. Ako dtjeljenik j djelitelj DWJ nule nego ae ne01f1ničeno pribli!aYllju n1ali onda je, metodom graniCnih vdjednOlti, moa• 0 •a količnik.
.li.I.
spa• a
+l u a> O 1 aa-;1_.) • (--4) + (-3) 25
agi adom staji znak + zagrada broj ~taje 11 onim predmakon1
Ako pred ~vlja
(-4 - (- 3) = +S -(-2)=
4-3 :: - 1 5+2 = 7 (-3)-(-4)*(-4)-(- 3) ne važi zakonkO
X
'-'X2
-
ER
Xl
=
Xi
-
ER
x 1 , x2
-
.AA t----~--&~_:;..~------A~
li:
o
110,
=O c=O
u2=0
Rješenja su: 1 ,2
=
-b +
Rješenja
b - 4ac
-..;:;___-&-~a ·-..;..;::;.;;
tj.
Nor11•1 •ni ~ kwdratne jednef1nl ax2 + bx + c =O/ : a x2 + b x + c =O '
Označimo:
No111~t11ni
b+ -- - 23 48
b - 4ac a
b -=p
a
'
I
c -=q
a
.?J
( xi + px + q = oblile je: Rješenja su: X1,2 = +
8
'
-1-
Cf-q 49
Binon1ne jednači•K Opiti oblik:
Yie1-ota pnvila + X2 = -p X1 ' ~ ::= q. - gdje su: x 1 i "2 rjelenja. a p i q koeficijenti kvadratne jednačlne u normalnom oblilcu. X.1
-
-
R11tatljanje ktadratnog trlaotn1 aa faktore Kvadratni trinom se može .predstaviti ~u o~liku: +b~: c =..i (X- X1) (X-Xi)]
E2
gdje su: x 1 i~ rjelenja kvadratne jednačine ax2 + bx + c~o
JEDNACJNE VIŠEG RBl>A Blmdlatne jectneei11e
(1)
Rjelenja: Smjenom x 2 = y ( 1) se svodi na opitu kvadratnu jednačinu a~l + +c =O (2)
50
Dijeljenjem sa a i s111jenom dobivamo: xn ± 1 =O (xn ± }n::: O)
::r
+~ .
-:ti= x
0
Prema pravilhna o rastavljanju na faktore rastavimo gornju relaciju i izjednačavanjem. pojedinih faktora sa nulom dobivamo n rješenja (realnih i kompleksnih).
Trino jedn1eiuc Opšti oblik: 2 n +~bio e" =OJ ( l) Smjenom xn = y dobivamo kvadratnu jednačinu ayl + by + c =O (2)
fli
~4 + bx~~+ c =O]
Rješenja su: 1 = + Ya , x3 gdje iu y 1 i y 2 IJe n1a Je na me
Wn±a=O)
+
Rješavanjem jednačine (2) i vraćanjem smjene xn c y dobivamo 2n rješenja (realnih i kom-
pleksnih).
•
st
RAZMJERE PROPORCIJE a :b
=
•
a. d - vanjski članovi , b, c - unutrdnji član .
c:d
ad = bc Svaki unu tralnji (vanjski) član razmjere jednak je proizvodu vanjs19h (unutrašnjih) članova podijeljenim sa preostalim unutrašnjim (vanjskim) čla nom. c _ ad b ad d bc • c a
=
:a=lf
-,,-
Ako je a·b=c·d=„·f= =m·n= =q tada~ e: c = ( q, e= q, a= bc, , m =nqJ (a± c ± e ± ... ± m ± ...) =y (b±d±f± ... ±n±... ) Dobiftnje jedne nzmjere iz dna• dvije a:b =c :d ae : bf = cg : dh a o e:f = g:h
=
•
V
•
•••
!
•
• ••
-e=r : :. ~=t g
Prolirene raz•oje:re
POSTOTNI (PROCa:..1
Ako je a : b = c : d onda važe relacije:
G - Osnovna svota (glavnica) p(%) - Postotak (procenat) I - Procentni (postotni) iznos
b:a=d :c a-n : b·n=c:d
a.].=c ·d n·n ·
(n*O)
'a±b' : ctd' =a: c=b: d (a+ b) : (a- b) = (c + d): .(c-d) ·(ma + nb) : (me + nđ) = (ina- 11b) : (mc- nd) .ma ± nb) : 1.mc ± nd. = J>a ± ql,t: 1pc ±qd,1· 1
Sl
I
-
~ 100
100 I G= p
p
=
100 I G
RACUN
nepoznato I
nepoznato G nepoznato p
53
KAMA'INI RACUN
G
- Osnovna svota (glavnica) p (%) - Postotak (procenat) k - Kamate Za godine (v) Za dane (d) - G·p·V k - 100
k
G= - -
P·V
lOOk p = G. V 100 k
= G·
~I.
ru
= 36000
C0 = C·e/Jk
d = 36000 k nepoznato G. V d račun
a = S4
·&,>" ,
c. q" (q-
1)
1+
& =q
- anuitet
=2,7 1828 ....
nepoznato k
C - Osnovna vrijednost Cn - Konačna vrijednost n - Vajemeugodinama a - Anuitet
Cn = C( 1+
e
NIZOVI I REDOVI
36000k G = nepoznato P·d 36000k p = G.d nepoznato p
100 k
V
G·p-d
Neprekidno ukamaćivanje
kamatni faktor
Aritmetički
niz je niz brojeva a 1 , a2 , a3 , .•. , a 0
sa osobinom a2
-
a1
=a3 -
••••
a2 = ... = an - 3n-i =d
gdje je d - diferencija niza .
Niz se može predstaviti u obliku: 1 • a 1 +d, a 1 +2 d, ... , a 1 +(n- 1) d. ... : •
n- ti
član
niza je: a 0 = a 1 + (n- 1) d
Zbir prvih n č lanova niza je: Sn =(a I + an ) .!! -- ~ + an+ I 2 2 Ako članove niza spojimo znakom plus, dobivamo aritmetički red a i + ~ + a3 + ... + an + ... = l; ai 55
Georoetrij!ki niz
b)
Geometrijski niz je niz brojeva a 1 , a1 , a3 , •.. ,a., ... sa OIObinOm
82 13 - = a,
.a
a •••
al
::: ..::.L =...
sa
q
an- t
gdje je: I
Dekadski logaritmi su logaritmi za bazu l O. Označavaju se sa log x (bez označavanja baze). Prirodni logaritmi su logaritmi za bazu e (e = 2,71828 ....). Označavaju se sa 1n x.
59
=
Veza iz••du cltkal*ih i prirocl••lh Jopritama loga = ln a · log e, log e =0,434294 ...
~
8
1
:=
0,434294 ....
gdje su: v1 , v2 • itd. proste vjerovatnoće
p. . i•m:ter: log
3a2 b3
2'Vć'f
Tohlna 'fjerofttnofa (li - IH) p I + Pi + ... + p ll v=v 1 +vi+ ... +v8 = m
=log 3 + 2 · log a + 3 · log b -
2 -loge - log 2 3 • log (a± b) :#:loga± log b
Slok••• Yjero•atnoća (1 - 1)
gdje su: v1 , v2 , itd. proste
vjerovatnoće događaja.
RACUN VJEROVATNOCE
KOMBINATORIKA
Prolta, m11em1tička vjerovatnOO. v = -2... p - broj povoljnih slučajeva
Per11•tacte - Broj pennutacija
m
m - broj mogućih. slučajeva
v'= 1- v 60
da se
događaj n~
a) Bez ponavljanja P(n)
=n!
b) Sa ponavljanjem n elemenata od kojih je a; b; ... jednakih:
Suprotna ljetofatn9Q
Vjerovatnoća
događaja.
desiti.
p ab..•
n!
(n) =a! b! ...
61
- Broj kon1binaeija
a) Bez ponavljanja. klue r od n elemenata
GEOMETRIJA PLANIMETRIJA
~(n)•{:) pOlupr&~
b) Sa ponavl~em
dui
K; (n) "n-,_r+1)
• ugla O
- Broj varijacija
a) Bez ponavljanja, klate V, (n)
1
I
od n elemenata
(:}r I=~ (n) · P(r)
b) Sa ponavljanjem V!r (n)=n'
- tjeme u
o
A
OA iOB - uael uila „ Qblljeiava • ~< AOB li
< am a.
Miera ugla „e dio un kJ1JR ko·1 · otre pređe krak OA da bi ae . klo 10 11 OB. ...... 06~ au sm~m
-
~
.suprotnom smjeru laeta-
62
63
nja kazaljke na uzima se za mgeru lae ·a kazal"ke na satu
vno atimo . .
Mjerenje uglow
Uglovi a i + =90° Uglovi a i (3 su suplementni ako je: 0
p+~= 18~ ] o
či ·i
·e luk jednak kraku
Jedan krak za'edničk.i -~\JK.l· m edno · :;;: ra.,.v;::;aa.. eme za dničto
~u
1 [rad]= ~„ [stepeni) iooS'7° 17' 4S" 1o= "" [rad] . 180
iliiilillll.......-.-----
< 900( ~ Ugao > 90°( ~
Ugao
)
je oštar
)
je tup
Ugao = 90°(-f) 64
f3 c b)
o
Q
-
•
A
uglOYi
a+ f3 = 180° u oredni lovi su suplementni.
-
-
1jeme za e č o, baci jednog u prođutenju kraka drugog lJ8}a.
je pravi 6S
Uglovi na
dviju p1atih
a)
{ji «1 "Y1 ~
a.
b I) 69
4. Sw trl 1t11ni~ propordon••oe •1 : b t : c1 ••a : b2 : ct
OBIM I POVRSINA TROUGLA RazRG1b1nlean ttGupo
O=a+b+c a·h. b·hb = c·hc
c
P= 2 = 2
(1)
(2) (3)
p
ne
),
ltrulica (centar opisa-
I (mtocenw),
B
abc
Heronov obrazac p =v'l(a- a) (1- b) (s-c} O a+b+c adje je S =2• 2 r _
R _.
poluprečnik up~no
.lupročnik op111ne ....oe
~
Jedukoknki troupo
c
tefilnih linija (linija koje li-Jaju ft1t • •edltem suprotne stnnice) -
O=a+2b
ta•••te.
b
Kocl jednak-oetranićmh tmlglo'a ive čethl tai!b ,_..u u
C
p =T. s= 4R
pnljecllte •'•••bile uato+a (centar upjlane bul••tce), viaina, njihovih produf,e
(•)
ai11tttt1l1
A
2
I·
pa 2
JM•u.
A
I
h l
=2 I
8
?1
JedmkOltrmič-10
c
O= 3a p =a· h =a2 .'13
• •
A
troupo
2
•
B
h
=
B
a
Pravo1tponik
4
al -
8
4
=a . ../3 2
O=a+b+c a·b
•
OBIM I POVRSINA OSTAIJH RAVNIH SUKA O= 2 (a+ b) P= a· b d = .J,....a"'2r"-+-b-2·
b
a Kwdnt
0=4a P= a2
P=-2
d=aVi
~
Romb c1
= al +hl
a =
.jc2 - b'1
b =
J~i
- a2
c == Ja +b2 2
Kvadrat nad hipotenuzom ,t.dnak je "bina kvadrata nad k1tetama.
72
•
a
Romboid
h
a
O= 2 (a+ b') P = a · h = ab · sina
73
T1111ez
Cetvoroupo oko kojeg te
aIc
c
O=a+b+c+d
.h
m-•+c
- 2
a
0=2(a+b) _d · D P
- ž"
Tmpezoid (proizvoljan četveroupo)
c b
d1
d
a
c •
b
d
O=a+b+c+d p =d 1 d1 sin Q'. 2
ps~(hl +hl)
opati
O=a+b+c+d
P=h · m
m
d
11t0k
c
d
b
P •v'(s-a)(a-b)(a-c)(s-d)
_.Q._ a+b+c+d 9 -22
a
Mn ovi Broj dijagonala mnogouata: :.._~:..::
Zbir unutrašnjih uglova:
n-2) · 1800
KRU2 NICA. KRUG
D
s
Kružnica je geometrijsko mjesto tačaka u ravni koje su podjednako udaljene od je~e stalne tačke (are· dišta, centra kružnice).
a
D =2r 75
74
Uglovi u kruf.nici 1. Obodni uglovi nad
ist1111
lukom su jednaki (a) i iznose polovinu središnjeg ugla (~)nad istim lukom . 2. Obodni uglovi nad nikom su pravi.
preč-
P- 360 KJU!ni odsječak
o Za sekantu:
A
180 + 2r
_ ,2wa 0 = .
R
Sekanta i tanaenta
-
O=
r 1f' ao
OA · OB = OC · OD
o=
a0
.
ex
+ 2r. SU1T 1 0
2 r2 w~ 0 r P= ~ -,.-sin a 60 j,
Za tangentu: ......._~
T
OA · OB
= (OT)2
Krut.ni pnten O= 21f (R + r)
Obim i povrlina
p = (R2 - r2) 1r
O =2
= 2r11" = D 1r p =rl 7r =02,,.
=(R + r) (R-
= r)'7r
4
77 76
Dio bat.nom p11te1a
STEREOMETRIJA
O= 21 +ii+2 (R- r)
P=m ·d
2r
mo
i volu n)Claa
Izraeunavanje
ndu
= •2 2
a
P, c
c
l'ao
b
'
ii +ii m= · 2 'd = R- r
c
P1 P2
c
a
a
P2 b
P1
c
p3
a P = 2P1+2Pi + 2P, = 2ab + 2bc + 2 c = = 2(ab + ac + bc)
V=a·b · c c
b
a Dijagonala kvadra
d=
Ja
2
2
1
+b +c
78 79
Kocka
Zarubljena piramida P
. -.a
a
, /
/
a Prizma
~d
-
= 6a
2
V= a 3
•
d =av'3
a
P = 2B +O h
Valjak P =2r 1r(r + h)
V =B·h
B - površina baze O - površina omotač a
h. - r
V= r 2 Ih
Piranlida
Suplji valjak
P == B+O y
80
=B · 11 3
R ---......
~ I Ll:_.._,
1 1 = 2w(R r )+211h (Rfl) „ V = ft'(R2 - r 2 ) h = = W h (R + r) (R- r)
P h
81
Kupa
P
=rl'(r + 1)
V=.._r2_w_h 3
S••pfja lopta
"'
p = 41" (Ri + r2) = 1r (D2 + d2)
V
=-;t (R' -
r3)
=f
(D'-d3)
)
•
2
pa tr [R + r2 + (R + r)a)
•
h
V=
p = tr(2Rh + r 1 ) Povrtina kape: P' = 2 I' Rh
(R1 +r2 +Rr)
r2 =h(2R-h) r
X:nal1•• ilieč*
P•4r2 w 4r3tr
V= 3
81 •
r
h
p = trR (2h + r) 2
V=1-•R h
83
PRAY.1LN1 POLIEDRI Pravilni polledri tu tijela čije IU sve atrane pravil·
K11alin poj• (lloJ) r1 h ~"'""'1~
....._.......
ni mJ!CIOUgloYi i u čijem 1e n•kom vrhu llltaje lltl broj ltrana.
p = 1f (~ + ~ )+ 2 •Rh
-
R
V =-f1(3~ + 3r~ + h
2
)
POLIEDAR
I II lo
Tetnedar
Bekaaeclu ktaeđar
lko111d11
•
3 ~
4
4
6
1,73 a2 O,l2 ~
4 3
6
I
12
a
6
12 3,46 a2 o,4'7
•
3 4
•
' ' ,_o 12
6a'J
a3
I
30 I 1,66"' 2.111
85
TRIGONO A
ET IJA T. . . .
l.a upo «je: - n11pr•mn1 kateta
a b - nalesla kateta b I
I
1
C
- hipoten1171 c Za upo6je: - "'lpilJDDI kateta b
nmnabteta
~
- nalesla kateta • - hi
"od
a
~ prat0uglog trougla hb•Jg1n1onol'll'-1•-aetrtjlb funtdje:
ten•aza c
&sfiitilu
•
~ Trigonometrijaki krug je m~ krug čiji je poluprečnik Q jednak jedinici.
· bte1a tem1n 86
O, dok kod obila.skfh smjeru kretanja kazaljke nasatujeP
1
T iCsa,71>
tigao koji p zaklapa tXOIOm.
li
A, B, C konst. :;: O
• -
Polarni oblik p
T(r; 1)
cos (a - f)
P - visina iz pola na pravu a - ugao koji p zakla„ pasaOxosom o r, f - tekuće P91arne koordinate SPECIJALNI PRAva PraYIC kroz illtodiite
xcol/j+ y~ - p =O P - Tisina na pravu iz isbodilta
fJ -
.
=
r=
hmc laoz cbte tačke c
.
.
T (x1 , y 1 )
y-y l
..
Ax+By+C=O;
k=tga Tačka
.
y=kx
X
y
o
ili
X
:
o
Ax+By=O
118
119
Sin>etJ ale lmdranta y
1Jm
UGAO IZMEĐU DVIJE PRAVE
y = x ili y - x = O
a) U eksplidtnom obliku
X
Prave y =k. 1 .x + ~l i y ugao a gd1e 1e:
II i IV y =
- X
ili
X
+y = 0
Pravac panleJan X osi y = ~
k2 - kl tgQ =1+kt k2
y
ili By+C=O
X
(za ' Q'.1 )
b) U implicitnom obliku
Prave
o x = aru Ax+C = O
=k2 x + 22 zatvaraju
ll = I
A 1 x + B1 y + C1 = O i A2 x+B 2 y+ C2 = O
zatvaraju ugao a, gdje je: o Jed•••čina X Jed1•1čin1
•
me: y = 0
y Oie: X • 0
120 r21
b) Za p1Pe u lnaptidtuom obali: Ualov panlelnoeti chaju pnmh a) U ektplicitnom obl•u
Prave y_= k 1 x + 21 i y = k1 x + 22 su paralelne ako 1e: -
-
k1 = ~
•
a 1 =~ ± 180°
--
T TACKB OD PRAVCA a) U lna. . .tnom obllm Tačka .T(x 1 3 1 )od prave Ax + By + C =O
b) U implicitnom obliku
(d>O)
Prave A 1 x + B1 y + C 1 =O i Aix+B2y+C2=0 su paralelne ako je:
b) U noa 111al11om obliku d = ± (x 1 coslJ + y t
sinJ3 -
p
(d > O)
Prave su nor111alne ako zatvaraju ugao od 90°
JEDNACINA SIMETRALA UGLA Ugao čine prave y = k1x + 21 i y = kix +~koje se sijeku u tačld T (Xo, y 0). Jednačina jedne si-
(tangens ugla beskonačan) . Slijedi uslov:
metrale ·e:
Uslov 00111•.anosti dvaju pravih
a) Za pnve u eksplicitnom obliku 1
ka= - k2 122
y - y 0 = k(x- Xo) a druge: Y-Y0 •
•
1
=- T
(x - Xo)
g e 1e: Ql +a;a k = tg 2 , ki = tSCX1 , k2 = tg02 123
Jedn•čina
si11+ctrale d11fi Duž AB A(xs, Y1), B(x2, Y2) led.načina simetnle je: Y - Yo = k(x- Xo)
x = X1 + xa 0
2
2
Y
k=_
2
X2 - X1
Y
Y2 - Yt
+ Y2
x, y r -
koordinate
poluprečnik
Opita jednačim kr••tnice 2
2
(x-c) + (y- d) = r Središte kruga u M (c, d).
124
o
2
tački
·
y
y tač.ki
M(-r,O)
o
O)
Jednačim X
tački
= - 2rx - x 2
M (-r,
=r2
tekuće
x
Središte kruga u
KR.U2NICA. JEDNACINE KRU2NICE y SautHr• jw1•ačina bulllice xl
-
red.ište kruga u M (r, O)
gdje je:
Yo = Y1 + Ya, ' 2
= 2rx
1
krumlce kroz tri
tačke
Jednačina kružnice kroz tačke T 1 (x1 , y 1) „ T2(x2, Y2), T1 (xa , Y1) dataje deter1ni·
nantom:
x2 + y2
X
y
1
x2+ Y2
Xt
YI
l
1
1
. 2+
l
l
~2 3
=o
Y2
+y2
3
xa
y, 1 125
kl.11hlice
Pol11111 2
2
-
g;'f
-
0
cos (f - f ) +
~=:.!8"1e
2
o
truf.nice
-
=r
Pravac Ax + By + C = O i kružnica (x- p)l + (y- q)l = r2
l'(y;'f)
· 'f koordinate centra 9 o' o r
Polof..aj pnve prema kruau
2
poluprečnik
o
,
I Rj Ax+By+C=O (x- p)2 +. (y- q)2 = r2
X
o
Pan11-et-*a 1"1•1ačin1 kJufJ•lce
y
po x i y dobivamo x 1 , y 1 , x 2 , y 2
x == r cost + c y = r sint + d o Poloblj tačke p1e•••• ktugu Udaljenost tačke T(xo , y o ) od centra (x-p)2 1+ (y- q)2 c rl je:
Jcx
d= - p)2 0 Ako je: d > r tačka đ =r tačka d < r tačka
126
+ (y 0 - q)i van kruga na kružnici u krugu
Ako je: X1
= X2, Y1 = Y2. prava tangira kružnicu
X
kru!nice
Y1 *Y2, (x1,Y1,X2,Y2)ER prava siječe kružnicu, xi #:x2,
(x1, x2, Y1, Y2) EC (kompleksni) prava leži van kružnice. D Odredi ae udaljenost ce11tn krumice od pravca (udaljenoet tačke od piatca) Ako je: d = r - prava tangira krumicu d > r - prava izvan kruga
d < r - prava siječe kružnicu
127
JEDNACINA NOR)f.ALE UDATOJ TACKI T(x1, Y1) KRU2NJCE
USLOV DA PRAVAC y = kx + 2 TANGIRA KRUtNICU
a) Centralni•
R2
(x2
+ yl = rl)
a) Na centralnu kružnicu (x2 + y1 =
rl)
b) Na opštu kružnicu (x- p)2 + (y-q)l
=r2
=r 2
(1 + k2) 2 1 b) Opštu (x- p) + (y-q) = r2 -
(- kp + q - 2)2 = r 2 (1 +k2)
Y- Y1-= Yl Xt -
-
Koordinate tačke dodira tangente i kružnice su rješenja sistema jednačina: a) Za središnju b) Za opštu kružnicu y=kx+ 2. y=k..x+2
x2 + yl = rl
(x- p)l + (y- q)l =
r2
JEDNACINA TANGENTE U DATOJ TACKI T(x 1 , y 1) KRU2NICE a) Na centralnu kružnicu (x
2
2
+y = r
2
JEDNACINE TANGENTI NA KltU2NICU IZ DATE TACKE (POLA) P (Xo, y 0 ) VAN
KRU2NICE
a) Na centralnu kružnicu (x2 + y 2
= rl)
I Način - Pomobi uslova dodira
RJešenjem sistema
jednačina
Yo = k.xo + 2
)
+ Y1Y = ~ b) Na opštu kružnicu 1„x- p)l + (y-q)l = r2 ( {x1 - P} (x- i>) + (y 1- q) (y- q) = ri ~1 X1X
dL
128
q_ (x- x ) p l
~
= r2
(1 + k 2 )
129
po ki ~dobivamo k 1 , k2, 21, i 22. Jednačine tangenti su:
ll NKin - Pomobl polaR (Polara je prava koja prolazi kroz
po ki 2 dobiftJDO k1, k2, 21, i~. Jednačine
(y=k1 x+21 I y=k2 x+~ .
tačke
dodira
tangenti i kružnice). 2 2 2 Rješenjem sistema x + Y = r Oednačina polare)xXa + yy0 = r 1 po X i y dobivamo .Y Xt' X2, y 1 i Yi Jednačine tangenti su: _f.:::=::~~~~ ~x... . 2 o xx1 + YY1 = r 2 XX2 + YY2 r
-
=
2
2
b) Na opštu kružnicu (x- p) + (y-q) = r I N tin - Pomoou oslova dodira Rješenje sistema jednačina y o =kxo +.2 (- k2 + q- 2)l = [2 (1 + kll
2
c
Rješenjem sistema jednačina {x0 - p) (x- p)+(y0 - q)(y-q)=r2 - (polara)
(x-p)2 + (y - q)2 = r2 •
i
I
Po x i y dobivamo X1' X2, Yt i Y2 (koordinate dodirnih tačaka tangenti i kružnice su:
y
•
T1 (x1 !Y1) i T2(x2: Y2)).____. _ 0 Jednaaine ta11genti su: .
XX1+YY1=r · XX2
130
tangenti su:
+ YY2
~r
"""' ~t'f „ M(P.q)
~o~
" ,..f'4 ~
X
2 2
131
ELIPSA
Jed•a1čin1
elipse sa središtem u
tački
oeama paralelnim koordinatnim (x
Elipsa je geometrijsko mj~o ta~aka u ravni za ka. ;e je zbir uđaljeno~ti (r 1 i r 2) od dvije stalne tačke (žiže, fokusa F 1 i F i) stalan i jednak velikoj osi
2a.
r1
+ r2 = 2a
Omot• e
veličine
2
b (x- c) + a (y- d)
{x- c)2 + (y- d)2
=a
y
2 2
b
=1
bi c
V1l••1 (tje11we:n1) jed111či111 eliple eliple
2a - velika osa 2b - mala osa e = Ja2 - b2 - llneuni ekscentricitet
&=~ &< l) - numerički ekscentritet a
2b 2 2p - parametar elipse a Centtalna jedn•čina e b x2 + a2 y 2 = a2 b w
db2 -- l
2
2
al .
x2 l
2
I
M ( c, d) i a, y I b)
y 1 =2px - P x 2
a
čki
Središte u
M (a, O)
y
M(a;O) X
Pol•ma )ed11ačin1 elipae
a) Pol u desnoj žiži, polarna y
osa na velikoj osi X
p
1
= i+ & cosf 133
132
b) Pol u centru,
Polof.aj
polarna osa na velikoj osi
2 2
prema elipsi 2 2
2 2
U izrazu b x + a y - a b (1) zamijeniti tekuće koordinate x i y koordinatama tačke čiji se položaj prema elipsi tr ži T(x 1 , y 1 ) i koordinatama sredifta elipse M (c, d). Ako su vri· jednosti izraza (1) za obje tač e istog znaka, tačka
r2=--b_2__ 1- &2 cos1 'f y
x =a cost y = b sint
tačke
b
•o
leži unutar elipse. Ako su
ražličitog
t11čka
znaka
je van elipse. Ako za koordinate tačke T(x 1 , y 1 ) izraz (1) postane jednak nuli, tačlca leži na elipsi.
Polof.aj prwe prema elipsi Postupiti analogno kao kod Određivanja položaja
lne1m• ..... Velika osa na y osi Mala osa na x osi Fokusi na y osi
„
prave prema krugu (u sistemu jedna~ina umjesto
jednačine kružnice staviti jednačinu elipse).
Ualov da pnva tanglra elipsu 2 2
2 2
Prava y = k.x + 2 je tangenta elipse b x +a y
=a2 b2
134
=
ako vrijedi u&lov:
135
Jednačine
tangenti iz date blxl + a2y2 = a1b2
elip·
tačke
P(x0 , Yo) -van
I Način - Pomoću oslova dodira Rješenjen1 sistema jednačina
o Nor1ne11 (n)
X
Yo
= kxo
~2
= a2k2 + b2
po k i
Jedn 1
2
2
2
2
b) Na opitu eliplU b (x c) + a (y- df =a b T....-ta(t)
2
2 dobivamo k 1 , k2 •
čine
1
i ~
tangenti• su:
= kIX
i Y = k1 X + ~
+ ~l
II Način - Pomoću polate
Rješenjem sistema Jedna čine 2 2 2 2 b xo x + a y o y = a b Gednačina potare)
2
b (x- c) (x 1 - c) +
y
+
y
2 2
+a (y- d) (y 1 - d)=a b
b2x2
+
po x
1
.
M(c,d)
Nor•••al1 (n)
= 3 2b2
alyl
y dobivamo
X 1.X2, Y 1
i
Y2
o
136
137
+ 82Y1Y
= a2b2
bl "2 x + a2yl y
=a2b2
b2x1x
2a - realna osa 2b - im•ginama osa 2 2 e = ./a + b - linearni ekscentricitet
Povr11•••
= : (& > 1)- nu11ae1ički ekscentricitet
&
y
2p =
elipee
2b2
a
- parametar hiperbole
X
y
'
P=abw I
IBPERBOLA Definidja hqx:1bole Hiperbola je geometrij o ·esto tačaka u ravni • za koje je razlile• udaljenosti (r 1 i r2 ) od dvije stalne tačke (žiže, fokusa F 1 i F 2 ) stalna i imosi 2a.
r1
-
r2 = 2a
I
• I I t
b 2 (x-c)2 -a2 (y- d):a
=a2 b 2 '
(x- c)2
fv- d)2
----- - ~ a2 b1
_
-1 o
138 139
lstostJana hiperbola
b) Pol u središtu,
lstostrana hiperbola je hiperbola kod koje je a=b. x2 _ y2 = al x2 a2
na polarnoj osi rl =
_L;:; i
b2 2
Inwnna hiperbola
Tjemena jednačina hiperbole 2
y = 2px +i. x
2
X
a
Pol•ma jednačina hiperbole a) Pol u žiži F i , realna osa na polarnoj osi
1 + aEosr
y F
Ib2 - 92 xl -1 Pololaj
Središte u tački M(- a), O)
--
b
X
a
tačke prema hiperboli
Postupiti analogno kao kod
određivanja
polobja
tačke
prema elipsi. (Izraz (t) ima oblik b2x2 - a2y2 - a2b2) X
Polobj prave prema hiperboli Postupiti analogno kao kod određivanja položaja prave prema krugu. (U sistemu jeđnačina umjesto jednačine
140
2
& cos f - 1
a2
r=
realna osa
kružnice staviti
jednačinu
hiperbole).
141
lllimptota
•
>
y
y
Asi111ptote hiperbole -
al
..2
a2
b2
_ _ .L
IU
=1
-
-
-
.
Nonmla(•)
prate: Jed111čtne tan11-nti Iz date tačke P (x0 , Y0) '''' hiperbole b2x2 - a2y2 • a2b2
I Način - Po oću Ullota dodira . Rjelenjem sistem.a jednačina
Yo =kxo +2
i2
= a2k2 - b2
po ki 2 dobivamo k 1 , k 2 , 21 i~ Jednačine
nnpntl
:
~
Vdna ( Rješenjem sistema jednačina
yi . 2px
blxox- alyoy = alb2 Oednačina polare) b2x2 _ alyl =
a2 bl y
po t i y dobivamo X 1 , Xl •
Jeclme„
= al bl
l
Tl(x l :yl)
X2 X- l2Y1Y
va x •-~,za p o
2
D
F
ll
pre1111 - x osi,
diJektxl• prava
JMn1e1nt taqeati 111 :
b
za P > O panbola onoren1 pre111• +x osi, direktrila prabola onoren1
y I i y2
blX1X- 8lY 1Y
,
X •
! • X oll
a t.&l S (c, ci) y
PARABOLA Parabola je geometrijsko mjesto tač aka u ravni za koje je ~daljeno1t od jedne stalne tačke (tiu, fokusa F) Jednaka udaljenosti od jednog staln
pravca ( direktrue ). 144
(y-4)2
=lp (x-c)
s d
--r---X
c
145
PGlollltl&e
Pnl1r ••• Jedn1člna p••abole
~•
I
Taeb Ti (x 1 , y 1 ), J>.IJ'bola y
a) Pol u ti!i, polarna osa okrenuta suprotno od ote Ox
---
y~
b) Rol na tjemenu, po1•ma o• 1e poklapa sa otom o
> 2px1 -
y~ • 2px 1 y~
PJrabole
I
-
< 2px 1 -
2
•
2 px
tačb izvan penbole tačka na puJboli tačka unutar parabole
Postupiti anal~o kao kod određivanja polot.aja prave prema trup. (U liltemu jedna~ina ~sto jednaćine staviti jednačinu pa.rabole).
2
r • 2trto1f (l +ctg T) laves 11•1 p111bola X~= 2py
lJlloy da· ,.... .........
-
Za p > O otvorena ka gore (+ Y ou).
P>o X
Za p < Ootvorena ki dole (- y osa).
14'
Prava y = kx + 2 jo tangenta ~abole ako vrijedi Ullov:
2 y
=2 px
p•2k2 '
147
i normale u datoj
„čkl
D
y
N~in
-
pomoću
polue
Rjelenjem mtema jednačina: •
Y0 Y = p(x0 +x) y 1 = 2px
y
X
No1111••• (n) _
Y-Y1 - -
X1( ) X- Xi
Jeclnečlm
t•nie••ti h: perabole y2 = 2 px Način
I
-
Pomoću
da~ tačke P(x0
oslova dodin
Rjelenjem sistema
jed.načina
y o =kxo +2
p = 21& po k i 2 dobivamo k 1 , k 2 , 21 i ~ Jed••ačine tangenti su: Y =k;x + 21 i y = k 2 x + g'.2 )
1.
148
Y1Y ::: P (x + Xi) . Y2Y = P (x + X1)
p
,
y 0 ) van
Po.18111 I
4 3
=.
..,•enta parabole
Xi
Y1
KONUSNI PRF.Sma Ako kupu presječemo ravninom koja ne prolazi vrhom kupe, u presjeku se dobiju alijedeće laive: 149
- lcru!nica, ako je ravan paralelna osnovi kupe, a siječe sve izvodnice (J3 1 = O), - elipsa, ako ravan siječe sve izvodnice. a prikloni ugao ravni manti od priklonog ugla izvodnica~
a) Ovdje je a tzv. prikloni ugao izvodnice kupe, a /3 prikloni ugao ravni. I
I
omA JEDNACINA PRESJEKA KUPE
I
a) U pravougllm koordinatama
a-----
Ax + 2Bxy + Cy + 2Dx + 2Ey + F =O 2
(
2
Jednačim
predstavlja: 2 1 - krulnieu ako je: A=C, B '0, D +B - AF=O - elipsu a_ko je: AC - Bi> O
- hiperbolu ako je: AC - B:i l
chx E ( l , oo·)
X
1 l X
•
ltbxl < 1
174
·1
·I
INVERZNE FUNKt1JE HIPERBOUCNIM FUNKCIJAMA Za shx inverzna funkcija je y == Arshx (Aiea sinus hi rbolni od X • Arshx = in (x + x + 1) ( xE (- 00 , + oo ) ) Za shx inverma funkcija je y = Archx (Area kosinus hiperbolni x)
Archx =in {Je.+ Je - 1) Za thlt lnverma funkcija je y ns hi bolni X Arthx. = 2n + X 1- x
(x E (t.+ .oo ))
=Arthx (Area tan(lxl
< l)
17~
GRANICNE VRIJEDNOSTI FUNKCIJA
Za cthx lmerzna f11nkcija
J• y
• Arcthx (Are&
kont1npm hiperbolni x). Arcthx
;a
1 1n
2
X
+1
x- 1
(lxl>l)
Za funkciju y = f (x) se kaže da teži
x
gr~čnoj
vrijednosti A kad teži ka a ako ~ svaki niz "n iz obluti definlsanosti koji teti ka a, teži i niz vrijednosti y = f (Xo) ka konačnoj graničnoj vri· jednosti A.
lim f (x) =A X-+ a •
Funkcija f (x) je defmlsana u okolini ta~ke x = a, a u samoj tački mole(ali ne mora) biti defmisana. Zavisno od toga sa koje se strane, na brojnoj osi, približava x ka a, razlikujemo: - lijevu graničnu vrijednost
lim f (x)
ili
x-+a
lim f (x) x-+a - 0
xa 177
Ako postoje lijeva i desna granična vrije.~ost i ako su one jednake i konačne~ tada funkctJa f (x)
ima graničnu vrijednost u tački x = a. Ptad1 za batenje 111uičuih ••P4noed
lim ~f(x) = {Ylim f(x) x „a x i.o a llin f(x)
lim [ct(x)] = ~ r ~.
(cER)
Ako postoje granič.ne nijednosti funkcija f (x) i 8 ~) tada vrijedi:
lim [f(x) r+a
8 (x)]
t
=lim f (x) ± lim 8 (x) x-+e
x-+a
lim [flx) · g(x)] = lim f (x) · lim g (x) x-+a x.....,a x -+a
1hn [logbflx)] = lBt, [lim f(x)]
x -+a
x •a
PRIMJERI GRANICNIH
NOSTI
lim [c f (x)] = c lim f (x) (1iln c =c) x-+a X ~I X.-• lim f(x) 1 lim ~ = . _. (lim g(x) + O) x •a g(x) 8x -+a x--+a x 8
liJD [ f ( X) X •a 178
)
= (lim f (:X.) X
•a
f
lim
n -+oo
(l +~)b = elt n
n X - I
•
tt
----=na
nal
x- a
179
lim X
-+o
lim 11
a• - t
ti 00
(a> O)
X
1 za lal < 1 1 l I• I = 1 a•"' za 1+a ,/0 za 1·a I > 1
x8 Um • z ..... 00. lim
c: Ina
1
X
x""+o
!&ryt
=n
X
lim
t1•ix = n
x~ tgmx
m
1 • . 1 ... limarctg-= ·; limarctg-= - x-+o+ X 2 x -+o- x 2
= O (a> 1, n E N)
= O
•
•
lim anx = 1.
lim
z-+o
x-+o
X
•
1
'
n nx n =-
sinmx m 180
x--+o
tgx = 1; lim
D
a~oon!
1
lim
lim
x =•oo
amnx=n X
•
IU1X
=O
X
181
NEPREllllNOl'I' FUNk.aJA Da bi fUbkaija f (x) bila neprekidna u tački x
biti !adofo}jeni slijedeti uslon: a) P••nKcija mora biti Mfini••na u ot-Olhii
=a
lllOfljU
xaa
b) Furikcija mon im•ti X -+a tj, limf(X)
paničnu
tačke
Yrijednost kad
ll-+. c) Gnnična vrijednost funkcije kad Jt =t-a mora bi ti jednak• wijednolti funkdj8 U ti~ki X = I
llmf( )= t{a)
X-·
P••nkcija f (x)je neprekidna u inteivalu (1, b) ako je neprekidni u av•koj tačld inte1v•l1. Funkcija je neprekidna za Vrijednosti x ako je lim lly = O R(lje je: ~-.o
Ax pdrut ugumenta x, a ~y ptiiut ~unkdje koji CJdaO•ua dato1n prirastu ugu11JCnta tj. 6y = f (x+-6x) - f (x)
112
POJAM IZVODA FUNKCIJE Izvodom funkcije f (x) u tačld x =a naziva se konačna granična vrijednost u tačk:i a količnilca pri· raštaja funkcije i prirašt.a,ja argt1menta kad priral· taj argt•menta teži nuli (x· •a), tj. (a) c lim f (x) --f (a} x-+1 x - a
r
f, (a) - prvi jzyod funkcije u tački a. Izvod funlcclje f (x) u tački x Je:
f' (x) =lim ffx+&t) - f(x) =lbn {i=~ Ar+o b.x &: •o
f (x) - f(a):; tga,
x- a
" „8
x-a
f(a)
=ta~
Prvi izvod predstaYlja tangens ugla tangente na krivu u datoj tački.
I•.1 I JIAo+-- ,,,__
o
R
a
x
• 183
IZVODI ELEMENTARNIH FUNKCJA
'
Funkcija
Prvi izvod
y=c • y=x
y• = O
y=u+ y=x° y=ax y=ex y = ls.x
y = lnx
•
)
y. ctgx
y• ucsinx
'
y.-= 1 y" =a
.
I
yc
.'
y' = a"lna y' : e.A
I
I
•
y=smx
y' = 1 . 0,434294 . ... y'
=cosx
y = cosx
y' = - sinx
y=tgx
y'-
184
1 - coslx
y• ucctgx
• 1 Y -=-1 +x2
,, ,,
X
-
1
Y • l+x2
'
y, = 1
t
-
y • uctax '
Y' = ~·las_e
X
UCCOIJt
li
y• = nxD·l
;
y = logx
y'-- - sin2x
y•shx y•chx
-
y' „ dJ.x y' I: lhx
' '
y•thx
y' -=ti. 1 c-Ji2x
y • cthx
y'• -
I
' •
:
" '
y :: Anhx
,
y
1 sh~x 1
=v'l+x
185
IZVOD SLO!BNE FUNKCIJE 1 l
J
[)' = Arcb.x
y> = t.
X
ty
-1
i
(I X I > 1)
1
=Arthx
y' = _;2 (lxl < 1) 1 y' =
1Y = Arcth.x
1 2
1-x Ptsril1 o·ntlefenJu izvoda
(l X\ > 1)
Ako su f (x) i 8 (x) funkcije nez:aviano prornjenljl· W X i ako imaju :prve izvode r (X) i g' (X) onda vrijedi: I
(
I
f (x) ± g (x)] = f (x) ± g' (x)
[f(x) g (x) l' = ( (x) 1 (x) + f (x) g' (x) I
f (x) _ f' (x) g {x) -:-. f.ix}g~ (x) ( (x) ;/=O) (x) (g(x)f g
,
(cf(x)l = c f' (x) 186
Funkcija y
a
y (u) gdje je u = u (x) ima prvi izvod
pox y' (x) = y' (u)u' (x)
iz•-'• ....
.
F ...... s
~
·•
-
.a
lzwd 0
[f (x)]
y' = n [f(x)f·
1
f' (x)
IV= af(x)
y' =a' oi
IY = ef(x)
y' =ef(a) f' (x)
=
=r.f {xl (x)
1Y ln lr(x) I
y'
1Y =sin (f (x)]
y' = f' (x) cos (f (x)]
1Y =cos [f (x)]
y'
~ = tg
[f (x)]
=- f' (x) sin [f (x)]
y'=
r. {x} cos2 [f(x)] 187
y • ctg (f (x)]
, y = - sin2 (f (x)]
y-= shf (x)
y, :s chf (x) r· (x)
,
f' (x)
r· (x)
y = c:hf (x)
y' = shf (x)
y-= thf (x)
, • f' {xl Y ch2 f(x)
y = cthf (x)
y' • _ f' (x) sh2f ·x·
"
IZVODI VISEG REDA Izvodom drugog reda ftankclje f (x) (drugi izvod) naziva se izvod prvOB izvoda te funkcije, tj. y' ' (x) = [y' (x) ]' Izvodom n-tog reda (n EN) naziva se izvod izvoda (n-1 )-og reda te f11nkcije, tj. y l)
dx„ :
arc.Vnx + c = -uocosx + c
A.-6L„ l'UUJ.A
+ C :!}n l+X + J.
1-x
c
(lxl < 1) .
1 +X~
dx ch2 x
Jx~+l == Anhx + c = 2n (x+
.
dx
f shxdx
dx
+ c
. . dx x2..:0 1
= - Arcthx + c =tm ~;l + c
•
(lxl > 1)
OSNOVNA PRAVILA ZA INTEGRIRANJE Integral zbira i razlite ft1•*c4• J[f(x) ± g(x)) dx = ff (x) dx ± f g (x) dx
lntepal funkcije u kon1t1ntni111 t.ktorom dx 2
- sh 196
x
c
-cthx + c (x -:I= O)
f c f (x) dx =c f f (x) dx 197
INTEGRALI RACONALNIH FUNKCIJA
Jlci r, (x) :I: ~fi (x) i: .•. ± cnfn {x)J dx =
.i..=.:---..- {n
=c1 Jf1 (x) dx ± ei Jf2 (x) dx ± ... :1: c8 /f.(x) dx 2·
ID
/f (x) dx = ff [Y (u)) f' (u) du
3.
adje je U DOYI proiiQenljift
Jx
clln lu+ bi a
= {ax+b)a+2 (ax + b) dx 12 (n + l) n
Kt.. +b)n+ 1 ~(n+l)
(b ~ -1 . -2)
4.
f udv =uv -
ax +
„ - l)
dx ax+b
c.!-~ 1n lax +bi I
I
Jvdu
gdje su u I v f11nkcije nezavimo promjenljive x.
s. 6.
xd.x (ax+b)2 xdx (ax+b)1
a
1 b ... 1n f d +bi a2(ax + b) a2
_ ___ b_~_ ~ (n-1) (ax+b)n-1
=
1
- {n·2) (~+b )n-2 (n ""' 1~2) 198
199
7.
=
1
&'"
2
(ax+b)
2
· 2b(ax+b) +
dx
12.
1
+ b ln lax +bi xldx
8.
13
2
10.
x dx
(ax+b)n
+
l
ln lax+b I+ lb -
=-a3 . 2b
2
_ 2 b3
b
ax+b 2(ax+b)1·
1 + (n~3) (u+b)D·3
14.
dx x2+a1
b2
16. 11.
x(ax+b)
200
lnl ax+bl X
_ 1 t X - a are g a
1 a- x = 2a ln a+x (lxl a)
=
201
dx
17 ·
ax2 +hx+c =
xdx bx + 2c 20· (ax2 +brtc)8 = • (n·1)(4ac--b2 )(ax2 +bx+c)S1dx '\n..1(n~1) ( IX2 + b X + C,-
b(2n-3) [ (n-1) (41C-b2) 7
21
·
4 2
1 1n ax2 + bx 0,4ac-b1>0) 2
X
(a>0,4ac-b =O)
1 =-
(I xi >a)
'1=i
21
Jbi
· J1:x - 2.
•
2ax+b ( . ia) m y; X
dx :: Arcll X 7 1 . Jx2 - a2 a
axi+bx+c
.
,/u.'+b~+~
đx
Jax1+bx+c
•
-
INTEGRALI TRIGONOME'l'RJJSICIH FUNKCIJA
1. f sinaxdx = - l 2 . Jsinnaxd.x
8.
COllX
a
· n-1
=_ stn
dx = _ 1 . cosax + sinnax a(n-1) sinn·I ax dx ( > ) smn·2ax n 1
n·2 + n·l
ax · cosax +
na
(n> O)
dx
9·
_
1
1 ± sinax - a tg
( ax
1f' ) '
2 +4 , •
3.
Jx sinax dx ::: sin2ax - xcosax a
10.
a
4. /x0 sinaxdx = -~cosax + !!.fx8*1 cosaxdx a a S. 6.
linax X
dx
= _ (ax) 8X
sinax dx -_ -
i'
208
3
5
(n>O)
(ax) 3-3! +5.5! - +...
1 sin•x a + -~ n- 1 xn·l n- 1
cosax dx
f 1+:~ =! tg
xm+t(2nx)n x•(inx)ndx = · m + 1
7.
O vrijedi: -
l. f 2nxđx = x ~nx - I J 2_ f(.enx)2 dx =x (~nx)l - 2x2ruc + 2x
m11J"
(inxf!h = (2nxf+
8.
::x : :
4. 5.
dx
(2nx) (2nx)3 2n I~ I + 2nx t 2 . 2 ! + - 3 . 3 l + „. _- ·
n-1
6.
xm
IJl.
+
- - (m·l)x11 · 1
xm
dx
(n
(2nx)n-l
'* 1)
+
n m-1
- - (m-l)x• 1 1
{fnx>; dx (m ":/: l); (n 4'-1) X
m
+1( 2nx 1 2 (m :;it: - 1) xm 2n.xd.x = rr1 m+l - (m+ 1) a
11.
1 ad. (m?:l) (m·l)2 x 1
_ •
(2nx)". +
!2nxfdx _
m+l
dx X ·n 1 + (2nx)n- - (n-1) (2nx) X
)
m+l + n-1
216
2nx
(n- 1) (2nx)R-l
(2nx)n -
+· l
X
2nx dx _
9.
1
n+l
X
3". I (2nx)ndx = x (2nx)n - n /(2nx)n-ldx (n#:-1) 2
(m;n* - 1)
n ·'Xm(2nx)n-1 dx
xmdx . (2nx)n-t
(n ~ 1)
117
ll.
ll.
1::X = 2n 12MI /x
*
iax"' ln lfMI - ~t) 2nx +
- 1/
2
_. (n- 1} (iof _ 2. 2! 14.
2 2 1. farelin.!.d.x • x1rc1ln .!.+ v'a - x
r. 2. f xarcstn • dx.