Matematica Teme Recapitulative Clasa A VII-A [PDF]

Zitiervorschau

Prenume: ........................................................................ Clas: .............................................................................

ED

IT

U R

A

PA

45

R AL

coal: ...........................................................................

EL A

Nume: .............................................................................

45

Lucrarea este elaborat în conformitate cu Programa colar în vigoare pentru clasa a VII-a, aprobat prin O.M.E.N. nr. 3393/28.02.2017.

EL A

R AL

Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a României NEGRIL, ANTON Matematic : teme recapitulative : clasa a VII-a / Anton Negril, Maria Negril. - Piteti : Paralela 45, 2020 ISBN 978-973-47-3316-3 I. Negril, Maria 51

ED

IT

U R

A

PA

Editura Paralela 45

Redactare: Ramona Rossall Tehnoredactare: Iuliana Ene Pregtire de tipar: Marius Badea Design copert: Mirona Pintilie

Copyright ¤ Editura Paralela 45, 2020 Prezenta lucrare folosete denumiri ce constituie mrci înregistrate, iar coninutul este protejat de legislaia privind dreptul de proprietate intelectual. www.edituraparalela45.ro

Maria Negril

EL A

45

Anton Negril

R AL

MATEMATIC

PA

TEME RECAPITULATIVE

ED

IT

U R

A

CLASA A VII-A

Editura Paralela 45

45

ALGEBR

EL A

R AL

1

MULIMEA NUMERELOR REALE I.1. Rdcina ptrat a unui numr natural. Estimarea rdcinii ptrate dintr-un numr raional I.2. Rdcina ptrat a unui numr raional nenegativ I.3. Mulimea numerelor reale I.4. Reguli de calcul cu radicali. Produsul radicalilor. Câtul radicalilor I.5. Scoaterea factorilor de sub radical. Introducerea factorilor sub radical I.6. Operaii cu numere reale I.7. Raionalizarea numitorului unei fracii I.8. Formule de calcul prescurtat I.9. Ecuaii de forma x2 = a, a ∈ \

ED

IT

PA

U R

A

2

ECUAII I SISTEME DE ECUAII LINIARE II.1. Ecuaii de gradul I cu o necunoscut II.2. Sisteme de dou ecuaii de gradul I cu dou necunoscute II.3. Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaiilor i al sistemelor de ecuaii liniare

3

ELEMENTE DE ORGANIZARE A DATELOR III.1. Produsul cartezian a dou mulimi nevide. Sisteme de axe ortogonale în plan. Reprezentarea punctelor în sistem de axe ortogonale. Distana dintre dou puncte din plan

7

45

CAPITOLUL I. Mulimea numerelor reale

1. Stabilii care dintre urmtoarele numere sunt ptrate perfecte: a) 25, 9, 35, 46, 144, 180, 289, 324, 340, 361; b) 152, (–7)4, 310, (–10)5, (–14)12, (–7)9, (–24)7, (–32)6; c) 76n, 54 n+2 , 18n +1 , 17 n +n , 14n −n+4 , n > 1, n ∈ `. 2

2

2

2. Stabilii valoarea de adevr a urmtoarelor propoziii: a)

81 = 9 ;

b)

72 = 7 ;

e)

64a 2 = 8a , a < 0;

f)

( −36a 2 )2 = 36a 2 ; g)

b) x2 = 121; f) x2 + 16 = 241;

(−6) 2 = −6 ;

d)

(−108) 2 = −108 ;

25a 4 b 2 = 5a 2 b , b < 0.

R AL

3. Rezolvai ecuaiile: a) x2 = 49; e) –3x2 = –48;

c)

EL A

I.1. RDCINA PTRAT A PTRATULUI UNUI NUMR NATURAL. ESTIMAREA RDCINII PTRATE DINTR-UN NUMR RAIONAL

c) 4x2 = 1600; g) 2x2 – 25 = 263;

d) 5x2 = 320; h) 3x2 – 256 = 716.

a)

a n +1 − 1 , unde a ≠ 1, n ∈ `*, calculai: a −1 x + 1 , unde x = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 22019;

b)

2 x + 1 , unde x = 1 + 3 + 32 + 33 + … + 32017;

c)

4 x + 1 , unde x = 1 + 5 + 52 + 53 + … + 52015;

d)

8 x + 1 , unde x = 1 + 32 + 34 + 36 + … + 32014;

e)

35 x + 1 , unde x = 1 + 62 + 64 + 66 + … + 62010.

A

PA

4. Folosind formula 1 + a + a2 + a3 + … + an =

x:

U R

5. Calculai numrul natural x i artai c este ptratul unui numr natural, apoi calculai a) x – 4 = 3(4 + 42 + 43 + … + 42016); b) x – 9 = 8(9 + 92 + 93 + … + 92018); c) x – 16 = 15(16 + 162 + 163 + … + 162020).

6. Artai c numrul x este ptrat perfect, pentru orice n ∈ `, unde x = 32 n + 5 ⋅ 42 n + 5 − 22 n + 3 ⋅ 62 n + 5 .

IT

7. Artai c, pentru orice n ∈ `, urmtoarele numere nu sunt ptrate perfecte: b) x = 15n + 7; f) x = 10n + 8;

ED

a) x = 5n + 2; e) x = 6n + 7;

c) x = 25n – 8; g) x = 21n + 36;

d) x = 10n + 3; h) x = 15n + 28.

8. Artai c numerele de mai jos nu sunt ptrate perfecte: a) x = 8 + 82 + 83 + 84 + … + 82013; b) x = 7 + 72 + 73 + 74 + … + 72009. 9. Fie numrul natural a = 82n ⋅ 225n+1 + 152n ⋅ 64n+1, unde n ∈ `*. Artai c numrul

par, pentru orice n ∈ `*. Matematic – Clasa a VII-a

a este numr natural

8

numrul

45

10. Se consider numrul a = 93n + 3 ⋅ 602 n + 92 n +1 ⋅122 n + 2 ⋅152 n + 93n +1 ⋅122 n ⋅ 52 n + 2 ⋅16 , unde n ∈ `*. Artai c a este numr natural par, pentru orice n ∈ `*.

11. Efectuai:

152 ,

b)

26 ⋅ 34 , 122 ⋅ 7 2 ,

c)

(−2) 2 ⋅ (−3) 4 ,

d)

(−17) 2 ,

(−5)6 ,

(−11) 4 ,

24 ⋅ 32 ⋅ 54 ,

22 ⋅ 34 ⋅ 52 ,

(−2) 4 ⋅ (−3) 2 ⋅ (−5) 2 ,

(−21) 4 ,

(−27)6 ,

a2 ,

a4 ,

a 6 , a ∈ ];

2 2 ⋅ 52 ⋅ 7 2 ;

(−2) 4 ⋅ (−5) 2 ⋅ (−7) 2 ;

(−31)8 ,

(−15)6 ,

(−28) 4 .

EL A

214 ,

( −29) 2 ,

a)

12. Calculai rdcina ptrat, folosind algoritmul de extragere a rdcinii ptrate:

4096;

b)

15376; 18496;

2304;

3136; 1764;

5184;

29584; 132496; 104976 .

13. Calculai: a)

7056 ;

R AL

a)

55696 − 54756 + 9216 ;

14. Calculai:

52 + 122 ;

b)

82 + 152 ;

e)

202 − 162 + 92 ;

f)

452 − 27 2 + 482 ;

186624 − 419904 + 148996 .

c)

7 2 + 242 ;

g)

32 ⋅ 302 − 32 ⋅182 + 32 ⋅ 322 .

PA

a)

b)

d)

92 + 122 + 202 ;

15. Determinai-l pe x ∈ `, tiind c:

23960 − 23959 − 23958 − ... − 22004 = 26 x ;

b)

32020 − 2 ⋅ 32019 − 2 ⋅ 32018 − 2 ⋅ 32017 − ... − 2 ⋅ 32 − 2 ⋅ 3 − 2 = 3x .

A

a)

U R

16. Demonstrai c numrul A = 80 ⋅ 52n ⋅ 43n + 20 ⋅ 102n ⋅ 24n este ptrat perfect pentru orice n ∈ `. 17. Determinai numrul natural x care verific egalitatea:

1 ⋅ 4 + 3 ⋅ 4 + 3 ⋅ 42 + 3 ⋅ 43 + ... + 3 ⋅ 42020 + 3 ⋅ 42021 = 26 x .

18. Calculai valoarea numrului:

IT

ª§ 1 1 1 1 · § 1 1 1 · º 180 x = «¨ + + + ... + + + ... + . ¸−¨ ¸» ⋅ 53 ⋅ 54 ¹ © 54 ⋅ 55 55 ⋅ 56 107 ⋅108 ¹ ¼ 7 ¬© 1 ⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4

ED

19. Se consider numrul a = 92 n +1 ⋅144n ⋅16 + 81 ⋅122 n ⋅ 92 n + 25 ⋅ 42 n + 2 ⋅ 93n , n ∈ `*. Artai c

a este

numr natural par, oricare ar fi n ∈ `*. 20. Determinai valoarea numrului natural a pentru care a = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2021 + 2023 .

Teme recapitulative

I.2. RDCINA PTRAT A UNUI NUMR RAIONAL NENEGATIV 1. Se consider mulimea:

{

3 A= − , 5

49, −

28 1 , 5, 2, , − 2 4, − 3 9, 4 4

}

3 , 0,15 . 8

81, − 1,

2. Calculai: a)

25 ; 36

b)

49 ; 64

c)

9 ; 169

e)

121 ; 256

f)

324 ; 625

g)

1

i)

4

21 ; 25

j)

2

k)

3. Calculai:

0, 64 ;

b)

1, 69 ;

d)

0, 2304 ;

e)

0, 2916 ;

g)

10, 4976 ;

14

1 ; 16

PA

a)

h)

d)

144 ; 289

h)

1

R AL

41 ; 64

7 ; 9

EL A

Scriei elementele mulimilor: A ∩ `; A ∩ ]; A ∩ _; A ∩ (_ \ ]); A ∩ (] \ `).

1,1664 ;

l)

9 ; 16

12

c)

5, 76 ;

f)

4, 6656 ;

i)

6, 4516 .

4. Calculai: 2 5 a) 1 ⋅ 0, 09 − 2 ⋅ 0, (4) + 0, (6) ⋅ 0,5625 ; 3 8

1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2021 ; 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 1013

b)

1 + 3 + 5 + 7 + ... + 75 ; 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 37

2 ª§ 1 1 1 1 · § 1 1 1 ·º + + + ... + + + ... + ¨ ¸−¨ ¸» ; « 5 ¬© 1 ⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4 63 ⋅ 64 ¹ © 64 ⋅ 65 65 ⋅ 66 127 ⋅128 ¹ ¼

IT

c)

U R

a)

A

1 64 4 3 b) 1 ⋅ − ⋅ 3, 0625 + ⋅ 0, 64 . 2 729 5 8 5. Calculai:

ED

d)

ª§ 1 1 1 1 · § 1 1 1 ·º 2 «¨ + + + ... + + + ... + ¸−¨ ¸ . 74 ⋅ 75 ¹ © 75 ⋅ 76 76 ⋅ 77 149 ⋅150 ¹ »¼ ¬© 1 ⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4

6. Calculai numrul:

N = ( x + y − 6) 2 + ( x + y + 7) 2 − ( x − y − 5) 2 − ( x − y + 6) 2 ,

unde x i y sunt numere raionale astfel încât –2 ≤ x ≤ 2 i –3 ≤ y ≤ 3.

Matematic – Clasa a VII-a

45

9

24 . 25

CERCUL

PA

2

EL A

1

R AL

PATRULATERUL I.1. Patrulatere convexe I.2. Paralelogramul I.3. Linia mijlocie în triunghi GEOMETRIE I.4. Dreptunghiul I.5. Rombul PATRULATERE I.6. Ptratul I.7. Trapezul I.8. Aria triunghiului I.9. Aria patrulaterului

45

GEOMETRIE

ASEMNAREA TRIUNGHIURILOR III.1. Teorema lui Thales III.2. Teorema fundamental a asemnrii

U R

A

3

ED

IT

4

RELAII METRICE ÎN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC

29

CAPITOLUL I. Patrulaterul

45

I.1. PATRULATERE CONVEXE

1. În patrulaterul convex ABCD se tie c 5'C = 4'D, 6'D = 5'B, 4'A = 9'C. Calculai msurile unghiurilor patrulaterului ABCD.

EL A

2. Determinai msurile unghiurilor unui patrulater convex, tiind c acestea sunt proporionale cu numerele 2, 3, 6 i, respectiv, 7. 3. Suma msurilor a dou dintre unghiurile unui patrulater convex este 160°. tiind c patrulaterul are trei unghiuri congruente, calculai msurile unghiurilor patrulaterului.

R AL

4. Determinai msurile unghiurilor unui patrulater convex ABCD, tiind c suma msurilor unghiurilor A i C este egal cu 205°, suma msurilor unghiurilor B, D i C este egal cu 250° i diferena msurilor unghiurilor B i D este egal cu 15°. 5. Determinai msurile unghiurilor unui patrulater convex, tiind c acestea sunt direct proporionale cu numerele 4, 5, 6 i, respectiv, 9. 6. Calculai msurile unghiurilor unui patrulater convex ABCD ale crui unghiuri verific egalitile: 2 1 5 'D = 'C; 'A = 'C; 'B = 'D. 3 6 4

PA

7. Determinai msurile unghiurilor unui patrulater convex, tiind c acestea sunt invers proporionale cu numerele 0,(1), 0,125, 0,(3) i, respectiv, 0,25. 8. Determinai msurile unghiurilor unui patrulater convex ABCD, tiind c msurile unghiurilor B, C i, respectiv, D sunt proporionale cu numerele 3, 4 i 8, iar msurile unghiurilor D i A sunt invers proporionale cu numerele 0,125 i 0,(1).

A

9. Calculai msurile unghiurilor patrulaterului convex ABCD, tiind c: 'B = 1,25'D; 'D = 0,(6)'C; 'A = 0,1(6)'C.

U R

I.2. PARALELOGRAMUL

1. În paralelogramul ABCD se duc AE ⊥ BD i CF ⊥ BD, unde E, F ∈ (BD). Demonstrai c AECF este paralelogram.

IT

2. În paralelogramul ABCD se consider punctele M ∈ (CD), N ∈ (BC), P ∈ (AB) i Q ∈ (AD), astfel încât [PB] ≡ [MD] i [BN] ≡ [DQ]. Demonstrai c MNPQ este paralelogram.

ED

3. În paralelogramul ABCD, unde AC ∩ BD = {O}, se consider punctele E, F, G i, respectiv, H mijloacele segmentelor AO, BO, CO i, respectiv, DO. Artai c EFGH este paralelogram.

4. În paralelogramul ABCD, unde AC ∩ BD = {O}, se consider punctele M ∈ (AD) i N ∈ (BC), astfel încât [AM] ≡ [CN]. Demonstrai c: a) ANCM este paralelogram; b) punctul O este mijlocul segmentului MN.

5. În paralelogramul ABCD se consider semidreapta [BM bisectoarea unghiului ABC, M ∈ (AC), i semidreapta [DN bisectoarea unghiului ADC, N ∈ (AC). Demonstrai c BMDN este paralelogram. Matematic – Clasa a VII-a

30

45

I.3. LINIA MIJLOCIE ÎN TRIUNGHI

EL A

1. În triunghiul ABC se consider punctele M i N pe latura [AB], astfel încât [AM] ≡ [MN] ≡ [NB]. Se noteaz cu P mijlocul laturii [BC], iar punctul Q este simetricul punctului N fa de punctul P. Dac AP ∩ QM = {G} i NG ∩ AQ = {T}, artai c [AT] ≡ [TQ] .

2. În triunghiul ABC se consider punctele D i E mijloacele laturilor [AB] i [AC], iar F un punct oarecare pe latura [BC]. Dac punctul M este mijlocul segmentului AF, artai c punctul M aparine segmentului DE. 3. În paralelogramul ABCD, AC ∩ BD = {O}, iar punctele M i N sunt mijloacele laturilor [AD] i, respectiv, [BC]. Artai c punctele M, O, N sunt coliniare.

R AL

4. În patrulaterul convex ABCD se consider punctele M, N, P, Q mijloacele laturilor [AB], [BC], [CD] i, respectiv, [DA]. Artai c patrulaterul MNPQ este paralelogram. 5. În triunghiul ABC se noteaz cu M mijlocul laturii [AC], iar punctul N este mijlocul segmentului BM. Dac AN ∩ BC = {P}, artai c BC = 3BP.

I.4. DREPTUNGHIUL

PA

1. În patrulaterul ortodiagonal MNPQ (MP ⊥ NQ) se noteaz cu E, F, G, H mijloacele laturilor [MN], [NP], [PQ] i, respectiv, [QM]. Artai c [EG] ≡ [FH]. 2. În triunghiul dreptunghic ABC, 'A = 90°, se noteaz cu D mijlocul laturii [BC]. Dac DE ⊥ AB i DF ⊥ AC, unde E ∈ (AB) i F ∈ (AC), artai c BC = 2EF.

A

3. Demonstrai c într-un triunghi dreptunghic mediana corespunztoare ipotenuzei este egal cu jumtate din ipotenuz.

U R

4. Se consider triunghiul dreptunghic isoscel ABC i punctul D situat pe ipotenuza [BC]. Dac DE ⊥ AB i DF ⊥ AC, unde E ∈ (AB) i F ∈ (AC), demonstrai c DE + DF = constant.

IT

5. În dreptunghiul ABCD se iau punctele M i N pe diagonala [AC], astfel încât [AM] ≡ [MN] ≡ [NC]. Dac DM ∩ AB = {T} i BN ∩ CD = {P}, artai c: a) BPDT este paralelogram; b) mijlocul diagonalei [AC] este i mijlocul segmentului PT.

ED

I.5. ROMBUL

1. În rombul ABCD, 'ABC = 120°. Artai c [AB] ≡ [BD].

2. În rombul ABCD se consider punctele E i F mijloacele laturilor [BC] i [AD]. Dac BF ∩ AC = {M} i DE ∩ AC = {N}, iar AC ∩ BD = {O}, artai c: a) [OM] ≡ [ON]; b) punctele E, O, F sunt coliniare. Teme recapitulative

50

45

GEOMETRIE CAPITOLUL I. PATRULATERUL I.1. Patrulatere convexe

EL A

1. 'A = 135°; 'B = 90°; 'C = 60°; 'D = 75°. 2. 40°; 60°; 120°; 140°. 3. 60°; 100°; 100°; 100°. 4. 'A = 110°; 'B = 85°; 'C = 95°; 'D = 70°. 5. 60°; 75°; 90°; 135°. 6. 'A = 22°30'; 'B = 112°30'; 'C = 90°; 'D = 135°. 7. 'A = 135°; 'B = 120°; 'C = 45°; 'D = 60°. 8. 'A = 135°; 'B = 45°; 'C = 60°; 'D = 120°. 9. 'A = 22°30'; 'B = 112°30'; 'C = = 135°; 'D = 90°.

I.2. Paralelogramul

R AL

1. Din AE ⊥ BD i CF ⊥ BD Ÿ AE || CF. Din ΔAED ≡ ΔCFB (I.U.) Ÿ AE ≡ CF. Aadar, AECF este paralelogram. 2. Din ΔPAQ ≡ ΔMCN (L.U.L.) Ÿ PQ ≡ MN. Din ΔQDM ≡ ΔNBP (L.U.L.) Ÿ MQ ≡ NP Ÿ MNPQ este paralelogram. 3. Se va arta c EF i HG sunt linii mijlocii în ΔAOB i ΔCOD. Deci, EF || HG i EF = HG, aadar EFGH este paralelogram. 4. a) AM ≡ CN (ip.) i AM || CN (ip.) Ÿ ANCM este paralelogram; b) În paralelogramul AMCN, AC i MN sunt diagonale; cum O ∈ AC astfel încât OA ≡ OC (ip.), rezult c O ∈ MN i OM ≡ ON. 5. ΔADN ≡ ΔCBM (U.L.U.) Ÿ DN ≡ BM; ΔANB ≡ ΔCMD (L.U.L.) Ÿ BN ≡ DM Ÿ BMDN este paralelogram.

I.3. Linia mijlocie în triunghi

U R

A

PA

1. În ΔANQ: AP – median i QM – median, AP ∩ QM = {G} Ÿ G este centru de greutate Ÿ NG – median; NG ∩ AQ = {T} Ÿ NT – median Ÿ AT ≡ TQ. 2. În ΔABF: DM – linie mijlocie Ÿ DM || BF Ÿ DM || BC (axioma paralelelor). În ΔACF: ME – linie mijlocie Ÿ ME || FC Ÿ ME || BC Ÿ DM i ME coincid, sunt confundate (identice) Ÿ M ∈ DE. 3. În ΔABD: MO – linie mijlocie Ÿ MO || AB (axioma paralelelor). În ΔABC: NO – linie mijlocie Ÿ Ÿ NO || AB Ÿ OM i ON coincid, sunt confundate (identice) Ÿ O ∈ MN. 4. În ΔABC: MN – linie mijlocie Ÿ AC AC . În ΔADC: PQ – linie mijlocie Ÿ PQ || AC, PQ = Ÿ MN || PQ i MN = PQ Ÿ Ÿ MN || AC, MN = 2 2 Ÿ MNPQ este paralelogram. 5. Fie MQ || AP, Q ∈ BC. În ΔBMQ: BN = MN i NP || MQ Ÿ NP – linie mijlocie Ÿ Ÿ BP = PQ (1). În ΔACP: AM = CM i MQ || AP Ÿ MQ – linie mijlocie Ÿ PQ = QC (2). Din (1) i (2) rezult c BP = PQ = QC Ÿ BC = 3BP.

I.4. Dreptunghiul

1. În ΔMNQ: EH – linie mijlocie Ÿ EH || NQ i EH =

NQ (1). În ΔPNQ: FG – linie mijlocie Ÿ FG || NQ i 2

NQ (2). Din (1) i (2) rezult c EH || FG i EH = FG Ÿ EFGH este paralelogram (3). În ΔNPM: EF – linie 2 mijlocie Ÿ EF || MP; cum EH || NQ i MP ⊥ NQ Ÿ EH ⊥ EF (4). Din (3) i (4) rezult c EFGH este dreptunghi Ÿ Ÿ EG ≡ FH. 2. DE ⊥ AB Ÿ 'AED = 90°; DF ⊥ AC Ÿ 'AFD = 90°; cum 'BAC = 90° Ÿ HEDF este dreptunghi Ÿ BC BC Ÿ EF = Ÿ BC = 2EF. 3. Fie M mijlocul lui BC, iar D simetricul lui A fa de M. Ÿ EF = AD; dar AD = 2 2 Deci, ABDC este paralelogram; cum 'BAC = 90°, rezult c ABDC este dreptunghi Ÿ BC = AD; cum AD = 2AM Ÿ BC . 4. DE ⊥ AB Ÿ ΔBED este dreptunghic isoscel Ÿ BE = DE; DF ⊥ AC Ÿ 'AED = 'AFD = Ÿ BC = 2AM Ÿ AM = 2 = 'EAF = 90° Ÿ AEDF este dreptunghi Ÿ DF = AE. Deci, AB = AE + BE = DF + DE Ÿ DE + DF = constant.

ED

IT

FG =

Teme recapitulative

ED

IT

U R

A

PA

R AL

EL A

45

N O T I E L E E L E V U L U I

45

CUPRINS ALGEBR .......................................................................................................................................... 5 CAPITOLUL I. MULIMEA NUMERELOR REALE ..................................................................................................... 7

EL A

I.1. Rdcina ptrat a unui numr natural. Estimarea rdcinii ptrate dintr-un numr raional ..................................... 7 I.2. Rdcina ptrat a unui numr raional nenegativ ................................................................................................... 9 I.3. Mulimea numerelor reale ....................................................................................................................................... 10 I.4. Reguli de calcul cu radicali. Produsul radicalilor. Câtul radicalilor ............................................................................. 11 I.5. Scoaterea factorilor de sub radical. Introducerea factorilor sub radical .................................................................... 12 I.6. Operaii cu numere reale ......................................................................................................................................... 12 I.7. Raionalizarea numitorului unei fracii ..................................................................................................................... 13 I.8. Formule de calcul prescurtat ................................................................................................................................... 15 I.9. Ecuaii de forma x 2 = a, a ∈ \ .................................................................................................................................. 17

R AL

CAPITOLUL II. ECUAII I SISTEME DE ECUAII LINIARE ...................................................................................... 18 II.1. Ecuaii de gradul I cu o necunoscut ....................................................................................................................... 18 II.2. Sisteme de dou ecuaii de gradul I cu dou necunoscute ...................................................................................... 20 II.3. Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaiilor i al sistemelor de ecuaii liniare ....................................................... 22 CAPITOLUL III. ELEMENTE DE ORGANIZARE A DATELOR ..................................................................................... 25

PA

III.1. Produsul cartezian a dou mulimi nevide. Sisteme de axe ortogonale în plan. Reprezentarea punctelor în sistem de axe ortogonale. Distana dintre dou puncte din plan ........................................ 25

GEOMETRIE ..................................................................................................................................... 27 CAPITOLUL I. PATRULATERUL .......................................................................................................................... 29

U R

A

I.1. Patrulatere convexe ................................................................................................................................................. 29 I.2. Paralelogramul ....................................................................................................................................................... 29 I.3. Linia mijlocie în triunghi ........................................................................................................................................... 30 I.4. Dreptunghiul ........................................................................................................................................................... 30 I.5. Rombul ................................................................................................................................................................... 30 I.6. Ptratul ................................................................................................................................................................... 31 I.7. Trapezul .................................................................................................................................................................. 31 I.8. Aria triunghiului ...................................................................................................................................................... 32 I.9. Aria patrulaterului ................................................................................................................................................... 33 CAPITOLUL II. CERCUL .................................................................................................................................... 35

IT

CAPITOLUL III. ASEMNAREA TRIUNGHIURILOR ............................................................................................... 37 III.1. Teorema lui Thales ................................................................................................................................................. 37 III.2. Teorema fundamental a asemnrii .................................................................................................................... 37

ED

CAPITOLUL IV. RELAII METRICE ÎN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC ........................................................................ 39

PROBLEME RECAPITULATIVE ............................................................................................................ 43 INDICAII I SOLUII ....................................................................................................................... 46 NOTIELE ELEVULUI ......................................................................................................................... 59