Teme Supliment Gazeta Matematica Cls 5 [PDF]

Zitiervorschau

1L"

Radu Gologan, lon Cicu, Alexandru Negrescu (coordonatori) Marian Haiducu, Sorin Peligrad, Adrian Jurcanu

Ieme Su[liment Gazeta arian Haiducu, Sorin Peligrad, kuNegrescu. - Pitegti : Cartea

illatematici

GIASA a 12008

u-a

- 20t01

m

IicTnf

esrro"ffi EDUCATTONAL

rne

CUPRINS

Liliana Put Ion Radu

Emilia Rdducan Silvia Rddulescu Pavel Rincu l/ictor Sdceanu Lia Sdpldcan Cdtdlina Schnakovszki Yasile Scurtu Silviu Scuturici Gheorghe Sfara Daniel Sitaru Lucian Speciac

Adrian Stan Doniel Stanciu Elisabeta Stanciu Neculoi Stanciu Daniela Stdnicd Nicolae Stdnicd Gyuszi Szep

Mmius $andru George-Florin $erban Yasile $erdean

Ioan TebieS

Iicrdmioara Techiu Magdalena

LucaTugd Ovidiu fdlan

Yladimir

filei lucd

Yeronica lucd

Atranlurcanu

hrin

Prefald

.......

Capitolul I. PROBLEME DE

..........................6

ARITMETICA.............

capitolul II. OPERATII CU NUMERE

NATURALE..............

capitolul III. oPERATII CU PUTERI. PATRATE PERFECTE. CUBURI PERFECTE

DryIZIBILITATE... capitolul v. ECUATII................. capitolul vI. FRACTII ORDINARE Capitolul VII. FRACTII2ECIMALE.............. capitolul IV.

Capitolul VIII. ELEMENTE DE GEOMETRIE $I UNITATI DE

MASURA

7 ,.........34

...9 ..........37

15..........56

.......2t..........75 ........24..........83 ...26..........86 .......2g..........g2

...,.....31..........95

Is ab el a T entu

Daniela Tilincd Doniel Tocoian Gabriel Toga Ionel Tudor Nocis Gabriel Turcu

Gheorghe

enunluri solulii

Umeanu

Irina Yasilescu Alqandru Vele Cristina Vijdeluc

Mihai Vijdeluc Iulian Wddu,tu Ion Voicu

Sqtimiu Toicule!

INDEX.......

......................100

Capitolul

I

PROBLEME DE ARITMETICA 'A Gazeta Matematicd este un are neintrerupt

din 1895 qi nici

viafa elevilor, dar o pleiadi

$ matematicieni, pi-au fEcut

1. Tatil lui Andrei i-a propus fiului siu o ,,afacere": ,,De mdine, in fiecare ziin carei[i mdreqti cuun leu economiile, euili dublez sumape care o ai". Dupd optzile, Andrei avea 1022\ei. Ce sumi avea el in ziua in care a intrat in ,,afacere" (dacd a indeplinit

zilnic ,,baremul")?

. drag de matematici. Aga au

Ioan lulian Bunu, Baia Mare (S:E09.3) 2. Trei bicicliqti au plecat impreund la ora 10 din localitatea A cdfre localitatea .B astfel: primul merge 20 de minute qi sti 5 minute; al doilea merge 30 de minute qi st[ 10 minute, iar al treilea merge 35 de minute qi sti 15 minute. Cdnd merg, bicicliqtii au aceeagi vitez6. La ce ori se vor reintdlni cei trei bicicliqti dup6 ce se despart prima

vi-

oat6?

diriguitorii ei si ia deciziade a

einfiinpt Suplimentul Gazetei performanfe peste medie gi problemele

si fie

excelentii. Cele asele

.Aile

IV-XII,

in

originale;

noul volume,

dovedesc acest

educalia matematicd

umire cend aud

ci

problemele

ite.

Prof. univ- dr. Radu Gologan iinle Matematice din Romdnia

Daniela Tilincd qi Adriana Mihdild, Brdila (S:814.203) 3. O lldite conlindnd 10 pepeni identici c6ntbregte 20,5kg. Dacd am scoate 5 pepeni din l6di1[, aceasta ar cdntdn 10,5 kg. Aflafi masa lidifei goale. Adi Lupu, Drobeta-Tumu Severin (S:E09.131) 4. Dintr-un co$ cu pere s-au luat, pe rdnd, jumltate din cantitate gi inc6 o jumltate de pari, apoi jumdtate din cantitatea r6mas[ gi inci o jumbtate de pari, iar a treia oarl jumitate din cantitatea rdmas[ gi inci o jumltate de par6. $tiind cI au rbmas dou[ pere, aflali cdte pere au fost in cog. Luca Tuld, Buzdu (S:E14.161) 5. Mihai pleacd din Arad spre Sibiu, la ora 8, conducdnd un autoturism cu viteza medie de 60 km pe o16. Dan pleaci din Arad tot spre Sibiu, pe acelagi drum, la ora 9, pe o motocicleti, conducdnd cu viteza medie de 90 km pe o16. La ce distanfd de Arad il ajunge Dan pe Mihai? Marius $andru, Regifa (S:E14.321) 6. Un num[r de 2015 puncte din plan se coloreazi arbitrar, fiecare cu c6te una dintre 12 culori. Ardta\i c[ existd cel pulin 168 de puncte colorate la fel. * * * (S:E14.324) gi 7. Dragog, $erban tat6l lor au fost la pescuit. in timp ce tatdl prindea 10 peqti, Dragoq prindea 5 pegti, iar $erban 4 peqti. in doud ore, Dragoq a prins 25 de pegti. Cdfi pegti au prins, in doud ore, cei trei pescari? * * * (5:814.328) 8. Un ciclist, care are greutatea de 70 kg, slSbegte intr-o cursd cdte 700 g la fiecare 70 km parcurgi. Care este greutatea ciclistului dupi o cursi de 175 km? * * * (S:E14.329) 9. Care dintre concluziile A, B, C sau D rezulti din urmltoarele afirmatii? (1) Oricine studiazd, aritmetica este interesant. (2) Niciun papagal nu gtie sd citeascd. (3) Cine nu qtie sd citeascb nu este interesant. Teme Supliment Gazeta Matematici. Clasa a V-a | 7

(a) Eu studiez aritmetica.

A. Exist[ papagali interesanli gi eu sunt interesant. B. Eu gtiu sI citesc gi nu existd papagali interesanli. c. Existi papagali care studiazi aritmetica qi eu s'nt interesant. D. Eu sunt interesant gi nu exist[ papagali interesanli.

ii:'T:;:f#ffjillffjJ $'""lliil]

r0. Daci riecare din cei doi copii ai mei frigider, tatil lor bea o treime din rest, pisica un sfert din ce a rdmas, eu voi putea folosi ultimii 300 de ml de lapte pentru prdjituri. cali litri de lapte sunt acum in frigider? Care este cantitatea de lapte pe care o bea fiecare? Liliana Negrild, Arad (S:E12.466)

1l' Un om a impdrfit o sumi de bani la cinci siraci. Unuia i-a dat 2 din suma si la fiecare din ceilalli cdte

l75lei. ce sum[ a imp6rlit

9

qi cdt a primit primul?

Cdtdlina Schnakovszki, Arad (S:E12.46S) 12' Un cil[tor parcurge in prima etapr o treime din haseul ales, in a doua etapd" trei pitrimi din ce i-a rbmas, iar in ultima etapi l0 km. ce lungime are traseul? * * * (S:E13.204)

$t"r"

Supliment Gazeta Matematici. Clasa a V-a

Capitolul Il oPERATil CU NUMERE NATURATE

t interesant.

i. gomir, Olelu Rogu (S:E14.330) me din cantitatea de lapte din t din ss a r5mas, eu voi putea

U litri de lapte sunt acum in re? ma Negrild, Arad (5:812.466)

1. Fie s(n) suma cifrelor numdrului natural pentru care n-"(n) =2007.

j

9

din sumd gi la

aprimitprimul? :hnakovs zki, Arad (S :E 12.46g) seul ales, in a doua etapd trei urgime are traseul?

* * * (S:E13.204)

toate numerele naf.nale n

Gabriela Boroica, Baia Mare (S:809.4) 2. Determin a1i ab gtiind cd

,)

Jnuia i-a dat

r. Determinati

3. Aflali

tU'U" -Z =rc.(ab \,

+ Uo

- +\.

Gizela Pascale, Tdrgoviqte (S:E09.47) toate numerele naturale de hei cifre care, impdrlite la 98, dau restul egal cu

cdtul. Gh. Achim,

4. Determinali mu{imea n =

{*

I

ob"

Mizil, Prahova

(S

:809.203)

*fi + " =;@.&\

F r an c i s c C s aki, Livada, Satu-Mare (S : 809.207) 5. Determinafl suma tuturor numerelor de trei cifre, care indeplinesc simultan condiliile:

i) fiecare numir are suma cifrelor par[; ii) succesorul fiecdruia dintre numere are suma cifrelor 4. Gh. Molea, Curtea de Argeq (S:E09.210) 6. Aflafi numerele de doui cifre care au proprietatea cd fiecare dintre ele este de doui ori mai mare decdt produsul cifrelor sale mdrit cu unu.

Ion Burda, Amdr[qti, Vdlcea (S:E09.211) 7. Determinali numerele naturale de forma egalitatea oo + Uo +

*

ffi,

co

a

*

b+c+

unde

pentru care are loc

+ o = ob4. Gh. Achim,

8. Arntali

a,

c[ nu existd numere naturale r astfel incdt

Mtzil, Prahova

(S

sd avem 1!+ 2l+31+ ...+

:E09.2 12)

nl:2'oon

,

n!:I.2.3.....n-

Nicolae lvdschescu,Craiova (S:E09.244) 9.Dacd se scriu numerele naturale in ordine, incepdnd cu 1, si se determine cifra de pe locul 30000. Roxana Murea, Briila (S:E10.2) 10. Determinali numerele naturale a,

b Six pentru cute lo5by,1=212021r,r.

Vladimir lilei, elev, Iaqi (S:El 1.7) 11. Se consider[ numdrul a = U 1;]i,zr. Demonstrali cd a + I se poate scrie ca suma a 2011 de I

patru numere impare consecutive. Sergiu Prisacariu, Iaqi (S:811.9)

Teme Supliment Gazeta Matematici. Clasa a V-a I

l2.intimp ce rupe petarele unor flori, Ania spune pentru fiecare petali rupt[: ,,Iubesc matematica foarte mult, mult, pufin, foarte pu{in, deloc,,. Afla1i c6t a" *rrrt'irru"rt. Ania matematica, dac6 ea rupe 32 de petare. iui auce

* *p" lotl petale?

nu,.,i;. sr c6ntdresc 2012 g de zahdr. care este numdrul minim de greutl{i folosite?

'I;iillfl

Eugen predoiu, Clliragi (S:E13.4a) 14. cdte numere naturale de patru cifre au produsur chelor egar cu 6?

15. Determinali numerele narurale de cinci cirre care'^i:J:i7X:;,TTlliTTii;11] la stdnga cifua 6, se obline un numdr de 4 ori mai mare aiecdt oace le punem la dreapta

cifra 6.

Aure I DoboS an, Lugoj (S :813.49) 16. un biiat constatd, cd, dacd, face diferenla dintre vdrsta -"-.i *j"'u, ;d;; cifrelor numarului cate reprezint[ v6rsta acesteia, obline numdrul 25. celiani poate aveamama bdiatului?

17. Fie dour numere

r/r si i/2, de cdte trei cifre in tJjT,l#,7"r?::t:ffif;E,tlt#l Scriind aceste numere unur l6ngd altul, in ordinea lr,lr, qi W , se oblin doui numere de cate qase cifre fiecare astfel incdt unul este mai mare o.cat uttot de qase ori. Sd se afle numerele.

ls. c6te numere naturare impare Aflafi restul imp[rfirii sumei tuturor u."rto. numere la20I2.

^"i ##{iⅈ"?1TfitiT:Hitf

::tr.:;?l

re.s6searrte"e,#ny,l{':,K:i:::';#:fr #'J""ffi ,:'ffi?.f :?,,$':lr;r;,ll

doud numere a cEror diferenld sa se impartd. exactla 6.

Mar 20. Determinali numerele de forma

i an

ibc

a F I e an cu, Cdmpulung Muscel (S : E I 3.330)

daca 5 + l0 + l5 +... + ob,

=;fr00.

Daniela Covaci, Briila (S:El4;l) 21' se scriu in ordine crescdtoare toate numerele naturale de- patru Yruv care verv rau arr r"--" cifre produsul cifrelor egal cu zero. Al cdtelea num[r este 2013? Cris tina lchim, Bucureqti (S :E 14.2) 22.Numdrut aoc tnpzrytlabdacinul da qirestul a.Dac6 d=b+1, sdse'*)t""ai. nu este pitrat perfect. Narcis Gabriel Turcu,Brdila (S:E14.3) 23. Se consideri qirul de numere naturale 3, 10, 17,24,31, ... . ', " ! a) Aflafi al2}l3-leatermen al b) Stabilili dacd"20L3 este termen al qirului. c) Calculafi suma primilor 100 de termeni ai .sirului. Ionul Mazalu, Brdila (S :814.5)

qirului.

10 flt"r"

Supliment Gazeta Matematicd. Clasa a V-a

petali ruptd: ,,Iubesc [oc". Aflati cdt de mult iubeqte Ltru fiecare

r

rupe

20lI

petale?

este egal6 cu suma

* * * (S:El1.147)

ftrme, cu puteri ale lui 2, trebuie de greutdfi folosite? zn

24. Determinafi toate numerele de forma

proprietatea cE dacd li se pune decdt dacl le punem la dreapta

r

rsl Doboqan, Lugoi (5:813.49) virsta mamei sale gi produsul ne numIrul 25. CeF ani poate Sdpldcan, Beclean (S :E 13.59) a zEce, a cdror sum[ este 999.

r1V, qi

W,

se oblin dou6 ai mare decdt altul de qase ori.

iryulung Muscel (S :E13.322) la 2012, cdtul egal cu restul? ol2.

iryulung Muscel

(S :E

13.330)

+ .-.+ abc =ib"}o. niel a Covaci, Brdila (S :Ela. ;

l)

nrale de patru cifre care au 3?

na lchim, Bucureqti (S:E14.2)

Ad

=b+1,

sd se arate

ce abc

tbriel Turcu, Brdila (S:E14,3)

l,

...

.

qi

Nicolae Stdnicd, Brdila (S:Ela.6)

ob" careverificd abc=2.ab+3.bc++.ca.

25. Se se determine numerele de forma

relafia:

Br[ila (S:814.7) = D,r, unde x,y)z €{a,b,c\ $i Rudi Pasici,

26.

Aflali numerele de forma abc pentru

x#y+z+x.

"ur"

*

ob+

Concursul,,Micul matematician", Negreqti-Oaq (S:E14.82) 27,impdfiind un numlr natural de trei cifre la 84 ob,tinem restul 56. Sd se determine acel numir qtiind c[ implrlit la 13 dd cdtul egal cu restul. * * * (S:El4.g7) 28. Determinali numerele naturale de forma ob"d

"U"a 29. Scrieli numdrul

30.

M

82014

-

+

U"n

+

"nU

crta < b < c
n, iar a=rrm, b=5m+6n qi c=lln, atunci a>b>c. b) stabilili daci numerere a, b, c definite ra a), verificd rela{ia 5a + 6c =rrb. c) Aflafi restul imprrfirii numirului A: (a b)(b c)(c a) ra333, unde a, b, c -

-

sunt numerele definite mai sus.

Constantin Apostol,Rm. S6rat (S:E15.2ga) 39' Determinafi numerele de trei cifre pentru care, suprimdnd cifra zecilor,oblinem un numbr de 13 ori mai mic.

i0. Dan vorbeqte mult in timpul orei. prores

,*rlr"f:?:i##,':Hl,3r::t"t"A

dintre numerele a, b, c cu suma celorlalte dou6;i aduni rezttrtatere,,.Dup6 5 minute Dan spune cb a obfinut 385773. Demonstrafi ca oan a greqit, degi nu cunoaqtefi

numerele.

41. Determinafi suma cifrelor numirului n

Gabriel Toga'Ploieqti (s:816'128) 333....3 gi a = g99...9.

== o. b,unde a=

ie

33;ias 33 ciAe

Monic a C orbuS, Bucureqti

(S

42.Fie girul de numere naturale 7,lI,15,Ig, ... . a) Completali girul cu inc6 patru termeni. b) Determinafi al 60Jea termen al qirului. c) Stabilili dac6 numerele 372 qi 415 fac parte din gir. d) Calculafi suma primilor 100 de termeni ai girului.

:E13.S6)

Val entin Preda, Bucuregti (S :E 13.37) 43' Un numdr natural de hei cifre implrlit la rdsturnatul sdu d6 cdtul 3 gi restul 175, iar diferenfa dintre cifra sutelor gi cea a unitdlilor este 7. Aflafi numirul.

44. cdtenumere de trei cifre imp'r.tite la un

^r {:';:':ri#!i;:ffiTTt

Lil iana put, Sighetu Marmaliei

(s:E13'90)

(S

:E13. 126)

45' Andrei are in puqculi+a r44 de monede. o treime din ele sunt de i0 bani, un sfert din restul monedelor sunt monede de 50 de bani, iar celelalte sunt de 5 bani. poate el

si-gi cumpere o carte de 20 de lei?

Gheorghe Crdiniceanu, Drobeta-Turnu Severin (S:E09.12S) 46' Determinali toate numerele naturale de trei cifre care au proprietatea cI, elimin6nd cifra zecilor sau cifra unitefilor, se ob{ine de fiecare datd un numar natural de 10;ori mai mic dec6t numdrul inilial.

Tanla

C os t ea, Tulcea (S :E13. 162)

47. Afla1i resturile impdr,tirii numirului N = ababab + 13 la fiecare din numerele 13, .:: 2l qi37, Necul ai Stanciu, Berca, B:uzdu 48. Determinali cifrele distincte a, b, cpenku

12

:2009.

(S

:809. 1 6g)

obb" + a9 "*" Lucian Speciac, Buzdu (S:E09.169)

$t"rn" Supliment Gazeta Matematici.

Clasa a V-a

, nenule

qi m>n, iar a=llm,

relalia 5a + 6c =llb. c)(c - a) la 333, unde a, b, c

Ecd

-

49. Determinafi numerele abc, qtiind cA 2ab +3bc + 4ca = abc . Gh. Ghild, Buziu (S:809.170) + + + + 200...01. Stabiliti cdte cifre 201 2001 ... 2l num6rul N 50. Se considerd = \-/J 2009 cifie

identice are acest num[r.

Apostol, Rm. S6rat (S:815.2g4) rimend cifra zecilor, obfinem un 'el DoboSan, Lugoj (S:El5.2gS) 15

de lucru: ,,inmulleqte fiecare

mi rezultatele". Dupd 5 minute n a gregit, deqi nu cunoaqteli briel Toga, Ploiqti (S:El6.l2g) 'a

=

333...3. qi a 99

ciAe

= 999...9. ss itfre

a CorbuS, Bucuregti (S:E13.36)

-

Mircea Lazdr, Popegti, Focgani (S:E09.172) t 43, ... . +33,42 + +23,32 girul: 12 13,22 51. Se consideri a) Calculali valorile urmdtorilor trei termeni ai girului. b) Ardta{i c5 girul conline doar numere pare. c) Stabilili dac6 numerele 370 gi 1100 sunt termeni ai qirului. Adrian f,urcanu, Pitegti (S :E 14.250) 52. impErlind numdrul natural n la 42, obfinem cdtul c Ai restul 36. Care sunt cAtul gi restul impd(irii lui n la 14? L Fota, Izbiceni (S:E14.28f ) 53. Fie a, b, c, d numere naturale nenule astfel incdt a = b ' c + d. Demonstrali ci restul impirfirii lui a la b este egal cu restul impdrlirii lui d la b. Ion Voicu, Rbdulegti, Ialomila (S:E14.282) 54. $tiind cd {xr..x.+ n

r.

ln Preda, Bucuregti (S:813.g7) . sEu di cdtul 3 gi restul 175, iar

num[rul. in Preda, Bucuregti (S:E13.90) cifrE dau restul 7? iighetu Marmafiei (S :E f 3. 126) in ele sunt de 10 bani, un sfert ,lelalte sunt de 5 bani. poate el ilagi

:ta-Tunru Severin (S :809.12g) e au proprietatea cd, elimindnd rt:i un numdr nafural de 10 ori

oi

yy.!= ;F

ea:..,a.. z

ar[tati cd rxi.!.+ yy....y.= gar.? n-l ori

ori

lii-ori

u

.

+i on

Ion Voicu, RSduleqti, Ialomila (S:E14.283) gtiind c5: b, c, 55. Determinali produsul numerelor a, . a.b=I44,b c=225 qia'(b + c) = 340. Eugeniu Bldiu!, Bac[u (S:81a.284) 56. Determinali numerele naturale de cdtul 10 9i restul 9.

forma ob"

"ut",

impirlite la suma cifrelor,

Vas il e

57. Determinali cifrele x, y, z pentru

"ut"

*yt

+

Scurtu, Bistrila

W + "ry :2727

(S

dau

:E14.288)

.

Daniel Sitaru, Drobeta-Turnu Severin (S:E1a.289) 58. Determinali numdrul natural cu doui cifre, scris in baza 10, cate, impir,tit la rdsturnatul sdu, dd cdtttl2 qi restul 15. GYuszi SzeP, Petroqani (S :E14.325) numegte artisticd daci prin qtergerea uneia se 59. O pereche (x, y) de numere naturale dintre cifrele numSrului x se obline numdrul y. Calculali numlrul perechilor artistice

pentrucarex*Y=50. la Costea, Tulcea (S:E13.162) 13 la fiecare din numerele 13, :

iu

perca, Buzlu

(S

:809. I 6g)

+a9 =2009. n Speciac, Buzdu

t-a

(S:E09.169)

.

Heidi Feil, Olelu Roqu (S:E14.326) judelul f0. Cel mai vechi teatru din Rominia a fost construit in oragul Oravila din Caraq-Severin gi a fost inaugurat in anul 1817. Dup6 un num6r de ani reprezentat de gn num6r ,4 de dou[ cifre egale, la Reqifa (Carag-Sevenn) a fost construitd prima locomotiv[ cu aburi fabricatb in Romdnia; dupb un alt numdr de ani, reprezentat de un num[r ,B de doub cifre egale (B > A), la Lupeni (Hunedoara) a inceput construclia primei fabrici de mdtase artificiald din Romdnia. Adundnd acum un alt numdr C (de ani) cu aceeagi proprietate $i C > B, oblinem anul 2015. in ce an a fost construitd Teme Supliment Gazeta Matematici. Clasa a V-a

$ 13

prima locomotivi cu aburi din Rom6nia, gtiind cd aceasta s-a intdmplat dupd primei constitufii a [drii? 61. Fie numerele naturale a, b,

S=a2+b2+c2+

1392.

62' Determinalinumerele naturale

Lucian Dragomir, Olelu Rogu (S:E14.327) astfel incdt ab = 5c, bc = l3a, ca = 3Ib.

-

m,eva