Matemática Financiera. Ejercicios Resueltos y Propuestos [PDF]

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PRIMERA EDICION

Matematica Financiera Ejercicios Resueltos y Propuestos

Milton Efraín Guamán Flavio Florencio Parra Carlos Patricio Ruales Dieter Alfredo Kolb Carlos Clavijo Quito, Noviembre del 2015

Quito, Noviembre del 2015

DATOS DE LOS AUTORES

Ing. Milton Efraín Guamán Msc. MBA. Profesión:

Ingeniero Informático Magister en Finanzas y Gestión de Riesgos Magister en Dirección de Empresas

Docencia:

Universidad Central del Ecuador Universidad Politécnica Salesiana Universidad Internacional del Ecuador Instituto de Altos Estudios Nacionales – IAEN Fundación Tecnológicas de Latinoamérica – FATLA

Correo:

[email protected]

Ing. Flavio Florencio Parra Profesión:

Ingeniero Civil

Docencia:

Universidad Central del Ecuador Universidad Politécnica Salesiana

Correo:

[email protected]

Ing. Carlos Patricio Ruales Mgt. Profesión:

Ingeniero Administración de Empresas Magister en Administración Pública

Docencia:

Universidad Central del Ecuador Universidad Politécnica Salesiana

Correo:

[email protected]

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Ing. Dieter Alfredo Kolb MBA. Profesión:

Ingeniero en Sistemas Ingeniero Comercial Magister en Administración de Empresas

Docencia:

Universidad de las Fuerzas Armadas “ESPE” Universidad de las Américas Universidad Central del Ecuador

Correo:

[email protected]

Ing. Carlos Clavijo Profesión:

Ingeniero Civil

Docencia:

Universidad Central del Ecuador Universidad Politécnica Salesiana

Correo:

[email protected]

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INTRODUCCIÓN

La matemática financiera trata sobre temas básicos relacionados con: porcentajes, logaritmos, progresiones, interés simple, tasa de interés, gráficos de tiempos y valores, descuentos, documentos financieros, ecuaciones de valor y cuentas de ahorro, interés compuesto y depreciaciones, cuyo conocimiento permitirá al estudiante encontrar soluciones a problemas que se presentan en la vida práctica relacionadas con el ámbito financiero, mercado de capitales, inversiones, ahorros y de manera general en las diferentes transacciones

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IMPORTANCIA

Dentro del mundo de los negocios, el futuro profesional se enfrentará en muchas ocasiones a tomar decisiones que involucran la inversión adecuada de los recursos con que cuenta o a la disponibilidad de los mismos por lo tanto es necesario que tenga los conocimientos que involucran a la Matemática Financiera.

La Matemática Financiera es de importancia pues le permitirá al estudiante, en el momento que desempeñe un cargo en los niveles de apoyo o de dirección en una empresa sea pública o privada, tenga las técnicas, herramientas y destrezas para la toma de decisiones; entonces, deberá revisar documentos y emitir una opinión profesional decisiva y definitoria sobre estudios y proyectos o informes realizados, que necesariamente contendrán cálculos matemáticos y sobre todo financieros, para ver si es rentable o no una inversión.

En el mundo actual, donde la economía se ha globalizado y que gracias al apoyo de la cibernética se ha dado una verdadera revolución; pues las negociaciones y transacciones financieras y afectaciones, se hacen en tiempo real, por lo que se requiere poseer sólidos conocimientos financieros que permitan aprovechar las oportunidades que se presentan en el mercado y tomar las medidas precautelatorias cuando estas puedan afectar las finanzas de la empresa.

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INDICE DE CONTENIDOS

CAPÍTULO I ............................................................................................................................ 7 1. GENERALIDADES ...................................................................................................... 7 1.1.

LOGARITMOS Y PROGRESIONES ................................................................. 7

1.2.

INTERÉS SIMPLE ............................................................................................ 19

1.3.

DESCUENTOS ................................................................................................. 34

1.4.

ECUACIONES DE VALOR Y CUENTAS DE AHORRO ............................... 46

CAPÍTULO II ......................................................................................................................... 66 2. INTERÉS COMPUESTO DEPRECIACIONES ....................................................... 66 2.1.

INTERÉS COMPUESTO DEPRECIACIONES............................................... 66

ANEXOS ............................................................................................................................... 96 APENDICE 1

EL PORCENTAJE: APLICACIONES ................................................... 96

APENDICE 2

LOGARITMOS: APLICACIONES....................................................... 107

APENDICE 3

PROGRESIONES: APLICACIONES ................................................. 118

APENDICE 4

INTERES SIMPLE: APLICACIONES ................................................ 135

APENDICE 5

DESCUENTOS: APLICACIONES...................................................... 152

APENDICE 6 ECUACIONES DE VALOR Y CUENTAS DE AHORRO: APLICACIONES ............................................................................................................. 166 APENDICE 7

INTERÉS COMPUESTO: APLICACIONES ...................................... 183

APENDICE 8

DEPRECIACIONES: APLICACIONES .............................................. 205

APENDICE 9

TASA NOMINAL, TASA EFECTIVA Y TASAS EQUIVALENTES ... 220

BIBLIOGRAFÍA Y NETGRAFÍA ........................................................................................ 233 BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................... 233 NETGRAFIA ................................................................................................................... 233

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CAPÍTULO I 1. GENERALIDADES 1.1.

LOGARITMOS Y PROGRESIONES

CONCEPTOS PRINCIPALES

Porcentaje:

Se conoce también con el término tanto por ciento y se define como la proporcionalidad que se establece con relación a cien unidades y se expresa con el símbolo ( % ). Cualquier número que esté expresado en forma decimal se puede escribir como porcentaje recorriendo el punto decimal dos lugares a la derecha y agregando el símbolo de % y viceversa. El porcentaje puede también expresarse en forma fraccionaria sobre todo en las tasas de interés.

Logaritmos:

Se considera para el estudio solamente la parte que tiene relación con las matemáticas financieras. Se estudiará la forma de cálculo de las variables n e i. El logaritmo de todo número es un exponente. El logaritmo de un producto es igual a la suma de sus logaritmos. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. El logaritmo de una potencia es igual a la potencia por el logaritmo del número. Progresiones:

Son una serie de términos en la que cada término posterior al primero puede obtenerse del anterior; sumando, multiplicando o dividiendo por una diferencia o razón común. El estudio incluye las progresiones que tiene aplicación a las matemáticas financieras.

Progresión Aritmética: Es una sucesión de términos, en la que cualquier término posterior al primero se obtiene sumándole un número constante llamado diferencia común.

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Progresión Geométrica: Es una sucesión de números tales que cada uno de ellos se encuentra del anterior multiplicándole o dividiéndole por una cantidad constante llamada razón.

Progresión Geométrica infinita: Es una variedad de progresión geométrica cuya razón está entre menos 1 y 1.

Explicaciones y ejemplos:

1. Leer el problema con detenimiento y concentración tantas veces que sean necesarias hasta entender en forma precisa el alcance de los datos que se proporciona y la variable desconocida que se debe calcular. 2. Determinar la variable o cantidad desconocida mediante una letra. Observe que ciertas frases que se incluyen en el problema como: encuentre cuál es, cuánto será etc.; constituyen las variables que debemos calcular. 3. Despejar de la fórmula la variable desconocida y reemplazar con los datos conocidos la ecuación. 4.

Efectuar los cálculos y verificar las soluciones obtenidas.

Las siguientes páginas incluyen diversos ejemplos sobre cada uno de los temas incluidos en el bloque I con el procedimiento de cálculo. El éxito del estudio y el adecuado aprendizaje radica en el análisis de cada uno de ellos y en volverlos a resolver sin mirar la solución, esto le permitirá y ejercitará para que resuelva los ejercicios propuestos al final del presente bloque.

APLICACIONES SOBRE PORCENTAJES 1.1 . Calcular el 200% de 48,000 usd Por la regla de tres simple 48,000 100% X 200%

X

48,000 x 200% 100%

96,000usd

Directamente : 48,000* 2 = 96,000 usd 1.2 . Calcular el 50 1/ 2 % de 30,000 usd Por la regla de tres simple 8

30,000 X

X

100% 50.5%

30,000 x 50.5% 15,150usd 100%

Directamente : 30,000 * 0.505 = 15,150 usd 1.3 Qué porcentaje de 1,000 usd es 71.25 usd Por la regla de tres simple 1,000

100%

71.25

X

X

71.25 x 100% 1,000

7.125 %

Directamente : 0.7125 / 1,000 = 7.125% 1.4 Una empresa comercial ofrece en venta refrigeradoras, cuyo precio de lista es de 650 usd, con un descuento del 20% por venta al contado y con el 12% de IVA. Calcular: a) El valor de la factura a pagar b) El descuento efectivo c) El porcentaje efectivo que beneficie al cliente. a)

Valor de la factura a pagar 650

- 130 520 +

62.40 582.40

b)

Precio de lista (PL)

20% descuento ( 650 * 0.20 ) Precio con descuento 12% impuesto (520 x 0.12) Valor de la factura

Descuento efectivo (D.E.)

D.E = precio de lista - valor de la factura D.E = 650 - 582.40; D.E= 67.60 usd

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c)

Porcentaje efectivo que beneficia al cliente

% efectivo =

D.E

=

Precio de lista

67.60

= 0.104 = 10.4%

650

APLICACIONES SOBRE LOGARITMOS Y EXPONENTES

1.1

Calcular i

3.24 + ( 1 + i ) 50

=

6.345242 - 1

Solución: ( 1 + i ) 50 = 6.345242 - 1 - 3.24 ( 1 + i ) 50 = 2.105242 ( aplico logaritmos a ambos lados )

log ( 1 + i ) 50 = log ( 2.105242 )

50 log ( 1 + i ) = log ( 1 + i )

=

log ( 2.105242 ) log ( 2.105242 ) 50

log ( 1 + i ) = 0.006446041 ( obtengo el antilogaritmo a ambos lados ) 1+ i = Antilog ( 0.006446041 ) i = Antilog ( 0.006466041 ) – 1 i = 1.014999996 - 1 = 0.01499 = 1.499% ; i = 1.5% 1.2

Calcular n

(1 + 0.12125) n = 0.001042 Solución: log ( 1 + 0.12125 ) n = log ( 0.001042) n log ( 1.12125 ) = log ( 0.001042 ) log (0.001042) n=

-2.982132281 =

= - 59.9997 = - 60

10

log (1.12125)

0.049702456

n = - 60 APLICACIONES SOBRE PROGRESIONES 1.1. Una persona se compromete a pagar en forma ascendente durante 24 meses, una deuda por la compra de un automóvil: El primer pago 800; El segundo 840; el tercero 880 y así sucesivamente. ¿Cuánto habrá pagado en total durante los 24 meses? Solución: Es una progresión aritmética cuya serie de términos es: 800, 840 880,... a = Primer término = 800 d = diferencia común = 840 - 800 = 40 n = número de términos = 24 u = último término = a + ( n – 1 ) d u = 800 + ( 24 –1 ) 40 = 1.72 S = suma de términos = n/2*(a+u) S = 24/2*(800+1.720)

S = 30,240 usd 1.2 Una empresa tiene ventas anuales por 500,000 usd. Desea incrementar el 12% anual ¿Cuánto venderá al inicio del año 12? Solución: Es una progresión geométrica a = primer término = 500,000 segundo término = 500,000 ( 1 + 0.12 )= 560,000 tercer término = 560,000 ( 1.12 ) = 627,200 es decir: la progresión es. 500,000; 560,000; 627,200 r = razón = 1+12% = 1.12 n = 12 u =ar

n 1

12 1

= 500,000 * 1.12

;u=1’739,275usd (ventas al inicio del año 12)

1.3 Hallar la suma de la progresión geométrica infinita 1, ¼; 1/16, 1/64,.. Solución: a = 1, r = ¼

s

a 1- r

1 1 - 1/4

1 1 - 0.25

1 1.3333 0.75 11

EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN a) Resolver los siguientes ejercicios: 1. Un electrodoméstico tiene un precio marcado en 250 usd. Sobre este precio se carga un impuesto igual al 10% ; una vez que ha sido cargado se aplica un nuevo impuesto equivalente al 4% del total ¿Cuál será el valor de la factura que el cliente debe pagar? 2. Calcular n en la ecuación 5,225 ( 1 + 0.0255 )

n

= 3,750

3. Una persona debe el día de hoy 4,000 usd. De acuerdo mutuo con el acreedor decide pagar 400 usd cada 6 meses al que se debe incluir una tasa de interés del 2 ½% de su obligación, hallar el interés total que debe pagar. 4. Una computadora fue adquirida en 2,000 usd, la depreciación mensual es del 5 %. ¿Qué valor tendrá la máquina después de 24 meses de uso? b) VERDADERO O FALSO

Marque una X si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. AFIRMACIÓN

V

F

Porcentaje es la proporcionalidad que se establece con relación a cada Unidad. La vida útil de un activo se estima con base en la experiencia e informes de expertos o fabricantes. El logaritmo del cociente de dos números es igual al logaritmo del numerador más el logaritmo del denominador. En una progresión geométrica, cada término se obtiene multiplicando o dividiendo del anterior por una cantidad constante llamada diferencia común. En una progresión geométrica infinita, la razón es mayor a 1.

c) CASAMIENTOS

12

Una con líneas los siguientes definiciones con los conceptos correspondientes. DEFINICIONES Depreciación

CONCEPTOS Valor a la fecha de compra

Vida útil

Valor del activo cuando deja de ser útil

Costo inicial

Duración probable del activo

Valor de salvamento

Pérdida del valor

Auto evaluación Hasta el momento cual es su evaluación: excelente, bien, regular o mal. Si no se evalúa por lo menos de “Bien”, debe volver atrás o elaborar un plan remedial para superar las deficiencias; usted puede, hágalo con entusiasmo. Por otro lado si se siente bien o excelente, ADELANTE Y FELICIDADES.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Resolver:

a) 50 ½% de 30,000 b) 0.5 1/8% de 1’000,000 c) 9 2/8% de 10,000

2.- Qué porcentaje de:

a) 20,000 es 2,212.50 b) 200 es 500 c) 0.25 es 0.005 3.- De qué cantidad es:

a) 820 el 11 1/16% b) 1.15 el 25% c) 25,000 el 20.4% 13

4.- Una empresa ofrece a la venta refrigeradoras cuyo precio de lista es de $650 con un descuento del 12% por venta al contado y con el 5% de impuesto a las ventas. Calcule los siguientes ítems: a) el valor de la factura a pagar; b) el descuento efectivo; c) el porcentaje efectivo que beneficia al cliente.

5.- Un comerciante compra mercadería por un valor de $180,000 y la vende en $270,000. Calcule los siguientes ítems: a) la utilidad; b) el porcentaje de ésta en relación con el precio de costo; c) el porcentaje en relación con el precio de venta.

6.- Calcule i : a) 3.24 b) 1 i

1 i 35

50

6.345242

1

28 .666723

7.- Calcule n : a) b)

n

1 0.061222 1 0.12125

n

0.0000841 0.001042

8.- Encuentre los términos 20 y la suma de los 20 primeros términos de las progresiones:

a) -3 ; -2 ; 4 ; -1 ; 8 ; … b) 0; 3x ; 6x ; … c) x ; -6x ; -12x ; … 9.- Una empresa desea la estabilidad de sus empleados y mantiene una política de incremento de salarios. Si el salario inicial de un nuevo empleado es de $ 460 y se considera un incremento anual del 10%. ¿Cuál será el sueldo del empleado después de 15 años?

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10.- Una persona se compromete a pagar en forma ascendente durante 24 meses una deuda por la compra de un automóvil; el primer pago $800; el segundo $840; el tercero $880 y así sucesivamente. ¿Cuánto habrá pagado en total durante los 24 meses?.

11.- Encuentre el 10mo término y la suma de los 10 primeros términos de las siguiente progresiones geométricas;

a) -2 ; 4 ; -8 ; 16 ; … b) 1 ; 2 ; 4 ; 8; …

12.- Encuentre la suma de las siguientes progresiones geométricas infinitas:

a) 1 ; 1/5 ; 1/25 ; 1/125 ; … b) 1 ; ¼ ; 1/16 ; 1/64 ; …

13.- El monto de un depósito después de n años, cuando el interés es compuesto, está dado por la fórmula C 1

n

i . Si i es la tasa de interés y C es el capital inicial depositado:

a) encuentre los primeros tres términos de la progresión; b) determine la razón.

14.- Si una persona deposita $50,000 al 12% de interés compuesto acumulable anualmente, ¿cuánto ha acumulado al finalizar el año 12?

15.- Suponiendo que un documento paga el 9% de interés compuesto anual; si se invierten &187,500 ahora y luego de un tiempo se obtienen $270,000, ¿Cuánto tiempo ha transcurrido?.

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RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN.

1. Un electrodoméstico tiene un precio marcado en 250 usd. Sobre este precio se carga un impuesto igual al 10% ; una vez que ha sido cargado se aplica un nuevo impuesto equivalente al 4% del total ¿Cuál será el valor de la factura que el cliente debe pagar?. Solución:

250 + 25

Precio de lista Impuesto ( 250 * 0,10 )

275 + 11

Precio con impuesto Impuesto ( 275 * 0,04 )

286

Valor de la factura (paga cliente)

2. Calcular n en la ecuación 5,225 ( 1 + 0.0255 )

n

= 3,750

Solución: 5,225 (1 + 0.0255 )

n

= 3,750

( 1 + 0.0255 )

n

=

( 3,750 / 5,225 )

- n log ( 1 + 0.0255 ) = log ( 3,750 / 5,225 )

log ( 3,750 / 5,225 ) 5. n = log ( 1 + 0.0255 ) 16

log ( 3,750 / 5,225 ) n=-

- 0.144055 = -

log ( 1 + 0.0255 )

= 13,173 0.01093567

3. Una persona debe el día de hoy 4,000 usd. De acuerdo mutuo con el acreedor decide pagar 400 usd cada 6 meses al que se debe incluir una tasa de interés del 2 ½% de su obligación, hallar el interés total que debe pagar.

Solución : i = 2.5 % semestral = 0.025 ; t = 1 4,000 # de pagos que debe efectuar: 400

= 10 pagos

Saldo Inicial = 4,000 Interés del primer pago = I = c.i.t. = 4,000 * 0.025 = 100 Saldo luego del primer pago = 4,000 - 400 = 3,600 Interés del segundo pago = I = C.i.t. = 3,600 * 0.025 = 90 Saldo luego del segundo pago =3,600 - 400 = 3,200 Interés del tercer pago = I = C.i.t. = 3,200 * 0.025 = 80 y así sucesivamente.

El interés total pagado será la suma de los 10 primeros términos de la progresión aritmética 100, 90, 80…

En donde a = 100

; n = 10

;

d = - 10

u = a + ( n – 1 ) d ; U = 100 + ( 10 –1 ) ( - 10 ) = 10

S=

n/2*( a + u ) = 10/2*( 100 + 10 ) = 550 usd

4. Una computadora fue adquirida en 2,000 usd, la depreciación mensual es del 5 % ¿Qué valor tendrá la máquina después de 24 meses de uso?.

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Solución:

Al final del 1er. Mes la computadora tendrá un valor de: 2,000 ( 1 – 0.05 ) = 2,000 ( 0.95 ) = 1,900

Al final del 2do. Mes tendrá un valor: 1,900 * 0.95 = 1,805 y así sucesivamente.

El valor que tendrá la máquina después de 24 meses se puede calcular como una progresión geométrica en donde:

a = 1,900 ; r = 0.95

; n = 24 24 1

u = ar

n 1

U = 1,900 ( 0.95 )

= 583.98 usd

a) Verdadero o Falso. Marque una X si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

AFIRMACIÓN

V

X

Porcentaje es la proporcionalidad que se establece con relación a cada Unidad. La vida útil de un activo se estima con base en la experiencia e

F

X

informes de expertos o fabricantes. El logaritmo del cociente de dos números es igual al logaritmo

X

del numerador más el logaritmo del denominador. En una progresión geométrica, cada término se obtiene multiplicando o dividiendo del anterior por una cantidad constante llamada diferencia común.

X

En una progresión geométrica infinita, la razón es mayor a 1.

X

18

c) CASAMIENTOS Una con líneas los siguientes definiciones con los conceptos correspondientes.

DEFINICIONES Depreciación

Vida útil

1.2.

CONCEPTOS Valor a la fecha de compra

Valor del activo cuando deja de ser útil

Costo inicial

Duración probable del activo

Valor de salvamento

Pérdida del valor

INTERÉS SIMPLE

CONCEPTOS PRINCIPALES Interés: Se define como la cantidad pagada por el uso del dinero obtenido en préstamo o la cantidad producida por la inversión del capital.

Tasa de interés: Es la razón existente entre el interés devengado y el capital en la unidad de tiempo.

Interés Simple Se denomina así al interés producido por un capital en un determinado tiempo.

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Año Comercial: Se lo considera de 360 días (meses de 30 días).

Año Calendario: Se considera tal cual aparece en el calendario es decir de 365 días, excepto si es bisiesto, en cuyo caso se toma el año como 366 días.

Tiempo Exacto: Tomamos el número de días, tal cual consta en el calendario.

Tiempo Aproximado: Se toma el año de 360 días y los meses de 30 días.

Interés Exacto Es aquel en que se divide el tiempo para 365 o 366 días.

Interés Ordinario: En este caso dividimos el tiempo para 360 días.

Monto a Interés Simple: Es la suma del capital original más los intereses.

Valor actual o Valor presente de un documento o deuda: Es el capital calculado en una fecha anterior a la del vencimiento de la deuda. El tiempo que se toma para el cálculo, es el que falta para el vencimiento de la deuda.

Gráfica de tiempos y valores: Consiste en una línea recta. En la parte superior se colocan los valores nominal, actual y al vencimiento, y en la parte inferior las fechas de suscripción, negociación y vencimiento.

20

Interés sobre saldos Deudores: Los intereses se calculan sobre los saldos que van quedando después de deducir cada cuota que se paga.

Explicaciones y Aplicaciones Las siguientes páginas incluyen ejemplos sobre cada uno de los temas incluidos en el bloque II, con el respectivo procedimiento de cálculo. El éxito del estudio y el adecuado aprendizaje radica en el análisis de cada uno de ellos y en volverlos a resolver sin mirar la solución, esto le permitirá y ejercitará para que resuelva los ejercicios propuestos al final del presente bloque. APLICACIONES SOBRE EL CÁLCULO DEL INTERÉS SIMPLE Calcular el interés simple que genera un capital de 350,000 usd al 10% anual desde el 18 de abril hasta el 8 de julio. Solución: Determino el tiempo exacto y el tiempo aproximado. Tiempo Exacto Tiempo Aproximado Abril 12 12 Mayo 31 30 Junio 30 30 Julio 8 8 81días 80 días Cálculo del interés: I = Cit a)Tiempo aproximado y año comercial I = 350,000*0.10*80/360 = 7,777.78 usd b) Tiempo exacto y año comercial I = 350,000*0.10*81/360= 7,875.00 usd c) Tiempo aproximando y año calendario I=350,000*0.10*80/365 = 7,671.23 usd d) Tiempo exacto y año calendario I=350,000*0.10*81/365 = 7,767.12 usd Evaluación: El interés más alto se obtiene cuando se calcula con el tiempo exacto y el año comercial. APLICACIÓN SOBRE EL CÁLCULO DEL CAPITAL, TASA DE INTERÉS Y TIEMPO a) Determinar cuál es el capital que al cabo de 120 días y con una tasa de interés del 8% anual, produjo un rendimiento (interés) de 5,500 usd. 21

Solución: I= Cit

C= I

C= 5,500

it

;

I = 206,250 usd

0.08*120/360

b) Establecer la tasa de interés a la que debe colocarse un capital de 50,000 usd para que produzca 4,500 usd de Interés en un tiempo de 210 días. Solución: I= Cit

I= I

I = 4,500

Ct

= 0,1543

I = 15.43%

50,000*210/360

c) Calcular el tiempo en el cuál un capital de 150,000 usd producirá un interés de 12,000 usd a una tasa de interés del 1.25 % mensual. Solución : I= Cit

t=I Ci t = 1.25 mensual* 12 meses = 15% anual t=

12,000

;

t = 0.5333 años

150,000*0.15

1 año 0.53333

360 días X

X= 0.53333* 360 = 192 días 1

t= 192 / 30 días = 6 meses y 12 días

APLICACIÓN SOBRE EL CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS a) Determinar cuál será el monto que generará un capital de 80,000 usd durante 120 días al 1.5 mensual. Solución: M=C ( 1 + it ) M = 80,000 ( 1+0.18*120/360) i = 1.5 mensual = 18% anual

; M= 84,800usd 22

b) En el ejemplo anterior, ¿cuál es el interés producido? Solución: M = C +I

I= M – C

I = 84,800 – 80,000 ; I= 4,800usd

APLICACIONES SOBRE EL CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL 1.- Un documento de 250,000 usd vence en 270 días .Calcular el valor actual 120 días antes de su vencimiento considerando una tasa de interés del 9% anual. Solución:

C = valor actual

M=C ( 1 + it )

C= M ( 1+ it )-1

C = 250,000 ( 1 + 0.09 * 120/360)-1

; C= 242,718.45usd

2.- Establecer el valor actual, 80 días antes de su vencimiento, de un documento de 120,000 usd que vence en 150 días, considerando una tasa de interés del 1 % mensual. Elabore un gráfico de tiempos y valores. Solución: I = 1% mensual = 12% anual C = M (1 +it ) C=120,000(1+0.12*80/360)-1; C= 116,883.12 usd I = 1% mensual C=116,883.12

M= 120,000

120,000 0

70

150 (días) 80 días

3.- Un documento de 250,000 usd fue suscrito el 10 de abril con vencimiento en 120 días al 12 % anual. Establecer su valor actual al 17 de junio considerando una tasa de interés de 0.75% mensual. Solución: i = 12% i = 0.75% mensual 250,000

C = 256,663.38

M = 260,000 23

10 de abril

17 de junio

8 de agosto

52 días Establecemos la fecha que corresponde a 120 días plazo desde el 10 de abril y se calcula el monto. Abril

20

Mayo

31

Junio

30

Julio

31

Agosto

8

M= C ( 1 + it )

M= 250,000 ( 1 + 0.12 * 120/360)

M= 260,000 usd

___ 120 días

Se calcula el número de días que falta para el vencimiento y luego calcular el valor actual con ese tiempo.

I = 0.75 mensual = 9% anual

Junio 13 Julio 31 Agosto 8 Total 52 días C = M ( 1+it ) –1 C = 260,000 ( 1+0.09 * 52/360) -1

C = 256,663.38usd

APLICACIÓN SOBRE CÁLCULO DEL INTERÉS SOBRE SALDOS DEUDORES Una persona obtiene un préstamo de 3,000 usd en una financiera a un plazo de 6 meses, al 2% mensual sobre saldos deudores. Calcular el

24

valor de las cuotas mensuales, los intereses y elaborar la tabla financiera. Aplicar los métodos lagarto y de saldos deudores. Solución: a) Método Lagarto: M = C (1+it)

M = 3,000 (1+0.02 *180)

; M = 3,360 usd

30 Cuota fija mensual = 3,360 = 560 usd 6 Intereses = 3,360 - 3,000 = 360 usd b) Métodos de saldos deudores: Valor cuota sin interés = 3,000 = 500 usd 6 .

1ra cuota

Interés 1ra cuota I = c i t = 300*0.02*1= 60 Valor 1ra cuota = Capital + interés = 500+60 = 560

.

2da cuota

Se reduce el capital a $500; queda un saldo de 3,000 – 500 = 2,500 Interés = 2,500*0.02*1 = 50 Valor 2da Cuota = capital + interés = 500+50 = 550

Y así sucesivamente: El valor de la última cuota es: (sexta) Saldo de la deuda = 500 I = 500*0.02*1 = 10 Valor 6ta cuota = capital + interés = 500+10 = 510 Cuota fija mensual

= a+u = 560+510 = 535 usd 2

c)

2

Tabla Financiera

PERÍODO DEUDA INTERÉS CAPITAL CUOTA 1

3,000

60

500

560

2

2,500

50

500

550

25

3

2,000

40

500

540

4

1,500

30

500

530

5

1,000

20

500

520

6

500

10

500

510

210

3,000

3,210

TOTAL

Interés Pagado = 210usd Consultas en el texto: Para mejorar el conocimiento y comprensión se debe revisar el capítulo 2 del texto guía, entre las páginas 31 y 60.

EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN a)

Resuelva los siguientes ejercicios :

1. Calcular el interés exacto y ordinario de un capital de 100,000 usd al 12% de interés anual desde el 20 de marzo al 15 de mayo. 2. Cuál será el interés que produce un capital de 30,000 usd durante 90 días al 8% anual. 3. Determinar qué capital puede producir 6,500 usd de interés en 60 días con una tasa de interés del 10% anual. 4. Cuál será la tasa de interés a la que debe colocarse un capital de $80,000 para que produzca 12,000 usd en 180 días. 5. Calcular el monto y el interés que produjo un capital de 150,000 usd durante 90 días al 1.5% mensual. 6. Calcular y graficar el valor actual al día de hoy de un documento de 200,000 usd que vence en 90 días considerando una tasa de interés del 1.2% mensual. b)

Verdadero o Falso. Marque con una X si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: 26

AFIRMACIÓN

V

F

Interés es el alquiler o rédito que se conviene pagar por un dinero tomado en préstamo. Tasa de interés es la razón del capital al interés devengado. El monto a interés simple es la suma del capital original mas los intereses en el transcurso del tiempo. El valor actual de un documento se calcula en una fecha anterior a su vencimiento. Una gráfica de tiempos y valores consiste en una línea recta.

c) Casamientos. Una con líneas las siguientes definiciones con los conceptos correspondientes. CONCEPTOS

DEFINICIONES Tasas de interés

Capital mas interés

Monto

Interés sobre capital

AUTOEVALUACIÓN Hasta el momento cómo se evalúa: Excelente, Bien, Regular o Mal. Si no se evalúa al menos de “Bien”, debe volver atrás o elaborar un plan remedial para superar las deficiencias, usted puede hacerlo con entusiasmo. ADELANTE Y FELICITACIONES.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Calcule el interés que gana un capital de $150.000 al 12% anual durante 180 días.

2.- Calcule el interés que gana un capital de $420.000 al 1,5% anual, desde el 15 de junio hasta el 15 de diciembre del mismo año, según las siguientes opciones y luego comente los diferentes resultados. 27

a) con el tiempo aproximado y el año comercial; b) con el tiempo exacto y el año comercial; c) con el tiempo aproximado y el año calendario; d) con el tiempo exacto y el año calendario.

3.- Calcule el interés simple y el monto con tiempo exacto y año comercial en cada uno de los siguientes casos:

a) b) c) d) e) f) g)

$1’500.000 al 18% anual a 180 días de plazo; $280.000 al 1,7$ mensual a 120 días de plazo; $50.000 al 9% anual, del 15 de marzo al 31 de agosto; $85.000 al 14,4% anual, del 10 de agosto al 15 de diciembre; $4’500.000 al 1,7% mensual, del 10 de abril al 22 de octubre; $2’500.000 al 1,5% mensual, del 12 de mayo al 15 de septiembre; $3’000.000 al 0,15% diario, del 15 de marzo al 14 de abril.

4.- ¿En qué tiempo se incrementará en $ 80.000 un capital de $ 550.000 colocado al 20 ¼ % anual?

5.- ¿A qué tasa de interés anual se colocó un capital de $300.000 para que se convierta en $335.000 en 210 días?

6.- Calcule el valor de un pagaré de $240.000con vencimiento en 270 días:

a) Al día de hoy con el 12% de interés anual; b) Dentro de 30 días con el 12% de interés anual; c) Dentro de 90 días con el 12% de interés anual; d) Dentro de 180 días con el 12% de interés anual; e) Antes de 60 días del vencimiento con el 12% de interés anual. 7.- Calcule:

a) La fecha de vencimiento; b) El valor al vencimiento de un documento de $300.000 suscrito el 19 de abril con vencimiento en 180 días a un interés del 1% mensual; c) Su valor al 15 de julio del mismo año, si se considera una tasa de interés del 18% anual. 8.- María otorga a Pedro un préstamo por $150.000 con vencimiento en 10 meses a un 28

interés del 18% anual desde la suscripción. Si Pedro paga su deuda 90 días antes de la fecha de vencimiento , calcule cuál sería el valor del pago.

9.- Se necesita conocer cuál fue la suma de dinero que colocada al 7% de interés semestral produjo $%95.000 en 11 meses.

10.- Una empresa pagó $85.800 en intereses por un pagaré de $650.000 al 18% anual. Calcule el tiempo transcurrido y el monto.

11.- El 15 de junio una persona recibe una letra de cambio por $220.000 a 240 días de plazo y al 1,7% de intereses mensual desde la suscripción. Calcule cuál será el valor actual al 30 de septiembre del mismo año, si se reconoce un interés del 1,8% mensual.

12.- Una empresa comercial ofrece en venta refrigeradoras cuyo precio de lista es de $580, con el 10% de cuota inicial y el saldo a 30 meses de plazo, con una tasa de interés del 2% mensual. Calcule la cuota mensual fija que debe pagar el cliente:

a) Por el método de acumulación de intereses “lagarto”; b) Por el método de saldos deudores. 13.- Una cooperativa de ahorro y crédito otorga un préstamo de $180.000 a 36 meses de plazo con una tasa de interés del 1,5%mensual sobre saldos deudores. Calcule:

a) La cuota mensual fija que debe pagar el beneficiario del préstamo; b) La tasa de interés real anual; c) La cuota mensual fija por el método “lagarto”. 14.- Una persona pide un préstamo de $145.000 a 90 días de plazo al 1,8% mensual. Calcule cuánto deberá pagar por el préstamo si se demora en pagar 60 días más y le cobran el 2% mensual de interés por mora.

15.- Una persona adquiere un vehículo cuyo precio es de $24.000 y paga el 50% de contado y el saldo a 30 meses de plazo con un interés del 1,5% mensual sobre saldos deudores. Calcule la cuota mensual fija que debe pagar.

29

Respuestas a los ejercicios de autoevaluación

a) Resuelva los siguientes ejercicios: 1.) Calcular el interés exacto y ordinario de un capital de 100,000 usd al 12% de interés anual desde el 20 de marzo al 15 de mayo. Solución:

C = 100,000usd i = 0.12 Tiempo exacto

Tiempo aproximado

Marzo

11

10

Abril

30

30

Mayo

15

15

56 días

55 días



Interés exacto con tiempo exacto I = Cit

I = 100,000*0.12* 56/365



Interés exacto con tiempo aproximado

I = 100,000*0.12*55/265



I = 1,808.22usd

Interés ordinario con tiempo exacto

I = 100,000*0.12*56/360



I =1,841.10usd

I = 1,866.67usd

Interés ordinario con tiempo aproximado

I = 100,000*0.12*55/360

I = 1,833.33usd 30

El mayor interés se obtiene con tiempo exacto y año comercial.

2.) Cuál será el interés que produce un capital de 30,000 usd durante 90 días al 8% anual. Solución:

C = 30,000usd t = 90 días

I = Ci t I = 30,000 * 0.08 * 90

i = 8% anual I=?

360 I = 600 usd

3.) Determinar el capital que puede producir 6,500 usd de interés en 60 días con una tasa de interés del 10% anual. Solución:

C=?

I = Ci t

I = 6,500usd t = 60 días i = 10% anual

C=I = it

6,500 0.10 * 60/360

C = 390,000 usd

4.) Cuál será la tasa de interés a la que debe colocarse un capital de 80,000 usd para que produzca 12,000 usd en 180 días.

Solución: I 31

C = 80,000usd

i=

I = 12,000usd t = 180 días i=?

I=cit i=

c*t

12,000 80,000* 180/360

i = 0.3 = 30%

5.- Calcular el monto y el interés que produjo un capital de 150,0000 usd durante 90 días al 1.5% mensual.

Solución:

C = 150,000usd

M = C(1 + it)

I =?

M = 150,000 ( 1 + 0.18* 90/360)

t = 90 días

M = 156,750 usd

i = 1.5% mensual = 18% anual M =? I=M–C I = 156,750-150,000 I = 6,750 usd

6. Calcular y graficar el valor actual al día de hoy de un documento de 200,000 usd que vence en 90 días considerando una tasa de interés del 1.2% mensual.

Solución:

M = 200,000usd

C = M (1 +it)-1

t = 90 días

C = 200,000 ( 1 + 0.144*90/360) -1

i = 1.2% =14.4% anual

C = 193,050.19 usd 32

C=? C = 193,050.19

M = 200,000

Hoy

90 días

b) VERDADERO O FALSO Marque con una X si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

AFIRMACIÓN

V

Interés es el alquiler o rédito que se conviene pagar por un dinero tomado en préstamo.

F

X

Tasa de interés es la razón del capital al interés devengado.

X

El monto a interés simple es la suma del capital original más los intereses en el transcurso del tiempo.

X

El valor actual de un documento se calcula en una fecha anterior a su vencimiento.

X

Una gráfica de tiempos y valores consiste en una línea recta.

X

c) CASAMIENTOS. DEFINICIONES Tasas de interés Monto correspondientes:

Una con líneas las siguientes definiciones con los conceptos

CONCEPTOS Capital mas interés. Interés sobre capital por tiempo. 33

1.3.

DESCUENTOS

CONCEPTOS PRINCIPALES Descuento: Acción de adquirir o pagar antes de su vencimiento documentos que de manera general se pueden endosar.

Redescuento: Operación mediante la cual un banco descuenta a otro banco documentos financieros que originalmente ya fueron descontados.

Documentos de crédito: Se utilizan para respaldar obligaciones en dinero con vencimiento futuro como son una letra de cambio o un pagaré.

Documentos financieros: A más de la letra de cambio y el pagaré existen otros documentos financieros así: De renta fija.- Son de corto plazo, como son la póliza de acumulación, certificados de inversión y de ahorros, certificados financieros, bonos de estabilización monetaria, etc. De renta variable.- Corresponden a acciones emitidas por empresas.

Descuento racional o descuento simple: Es la diferencia entre el monto o valor a la fecha de vencimiento de un documento y su valor presente.

34

Descuento bancario, comercial o bursátil: Se utiliza en operaciones comerciales y consiste en cobrar los intereses por anticipado. Se calcula sobre el monto. Para el cálculo se utiliza la tasa de descuento.

Tasa de descuento: Es el interés porcentual que se aplica al valor nominal del documento a la fecha de su vencimiento.

Valor actual con descuento bancario, valor efectivo o bursátil: Es la diferencia entre el valor a su vencimiento y el descuento bancario.

Relación: tasa de interés y tasa de descuento: La tasa de interés se utiliza para calcular el descuento racional o matemático. Se aplica sobre el valor actual de un documento. La tasa de descuento se utiliza para calcular el descuento bancario. Se aplica sobre el valor al vencimiento del documento.

APLICACIÓN SOBRE DESCUENTO RACIONAL Y VALOR ACTUAL Un documento fue suscrito el 10 de junio por 250,000 usd a una tasa de interés del 2% mensual y un plazo de 120 días. Establecer el valor actual y el descuento racional del documento si se descuenta el 15 de julio al 18% anual. Solución:

Fecha de descuento = 15 de julio

C = 250,000usd i = 2% mensual t = 120 días fecha suscripción = 10 de junio fecha de vencimiento = 8 de octubre Junio – 20 Julio – 31 Agosto – 31 Sept. –

30

Oct. –

8

TOTAL 120 días

i = 18% anual = 0.18 # días entre el 15 de julio y 8 de octubre . Julio –

16

Agosto – 31 C = M (1+i t )

1

Sept –

30

1

C = 270,000 (1+0.18 * 85/360) Oct. –

8

Nº de días que faltan para el vencimiento 85 días TOTAL 85 C = 258,992.81usd (valor actual) 35

i = 2% m * 12 = 24% anual = 0.24

i= 2% mensual

M = C (1 + i t)

M = 250,000 (1+0.24*120/360) M = 270,000 usd Dr = Descuento racional Dr = M – C Dr = 270,000 – 258,992.81 Dr = 11,007.19 usd

i= 18% anual 250,000

C = 258,992.81

M = 270,000 120dias

10 de junio

15 de julio

8 de octubre

120 días

APLICACIÓN SOBRE DESCUENTO BANCARIO

85 días

El 21 de abril se suscribe un documento por 300,000 usd a 90 días plazo. Determine el descuento bancario del documento, si se descontó el 31 de mayo con una tasa de descuento del 12% anual. Solución: Fecha que suscribe = 21 de abril d = 12% anual = 0.12

abril –

M = 300,000usd Db = ?

9 mayo - 31

junio – 30

t = 90 días

julio –

20 fecha de vencimiento

TOTAL 90 días

# días antes del vencimiento: 31 de mayo fecha de vencimiento

junio – 30 julio – 20 TOTAL 50 días(# de días para vencer) Db = M d t Db = 300,000*0.12*50/360 Db = 5,000usd APLICACIONES SOBRE VALOR EFECTIVO

36

1.-Una letra de cambio de 200,000 usd fue suscrita al 25 de mayo a 150 días plazo y con una tasa de interés del 18% anual. Establecer cuál sería el valor que recibiría la persona dueña del documento si realiza un descuento el 15 de septiembre a una tasa de descuento del 15% anual. Expresar los resultados en un gráfico. Solución: Cálculo de la fecha de vencimiento

# de días del descuento

Mayo –

6

Sept. -

15

Junio –

30

Oct. -

22

Julio –

31

TOTAL

Agost –

31

Sept –

30

Oct. –

22

37 días

TOTAL 150 días

Gráfico: i = 18% anual d = 15%

200,000

25 de mayo

Cb. = 211,685.42

15 de sept.

M = 215,000

22 de octubre

150 días 37 días Cálculo del monto. M = C (1+i t) M = 200,000 (1+0.18*150/360) ; M = 215,000usd Cálculo del valor actual con descuento bancario. Cb = M (1-d t) Cb = 215,000(1-0.15*37/360) ; Cb=211,685.42usd La persona recibe 211,685.42 usd 2.-Una persona solicita un préstamo de 12,000 usd a 90 días plazo, sobre el cual el banco aplica una tasa de descuento del 15% anual.¿ Cuál es el valor efectivo que recibe y cuál es el descuento bancario? Solución:

37

Cb = M (1 – d t) Cb = 12,000(1-0.15*90/360) = 11,550usd Cb = 11,550 (Valor efectivo que recibe) Db=M-Cb=12,000-11,550=450usd Db= 450 (descuento bancario) 3.- Una letra de cambio de 100,000usd vence en 60 días. Establecer el descuento racional y el descuento bancario si se descuenta 35 días antes de su vencimiento a una tasa del 15% anual. Solución: a) Descuento racional: Gráfico:

i=d =15% C = 98,562.63

M = 100,000

0

60 (días) 35 días

Cálculo valor actual C=M(1+it) 1 C=100,000(1+0.15*35/360)

1

; C = 98,562.63usd

Cálculo descuento racional Dr=M-C Dr=100,000-98,562.63

; Dr =1,437.37usd

b) Descuento bancario: Db=Mdt Db=100,000*0.15*35/360

;

Db = 1,458.33usd

Descuento bancario es mayor que el descuento racional. 4.- Establecer la tasa de interés que equivale a una tasa de descuento del 18% anual durante 180 días. Solución: i=

d

1 dt

i=

0.18

1 0.18 *180 / 360

38

i=0.1978

i=19.78%

EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN

d) Resuelva los siguientes ejercicios: 1. Determinar el valor actual y el descuento racional de una letra de cambio de 165,000usd que fue suscrita el 25 de abril con una tasa de interés del 16% anual a 150 días plazo; si fue descontada el 7de agosto a una tasa del 19% anual.

2. Cuál sería el descuento bancario de un documento que fue suscrito el 1 de

julio por un valor de 15,000usd con una tasa de interés del 12% anual a un plazo de 75 días; si se descuenta 15 días antes de su vencimiento a una tasa del 10% anual.

3. Determinar el valor que un cliente debe solicitar a un banco para recibir 60,000usd pagaderos en 100 días, si el banco le aplica una tasa de descuento del 15% anual. 4. Qué tasa de descuento equivale a una tasa de interés del 15.1876% anual durante 120 días. b) VERDADERO O FALSO.

Marque con una x si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

AFIRMACIÓN

V

F

Valor nominal es el valor del documento sin intereses a la fecha de su suscripción. El valor actual de un documento se calcula después de la fecha de vencimiento. 39

Si un documento es cancelado antes de su vencimiento, debe calcularse su valor nominal.

Una gráfica de tiempos y valores permite expresar valores actuales y valores al vencimiento.

a) CASAMIENTOS.

Una con líneas las siguientes definiciones con los conceptos correspondientes: DEFINICIONES

CONCEPTOS

Descuento racional Monto * tasa de descuento * tiempo Descuento bancario

Acciones

Renta variable Renta fija

Nota de crédito Monto-valor actual

AUTO EVALUACIÓN Hasta el momento cual es su evaluación: excelente, bien, regular o mal. Si no se evalúa por lo menos de “Bien”, debe volver atrás o elaborar un plan remedial para superar las deficiencias; usted puede, hágalo con entusiasmo. Por otro lado si se siente bien o excelente, ADELANTE Y FELICIDADES.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Calcule el valor actual de una letra de cambio suscrita por 50.000 a 180 días de plazo, si se descontó 30 días antes de su vencimiento a una tasa de interés del 18% anual.

40

2.- Calcule el descuento racional de una letra de cambio, suscrita por $14.000 el 2 de mayo a 180 días de plazo, si se descontó el 2 de agosto del mismo año al 2% de interés mensual.

3.- ¿Cuál es el descuento racional de una letra de cambio de $20.000, suscrita el día de hoy a 240 días de plazo y al 1,2% mensual, si se descontó 70 días antes de la fecha de su vencimiento al 17% anual?

4.- Calcule el descuento bancario de un pagaré de $85.000, suscrito a 180 días de plazo si fue descontado 30 días antes de su vencimiento a una tasa de descuento del 12% anual.

5.- ¿Cuál es el descuento bancario de una letra de cambio de $250.000, suscrita a 120 días de plazo, si fue descontada60 días antes de su vencimiento a una tasa de descuento del 2% anual?

6.- Calcule el valor efectivo de un pagaré de $80.000, suscrito a 120 días de plazo, si se descuenta el día de hoy a una tasa de descuento del 18% anual.

7.- Una persona solicita un préstamo de $100.000 en un banco a 180 días de plazo. Calcule el valor efectivo que recibe y el descuento bancario que le hacen, si el banco aplica una tasa de descuento del 16% anual.

8.- Una letra de cambio de $60.000 suscrita el 1º de junio a 180 días de plazo, al 1% de interés mensual desde su suscripción, se descuenta en un banco al 1,5% mensual; 90 días antes de su vencimiento. Calcule el descuento bancario y el valor efectivo.

9.- Calcule el valor actual con descuento racional y con descuento bancario de una letra de cambio de $180.000 a 210 días de plazo con una tasa de interés del 1% mensual desde su suscripción, si se descontó 90 días antes de su vencimiento al 18% anual.

10.- Una persona descuenta en un banco una letra de cambio de $90.000, suscrita a 240 días de plazo, 90 días antes de su vencimiento, a una tasa de descuento del 18% anual. Después de un mes, el banco la redescuenta al 15% en el Banco Central. Calcule el valor que reciben el deudor y el banco que redescuenta.

41

11.- Un documento cuyo valor nominal es de $180.000, con vencimiento en 210 días al 16% de interés anual, se descuenta 60 días antes de la fecha de su vencimiento a la tasa del 1,5% mensual. Calcule el descuento bancario y el valor efectivo.

12.- Un cliente de un banco solicita un préstamo de $190.000 a 180 días de plazo, con una tasa de descuento del 18% anual. ¿Cuál es el valor efectivo que el banco acredita en la cuenta del cliente? 13.- Una letra de cambio de $120.000, suscrita sin intereses el 10 de enero, con vencimiento en 180 días, se descuenta el 8 de abril a una tasa del 1,5% mensual. Calcule: a) b) c) d)

El descuento racional; El descuento bancario; El valor actual (a una tasa de interés) y; El valor efectivo (a una tasa de descuento).

14.- ¿Cuánto dinero debe solicitar el cliente de un banco, a una tasa de descuento del 15% anual, si requiere $210.000 pagaderos en 210 días de plazo?

15.- ¿Cuánto dinero debe solicitar el cliente de un banco, a una tasa de interés del 18% anual si hoy requiere $500.000, pagaderos en 120 días de plazo?

42

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN

a) Resuelva los siguientes ejercicios:

1. Determinar el valor actual y el descuento racional de una letra de cambio de 165,000usd, que fue suscrita el 25 de abril con una tasa de interés del 16% anual y 150 días de plazo si fue descontada el 7de agosto a una tasa del 19% anual.

Solución:

Plazo

Tiempo de descuento

Abril –

5

Mayo –

31

Junio -

30

Julio -

31

Agosto

31

Sept.

22

Agosto -

24

Septiembre

22

TOTAL

46 días

TOTAL 150 días

i=16%anual Gráfico:

i=19%anual 165,000

25 de abril

c=171,828.39

7 de agosto

M = 176,000

22 de sept.

150 días 46 días

43

M= C(1+it) M=165,000(1+0.16*150/360) = 176,000 usd C = M (1+it) -1 C= 176,000(1+0.19*46/360)

1

=171,828.39 usd

Dr= M-C Dr= 176,000-171,828.39=4,171.61 usd

2. ¿Cuál sería el descuento bancario de un documento que fue suscrito el 1 de julio por un valor de 15,000 usd con una tasa de interés del 12% anual a un plazo de 75 días; si se descuenta 15 días antes de su vencimiento a una tasa del 10% anual?

Solución:

PLAZO Julio –

Tiempo de descuento 30

15 días antes de vencer

Agosto – 31 Sept. –

14

TOTAL 75 días

M = C(1+ i t) M = 15,000(1+0.12*75/360)=15,375 usd

Db =Mdt Db = 15,375*0.10*15/360=64.06 usd

Gráfico:

i=12% anual

44

d=10% 15,000

Fecha de descuento

1 de julio

M = 15,375

15 días 75 días

3. Determinar el valor que un cliente debe solicitar a un banco para recibir 60,000 usd pagaderos en 100 días, si el banco le aplica una tasa de descuento del 15% anual.

Solución: M = Cb(1-dt)

1

M = 60,000(1-0.15*100/360)

1

M = 62,608.70 usd

4. ¿Qué tasa de descuento equivale a una tasa de interés del 15.1876% anual durante 120 días?

Solución: d=? i =15.1876% anual t = 120 días d = i(1+it)

1

= d=0.151876(1+0.151876*120/360)

1

d = 0.144558 d = 14.4558%

b) VERDADERO O FALSO

Marque con una x si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: 45

AFIRMACIÓN

V

F

Valor nominal es el valor del documento sin intereses a la X fecha de su suscripción. El valor actual de un documento se calcula después de la fecha de vencimiento.

X

Si un documento es calculado antes de su vencimiento debe calcularse su valor nominal.

X

Una gráfica de tiempos y 7 valores permite expresar X valores actuales y valores al vencimiento.

c) CASAMIENTOS.

Una con líneas correspondientes:

las

siguientes

definiciones

DEFINICIONES

con

los

conceptos

CONCEPTOS

Descuento racional

Monto * tasa de descuento * tiempo

Descuento bancario

Acciones

Renta variable Renta fija

Nota de crédito Monto-valor actual

1.4.

ECUACIONES DE VALOR Y CUENTAS DE AHORRO

CONCEPTOS PRINCIPALES

Ecuaciones de Valor:

46

Es un mecanismo de cálculo que permite a un deudor reemplazar un conjunto de obligaciones por otro conjunto. Se utiliza también para calcular el monto o el valor actual de una serie de obligaciones.

Fecha Focal: Es la fecha común o fecha referencial a la cual se trasladan tanto las obligaciones originales así como las nuevas obligaciones.

Cuentas de Ahorro: Corresponde a un servicio bancario a base del cual se pagan intereses utilizando la fórmula del interés simple sobre los valores recibidos por concepto de ahorro, de conformidad con la normativa legal vigente.

Ahorro: Es una reserva del ingreso que se destina para una utilización futura.

Liquidación de Intereses: Se utiliza dos modalidades: 1.

Se considera el valor de la transacción sea depósito o retiro.

2.

Se consideran los saldos.

APLICACIONES SOBRE ECUACIONES DE VALOR 1.- Una empresa tiene las siguientes obligaciones: 350,000 usd al 1.25 % mensual vence en 30 días. 450,000 usd al 18 % anual vence en 60 días. 550,000 usd vence en 120 días. Desea reemplazar todas sus deudas por una sola con vencimiento en 90 días y con una tasa de interés del 20 % anual. Calcular el valor del pago único. Solución: Determinó los montos de las deudas: M = C (1 + i t) 1ª deuda: M = 350,000 (1 + 0.15 x 30 / 360) = 354,375 usd 2ª deuda: M = 450,000 (1 + 0.18 x 60 / 360) = 463,500 usd 3ª deuda: M = 550,000 usd Gráfico: f.f

47

354,375

0

463,500

30

60

550,000

90

120 (días)

Ecuación de Valor: M = C (1+it) C = M (1 + i t) -1 X= 354,375(1+0.2 x 60/360) + 463,500(1+0.2 x 30/360) +550,000 (1+0.2 x 30 /360) -1

X = 366,187.50 + 471,225 + 540,983.61 X= 1’378,396.11usd (valor del pago único) 2.-Una empresa tiene las siguientes obligaciones: 100,000 usd al 14 % anual vence en 50 días. 50,000 usd al 16 % anual vence en 80 días. 150,000 usd al 2 % mensual vence en 150 días. Desea reemplazar todas sus deudas por una sola con vencimiento el día de hoy, considerando en la transacción una tasa de descuento del 13% anual. Calcular el valor de la deuda. Solución: Determino los montos de las deudas: M = C (1 + i t) M1 = 100,000 (1 + 0.14 x 50 / 360) = 101,944.44 usd M2 = 50,000 (1 + 0.16 x 80/360) = 51,777.78 usd M3= 150,000 (1+ 0.24 x 150 / 360) = 165,000 usd Gráfico: ff

101,944.44

0

50

51,777.78

80

165,000

150 (días)

X 48

Ecuación de Valor: Cb = M (1 – d t) X= 101,944.44 (1-0.13 x 50 /360) +51,777.78 (1-0.13 x 80 / 360) +165,000 (1-0.13 x 150 / 360). X = 100,103.78 + 50,281.98 + 156,062.50 X = 306,448.26 usd. 3.-Una persona pone en venta una casa y recibe tres ofertas: 1ª oferta: 20,000 usd al contado 10,000 usd a 6 meses 10,000 usd a 12 meses 2ª oferta: 30,000 usd al contado 15,000 usd a 9 meses 3ª oferta: 10,000 usd al contado 20,000 usd a 5 meses 10,000 usd a 10 meses Calcular cuál de las tres ofertas le conviene aceptar. Considerar para el cálculo una tasa de interés del 1.5% mensual: Solución: 1.5 x 12 = 18% anual 1ª oferta: C = M (1 + i t)-1 ff

20,000

0

10,000

6

x X = 20,000 + 10,000(1 + 0.18 x 6 /12)-1 X = 37,648.89 usd 2ª oferta:

10,000

12 (meses)

+ 10,000(1 + 0.18 x 12 / 12)-1

ff 49

30,000

15,000 9 (meses)

0 X -1

X = 30,000 + 15,000 (1 + 0.18 x 9 / 12) X = 43,215.86 usd 3ª oferta: ff

10,000

20,000

0

10,000

5

10 (meses)

X -1

-1

X = 10,000 + 20,000(1+0.18 x 5 / 12) + 10,000 (1+ 0.18 x 10 / 12) X = 37,300.30 usd Le conviene aceptar la oferta Nº 2 ya que es la más alta. 4.- Una persona realiza depósitos mensuales anticipados de 3,000 usd cada uno durante 6 meses, a un banco que paga 1.5% de interés mensual. Determinar el monto que tendrá luego de 6 meses. Solución:

Gráfico ff

3,000

3,000

3,000

3,000

3,000 3,000

50

M= 18,945 0 30 60 90 120 150 180 (días) M = C (1 + i t) i = 1.5 x 12 = 18% anual M=3,000(1+0.18x 180 / 360)+3,000(1+0.18x 150/360)+3,000(1+0.18x120/360)+ 3,000(1+0.18x 90/360)+3,000(1+0.18x 60/360)+3,000(1+0.18 x 30/360) M = 3,270 + 3,225 + 3,180 + 3,135 + 3,090 +3,045 ; M = 18,945 usd.

5.- Una persona realiza 4 pagos mensuales de 800 usd para cancelar una deuda con una tasa de interés simple del 2% mensual. Establecer el valor original de la deuda. Solución: Gráfico:

ff

800

0

30

800

60

800

90

800

120 (días)

X i = 2% x12 = 24% anual C = M (1+i t) -1 X = 800(1+0.24*30/360)-1 + 800(1+0.24* 60/360)-1 + 800(1+0.24* 90/360)-1 + 800( 1+0.24*120/360)-1 X= 784.31 + 769.23 + 754.72 + 740.74 X = 3,049 usd (valor original de la deuda). APLICACIÓN SOBRE CUENTAS DE AHORRO 1.- Una persona abre una cuenta de ahorros el 31 de marzo del 2004 con 25,000 usd y realiza las siguientes operaciones: El 25 de abril deposita 10,000 usd. El 15 de mayo deposita 5,000 usd. El 10 de junio retira 15,000 usd. El 6 de julio deposita 10,000 usd.

51

Liquidar la deuda al 30 de septiembre si la tasa de interés fue del 10% anual considerar el año comercial y el tiempo exacto. Solución: Calculamos el tiempo en días: Abril

30

5

Mayo

31

31

16

Junio

30

30

30

20

Julio

31

31

31

31

25

Agosto

31

31

31

31

31

Septiembre

30

30

30

30

30

Total

183

158 138 112

86

Se calcula el interés simple en cada transacción. I = Cit I = 25,000 * 0.1 * 183 / 360

=

1,270.83

I = 10,000 * 0.1 * 158 / 360

=

438.89

I = 5,000 * 0.1 * 138 / 360

=

191.67

I = (15,000) * 0.1 * 112 / 360

=

(466.67)

I = 10,000 * 0.1 * 86 / 360

=

238.89

35,000 usd (total capital)

1,673.61usd (total interés)

Saldo cuenta corriente sin interés al 30 de septiembre = 35,000 usd Al 30 de Septiembre la cuenta tendrá un acumulado de: 35,000 + 1,673.61 ; Saldo = 36,673.61usd

52

EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN a.- Resuelva lo siguiente: 1. Una empresa tiene las siguientes obligaciones: 200,000 usd a 60 días plazo. 120,000 usd a 120 días plazo. 100,000 usd a 180 días plazo. 150,000 usd a 240 días plazo. La empresa desea reemplazar las 4 deudas por una sola con vencimiento a los 240 días, con una tasa de interés del 12%. Calcular el valor de la deuda nueva. 2. Una persona recibe tres ofertas por un terreno: 1. oferta:

60,000 usd de contado. 50,000 usd a 12 meses plazo.

2. oferta:

40,000 usd de contado. 30,000 usd a 6 meses plazo. 30,000 usd a 12 meses plazo.

3. oferta:

20,000 usd de contado. 40,000 usd a 3 meses plazo. 20,000 usd a 6 meses plazo. 20,000 usd a 9 meses plazo.

¿Cuál de las 3 ofertas le conviene aceptar considerando una tasa de interés del 18% anual? 3. Una empresa realiza depósitos mensuales de 30,000 usd durante 3 meses en un banco que reconoce una tasa de interés del 1.5% mensual. Calcular el monto que acumulará al final de los tres meses. 4. Una empresa realiza pagos mensuales en forma adelantada de 20,000 usd cada uno durante 3 meses para cancelar una deuda. Calcular el valor pagado de la deuda, si se aplica una tasa de interés del 2% mensual por adelantado. 5. Una persona posee una cuenta de ahorros. Al 31 de diciembre del 2003 tenía un saldo de 20,000 usd y realizó los siguientes depósitos y retiros: El 15 de enero depositó 5,000 usd. 53

El 30 de enero retiró 7,000 usd. El 20 de marzo depositó 10,000 usd. El 21 de abril depositó 15,000 usd. El 20 de junio retiró 10,000 usd. Si la tasa de interés fue del 9% anual. Calcular cuál era el saldo de la cuenta con intereses incluidos al 30 de junio del 2004. b. VERDADERO O FALSO.

Marque con una X las siguientes afirmaciones si son verdaderas o falsas AFIRMACIONES

V

F

Una cuenta de ahorros puede aumentar los intereses al capital.

Todo problema de matemáticas financieras puede ser resuelto mediante una ecuación de valor.

El valor actual se calcula tomando generalmente como fecha focal, la fecha de vencimiento de la deuda.

Para la liquidación de los intereses en cuentas de ahorros se utiliza la fórmula del interés simple.

c.- CASAMIENTOS: Una con líneas las siguientes definiciones con los conceptos correspondientes: DEFINICIONES

CONCEPTOS

Ecuación de Valor

Comprar o Vender

Comparación de Ofertas

Fecha Focal inicio / pagos

Monto de una serie de depósitos

Fecha Focal Final / depósitos

Valor Actual de una serie de pagos

Consolidar deudas

54

AUTO EVALUACIÓN Hasta el momento cual es su evaluación: excelente, bien, regular o mal. Si no se evalúa por lo menos de “Bien”, debe volver atrás o elaborar un plan remedial para superar las deficiencias; usted puede , hágalo con entusiasmo. Por otro lado si se siente bien o excelente , ADELANTE Y FELICIDADES

Consolidación: A fin de proporcionar elementos adicionales, para una mejor comprensión de lo tratado en este bloque IV se incluye el apéndice 6 denominado “Ecuaciones de Valor y cuentas de ahorro; aplicaciones”. EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Una empresa tiene 3 deudas: a) $70.000, con vencimiento en 90 días al 1% mensual; b) $$120.000, con vencimiento en 150 días sin intereses; c) $150.000, con vencimiento a 210 días de plazo y al 2% mensual.

La empresa desea reemplazar las 3 deudas por una sola, con vencimiento en 6 meses, al 18% de interés anual. Calcule el valor del nuevo documento.

2.- Una persona ha firmado 3 documentos: 1º) $50.000 a 3 meses de plazo, con una tasa de interés del 1% mensual; 2º) $90.000 a 120 días de plazo, a una tasa del 1,5% mensual; 3º) $120.000 a 180 días de plazo, a una tasa del 18% anual.

La persona desea reemplazar los 3 documentos por uno solo, pagadero al final del año. ¿Cuál será el valor de ese documento, si se considera una tasa de interés del 2% mensual?

3.- Si el problema anterior se considera el pago el día de hoy y se descuentan los 3 documentos en un banco, ¿cuál será el valor de reemplazo?. Emplee la tasa de descuento del 2% mensual. 55

4.- El propietario de un edificio en venta recibe tres ofertas: a) $1’000.000 de contado y $1’000.000 a un año plazo; b) $800.000 al contado y 2 letras de $600.000, con vencimiento en 6 y 9 meses; c) $100.000 de contado, 1 letra de $800.000 en tres meses y 1 letra de $1’100.000 en 9 meses.

Considera una tasa de interés del 18% anual. Calcule el monto total de cada una de las ofertas e indique cuál es la mejor para el vendedor.

5.- Juan tiene las siguientes deudas: a) $50.000 con vencimiento en 90 días; b) $100.000 con vencimiento en 150 días ; c) $150.000 con vencimiento en 9 meses, sin intereses. Desea saldar sus deudas con 2 pagos iguales, a los 6 y a los 12 meses, respectivamente, con una tasa de interés del 18% anual. Realice los siguientes cálculos: a) El valor de los pagos iguales; b) Considere la fecha focal a los12 meses y a los 6 meses. 6.- Leonor tiene un terreno en venta y le ofrecen tres alternativas: a) $500.000 al contado y $600.000 después de 11 meses; b) $200.000 al contado y $900.000 a 7 meses. c) $100.000 al contado, $300.000 en 3 meses, $320.000 en 6 meses y $380.000 en 9 meses.

56

Si se considera una tasa de descuento del 18% anual y el día de hoy como fecha focal, ¿cuál de las 3 ofertas le conviene más?. Calcule cada una de ellas y realice los cálculos con descuentos bancarios.

7.- El Sr. Merchán es poseedor de una cuenta de ahorros que tiene un saldo de $123.000 al 31 de diciembre y ha registrado durante el primer semestre del siguiente año las siguientes operaciones: el 3 de enero depositó $155.000; el 15 de febrero retiró $30.000; el 7 de abril depositó $120.000 y el 30 de mayo retiró $55.000. Si la tasa de interés es del 24% anual, ¿cuál será el saldo de la cuenta al 30 de junio?. Tome una de las fechas extremas y el año comercial para el cálculo de los intereses.

8.- El Sr. Rueda es poseedor de una cuenta de horros cuyo saldo al 30 de junio fue de $300. Durante el segundo semestre del mismo año realizó los siguientes movimientos: un depósito de $50 al 30 de septiembre y otro de $100 el 4 de diciembre. ¿cuál será el saldo de la cuenta, con una tasa del 36% anual, al 31 de diciembre?. Considere una sola fecha extrema.

9.- Una persona tiene una cuenta de ahorros cuyo saldo al 31 de diciembre fue $49.000. En el semestre enero/junio ha realizado las siguientes operaciones: retiró 3.600 el 21 de febrero; depositó $2.800 el 9 de abril ;depositó $4.700 el 2 de mayo; depositó $1.100 el 24 de junio. ¿cuál será el saldo de la cuenta al 30 de junio, si se considera una tasa de interés del 24% anual y las 2 fechas extremas?

10.- Reemplace 3 deudas de $50.000, $100.000 y $200.000, a 3,6 y 12 meses, respectivamente, por un solo pago en 12 meses, considerando una tasa de interés del 16% anual.

11.- En el ejemplo anterior, reemplace las 3 deudas por una sola al día de hoy, con la misma tasa. Calcular: a) con valor actual y b) con valor efectivo. Analice los resultados.

12.- Pedro deposita $60.000cada mes durante 4 meses consecutivos en una institución financiera que reconoce una tasa de interés del 2% mensual. Calcule el monto que acumulará al final de los 4 meses.

13.- En el problema anterior, considere que los depósitos se realizan por adelantado y la tasa de interés es del 2% mensual.

57

14.- María deposita $40.000 cada mes, durante 3 meses consecutivos, en una institución financiera. Calcule el monto que acumulará al final de los 3 meses, si se considera una tasa de interés del 36% anual.

15.- José paga $70.000 cada mes, durante 3 meses, para cubrir una deuda, con una tasa de interés del 2,5% mensual. Calcule el valor original de la deuda.

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN

a. Resuelva los siguientes ejercicios:

1. Una empresa tiene las siguientes obligaciones: 200,000usd a 60 días plazo. 120,000usd a 120 días plazo. 100,000usd a 180 días plazo. 150,000usd a 240 días plazo. La empresa desea reemplazar las 4 deudas por una sola con vencimiento a los 240 días, con una tasa de interés del 12%. Calcular el valor de la deuda nueva.

Solución:

Gráfico:

ff

200,000

120,000

100,000

150,000 58

0

60

120

180

240 (días) x

M = C (1 + i t)

X = 200,000(1 + 0.12 * 180 / 360) + 120,000(1+0.12 * 120 / 360) + 100,000(1 + 0.12 * 60 / 360) + 150,000 X= 212,000 + 124,800 + 102,000 + 150,000

X= 588,800usd

2. Una persona recibe tres ofertas para un terreno:

1. oferta:

60,000usd de contado. 50,000usd a 12 meses plazo.

2. oferta:

40,000usd de contado. 30,000usd a 6 meses plazo. 30,000usd a 12 meses plazo.

3. oferta:

20,000usd de contado. 40,000usd a 3 meses plazo. 20,000usd a 6 meses plazo. 20,000usd a 9 meses plazo.

¿Cuál de las 3 ofertas le conviene aceptar considerando una tasa de interés del 18% anual? Solución:

59

1ra oferta:

ff

60,000

50,000

0

12 (meses)

C = M (1+ it)-1 X = 60,000+50,000 ( 1+0.18*

12 -1 ) 12

X = 102,372.88usd

2da oferta

ff

40,000

30,000

0

6

30,000

12 (meses)

x X = 40,000+30,000 ( 1+0.18*

6 -1 12 -1 ) + 30,000 ( 1+0.18* ) 12 12

60

X = 40,000+27,522.94+25,423.73

X = 92,946.67usd

3ª oferta:

ff

20,000

40,000

0

3

20,000

6

20,000

9 (meses)

X

X = 20,000 + 40,000(1+0.18* 3 /12)-1 + 20,000(1+ 0.18* 6 /12)-1 + 20,000 (1+0.18 * 9 /12)-1 X = 20,000 + 38,277.51 + 18,348.62 +17,621.15

X = 94,247.28usd Le conviene aceptar la primera oferta que es la mejor.

3. Una empresa realiza depósitos mensuales de 30,000 usd durante 3 meses en un banco que reconoce una tasa de interés del 1.5% mensual. Calcular el monto que acumulará al final de los tres meses.

61

Solución: Gráfico:

ff

30,000

0

30

30,000

60

30,000 M = 91,350

90 (días)

i = 1.5% x 12 = 18% anual

M = C (1 + i t) M= 30,000( 1 + 0.18 * 60 / 360) + 30,000( 1 + 0.18 * 30 / 360) + 30,000 M = 30,900 + 30,450 + 30,000 M = 91,350usd

4. Una empresa realiza pagos mensuales en forma adelantada de 20,000 usd cada uno durante 3 meses para cancelar una deuda. Calcular el valor pagado de la deuda, si se aplica una tasa de interés del 2% mensual por adelantado.

62

Solución:

Gráfico:

20,000

20,000

0

30

20,000

60

90 (días)

X X = 20,000+20,000 ( 1+0.24 *

30 -1 60 -1 ) + 20,000 ( 1+0.24 * ) 360 360

X = 20,000+19,607.84+19,230.77

X = 58,838.61usd

5. Una persona posee una cuenta de ahorros. Al 31 de diciembre del 2003 tenía un saldo de 20,000usd y realizó los siguientes depósitos y retiros:

El 15 de enero depositó 5,000usd. El 30 de enero retiró 7,000usd. El 20 de marzo depositó10,000usd. El 21 de abril depositó 5,000usd. El 20 de junio retiró 10,000usd. Si la tasa de interés fue del 9% anual. Calcular cuál era el saldo de la cuenta con intereses incluidos al 30 de junio del 2004.

63

Solución:

Determino el tiempo en días:

Enero

31

16

1

Febrero

28

28

28

Marzo

31

31

31

11

Abril

30

30

30

30

9

Mayo

31

31

31

31

31

Junio

30

30

30

30

30

10

Total

181

166

151

102

70

10

Determino el interés:

I=Cit Interés del saldo

: I = 20,000 * 0.09 * 181 / 360 = 905

Interés 1ª depósito

: I = 5,000

Interés 1º retiro

: I = (7,000) * 0.09 * 151 / 360 = (264.25)

Interés 2º depósito

: I = 10,000 * 0.09 * 102 / 360 = 255

Interés 3ª depósito

: I = 15,000 * 0.09 * 70 / 360 = 262.50

Interés 2º retiro

: I = (10,000) * 0.09 * 10 / 360

Total cuenta sin interés =

33,000usd

* 0.09 * 166 / 360 = 207.50

= (25)

total intereses = 1,340.75usd

64

Total cuenta al 30 de junio / 2004 = 33,000 + 1,340.75 = 34,340.75usd.

VERDADERO O FALSO

Marque con una X las siguientes afirmaciones si son verdaderas o falsas

AFIRMACIONES

V

Una cuenta de ahorros puede aumentar los intereses al capital.

X

Todo problema de matemáticas financieras puede ser resuelto mediante una ecuación de valor.

X

X

El valor actual se calcula tomando generalmente como fecha focal, la fecha de vencimiento de la deuda.

Para la liquidación de los intereses en cuentas de ahorros se utiliza la fórmula del interés simple.

F

X

c.- CASAMIENTOS. Una con líneas las siguientes definiciones con los conceptos correspondientes. DEFINICIONES

CONCEPTOS

Ecuación de Valor

Comprar o Vender

Comparación de Ofertas

Fecha Focal inicio / pagos

Monto de una serie de depósitos

Fecha Focal Final / depósitos

Valor Actual de una serie de pagos

Consolidar deudas

65

CAPÍTULO II 2. INTERÉS COMPUESTO DEPRECIACIONES 2.1.

INTERÉS COMPUESTO DEPRECIACIONES

CONCEPTOS PRINCIPALES

Interés compuesto: Es el interés de un capital generado en la unidad de tiempo que se va acumulando al capital y este valor genera nuevos intereses tantas veces como periodos de capitalización se establezcan.

Diferencias entre interés simple e interés compuesto: El interés simple calcula los intereses por una sola vez, en tanto que en el interés compuesto los intereses se capitalizan periódicamente.

Período de capitalización: Es el tiempo en el cual el interés se acumula al capital, puede ser anual, semestral, trimestral, etc.

Tasa de interés: Se calcula por período de capitalización puede ser diario, mensual, trimestral, etc.

Monto a interés compuesto: Es el valor del capital acumulado luego de sucesivas adiciones de los intereses. Es la diferencia entre el monto compuesto y el capital original.

Monto compuesto con períodos de capitalización fraccionarios: Es el caso en el que el tiempo de pago no coincide con el período de la capitalización.

Tasas equivalentes: Es la relación entre la tasa nominal y la tasa efectiva.

66

La tasa nominal se capitaliza varias veces en un año en tanto que la tasa efectiva se capitaliza una vez al año. Tasa equivalente son aquellas que con diferentes períodos de capitalización producen el mismo interés o monto compuesto.

Tasa de interés anticipada: Es aquella que permite pagar o cobrar intereses por adelantado.

Valor actual a interés compuesto: Se lo conoce también como cálculo del capital y corresponde al valor del documento o deuda antes de la fecha de vencimiento, considerando una determinada tasa de interés.

Valor actual con tiempo fraccionario: Se calculan con períodos de capitalización que no sean enteros.

Descuento compuesto: Es la diferencia entre el monto y el valor de un documento.

Ecuaciones de valor en interés compuesto: Tiene el mismo significado que las ecuaciones de valor en interés simple.

Comparación de ofertas: Se utiliza en empresas o negocios de compra y venta de activos para relacionar la oferta más alta para el vendedor y la más baja para el comprador.

Tiempo equivalente: Es el tiempo de vencimiento promedio de varias deudas. Depreciaciones: • Activo Fijo: es todo bien que está sujeto al desgaste, a las descomposturas y a los cambios en la tecnología como son: edificios, maquinarias, equipos de computo, mobiliario de oficina, etc.

67

• Depreciación: es la pérdida de valor que sufre un activo como consecuencia del uso o del transcurso del tiempo. La mayoría de activos fijos a excepción de los terrenos y algunos metales tienen una vida útil durante un período finito de tiempo, durante el cual van disminuyendo su valor.

• Cargo por depreciación: son los cargos periódicos. Generalmente son depósitos anuales.

•

Depreciación Acumulada: es el fondo de reserva que se va acumulando año tras año.

• Valor en libros: es la diferencia entre el valor original del activo y la depreciación acumulada a una fecha determinada.

• Valor de Salvamento: o valor de desecho; es el valor que tiene el activo al final de su vida útil y es igual al valor en libros en esa fecha.

•

Base de depreciación: es la diferencia entre el costo original y el valor de salvamento.

• Método de Línea Recta: es el más simple y más utilizado para depreciar activos, debido a que supone que la depreciación anual es constante durante la vida útil del activo. No considera los intereses que genera el fondo de reserva.

• Método de Porcentaje Fijo: considera que la depreciación es mayor en los primeros años de vida del activo y menor en los últimos. No considera los intereses del fondo de reserva.

• Método de Suma de Dígitos: asigna un mayor cargo de depreciación a los primeros años de uso del activo, lo cual es consecuente con la realidad. No considera los intereses que genera el fondo de reserva.

• Método por Unidad de Producción o Servicio: deprecia los activos en función de las unidades de producción o servicio que haya generado el activo durante su vida útil. No considera los intereses del fondo de reserva.

• Método del Fondo de Amortización: considera los intereses que genera el fondo de reserva que se va constituyendo, por consiguiente, el incremento anual estará dado por la suma del cargo anual más los intereses ganados en ese período.

68

APLICACIONES SOBRE EL CÁLCULO DEL MONTO E INTERÉS COMPUESTO 1.- Una empresa obtiene un crédito de 100,000usd a 4 años plazo con una tasa de interés del 18 % anual capitalizable trimestralmente. Calcular el monto que debe pagar en la fecha de vencimiento y el interés correspondiente. Solución: Calculamos las variables n e i n=

4 años x 4 trimestres = 16 períodos

i =

0.18/4 trim. = 0.045

C = 100,000usd

Calculamos el Monto M = C (1 + i) n

M = 100,000(1 + 0.045)16

;

M = 202,237. 02usd

Calculamos el Interés Compuesto I = M-C I = 202,237.02 – 100,000

I = 102,237.02usd

2.- Utilizando los métodos matemático y comercial, calcular el monto de una deuda de 50,000usd a interés compuesto durante 5 años y 9 meses de plazo con una tasa de interés del 15 % anual capitalizable semestralmente. Analice los resultados. a) Cálculo matemático n = 5(12) + 9 = 69 =5 períodos 6 i = 0.15 = 0.075 2 C = 50,000usd M = C (1 + i)n

6

M = 50,000 (1 + 0.075)11,5

;

M = 114,859.61usd

Cálculo Comercial n = 69 = 66 + 3 = 11 + 3 = 11 + 0.5 6 6 6

69

Aplicamos interés compuesto a la parte entera de n e interés simple a la parte fraccionaria M = C (1 + i) (1 + it) M = 50,000 (1 + 0.075)11 (1 + 0.075 * 3/6) =

M = 50,000 (2.21561) (1.0375)

; M =114,934.71usd

El método comercial da un resultado ligeramente mayor que el método matemático. APLICACIONES SOBRE EL CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS Y DEL TIEMPO 1.- Calcular la tasa nominal capitalizable trimestralmente, a la que es equivalente una tasa efectiva del 20 %. Solución: i = 0.2

m = 4 (trimestral)

(1 + i) = (1 + j/m) m

(1 + 0.2) = (1 + j/m) 4 (1.2)1/4 = 1 + j / 4 j / 4 = (1.2)1/4 - 1 j=

(1.2)1/4 -1

4

j = 0.1865 = 18.65% a.c.t

La tasa efectiva del 20 % es equivalente a una tasa nominal del 18.65% anual capitalizable trimestralmente (a.c.t). 2.- En qué tiempo en años meses y días un capital de 125,000usd se convertirá en 3´250,000usd con una tasa del 18% anual capitalizable trimestralmente. Solución: t =? C = 125,000usd M = 3´250,000usd j = 18% a.c.t i = j/m = 0.18/4 = 0.045 m=4 n = mt M = C (1 + i) m.t (1 + i) m.t = M C 70

(1 + 0.045)4t

= 3´250,000 = 26 125,000

Utilizamos logaritmos 4 t log (1.045) = log 26 4t=

log 26

=

1.414973348

Log (1.045)

0.01911629

= 74.02

= 18.505

4

t = 18.505 años t = 18 años + 0.505 años 0.505* 12 meses = 6 meses + 0.6 meses 0.6 meses * 30 = 1.8 = 2 días t = 18 años, 6 meses, 2 días APLICACIONES SOBRE EL CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL 1.- Calcular el valor actual de un pagaré, cuyo valor al vencimiento al final de 6 años es de 500,000usd, considerando una tasa de interés del 15% anual capitalizable trimestralmente. Solución: M = 500,000usd

i = j/m = 0.15/4 = 0.0375

C = M (1 + i)-n

m=4

n = 6*4 = 24

ff

C = 500,000 (1 + 0.0375)-24

C = 206,659.55usd

C = 206,659.55

0

1

2

M = 500,000

3

4

5

6 (AÑOS)

2.- Luego de 3 años de la fecha de suscripción se negocia un documento de 1´000,000usd con vencimiento en 6 años, con una tasa de interés del 18% 71

anual capitalizable trimestralmente desde su suscripción. Calcular su valor o precio de negación con las siguientes alternativas. a) Con una tasa del 14% anual capitalizable mensualmente. b) Con una tasa del 16% anual capitalizable semestralmente. Solución: C = 1´000,000usd

n=6 * 4 = 24

i = j/m

= 0.18/4 = 0.045

ff C = 1´.894,275.34

0 1

2

M = 2´876,013.83

3

4

5

6(años)

Cálculo del monto M = C ( 1 + i )n = 1´000,000 ( 1 + 0.045 )24

; M = 2´876,013.83usd

Cálculo de valor actual o precio de negociación a) C = M ( 1 + i ) b) C = M ( 1 + i )

n

= 2´876,013.83 ( 1 + 0.14/12)-36 n

= 2´876,013.83 ( 1 + 0.16/2)-6

;

C = 1´894,275.34usd ; C = 1´812,376.56usd

3.- Luego de 5 años de la fecha de suscripción se negocia un documento suscrito, el día de hoy por 1´200,000usd a 7 años y 3 meses, con una tasa de interés del 14 % anual capitalizable semestralmente. Calcular el valor actual a dicha fecha, considerando una tasa de interés del 10% efectiva. Efectuar el cálculo por los métodos matemático y comercial. Solución: a) Calcular el monto al final de los 7 años 6 meses método matemático n = 7 * 12 + 3 = 87 = 14.5 6

m=2

6

i = j/m = 0.14/2 = 0,07 M = C ( 1 + i )n = 1´200,000 ( 1 + 0.07 )14.5 72

M = 3´200,707.76usd método comercial n = 87 = 14 + 3 6

6 14

M = C ( 1 + i )n ( 1 + it ) = 1´200,000 ( 1 + 0.07 ) ( 1 + 0.07 * 3/6 ) M = 1´200,000 ( 2.57853415 ) ( 1.035 )

;

M= 3´202,539.41usd

b) Cálculo de valor actual luego de 5 años y 3 meses método matemático Tiempo que falta para vencimiento:

n = 7 años 3 meses – 5 años n = 2 años 3 meses = 3.25 años

-n

-3.25

C = M( 1 + i ) = 3´200,707.76 ( 1 + 0.10 ) = 2´348,117.34usd

método comercial -n

-3

C = M ( 1 + i ) ( 1 + it ) 1 = 3´202,539.41 ( 1 + 0.10 ) ( 1 + 0.10 * 3/12 ) C = 3´202,539.41 ( 0.751315 ) ( 0.97561 )

1

C = 2´347,429.52usd Gráfico método matemático M = 3´200,53.41 C = 2´348,117.36 0

7.25 (años) 3.25 años

método comercial

73

M = 3´202,539.41 C = 2´347,429.52 3.25 años

0

7.25 (años)

APLICACIONES SOBRE DEPRECIACIONES

1.- MAGNUN S.A adquiere maquinaria pesada por un valor de 35,000usd. Se calcula que su tasa de depreciación será del 30% anual y se espera que su vida útil sea de 10 años. a) Elaborar una tabla de depreciación para los 6 primeros años. b) Hallar el valor en libros al final de 8 años. c) Cuál será el valor teórico de salvamento. Solución:

a) Tabla de depreciación

TABLA DE DEPRECIACIÓN

AÑOS

DEP. ANUAL

DEP. ACUM

VALOR EN LIBROS

0

-

-

35,000.00

0.30

1

10,500.00

10,500.00

24,500.00

0.30

2

7,350.00

17,850.00

17,150.00

0.30

3

5,145.00

22,995.00

12,005.00

0.30

4

3,601.50

26,596.50

8,403.50

0.30

5

2,521.05

29,117.55

5,882.45

0.30

6

1,764.74

30,882.29

4,117.72

0.30

% DE DEPRECIAC

Para calcular la depreciación anual hemos usado la fórmula Dk = V(k-1) d.

b) Valor en libros al final del 8vo. Año. k

74

Vk = C ( 1 – d )

8

V8 = 35,000 ( 1 – 0.30 )

→ V8 = 2,017.68usd

c) Cargo por depreciación del 9no. Año.

Dk = Vk-1 d

D9 = V8 d → D9 = 2,017.68 * 0.30 → D9 = 605.30usd.

d) Valor teórico de salvamento. n

S =C(1–d) 10

S = 35,000 ( 1 – 0,3 ) → S = 988.66usd

2.- INDUSTRIAS ARTEX adquirió muebles de oficina por un valor de 25,000usd, se estima que su vida útil es de 5 años y su valor de desecho de 3,000usd.

a).- Hallar los cargos anuales por depreciación. (Utilice la fórmula general).

Dk = n – k – 1 ( C – S ) s b).- Elabore la tabla de depreciación.

Solución:

a) Calcular la base de depreciación. B =C–S

→ B = 25,000 – 3,000

; B = 22,000usd 75

Determinar la suma de dígitos s=n(n+1) → s=5(5+1) =5*6 2

2

;

s = 15

2

b) Hallar los cargos anuales por depreciación.

Dk = n – k + 1 ( C – S ) → D1 = n – 1 + 1 ( C – S ) → D1 =( n /s) ( C – S ) s

15

D1 = 5/15 ( 22,000)

→ D1 = 7,333.33usd

D2 = 4/15 ( 22,000) → D 2 = 5,866.67usd D3 = 3/15 ( 22,000) → D 3 = 4,400.00usd D4 = 2/15 ( 22,000) → D 4 = 2,933.33usd D5 = 1/15 ( 22,000) → D 5 = 1,466.67usd

D1 + D2 + D3 + D 4 + D5 = ( C – S ) = depreciación total.

7,333.33 + 5,866.67 + 4,400.00 + 2,933.33 + 1,466.67 = 22,000usd que es la depreciación total ( B ).

TABLA DE DEPRECIACIÓN

AÑOS

DEP. ANUAL

DEP. ACUM

VALOR / LIBROS

0

-

-

25,000.00

1

7,333.33

7,333.33

17,666.67

2

5,866.67

13,200.00

11,800.00

76

3

4,400.00

17,600.00

7,400.00

4

2,933.33

20,533.33

4,466.67

5

1,466.67

22,000.00

3,000.00

3.- PETRÓLEOS Y ASOCIADOS S.A compró un martinete en un valor de 80,000usd al que se le ha estimado un valor de desecho de 2,000usd y una vida útil de 60,000 horas de operación.

a) Hallar el cargo por depreciación por hora de operación. b) Elaborar la tabla de depreciación para los primeros 4 años de vida de la máquina, durante los cuales las horas de operación fueron: 5,000. 7,000. 6,000 y 8,000. Solución: a) D =( C – S) / # horas operación = (80,000 – 2,000)/ 60,000 = 1.3usd/ hora de operación. b) tabla de depreciación:

TABLA DE DEPRECIACIÓN

DEP. ACUMULADA

VALOR EN LIBROS

AÑOS

HORAS OPER

DEP. ANUAL

0

-

-

1

5,000

6,500

6,500

73,500

2

7,000

9,100

15,600

64,400

3

6,000

7,800

23,400

56,600

4

8,000

10,400

33,800

46,200

-

80,000

Ejemplo de cálculo de depreciación Anual : 5,000 * 1.3 = 6,500usd 77

7,000 * 1.3 = 9,100usd método del fondo de amortización.

Este método considera los intereses que gana el fondo de reserva que se va constituyendo, por consiguiente, el incremento anual estará dado por la suma del cargo anual por depreciación más los intereses ganados en ese período.

La aportación anual al fondo de amortización se deriva de la fórmula del monto de una anualidad: M = R( ( ( 1 + i ) ⁿ -1) / i ) Para determinar el pago periódico se despeja R = Mi / (( 1 + i )ⁿ -1). En este caso M = B, puesto que es el Monto que debe acumular al cabo de n años a una tasa de interés i.

R = D, el cargo anual que debe efectuarse al fondo.

Entonces:

Dk = B i / (( 1 + i )ⁿ - 1)

fórmula del cargo anual .

O también Dk = Bi/ (( 1 + i)ⁿ - 1 ).

Y si n = K

Dk = Bi / (( 1 + i ) -1).

Para determinar la depreciación acumulada A k se calcula el monto de un pago periódico D a un plazo K y a una tasa de interés i por periodo.

Ak = D (( 1 + i ) -1) / i )

El monto acumulado al cabo de n años debe ser igual a la base de depreciación del activo.

4 .- Constructora Ingenieros Asociados adquiere muebles de oficina para un edificio de departamentos y oficinas que esta construyendo. El costo de compra de los muebles es de 150.000usd y se calcula que tendrán una vida útil de 5 años. La tasa de

78

interés es del 12% anual y se estima que a su final tendrá un valor de desecho de cero.

a) Determinar el cargo anual por depreciación utilizando el método del fondo de amortización. b) Elaborar la tabla de depreciación. Solución:

a) Cálculo de cargo anual. B= C – S

B= 150,000 – 0 = 150,000

D = Bi/ (( 1 + i ) – 1 ) 5

D= ( 150,000*0.12) / (( 1+0.12) -1)

D= 18,000/ (1.762341683 – 1)

D= 23,611.46usd

La aportación que se debe hacer anualmente al fondo de amortización es de 23,611.43usd.

b) tabla de depreciación n

M=C(1+i)

n

;

M = 23,611.43 ( 1.12)

TABLA DE DEPRECIACIÓN

79

DEP. ANUAL

AÑOS

0

-

1

23,611.46

2

INT. GANAD

DEP. ANUAL

-

DEP. ACUMUL

VALOR/ LIBROS

-

-

150,000.00

0

23,611.46

23,611.46

126,388.54

23,611.46

2,833.38

26,444.84

50,056.30

99,943.70

3

23,611.46

6,006.76

29,618.22

79,674.52

70,325.48

4

23,611.46

9,560.94

33,172.40

112,846.92

37,153.08

5

23,611.46

13,541.63

37,153.10

150,000.02

0.02

118,057.30

31,942.71

150,000.02

EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN a) Resuelva los siguientes ejercicios: 1. Calcular el descuento compuesto de un documento cuyo monto será de 6´000,000usd luego de 5 años, si fue descontado 2 años antes de su vencimiento a una tasa de interés del 12% efectiva. 2. Una empresa desea vender una propiedad y recibe tres ofertas: 

1ra oferta: 200,000usd de contado. 100,000usd a 1 año plazo.



2da oferta: 150,000usd de contado. 70,000usd a 12 meses plazo. 80,000usd a 24 meses plazo.



3ra oferta: 180,000usd de contado. 100,000usd a 6 meses plazo. 20,000usd a 9 meses plazo.

¿Cuál de las tres ofertas le conviene aceptar, considerando una tasa de interés de 16% anual capitalizable semestralmente.(a.c.s)?.

3.-Industrias PGA adquiere un taladro en 450,000usd. Se estima que su vida útil será de 8 años, al final de los cuales el equipo se volverá obsoleto, lo que obligará a cambiarlo por un modelo nuevo. Se estima también un valor de salvamento de 2,000usd. Se prevé que deberá efectuarse una inversión de 4,000usd para actividades de desmontaje y traslado, para deshacerse del equipo. Aplicando el método lineal :

80

a) Establecer el cargo anual por depreciación. b) Elaborar una tabla de depreciación. 4.- Constructora caminos y estructuras compró un tractor en 25,000usd. Se estima una vida útil de 5 años y un valor de salvamento igual a cero. Aplicando el método de porcentaje fijo:

a) b)

Determinar el porcentaje de depreciación que debe aplicarse. Elaborar la tabla de depreciación.

5.- Ingenieros y Asociados construye un edificio de oficinas. La construcción fue por 3´000,000usd y el terreno costó 400,000usd. La vida útil del edificio se calcula en 20 años y se estima que tendrá un valor de desecho de 1´200,000usd. Aplicando el método de suma de dígitos calcular el valor en libros al final de los 8 años.

6.- Hormigonera Tarqui adquirió una máquina bloquera en 10,000usd. Se estima que tendrá una vida útil durante la cual podrá producir 6´350,000 unidades y que a su final su valor de salvamento será de 500usd. Usando el método de unidad de producción o servicio:

a) b)

Hallar el cargo por depreciación por unidad Elaborar la tabla de depreciación para los 5 primeros años de vida de la máquina, durante los cuales las unidades producidas fueron: 550,000, 700,000, 600,000, 800,000, 400,000.

7.- Petróleos Oil Co. adquiere un taladro para perforación en 1´500,000usd. Se estima que su vida útil será de 20 años al cabo de los cuales tendrá un valor de desecho del 15 % de su costo. La compañía decide depreciar este equipo utilizando el método del fondo de amortización y aplicando una tasa de interés promedio del 10% anual.

a) b)

c)

Determinar el cargo anual por depreciación. Establecer la depreciación acumulada y el valor en libros al final de los 5 primeros años.

Establecer la depreciación acumulada y el valor en libros al final de los 10 años.

AFIRMACIÓN

V

F

Interés compuesto es el interés de un capital al que se acumulan los réditos para que produzcan otros. El interés simple se diferencia del interés compuesto, en que en el interés simple los intereses se calculan varias veces. Un capital colocado a interés simple produce un monto mayor que el colocado a interés compuesto. El interés compuesto tiene relación directa con el capital y la tasa de interés. El interés compuesto se aplica a largo plazo. La tasa nominal se capitaliza una vez al año.

81

La tasa efectiva se capitaliza varias veces al año.

b) verdadero o falso Marque con una X si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas

c) casamientos Una con líneas correspondientes.

las

siguientes

definiciones

con

los

DEFINICIONES

CONCEPTOS

Interés Simple

Mismo interés final 1 año

Interés Compuesto

Corto plazo

Tasa equivalente

Anual, semestral, mensual

Período de Capitalización

Largo plazo

conceptos

AUTO EVALUACIÓN Hasta el momento cual es su evaluación: excelente, bien, regular o mal. Si no se evalúa por lo menos de “Bien”, debe volver atrás o elaborar un plan remedial para superar las deficiencias; usted puede , hágalo con entusiasmo. Por otro lado si se siente bien o excelente , ADELANTE Y FELICIDADES

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Calcule el monto a interés compuesto y a interés simple de un capital de $1’000.000 colocado durante 10 años a una tasa de interés del 12% anual. Analice los resultados.

2.- Calcule el monto a interés compuesto y el interés compuesto de un capital de $500.000 colocado a una tasa de interés del 15% anual capitalizable semestralmente durante 7 años.

82

3.- Una empresa obtiene un préstamo de $4’000.000 a 10 años de plazo con una tasa de interés del 15% capitalizable semestralmente. Calcule el interés y el monto que debe pagar a la fecha de vencimiento.

4.- Una persona coloca un capital de $3’000.000 en una cuenta de ahorros al 12% de interés capitalizable trimestralmente; ¿cuánto habrá en la cuenta al final de 8 años y 6 meses?

5.- Rubén abre una cuenta de ahorros hoy, con $800.000, a una tasa de interés del 14% capitalizable semestralmente. Calcule cuánto habrá en la cuenta luego de 7 años y 7 meses. Haga los cálculos en forma matemática y comercial, y analice los resultados.

6.- Calcule, por los métodos matemático y comercial, el monto compuesto que acumulará un capital de $1’500.000 durante 6 años y 9 meses al 16% anual capitalizable semestralmente. Analice los resultados.

7.- ¿A qué tasa efectiva equivale una tasa nominal del 15% anual capitalizable semestralmente?.

8.- Resuelva el problema anterior buscando la tasa nominal capitalizable semestralmente, equivalente a una tasa efectiva del 15,5625?

9.- ¿A qué tasa efectiva equivale una tasa nominal del 18% anual capitalizable trimestralmente?

10.- ¿A qué tasa anual capitalizable trimestralmente, equivale una tasa efectiva del 19,2519?

11.- ¿A qué tasa anual capitalizable trimestralmente se debe colocar un capital de $1’000.000 para que produzca un monto de $5’500.000 en 6 años y 9 meses?. ¿A qué tasa efectiva equivale?.

12.- ¿A qué tasa efectiva se convertirá un capital de $500.000 en un monto de $900.000 en 9 años y 6 meses? 83

13.- ¿En qué tiempo, en años, se duplicará un capital de $700.000 a una tasa de interés efectiva del 18%?

14.- ¿En qué tiempo, en años, aumentará en ¾ partes más un capital de $600.000, considerando una tasa de interés del 17 1/8%, capitalizable semestralmente?.

15.- Calcule el valor actual de un pagaré cuyo valor al término de 3 años y 6 meses será de $2’100.000, considerando una tasa de interés del 16% anual capitalizable semestralmente (sin inflación).

16.- Un documento suscrito el día de hoy por un valor de $950.000, a 5 años de plazo con una tasa de interés del 17% anual capitalizable semestralmente, se vende 2 años antes de la fecha de vencimiento, considerando una tasa del 18% anual capitalizable semestralmente. Calcule el valor de la venta del documento en esa fecha; elabore la gráfica correspondiente.

17.- Una persona desea vender una propiedad y recibe 3 ofertas: a) $2’000.000 al contado; b) $1’000.000 al contado $1’200.000 a 1 año de plazo; c) $100.000 al contado y 2 letras de $1’200.000 a 6 meses y 1 año, respectivamente. ¿Cuál de las tres ofertas le conviene aceptar, considerando que el rendimiento del dinero es del 21% capitalizable semestralmente?.

18.- Un documento suscrito por $3.500 a 5 años y 7 meses, con una tasa del 12% capitalizable trimestralmente, se vende 2 años y 5 meses después de la fecha de suscripción. Considerando una tasa de interés del 13%, capitalizable semestralmente, calcule el valor de la venta de dicho documento. Haga los cálculos en forma matemática y comercial.

19.- Calcule el descuento compuesto matemático y el descuento compuesto bancario de un documento cuyo monto al final de 7 años es de $7’000.000, si fue descontado 3 años antes de la fecha de su vencimiento con una tasa de interés del 14% efectiva. 84

20.- Una empresa tiene las siguientes deudas: 1ª) $1’000.000 a 3 años de plazo con una tasa del 18% capitalizable semestralmente; 2ª) $5’000.000 a 4 años y 6 meses con una tasa del 12% efectiva; 3ª) $3’000.000 a 6 años y 9 meses con una tasa del 15% anual capitalizable trimestralmente.

La empresa desea reemplazarlas por un único pago en un tiempo equivalente para los 3 vencimientos. Calcule: a) la fecha de pago; b) el valor del pago único, considerando una tasa de interés del q4% anual capitalizable semestralmente. 21.- Una asociación estudiantil decide adquirir un equipo de video para realizar tareas de capacitación. Su costo es de $25.000 y se calcula que dará servicio durante 5 años, al cabo de los cuales esperan cambiarlo por uno más moderno. Su valor de desecho es de aproximadamente $500. a) determínese la depreciación anual por el método de línea recta. b) Elabórese la tabla de depreciación.

22.- Un departamento de policía adquiere patrullas nuevas con valor de $250.000 cada una. Estima que su vida útil será de 5 años, al cabo de los cuales su valor de desecho será 0. a) Determínese la depreciación anual por el método de porcentaje fijo. b) Elabore la tabla de depreciación

23.- Una compañía de aviación adquiere un simulador de vuelo en $350.000. Decide depreciarlo por el método de porcentaje fijo aplicando 20% anual. a) ¿Cuál será el valor en libros al cabo de 5 años? b) Elabore la tabla de depreciación.

85

24.- Una cooperativa pesquera ha resuelto adquirir un barco para la captura de atún. Su costo es de $15,7millones y su valor de desecho, al cabo de 25 años de vida útil esperada, será de $1,5 millones. Aplicando el método de suma de dígitos: a) ¿Cuál será el valor en libros al cabo de 5 años? b) ¿Cuál será el valor en libros al cabo de 10 años?

25.- Un hospital ha comprado equipo para análisis de laboratorio con valor de $85.550. La vida esperada del mismo es de 15 años y su valor de desecho será igual a 0. a) Elabore una tabla de amortización para los primeros 5 años, utilizando método de la suma de dígitos.

el

b) Determine el valor en libros al cabo de 10 años.

26.- Una universidad adquiere una microcomputadora para dar servicio a sus estudiantes. Su costo es de $15.385 y se calcula que tendrá una vida útil de 5000 horas, al cabo de las cuales su valor de deseco será 0. a) Elabore una tabla de amortización considerando que se utilicen 1800 el primer año, 1700 el segundo y 1500 el tercero.

horas

b) Determine su valor en libros al cabo de 2 años.

27.- Una empresa adquiere un dado para la inyección de plástico que tiene una vida estimada de 150.000 piezas. Su costo es de $27.250, y su valor de desecho es de 0. La tabla que muestra la producción estimada es la siguiente:

AÑO 1

UNIDADES 25.000

2 3

35.000 45.000

4

45.000 150.000

a) Elabore la tabla de depreciación utilizando el método de depreciación por unidad de producción.

86

28.- Un ayuntamiento adquiere un camión recolector de basura para el servicio de la ciudad. Su costo es de $382.850 y su vida útil esperada es de 7 años, al cabo de los cuales tendrá un valor de desecho de 0. a) Determine el cargo anual por depreciación utilizando el método del fondo de amortización, si la tasa de interés vigente es del 14%. b) ¿Cuál será su valor en libros al cabo de 5 años? c) ¿Cuál será la depreciación acumulada al cabo de 6 años?.

29.- Una lavandería adquiere equipo nuevo con valor de $18.000. La vida útil de dicho equipo es de 10 años, y su valor de desecho es $1.000. a) Considerando una tasa de interés del 9,5%, determine la aportación anual al fondo de amortización. b) Calcule la depreciación acumulada y el valor en libros al cabo de 4 años. c) S i se decidiera vender el equipo de acuerdo con su valor en libros al cabo de 6 años, ¿cuánto debería pedir por él?.

30.- Una lavandería adquiere equipo nuevo con valor de $18,000. La vida útil de dicho equipo es de 10 años, y su valor de desecho es $1,000. a) Considerando una tasa de interés del 9.5%, determine la aportación anual al fondo de amortización. b) Calcule la depreciación acumulada y el valor en libros al cabo de 4 años. c) S i se decidiera vender el equipo de acuerdo con su valor en libros al cabo de 6 años, ¿cuánto debería pedir por él?.

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN a. Resuelva los siguientes ejercicios: 1. Calcular el descuento compuesto de un documento, cuyo monto será de 6´.000.000 usd luego de 5 años, si fue descontado 2 años antes de su vencimiento, a una tasa de interés del 12% efectiva. Solución: Dc = M – C Descuento compuesto matemático M = 6´000,000 usd i = 12% n=2 87

Dc = M – M ( 1 + i )-n Dc = 6´000,000 – 6´000,000( 1 + 0.12 )-2 Dc = 1`216,836.74 usd Descuento compuesto bancario M = 6´000,000 d = 12% n = 2 Dbc = M [ 1 – ( 1 – d )n ] Dbc = 6´000,000 [ 1 – ( 1 – 0.12 )2] Dbc = 1´353,600 usd 2. Una empresa desea vender una propiedad y recibe tres ofertas: 

1ra oferta: 200,000 usd de contado. 100,000 usd a 1 año plazo.



2da oferta: 150,000 usd de contado. 70,000 usd a 12 meses plazo. 80,000 usd a 24 meses plazo.

3ra oferta: 180,000 usd de contado. 100,000 usd a 6 meses plazo. 20,000 usd a 9 meses plazo.

¿Cuál de las tres ofertas le conviene aceptar, considerando una tasa de interés de 16% anual capitalizable semestralmente.(a.c.s)?.

Solución: i = O.16 / 2 = 0.0 8 semestral 1ª Oferta

m=2 -n

C= M( 1+i ) -1*2

X = 200,000 + 100,000 ( 1 + 0.08 )

X = 285,733.88 usd ff 200.000 0

100.000 1 (año)

2ª oferta : ff 150,000

70,000

0

1

80,000 2 (años) 88

X -1*2

-2*2

X = 150,000 + 70,000 ( 1 + 0.08 ) + 80,000 ( 1 + 0.08 ) X = 150,000 + 60,013.72 + 58,802.39

X = 268,816.11usd

3ª oferta . ff

180,000 0 X

100,000 0.5

20,000 0.75 (años) -0.75*2

-0.5*2

X = 180,000+ 100,000 ( 1 + 0.08 ) + 20,000( 1 + 0.08 ) X = 180,000 + 92,592.59 + 17,819.45 X = 290,412.05usd Le conviene la tercera oferta que es la más elevada

1. Industrias PGA adquiere un taladro en 450,000 usd. Se estima que su vida útil será de 8 años, al final de los cuales el equipo se volverá obsoleto, lo que obligará a cambiarlo por un modelo nuevo. Se estima también un valor de salvamento de 2,000 usd. Se prevé que deberá efectuarse una inversión de 4,000 usd para actividades de desmontaje y traslado para deshacerse del equipo. Aplicando el método lineal: a) Establecer el cargo anual por depreciación. b) Elaborar la tabla de depreciación.

Solución:

a) D= c-s n

D= 450,000-(-2,000)

;

D = 56,500 usd.

8

89

En este caso el valor de salvamento es negativo, por cuanto si se recuperan 2,000 usd por la venta, debe realizarse una inversión de 4,000 usd para desmontaje y traslado.

S=2,000-4,000

;

S = -2,000 usd.

b) Tabla de depreciación.

Años

Dep. Anual

Dep. Acumul.

Valor en libros

h

D

A

V

0 1

450,000 56,500

56,500

393,500

2

56,500

113,000

337,000

3

56,500

169,500

280,500

4

56,500

226,000

224,000

5

56,500

282,500

167,500

6

56,500

339,000

111,000

7

56,500

395,500

54,500

8

56,500

452,000

-2,000

2. Constructora caminos y estructuras compró un tractor en 25,000 usd. Se estima una vida útil de 5 años y un valor de salvamento igual a cero. Aplicando el método de porcentaje fijo: a) Determinar el porcentaje de depreciación que debe aplicarse b) Elaborar la tabla de depreciación.

Solución: n

a) C=25,000usd

S=c (1-d) 5

n=5 años

S=25,000 (1-d) 90

5

d= ?

0 =25,000 (1-d)

Como se indicó anteriormente, está fórmula carece de significado si el valor de desecho es cero, por cuanto su resultado sería indeterminado. En este caso se sustituye el cero por uno y se aplica la fórmula. 5

5

25,000 (1-d) =1

5

(1-d) = 1/25,000 0,2

(1-d) =( 0.00004)

(1-d) =0.00004

0,2

-d = (0.00004) -1

0,2

d= 1-(0.00004)

d= 0.868049

d = 86.8049%

b)Tabla de depreciación

Años 0

Dep. Anual

Dep. Acumul.

-

Valor en libros

d

25,000.00

0.868049

1

21,701.23

21,701.23

3,298.77

0.868049

2

2,863,50

24,564.73

435.27

0.868049

3

377.84

24,942.57

57.43

0.868049

4

49.86

24,992.42

7.58

0.868049

5

6.58

25,000.00

1.00

0.868049

En este caso observamos que prácticamente el total de la depreciación se ha cargado al primer año y puede no ser conveniente la utilización de este método.

3. Ingenieros y Asociados construye un edificio de oficinas. La construcción fue por 3´000,000 usd y el terreno costó 400,000 usd. La vida útil del edificio se calcula en 20 años y se estima que tendrá un valor de desecho de 1´200,000 usd. Aplicando el método de suma de dígitos, calcular el valor en libros al final de los 8 años. Solución:

Cálculo de la base de depreciación. 91

B= C - S

(No consideramos el costo del terreno porque no se deprecia).

B= 3´000,000 – 1´200,000

; S = 1´800,000 usd

Cálculo de la suma de dígitos.

s = n(n+1)/2

s = 20(20+1)/2 = 20*21/2

;

s = 210

Cálculo de la depreciación acumulada de los 8 primeros años. Esta se obtiene por la suma de las fracciones de los 8 primeros años multiplicada por la base de la depreciación.

Ak = A8

= [(20+19+18+17+16+15+14+13)/210] * 1´800,000

A8 = ( 132/210)*1´800,000 = 1´131,428.57 usd

Cálculo del valor en libros. Vk = C –Ak

V8 = C – A8

V8 = 3´000,000 – 1´131,428.57 = 1´868,571.43 usd

4. Hormigonera Tarqui adquirió una máquina bloquera en 10,000 usd. Se estima que tendrá una vida útil durante la cual podrá producir 6´350,000 unidades y que a su final su valor de salvamento será de $500. Usando el método de unidad de producción o servicio: a) Hallar el cargo por depreciación por unidad. b) Elaborar la tabla de depreciación para los 5 primeros años de vida de la máquina, durante los cuales las unidades producidas fueron: 550,000., 700,000., 600,000., 800,000., 400,000.

Solución :

a) D = ( C – S ) / # unidades = ( 10,000 – 500 ) = 0.0015 usd / unidad 6,350.000 b) Tabla de depreciación Años 0

Unid. Prod. Dep. Anual 0

0

Dep. Acumul. 0

Valor en libros 10,000

92

1

550,000

825

825

9,175

2

700,000

1,050

1,875

8,125

3

600,000

900

2,775

7,225

4

800,000

1,200

3,975

6,025

5

400,000

600

4,575

5,425

Modelo de cálculo D = 550,000 * 0.0015

5.

;

D = 825 usd

Petróleos Oil Co. adquiere un taladro para perforación en 1´500,000 usd. Se estima que su vida útil será de 20 años, al cabo de los cuales tendrá un valor de desecho del 15 % de su costo. La compañía decide depreciar este equipo utilizando el método del fondo de amortización, aplicando una tasa de interés promedio del 10% anual.

a) Determinar el cargo anual por depreciación. b) Establecer la depreciación acumulada y el valor en libros al final de los 5 primeros años. c) Establecer la depreciación acumulada y el valor en libros al final de los 10 años.

Solución:

a) Se determina la base de depreciación. B = C –S

B = 1´500,000 – 225,000

;

B= 1´275,000 usd

Se calcula el cargo anual por depreciación. n

D = B i / [ ( 1+ i ) – 1 ]

D = 22,261.02 usd

20

D = 1´275,000 * 0.10 / [( 1 + 0.10 ) – 1 ]

( Cargo anual por depreciación ).

b) Calculamos la depreciación acumulada después de 5 años. Ak = D (1 + i ) n – 1

Ak = 22,261.02 ( 1 + 0.10 ) 5 – 1

93

i

0.10

Ak = 135,905.75 usd

Calculamos el valor en libros. Se obtiene restando la depreciación acumulada del costo original en el año K.

Vk = C – Ak

Vk = 1´500,000 – 135,905.75

V5 = 1´364,094.25 usd

c) Calculamos la depreciación acumulada al cabo de 10 años n

Ak = D ( 1 + i ) – 1

10

Ak = 22,261.02 ( 1+ 0.10 ) – 1

i

0.10

A10 = 354,783.33 usd

El valor en libros será:

V10 = 1´500,000 – 354,783.33

;

V10 = 1´145,216.67 usd

94

d)VERDADERO O FALSO Marque con una X si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas AFIRMACIÓN

V

Interés compuesto es el interés de un capital al que se acumulan los réditos para que produzcan otros.

X

F

El interés simple se diferencia del interés compuesto, en que en el interés simple los intereses se calculan varias veces.

X

Un capital colocado a interés simple produce un monto mayor que el colocado a interés compuesto.

X

El interés compuesto tiene relación directa con el capital y la tasa de interés.

X

El interés compuesto se aplica a largo plazo.

X

La tasa nominal se capitaliza una vez al año.

X

La tasa efectiva se capitaliza varias veces al año.

X

e) CASAMIENTOS Una con líneas las siguientes definiciones con los conceptos correspondientes.

DEFINICIONES

CONCEPTOS

Interés Simple.

Mismo interés final 1 año.

Interés Compuesto.

Corto plazo.

Tasa equivalente.

Anual, semestral, mensual.

Período de Capitalización.

Largo plazo.

95

ANEXOS APENDICE 1

EL PORCENTAJE: APLICACIONES

Se le conoce como tanto por ciento o simplemente por ciento. El cálculo del porcentaje se utiliza con frecuencia en el campo comercial y financiero para representar: aumentar, disminuciones, utilidades, tasas de interés y de descuento, entre otros aspectos. El término por ciento significa centésimo y se le simboliza (%). Ejemplo: 18.5%

significa

18.5/100=0.185

Cualquier número entero o decimal puede ser escrito como porcentaje, multiplicándole por 100 y agregando el símbolo de por ciento (%) Ejemplo: 0.2537

significa

(0.2537)(100)%= 25.37%

Si queremos encontrar el 5% de 90 debemos efectuar la siguiente operación. 5% de 90

(5/100)(90)=0.05(90)=4,5

En esta operación: 4.5

Se le conoce como

producto

5%

Se le conoce como

Porcentaje o tasa

90

Se le conoce como

Base

Bajo el concepto anterior, cuando se calcula porcentajes se presentan 3 alternativas: encontrar el producto, la tasa o la base.

I CASO.- Hallar el producto 1.- Juan Ramírez adquirió un refrigerador en 1,200 usd. Si dio un anticipo del 25% del precio de compra. Cuál fue el valor de la cuota inicial y cual fue el saldo. Solución: Cuota inicial= 25% del precio de compra C/I= 25% (1,200)= 0,25(1,200)=300 usd Saldo = precio-C/I 96

Saldo =1,200-300=900 usd

2.- Almacenes H-Clan ofrece equipos de sonido con el 30% de descuento. Si el precio de lista era de 230.50 usd. Cuál es el precio final del equipo Cuál es la cantidad a pagar si al precio final se le suma el IVA Solución: Descuento=30% de 230.50=(30/100)(230.50)=69.15 Precio final=230.50-69.15=161.35 usd IVA= 12% de 161.35=(12/100)(161.35)=19.362 CANTIDAD A PAGAR = Precio final+IVA = 161.35+19.362=180.71 usd II CASO.- HALLAR LA TASA Significa establecer que por ciento es un número de otro número. 1.- Determinar que porcentaje de 10,750 es 3,440 Solución: X=porcentaje buscado en forma decimal. Como X% de 10,750 tiene que ser igual a 3,440 Planteamos la ecuación: X(10,750)=3,440

X=3,440=0,32=32% 10,750

2.- Una comercializadora recibió 17,610 usd por conceptos de comisiones por obtener un grupo de participantes para una maestría por un valor de 117,400 usd. Establecer el porcentaje obtenido. Solución.X=porcentaje de comisión ganada Como X% de 117,400 debe ser igual a 17,610 tenemos: X(117,400)=17,610

X=17,610/117,400=0.15=15%

III CASO.- Hallar la base. 97

Significa encontrar el número que producirá el porcentaje cuando ese número se multiplique por el porcentaje dado. 1.- Almacenes RKS decidió incrementar el precio de cada terno confeccionado en un 8%. Establecer cuál era el precio original de cada terno, considerando que actualmente es de 259.20 usd. Solución.X=precio de c/terno antes del aumento Aumento= 8% de X= 0.08X Precio actual = precio anterior + aumento 259.20= X+0.08X 259.20=1.08X

X=259.20/1.08

X=240 usd

2.- Maquinarias SA distribuye motos a un precio de 2,800 usd, valor en el que se incluye el IVA. Calcular: a) El precio de la moto sin impuestos. b) El valor del impuesto.

Solución.a) X= Valor de la moto antes de sumar el impuesto IVA= 12% del valor de la moto= 12% de X=0.12X Si al valor de la moto antes del impuesto se le suma el impuesto, se obtiene el valor total a pagar. X+0.12X= 2,800 1.12X= 2,800

X=2,800/1.12= 2,500 usd

b) El impuesto es el 12% de 2,500 IVA= 12% (2,500)= 0.12(2,500) =300 usd

UTILIDAD SOBRE EL COSTO Y SOBRE EL PRECIO DE VENTA El costo de un artículo o de un servicio se compone de todos los gastos efectuados para fabricar o adquirir el artículo o para proporcionar el servicio respectivamente.

98

Los Gastos de operación son las cantidades pagadas por concepto de venta, salarios, publicidad, etc. La utilidad Bruta es la cantidad que se suma al costo del artículo o servicio para cubrir los gastos de operación. La UTILIDAD Neta es la cantidad que queda después de cubrir los gastos de operación y se le conoce como GANANCIA.

PRECIO DE VENTA = COSTO + UTILIDAD BRUTA PV

=

C + UB

UTILIDAD BRUTA = GASTOS DE OPERACIÓN + UTILIDAD NETA UB

=

GO + UN

1.- Fabrica de muebles MODULEC, produce escritorios de la línea de oficina, los costos de fabricación alcanzan los 120 usd y se estima en 50 usd los gastos de operación por cada unidad producida. Desea obtener una utilidad neta de 40 usd por cada escritorio vendido. Establecer el precio de venta. Solución.PV= C + UB UB= GO + UN UB= 50 + 40=90usd PV=120+90=210usd Es muy común que al determinar los precios de venta, la utilidad bruta y la utilidad neta se den como porcentaje en lugar de cantidades. El porcentaje se da en función del costo o del precio de venta. No importa en que esta basada la utilidad por cuanta ésta siempre se suma al costo para halar el precio de venta.

2.- Almacén deportivo SA adquirió 20 bicicletas de carrera en 850 usd cada una y los vendió en 1,350usd cada unidad. Determinar. a) El porcentaje de utilidad bruta basada en el costo b) El porcentaje de utilidad bruta basada en el precio de venta.

Solución.99

a) X= % de UB basada en C UB=X(850)=850X PV=C+UB PV=850+850X 1,350=850+850X 850X=500

850X=1,350-850=500 X=500/850

X=0.5882

X= % UB BASADA EN C =58.82%

b) X=% DE UB BASADA EN PV UB=X(1,350) = 1,350x PV= C+UB PV=850+1,350X

1,350=850+1,350X

1.350X= 1.350-850=500 X= 500/1,350

1,350X=500

X=0.3704

X= % DE UB BASADA EN PV=37.04%

De manera general la utilidad bruta puede basarse en el costo o en el precio de venta; sin embargo, en ocasiones se requiere convertir una tasa de utilidad bruta basada en el costo a una tasa basada en el precio de venta y viceversa.

3.- Almacenes Pérez SA vende casimires con una utilidad bruta del 50% del costo. Establecer cual será la utilidad bruta basada en el precio de venta. Considerar el costo en una cantidad de 70 usd. Solución.C=70 usd UB=50% de C= 50%(70)=0.5(70)=35 usd PV=C+UB PV=70+35=105 usd X=%UB BASADA EN EL PV UB=X (105) =105X 100

PV=C+UB 105=70+105X 105X=35

105X=105-70=35 X=35/105=0.3333

X=% UB BASADA EN PV=33.33%

DESCUENTO COMERCIAL.En el campo comercial es muy común que los fabricantes de productos y los mayoristas entreguen a sus clientes listas de precios propuestos para cada producto. Los precios marcados en estas listas se denominan Precio de Lista(PL) y corresponden al “precio sugerido” para ventas al menudeo por que puede o no ser el precio final que debe pagar el consumidor. Los fabricantes y mayoristas venden sus productos a los detallistas con un descuento basado en el precio de lista llamado DESCUENTO COMERCIAL. La tasa de descuento es el descuento comercial expresado como un porcentaje del precio de lista. El precio neto (PN) es el precio de lista menos el descuento comercial.

PN=PL-DESCUENTO

DESCUENTO COMERCIAL SIMPLE.- Es aquel en que la rebaja se realiza por una sola vez. 1.-Sombrería nacional ofrece sombreros de exportación. Establecer el precio Neto de cada sombrero, cuyo precio de lista es 128 usd, si se le aplica un descuento comercial del 27%. Solución. Descuento=27% del PL=27%(128)=34.56 PN=PL – descuento

PN=128-34.56=93.44 usd

DESCUENTO COMERCIAL EN CADENA.- Conocido también como descuento comercial en serie, es aquella en las rebajas se efectúan mas de una vez. Las deducciones deben efectuarse de manera sucesiva y por ninguna causa deben sumarse los descuentos y utilizar la suma como un solo descuento. Es muy común que se realice varios descuentos sobre el precio de lista.

101

1.- La fábrica maderesa SA produce muebles finos. Como una política de ventas ofrece a un mayorista descuentos comerciales del 25%, 20% y 10%. Hallar el precio neto de un pedido por una cantidad de 675,300 usd. Solución.PL=675,300 usd DESCUENTO DEL 25%=25%(675,300)=168,825 Saldo= 675,300-168,825=506,475 Descuento del 20%=20%(506,475)=101,295 (Sobre el saldo) Saldo nuevo=506,475-101,295=405,180 Descuento del 10%(405,180)=40,518 (Sobre el saldo) Precio neto =PN =405,180-40,518=364,662 PN =364,662 usd Otro método para hallar el precio neto es con la fórmula: PN =PL(1-d1)(1-d2),…,(1-dn) En donde: PN= Precio Neto PL= Precio de Lista d1,d2,…dn: descuentos comerciales aplicados Tomando el caso del ejercicio anterior tenemos: PN= PL (1-d1) (1-d2) (1-d3) PN= 675,300 (1-0.25) (1-0.20) (1-0.10) PN= 675,300(0.75) (0.80) (0.90) PN= 364,662 PN=364,662 usd. Usando porcentaje, calcule lo siguiente:

a.- El 25% de 75,000. 100----------25 75,000----- x

x

25 * 75,000 ; x = 18,750 100

b.-De que cantidad es 200 el 25%. 102

200-------25

200 *100 ; x = 800 25

x

x -------100

c.-Que porcentaje de 35.000 es 5.200 35,000-----100 5,200------ x

x

5,200 *100 ; x = 14.86% 35,000

Aplicaciones 1.- Una empresa adquiere escritorios a 350 usd cada uno y desea venderlos con una utilidad del 25% del precio de costo. Calcular el precio de venta. Datos Pc= 350 usd Pr= ? U= 25% Pc

(precio de costo) (precio de venta) (utilidad)

Solución Utilidad = Precio de venta – Precio de costo U=Pv – Pc U=25%(350)=0,25(350)=87.5 U=Pv – Pc ; 87.5 = Pv-350; Pv=350+87.5 Pv= 437.50 usd (precio de venta)

2.- Una empresa adquiere paquetes de fundas plásticas a razón de 0.35 usd cada paquete y desea venderlos con una utilidad de 15% del precio de venta. Calcular el precio de venta y la utilidad. Datos Pc= 0.35 usd c/paquete Pr= ? U= ? U=15% Pv Solución 103

U=0,15 Pv ; 15% Pv = Pv-0.35 0.15 Pv – Pv = 0.35 ; -0.85 Pv = -0.35

Pv

0.35 Pv = 0.4118 Respuesta precio de venta 0.85

U= 0.15 Pv ; U=0.15*0.4118 ; U= 0.062 usd 3.- Calcular el precio en que una fábrica puede vender un terno, que tiene un costo de 150. usd cada unidad, con una utilidad del 15% sobre el precio de venta. Calcular la utilidad. Datos Pv = ?

(precio de venta)

Pc= 150 usd

(precio de costo de c/terno)

U= 15% Pv =? (utilidad) Solución U=Pv – Pc ; 0.15Pv = Pv-Pc Pc= Pv-0.15 Pv; Pc=0.85 Pv 150=0.85Pv ; Pv

150 ; Pv= 176.47 usd 0.85

U= 0.15Pv ; U=0.15(176.47) ; U= 26.47usd

4.- Una empresa vende cocinas con un precio de lista de 350 usd cada unidad, con un descuento del 18% por venta al contado y con el 12% del IVA. Calcular: Datos PL= 350 usd c/unidad

(precio de lista por unidad)

Descuento = 18% por venta al contado Impuesto = 12% Calcular: a) Valor de la factura b) Descuento efectivo c) Porcentaje real que se aplica Solución a) Valor de la factura

104

PL

350

-descuento

63

(0.18*350)

287 +impuesto

34.44 (0.12*287)

Valor de la factura

321.44 usd

b) Descuento efectivo (D.E.) D.E.= Precio de lista – valor de la Factura D.E. = 350-321.44 ; D.E.= 28.56 usd c) Porcentaje real que se aplica % efectivo = Desc. efectivo Precio de lista % efectivo = 28.56 = 0.0816 = 8.16% ; % efectivo = 8.16% 350 5.- Una empresa distribuye refrigeradoras. El precio de lista de cada unidad es de 750 usd con un descuento del 20% sobre el precio de lista y se aplica un impuesto al valor agregado igual al 12%. Calcular: a) El valor de la factura a pagar. b) El descuento efectivo. c) El porcentaje real que se aplica al cliente Datos PL= 750 usd

(precio de lista c/unidad)

Descuento = 20% PL Impuesto= 12% (IVA) Solución a) El valor de la factura a pagar. PL

750

-descuento

-150

(0.2*750)

600

105

+ impuesto

72

( 0.12*600)

Valor de la factura 672 usd b) Descuento efectivo (D.E.) D.E. = PL – valor de la factura D.E. = 750-672 D.E. = 78 usd c) El porcentaje real que se aplica al cliente. % efectivo =

D.E.____ Precio de lista

% efectivo =

78 = 0.104 = 10.4% 750 % efectivo = 10.4%

106

APENDICE 2

LOGARITMOS: APLICACIONES

El logaritmo en base b del número N es el exponente L de la base b tal que se debe cumplir:

log b N

bl

L

N

De manera general se utilizan dos tipos de logaritmos: Logaritmo natural.- cuya base es el numero e= 2.7182……* Logaritmo común.- cuya base es el número 10

log 10 N log e N

log N ln

L

N

L

De manera general la palabra logaritmo se refiere a los logaritmos comunes.

Ejemplos:

log 1000 log 1

0

log 0.0010

10 3

3 10 0

1000

1

3

10

3

0.001

N debe ser siempre un número positivo, en tanto que es logN puede se cualquier número real.

LEYES DE LOS LOGARITMOS:



log( A * B)

log A

log B

107

El logaritmo del producto de dos números positivos es igual a la suma de los logaritmos de los números.

Ejemplo: Log (3*10)= log3 + log10 =0.477121 + 1 = 1.477121



log

A B

log A

log B

El logaritmo del cociente de dos números positivos es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

Ejemplo: log (3/2) = log3 – log2 = 0.477121 – 0.301030 = 0.176091



log An

n log A

n es cualquier número real. El logaritmo de un número elevado a la potencia n es n veces el logaritmo del número.

Ejemplos:

log 32

log 3

log 31 / 2

2 log 3

2(0.477121 )

0.954242

1 / 2 log 3 1 / 2(0.477121 )

0.238561

ANTILOGARITMOS.-

Si L = logN, entonces N es el antilogaritmo de L y se escribe. N= Antilog L cuando L = log N

Ejemplo: Hallar el antilog de 2.922725 = 836.9991173 = 837

108

APLICACIONES CON LOGARITMOS.- cálculo de variables n e i.

1.- Resolver con logaritmos.

0.03768

2

6.354428

0.2595976

2

3

6

8.3273126

( 4.728256 )3

3

6

(0.03768) 2 (6.354428)6 (8.3273126) Log

3

(0.2595976) 2 (4.728256)6

(0.03768 ) 2 (6.354428 ) 6 (0.2595976 ) 2

log

(8.3273126 ) 3 ( 4.728256 ) 6

2log (0.03768) + 6log (6.354428) + 2log (0.2595976) – 3log (8.3273126) – 6 log (4.728256) 2 (-1.423889106) + 6 (0.803076463) + 2 (-0.585699327) – 3 (0.920504868) (0.674700982) -2.847778812 + 4.818458779 – 1.171388654 – 2.761514604 – 4.048205894 6.01

–6

=-

Para determinar el número buscado calculamos el antilogaritmo Antilogaritmo ( -6.01 ) = 0.000000977

2.- En la siguiente ecuación hallar el valor de i utilizando logaritmos. 550 (1+i) 5 = 4550

i= tasa de interés por periodos.

Solución (1+i)

5

= 4550 / 550 = 8.272727273

5 log (1+i) = log (8.272727273) Log (1+i) = log (8.272727273)/5 109

1+i = Antilog

log (8.272727273)/5

i = antilog

log (8.272727273)/5 -1

i = 0.525913 => i = 52.5913%.

3.- Resolver el ejercicio anterior por exponentes (se le conoce como solución directa).

550 (1+i) (1+i) (1+i)

5

5

5

= 4550

= 4550/550 = 8.272727273 1

(1+i) = (8.272727273) 5 i = (0.8272727273)

1 5

-1

i = 0.525913 => i = 52.5913%.

4.- Empleando logaritmos y por solución directa hallar en la siguiente ecuación la tasa anual de depreciación. (d.) 300,000 (1-d)

4

= 150,000

a) con logaritmos

(1-d)

4

= 150,000 / 300,000 = 0.5

4 log (1-d) = log (0.5) Log (1-d) = log (0.5)/4 => 1-d = antilog -d = antilog log (0.5)/4 d = - antilog

log (0.5)/4

-1

log (0.5)/4

+ 1 = 1-0.840896415

d = 0.159104 => d= 15.9104%

110

b) solución directa

(1-d) 4 = 150,000/300,000 = 0.5 1 4

(1-d) = (0.5) => -d = (0.5)

1 4

-1 => d = 1 – (0.5)

1 4

d = 0.159104 => d = 15.9104%

5.- En la siguiente ecuación hallar el valor de n 250 (1+0.025)

-n

= 1,500

si

son meses.

= número de períodos de conversión. Solución.- “este tipo de problemas solo puede resolverse con logaritmos”.

n (1.025)

= 1500/250 = 6

log (1.025) = log 6

=>

= 72.56 meses =

log 6 log 1.025

=

0.77815125 0.010723865

= 73 meses (aproximado)

6.- Establecer el valor de

2,500 (1 0.125 ) n

=

en la siguiente ecuación.

250

Representa en este ejercicio semestres. Solución.-

= número de pagos periódicos.

n

(1.125) -

= 250/2500 = 0.1

log (1.125) = log 0.1 => - =

log 0.1 log 1.125

=

1 0.051152522

111

-

= -19.55 semestres =>

o también:

= 20 semestres.

= 19.55 semestres (es mejor este resultado) (pagos)

7.- Hallar el valor de 1 0.15 0.15

n

(si

son trimestres) en la ecuación:

1 =12

Solución (1.15)

n

= número de pagos periódicos.

-1 = 12 (0.15) = 1.8

n

(1.15) = 1.8 + 1 = 2.8

= log (1.15) = log (2.8) => = 7.3670 trimestres =>

=

log 2.8 0.447158031 = log 1.15 0.06069784

= 7.37 trimestres (pagos)

8.-Resuelva las siguientes operaciones con logaritmos

3

a)

125,846 * (0.357) 2 ; (15.6) 4 (0.674650)5 1/3

125,846 * (0.357) 1/3

(15.6)4 * (0.67465)5

Aplico logaritmos:

1

log(125,846) + 2log(0.357) – 4 log(15.6) – 5 log(0.67465)

3

112

1 (2.099839416 – 0.894663568 – 4.772498393) + 0.854607377) 3

1 (-2.712715168) = -0.904238389 3

Cálculo del antilogaritmo para obtener el número buscado.

Antilogaritmo (-0.904238389) = 0.1246699 usd

Comprobación:

Realizo la operación utilizando la calculadora

3

b)

125,846 * (0.357) 2 (15.6) 4 (0.674650) 5

1'000 ,000

= 0.1246699 usd

1 (1 0.60 ) 5

;

1'000 .000 (1.6) 5

Aplico logaritmos

= log 1’000,000 – 5 log(1.6) = 6 – 1.020599913 = 4.979400087

Cálculo del antilogaritmo para obtener el número buscado: Antilogaritmo ( 4.979400087) = 95,367.4317 usd

Comprobación: Realizo la operación con la calculadora:

113

1’000,000 = 95,367.4317 (1.6)5

c)

(1 0.15 ) 20 1 0.15

;

(1.15 ) 20 1 0.15

Para resolver este ejercicio debemos necesariamente reducir la expresión algebraica original a una de la forma: Producto, cociente o potencia y entonces aplicaciones logaritmos.

(1.15 ) 20 1 15.36653739 = 0.15 0.15

Aplico logaritmos:

log15.36653739 – log0.15

= 1.186576017 – (- 0.823908741) = 2.010484758

Calculo el antilogaritmo para hallar el número:

Antilogaritmo (2.010484758) = 102.4435826 usd

Comprobación Realizo la operación con la calculadora:

114

(1 0.15 ) 20 1 0.15

= 102.4435826 usd

9.-Determine el valor de i en las ecuaciones mediante exponentes y logaritmos. a) 1´000,000 (1+i)6 = 3´750,000. por exponentes

(1+i) 6 =

3'750 ,000 1'000 ,000

= 3.75

(1+i) 6 = 3.75 elevo a 1 ambos lados para eliminar la potencia. 6 (1+i) 6/6

= (3.75) 1/ 6

1+ i = (3.75) 1/ 6

; i = (3.75) 1/ 6 - 1 ; i = 0.24644

i = 0.24644 usd

;

i = 24.64%

por logaritmos

( 1+ i ) 6 = 3.75 (Aplico logaritmos a ambos lados) 6 log(1+ i) = log( 3.75)

; log( 1+ i) =

log(3.75) 6

Calculo el antilogaritmo:

Antilog

log(1+ i)

= Antilog

log(3.75) 6

115

1+ i = Antilog

log(3.75) 6

; i =Antilog

log(3.75) 6

- 1 ; i = 0.24644 ; i = 24.64%

50,000 (1-d)5 = 150,000

b)

por exponentes

(1-d)5 =

150 ,000 =3 50 ,000

(1-d)5 = 3 ; (1-d)5/5 = 31/5 ; 1-d = 31/5

-d = 31/5 -1 ; d = 1-31/5 ; d = -0.24573 d = - 0.24573 por logaritmos

(1-d)5 = 3 ; 5 log(1-d) = log 3

log(1-d) =

log 3 ; Antilog 5

1-d = Antilog

d = 1- Antilog

log(3) 5

log(3) 5

log (1-d)

= Antilog

; -d = Antilog

log(3) 5

log(3) 5

-1

; d = -0.24573

10.-Determine el valor de n en las siguientes ecuaciones usando logaritmos.

116

a) 650,000 (1+0.08)n =2´600,000 ; realizo operaciones numéricas:

(1,08)n =

2´600,000 650 ,000

= 4 ; (1.08)n = 4 (Aplico logaritmos)

n log(1.08) = log 4 n=

log(4) 0.602059991 = = 18.012937 log(1.08 ) 0.033423755 n = 18.012937

b) 350,000 (1+0.25)-n = 50 (1.25)-n =

50 ; (1.25)-n = 0.000142857 350 ,000

Aplico logaritmos : -n log(1.25) = log( 0.000142857)

n

n

c)

log(0.000142857 ) ; n log(1.25 )

log(0.00014857 ) log(1.25 )

3.84509804 ; n = 39.6770 0.096910013

(1 0.18 ) n 1 20 0.18

(1.18)n = 20(0.18) + 1 ; (1.18)n = 4.6

Aplico logaritmos: n log(1.18) = log (4.6)

n

log( 4.6) ; log(1.18 )

0.662757832 = 9.220080 0.071882007 n = 9.220080

117

APENDICE 3

PROGRESIONES: APLICACIONES

PROGRESION ARITMETICA.-Es una sucesión de números llamados términos, tales que dos números cualquiera consecutivos de la sucesión están separados por una misma cantidad llamada DIFERENCIA COMÚN.   

1, 6, 11,16,… es una P.A cuya diferencia común es 5. 40, 36, 32, 28,… es una P.A cuya diferencia común es -4. El último término de una progresión aritmética es :

u

t1

En la que:

u

n

1 d

último término de la progresión.

a = t1 = primer término de la progresión.

n

Número de términos.

d = diferencia común. 

La suma de una progresión aritmética se calcula con la fórmula: n S t1 u 2

Aplicaciones 1.- Dada la progresión aritmética 2, 8, 14,… hallar el 15vo término y la suma de los 15 primeros términos.

Solución.- n

t

15; d = 6; 1 =2 =a

a) cálculo del último término.

u

t1 + (n-1) d

u 2 + (15-1) (6)

u

86

b) calculo de la suma

s

t

= n/2 ( 1 + u )

s = 15/2 (2+86)

s = 660

Para la suma también podemos aplicar la fórmula.

118

n t1 2

s

t1

n

1d

s

Esta fórmula se obtiene sustituyendo la fórmula del Comprobación:

15 2 2

s

2 (15 1)6

n 2t1 2

u en

n

1d

s.

s =660.

2.- El primer término de una progresión aritmética es -2; último término es 48 y la suma es 253. Hallar n y d.

Solución.-

t1 =-2; u

48;

s =253

s = n /2 ( t1 + u ) 253=

n /2 (-2 + 48)

n = 253*2 / (-2+48)

n =11 u

t

= 1 + (n-1) d

48= -2 (11-1) d

d = (48+2)/10 = 50/10

d=5

3.- Si se conoce que el quinto término y el séptimo término de una progresión aritmética son 27 y 35 respectivamente hallar el primer término y la suma de 7 términos.

t

Solución.- t5 = 27; 7 =35; hallar

t1 y s 7

t 1 = 1 er término t 1 + d = 2 do término t 1 + 2d = 3 er término t 1 + 4d = 4 to término

t7 = t1 + 6d = 35

1

t5 = t1 + 4d = 7

2 *(-1) 119

1 - 2 6d – 4d = 35-27

t

t

( 1 +6d) – ( 1 + 4d) = 35-27 2d = 8

d = 8/2

t1 =35 - 6d

d=4

t1 =35 – 6(4) = 35-24

t1 =11

s7 =

7 (35 + 11) 2

s 7 = 161

Hemos aplicado para la suma

s = n/2 ( t1 + u

);

n =7

4.- Artesa obtiene un crédito por 24,000 usd que debe ser cancelado mediante 24 pagos mensuales de 1,000 usd más los intereses del 1.5% mensual sobre saldos insolutos. ¿Qué cantidad de interés debe pagar la empresa (total)?. Solución.-

C = 24,000; i = 0.015; t = 24 meses

1er pago: capital = 1,000; interés = c i t = 24,000 * 0.015 * 1 = 360 Capital + interés = 1,000 + 360 = 1,360 2do pago: capital = 1,000; I = c i t = 23,000 * 0.015 * 1 = 345 Capital + interés = 1,000 + 345 = 1,345 3er pago: capital = 1,000; interés = c i t = 22,000 * 0.015 * 1 = 330 Capital + interés = 1,000 + 330 = 1,330 Y así sucesivamente,… Entonces tenemos una progresión aritmética en la que:

t1 = 360; d= (-15); n = 24

s = (n/2)

2t1 (n 1)d

s = ( 24 / 2) [ 2(360) + (24-1) (-15) ] => S = 4,500 usd s = suma del total de interés = 4,500 usd. 120

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA.- es una sucesión de números llamados términos, tales que 2 números consecutivos cualesquiera de la sucesión guardan un cociente o una razón común, es decir que cualquier término puede ser obtenido multiplicando el término anterior por la razón común. 2, 4, 8, 16,… es una progresión geométrica con razón común 2. -3, 6, -12, 24,… es una progresión geométrica con razón común -2. 

El ultimo término se calcula con la fórmula:

t1r n

u

1

en donde :

u

=ultimo término de la progresión geométrica.

t

a = 1 = primer término

n = número de términos “formula para calcular cualquier término” La suma de una progresión geométrica se calcula con la siguiente fórmula:

S

rn r

t1

1 1

Si r >1 una progresión geométrica es decreciente si la razón común r es menor que 1.

S

t1

1 1

rn r

Si r < 1 una progresión geométrica es creciente si la razón común r es mayor que 1.

Aplicaciones

t

1.- Determinar cual seria la progresión geométrica de 6 términos en la que 1 =4; r=5 

Solución.- 4, 20, 100, 500, 2,500., 12,500.

t

2.- Determinar cual sería la progresión geométrica de 7 términos en la que 1 = 200 y r = ½ 

Solución.- 200, 100, 50, 25, 12.5, 6.25, 3.125 121

3.- hallar el 8vo término y la suma de los 8 primeros términos de la progresión geométrica 3, 9, 27, …

t



Solución.- 1 =3; n=8; r = 3>1

rn 1 t1 r 1

S u

= t1r

n 1

38 1 3 3 1

S

u 3 * 38 1

S

9,840

u 6,561

4.- hallar el sexto término y la suma de los 6 primeros de la progresión geométrica: 1

0.03

t

t1r n

1

u 6

u

1.03

u

(1.03)

S

t1

1

u 6

1

,

1 0.03

Solución.- 1 = u

1

1

u

(1

S

(1.03)

0.03

1.03

5

rn=5 +1 => n = 6 -0.30103

b) cálculo de la suma de términos S. COMO r = ½ < 1 tenemos: 1 rn 1 r

S

t1

S

150

S

150

0.984375 0.5

1 (1 / 2)6 1 (1 / 2)

S = 295.3125

6.- El tercer término de una progresión geométrica es 18.75 y el octavo término es 1,831.054688. Hallar el décimo término y la suma de los 10 primeros términos. Solución: t 3

u

tn

18 .75; t8

t1r n

1

1,831 .054688 ; t10

?; S10

?

Fórmula general del último término.

Por consiguiente:

t3

t1r 3 1

t3

t1r 2

18.75

t8

t1r 8

t8

t1r 7

1,831.054888

t1

1

t3 / r 2

18 .75 r7 r2

t1

1,831.054888

18.75 r 5 =1,831.054888

r 5 =97.65625

18 .75 / r 2

r5

r = (97.65625)

1,831.054888/18.75 1/ 5

r =2.5 123

t1 = 18.75/(2,5) 2 = 3

t1r 2 = 18.75

t1 = 3. t10

Para encontrar

t10 = t1 r n 1 t10

aplicamos la fórmula del último término.

t1 r 10

t10

3(2.5)9

t10

Para encontrar la suma

S

rn 1 t1 r 1

S

(2.5)10 1 3 2.5 1

1

t10

t1 r 9

11,444.0918

S10

usamos la fórmula:

Por cuanto r = 2,5 >1

S

3

9,535 .743164 1.5

S

19,071.48633

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA INFINITA

Es una forma particular de una progresión geométrica y que se presenta cuando la razón esta entre los límites -1 y 1 es decir: -1 < r < 1. En una progresión geométrica infinita no se puede determinar el valor del último término pero sí la suma de los términos con la siguiente ecuación:

S

t1 1

r

t

a= 1

Aplicaciones

1.- Hallar la suma de la progresión geométrica infinita 2; 0.5; 0.125; 0.03125;…

t

Solución.- s =? ; r = ¼ ; 1 =2

124

S

t1

S

1 r

2 1 1/ 4

2 4 / 4 1/ 4

2 3/ 4

8 3

2.666666667

2.- Hallar la suma de las progresión geométrica infinita.

(1 i) 1 , (1 i) 2 , (1 i) 3 , (1 i) 4 ,...

t

Solución.- 1 = (1

t1

S

1 r

S

i)

1

, r=

(1

i)

1

1 (inflación año a año) u = t11 = t1 r n

1

; t11=1,500(1.15)

11 1

t11= 6,068.34 Es evidente que el precio del bien se haya cuadriplicado en ese tiempo, por cuanto la inflación promedio es del 15% y la misma se calcula sobre lo del año anterior, lo que a su vez fue sobre la del año anterior y así sucesivamente.

12.- Determine la suma de las siguientes progresiones geométricas infinitas: ▪ 1, 1/5, 1/25, 1/125,…. En la progresión geométrica infinita la razón (r) se calcula igual que la progresión geométrica. 133

r

S

t1 1 r

; S

1 ; S 1 1/ 5

▪

1, 1/6, 1/36, 1/216,….

r

1/ 6 = 1/6 1

S

▪

t1 1 r

; S

1 ; S 1 1/ 6

S

1 5 1 5

1 6 1 6

; S= 5/4

; S= 6/5

(1+i)-2.5 ; (1+i)-5 ; (1+i)-7.5 ; (1+i)-10,……

(1 i) 5 ; r = (1 i ) (1 i) 2.5

r

S

1/ 5 = 1/5 1

t1 1 r

; S

5 ( 2.5 )

= (1 i )

(1 i) 2.5 ; S 1 (1 i) 2.5

(1 i) 2.5 (1 i) 2.5 ; S (1 i) 2.5 1

2 .5

(1 i) 2.5 ; S 1 1 (1 i) 2.5

(1 i) 2.5 2.5 ; S (1 i) 2.5 1

S

1 (1 i ) 2.5

(1 i) 2.5 ; (1 i) 2.5 1 (1 i) 2.5

(1 i) 0 ; (1 i) 2.5 1

1

134

APENDICE 4

INTERES SIMPLE: APLICACIONES

1.- Una empresa distribuye maquinaria, cuyo precio de oferta es de 125,000 usd. La venta se realiza con una cuota inicial del 25% del precio de oferta y el saldo se debe cancelar en un plazo de 24 meses. Aplicando los métodos lagarto y de saldos deudores, determinar la cuota fija mensual que debe pagar el comprador, si se considera una tasa de interés simple anual del 12% Datos v/nominal= 125,000(precio de oferta) C/I= 25% v/nominal (cuota inicial) Plazo = 24 meses (número de cuotas mensuales) Cuota Fija mensual= ? con método lagarto y de saldos deudores i = 12% (interés simple anual)

Solución Saldo = v/nominal – C/I Saldo = 125,000 – 0.25(125,000) Saldo 125,000 – 31,250 Saldo = 93,750 usd a) Método Lagarto Aplico la fórmula del monto a interés simple M= C (1+i t ) M= 93,750 (1+0.12*24/12) M= 116,250 usd Cuota Fija mensual

M # cuotas

116,250 = 4,843.75 usd 24

Cuota fija mensual = 4,843.75 usd a) Método de Saldos Deudores 135

Cuota mensual sin intereses

M # cuotas

93,750 24

3,906.25

Calculo los intereses sobre saldos deudores con la fórmula: I=Cit

i = 0.12/12= 0.01 mensual

I Mes: I = 93,750*0.01*1 =937.50 Valor cuota I Mes = C+I = 3,906.25+937.50 =4,843.75 II Mes: Saldo Insoluto = 93,750-3,906.25=89,843.75 I = 89,843.75*0.01*1=898.44 Valor cuota II mes = C+I = 3,906.25+898.44=4,804.69

III Mes: Saldo Insoluto = 89,843.75-3,906.25=85,937.50 I = 85,937.50*0.01*1=859.38 Valor cuota III mes = C+I = 3,906.25+859.38=4,765.63 Y así sucesivamente podemos calcular mes a mes el valor de cada cuota; sin embargo analizando los resultados observamos que podemos obtener estos valores mediante una progresión aritmética con los siguientes datos: a= t1 = 4,843.75 ; n =24 ; d = 4,804.69-4,843.75= -39.06 Calculamos la suma de 24 términos. S24 = n (t1 + t24 ) Para aplicar ésta fórmula debemos hallar el último término (t24). 2 u = t24 = t1 +(n-1) d ; t24 = 4,843.75 +(24-1) (-39.06) = 3,945.37

S24 = 24 (4,843.75+3,945.37 ) 2 S24 = 105,469.44 Cuota Fija mensual

S 24 # cuotas

105,469.44 24

4,394.56

Cuota Fija mensual = 4,394.56 usd 136

Nota: Para comprobar los resultados se verifica que sean iguales por los 2 métodos los valores de la primera cuota y que en este caso son de 4,843.75 usd.

2.- Una empresa suscribió un pagaré de 320,000 usd el 12 de abril un plazo de 120 días desde su suscripción y con una tasa del 8% anual de interés simple. Establecer cuál será el valor actual o precio del pagaré al 17 de junio, fecha en la que se negocio el documento financiero. Elabore una gráfica. Datos v/nominal: 320,000 usd

(valor a la suscripción)

F/suscripción : 12 de abril

(Fecha a la suscripción)

Plazo: 120 días

(tiempo desde la suscripción)

i = 8%

(tasa de interés simple anual)

C= ?

(valor actual del documento)

F/negociación : 17 de junio

(Fecha de negociación)

Gráfica= ? Solución:

i = 8%

i = 8% M= 328,533.33 v/nominal = 320,000

c = 324,637.68

12 /Abril

t = 54 días 17/junio

120 días 10/ Agosto

Calculo el monto del documento: M= C(1+i t) M = 320,000(1+0.08*120/360) = 328,533.33 Calculo la fecha de vencimiento(con tiempo exacto, año calendario): Abril 18 Mayo 31 Junio 30 137

Julio

31

Agosto 10 120 (días) Calculo el tiempo exacto entre el 17 de junio y el 10 de Agosto que es la fecha de negociación y la fecha de vencimiento. Junio 13 Julio

31

Agosto 10 54 (días) Finalmente calculo el valor actual a la fecha de negociación que es el 17 de Junio. C = M (1+i t)-1 C = 328,533.33(1+0.08*54/360)-1 = 324,637.68 C = 324,637.68 usd 3.-Una empresa suscribió un pagaré por 520,000 usd el 19 de julio a 90 días plazo y con una tasa de interés simple anual del 10%. El documento fue descontado el 10 de septiembre a una tasa de interés simple del 1.2% mensual. Calcular el valor del descuento racional y elaborar una gráfica. Datos v/nominal = 520,000 usd

(valor a la suscripción)

F/suscripción = 19 de Julio

(Fecha a la suscripción)

Plazo = t = 90 días i = 10%

(tiempo total) (tasa de interés simple anual para calcular el Monto)

F/negociación= 10 de Septiembre (Fecha en que se descontó el documento) i =1.2% mensual =0.012 mensual (tasa d interés simple mensual para calcular el valor actual). Dr = ? Gráfica:

i = 10%

i = 1.2% mensual 138

M= 533,000 v/nominal = 520,000 0

Dr= 7,773.35 C = 525,226.65

19 /Julio

t = 37 días

_

10/Sept.

90 días 17/ Octub.

Calculamos el Monto: M= c (1+i t ) M = 520,000(1+0.10*90/360) = 533,000 usd. Determino la fecha de vencimiento (Calculo con tiempo exacto) J ulio

12

Agosto 31 Sept.

30

Octubre 17 90 (días) Calculo el tiempo exacto entre el 10 de Septiembre y el 17 de Octubre. Septiembre

20

Octubre

17 37 (días)

Calculo el valor Actual al 10 de septiembre C = M (1+i t)-1 C = 533,000(1+0.012*37/30)-1 = 525,226.65 Calculo el descuento racional Dr= M – C Dr = 533,000- 525,226.65 = 7,773.35 Dr = 7,773.35 usd

4.-Una empresa recibe una letra de cambio el 12 de enero por un valor de 370,000 usd a un plazo de 180 días y con una tasa de interés mensual simple del 1.4% desde su suscripción. Establecer cuál será el valor actual del documento al 27 de mayo si se reconoce una tasa de interés simple del 1.5% mensual. Graficar.

Datos 139

v/nominal = 370,000 usd

(valor a la suscripción)

F/suscripción = 12 de Enero

(Fecha a la suscripción)

Plazo = t = 180 días

(tiempo desde la suscripción)

i =1.4% mensual =0.014mensual

(tasa de interés simple mensual para calcular el Monto)

c=?

(valor Actual del documento)

f/negociación = 27 de mayo

(fecha de negociación)

i = 1.5% mensual=0.015mensual (tasa de interés simple mensual para calcular el valor actual) Gráfica:

i = 0.014 mensual

i = 0.015 mensual M= 401,080 v/nominal = 370,000

c= 392,254.28

0 12 /Enero

t = 45 días 27/Mayo

180 días 11/ Julio

Calculamos el Monto: M= C (1+i t ) M= 370,000(1+0.014*180/30) = 401,080 Determino la fecha de vencimiento (calculo con tiempo exacto) Enero

19

Febrero 28 Marzo

31

Abril

30

Mayo

31

Junio

30

Julio

11 180 (días)

Calculo el tiempo exacto entre el 27 de mayo y el 11 de julio Mayo 4 140

Junio 30 Julio 11 45 (días) Calculo el valor Actual al 27 de Mayo: C = M (1+i t)-1 C = 401,080 (1+0.015*45/30) -1 = 392,254.28 C = 392,254.28 usd

5.-Una empresa obtiene un préstamo por 600,000 usd a 30 meses plazo y con una tasa de interés del 1.3% mensual. Datos v/préstamo = 600,000 usd t = 30 meses

(plazo del préstamo. Número de cuotas)

i = 1.3% mensual = 0.013 mensual (tasa de interés simple mensual) Calcular: a) La cuota fija mensual por el método lagarto. b) Elabore una tabla financiera de las 10 primeras cuotas por el método de saldos deudores. Solución a) Método Lagarto M = C(1+i t) M= 600,000(1+0.013*30) = 834,000 Cuota Fija mensual

834,000 30

M

# cuotas

27,800

Cuota Fija mensual = 27,800 usd b) Método Saldos deudores. Cuota mensual sin intereses

v / préstamo # cuotas

600,000 30

20,000USD

Intereses: I= C i t I Cuota= C+I ; 20,000+600,000*0.013*1=27,800 Saldo Insoluto = 600,000-20,000= 580,000 usd II Cuota = C+I ; 20,000+580,000*0.013*1=27,540 141

Saldo Insoluto = 580,000-20,000= 560,000 usd III Cuota = C+I ; 20,000+560,000*0.013*1=27,280 Y así sucesivamente.

b) Tabla Financiera 10 primeras cuotas i = 0,013 mensual

PERIODO(Mes)

DEUDA

INTERÉS

CAPITAL

CUOTA

1

600,000

7,800

20,000

27,800

2

580,000

7,540

20,000

27,540

3

560,000

7,280

20,000

27,280

4

540,000

7,020

20,000

27,020

5

520,000

6,760

20,000

26,760

6

500,000

6,500

20,000

26,500

7

480,000

6,240

20,000

26,240

8

460,000

5,980

20,000

25,980

9

440,000

5,720

20,000

25,720

10

420,000

5,460

20,000

25,460

6.-Una empresa distribuye automóviles, cuyo precio de lista es 23,000 usd los autos se comercializan con una cuota inicial del 20% del precio de y el saldo a 36 meses plazo, con una tasa de interés del 12% anual simple.

Datos PL = 23,000 usd

(Precio de Lista)

C/I = 20% PL

(cuota Inicial)

t = 36 meses

(plazo = Número de cuotas)

i = 12% anual

(tasa de interés simple anual)

Calcule: a) La cuota fija mensual por el método lagarto.

142

b) Las 12 primeras cuotas por el saldo deudor. c) Valor de los intereses por ambos métodos. a) Método Lagarto Saldo = PL- C/I Saldo = 23,000-0.20(23,000) =23,000-4,600 Saldo = 18,400 M= C(1+i t) ; M= 18,400(1+0.12*36/12) M = 25,024 usd Valor de la cuota mensual

M

# cuotas

25,024 36

695.11

Valor Cuota Fija mensual = 695.11 usd

b) Método de Saldos deudores Cuota Fija sin intereses

saldo # cuotas

18,400 36

511.11

Tabla Financiera 12 primeras cuotas

PERIODO(Mes)

DEUDA

INTERÉS

CAPITAL

CUOTA

1

18,400.00

184.00

511.11

695.11

2

17,888.89

178.89

511.11

690.00

3

17,377.78

173.78

511.11

684.89

4

16,866.67

168.67

511.11

679.78

5

16,355.56

163.56

511.11

674.67

6

15,844.44

158.44

511.11

669.55

143

7

15,333.33

153.33

511.11

664.44

8

14,822.22

148.22

511.11

659.33

9

14,311.11

143.11

511.11

654.22

10

13,800.00

138.00

511.11

649.11

11

13,288.89

132.89

511.11

644.00

12

12,777.78

127.78

511.11

638.89

c) Valor de los Intereses por ambos métodos

Método Lagarto Interés = Monto – Saldo = 25,024 – 18,400 ; Interés = 6,624 usd

Método Saldos Deudores Los intereses calculamos con una progresión aritmética en donde: a = t1 = 184 ; n=36 ; d= 173.78-178.89 = -5.11 u = t36 = t1 +(n-1)d u = t36 = 184+(36-1) (-5.11) ; t36 = 5.15 S36 = n (t1 + t36) ; S36 = 36 (184+5.15) 2 2 S36 = 3,404.70 usd (valor total de los intereses)

7.-Establecer cual fue la cantidad de dinero que colocado al 3.25% de interés simple trimestral se transformó en 150,500 usd en 9 meses. Datos C=?

(cantidad de dinero colocado)

i = 3.25% trimestral i = 0.0325*4=0.13 anual M= 150,500 144

t = 9 meses

Solución

i = 0.13 anual

M= 150,500 C = 137,129.84 0 0

9 meses

Calculamos el Monto: M= C(1+i t ) 150,500= C(1+0.13*9/12) 150,500= C(1.0975)

C

150,500 ; C= 137,129.84 usd (cantidad de dinero colocada) 1.0975

8.-Determinar la cantidad de dinero que debe solicitar una empresa a un banco a una tasa de interés del 6.5% semestral si requiere que hoy le entregue 325,000 usd con un plazo de 180 días. Determine cuál es el interés pagado por la empresa y grafique.

Datos M=?

(valor que debe solicitar)

i = 6% semestral = 0.06 semestral (tasa de interés simple semestral) C = 325,000 usd

(valor que recibe, valor actual)

t = 180días

(plazo de la transacción)

I=?

(Interés total pagado)

Gráfico: Solución: Calculo el Monto (M) 145

M=C(1+i t) M= 325,000(1+0.06*180/180) = 344,500 M= 344,500 usd (valor que debe solicitar) Calculo el interés simple. I = M-C ; I = 344,500-325,000 = 19,500 usd I = 19,500 usd ( Interés Total) i = 0.06 semestral

M= 344,500 C = 325,000

I = 19,500

0

180 (días)

9.Calcular en que tiempo en años, meses y días se incrementará en 120,000 usd un capital de 730,000 usd que fue colocado al 11.75% de interés simple anual.

Datos t = ? (año, mes, día)

(plazo total de la inversión)

I = 120,000 usd

(Interés total generado)

C = 730,000 usd

(capital inicial invertido)

i =11.75%

(tasa de interés simple anual)

Solución i = 0.1175

M= 850,000 C = 730,000

I = 120,000

146

Calculo el monto M= C+I ; M= 730,000+120,000 = 850,000 usd M= 850,000 usd Calculo el tiempo de la inversión I = C i t ; 120,000= 730,000*0.1175*t

t

120 ,000 ; t = 1.399009035 años 730 ,000 * 0.1175

0.399009035*12 = 4.788108423 meses 0.788108423*30= 23.64 días t = 1 año, 4 meses, 24 días

10.-Una empresa cancelo 13,750 usd en intereses por un documento financiero de 102,725 usd que fue suscrito al 5.35% de interés simple semestral. Calcule el monto señalado y el tiempo transcurrido en años, meses y días. Grafique.

Datos I = 13,750 usd

(Interés del período)

C = 102,725 usd

(valor a la inversión)

i = 5.35% semestral = 0.0535 semestral (tasa de interés simple semestral) M=?

(Monto de la inversión)

t = ? (a.m.d.)

(Plazo total)

Solución i = 0.107 anual

M= 116,475 C = 102,725

I = 13,750 147

i = 0.0535 semestral *2 i = 0.107 anual Calculo el monto de la inversión M= C+I ; M= 102,725+13,750= 116,475 usd M= 116,475 usd Calculo el tiempo de la operación I=Cit; t

I ; t Ci

13,750 ; t = 1.25095812 años 102 ,725 * 0.107

0.25095812*12 = 3.011497442 meses 0.011497442*30 = 0.344923272 días t = 1año, 3 meses, 0 días.

11.-Demostrar que el interés simple exacto, es igual al interés simple ordinario, disminuido en 1 de si mismo. 73

Solución Ie = Interés simple exacto = (Cit )

365 Io = Interés simple ordinario = (Cit ) 360 Ie (Cit ) / 365 360 De la relación Io (Cit ) / 360 365 Ie 360 Ie 72 Io 365 Io 73

Ie = Io ( 72

1 ) ) Ie = Io ( 73 73 73 73 73 1 Ie = IoIo 73 73 1 Ie = Io Io Ie = Io – ( 1 ) Io 73 73

12.-Determinar, de acuerdo con el sistema bancario, el interés simple sobre 5,000 usd, al 8 3 % durante 120 días. 4

148

Solución: Planteamos dos soluciones. 120 = 145.83 usd. 360 b.- la solución se basa en el hecho de que el interés simple ordinario sobre un capital C cualquiera al 6% durante 60 días, es de 0.01 C; en consecuencia 5,000 usd será: Interés al 6% durante 60 días es: 0.01 C = 0.01 (5,000) = 50usd. Interés al 6% durante 120 días es: 2 (50) = 100 usd. 8 Interés al 8% durante 120 días es: (100) = 133.33 usd. 6 3/ 4 Interés al 3 % durante 120 días es: (100) = 12.50 usd. 4 6 Por tanto: el interés al 8 3 % durante 120 días es: 4 133.33 + 12.50 = 145.83 usd

a.- I = c i t = 5,000 * 0.0875 *

Pagos parciales: Es el caso en el que las obligaciones financieras se cumplen mediante una serie de pagos parciales, dentro del período de la obligación en lugar de un pago único en la fecha de vencimiento. El problema se concentra en hallar la cantidad por liquidar en la fecha de vencimiento. La solución se realiza por dos métodos: el método comercial y el de los EE.UU. 13.-Una deuda de 3,000 usd con intereses al 6% vence en 9 meses. Si se pagan 1,000 usd después de 4 meses y 1,200 usd tres meses más tarde, hallar el saldo insoluto en la fecha de vencimiento aplicando: La regla comercial y la regla de los Estados Unidos. a.- Regla comercial. Primera solución: Deuda original 3,000 usd Interés 9 meses 135

I = C it = 3,000 * 0.06 *

Monto

3,135 usd

Primer pago parcial Interés 4 meses

1,000 usd 25

Segundo pago parcial Interés 2 meses

9 = 135 usd 12

I = C i t = 1,000 * 0.06 *

5 = 25 usd 12

1,200 12

I = C i t = 1,200 * 0.06 *

2 = 12 usd 12

149

Suma de los pagos parciales

2,237 usd

Saldo de la deuda en la fecha de vencimiento:

3,135 – 2,237 = 898 usd

Segunda solución: Escribimos una ecuación de valor: f.f M = C(1+ i t) = 3,000(1+0.06*9/12)=3,135 usd M = 3,135 1,000

0

1,200

4

7

9 (meses) X

Ecuación de valor M = X + 1,000 (1+0.06*5/12)+ 1,200(1+0.06*2/12) 3,135= X+1,025+1,212 X = 3,135-1,025-1,212 X = 898 usd b.- Regla de los EEUU. El interés se calcula sobre el saldo insoluto de la deuda. Si el pago es mayor que el interés vencido, la diferencia se aplica a reducir la deuda. Si el pago es menor que el interés vencido el pago se lleva sin interés, hasta que se hagan otros pagos parciales, cuyo monto exceda al interés vencido, a la fecha del último de dichos pagos parciales. Solución: Deuda original

3,000

Interés por 4 meses

+ 60

Suma vencida en 4 meses

3,060

Primer pago parcial

I =3,000*0.06*

4 = 60 usd 12

-1.000

Saldo debido después 4 meses 2,060 Interés por 3 meses Suma vencida de 7 meses

+

30.90 I =2,060*0.06*

3 = 30.90 usd 12

2,090.90

150

Segundo pago parcial Saldo debido después de 7 meses Interés por 2 meses

-

1,200.00 890.90 +

8.91

I = 890.90 * 0.06 *

2 = 8.91 usd 12

Saldo a la fecha de vencimiento 899.81 usd

Compras a plazos: El comprador hace un pago inicial por los objetos comprados y se compromete a efectuar un número determinado de pagos parciales. 14.-Un congelador de 475 usd se ofrece mediante una cuota inicial de 175 usd y el saldo en 11 pagos mensuales de 30 usd cada uno. Establecer aplicando la fórmula de razón directa, la tasa de interés cargada. Solución: 6mI i= ( Fórmula de razón directa). 3B(n 1) I (n 1) n = # pagos excluyendo el pago inicial. m = # pagos en un año. i = Tasa de interés anual . R = Pago periódico. B = Saldo debido = valor de contado – cuota inicial. I = R n – B = cargo por interés. Para el ejemplo: B = 475 – 175 = 300 m = 12 ; n = 11 ; R = 30; I = R n – B = 30 * 11 – 300 = 330 – 300 = 30

6(12 )(30 ) 3(300 )(11 1) 30 (11 1) i = 0.1946 i = 19.46%. i=

2,160 10 ,800 300

2,160 11,100

151

APENDICE 5

DESCUENTOS: APLICACIONES

Un pagaré puede ser vendido una o más veces antes de la fecha de su vencimiento. Cada comprador descuenta el valor del documento al vencimiento, desde la fecha de la venta hasta la fecha de vencimiento, a una tasa de descuento fija. 1.- Un documento financiero tiene un valor nominal de 270,000 usd y un vencimiento de 150 días y fue suscrito con una tasa de interés simple del 1.1% mensual. Calcular el descuento racional y el valor efectivo. Graficar. Datos v/nominal = 270,000 usd

(valor a la suscripción)

plazo = 150 días

(plazo de la transacción)

i = 1.1% mensual = 0.011 mensual (tasa de interés simple mensual) Dr = ?

(Descuento racional con tasa de interés i)

Cb = ?

(valor efectivo con tasa de descuento d)

Solución i = d= 0.011mensual

M= 284,850 v/nominal = 270,000

0 Cb=269.183,25

150 (días)

Dr.14.850 Cuando no tenemos tasa de descuento como dato se considera que: i = d = por consiguiente para este caso i = d = 1,1% mensual M = C(1+i t) ; M = 270,000(1+0,011*150/30) = 284,850 152

Dr = M-C ; Dr = 284,850-270,000 = 14,850 Dr = 14,850 usd (descuento racional con tasa de interés)

Calculo el valor efectivo

Cb = M(1- dt) ; Cb = 284,850 (1-0.011*150/30) Cb= 269,183.25 usd (valor efectivo que recibe con tasa de descuento)

2.-Calcular el valor actual, el valor efectivo, el descuento racional y el descuento bancario de un documento financiero que fue suscrito por un valor de 75,000 usd 180 días plazo y con una tasa de interés simple del 0.85% mensual, si fu descontado 70 días antes de su suscripción. Graficar. Datos C=?

(valor actual con tasa de interés i)

Cb = ?

(valor efectivo con tasa de descuento d)

Dr = ?

(Descuento racional con tasa de interés i)

Db = ?

(Descuento bancario con tasa de descuento d)

v/nominal = 75,000 usd t = 180 días

(valor a la suscripción ) (plazo de la transacción)

i = 0.85% mensual= 0.0085 mensual (tasa de interés simple mensual) t = 70 días

(tiempo de la negociación)

Solución: a) Calculo el valor actual (C) M= C(1+i t) ; M= 75,000(1+0.0085*180/30) = 78,825 usd C = M(1+i t )

1

; C= 78,825(1+0.0085*70/30)

1

= 77,292.04 usd

C = 77,292.04 usd (valor actual con tasa de interés) b) Calculo el valor efectivo (Cb)

153

El valor efectivo se calcula con tasa de descuento (d). Para este caso: i = d = 0.0085 mensual Cb = M(1-dt) ; Cb= 78,825(1-0.0085*70/30) = 77,261.64 usd Cb = 77,261.64 usd (valor efectivo con tasa de descuento)

c) Calculo el descuento racional ( Dr) El descuento racional se calcula con tasa de interés (i) Dr = M-C ; Dr = 78,825-77,292.04 = 1,532.96 usd Dr = 1,532.96 usd El descuento bancario se calcula con tasa de descuento (d) Db = Mdt ; Db =78,825*0.0085*70/30 =1,563.36usd Db = 1,563.36 usd Nota: El descuento bancario siempre es mayor que el descuento racional. Gráfica:

i = 0.0085 mensual

i=d = 0.0085 mensual M= 78,825 v/nominal = 75,000 0 0

_

t = 70 días

180 días

3.- Un documento financiero fue suscrito el 12 de febrero sin intereses y por un valor de 135,000 usd. El documento vence en 140 días y fue descontado el 27 de marzo a una tasa de interés simple del 0.95% mensual. Calcular: Dr,Db,C,Cb.

Datos F/suscripción = 12 de Febrero v/nominal= 135,000 usd

(Fecha a la suscripción sin interés) (Valor a la suscripción) 154

t = 140 días

(tiempo para el vencimiento)

F/descuento = 27 de marzo

(Fecha de la negociación)

i = 0.95% mensual = 0.0095 mensual (tasa de interés simple mensual) Solución:

i = d = 0.0095 mensual M= 135,000 v/nominal = 135,000 0 12/Febrero

27/Marzo

2/julio

______

t = 97 días __

140 días

Calculo el valor actual y el valor efectivo Como el documento no fue suscrito con tasa de interés, quiere decir que el valor nominal e igual al valor del vencimiento. Como el documento no establece tasa de descuento quiere decir que i = d = 0.0095 mensual. Determino la fecha al vencimiento y el tiempo de la negociación; con tiempo exacto, es decir como aparece en el calendario. Fecha de vencimiento

Tiempo de negociación

Febrero 16

Marzo

Marzo

Abril

30

31

4

Abril

30

Mayo

31

Mayo

31

Junio

30

Junio

30

Julio

2

Julio

2

97 (días)

140(días) C = M(1+i t )

1

; C= 135,000(1+0.0095*97/30)

1

= 130,976.83

C =130,976.83 usd (valor actual con tasa de interés i) 155

Cb= M(1-dt) ; Cb = 135,000(1-0.0095*97/30) = 130,853.25 usd Cb = 130,853.25 (Valor efectivo con tasa de descuento d ) Dr = M-C ; Dr = 135,000-130,976.83 = 4023.17 usd Dr = 4,023.17 usd (Descuento racional con tasa de interés i ) Db = Mdt = Db = 135,000*0.0095*97/30 = 4146.75 usd Db = 4,146.75 (Descuento bancario con tasa de descuento d )

4.-Determinar que cantidad de dinero debe solicitar una empresa a un banco, si requiere 125,000 usd a vencer en 150 días, sabiendo que el banco le impone una tasa de descuento del 6.75% semestral. ¿Cuál sería el valor efectivo que la empresa recibe, si solicita al banco los 125,000 usd en las mismas condiciones de tasa de descuento y plazo? Grafique.

Datos a) Cb= 125,000 usd

(Valor efectivo que recibe)

M=?

(valor que debe solicitar)

t = 150 días

(plazo de la transacción)

d = 6.75% semestral b) Cb =?

(tasa de descuento semestral) (Valor efectivo que debe recibir)

M= 125,000 usd

(valor que solicita)

t = 150 días

(plazo de la transacción)

d = 6.75% semestral

(tasa de descuento semestral)

Solución

d = 6.75% semestral

Cb=125,000

M=132,450.33

156

0

150 (días)

Cb = M(1-d t) 125,000= M(1-0.0675*150/180)

M

125 ,000 132 ,450 .33 1 (0.0675 *150 / 180 )

M= 132,450.33 usd (valor que debe solicitar)

b)

d = 6.75% semestral

Cb= 117,968.75

0

M=125,000

150 (días)

Cb = M(1-d t) Cb= 125,000(1-0.0675*150/180)= 117,968.75 Cb = 117,968.75 usd Respuesta (valor que recibe, le descuentan por anticipado los intereses).

5.-Una persona solicita un préstamo a un banco por 15,000 usd a 240 días plazo y una tasa de descuento del 2.3% trimestral. ¿Cuál será el valor efectivo que el banco acreditará en la cuenta al cliente?

Datos M = v/préstamo = 15,000 usd

157

t = 240 días d = 2.3% trimestral

d = 0.023 trimestral

Cb= ? Cb = 14,080

Solución

M=15,000

0

240 (días)

Cb= M(1-dt) ; Cb= 15,000 (1-0.023*240/90) = 14,080 Cb=14,080 usd (valor efectivo que recibe, le descuentan por anticipado los intereses)

6.-Una empresa descuenta en un banco un pagaré. Recibió 166,666.67 usd, si el tipo de descuento es del 12% anual y el vencimiento del pagaré era 4 meses después de su descuento. ¿Cuál era el valor del descuento en la fecha de su vencimiento?.

Datos Cb= 166,666.67 usd d= 12% t= 4 meses

(valor efectivo recibido) (tasa de descuento anual) (tiempo del descuento al vencimiento)

M=?

(Monto al vencimiento)

Db=?

(Descuento bancario a la negociación)

Solución

d=0.12 anual

Cb= 166,666.67

M= 173,611.12

158

4 meses

Calculo el Monto Cb= M(1-dt)

Cb ;M 1 dt

M

166,666.67 ; M=173,611.12 1 0.12 * 4 / 12

M=173.611.12 usd Calculo el Descuento bancario ( Db) Db= Mdt ; Db = 173,611.12 *0.12* 4/12 = 6,944.45 Db= 6,944.45 usd

7.-Una empresa descuenta un documento por el cual recibe 945.05 usd. Si el tipo de descuento es del 10.5% anual y el valor nominal del documento era de 1,000 usd. ¿Cuánto tiempo faltaba para el vencimiento de su obligación? . ¿Cuál es el descuento real o justo?

Datos C = 945.05 usd d = i = 10.5% M= v/nominal = 1,000 usd t =? Solución Descuento = M-C Descuento = 1000-945.05 Descuento = 54.95 Descuento = Mit 54.95= 1000*0.105*t

t

54 .95 ; =0.523333333 1,000 * 0.105 159

0.523333333 *12 = 6.28 meses 0.28 * 30 = 8.4 días t = 0 años, 6 meses, 8 días t = 6 * 30 + 8 = 188 días Calculo el Descuento real o justo M = C(1+it) M = 945.05 (1+0.105 * 188/360) M = 996.87 Descuento real o justo = M – C ; 996.87 – 945.05 = 51.82 Descuento real o justo = 51.82 usd. Nota : A diferencia del descuento comercial, el descuento justo se calcula sobre el valor real que se anticipa, y no sobre el valor nominal.

8.- Un pagaré de 350,000 usd fue suscrito el 2 de febrero a 150 días plazo y fue descontado el 17 de mayo del mismo año a una tasa del 14% anual. Calcular el descuento racional y el descuento bancario y graficar.

Datos v/nominal = M = 350,000 usd

(Valor a la suscripción)

F/suscripción = 2 de febrero

(fecha a la suscripción sin interés)

t = 150 días F/descuento = 17 de mayo

(plazo para el vencimiento) (Fecha de la negociación)

i = d = 14% = 0.14

(tasa de descuento anual)

Dr =?

(Descuento racional)

Db =?

(Descuento bancario)

Gráfico

160

Solución

i = d = 0.14

v/nominal=350,000

Dr=?

M=350,000 Db=

0

t = 46

2/febrero

17/mayo

150 días 2/julio

Calculo la fecha al vencimiento y el tiempo entre la fecha de descuento y la fecha de vencimiento; con tiempo exacto, como aparece en el calendario. Fecha de vencimiento

Tiempo de descuento

Febrero 26

Mayo 14

Marzo

31

Junio 30

Abril

30

Julio

Mayo

31

Junio

30

Julio

2

2 46(días)

150(días) Calculo al valor Actual C = M(1+i t )

1

; C= 350,000(1+0.14*46/360)

1

= 343,848.93

C =343,848.93 usd (valor actual con tasa de interés i) Calculo el Descuento racional Dr =M-C ; Dr = 350,000-343,848.93 = 6,151.07 usd Dr = 6,151.07 usd (Descuento racional con tasa de interés i) Calculo el descuento bancario. Db= Mdt ; Db= 350,000*0.14*46/360= 6,261.11 usd Db= 6,261.11 usd (Descuento bancario con tasa de descuento d)

9.- Un pagaré de 175,000 USD fue suscrito el 10 de enero a 210 días plazo y fue 161

descontado el 25 de mayo del mismo año, con una tasa de descuento del 8% anual. Calcular el valor efectivo del documento a la fecha de descuento. Graficar

Datos v/nominal = M = 175,000 F/suscripción = 10 de enero t = 210 días

(valor a la suscripción) (Fecha a la suscripción) (plazo para el vencimiento)

F/descuento= 25 mayo

(Fecha de la negociación)

i = d=8% = 0.08

(tasa de descuento anual)

Cb=?

(valor efectivo)

Gráfico

Solución

i = d = 0.08

v/nominal=175,000

M=175,000 Cb=?

0 10/enero

Fecha de vencimiento Enero

t = 75 25/mayo

210 días 8/Agosto

Tiempo de descuento

21

Febrero 28

Mayo 6

Marzo

31

Junio 30

Abril

30

Julio 31

Mayo

31

Agosto 8

Junio

30

75 (días)

162

Julio

31

Agosto

8 210 (días)

Calculo el valor efectivo Cb = M(1-dt) ; Cb= 175,000(1-0.08*75/360) = 172,083.33 Cb = 172,083.33 usd (valor efectivo con tasa de descuento d )

10.- Un documento financiero de 550,000 usd fue suscrito el 10 de abril a 120 días plazo, se descuenta en la bolsa de valores el 15 de junio del mismo año a una tasa de descuento del 13% anual. Calcule el precio o valor efectivo del documento. Calcule el valor actual del documento si se aplica una tasa de interés del 13% anual.

Datos v/nominal = 550,000 usd

(valor a la suscripción)

F/suscripción = 10 de abril

(Fecha a la suscripción)

t = 120 días F/descuento= 15 de junio

(plazo para el vencimiento) (Fecha de la negociación)

d=13% = 0.13

(tasa de descuento para la negociación)

Cb=?

(valor efectivo con tasa de descuento)

C=?

(valor actual con tasa de interés)

i = 13% = 0.13

(tasa de interés para cálculo de valor actual)

Solución

i = d = 0.13

163

v/nominal=550,000

Cb=?

M=550,000

C=? 0

t = 54 __ 120 días

10/abril

15/junio

Calcula la fecha de vencimiento

Calculo Tiempo de descuento

Abril

20

Junio 15

Mayo

31

Julio 31

Junio

30

Agosto 8

Julio

31

Agosto

54 (días)

8 120 (días)

Calculo el valor efectivo (Cb) Cb = M(1-dt) ; Cb= 550,000(1-0.13*54/360) = 539,275 usd Cb = 539,275 usd (valor efectivo con tasa de descuento d ) Calculo el valor Actual (C) C = M(1+i t )

1

; C= 550,000(1+0.13*54/360)

1

= 539,480.14 usd

C =539,480.14 usd (valor actual con tasa de interés i).

11.-Cuál es el valor de la venta del siguiente pagaré al Sr. Díaz, 4 meses antes de su vencimiento, que fue suscrito con las siguientes condiciones: Fecha de suscripción

: 1 de Marzo del 2002.

Plazo

: 10 meses

Valor

: 10.000 usd

A favor del

: Sr. Mora

Tasa de interés : 6% anual Tasa de descuento

1 de Marzo

: 8% anual

1 de Septiembre

1 de Enero

164

Valor nominal

Valor venta

10,000 usd

Valor vencimiento

10,220 usd

10,500 usd

a.- Cálculo del monto al vencimiento: M = C ( 1 +17 ) = 10,000 (1 + 0.06 *

10 ) = 10,500 usd 12

b.- Cálculo del valor de la venta en 4 meses: descuento sobre 10,500 usd al 8% por 4 meses = 10,500 (0.08) * (

4 ) = 280 usd. 12

valor de la venta = monto – descuento valor de la venta = 10,500 – 280 = 10,220 usd 12.-Aplicando la fórmula del valor presente C = M – D, en la cual C = capital M = monto D = descuento simple C Demostrar que el descuento simple C en t años es: D= 1 dt

C

Solución:

C=M–D

Pero D = M dt

C = M – M dt

C (1) 1 dt Ecuación (1) = ecuación (2)

Ahora:

C = M – D (2)

M=

C =C+D 1 dt

D=

C 1 dt

C = M (1 – dt )

C

165

APENDICE 6 ECUACIONES DE VALOR Y CUENTAS DE AHORRO: APLICACIONES 1.- a) Una empresa tiene las siguientes obligaciones: 75,000 usd a 3 meses con una tasa del 10% anual simple. 100,000 usd a 6 meses con una tasa del 0.75% mensual simple. 50,000 usd a 9 meses con una tasa del 2.75% trimestral simple. 150,000 usd a 12 meses con una tasa del 5.25% semestral simple.

El deudor desea remplazar todas sus obligaciones por un solo pago a los 9 meses. Determinar el valor del pago único si se considera una tasa de interés simple del 1.25% mensual. Tomar la fecha focal a los 9 meses. Datos Obligaciones originales indicadas Obligaciones nuevas: x = Valor pago único a los 9 meses i = 1.25% mensual (tasa de interés simple anual) ff=9 meses Solución a) Cálculo de los Montos M=c(1+it) o M1 = 75,000(1+0.1*3/12) = 76,875 o M2 = 100,000(1+0.0075*6) = 104,500 o M3 = 50,000(1+0.0275*9/3) = 54,125 o M4 = 150,000(1+0.0525*12/6) = 165,750 b) Gráfica de Tiempos y valores i = 1.25% mensual

ff

i = 0.0125 mensual

C ff

M

166

0

M1

M2

3

6

M3 M4

9

12 (meses)

X c) Ecuación de valor x = 76,875(1+0.0125*6)+104,500(1+0.0125*3)+54,125+165,750(1+0.0125*3)

1

x = 82,640.63+108,418.75+54,125+159,759.04 = 404,943.42 x = 404,943.42 usd (Valor del pago único a los 9 meses que reemplaza a todas las obligaciones originales). 2.-Una empresa vende una hacienda y recibe 3 ofertas:

I oferta: 150,000 usd de contado. 150,000 usd a 1 año plazo.

II oferta: 100,000 usd de contado. 100,000 usd a 6 meses. 100,000 usd a 9 meses.

III oferta: 120,000 usd de contado. 60,000 usd a 3 meses. 60,000 usd a 6 meses. 60,000 usd a 12 meses.

Establecer cuál oferta es la más conveniente para el vendedor si se considera una tasa de interés del 1.5% mensual simple. Datos Ofertas recibidas indicadas

167

Oferta más conveniente ? i = 1.5% mensual simple

Solución o

I OFERTA

Ecuación de valor: C=M(1+it)

1

ff x =150,000+150,000(1+0.015*12)

1

x = 150,000+127,118.64 150,000

x = 277,118.64 usd 150,000

0

1(año)

X o

II OFERTA

Ecuación de valor: x =100,000+100,000(1+0.015*6)

ff

1

+100,000(1+0.015*9)

1

1

1

x = 100,000+91,743.12+88,105.73 100,000

x = 279,848.85 usd 100,000

0

6

100,000 9(meses)

X o

III OFERTA

Ecuación de valor: x =120,000+60,000(1+0.015*3)

ff

+60,000(1+0.015*12) 120,000

60,000

60,000

3

1

x = 120,000+57,416.27+55,045.87+50,847.46 x = 283,309.60 usd

60,000

0

+60,000(1+0.015*6)

6

12(meses)

x La oferta más conveniente para el vendedor es la III por el valor de 283,309.60 usd equivalente a la oferta más alta. 168

3.-Una persona tiene en su cuenta de ahorros un saldo de 12,750 usd al 31 de diciembre y durante el primer semestre del año siguiente efectúa las siguientes operaciones: El 17 de enero deposito 3,200 usd. El 25 de febrero retira 5,100 usd. El 11 de marzo deposita 8,750 usd. El 20 de abril retira 7,100 usd. El 11 de mayo retira 6,250 usd. El 10 de junio retira 1,750 usd.

Si la tasa de interés que el banco paga es del 12% anual. Determinar el saldo en la cuenta al 30 de junio. Para el cálculo considerar el año comercial y el tiempo exacto.

Solución a) Calculamos los tiempos exactos de cada operación iniciando por el saldo al 31 de diciembre del año anterior, inicia con primero de enero. Enero

31

14

Febrero 28

28

3

Marzo

31

31

31

20

Abril

30

30

30

30

Mayo

31

31

31

31

31

20

Junio

30

30

30

30

30

30

20

50

20 (días)

10

181 164 125 111 71

b) Calculamos los intereses de cada operación con interés simple : I=Cit C

*

i

*

t

=

I

D 12,750 * 0.12 * 181/360 = 769.25 D 3,200 * 0.12 * 164/360 = 174.93 R (5,100) * 0.12 * 125/360 = (212.50) D

8,750

* 0.12 * 111/360 = 323.75

R (7,100) * 0.12 * 71/360

= (168.03) 169

R (6,250) * 0.12 * 50/360 R (1,750) * 0.12 *

= (104.17)

20/360 = (11.67)

4,500

771.56

Saldo = C+I = 4,500+771.56 = 5,271.56 usd Saldo al 30 de junio = 5,271.56 usd Nota = los depósitos (D) se toman como positivos y los retiros (R) como negativos.

4.-Una empresa tiene las siguientes obligaciones: 200,000 usd que vence en 30 días. 150,000 usd que vence en 60 días. 200,000 usd que vence en 120 días. 250,000 usd que vence en 6 meses.

La empresa desea saldar sus deudas con 2 pagos iguales a los 6 y 9 meses respectivamente, con una tasa de interés simple del 1.5% mensual. Calcular el valor de cada pago igual. Para el cálculo considerar la fecha focal así:

a) A los 3 meses. b) A los 9 meses. Datos Obligaciones originales señaladas Nuevas obligaciones: 2 pagos iguales a los 6 y 9 meses x = valor de cada pago igual i = 1.5% mensual simple x=? ff = a) 3 meses b) 9 meses Solución

170

a) Cálculo de los Montos

M = C(1+it)

Como las obligaciones originales no fueron adquiridas con tasa de interés, entonces la obligación es igual al monto.

o o o o

M1 = 200,000 M2 = 150,000 M3 = 200,000 M4 = 250,000

CON FECHA FOCAL A LOS 3 MESES ff b) Gráfica de tiempos y valores M

C

ff

M=C(1+it) M1

0

M2

1

2

M3

3

4

M4

6

C=M(1+it)

1

9

x x

c) Ecuación de valor x (1+0.015*3)

1

+x(1+0.015*6)

1

= 200,000(1+0.015*2)+150,000(1+0.015*1) +200,000(1+0.015*1)

1

+250,000(1+0.015*3)

1

x =(0.9569)+x(0.9174)= 206,000+152,250+197,044.34+239,234.45 1.8744x = 794,528.79

x

794,528.79 1.8744 171

x = 423,884.33 usd (Valor del pago único con ff a los 3 meses)

CON FECHA FOCAL A LOS 9 MESES

ff

b) Gráfica de tiempos y valores

ff

C M

i = 1.5%mensual M=C(1+it) M1 0 1

M2 2

M3

M4

4

6

C=M(1+it)

1

9 x

x

c) Ecuación de valor x (1+0.015*3)+x=200,000(1+0.015*8)+150,000(1+0.015*7)+200,000(1+0.015*5) +250,000(1+0.015*3) 1.045x + x =224,000+165,750+215,000+261,250 2.045 x = 866,000 x

866,000 2.045

x = 423,471.88 usd (valor del pago único con ff a los 9 meses) Nota: En interés simple varían los resultados según donde se ubique la Fecha Focal; esto no sucede en el interés compuesto.

5.-Considerando una tasa de interés simple del 10%, establecer cuál será el valor en el día de hoy de las siguientes deudas: 75,500 usd que vence en el día de hoy. 120,000 usd que vence en 6 meses con una tasa del 2% mensual. 80,000 usd que vence en 12 meses con una tasa del 5.5% semestral. Considerar la fecha focal el día de hoy y graficar. 172

Datos i = 10% (tasa de interés simple anual) x = valor del pago único el día de hoy ff = hoy Obligaciones originales de acuerdo con lo indicado Solución a) Cálculo de los Montos M= C(1+it) o M1 = 75,500 usd (No hay tasa de interés) o M2 = 120,000 (1+0.02*6) = 134,400 usd o M3 = 80,000 (1+0.55*12/6) = 88,800 usd b) Gráfica de tiempos y valores ff

ff

i = 10% M

M1

0

M2

6

C

M3

12(meses)

C=M(1+it)

1

x c) Ecuación de valor x = 75,500+134,400(1+0.1*6/12)

1

+88,800(1+0.1*12/12)

1

x = 75,500+128,000+80,727.27 x = 284,227.27 usd

6.-Una empresa tiene las siguientes obligaciones: 30,000 usd a 3 meses con una tasa de interés simple del 11% anual. 60,000 usd a 5 meses con una tasa de interés simple del 1.1% mensual. 80,000 usd a 10 meses con una tasa de interés simple del 2.75% trimestral. 120,000 usd a 12 meses con una tasa de interés simple del 5.15% semestral.

173

La empresa desea cancelar todas sus obligaciones por 3 pagos a los 4, 6 y 8 meses, con una tasa de interés simple del 12% anual. Cancelar el valor de cada pago igual y elaborar un gráfico de tiempos y valores. Datos Obligaciones originales indicadas Nuevas obligaciones: 3 pagos a los 4,6, y 8 meses i = 12% de interés simple anual x = valor de cada pago igual Solución

En este ejercicio no se indica la posición de la fecha focal, a fin de que el estudiante practique sus conocimientos conforme realizó el ejercicio No.4, es decir ubique la fecha focal en 2 posiciones diferentes que puedan ser al principio o al final de las operaciones Financieras y compruebe los resultados; observará que el valor de x varía de acuerdo a como usted coloque la fecha focal; sin embargo es válido si resolvió el ejercicio colocando la fecha focal en una sola posición. Nosotros resolvimos el ejercicio tomando la fecha focal hoy y a los 12 meses.

a) Cálculo de los Montos

M= C(1+it)

o M1 = 30,000(1+0.11*3/12) = 30,825 o M2 = 60,000(1+0.011*5) = 63,300 o M3 = 80,000(1+0.0275*10/3) = 87,333.33 o M4 = 120,000(1+0.0515*12/6) = 132,360 con fecha focal  hoy b) Gráfica de tiempos y valores

FF

i = 12%

FF M

C

174

M1 0

M2

M3

3 4 5

6

X

X

1

x(1+0.12*4/12)

8

10

M4 12 (meses)

C=M(1+it)

1

X

+x(1+0.12*6/12)

1

+x(1+0.12*8/12)

1

=30,825(1+0.12*3/12)

+63,300(1+0.12*5/12) 1 +87,333.33(1+0.12*10/12) 1 +132,360(1+0.12*12/12) x(0.9615)+x(0.9434)+x(0.9259)=29,927.19+60,285.71+79,393.94+118,178.57

1

1

2,8309x = 287,785.41 x = 287,785.41 2.8309 X =101,660.04 usd (Valor de cada pago igual a los 4.6 y 8 meses con ff Hoy) con fecha focal - 12 meses

i = 12%

ff

M

ff C

M1 0

M5

3 4 X

M3

5

6 X

8

10

M4 12 (meses)

M=C(1+it)

X

c) Ecuación de valor 175

x(1+0.12*8/12)+x(1+0.12*6/12)+x(1+0.12*4/12)= 30,825(1+0.12*9/12)+63,300(1+0.12*7/12)+87,333.33(1+0.12*2/12)+132,360 1.08x+1.06x+1.04x = 35,599.25+67,731+89,080+132,360 3.18x = 322,770.25 x = 322,770.25 3.18

x = 101,500.08 usd (Valor de cada pago igual a los 4,6 y 8 meses con ff  12meses)

7.- Una empresa tiene las siguientes obligaciones: 100,000 usd que vence el día de hoy. 120,000 usd que vence en 4 meses con intereses del 8%. 150,000 usd que vence en 8 meses con intereses del 10%. 200,000 usd que vence en 10 meses con intereses del 9%. Determinar el valor de la deuda al día de hoy, considerando una tasa de interés del 10% anual simple. Considerar la fecha focal a los 12 meses y graficar.

Datos Obligaciones originales indicadas Obligaciones nuevas: x = Valor del pago único hoy i = 10% tasa de interés simple anual. ff  12 meses.

Solución a) Cálculo de los Montos M=c(1+it) o o o

M1 = 100,000 (No hay tasa de interés) M2 = 120,000(1+0.08*4/12) = 123,200 M3 = 150,000(1+0.10*8/12) = 160,000 176

o M4 = 200,000(1+0.09*10/12) = 215,000 b) Gráfica de tiempos y valores

i = 10%

FF

M

FF C

M1 0

4

M2 8

M3 10

12(meses)

M=C(1+it)

x

c) Ecuación de valor x(1+0.10*12/12)=100,000(1+0.10*12/12)+123,200(1+0.10*8/12)+ +160,000(1+0.10*4/12)+215,000(1+0.10*2/12) 1.1x = 110,000+131,413.33+165,333.33+218,583.33 1.1x = 625,330 x = 625,330 1.1 x = 568,481.82 usd(valor de pago único el día de hoy con ff12meses) 8.-Una empresa tiene las siguientes obligaciones: 200,000 usd a 4 meses con una tasa del 8%. 250,000 usd a 8 meses con una tasa del 9%. 300,000 usd a 10 meses con una tasa del 6%. 100,000 usd a 12 meses. La empresa propone cancelar todas sus obligaciones mediante 2 pagos iguales a los 4 y 8 meses con una tasa de interés del 7%. Establecer el valor de cada pago igual y tomar como fecha focal a los 8 meses. Graficar.

Datos Obligaciones originales indicadas Obligaciones nuevas: 2 pagos iguales a los 4 y 8 meses 177

i = 7% de interés simple anual x = valor de cada pago igual ff 8 meses

Solución a) Cálculo de los Montos M= c(1+it) o M1 = 200,000(1+0.08*4/12) = 205,333.33 o M2 = 250,000(1+0.09*8/12) = 265,000 o M3 = 300,000(1+0.06*10/12) = 315,000 o M4 = 100,000(No hay tasa de interés) b) Gráfica de tiempos y valores ff

ff

i = 7% M

0

M1

M2

M3

4

8

10

X

C

M4 12(meses)

M=C(1+it)

X

C=M(1+it)

1

c) Ecuación de valor x (1+0.07*4/12)+x = 205,333.33(1+0.07*4/12)+265,000+315,000(1+0.07*2/12) +100,000(1+0.07*4/12)

1

+

1

1.02x+x = 210,124.44+265,000+311,367.38+97,719.87 2.02x = 884,211.69 x = 884,211.69 2.02 x = 437,007.43 usd (Valor de cada pago igual a los 4y8 meses con ff 8meses).

178

9.-Una persona abre una cuenta de ahorros el 1ero de enero con un valor de 6,500 usd y realizó las siguientes operaciones en el primer semestre. El 15 de enero deposita 6,000 usd. El 20 de febrero retira 10,000 usd. El 15 de marzo deposita 20,000 usd. El 10 de mayo deposita 5,000 usd. El 15 de junio retira 15,000 usd. Durante el segundo semestre realizó las siguientes operaciones: El 10 de julio deposita15,500 usd. El 5 de agosto retira 2,500 usd. El 4 de septiembre retira 7,500 usd. El 12 de octubre retira 1,500 usd. El 20 de noviembre retira 6,500 usd. El 5 de diciembre deposita 8,500 usd. El 20 de diciembre retira 6,000 usd. Determinar el saldo en la cuenta incluidos los intereses al 31 de diciembre si se considera una tasa de interés simple del 12% anual hasta el 30 de junio y del 10% anual a pasar el 1ero de julio.

Solución

o

I semestre

a) Cálculo de los tiempos exactos de cada operación Financiera. Enero

30

16

Febrero 28

28

8

Marzo

31

31

31

16

Abril

30

30

30

30

Mayo

31

31

31

31

21

Junio

30

30

30

30

30

15

51

15 (días)

180 166 130 107

b) Cálculo de los intereses I =Cit C

i

t

=

I 179

D 6,500

* 0.12 * 181/360 = 390

D 6,000

* 0.12 * 166/360 = 332

R (10,000) * 0.12 * 130/360 = (433.33) D 20,000

* 0.12 * 107/360 = 713.33

D 5,000

* 0.12 *

51/360 =

85

R (15,000) * 0.12 * 15/360 = (75) 12,500

1,012

Saldo al 30 de Junio: = C+I = 12,500+1,012 = 13,512 usd Saldo al 30 de Junio: 13,512 usd

o II semestre a) Cálculo de los tiempos exactos Julio

31

21

Agosto

31

31

26

Septiembre 30

30

30

26

Octubre

31

31

31

31

19

Noviembre 30

30

30

30

30 10

Diciembre 31

31

31

31

31 31 26 11

184 174 148 118 80

41 26 11 (días)

b) Cálculo de los Intereses I =Cit C

i

t

=

I

D 13,512

* 0.10 * 184/360 = 690.61

D 15,500

* 0.10 * 174/360 = 749.17

R (2,500) * 0.10 * 148/360 = (102.78) R (7,500) * 0.10 * 118/360 = (245.83) 180

R (1,500) * 0.10 *

80/360 = ( 33.33)

R (6,500) * 0.10 *

41/360 = (74.03)

D

26/360 =

8,500

* 0.10 *

R (6,000) * 0.10 *

61.39

11/360 = (18.33)

13,512

1,026.87

Saldo al 31 de Diciembre: = C+I = 13,512+1,026.87 = 14,538.87 usd Saldo al 31 de Diciembre: 14,538.87 usd.

10.- Una empresa tiene las siguientes obligaciones: 

25,000 usd que vence en 6 meses a una tasa del 5.5% semestral y que fue adquirida originalmente a 24 meses.

  

50,000 usd que vence en 9 meses a una tasa del 0.85% mensual. 100,000 usd que vence en 10 meses sin interés. 150,000 usd que vence en 12 meses a una tasa del 2.5% trimestral que fue adquirida originalmente a 18 meses.

El acreedor esta de acuerdo en recibir 3 pagos iguales, una a los 3 meses otro a los 9 meses y el último a los 12 meses. Determinar el valor de cada pago igual, considerado la fecha focal a los 12 meses. Considerar una tasa de interés del 9.5% anual simple.

Datos Obligaciones originales indicadas Obligaciones nuevas: 3 pagos iguales a los 3.9 y 12 meses. x = valor de cada pago igual i = 9.5% de interés simple anual ff  12 meses

181

Solución a) Cálculo de los Montos M= C(1+it) o M1 = 25,000(1+0.055*24/6) = 30,500 o M2 = 50,000(1+0.0085*9) = 53,825 o M3 = 100,000(No hay interés) = 100,000 o M4 = 150,000(1+0.025*18/3)= 172,500 b) Gráfica de tiempos y valores

i = 9.5%anual

ff

ff M

0

3

6

X

9 X

10

C

12(meses)

M=C(1+it)

X

c) Ecuación de valor

x(1+0.095*9/12)+x(1+0.095*3/12)+x=30,500(1+0.095*6/12)+53,825(1+0.095*3/12) +100,000(1+0.095*2/12)+172,500. 1.07125x+1.02375+x = 31,948.75+55,103.34+101,583.33+172,500 3.095x = 361,135.42 x =361,135.42 3.095

x =116,683.50 usd (Valor de cada pago igual a los 3,9, y 12 meses con ff  12 meses).

182

APENDICE 7

INTERÉS COMPUESTO: APLICACIONES

1.- Establecer el tiempo en años, meses y días en que un capital de 450.000 usd se convirtió en $900.000 usd, con una tasa del 10% anual capitalizable trimestralmente (a.c.t).

Datos:

Solución n

t =? (a, m, d)

M=C (1+i)

C = 450,000 usd M = 900,000 usd

4t 900,000 = 450,000 (1+0.10/4)

j = 10% a.c.t

4t (1.025) = 900,000 = 2 450,000 4t (1.025) = 2 4t log (1.025) = log (2) t=

log 2

4 log (1.025)

= 0.301029 0.0428955

t = 7.0178 años 0.0178 *12 = 0.2131 meses 0.2131 * 30 = 6.39 días Tiempo = 7 años, 0 meses, 6 días

2.- Determinar a que tasa anual capitalizable semestralmente (a.c.s), un capital de 250,000 usd, se convertirá en 9/6 veces más en 4 años.

Datos:

Solución: 183

j =? (a, c, s)

j = a.c.s

C = 250,000 usd M = 250,000 + 9 (250,000) 6

M = 625,000 250,000usd 0

4 (años)

M = 250,000 + 375,000 = 625,000 m= 2 t = 4 años

n= m*t = 2*4=8 períodos (semestral) n

Gráfico=?

M = C (1+i )

2*4

625,000 = 250,000 (1+j/2) 8

(1+j/2) = 625,000 = 2.5 250,000 1/8

1+j/2 = (2.5)

1/8

j = [(2.5) -1] 2 = 0.2427 j = 24. 27% a.c.s

3.- A qué tasa anual capitalizable mensualmente, un capital de 400,000 usd se convertirá en 1.200,000 usd en 8 años ¿ A qué tasa efectiva es equivalente?

Datos:

Solución n

j =? (a.c.m)

M = C ( 1+i)

C = 400,000 usd M = 1.200,000 usd

a) Calculamos la tasa nominal a.c.m 184

t = 8 años i =? (tasa efectiva equivalente)

12*8

1 .200,000 = 400,000 (1+j/12)

i = j/m n = m*t=12*8 = 96 períodos

96

(1+j/12)

= 1.200,000 = 3

m = 12 (mensual)

400.000 1/96

1 + j/12 = 3 1/96

j = (3 - 1) 12 = 0.1381

j = 13.81% a.c.m

b) Calculamos la tasa efectiva equivalente m

(1+i) = (1+j/m) m

i = (1+j/m) - 1

12

i = (1 + 0.1381/12) – 1 = 0.1472

i = 14.72%

4.- A qué tasa efectiva se convertirá un capital de 200,000 usd en 300,000 usd en 3 años. Efectuar el cálculo por logaritmos y por exponentes.

Datos:

Solución: n

i =?

M = C (1+i)

C = 200,000 usd M = 300,000 usd t = 3 años

3

300,000 = 200,000 (1+i) 3

185

Logaritmos =?

(1+i) = 300,000 = 1.5

Exponentes =?

200,000

a) Por Exponentes 3/3

(1+i)

1/3

= (1.5) 1/3

i = (1.5) - 1 = 0.1447 i = 14.47%

b) Por logaritmos 3 log (1+i) = log 1.5

log( 1+i) = log 1.5 3

1 + i = Antilog

log 1.5 3

i = Antilog

log 1.5

-1 = 0.1447

3 i = 14.47%º

5.- Establecer cual será el valor del descuento compuesto matemático y el descuento compuesto bancario de un documento financiero, el mismo que al final de 6 años tendrá un valor de 500,000 usd, si se descontó luego de transcurridos 3 años desde su suscripción, a una tasa de interés del 12% anual capitalizable semestralmente (a.c.s).

Datos:

Solución

Dc =? 186

Dbc =? t = 6 años

i = 0.06

M = 500,000 t1 = 3 años j = 12% a.c.s

M = 500,000 0

3 años

6 años

m=2 i = j/m = 0.12/2 = 0.06 i = 0.06 semestral n = m*t = 2*3 = 6

a) Descuento comercial matemático

n = períodos (semestral) d = 0.06 semestral

-n

Dc = M [1- (1+i)] -6

Dc = 500,000 [1- (1+0.06)] Dc = 147,519.73 usd

b) Descuento compuesto bancario n

Dcb = M [1- (1-d)] 6

Dcb = 500,000 [1-(1-0.06) ] Dcb = 155,065.11 usd

6.- Luego de transcurridos 4 años y 3 meses de su fecha de suscripción, se vende un documento de 300,000 usd que tenía un vencimiento en 6 años y fue suscrito con una tasa de interés del 9% a.c.t desde su suscripción. Calcular el valor actual del documento las siguientes alternativas:

a) Con una tasa del 8% efectiva b) Con una tasa del 9% anual capitalizable trimestral c) Graficar

187

Datos:

V/suscrip. = 300,000 usd

Solución

tiempo para la negociación =1.75 años

t = 6 años j = 9% a.c.t

i = j/m = 0.09 / 4 = 0.0225 trimestral

t1 = 4 años, 3 meses

n = m*t = 4 * 6 = 24 períodos

Calcular valor actual a) i = 8% b) j = 9% a.c.t c) Graficar

i = 0.0225 V/s = 300,000 C =? 0

M =511,729.97 6 años 1,75

n

M = C (1+i) 24

M = 300,000 (1+0.0225) = 511,729.97 a) Calcular valor actual con i = 8% n

C = M (1+i) -1.75

C = 511,729.97 (1+0.08) C = 447,248.90 C = 447,248.90 usd //

b) Calcular valor actual con j = 9% a.c.t 188

n

C = M (1+i) -4*1.75

C = 511,729.97 (1+0.09/4) C = 437,922.88 C = 437,922.88 usd //

7.- Determinar el valor actual de un documento a los 3 años y 9 meses de la fecha de suscripción, que tiene un valor nominal de $100,000 usd y que fue suscrito con una tasa de interés del 11% a.c.s y a un tiempo de 7 años y 3 meses. Realizar el cálculo del valor actual considerando una tasa del 10% a.c.t. Graficar.

Datos:

Solución

i= 0.055 semestral C =? Valor actual t = 7 años, 3 meses v/nominal= 100,000usd j = 11% a.c.s

i= 0.025trimestral v/n= 100,000

0 3.75 años

3.5 años 7.25a

t1 = 3a.9m. desde su suscripción.

j = 10% a.c.t. t2 = t – t1 = 7.25 – 3.75 n

t2 = 3.5 años

M=C(1+i)

n = m* t = 4 * 3.5 = 14 períodos 14.5

t = m*t = 2 * 7.25 = 14.5

M = 100,000 ( 1 + 0.055) = 217,350.51 -n

t1 = 3.75 años

C=M(1+i)

i = j /m = 0.11/2 = 0.055 semestral -14

i = j/ m = 0.10/4 = 0.025 trimestral C = 217,350.51 ( 1 + 0.025 ) = 153,824.87 189

C = 153,824.87usd

8.- Al final de los seis años, un documento tendrá un valor de 600,000 usd. Calcular su valor actual luego de transcurridos tres años y tres meses desde la fecha de suscripción del documento, considerando una tasa de interés del 14% a.c.t.. Resolver el cálculo aplicando los métodos matemático y comercial. Graficar.

Datos:

Solución: a) Método Matemático

M = 600,000.

j=14% a.c.t.

t = 6 años

C=?

M= 600,000

C = ¿ (Valor Actual) t1= 3.25 años

0

2.75

6 (años)

j= 14% a.c.t. m= 4 Método = Matemático y Comercial

t1 = 6 – 3.25 años n = m * t = 4 * 2.75 = 11 periodos n

C=M(1+i) -11 C = 600,000 (1 + 0.14 / 4 ) =410,967.43 C = 410,967.43 usd.

b ) Método Comercial: no se puede aplicar por cuanto n es entero y no fraccionario.

9.- Una persona tiene en las siguientes obligaciones: 125,000 usd a 18 meses plazo. 190

75,000 usd a 24 meses plazo. 250,000 usd a 30 meses plazo. El deudor desea reemplazar todas sus obligaciones por un solo pago a 21 meses. Cuál será el valor de ese pago, considerando una tasa de interés del 12% a.c.s. Tomar como fecha focal a los 27 meses y elaborar una gráfica de tiempos y valores

Solución: n

a) Cálculo de los montos:

M=C(1+i)

M1 = 125,000 ( no hay tasa de interés) M2 = 75,000 ( no hay tasa de interés) M3 = 250,000 ( no hay tasa de interés).

b) Gráfica de tiempos y valores j = 12% a.c.s. f.f.

M1

0

1.5

M2

1.75

2

M3

2.25

2.5 ( años )

X

c) Ecuaciones de valor

2* 0.5

2* 0.75

2*0.25

X ( 1+0.12/2 ) = 125,000(1 + 0.12/ 2 ) + 75,000(1+ 0.12/2 ) + 191

-2*0.25

+250,000 (1 + 0.12/2 )

1.06 x = 136,417.10 + 77,217.23 + 242,821.47

1.06 x = 456,455.79

x = 456,455.79 1.06

X = 430,618.67 usd.

10.- Una empresa tiene las siguientes obligaciones: 200,000 usd a 15 meses plazo con una tasa del 10% a.c.s. 150,000 usd a 18 meses plazo con una tasa del 12% efectiva. 180,000 usd a 24 meses plazo con una tasa del 11% a.c.t. 250,000 usd a 36 meses plazo con una tasa del 8% a.c.m. El deudor desea reemplazar todas sus obligaciones por dos pagos iguales, a los 15 ya los 27 meses. Establecer cuál será el valor de los pagos, considerando una tasa de interés del 14% efectiva. Tomar como fecha focal a los 24 meses. Elaborar un gráfico de tiempos y valores.

Solución: n

a) Cálculo de los montos:

M = C= ( 1 + i )

2 * 1.25

M1 = 200,000 ( 1 + 0.10 / 2 ) = 225,945.26 1,5

M2 = 150,000 ( 1 + 0.12 )

= 177,794. 49

192

4*2

M3 = 180,000 ( 1 + 0.11 / 4 ) = 223,628.50 12 * 3

M4 = 250,000 ( 1 + 0.08/12 ) = 317,559.26

b) Gráfica de tiempos y valores

f.f.

0

M1

M2

M3

1.25

1.5

2

X

M4

2.25

3 (años)

X

c) Ecuación de valor

0.75

0.25

0.75

0.5

X ( 1+0.14 ) + X (1 + 0.14) = 225,945.26 (1+0.14) + 177,794.49 ( 1 + 0.14) + -1

+ 223,628.50 + 317,559.26 (1 + 0.14 )

X ( 1.10) + X ( 0.97) = 249,276.81 + 189,832.57 + 223,628.50 +278,560.75

X(2.07) = 941,298.63

X = 454,733.64 usd. (Valor de cada pago igual )

193

11.- Una persona desea vender una propiedad y recibe tres ofertas:

I Ofertas: 300,000 usd de contado.

II Oferta: 100,000 usd de contado. 100,000 usd a 12 meses. 100,000 usd a 24 meses.

III Oferta: 150,000 usd de contado. 75,000 usd a 18 meses. 75,000 usd a 30 meses.

Establecer cuál de las tres ofertas es la más conveniente considerando un rendimiento del dinero del 12% a.c.m. . Elabore las gráficas de tiempos y valores.

Solución:

I Oferta: 300,000 usd de contado.

-12* 1

II Oferta:

-12*2

x = 100,000 + 100,000( 1+ 0.12/12) 100,000( 1+0.2/12) x = 100,000 +88,744.92 + 78,756.61

f.f.

x =267,501.53usd

194

100,000 0

100,000 1

100,000 2 (años)

X

III Oferta:

-12*1.5

-12*2.5

x = 150,000+75,000(1+0.12/12) + 75,000(1+0.12/12) x = 150,000 + 62,701.30 + 55,644.22 x = 268,345.52

150,000 0

75,000

75,000

1.5 2.5 (años)

X

La oferta más conveniente para el vendedor es la primera.

12.- Una empresa tiene las siguientes obligaciones: 500,000 usd que vence en un año a una tasa del 12% a.c.s. 300,000 usd que vence en 18 meses a una tasa del 10% efectiva 400,000 usd que vence en 24 meses a una tasa del 10% a.c.t. 200,000 usd que vence en 30 meses a una tasa del 8% a.c.m. El deudor desea reemplazar todas sus obligaciones por un solo pago en un tiempo equivalente (T.E.) para los tres vencimientos. Calcular la fecha de pago y el valor del pago único, considerando una tasa de interés del 12% a.c.t.. Para el cálculo del pago único tomar como fecha focal la fecha del T.E. 195

Solución: n

a) Cálculo de los montos:

M = C (1 + i )

2*1

M1= 500,000 ( 1+ 0.12/2 ) = 561,800 1.5

M2= 300,000 ( 1+ 0.10 ) = 346,106.92 4*2

M3= 400,000 ( 1+ 0.10/4 ) = 187,361.16 12*2.5

M4= 200,000 ( 1+ 0.08/12 ) = 244,118.47

b) Cálculo del tiempo equivalente ( T.E.)

T.E. =

∑ M*t ∑

M

T.E: = 561,800 (1) + 346,106.92 (1.5) +487,361.16 (2) + 244,118.47 (2.5) 561,800+ 346,106.92+487,361.16 +244,118.47

T.E. = 561,800 + 519,160.38 + 974,722.32+ 610,296.18 1’639,386.55

T.E. = 2’665,978.88

= 1.63

1’639,386.55

T.E. = 1.63 años

c) Gráfica de tiempos y valores M

f.f C 196

j = 12% a.c.t.

f.f.

0

M1

M2

1

1.5

M3

1.63

M4

2

2.5 (años)

X d) Ecuación de valor 4*0.63

4*0.13

-4*0.37

X= 561,800 ( 1 +0.12/4)+346.106.92 (1+0.12/4)+487,361.16(1+0.12/4) + -4*0.87

244,118.47(1+0.12/4)

X = 605,245.46 + 351,467.88 + 466,500.19 + 220,255.67

X = 1’643,469.20

13.- Una empresa tiene las siguientes obligaciones:

120,000 usd que vence en 15 meses a una tasa del 10% a.ct. 100,000 usd que vence en 18 meses a una tasa del 12% efectiva 80,000 usd que vence en 21 meses a una tasa del 10% efectiva 150,000 usd que vence en 24 meses a una tasa del 12% a.cm. 200,000 usd que vence en 30 meses a una tasa del 9% a.c.s.

197

El deudor desea reemplazar todas sus deudas por tres pagos iguales, a los 12, 18 y 24 meses, con una tasa de interés del 14% a.c.t. Calcular el valor de cada pago igual. Tomar como fecha focal a los 21 meses. Graficar. Solución: n

a) Cálculo de los montos: M = C( 1+ i) 4*1.25

M1 = 120,000( 1+0.10/4) = 135,768.99 1.5

M2 = 100,000 ( 1+ 0.12) = 118,529.66 1.75

M3 = 80,000 ( 1+ 0.10 ) =

94,520.76 12*2

M4 = 150,000 ( 1+ 0.12/12) = 190,460.20 2*2.5

M5 = 200,000 ( 1+ 0.09/2) =

249,236.39

b) Gráfica de tiempos y valores: f.f. .

f.f M

0

1

M1

M2

M3

1.25

1.5

1.75

x

x

M4

2

C

M5

2,5 (años )

x

c) Ecuación de valor i= j/m = 0.14 / 4 = 0.035 trimestral 4*0.75

4*0.25

-4*0.25

4*0.5

198

X( 1+0.035)

+ x(1+0.035)

+ x( 1+0.035)

= 135,768.99(1+0.035)

4*0.25

+118,529.66(1+0.035)

+

-4*0.25

+ 94,520.76 + 190,460.20(1+0.035)

+

-4*0.75

+249,236.39(1+0.035) 1.11X +1.035X + 0.97X = 145,439.14 + 122,678.20 + 94,520.76 + 184,019.52+ + 224,796.94 3.115X = 648,776.36 X = 208,274.91usd 14.-Una persona tiene las siguientes deudas: 10,000 usd, que vence en 8 meses,

a una tasa del 9%

a.c.s.

15,000 usd, que vence en 14 meses, a una tasa del 8%

a.c.t.

20,000 usd, que vence en 20 meses, a una tasa del 10% Efectiva. 12,000 usd, que vence en 26 meses, a una tasa del 7 % a.c.t. 18,000 usd, que vence en 27 meses, a una tasa del 12% a.c.s.

Desea reemplazar el total de sus deudas por 4 pagos iguales a los 6, 12, 18 y 24 meses, a una tasa de interés del 10% a.c.s. Calcular el valor de cada pago. Tomar como ff a los 6 meses. Solución: a) Calculamos los montos de todas las deudas: M = C ( 1 + i ) n M1 = 10,000 ( 1 +0 .09/2 )0.67*2

= 10,607.57

M2 = 15,000 ( 1 + 0.08/4 )1.17*4

= 16,456.60

M3 = 20,000 ( 1 + 0.10 )1.67

= 23,450.70

M4 = 12,000 ( 1 + 0.07/4 )2.17*4

= 13,950.19

M5 = 18,000 ( 1 + 0.12/2 )2.25*2

= 23,396.39

b) Graficamos una línea de tiempo ff

M1

M2

M3

M4

M5

199

0

6

8

0.5 0.67 X

12 14

18

1 1.17

1.5 1.67

X

20

X

24 26

27 ( meses )

2

2.25 ( años )

2.17

X

Hacemos una ecuación de valor tomando como ff a los 6 meses. Para el cálculo utilizamos la fórmula del valor presente, por cuanto la ff está a la izquierda de todas las deudas. c) Ecuación de valor X + X (1 + 0.10/2 ) –0.5*2 + X (1 + 0.10/2 )-1*2 + X (1 + 0.10/2 ) –1.5*2 = 10,607.57 (1 + 0.10/2 )-0.17*2 + 16,456.60(1 + 0.10/2 )-0.67*2 + 23,450.70(1 + 0.10/2 ) -1.17*2 +13,950.19 (1 + 0.10/2 )-1.67*2 + 23,396.39 (1 + 0.10/2 )1.75*2

X + X (0.9524 ) + X ( 0.9070 ) +X ( 0.8638) = 10,433.07 + 15,415.10 + 20,920.54 + 11,852.44 + 19,723.61 X (3.7232 ) = 78,344.76 X = 78,344.76 3.7232 X = 21,042.32 usd valor de cada pago igual. 15.- Una persona tiene las siguientes deudas: 15,000 usd que vence en 9 meses

a una tasa del 6%

10,000 usd que vence en 12 meses a una tasa del 8% 6,000 usd que vence en 18 meses a una tasa del 9%

a.c.t Efectiva a.c.s.

12,000 usd que vence en 24 meses a una tasa del 7 % Efectiva 20,000 usd que vence en 27 meses a una tasa del 12% a.c.t

Desea reemplazar el total de sus deudas, por 4 pagos iguales a los 6, 12, 18, 24 meses, a una tasa de interés del 12% anual Calcular el valor de cada pago. Tomar como ff a los 6 meses. Solución: 200

Calculamos los montos de todas las deudas: M = C ( 1 + i )n M1 = 15,000 ( 1 + 0.06/4 )0.75*4

= 15,685.1756

M2 = 10,000 ( 1 + 0.08 )

= 10,800.00

M3 = 6,000 ( 1 + 0.09/2 )1.5*2

=

M4 = 12,000 ( 1 + 0.07 )2

= 13,738.80

M5 = 20,000 ( 1 + 0.12/4 )2.25*4

= 26,095.4636

6,846.9967

Graficamos con una línea de tiempo. X= Valor de cada pago. ff

0

6 0.5

M1

M2

M3

9

12

18

0.75

1 X

X

M4

M5

24

27 ( meses )

1.5

2

2.25 ( años )

X

X

Hacemos una ecuación de valor, tomando como ff a los 6 meses. Para el calculo utilizamos la fórmula de valor presente, por cuanto la ff está a la izquierda de todas las deudas. C = M ( 1 + i )-n Ecuación de valor –0.5

-1

1.5

X + X (1 + 0.12 ) + X ((1 + 0.12 ) + X (1 + 0.12 )- = 15,685.18 (1 + 0.12) –0.25 + 10,800(1 + 0.12 )-0.5 + 6,846.99(1 + 0.12 ) -1 + 13,738.8 (1 + 0.12 )-1.5 + 26,095.46 (1 + 0.12 ) -0.5

-1

1.75

.

-1.5

-0.25

-0.5

X + X ( 1.12 ) + X ( 1.12 ) + X (1.12) = 15,685.18(1.12 ) +10,800 ( 1.12 ) + 1.75 6,846.99 ( 1.12 )-1 + 13,738.8 ( 1.12 )-1.5 + 26,095.46 ( 1.12 ) . X + X (0.9449) + X ( 0.8929 ) + X (0.8437 ) = 15,247.0211 + 10,205.0401 + 6,113.39 +11,591.023 + 21,400.9680. X ( 3.6815 ) = 64,557.4424. X = 17,535.64 usd valor de cada pago.

16.-Una empresa tiene las siguientes deudas: 1´500,000 usd que vence en 2 años

6 meses, a una tasa del 12% a.c.t.

1´000,000 usd que vence en 3 años

4 meses, a una tasa del 10% a.c.s.

201

2´000,000 usd que vence en 4 años

9meses, a una tasa del 9%

Efectiva.

Desea reemplazar sus deudas, por un solo pago en un tiempo equivalente (T.E) para los 3 vencimientos. Calcular la fecha de pago del T.E y el valor del pago único, considerando una tasa de interés del 18% anual capitalizable trimestralmente. Para el cálculo del pago único tomar como fecha focal la fecha correspondiente al T.E. y para el cálculo de la fecha de pago aplicar la regla práctica para el cálculo del T.E. Solución: Calculamos los montos de todas las deudas: M = C (1 + i) n M1 = 1’500,000 ( 1 + 0.12/4 )2.5*4

= 2´015,874.57

M2 = 1’000,000 ( 1 + 0.10/2 )3.33*2 = 1´383,951.06 M3 = 2’000,000 ( 1 + 0.09 )4.75

= 3´011,659.45

Graficamos una línea de tiempo y valores:

M1 0

2.5

ff

M2 3.33

M3 3.74(TE)

4.75(años)

X

Calculamos el tiempo equivalente T.E = Ʃ M*t = 2´015,874.57 *2.5 + 1´383,951.06 * 3.33 +3´011,659.45*4.75 ƩM

2´015,874.57+ 1´383,951.06 + 3´011,659.45

T.E = 3,74 años. T.E = 3 años, 8 meses, 25 días. Calculamos el valor del pago con relación a la ff. ff M

C X ESTA SOBRE LA ff POR CONSIGUIENTE X ES IGUAL A X

X 202

X = 2´015,874.57 (1 + 0.18 / 4)1.24*4 + 1´383,951.06 (1 + 0.18 / 4)0.41*4 + 3´011,659.45 (1 + 0.18 / 4)-1.01*4 X = 2´507,727.30 + 1´487,549.58 + 2´521,018.59. X = 6´516,295.47usd. valor pago único que debe efectuarse en los 3.74 Años(T.E.) 17.- Una empresa tiene las siguientes deudas: 1´000,000 usd que vence en 3 años

a una tasa del

18%

a.c.s.

2´000,000 usd Que vence en 4 años

6 meses

a una tasa del 12%

Efectiva.

3´000,000 usd que vence en 6 años

7meses

a una tasa del 15%

a.c.t.

Desea reemplazar sus deudas, por un solo pago en un tiempo equivalente (T.E) para los 3 vencimientos. Calcular la fecha de pago T.E. y el valor del pago único considerando una tasa de interés del 28% anual capitalizable trimestralmente. Para el cálculo del pago único tomar como fecha focal, la fecha correspondiente al T. E y para el cálculo de la fecha de pago aplicar la regla práctica para el cálculo del T.E. Solución: Calculamos los montos de todas las deudas: M = C (1 + i) n M1 = 1’000,000 ( 1 + 0.18/2 )3*2

= 1´677,100.11

M2 = 2’000,000 ( 1 + 0.12 )4.5

= 3´330,512.73

M3 = 3’000,000 ( 1 + 0.15/4 )6.58*4 = 7´905,478.98

Graficamos una línea de tiempo y valores: ff

M1

M2

0

12

18

0

3

4.5

M3 22.31 5.58

26.32(trim) 6.58(años)

X pago único

Calculamos el tiempo equivalente: T.E = Ʃ M *t =

1´677,100.11 * 3+ 3´330,512.73*4.5 + 7´905,478.98 *6.58

203

ƩM

1´677,100.11 + 3´330,512.73 + 7´905.4.98

T.E = 5.58 años 5.58 años * 4 trimestres = 22.31 trim.

Calculamos el valor del pago con relación a la ff. ff M

C X ESTA SOBRE LA ff POR CONSIGUIENTE X ES IGUAL A X

X X = 1´677,100.11 ( 1 + 0.28/4)2.58*4 + 3´330,512.73 ( 1 + 0.28/4)1.08*4 –1*4 7´905,478.98 ( 1 + 0.28/4) X = 3´371,316.87 + 4´461,172.51 + 6´031,052.06.

+

X = 13’863,541.44 usd valor de pago único a los 5.58 años (T.E). 5.58 años = 5 años 6 meses 29 días (T.E).

204

APENDICE 8

DEPRECIACIONES: APLICACIONES

Existen diversos métodos para determinar el cargo anual por depreciación

notación a utilizarse C= Costo original del activo. S =

Valor de Salvamento ( S puede ser negativo ).

n =

Vida útil del activo calculado en años.

B=

C – S = Base de depreciación del activo.

K=

Cualquier año de la Vida Útil del activo: ( 0 ≤ K ≤ n ).

Dk=

Cargo por depreciación en el año K.

Ak=

Depreciación acumulada al final del año K. Ao = o

Vk=

An = B

Valor en libros al final del año K. Vo = C

dk=

Vn =

S

Tasa de depreciación en el año K.

método de línea recta DK = C - S n

AK = KD

= B

= D ( independientemente de K)

n

Vk = C - KD

Ejercicio.-Industrias TTS adquiere una maquinaria textil en un valor de 55.000 usd. De acuerdo con datos del fabricante tendrá una vida útil de 6 años antes de que deba ser reemplazado por un equipo mas moderno; su valor de salvamento se calcula en 4,000 usd. Calcular: a) la depreciación anual por el método lineal. 205

b) Elaborar la tabla de depreciación. solución

D = C - S

= D = 55,000 – 4,000

n

= 8,500 usd

6

La depreciación anual será de 8,500 usd, cantidad que se incrementará en el fondo de reserva para depreciar y disminuirá en el valor en libros del activo. Esto se refleja en la siguiente tabla de depreciación:

TABLA DE DEPRECIACIÓN

AÑOS

DEP. ANUAL

DEP. ACUM

VALOR EN LIBROS

n

Dk

Ak

Vk

0

-

-

55,000

1

8,500

8,500

46,500

2

8,500

17,000

38,000

3

8,500

25,500

29,500

4

8,500

34,000

21,000

5

8,500

42,500

12,500

6

8,500

55,000

4,000

C

Vn = S

MÉTODO DE PORCENTAJE FIJO Dk = Vk-1 d → Depreciación en cualquier año K.

Vk = C ( 1- d ) → Valor en libros al final del año K.

S

= C ( 1 – d )ⁿ = Vn → Valor de salvamento.

Cuando S es igual a cero, para el cálculo tomar S= 1

206

1.- Empresas Randall S.A adquirió maquinaria para optimizar su producción en un valor de 130,000 usd. Se calcula que su vida útil será de 6 años y que a su final tendrá un valor de salvamento de 15,000 usd a) Calcular la tasa de depreciación d que debe aplicarse b) Elaborar la tabla de depreciación. Datos:

solución:

C = 130,000 usd

a ) calculo de la tasa de depreciación (d) n

S= C(1–d)

n = 6 años

6

S = 15,000 usd

15,000 = 130,000 ( 1 – d )

d =?

(1 – d ) = 15,000 /130,000 =0.115384615 1/6

1/6

( 1 – d ) = ( 0.115384615) ; -d = ( 0.115384615) -1 1/6

d = 1 – ( 0.115384615) ; d = 0.3022637 * 100 d = 30.2264 % → Este porcentaje se aplica para calcular la depreciación.

b) Tabla de depreciación

TABLA DE DEPRECIACION

AÑOS

DEP. ANUAL

DEP. ACUM

VALOR EN LIBROS

% de

0

-

-

130,000.00

0.302264

1

39,294.32

39,294.32

90,705.68

0.302264

2

27,417.06

66,711.38

63,288.62

0.302264

3

19,129.87

85,841.25

44,158.75

0.302264

dep.

207

4

13,347.60

99,188.85

30,811.15

0.302264

5

9,313.10

108,501.95

21,498.05

0.302264

6

6,498.09

115,000.00

15,000.00

La diferencia de 0.04 se debe a redondeo. Cuando esto suceda como en el presente caso, ajustamos en el último cargo por depreciación: Depreciación anual del 6 to año = 6,498.05 usd

MÉTODO DE SUMA DE DÍGITOS S = n ( n +1 ) 2 B = C–S

→ S = suma de dígitos n = vida útil en años → Base de la depreciación

D1 = n ( C – S ) → Depreciación año 1 S Dk = n – k + 1 ( C – S )→ Fórmula para calcular la depreciación de S Vk = C – Ak

cualquier año. → Valor en libros en cualquier año.

La depreciación acumulada Ak se obtiene multiplicando la base de depreciación B por la suma de las fracciones acumuladas hasta ese año.

2.- FABRITEX S.A compró maquinaria por un valor de 35,000 usd. Se estima que su vida útil será de 6 años y que tendrá un valor de desecho de 5,000 usd. Elaborar la tabla de depreciación por el método de suma de digitos. solución:

a) .- Se determina la base de depreciación.

208

B=C–S B = 35,000 – 5,000

→ B = 30,000 usd

b) .- Se calcula el denominador de la fracción ( suma de dígitos). s= n ( n + 1) 2 s= 6 ( 6 + 1 ) → s= 6 * 7 2

→ s= 42

2

→ s= 21 2

c).- Se determina los numeradores de la fracción.

Año

1

2

3

4

5

6

Numerador

6

5

4

3

2

1

Fracción

6/21

5/21

4/21

3/21

2/21

1/21 ( ∑ = 21/21 =1)

d).- Hallamos el cargo por depreciación de cada año.

TABLA DE DEPRECIACIÓN

AÑOS

FRACCION

BASE DE DEP

DEP. ANUAL

DEP. ACUMULAD

V/ LIBROS

0

-

-

35,000.00

1

6/21

30,000

8,571.43

8,571.43

26,428.57

2

6/21

30,000

7,142.86

15,714.29

19,285.71

3

6/21

30,000

5,714.29

21,428.58

13,571.42

4

6/21

30,000

4,285.71

25,714.29

9,285.71

5

6/21

30,000

2,857.14

28,571.43

6,428.57

209

6

6/21

30,000

1,428.57

30,000.00

5,000.00

MÉTODO POR UNIDAD DE PRODUCCIÓN O SERVICIO. 3.- RENT–AUTOS S.A. compró un automóvil en un valor de 18,500 usd. Se estima que la vida útil del vehículo para efectos de arrendamiento es de 80.000 km y que al cabo de ellos su valor de salvamento será de 8,500 usd. Durante los 3 primeros años, el automotor recorrió: 25,000 km, 22,000km y 28,000 km respectivamente. a) Establecer el valor de depreciación por Kilómetro recorrido b) Elaborar la tabla de depreciación. Solución: a) Cálculo de la base de depreciación: B = C – S → B = 18,500 – 8,500 = 10,000 usd Esta base de depreciación se divide para el kilometraje total d/km = 10,000/80,000 → 0.125/ km

b) Tabla de Depreciación.

TABLA DE DEPRECIACIÓN

DEP. ANUAL

DEP. ACUMULADA

AÑOS

KM

VALOR EN LIBROS

0

-

-

1

25,000

3,125

3,125

15,375.00

2

22,000

2,750

5,875

12,625.00

3

28,000

3,500

9,375

9,125.00

18,500.00

MÉTODO DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN.

210

Este método considera los intereses que gana el fondo de reserva que se va constituyendo, por consiguiente, el incremento anual estará dado por la suma del cargo anual por depreciación más los intereses ganados en ese período.

La aportación anual al fondo de amortización se deriva de la fórmula del monto de una anualidad: M = R( ( ( 1 + i ) ⁿ -1) / i ) Para determinar el pago periódico se despeja R = Mi / (( 1 + i )ⁿ -1).

En este caso M = B, puesto que es el Monto que debe acumular al cabo de n años a una tasa de interés i.

R = D, el cargo anual que debe efectuarse al fondo.

Entonces:

Y si n = K

Dk = Bi /(( 1 + i )ⁿ - 1)

fòrmula del cargo anual .

Dk = Bi / (( 1 + i ) -1).

Para determinar la depreciación acumulada Ak se calcula el monto de un pago periódico D a un plazo K y a una tasa de interés i por periodo.

k

Ak = Dk (( 1 + i ) -1) / i ) Vk = C - AK

El monto acumulado al cabo de n años debe ser igual a la base de depreciación del activo.

4.- Constructora Ingenieros Asociados adquiere muebles de oficina para un edificio de departamentos y oficinas que esta construyendo. El costo de compra de los muebles es de 150,000 usd y se calcula que tendrán una vida útil de 5 años. La tasa de interés es del 12% anual y se estima que a su final tendrá un valor de desecho de CERO.

211

a) Determinar el cargo anual por depreciación utilizando el método del fondo de amortización. b) Elaborar la tabla de depreciación. Solución: a) Cálculo de cargo anual.

B= C – S

B= 150,000 – 0 = 150,000 k

Dk= Bi/ (( 1 + i ) – 1 ) 5

Dk ( 150,000*0.12) / (( 1+0.12) -1)

D= 18,000/ (1.762341683 – 1)

D= 23,611.46 usd

La aportación que se debe hacer anualmente al fondo de amortización es de 23,611.43 usd.

b) tabla de depreciación n

M=C(1+i)

n

;

M = 23,611.43 ( 1.12)

TABLA DE DEPRECIACIÓN

AÑOS

DEP. ANUAL

INT. GANAD

DEP. ANUAL

DEP. ACUMUL

VALOR/ LIBROS

212

0

-

1

23,611.46

2

-

-

-

150,000.00

0

23,611.46

23,611.46

126,388.54

23,611.46

2,833.38

26,444.84

50,056.30

99,943.70

3

23,611.46

6,006.76

29,618.22

79,674.52

70,325.48

4

23,611.46

9,560.94

33,172.40

112,846.92

37,153.08

5

23,611.46

13,541.63

37,153.10

150,000.02

0.02

118,057.30

31,942.71

150,000.02

5.- Una empresa adquiere un equipo en 50,000 usd. Se estima una vida útil de 10 años, al final de los cuales se calcula un valor de salvamento de 10,000 usd y se prevee que deberá realizar una inversión de 4,000 usd para descontarlo y deshacerse de él.

Aplicando el método de línea recta calcular: a) El cargo anual por depreciación b) Elabore una tabla de depreciación Datos C= 50,000 usd (costo Original) n = 10 años (vida útil) S = 10,000 usd (Salvamento) gastos = 4,000 usd (desmontaje) Método Lineal a) D=? Cargo anual depreciación b) Tabla de Depreciación S = 10,000-4,000

Solución a) Cargo anual por depreciación D= C- S n D = 50,000- 6,000 10 D = 44,000 = 4,400 10 D = 4,400 usd c/año

S = 6,000 usd

c) Tabla de depreciación

213

Período

0

Depreciación Anual

--------------

Dep. Acumulada

------------

Valor en libros

50,000

1

4,400

4,400

45,600

2

4,400

8,800

41,200

3

4,400

13,200

36,800

4

4,400

17,600

32,400

5

4,400

22,000

28,000

6

4,400

26,400

23,600

7

4,400

30,800

19,200

8

4,400

35,200

14,800

9

4,400

39,600

10,400

10

4,400

44,000

(C)

6,000 (S)

6.- Una persona adquiere un equipo en 75,000 usd y se estima que su tasa de depreciación es del 25% y su esperanza de vida de 10 años.

Aplicando el método de porcentaje fijo, efectuar lo siguiente:

a) b) c) d)

Elabore una tabla de depreciación de los 6 primeros años Hallar el valor en libros al final del 8vo Año. Hallar el cargo de depreciación del 9no Año. Determinar el valor de salvamento.

Datos:

214

C = 75,000 usd (costo inicial) d= 25% = 0.25 ( tasa de depreciación) n = 10 años (esperanza de vida) Método Porcentaje Fijo calcular: a) Tabla de depreciación 6 primeros años b) V8 =? c) D9 =? d) S = ?

Solución

a) Tabla de depreciación ( 6primeros años)

Año

Dep. Anual

Dep. Acumulada

Valor en libros 75,000

% de depreciación

0

-------

--------

0.25

1

18,750

18,750

56,250

0.25

2

14,062.50

32,812.50

42,187.50

0.25

3

10,546.88

43,359.38

31,640.63

0.25

4

7,910.16

51,269.54

23,730.46

0.25

5

5,932.62

57,202.16

17,797.84

0.25

6

4,449.46

61,651.62

13,348.38

-----

b) Valor en libros al final del 8vo año. VK = C ( 1-d )K  Valor en libros al final del año K V8 = 75,000 (1-0.25)8 = 7,508.47

V8 = 7,508.47 usd

c) Cargo para depreciación del 9no año. Dk = Vk -1d  Depreciación en el año K 215

D9 = V9 -1d  D9 = V8d D9 = 7,508.47 (0.25) = 1,877.12

D9 = 1,877.12 usd

d) Valor de Salvamento (S= Vn) S= Vn = C (1- d)n S= V10 = 75,000 (1- 0.25)10

S = 4,223.51 usd

7.- Una empresa construye un centro comercial. El costo del terreno fue de 1´200,000 usd y el valor de la construcción de 23´000,000 usd. La vida útil del centro comercial se calcula en 25 años y se estima que a su final tendrá un valor de salvamento de 3´500,000 usd.

Aplicando el método de la suma de dígitos, determinar : ¿Cuál es el valor en libros al cabo de 10 años?

Datos Costo de terreno = 1´200,000 usd C = 23´000,000 usd (Costo de la construcción) n = 25 años (vida útil) S = 3´500,000 usd (Valor de Salvamento) Método: Suma de dígitos – calcular: V10 =? (Valor en libros al final de 10 años)

Solución:

s

n(n 1) 2

s

25(25 1) 2

325

B = C- S  B = 23´000,000-3´500,000 = 19´500,000 Ak = A10=

25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 19´500 ,000 325

216

A10 12´300,000  Depreciación Acumulada de 10 primeros años. Calculamos el valor en libros Vk = C-Ak V10 = C- A10 V10=23´000,000 – 12´300,000 V10 = 10´700,000 usd

8.- Una empresa adquiere una máquina que tiene una vida útil de 2´600,000 unidades de producción. Su costo de adquisición fue de 55,000 usd y su valor de salvamento de 4,500 usd. El número de unidades producidas durante los 6 primeros años de vida útil fueron:

Año UNIDADES

1 275,000

2

3

4

300,000

250,000

320,000

5 220,000

6 280,000

Aplicando el método por unidad de producción o servicio: a) Determinar la depreciación por unidad b) Elaborar la tabla de depreciación

Datos:

Datos Vida útil= 2`600,000 unidades C= 55,000 usd S= 4,500 usd

Solución D= C- S n D = 55,000- 4,500 2´600,000 D = 0.019 usd c/año

b) Tabla de depreciación

217

Año

No. Unidades

Dep. Anual

Dep. Acumulada

Valor en libros

0

-------

--------

---------

55,000

1

275,000

5,341.35

5,341.35

49,658.65

2

300,000

5,826.92

11,168.27

43,831.73

3

250,000

4,855.77

16,024.04

38,975.96

4

320,000

6,215.39

22,239.43

32,760.58

5

220,000

4,273.08

26,512.51

28,487.49

6

280,000

5,438.43

31,950.97

23,049.03

9.- Una empresa adquiere equipo y maquinaria para su producción en un valor de 170,000 usd. Se calcula una vida útil de 8 años y se estima que su valor de desecho a su final será de 12,000 usd. Aplicando el método de porcentaje Fijo: a) Determinar la tasa de depreciación de que debe aplicarse b) Elaborar la tabla de depreciación

Solución : S= C (1- d)n

Datos

C= 170,000 usd

12,000=170,000 (1- d) (1- d)8 = 12,000

n= 8 años S= 12,000usd

8

= 0.071

170,000

Método de porcentaje fijo

(1- d)8/8 = (0.071)1/8 ; 1-d = (0.071)1/8 ;

d= ?

-d = (0.071)

Tabla = ?

1/8

-1; d= 1-(0.071)

1/8

d= 0.2821

d = 28.21%

b) Tabla de depreciación

Año

Dep. Anual

Dep. Acumulada

Valor en libros

d

218

0

-------

--------

170,000

1

47,949.25

47,949.25

122,050.75

0.2821

2

34,424.95

82,374.20

87,625.80

0.2821

3

24,715.24

107,089.44

62,910.56

0.2821

4

17,744.20

124,833.64

45,166.36

0.2821

5

12,739.37

137,570.01

32,426.99

0.2821

6

9,146.18

146,719.19

23,280.82

0.2821

7

6,566.46

153,285.65

16,714.35

0.2821

8

4,714.36

158,000

12,000

0.2821

------

219

APENDICE 9 TASA NOMINAL, TASA EFECTIVA Y TASAS EQUIVALENTES

Es muy común que en operaciones financieras, el acreedor y el deudor acuerden la tasa y el interés anual, que regirá durante todo el tiempo que dure la operación. A esta tasa se le conoce como tasa nominal de interés. Cuando el interés generado se capitaliza en forma mensual, trimestral, semestral, etc., la cantidad efectivamente pagada o ganada, siempre será mayor que la cantidad que se le pagaría o ganaría, si se compone anualmente. Cuando se presenta este caso, se puede calcular una tasa efectiva anual. Se dice que dos tasas de interés anuales con diferentes períodos de capitalización, son tasas equivalentes, sí al cabo de 1 año producen el mismo monto a interés compuesto. Relación de equivalencias entre tasas. i=

Tasa de interés anual efectiva.

j=

Tasa de interés anual nominal.

m= Número de períodos de capitalización al año. n= Número de períodos. C= Capital de la operación financiera. M= Monto compuesto.

Tenemos:

a)

M= C (1 + i)n

y también:

b)

M=C (1 + j/m) mn

Ecuación a) = Ecuación b) C (1 + i) n = C (1 + j/m) mn

Divido para C:

Como n = 1

(1 + i) n = (1 + j/m) n

(1 + i) = (1 + j/m) m

ecuación general de equivalencia

220

Despejo i:

i = (1 + j/m) m - 1

ecuación que permite hallar la tasa efectiva dada la tasa nominal

PUNTO CLAVE 1: Por concepto, 2 tasas de interés son equivalentes, si producen el mismo monto al final de 1año, es decir n =1

1.- Gráficas MARVESA realizó una inversión de 15,000 usd en una entidad bancaria, que le reconoce una tasa del 12% de interés anual convertible mensualmente. a) Determinar cuál es la tasa efectiva de interés que recibe. b) Demostrar que las tasas son equivalentes. Solución: C = 15,000 usd j = 12% a.c.m. m = 12 (mensual) i=? a) Cálculo de la tasa efectiva de interés: i = (1 + j/m) m – 1 i = (1 + 0.12/12) 12 – 1 i = (1 + 0.01) 12 – 1 = i = 0.12682503

i = (1.01) 12 – 1

a porcentaje

i = 0.12682503*100= 12.682503% i = 12.682503% tasa efectiva de interés que recibe Por consiguiente: “una tasa nominal del 12% a.c.m. es equivalente a una tasa efectiva del 12.682503%”. b) Demostración de equivalencia de las tasas: Por concepto, dos tasas son equivalentes si producen el mismo monto al final de un año. Por consiguiente: si C = 1; n = 1

M = C (1 + i)n

M = (1 + i) n

M = (1 +i)

M = (1 + 0.12682503) M = 1.125825030 usd Monto que produce un capital de 1 usd al final de un año con la tasa efectiva i = 12.682503% Cálculo con la tasa nominal

M = C (1 + j/m)m M = (1 +0.12/12)12

j = 12% a.c.m.

M = (1 +j/m) m M = (1.01) 12

M = 1.12682503 usd.

221

PUNTO CLAVE 2 Es la equivalencia de tasas no interviene el capital invertido, por consiguiente puedo considerar para el cálculo de la equivalencia C = 1 y el tiempo de 1 año. 2.- Walter Ramírez invirtió 30,000 usd a 3 años plazo y obtuvo un rendimiento del 8% anual. Desea establecer el valor de la tasa nominal anual convertible trimestralmente, a la que estuvo colocado al capital. Datos: C = 30,000 usd

i = 8 % anual j = ? a.c.t. m= 4 n= m*t = 4*3=12 periodos (trimestral) Solución:

de la ecuación: i = (1 + j/m) m – 1 despejo j = (1 + j/m) m = i +1 (1 +j/m) m*1/ m =(1 + i )1/ m (1 + j/m) = (1 + i) 1/ m j/m = (1 + i) 1/ m

j = [(1 + i) 1/ m

-1

- 1] m

fórmula para calcular la tasa nominal anual

j = [(1 + 0.08) 1/ 4 - 1] 4 j = 0.077706 a.c.t. En porcentaje: j = 0.077706*100 j = 7.7706% a.c.t “La tasa nominal j anual convertible trimestralmente, que produce un 8% efectivo, es de 7.7706%” 3.- Almacenes SNOW adquirió un préstamo de 10,000 usd, a 24 meses con una tasa de interés del 15% anual, convertible trimestralmente. a) Desea conocer cuál es la tasa nominal j convertible mensualmente equivalente a la tasa a la que adquirió el crédito.

PUNTO CLAVE 3 “Cuando 2 tasas de interés son convertibles en dos períodos distintos, es necesario que ambas tasas se igualen a su tasa anual”. Solución: 222

a) Una tasa nominal j convertible mensualmente, es igual a una tasa efectiva i = (1 +j/m) m en donde: m = 12 entonces: i = (1 + j/12) 12 1 b) Una tasa nominal del 15% anual convertible trimestralmente, es igual a una tasa efectiva i = (1 + j/m) m en donde: j = 0.15 a.c.t; m =4 entonces: i =(1 + 0.15/4) 4 2 1

2

Como = (1 + j/12) 12 = (1 + 0.15/4) 4 (1 + j/12) 12/12 = (1 + 0.0375) 4/12 (1 + j/12) = (1.0375) 1/3 – 1 j = [(1.0375) 1/3 – 1 ] 12

j = 0.148163

En porcentaje: j = 0. 148163*100

j = 14.8163% a.c.m.

Por consiguiente, una tasa nominal del 15% a.c.t. es equivalente a una tasa nominal de 14.8163% a.c.m. Entonces podemos utilizar la siguiente fórmula: 1

(1 + j/m )

1

m

= (1 + j/m )

2

2

m

En donde m1y m2 son los períodos 1 y 2 de conversión respectivamente. PUNTO CLAVE 4 “Cuando se tienen tasas convertibles en períodos distintos, a mayor frecuencia de conversión se obtiene un rendimiento mayor”. 4.- INDUSTRIAS CERMESA desea invertir 150,000 usd. Para el efecto quiere determinar a que tasa de interés anual convertible trimestralmente, podrá obtener un monto de 450,000 usd en 6 años. Solución: C = 150,000 usd M = 450,000 usd t = 6 años j =? (a.c.t.) Partimos de la fórmula del monto compuesto: M = C(1 + i) n 450,000 = 150,000 (1 + i) n (1 + i) n = 450,000 = 3 150,000 n (1 + i) = 3 1

223

Como sabemos que (1 + i) = (1 + j/m) m Llevando ambos lados de la ecuación a n tenemos: Fórmula para calcular j con cualquier valor de n

(1 + i) n = (1 + j/m ) mn p

Para el presente ejemplo Reemplazo en la ecuación

n=6 y m=4 1

y obtengo (1 + j/m) mn = 3

(1 + j/4) 4*6 = 3 (1 + j/4) 24 = 3 (1 + j/4) 24/24 = 31/24 (1 + j/4) = 31/24 j/4 = 31/24 - 1 j = (31/24 – 1) 4 j = 0.187358 Este valor en porcentaje será: j = 0.187358*100 = 18.7358% a.c.t. Industrias CERMESA debe invertir su capital de 150,000 usd, a una tasa nominal del 18.7358% a.c.t, para que se incremente a un valor de 450,000 usd en 6 años. FÓRMULAS PARA TRANSFORMACIÓN DE TASAS:

Nomenclatura:

i

= Tasa efectiva o efectiva periódica

j

= Tasa nominal

m

= Frecuencia de capitalización o número de veces que se capitalizan los intereses en el año

Si se tiene la tasa nominal a un periodo de capitalización para pasar a la tasa efectiva periódica del periodo de tiempo en el que se capitaliza se utiliza la fórmula: i = j/m

Ejemplo: 224

Se desea conocer la tasa semestral de una tasa del 10% a.c.s (anual capitalizable semestralmente).

j = 10% a.c.s. m = 2 (capitalizaciones al año) i = ? semestral

Entonces aplico la fórmula

i = j/m i = 0.10/2 = 5% semestral

Si tuviese la tasa efectiva periódica y desea conocer la tasa nominal del mismo periodo de de tiempo indicada en la tasa efectiva únicamente despejo j de la fórmula anteriormente vista.

Ejemplo:

Encontrar la tasa nominal a.c.t. equivalente a la tasa efectiva periódica del 2.5% trimestral j = ? a.c.t. m = 4 (capitalizaciones al año) i = 2.5% trimestral Entonces aplico la fórmula

i = j/m j = 0.025 (4) = 10% a.c.t.

Para pasar de tasa efectiva anual a tasa nominal o a la inversa: 225

(1+i) = (1+j/m)m

Ejemplo:

Se desea conocer la tasa equivalente a.c.s (anual capitalizable semestralmente) de una tasa del 10.25% efectiva anual.

j = ? a.c.s. m = 2 (capitalizaciones al año) i = 10.25% efectiva anual

Entonces aplico la fórmula y despejo i: (1+i) = (1+j/m)m

(1+0.1025) = (1+j/2)2

((1.1025)1/2 -1) (2)= j j = 10.0% a.c.s. Al necesitar una tasa efectiva periódica en base a otra tasa efectiva periódica incluida la tasa efectiva anual:

(1+i1)p1 = (1+i2)p2 Donde:

i1 =

Tasa efec. periódica 1

; p1 = periodo1

i2 =

Tasa efec. periódica 2

; p2 = periodo 2

Ejemplo:

226

Se desea saber cual es la tasa equivalente mensual de una tasa del 5% semestral

Donde:

i1 =

5% semestral ; p1 = periodo1

i2 =

? mensual

; p2 = periodo 2

para conocer los valores de p 1 y p2 se toma en consideración el periodo mayor que para el ejemplo es semestre, y para calcular p 1 decimos cuantos semestres hay en un semestre entonces p1 =1 igual hacemos para p 2 cuantos meses hay en un semestre y obtenemos que p2 = 6, finalmente aplico la fórmula y despejo i2.

(1+i1)p1 = (1+i2)p2 (1+0.05)1 = (1+ i2)6 i2 = (1+0.05)1/6-1

i2 = 0.82% mensual

*** (Tenga en cuenta que siempre la tasa efectiva es mayor que la tasa nominal, pues en esta se consideran los valores capitalizados.)

Un caso en el que se tienen que utilizar dos fórmulas y que puede darse solución por dos métodos es:

Ejemplo:

Transforme 1.2% mensual a tasa nominal a.c.s.

Método 1: Tranforme a tasa semestral, luego a tasa nominal a.c.s. i1 =

1.2% mensual ; p1 = 6

i2 =

? semestral ; p2 = 1 227

(1+0.012)6 = (1+ i2)1 i2 = (1+0.012)6-1

i = j/m

m=2

i = 7.42% semestral

i2 = 7.42% semestral

j = 2 (0.0742) = 0.1483 =14.84% a.c.s.

Método 2: Tranforme a tasa a.c.m, luego a tasa nominal a.c.s. i = j/m m = 12 i = 1.2 mensual j = 12 (0.012) = 0.144 =14.4% a.c.m.

(1+ j1/m1)m1 = (1+j2/m2)m2

(1+ 0.144/12)12 = (1+j2/2)2

(1+ 0.144/12)6 = (1+j2/2)

((1.012)6-1) (2) = j2

j2 = 14.84% a.c.s.

En resumen llegamos a tener el siguiente esquema o metodología que nos ayuda a visualizar los diferentes caminos para efectuar las transformaciones aplicando los conceptos vistos anteriormente

228

Esquema para transformación de tasas de interés efectivas y nominales i = j/m

Tasa Nominal

(Mismo periodo de capitalización)

i

j (1+j1/m1)

m1

= (1+j2/m2)

Tasa Efectiva

(1+i1) p1 = (1+i2)p2

m2

(Incluye tasa efectiva anual)

(Diferente frecuencia de conversión)

Tasa Nominal

j

Tasa Efectiva (1+i) = (1+j/m)m

i

(Tasa efectiva anual)

Para la utilización de este esquema, usted debe ubicarse en el tipo de tasa que tiene como dato y seguir las fechas hasta llegar al tipo de tasa al que desea tener su equivalencia, pueden existir varios caminos para hacerlo, lo importante es que una vez determinado el camino utilice la o las formula(s) que le permiten pasar de un nodo (tipo de tasa) a otro nodo y vaya identificando las tasas encontradas con todos los detalles Ej: 8% a.c.m.; 3% trimestral, 15% anual, etc. Esto es necesario para que sepa que tipo de tasa encontró.

Si numeramos las fórmulas en sentido horario tenemos:

229

Esquema para transformación de tasas de interés efectivas y nominales i = j/m

Tasa Nominal

Tasa Efectiva

(Mismo periodo de capitalización)

1

j

i

(1+j1/m1) m1 = (1+j2/m2)m2

4

(1+i1) p1 = (1+i2)p2

2

(Diferente frecuencia

(Incluye tasa efectiva anual)

de conversión)

3

Tasa Nominal

Tasa Efectiva

(1+i) = (1+j/m)m

j

i (Tasa efectiva anual)

Algunos ejercicios se resuelven con más de una fórmula Por ejemplo: Si deseo transformar j = 10% a.c.s. (Tasa nominal) a i = mensual (Tasa efectiva periódica mensual): primeramente me ubico en uno de los 2 nodos de la tasa nominal, para indicar el camino que se va a tomar indicamos las fórmulas a utilizar hasta llegar a la tasa efectiva periódica mensual; en este ejemplo hay dos caminos como lo veremos a continuación:

Primer Camino: 10% a.c.s.

5% semestral

1 tn

te tn

4

2

tn

te 3

0,82% mensual

230

F12: Esto quiere decir que partimos de una tasa nominal j = 10% a.c.s, aplicamos la fórmula 1: i = j/m y pasamos a tasa efectiva semestral i = 5% semestral y finalmente con la fórmula 2: (1+i1)p1 = (1+i2)p2 transformo de tasa efectiva semestral a tasa efectiva mensual i = 0.82% mensual.

Segundo Camino:

5% semestral

1 tn

te tn

4

2

tn

10% a.c.s.

te 3

10,25% anual

F32: Esto quiere decir que partimos de una tasa nominal j = 10% a.c.s, aplicamos la fórmula 3: (1+i) = (1+j/m)m y pasamos a tasa efectiva anual i = 10.25% anual y finalmente con la fórmula 2: (1+i1)p1 = (1+i2)p2 transformo de tasa efectiva anual a tasa efectiva mensual i = 0.82% mensual.

Nota: “No es lo mismo F12 que F21”

En los siguientes ejemplos podemos aplicar la metodología de transformación de tasas vista anteriormente:

Tasa Nominal (j) a Efectiva (i) o viceversa: Aplico F3 (1+j/m) m = (1+i) Donde m es el número de capitalizaciones de la tasa nominal al año. Ejemplo: j = 10% a.c.s (anual convertible semestralmente), m=2 i=? (1+0.10/2)2 = (1+i) i = 10.25% anual

231

Siempre la tasa efectiva es mayor que la tasa nomina puesto que considera la capitalización de intereses. Tasa Nominal (j1) a Tasa Nominal (j2): Aplico F4 m1 m2 (1+j1/m1) = (1+j2/m2) Donde m1 es el número de capitalizaciones de la tasa nominal j1 al año y m2 es el número de capitalizaciones de la tasa nominal j2. Ejemplo: j1 = 10% a.c.s (anual convertible semestralmente), m1 = 2 j2 = ? a.c.t (anual convertible trimestralmente), m2 = 4 (1+0.10/2)2 = (1+j2/4)4 j2 = 9.88% a.c.t. Tasa Nominal (j) a Tasa Efectiva Periódica (i): Aplico F1 i = j/m Ejemplo: j = 10% a.c.s (anual convertible semestralmente), m=2 i = ? semestral i = 0.10/2 = 0.05, entonces 5% semestral Tasa Efectiva Periódica (i 1) a Tasa Efectiva Periódica (i2): Aplico F2 (1+i1)p1 = (1+i2)p2 Ejemplo: i1= 10.25% anual p1= 1, i2= ? % mensual p2= 12, (1 + 0.1025)1 = (1 + i2)12 i2 = 0.0082 mensual, entonces 0.82% mensual

232

BIBLIOGRAFÍA Y NETGRAFÍA BIBLIOGRAFIA 1. Matemáticas Financiaras, Grupo Guía.com.ar, tercera edición revisada 2010, MORA ZAMBRANO, Armando 2. Matemáticas Financieras, McGraw Hill, Tercera edición 1999, DÍAZ MATA, Alfredo. 3. Matemáticas Financieras, Thomson Learning, Quinta edición 2002. HERNÁNDEZ HERNÁNDEZ, Abraham. 4. Matemáticas Financieras Teoría y 500 problemas resueltos, McGraw-Hill, 2003 AYRES, Frank Jr. 5. Matemáticas Financieras, McGraw-Hill, Segunda edición 1999, ALVAREZ, Alberto. 6. Bolsa de Valores de Quito. Guía del Inversionista Bursátil. 7. Ley General de Instituciones del Sistema Financiero. Registro Oficial 439, Suplemento, de 12 de mayo de 1994. 8. Ley del Mercado de Valores, Registro Oficial 199 de 28 de mayo de 1993. 9. Ley de Régimen Monetario y Banco del Estado. Registro Oficial de mayo de 1992.

NETGRAFIA 1. Generalidades http://www.profes.net/rep_documentos/PDS_Matemáticas/1B_Mt._CCSS._Euler_Amp._Logarit mos,_progresiones_y_matemática_financiera.pdf http://es.wikipedia.org/wiki/Matemática_financiera 2. Interés Simple http://www.vitutor.com/di/p/a_12.html 3. Descuentos http://www.matematicas-financieras.com/1-3-descuentosimple.html 4. Ecuaciones de valor y cuentas de ahorros http://www.slideshare.net/tmateo14/interes-simple-7551122 5. Interés compuesto y depreciaciones

233

http://www.slideshare.net/rss211060/interes-compuesto-14090914 http://www.slideshare.net/YPL/depreciaciones

234